'. Нетрудно сообразить, что для этого следует указать три числа (три координаты) — высоту лампочки над полом и расстояния от двух взаимно перпендикулярных стен. Это изображено на рисунке 6.1. Мы выбираем некоторую точку О, называемую началом координат, и проводим через нес три взаимно перпендикулярные прямые ОХ, OY п OZ, т. е. проводим оси координат. Затем из точки М, координаты которой надо определить, опускаем перпендикуляр ММ^ на плоскость XOY, а из точки М, — перпендикуляры на оси координат ОХ и OY.
144
Получаем три отрезка, длинами которых и определяются координаты точки М — абсцисса х, ордината у и аппликата г.
IV. Очень часто взамен прямоугольной декартовой системы координат используют сферическую систему координат (рис. 6.2). Здесь начало координат О называется полюсом. Координаты точки М задаются длиной радиуса-вектора г=ОМ и двумя угловыми координатами: угол (р — долгота и угол 0 — полярное расстояние.
Из рисунка 6.2 нетрудно вывести соотношение между полярными и декартовыми координатами. В самом деле, из прямоугольного треугольника ЛЮМ, следует МА1/=ОА1 cos0=rcos0, OAIi=OAI sin &=К sin 0, откуда
f x=r sin 0sin(p,
I y=rsin 0 cos Ф,
I e=rcos 0.
Вопросы д.1м самопроверки
1. Что мм понимаем под материа.тыюй точкой?
2. В каких случаях можно иебесные тела рассматривать как материа.'1ьпые точки?
3. Как строится .декартова система координат?
4. Как на.тываются декартовы координаты точки?
5. Как строится сферическая система координат?
Упражнения
1. Координаты точки М равны х=2 м, у-А м, г=4 м. Определите длину радиуса-вектора точки, т. е. расстояние от точки А\ до начала координат.
2. Координаты точки равны х=у=0, г=—2 м. Где находится данная точка? Каково ее расстояние до начала координат?
3. Координаты точки равны z=0, х=3 м, г/=4 м. Где находится данная точка? Каково ее расстояние до начала координат?
t45
§ 6.2. НЕБЕСНЫЕ КООРДИНАТЫ
I. Наблюдения за движением небесных светил с глубокой древности служат людям для счета времени, ведения календаря и ориентировки на местности. Если в ясную ночь посмотреть на небо, то кажется, что все светила располагаются на небесной сфере. Так кажется потому, что на глаз мы не способны различить расстояния до видимых светил.
Разумеется, никакой реальной небесной сферы не существует, однако для решения ряда практических задач в астрономии удобно пользоваться этим понятием. Вследствие суточного вращения Земли вокруг своей оси кажется, что происходит вращение небесной сферы вокруг воображаемой линии — оси мира, пересекающей сферу в точках Северного и Южного полюсов мира. Из курса VII класса вам известно, что неподалеку от Северного полюса мира находится звезда, которая названа Полярной.
П. Ви,димое вращение небесной сферы со всеми находящимися на ней светилами происходит вокруг оси мира. Она проходит через центр Земли и пересекает ее поверхность в точках, получивших названия северного и южного географических полюсов. Поскольку размеры Земли по сравнению с расстояниями до звезд ничтожно малы, то ось мира для наблюдателя в любом пункте Земли параллельна оси вращения нащей планеты.
Наблюдая за движением светил по небесной сфере, можно не учитывать расстояние, на котором они находятся, и указывать только направление на светило, его расположение на этой сфере. Для этого в астрономии используются в основном две системы координат: горизонтальная и экваториальная.
III. Для того чтобы ввести эти системы координат, необходимо рассмотреть основные точки и линии на небесной сфере (рис. 6.3). Линия ZO, вдоль которой действует сила тяжести в точке наблюдения О, называется отвесной линией. Ее направление определяется с
146
помощью отвеса. Точки пересечения отвесной линии с небесной сферой называются зенит Z и надир Z' (в южном полушарии). Перпендикулярно отвесной линии проходит горизонтальная плоскость, которая, пересекая небесную сферу, обра.зует окружность — истинный горизонт.
Через полюсы мира Р и Р' (рис. 6.4), зенит Z и надир Z' проходят плоскость небесного меридиана, а окружность, которая образуется при пересечении небесной сферы с этой плоскостью, называется небесным меридианом. Пересечение плоскости небесного меридиана с горизонтальной плоскостью происходит по прямой, называемой полуденной линией. Точками пересечения полуденной линии с горизонтом являются хорошо известные всем точка юга 5 и точка севера N.
Плоскость, проведенная через точку наблюдения (центр сферы) перпендикулярно оси мира РР', называется плоскостью небесного экватора. Она параллельна земному экватору и в пересечении с небесной сферой образует небесный экватор. Он пересекается с горизонтом в точках запада W и востока Е.
IV. Простейшей из систем небесных координат является горизонтальная система, которая изображена на рисунке 6.3. Основной плоскостью в этой системе является горизонтальная плоскость. Координатами служат азимут А и высота светила h.
Если через плоскость провести отвесную линию и зафиксировать точку М. которая обозначает положение светила, то окружность, образующаяся при пересечении этой плоскости с небесной сферой, пересекается с горизонтом в точке Q. Высота светила h отсчитывается от горизонта и выражается углом QOM (или соответствующей ему дугой). Значения высоты меняются от 4-90° до —90°. Для светил, находящихся над горизонтом, высота считается положительной. Иногда вместо высоты измеряется зенитное расстояние — угол ZOM= =г=90°-Л.
Азимут светила А измеряется углом SOQ по горизонту от точки юга к западу, т. е. в направлении суточного вращения небесной сферы. Он меняется в пределах от 0 до 360°.
V. Светила в течение суток восходят и заходят, т. е. их горизонтальные координаты постоянно меняются. Вместе с тем фотографии звездного неба, сделанные с большой экспозицией, показывают, что все звезды вращаются как единое целое; их расположение друг относительно друга не изменяется. Это дает возможность построить экваториальную систему координат (см. рис. 6.4), которая применяется при составлении зве,здных карт и атласов. В такой системе, где основная плоскость — плоскость небесного экватора, координатами являются прямое восхождение а и склонение 8. Эти координаты аналогичны применяемым на Земле: географическим долготе и широте. Склонение — это угловое расстояние светила М от небесного экватора'(угол М'ОМ=6). Склонение считается положительным от О до -Ь90° для звезд северного полушария неба и отрицательным (от о до —90°) для звезд южного полушария.
Началом отсчета для прямого восхождения условились считать
147
точку весеннего равноденствия Т, находящуюся в созвездии Рыбы, где Солнце бывает в день весеннего равноденствия. В этот день (20 или 21 марта), когда Солнце пересекает небесный экватор, переходя из южного полушария неба в северное, повсюду на Земле продолжительность дня равна продолжительности ночи. Прямое восхождение светила — это его угловое расстояние по небесному экватору от точки весеннего равноденствия до точки AI’, от которой отсчитывается склонение светила, т. е. угол Т ОА1'=а. Прямое восхождение отсчитывается в направлении, противоположном вращению небесной сферы, и выражается обычно не в угловых единицах, а в единицах времени — часах, минутах и секундах. Поскольку полный оборот Земля (и небесная сфера) совершает за 24 ч, то легко убедиться, что одному часу (1 ч) соответствует угол 15°, одной минуте (1 мин) — угол 15', а одной секунде (1 с) — угол 15".
VI. Определение экваториальных координат звезд всегда было и остается одной из важнейших задач астрономии. Это позволило составить звездные каталоги (списки с указанием координат) и на их основе — звездные карты и атласы. С древних времен характерные группы ярких звезд получили имена, заимствованные из мифологии: Большая Медведица, Малая Медведица, Пегас, Водолей, Персей, Андромеда и др. В настоящее время звездное небо разделено на 88 участков-созвездий, каждый из которых имеет свое название.
VII. Наиболее древние из числа дощедших до нас каталогов и карт составлены китайским астрономом Ши Шэнем (IV в. до н.э.), греческим ученым Клавдием Птолемеем (И в. н.э.), узбекским астрономом Улугбеком (XV в.) и датчанином Тихо Б[)аге (XVI в.). К настоящему времени с помощью специального искусственного спутника Земли определены с очень высокой степенью точности (около 0,001") координаты более 118 тыс. звезд. Звездные каталог и и карты необходимы в морской и воздушной навигации для точного определения координат на поверхности Земли и в космическом пространстве, для изучения движения тел Солнечной системы звезд и других объектов во Вселенной.
Вопросы Д.ПЯ самопроверки
1. С каким телом отсчета связана горизонтапьпая система небесных координат?
2. Какая точка на небесной сфере называется Северным полюсом мира?
3. Какая плоскость называется п.тоскостью небесного меридиана?
4. Чго такое по.пуденпая линия?
5. Что называется высотой светила на.ч горизонтом?
6. Что такое азимут?
7. Чем отличаются друг от друга горизонтальная и экваториальная системы отсчета?
8. Чго называется склонением и прямым восхождением светила?
9. Какая система координат применяется при составлении астрономических каталогов, карт и атласов?
148
10. Что называется созвездием?
11. В чем состоит научная ценность астрономических ката.'10гов, карт и атласов, составленных в разные исторические эпохи?
Упражнения
1. Изобразите по памяти горизонтальную систему коор.динат. Обозначьте высоту и азимут светила.
2. Изобразите экваториальную систему координат. Обозначьте склонение и прямое восхоадение светила.
3. Держа глобус в руках так, чтобы его ось сохраняла постоянное направление в пространстве, обойдите вокруг электрической лампы. Заметьте, какие положения глобуса соответствуют дням весеннего и осеннего равноденствий.
4. Наблюдатель находится на Северном полюсе Земли. С каким направлением совпадает для него ось мира? В каких точках находятся Полюса мира?
5. Эту же задачу решите для наблюдателя, находящегося на Южном полюсе Земли.
6. Эту же задачу решите ддя наблюдателя, находящегося на земном экваторе.
7. Экваториальные координаты звезды Антарес: а=16‘'28'', 5= =—26°23'. В каком полушарии находится эта звезда? Каков угол между плоскостью, проходящей через ось мира и точку весеннего равноденствия, и плоскостью, проходящей через ось мира и звезду?
§ 6.3. КУЛЬМИНАЦИИ ЗВЕЗД. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТНОГО ВРЕМЕНИ И ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
I. При суточном движении Солнце и звезды дважды пересекают небесный меридиан. Прохождение светила через небесный меридиан называется кульминацией. Когда кульминация происходит в той части меридиана, где расположен зенит, она называется верхней, а когда в той, где надир,— нижней.
На рисунке 6.5 показаны траектории суточного движения звезд А, В. С и D на географической широте около 45°. Верхние кульминации обозначены индексом «в», нижние — индексом «н». Как видно, звезды А \\ В являются незаходящими — обе их кульминации находятся над горизонтом.
Звезда С является заходящей — ее нижняя кульминация происходит под горизонтом, а зве.зда D в этом полушарии Земли не видна: обе ее кульминации происходят под горизонтом.
II. Зная местное время в момент верхней кульминации светила и высоту нахождения светила в кульминации, можно определить географические координаты пункта наблюдений — долготу и широту.
По местному вре.чени истинный полдень наступает в .чомент верхней кульминации центра видимого диска Солнца.
И9
вертикальное напрабление
Рис. 6.6
Рис. 6.7
Верхние кульминации Солнца и любой звезды повторяются спустя ровно сутки. За это время Земля совершает один полньи! оборот вокруг своей оси, и светило снова оказывается на небесном меридиане.
Прямое восхождение Солнца, звезд и других небесных объектов не случайно выражают в единицах времени. Время, прошедшее межлу моментами кульминации двух светил, равно разности их прямых восхождений. Так что, наблюдая кульминацию звезды с известными координатами, можно определить время, которое прошло с начала суток или полудня, т. е. определить местное время данного пункта.
Службы времени на астрономических обсерваториях и другие научные у’феждения, имеющие хорошо известные географические ко-
150
ординаты, хранят время с помощью атомных и кварцевых часов. Эти часы с высокой степенью точности поддерживают частоту разных колебательных процессов. Периодически они передают сигналы точного времени по радио.
III. В каком-то месте Земли в данный момент наступил полдень. Но в пунктах, лежащих восточнее этого места, полдень уже прощел. В пунктах, лежащих западнее, полдень наступит ровно на столько позже, сколько времени нужно земному шару, чтобы повернуться на соответствующий угол. Соотнощение между единицами времени и угловыми единицами указано в предыдущем параграфе. Сказанное относится не только к полудню (или полночи), но и к любому другому моменту времени в течение суток.
Коротко эту закономерность можно сформулировать так; разница местных времен в двух пунктах равна разности их географических долгот.
Следовательно, если по наблюдениям Солнца или звезд определить местное время в каком-то пункте, географическая долгота которого неизвестна, и сравнить его (полызуясь сигналами точного времени) с местным временем пункта с известной долготой, то можно вычислить интересующую нас географическую долготу.
IV. Географическая широта места на Земле равна высоте Полюса мира над горизонтом: (p=/?y, (рнс. 6.6). Стало быть, изме|жв высоту Полярной звезды над горизонтом, можно узнать примерную географическую широту. Точнее ее можно определить, если измерить высоту в верхней кульминации любой звезды, склонение которой известно.
Как видно нз рисунка 6.7, высота светила /; в верхней кульминации свя.зана с его склонением 8 и широтой места ф соотношением ф=90°— -/г+8.
В самом деле, угол между вертикальным направлением ZZ' и небесным экватором QE (рис. 6.7), т. е. Z. Z()E=/L PON=ip, равен высоте Полюса мира над горизонтом (углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Угол £'О5=р=90°-ф, а с другой стороны, Р=Л-—8. Отсюда следует 90°—ф=Л—8, или ф=90°—/г-г8. Следовательно, изме[)ив высоту той или иной звезда в верхней кульминации h и зная ее склонение 8 (величина табличная), легко определить широту местности.
V. В большинстве случаев повседневной жизни мы пользуемся не местным, а поясным временем. Согласно поясной системе отсчета времени весь земной шар разделен по долготе на 24 часовых пояса (по числу часов в сутках). Во всех точках каждого пояса часы показывают одно и то же время. В соседних поясах время отличается на 1 ч; западнее — на 1 ч назад, восточнее — на 1 ч вперед.
Кроме того, в России, как и во всех европейских странах, с конца марта по конец октября действует летнее время. В эти месяцы все часы переведены на 1 ч вперед по с|)авненню с зимним временем.
1.51
Вопросы для самопроверки
1. Что называют кульминациями светила?
2. Как расположены верхняя и нижняя кульминации светила по отношению к зениту и надиру?
3. Что такое истинный полдень дтя данного места?
4. Как определить местное время по наблюдениям за звездным небом?
5. Где ведется служба точного времени?
6. Как связаны между собой следующие угловые величины: ск.юнение светила, его высота в верхней кульминации для данной точки Земли и широта, на которой эта точка находится? (Покажите эти углы на рисунке 6.8.)
7. Как определить широту места по наб.тюдениям .«а звездным небом? Как быть в тех случаях, когда Полярная звезда .закрыта облаками?
8. Как определить дол1оту места?
Упражнения
1. Как будут выглядеть траектории звезд А, В, С и D (см. рис. 6.5), если наблюдатель будет находиться на Северном полюсе? Сделайте соответствующий рисунок. Можно'ли здесь говорить о верхней и нижней кульминациях?
2. Эту же задачу решите для наблюдателя, находящегося на земном экваторе. Сделайте соответствующий рисунок. Существуют ли здесь незаходящие и иевосходящие звезды?
3. Долгота обсерватории равна 36° 20'. Истинный полдень в данной точке Земли был зафиксирован на 30 мин 20 с позже, чем в обсерватории. Определите, где находится данная местность — к востоку или западу от обсерватории. Какова долгота местности?
4. В пункте, )1аходящемся в восточном полушарии, был получен сигнал точного времени из Гринвичской обсерватории: 7 ч. Через 32 мин 23 с в этом месте был зарегистрирован истинный полдень. Какова долгота местности?
5. Какова широта местности в северном полушарии, если высота Полюса мира над горизонтом состашшет 61° 30'?
6. Каково зенитное расстояние Полюса мира, если широта местности в северном полушарпи равна 48°40'?
7. Склонение звезды равно 30° 10'. Высота этого светила в момент верхней кульминации равна 60° 20'. Определите широту местности.
8. Па рисунке 6.7 изображен случай, когда точка верхней кульминации звезды расположена к югу от зенита. Докажите, что если в верхней кульминации зве.зда находится севернее зенита, то широта местности определяется но формуле ф=90°-1-/г—8. Сделайте соответствующий рисунок.
9. В землю вертикально вкопан шест высотой Н. Выразите длину тени / как фупк1щю высоты Солнца ндл, горизонтом. Докажите, что в истинный полдень дпина тени наименьшая. Постройте соответствующий чертеж.
152
§ 6.4. ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ СУТОК и КАЛЕНДАРЬ
I. Земля делает оборот вокруг своей оси за 24 ч. Это продолжительность суток, продолжительность одной смены дня и ночи. Смена времен года происходит за один оборот Земли вокруг Солнца. К сожалению, продолжительность суток и продолжительность года несоизмеримы. Земля проходит свой путь по орбите вокруг Солнца за время, равное 365 сут 5 ч 48 мин 46 с. Это создает неудобства при ведении календаря, поскольку в п[)актической деятельности людей именно сутки являются естественной единицей времени.
Поэтому еще до нашей эры римский император Юлий Цезарь ввел календарь, названный юлианским, в котором год принимался равным 365 сут 6 ч. Это значит, что три года имеют по 365 дней, а кажя.ый четвертый — 366 дней. Кажтын четвертый год в этом календаре високосный.
II. Поскольку на самом деле год несколько короче, то при таком счете времени календарь за 400 лет отстает от истинного времени приблизительно на трое суток. Чтобы преодолеть такое отставание, по предложению главы католической церкви папы Григория XIII в 1582 г. в странах Европы был принят новый стиль (григорианский календарь), который намного точнее юлианского: его год всего лишь на 26 с длиннее истинного. Лишние сутки в этом календаре набегают за 3300 лет. Это достигнуто за счет того, что из числа високосных исключаются годы, которые оканчиваются на два нуля, но не делятся на 400, например 1600 год високосный, а 1700, 1800 и 1900 не високосные, 200(4 год снова високосный.
В России григорианский календарь был принят лишь в 1918 г. За время с 1582 г. юлианский календарь отстал от григорианского на 13 сут. Поэтому в нашей литературе до сих пор можно увидеть обозначения знаменательных дат по новому стилю Григорианскому) и по старому (юлианскому).
Вопросы Д.1Я самопроверки
1. Почему продо.1жите,пьность юда по ка.пеидарю мспостоямна — в простые годы она составляет .36,5 сут, а в високосные — 366 сут?
2. Чем отличается григорианский календарь от юлианского?
§ 6.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИИ ДО ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ И ИХ РАЗМЕРОВ
I. Мы уже говорили о том, что наше впечатление о звездном небе как о небесной сфере вызвано тем, что звезды находятся очень далеко. Установлено, что при гигантской скорости (300 тыс. км/с) свет от ближайшей звезды до Земли идет 4,3 года. При таких тгантских расстояниях мы не можем заметить простым глазом ни перемещения зве.зд относительно друг дру|'а, ни их размеров, ни их
153
41
разных расстояний до Земли. Все они кажутся точками различной яркости на одной сфере, подобно тому как далекий от нас лес кажется одной стеной на горизонте. И тем не менее ученым удается определить расстояния до планет, Солнца и многих звезд, а также диаметры многих светил.
Один из основных методов астрономических измерений состоит в использовании параллакса. Параллактическое смещение заключается в изменении положения наблюдаемого объекта при переносе точки наблюдения.
Пусть объект М рассматривается из точек А н В, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. Отрезок АВ называется базисом. Тогда Z а=/.АМВ, под которым базис виден из точки М (рис. 6.8), называется параллаксом.
По параллаксу и базису можно определить расстояние до наблюдаемого предмета. Такой способ измерения расстояний на Земле используется в геодезии и картографии.
II. В астрономических наблюдениях в качестве базиса используется либо радиус Земли, либо диаметр (или радиус) орбиты Земли вокруг Солнца.
При определении расстояний до тел Солнечной системы базисом может служить радиус Земли. ropusoHmojibHbtu парамакс угол /.р= =/. OSA.j — это угол, под которым с наблюдаемого светила виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения. Из рисунка 6.9 видно, что расстояние OS=D от Земли до исследуемого светила можно рассчитать по формуле
D=-^,
sin р
где Rg) — радиус Земли; р — горизонтальный параллакс светила. Зная радиус Земли /^^=6378 км и измерив параллакс, например, для Луны, равный р.,=0°57', получим
6378 6378
В
Рио. 6.8
[бет от збезды
sin 0”57'
км=
0,01658
км=384 680 км.
III. Для обнаружения параллаксов звезд в качестве базиса используют другое известное расстояние — средний радиус земной орбиты, т. е. астрономическую единицу (а.е.):
0=1 а.е.= 1,496 • Ю” м~150 млн км.
Угол л, под которым радиус земной орбты, перпендикулярный лучу зрения, виден из зве.зды, называется годичным параллаксом. Тогда рае стояние г до звезды равно:
sin n
Годичный параллакс всех звезд очень мал; он всегда меньше 1". Так, у ближайшей к нам звезды 11роксима Центавра л=0,76", годичный параллакс Веги (а Лиры) л=0,12".
IV. Расстояние до звезды, годичный параллакс которой равен 1", называется парсеком (от слов ««ораллакс» и «секунда»):
1 пк= 42^7, =206265 а.е.=3,086- 10‘^ км. sin 1
Расстояние до звезды, выраженное в парсеках, определяется по очень простой формуле
1
г=- ПК, к
где угол л выражается в угловых секундах.
V. Если известен гори.зонтальный параллакс какого-либо светила р, то можно определить его радиус. Для этого нужно измерить угол р, под которым виден радиус R этого светила (рис. 6.10). Тогда расстояние до светила D=/?@/sinp, а радиус светила
R=Dsmp=Rj-^.
Поскольку р и р — малые углы, то выражение упростится:
R=^R,i,p/p-
Например, известно, что горизонтальный параллакс Луны р=0°57', а угловой ее радиус р=15'30", а следовательно,
/?,,=-^/?е=0,27/?е=0,27-6378 км=1734 км.
Таким же способом можно определить размеры других небесных тел Солнечной системы.
Вопросы для самопроверки
1. Почему .1ве.ады на небе кажутся светящимися точками, расположенными на сферической поверхности?
2. В чем состоит яв.1сние параллактического смещения?
3. Как намерить расстояние до некоторой удаленной точки методом параплакса?
4. Что такое гори.зонталы1ый параплакс?
5. Как определить расстояние от Земли .ю некоторой планеты, используя горизонтальный параплакс?
155
6. Что такое годичный пара.пдакс?
7. Как определить расстояние до некоторого светила, исполь.туя годичный параллакс?
8. Как определить диаметр планеты, если известен угол, под которым виден се радиус (или диаметр)?
Упражнения
1. Горизонтальный параллакс Солнца равен 8", угловой радиус Солнца равен 16'. Принимая радиус Земли равным 6378 км, определите; а) среднее расстояние от Солнца до Земли; б) во сколько раз радиус Солнца больше радиуса Земли.
2. В таблице представлены горизонтальные параллаксы и видимые угловые размеры некоторых планет (в угловых секундах). Определите средние радиусы этих планет.
Планета Горизонтальный параллакс, р Максимальный yi'-aoiwii размер, 2р
■Меркурии 17,1 13
Венера 34,3 66
Маре 24,5 26
Юпитер 2,23 50
С.атурн 1.11 21
3, Зная годичные параллаксы Проксима Центавра (0,76") и Веги (0,12"), определите расстояния от них до Солнца в парсеках, астрономических единицах и километрах.
4. Годичный параллакс Сириуса равен 0,38". Какая из звезд ближе к Солнцу — Проксима Центавра, Сириус или Вега? Во сколько раз?
§ 6.6. ДВИЖЕНИЕ ПДАНЕТ СОДНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ.
ЗАКОНЫ КЕПДЕРА
I. В VII классе, рассматривая принцип относительности движения, мы пришли к выводу, что характер движения тела существенно .зависит от того, что принято за тело отсчета. Рассматривая движение планет на небесной сфере, мы в качестве тела отсчета принимаем Землю. Тем самым фактически используется геоцентрическая система, центром кото{)ой является Земля. Но можно в качестве тел.1 отсчета принять Солнце, и мы получим гелиоцентрическую систему.
Так как в VII классе были подробно рассмотрены особенности обеих систем отсчета, то здесь мы ограничимся лишь повторением основных идей.
1.56
II. Существенной трудностью в геоцентрической системе Аристотеля — Птолемея явилось объяснение сложного, петлеобразного движения планет. Это удалось сделать, введя довольно сложную систему деферентов и эпициклов. Птолемей предположил, что в отличие от Луны, Солнца и неподвижных звезд, которые обращаются вокруг Земли, планеты движутся по окружнскти — эпициклам, а центры этих эпициклов движутся вокруг Земли по орбитам — деферентам. Подобрав радиусы эпициклов и деферентов, углы между плоскостями этих орбит и периоды обращения. Птолемей смог довольно точно для того времени описать движение планет и других небесных тел, а также дать методы расчета солнечных и лунных затмений и т. д.
В гелиоцентрической системе Н. Коперника телом отсчета служит Солнце, а Земля оказывается рядовой планетой, которая обращается вокруг Солнца так же, как и другие планеты. Вокруг Земли обращается небесное тело — ее спутник Луна.
11етлеобразное движение планет в теории Коперника объясняется очень просто. Дело в том, что периоды обращения планет и их расстояния до Солнца ра.зличны, вследствие чего различны и скорости их движения. Сравним, к примеру, движение Земли и Марса.
Пока Земля догоняет .Марс, мы видим (находясь на Земле), что Марс движется вперед. Затем Земля догоняет Марс, и некоторое время они движутся почти с одинаковой скоростью, поэтому земному наблюдателю кажется, что Марс как бы остановился. Наконец, Земля перегоняет Марс, а земному наблюдателю кажется, что Марс движется назад. Л поскольку Земля и Марс движутся вокруг Солнца по замкнутым орбитам, то эти явления периодически повторяются.
Ситуация здесь такая же, как в случае, когда пассажирский поезд догоняет, а затем перегоняет товарный состав и пассажиру кажется, что товарные вагоны стали двигаться назад. Точно такой же эффект наблюдается, когда ле1ковой автомобиль перегоняет медленно движущуюся грузовую машину.
III. Хотя теория Коперника была существенным щагом вперед по сравнению со взглядом Аристотеля — Птолемея, но в ней был один существенный недостаток. Следуя взглядам древних, И. Коперник полагал, что планеты обращаются вокруг Солнца по круговым о()битам, двигаясь с постоянной по модулю скоростью. Оказалось, что это не так. Истинные законы движения планет установил в 1609— 1619 гг. И. Кеплер.
Используя многолетние наблюдения Тихо Браге за движением планет, особенно Марса, и свои собственные наблюдения, И. Кеплер установил три закона движения планет. Затем он доказал, что эти законы справедливы также для Луны и четырех известных в то время спутников Юпитера, открытых Г. Галилеем в 1610 г. Дальнейшие исследования показали, что законы Кеплера справедливы для всех небесных тел.
Для того чтобы сформулировать законы Кеплера, нам придется рассмотреть некоторые геометрические понятия.
157
IV. Представим себе прямой круговой конус (рис. 6.11). Его вершину обозначим 5, ось симметрии — SD, образующую — SK. Если провести сечение поверхности конуса плоскостью, образующей некоторый угол с осью симметрии, например плоскостью ЛЛ,, то в сечении получится замкнутая кривая линия, напоминающая вытянутую окружность — эллипс. Если провести сечение параллельно образующей SKi, то мы получим разомкнутую кривую — параболу. Наконец, если провести сечение параллельно оси симметрии SD, то мы получим также разомкнутую кривую, но несколько другой формы — гиперболу.
Эти три конических сечения были известны еще древнегреческим математикам. Их теорию построил Аполлоний 11ергский во II в. до н. э. Рассмотрим более подробно свойства эллипса.
У эллипса имеется центр симметрн О (рис. 6.12) и две оси симметрии: большая ось ЛЛ|=2а и малая ось ВВу=2Ь. На расстоянии
OF\ =OF.2=c= Ja~ - от центра находятся два фокуса и F.^. Основное свойство эллипса заключается в том, что сумма расстояний от произвольной точки М до обоих фокусов есть величина постоянная, равная длине большой оси: MF\FMF.^=2a. Это позволяет построить эллигю следующим образом. Вбейте два гвоздика в точки, принятые за фокусы. Свяжите в кольцо нить длиной 2а+2с и накиньте ее на гвоздики. Карандаш, натягивающий нить (рис. 6.13), опишет эллипс.
Отношение e=cja называется эксцентриситетом. Он характеризует степень вытянутости эллипса. Окружность можно рассматривать как предельный случай эллипса, у которого обе оси равны, т. е. a=h=r. Расстояние между фокусами равно нулю, н оба они расположены в центре, т. е. с=0, следовательно, и эксцентриситет окружности равен нулю.
V. В 1609 г. и 1619 г. И. Кеплер установил три закона небесной механики.
Первый закон Кеплера: все планеты обращаются вокруг Солнца по эллипсам; в одном из фокусов находится Солнце.
В дальнейшем было доказано, что этот закон применим не только к планетам, но и к их спутникам, а также к двойным звездам. Кометы же и метеориты могут двигаться по параболическим и гиперболическим траекториям. Это позволяет дать более общую формулировку закона движения небесных тел: все небесные тела движутся по траекториям, которые являются коническими сечениями.
Заметим, что ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием (слово «перигелий» образовано от греческих слов peri — около и helios — Солнце), а наиболее удаленная точка называето! афелием (слово «афелий» образовано от греческих слов аро — вдали и helios — Солнце). Кстати, кратчайшее расстояние от Луны или искусственного спутника до Земли называется перигеем, а на ибольшее — апогеем.
158
Рис. 6. I 1
Рис. 6.13
Рис. 6.12
Рис. 6.14
Второй закон Кеплера; радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.
Это показано на рисунке 6.И. Здесь площади секторов F^MM^, F^BB^ и F^DD^ равны. Чем меньше радиус-вектор г, тем больше длина дуги, следовательно, больше орбитальная скорость движения планеты
V. С наибольшей скоростью планета движется в перигелии, с наименьшей — в афелии.
Заметим, что это полностью соответствует закону сохранения энергии. При удалении планеты от Солнца ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая убывает, и скорость движения уменьшается. Наоборот, при приближении планеты к Солнцу ее потенциальная энергия уменьшается, соответственно растет кинетическая энергия, а значит, и скорость орбитального движения. Однако ни И. Кеплер, ни И. Ньютон знать этого не могли. .Закон сохранения энергии был открыт значительно по.зже, в середине XIX столетия.
159
Третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит:
И
а]
Как показали дальнейшие исследования, третий закон Кеплера, как и первые два, применим не только к планетам, но и к их спутникам: естественным и искусственным.
Вопросы для самопроверки
1. В чем состояли трудности системы Птолемея при обьяснепии движения планет? Как он обошел эти трудности?
2. Как объяснил странней; движение планет Н. Коперник?
3. Как обрадуются конические сечения? Как они называются?
4. Какие характерные точки и оси эллипса вам известны?
а. Каково основное свойство эллипса? Как его можно вычертить?
б. Как формулируется первый закон Кеплера?
7. Что такое перигелий; афелий; першей; апогей?
8. Как формулируется второй закон Кеплера; третий .закон?
Упражнения
1. Большая полуось зллнпса равна 15 см, малая полуось — 12 см. Найдите расстояние от центра эллипса до фокуса и эксцентриситет.
2. Во сколько раз расстояние от планеты до Солнца больше в афелии, чем в перигелии? Выразите это отношение через эксцентриситет.
3. Эксцентриситет орбиты Земли равен 0,0167. Сравните расстояние от Земли до Солнца в афелии и перигелии.
4. Решите эту же задачу для Венеры, эксцентриситет орбиты у которой равен 0,0068.
5. Во сколько раз орбитальная скорость движения планеты в афелии меньше, чем в перигелии? Выразите отношение скоростей через эксцентриситет орбиты.
6. Эксцентриситет орбиты Марса равен 0,093. Найдите отношение скоростей движения Марса в афелии и перигелии.
7. За 84 земных года Уран делает один оборот вокруг Солнца. Во сколько раз он дальше от Солнца, чем Земля?
8. Расстояние от Луны до Земли составляет 384 400 км, период ее обращения вокруг Земли составляет 27,3 сут. Каков период обращения вокруг Земли искусственного спутника, находящегося на высоте 600 км от поверхности Земли?
9. Радиолокационными методами установлено, что кратчайшее рас стояние между Землей и Венерой равно 0,28 а.е. Каков период обращения Венеры вокруг Солнца?
160
10. Период обращения Плутона вокруг Солнца составляет но расчетам 247,7 года. На каком расстоянии от Солнца он находится?
11. На рисунке 6.15 точками показаны положения одного из компонентов двойной звезды (у созвездия Девы) в разные годы. Определите период обращения звезды. Сравните скорость движения меньшего компонента в разные годы, например за два года между 1834—1836 гг. и за 23 года между 1903—1926 гг. Какому закону подчиняются эти изменения скорости?
180»
Рис, 6.15
ДОМАШНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
6.1. В ясную ночь найдите на небесной сфере следующие созвездия: Большую Медведицу, Малую Медведицу и Полярную зве;1ду. Зарисуйте положения звезд через каждый час и определите, когда происходит верхняя кульминация звезды, находящейся в конце хвоста Большой Медведицы.
6.2. К плоской доске размером с бумажный лист прикрепите чистый лист бумаги и в центре вбейте гвоздь длиной 20—30 мм. В ясный солнечный день расположите доску горизонтально у окна, выходящего на юг (или выйдите на улицу). На бумаге вы увидите четкую тень гвоздя.
Начиная примерно с 11 до 14 ч каждые 15—20 мин отмечайте положение и длину тени. Вы увидите, что длина тени сперва уменьшается, затем увеличивается. Минимальную длину тень имеет в момент истинного полдня, т. е. когда Солнце находится в верхней кульминации. Отметьте этот момент времени и сравните с показаниями ваших часов. Чем объясняется расхождение между показаниями часов и моментом истинного полдня?
1> .\ Л Пимским
1(>1
Глава 7. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
§ 7.1. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ — ВЕКТОР
I. Для того чтобы ответить на вопросы, почему тела (например, планеты) движутся по тем или иным траекториям и почему меняется скорость их движения, нам понадобятся знания о ряде физических величин, таких, как координата, перемещение, скорость, сила и др. Первое знакомство с этими величинами вы получили в VII классе, однако эти сведения надо углубить и уточнить.
Необходимо также ознакомиться с законами 11ьютона, в частности с основным законом механики, который раскрывает п[)ичину любого изменения состояния механического движения. Наряду с известным вам законом сохранения энергии мы о.знакомим вас еще с одним общим .законом природы — законом сохранения импульса.
Более глубокое знакомство с основами механики mi.i начнем с обобщения понятия перемещение.
II. В VII классе, рассматривая прямолинейное движение материальной точки, мы направляли координатную ось ОХ вдоль направления движения, а перемещение определяли как величину, равную разности координат конечной и начальной точек: 1=х.,—х^. Однако в общем случае, например при криволинейном движении или движении нескольких тел в разных направлениях, так уже поступать нель-зя.
В качестве примера рассмотрим движение тела (материальной точки) по криволинейной траектории, лежащей в плоскости XOY (рис. 7.1). Пусть в момент времени (, тело находилось в точке Л,, в момент времени — в точке Л2 и в момент времени / j — в точке Л,.
Перемещением за время называется направленный
отрезок прямой Л,Л2=/|, за время Та=/.ч—О — отрезок
АА-^= I.,.
I креместиться из точки Л, в точку Л;, можно либо непосредственно по отрезку Л|Лз, либо сначала из точки Л, в точку Л.,, а затем из
точки Л^ в точку Л ,. Мы можем рассматривать перемещение Л,Л;,= /, за время /, как сумму перемещений
/ = / |-Ь /3.
III. Видно, что перемещения складываются не так, как числа, а по другому ;закону — по правилу треугольника: чтобы сложить два перемещения, следует начало второго перемещения со
162
чг
'h
Рис. 7.1
L
вместить с концом первого. Замыкающая сторона треугольника является суммарным перемещением. Оказывается, что это правило применимо ко всем векторным величинам, или, короче, ко всем векторам.
Вектором называется физическая величина, характеризующаяся численным значением и направлением в пространстве. Как видно, перемещение — это тоже векторная физическая величина.
Дальше мы ознакомимся и с другими векторными физическими величинами.
Скаляром называется физическая величина, характеризующаяся только численным значением. Скалярами являются время, масса, плотность, температура, энергия, электрический заряд, сила тока, напряжение и др.
IV. Векторную величину в любой системе координат изображают в виде направленного отрезка (рис. 7.2). Чтобы отличить векторную физическую величину от скалярной, над ее обозначением сверху пишут стрелку, например / , а, Ь.
Лгина отрезка, изображающего вектор (в определенном масштабе), называется модулем. Обозначается модуль символом |<7| или просто а. Модуль — положительная величина. Отрезок, определяемый разностью проекций координат конца и начала вектора на некоторую ось (см. рис. 7.2) называется проекцией вектора на эту ось:
ау=У2~Уе
В .'швисимости от направления вектора его проекция может (в^ть как положительной, так и отрицательной.
Ь*
163
Для вектора, лежащего в плоскости XOY (см. рис. 7.2), модуль можно выразить через проекции с помощью теоремы Пифагора:
а= Jal + al.
Вопросы Л.1Я самопроверки
1. Что называется перемещением?
2. Какие величины называются векторными?
3. Как ск-залываются перемещения?
4. Что называется проекнией вектора на ось координат?
5. Что называется модулем вектора?
6. Какова связь между модулем и проекцией вектора?
Упражнения
1. Лодка плывет поперек реки щнрииой 50 м. Течением реки лодку сносит под углом 30° к берегу. Определите перемещение лодки вдоль реки и ее результирующее перемещение с берега на берег.
2. Самолет пролетает между пунктами Л и В расстояние 60 км. При этом направление его перемещения находится под углом 6()° к направлению ветра, под углом 30° к направлению перемещения под действием двигателя. Определите проекции перемещения на оба указанных направления, если они перпендикулярны друг другу.
3. Каково перемещение груза над строительной площадкой, если кран перемещается с юга на север на 30 м и одновременно груз перемещается вдоль стрелы крана в направлении с востока иа ;запад на 10 м?
4. Координаты начала вектора равны JC|=12 см, г/|=5 см, конца x.,=‘i см, у.,= 11 см. Постройте этот вектор и найдите его проекции на оси координат и модуль.
5. Начало вектора находится в начале координат, а координаты его конца равны х=3 м, у=5 м и г=8 м. Определите модуль этого вектора.
§ 7.2. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
I. Па примере сложения перемещении мы фактически установили правило сложения векторов — правило треугольника: к концу первого вектора прикладывается начало второго, третья сторона треугольника дает сумму векторов (рис. 7.3).
Иногда для сложения векторов пользуются правилом параллелограмма (рис. 7.4). Как видно на рисунке, слагаемые век торы являются сторонами параллелограмма. Результирующий вектор —его диагональ. Таким образом, описанные два правила сложения векторов приводят к одному и тому же результату.
164
II. Сложение нескольких векторов сводится к построению многоугольника: к концу каждого вектора пристраивается начало следующего. Суммой является замыкающая сторона многоугольника, направленная от начала первого вектора к концу последнего (рис. 7.5):
а = Я| +52+5.3+«1 + ^5.
III. Вектором, противоположным вектору Ь , называется вектор, у которого модуль равен модулю исходного вектора, но направление
противоположное (рис. 7.6): с=—Ь.
Отсюда следует правило вычитания векторов (рж. 7.7): чтобы
вычесть из вектора а вектор Ь, надо к вектору а прибавить вектор, противоположный вектору Ь:
7 =а—Ь=а +{-Ь ).
IV. Вектор можно умножить (и разделить) на ска.гяр. При этом модуль вектора соответственно умножается (делится) на данное число, а направление результирующего вектора определяется знаком множителя (делителя): если множитель положительный, то направление вектора сохраняется; если множитель отрицательный, то направление вектора меняется на противоположное.
в
с= - о
Рис. 7.6
Р|К', 7.5
На рисунке 7.8 изображен результат умножения вектора а на 1,5: направление вектора не изменилось, модуль увеличился в 1,5 раза. При делении вектора ci на —2 его направление изменилось иа противоположное, а модуль уменьшился в 2 раза.
Вопросы Л.1Я самопроверки
1,5 а
а
-2
1. Как ск.1алываются два вектора; нсско.1ько векторов?
2. Какой вектор называется иротивопо-южимм .тайному?
3. Как вычесть из одного вектора другой?
4. Какой по.иучается резу-ньтат при умножении вектора на число? .З. Какой получается результат при делении вектора на число?
Рис. 7.8
Упражнения
1. Для чисел справедлив коммутативный .закон-сложения: от изменения порядка слагаемых сумма не меняется. Докажите, что этот закон справедлив и для векторов.
2. Докажите, что сумма вектора с противоположным ему вектором равна нулю.
3. Три равных по модулю вектора, лежащие в одной плоскости, расположены под углом 120° друг к другу. Докажите, что их сумма равна нулю.
4. Два равных по модулю вектора расположены под углом 60° друг к другу. Найдите модуль их суммы.
5. Два равных по модулю вектора расположены под углом 60° друг к другу. Докажите, что модуль их разности равен модулю каждого из них.
6. Докажите, что вектор с = а—Ь противоположен вектору d = = h —а.
§ 7.3. СКОРОСТЬ — ВЕКТОР. МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ
I. Изучая равномерное прямолинейное движение в VII классе, вы определяли скорость как отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого тело перемещалось. Однако в общем случае, когда тело движется неравномерно, а также при движении тела но криволинейной траектории, требуется уточнить понятие скорость.
Пусть тело перемещается по к[)иволииейной траектории (рис. 7.Я) и в момент времени оно находится в точке Л,, а в момент времени ^2 — в точке А.2- Среднюю скорость на этом участке можно опре-
I66
делить как отношение перемещения / к промежутку времени
V = —
II. Средняя скорость на участке — вектор. В самом деле, как было показано в предыдущем параграфе, при делении вектора
/| на скаляр мы получим вектор 0^.,,, направление которого
совпадает с направлением вектора перемещения /,.
Если мы вычислим среднюю скорость на другом участке, например на участке /l.y4.j, то получим другое значение средней скорости 5.2,,р,
которое отличается от как по модулю, так и по направлению (см. рис. 7.9). Еще одно значение средней скорости как по модулю, так и по направлению мы получим на участке (см. рис. 7.9).
III. До сих пор мы характеризовали движение только средней скоростью, которая равна отношению перемещения ко времени. Чтобы исследовать закономерности движения и управлять движением какого-либо тела, необходимо знать скорость его движения в каждой точке траектории, или, что то же самое, в каждый момент времени. Такая скорость называется мгновенной. В особенности важно уметь определять мгновенную скорость движения тела, когда скорость движения меняется как по модулю, так и по направлению.
Для определения мгновенной скорости движения тела в некоторой точке нужно измерить перемещение за такой малый промежуток времени At, за который можно считать скорость практически неизменной. Поэтому можно дать определение: мгновенная скорость равна отношению очень малого перемещения к промежутку времени At, ла которое оно совершилось:
- дГ
Д/’
На рисунке 7.10 представлено движение шарика, брошенного горизонтально с начальной скоростью и„. Положения шарика были зафиксированы с помощью вспышек света через очень малые промежутки времени. Как видим, шарик движется по параболе. Мгновенную скорость шарика в любой точке траектории можно определить но указанной выше формуле.
IV. В курсе математики дается более точное определение мгно-веиной скорости. Расплывчатое, неопределенное словосочетание очень малое» заменяется точным понятием предела. Мгновенная скорость определяется как предел, к которому стремится
отношение Д/ /At при условии, что At стремится к нулю. Такого рода предел называется производной.
Таким образом, оказывается, что мгновенная скорость равна производной от перемещения по времени. При этом вводятся 1акие обозначения:
107
ш
I
Al
А
Ш
Рис. 7.11
Рис. 7.10
- Д/ г,
V = lim -;~1 . д;->0 Д^
Обозначение lim следует читать как предел. (Слово «предел» образовано от латинских слов limes и limitis — граница, предел.) В X классе вы изучите подробно понятие производной и научитесь находить производные различных функций.
V. Мгновенная скорость — величина векторная. Направление мгновенной скорости совпадает с направлением малого перемещения в данной точке. В случае прямолинейного движения вектор мгновенной скорости совпадает с траекторией движения. В случае криволинейного движения вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке.
В этом легко убедиться, представив криволинейную траекторию
168
i
f
в виде суммы малых перемещений /,, /2, /3 (рис. 7.11). Если мысленно брать векторы перемещений за все более убывающие промежутки времени, то в пределе направление вектора средней скорости будет приближаться к касательной, проведенной к траектории. Так как мгновенная скорость равна отнощению малого перемещения к соответствующему промежутку времени, то и она будет направлена но касательной к траектории.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется мгновеииой скоростью?
2. В чем сходтство и различие между средней скоростью и мгновенной?
3. Как соотносятся значения средней скорости тела и мгновенной в любой точке траектории, если .твиженис равномерное и прямолинейное?
Упражнения
1. Определите мгновенную скорость шарика в точке А по рисунку 7.10, если вспышки следуют через 0,04 с. Масштаб 1 дел.
на рисунке соответствует 4,0 см в натуре.
2. Материальная точка движется по окружности. Как направлен
вектор мгновенной скорости в любой точке траектории?
3. Как направлен вектор скорости планеты в перигелии; в афелии?
4. Как направлен вектор скорости Луны в перигее; в апогее?
§ 7.4. первый закон НЬЮТОНА. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА
I. Для того чтобы описать движение какого-либо тела, надо другое тело условно принять .за неподвижное и относительно его рассматривать движение данного тела. Тело, которое принято за неподвижное, называется телом отсчета. Так, в геоцентрической системе телом отсчета является Земля, в гелиоцентрической системе — Солнце.
Для описания движения тела (а точнее, материальной точки) нам нужно ввести систему координат, а также установить систему синх-рони.зированных часов, т. е. часов, показывающих одно и то же время. (Слово «синхронизация» образовано от греческих слов .syn — вместе и chrono.s — время.) Синхронизация часов обычно осуществляется с помощью радиосигналов (сигналов точного времени).
Тело отсчета, связанная с ним система координат и совокупность синхронизированных часов называются системой отсчета.
Говоря в дальнейшем о движении тела, мы будем подразумевать, что система отсчета уже выбрана и относительно этой системы отсчета рассматриваются траектория и координаты движущейся точки как (|)ункции времени, а также мгновенная скорость и др.
169
II. Наблюдения показывают, что тело, находящееся в покое относительно системы отсчета, само собой двигаться не начнет. На него должны подействовать другие тела. Однако, когда тело приведено в состояние движения с какой-то скоростью, встает вопрос: сохранится ли эта скорость, или она изменится со временем?
На Земле трудно избавиться от действия других тел на тело, которое нас интересует. В самом деле, на тело всегда действует притяжение Земли, т. е. сила тяжести. К]юме того, действуют силы трения, сопротивления воздуха, а если на теле есть еще и электрический заряд, то будут действовать электрические и магнитные поля. Следовательно, скорость тела будет меняться и тело будет или тормозиться, или, наоборот, ускоряться.
Еще более 300 лет тому назад Г. Галилей путем рассуждений пришел к выводу, что если на тело не действуют другие тела (т. е. не действуют силы), то это тело движется прямолинейно и равномерно; его скорость не меняется ни по модулю, ни по направлению.
С этим явлением — явлением инерции — вы уже познакомились в VII классе. Закон инерции был включен И. Ньютоном в основу механики, и потому этот закон называют первым законом Ньютона. В своей книге «Математические начала натуральной философии» (так тогда называли физику), которую И. Ньютон издал в 1687 г., в определении III ои писал: «Всякое отдельно взятое тело, поскольку оно п|)едоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».
В настоящее время этот закон проверен эксиеримеиталыю в космическом корабле, когда наступает состояние невесомости.
III. Обращаем ваше внимание на то, что приведенная выше формулировка первого закона Ньютона не является достаточно точной. Речь идет о том, что скорость тела не меняется. Но говорить о скорости можно только в том случае, когда указана система отсчета, относительно которой рассматривается движение тела. Встает вопрос: во всех ли системах отсчета выполняется закон инерции?
Существуют системы отсчета, где .закон инерции не выполняется. Такие системы отсчета называются неинерциальными. Так. допустим, вы находитесь в вагоне, который резко тормозит. В этот момент вы чувствуете, что вас бросает вперед в направлении движения вагона, ('.ледовательно, скорость вашего движения относительно вагона изменилась, хотя нет никаких сил, которые подтолк[1ули вас вперед. Таким образом, система отсчета, связанная с вагоном, у которого вне;запно уменьшается скорость, а следовательно, меняется и ваши скорость, оказывается неинерциальной системой отсчета, т. е. относительно этой системы отсчета закон инерции (первый закон Ньютона) не выполняется.
Вспомним, как движутся все звезды на небесной сфере. За сутки они описывают концентрические окружности с центром, находящимся в Полюсе мира (вблизи Поля[)ной звезды). Но ведь звезды находятся друг от друга на гигантских расстояниях и практически не взапмо-
170
L
действуют друг с другом и с какими-либо другими телами. И все же оказывается, что в системе отсчета, связанной с вращающейся вокруг своей оси Землей, звезды движутся не прямолинейно, а по окружности. Значит, геоцентрическая система является неинерциальной системой и в ней закон инерции вообще не выполняется.
IV. Встает вопрос: существуют ли все же системы отсчета, в которых закон инерции выполнялся бы? Одну такую систему отсчета вы знаете: это гелиоцентрическая система Коперника. В этой системе отсчета все тела, не взанмодщйствующне с другими телами, либо покоятся относительно тела отсчета (Солнца), либо движутся равномерно и прямолинейно. А если тело в этой системе отсчета движется неравномерно и непрямолинейно (например, планета), то всегда можно указать другое тело, с которым оно взаимодействует. Так, планеты взанмоде11ствуют с Солнцем, а также д))уг с другом. Луна взаимодействует с Землей и т. д. К этому вопросу мы еще вернемся в § 7.13—7.15.
Итак, существуют системы отсчета, в которых закон инерции выполняется. Такие системы называются инерциальными системами отсчета. Это высказывание позволяет нам дать точную формулировку первого закона Ньютона (закона инерции): существуют системы отсчета, относительно которых все тела, не взаимодействующие с другими телами, находятся в состоянии покоя или движутся равномерно и прямолинейно.
V. Понятие инерциальной системы отсчета является идеализацией. В самом деле, невозможно указать строго инерциальную систему отсчета, потому что любая система отсчета, как правило, обязательно связана с какими-нибудь телами (например, с телом отсчета), а все тела в природе в той или иной мере обязательно взаимодействуют друг с другом.
11оэтому следует указывать системы отсчета, которые надо считать инерциальными ^тля данного круга рассматриваемых задач.
Так, существует ряд явлений, например механические, тепловые, электромагнитные, на которые практически не влияет вращение Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца. Для этой совокупности явлений геоцентрическую систему с большой степенью точности можно считать ине|)циальной. Однако в астрономических наблюдениях, где суточное и годичное движение Земли играет принципиальную роль, ( еоцентрическую систему нельзя считать инерциальной. Практически строго инерциальной является гелиоцентрическая система.
VI. Оказалось, что все законы механики, а точнее все законы физики, имеют наиболее простой вид именно в инерциальных системах отсчета. Описание движения тел в неинерциальных системах отсчета оказывается более сложной задачей, и мы этим заниматься не будем. Поэтому в дальнейшем, формулируя законы механики и решая соответствующие задачи, мы будем понимать, что все это относится к явлениям в инерциальных системах отсчета. Спе-цналыю оговариваться это уже не будет.
171
Вопросы для самопроверки
1. Что называется телом отсчета?
2. Что предс'гавляст собой система отсчета?
3. Как формулировали закон инеркии Г. Гатилей и И. Ньютон? В чем недостаточная точность этой формулировки?
4. Какая система отсчета называется инерциатыюй?
5. Какова точная формулировка первого закона Ньютона?
Упражнения
1. Поезд (электричка) трогается с места и набирает скорость. Что при этом чувствуют пассажиры в вагонах? Является ли инерциальной та система отсчета, кото[>ая связана с одним из вагонов?
2. В вагоне поезда, который набирает скорость, на полу лежит кегельный шар. Сохранит ли он свое состояние покоя? Если нет, то как будет двигаться? Выполняется ли в этом вагоне закон ине|)-ции?
3. Докажите, что геоцентрическая система в общем случае не является инерциальной системой отсчета.
§ 7.5. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
I. После того как мы установили существование инерциальных систем отсчета, надо выяснить, сколько же таких систем отсчета вообще существует: одна или множество? Оказывается, что любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно некоторой инерцисыьной системы отсчета, тоже является инерциальной.
Действительно, пусть в нското1)ой системе отсчета на исследуемое тело не действуют никакие силы. Следовательно, это тело движется с постоянной скоростью, т. е. скорость тела не меняется ни по модулю, ни по направлению. В другой системе отсчета, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно, исследуемое тело будет двигаться с Д()угой скоростью, но опять же с постоянной по модулю и направлению. Таким обра.зом, обе эти системы в одинаковой мере инерциальны.
II. Впервые это установил Г. Галилей. Вот что он писал в своей книге «Диалог о двух важнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой» (1632): «Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-либо корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими и летающими насекомыми; пусть будет у вас там большой сосуд с водой с плавающими в нем маленькими рыбками; подвесьте, далее, наверху ведерко, и.з которого вода будет падать капля ;за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внн.зу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все CTopotibi помещения: рыбы, как
172
вы увидите, будут плавать безразлично во всех направлениях; все падающие капли попатут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же; и если вы будете прыгать cjiaay двумя ногами, то сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом направлении. Прилежно наблюдайте все это, хотя у вас не возникает никакого сомнения в том, что, когда корабль стоит неподвижно, все должно пронсходит1> именно так.
Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту или другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется корабль или стоит неподвижно. Прыгая, вы переместитесь по полу на то же расстояние, что и раньше, и не будете делать бо.Ш)Ших прыжков в сто[)ону кормы, чем в сторону носа, на том основании, что корабль движется, хотя за то время, что вы будете в во;здухе, иол под вами будет двигаться в сторону, противоположную вашему прыжку; и, бросая какую-нибудь вещь вашему товарищу, вы не должны будете бросать ее слишком сильно, когда он будет находиться на носу, а вы на корме, чем когда ваше взаимное положение будет обратным; капли, как и ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет ближе к корме, хотя, пока капля находится в воздухе, корабль пройдет много пядей; рыбы в воде нс с большим усилием будут плыть к передней, чем к задней, части судна... И причина согласованности всех этих явлений заключается в том, что движение корабля обще всем находящимся на нем предметам, так же как и воздуху...»
Эти рассуждения Г. Галилей исполызовал для того, чтобы объяснить противникам теории Коперника, почему мы не ощущаем движения Земли вокруг Солнца. Но при этом он установил весьма общий принцип, названный позднее принципом относительности Галилея: во всех инерциальных системах отсчета законы механики одинаково справедливы, или можно сказать короче; все инерциальные системы отсчета равноправны.
III. Из этих рассуждений и многих иных явлений следует, что никакой механический эксперимент не позволяет обнаружить движение инерциальной системы отсчета путем наблюдений, проведенных внутри этой системы. Значит, об абсолютном покое или абсолютном движении тел не может быть и речи. Можно говорить лишь об относительном движении тела в какой-либо инерциальной системе отсчета.
Из факта равноправия всех инерциальных систем следует, что при одинаковых начальных условиях тела движутся совершенно одинаково в любых инерциальных системах отсчета. Д 1о есть одна из формулировок принципа относительности Галилея.
IV. В 1905 г. А. Эйнштейн пришел к выводу, что принцип отно-«||И'ЛЫ10сти является одним из самых фундаментальных .законов при-
173
роды, который применим не только к механическим, но и к тепловым, звуковым, электромагнитным, оптическим и другим явлениям. К аналогичному выводу пришел и А. Пуанкаре. Такое совпадение выводов позволило сформулировать общий закон, который был назван принципом относительности Эйнштейна и имел следующую формулировку: во всех инерциальных системах отсчета все законы природы одинаковы.
Этот принцип явился одной из основ современного физического миропонимания.
Вопросы Д.1Я самопроверки
1. Сколько инерциальных систем отсчета существует? Как они свя.тамы между собой?
2. Какими примерами Г. Галилей обосновывал одинаковый ход явлений в неподвижном и движущемся корабле?
3. Как формулируется принцип относительности Галилея?
4. Как формулируется принцип относительности Эйнштейна?
Упражнения
1. Вы находитесь в каюте корабля, который плывет по реке. Окна каюты закрыты. Можете ли вы с помощью какого-либо опыта определить, корабль плывет или стоит на месте?
2. Вот одно из опровержений принципа относительности. Находясь в вагоне, я выпустил из рук монету, и она упала на пол, двигаясь по вертикальной прямой. Мальчик, стоявший на перроне, увидел, что монета падала по криволинейной траектории — по параболе (рис. 7.12). Вагон двигался относительно перрона равномерно и прямолинейно, однако траектории в обеих системах отсчета ока-
Рис. 7.12
174
зались разные. Выходит, что принцип относительности несправедлив. Где ошибка в данном рассуждении?
3. Скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца почти постоянная (см. § 6.7) и равна 30 км/с. Гелиоцентрическая система отсчета является инерциальной. Почему же геоцентрическая система отсчета неннерциальная?
§ 7.6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
I. Из повседневного жизненного опыта вы знаете, что действие, которое может совершить движущееся тело, зависит от его массы и скорости. Так, например, если мяч, летящий с болыпо(1 скоростью, футболист может остановить ногой или головой, то вагон, дви-жущиГ|ся по рельсам даже очень медленно, человек не остановит. Теннисный мяч, попадая в человека, вреда не причиняет, однако пуля, которая меньше по массе, но движется с большой скоростью (600—800 м/с), оказывается смертельно опасной. Молотки разной массы могут оказать одинаковое действие на забиваемый гво.здь при условии, что скорость молотка с меньшей массой при ударе должна быть во столько раз бсхныпе, во сколько раз меньше массы другого молотка его масса. Таким образом, всякое движущееся тело можно характеризовать физической величиной, учитывающей как массу, так и скорость этого тела. Такую физическую величину назвали импульсом тела или количеством движения.
Импульсом тела называется произведение массы тела на скорость, с которой это тело движется: р =/?/5. Так как масса тела скалярная, а скорость — векторная величина, то импульс тела тоже является векторноС! величиной. I (аправленне вектора импульса тела совпадает с направлением вектора скорости. Единица импульса
тела I кг • м • с~'.
II. В VII классе был введен один из методов сравнення масс двух тел. Напомним его.
Пусть два тела сначала покоятся в дайной инерциальной системе отсчета, а затем в результате какого-либо взаимодействия друг с другом они начинают двигаться в противоположных направлениях
со скоростями У| и (рис. 7.13). Тогда по определению отношение их масс должно быть обратно пропорционально отношению модулей ирнобретенных скоростей: mjm2=v.jt\, из чего следует, что в процессе взаимодействия оба тела приобретают равные по модулю импульсы: m.2V.,=m^v^ или 1/>^1=1Д|1. Если же >'честь, что эти импульсы как векторы направлены в противоположные стороны, то последаяя laiiiicb в векторной форме будет выглядеть так: р.^ = -Р]. И следо-
нагельно р,,-Ь/7|=0. Проанализируем этот результат подробнее.
III. Прежде всего учтем, что в нашем примере мы рассмотрели таимодействие двух тел только друг с другом. Так поступают только
175
tr,
Phc. 7.13
1’ис. 7.14
В ТОМ случае, если можно пренебречь побочными эффектами. Кроме того, надо вспомнить понятие «замкнутая система тел».
Систему тел считают замкнутой, если внешними взаимодействиями по сравнению с внутренними в ней можно пренебречь. В опыте VII класса, который упоминается выше, система двух тел, взаимодействующих друг с другом, с хорошей степенью точности рассматривалась как замкнутая система. Надо обратить внимание и на то, что до взаимодействия оба тела покоились; импульс каждого из них был равен нулю. После взаимодействия импульсы тел изменились, ио суммарный импульс всей системы все равно остался равным нулю.
Мы приходим к очень важному выводу: суммарный импульс замкнутой системы в результате происходящих внутри системы взаимодействий не меняется. Это один из основных законов природы, называемый законом сохранения импульса. Справедливость этого закона подтверж^тается всей совокупностью физических знаний.
IV. Сформулированный вывод получили из анализа поведения двух тел, покоившихся до взаимодействия. Оказывается, что этот вывод является совершенно общим, справеддивы.м для любой замкнутой системы, состоящей из произвольного числа тел, взаимодействующих друг с другом произвольным образом. Каковы бы ни были импульсы этих тел до взаимодействия и как бы они ни изменились в результате взаимодействия, их суммарный импульс при этом не меняется.
Далее мы докажем, что закон сохранения импульса связан с законами Ньютона.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется импульсом тела?
2. Является ли импульс те.1а векторной или ска.1ярной величиной?
3. Какая система тел называется замкнутой?
4. Как формулируется закон сохранения импульса?
Упражнения
1. Определите импульс спутника Земли, обращающегося вокру!
нее со скоростью 8 км/с. Масса спутника равна 3 т.
2. Снаряд массой 120 кг вылетает из канала ствола со скоростью
I76
800 м/с. С какой скоростью откатилась бы назад пушка массой 2 т, если бы у нее не было противооткатного устройства?
3. На скользком столе лежит брусок массой 600 г. Нуля массой
9.0 г, летящая со скоростью 500 м/с параллельно поверхности стола, попадает в брусок и застревает в нем (рис. 7.14). С какой скоростью станет двигаться брусок?
4. Железнодорожный вагой массой 60 т движется со скоростью
2.0 м/с и сцепляется с неподвижным вагоном, масса которого 30 т. Какова скорость вагонов после сцепки? Участок пути прямолинейный. (Трением пренебречь.)
5. Мальчик катится на скейтборде со скоростью 3,0 м/с. Масса мальчика и скейтборда равна 55 кг. Его догоняет девочка массой 30 кг, движущаяся со скоростью 5,0 м/с, и прыгает на скейтборд. Какова скорость их движения иа скейтборде после прыжка девочки?
6. Хоккеист массой 50 кг движется со скоростью 8 м/с и ударяет клюшкой в направлении своего движения по шайбе массой 0,5 кг. После удара шайба движется со скоростью 100 м/с. Какова скорость хоккеиста после удара клюшкой?
§ 7.7. РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ
I. На основе закона сохранения импульса можно объяснить .движение ракеты. Устройство ракет и реактивных двигателей мы рассмотрели в VIII классе. Выясним теперь, как ракету можно запустить, затормозить, изменить направление се движения.
Независимо от конструкции всякая ракета состоит из двух частей; оболочки и топлива с окислителем. В твердотопливной ракете используются специальные сорта пороха, в жидкотопливиой ракете в качестве топлива исполызуются горючие жидкости (например, керосин, жидкий водород), а в качестве окислителя — чаще всего жидкий кислород. Оболочка ракеты имеет выходное сопло, представляющее собой одно или несколько отверстий специальной фо{)мы. Из этих отверстий вытекают продукты сгорания, основой которых является ia:i с высоким давлением и высокой температурой, вырывающийся из сопла с огромной скоростью; до 4 км/с.
На рисунке 7.15 изображена трехступенчатая космическая ракета. Здесь / — жидкостный реактивный двигатель; 2 — бак горючего; Л — бак окислителя; 4 — приборный отсек с системой управления. 11оследняя ступень несет полезный груз 5 (космический корабль) и пиювпой обтекатель 6. Все три ступени в принципе одинаковые, III) мощности двигателей у них разные.
II. Рассмотрим, как производится запуск ракеты. В реактивный тигатсль первой ступени подаются жидкое топливо и окислитель. 11родукты сгорания, образующиеся после поджигания смеси, выры-иаипся с большой скоростью из сопла. Для простоты расчета пред-мпложим, что все топливо выгорело сразу и продукты сгорания при-
177
I Космический
корабль
Третья
ступень
Вторая
ступень
Первая
ступень
1>ис. 7.15
Рис. 7.16
обрели импульс р^—ти, где гп — масса сгоревшего топлива вместе с окислителем, й — скорость истечения газов.
Оболочка [>акеты и продукты сгорания образуют практически замкнутую систему. Следовательно, оболочка вместе со второй и третьей
ступенями приобретает импульс р =—p^=Mv, где М — масса оболочки и всех остал1>ных частей ракеты, д — их скорость. Итак, оставшаяся часть ракеты будет двигаться со скоростью v =—ши/М в направлении, нротивоположном направлению истечения продуктов сгорания.
III. После того как полностью сго|)ает топливо первой ступени и расходуется окислитель, баки горючего и окислителя этой ступени превращаются в лишний балласт. Поэтому они автоматически отбрасываются, и дальше разгоняется уже меныиая масса Л1,, которая равна сумме масс второй и третьей ступеней. Уменьшение массы позволяет получить существенную экономию топлива и окислителя во второй ступени и увеличить ее скорость.
Вторую ступень постигает та же участь, что и первую. После выгорания в ней топлива и окислителя она также отбрасывается. При этом оставшаяся часть ракеты, рапная массе Л/.„ приобретает еще большую скорость.
Если не планируется возвращение космического корабля на Зем лю, то третью ступень также используют ;Тля того, чтобы сообщить кораблю дополнительную скорость. Если же космическт'! кораб.пь должен вернуться на Землю, то перед спуском его надо затормози и. (иначе он может сгореть при вхождении в атмосферу). Для тормо
178
ження ракету разворачивают иа 180°, сопло оказывается впереди, и вытекающие из сопла продукты сгорания сообщают космическому кораблю импульс, направлсииын против скорости его движения, что и приводит к умепынению скорости, а следовательно, и к торможению ракеты.
Ма 1)исуике 7.16 изображена схема полета многоразового американского космического корабля «Спейс Шаттл», где / — запуск корабля: 2 — отделение ступеней (первая ступень); 3 — парашютная посадка ускорителей; 4 — отделение топливного бака; 5 — орбитальный полет; 6 — разворот и торможение корабля перед входом в атмосферу; 7 — посадка на космодроме. Аналогично осуществляется полет многоразового космического корабля «Буран».
IV. Впервые идею использования ракет /щя космических полетов выдвинул в начале XX столетия К. Э. Циолковский. Ему же принадлежит идея исполыювания многоступенчатых ракет и ряд других важных принципов космонавтики. Однако лишь спустя полвека удалось реализовать мечту человечества о выходе в космическое пространство. Большую роль здесь сыграли работы С. П. Королева.
В нашей стране 4 октября 1957 г. был запущен первый искусственный спутник Земли (ИСЗ), что явилось началом развития космонавтики. Через полгода, 2 февраля 1958 г., ИСЗ был запушен в США. Затем ИСЗ стали запускать Италия, Франция, Канада, ФРГ, Япония, Китай и Великобритания. В настоящее время ежегодно запускаются сотни ИСЗ ддя радиосвязи, телевидения, исследования атмосферы, фотографирования поверхности Земли и т. д.
V. На космическом корабле «Восток» 12 апреля 1961 г. полет вокруг Земли впервые осуществил космонавт Ю. А. Гагарин. С помощью корабля «Аполлон-11» американские астронавты Н. Армстронг и Э. Олдрин 16 июля 1969 г. впервые высадились на поверхности Луны. В настоящее время с помощью космических кораблей успешно иссле,туются планеты Солнечной системы. Российские межпланетные станции «Венера», «Марс», «Вега» и американские станции «Вояджер» и «Пионер» позволили исследовать атмосферу и поверхность Венеры и Марса, получить детальные фотографии с относительно близкого расстояния всех планет и их спутников.
Исследования космического пространства позволили получить |1ск.лючителы10 важные сведения о строении Солнечной системы. Вместе с тем они имеют очень важное практическое значение: решаются проблемы метеорологии и картографирования поверхности .Земли, ведется поиск полезных ископаемых, осуществляется глобальная космическая связь, телевидение, телефония и т. д. В ||е(К'пективе — полет космонавтов на Марс, полное картографирование Венеры, исследование далеких планет (Урана, Нептуна, Плу-тна), создание обитаемых поселений на Луне.
VI. Заметим, что по существу почти всякое изменение характера •ишжеиия — это реактивное движение и происходит оно по закону сохранения импульса. В самом деле, когда человек идет или бежит.
179
oil отталкивает ногами Землю назад. За счет этого он сам продвигается вперед. Конечно, скорость Земли при этом оказывается во столько же раз меньше скорости человека, во сколько раз масса Земли больше массы человека. Именно поэтому мы движение Земли не замечаем. А вот если вы из лодки п|)ыгнете на берег, то откат лодки в противоположном направлении будет вполне заметен.
Вопросы для самопроверки
1. Как движется ракета?
2. Может ли ракета двигаться в вакууме?
3. С какой целью космические ракеты делают многоступенчатыми?
4. Как можно затормо.тить ракету?
5. Какие успехи в развитии космонавтики вам известны?
Упражнения
1. Объясните, каков механизм работы гребца на лодке.
2. Объясните, как движется моторная лодка.
3. Докажите, что движение автомобиля — это по существу реактивное движение.
4. .Мальчик массой 40 кг перешел с кормы иа нос лодки. Масса лодки равна 100 кг, длина 2,5 м. На какое расстояние переместится лодка назад?
5. Масса реактивного снаряда на установке «Катюша» равна
42,5 кг, а скорость 355 м/с. Продолжительность сгорания пороха в снаряде равна 0,7 с. Считая, что порох сгорает мгновенно, а скорость истечения продуктов сгорания равна 2,0 км/с, определите массу порохового заряда.
6. Ракета-носитель «Союз» состоит из трех ступеней, причем первая ступень состоит из четырех двигателей (ЖРД), вторая и третья ступени содержат по одному ЖРД. У четырехступеичатой ракеты-носителя «Протон» первая ступень содержит шесть двигателей, вторая — четыре, а третья и четвертая ступени — по одному двигателю. Объясните, почему они так сконструированы.
7. Космический корабль массой 10 т движется со скоростью
9,0 км/с. Для торможения корабль выбрасывает в направлении движения 1450 кг продуктов сгорания со скоростью 3,0 км/с относительно корпуса. Какова скорость корабля после торможения?
§ 7.8. второй закон НЬЮТОНА — ОСНОВНОЙ ЗАКОН
ДИНАМИКИ
I. Все тела в природе взаимодействуют друг с другом, в результате чего изменяются их скорости (импульсы) как по модулю, так и по направлению. Основная .задача динамики может быть сформулирована следующим обра,чом: определите закон движения материальной точки (т. е. выразите ее координаты в виде функций в|)е-
180
мемн), если известно, как данная материальная точка взаимодействует с окружающими ее телами.
Безусловно, интерес представляет и обратная задача: определите характер взаимодействия материальной точки с окружающими телами, если известен закон ее движения.
Решение этих ;задач основано на применении законов Ньютона, в частности на втором законе Ньютона, который часто называют основным законом динамики.
II. Из опыта известно, что при действии па движущееся тело другого тела импульс первого меняется. Так, пуля, попавшая в ствол дерева, останавливается. Молот при ударе о наковальню отскакивает. Бильярдный шар при ударе о борт меняет направление скорости. При соударении двух шаров меняются их скорости как по модулю, так и по направлению, следовательно, также меняются их импульсы. При равномерном движении тела по окружности меняется лишь направление импульса, а его модуль остается постоянным. От чего же зависит изменение импульса тела? На этот воп()ос отвечает второй закон Ньютона.
Но, чтобы сформулировать этот закон, необходимо вспомнить понятие «сила», которое мы ввели в VII классе. Си.юй называется физическая величина, которая служит мерой (количественной характеристикой) действия на данное тело других тел. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить не о действии окружающих тел на данное тело, а о действии силы на данное тело.
III. В своей знаменитой книге «Математические начала натуральной философии» И. Ньютон сформулировал вто|)ой ;закон aie-/Тующим образом: изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Упомянутое И. Ньютоном понятие «количество движения» в паше время называется импульсом тела: p=mv. Второй закон Ньютона формулируют следующим образом: сила равна изменению импульса в единицу времени.
Исходя из этого определения можно записать:
: _Др _ Р>-Р\ _ r?tv.,-riwt
Л1
Л,-/,
Так как и сила, и импульс — векторы, то направление изменения импульса совпадает с направлением приложенной силы.
IV. Математическая формулировка второго ;закона Ньютона, строго говоря, применима лишь в том случае, когда к телу приложена постоянная сила, т. е. сила, не меняющаяся ни по модулю, ни по
направлению (/^=соп51). Примером может служить сила тяжести на неболыиих высотах над поверхностью Земли iP-rng) или сила сухого трения (F^p=pV).
181
Если же сила меняется, то в дам11оГ| формуле нужно взять мгновенное значение изменения импульса, т. е. перейти к пределу при условии, что н[)омежуток времени стремится к нулю:
Р= lim д/-»о А1
Как мы уже говорили в § 7.3 при анали.зе понятия «мгновенная скорость», предел такого рода называется производной. Следовательно, для случая действия произвольной силы второй закон Ньютона можно сформулировать так: сила равна производной от импульса по времени. Итак. F=p'(t).
V. Как быть, если на тело (материальную точку) действует не одна сила, а несколько сил? В таком случае нужно все зти силы сложить н найти их векторную сумму, которая называется равнодействующей (результируюнгей) силой. В формулировке второго закона самим Ньютоном под действующей силой и предполагается равнодействующая всех сил, действующих на тело:
R = F^ + F.,-^F;-h... = p'U).
Вопросы Д.1Я самопроверки
1. В чем заключается основная за;1ача динамики?
2. Что такое сила?
3. Как формулируется второй закон Ньютона?
4. Как форму.'шруется второй закон Ньютона, если на тело (материальную точку) действуют несколько сил?
Упражнения
1. Нуля массой 9,0 г в течение 2,0 • 1 ' с пробивает деревянную доску. При этом ее скорость уменьшается с 600 до 200 м/с. Навдите силу сопротивления, которое доска оказывает пуле.
2. Автомобиль, движущийся со скоростью 60 км/ч, резко затормозил на асфальтированном шоссе. Коэффициент трения равен 0,4. Покажите, что время торможения не зависит от массы автомобиля, и определите это время. (Указание. Считайте, что
торможение вызвано исключительно силой трения покрышек об асфальт.)
3. На тело действуют две силы под прямым углом: 10 Н и 30 Н. Масса тела равна 20 кг. начальная скорость равна нулю, время действия сил равно 4 с. Какова будет скорость тела после прекрашения действия сил?
4. На графике (рис. 7.17) показан ход изменения скорости движения автомобиля. 1 Ьстройте график изменения равнодействующей силы, дейстЕзующей на автомобиль. Масса автомобиля paBEia 5 т.
§ 7.9. УСКОРЕНИЕ. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
I. 13 выражении для второго закона Ньютона выЕЕесем массу за скобки (см. § 7.8) и получим уравнение
w(u._,-tJ|) _mAv ~ 1,-t^ м •
Физическая величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, называется ускорением:
(Vj-Vf) _ Ад
U-t, АГ
Ускорение — это векторная физическая велнчиЕЕа. ЕдннЕщей ус-кореЕЕИя является 1 м/с^. Исходя из этих двух уравнений второй закон Ньютона можно записать и так:
а =
г —та,
т. е. сила равна произведению массы на ускорение, еелее
а =F /гп,
т. е. ускорение пропорционально действующей силе (при заданной массе тела) и обратно пропорционально массе тела (при заданной силе).
Заметим, что все указанЕЕые формулировки второго ;закона Нью-тоЕЕа равносЕЕЛьны и из каждой выводятся все остальные.
II. Определение ускорения, приведеЕЕНое выше, пригодно только для случая, когда ускореЕЕие постоянно как по модулю, так и по наЕЕравленЕЕЕо. Чтобы пoлy^EElть мгновенное ускорение, следует взять измеЕЕенЕЕе скоростЕЕ .за бесконечЕЕо малЕ>ЕЙ промежуток вре-меЕЕЕЕ, как мы это делалЕЕ в § 7.3 при определении мгиовенЕЕОй скорости нлЕЕ в § 7.8 при строгой формулировке второго закона Ньютона:
а = Пен ^=u'{f). л/-»п л;
Итак, ускорение является производной от вектора скорости по времени.
183
III. Рассмотрим случай, когда тело движется по некоторой прямой и на него действует постоянная сила, направленная по этой же прямой. Тогда и ускорение будет постоянным, а тело будет двигаться равноускоренно.
Пусть какая-либо ось координат направлена вдоль прямолинейной траектории. Примем момент времени /,, когда тело (материальная точка) находится в какой-либо точке, за начало отсчета времени: /,=0. Скорость в этой точке назовем начальной скоростью щ, ее
проекцию на ось абсцисс обозначим Момент времени, когда тело находится в другой точке, обозначим (произвольный момент
времени), мгновенную скорость обозначим v-i = v, а ее проекцию на ось абсцисс обозначим v^.
Тогда вектор ускорения
а =
t
а проекция ускорения на ось (например, на ось абсцисс)
а = -
I
Отсюда следует
Итак, при равноускоренном движении (F=const, a=Ffm= =const) мгновенная скорость является линейной функцией времени.
График этой зависимости для проекций пока.зан на рисунке 7.18, причем на рисунке 7.18, а изображен случай, когда сила и ускорение имеют одинаковое направление с начальной скоростью, а на рисунке 7.18, б — случай, когда сила и ускорение направлены противоположно начальной скорости.
IV. Поскольку скорость является линейной функцией времени, средняя скорость оказывается равной полусумме значений начальной и конечной скоростей. В проекциях на ось абсцисс имеем (см. рис. 7.18)
t'A- + fOx t'OA + Чх‘ +
Ox
aJ
= ^0x+^-
2 2
Это позволяет нам найти перемещение:
1=х-х„==VoJ+а//2.
Отсюда следует закон движения материальной точки под действием постоянной силы: x=x^)+v^fJ+aJ^/2.
Мы видим, что при равноускоренном движении координата материальной точки является квадратичной функцией времени. V. В VII классе мы без вывода ввели выражение для кинетической энергии: E^=mu^l2. Этой формулой пользовались постоянно, в частности при анализе механических колебаний. Покажем, что это выражение можно вывести с помощью второго закона Ньютона.
Пусть вдоль оси абсцисс материальная точка движется под действием постоянной силы, направленной вдоль этой же оси. Пусть в некоторой точке скорость тела равна 0|, в другой точке
скорость тела равна щ и эти векторы также направлены по оси абсцисс.
Вам известно, что работа силы равна произведению силы на перемещение. По при равноускоренном прямолинейном движении
перемещение /=и^,р^=—у силы равна:
A=Fl=mal=m
■t, ускорение а=-
а,-у,
(
. Тогда работа
2
V.2+ Vf mv-i
т v\
С другой стороны, работа силы равна изменению кинетической энергии:
Сравнив оба выражения для работы, получим E^=mv~j2.
Boil рисы для самопроверки
1. Какая величина называется вектором?
2. Является ли ускорение векторной или скатярной величиной?
3. Какая свя.зь существует между силой и ускорением?
4. Какие формулировки второго закона Ньютона вам известны?
5. Какое движение называется равноускоренным?
(). Как онреде.1ить ускорение в смучае произвольного переменного движения?
185
7. Какой функцией времени является скорость при равноускоренном движении материальной точки?
S. Как выглядит график скорости, если на тело действует постоянная сила, имеющая одинаковое направление с начальной скоростью?
9. Как выглядит i рафик скорости, если на тело действует постоянная сила, направ.1енная нротивопаюжио начальной скорости?
10. Чему равна средняя скорость тела при равноускоренном движении?
I I. Какой функцией времени яв.1яегся координата при равноускоренном движении материальной точки?
Упражнения
1. С каким ускорением движется автомобиль, если за 15 с его скорость увеличивается: была 2,0 м/с, стала 7,0 м/с?
2. По условию предыдущей задачи найдите силу, действующую на автомобиль, если его масса равна 6 т.
3. Автомобиль, движущийся со скоростью 60 км/ч, резко тормозит и останавливается в течение 2,5 с. С каким ускорением он движется? Каков смысл отрицательного значения ускорения?
4. Велосипедист спускается с горы с постоянным ускорением, равным 0,8 м/с^. Какую скорость будет иметь велосипедист через 10 с, если его начальная скорость была 2,0 м/с.
5. Лыжник из состояния покоя спускается с горы с постоянным ускорением 0,5 м/с^. Какова будет его скорость через 20 с? Каково перемещение лыжника за это время?
6. Через 20 с спуска (см. ;^адачу 5) лыжник тормозит с ускорением, равным —2,0 м/с^. Каково перемещение лыжника при его торможении? Сколько времени движется лыжник от момента торможения?
7. Начертите график скорости движения лыжника (см. задачи 5, 6) и ответьте на поставленные вопросы по графику, вспомнив, как определяется ускорение по графику скорости равноускоренного движения.
8. Автомобиль, двигаясь с начальной скоростью 10 м/с, тормозит с ускорением, равным —2,5 м/с^. Каков его тормозной путь? Сколько времени пройдет с момента торможения до остановки?
§ 7.10. СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
I. Замечательным примером равпоускоренпого движения в природе является свободное падение тел, т. е. движение тела под действием силы тяжести. Напомним, что впервые оно было исследовано Г. Галилеем. Он установил, что если иа падающие тела действует только сила тяжести и пе действует сопротивление воздуха, то все они движутся одинаково, т. е. с одним и тем же постоянным для данного места поверхности Земли ускорением, направленным вертикально вниз.
186
Это утверждение не кажется очевидным, так как противоречит повседневному опыту: лист бумаги, упавший с балкона, плавно опускается вниз, а оброненный ключ или другой металлический предмет при падении набирает большую скорость. До Г. Галилея думали, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие, однако он с помощью опытов и рассуадений показал, что все тела в вакууме падают одинаково.
Убедиться в справедливости этого утверждения помогает уже известный нам опыт с вакуумной трубкой, в которой находятся ра;1личные предметы, например дробинка, пробка и птичье перо. Пока воздух из трубки не выкачан, все эти тела при падении достигают дна трубки за разное время: сначала дробинка, потом пробка, а затем птичье перо. Если же воздух из трубки выкачать при помощи насоса, то никакой разницы в движении этих тел при свободном падении пе наблюдается: все они падают одновременно.
И. Каково же ускорение свободного падения? Эту величину можно определить экспериментальным путем, и;змерив перемещения свободно падающего тела через равные малые промежутки времени.
На рисунке 7.19 изображен график перемещения, а на рисунке 7.20 — график скорости. Экспериментальные точки фиксируются через 1/30 с. По графику скорости свободного падения легко определить модуль ускорения свободного падения: он равен тангенсу угла наюпона графика к оси времени. Вычисления показывают, что ускорение свободного падения
OcB=g=9,8 м/с/
Этот результат, конечно, не случаен. Его можно было предсказать на основе второго закона Ньютона. В самом деле, единственной силой.
187
действующей на тело при свободном падении, является сила тяжести P=mg. По второму закону Ньютона ускорение свободного падения равно:
Р ГПР
а = — = —“ = 0.
™ т т ^
Мы видим, что в дайной формуле масса сокращается. Следовательно, все тела независимо от их массы падают с одинаковым ускорением. Итак, утверждение Г. Галилея, которое в то время казалось парадоксальным и требовало довольно сложных умозаключений и экспериментального обоснования, легко выводится из второго закона Ньютона. Но не надо забывать, что во времена Г. Галилея, за 80 лет до работ И. Ньютона, законы динамики были неизвестны; даже самого понятия ускорения не было. Так что идеи Г. Галилея для своего времени были весьма новыми и современными. Более того, они послужили той базой, на основе которой была создана ньютоновская механика.
III. Более точные измерения показывают, что ускорение свободного падения в разных точках поверхности Земли несколько отличается; оно зависит от широты местности. Для примера укажем значения ускорения свободного падения на некоторых широтах:
0° — 9,78049 м/с^ 60° — 9,81924 .м/с^
30° — 9,79338 м/с^ 70° — 9,82614 м/с^
40° —9,80180 м/с"* 90° —9,83221 м/с-
50° —9,81079 м/с^
Как видно, ускорение свободного падения болыие у полюса и уменьшается к экватору. О причинах этого интересного явления вы узнаете несколько позднее.
При грубых расчетах исполызуют приближенное значение ускорения свободного падения тел g=9,8 м/с^.
IV. В § 7.9 мы уже познакомились с законами изменения скорости и перемещения при равноускоренном движении. Они применимы дчя расчета физических величин, характеризующих свободное падение тел.
Ниже предлагаются четыре очень важные типовые ;задачи, выделенные жирным шрифтом, которые вы вполне можете решить самостоятельно. Сделайте это и лишь после этого проверьте себя но учебнику.
Зада ч а I. Из окна девятого этажа (Л=31 м) бросили камень. Определте время падения и скорость этого гела в момент приземления.
Решение. Начало координат поместим на поверхности Земли (рис. 7.21). Ось ординат OV направим вертикально вверх. Так как свободное падение является равноускоренным движением, го
188
справедливы формулы, полученные в предыдущем параграфе. В нашем случае они запишутся так:
«/='/()+%<+а//2.
Направление вектора ускорения свободного падения противоположно направлению оси ординат, следовательно, ciy=—g. Начальная скорость начальная координата £/,)=/?. В момент
падения на поверхность Земли координата тела t/=0.
г/(,=Л=31м у=0
Qy=-g=-9,8 м/с^
/=?
V =?
V
Подставив величины в формулу закона движения, полу'шм 0=h-gl^/2, откуда
t= ^hfg = 72 -31/9,8 ~2,5 с.
Скорость тела в момент удара Vy=-gt = -9,8 ■ 2,Ъ м/с»
»—24,5 м/с.
Знак «минус» у скорости указывает, что направление вектора скорости при падении тела противоположно направлению оси ординат.
Задача 2. И.1 духового ружья выстрс.1И.1Ж вертика.1ыю вверх. Начальная скорость пули равна 50 м/с. На какую высоту поднимется пуля? Скатько времени она будет в полете? (Сопротивление воздуха не учитывайте.) На какой высоте будет пуля через 2 с пос.те выстрела?
Решение. По существу, мы .здесь имеем три задачи. Будем решать поочередно.
В первой задаче нас интересует максимальная высота, на которую поднимется пуля. На этой высоте пуля, естественно, остановится. Выбрав направление оси ординат, как в предыдущей задаче, запишем кратко условие, обозначив через /, время подъема
• Из уравнения для скорости имеем
Л=%/ё^=50/9,8 с=5‘,1 с.
Высоту подъема пули найдем из закона движения:
^=Уо+Vi +^,/i72=Vi i/2=
viy/2g= vij2g=
=50V(2-9,8) M»128 m.
Рекомендуем самостоятельно убедиться, что этот же результат можно было получить сра.зу, воспользовавшись законом сохранения энергии.
189
t^-.o
Уо= h Ooy= 0
Pile. 7.21
Bo второй задаче нас интересует время /2 падения пули на поверхность Земли с максимальной высоты. Сложив это значение с временем подъема, получим искомый результат.
f/2=0
%=0
ay=-g
/2=?
Из закона движения имеем 0=H-gti/2, откуда следует
/2= j2H/g = J2v%/2g- =v^^y/g=t^.
Итак, время падения пули равно времени ее подъема.
Рекомендуем самостоятельно убедиться, что модуль скорости при ударе пули о поверхность Земли равен модулю начальной скорости, но направления этих векторов противоположны.
Общее время полета пули
/=/,+/2=2i;„yg=2 • 50/9,8 с=10,2 с.
Впрочем, этот результат можно было бы получить сразу из закона движения y=ya+v^t—gf/2, положив у=Уо=0. Тогда 0= =0+v^^yt-gt^/2, i=2vjg.
В третьей задаче также воспользуемся законом движения:
Уц^=50 м/с ciy=-g=-9,8 м/с^ Уо=0 t=2 с
Л = ?
h=yo+VuJ-gt'^/2=oO ■ 2 м--9,Й • 4/2 м«80 м.
190
Задача 3. Стрела пушена из лука горизонта.тьно с начальний скоростью 40 м/с. Как далеко она улетит, если лук находится на высоте 1,5 м от горизонтальной поверхности ста.тиона? Какова конечная скорость стрелы и под каким углом она воткнется в зем-тю, если сопротивление воздуха пренебрежимо ма-10? Какова форма траектории?
Решение. Сначала задачу решим в обш,ем виде, а затем подставим значения величин. Поместим начало координат в точку, откуда вылетает стрела (рис. 7.22). Эта точка находится на высоте ОЛ=//= 1,5 м. I lanpaBiiM ось абсцисс ОХ параллельно поверхности Земли, а ось ординат OY вертикально вниз.
Поскольку вдоль оси абсцисс на стрелу сила не действует (сопротивлением во.здуха мы пренебрегаем), то движение вдоль этой осп будет равномерным;
,=0()^=const.
U=Xo
+vj.
Время движения вдоль оси абсцисс равно времени падения стрелы под действием силы тяжести P=mg, которая направлена вертикально вниз, т. е. вдоль оси ординат. Л коль стрела падает под действием силы тяжести, то ее ускорение (iy=g-
Закон движения стрелы вдоль оси ординат запишется так:
J =
Отсюда следует h=gt’l2, или (= J2h/g =72-1,5/9,8 с = =0,55 с.
Вертикальная П1юекция скорости при падении стрелы на поверхность Земли Vy=gt=9,8 • 0,55 м/с=5,4 м/с. Модуль скорости в момент падения стрелы на землю
и= Ji'l + vi = 7(5,4“' -ь 40') м’/с" =40,4 м/с.
Как видно из рисунка, угол между вектором скорости и поверхностью Земли можно найти из соотношения
tg а=цУи,=5,4/40=0,135; а=7°40'.
Заметим, что в принципе верный обобшенный рисунок 7.22 по масштабу не соответствует условиям данной задачи.
191
Найдем также траекторию, по которой движется стрела. Для этого из уравнений x=VqJ и y=gt^l2 исключим время и получим
_ _ 9,8x^
У 2у1 2-1600
=0,003л:-.
Мы получили уравнение параболы. Итак, тело, брошенное горизонтально, движется по параболе. Это, конечно, справе^тливо лишь в том случае, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь. Такие условия имеют место па Дуне, где атмосфера отсутствует. На Земле сопротивлением воздуха можно пренебречь, если достаточно плотное маленькое тело, например камешек или металлический шарик, движется со скоростью, не превосходящей несколько десятков метров в секунду.
Задача 4. С поверхноои Земли иод умом а к горизонту с начальной скоростью брошен камень. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите время и дальность по.'|ета, наибольшую выс»)ту подъема тела над гори.тонтом, траекторию его движения. Докажите, что наибольшая дальность полета достигается при бросании тела под углом 4,5°.
Решение.
Вдоль оси абсцисс (рис. 7.23) на тело никакие силы не действуют (F^=0), следовательно, тело по горизонтали движется равномерно:
x=XQ+V(^J=Uiji cos а, и,=Ц(,д.=и„со5 а.
и'
Вдоль оси о|)дииат на тело действует ciLia тяжести, направленная противоположно координатной оси (а^=—g), следовательно, вдоль вертикали движение равноускоренное.
Исходя из этого запишем уравнения
sin a-gi,
У=Уа+Щу^+а//2=yot sin a-gfl2.
Траекторию движения найдем, исключив время из уравнений АГ=и„/ cos а и sin a—gt~/2, а затем получим
у=х tg a—gx^/{2v^ cos'^a).
Это — уравнение параболы.
В точках О и В ордината Уо=У[}=0. Для определения дальности полета примем в уравнении параболы у=0 и х=1, а затем получим
0=1 tg a-gf/{2vl cos^ а), или
/=(2uq sin а cos a)/g.
Как известно, 2 sin acos a=sin (2а), следовательно, /= =(yj^ sin 2a)/g. Поскольку синус любого угла не превосходит единицы, то наибольшая дальность полета тела достигается, когда sin (2а)= I, или 2а=90°, т. е. при бросании тела под углом а=45°.
.Максимальную высоту подъема тела найдем, если учтем, что в верхней точке траектории подъем тела прекращается, т. е. Vy=0. Отсюда следует ^„o^=(t;„sin a)/g. Тогда из закона движения вдоль оси ординат получим
^под sin a-gtlj2={v^(^ sin^ a)/g-(gul sin^ a)/2/= =(vis\n^ a)/2g.
Очевидно, что наибольшая высота подъема достигается, если тело бросать вертикально вверх. В этом случае а=90°.
Вопросы для самопроверки
1. Что па.тывастся свободным падением тел?
2. Каким видом движения яв.1яется свободное падение тел?
3. Каково ускорение свобо.дпого падения? Зависит ли оно от массы те-ia?
4. Какой опыт доказывает независимость ускорения свободного падения от массы те.1а?
5. Как теоретически доказать независимость ускорения свободного падения от массы тела?
6. Зависит ли ускорение свобо.дпого паления от скорости тела?
7. Как ускорение свободного падения зависит от широты места?
7 А А. Пинский
193
Упражнения
1. Стрела, пущенная из лука вертикально вверх, вернулась обратно через 5,6 с. На какую высоту поднялась стрела? С какой скоростью она была пущена? (Сопротивление воздуха не учитывайте.)
2. С дерева высотой 6,0 м упало яблоко. Сколько времени оно падало? Какова скорость в момент приземления? (Сопротивление воздуха не учитывайте.)
3. С какой скоростью нужно бросить вертикально вверх аркан, чтобы он долетел до выступа, высота которого 8,0 м?
4. С крутого берега реки, высота которого 12,0 м над уровнем воды, мальчик бросает камень с горизонтальной скоростью
15,0 м/с. Как долго летит камень? На каком расстоянии по горизонтали упадет камень? Под каким углом к горизонту камень войдет в воду?
5. Докажите, что если тело бросать с одинаковой по модулю начальной скоростью, но под дополнительными углами а и Р= =90°—а, то дальность полета окажется одинаковой.
6. Постройте траектории движения двух тел, брощенных с одинаковой по модулю начальной скоростью под дополнительными углами к горизонту, например а=30° и Р=60°.
7. Найдите отнощение максимальных высот подъема при бросании тела под дополнительными углами к горизонту при одинаковой по модулю начальной скорости. Сделайте расчет для а=30° и р=60°.
8. Определите широту места, если период колебания маятника длиной 1 м равен 2,006 с (см. § 1.5).
§ 7.11. третий закон ньютона
I. Когда мы говорим о том, что на тело действует сила, то всегда подразумеваем, что данное тело взаимодействует с каким-то другим телом, которое нас не интересует. А раз не интересует, то мы его заменяем понятием сила. Например, чтобы определить ускорение повозки, необязательно знать, кто действует на повозку. Важно знать силу — величину, характеризующую это действие.
Но вместе с тем из опытов известно, что одностороннего действия не бывает, а бывает всегда взаимодействие. Когда мы тянем санки, то ощущаем действие веревки на свою руку. Взвешивая груз при помощи динамометра, мы не только поднимаем этот груз, но и видим, что пружина динамометра растягивается, т. е. не только пружина динамометра действует на груз, но и груз действует на пружину динамометра. Значит, при всяком взаимодействии приложенные к телам силы направлены в противоположные стороны. Когда мы тянем те лежку, то ускорение направлено в сторону силы тяги. Что же касается нашей руки, то она испытывает действие со стороны тележки в п|)о тнвоположном направлении. При взвешивании груз поднимается
194
вверх, а пружина растягивается. При ударе молотка по шляпке гвоздя молоток действует на гвоздь с некоторой силой, в результате чего гвоздь входит в древесину. Но и гвоздь действует на молоток противоположно направленной силой, и в результате движущийся молоток останавливается. Таким образом, если взаимодействуют два тела, то это значит, что имеются всегда две силы: сила действия и сила противодействия, которые приложены к двум взаимодействующим телам и направлены в противоположные стороны.
II. Однако встает вопрос: равны ли эти силы по модулю? Ответ на этот вопрос дал И. Ньютон в формулировке третьего закона динамики: «Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны (по модулю) и направлены в противоположные стороны». Это :записывается так:
^ 2. \ -
Силы действия и противодействия не уравновешиваются, поскольку они приложены всегда не к одному телу, а к разным телам. Поэтому их нельзя заменить равнодействующей.
III. И. Ньютон пришел к этому закону первоначально путем следующих рассуждений. Представим себе, что магнит и кусок железа, положенные на пробки, плавают в воде. Притягиваясь друг к другу, они сливаются в одно целое. Если бы действие и противодействие при этом не были бы равны, то в силу второго закона динамики соединившиеся вместе магнит и железо двигались бы равноускоренно в направлении большей силы. Но это противоречило бы первому :(акону динамики. Следовательно, это невозможно.
Этот мысленный вывод И. Ньютона можно проверить и под-тве[)дить на опыте. Пусть магнит и кусок железа расположены на двух легких тележках, каждая из которых с помощью динамометра прикреплена к стене (рис. 7.24). Опыт показывает, что оба динамометра фиксируют равные по модулю силы Р^ 2—р2.\>
1ве[)ждает справедливость третьего закона Ньютона.
IV. Пользуясь вторым законом Ньютона и законом сохранения импульса, можно вывести третий закон Ньютона.
Пусть два тела массами ш и Л1 в момент времени движутся
со скоростями У| и W|. Их суммарный импульс
Рис. 7.24
ЖЖ:
Щ~гтг\--
mg*
195
в результате взаимодействия друг с другом скорости этих тел меняются и в момент времени их скорости будут уже равны
и «2- Следовательно, их суммарный импульс в этот момент Р2=т У2+Л^ “2-
Если действием внешних сил можно пренебречь, т. е. если система этих тел замкнутая, то импульс сохраняется: Р2 = Р\, или mv2+Mu2=mv^ +Мй^.
Это равенство можно записать и так:
т и.2—т У| =—(Af й^—М и,).
Разделив его на промежуток времени ^/=/2-/1, получим mv.2-mv^ ;Vf«2--W(7|
Но по второму закону Ньютона (см. § 7.8) в левой части
niv.2-mv\
равенства стоит сила ствует на первое,
t-2-i\
первой
которой второе тело деи-части равенства — сила
р
MS,
которой первое тело действует на второе. Итак,
Е| 2= —7’2 1, т. е. два тела взаимодействуют силами, равными по модулю и противоположивши по направлению. Это и есть третий закон Ньютона.
V. Третий закон Ньютона имеет жизненно важное значение. В самом деле, для изменения скорости движения необходимо действие силы. Это изменение происходит в соответствии со вторым законом 11ыотона. Но действие силы возможно лишь в результате взаимодействия, которое определяется третьим законом Ньютона. Например, шагая, мы за счет силы трения действуем на пол, что вызывает противодействие со стороны пола. В результате мы получаем необходимое ускорение для перехода из состояния покоя в состояние
движения. По третьему закону Ньютона F ^ 2=~^2 i “■''и = —т.2а.2, где F ^ ^ — действие пола на человека при движении его ноги; /^2,1 —действие ноги человека на пол; т, — масса человека; a^ — его ускорение; т^ — масса Земли, с которой связан пол; а., — ускорение Земли при действии на нее человеческой ноги. Понятно, что в результате этого взаимодействия человек получает ускорение. Что же касается Земли, то вследствие несоизмеримости массы человека по сравнению с массой Земли ускорение последней обпа ружить невозможно.
Однако ситуация существенно изменится, если человек будет ша гать не по полу, а перемещаться в легкой лодке, масса которой
196
соизмерима с массой человека. Для того чтобы он смог выбраться из лодки на берег, ее следует каким-то образом привязать, т. е. удерживать у берега. Иначе при выходе человека из лодки она получит ускорение в противоположном направлении, а человек шагнет в воду вместо берега.
И совсем по-другому все происходит на льду. При силе трения, почти равной нулю, никакого взаимодействия не получается. Движение ног не приводит к привычному шагу. Но при этом можно потерять равновесие и упасть.
VI. С третьим .законом Ньютона нередко связываются кажущиеся парадоксы. В самом деле, если всякая сила характеризует взаимодействие тел и при этом тела действуют друг па друга силами, равными по модулю и противоположными по направлению, то как объяснить действие разного рода движителей. Например, когда лошадь везет воз сена, то по третьему .закону Ньютона сила тяги со стороны лошади должна быть в точности равна по модулю силе, действующей со стороны воза. Так почему же происходит движение в сторону лоп]ади, а не наоборот — в сторону воза? Такие же вопросы можно задать о причинах движения тележки, которую мы везем, вагонов под действием тяги со стороны локомотива и т. д.
Парадокс этот кажущийся. Воз сена относительно лошади не перемешается. Однако и воз, и лошадь как одно целое перемещаются относительно поверхности Земли. Когда лошадь упирается копытами в почву, то происходит взаимодействие двух тел, а именно лошади вместе с возом сена и Земли. При взаимодействии оба эти тела получают ускорения, и в соответствии с третьим законом Ньютона т 0| = —М а.2, где т — масса лошади и во.за; 5, — их ускорение: М — масса Земли; а.2 — ее ускорение. Но так как масса Земли несоизмеримо велика по сравнению с массой лошади и воза, то ускорение Земли при этом столь ничтожно, что его не удается заметить.
Хотя, точнее, нужно говорить не о всей Земле, а лишь о ее поверхности, т. е. о почве или каком-либо покрытии, которые подвоз-действием сил со стороны идущего транспорта разрушаются. Все мы наблюдали, как оторвавшиеся комья грязи летят в противоположную сторону от колес движущегося автомобиля. Разрушаются бетонные, асфальтовые покрытия дорог, разрушаются стальные рельсы железных дорог. Время от времени дороги приходится ремонтировать: это — следствие третьего закона Ньютона.
Вопросы ,1.1 я самопроверки
I. Как формулируется третий закон Ньютона?
'1. Как рассужла.1 И. Ньютон, лотически обосновывая третий закон динамики?
:(. С помощью каких опытов можно обосновать третий закон Ньютона?
J. Почему из массивной баржи легко спрыгнуть на берег, а из лодки трудно?
.'). Существует ли равнодействующая у сил, описываемых третьим законом Нт.ютона, — силы действия и силы противодействия?
б. Как выводится третий закон Ньютона из закона сохранения импульса?
197
Упражнения
1. РыГ^1К, сидя в лодке, отталкивается от бревна, которое при этом начинает двигаться со скоростью 2 м/с. Какую скорость при этом приобретает лодка, если ее масса вместе с рыбаком в 4 раза больше массы бревна?
2. Девочка массой 30 кг стоит на льду и бросает своей подруге мяч массой 0,5 кг. Какое максимальное ускорение она может сообщить мячу, оставаясь в покое? Коэффициент трения о лед равен 0,015. (Указание. Для того чтобы девочка оставалась на месте после броска, сила, возникающая за счет отдачи, должна быть меньше силы трения.)
3. Докажите, что из второго и третьего законов Ньютона вытекает закон сохранения импульса. Для простоты вывода рассмотрите замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих тел.
4. Из сопла ракеты вырываются продукты сгорания со скоростью н=2 км/с относительно корпуса ракеты. Расход топлива составляет р=500 кг/с. Определите силу, действующую на ракету (силу реактивной тяги).
§7.12. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ
I. Одним из простейших видов криволинейного движения является равномерное движение материальной точки по окружности, когда модуль ее скорости v не меняется, а траекторией движения оказывается окружность радиусом R.
Время одного оборота точки по окружности называется периодом (Т). Величина, обратная периоду, называется частотой (\=1/Т).
Частота равна числу оборотов точки при ев равномерном круговом движении, совершаемых за одну секунду. Выражается частота вс '.
Через эти величины легко выразить модуль скорости точки: v=2nR/T=2nRv.
II. Хотя при равномерном движении точки по окружности модуль скорости не меняется, все-таки вектор скорости не является постоянным — он меняется по направлению. Следовательно, это движение является движением с ускорением. Рассмотрим, чему равно это ускорение и как оно направлено. Для решения этой задачи вспомним, что при криволинейном движении вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории.
Равномерное движение тела по окружности показано на рисунке 7.25. Например, это может быть девочка, катающаяся на карусели, или велосипедист, равномерно едущий по круговому треку. В самом общем случае это может быть любая материальная точка. Положение
198
точки в некоторый момент времени /, обозначено буквой /4,, а через какой-то промежуток времени — буквой А^- В обеих точках
вектор скорости направлен по касательной к окружности, а длина его одинаковая, так как модуль скорости в данном движении не меняется. И тем не менее ускорение материальной точки не равно нулю.
Вычтем из вектора скорости в точке А2 вектор скорости и, в точке Л| по правилу, сформулированному в § 7.2. Получим вектор
скорости Д5 = ^1 "^0- По определению ускорения можно запи-
сать:
Д у
м
-= а
ср-
Однако нас интересует не среднее, а мгновенное ускорение. Как же его найти?
1И. Опять восполы^уемся известным методом аппроксимации. (Оюво «аппроксимация» образовано от латинского слова approximare — приближаться.) Мысленно будем уменьшать промежуток времени Д/. При этом модуль вектора перемещения Д/=Л,Л2 будет все ближе совпадать с траекторией движения, т. е. с дугой Д|Л2. По направлению скорость меняться будет все меньше, угол
между вектора.ми и, и ^2 будет приближаться к нулю, а вектор До по направлению будет все больше приближаться к радиусу окружности. Поскольку промежуток времени можно брать каким угодно малым, то мы можем утверждать, что в данном пределе мгновенное ускорение в каждой точке траектории при равномерном движении материальной точки по окружности направлено внутрь окружности по ее радиусу к центру. Поэтому это ускорение называется центростремительным (нормальным) ускорением.
Методом аппроксимации мы можем определить не только направление, но и модуль вектора центростремительного ускорения.
Из подобия треугольников А^ОА^ и A.2MN (см. рис. 7.25) следует, что модуль приращения скорости Ду относится к модулю скорости V так же, как модуль перемещения Д/ относится к радиусу окружности lu/v=Al/R.
Для очень малого промежутка времени Д/=уД/, а Ду=аД/, следовательно, alv=v/R, откуда следует
a,=v^/R.
Итак, модуль центростремительного ускорения равен отношению квадрата модуля скорости к радиусу окружности, по которой происходит равномерное движение материальной точки.
IV. Хотя модуль ускорения при равномерном движении по окружности не меняется, направления ускорений 5, и Й2 в разных точках траектории разные, но они всегда направлены по радиусу к
199
%
центру окружности О перпендикулярно векторам скоростей и, и (рис. 7.26). Поэтому, говоря о центростремительном ускорении в некоторой точке круговой траектории, мы всегда имеем в вату мгновенное ускорение.
V. Формулу центростремительного ускорения можно преобразовать, выразив скорость через период или частоту:
■in'R , 2 2п a,=^=4iTV/?.
VI. Равномерное движение материальной точки по окружности не является инерциальным, так как точка движется с ускорением. Согласно второму закону Ньютона движение по окружности возможно лишь в том случае, если на эту точку действует сила, направленная к центру окружности:
F=ma^=mv^/R.
Иногда, следуя И. Ньютону и X. Гюйгенсу, эту силу называют центростремительной. Однако надо помнить, что это не какая-то особая сила. Она вызвана взаимодействие.м материальной точки с каким-то другим телом, которое удерживает эту точку на окружности и не дает ей двигаться прямолинейно. Такое тело называется связью.
Рассмотрим несколько примеров. Допустим, что вы вращаете камень на веревке. Когда камень начинает вращаться, веревка натягивается. Возникшая сила упругости сообщает камню центростремительное ускорение. Кстати, если веревка оборвется, то камень станет двигаться прямолинейно по касательной к траектории, т. е. по направлению скорости, с которой он двигался в тот момент, когда веревка оборвалась.
В качестве второго примера рассмотрим движение г|)узика, лежащего на вращающемся диске (рис. 7.27). Здесь силой, которая удерживает гру;зик и заставляет его вместе с диском двигаться по
200
1>нс. 7.27
Рис. 7.28
окружности, является сила трения, направленная к центру. Она и сообщает грузику центростремительное ускорение. Если же частоту вращения диска все время увеличивать, то наступит момент, когда сила трения окажется недостаточной /R) и грузик соскольз-
нет с диска.
Наконец, рассмотрим движение школьника на карусели (рис. 7.28).
11а школьника действуют две силы; сила тяжести Р и сила натяжения
троса F„,p. Равнодействующая этих сил Q направлена к центру окружности. Эта равнодействующая и сообщает движущемуся по окружности школьнику центростремительное ускорение.
Вопросы Д.1Я самопроверки
1. Какое движение называется равномерным движением по окружности?
2. Что на.зывается периодом; частотой? В каких единицах выражаются эти физические величины? Каково соотношение между периодом и частотой?
3. Почему при равномерном движении но окружности, характеризуя ускорение движения тела в какой-то точке траектории, говорят о мгновенном ускорении? Как направ.пен вектор ускорения?
4. Как вывести формулу зависимости центростремительного ускорения от скорости материа.1ьной точки и радиуса окружности?
5. Как выразить зависимость центростремительного ускорения от периода и частоты обращения при равномерном движении материальной точки по окружности?
6. Какие силы могут сообщить телу центростремительное ускорение?
Упражнения
1. Определите центростремительное ускорение искусственного
спутника Земли, приняв его орбиту за круговую. Высота спутника
201
над Землей равна 320 км, радиус Земли равен 6400 км, период обращения спутника вокруг Земли равен 89 мин.
2. Определите скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца. Среднее расстояние от Земли до Солнца равно 1,5 • 10^ км, период обращения равен 365 сут.
3. Определите скорость кругового движения точки, лежащей на экваторе Земли, при ее суточном вращении. Экваториальный радиус Земли равен 6378 км, период обращения Земли вокруг своей оси равен 24 ч.
4. Определите центростремительное ускорение Луны, приняв ее орбиту за окружность вокруг Земли радиусом 385 000 км и периодом обращения 27,3 сут.
5. Определите центростремительное ускорение иа экваторе Земли при ее суточном вращении. Примите экваториальный радиус равным 6378 км. Сравните центростремительное ускорение с ускорением свободного падения.
6. Бечевка длиной 0.6 м выдерживает натяжение не более 1800 Н. На бечевке вращается камень массой 3 кг. С какой наибольшей частотой можно вращать камень в горизонтальной плоскости, чтобы бечевка не оборвалась?
7. На деревянный диск, вращающийся с частотой 0,8 с~', клалут металлический груз. Коэффициент трения металла о дерево равен 0,5. На каком максимальном расстоянии от центра диска груз не соскользнет?
8. Период вращения карусели равен 2,8 с. Определите угол между тросом, на котором укреплено сиденье, и вертикалью (см. рис. 7.28). Длина троса равна 2,2 м.
§7.13. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
I. После открытия Н. Коперником гелиоцентрической системы мира начались поиски закономерностей, которым подчиняется движение планет вокруг Солнца. Как вы уже знаете, такие закономерности были найдены И. Кеплером. 1То причину, определяющую эти общие для всех планет закономерности, И. Кеплеру найти не удалось.
Существует легенда, что, постоянно думая над этим вопросом и наблюдая за падением яблока с ветки дерева, И. Ньютон выдвинул гипотезу (предположение) о том, что движение планет по орбитам вокруг Солнца и падение тел на Землю вызваны одной и той же причиной — тяготением, которое существует между всеми телами. Теперь исследования историков показывают, что такая догадка вы сказывалась учеными и до И. Ньютона. Однако именно он из этой гипотезы сделал частный, но очень важный вывод: между центростремительным ускорением Луны и ускорением свободного падения на Земле должна существовать связь. Эту связь нужно было установить численно и проверить. Именно этим соображения
202
и. Ньютона отличались от догадок других ученых, например от догадок Р. Гука, который тоже считал, что между телами действуют силы тяготения.
И. Центростремительное ускорение Луны можно определить из чисто кинематических соображений, поскольку период обращения Луны вокруг Земли известен: 7’=27,3 сут. Известно было во времена И. Ньютона и расстояние от Земли до Луны. Оно равно 385 000 км. Обозначим его буквой R. Подставляя эти данные в формулу центростремительного ускорения, получим
Зп---
4tC^R
f
4=2,7-10 -' м/с'. (27,3 • 24 ■ 3600/ с
Но как сопоставить это ускорение с ускорением свободного падения на поверхности Земли?
Если природа тяготения общая, то центростремительное ускорение Луны можно определить и из динамических соображений, используя общую закономерность для движения всех планет, найденную И. Кеплером, следующим образом.
Силу, удерживающую Луну на орбите, можно определить по второму закону Ньютона: F=ma^=4n^mR/f^. Но по третьему закону Кеплера T^=R''/K, где К — некоторая постоянная, которую надо определить. Значит, F=iiz^mK/R’, где т — масса Луны; R — расстояние от Земли до Луны.
Следовательно, сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния. Значит, отнощение центростремительного ускорения JlyHbi к ускорению свободного падения на поверхности Земли должно быть равно отношению квадрата радиуса Земли R^ к квадрату расстояния от центра Земли до Луны, т. е.
J
Поскольку и. Ньютон знал, что расстояние от Земли до Луны |)авно приблизительно шестидесяти земным радиусам, то он получил
тот же результат: а;,~2,7-10"' м/с'.
Гипотеза была доказана, поскольку теоретический вывод совпал с результатом, полученным из наблюдений. Говорят, что И. Ньютон был так взволнован своим открытием, что был не в силах довести вычисления до конца и поручил это сделать своим ученикам.
Сам И. Ньютон писал о своем открытии так: «И в тот же год (ему было всего 24 года!) я начал думать о притяжении, как о чем-то относящемся к орбите Луны и, ...пользуясь правилом Кеплера, нашел, что силы, которые удерживают планеты на их орбитах, должны меняться обратно пропорционально квадратам расстояний от центров, вокруг которых они вращаются; и в связи с этим я сравнил силу, требуемую для того чтобы удержать Луну на ее орбите, с силой тя-ттения на поверхности Земли и нашел, что они весьма близки».
203
in. Однако И. Ньютон установил не только существование всемирного тяготения и обратную пропорциональность силы тяготения квадрату расстояний между телами, но и зависимость этой силы от
масс тяготеющих тел. Однако из полученной формулы F=
не-
ясно, от чего зависит величина К. Тогда И. Ньютон сделал предположение, что она пропорциональна массе второго тяготеющего тела. Заметим, что это вытекает из третьего закона Ньютона. В самом деле, по третьему закону сила, с которой Луна притягивает Землю, равна по модулю силе, с которой Земля притягивает .Пуну:
Fji=F-i, или AwK^niif/f=4iCKj^mrJlf. Отсюда следует/СзАИз=Л',|Ш,|, или
Кз Kj, ' ' ' ' ■
— =—=G, где G — некая постоянная величина. Подставив
Кз=Огпц, или Кд=От^ в формулу, определяющую силу притяжения
между Луной и Землей, получим .
R
Очевидно, что такой же результат окажется справедливым для взаимодействия всех планет с Солнцем и, более того, для взаимодействия любых тел.
Окончательно закон всемирного тяготения формулируется так; два тела притягиваются друг к другу силой, прямо пропорциональной массе каждого из них и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
F=G
т,т->
R"
Дальнейший ход астрономических наблюдений и лабораторных измерений подтвердил найденное выражение для силы взаимного притяжения тел. Оказалось, что G — это универсальная константа, названная гравитационной постоянной. Она численно равна силе притяжения двух тел массой по I кг, расположенных на расстоянии I м друг от друга. Лабораторные измерения дали результат:
0=6,67-10“" Н-м'7кг1
Следует обратить внимание на то, что сформулированный закон всемирного тяготения справедлив лишь для материальных точек. И. Ньютон также доказал, что закон справедлив для шаров, плотность которых распределена симметрично относительно их центров. В этом случае R — это расстояние между центрами шаров. Для тел более сложной формы расчет силы взаимодействия достаточно сложен. Мы эту проблему рассматривать не будем.
IV. В лабораторных условиях закон всемирного тяготения удалось проверить лишь сто лет спустя после его открытия. Это сделал лорл Г. Кавендиш в 1798 г. Опыты проводились при помощи крутильных
204
1>ис. 7.29
весов (рис. 7.29). На длинном стержне / уравновешивались два маленьких шарика одинаковой массы ш. Стержень был подвешен на тонкой проволоке 2. К маленьким шарикам с противоположных сторон стержня подставлялись на близком расстоянии большие свинцовые шары. Масса каждого большого шара была равна М. Мри сближении шаров проволока закручивалась. Угол закручивания проволоки регистрировался на шкале 3 по повороту светового пучка 4, отраженного от зеркальца 5. По углу закручивания проволоки определялся момент силы упругости, равный моменту пары сил, возникающих при притяжении маленьких шариков к болылим.
Результаты опыта позволили определить гравитационную постоянную по формуле
G=FR^/mM.
Получилось очень маленькое значение этой величины (см. п. III), которое удалось измерить только благодаря большой чувствительности крутильных весов.
Вопросы Д.1М самопроверки
1. Какие соображения по.зволи.11и И. Ньютону выдвинуть 1И1Ютезу закона всемирного тяготения?
2. Почему ускорение, с которым Луна обращается вокруг Земли, значительно меньше ускорения свободного падения вб.иизн поверхности Земли?
,3. Как формулируется закон всемирного тяготения?
4. Как Г. Кавендит определил гравитационную постоянную?
,5. Что характеризует гравитационная постоянная?
Упражнения
1. Определите силу, с которой два однородных шара массой по 100 кг каждый притягиваются друг к другу, если расстояние между их центрами равно 50 см.
2. В одной из установок по определению гравитационной постоянной (см. рис. 7.29) на стержне длиной 20 см укреплены шарики массой по 0,20 кг каждый. Когда к ним поднесли два свинцовых шара массой по 40 кг каждый, стержень повернулся так, что расстояние межту центрами большого и малого шаров оказалось рав-
205
иым 15 см. По углу закручивания нити подвеса определили вращающий момент, действующий на стержень. Он оказался равным 2,20*10 ^ Н • м. По этим данным определите значение гравитационной постоянной.
3. Пользуясь законом всемирного тяготения, докажите, что все тела независимо от их масс падают под действием силы тяготения с одним и тем же ускорением.
§ 7.14. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.
даИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ И ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ
I. Открытие закона всемирного тяготения позволило объяснить закономерности движения планет вокруг Солнца, открытые И. Кеплером, в частности третий закон (см. § 6.7).
Для простоты будем рассматривать орбиты движения планет как круговые (на самом деле они эллиптические, но близкие к круговым). Если обозначить массу планеты через т, массу Солнца через М, расстояние между ними через R, то очевидно, что закон'всемирного тяготения F=GmM/R^ определит силу, которая удерживает планету на орбите и сообщает ей центростремительное ускорение. Итак,
F=
,тМ
—G-j^, где у — скорость движения планеты по орбите. Мы
уже знаем, что v=2nR/T. Подставив значение скорости планеты в уравнение для сил и сократив общий множитель (масса планеты),
получим An^R/'f=GM/R', или /R’’=Ati^/GM. Это и есть третий закон Кеплера. Поскольку правая часть уравнения есть величина постоянная, то для любых двух планет можно написать:
r]
rI'
II. В § 7.13 мы пользовались третьим законом Кеплера для обоснования гипотезы Ньютона о законе тяготения. Здесь же мы по-кагзали, как третий закон Кеплера можно вывести на основе второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения. И никакого порочного круга в наших рассуждениях нет. Дело в том, что после опытов Г. Кавендиша, экспериментально подтвердивших справедливость закона всемирного тяготения, этот закон мы можем рассматривать в качестве эмпирического, вытекающего из эксперимента, независимо от того, какими догадками полыювался И. Ньютон при поисках этой закономерности. Поэтому вывод третьего закона Кеплера из закона всемирного тяготения можно закономерно рассматривать как одно из подтверждений правильности законов динамики. Заметим также, что на основе законов Ньютона и закона тяготения можно вывести также первый и второй законы Кеплера. Это служит еще одним веским доводом в пользу справедливости изучаемых вами законов динамики.
206
III. Законы Ньютона и закон всемирного тяготения позволили рассчитать закономерности движения планет, их естественных и искусственных спутников, а также возмущения, вызванные воздействием планет друг на друга. Анализ этого вопроса позволит и нам рассмотреть историю открытия таких планет, как Нептун и Плутон.
Второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения позволяют предвидеть траектории движения планет и их спутников, а также рассчитывать траектории космических кораблей и их координаты в любые заданные моменты времени. В самом деле, если известны массы двух тяготеющих тел и расстояния между ними, то можно вычислить силу взаимного притяжения, а следовательно, и ускорения этих тел. По ускорениям взаимодействующих космических тел и расстояниям между ними можно определить периоды обращения и другие параметры. Понятно, что это сравнительно легко сделать для двух тяготеющих тел, т. е. когда другие тела находятся на больших расстояниях и их притяжением можно пренебречь.
Приближенное решение задачи о движении планет Солнечной системы возможно благодаря счастливому стечению обстоятельств. А именно орбиты планет мало отличаются от окружностей, движение всех планет происходит почти в одной плоскости, массы планет малы по сравнению с массой Солнца, расстояния между планетами очень велики по сравнению с их размерами.
IV. Однако реально оказывается, что наблюдаются отклонения параметров движения космических тел, в том числе и планет, от расчетных. Такие отклонения называются возмущениями. Во всех расчетах движения космических тел (планет, астероидов, комет, космических кораблей) приходится учитывать взаимодействие не только с центральным телом (например, с Солнцем), но и с другими телами.
Нередко в физике случается так, что несовпадение расчетного параметра с наблюдаемым в действительности приводит к открытию. Так случилось и при изучении движения планет и расчете их координат в заданные моменты времени.
Путем наблюдении в 1781 г. английский астроном У. Гершель открыл новую планету. Ее назвали Уран. Она оказалась более удаленной от Солнца, чем Сатурн. До этого считалось, что Сатурн является самой удаленной планетой Солнечной системы.
Астрономы разных стран, в том числе и России, обратили внимание на то, что Уран движется не так, как ему следовало выдвигаться по законам динамики. Возмущение движения Урана позволило предсказать существование за ним еще одной невидимой планеты.
Вычисления Дж. Адамса (Англия) и У. Леверье (Франция) по-пюлпли определить координаты возмущающей планеты. У. Леверье сообщил в Берлинскую обсерваторию координаты предполагаемой планеты. Получив сообщение 23 сентября 1846 г., немецкий астроном 11 Галле в первый же вечер увидел в телескоп возмущающую планету. Ее координаты па небе всего лишь на один градус не совпали с предсказаниями У. Леверье. Новую планету назвали Нептун. Это
207
Рис. 7.30
был триумф небесной механики. Говорили, что открытие сделано «на кончике пера».
V. Дальнейшие наблюдения за движением планет показали, что возмущения наблюдаются в движении не только Урана, но и Нептуна. Эти возмущения привели американского астронома П. Ловелла к мысли, что за Нептуном есть еще одна, девятая планета. В 1930 г. ее увидел в телескоп К. Томбо. Эту планету назвали Плутон.
VI. Закон тяготения и второй закон Ньютона позволили определить первую космическую скорость. Так называется скорость, которую надо сообщить ракете, чтобы она обращалась по круговой орбите вокруг Земли. Поскольку запуск ракеты осуществляется с поверхности Земли, то сила тяготения равна силе тяжести: F=P=rng. Сила тяготения сообщает ракете центростремительное ускорение a,=v^/r, где r=R+h (рис. 7.30). Обычно высота h много меньше радиуса Земли /?=6370 км, а космические корабли обращаются вокруг Земли на высотах, приблизительно равных 300— 400 км. Поэтому полагают, что расстояние r^R, следовательно, центростремительное ускорение космического корабля a^=v~/R. Из равенства F=P следует ma^=rng. Сократив массы и подставив a^=v^/R, получим v^/R=g. Преобразовав зто выражение, найдем первую космическую скорость:
^'1 = '^= ^9,81 -6,37- 10" м/с =7,9- 10^ м/с=7,9 км/с.
С учетом сопротивления во.здуха и некоторых других соображений полагают, что первая космическая скорость на Земле равна 8 км/с.
Сложнее вычислить вторую космическую скорость, т. е. ту скорость, которую надо сообщить ракете, чтобы она преодолела силу тяготения Земли и улетела в космос (например, на Дуну, Марс или Венеру). Значение второй космической скорости мы приведем без вывода: V2g7? = 11.2 км/с.
Именно из-за больших значений этих двух космических скоростей космические корабли приходится делать многоступенчатыми. СХтно-ступенчатому кораблю с нужным полезным грузом невозможно сообщить первую, а тем более вторую космическую скорость.
Вопросы для самопроверки
1. Как формулируется третий закон Кеплера?
2. Какая сила сообщает телу центростремительное ускорение при движении планет вокруг Солнца?
208
3. Как из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения теоретически вывести третий закон Кенлера?
4. Как были открыты планеты Нен гун и Плутон?
Упражнения
1. Пользуясь законом Кеплера и зная период обращения Луны вокруг Земли (7),=27 сут), рассчитайте радиус орбиты искусственного спутника Земли, который бы «висел фонарем» над некоторым пунктом поверхности Земли, т. е. обращался бы вокруг Земли синхронно по отношению к ее суточному вращению (7= = 1 сут).
2. Поскольку среднее расстояние от Земли до Солнца равно 1 а.е., а период обращения Земли вокруг Солнца равен 1 г., то для планет Солнечной системы R^/T^=\. Определите расстояние от Марса до Солнца (в астрономических единицах). Период обращения Марса вокруг Солнца равен 1,88 земных лет.
3. Выведите формулу третьего закона Кеплера из закона всемирного тяготения.
4. Определите первую и вторую космические скорости на Луне, если ускорение свободного падения там в 6 раз меньше, чем на Земле, а радиус Луны равен 0,272 радиуса Земли.
5. Определите первую и вторую космические скорости^ на Марсе, если ускорение, свободного падения на нем 3,76 м/с^, а радиус равен 3,39 • 10® м.
§ 7.15. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ И ОБЪЯСНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИЙ ПРИРОДЫ
I. Открытие закона всемирного тяготения позволило понять строение Солнечной системы, определить массы планет и Солнца, предсказать существование не видимых певооружепным глазом планет, объяснить многие явления природы, например такие, как приливы II отливы в океанах. Этот закон позволил ответить на вопросы: почему Земля, планеты и Солнце имеют форму щара, несколько сплюснутого у полюсов? Почему у некоторых планет есть атмосфера, в частности у Земли, а у других планет нет? Казалось бы, это совсем не связанные между собой вопросы. Однако в их основе лежит одна и та же причина — явление всемирного тяготения.
II. Приливы п отливы наблюдаются у берегов океана. Дваж,ты в сутки вода приливает на берег и дважды в сутки отступает. В некоторых странах во время прилива там, где берег пологий, вода подходит, а при отливе отходит на несколько километров от берега.
Приливы и отливы относятся к числу возобновляемых экологически чистых источников энергии. В 1967 г. во Франции пущена приливная электростанция. Опытная приливная электростанция в России пущена в 1968 г. вбли.зи .Мурманска.
209
Чем же объясняется это явление? Покажем, что приливная волна в океане связана с тяготением со стороны Луны. Вследствие тяготения со стороны того полушария Земли, которое ближе к Луне, вода океана притягивается с большей силой, чем сама Земля. Вода с противоположной стороны Земли тоже притягивается к Луне, ио слабее, чем сама Земля. На рисунке 7.31 показаны силы F^ и F,2, действующие со стороны Луны на слой воды, и сила
F, действующая на Землю. Здесь же обозначены соответствующие ускорения fli, а-2 и а.
Все эти силы и ускорения показаны в системе отсчета XOY, связанной с Луной. Однако мы живем на Земле, и нас интересуют соответствующие ускорения в системе отсчета Х'0'Y’, связанной с Землей. Они показаны на рисунке 7.32. Очевидно, что ускорение Земли в этой системе отсчета равно нулю. Проекция ускорения слоя Л|, который ближе к Луне, равна aj=a|—а>0, а проекция ускорения слоя воды А.2, расположенного на обратной стороне Земли, а2=а2—а<0. Как видно, относительно Земли эти ускорения направлены в разные стороны; слева вода смещается относительно Земли, а справа Земля смещается относительно воды.
Если бы Земля была равномерно покрыта водой, то в точках Л| и Л._, уровень воды повысился бы (прилив), а в точках и В2 снизился бы (отлив). Через 6 ч, когда Земля поворачивается па 90°, прилив наблюдался бы в точках В, и В2, а отлив — в точках Л, и Л2. Далее процесс повторялся бы с такой же периодичностью (см. рис. 7.32). Однако наличие континентов существенно искажает эту картину. И все же даже наша упрощенная модель позволяет понять суть явления.
III. Форма Земли, планет Солнца и других космических тел несколько отличается от шарообразной. Выясним, в чем тут дело. Земля совершает суточное вращение вокруг своей оси. Вследствие этого ускорение свободного падения на разных широтах Земли оказывается различным. У полюсов сила тяжести P=mg, и ускорение свободного падения у полюсов определяется строго по закону всемирного тяготения:
Р =F
' imji ' ’
или
откуда
mg=GMm / ,
На экваторе тело вместе с Землей совершает круговое движение. Сила тяготения сообщает телу не только ускорение сво-
210
бедного падения но и центростремительное ускорение
a^=AnR/f^. По второму закону Ньютона имеем
Р=т (Д,кв+«и)-или
Следовательно, на экваторе ускорение свободного падения равно:
g..,,=GM/Ri-AK%Jf-^g,^-iTeR/f.
Труднее найти ускорение свободного падения в местности на произвольной широте. Мы не станем делать расчет, а покажем лишь направления сил и ускорения по рисунку 7.33. Здесь точка А движется по окружности с центром в точке К и радиусом г= =/?со8ф, где ф — широта местности. Как видно, сила тяготения,
С, направленная к центру Земли, может быть разложена на две составляюшие: силу тяжести P = mg и силу F,^=ma^, модуль которой равен F^=\n~mr/'f.
Центростремительное ускорение при одном и том же периоде обращения зависит от широты местности. Соответствующим образом от широты местности зависит и ускорение свободного падения.
Поскольку от полюса к экватору сила тяжести и ускорение свободного падения несколько уменьшаются, то происходит сплющивание планеты у полюсов и расползание в сторону у экватора.
211
IV. Зависимость ускорения свободного падения на поверхности планеты от ее массы дает ответ еще на один вопрос: почему на одних планетах есть атмосфера, а на других ее нет?
Массивные планеты с достаточно большим значением ускорения свободного падения на их поверхностях удерживают атмосферу. Малые планеты и другие космические тела атмосферу теряют. У Марса, благодаря малому значению ускорения свободного падения, атмосфера весьма разреженная: ее плотность п[)имерно в 20 раз меньше плотности земной атмосферы. Вряд ли есть атмосфера у Плутона.
Вопросы Д.1Я самопроверки
1. В чем причина возникновения при.зивов и от.зивов в океане?
2. Как меняется ускорение свободного падения в зависимости от широты местности?
3. Какова причина изменения ускорения свободного падения в зависимости от широты местности?
4. Почему Солнце и все п.танеты несколько сп.тюснуты у полиса?
5. Почему на одних планетах есть атмосфера, а на других ее нет или она очень разрежена?
ДОМАШНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
7.1. С помощью рулетки или сантиметровой измерительной ленты определите координаты точки подвеса комнатного светильника но отношению к системе отсчета, связанной с одним из нижних углов комнаты. Координатные оси направьте вдоль стен комнаты.
7.2. Изобразите траекторию движения иголки звукоснимателя электрофона относительно грампластинки н относительно корпуса электрофона.
7.3. Проделайте опыт Г. Галилея: убедитесь в том. что пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечетных чисел. Для постановки опыта используйте в качестве наклонного желоба логарифмическую линейку без движка или две дощечки, сбитые так, чтобы движущийся между ними шарик не проваливался. Наклонная плоскость должна составлять малый угол с плоскостью стола, для того чтобы шарик скатывался медленно. Положив шарик вверху желоба, отпустите его и карандашом отметьте местоположение шарика под счет трехзначных чисел (время произношения трехзначного числа примерно равно 1 с). Пути, проходимые при равноускоренном движении за последовательные равные промежутки времени, определите по миллиметровой шкале на линейке.
7.4. Выпустите одновременно с одной и той же высоты вначале два пустых, а затем пустой и полный коробки спичек. Какой из них упадет раньше? Объясните наблюдаемые явления.
212
7.5. Определите ускорение свободного падения, пользуясь отвесом, секундомером и камнями различной формы и объема. Местом проведения опыта может быть высокий мост, глубокий овраг или балкон многоэтажного дома. Возьмите округлый камень небольших размеров и под счет «раз, два, пуск» предоставьте ему возможность пааать. Секундомером измерьте время падения камня, а затем по известной формуле найдите ускорение свободного падения. Повторите опыт несколько раз с разными телами и убедитесь в том, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела.
Примечание. Высоту, с которой падает камень, можно приблизительно определить с помощью барометра-анероида. Известно, что при изменении высоты на 12 м атмосферное давление изменяется на 1 мм рт. ст. Для уменьшения погрешности при измерении высоты отсчет давления по барометру лучше производить в миллибарах; изменению давления иа 1 миллибар будет соответствовать изменение высоты на 9 м.
7.6. Определите частоту и период обращения диска электрофона при 33 1/3 об/мии. Пользуясь миллиметровой линейкой и зная период обращения диска электрофона, определите скорость иглы относительно грампластинки в крайних точках диска.
7.7. Пользуясь миллиметровой линейкой и зная период обращения диска электрофона, найдите центростремительное ускорение крайних точек диска.
7.8. Определите скорость точки иа ободе колеса велосипеда при медленном вращении педали с периодом 5 с. Предварительно определите по отношению числа зубьев большой и малой шестерен передаточное число и измерьте радиус обода.
7.9. Поместите между спицами колеса велосипеда полоски из бумаги с заголовками газет около втулки и обода. Вращая колесо, убедитесь в том. что скорость движения бумажек зависит от радиуса, т. е. от расстояния до оси вращения.
7.10. Смочите шину колеса водой и по отрывающимся каплям жидкости определите, как направлен вектор скорости в каждой точке траектории.
7.11. Пользуясь качелями или «гигантскими шагами» в детском парке, шестом или канатом на школьной спортивной площадке и часами с секундной стрелкой, определите период колебания человека, его скорость, центростремительное ускорение. Радиус вращения или амплитуду измерьте сантиметровой лентой.
7.12. На диск электрофона положите шарик, включите электрофон и пронаблюдайте за поведением шарика в зависимости от того, иа каком расстоянии от оси вращения он расположен, а также в зависимости от частоты вращения диска (если электрофон рассчитан на две частоты).
7.13. Определите, как изменяются импульсы двух шариков в результате взаимодействия. Для постановки опыта возьмите два одинаковых стальных шарика и положите их на желоб, например на логарифмическую линейку с выдвинутым движком. Сообщите одному
213
из шариков скорость и проследите за поведением шариков после взаимодействия. Сообщите обоим шарикам скорости, но такие, чтобы второй догонял первый, и снова проследите за изменением скоростей шариков после взаимодействия. Опишите, как в этих опытах изменяются импульсы шариков.
7.14. Определите начальную скорость камня, мяча или другого спортивного снаряда, брошенного под углом к горизонту. Для этого измерьте дальность и время полета снаряда.
7.15. Положите на край стола небольшой предмет, например ластик или коробок спичек. Столкните предмет со стола и зафиксируйте место, где он ударился о пол. Измерив высоту стола над полом и дальность полета, найдите скорость, которую вы сообщили телу при толчке.
7.16. К веревке длиной около 0,5 м привяжите крепко небольшое тело массой около 200—300 г. Вращая это тело на веревке в горизонтальной плоскости над головой, оцените по мускульному усилию, как меняется натяжение веревки при изменении частоты вращения, изменение натяжения при той же частоте, но от массы вращающегося тела. Сопоставьте результат опыта с известной вам формулой.
Примечание. Опыт следует проделать не в квартире, а во дворе.
7.17. Слепите из пластилина два шарика разной массы и подвесьте их на нитях одинаковой длины на гвоздике в дверном проеме. Отведите меньший шарик на некоторую высоту h^ и измерьте ее. Отпустив шарик, дайте ему столкнуться неупруго с большим шариком. Измерьте высоту h.2, на которую поднялись оба слипшихся ujapnxa. Пользуясь законом сохранения энергии, определите по высотам /г, и h.^ скорость у, меньшего шарика в момент соударения и скорость двух слипшихся шариков после соударения. Затем, используя закон сохранения импульса, определите отношение масс большего и меньшего шариков.
При проведении опыта проследите, чтобы шарики сталкивались «в лоб». Полученный результат можно проверить, взвесив шарики.
214
Глава 8. АТОМНОЕ ЯДРО. ЯДЕРНАЯ ЭНЕРГЕТИКА
§ 8.1. РАДИОАКТИВНОСТЬ
I. В 1896 г. А. Беккерель обнаружил, что уран самопроизвольно испускает какое-то неизвестное невидимое излучение, проникающее сквозь картон и бумагу и действующее на фотопластинку. В 1898 г. П. Кюри и М. Склодовская-Кюри выделили из урановой смоляной руды два новых химических элемента, названные ими радий (слово «радий» обра.зовано от латинского слова radiare — излучать, испускать лучи) и полоний (в честь Польши, откуда родом была М. Скло-довская). Оказалось, что эти вещества тоже самопроизвольно испускают невидимое излучение, как и уран, но их активность в несколько тысяч раз больше.
Годом по.зже, в 1899 г., Э. Резерфорд, пропустив и.злучение радия через сильное магнитное поле, обнаружил, что оно разделяется на два компонента: положительно заряженный, названный а,гьфа-из-лучением, и отрицательно заряженный, названный бета-излучением.
В 1900 г. обнаружили, что существует еще третий нейтральный компонент, названный гамма-излучением. На рисунке 8.1 показана схема установки, с помощью которой были открыты три компонента радиоактивного излучения. Крупица радия помещалась в свинцовый контейнер /, из отверстия которого испускалось исследуемое излучение 2. Проходя между полюсами сильного магнита, заряженные альфа- и бета-частицы отклонялись в противоположных направлениях, а на нейтральное гамма-излучение магнитное поле не действовало. Излучение попадало на фотопластинку 3 и вызывало почернение фотоэмульсии в трех областях.
II. Дальнейшие исследования показали, что альфа-частицы — это дважды ионизованные атомы гелия, иными словами, ядра гелия.
Было также доказано, что бета-частицы — это очень быстрые электроны, кинетическая энергия которых в зависимости от вещества, испускающего их, принимает значения от нескольких мегаэлектрон-вольт до десятков килоэлектрон-вольт. Гамма-излучение — это кванты электромагнитного излучения (фотоны) с аналогичными значениями энергии.
Самопроизвольное превращение атомного ядра, сопровождающееся испусканием заряженных частиц, нейтронов и фотонов называется радиоактивностью.
III. Радиоактивный распад происходит самопроизвольно, без внешних воздействии. В;заимодействием между атомными ядрами также можно пренебречь, поскольку расстояние между атомами в ве-
215
м, а радиус деиствия ядерных сил равен м, т. е. в сто тысяч раз меньше (см. § 8.5).
В результате скорость распада конкретного радиоактивного изотопа не зависит от массы вещества, т. е. от числа ядер. Для каждого радиоактивного изотопа существует определенное время, называемое периодом полураспада Т’,/2, в течение которого распадается половина от наличного числа ядер.
Если в некоторый момент времени /ц=0, которое мы называем начальным, изотоп состоит из большого числа ядер, то через время ^i = 7’i/2 останется иераспавшимся число N^—Nq/2 ядер. Через время t.j=2T^j2 останется иераспавшимся число N.2=Nj2= ядер, через время ^з=37’|/2 останется число N-^=N2/2= =yV(/8 нераспавшихся ядер и т. д. Через время i„=riT^/2 останется нераспавшихся ядер
Данное выражение называется законом радиоактивного распада. Он был открыт Э. Резерфордом и Ф. Содди в 1902 г. График этой зависимости изображен на рисунке 8.2.
Активностью радиоактивного препарата называется число распадов, происходящих за единицу времени, иными словами, скорость радиоактивного распада. Активность пропорциональна числу ядер (т. е. массе препарата) и обратно пропорциональна периоду полураспада.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется радиоактивностью? Как она была обнаружена?
2. Какие виды радиоактивных излучений вам известны? Как они были обнаружены?
216
3. Что называется периодом полураспада?
4. Как записывается закон радиоактивного распада? Постройте его график.
§ 8.2. АТОМ И АТОМНОЕ ЯДРО
I. Вы знаете, что атом — мельчайшая частица вещества (микрочастица), являющаяся наименьшей частью химического элемента и носителем его химических свойств. Вспомним его основные характеристики и свойства, изученные в VIII классе.
Серию опытов по рассеянию а-частиц в тонкой металлической фольге провели в I9II г. Э. Резерфорд и его сотрудники Г. Гейгер и Э. Марсден. Эти опыты доказали: атом состоит из маленького массивного положительно заряженного ядра, окруженного оболочкой, состоящей из отрицательно заряженных элементов.
II. Дальнейшие исследования, в особенности одного из учеников
Э. Резерфорда — Г. Мозли, позволили выяснить, что ;заряд атомного ядра <7д равен произведению порядкового номера Z элемента в периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева на элементарный электрический заряд е\
q=Z£,
где ^=1,60217733 Кл — элементарный .заряд, равный модулю заряда электрона.
Таким образом, оказалось, что порядковый номер химического элемента имеет глубокий физический смысл: он определяет заряд атомного ядра и тем самым число электронов, окружающих ядро. Поэтому число Z называют зарядовым числом.
III. Так как химические свойства того или иного элемента определяются числом электронов, расположенных на внешней электронной оболочке и способных принять участие в создании химических связей, зарядовое число является важнейшей характеристикой химического элемента. Зарядовым числом определяется распределение электронов на электронных оболочках атома и, следовательно, все химические свойства того или иного химического элемента.
IV. Размер ядра атома значительно (на несколько порядков) меньше размера самого атома. Размер атома мы можем найти, учитывая, что в металлах атомы достаточно плотно упакованы. Так, масса количества вещества 1 кмоль алюминия равна 27 кг, плотность алюминия равна 2,7-10^ кг/м^. Следовательно, объем количества вещества 1 кмоль алюминия равен 0,01 м^. Так как такое количество вещества содержит 6,02 -10^*^ частиц, то объем и радиус одного атома алюминия равны:
1/= =1,67П0~^ м^
6,02- 10-
217
/? «ii/l,67- 10-‘^м‘ =2,6-l0"'“ M.
Таковы размеры любых других атомов (примерно 10 м).
Радиус ядра, согласно опытам Э. Резерфорда, составляет 10“''' м, например для алюминия /?^=4,5 -Ю’'® м. Следовательно,
радиус атома больше радиуса ядра примерно в 10'-10'’ раз. Так, для алюминия
2,6- 10 4,5- 10
■10
—, =5,8-Ю*.
Чтобы оценить этот масштаб, представим себе, что мы строим модель атома, взяв в качестве модели ядра булавочную головку диаметром около 1 мм. Тогда моделью электронной оболочки атома окажется пустая сфера диаметром около бЧО' мм=б0 м. Это высота шестнадцатиэтажного здания! Вот как наглядно выглядит соотношение размеров атома и его ядра в данной модели.
Вопросы для самопроверкм
1. Как опрсде.пить заряд атомного ядра?
2. Как опре-телить число электронов в атоме?
3. Во сколько раз нриб.тизительно размер атома больше размера атомного ядра?
Упражнения
1. Определите заряд атомов водорода, гелия, железа, урана.
2. Определите число электронов в электронной оболочке атомов водорода, гелия, железа, урана.
3. Сколько электронов содержит однократно ионизованный ион натрия; двукратно ионизованный ион меди? (Указание. Учтите, что металлы образуют положительно заряженные ионы.)
4. Сколько электронов содержит однократно ионизованный ион хлора; трехкратно ионизованный нон фосфора? (Указание. Учтите, что неметаллы, как правило, образуют отрицательно заряженные ионы.)
§ 8.3. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
I. Очевидно, что в ядерной физике, как и во всех Д1)у1их разделах — механике, электродинамике, термодинамике, все величины могут быть выражены в единицах Международной системы единиц (СИ). Однако ока.залось более удобным пользоваться в ядерной физике некоторыми специальными единицами. Это относится к единицам длины, массы и энергии.
218
в качестве единицы длины в ядерной физике используется фемтометр (фм):
1 фм=10~'’м.
Часто вместо фемтометра используют термин ферма — в честь
Э. Ферми, известного ученого, много сделавшего для развития современной физики.
II. В качестве единицы массы в атомной и ядерной физике используется атомная единица массы (а.е.м.):
1 а.е.м.= 1,6605402кг.
Атомная единица массы равна 1/12 массы атома изотопа углерода атомной массой 12.
Постоянной Авогадро называется число частиц (атомов, ионов, молекул), содержащихся в одном моле вещества. По современным данным, постоянная Авогадро
/V,=6,0221367-10^^ моль"‘=6,0221367 •10^*' кмоль"'.
Легко убедиться, что численное значение 1 а.е.м. равно единице, деленной на постоянную Авогадро:
1 а.е.м.=тг' Л.-1
кг
6,0221367- Ю'^кмоль’’
КМОЛЬ
= 1,6605402-10"^^^ кг,
III. В качестве единиц энергии в атомной физике применяются электрон-вольт (эВ). килоэлектрон-вольт (кэВ) и мегаэлектронвольт (МэВ). Электрон-вольт равен кинетической энергии, которую приобретает в электрическом поле напряжением, равным 1 В, частица, несущая на себе элементарный электрический заряд
е=1,6*10‘“^ Кл:
•лЗ
1 эВ=е(У=1,6Ч0"”‘ Кл-1 В=1,6-10"“‘Дж,
1 к:эВ=10'’ эВ=1,6-10""^ Дж, 1 МэВ=10“ эВ=1,6-10~‘* Дж.
IV. Как показал в 1905 г. А. Эйнщтейн, между массой т системы частиц и ее энергией покоя (т. е. внутренней энергией Eq) существует прямая пропорциональная зависимость:
EQ=mc^,
где с~3,00-10* м/с — скорость света в вакууме. А это означает, что если за счет каких-либо процессов внутренняя энергия системы изменится на величину A£q, то соответственно и масса системы изменится на величину
Дщ=Д£'о/с‘‘, или AEQ=Amc^.
Заметим, что в этих формулах масса выражена в килограммах, а энергия — в джоулях. Однако в ядерной физике, как указывалось
219
выше, массу принято выражать в атомных единицах массы, а энергию — в мегаэлектрон-вольтах.
Чтобы найти соответствующее соотношение, представим себе, что масса системы изменилась на величину, равную одной атомной единице массы, т. е. Д;« = 1 а.е.м. На сколько же изменится ее внутренняя энергия? Оказывается, что.
“•.931,5
Дш а.е.м.
Чтобы получить результат с точностью до четырех значащих цифр, следует исходные данные записать с точностью до пяти значащих цифр, тогда 1 а.е.м.= 1,6605 1 МэВ=1,6022 -Ю"'^ Дж.
Следовательно, имеем
.2/„2.
10'^^ КГ. с=2,9979-10'’ м/с.
^EQ=^mc"= 1,6605 • 10“^" КГ • 2,9979 • Ю"* м7с =
= 14,924 -10'" Дж=
14,924 ■ 10'" Дж ,6022- 10"'^Дж/МэВ
=931,5 МэВ.
Итак, изменение массы системы на 1 а.е.м. равносильно изменению ее внутренней энергии на 931 МэВ. Это позволяет выражать массу частиц в микромире в единицах энергии. Так, масса электрона
/«^,=9,10939 • 10 кг=5,4858-10 ^ а.е.м.=0,511 .МэВ, а масса про-
тона-ядра атома водорода ш^= 1,6726-10”^^ кг=1,0073 а.е.м.= =938,27 МэВ.
V. Почему же мы не обнаруживаем изменения массы системы при тепловых и химических реакциях, хотя внутренняя энергия системы при этих реакциях изменяется? Оказывается, что изменения массы при этих реакциях столь малы, что ими можно пренебречь.
Так, при конденсации пара массой 1 кг выделяется энергия, равная 2,256-10*’ Дж. Соответствующее изменение массы Дш=Д£’о/г^=
=2,256 • 10**: 9 •10**’ кг=2,5-10~" кг. Никакой прибор такое малое изменение массы обнаружить не может!
Лналогично при химической реакции во время сгорания керосина массой 1 кг выделяется энергия, равная 4,31-10^ Дж. Изменение массы Д/ц=4,31 • 10^: 9 • 10**^ кг=4,8 -10 **^ кг. И это изменение массы экспериментально обнаружить невозможно.
Именно поэтому при описании тепловых и химических реакций можно пользоваться законом сохранения массы вещества: при любых тепловых и химических явлениях суммарная масса реагирующих веществ остается неизменной (закон Ломоносова — Лавуазье). И только в ядерных реакциях изменение энергии системы столь велико, что изменение массы ядер оказывается вполне заметным и измеримым.
К этому вопросу мы вернемся в § 8.5.
220
Вопросы дли самопроверки
1. Что примято за единицу длины в ялсрной физике? Каково ее соотношение с метром?
2. Что принято за единицу массы в атомной и ядерной физике?
3. Каково соотношение между постоянной Авогадро и атомной единицей массы?
4. Что принято в качестве единицы энергии в атомной и ядерной физике?
5. Каково соотношение между изменением массы и внутренней энергии системы частиц?
Упражнения
1. Для плавления льда массой 1 кг при температуре 0°С необходимо ему сообщить количество теплоты, равное 332,4 кДж. На сколько при этом возрастет масса воды?
2. При испарении пара массой 1 кг при температуре 100°С поглощается количество теплоты, равное 2,256 МДж. На сколько при этом меняется масса воды?
3. Можно ли путем взвещивания определить изменение массы при плавлении льда массой 1 кг или при конденсации пара массой 1 кг, если чувствительность весов не превосходит 0,1 мг?
4. Масса электрона равна 9,11-10”^' кг, масса протона равна
— 97
1,67*10 ■ кг. Выразите эти величины в атомных единицах массы и в мегаэлектрон-вольтах.
5. При переходе атома водорода со второго на первый энергетический уровень испускается квант, соответствующий первой линии в серии Лаймана (лайман-альфа). Определите частоту этого излучения, энергию кванта и уменьщение массы атома водорода при этом процессе. Какую часть массы атома водорода составит найденное вами значение изменения массы? .Масса атома водорода
равна 1,67*10 "^^ кг.
§ 8.4. СТРОЕНИЕ ЯДРА
I. В 1913 г. Э. Резерфорд выдвинул идею, согласно которой ядро атома водорода п[)едставляет собой элементарную частицу — протон, — входящую в состав других атомных ядер. В 1919 г. эта идея была подтверждена экспериментально. Были получены протоны при бомбардировке ядер азота альфа-частицами.
Однако из одних протонов ядро состоять не может. Действительно, заряд протона равен элементарному заряду е, так как зарядовое число протона равно единице (Z= 1). Атомная масса протона равна 1,0073 а.е.м., т. е. приблизительно одной атомной единице массы. (д1едовательно, если бы ядро любого элемента состояло из Z протонов, то заряд ядра равнялся бы Ze, что правильно. Но тогда масса ядра должна была бы быть приблизительно равна Z атомных
221
единиц, однако на самом деле массы ядер всех элементов гораздо больше.
Так, например, у гелия зарядовое число 2=2, а масса атома Л1=4,0026 а.е.м., у кислорода зарядовое число 2=8, а масса Л1= 15,999 а.е.м., у железа зарядовое число 2=26, а масса М= =55,847 а.е.м. и т. д.
II. В 1930 г. было обнаружено, что при облучении бериллия альфа-частицами возникает особое излучение. Оно не отклоняется ни в электрическом, ни в магнитном поле, следовательно, оно является электрически нейтральным. В 1932 г. один из учеников
Э. Резерфорда—Дж. Чэдвик доказал, что это излучение представляет собой поток нейтральных частиц, масса которых близка к массе протона. Существование такой частицы было предсказано еще в 1920 г. самим Э. Резерфордом. Эта частица была названа нейтроном.
Масса свободного нейтрона оказалась немного больше массы протона; т„= 1,6749 • 10“^^ кг= 1,0087 а.е.м.=939,57 МэВ.
В том же году Д. Д. Иваненко и В. Гейзенберг предложили протонно-нейтронную модель ядра. Эта модель была затем полностью подтвервдена всеми последующими исследованиями ядерных превращений.
Согласно этой модели любое атомное ядро состоит из протонов и нейтронов, связанных между собой ядерными силами (сильными взаимодействиями). Обе частицы оказались абсолютно идентичными относительно ядерных взаимодействий, поэтому они получили общее название — нуклоны.
III. Нетрудно убедиться, что число npoTotioB в ядре равно зарядовому числу 2 (т. е. порядковому номеру элемента в таблице Менделеева). Тем самым обеспечивается заряд ядра q„=Ze, а в нейтральном атоме на его оболочках располагается 2 электронов.
Число нейтронов в ядре обозначим N. Так как массы протона и нейтрона приблизительно равны 1 а.е.м., то сумма числа протонов и числа нейтронов приблизительно равна массе ядра Л4, выраженной в тех же атомных единицах массы;
M~(Z+N) а.е.м.
IV. Суммарное число протонов и нейтронов называют массовым числом А:
Л=2+Л/.
Обобщенно ядра атомов часто называют нуклидами. Нуклид обозначают символом '1х, где X — символ химического элемента. Для обозначения конкретного ядра используется символ атома с указанием сверху конкретного значения массового числа А, а сни;чу —
'7 ’ll I 1^1^ А
зарядового числа Z; зНе, ;i5Br, ^jAg и т. д.
V. в ядрах одного и того же химического элемента (например, углерода) число нейтронов может быть различным, а число протонов
222
всегда одно и то же. Например, в ядрах углеродов число протонов всегда равно 6, а число нейтронов может быть равно 5, 6, 7, 8, 9,
10, следовательно, можно записать: gC, оС, . g^> 6^.
т. е. верхняя запись указывает сумму протонов и нейтронов.
Химические свойства атома всецело связаны с числом электронов в атоме, следовательно, с зарядом ядра (числом протонов) и не зависят от массового числа и количества нейтронов в ядре. Нуклиды (ядра), имеющие одинаковое число протонов и разное число нейтронов, называют изотопами. Изотопы занимают одно и то же место в периодической системе химических элементов. Отсюда и понятие «изотоп». (Слово «изотоп» образовано от греческих слов isos — одинаковый и topos — место.)
VI. В таблице 8.1 приведены массы трех элементарных частиц и массы нейтральных атомов изотопов некоторых химических элементов.
Таблица 8.
Частица ■Масса Химический Масса
Химический элемент элемент
а.е.м. МэВ а.е.м ГэВ
Электрон 0.0005-186 0,5110209 Углерод '|С 12,000000 11.177932
Протон \р 1,0072765 938,27805 13^- 6'^ 13,003354 12.112550
Нейтрон 1/1 1,008665 939,5714 Урам’^^и 235,04418 21.8942:12
ВодородН 1,007825 938,78898 238у 92'-' 238,05113 22,174328
Дейтерий 2,011102 1876,136 Нептуний «Np 239.05320 22,267670
Тритий ’Н 3,016062 2809,4617
Гелий jHe 4,002603 3728,4246 n.'iyroiHiH 94 239,05242 22.267597
■’Не 3,016042 2809,4431
Вопросы для самопроверки
1. Какая частица называется протоном? Каковы его э.чсктрический заряд и примерная масса (в атомных единицах массы)?
2. Какая частица называется нейтромом? Каковы его электрический заряд и примерная масса (в атомных единицах массы)?
.3. Из каких частиц состоит атомное ядро?
4. Сколько в ядре содержится протонов; нейтронов?
5. ^1то называется массовым числом? Каково соотношение между массовым числом и массой ядра, выраженной в атомных единицах массы?
6. Что такое изотопы? Отличаются ли по химическим свойствам изотопы одного и того же химического элемента?
7. Как обозначается нуклид некоторого химического элемента? Приведите примеры.
223
Упражнения
1. Определите число протонов и нейтронов в ядрах химических
элементов: .^Не , ,
4W , М‘мЬ
21 1C, jgo , 74VV ,
2. Чем отличаются составы ядер трех изотопов водорода: наиболее распространенного протия |Н, дейтерия и трития |Н ?
3. Чем отличаются атомы и ядра сверхтяжелого изотопа водорода — трития ,'l 1 и легкого изотопа гелия гНе ? Одинаковы ли их химические свойства?
4. Чем отличаются составы ядер изотопов урана: и ?
Одинаковы ли их химические свойства?
5. Природный хлор состоит в основном из двух изотопов с массовыми числами 35 и 37, содержание других изотопов ничтожно мало. Атомная масса природного хлора равна 35,453 а.е.м. Определите процентное содержание обоих изотопов, если их атомные массы равны 34,969 а.е.м. и 36,966 а.е.м.
6. Природный мапнй! состоит в основном из смеси трех изотопов с массами ядер 23,985 а.е.м. (78,6%), 24,986 а.е.м. (10,1%) и 25,983 а.е.м. (11,3%). Определите атомную массу природного магния.
§ 8.5. ЯДЕРНЫЕ СИДЫ
I. Итак, атомное ядро состоит из положительно заряженных протонов и электрически не.заряженпых нейтронов. Очевидно, что между протонами действуют значительные электрические силы отталкивания. Однако ядра огромного числа атомов, :^а очень редким исключением, весьма устойчивы.
Это приводит нас к выводу, что, кроме электрических сил отталкивания, в ядре действуют и значительные силы притяжения между нуклонами. Эти силы не являются гравитационными. Простой расчет показывает, что силы гравитационного взаимодействия между двумя протонами в 10'**’ раз меньше электрических. Это не могут быть и магнитные силы, которые также существенно меньше электрических.
Силы, связывающие нуюгоны в ядре, называются ядерными. Они имеют особую природу. Ядерные силы рассматриваются как одно из проявлении так называемого сильного взаимодействия. Из опытов были получены важные сведения о свойствах ядерных сил.
II. Ядерные силы являются короткодействующими в отличие
от дальнодействующих электромагнитных и гравитационных сил. Радиус действия ядерных сил примерно |)авен размеру нуклона (1 фм=10 м). На этих расстояниях ядерные силы в сотни pa:i
превышают электромагнитные (кулоновские) силы взаимодействия. Это, образно говоря, «богатырь с очень короткими руками».
224
Ядерные силы обладают зарядовой независимостью. Это значит, что два протона или протон и нейтрон взаимодействуют между собой одинаково.
Ядерные силы обладают свойствами насыш,ения, что является следствием их короткодействия, т. е. каждый нуклон ядра взаимодействует только с ограниченным числом ближайших к нему других нуклонов. В этом отношении ядерные силы очень напоминают молекулярные силы, которые тоже действуют только между соседними молекулами, т. е. обладают относительно малым радиусом действия.
По характеру взаимодействия нуклоны похожи на твердые шарики, окутанные мягкой и очень клейкой оболочкой. Частицы, составляющие эту оболочку, называются глюонами. (Слово «глюон» образовано от английского слова glue — клей.)
Вопросы дли самопроверки
1. Каково действие электрических сил между протонами в ядре?
2. Что наводит нас на мыс.пь, что в ядре, кроме электрических сил, действуют ядерные силы?
3. Каковы свойства ядерных сил?
Упражнения
1. Зная, что расстояние между протонами в ядре составляет около Ю""’'* м, найдите силу кулоновского отталкивания меж/.1у двумя протонами.
2. Поданным предыдущей задачи определите силу гравитационного притяжения между двумя соседними нуклонами. Примите массу
нуклона равной примерно 1,67’ 10 кг.
3. Во сколько раз сила гравитационного притяжения между соседними нуклонами меньше силы кулоновского отталкивания?
§ 8.6. ДЕФЕКТ МАССЫ. ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ
I. В ядерной физике для оценки взаимодействия нуклонов чаще всего используется метод описания не через силу, а через энергию взаимодействия, потому что ядерные силы измерить весьма сложно, и то время как энергию взаимодействия можно весьма точно измерить. Здесь на помощь прихоудит соотношение Эйнштейна АЕ=Атс^, или, если энергию выразить в мегаэлектрон-вольтах, а массу в атомных единицах массы (см. § 8.3), Д/Г=Дт* 931,5 МэВ.
И. .Можно было бы предположить, что так как все атомные ядра составлены из одних и тех же частиц—протонов и нейтронов, то масса каждого ядра должна быть равна сумме масс содержавшихся в нем нуклонов. Однако эксперимент — беспристрастный судья всякой теории — показывает другое: массы ядер всегда меньше суммы масс нуклонов, из которых ядро состоит. Существует дефект масс,
8 л. А. Птюкип
225
или, проще говоря, недостаток массы ядра по сравнению с массами составляющих его нуклонов.
Обозначим массу ядра через Л!,, массы протонов и нейтронов соответственно через Шр и т„ и учтем, что в каждом ядре содержится Z протонов и N нейтронов. Сформулированное выше положение можно записать в виде неравенства
M^