Учебник Физика 7 класс Грачёв Погожев Селиверстов

Наименование Наименование Единица Обозначение величины единицы измерения Время секунда с t, X Длина метр м 1 Масса килограмм кг тп Наименование Наименование Единица Обозна- величины единицы измерения чение Площадь квадратный метр м^ 5 Объём кубический метр У Скорость метр в секунду м/с V Ускорение метр на секунду в квадрате М/С2 а Плотность килограмм на кубический метр кг/м’’ р Сила ньютон Н F Давление паскаль Па Р Жёсткость ньютон на метр Н/м k Момент силы ньютон-метр Н • м М Работа джоуль Дж А Механическая энергия джоуль Дж Е Кинетическая энергия джоуль Дж К Потенциальная энергия джоуль Дж П Мощность ватт Вт N 1 секунда приближённо равна 1/31 556 926 части времени обращения Земли вокруг Солнца. Возраст Вселенной ~ 1 000 000 000 000 000 000 с = 10** с. Время, за которое свет проходит расстояние 1 метр, ~ 0,000 000 003 с. 1 метр приближённо равен 1 /40 000 000 части длины земного меридиана, проходящего через Париж. Радиус нашей Галактики = 1 000 000 000 000 000 000 000 м = 10^* м. Радиус Земли ~ 6 400 000 м = 6400 км. Наибольшая глубина океана (Марианская впадина) — 11 022 м = 11,022 км. Радиус атома — 0,000 000 000 1 м. 1 килограмм приближённо равен массе 1 литра химически чистой воды при температуре 4 °С и нормальном атмосферном давлении. Масса Солнца — 2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг = 2 • 10*® кг. Масса Земли — 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг = 6 ■ 10^^ кг. Масса атома — 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 кг. Скорость света в воздухе — 300 000 км/с. Скорость движения Земли вокруг Солнца — 30 км/с. Скорость черепахи — 0,1 м/с. Плотность вещества в центре Солнца — 150 000 кг/м*. Плотность вещества в центре Земли — 12 500 кг/м*. Плотность ртути — 13 546 кг/м*. Плотность воздуха при нормальном атмосферном давлении и температуре 0°С - 1,29 кг/м*. Давление в центре Солнца — 39 000 000 000 000 000 Па = 39 • 10** Па. Давление в центре Земли ~ 360 000 000 000 Па = 36 • 10*® Па. Давление, создаваемое столбом воды высотой 1 мм, — 9,8 Па. Мощность солнечного излучения, падающего на Землю, примерно равна 200 000 000 000 000 000 Вт (2 • 10*^ Вт), что составляет ~ 1 /2 200 000 000 часть солнечного излучения. ФГОС Алгоритм успеха A. В. Грачёв B. А. Погожев А.В. Селиверстов Физика 7 класс Учебник для учащихся общеобразовательных организаций Издание третье, переработанное Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации Москва Издательский центр «Веитана-Граф» 2014 ББК 22..%i721 Г78 Учебник включён в федеральный перечень Грачёв А.В. Г78 Физика : 7 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.В. Грачёв, В.А. Погожев, А.В. Селиверстов. — 3-е изд., перераб. — М. : Вентана-Граф, 2014. — 288 с. : ил. ISBN 978-5-360-04901-2 Учебник рассчитан на учащихся общеобразовательных школ, приступающих к систематическому изучению физики. Настоящее издание входит в систему учебников «Алгоритм успеха» и вместе с рабочими тетрадями, тетрадью для лабораторных работ и методическим пособием для учителей составляет учебно-методический комплект по физике для 7 класса. В учебнике представлен раздел «Механические явления». Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования (2010 г.). ББК 22.3я721 ISBN 978-5-360-04901-2 © Грачёв Д.В., Погожев В.А., Селиверстов А.В., 2007 © Издательский центр «Вентана-Граф», 2007 © Грачёв А.В., Погожев В.А., Селиверстов А.В., 201.3, с изменениями © И.здательский центр «Вентана-Граф», 201.3, с изменениями Как работать с учебником Дорогие ребята! Этот учебник вы будете использовать во время урока, например чтобы усвоить новый материал, научиться правильно решать задачи. Но с учебником можно работать и дома: самому разобраться в проблеме, найти ответ на непростой вопрос, хорошо подготовиться к уроку или контрольной работе. В учебнике достаточно подробно изложены нужные вам знания, и, если на уроке вы что-то упустили, поработайте самостоятельно — внимательно прочтите текст параграфа, постарайтесь выполнить предложенные в нём упражнения. Обращайте внимание на места, где стоят значки. Это важно! Так отмечены основные положения в тексте параграфа. ИД1 Комментарии. Это вспомогательные тексты, поясняющие отдельные положения параграфа; советы, как ими пользоваться; различные напоминания и т. п. СЦ Справочные материалы: сведения из истории физики; интересная дополнительная информация; данные, которые могут потребоваться, например, при решении задач. JJL Совместная работа. Так отмечены задания, требующие совместной работы двух или более учащихся. Итоги. В конце каждого параграфа собраны и приведены сведения, которые помогут вам понять, что является главным, без чего нельзя усвоить дальнейшее содержание учебника. Внимательно прочтите каждый вывод, спрашивая себя: всё ли в нём понятно? При необходимости ещё раз обратитесь к соответствующему месту в учебнике. Вопросы. Для того чтобы проверить, насколько успешно вы усвоили основное в данном параграфе, постарайтесь ответить на заданные вопросы и только после этого переходите к упражнениям. Упражнения. В конце параграфа приводятся упражнения, которые вы будете выполнять дома, после того как убедитесь, что поняли содержание параграфа и его итоги. Встретятся вам и сложные упражнения; они отмечены знаком * и рассчитаны на самостоятельную работу. Знаком {для дополнительного изучения) в учебнике отмечены те места, в том числе параграфы, которые адресованы всем, кто заинтересуется физикой и захочет расширить свои знания. Кроме условных обозначений, облегчающих пользование книгой, вам встретятся в тексте учебника и особо выделенные места. Так, формулировки законов набраны другим шрифтом и цветом. Таким же шрифтом обычного цвета набраны тексты определений. Текст, на который при чтении следует обратить внимание, выделен курсивом. Как правило, это отдельные выводы или ключевые для понимания слова. В разделе «Ответы» приведены ответы к отдельным вопросам и задачам в учебнике, чтобы можно было проверить свою работу. В конце учебника дан предметный указатель. Если вам потребуется найти в книге страницу, на которой впервые появляется тот или иной физический термин, загляните в указатель. Надеемся, всё это облегчит вам работу с учебником. Введение §1 Что такое физика Вы держите в руках учебник по новому для вас учебному предмету — физике. Несмотря на то что вы только приступаете к её изучению, объект исследования этой науки хорошо вам знаком. С ним вы сталкивались и в школе, и дома, и на прогулке. Ведь физика изучает окружающий нас мир, и даже её название происходит от греческого слова фоак; (фюсис) — «природа». Но значит ли это, что физика изучает всё на свете? Само название «физика» было придумано в эпоху античности греческим философом Аристотелем (384-322 до н. э.). Вначале оно действительно означало всю совокупность знаний о природе. Однако по мере накопления таких знаний и совершенствования методов исследования из физики выделились отдельные науки (астрономия, география, химия и др.), которые принято называть естественными. Отличительная особенность естественных наук заключается в том, что источником знаний о природе и критерием их истинности является опыт. Чем же современная физика отличается от остальных естественных наук? Чтобы разобраться в этом, рассмотрим, с чего началось изучение природы. С древних времён люди наблюдали самые разные явления на Земле и в небе: восход и заход светил, смену дня и ночи, движение и столкновение предметов, свет и звук, тепло и холод, проявления стихии — разливы рек, ураганы, грозы и многое другое. Явлений вокруг было множество. Но, несмотря на такое разнообразие, окружающий мир всегда виделся человеку единым целым. Ни одно из явлений не было изолированным, не происходило отдельно от других. Некоторые из них повторялись (например, смена времён года). Другие (такие как дождь, гроза, радуга) происходили одновременно или следовали друг за другом. _______ Аристотель Это наводило на мысли о том, что у разных явлений должны иметься какие-то общие причины — законы, скрытые от человека. В Древнем мире закономерности различных явлений подмечали, записывали и хранили в глубокой тайне жрецы храмов. Целью их занятий было предсказание, например, разливов рек, солнечных и лунных затмений, т. е. тех природных явлений, от которых зависела жизнь человека. Но учение Древнего мира о природе ещё не было наукой. Объяснения явлений природы, которые давали посвящённые в «высшие» знания люди, не содержали природных причин. Например, восходы и заходы Солнца, смену времён года, проявления стихии — грозу, ветер, землетрясение — связывали с действиями богов. Поэтому деятельность учёных того времени ограничивалась лишь собиранием разных фактов и общим описанием явлений. Исследование природы в современном понимании — описание её явлений и изучение их закономерностей на основе продуманных экспериментов — началось лишь в эпоху Возрождения. К этому времени объём накопленных знаний стал столь значительным, что науку о природе пришлось разделить на части. Появился ряд новых дисциплин, исследующих окружающий мир в более узких областях: живую природу стали изучать своими методами зоология и ботаника, небесные тела — астрономия, поверхность и недра Земли — география и геология, превращения веществ — химия. При этом физики стали широко применять новые методы исследования, используя всё более совершенные инструменты. В то же время физика сохранила прежнюю цель — искать объяснения разнообразным явлениям окружающего мира, изучать их причины, общие свойства, закономерности и взаимосвязи между ними. Древний астроном наблюдает расположение небесных светил с помощью угломерных палочек Особенность физики заключается в том, что она изучает природу как единое целое, В наши дни интересы физики простираются от мельчайших частиц вещества до галактик и Вселенной в целом. Эти закономерности (или, по-другому, физические законы) описывают количественные соотношения в природе. Часто они записываются на математическом языке, с помощью формул. Поэтому при изучении физики знание математики так же необходимо, как знание языка при чтении книг. Как же учёные открывают эти закономерности? Прежде всего, проводятся наблюдения явлений природы и находятся количественные характеристики для их описания. После этого устанавливаются связи между этими характеристиками. Однако вот уже на протяжении нескольких веков учёные не ограничиваются пассивным наблюдением, дожидаясь, пока интересующее их явление будет происходить самопроизвольно. Для его изучения проводится специально подготовленный опыт — эксперимент, во время которого изучаемое природное явление воспроизводится в строго определённых условиях заранее продуманным образом. Первым учёным, который использовал эксперимент для получения новых знаний, был итальянский физик и астроном Галилео Галилей (1564-1642). Исследуя движение, он сбрасывал предметы одинаковой формы с наклонной Пизанской башни и изучал, зависит ли время их падения от массы. С исследований Галилея берёт начало история современной физики. Эксперимент в современной физике — основной метод изучения природы. Именно эксперимент является источником и критерием истинности наших знаний о природе. Физические законы основываются и проверяются на фактах, установленных опытным путём. Второй, не менее важный способ познания — теоретическое описание явлений окружающего нас мира. На основе физических теорий учёные получают общие законы природы, объясняют с их помощью уже известные явления и предсказывают новые, ещё не открытые. Основоположник теоретического метода в физике — английский физик и математик Исаак Ньютон (1643-1727), создавший первую физическую теорию (классическую механику). Галилео Г алилей Исаак Ньютон Изобретение и усовершенствование компьютеров привело к развитию третьего, самого молодого способа познания окружающего мира. Это — компьютерное моделирование явлений и процессов, или численный эксперимент. Эксперимент, теоретическое описание и компьютерное моделирование — основные научные методы познания природы. В современной физике они используются совместно. Но зачем физика занимается исследованием природы? Что движет учёными, кроме обычного любопытства? Ещё в самом начале цивилизации люди поняли, что знания об окружающем мире делают человека сильнее и помогают обустроить жизнь. Открытие законов природы изменило отношение человека к окружающему миру, что привело к появлению техники. У человека появились новые возможности: рычаг сделал его сильнее, паровой двигатель освободил от тяжёлого труда. С помощью самолёта люди покорили воздушное пространство, а с помощью ракеты — космос. Мобильный телефон, СВЧ-печь, компьютер. Всемирная сеть Интернет — вот очевидные успехи прикладной физики последних десятилетий. Можно сказать, что в наши дни благодаря развитию науки и техники человек живёт уже в новом окружающем мире и физика играет в этом мире всё более важную роль. Знание законов природы позволяет человеку использовать её для своих нужд, создавать новые приборы, устройства, материалы. А поскольку наши потребности и возможности всё время растут, то и физика постоянно развивается. В школьном курсе невозможно рассказать обо всех направлениях современной науки. Чтобы упростить изучение физики, изучаемые ею явления принято делить на механические, тепловые, электромагнитные, световые и квантовые. Эти явления изучаются в различных разделах физики: механике, молекулярной физике, термодинамике, .электромагнетизме, оптике, атомной и ядерной физике. Но нужно помнить: природа не знает о том, что люди разделили знания о ней на части. Поэтому для объяснения того или иного явления могут потребоваться законы, изучаемые не только в разных разделах физики, но и в разных естественных науках. Итоги Физика появилась в результате наблюдений разнообразных явлений природы и стремления понять причины возникновения этих явлений. Физика стала наукой в современном понимании лишь в эпоху Возрождения, когда люди начали описывать явления и изучать их закономерности на основе продуманных экспериментов. 8 Физика изучает природу как единое целое: от мельчайших частиц вещества до галактик и Вселенной. Основные способы современных физических исследований — эксперимент, теоретическое описание и компьютерное моделирование. В современной физике они используются совместно. Физические законы описывают количественные соотношения в природе. Часто они записываются на математическом языке, с помощью формул. Физические законы основываются и проверяются на экспериментальных фактах. Знание законов природы изменило отношение человека к окружающему миру и привело к появлению техники. Вопросы Назовите, какие из перечисленных явлений изучает физика, а какие — другие науки: падение камня, рост дерева, полёт самолёта, горение спички, свечение лампочки, извержение вулкана. 2j Как в древние времена люди отвечали на вопрос о причинах природных явлений? Почему их учение о природе ещё не было наукой? Когда физика стала наукой в современном понимании? Запланируйте и проведите наблюдение и описание известного вам физического явления, например ветра, используя знания из курса «Естествознание». Сформулируйте цель исследования, об-стоятельства и условия проведения наблюдения. Укажите различные проявления этого явления. Какие понятия потребовались вам для описания? Что такое эксперимент, чем он отличается от наблюдения? Перечислите основные методы изучения природы, используемые в физике. *5j Приведите примеры физических явлений, которые: а) происходят периодически (повторяются); б) происходят одновременно; в) следуют друг за другом. §2 Физические величины Физика, как мы уже установили, изучает общие закономерности в окружающем нас мире. Для этого учёные проводят наблюдения физических явлений. Однако при описании явлений принято использовать не повседневный язык, а специсыьные слова, имеющие строго определённый смысл, — термины. Некоторые физические термины уже встречались вам в предыдущем параграфе. Многие термины вам только предстоит узнать и запомнить их значения. Кроме того, физикам необходимо описывать различные свойства (характеристики) физических явлений и процессов, причём характеризовать их не только качественно, но и количественно. Приведём пример. Исследуем зависимость времени падения камня от высоты, с которой он падает. Опыт показывает; чем больше высота, тем больше время падения. Это качественное описание, оно не позволяет подробно описать ре-.зультат эксперимента. Чтобы понять закономерность такого явления, как падение, нужно знать, например, что при увеличении высоты в четыре раза время падения камня обычно увеличивается в два раза. Это и есть пример количественных характеристик свойств явления и взаимосвязи между ними. Для того чтобы количественно описывать свойства (характеристики) физических объектов, процессов или явлений, исполызуют физические величины. Примеры известных вам физических величин — длина, время, масса, скорость. Физические величины количественно описывают свойства физических тел, процессов, явлений. С некоторыми величинами вам доводилось сталкиваться раньше. На уроках математики, решая задачи, вы измеряли длины отрезков, определяли пройденный путь. При этом вы пользовались одной и той же физической величиной — длиной. В других случаях вы находили продолжительность движения различных объектов: пешехода, автомобиля, муравья — и также использовали для этого только одну физическую величину — время. Как вы уже заметили, для разных объектов одна и та же физическая величина принимает различные значения. Например, длины разных отрезков могут быть неодинаковы. Поэтому одна и та же величина может принимать разные значения и быть использована для характеристики самых разных объектов и явлений. Необходимость введения физических величин заключается ещё и в том, что с их помощью записывают законы физики. 10 в формулах и при расчётах физические величины обозначают буквами латинского и греческого алфавитов. Есть общепринятые обозначения, например длина — I или L, время — t, масса — т или М, площадь — S, объём — V и т. п. Если вы запишете значение физической величины (ту же самую длину отрезка, получив её в результате измерения), то заметите: это значение — не просто число. Сказав, что длина отрезка равна 100, обязательно нужно уточнить, в каких единицах она выражена: в метрах, сантиметрах, километрах или в чём-то ещё. Поэтому говорят, что значение физической величины — именованное число. Его можно представить как число, за которым указано наименование единицы этой величины. Значение физической величины = Число х Единица величины. Единицы многих физических величин (например, длины, времени, массы) первоначально возникли из потребностей обыденной жизни. Для них в разные времена разными народами были придуманы различные единицы. Cl Интересно, что названия многих единиц величин у разных народов совпадают, потому что при выборе этих единиц использовались размеры тела человека. Например, единица длины, называемая «локоть», использовалась в Древнем Египте, Вавилоне, арабском мире, Англии, России. Но длину измеряли не только локтями, но и в вершках, футах, лье и т. п. Следует сказать, что даже при одинаковых названиях единицы одной и той же величины у разных народов были разными. В I960 г. учёные разработали Международную систему единиц (СИ, или SI, — сокращение от фр. Systeme International d’Unites). Эта система принята многими странами, в том числе и Россией. Поэтому использование единиц этой системы является обязательным. Принято различать основные и производные единицы физических величин. В СИ основные механические единицы — длина, время и масса. Длину измеряют в метрах (м), время — в секундах (с), массу — в килограммах (кг). Производные единицы образуют из основных, используя соотношения между физическими величинами. Например, единица площади — квадратный метр (м^) — равна площади квадрата с длиной стороны один метр. При измерениях и вычислениях часто приходится иметь дело с физическими величинами, численные значения которых во много раз отличаются от единицы величины. В таких случаях к названию единицы добавля- Д В 1101 г. английский король Генрих I установил единицу измерения длины 1 ярд — расстояние от кончика своего носа до конца среднего пальца вытя-I нутой руки. Это расстояние составляет 91,4 см, а сама единица и сейчас входит в систему единиц, принятую в Англии. 11 ют приставку, озпачаютцую умножение или деление единицы на некоторое число. Очень часто исполь.зуют умножение принятой единицы на 10, 100, 1000 и т. д. {кратные величины), а также деление единицы на К), 100, 1000 и т. д. (дольные величины, т. е. доли). Например, тысяча метров — это один километр (1000 м = 1 км), приставка — кило-. Приставки, означающие умножение и деление единиц физических величин на десять, сто и тысячу, приведены в таблице 1. Таблица 1. Приставки для кратных и дольных величин Множитель Приставка Обозначе- ние К) дека- да 100 гекто- Г 1000 кило- к Множитель Приставка Обозначе- ние 0,1 деци- д 0,01 санти- с 0,001 милли- м Итоги Физическая величина является количественной характеристикой свойств физических объектов, процессов или явлений. Физическая величина характеризует одно и то же свойство самых разных физических объектов и процессов. Значение физической величины — именованное число. Значение физической величины = Число X Единица величины. Вопросы 3. 4 *5. Для чего служат физические величины? Приведите примеры физических величин. Какие из перечисленных ниже терминов являются физическими величинами, а какие — нет? Линейка, автомобиль, холод, длина, скорость, температура, вода, звук, масса. Как записывают значения физических величин? Что такое СИ? Для чего она нужна? Какие единицы называют основными, а какие производными? Приведите примеры. 12 Упражнения *6. Найдите в тексте § 1 и 2 физические термины и выпишите их. Масса тела равна 250 г. Выразите массу этого тела в килограммах (кг) и миллиграммах (мг). Выразите расстояние 0,135 км в метрах и в миллиметрах. На практике часто используют внесистемную единицу объёма — литр: 1 л = 1 дм^. В СИ единица объёма носит название кубический метр. Сколько литров в одном кубическом метре? Найдите, какой объём воды содержит кубик с ребром 1 см, и выразите этот объём в литрах и кубических метрах, используя необходимые приставки. Назовите физические величины, которые необходимы для описания свойств такого физического явления, как ветер (см. § 1). Используйте сведения, полученные на уроках естествознания, а также результаты ваших наблюдений. Запланируйте физический эксперимент с целью измерения этих величин. Какие старинные и современные единицы длины и времени вы знаете? Измерение физических величин Теперь мы .знаем, что такое физическая величина и как её записать. Для того чтобы узнать её значение в каждом конкретном случае, проводят измерения. Нахождение значения физической величины опытным путём с помощью специальных технических средств называют измерением физической величины. Только проводя измерения с помощью соответствующих приборов, физики экспериментально устанавливают количественные соотношения между физическими величинами. Великий русский учёный Дмитрий Иванович Менделеев писал; «Наука начинается с тех пор, как начинают измерять; точная наука немыслима без меры». Без проведения измерений физических величин невозможно описать свойства объектов и обнаружить количественные закономерности в природе. 13 Расстояние между подписанными штрихами равно 10 мм Между подписанньши штрихами находится 10 делений — значит, цена деления равна 10 мм/10 делений = 1 мм Рис. Определение цены деления iHKiuibi линейки В самом простом случае, чтобы измерить какую-либо величину, необходимо сравнить её с единицей этой величины, т. е. определить, во сколько раз измеряемая величина отличается от её единицы. К примеру, при измерении длины ручки можно использовать линейку. Линейка является простейшим физическим прибором, предназначенным для измерений длин. Как и на других приборах, например на часах, термометрах, на линейке нанесена шкала — ряд делений. Прежде чем проводить измерения с помощью прибора, имеющего шкалу, необходимо определить це^гу деления его шкалы (рис. 1). То есть нужно узнать, сколько единиц измеряемой величины приходится на одно деление — расстояние между двумя соседними отметками шкалы (штрихами). Обычно одно деление линейки соответствует 1 мм. Определять цену деления других измерительных приборов вы научитесь, выполняя лабораторные работы. Цена деления шкалы — разность значений измеряемой величины, соответствующих двум соседним отметкам (штрихам) шкалы. После нахождения цены деления шкалы можно проводить измерение длины. Измерим с помощью линейки длину карандаша (рис. 2). Для этого совместим один из концов карандаша с началом шкалы. Затем найдём штрих на шкале, ближайший ко второму концу карандаша (на рисунке он отмечен пунктирной линией). Подсчитаем число делений шкалы между началом и найденным штрихом. После этого цену деления умножим на най- Ближайший ' штрих шкалы Рис. Измерение длины карандаша 14 денное число делений. Полученный результат можно выразить в различных единицах (например, в миллиметрах, сантиметрах или метрах). Но линейкой нельзя измерить точно длину предмета, по крайней мере, но двум причинам. Первая заключается в том, что невозможно точно нанести штрихи на шкалу. Вторая причина: измеряемый предмет может оказаться чуть длиннее или короче, чем длина целого числа делений шкалы. Имеется и целый ряд других причин. Так, человеческий глаз улавливает различия в длине только до определённого значения, штрихи имеют конечную толщину, торец карандаша не идеально ровный и т. п. Обычно линейки изготавливают так, чтобы ошибка (погрешность) при измерении не превышала половины цены деления в любом месте шкалы. Поэтому, как правило, не имеет смысла пытаться измерить длину предмета с точностью, превышающей половину цены деления линейки. В данной ситуации можно лишь утверждать, что измеренная длина карандаша больше 92, но меньше 93 мм. М К сожалению, за очень редким исключением, любое измерение не в состоянии дать результат без погрешности. Поэтому почти все измеренные физические величины известны нам приблизительно. Следовательно, обычно мы можем говорить лишь об измерении с некоторой точностью, которая зависит от измерительного прибора и метода измерения. Развитие физики связано с появлением всё более точных приборов и методов измерений, дающих всё меньшую погрешность. Очень наглядно это проявилось при измерении такой физической величины, как время. В древнейшие времена единицами времени были сутки и год. Наблюдения за движением Солнца по небу позволили создать солнечные часы. С их помощью в Древнем Вавилоне научились измерять более короткие отрезки времени, разделив и день, и ночь на 12 часов, а час — на 60 минут. Люди поняли, что час нужно задавать как постоянный промежуток времени. Его длительность можно определить через регулярно повторяющийся природный процесс, например суточное вращение небесной сферы. С! Изобретение стекла дало возможность создать песочные часы (■/). К сожалению, такие часы не позволяли измерять интервалы времени, меньшие н Как правило, для линеек цена деления шкалы составляет 1 мм. Поэтому I не имеет смысла пытаться измерить длину предмета с помощью линейки с точ-I ностью, превышающей половину цены деления шкалы линейки, — 0,5 мм. В Древнем Вавилоне использовалась не десятичная система счисления, а двенадцатиричная (и основанная на ней шестидесятиричная). Напоминанием об этих древних временах служит деление суток на 24 часа, часа — на 60 минут, а минуты — на 60 секунд. 15 3 нескольких секунд. Гсшилео Галилей в начале XVII в. в экспериментах по изучению движения тел измерял временные промежутки, считая удары собственного пульса (примерно один удар в секунду), пока не открыл периодичность колебаний маятника. Используя это открытие, другой физик. Христиан Гюйгенс, изобрёл маятниковые часы (2). Открытие и исследования электрических явлений привели к созданию многих электронных приборов, в том числе и электронных часов {3). А открытие тайн микромира позволило изготовить сверхточные атомные часы {4). Интересно, что усовершенствование измерительных приборов подталкивает развитие всех наук. Например, изобретение хронометра — точных механических часов (5) — дало возможность морякам определять своё положение в море и привело к множеству географических открытий; развитие угломерных инструментов позволило получить более точную информацию о небесных телах и Земле и т. п. Поэтому в физике уделяется большое внимание усовершенствованию методов измерений и со,зданию новых приборов. Итоги Измерение физической величины — нахождение её значения опытным путём с помощью специальных технических средств. Чтобы измерить какую-либо величину, необходимо сравнить её с единицей этой величины, т. е. определить, какое число раз в измеряемой величине содержится эта единица. Перед проведением измерения с помощью измерительного прибора, имеющего шкалу, определяют цену деления шкалы. Все измерения производятся с погрешностью. Для простых приборов со шкалой погрешность обычно принимают равной половине цены деления шк^шы. 16 Вопросы 1„ Что такое измерение физической величины? Для чего необходимо измерять физические величины? 2_ Как провести измерение физической величины? С чем сравнивают физическую величину при её измерении? 3_ Что такое цена деления шкалы? Как её определить? 4_ Почему с помощью линейки нельзя точно измерить длину любого тела? *5_ Как погрешность измерения связана с ценой деления шкалы измерительного прибора? Упражнения ( щ ) ТГП|Ш1{1111 1 : ||||||||| ;; 1 Рис. и Определите, какую длину имеет ластик, изображённый на рис. 3. 2J Можно ли утверждать, что ластик имеет длину 25 мм? 24 мм? 24,5 мм? 3J Запишите цену деления измерительных приборов, которые есть у вас дома (термометр, весы или безмен, рулетка, часы, барометр). 4j Прижмите карандаш или ручку к линейке. Возьмите линейку с прижатым к ней карандашом в руки и посмотрите на неё с расстояния 20-25 см попеременно то правым, то левым глазом. Почему положения конца карандаша или ручки различаются при наблюдении правым и левым глазом? Приводит ли это к дополнительной погрешности измерения? Если да, то можно ли её уменьшить? Перечислите приборы, необходимые, с вашей точки зрения, для измерения физических величин из упражнения 5 § 2. Используйте для этого знания, полученные на уроках естествознания. Проведите физический эксперимент с целью измерения выбранных вами величин. Сделайте описание часов (секундомера), компаса, рулетки или других устройств, которыми вы пользовались при выполнении упражнения 5. Найдите в учебной и справочной литературе описание флюгера. *7j Предложите свой способ измерения скорости ветра. 17 §4 Для дополнительного изучения Роль и место механики в физике Изучение физики, как правило, начинают с механики. И это не случайно. Физика возникла в древности из интереса к устройству окружающего мира. Наблюдая за движением небесных тел — Солнца, Луны, звёзд и планет, обращаясь к движению земных предметов, люди задавались вопросом: «Чем определяется установленный в природе всеобщий порядок?», искали закономерности в изменении положения светил с течением времени. Знание этих скрытых от человека высших законов — единого механизма природы — позволило бы, как полагали в античные времена, использовать силы окружающего мира, во много раз превышающие человеческие, наконец, создать собственные механизмы. Это и стало главной целью механики во времена её зарождения — получение самых важных, определяющих движение законов, которые лежат в основе всей природы. Таким образом, изучение природы началось со взгляда на неё как на единый механизм, действие которого следует раскрыть. Термин «механика» происходит от греческого слова це%ауг1 (механэ), которое переводится дословно: «хитрость», «выдумка», «машина». Древние греки считали, что с помощью механики человек сможет перехитрить природу, используя различные приспособления — механизмы. Появившись раньше других наук — наравне с математикой, — механика до наших дней сохранила своё значение для практической деятельности людей, а в физике оставила за собой очень важное место. Это произошло благодаря тому, что законы механики, открытые за столетия развития науки, имеют всеобщий, или, как ещё говорят, универсальный, характер. Окружающему нас миру свойственны движение, изменчивость. Поэтому законы движения и взаимодействия тел лежат в основе объяснения многих явлений природы. В этом мы убедимся, когда будем изучать, например, тепловые и электрические явления, строение и свойства вещества, квантовые явления. Без знания механики понять эти разделы физики невозможно. В наше время законы механики используют практически везде — при проектировании, создании и эксплуатации автомобилей, речных и морских судов, космических аппаратов и самолётов, водных каналов, различных сооружений, зданий и механизмов. Таким образом, механику используют во многих областях жизни. Это и строительство, и транспорт, и машиностроение. В атомной энергетике законы механики используют при создании оборудования для управления ядерными реакциями. 18 Самые первые и необходимые в будущем сведения по механике и содержит эта книга. Итоги Механика возникла в древности из интереса к устройству единого механизма природы и наблюдения за движением небесных тел. Механика стала началом физики как науки о природе и с тех пор является её основой. В современном понимании механика — наука о механическом движении тел, изучающая способы описания этого движения и причины его возникновения. 19 Глава Кинематика Наблюдая вокруг себя самые разнообразные объекты: облака, звёзды и планеты, автомобили, летящую птицу, мы говорим, что тот или иной объект движется. Что же имеют в виду, произнося слово «движение»? В русском языке слово «движение» означает любое изменение, в отличие от состояния неподвижности, покоя. Например, говорят о «душевном движении», «общественном движении» и т. п. Мы же, изучая механику, будем использовать понятие «механическое движение», при этом часто ради краткости будем говорить просто «движение», опуская прилагательное «механическое». Дать определение механическому движению учёные смогли, лишь обобщив все накопленные за многие века знания. В настоящее время говорят; механическое движение — это изменение положения тела или его частей относительно других тел с течением времени. Попробуем разобраться в этом определении, чтобы научиться правильно его использовать. Ясно, что любое реальное тело имеет определённые размеры. Чтобы описать изменение его положения при механическом движении относительно других тел, мы должны рассматривать, как движутся все части этого тела. В ряде случаев, например при объезде автомобилем крупного препятствия на дороге, размеры и форма тел играют решающую роль. Однако вначале мы будем изучать наиболее простые виды движения. При этом мы будем рассматривать движение тел, размерами которых пренебрегают. Такие тела называют точечными телами. О точечном теле можно говорить, что в данный момент времени оно находится в некоторой точке пространства. Очевидно, что реальное тело можно считать точечным лишь тогда, когда нас не интересует различие в движении или положении отдельных частей этого тела. Например, если нас интересует только время движения по-е.зда, выехавшего из Москвы во Владивосток, то этот поезд разумно считать точкой. Если же нас интересует время, за которое этот поезд проследует ми- 20 МО километрового столба, то очевидно, что нам нельзя рассматривать поезд как точку, иначе мы не ответим на вопрос задачи. Также нельзя считать этот поезд точкой, если нас интересует, например, движение разных частей колеса этого поезда. Следовательно, можно ли принять всё тело за точку, зависит от поставленной задачи. Мы начнём изучение механики с изучения движения точечного тела, т. е. будем рассматривать ситуации, когда реальное тело можно принять за точку. Изучение механики традиционно начинают с кинематики. Кинематика — раздел механики, в котором рассматривают способы описания механического движения тел без выяснения причин изменения характера их движения. Сами причины мы рассмотрим в других разделах механики, а здесь попытаемся ответить на вопрос; «Как описать движение тела?». Для этого прежде всего необходимо научиться отвечать на два важнейших вопроса: «Где (в какой точке пространства) когда (в какой момент времени) находилось, находится или будет находиться тело в процессе своего движения?». Начнём с ответа на первый вопрос — выясним, как можно описать положение тела в пространстве. Положение тела в пространстве Наверняка каждый из вас неоднократно договаривался с другом, родителями или учителем о встрече. При этом всегда возникал вопрос: где встретиться? Хорошо, если намечаемое место встречи было известно и вы могли его назвать или показать. Но как быть, если вы договариваетесь о месте встречи по телефону или сообщаете о нём в письме? Обратимся за примером к одному из древних авторов, который сообщал в послании другу, как найти зарытый в землю клад. «Найдя одинокий дуб перед воротами моего замка, прижмись к его стволу спиной. Обратив лицо к восходящему Солнцу, отсчитай десять шагов вперёд, и ты окажешься над искомым». При использовании подобного наставления трудно не найти спрятанный сундук с сокровищами. Ясно, что найти клад было бы значительно труднее, если бы в послании говорилось, что надо отсчитать десять шагов от замка, а не от достаточно малого по размерам конкретного места — дуба. Вдумаемся, что использовал автор послания. Во-первых, он указал точку на поверхности Земли перед своим замком (дуб), от которой надо начинать поиск. Физики говорят, что было указано тело отсчёта и начало отсчёта (земля вокруг замка и дуб соответственно). Во-вторых, он указал направление 21 (восходящее Солнце, т. е. восток) и расстояние от начала отсчёта до искомого места вдоль этого направления, выраженное в единицах длины — шагах. Говоря иначе, он ввёл ось координат, связанную с телом отсчёта. К Обратим внимание, что ось координат имеет: 1) начало отсчёта (в данном случае — дуб); 2) положительное направление (восходящее Солнце — восток); 3) нанесённые на неё метки, соответствующие выбранной единице длины (шаг). Теперь любой точке на этой оси можно приписать конкретное число, равное расстоянию в заданных единицах длины (шагах) от начала отсчёта до этой точки. Это число называют координатой точки по этой оси. Например, точка, где находится клад (рис. 4), имеет координату по этой оси х^ =10 шагов. А точка, в которой находится изображённый на рисунке человек, имеет координату = 4 шага. Координата 1 -4 -2 о 10 12 X, число шагов Рис. Положение идущего к кладу человека изменяется с течением времени — его координата увеличивается |{[| Телом отсчёта называют тело, относительно которого определяют положение остальных тел. Некоторую точку этого тела называют началом отсчёта и присваивают этой точке координату нуль. Из начала отсчёта в нужном направлении проводят координатную ось. Отметим, что расстояние между любыми точками тела отсчёта должно быть неизменным. 22 дуба дГд = 0. Отметим ещё раз, что точку с нулевой координатой называют началом отсчёта. Координаты точек, которые находятся на оси от начала отсчёта в направлении, противоположном положительному, считают отрицательными. Поэтому координата стены у ворот замка на рис. 4 имеет отрицательное значение: х = -4 шага. С Подведём итог нашим рассуждениям. Чтобы описать положение конкретной точки (или тела, заменённого этой точкой), следует: 1) выбрать тело отсчёта, относительно которого будем проводить дальнейшее описание; 2) ввести ось координат, связанную с этим телом отсчёта, начало отсчёта (ось имеет направление, начало отсчёта и единицу длины); 3) указать координату интересующей нас точки. Отметим, что для нахождения искомого места необходимо использовать все три понятия: тело отсчёта, координатная ось и координата. Скажем, если кто-то из вас предложит другу встретиться завтра в точке с координатой X = 18, не указав ни тела отсчёта, ни оси, ни единицы длины вдоль этой оси, то встречи, скорее всего, не будет. Однако если вы договоритесь с одноклассниками встретиться в 10 метрах на север от памятника А.С. Пушкину на Тверском бульваре, например, 18 марта этого года в 10 часов утра, то, будьте уверены, никто не заблудится. Обратим внимание на то, что в последнем условии помимо места указано время встречи. Любое устройство, предназначенное для отсчёта времени, называют часами. Часы — это любое устройство для отсчёта времени. Пользуясь часами, можно ответить и на другой интересующий нас вопрос — когда? То есть в какой момент времени должна, например, произойти встреча в заданной точке пространства. К Совокупность тела отсчёта, с которым связана ось координат, и часов называют системой отсчёта. Имея систему отсчёта, мы можем ответить на вопросы: «Где и когда находится интересующее нас тело?». |£| Можно сказать, что, взяв часы, мы тем самым вводим ещё одну ось — ось “1 времени, на которой, как на секундомере, нанесены метки, соответствую-I щие выбранной единице времени, например секунде. Точно так же, как на оси координат, на оси времени должно быть отмечено начало отсчёта — нулевая точка. Это может быть, например, момент включения секундомера. 23 Итоги Для того чтобы описать положение данного тела в пространстве, необходимо: 1) выбрать тело отсчёта и начало отсчёта на нём; 2) связать с ним координатную ось, проходящую через начало отсчёта в нужном направлении, и указать единицу длины. При этом расстояние от начала отсчёта до данного тела, выраженное в выбранных единицах длины и взятое с соответствующим знаком, называют коордтштой этого тела. Поступив так, мы будем говорить, что описали положение данного тела относительно выбранного тела отсчёта. Если мы выберем в качестве тела отсчёта другое тело или другую ось координат, то и координата данного тела может стать другой. Совокупность тела отсчёта, с которым связана ось координат, и часов называют системой отсчёта. Вопросы 1J Что такое ось координат, координата точки, тело отсчёта, часы? 2_ Что такое система отсчёта? 3 J Что и в какой последовательности нужно сделать для того, чтобы описать положение тела в пространстве? *4j Расскажите, как выбирают тело отсчёта и начало отсчёта. Объясните, почему в качестве тела отсчёта нельзя выбрать точечное тело. Перед ответом на последний вопрос скажите, какое минимальное число точек определяет положение прямой линии. Упражнения Опишите положение (найдите координаты): а) дуба; б) человека; в) клада, изображённых на рис. 4, если в качестве начала отсчёта выбрать: стену у воррт замка; клад. 1Л2_| Опишите систему отсчёта, позволяющую задать на местности координаты (место) и время встречи одноклассников. Для выполнения упражнения используйте компас, часы, рулетку. Какие физические модели вы будете применять при выполнении упражнения? 24 Механическое движение. Относительность механического движения Итак, мы научились описывать положение точечного тела относительно тела отсчёта с помощью координаты тела. Обратимся ещё раз к рис. 4. Ясно, что с течением времени координата клада относительно дуба не изменяется. Значит, его положение относительно выбранного нами тела отсчёта остаётся постоянным. В соответствии с введённым определением механического двилсения можно сказать, что клад не движется (покоится) в выбранной системе отсчёта. Л вот координата идущего к кладу человека изменяется во время его движения, т. е. положение человека относительно дуба изменяется с течением времени. Следовательно, по определению механического движения, человек движется в выбранной системе отсчёта. При этом он удаляется от начала отсчёта (дуба). В результате его координата в выбранной системе отсчёта увеличивается со временем. В этом случае говорят, что человек движется в положительном направлении выбранной координатной оси. Представим теперь себе, что мы выбрали в качестве тела отсчёта самого идущего человека. Тогда расстояние от человека до клада, равное координате клада в новой системе отсчёта, будет изменяться со временем. Если человек движется по направлению к кладу, как показано на рис. 5, то расстояние до клада уменьшается со временем. В момент времени (рис. 5, а) кocJpдинaтa клада была = 6 шагов. В более по,здний момент времени (рис. 5, б) координата клада уменьшилась и стала = 4 шага. Следовательно, клад изменяет своё положение относительно человека. В соответствии с определением механического движения в системе отсчёта, связанной с человеком, клад движется по направлению к началу отсчёта, т. е. приближается к нему, и, значит, координата клада уменьшается со временем. В этом случае говорят, что тело (клад) движется в отрицательном направлении выбранной координатной оси. Итак, мы выяснили, что в системе отсчёта, связанной с дубом, клад и ворота замка неподвижны, так как их координаты не изменяются с течением времени в этой системе отсчёта. Наоборот, в системе отсчёта, связанной с человеком, координаты клада и ворот изменяются со временем. Значит, в соответствии с определением механического движения клад и ворота движутся, т. е. изменяют своё положение относительно другого тела (человека) с течением времени. Выходит, что одни и те же тела в одной системе отсчёта могут покоиться, а в другой — двигаться. При этом в разных системах отсчё- 25 .________ направлении оси ОХ, та данное тело может двигаться по-разному. В этом проявляется относительность механического движения. М Таким образом, нельзя сказать, как движется данное тело, если не сказать, относительно какого тела отсчёта рассматривается его положение в пространстве. Мы ещё вернёмся к этому очень важному вопросу в дальнейшем. mi Например, пассажир, сидящий в автобусе, будет неподвижен в системе отсчёта, связанной с автобусом, который едет по улице. Тот же самый пассажир будет двигаться, как и весь автобус, если выбрана система отсчёта, неподвижная относительно улицы. 26 Итоги 1. Если координата тела не изменяется с течением времени в выбранной системе отсчёта, то говорят, что это тело в данной системе отсчёта неподвижно, или покоится. Если координата тела в выбранной системе отсчёта увеличивается со временем, то говорят, что тело движется в положительном направлении координатной оси. Напротив, если координата тела в выбранной системе отсчёта со временем уменьшается, то говорят, что тело движется в отрицательном направлении координатной оси. 2. Нельзя сказать, как движется тело, если не сказать, в какой системе отсчёта рассматривается это тело. Иначе говоря, одно и то же тело в разных системах отсчёта может двигаться по-разному (в том числе и покоиться). Вопросы Что значит: тело неподвижно в некоторой системе отсчёта? Что можно сказать о движении тела, если его координата в выбранной системе отсчёта уменьшается (увеличивается)? 2j Расскажите, в чём проявляется относительность механического движения. 3_| Изменяется ли положение дуба в системе отсчёта, связанной с идущим человеком, на рис. 5? Если да, то как оно изменяется и в каком направлении движется дуб? Упражнения Опишите движение (т. е. укажите, покоится тело или движется, а если движется, то в каком направлении) изображённых на рис. 6 следующих тел: 1) шофёра; 2) сидящих пассажиров; 3) идущего по салону автобуса пассажира; 4) дерева при дороге. О Рис. X 27 Дайте описания в системах отсчёта, связанных: а) с деревом (ось X); б) с движущимся по дороге автобусом (ось Х^). 2 Какие тела могут быть приняты за точечные при выполнении упражнения 1, а какие — нет? 3 I Какие измерительные приборы следует использовать для изме-I рения расстояний и времени движения при выполнении упраж-! нения 1? §7 Способы описания прямолинейного движения Простейшим видом движения точечного тела является движение вдоль прямой. Такое движение тела называют прямолинейным. Рассмотрим достаточно простой пример прямолинейного движения. Представим себе, что на столе лежит ученическая линейка. В том месте, где у линейки находится нулевая отметка, лежит крупинка сахара. Муравей, схватив крупинку сахара в тот момент, когда мы включили секундомер, начинает бежать вдоль края линейки в сторону увеличения значений её сантиметровых делений (рис. 7, а). Перед нами стоит задача: описать механическое движение этого муравья. Поскольку механическое движение по определению есть изменение положения тела относительно другого тела с течением времени, то для описания изменения положения муравья мы должны выбрать тело отсчёта и связать с ним координатную ось. Пусть таким телом будет стол. За начало отсчёта примем точку, в которой муравей взял крупинку сахара (нулевое деление на линейке). Ось координат X направим параллельно краю линейки в сторону движения муравья. За единицу длины выберем 1 см. Для отсчёта времени будем использовать секундомер. В результате мы получили то, что называют системой отсчёта. В этой системе отсчёта муравей движется вдоль прямой линии — края линейки, т. е. мы имеем дело с прямолинейным движением. Включим секундомер в момент старта муравья и будем фиксировать по линейке координаты муравья в разные моменты времени, изображённые на рис. 7. Используя эти данные, составим таблицу. Момент времени t, с 0 1 5 8 Координата муравья см 0 2 10 16 28 в первой строке таблицы приведены значения моментов времени, в которые нам известны положения муравья относительно начала отсчёта. Во второй строке приведены соответствующие им координаты муравья. Такой способ описания механического движения носит название табличного. Ясно, что чем больше указано в таблице моментов времени, тем точнее описано движение тела. Например, в нашем случае, глядя на таблицу, можно только предполагать, где находился муравей, когда секундомер показывал t = 2 с или t = 6 с. Табличный метод является достаточно простым и наглядным. Поэтому он часто используется на практике. Например, если вы посмотрите на расписание движения электропоездов но станциям или рейсовых автобусов по остановкам, то поймёте, что это и есть табличный способ описания движения этих тел. Наряду с табличным способом задания зависимости одной величины от другой часто используют графический способ. В нашем случае для построения графика зависимости координаты муравья от времени, в течение которого он двигался, мы должны построить прямоугольную систему координат, в которой начало координат будет началом отсчёта и времени,и координаты движущегося тела. Пусть б = О см t.. = О с X, см п 0 1 4 1 8 ' 1 12 1 16 л: = 2 см Г=1с X = 16 см М Г = 8 с X, см —► ^^^^^^—Г 0 2 4 8 12 16 £ X, см • » П 0 1 4 8 1 12 Г 16 Рис. \ Положение муравья в выбранной системе отсчёта определено в моменты времени: а) t = о с; б) t = \ с; в) Г = 5 с; г) Г = 8 с 29 при этом ось абсцисс будет осью времени t, а ось ординат — осью координат X. С: Нанесём на оси единицы величин: по оси времени — секунда (с), по оси координат — сантиметр (см). Для построения графика движения следует перенести данные из таблицы на координатную плоскость. Поскольку мы знаем координаты муравья только в четыре момента времени (^ = 0, 1,5и8с),то график будет состоять только из четырёх точек (рис. 8). Ясно, что если бы нам было известно, где находился муравей в другие моменты времени (например, в моменты t = 2, 3, 4, б с и т. д.), то точек на графике было бы больше. В идеальном случае, если бы нам были известны координаты муравья в любой момент времени его движения, наш график превратился бы в некоторую линию (например, в прямую, как на рис. 9). При этом мы получили бы описание движения тела для любого момента времени. ( Рис. и График зависимости координаты муравья от времени состоит из четырёх точек Рис. Непрерывная линия графика описывает движение муравья в любой момент времени Из математики известно, что любая точка в прямоугольной системе координат задаётся упорядоченной парой чисел, которые называют координатами точки. Первое число задаёт координату точки по оси абсцисс, второе — по оси ординат. Таким образом, положение движущегося вдоль оси X тела в определённый момент времени надо задавать парой чисел: моментом времени t на оси времени (ось абсцисс) и соответствующим ему значением координаты X на оси координат (ось ординат). 30 Посмотрим, как можно воспользоваться таким графиком. Для этого обратимся к рис. 10, на котором изображён график движения муравья. Пусть нам нужно определить, где находился муравей в тот момент, когда секундомер показывал время t = А с. Для этого найдём на оси времени точку с координатой ^ = 4 с и из неё проведём вертикальную пунктирную линию до пересечения с графиком движения. От полученной точки проведём горизонтальную пунктирную линию до пересечения с осью X координат муравья. Легко видеть, что эта точка на оси X имеет координату X = 8 см. М Можно решить и обратную задачу: задать координату муравья и определить, в какой момент времени он находился в выбранной точке пространства. В этом случае, отмечая на оси X точку с выбранной нами координатой, например = 12 см, мы должны провести через неё горизонтальную линию до пересечения с графиком движения. Далее от точки пересечения следует провести вертикальную линию вниз и найти интересующее нас значение времени: t = 6 с. Таким образом, мы убедились, что если график движения тела представляет собой непрерывную линию, то мы можем ответить на оба вопроса механики — где и когда находилось, находится или будет находиться тело. В этом случае говорят, что движение тела описано полностью. Разобранный нами пример графического способа описания механического движения часто используют на практике. Для иллюстрации сказанного рассмотрим движение муравья, используя график, приведённый на рис. 11. Из данного графика видно, что в течение первых трёх секунд координата муравья непрерывно увеличивалась. Следовательно, он двигался в положительном направлении оси X. Кроме того, за каждую из первых трёх секунд он увеличивал свою координату на 1 см. Далее мы видим, что с момента = ?> с до момента tj. = 5 с координата муравья оставалась равной Хд = 3 см. Это означает, что положение муравья в выбранной системе от- времени можно определить координату тела. Наоборот, задавая координату, можно установить момент, когда тело имело эту координату 31 счёта не изменялось. Проще говоря, муравей не двигался. По-видимому, он устал и отдыхал. Начиная с момента времени t^ = Ъ с координата муравья опять изменялась. За шестую секунду она увеличилась от = 3 см до дГд = 5 см, т. е. на два сантиметра. На ту же самую величину увеличилась координата муравья и за седьмую секунду движения. Значит, отдохнув, муравей в течение шестой и седьмой секунд двигался быстрее, чем до отдыха. Отметим, что, так как в течение шестой и седьмой секунд движения координата муравья увеличивсшась, мы можем сделать вывод, что муравей опять двигался в положительном направлении оси X. времени муравей двигался по-ра.эиому Вы, наверное, уже догадались, что, если на каком-либо графике, описывающем движение тела, координата тела с течением времени уменьшается, это означает, что тело движется в отрицательном направле-}ши оси X. Итоги Прямолинейное движение тела — это движение, при котором тело движется по прямой линии в данной системе отсчёта. Чтобы описать прямолинейное движение в выбранной системе отсчёта, необходимо в момент начала движения включить часы и измерять координату тела в различные моменты времени. 32 Результаты измерений представляют в виде таблицы {табличный способ описания движения) или графика движения в осях: время — координата {графический способ описания движения). Если известна графическая зависимость координаты тела от времени в виде непрерывной линии, то движение тела описано полностью, т. е. можно: 1. Определить координату тела в любой момент времени движения (ответить на вопрос «где?»). 2. Определить момент времени, в который тело имело заданную координату (ответить на вопрос «когда?»). 3. Охарактеризовать движение тела (указать, покоилось ли тело, двигалось ли в положительном или отрицательном направлении координатной оси, как быстро изменялась его координата с течением времени). Вопросы 2 3_ 4^ 1_ 2_ Назовите два способа описания механического движения точечного тела. В чём заключается табличный способ описания движения? В чём заключается графический способ описания движения? Какой вывод можно сделать о зависимости величин х и t на основании табличных данных и графиков (рис. 8 и 9)? Упражнения Определите по рис. 10 координаты муравья в следующие моменты времени: а) t = 2 с; б) Z: = 3 с; в) t = 5 с; г) t = 3,5 с. Определите по рис. 10, в какие моменты времени координата муравья была равна: а) = 8 см; б) х^ = 12 см; в) = 10 см; г) х^ = 7 см. Охарактеризуйте движение муравья, воспользовавшись графиком, приведённым на рис. 12. Подсказка: на участке CD координата муравья уменьшается с течением времени. Что это означает? Какими будут погрешности измерения при использовании секундомера и линейки, изображённых на рис. 7? 33 §8 Прямолинейное равномерное движение Изучение прямолинейного движения мы начнём с самого простого его вида. Ещё раз рассмотрим график движения муравья, приведённый на рис. 11. Мы видим, что характер движения муравья менялся дважды. Сначала он двигался, пробегая 1 см за каждую секунду, затем стоял на месте, потом снова двигался в положительном направлении оси X, но уже быстрее, чем раньше, — пробегая за каждую секунду 2 см. В целом, за семь секунд движение муравья было неравномерным: муравей то бежал, то останавливался. Вместе с тем в первые три секунды он пробегал по 1 см за каждую секунду. Значит, в первые три секунды за равные промежутки времени (по одной секунде) муравей пробегал в одном и том же направлении равные расстояния (по одному сантиметру). Если это условие будет выполняться для любых равных промежутков времени (например, каждые нолсекунды, четверть секунды и т. д.), то движение муравья будет равномерным. Прямолинейное движение тела называют равномерным, если тело за любые равные промежутки времени проходит равные расстояния в одном и том же направлении. В соответствии с этим определением движение муравья в последние две секунды также являлось равномерным: он за любые равные промежутки времени пробегал равные расстояния в одном направлении. Отметим, что в данном определении, как и в любом другом, каждое слово имеет важное значение. Так, например, если убрать слова «в одном и .том же направлении», то движение тела может оказаться неравномерным, даже если это тело будет проходить равные расстояния за любые равные промежутки времени. Это произойдёт в случае, если тело в некоторый момент времени изменит направление своего движения на противоположное. Чтобы лучше понять данное определение, рассмотрим конкретный пример равномерно движущегося тела. Пусть по прямолинейной дороге, как показано на рис. 13, катится мальчик на велосипеде. Будем следить за движением фары этого велосипеда, считая её точечным телом. Как мы уже знаем, для описания механического движения тела (фары) необходимо ввести систему отсчёта. Выберем в качестве тела отсчёта землю, по которой движется велосипед. За начало отсчёта примем место, где растёт дерево на обочине дороги. Координатную ось направим от выбран- 34 Рис. Описание движения велосипедиста началось, когда он проезжал отметку 10 м от начала отсчёта. В этот момент включили секундомер описано для любого момента времени — полученный график представляет собой непрерывную линию. Отмечены координаты фары в каждую секунду движения ного начала отсчета параллельно дороге по направлению движения велосипеда. В качестве единицы длины выберем 1 м. Включим секундомер в тот момент, когда фара была в 10 м от начала отсчёта, и будем фиксировать её координату в последующие моменты времени. Пусть в результате проведённых измерений мы получили график изменения координаты фары с течением времени, изображённый на рис. 14. Видно, что линия, описывающая зависимость координаты фары от времени, является прямой. Для того чтобы описать движение фары, прежде всего отметим, что она двигалась в положительном направлении оси X. Кроме того, за каждую (любую) секунду движения её координата увеличивалась на 5 м (т. е. на одинаковую величину), за каждые две секунды — на 10 м и т. д. Следовательно, в соответствии с данным в начале этого параграфа определением мы имеем дело с прямолинейным равномерным движением. Теперь вспомним ещё об одном способе описания движения — табличном. Сделаем .заготовку для таблицы и заполним её. При этом значения координаты тела в разные моменты времени мы будем находить не из графи- 35 ка, а из того, что мы знаем; а) началыгую координату фары = 10 м и б) то, что за каждую секунду координата фары увеличивалась на 5 м. С Время t по секундомеру, с 0 1 2 3 t Координата х фары, м В нижнюю клетку столбца, соответствующую начальному моменту времени ^ = о, поставим число 10, так как = 10 м. В дальнейшем будем называть этот столбец нулевым. В следующую клетку, соответствующую моменту времени t = \ с, нужно поставить число, равное координате фары в момент tj. Найдём это число из следующих рассуждений. В течение первой секунды фара двигалась в положительном направлении оси X. Следовательно, её координата должна была увеличиться. Так как за одну секунду велосипедист проезжал 5 м, координата увеличилась за эту секунду именно на 5 м. Значит, чтобы найти значение координаты X] в момент времени ^ = 1 с, надо к начальной координате ~ 10 м прибавить 5 м. Поэтому Xj - (10 -I- 5) м = 15 м. Чтобы найти координату в момент t = 2 с, вычислим, на сколько изменилась её координата за две секунды после включения секундомера. Поскольку за каждую секунду фара смещается на 5 м, то за две секунды она переместится на (5 ■ 2) м = 10 м. Так как фара движется в положительном направлении оси X, то её координата за две секунды увеличится на (5 • 2) м. К Таким образом, Xg = (10 -f 5 • 2) м = 20 м. Д| Для удобства и краткости записи часто используют переменные с индексом. Например, ранее при описании движения муравья мы использовали для обозначения его координаты символ (читается «икс эм» или «икс с индексом эм»). При описании движения велосипедиста для обозначения координаты фары в начальный момент времени (Г = 0) будем использовать символ Хд (читается «икс нулевое» или «йкс с индексом ноль»). Соответственно для координаты фары в момент времени — символ Xj (читается «икс один»). Разность между конечным и начальным значениями координаты называют изменением координаты. В данном случае изменение координаты фары за две секунды движения (от момента до момента t^) составило Х2-х„= 10 м. 36 Проводя аналогичные рассуждения, можно найти изменения координаты фары за три, четыре, пять и шесть секунд движения велосипедиста, а затем и значения координаты фары в каждую из первых шести секунд движения: Xj = (10 -I- 5 • 1) м = 15 м, Xg = (10 -I- 5 • 2) м = 20 м, Xj = (10 -I- 5 ■ 3) м = 25 м, х^ = (10 -I- 5 • 4) м = 30 м, Х5 = (10-ь5-5) м = 35 м, Xg = (10 -ь 5 • 6) м = 40 м. Теперь мы подошли к очень важному моменту. Посмотрим внимательно на полученные нами выражения для координаты фары в разные моменты времени. Можно сказать, что они похожи и написаны по одному правилу. Или, как говорят физики, в этом случае наблюдается определённая закономерность. В чём же она заключается? Рассмотрим подробно, что представляет собой каждое из чисел при расчёте координаты фары, например, в момент времени t—1 с (рис. 15). Во-первых, для получения значения координаты фары в любой момент времени t надо к её начальной координате х^ прибавить изменение координаты за промежуток времени от начального момента времени f = 0 до t. Изменение координаты j ( Значение координаты за промежуток времени I в момент времени Г = 7 с от t = Q до t=l с i @ + (5^ = (4^ ГУ 3 II Координата ) гг о Координата | j ^ I Изменение Время координаты движения Л тела в момент времени ^ = 7 с | в начальный момент времени ^ = о за 1 с от t=Q до t .... У Рис. 37 Во-вторых, при равномерном прямолинейном движении это изменение координаты можно получить, если умножить изменение координаты за одну секунду (в нашем случае — это 5 м) на число секунд, прошедших от момента t = О до момента t (в нашем случае — это 7 с). Таким образом, мы получаем выражение, которое позволяет рассчитать координату X фары в любой момент времени t\ x=\0 + b-t. В итоге наша таблица примет вид: Время t по секундомеру, с 0 1 2 3 t Координата х фары, м 10 10-Г5 - 1 10-1-5-2 10 -г 5 • 3 10 -г 5 • Г Следовательно, если мы знаем начальную координату тела и изменение его координаты за каждую секунду, мы можем получить зависимость координаты тела от времени t. Выражение, описывающее зависимость координаты тела от времени, называют законом движения этого тела. Если в это выражение подставить конкретное значение времени t, то оно превратится в уравнение, позволяющее вычислить координату тела в этот момент. Отметим, что если мы знаем закон движения тела, то мы можем решить и обратную задачу — определить момент времени, в который тело будет находиться в точке с заданной координатой. Пример Определите показание секундомера в тот момент, когда координата фары велосипедиста на рис. 13 равна 60 м, при условии, что велосипедист всё время движется одинаковым образом. Решение Поскольку мы знаем начальную координату тела Ц, = 10 м) и расстояние, которое проезжает велосипедист за единицу времени (5 метров за каждую секунду), то закон его движения имеет вид: X = + Ъ • t, где t— искомое показание секундомера. Подставив координату в интересующий нас момент времени 60 м в этот закон, получим уравнение: 60 = 10 -н .5 • t, 60 - 10 = 5 • f, 38 50 = 5 • t = 10 с. Ответ: на секундомере будет 10 с. В полученном нами выражении х = 10 + 5 • t изменение координаты за единицу времени является постоянной величиной, так как мы рассматриваем прямолинейное равномерное движение. Эту величину принято обозначать латинской буквой V. Поэтому найденную нами зависимость в аналитической форме (в виде формулы) можно записать в виде: X = Х^ + V ■ t. Представление зависимости координаты тела от времени в виде формулы — ещё один, третий способ описания движения. Его называют аналитическим. Итоги Прямолинейное движение тела называют равномерным, если тело за любые равные промежутки времени проходит равные расстояния в одном и том же направлении. Изменением координаты тела за промежуток времени от момента до момента tg называют разность Xg - Xj между конечным и начальным значениями координаты. Прямолинейное равномерное движение характеризуется тем, что изменение координаты тела за единицу времени (её обычно обозначают латинской буквой v) есть величина постоянная. График зависимости координаты х тела от времени t для такого движения представляет собой прямую линию. При этом зависимость координаты тела от времени имеет вид: X = Х^ + V ■ t, где Xq — начальная координата тела, t — момент времени после начала движения, v — постоянная величина, равная изменению координаты тела за единицу времени, х — координата тела в момент времени t. Вопросы 1_| В каком случае прямолинейное движение тела называют равномерным? 39 Что называют изменением координаты тела? Как изменяется координата тела при прямолинейном равномерном движении? 2_ Упражнения Зная, что зависимость координаты фары от времени имеет вид X = \0 + Ъ ■ t, где X измеряется в метрах, at — в секундах, определите: а) координаты фары в моменты времени: t = 10 с; t = 20 с; 3,5 с; t= 1,4 с; ^ = 4,2 с; б) значения моментов времени, когда координата фары равна: х= 75 м; x= ПО м; х= 24 м; х = 32 м; дг= 20 м. В каждом из заданий а) и б) предыдущего упражнения проверьте результаты, полученные в последних трёх случаях, по графику на рис. 14. §9 Скорость прямолинейного равномерного движения Представим себе, что мы имеем дело с равномерно движущимся по прямой велосипедистом, который проезжает за каждую секунду не 5 м (как в § 8), а, например, 10 м. При этом выбрана та же система отсчёта, что и в предыдущем случае. Тогда зависимость координаты фары от времени будет выглядеть несколько иначе, так как в правой части полученного нами выражения на месте числа 5 будет стоять число 10: X = дГд -I- 10 ■ Г. Если при этом включить секундомер в момент времени, когда координата фары будет, например, х^ = 15 м, то мы получим следующее выражение: X = 15 -I- 10 • Г. Как вы понимаете, в этом случае график движения фары будет отличаться от показанного на рис. 14. Построим новый график. Для этого, используя выражение х=15-г10П, найдём координаты фары велосипедиста в моменты времени = 0, = 1 с, Tg = 2 с и т. д. Полученные точки соеди- ним прямой линией (рис. 16). Из этого графика видно, что начальная координата фары за каждую секунду увеличивается на 10 м. Значит, велосипедист движется в положи- 40 тельном направлении оси X. Если бы он ехал в отрицательном на-гфавлении оси X, то координата фары уменьшалась бы с течением времени. В этом случае изменение координаты было бы отрицательным и зависимость координаты фары от времени имела бы вид: X- Xq- 1Q ■ t. Таким образом, в зависимости от направления движения изменение координаты тела (разность между значениями его координаты в последующий и предыдущий моменты времени) может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Если же конечная и начальная координаты тела совпадают, то изменение координаты этого тела равно нулю. Рис. График показывает, что координата фары в выбранной системе отсчёта увеличивается во времени. Велосипедист движется в положительном направлении оси X В зависимости от направления движения изменение координаты тела может быть как положительной, так и отрицательной величиной. В общем случае зависимость координаты тела от времени для прямолинейного равномерного движения имеет вид: X - Х^ + V ■ t. Закон прямолинейного равномерного движения содержит постоянную величину V. Как вы помните, она численно равна изменению координаты тела за единицу времени. Если тело движется равномерно прямолинейно, то физическую величину V, численно равную изменению его координаты за единицу времени, называют значением скорости равномерного прямолинейного движения. В СИ единица скорости — метр в секунду (сокращённое обозначение — м/с). Значение скорости показывает, насколько быстро изменяет свою координату равномерно движущееся тело, т. е. какое расстояние проходит оно за каждую секунду. В рассмотренных примерах о движении велосипедиста 41 скорость V имела значения 5 и 10 м/с. Ясно, что для других тел она может принимать другие значения. С: Из определения значения скорости равномерного прямолинейного движения можно сделать важные выводы. 1. Если тело движется в положительном направлении оси X, то с течением времени его координата увеличивается. Значит, изменение координаты X положительно. В этом случае значение скорости о > 0. 2. Если тело движется в отрицательном направлении оси X, то с течением времени его координата уменьшается. Значит, изменение координаты X отрицательно. В этом случае значение скорости v < 0. .S. Если тело покоится, т. е. его координата остаётся постоянной, то значение скорости & = 0. Получается, что скорость — это величина, которая не только характеризует быстроту изменения координаты тела, но и показывает направление движения тела в выбранной системе отсчёта. Поэтому скорость принято изображать в виде отрезка со стрелкой на конце. Направление стрелки совпадает с направлением движения тела. При этом чем больше значение скорости, тем больше длина отрезка, изображающего скорость. Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называют век-торгшми. Таким образом, скорость — вектор. Векторы обозначаются буквой со стрелкой над ней. Например, скорость обозначают символом V. Для изображения вектора скорости тела поступают следующим образом. Вначале выбирают отрезок, длина которого соответствует модулю единичной скорости 1 м/с, — единичный отрезок (рис. 17). Теперь, чтобы изобразить скорость, равную, например, 5 м/с, нужно на- \V\ =:1 Единичный отрезок кМ с В 5 раз больше единичного 17^1 fif в 3 раза меньше единичного Рис. Ранее мы рассматривали примеры, в которых скорость муравья составляла 2 см/с. Кроме того, вы знаете, что скорость, например, автомобилей, поездов, самолётов измеряют в километрах в час (100 км/ч, 60 км/ч, 900 км/ч). Так как СИ устанавливает единицу этой физической величины метр в секунду (м/с), другие единицы могут быть приведены к общепринятой единице через коэффициенты. Например, 1 м/с = 3,6 км/ч (если автомобиль движется по дороге со скоростью 30 м/с, то его скорость составляет 30 ■ 3,6 = 108 км/ч). 42 рисовать отрезок, длина которого в 5 раз больв1е единичного. Чтобы изобразить скорость, равную — м/с, нужно начертить отрезок, длина которого 3 в 3 раза меньше единичного. Число, выраженное в единицах скорости и равное отношению длины отрезка, изображаюгцего данную скорость, к длине отрезка, изображающего единичную скорость, называют модулем скорости. Модуль скорости V принято записывать в виде |?|. В приведённом примере {см. рис. 17) |г J = 5 м/с, \v^\ = м/с. Модуль скорости, в отличие от её значения, всегда положителен или равен нулю. Например, модуль скорости, имеющей значение -5 м/с, равен 5 м/с. Подведём итоги. Если значение скорости положительно, то скорость направлена в положительном направлении оси X. В этом случае её изображают отрезком со стрелкой, направленной в положительном направлении оси X. Так направлен вектор скорости велосипедиста на рис. 18. Наоборот, если значение скорости отрицательно, то она ^гаправлена в отрицательном направлении оси X. Тогда её изображают отрезком со стрелкой, направленной в отрицательном направлении оси X (вектор скорости бегуна на рис. 18). М Отметим особо, что если тело покоится, то его координата в выбранной системе отсчёта не изменяется. В этом случае говорят, что скорость движения тела равна нулю. Представив закон движения тела в аналитическом виде х = + v ■ t, в котором известны начальная координата х^ и значение скорости V, мы полностью описали прямолинейное равномерное движение тела. Теперь можно сс[)ормулировать приведённое ранее определение равномерного прямолинейного движения иначе. Если координата тела изменяется с течением времени по закону X = Х^ + V t. при этом лГц и » не зависят от времени, то тело движется вдоль оси X равномерно. Н Длины векторов изображаются на рисунке в масштабе. Так, на рис. 18 длина вектора скорости велосипедиста в два раза больше длины вектора скорости I бегуна. Поскольку скорость измеряют в метрах в секунду (м/с), длина отрезка со стрелкой (вектор скорости) не имеет отношения к расстояниям между телами, которые измеряют в метрах. 43 ■'1 Рис. Координата велосипедиста увеличивается с течением времени. Координата яблони не изменяется во времени. Координата бегуна уменьшается с течением времени Постоянная величина v в этом выражении равна значению скорости равномерного прямолинейного движения вдоль оси X. Эта формулировка определения равномерного прямолинейного движения является более удобной при решении конкретных задач. Итоги Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении имеет вид: X = Х^ + V ■ t, где Хд — начальная координата тела, v — значение скорости равномерного прямолинейного движения, t — рассматриваемый момент времени, х — координата тела в момент времени t. Если тело движется равномерно прямолинейно, то физическую величину V, численно равную изменению его координаты за единицу времени, называют значением скорости равномерного прямолинейного движения. В СИ единица скорости — метр в секунду (м/с). Скорость — векторная величина, которая характеризуется не только своим модулем, но и направлением. 44 Если значение скорости положительно, то скорость направлена в положительном направлении оси X. Если же значение скорости отрицательно, то скорость направлена в отрицательном направлении оси X. Вопросы 1. 2. 3 Г^4 В чём заключается аналитический способ описания движения? Запишите закон прямолинейного равномерного движения в аналитической форме. Что такое значение скорости равномерного прямолинейного движения? Что оно характеризует? Что означает утверждение, что движение тела описано полностью? Приведите пример. Можно ли однозначно утверждать, что тело покоилось в течение промежутка времени от момента времени f = 0c до момента времени t= 10 с, если изменение его координаты за этот промежуток времени равно нулю? Приведите примеры возможных ситуаций. Упражнения Найдите зависимости координаты тел от времени, используя для этого графики движения тел на рис. 19. Объясните, в каком направлении двигалось тело в выбранной системе отсчёта в этих случаях. Движется ли тело в случае s? Постройте графики движения тел, используя следующие законы движения: а) х = 3 -г 2 • б) х-ЪО-Ъ -t, в) х = 7. В этих законах время выражено в секундах, а расстояния — в метрах. Рис. 45 6 л 7. Объясните, в какую сторону двигались тела (если двигались) в выбранной системе отсчёта и на сколько изменялись их координаты за каждую секунду в упражнениях 1 и 2. Чему равны значения скоростей тел, зависимости координат которых от времени даны в упражнениях 1 и 2? Выразите в метрах в секунду значения скоростей: 3,6; 36; 72 км/ч. Выразите в километрах в час значения скоростей: 10; 20; 25 м/с. Запланируйте и проведите эксперимент по определению скорости течения ручья на его прямолинейном участке длиной 10 метров, используя закон прямолинейного равномерного движения. 0^ 10 Для дополнительного изучения Решение задач кинематики. Задача «встреча». Графический способ решения Теперь, когда мы с вами научились описывать движение тел, применим наши знания для решения практических задач. Начнём с одной из самых важных и распространённых в природе и технике задач — задачи о встрече тел. Наверняка вы неоднократно слышали о стыковках космических аппаратов, видели, как встречные поезда одновременно подъезжают к промежуточной станции, выпуп^енная из лука стрела попадает в цель и т. п. Все эти ситуации можно представить как движение двух точечных тел навстречу друг другу. Задача заключается в том, чтобы определить, где произойдёт их встреча и когда, т. е. через какое время после начала движения тел, она состоится. Считается, что два тела встретились, если в некоторый момент времени их положения в пространстве совпали. Иначе говоря, в этот момент времени их координаты в какой-либо системе отсчёта сравнялись. Поэтому для решения задачи нам понадобится ввести систему отсчёта, в которой необходимо будет описать движение этих тел (в графическом или аналитическом виде). Только таким образом мы сможем грамотно решить данную задачу. Рассмотрим простой пример. Пусть по прямолинейной дороге навстречу друг другу одновременно начинают двигаться пешеход и велосипедист. Расстояние между ними в момент начала движения составляет / = 20 м. При этом они движутся равномерно относительно дороги навстречу друг другу со скоростями, модули которых |о^| = 1 м/с и |гТ^| = 3 м/с соответственно. (Мы поставили знаки модуля у скоростей движущихся тел. Это связано с тем, что, пока не выбрана система отсчёта, мы не можем сказать, у кого 46 из них значение скорости будет положительным, а у кого — отрицательным. Другими словами, мы не можем определить, будут увеличиваться или уменьшаться их координаты в процессе движения.) Ответим на два вопроса. Где произойдёт встреча пешехода и велосипедиста? Когда (через какое время после начала движения) она состоится? Рассмотрим каждый шаг решения задачи. Шаг 1. Введём систему отсчёта (рис. 20). В качестве тела отсчёта выберем землю, а началом отсчёта — место, где растёт дерево, от которого начинает своё движение пешеход. Координатную ось направим вдоль дороги в направлении движения пешехода. В качестве единицы длины выберем 1 м. Будем считать пешехода и велосипедиста точечными телами. Координата каждого из тел будет численно равна расстоянию от дерева до этого тела в заданный момент времени. Часы (секундомер) включим в тот момент, когда начинается движение. t = 0 V в X, м Рис. I в выбранной системе отсчёта координата пешехода в процессе движения увеличивается, а координата велосипедиста уменьшается Шаг 2. Определим начальные координаты пешехода и велосипедиста в момент включения секундомера. Ясно, что начальная координата пешехода (читается «икс пэ нулевое») равна 0, а велосипедиста х^д = 20 м. Шаг 3. Найдём значения скоростей равномерного движения тел. Из рисунка видно, что в выбранной нами системе отсчёта координата пешехода в процессе движения будет увеличиваться. Следовательно, значение скорости пешехода положительно: = 1 м/с. Напротив, велосипедист в выбранной системе отсчёта движется так, что его координата со временем уменьшается. Поэтому значение его скорости отрицательно: = -3 м/с. После того как определены начальные координаты и значения скоростей движения тел, можно переходить к описанию их движения. Для этого у нас есть несколько способов. Начнём с графического. 47 Рис. Точка пересечения графиков движения пешехода и велосипедиста является точкой их встречи. Она произошла через 5 с после начала движения Шаг 4 (графический). Построим систему координат, состоящую из оси времени t и оси координаты X. Отметим начальные координаты пешехода и велосипедиста (рис. 21). Шаг 5 (графический). Теперь от точки проведём прямую линию, описывающую зависимость координаты пешехода от времени. Поскольку по условию задачи координата пешехода за каждую секунду увеличивается на 1 м, то это будет «поднимающаяся» прямая линия, проходящая через точки с координатами (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5) и т. д. График зависимости от времени координаты велосипедиста — это тоже прямая, но она исходит из точки = 20 м, расположенной на оси ко- ординаты. Координата велосипедиста со временем уменьшается на 3 м за каждую секунду. Поэтому линия, описывающая зависимость этой координаты от времени, «опускается» за каждую секунду на 3 м, т. е. эта линия проходит через точки с координатами (0; 20), (1; 17), (2; 14), (3; 11), (4; 8), (5; 5) и т. д. Из рис. 21 следует, что прямые, описывающие зависимости координат пешехода и велосипедиста от времени, пересекаются в точке = 5 с, ■^истр -5м). Это означает, что через 5 секунд после начала движения координаты пешехода и велосипедиста становятся равными; х^ = х^ = -^встр = 5 м. Иначе говоря, в этот момент времени положения тел в пространстве сов падут, и, таким образом, в момент = 5 с в точке с координатой х^^^р = 5 м произойдёт встреча пешехода и велосипедиста Итоги Встречей двух тел считают совпадение их положений в пространстве (равенство их координат в одной и той же системе отсчёта) в некоторый момент времени. При графическом способе решения задачи о встрече движущихся тел необходимо: ввести систему отсчёта; определить начальные координаты и значения скоростей тел; построить графики движения тел; найти точку пересечения этих графиков. 48 Вопросы Приведите примеры встречи двух тел. Что означает в кинематике, что два тела встретились? Перечислите шаги решения задачи «встреча». Упражнения 112 3J Определите графическим способом время и место встречи двух равномерно движущихся навстречу друг другу школьников, если в момент включения часов: а) расстояние между ними / = 30 м, а модули их скоростей l^jl = 3 м/с, l&gl = ^ б) расстояние между ними / = 30 м, IrJjl = 1 м/с, \v^\ = 4 м/с. Сформулируйте условие задачи, решение которой дано на рис. 22. Определите место встречи (город) двух равномерно движущихся поездов, которые одновременно выезжают навстречу друг другу из Москвы (Iti’jI = 100 км/ч) и Санкт-Петербурга (loj == 50 км/ч) (рис. 23). Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом — 600 км. 49 11 Для дополнительного изучения Решение задач кинематики. Задача «встреча». Аналитический способ решения Теперь решим задачу из предыдущего параграфа другим способом — аналитическим. Посмотрим на рис. 20 и вспомним, что было сделано за первые три шага решения этой задачи. Шаг 1. Мы ввели систему отсчёта: 1) выбрали началом отсчёта дерево, от которого начинал своё движение пешеход; 2) направили координатную ось вдоль дороги в направлении движения пешехода; 3) включили часы (секундомер) в момент начала движения тел. Шаг 2. Были определены начальные координаты пешехода = 0) и велосипедиста (x^q = 20 м). Шаг 3. Используя введённую систему отсчёта, мы определили значения скоростей движения пешехода {v^ = 1 м/с) и велосипедиста {v^ = -3 м/с). Таким образом, первые три шага решения задачи не зависят от того, каким способом (графическим или аналитическим) мы собираемся её решать. Но уже следующий шаг будет отличаться от того, что мы делали в § 10. Шаг 4 (аналитический). Запишем в аналитическом виде законы движения тел, учитывая известные данные. Поскольку в задаче движутся два тела (пешеход и велосипедист), то мы получаем два закона движения; x=0-l-l-t, X = 20 - Ъ ■ t. Шаг 5 (аналитический). Представим в виде уравнения условие задачи — встречу велосипедиста и пешехода. Встреча двух тел означает, что положения тел в пространстве совпадут в некоторый момент времени t = т. е. в этот момент времени совпадут их координаты. Поэтому условие встречи будет иметь вид: X = X . П В Шаг 6 (аналитический). Запишем вместе полученные в шагах 4 и 5 выражения, присвоив каждому из них свои номер и название. X = о -I- 1 ■ f, X = 20 - 3 ■ / X : X (1) {закон движения пешехода) (2) {закон движения велосипедиста) (3) {условие встречи пешехода и велосипедиста) Шаг 7 (аналитический). Решение уравнений. Для того чтобы найти значение времени t в интересующий нас момент встречи, воспользуемся условием встречи пешехода и велосипедиста — 50 уравнением (3). Оно предполагает равенство координат двух тел. Подставим в него выражения для и из уравнений (1) и (2): О -ь 1 • г = 20 - 3 ■ Приведём подобные слагаемые и решим уравнение; (l-f3).t=20, t= 20/4 = 5 (с). Таким образом, мы установили, что встреча пешехода и велосипедиста состоится через 5 с после начала движения. Теперь определим координату точки, в которой состоится встреча. Для .этого подставим полученное значение момента встречи = 5 с в закон движения пешехода — уравнение (1); X = 0 + 1- t =0-ь1-5 = 5 (м). п встр ' ' Это означает, что в момент встречи координата пешехода будет равна х^ = 5. Следовательно, встреча произойдёт в 5 м от начала отсчёта — дерева, от которого начал движение пешеход. Ясно, что координату места встречи можно было определить, подставив время = 5 с и в закон движения велоргпедиста — уравнение (2): X = 20 - 3 • t встр 20 - 3 • 5 = 5 (м). Естественно, мы получили то же самое значение так как коорди наты пешехода и велосипедиста в момент встречи совпадают. Итоги При аналитическом способе решения задачи «встреча» момент встречи и координата места встречи определяются из равенства координат в законах движения тел, записанных в аналитическом виде. Упражнения Определите аналитическим способом время и место встречи пешехода и велосипедиста (начните с шага 3) в выбранной нами ранее системе отсчёта, связанной с деревом, если: а) значение скорости пешехода осталось прежним = 1 м/с, а велосипедист едет ему навстречу со скоростью \vj = 4 м/с; б) значение скорости пешехода = 3 м/с, а велосипедист едет со скоростью, значение которой = -7 м/с. Выполните предыдущее упражнение, решая задачу графическим способом. 51 f# 4 Определите аналитическим способом время и координату встречи пешехода и велосипедиста, которые движутся навстречу друг другу со скоростями \vj = 2 м/с и \vj - 8 м/с, если начальное расстояние между ними I = 160 м и они начинают движение одновременно. (Начните решение с шага 1.) Сформулируйте условие и решите задачу о встрече велосипедиста и мотоциклиста, изображённых в момент времени /: = 0 на рис. 24. |гл I = 20 км/ч 610 Велосипедист 1 = 400 км Рис. Мотоциклист 12 Для дополнительного изучения Решение задач кинематики. Задача «погоня» Прежде чем приступить к рассмотрению конкретных задач о погоне, договоримся о следующем. Будем называть погоней ситуацию, когда два тела движутся в одном направлении друг за другом. Например, один автомобиль на прямой дороге стремится догнать другой, хищник гонится за своей добычей и т. п. Решение задачи «погоня» заключается в ответе на вопрос: может ли одно тело догнать другое, и если может, то где и когда? К Будем считать, что одно тело догнало другое, если в некоторый момент времени положения этих тел в пространстве совпали. Это означает, что в выбранной системе отсчёта координаты убегающего и догоняющего тел стали равными. н Мы видим, что при решении задачи «погоня» необходимо дополнительно I выяснять, может ли одно из тел догнать другое. Только в случае положитель-I ного ответа удастся найти точку в пространстве, где догоняющий настигнет убегающего в некоторый момент времени. 52 Рассмотрим теперь следующую задачу о погоне. Пусть по ровному полу в сторону своей норки по прямой бежит мышка со скоростью, модуль которой = 1 м/с (рис. 25). Вслед за мышкой вдоль этой же прямой гонится кот со скоростью, модуль которой |?J = 3 м/с. Необходимо выяснить, удастся ли коту поймать мышку, если в тот момент, когда мы начали наблюдение, расстояние между ними составляло = 6 м, а расстояние от мышки до её норки — /g = 2 м. Прежде чем ответить на вопрос задачи, попробуем ответить на более простой вопрос. Представим себе, что норки нет. Тогда понятно, что кот в конце концов догонит мышку, так как его скорость больше. Выясним, в какой момент времени (когда?) и в какой точке пространства (где?) это произойдёт. Отметим, что в этом случае последовательность действий при решении задачи «погоня» будет такой же, что и при решении задачи «встреча». Шаг 1. Введём систему отсчёта. В качестве тела отсчёта выберем пол, а за начало отсчёта примем место, в котором находился кот в момент начала наблюдения. Координатную ось X направим от этого места в направлении норки мыши. В качестве единицы длины выберем 1 м. Включим часы (секундомер) в момент начала наблюдения. Эта ситуация изображена на рис. 26. Шаг 2. Определим начальные координаты движущихся тел. Ясно, что в момент включения секундомера (при ^ = 0) начальная координата кота = о, а мышки — = б м. Шаг 3. Определим значения скоростей равномерного движения тел. Так как и кот, и мышка движутся в положительном направлении оси X, то их координаты в нашей системе отсчёта с течением времени увеличиваются. Поэтому значения скоростей обоих тел положительны. На рис. 26 мы изобразили их скорости векторами (отрезками со стрелочками на концах, показываюшими направление движения). При этом отрезок, изображаю- 1111 0 2 4 6 X, м ■^м()=6 м Рис. 53 щий вектор скорости кота, в три раза длиннее отрезка, изображающего вектор скорости мышки (объясните почему). Шаг 4. Запишем в аналитическом виде зависимости координат от времени для равномерно движущихся тел (кота и мышки) с учётом известных нам начальных координат и значений скоростей. Ясно, что X = X „ + V ■ t = о + 3 ■ t, К кО К ’ X = X + V м м() м t = 6 -t- 1 • ?. Шаг 5. Представим в виде уравнения условие задачи — ситуацию, в которой при отсутствии норки кот догнал мышку в некоторый момент времени t = t^. Это означает, что в этот момент их координаты стали равны. В нашем случае условие задачи будет иметь вид: X = X . К М Шаг 6. Объединим полученные выражения и присвоим им номера и названия: X =х г, + V ■ t = О + 3 ■ t, к- кО ’ X = X ^ -h V м мО м t = 6 + 1 ■ t, X = X (1) {закон движения кота) (2) {закон движения мышки) (3) {условие успешного для кота завершения погони) Шаг 7. Решение уравнений. Подставляя выражения для х^ из уравнения (1) и из уравнения (2) в уравнение окончания погони (3), получим: 0-l-3't=6-l-l ■ t. Решим полученное уравнение. (3-l).f-6, 2 • f = 6, t = t^ = 6/2 = 3 (с). Таким образом, если бы норки не было, то через 3 с после начала нашего наблюдения кот догнал бы мышку. Для того чтобы определить, в каком месте это произойдёт, подставим значение = 3 с в один из законов движения тел. Например, если мы подставим это значение в закон движения кота, то получим уравнение X = 0 + 3-t =0-ьЗ-3 = 9,(м). К К д »\ / |Я| Такое же значение координаты места окончания погони мы получим, если подставим значение времени t в закон движения мышки: I X =6+1-Г =6+1-3 = 9 (м). 54 Найденное нами значение координаты окончания погони означает, что при отсутствии норки кот поймает мышку на расстоянии 9 м от начала отсчёта. Однако по условию задачи расстояние от этого места до норки рав-но /j -I- /g = б -+- 2 = 8 (м). Следовательно, при заданных условиях мышка достигнет точки с координатой х ^ = 8 м и спрячется в норке раньше, чем кот догонит её. Мы можем определить и тот момент времени t , когда мышка окажется в норке. Для этого, как мы уже знаем, надо записать в аналитическом виде зависимость координаты мышки от времени и условие попадания мышки в норку; X = X „ + V ■ t = 6 + 1 ■ t, М Mil w ’ X.. = х„ = 8. (2) {закон движения мышки) (4) {условие попадания мышки в норку) Для того чтобы найти момент времени исходя из условия попадания мышки в норку (равенства координат мышки и её норки), подставим выражение для х^ из уравнения (2) в уравнение (4): 6 -Н 1 • ^ = 8, 1 • f = 8 - 6, t = t^ = 2 (с). Получается, что мышка окажется в норке через 2 с после начала нашего наблюдения, т. е. на 1 с раньше, чем кот её настигнет. Таким образом, при тех величинах, которые даны в задаче, кот останется голодным (рис. 27). Если норка будет удалена от мышки не на 2 м, как в условии задачи, а более чем на 3 м, то процесс погони закончится для мышки плачевно (рис. 28). Решим ту же задачу графическим методом начиная с шага 4. Напомним, что после первых трёх шагов мы имеем систему отсчёта, начальные координаты кота х^^^ = О и мышки х^^ = б м, а также значения их скоростей = 3 м/с и ?7 = 1 м/с. Шаг 4. Построим систему координат, состоящую из оси времени t и оси координаты X. Координата норки, место спасения мышки 0 / - ч. X > 9 м 8 Рис. 9 Х,и Координата встречи, место обеда кота 55 Отметим начало отсчёта и нанесём на оси метки, соответствующие единицам времени (с) и расстояния (м). Отметим на оси X начальные координаты кота = О и мышки = 6 м (рис. 29). Шаг 5. Так как по условию значение скорости мышки = 1 м/с, то её координата с каждой секундой будет увеличиваться на 1 м. Построим несколько точек графика движения мышки для моментов времени, например, = 1 с и tg = 2 с. Ясно, что им соответствуют координаты: ■^м1 ^ 6 -Ь 1 • 1 = 7 (м), ■*■«2 = б + 1 ■ 2 = 8 (м). Соединив эти точки, мы получим график движения мышки {см. рис. 29). Значение скорости кота равно 3 м/с. Поэтому значение его координаты с каждой секундой увеличивается на 3 м. Построим несколько точек графика движения кота, например для моментов времени t^ = 1 с и t^ = 2 с. Соединив их прямой линией с точкой, соответствующей положению кота в начальный момент времени, получим график движения кота. Х,мк 10 8 6 4 2 iL 3'_ _ Норке "1 2 мЛ HI у ' i 1 1 с, 1 К-д В этот момент мышка юркнула в норку, а коту осталось 2 м до цели Рис. В этот момент кот стукнулся лбом о стену В этот момент кот догнал бы мышку Х,ш ^ 12 10 8 6 4 2 Порка о Рис. ёЕ 3 м 1 1? 1 1 •Я^мО У 1’ I 1 1 /■^кО с Норка находится на расстоянии 12 м от начала отсчёта 56 Как вы уже догадались, точка пересечения графиков движения является точкой окончания погони. Из рис. 29 видно, что кот догонит мышь через время = 3 с после начала наблюдения. А произойдёт это (при отсутствии норки) в точке с координатой = 9 м. То есть полученные нами графическим и аналитическим методами результаты совпали. Отметим, что на рис. 29 можно изобразить и закон движения норки. Так как в нашей системе отсчёта координата норки = 8 м не изменяется, то её закон движения графически представляет собой прямую, параллельную оси времени. Как видно из рисунка, мышка юркнула в норку (это будет точка пересечения графиков движения мышки и норки, равенство их координат) на 1 с раньше, чем кот догонит её. Если бы координата норки была больше координаты, в которой кот догоняет мышь, например x^^j = 12 м, то картина, как вы понимаете, выглядела бы иначе. Посмотрите на рис. 30 и объясните, что произошло бы в этом случае. Итоги Решение задачи «погоня» заключается в ответе на вопрос: может ли одно из тел догнать другое, и если может, то в какой точке пространства и в какой момент времени это произойдёт? При аналитическом способе решения задачи «погоня» момент окончания погони и координата места погони определяются из равенства координат в законах движения тел, записанных в аналитическом виде. Вопросы В чём состоит отличие задачи «погоня» от задачи «встреча»? В чём их сходство? Расскажите, как по графикам движения двух тел в задаче «погоня» определить, в какой момент одно тело догонит другое. Упражнения Как будут выглядеть графики движения, если тела движутся друг за другом с одинаковыми скоростями 15 м/с, а в начальный момент расстояние между телами = 10 м? Через какое время мотоциклист, движущийся со скоростью 100 км/ч, догонит велосипедиста, едущего в том же направлении 57 *3 со скоростью 20 км/ч, если в начальный момент времени расстояние между ними было равно 160 км? Лыжник юношеской сборной города Москвы, который идёт со скоростью 5 м/с, отстаёт на 40 м от лыжника сборной города Санкт-Петербурга, который идёт со скоростью 3 м/с. Кто из лыжников придёт к финишу первым, если расстояние от идущего впереди лыжника до финиша равно 60 м? ГА §13 Для дополнительного изучения Решение задач кинематики. Задача «обгон» Рассмотрим ещё одну очень важную с практической точки зрения задачу. Пусть по прямой двухполосной дороге едут грузовик с прицепом и легковой автомобиль. Модули их скоростей равны соответственно \zjji = 20 м/с и \vj = 30 м/с. Известно, что длина легкового автомобиля 1^ = 5 м, а грузовик вместе с прицепом имеет длину = 35 м. При этом легковой автомобиль, значение скорости которого больше, совершает обгон грузовика. Эта ситуация изображена на рис. 31. \v^ I = .SO м/с С • 1Г в \ц.\ = 20 м/с D Положение I Положение II Рис. Положение I. Момент начала обгона. «Нос» автомобиля поравнялся с задней точкой грузовика. Положение II. Момент окончания обгона. «Хвост» автомобиля проезжает мимо передней точки грузовика Из сказанного ясно, что в задаче «обгон» принципиальную роль играют размеры тел. Поэтому для описания движения грузовика и легковушки нам надо выбрать конкретные точки этих тел. Кроме того, необходимо установить, какие моменты времени являются началом и окончанием обгона. Моментом начала обгона {положение I) мы будем называть тот момент времени, когда самая передняя точка И («нос») легкового автомобиля порав- 58 пялась с самой задней точкой В («хвостом») прицепа грузовика. Моментом окончания обгона назовём тот момент времени, когда точка С («хвост») легкового автомобиля поравняется с точкой D («носом») грузовика. Этот мо-.мент соответствует положению II на рис. 31. Спрашивается: 1. В течение какого промежутка времени будет происходить обгон? 2. Какие расстояния проедут за время обгона легковой автомобиль и грузовик? Чтобы ответить на поставленные вопросы, воспользуемся аналитическим методом решения кинематических задач. Шаг 1. Введём систему отсчёта (рис. 32). В качестве начала отсчёта выберем камень, лежащий на обочине дороги напротив того места, где поравнялись точки А VI В в момент начала обгона. Координатную ось X направим от этого камня параллельно дороге в сторону движения машин. В качестве единицы длины выберем 1 м. Часы (секундомер) включим в момент начала обгона. 3* - А В Рис. \ X ~ I DO 2 X — X + / Разность расстояний, пройденных автомобилем и грузовиком с прицепом, равна сумме длин этих тел По условию задачи грузовик и легковой автомобиль имеют конкретные размеры. Поэтому мы не можем считать наши тела точечными. Значит, для описания движения этих тел надо на каждом из них выбрать конкретные точки и далее следить за движением этих точек. В качестве точки, харак-теризуюшей положение легкового автомобиля, выберем точку А (его «нос»). Для описания положения грузовика с прицепом выберем точку D (соответственно «нос» грузовика). Теперь, если мы будем говорить, что координата легкового автомобиля равна, например, нулю, то это значит, что равна нулю координата его «носа» — точки А. А если мы скажем, что координата грузовика равна, например, сорока метрам, значит, говорится 59 о координате «носа» грузовика — точке D.To есть мы будем следить за движением «носов» обоих движущихся тел. Шаг 2. Определим начальные координаты точек А vi D, которые характеризуют положение соответственно легкового автомобиля и грузовика с прицепом. Из рис. 32 видно, что = О, а ~ Таким образом, в момент начала обгона «нос» грузовика опережает «нос» легкового автомобиля ровно на длину грузовика с прицепом /, = 35 м. Шаг 3. В условии задачи даны модули скоростей легкового автомобиля и грузовика относительно дороги. При этом в выбранной системе отсчёта координаты обоих тел увеличиваются. Следовательно, значения их скоростей положительны и равны соответственно v =30м/си & =20 м/с. Шаг 4. Напишем зависимости координат, точек А и D, от времени в выбранной системе отсчёта: ® t = о -ь 30 • / л ли л ’ t = + v^ -1 = 35 + 20 t. Шаг 5. Представим в виде уравнения условие окончания обгона. Если мы внимательно посмотрим на рис. 32 {положение II), то поймём, что обгон закончится в тот момент времени, когда координата «носа» легкового автомобиля х^ станет больше координаты «носа» грузовика х^^ ровно на величину длины легкового автомобиля /j = 5 м. Иначе говоря, «хвост» легкового автомобиля поравняется с «носом» грузовика. Значит, в момент окончания обгона (при t = t^g) = Xj^ + l^ = Xjj + 5. Шаг 6. Запишем вместе полученные нами выражения, присвоив каждому из них номер и название: (1) {закон движения «носа» легкового автомобиля) (2) {закон движения «носа» грузовика) (3) {условие окончания обгона) Шаг 7. Решение уравнений. Для нахождения момента времени, соответствующего окончанию обгона, подставим в уравнение (3) выражения для х^ и из уравнений (1) и (2): о -Ь 30 • t = 35 -Ь 20 • t-ь 5, 30 • t - 20 • i = 35 + 5, t= (35-н 5)7(30-20) = 4 (с). х^ = о -н 30 • 7 X D 35 -ь 20 • t. x^=Xd + 5. Таким образом, через время /^g гон будет завершён. 4 с после включения секундомера об- 60 Найдём, какое расстояние прошёл за это время «нос» легкового автомобиля (точка А). Для этого определим его координату в момент времени / = 4 с. Подставив данное значение времени в закон движения точки А, получим: = О -t- 30 • ^ = О -t- 30 • 4 = 120 (м). Так как начальная координата точки А = 0, «нос» автомобиля за время обгона прошёл расстояние 1^- 120 м. Теперь определим, какое расстояние за время совершения обгона легковым автомобилем прошёл грузовик. Для этого найдём координату его «носа» (точки D) в момент окончания обгона. Подставив значение времени окончания обгона t = 4 с в закон движения точки D, получим: д;д = 35 + 20-4 = 115 (м). Так как начальная координата «носа» грузовика равнялась = 35 м, то грузовик за время обгона прошёл расстояние /д = Хд - = 115 - 35 = 80 (м). Таким образом, разность пройденных «носом» легкового автомобиля (точкой А) и «носом» грузовика (точкой D) расстояний = 120 - 80 = = 40 (м), что составляет сумму длин обгоняемого и обгоняющего тел: /, + 4 = 5 -ь 35 = 40 (м). Упражнения Решите данную задачу «обгон» табличным способом. Для этого, используя записанные в шаге 4 законы движения легкового автомобиля и грузовика, заполните таблицу. Момент времени t, с 0 1 2 3 4 5 Х^, м Xjy, м Используя данные, полученные в предыдущем упражнении, или законы движения тел (шаг 4), постройте графики зависимости от времени координат точек А \л D, характеризующих положения легкового автомобиля и грузовика. Укажите на графике точку (время и координату), в которой завершился процесс обгона. 61 Определите, в течение какого времени автобус длиной = 20 м, движущийся с постоянной скоростью \vj = 35 м/с, будет обгонять грузовик длиной = 25 м, если скорость грузовика не изменяется и равна I&J = 30 м/с. Задачу решите: а) аналитическим; б) табличным; в) графическим способами. Зависит ли время обгона грузовика легковым автомобилем от размеров (длины) этих транспортных средств? Если зависит, то как? Ай 14 Для дополнительного изучения Решение задач кинематики в общем виде. Анализ полученного результата Мы с вами научились решать задачи с конкретными числовыми значениями. Освоим решение задач, в которых величины, характеризующие движение тел (начальные координаты, скорости и т. п.), определены не численно, а заданы в буквенном виде. В этом случае говорят о решении задачи в общем виде. М Рассмотрим такое решение на примере задачи «встреча». Пусть два точечных тела 1 и 2 движутся навстречу друг другу относительно земли со скоростями и щ соответственно (рис. 33). В момент начала наблюдения расстояние между телами равно L. Необходимо определить, через какое время после начала наблюдения (когда?) произойдёт встреча этих тел. Используем известный нам метод решения задач кинематики. Шаг 1. Выбор системы отсчёта. В качестве начала отсчёта выберем то место на дороге, где находилось в начальный момент первое тело. Координатную ось X направим от этого места вдоль дороги в направлении второго тела. Отметим, что единицы длины должны быть те же, в которых задано расстояние L между телами. Часы включим в момент начала наблюдения. Шаг 2. Определим начальные координаты тел. Ясно, что в выбранной нами системе отсчёта Xj,, = 0, а = L. Шаг 3. В соответствии с условием задачи в выбранной системе отсчёта значение скорости тела 1 положительно и равно Значение скорости тела 2 отрицательно и равно —v^, так как это тело движется в отрицательном направлении оси X. Здесь Vj и — модули соответствующих скоростей. ml Решение задач в общем виде очень распространено. Оно позволяет упростить преобразования выражений, которые могут быть довольно громоздкими, избежать промежуточных вычислений, выявить взаимосвязь между физическими величинами. 62 координаты тел: = 0; х,^д = L Шаг 4. Запишем зависимости координат равномерно движущихся тел 1 и 2 от времени: X, ■■ - t ■ Q + ■ t. Xi^ — "^20 ^2 * ^ • t. Шаг 5. Представим в виде уравнения условие задачи — равенство координат двух тел в момент встречи: Xj = х^. Шаг 6. Запишем вместе полученные уравнения, присвоив каждому из них номер и название: Xj = х^ = L - t, (1) {закон движения тела 1) - v^-1, (2) {закон движения тела 2) (3) {условие встречи тел I и2) Шаг 7. Решение уравнений. Для решения полученных уравнений подставим в условие встречи — уравнение (3) — выражения для Xj и х^: v^-t = L &2 • t- Решим полученное уравнение: t + v^-t- L, (&, + v^)-t = L, L t=t= ------. 63 Итак, мы получили значение момента времени встречи двух тел. Теперь перейдём к очень важному не только для физики, но и для самых разных областей человеческого знания (экономики, бизнеса, планирования, социологии и др.) процессу. Этот процесс называется анализом полученного результата. Он заключается в изучении зависимости между интересующими нас величинами. В данном случае мы имеем зависимость значения момента времени встречи от начального расстояния между телами L и модулей их скоростей. Чтобы оценить полученный результат, необходимо исследовать, как будет изменяться значение t при изменениях (увеличении или уменьшении) величин L, Vj и v^. Шаг 8. Анализ полученного результата. Посмотрим ещё раз внимательно на полученное нами выражение для L момента встречи: t = -----. ^ ® v^ + v.^ правая часть этого равенства представляет собой дробь, в числителе которой стоит начальное расстояние между сближающимися телами L, а в знаменателе — сумма модулей скоростей тел 1 и 2. Для начала зададим себе вопрос: как изменится время через которое произойдёт встреча, если в условии задачи увеличить L, например, в 10 раз, а модули скоростей и оставить неизменными? Ясно, что в этом случае в 10 раз увеличится числитель дроби в выражении для а её знаменатель останется неизменным. Следовательно, значение дроби увеличится в 10 раз, т. е. увеличится в 10 раз время через которое произойдёт встреча. Напротив, если L уменьшить, например, в 2 раза, оставив модули скоростей и неизменными, то числитель дроби уменьшится в 2 раза при неизменном знаменателе. Следовательно, встреча произойдёт через время, в два раза меньшее. Вывод 1. Чем больше начальное расстояние между телами, тем позже произойдёт их встреча, и наоборот, чем меньше это расстояние, тем раньше данные тела встретятся. В частности, если задать начальное расстояние между телами равным ну- 0 ЛЮ, то, подставив это значение в выражение для мы получим = —-— = 0. То есть встреча произойдёт в момент начала наблюдения. Проанализируем, как изменится время встречи если изменить модули скоростей тел и v^, оставив неизменным начальное расстояние L. Допустим, модули скоростей движущихся навстречу друг другу тел увеличатся в 2 раза. Тогда их сумма ц, + v^, стоящая в знаменателе, также увеличится вдвое. В этом случае вся дробь при неизменном числителе L уменьшится 64 » 2 раза. Следовательно, встреча двух тел произойдёт через вдвое меныпее время. Наоборот, если модули скоростей обоих тел уменьшить, например, в 10 раз при неизменном L, то встреча состоится через время в 10 раз большее первоначального. Вывод 2. Чем больше модули скоростей и движущихся навстречу друг другу тел, тем раньше тела встретятся, и наоборот, чем меньше модули их скоростей, тем позже произойдёт встреча. Например, если взять предельный случай, когда ~ ™ времени встречи получится следующее выражение: L _ L _ L +1^2 0 + 0 o' Мы по.тучили деление на нуль. Это означает, что встречи не будет. Понятно: если скорости тел равны 0, то они покоятся. Отметим, что время встречи зависит от суммы модулей скоростей тел (r>j + ZJ^). Эту сумму можно назвать модулем скорости сближения движущихся навстречу друг другу тел. Как вы понимаете, модуль скорости сближения численно равен уменьщению расстояния между телами за единицу времени. В заключение проанализируем ещё одну ситуацию. Допустим, начальное расстояние между телами увеличилось в два раза. Одновременно увеличились вдвое модули скоростей сближающихся тел, т. е. в два раза увеличилась скорость сближения. Как вы понимаете, в этом случае в два раза увеличатся и числитель, и знаменатель выражения для расчёта времени встречи. Известно, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число значение этой дроби не изменяется. Следовательно, в этом случае момент встречи останется неизменным. Если вы вдумаетесь в полученные выводы 1 тл 2, то поймёте, что они соответствуют здравому смыслу и нашему жизненному опыту. В этом случае физики говорят, что в задаче получен ответ, который имеет физический смысл. Итоги При решении задач кинематики в общем виде нужно придерживаться следующего алгоритма: 1) выбрать систему отсчёта; 2-3) определить начальные координаты и значения скоростей движения тел в этой системе отсчёта; 4) записать зависимости координат тел от времени; .5) записать в виде уравнения условие задачи; 6) объединить уравнения; 7) решить эти уравнения; 8) провести анализ полученного 65 результата (после чего выяснить, имеет ли полученный результат физический смысл); 9) если в условии задачи даны числовые значения, необходимо подставить их в полученное выражение и получить числовой ответ. Анализ полученного результата заключается в исследовании зависимости искомой величины от входящих в ответ величин. Конечной целью проведения анализа является ответ на вопрос: имеет ли физический смысл полученное при решении задачи выражение? Упражнения Найдите в общем виде время окончания погони полицейского за грабителем (задача «погоня»). Используйте данные, приведённые на рис. 34. Г= О Рис. Используя данные из упражнения 1, проведите анализ выражения для времени погони - v^), ответив на вопросы: а) как зависит время окончания погони от начального расстояния между полицейским и грабителем? б) увеличится или уменьшится время окончания погони если увеличится: скорость полицейского v{, скорость грабителя Oj? в) догонит ли полицейский грабителя, если: v. > v, < v' v 66 *з_ г) имеет ли физический смысл полученное нами выражение для t^l д) определите скорость сближения полицейского и грабителя. Найдите в общем виде выражение для времени обгона, рассмотрев ситуацию из предыдущего параграфа. Используя данные из упражнения 3, проведите анализ выражения == (/, -I- l^)/{v^ - &,) и ответьте на следующие вопросы: а) увеличится или уменьшится время обгона если увеличится длина: обгоняемого тела обгоняющего тела Сделайте выводы. Какой автобус легче обогнать: короткий или длинный? На каком автомобиле быстрее завершается обгон: на коротком или на длинном? б) увеличивается или уменьшается время обгона при увеличении: скорости обгоняемого Vy скорости обгоняющего v^l Сделайте выводы. Какой автомобиль можно быстрее обогнать: едущий быстро или медленно? На каком автомобиле быстрее завершается обгон: на едущем быстро или медленно? ГА *в §15 Для дополнительного изучения Движение тел относительно друг друга В предыдущих параграфах мы с вами на конкретных примерах научились решать некоторые виды задач кинематики. При этом мы в качестве тела отсчёта выбирали Землю или неподвижные относительно неё тела. Оказывается, такой выбор тела отсчёта не всегда является наиболее удачным. Во многих реальных задачах, которые встретятся вам в будущем, удобнее в качестве тела отсчёта выбирать какое-либо тело, движущееся относительно Земли. Понятно, что в такой системе отсчёта Земля уже не будет неподвижной. Вместе с Землёй в такой системе отсчёта будут двигаться деревья и дома, т. е. неподвижные относительно Земли тела. Мы уже сталкивались с таким выбором, когда в § б связывали систему отсчёта с идущим по земле человеком. При этом растущий на земле дуб и клад, зарытый в землю, изменяли свои координаты с течением времени. Значит, в системе отсчёта, связанной с идущим человеком, они двигались. Мы говорили тогда, что движение тела зависит от того, в какой системе отсчёта оно рассматривается. Изучим теперь этот вопрос подробнее. Для этого рассмотрим одну простую задачу. Пусть два поезда движутся по параллельным путям навстречу друг дру-П- как показано на рис. 35. При этом модуль скорости первого поезда 67 Дубки Сколько времени потребуется встречному поезду, чтобы целиком проехать мимо меня? / Рис. Ц| =10 м/с, а второго — |Й,| = 15 м/с. В первом поезде сидит пассажир, которого мы будем называть наблюдателем. Ответим на вопрос: в течение какого времени второй поезд целиком (от «носа» до «хвоста») проедет мимо наблюдателя, если длина второго поезда L = 175 м? Понятно, что можно решить эту задачу в системе отсчёта, связанной, например, со станцией, неподвижной относительно Земли. Если вы попробуете сделать это, то убедитесь, что такое решение окажется достаточно сложным. Однако можно суш;ественно упростить решение задачи, если связать систему отсчёта непосредственно с наблюдателем. Сделаем это, используя уже хорошо известный нам алгоритм решения задач кинематики. Шаг 1. В качестве тела отсчёта выберем вагон, в котором находится наблюдатель. Пусть начало отсчёта совпадает с наблюдателем. Координатную ось X направим от начала отсчёта в сторону движения первого поезда (к станции Дубки). Часы (секундомер) включим в тот момент, когда «нос» второго поезда поравняется с наблюдателем (с началом отсчёта). Этот момент изображён на рис. 36. Можно сказать, что в этот момент второй поезд начал проезжать мимо наблюдателя. Необходимо отметить, что в данной задаче второй поезд имеет определённые размеры. Поэтому мы не можем считать его точечным телом. А поскольку мы пока умеем описывать движение только точечных тел, в качестве точки, характеризующей положение второго поезда, выберем точку А — его «нос». Шаг 2. Определим начальную координату точки А. Из рис. 36 видно, что в выбранной системе отсчёта начальная координата точки А равна = 0. Теперь начинается самое интересное. Прежде чем продолжить решение, выясним, с какой скоростью движется точка А («нос» второго поезда) в выбранной системе отсчёта. Для этого вначале определим, как движутся в этой системе отсчёта первый поезд, станция и Земля. Ясно, что относительно наблюдателя первый поезд неподвижен, так как наблюдатель сидит в этом по- Наблюдатель От выбора системы отсчёта, связанной с Землёй или с пое.эдом, .зависит описание движения двух тел и решение задачи 68 1 mjijii'uDu и ill utjuub udbij и и u uu Q В системе отсчёта OX ________________ навстречу неподвижному I____j_____I____Я наблюдателю движутся: Поезд 1 станция и Зежшя; неподвижен второй поезд в системе отсчёта ОХ Рис. Наблюдатель зафиксировал момент прохождения «носа» встречного поезда езде. Напротив, станция в системе отсчёта, связанной с наблюдателем, приближается к нему. Как вы помните, в этом случае вектор скорости станции направлен в отрицательном направлении оси X. Следовательно, значение скорости станции отрицательно. Так как по условию задачи первый поезд движется относительно Земли со скоростью, модуль которой I&J = 10м/с, наблюдатель в поезде приближается за каждую секунду к станции на 10 метров. Значит, в системе отсчёта, связанной с наблюдателем, станция приближается к нему за каждую секунду на 10 метров. Следовательно, её координата уменьшается на 10 метров за каждую секунду. В соответствии с определением значения скорости мы можем сказать, что в выбранной системе отсчёта станция движется со скоростью, имеющей значение 1/ = —10 м/с. В этой системе отсчёта движутся с такой же скоростью и железнодорожное полотно, и деревья, и дома, и вся Земля. М Итак, мы выяснили, что в выбранной системе отсчёта вся Земля вместе со станцией и железнодорожным полотном движутся в отрицательном направлении оси X со скоростью, имеющей значение 1/ = -10 м/с. По условию задачи по железнодорожному полотну в направлении от станции к первому поезду относительно Земли движется точка А («нос» второго поезда) со скоростью, модуль которой \v^\ =15 м/с. Следовательно, за каждую секунду точка А удаляется от станции в сторону наблюдателя на 15 метров. Сама станция при этом приближается к наблюдателю за одну се- Значения скоростей в нашей системе отсчёта мы будем обозначать большими буквами — V, чтобы отличить их от значений скоростей с, которые имели тела в системе отсчёта, связанной с Землёй. Поэтому значение скорости станции мы обозначили С. 69 кунду на 10 метров. Поэтому точка А приближается к наблюдателю за каждую секунду на (10 -I- 15) м = 25 м. Иначе говоря, значение скорости второго поезда в выбранной системе отсчёта равно -25 м/с. Физики в таких случаях говорят, что произошло сложение значений скоростей: к значению скорости Земли (станции) V), = -10 м/с прибавилось значение скорости движения второго поезда по Земле в ту же сторону. Так как направление скорости совпадало с отрицательным направлением оси X, а её модуль \v^ = 15 м/с, то значение этой скорости отрицательно и равно &2 = -15 м/с. Таким образом, значение скорости второго поезда в нашей системе отсчёта, связанной с наблюдателем: ^4 = К + ^2 = (-10) + (-15) = -25 (м/с). Вернёмся к решению нашей задачи. Шаг 3. Значение скорости движения второго поезда в выбранной системе отсчёта Тд = -25 м/с. Шаг 4. Запишем закон движения точки А: 25 t. X, ' ^м) ^ о Шаг 5. Запишем в виде уравнения условие задачи. По условию задачи второй поезд должен к искомому моменту времени полностью проехать мимо наблюдателя. Значит, нас интересует тот момент, когда «хвост» второго поезда поравняется с наблюдателем. Этот момент изображён на рис. 37. Легко увидеть, что в этот момент расстояние от точки А до наблюдателя в точности равно длине второго поезда L. Кроме того, значение координаты точки А отрицательно. Следовательно, в этот момент времени х^ = -L = -175 м. X Поезд 1 Рис. Наблюдатель зафиксировал момент прохождения «хвоста» встречного поезда 70 Шаг 6. Объединим составленные уравнения, присвоив каждому номер и название: Ха = ■ t = О - 25 ■ t, '■АО ' 'А Ха = -L = -175 м. Шаг 7. Решение уравнений. Подставляя (1) в (2), получаем: 0-25-^ = -175 (м), -175 м (1) {закон движения точки А) (2) {условие окончания проезда второго поезда мимо ушблюдателя) t = = 7 с. -25 м/с Таким образом, второй поезд проедет мимо наблюдателя за f = 7 с. Итоги Решение задачи, в которой задано движение двух тел относительно третьего (например. Земли), может быть сведено к задаче о движении одного тела, если систему отсчёта связать с одним из движущихся тел. При этом решение задач получается более простым. Вопросы Как надо выбрать систему отсчёта, чтобы одно из движущихся относительно Земли тел в задаче «встреча» стало неподвижным в выбранной системе отсчёта? За счёт чего произошло сложение значений скоростей в рассмотренной задаче? В какой системе отсчёта оно произошло? Увеличилось или уменьшилось значение скорости второго поезда (точки А) в результате сложения скоростей? Упражнения Два поезда движутся по параллельным путям навстречу друг другу. Модуль скорости первого поезда Ц| = 5 м/с, а второго — l&jl = 10 м/с. В течение какого времени второй поезд целиком проедет мимо наблюдателя, сидящего в первом поезде? Длина второго поезда L = 150 м. 71 3 *4 За какое время катер пройдёт мимо идущего навстречу ему теплохода? Модуль скорости катера = 7 м/с, а теплохода —1?| = 3 м/с. Длина теплохода L = 60 м. Катер считайте точечным телом. Решите задачу из упражнения 1 графическим способом в системе отсчёта, связанной с наблюдателем. Решите задачу из упражнения 1 в системе отсчёта, связанной с наблюдателем, в общем виде. Проведите анализ полученного решения. §16 Для дополиителы101>о изумепия Движение тел относительно друг друга. Задача «встреча» Рассмотрим, как будет выглядеть решение уже знакомой нам задачи «встреча» в системе отсчёта, связанной с одним из движущихся тел. Пусть по прямолинейной дороге навстречу друг другу едут мотоциклист и велосипедист, как показано на рис. 38. При этом относительно Земли модуль скорости мотоциклиста |ц^| = 20 м/с, а модуль скорости велосипедиста — \v\= 10 м/с. Определим, через какое время произойдёт их встреча, если в момент начала наблюдения расстояние между ними / = 600 м. Шаг 1. Пусть начало отсчёта совпадает с мотоциклистом. Ось X направим вдоль дороги от мотоциклиста в сторону велосипедиста, как показано на рис. 39. В качестве единицы длины выберем 1 м. Часы (секундомер) включим в момент начала наблюдения. Шаг 2. Найдём начальную координату велосипедиста в момент времени t=0. Видно, что в выбранной системе отсчёта = 600 м, так как расстояние от начала отсчёта (мотоциклиста) до велосипедиста I = 600 м. Шаг 3. В выбранной системе отсчёта мотоциклист неподвижен (так как он является началом отсчёта и его координата всё время равна = 0). Определим значение скорости велосипедиста. В выбранной системе отсчёта Земля вместе с дорогой движутся в отрицательном направлении оси X со скоростью, имеющей значение = -|5^| = -20 м/с. Велосипедист но условию задачи движется относительно Земли также в отрицательном направлении оси X (навстречу мотоциклисту) со скоростью, имеющей значение = -10 м/с. Значит, относительно выбранной системы отсчёта (мотоциклиста) велосипедист будет двигаться со скоростью, значение которой равно 1/= V^ + Х)^ = (-20) -I- (-10) = -30 м/с. Напомним, что здесь, как и в пре- 72 Рис. к I = 600 м Vr. = -20 м/с В выбранной системе отсчета навстречу неподвижному мотоциклисту движутся: 1) Земля и дорога с велосипедистом; 2) велосипедист по этой дороге относительно Земли дыдущем параграфе, мы обозначаем буквами v значения скоростей относительно Земли, а значения скоростей тел в выбранной системе отсчёта — большими буквами V. Шаг 4. Запишем законы движения мотоциклиста и велосипедиста: X = о, X =х „+ V ■ t = 600 -ЪО ■ t. В вО В Шаг 5. Представим в виде уравнения условие задачи, т. е. условие встречи мотоциклиста и велосипедиста. Как вы помните, это условие означает равенство координат движущихся навстречу друг другу тел. Поэтому X - X . в М Шаг 6. Объединим полученные уравнения, присвоив каждому из них номер и название: 73 L = 0, (1) {закон движения мотоциклиста) - 600 - 30 • t, (2) {закон движения велосипедиста) х^-х^. (3) {условие встречи) Шаг 7. Решим полученные уравнения, подставив в условие встречи (3) координаты х^ и х^ из уравнений (1) и (2): о = 600 - 30 • t, встр t = 600/30 = 20 (с). Таким образом, встреча произойдёт через 20 с. Обратим внимание на существенное отличие данного способа решения от способа, которым мы решали задачу «встреча» в § 11. Оно заключается в том, что теперь, когда мы связали систему отсчёта с одним из движущихся тел, закон его движения стал очень простым: x^{t) = 0. Это существенно упростило решение уравнений. Особенно важно это будет в дальнейшем, когда тела в задачах будут двигаться намного сложнее. Упражнения 3 1&4. Заметим, что начиная с шага 4 мы могли бы решить рассмотренную только что задачу и графическим способом. Это сделано на рис. 40. Объясните, что изображено на этом рисунке. Решите задачу, изображённую на рис. 38, в системе отсчёта, связанной с велосипедистом. (Особое внимание уделите вопросам: куда направить координатную ось? Куда и с какой скоростью в этой системе отсчёта будут двигаться Земля и мотоциклист?) Выполните упражнение 2 графическим способом начиная с шага 4. Решите в общем виде задачу, условие которой изображено на рис. 38, в системе отсчёта, связанной с мотоциклистом. Проведите анализ полученного решения. Сравните результат с ответом в § 14. 74 §17 Для дополнительного изучения Движение тел относительно друг друга. Задача «погоня» Рассмотрим теперь, как будет выглядеть решение задачи «погоня» из § 12 при использовании системы отсчёта, связанной с одним из движущихся тел. Диспетчер, взглянув на монитор, увидел, что за паровозом, движущимся со скоростью |Д^| = 60 км/ч, следует электровоз со скоростью IvJ = 90 км/ч. Через какое время электровоз догонит паровоз, если расстояние между ними в начальный момент / = 120 км? Шаг 1. Введём систему отсчёта следующим образом. В качестве тела отсчёта выберем электровоз. Координатную ось X направим от электровоза вдоль железнодорожного полотна в направлении к паровозу. За единицу длины примем 1 км. Часы включим в момент, когда диспетчер взглянул на монитор и увидел картину, изображённую на рис. 41. Шаг 2. В выбранной системе отсчёта электровоз неподвижен, и его координата в начальный момент и все последующие моменты времени равна х.,„ = х,^ = 0. Начальная координата паровоза в выбранной системе отсчё- эО та = / = 120 км. Шаг 3. Определим значение скорости движения паровоза в выбранной системе отсчёта, учитывая, что в ней: 1) Земля движется навстречу электровозу, т. е. в отрицательном направлении координатной оси Х\ 2) модуль скорости этого движения равен данному в задаче модулю скорости движения электровоза относительно Земли |г?| = 90 км/ч. Следовательно, значение скорости Земли в выбранной системе отсчёта = -90 км/ч. Модуль скорости паровоза относительно Земли по условию задачи \vj = 60 км/ч. Отметим, что эта скорость направлена в положительном направлении оси X, т. е. за каждый час паровоз проезжает по Земле 60 км в положительном направлении оси X. При этом за тот же час Земля, по которой едет паровоз, проходит 90 км в противоположном (т. е. отрицательном) направлении оси X. Следовательно, за каждый час координата паровоза изменяется на (60 - 90) км = = -30 км. Иначе говоря, паровоз за каждый час приближается к электровозу на 30 км. Таким образом, в нашей системе отсчёта паровоз движется в отрицательном направлении оси X со скоростью, имеющей значение = -30 км/ч. С точки зрения сложения значений скоростей это выглядит следующим образом (см. рис. 41). К положительному значению скорости паровоза относительно Земли = 60 км/ч прибавляется отрицательное значение ско- 75 V. Рис. В системе отсчёта, связанной с электровозом, он неподвижен. При этом Земля и рельсы под паровозом «едут» назад к электровозу со скоростью v.^. У паровоза дополнительно появляется скорость, направленная против его движения рости Земли в выбранной системе отсчёта Vg = -90 км/ч. В результате значение скорости паровоза в системе отсчёта, связанной с электровозом; V = 60 -ь (-90) = -30 (км/ч). Шаг 4. Запишем законы движения паровоза и электровоза: X - X f.+ V • ^ = 120 - 30 • t, п nU п ’ X = X „ = 0. э эО Шаг 5. Напишем уравнение, выражающее условие окончания погони: X = X . П Э Шаг 6. Объединим полученные уравнения, присвоив каждому номер и название: х^ = 120 - 30 • t, (1) {закон движения паровоза) Хд = о, (2) {закон движения электровоза) х^ = х^. (3) {условие окончания погони) Шаг 7. Решим полученные уравнения, подставив в условие окончания погони — уравнение (3) — координаты х^ и х^ из уравнений (1) и (2): 120- 30-^ = 0, 120/30 = 4 (ч). Таким образом, электровоз догонит паровоз через 4 часа после того, как диспетчер взглянул на монитор. 76 Итоги При выборе начала отсчёта, связанного с одним из движущихся тел, решение задач «встреча» и «погоня» резко упрощается, так как фактически эти задачи сводятся к задаче о движении одного тела. Упражнения Объясните приведённое на рис. 42 графическое решение задачи «погоня» электровоза за паровозом. Ответьте на вопросы: а) каким цветом на графике изображены законы движения: электровоза; паровоза? б) чему равна начальная координата в системе отсчёта, связанной с электровозом: у электровоза; у паровоза? в) чему равно значение скорости в системе отсчёта, связанной с электровозом: у электровоза; у паровоза? г) где на графике находится точка окончания погони? В какой момент времени после начала погони происходит встреча? д) какой знак будет иметь координата паровоза в момент времени ? = 5 ч после начала погони, если движение тел будет продолжаться? Чему она будет равна? Используя рис. 43, решите задачу о погоне электровоза за паровозом, рассмотренную в этом параграфе, выбрав систему отсчёта, начало которой совпадает с паровозом, а координатная ось X совпадает с направлением скорости паровоза относительно Земли. Прежде чем начать решать задачу, ответьте на вопросы: а) положительна или отрицательна начальная координата электровоза? Чему она равна? б) с какой скоростью (в каком направлении) движется Земля в указанной системе отсчёта? 77 V ? aaoi...1 Рис. => V > ^3 • *3 в) чему равно в указанной системе отсчёта значение скорости электровоза? Объясните подробно приведённое ниже в общем виде решение задачи об электровозе, догоняющем паровоз, в системе отсчёта, связанной с электровозом, начиная со второго шага. Шаг 2. X ,= О, X ,= I. Шаг 3. V„ = v„ + Vr, = v„ - V. Шаги 4, 5, 6. X X, X =x. ^ + (^П - ^з) • О, (1) (2) (3) / Шаг 7. / + (& --v)-t = 0, t '' П Э' Д Проведите анализ полученного в предыдущей задаче результата, т. е. выполните шаг 8. Ответьте на вопрос: чему равно значение скорости сближения электровоза и паровоза? (Определение скорости сближения дано в § 14 на с. 65.) §18 Перемещение. Путь До сих пор мы рассматривали только прямолинейное равномерное движение. При этом точечные тела двигались в выбранной системе отсчёта либо в положительном, либо в отрицательном направлении оси координат X. Мы установили {см. § 9), что в зависимости от направления движения тела, например, за промежуток времени от момента до момен- 78 та изменение координаты тела --я:,) может быть положительным, отрицательным или равным нулю (еслил:2 =JC,). Изменение координаты х^-х^ принято обозначать символом AXjg (читается «дельта икс один, два»). Эта запись означает, что за промежуток времени от момента до момента изменение координаты тела AXj2 =^2 - Ху Таким образом, если тело двигалось в положительном направлении оси X выбранной системы координат {х^ > х^), то Ах^^ > 0. Если же движение происходило в отрицательном направлении оси X (дг2 < то Ад:,2 < 0. Результат движения удобно определять с помощью векторной величины. Такой величиной является перемещение. Перемещением точки за промежуток времени называют направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец — с конечным положением точки. Как и любую векторную величину, перемещение характеризуют модулем и направлением. Записывать вектор перемещения точки за промежуток времени от до мы будем следующим способом: AXjg. Поясним сказанное на примере. Пусть некоторая точка А (точечное тело) движется в положительном направлении оси X и за промежуток времени от до перемещается из точки с координатой х, в точку с большей координатой Xg (рис. 44). В этом случае вектор перемещения направлен в положительном направлении оси X, а его модуль равен изменению координаты за рассматриваемый промежуток времени: AXj 12 ■ х„ -X, = (5 - 2) м = 3 м. На рис. 45 изображено точечное тело В, которое движется в отрицательном направлении оси X. За промежуток времени от до оно пере- то изменение координаты • положительная величина о 1 2 .Я 4 5 6 X, Рис. Рхли < Ху то изменение координаты отрицательная величина 79 метается из точки с большей координатой в точку с меньшей координатой Xg. В результате изменение координаты точки В за рассматриваемый промежуток времени Лх,, = х^ - = {2 - 5) м = -3 м. Вектор перемещения в этом случае будет направлен в отрицательном направлении оси X, а его модуль lAXjgl равен 3 м. Из рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы. Направление перемещения при прямолинейном движении в одном направлении совпадает с направлением движения. Модуль вектора перемещения равен модулю изменения координаты тела за рассматриваемый промежуток времени. В повседневной жизни для описания конечного результата движения используют понятие «путь». Обычно путь обозначают символом s. Путь — это всё расстояние, пройденное точечным телом за рассматриваемый промежуток времени. Как и любое расстояние, путь — величина неотрицательная. Например, путь, пройденный точкой А в рассмотренном примере {см. рис. 44), равен трём метрам. Путь, пройденный точкой В, также равен трём метрам. В рассмотренных примерах {см. рис. 44 и 45) тело всё время двигалось в каком-либо одном направлении. Поэтому пройденный им путь равен модулю изменения координаты тела и модулю перемещения: Xj, = lAXjgl = lAXjgl. Если тело двигалось всё время в одном направлении, то пройденный им путь равен модулю перемещения и модулю изменения координаты. Ситуация изменится, если тело в течение рассматриваемого промежутка времени изменяет направление движения. На рис. 46 изображено, как двигалось точечное тело с момента = О до момента ig = 7 с. До момента = 4 с движение происходило равномерно в положительном направлении оси X. В результате чего изменение координаты AtTqj = Xj - .Гу= (11 - 3) м = 8 м. После этого тело стало двигаться в отрицательном направлении оси X до момента tg = 7 с. При этом изменение его координаты Аг jg -х.^ — х^- (5 - 11) м = -6 м. Г рафик этого движения приведён на рис. 47. Определим изменение координаты и перемещение тела за промежуток времени от = О до С = 7 с. В соответствии с определением изменение координаты АХд2 = х. - Хд = 2 м > 0. Поэтому перемещение Ax^g направлено в положительном направлении оси X, а его модуль равен 2 м. 80 = 1 с тело изменило направление своего движения X, м Рис. Теперь определим путь, который прошло тело за тот же промежуток времени от t^ = Q р,о = l с. Сначала тело прошло 8 м в одном направлении (что соответствует модулю изменения координаты а затем б м в об- ратном направлении (эта величина соответствует модулю изменения координаты Ддг,2). Значит, всего тело прошло 8 -I- 6 = 14 (м). По определению пути за промежуток времени от до тело прошло путь Spg = 14 м. Разобранный пример позволяет сделать вывод; в случае, когда тело в течение рассматриваемого промежутка времени меняет направление своего движения, путь (всё пройденное телом расстояние) больше и модуля перемещения тела, и модуля изменения координаты тела. Теперь представьте себе, что тело после момента времени — 1 с продолжило своё движение в отрицательном направлении оси X до момента tg = 8 с в соответствии с законом, изображённым на рис. 47 пунктирной линией. В результате в момент времени ig = 8 с координата тела стала равна Хд = 3 м. Нетрудно определить, что в этом случае перемещение тела за промежуток времени от f,, = О до tg = 8 с равно AXjg = 0. Ясно, что если нам известно только перемешргше тела за время его движения, то мы не можем сказать, как двигалось тело в течение этого 81 времени. Например, если бы о теле было известно только, что его начальная и конечная координаты равны, то мы сказали бы, что за время движения перемещение этого тела равно нулю. Сказать что-либо более конкретное о характере движения этого тела было бы нельзя. Тело могло при таких условиях вообще стоять на месте в течение всего промежутка времени. Перемещение тела за некоторый промежуток времени зависит только от начальной и конечной координат тела и не зависит от того, как двигалось тело в течение этого промежутка времени. Итоги Перемещением точки за промежуток времени называют направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец — с конечным положением точки. Перемещение точечного тела определяется только конечной и начальной координатами тела и не зависит от того, как двигалось тело в течение рассматриваемого промежутка времени. Путь — всё расстояние, пройденное точечным телом за рассматриваемый промежуток времени. Если тело в процессе движения не меняло направления движения, то пройденный этим телом путь равен модулю его перемещения. Если тело в течение рассматриваемого промежутка времени меняло направление своего движения, путь больше и модуля перемещения тела, и модуля изменения координаты тела. Путь всегда величина неотрицательная. Он равен нулю только в том случае, если в течение всего рассматриваемого промежутка времени тело покоилось (стояло на месте). Вопросы Что такое перемещение? От чего оно зависит? Что такое путь? От чего он зависит? Чем путь отличается от перемещения и изменения координаты за один и тот же промежуток времени, в течение которого тело двигалось прямолинейно, не изменяя направления движения? 82 Упражнения Используя закон движения в графической форме, представленный на рис. 47, опишите характер движения тела (направление, скорость) в разные промежутки времени: от до t,, от до от ^2 до Собачка Протон выбежала из дома в момент времени = О, а затем по команде своего хозяина в момент времени = 4с бросилась обратно. Зная, что Протон всё время бежал по прямой и модуль его скорости \v\ = 4 м/с, определите графическим способом: а) изменение координаты и путь Протона за промежуток времени от /ц = О до fg = 6 с; б) путь Протона за промежуток времени от tg = 2 с до = 5 с. 19 Путь при прямолинейном равномерном движении Xq + - t = Ъ + 2 ■ t. Ясно, что пройденный телом Выясним, как определить путь, пройденный телом при прямолинейном равномерном движении за некоторый промежуток времени, если известна зависимость координаты от времени в графическом виде, как, например, на рис. 47. В течение промежутка времени от fg = О до = 4 с рассматриваемое тело двигалось с постоянной скоростью, имеющей значение = 2 м/с. Как вы помните, в этом случае закон движения в аналитической форме записывается в виде: х путь к моменту времени t будет равен 5 = 1т - Хд| = Ogj • t. Например, к моменту времени / = 4 с тело прошло путь 5 = 2- t= 2- 4=:8 (м). При равномерном движении в положительном направлении оси X со скоростью, значение которой равно v, за промежуток времени от момента /д = О до момента t тело проходит путь s^v ■ t. Точно так же можно найти путь при равномерном прямолинейном движении тела в отрицательном, направлении оси X. Для этого в формулу S = V ■ t необходимо: 83 j ^ V, м/с 3 2 1 О -1 -2 -3 Рис. (^1 t/) ^0 2 I V Г] - Гд ' \v. 12' = I»,,! • 1) подставить на место v модуль скорости тела; 2) подставить на место t длительность промежутка времени, в течение которого тело двигалось в отрицательном направлении оси X. Действительно {см. рис. 47), если тело за промежуток времени от tj до двигалось с постоянной скоростью, имеющей значение = -2 м/с, то пройденный за это Определение пути графическим способом время путь равен 5j2 = l&jJ • (?2 - ^,) = 2 • 3 = 6 (м). Путь при равномерном прямолинейном движении можно найти ещё одним способом. Для этого необходимо построить график зависимости значения скорости этого тела от времени. Пример такого графика приведён на рис. 48. Видно, что в течение промежутка времени от = О до = 4 с модуль и направление скорости не изменялись, т. е. = 2 м/с — постоянная величина. Так как за каждую секунду тело проходило по 2 м, то за 4 с оно прошло путь 2 • 4 = 8 (м). Иначе говоря, ■ (f^ - t^). Из рис. 48, на котором приведена зависимость значения скорости тела от времени, легко увидеть, что пройденный телом за время от до путь в точности равен площади голубого прямоугольника под графиком скорости. Ведь, как известно, площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон, а они как раз равны = 2 м/с и (^j - fg) = 4 с. Так как tg = О, мы опять приходим к формуле для расчёта пути при равномерном движении в положительном направлении оси X: s — v ■ t, где v - r'gj, t - (/ - tg). Путь, пройденный прямолинейно движущимся телом, численно равен площади под графиком зависимости модуля скорости этого тела от времени. Посмотрим теперь на изображённый на рис. 48 прямоугольник серого цвета. Зададим себе вопрос: чему численно равна площадь этого прямоугольника? Как видно из рисунка, длина одной стороны этого прямоугольника численно равна модулю скорости \v^J, длина другой стороны — промежутку времени {(^ - t^). Следовательно, площадь серого прямоугольника численно равна пройденному телом пути за время от до {t^ - = 2 • (7 - 4) = 6 (м). .3J2 ■ 84 Л2' Итоги При равномерном прямолинейном движении в положительном направлении оси X со скоростью v от момента tj, = О до следующего момента t тело проходит путь s, равный s = v ■ t. Путь, пройденный прямолинейно движущимся телом, численно равен площади под графиком зависимости модуля скорости этого тела от времени. 2_ Вопросы Как рассчитать путь, пройденный телом при прямолинейном равномерном движении в положительном направлении выбранной координатной оси? Что нужно сделать для расчёта пути в случае прямолинейного равномерного движения точечного тела в отрицательном направлении оси координат XI Как в этом случае рассчитать путь с помощью графика зависимости скорости от времени? Упражнения Определите: а) чему численно равна площадь прямоугольника, закрашенного на рис. 48 синим цветом? б) чему численно равна сумма площадей прямоугольников: синего и серого; серого и голубого; синего, серого и голубого? Что это за величины? *2„ На рис. 49 приведён график зависимости значения скорости движения тела вдоль оси X от времени. Ответьте на вопросы: а) чему равны значения скоростей: ^ог ^12 И г^23- б) чему равны пути: s„j, 5,3, ■^03' и 5g3? 85 §20 Прямолинейное неравномерное движение. Средняя скорость Как вы понимаете, в жизни практически невозможно встретить тело, движущееся точно равномерно. Поэтому мы с вами переходим к изучению более сложных видов движения. Рассмотрим простой пример. Пусть автомобиль, который едет из Москвы в Санкт-Петербург по прямой, за 10 ч проезжает 600 км (рис. 50). Будем считать автомобиль точечным телом, так как его размеры по сравнению с пройденным расстоянием пренебрежимо малы. Понятно, что за время своего движения автомобиль многократно разгонялся и тормозил и даже стоял перед светофорами. В результате движение автомобиля было неравномерным. Поэтому определение скорости равномерного прямолинейного движения здесь применять нельзя. Для таких случаев вводят понятие «средняя путевая скорость». В рассмотренном примере за время t = 10 ч автомобиль проехал путь ,s = 600 км. Средняя путевая скорость автомобиля при этом равна S 600 км V ср. 10 ч 60 км/ч. Средней путевой скоростью тела называют физическую величину, равную отношению пути, пройденного телом за рассматриваемый промежуток времени, к длительности этого промежутка. S V = — ср. п ^ Обратим внимание на то, что путь s не имеет направления и является скалярной неотрицательной величиной. Поэтому и средняя путевая скорость ^ всегда является скалярной неотрицательной величиной. Она не имеет направления, а следовательно, не является вектором. Средняя путевая скорость ^ — скалярная неотрицательная величина. Теперь рассмотрим определение ещё одной физической величины, которая связана не с путём, пройденным телом, а с его перемещением за рассматриваемый промежуток времени. Введём систему отсчёта так, как показано на рис. 50. В результате мы найдём, что за время t = 10 ч автомобиль совершил перемещение Ах в положительном направлении оси X, модуль которого |Ах1 = 600 км. 86 I 1 t = 0 10 Ч $ Разгоп Стоянка Торможение й' .1 -> Автомобиль Hoxodiuicsi в пути 10 ч Рис. S = 600 км На разных участках пути от Москвы до Санкт-Петербурга скорость автомобиля не была постоянной Средней скоростью тела за промежуток времени t называют физическую величину, равную отношению перемещения Ах, совершённого телом, к длительности этого промежутка времени. ^ Ах т V ср Поскольку перемещение Дх является вектором, то средняя скорость — тоже вектор. Направление средней скорости совпадает с направлением перемещения Ах. Чтобы лучше понять, чем отличаются друг от друга средняя скорость и средняя путевая скорость, обратимся к рис. 51. Пусть автомобиль, выехавший из Москвы в Санкт-Петербург, находился в пути 10 ч. При этом, проехав 400 км в сторону Санкт-Петербурга, он повернул обратно и проехал 200 км в сторону Москвы. Ясно, что путь, пройденный автомобилем за 10 ч, равен (400 -I- 200) км = 600 км. Значение перемещения автомобиля за то же время равно (400 - 200) км = 200 км. Используя данные определения, найдём среднюю путевую скорость и значение средней скорости автомобиля .за 10 ч движения: S 600 км д.у 200 км V = — = = 60 км/ч; V = = — = 20 км/' ср. п f 10 ч ^ ’ Ч> ^ ^ 10 ч 87 Момент начала движения в сторону С. -Петербурга 200 км Дх Q Момент прекращения движения г= 10 ч Место разворота л и начала движения ^ в обратном направлении V- iS» ЙИ ' 400 км Перемещение автомобиля Рис. Автомобиль проехал от Москвы в сторону Санкт-Петербурга 400 км, развернулся и проехал в обратном направлении 200 км Итоги Средняя путевая скорость — это физическая величина, равная отношению пути, пройденного телом за рассматриваемый промежуток времени, к длительности этого промежутка. S V = — ср.п ^ Средняя путевая скорость — скалярная неотрицательная величина. Средняя скорость тела за промежуток времени t — это физическая величина, равная отношению перемещения Ах, совершённого телом, к длительности этого промежутка времени. _ Ах V - --- ‘'Р t 88 Средняя скорость — вектор. Она направлена туда, куда направлено перемещение тела за рассматриваемый промежуток времени. Если тело всё время движется в одном направлении, то модуль средней скорости равен средней путевой скорости. Если же в процессе своего движения тело меняет направление движения, то модуль средней скорости меньше средней путевой скорости. Вопросы Дайте определение средней скорости и средней путевой скорости. Какая из этих величин является векторной? Почему средняя путевая скорость не может быть отрицательной? Чему равно значение средней скорости за промежуток времени, в течение которого перемещение тела было равно нулю? Всегда ли будет равна нулю средняя путевая скорость за этот же промежуток времени? Приведите примеры. Упражнения Пусть автомобиль проехал за первый час 90 км в положительном направлении оси X, а за второй час — 70 км в противоположном направлении. Определите среднюю путевую скорость автомобиля и значение его средней скорости: а) за первый час; б) за второй час; в) за первые два часа движения. Объясните, почему эти скорости отличаются друг от друга. Представьте себе, что вы выехали на автомобиле со стоянки, находящейся рядом с вашим домом, в 8 часов утра. В 17 часов вечера вы вернули автомобиль на прежнее место. За день вы проехали путь 5 = 360 км, при этом в течение промежутка времени от 10 до 12 часов дня вы ехали по прямолинейной трассе строго на север с постоянной скоростью 60 км/ч. Ответьте на вопросы: а) чему была равна ваша средняя путевая скорость за время с 8 часов утра до 17 часов вечера? б) какова была ваша средняя скорость за интервалы времени: с 8 до 17 часов; с 10 до 12 часов? Определите значение средней скорости и среднюю путевую скорость за промежуток времени от момента времени = 0 до мо- 89 мента времени = 7 с для тела, график движения которого приведён на рис. 47 (см. § 18). А) Измерьте шагами свой путь от дома до школы и время движения. Переведите это расстояние в метры, а время в секунды. Считайте, что длина одного шага приблизительно равна 0,6 м. Вычислите свою среднюю путевую скорость. Проделайте тот же путь на велосипеде и по результатам измерений найдите среднюю путевую скорость. Б) Используя карту местности, найдите расстояние по прямой от дома до школы, чтобы затем рассчитать среднюю скорость при движении пешком и на велосипеде. §21 Мгновенная скорость Рассмотрим автомобиль, движущийся прямолинейно и неравномерно (например, из Москвы в Санкт-Петербург, как на рис. 50). Понятно, что значения средней скорости этого автомобиля за различные промежутки времени при неравномерном движении могут меняться. Можно ли в этом случае ответить на вопрос: чему равна скорость автомобиля в какой-то конкретный момент времени? И существует ли вообще такая физическая величина? Ведь в определение средней скорости входит понятие определённого промежутка времени. Поэтому для расчёта средней скорости необходимо рассматривать перемещение тела за этот промежуток времени. А если этот промежуток времени будет равен нулю, то и перемещение тела, очевидно, будет равно нулю. Однако, наблюдая в движущемся автомобиле за спидометром, мы видим, что в каждый момент времени он показывает определённую величину, которая чаще всего изменяется со временем. Как же определить скорость тела в конкретный момент времени? Чтобы это сделать, рассмотрим очень маленький промежуток времени. Под очень маленьким промежутком времени понимают такой промежуток, в течение которого движение тела практически неотличимо от равномерного прямолинейного движения. Это означает, что скорость тела в течение этого промежутка можно считать практически постоянной. Из сказанного следует, что промежуток времени можно считать достаточно малым, если при его дальнейшем уменьшении полученные новые значения скорости практически не изменяются. 90 Понятно, что чем быстрее исследуемое тело изменяет свою скорость, тем меньше будет промежуток времени, в течение которого движение тела практически неотличимо от равномерного прямолинейного. И следовательно, тем меньший промежуток времени мы должны использовать для определения значения его скорости в конкретный момент времени. Мгновенная скорость тела в данный момент времени t — это средняя скорость тела за достаточно малый промежуток времени Д^, начинающийся сразу после момента времени t. Так же как и средняя скорость, мгновенная скорость v является вектором. Чтобы подчерк11уть это, часто говорят -«вектор скорости V», а при необходимости указать момент времени, для которого определена скорость, говорят «скорость в момент времени t». При описании движения обычно говорят о скорости, имея при этом в виду мгновенную скорость в момент времени t. Поэтому мгновенную скорость обычно называют просто скорость. Если же речь идёт, например, о средней скорости, то обязательно используют прилагательное «средняя», а для средней путевой скорости — прилагательные «средняя» и «путевая». Итоги Скорость (мгновенная скорость) тела в данный момент времени t — это средняя скорость тела за достаточно малый промежуток времени М, начинающийся сразу после момента времени t. Вопросы Какой промежуток времени при определении скорости можно считать достаточно малым? Что такое мгновенная скорость? Изменяется ли с течением времени мгновенная скорость тела, которое движется равномерно и прямолинейно? Какие физические модели используют при введении понятия мгновенной скорости? Упражнение Представьте себе, что вы выехали на автомобиле со своего места на стоянке, находящейся рядом с вашим домом, в 8 часов 91 утра, а в 17 часов вечера вернули автомобиль на то же место. За день вы проехали путь 5 = 360 км. При этом в течение промежутка времени от 10 до 12 часов дня вы ехали по прямолинейной трассе строго на север с постоянной скоростью 60 км/ч. Определите вашу скорость (модуль и направление) в моменты времени: а) 11 часов; б) /= 17 часов. 22 Ускорение Мы выяснили, что движущийся по дороге автомобиль практически всё время изменяет свою скорость. Так, если во время движения водитель нажимает на педаль тормоза, скорость автомобиля уменьшается. Если водитель нажимает на педаль газа, скорость автомобиля, наоборот, возрастает. При этом под словом «скорость» мы подразумеваем, как это было отмечено в предыдущем параграфе, мгновенную скорость. Таким образом, если водитель нажмёт на педаль тормоза сильно, скорость автомобиля начнёт изменяться быстро, и вскоре он остановится. При слабом нажатии на тормоз скорость автомобиля будет уменьшаться медленно, и до момента остановки, когда скорость автомобиля станет равной нулю, пройдёт больше времени (рис. 52). Можно сказать, что изменение скорости при этом происходит с разной быстротой. Из приведённого примера ясно, что быстрота изменения скорости определяется начальным и конечным значениями скорости и промежутком времени, за который произошло изменение скорости. г= о Быстрое торможение v = 0 г= о Медле7шое торможение ' чрУ ' -т(о) Рис. Быстрота изменения скорости при торможении вплоть до остановки автомобиля определяется промежутком времени, за который его первоначальная скорость изменилась до нуля 92 Величину, характеризующую быстроту изменения скорости, называют ускорением. При решении задач о прямолинейном движении тел используют понятие «значение ускорения». Значением среднего ускорения тела за промежуток времени называют отношение изменения значения скорости тела за данный промежуток времени к длительности этого промежутка. V.. - а = ~ ср f Значение среднего ускорения в СИ измеряют в метрах на секунду в квадрате (м/с^), так как скорость измеряют в метрах в секунду, а время — в секундах. Поясним сказанное на примерах. Пусть автомобиль в некоторый начальный момент времени tg = О двигался в положительном направлении оси X, как показано на рис. 53, а, со скоростью, имевшей значение т^д = 10 м/с. К моменту времени t^ = 2 с значение его скорости увеличилось до о = 16 м/с (автомобиль разгонялся), а направление движения осталось неизменным. Поэтому в соответствии с определением значение среднего ускорения автомобиля за эти две секунды V.. - V,, ср (16 - 10) м/с 2 (2 - 0) с Так как увеличение значения скорости происходило в положительном направлении оси X, то и изменение скорости, а следовательно, и згшчение среднего ускорения будут положительными. Значение среднего ускорения а = 3 м/с^ означает, что за каждую секунду скорость автомобиля увеличивалась в среднем на 3 м/с. Пусть теперь автомобиль, который в начальный момент двигался в положительном направлении оси X со скоростью, имевшей значение Оц = 10 м/с, за две секунды уменьшил свою скорость до = 4 м/с (рис. 53, б). Тогда по определению значение среднего ускорения за эти две секунды будет таким же по модулю, как и в первом случае, но противоположным по знаку: Г1ц (4 - 10) м/с а = ^ Т. - Т. (2-0) с -3 м/с^ 93 Поэтому значение ускорения положительно. б) Значение скорости автомобиля изменилось на величину = -6 м/с. Изменение значения скорости отрицательно. Поэтому значение ускорения отрицательно Так как значение скорости уменьшается < v^^), то и изменение значения скорости Av, и значение среднего ускорения получаются отрицательными. Значение среднего ускорения а - -3 м/с^ означает, что за каждую секунду скорость автомобиля уменьшалась в среднем на 3 м/с (автомобиль тормозил). Поскольку скорость, как мы установили в § 21, является векторной величиной, то и изменение скорости — тоже вектор. Из рис. 53 следует, что, когда происходит разгон автомобиля, вектор изменения скорости направлен туда же, куда направлен вектор скорости. 94 Когда скорость автомобиля уменьшается (при торможении), вектор изменения скорости направлен противоположно вектору скорости. Средним ускорением тела за промежуток времени называют физическую величину, равную отношению изменения скорости этого тела за промежуток времени М к длительности этого промежутка. ^ ДгГ а ср М Из определения видно, что среднее ускорение является векторной величиной. Направление среднего ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости за рассматриваемый промежуток времени. Из определения следует, что среднее ускорение в СИ измеряют в метрах на секунду в квадрате (м/с^), так как скорость измеряют в метрах в секунду, а время — в секундах. При уменьшении рассматриваемого промежутка времени до достаточно малого мы придём к понятию ускорения в данный момент времени. Так же как и при определении мгновенной скорости, можно сказать, что ускорение в данный момент времени t — это среднее ускорение за достаточно малый промежуток времени At, который начинается сразу после момента времени t. Смысл словосочетания «достаточно малый промежуток времени» остаётся тем же самым, что и в предыдущем параграфе. Под этим промежутком подра.эумевается настолько малый промежуток времени, что его дальнейшее уменьшение не приводит к заметным изменениям определяемой нами величины {зАесъ — ускорения]). ^ Итоги Величину, характеризующую быстроту изменения скорости, называют ускорением. В СИ ускорение измеряют в метрах на секунду в квадрате (м/с-). Значением среднего ускорения тела за промежуток времени At=t - С называют отношение изменения значения ско- к о рости тела за данный промежуток времени к длительности этого промежутка. V - v„ а t.. - 95 ^ Вопросы Что такое ускорение тела? Приведите примеры движения тела с ускорением. Дайте определение значения среднего ускорения тела. Назовите единицу ускорения в СИ. Какой знак имеет значение ускорения при прямолинейном движении в положительном направлении оси X, если тело: а) разгоняется; б) тормозится? Куда при этом направлен вектор ускорения? Упражнения 2_ Велосипедист, двигаясь в положительном направлении оси X, за 10 с увеличил свою скорость на 20 м/с. Определите значение среднего ускорения велосипедиста за этот промежуток времени. Мотоциклист, приближаясь к повороту, уменьшает модуль своей скорости от 108 до 36 км/ч. Определите значение среднего ускорения мотоциклиста, если он тормозил в течение 5 с. Считайте, что направление движения мотоциклиста совпадает с положительным направлением координатной оси. §23 Прямолинейное равноускоренное движение При движении реального тела, например едущего из Москвы в Санкт-Петербург автомобиля, его ускорение может всё время изменяться. При этом зависимость ускорения автомобиля от времени может быть достаточно сложной. Мы начнём изучение ускоренного движения с самого простого его вида — прямолинейного равноускоренного движения. Прямолинейное движение тела называют равноускоренным, если в процессе движения значение ускорения остаётся постоянным, т. е. не изменяется с течением времени. Если значение а ускорения движущегося тела постоянно и мы знаем начальную скорость этого тела 3^, то можно найти скорость тела в любой последующий момент времени t. Будем для упрощения дальнейших вычислений считать (так обычно и делают), что = 0. Тогда М = t - = t. По- скольку мы рассматриваем лишь случай прямолинейного движения тел вдоль оси X, то но определению значение ускорения вдоль этой оси а V.. - Г’п ДГ 96 Vf^ = а ■ t, поэтому Vf^ + a ■ t. Тогда V К \! В полученном выражении — значение скорости вдоль оси X в момент времени t. Это выражение называют зависимостью значения скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении. Обратим ещё раз внимание на то, что начальный момент времени в этом выражении мы полагали равным нулю. Зависимость значения скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид: V = v^ + а • t. Если изобразить эту зависимость графически, то мы получим прямую линию (рис. 54). Из графика видно, что в момент = О значение скорости равно При увеличении времени на t значение скорости возрастает до величины v^ + а ■ t. Рассмотрим пример равноускоренного движения. Пусть водитель автомобиля, который движется в положительном направлении оси X со скоростью, имеющей значение = 10 м/с в момент t = 0, нажимает на педаль газа. В результате автомобиль начинает разгоняться движении скорость изменяется по закону V = Vq + а • t, В котором значение ускорения — постоянная величина 97 с постоянным ускорением, имеющим значение а = 2 м/с^. Опишем изменение скорости автомобиля аналитическим, табличным и графическим способами. Так как значение ускорения автомобиля а-2 м/с^, то значение его скорости за каждую секунду будет увеличиваться на 2 м/с. Следовательно, в момент времени t-\c оно будет равно Oj = 10 + 2 • 1 = 12 (м/с). К моменту ^ = 2 с, т. е. через 2 секунды после начала равноускоренного движения, ^2= 10 + 2-2 = 14 (м/с), через 3 секунды — = 10 + 2 • 3 = 16 (м/с) и т. д. Таким образом, через t секунд значение скорости будет равно V = \{) + 2 ■ t = Vq + а ■ t. Полученные результаты приведены в таблице и на рис. 55. с 0 1 2 3 t V, м/с 10 10 + 2- 1 = 12 10 + 2 • 2 = 14 10 + 2-3=16 10 + 2 - г В заключение отметим, что: 1) если значение ускорения а > 0, то с течением времени значение скорости тела увеличивается; 2) если значение ускорения а < 0, то с течением времени значение скорости тела уменьшается; 3) если значение ускорения а = 0, то с течением времени значение скорости тела остаётся неизменным, т. е. тело движется равномерно. Итоги Прямолинейное движение тела называют равноускоремным, если в процессе этого движения значение ускорения тела не изменяется с течением времени. Зависимость значения скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид; V = v^ + а -t, где Од — значение скорости тела в момент времени t = Q, а — значение постоянного ускорения тела, v — значение скорости тела в момент времени t. 98 Вопросы Какое прямолинейное движение тела называют равноускоренным? Выведите зависимость значения скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении. Как изменяется значение скорости во времени при равноускоренном движении, если: а) а > 0; б) а < 0; в) а = О? Упражнения *2 Значение ускорения автомобиля при прямолинейном равноускоренном движении было равно а = 2 м/с^ в течение промежутка времени А? = 4 с. В конце этого промежутка времени автомобиль двигался в положительном направлении оси X со скоростью, значение которой стало равным = 10 м/с. Найдите значение скорости этого автомобиля в момент времени, соответствующий началу данного промежутка времени. Предварительно ответьте на вопрос: разгонялся или тормозил автомобиль в течение этого промежутка времени? На рис. 56 изображены графики зависимости значения скорости от времени для двух точечных тел. Напишите выражения для расчёта значений ускорений этих тел. В каком из представленных случаев значение ускорения положительно? §24 Путь при прямолинейном равноускоренном движении в одном направлении Изучение прямолинейного равноускоренного движения мы начнём со случая, когда тело движется всё время в положительном направлении оси X. Нам известно, что при этом путь s, модуль перемещения тела |Дх| и изменение его координаты Ах = х^- равны между собой. Итак, пусть тело (например, автомобиль) движется прямолинейно с постоянным ускорением а в положительном направлении оси X так, как показано на рис. 57. В начальный момент t=0 автомобиль имел значение скорости Vg. Тогда значение его скорости v в любой последующий момент времени tравно V = Vg + а ■ t. График этой зависимости значения скорости от времени показан на рис. 58. Как вы помните {см. § 19), при прямолинейном равномерном движении в одном направлении пройденйый телом путь 5 численно равен площади под графиком зависимости значения скорости от времени. Можно показать, что это верно для любого прямолинейного движения в одном направлении. Поэтому путь, пройденный движущимся равноускоренно телом за время t, начиная с момента ^= О, численно равен площади фигуры 100 под графиком {см. рис. 58). Эта фигура состоит из серого прямоугольника и синего прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольника, как известно, равна произведению его сторон: Sj = • t. А площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника со сторонами {а ■ t) и t. Следовательно, эта площадь равна {а ■ t) ■ t Таким образом, площадь фигуры под графиком равна сумме площадей этих фигур: 5 = -Ь 5g. Поэтому пройденный телом за время t путь равен а ■ S = S^ + S^ = Vg t + прямолинейно в одном направлении, то пройденный им путь численно равен площади под графиком зависимости значения скорости от времени Если тело всё время прямолинейно равноускоренно движется в положительном направлении оси X, имея значения начальной скорости и ускорения а, то пройденный телом за время t путь равен а • При этом пройденный телом путь s численно равен площади под графиком зависимости значения скорости от времени. Воспользуемся полученным нами результатом для ответа на основной вопрос кинематики — определения координаты движущегося тела в произвольный момент времени. Как мы уже отмечали в начале параграфа, если тело всё время движется в положительном направлении оси X, то пройденный им путь S равен модулю совершённого им перемещения |Ах| и изменению его координаты Ах. Поэтому можно утверждать, что s = х — или а ■ x-x^^ = v^-t+ . Перенося {-х^) в правую часть с противоположным знаком, получим: Х = Х^ + Vq t -h а ■ 101 Таким образом, при прямолинейном равноускоренном движении вдоль оси X координата х тела меняется с течением времени по указанному правилу. Полученное выражение называют зависимостью координаты тела от времени при прямолинейном равноускоренном движении (или законом прямолинейного равноускоренного движения). Зависимость координаты тела от времени при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид: а ■ x = x^ + v^-t+ Полученная зависимость верна и для движения, при котором значение ускорения постоянно и отрицательно (а < 0), т. е. в случае, когда значение скорости уменьшается равномерно с течением времени. Например, пусть значение скорости тела изменяется с течением времени по закону = 5 - 7 • ^, в котором значение скорости в начальный момент времени = 5 м/с, а значение ускорения а = -7 м/с^. В этом случае значение скорости тела уменьшается во времени. Тогда, если, например, начальная координата тела = 3 м, то координата х этого тела изменяется со временем по закону X = Ъ + Ъ ■ t ■ 7-г2 -, где X измеряют в метрах, а f — в секундах. Итоги Если тело всё время прямолинейно равноускоренно движется в положительном направлении оси X, имея значения начальной скорости и ускорения а, то пройденный телом за время t путь равен а ■ ■^ = ^0-^ + —• Если при этом начальная координата тела равна х^, то его координата X в момент времени t может быть найдена по формуле: а ■ x = x^^ + v^'t+ , а значение скорости в тот же момент времени — по формуле: V = Vq + а ■ t. 102 Вопросы По какой формуле рассчитывают путь, пройденный телом за данный промежуток времени при прямолинейном равноускоренном движении в положительном направлении оси XI Расскажите, как, имея график зависимости значения скорости прямолинейного равноускоренного движения от времени, найти пройденный телом путь. Упражнения Найдите координаты прямолинейно равноускоренно движущегося тела в моменты времени 3, 5 и 10 с, если известно, что его начальная координата = 4 м, значение начальной скорости = 3 м/с, а значение ускорения а = 2 м/с^. Найдите путь, пройденный телом за 3; 5; 10 с. Постройте график зависимости от времени значения скорости тела, движение которого описано в упражнении 1. Найдите, используя график, путь, пройденный телом за 3; 5; 10 с. Напишите выражение для зависимости координаты хтела от времени при равноускоренном движении, если в начальный момент времени / = 0 была равна нулю: а) его координата; б) его скорость. Нарисуйте, как будут выглядеть графики зависимости от времени значения скорости тела, движение которого задано в упражнении 3. Проведите анализ зависимости координаты тела от времени при прямолинейном равноускоренном движении, ответив на вопросы: Как будут изменяться значения х, если поочерёдно увеличить: а) начальную координату б) значение начальной скорости г;„; в) значение ускорения а; г) время tl Если поочерёдно уменьшить соответствующие величины? ‘в 25 Для дополнительного изучения Решение задач. Задачи «разгон» и «торможение» При кажущемся изобилии задач на прямолинейное равноускоренное движение все они могут быть сведены к задачам двух типов. Для эз'ого необходимо выбрать ось X таким образом, чтобы её положительное направление совпадало с направлением движения тела. В этом случае все 103 задачи сводятся либо к задаче «разгон» (если « > 0), либо к задаче «торможение» (если а<0). Воспользуемся полученным нами законом прямолинейного равноускоренного движения для решения таких задач. Задача 1. «Разгон» Гоночный автомобиль трогается с места, набирая скорость 30 м/с (108 км/ч) за время t=6c. Определите пройденный автомобилем за это время путь, считая движение автомобиля равноускоренным. Решение. Используем известную нам схему решения кинематических задач. Шаг 1. Свяжем координатную ось X с дорогой, по которой разгоняется автомобиль. Начало отсчёта поместим в то место, откуда автомобиль начинает разгон. Ось X направим по ходу движения автомобиля, как показано на рис. 59. В качестве единицы длины выберем 1 м. Включим часы (секундомер) в момент начала разгона. Шаг 2. Определим в выбранной нами системе отсчёта начальную координату автомобиля — дГд = 0. Шаг 3. По условию начальная скорость автомобиля = 0. Так как направление ускорения совпадает с положительным направлением оси X, то значение ускорения а будет положительным. Шаг 4. Запишем зависимость координаты от времени при прямолинейном равноускоренном движении автомобиля с учётом данных задачи: X = Х^ + Vq - t + = 0 + 0 + а ■ 2 2 2 Шаг 4* (новый). Запишем зависимость значения скорости автомобиля от времени: & = z^„ + a- t = 0 + a- t = <2-t. 104 Из этого выражения видно, что при положительном значении ускорения скорость автомобиля увеличивается со временем. При этом за кгокдую секунду значение скорости возрастает на величину, равную а ■ 1 (м/с). Шаг 5. Условие окончания разгона до скорости имеет вид: V = v . к Шаг 6. Объединим составленные уравнения, присвоив каждому номер и название: а • X = V = а -1, V = V, (1) {закон движения автомобиля) (2) {зависимость скорости от времени) (3) {условие окончания разгона) Шаг 7. Решение уравнений. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо решить уравнение (1), подставив в него время разгона беи значение ускорения а. Однако значение ускорения нам пока не известно. Зато нам известны значения начальной и конечной скоростей автомобиля. Следовательно, мы можем найти значение ускорения. Для этого в условие окончания разгона (3) подставим из уравнения (2) значение скорости а • t в момент f = 6 с: V = а ■ t, V 30 а=~г;а= — = 5 (м/с^). I О Подставив полученное значение а в уравнение (1), находим: а ■ 5-62 X = = 90 (м). Ясно, что 5 = X - Xq = 90 - о = 90 (м). Как вы заметили, в отличие от задач о равномерном движении, в шаге 4 появилось дополнение, связанное с тем, что скорость равноускоренно движуи1,егося тела изменяется со временем. В результате появилось новое уравнение — зависимость значения скорости от времени. Задача 2. «Торможение» Автобус движется со скоростью, модуль которой равен 20 м/с (72 км/ч). Водитель автобуса замечает на дороге кошку и нажимает на педаль тормоза. Определите длину тормозного пути автобуса, если модуль ускорения при торможении \а \ = 4 м/с^. 105 ■________ Решение. Шаг 1. Систему отсчёта выберем так, как показано на рис. 60. Шаг 2. Начальная координата автобуса = 0. Шаг 3. Значение начальной скорости автобуса = 20 м/с. Шаг 4. С учётом шагов 1, 2 и 3 зависимость координаты автобуса от времени будет иметь вид; X = Хц + t + :::— = о + 20 • t — 2 2 Внимание! Значение скорости автобуса уменьшается. Значит, направление вектора ускорения автобуса противоположно положительному направлению оси X. Поэтому мы подставили в формулу отрицательное значение ускорения {а - -4 м/с^). При этом направление вектора начальной скорости совпадает с положительным направлением оси X. Поэтому значение скорости положительно. Такие же знаки у величин и а будут и в шаге 4*. Шаг 4* (новый). Зависимость значения скорости от времени имеет вид: V = Vq + а ■ t = 20 - 4 ■ t. Видно, что при отрицательном значении ускорения а = —4м/с^ скорость автобуса со временем уменьшается. При этом за каждую секунду значение скорости изменяется на величину -4 м/с, т. е. уменьшается на 4 м/с. Шаг 5. Запишем условие окончания торможения: v = 0, так как в искомый момент времени t автобус должен остановиться. Шаг 6. Объединим составленные уравнения, присвоив каждому номер и название: X = о -I- 20 • t 4 • t'^ (1) {закон движения автобуса) J 106 v„ + а ■ t = 2Q - 4: ■ t, & = (). (2) {зависимость скорости от времени) (3) {условие окончания торможения) Шаг 7. Решение уравнений. Чтобы найти тормозной путь, необходимо подставить в уравнение (1) время торможения автобуса. Эта величина нам неизвестна, но её можно найти из уравнений (2) и (3). Для этого необходимо подставить в зависимость скорости от времени значение скорости в момент окончания торможения v = О, после чего решить полученное уравнение: 20-4-t = Q, t^5c. Таким образом, автобус остановится через время t = 5 с. Подставим найденное время торможения ^ = 5 с в уравнение (1) и найдём тормозной путь: 4 ■ 52 20 • 5 - = 50 (м). Таким образом, длина тормозного пути автобуса равна 50 м. Итоги Если положительное направление оси X выбрать совпадающим с направлением движения тела, то все задачи на равноускоренное движение можно свести к двум типам: 1) задача «разгон» {а>0, скорость тела увеличивается с течением времени); 2) задача «торможение» {а < 0, скорость тела уменьшается с течением времени). Если тело меняет направление своего движения, то рассматриваемый промежуток времени нужно разделить на интервалы, в течение каждого из которых тело движется только в одном направлении. При этом задача разделяется на несколько задач. Упражнения 111 _ Заполните таблицу для разгоняющегося автомобиля, используя условия задачи 1 («разгон»). Как изменяются со временем: значение скорости; координата разгоняющегося автомобиля? 107 il2 t, с 0 1 2 3 4 5 6 V, м/с X, м Заполните таблицу для тормозящего автобуса, используя условия задачи 2 («торможение»). Ответьте на вопросы: как изменяются со временем: значение скорости; координата тормозящего автобуса? t, С 0 1 2 3 4 5 6 V, м/с X, м Найдите координату л: автомобиля {см. рис. 57) в моменты времени 3, 5 и 8 с, если его начальная координата - 30 м, значение начальной скорости = 10 м/с, а значение ускорения а = 3 м/с^. Решите задачу 2 («торможение») в общем виде. Представьте полученный ответ в виде S = 2 ■ а Проведите анализ полученного ответа. Определите тормозной путь автобуса, если: а) = 16 м/с; б) Vg = 115,2 км/ч. *5j Найдите путь, пройденный автомобилем, движение которого задано в упражнении 3, за промежуток времени от = 2 с до = 5 с. ♦6 J Два мотоциклиста, двигавшиеся прямолинейно, начинают одновременно тормозить перед светофором и так же одновременно останавливаются, проехав расстояние 5= 100 м. Первый мотоциклист перед торможением двигался со скоростью, имеющей значение = 72 км/ч, второй — со скоростью, имеющей значение v„- 108 км/ч. Найдите значения ускорений мотоциклистов. 108 §26 Свободное падение тел Падение тел — один из самых часто наблюдаемых видов движения. Изучать падение тел люди начали очень давно. Роняя на землю различные предметы, они установили, что отпущенные без начальной скорости предметы падают вертикально вниз. (Напомним, что вертикалью называют линию отвеса, неподвижного относительно Земли.) На основании этого был сделан вывод: такое движение является прямолинейным. Сложнее было установить закон движения падающего тела. Дело в том, что воздух мешает телам падать, оказывая сопротивление их движению. Это подтверждают эксперименты с трубкой Ньютона, из которой откачан воздух. В вакууме, при отсутствии сопротивления воздуха, все тела падают одинаково (с одинаковым ускорением) вне зависимости от их массы и формы. Чтобы понять, как зависит сопротивление воздуха от массы и формы падающих тел, проведём ряд экспериментов. Вначале уроним с одинаковой высоты пустой пакет из-под молока и такой же пустой пакет, смятый в малый комок. Легко убедиться, что смятый в комок пакет упадёт на Землю быстрее. Из этого сделаем первый вывод: при падении двух тел с одинаковыми массами окружающий воздух оказывает меньшее сопротивление тому телу, у которого размеры меньше. Теперь сравним падение одинаковых по форме тел, одно из которых тяжелее другого. Возьмём две одинаковые пластиковые бутылки, одну из которых заполним водой, а другую оставим пустой. Закроем бутылки крышками и сравним их падение с одинаковой высоты. Бутылка с водой упадёт быстрее пустой бутылки. Таким образом, мы приходим ко второму выводу: при одинаковой форме тел сопротивление воздуха падению для тяжёлого тела будет менее заметным. Проведём третий эксперимент. Во время движения автомобиля выставим ладонь наружу через окно. Мы почувствуем, что чем больше скорость автомобиля, тем сильнее будет давить на ладонь встречный воздух. Это позволяет сделать третий вывод: сопротивление воздуха движению тела увеличивается с увеличением скорости движения. В этом параграфе мы будем рассматривать падение только таких тел, для которых сопротивлением воздуха можно пренебречь. Чтобы это можно было делать, должны соблюдаться следующие условия: 1) тела должны иметь достаточно малые размеры; 2) тела должны быть достаточно тяжёлыми; 3) тела должны падать с небольшой высоты (меньше 100 м), чтобы не успеть разогнаться до больших скоростей, при которых велико сопротивление воздуха движению. 109 При описании падения таких тел пренебрегают сопротивлением воздуха и считают падение свободным. (Строгое определение свободного падения будет дано позднее, в главе «Силы в механике».) Многочисленные эксперименты показывают, что свободно падающие тела движутся с ускорением, направленным вертикально вниз. Для этого ускорения принято использовать специальное обозначение g («же»). Модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли примерно равен g ~ 9,81 м/с^ и несколько изменяется в зависимости от географического положения места падения тела. Однако для тех задач, которые мы с вами пока будем решать, эта зависимость несуш;ественна. Поэтому будем считать, что модуль ускорения свободного паде7шя одинаков во всех точках над поверхностью Земли и равен 10 м/с^. Таким образом, свободное падение по вертикали является прямолинейным равноускоренным движением. Свободно падающие тела движутся с ускорением, направленным вертикально вниз. Мы уже освоили решение задач на прямолинейное равноускоренное движение. Поэтому воспользуемся нашими знаниями и закрепим их на конкретных примерах. Разделим все задачи о свободном падении на два типа: 1) задачи, в которых направления движения тела и ускорения свободного падения совпадают (эти задачи назовём «падение»); 2) задачи, в которых направления движения тела и ускорения свободного падения противоположны (эти задачи назовём «подъём»). Ускорение свободного падения всегда направлено вертикально вниз. Поэтому если тело меняет направление своего движения, то рассматриваемый промежуток времени цужно разделить на интервалы так, чтобы на каждом из них тело двигалось только в одном направлении. Задача 1. «Падение» С крыши дома высотой /г = 45 м срывается и летит вниз сосулька. Определите: а) время падения сосульки; б) скорость сосульки в момент приземления. Шаг 1. Выберем систему отсчёта так, как показано на рис. 61. Шаг 2. Начальная координата сосульки Хд = 0. Шаг 3. Начальная скорость сосульки Vg = 0. Так как ускорение свободного падения направлено вниз, т. е. в положительном направлении оси X, то его’ значение будет положительным. В соответствии со сказанным ранее будем считать а = g = 10м/с^. Шаг 4. Зависимость координаты сосульки от времени имеет вид: Х = Хд + Vg t + а ■ — О + о • ^ + g-t~ g-c 10 ■ с 2 = b-f~. 110 Шаг 4*. Значение скорости сосульки изменяется со временем: V = + g ■ t = О + ■ t = V) ■ t. Видно, что значение скорости падающей сосульки положительно и за каждую секунду увеличивается на 10 м/с. Таким образом, когда тело падает, оно разгоняется. Шаг 5. Условие окончания падения имеет вид: X = Л = 45 м. Это означает, что в момент падения t координата сосульки будет равна x-h = 45 (м). Сосулька, пролетев вдоль стены дома расстояние, равное его высоте, окажется на Земле. Шаг 6. Запишем вместе полученные уравнения, присвоив каждому номер и название: х = Ъ ■ t~, (1) {закон движения сосульки) V =10 ■ t, (2) {зависимость скорости от времени) X = 45. (3) {условие окончания падения) Шаг 7. Решение уравнений. Чтобы определить время падения сосульки, подставим в условие окончания падения (3) зависимость координаты тела от времени из уравнения (1): Ъ ■t- = Ab,t‘^ = 0,t = 3 с. Таким образом, сосулька окажется на Земле через время t = Ъ с после начала падения. Для нахождения скорости сосульки в момент удара о Землю подставим найденное время в зависимость скорости от времени (2): г; = 10 ■ 3 = 30 (м/с). Значит, сосулька подлетает к Земле со скоростью, имеющей значение и = 30 м/с. Значение скорости получилось положительным. Следовательно, р,,,. ^ __ШШ Падение тел происходит скорость направлена в положитель- ^ ускорением свободного Пом направлении оси X, т. е. вер- падения g, направленным тикальНО вниз. вертикально вниз о с*) ЛГ, м 111 Задача 2. «Подъём» Праздничная новогодняя ракета в результате мгновенного сгорания её порохового заряда начинает подниматься (взлетать) с Земли вертикально с начальной скоростью, имеющей значение = 50 м/с. Определите максимальную высоту подъёма ракеты. Шаг 1. Выберем ось X так, как показано на рис. 62. Часы (секундомер) включим в момент старта. Шаг 2. Начальная координата ракеты = 0. Шаг 3. Значение начальной скорости ракеты — 50 м/с. Шаг 4. Зависимость координаты ракеты от времени имеет вид: X = Xf^ + t + а • = ^0 + ^0 = Q + bQ-t 10 v = Q Окончание подъёма Внимание! Направление вектора ускорения свободного падения противоположно положительному направлению оси X. Поэтому значение ускорения тела отрицательно (тело тормозится). Шаг 4*. Значение скорости ракеты изменяется со временем: v = v^ + а ■ t-v^- g - t = b0 - \Q ■ t Значение начальной скорости ракеты положительно, т. е. скорость направлена вверх. При этом значение скорости уменьшается со временем — с каждой секундой она становится меньше на 10 м/с. Иначе говоря, когда тело поднимается вверх, оно тормозится. Шаг 5. В самой верхней точке подъёма скорость ракеты становится равной нулю. Поэтому условие окончания «подъёма» имеет вид: v = 0. После этого ракета начинает падать (с этого момента начинается задача «падение»). Шаг 6. Объединим полученные . уравнения, присвоив каждому номер и название: (1) {закон движения ракеты) (2) {зависимость скорости от времени) (3) {условие окончания подъёма) Л ё Момегт начала подъёма У Ускорение поднимающейся ракеты постоянно, равно g и направлено против движения х = 50 ■ ^ - 5 • ^2, г) = 50- 10 ■ t, v = Q. 112 Шаг 7. Решение уравнений. Определить из уравнения (1) высоту, на которую поднялась ракета, мы не можем, так как неизвестно время подъёма. Его мы можем найти из уравнений (2) и (3). Для этого подставим в условие окончания подъёма (3) зависимость скорости от времени (2). Получим: 50-10-t = 0, lO-t-50, t = bc. Таким образом, ракета поднималась в течение ^ = 5 с. Теперь найдём её координату в момент времени t = 5 с (т. е. максимальную высоту подъёма). Для этого подставим найденное время подъёма в закон движения (1): X-50 • 5-5 • 52 = 125 (м). Ответ: ракета поднялась на высоту 125 м. Отметим, что ускорение поднимающейся вверх ракеты постоянно, направлено вниз и по модулю равно = 10 м/с^. Таким образом, движение происходит с ускорением свободного падения. Поэтому такое движение тела начиная с момента старта также является свободным падением. Итоги Свободное падение по вертикали является прямолинейным равноускоренным движением. Свободно падающие тела движутся с постоянным ускорением g, направленным вертикально вниз. Модуль этого ускорения Й 9,8 м/с2 ~ 10 м/с2. Если положительное направление оси X выбрать так, чтобы оно совпадало с направлением движения тела, то все задачи о свободном падении тел вдоль вертикали (так же как и задачи о любом равноускоренном прямолинейном движении) можно свести к задачам двух типов: 1) задача «падение». В этом случае g> 0 и значение скорости тела со временем увеличивается; 2) задача «подъём». В этом случае g<0 и значение скорости тела со временем уменьшается. Задачу, в которой поднимающееся вертикально вверх тело, достигнув верхней точки, затем начинает падать (например, брошенный вверх камень), следует разбить на две задачи: 1) «подъём» до верхней точки; 2) «падение» из верхней точки. 113 1_ 2. 3 4. 5. rt 6. 7. Вопросы Имеются два тела одинаковых формы и размеров, но первое существенно легче второго. Какое из этих двух тел раньше упадёт, если они начинают падать с нулевой начальной скоростью с одной и той же высоты? Почему? Какие условия должны выполняться, чтобы движение тела можно было считать свободным падением? Как скорость свободно падающего тела изменяется со временем? Куда направлено ускорение свободно падающего тела? Куда может быть направлен вектор скорости при вертикальном свободном падении? Что общего между задачей «падение» и задачей «разгон» из предыдущего параграфа? Что общего между задачей «подъём» и задачей «торможение» из предыдущего параграфа? Упражнения 1J Изучите выводы (см. с. 109) о влиянии воздуха на падающие тела. Предложите свои эксперименты для проверки справедливости этих выводов. Сформулируйте цель каждого эксперимента. Обсудите эти эксперименты в классе, проведите их. 2_) Заполните таблицу для падающей сосульки из задачи 1 («падение»). Как изменяются со временем: а) значение скорости; б) координата сосульки? Г, с 0 1 2 3 V, м/с 0 X, м 0 Упавший с крыши дома камень летит к Земле в течение времени t = 4с. Определите: а) высоту дома; б) скорость подлёта камня к Земле. Заполните таблицу для поднимающейся вертикально вверх ракеты из задачи 2 («подъём»). Как изменяются со временем: а) значение скорости; б) координата ракеты? 114 t, с 0 1 2 3 4 5 6 V, м/с .50 X, м 0 На рис. 63 и 64 приведены графики зависимостей значения скорости от времени для задач «падение» сосульки и «подъём» ракеты. Объясните с помощью графиков, как изменялись скорости этих тел в процессе движения. РисЛ tk& :*7 ^^8 Запланируйте и проведите эксперимент с целью подтвердить гипотезу о прямолинейности свободного падения тел из состояния покоя относительно Земли. Используйте отвес. Сформулируйте, каким условиям должны удовлетворять тела, чтобы их движение можно было считать свободным падением. Решите задачу «подъём» в общем виде. Получите выражения для времени подъёма и его высоты. Представьте их в виде: g 2 -g Проведите анализ полученных результатов. Решите задачу «падение» в общем виде. Получите выражения для времени падения и конечной скорости. Представьте их в виде: 2 ■ h = -----, v^=2-g-h. ё Проведите анализ полученных результатов. 115 МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ - это изменение положения тела относительно других тел с течением времени Для его описания необходима СИСТЕМА ОТСЧЁТА = СИСТЕМА КООРДИНАТ ТЕЛО ОТСЧЁТА ЧАСЫ СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ табличный t, с 0 1 2 X, м 5 15 25 ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ X = Xq + V ■ t РАВНОМЕРНОЕ прямолинейное ДВИЖЕНИЕ Тело за любые равные промежутки времени проходит равные расстояния в одном и том же направлении x = x^ + v ■ t ЗНАЧЕНИЕ СКОРОСТИ при равномерном прямолинейном движении численно равно изменению координаты тела за единицу времени Обозначение — V, единица — м/с При равномерном прямолинейном движении скорость постоянна V >0 v=0 ^ ► г; < о Значение координаты Значение координаты Значение координаты увеличивается остаётся постоянным уменьшается РАВНОУСКОРЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ Тело за любые равные промежутки времени изменяет значение своей скорости на одну и ту же величину v = v^ + а ■ t При решении задач направление координатной оси удобно выбрать так, чтобы её положительное направление совпадало с направлением движения тела СКОРОСТЬ (мгновенная скорость в момент времени t) — это средняя скорость тела за достаточно малый промежуток времени At сразу после момента времени t ЗНАЧЕНИЕ УСКОРЕНИЯ при равноускоренном прямолинейном движении численно равно изменению значения скорости тела за единицу времени Обозначение — а, единица — м/с^ При равноускоренном прямолинейном движении ускорение постоянно а > 0 а = 0 \ ^ А Значение скорости увеличивается <я< О Значение скорости Значение скорости остаётся постояннъш уменьшается ПУТЬ при прямолинейном равноускоренном ^-v движении в одном направлении ® 2 СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ПО ВЕРТИКАЛИ — равноускоренное прямолинейное движение УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ направлено вертикально вниз 9,8 м/с^ ~ 10 м/с Глава Динамика В предыдущей главе мы научились описывать прямолинейное движение точечного тела. При этом мы не интересовались, почему в одних случаях тела движутся равномерно, а в других — с ускорением. Теперь нам предстоит выяснить, в каких случаях характер движения тела будет оставаться неизменным, а в каких он будет изменяться. Кроме того, необходимо выяснить, от чего зависят эти изменения. Ответы на эти вопросы и составляют содержание следующего раздела механики, который называют динамикой. Динамика — раздел механики, в котором рассматриваются причины изменения характера движения тел. В этой главе мы по-прежнему (если не делается оговорок) будем рассматривать только прямолинейное движение точечных тел. §27 Действие одного тела на другое. Закон инерции Представим себе, что на горизонтальной дороге стоит тележка с песком (рис. 65, а). Если мы начнём её толкать, то тележка начнёт двигаться относительно Земли (рис. 65, б). Её скорость будет изменяться — у тележки появится ускорение в системе отсчёта, связанной с Землёй. В этом случае принято говорить, что на тележку подействовали, т. е. тележка испытала механическое действие со стороны другого тела. Подводя первый итог, скажем, что относительно системы отсчёта, связанной с Землёй, неподвижное тело сохраняет состояние покоя до тех пор, пока не появится действие, стремящееся вывести тело из этого состояния. Теперь рассмотрим случай, когда тележка на горизонтальной дороге в момент начала наблюдения движется относительно Земли равномерно прямолинейно со скоростью v^. Повседневный опыт подсказывает, что если мы 118 а Рис. v^ = 0 При отсутствии действия тележка остаётся неподвижной (а). При воздействии на тележку у неё появляется ускорение {б) хотим увеличить скорость тележки (разогнать её), то мы должны тянуть или толкать тележку в направлении её движения (рис. 66). Напротив, если мы хотим уменьшить скорость тележки (затормозить её), мы должны подействовать на неё в направлении, противоположном движению (рис. 67). Таким образом, как и в первом случае — с неподвижной тележкой, признаком наличия механического действия какого-либо тела на тележку является изменение её скорости (появление отличного от нуля ускорения) относительно Земли. В дальнейшем для краткости механическое действие мы будем называть просто действием. в положительном направлении оси X. надо подействовать на неё в том же направлении тележку, которая двигалась в положительном направлении оси X, надо подействовать на неё против движения 119 Признаком механического действия на тело является изменение скорости этого тела (появление у тела отличного от нуля ускорения) относительно Земли. А что будет происходить со скоростью тележки, движущейся равномерно прямолинейно относительно Земли, если на тележку не действовать} Будет ли в этом случае изменяться её скорость, или она останется постоянной? Этот вопрос интересовал людей с давних пор. В Древней Греции считалось, что для поддержания равномерного прямолинейного движения тела на него необходимо действовать постоянно. В самом деле, чтобы телега ехала по горизонтальной дороге с постоянной скоростью, её всё время должна тянуть лошадь. Если лошадь перестанет тянуть телегу, та очень быстро остановится. Однако при попытке объяснить таким же образом полёт выпущенной из лука стрелы древние учёные сталкивались с большими трудностями. Ведь на летящую стрелу не оказывается постоянное действие в направлении её движения. Первый серьёзный шаг в разрешении этого вопроса сделал в XVII в. Галилей. Пытаясь объяснить движение небесных и обычных земных тел с единой точки зрения, он начал изучать движение тел, скатывая тяжёлые шары по разным наклонным плоскостям. При этом он установил, что при движении тела вниз по наклонной плоскости его скорость увеличивается; когда же тело движется вверх по наклонной плоскости, его скорость уменьшается. На основании этого он сделал вывод, что при движении по горизонтальной плоскости скорость тела должна оставаться постоянной. Но опыты показывали, что при движении по реальной горизонтальной плоскости скорость тела также уменьшается (тело тормозится). Правда, это торможение зависит от материалов, из которых изготовлены тело и плоскость. Действительно, начав скатываться с одной и той же высоты (рис. 68), шарик движется по горизонтальному стеклу значительно дольше, чем по тому же стеклу, покрытому сукном. Галилей выдвинул гипотезу (предположение), что реальная горизонтальная плоскость в той или иной мере действует на тело, вызывая его торможение. Однако можно представить себе такую идеальную горизонтальную плоскость, которая не будет вызывать торможения. Исходя из этой гипотезы, Галилей сделал вывод: скорость, сообщённая телу относительно Земли, сохраняется на идеальных (гладких) горизонтальных плоскостях до тех пор, пока нет причин (действия других тел), приводящих к возникновению ускорения. Сделанный Галилеем вывод носит название закона инерции. Такое название закон получил потому, что движение тела без воздействия на него ш 120 а — при движении по гладкому стеклу; б — при движении по шероховатой поверхности других тел назвали движением по инерции (латинское слово inertia означает «бездеятельность»). Согласно Галилею, движение по инерции может наблюдаться в системах отсчёта, неподвижных относительно Земли. Скорость, имеющаяся у тела относительно Земли, сохраняется на идеальных (гладких) горизонтальных плоскостях до тех пор, пока нет причин (действия других тел), приводящих к возникновению ускорения. Отметим, что если начальная скорость тела равна нулю (тело неподвижно относительно Земли), то при отсутствии действия других тел оно также будет сохранять своё состояние — состояние покоя. 121 Рассмотрим ещё раз тележку, движущуюся с постоянной скоростью по горизонтальной дороге. Теперь мы можем дать ответ на вопрос, будет ли изменяться скорость тележки относительно Земли, если на неё ничто не действует. В соответствии с законом инерции если дорога, по которой движется тележка, будет идеальной (гладкой), то скорость тележки относительно Земли будет оставаться постоянной (рис. 69). В реальном случае на движущуюся тележку будет действовать дорога. В результате тележка будет тормозиться на шероховатой поверхности и в конце концов остановится (рис. 70). По идеальной (гладкой) горизонтальной поверхности тележка движется с постоянной скоростью при отсутствии действия на неё со стороны других тел в этом направлении При движении по реальной горизонтальной поверхности скорость тележки уменьшается в результате тормозящего действия со стороны этой поверхности Таким образом, если скорость тележки относительно Земли изменяется (тележка движется с ускорением — разгоняется или тормозится), то это означает, что на тележку оказывается механическое действие со стороны другого тела (или других тел). Итоги Признаком механического действия на тело является изменение скорости этого тела (появление у тела отличного от нуля ускорения) относительно Земли. 122 Закон инерции. Скорость, имеющаяся у тела относительно Земли, сохраняется на идеальных (гладких) горизонтальных плоскостях до тех пор, пока нет причин (действия других тел), приводящих к возникновению ускорения. Движение тела без воздействия на него других тел называют движением по инерции. Вопросы Что является признаком наличия механического действия на тело? Приведите примеры механического действия на тело. Какое движение тела называют движением по инерции? Сформулируйте закон инерции. В каком направлении надо действовать на движущуюся по дороге тележку, чтобы; а) увеличить её скорость; б) уменьшить её скорость? Почему движущаяся по реальной горизонтальной дороге тележка уменьшает свою скорость с течением времени? Как будет изменяться скорость движущейся по идеальной горизонтальной дороге тележки, если на неё действовать: а) в направлении движения; б) против направления движения? Какие физические модели использованы в формулировке закона инерции, приведённой в тексте параграфа? Какие факты можно объяснить с помощью этой гипотезы? §28 Инерциальные системы отсчёта. Первый закон Ньютона Вы наверняка помните, что движение любого тела относительно. То есть нельзя сказать, имеет ли тело ускорение, если не указать, в какой системе отсчёта рассматривается его движение. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, тележка, изображённая на рис. 65, покоилась до того момента, как мы начали на неё действовать. Следовательно, в отсутствие действия на тележку её ускорение относительно Земли было равно нулю. Но если посмотреть на эту же тележку из системы отсчёта, связанной с разгоняющимся автомобилем (рис. 71), который едет по дороге с ус- 123 Рис. i В системе отсчёта, связанной с разгоняющимся автомобилем, неподвижная относительно Земли тележка движется с ускорением, хотя на неё ничто не действует корением а относительно Земли, то ситуация изменится. В этой системе отсчёта сам автомобиль будет неподвижен, а тележка будет двигаться вместе с Землёй навстречу автомобилю с ускорением, хотя на неё ничто не действует. Таким образом, все возможные системы отсчёта можно разделить на две группы. В одних системах отсчёта (неподвижных или движущихся равномерно прямолинейно относительно Земли) точечное тело, на которое ничто не действует, движется равномерно прямолинейно или покоится. Напротив, в других системах отсчёта (движущихся относительно Земли с ускорением) это же тело, на которое ничто не действует, имеет ускорение. На самом деле тщательные исследования показали, что даже в системах отсчёта, связанных с Землёй, точечное тело, на которое ничто не действует, движется равномерно прямолинейно (по закону равномерного прямолинейного движения) лишь приближённо. Это объясняется, в частности, тем, что, как вы знаете из курса «Естествознание», Земля вращается вокруг своей оси и движется вокруг Солнца. По этой причине можно считать, что закон инерции Галилея выполняется только при рассмотрении движений, которые происходят в течение не очень длительных промежутков времени на небольших расстояниях. В опытах Галилея рассматривались именно такие движения. Следовательно, система отсчёта, связанная с Землёй, не всегда пригодна для ответа на вопрос, испытывает ли изучаемое тело действие со стороны других тел. Как же. выбрать систему отсчёта, в которой можно выяснить, действуют ли на изучаемое тело другие тела? Попробуем разобраться, как это можно сделать. 124 Прежде всего необходимо найти такое тело, на которое не действуют другие тела. Такое тело принято называть свободным. Имея такое тело, мы можем рассматривать его движение в различных системах отсчёта. Та система отсчёта, в которой скорость свободного тела не изменяется со временем, и будет искомой системой отсчёта. Но где взять такое тело, чтобы быть заранее уверенным, что на него ничто не действует? Выход прост. Надо выбрать такое точечное тело, которое находится очень далеко от всех других тел (например, где-то в космосе вдали от всех звёзд). Тогда, как показывают эксперименты, можно считать, что действие других тел на это тело практически равно нулю. Движение тела без воздействия на него других тел называют движением по инерции. Поэтому искомую систему отсчёта, в которой свободное точечное тело движется равномерно прямолинейно или покоится, называют инерциальной. Систему отсчёта называют инерциальной, если в ней свободное тело (точечное тело, удалённое от всех других объектов) движется равномерно прямолинейно или покоится. Ясно, что существуют и другие системы отсчёта, в которых свободное тело движется с ускорением. В отличие от инерциальных, все такие системы отсчёта называют неинерциальными. Но существуют ли инерциальные системы отсчёта? Или так же, как в случае с системой отсчёта, связанной с Землёй, движение свободного тела в этих системах отсчёта будет равномерным прямолинейным лишь приближённо? В современной физике постулируется, что инерциальные системы отсчёта существуют. Это утверждение называют краткой формулировкой первого закона Ньютона. Этот закон является одним из фундаментальных законов природы, важным не только в механике, но и во всех других разделах физики. С очень высокой точностью инерциальными являются системы отсчёта, связанные со звёздами, в том числе с Солнцем. Для тех задач, которые мы будем рещать, можно считать инерциальной систему отсчёта, жёстко связанную с Землёй. Поэтому любую систему отсчёта, связанную с телом, которое движется прямолинейно равномерно или покоится относительно Земли, мы будем считать инерциальной. В дальнейшем все задачи мы с вами будем решать в инерциальных системах отсчёта — ИСО, выбирая в качестве тела отсчёта либо 125 Землю, либо тело, которое движется относительно Земли с постоянной скоростью (в частном случае — покоится). Подводя итог сказанному, дадим полную формулировку первого закона Ньютона, используя современную терминологию. Существуют системы отсчёта, относительно которых свободное (не подвергаемое действию других тел) точечное тело покоится или движется равномерно прямолинейно. Эти системы отсчёта называют инерциальными. Таким образом, если в выбранной нами ИСО у тела изменяется скорость, то это означает, что на тело действует другое тело (или другие тела). Верно и обратное утверждение: если на некоторое (первое) тело действует другое тело, то у этого (первого) тела в ИСО изменяется скорость. Итоги Свободным телом называют тело, на которое не действуют другие тела. Систему отсчёта называют инерциальной, если в ней свободное тело (точечное тело, удалённое от всех других объектов) покоится или движется равномерно прямолинейно. Первый закон Ньютона {краткая формулировка). Инерциальные системы отсчёта существуют. Первый закон Ньютона {полная формулировка). Существуют системы отсчёта, относительно которых свободное точечное тело покоится или движется равномерно прямолинейно. Эти системы отсчёта называют инерциальными. Любую систему отсчёта, связанную с телом, которое движется равномерно прямолинейно или покоится относительно Земли, будем считать инерциальной. Все задачи будем решать только в инерциальных системах отсчёта. Вопросы Объясните, почему для ответа на вопрос о причине изменения скорости тела систему отсчёта необходимо выбирать специальным образом. Расскажите, как это следует делать. 126 Сформулируйте определение инерциальной системы отсчёта. Сформулируйте первый закон Ньютона. Упражнения 2 3 *4 ^1^ 5_ Тело находится в состоянии покоя в ИСО. Чему равно значение скорости этого тела в ИСО, которая движется относительно первой системы отсчёта со скоростью, имеющей значение vl Тело движется относительно Земли с ускорением. Можно ли утверждать, что на это тело действует другое тело (или другие тела)? Может ли иметь ускорение тело, движущееся по инерции, относительно: а) инерциальной; б) неинерциальной системы отсчёта? Представьте себя сидящим в купе поезда с занавешенным окном. Звукоизоляция столь хороша, что перестука колёс во время движения услышать невозможно. Сможете ли вы определить, движется ли поезд с постоянной скоростью, или же он стоит неподвижно? Предположим, что вы сидите в купе поезда, о котором говорилось в упражнении 4. Вам известно, что поезд находится на прямолинейном горизонтальном отрезке дороги. Вы положили на горизонтальный пол вагона стальной шарик и увидели, что он некоторое время оставался неподвижным. Потом он покатился: а) к передней стенке вагона с некоторым ускорением; б) к задней стенке вагона с тем же ускорением. Что вы можете сказать о характере движения поезда в этих случаях? Ответы обоснуйте. 29 Сила Мы установили, что только действие других тел может быть причиной появления ускорения у данного тела в инерциальной системе отсчёта. Теперь нам предстоит выяснить: 1) какой физической величиной описывают это действие; 2) какими свойствами обладает эта физическая величина; 3) как её измерить. Действие одного тела на другое описывают с помощью величины, которую называют силой. Однако в русском языке слово «сила» имеет очень много значений. Так, говорят о физических силах человека, о силе разума, о природных силах (например, силе дождя, ветра), социальных силах и т. п. В механике слово «сила» означает следующее. 127 Силой называют физическую величину, характеризующую действие одного тела на другое, в результате которого это другое тело получает ускорение в инерциальной системе отсчёта. О Рис. X Чтобы сдвинуть неподвижную тележку, необходимо приложить к ней силу Сила — единственная причина, вызывающая изменение характера движения тела (появление у него ускорения) в инерциальной системе отсчёта. Давайте теперь ответим на два других вопроса. Опыт показывает, что одно тело может действовать на другое как при непосредственном контакте, так и без соприкосновения. Так, например, действует магнит, когда его подносят к железному предмету. Вы также знаете, что, бросая камень, можно подействовать на него с большей или с меньшей силой. В первом случае камень в процессе броска будет иметь большее ускорение и в результате вылетит из руки с большей скоростью. Во втором случае ускорение камня будет меньше и он вылетит из руки с меньшей скоростью. Следовательно, значение силы может быть разным. Наконец, из повседневного опыта известно, что если надо сдвинуть тело, которое покоится на Земле, в определённом направлении (например, в положительном направлении оси X, как на рис. 72), то мы должны подействовать на него в том же направлении. Следовательно, у силы есть направление. Сила направлена туда, куда направлено вызванное её действием ускорение тела в инерциальной системе отсчёта. Например, пусть тело движется равномерно прямолинейно со скоростью ц в положительном направлении оси X {см. рис. 66). Чтобы увеличить скорость тела, необходимо подействовать на него силой, направленной также в положительном направлении оси X. Наоборот, чтобы затормозить тело {см. рис. 67), которое двигалось в положительном направлении оси X, надо подействовать на тело в отрицательном направлении оси X — против движения. В результате у него появится отрицательное ускорение, и скорость тела будет уменьшаться. Таким образом, силе как физической величине следует приписать не только определённое числовое значение, но и определённое направление. 128 Ньютон, обобщив результаты опытов, установил, что сила является векторной физической величиной. Обычно значение силы обозначают латинской буквой F, вектор силы — символом F, а модуль силы — символом |i^|. Как и прежде, мы будем различать модуль вектора и его значение. Считают, что значение F положительно {F > 0), если сила направлена в положительном направлении оси X выбранной системы отсчёта. Значение F отрицательно [F < 0), если сила направлена в отрицательном направлении оси X. Итоги Сила — физическая величина, характеризующая действие одного тела на другое, в результате которого это другое тело получает ускорение в инерциальной системе отсчёта. Сила является векторной физической величиной. Направление действующей на тело силы совпадает с направлением вызванного её действием ускорения тела в инерциальной системе отсчёта. Значение силы положительно (F > 0), если сила направлена в положительном направлении оси X выбранной системы отсчёта, и отрицательно {F < 0), если сила направлена в противоположном направлении. Вопросы Что называют силой в механике? Может ли одно тело механически действовать на другое, если эти тела не соприкасаются? Если да, то приведите примеры. Как обычно обозначают значение силы, вектор силы, модуль силы? Упражнения Тело движется в положительном направлении оси X, неподвижной относительно Земли. Куда направлены изменение скорости тела, ускорение тела, действующая на тело сила, если модуль скорости тела: а) увеличивается; б) уменьшается? Тело движется в отрицательном направлении оси X, неподвижной относительно Земли. Куда направлены изменение скорости тела, ускорение тела, действующая на тело сила, если модуль скорости тела: а) увеличивается; б) уменьшается? 129 § 30 Сложение сил. Измерение силы ' 1Я = IF,| + IFjl "Т" F Как правило, движение точечного тела с ускорением в ИСО происходит при действии нескольких тел. Например, пусть тележка движется с ускорением по реальной горизонтальной дороге. На неё оказывают действие человек, который толкает тележку, и дорога, которая тормозит движение тележки. Изучая движение тела при действии на него нескольких тел, Ньютон пришёл к двум выводам: 1. Действия, которые оказывают на точечное тело другие тела, не зависят друг от друга. 2. Силы, характеризующие эти действия, можно складывать. _____________________ Сформулируем правила сложения сил, действующих на точечное тело вдоль одной прямой. 1. Если на точечное тело действуют две силы и F^, направленные в одну сторону (рис. 73), то их действие равно действию одной силы F. При этом; — сила F направлена в ту же сторону, что и силы Fj и F^, — модуль силы F равен сумме модулей сил Fj и F^. 2. Если на точечное тело действуют две силы Fj и Fg, направленные в противоположные стороны (рис. 74, а, б), то их действие равно действию силы F, которая; — направлена в сторону большей по модулю силы; — имеет модуль, равный разности модулей большей и меньшей сил. Если на точечное тело действуют три силы (или больше), то вначале нужно сложить две из них. Потом к полученной в результате силе прибавить третью силу и т. д. Из правила 2 можно сделать очень важный вывод: если на точечное тело действуют только две равные пЬ модулю, но противоположно направленные силы, то общее действие этих сил равно нулю (рис. 75). В этом случае говорят, что силы Fj и Fg компенсируют {уравновешивают) друг друга. Понятно, что тогда ускорение этого тела в инерциальной системе отсчёта будет равно нулю и его скорость будет постоянной. Это Рис. фйствие на тело двух сил F, и Fg, направленных в одну сторону, можно заменить действием одной силы F, направленной в ту же сторону 130 значит, что тело будет покоиться в данной ИСО или двигаться равномерно прямолинейно. Верно и обратное утверждение: если тело в инерциальной системе отсчёта движется равномерно прямолинейно или покоится, то либо на тело не действуют никакие другие тела, либо сумма действующих на тело сил равна нулю. Отметим, что в этом случае экспериментально невозможно определить, какое из этих двух условий выполняется: равна ли нулю сумма всех действующих на точечное тело сил, или на него вообще ничто не действует. Точно так же экспериментально невозможно различить, действу^ ет ли на точечное тело одна сила F, или на это тело действуют несколько сил, сумма которых равна F. Используем правила сложения сил для выработки рецепта измере- ___ШИШ Сила Т = О, так как ния силы. iTiHiFjl 131 J м Нерастянутая пружина F IFI = 1 I гЛЛМАААЛ Прежде всего введём эталон силы. Для этого выберем конкретную пружину. Растянем её на определённую величину и прикрепим к телу. Будем считать, что в этом случае на тело со стороны пружины действует сила, модуль которой равен единице (рис. 76). В результате тело приобретёт ускорение в ИСО. Чтобы этого не произошло, присоединим к этому телу вторую пружи1зу с противоположной стороны, как показано на рис. 77. При этом вторую пружину растянем таким образом, чтобы её действие уравновесило (скомпенсировало) действие первой (эталонной) пружины. Тогда тело, на которое одновременно действуют обе пружины, будет оставаться в покое. Следовательно, модуль силы, с которой действует на тело вторая пружина, будет в точности равен модулю силы единичной величины. Зафиксируем растяжение второй пружины. Растянутая до такой длины, она тоже станет эталоном силы. Таким образом, можно получить сколько угодно эталонов силы. Создадим силу, модуль которой равен, например, половине единицы силы. Для этого уравновесим действие на тело эталонной пружины двумя 1 + М Рис. На тело действует сила F, модуль которой равен 1 Рис. Действие второй пружины равно по модулю действию эталонной. Вторая пружина уравновевшвает эталон и сама становится эталоном силы 132 одинаковыми пружинами, растянутыми на одну и ту же длину (рис. 78). При этом модуль силы, с которой действует на тело любая из двух одинаковых пружин, будет равен модулю половины единицы силы. Аналогичным образом можно создать силу, модуль которой в заданное число раз (например, в 3, 10 и т. д.) меньше модуля единицы силы. Так мы можем создать набор пружин, которые при известных растяжениях действуют с разными силами. Теперь для нас не составит труда измерить модуль любой неизвестной силы. Для этого будет достаточно уравновесить её действие действием соответствующего набора пружин. Пример такого измерения показан на рис. 79. Измеренная таким способом сила, во-первых, равна по модулю сумме модулей сил, создаваемых набором пружин, и, во-вторых, направлена в сторону, противоположную направлению их действия. \F,\ = I = 1 ITI = |Т,| + IT^I + 1^1 = 2 I F Тело находится в состоянии покоя относительно ИСО Рис. Действие на тело неизвестной силы F уравновешено действием трёх пружин: двух «единичных эталонов» и одного эталона, равного половине «единичного» 133 Итоги Правила сложения сил, действующих на тело вдоль одной прямой. 1, Если на точечное тело действуют две силы и F^, направленные в одну сторону, то их действие равно действию одной силы F. При этом: — сила F направлена в ту же сторону, что и силы F^ и F^; — модуль силы F равен сумме модулей сил F^ и ^2- 2. Если на точечное тело действуют две силы F^ и F^, направленные в противоположные стороны, то их действие равно действию силы F, которая: — направлена в сторону большей по модулю силы; — имеет модуль, равный разности модулей большей и меньшей сил. Если сумма всех сил, действующих на точечное тело, равна нулю, то говорят, что эти силы уравновешивают (компенсируют) друг друга. В этом случае тело в ИСО движется равномерно прямолинейно или покоится, т. е. не изменяет своего механического состояния. Для измерения неизвестной силы её действие надо уравновесить (скомпенсировать) действием набора эталонных пружин. Вопросы Сформулируйте правила сложения сил, действующих вдоль одной прямой. В каком случае говорят, что силы уравновешивают друг друга? Упражнения 1_| Определите, чему равна и куда направлена сумма двух действующих на точечное тело сил, если первая сила направлена в положительном направлении оси X, а вторая — в противоположном направлении. Модули'сил, измеренные в эталонных единицах, равны: IFjI = 3, = 5. Определите, чему равна и куда направлена сумма трёх действующих на точечное тело сил, если первая сила направлена в положительном направлении оси X, а вторая и третья — в проти- 134 Камень Рис. ЕЕ воположном направлении. Модули сил, измеренные в эталонных единицах, равны: IfJ = 30, iFgl = lF.^1 = 15. Найдите, чему равна и куда направлена сила F, действующая на точечное тело, если сумма трёх действующих на это тело сил F, Fj и Fg равна нулю. При этом Fj направлена в положительном направлении оси X, а F.^ — в противоположном направлении. Модули сил, измеренные в эталонных единицах, равны: IfJ = 30, IFJ = 5. Лежащий на дороге камень (рис. 80) неподвижен в системе отсчёта, связанной с Землёй. Ответьте на вопросы: а) чему равна сумма сил, действующих на камень? б) изменяется ли со временем скорость (равно ли нулю ускорение) камня в системе отсчёта, связанной: — с прямолинейно равномерно едущим по дороге автобусом; — с ускоряющимся относительно дороги автомобилем; — с шишкой, которая свободно падает с дерева с ускорением gl в) какие из этих систем отсчёта являются инерциальными, а какие — неинерциальными? 135 31 Масса тела. Плотность вещества О Яблоко Теперь, когда мы знаем, как измерять действующую на тело силу, попробуем одной и той же силой действовать на разные тела. Если вы будете действовать одной и той же силой на небольшое яблоко, баскетбольный мяч и большой арбуз, то убедитесь, что эти тела будут разгоняться по-разному. Значит, несмотря на то что тела испытывают одинаковое действие, они имеют разные ускорения. В этом случае говорят, что эти тела обладают разной инертностью. При этом чем меньше ускорение первого тела по сравнению с ускорением второго при одинаковых действиях на эти тела, тем больше инертность первого тела по сравнению с инертностью второго. В нашем примере самой большой инертностью обладает арбуз (его скорость изменяется медленнее, чем у остальных тел), а самой маленькой инертностью — яблоко (рис. 81). Рис. Под инертностью тела понимают его свойство препятствовать приобретению ускорения (изменению своей скорости) под действием приложенной силы. Инертность тел характеризуют физической величиной, которую называют массой. Масса — физическая величина, количественно характеризующая инертность тела. Используя определение массы, можно сказать, что в рассмотренном примере наибольшую массу имеет арбуз, а наименьшую — яблоко. Как и в случае с силой, ясно, что, пока не дан способ измерения массы, мы не можем определить массу данного тела. Как же измерить массу? Для этого вначале нужно выбрать единицу массы. В СИ массу тел и.з-меряют в килограммах (кг). За эталон массы в один килограмм (1 кг) при- 136 М = 1 кг Эталон массы М Рис. Е Масса тела равна массе эталона М.^ = 1 кг, если под действием одной и той же силы F их ускорения равны: а =а^ М, = 1 кг F г~г Af = 2т = 1 кг m = i кг Рис. Е Два одинаковых тела массой т каждое под действием силы F вместе получили то же ускорение, что и эталон массой 1 кг нят цилиндр диаметром и высотой 39 мм из сплава платины (90 %) и иридия (10 %). Этот эталон хранится в Международном бюро мер и весов (в г. Севр, близ Парижа). Рассмотрим способ измерения массы тела с использованием эталона массы. Если при действии одинаковыми силами на два покоящихся в ИСО тела они приобретают одинаковые ускорения, то эти тела обладают одинаковой инертностью. Следовательно, массы этих тел по определению равны. Подберём тело, которое при действии на него силы F приобретает такое же ускорение, как и эталон массы (рис. 82). Тогда инертность этого тела будет такой же, как у эталона, т. е. масса этого тела будет равна 1 кг. Его тоже можно использовать как эталон массы. Таким способом мы можем получить любое необходимое число эталонов массы. Возьмём теперь два одинаковых тела и жёстко скрепим их между собой (рис. 83). Подействуем на эти покоящиеся в ИСО тела некоторой силой F и измерим ускорение, которое они приобретут. Если оно окажется равным ускорению тела массой 1 кг, то суммарная масса взятых тел равна 1 кг. Поскольку скреплённые между собой тела одинаковы, то масса каждого из них равна 0,5 кг. Подобным способом можно подобрать тела, массы которых, например, в 3, 5 и т. д. раз меньше массы эталона в 1 кг. Таким образом мы можем создать набор тел с разными массами. 137 Этот набор можно использовать для измерения неизвестной массы М некоторого тела. Чтобы это сделать, поступим так: 1) подействуем на неподвижное в ИСО тело с неизвестной массой М силой F и измерим приобретаемое этим телом ускорение а\ 2) подберём такой набор жёстко скреплённых между собой тел с известными массами, чтобы они, находясь в состоянии покоя в ИСО, при действии на них той же силы F приобрели такое же ускорение а ; 3) определим массу М тела: она будет равна сумме масс подобранных тел. Теперь, когда мы знаем, что в СИ единица массы — 1 килограмм, а единица ускорения — 1 метр, делённый на секунду в квадрате (1 м/с^), мы можем ввести единицу силы. За единицу силы в СИ принята сила, которая придаёт первоначально покоившемуся в данной инерциальной системе отсчёта точечному телу массой 1 кг ускорение, равное по модулю 1 м/с^. Такая единица силы называется ньютон (И) — в честь английского учёного И. Ньютона. Из сказанного следует, что единица силы в СИ является производной, т. е. вводится с помощью других единиц СИ. Под действием силы 1 Н первоначально покоившееся в ИСО точечное тело массой 1 кг получает ускорение, равное по модулю 1 м/с^. _____________________ Введём ещё одну важную физическую величину, непосредственно связанную с массой. Вы знаете, что окружающие тела (предметы) отличаются друг от друга не только массами, но и размерами, а также материалами (веществами), из которых они состоят. Пусть мы имеем два цилиндра, изготовленные из одного и того же материала. Их размеры отличаются друг от друга только длиной (рис. 84). Объём первого цилиндра равен V^, а объём второго — в два раза больше: Hg = 2Hj. Опыт показывает, что масса второго цилиндра будет также в два раза больше первого: TOg = ЪПу К этому выводу легко прийти, не проводя каких-либо дополнительных экспериментов. Доста- K = 2V, Рис. Измерение массы двух однородных цилиндров из одного материала показывает, что цилиндр, имеющий вдвое больший объём, обладает и вдвое большей массой: = 2т^ 138 точно вспомнить, как мы измеряли массу. Ведь можно сказать, что второй цилиндр представляет собой два первых, скреплённых между собой торцами. Таким образом, если объём одного тела из определённого материала в какое-то число раз больше объёма другого тела из того же материала, то масса первого тела больше массы второго в такое же число раз. Другими словами, для тел из одного и того же материала (вещества) отношение массы тела к его объёму есть величина постоянная. Эту постоянную величину называют плотностью вещества (материала), из которого изготовлены указанные тела. Отношение массы т тела к его объёму V называют плотностью р материала (вещества), из которого изготовлено это тело. т Р “ у Плотность вещества обычно обозначают греческой буквой р (читается «ро») и в СИ измеряют в килограммах на кубический метр (кг/м'*). И Плотности некоторых материалов приведены в таблице 2. Таблица 2. Плотность материалов (веществ) Материал Плотность р, 10® кг/м® Материал Плотность р, 10® кг/м® Берёза 0,5-0,6 Железо 7,8 Лёд 0,9 Медь 8,9 Вода 1 Серебро 10,5 Земля 1,2-2,1 Свинец 11,3 Бакаут (железное дерево) 1,3 Ртуть 13,6 Бетон 2,3 Уран 19 Стекло 2,5 Золото 19,3 Алюминий 2,7 Платина 21,5 'I Если тело состоит из частей, изготовленных из разных материалов (т. е. не является однородным), то отношение массы тела к его объёму называют средней плотностью тела. Итоги Под инертностью тела понимают его свойство препятствовать приобретению ускорения (изменению своей скорости) под действием приложенной силы. Чем меньше ускорение первого тела 139 по сравнению с ускорением второго тела при действии на них одной и той же силы, тем больше инертность первого тела по сравнению со вторым. Масса — физическая величина, количественно характеризующая инертность тела. Если при действии равными силами на два разных покоящихся в ИСО тела у этих тел появляются одинаковые ускорения, то массы этих тел равны. В СИ массы тел измеряют в килограммах (кг), а силы — в ньютонах (Н). Под действием силы, модуль которой равен 1 Н, первоначально покоившееся в ИСО точечное тело массой 1 кг получает ускорение, равное по модулю 1 м/с^. Отношение массы т тела к его объёму V называют плотностью р материала (вещества), из которого изготовлено это тело. т Р = Ё В СИ плотность измеряют в килограммах на кубический метр (кг/м-’’). Вопросы Что такое инертность тела? Как определить, какое из двух тел обладает большей инертностью? 2_ Что такое масса тела? 3_ Как измеряют массу тела? Назовите единицы массы и силы в СИ. 4_ Что называют плотностью материала? 5 J Как вычислить массу тела, если известны его объём и плотность материала, из которого оно изготовлено? Упражнения От деревянного бруска в форме параллелепипеда всякий раз отрезают его половину. Сформулируйте предположение (гипотезу), как будет при этом изменяться инертность оставшейся части бруска. Предложите эксперимент для проверки вашего предпо- 140 4 5 *6 ложения. Какие физические величины нужно измерять и сравнивать? Чему равна масса Мтела, которое под действием силы F из состояния покоя в ИСО приобретает такое же ускорение, как под действием той же силы два соединённых вместе тела массой по 1 кг каждое и прикреплённое к ним ещё одно тело массой 0,5 кг? Тело массой М== 3 кг под действием силы F приобретает в ИСО ускорение а. Определите неизвестную массу т тела, если под действием той же силы это тело, прикреплённое к телу массой Wj = 1 кг, приобретает в ИСО такое же ускорение а. Определите массы 1 дм^ воды, алюминия, золота. Какие объёмы занимают 1 кг льда, железа, свинца? Определите объём V первоначально покоившегося в ИСО свинцового шарика, если он под действием силы, модуль которой F= 1 Н, получил ускорение, модуль которого а=\ м/с^. §32 Второй закон Ньютона Прежде чем сформулировать один из важнейших законов механики, подведём итог приобретённым знаниям. Напомним, что пока мы ведём разговор только о точечных телах. При наблюдении за точечным телом из инерциальной системы отсчёта выполняются следующие правила (рис. 85). 1. Если сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю, то это тело движется равномерно прямолинейно или покоится. Иначе говоря, его ускорение равно нулю {см. рис. 85, а). 2. Эксперименты показывают, что ускорение а тела увеличивается при увеличении суммы F всех сил, действующих на него {см. рис. 85, б). 3. Если при действии равными силами на два изначально покоившихся тела они приобретают одинаковые ускорения, то по определению их массы равны {см. рис. 85, в). Если же при действии равными силами на два покоившихся тела модуль Ifljl ускорения первого из них меньше модуля lojl ускорения второго тела, то масса mj первого тела больше массы т^ второго {см. рис. 85, г). То есть если \а^ < \аХ то т.^ > rag. Таким образом, сумма всех сил, действующих на первоначально покоившееся тело, масса этого тела и его ускорение в ИСО связаны между со- 141 Если тела приобретают одинаковые ускорения, то их массы равны F а., F 4> Чем больше масса тела, тем меньше модуль его ускорения Рис. 142 I. Представим себе, что на какое-то тело не действуют другие тела или сумма всех действующих на него сил равна нулю. Тогда числитель дроби равен ьгулю. Следовательно, а 0. т В этом случае ускорение такого тела равно нулю. Иначе говоря, скорость тела не изменяется со временем, а значит, это тело движется равномерно прямолинейно (или покоится) в ИСО. Заметим, что если ускорение тела в ИСО равно нулю, то сумма всех действующих на него сил также равна нулю. То есть если в выражение т • а = F подставить а = 0, то мы получим F =0. II. Теперь отметим, что направление суммы F всех действующих на тело сил совпадает с направлением его ускорения а в ИСО. Поэтому в выбранной системе отсчёта значение F суммы всех действующих на тело сил и значение его ускорения а в выбранной системе отсчёта всегда имеют одинаковые знаки: если F> 0, то и <2 > 0, и наоборот, при F< 0 и я < 0. Поэтому второй закон Ньютона можно записать в виде соотношения между значениями суммы всех сил, действующих на тело, и его ускорения: F а-—. т III. Исследуем теперь, как будет изменяться значение ускорения а тела при изменении значения F суммы всех действующих на него сил. Если увеличить значение F, например, в два раза, то в два раза увеличится числитель дроби, стоящей в правой части. Так как знаменатель дроби т при этом не изменяется, то в два раза увеличится значение ускорения а тела. Понятно, что если FyMeHbmHTb, например, в 10 раз, то при неизменной массе т уменьшится в 10 раз и значение а. Одним словом, во сколько раз увеличивается (уменьшается) значение суммы всех действующих на тело сил, во столько же раз увеличивается (уменьшается) значение его ускорения а. В этом случае говорят, что значение ускорения тела пропорционально значению суммы всех действующих на тело сил: а ~ F. IV. Теперь посмотрим, что будет происходить со значением ускорения тела, если изменять его массу, оставляя значение суммы всех действующих на него сил неизменным. Пусть массу тела увеличили, например, в 10 раз. Тогда знаменатель т дроби в правой части увеличится в 10 раз. Так как числитель дроби остаётся неизменным, то в 10 раз уменьшится значение ускорения а тела. Наоборот, если при неизменной сумме сил уменьшить массу тела, например, в два раза, то значение ускорения этого тела увеличится в два 143 ■_______ раза. Таким образом, во сколько раз увеличивается (уменьшается) масса тела т при неизменной сумме действующих на него сил, во столько раз уменьшается (увеличивается) значение ускорения тела. В этом случае говорят, что значение ускорения тела обратно пропорционально массе т этого тела: 1 а----. т Выражение т ■ а = F верно только в инерциальных системах отсчёта. Поясним это на двух примерах. Пример 1. Имеется кирпич, который лежит на поверхности Земли, как показано на рис. 86. В системе отсчёта, связанной с Землёй, он покоится. Так как система отсчёта, связанная с Землёй, является инерциальной и кирпич в этой системе отсчёта имеет нулевое ускорение, мы можем сделать следующий вывод: сумма всех сил, действующих на кирпич, равна нулю. Теперь посмотрим на этот кирпич из системы отсчёта, связанной со свободно падающим камнем (рис. 87). В этой системе отсчёта падающий камень покоится, а Земля движется с ускорением g в положительном направлении оси X'(вверх). Вместе с Землёй с ускорением g в том же направлении движется лежащий кирпич. Вместе с тем мы уже знаем, что сумма всех сил, действующих на этот кирпич, равна нулю. Получается, что в системе отсчёта X' лежащий на земле кирпич движется с ускорением а =g, несмотря на X а = О 5=55 Si" о Рис. В системе отсчёта, связанной с Землёй, лежащий кирпич имеет нулевое ускорение X’ 1 i Я a = g Рис. Ш В системе отсчёта, связанной со свободно падаюпщм камнем. Земля и кирпич движутся с ускорением g 144 то что сумма всех действующих на него сил равна нулю. Следовательно, в этой системе отсчёта т ■ а Ф F. Значит, система отсчёта, связанная со свободно падающим камнем, является неинерциальной. Пример 2. На рис. 88 изображён автобус, резко затормозивший перед сидящим на дороге котом. В результате резкого торможения пассажиры автобуса, которые не держались за поручни, попадали вперёд (относительно автобуса). Рассмотрим ситуацию вначале с точки зрения человека, стоящего у обочины дороги (в инерциальной системе отсчёта). На автобус действовала тормозящая сила со стороны дороги, направленная горизонтально в отрицательном направлении оси X. Поэтому скорость автобуса стала уменьшаться. На пассажиров, которые при движении ни за что не держались, в горизонтальном направлении (вдоль оси X) не действовали никакие силы. Поэтому они продолжили движение вперёд с постоянной скоростью в инерциальной системе отсчёта. Рассмотрим движение пассажиров в системе отсчёта, неподвижной относительно автобуса. Как уже отмечалось, в горизонтальном направлении на пассажиров не действуют никакие силы. Однако в какой-то момент времени их «бросило» вперёд. Иначе говоря, в этой системе отсчёта (относи- _ F тельно автобуса) их ускорение стало отлично от нуля. Соотношение а = — т Пассажиры в тормозящем автобусе продолжают двигаться вперёд Мы получили ускорение относительно автобуса Рис. Соотношение F = т ■ а выполняется в системе отсчёта, связанной с Землёй (наблюдателем), и не выполняется в системе отсчёта, связанной с тормо.зящим автобусом 145 в этом случае не выполняется. Следовательно, система отсчёта, связанная с тормозящим автобусом, не является инерциальной. Таким образом, мы ещё раз убедились, что системы отсчёта, связанные с телами, которые движутся относительно Земли (т. е. относительно инерциальной системы отсчёта) с ускорением, не являются инерциальными. Итоги Второй закон Ньютона. В инерциальной системе отсчёта ускорение а точечного тела равно отношению суммы F всех действующих на это тело сил к его массе т. _ F а = — т Зная ускорение а тела массой т в инерциальной системе отсчёта, сумму всех сил F, действующих на это тело, можно найти по формуле: F = т ■ а. Вопросы и 2 Сформулируйте второй закон Ньютона. Что можно сказать о массах двух покоящихся тел, если при действии на них равными силами тела приобретают в ИСО равные ускорения? Как изменится значение ускорения тела, если при неизменной сумме действующих на тело сил его масса: а) увеличится в 2 раза; б) уменьшится в 5 раз? В каких системах отсчёта выполняется соотношение F = т ■ а! Упражнения Тело массой т движется в положительном направлении оси X с постоянной скоростью Vq. в некоторый момент времени на это тело начинает действовать постоянная сила F, направленная в положительном направлении оси X. Ответьте на вопросы и выполните задания: а) чему равно значение ускорения тела после момента будет ли это ускорение постоянным; б) как изменится значение скорости тела (увеличится, уменьшится), как будет двигаться тело (разгоняться, тормозиться); 146 112 117 *8_ в) напишите закон изменения значения скорости тела от времени. Ответьте на вопросы и выполните задания упражнения 1 при условии, что на то же тело в момент времени начинает действовать сила F, направленная в отрицательном направлении оси X. Чему равно значение силы, разгоняющей автомобиль массой га = 1 т = 1000 кг, если значение его ускорения относительно дороги <3 = 4 м/с^? Определите значение постоянной силы торможения, необходимой для остановки за время t = 4 с автомобиля, который двигался относительно дороги со скоростью &д = 72км/ч. Масса автомобиля М = 2 т. Сформулируйте гипотезу о зависимости времени торможения от модуля постоянной тормозящей силы. Обоснуйте её, используя второй закон Ньютона. На первоначально покоившееся в ИСО тело массой га = 10 кг начинает действовать постоянная сила, значение которой равно: a)F=100H; 6)F= 200 H; b)F= 1000 H. Определите значения ускорения тела и его скорости через t = 1 с и через t~2 с после начала движения. Определите значения ускорений в ИСО тела массой га = 2 кг, если на него действуют силы; а) IFjI = 20 Н в положительном направлении оси X и iFgl = 10 Н в отрицательном направлении оси Х) б) IFjI = 30 Н и iFgi = 10 Н, направленные в положительном направлении оси X] в) IFjI = 20 Н в положительном направлении оси X и = 40 Н в отрицательном направлении оси X. Получите зависимость изменения значения скорости v{t) и закон движения дгтела из упражнения 6. До начала действия силы тело покоилось в ИСО, = 0. Грузовой автомобиль массой М = 5 т движется по дороге со скоростью, значение которой = 54 км/ч. В некоторый момент водитель нажимает на педаль тормоза, и на автомобиль со стороны дороги начинает действовать постоянная тормозящая сила, модуль которой равен 25 кН. Определите: а) ускорение автомобиля (модуль и направление); б) время торможения автомобиля до полной остановки; в) длину тормозного пути. 147 Взаимодействие тел. Третий закон Ньютона Представьте себе, что вы поднимаете гирю, действуя на неё рукой с некоторой силой направленной вверх (рис. 89). В этом случае вы ______почувствуете, что гиря тоже действует на вашу руку. При этом гиря будет тянуть вашу руку вниз с силой М Оказывается, силы в природе всегда возникают парами. Если первое тело действует на второе, то второе тело действует на первое. Таким образом, действие двух тел друг на друга всегда имеет взаимный характер. При этом говорят, что два тела взаимодействуют друг с другом. Отметим, что силы взаимодействия приложены к разным телам. Эти силы подчиняются конкретным ■***^ правилам, которые Ньютон сформулировал в виде фундаментального закона природы. В настоящее время этот закон называют третьим законом Ньютона. Два тела взаимодействуют друг с другом с силами: 1) равными по модулю; 2) противоположными по направлению; 3) лежащими на одной прямой. Строго говоря, в третьем законе Ньютона также сказано, что силы взаимодействия двух тел всегда являются силами одной природы. Но об этом мы поговорим с вами позднее, когда изучим виды существующих в природе сил. Подчеркнём ещё раз, что силы, о которых говорится в третьем законе Ньютона, приложены к разным телам, т. е. к телам, которые взаимодействуют друг с другом. Поэтому эти силы не могут уравновесить друг друга. Силы взаимодействия двух тел приложены к разным телам и поэтому не уравновешивают друг друга. Рис. Индексы «г» (гиря) и «р» (рука) в записи означают, что эта сила действует 1 на гирю (первый индекс) со стороны руки (второй индекс). Соответственно I индексы «р» и «г» в записи силы означают, что эта сила действует на руку (первый индекс) со стороны гири (второй индекс). Такую систему обозначения сил взаимодействия двух тел мы будем использовать и в дальнейшем. 148 равны по модулю. Поэтому одинаковые пружины, уравновешивающие эти силы, растянуты одинаково Обратим внимание на то, что, в отличие от второго закона Ньютона, в котором речь идёт об одном теле, в третьем законе речь идёт о двух взаимодействующих друг с другом телах. Применим третий закон Ньютона KjcnaaM, изображённым на рис. 89. В соответствии с первым пунктом То есть модуль силы, с ко- торой на руку действует гиря, равен модулю силы, с которой на гирю действует рука. В соответствии со вторым пунктом = ~F^^. Действительно, сила с которой рука действует на гирю, направлена вверх, а сила F^^, с которой гиря действует на руку, направлена в противоположную сторону — вниз. Как вы уже знаете, два тела могут взаимодействовать друг с другом не только при касании, но и на расстоянии. Например, кусок железа и магнит (рис. 90), расположенные на разных тележках, притягиваются друг к другу. При этом силы их взаимодействия удовлетворяют третьему закону Ньютона: они равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой. Со временем мы убедимся в том, что с помощью второго и третьего законов Ньютона можно вывести большинство законов механики и решать практически все механические задачи. Уже в следующей главе, посвящённой видам сил в механике, вы увидите, насколько эффективно использование законов Ньютона. Поясним, как надо использовать законы Ньютона при решении задач, на следующем простом примере. На рис. 91 изображён локомотив, толкающий перед собой вагон массой W = 40 т по горизонтальному участку железнодорожного пути. В результате действия локомотива вагон движется по рельсам с ускорением, модуль которого \а\ = 1 м/с^. Найдём силу F^^, действующую на локомотив со стороны вагона, считая, что в горизонтальном направлении других действий на вагон нет. 149 Рис. Решение. Выберем систему отсчёта, связанную с рельсами; направим ось X по ходу движения локомотива. Поскольку рельсы неподвижны относительно Земли, связанную с ними систему отсчёта можно считать инерциальной. Будем считать вагон и локомотив точечными телами. Направление ускорения вагона совпадает с положительным направлением оси X. Поэтому значение а этого ускорения положительно, а значение силы, действующей на вагон со стороны локомотива, согласно второму закону Ньютона удовлетворяет соотношению т ■ а — Следовательно, F =т ■ а - 'Fd 000 кг • 1 м/с^ = 40 кН. Теперь можно определить силу Fдействующую на локомотив со стороны вагона. Согласно третьему закону Ньютона модуль этой силы равен найденному нами значению F^^. Направлена же сила Fпротивоположно силе F^^, т. е. противоположно направлению ускорения а вагона. Итоги Если первое тело действует на второе, то второе тело при этом действует на первое. Про такие тела говорят, что они взаимодействуют друг с другом. Третий закон Ньютона. Два тела взаимодействуют друг с другом с силами: 1) равными по модулю; 150 2) противоположными по направлению; 3) лежащими на одной прямой. Кратко этот закон может быть записан в виде: = -F^^, где — сила, действующая на первое тело со стороны второго тела, /^21 ~ сила, действующая на второе тело со стороны первого. Силы, о которых говорится в третьем законе Ньютона, приложены к разным телам, т. е. к телам, которые взаимодействуют друг с другом. Поэтому эти силы не могут уравновесить друг друга. Вопросы 1_ Приведите примеры взаимодействующих тел. 2_ Сформулируйте третий закон Ньютона. 3_ Какими свойствами обладают силы взаимодействия? 4_ Могут ли силы взаимодействия уравновесить друг друга? 5 4 Чему равна сумма сил взаимодействия двух тел? Упражнения Определите силу (модуль и направление), с которой давит на спинку сиденья водитель массой от = 80 кг, если его автомобиль разгоняется по прямолинейному горизонтальному участку дороги с ускорением а = 4 м/с^. Считайте, что в горизонтальном направлении на водителя действует только спинка сиденья. Определите, с какой силой действует на ремень безопасности водитель массой от = 100 кг, если после нажатия на педаль тормоза его автомобиль сбрасывает скорость от 108 км/ч до нуля за 6 с на прямолинейном горизонтальном участке дороги. Считайте, что в горизонтальном направлении на водителя действует только ремень безопасности. 151 Глава Силы в механике Как вы знаете, в механике сила характеризует действие одного тела на другое, в результате которого это другое тело получает ускорение в инерциальной системе отсчёта. В этой главе мы познакомимся с различными силами, которые встречаются в механике, и рассмотрим их свойства. Чтобы при изучении этих свойств избежать ошибок в применении законов Ньютона, нужно, рассматривая ту или иную силу, ответить на четыре вопроса: 1. На какое тело действует данная сила? 2. Какое тело действует с этой силой? (Если нельзя указать такое тело, то не может быть и предполагаемой силы!) 3. Чему равен модуль интересующей нас силы? 4. Куда направлена эта сила? Отметим, что в дальнейшем к этим четырём вопросам добавятся ещё два: к какой точке тела приложена данная сила и какова её природа? Сейчас же, пока рассматриваются лишь точечные тела, мы будем говорить, что все силы приложены просто к телу. §34 Сила тяжести Изучая свободное падение тел {см. § 26), мы отмечали, что любое достаточно тяжёлое и малое по размерам тело, отпущенное из состояния покоя вблизи поверхности Земли, будет совершать свободное падение — двигаться с ускорением g относительно Земли. Напомним, что ускорение свободного падения направлено вертикально вниз, а его модуль принимается нами равным 10 м/с^. Из повседневного опыта вы знаете, что для того, чтобы удерживать камень неподвижным относительно Земли, нужно приложить к нему определённую силу. Поскольку камень при этом остаётся неподвижным в инерциальной системе отсчёта, сумма действуюших на него сил равна нулю. Как только камень будет отпущен, он начнёт падать вертикально вниз с ускоре- 152 rn m g V Puc. Puc. rn m g V нием g, как показано на рис. 92. Так же начнёт падать и грузик отвеса, если перерезать нить, на которой он подвешен (рис. 93). Основываясь на втором законе Ньютона и считая неподвижную относительно Земли систему отсчёта инерциальной, можно объяснить падение тел следующим образом. После отпускания камня и перерезания нити отвеса компенсирующее действие руки на камень и нити подвеса на грузик прекратилось. В результате каждое из этих тел начало двигаться под действием некоторой силы. По второму закону Ньютона эта сила равна в каждом случае произведению массы тела на ускорение свободного падения. Эту силу называют силой тяжести. На любое тело массой т, находящееся вблизи поверхности Земли, всегда действует сила тяжести F ^-т -g. Направление силы тяжести совпадает с направлением ускорения свободного падения. Из сказанного следует, что свободное падение — это движение тела под действием только силы тяжести. Действие силы тяжести связано с притяжением этого тела к Земле. Более подробно о происхождении силы тяжести мы будем говорить в старших классах. Здесь же отметим, что между любыми телами всегда действуют силы притяжения (тяготения). Эти силы называют силами всемирного тяготения или гравитационными силами. 153 Все тела на Земле и во Вселенной притягиваются друг к другу. Почему же мы не ощущаем притяжения большинства тел? Почему, например, притяжение Земли чувствуется на каждом шагу, а даже громадные горы «притягивают» к себе разве что альпинистов? Дело в том, что если подсчитать, какую долю от силы притяжения Земли, действующей на человека, составляет, например, сила притяжения Эвереста, то окажется, что она составляет около тысячной доли процента. Модули сил гравитационного взаимодействия двух взрослых людей, находящихся друг от друга на расстоянии одного метра, равны примерно 0,00000003 Н. Это очень маленькая величина. Огромными гравитационные силы становятся, когда они вызваны космическими объектами с очень болыпими массами. Например, Земля и Луна за счёт гравитационного взаимодействия притягиваются друг к другу с силами, модули которых равны примерно 2 • 10'^ Н. За счёт притяжения Земли Луна является спутником нашей планеты. А в результате притяжения Луны на Земле происходят морские приливы и отливы. Силы гравитационного взаимодействия определяют движение небесных тел, заставляют звёздные системы объединяться в галактики, а галактики — во Вселенную. Итоги На любое тело массой т, находящееся вблизи поверхности Земли, всегда действует сила тяжести F^ = т ■ g. Направление силы тяжести совпадает с направлением ускорения свободного падения (вертикально вниз). Свободное падение — только силы тяжести. это движение тела под действием Между любыми телами действуют гравитационные силы притяжения, называемые также силами тяготения. На Земле действие силы тяжести на тело обусловлено гравитационным взаимодействием этого тела с Землёй. Действием на данное тело гравитационных сил со стороны земных объектов можно пренебречь, так как по сравнению с гравитационным действием Земли оно чрезвычайно мало. Вопросы Что такое сила тяжести? Чему она равна? Приведите примеры действия силы тяжести. 154 Чем вызвано действие силы тяжести на тело вблизи поверхности Земли? Дайте определение свободного падения. Как зависят силы гравитационного притяжения от масс взаимодействующих тел? Является ли движение приземляющегося парашютиста с открытым парашютом свободным падением? На какие четыре вопроса надо уметь отвечать, рассматривая силу? Упражнения 2 3 il4. Определите силу тяжести, действующую: а) на человека массой т = 100 кг; б) на автомобиль массой М= 1,5 т; в) на монету массой т = Ъ г. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с^. Опишите действующую на вас силу тяжести, ответив на четыре вопроса, сформулированные во введении к этой главе. Чему равно ускорение Земли относительно совершающего свободное падение камня? Оцените ускорение Земли относительно инерциальной системы отсчёта, вызванное действием на Землю свободно падающего камня массой ш = 1 кг. Массу Земли считайте равной М = 6 ■ 1Q24 кг. Указания: система отсчёта, связанная с Землёй, в этой задаче не может считаться инерциальной. Поэтому задачу надо решать в ИСО, связанной не с Землёй, а с каким-нибудь удалённым небесным телом (одной из звёзд). Воспользуйтесь третьим законом Ньютона для взаимодействующих камня и Земли, затем воспользуйтесь вторым законом Ньютона для Земли. §35 Сила упругости Как вы уже знаете, при действии на точечное тело силы оно приобретает ускорение в инерциальной системе отсчёта. Если же сумма всех сил, действующих на точечное тело, равна нулю, то его ускорение в ИСО равно нулю. Точно так же в ИСО будет равно нулю ускорение точеч- 155 II Рис. \ А1 = 1^ - 1^ Действие на шнур двух равных сил, направленных в противоположные стороны, приводит к деформации тела. Мерой деформации шнура является его удлинение ного тела, если на него не действуют никакие силы. Причём отличить эти две ситуации и сказать, какая из них имеет место, невозможно. Однако отличие может проявиться, если тело не является точечным, а действующие силы приложены к разным точкам этого тела. Поясним сказанное на примере. Пусть два мальчика возьмут за концы лежащий на полу очень лёгкий резиновый шнур длиной и начнут постепенно его растягивать в противоположные стороны, прикладывая к нему всё большие и большие усилия (рис. 94). Обозначим силу, с которой действует первый мальчик на шнур, j, а силу действия на шнур второго мальчика — JJ. Пусть модули этих сил, возрастая, всё время остаются равными друг другу. В этом случае шнур в целом будет оставаться неподвижным относительно Земли, хотя его разные участки начнут постепенно смещаться друг относительно друга по мере увеличения усилий со стороны мальчиков. Длина шнура будет постепенно увеличиваться. Про растянутый шнур говорят, что он находится в деформированном состоянии, или, более точно, шнур испытывает деформацию растяжения. Когда модули сил станут достаточнЬ большими, шнур вытянется в «струнку» и его длина станет равной /^. Таким образом, если к протяжённому телу в разных его точках приложены две равные по модулю и противоположно направленные силы, то размеры тела изменяются, в нём возникают деформации. 156 Рис. II Силы упругости «стягивают» мальчиков, стремясь вернуть шнур в недеформированное состояние Деформацию растяжения шнура характеризуют его удлинением ■ величиной А/ = /j - 1^. По третьему закону Ньютона в любой момент времени со стороны шнура на мальчиков будут действовать силы По модулю они будут равны силам действия мальчиков; ц, = -F^ i ^ -^п ш ~ ir Силы, действующие со стороны шнура, называют силами упругости. Деформированный шнур «стягивает» мальчиков, стремясь вернуться в недеформированное, исходное состояние (рис. 95). Деформированное тело стремится вернуться в исходное состояние и действует на деформирующие его тела силами упругости. Наряду с деформацией растяжения могут существовать деформации и других видов. Например, при сжатии пружины её длина уменьшается, возникает деформация сжатия, и силы упругости стремятся «растолкнуть» вызывающие сжатие тела (рис. 96). При изгибе стержня возникает деформация изгиба (рис. 97) и т. п. Если после исчезновения сил, вызывающих те или иные деформации, тело возвращается в исходное (недеформированное) состояние, то такие деформации называют упругими. Если же тело не возвращается в исходное состояние, то говорят, что деформации тела были пластическими (неупругими.). Пластические деформации имеют место, например, при изгибании, ковке, штамповке изделий из металлов и пластмасс, лепке из глины и пластилина. 157 Рис. ч Пружина, упирающаяся в стол, сжата действием руки и стола. Силы упругости стремятся «растолкнуть» тела, вызвавшие деформацию гири и двух опор изгибается в поперечном направлении Итоги Если к разным точкам протяжённого тела приложены разные (по направлению и модулю) силы, то в теле возникают деформации. Деформированное тело стремится вернуться в исходное состояние и действует на деформирующие его тела силами упругости. Если после исчезновения деформирующих сил тело возвращается в исходное (недеформированное) состояние, то такие деформации называют упругими. Если же после исчезновения деформирующих сил тело не принимает первоначальной формы, то деформации тела называют неупругими или пластическими. Деформации могут быть разных видов: растяжение, сжатие, изгиб и другие. 158 Вопросы 1_| Перечислите известные вам виды дес|зормаций. Чем отличаются упругие деформации от пластических? Приведите примеры упругих и пластических деформаций. 3_| Как называются силы, с которыми деформированное тело действует на деформирующие его тела? Упражнения Сожмите между ладонями теннисный мяч, удерживая его неподвижно относительно Земли. Зарисуйте схему эксперимента, укажите на ней направления деформирующих сил и сил упругости. В каком из показанных на рис. 98 случаев деформация (сжатие) пружины будет больше? Стрелками изображены силы, прикладываемые мальчиками к одной и той же пружине. Рис. Ф^/1/t Как соотносятся модули сил, показанных на рис. 97: а) Fj и Р^; б) F, и в) и Fg? _ Равны ли суммы сил F, ч- F^ + F^ и F^ + F^ + F^l Указание: стержень считать неподвижным относительно Земли, массой стержня пренебречь. §36 Зависимость силы упругости от деформации. Закон Гука Зависимость сил упругости от деформации была установлена экспериментально английским физиком Робертом Гуком в середине XVII в. Давайте и мы обратимся к опыту. 159 Подвесим к потолку лёгкий резиновый шнур длиной (рис. 99, а). К нижнему концу шнура прикрепим груз небольшой массы т. Начнём постепенно отпускать груз, чтобы он медленно двигался вниз, а шнур всё больше и больше растягивался. Когда мы перестанем удерживать груз, длина шнура станет равной /j, а груз будет висеть неподвижно в системе отсчёта, связанной с Землёй (рис. 99, б). Величина А/, = 1^-1^ будет удлинением шнура. Определим силу, с которой тело массой т действует на шнур. Для этого воспользуемся известными нам законами Ньютона. Так как ускорение груза равно нулю, то согласно второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на груз, равна нулю. Иначе говоря, силы, действующие на груз, скомпенсировали (уравновесили) друг друга. Выясним, какие это силы. Во-первых, как мы уже знаем, на груз действует сила тяжести, равная по модулю т • g и направленная вертикально вниз в отрицательном направлении оси X. Во-вторых, на груз действует сила упругости растянутого щнура. Именно эта сила компенсирует (уравновещивает) действие силы тяжести. Запишем второй закон Ньютона для груза с учётом того, что его ускорение равно нулю, а сила тяжести направлена в отрицательном направлении оси Х\ действует сила тяжести со стороны Земли и сила упругости со стороны шнура. Эти силы компенсируют друг друга, и груз остаётся неподвижным Д/, 2Д/, ЗД/, • • Р If УФ' А У'Ф-’ у к ^упрЗ ^ f W • g L 1 2т ■ g \ ь Зт • g \ Д/ Рис. itilil При упругих деформациях увеличение массы груза в п раз увеличивает удлинение шнура в п раз 160 Следовательно, значение силы упругости = т ■ g, т. е. положительно. Поэтому сила упругости шнура, действующая на груз, направлена в положительном направлении оси X — вертикально вверх. При .этом нижний конец деформированного шнура сместился в отрицательном направлении оси X — вниз. Таким образом, сила упругости шнура направлена в сторону, противоположную вызвавшему её смещению. Иначе говоря, шнур стремится вернуться в исходное, нерастянутое состояние. Снимем висящий груз. Если деформация шнура была упругой, то длина шнура станет первоначальной. Аккуратно подвесим на шнур груз массой 2т. Измерим длину растянутого шнура /g. Если шнур деформировался упруго, то удлинение шнура A/g = 1^~ Iq действием силы 2т ■ g будет равно 2A/j (рис. 100). Продолжая увеличивать массы подвешиваемых грузов, можно прийти к следующему выводу: при упругих деформациях шнура увеличение в п раз массы подвешиваемого груза приводит к увеличению удлинения шнура также в п раз. Следовательно, удлинение шнура при упругих деформациях пропорционально модулю силы упругости. При упругих деформациях отношение модуля силы упругости к удлинению шнура А/ является постоянным. Это отношение характеризует упругие свойства деформируемого тела и называется коэффициентом жёсткости (жёсткостью) этого тела. Обычно коэффициент жёсткости обозначают латинской буквой k. Так как перемещение А/ незакреплённого конца шнура направлено в сторону, противоположную силе этот факт часто записывают в виде: F =-k- аГ. упр Еук опытным путём установил: для любого тела при упругих деформациях эти деформации прямо пропорциональны вызывающим их силам. F=k -М Это утверждение называют законом Гука. Отметим, что в шнуре или нити силы упругости возникают лишь при попытке увеличить их длину (растянуть). В пружинах и стержнях силы упругости возникают не только при их растяжении, но и при сжатии. При упругих деформациях сжатия и растяжения жёсткость тела не изменяется. Поскольку при растяжении длина тела увеличивается, а при сжатии уменьшается, в первом случае удлинение тела считают положительным (А/ > 0), а во втором — отрицательным (А/ < 0). Значение силы, деформирующей тело, считают положительным, если тело растягивают, и отрица- 161 тельным, если его сжимают. На рис. 101 приведена зависимость значения F деформирующей силы от отношения деформации А/ пружины к первоначальной длине /ц. Рис. ^ График зависимости модуля деформирующих сил от удлинения шнура Эксперименты показывают, что для любого тела существует определённое критическое значение модуля деформирующих его сил начиная с которого деформации тела перестают быть упругими. То есть после прекращения действия деформирующих сил, модули которых превышали размеры (и форма) тела не возвращаются к исходным. В этом случае в теле остаются остаточные деформации. При действии на тело таких сил его жёсткость перестаёт быть постоянной (возможно даже разрушение тела). На рис. 102 показан примерный вид графика зависимости модуля деформирующих сил F от удлинения шнура А/. Обратим внимание на то, что на этом графике выделяются две области. В пределах области 1 график имеет вид прямой линии, проходящей через начало координат. Эту область называют областью малых деформаций, или малых деформирующих сил. В этой области выполняется закон Гука. Область II — область больших деформаций, или больших деформирующих сил, ограничена точкой в которой происходит разрыв шнура. В этой области зависимость силы упругости от величины деформаций не является линейной. В области I деформации шнура являются упругими, в области II — пластическими. 162 Итоги Закон Гука. Для любого тела при упругих деформациях эти деформации прямо пропорциональны вызывающим их силам. F=^k - А/, где k — коэффициент жёсткости (жёсткость) тела. Вопросы В каких случаях возникают силы упругости? Куда направлены эти силы при деформациях сжатия и растяжения? Зарисуйте примеры таких деформаций и укажите на рисунках направления действующих сил упругости. 2 J Как соотносятся силы упругости и силы, вызывающие деформации? 3 J Что такое жёсткость тела? При каких деформациях жёсткость тела не изменяется? Приведите примеры тел различной жёсткости. Упражнения Определите жёсткость пружины при упругих деформациях, используя рис. 101. Считайте длину недеформированной пружины /р = 1 см. Определите массу груза на пружине, прикреплённой к неподвижному штативу (рис. 103). Жёсткость пружины k = Ъ Н/см. Длина недеформированной пружины /д = 5 см. Каково соотношение между силами упругости, действующими на руку и стол со стороны сжатой пружины (см. рис. 96), если пружина в сжатом состоянии покоится относительно Земли? Рассмотрите два случая: а) пружина лёгкая; *б) пружина тяжёлая. 163 §37 Сила реакции опоры. Вес Положим камень на горизонтальную крышку стола, стоящего на Земле (рис. 104). Поскольку ускорение камня относительно Земли равно нулю, то по второму закону Ньютона сумма действующих на него сил равна нулю. Следовательно, действие на камень силы тяжести т ■ g должно компенсироваться какими-то другими силами. Ясно, что под действием камня крышка стола деформируется. Поэтому со стороны стола на камень действует сила упругости. Если считать, что камень взаимодействует лишь с Землёй и крышкой стола, то сила упругости должна уравновешивать силу тяжести: Fyjjp = -тп ■ g. Эту силу упругости называют силой реакции опоры и обозначают латинской буквой N. Так как ускорение свободного падения направлено вертикально вниз, сила N направлена вертикально вверх — перпендикулярно поверхности крышки стола. Поскольку крышка стола действует на камень, то по д)етьему закону Ньютона и камень действует на крышку стола силой Р = -N (рис. 105). Эту силу называют весом. Сумма сил, действующих на камень: о = F -т ■ g (второй закон Ньютона) Рис. N=F упр Под действием камня крышка стола деформируется, и на камень действует сила упругости силой камень действует на крышку стола. Эту силу на,эывают весом тела Весом тела называют силу, с которой это тело действует на подвес или опору, находясь относительно подвеса или опоры в неподвижном состоянии. 164 Ясно, что в рассмотренном случае вес камня равен силе тяжести: Р = т ■ g. Это будет верно для любого тела, покоящегося на подвесе (опоре) относительно Земли (рис. 106). Очевидно, что в этом случае точка крепления подвеса (или опора) неподвижна относительно Земли. Для тела, покоящегося на неподвижном относительно Земли подвесе (опоре), вес тела равен силе тяжести. Вес тела также будет равен действующей на тело силе тяжести в случае, если тело и подвес (опора) движутся относительно Земли равномерно прямолинейно. Если же тело и подвес (опора) движутся относительно Земли с ускорением так, что тело остаётся неподвижным относительно подвеса (опоры), то вес тела не будет равен силе тяжести. Рассмотрим пример. Пусть тело массой т лежит на полу лифта, ускорение а которого направлено вертикально вверх (рис. 107). Будем считать, что на тело действуют только сила тяжести т -g vi сила реакции пола N. (Вес тела действует не на тело, а на опору — пол лифта.) В системе отсчёта, неподвижной относительно Земли, тело на полу лифта движется вместе Рис. ^ Г Р т g На груз, покоящийся относительно Земли, действуют две силы: сила тяжести т ■ g и сила упругости нити подвеса. Вес тела Р действует не на груз, а на нить Рис. X о Модуль веса тела в лифте, который движется с направленным вверх относительно Земли ускорением а, больше модуля силы тяжести 165 ■ с лифтом с ускорением а. В соответствии со вторым законом Ньютона произведение массы тела на ускорение равно сумме всех действующих на тело сил. Поэтому: т ■ а = N - т ■ g. Следовательно, N = т ■ а + т ■ g = т ■ {g + а). Значит, если лифт имеет ускорение, направленное вертикально вверх, то модуль силы N реакции пола будет больше модуля силы тяжести. В самом деле, сила реакции пола должна не только скомпенсировать действие силы тяжести, но и придать телу ускорение в положительном направлении оси X. Сила N — это сила, с которой пол лифта действует на тело. По третьему закону Ньютона тело действует на пол с силой Р, модуль которой равен модулю N, но направлена сила Р в противоположную сторону. Эта сила является весом тела в движущемся лифте. Модуль этой силы Р = N= т ■ {g + а). Таким образом, в лифте, движущемся с направленным вверх относительно Земли ускорением, модуль веса тела больше модуля силы тяжести. Такое явление называют перегрузкой. Например, пусть ускорение а лифта направлено вертикально вверх и его значение равно g, т. е. а = g. В этом случае модуль веса тела — силы, действующей на пол лифта, — будет равен Р = т ■ {g + а) = т ■ {g + g) = 2т ■ g. То есть вес тела при этом будет в два раза больше, чем в лифте, который относительно Земли покоится или движется равномерно прямолинейно. Для тела на подвесе (или опоре), движущемся с ускорением относительно Земли, направленным вертикально вверх, вес тела больше силы тяжести. Отношение веса тела в движущемся ускоренно относительно Земли лифте к весу этого же тела в покоящемся или движущемся равномерно прямолинейно лифте называют коэффициентом перегрузки или, более кратко, перегрузкой. Коэффициент перегрузки (перегрузка) — отношение веса тела при перегрузке к силе тяжести, действующей на тело. В рассмотренном выше случае перегрузка равна 2. Понятно, что если бы ускорение лифта было направлено вверх и его значение было равно а = 2g, то коэффициент перегрузки был бы равен 3. Теперь представим себе, что тело массой т лежит на полу лифта, ускорение которого а относительно Земли направлено вертикально вниз (противоположно оси X). Если модуль а ускорения лифта будет меньше модуля ускорения свободного падения, то сила реакции пола лифта по-прежнему будет направлена вверх, в положительном направлении оси X, а её модуль будет равен N = т ■ {g — а). Следовательно, модуль веса тела будет равен 166 а = о |«| > lii Р = N - т ■ (g - а), т. е. будет меньше модуля силы тяжести. Таким образом, тело будет давить на пол лифта с силой, модуль которой меньше модуля силы тяжести. Это ощущение знакомо каждому, кто ездил на скоростном лифте или качался на больщих качелях. При движении вниз из верхней точки вы чувствуете, что ваше давление на опору уменьшается. Если же ускорение опоры положительно (лифт и качели начинают подниматься), вас сильнее прижимает к опоре. Если ускорение лифта относительно Земли будет направлено вниз и равно по модулю ускорению свободного падения (лифт свободно падает), то сила реакции пола станет равной нулю: N= т ■ (g - а) = = т ■ {g - g) = 0. Ъ этом случае пол лифта перестанет давить на лежащее на нём тело. Следовательно, согласно третьему закону Ньютона и тело не будет давить на пол лифта, совершая вместе с лифтом свободное падение. Вес тела станет равным нулю. Такое состояние называют состоянием невесомости. Рис. Модуль ускорения банки, которую резко дёрнули вниз, больше модуля ускорения свободного падения Состояние, при котором вес тела равен нулю, называют невесомостью. Наконец, если ускорение лифта, направленное к Земле, станет больше ускорения свободного падения, тело окажется прижатым к потолку лифта. В этом случае вес тела изменит своё направление. Состояние невесомости исчезнет. В этом можно легко убедиться, если резко дёрнуть вниз банку с находящимся в ней предметом, закрыв верх банки ладонью, как показано на рис. 108. Итоги Весом тела называют силу, с которой это тело действует на подвес или опору, находясь относительно подвеса или опоры в неподвижном состоянии. 167 Вес тела в лифте, движущемся с направленным вверх относительно Земли ускорением, по модулю больше модуля силы тяжести. Такое явление называют перегрузкой. Коэффициент перегрузки (перегрузка) — отношение веса тела при перегрузке к силе тяжести, действующей на это тело. Если вес тела равен нулю, то такое состояние называют невесомостью. Вопросы Какую силу называют силой реакции опоры? Что называют весом тела? К чему приложен вес тела? Приведите примеры, когда вес тела: а) равен силе тяжести; б) равен нулю; в) больше силы тяжести; г) меньше силы тяжести. Что называют перегрузкой? Какое состояние называют невесомостью? Упражнения Семиклассник Сергей стоит на напольных весах в комнате. Стрелка прибора установилась напротив деления 55 кг. Определите модуль веса Сергея. Ответьте на остальные три вопроса об этой силе. Найдите перегрузку, испытываемую космонавтом, который находится в ракете, поднимающейся вертикально вверх с ускорением а = 3g. 3 J С какой силой действует космонавт массой т = 100 кг на ракету, указанную в упражнении 2? Как называется эта сила? 4_| Найдите вес космонавта массой т = 100 кг в ракете, которая: а) стоит неподвижно на пусковой установке; б) поднимается с ускорением а = 4g, направленным вертикально вверх. Определите модули сил, действующих на гирю массой те = 2 кг, которая висит неподвижно "на лёгкой нити, прикреплённой к потолку комнаты. Чему равны модули силы упругости, действующей со стороны нити: а) на гирю; б) на потолок? Чему равен вес гири? Указание: для ответа на поставленные вопросы воспользуйтесь законами Ньютона. 168 ♦б Найдите вес груза массой m = 5 кг, подвешенного на нити к потолку скоростного лифта, если: а) лифт равномерно поднимается; б) лифт равномерно опускается; в) поднимающийся вверх со скоростью V = 2м1с лифт начал торможение с ускорением а = 2 м!&, г) опускающийся вниз со скоростью v = 2 м/с лифт начал торможение с ускорением а = 2 м/с^; д) лифт начал движение вверх с ускорением й = 2 м/с^' е) лифт начал движение вниз с ускорением а = 2 м/с^. §38 Динамометр Динамометр (силомер) — прибор, предназначенный для измерения сил. Действие такого прибора основано на том, что упругие деформации пропорциональны прикладываемым силам. На рис. 109 показан динамометр, используемый в школах при выполнении лабораторных работ по физике. Он состоит из пружины 1, один конец которой прикреплён к основанию 2. К другому концу пружины прикреплена стрелка 3 и проволока 4 с крючком на конце. На основание 2 нанесена шкала 5, пользуясь которой можно определить силу, растягивающую пружину. Отметка «0» на шкале соответствует нерастянутому состоянию пружины. Этот динамометр предназначен для измерения сил в ньютонах. Об этом свидетельствует буква Н (или N) над шкалой. На шкалы динамометров цифры нанесены только против некоторых штрихов. Как же узнать значения деформирующих пружину сил, если стрелка динамометра не совпадает с оцифрованным штрихом? Для этого нужно прежде всего узнать цену деления шкалы прибора (т. е. на сколько изменяется значение силы, действующей на подвес 169 ■ Пружиной являются две пластины, соединённые между собой и сжимаемые рукой когда стрелка смещается на одно деление — расстояние между двумя соседними штрихами). После этого подсчитывают число делений между двумя соседними оцифрованными штрихами. Например, на рис. 109 между штрихами, около которых стоят цифры 2 и 3, находится 10 делений. Следовательно, цена деления этого динамометра равна (3 - 2)/10 = 0,1 Н на деление. Стрелка динамометра отстоит на 4 деления от штриха с цифрой 2. Поэтому модуль деформирующих пружину сил равен 2Н-1-4-0,1Н = 2,4Н. Найденное значение силы упругости не является истинным. Динамометр, как и всякий прибор, имеет погрешность. В паспорте школьного динамометра, рассчитанного на измерение сил в пределах от 0 до 5 Н, говорится, что погрешность прибора = 0,05 Н в любом месте шкалы. С учётом погрешности отсчёта, равной = 0,05, получаем, что общая погрешность Д = Д^^р + \ Н. Следовательно, истинное значение измеренной силы лежит в промежутке от (2,40 - 0,10) Н = 2,3 Н до (2,40 + 0,10) Н = 2,5 Н. Кратко результат измерения силы можно записать в виде: 2,3 Н < 2,5 Н. На рис. ПО показан медицинский динамометр для измерения мускульной силы руки при сжатии кисти в кулак. Имеются динамометры (рис. 111), на шкалы которых нанесены деления, позволяющие измерять массу подвешиваемого тела непосредственно в килограммах (или других единицах измерения массы). М Промышленность выпускает динамометры, предназначенные для измерения сил от сотых долей ньютона до нескольких десятков килоньютонов. На рис. 112 показан так называемый тяговый динамометр. Ml Когда динамометр с подвешенным телом покоится относительно Земли, ди-намометр показывает вес тела. При этом вес тела по модулю пропорциона-I лен его массе (Р = т ■ g). Это и позволяет задать цену деления шкалы динамометра в единицах массы, а сам прибор использовать для измерения массы. 30 Рис. Бытовой динамометр для определения массы груза не больше 10 кг 170 тяжелых грузов Итоги Динамометр — прибор для измерения сил. Принцип действия динамометров основан на однозначной зависимости модуля упругих деформаций от модуля деформирующих сил. Точность измерения сил определяется погрешностью динамометра, которая указывается в паспорте прибора. Вопросы Что такое динамометр? На чём основан принцип действия динамометра? Как изготовить простейший динамометр и отградуировать его? Как определить погрешность измерения сил динамометром? Упражнения Определите массу гири, показанной на рис. 109. Указание: модуль ускорения свободного падения считайте равным 10 м/с^. Погрешность динамометра А = 0,10 Н. Определите модуль силы, с которой трактор, показанный на рис. 112, тянет прицеп. Указание: погрешность тягового динамометра считайте равной цене деления между соседними штрихами на его шкале. 171 *3 Ii4. Д15 На рис. 113 представлен современный цифровой динамометр с подвешенной гирей массой 2 кг. Штатив, на котором закреплён динамометр, стоит на полу лифта. Найдите ускорение лифта в момент фотографирования, если в неподвижном лифте на шкале динамометра были цифры 2,00, а в движущемся — 2,50. Возьмите несколько бытовых динамометров разных конструкций. Определите для каждого прибора пределы измерения и цену деления шкалы. Проведите взвешивание одного и того же тела разными динамометрами. Сравните результаты с учётом погрешности измерений. Приготовьте напольные весы. Установите их в кабине лифта, стоящего на первом этаже, встаньте на них и зафиксируйте показание. Нажмите кнопку верхнего этажа, наблюдайте за изменением показаний весов в моменты, соответствующие: а) началу разгона лифта; б) равномерному движению; в) началу торможения перед остановкой. Объясните причины изменений в показаниях весов. Повторите эксперимент при спуске лифта с верхнего этажа на первый. Сопоставьте результаты экспериментов, объясните различия. 39 Силы трения Из предыдущих параграфов вы знаете, что на любое тело со стороны Земли действует сила тяжести F^,, направленная вертикально вниз. Поэтому на брусок, лежащий неподвижно на горизонтальной крышке стола, будет действовать сила реакции стола N = -F^, направленная вертикально вверх. Модуль этой силы равен тп ■ g. А как заставить этот брусок двигаться вдоль крышки стола? Для этого потребуется приложить к бруску определённое усилие. Чтобы измерить величину этого усилия, воспользуемся динамометром. Расположим динамометр параллельно крышке стола так, чтобы ось его пружины была направ- 172 Рис. Чтобы стронуть брусок с места, необходимо преодолеть силу сухого трения покоя бруска о стол. При 1F| > брусок начнёт двигаться по поверхности стола с ускорением лена горизонтально, как показано на рис. 114. Немного растянув пружину, мы обнаружим, что брусок, несмотря на действие силы, остаётся в покое. Следовательно, появилась сила, которая компенсирует направленную горизонтально силу упругости пружины. Эта сила действует на брусок со стороны крышки стола в горизонтальном направлении. Её называют силой сухого трения покоя FПодчеркнём ещё раз, что эта сила компенсирует силу F упругости пружины, пытающуюся сдвинуть брусок вдоль стола. Продолжая растягивать пружину динамометра, мы обнаружим, что брусок начнёт скользить по крышке только тогда, когда модуль силы упругости пружины, увеличиваясь, превысит некоторое значение F^^. Опыт показывает, что для поддержания неизменной скорости скольжения бруска по горизонтальной крышке стола необходимо продолжать действовать на брусок в направлении его движения определённой силой. Следовательно, и в этом случае на брусок со стороны стола в горизонтальном направлении действует сила, компенсирующая силу упругости. Эту силу называют силой сухого трения скольжения. Так как сумма силы сухого трения скольжения и силы упругости пружины равна нулю, брусок движется по поверхности стола равномерно. О том, как зависит сила сухого трения скольжения от скорости движения тела по опоре, мы поговорим в старших классах. Пока же будем считать, что модуль силы сухого трения скольжения равен максимальному модулю F силы сухого трения покоя. 173 X к N^-m-g-P=0 Р = т ■ g N^ = 2m ■ g т \ V 1 F... Im-g Puc. При увеличении массы в два раза модуль максимальной силы сухого трения покоя бруска о стол возрастает вдвое Чтобы выяснить, от чего зависит значение F , поставим на наш бру-сок гирю, масса которой равна массе бруска (pire. 115). Теперь на брусок, кроме силы тяжести т ■ g, действует вес гири Р, равный т ■ g. Эти силы направлены вертикально вниз. Поэтому модуль силы реакции стола должен возрасти в два раза по сравнению с предыдущим случаем и стать равным 2т ■ g (сравните рис. 114 и 115). Измерим максимальное значение силы сухого трения покоя Оказывается, что это значение также увеличится в два раза: ~ ^^тах' Заме- ним гирю новой, имеющей массу в два раза больше. Ясно, что теперь модуль силы реакции опоры будет равен Зте • g. Опыт показывает, что в этом случае Продолжая увеличивать массу гири, можно прийти к следующему выводу: при увеличении модуля силы реакции опоры в п раз максимальное значение Р^.^^ силы сухого трения покоя также увеличивается в п раз. Таким образом, модуль максимальной силы сухого трения покоя Рпрямо пропорционален модулю силы реакции опоры N. Отношение максимального модуля силы сухого трения покоя к модулю силы реакции опоры называют коэффициентом трения. Коэффициент трения обозначают греческой буквой р (читается «мю»). Тогда р N К н Эта закономерность была установлена французскими учёными Г. Амонтоном (1663-1705) и Ш. Кулоном (1736-1806). Поэтому соотношение = ц • X ча-I сто называют законом Амонтона — Кулона. 174 Коэффициент трения зависит от материалов соприкасающихся тел. Опыт показывает, что этот коэффициент зависит и от качества обработки соприкасающихся поверхностей. Примерные значения коэффициентов трения для различных материалов приведены в таблице 3. При решении некоторых задач силами сухого трения можно пренебречь (например, при скольжении конькобежца по льду). В этих случаях говорят, что по крайней мере одна из соприкасающихся поверхностей является гладкой. В дальнейшем мы будем пользоваться этим термином. Рассмотрим ещё один вид силы трения. Если тело не скользит по поверхности другого тела, а подобно шарику или цилиндру катится, то препятствующую его движению силу трения называют силой трения качения. Опыт показывает, что силы трения качения значительно меньше сил сухого трения скольжения. Этот факт был обнаружен ещё нашими предка- Таблица 3. Примерные значения коэффициентов трения для различных материалов Материалы соприкасающихся тел Коэффициент трения Дуб по дубу 0,62 Сталь (коньки) по льду 0,02 Бронза по бронзе 0,1 Железо по железу 0,15 Резина по чугуну 0,83 Алюминий по алюминию 0,94 Олово по свинцу 2,25 Кирпич по полотну транспортёра 0,4-0,6 Автомобильные шины по сухому асфальту 0,5-0,7 Автомобильные шины по мокрому асфальту 0,35-0,45 Автомобильные шины но сухому бетону 0,9-1,0 Автомобильные шины по мокрому бетону 0,8-0,9 Автомобильные шины по гладкому льду 0,15-0,20 Автомобильные шины по мокрой грунтовой дороге 0,3-0,4 175 оЪЪ" Рис. Использование катков облегчает перемещение тяжёлых грузов, так как силы трения качения значительно меньше сил трения скольжения МИ. Для перемещения тяжёлых грузов они подкладывали под них катки (рис. 116). По этой же причине на транспорте используют колёса. Опыт показывает, что силы трения качения уменьшаются с увеличением твёрдости катящегося тела и поверхности, по которой оно катится. Поэтому в подшипниках (рис. 117) используют шарики (1) или ролики (2), изготовленные из твёрдых сплавов. Подшипники получили широкое распространение в технике. Они позволяют заменить скольжение на качение и тем самым уменьшить силы трения. Во многих случаях трение играет в технике отрицательную роль. Из-за трения изнашиваются и разрушаются движущиеся части ма-щин, уменьшается их эффективность. Часто для уменьшения сил трения между поверхностями трущихся твёрдых тел вводят жидкую смазку. При наличии такой смазки силы трения называют силами вязкого трения. Особенность этих сил состоит в том, что при отсутствии движения тел относительно находящейся между ними жидкости силы вязкого трения оказываются равными нулю. Однако при во.зникновении такого движения силы вязкого трения увеличиваются по мере роста скорости. Этим объясняется, почему находящуюся на плаву многотонную баржу может стронуть с места один человек. Эту баржу может заставить двигаться и лёгкий ветерок. Вместе с тем силы трения могут играть и положительную роль. Благодаря трению мы имеем возможность передвигаться по земле. Ведь без трения подошвы обуви и ведущие колёса автомобилей проскальзывали бы, не давая возможности тронуться с места. Двигаясь по гладкой поверхности, мы не смогли бы затормозить. Поэтому для’увеличения силы трения скользкие дороги (в гололёд) посыпают песком или каменной крошкой. В этом случае увеличивается коэффициент трения. Для увеличения силы трения также можно увеличить и силу реакции опоры N. С этой целью, например, искусственно увеличивают массу тягачей, загружая их балластом. Рис. 176 Итоги При движении или попытке вызвать движение твёрдого тела по поверхности другого твёрдого тела между ними возникают силы сухого трения. До возникновения относительного движения соприкасающихся тел силу трения между ними называют силой сухого трения покоя. Если же тела движутся друг относительно друга, то силу трения называют силой сухого трения скольжения. Сила сухого трения покоя действует на данное тело противоположно направлению, в котором бы двигалось тело при отсутствии трения. Сила сухого трения скольжения и сила вязкого трения направлены противоположно скорости движения данного тела по опоре. Отношение максимального модуля силы сухого трения покоя к модулю силы реакции опоры называют коэффициентом трения. F ^ N Модуль силы сухого трения покоя не превышает произведения коэффициента трения р на модуль силы реакции опоры N. Модуль силы сухого трения скольжения обычно считают равным модулю максимальной силы сухого трения покоя. Вопросы lj Какие виды сил трения вы знаете? Куда направлены эти силы и когда они возникают? 2 J Какие законы физики используются при проведении измерения силы сухого трения скольжения с помощью динамометра? 3J Какие силы со стороны горизонтальной дороги действуют на человека, начинающего бег? Почему бегуны используют обувь с шипами? Приведите примеры, показывающие, что трение может быть: а) полезным; б) вредным. Какие способы уменьшения (увеличения) сил трения вы знаете? 177 Упражнения 1_| С какой по модулю силой мальчик должен толкать ящик массой т, чтобы двигать его равномерно по горизонтальному полу? Коэффициент трения ящика о пол равен ц. С какой минимальной силой надо тянуть по льду стоящего на коньках ученика 7 класса массой 50 кг, чтобы сдвинуть его с места? Указание; для выполнения этого и последующих упражнений используйте данные, приведённые в таблице 3. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g= 10 м/с^. HbJ Проведите эксперимент. Найдите на улице горизонтальную ледяную поверхность. Сравните силы, которые потребуются для того, чтобы, медленно увеличивая силу натяжения верёвки санок, сдвинуть с места стоящие на этой поверхности: а) пустые санки; б) санки с одним семиклассником; в) санки с двумя такими же семиклассниками. Опишите результаты эксперимента и сформулируйте вывод. Ящик стоит на горизонтальном деревянном полу. Для того чтобы сдвинуть его с места, потребовалось приложить к нему в горизонтальном направлении силу, модуль которой равен 200 Н. Определите массу ящика, если коэффициент трения ящика о пол равен 0,5. *Sj Найдите максимальное значение модуля силы трения, действующей на кирпич массой m = 2 кг в тот момент, когда его кладут на движущуюся ленту транспортёра. *6 J Какие силы действуют на автомобиль, начинающий движение? Все колёса автомобиля ведущие. Определите модуль максимального ускорения а, который может иметь этот автомобиль на горизонтальной бетонной дороге. 7 J Во сколько раз отличаются минимальные длины тормозного пути автомобиля при торможении на сухом асфальте и гладком льду? Считайте, что дорога в обоих случаях горизонтальная, а скорость автомобиля перед началом торможения в обоих случаях одинаковая. 178 Для выяснения причин изменения характера движения тел следует рассматривать их движение в инерциальных системах отсчёта. Первый закон Ньютона Существуют системы отсчёта, относительно которых свободное точечное тело покоится или движется равномерно и прямолинейно. Эти системы отсчёта называют инерциальными. При решении задач все системы отсчёта, связанные с Землёй или с телами, движущимися относительно Земли равномерно прямолинейно, будем считать инерциальными. Силой в механике называют физическую величину, характеризующую действие одного тела на другое, в результате которого это другое тело получает ускорение в инерциальной системе отсчёта. Под инертностью тела понимают его свойство препятствовать приобретению ускорения (изменению своей скорости) под действием приложенной силы. Масса — физическая величина, количественно характеризующая инертность тела. В СИ массу тел измеряют в килограммах, а силу — в ньютонах. Под действием силы, модуль которой равен 1 Н, первоначально покоившееся в инерциальной системе отсчёта точечное тело массой 1 кг получает ускорение, модуль которого равен 1 м/с^. Второй закон Ньютона Ускорение а, приобретаемое точечным телом в инерциальной системе отсчёта, равно отношению суммы F всех действующих на это тело сил к его массе т. а = — т Третий закон Ньютона Два тела взаимодействуют друг с другом с силами: 1) равными по модулю; 2) противоположными по направлению; 3) лежащими на одной прямой. Силы взаимодействия двух тел приложены к разным телам, поэтому они не могут уравновесить друг друга. Эти силы являются силами одной природы. Название силы Обозна- чение На какое тело действует Какое тело действует Чему равна по модулю Куда направлена Проявление действия силы Сила тяжести mg На тело, находящееся у поверхности Земли Земля mg Вертикально вниз Притягивает к Земле Сила упругости F упр На тело, вызвавшее деформацию Деформированное тело Пропорциональна деформации: k ■ д/ в сторону, про-ти воположную деформации Стремится сдвитть деформирующее тело Сила реакции горизонтальной опоры на свободно лежащее на ней тело N На тело, лежащее на горизонтальной опоре Горизонтальная опора Силе тяжести тела Вертикально вверх Уравновешивает сил\' тяжести, прижимающ)то тело к опоре Вес тела, лежащего на опоре Р На опору Тело, лежащее на опоре Силе реакции опоры Вертикально вниз Деформирует опору Вес тела, висящего на подвесе Р На подвес Висящее тело Силе упругости подвеса Вертикально вниз Растягивает подвес Сила c^icoro трения скольжения К На тело, скользящее по поверхности Поверхность, по которой скользит тело \i-N В сторону, противоположную движению тела Препятствует движению тела по поверхности (тормозит тело) Глс1вс1 Механическая работа. Энергия. Закон сохранения механической энергии Если известны силы, которые действуют на тело, то можно определить его ускорение в инерциальной системе отсчёта. В этом случае, если известны начальная координата и скорость тела, можно найти закон его движения. А как быть, если действующие на тело силы неизвестны? Такие ситуации встречаются довольно часто. Оказывается, что в некоторых случаях можно определить, как будет двигаться тело. Для того чтобы научиться это делать, необходимо прежде всего познакомиться с новыми понятиями — механическая работа и механическая энергия. §40 Механическая работа В русском языке слово «работа» означает любую деятельность, трудовой процесс, продукт труда, изделие и т. д. В физике это слово также может иметь разный смысл. Поэтому сразу уточним, что при изучении механики мы будем говорить о механической работе, часто опуская для краткости прилагательное «механическая». Понятие «механическая работа» было введено в физику французским учёным Жаком Понселе в 1826 г. Он же предложил специальные правила для расчёта этой физической величины. Мы рассмотрим здесь самые простые случаи расчёта работы, а сложные случаи разберём позднее. Как и раньше, все тела мы будем считать точечными. Положительное направление оси X будем выбирать совпадающим с направлением движения тела. 181 силы F тележка разгоняется. Направления силы F и движения совпадают. Работа положительна Рассмотрим два принципиально разных случая: когда направление действующей на тело силы совпадает с направлением его движения и когда направление силы противоположно направлению движения тела. Начнём с первого случая. Пусть по гладкому горизонтальному полу в положительном направлении оси X инерциальной системы отсчёта едет тележка (рис. 118). Подействуем на эту тележку постоянной силой F в направлении её движения {F> 0). В этом случае тележка начнёт разгоняться. Координата х тележки будет увеличиваться. Пусть к некоторому моменту времени изменение координаты х станет равным Ах. Очевидно, что в этом случае Дх > 0. Работой постоянной силы, действующей на точечное тело вдоль линии его движения, называют произведение значения этой силы на изменение координаты тела. А = F • Ах. Проведём анализ данного выражения. Значение F силы, действующей на тележку, было положительным. Изменение координаты Ах > 0. Поэтому работа силы положительна. Видно, что с увеличением действующей на тележку постоянной силы в некоторое число раз во столько же раз увеличивается работа этой силы. Работа силы возрастёт и при увеличении изменения координаты тележки. Ясно, что чем большую положительную работу над тележкой совершит сила, тем больше увеличится скорость тележки. Рассмотрим второй случай. Пусть та же тележка движется в положительном направлении оси X (рис. 119). Подействуем на тележку постоянной силой, направленной противоположно направлению её движения и положительному направлению оси X {F < 0). В результате тележка будет тормозиться, по- силы F тележка тормозится. Направления силы F и движения противоположны. Работа отрицательна 182 ка ие остановится. До остановки направление движения тележки совпадает с положительным направлением оси X. Поэтому изменение координаты тележки Ах > 0. В этом случае в соответствии с определением постоянная сила совершит над тележкой отрицательную работу А = F■ Ах (т. е. Д < 0). Таким образом, если действующая на тело сила направлена противоположно движению точечного тела (тормозит его), то работа этой силы будет отрицательной. Из рассмотренных примеров ясно, что работа может быть как положительной, так и отрицательной. Если направления движения тела и действующей на него силы совпадают, то работа такой силы положительна. Если же направления силы и движения тела противоположны, то работа силы отрицательна. Подчеркнём, что работа может быть положительной, отрицательной или равной нулю, но она не имеет направления. Поэтому она не является вектором. Отметим, что работа силы будет равна нулю, если изменение координаты тела в направлении действия силы равно нулю. Например, работа силы тяжести над тележкой равна нулю, так как сила тяжести направлена вертикально, а перемещение тележки в этом направлении равно нулю. В СИ единица работы носит название джоуль (Дж) в честь английского физика Дж. Джоуля. Один джоуль — это работа постоянной силы, модуль которой равен одному ньютону, при перемещении точечного тела на один метр в направлении действия силы. В заключение напомним уже известные вам виды движения, при которых работа силы может быть положительной или отрицательной. В задаче «падение» {см. § 26) направление силы тяжести совпадает с направлением движения тела при свободном падении. Поэтому работа силы тяжести положительна (тело разгоняется). Напротив, в задаче «подъём» сила тяжести направлена противоположно движению тела. В этом случае работа силы тяжести отрицательна (тело тормозится). Итоги Работой постоянной силы, действующей на точечное тело вдоль линии его движения, называют произведение значения этой силы на изменение координаты тела. А = F ■ Ах 183 Если направления движения тела и действующей на него силы совпадают, то работа такой силы положительна. Если же направления силы и движения тела противоположны, то работа силы отрицательна. Работа силы равна нулю, если перемещение тела в направлении действия этой силы равно нулю. Работа не имеет направления, поэтому она не является вектором. В СИ единица работы — джоуль (Дж). Один джоуль — это работа постоянной силы, равной одному ньютону, при перемещении точечного тела на один метр в направлении действия силы. Вопросы 3 4. *5. Что называют работой постоянной силы? Чем определяется знак работы силы над телом? В каких случаях работа положительна, отрицательна, равна нулю? Приведите примеры. Как называют единицу работы в СИ? Что такое 1 Дж? Как изменяется скорость тела, если работа единственной действующей на него силы: а) положительна; б) отрицательна; в) равна нулю? Зависит ли работа данной силы над данным телом от выбора системы отсчёта? Рассмотрите случай, когда сила, действующая на тележку, перемещает её вдоль вагона движущегося поезда в направлении его движения. Сравните результаты в системах отсчёта, связанных с поездом и с Землёй. §41 Решение задач на вычисление работы сил Рассмотрим несколько примеров решения задач на вычисление работы сил. Задача 1 Гоночный автомобиль разгоняется на прямолинейной дороге под действием постоянной силы тяги, значение которой F = Ъ кН (рис. 120). Опре- 184 t=0 t>0 Рис. делите работу этой силы при перемещении автомобиля на расстояние L = 100 м. Решение. Поскольку направление силы тяги и направление движения автомобиля совпадают, то А = F ■ L= 5000 Н • 100 м = 500 000 Дж = 500 кДж = 0,5 МДж. Ответ: работа силы тяги равна 0,5 МДж. ^ Отметим, что сила тяги, действующая на автомобиль, создаётся в результате действия сил трения со стороны дороги на ведущие колёса в направлении движения автомобиля. У гоночных автомобилей с реактивным двигателем она создаётся непосредственно этим двигателем. Задача 2 С поверхности Земли вертикально вверх брошен камень, как показано на рис. 121. Какую работу совершит сила тяжести к тому моменту, когда камень поднимется на высоту /г = 45 м? Масса камня равна т=\ кг. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с^. Решение. Поскольку сила тяжести и перемещение камня во время подъёма направлены в противоположные стороны, работа силы тяжести будет ве- 185 личиной отрицательной. Как вы помните, модуль силы тяжести равен т -g. Следовательно, работа силы тяжести над камнем при его подъёме до заданной высоты отрицательна и равна Л = -(те ■ g) ■ h = -(1 кг • 10 м/с^) • 45 м = -10 Н • 45 м = -450 Дж. Ответ: работа силы тяжести равна -450 Дж. Задача 3 Вычислите работу силы тяжести над камнем, брошенным вертикально вверх с поверхности Земли, за промежутки времени: а) от момента броска до момента подъёма на максимальную высоту Н = 60 м; б) от момента достижения максимальной высоты до момента, когда камень окажется на высоте h = 45 м; *в) от момента начала движения с поверхности Земли до момента, когда, опускаясь, камень второй раз за время полёта окажется на высоте h = 45 м. Масса камня равна М = 1 кг. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с^. Решение. а) Повторяя решение предыдущей задачи, получаем: A.^ = -{M-g)-H^-{\ кг - 10м/с2) -60m = -10H-60m = -600 Дж. б) При падении камня из верхней точки направления силы тяжести и движения камня совпадают. Поэтому на этом участке свободного падения работа силы тяжести положительна и равна Дд = М - Я • (Я - /г) - 10 Н ■ 15 м= 150 Дж. *в) Работа силы тяжести в этом случае может быть определена как сумма работ силы тяжести при подъёме камня до верхней точки и при движении камня вниз из верхней точки до высоты /г, т. е. А^ = А^ + А^ = -(М ■ g) ■ Н + М ■ g - {Н - h) = -М -g h = -450 Дж. Сопоставим этот результат с результатом из задачи 2. Можно заметить, что в обоих случаях начальные положения камня (поверхность Земли) и его конечные положения (45 м от поверхности Земли) совпадают. При этом сила тяжести совершает одну и ту же работу. Можно сделать следующий вывод. Работа силы тяжести определяется разностью высот, на которых находилось тело в начальный и конечный моменты времени. Задача 4 На движущуюся кабину лифта массой М в течение некоторого промежутка времени трос действовал с постоянной силой F. Найдите работу: а) силы F\ 186 м 6) силы тяжести; в) суммы этих сил над кабиной лифта, если за указанный промежуток времени она поднялась вертикально вверх на высоту Н. Решение. Пусть ось X системы отсчёта, связанной с Землёй, направлена вертикально вверх, как показано на рис. 122. Тогда значение силы тяжести будет отрицательным, а значение силы Т и изменение координаты кабины лифта — положительными. Поэтому работа силы F положительна и равна а работа силы тяжести — отрицательна и равна При рассмотрении законов динамики неоднократно подчёркивалось, что при одновременном действии на точечное тело нескольких сил его ускорение будет таким же, как и при действии на это тело одной силы, равной сумме всех действующих на него сил. Заменим действующие на кабину лифта силы одной суд^марной. Значение этой силы равно сумме значений силы тяжести и силы F со стороны троса: F^ = F — М ■ g. Поэтому работа суммарной силы над кабиной при её перемещении на высоту Н равна A=F-H = {F-M.g)-H = FH-M-g-H = A+A.. М Рис. При одновременном действии на тело нескольких сил их суммарная работа равна сумме работ этих сил. Таким образом, для рассмотренного случая можно сделать следующие выводы. 1. При F > М ■ g суммарная работа этих сил положительна. Поэтому, если на кабину не действуют другие силы, она должна разгоняться, т. е. её ускорение должно быть положительным. Это же заключение легко сделать и непосредственно из второго закона Ньютона. 2. При F = М ■ g суммарная сила равна нулю. Поэтому и суммарная работа этих сил равна нулю. Кабина будет двигаться без ускорения, т. е. её скорость не будет изменяться. 187 3. Наконец, при F < М ■ g значение суммарной силы отрицательно. Поэтому работа суммы этих сил будет отрицательна. В этом случае кабина будет подниматься с отрицательным ускорением (тормозиться). Итоги Если на точечное тело одновременно действуют несколько сил, их суммарная работа равна сумме работ этих сил. Если суммарная работа всех действующих на тело сил положительна, то скорость этого тела увеличивается. Если суммарная работа всех действующих на тело сил отрицательна, то скорость этого тела уменьшается. Если суммарная работа всех действующих на тело сил равна нулю, то скорость этого тела остаётся неизменной. Сказанное верно, если движение тела рассматривается в инерциальной системе отсчёта. Упражнения 5_ Найдите работу силы трения, тормозящей грузовой автомобиль на отрезке пути Z = 40 м, если модуль силы равен 25 кН. Определите работу силы тяжести над камнем массой те = 5 кг при его падении с высоты /г = 80 м на Землю. Найдите работу порохрвых газов над пулей к моменту её вылета из ствола снайперской винтовки длиной Z, = 1 м. Считайте, что сила действия газов постоянна и её модуль равен 5 кН. Винтовку во время выстрела удерживает неподвижной стоящий на Земле человек. Определите работу силы тяжести над свободно падающим камнем массой те = 1 кг за промежуток времени, в течение которого скорость камня изменяется от v^ = 0 до = 30 м/с. Мальчик действует на движущийся по горизонтальному полу ящик массой те = 20 кг силой, направленной в сторону движения ящика (рис. 123) и равной по модулю 50 Н. Коэффициент трения ящика о пол ц = 0,2. При этом за некоторое время ящик передвинулся на расстояние Z = 2 м. Какую работу за это время совершат: а) мальчик; б) сила тяжести; 188 в) сила трения; г) сумма всех сил, действующих на ящик? Увеличится или уменьшится скорость ящика за это время? §42 Кинетическая энергия Из первых параграфов этой главы следует, что если суммарная работа сил, действующих на тело, положительна, то скорость тела относительно инерциальной системы отсчёта увеличивается. Напротив, если эта работа отрицательна, то скорость тела уменьшается. Таким образом, изменение скорости движения тела и работа, совершённая над этим телом, связаны. Найдём эту связь. Пусть на гладкой горизонтальной плоскости в точке с координатой х^ = 0 (рис. 124) покоится брусок массой т, к которому прикреплена нить. В момент времени t - О эту нить начинают тянуть с постоянной силой в положительном направлении оси X инерциальной системы отсчёта. В результате со стороны нити на брусок будет действовать сила упругости нити F. Согласно второму закону Ньютона брусок начнёт двигаться равноускоренно в положительном направлении оси X. Поскольку начальные координата и скорость бруска были равны нулю, изменение координаты бруска за время t будет равно а ■ Ах = х - х,,= ■0 2 Сила F к этому моменту времени совершит положительную работу А = F ■ Ах = (т - а) а ■ т {а ■ tY т ■ v'^ 189 t = о Рис. Г)(, = о <■>0 о>0 Брусок разгоняется из состояния покоя в инерциальной системе отсчёта под действием силы F = -Fy„p- —т . 7)"^ К моменту t сила F совершила работу А 2 Записывая последнее равенство, мы воспользовались известным из ки-=нематики соотношением v = а ■ t (закон изменения скорости при равноускоренном движении), справедливым в рассматриваемом случае. Подведём первый итог. Мы знаем, что действие на точечное тело не-■скольких сил неотличимо от действия одной силы, которая равна их сумме. Таким образом, если тело первоначально покоилось, то работа А суммы ■icex действующих на тело сил равна половине произведения массы тела на ■<вадрат его конечной скорости. ^ т. . Физическую величину —^— называют кинетической энергией точечного тела массой т, движущегося в инерциальной системе отсчёта со скоростью v. Ci Кинетическая энергия тела определяется скоростью его движения и массой. Она равна работе, которую надо совершить над телом для его разгона из состояния покоя до скорости v в инерциальной системе отсчёта. Чем большая работа совершена над телом при его разгоне, тем большей будет его кинетическая энергия. Из выражения для кинетической энергии видно, что чем больше масса "ела, тем большую работу надо совершить, чтобы разогнать его из состояния покоя до заданной скорости в выбранной ИСО. Кинетическая энергия, как и работа, в-СИ измеряется в джоулях. Будем обозначать кинетическую энергию тела буквой К. Название «кинетическая» происходит от греческого слова кг'уцтп; (кине-I тис) — «движение». 190 Кинетическая энергия точечного тела массой т равна К = т ■ v‘ в той инерциальнои системе отсчета, относительно которой это тело движется со скоростью v. Вернёмся к рассмотренному примеру с бруском. Начальная скорость бру-:ка равнялась нулю. Следовательно, его начальная кинетическая энергия ТН ' ^0 “ —При этом конечная кинетическая энергия бруска после гриобретения им скорости v в результате совершения над телом механи- ческой работы равна т -v‘ . Поэтому О + А = т ■ v‘ Ко-^Л=К, 2 ^ 2 Таким образом, если к начальной нулевой кинетической энергии тела прибавить совершённую над телом суммарную работу А всех действо-эавших на него сил, то получится конечная кинетическая энергия этого гела (рис. 125): К. +А = К . о к Можно показать, что это соотношение будет выполняться и в том случае, если начальная кинетическая энергия тела отлична от нуля. Напри-аер, при свободном падении тела чниз сила тяжести совершает над чим положительную работу. Ско-эость тела растёт. Растёт и его ки-четическая энергия. Если работа, совершаемая над "елом, будет отрицательной, то ки-четическая энергия тела будет 'меныпаться, т. е. тело будет тормо-(иться. (Это будет продолжаться до ех пор, пока тело не остановится.) Например, при подъёме тела сила яжести совершает отрицательную заботу и тормозит его. Поэтому ки-четическая энергия поднимаючце-ося тела будет уменьшаться до тех юр, пока тело не достигнет верх-чей точки подъёма. В случае если отриччательпая ра-юта, соверчпённая над телом, по чодулкз будет равна его начальной :инетической энергии, то конеч- Рис. Если совершаемая иад телом работа А положителыча {А >0), то кинетическая энергия тела увеличивается > ^Сд). При этом тело разгоняется. Если совершаемая над телом работа А отрицательна {А < 0), то кинетическая энергия тела уменьшается (К < /С,|). При этом тело тормозится 191 Рис. М К =- М- 0=0 К =0 ^, = 0 Отрицательная работа над грузовиком, совершённая при столкновении двух автомобилей, уменьшила кинетическую энергию грузовика до нуля. При этом грузовик совершил над затормозившим его движение легковым автомобилем положительную работу ная кинетическая энергия тела станет равна нулю, т. е. тело остановится (полностью затормозится). При этом само тело совершит над тормозящим его движение объектом положительную работу. Эта ситуация показана на рис. 126: движущийся грузовик сталкивается с остановившимся перед светофором легковым автомобилем. В результате удара легковой автомобиль начинает двигаться со скоростью v^. Тело массой т, движущееся со скоростью v в ИСО, за счёт уменьшения скорости до нуля может совершить над другими телами положительную работу, равную его кинетической энергии m-v‘ Таким образом, кинетическая энергия тела массой т, во-первых, равна работе, которую нужно было совершить над этим первоначально покоившимся в ИСО точечным телом, чтобы оно стало двигаться со скоростью v . Кинетическая энергия тела, во-вторых, равна работе, которую это тело может совершить в ИСО над другими телами за счёт уменьшения своей скорости до нуля. При определении кинетической энергии тела необходимо всегда помнить следующее. Вы знаете, что CKoJjocTb тела определяется тем, в какой системе отсчёта рассматривается движение этого тела. Поэтому кинетическая энергия данного тела будет зависеть от того, в какой инерциальной системе мы её вычисляем. Значит, говоря, что кинетическая энергия тела имеет такое-то значение, необходимо указывать, в какой 192 инерциальной системе отсчёта она вычислялась. Наконец, отметим, что полученные выражения справедливы только в инерциальных системах отсчёта, так как при их выводе мы пользовались вторым законом Ньютона. Получим выражение для расчёта кинетической энергии системы тел. Для этого рассмотрим простейший случай. Пусть наша система состоит из двух тел. Если первое тело массой т ^ движется со скоростью , а второе тело массой т.^ — со скоростью в той же ИСО, то эти тела обла- дают кинетическими энергиями ECj = m,-v\ т„ ■ --- и = При полном 2 " 2 торможении эти тела совершат над затормозившими их объектами суммарную работу Л = iCj + К^. Поэтому кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий этих тел. Отметим, что при увеличении кинетической энергии системы тел действующие на эти тела объекты совершают положительную работу, равную изменению кинетической энергии системы тел. Итоги Кинетической энергией точечного тела массой т, движущегося в инерциальной системе отсчёта со скоростью v, называют физическую величину К = т ■ Кинетическая энергия тела определяется скоростью его движения и массой. Она равна работе, которую надо совершить над телом для его разгона из состояния покоя в инерциальной системе отсчёта до скорости v. Если над телом, имеющим в данной ИСО кинетическую энергию iCg, совершена работа Л, то конечная кинетическая энергия тела К^- + А. При Л > О кинетическая энергия тела увеличивается (тело разгоняется), при Л = О она остаётся неизменной (тело движется с постоянной скоростью), при Л < О — уменьшается (тело тормозится). Тело массой те, движущееся со скоростью v в ИСО, за счёт уменьшения своей скорости до нуля может совершить поло- жительную работу, равную его кинетической энергии те • 2 193 Кинетическая энергия данного тела зависит от того, в какой инерциальной системе её вычисляют. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий этих тел. Вопросы 5. 6. Сформулируйте определение кинетической энергии. Может ли кинетическая энергия быть отрицательной? Ответ обоснуйте. Какое название носит единица кинетической энергии в СИ? Какую работу надо совершить над телом массой т, чтобы из состояния покоя разогнать его до скорости vl Как изменяется кинетическая энергия тела, если работа суммы всех действующих на него сил положительна, отрицательна, равна нулю? Какую работу может совершить движущееся в ИСО со скоростью v тело массой т за счёт уменьшения своей скорости до нуля? Известно, что парашютист через некоторое время после раскрытия парашюта движется вниз с постоянной скоростью. Сформулируйте гипотезу о соотношении при таком движении работы силы тяжести и работы силы сопротивления воздуха, совершаемых над системой тел «парашют — парашютист». Докажите эту гипотезу. Упражнения Определите работу, которую надо совершить над телом массой ш = 3 кг, чтобы из состояния покоя разогнать его до скорости V = 2 м/с в ИСО. Определите работу, которую надо совершить над телом массой тп - \0 кг, движущимся относительно Земли со скоростью, модуль которой равен 20 м/с, чтобы полностью затормозить его. Чему равна кинетическая энергия стоящего на дороге автомобиля массой те = 1 т в системе отсчёта, связанной: а) с дорогой; б) с автобусом, едущим по дороге со скоростью 20 м/с? Вычислите кинетическую энергию свободно падающего с высоты /г = 80 м камня массой те = 5 кг в момент его удара о Землю. Найдите скорость камня в этот момент времени. Определите начальную кинетическую энергию грузового автомобиля, который под действием постоянной силы трения про- 194 8 ходит до полной остановки тормозной путь 40 м. Модуль силы трения равен 25 кН. Найдите начальную скорость автомобиля, если его масса равна от = 5 т. Вычислите скорость пули массой от = 10 г, вылетающей из ствола снайперской винтовки длиной Z, = 1 м под действием постоянной силы со стороны пороховых газов, если её модуль равен 5 кН. Винтовку во время выстрела удерживали неподвижной. Определите (через изменение кинетической энергии) работу силы тяжести при свободном падении камня массой от = 2 кг за промежуток времени, в течение которого его скорость изменялась от = о до = 30 м/с. Кинетическая энергия системы из двух тел первоначально была равна /С(, = 100 Дж в системе отсчёта, связанной с Землёй. Над телами этой системы совершили отрицательную работу Л = -80 Дж. В результате первое тело этой системы массой от, = 20 кг остановилось. С какой по модулю скоростью относительно Земли будет двигаться второе тело массой = 10 кг после совершения указанной работы? §43 Система тел. Потенциальная энергия Не только кинетическая энергия определяет величину работы, которую могут совершить тела системы. Действительно, между телами обычно существуют силы взаимодействия. Пусть имеются несколько взаимодействующих друг с другом тел. Будем рассматривать эти тела как нечто целое. В таких случаях говорят, что эти тела образуют систему тел. Все силы, действующие на тела системы, принято разделять на два вида. Силы взаимодействия между телами, принадлежащими системе тел, называют внутренними силами. Силы, действующие на принадлежащие системе тела со стороны тел, не входящих в эту систему, называют внешними силами. Внешние силы принято обозначать индексом «ех» (от англ, external — «внешний»). Поясним сказанное на примере. Представим резиновый шнур, который растягивают в противоположные стороны два мальчика (рис. 127). Такой шнур можно рассматривать как систему тел, состоящую из частей шнура. При этом силы взаимодействия частей шнура друг с другом (силы упруго- 195 Рис. г>> о гИр Рис. о После отпускания бруска сила упругости растянутого шнура совершает работу по разгону бруска X ^1ги) будут внутренними силами. Эти силы изображены на рисунке голубы-и стрелками. Напротив, силы, приложенные мальчиками к концам шнура, ^^дут внешними силами, так как мальчики не входят в выбранную систему ^^л. Эти силы изображены на рисунке контурными стрелками. Частички растянутого резинового шнура, взаимодействуя силами упру-^=>сти, притягиваются друг к другу. Эти силы стремятся вернуть шнур (сис-^SMy тел) в недеформированное состояние. На рис. 128 изображён растя-—'тый шнур, который также удерживают в деформированном состоянии. Ри этом части шнура (тела системы) взаимодействуют друг с другом сила- 196 v„ = о Z! > О Рис. Сила упругости сжатой пружины после отпускания груза совершает работу по его подъёму и разгону ми упругости (внутренними силами). Наоборот, части сжатой пружины (рис. 129), которую удерживают в деформированном состоянии, отталкиваются друг от друга силами упругости (внутренними силами). Если перестать удерживать шнур и пружину в деформированном состоянии, они перейдут в исходное состояние {см. рис. 128 и 129). При этом силы упругости совершат определённую работу. Таким образом, в рассмотренных системгос тел действуют внутренние силы, способные совершить работу только за счёт изменения взаимного расположения тел. В этом случае говорят, что система обладает потенциальной энергией (от лат. potentia — «возможность»). Потенциальная энергия — та часть энергии системы тел, которая определяется взаимным расположением входящих в систему тел или их частей и силами взаимодействия между ними. Потенциальную энергию системы будем обозначать буквой 77. Потенциальную энергию так же, как работу и кинетическую энергию, в СИ измеряют в джоулях. Например, деформированная пружина обладает потенциальной энергией. Эта энергия равна работе, которую могут совершить силы упругости при возвращении пружины в недеформированное состояние. Потенциальную энергию недеформированной пружины считают равной нулю. Пружина жёсткостью k, упруго растянутая (или сжатая) на величину А/, обладает потенциальной энергией 77 = 0,5^ • А/^. Эту формулу мы выведем позднее. Потенциальной энергией обладает и система «тело — Земля». Как вы знаете, на любое тело вблизи поверхности Земли действует сила тяжести. При поднятии или опускании тела сила тяжести совершает работу. 197 Рис. в системе «тело — Земля» сила тяжести т ■ g при падении тела с высоты hg совершает положительную работу А = т ■ g • hg сила тяжести т ■ g при подъёме тела на высоту совершает отрицательную работу А = -т • g ■ ^[наче говоря, сила тяжести в системе «тело — Земля» может совершать ра-оту при изменении взаимного расположения тела и Земли. Рассчитаем потенциальную энергию системы «тело — Земля», считая те-—о точечным. Условимся, что потенциальная энергия такой системы авна нулю, когда тело находится на поверхности Земли. Пусть тело массой т удерживают на высоте от поверхности Земли глис. 130). Если отпустить тело, то под действием силы тяжести оно устре--тится к поверхности Земли. При этом сила тяжести совершает над телом по-гтэжительную работу, так как направления силы тяжести и движения тела ^впадают. К тому моменту, когда тело достигнет поверхности Земли, со-=ршённая силой тяжести работа будет равна А = т ■ g ■ h^, где g — модуль =кореиия свободного падения. Потенциальная энергия рассматриваемой эстемы в конечном состоянии П^, как мы условились, равна нулю. Следо-втельно, в начальном состоянии (когда тело находилось на высоте h^) на-система обладала потенциальной энергией /7„ — А = т ■ g ■ Таким образом, потенциальная энергия системы «тело — Земля» равна П = т ■ g ■ h, если точечное тело массой т находится над поверхностью Земли на высоте h. При этом потенциальную энергию системы «тело — Земля» при А = 0 считают равной нулю. 198 I Пусть теперь тело поднимается с нулевой высоты /г^ = О на высоту h ~ (рис. 131). Сила тяжести в этом случае совершает отрицательную работу А = -m g-h^. (Обоснуйте это утверждение!) Потенциальная энергия системы при подъёме тела увеличится от начальной /7^ = О до конечной n^ = m-g-h. В рассмотренных примерах работа внутренних сил взаимодействия между частями системы (сил упругих деформаций или силы тяжести) приводит к изменению потенциальной энергии системы. Эти силы называют потенциальными. (Существуют и непотенциальные силы. К ним относятся, например, силы трения.) Силы упругих деформаций и сила тяжести являются потенциальными силами. Работа потенциальных сил приводит к изменению потенциальной энергии системы. Обратим внимание на очень важный факт. Любая система, предоставленная самой себе (т. е. система, на части которой не действуют внешние тела), стремится уменьшить свою потенциальную энергию. Действительно, растянутый резиновый шнур стремится сжаться, сжатая пружина — распрямиться. Поднятый над поверхностью Земли камень стремится упасть на Землю. Иначе говоря, потенциальные силы взаимодействия между частями системы всегда стремятся уменьшить потенциальную энергию системы. Чтобы потенциальная энергия системы не изменялась, необходимо, чтобы на части системы действовали другие силы (внешние силы или силы трения), уравновешивающие внутренние потенциальные силы. Например, сжатая (или растянутая) пружина может оставаться в деформированном состоянии, если к ней приложены внешние силы, уравновешивающие силы упругости. Если внешние силы будут совершать над телами системы положительную работу против потенциальных сил, то потенциальная энергия системы будет увеличиваться. Например, если мы растягиваем резиновый шнур или сжимаем пружину, совершая работу против сил упругости, то потенциальная энергия системы увеличивается. То же будет происходить, если поднимать рукой камень, совершая работу против силы тяжести. Напротив, если внутренние потенциальные силы совершают положительную работу, то потенциальная энергия системы уменьшается. Так, сжатая пружина {см. рис. 129), разжимаясь, поднимает и разгоняет тело массой т. При этом потенциальная энергия пружины уменьшается, 199 ■________ Сведём результаты нашего рассмотрения в таблицу (табл. 4). Таблица 4 1 Упруго деформированная на А/ - пружина жёсткостью k Система «Земля — тело массой т, поднятое на высоту h » Имеет возможность совершить работу А при переходе в недеформированное состояние — состояние с нулевой потенциальной энергией Имеет возможность совершить работу Л при опускании тела на нулевую высоту — в состояние с нулевой потенциальной энергией Рабозу Л могут совершить внутренние потенциальные силы системы — силы упругости пружины Работу А может совершизъ внутренняя потенциальная сила системы — сила тяжести Потенциальная энергия системы «пружина» П = А = 0,5^ ■ А/^ Потенциальная энергия системы «Земля — тело» П = А = т ■ g ■ h Для перевода системы из состояния с нулевой потенциальной энергией (из недеформированного состояния) в с(ктояние с потенциальной энергией П внешние силы должны совершить положительную работу А П против сил упругости (внутренних потенциальных сил) Для перевода системы из состояния с нулевой потенциальной энергией (с нулевой высоты) в состояние с потенциальной энергией П внешние силы должны совершить положительную работу А^^ = П против силы тяжести (внутренней потенциальной силы) тоги Потенциальная энергия — та часть энергии системы тел, которая определяется взаимным расположением входящих в систему тел или их частей и силами взаимодействия между ними. Потенциальная энергия системы тел равна работе, которую совершают потенциальные силы при переходе системы в состояние с нулевой потенциальной энергией. Пружина жёсткостью k, упруго растянутая (или сжатая) на величину А/, обладает потенциальной энергией П = 0,Ък • Д/^. Потенциальная энергия системы «тело — Земля» равна П = т ■ g ■ h, если точечное тело массой т находится над поверхностью Земли на высоте h. Сказанное верно, если считать потенциальную энергию системы равной нулю, когда тело находится на поверхности Земли. 200 Силы упругой деформации и сила тяжести являются потенциальными силами. Силы трения не являются потенциальными. Система тел, предоставленная самой себе, стремится уменьшить свою потенциальную энергию. Чтобы потенциальная энергия системы тел не изменялась, необходимо, чтобы на части системы действовали внешние силы или силы трения, уравновешивающие внутренние потенциальные силы. Вопросы 5 6. *7. Что такое потенциальная энергия? Приведите примеры систем тел, обладающих потенциальной энергией. Может ли потенциальная энергия упруго деформированной пружины быть отрицательной? Может ли потенциальная энергия системы «тело — Земля» быть отрицательной? Ответы обоснуйте. Подсказка: чему равна потенциальная энергия системы тел «кирпич — Земля», если кирпич массой т лежит в яме на глубине I от поверхности Земли? Как называется единица потенциальной энергии в СИ? Приведите примеры потенциальных и непотенциальных сил. Может ли потенциальная энергия системы тел уменьшаться, увеличиваться, оставаться неизменной, если на тела системы не действуют внешние силы и силы трения? Приведите примеры. Упражнения Проанализируйте ситуацию, изображённую на рис. 128, ответив на вопросы: а) как изменяется потенциальная энергия растянутого шнура после отпускания прикреплённого к нему бруска? б) положительна или отрицательна работа силы упругости шнура? в) как изменяется кинетическая энергия бруска? Тело массой т переводят с начальной высоты на конечную высоту h^, как показано на рис. 132. Рассмотрите каждый из случаев отдельно и ответьте на вопросы; а) чему равна начальная потенциальная энергия /7^ системы «тело — Земля»? 201 h,. Y , i ^ а к '*0 к ■ f 1 1 g 1 1 1 1 т и «0 .. 0 , , , . 0^. m Рис. *3 *4 б) чему равна конечная потенциальная энергия системы «тело — Земля»? в) увеличивается или уменьшается потенциальная энергия системы «тело — Земля» при движении тела? г) чему равна разность начальной и конечной потенциальных энергий системы «тело — Земля»? д) чему равна работа силы тяжести при переводе тела из начального состояния в конечное? е) равна ли работа силы тяжести разности начальной и конечной потенциальных энергий системы «тело — Земля»? Определите изменение потенциальной энергии АП системы «камень — Земля» за время падения камня массой m = 5 кг с высоты h = 80 м. Определите потенциальную энергию четырёх пружин автомобиля жёсткостью k = 2 кН/см каждая, удерживающих неподвижным ______________________ кузов автомобиля массой ттг = 1 т, как показано на рис. 133. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g= 10 м/с^. Рис. 202 §44 Механическая энергия системы тел. Закон сохранения механической энергии В предыдущих параграфах {см. § 42 и 43) мы изучали различные виды энергии, которыми обладают тела или системы тел. При этом было установлено, что кинетическая энергия определяется движением тел и их массой и зависит от механических параметров системы (масс тел и их скоростей). Потенциальная энергия системы тел определяется их взаимодействием и также зависит от механических параметров (взаимного положения, т. е. координат тел системы, их масс и т. д.). Таким образом, эти виды энергии — кинетическая и потенциальная — определяются механическим состоянием системы тел. Их сумму называют механической энергией системы тел. Сумму потенциальной и кинетической энергий называют механической энергией системы тел. В дальнейшем механическую энергию системы тел мы будем обозначать буквой Е. Е = К+ 11 Рассмотрим, как изменяются кинетическая и потенциальная энергии системы тел на примере свободного падения тела в системе «тело — Земля». При падении тела вниз под действием силы тяжести скорость тела увеличивается. Следовательно, его кинетическая энергия нарастает. При этом расстояние от тела до поверхности Земли уменьшается. Значит, потенциальная энергия системы тел уменьшается при одновременном увеличении кинетической энергии. При подъёме тела, напротив, потенциальная энергия системы возрастает. Скорость тела при этом уменьшается. Следовательно, кинетическая энергия системы уменьшается при одновременном увеличении потенциальной энергии. Отметим, что в рассмотренных примерах силы трения в системе считают пренебрежимо малыми (при свободном падении тело движется только под действием силы тяжести). Поэтому работа сил трения в системе равна пулю. Также пренебрежимо малыми считают внешние силы (силы, действующие на тело и Землю со стороны тел, не входящих в систему). Поэтому их работа также равна нулю. Можно показать, и многочисленные эксперименты это подтверждают, что если суммарная работа внутренних сил трегшя и внешних сил равна нулю, то механическая энергия системы тел — сумма потенциальной и кинетической энергий системы — не изменяется. 203 ш________ Механическая энергия системы тел в инерциальной системе отсчёта не изменяется, если суммарная работа внутренних сил трения и внешних сил равна нулю. П^ + К, =п + к , о о к к’ если А + А =0. тр ех Написанное соотношение вместе с условием называют законом сохранения механической энергии. Для того чтобы усвоить смысл этого закона и научиться правильно его использовать, рассмотрим решение нескольких задач. Задача 1. «Падение» Определите модуль скорости, с которой подлетит к поверхности Земли камень, начавший свободно падать без начальной скорости (о„ = 0) с высоты Лд = 20 м. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с^. Решение. Будем решать задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось X направим вертикально вверх. Рассмотрим систему «камень — Земля». В начальный момент потенциальная энергия этой системы тел равна Uq = т ■ g ■ Лд, где т — масса камня. Начальная кинетическая энергия системы /Сд = 0. (Объясните почему.) При падении камня его кинетическая энергия будет нарастать. При этом потенциальная энергия рассматриваемой системы тел будет уменьшаться. В момент подлёта к Земле Л = 0. Поэтому = т ■ g - h= 0. Кинетическая энергия системы в этот момент будет „ т -v‘^ ^ равна кинетической энергии камня, т. е. Сил сопротивления движению камня нет — он совершает свободное падение. Нет и внешних сил — взаимодействие камня и Земли с другими объектами мы не учитываем. Следовательно, работа внешних сил и сил трения равна нулю. Воспользуемся законом сохранения механической энергии: П„ +К. = П +К . о о К К Подставим в это соотношение найденные значения энергий системы: ,2 т ё-К + т • Vi т g-K + 1 ^ ^ ш • т g-h^ + 0 = 0-1- — v\ = 2g ■ /Zg = 20 • 20 (mVc^). Следовательно, - 20 м/с. ■ 204 Ответ: модуль скорости, с которой камень подлетит к поверхности Земли, равен 20 м/с. Отметим, что в рассмотренной задаче потенциальная энергия системы тел полностью перешла в кинетическую энергию. Задача 2. «Подъём» Определите максимальную высоту h^, на которую поднимется камень, если его скорость у поверхности Земли направлена вертикально вверх, а её модуль = 30 м/с. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с^. Решение. Выберем систему отсчёта, связанную с Землёй, ось X направим вертикально вверх. В качестве системы тел, как и прежде, рассмотрим камень и Землю. Будем считать, что сил сопротивления движению камня нет — он движется, испытывая действие только внутренней потенциальной силы (силы тяжести). Следовательно, камень, поднимаясь вверх, совершает свободное падение. Начальная потенциальная энергия рассматриваемой системы тел равна Яд = ш • g • Ад = m • g ■ о = о, а её начальная кинетическая энергия — т ■ vf. о 2 ■ В момент достижения камнем максимальной высоты его скорость станет равна нулю {v^ = 0). Поэтому кинетическая энергия системы тел будет равна ,2 1 К - т ■ vt = —т ■ о = 0. Потенциальная энергия системы будет равна = т- g - h^, где — искомая максимальная высота, на которую поднимется камень. Подставим полученные значения начальных и конечных потенциальных и кинетических энергий системы в закон сохранения механической энергии Я„ -I- /С,, = П^ + К^. Получим: О-Ь т ■ vf. т ■ g ■ h + 0. Следовательно, h.. = '^0 2g (30 м/с)2 900 45 м. 2 • 10 м/с2 20 Ответ: максимальная высота, на которую поднимется камень, равна = 45 м. 205 Отметим, что в процессе подъёма начальная кинетическая энергия камня полностью перешла в потенциальную энергию системы «камень — Земля». При этом потенциальная энергия системы возросла на величину, в точности равную убыли кинетической энергии. Из рассмотренных примеров можно сделать важный вывод. При свободном падении камня (этапы «подъём» и «падение») изменение потенциальной энергии системы «камень — Земля» равно изменению кинетической энергии этой системы, взятому с обратным знаком. Задача 3. «Сжатие пружины» На лёгкую упругую пружину жёсткостью k = \ МН/м, прикреплённую к стене, налетает скользящий по гладкой горизонтальной плоскости брусок массой m = 25 кг (рис. 134). Модуль скорости бруска v = 10 м/с. Определите максимальное сжатие пружины под действием этого бруска. Решение. Будем решать задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Рассмотрим систему тел, состоящую из пружины и бруска. В момент касания бруском пружины кинетическая энергия системы тел равна т ■ v‘ Рис. . При этом потенциальная энергия нашей системы равна нулю, так как пружина не деформирована. Работа внешних сил (силы тяжести и реакций опор) равна нулю. Сил трения нет. К моменту максимального сжатия пружины на величину А/ брусок остановится. Следовательно, конечная кинетическая энергия указанной системы тел будет равна г. гг нулю. При этом потенциальная энергия системы станет равной ^—. Воспользуемся законом сохранения механической энергии + К^. Подставим в это соотношение найденные значения энергий: О -)- т -v‘ Д/2 -Ь 0. Следовательно, А/2 = т ■ 25 кг • 10^ м^/с^ 25 кг • mV 10« Н/м 10-*, м 72/ ИЯ М- 206 А/= 5/100 (м) = 5 см. Ответ: пружина сожмётся на 5 см. Обратим внимание на то, что мы не смогли бы решить эту задачу, используя непосредственно законы Ньютона и определение работы. Это связано с тем, что совершающая работу сила упругости не остаётся постоянной — эта сила изменяется при сжатии пружины. Итоги Сумму потенциальной и кинетической энергий называют механической энергией системы тел. Е=К + П Закон сохранения механической энергии. Механическая энергия системы тел в инерциальной системе отсчёта не изменяется, если суммарная работа внутренних сил трения и внешних сил равна нулю. если = 0. тр ех При подъёме тела с поверхности Земли и действии на него только силы тяжести кинетическая энергия системы «тело — Земля» переходит в потенциальную; при свободном падении тела с высоты потенциальная энергия системы «тело — Земля» переходит в кинетическую. Использование закона сохранения механической энергии позволяет упростить решение многих задач. Вопросы Что такое механическая энергия системы тел? В каких единицах измеряется механическая энергия в СИ? Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Как изменяются: а) потенциальная, б) кинетическая, в) механическая энергии системы тел «тело — Земля» при свободном падении тела на этапах «подъём» и «падение»? При каких условиях сохраняется механическая энергия системы тел? 207 Упражнения 1_ С крыши дома высотой /г = 45 м отрывается сосулька. Определите скорость сосульки в момент приземления. Модуль скорости приземления свободно падающего вниз камня = 10 м/с. Найдите высоту с которой падал камень, если его начальная скорость равна нулю. Найдите скорость приземления свободно падающего камня, имевшего на высоте h^^ = 40 м от поверхности Земли скорость = 10 м/с, направленную вертикально вверх. Шарик бросают с поверхности Земли вертикально вверх так, что |£^)| = 40 м/с. На какой высоте этот шарик будет иметь скорость = 20 м/с? 1 5_| Шарик бросают с поверхности Земли вертикально вверх так, что |?J = 40 м/с. Какую скорость будет иметь этот шарик на высоте Л = 60 м? Куда может быть направлена эта скорость? ‘i б_| На гладком горизонтальном полу с помощью бруска массой га = 25 кг удерживают прижатую к стене лёгкую пружину жёсткостью k = \ МН/м. При этом пружина была сжата из недефор-мированного состояния на А/ = 1 см. Найдите скорость, которую приобретёт брусок после его отпускания к тому моменту, когда на него перестанет действовать пружина. Сформулируйте гипотезу о том, увеличится, уменьшится или не изменится рассчитанный модуль скорости, с которой камень в задаче 1 из текста параграфа подлетит к поверхности Земли, если учитывать силу сопротивления воздуха при падении. Для обоснования ответа определите, положительную или отрицательную работу совершит над телом сила сопротивления воздуха. Выскажите гипотезу, увеличится, уменьшится или не изменится максимальная высота подъёма тела, рассчитанная в задаче 2 из текста параграфа, если учитывать сопротивление воздуха движению. Для обоснования ответа определите, положительную или отрицательную работу совершит над телом сила сопротивления воздуха. 208 §45 Мощность Как вы уже знаете, система тел, обладающая механической иергией, может совершить работу над внешними телами. В этом случае го-орят, что тела этой системы являются источниками силы. Одна и та же работа разными источниками силы может быть совер-зена за разное время. Например, человек может поднять сотню кирпичей [а верхний этаж строящегося дома за несколько часов. Эти же кирпичи на от же этаж подъёмным краном можно поднять за несколько минут. То сть подъёмный кран может выполнить работу по подъёму кирпичей во [ного раз быстрее человека. Быстроту совершения работы характе-шзуют мощностью. Мощность — физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы. Чтобы определить мощность источника силы, надо работу А силы это-о источника разделить на время М, за которое была совершена работа: М Если за любые равные промежутки времени источник силы совершает динаковую работу Л, то указанное отношение называют мгновенной ющностью (или просто мощностью) этого источника. В других случаях указанное отношение называют средней мощно-тью за заданный промежуток времени. В СИ единицу мощности называют ваттом (Вт): 1 Дж 1 Вт 1 с Единица мощности названа в честь английского физика Джеймса Уатта 1873 г. Сам Уатт использовал в качестве единицы мощности лошадиную илу. Это работа, совершаемая за 1 секунду лошадью, которая работает це-ый день. 1 л. с. = 735 Вт. Для примера отметим, что средняя мощность, развиваемая сердцем че-овека, примерно равна 2 Вт. При интенсивной работе в течение несколь-их минут человек может развивать мощность около 1 кВт, а при отдель-ых движениях (прыжок с места, рывок при поднятии тяжести) мощность ожет достигать 4-5 кВт. Двигатели различных технических устройств, ис-ользуемых в быту, имеют мощности от долей милливатта (электронно-ме-анические часы) до сотен ватт (двигатели стиральной машины, электри- 209 ._________ ческого точила). Мощность же двигателей ракеты космического корабля «Энергия» достигает величины 1,2 • 10^* Вт. Мощность источника силы F можно вычислить, зная силу и скорость V точечного тела, на которое она действует. Как вы помните (см. § 20-21), скорость точки — это отношение перемещения точки к промежутку времени, в течение которого движение точки было практически равномерным и прямолинейным. Следовательно, за такой промежуток времени At перемещение точки Ах = v • At. В течение этого промежутка времени ускорение точки можно считать равным нулю. Следовательно, сумма действующих на точку сил согласно второму закону Ньютона должна быть равна нулю, а каждую из действующих сил можно считать постоянной. Поэтому работа силы, направление которой совпадает с направлением скорости точки, будет равна А = F • v • At. Следовательно, мощность источника силы, которая совпадает по направлению со скоростью, равна N = F -V. Таким образом, если направления скорости и силы совпадают, то мощность источника силы положительна (значения Fvi v имеют одинаковые знаки). Напротив, если скорость тела и действующая на него сила направлены в противоположные стороны, то мощность источника силы отрицательна (значения F п zj имеют разные знаки). Из полученной формулы следует, что, когда мощность двигателя постоянна, сила, которая приложена к движущемуся телу, благодаря работе двигателя увеличивается при уменьшении скорости. Именно поэтому водитель автомобиля, преодолевая участок, на котором сила сопротивления движению автомобиля велика, включает пониженную передачу. Уменьшая скорость автомобиля, он увеличивает силу, вращающую колёса, Рассмотрим теперь, как можно вычислить мощность источника силы, на примере решения следующих задач. Задача 1 Спортсмен поднялся по вертикальному канату за время At = 16 с на высоту /г = 10 м. Какую среднюю мощность развивал этот спортсмен? Масса спортсмена М = 80 кг. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с^. Решение. При подъёме по канату спортсмен совершил работу против силы тяжести, равную А = М ■ g ■ h = 80 КТ ■ 10 м/с^ • 10 м = 8000 Дж. Следовательно, средняя мощность, которую развивал спортсмен, равна > 210 М 8000 Дж 16 с = 500 Вт. Ответ: средняя мощность равна 500 Вт. Задача 2 Определите массу груза, который может поднимать кран с постоянной скоростью V = 90 м/мин. Мощность двигателя крана iV = 15 кВт. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с^. Решение. Из формулы N - F ■ V найдём модуль силы, с которой кран действует на равномерно поднимаемый груз: F = N/v. При равномерном подъёме эта сила должна уравновешивать действующую на груз силу тяжести F = т ■ g. Следовательно, F N 15 ■ 10» Вт 15 • 10'^ Вт ^ g о ■ g 90 м/мин • 10 м/с^ = 10'^ Дж/с 10'’ Н-м/с м^/с’’ м^/ Ответ: масса груза равна 1т. 1,5 м/с • 10 м/с^ 10»С" “/);М/С^10,_^Г: 1 т. Итоги Мощность — физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы. Чтобы определить мощность источника силы, надо работу А силы этого источника разделить на время At, за которое была совершена работа: At 1_ Что такое мощность? 2 *3. Вопросы Как называют единицу мощности в СИ? Может ли мощность источника силы быть отрицательной? Приведите примеры источника силы с отрицательной мощностью. Упражнения Какую работу совершили за год генераторы электростанции, если их средняя мощность за год была равна N = 2,5 МВт? Ответ выразите в джоулях. 211 г* 5_ 6 Определите среднюю мощность человека при быстрой ходьбе, если за At = 0,5 ч он делает 2500 шагов. Известно, что, делая один шаг, человек совершает работу А = 36 Дж. Оцените вашу мощность при ходьбе. Для этого подсчитайте, сколько шагов вы делаете в минуту, в час при равномерном движении. Как изменится мощность, если вы будете идти тот же час с вдвое меньшей скоростью, с вдвое большей скоростью? Проанализируйте решение задачи 1 из параграфа. Уменьшится ли время подъёма на ту же высоту другого спортсмена, если он будет развивать ту же мощность, а его масса равна 60 кг? Найдите время подъёма более лёгкого спортсмена. Самолёт летит прямолинейно горизонтально с постоянной скоростью 1000 км/ч. Вычислите силу сопротивления движению самолёта, если его двигатели развивают мощность 1,8 МВт. Автомобиль массой от = 2 т движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v = 72 км/ч, преодолевая силу сопротивления, равную 0,05 его веса. Какую мощность развивает двигатель автомобиля? 212 Вид энергии Кинетическая энергия точечного тела Потенциальная энергия системы «тело — Земля» Формула для расчёта 2 П = т ■ g ■ h Физический Равна работе, которую может Равна работе силы тяжести СМЫСЛ совершить в ИСО тело над другими телами за счёт уменьшения своей скорости до нуля при опускании тела на нулевую высоту {h = 0) Когда При совершении над телом При совершении силой изменяется положительной работы тяжести положительной (сохраняется) увеличивается на величину этой работы. При совершении над телом отрицательной работы уменьшается на величину, равную модулю этой работы. Если совершённая над телом работа равна нулю, то сохраняется работы (уменьшении высоты h) уменьшается. При совершении силой тяжести отрицательной работы (увеличении высоты h) увеличивается. Если высота h остаётся неизменной, то сохраняется Мехаыи lecK ш энергия системы тел равна сумме кинетических энергий входящих в систему тел и потенциальных энергий их взаимодействия: Е = К + П. Закон сохранения механической энергии Если суммарная работа внутренних сил трения и внешних сил над телами системы равна нулю, то механическая энергия этой системы в ИСО не изменяется (сохраняется). Глава Статика Механика изучает не только изменение характера движения тел в результате действия на них сил. Очень часто требуется установить, при каких условиях тела, несмотря на действие на них других тел, остаются в покое (неподвижны в выбранной системе отсчёта). Эти задачи появились ещё в древности при строительстве зданий, мостов и других сооружений, при создании и применении различных механических устройств для поднятия и перемещения грузов. Решением таких задач занимается специальный раздел механики — статика. ;4б Равновесие тела. Момент силы Вы уже знаете, что если сумма всех действующих на точечное тело сил равна нулю, то это тело в инерциальной системе отсчёта (ИСО) покоится или движется равномерно и прямолинейно. Следовательно, всегда можно выбрать такую инерциальную систему отсчёта, в которой это тело покоится. В этом случае говорят, что тело находится в равновесии. Таким образом, условием равновесия точечного тела в ИСО является равенство нулю суммы всех действующих на него сил. А как быть, если интересующее нас тело не является точечным? В этом случае действующие силы могут быть приложены к разным точкам тела. Тогда, даже если сумма сил равна нулю, реальное тело может деформироваться, т. е. различные его части могут двигаться относительно друг друга. Однако при изучении статики нас будут интересовать только такие тела, деформации которых пренебрежимо малы. Такие тела называют твёрдыми. Как правило, твёрдыми телами считают детали машин и механизмов, строительные конструкции из бетона, стали и т. п. Если можно выбрать ИСО, в которой все точки твёрдого тела покоятся, то о таком теле говорят, что оно находится в состоянии равновесия. 214 в отличие от точечного тела, не имеющего размеров, для твёрдого тела условия равенства нулю суммы всех действующих на него сил недостаточно для того, чтобы оно находилось в состоянии равновесия. Эксперименты показывают, что если сумма всех действующих на твёрдое тело сил равна нулю, то у тела можно найти точку, которая будет неподвижной в ИСО. При этом тело может оставаться неподвижным, а может начать раскручиваться вокруг этой точки. Понятно, что во втором случае не все точки тела будут покоиться и, следовательно, тело не будет находиться в равновесии. Если сумма всех действующих на твёрдое тело сил равна нулю, то у тела можно найти точку, которая будет неподвижной в ИСО. Поясним сказанное на примере. Лежащая на столе тетрадь покоится. Если же вы потянете эту тетрадь за противоположные углы с одинаковыми по модулю, но противоположными по направлению силами (рис. 135), то увидите, что тетрадь начнёт раскручиваться. При этом центр — точка С пересечения диагоналей останется неподвижной. Таким образом, одного условия (равенства нулю суммы всех действующих на твёрдое тело сил) недостаточно для того, чтобы все точки этого тела оставались в покое. Найдём дополнительное условие равновесия, при котором изначально покоившееся твёрдое тело не начинает раскручиваться под действием прикладываемых к нему сил. Рассмотрим твёрдое тело, закреплённое на оси, вокруг которой оно может вращаться. Пусть это будет, например, велосипедное колесо, которое закреплено на оси, обозначенной точкой О (рис. 136). Исследуем, как будет изменяться вращение колеса под действием одной и той же силы F. Для этого приложим силу F к точке А обода колеса и будем изменять направление этой силы. Вначале подействуем на колесо силой F в направлении, перпендикулярном радиусу ОЛ (рис. 136, а). Эксперимент показывает, что в Рис. Равенства нулю суммы всех действующих на твёрдое тело сил недостаточно для нахождения его в покое. Под действием сил F| и Eg тетрадь начинает вращаться вокруг точки С 215 л F Рис. Раскручивающее действие силы F на колесо определяется расстоянием от оси вращения до линии действия силы — /, а также модулем силы ЭТОМ случае колесо начнет раскручиваться по ходу стрелки часов (по часовой стрелке). Если же направление силы F будет таким, как на рис. 136, б, то неподвижное колесо также начнёт раскручиваться по часовой стрелке, но уже медленнее, чем в первом случае. Дальнейшие эксперименты показывают, что с увеличением угла а между направлением действия силы и радиусом ОЛ раскручивающее действие силы будет _уменьшаться. Наконец, если сила F будет направлена точно вдоль радиуса колеса (рис. 136, в), то колесо вообще не начнёт раскручиваться. Если продолжать увеличивать угол а между направлением силы F и радиусом ОА (рис. 136, г), то неподвижное колесо начнёт раскручиваться в противоположную сторону. Понятно, что в случаях а, б w г увеличение модуля силы приведёт к увеличению раскручивающего действия силы. Таким образом, раскручивающее действие силы на колесо зависит как от направления силы, так и от её модуля. Как же описать это действие? Для того чтобы ответить на этот вопрос, введём новые понятия. На каждом из рис. 136 пунктиром изображена линия, вдоль которой действует сила F. Эту линию называют линией действия силы F. .Расстояние от оси вращения до линии действия силы F называют плечом силы. (На рис. 136 плечи силы F перпендикулярны линиям действия силы и обозначены буквой /.) 216 Линию, вдоль которой действует сила, называют линией действия этой силы. Расстояние от оси вращения до линии действия силы называют плечом этой силы. Из рисунка видно, что чем больше плечо силы — длина отрезка /, тем большее раскручивающее действие оказывает сила. В случае, когда плечо силы равно нулю {см. рис. 13б^в), раскручивающее действие силы также равно нулю. Когда плечо силы F максимально {см. рис. 136, а), максимально и её раскручивающее действие. Раскручивающее действие силы описывают физической величиной — моментом силы. Его принято обозначать буквой М. Моментом Мейлы F относительно данной оси называют физическую величину, равную произведению модуля силы на её плечо. M=Fl Если сила стремится раскручивать тело против часовой стрелки {см. рис. 136, г), то её момент считают положительным {М > 0). Напротив, если сила стремится раскручивать тело по часовой стрелке {см. рис. 136, а и б), то её момент считают отрицательным {М < 0). Из определения понятно, почему единицу момента силы в СИ называют ньютон-метр (Н • м). Эксперименты показывают, что если на твёрдое тело действуют несколько сил, то суммарное раскручивающее действие этих сил равно сумме моментов этих сил. Например, если на тело действуют две силы, моменты которых равны по модулю, но противоположны по знаку, то сумма моментов этих сил будет равна нулю и данное тело не будет раскручиваться. Таким образом, твёрдое тело в ИСО остаётся в равновесии, если выполнены два условия: 1) сумма всех действующих на твёрдое тело сил равна нулю; 2) сумма моментов всех действующих на твёрдое тело сил равна нулю. Итоги Если можно выбрать ИСО, в котором точечное тело покоится, то говорят, что это тело находится в равновесии. Условием равновесия точечного тела в ИСО является равенство нулю суммы всех действующих на него сил. 217 Если можно выбрать ИСО, в которой все точки твёрдого тела покоятся, то о таком теле говорят, что оно находится в положении равновесия. Линию, вдоль которой действует сила, называют линией действия силы. Расстояние от оси вращения до линии действия силы называют плечом силы. Моментом М силы F относительно данной оси называют физическую величину, равную произведению модуля силы на её плечо. M = Fl Если сила стремится раскручивать тело в направлении против часовой стрелки, то её момент считают положительным {М > 0). Если сила стремится раскручивать тело в направлении по часовой стрелке, то её момент считают отрицательным {М < 0). Твёрдое тело в ИСО будет оставаться в равновесии, если выполнены два условия: 1) сумма всех действующих на твёрдое тело сил равна нулю; 2) сумма моментов всех действующих на твёрдое тело сил равна нулю. Вопросы 1_ В каком случае говорят, что точечное тело находится в равновесии? 2_ Сформулируйте условие равновесия точечного тела в ИСО. 3_ Какое тело называют твёрдым? 4_ В каком случае говорят, что твёрдое тело находится в равновесии? 5_ Что такое линия действия силы? Что называют плечом силы? 6_ Какая физическая величина характеризует раскручивающее действие силы? 7_ Сформулируйте определение момента силы относительно оси. 8„ Как называют единицу момента силы в СИ? 9_ Когда момент силы считают положительным (отрицательным)? 10_ Сформулируйте условия равновесия твёрдого тела. 11 _ Почему дверную ручку прикрепляют на противоположной от петель стороне двери? 218 i47 Применение условий равновесия твёрдого тела. Решение задач Рассмотрим примеры того, как можно на практике применить условия равновесия твёрдого тела. Пример 1. Равноплечие весы Ещё с древнейших времён для определения массы тел люди использовали равноплечие весы (рис. 137). Понять принцип их работы просто, если воспользоваться вторым условием равновесия твёрдого тела. Коромысло весов может поворачиваться вокруг оси, проходящей через точку О. На равных расстояниях от оси вращения коромысла подвешены одинаковые чашки. В одну чашку помещают груз неизвестной массы ш, а в другую — набор грузов известной массы, например -I- т^. Весы будут находиться в равновесии, если стремящиеся развернуть их коромысло положительный момент т ■ g - ОА и отрицательный момент -(т^ + ■ g ■ О В будут уравновешивать друг друга. Поэтому условие равновесия коромысла весов можно записать в виде: т ■ g - ОА - {т^ л- ■ g ■ ОВ = 0. Так как плечо О А силы тяжести груза равно плечу ОВ силы тяжести гирь, то уравнение обратится в тождество при условии, что т = т^ + т^. Таким образом, равноплечие весы будут находиться в равновесии, если суммарная масса гирь будет равна массе взвешиваемого груза. Если массы груза и гирь не равны друг другу, то коромысло весов начнёт разворачиваться в сторону большего по модулю момента силы тяжести (в сторону большей массы). Чашка весов с большей массой начнёт опускаться. Добавляя (или уменьшая) число гирь известной массы, можно достичь равновесия и таким образом измерить неизвестную массу груза. Рис. Равноплечие весы находятся в равновесии, когда сумма моментов действующих на их коромысло сил равна нулю 219 уравновесить большую силу Р меньшей силой F за счёт увеличения плеча меньшей силы Пример 2. Рычаг Рычагом называют твёрдое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси (или опоры). Применение рычага позволяет получить выигрыш в силе — преодолеть действие большей силы, приложив меньшую силу. Каким образом это можно сделать? Рассмотрим человека, поднимающего камень весом Р с помощью рычага (рис. 138). Человек действует на противоположный конец рычага силой F, направленной вертикально вниз. Под действием моментов сил F VI Р рычаг может вращаться BOKpyrjacH О. Обозначим плечо силы F символом L, а плечо силы Р — символом /. Рычаг будет находиться в равновесии, если сумма вращающих его моментов сил будет равна нулю: F ■ L - Р ■ I = О или — = Р L Следовательно, в рассмотренном случае рычаг находится в равновесии, если отношение приложенных к нему сил обратно пропорционально отношению плеч этих сил. Проведём анализ полученного результата. Если плечо L силы F будет в два раза больше плеча I силы Р, то для поднятия камня человек должен будет приложить к рычагу силу, в два раза меньшую веса камня. Таким образом, увеличивая плечо L прикладываемой силы, можно получить заранее заданный выигрыш в силе. Рассмотренные в примере 1 равноплечие весы также представляют собой рычаг. Однако его ось вращения совпадает с серединой коромысла. Поэтому такой рычаг не даёт выигрыша в силе. Условие равновесия рычага можно использовать для решения задач. Задача «качели» Старший брат массой ЛТ=60кг посадил младшего брата массой W = 40 кг на лёгкую доску качелей на расстоянии Z = 3 м от оси её вращения (рис. 139). Куда должен сесть старший брат, чтобы доска находилась в равновесии? 220 Решение. Ясно, что старший брат должен сесть с противоположной стороны на таком расстоянии / от оси вращения, чтобы выполнялось условие равновесия доски качелей относительно этой оси: Mg-1-m-g-L-O. Следовательно, т ■ L 40 кг 3 м М 60 кг = 2 м. Ответ: чтобы качели находились в равновесии, старший брат должен сесть на расстоянии 2 м от оси вращения качелей. М = 60 кг М = 40 кг Рис. Найдите силу, с которой доска качелей при этом будет действовать на ось вращения (опору). Массой доски качелей можно пренебречь. Решение. По третьему закону Ньютона искомая сила F, с которой доска качелей действует на ось вращения (опору), равна по модулю силе N реакции опоры, с которой ось вращения действует на доску. Для того чтобы найти силу N реакции опоры, применим к доске первое условие равновесия твёрдого тела. На доску действуют три силы (со стороны двух братьев и со стороны оси вращения). Если ось системы отсчёта, связанной с Землёй, направить вертикально вверх, то первое условие равновесия твёрдого тела для доски примет вид: N — М ■ g— т ■ g=0. Следовательно, искомая сила направлена вертикально вниз, а её модуль равен F=N= (М+т) -g = 1000 Н= 1 кН. Ответ: модуль силы, с которой доска качелей действует на опору, равен 1 кН. ^ Мы рассмотрели рычаги, в которых ось вращения находится между точками приложения действующих сил. На практике используют также рычаги, у которых точки приложения сил находятся по одну сторону от оси вращения. Такие рычаги часто называют рычагами второго рода. На рис. 140 изображён подобный рычаг. Задача «рычаг второго рода» На каком расстоянии L от точки опоры О (см. рис. 140) должен взяться за лёгкий рычаг рабочий, чтобы приподнять груз массой М= 200 кг? Линия действия веса этого груза проходит на расстоянии / = 60 см от точки 221 Рис. В рычагах второго рода точки приложения сил находятся по одну сторону от оси вращения рычага Рис. опоры. Рабочий прикладывает к рычагу силу, направленную вертикально вверх, её модуль F - 600 Н. Решение. На рычаг действуют вес груза Р - М ■ g и сила F со стороны рабочего. При этом относительно оси вращения (точки опоры О) момент веса груза положителен, а момент силы, приложенной рабочим, отрицателен. Поэтому условие равновесия данного рычага имеет вид: M-g-l-F-L = 0. Следовательно,L = М ■ g ■ I 200 кг • 10 м/с^ ■ 0,6 м 600 Н = 2 м. Ответ: рабочий должен взяться за рычаг на расстоянии £ = 2 м от точки опоры. Итоги Рычагом называют твёрдое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси (или опоры). Рычаг даёт выигрыш в силе, равный отношению плеч сил. При этом отношение модулей приложенных к нему сил обратно пропорционально отношению плеч этих сил. 222 1. 2 3_ 4. *5. Вопросы Что называют рычагом? Приведите примеры рычагов в быту и в технике. Сформулируйте условие равновесия рычага. Как с помощью рычага получить выигрыш в силе? Чем отличается рычаг первого рода от рычага второго рода? Предложите способы определения равноплечности весов. Упражнения Л 2 *3. ■t 4 Определите массу камня, который приподнимает человек (рис. 138), прикладывая силу F, модуль которой равен 800 Н. Расстояние ОВ = 3 м, ОА = 40 см. Массой рычага пренебречь. Соберите группу из пяти человек. Узнайте свои массы и рассчитайте расстояния от точки опоры доски качелей, на которые каждому из вас необходимо сесть, чтобы качели с пятью учащимися находились в равновесии (сделайте рисунок, на котором изобразите действующие на доску силы и их плечи). Для проверки полученного ответа проведите эксперимент с качелями (используйте рулетку). Как с помощью неравноплечих весов и набора гирь определить неизвестную массу груза? В каком случае палка сильнее давит на плечо путника, показанного на рис. 141, а и б? (Подсказка: определите, рычагом какого рода является палка.) Допустим, вам нужно поднять груз массой 100 кг, а вы можете приложить в вертикальном направлении силу не более 200 Н. Какой рычаг второго рода потребуется вам для выполнения задачи? Нарисуйте схему эксперимента, указав на ней силы и их плечи. §48 Простые механизмы В предыдущем параграфе вы познакомились с рычагом — механическим устройством для перемещения грузов за счёт выигрыша в силе. Используя неравноплечий рычаг, можно, приложив небольшую силу, переместить тело значительной массы. Рычаг был одним из первых механизмов, известных людям с древних времён. Существуют и другие механические устройства, которые позволяют изменять не только модуль силы, но и её направление. Такие устройства называют простыми механизмами. 223 закреплена, можно рассматривать как равноплечий рычаг направление действия силы Механические устройства, с помощью которых можно изменять направление и модуль силы, называют простыми механизмами. вместе с грузом, можно рассматривать как pi>i4ar второго рода. Такой блок даёт выигрыш в силе в два раза Рассмотрим некоторые виды простых механизмов. Блоком называют устройство, представляющее собой колесо с жёлобом, по которому пропускают верёвку, трос или цепь. Принято различать два вида блоков: неподвижный и подвижный. У неподвижного блока (рис. 142, а) ось вращения закреплена. Неподвижный блок действует как равноплечий рычаг относительно оси В вращения колеса (рис. 142, б). Поэтому такой блок не даёт выигрыша в силе. Его используют только для того, чтобы изменить направление прикладываемой силы (рис. 143). У подвижного блока (рис. 144, а) ось вращения перемещается вместе с грузом. Этот блок даёт вы- 224 Рис. Комбинация неподвижного и подвижного блоков позволяет получить выигрыш в силе в два раза и изменить направление силы Рис. Полиспаст даёт выигрыш в силе во столько раз, сколько в нём блоков. Изображённые полиспасты имеют по 6 блоков и дают шестикратный выигрыш в силе игрыш в силе в два раза. Действительно, подвижный блок можно рассматривать как рычаг второго рода относительно точки О. В этой точке верёвка касается блока со стороны её закреплённого конца (рис. 144, б). Плечо ОВ прикладываемой силы F в два раза больше плеча О А веса Р груза. Поэтому, исходя из условия равновесия, модуль прикладываемой силы будет в два раза меньше модуля веса груза. На практике часто используют комбинацию подвижного и неподвижного блоков (рис. 145). Такое сочетание блоков позволяет изменить направление силы и при этом получить двукратный выигрыш в силе. Ещё больший выигрыш в силе можно получить при использовании системы блоков, которую называют полиспастом (рис. 146). Полиспаст представляет собой комбинацию подвижного и неподвижного блоков, которая повторяется несколько раз. При этом все неподвижные блоки, как правило, собраны в одну обойму, а все подвижные блоки — в другую, подвижную обойму. Простым механизмом является и такое устройство, как ворот (рис. 147). Ворот состоит из цилиндра и прикреплённой к торцу цилиндра рукоятки. Цилиндр может вращаться вокруг неподвижной оси. Обычно ворот применяют для подъёма грузов из колодцев, шахт и т. п. 225 Рш\ Fhic. на высоту h с помощью подвижного блока, необходимо конец верёвки переместить на высоту 2/г К простым механизмам относятся и различные виды лебёдок. Одна из них показана на рис. 148. Она представляет собой комбинацию двух воротов, соединённых через зубчатые колёса. Отметим, что использование простых механизмов, дающих выигрыш в силе в несколько раз, приводит к проигрышу в перемещении во столько же раз. Например, при использовании подвижного блока, выигрывая в два раза в силе (рис. 149), мы в два раза проигрываем в перемещении. Для того чтобы поднять груз на зысоту h, нам необходимо переместить конец верёвки на расстояние 2/г. Поэтому совершённая нами работа (затраченная работа) в идеальном случае (т. е. без учёта веса блока, верёвки и действия сил трения в оси блока) при равномерном подъёме груза будет всегда равна полезной работе по перемещению груза: 226 А -Л . 3 П Этот закон называют «золотым правилом механики». Он справедлив для всех простых механизмов. При использовании простых механизмов в идеальном случае затраченная работа равна полезной работе. Выигрывая в силе, мы teo столько же раз проигрываем в перемещении. В данном случае для подвижного блока мы имеем; A^ = P.h, А =F -2h = - -2h = P-h. 3 2 В реальном случае при расчёте затраченной и полезной работ необходимо учитывать вес блоков (рычагов, верёвок и т. п.), а также действие сил трения. Так, при подъёме груза с помощью подвижного блока мы будем совершать дополнительную работу по подъёму самого блока, верёвки и по преодолению силы трения в оси блока. Поэтому в реальности затраченная работа А^ всегда будет больше полезной работы: А^ > А^. Отношение полезной работы к затраченной работе называют коэффициентом полезного действия (КПД) механизма. КПД = 4^ А 3 Коэффициент полезного действ1ия часто выражают в процентах и обозначают греческой буквой Т] (читается «эта»). Л Л = ■ 100 В реальном случае КПД всегда меньше 1 (т) < 100 %). Итоги Механические устройства, с помощью которых можно изменять направление и модуль силы, называют простыми механизмами. В идеальном случае при использовании простых механизмов, выигрывая в силе, мы во столько же раз проигрываем в перемещении. Поэтому затраченная нами работа А^ равна полезной работе А^. Этот закон называют «золотым правилом механики». В реальном случае затраченная работа А^ всегда будет больше полезной работы А^. 227 Отношение полезной работы к затраченной работе называют коэффициентом полезного действия (КПД) механизма. КПД = 4^ Вопросы 2. 3. 4. 5. 6. Что называют простыми механизмами? Приведите примеры таких механизмов. Какие виды блоков вы знаете? Для чего используют неподвижный блок? Какой выигрыш в силе даёт подвижный блок? Сформулируйте «золотое правило механики». Что называют коэффициентом полезного действия (КПД)? Может ли КПД механизма быть больше единицы (больше 100 %)? Упражнения Какой выигрыш в силе даёт ворот, изображённый на рис. 147, в идеальном случае, если радиус его цилиндра равен 10 см, а длина рукоятки составляет 50 см? 2_ Какой выигрыш в силе в идеальном случае даст полиспаст, если в нём будет 4 подвижных блока? 3_| Определите массу ведра с водой, которое можно поднять в идеальном случае с помощью ворота, изображённого на рис. 147, если приложить к ручке силу 300 Н. Длина ручки равна 50 см, а радиус цилиндра — 10 см. 4j Обоснуйте утверждение, что в вороте используется принцип действия рычагов первого и второго рода. Сделайте чертёж, на котором изобразите действующие на ворот силы и их плечи. Определите массу камня, равномерно поднимаемого с помощью полиспаста, изображённого на рис. 146, если показание динамометра равно 100 Н. Определите КПД ворота (см. рис. 147) в идеальном случае, если к его ручке прикладывают силу 300 Н, а масса равномерно поднимаемого груза — 75 кг. Длина ручки равна 50 см, радиус цилиндра — 10 см. *7j Определите КПД полиспаста, изображённого на рис. 146, если модуль приложенной силы равен 200 Н, а масса равномерно поднимаемого камня равна 90 кг. 228 Главо. Давление жидкостей и газов в предыдущих главах мы изучали условия изменения характера движения точечных и твёрдых тел, а также условия их равновесия. Теперь мы переходим к изучению свойств новых объектов: жидкостей и газов. В этой главе мы рассмотрим, какое действие оказывают находящиеся в состоянии покоя жидкости или газы на другие тела. §49 Сила давления и давление Прежде чем изучать действие жидкостей и газов, определим, что же такое давление. Для этого рассмотрим, например, человека на лыжах. Двигаясь по рыхлому снегу, он проваливается в него значительно меньше, чем обычный путник без лыж. Из рис. 150 видно, что идущий по снегу человек оставляет глубокие следы, а стоящий на лыжах почти не проваливается. Если массы стоящих людей одинаковые, то они действуют на снег (давят на опору) с одинаковой силой, равной в данном случае их весу. Силу, действующую перпендикулярно опоре, называют силой давления. На рассмотренном примере мы убедились, что результат действия одинаковых сил давления различен. Почему? Любой из вас без труда ответит, что это объясняется различием в площади поверхности, на которую давит каждый из людей. Чем больше будет площадь соприкосновения, тем мень-uie будет продавливаться снег. У человека на лыжах эта площадь тем больше, чем шире и длиннее его лыжи. Таким образом, ре.зультат действия силы давления зависит от площади, на которую она действует. 229 Рис. Люди с одинаковыми массами действуют на снег с одинаковой силой, но у лыжника площадь опоры больше, он давит на снег слабее Рис. При одинаковой площади соприкосновения с опорой сила давления взрослого человека на снег больше, он оставляет более глубокую лыжню На одинаковые лыжи могут встать и взрослый человек, и ребёнок (рис. 151). За кем из них лыжня будет глубже? Наблюдение показывает, что за взрослым. Площадь соприкосновения двух лыжников со снегом в этом случае будет одна и та же, но вес взрослого человека больше. Следовательно, при одинаковой площади соприкосновения с опорой результат действия силы, с которой давят на опору, тем больше, чем больше модуль этой силы. Опыт показывает, что результат действия силы давления на опору пропорционален модулю этой силы и обратно пропорционален плош,ади опоры. Для описания данного действия в физике используют величину, называемую давлением. Давлением называют отношение модуля ^силы давления, действующей на опору, к площади S поверхности этой опоры. F Давление принято обозначать буквой р. В СИ единица давления носит название паскаль (Па) — в честь французского фи.зика Блеза Паскаля (1623-1662), открывшего важные свойства жидкостей и газов. Один паскаль — это давление, которое создаёт сила в 1 Н, действующая перпендикулярно на поверхность площадью 1 м^. 230 Давление в 1 Па довольно малая величина: примерно такое давление создаёт тело массой 100 г, опирающееся на площадь 1 м^, или лист обычной писчей бумаги на поверхность стола. Поэтому на практике используют более крупные единицы давления: килопаскаль (кПа) и мегапаскаль (МПа). Например, взрослый человек создаёт давление на пол, равное 15-20 кПа, а легковой автомобиль оказывает на дорогу давление 200-300 кПа. Итоги Силу, действующую перпендикулярно опоре, называют силой давления. Давлением называют отношение модуля F силы давления, действующей на опору, к площади S поверхности этой опоры. F В СИ единица давления носит название паскаль (Па): 1 Па = 1 Н/м2. Вопросы 3 4. 5. Приведите примеры, доказывающие, что результат действия силы зависит от её модуля и площади опоры, на которую она действует. Как изменяется этот результат при уменьшении модуля силы и увеличении площади опоры? Какой физической величиной характеризуют действие на опору силы, направленной перпендикулярно поверхности этой опоры? Как называют эту силу? Что называют давлением? В каких единицах измеряют давление в СИ? Почему шины у грузовых автомобилей делают более широкими, чем у легковых? Зачем режущие и колющие инструменты затачивают? Упражнения Выразите в паскалях давления 0,05 Н/см^, 35 кПа, 27 МПа, 300 Н/см2. Какой стороной нужно положить на стол пакет молока (считая его параллелепипедом), чтобы он создавал максимальное дав- 231 *5_ ление? Рассчитайте давления, которые оказывает на поверхность стола пакет молока массой 1 кг, поочерёдно положенный на каждую из трёх различных граней. Необходимые размеры пакета измерьте линейкой. Какое давление создаёт лопата своим лезвием, когда на неё давит человек силой 900 Н? Ширина лезвия лопаты — 30 см, толщина режущего края — 0,5 мм. Мальчик массой 40 кг и его отец массой 100 кг стоят на лыжах. Длина лыж мальчика — 1,4 м, а длина лыж отца — 2 м. Определите давление, которое оказывают на снег лыжи мальчика и его отца, если ширина их лыж одинакова и равна 10 см. Во сколько раз изменится давление, которое вы оказываете на пол лифта, если он начнёт двигаться с ускорением, направленным вниз (вверх), модуль которого в три раза меньше ускорения свободного падения? §50 Атмосферное давление. Закон Паскаля Наша планета окружена атмосферой — огромным по толщине слоем воздуха, превышающим 100 км. Примерно 80 % всей массы атмосферы сосредоточено в нижнем слое высотой около 15 км от поверхности Земли. Воздух удерживается вблизи земной поверхности действующей на него силой тяжести. Если бы Земля не притягивала воздух, то он рассеялся бы в окружающем Землю пространстве. Рассмотрим цилиндрический столб во,здуха атмосферы, который опирается на земную поверхность площадью S (рис. 152). На этот столб действует сила тяжести М ■ g, где М — масса во.зду-ха в этом столбе. В системе отсчёта, связанной с Землёй, сила тяжести столба воздуха, находящегося в покое. Сила давления столба уравновешивается силой реакции оно- воздуха на земную ГГ г-, поверхность плс,щадью 5 ^ СО стороны поверхности Земли. создаёт атмосс1)сриое Поэтому по второму закону Ньютона давление N — М ■ g = 0. 232 По третьему закону Ньютона сила N но модулю равна весу Р столба воздуха, с которой он действует на поверхность Земли. Таким образом, сила, с которой столб атмосферного воздуха давит на земную поверхность площадью S, равна силе тяжести Р = М ■ g. Разделив эту силу на площадь S, получим давление атмосферы на поверхность Земли. Давление воздуха на поверхность Земли (на уровне моря) почти не изменяется и в среднем равно = 101 325 Па. Это давление называют нормальным атмосферным давлением. При решении задач нормальное атмосферное давление приблизительно считают равным 0,1 МПа. Для измерения давления часто используют внесистемную единицу, называемую физической атмосферой (атм): 1 атм = 101 325 Па. Атмосферное давление в каждом конкретном месте может незначительно изменяться с течением времени. Это связано с изменением температуры воздуха, движением воздушных масс и другими причинами. По мере подъёма над уровнем моря толщина давящего сверху столба атмосферного воздуха уменьшается. Поэтому вместе с уменьшением его веса уменьшается и атмосферное давление. Опыт показывает, что при небольшом подъёме от поверхности Земли атмосферное давление уменьшается примерно на 10 Па на каждый метр подъёма. Следовательно, отслеживая изменение атмосферного давления с высотой, можно определить высоту подъёма. Многочисленные эксперименты показывают, что силы атмосферного давления действуют не только на горизонтальную поверхность, но и на стены домов, окна, наклонные крыши и т. п. Действует атмосферное давление и на любую точку человеческого тела. Давление внутри человека в среднем равно атмосферному и уравновешивает внешнее давление. Поэтому человек не ощущает действия атмосферного давления. Тот факт, что силы атмосферного давления в данной точке действуют во всех направлениях одинаково, можно установить экспериментально. Возьмём открытую стеклянную банку, в которой воздух находится под давлением атмосферы, и закроем её горлышко тонкой резиновой плёнкой (рис. 153, а). На поверхность плёнки снаружи будет действовать сила атмосферного давления. При этом плёнка на банке не прогибается, так как изнут^зи действует равная по модулю сила Fдавления воздуха в банке. Если наклонять и перевора- 233 Блез Паскаль ^ чивать банку, то поверхность плёнки будет оставаться плоской (рис. 153, б и в). Следовательно, сила внешнего атмосферного давления, действующая на плёнку, при любом её положении будет равна силе давления воздуха внутри банки (т. е. равна силе давления атмосферы на горизонтальную поверхность плёнки). Значит, атмосферное давление в данной точке по всем направлениям одинаково. Это давление создаётся весом столба атмосферного воздуха, находящегося над данной точкой. Таким образом, воздух передаёт оказываемое на него давление во всех направлениях одинаково. Этот закон был открыт в 1653 г. французским учёным Блезом Паскалем и носит его имя. Воздух передаёт оказываемое на него давление во всех направлениях одинаково. Действие этого закона можно продемонстрировать с помощью прибора, который называют шаром Паскаля (рис. 154). Это полый шар с маленькими отверстиями, расположенными равномерно по всей его поверхности. Шар присоединён к насосу (трубке с поршнем). Если заполнить насос и шар дымом и надавить на поршень, то дым будет выходить из отверстий в шаре одинаковыми струями во всех направлениях. Дым выходит из отверстий под действием разности давлений внутри и снаружи шара. То, что струи дыма одинаковы, доказывает, что добавочное давление, созданное поршнем, передаётся во всех направлениях одинаково. Можно также продемонстрировать, что атмосферное давление уменьшается с высотой. Для этого поднимем банку, горлышко которой закрыто тонкой резиновой плёнкой, на крышу высотного дома. Мы обнаружим, что плёнка, остававшаяся плоской у поверхности Земли, выгнется наружу. Это означает, что внешнее атмосферное давление изменилось: оно стало меньше давления воздуха внутри банки. Если мы будем изменять наклон банки, то убедимся, что форма выгнутой поверхности плёнки при этом останется неизменной. Значит, давление на высоте в данной точке также будет одинаково во всех направлениях, но меньше, чем давление на уровне Земли. Таким образом, на все предметы, находящиеся в атмосфере, действует давление воздуха, которое называют атмосферным давлением. . 234 Итоги Сила, с которой столб атмосферного воздуха давит на земную поверхность, равна силе тяжести: Р — М -g, где М — масса столба воздуха. Давление воздуха на поверхность Земли (на уровне моря) почти не изменяется и в среднем равно: - 101 325 Н/м^ = 0,1 МПа. Это давление называют нормальным атмосферным давлением. Закон Паскаля. Воздух передаёт оказываемое на него давление во всех направлениях одинаково. Вопросы 1_ Почему воздух атмосферы Земли не улетает в космическое пространство? 2_ Что такое атмосферное давление? 3_ Чему равно нормальное атмосферное давление? 4_ Как изменяется атмосферное давление с высотой вблизи поверхности Земли? Как объяснить это явление? 5_ Сформулируйте закон Паскаля. б_ Зависит ли атмосферное давление в данной точке от направления действия? Упражнения Рассчитайте силу нормального атмосферного давления, действующую на горизонтальную крышу дома. Площадь крыши равна 150 м^. ij Определите, с какой силой действует воздух на потолок вашей комнаты, класса. 3_| Выразите в паскалях давление внутри шин колёс автобуса (равное 4,5 атм) и легкового автомобиля (1,8 атм). 4_| Для перемещения тяжёлых пакетов стёкол используют вакуумные присоски. Объясните принцип их действия. Какую массу может удерживать одна присоска площадью 50 см^? 235 § 51 Гидростатическое давление Жидкости так же, как и газы, создают давление благодаря собственному весу. Так, если мы поместим закрытую тонкой резиновой плёнкой стеклянную банку в ёмкость с водой, то плёнка на банке прогнётся внутрь. Прогибание будет тем сильнее, чем глубже под водой будет находиться банка с воздухом. Значит, внутри жидкости существует давление и оно изменяется с глубиной. Известно, что человек, нырнувший в воду, испытывает действие давления со стороны окружающей его воды. То же самое происходит с любым телом, погружённым в любую жидкость. Давление жидкости на покоящееся в ней тело называют гидростатическим давлением. Опыт показывает, что чем глубже опускается ныряльщик, тем большее давление он испытывает. Гидростатическое давление в данной точке жидкости создаётся весом жидкости, находящейся над этой точкой, и весом атмосферы над поверхностью жидкости. Выведем формулу для расчёта гидростатического давления на глубине h. Рассмотрим вертикальный столб жидкости высотой h с площадью поперечного сечения S, находящийся над интересующей нас точкой (рис. 155). Выберем систему отсчёта, связанную с Землёй. Вдоль оси X вниз на столб жидкости действуют сила тяжести т -g м сила атмосферного давления FВверх действует сила искомого гидростатического давления на глубине h. Запишем первое условие равновесия для рассматриваемого столба жидкости с учётом направлений действия сил: F - F - т ■ g = Q. Воспользуемся тем, что: \) F^, = р ■ S, где р — искомое давление на глубине /г; 2) F =р -S- ' атм ^ атм ’ давления Т, жидкости, действующая на выделенный столб жидкости снизу, уравновешивает силу атмосферного давления и силу тяжести 236 3) ш -g = р • = р • /г • 5-g, где р — плотность жидкости, V - h ■ S — объём рассматриваемого столба жидкости. Подставим в условие равновесия столба жидкости выражения для модулей сил: P-S = P.,,^-S+^-g-h-S. Разделив обе части уравнения на S, получаем формулу для расчёта гидростатического давления: P=P,ru + 9-g-h. Анализ этого выражения позволяет сделать следующие выводы. Гидростатическое давление на глубине зависит: 1) от давления р ,, на поверхность жидкости; 2) от плотности жидкости р; 3) от глубины h. Гидростатическое давление в данной точке жидкости не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость. Как и в газах, в жидкостях выполняется закон Паскаля. В этом легко убедиться экспериментально, воспользовавшись той же банкой, горлышко которой затянуто резиновой плёнкой. Погрузив банку в воду, мы убедимся, что плёнка будет прогибаться внутрь одинаково при поворачивании банки на заданной глубине. Жидкость передаёт оказываемое на неё давление во всех направлениях одинаково. Из формулы для гидростатического давления следует, что с увеличением глубины погружения тела давление жидкости на него увеличивается. Поэтому даже хорошо тренированный ныряльщик может погрузиться без специ-iuibHbix приспособлений на глубину не более 30 м. При более глубоких погружениях (до 80 м) используют акваланги, увеличивающие давление воздуха, которым дышит человек, до гидростатического давления окружающей среды. При водолазных работах на больших глубинах (до 300 м) используют жёсткие (панцирные) скафандры, в которых поддерживается нормальное атмосферное давление. Современные аппараты для глубоководных исследований Мирового океана (батискафы) могут погружаться на глубины до 10 км. При этом их корпус подвергается действию давления более 10*^ Па. Итоги Давление жидкости на покоящееся в ней тело называют гидростатическим давлением. Гидростатическое давление на глубине h равно р = р^.и + ?-ё-^^- 237 Закон Паскаля. Жидкость и газ передают оказываемое на них давление во всех направлениях одинаково. 1_ Что такое гидростатическое давление? Вопросы От чего зависит гидростатическое давление? Выведите формулу для расчёта гидростатического давления. Упражнения 1 2 *3. Определите давление в озере на глубинах 1, 10 и 100 м. Атмосферное давление считайте нормальным. Определите, на какую глубину нужно погрузить тело в ртуть, чтобы давление на него увеличилось на 1 атм. В 1648 г. Паскаль продемонстрировал, что можно создать очень большое давление, используя незначительное количество жидкости. Для этого в плотно закрытую бочку, целиком наполненную водой, он вставил через крышку вертикальную длинную узкую трубку. После того как Паскаль заполнил эту трубку водой, бочка треснула. Определите, какую массу воды он влил в трубку, если известно, что бочка выдерживает избыточное внутреннее давление 1 атм, а поперечное сечение трубки равно 1 см^. §52 Сообщающиеся сосуды На рис. 156 изображено несколько сосудов, соединённых снизу между собой трубкой. Такие сосуды называют сообщающимися. Если в сообщающиеся сосуды налить однородную жидкость, то эксперимент показывает, что поверхности жидкости во всех сосудах установятся на одной высоте h. В сообщающихся сосудах поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне. Это явление можно объяснить, используя выведенную формулу для расчёта гидростатического давления. Поскольку жидкость находится в состоя- 238 с однородной жидкостью поверхности жидкости во всех сосудах находятся на одном уровне плотности Pj в сообщающихся сосудах выдавливает жидкость меньшей плотности НИИ покоя, то её давление в точках А, В, С п D, находящихся на одном горизонтальном уровне, должно быть одинаковым. В противном случае жидкость, находящаяся между этими точками, начала бы двигаться. Давление в рассматриваемых точках определяется атмосферным давлением, плотностью жидкости и высотой её столба. Так как налитая жидкость однородна и атмосферное давление на поверхности жидкости во всех сосудах одинаково, то высота столбов жидкости во всех сосудах должна быть одинакова. Наоборот, если в сообщающиеся сосуды налить разные по плотности жидкости, то высота столбов этих жидкостей будет разной. На рис. 157 изображена U-образная трубка, в правое колено которой налили жидкость с плотностью Р|, а в левое колено — жидкость с плотностью Pg. В данном случае Pj > р2- Поэтому более плотная жидкость выдавливает менее плотную и частично заполняет левое колено. Так как жидкости покоятся, то гидростатические давления в правом и левом коленах на уровне АВ границы раздела жидкостей равны. Из формулы для расчёта гидростатического давления находим Рл + P2-S-K ^Рв=Р.ш + Р,-8-К Поэтому Pg • g • /Zg = р, • g • /г,, или pg • /Zg = Pi ' Проанализируем полученное соотношение. Если Pj > pg в некоторое число раз, то < h^B такое же число раз. Разновидности сообщающихся сосудов находят широкое применение в науке и технике. Рассмотрим один из примеров — гидравлический пресс. Принцип работы гидравлического пресса иллюстрирует устройство, показанное на рис. 158. Оно состоит из двух сообщающихся цилиндров разных диаметров, в которых могут без трения двигаться лёгкие поршни. Обо- 239 W" 1 4,^. Рис. 5, fg во столько раз больше Fj, во сколько раз площадь большего поршня больше площади поршня Fj Рис. Схема гидравлического домкрата: 1 — поднимаемое тело; 2 — малый поршень; 3 — большой поршень; 4 — клапаны; 5 — клапан для опускания груза значим площадь меньшего поршня 5'р а большего — S.^. Цилиндры заполнены жидкостью, предназначенной для передачи гидростатического давления. Если приложить к меньшему поршню силу F, (например, поставить на р него груз), то эта сила создаст в жидкости добавочное давление Р^ = ■ Для того чтобы устройство осталось в равновесии, ко второму поршню нужно г ^2 приложить силу г „ которая создаст в жидкости давление р<2 ~ > равное р' F р S ‘^2 (ыедовательно, Или, по-другому, — = —. То есть во столько раз больше Fj, во сколько раз площадь большего поршня Л., больше площади поршня Fj. Таким образом, с помощью гидравлического пресса можно получить выигрыш в силе, равный Иначе говоря, прикладывая к малому поршню небольшую силу, можно большим поршнем со.здать очень большое усилие. С! С В настоящее время гидравлические прессы способны развивать силу 10® Н. Они используются для штамповки деталей из листового металла, выдавливания профилей, а также для прессования различных материалов — фанеры, картона и др. 240 По этому же принципу работают гидравлические домкраты (рис. 159), гидравлические усилители автомобильных тормозов и гидравлические усилители руля. Итоги Сосуды, соединённые снизу между собой трубкой, называют сообщающимися сосудами. В сообщающихся сосудах поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне. Если сообщающиеся сосуды заполнены жидкостями разной плотности, то высоты столбов жидкостей над уровнем границы их раздела определяются соотношением: - h^ - - hy В гидравлическом прессе сообщающиеся сосуды разных сечений и 5’р заполненные однородной жидкостью, используют для получения выигрыша в силе —, равного Вопросы 1. 2. 3 *5. Какие сосуды называют сообщающимися? Приведите примеры сообщающихся сосудов. От чего зависит разность уровней жидкости в сообщающихся сосудах? Что такое гидравлический пресс? Приведите примеры устройств, работающих по тому же принципу, что и гидравлический пресс. Каким образом с помощью гидравлического пресса можно получить выигрыш в силе? Можно ли с помощью гидравлического пресса получить выигрыш в работе? 2_ Упражнения Найдите, во сколько раз различаются высоты столбов жидкостей над уровнем границы их раздела в сообщающихся сосудах, если плотности жидкостей различаются в два раза (см. рис. 157). Как с помощью сообщающихся сосудов и воды определить плотность масла? Плотность воды считать известной. Какой максимальный выигрыш в силе можно получить с помощью гидравлического пресса, площади поршней которого 5’j = 4 см^ 241 ♦4- *5_ \л S^ = 2 м^? Чему будет равен в этом случае модуль силы, действующей на большой поршень, при действии на малый поршень силы, модуль которой равен 600 Н? На сколько нужно переместить малый поршень пресса из упражнения 3, чтобы большой поршень переместился на 1 мм? Под действием силы 100 Н малый поршень гидравлического пресса опустился на 20 см. При этом большой поршень поднялся на 5 см. Какая максимальная сила гидростатического давления действовала на большой поршень? 53 Измерение давления Приборы для измерения давления, создаваемого жидкостями и газами, нг.гыъг.ютманометрами (от греч. pavoc; (манос) — «редкий», «неплотный»). Рассмотрим устройство некоторых видов манометров. На рис. 160 показан жидкостный манометр. Он представляет собой U-образную стеклянную трубку, частично наполненную жидкостью. Если давления над поверхностями жидкости в обоих коленах одинаковы, например равны атмосферному давлению р, , то поверхности жидкостей установятся на одном уровне. Если же давление над поверхностью жидкости в левом колене увеличить {см. рис. 160, б), то ситуация изменится: уровень жидкости в левом колене опустится под действием давления воздуха Pj > р^^..^, а в правом колене — поднимется. При этом чем больше увеличится давление в левом колене, тем большей станет разность уровней жидкости в коленах манометра. Пусть давление над поверхностью жидкости в левом колене равно Pj, а в правом — Высота левого столба жидкости — а правого — /г^. Применим формулу для расчёта гидростатического давления в нижней точке А трубки манометра. Это давление можно вычислить двумя способами. Рассматривая жидкость в левом колене, получим: р^ = р^ + р ■ g ■ /г^; соответственно для правого колена: + р ■ g ■ h^. Приравнивая эти выражения, получим: Pi =Рагм + =Р,.„ + р • g • А/г. Таким образом, если известна плотность р жидкости, то, измеряя разность Л/г высот столбов жидкости в коленах манометра, можно определить, на какую величину неизвестное давление Pj отличается от атмосферного. Из полученной формулы следует, что если Л/г > 0, т. е. /г^ > Aj, то измеряемое давление в левом колене больше атмосферного. Наоборот, если Л/г <0, т. е. /г, < Л,, то измеряемое давлениеPj меньше атмосферного {см. рис. 160, в). 242 Рис. Жидкостный манометр представляет собой U-образную стеклянную трубку, наполненную жидкостью: а — давления над поверхностями жидкости в обоих коленах одинаковы; б — уровень жидкости в левом колене опустился под действием силы давления воздухав — уровень жидкости в левом колене манометра поднялся под действием силы давления атмосферы, так какр^^.^^ >/?, Продолжим анализ полученной формулы. Измеряемая разность давлений Pj - = р • g • А/г. Поэтому если перепад давлений достаточно большой, то для его измерения необходимо либо использовать трубку большой длины (для больших значений А/г), либо использовать жидкость с большой плотностью р. На практике в жидкостных манометрах обычно используют ртуть, плотность которой равна 13,6 г/см'*. Поэтому давление часто измеряют в несистемных единицах — миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.). Давление столба ртути высотой 1 мм равно р = р ■ g - h = 133,3 Па. (Нормальное атмосферное давление на уровне моря равно 101,325 кПа, что соответствует 760 мм рт. ст.) Теперь представим себе, что давление в левом колене манометра над поверхностью жидкости равно нулю. Тогда полученная формула примет вид: Pi = о = р^.^^ -ь р • g • (/Zg - /г,). Следовательно, = р . g. (А^ - h^. Этой фор- 243 го давления. Разность давлений, создаваемых в точке А столбом ртути в трубке и столбом ртути в чашке, уравновешивается давлением атмосферы на открытую поверхность ртути в чашке Устройство барометра-анероида мулои можно воспользоваться для измерения атмосферного давления. Впервые атмосферное давление измерил в 1643 г. итальянский учёный Э. Торричелли. Для получения нулевого давления над поверхностью ртути (что соответствует атмосферному давлению на высоте более 100 км) он поступил следующим образом. Заполнив ртутью запаянную с одного конца стеклянную трубку длиной 1 м и закрыв пальцем отверстие, он перевернул трубку и погрузил незапаянный конец трубки в чашку с ртутью. После этого он убрал палец и обнаружил, что из трубки вылилась только часть ртути (рис. 161). В результате над поверхностью ртути в трубке образовалось не заполненное воздухом пространство — «торричеллиева пустота». Высота /г столба оставшейся в трубке ртути, равная разности высот столбов ртути в трубке (/Zj) и чашке (h^), составила примерно 760 мм. При этом разность давлений, создаваемых в точке А столбом ртути в трубке и столбом ртути в чашке, уравновешивается давлением атмосферы на открытую поверхность ртути в чашке: 0 + p-g-h^=p^^.^ + p-g-k^. Следовательно, Ратм ^9-g-{K-h^) = p-g-h. Если к такой трубке с ртутью прикрепить шкалу с нанесёнными на ней делениями в миллиметрах, то получится ртутный барометр — прибор для измерения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. 244 Барометр-анероид В настоящее время для измерения атмосферного давления используют безжидкост-ные приборы, получившие название баро-метров-анероидов. (Анероид в переводе с греческого — «безжидкостный».) Устройство одного из таких приборов показано на рис. 162. Основным элементом барометра-анероида является круглая металлическая коробка 1, закрытая тонкой гофрированной крышкой — мембраной. Из коробки откачан воздух, и мембрана под действием атмосферного давления прогибается внутрь коробки. К центру мембраны прикреплена пружина 2. При изменении атмосферного давления величина прогиба мембраны изменяется, что фиксируется с помощью стрелки 3, закреплённой на оси вращения 4. Такой прибор обычно имеет две шкалы (рис. 163). Одна шкала проградуирована в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.), другая — в гектопаскалях (гПа). Как уже отмечалось, с увеличением высоты над поверхностью Земли атмосферное давление уменьшается. Поэтому по измерениям атмосферного давления на различных высотах можно судить о высоте подъёма над поверхностью Земли. В барометрах, применяемых в авиации, шкалу градуируют в метрах, а прибор называют высотомером. На практике для измерения давления часто используют трубчатые манометры. Устройство подобного прибора показано на рис. 164. Основным его элементом является изогнутая в дугу упругая металлическая трубка 1. Один жёстко закреплённый конец этой трубки подсоединяется к системе, в которой необходимо измерить давление. Другой конец трубки запаян и находится в свободном положении. При увеличении давления внутри трубки она начинает разгибаться. В результате её свободный конец перемещается относительно корпуса прибора. Это смещение вызывает поворот стрелки 2. Подобные манометры позволяют измерять давление от сотен паскалей до нескольких гигапаскалей (10^ Па) и поэтому широко используются на практике. В частности, их применяют для измерения давления в шинах автомобилей, давления в водопроводных и газовых трубах и т. п. Рис. Устройство трубчатого манометра 245 Итоги Приборы для измерения давления, создаваемого жидкостями и газами, называют манометрами. Жидкостные манометры основаны на измерении разности высот столбов однородной жидкости в сообщающихся сосудах, один из которых находится под действием атмосферного давления. Измеряемая разность давлений равна Pi-P.,u = ?-S-^h. Приборы для измерения атмосферного давления называют барометрами. Существуют ртутные барометры и барометры-анероиды (безжидкостные барометры). Изменение (уменьшение) давления с увеличением высоты над поверхностью Земли позволяет использовать барометры для определения высоты полёта летательных аппаратов. Вопросы 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8. 1. 2_ 3_ Как называют приборы для измерения давления? Какие виды приборов для измерения давления вы знаете? Как устроен жидкостный манометр? Как устроен барометр-анероид? Как устроен трубчатый манометр? Что такое высотомер? Расскажите об опыте Торричелли. Являются ли чашка и трубка в опыте Торричелли (см. рис. 161) сообщающимися сосудами? Упражнения Определите высоту столба воды, действие которого уравновесит атмосферное давление. В течение суток барометр показывал давление: 740; 746; 752 мм рт. ст. Пересчитайте эти показания в Па. Опустите стакан полностью в тазик с водой. Затем переверните стакан под водой вверх донышком и медленно поднимайте его. Объясните, почему вода из стакана не будет выливаться, пока края стакана не поднимутся выше уровня воды в тазике. Как изменится показание барометра-анероида при его подъёме на высоту 300 м над поверхностью Земли? 246 § 54 Закон Архимеда. Плавание тел б Вы уже знаете, что внутри жидкости в любой точке существует гидростатическое давление. Поэтому если внутрь жидкости в сосуде поместить тело (например, шар), то на все точки его поверхности будут действовать силы гидростатического давления (рис. 165, а). Определим сумму этих сил. Для этого рассмотрим второй такой же сосуд, заполненный, как и первый, такой же жидкостью (рис. 165, б). Выделим мысленно во втором сосуде объём жидкости, границы которого совпадают с границами тела в первом сосуде. Поскольку этот объём жидкости покоится относительно Земли, то сумма всех действующих на него сил равна нулю. Иначе говоря, сумма сил гидростатического давления, действующих на выделенный объём жидкости, уравновешивает действующую на него силу тяжести. Следовательно, сумма сил гидростатического давления равна по модулю силе тяжести выделенного объёма жидкости. Эта сумма сил направлена вертикально вверх (рис. 165, в). Поэтому её называют выталкивающей силой. Рис. Сумма сил гидростатического давления, действующих на выделенный объём покоящейся жидкости в сосуде, равна по модулю весу выделенного объёма жидкости и направлена вертикально вверх. Понятно, что на тело в первом сосуде со стороны окружающей жидкости действует такая же выталкивающая сила. Впервые на существование этой силы указал древнегреческий учёный Архимед. Поэтому выталкивающую силу F^ обычно называют силой Архимеда. 247 Сумму сил гидростатического давления, действующих на тело, покоящееся внутри жидкости, называют силой Архимеда. Поскольку масса т выделенного объёма жидкости равна произведению её плотности и объёма V, то модуль силы Архимеда • g • V. Други- ми словами, сила Архимеда по модулю равна весу вытесненной телом жидкости. Если тело поместить в газ, то на это покоящееся тело будут действовать силы давления со стороны окружающего газа. Поэтому на такое тело также будет действовать выталкивающая сила, равная по модулю Дд = р^ • g • У, где р^ — плотность газа, в котором находится тело, V— объём тела. Таким образом, на погружённое в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая и направленная вертикально вверх сила, равная по модулю весу вытесненной этим телом жидкости (или газа). Это утверждение называют законом Архимеда. Рассмотрим тело массой М, целиком погружённое в покоящуюся относительно Земли жидкость. Помимо суммы сил гидростатического давления — силы Архимеда F^ — на это тело действует сила тяжести М ■ g. Если сила тяжести по модулю превышает силу Архимеда, то это тело будет всё глубже погружаться в жидкость, т. е. будет тонуть (рис. 166, а). Так как модуль силы тяжести М ■ g равен (р^ • -g, где р^— средняя плотность те- ла, то тело будет тонуть, если (р^ • F) • g > > Рж ■ g ■ К т. е. если средняя плотность тела будет больше плотности жидкости: р^ > р^. Если же модули сил тяжести и Архимеда равны (при этом р,^, = р^), то тело будет оставаться в покое (рис. 166, б). Наконец, если сила тяжести по модулю окажется меньше силы Архимеда (когда р^ < р^), то тело будет всплывать (рис. 166, в). После того как тело своей верхней границей достигнет поверхности жидкости и будет продолжать подниматься, всё более выступая над поверхностью, объём погружённой в жидкость части тела будет уменьшаться. Поэтому выталкивающая сила со стороны жидкости также начнёт уменьшаться, пока не станет равной по модулю силе тяжести: Mg. б с о Ш-f 248 Для плавания тела на поверхности жидкости необходимо, чтобы сила тяжести уравновешивалась выталкивающей силой. Это равенство является условием плавания тела на поверхности жидкости. Модуль выталкивающей силы = g- V^, где — объём вытесненной телом жидкости. Поэтому условие плавания тела на поверхности жидкости - Fj можно представить в виде: р ■ V = р ■ V . г Т Т г Ж Ж Рассмотрим примеры применения закона Архимеда для решения практических задач. Задача 1. Определение подъёмной силы воздушного шара Воздушные шары используют в воздухоплавании для подъёма грузов (людей, приборов и т. п.). Для того чтобы шар с грузом мог взлететь, его наполняют газом, плотность которого меньше плотности окружающего воздуха. Таким газом может быть, например, гелий. Однако в последнее время чаще используют нагретый воздух, так как плотность воздуха уменьшается при нагревании. Для нагревания воздуха внутри воздушного шара снизу в нём делают отверстие, под которым располагают горелку. Нагревание воздуха внутри шара и уменьшение его плотности приводит к появлению подъёмной силы. Подъёмной силой шара называют силу, равную по модулю весу груза, с которым шар может подниматься равномерно: F^^^ = Р. Определите эту силу. Решение. На рис. 167 изображены воздушный шар и действующие на него силы: сила тяжести т ■ g, сила Архимеда F^ и Р — вес груза. Если шар поднимается равномерно, то его ускорение равно нулю. Поэтому по второму закону Ньютона: F^ - т ■ g - Р - т ■ а = т ■ Р = Q. Следовательно, Р = Р.-т- g. Поэтому Р = Р.-т ■ g. Подъёмная сила воздушного шара равна разности модулей действующих на этот шар силы Архимеда и силы тяжести. 249 . Задача 2. Определение водоизмещения и грузоподъёмности судна Пусть судно массой М стоит у причала под погрузкой (рис. 168). На судно помещён груз массой т и судно находится в равновесии. Определите объём той части судна, которая находится ниже уровня воды. Решение. По второму закону Ньютона сумма сил, действующих на судно, равна нулю (условие плавания): /-Д - {т + М) • g = 0. Вместе с тем модуль силы Архимеда F^ = - g ■ F. Здесь — плотность воды, а Н — объём той части судна, которая находится ниже уровня воды. Подставляя выражение для в условие плавания, получаем: рв--?- к; Следовательно, (те -ь М) ■ g = 0. V = т + М Из последнего выражения видно, что чем больше масса те груза, тем большая часть судна погружается под воду. С увеличением массы груза увеличивается осадка судна — глубина, на которую судно погружается в воду. Максимально допускаемую при загрузке осадку отмечают на корпусе судна линией. Её называют ватерлинией. Модуль веса воды, вытесняемой судном при погружении до ватерлинии, называют водоизмещением судна. Обозначим объём той части судна, которая находится ниже ватерли-Кпах- Тогда водоизмещение судна равно Рз • g • Лл:. Ш 250 Подставляя это выражение в условие плавания, легко найти модуль силы тяжести, действующей на груз максимально допустимой массы: Рв-.?- Кпах-К,вх + ^ т ■ g = р ■ g - V -M g. ® Г» О niax ~ Полученную величину называют грузоподъёмностью судна. Видно, что грузоподъёмность судна равна разности его водоизмещения и модуля силы тяжести судна без груза. Итоги Сумму сил гидростатического давления, действующих на тело, покоящееся внутри жидкости, называют силой Архимеда. Закон Архимеда. На погружённое в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая и направленная вертикально вверх сила, равная по модулю весу вытесненной этим телом жидкости (или газа). Тело тонет, если р,^ > р^; тело всплывает, если р^ < р^. Условие плавания тела на поверхности жидкости: для плавания тела на поверхности жидкости необходимо, чтобы сила тяжести уравновешивалась выталкивающей силой: F = M-g. В О Условие плавания тела на поверхности жидкости можно представить в виде р ■ F = р ■ V . Гт Т ГЖ Ж Вопросы Какие силы действуют на любое тело, находящееся внутри жидкости или газа? Сформулируйте закон Архимеда. В каком случае тело тонет в жидкости, а в каком всплывает? Почему, находясь под водой, человек может поднять предмет, который он, находясь на суше, не может даже сдвинуть с места? 251 5 6 *7 *8 ♦9 Почему гусиное яйцо тонет в пресной воде, а в солёной плавает? Как зависит глубина погружения плавающего на поверхности жидкости тела от его плотности? Куда направлена сумма сил гидростатического давления, действующих на кубик, который прилип к горизонтальному дну озера своей нижней гранью? К чашкам равноплечих весов подвешены два шарика одинаковой массы. Нарушится ли равновесие весов при погружении шариков в воду, если: а) оба шарика медные; б) один шарик железный, а другой — медный? К чашкам равноплечих весов подвешены два одинаковых стальных шарика. Нарушится ли равновесие весов при погружении шариков в разные жидкости, плотности которых: а) равны; б) различаются в два раза? Упражнения 1J Пользуясь таблицей плотностей из § 31, укажите, шарики из каких металлов будут плавать в ртути, а из каких — тонуть. 2J Пользуясь таблицей плотностей из § 31, рассчитайте, какая часть однородной льдины выступает над поверхностью воды в озере. 3 J Пользуясь таблицей плотностей из § 31, рассчитайте, какая часть однородного берёзового куба, плавающего на поверхности воды, будет погружена в воду. Определите подъёмную силу детского воздушного шарика, заполненного гелием. Объём шарика V=5 дм^. Масса его оболочки m = 5 г. Плотность гелия считайте равной = 0,19 кг/м^, а плотность воздуха атмосферы = 1,3 кг/м^. После разгрузки баржа поднялась из воды на 1 м. Определите вес снятого с баржи груза, считая площадь сечения баржи на уровне воды постоянной и равной 350 м^. После погрузки на паром длиной 40 м и шириной 10 м двух одинаковых комбайнов он погрузился в воду на 10 см. Найдите массу комбайна. 252 Компьютер на уроке 1. Посетите сайт https://www.elementy.ru/. Найдите в нём разделы «Детские вопросы», «Библиотека», «Лекции для школьников», «Новости науки», «Видеотека», изучите их структуру, содержание. Сделайте сообщение о том, какие интересные, на ваш взгляд, сведения можно обнаружить на этом сайте. 2. Посетите сайт https://www.astronet.ru/. Найдите в нём разделы: «Физика космоса», «Глоссарий», «Биографии», «История астрономии», изучите их структуру, содержание. Сделайте сообщение о том, какие интересные, на ваш взгляд, сведения можно обнаружить на этом сайте. 3. Подготовьте сообщение о том, чем занимается наблюдательная астрономия. При подготовке воспользуйтесь сайтом https://www.realsky.ru/. Изучите раздел «Учебник» на этом сайте. 4. Посетите сайт журнала «Квант» https://kvant.mccme.ru/. Найдите в нём разделы: «Статьи по математике», «Статьи по физике». Сделайте сообщение о том, какие интересные, на ваш взгляд, сведения можно обнаружить на этом сайте, как можно использовать содержание журнала при изучении различных разделов по механике. 5. Выясните, когда будут проводиться школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике, отборочные туры других физических олимпиад. Не забудьте принять участие в олимпиаде! Информацию найдите на сайте https://www.olimpiadaru/. 6. Подготовьте сообщение об учёных-физиках, получивших Нобелевскую премию. Воспользуйтесь в том числе сайтом Нобелевского комитета https://www.nobelprize.org/. Узнайте о том, кому в этом году вручены Нобелевские премии. Внимание! Сайт на английском языке; для перевода текстов обратитесь к учителю иностранного языка. 7. Реализуйте проектную работу «Механизмы Чебышева», основываясь на материалах энциклопедии и сайта http:^www.tcheb.ru/. 8. Сделайте сообщение о рубриках журнала «Наука и жизнь», посетив сайт журнала https://www.nkj.ru/. Изучите основные рубрики этого журнала. 253 Задания к теме «Законы динамики» 1. Выполните проектную работу о крыле самолёта. Воспользуйтесь школьными энциклопедиями, посетите сайт http:/^ru.wikipediaorg/. Через систему поиска найдите материал по теме «Спойлер_(авиация)». 2. Выполните проектную работу, посвящённую роли подшипников в технике. Посетите сайт hup;//ru.wikipediaorg/. Через систему поиска найдите материал по теме «Подшипник». Задания к главе «Механическая энергия» Сделайте сообщение о том, какие проекты вечных двигателей существовали в истории техники. Посетите сайт hup://ru.wikipediaorg/. Через систему поиска найдите материал по теме «Вечный^1вигатель». Задания к главе «Статика. Гидростатика» 1. Проведите исследование, результатом которого должна стать классификация механизмов. Признаки для классификации придумайте самостоятельно. Воспользуйтесь информацией на сайте http;//ru.wikipediaorg/. Через систему поиска найдите материал по теме «Простейший_механизм». 2. Соберите информацию о характеристиках речных и морских судов. Посетите сайт http:/^ru.wikipediaorg/. Через систему поиска найдите материал по теме «Плавучесть». Проведите исследование, результатом которого должно стать описание различных характеристик судна, определяющих его поведение на воде. 254 Лабораторные работы Измерение физических величин и оценка погрешностей измерений В лабораторных работах, выполняемых в 7 классе, используют два вида измерений: прямые и косвенные. Прямыми называют измерения, при которых значение измеряемой величины получают непосредственно в результате измерения. Полученную таким образом величину называют прямо измеренной. Например, длину стороны тетрадного листа можно определить прямым измерением — непосредственно с помощью линейки со шкалой {см. § 3). Другими словами, значение искомой величины (т. е. во сколько раз эта величина отличается от единицы измерения) получают сразу, считывая показания измерительного прибора. Косвенными называют измерения, при которых значение измеряемой величины получают путём расчёта по известной зависимости от прямо измеренных величин. Полученную таким образом величину называют косвенно измеренной. Например, площадь прямоугольного листа бумаги можно определить косвенным измерением — вычислив произведение прямо измеренных величин — длин сторон этого листа. Обратим внимание на очень важный момент. В результате практически любого измерения получить истинное (точное) значение измеряемой величины невозможно. Другими словами, практически любое измерение производится с погрешностью (ошибкой). Точность измерения, характеризующую отличие полученного значения интересующей величины от её истинного значения, можно описать с помощью специальных физических величин — абсолютной погрешности и относительной погрешности. Абсолютной погрешностью называют модуль разности измеренного А и истинного А значений: \Л “ и ■А. (1) 255 Таблица 5 Вид формулы для расчёта / Максимальная абсолютная погрешность Af Максимальная относительная погрешность Zj- f=x + y Af= Ax -1- Ay E/ = A/// f=X-y Af = Ax + Ay £/■= A/// f=x y Af =x ■ Ay + у ■ Ax f=x/y Af={x- Ay+y ■ Ax)/y‘^ f=k-x Af = k ■ Ax В последней строке таблицы число k считается точным, а Ат — максимальная абсолютная погрешность прямо измеряемой величины х. Шаг 4. Записывают результат измерения величины f в виде интервала: / -А/ Рис. 2. Определить цену деления. Вспомнить, что максимальная абсолютная погрешность прямого измерения равна цене деления шкалы прибора. (Например, для мензурки на рис. 171 цена деления равна 1 мл. Поэтому максимальная абсолютная погрешность измерения объёма этой мензуркой 1 мл.) 3. Расположить мензурку так, как показано на рис. 171 (чтобы видеть как линию свободную поверхность жидкости в мензурке). 4. Определив номер штриха шкалы, ближайшего к положению плоской поверхности жидкости в мензурке, установить измеренный (определённый приблизительно) объём жидкости в мензурке. (Например, для жидкости в мензурке на рис. 171 номер ближайшего штриха равен 33. Поэтому измеренный объём следует считать равным = 33 мл.) 5. Записать результат измерения объёма в виде интервала с учётом установленного значения и максимальной абсолютной погрешности. Например, в показанном на рис. 171 случае получим: F -AF