Физика Задачник 10-11 класс Гольдфарб

4 ^ — 1--- .i ■ 1 “ r- — — .J ——I ■’ I —I—1~ Задачники«Дрофы» Н. и. Гольдфарб Физика 10-11 КЛАССЫ Пособие для общеобразовательных учреждений 1б-е издание, стереотипное Москва врофа 2012 УДК 373.167.1:53(076.1) ББК 22.3я721 Г63 Серия «Задачники «Дрофы» основана в 1996 г. Гольдфарб, Н. И. Г63 Физика. Задачник. 10—11 кл. : пособие для общеобра-зоват. учреждений / Н. И. Гольдфарб. — 16-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2012. — 398, [2] с. : ил. — (Задачники «Дрофы»). ISBN 978-5-358-10847-9 Пособие представляет собой сборник задач по всем разделам школьного курса физики, в который включены вопросы и задания различной степени сложности. Даются ответы и решения, раскрываются методы решения типовых задач. УДК 373.167.1:53(076.1) ББК 22.3я721 ISBN 978-5-358-10847-9 © ООО «Дрофа», 1996 I. МЕХАНИКА 1. Кинематика* 1.1. Из пунктов А и Б, расстояние между которыми равно и одновременно навстречу друг другу начали двигаться два тела: первое со скоростью Uj, второе — Og. Определить, через какое время они встретятся и расстояние от точки А до места их встречи. Решить задачу аналитически и графически. 1.2. Через какое время и где встретились бы тела (см. задачу 1.1), если бы они двигались в одном и том же направлении А Б, причем из точки Б тело начало двигаться через ^0 секунд после начала движения его из точки А? 1.3. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и Б по течению реки за время t^ = Зч, а плот — за время t = 12 ч. Сколько времени fg затратит моторная лодка на обратный путь? 1.4. Эскалатор метро спускает идуш;его по нему вниз человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени спускается человек, стояш;ий на эскалаторе? 1.5. Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал /ij = 50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал Hg = 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе? 1.6. Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии s = 100 км один от другого, курсирует катер, который, идя по течению, проходит это расстояние за время = 4 ч, а против течения — за время fg = 10 ч. Опреде- * Во всех задачах, в которых указана просто скорость, имеется в виду скорость относительно Земли. лить скорость и течения реки и скорость v катера относительно воды. 1.7. Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии = 15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она дошла до поселка за время ^ = 3/4 ч и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии S2 = 9 км от поселка. Каковы скорость течения реки и скорость течения лодки относительно воды? 1.8. Колонна войск во время похода движется со скоростью = 5 км/ч, растянувшись по дороге на расстояние I = 400 м. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает велосипедиста с поручением головному отряду. Велосипедист отправляется и едет со скоростью = 25 км/ч и, на ходу выполнив поручение, сразу же возвращается обратно с той же скоростью. Через какое время t после получения поручения он вернулся обратно? 1.9. Вагон шириной d = 2,4 м, движущийся со скоростью у =- 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно I = б см. Какова скорость движения пули? 1.10. Какова скорость V2 капель отвесно падающего дождя, если шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед под углом а ^ 60° к горизонту, когда скорость автомобиля L>j больше 30 км/ч? 1.11. На улице идет дождь. В каком случае ведро, стоящее в кузове грузового автомобиля, наполнится быстрее водой: когда автомобиль движется или когда он стоит? 1.12. С какой скоростью и и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за время t = 2ч пролететь точно на север путь S = 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом а ^ 30° к меридиану со скоростью и = 27 км/ч? 1.13. По гладкому горизонтальному столу со скоростью v движется черная доска. Какой формы след оставит на этой доске мел, брошенный горизонтально со скоростью и перпендикулярно направлению движения доски, если: а) трение между мелом и доской пренебрежимо мало; б) трение велико? X- м. в Рис. 1 Рис. 2 1.14. Корабль выходит из пункта А и идет со скоростью U, составляющей угол а с линией АВ (рис. 1). Под каким углом Р к линии АВ следовало бы выпустить из пункта В торпеду, чтобы она поразила корабль? Торпеду нужно выпустить в момент, когда корабль находится в пункте А. Скорость торпеды равна й. 1.15. К ползуну, который может перемещаться по направляющей рейке (рис. 2), прикреплен шнур, продетый через кольцо. Шнур выбирают со скоростью и. С какой скоростью и движется ползун в момент, когда шнур составляет с направляющей угол а? 1.16. Рабочие, поднимающие груз (рис. 3), тянут канаты с одинаковой скоростью и. Какую скорость и имеет груз в тот момент, когда угол между канатами, к которым он прикреплен, равен 2а? 1.17. Стержень длиной Z = 1 м шарнирно соединен с муфтами А и В, которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам (рис. 4). Муфта А движется с постоянной скоростью = 30 см/с. Найти скорость муф- ты в в момент, когда ZOAB = 60°. Приняв за начало отсчета времени момент, когда муфта А находилась в точке О, определить расстояние ОВ и скорость муфты В как функции времени. 1.18. Танк движется со скоростью 72 км/ч. С какой скоростью движутся относительно Земли: а) верхняя часть гусеницы; б) нижняя часть гусеницы; в) точка гусеницы, которая в данный момент движется вертикально по отношению к танку? 1.19. 1. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью = 40 км/ч, вторую — со скоростью 1^2 = 60 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пройденном пути. 2. Автомобиль проехал половину пути со скоростью = = 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел со скоростью V2 ^ 15 км/ч, а последний участок — со скоростью Ug = 45 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути. 1.20. Поезд первую половину пути шел со скоростью в /г = 1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость поезда на всем пути = 43,2 км/ч. Каковы скорости поезда на первой и второй (Ug) половинах пути? 1.21. Два шарика начали одновременно и с одинаковой скоростью двигаться по поверхностям, имеюпдим форму, изображенную на рис. 5. Сравнить скорости и время движения шариков к моменту их прибытия в точку В. Трением пренебречь. 1.22. Самолет летит из пункта А в пункт В и возвраш;ает-ся в пункт А. Скорость самолета в безветренную погоду равна V. Найти отношение средних скоростей всего перелета для двух случаев, когда во время перелета ветер дует: а) вдоль линии АВ; б) перпендикулярно линии АБ. Скорость ветра равна и. 1.23. Расстояние между двумя станциями s = 3 км поезд метро проходит со средней скоростью = 54 км/ч. При '■'Р этом на разгон он затрачивает время = 20 с, затем идет равномерно некоторое время ig и на замедление до полной остановки тратит время tg = 10 с. Построить график скорос- Ш 1 'Ж///////////Л В ЧшФ/УА в Рис. 5 Рис. 7 ти движения поезда и определить наибольшую скорость ^^макс поезда. 1.24. От движуш;егося поезда отцепляют последний вагон. Поезд продолжает двигаться с той же скоростью Vq. Найти отношение путей, пройденных поездом и вагоном к моменту остановки вагона. Считать, что вагон двигался равнозамедленно. Решить задачу аналитически и графически. 1.25. В момент, когда тронулся поезд, провожающ;ий начал равномерно бежать по ходу поезда со скоростью Oq ^ 3,5 м/с. Считая движение поезда равноускоренным, определить скорость V поезда в тот момент, когда отъезжающий поравняется с провожающим. 1.26. График зависимости скорости некоторого тела от времени представлен на рис. 6. Начертить графики зависимости ускорения и координаты тела, а также пройденного им пути от времени. 1.27. График зависимости ускорения тела от времени представлен на рис. 7. Начертить графики зависимости скорости, координаты и пути, пройденного телом, от времени. Начальная скорость тела равна нулю (на участке разрыва ускорение равно нулю). 1.28. Тело начинает двигаться из точки А со скоростью Vq и через некоторое время попадает в точку В (рис. 8). Какой путь прошло тело, если оно двигалось равноускоренно с ускорени- ^ ^ ем, численно равным а? Расстояние ____,_____,________ между точками А и В равно I. Найти ^ ^ среднюю скорость тела. Рис. 8 1.29. На рис. 9 представлен график зависимости координаты тела от времени. После момента времени t ^ кривая графика — парабола. Указать характер движения тела. Построить график зависимости скорости тела от времени. 1.30. На рис. 10 представлены графики скоростей для двух тел, движущихся по одной прямой из одной и той же начальной точки. Известны моменты времени и ^2- В какой момент времени тела встретятся? Построить графики движения. 1.31. За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом при равноускоренном движении, втрое больше пути, пройденного за предыдущую секунду, если движение происходит без начальной скорости? 1.32. Вагонетка должна перевезти груз с одного места на другое, находящееся на расстоянии L, за наименьшее время. Она может ускорять или замедлять свое движение только с одинаковым по модулю и постоянным по направлению ускорением а, переходя затем в равномерное движение или останавливаясь. Какой наибольшей скорости v должна достичь вагонетка, чтобы выполнить указанное выше требование? 1.33. Реактивный самолет летит со скоростью Vq = = 720 км/ч. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение t = 10 с и за последнюю секунду проходит путь S == 295 м. Определить ускорение а и конечную скорость V самолета. 1.34. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платформе, за время = 1 с, а второй — за 8 ig = 1,5 с. Длина вагона Z = 12 м. Найти ускорение а поезда и его скорость Vq в начале наблюдения. Движение поезда считать равнопеременным. 1.35. Шарик, пущенный вверх по наклонной плоскости, проходит последовательно два равных отрезка длиной I каждый и продолжает двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за t секунд, второй — за 3^ секунд. Найти скорость V шарика в конце первого отрезка пути. 1.36. Доска, разделенная на пять равных отрезков, начинает скользить по наклонной плоскости. Первый отрезок прошел мимо отметки, сделанной на наклонной плоскости в том месте, где находился передний край доски в начале движения, за X = 2 с. За какое время пройдет мимо этой отметки последний отрезок доски? Движение доски считать равноускоренным. 1.37. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяет в земляной вал и проникает в него на глубину 36 см. Сколько времени двигалась она внутри вала? С каким ускорением? Какова была ее скорость на глубине 18 см? На какой глубине скорость пули уменьшилась в 3 раза? Движение считать равнопеременным. Чему равна скорость пули к моменту, когда пуля пройдет 99% своего пути? 1.38. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии / = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через = 1 с и через t2 = 2 с после начала движения. Определить начальную скорость Vq и ускорение а движения шарика, считая его постоянным. 1.39. Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости. За какое время тело проходит первый и последний метры своего пути? Какой путь проходит тело за первую и за последнюю секунды своего движения? 1.40. Определить время х, в течение которого открыт затвор фотоаппарата. При фотографировании шарика, падающего вдоль вертикальной сантиметровой шкалы от нулевой отметки без начальной скорости, на негативе была получена полоска, расположенная между делениями шкалы и П2‘ 1.41. Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Найти высоту, с которой упало тело. 1.42. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело. 1.43. С какой начальной скоростью Uq надо бросить вниз мяч с высоты h, чтобы он подпрыгнул на высоту 2/г? Трением о воздух и другими потерями механической энергии пренебречь. 1.44. С каким промежутком времени оторвались от карниза крыши две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между каплями было 25 м? Трением о воздух пренебречь. 1.45. Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель замечает промежуток времени между двумя моментами, когда тело проходит точку В, находящуюся на высоте h. Найти начальную скорость Vq и время t всего движения тела. 1.46. Из точек А и В, расположенных по вертикали (точка А выше) на расстоянии I = 100 м друг от друга, бросают одновременно два тела с одинаковой скоростью l> = 10 м/с: из точки А — вертикально вниз, из точки В — вертикально вверх. Через какое время и в каком месте они встретятся? 1.47. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью Uq. Когда оно достигло высшей точки пути, из того же начального пункта с той же скоростью Vq брошено второе тело. На какой высоте h от начального пункта они встретятся? 1.48. Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью Uq = 19,6 м/с с промежутком времени т = 0,5 с. Через какое время t после бросания второго тела и на какой высоте h встретятся тела? 1.49. Аэростат поднимается с земли вертикально вверх с ускорением а = 2 м/с^. Через т = 5 с от начала его движения из него выпал предмет. Через какой промежуток времени t этот предмет упадет на землю? 1.50. С аэростата, опускающегося со скоростью и, бросают вверх тело со скоростью l>q относительно Земли. Какое расстояние I будет между аэростатом и телом к моменту, когда тело достигнет наибольшей высоты подъема относи- 10 тельно поверхности Земли? Каково наибольшее расстояние ^макс между телом и аэростатом? Через какое время х от момента бросания тело поравняется с аэростатом? 1.51. Тело, находящееся в точке В на высоте if = 45 м от земли, начинает свободно падать. Одновременно из точки А, расположенной на расстоянии Л = 21 м ниже точки В, бросают другое тело вертикально вверх. Определить начальную скорость второго тела, если известно, что оба тела упадут на землю одновременно. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g" = 10 м/с^. 1.52. Тело свободно падает с высоты h. В тот же момент другое тело брошено с высоты Н {Н > К) вертикально вниз. Оба тела упали на землю одновременно. Определить начальную скорость Uq второго тела. Проверить правильность решения на числовом примере: Л = 10 м, if = 20 м. Принять g = 10 м/с^. 1.53. Камень бросают горизонтально с вершины горы, имеющей уклон а. С какой скоростью Vq должен быть брошен камень, чтобы он упал на гору на расстоянии L от вершины? 1.54. Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если он от одного игрока к другому летит 2 с? 1.55. Самолет летит на постоянной высоте h по прямой со скоростью V. Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким углом а к вертикали он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы? Каково в этот момент расстояние от цели до точки, над которой находится самолет? Сопротивление воздуха движению бомбы не учитывать. 1.56. Два тела падают с одной и той же высоты. На пути одного тела находится расположенная под углом 45° к горизонту площадка, от которой это тело упруго отражается. Сравнить время и скорости падения этих тел? 1.57. Лифт поднимается с ускорением 2 м/с^. В тот момент, когда его скорость стала равна 2,4 м/с, с потолка лифта начал падать болт. Высота лифта 2,47 м. Вычислить время падения болта и расстояние, пройденное болтом относительно шахты лифта. 11 1.58. На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены два тела под углом 45° к вертикали со скоростью 20 м/с: одно вниз, другое вверх. Определить разность высот АЛ, на которых будут тела через 2 с. Как движутся эти тела друг относительно друга? 1.59. Доказать, что при свободном падении тел вблизи поверхности Земли их относительная скорость постоянна. 1.60. Из точки А свободно падает тело. Одновременно из точки В под углом а к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе (рис. 11). Доказать, что угол а не зависит от начальной скорости L?o тела, брошенного из точки В, и определить этот угол, если Н/1 = Уз. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.61. Тело брошено под углом а к горизонту со скоростью ^о- Определить скорость и этого тела на высоте h над горизонтом. Зависит ли эта скорость от угла бросания? Сопротивление воздуха не учитывать. 1.62. Под углом а == 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью Vq = 20 м/с. Через какой промежуток времени t оно будет двигаться под углом р = 45° к горизонту? Трение отсутствует. 1.63. Из трех труб, расположенных на земле, с одинаковой скоростью бьют струи воды: под углом 60, 45 и 30° к горизонту. Найти отношения наибольших высот h подъема струй воды, вытекающих из каждой трубы, и дальностей I падения воды на землю. Сопротивление воздуха движению водяных струй не учитывать. 1.64. Из точки, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра d некоторой окружности по желобам, установленным вдоль различных хорд этой окружности, одновременно начинают скользить без трения грузы (рис. 12). Определить, через какое время t каждый груз достигнет окружности. Как это время зависит от угла наклона хорды к вертикали? 12 Рис. 12 1.65. Начальная скорость брошенного камня Vq = 10 м/с, а спустя промежуток времени ^ = 0,5 с скорость камня стала равной V = 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень? 1.66. На некоторой высоте одновременно из одной точки с одинаковыми скоростями выбрасываются по всевозможным направлениям шарики. Что будет представлять собой геометрическое место точек нахождения шариков в любой момент времени? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.67. Цель, находяпдаяся на холме, видна с места расположения орудия под углом а к горизонту. Дистанция (расстояние по горизонтали от орудия до цели) равна L. Стрельба по цели производится при угле возвышения р (рис. 13). Определить начальную скорость Vq снаряда, попадаюш,его в цель. Сопротивление воздуха не учитывать. При каком угле Ро возвышения дальность стрельбы вдоль склона будет максимальной? 1.68. Упругое тело падает с высоты h на наклонную плоскость. Определить, через какое время t после отражения тело упадет на наклонную плоскость. Как это время зависит от угла наклонной плоскости? 1.69. С высоты Н на наклонную плоскость, образуюш;ую с горизонтом угол а = 45°, свободно падает мяч и упруго отражается с той же скоростью. Найти расстояние от места первого удара до второго, затем от второго до третьего и т. д. Решить задачу в общем виде (для любого угла а). 1.70. Расстояние до горы определяют по времени между выстрелом и его эхом. Какова относительная погрешность х измерения моментов выстрела и прихода эха, если расстояние до горы не менее 1 км, а его нужно определить с точностью 3% ? Скорость звука в воздухе v == 330 м/с. 13 1.71. Глубину колодца хотят измерить с точностью 5%, бросая камень и замечая время х, через которое будет слышен всплеск. Начиная с какого значения т необходимо учитывать время прохождения звука? Скорость звука в воздухе и = 330 м/с. 2. Законы Ньютона 2.1. с сортировочной горки скатываются два вагона: один груженый, другой порожний. Какой из вагонов отъедет дальше по прямолинейному участку пути после скатывания с горки? Считать силу сопротивления движению пропорциональной нагрузке на колеса и не зависящей от скорости. Сопротивлением воздуха пренебречь. 2.2. Какую массу т балласта надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с балластом М = 1200 кг, подъемная сила аэростата постоянна и равна F = 8000 Н. Силу сопротивления воздуха считать одинаковой при подъеме и при спуске. 2.3. Шахтная клеть массой М = 3 • 10^ кг начинает подниматься с ускорением а = 0,49 м/с^. Определить: а) силу натяжения троса, при помощи которого поднимается клеть; б) силу натяжения троса в начале спуска клети с тем же ускорением; в) силу натяжения троса при движении клети с постоянной скоростью вверх и вниз. 2.4. В лифте установлены пружинные весы, на которых стоит человек. Как изменяются показания весов при движении лифта вверх и вниз с учетом изменений характера движения лифта? 2.5. На доске стоит человек. Внезапно он приседает. Что произойдет в первый момент: увеличится или уменьшится прогиб доски? Что произойдет, если человек сидел на корточках и внезапно выпрямился? 2.6. Ящик, заполненный шарами, брошен вверх. Как изменяется сила давления шаров на дно и боковые стенки ящика и друг на друга во время полета ящика? Каким будет ответ, если ящик брошен под углом к горизонту? Сопротивление воздуха не учитывать. 14 2.7. Тяжелое тело подвешено на пружине к потолку кабины лифта. Каким будет движение тела относительно кабины, если внезапно кабина начинает свободно падать под действием силы тяжести? 2.8. На подставке лежит тело, подвешенное к потолку с помощью пружины. В начальный момент времени пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с ускорением а. Через какой промежуток времени At тело оторвется от подставки? Жесткость пружины ky масса тела т. 2.9. К концам шнура, перекинутого через блок, подвешены грузы = 50 г и Wg = 75 г. Пренебрегая трением и считая шнур и блок невесомыми, а шнур нерастяжимым, определить ускорения, с которыми будут двигаться грузы, силу натяжения шнура и показание динамометра, на котором висит блок. 2.10. Две гири массами т^ = 7 кг и Wg == 11 кг висят на концах малорастяжимой нити, которая перекинута через блок. Гири вначале находятся на одной высоте. Через какое время t после начала движения более легкая гиря окажется на АЛ = 10 см выше тяжелой? Массой блока, нити и сопротивлением движению пренебречь. 2.11. Два одинаковых груза массой М подвешены на невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок. На один из них положен перегрузок массой т. Определить силу f давления перегрузка на груз массой М и силу F, действующую на ось блока. 2.12. 1. Через середину стержня проходит горизонтальная ось, вокруг которой он может вращаться. На концах стержня укреплены грузы массами wij = 2 кг и = 8 кг. Стержень приведен в горизонтальное положение и освобожден без толчка. Найти силу давления стержня на ось в начальный момент после его освобождения. Массой стержня и трением в оси пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки. 2. Решить задачу для случая, когда ось проходит не через середину стержня, а на расстоянии 1/3 его длины от груза меньшей массы. 15 т □ 2 т. Рис. 14 Рис. 15 2.13. Через невесомый блок, укрепленный на ребре призмы, грани которой образуют углы а и (3 с горизонтом, перекинута нить (рис. 14). К концам нити прикреплены грузы массами и mg. Найти ускорения грузов и силу натяжения нити. Трением пренебречь. 2.14. Два груза массами т = 0,2 кг и М = 4 кг соединены нитью и лежат на гладком столе (трением пренебрегаем). К первому грузу приложена сила F-^ ^ 0,2 Н, действующая вдоль направления нити, ко второму — в противоположном направлении сила i^2 "" Н. С каким ускорением а будут двигаться грузы и какова сила натяжения Т соединяющей их нити? Решить задачу в общем виде и сделать выводы о силе натяжения нити, когда т М. 2.15. Найти ускорения и а2 грузов массами /п^ и //ig и силу натяжения Т нити в системе, изображенной на рис. 15. Массой блоков и нити и трением пренебречь. 2.16. На тележке стоит сосуд с жидкостью; тележка движется в горизонтальном направлении с ускорением а. Определить угол наклона а поверхности жидкости к горизонтали, считая положение жидкости в сосуде установившимся. 2.17. Определить угол наклона поверхности жидкости в сосуде, скользящем без трения по наклонной плоскости. 2.18. В лифте находится ведро с водой, в котором плавает тело. Изменится ли глубина погружения тела, если лифт будет двигаться с ускорением а, направленным вверх? вниз? 2.19. Доска массой М может двигаться без трения по наклонной плоскости с углом а к горизонту. В каком направлении и с каким ускорением а должна бежать по доске собака массой т, чтобы доска не соскальзывала с наклонной 1Л плоскости? Каким должен быть коэффициент трения k между лапами собаки и доской, чтобы задача имела решение? 2.20. На цилиндр массой М намотана нить. Затем цилиндр отпускают, а нить тянут вверх так, что центр массы цилиндра остается при разматывании нити на одной и той же высоте. Чему равна сила натяжения нити? 2.21. Через неподвижный блок перекинута веревка, к одному из концов которой привязан груз массой т-^ = 64 кг. На другом конце веревки повис человек массой mg = 65 кг, который, выбирая веревку, поднимает груз, оставаясь при этом на одном и том же расстоянии от пола. Через какое время t груз будет поднят на высоту Л = 3 м? Массой веревки и блока пренебречь. 2.22. 1. Два мальчика равных масс, стоящие на коньках на расстоянии I друг от друга, выбирают натянутую между ними веревку: один со скоростью у, другой со скоростью 2у. Через какое время и в каком месте они сойдутся? Решить задачу для случая, когда массы мальчиков относятся как 1:1,5. 2. За концы веревки, перекинутой через неподвижный блок, ухватились два гимнаста, имеющих одинаковые массы, которые начинают одновременно подниматься вверх: один со скоростью и, а другой со скоростью 2v относительно веревки. Через какое время каждый из них достигнет блока? Длина веревки I. Концы веревки в начальный момент находились на одинаковом расстоянии от блока. 2.23. Тело массой m = 1 кг лежит на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен /г = 0,1. На тело действует горизонтальная сила F. Определить силу трения для двух случаев: Р = 0,5 Н и Р=2Н. 2.24. Брусок массой m = 2 кг находится на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения при скольжении бруска по поверхности равен /г = 0,2. Построить график зависимости силы трения от силы тяги, приложенной к бруску вдоль плоскости скольжения. Явлением застоя пренебречь. 2.25. Брусок находится на плоскости, угол наклона которой может изменяться от 0 до 90°. Построить график зависимости силы трения бруска о плоскость от угла наклона плоскости к горизонту. Явлением застоя пренебречь. 5495 17 m. т. □ \а Рис. 1 6 Рис. 17 2.26. Определить приближенное значение коэффициента трения k песка о песок, если угол наклона горки, образовавшейся после осыпания песка, равен а. 2.27. Через легкий вращаюпдийся без трения блок перекинут шнурок. На одном конце шнурка привязан груз массой По другому концу шнура может скользить кольцо массой /TZg (рис. 16). 1. С каким ускорением а движется кольцо, если груз массой неподвижен? Чему равна сила трения кольца о шнурок? 2. Кольцо соскальзывает с постоянным относительно шнурка ускорением 02- Найти ускорение груза массой Wj и силу трения кольца о шнурок. Массой шнурка можно пренебречь; считать, что груз массой /п^ опускается. 2.28. Тело массой М движется прямолинейно с ускорением а по горизонтальной плоскости под действием некоторой силы F, образующей с горизонтом угол а. Определить модуль этой силы, если коэффициент трения между телом и плоскостью равен k. 2.29. Две доски связаны нитью. Доска А движется по горизонтальному столу под действием силы натяжения нити. Нить перекинута через блок, прикрепленный к столу. Доска В падает вниз. 1. Определить силу натяжения Т нити, если масса доски А Wj = 200 г, масса доски В m2 ^ 300 г, коэффициент трения между доской и столом k = 0,25. Масса блока ничтожно мала. 2. Как изменится ответ, если доски поменять местами? 3. Определить силу F, действующую на ось блока в случаях (1) и (2). 2.30. Система из двух грузов массами и mg (рис. 17) находится в лифте, движущемся с ускорением а, направ- 18 т Ш5Ш т ОШШГ' •••• ПШШ5 т Рис. 18 ленным вверх. Найти силу натяжения Т нити, если коэффициент трения между грузом массой и опорой равен k. Изменится ли состояние движения (или покоя) грузов, если направление ускорения лифта изменить на противоположное? 2.31. Два груза массами = 3 кг и Mg = 5 кг лежат на гладком горизонтальном столе, связанные шнуром, который разрывается при силе натяжения Т = 24 Н. Какую максимальную силу F можно приложить к грузу массой Mj? к грузу массой Mg? Как изменится ответ, если учесть трение? Коэффициенты трения грузов о стол одинаковы. 2.32. Одинаковые грузы массой т каждый соединены друг с другом п одинаковыми невесомыми пружинами (рис. 18). К крайнему грузу приложена некоторая сила F, под действием которой система движется с ускорением а в горизонтальном направлении. Определить силу F и удлинение каждой пружины, если коэффициент трения между грузами и плоскостью равен ц, жесткость пружины равна ky а число грузов {п + 1). 2.33. Два бруска массами и /Tig, связанные нерастяжимой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. К ним приложены силы F^ и jPg (рис. 19), составляющие с горизонтом углы аир. Найти ускорение системы а и силу натяжения Т нити. Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы и равны k. Силы F-^^ и Fg не отрывают бруски от плоскости. Система движется влево. 2.34. 1. Бруски Л и В массами //ig и /п^ находятся на столе (рис. 20, а). К бруску В приложена сила F, направленная под углом а к горизонту. Найти ускорения брусков, если коэффициенты трения брусков друг о друга и бруска о стол ад Рис. 19 19 Bi A a) Рис. 20 равны соответственно k■^^ и ^2* Сила трения между поверхностями максимальна. 2. На наклонную плоскость с углом а помещена плоская плита массой гп2, а на нее — брусок массой (рис. 20, б). Коэффициент трения между бруском и плитой k^. Определить, при каких значениях коэффициента трения ^2 между плитой и плоскостью плита не будет двигаться, если известно, что брусок скользит по плите. 2.35. Тело брошено вертикально вверх. Чему равно ускорение тела в высшей точке подъема? Как будет изменяться ускорение тела во время его движения? Рассмотреть два случая: 1) сопротивление воздуха отсутствует; 2) сила сопротивления воздуха растет с увеличением скорости тела. 2.36. Два шарика падают в воздухе. Шарики (сплошные) сделаны из одного материала, но диаметр одного из шариков вдвое больше, чем у другого. Сравнить скорости шариков при установившемся (равномерном) движении. Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения движущегося тела и квадратично зависит от скорости движения тела. 2.37. Шар массой т падает в жидкости плотностью р с постоянной скоростью V. С какой силой нужно тянуть этот шар, для того чтобы он поднимался в той же жидкости со скоростью 2v? Объем шара равен V. Сила сопротивления при движении шара в жидкости пропорциональна его скорости. 2.38. Почему крупные капли дождя падают с большей скоростью, чем мелкие? 2.39. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в четыре раза больше плотности материала шарика. Определить силу сопротивления жидкости при движении в ней шарика, считая ее постоянной. Масса шарика 10 г. 20 2.40. Тело лежит на наклонной плоскости, составляю- щей с горизонтом угол а = 4°. Найти: а) при каком предельном значении коэффициента трения тело начнет скользить по наклонной плоскости; б) с каким ускорением а будет скользить тело по плоскости, если коэффициент трения равен k = 0,03; в) время t прохождения при этих условиях 100 м пути; г) скорость v тела в конце этого пути. 2.41. За какое время t тело соскользнет с наклонной плоскости высотой Л, наклоненной под углом а к горизонту, если по наклонной плоскости с углом наклона (3 оно движется равномерно? 2.42. Два бруска с одинаковыми массами т скреплены нитью и находятся на наклонной плоскости с углом наклона а. Определить силу натяжения Т нити при движении брусков вдоль наклонной плоскости, если коэффициент трения k верхнего бруска о плоскость в 2 раза больше коэффициента трения нижнего. 2.43. На верхнем краю наклонной плоскости укреплен блок, через который перекинута нить. К одному концу нити привязан груз массой т^ = 2 кг, лежащий на наклонной плоскости. На другом конце нити висит груз массой m2 ^ = 1 кг. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол а = 20°; коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью k = 0,1. Считая нить и блок невесомыми, найти ускорение а, с которым движутся грузы, и силу натяжения Тнити. 2.44. Невесомый блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы а = 30° и |3 = 45°. Гири равной массы = mg = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Найти: а) ускорение а, с которым движутся гири; б) силу натяжения Т нити. Коэффициент трения гирь о наклонные плоскости k = 0,1 (см. рис. 14). Трением в блоке, массой нити и ее растяжением пренебречь. 2.45. Ледяная горка составляет с горизонтом угол а == 10°. По ней пускают вверх камень, который, поднявшись на некоторую высоту, соскальзывает по тому же пути вниз. Каков коэффициент трения k, если время спуска в п = 2 раза больше времени подъема? 21 пи М I Рис. 21 ''Vv,///‘'''V''‘ ■ 'У'‘'' -У/-'' '.■ Рис. 22 2.46. На горизонтальной доске лежит груз. Коэффициент трения между доской и грузом /г == ОД. Какое ускорение а в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз мог с нее соскользнуть? 2.47. На листе бумаги стоит прямой цилиндр, высота которого 20 см и диаметр основания 2 см. С каким наименьшим ускорением нужно потянуть лист, чтобы цилиндр упал? Предполагается, что цилиндр не скользит по поверхности листа. 2.48. Тележка массой М может катиться без трения по горизонтальному пути. У заднего края тележки лежит брусок массой т. Коэффициент трения между бруском и тележкой k. К бруску приложена горизонтальная сила F, достаточная для того, чтобы брусок начал скользить. Через какое время t брусок упадет с тележки, если длина ее I (рис. 21)? При какой минимальной силе Fq брусок начнет скользить? 2.49. По достаточно длинной доске массой М, лежащей на гладкой горизонтальной плоскости и удерживаемой шнуром (рис. 22), скользит равномерно со скоростью Vq брусок массой т под действием силы F. В некоторый момент времени i = 0, когда брусок прошел путь Zq, шнур перерезают. Описать дальнейшее движение бруска и доски. Через какое время и как изменится сила трения между ними? Какова минимальная длина доски /, при которой брусок не соскользнет с нее? 2.50. От поезда массой М, идущего с постоянной скоростью, отрывается последний вагон массой т, который проходит путь S и останавливается. На каком расстоянии I от вагона в момент его остановки будет находиться поезд, если сила тяги тепловоза постоянна, а сила сопротивления движению каждой части поезда не зависит от скорости и пропорциональна ее весу? 22 3. Импульс. Закон сохранения импульса 3.1. Шарик массой т = 100 г, движущийся со скоростью V = 1 м/с, упруго ударяется о плоскость. Определить изменение импульса шарика, если направление скорости составляет с плоскостью угол а, равный: а) 90°; б) 30°. 3.2. Шарик массой m = 10 г падает на горизонтальную плоскость с высоты = 27 см. Найти среднюю силу удара Fpp в следующих случаях: а) шарик пластилиновый (абсолютно неупругий удар); б) шарик и плоскость из стгипи (абсолютно упругий удар); в) шарик пластмассовый и после удара поднимается на высоту /ig "" 12 см. Рассмотреть первые два случая удара шарика о плоскость, наклоненную под углом а = 30°. Считать во всех случаях, что соприкосновение шарика с плоскостью длилось (длительность удара) At = 0,03 с. 3.3. Две частицы движутся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростью, равной 2v и и. Массы частиц т и 2т соответственно. На частицы начинает действовать одинаковая сила. Определить модуль и направление скорости частицы массой 2т в момент времени, когда скорость частицы массой т стала такой, как показано пунктиром: а) на рис. 23, а; б) на рис. 23, б. 3.4. Струя воды, площадь поперечного сечения которой S = 6 см^, ударяет в стенку под углом а = 60° к нормали и упруго отскакивает от нее (без потери скорости). Найти силу Fj действующую на стенку, если известно, что скорость течения воды в струе i; = 12 м/с. 3.5. Железнодорожная платформа с установленным на ней орудием движется со скоростью = 9 км/ч. Общая масса М = 20 т. Из орудия выпущен снаряд массой т = = 25 кг со скоростью ^2 700 м/с относительно центра 2у 2v г 2т а) т 2v 2д I 2т б) Рис. 23 23 масс. Определить скорость платформы и после выстрела, произведенного: а) в направлении движения платформы; б) когда выстрел произведен в противоположном направлении. Трением платформы о рельсы пренебречь. 3.6. Граната, летевшая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляла 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении со скоростью 25 м/с. Найти скорость меньшего осколка. 3.7. Снаряд в верхней точке траектории на высоте h = 100 м разорвался на две части: = 1 кг и /Tig = 1,5 кг. Скорость снаряда в этой точке Oq = 100 м/с. Скорость большего осколка l>2 ^ 250 м/с оказалась горизонтальной, совпадающей по направлению со скоростью Uq. Определить расстояние s между точками падения обоих осколков. Сопротивление воздуха не учитывать. 3.3. Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту, в верхней точке своей параболической траектории разрывается на два осколка равной массы. Один осколок после взрыва возвращается к орудию по прежней траектории. Где упадет второй осколок? Упадут ли оба осколка на землю одновременно? Сопротивление воздуха не учитывать. 3.9. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте h = 19,6 м на две одинаковые части. Через время X = 1 с после взрыва одна часть падает на землю под тем местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии Sg от места выстрела упадет вторая часть снаряда, если первая упала на расстоянии = 1000 м? Сопротивление воздуха не учитывать. 3.10. От двухступенчатой ракеты массой М = 1000 кг в момент достижения скорости Vq = 171 м/с отделилась ее вторая ступень массой т ^ 400 кг, скорость которой при этом увеличилась до Og = 185 м/с. Найти, с какой скоростью стала двигаться первая ступень ракеты. Скорости указаны относительно наблюдателя, находящегося на Земле. 3.11. Космический корабль летит с постоянной скоростью в облаке неподвижных микрометеорных частиц, которые испытывают с ним абсолютно неупругие соударения. 24 Во сколько раз нужно увеличить силу тяги двигателя, чтобы: а) скорость корабля увеличить в 2 раза; б) при попадании в область, в которой концентрация частиц в 3 раза больше, скорость корабля не изменилась? 3.12. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой /Пр = 500 кг и головного конуса массой = 10 кг. Между ними помеш;ена сжатая пружина. При испытаниях на Земле пружина сообщила конусу скорость = 5,1 м/с по отношению к свободно подвешенной в горизонтальном положении ракете-носителю. Каковы будут скорость конуса и скорость ракеты Up, если их разделение произойдет на орбите при движении со скоростью v = 8000 м/с? 3.13. Однородный стержень длиной I нижним концом касается гладкой горизонтальной поверхности. Верхний конец стержня подвешен на нити, так что стержень образует с горизонтальной плоскостью угол а. Нить пережигают. В какую сторону и на сколько сместится нижний конец стержня, когда он упадет? 3.14. Два шарика массами и Wg соединены нерастяжимым невесомым горизонтальным стержнем. В начальный момент времени у поверхности Земли шарикам сообщили скорости Uj и l>2, направленные под углами а и р к горизонту (рис. 24). Какое соотношение должно быть между углами а и (3, чтобы шарикам можно было сообщить эти скорости? Каков характер движения этой системы? 3.15. Человек массой т = 70 кг сидит на корме лодки, находящейся в озере. Длина лодки ^ = 5 м и масса ее М = 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние переместится человек относительно дна озера? Сопротивлением воды пренебречь. 3.16. Лодка неподвижно стоит в озере. На корме и на носу лодки на расстоянии Z = 5 м друг от друга сидят рыболовы. Масса лодки М = 150 кг, массы рыболовов = 90 кг и TTig = 60 кг. Рыболовы меняются местами. На какое расстояние переместится при этом лодка? Сопротивлением воды пренебречь. 25 3.17. Три лодки одинаковой массой М идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью и. Из средней лодки одновременно в первую и последнюю бросают со скоростью и относительно лодки грузы массой т. Найти скорости лодок после переброски грузов. Сопротивлением воды пренебречь. 3.18. Тележка, масса которой М = 120 кг, движется по рельсам без трения со скоростью v = 6 м/с. С тележки соскакивает человек массой /п = 80 кг под углом а = 30° к направлению ее движения в горизонтальной плоскости. Скорость тележки уменьшается при этом до v' = 5 м/с. Какой была скорость и человека во время прыжка относительно земли? 3.19. Две трубы с сечениями Sj и Sg соединены друг с другом, заполнены гремучим газом и закрыты поршнями массами /п и М (рис. 25). После взрыва газа поршни вылетают из труб. Первый из них вылетел со скоростью и^. С какой скоростью ^2 вылетел второй, если: а) трубы закреплены; б) масса труб равна Mq и они не закреплены? Какую скорость и при этом имеют трубы? Трением поршней о стенки труб и массой газа пренебречь. Время движения обоих поршней внутри труб одинаково. 3.20. По наклонной плоскости, составляюпдей угол а с горизонтом, начинает соскальзывать без трения ящик с песком массой М. В тот момент, когда ящик прошел путь I, в него попало тело массой т, скорость которого направлена под углом Р к горизонту. Ящик при этом остановился. С какой скоростью V двигалось тело? 3.21. С гладкой наклонной плоскости, составляющей угол а = 45° с горизонтом, соскальзывает с высоты h небольшое тело. Как будет двигаться тело, если оно в конце наклонной плоскости встречает; 1) вполне упругую горизонтальную плоскость; 2) горизонтальную плоскость неупругую, но гладкую? 3.22. Сосуд с водой движется по наклонной плоскости с углом наклона а так, что уровень воды устанавливается параллельно этой плоскости (рис. 26). Из отверстия около дна сосуда вытекает вода со скоростью v. Определить коэффициент трения k между сосудом и плоскостью, если масса сосуда 26 ш щ т М Рис. 25 с водой равна ш, а площадь отверстия S. Изменением массы воды, связанным с ее истечением из сосуда, пренебречь. 3.23. Благодаря какой внешней силе движется автомобиль? 3.24. Из реактивной установки массой М = 0,5 т, находящейся первоначально в покое, в горизонтальном направлении выбрасываются последовательно две порции вещества со скоростью Vq = 1000 м/с относительно установки. Масса каждой порции т = 25 кг. Какой станет скорость установки ^2 после выброса второй порции вещества? Трение отсутствует. 3.25. Из ракеты массой М выбрасываются продукты сгорания порциями, массы которых /п, со скоростью V относительно ракеты. Пренебрегая действием силы тяжести и сопротивлением воздуха, определить скорость ракеты после выброса п-й порции. 3.26. На платформе массой М, которая может двигаться по горизонтальной плоскости без трения, стоят п человек, каждый массой т. В каком случае платформе будет сообщена большая скорость и: а) каждый человек последовательно пробежит по платформе с относительной скоростью V и спрыгнет на землю; б) все люди одновременно побегут по платформе и одновременно спрыгнут с нее с той же относительной скоростью V? Разберите случай, когда эти люди стоят на краю платформы и спрыгивают или поочередно, или одновременно. 3.27. Ракету массой М запускают вертикально. Скорость истечения газов из сопла двигателя равна v. При каком расходе топлива ц (массы в единицу времени) сила тяги двигателя будет достаточна, чтобы: а) уравновесить действующую на ракету силу тяжести; б) сообщить ракете ускорение а = 19,6 м/с^? 27 4. Работа, мощность, энергия* 4.1. Двое ухватились за веревку и тянут ее в разные стороны. Один из них перетянул. Означает ли это, что он прилагает к веревке большую силу, нежели другой? Сравните работы, совершаемые силами, приложенными к веревке. 4.2. Чему равна работа А по подъему цепи, взятой за один конец и лежащей на плоскости, на высоту, равную ее длине? Длина цепи / = 2 м, масса т = 5 кг. 4.3. Оконная шторка массой М = 1 кг и длиной I = 2 м свертывается на тонкий валик наверху окна. Какая при этом совершается работа? Трением пренебречь. 4.4. Гибкий резиновый шланг длиной I висит так, что один из его концов находится на 11 ниже другого. В шланг налито максимально возможное количество воды; ее плотность равна р. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы вылить воду из шланга, поднимая его за нижний конец и удерживая верхний конец на неизменной высоте? Внутренний диаметр шланга d. Массой шланга пренебречь. Радиус закругления шланга в изгибе много меньше I. 4.5. Цепь массой М и длиной I лежит у границы двух соприкасающихся полуплоскостей из разных материалов (рис. 27). Какую работу надо совершить, чтобы передвинуть цепь на вторую полуплоскость? Коэффициенты трения полуплоскостей с цепью соответственно равны и /?2- Решить задачу анали- Рис. 27 тически и графически. 4.6. Двигатель с полезной мощностью 15 кВт, установленный на автомобиле, может сообщить ему при движении по горизонтальному участку дороги скорость 90 км/ч. Тот же двигатель, установленный на моторной лодке, обеспечивает ей скорость не выше 15 км/ч. Определить силу сопротивления движению автомобиля и моторной лодки при заданных скоростях. 4.7. Трамвай массой М проходит по улице, поднимающейся вверх под углом а к горизонту с определенной скоро- Г" L В задачах этого раздела коэффициент трения (сопротивления) считается не зависящим от скорости движения. 28 стью. На горизонтальном участке пути он может с той же скоростью идти с прицепным вагоном массой Mj. Определить массу вагона Mj, если коэффициент трения качения колес равен k. Мощность двигателя постоянна. 4.8. Локомотив, работая с постоянной мощностью, мо- жет везти поезд массой М = 2000 т вверх по уклону = 0,005 со скоростью = 30 км/ч или по уклону ttg = 0,0025 со скоростью l>2 40 км/ч. Определить модуль силы сопротивле- ния считая ее постоянной. 4.9. Пуля, летящая с определенной скоростью, углубляется в стенку на расстояние = 10 см. На какое расстояние ^2 углубляется в ту же стенку пуля, которая будет иметь скорость вдвое большую? 4.10. Пуля, летящая со скоростью Uq, пробивает несколько одинаковых досок, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. В какой по счету доске застрянет пуля, если ее скорость после прохождения первой доски равна = 0,83 Ур? 4.11. Какую работу надо совершить, чтобы заставить поезд массой М = 800 т: а) увеличить свою скорость от = 36 км/ч до ^2 54 км/ч; б) остановиться при началь- ной скорости L>3 = 72 км/ч? Сопротивлением пренебречь. 4.12. Поезд массой М = 2000 т, трогаясь с места с ускорением а = 0,2 м/с^, достигает нужной скорости через t = = 1 мин, после чего движется равномерно. Определить мощность тепловоза при установившемся движении, если коэффициент сопротивления* k = 0,005. 4.13. Автомобиль массой М = 2000 кг трогается с места и идет в гору, уклон которой а = 0,02. Пройдя расстояние S = 100 м, он развивает скорость v = 32,4 км/ч. Коэффициент сопротивления k = 0,05. Определить среднюю мощность, развиваемую двигателем автомобиля. 4.14. Ракета массой М с работающим двигателем неподвижно «зависла» над Землей. Скорость вытекающих из ракеты газов и. Определить мощность двигателя. * Коэффициентом сопротивления называют отношение силы сопротивления к силе тяжести. 29 4.15. В каком случае двигатель автомобиля должен совершить большую работу: для разгона с места до скорости 27 км/ч или на увеличение скорости от 27 до 54 км/ч? Силу сопротивления и время разгона в обоих случаях считать одинаковыми. 4.16. Камень массой т = 200 г брошен с горизонтальной поверхности под углом к горизонту и упал на нее обратно на расстоянии s = 5 м через t = 1,2 с. Найти работу бросания. Сопротивлением воздуха пренебречь. 4.17. Определить работу, которую нужно совершить для того, чтобы сжать пружину на л: = 10 см, если для сжатия ее на лгд = 1 см необходима сила Fq= 100 Н. 4.18. Вагон массой М = 2 • 10^ кг, двигаясь со скоростью V = 0,5 м/с, ударяется в два неподвижных пружинных буфера. Найти наибольшее сжатие буферов х, если буфер сжимается на = 1 см при действии силы Fq = Ъ* 10^ Н. Трением пренебречь. 4.19. Действуя постоянной силой F = 200 Н, поднимают груз массой М = 10 кг на высоту h = 10 м. Какую работу А совершает сила F? Какой потенциальной энергией будет обладать поднятый груз? 4.20. Лифт массой М = 1000 кг равноускоренно поднимался лебедкой. На некотором отрезке пути длиной / = 1 м лифт двигался со средней скоростью = 5 м/с и его скорость возросла на Ai; = 0,5 м/с. Какую работу совершила сила, перемеш;аюш;ая лифт на указанном отрезке его пути? 4.21. Какую работу совершит сила F = 30 Н, подняв по наклонной плоскости груз массой m = 2 кг на высоту Л = 2,5 м с ускорением а = 10 м/с^? Сила действует параллельно наклонной плоскости. Трением о плоскость пренебречь. 4.22. Некоторая сила толкает тело массой т = 16 кг вверх по наклонной плоскости длиной Z = 3,1 м и с углом наклона ос = 30° к горизонту. 1. Скорость тела у основания наклонной плоскости была Vq = 0,6 м/с, а у ее верхнего края = 3,1 м/с. Чему равна работа, произведенная этой силой? Трения нет. 30 2. Чему равна работа той же силы и какой будет кинетическая энергия тела в верхней точке наклонной плоскости, если коэффициент трения тела о плоскость ^ = 0,1? Сила направлена вдоль наклонной плоскости. 4.23. Грузовой автомобиль массой М = 6 • 10^ кг въезжает на паром, привязанный к берегу двумя канатами, со скоростью V = 18 км/ч. Въехав на паром, автомобиль остановился, пройдя при торможении путь s = 10 м. Определить суммарную силу натяжения канатов. 4.24. Автомобиль, шедший со скоростью v = 54 км/ч, при резком торможении стал двигаться юзом (заторможенные колеса не враш;аются, скользят по дороге). Определить ускорение о и путь s, который пройдет автомобиль, если коэффициент трения скольжения колес об асфальт: а) в сырую погоду ki = 0,3; б) в сухую — k2 = 0,7. 4.25. Автомобиль с полностью включенными тормозами (колеса не вращаются) может удержаться на склоне горы с уклоном до 23°. Каков тормозной путь автомобиля s при торможении на горизонтальной дороге при скорости движения 10 м/с? Коэффициент сцепления колес с грунтом на склоне горы и на дороге одинаков. 4.26. Сани с грузом массой М = 120 кг скатываютя по уклону горы под углом а = 14° к горизонту. Длина спуска / = 60 м. Коэффициент трения скольжения саней k = 0,14. Определить: а) ускорение Oj саней при движении с горы; б) скорость V в конце спуска; в) время спуска г) кинетическую энергию в конце спуска; д) какое расстояние s прокатятся сани после спуска по горизонтали; е) сколько времени ^2 продолжается движение по горизонтали; ж) ускорение 02 при движении по горизонтальному участку пути. 4.27. Тело скользит вниз по наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту а = 20°, длина Z = 4 м, коэффициент трения тела о плоскость k = 0,2. С какой скоростью V будет двигаться тело в момент перехода с наклонной плоскости на горизонтальную поверхность? 4.28. Бассейн площадью S = 100 м^, заполненный водой до уровня Л = 1 м, разделен пополам вертикальной перегородкой. Перегородку медленно передвигают в горизонтальном направлении так, что она делит бассейн в отно- 31 шении 1:3. Какую для этого надо совершить работу, если вода не проникает через перегородку? 4.29. Два автомобиля одновременно трогаются с места и движутся равноускоренно. Массы автомобилей одинаковы. Во сколько раз средняя мощность двигателя первого автомобиля больше средней мощности второго, если за одно и то же время первый автомобиль развивает скорость вдвое большую, чем второй? Сопротивлением движению пренебречь. 4.30. Самолет для взлета должен иметь скорость и = 25 м/с. Длина пробега перед взлетом s = 100 м. Какова мощность двигателей, если масса самолета т = 1000 кг и коэффициент сопротивления k = 0,02? Считать движение самолета при взлете равноускоренным. 4.31. Поезд массой М ^ 5* 10^ кг поднимается со скоростью 30 км/ч в гору с уклоном 10 м на километр. Коэффициент сопротивления k = 0,002. Определить мощность, развиваемую тепловозом. 4.32. Разогнавшись, конькобежец некоторое время движется по горизонтальной ледяной дорожке равномерно. Затем, перестав отталкиваться, он, двигаясь равнозамедленно, проезжает до остановки путь s = 60 м в течение t = 25 с. Масса конькобежца т = 50 кг. Определить: а) коэффициент трения; б) мощность, затрачиваемую конькобежцем при равномерном движении. 4.33. Тепловоз тянет поезд, общая масса которого т = = 2000 т. Принимая, что мощность тепловоза N = 1800 кВт постоянна и коэффициент сопротивления k = 0,005, определить: а) ускорения а поезда в те моменты времени, когда скорость поезда равна == 4 м/с и V2 = 12 м/с; б) максимальную скорость поезда. 4.34. Шкив радиусом R делает п оборотов в секунду, передавая ремнем мощность N. Найти силу натяжения Т ремня, идущего без скольжения. 4.35. Найти мощность воздушного потока, имеющего поперечное сечение в виде круга диаметром d = 18 м и текущего со скоростью i; = 12 м/с. Плотность воздуха (при нормальных условиях) р = 1,3 кг/м^. 32 4.36. Горный ручей с площадью поперечного сечения потока S образует водопад высотой h. Скорость течения воды в ручье V. Найти мощность водопада. 4.37. Уклон участка шоссе равен 0,05. Спускаясь под уклон при выключенном двигателе, автомобиль движется равномерно со скоростью и = 60 км/ч. Какой должна быть мощность двигателя автомобиля, чтобы он мог подниматься на такой же подъем с той же скоростью? Масса автомобиля m = 1,5 т. 4.38. Грузовики, снабженные двигателями мощностью Л^1 и N2, развивают скорости соответственно и Ug- Какой будет скорость грузовиков, если их соединить тросом? 4.39. Аэросани движутся вверх по участку с небольшим уклоном со скоростью = 20 м/с; если они движутся в обратном направлении, т. е. под уклон, то при той же мощности двигателя скорость саней равна ^ 30 м/с. Какая скорость и установится при той же мощности двигателя во время движения по горизонтальному участку пути? 4.40. Поезд массой т = 500 т шел равномерно по горизонтальному пути. От поезда оторвался задний вагон массой = 20 т. Проехав после этого путь s = 240 м, машинист прекратил доступ пара в машину. На каком расстоянии друг от друга остановятся оторвавшийся вагон и остальной состав поезда? Предполагается, что сила тяги при работе машины постоянна, а сопротивление движению поезда и вагона пропорционально их массам. 4.41. Найти работу, которую необходимо совершить, чтобы втащить тело массой m = 50 кг на горку произвольного профиля по плоской траектории из точки А в точку В, расстояние между которыми по горизонтали / = 10 м, а по вертикали h = 10 м. Коэффициент трения между телом и горкой всюду одинаков и равен /г = 0,1. Профиль горки такой, что касательная к нему в любой точке составляет острый угол с горизонтом. Сила, приложенная к телу, всюду действует по касательной к траектории его перемещения. 5. Законы сохранения энергии и импульса 5.1. Нить с подвешенным на ней грузом отклонили на угол а и отпустили. На какой угол |3 отклонится нить с грузом, если при своем движении она будет задержана 3 - 5495 33 штифтом, поставленным на вертикали, посередине длины нити? 5.2. 1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью Vq = 16 м/с. На какой высоте h кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии? 2. С какой начальной скоростью надо бросить мяч с высоты h, чтобы он подпрыгнул на высоту 2/г? Удар упругий. Сопротивлением воздуха пренебречь. 5.3. С башни высотой Н = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью Uq = 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергии камня спустя одну секунду после начала движения. Масса камня т = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь. 5.4. Определить кинетическую энергию тела массой 1 кг, брошенного горизонтально со скоростью 20 м/с, в конце четвертой секунды его движения. Принять g’ = 10 м/с^. 5.5. Гибкий однородный канат длиной L лежит на гладком горизонтальном столе. Один конец каната находится у края стола. В некоторый момент времени от небольшого толчка канат начал двигаться, непрерывно соскальзывая со стола. Как зависят ускорение и скорость каната от длины X куска его, свешиваюш;егося со стола? Какой будет скорость каната к моменту, когда он сползет со стола? 5.6. Канат длиной L переброшен через штырь. В начальный момент времени концы каната находились на одном уровне. После слабого толчка канат пришел в движение. Определить скорость v каната к моменту, когда он соскользнет со штыря. Трением пренебречь. 5.7. Конькобежец, разогнавшись до скорости v = 27 км/ч, въезжает на ледяную гору. На какую высоту Н от начального уровня въедет конькобежец с разгона, если подъем горы составляет /г = 0,5 м на каждые s = 10 м по горизонтали и коэффициент трения коньков о лед k = 0,02? 5.8. Тело массой т = 1,5 кг, брошенное вертикально вверх с высоты /г = 4,9 м со скоростью Oq = 6 м/с, упало на землю со скоростью и = 5 м/с. Определить работу сил сопротивления воздуха. 5.9. Камень массой 50 г, брошенный под углом к горизонту с высоты 20 м над поверхностью земли со скоростью 34 18 м/с, упал на землю со скоростью 24 м/с. Найти работу по преодолению сил сопротивления воздуха. 5.10. Самолет массой m = 10® кг летит горизонтально на высоте Н = 1200 м со скоростью = 50 м/с. Затем двигатель отключают, самолет переходит в планирующий полет и достигает земли со скоростью = 25 м/с. Определить среднюю силу сопротивления воздуха при спуске, принимая длину спуска равной I = 8 км. 5.11. Тело массой m = 1 кг движется по столу, имея в начальной точке скорость Vq = 2м/с. Достигнув края стола, высота которого Л = 1 м, тело падает. Коэффициент трения тела о стол k = 0,1. Определить количество теплоты, выделившееся при неупругом ударе тела о землю. Путь, пройденный телом по столу, s = 2 м. 5.12. Прикрепленный к вертикальной пружине груз медленно опускают до положения равновесия, причем пружина растягивается на длину Хд. На сколько растянется пружина, если тому же грузу предоставить возможность падать свободно из такого положения, при котором пружина не растянута? Какой максимальной скорости u^aKc Д®' стигнет при этом груз? Каков характер движения груза? Масса груза т. Массой пружины пренебречь. 5.13. Падающим с высоты h = 1,2 м грузом забивают сваю, которая от удара уходит в землю на s = 2 см. Определить среднюю силу удара и его продолжительность т, если масса груза М = 5 • 10® кг, масса сваи много меньше массы груза. 5.14. С горы высотой Л = 2 м и основанием Ь = Ъш съезжают санки, которые затем останавливаются, пройдя по горизонтали путь Z = 35 м от основания горы. Найти коэффициент трения. 5.15. Стальной шарик массой m = 20 г, падая с высоты /ij = 1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту /?2 = 81 см. Найти: а) импульс силы, действующей на плиту во время удара; б) количество теплоты, выделившееся при ударе. 5.16. Легкий шарик начинает свободно падать и, пролетев расстояние Z, сталкивается упруго с тяжелой плитой, 3* 35 движущейся вверх со скоростью и. На какую высоту h подскочит шарик после удара? 5.17. Воздушный шар, удерживаемый веревкой, поднялся на некоторую высоту. Как изменилась потенциальная энергия системы тел шар — воздух — Земля? 5.18. Хоккейная шайба, имея начальную скорость L>o = 5 м/с, скользит до удара о борт площадки s = 10 м. Удар считать абсолютно упругим, коэффициент трения шайбы о лед k ^ 0,1, сопротивлением воздуха пренебречь. Определить, какой путь I пройдет шайба после удара. 5.19. Тело соскальзывает без трения с клина, лежащего на горизонтальной плоскости, два раза: первый раз клин закреплен; второй раз клин может скользить без трения. Будет ли скорость тела в конце соскальзывания с клина одинаковой в обоих случаях, если тело оба раза соскальзывает с одной и той же высоты? 5.20. Почему трудно допрыгнуть до берега с легкой лодки, стоящей вблизи берега, и проще это сделать с парохода, находящегося на таком же расстоянии от берега? 5.21. Конькобежец массой М = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой /п = 3 кг со скоростью V = 8 м/с относительно поверхности земли. Найти, на какое расстояние s откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед k = 0,02. 5.22. Человек стоит на неподвижной тележке и бросает горизонтально камень массой m = 8 кг со скоростью Uj = 5 м/с относительно земли. Определить, какую при этом человек совершает работу, если масса тележки вместе с человеком М = 160 кг. Проанализируйте зависимость работы от массы М. Трением пренебречь. 5.23. Винтовка массой М = = 3 кг подвешена горизонтально на двух параллельных нитях. При выстреле в результате отдачи она отклонилась вверх на /г = 19,6 см (рис. 28). Масса пули т ^ 10 г. Определить скорость L?j, с которой вылетела пуля. 36 5.24. Пуля, летящая горизонтально со скоростью v = = 40 м/с, попадает в брусок, подвешенный на нити длиной Z = 4 м, и застревает в нем. Определить угол а, на который отклонится брусок, если масса пули = 20 г, масса бруска ТП2 = 5 кг. 5.25. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в п = 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара / = 1 м. Найти скорость v пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол а = 10°. 5.26. Пуля массой = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью Oj = 600 м/с, ударилась в свободно подвешенный на длинной нити деревянный брусок массой mg = 0,5 кг и застряла в нем, углубившись на s = 10 см. Найти силу сопротивления дерева движению пули. На какую глубину войдет пуля, если тот же брусок закрепить? 5.27. В покоящийся шар массой М = 1 кг, подвешенной на длинном жестком стержне, закрепленном в подвесе на шарнире, попадает пуля массой т = 0,01 кг. Угол между направлением полета пули и линией стержня равен а = 45°. Удар центральный. После удара пуля застревает в шаре, и шар вместе с пулей, отклонившись, поднимается на высоту Л = 0,12 м относительно первоначального положения. Найти скорость V пули. Массой стержня пренебречь. 5.28. Маятник представляет собой прямой тонкий стержень длиной ^ = 1,5 м, на конце которого находится стальной шар массой М = 1 кг. В шар попадает летящий горизонтально со скоростью = 50 м/с стальной шарик массой 7П = 20 г. Определить угол максимального отклонения маятника, считая удар упругим и центральным. Массой стержня пренебречь. 5.29. На нити, перекинутой через блок, подвешены два груза массами и /Tig. Найти ускорение центра масс этой системы. Решить задачу двумя способами, применяя: 1) закон сохранения энергии; 2) закон движения центра масс. Массами блока и нити пренебречь. 5.30. Молот массой т = 1,5 т ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне, и деформирует ее. Мас- 37 са наковальни вместе с болванкой М = 20 т. Определить коэффициент полезного действия Г| при ударе молота, считая удар неупругим. Считать работу, совершенную при деформации болванки, полезной. 5.31. Тело массой ударяется неупруго о покояш;ееся тело массой Найти долю q потерянной при этом кинетической энергии. 5.32. На передний край платформы массой М, движущейся горизонтально без трения со скоростью v, опускают с небольшой высоты короткий брусок массой т. При какой минимальной длине платформы брусок не упадет с нее, если коэффициент трения между бруском и платформой Какое количество теплоты Q выделится при этом? 5.33. Телу массой т = \ кг, лежащему на длинной горизонтальной платформе покоящейся тележки, сообщают скорость i; = 10 м/с. Коэффициент трения тела о платформу /е = 0,2. Какой путь пройдет тележка к тому моменту, когда тело остановится на ней? Какое количество теплоты выделится при движении тела вдоль платформы? Тележка катится по рельсам без трения, ее масса М = 100 кг. 5.34. Два груза массами = 10 кг и mg = 15 кг подвешены на нитях длиной Z = 2 м так, что соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол а = 60° и отпущен. На какую высоту поднимутся оба груза после удара? Удар грузов считать неупругим. Какое количество теплоты выделится при этом? 5.35. Шарик движется между двумя очень тяжелыми вертикальными параллельными стенками, соударяясь с ними по закону абсолютно упругого удара. Одна из стенок закреплена, другая движется от нее с постоянной горизонтальной скоростью = 0,5 м/с. Определить число п соударений и конечную скорость шарика, если перед первым соударением со стенкой она была равна = 19,5 м/с. 5.36. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Массы шаров т^ = 0,2 кг и mg = 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту h = 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар: 1) упругий; 2) неупругий? 38 5.37. Во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после центрального упругого столкновения с неподвижным атомом водорода, масса которого в четыре раза меньше массы атома гелия? 5.38. На шар, лежаш;ий на гладкой горизонтальной поверхности, налетает другой шар такого же радиуса, движущийся горизонтально. Между шарами происходит упругий центральный удар. Построить график зависимости доли переданной энергии от отношения масс шаров а = wij/mg. 5.39. Для получения медленных нейтронов их пропускают сквозь вещества, содержащие водород (например, парафин). Найти, какую наибольшую часть своей кинетической энергии нейтрон массой может передать: а) протону (масса б) ядру атома свинца (масса т = 207т^). Наибольшая часть передаваемой энергии соответствует упругому центральному удару. 5.40. Два идеально упругих шарика массой и mg движутся вдоль одной и той же прямой со скоростями Uj и Ug* Во время столкновения шарики начинают деформироваться и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, а запасенная потенциальная энергия вновь переходит в кинетическую. Найти максимальную потенциальную энергию деформации. 5.41. Небольшое тело обтекаемой формы с плотностью падает в воздухе с высоты h на поверхность жидкости с плотностью pg, причем р^ < pg. Определить глубину погружения тела в жидкость, время погружения t и ускорение а тела. Сопротивлением жидкости пренебречь. 5.42. На нити длиной I подвешен груз массой т. Определить, на какую минимальную высоту надо поднять этот груз, чтобы он, падая, разорвал нить, если груз минимальной массой М, подвешенный на нити и разрывающий ее, растягивает нить в момент разрыва на 1% от ее длины. Принять, что для нити справедлив закон Гука вплоть до разрыва. 5.43. Определить максимальную дальность s полета струи из шприца дигииетром d = 4 см, на поршень которого действует сила F = 30 Н. Плотность жидкости р = 1000 кг/м^. Сопротивлением воздуха пренебречь (S^^^ -Snopm)- 39 5.44. Цилиндр диаметром D заполнен водой и расположен горизонтально. С какой скоростью и перемещается в цилиндре поршень, если на него действует сила а из отверстия в дне цилиндра вытекает струя диаметром dl Трением пренебречь. Силу тяжести не учитывать. Плотность жидкости р. 5.45. По гладкому горизонтальному проволочному кольцу могут без трения скользить две бусинки массами т-^ и mg. Вначале бусинки были соединены ниткой и между ними находилась сжатая пружина. Нитку пережигают. После того как бусинки начали двигаться, пружину убирают. В каком месте кольца бусинки столкнутся в 11-й раз? Столкновения бусинок абсолютно упругие. Массой пружины пренебречь. 5.46. Протон массой т, летящий со скоростью Vq, столкнулся с неподвижным атомом массой М, после чего стал двигаться в противоположную сторону со скоростью 0,5i;q, а атом перешел в возбужденное состояние. Найти скорость V и энергию Е возбуждения атома. 5.47. При распаде неподвижного ядра образуются три осколка массами т^, mg и mg с общей кинетической энергией Eq. Найти скорости осколков, если углы между векторами их скоростей составляют 120°. 5.48. В неподвижный шар ударяется не по линии центров другой такой же шар. Под каким углом разлетятся шары, если они абсолютно упругие и абсолютно гладкие? 5.49. Два шара А и Б с различными неизвестными массами упруго сталкиваются между собой. Шар А до соударения находился в покое, а шар В двигался со скоростью v. После соударения шар В приобрел скорость 0,5и и начал двигаться под прямым углом к направлению своего первоначального движения. Определить направление движения шара А и его скорость после столкновения. 5.50. При бомбардировке гелия а-частицами с энергией Eq налетающая частица отклонилась на угол ф = 60° по отношению к направлению ее движения до столкновения. Считать удар абсолютно упругим, определить энергию а-частицы и ядра после столкновения. Энергия теплового движения атомов гелия много меньше Eq. 40 5.51. Гладкий шарик из мягкого свинца налетает на такой же шарик, первоначально покояш;ийся. После столкновения второй шарик летит под углом а к направлению скорости первого шарика до столкновения. Определить угол Р, под которым разлетаются шары после столкновения. Какая часть кинетической энергии перейдет при столкновении в количество теплоты Q? 5.52. Шар массой лг, движуш;ийся со скоростью v, налетает на покоящийся шар массой /тг/2 и после упругого удара продолжает двигаться под углом а = 30° к направлению своего первоначального движения. Найти скорости шаров после столкновения. 6. Движение по окружности (кинематика, динамика)* 6.1. Найти линейную скорость v Земли при ее орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты R = 1,5 • 10^ км. 6.2. Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается при посадке с частотой 2000 мин“^, посадочная скорость самолета относительно Земли равна 162 км/ч. Определить скорость V точки на конце пропеллера. Какова траектория движения этой точки? 6.3. Диск радиусом R катится без скольжения с постоянной скоростью V. Найти геометрическое место точек на диске, которые в данный момент имеют скорость v. 6.4. Цилиндрический каток радиусом R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся в одну сторону со скорое- тями Uj и ^2 (рис. 29). Определить угловую скорость вращения катка и скорость его центра, если проскальзывание отсутствует. Решить задачу для случая, когда скорости реек направлены в разные стороны. * В этом разделе размеры тел считаются много меньшими радиуса поворота (вращения), т. е. вся масса тела считается сосредоточенной в одной точке — его центре тяжести. 41 6.5. По горизонтальной плоскости катится без скольжения с постоянной скоростью обруч радиусом R. Каковы скорости и ускорения различных точек обруча относительно земли? Выразить скорость как функцию угла между вертикалью и прямой, проведенной через точку соприкосновения обруча с плоскостью и данную точку обруча. 6.6. Автомобиль движется со скоростью и = 60 км/ч. С какой частотой п вращаются его колеса, если катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см? Найти центростремительное ускорение Пцр внешнего слоя резины на покрышках его колес. 6.7. На горизонтальную плоскость кладут тонкостенный цилиндр, вращающийся со скоростью Vq вокруг своей оси. Какой будет скорость движения оси цилиндра, когда прекратится проскальзывание цилиндра относительно плоскости? 6.8. Совершает ли работу равнодействующая всех сил, приложенных к телу, движущемуся равномерно по окружности? 6.9. Груз массой т может скользить без трения по горизонтальному стержню, вращающемуся вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Груз соединяют с этим концом стержня пружиной жесткостью k. При какой угловой скорости со пружина растянется на 50% первоначальной длины? 6.10. Две точечные массы и mg прикреплены к нити и находятся на абсолютно гладком столе. Расстояния от них до закрепленного конца нити равны и /g соответственно (рис. 30). Система вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через закрепленный конец нити, с угловой скоростью (0. Найти силы натяжения и Tg участков нити. 6.11. Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом Я = 4 м. С какой частотой п должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы че- 42 ловек не мог удержаться на ней при коэффициенте трения Л: = 0,27? 6.12. Тело массой т находится на горизонтальном диске на расстоянии г от оси. Диск начинает раскручиваться с малым ускорением. Построить график зависимости составляющей силы трения в радиальном направлении, действующей на тело, от угловой скорости вращения диска. При какой угловой скорости диска начнется соскальзывание тела? 6.13. Камень массой т. = 0,5 кг, привязанный к веревке длиной I = ЬО см, вращается в вертикальной плоскости. Сила натяжения веревки, когда камень проходит нижнюю точку окружности, Т = 44 Н. На какую высоту h над нижней точкой окружности поднимется камень, если веревку перерезать в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх? 6.14. Спортсмен посылает молот (ядро на тросике) на расстояние I = 70 м по траектории, обеспечивающей максимальную дальность броска. Какая сила Т действует на руки спортсмена в момент броска? Масса молота m = 5 кг. Считать, что спортсмен разгоняет молот, вращая его в вертикальной плоскости по окружности радиусом R = 1,5 м. Сопротивление воздуха не учитывать. 6.15. Автомобиль массой т = 3 т движется с постоянной скоростью и = 36 км/ч: 1) по горизонтальному мосту; 2) по выпуклому мосту; 3) по вогнутому мосту. Радиус кривизны моста в последних двух случаях Я = 60 м. С какой силой давит автомобиль на мост (в последних двух случаях) в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол а = 10° с вертикалью? 6.16. По выпуклому мосту, радиус кривизны которого Я = 90 м, со скоростью l? = 54 км/ч движется автомобиль массой m = 2 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста угол а, автомобиль давит с силой = 14 400 Н. Определить угол а. 6.17. Шарик массой т = 100 г подвешен на нити длиной ^ = 1 м. Шарик раскрутили так, что он начал двигаться по 43 окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить составляет с вертикалью угол а = 60°. Определить полную работу, совершаемую при раскручивании шарика. 6.18. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте с радиусом закругления i? = 150 м, чтобы его не занесло, если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0,42? 6.19. 1. Каким должен быть максимальный коэффициент трения скольжения между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти закругление радиусом R = 200 м при скорости v = 100 км/ч? 2. Автомобиль со всеми ведуш,ими колесами, трогаясь с места, равномерно набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляюш;ему собой дугу окружности а = 30° радиусом R = 100 м. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о поверхность дороги k = 0,3. 6.20. Поезд движется по закруглению радиусом R = 800 м со скоростью V = 12 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего, чтобы на колесах не возникало бокового усилия. Расстояние между рельсами по горизонтали принять равным d = 1,5 м. 6.21. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны 100 м. На какой угол а от вертикального направления он должен при этом отклониться, чтобы не упасть на повороте? 6.22. 1. С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м, если коэффициент трения скольжения А: = 0,4? 2. На какой угол ф от вертикального направления он должен при этом отклониться? 3. Чему равна максимальная скорость мотоциклиста, если он будет ехать по наклонному треку с углом наклона а = 30° при том же радиусе закругления и коэффициенте трения? 4. Каким должен быть угол aQ наклона трека для того, чтобы скорость мотоцикла могла быть сколь угодно большой? 44 6.23. Самолет совершает поворот, двигаясь по дуге окружности с постоянной скоростью V = 360 км/ч. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета повернулся вокруг направления полета на угол а = 10°. 6.24. На повороте дороги радиусом R = 100 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести автомобиля находится на высоте Л = 1 м, ширина колеи автомобиля а = 1,5 м. Определить скорость у, при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит. 6.25. Шофер, едуш;ий на автомобиле, внезапно заметил впереди себя забор, перпендикулярный направлению его движения. Что выгоднее сделать, чтобы предотвратить аварию: затормозить или повернуть в сторону? 6.26. В вагоне поезда, идуш;его равномерно по криволинейному пути со скоростью у = 72 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах. Масса груза т = Ъ кг, а радиус закругления пути R = 200 м. Определить показание пружинных весов (силу упругости пружины). 6.27. Найти силу ^^ед.об» отделяюш;ую сливки (плотность = 0,93 г/см^) от снятого молока (р^ = 1,03 г/см^), в расчете на единицу объема, если отделение происходит: 1) в неподвижном сосуде; 2) в центробежном сепараторе, вращающемся с частотой 6000 мин“^, если жидкость находится на расстоянии г = 10 см от оси вращения. 6.28. Летчик на самолете делает «мертвую петлю» радиусом Л = 100 м и движется по ней со скоростью, равной у = 280 км/ч. С какой силой летчик массой М = 80 кг будет давить на сиденье самолета в верхней и нижней точках петли? 6.29. Определить силу натяжения Т каната «гигантских шагов», если масса человека М = 70 кг и канат при вращении образует со столбом угол а = 45°. С какой угловой скоростью (0 будут вращаться «гигантские шаги», если длина подвеса 1 = 5м? 6.30. Найти период Т вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити I. Угол, образуемый нитью с вертикалью, а. 45 6.31. Груз, подвешенный на нити, враш;ается в горизонтальной плоскости так, что расстояние от точки подвеса до плоскости, в которой происходит вращение, равно h. Найти частоту п вращения груза, считая ее неизменной. 6.32. Люстра массой т = 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой / = 5 м. Определить высоту hy на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих колебаниях цепь не оборвалась. Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т > 1960 Н. 6.33. Шарик массой т подвешен на нерастяжимой нити. На какой минимальный угол надо отклонить шарик, чтобы при дальнейшем движении нить оборвалась, если максимально возможная сила натяжения нити 1,5/ng’? 6.34. Маятник отклоняют так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. При каком угле а с вертикалью сила натяжения нити будет равна по модулю действующей на маятник силе тяжести? Маятник считать математическим. 6.35. Груз массой т, привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти максимальную разность сил натяжения нити АТ. 6.36. Гимнаст «крутит солнце» на перекладине. Масса гимнаста т. Считая, что вся его масса сосредоточена в центре тяжести, а скорость в верхней точке равна нулю, определить силу, действующую на руки гимнаста в нижней точке. 6.37. Один грузик подвешен на нерастяжимой нити длиной I, а другой — на жестком невесомом стержне такой же длины. Какие минимальные скорости нужно сообщить этим грузикам, чтобы они вращались в вертикальной плоскости? 6.38. Шарик массой М подвешен на нити. В натянутом состоянии нить расположили горизонтально и отпустили шарик. Вывести зависимость силы натяжения Т нити от угла а, который образует в данный момент нить с горизонтальным направлением. Проверить полученную формулу, решив задачу для случая прохождения шарика через равновесия, при а = 90°. 6.39. Математический маятник длиной I и массой М отвели на угол фд от положения равновесия и сообщили ему 46 начальную скорость Vq, направленную перпендикулярно нити вверх. Найти зависимость силы натяжения Т нити маятника от угла (р между нитью и вертикалью. 6.40. Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой угол а с вертикалью образует нить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика наибольшая? 6.41. Одинаковые упругие шарики массой т, подвешенные на нитях равной длины к одному крючку, отклоняют в разные стороны от вертикали на угол а и отпускают. Шарики ударяются и отскакивают друг от друга. Какова сила Г, действующая на крючок: 1) при крайних положениях нитей; 2) в начальный и конечный момент удара шариков; 3) в момент наибольшей деформации шариков? 6.42. Математическому маятнику с гибкой нерастяжимой нитью длиной I сообщают из положения равновесия горизонтальную скорость Уд. Определить максимальную высоту h его подъема при движении по окружности, если = = 3gl. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после того, как он достигнет максимальной высоты подъема h на окружности? Определить максимальную высоту Ну достигаемую при этом движении маятника. 6.43. Маленький шарик подвешен в точке А на нити длиной L В точке О на расстоянии 1/2 ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. В какой точке траектории исчезает сила натяжения нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик? 6.44. Сосуд, имеющий форму расширяющегося усеченного конуса с диаметром дна £) = 20 см и углом наклона стенок а = 60°, вращается вокруг вертикальной оси OOj. При какой угловой скорости вращения со сосуда маленький шарик, лежащий на его дне, будет выброшен из сосуда? Трение не учитывать. 6.45. Сфера радиусом R = 2м равномерно вращается вокруг оси симметрии с частотой п = 30 мин"^. Внутри сферы находится шарик массой m = 0,2 кг. Найти высоту Л, соответствующую положению равновесия шарика относительно сферы, и силу реакции N сферы. 47 6.46. Внутри конуса, движущегося с ускорением а, вращается шарик по окружности радиусом R. Определить период Т движения шарика по окружности. Угол при вершине конуса 2а. 6.47. Небольшое тело массой т соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в «мертвую петлю» радиусом R (рис. 31). Трение ничтожно мало. Определить: а) какой должна быть наименьшая высота h ската, чтобы тело сделало полную петлю, не выпадая; б) какую силу давления ^Рд при этом производит тело на помост в точке, радиус-вектор которой составляет угол а с вертикалью. 6.48. Лента конвейера наклонена к горизонту под углом а. Определить минимальную скорость ленты, при которой частица руды, лежащая на ней, отделяется от поверхности ленты в месте набегания ее на барабан, если радиус барабана равен R. 6.49. Небольшое тело скользит вниз с вершины сферы радиусом R. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверхности сферы? Трением пренебречь. 6.50. Найти кинетическую энергию обруча массой /тг, катящегося со скоростью v. Проскальзывания нет. 6.51. Тонкий обруч без проскальзывания скатывается в яму, имеющую форму полусферы. На какой глубине h сила нормального давления обруча на стенку ямы равна его силе тяжести? Радиус ямы R, радиус обруча г. 6.52. Мгшенький обруч катится без скольжения по внутренней поверхности большой полусферы. В начальный момент у ее верхнего края обруч покоился. Определить: а) кинетическую энергию обруча в нижней точке полусферы; б) какая доля кинетической энергии приходится на вращательное движение обруча вокруг его оси; в) нормальную силу, прижимающую обруч к нижней точке полусферы. Масса обруча т, радиус полусферы R. 6.53. Вода течет по трубе, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом i? = 2 м. Найти боковое давление воды. Диаметр трубы d = 20 см. Через поперечное сечение трубы в течение одного часа протекает вода массой М = 300 т. 48 6.54. Тело соскальзывает из точки А в точку В по двум искривленным наклонным поверхностям, проходящим через точки А и В, один раз по выпуклой дуге, второй — по вогнутой (рис. 32). Обе дуги имеют одинаковую кривизну, и коэффициент трения в обоих случаях один и тот же. В каком случае скорость тела в точке В больше? 6.55. Стержень ничтожной массы с двумя маленькими шариками на концах может вращаться вокруг оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловую скорость со и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем с шариками положения равновесия. Длина стержня Z, массы шариков и mg (m^ > mg). 6.56. На виток цилиндрической спирали, ось которой вертикальна, надевают маленькое колечко массой т. Колечко без трения начинает скользить по спирали. С какой силой F будет колечко давить на спираль после того, как оно пройдет п полных витков? Радиус витка Д, расстояние между соседними витками h (шаг витка). Считать h^R. 6.57. Замкнутая металлическая цепочка лежит на гладком горизонтальном диске, будучи свободно насажена на центрирующее ее кольцо, соосное с диском. Диск приведен во вращение. Принимая форму цепочки за горизонтальную окружность, определить силу натяжения Т вдоль цепочки, если ее масса m = 150 г, длина ^ = 20 см и цепочка вращается с частотой п = 20 c~i. 6.58. Реактивный самолет массой m = 30 т летит вдоль экватора с запада на восток со скоростью v = 1800 км/ч. Найти изменение подъемной силы, действующей на самолет, если он будет лететь с той же скоростью с востока на запад. 5495 49 7. Закон всемирного тяготения. Спутники. Невесомость 7.1. Найти размерность гравитационной постоянной G в СИ. По ее значению и ускорению свободного падения найти массу Земли М. Радиус Земли R ~ 6400 км. 7.2. Определить силы, с которыми действуют друг на друга вследствие тяготения два соприкасающихся свинцовых шара диаметром 1 м каждый. Плотность свинца 11,3 г/см^. 7.3. В свинцовом шаре радиусом R сделана сферическая полость, поверхность которой касается поверхности шара и проходит через его центр. Масса шара М. Используя закон всемирного тяготения, определить, с какой силой свинцовый шар будет притягивать маленький шарик массой /п, находящийся на расстоянии d > R от центра свинцового шара на прямой, соединяющей центры шара и полости, со стороны полости. 7.4. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения равно 1 м/с^? 7.5. Определить ускорение свободного падения на высоте Л = 20 км над поверхностью Земли, принимая ускорение свободного падения на поверхности Земли gQ = 981 см/с^, а радиус Земли R = 6400 км. 7.6. Доказать, что сила тяготения, действующая на материальную точку массой т, помещенную внутри Земли, равна F = mgrlR^, где г — расстояние точки от центра; Rq — радиус Земли. Плотность Земли считать постоянной. 7.7. По оси вращения земного шара пробуравлена шахта. В нее падает тело. Определить максимальную скорость тела. Сопротивление движению не учитывать. 7.8. В каком направлении и с какой горизонтальной скоростью должен лететь вдоль экватора самолет, чтобы скомпенсировать уменьшение веса, обусловленное вращением Земли? 7.9. Почему космические ракеты, как правило, запускают в направлении с запада на восток? Почему наиболее выгодно запускать ракеты в плоскости экватора? 50 7.10. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность веш;ества планеты р = 3*10^кг/м^. Определить период обрапдения планеты вокруг своей оси. 7.11. Найти среднюю плотность планеты, у которой на экваторе пружинные весы показывают вес тела на 10% меньше, чем на полюсе. Сутки на планете составляют Г = 24 ч. 7.12. Какой продолжительности должны быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе были невесомы? 7.13. Найти зависимость веса тела от географической широты. 7.14. Вычислить отношение масс Солнца и Земли по следу юпдим данным: Луна совершает 13 обрапдений в течение года; среднее расстояние от Солнца до Земли в 390 раз больше расстояния от Луны до Земли. 7.15. Найти массу Солнца по гравитационной постоянной G, периоду Т обрапдения Земли вокруг Солнца и расстоянию от Земли до Солнца L = 1,5 • 10^^ м. 7.16. Может ли спутник двигаться по орбите, плоскость которой не проходит через центр Земли? 7.17. Спутник движется вокруг Земли на расстоянии h от ее поверхности. Радиус Земли R. Считая орбиту спутника круговой, выразить скорость движения и период обрапдения спутника через Л, i? и ускорение свободного падения g на поверхности Земли. 7.18. Найти среднюю угловую со и линейную v скорости орбитального движения искусственного спутника Земли, если период обрапдения его вокруг Земли составляет 105 мин. 7.19. Какими должны быть радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли и его линейная скорость, чтобы период обрапдения спутника был таким же, как у Земли? Какую траекторию будет описывать спутник при наблюдении с Земли? В какой плоскости должна находиться траектория полета спутника, чтобы наблюдателю, находя-гцемуся на Земле, спутник казался неподвижным? 7.20. Какова первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли? 4* 51 7.21. Какова первая космическая скорость для планеты с такой же плотностью, как у Земли, но вдвое меньшим радиусом? 7.22. При выводе спутника на круговую орбиту, проходящую вблизи поверхности Земли, была совершена работа А = 3,2* 10^1 Дж. Найти массу спутника. Радиус Земли принять равным ^ 6400 км. 7.23. Найти отношение затрат энергии на поднятие спутника на высоту = 3200 км над поверхностью Земли и на запуск его по круговой орбите на той же высоте. Решить задачу для высоты /^2 = 6400 км. 7.24. В какой момент движения межпланетного корабля космонавт почувствует состояние невесомости? 7.25. Как изменяется ход маятниковых («ходиков») и пружинных (наручных) часов в межпланетном корабле? 7.26. Как измерить массу тела в условиях невесомости? 7.27. Можно ли создать весомость внутри космического корабля? 7.28. Изменяется ли потенциальная энергия тел относительно Земли, если они перемещаются внутри движущегося по орбите искусственного спутника Земли? 7.29. Справедливы ли в условиях невесомости законы Паскаля и Архимеда? 7.30. Как будут изменяться линейная и угловая скорости спутника, движущегося в условиях слабого трения? Считать орбиту спутника круговой. 7.31. В каком случае и почему при трении о воздух космическая ракета нагревается сильнее: при ее запуске или при спуске на Землю? 8. Статика 8.1. Фонарь массой М = 10 кг подвешен над серединой улицы шириной Z = 10 м на канате, допустимая сила натяжения которого Т = 500 Н. Определить высоту Н крепления концов каната, если точка крепления фонаря должна находиться на высоте Л = 5 м. 8.2. Можно ли натянуть трос горизонтально так, чтобы он не провисал? 52 F' Рис. 33 8.3. Какой должна быть сила F, чтобы можно было равномерно двигать ящик массой М = 60 кг вдоль горизонтальной поверхности, если коэффициент трения между ящиком и поверхностью k = 0,27, а сила действует под углом а = 30° к горизонту? 8.4. Какой угол а должно составлять направление силы с горизонтом, чтобы при равномерном перемещении груза по горизонтальной плоскости сила F была наименьшей? Сила приложена в центре тяжести груза, коэффициент трения равен к. 8.5. Катушка ниток находится на столе (рис. 33). В ка- кую сторону она будет двигаться, если нить натягивается силой Fj, ^3 (продолжение линии действия силы Fg проходит через точку, лежащую на линии соприкосновения катушки со столом)? 8.6. Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, опирается концом В на платформу (рис. 34). Какую минимальную силу F нужно приложить для того, чтобы сдвинуть платформу с места? Масса стержня /п, коэффициент трения стержня о платформу к и угол, образуемый стержнем с вертикалью, равен а. Трением качения колес платформы и трением в осях пренебречь. 8.7. К вертикальной гладкой стене в точке А на веревке длиной I подвешен шар массой т (рис. 35). Какова сила натяжения Т веревки и сила давления F шара на стену, если его радиус равен R? Трением о стену пренебречь. 8.8. На плоскости, имеющей угол наклона к горизонту а, стоит цилиндр радиусом г. Какова Рис. 35 mg 53 наибольшая высота цилиндра, при которой он еш,е не опрокидывается, если он сделан из однородного материала? 8.9. Взвешивание металлического бруска было произведено при помош;и нескольких динамометров с предельной нагрузкой по 50 Н у каждого. Масса бруска оказалась равной 17,5 кг. Каким образом было произведено взвешивание бруска и какое наименьшее число динамометров потребовалось для этого? 8.10. Каким должен быть коэффициент трения k для того, чтобы клин, заколоченный в бревно, не выскакивал из него? Угол при вершине клина равен 30°. 8.11. Труба массой М = 1,2 • 10^ кг лежит на земле. Какую силу F надо приложить, чтобы приподнять краном трубу за один из ее концов? 8.12. Автомобиль массой 1,35 т имеет колесную базу длиной 3,05 м. Центр тяжести автомобиля расположен на расстоянии 1,78 м позади его передней оси. Определить силу, действующую на каждое из передних колес и на каждое из задних колес со стороны горизонтальной поверхности земли. 8.13. К двум одинаковым пружинам, соединенным: а) последовательно; б) параллельно (рис. 36), подвешивают один и тот же груз массой т. Найти удлинение Ал: пружин в обоих случаях, если жесткость каждой пружины k. Будет ли одинаковым в обоих случаях расстояние А^, на которое опустится груз? 8.14. Две пружины с коэффициентами упругости и соединяют один раз последовательно, другой раз — параллельно (см. рис. 36). Какой должна быть жесткость пружины, которой можно было бы заменить эту систему из двух пружин? 8.15. К концу пружины, первоначальная длина которой равна I, подвешивают груз массой т. При этом длина пружины увеличивается на 0,1 L В какой точке нерастянутой пружины нужно было подвесить груз массой 2т, чтобы точка его подвеса оказалась на одинаковом расстоянии от концов пружины? Груз массой т по-прежнему прикреплен к нижнему концу пружины. Массой пружины пренебречь. 54 К а) т Рис. 36 Рис. 37 8.16. Каким должен быть минимальный коэффициент трения материала стенок куба о горизонтальную плоскость, чтобы его можно было опрокинуть через ребро силой, направленной горизонтально и приложенной к верхней грани? Чему должна быть равна приложенная сила F? Масса куба М. 8.17. Какой минимальной силой можно опрокинуть через ребро куб, находящийся на горизонтальной плоскости? Каким должен быть при этом минимальный коэффициент трения куба о плоскость? Масса куба М. 8.18. Высокий прямоугольный брусок с квадратным основанием стоит на горизонтальной поверхности. Как приблизительно определить коэффициент трения между бруском и поверхностью, располагая для этой цели только линейкой? 8.19. Железный прут массой М изогнут пополам так, что его части образуют прямой угол (рис. 37). Прут подвешен за один из концов на шарнире. Найти угол а, который образует с вертикалью верхняя часть стержня в положении равновесия. 8.20. Однородная балка массой М и длиной I подвешена за концы на двух пружинах (рис. 38). Обе пружины в нерастянутом состоянии имеют одинаковую длину, но жесткость левой пружины в п раз больше жесткости правой (при действии одинаковой нагрузки удлинение у правой пружины в п раз больше, чем у левой). На каком расстоянии х от левого конца балки надо подвесить груз массой т, чтобы она приняла горизонтальное положение? Считать, что я = 2. Рис. 38 55 8.21. Шар массой т = 4,9 кг опирается на две гладкие плоскости. Левая плоскость образует с горизонтом угол а = 35°, а правая — р = 20°. Определить силы и Fg» с которыми шар давит на плоскости. Решить задачу двумя способами: а) разложением сил и б) правилом момента сил. 8.22. Колесо радиусом R и массой т стоит перед ступенькой высотой h. Какую наименьшую силу F надо приложить в горизонтальном направление к оси О колеса, чтобы оно могло подняться на ступеньку? Трением пренебречь. 8.23. Как легче сдвинуть с места железнодорожный вагон: прилагая силу к корпусу вагона или к верхней части обода его колеса? 8.24. При резком торможении автомобиля его передок опускается. Почему? 8.25. На поверхности воды плавает деревянная пластинка, к которой приложена пара сил (две равные антипарал-лельные силы, не действуюш,ие по одной прямой) в горизонтальном направлении. Относительно какой точки поворачивается пластинка? 8.26. Тяжелая однородная доска массой М и длиной I упирается одним концом в угол между стенкой и полом, к другому концу доски привязан канат. Определить силу натяжения Т каната, если угол между доской и канатом Р = 90°. Как изменяется эта сила с увеличением угла а между доской и полом, если угол Р остается постоянным? 8.27. К совершенно гладкой вертикальной стенке приставлена лестница массой т. Лестница образует с горизонтальной опорой угол а. Центр тяжести ее расположен в середине. Как направлены и чему равны силы, действующие на лестницу со стороны стенки и опоры? Найти построением направление силы, действующей на лестницу со стороны опоры. в 8.28. Стержень АВ массой w = 5 кг прикреплен к неподвижной опоре шарниром А и может вращаться в вертикальной плоскости (рис. 39). К концу В стержня прикреплена нить. Нить перекинута через блок С, и к ней подвешен 56 груз массой /?ij = 2,5 кг. Оси блока С и шарнира А расположены на одной вертикали, причем АС =АВ. Найти, при каком угле а между стержнем и вертикалью система будет в равновесии. Какая сила действует вдоль стержня в точке А? Является ли равновесие устойчивым? 8.29. У стены стоит лестница. Коэффициент трения лестницы о стену fej = 0,4, коэффициент трения лестницы о землю ^2"" 0,5. Центр тяжести лестницы находится на середине ее длины. Определить наименьший угол «мин» который лестница может образовать с горизонтом не соскальзывая. 8.30. Лестница длиной I = 4 м приставлена к гладкой стене под углом а = 60° к полу. Максимальная сила трения между лестницей и полом F^p = 200 Н. На какую высоту h может подняться по лестнице человек массой m = 60 кг, прежде чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь. 8.31. Кубик стоит у стены так, что одна из его граней образует угол а с полом. При каком коэффициенте трения кубика о пол это возможно, если трение о стенку пренебрежимо мало? 8.32. 1. На веревочной петле в горизонтальном положении висит стержень. Нарушится ли равновесие, если справа от петли стержень согнуть? 2. Допустим, что стержень с одной стороны утолщен. Одинаковы ли массы частей стержня справа и слева от петли? 8.33. Доказать, что центр тяжести плоского треугольника находится в точке пересечения медиан. 8.34. Доказать, что центр тяжести треугольника, составленного из однородных тонких стержней, лежит в центре окружности, вписанной в треугольник, вершины которого лежат на серединах сторон данного треугольника. 8.35. Десять шариков, массы которых соответственно равны 1, 2, 3, ..., 10 г, укреплены на невесомом стержне длиной 90 см так, что между центрами двух соседних шариков расстояние равно 10 см. Найти центр масс этой системы. 8.36. Однородная тонкая пластинка имеет форму круга радиусом В, в котором вырезано круглое отверстие вдвое 57 Рис. 40 Рис. 41 меньшего радиуса, касающ,ееся края пластинки. Где находится центр тяжести пластинки? 8.37. Где находится центр тяжести куба, из которого удален кубик с ребром а/2 (рис. 40)? 8.38. В гладкий высокий цилиндрический стакан поме-ш;ена палочка длиной Z = 15 см и массой т = 0,025 кг. С какими силами действует палочка на дно и стенки стакана, если радиус основания стакана i? = б см? Трением пренебречь. 8.39. Два одинаковых шара радиусом г и массой т каждый положены в вертикальный, открытый с обеих сторон полый цилиндр радиусом R{r> R/2). Вся система находится на горизонтальной плоскости. Какой должна быть минимальная масса полого цилиндра массой М, чтобы шары не могли его опрокинуть? 8.40. На земле лежат вплотную два одинаковых бревна цилиндрической формы. Сверху кладут такое же бревно. При каком коэффициенте трения k между бревнами они не раскатятся (по земле бревна не скользят)? 8.41. Параллельно оси цилиндра радиусом R на расстоянии R/2 от его центра просверлено круглое отверстие. Радиус отверстия равен R/2. Цилиндр лежит на допдечке, которую медленно поднимают за один конец (рис. 41). Найти предельный угол а наклона дощечки, при котором цилиндр еще будет находиться в равновесии. Коэффициент трения цилиндра о дощечку /г = 0,2. 8.42. Полушар и цилиндр одинакового радиуса, из одного и того же материала, соединены, как показано на рис. 42. Система опирается на горизонтальную плоскость. При какой высоте X цилиндра эта система будет находиться в без- 58 различном равновесии? Центр тяжести полушара находится на оси симметрии, отступая на ^/g радиуса от центра. 8.43. В цилиндрический стакан наливают воду. При каком уровне воды центр тяжести стакана с водой занимает наинизшее положение? 8.44. Тяжелый брусок удерживается силой трения между двумя стержнями А и В, расположенными горизонтально (рис. 43). Каким должно быть расстояние х от центра тяжести бруска до точки соприкосновения со стержнем А, чтобы он не мог выскользнуть из своих опор? Расстояние а, угол а и коэффициент трения k заданы. 8.45. Какую нужно совершить работу, чтобы повернуть вокруг ребра на другую грань: 1) куб массой 200 кг; 2) полый куб, наполовину наполненный водой? Масса куба мала по сравнению с массой наполняюш;ей его воды. Ребро куба равно 1 м. Работу силы тяжести после перехода кубом положения неустойчивого равновесия не учитывать. 8.46. Яш;ик в форме куба перемещают на некоторое расстояние: один раз волоком, а другой — кантованием (т. е. опрокидыванием через ребро). При каком коэффициенте трения скольжения k работы, совершаемые при перемещении ящика волоком и кантованием, равны? 9. Механические колебания и волны 9.1. Написать уравнение гармонических колебаний, если амплитуда колебания 4 см, период — 0,01с,алГо = 0. 9.2. За какую часть периода Т тело, совершающее гармонические колебания, проходит весь путь от положения 59 равновесия до крайнего положения; первую половину пути; вторую его половину? 9.3. Какую часть периода груз маятника находится в пределах 1 см от положения равновесия, если амплитуда его колебаний равна 2 см? 9.4. Показать, что период движения по окружности математического маятника, описывающего конус (конический маятник), равен периоду его колебаний, совершающихся в одной плоскости при малых углах отклонения. 9.5. На какую часть длины надо уменьшить длину математического маятника, чтобы период колебаний маятника на высоте 10 км над поверхностью Земли был равен периоду его колебаний на поверхности Земли*? 9.6. Определить, на сколько отстанут маятниковые (хо-диковые) часы за сутки, если их поднять на высоту 5 км над поверхностью Земли \ 9.7. Как по изменению периода колебаний маятника, помещенного над месторождением руды, плотность которого равна р, можно приблизительно оценить объем месторождения, считая его по форме шарообразным? Плотность Земли равна рд (рд > р). 9.8. Изменится ли период колебаний маятника от того, что мы поместим его в воду? Маятнику придана идеально обтекаемая форма, и можно принять, что трение о воду равно нулю. 9.9. В неподвижном лифте подвешен маятник, период колебаний которого Г = 1 с. С каким ускорением движется лифт, если период колебаний этого маятника стал равным Tj = 1,1 с? В каком направлении движется лифт? 9.10. Найти период колебаний Т математического маятника длиной I, подвешенного в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением а. 9.11. Определить длину звуковой волны X в воде, вызываемой источником колебаний с частотой 200 Гц, если скорость звука в воде равна 1450 м/с. Вращение Земли не учитывать. 60 9.12. Какой камертон звучит дольше: закрепленный в тисках или стоящий на резонаторном ящике? 9.13. Скорость звука в воде 1450 м/с. На каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в противоположных фазах, если частота колебаний равна 725 Гц? 9.14. При 1^акой скорости v поезда маятник длиной I = 44 см, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается, если длина рельсов 25 м? 9.15. Волны распространяются со скоростью 360 м/с при частоте, равной 450 Гц. Чему равна разность фаз двух точек, отстоящих друг от друга на расстоянии 20 см? 9.16. Тело находится в некоторой точке А на внутренней поверхности сферы. В каком случае оно быстрее достигнет нижней точки В сферы: если будет скользить по поверхности сферы или по наклонной плоскости АВ7 Трение в обоих случаях пренебрежимо мало, начальная скорость тела равна нулю и расстояние АВ намного меньше радиуса сферы. 9.17. Груз, подвешенный к пружине, вызвал ее удлинение на А/ = 4 см. Найти период Т собственных колебаний пружины вместе с грузом. 9.18. Найти период Т собственных колебаний в системах, описанных в задаче 8.14 (см. рис. 36). 10. Гидростатика 10.1. в полый куб с ребром а налита доверху жидкость плотностью р. Определить силы, действующие на грани куба. 10.2. Сосуд, имеющий форму усеченного конуса с приставным дном, опущен в воду. Если в сосуд налить 200 г воды, то дно оторвется. Отпадет ли дно, если на него поставить гирю 200 г; налить 200 г масла; налить 200 г ртути? 10.3. В сосуд с водой вставлена трубка, площадь поперечного сечения которой 2 см^. В трубку налили 72 г масла плотностью 900 кг/м^. Найти разность уровней масла и воды. 10.4. При подъеме груза массой т = 2т с помощью гидравлического пресса была совершена работа А = 40 Дж. 61 При этом малый поршень сделал п = 10 ходов, перемеш;а-ясь за один ход на высоту h = 10 см. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого, если КПД пресса равен 1? 10.5. В сообщающиеся сосуды диаметрами и Z>2 налита вода. На сколько изменится уровень воды в сосудах, если положить кусок дерева массой т в первый сосуд; во второй сосуд? Плотность воды Pq. 10.6. В колена U-образной трубки налиты вода и спирт, разделенные ртутью. Уровень ртути в обоих коленах одинаков. На высоте /Iq = 24 см от уровня ртути колена соединены горизонтальной трубкой с краном (рис. 44). Вначале кран закрыт. Определить высоту /ig столба спирта (р^. = 800 кг/м^), если высота столба воды h-^ = 32 см. Что будет, если открыть кран? При каком расположении трубки при открывании крана будет сохраняться равновесие? 10.7. Льдина площадью поперечного сечения S = 1 м^ и высотой /7 = 0,4 м плавает в воде. Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? 10.8. В стакане плавает кусок льда. Изменится ли уровень воды, когда лед растает? Рассмотреть также случаи: 1) когда во льду находился пузырек воздуха; 2) когда во льду находилась свинцовая пластинка. 10.9. Одна из бутылок наполнена водой, другая — ртутью. Утонет ли бутылка с водой, если ее опустить в воду? Утонет ли бутылка с ртутью, если ее опустить в ртуть? 10.10. Прямоугольная коробочка из жести массой m = 76 г с площадью дна S = SS см^ и высотой 77 = б см плавает в воде. Определить высоту h надводной части коробочки. 10.11. Кастрюля емкостью 2 л доверху наполнена водой. В нее ставят тело объемом 0,5 л и массой 0,6 кг. Определить массу воды, которая вытечет из кастрюли. 10.12. Жестяная банка с грузом плавает на поверхности воды, налитой в сосуд. При этом уровень воды в сосуде равен 77j. Больше или меньше будет уровень воды T/g, если груз из банки переложить на дно сосуда? Плотность груза больше плотности воды. 10.13. В сосуд с вертикальными стенками и площадью дна S налита жидкость плотностью р. На сколько изменит- 62 D — ^ i Я Рис. 44 I I Рис. 45 ся уровень жидкости в сосуде, если в него опустить тело произвольной формы массой тп, которое не тонет? 10.14. В U-образной трубке сечением S налита жидкость плотностью р. На сколько поднимется уровень жидкости в правом колене трубки по отношению к первоначальному уровню, если в левое колено опустили тело массой т и плотностью pj < р? 10.15. На дне водоема установлена бетонная конструкция грибовидной формы, размеры которой указаны на рис. 45. Глубина водоема Н. С какой силой давит конструкция на дно водоема? Плотность бетона р, воды — pg. 10.16. Деревянный кубик лежит на дне сосуда. Всплывет ли он, если в сосуд налить воду (вода не проникает под кубик)? 10.17. Круглое отверстие площадью Sj в дне сосуда прикрыто без усилия конической пробкой с площадью основания Sg. При каком наибольшем значении плотности р материала пробки можно добиться ее всплытия, доливая воду в сосуд? Плотность воды pg. 10.18. Пустую открытую бутылку погрузили в воду горлышком вниз на некоторую глубину Л и опустили. При этом бутылка не всплывала, не опускалась, а находилась в положении равновесия. Почему? Будет ли это равновесие устойчивым? Определить глубину погружения, если емкость бутылки Vq = 0,5 л, масса т = 0,4 кг. Атмосферное давление Pq = 101 кПа, температура постоянная. Объемом стенок бутылки пренебречь. 63 10.19. Полый шар (внешний радиус внутренний сделанный из материала плотностью Pj, плавает на поверхности жидкости плотностью Р2. Какой должна быть плотность р вепдества, которым следует заполнить внутреннюю полость шара, чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жидкости? 10.20. Полый шар, отлитый из чугуна, плавает в воде, погрузившись ровно наполовину. Найти объем V внутренней полости шара, если масса шара т = 5000 г, а плотность чугуна р = 7,8 г/см^. 10.21. На весах уравновешен сосуд с водой. Как изменится равновесие, если в воду целиком опустить подвешенный на нити брусок размером 5x3x3 см^ так, чтобы он не касался дна? Груз какой массы и на какую чашу весов надо положить, чтобы сохранить равновесие? 10.22. Алюминиевый и железный сплошные шары уравновешены на рычаге. Нарушится ли равновесие, если шары погрузить в воду? Рассмотреть два случая: а) шары одинаковой массы; б) шары одинакового объема. 10.23. Вес куска железа в воде Р ^ 1,67 Н. Найти его объем V^. Плотность железа p^j^ = 7,8 г/см^. 10.24. Вес тела в воде в 3 раза меньше, чем в воздухе. Какова плотность материала тела? 10.25. Брусок дерева плавает в воде. Как изменится глубина погружения бруска в воде, если на воду налить масло? 10.26. Некоторое тело плавает на поверхности воды в закрытом сосуде. Как изменится глубина погружения тела, если накачать воздух в сосуд? 10.27. Один конец нити закреплен на дне, а второй прикреплен к пробковому поплавку. При этом 0,75 всего объема поплавка погружено в воду. Определить силу натяжения Т нити, если масса поплавка равна 2 кг и плотность пробки 0,25 г/см^. Массой нити пренебречь. 10.28. На крюке динамометра висит ведерко. Изменится ли показание динамометра, если ведерко наполнить водой и погрузить в воду? 10.29. Сосуд, предельно наполненный водой, висит на динамометре. Изменится ли показание динамометра, если в воду опустить гирю, подвешенную на нити, не касаясь дна? 64 10.30. На рычажных весах уравновешены сосуд с водой и штатив с медной гирей массой m = 100 г (рис. 46). Затем гиря, подвешенная на нити, опускается в воду. Как восстановить равновесие весов? Плотность меди pj^ = 8,9 г/см^. 10.31. Тонкая однородная палочка шарнирно укреплена за верхний конец. Нижняя часть палочки погружена в воду, причем равновесие достигается тогда, когда палочка расположена наклонно к поверхности воды и в воде находится половина палочки. Какова плотность материала, из которого сделана палочка? 10.32. Два шарика радиусами и Tg, сделанные из материалов, плотности которых Pj и Pg, соединены невесомым стержнем длиной I. Затем вся система помегцена в жидкость плотностью р, причем р < р^ и р < pg. В какой точке стержня нужно его подвесить, для того чтобы система находилась в равновесии при горизонтальном положении стержня? 10.33. Из сосуда, заполненного водой, выходит трубка радиусом г и высотой h (рис. 47). Трубка закрыта круглой пластиной радиусом R и массой М, которую прижимает к трубке давление воды. С какой силой F нужно подействовать на пластину в точке А, для того чтобы она повернулась, открыв трубку? Сосуд заполнен водой до высоты Н. Толщина пластины пренебрежимо мала. 10.34. На весах уравновешено тело, погруженное в жидкость. Изменится ли показание весов при нагревании жидкости вместе с погруженным в нее телом? 10.35. Сплошное однородное тело объемом F, плотность материала которого р, плавает на границе между жидко- 5495 65 стями плотностью Pi и Р2, причем Р2 > Pi- Какая часть объема тела будет находиться в жидкости плотностью Рз? 10.36. Кубик из дерева, имеющий сторону 10 см, плавает между маслом и водой, находясь ниже уровня масла на 2,5 см. Нижняя поверхность кубика на 2,5 см ниже поверхности раздела жидкостей. Какова масса т кубика, если плотность масла 0,8 г/см^? Определить силы давления Р^и F2 на верхнюю и нижнюю грани кубика. Изменится ли глубина погружения кубика в воду при доливании масла? 10.37. Стальной кубик плотностью 7,8 г/см^ плавает в ртути (плотность 13,6 г/см^). На ртуть наливается вода так, что она покрывает кубик тонким слоем. Какова высота Н слоя воды? Длина ребра кубика 10 см. Определить давление р на нижнюю грань кубика. 10.38. Кусок пробки весит в воздухе 0,147 Н, кусок свинца 1,1074 Н. Если эти куски связать, а затем подвесить к чаше весов и опустить в керосин, то показание весов будет 0,588 Н. Определить плотность пробки, учитывая, что плотность керосина 0,8 г/см^, а свинца 11,3 г/см^. 10.39. В сосуд с водой погружается открытый цилиндрический стакан: один раз дном вверх, а другой — дном вниз, на одну и ту же глубину. В каком из этих случаев работа, которую нужно совершить, чтобы погрузить стакан в воду, будет больше? Вода из сосуда не выливается и в стакан, погруженный дном вниз, не попадает. 10.40. Две оболочки шара одинаковой массы — одна из тонкой резины, а вторая из прорезиненной ткани — наполнены одним и тем же количеством водорода и у Земли занимают равный объем. Какой шар поднимется выше и почему, если водород из шаров выходить не может? 10.41. Во сколько раз изменится подъемная сила газа, наполняющего аэростат (дирижабль), если будет применяться гелий вместо водорода? 10.42. К динамометру подвешена тонкостенная трубка ртутного барометра. Что показывает динамометр? Будут ли изменяться его показания при изменении атмосферного давления? 10.43. Определить приближенно массу газовой оболочки, окружающей земной шар. 66 10.44. Г-образная трубка, длинное колено которой открыто, наполнена водородом. Куда будет выгнута резиновая пленка, закрывающая короткое колено трубки? 10.45. В трубе с сужением течет вода. В трубу пущен эластичный резиновый мячик. Как изменится его диаметр при прохождении узкой части трубы? 10.46. Тело, имеющее массу wi = 2 кг и объем V = 1000 см^, находится в озере на глубине Л = 5 м. Какая работа должна быть совершена при его подъеме на высоту Н = 6м над поверхностью воды? Равна ли совершенная при этом работа изменению потенциальной энергии тела? Объясните ответ. 10.47. В водоеме укреплена вертикальная труба с поршнем таким образом, что нижний ее конец погружен в воду. Поршень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно поднимают на высоту Н = 15 м. Какую работу пришлось при этом совершить? Площадь поршня S = 1 дм^, атмосферное давление р = 101 кПа. Весом поршня пренебречь. 10.48. Подводная лодка находится на глубине Л =- 100 м. С какой скоростью через отверстие в корпусе лодки будет врываться струя воды? Какой объем воды проникает в лодку за время f = 1 ч, если диаметр отверстия равен d = 2 см? Давление воздуха в лодке равно атмосферному давлению. Изменением давления внутри лодки пренебречь. 10.49. Из брандспойта бьет струя воды. Расход воды Q = 60 л/мин. Какова площадь поперечного сечения струи Sj на высоте Л = 2 м над концом брандспойта, если вблизи него площадь сечения струи равна Sq = 1,5 см^? 10.50. Почему быстролетящая пуля пробивает в пустом пластмассовом стакане лишь два маленьких отверстия, а стакан, наполненный водой, разбивается при попадании в него пули вдребезги? II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА 11. Основы молекулярно-кинетической теории 11.1. Сколько молекул содержится в 1 см^ воды? Какова масса молекулы воды? Каков приблизительный размер молекулы воды? 11.2. Хорошо откачанная лампа накаливания объемом 10 см^ имеет треш;ину, в которую ежесекундно проникает миллион частиц газа. Сколько времени понадобится для наполнения лампы до нормального давления, если скорость проникновения газа остается постоянной? Температура о °С. 11.3. За 10 суток полностью испарилось из стакана 100 г воды. Сколько в среднем вылетало молекул с поверхности воды за 1 с? 11.4. В озеро средней глубины 10 м и плош;адью 10 км^ бросили кристаллик поваренной соли NaCl массой 0,01 г. Сколько ионов хлора оказалось бы в наперстке воды объемом 2 см^, зачерпнутом из этого озера, если считать, что соль, растворившись, равномерно распределилась в озере? 11.5. Кристаллы поваренной соли NaCl кубической системы состоят из чередуюш;ихся атомов (ионов) Na и С1 (рис. 48). Определить наименьшее расстояние между их центрами. Молярная масса поваренной соли М = = 59,5 г/моль, а ее плотность р = = 2,2 г/см^. 11.6. Кубическая кристаллическая решетка железа содержит один атом железа на элементарный куб, повторяя который можно получить всю решетку крис- 68 талла. Определить расстояние между ближайшими атомами железа, если плотность железа р = 7,9 г/см^, атомная масса А = 56. 11.7. На пути молекулярного пучка стоит «зеркальная» стенка. Найти давление, испытываемое этой стенкой, если скорость молекул в пучке i; = 10^ м/с, концентрация п = = 5*10^^1/м^, масса т = 3,32 • 10'^^ кг. Рассмотреть три случая: 1) стенка расположена перпендикулярно скорости пучка и неподвижна; 2) пучок движется по направлению, составляюш;ему со стенкой угол а = 45°; 3) стенка движется навстречу молекулам со скоростью и = 50 м/с. 11.8. Как изменилось бы давление в сосуде с газом, если бы внезапно исчезли силы притяжения между его молекулами? 12. Тепловое расширение. Газовые законы 12.1. В два сосуда конической формы, расширяюпдихся кверху и книзу, и цилиндрический налита вода при температуре t = 100 °С. Как изменится давление на дно сосудов после охлаждения воды до комнатной температуры? 12.2. Две линейки — одна медная, другая железная — наложены одна на другую так, что они совпадают только одним концом. Определить длины линеек при t = 0 °С, зная, что разность их длин при любой температуре составляет Д/ = 10 см. Коэффициент линейного расширения меди ttj = 17 • 10 ® К“^, железа — ag = 12 • 10 ® К“^. 12.3. Часы, маятник которых состоит из груза малых размеров и легкой латунной нити, идут правильно при температуре 0 °С. Найти коэффициент линейного расширения латуни, если при повышении температуры до 20 °С часы отстанут за сутки на 16 с. 12.4. На сколько секунд часы будут уходить вперед за сутки при to о если они выверены при t = 20 °С и материал, из которого сделан маятник часов, имеет коэффициент линейного расширения а = 0,000012 К~^? 12.5. При to = о °С часы спешат в сутки на т = 20 с. При какой температуре tj часы будут идти точно? Коэффици- 69 ент линейного расширения материала маятника часов а = = 1,9*10-5 К-1. 12.6. Какую силу F надо приложить к стальному стержню сечением S = 1 см^, чтобы растянуть его на столько же, на сколько он удлиняется при нагревании на = 1 °С? Коэффициент линейного расширения а = 12 • Ю"® К“^. Модуль Юнга стали Е = 2,1 • 10^^ Н/м^. 12.7. Толщина биметаллической пластинки, составленной из одинаковых полосок стали и цинка, равна d = 0,1 см. Определить радиус R кривизны пластинки при повышении температуры на Af = 11 °С. Коэффициент линейного расширения цинка = 25 • Ю"® К“^, стали — ttg = 12 • Ю"® К“^. 12.8. Концы стального стержня, находящегося при температуре ^ = 20 °С, прочно закреплены. С какой силой стержень будет действовать на опоры, если его нагреть до = = 200 °С? Площадь поперечного сечения стержня S = 1 см^, модуль Юнга стали Е = 2,0 • 10^^ Н/м^, коэффициент линейного расширения а = 1,2 • 10"5 К"Ч 12.9. Каково давление Pq газа в электрической лампочке, объем которой F = 1 л, если при отламывании кончика последней под поверхностью воды на глубине h = 1 мв лампочку вошла вода, массой т = 998,7 г? Атмосферное давление нормальное. 12.10. Стеклянный баллон объемом F = 1 л был наполнен испытуемым газом до давления р = 10^ Па и взвешен. Его вес оказался равным Q = 0,9898 Н. Затем часть газа была откачана и давление в баллоне упало до = 5 • 10^ Па. Новый вес баллона оказался равным = 0,9800 Н. Какова плотность испытуемого газа при нормальном атмосферном давлении? Температура постоянна. 12.11. В ртутный барометр попал пузырек воздуха, вследствие чего барометр показывает давление меньше истинного. При сверке его с точным барометром оказалось, что при давлении р = 7б8ммрт. ст. барометр показывает р' = 748 мм рт. ст., причем расстояние от уровня ртути до верхнего основания трубки / = 80 мм. Каково истинное давление Pj, если барометр показывает р\ = 734 мм рт. ст.? Температура воздуха постоянна. 70 12.12. Открытую стеклянную трубку длиной / = 1 м наполовину погружают в ртуть. Затем трубку закрывают пальцем и вынимают. Какой высоты столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление равно Pq = 750 мм рт. ст. 12.13. В запаянной с одного конца стеклянной трубке длиной I = 90 см находится столбик воздуха, запертый сверху столбиком ртути высотой h = 30 см; столбик ртути доходит до верхнего края трубки. Трубку осторожно переворачивают открытым концом вниз, причем часть ртути выливается. Какова высота столбика ртути, которая останется в трубке, если атмосферное давлениеPq = 750 мм рт. ст.? 12.14. В сосуд с ртутью опускают открытую стеклянную трубку, оставляя над поверхностью конец длиной / = 60 см. Затем трубку закрывают и погружают еще на А1 = 30 см. Определить высоту столба воздуха в трубке. Атмосферное давление Pq = 760 мм рт. ст. 12.15. Барометрическая трубка погружена в глубокий сосуд с ртутью так, что уровни ртути в трубке и сосуде совпадают. При этом воздух в трубке занимает столб длиной I см. Трубку поднимают на высоту /'см. На сколько сантиметров поднимается ртуть в трубке? Атмосферное давление равно Pq см рт. ст. 12.16. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной L = 1 м находится столбик ртути длиной I = 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на А/ = 10 см. До какого давления была откачана трубка? Плотность ртути р = = 1,36 • 10^ кг/м^. 12.17. Запаянная с обоих концов горизонтально расположенная стеклянная трубка разделена столбиком ртути на две равные части. Длина каждого столбика воздуха 20 см. Давление 750 мм рт. ст. Если трубку поставить вертикально, ртутный столбик опускается на 2 см. Определить длину столбика ртути. 12.18. Цилиндрический сосуд делится на две части тонким подвижным поршнем. Каким будет равновесное положение поршня, когда в одну часть сосуда помещено некоторое количество кислорода, в другую — такое же количество водорода, если длина сосуда I = 85 см? 71 12.19. В закрытом цилиндрическом сосуде с площадью основания S находится газ, разделенный поршнем массой М на две равные части. Масса газа под поршнем при этом в k раз больше массы газа над ним. Температуры газов одинаковы. Пренебрегая трением и массой газа по сравнению с массой поршня, найти давление газа в каждой части. 12.20. Имеются два мяча различных радиусов, давление воздуха в которых одинаково. Мячи прижимают друг к другу. Какой будет форма поверхности соприкосновения? 12.21. Найти число п ходов поршня, которое надо сделать, чтобы поршневым воздушным насосом откачать воздух из сосуда емкостью V от давления до давления р, если емкость насоса AF. 12.22. Давление воздуха в сосуде равно 97 кПа. После трех ходов откачивающего поршневого насоса давление воздуха упало до 28,7 кПа. Определить отношение объемов сосуда и цилиндра насоса. 12.23. Два баллона соединены трубкой с краном. В первом находится газ при давлении р^ = 10^ Па, во втором при Р2 = 0,6 • 10^ Па. Емкость первого баллона Fj = 1 л, второго Fg = 3 л. Какое давление установится в баллонах (в мм рт. ст.), если открыть кран? Температура постоянна, объемом трубки можно пренебречь. 12.24. Три баллона емкостями = 3 л, Fg = 7 л и Fg = 5 л наполнены соответственно кислородом (р^ == 2 • 10^ Па), азотом (р2 = 3 * 10^ Па) и углекислым газом (рд = б • 10'^ Па) при одной и той же температуре. Баллоны соединяют между собой, причем образуется смесь той же температуры. Каково давление смеси? 12.25. На гладком горизонтальном столе находится сосуд, разделенный перегородкой на две равные части. В одной части сосуда находится кислород, а в другой — азот. Давление азота вдвое больше давления кислорода. На какое расстояние сдвинется сосуд, если перегородка станет проницаемой? Длина сосуда I = 20 см. Массой сосуда пренебречь. Процесс считать изотермическим. 12.26. В цилиндре, закрытом легким подвижным поршнем массой т и площадью S, находится газ. Объем газа равен F. Каким станет объем газа, если цилиндр передви- 72 Рис. 49 гать вертикально с ускорением: а) а вниз; б) а вверх? Атмосферное давление равно Ро» температура газа постоянна. 12.27. Начертить графики изотермического, изобарного и изохорного процессов в идеальном газе в координатах р, F; р, Т\ V, Т. Объяснить, почему коэффициент объемного расширения идеальных газов равен термическому коэффициенту давления. 12.28. На рис. 49 изображены две изотермы газа одной и той же массы. 1. Чем отличаются состояния газов, если газы одинаковы? 2. Чем отличаются газы, если температуры газов одинаковы? 12.29. Как изменялась температура идеального газа — увеличивалась или уменьшалась — при процессе, график которого в координатах р, V изображен на рис. 50? 12.30. При нагревании газа получен график зависимости давления от абсолютной температуры в виде прямой, продолжение которой пересекает ось р в некоторой точке выше (ниже) начала координат. Определить, сжимался или расширялся газ во время нагревания в каждом случае. 12.31. На рис. 51 приведен график изменения состояния идеального газа в координатах р, V. Представить этот круговой процесс (цикл) в координатах р, Г и F, Т, обозначив соответствуюш;ие точки. 73 Рис. 52 Рис, 53 12.32. Определить массу ртути, которая войдет в стек- лянный баллончик объемом = 5 см^ (рис. 52), нагретый до = 400 °С, при его остывании до ^2 16 °С, если плотность ртути при ^ 16 °С равна р = 13,6 г/м^. 12.33. При какой температуре находился газ, если при нагревании его на At = 22 °С при постоянном давлении объем увеличился вдвое? Для каких газов это возможно? 12.34. До какой температуры нужно нагреть воздух, взятый при температуре ^ = 20 °С, чтобы его объем увеличился вдвое, а давление осталось постоянным? 12.35. Определить, каким был бы коэффициент объемного расширения идеального газа, если бы за его начальный объем принимали объем не при 0 °С, а при = 100 °С. 12.36. В цилиндре, площадь основания которого равна S = 100 см^, находится воздух при температуре = 12 °С. Атмосферное давление = 101 кПа. На высоте = 60 см от основания цилиндра расположен поршень. На сколько сантиметров опустится поршень, если на него поставить гирю массой m = 100 кг, а воздух в цилиндре при этом нагреть до ^2 27 °С? Трение поршня о стенки цилиндра и вес самого поршня не учитывать. 12.37. Два одинаковых баллона, содержащие газ при температуре ^ = 0 °С, соединены узкой горизонтальной трубкой диаметром d = 6 мм, посередине которой находится капелька ртути (рис. 53). Капелька делит весь сосуд на две части объемом по F = 200 см^. На какое расстояние X переместится капелька, если один баллон нагреть на At = = 2 °С, а другой на столько же охладить? Изменением объемов сосудов пренебречь. 12.38. Два одинаковых сосуда соединены трубкой, объемом которой можно пренебречь. Система наполнена газом и находится при абсолютной температуре Т. Во сколько раз изменится давление в такой системе, если один из сосудов 74 нагреть до абсолютной температуры а другой поддерживать при прежней температуре Т? 12.39. 1. В горизонтально расположенном сосуде, разделенном легким подвижным поршнем, находятся с одной стороны от поршня кислород массой /тг^, а с другой — водород массой 7712. Температуры газов одинаковы и равны Tq. Каким будет отношение объемов, занимаемых газами, если температура водорода останется равной Tq, а кислород нагреется до температуры Т^? 2. Вертикально расположенный сосуд разделен на две равные части тяжелым теплонепроницаемым поршнем, который может скользить без трения. В верхней половине сосуда находится водород при температуре Т и давлении р, в нижней — кислород при температуре 2Т. Сосуд перевернули. Чтобы поршень по-прежнему делил сосуд на две равные части, пришлось охладить кислород до температуры Т/2. Температура водорода осталась прежней. Определить давление кислорода в первом и во втором случаях. 12.40. На некоторой высоте давление воздуха р = = 3 • 10“^ Па, а температура t = -43 °С. Какова плотность воздуха на этой высоте? 12.41. Определить давление кислорода массой ттг = 4 кг, находящегося в сосуде емкостью F = 2 м^, при температуре t = 29°C. 12.42. Определить удельный объем азота при температуре t = 27 °С и давлении р = 4,9 • 10^ Па. 12.43. Определить массу кислорода, находящегося в баллоне емкостью V = 10 л, если при температуре t = 13 °С манометр на баллоне показывает давление р = 9 • 10® Па. 12.44. Какова разница в массе воздуха, заполняющего помещение объемом F = 50 м^, зимой и летом, если летом температура в помещении достигает = 40 °С, а зимой падает до ^2 = о °С? Давление нормальное. 12.45. Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом Vq — 120 м^ при повышении температуры от = 15 °С до ^2 = 25 °С? Атмосферное давление Pq = 10® Па. 12.46. Компрессор захватывает при каждом качании Fq = 4 л воздуха при атмосферном давлении Pq = 10® Па и 75 температуре tQ = -3 °С и нагнетает его в резервуар емкостью V = 1,5 м^, причем температура воздуха в резервуаре держится около = 45 °С. Сколько качаний должен сделать компрессор, чтобы давление в резервуаре увеличилось на Ар = 1,96 • 10^ Па? 12.47. На весах установлены два одинаковых сосуда. Один заполнен сухим воздухом, другой — влажным (насыщенный водяной пар) при одинаковых давлениях и температурах. Какой из сосудов тяжелее? 12.48. По газопроводу течет углекислый газ при давлении р = 5*10^ Па и температуре ^ = 17 °С. Какова скорость движения газа в трубе, если за т = 5 мин сквозь поперечное сечение трубы S = 6 см^ протекает углекислый газ массой т = 2,5 кг? 12.49. Из баллона со сжатым водородом емкостью 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре ^J = 7 °С манометр показывал р = 5 • 10® Па. Через некоторое время при температуре ^2 = 17 °С манометр показал такое же давление. Определить массу газа, вышедшего из баллона вследствие утечки. 12.50. Какая часть газа осталась в баллоне, давление в котором было равно р = 1,2 • 10^ Па, а температура t ^ 27 °С, если давление упало до р^ = 10® Па? Баллон при этом охладился до = -23 °С. 12.51. До какой температуры нужно нагреть запаянный шар, содержащий воду массой т= 17,5 г, чтобы шар разорвался, если известно, что стенки шара выдерживают давление р = 10'^ Па, а объем шара И = 1 л? 12.52. В цилиндре объемом V, заполненном газом, имеется предохранительный клапан в виде маленького цилиндрика с поршнем. Поршень упирается в дно цилиндра через пружину жесткостью k (рис. 54). При температуре поршень находится на расстоянии L от отверстия, через которое газ выпускается в атмосферу. До какой температуры Tg должен нагреться газ в цилиндре, для того чтобы клапан выпустил часть газа в атмосферу? Площадь поперечного сечения поршня S, масса газа в цилиндре т, его молярная масса М. Объем рис. 54 76 цилиндрика клапана пренебрежимо мал по сравнению с объемом цилиндра. 12.53. В баллоне емкостью V = 110 л находятся водород массой = 0,8 кг и кислород массой mg = 1,6 кг. Определить давление смеси на стенки сосуда. Температура окружающей среды ^ = 27 °С. 12.54. В сосуде объемом F = 1 л находится азот массой т = 0,28 г. Азот нагрет до температуры t = 1500 °С. При этой температуре а = 30% молекул азота диссоциировано на атомы. Определить давление в сосуде. 12.55. В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре Т, когда азот полностью диссоциирован на атомы, давление равно р (диссоциацией водорода можно пренебречь). При температуре 2Т, когда оба газа полностью диссоциированы, давление в сосуде Зр. Каково отношение масс азота и водорода в смеси? 12.56. Оболочка аэростата объемом V = 1600 м^, находящегося на поверхности Земли, заполнена на /г = 7/8 водородом при давлении р = 101 кПа и температуре t ^ 15 °С. Аэростат поднялся на некоторую высоту, где давление р^ = = 79,3 кПа и температура = 2 °С. Определить массу водорода потерянного аэростатом при подъеме в результате расширения газа. 12.57. Доказать, что в атмосфере с постоянной температурой независимо от закона изменения давления с высотой подъемная сила воздушного шара с эластичной оболочкой постоянна. Газ из воздушного шара не вытекает. Пренебречь давлением, обусловленным кривизной оболочки. 13. Теплота и работа 13.1. 1. в калориметре находится два слоя одной и той же жидкости: внизу более холодная, вверху — теплая. Изменится ли общий объем жидкости при выравнивании температур? 2. Рассмотреть случай, когда в сосуде находятся равные массы воды при температурах 0 и 8 °С. 77 13.2. Можно ли передать некоторое количество теплоты веществу, не вызывая при этом повышения его температуры? 13.3. Как надо поступить, чтобы сильнее остудить горячий чай: сразу бросить в него сахар и затем подождать пять минут или, выждав пять минут, положить сахар и растворить его? Растворение сахара идет с поглощением теплоты. 13.4. В железном калориметре массой т = 0,1 кг находится вода массой mj = 0,5 кг при температуре = 15 °С. В калориметр бросают свинец и алюминий общей массой Ш2 = 0,15 кг и температурой ^2 ^ ЮО °С. В результате температура воды поднимается до t = 17 °С. Определить массы свинца и алюминия. Удельная теплоемкость свинца Cj ^ == 125,7 ДжДкг • К), алюминия Cg = 836 Дж/(кг • К), железа с = 460 Дж/(кг • К). 13.5. Какое количество теплоты требуется, чтобы медный стержень длиной Z 10 см и площадью поперечного сечения S = 2 см^ удлинился от нагревания на = 0,1 мм? Длина стержня при i = 0 °С равна /q == 9,9 см. Плотность меди р = 8,9 г/см^, коэффициент линейного расширения а = = 1,7 • 10~^ К“^ удельная теплоемкость с = 376 Дж/(кг • К). 13.6. Свинцовая пуля пробивает деревянную стенку, причем скорость в момент удара о стенку была v = 400 м/с, а в момент вылета ^ 100 м/с. Какая часть пули расплавилась, считая, что на нагревание ее идет 60% потерянной механической энергии? Температура пули в момент удара = 50 °С. Удельная теплоемкость свинца с ^ 125,7 Дж/(кг • К), температура плавления = 327 °С, удельная теплота плавления X = 26,4 • 10^ Дж/кг. 13.7. Найти расход бензина автомобиля «Запорожец» на пути S = 1 км при скорости V = 60 км/ч. Мощность двигателя = 23 л. с., коэффициент полезного действия двигателя Г| = 30%. Удельная теплота сгорания бензина q = = 45 • 10® Дж/кг. 13.8. Автомобиль «Москвич» расходует бензин массой т = 5,67 кг на пути s = 50 км. Определить мощность N, раз-вР1ваемую двигателем, если скорость движения и ^ 90 км/ч и КПД двигателя г\ = 22% . Удельная теплота сгорания бензина 9 = 45 • 10® Дж/кг. 78 13.9. Автомобиль массой М = 1200 кг на горизонтальном пути развивает скорость v = 72 км/ч, расходуя при этом бензин массой тм = 80 г на пути s = 1 км. Какую скорость разовьет автомобиль при той же мощности на пути с подъемом Л = 3,5 м на Z = 100 м? КПД двигателя Т| = 28%. Удельная теплота сгорания бензина g = 45 • 10® Дж/кг. 13.10. Реактивный самолет имеет четыре двигателя, развивающих силу тяги F = 20 000 Н каждый. Определить массу керосина, который израсходуют двигатели на перелет I = 5000 км. Удельная теплота сгорания керосина q = = 45 • 10® Дж/кг, КПД двигателя Г| == 25%. 13.11. Некоторая установка, выделяющая мощность N = = 30 кВт, охлаждается проточной водой, текущей по спиральной трубке диаметром d = 15 мм. При установившемся режиме проточная вода нагревается на AZ = 15 °С. Определить скорость воды, предполагая, что вся выделяемая мощность установки идет на нагревание воды. 13.12. На сколько температура воды у основания водопада, высота которого Л = 20 м, больше, чем у вершины? Считать, что вся механическая энергия идет на нагревание воды. 13.13. Свинцовая гиря падает на землю и ударяется о препятствие. Скорость при ударе v = 330 м/с. Вычислить, какая часть гири расплавится, если все количество теплоты, выделяемое при ударе, поглощается гирей. Температура гири перед ударом Zq = 27 °С, температура плавления свинца = = 327 °С, удельная теплоемкость свинца с = 125,7 Дж/(кг • К), удельная теплота плавления X = 26,4 • 10® Дж/кг. 13.14. Тело массой ш = 1 кг скользит по наклонной плоскости длиной Z = 21 м, которая образует с горизонтом угол а = 30°. Скорость тела у основания наклонной плоскости равна V = 4,1 м/с. Вычислить количество теплоты, выделившееся при трении тела о плоскость, если начальная скорость тела равна нулю. 13.15. С какой скоростью влетает метеорит в атмосферу Земли, если при этом он нагревается, плавится и превращается в пар? Метеорное вещество состоит из железа. Начальную температуру метеорита принять равной Т = 273 К. Какой будет вычисленная скорость: минимальной, средней, 79 максимальной? Температура плавления железа = 1535 °С, удельная теплота плавления X = 2,7 • 10^ Дж/кг, удельная теплоемкость железа с = 0,46 • 10^ Дж/(кг • К), температура кипения = 3050 °С, удельная теплота парообразования L = 0,58 • 10^ Дж/кг. Предполагается, что парообразование происходит при температуре кипения. 13.16. Одинаковое ли количество теплоты необходимо для нагревания газа до одной и той же температуры в сосуде, прикрытом поршнем, если поршень: 1) не перемещается; 2) легкий и подвижный? 13.17. В нижней части цилиндрического сосуда с площадью основания S = 1 м^ находится при нормальных условиях воздух, объем которого Vq = 1 м^, закрытый невесомым поршнем. Воздух под поршнем нагревается на At = = 1 °С, при этом поршень поднимается. Определить работу, которую совершает воздух при расширении, перемещая поршень. Зависит ли работа от площади поперечного сечения поршня? 13.18. В цилиндре при температуре ^ = 20 °С находится воздух под давлением р = 9,8 • 10^ Па. Масса воздуха т = 2 кг. Определить работу воздуха при его изобарном нагревании на At = 100 °С. Молярная масса воздуха М = 0,029 кг/моль. 13.19. В цилиндр помещен кислород при температуре ^ = 17 °С и давлении р = 4* 10^ Па. Масса кислорода т = = 1,6 кг. До какой температуры нужно изобарно нагреть кислород, чтобы работа по расширению была равна А = = 4 • 104 Дж? 13.20. На рис. 51 в координатах р, V изображен круговой процесс изменения состояния идеального газа некоторой массы. Указать, на каких участках процесса газ получал и на каких отдавал количество теплоты. 13.21. В цилиндре под поршнем находится воздух. Его состояние последовательно изменяется следующим образом: 1) при постоянном объеме увеличивается давление; 2) при постоянном давлении увеличивается объем; 3) при постоянной температуре увеличивается объем; 4) при постоянном давлении воздух возвращается к исходному состоянию. Начертить диаграмму в координатах р, V и ука- 80 Рис. 55 зать, на каких участках воздух в цилиндре получает количество теплоты и на каких отдает. 13.22. Идеальный газ, находящийся при температуре Т, охлаждается изохорно так, что давление падает в п раз. Масса газа равна т. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура равна первоначальной. Определить совершенную газом работу. Молярная масса газа равна М. 13.23. 1. Над идеальным газом проводят два замкнутых процесса: 1 -^2-^3-* 1и3^2-^4^3 (рис. 55, а). В каком из них газ совершит большую работу? 2. Над молем идеального газа совершают цикл (замкнутый процесс), состоящий из двух изохор и двух изобар (рис. 55, б). Температуры в точках 1 и 3 равны соответственно Tj и Тд. Определить работу, совершенную газом за цикл, если точки 2 и4 лежат на одной изотерме. 14. Изменение агрегатного состояния вещества. Влажность 14.1. Температура # = О °С является, как известно, одновременно и температурой таяния льда, и температурой замерзания воды. Что произойдет, если в сосуд с водой при t = 0°С поместить кусок льда при той же температуре? Построить график зависимости температуры льда с начальной температурой = -10 °С, нагреваемого до температуры плавания, а затем образовавшейся воды до fg +10 °С от времени нагревания. Мощность нагревателя постоянна. 6 - 5495 81 14.2. В сосуд с водой теплоемкостью С = 1670 Дж/К при температуре ^ = 20 °С поместили лед при = -8 °С. Масса льда = 100 г. Какая установится температура в сосуде? Удельная теплота плавления льда X = 3,3 • 10^ Дж/кг, удельная теплоемкость с = 2,1 • 10^ Дж/(кг • К). 14.3. В калориметр со льдом (лг == 100 г; i = 0 °С) впуЕцен пар при 100 °С. Сколько грамм воды окажется в калориметре непосредственно после того, как весь лед растает? Удельная теплота плавления льда X = 3,3 • 10^ Дж/кг. Теплоемкостью калориметра пренебречь. Удельная теплота парообразования L = 2,26 • 10® Дж/кг. 14.4. Смесь, состоящую из льда массой = 5 кг и воды массой ^2 = 15 кг при общей температуре = 0 °С, нужно нагреть до температуры 0 = 80 °С пропусканием водяного пара при температуре t2 = 100 °С. Определить массу необходимого пара. Удельная теплота плавления льда X = 3,3 • 10® Дж/кг, удельная теплота парообразования воды при t = 100 °С L = 2,26 • 10® Дж/кг. 14.5. Выпал мокрый снег. Каким способом можно определить процентное содержание влаги в нем? 14.6. В калориметр с водой, находящейся при температуре = 15 °С, брошен мокрый снег. Масса воды = 250 г, масса снега m2 = 20 г. После этого температура в калориметре понизилась на = 5 °С. Сколько грамм воды было в снеге? Теплоемкостью калориметра пренебречь. 14.7. До какой температуры надо нагреть алюминиевый куб, чтобы он, будучи положен на лед, полностью в него погрузился? Температура плавления льда 0 °С, удельная теплоемкость алюминия с = 836 Дж/(кг • К), плотность льда pj = 9,2 • 10^ кг/м®, плотность алюминия р = 2,7 • 10® кг/м®, удельная теплота плавления льда X = = 3,3 • 10® Дж/кг. 14.8. Пробирка, содержащая воду массой М = 12 г, помещается в охлажденную смесь, где вода переохлаждается до t = -Ъ °С. Затем пробирка вынимается и встряхивается, причем часть воды замерзает. Определить массу воды, которая должна обратиться в лед, если считать, что между водой и стенками пробирки не происходит теплообмена. 82 14.9. Почему температура воды в открытых водоемах почти всегда в летнюю погоду ниже температуры окружающего воздуха? 14.10. Будет ли кипеть вода в кастрюле, которая плавает в другой кастрюле с кипящей водой? 14.11. Большая кастрюля с кипяченой водой, в которой плавает маленькая кастрюля с сырой водой, поставлена на плиту. Вода в маленькой кастрюле закипела раньше, чем в большой. Объяснить, почему это произошло. Будет ли кипеть вода в маленькой кастрюле, если бросить щепоточку чая в большую кастрюлю? 14.12. 1. Как заставить воду кипеть без нагревания? 2. Как заставить воду замерзнуть кипением? 14.13. В колбе находилась вода при t = 0 °С. Выкачивая из колбы воздух, заморозили всю воду посредством собственного испарения. Какая часть воды при этом испарилась, если притока теплоты извне не было? Удельная теплота парообразования при t = о °С L = 2543 • 10^ Дж/кг, удельная теплота плавления льда X = 335,2 • 10^ Дж/кг. Почему с повышением температуры удельная теплота парообразования уменьшается? 14.14. В сосуде Дьюара хранится жидкий азот объемом V = 2 л при температуре = -195 °С. За одни сутки (т^ = 24 ч) испарилась половина данного объема азота. Определить удельную теплоту парообразования азота L^, если известно, что при температуре f = 0 °С в том же сосуде в течение = = 22,5 ч растает лед массой = 40 г. Температура окружающего воздуха if2 = 20 °С. Плотность жидкого азота р = = 8 • 10^ кг/м^, удельная теплота плавления льда = = 3,3 • 10^ Дж/кг. Считать, что скорость подвода теплоты внутрь сосуда пропорциональна разности температур снаружи и внутри сосуда. 14.15. Найти, какая часть затраченной на парообразование энергии идет на совершение внешней работы, если принять удельную теплоту парообразования воды при t = 100 °С равной L = 2258 • 10^ Дж/кг и удельный объем пара v = = 1,65 м^/кг. 6* 83 14.16. В каком состоянии вещества плотность повышается с повышением температуры и почему это происходит? 14.17. В запаянной U-образной трубке находится вода. Как узнать, воздух или только насыщенный водяной пар находится над водой в трубке? 14.18. Жидкость налита в сообщающиеся сосуды разных диаметров. Широкий сосуд плотно закрывается. Изменится ли распределение уровней жидкости в коленах сосуда и почему? 14.19. График изменения давления пара в закрытом сосуде при повышении его температуры представлен на рис. 56. Какое заключение можно сделать относительно процессов испарения внутри сосуда? 14.20. В комнате объемом V = 120 м^ при температуре ^ = 15 °С относительная влажность составляет (р = 60%. Определить массу водяных паров в воздухе комнаты. Давление насыщенного водяного пара при t = 15 °С равно Pq = 12,79 мм рт. ст. (1,7 кПа). 14.21. В помещение нужно подать воздух в объеме V = = 20 000 м^ при температуре = 18 °С и относительной влажности = 50%, забирая его с улицы при температуре ^2 = 10 °С и относительной влажности ф2 = 60%. Сколько килограммов воды надо дополнительно испарить в подаваемый воздух? Плотность насыщающих водяных паров при ^2 = 10 °С равна Р2 ^ 9,4 * 10~^ кг/м^, при = 18 °С — Pi ^ = 15,4 • 10“^ кг/м^. 14.22. Относительная влажность воздуха при = 30 °С равна ф^ = 0,80. Определить относительную влажность ф2, если этот воздух нагреть при постоянном объеме до t2 = 50 °С. Давление насыщенных паров воды при 30 °С Pj = = 31,8ммрт. ст. (4,23 кПа), при 50 °С Р2 = 92,5 мм рт. ст. (12,3 кПа). 84 14.23. В сосуде объемом V = 100 л при температуре t = = 27 °С находится воздух с относительной влажностью (р = 30%. Чему будет равна относительная влажность фр если в сосуд внести воду массой т = 1 г? Давление насыгцен-ных паров при 27 °Сро = 3,55 кПа. 14.24. В герметически закрытом сосуде объемом V= 1,1 л находятся кипящая вода и ее пары при температуре t = 100 °С (воздуха в сосуде нет). Найти массу пара, если масса кипящей воды т = 100 г. 14.25. В закрытом с обоих концов цилиндре объемом V = 2 л свободно ходит невесомый тонкий поршень. В пространство с одной стороны поршня вводится вода, с другой стороны поршня азот. На какой части длины цилиндра установится поршень при t = 100 °С, если масса воды = = 2 г, масса азота W2 = 1 г? 14.26. Можно ли расплавить свинец в воде? При каких условиях это возможно? . ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 15. Закон Кулона 15.1. Как с помощью отрицательно заряженного проводника, не изменяя его заряда, зарядить другой проводник положительно; зарядить два проводника: один положительно, другой отрицательно? 15.2. Как получить на двух произвольных полых изолированных проводниках одинаковые одноменные заряды? 15.3. К шарику заряженного электроскопа подносят, не касаясь его, незаряженное металлическое тело. Как изменяется угол отклонения листочков? Что будет, если поднести к заряженному шарику кусок стекла? 15.4. Положительно заряженное тело притягивает подвешенный на нити легкий шаровой проводник. Можно ли заключить отсюда, что проводник заряжен отрицательно? 15.5. Положительно заряженная стеклянная палочка отталкивает подвешенное на нити тело. Следует ли отсюда, что тело заряжено положительно? 15.6. Почему два разноименно заряженных металлических шара взаимодействуют друг с другом с большей силой, нежели заряженных одноименно (при всех прочих одинаковых условиях)? Решение пояснить чертежами. Возможно ли, чтобы два одноименно заряженных проводника притягивались? 15.7. Два разноименно заряженных шарика находятся на некотором расстоянии друг от друга. Между ними вносят стеклянный стержень. Как изменится сила их взаимодействия? 15.8. Какое числовое значение будет иметь коэффициент пропорциональности в законе Кулона, если электрические 86 заряды выражать в кулонах, силу взаимодействия — в ньютонах, а расстояние — в метрах? 15.9. Заряженные шарики, находяндиеся на расстоянии г = 2 м друг от друга, отталкиваются с силой F = 1 Н. 06-щ;ий заряд шариков Q = 5 • 10“^ Кл. Как распределен этот заряд между шариками? 15.10. Два маленьких, одинаковых по размеру заряженных шарика, находящихся на расстоянии г = 0,2 м, притягиваются с силой F = 4 • 10'^ Н. После того как шарики были приведены в соприкосновение и затем разведены на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой Fg = = 2,25 • 10'^ Н. Определить первоначальные заряды шариков. 15.11. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин. Какова плотность р материала шариков, если угол расхождения нитей в воздухе и в керосине один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина £ = 2, плотность = 0,8 г/см^. 15.12. Два одинаковых маленьких проводящих шарика подвешены на длинных непроводящих нитях к одному крючку. Шарики заряжены одинаковыми зарядами и находятся на расстоянии а = 5 см друг от друга. Один из шариков разрядили. Каким стало расстояние между шариками? 15.13. По первоначальным предположениям Бора, электрон в атоме водорода движется по круговой орбите. С какой скоростью V должен двигаться такой электрон, если его заряд е == -1,6 • 10“^^ Кл, заряд ядра атома q = 1,6 • 10“^^ Кл, радиус орбиты г = 0,5 • 10"^^ м, масса электрона /тг^ = 9,11 • 10“^^ кг? 15.14. На двух одинаковых капельках воды находится по одному лишнему электрону, причем сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу их взаимного тяготения. Каковы радиусы капелек? 15.15. Заряды +Q, -Q и +д расположены в углах правильного треугольника со стороной а. Каково направление силы, действующей на заряд +q? 15.16. Три одинаковых одноименных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой 87 заряд нужно поместить в центре этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю? 15.17. В центр квадрата, в вершинах которого находятся одинаковые заряды q, помещен отрицательный заряд q-^. Каков модуль этого заряда, если система находится в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым? 15.18. Три маленьких шарика массой 10 г каждый подвешены на шелковых нитях длиной 1 м, закрепленных в одной точке. Шарики одинаково заряжены и в горизонтальной плоскости образуют равносторонний треугольник со стороной 0,1 м. Каков заряд каждого шарика? 15.19. Четыре одинаковых заряда q = 3,3 • 10“® Кл каждый расположены на равных расстояниях а = 5 см друг от друга. Какую силу и в каком направлении надо приложить к каждому заряду, чтобы эту систему удержать в равновесии? 15.20. На стоящем вертикально кольце радиусом R из диэлектрика закреплены два шарика А и В, расположенные на концах дуги в 90° так, что прямая АВ горизонтальна. Два других шарика С и D, имеющие одинаковые заряды q и массы т, могут перемещаться вдоль кольца без трения. Какие заряды Q следует сообщить шарикам А и В, чтобы все четыре шарика расположились в вершинах квадрата? Рассмотреть случаи, изображенные на рис. 57. 15.21. Внутри гладкой сферы из диэлектрика находится маленький заряженный шарик. Какой заряд Q нужно поместить в нижней точке сферы, чтобы шарик удерживался в верхней точке? Диаметр сферы d, заряд шарика д, его масса т. а) б) Рис. 57 88 16. Напряженность поля. Работа сил электрического поля. Потенциал 16.1. 1. Нарисовать картину линий напряженности электрического поля, созданного двумя точечными зарядами +2д и -q. 2. Могут ли линии напряженности электростатического поля быть замкнутыми? 16.2. Иногда говорят, что линии напряженности — это траектории, по которым двигался бы в поле точечный положительный заряд, если его, внеся в это поле, предоставить самому себе. Правильно ли это утверждение? 16.3. Три одинаковых заряда, q = 10“^Kл каждый, расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами а = 40 см и Ь = 30 см. Найти напряженность электрического поля, создаваемого всеми зарядами в точке пересечения гипотенузы с перпендикуляром, опуш,енным на нее из вершины прямого угла. 16.4. Четыре одноименных заряда q расположены в вершинах квадрата со стороной а. Какова напряженность поля на расстоянии 2а от центра квадрата: 1) на продолжении диагонали; 2) на прямой, проходягцей через центр квадрата и параллельной сторонам? 16.5. На рис. 58, а, б и в показаны картины линий напряженности трех электрических полей. Как будет вести себя незаряженный шарик, помеш;енный в каждое из полей? 16.6. Имеются два точечных заряженных тела с зарядами -q и +Q и массами тиМ соответственно. На каком расстоянии d друг от друга должны быть расположены заряды, чтобы во внешнем однородном электрическом поле, вектор напряженности Е которого направлен вдоль прямой, прохо- в) Рис. 58 89 г -г Я2 в Рис. 59 дящей через заряды, они ускорялись как одно целое (т. е. не изменяя взаимного расположения)? 16.7. Точка А находится на расстоянии = 2 м, а точка В на расстоянии Г2 = 1 м от точечного заряда q = 10 ® Кл. Чему равна разность потенциалов точек А и Б? Как она зависит от угла между прямыми qA и дБ? 16.8. Какую работу нужно совершить для того, чтобы переместить заряд q из точки А в точку Б в поле двух точечных зарядов д^ и д2 (рис. 59)? 16.9. Вблизи Земли напряженность электрического поля около 130 В/м. Можно ли использовать напряжение между точками, отстояпдими по вертикали на 1 м друг от друга, для питания электрической лампочки? Дайте объяснение. Найти электрический заряд Земли и потенциал поверхности, если радиус Земли R = 6400 км. 16.10. Два точечных заряда д^ = 6,б*10“®Кл и д2 = = 1,32 • 10 ® Кл находятся на расстоянии = 40 см. Какую надо совершить работу, чтобы сблизить их до расстояния Г2 =" 25 см? 16.11. Построить графики изменения напряженности и потенциала поля вдоль линии, проходящей через два точечных заряда, находящихся на расстоянии 2d друг от друга. Значения зарядов следующие: а) +д и -д; б) +д и +д; в) +д и -Зд. 16.12. Два металлических шарика радиусом г с зарядами g на каждом расположены на расстоянии а друг от друга и на очень больших равных расстояниях от Земли. Первый шар заземляют, и заземляющий проводник убирают. Затем такую же процедуру проделывают и со вторым шариком. После этого снова заземляют первый шар и т. д. Каким будет отношение зарядов шаров после п заземлений второго шара? 16.13. Электрон, движущийся со скоростью 5 *10® м/с, влетает в электрическое поле напряженностью 1 • 10® В/м вдоль линий напряженности. 90 1. Какое расстояние пройдет электрон в этом поле до момента остановки и сколько времени ему для этого потребуется? 2. Какую долю своей первоначальной кинетической энергии потеряет электрон, двигаясь в этом поле, если протяженность электрического поля 0,8 см вдоль пути электрона? 16.14'. С какой скоростью достигают анода электронной лампы электроны, испускаемые катодом, если напряжение между катодом и анодом равно 200 В? Начальной скоростью электронов можно пренебречь. 16.15. Плоский конденсатор, размер пластин которого много больше расстояния между ними, присоединен к источнику постоянного напряжения. Изменится ли напряженность электрического поля внутри конденсатора, если заполнить пространство между его обкладками диэлектриком? Рассмотреть два случая: 1) источник остается включенным; 2) источник отключен. 16.16. Пылинка находится в равновесии в плоском конденсаторе. Ее масса т = 10“^^ г, расстояние между пластинами конденсатора d = 0,5 см. При освепцении пылинки ультрафиолетовым светом она теряет часть заряда, и равновесие нарушается. Какой заряд потеряла пылинка, если первоначально к конденсатору было приложено напряжение и = 154 В, а затем, чтобы пылинка снова вернулась в состояние равновесия, пришлось увеличить напряжение на At/ = 8 В? 16.17. В плоском конденсаторе, помеш,енном в вакууме, находится в равновесии заряженная капелька ртути. Расстояние между пластинами конденсатора d = 1 см, приложенная разность потенциалов U-^ = 1000 В. Внезапно разность потенциалов падает до t/g = 995 В. Через какой промежуток времени капелька достигнет нижней пластины, если она первоначально находилась посередине конденсатора? 16.18. Между вертикальными пластинами плоского конденсатора, находяш;егося в воздухе, подвешен на тонкой шелковой нити маленький шарик, несуш;ий заряд q = = 3,3 • 10“® Кл. Какой заряд надо сообщить пластинам конденсатора, чтобы нить с шариком отклонилась на угол а = 45° от вертикали? Масса шарика т = 0,04 г, площадь пластин конденсатора S = 314 см^. Массой нити можно пренебречь. 91 16.19. Между двумя вертикальными пластинами, расположенными на расстоянии d = 2 см друг от друга, подвешен на нити заряженный бузиновый шарик массой /п = 0,1 г. После того как на пластины была подана разность потенциалов U = 1000 В, нить с шариком отклонилась от вертикали на угол а == 5°. Найти заряд шарика q. 16.20. Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами, расположенными на расстоянии d = 2 см друг от друга; разность потенциалов между ними 1/ = 120 В. Какую скорость получит электрон под действием поля, пройдя вдоль линий напряженности расстояние Z = 3 мм? Начальная скорость электрона равна нулю. 16.21. Электрон вылетает из точки, потенциал которой Ф = 600 В, со скоростью V = 12‘ 10® м/с в направлении линий напряженности поля. Определить потенциал точки, дойдя до которой электрон остановится. 16.22. Электрон влетает со скоростью Vq в плоский конденсатор под углом а к плоскости пластин через отверстие в нижней / пластине (рис. 60). Расстояние ^ “ между пластинами d, разность потенциалов U. Какую кривую опишет электрон при своем движении? На сколько приблизится он к верхней пластине? Силой тя- ^ жести пренебречь. Рис. 60 16.23. Движуш;ийся электрон в некоторый момент времени зафиксирован в середине плоского конденсатора, заряженного до напряжения 100 В. Определить изменение кинетической энергии электрона в конденсаторе к моменту, когда электрон находится у поверхности пластины. Изменится ли при этом энергия конденсатора? Начальное и конечное положения электрона находятся далеко от краев пластины. 16.24. Протон и а-частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в плоский конденсатор паргшлельно пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора будет больше отклонения а-частицы? 16.25. В плоский конденсатор длиной / = 5 см влетает электрон под углом а = 15° к пластинам. Энергия электро- у 92 на W = 1500 эВ. Расстояние между пластинами d = 1 см. Определить напряжение U на конденсаторе, при котором электрон при выходе из пластин будет двигаться параллельно им. 16.26. Электрон влетает в плоский конденсатор, пластины которого расположены горизонтально, параллельно его пластинам со скоростью и = 10^ м/с. Напряженность поля в конденсаторе £ = 100 В/см, длина пластин Z = 5 см. Найти модуль и направление скорости электрона перед вылетом его из конденсатора. 16.27. Поток электронов, пройдя ускоряющую разность потенциалов = 5000 В, влетает в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Первоначально поток электронов находился на одинаковом расстоянии от пластин. Какое наименьшее напряжение C/g нужно приложить к конденсатору, чтобы электроны не вылетали из него, если размеры конденсатора таковы: длина пластин Z = 5 см, расстояние между ними d = 1 см? 16.28. Электрон влетает параллельно пластинам в плоский конденсатор, напряженность поля в котором Е = = 60 В/см. Найти изменение модуля скорости электрона к моменту вылета его из конденсатора, если начальная скорость электрона l>q = 2 • 10'^ м/с, а длина пластин конденсатора /= 6 см. 16.29. По наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, соскальзывает с высоты h небольшое тело, имеющее заряд -q. В точке пересечения вертикали, проведенной через начальное положение тела, с основанием находится заряд Л-q. Определить скорость, с которой тело достигнет основания наклонной плоскости. Проанализируйте зависимость скорости от угла а для следующих случаев: а) а = 45°; б) а < 45°; в) а > 45°. Трением пренебречь. Масса тела Щу начальная скорость равна нулю. 16.30. Упругий металлический шар лежит на изолирующей горизонтальной упругой подставке. Шар имеет заряд +д. На какую высоту поднимется второй такой же шар после удара о первый, если он падает с высоты Н*, а его заряд равен: а) -q\ б) +д? Радиус шара г<^Н, его масса т. Н — расстояние между центрами шаров. 93 16.31. Два электрона, находящиеся на бесконечно большом расстоянии один от другого, начинают двигаться навстречу друг другу, причем их скорости Vq в этот момент равны по модулю и противоположны по направлению. Определить наименьшее расстояние между электронами, если Vq = 10® м/с. 16.32. Два электрона находятся на бесконечно большом расстоянии один от другого, причем один электрон вначгше покоится, а другой имеет скорость и, направленную к центру первого. Масса электрона т, заряд е. Определить наименьшее расстояние, на которое они сблизятся. 16.33. Четыре одноименных точечных заряда q каждый расположены вдоль одной прямой на расстоянии г друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы поместить их в вершинах тетраэдра с ребром, равным г? 16.34. Металлическое кольцо радиусом R имеет заряд q. Чему равны напряженность поля и потенциал: а) в центре кольца; б) на расстоянии а от центра вдоль оси, перпендикулярной плоскости кольца? 16.35. С какой скоростью пролетит электрон, втягиваемый в кольцо, заряженное положительно с линейной плотностью заряда у, через центр кольца? Электрон находится в бесконечности. 16.36. Проводящий шар В находится в электрическом поле шара А. Является ли при этом поверхность шара В эквипотенциальной поверхностью? 16.37. Чему равны напряженность поля и потенциал внутри заряженного шарового проводника? 16.38. Внутрь полой проводящей незаряженной сферы помещен шарик с зарядом +Q. 1. Как распределятся индуцированные заряды на сфере? 2. Нарисовать примерную картину линий напряженности электрического поля внутри и вне сферы. 3. Будет ли заряд +Q действовать на заряженный шарик, находящийся вне сферы? Разобрать подробнее, что при этом происходит. 94 Рис. 61 4. Как изменится распределение зарядов, если сферу соединить с Землей? 16.39. Заряд Q равномерно распределен по объему шара радиусом R из непроводяш;его материала. Найти напряженность поля на расстоянии г от центра шара; построить график зависимости Е (г). Диэлектрггческая проницаемость шара е = 1. 16.40. Имеется непроводящая оболочка сферической формы с одинаковой объемной плотностью заряда (рис. 61). Построить график зависимости Е{г). 16.41. Металлический заряженный шар помещен в центре толстого сферического слоя, изготовленного: а) из металла; б) из диэлектрика с проницаемостью г = 2. 1. Нарисовать картины линий напряженности внутри и вне сферического слоя. 2. Построить графики зависимости напряженности поля и потенциала от расстояния до центра сферы. 16.42. Внутри полой тонкостенной сферы радиусом R находится сфера радиусом г. Сфере радиусом R сообщается заряд Q, а сфере радиусом г — заряд q. Определить потенциалы поверхностей сфер. 16.43. Металлический шар радиусом R^ = 2 сж несет на себе заряд = 1,33* 10“® Кл. Шар окружен концентрической металлической оболочкой радиусом = 5 см, заряд которой равен Q2 = -2* 10“® Кл. Определить напряженность и потенциал поля на расстояниях = 1 см, 12 = ^ см, /д = 6 см от центра шара. 16.44. Металлический шар радиусом i?j, заряженный до потенциала ф, окружают сферической проводящей оболочкой радиусом i?2» Как изменится потенциал шара после того, как он будет на короткое время соединен проводником с оболочкой? 16.45. Металлический шар радиусом jRj, заряженный до потенциала ф, окружают концентрической сферической проводящей оболочкой радиусом Яд* Чему равен потенциал шара, если заземлить внешнюю оболочку? 16.46. Двум металлическим шарам радиусами Tj и Гд, соединенным длинным тонким проводником, сообщен заряд 95 Рис. 62 Q, Затем шар радиусом помещают внутрь металлической заземленной сферы радиусом R = 3rj (рис. 62). Какой электрический заряд перейдет при этом по соединительному проводнику? 16.47. Внутрь тонкостенной металлической сферы радиусом i? = 20 см концентрически помещен металлический шар радиусом г = 10 см. Шар через отверстие в сфере соединен с Землей с помощью тонкого длинного проводника. На внешнюю сферу помещают заряд Q = 10"® Кл. Определить потенциал ф этой сферы. 16.48. Из трех концентрических очень тонких металлических сфер радиусами г^, г2 и Гд крайние заземлены, а средней сообщен заряд q. Найти напряженность электрического поля во всех точках пространства. Сферы находятся в вакууме. 16.49. Вычислить работу сил электрического поля при перенесении точечного заряда g = 2 • 10"® Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии d = 1 см от поверхности шара радиусом г = 1 см с поверхностной плотностью заряда о = 10"^ Кл/см^. 16.50. На шарик радиусом 10 см падает пучок электронов. Какой заряд можно накопить таким способом на шарике, если электрическая прочность воздуха при нормальном атмосферном давлении равна 3 • 10® В/м? 16.51. В закрепленном полом металлическом шаре радиусом R проделано очень маленькое отверстие. Заряд шара равен Q. Точечный заряд q летит по прямой, проходящей через центры сферы и отверстия, имея на очень большом расстоянии от сферы скорость i^q. Масса заряда т. Какой будет скорость v этого точечного заряда внутри сферы? 16.52. Внутренняя поверхность сферического конденсатора, емкость которого С, эмиттирует (испускает) п электронов в секунду. Через время t после начала эмиссии заряд на конденсаторе перестанет возрастать. Найти начальную кинетическую энергию электронов, испускаемых поверхностью. 96 16.53. Изобразить эквипотенциальные поверхности и линии напряженности поля, возникающего между заряженным металлическим шариком и заземленным металлическим листом. 16.54. Маленький шарик с зарядом g = 1 • 10"® Кл, находится на расстоянии а = 3 см от бесконечной или заземленной плоской металлической поверхности. С какой силой они взаимодействуют? 16.55. На расстоянии г от центра изолированного металлического незаряженного шара находится точечный заряд q. Определить потенциал шара. 17. Электроемкость. Конденсаторы 17.1. Имеются два металлических заряженных шара. Показать, что после соединения шаров тонкой металлической проволокой поверхностные плотности зарядов а на шарах будут обратно пропорциональны их радиусам. Расстояние между шарами много больше их радиусов. 17.2. Два шара, один диаметром dj = 10 см и зарядом = = 6 • 10"^® Кл, другой — d2 = q2 = -2* 10"^ Кл, соеди- няются длинной тонкой проволокой. Какой заряд пройдет по ней? 17.3. Заряженный до потенциала ср = 1000 В шар радиусом i? = 20 см соединили с незаряженным шаром длинным проводником. После этого потенциал шаров оказался равным (pi = 300 В. Каков радиус второго шара? 17.4. Маленькие одинаковые капли ртути заряжены одноименно до потенциала срд каждая. Определить потенциал большой капли, образовавшейся при слиянии п таких капель. 17.5. К обкладкам плоского конденсатора, одна из которых заземлена, приложено напряжение U = 100 В. В воздушный зазор шириной d = 4 см между обкладками вдвигается незаряженная тонкая металлическая пластина на расстоянии Z = 3 см от заземленной обкладки. Определить потенциал пластины и напряженность поля по обе стороны от нее. Изменится ли емкость конденсатора? 7 - 5495 97 17.6. В конденсатор, описанный в задаче 17.5, вдвигаются две незаряженные тонкие проводящие пластины, соединенные проводником. Пластины устанавливаются параллельно обкладкам конденсатора на расстоянии 1 см от каждой из них. Определить потенциалы внутренних пластин и напряженность поля. Изменится ли заряд конденсатора после введения пластин? 17.7. Конденсатор состоит из трех полосок станиоли площадью S = 6 см^ каждая, разделенных двумя слоями слюды толщиной d = 0,1 мм каждый. Крайние полоски станиоли соединены между собой. Какова емкость такого конденсатора? Диэлектрическая проницаемость слюды 8 = 7. 17.8. Как изменится емкость плоского конденсатора, если между его обкладками поместить пластинку: а) из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е; б) из проводника? Толщина каждой пластинки равна половине расстояния между обкладками. 17.9. Даны три конденсатора, соединенные так, как показано на рис. 63, и подключенные к источнику тока с ЭДС г = 12 В. Определить заряды на каждом из конденсаторов, если их емкости равны = = 1 мкФ, Cg = 2 мкФ и Сз = 3 мкФ. 17.10. Три конденсатора, емкости которых Cj = 1 мкФ, Cg == 2 мкФ и С3 = 3 мкФ, соединены в батарею и имеют максимальные напряжения соответственно = 1000 В, U2 ^ 200 В, ^ 500 В. При каком соединении конденсаторов можно получить наибольшее напряжение? Чему равны напряжение и емкость батареи? 17.11. Два последовательно соединенных конденсатора емкостями Cj = 2 мкФ, Сз = 4 мкФ присоединены к источнику постоянного напряжения U = 120 В. Определить напряжение на каждом конденсаторе. 17.12. Два одинаковых плоских конденсатора соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов С = 150 В. Определить разность потенциалов на конденсаторах, если после отключения их от источника тока у одного конденсатора уменьшили расстояние между пластинами в 2 раза. С2 С1 СЗ h-ч Рис. 63 98 17.13. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков: стекла толщиной dj = 1 см и парафина толщиной dg ^ 2 см. Разность потенциалов между обкладками U = 3000 В. Определить напряженность Е поля и падение потенциала в каждом диэлектрике. Диэлектрическая проницаемость стекла 8^ = 7, парафина 8g = 2. 17.14. Конденсатор, заряженный до напряжения 100 В, соединяют с конденсатором такой же емкости, но заряженным до напряжения 200 В: один раз одноименно заряженными обкладками, другой — разноименно заряженными обкладками. Какое напряжение установится между обкладками батареи в обоих случаях? 17.15. Обкладки конденсатора с неизвестной емкостью Cj, заряженного до напряжения = 80 В, соединяют с обкладками конденсатора емкостью С2 = 60 мкФ, заряженного до напряжения U2 = 16 В. Определить емкость Cj, если напряжение на конденсаторах после их соединения t/ = 20 В, конденсаторы соединяются обкладками, имеющими: а) одноименные заряды; б) разноименные заряды. 17.16. Два одинаковых конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику тока. Во сколько раз изменится разность потенциалов на одном из конденсаторов, если другой погрузить в жидкость с диэлектрической проницаемостью 8 = 2? 17.17. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциалов С/ = 60 В и отключен от источника тока. После этого внутрь конденсатора параллельно обкладкам вводится пластинка из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 8 = 2. Толщина пластинки в 2 раза меньше зазора между обкладками конденсатора. Чему равна разность потенциалов между обкладками конденсатора после введения диэлектрика? 17.18. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику тока. Внутрь одного из них вносят диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 8. Диэлектрик заполняет все пространство между обкладками. Как и во сколько раз изменится напряженность электрического поля в этом конденсаторе? 7* 99 17.19. Диэлектрик пробивается при напряженности электрического поля Е = 1800 В/мм. Два плоских конденсатора емкостями Cj = 600 пФ и Cg = 1500 пФ с изолирующим слоем из этого диэлектрика толщиной d ^ 2 мм соединены последовательно. При каком наименьшем напряжении будет пробита эта система? 17.20. Между пластинами конденсатора находятся два диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями и Eg (рис. 64). При каком соотношении между толщинами и с?2 слоев диэлектриков падение потенциала в каждом диэлектрике окажется равным половине разности потенциалов, приложенной к конденсатору? Найти емкость этого конденсатора, если площадь каждой пластины S. 17.21. Два конденсатора соединены последовательно. Емкости конденсаторов равны Cj и Сз- К какому напряжению t/^акс можно подключать эту батарею, если каждый из конденсаторов выдерживает напряжения и t/g соответственно? 17.22. Как изменятся заряд и разность потенциалов обкладок конденсатора СЗ (рис. 65) при пробое конденсатора С27 Во сколько раз? 17.23. Определить разность потенциалов между точками А и Б в схеме, изображенной на рис. 66. 17.24. Определить разность потенциалов между точками А и В в схеме, изображенной на рис. 67. 17.25. Найти емкость системы конденсаторов, включенных между точками А и В, как показано на рис. 68. 17.26. Плоский конденсатор состоит из двух металлических пластин, пространство между которыми заполнено Рис. 64 С1 6 zr. и о /^С С2 СЗ Рис. 65 С1\\ А \\С2 СЗИ В \\С4 Рис. 66 100 -о в Рис. 68 Рис. 69 диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 2. Как изменится емкость конденсатора, если его поместить в изолированную металлическую коробку? Зазор между стенками коробки и пластинами вдвое меньше, чем расстояние между пластинами. 17.27. Между парой из п данных точек включен конденсатор емкостью С. Определить емкость системы конденсаторов между двумя произвольными точками. 17.28. Три источника тока, ЭДС которых = 6 кВ, ^2 = = 3 кВ и ^3 = 2 кВ, и три конденсатора емкостями Cj = 3 мкФ, Сз = 2 мкФ и Сз = 1 мкФ соединяются между собой последовательно в замкнутую цепь, чередуясь друг с другом. Найти напряжение на каждом конденсаторе. 17.29. К конденсатору 1 емкостью С, заряженному до разности потенциалов t/, подсоединена батарея из конденсаторов такой же емкости (рис. 69). Найти заряд на каждом из шести конденсаторов. 17.30. Конденсаторы емкостями Cj = 5 мкФ и Сз = 10 мкФ образуют цепь, показанную на рис. 70. К точкам а и Ь приложена разность потенциалов = 16 В. Найти разность потенциалов между точками f и Ь. 17.31. Рассчитать, с какой силой F притягиваются друг к другу пластины заряженного плоского конденсатора, емкость которого равна С, а разность потенциалов U. Расстояние между пластинами d. 17.32. Две параллельные одинаковые пластины расположены на расстоянии, ма- b лом по сравнению с их разме- Рис. 70 4mi С2 \ \С2 \ \С2 пг Cl Cl Cl Cl 101 рами. На одной из пластин находится заряд +д, на другой +4д. Определить разность потенциалов между пластинами. Площадь каждой пластины S, а расстояние между ними d. 17.33. Пластины изолированного плоского конденсатора раздвигаются так, что емкость изменяется от до С2 (Cl > 02). Какую работу надо совершить при этом, если заряд конденсатора Q? При решении учесть, что напряженность поля между пластинами равна сумме напряженностей полей, созданных каждой из пластин. 17.34. Между обкладками заряженного конденсатора плотно вдвигается пластинка из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е. Какие изменения произойдут с зарядом q конденсатора, разностью потенциалов U на его обкладках, напряженностью Е электрического поля в диэлектрике, запасенной энергией ТУ? Рассмотреть случаи, когда конденсатор: 1) отключен от батареи; 2) присоединен к батарее. 17.35. Импульсную стыковую сварку медной проволоки осуществляют с помощью разряда конденсатора емкостью С = 1000 мкФ при напряжении на конденсаторе U == 1500 В. Какова средняя полезная мощность разряда импульса, если его время х = 2 мкс и КПД установки р = 4% ? 17.36. Конденсатор подключен к аккумулятору. Раздвигая пластины конденсатора, мы преодолеваем силы притяжения между пластинами конденсатора и, следовательно, совершаем работу. На что затрачивается эта работа? Что происходит с энергией конденсатора? 17.37. Два удаленных изолированных сферических проводника радиусами и i?2 были заряжены до потенциалов (Pi и (р2 соответственно. Затем их соединили тонким проводником. Чему равно изменение энергии системы? Объяснить результат. 17.38. Обкладки конденсатора емкостью С, заряженного до разности потенциалов U, соединяются с обкладками такого же, но незаряженного конденсатора. Какое максимальное количество теплоты может выделиться в проводниках, соединяющих конденсаторы? Зависит ли полное количество выделившейся теплоты от сопротивления проводников? Что происходит при изменении сопротивления проводников, соединяющих конденсаторы? 102 6’ ,к 1 \ 2 _г 2^ 2 Г1 Рис. 71 17.39. Какое количество теплоты выделится в цепях (рис. 71) при переключении ключа К из положения 1 в положение 21 17.40. Найти емкость шарового проводника радиусом г, окруженного прилегаюш;им концентрическим слоем диэлектрика с внешним радиусом R и диэлектрической проницаемостью £. 18. Сила тока. Закон Ома для участка цепи 18.1. Какой электрический заряд пройдет по проводам, соединяющим обкладки плоского конденсатора с зажимами аккумулятора, при вынимании конденсатора из керосина, в который он был погружен? Площадь пластин конденсатора aS = 270 см^, расстояние между ними d = 2 мм, ЭДС аккумулятора ^ = б В. Диэлектрическая проницаемость керосина е = 2. 18.2. Плоский конденсатор с обкладками квадратной формы размером 21x21 см и расстоянием между ними d ^ 2 мм присоединен к полюсам источника, ЭДС которого ^ = 750 В. В пространство между обкладками с постоянной скоростью i; = 8 см/с вдвигают стеклянную пластинку толщиной 2 мм. Какой силы ток пойдет при этом по цепи? Диэлектрическая проницаемость стекла е 7. 18.3. Металлический сплошной цилиндр вращается вокруг своей оси с частотой п = 20 с~^. Определить напряженность электрического поля, возникающего внутри него, как функцию расстояния до оси и разность потенциалов между осью и периферией цилиндра. Диаметр цилиндра D = 5 см. 18.4. Плоский конденсатор заполнен средой с диэлектрической проницаемостью е и удельным сопротивлением р. Чему равно его сопротивление, если емкость равна С? 103 18.5. Определить среднюю скорость v направленного движения электронов вдоль медного проводника при плотности постоянного тока у = 11 А/мм^, если считать, что на каждый атом меди в металле имеется один свободный электрон. Атомная масса меди А = 64, плотность р = 8,9 г/см^. 18.6. Разность потенциалов между концами медного провода диаметром d и длиной I равна U. Как изменится средняя скорость направленного движения электронов вдоль проводника, если удвоить: а) 17; б) /; в) dl 18.7. Имеется катушка медной проволоки с площадью поперечного сечения 0,1 мм^. Масса всей проволоки 0,3 кг. Определить сопротивление проволоки. Удельное сопротивление меди 1,7 • 10“® Ом • м, плотность — 8,9 г/см^. 18.8. Какое напряжение можно приложить к катушке, имеющей п = 1000 витков медного провода со средним диаметром витков с? == 6 см, если допустимая плотность тока у = = 2 А/мм^? Удельное сопротивление меди р = 1,7 • 10“® Ом • м. 18.9. Электрическая лампочка с вольфрамовой нитью включена в цепь низкого напряжения при температуре = = 25 °С. При этом вольтметр показывает U-^ = 10 мВ, амперметр = 4 мА. В рабочем состоянии напряжение на зажимах лампочки U2 = 120 В, сила тока в цепи /g = 4 А. Определить температуру ^2 вольфрамовой нити в рабочем состоянии. Термический коэффициент сопротивления вольфрама а = 0,0042 К“^. 18.10. Угольный стержень соединен последовательно с железным стержнем такой же толщины. При каком соотношении их длин сопротивление данной комбинации не зависит от температуры? Температурные коэффициенты сопротивления и удельные сопротивления угля и железа соответственно равны: = -0,8 • 10”^ К'Ч «2 ^ Pj = 4 • 10“ ^ Ом • м, Pg ^ 1,2 • 10“ ^ Ом • м. 18.11. Определить сопротивление Л, если амперметр показывает силу тока I ^ 5 А, вольтметр, подключенный к концам сопротивления, — напряжение С/ = 100 В, а внутреннее сопротивление вольтметра Гу = 2500 Ом. Какова относительная погрешность измерения сопротивления, если пренебречь внутренним сопротивлением вольтметра? 104 Рис. 72 18.12. Измеряется сопротивление по двум схемам (рис. 72). Рассчитать сопротивление по показаниям вольтметра V и амперметра А и их внутренним сопротивлениям Гд и Гу по обеим схемам. Если не учитывать внутреннее сопротивление приборов, то какая из этих схем выгоднее в отношении погрешностей при измерении: больших сопротивлений? малых сопротивлений? 18.13. Как измерить неизвестное сопротивление, имея вольтметр, амперметр и источник ЭДС с неизвестными внутренними сопротивлениями? 19. Последовательное и параллельное соединения проводников 19.1. Электрическая цепь составлена из четырех кусков провода одной и той же длины и сделанных из одинакового материала, соединенных последовательно. Сечение всех четырех кусков различно: <5^ = 1 мм^, Sg = 2 мм^, Sg = 3 мм^ и Sj = 4 мм^. Разность потенциалов на концах цепи равна и = 100 В. Определить падение напряжения на каждом проводнике. 19.2. К сети напряжением 120 В присоединяются два сопротивления. При их последовательном соединении сила тока равна 3 А, а при параллельном — суммарная сила тока равна 16 А. Чему равны сопротивления? 19.3. Два проводника, соединенные последовательно, имеют сопротивление в 6,25 раза больше, чем при их параллельном соединении. Найти, во сколько раз сопротивление одного проводника больше сопротивления другого. 19.4. Последовательно соединены п равных сопротивлений. Во сколько раз изменится сопротивление цепи, если их соединить параллельно? 105 19.5. На сколько равных частей надо разрезать проводник, чтобы при параллельном соединении этих частей получить сопротивление в п раз меньшее? 19.6. Из куска проволоки сопротивлением R = 10 Ом сделано кольцо. Где следует присоединить провода, подводящие ток, чтобы сопротивление кольца стало равным г ^ 1 Ом? 19.7. Четыре одинаковых сопротивления R соединяют различными способами. Сколько возможных способов соединения? Начертить их схемы. Определить эквивалентное сопротивление во всех случаях. 19.8. Из одинаковых сопротивлений по 5 Ом требуется получить сопротивление 3 Ом. Как их следует соединить, для того чтобы обойтись наименьшим числом сопротивлений? 19.9. Для каждой из трех схем включения реостата (рис. 73), имеющего сопротивление R, построить график зависимости сопротивления R^ цепи от сопротивления г правой части реостата. 19.10. Если на вход электрической цепи (рис. 74) подано напряжение t/j = 100 В, то напряжение на выходе t/g = 40 В. При этом через сопротивление R2 идет ток силой /д = 1 А. Если на выход цепи подать напряжение t/g = 60 В, то напряжение на входе окажется равным U[ = 15 В. Определить сопротивления резисторов R1, R2 и R3. 19.11. Для управления током в цепи применяются два реостата с подвижным контактом, соединенные параллельно, причем сопротивление реостата R^ = ЮЛд (рис. 75). Какие операции надо проделать, чтобы отрегулировать ток требуе- а) б) б) о—" R2 Вход BI R3 —^^— ^ о- т V Рис. 73 Рис. 74 Выход -о 106 R1 4Z R2 —I —I Нагрузка Рис. 75 мой силы? Почему параллельное соединение двух таких реостатов лучше, чем применение одного реостата R17 19.12. Какими должны быть сопротивления г2, и Гд для того, чтобы «звезду», составленную из них, можно было бы включить вместо треугольника, составленного из сопротивлений R1, R2 и R3 (рис. 76)? 19.13. Чему равно сопротивление проволочного каркаса в виде прямоугольника со сторонами а и Ь и диагональю d, если: а) каркас включен в цепь вершинами, между которыми проведена диагональ; б) каркас включен точками, между которыми находится сторона а? Сопротивление единицы длины проволоки Tq. 19.14. Определить сопротивление между точками А и В цепи, изображенной на рис. 77. Значения соответствующих сопротивлений указаны на рисунке. Найти также силу тока во всех участках. 19.15. Определить электрическое сопротивление следующих проволочных сеток: 1) каркаса в виде квадрата, середины противоположных сторон которого соединены между собой и в центре спаяны. Каркас включен в цепь диагональными вершинами; Рис. 77 107 2) шестиугольника, в котором одна из точек соединена со всеми остальными (всего, таким образом, девять проводников), включенного в цепь диагональными вершинами (одна из вершин — точка, где сходятся диагонали); 3) каркаса в виде тетраэдра, включенного в цепь двумя вершинами; 4) сетки в виде шестиугольника с тремя большими диагоналями, спаянными в центре, и включенной в цепь: а) точками, между которыми проведена одна из диагонгшей; б) точками, лежащими на середине противоположных сторон; 5) каркаса в виде куба, включенного в цепь двумя вершинами. Рассмотреть все возможные случаи. Сопротивление каждого из звеньев г. 19.16. Определить сопротивление цепочки между точками А и В (рис. 78). Сопротивление каждого звена г. 19.17. Три равных сопротивления были соединены последовательно. Затем вход цепи соединили проводником с точкой, лежащей между вторым и третьим сопротивлениями, а выход — с точкой между первым и вторым сопротивлениями. Начертить схему и определить, как изменилось сопротивление цепи. Сопротивлением соединительных приборов пренебречь. 19.18. Цепь образована проводниками, соединяющими каждую из п точек со всеми остальными. Сопротивление всех проводников одинаково и равно г. К проводнику, соединяющему точки 1 VL 2, подключен источник ЭДС. Показать, что токи протекают только в проводниках, проходящих через эти точки. Найти сопротивление цепи. г г т Т Рис. 79 108 19.19. Цепь составлена из бесконечного числа ячеек, состоящих из трех одинаковых сопротивлений г (рис. 79). Найти сопротивление этой цепи. 19.20. Какой силы ток 7д течет через амперметр с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением в цепи, показанной на рис. 80? 19.21. Определить силу тока, идущего через амперметр! 1, в цепи, изображенной на рис. 81. ЭДС источника тока равна Внутренними сопротивлениями амперметра и источника тока пренебречь. Рассмотреть два случая: 1) = Т?4 = г, i?2 = -R3 = 2г; 2) = i?2 = 7?з = г, = 2г. 19.22. Вольтметр имеет четыре предела измерения: 3, 15, 75, 150 В. Наибольшая допустимая (номинальная) сила тока, на который рассчитан прибор = 0,3 мА. Найти добавочные сопротивления i?j, Т?2, Я3, если внутреннее сопротивление вольтметра Гу = 10^ Ом. 19.23. К батарее через переменное сопротивление подключен вольтметр. Если сопротивление уменьшить втрое, то показания вольтметра возрастут вдвое. Во сколько раз изменится показание вольтметра, если сопротивление уменьшить до нуля? 19.24. К гальванометру, сопротивление которого г = = 290 Ом, присоединили шунт, понижающий чувствительность гальванометра в 10 раз. Какое сопротивление R надо включить последовательно с шунтированным гальванометром, чтобы общее сопротивление осталось неизменным? 15 0м Ш R3 Рис. 81 109 19.25. Параллельно к каждой из половин реостата, имеющего сопротивление 10 кОм, включены два вольтметра. Внутреннее сопротивление одного из вольтметров Tj = б кОм, другого ^2 = 4 кОм. К реостату подведено напряжение и = 180 В. Каковы показания вольтметров? 19.26. Гальванометр с сопротивлением R^, шунтированный сопротивлением R^ и соединенный последовательно с сопротивлением R, используется в качестве вольтметра. Он дает отклонение стрелки в одно деление на = 1 В. Как надо изменить сопротивление R, чтобы гальванометр давал отклонение стрелки в одно деление на U2 ^ Ю В? 19.27. Если к амперметру, рассчитанному на максимальную силу тока I = 2 А, присоединить шунт сопротивлением == 0,5 Ом, то цена деления шкалы амперметра возрастет в 10 раз. Определить, какое добавочное сопротивление необходимо присоединить к тому же амперметру, чтобы его можно было использовать как вольтметр, измеряющий напряжение до = 220 В. 19.28. Имеется прибор с ценой деления п = 1 мкА. Шкала прибора имеет 100 делений, внутреннее сопротивление г = 1,0 кОм. Как из этого прибора сделать вольтметр для измерения напряжения до 1/ = 100 В или амперметр для измерения силы тока до 7 = 1 А? 19.29. Каким сопротивлением нужно зашунтировать гальванометр с внутренним сопротивлением г = 100 Ом, вся шкала которого рассчитана на силу тока 7 = 2* 10“^ А, чтобы его можно было в качестве измерителя присоединить к термопаре, дающей максимальную термо-ЭДС S = 0,02 В, с внутренним сопротивлением = 1 Ом? 19.30. Два одинаковых сопротивления 7?, соединенных последовательно, подключены к источнику напряжения. К концам одного сопротивления подключен вольтметр с таким же внутренним сопротивлением R. На сколько возрастет показание вольтметра, если к этим же точкам подключить вольтметр с внутренним сопротивлением 107?? ЭДС источника равна 6, его внутренним сопротивлением можно пренебречь. 19.31. В цепь генератора включены последовательно два сопротивления: 7?^ = 200 Ом и Т?2 = 1000 Ом. К концам сопротивления R2 подключен вольтметр. Чему равно сопротивление вольтметра, если он показывает 160 В? ЭДС гене- 110 ратора 200 В, его внутренним сопротивлением можно пренебречь. 19.32. Вольтметр, включенный последовательно с сопротивлением = 7000 Ом, показывает напряжение = 50 В при напряжении в цепи U = 120 В. Каким будет показание вольтметра при этом же напряжении в цепи, если включить его последовательно с сопротивлением i?2 = 35 000 Ом? 19.33. Для измерения напряжения сети 120 В последовательно соединили два вольтметра с номинальными напряжениями 100 В и сопротивлениями 20 и 15 кОм. Определить показания каждого вольтметра и наибольшее напряжение, которое можно измерить вольтметрами. 19.34. В цепи известны сопротивления jRg и и сила тока /д, проходяп^его по сопротивлению R3. Определить силу тока /j и /д через сопротивления R1 и R2. Сопротивления R2 и R3 соединены между собой параллельно и подключены к R1 последовательно. Найти напряжение в цепи. 19.35. Собрана цепь, изображенная на рис. 82. Вольтметр показывает напряжение t/j = 20 В. Напряжение на входе цепи Uq = 100 В. Найти отношение силы тока, идущего через вольтметр, к силе тока, идущего через правую часть потенциометра, если отношение сопротивлений, на которые движок делит потенциометр, п ^ 2/3, причем большее сопротивление справа от движка. 19.36. Каким должно быть сопротивление вольтметра R, для того чтобы погрешность измерения падения напряжения на сопротивлениях R1 и R2 (рис. 83) была не более 5% ? Сопротивление источника г составляет несколько ом. 19.37. К потенциометру, сопротивление которого R = = 4 кОм, приложена разность потенциалов U = 110 В. Между концом потенциометра и его движком включен вольт- 100 В Рис. 83 111 5 Ом 160 В т X 5 Ом 5 Ом CZ>-r-CZ3 10 Ом 10 Ом X т X 10 Ом т X f -о 10 Ом Рис. 84 метр сопротивлением Ry ^ 10 кОм. Каково будет показание вольтметра, если движок стоит посередине потенциометра? 19.38. На вход цепочки из сопротивлений (рис. 84) подано напряжение 17= 160 В. Определить напряжение на выходе. 19.39. Имеются два сопротивления. Если амперметр за-шунтировать одним из них, то цена его деления увеличится в раз; если амперметр зашунтировать другим, то цена деления увеличится в ^2 Как изменится цена деления амперметра, если для шунта использовать оба сопротивления, включив их между собой: а) последовательно; б) параллельно? 19.40. Имеются два сопротивления. Если к вольтметру подключить одно из них, то цена его деления увеличится в раз; если включить второе, то она увеличится в П2 раз. Как изменится цена деления вольтметра, если эти сопротивления использовать одновременно, включив их между собой; а) последовательно; б) параллельно? 19.41. Почему при включении каких-либо тепловых приборов большой мощности (например, мощной плитки) у горящих лампочек внезапно уменьшается яркость, а затем их яркость несколько возрастает? Как будет протекать наблюдаемое явление, если вместо плитки включить ламповый реостат из угольных ламп? 19.42. В коридор квартиры подведено напряжение U = = 120 В. В середине коридора и в противоположном от ввода конце горят лампочки мощностью 100 Вт. От ввода до второй лампочки в конце коридора расстояние / = 20 м. На сколько изменится потребляемая лампочками мощность, если на равном расстоянии между ними включить электроплитку, потребляющую ток силой / = 5 А? Сечение провода S = 2 мм^ (изменения сопротивлений лампочек можно не учитывать). Проводка медная, удельное сопротивление меди р = 1,75 • 10“^ Ом • м. 112 20. Закон Ома для всей цепи. Соединение элементов в батареи 20.1. Каждая из п точек соединена со всеми остальными точками проволоками, имеющими сопротивление R. К двум из этих точек подключается батарея, ЭДС которой а внутреннее сопротивление г. Найти силу тока, протекающего через источник. 20.2. Амперметр, накоротко присоединенный к гальваническому элементу, ЭДС которого В = 1,6 В, а внутреннее сопротивление г = 0,2 Ом, показывает силу тока / = 4 А. Каким будет показание амперметра, если его зашунтиро-вать сопротивлением = 0,1 Ом? 20.3. Какова ЭДС элемента, если при измерении напряжения на его зажимах вольтметром, внутреннее сопротивление которого = 20 Ом, мы получаем напряжение C/j = 1,37 В, а при замыкании элемента на сопротивление i?2 = 10 Ом получаем ток силой /3 = 0,132 А? 20.4. Определить ЭДС батареи, если известно, что при увеличении сопротивления нагрузки, подключенной к батарее, в п раз напряжение на нагрузке увеличивается от C/j до и2. 20.5. Гальванический элемент дает на внешнее сопротивление = 4 Ом ток силой = 0,2 А. Если же внешнее сопротивление i?2 = 7 Ом, то элемент дает ток силой I2 = = 0,14 А. Какой силы ток даст элемент, если его замкнуть накоротко? 20.6. Определить внутреннее сопротивление аккумулятора, если известно, что при замыкании его на внешнее сопротивление R^ = 1 Ом напряжение на зажимах аккумулятора = 2 В, а при замыкании на сопротивление R2 = 2 Ом напряжение на зажимах U2 = 2,4 В. Сопротивлением подводящих проводов пренебречь. 20.7. Батарея аккумуляторов с общим внутренним сопротивлением г = 1 Ом замкнута на сопротивление R. Вольтметр, подключенный к зажимам батареи, показывает напряжение = 20 В. Когда параллельно R присоединяется такое же сопротивление, показания вольтметра уменьшаются до и2 = 15 В. Определить 72, считая, что сопро- 8 - 5495 113 тивление вольтметра намного больше R. Сопротивлением подводящих проводов пренебречь. 20.8. Правильно ли утверждение, что вольтметр, подключенный к клеммам разомкнутого источника, показывает ЭДС? 20.9. 1. Источник ЭДС замыкается двумя последовательно соединенными сопротивлениями и Tg. Если вольтметр подключить к сопротивлению г^, то он покажет 6 В, к Tg — покажет 4 В; если вольтметр подключить к источнику, то он покажет 12 В. Найти действительные значения падения напряжений на сопротивлениях и Tg. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. 2. Два вольтметра, соединенные между собой последовательно, при подключении к зажимам ненагруженной батареи показывают напряжение: один t/j, другой t/g. При включении только первого вольтметра его показание U\. Определить по этим показаниям ЭДС батареи. 20.10. Как будут изменяться показания вольтметров при перемещении ползунка реостата влево (рис. 85)? 20.11. Батарея аккумуляторов, ЭДС которой = 6 В, замкнута на два последовательно соединенных реостата, каждый сопротивлением г = 5 кОм. Каковы показания вольтметра, присоединенного к клеммам одного реостата, если сопротивление вольтметра: 1) Я = 100 кОм; 2) Я = 10 кОм? Внутреннее сопротивление батареи мало. 20.12. Какую силу тока покажет амперметр в схеме, изображенной на рис. 86? Как изменится показание амперметра, если его и источник ЭДС поменять местами? Внутренними сопротивлениями источника и амперметра пренебречь. f=5B = 2 Ом I = 4 Ом I Рис. 86 jRg = 5 Ом 20.13. Цепь состоит из аккумулятора с внутренним сопротивлением г и нагрузки сопротивлением R. Вольтметр, подключенный последовательно и параллельно к сопротивлению jR, дает одно и то же показание. Найти сопротивление вольтметра. 20.14. Машина постоянного тока, ЭДС которой ^ = 130 В, должна питать осветительную сеть, состояш;ую из параллельно включенных десяти ламп сопротивлением по = 200 Ом, пяти ламп по iig ^ и десяти ламп по i?g = 150 Ом. Найти силу тока, потребляемого нагрузкой, и напряжение на зажимах машины, если внутреннее сопротивление ее г = 0,5 Ом. Сопротивлением проводов пренебречь. 20.15. Сопротивление якоря динамо-машины «смешанного соединения» (компаунд) равно = 0,12 Ом. Сопротивление последовательной обмотки "" 0,05 Ом, параллельной — i?3 = 42 Ом, внешней цепи R^ Ъ Ом. ЭДС машины 6 = 112 В. Начертить схему и рассчитать силу тока в якоре /j, силы токов /д и /д в обмотках, силу тока I во внешней цепи. Как велика разность потенциалов на клеммах? 20.16. До какого потенциала зарядится конденсатор, присоединенный к источнику тока, ЭДС которого ^ = 3,6 В, по схеме, изображенной на рис. 87? Какой заряд будет при этом на обкладках конденсатора, если его емкость равна С = 2 мкФ? 20.17. Определить заряд на конденсаторе (рис. 88), если = i?2 = -Rg = = 20 Ом, ^ = 500 В, г = 10 Ом и С = 10 мкФ. ^ 7 Ом 1 1 R 1 1 1 J = 3 Ом р 1 1 i?j = 4 Ом г = 1 Ом Рис. 87 Cl A C2 R1 R2 В О Рис. 90 Рис. 89 20.18. Определить, какой заряд пройдет через сопротивление R1 (см. рис. 88 и задачу 20.17) после размыкания ключа К. 20.19. Найти заряды на конденсаторах С1 и С2 в схеме, показанной на рис. 89. Внутренними сопротивлениями батарей пренебречь. 20.20. Два одинаковых сопротивления по г = 100 Ом, соединенных параллельно, и последовательно соединенное с ними сопротивление R = 200 Ом подключены к источнику постоянного тока. К концам параллельно соединенных сопротивлений подключен конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Определить ЭДС источника тока, если заряд на конденсаторе q = 2,2* 10“^ Кл. Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов можно пренебречь. 20.21. Найти разность потенциалов между точками А и В в цепи, изображенной на рис. 90. Внутренним сопротивлением источника пренебречь. ЭДС источника тока равна 20.22. Найти заряд на конденсаторе емкостью С (рис. 91). Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. 20.23. В схеме, изображенной на рис. 92, известны величины R2, Ср С2, и. Какой заряд пройдет через ключ К, если его замкнуть? 2С фе С зс 3R Фй R в Рис. 91 О С1 А С2 1 > R1 Г —ir—L- п—' в о ТТг> Рис. 92 116 20.24. Как изменятся показания амперметров, если в схеме (рис. 93) разомкнуть ключ К? 20.25. Есть две батареи, одна составлена из нескольких одинаковых гальванических элементов, соединенных последовательно, другая — из того же числа таких же элементов, соединенных параллельно. На какие одинаковые сопротивления R надо замкнуть каждую из батарей, чтобы токи в них были равны? Внутреннее сопротивление каждого гальванического элемента равно Гд. Сопротивлением подводяш;их проводов пренебречь. 20.26. Батарея состоит из п = 8 элементов, соединенных последовательно. ЭДС каждого элемента = 1,5 В, внутреннее сопротивление Гд = 0,25 Ом. Внешняя цепь представляет соединенные параллельно два проводника сопротивлениями = 10 Ом и "" 50 Ом. Определить напряжение на зажимах батареи. 20.27. Из 400 одинаковых элементов составлена батарея так, что образовано п соединенных последовательно групп, в каждой из которых содержится т элементов, соединенных параллельно. Внутреннее сопротивление одного элемента г = 1 Ом. При каких значениях п vim батарея, будучи замкнута на внешнее сопротивление /? = 100 Ом, даст максимальную силу тока? 20.28. Батарея из /г = 55 аккумуляторов, соединенных последовательно, заряжается от динамо-машины, дающей напряжение U = 140 В. Какое добавочное сопротивление нужно ввести в цепь, если внутреннее сопротивление каждого аккумулятора равно г == 0,02 Ом, ЭДС = 2,1 В? Сила тока зарядки аккумулятора / = 10 А? 20.29. В конце зарядки батареи аккумуляторов присоединенный к ней вольтметр показывал напряжение U2 = = 4,25 В. В начале разрядки той же батареи вольтметр показывал напряжение C/j = 3,9 В. Сила тока через вольтметр очень мала. Определить ЭДС ё и внутреннее сопротивление г батареи. Сила тока при зарядке батареи 12 = ^ А, при разрядке — /^ = 4 А. 117 20.30. Динамо-машина дает ЭДС = 12 В. Ее внутреннее сопротивление = 0,2 Ом. Она заряжает аккумуляторную батарею, ЭДС которой = 10 В, и внутреннее сопротивление г2 = 0,6 Ом. Параллельно батарее включена лампочка сопротивлением R = 3 Ом. Определить силу тока в батарее, в лампочке и в генераторе. 20.31. Две батареи соединили последовательно и замкнули на сопротивление R ^ А Ом. При этом сила тока в цепи оказалась равной = 1,83 А. Затем один из источников перевернули, включая навстречу другому источнику. Сила тока в цепи стала равной I2 = 0,34 А. Каковы ЭДС и и внутренние сопротивления и rg батарей, если при замыкании каждой из них на сопротивление R сила тока через нее соответственно /3 = 1Аи/4 = 1,3 А? 20.32. Два последовательно соединенных элемента имеют одинаковую ЭДС, но разные внутренние сопротивления и Tg. При каком внешнем сопротивлении разность потенциалов на зажимах одного из элементов равна нулю и на каком из них? 20.33. Найти условие, при котором сила тока через два последовательно соединенных гальванических элемента, имеющих соответственно ЭДС 8^ и (^g и внутренние сопротивления Tj и Tg, меньше силы тока через первый из них, если они включены на одно и то же внешнее сопротивление R. 20.34. 1. Определить разность потенциалов между любыми точками цепи, изображенной на рис. 94. ЭДС каждого элемента 8, внутреннее сопротивление г. Сопротивлением проводов пренебречь. 2. Как изменится ответ, если элементы будут соединены друг с другом одноименными полюсами? 20.35. При каких условиях напряжение на зажимах батареи выше ее ЭДС? 20.36. Два одинаковых гальванических элемента, соединены последовательно (включение элементов согласное) и замкнуты накоротко. Общая ЭДС элементов ^ = 1,5 В и внутреннее сопротивление г = 2 Ом. Найти силу тока через элементы. Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к ним? Что покажет вольтметр, если внутреннее сопротивление одного гальванического элемента Tj = 3 Ом, а другого Tg = 1 Ом? Сопротивлением соедини- 118 тельных проводов пренебречь, сопротивление вольтметра велико. 20.37. Два элемента соединены параллельно. ЭДС первого элемента равна второго $2-> внутренние сопротивления их равны. Определить разность потенциалов между зажимами элементов. 20.38. Два элемента, ЭДС которых равны = 1,5 В и ^2 = 2 В, соединены одноименными полюсами. Вольтметр, подключенный к клеммам батареи, показал напряжение и = 1,7 В. Определить отношение внутренних сопротивлений элементов. Силой тока через вольтметр пренебречь. 20.39. Два аккумулятора, ЭДС которых = 1,3 В и ^2 = 2В и внутренние сопротивления == 0,1 Ом и rg == = 0,25 Ом, соединены параллельно. Найти силу тока в цепи и напряжение на зажимах аккумуляторов. 20.40. Два элемента с равными ЭДС ё = 2 В соединены параллельно и замкнуты на внешнее сопротивление R. Внутренние сопротивления этих элементов равны соответственно Tj = 1 Ом и Г2 = 2 Ом. Чему равно внешнее сопротивление i?, если сила тока через первый элемент равна 1 А? Найти силу тока I2 через второй элемент, а также силу тока /д через сопротивление R. 20.41. В цепь включены одноименными полюсами два гальванических элемента с разными ЭДС ^^ = 1,9 В и ^2 ^ = 1,1 В и с внутренними сопротивлениями = 0,1 Ом и Г2 = = 0,8 Ом. Элементы замкнуты на внешнее сопротивление R = 10 Ом. Чему равны силы тока и /2 через элементы? Каково напряжение U на сопротивлении R внешней цепи? 20.42. В схеме, изображенной на рис. 95, ЭДС источника ^ = 5 В, = 5 Ом и i?2 ^ 4 Ом, сопротивление амперметра 119 Яд = 0,01 Ом. Определить относительную погрешность (в процентах) измерения силы тока. Считать сопротивление вольтметра очень большим. Внутреннее сопротивление источника г = 2 Ом. 20.43. В схеме, изображенной на рис. 95, ЭДС источника 6 = 5 В, = 10 Ом и ^2 = 40 Ом, сопротивление вольтметра Ry = 1000 Ом. Определить относительную погрешность отсчета разности потенциалов на концах сопротивления R1. Сопротивлением амперметра пренебречь. 21. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока 21.1. В плоский конденсатор вдвигают с постоянной скоростью V металлическую пластину плош;адью S и толш;иной а. Конденсатор подключен к источнику тока последовательно с сопротивлением R. ЭДС источника ё. Какая мош;-ность выделяется на сопротивлении при движении пластины? Длина пластин конденсатора равна I, плош;адь пластин S и расстояние между ними d. Падением напряжения пренебречь. 21.2. Выражение для мош,ности тока Р == I^R указывает на то, что выделенное проводником с током количество теплоты пропорционально сопротивлению. Выражение Р = = U^/R указывает на обратное. Противоречат ли эти формулы друг другу? 21.3. Две электрические лампочки включены в сеть параллельно. Сопротивление первой лампочки R^ = 360 Ом, второй — ^2 = 240 Ом. Какая из лампочек потребляет большую мош;ность и во сколько раз? 21.4. В сеть напряжением 120 В включены три одинаковые лампочки: две параллельно, а третья последовательно. Начертить схему и определить напряжение на каждой из ламп. В какой из них выделяется большая мош,ность? 21.5. Две лампочки мощностью 25 и 100 Вт, рассчитанные на одно и то же напряжение, соединены последовательно и включены в сеть. В какой из них выделяется большее количество теплоты? 120 21.6. Можно ли включить в сеть с напряжением 220 В последовательно две лампы, рассчитанные на 110 В: а) одинаковой мощности; б) разной мощности? Каково будет распределение напряжения? 21.7. Спираль подсоединена к сети, вследствие чего она раскалена. Как изменится накал спирали, если на часть ее попадет вода? 21.8. Две электрические лампочки одинаковой мощности, рассчитанные на напряжение C/q» включены последовательно в сеть с напряжением Uq. Одна из лампочек имеет металлическую нить накаливания, а другая — угольную. Какая лампочка будет накалена сильнее? 21.9. Утюг рассчитан на некоторую мощность при напряжении 220 В. Как надо изменить включение нагревательной спирали, чтобы утюг нормально эксплуатировался при напряжении 110 В? 21.10. Три электрические лампы, из которых одна мощностью 100 Вт и две — по 50 Вт, рассчитанные на напряжение НОВ, надо включить в сеть с напряжением 220 В так, чтобы каждая из них потребляла установленную для нее мощность. Начертить схему включения и подсчитать силу тока через лампочки. 21.11. Имеется пять электрических лампочек мощностью 40, 40, 40, 60 и 60 Вт, рассчитанных на напряжение НОВ каждая. Как следует включить их в сеть с напряжением 220 В, чтобы все они горели нормальным накалом? 21.12. Электрический утюг, рассчитанный на напряже- ние Uq = 120 В, имеет мощность Р = 300 Вт. При включении утюга в сеть напряжение на розетке падает с C/j = 127 В до С/з Определить сопротивление подводящих про- водов. Считать, что сопротивление утюга не изменяется. 21.13. Миллиамперметр имеет сопротивление 25 Ом, рассчитан на предельную силу тока 50 мА и снабжен шунтом на 10 А. Какую мощность рассеивает прибор, если он показывает силу тока 8 А? 21.14. ЭДС источника тока ^ = 2 В, внутреннее сопротивление г = 1 Ом. Определить силу тока в цепи, если внешняя цепь потребляет мощность Р = 0,75 Вт. 121 21.15. Определить силу тока короткого замыкания для аккумуляторной батареи, если при силе тока нагрузки ^ 5 А она отдает во внешнюю цепь мош;ность ^ 9,5 Вт, а при силе тока нагрузки /g = 8 А — Pg ^ 14,4 Вт. 21.16. Два источника с одинаковыми ЭДС 6' = 120 В соединены параллельно. Определить напряжение на зажимах источников и мош;ность каждого из них, если сопротивление внешней цепи Р = 10 Ом, внутренние сопротивления источников Tj = 0,5 Ом и Г2 = 0,6 Ом. 21.17. Источник тока, ЭДС которого €, а внутреннее сопротивление г, замкнут на реостат. Выразить мощность Р тока во внешней цепи как функцию силы тока I. Построить график этой зависимости. При какой силе тока мощность будет наибольшей? Построить график зависимости КПД Г| от силы тока в цепи. 21.18. Источник тока, ЭДС которого f , а внутреннее сопротивление г, замкнут на реостат. Построить графики изменения силы тока 7, напряжения U, мощности Р, развиваемой во внешней цепи, полной мощности Pq и КПД Г| при изменении сопротивления R реостата. При каком соотношении внешнего и внутреннего сопротивлений достигается максимальная мощность во внешней цепи? Каков при этом КПД установки? 21.19. Замыкая источник тока, ЭДС которого 8 и внутреннее сопротивление г, на внешнее сопротивление, желают получить мощность Р. Определить необходимые для этого: а) силу тока; б) разность потенциалов на зажимах; в) внешнее сопротивление R. 21.20. Элемент, ЭДС которого ё и внутреннее сопротивление г, замкнут на внешнее сопротивление R. Наибольшая мощность во внешней цепи Р = 9 Вт. Сила тока, текущего при этих условиях по цепи, 7 = 3 А. Найти значения ё и г. 21.21. Два потребителя подключаются к батарее: один раз последовательно, другой параллельно. В каком случае КПД будет больше? 21.22. К источнику с внутренним сопротивлением г подключено сопротивление R = г. Затем подключено второе такое же сопротивление: 1) последовательно; 2) параллельно. Во сколько раз изменится тепловая мощность, выделяю- 122 R. Rn Рис. 96 щаяся на сопротивлении i?, после подключения второго сопротивления? 21.23. Элемент замыкается один раз на сопротивление = 4 Ом, другой раз на. R2 = 9 Ом. В том и другом случаях количество теплоты Q, выделяющееся на сопротивлениях за одно и то же время, оказывается одинаковым. Каково внутреннее сопротивление элемента? 21.24. При замкнутом и разомкнутом ключе К на участке аЬ (рис. 96) выделяется одна и та же мощность. Найти сопротивление если напряжение на зажимах источника постоянно. 21.25. Определить силу тока через подводящие провода при коротком замыкании, если на двух плитках с сопротивлениями = 200 Ом и = 500 Ом выделяется при их поочередном включении одинаковая мощность Р = 200 Вт. 21.26. Напряжение в сети без нагрузки U = 120 В. При включении в сеть плитки номинальной мощности = = 300 Вт фактически выделяемая мощность равна Р = 250 Вт. Какая мощность будет выделяться в двух таких плитках, одновременно включенных параллельно в эту сеть? Плитки рассчитаны на напряжение = 120 В. Изменения сопротивления плиток при их нагревании не учитывать. 21.27. Аккумулятор с внутренним сопротивлением г = = 0,08 Ом при силе тока = 4 А отдает во внешнюю цепь мощность Pj = 8 Вт. Какую мощность Pg отдаст он во внешнюю цепь при силе тока /2 ^ ^ 21.28. Разветвление, состоящее из двух параллельно соединенных сопротивлений R^ = 6 Ом и Pg ^ 12 Ом, включено последовательно с сопротивлением Рд = 15 0м. Эта цепь подключена к зажимам генератора, ЭДС которого S = 200 В, а внутреннее сопротивление г = 1 Ом. Вычислить мощность Pj, выделяющуюся на сопротивлении Р^ = б Ом. Сопротивлением подводящих проводов пренебречь. 21.29. Два сопротивления по г = 100 Ом подключаются к источнику тока сначала последовательно, а затем параллельно. В обоих случаях тепловая мощность, выделяемая на каждом сопротивлении, оказалась одинакова. Найти 123 ЭДС источника если сила тока в цепи при последовательном соединении сопротивлений / = 1 А. 21.30. Батарея состоит из п = 5 последовательно соединенных элементов. ЭДС каждого элемента 6 = 1,4 В, внутреннее сопротивление г = 0,3 Ом. При какой силе тока полезная мощность равна Р = 8 Вт? Какова наибольшая полезная мощность, которую можно получить от батареи? 21.31. 1. Сопротивление внешней цепи увеличили в 2,25 раза, но количество теплоты, выделяющееся в ней за 1 с, не изменилось. Найти отношение внутреннего сопротивления г источника к внешнему сопротивлению R в первом случае. 2. В батарее, состоящей из п последовательно соединенных одинаковых аккумуляторов с внутренним сопротивлением г каждого, вследствие повреждения резко возросло внутреннее сопротивление одного из аккумуляторов. При этом оказалось, что количество теплоты, выделяющееся на нагрузке с сопротивлением Р за 1с, не изменяется при коротком замыкании поврежденного аккумулятора. Во сколько раз изменилось внутреннее сопротивление поврежденного аккумулятора? 21.32. Электродвигатель включен в сеть постоянного тока напряжением 220 В. Сопротивление обмотки двигателя 2 Ом, сила потребляемого тока 10 А. Найти потребляемую мощность и КПД двигателя. 21.33. Электродвигатель питается от сети с напряжением [/= 24 В. Чему равна мощность на валу двигателя при протекании по его обмотке тока силой / = 8 А, если известно, что при полном затормаживании якоря по цепи идет ток силой /q = 16 А? 21.34. Дана электрическая цепь, в которой последовательно некоторым сопротивлениям присоединено сопротивление Rq, потребляющее некоторую мощность. Когда к клеммам этого сопротивления подключают параллельно еще одно такое же сопротивление, то в них обоих расходуется та же мощность. Найти сопротивление всей цепи. 21.35. Электроплитка мощностью 0,8 кВт присоединена к сети с напряжением 120 В проводами, сопротивление которых равно 4 Ом. Определить, какое сопротивление должна иметь плитка. Объяснить ответ. 124 21.36. От источника с напряжением = 100 кВ требуется передать на расстояние Z = 5 км мощность Р = 5000 кВт. Допустимая потеря напряжения в проводах п = 1%. Рассчитать минимальную площадь сечения медного провода, пригодного для этой цели. Удельное сопротивление меди р = = 1,7*10-8 Ом*м. 21.37. Под каким напряжением нужно передавать электрическую энергию постоянного тока на расстояние I = = 5 км, чтобы при плотности тока у = 2,5 • 10^ А/м^ в медных проводах двухпроводной линии электропередачи потери в линии составляли 1% передаваемой мощности? Удельное сопротивление меди р = 1,7 • Ю"® Ом • м. 21.38. Во сколько раз следует повысить напряжение источника, чтобы снизить потери мощности в линии в 100 раз при передаче на нагрузку одной и той же мощности при условии, что в первом случае падение напряжения в линии AJ7 = nC/j, где Z/j — напряжение на нагрузке? 2 КЗ 9. Требуется передать мощность Р = 100 кВт на расстояние I = 7,5 км, причем потери на нагревание медных проводов не должны превышать 3% передаваемой мощности. Какова масса проводов в случаях, когда ток передается под напряжением: а) Z7 = 2000 В; б) С/ = 6000 В? Удельное сопротивление меди р = 1,7 • Ю"® Ом • м, плотность pQ = = 8800 кг/мК 21.40. В цепь батареи с ЭДС ^ = 24 В включен электродвигатель. Нагруженный двигатель потребляет мощность в 10 раз большую, чем при работе вхолостую. Разность потенциалов на клеммах двигателя при нагрузке падает на 20% по сравнению с разностью потенциалов на клеммах при холостом ходе. Сила тока при нагрузке равна /^ = 5 А. Найти сопротивление г подводящих проводов. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. 21.41. Трамвай массой т = 22,5т идет сначала по горизонтальному пути, а затем в гору (уклон 0,03). В первом случае сила тока в двигателе трамвая = 60 А, а во втором — /g = 118 А. Найти скорость и l>2 трамвая, если коэффициент сопротивления движению /г = 0,01, напряжение в линии и = 500 В, КПД двигателя и передачи Т| = 0,75. 21.42. Какую силу тока надо пропустить через железную проволоку длиной / = 1 м и массой m = 1 г, чтобы нагреть 125 ее за время т = 1 с до температуры плавления t2 = 1600 °С? Начальная температура = 0 °С. Передачу тепла другим телам не учитывать. Удельное сопротивление железа р = = 1,2 • 10“^ Ом • м, удельная теплоемкость с = 500 Дж/(кг • К). Плотность железа ро = 7900 кг/м^. 21.43. Сколько витков никелиновой проволоки надо навить на фарфоровый цилиндр диаметром Z) = 1,5 см, чтобы сделать кипятильник, с помощью которого в течение х = — 10 мин закипит вода массой т = 120 г, если начальная температура воды = 10 °С? КПД принять равным Т) = 60%. Диаметр проволоки d = 0,2 мм. Напряжение U = 100 В. Удельное сопротивление никелина р = 4 • 10“^ Ом • м, удельная теплоемкость воды Cg = 4,2 • 10^ Дж/(кг • К). 21.44. Ток проходит через железный стержень, являющийся чувствительным элементом реле. Через какое время т после включения тока силой / = 50 А сработает реле, если для этого необходимо удлинение стержня на AZ = 0,15 мм? Теплоотдачу от стержня другим телам не учитывать. Длина стержня I = 10 см, диаметр d = 2 мм, удельное сопротивление железа р = 4*10“^Ом*м, удельная теплоемкость с ~ 500 Дж/(кг • К), плотность р^ = 7900 кг/м^, коэффициент линейного расширения а = 1,2 • 10"^К"Ч 21.45. Как изменится температура медного стержня, если по нему в течение времени t = 0,5 с будет проходить ток, плотность которого ; = 9 А/мм^? При расчете принять, что теплопередача с окружающими телами отсутствует. Удельное сопротивление меди р = 1,7 • 10“® Ом • м, плотность pQ = = 8900 кг/м^, удельная теплоемкость с == 380 Дж/(кг • К). 21.46. В условиях очень интенсивного нагревания проводников (например, обмотка индукционной нагревательной печи) их часто выполняют в виде медной трубки, по которой протекает охлажденная вода. Каким должен быть расход воды в одну минуту, если длина такого проводника Z = 35 м, наружный диаметр D = 12 мм, внутренний d = 10 мм и по нему протекает ток силой I ^ 1500 А? Температура поступающей воды Zj = 12 °С, а уходящей Zg = 35 °С. Удельное сопротивление меди р = 1,7 • 10"^ Ом • м. 21.47. Определить работу электрических сил и количество теплоты, выделяющееся в течение Z = 1 с в следующих 126 случаях: а) в проводе, по которому идет ток силой / ^ 1 А, напряжение между концами провода t/ == 2 В; б) в аккумуляторе при его зарядке; сила тока зарядки /^ = 1 А, разность потенциалов между полюсами аккумулятора = = 2 В, ЭДС аккумулятора В\ = 1,3 В; в) в батарее аккумуляторов, которая дает ток силой /g = 1 А на внешнее сопротивление; разность потенциалов между полюсами аккумулятора и 2 = ЭДС батареи ^ 2,6 В. 21.48. Электроплитка с двумя одинаковыми спиралями позволяет получить три степени нагревания в зависимости от порядка и характера включения спиралей. Начертить схемы включения. Как будут относиться количества теплоты, полученные от плитки за одно и то же время? Придумайте схему переключения. 21.49. Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода в чайнике закипает через = = 15 мин, при включении другой — через fg = 30 мин. Через какое время закипит вода в чайнике, если включить обе обмотки: 1) последовательно (^посл)’ 2) параллельно (^парал)^ 21.50. Два чайника, каждый из которых потребляет при напряжении U = 220 В мош;ность Р = 400 Вт, закипают при последовательном и при параллельном включении за одно и то же время. Чему равно сопротивление г подводяпдих проводов? 21.51. Спиргшь электроплитки, сопротивление которой Я = 40 Ом, при включении в сеть имеет температуру на = 400 °С большую, чем температура воздуха. Дальнейшее нагревание прекраш;ается из-за теплоотдачи в окружаюгцую среду. Найти разность температур Aig спирали плитки и ок-ружаюпдего воздуха, если последовательно с плиткой включить сопротивление г = 10 Ом. Теплоотдача пропорциональна разности температур спирали и окружаюш;его воздуха. 21.52. Два проводника, сделанные из одного и того же материала, включены последовательно. Найти отношение температур проводников при подключении их в сеть, если один из проводников в два раза толще второго, а теплоотдача пропорциональна площади поверхности проводника и разности температур проводника и окружающего воздуха. Температура воздуха == 0 °С. 127 21.53. Электрическая печь имеет две секции сопротивлениями: = 20 Ом и ^ При параллельном включении секций печь нагревается на At^ = 300 °С выше комнатной температуры. Считая, что теплоотдача прямо пропорциональна разности температур печи и комнаты, определить, на сколько градусов нагреется печь при последовательном соединении секций и неизменном напряжении. 21.54. Вольфрамовая нить диода накаливается током силой /д = 10 А до температуры Tq. Приложенное к ней напряжение = 8 В, а анодное напряжение равно нулю. При включении анодного напряжения температура нити изменяется, что можно заметить по изменению ее свечения. Какое нужно приложить напряжение накала, чтобы в установившемся режиме при анодном напряжении 17^ = 5000 В температура нити снова стала равной Tq? При этом известно, что могцность, доставляемая таким диодом при температуре Tq и напряжении = 5000 В, составляет Р = 1,2 кВт. Работа выхода электрона для вольфрама = 4,5 эВ = = 4,5 • 1,6 • 10“^^ Дж, заряд электрона е = 1,6 • 10“^®Кл. Начальную кинетическую энергию электрона не учитывать. 22. Ток В жидкостях и газах 22.1. Пользуясь законами электролиза и постоянной Аво-гадро, определить массу иона водорода и заряд е электрона. Постоянная Авогадро равна Ад = 6,02 • 10^^ моль 22.2. Батарея гальванических элементов (ЭДС в = 0,9 В, внутреннее сопротивление г = 0,6 Ом) состоит из я = 30 элементов, соединенных в три одинаковые параллельные группы. Найти массу т двухвалентной меди, выделившейся на катоде электролитической ванны за ^ = 5 мин работы батареи, подключенной к ней. Сопротивление ванны R = = 205 Ом. Атомная масса меди 63,57. 22.3. Никелирование металлического изделия с площадью поверхности S = 120 см^ продолжалось t ■= Ъч при силе тока I ^ 0,3 А. Определить толщину h слоя никеля. Атомная масса никеля А = 58,7, валентность никеля п ^ 2 и плотность pQ = 8800 кг/м^. 22.4. Какой силы ток должен проходить через раствор электролита, чтобы за 1 мин разлагался 1 г воды? Каков 128 объем выделившегося при этом гремучего газа (при нормальных условиях)? 22.5. Какова затрата электроэнергии на получение 1 кг алюминия, если электролиз ведется при напряжении 10 В, а КПД всей установки составляет 80% ? Атомная масса алюминия А = 27, валентность п = S. 22.6. При электролизе воды через ванну протек заряд 1000 Кл. Какова температура выделившегося кислорода, если он находится в объеме 0,25 л под давлением 129 кПа? 22.7. Потенциал ионизации атома ртути ф = 10,4 В. Какой наименьшей скоростью v должен обладать электрон, чтобы ионизировать атом ртути при ударе? 22.8. При каком напряжении зажигается неоновая лампочка, если расстояние между электродами в виде тонких плоских пластин, равно d? Энергия ионизации неона длина свободного пробега электронов между двумя последовательными столкновениями с атомами неона равна I, заряд электрона е. 22.9. Электрическая дуга низкого напряжения осуществляется между угольным электродом и металлом большой массы и питается от источника переменного тока (трансформатора). Показать, что по цепи с дугой идет выпрямленный ток. В каком направлении идет выпрямленный ток в этой цепи? 22.10. Электроды в форме диска и острия расположены на некотором расстоянии друг от друга. К каким полюсам источника тока нужно присоединить эти электроды, для того чтобы пробой воздушного промежутка произошел при меньшей разности потенциалов между электродами? 22.11. Электрон, вышедший из накаленного катода К электронно-лучевой трубки с достаточно малой скоростью, приобретает скорость в поле анода А, находящегося под потенциалом ф, и, пройдя между пластинами конденсатора длиной /, попадает на флюоресцирующий экран, помещенный на расстоянии L от конденсатора. Когда в конденсаторе появляется электрическое поле, пятно на экране смещается на расстояние d. Чему равна напряженность Е поля в конденсаторе? 9 - 5495 129 23. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция 23.1. Имеется два одинаковых стальных стержня, один из которых намагничен. Как узнать, какой из них намагничен, не пользуясь ничем, кроме этих стержней? 23.2. Проволока перематывается с одной катушки на другую. По проволоке идет ток. Скорость перемотки равна скорости дрейфа электронов по проволоке и направлена в противоположную сторону. Будет ли суш;ествовать магнитное поле вокруг проволоки между катушками? 23.3. По двум одинаковым металлическим обручам, расположенным один горизонтально, другой вертикально, идут одинаковые токи. Найти направление вектора индукции магнитного поля в их обпдем центре. 23.4. К двум произвольным точкам проволочного кольца подведены идупдие радиально провода, соединенные с весьма удаленным источником тока. Показать, что индукция магнитного поля в центре равна нулю. 23.5. Из одинаковых кусков проволоки спаян куб. К противоположным вершинам по диагонали приложена ЭДС. Показать, что индукция магнитного поля в центре куба равна нулю. Поле подводящих проводов не учитывать. 23.6. Как направлена сила, с которой магнитное поле Земли действует в Северном полушарии на горизонтальный проводник с током, если проводник расположен: 1) в плоскости магнитного меридиана и ток идет с севера на юг; 2) перпендикулярно плоскости магнитного меридиана и ток идет с запада на восток? 23.7. Объяснить, почему прямоугольный проволочный виток с током всегда будет стремиться устанавливаться в магнитном поле так, чтобы плоскость витка была перпендикулярна линиям индукции поля. Как действуют силы на виток в таком положении? (Нарисовать вид сбоку.) 23.8. Две катушки, по которым текут токи, взаимодействуют между собой с определенной силой. Как изменится сила взаимодействия катушек, если обе катушки свободно надеть на общий замкнутый железный сердечник? 130 ж. Рис. 97 23.9. Ток замыкается на вертикальную пружину, нижний конец которой на незначительную глубину погружен в ртуть (рис. 97; спираль Роже). Описать дальнейшее состояние пружины и электрической цепи. 23.10. Между полюсами электромагнита в горизонтальном магнитном поле находится прямолинейный проводник, расположенный горизонтально и перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Определить силу тока, идупдего через проводник, чтобы уничтожить натяжения в поддерживаюш;их его гибких проводах. Индукция магнитного поля В = 0,01 Тл, масса единицы длины проводника т/1 = = 0,01 кг/м. 23.11. Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии I = 0,3 м друг от друга. На них лежит стержень, расположенный перпендикулярно рельсам. Какой должна быть индукция магнитного поля для того, чтобы стержень начал двигаться, если по нему пропускается ток силой Iq = 50 А? Коэффициент трения стержня о рельсы й = 0,2. Масса стержня т = 0,5 кг. 23.12. Проволока, по которой идет ток, лежит в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля. Доказать, что сила, действуюш;ая на проволоку, не зависит от ее формы. Поле однородно. 23.13. По жесткому проволочному кольцу диаметром d = 10 см и сечением S = 5 мм^ течет ток силой / = 5 А. Плоскость кольца перпендикулярна силовым линиям магнитного поля, индукция которого В = 1 Тл. Определить механическое напряжение а (силу, действующую на единицу поверхности) в проволоке. 23.14. Между полюсами магнита на двух тонких вертикальных проволочках подвешен горизонтальный линейный проводник массой m = 10 г и длиной I = 20 см. Вектор индукции однородного магнитного поля направлен вертикально, а его модуль равен В = 0,25 Тл. Весь проводник находится в магнитном поле. На какой угол а от вертикали отклоняются проволочки, если по нему пропустить ток силой / = 2 А? Массами проволочек пренебречь. 131 23.15. Почему два параллельных проводника, по которым идут токи в одном направлении, притягиваются, а два параллельных катодных пучка отталкиваются? 23.16. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. По какой траектории будет двигаться электрон? Изменяется ли при этом модуль скорости электрона? 23.17. Электрон, обладающий скоростью v, попадает в однородное магнитное поле, вектор индукции которого В составляет угол а с вектором и. Окружность какого радиуса будет описывать электрон? Чему равна работа силы, действующей на электрон? По какой траектории будет двигаться электрон? 23.18. Электроны, летящие в телевизионной трубке, обладают энергией 12 кэВ. Трубка ориентирована так, что электроны движутся горизонтально с юга на север. Вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля Земли направлена вниз, ее модуль равен 5,5 • 10“^ Тл. В каком направлении отклоняется электронный луч? Каково ускорение каждого электрона? На сколько отклонился пучок электронов, пролетев 20 см внутри телевизионной трубки? 23.19. Описать движение электрона в вакууме в параллельных электрическом и магнитном полях. Начальная скорость электрона направлена под некоторым углом к направлению полей. 23.20. Прямой постоянный магнит падает сквозь замкнутое металлическое кольцо. Будет ли магнит падать с ускорением свободного падения? 23.21. Магнит падает вниз по длинной медной трубке. Описать характер падения. Сопротивлением воздуха пренебречь. 23.22. Как надо двигать в магнитном поле Земли медное кольцо, чтобы в нем возбуждался индукционный ток? 23.23. Рамка произвольной формы вращается в однородном магнитном поле. Ось вращения совпадает с направлением вектора индукции поля. Будет ли индуцироваться ЭДС? 23.24. Какие явления происходят в кольце, если в него вдвигается магнит? Рассмотреть случаи, когда кольцо сделано из: а) диэлектрика; б) сверхпроводника. 132 23.25. В однородном магнитном поле с индукцией В находится кольцо из сверхпроводника. Линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости кольца. Чему равен магнитный поток, пронизывающий кольцо, после того как внешнее поле выключат? Радиус кольца R. 23.26. Сверхпроводящее кольцо, по которому идет ток, изгибается в виде восьмерки с одинаковыми кольцами и затем складывается вдвое. Во сколько раз изменяется при этом индукция магнитного поля в центре полученного кольца? 23.27. Однослойная катушка диаметром Z) = 5 см помещена в однородное магнитное поле, вектор индукции которого параллелен ее оси. Индукция поля равномерно изменяется со скоростью AB/At ^ 10"^ Тл/с. Катушка содержит п = 1000 витков медной проволоки (р = 1,7 • 10“^ Ом»м), площадь поперечного сечения которой S = 0,2 мм^. 1. К концам катушки подключен конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Определить заряд на нем. 2. Концы катушки замкнуты накоротко. Определить мощность, выделяющуюся в катушке. 23.28. Вектор индукции В однородного магнитного поля перпендикулярен плоскости медного кольца (р = = 1,7 • 10“® Ом • м), имеющего диаметр 7) = 20 см и толщину d = 2 мм. С какой скоростью должна изменяться во времени магнитная индукция В, чтобы сила индукционного тока в кольце была равна / = 10 А? 23.29. В коротко замкнутую катушку один раз быстро, другой — медленно вдвигают магнит. 1) Одинаковый ли электрический заряд проходит через катушку в первый и во второй раз? 2) Одинаковую ли работу против электромагнитных сил совершает рука, вдвигающая магнит? 23.30. Замкнутый контур вытаскивают из межполюсного пространства магнита. 1. Каково направление индуцированного в контуре тока? 2. Требуется ли действие силы для удаления контура из поля? 3. Зависит ли количество джоулевой теплоты, выделяемой при перемещении контура, от времени этого перемещения? 133 23.31. Внутрь короткозамкнутой катушки вставлена другая, по которой идет ток от аккумулятора. Во вторую катушку втягивается железный сердечник, вследствие чего в первой катушке индуцируется ток и она нагревается. За счет какой работы производится нагревание? 23.32. При торможении поезда метро электродвигатели отключают от контактного провода и подключают к специальным реостатам. Объяснить такой способ торможения. 23.33. Падаюпдий ребром медный пятак попадает в зазор между полюсами электромагнита так, что магнитное поле перпендикулярно плоскости монеты. Как будет изменяться ускорение падения монеты? Магнитное поле между полюсами считать однородным. 23.34. Внутри однородного проволочного кольца магнитный поток равномерно возрастает со временем. Каков характер тока, текущего по кольцу? Чему равна разность потенциалов между двумя любыми точками кольца? 23.35. Между рельсами железнодорожного пути включен вольтметр. Над ним с постоянной скоростью проходит поезд. Каковы показания вольтметра при приближении поезда в момент нахождения поезда над вольтметром и при удалении поезда? Магнитное поле Земли принять на данном участке однородным, вертикальная составляющая его вектора магнитной индукции = 5 • 10“^ Тл. Ширина колеи а = 1,2 м. Скорость поезда и = 60 км/ч. 23.36. Реактивный самолет, имеющий размах крыльев 50 м, летит горизонтально со скоростью 800 км/ч. Определить разность потенциалов, возникающую между концами крыльев, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 5 • 10“^ Тл. Можно ли использовать эту разность потенциалов для измерения скорости полета самолета? 23.37. Между концами крыльев самолета, летящего в магнитном поле Земли, натянута (изолированная) проволока. Можно ли экспериментально показать наличие индуцированного напряжения в этой проволоке? 23.38. Проводник длиной / = 1 м движется со скоростью V = 5 м/с перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. Определить индукцию магнитного поля, 134 если на концах проводника возникает разность потенциалов и = 0,02 В. 23.39. Однородное кольцо помещено в переменное маг- нитное поле, перпендикулярное плоскости кольца. Выберем на кольце две произвольные точки, делящие кольцо на дуги avLb. Так как разности потенциалов на концах дуг а и Ь равны по модулю и противоположны по знаку и сила тока в любом сечении кольца одинакова, то из закона Ома, примененного к участкам а и Ь, следует, что т. е. сопро- тивление не зависит от длины проводника. Найти ошибку в рассуждениях. 23.40. В однородном магнитном поле расположен виток, площадь которого равна S 50 см^. Перпендикуляр к плоскости витка составляет с направлением индукции магнитного поля угол, равный а = 60°. Чему равна ЭДС индукции возникающая в витке при выключении поля, если начальная индукция магнитного поля В = 0,2 Тл и она уменьшается до нуля по линейному закону за время М = 0,02 с? 23.41. Определить изменение магнитного потока АФ сквозь катушку, если она имеет п = 2000 витков и за время t = 0,01 с возникает ЭДС индукции 6^ = 200 В. 23.42. Кусок провода длиной / = 2 м складывают вдвое, и его концы замыкают. Затем провод растягивают в квадрат так, что плоскость квадрата перпендикулярна горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли Bj, = 2 • 10“^ Тл. Какой заряд пройдет через контур, если его сопротивление В = 1 Ом? 23.43. Виток изолированного медного провода изогнут в виде восьмерки, кольца которой имеют радиусы = 1 см и Tg 3 см. Этот виток находится в магнитном поле с индукцией В = 10^ Тл, линии индукции которого перпендикулярны плоскости витка. Магнитное поле резко выключается. Время выключения М = 10“^ с. Произойдет ли пробой изоляции, если она выдерживает разность потенциалов между проводами = 10 В? 23.44. Рамка из провода сопротивлением R = 0,01 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле, индукция которого В = 0,05 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Пло- 135 щадь рамки S = 100 см^. Определить, какой заряд протечет через рамку за время поворота ее на угол Ла = 30° в трех случаях: 1) от 0 до 30°; 2) от 30 до 60°; 3) от 60 до 90° (угол а отсчитывается между направлением индукции и перпендикуляром к плоскости рамки). 23.45. В однородном магнитном поле с индукцией В == = 0,1 Тл расположен плоский проволочный виток, площадь которого S = 10^ см^, а сопротивление R ^ 2 Ом, таким образом, что его плоскость перпендикулярна силовым линиям поля. Виток замкнут на гальванометр. Полный заряд, протекший через гальванометр при повороте витка, q = 7,5 х X 10“^ Кл. На какой угол повернули виток? 23.46. Построить график изменения с течением времени индукционного тока при размыкании цепи, в которой имеется катушка индуктивности. Что означает площадь фигуры, ограниченной графиком и осью времени? Изменение какой магнитной величины можно определить по этому графику? 23.47. Показать, что индуктивность катушки данной длины пропорциональна квадрату числа витков. 23.48. В однородное магнитное поле, индукция которого В, помещено металлическое кольцо радиусом г, причем его ось совпадает с направлением линий индукции поля. От центра к кольцу отходят два стержня, имеющие контакт между собой и с кольцом. Один стержень неподвижен, а другой равномерно вращается с угловой скоростью (о. Найти силу тока, идущего через стержни, если сопротивление каждого из них R (сопротивлением кольца пренебречь). 23.49. Металлический диск радиусом г = 10 см, расположенный перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, индукция которого в ^ 1 Тл, вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с частотой п ^ 100 с“Ч Два скользящих контакта (один на оси диска, другой — на окружности) соединяют диск с реостатом сопротивлением R = = 5 Ом. Чему равна мощность, выделяемая на реостате? 23.50. Длина подвижного проводника АВ равна L Его сопротивление R (рис. 98). Сопротивление неподвижного проводника, по которому скользит проводник АВ, пренеб- 136 В режиме мало. Перпендикулярно плоскости проводников проходят линии индукции В магнитного поля. Какую силу F нужно приложить к проводнику АВ, для того чтобы он двигался с постоянной скоростью V? Система проводников находится в горизонтальной плоскости. 23.51. в однородное горизонтальное маг- Рис. 98 нитное поле с индукцией В = 4 • 10~^ Тл, по- меш;ена Н-образная конструкция толстых медных стержней, боковые стороны которой расположены вертикально. Плоскость конструкции перпендикулярна вектору В. По стержням свободно и без нарушения контакта скользит сверху вниз тонкая медная перемычка (р = 1,7 • 10“® Ом • м; Ро = 8,8 • 10^ кг/м^). Какой максимальной скорости она достигает? Сопротивлением всех частей, кроме перемычки, пренебречь. Изменятся ли направление и сила тока через толстую горизонтальную перемычку, когда подвижная перемычка пройдет мимо нее? Разобрать случай, когда плоскость конструкции составляет угол а = 30° с горизонтом. Трением пренебречь. 23.52. Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты вверху проводником. По этим стержням без трения и нарушения контакта скользит перемычка длиной Z = 0,5 см и массой т = 1 г. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 10“^ Тл, вектор которой перпендикулярен плоскости рамки. Установившаяся скорость перемычки v = 1 м/с. Найти ее сопротивление. Сопротивлением стержней и провода пренебречь. 23.53. В однородное горизонтальное магнитное поле с индукцией В помепцены проводящее кольцо, ось которого направлена вдоль силовых линий поля, и подвижный радиальный проводник массой т, длиной I и сопротивлением В, один конец которого находится в центре кольца, а другой скользит по кольцу. Определить закон изменения силы тока по радиальному проводнику, необходимый для того, чтобы проводник вращался с постоянной угловой скоростью со. Найти напряжение U, необходимое для поддержания этой силы тока. 137 23.54. Разборный школьный трансформатор включен в сеть. К вторичной обмотке подключена нагрузка. Как изменится сила тока в первичной и вторичной катушках при удалении верхней части сердечника? 23.55. Почему трансформатор может выйти из строя в том случае, если хотя бы один виток обмотки замкнется накоротко? 23.56. Трансформатор, повышающий напряжение с = = 100 В до С/2 = 3300 В, имеет замкнутый сердечник в виде кольца. Через кольцо пропущен провод, концы которого присоединены к вольтметру. Вольтметр показывает U ^ 0,5 В. Сколько витков имеют обмотки трансформатора? (Так можно определить число витков обмоток трансформатора, имея в своем распоряжении вольтметр и проволоку.) 23.57. Два одинаковых электродвигателя включены каждый в цепь с напряжением U. Один двигатель вращается вхолостую, другой совершает некоторую работу. Какой из них быстрее нагреется? 23.58. Какую максимальную мощность может развить электродвигатель, включенный в сеть постоянного тока с напряжением U ^ 120 В, если полное сопротивление цепи 20 Ом? Какая сила тока протекает при этом по цепи? 23.59. Электродвигатель (см. задачу 23.58) передает приводу мощность Р = 160 Вт. Какую ЭДС разовьет тот же двигатель, если его использовать как динамо-машину с той же угловой скоростью, которую он имел, работая как двигатель? Какой смысл имеет неоднозначность полученного результата? 24. Переменный ток. Электромагнитные колебания и волны 24.1. Мгновенное значение ЭДС дано выражением с = - 100 sin 800 Tit, где t выражено в секундах. Найти амплитуду, частоту, период и фазу, когда ^ 50 В. 24.2. Проволочная рамка площадью S равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В 138 вокруг оси, перпендикулярной вектору В. Период вращения равен Т. Выразить магнитный поток Ф, проходящий через рамку, и ЭДС индукции е в рамке как функции времени. 24.3. Как известно, график зависимости ЭДС от времени при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле представляет собой синусоиду. Как изменится график, если частота вращения рамки удвоится? 24.4. Рамка площадью S = 400 см имеет п = 100 витков и вращается в однородном магнитном поле, индукция которого В = 10~2 Тл. Период вращения Т = 0,1 с. Определить амплитудное значение ЭДС, возникающей в рамке, если ось вращения перпендикулярна силовым линиям поля. 24.5. Рамка площадью S = 300 см^ имеет п = 200 витков и вращается в магнитном поле, индукция которого В = = 1,5*10“^Тл. Определить период вращения, если амплитудное значение ЭДС индукции = 14,4 В. 24.6. Переменный ток возбуждается в рамке из п = 20 витков, с площадью витка S = 300 см^, в магнитном поле, индукция которого В = 1,5'10'^Тл. Определить ЭДС индукции через t = 0,01 с после начала движения рамки из нейтрального положения. Амплитуда ЭДС 7,2 В. 24.7. Квадратная рамка площадью S = 625 см^ с замкнутой обмоткой из медного провода вращается в однородном магнитном поле, индукция которого В = 10“^ Тл, вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной силовым линиям поля, совершая п = 1200 оборотов в минуту. Определить, как изменится температура обмотки за время ^ = 1 мин (теплоотдачей пренебречь). Удельное сопротивление, теплоемкость и плотность меди соответственно равны р = 1,7 • 10“^ Ом • м, с = 378 Дж/(кг • К), ро = 8800 кг/м^. 24.8. 1. Вольтметр, включенный в сеть переменного тока, показывает U = 220 В. Найти амплитудное значение напряжения в сети. 2. Действующее значение напряжения в сети переменного тока С/ = 120 В. Определить время, в течение которого горит неоновая лампа в каждый полупериод, если она зажигается и гаснет при напряжении t/j = 84 В. 139 24.9. Почему при разомкнутой вторичной цепи (при холостом ходе) трансформатор почти не потребляет энергии? 24.10. Объяснить, почему с увеличением нагрузки во вторичной цепи (уменьшением сопротивления) автоматически возрастает потребляемая трансформатором могцность от сети. 24.11. Амплитуда напряжения в колебательном контуре, состояш;ем из катушки индуктивностью L = 5 мкГн и конденсатора емкостью С = 13 330 пФ, равна = 1,2 В. Сопротивление ничтожно мало. Определить: а) действуюш;ее значение силы тока в контуре; б) максимальный магнитный поток, если число витков катушки п = 28. 24.12. Контур состоит из катушки индуктивностью L = = 28 мкГн, сопротивления Л = 1 Ом и конденсатора емкостью С = 2222 пФ. Какую мош;ность должен потреблять контур, чтобы в нем поддерживались незатухающие колебания, при которых максимальное напряжение на конденсаторе и^ = 5 В? 24.13. Конденсатор колебательного контура приемника имеет емкость С. На какую длину волны резонирует контур приемника, если отношение амплитуды напряжения на контуре к амплитуде силы тока в катушке контура при резонансе равно т/п1 24.14. Что нужно для перехода к приему более коротких волн: сближать или раздвигать пластины конденсатора, включенного в колебательный контур приемника? 24.15. Приемный контур состоит из катушки индуктивностью L = 2 мкГн и из конденсатора емкостью С = 1800 пФ. На какую длину волны X рассчитан контур? 24.16. Какова должна быть емкость С конденсатора, чтобы с катушкой, имеющей индуктивность L = 25 мкГн, обеспечить настройку в резонанс на длину волны А, = 100 м? 24.17. В контур включены катушка самоиндукции с переменной индуктивностью от 0,5 до 10 мкГн и конденсатор переменной емкости от 10 до 500 пФ. Какой диапазон частот и длин волн можно охватить настройкой этого контура? 24.18. Переменный конденсатор изменяет свою емкость от Cj = 56 пФ до Сз === 667 пФ. Какой комплект катушек ин- 140 дуктивности нужно иметь, чтобы колебательный контур можно было настраивать на радиостанции в диапазоне от = 40 м до ^2 ^ 2600 м? 24.19. Сколько электромагнитных колебаний (высокой частоты) с длиной волны X = 375 м происходит в течение одного периода колебаний звука с частотой Vg^ = 500 Гц, произносимого перед микрофоном передающей станции? 24.20. Длина воздушной линии электропередачи 300 км. Частота колебаний напряжения 50 Гц. Найти сдвиг фазы между напряжением в начале и в конце этой линии. 24.21. Почему увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями в 2 раза требует увеличения мощности передатчика в 4 раза? Почему увеличение дальности радиолокации в 2 раза требует увеличения мощности передатчика в 16 раз? Считать, что излучатель радиоволн точечный, а поглощение энергии средой пренебрежимо мало. IV. ОПТИКА 25. Отражение и преломление света 25.1. Солнечный луч, проходящий через отверстие в ставне, составляет с поверхностью стола угол 48°. Как надо расположить плоское зеркало, чтобы отраженный луч направить горизонтально? 25.2. На какой угол повернется луч, отраженный от плоского зеркала, при повороте последнего на угол а? 25.3. Высота Солнца над горизонтом составляет а = 38°. Под каким углом р к горизонту следует расположить зеркало, чтобы осветить солнечными лучами дно вертикального колодца? 25.4. Плоское зеркало со столом образует двугранный угол а. На столе на расстоянии I от ребра двугранного угла расположена монета. Определить расстояние d, на которое смещается изображение монеты в зеркале при его повороте на угол ф относительно ребра двугранного угла. 25.5. Определить наименьшую высоту вертикального зеркала, при которой человек может видеть в нем свое изображение во весь рост, не изменяя положения головы. 25.6. Зеркальный гальванометр расположен на расстоянии Я = 2 м от шкалы. На какой угол повернулось зеркальце, если «зайчик» сместился от центра шкалы на / = 50 см? 25.7. Предмет помещен между двумя взаимно перпендикулярными зеркалами. Сколько получается изображений? Построить их. Найти решение для общего случая: когда угол между зеркалами а, причем т = 360°/а есть целое число. 25.8. Небольшой предмет расположен между двумя плоскими зеркалами, поставленными под углом а = 30°, на 142 расстоянии г = 10 см от линии пересечения зеркал ближе к одному из них. 1. На каком расстоянии х друг от друга находятся первые мнимые изображения предмета в зеркалах? 2. Решить задачу в обш;ем виде для любого угла. 25.9. Два зеркала наклонены друг к другу и образуют двугранный угол а. На них падает луч, лежаш;ий в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Найти, на какой угол повернется отраженный луч после отражения от обоих зеркал. 25.10. Звезда наблюдается в зрительную трубу после двукратного отражения от углового зеркала с раствором а. Как будет перемеш,аться изображение в трубе при небольших поворотах углового зеркала около ребра? 25.11. Луч света падает на одно из зеркал, составляюш;их двугранный угол а = 20°, параллельно плоскости, делящей угол пополам под прямым углом к линии пересечения зеркал. Как он идет дальше? Какова сила света по выходе луча из двугранного угла, если начальная сила света равна /д = 10 кд и если при каждом отражении сила света уменьшается в 2 раза? 25.12. Посередине между двумя плоскими зеркалами, параллельными друг другу, помещен точечный источник света. С какими одинаковыми скоростями должны двигаться оба зеркала, оставаясь параллельными друг другу, чтобы первые мнимые изображения источника в зеркалах сближались со скоростью 5 м/с? 25.13. Вертикальный колышек высотой Л = 1 м, поставленный вблизи уличного фонаря, отбрасывает тень длиной Zj = 0,8 м. Если перенести колышек на d = 1м дальше от фонаря (в той же плоскости), то он отбрасывает тень длиной I2 = 1,25 м. На какой высоте Н подвешен фонарь? 25.14. Столб вбит в дно реки и возвышается над водой на = 1 м. Найти длину тени столба на поверхности и на дне реки, если высота Солнца над горизонтом а = 30°, глубина реки /^2 ^ 2 м, показатель преломления воды равен п ^ 1,33. 25.15. Каков предельный угол при падении луча на границу двух сред стекло — вода? 143 25.16. На какой глубине под водой находится водолаз, если он видит отраженными от поверхности воды те части горизонтального дна, которые расположены от него на расстоянии S = 15 м и дальше? Рост водолаза а = 1,5 м. Показатель преломления воды п == 1,33. 25.17. В стекле с показателем преломления, равным === 1,52, имеется сферическая полость радиусом i? = 3 см, заполненная водой (п^ = 1,33). На полость падают параллельные лучи света. Определить радиус светового пучка, который проникает в полость. 25.18. Луч, падающий на плоскую границу двух сред, относительный показатель преломления которых п, частично отражается, частично преломляется. При каком угле падения отраженный луч перпендикулярен преломленному лучу? 25.19. Луч света падает на оптическую призму из кварцевого стекла под углом 36°. Преломляющий угол призмы 40°. Под каким углом луч выйдет из призмы и каков его угол отклонения от первоначального направления? Показатель преломления кварцевого стекла равен 1,54. 25.20. В воде идут два параллельных луча 1 и 2. Луч 1 выходит в воздух непосредственно, а луч 2 проходит сквозь горизонтальную плоскопараллельную стеклянную пластинку, лежащую на поверхности воды. 1. Будут ли лучи 1 и 2 параллельны при выходе в воздух? 2. Выйдет ли в воздух луч 2, если луч 1 испытывает полное отражение? 25.21. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом i = 60°. Какова толщина пластинки d, если при выходе из нее луч сместился на л: = 20 мм? Показатель преломления стекла п = 1,5. 25.22. Луч падает на плоскую стеклянную пластинку толщиной d^S см под углом ос = 70°. Определить смещение луча внутри пластинки. Показатель преломления стекла л = 1,5. 25.23. Между светящейся точкой и глазом человека помещается плоскопараллельная пластина. Найти построением кажущееся положение точки. 144 25.24. Предмет находится на расстоянии I = 15 см от плоскопараллельной стеклянной пластинки. Наблюдатель рассматривает предмет через пластинку, причем луч зрения нормален к ней. Определить расстояние х от изображения предмета до ближайшей к наблюдателю грани, если толщина пластинки d = 4,5 см, показатель преломления стекла п = 1,5. 25.25. Луч света падает на однородный прозрачный шар и проникает в него. Проходя внутри шара, он достигает поверхности раздела шар — воздух. Может ли в этой точке произойти полное отражение? 25.26. Световые лучи, падающие на верхнюю грань стеклянной пластинки квадратного сечения, как показано на рис. 99, испытывают полное отражение у вертикальной грани. Каким должен быть наименьший показатель преломления стекла? 25.27. Стеклянный куб лежит на листе бумаги, покрывая собой нарисованные на ней звездочки. При этом оказывается, что звездочки невидимы через боковые стороны куба. При введении под основание куба капли воды звездочки делаются видимыми через боковые стенки. Объяснить это явление. 25.28. На основании равносторонней стеклянной призмы находится пылинка. Каково максимально допустимое значение показателя преломления тг, при котором пылинку еще можно увидеть через боковые грани призмы с помощью лучей, не претерпевших ни одного отражения на границе двух сред стекло — воздух? 25.29. Найти положение изображения объекта, расположенного на расстоянии / = 4 см от передней поверхности плоскопараллельной стеклянной пластинки толщиной d = 1 см, посеребренной с задней стороны, считая, что показатель преломления пластинки п = 1,5. Изображение рассматривается перпендикулярно поверхности пластинки. 25.30. В сосуд налиты две несмешивающиеся жидкости с показателями преломления = 1,3 и «2 ^ Сверху находится жидкость с показателем преломления п^. Толщина 10- 5495 1 45 ее слоя /ij = 3 см. Толщина слоя второй жидкости /ig = 5 см. На каком расстоянии от поверхности жидкости будет казаться расположенным дно сосуда, если смотреть на него сверху через обе жидкости? 25.31. Человек смотрит на свое изображение в зеркале, положенном на дно сосуда, наполненного водой. На какое расстояние аккомодирован глаз человека, если он находится на высоте h = 10 см над уровнем воды, а зеркало — на глубине Лд = 8 см под уровнем воды? Показатель преломления воды п= 1,33. 26. Сферические зеркала и линзы. Оптические системы 26.1. На линзу падает луч света, не параллельный главной оптической оси. Построить его дальнейший ход. Фокус линзы задан. 26.2. Светящаяся точка находится в фокальной плоскости собирающей линзы на некотором расстоянии от главной оптической оси. За линзой поставлено зеркало, расположенное перпендикулярно главной оптической оси. Где будет находиться изображение точки? 26.3. Даны положения оптической оси 00оптического центра линзы и ход произвольного луча (рис. 100). Найти построением положение главных фокусов линзы. 26.4. Можно ли линзу применять в одной среде как рассеивающую, а в другой — как собирающую? Объяснить ответ. 26.5. Как надо расположить две линзы, чтобы параллельные лучи света, пройдя через них, остались параллельными? Рассмотреть случаи: 1) линзы собирающие; 2) одна линза собирающая, другая — рассеивающая. 26.6. Даны положения главной оптической оси ОО^ сферического зеркала, светящейся точки S и ее изображения 146 s * s * a) О Oi e) *S' S * S' о * О. 6) о о, *S' *S' г) О s * Oi Рис. 101 S'. Найти построением положение оптического центра и полюса зеркала. Какое было использовано зеркало: вогнутое или выпуклое? Какое изображение получилось при этом: действительное или мнимое? Решить задачу для случаев, изображенных на рис. 101. 1. Точки S и S' расположены по обе стороны от оси OOj, на разных расстояниях от оси и на некотором расстоянии друг от друга (см. рис. 101, а). 2. Точки SuS' расположены по одну сторону от оси OOj, на разных расстояниях от оси ОО^ и на некотором расстоянии друг от друга (см. рис. 101, б). 26.7. Точечный источник света перемещается равномерно от оптического центра зеркала до его полюса. 1. Как перемещается при этом изображение источника и как изменяется его скорость? 2. Во сколько раз средняя скорость v' перемещения изображения больше скорости v перемещения предмета на участке от = 1,5F до rfg == 1Д1^? 3. Вблизи какой точки при перемещении источника скорость перемещения изображения наибольшая? 26.8. Наблюдатель глядит сквозь тонкую стеклянную пластинку на свое изображение в выпуклом зеркале и, перемещая пластинку, добивается, чтобы изображения его глаза, видимые в зеркале и в стеклянной пластинке, налагались друг на друга и не смещались при покачивании головы (отсутствует параллакс). На каком расстоянии х от глаза наблюдателя помещена пластинка, если фокусное расстояние зеркала равно F = 40 см и глаз отдален от его полюса на Z = 40 см? 10* 147 26.9. При определенном расположении изображение предмета в вогнутом зеркале в 3 раза меньше самого предмета. Если же предмет передвинуть на расстояние / = 15 см ближе к зеркалу, то изображение станет в 1,5 раза меньше предмета. Найти фокусное расстояние F зеркала. 26.10. Сходяпдиеся лучи падают на выпуклое зеркало так, что их продолжения пересекаются в точке, находящейся на расстоянии d = 0,4 м за зеркалом. После отражения от зеркала лучи расходятся таким образом, что их продолжения пересекаются в точке, отстоящей от зеркала на расстоянии / = 1,6 м. Обе точки пересечения лежат на главной оптической оси зеркала. Определить фокусное расстояние F зеркала. 26.11. Радиус кривизны вогнутого зеркала равен Я = 40 см. Найти положение предмета, при котором его изображение будет действительным и увеличенным в 2 раза. Найти также положение, при котором изображение будет мнимым и увеличенным в 2 раза. Построить изображения предмета в обоих случаях. 26.12. 1. Круглый осколок стеклянного посеребренного шара используется как выпуклое зеркало. Какой диаметр d имел разбитый шар, если, для того чтобы увидеть полностью собственное лицо, необходимо держать осколок на расстоянии, не меньшем чем а = 30 см? Диаметр осколка D = 6 см, длина лица I = 20 см. 2. Человек смотрит в вогнутое зеркало и видит прямое изображение своего глаза. Угловой размер этого изображения в у = 1,8 раза больше углового размера изображения, которое получилось бы в плоском зеркале, помещенном на таком же расстоянии а = 24 см. Определить фокусное расстояние вогнутого зеркала. 26.13. Два одинаковых вогнутых зеркала поставлены друг против друга так, что их главные фокусы совпадают. Светящаяся точка S помещена на общей оптической оси зеркал на расстоянии а от первого зеркала. Где получится изображение S' точки после отражения от обоих зеркал? 26.14. Два одинаковых вогнутых зеркала поставлены одно против другого на расстоянии, равном 4F. В фокусе одного зеркала помещен источник света. Найти расстояние до четырех первых изображений источника. 148 26.15. в вогнутое зеркало радиусом R= 16 см налит тонкий слой воды (показатель преломления воды п = 4/3). Определить фокусное расстояние F этой системы. 26.16. Плоская поверхность плосковыпуклой линзы, фокусное расстояние которой F, посеребрена. Найти фокусное расстояние F' получившегося зеркала. 26.17. Каким будет фокусное расстояние F' зеркала, если посеребрить не плоскую, а выпуклую поверхность линзы, описанной в задаче 26.16? Радиус кривизны этой поверхности R. 26.18. Найти построением положение рассеиваюгцей линзы и ее главных фокусов, если размеры предмета АВ = 10 см, а его изображения А'В' = 5 см. Расстояние между точками В и В'у находяш,имися на оптической оси, а = 4 см. Проверить полученные результаты расчетом. 26.19. Найти построением положение изображения светящейся точки, расположенной в фокусе рассеивающей линзы. Проверить результат расчетом. 26.20. Каково главное фокусное расстояние линзы F, если для получения изображения какого-нибудь предмета в натуральную величину предмет этот должен быть помещен на расстоянии d = 20 см от линзы? Найти оптическую силу линзы. 26.21. На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием Р = 60 см следует поместить предмет, чтобы получить действительное изображение, увеличенное в Г = 2 раза? Решить задачу графически и аналитически. 26.22. С помощью линзы, оптическая сила которой D = = 4 дптр, необходимо получить увеличенное в Г = 5 раз изображение предмета. На каком расстоянии d перед линзой нужно поместить этот предмет? Решить задачу графически и аналитически. 26.23. Сходящийся пучок света имеет вид конуса с вершиной в точке Sj (рис. 102). На пути пучка света помещается собирающая линза так, что ось конуса совпадает с главной оптической осью линзы. Расстояние от оптического центра О линзы до равно 30 см. «1 149 в какой точке пересекутся лучи после преломления в линзе, если ее оптическая сила 4 дптр? 26.24. Точечный источник света находится на расстоянии L = 95 см от экрана. На каком расстоянии от источника света следует поместить линзу, фокусное расстояние которой F = 16 см и диаметр оправы D = 10 см, чтобы получить на экране ярко освещенный кружок диаметром d = 2,5 см? Пояснить ответ чертежами. 26.25. Предмет находится на расстоянии х = 10 см от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается четкое изображение предмета, расположен на расстоянии х' = 40 см от заднего фокуса линзы. Найти фокусное расстояние линзы. 26.26. На каком расстоянии надо поместить предмет от собирающей линзы, чтобы расстояние от предмета до его действительного изображения было наименьшим? 26.27. Расстояние от освещенного предмета до экрана L = 100 см. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета на экране при двух положениях, расстояние между которыми Z = 20 см. Найти фокусное расстояние линзы. 26.28. Собирающая линза дает изображение некоторого объекта на экране. Высота изображения равна h-^. Оставляя неподвижным экран и объект, начинают двигать линзу к экрану и находят, что при втором четком изображении объекта высота изображения равна /ig- Найти действительную высоту h предмета. Какому условию должно удовлетворять расстояние L между объектом и экраном? 26.29. Предмет и экран зафиксированы неподвижно в вертикальном положении. Между ними находится двояковыпуклая линза, которая может перемещаться вдоль главной оптической оси. При одном положении линзы на экране получается изображение предмета, увеличенное в 3 раза. Чему будет равно увеличение при другом положении линзы, при котором на экране получается четкое изображение предмета? Определить расстояние I между обоими положениями линзы. Расстояние между предметом и экраном L = 60 см. 150 26.30. Предмет находится на расстоянии L = 90 см от экрана. Между предметом и экраном перемещают линзу, причем при одном положении линзы на экране получается увеличенное изображение предмета, а при другом — уменьшенное. Каково фокусное расстояние линзы, если линейные размеры первого изображения в 4 раза больше размеров второго? 26.31. Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы F = = 5 см. Точечный источник света S находится на оптической оси линзы на расстоянии d = 6 см от линзы. Линза разрезается плоскостью вдоль оптической оси на две равные части, которые раздвигаются на расстояние s = 1 см симметрично относительно оптической оси. Найти расстояние S'S" между двумя изображениями точки. 26.32. Построить график зависимости расстояния/изображения предмета до линзы от расстояния d предмета от линзы. Рассмотреть также случай, когда предмет мнимый. 26.33. Выразить зависимость линейного увеличения Г от фокусного расстояния линзы F и расстояния d предмета от линзы для случаев: а) d> F; б) d < F. Построить график зависимости Г от d. 26.34. Вдоль оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см расположен предмет, один конец которого находится на расстоянии а = 17,9 см от линзы, а другой — на расстоянии Ь = 18,1 см. Определить увеличение линзы. 26.35. Найти длину V изображения стрелки, расположенной вдоль оптической оси, вплотную к рассеивающей линзе, если длина I самой стрелки равна фокусному расстоянию F линзы. Решение обосновать построением. 26.36. Точечный источник света расположен на расстоянии а = 30 см от тонкой линзы, оптическая сила которой D = Ъ дптр. На какое расстояние Ad сместится изображение источника, если между линзой и источником поместить толстую стеклянную пластинку толщиной h= 15 см и показателем преломления п= 1,5? 26.37. На экране, отстоящем от объектива (тонкая линза с оптической силой 5 дптр) на расстоянии 4 м, получено четкое изображение диапозитива. Экран отодвигают на 151 20 см. На сколько надо переместить диапозитив, чтобы восстановить четкость изображения? 26.38. Как изменится фокусное расстояние стеклянной линзы, если ее опустить в воду? 26.39. Показать, что оптическая сила двух соприкасающихся тонких линз равна сумме их оптических сил. 26.40. Объектив состоит из трех контактирующих тонких линз: первая двояковыпуклая с фокусным расстоянием Fj = 12,5 см, вторая двояковогнутая с фокусным расстоянием ^2 = -10 см и третья двояковыпуклая с фокусным расстоянием = 5 см. Определить фокусное расстояние F объектива. 26.41. Светящаяся точка находится на главной оптической оси линзы, фокусное расстояние которой F = 3 см, на расстоянии d == 4 см от ее оптического центра. На расстоянии а = 3 см от первой линзы находится вторая такой же оптической силы. Оптические оси обеих линз совпадают. Где получится изображение светящейся точки? 26.42. На оптической скамье расположены две собирающие линзы с фокусными расстояниями = 12 см и ^2 = = 15 см. Расстояние между линзами ^ = 36 см. Предмет находится на расстоянии d == 48 см от первой линзы. На каком расстоянии / от второй линзы получится изображение предмета? 26.43. Предмет находится слева от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см на расстоянии 20 см. Вторая собирающая линза с фокусным расстоянием 12,5 см расположена справа от первой на расстоянии 30 см. Найти положение изображения и увеличение, даваемое системой. 26.44. Изображение отдаленного источника света с помощью линзы, фокусное расстояние которой Fj^ = 20 см, проецируется на экран. Между линзой и источником света помещается вторая линза с фокусным расстоянием ^ 30 см, причем расстояние между линзами равно 1 = 10 см. На сколько нужно переместить экран, чтобы восстановить резкость изображения? 26.45. Параллельный пучок света падает на линзу, затем на вогнутое зеркало. Фокусное расстояние зеркала рав- 152 но F = 24 см. Расстояние между линзой и зеркалом I = 32 см. Каким должно быть фокусное расстояние линзы jPj, чтобы свет, отразившись от зеркала, собрался в точке, удаленной от зеркала на расстояние L = 6 см? 26.46. В трубку вставлены две двояковыпуклые линзы так, что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между линзами I = 16 см. Фокусное расстояние первой линзы = 8 см, второй — ¥2 = Ьсы. Предмет высотой Л = 9 см помеш;ен на расстоянии d = 40 см от первой линзы. На каком расстоянии от второй линзы получилось изображение? Какова его высота Л'? 26.47. Источник света находится на расстоянии а = 35 см от собираюш,ей линзы с фокусным расстоянием Fj = 20 см. По другую сторону линзы на расстоянии 6 = 38 см расположена рассеиваюш;ая линза с фокусным расстоянием F2 = 12 см. Где будет находиться изображение источника? 26.48. Оптическая система дает действительное изображение предмета. Где надо поставить собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 25 см, для того чтобы изображение стало мнимым и увеличенным в 4 раза? 26.49. Объектив дает в фокальной плоскости действительное изображение Солнца. Можно ли найти такое положение рассеивающей линзы, при котором изображение Солнца, оставаясь действительным, стало бы в 3 раза больше, чем без линзы? 26.50. Вогнутая сторона вогнуто-выпуклой линзы посеребрена. Свет от небольшого источника падает на выпуклую сторону линзы и, отражаясь от посеребренного слоя, дает изображение источника по ту же сторону линзы. На каком расстоянии d от линзы нужно поместить источник, для того чтобы изображение совпало с самим источником, если фокусное расстояние линзы F = 18 см, а радиус вогнутой поверхности Л = 40 см? 26.51. Источник света расположен на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы на ее оси. За линзой перпендикулярно оптической оси помещено плоское зеркало. На каком расстоянии от линзы нужно поместить зеркало, для того чтобы лучи, отраженные от зеркала, пройдя вторично через линзу, стали параллельными? 153 26.52. Три линзы с фокусными расстояниями Fj = 10 см, Fg = -20 см и Fg = 9 см расположены так, что их оптические оси совпадают, а расстояния между ними соответственно равны а = 15смиЬ = 15 см. На первую линзу падает параллельный пучок света. Найти положение точки схождения этого пучка после прохождения системы. 26.53. Для определения фокусного расстояния Fg рассе- ивающей линзы на оптической скамье последовательно расположили перпендикулярно оси масштабную линейку, на расстоянии а == 15 см от нее — собирающую линзу с фокусным расстоянием F^ = 10 см, затем исследуемую рассеивающую линзу и зрительную трубу, установленную на бесконечность. Оказалось, что, если рассеивающую линзу расположить на расстоянии / = 10 см от собирающей, в окуляре трубы наблюдается четкое изображение линейки. Определить Fg. 26.54. Сложный объектив состоит из двух тонких линз: собирающей с фокусным расстоянием F^ = 20 см и рассеивающей с Fg = -10 см. Линзы расположены на расстоянии / = 15 см друг от друга. С помощью объектива получают на экране изображение Солнца. Какое фокусное расстояние F должна иметь тонкая линза, чтобы изображение Солнца, полученное с ее помощью, имело такой же размер? 27. Зрение. Оптические приборы 27.1. Почему близорукий глаз может различать более мелкие детали, чем глаз с нормальным зрением? 27.2. Как изменится оптическая сила хрусталика глаза при переводе взгляда со звезды на книгу (книга находится на расстоянии наилучшего зрения)? 27.3. Мальчик, сняв очки, читает книгу, держа ее на расстоянии / = 16 см от глаз. Какой оптической силы у него очки? 27.4. Страница текста, напечатанного мелким шрифтом, подложена под толстую стеклянную пластину, показатель преломления которой п ^ 1,5. Какова максимальная толщина d пластинки, при которой близорукий человек без очков наиболее четко видит текст, если он пользуется очками с оптической силой Z) = -5 дптр? 154 Указание. Углы падения и преломления лучей, попадающих в глаз, малы, так что отношение синусов этих углов можно заменить отношением тангенсов. 27.5. Близорукий человек без очков рассматривает предмет, находящийся на некотором расстоянии под поверхностью воды. Оказалось, что если глаз расположен вблизи поверхности воды, то максимальное погружение предмета, при котором человек еще различает его мелкие детали, / = 30 см. Принимая показатель преломления воды равным п = 1,3, определить, какие очки следует носить этому человеку. 27.6. Дальнозоркий глаз аккомодирует, не напрягаясь, на расстоянии, не меньшем = 50 см. Какой должна быть оптическая сила очков, для того чтобы предел аккомодации был понижен до с/ = 20 см, если считать и глаз и очки близко расположенными тонкими линзами? 27.7. Человек с нормальным зрением начинает смотреть через очки с оптической силой D = 5 дптр. Между какими двумя предельными положениями должен быть расположен рассматриваемый объект, чтобы его было ясно видно? 27.8. Можно ли сфотографировать мнимое изображение? 27.9. Обычным фотоаппаратом можно снимать предметы, расположенные не ближе / = 50 см от объектива. С какого расстояния можно снимать этим же фотоаппаратом, если на объектив надеть насадочную линзу с оптической силой D = 2 дптр? 27.10. Диапозитив имеет размер а х Ь = 8 х S см^. Определить оптическую силу тонкой собирающей линзы, которая может служить объективом проекционного аппарата, если изображение диапозитива на экране должно иметь размеры сх^=1,2х1,2м2. Расстояние от объектива до экрана Z = 4 м. 27.11. Нужно изготовить фотографическим путем шкалу, разделенную на десятые доли миллиметра. Фокусное расстояние объектива = 13,5 см. На каком расстоянии от объектива следует поместить шкгшу, чтобы она была уменьшена в 10 раз? 27.12. Требуется сфотографировать конькобежца, пробегающего перед аппаратом со скоростью о = 10 м/с. Опреде- 155 лить максимально допустимое время х экспозиции при условии, что размытость изображения не должна превышать 0,2 мм. Главное фокусное расстояние объектива JP = 10 см, и расстояние от конькобежца до аппарата d = 5 м. В момент фотографирования оптическая ось объектива аппарата перпендикулярна траектории движения конькобежца. 27.13. Какие предметы можно рассмотреть на фотографии, сделанной со спутника вблизи Земли, если разрешающая способность пленки 0,01 мм? Каким должно быть время экспозиции X, для того чтобы полностью использовались возможности пленки? Фокусное расстояние объектива используемой фотокамеры F = 10 см. 27.14. С помощью фотографического аппарата 9 х 12 см требуется снять здание длиной / = 50 м. На каком расстоянии от здания нужно установить аппарат, чтобы весь фасад здания уместился на пластинке, если фокусное расстояние объектива F ^ 12 см? 27.15. Найти формулу увеличения лупы для того случая, когда наблюдатель устанавливает лупу так, чтобы: 1) видеть изображение на расстоянии наилучшего зрения; 2) адаптировать глаз на бесконечность. 27.16. Можно ли получить на экране изображение, даваемое микроскопом (телескопом)? Что нужно для этого сделать? 27.17. Увеличение микроскопа Г = 600. Определить оптическую силу объектива, если фокусное расстояние окуляра Fqj. = 4 см, а длина тубуса I = 24 см. 27.18. Фокусное расстояние объектива микроскопа F^q = ==0,5 см, а расстояние между объективом и окуляром микроскопа а = 16 см. Увеличение микроскопа Г = 200. Найти увеличение окуляра. 27.19. Фокусное расстояние объектива микроскопа F^q = = 1,25 мм, окуляра F^^^ = 10 мм. Расстояние между объективом и окуляром равно / = 16 см. Где должен быть помещен рассматриваемый объект и каково увеличение микроскопа для наблюдателя, расстояние наилучшего зрения которого L = 25 см? 27.20. Телескоп, объектив которого имеет диаметр D = = 8 см, наведен на отдаленную светящуюся точку. Из оку- 156 ляра телескопа выходит параллельный пучок лучей, который можно обнаружить, поместив перед окуляром матовое стекло или просто лист бумаги, в виде круглого светлого пятна. Диаметр этого пятна d = А мм. Путь лучей в телескопе не ограничен никакими диафрагмами (не считая входного отверстия объектива). Каково увеличение телескопа? 27.21. Фокусное расстояние объектива зрительной тру- бы^'о6 = 100 см, окуляра — = 8 см. Под каким углом ви- ден диаметр лунного диска при рассматривании изображения с расстояния наилучшего зрения L = 25 см? Кажупдий-ся угловой диаметр Луны а = 0,5°. 27.22. Фокусное расстояние объектива одного из рефракторов в Пулкове = 14,1 м. Каково увеличение этого рефрактора при пользовании окуляром с фокусным расстоянием F^^ = 2,5 см? 27.23. Зрительная труба настроена для наблюдения Луны. На какое расстояние и в какую сторону нужно передвинуть окуляр, чтобы можно было рассматривать предметы, удаленные от трубы на d = 100 м? Фокусное расстояние объектива F = 60 см. 27.24. Из астрономической трубы, у которой фокусное расстояние объектива F = 3 м, вынули окуляр и просто глазом рассматривают изображение, полученное в главном фокусе объектива. Труба наведена на очень далекий предмет. Какое увеличение дает в этом случае труба? 28. Фотометрия 28.1. Свет падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку по нормали к ее поверхности. Пренебрегая по-глош,ением и считая, что коэффициент отражения света на каждой поверхности равен а, определить т — долю световой энергии Ф, прошедшей сквозь пластинку. Учесть многократное отражение от границ. 28.2. С какого наибольшего расстояния можно заметить ночью огонек папиросы, если сила света папиросы при сильном затягивании I = 2,5*10"^кд, наименьший световой поток, воспринимаемый глазом, равен Ф = 10~^^ лм и плош;адь поверхности зрачка глаза в темноте S = 0,4 см^? 157 28.3. Высота Солнца меняется от угла до Как изменится освещенность поверхности Земли? 28.4. На какой высоте над чертежной доской следует повесить лампу мощностью Р = 200 Вт, чтобы получить освещенность доски под лампой, равную = 50 лк? Светоотдача лампы равна L = 12 лм/Вт. Наклон доски а = 30°. 28.5. Над горизонтальной поверхностью помещены на высоте Л = 2 м и на расстоянии Z = 1 м друг от друга два источника света, дающие световые потоки по Ф = 300 лм каждый. Определить освещенность на поверхности: а) в точках под источниками света; б) на середине расстояния между ними. 28.6. На некотором расстоянии от точечного источника света помещен экран. Как изменится освещенность в середине экрана, если параллельно ему по другую сторону от источника на том же расстоянии от него поставить плоское зеркало? Расстояние от источника до экрана / 1,5 м, сила света источника / = 50 кд. 28.7. В киноаппарате установлена лампа, дающая силу света I = 200 кд. Свет лампы проходит через конденсор и затем попадает в объектив аппарата; объектив проецирует изображение освещенной поверхности конденсора на экран в пятидесятикратном увеличении. На каком расстоянии от лампы находится проецируемая поверхность конденсора, если освещенность центра экрана Е = 100 лк, а в оптической системе аппарата теряется k = 37,6% света? 28.8. Над полусферой находится симметрично расположенный точечный источник света силой / = 50 кд на высоте, равной диаметру полусферы. Определить освещенность в той точке поверхности полусферы, в которую лучи падают под углом а = 35°. Радиус полусферы R = 1 м (рис. 103). 28.9. Точечный источник света S освещает поверхность MN (рис. 104). Как изменится освещенность в точке А, в которой лучи от S падают на поверхность нормально, если сбоку источника на таком же расстоянии, как и освещаемая поверхность, поместить зеркало Z, отражающее свет от S? Коэффициент отражения принять равным единице. Зеркало находится на одном уровне с источником S. Сделать построение. 158 28.10. На высоте Л ^ 1 м от поверхности стола находится точечный источник света силой I = 25 кд. Какова освещенность в точке, расположенной под источником, если на пути лучей поместить горизонтально линзу с оптической силой 1 дптр так, чтобы источник находился в ее фокусе? 28.11. Какой будёт кажущаяся сила света I источника, если, закрыв сам источник, рассматривать его отражение в зеркале: а) выпуклом; б) вогнутом? Радиусы кривизны выпуклого и вогнутого зеркал равны Л, сила света источника Iq, и он находится на расстоянии d от зеркал. 28.12. В фокусе вогнутого зеркала с радиусом кривизны /2 = 50 см находится точечный источник света. На расстоянии L = 25 м от зеркала помещен экран, перпендикулярный главной оптической оси зеркала. Во сколько раз освещенность в центре светлого пятна, полз^чающегося на экране, больше, чем освещенность в том же месте экрана, создаваемая источником при отсутствии зеркала? Потерями света в воздухе и при отражении пренебречь. 28.13. Какой будет кажущаяся сила света источника, если его рассматривают через линзы с фокусным расстоянием F\ а) собирающую; б) рассеивающую? Сила света источника равна Iq. Источник находится на расстоянии а от линзы. 28.14. Солнечные лучи, падая нормально на экран, дают освещенность ^ = 10 000 лк. Перед экраном помещают: а) тонкую линзу с оптической силой JDj = 5 дптр на расстоянии = 60 см; б) линзу с оптической силой Dg = -2 дптр на расстоянии «2 20 см. Определить в обоих случаях сред- нюю освещенность экрана в тени от линзы и в светлом кольце вокруг тени. Потерями света в линзе пренебречь. 159 28.15. Проекционный аппарат имеет объектив с фокусным расстоянием F = 5 см. Квадратный диапозитив площадью S = 10 см^, находящийся на расстоянии а = 5,1 см от линзы, пропускает световой поток Ф = 10 лм. Определить освещенность Е' изображения диапозитива на экране. Считать, что световой поток не рассеивается. 28.16. При помощи линзы последовательно получены два изображения одного и того же предмета. Увеличения и Г2 оказались равными пяти и двум. Как изменилась освещенность экрана в месте получения изображения? 28.17. Лучи Солнца освещают бумагу. Как изменится освещенность бумаги, если на ней при помощи тонкой линзы с оптической силой П = 4 дптр и диаметром отверстия d = = 6 см получить изображение Солнца? Угловой диаметр Солнца а = 30'. 28.18. Большая картина фотографируется сначала целиком, а затем ряд деталей фотографируется в натуральную величину. В первом случае время экспозиции ^j = 5 с. Каким должно быть время экспозиции при съемке деталей? 28.19. Объективом малой светосилы фотографируется предмет с уменьшением в 2 раза. Как изменится освещенность на фотографической пластинке при съемке в тех же условиях, если снимать в масштабе 1:1? 28.20. Сначала фотографируется близкий объект, потом дальний. Куда надо переместить объектив? Как надо изменить экспозицию? 28.21. Планета рассматривается в телескоп, объектив которого имеет фокусное расстояние F = 800 мм и диаметр П = 80 мм. Как изменится освещенность Е изображения планеты на сетчатке глаза, если окуляр с фокусным расстоянием F2 = 50 мм заменить окуляром с фокусным расстоянием F'2^ 25 мм или окуляром с фокусным расстоянием F'2 = 100 мм? 28.22. При наблюдении в телескоп освещенность изображения звезды в /г = 10 раз меньше освещенности поверхности дневного неба, рассматриваемого в тот же телескоп. Во сколько раз нужно увеличить диаметр объектива телескопа, для того чтобы освещенность изображения стала в /г^ = 10 раз больше освещенности неба? 160 29. Волны. Кванты. Энергия связи 29.1. Длина волны красного света в воде равна длине волны зеленого света в воздухе. Вода освещена красным светом. Какой цвет видит при этом свете человек, открывающий глаза под водой? 29.2. Известно, что заря красная, а небо — синее. Какие лучи сильнее рассеиваются в атмосфере? 29.3. 1. Объясните происхождение цвета: а) синего неба; б) синего стекла; в) синей бумаги. 2. На белом фоне написан текст красными буквами. Через стекло какого цвета нельзя увидеть надпись? 29.4. 1. Если две волны интерферируют друг с другом, то изменяет ли одна волна распространение другой? 2. Имеет ли место изменение энергии при интерференции волн? 3. Почему интерференционные явления наблюдаются только в тонких пленках и пластинках? 29.5. Лучи света под углом i = 45° падают на тонкую прозрачную пластинку, которая при этом окрашена в зеленый цвет. Показать, что при уменьшении угла i цвет пластинки должен изменяться, переходя к красному концу спектра, а при увеличении угла i — наоборот, к фиолетовому. 29.6. Белый свет, падающий нормально на мыльную пленку (п = 1,33) и отраженный от нее, дает в видимом спектре интерференционный максимум на волне длиной = 630 нм и ближайший к нему минимум на волне длиной Л,2 = 450 нм. Какова толщина d пленки, если считать ее постоянной? 29.7. Определить энергию и массу фотона, длина волны которого соответствует: а) видимой части спектра (А, = 0,6 мкм); б) рентгеновскому излучению (Aj = 10 нм); в) у-излучению (Ag = 0,1 нм). 29.8. Вычислить длину волны фотона, энергия которого равна энергии покоя электрона. 29.9. Какому числу фотонов излучений с длинами волн Aj = 1 мкм и А2 = 2 пм соответствует энергия Е = \ эрг? 11 - 5495 1 61 29.10. 1. Сколько фотонов попадает за 1 мин на 1 см^ поверхности Земли, перпендикулярной солнечным лучам? Солнечная постоянная w ~ 1,4 х 10^ Дж/(м^ • с), средняя длина волны солнечного света = 5,5 • 10“^ м. ср 2. Определить уменьшение массы Солнца в 1 с. Расстояние от Солнца до Земли i? = 1,5 • 10^^ м. Определить время, за которое масса Солнца уменьшается на 1% . 29.11. Работа выхода электронов из натрия равна = = 2,27 эВ. Найти красную границу фотоэффекта для натрия. 29.12. Работа выхода электрона с поверхности цезия равна = 1,89 эВ. С какой максимальной скоростью вылетают электроны из цезия, если металл освещен желтым светом с длиной волны А, = 0,589 мкм? 29.13. В опыте Столетова заряженная отрицательная цинковая пластинка облучалась светом от вольтовой дуги. До какого максимального потенциала зарядится цинковая пластинка, если она будет облучаться монохроматическим светом, длина волны которого X = 324 нм (ближний ультрафиолетовый свет)? Работа выхода электронов из цинка равна - 3,74 эВ. 29.14. Красная граница фотоэффекта для железа, лития, калия определяется соответственно длинами волн 285, 520, 580 нм. Найти работу выхода электронов из металлов и выразить ее в электрон-вольтах. 29.15. Красная граница фотоэффекта для лития 520 нм. Какое задерживающее напряжение нужно приложить к фотоэлементу (к фотокатоду подключается плюс, к аноду-коллектору — минус источника напряжения), чтобы электроны, испускаемые литием под действием ультрафиолетового излучения с длиной волны 200 нм не могли создать ток в цепи? 29.16. Для исследования фотоэффекта и измерения постоянной Планка П. И. Лукирский применял фотоэлемент, у которого анодом-коллектором служили посеребренные стенки стеклянного сферического баллона, в центре которого находился фотокатод в виде шарика из исследуемого материала. Найти постоянную Планка, если фотоэлектроны, вырываемые с поверхности некоторого металла светом с 162 частотой 1,2 • 10^^ Гц, задерживаются разностью потенциалов 3,1 В, а вырываемые светом с длиной волны 125 нм — разностью потенциалов 8,1 В. 29.17. Электрон, ускоренный электрическим полем, приобрел скорость, при которой его масса стала равной удвоенной массе покоя. Чему равна разность потенциалов, пройденная электроном? 29.18. Вычислить энергию связи ядер дейтерия fH, трития jH, гелия gHe (в МэВ). Частица т, а. е. м. Е, МэВ Нейтральный атом т, а. е. м. Электрон 0,00055 0,511 ?Н 2,01410 Протон 1,00728 938,3 ?Н 3,01605 Нейтрон 1,00866 939,6 ^Не 4,00260 29.19. Какая энергия выделяется при термоядерной реакции jH + jH ^ gHe + Jrt? Необходимые данные возьмите из условия задачи 29.18. 29.20. При делении одного атома на два осколка выделяется около 200 МэВ энергии. Какой энергии (в кВт • ч) соответствует «сжигание» в ядерном реакторе массой 1 г? Определить массу условного топлива (удельная теплота сгорания q = 2,94 • Дж/кг), при сгорании которого выделяется столько же энергии. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ I. МЕХАНИКА 1. Кинематика 1.1. + l>2); Xq = lv-^/(v-^ + V2). Решение. Зависимость координаты тел от времени задается формулами: = V^t; Х2 = I - ^2^* Встреча = Х2) произойдет через время = l/(v-^ + Ug) от начала движения в точке С, находящейся на расстоянии Х(. = = lv^/(v^ + V2) от пункта А. Графики зависимости координаты тел от времени изображены на рис. 105 (tg а = v-^; tg (3 = = l>2 < О, так как V2 направлен в сторону, противоположную направлению, принятому за положительное). Моменту встречи соответствует точка С пересечения графиков. (I - 1.2. I - VztQ Хг = - Vr Указание. Воспользуйтесь графиками зависимости координаты тел от времени (рис. 106). 1.3. t2 = Q4. Решение. Обозначив и — скорость течения, а и — скорость лодки относительно воды, можно записать: = аДу-Ь п); (1) t = s/u. (2) Для определения времени t2 = s/{v - и), затрачиваемого лодкой на обратный путь, уравнения (1) и (2) удобно переписать следующим образом: 1 П 7/ (3) <1 S s’ (4) 164 Рис. 106 Вычитая из уравнения (3) удвоенное уравнение (4), получаем 1 tt. t, t в в 1.4. 1,5 мин. 1.5. л - 100. Решение. Если бы скорость человека была направлена противоположно направлению движения эскалатора, то он насчитал бы тем меньше ступенек, чем быстрее шел (но не меньше п). В нашем же случае направления скоростей человека и эскалатора совпадают. Пусть V — скорость движения эскалатора; I — его длина и п — число ступенек на неподвижном эскалаторе. Число ступенек, приходящихся на единицу длины эскалатора, равно п/1. Поэтому если человек идет со скоростью и относительно эскалатора, то время его пребывания на эскалаторе l/(v + w), а путь, пройденный по эскалатору, ul/(v + и). При этом человек насчи- тывает число ступенек = чае он насчитывает ul п V + и I 3ul п у. Аналогично во втором слу- V + Зи I' Таким образом, мы получаем систему уравнений: и V + и Зи V + Зи п = п 1’ или п ^ п 2» 1 + !^ = -!^, и n-i 3 и П.2 Отсюда, исключая отношение v/u, находим п = 2n^n.2/iSn^ - П2) = 100. 165 1.6. и = 7,5 км/ч; V = 17,5 км/ч. 1.7. и = А км/ч; i; = 16 км/ч. Решение. Выберем в качестве системы отсчета плот (воду). В этой системе отсчета лодка движется вниз и вверх по реке с одинаковой скоростью. Это означает, что время удаления лодки от плота равно времени приближения к нему; таким образом, лодка также возвращалась ^/4 ч. За 1,5 ч плот прошел расстояние Sj - §2 = 6 км. Следовательно, скорость течения (скорость плота относительно берега) и = А км/ч. Скорость лодки относительно воды v = s^/^ - и = 16 км/ч. Это решение иллюстрирует, насколько важен в кинематике удачный выбор системы отсчета. 1.8. t = 2 мин. Указание. Скорость велосипедиста в системе отсчета, связанной с колонной, равна 1^2 - v-^, когда он движется к головному отряду, и ^2 + когда он возвращается обратно. Поэтому I I 21v2 t = Vo - V. + >r /2 ^ ^1 ^2 1.9. 600 м/с. 1.10. V2 = i^itg a ~ 14,4 м/с. Решение. Для того чтобы капли дождя не оставляли следа на заднем стекле, необходимо, чтобы направление вектора скорости V капли относительно автомобиля составляло с горизонтом угол не больше 60°. Относительная скорость складывается из вертикальной составляющей, равной скорости 1З2 падения капли, и горизонтальной составляющей, равной скорости автомобиля и направленной в противоположную сторону (рис. 107). Из треугольника скоростей видно, что V2 = yjtg а. 1.11. Одинаково. 1.12. U = 174 км/ч; на северо-запад под углом 4°27' к меридиану. Указание. Обозначим Vq = s/t — скорость движения самолета относительно Земли. Она направлена, согласно условию, вдоль меридиана, тогда Vq = и + и. По теореме косинусов = и^ + - 2uVqCos 150°. Угол [3 между v и Vq находим из теоремы синусов: sin (3/u = sin 150°/i;. 166 с V / V ^ ^ /\«_____________РЛч. Рис, 108 1.13. а) и б) — прямую, составляющую угол а = arctg(u/u) с направлением движения доски. В случае б) след может не доходить до края доски. Указание. Рассмотреть движение мела в системе координат, связанной с доской. Так как сила трения направлена вдоль вектора скорости мела относительно доски, то она не может изменить направление движения мела и уменьшает лишь его скорость. 1.14. Р = arcsin ^“Sin а^. Указание. Точка С (рис. 108) — место встречи корабля и торпеды. АС = vt, ВС = ut^ где t — время движения торпеды. АС ВС vt ut Согласно теореме синусов sinp sin а или sinP sin а Отсюда Р = arcsin ^“Sin а^. 1.15. и = n/cos а. Решение. За один и тот же малый промежуток времени At ползун перемещается на расстояние АВ = А/, а шнур выбирают на длину АС = A/cos а (рис. 109) (ZBCA можно считать прямым из-за малости Аа). Поэтому можно записать: А1/и = A/cos a/v, откуда и = = L>/cos а, т. е. скорость выбирания шнура равна проекции скорости ползуна на направление шнура. 1.16. и = L>/cos а. Указание. Проекция скорости и груза на направление каждого из канатов должна быть равна скорости каната (см. задачу 1.15). 1.17. Уд = u^ctg а = 17,3 см/с; ОВ = Vn = = v4/Jl^ - v^t^. 167 Указание. См. задачу 1.15. В любой момент времени проекции скоростей и концов стержня на его ось (рис. 110) равны между собой, так как в противном случае стержень должен был бы укорачиваться или удлиняться. Таким образом, u^cos а = v^sin а, откуда = = v^cig а. 1.18. а) 40 м/с; б) 0; в) 20 J2 м/с. Указание. Скорость любой точки гусеницы относительно земли в любой момент времени складывается из скорости танка относительно земли и скорости звена гусеницы относительно танка. 1 i / о 2ViiV2 + Vs) 1.19. 1. = -—г— = 48 км/ч; 2. ^ ^ = 40 км/ч. -ср + V. 2l»i + U2 + Vs Решение. 1. Средняя скорость численно равна отношению всего пути, пройденного телом, ко времени движения: = 1 1 2® 2^ 1 + V2) = s/t. Время t = t. + to = — + — = Q;------------, поэтому v L>1 V2 z ” Ui V cp = 2ViV2/(V^ + U2). 2. Указание. Вторую половину пути автомобиль шел со средней скоростью, равной (Og + 1^з)/2. 1.20. = 54 км/ч; О2 = 36 км/ч. 1.21. Скорости будут одинаковы. Время движения второго шарика меньше. Решение. Примерные графики скорости движения шариков приведены на рис. 111. Так как пути, пройденные шарика- Рис. 111 ми, равны, то, как видно из графика (на графике пути численно равны площадям заштрихованных фигур), 1-22- %i/%2 = Решение. Если ветер дует вдоль линии АВ, то время всего 1^1 21 перелета ^ ^, а средняя скорость = —j- + I V + и V - и - ц2) {I — расстояние между городами). Если же ветер дует перпендикулярно линии АВ, то скорость самолета относительно ветра должна быть направлена под углом к линии АВ, причем так, чтобы скомпенсировать «снос» (рис. 112). Скорость перелета в этом случае постоянна и равна 7^^ ~ (время пере- лета в этом случае равно 2l/): %i/%2 = и^)/(V Jv^ - - и^!V. 1.23. ~ 16,2 м/с. График скорости движения поезда пред- ставлен на рис. 113. Решение. Пройденный путь численно равен площади трапеции, ограниченной графиком скорости и осью (см. рис. 113): ® ^ ^2 *^макс^2)’ « = + *2 + h)' Из этих двух уравнений найдем: ^2 ~ ^ ~ 170 с; ----= 16,2 м/с. S 1^ ^ср " 169 Рис. 1 1 6 170 1.24. 2 : 1; см. рис. 114. Указание. Путь, пройденный поездом после того, как от него отцепили вагон, равен площади прямоугольника ОАВС; путь, пройденный вагоном, — площади треугольника ОАС. 1.25. V = 7 м/с; рис. 115. Указание. Из графика видно, что пути, пройденные провожающим и поездом, равны в момент времени, когда v = 2oq. 1.26. Рис. 116. Указание. Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты (или пути) тела от времени численно равен скорости тела. Поэтому прямая, представляющая график x{t) между и в точках, соответствующих моментам и ig» — касательная к параболам, описывающим движение тела до момента и после момента ^2> являющимся графиками x{t) или s(f) до момента и после момента ^2 соответственно. В моменты t = О и f = tg графики s(f) и имеют горизонтальную касательную. 1.27. Рис. 117. Указание. Прямая между точками и ^2 является касательной к кривым x{t) и s(0, описывающим движение тела до момента и после момента ^2* + al 1.28. s = + г; и, = ,------- а Зго + М + 2а/ Решение. Введем систему координат с началом в точке А и осью X, направленной вдоль скорости тела в точке А (рис. 118). Когда тело окажется в точке В, его координата будет равна -I. Тело попадает в точку В только в том случае, если его ускорение а направлено противоположно скорости Vq. Поэтому зависимость скорости V от времени выражается формулой v = Vq - at. В момент времени = VQ/a скорость становится равной нулю. В этот момент тело находится на наибольшем расстоянии от точки А. При t > V < 0. Подставляя значение t = кинематическое уравнение движения тела: д f 2 X = VQt - , находим, что х^^^ = = /(2а). Путь, пройденный телом за время всего движения, s = + +/=^+г. -I О Рис. 118 171 Для того чтобы найти среднюю скорость тела нужно знать время движения тела из точки А в точку В. Его можно определить, подставив в уравнение для х значение координаты точки Б, т. е. л: -I: ^2 ^ ^а.1)1а (второй ко- рень отрицателен, поэтому его нужно отбросить). Тогда время движения тела t = 2t^ + ^2» а его средняя скорость движения = s/t = (и^ + al)/(3vo + Jv^ + 2al). 1.29. Cm. рис. 119; v-^ = tg a. Точка ^2 соответствует макси- мальной координате тела. До момента времени t = движение равномерное, при t > — равноускоренное с отрицательным ус- корением (т. е. ускорением, направленным противоположно скорости п). 1.30. ^2^ л/^2(^2 ~ ^l) • Решение. Приравниваем пути, пройденные телами к моменту tg встречи: ait|/2 = agCtg - ti)2/2. (1) Из рис. 10 видно, что а-^/а2 = (^2 ~ ^i)/^2 (а^ = tg а; 02 = tg (3). Подставив в уравнение (1) отношение а^/а2 и решая полученное уравнение относительно tg, найдем, что tg = = tg + ^tgCtg - ti). Второй корень отброшен, так как должно выполняться условие tg > tg. Графики движения тел представлены на рис. 120. 1.31. За вторую секунду. 1.32. V = л/Ьа. Решение. Время перевозки груза будет наименьшим, если средняя скорость перемеш,ения вагонетки будет наибольшей, что очевидно. Последнее, при условии данной задачи (начало и конец движения происходят 172 с постоянным по модулю ускорением), может быть лишь в случае, если вагонетка первую половину пути двигалась с ускорением -1-а, а вторую — с ускорением -а (рис. 121). Таким образом, ux/2*2 = L/2, х/2 = и/а, откуда V = 4Ьа. 1.33. а = 10 м/с^; v = 300 м/с. Рис. 121 а^1 '•34- « = +% = 3,2 ы/сН «о = ^ ^ = 13,6 м/с. Указание. Пути, пройденные поездом к моментам времени t-^ и -1- ^2» соответственно равны: af? a(fi + fo)^ ^ = Vi + -^ и 2/ = L>o(^i + ^2> +-2----• 1,35,. = 1^. Указание. Задача решается наиболее просто, если воспользоваться обратимостью движения и выбрать за начало отсчета границу раздела двух отрезков. Тогда шарик имеет начальную скорость — искомое значение у, при этом ускорение в направлении к начальной точке — а, а к конечной — (-а). Написав уравнение движения для путей, пройденных шариком, a(3t)2 , a^2 l = vt^ I = v3t - и исключив а, найдем ответ. 1.36. х„ = 0,48 с. Решение. Обозначим всю длину доски 51, тогда можно записать, что время прохождения мимо отметки, сделанной на наклонной плоскости, первого отрезка х = J2l/а. Время прохождения мимо отметки начала и конца п-го отрезка соответственно равно: ti = J2(n - l)l/a = xjn - 1 и t2 = J2nl/a =xjn, откуда= t2~ t^ = x(Jn - Jn - 1). 1.37. t = 1,8 • 10“^ c; a ~ 2,21 • 10^ m/c^; v ~ 282 м/с; s = 32 cm; Uj = 40 м/с. 173 Указание. При определении, на какой глубине скорость пули уменьшилась в 3 раза, воспользоваться формулой s = i;^/(2a). Начиная с точки, где скорость уменьшилась в 3 раза, оставшийся путь будет в 3^ раза меньше всего пути. 1.38. Vq = 45 см/с; а = 30 см/с^. Решение. Способ 1. Зависимость координаты шарика вдоль наклонной плоскости от времени выражается формулой х = = ^. Отсюда ------ 2х " Н---=0. Так как и — корни 2 а а этого уравнения при х = I, то, согласно теореме Виета, + t2 = = 2vja и = 2//а. Из полученной системы уравнений нетрудно найти Vq и а. Способ 2. Зависимость скорости шарика от времени выражается формулой V = Vq - at. В моменты времени t = t-^ и t = t2 шарик имел скорости, одинаковые по модулю и противоположные по направлению: = -Ug* Но ~ ^ ^ ~ ^^2’ поэтому Vq - at^ = -Vq + at2, или 2vq = a{t^ + t^. (1) Так как шарик движется равноускоренно, то его средняя скорость за время равна = (2vq Vq + Vi 2vq - ati . Поэтому 2 2 aij)fj/2, или 2vq - at^ = 2l/t^. Решая уравнения (1) и (2) совместно, находим (2) а = 21 V, = + ^ о ^1^2 ■ ‘1 ‘■г 1.39. ~ 0,45 с; ^2 ~ 0,023 с; ~ 4,9 м; §2 = 40 м. 1.40. т = (Jri2 - лАч)- 1.41. Л = 195 м. 1.42. t ~ 5,45 с; h~ 145 м. Указание. Обозначив через h высоту, с которой упало тело, и через t время его падения с этой высоты, можно записать следующие уравнения: gt^/2 = h; g(t - 1)^/2 = ^/3/1. Решая их совместно, получим t п h. Задачу можно решить короче, если воспользоваться формулой пути, пройденного телом за <-ю секунду: S,=f(2(-1): |(2«-l)-|f. 1.43. Vq = J2gh . 174 1.44. т ~ 1 с. Указание. Обозначим: т — промежуток времени между отрывом первой и второй капли, t — время с момента отрыва второй капли, d — расстояние между каплями через время t (с момента отрыва второй капли). Учитывая, что капли относительно друг друга движутся равномерно, можно записать уравнение для определения т: d = H-+ gxt. 1.45.i;„=f Указание. См. задачу 1.38. Решите задачу другим способом. 1.46. 5 с; на 75 м ниже точки В. Указание. Относительная скорость тел постоянна и равна 2v. Оба тела сближаются с этой скоростью. Следовательно, время до встречи равно l/{2v) = 5 с. 1.47. h - V4^„aKC = V4 V^/(2g). Указание. Задача может быть решена красиво, если сообразить, что момент встречи делит время подъема, так же как и время падения тел, на равные части. Пути, проходимые телом, падающим без начальной скорости, в последовательные равные промежутки времени относятся как 1:3. Следовательно, встреча произойдет на ^/4 наибольшей высоты подъема. л AQ * ^0 Т 1 „к . 1^0 gX^ -о „ 1.48. ~ ~8~ ^ Указание. См. задачу 1.38. Решите задачу аналитически и графически. 1.49. t ~ 3,4 с. Решение. Возьмем ось координат, направленную вертикально вверх, с началом отсчета на поверхности Земли. Тогда кинематическое уравнение движения предмета имеет вид у = Uq + gx^ + Vot —^, где i/o = ах^/2 и Vq = ах. Подставив в это уравнение значение координаты предмета в момент падения у = 0, найдем t. 1.50. / = + 2uvQ/(2g); - (и + VQf/(2g); х = 2(Vq + u)/g. Указание. Кинематическое уравнение движения тела удобно записать в системе координат, связанной с движущимся аэростатом. Здесь Vq + и — начальная скорость тела; g — уско- 175 рение свободного падения; — координата тела в момент, когда скорость тела относительно аэростата равна нулю; I — его координата в момент Zj, когда равна нулю его скорость v относительно земли. Так как и = l?q - g’Z, то l> = О при При t = т координата тела равна нулю. 1.51. Vq=^ 1 м/с. Решение. Способ 1. Приняв за начало отсчета поверхность Земли, напишем уравнения движения обоих тел: д:1 ri 2 ’ Х2 = Н - h + v^t —^. (1) (2) В момент приземления = Х2 = 0. Подставляя значения х^ и Х2 в уравнения (1)и(2)и решая их относительно Vq, находим VQ = h 2^ Способ 2. Оба тела сближаются, двигаясь друг относительно друга равномерно. Начальное расстояние между ними равно h. Следовательно, скорость Vq может быть найдена из уравнения равномерного движения i;q = h/t, где t — время падения первого 2Н тела с высоты Н, причем t = . Находим Vq J^7g Ч2Н = h \Лг. 1.52. Uo = Н - h 2h J2gh ~ 7 м/с. 1.53. Uq "" Jbgcos^ a/(2sin a). Решение. Записав уравнения координат камня (рис. 122): X = UqZ; у = gt^l2 и учитывая, что в момент падения камня х = = Lcos а, у = Lsin а, получим после исключения t, что Vq = = jLgcos^ a/(2sin а). 1.54. 4,9 м. Указание. Время подъема мяча равно 1 с. 1.55. а = acrtg v j2/{gh); s = vj2h/g . Указание, tg a = s/h (рис. 123). 1.56. Время падения первого тела, не испытавшего соударения с плош;адкой, меньше времени падения второго тела. 176 Рис. 122 Скорости тел в те моменты, когда они находились на одной высоте, одинаковы. Указание. При упругом ударе величина скорости сохраняется, изменяется только ее направление. 1.57. 0,64 с; 0,52 м. Указание. В системе координат, связанной с лифтом, ускорение болта равно 9,8 м/с^ + 2 м/с^ = 11,8 м/с^. Относительно шахты лифта начальная скорость болта равна 2,4 м/с, а ускорение равно 9,8 м/с^. 1.58. АЛ ~ 56,4 м; тела удаляются друг от друга с постоянной скоростью. Указание. В вертикальном направлении оба тела удаляются друг от друга со скоростью, равной UqCos а - (-l>oCos а) = 2uqCos а. 1.59. Решен ив. Если начальные скорости тел равны Vq и Uq, то через время t их скорости равны соответственно ^ + gt и и = Uq + gt (g — вектор ускорения свободного падения). Скорость второго тела относительно первого равна = й - д = Uq - Vq. 1.60. tg а = лУЗ; а = 60°. Решение. Способ 1. Оба тела могут встретиться на линии АО (см. рис. 11) в точке С (она может лежать и ниже линии ВО). Разложим начальную скорость Vq тела, брошенного из точки В, на горизонтальную Vq^ и вертикальную Vq^ составляюш;ие: Vqx = Uq ^Оу ^ начала движения до момента встречи тел пройдет время t = 1/Vqx = //(l>oCOS а). За это время тело, падающее из точки А, опустится на Я - Л = gt^/2, а тело, брошенное из точки В, поднимется на высоту gt^ gt^ ^ == ~ ^ ^ “ “2"* 12 - 5495 (1) (2) (3) 177 Решая совместно уравнения (2) и (3), находим: Н = tVQsin а. (4) Подставляя в уравнение (4) значение t из выражения (1), получаем tg а = Н/1, т. е. угол бросания а не зависит от начальной скорости тела, брошенного из точки В, от ее модуля зависит лишь расположение точки встречи С на линии АО. Способ 2. Перейдем в систему координат, связанную с телом, падающим из точки А. Здесь скорость тела, брошенного из точки Б, постоянна (см. задачу 1.59). Поэтому ясно, что тела встретятся, если вектор скорости тела направлен к точке А, т. е. tg а = H/L 1.61.1)= 7^2- - 2gh и не зависит от угла бросания. 1.62. t = i;o(sin а - cos а tg |3)/g ~ 0,75 с. 1.63. : h2: = 3 : 2 : 1; 1-^: I2: 1^ = JS : 2 : Js. Указание. Наибольшая высота подъема h = v^in^a/{2g) и дальность полета воды I = tVQCOs а, где t — время движения воды, равное удвоенному времени подъема на высоту h; t = = 2DoSin a/g, откуда I = u§sin 2a/g. 1.64. t = j2dTg ; от угла не зависит. Решение. Вдоль желобов грузы будут двигаться под действием составляющей силы тяжести mgcos а и, следовательно, с ускорением а = geos а; длина желоба I = dcos а (см. рис. 12). Время движения груза равно t = J2l/a = J2d/g. Из формулы видно, что t не зависит от угла. 1-65. 2,8 м. Решение. Очевидно, что камень брошен вверх под углом, так как если бы он был брошен вертикально, то его скорость через 0,5 с составляла бы Vq- gt ^ Ъ,1 м/с. Высота, на которую поднимается камень, Ям.„с = 1000 м, находим, что погрешность измерения моментов выстрела и прихода эха не должна превышать 0,09 с. 1.71. т»1,77с. Решение. Если не учитывать времени прохождения звука, то получим, что глубина колодца равна = g‘i^/2. При учете времени прохождения звука т = т^ + Xg, где х^ = J2h/g — время падения камня, а Xg = h/v — время прохождения звука (h — истинная глубина колодца): х=^+ т. V ^ g (1) Относительная погрешность измерения глубины колодца равна Ah/h = (Л1 - h)/h = 0,05. Отсюда h = 0,95Л^ = 0,95^. Подставляя это выражение в выражение (1) и решая полученное уравнение, находим X = 2(1 - V 0,95 g 1,77 с. 2. Законы Ньютона 2.1. Оба вагона пройдут одинаковые расстояния. F !.2. m = 2(^M-^j«800 кг. Указание. Условия равномерного движения аэростата при спуске и подъеме: Mg = F + (М - m)g + = F. 181 2.3. a) Г = М(^ + а) = ЗД-lO^H; б) Г = M(^-a) - 2,8 • 10^ Н; в)Т = Мя«2,95*104Н. 2.4. При движении лифта с ускорением, направленным вверх (это будет в начале подъема и в конце спуска), показание весов больше mg (т — масса человека). Если ускорение направлено вниз, что будет в начале спуска и в конце подъема, показание весов меньше mg. Если лифт движется равномерно, показания весов равны mg. Указание. Уравнение движения человека та = mg - N (уравнение написано в проекциях на направление g). Здесь а — ускорение лифта (алгебраическая величина) тз. N — сила реакции весов. В соответствии с третьим законом Ньютона на весы со стороны человека действует сила N', равная по величине N\ N' = N = m{g-a). 2.5. При приседании уменьшится, при выпрямлении — увеличится. Указание. При приседании ускорение центра массы человека направлено вниз, а при выпрямлении — вверх. 2.6. Во время свободного падения ящика (движение в поле силы тяжести при отсутствии других сил) сила давления шаров на дно и на стенки ящика, а также друг на друга равна нулю. 2.7. Тело будет совершать колебания на пружине, амплитуда которых равна начальному удлинению пружины. Указание. Задачу удобно решать в неинерциальной системе отсчета, связанной с движущимся лифтом (см. «Элементарный учебник физики» под ред. акад. Г. С. Ландсберга, т. I, гл. 6). В этой системе отсчета на груз действуют три силы: сила тяжести mg, уравновешивающая ее сила инерции -mg, а также сила натяжения пружины, равная в начальный момент времени действующей на груз силе тяжести mg. 2.8. At = J2m{g - a)/{ka). Решение. До момента отрыва тела от подставки оно движется с ускорением а под действием трех сил: силы тяжести = mg, силы упругости пружины F2 = kx и силы реакции N подставки. Поэтому mg - kx - N = та. В момент отрыва тела от подставки сила реакции подставки становится равной нулю. Учитывая это и подставляя в уравнение движения тела выражение для х = a(At)^/2, находим At = = J2m{g - a)/{ka). 182 m^g 2.9. a = 1,96 m/c2; T - 0,6 H; F = = 1,2 H. Решение. Силы, действующие на грузы, изображены на рис. 125. Запишем уравнения движения грузов: т^а^ = m^g+T^, (1) + (2) Ускорения Oj и ag грузов численно равны, так как нить нерастяжима и перемещения грузов всегда одина-ковы (соотношения между ускорениями тел системы определяются их кинематической связью, т. е. связью ^ 25 между их перемещениями). В общем случае силы Tj и приложенные к концам нити, по третьему закону Ньютона численно равные силам и Tg, не равны между собой, т. е. разность этих сил сообщает ускорение нити и угловое ускорение блоку. Если массой нити и блока пренебречь, то Т\ и Fg и соответствующие силы Т-^ и Tg, приложенные к грузам, можно считать равными друг другу. Спроецировав векторы, входящие в уравнения (1) и (2), на оси Xj и Х2, совпадающие с ускорениями каждого из грузов (условно считаем > mg)» получим следующую систему уравнений: т-^а m^g - Т\ mga^T-mg^* Решая эту систему относительно неизвестных а и Т, получаем: 2т^т2 JTL J ^^2 а =---------^-----g\ Я. mj -ь /П2 mj -I- m2' (При т^ < mg получим а < 0, т. е. грузы движутся в сторону, противоположную предполагаемой.) Показание динамометра равно, очевидно, сумме сил натяжения нитей: 4mim2 F = 2T = nil + m2 g. 2.10. t = 0,21 c. Указание. См. задачу 2.9. Каждая из гирь пройдет путь, равный 5 см. 2 11 f =2 g’ F = 4Mg( —1 т + 2М^^ ^[т + 2М)’ т + М 183 г О' О' mg О Ыв 0^ F II Решение. В соответствии со вторым законом Ньютона запишем уравнения движения для каждого из тел (рис. 126): Т'^ \Т для первого тела Ма = Т - Mg; для второго тела Ма = Mg + f - Т; для перегрузка та = mg - f', где Т — сила натяжения нити; f — сила давления перегрузка на тело; ^ а — ускорение тел; f' — сила реакции опоры. О По третьему закону Ньютона f' и f, Т' иТ численно равны. Силы натя-Рис 126 жения нити справа и слева блока равны, так как трением и массой блока пренебрегаем. Решая полученную систему уравнений, на- Мт . ^ W т + М О. ходим а = mg/(m + 2М); / = 2 g, Т = 2м(^-^ ^ ^^g. Сила, действующая на ось блока, F = 2Т = 4М^^ ^ 4т^т2 9mim2 2.12. \.F + т. Я-64Н. 2. F = 4m, + m. ^«42,3 Н. Решение. 1. Силу F', действующую со стороны оси на стержень и по третьему закону Ньютона численно равную силе F давления на ось (рис. 127, а), можно заменить двумя силами jPj и F2, приложенными к каждому из грузов и равными F/2. Учитывая, что стержень невесомый, можно, воспользовавшись вторым законом Ньютона, записать: т^а = F/2 - m^g, Ат^Шп mgO = m2g -F12, откуда F = ^ ^ g. пХ 1 I ТП 9 Рис. 127 184 —* —* о —^ 2. Силу F' нужно заменить (рис. 127, б) на силы = ^/gF и Fg = ^/sF, приложенные к грузам массами и mg соответственно. Ускорения же грузов связаны соотношением 0^/1^ = Og/Zg* т. е. = ад/2. misin а - mosin 3 m,moff(sin а + sin 3) 2.13. а = —-----—^—-g;T= ^ ^ ^ Решение. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов, спроецировав силы, действующие на грузы (рис. 128), на направление возможного движения соответствующих грузов, т. е. вдоль граней призмы (примем, что груз массой опускается; \Т\ = \Г\ = Т): т^а = m^^sin а - Т, ШдО = Т - mg^sin 3- Решая эту систему, находим: /TiiSin а - mgsin 3 а = nil -I- mg g; ^ mimg(sin а-ь sin 3) mj -Ь mg Если при подстановке числовых значений масс и углов окажется, что а < О, то это означает, что вся система движется с ускорением а в направлении, противоположном выбранному. Последнее следует из того, что при отсутствии трения изменение выбранного направления движения грузов изменит лишь знаки правых частей приведенных выше уравнений. 2.14. а = 0,12 м/с2; Т = 0,22 Н; Т = ‘ ^ Fj, когда т ^ М. РлМ + F»m Рл+Рош/М М + т 1 -I- т/М ^ 2т, - mg 2т, - mg 3m,mg 2-15. а. = 2 g; аз = Т = 4m, + mg 2 4m,-ь mg 4m,-Ь mg Указание. Из кинематической связи следует, что ускорение груза массой т, в 2 раза больше ускорения груза массой mg (при перемещении груза массой т, на расстояние h груз массой mg переместится на расстояние Л/2). Со стороны нитей к грузу массой mg приложена сила, равная 2Т. 2.16. а = arctg {a/g). Решение. Условно выделим внутри жидкости некую малую ее часть. На этот элемент жидкости массой m действуют две силы: 185 сила тяжести mg и выталкивающая (архимедова) сила со стороны жидкости. Равнодействующая F этих сил должна быть направлена в сторону ускорения сосуда и равна та, (рис. 129). Поэтому сила F^ должна составлять угол а = arctg (a/g) с вертикалью. Направление выталкивающей силы действующей на любой выделенный объем внутри жидкости, перпендикулярно плоскостям равного давления (р = const) в жидкости, задается ими и, в частности, перпендикулярно поверхности жидкости (р = 0). Требование перпендикулярности однозначно связано с условием покоя жидкости относительно сосуда. Любое нарушение перпендикулярности «автоматически» устраняется благодаря текучести жидкости. 2.17. Поверхность жидкости параллельна наклонной плоскости. Решение. Способ 1. См. задачу 2.16. Способ 2. Решим задачу в системе отсчета, связанной с движущимся сосудом (в неинерциальной системе). В этом случае на любой элемент жидкости действуют силы mg, F^ и сила инерции \-та\ = mgsin а, направленная в сторону, противоположную движению сосуда (рис. 130). Равнодействующая этих сил равна нулю (так как жидкость неподвижна относительно сосуда). Это возможно, когда сила Рд перпендикулярна наклонной жидкости. Поверхность же жидкости параллельна ей. 2.18. Не изменится. Решение. При движении лифта с ускорением а второй закон Ньютона для плавающего тела записывается так: та = mg + F, (1) где F — выталкивающая сила, т — масса тела. Если бы объем, вытесненный телом, занимала жидкость, то на нее со стороны остальной жидкости действовала бы сила, тоже равная F. По второму закону Ньютона m^a^m^g + F; (2) 186 здесь где V — объем погрул^нной части тела. Под- ставляя в уравнение (2) выражение для F, найденное из равенства (1), получаем т(а - g) = - Й, отсюда следует, что V = = т/р^ не зависит от ускорения лифта, т. е. глубина погружения тела не изменится. Примечание, Решение задачи становится совсем простым в системе отсчета, связанной с лифтом (см. задачу 2.17). 2.19. а = ^sin а[\ + —1; k > —tg а. Решение. Собака должна бежать с таким ускорением, направленным вниз, чтобы сила -Fi-, с которой собака отталкивала бы доску назад, уравновесила равнодействуюпдую Fj действующей на доску силы тяжести Mg и силу реакции опоры т. е. была бы равна Mgsin а (рис. 131). На собаку, таким образом, в направлении ее ускорения действуют сила mgsin а и сила Fj^ со стороны доски, равная по третьему закону Ньютона Mgsin а (направление движения собаки не играет роли). Уравнение движения собаки та = mgsin а + Mgsin а, откуда a-ffsina(l + ^). Сила -F^, с которой собака отталкивает доску, по своей природе — это сила трения, которая не может превышать значения kN. Задача имеет решение (собака остановит доску), если kJV > F^, т. е. kmgcos а > Mgsin а. Отсюда k > —tg а. т 2.20. T = Mg. Указание. Цилиндр покоится относительно земли. 2.21. t ~ 6,26 с. Решение. Так как человек неподвижен относительно земли, то силы, приложенные к нему, уравновешены. Значит, сила натяжения численно равна силе тяжести mgg человека. Поэтому для груза второй закон Ньютона запишется так: т^а = mgg - m^g = (mg - m^)g. 187 Ш2 - Откуда ускорение груза равно а = g----------- и направлено ТТЬI вверх. Время подъема груза определяется из формулы h = at^l2: Э = л/ а 2gm^ g{m2 - т^) 2.22. 1. Оба мальчика достигнут середины расстояния между ними одновременно через время т = l/(Sv); в случае, когда массы мальчиков неодинаковы, место встречи делит расстояние между ними обратно пропорционально массам мальчиков. Решение. Так как силы, приложенные к мальчикам, одинаковы, согласно третьему закону Ньютона, то ускорения, а следовательно, и скорости мальчиков относительно Земли одинаковы. Длина веревки между мальчиками сокращается со скоростью Sv, и мальчики достигнут середины расстояния между ними через время X = l/(Sv). В случае, когда массы мальчиков различны, ускорения и пути, пройденные ими относительно Земли, обратно пропорциональны массам мальчиков. 2. Гимнасты достигнут блока одновременно через время т = = l/{Sv). Сравните решение этой задачи с решением п. 1 задачи. 2.23. 0,5 Н; 1 Н. Указание. Значение силы сухого трения не может превышать F^p = kN, где N — сила нормального давления. Если тело покоится, то сила трения равна по величине сумме проекций всех сил, действующих на тело, на направление возможного движения (т. е. на направление, в котором стало бы двигаться тело, если сила трения будет равна нулю). Если сила, действующая на тело в направлении возможного движения, превышает ■^тр. макс’ ™ тело движется с ускорением, а сила трения постоянна и равна F^p 2.24. График представлен на рис. 132. 2.25. График представлен на рис. 133. Указание. Движение тела, находящегося на наклонной плоскости, становится возможным, если mgsin а > kmgcos а, т. е. при угле а > aQ = arctg k. Если а < а^, то тело покоится и сила трения равна mgsin а (см. задачу 2.23). Если а > ад, то F^p = тр. макс kmgcos а. 2.26. k = tg а. = F. 188 Рис. 132 2.27. 1. а = (^1 - = m^g. 2. = Рис. 133 - rrizig - Ог) + m2 ^ m^m2{2g - gg) + /Пз Указание. 1. Так как груз массой неподвижен, то сила натяжения йити, а следовательно, и сила трения кольца о нить равны rriig. 2. Сила трения равна силе натяжения нити, а ускорение кольца относительно блока равно Og “ ®i* Уравнения движения грузов: m^a^ = m^g-F^^; ^2(03 ~ «i) = "^2^ "-^тр- 2.2S. F = M(kg + a)/(cos а ± ksin а). Указание. Сила нормального давления равна Mg - Fsin а (рис. 134, а) или Mg + Fsin а (рис. 134, б) в зависимости от направления действия силы F. + k) 2.29. 1.7’ = g——■ ——— = 1,47 Н. 2. Не изменится. 3. F = 2,08H. mi + m2 ^ mim2(g + а)(1 + k) _ 2.30. Т = ----—^---------для kiUi < m2', Т = m2ig + а) для km^ > m2- Состояние движения (покоя) не изменится. is; 1 шшш/т К ' щш, ЩШ//М F ^Mg Рис. 134 189 Решение. Ускорения грузов относительно стола по модулю равны (грузы связаны нерастяжимой нитью): а\ = ag = а'. В неподвижной системе отсчета ускорение груза массой направлено по вертикали, причем ag = а' - а. Ускорение груза массой имеет вертикальную и горизонтальную составляющие = а, ttjj, = а'. Применяя второй закон Ньютона, получаем систему уравнений: mgCa' - а) = - Т, т^а' = Т - kN, т-^а = N - m^g, где Т — сила натяжения нити, N — сила реакции стола. Решая эту систему, находим ответ. Примечание. Эту систему уравнений можно представить в виде mgfl' = + а) - Т, т^а' = Т - kN, N - m^{g + а) = 0. Таким образом, движение лифта вверх с ускорением а эквивалентно системе отсчета, в которой ускорение свободного падения g + а. Если а' = о (при km^ > т^, то ответ следует из уравнения wigC = ^ Т - rri2g. В этом случае сила трения уже не равна kN и второе уравнение неверно. Из этого примечания сразу следует ответ на второй вопрос задачи. 2.31. = 38,4 Н; Eg = 64 Н; не изменится. Решение. Запишем уравнения движения тел (рис. 135): F^-T==M^a, (1) Т = Mga. (2) Ml + Mg Из уравнений (1) и (2) найдем F^ = Т—--. Если силу прило- жить ко второму грузу, то Eg = Т Ms Ml + Mg Ml Если есть трение, то уравнения движения грузов будут такими: El - kM^g -Т = М^а; (3) Т - kM^g = MgO. (4) Решая совместно уравнения (3) и Т -Т Mj Рис. 135 iVo (4), получаем Ei = Т Ml + Mg Wo т. е. наличие трения не изменяет результата, если коэффициент трения одинаков. 190 т ШГ i-1 т [ШГ • ^Tpi Рис. 136 т ^тр1 2.32. F = {п + 1)т{а + jig’); Дл:^ = . Решение. Найдем силу сжатия i-й пружины (рис. 136). Для этого применим второй закон Ньютона к системе из i грузов, расположенных справа от i-й пружины. Внепхними силами, действующими на эту систему, будут сила давления со стороны i-й пружины и силы трения, в сумме равные i\img. Поэтому ima = - i\imgy откуда T^ = im(a + pg’); i-я пружина соответ- ственно станет короче на Ах^ = im —. Для того чтобы найти силу F, проще всего применить второй закон Ньютона сразу ко всей системе (л + 1) грузов: (п + 1)та = = F - {п-\- l)pmg, отсюда F = {п 1)т(а + pg). А jPi(cos а + ksin а) - Fo(cos Р - ksin Р) 2.33. а =---------------—^—----------------gk; Т = + ГП2 Fi л12(со8 а + fesin а) -I- ^2/П|(cos Р - ksin Р) ГПс Указание. См. решение задачи 2.28. 2.34. 1. Дд = F{cos а -ь feisin а) ТПл - kyg\ (ftj - - Fsin ос) me -k^g. Указание. Силы давления бруска В на брусок А и бруска А на стол равны соответственно m^g - Fsin а и {т^ + m2)g ~ Fsin а. m^ki + m^tga 2. Пп ^ -----;-----. ^ т^ + m2 Указание. Так как брусок скользит по плите, то на плиту со стороны бруска действуют две силы: сила нормального давления iVj = m^gcos а и сила трения = k-^N-^ = fe^m^gcos а. Сила нормального давления плиты на наклонную плоскость ATg = iVj + m2gcos а = (m^ + m2)gcos a. Плита не скользит по на- 191 КЛОННОЙ плоскости, если ТП2ёВ1П а + ^ ^2^2’ ли /Tig^sin а + к^т^ёсоз а < “*■ ^ + mgtg а Шл к^> к,----^ ^ ^m-i + гп2 ГПг. + tga = m-i + m2 mi + mg 2.35. 1. Ускорение тела во все время его движения постоянно и равно g. 2. В соответствии со вторым законом Ньютона а = (mg + F^/m. При движении вверх сила сопротивления направлена, как и сила тяжести, вниз и уменьшается по мере подъема тела (так как при этом скорость тела уменьшается), при спуске же сила сопротивления направлена вверх и увеличивается. Поэтому ускорение тела в начале движения максимально (и больше g), уменьшается при подъеме и становится равным g в верхней точке траектории, затем продолжает уменьшаться при спуске и может даже стать равным нулю. 2.36. Скорость большого шарика в J2 раз больше скорости меньшего шарика. Решение. При установившемся движении сила сопротивления воздуха F^ и действующ;ая на шарик сила тяжести Mg равны, но F^ = ки\пВ^/^), а М = лрП^/б, где р — плотность шарика, D — его диаметр. Приравнивая F^ и Mg, найдем, что v ~ 4Ъ. 2.37. F = 3g(m-pF). 2.38. См. решения задач 2.35 и 2.36. 2.39. 0,29 Н. 2.40. а)/г,,,, = 0,07; б) а - 0,39 м/с2; = 8,85 м/с. 1 в) ^ = 22,7 с; г) i; = 2.41. ^ 2h sin а - ctgatg (3)* 2.42. Т = ^^ kmgcos а. Решение. На верхний груз вдоль наклонной плоскости действуют составляющая силы тяжести F^^^ = mgsin а, сила натяжения нити Т и сила трения F^^ = kmgcos а. По второму закону Ньютона получаем та = mgsin а - kmgcos а+ Т. Для нижнего груза имеем соответственно к т та = mgsin ^^^cos а - Т 192 (груз движется с тем же ускорением, а коэффициент трения между ним и наклонной плоскостью вдвое меньше). Вычитая из первого уравнения второе, находим силу натяжения нити Т = 1/4 kmgcos а. m2 - mi(sina-Ь fecos а) 2.43. а = g-------------------- 0,42 м/с^; J I /М2 /Mi/Мо Т = g—-— (1 + sin а ч- kcos а) ~ 9,36 Н. /М J I /М 2 2.44. а) а == 0,24 м/с^; б) Г = 6 Н. Указание. По второму закону Ньютона mj^sin р - km^gcos Р - Т = т^а; -mgg’sin а - femg^cos а + Т = mga. Решая совместно уравнения (1) и (2), получаем а и Т. 2-1 (1) (2) 2.45. k = tg а = 0,1. (3) П2 -Ь 1 Указание. Из уравнений движения камня вверх и вниз найдем, что его ускорения соответственно равны: = ^(sin а + kcos а); (1) Og = g’(sin а - kcos а). (2) Время движения камня = ^2Г7а[; это получается из двух I----- уравнений: I = ---~ O'ti = 0, а fg = J2l/u2, где I — рас- стояние до высшей точки подъема камня. Отсюда ^l/^2 = 7^2^^! = 1/Л (по условию). Решая уравнения (1), (2) и (3) совместно, находим k. 2.46. а> kg = 0,lg‘ Указание. На груз со стороны доски не может действовать сила большая, чем максимальная сила трения покоя. 2.47. а > dg/h = 0,lg'. Решение. Способ 1. Ускорение а тела обеспечивается равно-действуюш;ей силы F и силы тяжести mg (рис. 137). Сила F создается силой нормального давления 13 - 5495 N, приложенной в граничном случае (перед опрокидыванием) в точке С, и силой трения Если ускорение больпае граничного, то уже не может быть обеспечена соответствующая сила F, так как для этого сила N (которая является результирующей распределенных по опоре сил давления) должна быть приложена за пределами опоры тела. Из подобия треугольников ОАВ и COD следует, что ma^^/{mg) = d/hy где Oj,p — граничное ускорение, при котором тело еще не опрокидывается. Отсюда = dg/h\ для опрокидывания тела а > а^,р, т. е. а > dg/h. Способ 2. В неинерциальной системе отсчета, связанной с листом бумаги, на тело в момент отрыва действует сила F = = (см. задачу 2.17) и сила тяжести mg. При сумма моментов этих сил относительно точки С равна нулю, т. е. = О, отсюда а^,р = dg/h; для опрокидывания а > dg/h. 2.48. t 21 --kgn + т т \ М ) ;F(, = kmg\ l + т Решение. На брусок действуют сила F и сила трения kmg. По второму закону Ньютона его ускорение определяется уравнением: moj = F - kmg. На тележку по третьему закону Ньютона действует сила kmg со стороны бруска. Ее ускорение ag находится из уравнения: Ма2 = kmg. Брусок скользит относительно тележки с ускорением F “ = “1-«2=;й-Ц1 + й)- Длину тележки I он проходит за время 21 F , (у т ----kg\ 1 + т \ М Минимальное значение Fq силы F определяется условием а = 0. М 2.49. = Vq^-,F^ . = F, F. тр2 FM , , , М + т’ ^ ^0 2F Решение. Из условия постоянства скорости бруска относительно неподвижной доски следует, что сила трения между ними максимальна и равна F. После перерезания шнура брусок состояния своего движения не меняет (скольжение и, следова- 194 тельно, равенство нулю суммы действующих на него сил сохраняется). Доска же начинает двигаться равноускоренно под действием силы = F с ускорением = F/M до некоторого момента времени = Uq/^i "" Mvq/F. В момент времени скорость доски становится равной скорости бруска, его скольжение прекращается, и дальше они будут двигаться как единое целое с ускорением ag = F/{M + т)у а сила трения (покоя) •^тр2 будет равна ^тр2 = F - mog = FMliM -Ь т). Брусок за время пройдет по доске путь - vl/(2aj) = Mu^/(2F). Таким образом, минимально необходимая длина доски, при которой брусок еще успеет остановиться на ней (пренебрегая размером бруска), I = Iq + Mu^/(2F). 2.50.1 = м М - т Решение. После того как вагон оторвется, поезд будет двигаться с ускорением а^, сообщаемым ему силой, равной (М - т)а^ = - F,,^p = - (F,„np. нач " = kmg (началь- ная сила сопротивления F^j^^p равна силе тяги тепловоза); Oj = kmg/{M - т). Вагон будет двигаться равнозамедленно с ускорением Og = -kg. Относительно друг друга вагон и поезд движутся с ускорением kmg «отн «1 «2 м-т + kg = kg- М ^ . Расстояние I между ними будет относиться к пути s, пройденному вагоном до остановки, как a^j\a^. Другое решение см. в задаче 4.40. 3. Импульс. Закон сохранения импульса 3.1. а) |Др| = 2mv = 0,2 Н • с (рис. 138, а); б) jApj = 2mysin а = = 0,1Н*с. Решение, б) Импульс шарика можно разложить на две составляющие: перпендикулярную плоскости и параллельную ей (рис. 138, б). Последняя при ударе шарика не изменяется (так как в этом направлении на шарик не действуют силы), а нормальная составляющая меняет свое направление на противоположное, сохраняя свое числовое значение. Поэтому шарик отражается от плоскости под тем же углом, под которым падает на нее. Изменение импульса шарика, как видно из рисунка, равно 2/m;sin а. 13* 195 Рис. 138 3.2. а) +mg^ 0,87 Н; 6)F, ^СР = ср 2mj2gh^ “ At 2mj2gh^ + mg ~ 1,64 Н; + m^jcos а « 1,43 Н; + mg ~ 1,38 Н, At + Jhz) Указание. Воспользоваться вторым законом Ньютона в форме А{ти) = fAt, где f = fp + rng. Помнить, что импульс — величина векторная, поэтому в третьем случае |A(mi;)| = mv-^ -t- mUg- Изменение импульса шарика направлено вверх. По третьему закону Ньютона на плоскость будет действовать при ударе сила, равная -A{mv)/At и направлейная вниз. 3.3. а) vjb под углом а = arctg 2 к направлению первоначального движения; б) vJb под углом р = arcsin (1/V5) к направлению первоначального движения. Решение. Изменение импульсов частиц одинаково: на них действовали одинаковые силы одинаковое время. В случае а) модуль изменения импульса первой частицы равен |Ар| = = 2mv - {-2mv) = 4mv. Вектор Ар направлен горизонтально (рис. 139, а). Поэтому импульс второй частицы будет равен J(4mv)^ + {2mv)^ = mvj^, а скорость равна vj5, угол а = 4mv arctg 2ти = arctg 2. 196 = -2mv Pjj = 2mv |Др| = 4mu частица I Рд = 2mv Pk = a) 2mv 6) Рис. 139 Аналогично найдем, что в случае б) модуль изменения импульса первой частицы равен 2mvj2 (рис. 139, б). Так же изменяется и импульс второй частицы. Он станет по модулю равным (это нетрудно найти, воспользовавшись теоремой косинусов). Скорость ее соответственно равна vjb, угол (3 = arcsin (1/75) (воспользоваться теоремой синусов). 3.4. F = 2pSy^cos а = 86,4 Н. Указание. Учесть, что за время t о стенку ударяется вода, находящаяся в цилиндре длиной I = vt и поперечным сечением S, масса которой т = pSvt (р — плотность воды). 3.5. а) U = — ^2 ~ 1,62 м/с; б) и = ^ М - т''^ ^•>''‘■‘"4''^ ''f'* ''I ' ^ ~ 3,39 м/с. Указание. Так как изменение импульсов платформы и снаряда при выстреле произошло благодаря действию внутренних сил, то суммарное изменение их импульсов должно быть равно нулю. 197 3.6. 12,5м/с и будет двигаться в направлении, противоположном начальному. 3.7. S- 1695 м. Указание. Из закона сохранения импульса -Ь m.2)i>o"" + (mj -t- m2)VQ - + ^12^2 находим, что m-i = -125 м/с. Следовательно, s = (Uj + V2)j2h/g ~ 1695 m. 3.8. Второй осколок упадет на землю в точке, расположенной вдвое дальше, чем упал бы снаряд. Упадут одновременно. Указание. Осколок снаряда, возвратившийся к исходной точке, очевидно, приобрел при взрыве скорость, равную по модулю скорости снаряда в верхней точке траектории, но противоположную по направлению. Из закона сохранения импульса следует, что второй осколок после взрыва имеет скорость, равную утроенной скорости снаряда в верхней точке. 3.9. «2 = 5000 м. Решение. Закон сохранения импульса в этом случае удобнее написать для проекций импульсов на оси X и Y (рис. 140) (так как время разрыва мало, можно пренебречь импульсом силы тяжести): 2mv^ = 2mVy = mv^y + mv2y, где m — масса осколка; l>2x» ^2у — соответственно проекции скоростей снаряда и осколков на оси X и У. Учитывая, что первый осколок упал под местом разрыва снаряда и поэтому = о, а также что взрыв произошел в верхней точке траектории и = 0, получаем: V2x = V2y = Так как снаряд разорвался на высоте h = 19,6 м, то до разрыва он двигался t = J2h/g = 2 с, а значит, = Sj/f = 500 м/с. 198 Запищем теперь уравнения для координат первого и второго осколков; _ г2 2 ^2 ^^2x^2» gtl -Viy, ТО МОЖНО наи- У2 ^2у^2 2 Так как т = 1 с, г/^ = i/g = -й = -19,6 м и = ти ig и затем JiTg. Расстояние от места выстрела до точки падения второго осколка S 3.10. У1 Si + ДГз- MVn mvr 161,7 м/с. М - т 3.11. а) в 4 раза; б) в 3 раза. Указание. Масса увлекаемых частиц в единицу времени т = = ttiqIiSv, где ttIq — масса одной частицы; п — число их в единице объема (концентрация); S — площадь сечения корабля; и — скорость корабля. Так как соударения неупругие, то импульс, сообщаемый увлекаемой массе частиц в единицу времени, равен niQnSv^. По третьему закону Ньютона сила тяги двигателя F, действующая на корабль, равна изменению импульса взаимодействующих с ним частиц в единицу времени: F = rtiQTiSv^. а) При увеличении ив 2 раза F возрастает в 4 раза; б) при увеличении пвЗ раза F возрастает во столько же раз. 3.12. = 8005 м/с; = 7999,9 м/с. Решение. Запишем закон сохранения импульса в системе отсчета, движущейся со скоростью и в направлении полета ракеты. В этой системе отсчета до отделения конуса ракета покоилась; /7ipL>p + = о (здесь скорости у' и — величины алгебраические). По условию v'^ = + Ур. Решая эти уравнения совместно относительно у^, найдем у^ = + m^). Скорость конуса относительно Земли равна у^ = у + у^ = у + + mj. Скорость ракеты равна Ур = Ук ~ *^отн- 3.13. Ах = Zsin^ (ot/2). Указание. Так как на стержень в горизонтальном направлении не действуют никакие силы, то его центр тяжести будет двигаться вертикально. 199 3.14. Из условия нерастяжимости стержня следует, что UjCos а = i;2Cos (3, или cos oc/cos Р = 02!v^. Система будет совершать сложное движение: вращаться вокруг центра масс, который одновременно будет двигаться по такой траектории, по которой двигалась бы материальная точка, брошенная под углом rnyVi + ni2V2 К горизонту с начальной скоростью Vq = —^ — ’ составляю- щие этой скорости: по горизонтали Vq^ = v^cos а = V2COS р, по m^u■^ sin а + sin Р вертикали = — mj -I- ГП2 3.15. Человек передвинется на расстояние т М М т / = 4 м. а лодка — на расстояние Хз / = 1 м. М + т Решение. Способ 1. Импульс изолированной системы постоянен, а ее центр масс остается в покое или сохраняет свою скорость неизменной. Поэтому положение центра масс системы тел лодка — человек ^ в системе координат, связанной с водой (рис. 141), не должно меняться при движении человека: Ма + ml М{а + Хз) + тхз ~ М + т М + т координата носа лодки после перемещения человека на нос; координата центра тяжести лодки до перемещения; т — (^2 а - масса человека; М масса лодки). Отсюда найдем, что лодка т М + т т I относительно дна, а че-I относительно дна. переместится на расстояние Xg = ловек — на расстояние Xj = Z - Хз м + т Способ 2. Обозначив через v скорость человека относительно лодки, и — скорость лодки относительно воды, можно написать: т(и - и) = Ми [(i; - и) - скорость человека относительно X О Рис. 141 200 дна], откуда и = т V. Учитывая, что пути, проходимые че- М + т ловеком и лодкой, пропорциональны их скоростям, найдем расстояние, на которое переместится лодка относительно дна m , М , ^2 м + m I и человек Хл = ., , 1 М + т 3.16. X = (/71^ - гп2)1/{т-^ + /П2 + М) = 0,5 м. Указание. См. решение задачи 3.15, способ 1. ^ ш— m(v + и) + Ми т{и - и) + Mv 3.17. L>, =-jrj—;----; v2 S2 ^ Si М труб и во втором случае легко находится из закона сохранения импульса: mvi + MqU — Mug- Откуда получим: и = ^ 201 3.20. V = М J2glsin а wcos(a ± р)‘ Решение. К моменту, когда ящик с песком пройдет путь I, он будет иметь скорость и = J2al, где а = g'sin а. Для того чтобы ящик остановился, сумма проекций импульсов ящика и тела вдоль наклонной плоскости должна быть равна нулю: -mvcos (а ± Р) + Ми = 0, знак перед Р выбирается в зависимости от направления скорости тела по отношению к горизонту (время взаимодействия тела и ящика предполагается малым). Подставив в это уравнение выражение для и, получим ответ. 3.21. 1. Опишет над плоскостью параболу, вершина которой будет на высоте h/2. 2. Будет равномерно скользить по плоскости со скоростью V = Указание. 1. Горизонтальная составляющая скорости тела V = J2gho.os а останется неизменной, а вертикальная и = = J2ghsin а изменит при ударе свое направление на противоположное. Траектория тела будет представлять собой отрезки парабол. 2. Вертикальная составляющая скорости тела станет равной нулю, и тело будет двигаться равномерно со скоростью и = = = j2ghcos а. 3.22, k = pSv^/{mgcos а). Решение. Для сосуда с водой второй закон Ньютона имеет вид та = mgsin а + F^- kmgcos ос. Силы, действующие на сосуд, изображены на рис. 142. Из условия, что уровень воды параллелен наклонной плоскости, следует, что сосуд с жидкостью движется вдоль наклонной плоскости с ускорением а = g'sin а (см. задачу 2.17). Сила реакции (реактивная сила) F^, возникающая благодаря истечению струи из сосуда, по второму (в импульсной форме) и третьему законам Ньютона численно равна изменению импульса воды, вытекшей из сосуда в единицу времени: F = A(mv)/(At) = ipSAl)v/{At) = pSv^. 202 Тогда k = pSv^/{mgcos a). 3.23. Внешней силой, вызывающей движение автомобиля, является сила трения покоя ведущих колес о дорогу. 3.24.1^2 = = -102,6 м/с. '2 ' М Знак «минус» указывает на то, что скорости ^2 и Vq направлены в противоположные стороны. Указание. Закон сохранения импульса при выбросе первой и второй порций вещества соответственно запишется так: (М - т)и^ + m(vQ + Uj) = 0; (М - 2m)v'2 + m(vQ + Ug) = 0, где — скорость, приобретенная установкой после выброса первой порции. Второе уравнение записано в системе отсчета, движущейся со скоростью (Здесь все скорости — величины алгебраические.) Из записанных уравнений находим и v'2 и окончательно V2 = V2 + v^. (См. также задачу 3.25.) о ос fm , т 3.25. = У hr? + --- \М М - т П = у S + + т т М - {п - 1)/п, k=\M - {k - 1)т * Решение. Запишем закон сохранения импульса для системы тел ракета — газ при выбросе /г-й порции газа в системе отсчета, движущейся со скоростью, равной скорости ракеты после выброса {k - 1)-й порции: (М - km) AUf^ = m(y - Aa^^), где AUf^ — скорость, которую приобретает ракета в этой системе отсчета после выброса k-й порции газа; (у - Аи,^) — скорость k-й порции в момент ее разделения с ракетой, когда их взаимодействие закончилось и последняя уже приобрела скорость AUf^. Очевидно, что скорость ракеты относительно Земли равна сумме изменений Аи^, связанных с выбросами порций газа от первой до п-й: Un = ^Аи^ ( т + т -I- т + т а- М-т М - 2т М - {п - 1)т^ Это решение отличается от решения задачи 3.25 тем, что здесь все скорости — величины арифметические (модули векторов), а их предполагаемые направления учтены при выборе знаков, т. е. все векторы скоростей спроецированы на единое направление. 203 3.26. В обоих случаях а) и в обоих случаях б) ответы одина- ковы : а) и = т + т + ... -ь т j (см. реше- + пт М + {п - 1)т М + т ние задачи 3.25); б) и = иптЦМ + пт). В случае а), как видно из ответов, скорость плота и больше. 3.27. а) Pi = Mgjv; б) Pg = Решение. Если расход топлива равен р, а скорость истечения газов из сопла и, то за единицу времени ракете сообщается импульс ри, который, согласно законам Ньютона, равен реактивной силе. Поэтому: а) Pi^ = Mg, Pi = Mg/v; б) Ма = P21; - Mg, Р2 = М(а + g)/v. 4. Работа, мощность, энергия 4.1. Силы равны по модулю; работы тоже равны по величине, но противоположны по знаку, так как в одном случае направления силы, действующей на веревку, и ее перемещения совпадают, а в другом случае — противоположны. 4.2. А = tng^ ~ 50 Дж. Указание. Совершенная работа равна работе по подъему центра тяжести цепи. 4.3. А = М^^«10Дж. 4.4. А = р^/2д^2/12. Указание. Работа идет на поднятие центра масс воды в шланге с высоты Ve высоту 2/д I. 4.5. А = i(fei -f k2)Mgl. Решение. Сила трения, преодолеваемая при передвижении цепи: = Fi + - *) + *2^^ = kiMg-^(*1 - k^)x, здесь X — расстояние от границы раздела полуплоскостей до начала цепи. График зависимости силы трения от перемещения цепи изображен на рис. 143. Совершаемая работа численно равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком силы, т. е. А = + k^)Mgl. 204 Задачу можно решать также, построив графики зависимости силы трения от перемещения цепи на каждой из полуплоскостей и определив суммарную площадь полученных фигур. 4.6. = 600 Н; = 3600 Н. 4.7. Ml = М(^^ + cos а - 1 Указание. Мощность равна N = = Fv (где F — сила тяги, v — скорость). Так как скорости в обоих случаях одинаковы, то и одинаковы силы тяги, развиваемые двигателем вагона: Mgsin а + kMgcos а = (М + M{)gk. ^ ^ Mg(y,sin а, - UoSin tto) 4.8. F, = ^------ = 9800 Н. с V2-V1 Указание. Мощность локомотива (см. задачу 4.7) N = (Mgsin ttj + Fc)l>i = (Mgsin ttg + ^c)^'2• 4.9.12 = 40 CM. 4.10. В четвертой доске. Указание. Потери кинетической энергии пули при пролете каждой из досок одинаковы и равны: ^E = TTIVq mv'( rn(VQ - Vi) JTIVq Всю энергию пуля потеряет, пробив п = доски, т. е. пуля застрянет в четвертой доске Mvf 7^2 -3,3 Vo -V Mvl = 5 • 10“^ кДж; 4.11. a)Ai= 2 2 б) Ag = mv\l2 = 1,6 • 10^ кДж. 4.12. N = Mgkat » 1,2 • lO^ Вт. 4.13. iVjjp = M^l^ + gOL-\- kgy^ ~ 9900 Вт (sin a = a, cos a « 1). 4.14.iV-M^u/2. Указание. Мощность двигателя N = |liu2/2, где p — расход топлива. Реактивная сила \iu уравновешивает силу тяжести: \ш = Mg. 205 4.15. Во втором случае: = 3. Указание. Так как ускорения автомобиля и силы сопротивления в обоих случаях одинаковы, то и силы тяги = та + также равны. Путь же, пройденный автомобилем во втором случае, втрое больше. т 4.16.А=| (2^ + ^) = 5,2Дж. Указание. Работа затрачивается на сообш;ение телу кинетической энергии. 4.17.А = 2 = 50 Дж. Решение. Работу, совершаемую при сжатии пружины, можно найти, построив график зависимости силы F, дей-ствуюш;ей на пружину, от ее деформации X, т. е. от смещения конца пружины из положения равновесия. По закону Гука эта сила равна F = kx, где k — жесткость пружины, равная в данном случае k = = Fq/Xq =10“* Н/м. Работа сжатия пружины численно равна площади треугольника ОАВ (рис. 144): А = kxx ~1Г kx^ ол: = = 50 Дж. 4.18. X ~ 2,2 см. Указание. При ударе кинетическая энергия вагона идет на работу сжатия пружин, т. е. переходит в их потенциальную энергию: = 2kx^j2, где k = Ъ -10® Н/м (см. задачу 4.17). 4.19. А = Fh = 2 • 10^ Дж; = mgh = 10^ Дж. Тело обладает еще кинетической энергией Е^= А - Е^=^ 10^ Дж. 12,3-10® Дж. 4.20. А = Mgl + Mv.^Av Указание. vr - Vf Ul -f V2 (v^-V2) = v Av. 4.21. A = mgh 147 Дж. F - та Указание. Работа идет на увеличение потенциальной энер- ГИИ mgh груза и сообщение кинетической энергии = 206 m{j2ah/sm a)^ mah . Ее можно вычислить и просто по фор- 2 sin а муле А = Fl = Fh/sin а. Величину sin а находим из условия F - mgsin а = та. 4.22. 1. А = mglsin а + = 3x7 ДJJ^_ 2. Работа будет той же, кинетическая энергия меньше на величину = kmglcos а ~ 42,5 Дж и в верхней точке = 34,4 Дж. 4.23. Т = MuV(2s) = 7500 Н. 4.24. а) = 2,94 м/с^; = 38,3 м; б) П2 = 6,86 м/с^; $2 ~ 16,4 м. Указание. Кинетическая энергия автомобиля расходуется на работу преодоления трения: mv^!2 = kmgs. 4.25. s « 12 м. Указание. Коэффициент трения колес о грунт определяется из условия неподвижности автомобиля при критическом угле а склона горы и равен tg а. 4.26. а) = g(sin а - kcos а) = 1,04 м/с^; б) v = J2uil ~ = 11,2 м/с; в) = п/а^ = j2L/a\ = 10,7 с; г) = mgZ(sin а- - kcos а) ~ 7620 Дж; д) s = ^(sin а - k cos а) = 45,3 м; е) ^2 = 2s/v ~ ~ 8 с; ж) 02 = 0,14g. 4.27. V = V2gi(sin а - koos а) ~ 3,4 м/с. 4.28. А = = 1,63 • 105 Дж. Указание. Работа равна разности потенциальных энергий воды до и после передвижения перегородки. 4.29. В 4 раза. Указание. Каждый из автомобилей приобретает за время t кинетическую энергию, равную соответственно N^tvi N2^» поэтому NJN2 = v\!v\. 4.30. N =■ + kg^ ~ 83,1 кВт. Указание. Мош;ность двигателей при взлете равна N = Е^п, где Е^ — сила тяги двигателей, которую можно найти, записав уравнение второго закона Ньютона: Е^ - kmg = та и подставив в него ускорение самолета при разбеге а = v^/{2s). 207 4.31. iV = 500 кВт. 4.32. a) /е = 2s/{gt^) = 0,02; 6)N = = 46 Вт. 4.33. a) a = ^ - = 0,176 м/с^; = 0,026 м/с^; б) = = N/(kmg) ~ 66 км/ч. Указание. При постоянной мощности тепловоза с изменением скорости изменяется сила его тяги F^, что влечет за собой изменение ускорения. Таким образом, в случае разгона сила тяги в конце концов сделается равной (постоянной) силе сопротивления движению, и ускорение станет равным нулю, т. е. будет достигнута максимальная скорость. Ускорение поезда можно найти из уравнений = N/v и - kmg = та. 4.34. T^N/(2nRn). Указание. Мощность, передаваемая ремнем, равна N = Tv, где V = 2nRn — скорость ремня. 4.35. N ~ 284 кВт. Решение. Мощность воздушного потока равна работе, которую может совершать поток в одну секунду при полном пере- о - .X mv^/2 „ ходе его кинетической энергии в работу: N = —^—. Здесь т — масса воздуха, проходящего через поперечное сечение S потока за время t. Поэтому N = npd^v^/8, т. е. мощность воздушного потока пропорциональна кубу его скорости. 4.26. N = pgSuh+ Указание. См. задачу 4.35. Скорость воды у основания водопада можно найти из закона сохранения энергии: mv^‘ , , mui -^+mgh=—. 4.37. N = 2mgvsin a = 24,5 кВт, где sin a = 0,05. Решение. Мощность двигателя автомобиля должна быть равна N = F^v, где F^ — сила тяги. Так как автомобиль движется равномерно, F^ равна сумме силы сопротивления движущемуся автомобилю и составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости: F^ = F^ + mgsin а. 208 Для автомобиля, движущегося вниз, можно, с другой стороны, записать: m^sin а - = О, откуда = mgsin а, а = = 2mg’sin а. Таким образом, N = 2mgvsin а. 4.38.1; (Nl + N2)ViV2 NIV2 + N2VI Указание. Для грузовиков, соединенных тросом, + N2 = = {F^ + F^v, где Fj и Fg — силы тяги грузовиков, равные силам сопротивления движению. 4.39. и-2 и, V 1*^2 24 м/с. . 1/2 Решение. При равномерном движении аэросаней вверх сила тяги Fj = m^sin а + kmgcos а. (1) При движении вниз Fg = kmgcos а - mgsin а, (2) где k — коэффициент трения; т — масса аэросаней. Так как мощность двигателя постоянна, то N = F^Vi = F2V2. (3) При движении по горизонтальному пути N = kmgv. (4) Складывая почленно уравнения (1) и (2), получаем Fj + F2 = 2kmgcos а. (5) Решая совместно уравнения (3), (4) и (5), н£1ходим v = 2cos а х Ui -Ь и 2 1 ^ ^'2 V^V2 Так как подъем слабый, т. е. а мало, то cos а = 1 и 1; = V. + Vo '1 4.40. 250 м. Решение. Скорость поезда в тот момент, когда от него отрывается вагон, обозначим v. К моменту остановки вагона его кинетическая энергия полностью перейдет в работу по преодолению трения: m-^v^!2 = km-^gs^, где Sj — путь, пройденный вагоном до остановки. При равномерном движении поезда сила тяги уравновешивается силой сопротивления всего состава: F^ = kmg. Когда задний вагон оторвался, то сила сопротивления уменьшилась, а сила 14 - 5495 209 тяги по условию задачи не изменилась. На поезд стала действовать сила F, ускоряющая его движение: F = kmg - k(m - m-^)g = km^g. Поезд после отрыва вагона стал двигаться под действием этой силы ускоренно, и его кинетическая энергия на пути s возросла на величину равную работе силы F на пути s: = km^gs. До отрыва же вагона кинетическая энергия этой части поезда была в{т- т^)/т^ раз больше, чем энергия вагона, т. е. она была равна (т - m-^)kgs^. Поэтому к моменту прекращения доступа пара поезд будет иметь кинетическую энергию = k{m - m^)gs^ -f + km^gs. Эта энергия расходуется на работу по преодолению сопротивления движению поезда на пути Sg: k{m - m-^gs-^ + km-^gs = = k(m - m^)gS2. Из этого уравнения найдем S2 - Sj = m^s/(m - m^), a расстояние между остановившимися поездом и вагоном x = S2~ - Sj + S = ms/{m - mj). Другое решение см. в задаче 2.50. 4.4]. А - mg{kl + h) ~ 5500 Дж. Решение. Разобьем весь путь на маленькие прямолинейные участки. Тогда работа на каждом участке равна АА = = kmgAlcos а + mgAlsin а, где первое слагаемое — это работа против силы трения, а второе — та часть работы, которая идет на увеличение потенциальной энергии тела. Замечая, что A/cos а и AZsin а — проекции участка пути на горизонтальное и вертикальное направления соответственно, находим, что полная работа равна А = kmgl + mgh = mg(kl 4- h). 5. Законы сохранения энергии и импульса 5.1. |3 = arccos (2cos а - 1). 5.2. 1. h = vl/(4:g) ~ 6,5 м. 2. Uq = J2gh . 5.3. = 32,2 Дж; Е^ = 39,4 Дж. Указание. Начальные кинетическая и потенциальная энергии соответственно равны: Е^ = mv^l2, Е^ = mgH. Изменение потенциальной энергии АЕ^ = mgAh, где Ah = g/2 — изменение высоты тела за 1 с. На эту же величину увеличится кинетическая энергия тела. 5.4. Б^ = 1000 Дж. Решение. В конце четвертой секунды скорость тела, брошенного горизонтально со скоростью Vq с некоторой высоты, будет равна сумме двух составляющих: горизонтальной Vq и верти- 210 калькой v^ = gt. Модуль скорости v тела найдем по правилу параллелограмма (рис. 145). Отсюда кинетическая энергия тела в конце четвертой секунды \ к = mv‘ т ^0 + (Sty 5.5. а = xg/L; v = xJg/L; Решение. Ускорение всему канату сообщает сила тяжести свешивающейся части = mxglL^ где т — масса каната. Согласно второму закону Ньютона, mxg/L = та. Отсюда а = = xg/L. Скорость каната можно найти из закона сохранения энергии. Если часть каната длиной х соскользнет со стола, то ее центр тяжести опустится на Л = х/2, поэтому mgx^/2L = mv^/2. Отсюда V = xJg/L и Uj = 5.6. V = JgL/2. Указание. См. задачу 5.5. В начальный момент времени центр тяжести каната находился на расстоянии L/4 от штыря, а в момент, когда канат покинет штырь, его центр тяжести будет на расстоянии L/2 от штыря. 5.7. Я-2М. Решение. Уменьшение механической энергии конькобежца равно работе по преодолению трения: mv“ (1) ~Y- - mgH = Л,р, где Н — высота, на которую въезжает конькобежец. С другой стороны. Лрр = kmglcos а = -Д- kmgcos а = kmgHf, sin а ^ ® Л (2) где I — путь, пройденный конькобежцем вдоль наклонной плоскости. Подставляя выражение (2) в уравнение (1), находим ,2 н = 2^(1 + ks/h) ’ 5.8. А ~ -80,2 Дж. Указание. Работа сил сопротивления равна изменению механической энергии тела: . „ „ , mv^\ А = Eg “ = "Y' ~ ~2Г у 14* 211 5.9. А - 3,5 Дж. Указание. См. задачу 5.8. Работа по преодолению сил сопротивления положительна. 5.10. F, - 1570Н. Указание. Работа сил сопротивления mvr /mv? \ [-2- + )• С другой стороны, А = -F^^l — средняя сила сопротивле- ния, которая направлена противоположно перемещению, I — длина спуска). 5.11. Q-9,8 Дж. Указание. Из закона сохранения энергии следует, что mgh + mvc kmgs + Q, где Q — количество теплоты, выделившееся при ударе. 5.12. X = 2xq; у^акс ^ ; колебательный. Решение. Из условия равновесия груза mg = kx^ найдем, что жесткость пружины k = mgjx^. Записав теперь закон сохранения энергии kx^‘12 = mgx и подставив в уравнение выражение для к, найдем х = 2xq. Скорость груза максимальна, когда уско- mv‘ kxl рение равно нулю и mg = кх^. Так как = mgx^, то ^^макс ^ gJm/k = JgXQ . Груз будет колебаться около положения равновесия Xq. 5.13.F^p = M^(|l + = 3*105 Н; х = 2s/V^-8*10-3c. Решение. Работа по преодолению силы сопротивления грунта равна изменению потенциальной энергии груза: F^^s = = Mg{h + s). Отсюда F^^ = Mg( 1 + -1 - Mg- - 3 • 10^ H. ''P \ S J s Время удара определится из соотношения = s/% = где Vq — скорость груза в начале удара (мы считаем движение сваи равнозамедленным, так что = Vq/2). В соответствии с законом сохранения энергии Vq = J2gh. Поэтому X = 2s/ J2gh ~ 8 • 10“^ с. 212 5.14. А:-0,05. Решение. В конце пути санки останавливаются, и, следовательно, вся потенциальная энергия идет на работу против сил трения на наклонном и горизонтальном участках пути: mgh = kmgscos а + kmgl, (1) где S — длина спуска; а — угол наклона горы. При этом SCOS а = Ь. Поэтому из уравнения (1) получаем h = = k{b + /), откуда k = h/ф -Ь I). 5.15. а)р - 0,17 Н -с; б) Q = 3,7 • 10-2 д^. Решение. Импульс силы, действующей на шарик при ударе о плиту, в соответствии со вторым законом Ньютона равен: р = |A(/7ii3)| = т{р-^ -Ь Уз), где yj и Уз — скорости шарика соответственно до и после удара. Из закона сохранения энергии найдем: у^ — ^2gh^ и yg = ^2^Лз, поэтому р = т4^{Jill По третьему закону Ньютона им- пульс силы, действующей на плиту во время удара численно равен р. Количество теплоты, выделившееся при ударе шарика о плиту, равно разности энергий шарика до и после удара: Q ту; ту| 2 у- = rng{hi - Лз). 5.16. h = (л/ад + 2п)2/(2^). Решение. Задачу удобнее решить, если рассматривать столкновение в системе отсчета, связанной с движущейся плитой. Так как скорость плиты от удара меняется пренебрежимо мало, то эту систему отсчета можно считать инерциальной. В ней шарик до удара о плиту имеет скорость v' = v + и, где у = J2gl — скорость шарика в неподвижной системе отсчета, связанной с Землей. Удар шарика о плиту абсолютно упругий, поэтому после удара шарик в движущейся системе отсчета будет иметь скорость v'l = —у' = —(у + и). В системе же отсчета, связанной с Землей, скорость шарика равна yj = -(у + и) - и = ~(v + 2и) (минус означает, что шарик имеет скорость, направленную вверх). Поэтому шарик после удара подскочит на высоту h = vf/(2g) = (у -Ь 2ufl{2g) = (л/ад + 2у)2/(2я). 5.17. Потенциальная энергия системы тел шар—воздух— Земля уменьшилась, так как при подъеме шара вверх объем, за- 213 нимаемый шаром, замещается воздухом, имеющим массу большую, чем шар. 5.18Л-2,7м. Указание. При движении шайбы ее кинетическая энергия расходуется на совершение работы против трения: тиу2 = kmg(s + I). 5.19. В первом случае скорость тела больше, чем во втором. 5.20. Ре ш е н и е. Обозначим через v минимальную скорость, с которой должен прыгнуть человек, чтобы достигнуть берега. Во время прыжка человек сообщит лодке (или пароходу) скорость, равную на основании закона сохранения импульса и = vmlM (здесь т — масса человека, М — масса лодки или парохода). Прыгая, человек совершает работу А, равную кинетической энергии, приобретенной человеком и лодкой (или пароходом): А = ту ~2 2 Мц2 т г Эта работа тем меньше, чем меньше отношение масс человека и лодки (парохода). Масса парохода во много раз больше массы человека {т/М <5С 1), поэтому, прыгая с него, человек совершает меньшую работу, чем в том случае, когда он прыгает с лодки {т/М ~ 1). 5-2'- = = 0-29 м. Решение. На основании закона сохранения импульса и энергии можно записать уравнения: Mv' = mv и Mv'^!2 == kMgs. Исключая из этих уравнений v\ находим М) 2kg’ 5.22.А= 105 Дж. Решение. Работа, которую совершает человек, бросив камень с тележки, расходуется на сообщение кинетической энергии камню и тележке с человеком: mvt Muy ^ 2 2’ где ^2 — скорость движения тележки. По закону сохранения импульса ти^ = Mug, откуда ^2 "" ти-^/М. Подставив ^2 в выражение работы, получим mvf m^V] 2М mv\ 1 + HL ^ м J* 214 Если М ^ т, то А~ muf/2, т. е. вся работа, совершаемая человеком, идет на сообщение камню кинетической энергии. В общем случае кинетические энергии, полученные взаимодействующими телами, обратно пропорциональны их массам. 5.23. ~ 590 м/с. Решение. По закону сохранения энергии определяем скорость отдачи винтовки v после выстрела (см. рис. 28): Mgh = Mv^/2, = 2gh. В момент выстрела на винтовку и пулю действуют только силы давления пороховых газов. Это внутренние силы. Поэтому систему тел винтовка—пуля можно считать замкнутой и применить к ней закон сохранения импульса. До выстрела импульс системы был равен нулю, следовательно, после выстрела полный импульс системы тоже должен быть равен нулю: Ми + + mv. - 0. Отсюда п, = - — J2gh. Знак «-» означает, что ^ ^ т т скорость пули направлена в сторону, противоположную скорости отдачи винтовки. 5.24. а= 15°. Решение. Брусок, получивший при попадании пули скорость и, поднимается в соответствии с законом сохранения механической энергии на высоту h = u^l{2g). С другой стороны, h = /(1 - cos а) = 2/sin2 (а/2). Поэтому sin^ (ot/2) = u^l{\gl\ Скорость бруска и можно определить из закона сохранения импульса: mil) = (mi + т^)и, и - d. Подставив выражение для и в уравнение для синуса угла, найдем М rriyV 1 . а sin = . .— . 2 mi + m2 5.25. у = (1 + n)j4glsin ^ = 550 м/с. Указание. См. задачу 5.24. - ^ ж mim2U? ^ т, + то 5.26. = 1,8 • 10< Н; Si -s- ' ^ TtX J ТТЬ 2 / ^ 2 10,2 см. Решение. Запишем законы сохранения энергии и импульса для системы тел пуля—брусок: 215 (mj + ^2)1;" + F,s; (1) (2) 2 2 = (mj + mg)^, где V — скорость, которую получил брусок. Решая систему уравнений (1) и (2), находим F^. При попадании пули в закрепленный брусок закон сохранения энергии запишется иначе: mjof/2 = F^s-^. Подставляя сюда выражение для nil + m2 F^j находим Sj = s—;;;---. Объясните, какое значение имеет т. длина нити подвеса. М + т 5.27. и = J2gh ~ 219 м/с. msm а Решение. Так как шар в момент удара может двигаться только в горизонтальном направлении (рис. 146), то, применяя закон сохранения импульса к системе тел пуля—шар, надо учитывать только горизонтальную составляющую импульса: (М + m)v-^ = mvsin а. (1) По закону сохранения механической энергии (М + m)vl/2 = (М + m)gh и, следовательно, v\ (1), получим скорость пули V = X usm а т Рис. 146 2gh. Подставив это значение в уравнение 5.28. а = 2arcsin а- mv msin а 30°. (m + M)Jgl Решение. Рассматриваемую систему тел можно считать замкнутой и применять совместно законы сохранения импульса и механической энергии: mv^ _ ~2 ~2~ ^ “2“’ mv = Ми + ти^ (1) (и, и и — скорости шарика и шара маятника после столкновения). Эти уравнения можно переписать следующим образом: m{v^ - of) = Ми^; (2) m(v-Vj) = Mu. (3) 216 Разделив уравнение (2) на уравнение (3), получим, что v + v^ = = и. Подставив это выражение в уравнение (1), найдем и = = 2тиЦМ + т). Запишем теперь закон сохранения энергии при движении шара массой М после удара: Ми^/2 = Mgl(l - cos а), где а — угол максимального отклонения маятника. Так как 1 - cos а = 2sin2 (а/2), то sin (а/2) = Ju^/(4gl) и а = 2arcsin 2jgl = 2arcsin mv {m + M)J^l Ш- ~ ^2 V • "Ц.М - j Решение. Способ 1. Запишем закон сохранения энергии для центра масс системы: (т^ + ni2)ghj^^ - m^gh - ni2gh, где т^и m2 — массы грузов; — высота, на которую опускается центр масс системы; h — расстояние, на которое поднялся (опустился) каждый из грузов. Но Км == h = at^/2, где а — ускорение грузов: /п, - m2 а = + ГП2 Поэтому т, - Шг а„ „ = /mi - m2\2 “ imi + m2J Способ 2. По закону движения центра масс можно записать (mj + т2>ац^ = m^g + - 2Т, (1) где — ускорение центра масс; Т — сила натяжения нити. Из уравнений движения грузов нетрудно найти, что 2m,m2 Т=----—^g. nil + ^2 Подставим выражение (2) в уравнение (1): .2 (2) /mi - гп2у “ "" (mi + m2J 5.30. л = МДМ + т) - 93 %. Решение. По определению КПД Л =ЛМз- (1) 217 в данном случае полезной будет работа по деформации болванки, а затраченной работой — кинетическая энергия, которой обладал молот перед ударом: = mv^/2. Деформация болванки заканчивается в тот момент, когда скорость молота станет равной скорости наковальни, т. е. в момент, когда заканчивается собственно удар. Систему тел молот—болванка—наковальня с хорошей точностью можно считать замкнутой, так как наковальня устанавливается на фундамент через амортизаторы, гасящие колебания наковальни, и за короткое время удара в них не может развиться большое дополнительное усилие вследствие малого смещения наковальни за это время. Таким образом, импульс, которым вначале обладал молот, сохраняется и в результате неупругого удара переходит к системе в целом: ти = (т + М)и, (2) где и — скорость совместного движения системы в момент окончания удара. Связанная с этим движением «остаточная» кинетическая энергия Е^2 является неиспользованной (потерянной) частью начальной энергии Тогда полезная работа = Е^^ - Ек21 я кпд Л = = = 1 - 'к2 'к1 Используя формулу (2), получаем Е 2 = (М + m)u^/2 = + m)]. и окончательно л = 1- т М М + т М + т 5.31. q = гп21{т-^ -ь mg). Указание. Доля потерянной энергии q = AEJE^ = m^vl - (т^ + m2)uV(/nii;f), где v-^ — скорость тела массой т-^ до удара, и — скорость обоих тел после удара. Скорость и легко найти из закона сохранения импульса: = (т^ + mg)^. Эта задача фактически тождественна предыдущей. Потерянная энергия перешла в работу деформации тел при ударе. 5.32.1 iQ = Mv'^ т 2kg(l + m/My'^ 2 М + т' Решение. В горизонтальном направлении действуют лишь силы трения, являющиеся внутренними силами системы тел 218 платформа—брусок. Применяя законы сохранения импульса и энергии, получаем наиболее короткое решение: Mv = (М + т)и; (1) (М + т)и^ Mv^ = -kmgs. (2) 2 2 где S — расстояние, пройденное бруском по платформе. Во втором выражении изменение кинетической энергии системы (разность начального и конечного значений) приравнено работе сил трения скольжения, которая служит мерой перехода кинетической энергии во внутреннюю (в теплоту). Исключая из Ми2 (1) И (2) и, находим s = 2kg{M -I- т) , Условие задачи выполнено, Ми2 u2 1 если s< I. Следовательно, = oi. i /я.гч* ’ мин 2kg(M + т) 2kg (1 + т/М) Решите задачу другим способом, определяя ускорения бруска и платформы. Выделившееся количество теплоты Q = kmgs равно уменьшению кинетической энергии системы: Му2 (М -I- т)и^ Q = 5.33. s = mMv^ ~ 0,25 м; Q = mMv^ ~ 50 Дж. 2kg{M -Ь m)2 ^ 2(М -Ь т) Указание. Из закона сохранения импульса mv = (m + М)и находим и = mv/(M + т) — скорость тележки после остановки тела. Путь, пройденный тележкой, s = и^/(2а), где а = kmg/M — ускорение тележки. Выделившееся количество теплоты определяем из закона сохранения энергии: Q = mv^ (m + M)u2 mMv^ 2(m + му 2 2 5.34. h ~ 0,16 m; Q ~ 58,8 Дж. Решение. Высота h подъема грузов после удара находится из закона сохранения механической энергии: (т^ +m2)gh = (mi +т2)-2^ (1) Скорость и найдем, воспользовавшись законом сохранения импульса: m^v^ = (т^ + т2)и. (2) В свою очередь, находим из соотношения m^vlJ2 = m^gl(l - cos а) = 2mj^Zsin2 (а/2). (3) 219 Решая уравнения (1), (2) и (3) совместно, получаем h = 2[—^1 Zsin^ (а/2). 1,/ni + т^) Количество теплоты, которое выделяется при ударе. я = (mj + m2)u‘ тг 2/711^2 nil + m.2 glsin^ (ol/2). 2 2 m-i + rri2 2 5.35. n = 19; = 0,5 м/с. Указание. См. задачу 5.16. В системе отсчета, связанной с движущейся стенкой, скорость шарика до первого соударения была равна Vq^ - и^. После удара ее направление изменится на противоположное и, следовательно, в неподвижной системе отсчета она будет равна Vq^ - 2и^. После п соударений с подвижной стенкой скорость шарика равна == Vq^ - 2пи^. Столкновения будут продолжаться до тех пор, пока скорость шарика не станет меньшей или равной скорости стенки и^. 5.36. 1) = 5 • 10-3 м, *2 = 0.08 м; 2) Я = 0,02 м. Решение. 1. Запишем уравнения законов сохранения механической энергии и импульса для системы шаров, выразив скорости шаров через высоты /г^ и /ig, на которые они поднимутся после удара: m.^gh = m^gh^ + m^gh^; (1) m^j2gh = m2j2gh2 + m^j2gh^ . (2) Преобразуя уравнения (1) и (2) так же, как в задаче 5.28, и решая их затем совместно, находим Jh2 = Jhi-^ Jh. Подставляя выражение (3) в уравнение (2), получаем ^ /П2 ^ \mi + m2 (3) (4) / т-^ и, наконец, из уравнений (1) и (4) находим Zzg = 4Л --— . J + m2) 2. См. задачу 5.34; Я - hi 1 . \mi + m2) 5.37. п = з/д. Указание. Скорость атома гелия после столкновения и[ = т-1 - ш, (см. задачу 5.28), где — масса атома гелия, m2 — 1 Ш] + m2 220 масса атома водорода, Uj — скорость атома гелия до столкновения; U, mj -I- ГП2 5.38. £1= — п = 4а mj/m2 + 1 /П1 m? тП]^/т2 - 1 ‘ (1 + „)2^;о(РИС. 147). Указание. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что энергия, переданная первоначально покоящемуся шару, = 4а = (1 Га)2^0’ ~ полная энергия шаров, а = т^1гп2 — отношение массы налетающего шара к ^ массе первоначально покоящегося шара. Энергия Е-^ максимальна, когда минимально выражение (l-ha)2 1^ ^охт1^ '.о. —— = - + а + 2. Но - + а > 2 (среднее геометрическое чисел а и 1/а равно 1), причем ^ + а = 2, если ^ = а, т. е. а = 1 (а > 0). Поэтому iJj максимальна при а = 1. При этом Е-^ = Eq. 5.39. а) 100%. При упругом столкновении частиц с одинаковой массой они обмениваются скоростями; б) 1,9% . Указание. См. решение задач 5.28, 5.37 и 5.38. 1 /П1/П2 5.40. (^1 - 'пмакс 2mi + m2 Решение. В момент наибольшей деформации шары движутся вместе с одной и той же скоростью и. Для этого момента законы сохранения механической энергии и импульса принимают следующий вид: {rrii + /«2)^2 rri2Vl (1) (2) 2 2 2 макс’ -Ь /712^2 = (^1 + т^и. Из уравнения (2) и = + т.^. Подставляя это выражение в уравнение (1), находим 1 ГП1ТП2 2nii + ГП2 (1^1 - ^2У 5.41./ii = hpi Р2 ~ Pi ;t = Pi P2 Pi 2Ji g a = P2___^ Pi 221 Решение. Для тела, упавшего с высоты h над поверхностью жидкости и погрузившегося на глубину можно записать закон сохранения энергии в форме mg{h + h^) = F^^Ji^. (1) В правой части равенства (1) — работа выталкивающей силы при погружении тела. По закону Архимеда ^выт = '^тела^Рг = (2) где т — масса тела. Подставив выражение (2) в уравнение (1), получим /ii -ЛР1ДР2-Р1). Время t найдем из равенства изменения импульса тела при погружении импульсу силы: (F_„_ - mg)t = т (3) Из соотношений (3) и (2) найдем t = Р2 Ускорение тела - Pi V ^ ^выт -mg Р2 - Pi т Pi (по второму закону Ньютона) равно а = 5.42. = 0,01MZ/(2m). Решение. Груз массой т будет совершать работу по растяжению нити, причем сила натяжения прямо пропорциональна растяжению (по закону Гука). Эта работа заканчивается разрывом нити и может быть записана так (см. задачу 4.17): ^ = ^максА^2, (1) где = Mg; AZ = 0,01Z (по условию). Минимальная высота Л^ин’ падая с которой груз разорвет нить, определяется с помощью закона сохранения энергии: ^ (2) (удлинением нити при ее натяжении здесь пренебрегаем). Подставляя в уравнение (2) выражение (1), получаем Лмин = ^максА^/(2^^) = 0,01MZ/(2m). 5.43. S = 4,9 м. Решение. Дальность полета максимальна при угле наклона начальной скорости струи к горизонту, равном 45°, и определяется формулой S = v^/g (см. задачу 1.63). Скорость v струи можно определить, приравнивая кинетическую энергию выброшенной из шприца жидкости mv^l2 к работе поршня FI, где I — 222 его перемещение. Это можно сделать, так как условие позволяет пренебречь кинетической энергией, которой обладала жидкость, двигаясь внутри широкой части шприца до выходного отверстия (см. задачу 5.44). Так как жидкость практически несжимаема, то масса вытекшей жидкости т = pSZ, где S = — площадь поршня; р — плотность жидкости и FI = pSlv^/2, откуда и = j2F/(pS) = = j8F/(Kd^p). Подставляя это выражение в формулу для дальности полета струи, находим s = 8F/(pgKd^). с АЛ 5.44. и = ^ SF F> ^лр(В^ - d‘^) ’ Указание. Работа, совершаемая поршнем, движущимся со скоростью и за время AZ, идет на увеличение кинетической энергии жидкости массой Ат = uMSp (S = kD^IA), вытекающей за это вре-_ Amv^ Ати^ ^ мя из отверстия: FuAt = —----2—• Скорость и, с которой вода вытекает из отверстия, связана со скоростью поршня и соотношением v/u = S/s = D^ld^. 5.45. Zj/Zg = ГП2/Ш1У где Z^ и Z2 — длины дуг кольца от точки начала движения до точки 11-го соударения. Указание. Начальные импульсы бусинок равны т^^о! '^2*^02» так как на них действовали одинаковые силы равное время. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что после столкновения импульсы шариков не изменятся по модулю, а только изменят свое направление на обратное. 11-е столкновение произойдет в том же месте, что и первое (как и любые другие нечетные столкновения), т. е. в точке, делящей кольцо вместе с точкой начала движения в отношении mg/m^. - 3m „ Зти^(М-Зт) SAb.v=^j^v„E-----------^-------. Решение. Из закона сохранения импульса mvQ = -^ rnvQ + 3 тн + Mv находим V = Vq. Энергия Е возбуждения определяется из закона сохранения энергии: £ = mv§ m(Uo/2)2 3mv^(M - 3m) “2 2 2~ "" 8М ■ 223 5.47. ui = Vo = 2EQm 2^3 т^{т^ m2 + т^ /П3 -t- m2 тз) 2Е^т 1Ш.3 m2(mi m2 + Wi /П3 + m2 тз) 2EQm \^2 ^ ni2(mini2 + + П12пг2) или в общем виде 1 2EQm-^m2rn^ + ^2^3 Указание. Поскольку начальный импульс ядра равен нулю, то импульсы осколков должны быть одинаковыми, так как только в этом случае при углах 120° между соответствующими векторами скорости их векторная сумма равна нулю: = rn2V2 = m^v^. (1) Из условия имеем mjuf + /П2П2 + ^2^1 ^ 2£о* (2) Решая совместно уравнения (1) и (2), находим ответ. 5.48. Под прямым углом. Решение. Способ 1. Запишем закон сохранения импульса в векторной форме и закон сохранения кинетической энергии: mvi — mv\ + mv'2, (1) (2) скорости шаров mv\ - mvf + mv'2, .'2 где — начальная скорость шара; и ^2 после удара. Сократив в обеих частях уравнений (1) и (2) массу, получим = v\ + Hg, uf = vf + vf. Одновременное выполнение этих равенств возможно, если векторы v\ и д'2 составляют прямой угол (теорема Пифагора). Способ 2. Непосредственное рассмотрение взаимодействия шаров приведет к тому же результату. Действительно, разложим импульс первого шара на составляющие по оси X (совпадающей с линией, соединяющей центры шаров) и оси У. По оси X происходит лобовой удар шаров. Ранее было показано, что в этом случае при равенстве масс шаров происходит обмен скоростями. Таким образом, второй шар получает скорость v^. По оси У шары не взаимодействуют (шары абсолютно гладкие). Поэтому скорость первого шара после удара Vy. 224 5.49. Под углом а = arctg 0,5 к направлению движения шара В до соударения; = 0,66i;. Решение. Запишем закон сохранения импульса в проекциях на ось X, сонаправленную с вектором и: и ось У; т^-0,5и = где и uIq — массы шаров; и — взаимно перпендикулярные составляюш,ие скорости шара А после удара. Отношение = 0,5 и дает тангенс угла наклона скорости шара А к оси X. Полная скорость шара А после удара nil = 1,1п —. Отношение mJm. можно найти из закона сохранения т энергии: ,/nf • 0,25у2 + l,25y2^ m^. откуда т^1т^ = ^/5 и окончательно = 0,66п. 5.50. = ^/4^0’ ^Не ^ ^4^0- решение задачи 5.49. 5.51. р = arctg (2tg а); Q/E^ = ^/2003^а. Указание. В направлении, проходящем через центры шаров, происходит неупругий удар так, что составляющая импульса налетающего шара mvcos а распределится поровну между шарами и будет равна по wncos а. Касательная же составляющая импульса налетающего шара mosin а при столкновении не изменится, так как шары гладкие. 5.52. 1^1 = л/Зп/З; V2 = 2.j3v/3; р = 30°. Решение. Обозначив скорости шаров массами т и т/2 после столкновения соответственно и и угол между векторами Og и V через р, запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси X и Y (ось X сонаправим с вектором о), а также закон сохранения энергии: . ^ о mv = mv-^cos Oi+ Ogcos р. 2v - 2ojCos а = Hgcos Р, (1) 0 = mv^sin ос -Ь Р’ ^ 2oiSin а = Ugsin Р, (2) mv^ = mv\ + ^ о|, 2у2 - 2vf = у|. (3) 15 - 5495 225 Решая уравнения (1), (2) и (3) совместно [сложив возведенные в квадрат выражения (1) и (2), подставив при этом значение из уравнения (3) и учитывая, что а == 30°], получаем следуюш,ее квадратное уравнение: 3uf - 2л/3 = 0. Из него находим = л/З v/S, Из уравнения (3) найдем ^2 = 2л/3 v/S и из уравнения (2) получим р = 30°. 6. Движение по окружности (кинематика^ динамика) 6.1. п = 30 км/с. 6.2. V ~ 316м/с; точка описывает винтовую линию с шагом h ~ 1,35 м. 6.3. Скорость и в данный момент имеют точки, лежаш;ие на дуге радиусом R, центр которой находится в точке касания диска с плоскостью (мгновенном центре вращения). 6.4. и ± v^y, ^(1^1 + V2). Решение. Пусть каток движется поступательно со скоростью V и вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со. Линейная скорость точек катка в системе отсчета, связанной с его осью, равна (оЛ. Эту скорость имеют и точки касания катка с рейками. Так как проскальзывание отсутствует, то это и есть скорости реек. В системе отсчета, связанной с Землей, скорости реек равны сумме их скоростей относительно оси цилиндра и скорости оси цилиндра относительно Земли. Поэтому = V + 0)Л, V2 = V - 0)Л. Отсюда U = I (uj + V2); W = ^ - 1^2)* Для случая, когда скорости реек направлены в разные стороны (hj = п + (вЛ, V2 = (оЛ - и), получаем: v= ^(и^- U2); (О = ^(Ui + V2). 6.5. Пд = 2у^,со5 а. Ускорения всех точек обода центростремительные и равны <2цр = п^/Л. Решение. Угловые скорости вращения всех точек обруча относительно оси, проходящей через точку касания обруча 226 с плоскостью (мгновенный центр вращения), одинаковы и равны (о = Vq/R. Линейная скорость точки А равна = = сог = • 2i?cos a/R = 2У(.со8 а, и век- тор перпендикулярен О А (рис. 148). Так как поступательное движение обруча равномерное, то его точки имеют только центростремительное ускорение. Это становится очевидным при рассмотрении движения обруча в инерциальной системе отсчета, движущейся со скоростью v^. 6.6. п ~ 8,84 с“^; Пщ. ~ 926 м/с^ (это ускорение в 94,4 раза больше^). 6.7. V = Vq/2, Решение. Способ 1. При проскальзывании на цилиндр со стороны плоскости действует постоянная сила трения, которая ускоряет его поступательное движение и замедляет вращательное. Через время t скорость поступательного движения равна V = aty а линейная скорость вращательного движения относительно оси цилиндра станет равной ^ (так как цилиндр тонкостенный, все элементарные массы имеют одинаковое ускорение а относительно оси цилиндра, равное по модулю ускорению поступательного движения). Скорость точки цилиндра, касающейся плоскости, равна разности скоростей v^ - v. Проскальзывание прекратится, когда эта скорость станет равной нулю: Up - у = (^0 “ CLt) - at = 0, откуда at = Таким образом, скорость поступательного движения (скорость оси цилиндра) в этот момент времени равна о^!2 и в дальнейшем меняться не будет. Способ 2. Проскальзывая, цилиндр совершает работу по преодолению силы трения приложенной к нему: А = F^^s^^y где — путь, который прошла точка (точнее, линия) приложения силы трения по поверхности цилиндра при его скольжении по плоскости в течение времени t\ от момента касания, когда скорость скольжения = Пц» момента прекращения проскальзывания (Upj^ = 0). Так как движение является равнопеременным, то средняя скорость скольжения равна Vq/2. Таким образом, А = F^pS^^ = F^pUo^/2. По закону сохранения энергии работа А равна изменению кинетической энергии цилиндра: (mv^ mv •(пост) -t- 2 V 2 (цилиндр тонкостенный, и поэтому 6.50). 2 (Bpau;)J — F~2 t = Е квращ’ (1) см. задачу 227 Сила трения под действием которой за время t скорость вращения цилиндра уменьшается до v, придает ему одновременно поступательное движение с той же скоростью и. Записав для поступательного движения цилиндра второй закон Ньютона в импульсной форме = mv и заменив в соответствии с ним в уравнении (1) F^pt на mv, получим уравнение, из которого найдем v = Vq/2. 6.8. Нет. Эта сила, согласно условию задачи обеспечивающая равномерное вращение тела, есть постоянная по модулю центростремительная сила, вектор которой в каждый момент времени направлен перпендикулярно направлению перемещения тела, и работы не совершает. 6.9.0)= Ё-. V3/n Решение. Центростремительное ускорение + А1) = = (^0 — первоначальная длина пружины, А1 — ее удлине- ние) сообщает грузу сила упругости пружины, равная, в соответствии с законом Гука, F^^^ = kAl = 0,5/q^. Поэтому l,5mco^/o = /1 k = 0,5/ofe. Отсюда ш = . 6.10. = (m^l^ + m2/2)co^; Tg Указание. Крайней точечной массе центростремительное ускорение сообщает сила Т^; другой — сила (Т^ - Tg) (см. рис. 30). 6.11. п = 6,75 мин Ч Решение. Человек не сможет удержаться на платформе, если максимально возможная сила трения покоя о платформу окажется недостаточной для того, чтобы сообщать ему необходимое центростремительное ускорение, т. е. F^^ = kmg < mca^R или п = со/(2я) > l/{2n)Jkg/R. 6.12. См. рис. 149. Указание. До того как тело начинает скользить, сила трения сообщает ему центростремительное ускорение а = оз^г и поэтому, учитывая, согласно условию, малость касательного ускорения, = тш^г < kmg. Скольжение тела начнется при (О = сОд такой, что F^p = kmg, т. е. при со^г = kg. 228 6.13. h = 1{Т - mg)/{2mg) = 2 м. Указание. Кинетическая энергия камня в нижней точке окружности целиком перейдет в его потенциальную энергию при подъеме: mv^l2 = mgh, где h — высота подъема над нижней точкой окружности. Записав далее уравнение динамики вращательного движения для момента прохождения нижней точки mv^/l = = Т - mg и решая оба уравнения совместно, получим ответ. 6.14. Т = mg [^( 1 + л/2\ 2205 Н. Указание. Дальность I полета будет максимальной, если скорость молота направлена под углом а = 45° к горизонту. При этом (см. задачу 1.63) Iq = v^/g, где Iq — дальность полета при одинаковой высоте над поверхностью Земли точек вылета и падения. В нашем случае (рис. 150) Iq = I - R. Центростремительное ускорение v^/R сообщает молоту равнодействующая силы натяжения Т (равная ей сила действует на руки спортсмена) и проекции силы тяжести mgcos 45°: mv^lR = = Т + mgcos 45°, откуда Л т = mv^ mgY = rng г 1 _ Г1 4. ^ R [ 2 j. 29 400 H. ,2 6.15. 1. = mg 2. F^2 "" wg’l^cos a - ^ j ~ 24 000 H. 3. ^дз = mg|^cos a + ^ j = 34 400 H. В тот момент, когда автомобиль проходит через середину моста, F^2 "" 24 000 Н; F^^ = = 34 400 Н. \ \ I u о Указание. На автомобиль действуют две силы: сила тяжести ■^тяж ^ сила N реакции мос- та, которая по третьему закону Ньютона равна по модулю силе давления автомобиля на мост. По искривленному мосту автомобиль движется с центростремительным ускорением, сообщаемым ему равнодействующей силы N и радиальной составляющей силы тяжести, равной mgcos а (рис. 151). В соответствии со вторым зако- Рис. 151 ном Ньютона можно записать mv^lR = mgcos а - N2 в случае выпуклого моста и mv^jR = - mgcos а в случае вог- нутого моста. 6.16. а = arccos {FJ{mg) + v^-/{gR)) «8,2°. 6.17. А = mgl{\ -ь ^/2^ё сх sin а - cos ос) « 1,23 Дж. Указание. Работа идет на увеличение потенциальной и кинетической энергии. Скорость шарика находится из условия /m;2/(/sin а) = mgtg а, а Л = /(1 - cos а). 6-18. = JkgR « 89 км/ч. Указание. См. задачу 6.11. 6.19. l.A„.„, = i>V{gfl) = 0,4. Указание. См. решение задачи 6.11. 2- 1^макс ^ j2kgRa/Jl -1- 4«2 « 14,5 м/с. Решение. Ускорение а автомобиля складывается из постоянного касательного ускорения а^, обеспечивающего разгон автомобиля, и центростремительного ускорения = v^/R (и — скорость автомобиля). Поэтому а = ^а^ + Внешней силой, сообщающей автомобилю ускорение, является сила трения колес о дорогу. Так как сила трения не может превысить значения kmg (т — масса автомобиля), то наибольшее ускорение а в момент перехода автомобиля на горизонтальный участок дороги не может быть больше величины kg: 230 + = kg. Так как v = J2a^l (I = Ra — путь, пройденный Д2 автомобилем; а = я/6), то = v^/(2Ra), и после подстановки получим v^^^^^/Rjl7(4a^) + 1 = kg. Отсюда = j2kgRa/Jl + 4а^. 6.20. Ah ~ 7,65 см. Указание. Равнодействующая F силы тяжести mg вагона и силы реакции N рельсов сообщает вагону центростремительное ускорение: та^^^ = mg + N. Равнодействующая направлена горизонтально (так как ее направление должно совпадать с направлением ускорения поезда), а ее модуль равен mgtg а (рис. 152): mv^/R = mgtg а. Отсюда tg а = v^/(gR). Верхний рельс выше нижнего на Ah = dig а = dv^/{gR). 6.21. а-22°. Решение. Для того чтобы мотоциклист мог двигаться по окружности, он должен наклониться так, чтобы равнодействующая приложенных к нему трех сил: силы тяжести mg, силы реакции N дороги и силы трения о дорогу (рис. 153) — сообщала ему центростремительное ускорение. Так как центр тяжести мотоциклиста не перемещается по вертикали, то = mg. Поэтому центростремительное ускорение сообщается силой трения: irw^lR = F^^. Равнодействующая R = N + F^^, очевидно, должна проходить через центр тяжести мотоциклиста (момент равнодействующей относительно центра тяжести должен быть равен нулю). Поэтому ctg а = N/F^p = gR/v^. 6.22. 1. - 18,8 м/с. 2. ф « 21,8°. 3. - 33,5 м/с. 4. Цо = = arctg (1/k). 231 Решение. 1. Центростремительное ускорение мотоциклисту сообщается силой трения (см. задачу 6.22), поэтому mv^-jR = Но сила трения не может превысить значения ■Р’тр.макс"" "" kmg, значит, скорость мотоциклиста не может быть больше некоторого предельного значения, определяемого этим возможным максимальным значением силы тре- макс' *..-в- ---“гл— “макс JkgR . 2. Угол наклона мотоциклиста при этой скорости должен быть равен: Ф = arctg = arctg k. ния: /ш;2 /д = kmg. Отсюда v 3. В создании центростремительного ускорения будут участвовать горизонтальные составляющие силы трения и силы реакции трека (рис. 154): = -^’тр.максСОЗ « + A^sin а. (1) Сумма вертикальных составляющих сил, действующих на мотоцикл, равна нулю (в вертикальном направлении ускорения нет): ^Tp.MaKcSin а + mg- Ncos а = 0. (2) Максимальная сила трения F = kN ^ тр.макс • (3) Решая уравнения (1), (2) и (3) совместно, получаем k + tg а gR 1 - kig а' 4. Указание. Из п. 3 следует, что —>■ оо при 1 - /г tg ао 0, откуда ttg = arctg (1//г). 6.23. Я = 5780 м. Решение. Самолет изменяет направление полета, переходя на движение по дуге окружности путем разворота своего корпуса вокруг направления полета. При этом центростремительное ускорение сообщается самолету равнодействующей силы тяжести и подъемной силы, перпендикулярной плоскости крыльев. Эта равнодействующая равна mgtg а (рис. 155). 232 По второму закону Ньютона mgtg а = mv^jR, откуда R = - v^/igtg а). 6.24. V ~ 26,1 м/с. Решение. При повороте автомобиля давление на его колеса, а значит, и силы, действующие на колеса автомобиля со стороны дороги, перераспределяются. При наибольшей допустимой скорости автомобиля силы, действующие на него со стороны дороги, приложены к внешним колесам и равны: а) силе реакции N = mg (численно равна действующей на автомобиль силе тяжести, так как в вертикальном направлении ускорения нет) и б) силе трения = m(sF-R = mv^lR (так как она сообщает автомобилю центростремительное ускорение). Автомобиль перевернется, если направление равнодействующей этих сил проходит ниже центра тяжести автомобиля — в этом случае имеется опрокидывающий момент силы относительно центра тяжести. При критической скорости эта равнодействующая проходит через центр тяжести автомобиля, и поэтому (рис. 156) N/F^p = tg а = 2h/a, или mgRUjnv^^ = 2Л/а, откуда V = JgRa/{2h). 6.25. Затормозить. Решение. При торможении сила трения F^^ должна совершить работу А = Fs (s — тормозной путь), равную кинетической энергии, которую имел автомобиль до включения тормозов: = mv^j2. Отсюда тормозной путь S = mi;2/(2F,p). Если же водитель, не тормозя, повернет в сторону, автомобиль будет ехать по дуге окружности, а центростремительное ускоре- 233 ние Оцр = jR (Я — радиус кривизны) будет сообщать автомобилю та же сила трения. Из уравнения движения = mv^/R найдем, что радиус поворота равен R = mv^jF^^, т. е. он вдвое больше тормозного пути. Это означает, что затормозить выгоднее, чем повернуть в сторону. 6.26.f,„p = 51H. Решение. Центростремительное ускорение сообщает взвешиваемому грузу равнодействующая силы тяжести груза и силы упругости F^^^ пружины. Эта равнодействующая равна mgtg а (рис. 157). По второму закону Ньютона mgig а = = mv‘^/R, отсюда tg а = v^/(gR). Сила упругости пружины F = У”Р cos а mgjl + tg2 а = mg /1 + 6-27. 1) = (p„ - p,)g = 980 H/m3; 2) 7’e„.„6 = (Pm - Pc)®"'- = 3,94 • lOO H/m3. Указание. 1. В неподвижном сосуде силой, отделяющей сливки от снятого молока, является архимедова сила. 2. Если бы объем V, занимаемый частицей сливок, занимало молоко, то оно находилось бы в равновесии. Это означает, что на частицу сливок со стороны окружающего молока действует сила Ej = Pi^co^rF, направленная к оси вращения. Эта сила оказывается больше силы, необходимой для движения по окружности частицы сливок, равной Fg = р^со^гУ. Разность этих сил и является силой, отделяющей сливки от молока. 6.28. F Mv‘ Mg-4030 Н; F^ Mu" Mg - 5630 Н. R ^ ------- H R Указание. Cm. задачу 6.15. Центростремительное ускорение в верхней и нижней точках «мертвой петли» сообщает летчику равнодействующая сила тяжести и сила реакции сиденья. 6.29. Т = Mg/cos а - 990 Н; со = Jg/{lo.os а) - 1,68 рад/с. Указание. Центростремительное ускорение сообщает человеку равнодействующая силы тяжести и силы натяжения каната; вектор равнодействующей направлен горизонтально. 6.30. Т = 2kJIcos a/g. При малых углах Т - 2njl/g. Решение. Центростремительное ускорение сообщает маятнику равнодействующая Q силы тяжести mg и силы на- 234 тяжения Т нити (рис. 158). Вектор равнодействующей лежит в плоскости движения маятника, а модуль равен Q = mgtg а. По 4тс^ второму закону Ньютона m(o^R = mgtg а или ^sin а = а (так как R = /sin а и со = 2nfT). Отсюда Т = 2nJlcos a/g. 6.31. л = ^ (Ответ не зависит от длины подвеса.) 6.32. h<(T- mg)l/(2mg) « 2,5 м. Решение. На люстру в любой точке траектории действуют две силы (рис. 159): сила тяжести mg и сила натяжения Т цепи. При прохождении люстрой положения равновесия (точка А) силы направлены по одной прямой. Запишем для люстры уравнение второго закона Ньютона в момент прохождения ею точки А: та^^ = Т - mg, где Пцр = v^/l — центростремительное ускорение. Тогда mv'^/l = Т - mg. (1) По закону сохранения энергии находим скорость люстры в точке А: или mgh = mv^/2, '^ = 2gh. v^ = Zgn. (2) Подставляя выражение (2) в уравнение (1), имеем 2mgh/l = Т - mg, откуда h = (Т - mg)l/(2mg). По условию Т < 2mg, следовательно, h < 2,5 м. 235 6.33. = arccos 0,75 ~ 41,4°. Указание. См. задачу 6.32. 6.34. a = arccos (Va)- 6.35. AT = 6mg. Указание. Cm. указание к задаче 6.28. Соотношение между скоростями груза в верхней i; и нижней и точках определяется mvt законом сохранения энергии: mv^ “X = mg • 2R. 6.36. F = bmg. Указание. См. задачи 6.28 и 6.35. 6.37. = ТЗД для нити; = 2jg^L для стержня. Указание. В случае невесомого стержня минимальная скорость груза в нижней точке определяется условием: изменение его потенциальной энергии при подъеме от нижней до верхней точки равно начальной кинетической энергии груза: mg' 21 = = mv^ 12. Скорость груза в верхней точке равна нулю. В случае, когда груз враш;ается на нерастяжимой нити, этого условия недостаточно, нужно еще одно условие: нить должна быть все время натянута вплоть до верхней точки. Скорость груза в верхней точке не может быть равной нулю, а должна быть такой, чтобы центростремительное ускорение сообщалось грузу только силой тяжести: mv^jl = mg. В этот момент Т = 0, что является условием минимума скорости. 6.38. Т = SMgsin а; Т = 3Mg. Указание. См. задачу 6.32. 6.39. Т = Mg\ 3cos ф 2cos Фо + ^ пока не обратится в нуль. Указание. См. задачу 6.32. Учесть начальную кинетическую энергию маятника. 6.40. cos а = ^/3/3; а = 54,7°. Решение. Вертикальная составляющая скорости грузика будет возрастать до тех пор, пока не станет равной нулю вертикальная составляющая равнодействующей приложенных к грузику силы тяжести mg и силы натяжения Т нити (рис. 160): Tcosa-mg = 0. (1) После этого вертикальная составляющая скорости грузика уменьшается. Так как грузик движется по окружности, то в соответствии со вторым законом Ньютона mv^jR = Т - mgcos а. 236 Подставив в это уравнение скорость грузика, найденную из закона сохранения энергии: mv^l2 = mgRcos а, и решая полученное уравнение совместно с уравнением (1), находим: cos а = JS/3. 6.41. 1) F = 2mgcos 2 а; 2) F = 2mg(3 - 2cos a); 3) JP = 2mg. Указание. 1. Равнодействующая силы натяжения нити и силы тяжести шарика направлена перпендикулярно нити и сообщает шарику начальное ускорение а = ^sin а. 2. Скорость каждого из шариков в начальный момент удара найдем, воспользовавшись законом сохранения механической энергии. Из законов сохранения энергии и импульса следует (см. задачи 5.28 и 5.39), что скорости шариков в конечный момент удара равны по модулю их скоростям в начальный момент удара и направлены в противоположные стороны. Зная же скорости шариков, легко найти силы натяжения нитей (см., например, задачу 6.32). 3. В момент наибольшей деформации шариков скорость каждого из них равна нулю. 6.42. /г = 4//3; по параболе (траектории тела, брошенного под углом к горизонту); Н = 40//27. Указание. См. задачи 6.37 и 6.32. В точке максимального подъема маятника сила натяжения нити обращается в нуль и центростремительное ускорение сообщает маятнику радиальная составляющая силы тяжести. 6.43. Ниже точки подвеса на по параболе; на 21/21 ниже точки подвеса. Указание. См. указание к задаче 6.43. 6.44. со > J2gtg a/D ~ 13 рад/с. Указание. На шарик, находящийся на стенке вращающегося сосуда, действуют две силы: сила тяжести mg и сила реакции N стенки сосуда (рис. 161). При равновесии шарика относительно 237 сосуда равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение, т. е. nuo^R = mgtg а. Отсюда следует, что шарик может находиться в равновесии на расстоянии R от оси вращения сосуда, если сосуд вращается с угловой скоростью (О = Jgtg а/R. У дна сосуда шарик еще находится в равновесии. но уже не давит на дно при = J2gig a/D; если увеличить со, то из уравнения, приведенного выше, следует, что ни при каком R > D/2 он не находится в равновесии и будет выброшен. 6.45. /г - 1 м; У = 4 Н. Решение. При равновесии шарика относительно сферы равнодействующая силы реакции N сферы и силы тяжести mg шарика направлена к оси вращения и сообщает шарику центростремительное ускорение. Модуль этой равнодействующей Q = = mgtg а (рис. 162). По второму закону Ньютона moi^•l = mgtg а, где I == = Rsin а — расстояние от шарика до оси вращения: (o^i?sin а = gtg а. два корня для (х: 1) sin а = О, а = 0; Рис. 162 Это уравнение имеет 2) cos а = §•/((0^/?). g Положение шарика с а = arccos возможно только при со > Jg/R, а с а = о — при любой угловой скорости сферы, но при со < Jg/R равновесие устойчиво, а при со > Jg/R неустойчиво. В нашем случае Jg/R ~ 2,2 с ^ < со. Высота h = R - Rcos а = = сила реакции сферы N = mg/cosa = m(i)^R, а со = 2тш. 6.46. Т = 2njRtg а/{а -ь g). Решение. Силы, действующие на шарик, должны сообщать ему как горизонтальное, так и вертикальное ускорение. Разложим силу F, действующую на шарик со стороны конической поверхности, на вертикальную F' = Fsin а и горизонтальную F" = Fcos а составляющие (рис. 163). Результирующая вертикальной составляющей силы F и силы тяжести mg сообщает шарику ускорение а, направленное вверх. Горизонтальная составляющая силы F сообщает шарику центростремительное ус- 238 Рис. 163 Рис. 164 корение = (O^i? (ш — угловая скорость вращения). Поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона та = Fsin а - mg и mrn^R = F cos а. Исключая из этих уравнений F, находим: (0= Ja + g/(Rtg а), Т = 2к/са = 2njRtg а/{а + g). 6.47. 1) h = 2,5Л; 2) F^ = Smg(l - cos a). Решение. 1. Тело не оторвется от петли, если в верхней точке оно имело скорость v > JgR (см. задачу 6.37). Записав закон сохранения энергии —h mg*2R = mgh, найдем, что тело должно скатываться с высоты h = 2,5R. 2. В точке, радиус-вектор которой составляет угол а с вертикалью (рис. 164), центростремительное ускорение будет сообщать телу равнодействующая силы реакции N помоста и радиальной составляющей силы тяжести (mg)j^ = mgcos а. По второму закону Ньютона mv^lR = N + mgcos а. Скорость тела в этой точке легко определить, воспользовавшись законом сохранения энергии: д ?7Ъ 1)^ I 2 mgR = ---f- mg{R -t- Rcos a), v = JgR(3 - 2cos a). Подставляя это выражение для скорости в уравнение второго закона Ньютона, получаем N = ^ [ё’ЖЗ - 2cos а)] - mgcos а = н = 3mg{\ - cos а), а сила давления F^ тела на помост численно равна силе реакции N помоста. (Определите значение N для а = О и а = 71.) 239 6.48. = JgRcos a. Указание. Отделение руды от ленты означает, что руда потеряла связь с лентой и на руду действует лишь сила тяжести. Ее радиальная составляющая сообщает частицам руды в момент набегания ленты на барабан центростремительное ускорение (рис. 165), поэтому mv^-jR — mgcos а. 6.49. h = R/3. Решение. До отрыва от поверхности сферы на тело действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры N. Равнодействующая радиальной составляющей силы тяжести и силы реакции опоры сообщает телу центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона mv^jR = mgcos а - N. По мере соскальзывания тела составляющая силы тяжести mgcos а (где а — угол между вертикалью и направлением из центра сферы на тело) убывает, а его скорость возрастает, что влечет еще более быстрое уменьшение силы реакции опоры (сила реакции опоры зависит от характера движения тела). В момент отрыва N обращается в нуль и тогда mv^lR = mgcos а. (1) На основании закона сохранения энергии mv^l2 = mgh. (2) Кроме того, очевидно, что cos а = (R - h)/R. (3) Решая совместно уравнения (1), (2) и (3), получаем h = R/3. 6.50. = mv^. Решение. Каждая точка обруча участвует в двух движениях: прямолинейном движении со скоростью и и вращении с угловой скоростью 0) вокруг центра обруча. Линейная скорость вращательного движения = coi?. В отсутствии проскальзывания со = V/R и поэтому Dgp = V. Рассмотрим два диаметрально противоположных одинаковых малых элемента обруча (точки А и В), имеющих массу Лт (рис. 166). Их скорости равны векторной сумме скоростей поступательного и вращательного движений, а значит: и2 + cos а = 2v\\ - cos а); о| = i;2 + 1)2^ + 2vu^^ cos а = 2v^{l + cos a). вр 240 Суммарная кинетическая энергия этих элементов обруча равна ^ ^ = 2Дт.^. Это соотношение не зависит от угла а, т. е. от выбора диаметра, на концах которого лежат выбранные элементы обруча. Поэтому кинетическая энергия всего обруча равна 6.51. h = {R-r)/2. Решение. Скатываясь, обруч движется по окружности. Центростремительное ускорение сообщает ему сумма радигшь-ных составляющих сил, приложенных к обручу (рис. 167), равная N - mg cos a{N — сила реакции полусферы, т — масса обруча и а — угол, образуемый радиусом-вектором обруча с вертикалью). По второму закону Ньютона - г) = N - mgcos а, (1) где V — скорость центра обруча. Из закона сохранения энергии следует, что ту 2 2 т( (йг)2 Н----+ mg[R - (R- r)cos а] = mgR. (2) Слагаемое mv^l2 — кинетическая энергия поступательного движения центра масс обруча; уп((ог)^ _ т(гу/г)^ — кинетиче- ская энергия вращения обруча относительно центра масс обруча (см. задачу 6.50); mg[R - (R- r)cos а] — потенциальная энергия обруча. Из уравнения (2) найдем v = Jg{R - r)cos а. Подставляя это выражение для v в уравнение (1) и приравнивая N = mg^ получаем cos а = ^/2 и Л = (il - r)cos а = (R- r)/2. 16 - 5495 241 6.52. а) Е^ = mgR; б) половина; в) F = 2mg. 6.53. р = ~ = 1,2-10^ Па. Решение. Центростремительное ускорение выделенному объему воды (рис. 168) сообщает сила бокового давления F со стороны стенок трубы: mv^/R = F. Сила F равна произведению давления р на площадь диаметрального сечения ABCD, перпендикулярного радиусу кольца, т. е. F = pdl. Масса выделенного объема т = ^ndH/A. Скорость течения воды определяется из формулы М = ^nd^vtl^ (время ^ = 1 ч), откуда v = AM/{n^d4). Подставив значения mviv в формулу для F, получим ответ. 6.54. При движении по выпуклой дуге. Решение. Действительно, в этом случае давление тела на поверхность в каждой точке меньше, чем давление на поверхность в точке, находящейся на таком же расстоянии от точки А, в случае движения тела по вогнутой дуге (см. задачу 6.15). Это означает, что сила трения, действующая на тело в каждой точке, а следовательно, и работа по преодолению трения на всем пути меньше, чем при движении по вогнутой дуге, и тело в точке В имеет в этом случае большую кинетическую энергию. Z{m\ + ml) - 2mim2 6.55. ю = 2 m2)g ;F = g- m, + Ш2)1 Решение. Шарики движутся с одной и той же угловой скоростью. Будем отсчитывать потенциальную энергию от уровня, на котором находится шарик с массой в момент прохождения положения равновесия. Тогда на основании закона сохранения энергии запишем: I moV + 2*^2 (m^ + /П2)^2 "" ^2^^ '^2 2 Подставляя в это выражение = ^2 = ш//2, находим со = 2 PUlZJUlll. ц{т-^ + т2)1 Сила давления F на ось равна сумме сил и Tg натяжения частей стержня. Будем считать, что обе части стержня растянуты. Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона Т^-m^g = т^(лЧ/2 и m,2g + Т = т2(о^1/2. 242 Подставляя в эти уравнения угловую скорость со для момента прохождения шариками положения равновесия и решая их относительно и 7*2, соответственно получим: m^g Т. = —(3m, - m2); То 1 mi -f mg ^ ^ m. (m^ - 3m2) 1.1 + mg при m^ < 3mg Tg < 0. Это означает, что часть стержня, к которой прикреплен шарик массой mg, сжата, а не растянута, как мы предполагали. Сила давления на ось 6.56. F ~ mg 1 + F = T,-T,= 4h^n^ 3(mf 4- m|) - 2mimg mj -I- mg g- Решение. Сделав n оборотов, колечко опустится на высоту nh, и из закона сохранения энергии mgnh = mv^!2 следует, что в этот момент времени колечко будет иметь скорость v = = J2ghn. Эта скорость направлена по касательной к спирали и может быть представлена как сумма вертикальной Uq и горизонтальной (враш;ательной) составляющих. Причем = vcos а, где а — угол наклона спирали; а = sin а = к/(2кК). Учитывая, что h R, можно положить cos а = 1 и Uj ~ п. Горизонтальная составляющая силы реакции спирали должна сообщать колечку центростремительное ускорение ац^ = ~ = 2ghn/R, поэтому она равна = тОц^ = 2mghnlR. С такой же силой колечко давит на спираль в горизонтальном направлении. Таким образом, полная сила давления F колечка на спираль слагается из горизонтальной составляющей и вертикальной составляющей силы тяжести: mgcos а ~ mg. Тогда hmgy + (2mghn^ = mgjl + Ah^n‘ V R 6.57. T«mn2/« 12H. Решение. Рассмотрим малый элемент цепочки длиной Д/ = ЯДа. Масса этого элемента Дт == тА1/1 = mRAa/l. При вращении цепочки центростремительное ускорение сообщают выделенному элементу силы натяжения, действующие на него со стороны остальной цепочки. Равнодействующая этих сил равна 2Твш(Да/2) (рис. 169). i?2 16* 243 По второму закону Ньютона 2Tsin(Aa/2) = (Дт) о)^Я. Подставляя в это выражение о) = 2дд и учитывая, что в силу малости углов sin(Aa/2) = Да/2, получаем 2Т'Да/2 ~ тК^Аа(2кп)^/1, откуда 6.58. ДЯ,,д-1,74-103 Н. Решение. Равнодействующая силы тяжести самолета и подъемной силы сообщает ему центростремительное ус- корение. При движении с запада на восток скорости самолета и Земли складываются. Поэтому можно написать т(шЯ + i;)V^ = (1) где (О — угловая скорость Земли; R — ее радиус. Если самолет летит в обратном направлении, то т(соЯ - vfIR ^mg- (2) Из уравнений (2) и (1) находим изменение подъемной силы: '^^под "^2 под 1под 4mi;co - 4:Гп2ки/Т, где Г — период вращения Земли, т. е. одни сутки. 7. Закон всемирного тяготения. Спутники. Невесомость 7.1. [G] = мЗ/(кг • с^); М == 6 • кг. Указание. У поверхности Земли сила тяготения сообщает телам ускорение g; mg = GmM/R^, откуда М = gR^/G, где R — радиус Земли. 7.2. Я = 2,34* 10-3 Н. 7.3. F= ^GMm 1 (d - Я/2)2 • Указание. Искомая сила находится как разность сил, которые действовали бы на шарик со стороны всего свинцового шара и той части, которая из шара была удалена. 7.4. /г = 13 600 км. 7.5. g~ 975 cм/c^. Решение. Ускорение свободного падения находится из формул ,М М {R + /г)2‘ 244 ^ ^0 f R + Отсюда — = I —^ )=-f и поэтому h^/R^ 2h/R. Таким образом, R ^0^ 2h 1 , 2Л I, /D ^ 1 + ^ = 1 + , так как h/R 1, g “4^) “ yR h ) R 2 h 7.6. Указание. Покажем, что гравитационная сила, действующая со стороны произвольного шарового слоя на материальную точку внутри него, равна нулю. Для этого разобьем шаровой слой на тонкие сферические слои. Конус с малым углом раствора с вершиной в этой точке вырезает из слоя элементы, причем можно доказать, что A/n^/CAmg) = r\jr\. Поэтому равнодействующая сил притяжения к этим элементам равна нулю. Разбивая весь слой на такие элементы, получаем начальное утверждение. Следовательно, на точку действует только масса той части Земли, которая заключена внутри сферы радиусом г. 7.7. V = 7^. Решение. Если масса тела, падающего сквозь шахту, равна т, то ускорение а тела зависит от расстояния г до центра Зем- ли по закону а = — = т mgr/R т ’-R радиус Земли) (см. зада- чу 7.6). Ускорение максимально при г = К и становится равным нулю при г = 0. Это означает, что скорость тела максимальна при г = 0. После того как тело пройдет центр Земли, его ускорение будет направлено противоположно скорости, и скорость тела уменьшится. Для того чтобы найти скорость тела при г = 0, воспользуемся законом сохранения энергии. Принимая, что потенциальная энергия тела равна нулю в центре Земли, получаем ту^/2 = где — потенциальная энергия тела на поверхности Земли. Она равна работе, которую необходимо затратить, для того чтобы очень медленно перенести тело из центра на поверхность Земли. Построим график зависимости силы, которую нужно приложить к телу, от расстояния г (рис. 170). Работа по перемещению тела численно равна площади заштрихованного треугольника (см. задачи 4.5 и 4.17), поэтому Ejj — mgR!2 и mv‘^12 = mgR/2. Отсюда V = JgR. 245 7.8. в направлении с востока на запад со скоростью и = 464 м/с. Указание. Самолет должен быть неподвижным в системе отсчета, связанной с неподвижными звездами. Для этого угловая скорость самолета должна быть равна угловой скорости Земли и направлена в другую сторону. При полете над экватором V = COJR3 = 2kRq/T, где Rq — радиус Земли; Т — период ее обращения. 7.9. Используется скорость вращения Земли. 7.10. Т= Лк/ipG) ~ 2 ч 41,6 мин. Решение. Весом тела Р называется сила, с которой тело действует на неподвижные относительно тела подвес или опору. По третьему закону Ньютона со стороны опоры на тело действует сила N, равная и противоположно направленная весу тела Р. Таким образом, к покоящимся на планете телам приложены две силы: сила тяготения и сила реакции опоры N. Эти силы и сообщают телу необходимое центростремительное ускорение при вращении планеты вокруг своей оси. На полюсе и экваторе эти силы направлены по одной линии. По второму закону Ньютона mv^lR = F^- N, где v — скорость вращательного движения тела вместе с планетой вокруг ее оси. На полюсе у = 0 и центростремительное ускорение отсутствует. Сила реакции опоры и, следовательно, вес тела на полюсе равны силе тяготения: Ро = Рг> На экваторе v = 2kRIT, где Т — период обращения планеты. пт • Вес тела на экваторе -----— . По условию = 0,5Pq = = 0,5Р^, тогда AK^mR/T^ = 0,5Р^. (1) тМ По закону всемирного тяготения F^ = • Здесь т — масса 4 тела, М — масса планеты, R — радиус планеты, но М = ^ ттЛ^р, где р — плотность планеты. Подставляя в формулу (1) выражения для F и М, получаем пт 0,5G 4 4n^niR R2 Т2 После сокращения найдем Т = j6K/{pG). 7.11. р = 30k/(T^G) = 180 кг/мЗ. 246 7.12. ^ = 1 ч 25 мин. Указание. См. задачу 7.10. 7.13. Р = m{gQ - со^Дсоз^ф). Решение. На взвешиваемое тело ;^ействуют две силы: сила тяготения F^, направленная к центру Земли, и сила N реакции опоры (рис. 171), равная по мод^^лю весу тела. Равнодействующая Q сил N сообщает телу центростремительное ускорение а = со^г. Так как г = i?cos ф (ф — географическая широта), то а = (О^Дсоз ф и Q = птУ-Есов ф (т — масса тела). В свою очередь, для силы тяготения можно записать F^ = GmM/R^ = mg^, где gQ = GM/R^ (М — масса Земли) — коэффициент с размерностью ускорения, численно близкий ускорению свободного падения на полюсе. По теореме косинусов из треугольника сил получаем Р = = - 2F^Qcos ф = -^созф. Учитывая, что Q/F^ <5С 1, мы можем пренебречь квадратом этой величины в подкоренном выражении. Используя далее известное приближенное равенство Jl - а = 1 - ^ при а 1, получаем окончательное выражение: Р ~ F^^l - ^ cos ф j = m(gQ - (О^Ясоз^ф). т 7.14. — =336 000. Щг. Решение. Уравнения движения Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли: т^гпс _ ^ р2 ^З^З-^ЗС’ ‘'ЗС ^rrijiniQ___ ^ ^ ^ р2 ^Л^Л-^ЛЗ’ Пг- •^лз или - «I; ^зс ^3 G^T~ ~ ^л* ■“лз Разделив первое уравнение на второе и учитывая, что со = 2п/Т, находим /П( ТПг рЗ ■“зс гр2 ^ Л гр2 ' ЛЗ ^ 3 247 7.15. = 2 • 10^® кг. Указание. См. задачу 7.14. 7.16. Нет. Так как при этом у силы тяжести будет составляющая, не лежащая в плоскости орбиты. 7.17. у = Rjg/{R + h); Т = J{R + h)/g. Решение. Принимаем, что спутник движется по круговой орбите, центр которой находится в центре Земли. При этом спутник движется с центростремительным ускорением а^^ = v^/{R + h), где V — скорость движения спутника по орбите, R — средний радиус Земли, h — средняя высота спутника над Землей. Это центростремительное ускорение спутнику сообщает сила тяготения F = GmM/{R + где М — масса Земли, т — масса спутника, G — гравитационная постоянная. Согласно второму закону Ньютона, имеем mv^/(R + h) = GmM/{R + h)^, откуда = GM/(R + h). Величину GM можно найти из следующего соотношения: сила тяготения на поверхности Земли mg = = GmM/R^, откуда GM == gR^. Подставляя GM в формулу для скорости движения спутника, получаем и = R Jg/{R + h). Период обращения спутника Т = 2л/со, где (о = v/(R + h) — угловая скорость движения спутника по орбите. Следовательно, 2n{R + h) + lR + h Т = 2n- R g 7.18. CO = 2k/T ~ 0,001 рад/с; v = \j2ngR^/T ~ 7,4 • 10^ м/с. Решение. Радиус орбиты R найдем из уравнения второго закона Ньютона mv^lR = GMm/R^. Выражая линейную скорость v через угловую со, получаем и = cojR. Воспользовавшись равенством GM = gR^ (см. задачу 7.17), получаем R = ^JgR^/co^ и, далее, v = (i)R= ^JgRloa = \j2KgRl/T. 7.19. R = V^i?|/co2 = 42 000 км; v = ifg^ia = 3,1 км/ч. Указание. См. задачу 7.18. Угловая скорость вращения спутника должна быть равной угловой скорости со вращения Земли. С Земли будет казаться, что спутник движется вперед — назад вдоль меридиана. Он покажется неподвижным, если его орбита будет лежать в плоскости экватора. 248 7.20. i>j ~ 8 км/с, такая же, как у Земли. Указание. Первая космическая скорость — это скорость спутника, движущегося по круговой орбите вокруг планеты вблизи ее поверхности. Поэтому nw\/R = GmM/R?, откуда = JgM/R . Так как M/R = M^/R^, а GM^ = gR^, то == JgR^. 7.21. Uj ~ 4 км/с, T. e. в 2 раза меньше, чем у Земли. 7.22. т = 1000 кг. Решение. Пренебрегая изменением потенциальной энергии спутника, можно записать А = mv^f2. Для того чтобы двигаться по орбите радиусом R ~ R^, спутник должен иметь ско- рость V = JgRs (см. задачу 7.17), тогда А = mgRr^!2. Отсюда т = — 2А/(^7?з). 7.23. В первом случае 1:1, во втором — 2:1. Решение. Если потенциальную энергию тела массой т в поле тяжести считать равной нулю бесконечно далеко от Земли (масса М), то на расстоянии R от центра Земли она должна быть равна GMm/R (эту формулу легко получить исходя из аналогии гравитационного и электростатического полей или рассмотрев работу, совершаемую при перенесении тела на малый отрезок AR). Для поднятия спутника на высоту h над поверхностью Земли нужно совершить работу, равную изменению потенциальной энергии спутника: .Мт 7?з / :U = mgRl[^ - ^ ) = mg hR-. 1.3 Л3 -t II, j Rq + h (так как GMjR\ = g). Для того чтобы запустить спутник на эту высоту, ему нужно сообщить кинетическую энергию mv^l2, т. е. совершить работу А = mv^/2. Для того чтобы спутник мог вращаться по орбите на высоте h от Земли, ему нужно сообщить скорость v = R^Jg/iR^ + h) 1 mgR^ (см. задачу 7.17), тогда А, = х „ .-г. Отношение работ равно ^ • ft А 9h А А ^ При hi = 3200 км ^ = 1, при ^2 ^ 6400 км = 2. 249 7.24. Космонавт окажется в состоянии невесомости с момента выключения двигателей корабля в космическом пространстве. Решение. Рассмотрим силы, действующие на корабль и на тела, находящиеся в нем. Корабль и тела в нем всегда движутся с одинаковым ускорением. Это ускорение для корабля определяется силой тяги F^, силой сопротивления и равнодействующей гравитационных сил F^^, пропорциональной его массе т^, а для любого тела внутри корабля — силой реакции N, численно равной силе давления на опору и равнодействующей гравитацион- F^ + F^ + Л. п = т* ных сил пропорциональной массе тела т^: а = N + F' F' , но —^ отсюда N = —{F^ -I- F^), а соответствен- но сила давления на опору (вес тела) Р т. т^. (F + F ). Это соот- ношение справедливо для любого момента движения космического корабля. Им можно воспользоваться и для определения перегрузок, испытываемых космонавтом при взлете и при вхождении в плотные слои атмосферы. Когда корабль выйдет в космическое пространство {F^ = 0) и его двигатели будут выключены (F^ = 0), то Р = о, т. е. все тела на корабле находятся в состоянии невесомости и не испытывают взаимодействий и внутренних напряжений, связанных с весом. 7.25. Маятниковые часы остановятся после выключения двигателя ракеты. На ход наручных часов движение корабля не скажется. 7.26. Возможны многие способы, основанные на применении второго и третьего законов Ньютона. Например: 1) измерить отношение скоростей, приобретаемых телами с известной и неизвестной массами после пережигания нити, удерживающей пружину между телами в сжатом состоянии; 2) подействовать на тело известной силой F и измерить ускорение а, полученное телом при этом, тогда т = F/a; 3) измерить силу натяжения предварительно проградуированной пружины при вращении тела, прикрепленного к этой пружине, с известной постоянной угловой скоростью и т. д. 7.27. Да, вращая корабль или включив двигатели. 7.28. Да. На тела в состоянии невесомости действует сила тяжести (см. задачу 7.24). Изменение потенциальной энергии 250 по-прежнему определяется по формуле АЕ^ = mgf^Ahy где Яд — ускорение свободного падения на данной высоте. 7.29. Формально оба закона применимы, но закон Архимеда теряет смысл, так как и тело, и вытесненная жидкость невесомы. 7.30. ^Пинейная и угловая скорости спутника будут расти. Указание. Полная энергия спутника Е = + Е^. Потенци- альная энергия спутника Е^ = -GmM/r (см. задачу 7.23). Кинетическую энергию Е^ находим из соотношения mv^lr = GmMIr^., Е^ = GmM/(2r). Таким образом, полная энергия Е = -GmM/{2r). В условиях движения со слабым трением работа по преодолению сил трения производится за счет полной энергии Е спутника; при этом, как видно из последнего соотношения, |£| должен расти, что возможно, если г уменьшается, а вследствие этого и и со (см. задачу 7.17) растут. 7.31. При падении на Землю. При запуске скорость ракеты в более плотных слоях атмосферы у поверхности Земли мала, при спуске — велика. 8. Статика 8.1.Я = Л + lMg/2 л/47^ = 5,5 м. (М^)2 Указание. Равнодействуюпдая сил натяжения каната должна быть равна весу фонаря. 8.2. Нет. В этом случае сила натяжения троса была бы бесконечной. 8.3. F = kMg/{cos а + ksin а) ~ 162 Н. 8.4. а = arctg k (рис. 172). Решение. F = kMg/(cos а + ftsin а) (см. задачу 8.3). Выражение в правой части равенства минимально, если максимальна величина знаменателя cos а + ^sin а. Обозначив k через tg (3, можно это выражение преобразовать следующим образом: (cos а cos Р + F cos а + tg Р sin а = -I- sin а sin р) = cos 1 cos Р cos(a - Р). Значение последнего выражения макси- __________________ мально при cos (ос - Р) = 1, т. е. при а - Р = 0, откуда а == Р = arctg к. Рис. 172 251 8.5. Действие момента силы относительно мгновенной оси приведет к вращению катушки вокруг точки О по часовой стрелке, и она покатится направо. Момент силы Fg относительно мгновенной оси равен нулю, поэтому в этом случае нить б^-дет сматываться, оставляя катушку на месте. Момент силы Fg приведет к вращению катушки против часовой стрелки, и она покатится влево. 8.6. F kmgtg а F' 2(k + tg а) kmgtg а , для того чтобы сдвинуть тележку влево; , для того чтобы сдвинуть ее вправо при tg а> k. 2(tgа - k)' Если tg а< k, то тележку сдвинуть вправо невозможно. Решение. Сила, с которой нужно тащить тележку, равна по модулю силе трения, действующей на тележку со стороны стержня. Рассмотрим вначале случай, когда сила F сдвигает тележку влево (см. рис. 34). В этом случае на стержень действуют силы N и F^p, показанные на рисунке. Так как стержень находится в равновесии, то для моментов сил, действующих на него, можно записать: rng^ sin а - Nlsin а - F^p/cos а = О (/ — длина стержня). Так как F, тр kN, т. е 'ГО ггз этого уравнения найдем силу F = F^p = mgsm а 2| cos а + ^sin а kmgtg а l{k + tg а)' Если сила F' должна сдвинуть тележку вправо, то сила трения, действующая на стержень, направлена вправо и из условия равновесия стержня получим sin а - Nlsin а + F'^^lcos а 0. Полагая, что тележка движется, т. е. F'p = kN или N = F'^Jk, тр/ k mgsm а находим F = F_ = ^7—^----г----: 2(sin ос -/е cos а) kmgtg а Но при tg а k 2(tgoc - k) F'p —* 00. To же происходит при tg а < /г. Из уравнения равновесия стержня следует, что f;p = (2A^- mg)tg а/2. При tga< k сила трения F'p < kN - ^l2kmg, т. е. F'p < kN. Это означает, что при tg а< k сила трения не достигает величины kN ни при каком значении силы F', приложенной к тележке, и тележку сдвинуть с места невозможно. Происходит «заклинивание». 252 8.7. Т = mg I + R Jl^ + 21R ; F = mg- R Jl^ + 21R Решение. Для равновесия тела должны выполняться два условия: 1) сумма всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю: IF, = О (1) (это равенство должно выполняться и для проекций всех сил на любую прямую); 2) сумма моментов всех сил, действующих на тело относительно любой неподвижной оси, также должна быть равной нулю: = 0. В качестве неподвижной оси (рис. 173) выберем горизонтальную прямую, параллельную стене и проходящую через центр шара. Силы F и mg направлены по радиусам шара, поэтому их моменты относительно выбранной оси равны нулю. Из последнего условия следует, что момент силы Т тоже должен быть равен нулю, а значит, эта сила направлена вдоль радиуса шара. Запишем теперь уравнение (1) для проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления: mg - Tcos а = о, F - Tsin а = 0, где sin а - R/(l + R), откуда найдем: Рис. 173 Т — mg/cos а = mg(l + R)/ + 21R; \ F = Tsin а = mgRj + 21R. По третьему закону Ньютона сила давления шара на стену равна по модулю силе F и направлена в противоположную сторону. 8.8. h = 2rctg а. Указание. Цилиндр не опрокидывается, если вертикаль, проходящая через центр тяжести цилиндра, проходит через его основание. 8.9. Для взвешивания достаточно четырех динамометров. Сумма их показаний равна весу бруска. Металлический брусок может быть подвешен к динамометрам, расположенным, например, на одинаковом расстоянии друг от друга. 8.10. /г >tg 15° = 0,268. Указание. Силой, выталкивающей клин, является равнодействующая сил F^ и F2 реакции ^евна (рис. 174) (в силу симметрии |Fil = jFgl), а силой уравновешивающей — равнодействующая сил трения = kF^ и F,^^2 "" ^-^2» направленных вдоль клина (силой тяжести по сравнению с этими силами можно пренебречь). 8.11.iJ’ = Mg/2 = 6*103H. 8.12. Fj = 2754 Н — на передние колеса т F2 = 3861 Н — на задние. 8.13. а) Лл: = mg/k\ М = 2Дл:; б) Ах = mg/{2k)\ А1 = Ах. 8-14. V(^i + feg) — при последовательном соединении пружин и — при параллельном. Решение. При последовательном соединении пружин силы, растягивающие их, одинаковы и равны силе F, с которой растягивают систему пружин, а удлинение системы равно сумме удлинений пружин: Ах = Axj + АХз- Так как F = Axk^^^, то Ах = F/k^^^. Аналогично, Ах^ = F/k^ и AXg = F/k2. Поэтому = ^ЭКВ ^ ^ ^ ^ ^экв = ^1^2/(^1 + Ю- При параллельном соединении пружин Ах = Ах^ = Axg, а -F = Fj + Fg. Подставляя сюда F = Axk^^^, F^ = Axk-^ и Fg = Ах/?2, получаем = k-^-r k2- 8.15. /i//2 = 11/13. Решение. Пусть и Zg — длины частей, на которые делит нерастянутую пружину точка А, в которой нужно подвесить груз массой 2т, а и /?2 — жесткости этих частей пружины. Так как при подвешивании груза удлинение целой пружины в п раз больше удлинения \/п части этой пружины, жесткость целой пружины в п раз меньше жесткости 1/п части пружины (см. задачу 8.14), т. е. fej = Ik/l-^ и /?2 = lk/l2, где k = mg/{0,11)- При подвешивании груза массой 2т на верхнюю часть пружины будет дейст- вовать Зт^ груз массой Зт, и она удлинится на AL = —г— = — ^ L k' Нижняя же часть пружины удлинится на А^2 = mg/k2 = mgl2/(lk), при этом 1^ + А1^ = I2 + AI2, т. е = Отсюда iC^+l Ik ^ ^ h mg + kl I2 Smg + kl Zmg + n 13‘ 254 8.16. k^„^ = '/^;F>Mg/2. Указание. Применить второе условие (см. задачу 8.7), выбрав в качестве неподвижной оси ребро, относительно которого поворачивается куб. Максимальная сила трения должна быть не меньше приложенной к телу силы F. 8.17. F„„„ = MgT2/4;fc„„„>V3- Указание. Сила, необходимая для опрокидывания куба, минимальна, если она перпендикулярна диагональной плоскости, проходящей через ребро, относительно которого опрокидывается куб, и приложена ко второму ребру куба, лежащему в этой диагональной плоскости. При нахождении коэффициента трения учесть, что сила F имеет как вертикальную, так и горизонтальную составляющую. 8.18. Р е ш е н и е. Если к бруску вблизи его основания приложить силу F = kmg, направленную горизонтально, то брусок начнет двигаться. Если же эту силу приложить на высоте h от пола, то Fh = mga/2 и брусок начнет переворачиваться вокруг ребра основания. Поэтому kmgh = mgal2 и k = а/(2Л); а — сторона основания. 8.19. tga= |. Указание. Прут будет висеть так, что вертикаль, проходящая через точку А крепления прута, будет проходить через его центр тяжести О (рис. 175). Обозначив длину стержня 21, найдем длины отрезков: г.20.х = 1 М{п - 1) + 2тп Рис. 175 2m(n + 1) Указание. Удлинения пружин должны быть одинаковыми. На левую пружину при равновесии стержня действует сила F^ = Ms I~ X Mg X == Н----— mg, а на правую — сила Fg = + у mg (см. рис. 38). 8.21. Fj = mgsin P/sin (а + Р) = 20 Н; Fg = mgsin a/sin (а + Р) = 34 Н. Указание. В качестве неподвижных осей удобно выбрать горизонтальные прямые, проходящие через точки касания шара с плоскостями. 255 'шшШшмштУуМшшушт. 8.22. F > mg тр Рис. 177 Jh(2R - h) R-h ' Указание. Для того чтобы колесо перекатилось через ступеньку, момент силы F, приложенной к колесу относительно оси, проходящей через точку А (рис. 176), должен быть больше или равен моменту силы тяжести mg колеса относительно этой же оси. 8.23. К ободу колеса. В этом случае момент приложенной силы вдвое больше. 8.24^При торможении на колеса автомобиля действует сила ■yjaHHa Приложим к центру тяжести автомобиля силы F^ и ^2, равные F^p и направленные в разные стороны (рис. 177). Это можно сделать, так как сумма этих сил и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю. J’enepb Fg можно рассматривать как тормозящую силу, а F^p и Fj — как пару сил, вызывающую вращение автомобиля вокруг оси, проходящей через точку касания колес с дорогой, вследствие чего передок машины опускается. 8.25. Пара сил вызовет вращение пластинки вокруг ее центра масс. Указание. Поскольку сумма действующих на пластинку сил равна нулю, центр масс ее будет покоиться. 8.26. T = 0,5Mgcos а; уменьшается. 8.27. = ^ctg a;Q= + ctg^ a. Решение. Запишем условия равновесия лестницы (см. задачу 8.7; рис. 178). 1- е условие: по оси X - F^^ = О; по оси Y Ng - mg = 0; 2- е условие: для моментов сил относительно горизонтальной оси, проходящей через точки касания лестницы с опорой, A/^Zsin а = mglcos а/2. 256 Равнодействующая сил Nn и F. тр равна: Q = mg/2j4 + ctg2 а. Линия действия силы Q должна проходить через точку С пересечения линий действия сил iV^ и mg, так как сумма моментов всех сил относительно этой точки должна быть равна нулю (см. рис. 178). 8.28. sin (а/2) = m^Jm; а = 60°; = m^cos^ (а/2) = 36,75 Н; равновесие неустойчивое. Указание. Для определения угла а рассмотреть моменты действующих на стержень сил Q = = m-^g и mg относительно точки А (см. рис. 39). Рассмотрев моменты сил, действующих на стержень относительно точки С, найдем силу 2^, действующую в шарнире А (см. задачу 8.27; линия действия силы F^ проходит через точку пересечения линий действия сил Q и mg, лежащую на середине стороны ВС равностороннего треугольника АВС): i^/sin (а/2) = m^^sin а/2 2^ = mgcos (а/2). Проекция этой силы на направление стержня равна ^АВ = F^cos (а/2). Равновесие неустойчивое: при сколь угодно малом отклонении от найденного положения равновесия система не может вернуться к нему самостоятельно, более того, изменившееся соотношение моментов сил, действующих на стержень, будет способствовать дальнейшему смещению системы в том же направлении. (1 - kik2) 8.29. а„„„ arctg 2k, 38°40'. Указание. См. решение задачи 8.27. Силы, действующие на лестницу, изображены на рис. 179. Предельному углу а^^д, который может образовать лестница с горизонтом, не соскальзывая, будут соответствовать предельно возможные силы трения покоя F^ и Fq, т. е. они должны одновременно иметь наибольшие воз- 17 - 5495 257 си- можные значения, равные соответственно и 8.30. h = /jP^pSin а tg a/(mg) = 2 м. Указание. См. задачу 8.27. Силы, действующие на лестницу, изображены на рис. 180. 8.31. При /г > ^ (ctg а - 1). Указание. Записать условие равенства нулю суммы моментов силы реакции стенки и силы тяжести относительно оси, проходящей через линию касания куба с полом, и учесть, что сила реакции стенки должна быть по модулю равна силе трения kN-^, а сила N’j ле реакции пола, равной силе тяжести. 8.32. 1. Нарушится. 2. Масса толстого конца стержня больше. 8.33. Указание. Линиями, параллельными какой-нибудь из сторон, треугольник разбивается на тонкие полоски. Очевидно, что центр тяжести треугольника лежит на линии, проходящей через середины этих полосок, т. е. на медиане. 8.34. Указание. Центр масс каждого из стержней лежит на его середине. Соединив середины стержней, мы получим треугольник, длины сторон которого в два раза меньше длин сторон данного треугольника и, следовательно, пропорциональны массам соответствующих стержней. Биссектрисы углов полученного треугольника делят его стороны на части, пропорциональные двум другим сторонам. 8.35. На расстоянии 30 см от шарика массой 10 г. Указание. Система будет уравновешена, если к центру масс системы приложена сила, равная сумме сил тяжестей шариков. Записав далее условие равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на систему, относительно одной из крайних точек, найдем положение центра масс. 8.36. На расстоянии R/Q от центра круга. Решение. Расстояние от центра тяжести пластинки до центра круга обозначим х. Из соображений симметрии очевидно, что центр тяжести пластинки лежит на ее диаметре, проходящем через центр отверстия (рис. 181). Если мы заполним отверстие материалом, из которого сделана пластинка, то центр 258 Рис. 181 тяжести полученной сплошной пластинки будет находиться в центре круга. Поэтому должно выполняться равенство m^gRl2 = = xm2g. Подставляя сюда = nR^p/4 и m2 = ^/^nR^p, где р — поверхностная плотность материала пластинки, получаем х = -R/6. 8.37. На расстоянии ал/З/28 от геометрического центра куба. Указание. См. задачу 8.36. 8.38. Горизонтальные силы равны mgR/ -4i?2=sO,16H. Вертикальная сила равна mg ~ 0,25 Н. 8.39. M>2m(^l Решение. Цилиндр не опрокинется, если момент его силы тяжести Q = Mg относительно точки О (рис. 182) не меньше опрокидываюш;его момента сил и F'2 давления шаров на цилиндр: F[ -АО - F'2-В^О < MgR. (1) Эти силы в соответствии с третьим законом Ньютона равны по модулю силам F^ и Fg» действующим на шары. На верхний шар, кроме силы F^, действуют сила тяжести mg и сила реакции нижнего шара, направленная вдоль линии центров. Силы, действующие на нижний шар, показаны на рисунке. Из условия равновесия шаров находим, что Fj = Tg = mgtg а. Подставляя эти значения в неравенство (1) и учитывая, что АО - ВуО = 2{R - r)ctg а, находим, что Mg > 2mg^l “ ^ 8.40. k > 1/(2 + Л). 17» 259 Указание. Бревна будут в равновесии, если момент силы давления со стороны верхнего бревна на каждое из нижних бревен не будет превышать момента силы трения верхнего с соответствующим нижним бревном относительно линии соприкосновения бревна с землей. 8.41. Цилиндр будет скатываться при угле наклона дощечки а . 1 arcsin -Z. о Рис. 1 83 Решение. Центр масс цилиндра с отверстием (точка О) находится на расстоянии ^ Д от оси цилиндра (см. задачу 8.36). При повороте дощечки цилиндр поворачивается так, чтобы центр масс его находился на вертикали, проходящей через точку касания цилиндра с дощечкой. Однако если эта вертикаль проходит от оси цилиндра на расстоянии, большем ^ R (рис. 183), равновесие невозможно. Это означает, что цилиндр начнет скатываться, Ir 1 1 когда угол а будет таким, что sin oti ^ ^ 6’ "" arcsin g. В то же время цилиндр начнет соскальзывать при таком угле наклона дощечки, при котором tg ttg = /г = отсюда а2 = arctg < «2’ поэтому качение наступит раньше скольжения. 8.42. X = R/J2. Указание. Система находится в безразличном равновесии, если ее центр тяжести совпадает с геометрическим центром по-лушара. 8.43. Центр тяжести стакана с водой находится в наиниз-шем положении, когда он совпадает с уровнем воды в стакане. (Объясните!) 8-44. . > - 1) . Решение. Брусок не будет выскальзывать, если составляющая силы тяжести вдоль бруска не превышает максимальной силы трения (рис. 184): mgsin а < • (1) 260 Силы давления Мд и стержней на брусок находятся из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно точек А VI В соответственно: mgxcos а - М^а — 0; mg(a + х) cos а -- Мдй = 0. Подставляя найденные отсюда значения сил Мд и М^ в неравенство (1), находим, что брусок не будет выскальзывать, если 8.45. 1) А = 410 Дж; 2) А = 1100 Дж. Указание. Минимальная работа, которую нужно совершить при бесконечно медленном переворачивании куба, равна разности потенциальных энергий куба в начальном положении и в положении неустойчивого равновесия. 8.46. А| = mgka^A^ = 0,207m^a при k = 0,207 (см. задачу 8.45). 9. Механические колебания и волны 9.1. л: = 4sin 200я^. 0 9 I. L.T 4’ 12’ 6’ Решение. Способ 1. На рис. 185 приведен график зависимости смещения колеблющегося тела от времени. В начальный момент смещение равно нулю. На оси абсцисс отложены фазы в радианах. Из графика видно, что весь путь от положения равновесия до крайнего положения — максимальное смещение — колеблющееся тело проходит за время, равное Т/4. Первую половину пути колеблющееся тело пройдет за Т'/12, это соответствует фазе к/6 (sin (л/б) = 0,5). Вторую половину пу- Т Т Т ти пройдет за время, равное ^ ~ 12^ Q’ 261 Способ 2. Смещение х тела определяется формулой х = = (2nt/T), где х^ — амплитуда, равная смещению до край- него положения; t — время, отсчитываемое с момента прохождения положения равновесия. Время ^, необходимое телу для прохождения пути из положения равновесия в крайнее, определяется из условия х = х^. Тогда х^ = x^sin (2nti/T), откуда 2тг^^/Т = п/2 и = Т/4. Время, необходимое для прохождения первой половины этого пути, определим из условия х = х^/2, т. е. х^/2 = (2Ш2/Т), откуда 2Kt2lT = тг/6 и ig = Т/12. Время ^з прохождения второй половины пути равно t^ = - t2 = Т/6. 9.3. T/S. Указание. См. задачу 92 . 9.4. Решение. Круговые движения конического маятника могут быть получены, если отклоненному маятнику сообщить толчком скорость в направлении, перпендикулярном плоскости возможных колебаний после начального отклонения. Таким образом, «конические» движения можно рассматривать как результат сложения двух независимых взаимно перпендикулярных колебаний. Периоды этих колебаний одинаковы (любая плоскость качаний ничем не отличается от всякой другой). Следовательно, период сложного движения — обращения маятника по конусу — будет тот же, что и период колебания математического маятника. Период же обращения конического маятника, совершающего круговые движения при малых углах при вершине конуса, равен Т = 2njl/g (см. задачу 6.30). 9.5. Примерно на 0,3% длины. Указание. Условие равенства периодов колебаний маятников разной длины на разных высотах выражается следующим образом: lo/gQ = l/gh- Образовав производную пропорцию, получаем (^0 “ О/^о (^0 “ Sh)/gQ- Учитывая, что = ^о(д + 2h) задачу 7.5), легко найти {Iq - 1)/Iq ~ 2h/{R 2 h) ~ 2h/R ~ 3 • 10“3. 262 9.6. At ~ 67,5 c. Решение. Период колебаний маятника на высоте h равен Т = 2TiJl/gf^. Ускорение свободного падения на этой высоте gf^ = = gpf д —1 , где gQ — ускорение свободного падения на поверхности Земли и Я — ее радиус (см. задачу 7.5). Тогда R -\- h г = 2^7177* -2кД(^) =г„^ = 7’„(1 + д). где Tq — период колебаний на поверхности Земли. Таким образом, за время Tq часы отстают на АТ = Т - Tq = = HTq/R. За время t = 24 ч часы отстанут на некоторое время At, которое будет относиться к t, как АТ к Tq и, очевидно, At/t = = AT/Tq, откуда At = tAT/T^ = th/R. 9.7. Указание. Для оценки будем считать, что месторождение имеет форму шара радиусом г. Тогда сила тяжести, действующая на тело массой т, возле месторождения должна быть меньше, чем далеко от него (на поверхности Земли), на величину 4 Gm(Po-р)-длг3 ^ -------^2-----g7cGm(Po - р)г. Ускорение g' свободного падения 4 тела вблизи месторождения поэтому равно g' = g - g TtG(Po - р)г, a период колебаний маятника Т' = 2ж Jl/g' = 2к Jl/g Jg/g' = = Т Jg/g', где Т — период колебаний маятника далеко от месторождения. Зная g', нетрудно найти г. 9.8. Период колебаний маятника увеличится. Указание. Действие выталкивающей силы на маятник (архимедовой силы) уменьшает силу натяжения нити, что равносильно уменьшению g. 9.9. а = ^[1 - (Т/Т^)^] ~ 0,17g. Ускорение направлено вниз. Направление движения лифта не играет роли. Решение. При движении лифта с постоянным ускорением а сила натяжения нити маятника в положении его равновесия относительно кабины определяется из второго закона Ньютона: та = mg - откуда F^^ = m(g -а). В последней формуле а — величина алгебраическая: положительная, когда ускорение лифта направлено вниз, и отрицательная, когда ускорение направлено вверх. Отсюда следует, что 263 при отклонении маятника сила, возвращающая его к положению равновесия, пропорциональна не а (g" - а). Это означает, что в лифте, движущемся с ускорением а, маятник длиной I имеет период колебаний = 2тг Jl/{g - а). Найдя отношение периодов колебаний маятника в лифте, движущемся с ускорением, и в неподвижном лифте и возведя его в квадрат, получим = g/(g - а), откуда а = g[l - = ~ 0yl7g. Ответ положительный, значит, лифт движется с ускорением, направленным вниз; направление скорости не играет роли. 9.10. T = 2njl77g^ + Указание. В положении равновесия относительно вагона сила натяжения нити маятника равна: = mjg^ + а^. 9.11. >1= 7,25 м. 9.12. Звучит дольше камертон, закрепленный в тисках. Излучение энергии звуковых волн в единицу времени у камертона, стоящего на резонаторном ящике, больше. 9.13. г = 1 м. 9.14. V ~ 67,5 км/ч. Указание. При ударе колес вагона о стыки рельсов вагон получает импульс, имеющий наряду с вертикальной и горизонтальную составляющую. Если период между ударами равен периоду колебаний маятника, последний раскачается особенно сильно. 9.15. Дф = ти/2. Указание. Если две точки отстоят друг от друга на расстоянии, равном X, то разность фаз равна 2п рад, а если на I, то — 2к1/Х. 9.16. При движении по поверхности сферы. Решение. При движении по поверхности сферы время движения тела до нижней точки 2njR/g (Т — пе- риод колебаний маятника длиной R. Объясните!). При дви- жении по наклонной плоскости ^2 "" л/2 • 2jRsin a/(^sin а) = -2jWg > t^{(X — угол наклона плоскости). 9.17. Т = 2nJ/^l/g ~ 0,4 с. 264 9.18. При последовательном соединении пружин Т = 2к т I kik2^(^1 "I" ^2) При параллельном соединении Т = 2к Jm/{ki + k2). Указание. См. задачу 8.14. 10. Гидростатика 10.1. На дно Fj = pga^y на боковую грань F2 = Указание. Давление р в жидкости на глубине h равно pg'/i, т. е. меняется с высотой по линейному закону (рис. 186). Поэтому полная сила давления на всю боковую грань куба равна произведению среднего давления (т. е. давлению на глубине а/2), на площадь грани. 10.2. Если сосуд сужается кверху, то гиря и ртуть не оторвут дно, а масло — оторвет. Если же сосуд сужается книзу, то наоборот. Указание. На дно сосуда изнутри действует сила давления жидкости pghS (где р — плотность, h — высота уровня жидкости, S — площадь дна). Если сосуд сужается кверху, то эта сила больше веса жидкости, налитой в конус, на величину веса жидкости, занимающей заштрихованный объем (рис. 187, а). Поэтому ртуть и гиря не оторвут дна. Масло оторвет дно, так как в этом случае произведение рЛ для масла больше, чем для воды (масло займет больший объем, чем такая же масса воды. Связанное с этим относительное увеличение высоты уровня h больше относительного уменьшения плотности р). а) б) Рис. 187 265 Если сосуд сужается книзу, то сила давления жидкости, налитой в сосуд, на дно меньше ее веса на величину веса жидкости в заштрихованном объеме (рис. 187, б). Поэтому в этом случае масло не оторвет дна, а гиря и ртуть оторвут. 10.3. Д/г = 4 см. Указание. Применить условие равновесия неоднородных жидкостей в сообщающихся сосудах. 10.4. Sg/Sj = nhmg/A ~ 500 раз. 10.5. Уровень воды в обоих случаях поднимется на Ah = ----------. 4(7/1 + 7)|)ро 10.6. /^2 = 40 см. Будет перетекать спирт. Трубка должна быть расположена наклонно, опускаясь в сторону колена с водой. Указание. См. задачу 10.3. Построив график зависимости давления от высоты (начальный уровень — уровень ртути) для обоих колен (рис. 188), легко видеть, что на высоте, на которой находится трубка, давление в колене со спиртом больше, чем в колене с водой. Поэтому будет перетекать спирт. Чтобы равновесие при открывании крана не нарушалось, трубку необходимо расположить наклонно. Разность высот точек подсоединения трубки можно найти с помощью графика. 10.7. А = gSHHp, - р,)2/(2рз) = 7,84 Дж. Указание. При равномерном погружении льдины выталкивающая сила действующая на нее, возрастает равномерно, а значит, и сила F = - m^g = (р^ - pJgSh {т — масса льди- ны, Рз — плотность воды, р^ — плотность льда, h — глубина погружения) меняется линейно с высотой погружения от нуля (когда лед плавает) до = (Рз - p^gSH. Поэтому работа, которую нужно совершить для погружения льдины, равна работе 1 г средней силы ^ F^ на пути, равном толщине части льдины, выступающей над водой. 10.8. Лед вытесняет воду, вес которой равен весу льда. Когда лед растает, образуется вода, имеющая такой же объем, поэтому уровень не изменится. 266 1. Наличие пузырька воздуха в куске льда не меняет предыдущих рассуждений (масса воздуха ничтожно мала), следовательно, и в этом случае уровень воды в сосуде останется прежним. 2. Если же лед содержит свинцовую пластинку, то объем воды, которая образуется, когда лед растает, вместе с объемом пластинки будет меньше, чем в случае куска чистого льда того же веса. Следовательно, уровень воды понизится. 10.9. Бутылка с водой утонет, а с ртутью — нет. Указание. Вес бутылки с водой больше, чем вес воды, объем которой равен внешнему объему бутылки, а бутылки со ртутью — меньше веса такого же объема ртути. 10.10. h ^ Н - т/(Рз8) = 4 см, где Рд — плотность воды. 10.11. т = 0,5 г. 10.12. Меньше. Решение. При вынимании груза из банки объем вытесняемой банкой воды уменьшится на величину Fj = т/р^ (т — масса груза, р^ — плотность воды). При погружении груза в воду объем вытесненной воды увеличится на величину объема груза Fg = m/p2 (Рз — плотность груза). Так как р^ < Рз, то F^ > F3, а значит, Н3 < Н^. 10.13. Ah = m/(pS). Решение. Способ 1. При опускании тела в сосуд сила давления на дно увеличивается на AF = mg. Но тело само не касается дна сосуда, поэтому сила давления изменяется благодаря изменению давления воды. Если уровень воды в сосуде поднялся на Ah у то Ар = pgAh и = pgAhS. Поэтому pgAhS = mg. Отсюда Ah = m/(pS). Способ 2. Тело массой m, плавающее на поверхности жидкости, по закону Архимеда вытеснит (займет) в ней объем AF, который занимала бы сама эта жидкость массой т. Таким образом, это погружение эквивалентно (в смысле изменения уровня жидкости в сосуде) доливанию в сосуд жидкости массой т. Тогда Ah = AV/S - m/(pS). 10.14. Ah = m/(2pS). Указание. См. задачу 10.13. Изменения уровней жидкости в коленах одинаковы. 10.15. F = g J {p,dHH - Л) + (р - р,)(В2 - d^)h + pd^ft,}. 267 Указание. Сила давления конструкции на дно водоема складывается из силы давления воды на верхнюю поверхность детали, силы тяжести конструкции и силы давления воды на нижнюю поверхность, направлен- с(2)(Я - Л, + Л)р,г. 10.16. Нет, так как выталкивающая (архимедова) сила не возникает — гидростатическое давление не передается на нижнюю грань кубика из-за отсутствия под ней жидкости. 10.17. р = р,{1 + 2(5,/52^2 - 35,/5г). Указание. Выталкивающая (архимедова) сила максимальна, когда вода доходит до верха пробки. При этом она равна весу воды в заштрихованном объеме пробки (рис. 189). 10.18. h=pQ——— = 2,6 м. Указание. На искомой глубине h давление воды р^= Pq + ^gh, где Pq — давление воздуха над поверхностью воды, р — ее плотность. Для воздуха в бутылке, сжимающегося при ее погружении, можно записать закон Бойля—Мариотта: Ро^о ^ где VqVlV^ — объемы воздуха в бутылке соответственно до и после погружения. Учитывая, наконец, что бутылка на глубине h находится в равновесии под действием силы тяжести и архимедовой силы mg = можно получить р^ = p^V^p/m. - Щ) + R\P2 10.19. р Щ Указание. Шар будет находиться во взвешенном состоянии внутри жидкости, если его масса (вес) будет равна массе (весу) жидкости, объем которой равен объему шара. 10.20. V=m{- - - 1-9350 см^. VPb р) 10.21. m = 45 г; на другую чашу. Указание. В соответствии с третьим законом Ньютона на сосуд с водой со стороны бруска будет действовать сила, равная по модулю архимедовой (выталкивающей) силе, действующей на брусок, и направленная вниз. Эта сила возникает из-за увеличения гидростатического давления на дно (и стенки) сосуда вследствие повышения уровня воды в сосуде после погружения бруска (см. также задачу 10.13). 268 10.22. В обоих случаях нарушится; железный шар перетянет. Указание. См. задачу 10.21. Во втором случае плечи не равны и моменты выталкивающих сил тоже не одинаковы. 10.23. = 25,1 см3. Решение. Так как взвешиваемый кусок железа находится в равновесии, то можем записать: m^g = Р + m^g, где и /rig — массы железа и воды в объемах, равных V^. В правой части равенства — сумма сил, приложенных к телу: архимедовой и силы реакции опоры (подвеса), равной весу Р тела в воде. Выразив массы железа и воды через объем и соответствующие Р Р плотности, получим = - + F^pg, откуда F^ = 10.24. р = 1,5 г/смЗ. Решение. Способ 1. См. задачу 10.23. Способ 2. Допустим, что вес тела в воздухе равен трем единицам, тогда в воде по условию вес равен одной единице, т. е. потеря веса в воде равна двум единицам, что равно весу воды в объеме тела. Отсюда плотность равна 3/2 г/см^ = 1,5 г/см^. 10.25. Уменьшится, так как увеличится давление жидкости на нижнюю грань бруска. 10.26. Не изменится, если сжимаемость тела такая же, как и воды; увеличится, если сжимаемость больше, чем у воды, и уменьшится в противном случае. 10.27. Т-40Н. 10.28. Уменьшится на величину веса воды, вытесняемой стенками и дном ведра. 10.29. Показание динамометра не изменится. Указание. Вытесненная гирей вода выльется из сосуда. Таким образом, вес воды, находящейся в сосуде, уменьшится, что точно скомпенсирует возникающую при погружении силу со стороны гири на сосуд с водой, которая равна выталкивающей (архимедовой) силе, действующей на гирю. (См. также задачу 10.21.) 10.30. Положить на правую чашу весов груз массой М = = 2mpg/p„ = 24 г. Указание. При погружении гири сила, действующая на левое плечо коромысла весов, увеличится, а на правое — уменьшится на величину, равную выталкивающей силе Fg^j^ = F^,Pg^ = = трзЯ/рм (см. задачу 10.21). 269 10.31. р = 0,75 г/см^. Решение. Так как палочка тонкая, то можно считать, что выталкивающая сила приложена к середине той части палочки, которая находится в воде (рис. 190). В силу равновесия палочки моменты сил mg и относительно точки А должны быть равны, т. е. ..3 „2 mgx Рис. 190 объем палочки. ^выт • откуда = = mg. Подставляя сюда т = pV и F^^^^ = ^ p^Vg (V р — плотность материала палочки и р^ — плотность воды), 3 находим р = ^ Рд. Р2 - Р -----——----------;—ОТ шара (р2 - Р) + (Pi “ P)(^l/^2) с плотностью рр Указание. Разности сил тяжести и архимедовой, действую- 4 щих на шарики, равны соответственно: -^1=3 ~ P)j? и Fg = 4 = g кг^ (рз - p)g’. Так как стержень с шариками находится в рав- 10.32. На расстоянии X = I новесии, то F-^^x = где х - стью Pj до точки подвеса стержня. расстояние от шара плотно- 10.33.F> р(Я - h)Kr^ -MjR- 2r) 2(R- r) Решение. Пластина будет поворачиваться вокруг точки В (см. рис. 47). Давления воды с обеих сторон пластины уравновешивают друг друга всюду, кроме площадки над трубкой. Здесь сила давления воды равна F = pg{H - h)nr^. Ее момент относительно точки В равен pg{H - h)nr^. Пластина будет переворачиваться, если р^(Я - h)nr^ < Mg{R - 2r) + F{2R - 2г); „ р(Я - h)nr^ - M(R - 2r) 2(i? - Г) 10.34. Ответ зависит от соотношения термических коэффициентов расширения тела и жидкости. Если термический коэффициент тела меньше, чем у жидкости (как это бывает в большинстве случаев), то тело перетянет. 270 10.35. V^ = V^—^. ^ Pi - P2 Решение. Масса тела должна быть равна массе вытесненных жидкостей: pV = -f- Р2^2’ ^2 ^ Решая эти р - Рз уравнения совместно, находим V. = V——. Pi Р2 10.36. т ~ 0,85 кг; ~ 1,96 Н; Fg = 10,29 Н. Не изменится. Указание. См. задачу 10.35. 10.37. Я - 4,6 см; р = 7650 Па. 10.38. 0,2 г/см^. Решение. Обозначим массу пробки т^, ее плотность Рр ГПу массу свинца mg, его плотность pg. Тогда объем пробки = —, Pi mg 111-2 объем свинца У^= —, обш;ий объем F=F^+Fg=-----1--. Р2 Pi Р2 Согласно закону Архимеда, на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила (в нашем случае = = (m^ + mg)^ - Q, где Q — показание весов), равная весу вытесненной жидкости в объеме погруженного тела Fgj^,^ = Pp3g, где Рз — плотность керосина. Отсюда т. ГПг (mj + Ш2)д - Q m^g ^ mgg Pi Р2 Решая полученное уравнение относительно искомой величины Рр получаем _ ________^lgp2p3______ Pi [(mi + тз)^ - Q]p2 -/Пз^Рз’ 10.39. При погружении стакана в перевернутом положении вода, сжимая находящийся в нем воздух, частично заполняет его внутренний объем. При одинаковом погружении стакана в воду в первом случае вытесненный объем воды меньше, чем во втором случае, поэтому работа меньше. 10.40. Шар из тонкой резины поднимется на большую высоту. На одной и той же высоте над Землей объем шара из тонкой резины, а значит, и действующая на него выталкивающая сила будут больше, чем для шара из ткани. 10.41. Уменьшится в 1,08 раза. Решение. Подъемная сила некоторого объема газа равна разности веса m^g воздуха, вытесненного газом, и веса самого газа m^g\ F„ = (m^ - m^)g. 271 Отношение подъемных сил (т^ -- тзцд)/(/Пз - т^) равно отношению разностей молярных масс, так как давление р, объем V и температура Т одинаковы {pV = mRT/M). Следовательно, FJF^ = (М3 - Мзад)/(Мз - М^) = = (29 - 2)/(29 - 4) = 27/5 = 1,08. 10.42. Динамометр показывает сумму веса трубки и силы атмосферного давления на трубку, равной весу ртути в трубке. При изменении атмосферного давления показания будут соответственно изменяться. 10.43. т = р - ~ 5 • 10^® кг, где р — атмосферное давле- ние, R — радиус Земли. 10.44. Давление воздуха и водорода на уровне I - I (рис. 191) соответственно равно: Pi = РО - 9^gh, Р2=Ро~ Рвод^^’ где Pq — давление на уровне О - О, Рз и Рз^д — плотность воздуха и водорода. Так как рз^д < Рд, то < pg ^ пленка будет выгнута наружу. 10.45. Увеличится, так как скорость воды в узкой части трубы больше, а давление соответственно меньше, чем в широкой части трубы. 10.46. А = (т - pV)gh + mgH ~ 150 Дж. Решение. Для того чтобы перемещать тело в воде, к нему нужно приложить силу F = mg - ~ 9^ё (р — плотность воды). Поэтому для подъема тела с глубины h на высоту Н над поверхностью воды нужно совершить работу А = {т - pV)gh + mgH =150 Дж. Эта работа на величину pVgh ~ 50 Дж меньше изменения потенциальной энергии тела АЕ^ = mg{h + Н). Найденная разница есть как раз та величина, на которую уменьшилась при подъеме тела потенциальная энергия воды — объем V воды опускается с поверхности на глубину h. 10.47. А = ^ (2Я - -^) = 9800 Дж. Решение. Давление воды непосредственно под поршнем насоса равно р - p^gh, где Рд — плотность воды, h — высота подъема поршня. 272 Сила, поднимающая поршень, равна разности сил давлений сверху и снизу поршня, т. е. F = [р - (р - рз^Л)]5. Когда поршень поднимают до высоты Л = р/(РоЯ) = Ю м, эта сила линейно возрастает до величины pS. Далее эта сила остается постоянной. Поэтому работа, совершенная при подъеме поршня, равна: 2 Рв^ ^ I 2 { f,} 10.48. V « 44,3 м/с; 50 м^. Решение. Применяя формулу Торричелли для скорости истечения струи воды из отверстия == 2gh, находим v = J2gh. За время t в лодку проникнет объем воды, равный V = nd^vt/4. 10.49. Si-4,37 см2. Решение. Скорость воды у конца брандспойта Uq = Q/Sq. Вылетая из брандспойта, вода движется равнозамедленно с ускорением gy поэтому на высоте h скорость воды Vh = - 2gh. Из уравнения непрерывности струи VqSq = показывающего, что масса жидкости, протекающей через любое поперечное сечение струи в единицу времени, одна и та же, получим Sh=-So = л у о Q J{Q/So)^-2gh 10.50. За время пребывания пули в стакане уровень воды в нем не успевает измениться. Образовавшаяся область высокого давления при сжатии воды распространяется по всем направлениям со скоростью звука, достигает стенок стакана, и он разлетается вдребезги. Этот опыт иллюстрирует малую сжимаемость жидкостей. 1S - 5495 II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА 11. Основы молекулярно-кинетической теории 11.1. л = 3,33 • 1Q22 см-^; т = 2,99 • Ю кг; а = 3,11 • IQ-^o м. Указание. Масса 1 моль воды 18 г, а объем его 18 см^; в 1 моль воды — 6 • 10^^ молекул (постоянная Авогадро); в 1 см^ содержится п = 3,33 • 10^^ молекул. Приблизительный объем Vq равен \/п см^, следовательно, примерный размер молекулы а = 3 1 '3,33 • 1022* 11.2. f-8 ,5 млн лет. Указание. В 1 см^ газа при нормальных условиях содержится 2,69 • 10^® молекул (постоянная Лошмидта). 11.3. Примерно 4 • 10^® молекул. 11.4. Примерно 2 • 10® ионов. 11.5. г-2,8*10-8 см. Решение. Кубическая ячейка NaCl состоит из четырех ионов Na и четырех ионов С1, находящихся в ее вершинах. Каждый ион (Na или С1) входит в состав восьми ячеек. Поэтому в кристалле число кубических ячеек равно числу ионов Na и С1. Следовательно, в 1 моль 2Ад ячеек. Объем одного моля равен М/р. Объем же, приходящийся на одну ячейку, равен М/(2рАд). Размер ячейки (наименьшее расстояние между центрами ионов) ра- вен а = 3 М '2рЛ^д 11.6.23-10-8 см. Ра 11.7. 1)= 2mv^n - 3,3 • 10-3 Па; 2) ^ - 2,4 • Ю-з Па; 3)Рз = 2тп (V + Указание. 1. При ударе каждая молекула передает стенке импульс 2mv (см. задачу 3.1). За 1 с с 1 м^ поверхности стенки соударяется пи молекул. Поэтому сила, действующая на 1 м^ поверхности, т. е. давление, оказываемое пучком, будет 2тпи^. 2. Если молекула имеет скорость, наклоненную под углом а к стенке, то при ударе меняется только перпендикулярная стенке составляющая скорости, и переданный при ударе стенке импульс 2mt;sin а == mv J2. 274 3. Если стенка движется, то, переходя в систему координат, связанную со стенкой, получаем, что молекулы движутся к стенке со скоростью V + иис такой же скоростью отражаются. 11.8. Давление увеличилось бы. Решение. Если бы давление газа поддерживалось постоянным (сосуд прикрыт легкоподвижным поршнем), то после исчезновения сил притяжения между молекулами объем газа увеличился бы. Поэтому в сосуде с постоянным объемом возрастает давление газа на стенки. 12. Тепловое расширение. Газовые законы 12.1. Давление на дно сосуда цилиндрической формы не изменится, так как оно численно равно весу всей жидкости, деленному на плош;адь дна. Здесь уменьшение высоты столба жидкости компенсируется увеличением ее плотности. В коническом сосуде, расширяющемся кверху, высота столба жидкости при уменьшении объема жидкости изменится меньше, чем в цилиндрическом сосуде, а плотность жидкости — на столько же. В результате давление на дно этого сосуда увеличится. Давление на дно конического сосуда, расширяющегося книзу, уменьшится. 12.2. 24 см; 34 см. Решение. Обозначим длины медной и железной линеек соответственно Zj и Zg. Длины линеек при любых температурах будут равны: ^2t ~ ^20^^ ®2^)* (1) По условию задачи ^2t ht ~ ho ho (2) Из уравнений (1) и (2) следует, что Zjo/^2o ^ 012/^1* Начальные длины линеек должны быть обратно пропорциональны коэффициентам линейного расширения. Решая систему уравнений ^о/^20 "" “2/“!» ho ~ ho ^ находим Z^ = - а2>; Z20 = = AZa^/Caj - tt2). 12.3. а= 18,5*10-6K-i. Решение. Маятник часов можно принять за математический, так как по условию задачи он состоит из груза малых >8’ 275 размеров и тонкой латунной нити. Период колебания маятника при = О °С равен Tq = 2njl^7g. Если температура воздуха повысилась, то длина маятника увеличилась и стала равной I = Iq{1 + at). Период колебания ма- ятника также увеличился: = 2kJIq{1 + at)/g. Отношение периодов колебаний маятника при разных темпе- j'________ ратурах равно + at Отсюда {Т^ - Tq)/Tq = at/2. Обозначая - Tq через АТ, получаем а = 2AT/{TQt). Замечая, что АТ/Tq = 16 с/1 сут = 16/(24 • 3600), находим а. 12.4. На 10,4 с. Решение. При 0 °С длина маятника станет равной Iq = = V(1 "Ь at). Период колебании маятника пропорционален 'Jl, поэтому отношение периодов колебаний маятника при 20 °С и о °С будет равно: T/Tq = JT/Tq = Jl + at ~ 1 + ^. За сутки маятник сделает д = 24 • 60 • 60/Т ходов и уйдет вперед на промежуток времени х = пАТ = п{Т - Tq): at X = 86,4 • 103= 86,4 • 103(^ 1 - 1 + у j = 86,4 • Ю^у 12.5. fi-28 °С. Решение. Пусть при ^o = 0 °С период колебаний маятника ^1 - То часов Tq, а при t, он равен Т^. Тогда х = —-- = 3600 • 24 с. Пе- ■* о риод колебаний маятника Т связан с его длиной формулой Т = = 2njl/g, где g — ускорение свободного падения. Поэтому T-^/Tq = JTJTTq. Зависимость же длины маятника от температуры определяется формулой = Zq(1 + at-^). Тг-То В соответствии с этим T^/Tq = Jl + at^ или 1 + = Jl +а(,. Отсюда = <» + ~ - 1 ^ _ Та)/(аТ„), так как квадратом малой величины {Т^ - Tq)/Tq можно пренебречь. Подставляя в эту формулу (Т^ - Tq)/Tq, выраженное через X, окончательно находим = х/(12 • 3600а). 276 12.6. F = 252 Н. Решение. Относительное удлинение стержня при нагревании на At равно А1/1 = = oAt. При растяжении по закону Гука, А1/1 = = а/Е = F/(ES) (о — механическое напряжение в стержне). Исключая из этих уравнений отношение А1/1, находим, что к стержню нужно приложить силу F = ESaAt. _ d 1 + oCgAf 12.7.Я=^: 3,2 м. Рис. 192 2(aj - a2)At Указание. = Iq(1 + ос^ДО» а Zg = otgAO- Но l-j^ = ^R- ^ jp (рис. 192), a.l2 = (^R+ I jp. Учитывая это, нетрудно найти R. 12.8. F = 39 600 Н. Указание. См. задачу 12.6. 12.9. Ро= 130 Па. Указание. Давление р газа в баллоне лампочки после заполнения части баллона водой станет равным атмосферному плюс давление воды, а объем V — равным (1 - 0,9987) л. Считая процесс изотермическим и воспользовавшись законом Бойля—Ма-риотта, находим Pq= 1,3 • 10^ Па. 12.10. р == 2,1 кг/м^. Решение. Из закона Бойля—Мариотта следует, что при атмосферном давлении газ, заполняющий баллон до откачки, занимал бы объем Vq = pVjp^ (j)q = 10^ Па — нормальное атмосферное давление). Газ, оставшийся в баллоне после откачки, занимал бы объем V'^ = PiVIpg Объем выкачанного газа при атмосферном давлении равен ~ У'{) = ip ~ Р\)У/Роу а его масса т = {Q- Qi)/g {g — ускорение свободного падения). Отсюда плотность газа при атмосферном давлении (Q ~ Qi)Po Р = т Уо-Уо g{p - Р\)У' 12.11.Pi = 751 мм рт. ст. Указание. Давление воздуха, находящегося в барометре над ртутью, равно разности атмосферного давления и давления, показываемого барометром. 277 12.12. 25 см. Указание. После того как трубку вынимают из сосуда, давление в ней становится меньше атмосферного на величину давления оставшегося в трубке столбика ртути. Поэтому по закону Бойля—Мариотта (I - h){H - h) = Hl/2, где h — высота оставшегося в трубке столбика ртути, Н — высота столбика ртути, соответствуюш;ая атмосферному давлению. 12.13. л: = ^ [(Я + Z) - 7(Я -Ь /)2 - 4h(H + h - I)] - 3 см, где Я — высота столбика ртути, соответствуюш;ая атмосферному давлению. 12.14. Л = 48,3 см. 12.15. д: = ^[(Я + 1 + 1')- J(H + / -f l')^ - U'H] см, где Я — высота столбика ртути, соответствующая атмосферному давлению. Указание. Из закона Бойля—Мариотта следует, что (Я -х)(1 + 1'-х) = т. 12.16. р = pgh{d^ - M^)/{2dM) = 5,6 • 10^ Па, где d ^ (L - 1)/2. Указание. С помощью закона Бойля—Мариотта получаем систему уравнений pd = p^{d + AZ); pd = P2{d - AZ), где pj и pg — давление в верхней и нижней частях трубки соответственно, после того как ее поставили вертикально. Из условия равновесия столбика ртути имеем Рг “ Pi = Решая совместно эти три уравнения, находим ответ. 12.17.1~ 15 см. 12.18. 80 см заполнено водородом. Решение. Обозначим через х длину части сосуда, заполненной водородом. Уравнения состояния водорода p(xS) = mRT/M^ и кислорода p[(Z - x)S] = m-JiT/М2, где = 2 г/моль и Mg = = 32 г/моль — молярные массы водорода и кислорода соответственно. Разделив одно уравнение на другое, находим х/{1 - д:) = = Mg/Mj. Отсюда д: = ZMg/(Mi + Mg). Mg 12.19.Pi kMg {k - 1)S’^2 {k - l)S' 278 Указание. Из условия равновесия поршня следует, что (Pi Причем Р1/Р2 = Р1/Р2 ^ Pi и Р2 — плотности газов. Решая систему этих уравнений, получаем ответ. 12.20. Поверхность соприкосновения выгнута в сторону большего мяча. Указание. У меньшего мяча относительное изменение объема больше. 10 от „ = ^ё{р/Ро) • \g\V/{V+^V)У Решение. Процесс откачки можно считать изотермическим. Если после к то хода поршня давление в сосуде было равно р^, то давление после {к + 1)-го хода поршня в соответствии с законом Бойля—Мариотта станет равным Pf^+i = VT~AV^ этому после п ходов поршня давление в сосуде Рп =Pn-l(p^+ Av]^ + Af) ^ • Для того чтобы откачать воздух в сосуде до давления р, пор- lg(p/Po) шень должен сделать п = ходов. 1222F /V =2 • сосуда/ насоса 12.23. р = 515 мм рт. ст. Решение. После того как откроем кран, каждый газ заполнит весь объем сосудов V = + F2. При этом в них устано- вится давление р = Pi + Р2, где р^ и р^ — частные (парциальные) давления газов i и 2 соответственно после заполнения всего объ- Pl^i Р2^2 ема. По закону Бойля—Мариотта Pj = у- и pg = у у • PiFi + P2V2 Следовательно, давление в сосудах будет р = —„ — . 12.24. р = 2*105 Па. Указание. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, каждый из которых занимает весь объем баллонов. Для описания изменения состояния каждого из газов после соединения баллонов можно применить закон Бойля—Мариотта (см. задачу 12.23). 279 12.25. На 1,36 см. Решение. Так как в горизонтальном направлении на сосуд не действуют внешние силы, то центр тяжести системы должен оставаться на месте. Обозначив массы кислорода и азота и mg, можно определить начальное положение центра тяжести системы: (1) где X — расстояние от середины сосуда до центра тяжести. Решая уравнение (1) относительно х, получаем: ^ а - 1 1ТП2- X —-------- 4mg + mi 4а+1’ где а = mg/mj. Для определения а удобно воспользоваться уравнением Клапейрона—Менделеева (уравнением состояния газа) pV = mRTIM. (3) После перемешивания газов центр тяжести будет находиться посередине сосуда, и так как его положение относительно стола не должно измениться, то сосуд сдвинется на расстояние х. I 2Mn - Mq Из уравнений (2) и (3) находим х = 42_/vf ^ + М ^' 12.26. а) Fi = y- PqS + mg ; б) Fg = F- PqS + mg p^S + mig-a)' 2 PqS + m{g + a)’ Ускорение a поршню сообш;ает равнодействующая силы тяжести mg и силы давления газа на его верхнюю и нижнюю поверхности. Поэтому по второму закону Ньютона в случае а) та = mg + {Ро~ Pi)S и в случае б) та = (pg - Pq)S - mg (Pi — давление газа в цилиндре, когда он движется вниз, pg — давление газа в цилиндре при его движении вверх, S — площадь поперечного сечения поршня). Давление в покоящемся цилиндре Р=Ро+ Подставляя найденные из этих уравнений выражения для р. Pi и pg в уравнение Бойля—Мариотта: (а) ^Ро + ^ ^F = PjFi и (б) |^Ро + ^ jF = pgFg, получаем ответ. 280 12.27. См. рис. 193. Идеальные газы подчиняются закону Бойля—Мариотта. 12.28. 1. Температура газа на верхней кривой большая. 2. Молекулярная масса газа на верхней кривой меньшая. Указание. Воспользоваться законом Клапейрона—Менделеева pV = mRT/M. 12.29. См. рис. 194. Указание. Изотерма в координатах р, V — гипербола; pV = const, причем чем меньше температура газа, тем больше гипербола прижимается к осям координат. Нарисовав семейство гипербол, находим ответ. 12.30. В первом случае газ расширялся, во втором — сжимался. Указание. Начертить в координатах р, Т изохоры, проходяш;ие через начальные и конечные точки графика. 12.31. См. рис. 195. Указание. Из уравнения Клапейрона—Менделеева pV = = mRT/M легко видеть, что линии постоянного объема — изо- Ph< 1 2 О 4 3 О хоры (в координатах р, Т) и линии постоянного давления — изобары (в координатах V, Т) есть прямые, проходящие через начало координат. Примечание. Циклу 1234 на диаграмме р, V соответствует цикл 4321 на диаграмме V, Т. 12.32. m = 39 г. Решение. Ртуть будет втягиваться в баллончик вследствие уменьшения давления воздуха внутри стеклянного баллончика при его остывании. Таким образом, втягивающаяся ртуть поддерживает давление внутри стеклянного баллончика постоянным, равным внешнему. Процесс остывания воздуха внутри баллончика будет изобарным. Масса ртути, вошедшей в баллончик, m = pAF. (1) Изменение объема воздуха найдем из закона Гей-Люссака, выраженного через абсолютную температуру: Hj/Fg = ТЦТ2. Так как то Подставляя полученное значение АИ в формулу (1), находим 12.33. Из закона Гей-Люссака АИ/И = АТ/Т, откуда Т = 22 К (для газов, не сжимающихся при этой температуре, — водорода и гелия). 12.34. = 313 °С. Указание. Воспользоваться законом Гей-Люссака в форме V^/V, = Т^/Т,. 12.35. Pi = 1/373 К К Указание. Из закона Гей-Люссака AVIV = АТ/Т. Поэтому Pi ДТГюо’ 12.36. На 27 см. Решение. Изменение объема воздуха, находящегося под поршнем, будет происходить вследствие увеличения давления 282 воздуха и изменения его температуры. Состояния воздуха в цилиндре при положениях поршня 1 vi 2 (рис. 196) можно описать уравнением Клапейрона P\VJT-^ = F/S, F — вес гири, S — площадь поперечного сечения поршня. Преобразуем это уравнение: У\/У2 = От- ношение объемов можно заменить отношением высот: ^l/^2 ^ Р2^\ИР\Р^' Тогда (^1 ~ ~ (Р2^1 ~ откуда РгТ -) t дл Рис. 196 12.37. X ~ 7,45 см. Решение. Обозначим через V,p и Т начальные объем, давление и температуру воздуха в каждой из половин сосуда и соответственно через V^, р^, Т-^ и Т^2» Рг» ^2 — состояния воздуха в них после нагревания первого баллона на АТ и такого же охлаждения второго баллона. Уравнения состояния для газов в обоих баллонах: ViPi/Fi = Vp/T; (1) V2P2/T2 = Vp/T. (2) Сравнивая выражения (1) и (2), получаем ViPi/Fi = V2P2/T2. (3) Но капелька ртути будет перемещаться до тех пор, пока р^ не станет равным pg» тогда из равенства (3) следует VJV2 = Тх/Гз- (4) Обозначив через х — смещение капельки ртути (см. рис. 53), через S — площадь сечения трубки, можно записать: Fj = К+5л:,У2 = Тогда (V + Sx)/(V -Sx) = (T + АТ)/(Т - АТ), откуда найдем х = VAT/(ST). Учитывая, что S = 7cd^/4, получаем л: = 4VAT/ind^T). 12.38. 2Тх/(Т + Тх). Решение. Уравнение состояния газа в нагретом сосуде pV = m^RT-^/M, а в сосуде, температура которого осталась преж- 283 ней, pV = m2RT/M. До нагревания одного из сосудов состояние газа можно описать следующим уравнением: Pq' 2V = (mj + m^^RT/М. Подставляя сюда и m2, полученные соответственно из первого и второго уравнений, найдем p/Pq = 2Т^/(Т + Т^). 12.39. 1. ^ ХбтзТо’ 5^’^к Решение. 1. Так как поршень находится в равновесии, то давление р по обе стороны от него одинаково. Запишем уравнение Клапейрона—Менделеева для кислорода и водорода: Р^к = rn^RT^/M^; pV^ = m2RTJM2, где Му и Mg — молярные массы кислорода и водорода, равные соответственно 0,032 и 0,002 кг/моль. Разделив эти уравнения друг на друга, получим mi Tj IQui^Tq' 2. Указание. Записать условия равновесия поршня в обоих Р'к 2Т случаях и использовать условие -рг = Y/2' 12.40. р = 0,45 кг/м^. Указание. Из уравнения pV = mRT/M находим р = m/V = = pM/(RT). Задачу можно также решить, воспользовавшись тем, что при нормальных условиях один моль газа занимает объем 22,4 • 10“^ м^. 12.41. р- 1,57-10^ Па. 12.42. V/m = 1,82 м^/кг. Указание. См. задачу 12.40. 12.43. т = 1320 г. 12.44. Ат = 8,2 кг. Указание. Из уравнения Клапейрона—Менделеева: MpV{ 1 1 \ ^2 "^1 Д [тз TJ' 12.45. N = PqVq{T2 - Ty)Np^/{RTyT2) ~ lO^^, где Л^д — постоянная Авогадро. 284 Указание. Записав уравнения состояния для воздуха в комнате при температуре Tj и Tg и вычтя их одно из другого, получим Ат = Mp^V^iT^ - T,)/{RT,T2). Эта масса составляет Ат/М молей или ДтЛ^д/М молекул. 12.46.637 качаний. Указание. После каждого качка давление воздуха в резервуаре будет увеличиваться на одну и ту же величину р, равную парциальному давлению газа, захватываемого компрессором при качании. По уравнению Клапейрона P=PoVoT,/{T^V). 12.47. Сосуд с сухим воздухом. Решение. Равные объемы газов при одинаковых температурах и давлениях содержат одинаковое число молекул. Следовательно, в стакане с влажным воздухом часть молекул воздуха замещена на молекулы воды, которые легче (средняя молярная масса воздуха 0,029 кг/моль, а воды 0,018 кг/моль). 12.48. V = 1,55 м/с. Указание. Подставляя в уравнение состояния pV = mRT/M объем газа F, протекающий за время т, F = ySx, получаем уравнение для определения и. 12.49. т = 1,48 г. Указание. Воспользоваться для определения массы в начальном и конечном состояниях уравнением Клапейрона. 12.50. ^ -^|^ = 0,05. 12.51. Г = 1250 К. Указание. Для решения этой задачи можно воспользоваться уравнением Клапейрона—Менделеева. Решение. Для того чтобы поршень, сжав пружину, поднялся на 1у сила давления на него должна увеличиться на AF = Ы, а давление — на Ар = AF/S = kl/S. Запишем уравнение Клапейрона для газа при температуре Т^и Tgi p^V = mRTJM, Р2 (F -Ь IS) = mRT^/M. 285 Разделив первое уравнение на F и второе — наУ + IS и вычтя одно из другого, найдем h V V+ IS Учитывая, что Ар = kl/S и IS ^ V, получаем гр _ гг , klMV ^2 ^1-^ SmR' 12.53.p- Ю^Па. Решение. В баллоне = 1600/32 = 50 моль кислорода и «2 = 800/2 = 400 моль водорода. Запишем уравнение состояния для каждого из газов: р^У/Т = Po'ii V'^o- Давление смеси на стенки сосуда равно сумме парциальных давлений: PoVoT. P=Pi +Рг 12.54. р = Pi + Р2 = та т{1 - а)"| RT Ml ^ 2Mi J У т(1 -Ь a)RT 2MjF = 1,8 • 10^ Па, где а = 0,3; Mj = 0,014 кг/моль — молярная масса атомарного азота. 12.55.^ = 1^« = 7. Шв 2Мв Решение. Давление в смеси равно сумме парциальных давлений азота и водорода. Поэтому RT , „ р= тт^— + — Мв/2 V RT 'MJ2 V ^ ё!. V ’ Чп = 9-^ ^ ^ о RT ^Р ^Д/Г /9 т/ + ^МУ2 у ' Отсюда ^ = 1 li = 7 2М„ 2*1 '• 12.56. т ~ S кг. 12.57. Указание. Воспользоваться законом Бойля—Мариот-та и законом Архимеда. 286 13. Теплота и работа 13.1. 1. Не изменится. 2. Уменьшится. Указание, 1. Начальные объемы жидкостей соответственно равны: ТПл ГПл ^ Шп ^ V, = — = —(1 + В^,); Уо= — (1 + Р^)-^ Pi Ро ^ Ро ^ , mj , т-2 После выравнивания температуры Fj = — (1 + р0) и Fg ^ + (30). Так как + с/П2^2 = с(т^ + /712)6, то легко доказать, что v, + v, = v[ + v'^. 2. Установившаяся температура воды равна 4 °С, а при этой температуре вода имеет нгшбольшую плотность. Поэтому при выравнивании температур объем жидкости в сосуде уменьшится. 13.2. Можно, если вещество при этом будет совершать работу или претерпевать фазовый переход. 13.3. Выждать 5 мин, затем бросить сахар. Указание. Количество теплоты, отдаваемое нагретым телом окружающей среде за одно и то же время, пропорционально разности температур тела и среды. 13.4. = 104 г, = 46 г. 13.5. Q = cpSl^ = 3780 Дж. CUq Указание. Изменение длины стержня А/ = algAt. Необходимое количество теплоты Q = cmAt = . IqO. 13.6. -40%. 13.7. т = Ns/{qr\v) ~ 74 г. 13.8. ЛГ-28 кВт. 13.9. V. = V- 1 ] тдг\ ~ 14 м/с = 50,5 км/ч. тдц -I- Mqsh/l Указание. Во втором случае энергия двигателя расходуется не только на преодоление сил сопротивления, но и на увеличение потенциальной энергии автомобиля. 13.10. 771- 35,5 т. 13.11. V = 2,7 м/с. 287 Решение. Условие установившегося режима, когда вся выделяемая мощность идет на нагревание проточной воды, охлаждающей установку, можно записать в виде следующего равенства: N~cmAt/t, (1) где m/t — масса воды, протекающей за 1 с, с — удельная теплоемкость воды, равная 4,2 • 10^ Дж/(кг* К). Но m/t = pvS = pvnd^/A, где р — плотность воды, v — скорость движения воды, S — площадь поперечного сечения трубки. кс1^ Подставляя m/t в уравнение (1), получаем N = сри—^ At, откуда V = 4N/(cpnd^At). 13.12. На At ==0,05 °С. 13.13. т^/т ~ 64% . Решение. Вся кинетическая энергия свинцовой гири при ударе о препятствие идет на увеличение внутренней энергии гири, т. е. на нагревание гири до температуры плавления и на ее TtX = (cm(t^^ - to) + Хт-^). Разделив пра- частичное плавление: вую и левую части приведенного уравнения на т, получим и^/2 = mj mj = с(^пл - ^о) + откуда — = т v^/2 - c(t^^ - ^o) 13.14.Q = 94,7 Дж. Решение. Разность между убылью потенциальной энергии тела и приращением его кинетической энергии представляет собой работу по преодолению трения и равна количеству теплоты, выделившемуся при скольжении тела по наклонной mv‘ плоскости: mgh - Q, но h = Zsin а, тогда Q = mglsin а - mv^ 13.15. у-2,2 км/с (минимальная). 13.16. Во втором случае больше, так как при расширении газа совершается работа. 13.17. Л = 370,4 Дж. Решение. Давление р, под которым находится газ, равно атмосферному. При нагревании воздух расширяется и поднимает поршень, преодолевая силу атмосферного давления F = pS, где S — площадь поперечного сечения поршня (основание цилиндра). 288 Если при изобарном нагревании поршень поднялся на высоту h, то работа, совершенная воздухом, будет А = Fh = pSh. Но Sh равно прирапдению объема воздуха V - Vq. Следовательно, А = p{V - Vq) = pAV. По закону Гей-Люссака VIVq = Т/Тд, откуда ДТ АТ V -Vq = AV= Fq у-. Тогда а = pFq-^. Как видно из этого выраже- 0 т о ■'о ния, работа не зависит от площади поперечного сечения поршня. 13.18. А «57 000 Дж. Указание. А = pAV, где изменение объема AV находится из уравнения состояния газа: AF = mRAT/Mp и А = mRAT/M. Совершаемая газом работа при изобарном нагревании не зависит от начального давления. 13.19. До 110 °С. 13.20. Получал: 1—2, 4—1. Отдавал: 2—3, 3—4. Указание. Воспользоваться первым законом термодинами (законом сохранения энергии): количество теплоты, сообщаемое газу, идет на увеличение его внутренней энергии и на работу, совершаемую газом при его расширении. 13.21. См. рис. 197. Воздух получает количество теплоты на участках 1—2, 2—3, 3—4. На участке 4—1 воздух отдает количество теплоты. 13.22. А= п М Указание. pF-диаграмма процесса показана на рис. 198. Так как точки 1 и 3 лежат на одной изотерме, то PqVq = отку- да Fj = jiVq и AF = Fj - Fq = (п - 1) Fq. Газ совершил работу А = IpcAV- — РоУо=~^ИТ. п о п М Pk Ро hPo О \ \ \ \ S N "о Рис. 198 289 13.23. 1. При процессе 3 ^ 2 4 3. 2.A = R(T^-2jTyF, +T^) = R(Jt, ~ - jT,f. Указание. 1. Начертив диаграммы этих процессов в координатах р, V, получим прямоугольник 1234, точки 2, 3 которого лежат на изотерме (рис. 199) (см. задачу 12.31). Работа, совершенная газом, равна площади фигуры цикла в координатах р, V. 2. Работа равна площади цикла: ^ = (Р2 - Pi) (^4 - ^l) = Р2^4 - Pl^4 - Р2^1 + Pl^l- Записывая затем уравнение состояния газа pV = RTm/M для каждой из точек 1, 2, 3, 4 и учитывая, что Рд = Рд» Р4 ^ Pi’ ^1 ^ = V2, Рд =- V^, а также что Т2 = = Т и, следовательно, Т/Т^ = = Рд/Т (так какр-^Т/Т.^ = р^Т^/Т), получаем ответ. 14. Изменение агрегатного состояния вещества. Влажность 14.1. Указание. Ответ зависит от температуры окружающей среды. При построении графика учесть, что cjc^ ~ 2, а V(^3-1°C) = 80. 14.2. 0 = О °С. В сосуде, кроме воды, будет 5 г льда. Указание. Количество теплоты, которое может отдать сосуд с водой при остывании до О °С, равно 3,3 • 10^ Дж. Его недостаточно для того, чтобы нагреть 100 г льда на 8 °С и весь расплавить. 14.3. т = 112,5 г воды. 14.4. т ~ 3,6 кг. 14.5. Калориметрическим методом. 14.6. т ~ 6,8 г воды. 14.7. = 134 °С. Решение. Если количество теплоты, которое выделит алюминиевый куб при охлаждении до 0 °С, будет равно количеству теплоты, которое необходимо, для того чтобы расплавить лед в объеме алюминиевого куба, то он полностью погрузится в лед. Следовательно, рС^.(^2 - tg) = PiVX, где — температура, до кото- 290 рой нужно нагреть куб, — температура плавления льда, V — объем куба. Отсюда - ^0 ^ PiV(pc). 14.8. m = 0,75 г. Решение. Замерзание (кристаллизация) воды происходит до тех пор, пока окружающая среда будет способна поглощать выделяющуюся при плавлении теплоту. Кристаллизация воды прекращается, когда вся смесь окажется нагретой до температуры плавления, т. е. до 0 °С. Исходя из этого можно записать следующее уравнение теплового баланса: А,/п = сМ(0 °С - t), где т — масса образовавшегося льда, X — удельная теплота плавления льда, М — масса воды, t — температура воды. 14.9. Количество теплоты, необходимое для испарения воды, отнимается от водоема. 14.10. Нет. Для кипения необходим подвод теплоты, который может осуществиться только от более нагретого тела к менее нагретому. Если же в большей кастрюле вода была предварительно длительно прокипячена, то она может быть перегрета и в этом случае вода в меньшей кастрюле может закипеть. 14.11. Вода в большой кастрюле оказалась перегретой (нагретой выше температуры кипения), так как при предварительном ее кипячении из нее был изгнан воздух. Бросив щепотку чая, мы введем воздух, и вода в большой кастрюле закипит, при этом ее температура уменьшится. Вода в маленькой кастрюле перестанет кипеть, так как температуры воды в большой и малой кастрюлях стали равными и не будет подвода теплоты. 14.12. 1. Понижая давление над жидкостью до давления насыщенных паров при данной температуре. 2. Интенсивно откачивая насыщенный пар. 14.13. 11,6% первоначальной массы воды. Решение. Необходимое для образования пара количество теплоты может быть получено только за счет теплоты отвердевания (плавления), которая освобождается при замерзании воды. При замерзании воды массой выделяется количество теплоты Хт-^. За счет этого количества теплоты образуется пар массой mg. Если удельная теплота парообразования воды при 0 °С равна L, то можно записать следующее равенство: Хт-^^ = Lmg. 19* 291 Масса всей воды до откачивания т = -\- mg. Из этих двух уравнений находим, что = Х/(к + L), откуда /Пз = пгк/(к + L) = 0,116т., 14.14. Lg ~ 1,88 • 10^ Дж/кг. Решение. Количество теплоты, поглощенное льдом и азотом, соответственно равно: Исходя из условия, что скорость подвода теплоты пропорциональна разности температур снаружи и внутри сосуда, можно записать: (2) (3) А^л = = ^2 - ^1- Разделив уравнение (2) на выражение (3) и приняв во внима ние соотношение (1), получим А^л'^л откуда т„ 'Па = ‘/2'"Р- 14.15. 7,3%. Указание. Внешняя работа равна А = pAV, где р = 10^ Па — давление пара при 100 °С, равное атмосферному давлению, AF — изменение объема рабочего тела, AV = mv (т — масса испарившейся воды). Затраченная энергия Q = qm. Искомая величина есть A/Q. 14.16. В состоянии насыщенного пара. 14.17. Если над водой находится насыщенный пар, то при наклоне трубки уровни воды в ее коленах будут одинаковыми, а если воздух, то различными. Объясните почему. 14.18. Изменится: в узком сосуде повысится. Прекратится отвод пара из широкого колена сосуда, пар над жидкостью в этом колене станет насыщенным и его давление будет превышать давление пара над жидкостью в узком колене. 14.19. В сосуде находилось некоторое количество жидкости. Точке излома соответствует полное испарение жидкости. 14.20. т - 922 г. 292 Решение. Массу водяных паров в воздухе комнаты найдем, пользуясь уравнением Клапейрона—Менделеева: pV = mRT/M, откуда т = pVM/{RT), гдер — фактическое давление водяных паров, равное фрд, отсюда т = (\)р(УМ/{R/T). 14.21. т = 41,2 кг. Pl'^2 14.22. ф2 14.23. ф1 14.24. mRT MVpo 29% + ф = 0,7 или 70% (см. задачу 14.20). еЫ^„о,бг. Указание. Так как сосуд герметичен, то пар насыщен и его давление р равно атмосферному (температура 100 °С), р = 1 г/см^ — плотность воды. 14.25. 0,24. Указание. Будем считать, что вода полностью испарится и пар ненасыщен. Тогда он подчиняется уравнению состояния идеального газаpV^ = m^RT/M^. Аналогичное уравнение можно записать и для азота: p{V-V^) = m2RT/M2. Решая эти уравнения совместно, находим откуда V^/V = + wigMj). Для того чтобы показать, что пар действительно ненасыщен, надо определить его давление и убедиться, что оно меньше атмосферного. 14.26. Возможно, когда вода нагревается в герметически закупоренном сосуде. В этом случае, оставаясь в жидком состоянии, вода может быть доведена до температуры 374 °С (критическая температура) при давлении 2,21 • Па. Температура плавления свинца 327 °С. III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 15. Закон Кулона 15.1. Заземленный проводник поднести, не касаясь, к заряженному, затем убрать заземление. Получив положительно заряженный проводник, можно тем же способом зарядить второй проводник отрицательно. 15.2. Заряженный пробный шарик внести, не касаясь, внутрь полого проводника, прикоснуться к проводнику пальцем (заземлить на короткое время) и затем шарик удалить. Так же поступить со вторым проводником. 15.3. В обоих случаях уменьшается вследствие электростатической индукции и поляризации диэлектрика. 15.4. Нет, незаряженное тело вследствие электростатической индукции тоже будет притягиваться. 15.5. Да. 15.6. Электростатическая индукция приводит к такому перераспределению зарядов на шарах, при котором одноименные заряды оказываются на большем расстоянии, чем разноименные (рис. 200). Может случиться, что одноименно заряженные металлические шарики будут даже притягиваться. Это возможно, если заряд одного из шариков много больше заряда другого. 15.7. Увеличится. Указание. Рассмотреть поляризацию диэлектрика. 15.8. k - 9 - 109Н-м2/Кл2. 15.9. ~ 3,8 • 10"^ Кл; gg ~ • 10“^ Кл. 15.10. = ±2,67 • 10-^ Кл; q^ - +0,67 • 10-^ Кл. Указание. После соединения заряды шаров становятся одинаковыми. 15.11. р = 1,6 г/см^. Решение. Сумма всех сил, действующих на каждый шарик, должна быть равной нулю. Поэтому F = mgtg (а/2), где F — сила электростатического отталкивания шариков; т — их масса, а — угол расхождения нитей (рис. 201). После погружения F уменьшается в е раз, а вертикальная си- ла становится равной mg - F = Р - Рк mg, где р и — плотнос- ти шариков и керосина соответственно. Для того чтобы угол а 294 не изменился, должно выполняться условие ^ 1* Отсюда £Рк Р=е-^- 15.12. Шарики соприкоснутся, а затем установятся на расстоянии = a/V4. 15.13. V = 2,25 • 10® см/с. Указание. Центростремительное ускорение сообщается электрону силой притяжения его к ядру атома. 15.14. /? = 0,076 мм. Указание. Радиус капелек найдем, приравняв силу взаимного притяжения силе электростатического отталкивания: G (4/ЗяДЗ)2р2 /2 4лео/2’ где р — плотность воды. 15.15. Сила, действующая на заряд +q, направлена вдоль прямой, параллельной линии, соединяющей заряды +Q и -Q. 15.16. q-^ = -q! Jb. 15.17. ~ 0,957g. Равновесие неустойчивое, достаточно малого отклонения любого из зарядов, чтобы оно нарушилось. 15.18. д-6-10-® Кл. (7^ 1~ 15.19. F= 76 - 9,8* 10^ Н. Вдоль высоты тетраэдра. Указание. Заряды расположены в вершинах тетраэдра. Из соображений симметрии очевидно, что равнодействующая трех сил, действующих на каждый из зарядов, направлена вдоль со- 295 ответствующей высоты тетраэдра. В этом можно убедиться также непосредственно. Разложим каждую из сил на две составляющие, одна из которых направлена вдоль высоты, а другая лежит в плоскости, перпендикулярной высоте. Составляющие, лежгпцие в этой плоскости, образуют друг с другом углы 120°, и их векторная сумма равна нулю. Каждая из составляющих, направленных вдоль высоты, равна g^cos а/(4тсеоа^), где cos а = V2/3 (это можно найти геометрически). 15.20. a)Q^ = Q^ = q- 8mQmgR^/q; 6)Q^ = Qg = q + 8i:zQmgR^/q. Указание. Сумма всех сил, действующих на шарик с зарядом q в проекции на направление, касательное к окружности, равна нулю: + mg 0. 8V2Tteoi?2 J2 8j2moR^ 15.21. Q > Sne^rngd^/q. Решение. Шарик удерживается в верхней точке, если при отклонении возникает возвращающая сила (рис. 202). Сумма проекций сил на направление касательной, проведенной через точку, в которой находится шарик, Fsin (а/2) - mgsin а > 0, т. е. gQsin| 4яЕо^^со8 ^ j - 2wg‘sin ^cos ^ . а sin 2^ qQ 2 - 2mgcos 2 > о (а — угол между вертикалью и радиусом, проведенным в точке касания), должна быть положительна при малых а (вплоть до нуля). Поэтому Q > SnzQTngd^/q. 16. Напряженность поля. Работа сил электрического поля. Потенциал 16.1. 1. См. рис. 203. 2. Нет, не могут. Если бы существовала замкнутая силовая линия, то, перенося вдоль нее заряд, мы совершили бы работу, не равную нулю. 16.2. Нет. Направление касательной к линии напряженности совпадает с направлением силы, действующей на заряд, а значит, с направлением ускорения заряда. Траектория же движения заряда — это линия, касательная к которой совпадает с направлением скорости заряда. 16.3. Е = 246 В/м. Указание. Напряженности складываются векторно. 16.4. 1) = 1,15д/(4тсеоа2); 2) Eg = 1,06д/(4део«^)- 16.5. а) Двигаться вправо, б) Двигаться влево, в) Оставаться в покое. Указание. Незаряженный шарик должен двигаться в том направлении, в котором возрастает напряженность поля. 16.6. d = qQ{M + т) f4TieQE{Qm + qM) Указание. Ускорение, приобретаемое каждым заряженным телом в направлении вектора Е, определяется суммой сил взаимодействия зарядов и действия поля: qQ hi qQ л 4mQd^j 16.7. Дф 4ле ми qA и qB не зависит. 16.8. А = дДф - f — - — 1 = 4,5 • 10^ В. От угла между прямы- 0 V ^1 ^2/ _ г gi , Y _ I ) + Z + a I -h а J 4к£г _ aq ~ 4лео + d 1 Я2 _{d + l){d + Z + a) Z(Z + a) 297 16.9. Нельзя, так как соединение точек проводником уравнивает их потенциалы; q = 4k£qER^ = 5,9 • 10^ Кл; ф = д/(4д8о-К) = -8,3-10» В. 16.10. 1,2-10-6 дж. Решение. А = ~ 9i), где - q2/(4n£Qr^), фз = q2/(4nEQr2). 16.11. См. рис. 204. Указание. Воспользоваться принципом суперпозиции полей, построив сначала графики Е^{х) и ф(дс) полей каждого из зарядов и затем сложив их. 16.12. -а/г. Указание. Если заряд первого шара после его первого зазем-равен q'j, то ^ а) ^ (потенциал шара равен ну- ления f’ лю). Отсюда q^ = ~Q~- Аналогично найдем, что после заземления 1 /^2 Ql^ второго шара на нем будет заряд qn такой, что -z----------1--=0, 4 /ICq \ ^ ^ / т. е. ^2 "" "" 9(г/а)^, и т. д. После п операций на первом ша- 298 рике будет заряд q(r/a)^'^ а на втором — заряд -q(r/a)^'^. Их отношение равно ~а/г. 16.13. 1. г - 7,1 см, 2,8 *10-8 с. 2. 1У-0,11. 16.14. V = 8,4 • 10® м/с. 16.15. 1. Не изменится. 2. Уменьшится в е раз. Указание. Е = U/d, а увеличение зарядов на обкладках конденсатора компенсирует уменьшение напряженности поля, вызванное поляризацией диэлектрика. 16.16. Ад «1,6 *10-19 кл. Указание. Условие равновесия пылинки mg = qE, где E = Ufd — напряженность поля внутри конденсатора, q — заряд пылинки. 16.17. Через промежуток времени ^ = 0,45 с. Решение. Капелька будет падать с ускорением, которое мы найдем по второму закону Ньютона: та = mg - qE, откуда а = g - ' Из условия равновесия капельки (см. предыдущую f ^2^ задачу) находим, что q/m = gd/U-^. Тогда а = ^|^1 - ^ J, а время падения t = Jd/a. 16.18. Q = ZQmgSig a/q ~ 3,3 • 10"^ Кл. Указание. Равнодействующая силы натяжения нити и силы тяжести, действующей на шарик, равна mgtg а. Эта сила уравновешивается силой, действующей на заряд шарика со стороны электрического поля, равной qE, где Е — напряженность поля (Е = U/d, и = Q/C; Q — искомый заряд, С = ZQS/d — емкость плоского конденсатора). Поэтому mgig а = qQ/(EQS), откуда Q = EQmgStg a/q. 16.19. g« 1,73 *10-9 Кл. Указание. См. задачу 16.18. 16.20. у «2,53 *10® м/с. 16.21. (pi= + ф « 190,5 В. Указание. Воспользоваться законом сохранения энергии. 16.22. Параболу — траекторию тела, движущегося в постоянном и однородном электрическом поле. Приблизится на 299 расстояние х = d\\ - mu^sm^a 2eU к верхней пластине. Если elJ < ос/2, то попадет на верхнюю пластину. 16.23. Увеличится на 50 эВ = 8 • 10“^® Дж. Энергия конденсатора при этом не изменяется. Изменение кинетической энергии электрона происходит за счет его дополнительной потенциальной энергии, которую электрон получил, влетая в конденсатор. Эта потенциальная энергия была, в свою очередь, приобретена за счет начальной кинетической энергии электрона. 16.24. В 2 раза. 16.25. С/= 150 В. Решение. Разложим начальную скорость электрона на две составляющие: — вдоль пластин и l>q^ — перпендикуляр- но пластинам (рис. 205). Очевидно, при движении электрона внутри конденсатора изменяться не будет (в этом направлении силы не действуют); Vy будет изменяться и может стать равной нулю (при соответствующем значении напряженности поля между пластинками) за время полета электрона в конденсаторе. Тогда электрон при выходе из конденсатора будет двигаться со скоростью V = v^ = i;q^, т. е. параллельно пластинам: % = t^oSinot; VQ^ = VQCOsa; Vy = VQy-at; = Vy станет равна нулю при « = = (i^osin a)/t, (1) где t — время движения электрона между пластинами; t = l/v^ = Z/(l>qCOS а). (2) С другой стороны, по второму закону Ньютона а = F/т = еЕ1т = eU/(md), (3) где Е — напряженность поля; е — заряд электрона; U — разность потенциалов между пластинами. Приравняв выражения (1) и (3), предварительно подставив в равенство (1) значение t из равенства (2), получим eU/{md) = (u^sin а cos a)/Z, (4) 300 откуда и = mu^sin 2a*d/(2eZ). Подставив mv^l2 = W в формулу (4), найдем, что U = Wdsin 2a/{el). Расчет ведем, учитывая, что 1 эВ = 1,6 • 10“^^ Дж, а заряд 1500 • 1,6 • 10-19 Дж • 0,5 см _ 1,6-10-19.5см электрона равен 1,6*10 i9 Кл: U = = 150 В. Как видно из решения задачи, значения е и m не понадобились. 16.26. V = 1,33 • 10”^ м/с; tg а ~ 0,88; а — угол между направлениями вектора скорости электрона и плоскостью пластин. Указание. См. задачу 16.26. 16.27. C/g = 2dWjl^ = 400 В. Указание. См. задачу 16.25. При наименьшем значении напряжения электрон, двигаясь по параболической траектории (подобно телу, брошенному горизонтально, в поле силы тяжести), будет попадать в край пластины. 16.28. ^v - {eE)4^/{2m^vl) = 2,5 • 10^ см/с. Указание. Задачу можно решить, воспользовавшись результатами задачи 16.25. Другой способ решения основан на использовании закона со- ту mv хранения энергии: —^—I- ефд = где фд и ф^ — потенци- алы соответствующих точек конденсатора, причем Фо ~ Фх = Ех. Электрон движется в конденсаторе с ускорением а = еЕ/т^ вре- мя f = 1/Vq. Поэтому X = ^-2 • Тогда vf-v^ = -—j—r- Принимая, ^TTIVq что v^-\r Vq~2vq, получаем Av = - Vq~ (eE)4^/(2m^v^). 16.29. i;= 2 gh Указание. Воспользоваться законом сохранения энергии. Потенциальная энергия создается полем тяготения Земли и электрическим полем заряда. 16.30. В первом случае шар поднимается на высоту: Я1 = Я+-^(^-^)>Я. 1 m.g\2r Н) Во втором случае Н2 = Я. Указание. Учесть, что в первом случае во время удара заряды нейтрализуются. 301 16.31. r= 2,5-10 8 см. Указание. Воспользоваться законом сохранения энергии; = е 4л£о''’ 16.32. г = е'^/{nZQTno'^). Решение. Новое в сравнении с предыдущей задачей то, что общий импульс электронов не равен нулю. Поэтому задачу лучше решать в системе отсчета, движущейся со скоростью v/2 в направлении движения электрона. В этой системе отсчета, называемой системой центра инерции, оба электрона движутся навстречу друг другу со скоростью и/2, сумма их импульсов равна нулю. Применяя закон сохранения энергии, можно записать: еф 471£оГ , откуда г = e^/inZQmv^') 16.33. А = 5д2/(12деоГ). Указание. Работа равна разности потенциальных энергий систем. Потенциальная энергия каждой системы находится как сумма работ поочередного перемещения каждого из зарядов из бесконечности для составления соответствующей конфигурации. 16.34. а) = 0; = q/{4KEQr); 6)^2 ^ qa/ Ф2 = q/{4nZQ^r^ + а^). Указание. Условно разобьем кольцо на малые элементы. Суммируя потенциалы, создаваемые отдельными элементами, находим: ф^ = TAq/r = q/r; Ф2 = ILAq/R = q/Jr^~+~a^. Напряженности складываются векторно. Поэтому == 0, а £2 = 'L ^cos а = _ да (д.2 + д2)3/2 ^ направлена вдоль оси (составляющие напряженности поля от элементов, расположенных диаметрально противоположно, в плоскости, перпендикулярной оси, взаимно компенсируют друг друга). 16.35. 1^0 = Jye/{eQm). Решение. Из закона сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергии электрона постоянна. 302 На бесконечности энергия электрона равна нулю. В центре кольца mvl Q€ ^ = о, где q = 2пуг (см. задачу 16.32). Поэтому Vq = Jye/{ZQin). 16.36. Да, несмотря на то что на различных участках поверхности шара В будут находиться разноименные заряды. 16.37. Напряженность поля равна нулю, а потенциал равен потенциалу на поверхности. Указание. Условие статического распределения зарядов требует, чтобы внутри проводника напряженность поля была равна нулю, а у поверхности вектор напряженности был направлен по нормали к ней. Из этого же условия следует, что потенциал внутри проводника в любой точке одинаков и равен потенциалу на поверхности. 16.38. 1. На внутренней и внешней поверхностях сферы возникнут индуцированные заряды, равные соответственно -Q и +Q. Плотность зарядов на внутренней поверхности сферы не одинакова. Она наибольшая в точках, находящихся ближе к заряженному шарику. На внешней поверхности сферы заряды оказываются свободными и поэтому распределены равномерно с плотностью о = = Q/(4lKR^) (R — радиус внешней поверхности сферы). 2. См. рис. 206. Линии напряженности перпендикулярны поверхности сферы, так как сфера представляет собой эквипотенциальную поверхность. Число же линий напряженности вне и внутри сферы должно быть одинаковым. При перемещении шарика напряженность поля вне сферы изменяться не будет. 3. Будет с силой, с которой действовал бы шарик с зарядом -I-Q, помещенный в центре сферы. 4. Заряды на внешней поверхности сферы исчезнут, поле вне сферы отсутствует. Внутри сферы поле останется прежним. 16.39. Е = Qr/{4TZZQR^) при г < R; Е = Q/(4KEQr^) при г > R (рис. 207). Указание. Электрическое поле на расстоянии г от центра сферы создается только зарядами, находящимися внутри сферы радиусом г, так как заряженный внешний сферический слой вну- 303 три себя поле не создает (см. задачу 16.37). Заряд шара радиусом г будет q = Qr^/R^. На своей поверхности он создает поле напряженностью Е = Qr/{4KeoR^). При г > R электрическое поле создается всем зарядом шара и Е = Q/{4neQr^). 16.40. См. рис. 208. Отрезок, проведенный из точки а, — парабола. 16.41. См. рис. 209, а и б. Напряженность поля в зазоре между шаром и слоем, а также вне слоя изменяется ~ 1/г^, внутри металлического слоя она равна нулю, внутри слоя диэлектрика - 1/(ег^). Потенциал поля внутри металла постоянен, в зазоре и вне слоя изменяется - 1/г, внутри слоя диэлектрика ~ 1/(ег). 1 Q + q 16.42. Внешней — 1 (Q + 4т1еп1 R г Ф 4л8о R внутренней — ф = ' J’ 16.43. ^1 = о, (pi = 2400 В; Е^ = 7,5-104В/м, фз = -600 В; £з = -1,67 • 10^ В/м, фз = -1000 В. Указание. См. задачу 16.37. _ _ _ _ / jR J 16.44. Изменится на Аф = ф|^^— 1 Указание. Заряд q = 4деоФ-^1 перетечет с шара на поверхность оболочки. Потенциал внутри заряженной сферы равен Л, Ч _ AkZqR^- Ф R. 16.45.ф'-ф(1-|). 304 Рис. 209 Указание. На внешней сфере индуцируется заряд q' = = -4л:£оФ^1‘ Воспользовавшись результатами задачи 16.42, по- лучаем ф = ф + 16.46. Aq = Q (Г1 + Г2)(ЗГ1 + 2Г2)* Решение. Вначале заряд распределится между шарами пропорционально их радиусам: = Qr^/{r^ Ч- = Qr^/ir.^ Ч- г^. После помещения шара радиусом внутрь заземленной металлической сферы потенциал на его поверхности станет равен (см. задачу 16.45) ф = ^ ~ ^ ^ 6^ ^ • Заряды же перерас- пределяются до выравнивания потенциалов: q\ : q'2 = 3rj/2 : rg == = 3^1 : 2г2, a сумма зарядов остается прежней: q[ + q'2 = Q, отку- 20- 5495 305 да найдем, что q\ = Q* 3г^/(3г^ + Згз). По соединительному проводу пройдет заряд Qr^ л — ' _ — Q М Qi Qi - (3^^ + 2г2) = Q; г, г 1'2 (Г1 + Г2)(ЗГ1 + 2Г2)’ 16.47. ф = Q{R - г)/(4д8оД2) = 225 В. Решение. Заряд Q на внешней сфере создает внутри нее потенциал = Q/(4^eoi?). На заземленном шаре наводится заряд q противоположного знака (благодаря неоднородности поля в месте введения проводника). При этом на внутренней поверхности сферы радиусом R будет находиться часть заряда Q, численно равная q. Потенциал внутренней части сферы фо = ~ г)' сфера заземлена, то фд = О и отсюда q = QrjR. На расстоянии от центра сферы (г <Г1< R) потенциал фз 1 (Q 4яео1Д'л I’ ности сферы при = /? ф = фз = (Q - д)/(471£дЯ) = Q(R - r)/(4TtEoR^). 16.48. £ = О при г < и г > Гд, £ = ^ E = k- - Tj при г, < г < Г3; _ ^3^2 - ~Г при Гз < г < Гд; А = 1/(4яео). Решение. На внутренней и внешней сферах по .индукции наводятся заряды q-^ и q^, противоположные по знаку заряду q на средней сфере (см. предыдуш;ую задачу). Из условия равенства нулю потенциалов внутренней и внешней сфер имеем систему уравнений для определения зарядов q-^ и q^: г, г о 1'3 ^ Решая систему уравнении, находим q, = q-------------—; qo ^2 ^3 ^1 = q ^3^2 - г ^2^3 - . Учитывая, что заряженная сфера внутри себя элект- рического поля не создает, а вне — такое же, как у точечного заряда, равного заряду сферы и помещенного в ее центре, находим напряженность электрического поля на расстоянии г от центра сфер: О < г < Tj, £ = 0; г, < г < Гг,, Е = k-^ = --------; 1 2’ ^2 Г2Г2Г3-Г1’ 306 Г2 < г < Гз,-Б = Г > г^, Е = 0; k = 1/4т1ео. 16.49. А-1,13-10-4 Дж. 16.50. Q-3,3 *10-6 Кл. 16.51.1;= К- 1 qQ 2nEQmR' Указание. Из закона сохранения энергии имеем: mv mvQ Д^к = -^п» ~2-----^ = -9(Ф внутр Фоо); ф=о = о, mvQ mv^ _ 1 qQ 2 4тсео R * ^Ь.52. Е^ = пеЧ/С. Указание. Воспользоваться законом сохранения энергии: Е^ = еф, где ф — запирающая разность потенциалов, равная q/C. 16.53. См. рис. 210. Указание. См. задачу 16.37. 16.54. F _ 1 7^ _ = 2,5-10-4 Н. 4я£о4а2 Указание. Действие проводящей плоскости с ее индуцированными зарядами можно заменить действием точечного заряда, являющегося зеркальным отображением данного заряда в проводящей плоскости. Действительно, плоскость, проходящая посередине между двумя точечными зарядами -\-qvL-q перпендику- X Рис. 210 20* 307 / . \\ Рис. 211 лярно линии, соединяющей эти заряды, является эквипотенциальной. Потенциал ее равен нулю [потенциал каждой из точек равен ф = = ^ -Ь = 0]. Если в этой плоскости будет находиться бесконечная или же заземленная проводящая поверхность, то напряженность поля между зарядами не изменится (рис. 211). Сила же, действующая на заряды, определяется полем. 16.55. ф = (7/(4д8о^)- Указание. Весь объем шара является эквипотенциальной областью, потенциал которой равен потенциалу, создаваемому данным точечным зарядом на расстоянии, равном расстоянию от него до центра шара. Потенциал же, создаваемый индуцированными зарядами, находящимися на поверхности шара, равен нулю, так как сумма индуцированных зарядов равна нулю (это легко показать для центра шара). 17. Электроемкость. Конденсаторы 17.1. Решение. При соединении двух заряженных шаров проволокой будет происходить перемещение зарядов от шара с большим потенциалом к шару с меньшим потенциалом. Перемещение зарядов прекратится, когда потенциалы шаров выравняются. Обозначим заряды шаров и ^2- Тогда потенциал шаров ф = (q^ ^2)/[4tcCq(.^?j|^ ^?2)1* Заряды на inapax после их соеди- нения: q[ = С1Ф = 4kEqR-^(^, q'2 = С2Ф = 471£о-^2Ф (шары достаточно удалены друг от друга). Поверхностные плотности зарядов на шарах: Oj = q\/Si = = еоД1ф/Д|, а'2 ^ ЯУ^2 ^ £о-^2Ф/-^2’ откуда 0[/&2 ^ = О2Я2. Поверхностные плотности зарядов на шарах обратно пропорциональны их радиусам. 17.2. q = {qid.2 ~ g2^i)/(‘^i ^ Кл. Указание. Заряды q\ и q'2 шаров после соединения их проволокой легко находятся из условия равенства потенциалов шаров: Qi + Яг ^ , Яг + Яг ^ 308 По проволоке от первого шара ко второму протечет заряд = = + ^2)- 17.3. г = - lj = 46,6 см. 17.4. (p = /i2/3(p(j. Решение. Обш;ий заряд сохраняется: Q = nq, где Q — заряд образовавшейся капли; q — заряд маленькой капли. Емкость образовавшейся капли пропорциональна ее радиусу, который определяется из соотношения = пг^. Следовательно, потенциал ф = Q/(4:KEqR) = nq/{AnEQr\Jn = где д^/(4лЕоГ) = = 9q — потенциЕш капель до слияния. 17.5. ф = 75 В; Е = 25 В/см. Емкость конденсатора не изменится. Решение. Заряды на обкладках конденсатора индуцируют на сторонах незаряженной пластины заряды, противоположные по знаку и равные друг другу и зарядам на обкладках (рис. 212). Поэтому напряженность поля внутри конденсатора не изменится. Обозначив искомый потенциал через ф, имеем Е = и/d = {U - ф)/(с^ - I) = Ф//, откуда ф = 75 В, а напряженность поля Е = 25 В/см. Заметим, что введение незаряженной тонкой металлической пластины в конденсатор не изменяет распределения потенциала и поля в конденсаторе. Емкость конденсатора не изменится. Образовавшуюся систему можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. 17.6. Е = 50 В/см; ф = 50 В. Заряд увеличится в 2 раза. Решение. Пластины имеют одинаковый потенциал, и ввиду их симметричного расположения он равен 50 В, напряженность поля между ними равна нулю. Напряженность поля в зазорах Е = Uf(df2) = 50 В/см. Заряд на пластинах конденсатора ввиду увеличения напряженности поля также увеличится в 2 раза (конденсатор подключен к источнику). Этот же результат следует из того, что емкость полученного конденсатора возросла вдвое. 17.7. С = 7,4 • 10-10 ф = 740 пФ. ■f - + -f - -ь -ь - + ■f - + + - -f - -ь - -ь - + - + -h - -н - -ь - + + - -h - - -ь -ь - -ь + - -ь + - • -f - -Ь — -ь - + - Рис. 212 309 Указание. Следует рассматривать систему как два параллельно соединенных конденсатора (рис. 213). 17.8. а)С = 2eo£S 2е d(E + 1) 8 + 1 ^0’ ^ 2eoS/d 2Cq. 17.9. = 10~^ Кл; Q2 = 4^-10“® Кл; = б • 10“® Кл. Решение. Конденсаторы С2 и СЗ (см. рис. 63) соединены параллельно. Разности потенциалов между их обкладками равны (обкладки присоединены к одним и тем же точкам): t/g ^ = и^ = и'. Заряд каждого конденсатора пропорционален его емкости: Ч2 ~ ^2^ ’ Я.2 ^ ^3^ • Полный заряд этих двух конденсаторов = ^2 (^2 ^з )U\ откуда U' = (Q2 + Яз)/(С2 + Сд). Конденсатор С1 присоединен последовательно к конденсаторам С2 и СЗ. Благодаря явлению индукции на соединенных между собой обкладках конденсатора С1 и конденсаторов С2 и СЗ заряды равны и противоположны по знаку: = q\ == = 92 + 93- Разность потенциалов между обкладками конденсатора С1 C/j = q-^fC-^. Сумма разностей потенциалов U-^ и U', очевидно, равна ЭДС 6 источника тока. Тогда 92 + 9з ( I . 1 Cl С 2 + ^3 -ь ^2 + С3 310 откуда Ях Чх 1 6Cj(C2 + С3) Cl + с, + С3 Сг + С3 C/i = ^, t/i = 10 В, t/' = 6: -U^,U' 2 В; Я2 ^ ^2’ Яз ^ ^3- 17.10. Конденсаторы С2 и СЗ, соединенные параллельно, подключаются к конденсатору С1 последовательно. Наибольшее напряжение t/^aKc ^ 1200 В, при этом емкость батареи С = 5/6 мкФ. 17.11. t/j = и- 80 В; С/р = и- Cl 40 В. С1 + С2 ----’^2 -С1+С2 Указание. Использовать равенство зарядов на конденсаторах. 17.12. = |с/= 100 В. Решение. Начальные заряды на обкладках конденсаторов одинаковы: Q = CU, где С — емкость конденсатора. Конечные заряды соответственно равны: = 2CU^ и Q2 СС/р Так как конденсаторы были отключены от источника тока, то суммарный заряд не должен измениться: 2CU = 2CU^ + CU^, откуда 17.13. Е. = 3,75 • 104 В/м, и, = 375 В; = 13,125 • 10^ В/м, С/з = 2625 В. Решение. В каждом диэлектрике поле будет однородным, а напряженности полей в них обратно пропорциональны их диэлектрическим проницаемостям: ^\1^2 ~ ^2/^1* Учитывая связь между разностью потенциалов и напряженностью, можно записать E^d^ -Ь ^2^2 ~ (левая часть уравнения (2) представляет собой работу по перенесению единичного заряда через оба диэлектрика, которая по определению равна разности потенциалов). Решая уравнения (1) и (2) совместно, находим: ■^1 ^2 = ^^1’ ^2 ^2^2- 311 17.14. t/= 150 В; l/' = 50 В. 17.15. a) Cj = 4 мкФ; б) = 36 мкФ. Решение. Суммарный заряд на соединенных обкладках не изменился, а емкость после соединения конденсаторов равна сумме их емкостей. Поэтому: а) Cjt/j + С^2 ^ (^1 + Cg)^/, откуда Cj t/+C/2 и -Uo - с/’ б) Cji/j - Cgt/g = (Cj + Cg)^/, откуда = C2 С, - !/• 17.16. 2е/(1 + е) = 4/3. Указание. Так как заряды последовательно соединенных конденсаторов одинаковы, то разности потенциалов на их обкладках относятся как обратные величины емкостей. 17.17. ?7' = 45В. Указание. Напряженность электрического поля внутри пластинки, а следовательно, и разность потенциалов, приходящаяся на ее толщину, уменьшаются в г раз. 17.18. В 2/(1 +е) раз. Решение. Так как на последовательно соединенных конденсаторах всегда находятся одинаковые заряды, то напряженность Е поля в конденсаторе с диэлектриком (а следовательно, и разность потенциалов между его обкладками) в е раз меньше, чем у воздушного конденсатора. Общее напряжение на конденсаторах не изменяется: + eU^ = 2t/^, где U^uU^ — напряже- ние на конденсаторе до и после заполнения его диэлектриком. Искомое отношение EJE„ = UJU„ - 2/(1 + £) < 1. 17.19. = 5040 В. Решение. Напряжение, приложенное к батарее последовательно соединенных конденсаторов, равно сумме напряжений на конденсаторах: U = U-^ + II2. При этом напряжения распределяются обратно пропорционально емкостям конденсаторов, так как = С.^2 "" 9» где q — заряд одной из обкладок. Отсю- t/i С2 Сх 312 При одинаковом изолирующем слое диэлектрика между обкладками конденсатора большая напряженность поля будет в конденсаторе с меньшей емкостью, и он будет пробит вначале. Пробой произойдет при U-^ = Ed = 1800 В/мм • 2 мм = 3600 В. Cl / Ci\ Тогда искомое напряжение С/^ин ^ ^ J* EqS 17.20. ^ = -;С=-, , . С?2 £2 di/Ei -|- 17.21. = C/i(l + если £/iC, < = {/2(1 + §;). если £/,C, > £/A- 17.22. Увеличатся в (Cj + Cg + Сз)/(С1 + C2) раз. C4 C2 л ^1^4 ~ ^2^3 17.23. ф^-фв = ^(^ Со -I- Сл Cl + С' — ё (Cl + С2)(Сз + С4) Решение. Сумма падений напряжений на конденсаторах каждой из ветвей цепи равна приложенной ЭДС, а заряды одинаковы: Ui + 1/2 = В, = С.^2^ С/д + t/4 = В, Cgi/g = С Решая каждую пару этих уравнений, находим ВС 2 _ Е ВС^ и, = В 1 1 + С1/С2 Cl + С2 и1/^ = 1 + С3/С4 Со + с А Очевидно, что разность потенциалов между точками Л и В равна CiC4 - С2С3 (РА-^в = ^4-и2 = иг-и^ = В (Cl + Сз)(Сз + С4)‘ 7.24. фд-ф^ BiCi В2С2 Cl + С2 Решение. За нулевой потенциал примем потенциал точки О; так же как в предыдущей задаче, + U2 = Bi + B2I = = CgC/g» откуда C/j = (Bi + B2)C2/(Ci + Cg). Разность потенциалов между точками В и А равна -U^ = (^>iCi - ^2^'2)/(^1 ^2)* 17.25. = с. Указание. Конденсатор Cq подсоединен к точкам, разность потенциалов между которыми равна нулю. 17.26. Увеличится в (е + 1)/е = 1,5 раза. 313 Указание. Рассмотреть как систему трех плоских конденсаторов, соединенных по схеме, показанной на рис. 214. 17.27. Сп/2. Решение. Нарисуем сначала схему для случая четырех точек (рис. 215, а). Определим емкость между точками 1 и 2. В силу симметрии точки 3 и 4, очевидно, имеют одинаковый потенциал. Такой же потенциал имеет и любая другая точка. Поэтому заряженными будут только те конденсаторы, которые подключены одной из обкладок к точке 1 или 2. Поэтому цепь с п точками эквивалентна цепочке, изображенной на С Сп рис. 215, б. Емкость такой цепи равна: = -^(п - 2) + С = . 17.28. и^ = 2 кВ; t/g = 3 кВ; U^ = 6 кВ. 17.29. ^1 = ^4 = иС/3; Я2 = Яъ = Яъ = Я& = Яа/^^ ^ UC/b. Указание. Емкость батареи 2С; U^ = = 2U2 = 21/3 = 2U^ = 6* 17.30. и, Рис. 214 = 2U fb 2 В. Указание. Напряжение между точками f и Ь (рис. 216), очевидно, равно половине напряжения между точками dub: и-у = ^l2^ab' Действительно, между точками f и Ь включена емкость 2С^ = 10 мкФ, в 2 раза большая емкости между точками d и Ь. Половина напряжения падает между точками d и f, а половина — между точками f и Ь. Преобразовав схему так, как показано а) Рис. 215 оЗ С б) " п 314 о II f II 7 ' II d а и с чи С2 О II С2 : 11 ( С2 II С2 С2 ПГ С2 С2 г— => —1 г- ^ —1 Г-^ —1 О С1 ~С1 С1 С1 ^ 1—о о С1 С1 С1 ^ о О ' С1 С1 ^ О Cl Рис. 216 на рисунке, увидим, что \ u„,. Поэтому — 17.31. F = CC/2/(2d). Решение. Каждая из пластин конденсатора находится в однородном электрическом поле, создаваемом другой пластиной, напряженность Е' которого равна половине напряженности Е поля внутри конденсатора. Е и Поэтому искомая сила F = QE' "" ^2 "" СС/2 = -2J. где Q - заряд на пластине. 17.32. и' = Sqd/(2EQS). Решение. Известно, что напряженность электрического поля внутри плоского конденсатора Е = U/d = q/(Cd) = q/(£QS), где и — разность потенциалов между пластинами; С — емкость конденсатора. Это поле создается обеими заряженными пластинами, векторы напряженности которых внутри конденсатора направлены в одну сторону и, следовательно, их модули равны Е/2. Поэтому напряженность поля, создаваемого пластиной с зарядом q и площадью S, будет Е\ = q/{2EQS). В нашем случае в пространстве между пластинами векторы напряженности направлены в противоположные стороны. Суммарная напряженность по-4д д _ Зд ля Е' = 2enS 17.33. А = 2е S 2eS* разность потенциалов и' = E'd = 3gd/(2eoS). Q2Ci - Cz 2 CjC2 Решение. Способ 1. Сила взаимодействия между пластинами F = Q^/{2Cd)y где С — емкость конденсатора; d — расстояние между пластинами (см. задачу 17.31). При раздвижении пластин изолированного конденсатора (Q = const) F не меняется, так 315 как С обратно пропорционально d, поэтому А = 2Cjd (С^2 ^^i)* Cl А = ^2 - = 2С, Q2 /Cl \ Используя, что С1/С2 = получаем А = ( с—^ 2CiC2^^i ~ ^2^' Способ 2. Работа, совершаемая при раздвижении пластин конденсатора, увеличивает энергию электрического поля между пластинами, т. е. энергию конденсатора. Поэтому произведенная работа равна разности энергий конденсатора: ^ ^ _ Q^Ci -С2 2Ci 2 С1С2 ■ 17.34. 1. Заряд не изменяется, U = q/C уменьшается, Е = U/d уменьшается, W = q^!{2C) уменьшается. 2. Разность потенциалов и' не изменяется, q = U'C увеличивается, Е ^ U'/d не изменяется, W = C{IJ'Y 12 увеличивается. 17.35. P = CL^2n/(2i). Указание. Воспользоваться формулой для энергии заряженного конденсатора W = CU‘^/2. 17.36. Работа затрачивается на перемеш;ение зарядов против ЭДС. Аккумулятор заряжается за счет этой работы и энергии конденсатора, которая при раздвижении пластин уменьшается. 17.37. AW -- ■■ ■ — 2(i?i +Я2) 17.38. Q = Си^14. После соединения проводником конденсаторов разность потенциалов между их обкладками равна U/2. Из закона сохранения энергии следует, что = 2------^----^ где Q — количество теплоты, выделившееся в проводах, и энергия излучения электромагнитных волн, откуда Q = CU^/4, как мы видим, не зависит от сопротивления проводов. При изменении сопротивления проводников изменяется время, через которое в системе устанавливается равновесие, следовательно, изменяется часть энергии излучения электромагнитных волн. 17.39. В первом случае Q = V3 во втором — Q = 2Cf^. Указание. Так как энергия конденсаторов остается без изменения, то количество теплоты Q, выделившееся в цепях, равно работе источника тока, т. е. произведению заряда, прошедшего через источник тока, на его ЭДС. 316 17.40. с 4т1еоег 1 + г(е- 1)/Д • Решение. Способ 1. Емкость определяется отношением заряда, сообщенного проводнику, к изменению его потенциала: С = д/ф. Потенциал на поверхности шара с зарядом q, окруженного диэлектрическим слоем, численно равен сумме работ по перенесению единичного заряда из бесконечности до поверхности диэлектрика и с поверхности диэлектрика до поверхности ша- 1 С=^- = м ^-2. _ -^11 ( ^£Г esJJ’ ^0 4Л£о£Г Ф 111 , чч гг гВ ^ Примечание. Потенциал на внешней поверхности диэлектрического слоя равен д/(4ти£о^) (потенциал не испытывает скачка на границе диэлектриков). Разность потенциалов между внешней и внутренней эквипотенциальными поверхностями диэлектрического слоя равна — 4л£о \г R) Способ 2. Потенциал в любой точке вне диэлектрика ф - д/х^ внутри диэлектрика Фх ~ ^ ^ (коэффициент пропорциональ- ности равен 1/(4тсео), на границе диэлектрика, когда д: = i?, ф = ф^; ^ + С, откуда С = % ^—-. Отсюда потенциал в диэлектрике R в любой точке равен ф = ^ поверхности (д: = г) ф = В^{гг~ * Разделив q на ф, найдем С. 18. Сила тока. Закон Ома для участка цепи £oS^(E - 1) 18.1. g = (Cj - Cg)^ = —^ = 7,2 • 10-10 кл. 18.2. 7-3,3* 10-7A. Решение. За время t = ajv в цепи протекает заряд Q ,£о(е - 1)а2 = Доз - С,) = в- , где а — длина обкладки конденсато- Q го(г - 1)аёи ра. Поэтому сила тока равна I = — =---^----3,3*10 ^ А. 317 18.3. Е = 4к^п^тг(е; Аф = фо - (Рд = = mco2dV(8e) « 2,8 • 10“^^ В. Решение. На расстоянии г от оси цилиндра напряженность Е поля должна быть такой, чтобы сила еЕ, действующая на электрон, сообщала ему центростремительное ускорение. Отсюда Е = пшу^/е, а вектор напряженности направлен радиально. Графически зависимость Е{г) изображена на рис. 217. Искомая разность потенциалов равна работе, которую нужно совершить при переносе единичного заряда от периферии к оси цилиндра, т. е. равна площади заштрихо- . то)21)2 n'^n^D^m ванного треугольника: Аф = —^^ 18.4. Я = pd/S = pEqE/C. Указание. Отношение d/S находим из формулы емкости: С - £Q£S/d. 18.5. V ~ 8,2 • Ю м/с. Указание. Плотность тока j = nev, где п = рЛ/^д/А — плотность электронов в меди. 18.6. а) Удвоится; б) станет вдвое меньше; в) не изменится. Решение. Электроны в проводнике находятся в поле напряженностью Е = иЦ. Поэтому на каждый из них действует сила F = Ее = eU/l, сообщая ускорение а = Е/т = eUI(ml). Если время свободного пробега (т. е. пробега между неупругими столкновениями с колеблющимися ионами решетки) электрона обозначить т, то максимальная скорость электрона У„акс = eUx/{ml). Средняя скорость электрона равна ^ eUxf(2ml). Из этой формулы сразу же следуют ответы на задачу. 18.7. 57,3 Ом. 18.8. и = jpndn = 6,4 В. Решение. Плотность тока j = I/S, где / — сила тока в проводнике; S — площадь его поперечного сечения. Тогда и = IR = Ipndn/S = jpndn. U2/I2 - U,/I, 18.9. и 18.10. = 1/44. 2650 °C. 318 R. 6) Рис. 218 Указание. Общее сопротивление стержней R^ при температуре t определяется формулой ~ ^ Otjf) + ^2^) ~ (-^01 -^02) (-^02^2 ^ где /?01 "" Pi^i/’S и Rq2 = Рг^г/*^ — сопротивление стержней при о °С. Сопротивление цепи не зависит от температуры, если i?o2*^2 + i?oiCti = о» откуда получаем IJI2 = ~ot2P2/^iPi ^ 1/44. AD Г 18.11. R - 20,16 Ом; ^ —т - 0,008. R 1г/и - 1 Указание. Сила тока, идущего через сопротивление, и = 1-и, = 1--. 18.12. По первой схеме г = и . Эта схема выгодна для / - и/г^ измерения малых сопротивлений. По второй схеме г^ = U/I - гj^. Эта схема выгодна для измерения больших сопротивлений. 18.13.Решение. Достаточно сделать два измерения (рис. 218). Первое (рис. 218, а) позволяет измерить внутреннее сопротивление вольтметра Ry = IJ а второе (рис. 218, б) — ^2 неизвестное сопротивление R^ = 7-,, . до и о / дХлг 19. Последовательное и параллельное соединения проводников 19.1. = 48 В; U2 = 24 В; = 16 В; = 12 В. Указание. Падение напряжения распределяется прямо пропорционально сопротивлениям и, следовательно, обратно пропорционально их сечениям: U^:U2:U^:U^ = l/S^ : l/Sg : I/S3 : I/S4. 319 cHZZHZZD-CZK О-н >Д/4 IZK 4Д >3R/4 >-CZH H4ZZH) =>4i?/3 О-Ч. MZZM О-Hi 'Ч---Н-----Мз =>5i?/2 —I I—С >3i?/5 =>2Д/5 =>Д '-dZh^ =>5Д/3 Рис. 219 19.2. Щ = 10 Ом; i?2 30 Ом. 19.3. В 4 раза. Указание. Воспользовавшись формулами для сопротивлений последовательно и параллельно соединенных проводников сопротивлениями Лиг, получить уравнение для их отношения X = R/r. 19.4. В раз. 19.5. На ^/л частей. 19.6. К точкам, делящим кольцо в отношении (5 - Vl5)/(5 + + 75). Указание. «Проволочные дуги», на которые делится кольцо, соединены параллельно. 19.7. 4i?; 2,5Л; ^ R; R; Возможные схе- 4 о о 4 о о мы, имеющие различные эквивалентные сопротивления, изображены на рис. 219. 19.8. Четыре сопротивления, кото- рые следует включить по схеме, изображенной на рис. 220. Рис. 220 320 19.9. Й1 - г; Rj = '~*^д = я) (рис. 221). i?3 rR r + R R 1 + R/r 19.10. = 20 Om; i?2 == 60 0m; i?3 = 40 Om. Решение. В первом случае падение напряжения на сопротивлении R2 равно U2 = U^-U^ = ^0'B. Это означает, что i?2 = U2/I2 "" 60 Ом. Так как через сопротивление R3 в первом случае идет ток такой же силы, что и через сопротивление R2, то i?3 = и2/12 ^ ^0 Ом. Если на выход цепи подано напряжение С/д, то падение напряжения на сопротивлении R2 равно 11^ = U\ = 45 В. При этом U'2lU\ = i?2/-Ri- Отсюда R^ = R,^\l\J'2 = 20 Ом. 19.11. Установить движок реостата R1 посередине, затем установить силу тока в цепи по реостату R2 и подправить ее реостатом R1. Эта схема удобна тем, что изменение сопротивления реостата R1 мало влияет на сопротивление цепи и поэтому мало влияет на силу тока в цепи. Это-то и позволяет установить ее более точно. 19.12. R2R^/{,Ri + i?2 -^з)» ^2~ ^ ^2 ^ -^з)» ^3 ~ = 7?2-^i/(-^1 -^2 -^з)* Решение. В схеме «звезды» сопротивление между точками 1 и 2 равно Tj + Г2, а в схеме «треугольника» — + i?2)/(-^i -^2 ^ -^з)* Эти сопротивления должны быть оди- наковыми: гJ Ч- Г2 = R^iRi + i?2)/(^i ^2 -^з)* Приравнивая аналогично сопротивления между точками 2 и 3, 1 и 3, получаем уравнения Ti Ч- Г3 = J?2(-^i -^з)/(^1 ^2 ^ -^з)‘ Складывая эти уравнения, получаем Ч- Г2 Ч- Г3 = R^R2 Ч* R-^R^ Ч- /?2-^з/(-^1 1^2 -^з)” Вычитая из последнего уравнения последовательно одно из трех предыдущих, находим Г3, и Г2. 21-5495 3 21 5а) 3r/2 r/3 + r/6 + r/3 yf i\^f 5r/6 56) r/2 У —Z7 g h 1 X 7r/12 4a) => 0,8r 3r/4 19.13. a) Д = Рис. 222 (a + b)d r, ci(a + b){b + d) + abd a+b + 2d''»’ “ (a + b)(a + b+2d) ''o’ G? = л/о2+^ . 19.14. Сила тока //2, //4, //8,1/16, //2”. Указание. Сопротивление между точкой А и любой другой точкой равно г. 19.15. 1) |г; 2) ^г; 3) ^; 4) (а) 0,8г, (б) г; 5) (а) |г, (б) ^ г, (в) j г. Указание. Точки, имеющие одинаковые потенциалы, можно соединять или разделять, не изменяя силу тока в участках цепи, т. е. не изменяя сопротивления всей цепи. Так как точки, одинаково обозначенные на рис. 222, имеют одинаковые потенциалы, то левые и правые схемы имеют одинаковые сопротивления. 19.16. Д= 13г/7. Указание. См. задачу 19.15 и рис. 223. 322 19.17. Уменьшилось в 9 раз. Указание. Получилась цепь из трех параллельно соединенных проводников. к X X ^ )( )( у ^ lSr/7 19.18. Я = 2г/тг. Решение. На рис. 224, а изображена цепь для случая п = = 4. Точки 3 и 4, очевидно, имеют одинаковые потенциалы. Такой же потенциал имеет и любая другая точка, подключенная ко всем остальным. Поэтому ток будет проходить только через сопротивления, подключенные к точкам 1 и 2. Данная цепь эквивалентна цепи, изображенной на рис. 224, б, в которой одна ветвь имеет сопротивление г и п — 2 ветви — сопротивления 2г. Сопротивление такой цепи равно 2г/п. 19.19. Д = г(1 + 73). Решение. Отделив первое звено, мы получим ту же цепь, Rr сопротивление которой обозначим R. Поэтому R = 2г+ „ , , от- Jrl "Г г куда Я = г(1 + 73). 19.20.А. Указание. Так как сопротивление амперметра пренебрежимо мало, то сопротивление цепи равно 7,5 Ом (нарисуйте схему, накоротко замкнув амперметр) и через источник идет ток силой /о = 1 А. Через сопротивление R2 идет половина этого тока 1 I J Рис. 224 323 ^/2 = ^ А а через сопротивление R4 — половина тока /2 ^/4 = 1 ^ 3 = ^ А 1. Очевидно, что /д + /^ = 1^. Отсюда Ij^ = Iq - 1^ = ^ А. 19.21. 1) /д = с7(4г); 2) /д = 7(7г). 4 Указание. 1. Сопротивление цепи равно ^ г. Поэтому сила тока в неразветвленной части цепи / = 37(4г). Потенциалы точек, к которым подключен амперметр, равны (сопротивлением его пренебрегаем). Поэтому сила тока распределяется между сопротивлениями г и 2г обратно пропорционально их значениям. Легко видеть, что в данной схеме силы токов, проходящих через одинаковые сопротивления, равны. Разность этих сил токов и есть сила тока, идущего через амперметр. 7 2. Сопротивление цепи равно ^ г; сила тока в неразветвленной части цепи I = Qf/{7r). В ветвях первого разветвления силы токов одинаковы и равны 36/(7г). В ветвях второго — соответственно 2f/{lr) и 47(7г). Сила тока, идущего через амперметр, равна f /{7r). 19.22. = 9 кОм; /?2 = 49 кОм; = 249 кОм и Л4 = 499 кОм. Указание. = ^/(7 ^i — соответствующий пре- дел измерения напряжения. 19.23. Возрастет в 4 раза. Указание. Показание вольтметра U = 6ry/{R + + Гу), где Г5 — внутреннее сопротивление батареи; Гу — сопротивление вольтметра; R — переменное сопротивление; f — ЭДС батареи. 19.24. Я = 261 Ом. Указание. Включение шунта уменьшает силу тока через гальванометр в 10 раз. Поэтому если полная сила тока в цепи /, то через гальванометр будет течь ток а через шунт — ток ^7. Падение напряжения на шунте и на гальванометре одинаковы: I 9 ^ г = Yq /Гщ, откуда Гщ == 32,2 Ом. После этого легко найти искомое сопротивление: R = 261 Ом. 19.25. и. и ГзЯ + 2Г| = 99 В; и. = 81 В. 1 + r^R + 2г2 324 19.26. К 10Д(Д^ + R,) + 9Д^Д, R„, + Решение. Общее сопротивление системы R + R,„Rr R^ + R/ Чтобы отклонение стрелки гальванометра не изменилось при увеличении напряжения в п раз (иначе: чтобы увеличить цену деления в п раз), нужно присоединить добавочное сопротивление ^?доб> в (л - 1) раз большее сопротивления системы. По усло- а измененное со- вию задачи л = 10, тогда + д д j, противление К равно: \0R{R^ + R,) + 9R^R, Л' = Ддое + Д;Д'=10К + itm ' 19.27. 105,5 0м. R,„ -Ь R^ Указание. Определив сопротивление амперметра (см. задачу 19.24), можно найти искомое добавочное сопротивление из условия, чтобы общая сила тока в цепи не превышала 2 А. 19.28. Ддд5 =10® Ом (для вольтметра), = 0,1 Ом (для амперметра). 19.29. /г-0,11 Ом. 19.30. На Указание. Показание вольтметра U = S - IR. Сила тока I = = где Ддбщ — общее сопротивление цепи. 19.31. Ry^ = А кОм. 19.32. 1/2 = 15 В. 19.33. = 68,6 В; = 51,4 В; = 175 В. Указание. Общее напряжение делится между вольтметрами пропорционально их сопротивлениям. Падение напряжения на вольтметре с большим сопротивлением не должно превышать 100 В. Ю ОЛ г _ г ^2 + 7^3 г _ Г7 _ г ^1^2 + -^1^3 R2^3 Rn Rn 19.35. 1 1 ^ 5 Uq-U^ti 8' 325 ток силой /9 = V Решение. Обозначим через и сопротивления частей потенциометра (рис. 225) (Г1/Г2 = п = 2/3). Вольтметр показывает падение напряжения на сопротивлении Гр Поэтому t/j = где — сила тока, идуш,его через сопротивление Гр Так как падение напряжения на сопротивлении Tg равно U2 = = C/q - t/p то через это сопротивление идет 2 = (C/q “ Через вольтметр же, очевид- но, идет ток силой /у = /g “ 1 - h' h-h ^ h UJr, = 1 - (Uo-U,)/r2 ^ r,U^-U,' 19.36. 1500 kOm. Указание. Так как г и г i?2, то сопротивлением источника можно вообще при расчетах пренебречь. Если сопротивление вольтметра равно R, то при подключении его к сопротивлению R1, он покажет напряжение R^R R^ + R RiR ё-'. Ro jRj -t- R В TO же время без вольтметра падение напряжения на сопро- L/j - и\ тивлении равно U-^ = ^---р ё. По условию —у-.----------- < 0,05, jflj I -^2 ^ 1 т. е. и[ ^ 0,951/р Подставив сюда U■^^ и t/p получим неравенство R\R ^ л -^1 или R^R -Ь R2R + R >0,95 > 0,95 /?1 -Ь /?2 ’ 1 R^R + i?2-R + R\Rz Ri + R2' Подставив в это неравенство сопротивления R^ и i?2» найдем, что R > 1500 кОм. Аналогичное выражение для R мы получим и для случая, когда измеряется падение напряжения на сопротивлении R2 (для этого в нашем неравенстве нужно R^ заменить на а Я2 — на R^). 19.37. C/v = 50 В. 326 Решение. Способ 1. Напряжение между точками В и С будет тем напряжением, которое покажет вольтметр (рис. 226). Между точками В и С включены параллельно половина сопротивления потенциометра и сопротивление вольтметра: RRy R RRy/2 вс ^ R/2 + “ R + 2R. Общее сопротивление цепи В АС /г RRy ^АВ + ^вс “ 2 R + 2R. R{R 4Ву) 1у 2(В -Ь 2By) Сила тока, протекающего через потенциометр, J _ и _ 2U{R + 2Ву) R^c ^ 4Ву Напряжение между точками В и С: 2С/(В + 2Ву)ВВу 2URy = ^вс = ^^вс = щл + 4Ду)(Д + 2Ву) ^ В -ь 4Ву* Способ 2. Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов, идущих через вольтметр и участок потенциометра, к которому он подключен: С/л С/л ^ By ^ В/2 ,с/ С/у + с/л -I- С/у \R By ' В/2J2 * 19.38. C/i = 20 В. Указание. См. задачу 17.30 и рис. 227: С/ fb п 5 Ом ^ 5 Ом J 5 Ом 10 Ом 10 Ом 10 Ом I___I____I___I 10 Ом —о а с d I нн 1-^ 10 Ом а 5 0м ^ 10 Ом I 10 Ом => 10 Ом Х-Х -о о-------- ь ь Рис. 227 5 Ом 10 Ом I -о о-Ь Ь 5 Ом 327 19.39. а) = («1^2 “ - 2)^ б) «„арал = «i + 'l2“l- Решение. При включении шунта с сопротивлением R, увеличивающего цену деления амперметра с сопротивлением Лд в п раз, через амперметр идет ток силой /д, составляющий 1/п часть полной силы тока Iq в цепи. При этом через шунт идет ток силой I = Iq- “ -^0 ^ ^ ^ ^ Iq. Так как падения напряжения на ампермет- ре и шунте одинаковы, то /дЯд = IR или -/oi?д = п - 1 Ic^R. Отсюда R = Дл. п - 1 Из этой формулы следует, что сопротивление первого шунта R^ = —Дд, а второго — Ro^ —ЗТ ^а- При последовательном Т1 -у L /Z 2 соединении сопротивлений R1 и R2 сопротивление шунта Дпосл ^ = -Ri + Й2 = ( + ф-1 к = Так как - '•'поел то П -^Дд, где «поел — увеличение цены деления амперметра. поел = (^А + ^посл)/^посл = “ 1)/(«1 + ^^2 “ 2)- При параллельном соединении сопротивлений R1 и R2 сопро- 1 тивление R^ /?д. Поэтому при таком парал «i + Zlg включении сопротивлений цена деления амперметра возрастает + Rr в п парал R парал = + ^2 “ 1) раз. 19.40. а) = Hi + Я2 - 1; б) П1П2 - 1 -парал _ 2* Указание. См. задачу 19.38. 19.41. Яркость уменьшается вследствие увеличения падения напряжения на подводящих проводах. Увеличение сопротивления прибора при нагревании уменьшает этот эффект. В момент включения лампового реостата яркость горящих лампочек изменится незначительно, а затем уменьшится. 19.42. Потребляемая первой лампочкой мощность уменьшится на 1,4 Вт; второй — на 2,1 Вт. Указание. После включения электроплитки увеличится падение напряжения на подводящих проводах и на каждой из лампо- 328 120 В r/2 Рис. 228 чек уменьшится напряжение на = / • 2г и AJ/g ^ / • Зг (рис. 228). При этом уменьшится и потребляемая лампочками мощность; изменение ее равно АР = {/2 - (С/- дс/)2 2С/А(7 . Со- Г Г 'л 'л противления лампочки и подводящих проводов г находим по формулам: = U^/P и г = pZ/(2S). Примечание. Падением напряжения на проводах до включения плитки можно пренебречь. 20. Закон Ома для всей цепи. Соединение элементов в батареи 20.1. / = ng/(m + 2Р). Указание. См. задачу 19.18. 20.2. / = 2А. Решение. Из закона Ома для всей цепи определяем сопротивление амперметра Рд: Рд = (^ - 1г)/1. После присоединения шунта к амперметру (рис. 229) сопротивление внешней цепи станет равным Р = РдРщ/(Рд + Рщ). Сила тока в неразветвленной части цепи равна I =^ о R+ г РдР^ + РдГ + R^r' Далее, очевидно, что Рд/д = Рщ/щ и /д = /д + /^, где /д — сила тока в амперметре, /^ — сила тока в шунте. Из этих равенств имеем /д = Рц/о/(^А + -^ш)- Тогда /д = + R^r + R^r). 20.3. 1,42 В. Решение. ЭДС элемента по закону Ома для всей цепи равна сумме падений напряжения во всей цепи. При измерении на- 329 пряжения вольтметром сила тока в цепи равна = U^/R■^^. По- ^ C/i этому 0 = {I + R,), где г — внутреннее сопротивление элемен-«1 та. При замыкании элемента на сопротивление 6 === /2^'' ^2)' Исключая из этих уравнений г, находим ^ “ -^1) 20.4. = U^U^in - l)/{U^n - U^). Указание. Если сопротивление нагрузки R, а внутреннее сопротивление батареи г, то U-^ = I^R = д ^ ^ и i/g ^ /2ЯЛ = ^ пЛ. Исключая из этих уравнений г, находим €. 20.5.7^ 3 = 0,47 А. Решение. Сила тока короткого замыкания равна ^ = Sir, где S — ЭДС элемента иг — его внутреннее сопротивление. По закону Ома для всей цепи = f(r 4- 7?j) и /g = ё/{г 4- R^). Решая эти уравнения совместно относительно г и находим S = 12(^2 Ri) h-h 20.6. r = и г = I2R2 ^\R\ h Поэтому 7j^ j 7\I2iR2 R\) ^2R2 ~ 7iT?! {U 2 [/j)T?ii?2 = 0,5Om. Uii?2 C 2i?i Указание. См. задачу 20.5. 20.7. R = г{2и^ - U^)/{U^ -и^) = 2 Ом. 20.8. Правильно, если вольтметр электростатический. Вольтметры, через которые идет ток, показывают напряжение на себе самом и = 77?у. Если сопротивление вольтметра много больше внутреннего сопротивления источника, то показание вольтметра практически равно ЭДС источника. 20.9. \.и^ = 7,2 В; = 4,8 В. 2. ё = T/'t/gAT/' - U^). Решение. 1. Обозначим сопротивление вольтметра через г, ЭДС батареи — через ё: ё- 0Го ГГ, = 6В;0- 0г, ГГ, = 4 в. г 2 Н----Т---- Г + Г, '■■ + 7Т7; Так как ^ ^Ri Фй ^ р , р . Искомая разность потенциалов I *^2 ^2-^2 ” ^1-^1 С, + С2’ Фа - Фв = ё (С, +C2)(i?i + i?2)’ 20.22. |С6. Указание. Сумма зарядов в точке соединения конденсаторов остается постоянной и равной нулю; 2C{f - ф^.) - ЗСф^; - (ф^. - фд)С = = о, где фд = 6/4 (см. рис. 91). Решая это уравнение относитель- 3 но ф(., находим Фс ^ g Разность потенциалов на обкладках 3 11 конденсатора С равна Фс ~ фд = g^ ~ 4^^ 8^‘ 20.23.Ад= U{C^Ry C2R2) R^ -Ь Т?2 Решение. До замыкания ключа заряды пластин конденсаторов С1 и С2, подключенных к точке А, одинаковы по модулю, противоположны по знаку, так что их обш,ий заряд равен нулю. После з£1мыкания ключа потенцигш точки А станет равным потенциалу точки В, а разности потенциалов на пластинах конден- UR, _ UR., (см. зада- \J jn I саторов будут равны: U-, = ^ -I- 1X2 " чу 20.21). Соответственно заряды конденсаторов станут равными 333 CUR^ CUR, Ry + R^^ ^2 Суммарный заряд пластин, подклю- , U{C.R, - C0R2) ченных к точке А, станет равным а, - = Ао = ---—------. XIт xt2 Этот заряд и прошел через ключ. 20.24. Амперметр А1 уменьшит, а А2 увеличит свои показания (см. рис. 93). Указание. При размыкании ключа сопротивление цепи возрастает, сила тока уменьшается, падение напряжения на сопротивлении уменьшается, а на сопротивлении увеличивается; г^ VI г2 — сопротивления амперметров. 20.25. Я = гп. Решение. По закону Ома для всей цепи I = nf R -Ь ГцД f , откуда R= Гг. R + Гд/п 20.26. С/ = 9,7 В. 20.27. п = 200; 2. Решение. ЭДС батареи пв, ее внутреннее сопротивление rnim. Поэтому (по закону Ома) сила тока в цепи I nf пг/т + R птё пг + mR nr + mR . Это выражение максимально, когда обратное выра- жение пт Г R = — + - минимально. Но среднее арифметиче- ское двух чисел больше или равно среднему геометрическому: 7* JR - - -- — + - > ^ равно числу элементов и JrR/{mn) посто- Г R янно. Поэтому последнее выражение минимально при “ т. е. при гп = Rm. 20.28. = 1’35 Ом. Указание. Приложенное напряжение равно сумме ЭДС батареи (которая в данном случае является противо-ЭДС) и падения напряжения на сопротивлении всей цепи U = ёп + 1(гп + + -^доб)- 20.29. 6 = 4,1 В; г = 0,05 Ом. 334 Решение. Так же как и в задаче 20.29, 1/2 = 6 + /2^-разрядке по закону Ома для всей цепи = € - 1г. Решая эти уравнения совместно, находим: и2 ~ иI U1I2 + U2I1 г = 6 II + I2 ’ /1 + I2 20.30. - 5,24 А; /3 = 1,59 А; /3 = 3,65 А. Решение. Напряжения на зажимах динамо-машины, аккумулятора и лампочки равны между собой: ~ = ^2 + ^2^2 = I^R (см. задачу 20.28), где 7^, I2, I3 — сила тока через динамо-машину, аккумулятор и лампочку соответственно. Кроме того, 7^ = 7g + 7з. Получили полную систему уравнений для токов, из которых находим 7^, 7з, 7д. 20.31. 6i ~ 5,2 В; 62 ~ 7,6 В; = 1,2 Ом; Гз = 1,8 Ом. 20.32. При R = - Tg, на элементе с внутренним сопротив- лением Tj должно быть больше г2. 20.33. - < + R' Указание. Условие выполняется, если + ^2 < + ^2 ' Tj -Ь /? * 20.34. 1. Будет равна нулю. 2. Разность потенциалов между проводами через нечетное число элементов равна ЭДС одного элемента, через четное — нулю. Решение. 1. По закону Ома сила тока в цепи /=- = -. пг г Если участок между выбранными точками содержит т элементов, то искомое напряжение U = тё - тг1 = тё ~ гпё = 0. 20.35. Если в цепи имеется еще одна батарея с большей ЭДС, включенная навстречу первой. 20.36. 7 = 0,75 А; С/ = 0; t/i = 0,75 В; t/g = -0,75 В. Указание. См. задачу 20.34. 20.37. с/- Указание. Если > 6^2» напряжение на зажимах элементов и = ё-^ - 1Г = 62 + 1Г. 20.38. 2 3' 335 в Рис. 232 Решение. Рассмотрим участки цепи и (рис. 231). Если внутри участка цепи включен источник с ЭДС, равной в, то сила тока на этом участке определяется совместным действием ЭДС и разности потенциалов, приложенной к концам участка. Обозначим силу тока в цепи через /. По условию 62 > Si, тогда на участке ток идет в направлении, противоположном действию (^'1. Закон Ома для участка AfjB запишется так: Iri = U- Si. (1) На участке AS2В ток идет в направлении ЭДС, и падение напряжения на внутреннем сопротивлении равно разности ЭДС и напряжения: Ir^ = S2-U. (2) Разделив выражение (1) на равенство (2), получим ^ ^ и-Si Г2 S2-U' 20.39. С/= 1,5В;/-2А. Решение. Способ 1. См. задачи 20.37 и 20.38. Способ 2. Общая ЭДС, действующая в цепи, равна S2 ~ ^i> сопротивление цепи + Г2. Поэтому по закону Ома сила тока в '■2 - ^'1 цепи равна / = —-—, а напряжение на зажимах батареи и = /Г2 = S\r2 + (^2^1 Г, + Го 20.40. /2 = — = 0,5 А; /о - /1 + /2 = 1,5 А; В = | Ом. 20.41. Ii - 1,05 А; = 0,87 А; С/ = 1,8 В. 336 Указание. С/ = 17 = ^2 + /2^2’ ^ -^i ^ -^2 "*■ ^з (рис. 232), где U — напряжение на внешней цепи или разность потенциалов на зажимах элементов. 20.42. 0,9%. 20.43. 2,7%. 21. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока v^R. d^{d - а)2 Решение. Пусть металлическая пластина вдвинута на расстояние X внутрь конденсатора. Тогда, разбивая конденсатор на I £qм,х = -Р--Р™„л = Я/-ЯЛ-/(С/-/Л). (1) Чтобы определить нужно найти сопротивление цепи электродвигателя. Это можно сделать, исходя из условия, что при полном затормаживании якоря напряжение, приложенное к двигателю, равно произведению силы тока на сопротивление (в этом случае не возникает противо-ЭДС индукции): U = IqR, откуда R = и/Iq. Подставляем полученное выражение в формулу (1): 21.34.Л = Ло(^ + 1 Указание. См. задачу 21.23. 342 21.35. 8 или 2 Ом. Указание. См. задачу 21.17. 21.36. S - = 8,5 • 10-6 j^2 = 8,5 мм2. и^п 21.37. С/= 4250 В. Указание. Передаваемая мощность равна Р = UI = UjS (S — площадь поперечного сечения проводов), а потери в линии 01 40 13 100 + п 21.38. В ^ раз. Решение. Искомое отношение напряжений равно Ui+I^r’ ' ' где t/g’ ^1’ ^2’ — соответственно напряжение и сила тока на нагрузке; г — сопротивление линии. 7|г 1 По условию задачи = 77^ откуда i jT lUU 2 10’ (2) I^r = AU = nU^, IjC/j =/gC/g (условие равенства мощностей на нагрузке). Подставляя в выражение (1) значения C/g, /g и (выраженные через и^) из соотношений (2), (3) и (4), получаем ответ. 21.39. а) mj ~ 28 • 10^ кг; б) mg = 3,11 • 10^ кг. Решение. Сопротивление проводов, необходимое для определения площади поперечного сечения, находится из условия, что потери на нагревание составляют 3% передаваемой мощности: /2г = 0,03Р, мощность же Р = UI, откуда г = 0,03 С/2 ADol^P Сначала находим S, а затем и массу т = 2p^lS = - 03^2 • 21.40. 1,02 Ом. Решение. Разность потенциалов на клеммах двигателя равна разности ЭДС батареи и падения напряжения на подводящих проводах и = 1г. 343 Примечание. Эта разность потенциалов, в свою очередь, равна сумме ЭДС индукции, возникающей при вращении якоря двигателя (противо-ЭДС), и потери напряжения на сопротивлении обмотки якоря. Противо-ЭДС при нагрузке меньше, чем при холостом ходе вследствие уменьшения числа оборотов. Таким образом, U^ = S-I^r, и^ = ё-1,г, по условию = 10 = 0,8 U^, /„ = 5 A, где L/„, U^, — соответственно разность потенциалов и сила тока при нагрузке и при работе вхолостую. Решая эти уравнения, легко найти г. 21.41. ~ 10 м/с; V2~ 5 м/с. Указание. В первом случае UI{(\ = kmgv^. Во втором — = = mg‘i;2(sin а + kcos а), где sin а = 0,03 (уклон). 21.42.7= ^ -30 А. I VpPoT: Указание. Воспользоваться соотношениями: I^Rz = cmAt, 7? = и m = p^lS. 21.43. п = = 133. 4pDc^mAt 21.44. т п^РоСАШ'^ - 16 с. 21.45. Д^ = - 21.46. т 16ар//2 -0,20 °С. 240р72/ сро - 2,4 кг/мин. nc{D^ - d^){t2 - ti) 21.47. а) 2 Дж; 2 Дж; б) 2 Дж; 0,7 Дж; в) -2 Дж; 0,6 Дж. Решение. Полная работа электрических сил А = Ult, где и — в общем случае разность потенциалов. Количество же выделяемой теплоты Q = I^Rt. Случай а) очевидный. Случай 6): А = Ult = 2 Дж. Чтобы найти Q, определим г (г — внутреннее сопротивление аккумулятора). По закону Ома, записанному для данного случая, I^R ^ U^ - (ток идет против ЭДС), откуда Q = S^)t = 0,7 Дж. Случай в): работу совершает ЭДС аккумулятора. Работа элект-рр1ческих сил на внутренней части цепи отрицательная: А = = -U2l2^ ^ Дж (ток идет от меньшего потенциала к большему). 344 к 1 г 1 сГ о ^2-^2 Количество теплоты Q = 7|Rt, где R = —j---. Таким образом, •'2 Q = 12(62 - ^2)^ = Дж. 21.48. : Qg • ^3 ^ 1 ’ 2 : 4 (рис. 238). 21.49. 1) = 45 мин; 2) = 10 мин. Решение. Обозначив через и rg — сопротивления обмоток, а через U — напряжение сети, можно, согласно условию, записать: С/2 С/2 -•i '•2 ‘2 г, rg ^2 1/2 Г, + Г, С/2 1'2 Из этих равенств непосредственно следует — = — и, восполь- ^2 ^2 зовавшись производными пропорциями, легко получить, что ^посл ^1 ^2’ ^ парал +1, 21.50. г =121 Ом. Решение. Сопротивление R нагревателей чайников определяется из соотношения R = U^IP. Если на сопротивлениях 2R (при последовательном соединении чайников) и R/2 (при параллельном их включении) выделяется одна и та же тепловая мощность, то г2 = 272^ = 7?2 (см. задачу 21.23). 21.51. А^2 = 256 °С. Решение. Обозначив через Qj и Qg соответственно количество теплоты, выделившееся в электрической плитке в двух случаях, указанных в задаче, можно согласно условию записать: ^2^ Q2 ^A^g. 345 t/2 ( и Так как = -^т и Qg = I 1 то (Я + Г)2 Я2 A^l —, откуда Д^2= М, R 'lU + r, 21.52. 1/8. Решение. Так как проводники включены последовательно, то сила тока через них одинакова. Но площадь сечения одного из проводников в 4 раза больше площади сечения другого, поэтому сопротивление единицы длины этого проводника в 4 раза меньше, чем у второго проводника, и в нем выделяется в 4 раза меньшее количество теплоты, чем во втором проводнике: Q1/Q2 = 1/4. С другой стороны, так как при тепловом равновесии количество теплоты, выделяющееся в проводнике, должно быть равно количеству теплоты, отдаваемому окружающей среде, то = = а(^1 - to)'S'i и Q2 ^ ~ и ^2 — температуры про- водников, — температура воздуха, а — коэффициент пропорциональности, Sj и S2 — площади поверхности единицы длины проводников. Поэтому то Учитывая, что ^ *^2 1 " 8’ 21.53. Д^2 = 66,7 °С. Указание. Ato = At (^l ^o)'8i (^2 “ ^о)^2 2, получаем 1 4* ^2 ^0 g. Так как ^ ^ R1R2 HRi + Rzf (см. задачу 21.51). РА и 21.54. Д[/ = -^7+ 1/2 + —^ = 0,05 В. ” V U^el„ Решение. При установившемся режиме на нити будет расходоваться дополнительная энергия, необходимая на совершение работы выхода эмиссированных электронов (для упрощения задачи кинетическую энергию, уносимую электронами при их вылете, не учитываем, хотя она составляет примерно 2%). Если I — сила эмиссионного тока, то за секунду вылетает 7/е электронов, а поэтому дополнительная энергия, которая долж- 346 на подводиться к нити в секунду, равна где та выхода. Таким образом, рабо- (С/„ - А17)2 , I . + -А. R R вых* Силу тока I можно найти из соотношения Р = а сопротивления ние R — из начЕшьного условия Я = у-. Подставляя I и Кв урав- •* н нение, записанное выше, и делая соответствующие преобразова- РА и ния, получаем ДС/^ + 2U^AU---^ откуда AU = + + С/2 + 22. Ток в жидкостях и газах 22.1. тн = 1,66 • 10-27 кг; е = 1,6 • IQ-iQ Кл. Решение. Масса иона водорода — масса атома водорода 1 ♦ 10~2 равна —— кг/моль = 1,66 • 1Q-27 кг. ^ А Объединенная формула законов электролиза т = “ (А — атомная масса, п — валентность данного вещества, q — протекший заряд и F = 9,65 • 10^ Кл/моль — постоянная Фарадея). Число F равно заряду, который нужно пропустить через электролит, чтобы выделить на электроде 1 моль одновалентного вещества; 1 моль любого вещества содержит Nр^/п атомов, следовательно, Nj^/n ионов переносит заряд, численно равный F. На долю каждого одновалентного иона приходится заряд F/Np^ = = 1,6-10-19 Кл. 22.2. т ~ 4,3 мг. 22.3. h = = 1,55 • 10-5 = 15,5 мкм. п F SD 22.4. /= 177 A;F= 1867 см^. Указание. Сш. задачу 22.1. Объем можно определить, воспользовавшись уравнением Клапейрона—Менделеева. 22.5. А-37кВт-ч. 347 Решение. Электрическая энергия, расходуемая при электролизе на получение 1 кг алюминия, равна A = qU~, ^ П (1) где q — заряд, при пропускании которого через электролит выделяется 1 кг алюминия, U — напряжение, при котором ведется электролиз, г\ — КПД установки. Заряд q может быть найдено из объединенной формулы первого и второго законов Фарадея: {А' — атомная масса). т = —т, (А — атомная масса). (2) Найдя q из уравнения (2) и подставив его в уравнение (1), получим FmnU А- А'П 22.6. t = 1277 °С. Указание. Воспользоваться формулой объединенного закона электролиза и уравнением Клапейрона—Менделеева. 22.7.1;= /?^^= 1,92-106 м/с. 22.8. и el Решение. Если разность потенциалов между электродами и, то напряженность поля в пространстве между ними Е = U/d. На электрон в этом поле действует сила F = Ее = Ue/d. Так как электрон между столкновениями движется равноускоренно, полностью теряя скорость при столкновении, то работа силы F на пути IA = FI = Uel/d идет на увеличение кинетической энергии электрона. Эту энергию электрон передает атому неона при W^d столкновении. Поэтому Uel/d = W^. Отсюда U = 22.9. Раскаленный угольный стержень испускает электроны. Электроны идут в течение одного полупериода с угля на металл. 22.10. Острие к отрицательному полюсу батареи, диск — к положительному. Указание. См. задачу 16.25. 348 23. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция 23.1. Прикоснуться концом одного стержня к середине другого (расположив их в виде буквы Т). 23.2. Будет, так как движение положительных ионов решетки создаст такое же магнитное поле, как и движение электронов в покояш;ейся проволоке. 23.3. Вектор магнитной индукции направлен под углом 45° к плоскостям обручей. Направление токов в обмотках определяет, в каком квадранте расположен вектор магнитной индукции. Указание. Вектор индукции магнитного поля, создаваемого в центре кругового тока, направлен перпендикулярно плоскости тока в сторону, определяемую правилом буравчика. 23.4. Указание. Индукция магнитного поля, создаваемого током, пропорциональна произведению силы тока на длину участка проводника. 23.5. Указание. См. указание к задаче 23.4. 23.6. 1. Горизонтально к востоку, так как вектор индукции магнитного поля имеет вертикальную составляющую, направленную вниз. 2. Вверх и на север. 23.7. При таком расположении на виток с током действуют растягивающие силы (магнитное поле тока совпадает с внешним) и равновесие будет устойчивым. 23.8. Уменьшится. Указание. Поле сосредоточится в сердечнике. 23.9. Благодаря притяжению колец пружины она сожмется, размыкая цепь, затем распрямится, опять сожмется и т. д., т. е. будет совершать колебания. 23.10. /«9,8 А. 23.11. В «6,6-10 2 Тл. 23.12. Указание. Заменим проволоку другой, состоящей из ряда ступенек (рис. 239). Сила, действующая на участок А/ проволоки в магнитном поле, равна АН В. Складывая силы, действующие на все участки, параллельные 00\ находим, что на 349 «ступенчатую» проволоку действует сила F = IBI перпендикулярно ОО'. Силы, действующие на участки, перпендикулярные ОО', компенсируют друг друга. 23.13. о = IBd/(2S) = 105 Па. Указание. Мысленно разрежем кольцо на два полукольца. Тогда, согласно указанию к задаче 23.12, на каждое из полуколец будет действовать сила F, растягивающая или сводящая их друг к другу (в зависимости от направления тока), равная F = IBd, а механическое напряжение о = F/(2S); а = IBd/(2S) = 105 Па. 23.14. tga = Bll/img) - 1, а - 45°. 23.15. В проводниках объемный электрический заряд равен нулю, поэтому проявляются только магнитные силы — силы взаимодействия между движущимися зарядами. В катодных пучках преобладают силы отталкивания между одноименными зарядами. 23.16. По окружности. Модуль скорости не изменяется. Указание. Сила, действующая на электрон, перпендикулярна его скорости и не совершает работы. 23.17. R = mvsin а/(еВ); А = 0. Электрон движется по винтовой траектории. Указание. Сила Лоренца, действующая на движущийся в магнитном поле электрон, перпендикулярна скорости электрона и сообщает ему центростремительное ускорение. Поэтому mvf mv^ ev^B = откуда R = = L?sin a — составляющая скорос- ти, перпендикулярная вектору В). Совершаемая работа равна нулю, так как сила все время перпендикулярна перемещению электрона. В1^ 23.18. К востоку; а ~ 6,1 • 10^^ м/с^; х = 2U е/т 3 мм. Указание. На электрон в магнитном поле, индукция которого В, дейст^ет сила Лоренца F = evBsin а, где а — угол между векторами В и и, и — скорость электрона, е — его заряд. 350 23.19. Электрон будет двигаться по винтовой линии с увеличивающимся шагом (расстояние между витками). Ось спирали параллельна направлениям векторов В и Е. Указание. Электрическое поле сообщает электрону ускорение, направленное параллельно вектору Е, а магнитное — изменяет направление скорости в плоскости, перпендикулярной Е и В. 23.20. Нет. Сила взаимодействия с направленными в кольце токами по закону Лоренца тормозит падение магнита. 23.21. Магнит будет падать так, как если бы он двигался в вязкой жидкости. При движении магнита в трубе возникает ЭДС индукции тем большая, чем больше скорость магнита. При этом возникает магнитное поле, противодействующее движению магнита (закон Ленца). 23.22. Например, вращать вокруг оси, не направленной вдоль силовых линий поля. 23.23. Нет. 23.24. Изменение потока индукции магнитного поля сквозь кольцо приводит к появлению вихревого электрического поля. В кольце из диэлектрика оно приводит к его поляризации. В кольце же из сверхпроводника индуцируется ток, магнитный поток которого в сумме с потоком индукции от магнита через кольцо равен нулю. 23.25. В кольце возникает индукционный ток, сила и направление которого таковы, что магнитный поток сквозь кольцо не изменится. Поэтому Ф = пК^В. 23.26. Увеличивается вчетверо. Указание. Магнитный поток, охватываемый сверхпроводящим кольцом, не может измениться благодаря тому, что его сопротивление равно нулю. 23.27. 1. g - 1,95 • Ю Кл. 2. Р - 2,8 • IQ-^ Вт. Решение. 1. Заряд конденсатора равен q = C^i, где $i — ЭДС индукции, возникающей в катушке: АФ = —п = ABSn At ' ЯР2 площадь поперечного сечения катушки, равная Тогда „ ДБ kD^ 351 2. Мощность, выделяющаяся в катушке, R Здесь ^ -R = л. Подставив и JR в выражение для Р, получим р _ МБ \^nD^nS ^ ~[м ) 16р ‘ 23.28. ДБ _ 16р/ ~ 1,12 Тл/с. Д^ лБс?2 23.29. 1. Одинаковое. 2. В первом случае больше. Решение. Индуцируемый заряд Q определяется измене- Тл. ^ ' нием магнитного потока АФ сквозь катушку: Q = It = ^ ~Б'^ н н где R — сопротивление катушки, 6’^ — ЭДС индукции. В обоих случаях Q одинаково. Совершаемая работа равна Q^.. При быстром вдвигании магнита а следовательно, и работа будет большей. 23.30. 1. Такое, что магнитное поле этого тока направлено вдоль поля магнита. 2. Требуется. 3. Оно пропорционально скорости вытаскивания контура. Примечание. Индукционный ток возникает в контуре, когда он перемещается в той части межполюсного пространства, где магнитное поле неоднородно. 23.31. Катушка нагревается за счет работы аккумулятора. 23.32. Способ основан на применении правила Ленца: индукционный ток противодействует изменению магнитного потока, его вызвавшего. 23.33. В момент вхождения в зазор движение монеты затормозится, ускорение меньше g\ то же будет при выходе из магнитного поля. Внутри зазора в однородном магнитном поле индукционный ток не возникает и ускорение свободного падения равно g. 23.34. По кольцу идет постоянный ток. Разность потенциалов равна нулю. Указание. В любом участке кольца индуцируется ЭДС, прямо пропорциональная длине участка или, при однородном проводнике, его сопротивлению. Следовательно (см. задачу 20.34), Фа-Фв = ^ав-^^ = 1^ - 1^=0- R 352 23.35. Показание вольтметра U = B^av = 10 ^ В и одинаково во всех случаях. 23.36. ф = 0,55 В. Нельзя. Решение. Искомая разность потенциалов ф = BJiv ~ 0,55 В. Если замкнуть концы крыльев на вольтметр, то получим контур, в котором при поступательном движении самолета магнитный поток остается неизменным и ЭДС индукции равна нулю. Наличие ЭДС можно обнаружить только при поворотах самолета (изменении угла между контуром и магнитным полем). 23.37. Невозможно, не применяя проводников, неподвижных относительно Земли. 23.38.5 = 4*10-3 Тл. 23.39. ЭДС индукции равномерно распределена по всему контуру. На любом участке ЭДС индукции равна по величине и противоположна по знаку падению напряжения на сопротивлении участка, так что разность потенциалов на концах участка равна нулю. Сравните с решением задачи 20.34. 23.40. 6; = 23 мВ. Решение. ЭДС индукции, возникающая в контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного по -тока: Изменение магнитного потока в данном случае равно начальному значению его, так как конечное значение равно нулю (магнитное поле выключается): АФ = Oq. Значение Oq можно найти из формулы Фд = BScos а, где В — индукция магнитного поля; S — площадь витка; а — угол между направлением вектора В и нормалью к плоскости витка. Ис- г^гтгл С BScos а комое значение ЭДС индукции & = —г-—. ^ At 23.41. АФ = eit/n = 10 3 Вб. Указание. ЭДС индукции, возникающие в отдельных витках, складываются. 23.42. Q = 5* 10-6 кл. 23.43. Не пробьет. Возможны два случая (рис. 240). 23 - 5495 353 в с R ВСВ'А '’ВСВ' R ВАВ' ^ВАВ' В' В Рис. 240 R ВСВ' ^ВСВ' R ВАВ' ^ВАВ' В' 1. Напряжение между точками В и В' равно ЭДС индукции в контуре ВАВ' минус падение напряжения на сопротивлении участка ВАВ': ВАВ' ^^ВАВ'' ^ВАВ’ ^^2 ^ Д ВАВ . - f ВСВ' 2. [/it г. яг, г. АВ АВ \t ^ 2 f'l АВ ВАВ' ^ВСВ'А АВ = ^''1''2ДГ ^ ^^2 + r■^ At Напряжение Uit всегда меньше, чем Ugg>. Поэтому изоляция провода должна быть рассчитана на первый случай. Подставляя данные задачи, получаем = 1 В. Таким образом, изоляцию не пробьет. 23.44. 1) 6,5 • 10 3 Кл; 2) 1,8 • Ю ^ Кл; 3) 2,5 • 1Q-2 Кл. Указание. Индуцируемый заряд определяется изменением AQ АФ магнитного потока сквозь рамку; — = I = -^ = (R — сопро- /\1 Н Н/лТ тивление рамки), а АФ = BS(cos aj - cos осз). 23.45. ф= 120°. АФ Указание. Протекший через гальванометр заряд а = При IX повороте в пределах 180° ток течет в одном направлении, хотя проходит через нуль. 354 23.46. См. рис. 241. Площадь фигуры, ограниченной графиком и осью времени, численно равна заряду, прошедшему по цепи (за время по цепи проходит заряд IM). По графику можно определить изменение магнитного потока сквозь катушку. Именно оно пропорционально заряду, прошедшему по цепи (см. задачи 23.44 и 23.45). 23.47. Указание. Индукция магнитного поля внутри катушки пропорциональна числу витков. Поток магнитной индукции, сцепленной со всеми витками, пропорционален магнитной индукции, а также числу витков, и, следовательно, индуктивность пропорциональна квадрату числа витков. Бо)г^ Рис. 241 23.48./ 4R Решение. Подвижный стержень делит кольцо на два контура. При вращении стержня изменяется магнитный поток через оба контура, причем если в одном он уменьшается, то в другом увеличивается с одинаковой по модулю скоростью. В обоих контурах наводятся ЭДС индукции, равные по модулю и имеющие разные знаки по отношению к заданному направлению обхода: но Д-S = V2 откуда At At -|«2l=|BC0r2(|S-(0). Для определения силы тока /, идущего по стержням, представим себе эквивалентную схему двух источников ЭДС, соединенных параллельно и замыкаемых сопротивлением 2R: 23.49. Р т - .£1 = tl.. ^ ~ 2R~ 2R’ I = В^аг^- 4R 4R 4R = 1,96 Вт. Указание. S: = ^ = Вкг^п = » где Вкг^ — магнитный по- ^ At 2 ТОК сквозь диск; п — число оборотов в секунду. Примечание. Поток магнитной индукции сквозь контур остается постоянным. Казалось бы, что индукционный ток должен отсутствовать. На самом деле надо принять во внимание смещение в каждый момент того радиуса диска, который замыкает 23* 355 цепь контура. При повороте диска на малый угол Аф радиус диска описывает площадь AS = ^ изменение магнитного потока равно АФ = ^ Вг^Аф, а АФ 1 D 2 ДГ = 2^“''- 23.50.В = B^l^v R Решение. При движении подвижного проводника со скоростью V в контуре возникает ЭДС индукции ДФ BAS At At = BvL При ЭТОМ сила тока в контуре I = -^ = -5- . На подвижный про- Н гС водник с током в магнитном поле действует сила F = ВП = B4^v/R. Так как проводник движется равномерно, то именно такую силу и нужно приложить к проводнику. Ро^Р 23.51. В2 = 0,96 м/с; не изменится; Ро^Р = 1,92 м/с. макс B^sin а Решение. При движении перемычки вниз в контуре, образованном конструкцией и перемычкой, вследствие потока индукции возникает ЭДС При этом сила тока в перемычке I = ё\/В = Bvl/R. На перемычку со стороны поля будет действовать сила Ампера, которая (по правилу Ленца) направлена вверх: F = BIl = ВЫ^/R. Скорость движения перемычки вниз достигает максимального значения, когда сила F станет равной весу перемычки mg (дальнейшее движение будет равномерным): BH'^v^^^JR = mg. Подставляя в полученное равенство значения т = ZSpg и i? = = pZ/S, где S — площадь поперечного сечения перемычки, получаем = роЯр/В2. Покажите подстановкой размерностей справедливость полученной формулы. При наклонных рельсах = макс Basina* 23.52. R = = 2,5 • 10 '^ Ом. mg 356 Указание. См. задачу 23.51. В этом случае сила F равна силе тяжести mg. 23.53. и = |бш/2 +cos (М. Решение. Радиальный проводник будет вращаться равномерно с заданной угловой скоростью (О, если в каждый момент времени сумма моментов сил, действующих на проводник, равна нулю. I I mgcos • 2» где Момент силы тяжести Mj = mgcos а • ^ угол а отсчитывается от горизонтали или, что то же, время отсчитывается от момента прохождения радиального проводника через горизонталь. Момент электромагнитной силы Mr Bil^i где i — сила тока в проводнике. Приравнивая моменты, получаем выражение, определяющее силу тока i: mg I = ^cos (at. dI Ho при равномерном вращении проводника в нем появляется постоянная ЭДС индукции, равная (см. задачу 23.48) = = создающая ток, препятствующий вращению. Таким образом, искомое напряжение равно сумме постоянной составляющей, равной и противоположной по знаку возникающей ЭДС индукции и переменной, создающей ток i: и= ^В(0/2 + ^i^cos (at. ,mg Bl 23.54. При удалении верхней части сердечника индуктивности первичной и вторичной катушек уменьшаются. Это приведет к уменьшению противо-ЭДС индукции (ЭДС самоиндукции) в первичной обмотке, а следовательно, к увеличению силы тока в ней. Во вторичной обмотке это приведет к уменьшению ЭДС индукции и силы тока. 23.55. Если трансформатор замкнуть накоротко, то он может перегореть. При коротком замыкании по виткам идет ток „ J. пё ё ^ силой / = ^ = ^, где е ЭДС индукции в одном витке и Б — сопротивление витка. При коротком замыкании одного витка ё через него идет ток силой ~ д > равный I. Виток сгорит. 357 23.56. Первичная — 200 витков. Вторичная — 6600 витков. Указание. Вольтметр с проводом образует контур, который пронизывается тем же магнитным потоком, что и обмотки трансформатора. 23.57. Работающий двигатель нагревается быстрее, так как его якорь вращается с меньшим числом оборотов, и, следовательно, противо-ЭДС в этом якоре будет меньшей, а сила тока — большей. U'^ 23.58. Р. 4Р 180 Вт; /= ЗА. Указание. Электродвигатель, включенный в сеть с напряжением и, развивает мощность Р = UI - 1‘^R = I(U - IR) = R', где / — сила тока в двигателе; R — его сопротивление и f противо-ЭДС индукции. Максимальная мощность достигается при си- и С 2 ле тока / = ^ и равна -гъ (см. рис. 236 и решение задачи 21.18). ZH 4гъ 23.59. 80 и 40 В. Указание. См. задачу 23.58. Данная мощность развивается двигателем при двух значениях силы тока в нем (рис. 242). Эти значения силы тока соответствуют ЭДС индукции 6, = U - IR, возникающей при двух различных скоростях вращения якоря. 24. Переменный ток. Электромагнитные колебания и волны 24.1. = 100 В; V = 400 Гц; Т = 1/400 с; ф = 800 nt. Указание. Сопоставить с уравнением е = sin 2nvt. 24.2.0 = BScos = у С Указание. ЭДС индукции, возбуждаемую в любой момент времени в рамке, вращающейся с угловой скоростью о) в магнитном поле с индукцией В, можно найти как сумму ЭДС, возникающих в проводниках АВ и CD (рис. 243); е = 2Blvsin ф, где V = сог, ф — угол между векторами скорости проводника в данный момент и индукции, равный углу поворота рамки, т. е. ф = (at. Угловая скорость со = 2п/Т. Тогда е = 2B/corsin (at, но 2lr 358 равно площади S рамки. Окончательно получаем е = BScosin со^. 24.3. В 2 раза уменьшится период колебаний, и во столько же раз увеличится амплитудное значение эдс. Указание. Так как скорость изменения магнитного потока увеличивается в 2 раза, то мгновенное и амплитудное значения ЭДС возрастают тоже в 2 раза (см. задачу 24.2). 24.4. ^, = 2,5 В. 24.5. Т = 0,04с. 24.6. в = 5,04 В. Решение. Из формулы амплитудного значения ЭДС = BScon (см. задачу 24.2) найдем угловую скорость вращения рамки. Через t = 0,01 с после прохождения нейтрального положения ЭДС равна е = е^ sin C0^ = sin ^ 24.7. At = ^ 3,24 °С. SpDc Указание. Максимальная ЭДС, возникающая в рамке, определяется по формуле = BS(aN (см. задачу 24.2), где N — число витков обмотки. Количество теплоты, выделяющееся в об- t' 1 Л’Где^.--^иД = р; ^'2 t' L r~ мотке за время t: Q = где ^ иВ = р;,/ = 4.^SN. /spo = A^JsNsPq. Изменение температуры At = ^, где m После соответствующих подстановок получаем At = —5-----. 8рроС Полезно проверить справедливость полученного выражения подстановкой единиц физических величин: [At] = Тл2 • м2 • С 2 . с (Тл • М2/С)2 • С _ (Вб/с)^ • С Ом • м кг м2 Дж кг • к В2-С Ом • Дж/К Вт • с Ом • Дж/К Ом • Дж/К Дж/К = к. 359 24.8. 1. = 310 В. 2. М - 1/150 с. Решение. 2. График зависимости напряжения переменного тока от времени представляет собой синусоиду (рис. 244). Период переменного тока Т = 0,02 с. Рассмотрим один полупериод. Неоновая лампа будет гореть в течение того времени каждого полупериода, когда 1/^ > 84 В (фактически напряжение зажигания несколько больше напряжения гашения, но для упрощения задачи в условии принято, что они равны). Этот промежуток времени, очевидно, равен ЬЛ = - где и могут быть найдены из уравнения переменного тока: и = и^sin = U^sin (1) Амплитудное значение напряжения связано с действующим следующей формулой: U^ = Uj2. (2) Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем и = = ил/28Ш откуда • Подставляя числовые значения иJ = и и, находим sin у i j = ^, откуда в пре- делах одного полупериода 2к Т I 2к t t = ^ 12’ 5 j гр ^2 6^’ ^2 12 Следовательно, искомое значение М ^ t2 - t-^ = Г/З. 24.9. ЭДС самоиндукции, возникающая в первичной цепи, почти равна приложенному напряжению. 360 24.10. Согласно правилу Ленца, с увеличением индукционного тока, протекающего во вторичной обмотке, ослабляется переменный магнитный поток в сердечнике трансформатора, соответственно уменьшается противо-ЭДС самоиндукции в первичной цепи трансформатора. 24.11. а)1 = и^= JC/(2L) = 44 мА; б) « 1,1 • Ю » Вб. С1/2 2^/2 Указание. Из равенств ^ ^ ^ находим I; из ра- венства Ф^п = находим Ф^. 24.12. Р = 10-3 Вт. Указание. Мощность, потребляемая контуром, должна компенсировать тепловую мощность, выделяемую в сопротивлении: Р = Р Ry где I = Ujj^JC/{2L) (см. задачу 24.11). 24.13. я,-2лсС-. п 24.14. Раздвигать. 24.15. 113,1 м. Указание. Длина волны связана с периодом колебаний следующим соотношением: X = сТ, где с — скорость распространения электромагнитных волн, равная 3*10® м/с. Период колебаний контура определяется по формуле Т = 2пЛС. 24.16. С « 112,6 пФ. 24.17. От 2,25 до 71,2 МГц (от 133 до 4,21 м). Указание. См. задачу 24.15. 24.18. От 8 до 2,86 мкГн. Указание. См. задачу 24.15. 24.19. N = 1600 колебаний. Указание. Число колебаний N = v^, где v = С/Х — частота, соответствующая электромагнитной волне с длиной X = 375 м, а время t равно периоду звуковых колебаний: t = Т = l/Vgg = 0,002 с. 24.20. 0,05Г или 0,1л рад. 24.21. Плотность потока энергии (мощности) обратно пропорциональна квадрату расстояний. В случае радиолокации увеличение дальности в 2 раза равносильно распространению энергии на расстояние, в 4 раза большее (приемник принимает отраженный сигнал). 361 IV. ОПТИКА 25. Отражение и преломление света 25.1. Под углом 66° ИЛИ 24° к поверхности стола (рис. 245, а и б). 25.2. На 2а (рис. 246). 25.3. (3= = + |. Указание. Из рис. 247 видно, что у + а + к/2 + у = к, причем (3 = у + а. 25.4. d = 2/sin ф. Указание. Изображение монеты повернется на угол 2ф вокруг ребра двугранного угла, оставаясь от него на расстоянии I. 25.5. Половине роста человека (рис. 248). 25.6. а = 7°. Указание. Легко показать, что угол поворота зеркальца равен половине угла поворота луча (см. задачу 25.2). 362 Рис. 249 25.7. Три изображения: изображение точки А в зеркале I, изображение Ag в зеркале II и совпадающие изображения А^ в зеркале II и Аз в зеркале I — Ад. На рис. 249 показан ход лучей при рассматривании изображения Ад. Если плоскости зеркал образуют между собой произвольный угол а, при котором т = ЗбО°/а есть целое число, то число изображений равно 7П - 1. 25.8. X = 2rsin а = 10 см. Указание. ZA2OM = ZMOA и ZA^ON = ZNOA (рис. 250), поэтому ZAgOA^ = 2а; О/Г^А^Ад, и так как ЛАдОА^ равнобедренный, то AgiT = КА^ и ZA2OK = а. 25.9. На 2а. Решение. Угол поворота отраженного луча относительно падающего обозначим ф (рис. 251). По закону отражения = i\; ig = = ig. Из геометрических соображений видно, что а = -I- ig. Угол ф — внешний угол треугольника, причем Ф = 2^1 -Ь 2ig == 2(/j -Ь ig). Следовательно, ф = 2а и не зависит от угла падения луча. 25.10. Направление на изображение не изменится. Само изображение может незначительно перемещаться в поле зрения перпендикулярно отраженному лучу. Указание. См. задачу 25.9. Рис. 251 363 25.11.7 = 0,02 кд. Указание. Будем, начиная от'той из сторон ZAOR (рис. 252), образуемого зеркалами, на которую падает луч света, откладывать угол а до тех пор, пока эти углы не заполнят полупространство выше линии MN — биссектрисы ZAOR. После этого продолжим падающий луч. Проведенная линия, очевидно, представляет собой развертку хода луча в пространстве между зеркалами (докажите!). Отсюда следует, что вышедший из двугранного угла луч параллелен падающему лучу и луч отразится от зеркал столько раз, сколько целых углов а содержится в 180°. ‘Задачу можно решить также, проследив непосредственно за ходом отраженных лучей. 25.12. Зеркала должны двигаться навстречу друг другу со скоростями 1,25 м/с. Указание. Расстояние между двумя первыми мнимыми изображениями источника всегда равно удвоенному расстоянию между зеркалами, а значит, относительная скорость сближения зеркал в 2 раза меньше скорости сближения этих изображений. 25.13. я Решение. Обозначив расстояние от колышка до столба в первом случае х, можно из подобия ААОВ и ACDB (рис. 253) записать: Н _ х + h и ’ 364 Рис. 254 а из подобия Л ОАВ^ и AC^D^B^ — X + d + 1с, Н h 1с, Исключая из этих уравнений х, находим Н = {d + I2 ~ l\)h 1о ~ 1л 25.14. = /ijctga = 1,73 м; Zg = ^iCtga + 3,44 м (рис. 254), причем sin Р = ^ sin (90° - а). 25.15. ttjjp = arcsin п = arcsin {п^/п^ ~ 61°. Решение. По определению относительного показателя пре-sin а п ломления п = р, где а — угол падения; р — угол отражения. В случае полного отражения р = 90°, а значит, sin а = п = (/ij/ng) (Wj и Л2 — показатели преломления воды и стекла по отношению к воздуху, равные соответственно 1,33 и 1,52). 25.16. /г = 7,3 м. Решение. Расстояние ED равно расстоянию от водолаза до ближайших к нему предметов, которые он видит отраженными от поверхности воды (рис. 255); ED = s = 15 м; АЕ — рост водолаза; АЕ = а = 1,5 м. Предельный угол ф определяется из условия полного отражения: 81Пфпр=1/л. (1) 365 Как видно из рис. 255, S- FD 2 =(h-a)tg фпр, FD = а tg ф^р. (2) (3) Решая совместно уравнения (2) и (3), находим искомую глу бину: 1 г, _ ^ L h — п ---------- 2 2tg9, (4) tg Ф sin ф пр _ "Р COS ф„, ' Подставляя tg фJ^p в уравнение (4), находим h = ^ + - 1. 25.17. г = 2,6 м. Решение. По условию задачи параллельные лучи света падают на сферическую полость в стекле = 1,52) (рис. 256), заполненную водой {п^ = 1,33). Предельный угол /,^р, при котором падающие лучи уже не будут попадать в полость, определяется из условия, что угол отражения при этом равен 90°: sin I пр п^. Угол падения параллельных лучей на сферическую поверхность изменяется от 0 до 90°. Следовательно, на каком-то расстоянии угол падения станет равным предельному, определенному из условия выше, и лучи света не будут проникать в полость. Расстояние г, очевидно, является радиусом светового пучка, про- пикающего в полость. Из чертежа видно, что г = Rsin 366 Решение. По определению п = = 180° - 90° - а, т. е. П = . .«лп а) sin а sin Р = tg а, . В нашем случае Р = sin (90' откуда а = arctg п. 25.19. а = 27,4°, Р = 23,4°. Ход луча через призму показан на рис. 257. 25.20. 1. Лучи будут параллельными. 2. Нет. Луч 2 тоже испытывает полное отражение. Решение. 1. Так как показатель преломления одной среды относительно другой равен отношению скоростей света в sin а этих средах, то -т:-т: = п t’e sin Y и -7—ih - п. Siny -в. ст sinp' i;*. Умножая одно равенство на другое, находим Sin а sin а sin р' sin р ’ откуда следует, что р' = р. Закон преломления света при переходе из среды с показателем преломления п-^ в среду с показателем преломления rtg можно записать в виде: = HgSin ttg. Запишем это соотношение для условия нашей задачи: n^sin а = n3„3sin р, HgSin а = Y= Р' (Рис. 258). Из сопоставления этих равенств видно, что Р' = р, т. е. лучи выйдут параллельными. 367 Рис. 259 2. Если р = 90°, то и Р' = 90°, т. е. оба луча испытывают полное отражение одновременно. 25.21. d = 39 мм. Указание. Ход луча показан на рис. 259. Смещение луча равно длине отрезка АА'. 25.22. X = 2 см. 25.23. См. рис. 260. 25.24. л: = 18 см. Решение. См. рис. 261. ВС = ВК + КС. Но КС = АЕ = EStg i = Itg i (i — угол, под которым идет луч из точки S), а ВК = AKtg г = dig г. Поэтому ВС = Itg i + dig г. Теперь из ABCS' найдем CS'= ^ =/ + d^. tg i tg i 368 d/n\ ШкЩШММфШ7ЖШ n I / I / I / ^S’ Рис. 264 Так как угол i мал, а следовательно, мал и угол г, то tg i ~ « sin i и tg г ~ sin г. tg г sin г 1 , d Поэтому 7^ = —: = - и X = CS = 1+ - . tg I sin in п 25.25. Нет. Указание. Ход лучей изображен на рис. 262. По определению п = sin a/sin |3 = sin a'/sin р', так как Р = Р', то а = а'. 25.26. л > 1,41. 25.27. Указание. Наименьший угол падения на боковую грань равен 90° - а„р. Предельный угол для границы стекло — воздух равен 42°, для границы стекло — вода он увеличивается до 63,5°. 25.28. п = 2 (рис. 263). 25.29. На 5^ см позади передней стороны пластинки (рис. 264). Указание. Изображение получается как бы в зеркале, нахо-дяш;емся на расстоянии d/n от передней плоскости (рис. 264). ^ Л1 ho 25.30. h = — + — п, Пс ~ 5,63 см. ч ^^г Указание. Из рис. 265 видно, что h-^tg ttj + «2 ^ ^о- Выбирая луч II так, чтобы углы и ag были малы (tg а ~ sin а), и используя законы преломления, находим ответ. 25.31. На 32 см. Указание. См. задачу 25.29. 24 - 5495 369 26. Сферические зеркала и линзы. Оптические системы в задачах этого раздела приняты следующие обозначения: d — расстояние от предмета до зеркала (линзы), f — расстояние от изображения до зеркала (линзы), F — фокусное расстояние зеркала (линзы). В условиях задач заданы значения d, f, F. Знаки перед ними в формуле зеркала (линзы) ставятся по правилу: если предмет (источник), изображение, фокус являются действительными — знак «плюс», если мнимыми, то «минус». Источник считается действительным, если на зеркало (линзу) падает расходящийся пучок, имеющий вершину (или продолжения лучей по эту же сторону от зеркала (линзы) сходятся в одной точке). Источник является мнимым, если на зеркало (линзу) падает сходящийся пучок. Расстояние от линзы до точки пересечения продолжения лучей и является расстоянием до мнимого источника. Действительное изображение точки образовано лучами, действительно пересекающимися после отражения или преломления. Мнимое изображение образовано продолжениями отраженных или преломленных лучей по другую сторону зеркала (линзы). Собирающие линзы имеют фокус действительный, рассеивающие — мнимый. 26.1. Продолжение луча света пройдет через точку пересечения побочной оптической оси, параллельной лучу, с фокальной плоскостью линзы (задней, если линза собирающая, и передней, если линза рассеивающая; рис. 266). Найдите другие способы построения дальнейшего хода луча. 26.2. В той же фокальной плоскости линзы. Построение изображено на рис. 267. Постройте самостоятельно ход лучей в системе для случая, когда расстояние между линзой и зеркалом больше фокусного. 26.3. Указание. Воспользоваться тем, что луч, параллельный побочной оптической оси линзы, пройдет через точку пересечения этой оси с фокальной плоскостью линзы (рис. 268). 370 Рис. 268 26.4. Можно, если она находится в средах с соответствующими показателями преломления. Объясните подробнее. 26.5. 1. Так, чтобы задняя фокальная плоскость одной линзы совпадала с передней фокальной плоскостью другой (рис. 269, а). 2. Чтобы совпадали задние фокальные плоскости линз, если лучи попадают вначале на собиргпощую линзу (рис. 269, б), или чтобы совпадали передние фокальные плоскости линз, если первой стоит рассеивающая линза (рис. 269, в). 26.6. Положение оптического центра зеркала найдем, воспользовавшись тем, что луч света, падающий на зеркало вдоль радиуса, отражается по тому же направлению. Поэтому проведем через точки S и S' прямую до пересечения с главной оптической осью АВ; точка С — оптический центр зеркала (рис. 270). в) Рис. 269 24» 371 Луч, отразившись от зеркала в его полюсе, составляет с главной оптической осью такой же угол, как и падающий луч. Соединим точку D, симметричную точке S' относительно оси АВ, с точкой S. Точка О пересечения этой линии или ее продолжения с оптической осью, очевидно, и является полюсом зеркала. О типе зеркала можно судить по расположению точек С, О, S. В первом случае (см. рис. 270, а, б) зеркало может быть только вогнутым, так как выпуклое зеркало дает всегда прямое изображение предмета. Изображение действительное. Во втором случае зеркало может быть как вогнутым (если точка S находится дальше от оси, чем точка S', см. рис. 270, б), так и выпуклым (точка S ближе к оптической оси, чем точка S'; см. рис. 270, г). Изображение в обоих случаях мнимое. Расположение точек С, О и S определяет вид зеркала. 26.7. 1. С приближением источника от оптического центра к фокусу зеркала действительное изображение с возрастающей скоростью удаляется от зеркала. С приближением источника от фокуса к центру зеркала мнимое изображение с уменьшающейся скоростью приближается к нему. Точка d = F — особая точка. Для нее f = ±оо, т. е. функция претерпевает разрыв. р2 2 - = - г {d^-F){d,-F) 20. 3. Вблизи фокуса. 26.8. X = 30 см. Указание. Пластинка помещена на середине линии, соединяющей глаз и изображение в выпуклом зеркале. 372 Рис. 271 26.9. F= 10 см. Решение. Из подобия треугольников АОВ vlA'OB' (рис. 271) имеем: АВ А'В' d = Sf,, где d = ОА — расстояние от зеркала до предмета; = ОА' — расстояние от зеркала до изображения; F = OF — фокусное расстояние зеркала. Пользуясь формулой для вогнутого зеркала f ^ \ полу- W / чим F = d + f' 1^0 d = 3/j, следовательно, F = dl4; d = 4F. (1) Передвинув предмет на расстояние Z == 15 см, как указано в условии задачи, получим (аналогично предыдущему рассуждению): (d-0/^2 = 1,5; B = (d-Z)/2,5. (2) Для нахождения фокусного расстояния решаем совместно уравнения (1) и (2). 26.10. В =-0,32 м. 26.11. d^ = 30 см; с?2 = 10 см. Указание. Для построения используйте то, что отношение расстояний от предмета до зеркала и от его изображения до зеркала равно отношению высоты предмета к высоте его изображения. 26.12. 1. (i = 20 см (рис. 272). 2. F = | а = 27 см. Решение. 2. Запишем формулу зеркала. Так как изображение глаза прямое, то оно является мнимым, поэтому 1 = 1-1 Far 373 Отсюда найдем, что изображение глаза будет находиться на расстоянии f = от зеркала. Величина этого изображения х-^ = = (х — размер глаза), а угловой размер равен ^ ^ ^ . В пло- ском зеркале размер изображения равен размеру глаза, а угло- X 2а X X ^ I вой размер Х2= Поэтому 13^ = „ „л: xf/a „ , , или 0,9- = —От-а + т а а + т сюда = 0,9 или f = ‘ 9F, поэтому F = ^а. 26.13. В той же точке. 26.14. В фокусах зеркал два изображения и два на расстояниях от каждого зеркала. 26.15. F = 6 см (рис. 273). С Решение. Обозначим через F фокусное расстояние вогнутого зеркала (см. рис. 273). На рисунке F = 72/2 JPj = OF^ — фокусное расстояние вогнутого зеркала с водой, а — угол падения луча из воды в воздух, Р — угол преломления луча в воздухе. Пренебрегая размером ОЕ по сравнению с F и F^ (слой налитой воды по условию задачи тонкий), можно записать Fig а = F^tg Р = = £>£, откуда F _ tgp Fi tga При малых углах tg а ~ sin а и tg р ~ sin р. Тогда фокусное расстояние равно F^ = Fin =72/(2/г). 26.16. Г = F/2. Указание. Способ 1. Изображение, даваемое одним элементом оптической системы, является источником для следующего элемента. Способ 2. Оптическая сила системы контактирующих тонких линз и зерк£1л равна сумме оптических сил элементов системы (см. задачу 26.39). sin 3 —- = п. sin а 374 Рис. 275 26.17. Г FR 2{F + RY Указание. См. задачу 26.16. 26.18. F = 8 см. Решение. Из рис. 274 и условия задачи следует, что BB' = d-f = 4см, (1) где d — расстояние от предмета до линзы, f — расстояние от изображения до линзы. Используем формулу линзы (так как линза рассеивающая, то фокусное расстояние имеет отрицательное значение) 11 F d 1 (2) Из подобия треугольников АОВ и А'ОВ' находим АВ А'В' d Г Так как АВ = 10 см, А'В' = 5 см, то d = 2f. Используя уравнение (1), имеем d = 8 см, / = 4 см. Определяем фокусное расстояние, подставляя значения d и f в уравнение (2): F = 8 см. См. указание к задаче 26.21. 26.19. На расстоянии F/2 (рис. 275). 26.20. F = 10 см; D = 1/F = 10 дптр. Ч F 26.21. d = =90 см. Указание. Построение удобно начать с проведения двух прямых, параллельных главной оптической оси и отстоящих от нее на расстояния, отношение которых равно увеличению к. Г + 11 26.22. d = —р—d^ = 0,3 м (действительное изображение); dg = 0,2 м (мнимое изображение). Указание. См. задачу 26.21. 375 ч 1 ^\ / 1 ''■С 26.23. F= 13,6 см. Указание. Точка S' играет роль мнимого источника, а точка S" пересечения лучей после преломления в линзе — изображения. Для построения хода лучей через линзу полезно провести побочную оптическую ось, параллельную одной из образующих светового конуса (рис. 276). 26.24. а) 80 и 19 см; б) 67,3 и 23,7 см. Указание. Обозначим через х расстояние от линзы до источника. Тогда, применяя формулу линзы, находим, что расстоя- Рис. 276 ние от линзы до изображения f = xF X- F . Диаметр пятна на экра- D(f ~ L х') не d = ----::---(рис. 277, а) — экран левее изображения; d = D{L - X f f) f (рис. 277, б) — экран правее изображения. 26.25. ^ = 20 см. Указание. Если х — расстояние от переднего фокуса до предмета, а — л:' от заднего фокуса до изображения, то имеет место соотношение хх' = {формула Ньютона). Докажите справедливость этой формулы. 26.26. d = 2F. Решение. Способ 1. Воспользовавшись формулой линзы 1,11 „ . Fd ^ + 5" найдем/=5^, Fd с?2 f + d d+ ^_р. В нашем случае d > F, так как изображение действительное. (1) а) б) Рис. 277 376 Выражение, стоящее в правой части уравнения (1), преобразуем следующим образом: f + d = [(d-F) + F]2 [{d - F) + F]^ + AF{d - F) d-F d-F _{d~ 2F)^■ d-F d-F + 4F. (2) Выражение, стоящее в правой части уравнения (2), а значит, и расстояние между предметом и его изображением минимально при d = 2F. Способ 2. Обозначим расстояние между предметом и его дей- ^2 ствительным изображением через I/, тогда у = р; откуда d^ - dy + Fy = 0. Дискриминант D полученного трехчлена, равный D = у^ - 4F, неотрицателен при у > 4F. Минимальное значение у, при котором задача имеет решение (т. е. существует корень трехчлена), равно 4F, т. е. = 4F, откуда d = 2F. г 2 _ /2 26.27. F =24 см. 4L Указание. Из принципа обратимости световых лучей следует, что при втором положении линзы расстояние от нее до экрана будет равно расстоянию от предмета до линзы при ее первом положении: с?2 ~ /^1» /г ~ ^1* 26.28. Л = 7лТ^;^>4^. Решение. Способ 1. Имеем: \ + \ = = ^ f d F d зуем эти выражения так: Преобра- и f h f + d + h НИЙ найдем , или d fd f + d hi = F (1) f+d h + hi . Из двух последних выраже- После перемещения линзы fid f id I hhn fi + di ^ ^ ^ (Л + h^)^' (2) (3) 377 Учитывая, что /^ + dj = / + d, получаем из (1) и (2) = fd. Подставляя сюда f-^d^ и fd из уравнений (2) и (3), придем к выражению hh-^ hh2 (h + ^ {h + Лг)^’ решая которое находим h = Jh^2• Способ 2. В силу симметричности формулы линзы по отношению d и / можно утверждать, что если перемеш;ением линзы получаются два изображения при закрепленных предмете и экра- Л ^2 f2 не, т. е. d + / = const, то d^ = /g и = dg. Тогда ^ ^ ^ ^1^2 I---- поэтому = 1, откуда h = Jhih2. 26.29. Г2= / = 30см. Л fz ^1 1 Указание. Г, = ;т- = 3 по условию; Г, = = 7- = о (см. задачу с*2 м 26.27); /1 + dj = L; fi~ d-^ = 1. Найдите другой способ решения. 26.30. = 20 см. Указание. См. задачу 26.28; /^/d^ = 4. 26.31. S'S" = 6 см (рис. 278). Указание. Каждая из половинок линзы действует как целая линза, оптическая ось которой находится на расстоянии | = 0,5 см Рис. 278 378 от оптической оси линзы. Ход лучей изображен на рис. 278. Расстояние между изображениями SjSg = 2Л + S. 26.32. График зависимости f{d) изображен на рис. 279. Примечание. График позволяет очень просто решить задачу 26.26. 26.33. а) Г = б) |rj = f~d' зависимости Г(с?) изображен на рис. 280. Указание. Линейным (поперечным) увеличением Г называют f отношение з. а 26.34. Г = 2?2 = 4. (а - ¥){Ъ - F) Указание. С помощью формулы линзы найти положение каждого из концов предмета (можно также воспользоваться формулой Ньютона: = F^). 26.35. I' = 112. Изображение мнимое, расположено вдоль оптической оси вплотную к линзе. 26.36. Ad = 40 см. Указание. Роль источника после внесения пластинки будет играть точка S' (см. задачу 25.23) (рис. 281). 26.37. На 0,55 мм. 26.38. Увеличится. Относительный показатель преломления на границе раздела при погружении линзы в воду уменьшается. Это приводит к 379 уменьшению отклонения лучей, а значит, к увеличению фокусного расстояния линзы. 26.39. Решение. Изображение предмета, находяш;егося в фокальной плоскости одной из линз, будет лежать в фокальной плоскости другой линзы. Поэтому по формуле линзы для этой оптической системы ^ ^ = 4 (i^ — фокусное расстояние системы), D = D^-\- £>2, где £)j и П2 — оптические силы линз, D — оптическая сила системы. Найдите другой способ решения задачи. 26.40. F 5,55 см. ■f’1^2 + ^2^3 + ^1^3 Указание. Оптическая сила системы, состоящей из вплотную сложенных линз, равна алгебраической сумме оптических сил отдельных линз (см. задачу 26.39). 26.41. Г = 2,25 см. Решение. Построение изображения приведено на рис. 282. Изображение Sj, даваемое первой линзой, является как бы мнимым источником для второй линзы. Находим по формуле линзы положение этого изображения: d^-f = F’ ^=12 CM. Расстояние от мнимого источника до второй линзы d' = а - f = = Р - /"; d' = -9 см. И снова по формуле линзы определяем /' = d'F' d' - F'' 26.42. / = 60 см. 26.43. Мнимое изображение будет находиться там, где находится предмет. Увеличение системы Г = 5. 380 26.44. На 10 см. Указание. См. задачу 26.41. 26.45. Fj = 40 см. Указание. Изображение источника в линзе будет служить источником для зеркала. 26.46. /2 = 30 см; h' = 6,75 см. Указание. Построить изображение предмета в первой линзе, а затем, считая это изображение предметом, построить его изображение во второй линзе. 26.47. На расстоянии 30,4 см от центра рассеивающей линзы. Указание. См. указание к задаче 26.46. 26.48. На расстоянии 18,75 см от изображения. 26.49. Можно. Указание. Если угловой размер Солнца а, то размер его изображения в фокальной плоскости системы Fa, где F — фокусное расстояние системы. Рассеивающая линза уменьшает оптическую силу системы и, следовательно, увеличивает ее фокусное расстояние. 26.50. d = 32,73 см. Решение. Посеребренную линзу можно рассматривать как систему, состоящую из сложенных вместе: собирающей линзы с оптической силой Dj = ^, выпуклого зеркала, имеющего оптиче-2 скую силу Dg = - д, и еще одной собирающей линзы с оптической силой 2)j = |; (луч света, падающий на линзу, проходит через нее дважды!). Поэтому оптическая сила этой системы D = + D2 + + (см. задачу 26.39). Подставляя значение D в формулу линзы и полагая f = d, нахо- , 2 RF димсг = 26.51. На расстоянии 1,5F. Указание. Изображение S" источника S' в зеркале должно лежать в фокальной плоскости линзы. Ход лучей в системе показан на рис. 283. 381 26.52. В бесконечности. Система телескопическая. 26.53.^2=----hr ^ а - Fj I = 20 см. Указание. Для того чтобы линейка была ясно видна в окуляре трубы, настроенной на бесконечность, ее изображение в собирающей линзе должно находиться в фокусе рассеивающей линзы (за ней). Только в этом случае лучи, идущие из каждой точки этого изображения, образуют параллельный пучок лучей после прохождения их через рассеивающую линзу. 26.54.F = = 40 см. l-F,-F, Указание. Если фокусное расстояние линзы равно F, а угловой размер Солнца а, то диаметр изображения Солнца равен Fa. Изображение, даваемое первой собирающей линзой объектива, является мнимым источником для рассеивающей линзы. Расстояние этого источника от рассеивающей линзы равно d = I- F = = 5 см. Изображение Солнца, даваемое объективом, расположе- F2d но на расстоянии f = , „ а г 2 ЭТОГО изображения равен от рассеивающей линзы, а размер 27. Зрение. Оптические приборы 27.1. Когда близорукий глаз видит предмет резко без напряжения, он рассматривает их под большим углом зрения, чем глаз с нормальным зрением. В зрачок глаза попадает при этом больший световой поток от любого элемента рассматриваемой поверхности. 27.2. Увеличится на 4 дптр. Решение. Когда человек смотрит на звезду (бесконечно удаленный предмет, d = °о), изображение получается в фокусе хрусталика (линзы), аккомодированного на бесконечность. При этом f = F — расстояние до сетчатки: i + i doo л Когда человек переводит взгляд на книгу, d становится равным 0,25 м, расстояние же до изображения /2 по-прежнему рав- 382 но глубине глаза: /2 ^ Л (изображение получается на сетчатке). Это возможно благодаря аккомодации, изменяющей оптиче- 1.1 1 _ 1 1 скую силу хрусталика: = 4 дптр. 27.3. D = -2,25 дптр. Решение. Расстояние наилучшего зрения у такого близорукого глаза равно 16 см. Для глаза с нормальным зрением соответствующее расстояние составляет 25 см. Чтобы восполнить недостаток близорукого глаза, человек носит очки такой оптической силы, чтобы лучи, падающие от точек, удгшенных на 25 см, фокусировались бы оптической системой «очки — глаз» на сетчатке, т. е. в том же месте, где фокусируются лучи, падающие от точек предмета, удаленного в данном случае на 16 см и рассматриваемого невооруженным глазом. Запишем дважды формулу линзы: 1+1 = 1 d, f F’ 1 + 1 = ^+ do / F, F' (1) (2) Формула (1) написана для невооруженного глаза, где = 1 = = 16 см, а формула (2) — для вооруженного глаза, где d,Q = 25 см; l/Fj — оптическая сила очков; f равна глубине глаза; 1/F — оптическая сила глаза. При решении мы делаем упрощение, считая, что оптическая сила системы очки — глаз равна сумме оптической силы очков и глаз. Вычитая из уравнения (2) выражение (1) и измеряя do и в метрах, находим оптическую силу очков: ^ = Z)=i = -2,25 дптр. 27.4. d = 16,7 см. Указание. Изображение текста, находящегося под стеклянной пластинкой толщиной d, находится от верхней поверхности пластинки на расстоянии d/n (см. задачу 25.24). Это расстояние d/n и должно быть расстоянием наилучшего зрения близорукого человека без очков. Из решения задачи 27.3 можно записать -7— -т^ = = П, а/ Tt \ где do = 0,25 м, а £> = -5 дптр. Отсюда находим d = ndr 1 - d^D 383 27.5. F = 2,32 м; Z) ~ -0,4 дптр. Указание. См. задачи 27.2 и 27.3. 27.6. D = 3 дптр. Решение. Лучи, исходящие от точек, удаленных на расстояние d = 20 см, должны при том же фокусном расстоянии хрусталика (том же состоянии аккомодации глаза) давать изображение на сетчатке, как и точки, удаленные на расстояние d(j = 50 см. Это возможно, если оптическая сила очков равна D = = ^ (см. задачу 27.2). 27.7. = 11 н- 20 см. Решение. Глаз видит объект в том месте, где находится его изображение, даваемое линзой очков. Если объект находится в фокусе линзы {F = 20 см), глаз аккомодирован на бесконечность. Расстояние наилучшего зрения 25 см до изображения будет тогда, когда объект находится на расстоянии = 11 см от линзы. 27.8. Можно. Фотоаппарат заменяет глаз. 27.9. Г I = 25 см. 1+ DI 27.10. D « 4 дптр. Указание. Линейное увеличение должно быть равно отношению 120/8 = 15. Этому же равно //d; f по условию равно 4 м; F = df/(d + f). 27.11.1 = 148,5 см. Указание. Отношение f/d = 1/10. 27.12.1 = 0,001 с. Решение. Размер размытия изображения есть размер изображения расстояния, пройденного точкой за время экспозиции. Отношение этих величин есть увеличение объектива фотоаппарата. / 2 • 10”'* Таким образом, ^ —. По условию d = 5 м, а /■ = Р. Под- VX ставив значения / и d, получим т = 2» 10-*» d fv 27.13. Размер предмета Z > 8 м; т = 10 ^ с. Указание. За время т экспозиции спутник поворачивается на угол а = 271^ где Т ~ 2TzjR/g — период обращения спутника во- 384 круг Земли (докажите!); R — радиус Земли. Вследствие этого изображение размывается на величину А1 = olF, где F — фокусное расстояние объектива. Возможности пленки будут использованы полностью, если А1 не превышает ее разрешающей способности d. На фотографии можно будет рассмотреть предметы, размеры которых много меньше, чем oR = ^R. Г 27.14. 50 м. Указание. Увеличение f/d равно отношению 0,12/50. 27.15. 1. Г = ^ + 1; L — расстояние наилучшего зрения. 2. Г = L/F. Решение. 1. Увеличение равно отношению f/d = L/d, где d — расстояние от линзы до объекта, которое находим из формулы линзы J \ ^ Подставив -L вместо f (изображение мнимое), найдем Г = ^ = = ^ ^ ^ = 1 + р. Постройте изображение. Указание. 2. Если глаз адаптирован на бесконечность, то он рассматривает изображение предмета, расположенного в фокальной плоскости лупы. 27.16. Можно. Для этого достаточно выдвинуть окуляр так, чтобы изображение, даваемое объективом, оказалось дальше фокусного расстояния окуляра. Тогда при достаточной освещенности рассматриваемого в микроскоп объекта на экране получится действительное изображение. 27.17. Z>og == 400 дптр. Указание. Воспользоваться приближенной формулой увеличения микроскопа Г = 251/(F^F^^). Примечание. Приближенной формулой можно пользоваться, если фокусные расстояния F^ и F^^ значительно меньше расстояния между объективом и окуляром (примерно равного длине тубуса) и расстояния наилучшего зрения L. Признаком является, как правило, большое увеличение микроскопа. 27.18. Г,, «8. Решение. Так как увеличение небольшое, то нельзя воспользоваться приближенной формулой, приведенной в задаче 27.17. 25 - 5495 385 Рис. 284 Рассматриваем микроскоп как оптическую систему, состоящую из двух линз. Ход лучей показан на рис. 284. Увеличение Г системы равно произведению увеличений составляющих ее линз: Л ^ L ^ ^об^ок’ г = —• г = — об dj’ ^ок dz' где L — расстояние наилучшего зрения; Д, rfj, dg ^ связаны между собой следующими уравнениями: /1 ^об Решая полученную систему уравнений, находим Г = а-^об 27.19. = 1,26 мм; Г = 3120. Указание. См. задачи 27.17, 27.18. 27.20. Г = 20. Указание. Отношение D/d равно отношению F^/F^Jpuc. 285), а последнее отношение и есть увеличение телескопа. 27.21. 6,25°. Указание. Увеличение угла зрения равно i^oe/^oK* 27.22. Г = 564. Указание. См. задачу 27.20. 386 б) Рис. 286 27.23.Решение. Обычно зрительную трубу настраивают так, чтобы из нее выходили параллельные лучи. Это возможно в том случае, если второй фокус объектива совпадает с первым фокусом окуляра (рис. 286, а). Если предмет находится не в бесконечности, а на расстоянии d от объектива, то окуляр нужно установить так, чтобы изображение, даваемое объективом, также попало в первый фокус окуляра (рис. 286, б). При этом окуляр и объектив должны быть дополнительно раздвинуты на расстояние х = По формуле линзы \ \ ^ f = F -\- х — расстояние от объектива до изображения (/ — фокусное расстояние объекти- 1 F2 ва), находим р = р ^ отсюда X = ,, х = 0,36 см. Объек- d-F' тив и окуляр нужно раздвинуть на 3,6 мм. 27.24. Г = 12. Решение. В этом случае изображение, даваемое объективом, в его фокальной плоскости будет рассматриваться глазом с расстояния наилучшего зрения L (рис. 287). 25* 387 Как видно из рисунка, угол зрения ф^, под которым рассматривается изображение, больше, чем угол ф, под которым виден объект. Благодаря увеличению угла зрения изображение объекта на сетчатке возрастет по сравнению с величиной изображения при непосредственном рассматривании удаленного предмета. Увеличение равно ф] Г= —. Ф При малых углах отношение углов может быть заменено от- ношением тангенсов их. Из чертежа видно, что Г = tg^ tgф ^ об L ' 28. Фотометрия 28.1.т 1 - а 1 -ь а ■ Указание. Ф = Фд(1 - а)^ + Фо(1 - + Фо(1 - + ... = = Фо(1 - а)2(1 + а2 + а4 + ...) = Фр-{ ~ “Г = 28.2. г= 1000 м. Указание. Световой поток, попадаюш;ий в глаз, Ф = ES = ^S. Здесь Е — освещенность зрачка; г — расстояние от глаза до источника света. 28.3. ^ Е2 sin Og Указание. Е = EqCos а = ^cos а, где Eq — освещенность площадки, перпендикулярной падающему пучку; а — угол между осью пучка и нормалью к поверхности. 28.4. h = 1,8 м. Светоотдачей L лампы называют отношение полного светового потока Ф, излучаемого лампой, к ее электрической мощности: L = Ф/Р. (1) Рассматривая лампу как точечный источник света, можно написать, что Ф = 4л/, (2) где / — сила света лампы. 388 Освещенность определяется по формуле г ^ Е = -г^ cos а, (3) где а — угол между лучом и нормалью к поверхности, равный углу наклона доски (как углы, составленные взаимно перпендикулярными сторонами). Из формул (1), (2) и (3) находим h ^ LPcos а 4пЕ 28.5. а) ~ 10,2 лк; б) Eg ~ Ю,9 лк. Решение. Освещенность в каждой точке равна сумме освещенностей, создаваемых каждым из источников в отдельности. I I I „ I a)Ei = -ь б)Е.= Л2 -Ь Ш] 2^3/2 ' 28.6. Увеличится приблизительно в 1,11 раза. Е^ ~ 22,2 лк; Eg ~ 24,6 лк. Указание. Установка зеркала равносильна появлению еще одного источника Aj, являющегося изображением источника А в зеркале. При отсутствии поглощения световой энергии световой поток, испускаемый в единичный телесный угол источником Aj (т. е. сила света источника Aj), равен силе света источника А. 28.7. г = 0,5 м. Указание. Световой поток, попадающий на малую площадку в центре конденсора, равен Ф = ^ (A-Sj). На площадку ASg в центре экрана попадает часть этого потока, равная Ф(1 - fe), поэтому освещенность в центре экрана Ф(1-Дг) /(l-/?)ASi 1 1(1 - k) ^2 = AS, AS, (50)^ 28.8. E = 15,3 лк. 28.9. Увеличится приблизительно в 1,12 раза. Указание. См. задачу 28.6. 28.10. Е^ = 25 лк. Решение. Из рис. 288 видно, что освещенность в точке А, расположенной под источником, равна освещенности линзы в точке О, так как источник находится в фокусе линзы (поглощением света линзой пренебрегаем). 389 Оптическая сила линзы равна D = 1 дптр, что соответствует фокусному расстоянию линзы F = 1 тл. Освещенность в точке О равна: Е^= 28.11. а)/ = /о(^^^ ^ 2d) ’ 2 Указание. Сила света равна отношению Ф/Q. При отражении от выпуклого и вогнутого зеркал Q изменяется, причем 28.12.BLVf^ = 10'‘pa3. Указание. Освещенность в центре светового потока равна освещенности в полюсе зеркала, так как отраженный от зеркала свет идет параллельным пучком. F ______ ^ Г F " 28 Указание. См. задачу 28.11. 28.14. а) 2500 и 12 500 лк; б) 5000 и 15 000 лк. Указание. Световой поток, падающий на линзу, попадает (L - F)2 после прохождения линзы на площадь: а) в F2 = 4 ра- Рис. 289 390 за большую; б) в ~ 2 раза большую площади линзы (рис. 289). Освещенность в светлом кольце равна сумме освещенностей, создаваемых световыми потоками, идущими от линзы и непосредственно падающими на экран от Солнца. 28.15. Е' = 4 лк. Решение. Проекционный аппарат дает действительное обратное увеличенное изображение (рис. 290). Если диапозитив АВ имеет площадь S, то его изображение имеет площадь S', увеличенную по сравнению с площадью S. Весь световой поток Ф, освещающий диапозитив площадью S, теперь распределится на площадь S'. Освещенность диапозитива равна Е = Ф/S. Освещенность изображения Е' = Ф/S'. Но S'/S = Ь^/а^ (из подобия треугольников АВО и А'В'О следует, что каждая сторона диапозитива увеличится в Ь/а раз, а вся площадь в Ь^/а^ раз). Ф Фа2 Отсюда Е = ^2g/q2 ^ sp* Освещенность выразится в люксах, если a(d) и b{f) выражены в метрах (СИ). Из формулы ^ ^ ^ ^ находим /= Следовательно, Г' = nd-F)^ ^ S F2 * 28.16. = Решение. Световой поток, попадающий на изображение в отсутствие поглощения, Ф = /О, где / — сила света, излучаемого предметом, и О — телесный угол, под которым виден пред- Ф мет из вершины линзы (рис. 291). Освещенность экрана Е = -^ = Ш = -^ (S — площадь изображения). 391 S Tzh^ По определению Q = ^ = (S площадь предмета). С помощью формулы линзы 7 + ^ = 4» учитывая, что увели- /иг г. -г, d ^.(Г-|-1)у, чение, даваемое линзои, Т ^ у, находим f ^ ^ F. Итак, Е = Klh^T^ Klh^T^ ^ я/Л2Г| 4Si(ri + 1)2^2 ^ ^2 - 45з(Г2 + 1)2^2 4S(r -Ь 1)2^2’ Разделив последние равенства друг на друга и учитывая, что Si Л2Г2 Г2 _________Е, (Г2 + 1)2 1 «2 Л2Г| Г|’ ^2 (Fi + 1)2 4‘ 28.17. Увеличится приблизительно в 750 раз. Решение. Освещенность линзы равна освещенности Е экрана в отсутствие линзы. Поэтому световой поток, падающий на л cJ2 линзу, равен Ф = ES (S = — площадь линзы). При отсутст- вии поглощения весь этот поток попадает на изображение, диаметр которого равен оЕ (а — угловые размеры Солнца и F = = ^ = 25 см — фокусное расстояние линзы). Освещенность изо-Ф d2 бражения Е^ = ^ ~ 750. 28.18. = 20 с. Решение. В обоих случаях должно быть одинаковым количество световой энергии, попавшей на соответствующие участки пластинки. Если обозначить: Е-^ — освещенность изображения какой-нибудь детали при фотографировании картины целиком и ^2 — освещенность изображения этой же детали при фотографировании участка картины с увеличением 1 : 1, то это условие можно записать так: ■^1^1 ~ -^2^2’ т. е. время экспозиции обратно пропорционально освещенности изображения. На линзу от элемента поверхности объекта площадью До падает световой поток, величина которого пропорциональна телесному углу, под которым видна линза из элемента поверхности. и площади этого элемента: Ф ~ Q.Ag ~ где S линзы и d — расстояние от объекта до линзы. 392 площадь Пройдя через линзу, этот световой поток попадает на площадку ДО2 и создает на ней освещенность Е, пропорциональную световому потоку и обратно пропорциональную площади изображения: Л02 d^AC2‘ Отношение площадей объекта и его изображения равно отношению квадратов расстояний от предмета до линзы и от изобра- Aoi cf2 ^ s жения до линзы = 7^, а значит, Е ~ Ла, f2 f2' Освещенность изображения обратно пропорциональна квадрату расстояния от изображения до линзы. При фотографировании картины целиком ее изображение получается в фокальной плоскости объектива, а при фотографировании деталей — на двойном фокусном расстоянии от линзы. Е, Поэтому тг = ц/ру^ Е2 (1/(2Л)" ровании деталей равно t2 = hi о = 4 и время экспозиции при фотографиках 28.19. Уменьшится в 1д раза. Указание. См. задачу 28.18. При съемке с уменьшением в два раза ^ ~ ^ • Воспользовавшись уравнением линзы, найдем, ЧТО ^F. При съемке в натуральную величину /2 = 2F. 28.20. Объектив придвинуть к фотопластинке, экспозицию уменьшить. Указание. См. задачи 28.19, 28.18. 28.21. При окуляре с фокусным расстоянием Fg = 25 мм освещенность изображения пластины в 4 раза меньше, чем при окуляре с фокусным расстоянием F2 = 50 мм, а при окуляре с F'2 = 100 мм такая же. Решение. Планета рассматривается в телескоп глазом, аккомодированным на бесконечность. Такой глаз фокусирует на сетчатке параллельный пучок лучей. Диаметр светового пучка, падающего на глаз, определяется по формуле d = DF2/F^ и в каждом из случаев равен: dj = 5 мм при фокусном расстоянии окуляра F2 = 50 мм, <^2 = 2,5 мм при 393 фокусном расстоянии окуляра Fg ^ 25 мм, dig = 10 мм при фокусном расстоянии окуляра Fg = 100 мм. Так как диаметр зрачка глаза do равен примерно 5 мм, то в первом и во втором случаях на сетчатку глаза будет попадать весь световой поток, падающий на объектив, а в третьем случае — только k = d^/d| = 0,25 — часть этого светового потока: : Фд : Фд = 1 : 1 : А;. (1) Угол зрения, т. е. угол, под которым рассматривается изображение планеты, даваемое объективом, обратно пропорционален фокусному расстоянию окуляра, поэтому площадь изображения пропорциональна Отношение площадей изображений равно (2) SirSg Sg = 4 : 16 : 1. Из выражений (1) и (2) найдем для отношения освещенностей изображения планеты на сетчатке: Е, Oi/S. El 1 ^ =4u^ = 1,E2=jE,hE,==E,. Фг/S2 Ео 28.22. В 10 раз. Указание. При изменении диаметра объектива освещенность изображения неба не изменяется (объясните!). Поток, идущий от звезды, пропорционален площади объектива, а размер изображения остается неизменным. 29. Волны. Кванты. Энергия связи 29.1. Красный. Цвет, видимый глазом, определяется не длиной волны, а частотой. 29.2. Синие. 29.3. 1. Рассеяние света в воздухе пропорционально четвертой степени частоты света, поэтому синяя часть спектра рассеивает значительно больше света, имеющего меньшую частоту. Синее стекло пропускает, а синяя бумага отражает в основном синюю часть спектра. 2. Красное. 29.4. 1. Нет, не изменит, так как интерференция есть следствие принципа суперпозиции, в силу которого фронты волн, проникающих одна в другую, взаимно не деформируются. 2. Имеет место только пространственное перераспределение энергии, не нарушающее закона ее сохранения. 394 Рис. 292 3. Интерференционная картина обусловлена наложением волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пластинки. Но с увеличением толщины пластинки увеличивается число и густота максимумов и минимумов, уменьшается угловой интервал между ними и картина будет неразличима, при немонохроматическом свете интерференционная картина вообще исчезает, так как перекрываются максимумы и минимумы разных длин волн. 29.5. Указание. Цвет пластинки обусловлен разностью хода лучей, отраженных от верхней и нижней границ пластинки (рис. 292). При уменьшении угла падения разность хода возрастает (рис. 292, а), а при увеличении угла — уменьшается (рис. 292, б). 29.6. d = ~ ^2) = 300 нм. Указание. 2nd = и 2nd = Х2ГП + у. 29.7. а) Е-^ = 2,07 эВ, т = 3,68 • 10"^^ г; б) Е2 = 12,4 кэВ, т = = 2,21 • 10-28 г; в) £3 =1,24 МэВ, т = 2,21 • 10“23 г. Указание. Энергия фотона равна Е = hv, где \ = с/Х — частота волны ис = 3*108м/с — скорость распространения электромагнитной волны. Масса фотона равна m = ^. 29.8. X = к/{т^с) = 0,00242 нм. Указание. См. задачу 29.6. Энергия покоя электрона Е^ = (nig — масса электрона). 29.9. « 5,04 • 10“, П2 = 106. Указание. Энергия фотона, соответствующего длине волны X, равна hc/X. По условию Е = hcn/X, где п — число испускаемых фотонов. 395 29.10. 1. д = - 2,3 • 1019. 2. ^ - 4,4 • 1Q9 кг/с; СП t 60 • т = 1,4 • IQi^ лет. 29.11. = 550 нм. кр Решение. Пороговая частота, или красная граница, может быть определена из формулы Эйнштейна, если энергия испущенного фотоэлектрона равна нулю (1 эВ = 1,6 • lO^i® Дж): или ^ =Аз^^, откуда А he 29.12. у = 2,72-107 см/с. Указание. Воспользоваться формулой Эйнштейна. 29.13. ф = 0,1 В. Решение. Согласно формуле Эйнштейна, максимальная кинетическая энергия вылетевших фотоэлектронов равна раз- mvl ности энергии фотона и работы выхода: ;2 макс = hv - А„ 2 "" вых* Вылет электронов прекратится, когда потенциальная энергия электрона в задерживающем поле станет равной его кинетической энергии: mvt - еф, еф = Лу - Ад ых’ откуда ф = h\ е е При подстановке энергии кванта переводим ее в электрон-вольты, тогда формула упрощается: he ф = 1,6 *10-19 ^вь.х- 29.14. 4,36 эВ; 2,39 эВ; 2,15 эВ. 29.15. ^/з = 3,8 В. 29.16. h = 6,6* 10 34 Дж-с. Указание. Записав дважды формулу Эйнштейна, исключить работу выхода электрона из данного металла; кинетическую энергию электрона выразить через задерживающее напряжение mv^ еи,. 396 29.17. = 0,51 MB. Указание. Кинетическая энергия, приобретенная электроном под действием сил электрического поля eU, равна разности тс 2 _ т^с 29.18. Решение. Масса покоя ядра всегда меньше суммы масс покоя входящих в него частиц. Это обусловлено тем, что при объединении нуклонов в ядро выделяется энергия связи нуклонов друг с другом. Энергия связи ядра равна той работе, которую нужно совершить, чтобы разделить образующие ядро нуклоны (протоны и нейтроны) и удалить их друг от друга на такие расстояния, при которых они практически не взаимодействуют. Согласно закону взаимосвязи массы и энергии, уменьшение энергии тела на AJE должно сопровождаться эквивалентным уменьшением массы тела на Дт = Следовательно, энергия связи нуклонов в ядре ^св = c^{[Zmp + (А- Z)m„] - mj. Это соотношение практически не нарушится, если заменить массу Шр протона массой атома водорода, а массу ядра — массой атома. Указанная замена будет означать добавление к уменьшаемому и вычитаемому выражениям, стоящим в фигурных скобках, одинаковой величины, равной Zm^. Тогда ^св = + (А- Z)mJ - mj. (1) Это соотношение удобнее предьздущего, потому что в таблицах даются обычно массы атомов. Нгшдем энергию связи ядра |Не в состав которого входят два протона (Z = 2) и два нейтрона (А-Z) = 2. Масса атома |Не равна 4,00260 а. е. м., 1 а. е. м. = 1,66 • 10“^“* г, что в единицах энергии (МэВ) соответствует 1 66 • 10“24 . ^3.1010^2 1,66*10-6 iViOb. Масса атома водорода }Н равна 1,00815 а. е. м. (938,7 МэВ), т„ = = 939,5 МэВ. Подставляя эти величины в формулу (1), получаем = [2 • 938,7 -Ь 2 • 939,5] - 4,0026 • 931 = 28,4 МэВ. 29.19. Указание. См. задачу 29.18. Выделяется энергия ^св = = 931 МэВ; = [2,01410 + 3,01605 - (4,00260 + 1,00866)] • 931 = 17,6 МэВ. 29.20. Е = 2,3 • 10“* кВт • ч; m == 2,7 т. 397 Содержание I. Механика 1. Кинематика............................................ 3 2. Законы Ньютона ...................................... 14 3. Импульс. Закон сохранения импульса .................. 23 4. Работа, мощность, энергия ........................... 28 5. Законы сохранения энергии и импульса................. 33 6. Движение по окружности (кинематика, динамика) .... 41 7. Закон всемирного тяготения. Спутники. Невесомость . . 50 8. Статика.............................................. 52 9. Механические колебания и волны....................... 59 10. Гидростатика........................................ 61 И. Молекулярная физика 11. Основы молекулярно-кинетической теории.............. 68 12. Тепловое расширение. Газовые законы................. 69 13. Теплота и работа.................................... 77 14. Изменение агрегатного состояния вещества. Влажность............................................... 81 III. Электричество 15. Закон Кулона........................................ 86 16. Напряженность поля. Работа сил электрического поля. Потенциал............................................... 89 17. Электроемкость. Конденсаторы........................ 97 18. Сила тока. Закон Ома для участка цепи...............103 19. Последовательное и параллельное соединения проводников.............................................105 398 20. Закон Ома для всей цепи. Соединение элементов в батареи..........................................113 21. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока.120 22. Ток в жидкостях и газах........................128 23. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция....130 24. Переменный ток. Электромагнитные колебания и волны............................................138 IV. Оптика 25. Отражение и преломление света..................142 26. Сферические зеркала и линзы. Оптические системы ... 146 27. Зрение. Оптические приборы.....................154 28. Фотометрия.....................................157 29. Волны. Кванты. Энергия связи ..................161 Ответы, указания и решения.........................164 Учебное издание Гольдфарб Наум Ильич ФИЗИКА Задачник. 10—11 классы Пособие для общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Е. Н. Тихонова Ответственный редактор И. Г. Власова Оформление А. В. Кузнецов Компьютерная графика О. И. Колотова Компьютерная верстка Т. В. Рыбина Технический редактор М. В. Биденко Корректор Е. Е. Никулина Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 15488. Подписано к печати 10.01.12. Формат 60 х 90 Vie- Бумага офсетная. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 23,0. Уч.-изд. л. 26,45. Тираж 3000 экз. Заказ № 5495. ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»: 127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: [email protected] По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (499) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76. Книжный магазин «УЗНАЙ-КА!». 127434, Москва, Дмитровское шоссе, д. 25, корп. 1. Тел.: (499) 976-48-60. ООО «Абрис». 129075, Москва, ул. Калибровская, д. 31А. Тел./факс: (495) 981-10-39, 258-82-13, 258-82-14. https://www.textbook.ru ООО «Разумник». 129110, Москва, Напрудный пер., д. 15. Тел.: (495) 961-50-08. https://www.razumnik.ru Интернет-магазин «UMLIT.RU». https://www.umlit.ru Интернет-магазин «Умник и К», https://www.umnikk.ru Интернет-магазин: https://www.drofa.ru Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО ордена «Знак Почета» «Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова». 214000, г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина. 2. -t-* I I I 1 .1 i 1 1 1. I i : I ; 1 i 1 Физические постоянные Масса Земли......................... 5,97 • 10^‘‘ кг Радиус Земли........................ 6,37 • Ю*' м Ускорение свободного падения........ 9,80 м/с^ Скорость света с.................... 3*10*^ м/с Гравитационная постоянная G......... 6,67 Н-м^/кг^ Постоянная Авогадро//д.............. 6,025 • 10^^ моль"' Постоянная Лошмидта L............... 2,69 • м"^ 2,69*1013см"3 Универсальная газовая постоянная Л. . . 8,314 Дж/(моль • К) Стандартный объем газа У,„.......... 22,42 • 10"^ м^/моль Элементарный заряд е................ 1,60 • 10"'® Кл Масса электрона .................... 9,11 • 10"®'кг Удельный заряд электрона е/т........ 1,76 • 10" Кл/кг Постоянная Фарадея F................ 9,65 • 10 * Кл/моль Атомная единица массы а. е. м....... 1,66 • 10"®'' кг 931,4 МэВ Электрическая постоянная Eg......... 8,85 • 10"'® Ф/м Магнитная постоянная Цд............. 4л • 10"'' Гн/м Постоянная Планка Л ................ 6,62 • 10"® 'Дж • с Астрономические величины Средний радиус Земли................ 6,37* 10" м Средняя плотность Земли............. 5500 кг/м® Масса Земли......................... 5,98-10®'кг Радиус Солнца....................... 6,96* 10® м Масса Солнца........................ 1,99 • ю®" кг Средняя плотность Солнца............ 1400 кг/м® Радиус Луны......................... 1,74 • 10" м Масса Луны.......................... 7,3 • 10'®® кг Период вращения Луны вокруг Земли ... 27 сут. 7 ч и 43 мин Среднее расстояние между центрами Земли и Луны........................ 3,84* 10® м Среднее расстояние между центрами Солнца и Земли...................... 15'10 "м кП Удельная теплоемкость, 1 О® Дж/(кг • К) Азот Лед 2,10 Алюминий 0,88 Медь 0,38 Вода Олово 0,23 Водород 14,20 Свинец 0,13 Воздух 1,005 Спирт 2,42 Железо 0,46 Сталь 0,46 Кислород 0,92 Углекислый газ . . . 0,83 .Латунь 0,38 Температура плавления твердых тел, К Алюминий 933 Медь . . . 1356 Железо . . . 1803 Олово . . . 505 Латунь . . . 1173 Свинец . . . 600 Лед 273 Серебро . . . 1233 Удельная теплота плавления, 10® Дж/кг Алюминий 3,90 Олово Лед . Медь .3,35 .1,80 Свинец................0,25 Серебро...............1,01 Вода . Ртуть Температура парообразования, К 373 Спирт................351 630 Эфир.................308 Удельная теплота парообразования, 10® Дж/кг Вода..................22,60 Ртуть................. 2,82 Спирт...............9,05 Эфир................3,68 Удельная теплота сгорания, 10'' Дж/кг 4,61 ■ Керосин 4,61 1,26 Нефть 4,61 2,93 Спирт 2,93 Коэффициент линейного расширения твердых тел, 10 ^ К"’ Алюминий...........2,40 Железо.............1*20 Инвар..............0,15 Латунь.............1>00 Медь.................1,70 Свинец...............2,90 Сталь................1,10 Стекло...............0,90 Коэффициент объемного расширения жидкостей, 1 0 К' Вода 1,8 Ртуть ... 1,8 Керосин 10,0 Серная кислота... . 5,6 Нефть 10,0 Спирт .. . 11,0 Плотность насыщенного водяного пара при различной температуре Т, К р, 10 * кг/м® Т, К р, 10 ® кг/м® 263 2,14 283 9,40 264 2,33 284 10,00 265 2,54 285 10,70 266 2,76 286 11,40 267 2,99 287 12,10 268 3,24 288 12,80 269 3,51 289 13,60 270 3,81 290 14,50 271 4,13 291 15,40 272 4,47 292 16,30 273 4,84 293 17,30 274 5,20 294 18,30 275 5,60 295 19,40 276 6,00 296 20,60 277 6,40 297 21,80 278 6,80 298 23,00 279 7,30 299 24,40 280 7,80 300 25,80 281 8,30 301 27,20 282 8,80 302 28,70 Диэлектрическая проницаемость (относительная) Вода Слюда 7,0 Глицерин 39,1 Стекло 7,0 Керосин 2,0 Эбонит 3,0 Парафин Удельное сопротивление и термический коэффициент сопротивления проводников Вещество р, 10 ^Ом • м 3,10 К ‘ Алюминий 0,26 3,6 Вольфрам 0,55 5,2 Железо 1.2 6,0 Медь 0,17 •1,2 Нихром 11,0 0,4 Никель 2,1 4,3 Свинец 0,16 3,6 Показатель преломления Алмаз 2,42 Лед . .1,31 Вода 1,33 Скипидар . .1,47 Воздух 1,00029 Спирт . . 1,36 Кварц Стекло . . 1,50 Работа выхода электронов из металла, 1 0’’’ Дж Вольфрам .... 7,2 Платина Калий 3,2 Цезий . ..3,2 Литий 3,8 Цинк Основные характеристики некоторых элементарных частиц Частица Символ Заряд, 10"'® Кл Масса, 10”®" кг а-Частица 3,2 6,6446 Нейтрон о" 0 1,6748 Позитрон 1,6 0,000911 Протон \Р 1,6 1,6724 Электрон Ле -1,6 0,000911 Масса ядер некоторых легких изотопов, 10 кг }Н... 1,6726 18,2767 |Н.. ®Не . 3,3436 ‘•‘N 23,2461 6,6446 'io .... 26,5527 |Li. . 9,9855 40 28,2202 'Li. . 11,6475 f8Ne . . ..33,1888