Учебник Физика 10 класс Жолнеревич Медведь

и. и. Жолнеревич И. Н. Медведь Wr Li !■ Сй Л- ‘ • ; ■*■ i Fka ЖШ l[IDTDPUI ПЛ J г-ю" ' ГАЛАКТИКА 1 2*10^° СОЛНЦЕ 1 6*10^" ЗЕМЛЯ 1 7-10“ ЛУНА 1 6*10® ПИРАМИДА ХЕОПСА 1 1-10’ ВАЗ-2107 1 4*10"^ ФУТБОЛЬНЫЙ МЯЧ 1 2-10-" КОЛИБРИ f 1*10"^ СНЕЖИНКА 1 3-10-^“ МОЛЕКУЛА ВОДЫ - . • > 9*10 -31 ЭЛЕКТРОН Адукацыйны партал www.a Адукацыйны партал www.adu.by 607278 И. И. Жолнеревич И. Н. Медведь Учебное пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования, с русским языком обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) 2-е издание Допущено Министерством образования Республики Беларусь Минск «Народная асвета» 2007 Адукацыйны партал www.adu.by УДК 53{075.3=161.1) ББК 22,3я721 Ж79 Рецензенты: зав, каф. методики преподавания физики и астрономии Витебского гос. ун-та им. П, М, Машерова, канд. пед. наук И. В. Галузо; учитель физики сред, шк. № 99 г. Минска В. Ф. Авраменко »Нз!а(явапьч>^ ■'ттчту! чдраць» Жолнеревич, И. И. Ж79 Физика: учеб, пособие для 10-го кл. учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования, с рус. яз. обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) / И. И. Жолнеревич, И. Н. Медведь. — 2-е изд. — Минск : Нар. асвета, 2007, — 263 с,: ил. ISBN 978-985-12-1721-8. уд<53(075.3И6Ы) ББК 22,3я721 Навукова-педагаг)чная б<бл1ятэка НааукоЕЗ-метадычнай уст ан о вы (SBN 1нстытут адукацьи» Ф1л1ял №2 © Жолнеревич И. И., Медведь И. Н,, 2006 © Оформление. УП «Народная асвета», 2007 Адукацыйны партал www.adu.by Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Введение Физика — наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие законы и явления материального мира, в котором живут люди и частью которого являются они сами. Достижения современной физики используются при изготовлении компьютеров и мобильных телефонов, строительстве зданий (рис. 1) и мостов (рис. 2), создании автомобилей (рис. 3) и самолетов, любых других устройств и сооружений (рис. 4), используемых людьми в жизни. В физике под словами «движение материи» понимают всевозможные изменения в материальном мире, происходящие с течением времени. Изменения материальных объектов, изучаемые в физике, называются физическими процессами или явлениями. Но рассмотреть одновременно все свойства какого-либо тела или явления невозможно, поэтому физика делится на разделы: механику, электричество, оптику и т. д., в каждом из которых изучаются определенные характеристики реальных тел или процессов. Механикой называется раздел физики, изучающий закономерности механического движения и причины, вызывающие это движение. Основная задача механики — получить количественные соотношения, позволяющие найти положение тела в любой момент времени. Первая часть механики — кинематика — изучалась в 9-м классе, и для успешного изучения других разделов механики необходимо повторить основные кинематические понятия и определения. Адукацыйны партал www.adu.by тт^.. 1. Основные понятия кинематики еханическим движением называется изменение положения в пространст-1 или их частей друг относительно друга с течением времени. 1нематика — раздел механики, изучающий механическое движение без 1ения причин, его вызывающих. лом отсчета называется уаювно неподвижное тело (или группа тел), от-гльно которого (которых) рассматривается механическое движение дру- л. юва «условно неподвижное тело» употребляются потому, что, читая ; учебное пособие, вы неподвижны относительно, например, стола или но движетесь вместе с Землей относительно Солнца со скоростью около юдовательно, покой любого тела, а значит, и тела отсчета — понятие юе, или относительное, 1Стемой отсчета называется система координат, жестко связанная с те-гсчета, вместе с выбранным устройством измерения времени, ижение реального тела в пространстве чаще всего очень сложное, и по-в физике вводятся модели реальных объектов, упрощенные представ-о теле или явлении, учитывающие только важнейшие его свойства и 1СНИЯ. ктериальной точкой называется модель реального тела, размерами ко-можно пренебречь в данных условиях. Если размерами тела нельзя >речь, то используется модель абсолютно твердого тела, солютно твердым телом на.зывается модель реального тела, изменением и размеров которого в данных условиях можно пренебречь, т. е. такое »асстояиие между любыми двумя точками которого остается постоянным. Адукацыйны партал www.adu.by Основы кинематики Рис. 5 Рис. 6 Радиус-вектором называется вектор, проведенный из начала координат к положению материальной точки в некоторый момент времени (рис. 5). Траекторией называется линия, вдоль которой материальная точка движется в пространстве (рис. 6) в данной системе отсчета, или линия, которую описывает в пространстве конец радиус-вектора точки (см. рис. 5). Уравнение траектории связывает координаты движущегося тела: y-f(x) или ^-f(y) — при движении в плоскости, г у) — при движении в пространстве. Например, при движении точки в плоскости, если координаты точки связаны уравнением y = kx + b, траектория точки — прямая линия, если уравнением 1/^-н ^ окружность, если уравнением у = ах^ + Ьх + с, — парабола. Вид траектории точки зависит от выбранной системы отсчета, так как механическое движение, как и покой, относительно. По форме траектории движения разделяют на прямолинейные и криволинейные. Движение по окружности (или по дуге окружности) является простейшим из криволинейных движений. Любое сложное движение материальной точки по криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по траектории, состоящей из плавно переходящих друг в друга дуг окружностей различного радиуса (рис. 7). Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором прямая, проведенная между двумя любыми точками тела, при его движении остается параллельной самой себе (рис. 8). Например, так движутся кабины колеса Рис. 7 обозрения (рис. 9). Адукацыйны партал www.adu.by Основные понятия кинематики Рис. 8 Если тело движется поступательно, то достаточно изучать движение только одной из его точек. Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела (рис. 10). Например, так движутся все точки кабинок карусели (рис. 11). Путь S материальной точки за некоторый промежуток времени равен длине участка траектории, пройденного точкой за это время. Путь — скалярная физическая величина. Перемещением Аг материальной точки за данный промежуток времени называется вектор, соединяющий ее начальное положение с конечным. Если начальное положение точки задано радиус-вектором а в некоторый момент времени радиус-вектор точки равен то вектор перемещения представляет собой изменение радиус-вектора: (рис. 12). Указание промежутка времени при определении вектора перемещения важно именно потому, что перемещение — вектор, модуль и направление которого зависят от выбранного промежутка времени. Рис. 11 Рис, 12 Адукацыйны партал www.adu.by Основы кинематики 1 2 а б 1 2 Рис. 14 Как хорошо видно из рисунка 13, путь, в общем случае, не совпадает с модулем перемещения. Модуль вектора перемещения равен длине пути только при движении тела по прямолинейной траектории без изменения направления движения. Например, модуль перемещения равен пути при движении тела из точки / в точку 2 в случае, изображенном на рисунке 14, я, и эти величины не равны в случае, изображенном на рисунке I4, 6. Модуль перемещения всегда мень* ше нли равен пути: |Дг|<з. Путь и модуль перемещения в СИ измеряются в метрах (м). Средней скоростью перемещения называется вектор, равный отношению вектора перемещения к тому промежутку времени, за который это переменщ-ние произошло: (5) = ^. лг Средней скоростью пути называется отношение пройденного пути к тому промежутку времени, за который этот путь проделан. При выбранном способе отсчета времени средняя скорость пути равна; ^ ' дг Единица скорости в СИ — / метр в секунду ^1 Мгновенной скоростью называется вектор, определяющий направление и модуль скорости точки в данный момент времени. Вектор мгновенной скорости точки в любой момент времени на* правлен по касательной, проведенной к траектории (рис. 15). Модуль и направление мгновенной скорости в общем случае движения тела по криволинейной траекто- Адукацыйны партал www.adu.by Ойювйые ПОНЯТИЙ кинематики рии изменяются. Для характеристики быстроты изменения скорости вводится вектор ускорения. Ускорением называется векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло: а - k-h Ш. м ■ За единицу ускорения в СИ принят / метр на секунду в квадрате (>1)- Вектор ускорения а в общем случае не совпадает с направлением вектора скорости, а составляет с ним некоторый угол. При движении по криволинейной траектории скорость точки непрерывно изменяется по модулю и направлению, поэтому вектор ускорения представляют в виде суммы двух векторов: а = а^ч-а„, причем Х5„ и Вектор направлен по касательной к траектории и называется тангенциальным ускорением, а модуль этого вектора характеризует изменение 1 I '^1^1 скорости по модулю: = Если модуль скорости возрастает, то танген- циальное ускорение параллельно вектору скорости (см. рис. 15, й), если модуль скорости убывает, то оно направлено противоположно вектору скорости (см. рис. 15, б). Вектор й„ всегда направлен перпендикулярно мгновенной скорости и поэтому называется нормальным (нормаль — перпенди1<уляр) или центростремительным ускорением. Последнее название обозначает, что если точка движется по окружности, то это ускорение направлено к центру окружности. При движении точки по сложной криволинейной траектории ее можно представить в виде последовательных плавно переходящих друг в друга дуг. В этом случае вектор центростремительного ускорения в любой момент времени направлен к центру кривизны дуги, которой можно заменить отрезок траектории, по которой движется точка. Модуль нормального (центростремительного) ускорения равен: а^=—. где V/ — мгновенная скорость, R — радиус дуги. совпадающей с траекторией точки в данный момент времени. Адукацыйны партал www.adu.by 10 Основы кинематики r,v'i i Упражнение 1 1. Можно ли Луну принять за материальную точку по отношению к ракете в задаче: а) о старте ракеты с поверхности Земли; 6) о посадке ракеты на поверхность Луны? 2. Можно ли линейку принять за материальную точку в задаче, в которой рассматривается; а) ее поступательное движение; б) ее вращение вокруг одного из концов? 3. Велосипедист едет на велосипеде (рис. 16) по прямолинейной дороге. Каковы траектории точки на оси колеса и точки на ободе колеса относительно: а) велосипедиста; б) дороги? 4. Автомобиль проехал на восток 4,0 км, затем повернул и проехал 3,0 км на север, потратив на весь маршрут 10 мин. Найдите путь и перемещение автомобиля за все время движения, а также среднюю скорость пути и перемещения. 5. Тело движется вдоль оси Ох. В начальный момент времени проекция радиус-вектора тела на ось Ох равна 3 м, а через 2 с проекция радиусвектора стала равной 7 м. Найдите проекцию Рис. 16 вектора перемещения и проекцию средней ско- рости перемещения на ось Ох. 6, Точка движется вдоль оси Оу. В начальный момент времени проекция ее радиус-вектора на ось Оу равна 8 м, а через 3 с проекция радиус-вектора стала равной 2 м. Найдите проекцию вектора перемещения и проекцию средней скорости перемещения на ось Оу. 7. В момент начала наблюдения за движущимся вдоль оси Ох телом проекция его скорости на ось Ох была равна 5 через 2 с движения проекция скорости стала равна 15 -у. За следующие Зс движения проекция скорости тела уменьшилась до первоначальной. Найдите направление и модуль среднего ускорения тела на каждом промежутке времени движения. 8*. Точка движется по окружности радиуса 2,0 м с постоянным по модулю тангенциальным ускорением. За 0,50 с движения ее скорость увеличилась от 1,0 ^ до 2,0 Найдите; а) тангенциальное ускорение; 6) нормальное ускорение в конце атого промежутка времени; в) модуль и направление полного ускорения точки в конце этого промежутка времени. Адукацыйны партал www.adu.by простейшие виды механического движения 11 § 2. Простейшие виды механического движения I, Равномерным прямолинейным движением называется движение, при котором тело за одинаковые промежутки времени совершает одинаковые перемещения, т, е. движется с постоянной по модулю и направлению скоростью; o = 47 = const. Д£ Пусть — радиус-вектор точки в начальный момент времени /j = О, /; — радиус-вектор точки в момент времени ^2=^ = = ^ (рис. 17), Тогда г,-г^л-д1 — векторное соотношение, представляющее собой кинематическое уравнение (закон) равномерного прямолинейного движения. Соответственно, Xi=x^ + vJ\ + — кинематические уравнения для координат при равномерном прямолинейном движении точки на плоскости хОу, где у^. = const и Uj, = const — проекции вектора скорости на оси координат, jcq и Уо— координаты точки в начальный момент времени. Необходимо подчеркнуть, что в кинематических уравнениях для координат начальные координаты и проекции скорости на оси могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Так как движение прямолинейное, то модуль вектора перемещения равен пути; Дг = 5 = 7(^,-Хо)^-(-(у,-Уи)^ При движении точки вдоль одной оси, например Ох, путь и перемещение точки можно рассчитать по площади между графиком зависимости проекции скорости от времени и осью времени (рис. 18). И. Лдижение тела в двух системах отсчета. Механическое движение относительно, и одно и то же тело может двигаться одновременно относительно покоящихся или движущихся других тел, например моторная лодка при пере- Рис. 17 Адукацыйны партал www.adu.by 12 Основы кинематики Рис. 19 [1раве через реку перемещается относительно воды и берега (рис. 19). В этом случае для описания движения тела вводят подвижную и неподвижную системы отсчета и используют классический закон сложения скоростей: у = г7-1-й — скорость тела v относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела ^ относительно подвижной системы отсчета и скорости и подвижной системы отсчета относительно неподвижной (рис, 20). III. Равноускоренным прямолинейным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени скорость тела изменяется на одну и ту же величину, т. е. оно движется по прямолинейной траектории с постоянным ускорением: а =4^-const Уравнение для мгновенной скорости точки при равноускоренном движении: у, где Уд — скорость тела в начальный момент времени, ц — ско- рость тела в любой момент времени с начала отсчета. Для проекции на ось Ох, направленной вдоль траектории тела; Уд^ч-а^/. Координата тела в любой момент времени: jc, = JCf,-н -ьгделсд— координата в начальный момент времени; перемещение = . Модуль средней скорости перемещения при прямолинейном равноускоренном движении: При решении задач часто удобно использовать формулу IV. При вращательном движении траектория точки представляет собой окружность (рис. 21), Линейной скоростью называется мгновенная ско- Адукацыйны партал www.adu.by Простейшие виды механического движения 13 рость точки, при движении точки с постоянной по модулю линейной скоростью: v„ = где / — длина дуги, пройденной точкой за время At. Пусть точка при движении по окружности радиуса R с постоянной по модулю скоростью за время / совершила N полных оборотов. Периодом обращения Т называется время одного полного оборота: В СИ единица периода обраще- ния — У секунда (J с). Частота v определяется числом оборотов в единицу времени: v- = Единицей частоты в СИ является 1герц (1 Гц). 1 Гц = 1 с”'. При движении точки по окружности ее радиус-вектор непрерывно поворачивается. Угловой скоростью точки называется физическая величина, модуль которой численно равен отношеншо угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел: (см. рис. 21, а). В СИ угол поворота измеряется в радианах (рад). Угол в I рад — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна ее радиусу (см. рис. 21, б), тогда Дф= ® Угловая скорость в СИ измеряется в радианах в секунду При движении точки с постоянной по модулю скоростью по окружности радиуса R: v= = 2nRv\ ш = ^ = 2nv. Если модуль скорости движения тела постоянная величина, то тангенциальное ускорение равно нулю: а.,= =0, Полное ускорение в любой мо- мент времени равно нормальному, или центростремительному, ускорению: - vl £1=а„: ц = При неравномерном движении точки по окружности ее угловая скорость изменяется. Если угловая скорость за любые равные промежутки времени Адукацыйны партал www.adu.by 14 Основы кинаттмм* изменяется на одну и ту же величину, то угловым ускорением йазывают величину Р = -^ = const. Если движение происходит с угловым ускорением, то модули тангенциального и нормального ускорений можно рассчитать по формулам: ат = Р/'1 где о, — скорость точки в данный момент времени. Упражнение 2 1. Велосипедист двигался со скоростью 2,0 ^ в течение 6,0 с, затем со скоростью 3,5 в течение 2,0 с н следующие 3,0 с — со скоростью 4,0 Найдите среднюю скорость велосипедиста на всем пути. Начертите график скорости велосипедиста и найдите по графику весь пройденный путь. 2. Два пешехода одновременно начали движение в разные стороны от остановки вдоль прямолинейной дороги, первый — со скоростью 1,0 -5^-, второй — со скоростью 1,5 (рис. 22). В указанной на рисунке 22 системе отсчета для каждого пешехода: а) постройте Рис 22 график зависимости проекции скорости от ' времени; б) запишите кинематическое уравнение движения; в) найдите координату через 4 с после начала движения; г) вычислите модуль перемещения аналитически (по формулам) и графически (по графику скорости ). 3. Пассажир идет со скоростью 2,00 в автобусе, который движется по прямой дороге со скоростью 36,0 С какой скоростью пассажир перемещается относительно дороги, если он идет: а) по направлению движения автобуса; б) против направления движения автобуса; в) поперек направле-Е1ИЯ движения автобуса от задней двери к противоположному окну? 4. Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии 15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она дошла до поселка за 45 мин и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии 9,0 км от поселка. Найдите скорость течения реки и скорость лодки относительно воды, Адукацыйны партал www.adu.by Простейшие виды механического движения 15 5. Ширина реки 100 м, скорость течения 3,0 скорость моторной лодки относительно воды 5,0 На сколько снесет лодку при переправе за минимальное время? На сколько отличается время переправы по кратчайшему пути от минимального времени переправы? 6. Из состояния покоя первые 6 с движения автомобиль разгонялся с ускорением 0,5 следующие 10 с ускорение автомобиля было 1,2 Найдите с скорость автомобиля в конце каждого промежутка времени, а также его перемещение за все время движения: а) аналитически — по формулам; б) графически — по графику зависимости скорости автомобиля от времени. 7. Автомобиль движется со скоростью 72 При торможении модуль ускорения автомобиля равен 5 Найдите скорость автомобиля через 2 с движения и пройденный им за это время путь: а) аналитически; б) графически. 8. На рисунке 23 дан график зависимости проекции скорости Dj, тела от времени. По величинам, заданным на графике; а) найдите ускорение при разгоне и торможении; б) запишите уравнения для зависимости скорости движения тела от времени на участках ОВ, ВС, CD; в) рассчитайте среднюю скорость за все время движения. 9. Точка движется по окружности радиуса 1,0 м с постоянной по модулю скоростью 0,50 Найдите; а) угловую скорость и частоту вращения; б) путь и перемещение точки за половину периода; в) центростремительное ускорение. 10. Период вращения точки по окружности радиуса 1,5 м равен 2,0 с. Найдите: а)линейную скорость; б) угловую скорость; в) угол поворота радиус-вектора точки за 0,5 с; г) путь и перемещение точки за это время. 11*. Точка вращается по окружности радиуса 2,0 м с постоянной по модулю скоростью. Найдите перемещение точки за промежуток времени, в тече- Адукацыйны партал www.adu.by 16 Основы кинематики ние которого модуль изменения вектора скорости точки равен модулю ее скорости, 12* Материальная точка движется по окружности радиуса 1,5 м. Найдите скорость, тангенциальное и полное ускорения точки в момент времени, когда ее нормальное ускорение равно 6,0 ~ и направлено под углом 60° к полному ускорению. 13*. Электропоезд подъезжает к закругленному участку пути с начальной скоростью 54 -1^ и проходит по нему равноускоренно расстояние 600 м за промежуток времени 30 с. Радиус закругления пути 1000 м. Найдите тангенциальное ускорение, скорость и полное ускорение электропоезда в конце этого участка пути. Адукацыйны партал www.adu.by Почему при торможении автобуса человек наклоняется вперед? Почему на кругом повороте мотоциклист движется под углом к вертикали? Почему наша Земля вращается вокруг Солнца? Почему спутникри^ ^адзют на Землю? jj Пановы ^ *Из: :||!дн}пьнн 1чсг?лут i д j /ШЬ ,./( Ш '■/н / Jbi Навукова-падз (^^Иаеукова-мета?Г |^1бл1ятэка _ fyCTJHOBbl «Нацыянальмы [исты^т адукацы!» фёл1Ш1 №2 Адукацыйны партал www.adu.by 18 Основы динамики ] Глава I. ЗАКОНЫ ньютона Ежедневно мы наблюдаем самые разнообразные механические движения: идут люди и едут машины, летят самолеты и птицы, вращаются колеса велосипедов, автомобилей и карусель в парке. Почему движется, например, автомобиль? Каждый из вас сразу скажет: потому что работает двигатель автомобиля. Но давайте представим, что колеса автомобиля не соприкасаются с поверхностью Земли {рис. 24), а двигатель работает... Колеса вращаются, а привычное движение автомобиля не происходит. Почему? Почему для движения автомобиля со скоростью, например, 90 необходима работа двигателей, а для движения спутника по орбите со скоростью почти 8 работа двигателей не нужна? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно знать причины, вызывающие механическое движение или изменение состояния движения тел. Наши жизненные наблюдения, многочисленные опыты показывают, что изменение скорости тела всегда вызывается воздействием на данное тело каких-либо других тел. Для описания взаимодействий тел друг с другом в физике вводится понятие «сила» (греч. dynamis). Отсюда и название данного раздела — динамика. Динамика — раздел механики, изучающий различные виды механического движения с учетом взаимодействий между телами. В динамике решаются две основные задачи: 1) устанавливаются законы взаимодействия тел друг с другом; 2) определяется влияние этих взаимодействий на механическое движение тел. Рис. 24 § 3. Инерция. Первый закон Ньютона Из личного опыта каждый из нас знает, что скорость тела по величине и направлению может изменяться только под действием других тел. Например, футбольный мяч покоится на ровной поверхности, если по нему не ударить ногой {рис. 25). Адукацыйны партал www.adu.by Инерция. Первый закон Ньютона 19 Рис. 25 При изучении физики в 7-м классе вы познакомились с утверждением древнегреческого философа Аристотеля, считавшего, что покой — естественное состояние тела, а движение — насильственное состояние, которое необходимо все время поддерживать. Рассмотрим, какие причины определяют покой и равномерное прямолинейное движение тела. Подвесим шарик на резиновом шнуре {рис. 26, а). Он висит неподвижно, взаимодействуя со шнуром и Землей, Если перерезать шнур, то шарик начнет падать вертикально вниз под действием притяжения Земли, а деформация шнура без воздействия на него шарика станет равной нулю (рис. 26, б). Значит, шарик находился в покое потому, что действие резинового шнура компенсировало (уравновешивало) притяжение Земли. Какие бы тела мы не рассматривали, состояние покоя любого тела сохраняется, если действие на него одних тел компенсируется действием других тел. Не столь очевидны причины, по которым тело движется с постоянной скоростью, и, возможно, многие из вас будут согласны с мнением Аристотеля о том, что равномерное движение нужно все время поддерживать. Это согласуется с нашим практическим опытом; например, велосипед движется с постоянной скоростью по ровной горизонтальной дороге, если человек крутит педали. Вероятно, поэтому представления Аристотеля господствовали в науке почти 2000 лет. В XV)] в. движение тел начал изучать итальянский ученый Галилео Галилей. В одном из опытов Галилей исследовал движение шара по двум наклон- ным плоскостям (рис. 27). Он наблюдал, что вниз шар движется ускоренно. Рис. 27 I Адукацыйны партал www.adu.by 20 Основы динамики а вверх — замедленно, причем в обоих а[учанх: чем меньше угол наклона плоскости, тем меньше ускорение шара. Галилей предположил, что если шар будет двигаться по горизонтальной плоскости, то его ускорение будет равно нулю и, следовательно, движение шара с постоянной скоростью будет продолжаться как угодно долго. Но на практике шар всегда останавливался (так как двигался замедленно), хотя, чем более гладкой была плоскость, тем дольше продолжалось движение. Галилей установил, что движение шара замедляется из-за сопротивления воздуха н Тренин о поверхность плоскости. Таким образом Галилей пришел к выводу: тело будет двигаться как угодно долго с постоянной скоростью по идеально гладкой горизонтальной плоскости в безвоздушном пространстве. так как в этом случае воздействия на тело Земли и плоскости компенсируют друг друга, а сопротивление движению отсутствует. То же самое наблюдалось бы при отсутствии любых взаимодействий тела с другими телами (нет притяжения Земли, нет плоскости, средгл и т. п.), хотя этот идеальный вариант трудно представить. Скорость, с которой при этом движется данное тело, является результатом его предшествующих взаимоде(1ствий с другими телами, а ее численное значение и направление зависят от выбранной системы отсчета. Инерцией (лат. iners ~ неподвижный, бездеятельный) называется явление сохранения скорости движения тела неизменной (как по модулю, так и по HanpaBjieHHKj) при отсутствии внешних воздействий на тело. Поэтому вывод Галилея позднее стали называть законом инерции. Впоследствии Исаак Ньютон, обобщая результаты работ Галилея н других ученых, а также своих исследований, сформулировал общие .законы движения. На первое место среди этих законов он поставил закон инерции, который и стали называть первым законом Ньютона. Простая и близкая к первоначальной формулировка этого закона следующая: тело движется равномерно и прямолинейно (или покоится), если на него не действуют другие тела (или действие других тел скомпенсировано). Можно ли проверить выполнение этого закона в земных условиях? Всегда ли он выполняется? В окружающем нас мире на любое тело действует хотя бы притяжение Земли, т. е. полное отсутствие воздействий невозможно. Но множество тел вокруг нас покоится потому, что действие на них одних тел скомпенсировано действием других. В некоторых случаях можно наблю- Адукацыйны партал www.adu.by Инерции. Первый закон Ньютона 21 Рис. 28 дать и равномерное прямолинейное движение тел, т. е. закон инерции выполняется при определенных условиях. В то же время можно вспомнить и такие случаи, когда и при компенсации воздействий на данное тело других тел этот закон не выполняется. Рассмотрим пример с шаром, который покоится на гладкой неподвижной горизонтальной доске, так как притяжение Земли компенсируется воздействием доски (рис. 28, ц). Если потянуть доску в гори,зонтальЕЮм направлении, то можно наблюдать движение шара относительно нее (рис. 28, б). Скорость шара изменяется, хотя воздействия Земли и доски по-прежнему скомпенсированы, В чем дело? Дело в том, что любое механическое движение невозможно описать без указания системы отсчета. Шар покоился в неподвижной системе отсчета, связанной с доской, а при воздействии па доску эта система отсчета стала двигаться с ускорением. Множество подобных опытных фактов указывает на то, что первый закон Ньютона выполняется только в определенных системах отсчета. Поэтому в настоящее время в физике принята следующая формулировка первого закона Ньютона: существуют такие системы отсчета (называемые инерцнальмымн), относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоянной (или покоится), если на него не действуют другие тела (или действие других тел скомпенсировано). Важно понимать, что инерциальная система отсчета — это модель, используемая в физике. Почему это так? В 7-м классе вы узнали, что точность измерения любой физической величины зависит, прежде всего, от цепы деления измерительного прибора. Это относится и к определению значения скорости тела. Кроме того, на пракпже скорость движения тел практически всегда непостоянна, и различными при- Адукацыйны партал www.adu.by 22 Основы динамики борами определяется только ее среднее значение за некоторый промежуток времени. Например, водитель контролирует скорость движения автомобиля по спидометру с ценой деления, равной 10 а сотрудник ГАИ определяет скорость автомобиля прибором с ценой деления 1 Значит, говоря о постоянном значении скорости тела, нужно понимать, что скорость измерена реальным прибором с определенной точностью. Инерциальная система отсчета является моделью реальной системы отсчета, движущейся со скоростью, значение которой определяется как постоянное при данной точности измерений. Таким образом, первый закон Ньютона является постулатом, т. е. утверждением о существовании моделей — инерциальных систем отсчета, и не может быть полностью проверен экспериментально. Роль первого закона Ньютона в механике в том, что он определяет условия, при которых реальные системы отсчета можно считать инерциальными. Почему это очень важно? Потому, что практически все физические законы выполняются при определенных условиях. В следующих параграфах вы будете изучать и учиться применять второй и третий законы Ньютона, которые выполняются только в инерциальных системах отсчета. Гпавные выводы 1. Инерция — явление сохранения скорости тела постояной в отсутствии внешних воздействий на него, 2. Система отсчета называется инерциальной, если при отсутствии воздействий на данное тело {или их компенсации) скорость тела относительно этой системы отсчета не изменяется. 3. Первый закон Ньютона позволяет определить, можно ли считать выбранную систему отсчета инерциальной. Контрольные вопросы 1. При каких условиях тело находится в состоянии покоя? Приведите примеры, 2. Какие опь1ты позволили Галилею определить условия, при которых тела движутся с постоянной скоростью? 3. Как определить, можно ли считать выбранную систему отсчета инерциальной? 4. Почему предстааления Аристотеля так долго господствовали в науке? Адукацыйны партал www.adu.by ■Шдимедействие тел. Масса тела 23 Упражнение 3 1. Положите ровный лист картона на горизонтальный стол, а на него поместите металлический 1нарик. Наблюдайте за шариком, двигая лист картона; а) очень медленно, поступательно и равномерно; б) быстро, поступательно и неравномерно. При каких условиях опыта систему отсчета, связанную с картоном, можно считать инерциальной? Почему? 2. Проведите опыты с шариком в тех же условиях, но вместо картона используйте плоское зеркало. Изменились ли результаты опыта? Почему? 3. Часто утверждают, что шайба после удара клюшкой «движется по инерции». Промоделируйте движение шайбы, толкнув карандашом гайку или шарик на гладком горизонтальном столе. Почему «шайба» останавливается? 4*. Вычислите в единицах СИ величины скорости и цеЕ[тростремителыюго ускорения точек поверхности Земли на экваторе при суточном вращении, считая Землю шаром с радиусом 637- 10“* м. С какой точностью нужно определять скорость движущегося по Земле тела, чтобы обнаружить невыполнение закона инерции? § 4. Взаимодействие тел. Масса тела Согласно первому закону Ньютона в инерциальных системах отсчета скорость тела не изменяется при условии, что воздействие других тел скомпенсировано. А если это условие не выполняется? Проведем опыт с железным шариком, подвешенным на нити, прикрепленной к неподвижному штативу. Шарик покоится, так как воздействие нити компенсирует притяжение Земли. Если поднести сбоку к шарику магнит, то под его действием шарик начнет двигаться (рис. 29, а). Рис. 29 Адукацыйны партал www.adu.by 24 Основы динамики Рис. 30 Если убрать магнит, а нить, на которой подвешен шарик, перерезать, то воздействие Земли не будет уравновешено, и, как вы уже хорошо знаете, шарик начнет двигаться ускоренно вниз {рис. 29, б). Эти опыты и многочисленные наблюдения за различными телами в окружающем мире позволяют сделать вывод, что ускоренное движение тела — результат нескомпенсированного воздействия на него других тел. А возможно ли какое-либо воздействие на конкретное тело без того, чтобы это тело также оказывало свое действие (противодействие)? Если в нашем опыте с шариком мы подвесим рядом магнит на нити, то сможем наблюдать одновременное движение шарика и магнита друг к другу (рис. 29, в). Ударяя по мячу (рис. 30), человек ощущает воздействие мяча во время удара. Если подержать за ручку тяжелый портфель некоторое время, то на ладони останутся вмятины из-за действия на нее этого груза. Чтобы исследовать, как происходит взаимодействие тел и от чего зависят их ускорения при этом, проведем несколько экспериментов. Возьмем два одинаковых по размеру шара — один из алюминия, а второй из железа — и рассмотрим их столкновение при движении по неподвижному горизонтальному металлическому желобу. Пусть железный шар катится по желобу к покоящемуся алюминиевому шару (рис. 31, а). Мы увидим, что во время взаимодействия (столкновения) оба шара изменят свою скорость, т. е. будут иметь ускорения (рис. 31, б), )Если оба шара движутся навстречу друг другу, то при столкновении их скорости также изменяются (рис. 32, а, 6). Рис. 31 Адукацыйны партал www.adu.by Взаимодействие тел. Масса тела 25 Рис. 32 Значит, при взаимодействии оба шара изменяют свою скорость, но измерить и сравнить полученные ими при ударе ускорения в таком опыте сложно. Поэтому проведем опыт, в котором ускорения взаимодействующих тел можно достаточно просто определить. Для опыта используем два одинаковых по размеру цилиндра из алюминия и меди с просверленными вдоль их осей отверстиями. Вставим в отверстия цилиндров гладкий стержень, вдоль которого цилиндры могут легко скользить. Закрепим стержень с цилиндрами в установке, которая может вращать стержень с постоянной угловой скоростьЕО в горизонтальной плоскости. Если стержень вращать, то можно наблюдать скольжение цилиндров к концам стержня {рис. 33, а). Остановим вращение, свяжем цилиндры нитью и вновь приведем во вращение стержень. Так как теперь цилиндры взаимодействуют друг с другом с номо1цью нити, то они будут вращаться вместе со стержнем, находясь на определенных расстояниях от оси вращения (рис, 33, б). Рассчитаем и сравним центростремительные ускорения цилиндров. Пусть стержень вместе с цилиндрами вращается с угловой скоростью го и центры цилиндров движутся по окружностям радиусов /?| и R.^, которые легко измерить (см. рис. 33, б). Тогда ускорения цилиндров по извеетнь(м кинематическим формулам равны: Я) = co^/?i; a.2 = (i)^R2- Рис. 33 Адукацыйны партал www.adu.by 26 Основы динамики Сравним модули ускорений цилиндров: ва_ 0| ^2 Л| Таким образом, модули ускорений относятся как радиусы окружностей, по которым вращаются центры цилиндров, и в нашем опыте это отношение равно 3,3. Если провести этот опыт при другой угловой скорости вращения или связав цилиндры нитью другой длины, то радиусы окружностей изменятся, но их отношение, а значит, и отношение модулей ускорений останется тем же. Как объяснить постоянство отношений модулей ускорений для двух взаимодействующих цилиндров? Ускорение характеризует быстроту изменения скорости тела. В 7-м классе вы познакомились с физической величиной — массой тела, от которой также зависела величина изменения скорости тела. Вы знаете, что, чем больше масса тела, тем труднее изменить его скорость. Сравним массы медного и алюминиевого цилиндров. Так как их размеры одинаковы, то одинаковы и объемы, и отношение масс равно отношению плотностей меди и алюминия, т. е.: ^ „I,. 8900 '^1 _ Рг _ =3 3 Щ PjK ’ ' 2700 Таким образом, сравнение отношений модулей ускорений и масс цилиндров показывает, что ускорения цилиндров обратно пропорциональны их массам: Q| _ ffh а7“7пГ' Многочисленные эксперименты, проведенные учеными по исследованию самых разнообразных взаимодействий тел, показывают, что всегда выполняется полученная нами закономерность. Отношение модулей ускорений двух взаимодействующих тел равно обратному отношению их масс. Что же такое масса тела? Ответ на этот вопрос в полном объеме требует знания более сложных разделов физики. Поэтому рассмотрим упрощенное представление о массе тела. В 8-м классе вы узнали, что все тела состоят из атомов и молекул, которые имеют массу. Тогда масса тела — это суммарная масса всех его частиц. На основании Адукацыйны партал www.adu.by Взаимодействие теп. Масса тела 27 ОПЫТНЫХ данных упрощенное понятие «масса» можно охарактеризовать следующим образом: 1) масса тела — физическая скалярная величина, равная сумме масс всех частиц (или материальных точек), нз которых оно состоит (свойство аддитивности ); 2) для данной системы тел выполняется закон сохранения массы — при любых процессах в системе ее масса остается неизменной; 3) масеа тела не зависит ни от взаимодействии, в которых тело участвует, ни от скорости движения тела; 4) масса тела при его взаимодействии с другими телами определяет модуль полученного телом ускорения. Вы уже ,знаете, что единицей массы в СИ является 1 кг. Это масса специально изготовленного эталона (образца). Как, используя эталон массы, измерить массу определенного тела? Если привести во взаимодействие эталон и тело неизвестной массы, а затем измерить их ускорения, то можно определить неизвестную массу тела: а.. т, а, ^ = пг=п1^. т, ^ ^ Uj Конечно, для обычных тел такой способ менее удобен, чем обычное взвешивание. Зато определение масс космических тел, например планет по ускорению их спутников или мельчайших частиц вещества (атомов, молекул и т. п.) по ускорению при их взаимодействии, производится практически всегда. Главные выводы 1. Тело движется ускоренно в инерциальной системе отсчета, если воздействие других тел на него мескомпенсировано. 2. При взаимодействии двух тел воздействие испытывают оба тела, а отношение модулей ускорений двух взаимодействующих тел равно обратному отношению их масс. 3. Масса тела — физическая скалярная аддитивная величина, не зависящая от взаимодействии, в которых участвует тело, и от его скорости. Контрольные вопросы 1. При каком условии тело в инерциальной системе отсчета движется ускоренно? Приведите примеры. 2. Что можно сказать об ускорениях двух взаимодействующих тел? 3. Какими способами можно определить массу тепа? Адукацыйны партал www.adu.by 28 __ Основы динамики Упражнение 4 1. Алюминиевый и медный цилиндры, опыт с которыми описан в этом параг- рафе, связаны нитью длиной 8,6 см. На каком расстоянии от оси вращения находится центр каждого цилиндра? 2. Определите длину нити, которой связаны цилтщры в опыте, описываемом в данном параграфе, если центр алюминиевого цилиндра при врап;ении стержня движется по окружности радиуса 9,9 см. 3. Тело массой 4,0 кг в результате взаимодействия с телом массой 10 кг приобрело ускорение 2,0 Какое ускорение приобрело тело массой !0 кг? 4. Масса первого тела больше массы второго на 2,0 кг. Каковы массы тел, если при взаимодействии они приобрели ускорения 1,0 н 1,1 -У-? С" * 5. Два мяча прижаты на горизонтальном столе друг к другу и в ргекоторый момент отпущены. В момент прекращения контакта между мячами один из них имел скорость 0,50 а другой 0,25 Каково соотношение массмячей^ 6. На лодке массой 500 кг начинают выбирать канат, прикрепленный к баркасу. Найдите массу баркаса, считая, что лодка и баркас двигались равноускоренно и прошли до встречи 8,0 м и 2,0 м соответственно. § 5. Сила. Сложение сил. Равнодействующая сила при изучении физики в 7-м классе вы познакомились с понятием «сила», которое используется для описания взаимодействия тел. Чтобы вспомнить основные характеристики силы, проведем опыт, например, с куском поролона, покоящимся на неподвижном столе, так как притяжение Земли уравновешено воздействием стола. Используя пинцет, можно действовать на поролон в различных точках и видеть его поступательное, вращательное или более сложное движение в зависимости от направления, места и величины воздействия. При этом легко наблюдать не только изменение скорости поролона, но и его деформацию (изменение формы и размеров) {рис. 34) в местах контакта поролона с пинцетом. Рис. 34 Адукацыйны партал www.adu.by Сила. Сложение сил. Равн^йствующая сила_ 29 Измеле[ше скорости и деформация тел проявляются в любых опытах при самых разнообразных взаимодействиях, и поэтому принято следующее определение силы: сила — физическая векторная величина, являющаяся количественной мерой действия одного тела на другое, в результате которого изменяется скорость тела и происходит его деформация. Опыт показывает, что результат воздействия силы определяется не только ее направлением и модулем, но и точкой приложения. Единицей измерения силы в СИ является / ньютон (сокращенно / И). Вспомним исторически сложившиеся названия сил и их обозначения. Силой тяжести mg называется сила, с которой тело притягивается к Земле. Силой давления называется сила, с которой тело действует на опору или жидкость и газ действуют на стенки сосуда. Силом упругости называется сила, возникающая при деформации тела. Силой реакции N называется сила, действующая на тело со стороны опоры или подвеса. Силой сопротивления Р^ и силой трения Р^^ называются силы, препятствующие механическому движенн!о тела. Силы могут действовать па поверхность тела (например, сила давления воздуха) (рис. 35) или быть приложены в некоторой условной точке (например, сила упругости нити в точке ее крепления к телу) (рис. 36). Для упрощения математического описания механического движения тело рассматривается как материальная точка, если не указаны его размеры и форма. На рисунке тело чаще всего изображают прямоугольником. Рис. 35 Рис. 36 Адукацыйны партал www.adu.by 30 Основы динамики Рис. 37 Можно изображать силы, действующие на тело, приложенными в центре прямоугольника. Но обычно в центре прямоугольника изображают приложенной силу тяжести, а силу трения и силу реакции опоры рисуют приложенными в точке на нижней грани тела под его центром {рис. 37). Если на тело действуют другие тела, то необходи* МО учесть одновременно действие нескольких сил. При изучении физики в 7-м классе вы познакомились со сложением сил и научились складывать силы, действующие на тело вдоль одной прямой. В этом случае действие, например, двух сил можно заменить одной силой. Модуль равнодействующей силы равен сумме или разности модулей двух слагаемых сил в зависимости от того, совпадают их направления (рис. 38, а, б) или противоположны (рис. 39, а, б). Направление равнодействующей двух сил совпадает с направлением большей силы. А как складываются силы, если они направлены под некоторым углом друг к другу? Покажем на опыте, что они складываются также векторно. Подвесим груз массой 0,2 кг на динамометре, закрепленном на неподвижном штативе. Если груз покоится, то сила упругости пружины динамометра уравновешивает силу тяжести груза (рис. 40), а показания прибора равны: Eynp = mg = 2H Рис. 38 ^ i R ^2 1^1= 1.Р _ F ъ 7? 3 а б Рис. 39 Рис, 40 Адукацыйны партал www.adu.by Сипа. Сложение сил. Равнодействующая сила 31 Теперь подвесим этот же груз с помоидью двух одинаковых динамометров (pHC.4t,a), закрепленных на одной высоте. Меняя положения динамометров, а следовательно, угол между силами ^2 и F3, действующими на груз со стороны динамометров, можно убедиться, что их показания зависят от этого угла и лишь при угле, равном нулю, в сумме равны 2 Н. Следовательно, совместное действие сил ^ и ^ уравновешивает действие силы тяжести груза, но сумма модулей этих сил не равна 2 Н, т, е. силы нельзя складывать как скалярные величины. Когда угол между силами р2 и ^3 равен 120° (рис.41,6), то сумма показаний динамометров — 4 Н, а сила тяжести груза все та же — 2 Н. Но если найти в этом случае векторную сумму fp = C2"*‘^3 правилу сложения векторов, то она по модулю равна Fp = 2 Н. Следовательно, силы нужно складывать по правилам сложения векторов. Модуль векторной суммы сил ^2 и ^ равен 2 Н при любом значении угла между направлениями этих сил, а также и во всех случаях, когда модули сил не равны друг другу (рис. 41, в). Рис. 41 Адукацыйны партал www.adu.by 32 Основы динамики Какие бы более сложные опыты не проводились (и при действии на тело нескольких сил), всегда результаты измерений показывают, что действие нескольких сил можно заменить их векторной суммой, т. е. силы складываются, как векторы, — геометрически. Векторная сумма сил, действующих на тело, называется равнодействующей и определяется по формуле: F =F, + F^ + F^ + ... + F„. п Если размерами тела нельзя преРис. 43 небречь и силы приложены в разных его точках, то векторы сил можно перенести в одну точку, сохраняя модуль и направление, и векторно сложить (рис. 42). Необходимо понимать, что равнодействующая сила заменяет действие нескольких сил только по отношению к движению тела в целом, но не заменяет действие каждой слагаемой силы в других отношениях. Например, растянутая двумя руками пружина покоится (рис. 43), а значит, равнодействующая сил ^ и Ej равна нулю, но каждая из этих сил деформирует соответственно подвес динамометра и пружину. Если тело движется с постоянной скоростью, то согласно первому закону Ньютона все воздействия на тело скомпенсированы, т. е, равнодействующая всех сил также должна быть равна нулю. Главные выводы 1. Сила — физическая векторная величина, являющаяся количественной мерой действия одного тела на другое, в результате которого изменяется скорость тела и происходит его деформация. 2. Сила характеризуется модулем, направлением, а также точкой приложения. 3. Заменить действие неофльких сил можно равнодействующей силой, которая определяется как векторная сумма этих сил. 4. При движении тела с постоянной скоростью (или в состоянии покоя) равнодействующая всех сил, действующих на него, равна нулю. Адукацыйны партал www.adu.by Второй закон Ньютона 33 Контрольные вопросы 1. Па каким признакам можно определить, что на тело действует сила? 2. Почему силу определяют как векторную величину? 3. Что и почему можно сказать о горизонтальных проекциях сил Fj и Fj на рисунке 41, а, в? 4. Чему равна сумма вертикальных проекций сил Fj и Fj на рисунке 41, б, в? Упражнение 5 1. К телу приложены две силы 3 Н и 4 Н. Найдите наименьшее н наибольшее значения их равнодействующей. 2. Навдите модуль и направление равнодействуюш,ей двух сил из предыдущей задачи, если эти силы перпендикулярны одна другой. 3. Под каким углом друг к другу должны действовать на тело две равные силы по 5 Н каждая, чтобы их равнодействующая была равна: а) ОН; б) ЮН: в) 5Н? 4. Может ли равнодействующая двух сил, равных 3 Н и 5 Н, равняться: I Н; ЗН: 5Н; 7Н; 9Н? 5. Две равные по модулю силы направлены под углом 60° друг к другу н приложены в одной точке тела. Во сколько раз изменится модуль равнодействующей этих сил, если угол между ними: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 2 раза? 6*. Найдите равнодействующую трех взаимно перпендикулярных сил, приложенных к телу, если их модули равны; 3 Н; 4 Н; 5 Н. § 6. Второй закон Ньютона Как вы уже знаете, изменение скорости тела происходит под действием силы, а быстроту изме|!еиия скорости определяет ускорение. Необходимо выяснить, как зависит ускорение тела от действующей на него силы. Проведем опыт на неподвижном горизонтальном столе, т. е. в инерциальной системе отсчета. Установим легкую тележку на длинные горизонтальные рельсы, по которым она может двигаться почти без трения. Прикрепим к тележке динамометр, к концу которого присоединим перекинутую через блок нить с грузом (рис, 44, а). В вертикальном направлении сила тяжести тележки с динамометром уравновешивается силой реакции рельс. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, можно считать, что тележка движется вдоль стола с ускорением только под действием горизонтальной силы натяжения нити. Модуль этой силы определяется по показаниям динамометра. г Зек 12 Адукацыйны партал www.adu.by 34 Основы динамики Рис. 44 Опыт показывает, что направление вектора ускорения а тележки совпадает с направлением силы Измерив пройденный путь s и время его прохождения тележкой, по известной кинематической, формуле можно определить модуль ускорения: ' а - ^ й) - м Если увеличить подвешенный к нити груз, то динамометр показывает большее значение действующей на тележку силы р2. При этом тележка проходит тот же путь S за меньшее время /2- т. е. имеет большее ускорение Й2 (рис. 44,6). Опыт показывает, что модуль ускорения тележки увеличивается во столько же раз, во сколько раз возрастает сила, вызывающая ее ускоренное движение: £2 Адукацыйны партал www.adu.by Второй закон Ньютона 35 Таким образом, приобретаемое тележкой ускорение по модулю прямо пропорционально действующей силе и совпадает с ней по направлению. Изменим условия опыта. Поместим на первую тележку вторую (одинаковой с ней массы) и подберем массу груза так, чтобы показание динамометра вновь стало F^ (рис. 44, в). Масса движущейся тележки с динамометром в первом опыте т\-М + т, а сейчас /Пд = 2М + ш. При этих условиях тележка с общей массой проходит тот же путь за большее время /3, т. е. ее ускорение й;, меньше щ . Из расчетов следует, что модуль ускорения меньше модуля ускорения О] во столько же раз, во сколько раз масса больше массы mj. Следовательно, при той же действующей си.^е модуль ускорения тележки уменьшается во столько же раз, во сколько раз возрастает ее масса. Многочисленные опыты с различными телами и в других условиях показывают, что, чем больше масса любого тела, тем труднее изменить его скорость на определенную величину, действуя постоянной силой. Поэтому массу называют основной динамической характеристикой тела — количественной мерой его инертности, т. е. способности тела приобретать ускорение под действием данной силы. Таким образом, ускорение тела прямо пропорционально действующей силе и обратно пропорционально массе; m Исаак Ньютон, исследуя изменение скорости тела в зависимости от действующей силы, впервые установил подобную закономерность больше 300 лет назад. В окружающем мире на тело обычно действует несколько сил, и многочисленные эксперименты в различных условиях (с учетом сил трения и сопротивления; тело на горизонтальной опоре и т. д.) позволили установить, что ускорение тела определяется равнодействующей (результирующей) всех действующих на него сил. Поэтому принята следующая формулировка второго закона Ньютона: ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на тело, и обратно пропорционально его массе: а = —= -т F, + Fo + F„ m Адукацыйны партал www.adu.by 36 Основы динамики Для упрощения длинной поеледонательности п однотипных слагаемых в ^ ^ ^ - -iL - математике используется специальный знак суммы: ’ i = i где Ff — обозначение слагаемого, номер которого при вычислении необходимо перебрать от 1 до п. Тогда второй закон Ньютона можно записать в и виде: т Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета. Следовательно, используя первый закон Ньютона, сначала необходимо выбрать инерциальную систему отсчета, а затем можно в ней применять для Часто удобнее использовать второй закон Ньютона в виде md = F^+F2+ + F^+... + F,i, записав в правой части все действующие на тело силы. Поскольку при расчетах целесообразно проводить математические операции со скалярными величинами, то при решении задач записывают второй закон Ньютона для проекций на оси выбранной инерциальной системы отсчета: та, = Ft, + Fz, + F3,+ ... -f F,^,; ma^ = Fi^ + F^y + F^y + ... + F„y. Второй закон Ньютона позволяет рассчитать ускорение тела в инерциальной системе отсчета при самых разнообразных движениях: при разбеге человека по дорожке (рис. 45) и его катании на карусели, при движении транспорта и выполнении самолетом фигур высшего пилотажа, при вра[цении деталей станка и старте космического корабля. Если скорость и координаты тела в начальный момент времени известны, а по второму закону Ньютона определяется его ускорение, можно решить основную задачу механики — определить скорость и координаты тела в лю-Рис. 45 бой момент времени. Адукацыйны партал www.adu.by Второй закон Ньютона 37 Главные выводы 1. Модуль ускорения тела прямо пропорционален модулю равнодействующей всех сил и обратно пропорционален массе тела. 2. Направление ускорения тела совпадает с направлением равнодействующей всех сил, действующих на него. 3. Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета. Контрольные вопросы 1. От чего зависит модуль и направление ускорения тепа? 2. Почему массу считают основной динамической характеристикой тела? 3. Верно ли утверждение, что сила определяет направление скорости тела? В каких случаях и почему? 4. При отрыве самолета от взлетной полосы результирующая всех сил, действующих на самолет, направлена под углом 5® к горизонту. Как направлено ускорение самолета в зтот момент? Указание. Для каждого из перечисленных в 5-м и 6-м вопросах случаев движения сделайте рисунок, показав на нем направление векторов скорости, ускорения, действующих на человека или автомобиль сил. Сравните качественно модули действующих сил («больше», "меньше», «равно») и укажите направление равнодействующей силы. 5. Человек стоит в лифте (рис. 46). Рассмотрите случаи, когда лифт', а) неподвижен; б) начинает движение вверх: в) движется равномерно: г) замедляет движение до остановки. 6. Автомобиль: а) стоит неподвижно на горизонтальном участке дороги; б) трогается с места; в) движется равномерно и прямолинейно по горизонтальному участку; г) тормозит на горизонтальной дороге. Автомобиль, двигаясь с постоянной по модулю скоростью: д) проходит середину выпуклого моста; е) поворачивает на горизонтальной дороге. 7*. Нить, на которой подвешен шарик, отклонили на некоторый угол и отпустили. Куда направлена равнодействующая сил, действующих на шарик, в момент, когда нить будет вертикальна? Рис. 46 Упражнение 6 1. Сила 15 Н действует на тело массой 5 кг. С каким ускорением движется тело? 2. Определите массу тела, которому сила 5 Н сообщает ускорение 0,2 Адукацыйны партал www.adu.by 38 Основы динамики 3. Тело массой 2 кг двигалось прямолинейно вдоль оси Ох со скоростью 3 В некоторый момент времени проекция равнодействующей сил, действующих на тело, стала равна 12 Н. Напишите кинематический закон движения тела вдоль оси Ох с этого момента времени. 4. Уравнение движения тела Определите массу тела, если проек- ция равнодействующей силы /\ = -2,0кН. 5. На тело массой 1 кг, брошенное вертикально вверх, действует сила сопротивления воздуха, равная по модулю 2 Н и направленная в каждый момент движения противоположно скорости тела. Вычислите ускорение тела при движении вверх и вниз. 6. Груз массой 1 кг поднимают вертикально вверх с помощью нити. Каково ускорение груза, если сила натяжения нити равна 1 1 Н? 7*. Кабина лифта массой 500 кг движется с ускорением 0,100 С какой силон трос действует на подвес кабины, если кабина лифта: а) начинает движение вверх: б) останавливается, опускаясь вниз; в) останавливается, поднимаясь вверх; г) начинает движение вниз? 8*. Автомобиль массой 2,0 т движется по мосту со скоростью 36 -!^. С какой силой мост действует на автомобиль, если мост: а) плоский; б) выпуклый с радиусом кривизны 40 м и автомобиль проезжает его среднюю точку? Почему на выпуклом мосту всегда стоит знак ограничения скорости? § 7. Третий закон Ньютона По второму закону Ньютона можно рассчитать ускорение движущегося тела и при известных начальных условиях найти его скорость и координаты в любой момент времени. Но на практике недостаточно знать закон движения, например, автомобиля. Важно знать также силу, с которой он действует на опору, чтобы рассчитать, например, конструкцию моста, по которому автомобиль движется. Следовательно, необходимо установить, как соотносятся между собой силы, с которыми действуют друг на друга тела при взаимодействии. Проведем некоторые опыты и исследуем этот вопрос. Закрепим в двух штативах динамометры, соединенные крючками {рис. 47, а). Если потянуть в горизонтальном направлении поочередно за один динамометр, Адукацыйны партал www.adu.by Т1ретий закон Ньютона 39 Рис. 47 за другой или за оба вместе, то в каждом опыте показания приборов равны. Значит, силы, с которыми динамометры действуют друг на друга, равны по модулю и по условиям опыта направлены в противоположные стороны. Присоединим к одному динамометру кусок железа, а к другому — магнит. При взаимодействии железа и магнита на динамометрах также установятся одинаковые показания (рис. 47, б). Рассмотрим другой опыт. Пусть на гладких горизонтальных рельсах, закрепленных на неподвижном столе, расположены две тележки одинаковой массы. Закрепим на одной из них моторчик, на ось которого при его работе будет наматываться нить, привязанная к другой тележке. На тележку без моторчика поставим дополнительную гирю, масса которой равна массе моторчика, чтобы общие массы тележек были равны. Адукацыйны партал www.adu.by 40 Основы динамики в1 *.*■»** * V ¥.....W у у Рис. 48 При работающем моторчике обе тележки устремляются навстречу друг другу с одинаковыми ускорениями. Их можно рассчитать, измерив гфойдениын путь и время его прохождения (рис. 48, а). Еаш массу одной из тележек изменить, то обратно пропориионально массе изменится ее ускорение (рис. 48, б). А для модулей ускорений двух тележек, если их массы различны, выполняется сггедующее соотношение; а, т> —!- = ^, или /T!iO| = m-jao. a.^rrif ‘ Если учесть, что по второму закону Ньютона я)|й, = Е| и т.2а^^ = р2, а ускорения тележек направлены в противоположные стороны, то можно записать; Какие бы примеры взаимодействия тел не рассматривались, всегда выполняется установленный Ньютоном третий закон: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, одной природы, равны по модулю, противоположны по направлению и направлены вдоль одной прямой. Адукацыйны партал www.adu.by '^»гнй закон Ньютона 41 Из третьего закона Ньютона следует, что силы всегда возникают парами и при взаимодействии тел равноправны. Значит, например, с какой силой каждого человека притягивает наша огромная планета Земля, с такой же силой и человек притягивает Землю. Третий закон Ньютона выполняется для любых взаимодействий, в том числе и для столкновений тел. Почему, например, в районах больших аэропортов принимаются специальные меры для удаления из воздушного пространства любых птиц? Столкновение даже небольшой птицы с обшивкой самолета, стеклом иллюминатора или частью двигателя может вызвать их разрушение. Ускорение и деформация тел при взаимодействии зависят от их массы и от того, с какими другими телами есть еще взаимодействие в данный момент. Рассмотрим, например, взаимодействие одинаковых бильярдных шаров при различных условиях (рис. 49). Шар, лежащий посередине стола, взаимодействует с опорой и притягивается Землей. Причем силы тяжести и упругости перпендикулярны плоскости стола и равны по модулю. Можно показать, что при центральном ударе по одному шару такого же второго шара бильярдные шары практически обмениваются скоростями (рис. 50). Если шар лежит у бортика стола, взаимодействуя добавочно и с ним (см. рис. 50), то результат удара совершенно другой. Хотя при этом массы тел не изменились, и скорость движущегося шара перед взаимодействием такая же. Экспериментально установлено: в каких бы разнообразных взаимодей-авиях тело не участвовало, третий закон Ньютона выполняется для каждой пары взаимодействующих тел. Адукацыйны партал www.adu.by 42 Основы динамики Таким образом, третий закон Ньютона утверждает, что силы возникают всегда парами. Любое взаимодействие необходимо характеризовать двумя силами, которые хотя и равны по модулю, но противоположны по направлению и действуют на разные тела. Главные выводы 1. Силы взаимодействия двух тел равны по величине, противоположно направлены и приложены к разным телам. 2. Третий закон Ньютона выполняется в инерциальных системах отсчета. 3. Результат взаимодействия двух тел зависит от того, в каких еще взаимодействиях каждое из них участвует. Контрольные вопросы 1. Что общего и различного между силами действия и противодействия? 2. Почему говорят, что силы всегда возникают парами? 3. Книга лежит на столе. Какие силы в этом примере уравновешивают друг друга? Для каких сил выполняется третий закон Ньютона? 4. Два мальчика растягивают динамометр, причем кахадый прилагает силу 10 Н. Что показывает динамометр? 5. Теплоход при столкновении с лодкой может потопить ее практически с очень небольшими для себя повреждениями. Как это согласуется с равенством сил действия и противодействия? 6*. Человек, сидя в неподвижной лодае на озере, начал грести веслом. Почему лодка стала двигаться с ускорением? 7*. Легковой автомобиль буксирует прицеп. Почему прицеп движется за автомобилем, а не наоборот, аедь силы их действия и противодействия равны? Упражнение 7 1. Человек тянет канат, прикрепленный к стене, с силой 60 Н. С какой силой канат действует на руку человека? 2. Мальчик держит неподвижно в руке гирю массой 10 кг. С какой силой действует рука мальчика на гирю? С какой силой гиря действует на руку? 3. Человек, толкнув тележку массой 40 кг, сообщил ей ускорение 0,20 Л-. с С какой силой тележка действовала на руку человека во время толчка? 4. Среднее ускорение, которое получает мяч массой 1 кг при ударе, равно 2 С какой силой мяч действует на ногу человека при ударе? Адукацыйны партал www.adu.by Значение законов Ньютона. Принцип относительности в механике 43 5, Автомобиль разгоняется на горизонтальной прямолинейной дороге за 10 с до скорости 54 С какой горизонтальной силой действует водитель массой 70 кг на спинку кресла? 6. Груз массой 100 кг поднимают на тросе с ускорением 0,2 С какой силой груз действует на трос? (я = 9.8 ^ в данной задаче и в № 7*, 8*.J 7* Лифт начал движение с ускорением 0,20 С какой силой пол лифта с- действует на человека массой 60 кг при подъеме? При спуске? С какой силой действует человек на гюл лифта в каждом случае? 8*. Качели проходят положение равновесия со скоростью 2,0 у. С какой силой мальчик массой 50 кг действует на сиденье, если длина канатов 4,0 м? § 8. Значение законов Ньютона. Принцип относительности в механике Иногда в разговоре с не очень компетентными людьми можно услышать, что для современного человека важнее последние достижения физической науки, чем законы классической физики, сформулированные Ньютоном больше 300 лет назад. Такие рассуждения не корректны. Законы Ньютона используются в физике для описания движения различных объектов не только в механике, но и в других разделах физики, в которых изучаются тепловые процессы, электрические и магнитные явления, колебательные системы и т. д. Законы Ньютона называют основными законами механики, потому что они лежат в основе динамики, в которой устанавливаются количественные зависимости между характером движения тел и действующими на них силами. Эти законы определяют общие существенные закономерности, свойственные любым механическим движениям. Но механическое движение всегда относительно, а следовательно, для его описания необходимо выбрать систему отсчета. I Первый закон Ньютона позволяет выбрать инерциальную систему отсчета, в которой движение тел однозначно определяется вторым и третьим законами Ньютона. На основании второго закона Ньютона можно рассчитать ускорение тела при действии на него заданных сил. Адукацыйны партал www.adu.by 44 Основы динамики Согласно третьему закону Ньютона силы возникают парами при взаимодействии тел, причем модули этих сил равны, независимо от причины, вызвавшей взаимодействие тел. Законы Ньютона выполняются лишь при определенных условиях. Они хорошо описывают движение макроскопических тел со скоростями, много меньшими скорости света. Поэтому области применения законов Ньютона в окружа-g.| ющем человека мире очень обширны. Их используют для расчетов результатов самых разнообразных взаимодействий и явлений на Земле и в космосе. Законы Ньютона применяются при разработках новых двигателей для автомобильного, водного и воздуи]иого транспорта. Без этих законов нельзя рассчитать длину взлетной или посадочной полосы (рис. 51) для различных типов самолетов, параметры {наклон к горизонту и кривизну) скоростных автомобильных дорог. Старт космического корабля, его вывод на орбиту вокруг Земли или на определенную траекторию для полета к Луне, другим небесным телам невозможны без предварительных расчетов, в которых используются законы Ньютона. Кроме этого, законы Ньютона необходимы для расчетов: при строительстве зданий, мостов и других сооружений; при разработке спортивной одежды, обуви, тренажеров; в машиностроении и т. п. Применив эти законы для описания движения Луны и планет Солнечной системы, Ньютон открыл закон всемирного тяготения, который мы будем изучать в дальнейшем. Как мы уже обсуждали, чтобы использовать второй и третий законы Ньютона, нужно выбрать с помощью первого закона Ньютона инерциальную систему отсчета. В большинстве задач систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, можно считать инерциальной. Тогда система отсчета, связанная с любым телом, движущимся относительно Земли е постоянной скоростью, также является инерциальной (в пределах той же точности измерений). Таким образом, в любом равномерно движущемся транспорте, на эскалаторе, в лифте н т. п. должны также выполняться второй и третий законы Ньютона. Адукацыйны партал www.adu.by Значение законов Ньютона. Принцип относительности в механике 45 На зтот факт впервые обратил внимание Галилей. Он предположил, что опыты, проведенные в неподвижной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, и «в большой каюте под палубой какого-либо крупного корабля» не должны отличаться друг от друга. «Если только движение будет рав- Рис. 52 номерным, а не колеблющимся туда и сюда», то капли воды будут падать вертикально вниз, как в неподвижной системе отсчета. Мяч, брошенный вертикально вверх, вернется в точку бросания. «Ни по одному из этих явлений, ии по чему-либо, что станет происходить с вами самими, вы не сможете удостовериться, движется корабль или стоит неподвижно», — утверждал Галилей. Таким образом, Галилей выдвинул гипотезу, что относительно всех инерциальных систем отсчета тело получает одинаковое ускорение при одинаковых действиях на него других тел. Действительно, каждый человек из личного опыта знает, что в вагоне, движущемся с постоянной скоростью по прямолинейной дороге, можно легко вставать, ходить, нс теряя равновесия, можно даже играть в теннис (рис, 52). В настоящее время положение, высказанное Галилеем, называется принципом относительности Галилея или принципом относительности в механике: в любых инерциальных системах отсчета все механические явления протекают одинаково при одинаковых начальных условиях. Почему важны одинаковые начальные условия? Потому, что координата и скорость тела в начальный момент времени относительны, зависят от выбранной системы отсчета. Относительно равномерно движущегося вагона тело будет падать вниз по вертикали так же, как и в случае, когда вагон неподвижен (рис. 53), но относительно наблюдателя, находящегося на Земле, тело, падающее отвесно в вагоне, движется по параболе (см. рис. 53). Следовательно, не существует какой-то одной, избранной, инерциальной системы отсчета, все инерциальные системы отсчета равноправны, и при решении задач для упрощения расчетов можно выбирать любую из них. Адукацыйны партал www.adu.by 46 Основы динамики Рис. 53 Например, взвешивание тела и расчет результатов этого действия в любом равномерно движущемся транспорте (или в лифте и т, п.) можно проводить, не учитывая этого движения. В системах отсчета, движущихся с ускорением {неинерциальных), в сфор* мулированном нами виде законы Ньютона не выполняются. Но эти законы оказались так удобны для расчетов, что в не инерциальных системах отсчета специально вводят особые силы инерции, чтобы учесть ускоренное движение системы отсчета и использовать законы Ньютона. Главные выводы 1. Законы Ньютона определяют общие существенные закономерности, свойственные любым механическим движениям. 2. Принцип относительности Галилея устанавливает равноправие всех инерциальных систем отсчета, так как механические явления и процессы протекают в них одинаково при одинаковых начальных условиях. 3. В соответствии с принципом относительности при решении задач можно использовать любую наиболее удобную инерциальную систему отсчета. Контрольные вопросы 1. Почему неверно утверждение, что законы Ньютона, сформулированные более 300 лет назад, в жизни современного человека не имеют большого значения? 2. Почему лринцип Галилея называют принципом относительности? 3. Человек находится в вагоне скоростного поезда, равномерно движущегося на «воздушной подушке»*. Может ли он с помощью каких-либо опытов, проводимых внутри вагона, установить, движется поезд или покоится? Адукацыйны партал www.adu.by всемирного тяготения 47 Глава II. СИЛЫ В МЕХАНИКЕ § 9. Закон всемирного тяготения Каждый из нас на личном опыте ощущает силу притяжения к Земле, благодаря которой мы можем ходить и бегать. Но, споткнувшись, именно под , действием этой силы мы падаем на землю. В 7-м классе вы узнали, что эта сила называется силой тяжести и определяется произведением массы тела на ускорение свободного падения; mg. Почему Земля притягивает все тела? Чем определяется модуль ускорения падающего на Землю тела и, следовательно, сила притяжения к Земле? Какие причины вызывают движение Луны вокруг Земли практически по круговой орбите? Почему планеты Солнечной системы и в том числе наша Земля движутся вокруг Солнца? Ньютон был первым ученым, который сначала высказал гипотезу, объясняющую все эти явления, а потом строго ее доказал. Он предположил, что между любыми телами существуют силы тяготения, и, например, падение камня и движение Луны по своей орбите определяется силой притяжения Земли, Чтобы установить закон, которому подчиняются силы тяготения, Ньютон сравнил траектории и ускорения этих тел. Камень, брошенный горизонтально с некоторой начальной скоростью, движется к Земле по криволинейной траектории (рис, 54). Если увеличивать начальную скорость бросания, то дальность полета тела также возрастает. Из-за кривизны поверхности Земли при определенной начальной скорости камень вообще может не достигнуть Земли и начнет двигаться вокруг нее подобно Луне (рис. 55). Рис. 54 Рис. 55 Адукацыйны партал www.adu.by 48 Основы динамики Из этого мысленного эксперимента Ньютон сделал вывод, что движение камня и движение Луны обусловлены одной и той же причиной — притяжением Земли, В то же время, по известным астрономическим данным (расстоянию до Луны и периоду ее обращения вокруг Земли), можно было определить ускорение Луны. Вычисленное таким образом центростремительное ускорение Луны оказалось равным 0,0027 что примерно в 3600 раз меньше ускорения с свободного падения камня, движуизегося у поверхности Земли, Так как Луна приблизительно в 60 раз дальп1е от центра Земли, чем камень, то Ньютон предположил, что ускорение, которое сообщает телам сила тяготения Земли, обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли. Поскольку ускорение прямо пропорционально действующей на тело силе, то сила тяготения Земли также по величине обратно нропориио1щльна квадрату расстояния до центра Земли. Зависит ли сила тяготения от массы тел? Опыты Галилея доказали, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Это возможно только в том случае, если сила тяготения нропорциональиа массе тела; F~tn. Действительно, тогда увеличение ил)1 уменьшение массы, например, в два раза вызовет соответству!ощее измене.ние силы тяготения в два раза, но ускорение по второму закону Ньютона останется прежним; F '1F 0= — = ^ т 2т н т, д. С другой стороны, во взаимодействии всегда участвуют два тела, на каждое из которых по третьему закону Ньютона действуют одинаковые по модулю силы. Следовательно, сила тяготения должна быть пропорциональна массе обоих тел. Так Ньютон пришел к выводу, что сила тяготения меж^ту телом и Землей прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами; Мт ' Выполняется этот закон только для Земли или яштется всеобщим? Чтобы ответить на этот вопрос, Ньютон рассмотрел кинематические законы движения планет Солнечной системы, сформулированные немецким ученым Иоганном Кеплером на основании многолетних астрономических наблюдений датского ученого Тихо Bpaie. Адукацыйны партал www.adu.by Закон всемирного тяготения 49 Орбиты, по которым движутся планеты под действием силы тяготения Солнца, очень близки к круговым. Тогда один из законов Кеплера может быть записан в форме: , П ДГ где Т, и Tj, и — периоды обращения и средние радиусы орбит при вращении вокруг Солнца двух каких-либо планет Солнечной системы. Используя формулу а= Ньютон рассчитал центростремительные ускорения планет. Он обнаружил, что сила тяготения Солнца сообщает всем планетам ускорения, не зависящие от их массы и убывающие обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца, Ньютон доказал, что силы тяготения между планетами и Солнцем также подчиняются установленной им закономерности, и в 1667 г. сформулировал закон всемирного тяготения. Так как размеры планет много меньше их расстояний до Солнца, то планеты можно рассматривать как материалы!ые точки. В этом случае формулировка закона всемирного тяготения наиболее точна: две материальные точки притягиваются друг к другу с силами, модули которых прямо пропорциональны произведению масс этих точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними (рис. 56, а): f = G-V-. Еащ размерами взаимодействующих тел нельзя пренебречь, то, чтобы определить силу тяготения между ними, необходимо разбить тела на такие малые обьемы, которые можно было бы считать материальными точками. Для нахождения силы тяготения между телами ({еобходимо будет найти все силы притяжения между этими «материальными точками» и вектор но их сложить. Если тела представляют собой однородные шары массами m^ и т^, то расчеты показывают, что формула для силы тяготения между ними будет такая же, как н для материальных точек, но в этом случае г — расстояние между центрами [паров (рис. 56, б). Рис. 56 а т.^ б г niz ■ г Адукацыйны партал www.adu.by 50 Основы динамики Коэффмодеит ирстюрциональностн С называется гравитационной постоянной (лат. gra-vitas — тяжесть). Определить величину гравитационной постоянной на основании астрономических данныл / Н.юТО» ко М*)Г, гак к«к JUifjiiL'i к Солнца В ТО Время были не известны. Впервые эта величина была определена в 1798 г. английским физиком Кавендишем с помощью прибора, называемого крутильными весами (рис. 57). Основной частью этого прибора было легкое коромысло с двумя шарами на концах, подвешенное на упругой проволоке. Рядом с ними неподвижно закрепляли два тяжелых шара. Под действием сил тяготения между этими шарами и подвешенными шарами коромысло поворачивалось на некоторый угол. Зная величину этого угла, массы взаимодействующих тел, расстояния между их центрами и упругие свойства проволоки, Кавендиш рассчитал величину гравитационной постоянной: 0-6,67- 10-“ -ЬЦ1. КГ" Н' Современное значение гравитационной постоянной 0 = 6,6720 • 1СГ“ - Она является одной из мировых констант, и поэтому периодически проводятся опыты по уточнению ее численного значения. Силы всемирного тяготения самые универсальные из сил природы, так как действуют между любыми телами. Но из-за такой малой величины гравитационной постоянной силы тяготения являются значительными только для тел с очень большой массой, например для планет и других космических тел. I Если известен кинематический закон движения спутника какого-либо кос-I мического тела (планеты, звезды, кометы), то, используя закон всемирного тяготения и второй закон Ньютона, можно рассчитать массу этого тела. Так и были определены массы различных космических тел (рис, 58): Солнца, Луны, Земли, других планет и их спутников. I При изучении физики в 8-м и 9-м классах вы узнали, что электрические 1 и магнитные взаимодействия тел определяются существующими вокруг них I электрическими и магнитными полями. Адукацыйны партал www.adu.by Закон всемирного тяготения 51 Нептун Плутон Сатурн Уран Юпкггер Луна - Земля э Меркурий Венера 4 Марс Рис, 58 Аналогично вокруг любого тела существует особая форма материи — гравитационное поле, характеристики которого зависят от массы тела. Если масса одного тела много больше массы другого, то его гравитационным полем можно пренебречь по сравнению с полем первого тела. Поэтому говорят, например, что самолет движется в гравитационном поле Земли или планеты Солнечной системы движутся в гравитационном поле Солнца. Закон всемирного тяготения стал важнейшей ступенью в развитии всей физики, так как выявил новое свойство массы тела. I Сила гравитационного взаимодействия пропорциональна массам тел, I т. е. масса является мерой тяготения, и, следовательно, ее можно назвать гравитационной. Во втором законе Ньютона масса определяет инертные свойства тела, т. е. его способность приобретать большее или меньшее ускорение, и ее естественно назвать инертной. Одинаковы ли эти массы? Многочисленные опыты показывают, что эти массы равны друг другу. Адукацыйны партал www.adu.by 52 Осн^ы динамики Опытный факт равенства гравитационной и инертной масс, называемый принципом эквивалентности, Альберт Эйнштейн положил в основу общей теории относительности, обобщающей и уточняющей более простую теорию тяготения Исаака Ньютона. Главные выводы 1. Силы гравитационного взаимодеГктвня (тяготения) универсальны, действуют между любыми телами и лропбрциональны произведению масс взаимодействующих тел. 2. Силы гравитационного взаимодействия двух материальных точек обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними, для однородных шаров — обратно пропорциотзальны квадрату расстояния между их центрами. 3. Используя закон всемирного тяготения, известный кинематический закон движения спутника какого-либо космического тела и второй закон Ньютона, можно рассчитать массу этого космического тела. Контрольные вопросы 1. Как Ньютон пришел к выводу, что силы тяготения должны быть пропорциональны массам взаимодействующих тел? 2. Почему Ньютон не мог определить величину гравитационной постоянной? Каким образом ее определили? 3. Почему мы не замечаем притяжения между окружающими нас телами? 4. Как двигалась бы Луна, если бы исчезло тяготение между Луной и Землей? Если бы Луна остановилась на орбите? 5*. Тело опустили в глубокую шахту. Как изменилась сила его гравитационного взаимодействия с Землей? 2. 3. Упражнение 8 На каком расстоянии от поверхности Земли сила гравитационного взаимодействия космического корабля с ней станет в ЮО раз меньше, чем на поверхности Земли? (Радиус Земли Rj.) Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Луны и Земли, тело будет притягиваться ими с одинаковой силон? Два корабля, массой 50 кт каждый, стоят на рейде на расстоянии 1,0 км друг от друга. Какова сила гравитационного притяжения между ними? Адукацыйны партал www.adu.by Сила тяжести. Ускорение свободного падения 53 4. Вычислитс силу притяжения Луны н Земли, если их массы соответственно равны 7 ■ 10“ кг и 6 ■ 10"^ кг, а расстояние между их центрами 384 000 км. 5* Радиус орбиты Ио, спутника планеты Юпитер, равен 422 000 км, период обращения 42 ч 28 мин. Найдите массу Юпитера. 6*. Рассчитайте массу Солнца, зная, что средний радиус земной орбиты равен 150 млн км. § 10, Сила тяжести. Ускорение свободного падения Как мы уже обсуждали, исторически сложилось, что силой тяжести mg называется сила, с которой Земля притягивает тело. Масса данного тела — величина постоянная, н, следовательно, силу тяжести определяет ускорение свободного падения, А почему ускорение свободного падения принимают равным 9.8 -^|-? От чего оно зависит? с Измерения, проведенные в различных точках поверхности Земли, показывают, что ускорение свободного падения может иметь различные значения, а 9.8 -5^ — это среднее значение данной величины. Как это объяснить? Теперь вы знаете, что силу, с которой на тело действует Земля, можно рассчитать по закону всемирного тяготения. Будем считать Землю однородным шаром массой М и радиусом R. Любое тело по сравнению с нашей планетой можно считать материальной точкой. Если тело находится на небольшой высоте /г<К/? от поверхности Земли {или Л = 0), то можно записать для силы их гравитационного взаимодействия: с GMm Сравнивая молули силы тяжести и гравитационного взаимодействия, можно найти модуль ускорения свободного падения: mg = GMm , R'~ ' Полученная формула показывает, что ускорение свободного падения зависит только от массы Земли н ее радиуса, и поэтому его модуль одинаков для всех тел. Если высотой тела над поверхностью Земли нельзя пренебречь, то расстояние между телом и центром земного шара равно r=R + h, и модуль ускорения свободного падения будет тем меньше, чем дальше тело от поверхности. Адукацыйны партал www.adu.by 54 Основы динамики Поэтому часто для ускорения свободного падения вблизи поверхности вводят индекс «О», а для ускорения свободного падения на некоторой высоте от поверхности Земли — индекс «Л»: „ GM. ёо 1 Sh - GM GM Рис. 59 Следовательно, и модуль силы тяжести будет отличаться при различном расположении тела относительно поверхности Земли: mga или mgi, . Какую удивительную возможность дает нам полученная формула для Эта формула позволяет определить массу нашей планеты (рис, 59), ведь среднее значение модуля ускорения свободного падения и средний радиус Земли уже давно определены опытным путем: т ^ . Именно потому, что с помощьео закона всемирного тяготения возможны подобные расчеты, его иногда в шутку называют «всемирными весами». Аналогично можно получить формулы для ускорения свободного падения и силы тяжести вблизи любого космического тела: Луны, Марса, Солнца, только в них соответственно будут входить масса и радиус этого космического тела. Так как мы получили формулы для ускорения свободного падения, рассматривая самую простую модель гравитационного взаимодействия, то иногда говорят, что это формулы для расчета ускорения свободного падения в «первом приближении». I Какие еще факторы влияют на модуль ускорения свободного падения, например, вблизи данной точки земной поверхности? 1) Земля не является шаром. Форма нашей планеты в честь ее греческого имени Гея носит название «геоид», так как радиус кривизны ее поверхности у полюсов больше, чем на экваторе. 2) Наша планета не однородна по строению, состоит из различных слоев, в которых есть области различной плотности, например залежи нефти и газа или залежи тяжелых металлов. 3) В рассмотренной модели не учтено суточное вращение Земли. Адукацыйны партал www.adu.by Сила тяжести. Ускорение свободного падения 55 4) При расчетах не учитывалось гравитационное взаимодействие тела с другими космическими телами; Луной, Солнцем и т. и. Именно поэтому модуль ускорения свободного падения отличается для различных точек на поверхности Земли. Например, на полюсах g'otiwi = 9,83 ~, а на экваторе — ^оэк11 = 9,78 с При решении задач, если в условии ничего не сказано о форме планеты, ее строении, параметрах вращательного движения, используется рассмотренная нами простейшая модель гравитационного взаимодействия и полученные формулы. Главные выводы 1. Причиной существования силы тяжести является гравитационное взаимодействие между телом и Землей. 2. Если не учитывать особенности строения и формы Земли и участие ее во вращательном движении, то модуль ускорения свободного падения определяется только ее массой и радиусом. 3. При удалении от поверхности Земли модули ускорения свободного падения и силы тяжести уменьшаются. Контрольные вопросы 1. При каких упрощениях получена формула для ускорения свободного ладения на поверхности Земли? 2. Почему при удалении от поверхности Земли ускорение свободного падения уменьшается? 3. Почему ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела? 4. Могут пи на двух разных планетах быть равные по модулю ускорения свободного падения? При каком условии? 5. В каком случае и почему один и тот же стоящий человек действует на опору с большей силой: а) высоко в горах или на морском пляже; 6} на полюсе или на экваторе? 6*. Тело свободно падает из окна дома в Экваториальной Африке; один раз днем, а второй раз ночью. В каком случае его ускорение больше и почему? Упражнение 9 1. На какой высоте от поверхности Земли сила тяжести уменьшится в 2 раза? (Радиус Земли /? = 6400 км.) 2. Ракета поднялась на высоту 990 км над полюсом Земли. На сколько уменьшилась сила тяжести корпуса ракеты по сравнению с силой тяжести на поверхности Земли? Радиус Земли считайте равным 6400 км. Адукацыйны партал www.adu.by 56 Основы динаммци 3. Масса Лу!1ы в 81 раз MCHbUje массы Земли, а радиус в 3,7 раза меньше среднего радиуса Земли. Определите ускорение свободного падения на поверхности Луны, если для Земли оно равно 9,8 -5^. С“ 4. Вычислите ускорение свободного падения у поверхности Марса, если его масса 6- 10'^ кг, а радиус 3300 км. 5. Определите ускорение свободного падения вблизи поверхности Солнца, если его радиус в 110 раз больше радиуса Земли, а средняя плотность в 4 раза меньше средней плотности Земли, 6*. Радиус орбиты Ио, спутника планеты Югштер, равен 422 000 км и в 5,95 раза превьш]ает раш1ус Юпитера. Определите ускорение свободного падения на поверхности Юпитера, если период обращения спутника 42 ч 28 мин. 7*. Получите формулу для среднего ускорения свободного падения на шарообразной планете со средней плотностью р и радиусом R без учета ее суточного вращения. § 11. Свободное падение тел (движение по прямолинейной траектории) Каждый человек в своей жизни наблюдал движение различных тел под действием силы притяжения к Земле (рис. 60). Падает вниз с парты ручка или резинка, плавно опускается лист дерева, движется по сложной траектории после удара мяч и т. л. Причем каж;ш1й наблюдал, что если с одной ветки одновременно начали падать лист и яблоко, то яблоко движется быстрее. ___ На основании таких наблюдений до опытов известного итальянского ученого Галилео Галилея считалось, что более тяжелые тела с одной и той же высоты надают быстрее, чем легкие. По преданию, Галилей и.зучал падение различных тел со знаменитой Пизанской банши {рис. 61) и установил, что все тела, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением, если их движению ничто не мешает. Проведем такой опыт. В стеклянную трубку, один конец которой запаян, а другой закрыт пробкой с краном, поместим птичье перо, кусок пенопласта и свинцовую дробинку. Перевернув Рис. 60 трубку, мы обнаружим, что эти тела упадут на дно Адукацыйны партал www.adu.by Свободное падение гел (движение по прямолинейной траектории) 57 Рис. 61 не одновременно {рис. 62, а): первой на дне окажется свинцовая дробинка, а позже всех упадет птичье перо. Так, может, не прав Галилей? Чтобы ответить на зтот вопрос, проведем опыт при других условиях. Откачаем насосом воздух из трубки, закроем кран и вновь быстро перевернем трубку. Теперь все три предмета упадут па дно трубки одповремеи-но (рис. 62, б), потому что их движению не мешает воздух, и, следовательно, вывод Галилея подтверждается. Свободным падением называется движение тела только под действием силы тяжести с любой нача.чьной скоростью. Свободное падение — модель реального движения тела вблизи поверхности Земли иод действием ее силы притяжения, tipn котором ме учитываются суточное вращение Земли, размеры тела и сопротивление воздуха его движению. В физических задачах эта модель применяется мри рассмотрении движения, например, падающего с горы камня, мяча после подачи игрока, пули, выпушенной из ружья, и т. п. При этих условиях сила тяжести считается постоянной и рассчитывается по формуле mg, где g= 9,8-у. Если тело движется только под действием силы тяжести, то по второму закону Ньютона ускорение свободно падающего тела а = — = g и не зависит от массы тела. т ® Адукацыйны партал www.adu.by 58 Основы динамики Рис. 64 % О 9 • 9 0 9 Рис. 63 h 11. О Поэтому разные тела движутся с одинаковыми ускорениями, как показано на рисунке 63. Этот рисунок сделан с фотографии, которую получили, открывая объектив и чередуя вспышки света каждые ^ с (такая фотография называется стробоскопической). Следовательно, свободное падение — частный случай равноускоренного движения, и если a = ^ = const, то можно записать выражения для радиус-вектора и мгновенной скорости тела: r, = ro-f-V+ 2 ’ v, = Va + gt. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи свободного падения тела. 1) Пусть тело свободно падает без начальной скорости с высоты Л над поверхностью Земли. Для описания механического движения необходимо выбрать систему отсчета, и в данном случае полезно рассмотреть движение тела в двух системах координат. а) Выберем начало первой системы координат под точкой начала падения тела, а ось Оу направим вверх (рис. 64). Ось Ох не нужна, так как все векторы расположены вдоль оси Оу. Найдем проекции векторов и запишем уравнения для координаты и проекции мгновенной скорости: Пу —yt\ ^'о(( = gy = -g-^ yt = h- -5-; v,^ = -gt. Найдем время падения тела используя то, что в последний момент движения тело попадает в начало выбранной оси Оу, т. е, его конечная координата равна: у* = 0=/1-^. Тогда h = и ‘>-П Адукацыйны партал www.adu.by Свободное падение тел (движение по прямолинейной траектории) 59 Зная все время падения теда, можно найти проекцию его скорости в последний момент движения: Vyk = -Stk = -gff = Проекция скорости тела отрицательна, так как скорость направлена противоположно выбранному направлению оси Оу. б) Можно выбрать и друО'Ю систему координат {рис. 65). Тогда проекции векторов: 4 = 0; Пу = уА Vay = 0-, gy = g и уравнения для координаты тела и для проекции мгновенной скорости в любой момент времени будут иметь вид: У/=—: 4 = ^^* В последний момент движения в этой системе отсчета конечная координата тела равна: . y^=h=-^. Отсюда все время движения: 4 = а проекция конечной скорости тела: ^yk=g^k=g^ = 4^- Мы получили для расчета времени падения ту же формулу, а формула для проекции скорости отличается только знаком, указывающим направление скорости по отношению к выбранной системе координат. _ ^ Как и следовало ожидать, полученные ре- ^ зультаты не зависят от выбора системы коор- ' “ динат. 2) Рассмотрим другой случай свободного падения: тело брошено с начальной скоростью Ug, направленной вертикально вверх (рис, 66), и вернулось в точку бросания. Например, вы бросили вверх мяч и поймали его при возвращении. Рис. 66 Адукацыйны партал www.adu.by 60 Основы динамики Выберем начало оси Оу в точке начала движения тела (рис. 67). Тогда проекции векторов: I'Qt) = 0; г,у = yf, Vfjy = v,i\ gy = —g. Уравнения для координаты тела и для проекции мгновенной скорости в любой момент времени: . gi- , Найдем все время движения тела, или время возвращения тела в точку бросания i^, учитывая, что в последний момент движения тело попадает в начало оси Оу, т. е. его конечная координата: ,тУ 2 Stk Это квадратное уравнение имеет два корня: „ 2ц, ^0 = о и ty =“^. которые соответствуют начальному моменту движения и моменту возвращения тела в исходную точку. Найдем скорость тела в последний момент движения, подставив все время движения в уравнение для проекции скорости: 2г'п V ук = Шк = g~ = -Уо- Отсюда следует; с какой скоростью мяч брошен вертикально вверх, с такой же скоростью по модулю, но протпвогюложной по направлению, вернется в точку бросания (и ударит по бросившим его рукам!). Найдем время подъема тела на максимальную высоту и значение этой высоты. При движении тела вверх проекция мгновенной скорости уменьшается. В момент максимального подъема тело на мгновение останавливается (а затем начинает падать вниз), т, е. v,y = 0 = Va-gt„. Тогда время подьема тела на максимальную высоту: / = " g' т, е. равно половине всего времени движения: t - ^ Адукацыйны партал www.adu.by Свободное падение тел (движение по прямолинейной траектории) 61 а максимальное значение координаты или высоты подъема: Утаи ~ ^ ~ 'о _ % или sr и = — ятах 2 В 2в^ 2g’ 8 • Следовательно, сколько времени тело поднималось до максимальной высоты, столько же времени с этой высоты возвращалось в исходную точку. . Можно показать, что для брошенного вертикально вверх тела: I) скорость, с которой оно проходит при подъеме любую точку на некоторой высоте, равна но модулю и противоположна по направлению скорости, с которой оно проходит эту же точку на спуске; 2) время подъема тела между ■ любыми двумя точками по вертикали равно времени падения между этими же точками. Знание этих соотношений позволяет более просто решить некоторые , задачи. Если сопротивлением воздуха пренебречь нельзя, то время подъема вертикально брошенного тела до максимальной высоты всегда меньн1е времени возвращения с этой высоты, а конечная скорость при возвращении в исходную точку всегда меньше начальной. Аналогично можно рассмотреть движение тела, брошенного вертикально вниз с некоторой высоты с начальной скоростью. Птавные выводы 1. Свободное падение — это движение тела только под действием силы тяжести, 2. Если начальная скорость тела равна нулю или коллннеарна вектору ускорения свободного падения, то свободное падение представляет собой частный случай равноускоренного прямолинейного движения с ускорением: a = ^ = const. 3. Д1Я тела, брошенного вертикально вверх: а) скорость прохождения точки на некоторой высоте при подъеме равна по модулю и противополож* на по направлению скорости при прохождении этой же точки на спуске; б) время подъема между двумя точками но вертикали равно времени падения между этими же точками. Адукацыйны партал www.adu.by 62 Основы дннаумм Контрольные вопросы 1. При каких условиях реальное движение тела можно считать свободным падением? 2. Можно ли считать движение человека с раскрытым парашютом свободным падением? Почему? 3. Верно ли утварждение, что время падения тела без начальной скорости с некоторой высоты прямо пропорционально этой высоте? 4. Можно ли считать, что вьюота подъема тела, брошенного вертикально вверх, прямо пропорциональна его начальной скорости? 5. При каком условии модуль скорости падения тела, брошенного вертикально вверх, равен модулю скорости бросания? 6. При каком условии время подъема тола, брошенного вертикально вверх, равно времени падения? Упражнение 10 1. Возьмите два одинаковых плоских листа бумаги и скатайте из одного из них шарик. Отпустите одновременно плоский лист и шарик с одинаковой высоты. Одинаково ли время их падения? Почему? Одинакова ли скорость их приземления? Почему? 2. Сделайте два одинаковых по размерам кружка: один — из бумаги, другой — из толстого картона. Отпустите их одновременно с одинаковой высоты, Одинаково ли время их падения? Почему? Как изменится результат опыта, если бумажный кружок положить на картонный и отпустить с той же высоты? Указание, В задачах 3—7 упражнения 10 сопротивлением движению тел можно пренебречь. Численное значение ускорения свободного падения принять равным 10 3. Тело свободно падает без начальной скорости. Найдите его скорость в конце пятой секунды движения. Во сколько раз зта скорость отличается от скорости тела в конце первой секунды движения? Решите аналитически и графически (по графику зависимости скорости тела от времени). 4. Камень, сорвавшийся без начальной скорости с вершины утеса, ударился о его подножие через 4 с. Найдите высоту утеса и конечную скорость камня. 5. Ускорение свободного падения на Луне примерно в 6 раз меньше, чем на Земле. Во сколько раз будут отличаться высоты максимального подъема тел, брошенных вертикально вверх с одинаковой скоростью, на Земле и Луне? Адукацыйны партал www.adu.by Свободное падение тел (движение по криволинейной траектории) 63 6. Уравнение координаты тела, брошенного вертикально вверх, -5(^(м). Запишите уравнение зависимости проекции скорости тела от времени и найдите ее значение через 0,5 с после начала движения. Вычислите время подъема тела на максимальную высоту и значение этой высоты. Постройте графики проекции на ось Оу скорости и перемещения тела. 7*. Докажите, что если тело, брошенное вертикально вверх, проходит при подъеме точку на высоте h со скоростью V/,, то при спуске оно пройдет эту точку с такой же по модулю, но противоположной по направлению скоростью, а время подъема тела из этой точки до максимальной высоты равно времени возвращения в эту точку. 8*. Человек прыгает «солдатиком» с высоты 8,5 м и достигает поверхности воды за 1,7 с. На сколько сопротивление воздуха увеличивает время падения и уменьшает конечную скорость человека? §12. Свободное падение тел (движение по криволинейной траектории) Рассмотрим свободное падение тел в случаях, когда вектор начальной скорости направлен не вертикально. Для наглядного представления такой траектории удобно рассматривать полет струи воды, вытекавощей под напором из шланга {рис. 68). Например, мяч в результате броска (рис. 69, а) начинает двигаться под углом к горизонту или во время игры человек бросает мяч в горизонтальном направлении (рис. 69,6), Из личного опыта каждый знает, что в обоих случаях мяч движется tio криволинейной траектории. Рис. 68 Адукацыйны партал www.adu.by Рис. 69 64 Основы динамики I) При броске в горизонтальном направлении тело начинает движение со CKopocTbFO и,,, направленной горизонтально, т. е. гюрпендику-лярно вектору ускорения свободрюго падения: 5ц Ig- Выберем Ешчало системы отсчета на вертикальной линии под точкой бросания {рис. 70). В этом случае векторы iig. g расположены в одной вертикальной плоскости. Следовательно, вектор ?! будет в любой момент времени расположен в этой плоскости. Значит, тело будет двигаться по траектории, лежащей в этой же плоскости, а для описания движения тела можно использовать только две оси декартовой системы координат Ох н Оу. Тогда roy = h\ го, = 0\ % = 0; 0(и. = Уо: Sy = ~g'^ Рис. 70 И можно записать кинематические уравнения для координат тела и проекции его скорости: X, = Vot = p(,; JV, = Л - = -gt. Первые две формулы показывают, что координата х, прямо пронорциональ-нэ време!!и, а проекция скорости на ось Ох не зависит от времени, т. е. эти уравнения соответствуют уравнению равномерного прямолинейного движения. Две последние формулы описывают равноускоренное движение. Следовательно, рассматриваемое сложное движение в плоскости можно представлять в виде двух движений: одно — свободное падение без начальной скорости, а второе — равномерное движение в горизонтальном направлении. Записанные кинематические уравнения позволяют решить основную задачу механики: найти координаты тела в любой момент времени, получить уравнение траектории движения тела, а также формулы для расчета времени движения, дальности полета, величины и направления скорости тела в последний момент движения. Как известно, уравнение траектории представляет собой функциональную зависимость координат точки друг от друга. Получим уравнение траектории, выражая время {= и подставляя его в уравнение для координаты: ‘ Пщ) 2vl ' Адукацыйны партал www.adu.by j Следовательно, траектория движения тела представляет собой ветвь параболы. I Например, если при стрельбе по мишени спортсмен держит винтовку го-I рнзонтально, то нуля движется по параболе и за время полета до мишени I опустится тем ниже начального уровня, чем дальше мишень. Это обязательно I учитывают спортсмены, для того чтобы показать лучшие результаты. I Навдем полное время движения тела, используя то, что в выбранной сис-, теме отсчета конечная его координата равна нулю; Полученная формула показывает, что полное время движения тела, начальная скорость которого направлена горизонтально, не зависит от ее значения. Следовательно, если два тела одновременно начали движение с одной и той I же высоты, одно — горизонтально с начальной скоростью, а второе — вниз без начальной скорости, то они упадут одновременно (конечно, если не учитывать сопротивление воздуха). Получим формулу для дальности полета тела, которую рассчитывают как расстояние, пройденное телом в горизонтальном направлении, т. е. в выбран-( ной системе отсчета: Ж ё L- Xj, - - Ур Из этой формулы следует, что, чем больше начальная скорость тела и высота, с которой оно брошено, тем больше дальность его полета. Скорость тела направлена по касательной к параболической траектории (рис. 71), а ее модуль в любой момент времени можно найти по теореме Пифагора: и, - ч- . В последний момент движения конечная скорость тела: ^=sjvl+2gh. Угол между направлением скорости тела в -любой момент движения и горизонталью можно определить из прямоугольного треугольника, )jo6pa30Baиного вектором скорости и его проекциями на оси координат (см. рис, 71); sma,=—: cosa,=^. (Г 3 Зак 12 Адукацыйны партал www.adu.by 66 Основы дйнаммки Например, в последний момент движения: _ -s‘k _ ^хк Щ ^'0 ‘ Для описания движения тела, брошенного горизонтально, можно выбрать и другую систему отсчета. Попробуйте сделать это самостоятельно и описать движение тела в этой системе отсчета. 2) Движение тела, брошенного с начальной скоростью %, направленной под углом а(| к горизонту, происходит по криволинейной траектории аналогично струе воды на рисунке 68. Пусть в конце движения тело возвращается на тот же уровень относительно Земли, с которого начало движение. Выберем начало отсчета в точке бросания тела {рис. 72). Векторы g расположены в одной вертикальной плоскости, и, следовательно, тело будет двигаться по траектории, лежащей в этой же плоскости. Для описания его движения можно использовать только две оси декартовой системы координат Ох и Оу. Тогда ''о# = 0; = 0; U[,j, = UoSina„; Oo^^wocosa,,; g^ = -g; g^ = 0 и можно записать кивЕематические уравнения для координат точки и проекций ее скорости: Х; = -)- = On cos an ■ {; = Уо cos а^; У/ ^ ^'о sina„ • У,у = Уц,« + ДД = Уо sin Uo - gi. Из первых двух уравнений следует, что проекция скорости на ось Ол' не зависит от времени, а координата х, прямо пропорциональна времени, т. е. это кинематические уравнения равномерного движения. ^ Два последних выражения представляют собой кинематические уравнения равноускоренного движения. Таким образом, сложное движение тела в плоскости можно представить как наложение двух простых, одЕюмерных: равномерного вдоль оси Ох и равноускоренного вдоль оси Оу. Адукацыйны партал www.adu.by Свободное падение тел (движение по криволинейной траектории} 67 Эти уравнения позволяют решить основную задачу механики: определить координаты тела в любой момент времени, а также рассчитать, например, время подъема на максимальную высоту и ее величину, все время движения и дальность полета тела, найти модуль скорости тела и ее направление в любой момент времени. Получим уравнение траектории тела, выразив время из уравнения для координаты Xf и подставив в уравнение для координаты у,: у, =u,iSmao-- О 2 2 л I/q cos Of) = tgao cos^ «0 Так как у, = /{x'j), то траектория тела — парабола (рис. 73), по касательной к которой направлена мгновенная скорость. Найдем время подъема тела на максимальную высоту, используя уравнение для проекции скорости которая с начала движения убывает и в высшей точке подъема тела равна нулю: = О = и» sin а(,-g/„. Отсюда („= Сле- довательно, максимальная координата тела по оси Оу, или высота подъема; Cosman £ ' 2 sin^ ctf, vi sin^ a.. ё S 2g ' Найдем все время движения, иcпoль;^yя уравнение для координаты у,, которая в выбранной системе отсчета в последний момент двнже)шя равна нулю: i/i = 0 = OnSifiao- h—f-. Это квадратное уравнение имеет два корня, первый из которых соответствует начальному моменту времени (о=0, а второй — всему времени движения тела: ^ 2^)Sinaf| g • Следовательно, все время движения вдвое больше времени подъема, или сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько же и спускается с нее. Можно пока,зать, что это же будет справедливо при полете тела по параболе между двумя любыми уровнями по высоте вверх и при полете по параболической траектории между этими же двумя уровнями вниз. Адукацыйны партал www.adu.by 68 Основы динамики В выбранной системе отсчета дальность полета тела — его конечная координата по оси Ох: 2unCosanSina(, ygSinSan L = Xj, = Va COS ttfi • j Модуль скорости тела в любой момент времени можно найти по теореме Пифагора: и, = , а нз- правление — из треугольника, образованного вектором скорости и его проекциями на оси координат (как показано на рисунке 71); " . sina, = —; cosa(=—. Например, в конечный момент времени: У*- „ / 2И(, sinttg (0()Cosao)'^+IO(,si"-'- " cosa*= — = - V. jSinao-^-Уц costtp ) =.o; = COS an , 1 / . sina*= — = —^Oosinao-g 2tbsina(i\ . ■I=-sina[). g Эти выражения показывают, что конечная скорость тела равна по модулю начальной и направлена к горизонту под углом, равным по модулю первоначальному. Можно показать, что при движении по параболической траектории модуль скорости и модуль угла, который вектор скорости образует с горизонтом, на любом одном н том же уровне относительно Земли одинаковы. Используя понятия нормального и тангенциального ускорений, можно рассчитать радиус кривизны параболической траектории в любой момент времени. Как уже обсуждалось, вектор полного ускорения можно разложить на сумму тангенциального и нормального ускорений. Разложим вектор ускорения свободного падения на векторы тангенциального и нормального ускорений (рис, 74): g = gj+g,i ■ Модули этих ускорений можно выразить через ускорение свободного падения и угол между направлением мгновенной скорости и горизонталью ар ^, = gsin ар g„ = gcosa, = g-^, Адукацыйны партал www.adu.by Свободное падение тел (движение по криволинейной траектория) 69 V, Так как - ™ можно определить рааиус траектории тела в любой момент времени: Sn ((Ц)С05Ио)-+([^5Ша„ -gif)2 gvi)COsaa Если тело брошено под углом к горизонту с некоторой высоты над Землей, то необходимо вновь выбрать одну из систем отсчета и записать кинематические уравнения для координат и проекций скоростей, которые позволяют найти искомые величины. Главные выводы 1. Если вектор начальной скорости т&ла лежит в вертикальной плоскости, ко не коллинеарен вектору ускорения свободного падения, то тело движется по параболической траектории, расположенной в этой вертикальной плоскости. 2. Сложное движение тела по параболической траектории можно представить в виде двух более простых движений: равноускоренного с д = ^ = const вдоль вертикального направления и равномерного вдоль горизонтального направления. 3. Во многих случаях при описании движения тела по параболической траектории выбор оптимальной системы отсчета позволяет более рационально математически найти искомые физические величины. Контрольные вопросы 1. При каком условии для тела, брошенного с начальной скоростью, направленной горизонтально или под углом к горизонту, проекция мгновенной скорости на горизонтальное направление не зависит от времени? 2. Может ли мгновенная скорость тепа при движении по параболической траектории быть равной начальной скорости: а) по модулю; б> как вектор? Почему? 3. Что одинаково и различно при движении тела, брошенного с одинаковой начальной скоростью, направленной горизонтально и под углом к горизонту? 4. Что понимают под дальностью лолета тела при движении по параболической траек-Iторий? 5. Почему при движении тела с начальной скоростью, направленной под углом к гориэон-I ту. его мгновенная скорость в высшей точке подьема не равна нулю? 6*. При равноускоренном движении изменение вектора мгновенной скорости за единицу I времени одно и то же. Как показать, что движение тела по параболической траектории, при котором направление и модуль мгновенной скорости зависят от времени, можно считать рае-I Ноускоренным? Адукацыйны партал www.adu.by 70 Основы динамики Упражнение 1 I Указание. Сопротивлением движению во всех задачах упражнения П пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным g= 10 1. Шарик катится к краю стола со скоростью 10 На каком расстоянии от края стола шарик упадет на пол, если высота стола 125 см? 2. Тело бронюно горизонтально со скоростью 7.0 Найдите через 0,60 с его движения: а) модуль скорости; б) угол между вектором скорости н горизонтом; в) неремешение тела за зто время, 3. Молодой человек, разогнавшись до скорости 5,0 прыгает в горнзон- таль[{пм направлении с отвесной скалы над озером и достигает поверхности воды через 2,0 с. Найдите: а) высоту скалы; б) расстояние от ее подножия до точки, в которой пловец погружается в воду; в) модуль конечной скорости нловца; г) угол между [}сктором конечной скорости и новерхностыо воды, 4. При движении камня, брошенного с земли под углом 6(.1^ к горизонту, ею координата х, изменялась по закону x,= l0t (м). Найдите: а) начальную скорость камня; 5) высоту камня над .землей через 0,50 с полета; в) модуль и направление к горизонту его скорости в зтот момент; г) максимальную высоту подъема камня; д) на каком расстоянии от точки бросания камень упадет на землю. 5. Брандспойт выбрасывает воду с поверхности земли со скоростью 15 Под каким углом к горизонту надо направить наконечник брандспойта. 4To6i.i вода упала на землю на расстоянии 18 м от брандспойта? Будет ли зтот угол единственным? 6*. Легкоатлет, совершаюншй прыжок в дашну, отрывается от поверхности земли под углом 30° и приземляется на расстоянии 7,0 м. Найдите скорость отрыва легкоатлета от поверхности земли, 7* Самолет летит иа высоте 400 м со скоростью 180 С самолета необходимо сбросить посылку иа судно. На каком расстоянии по горизонтали от судна нужно сбросить посылку, если: а) судно неподвижно; б) движется навстречу самолету со скоростьк> 27 -i^; в) движется в том же направлении, что и самолет, со скоростью 27 Адукацыйны партал www.adu.by Вес тела 71 8* Мяч брошен из окна дома на высоте 10 м со скоростью 10-^, направленной вверх под углом 30° к горизонту. Найдите: а) время падения мяча на землю; б) на каком расстоянии от дома упадет мяч; в) модуль конечной скорости мяча; г) угол между вектором конечной скорости и горизонтом. § 13. Вес тела Силой веса Р (весом) называется сила, с которой тело вследствие земного притяжения действует на опору или подвес, неподвижные относительно его. Под действием силы тяготения тело двигалось бы к Земле, ни опора или подвес противодействуют силе притяжения. В результате этог о в теле и опоре начинается процесс деформации, т, е. изменение формы н размеров. Этому процессу противодействуют силы взаимодействия между молекулами внутри вещества. В механике для того, чтобы не рассматривать эти сложные межмолеку-лнриые взаимодействия, вводят силу реакции опоры N (или подвеса F). Согласно третьему закону Ньютона вес н сила реакции опоры связаны соотношением P = -N и являются силами одной физической природы. Следовательно, сила веса отличается от силы тяжести тем, что ее возникновение обусловлено силой тяготения и межмолекулярнымн силами в веществе, а сила тяжести — гравитационная сила. Кроме того, сила тяжести приложена к телу, а сила веса — к опоре или подвесу. Рассмотрим, от чего зависит сила веса, ведь опора или подвес могут и покоиться относительно Земли, и двигаться с какой-либо скоростью или ускорением. Пусть, например, тело массой т подвешено на динамометре, прикрепленном к потолку лифта (рис. 75). По второму закону Ньютона: та- F -\-rng, где F ■— сила, действующая на тело со стороны динамометра (подвеса), а ее модуль — это показание динамометра. По третьему закону Ньютона: P = ~F, или P = F. Адукацыйны партал www.adu.by 72 Основы динамики О Рассмотрим различные случаи движения лифта относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. 1) Пусть лифт покоится, и тогда ускорение лифта, подвеса и тела а = 0 (см. рис. 75). Спроецируем на ось Оу и выразим силу веса тела Я, в этом случае: О = Fi - mg-, Я, = mg. Тогда Я] - mg, Рис. 76 т. е. динамометр показывает вес, равный по модулю силе тяжести. Если лифт поднимается вертикально вверх или спускается вертикально вниз равномерно, то ускорение его и тела также равно нулю, и мы получим тот же результат. Следовательно, при равномерном вертикальном движении подвеса с телом или когда вся система покоится, сила веса равна силе тяжести, направлена в ту же сторону, но приложена к подвесу (или опоре). 2) Пусть лифт поднимается с постоянным ускорением, направленным противоположно вектору ускорения свободного падения: aTIg- Так как тело с подвесом поднимается вместе с лифтом, то его ускорение такое же, и чтобы вектор та был направлен вверх, по второму закону Ньютона сила упругости должна быть больше силы тяжести (рис. 76). Для проекции на ось Оу: та = р2- mg. Тогда = та + mg Р‘2 = р2 = Динамометр в этом случае показывает силу веса большую, чем сила тяжести тела, и чтобы характеризовать это явление, вводят термин перегрузка. Адукацыйны партал www.adu.by Вес тела 73 Рис. 77 Чаще всего количественно перегрузку опре- ^ деляют как отношение силы веса к силе тяжести тела: „ mg- g + Перегрузки — одна из особенностей работы летчиков при выполнении фигур высшего пилотажа, космонавтов при старте космического корабля, гонщиков, участвующих в соревнованиях скоростных автомобилей. Тренированный человек может без серьезных последствий кратковременно выдержать примерно шестикратную перегрузку, q Например, при взлете космического корабля стартовое ускорение не должно превышать 5g'. 3) Пусть лифт движется с ускорением, направленным так же, как и ускорение свободного падения aftg. Тело движется с таким же ускорением а, и чтобы вектор та был направлен вниз, по второму закону Ньютона сила упругости должна быть меньше силы тяжести (рис. 77). Для проекции на ось Оу: -та = Рз~ mg. Тогда ^3 = f^'^g - т. е. в данном случае динамометр покажет вес меньше, чем сила тяжести тела. Но если ускорение по модулю а > 2g, то вес вновь будет больше силы тяжести. Важно отметить, что при движении подвеса с ускорением, равным по модулю и направлению ускорению свободного падения a=g, вес тела будет равен нулю: p3=mg-mg=Q. Чтобы охарактеризовать это явление, вводят понятие состояние невесомости, или невесомость, которое подразумевает отсутствие веса, так как тело с опорой или тело с подвесом движутся с ускорением свободного падения в пространстве вместе, но практически не взаимодейс-Рис. 78 твуют друг с другом (рис. 78). Адукацыйны партал www.adu.by 74 Основы динамики Рис. 79 Так как тело не взаимодействует с опорой, НТО нет н деформации обоих тел. Например, человек в условиях невесомости на космическом корабле испытывает особые ощущения, в его организме в определенной степени изменяются физиологические процессы. Это происходит потому, что человек на Земле всегда взаимодействует с какой-либо опорой, и, следовательно, все процессы в организме осушествзгяются tipn наличии деформации. Например, деформация позвоночного столба при вертикальном положении человека приводит к тому, что в конце дня его рост меньше, чем утром. Состояние невесомости при определенных условиях можно испытать в самолете. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то можно считать, что на самолет, набравший скорость и движущийся с выключенными двигателями, действует только сила тяжести. При этих условиях лля тел в самолете наблюдается состояние невесомости. В некотором интервале можно подобрать такой угол между скоростью самолета и горизонтом в начальный момент движения, чтобы время безопасного полета с отключенными двигателями было достаточно для тренировки космонавтов или съемок эпизодов для кинофильмов. Рассмотренные случаи отличия модуля веса от модуля силы тяжести возникают и при участии тела во вращательном движении. Например, вес тела, измеренный одним и тем же динамометром на полюсе Земли больше, чем вес этого тела на экваторе. Это связано с тем, что на экваторе тело вместе с динамометром н поверхностью Земли участвует во вращательном движении (рис. 79). Пусть F — сила тяготения. По третьему закону Ньютона где F^— показание динамометра. Так как тело покоится, то F+F,=0 = Следовательно, на полюсе вес тела равен но модулю силе тяжести. На экваторе тело вместе с подвешенным к опоре динамометром движется с ускорением a=^oi^R, где са—^ угловая скорость вранюиия Земли, R —^ радиус Земли, Тело движется с этим ускорением под действием силы Адукацыйны партал www.adu.by Вес тела 75 притяжения и силы со стороны динамометра; ma=F+F^, По третьему закону Ньютона: P^--F^. Запишем второй закон Ньютона для проек1шй: ma-F-F^. Следовательно, на экваторе вес тела меньше: GMm P.^F = - /7Ш = mg - 1П(а'‘Р. Из полученной формулы видно, что если бы угловая скорость вращения Земли вдруг начала возрастать, то при определенном ее значении вес тел на экваторе стал бы равным нулю. Рассмотренные примеры иллюстрируют, что при решении различных задач вес тела должен определяться в каждом конкретном случае на основании второго и третьего законов Ньютона. Главные выводы 1. Модуль веса тела в общем случае не равен модулю силы тяжести. 2. Модуль веса тела зависит от характера движения тела и опоры (подвеса) и их взаимного расположения. 3. При совместном движении тела и опоры или подвеса с ускорением свободного падения наблюдается состояние невесомости. Контрольные вопросы 1, Что называется весом тела? 2, Что общего между весом и силой тяжести и чем они отличаются? 3, При каких условиях наблюдается состояние невесомости? Упражнение 12 1. Определите вес тела массой 5,0 кг на неподвнжнон горизонтальной опоре. 2. Человек массой 70 кг стоит в лифте. Определите вес человека; а) перед началом движения лифта; б) при 1юдъеме с ускорением 3,0-^; в) при движении с постоянной скоростью. ^Считать g= 10 3. В шахту на тросе равноускоренно опускается груз, вес которого в состоянии покоя 2,0 кН. За первые 10 с груз прошел расстояние 35 м. Каков вес груза во время движения? 4. Шахтная клеть весит в покое 2,5 кН. С каким ускорением и в каком направлении начала движение клеть, если ее вес во время движения равен 2 кН? Адукацыйны партал www.adu.by 76 Основы динамики Рис. 80 5. Лыжник массой 60 кг движется со скоростью 10 по выпуклому, а затем по вогнутому участкам местности с одинаковыми радиусами кривизны 20 м (рис. 80). Определите силу тяжести и вес лыжника в средних точках этих участков. 6*. В вагоне поезда, идущего со скоростью 72 — по закруглению пути радиусом 100 м. подвешен на нити шарик массой 200 г. На сколько отличаются модули веса и силы тяжести шарика? ^Считать g = 9,8 7*. Самолет выполняет фигуру высшего пилотажа «мертвая петля», двигаясь со скоростью 270 по окружности радиуса 200 м. Определите перегрузку для летчика в верхней и нижней точках петли. -^Считать ^=9,8 -y.j *§14. Зависимость ускорения свободного падения от широты местности До сих пор мы рассматривали простейшую модель, в которой приняли, что сила тяжести тела — это и есть сила его гравитационного взаимодействия с Землей. Но если сила тяжести совпадает с силой гравитационного тяготения, то она должна быть направлена вдоль радиуса Земли к ее центру. На опыте направление силы тяжести можно определить по «отвесу» — направлению нити, на которой подвешен тяжелый груз. Например, каменптик, укла,1Ывая кирпичную стену, проверяет, вертикальна ли грань стены, именно таким способом (рис. 81). Точные измерения показывают, что в каждой местности «отвесная линия» не совпадает с направлением на центр земного шара, т. е. направление силы тяжести не совпадает с направлением силы тяготения. Только на полюсах и экваторе земного шара сила тяжести ^ направлена к его центру. Рис. 81 Как это можно объяснить? Адукацыйны партал www.adu.by Эааисимость ускорения свободного падения от широты местности 77 Все точки поверхности Земли, за исключением полюсов, участвуют во вращательном движении вокруг земной оси. Рассмотрим тело, лежащее в какой-то точке на поверхности Земли с широтой (р и участвующее вместе с ней в суточном вращении. Широтой данной точки местности, как известно, называется угол ф между радиусом Земли, проведенным в эту точку, и плоскостью экватора (рис. 82), Выберем начало инерциальной системы отсчета в центре земного шара, а оси координат направим на неподвижные звезды. Запишем закон всемирного тяготения, считая тело материальной точкой по сравнению с Землей; F=G^=mg„ где М — масса Земли, R — ее радиус, — ускорение свободного падения на поверхности Земли без учета ее суточного вращения. Тело движется по окружности радиуса г со скоростью v данной точки поверхности и центростремительным ускорением: Ip- 2 а = — - где (О — угловая скорость вращения Земли. Для Беларуси, например, средние величины скорости вращения и центростремительного ускорения точек поверхности: 0=273 а = 0,02 4. На покоящееся тело действуют сила тяготения со стороны Земли, направленная по радиусу к ее центру, и сила реакции опоры. По второму закону Ньютона: md = F+N. Следовательно, вектор равнодействующей силы тяготения и реакции опоры должен быть направлен, как и ускорение, к центру окружности, по которой движется тело. Это возможно только в сггучае, когда сила реакции опоры направлена под некоторым углом к ра-ральному направлению (рис. 83). Адукацыйны партал www.adu.by 80 Основы дннамтш Рис. 85 В Солнечной системе вокруг многих пла-Е1ет вращаются космические тела, которые называют естественными спутниками. По аналогии с этим любой объект, созданный руками человека и движущийся вокруг данного небесного тел^1, (laUIUctlUT ИС* кусственным спутником. Для вывода спутника на орбиту необходима работа мощных двигателей, но при движении спутника по постоянной орбите двигатели на спутнике выключены. Почему же он движется по орбите? Чтобы ответить на данный вопрос, давайте рассмотрим упрощенную модель движения искусственного спутника. Будем считать, что он движется с постоянной по модулю скоростью по круговой орбите вокруг данной планеты в безвоздущном пространстве и только под действием ее сил тяготения (рис. 85). Силами тяготения со стороны других космических тел можно пренебречь. Если нет сопротивления воздуха, а сила тяготения в любой момент перпендикулярна скорости движения, то создаваемое ею ускорение также перпендикулярно скорости и не может изменять ее модуль. Вот почему такой идеальный спутник должен бесконечно долго вращаться по своей орбите с выключенными двигателями. Реальные искусственные спутники Земли постепенно приближаются к ее поверхности, и в конце концов попадая в атмосферу, сгорают в ней. Какова должна быть скорость спутника, чтобы он двигался по круговой орбите? Определим эту скорость, считая, что спутник движется на высоте над поверхностью однородной (парообразной планеты массы М и радиуса R. Так как движение происходит по окружности, то спутник имеет центростремительное ускорение: „ rf" а = которое ему сообщает сила тяготения: f = и, следовательно. R + H’ GMm (R+Hf ’ GM _ F____________________ ““ ffl “ {R + Hf' Адукацыйны партал www.adu.by Движение планет и искусственных спутников 81 Отсюда скорость движения спутника по орбите на высоте Н над поверхностью; г GM 'R+H- Если использовать формулу для ускорения свободного падения вблизи поверхности планеты, то скорость спутника на высоте Н от поверхности планеты Р-на: ^ Первой космической скоростьво для планеты называется скорость, которую нужно сообщить спутнику, чтобы он двигался по круговой орбите вблизи поверхности планеты, т, е. Тогда величина первой космической скорости определяется по формуле: При движении спутников на высоте 200—300 км от поверхности Земли первая космическая скорость равна 7,9 Из приведенных формул следует, что, чем выше над поверхностью планеты расположена орбита спутника, тем меньше его скорость и тем больше его период обращения. Спутники с космонавтами летают на высоте 200—300 км и облетают нашу планету меньше чем за полтора часа. Спутники связи расположены на большом удалении от поверхности, летят с меньшей скоростью, чем первая космическая скорость. Вы, наверное, часто слышали, что в открытом космосе и на спутнике космонавты находятся в состоянии невесомости, а по телевизору наблюдали их как бы плавающие движения в космическом корабле {рис. 86). Космонавты и все Рис. 86 4 Заи 12 Адукацыйны партал www.adu.by 82 Основы динамики Рис. 87 предметы движутся вместе со спутником по орбите под действием только силы тяготения Земли, т. е. находатся в свободном падении. Возможно ли это: спутник свободно падает и в то же время остается на постоянной орбите? Примем для простоты расчетов, что ускорение свободного падения равно 10 -у и скорость спутника 8000 Тогда за 1 с свободного падения спутник должен пройти по направлению к Земле расстояние /г = 5 м и одновременно переместиться перпендикулярно этому направлению на 8000 м. В результате этих двух движений спутник движется по своей орбите (рис, 87). Главные выводы 1. Хинжение искусственных спутников по орбите происходит только под действием силы тяготения. 2. Скорость спутника на круговой орбите зависит от массы планеты, ее радиуса и высоты спутника над поверхностью планеты. Первая космическая скорость определяется только массой и радиусом планеты. 3. Невесомость на спутнике объясняется тем, что в любой момент времени он движется с ускорением свободного падения для данной точки пространства. Контрольные вопросы 1. Что такое искусственный спутник? 2. Какая скорость называется первой космической? Почему она зависит только от массы и радиуса планеты? 3. С какого места на поверкности Земли и в каком направлегияи выгоднее запускать искусственный спутник? Почему? 4. При каких условиях и почему тела на спутнике будут в состоянии невесомости? 5*. Как и почему скорость спутника зависит от расстояния до поверхности Земли? Упражнение 14 1. Вычислите период обращения спутника по круговой орбите на высоте 300 км от поверхности Земли. 2. Определите скорость спутника на круговой орбите на высоте от поверхности Земли, равной ее радиусу. Адукацыйны партал www.adu.by Сила упругости. Видьг деформаций 83 3. На какой высоте над поверхностью Земли находится спутник, если его период обращения равен 24 ч? Что это значит для земного наблюдателя? С какой скоростью движется спутник в этом случае? 4. На орбите космического корабля ускорение свободного падения 4,9 Каковы высота орбиты спутника и его скорость на ней? 5. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите с линейной скоростью 4,0 На какой высоте над поверхностью Земли находится спутник? 6. Найдите период обращения искусственного спутника, движущегося вблизи поверхности Луны. Радиус Луны 1760 км, ускорение свободного падения у ее поверхности 1,6 7*. Вычислите первую космическую скорость для планеты с радиусом R и средней плотностью р. §16. Сила упругости. Виды деформаций Как вы уже знаете, одно из проявлений взаимодействия тел — их деформация, т. е. изменение формы и размеров, происходящее из-за неодинакового смещения различных частей одного тела в результате воздействия другого тела. Почему деформации неодинаковы у различных тел? Какую роль они играют во взаимодействии тел и в механическом движении? Чтобы ответить на первый вопрос, вспомним, что вы узнали о строении вещества при изучении физики в 8-м классе. Все вещества состоят из частиц (молекул, атомов, ионов), между которыми существуют силы взаимодействия. Это силы электромагнитной природы, которые в зависимости от расстояния между частицами проявляются то как силы притяжения, то как силы отталкивания. Если воздействие на тело вызывает увеличение расстояния между молекулами, то силы межмолекулярного притяжения препятствуют этому. Уменьшению расстояния между молекулами противодействуют силы отталкивания. Чтобы не рассматривать сложные электромагнитные взаимодействия, в механике для характеристики этих явлений вводят силу упругости Силой упругости называется сила, возникающая при деформации любых твердых тел, а также при сжатии жидкостей и газов. Адукацыйны партал www.adu.by 84 Основы динамики Рис. 88 J Какую роль играет ^та сила при взаимодействии тел? Проделаем следующий опыт. Возьмем толстый кусок поролона, нарисуем по его торцу горизонтальные ЛИНИН на одинаковом расстоянии друг от друга, а затем, медленно опуская, поставим на него груз {рис. 88, й). Если смотреть во время опускания груза на торец поролона, то хорошо видно, как при сжатии поролона под действием груза сближаются между собой линии, но лишь до определенного расстояния (рис. 88, б). Движение груза прекращается при некоторой деформации поролона, т. е. сила упругости уравновешивает силу тяжести. Такие же наблюдения можно провести, подвешивая груз на резиновой ленте с нанесенными на ней линиями. При подвешенном грузе расстояние между линиями на ленте больше. Мы взяли для опытов поролон и резиновую ленту, потому что для этих тел под действием даже небольших сил наблюдается значительная деформация и ее легко наблюдать. Аналогичные явления происходят при любых взаимодействиях тел, но часто деформации так малы, что их можно зафиксировать только с помощью очень чувствительных fipti6opoB. Проведем еще один опыт (рис. 89, о). Прикрепим к бруску, лежащему на столе, резиновый шнур (с метками на одинаковом расстоянии друг от друга) и медленно начнем тянуть его в горизонтальном направлении. Под действием силы шнур растягивается, и только когда весь шнур растянется на некоторую величину, брусок придет в движение. Как это объяснить? При растяжении шнура происходит смещение одних его частей относительно других, в результате чего в шнуре возникает сила упругости, равная по Рис. 89 Адукацыйны партал www.adu.by Сила УПРУГОСТИ. Виды деформаций 85 величине деформирующей силе. С этого момента шнур играет роль «передающего звена» (рис. 89, б). Такие же явления всегда происходят, когда движение от одного тела к другому передается при помощи «связей», т. е. нитей, шнуров, пружин, тросов, различных сцепок и т. п. По характеру смещения частей тела (а вернее, молекулярных слоев внутри его) друг относительно друга различают деформации: растяжения, сжатия, изгиба, кручения, сдвига. При деформации растяжения расстояние между молекулярными слоями увеличивается (рис. 90, а), а при деформации сжатия — уменьшается (рис. 90, б). Деформацию растяжения испытывают тросы подъемных кранов, канатных дорог, буксирные тросы, струны музыкальных инструментов. Сжатию подвергаются стены и фундаменты зданий. Если в результате воздегютвия одни молекулярные слои растягиваются, а другие сжимаются, то наблюдается деформация изгиба (рис, 90, в). Деформацию изгиба испытывают балки перекрытий в зданиях и мостах. При деформации кручения происходит поворот одних молекулярных слоев относительно других (рис. 90, г). Если одни слои молекул смещаются относительно других, то происходит деформация сдвига (рис. 90, 0). Деформации также разделяют на упругие и неупругие, или пластичные. Деформация называется упругой, если после прекращения воздействия тело полностью восстанавливает первоначальные форму и размеры, а если этого не происходит, то деформация называется неупругой или пластичной. Конечно, деформация конкретного тела может быть как упругой, так и неупругой, так как ее характер зависит не только от свойств тела, но и от ве^1ичины воздействия на него. Например, при больших воздействующих силах н стальная линейка потеряет форму, а при очень малых ^— и пластилин восстановит свою форму. Адукацыйны партал www.adu.by 86 Основы ДМ11МИКМ Главные выводы 1. Сила упругости возникает при изменении формы и размеров твердых тел, а также при сжатии жидкостей и газов. 2. Силы упругости, возникающие в нитях, подвесах, опорах и других «связях», обеспечивают передачу воздействия или движения от одного тела к другому. 3. По характеру смещения молекулярных слоев друг относительно друга выделяют деформации: растяжения, сжатия, изгиба, кручения и сдвига. 4. Деформации разделяют на упругие и пластичные по степени восстановления формы и размеров тела после прекращения действия деформирующей силы. Контрольные вопросы 1. Как объяснить возникновение силы упругости? 2. В каких случаях деформации различных частей тела неодинаковы? 3. Чем отличается деформация растяжения от деформации кручения? 4. Чем отличается упругая деформация от гшастичной? Упражнение 15 1. Тело массой 2,0 кг подвешено на вертикальной пружине. Вычислите силу упругости пружины. (Во всех задачах упражнения 15 считать g=9,8 -у.) 2. Ведро массой 10 кг равномерно опускают с помощью веревки. Вычислите силу упругости веревки, 3. Груз массой 500 кг поднимают из шахты на тросе с ускорением 0,2 Определите силу упругости троса. На сколько она отличается от силы тяжести груза? 4. Тело массой 3,0 кг перемещают в вертикальном направлении с помощью резинового шнура. Рассчитайте и сравните силы упругости, возникающие в шнуре при: а) равномерном подъеме тела; б) при подъеме с ускорением 0,50 -у; в) при спуске с таким же по модулю ускорением. 5. Тело массой 5,0 кг равномерно движется по горизонтальной поверхности под действием горизонтально расположенного шнура. Сила сопротивления движению составляет 30 % от силы тяжести тела. Найдите силу упругости шнура. Адукацыйны партал www.adu.by iaKOH Гука 87 i. Лыжник массой 60 кг движется со скоростью 10 -- в верхней части выпуклого участка дороги, радиус кривизны которого равен 20 м. Найдите силу упругости лыж в этот момент времени. Шарик массой 200 г, подвешенный на нити длиной 1,0 м, отклонили от положения равновесия и отпустили. Определите силу упругости в нити при прохождении шариком положения равновесия, если его скорость в данный момент 2,5 § 17. Закон Гука Различные виды деформаций возникают в любых сооружениях и механиз-lax, и необходимо установить законы, которые позволят рассчитать величину тих деформаций. Наиболее часто встречаются и достаточно просто математически описыва-)тся упругие деформации растяжения или сжатия. Проведем опыт, прикрепив один конец резинового шнура с метками к вер-икальной стенке, а другой — к динамометру (рис. 91, а), на который будем ействовать силой. Расположим под шнуром линейку. Определяя силу, дейст-ующую на конец шнура, по динамометру, будем фиксировать смещение конца ]нура вдоль линейки и изменение расстояний между метками. Мы заметим, что общее удлинение шнура, определяемое по смещению его онца, является суммой удлинений всех его частей. Аналогично общее укоро-ение, например при сжатии пружины, является суммой уменьшений расстоя-ий между всеми ее витками (рис, 91, б). Если обозначить начальную длину шнура Lq, а конечную длину — L, то для арактеристики деформаций растяжения или сжатия можно ввести абсолютов удлинение AL = \L- V.. V,' С/ ч,' ‘ Рис, 91 Адукацыйны партал www.adu.by 88 Основы динамики Если шнур под действием деформирующей силы F больше не удлиняется, то ее действие ур_авновешивает упругая сила т. е. F = Роберт Гук установил экспериментально, что при малых деформациях растяжения или сжатия абсолютное удлинение тела прямо пропорционально деформирующей силе. На практике часто необходимо определить силу упругости, возникающую в теле при его деформации, и закон Гука формулируется следующим образом: модуль силы упругости, возникающей при малых деформациях сжатия или растяжения тела, прямо пропорционален величине абсолютного удлинения: F =^kAL = k\L-U где k — коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела. Жесткость является характеристикой данного тела (пружины, шнура, стержня и т. п.) и зависит от его поперечных и продольных размеров, химического состава и строения вещества, из которого тело изготовлено. Так как k= то жесткость измеряется в ньютонах на метр При расчетах движения тел под действием силы упругости необходимо учитывать ее направление. Если выбрать начало отсчета под крайней точкой недеформированного тела (рис. 92), то абсолютное удлинение можно характеризовать координатой X конца деформированного тела. При растяжении (см. рис. 92, а) и при сжатии (см. рис, 92, б) образца сила упругости направлена противоположно смещению его конца. Тогда можно записать закон Гука для проекции силы упругости на выбранную ось: F =-kx ' упрдг * Ту или иную форму записи закона Гука используют в зависимости от условия задачи и величины, которую нужно определить. Сила упругости, как и любая из сил, рассматриваемых в механике, подчиняется законам Ньютона, а по закону Гука можно рассчитать деформации, возникающие при взаимодействиях тел. Однако необходимо отметить, что закон Гука хорошо выполняется только при малых деформациях тел. Адукацыйны партал www.adu.by Закон Гука 89 Главные выводы 1. При упругих деформациях растяжения и сжатия абсолютное удлинение прямо пропорционально деформирующей силе. 2. При упругих деформациях сила упругости прямо пропорциональна абсолютному удлинению. 3. Жесткость тела зависит от его поперечных и продольных размеров, химического состава и строения вещества, из которого изготовлено тело. Контрольные вопросы 1. Что называется абсолютным удлинением? В каких единицах оно измеряется? 2. Чем отличаются деформации сжатия и растяжения? 3. Одну и ту же пружину сначала растягивают, а потом сжимают. В обоих случаях абсолютны© удлинения равны. Сравните силы упругости, возникающие в пружине, в обоих случаях. 4. Одну и ту же пружину растягивают дважды. В первом случае абсолютное удлинение равно 1 см, а во втором случав — 2 см. Во сколько раз отличаются силы, действующие на пружину, в обоих случаях? I. Упражнение 16 Под действием силы 5,0 Н резиновая лента удлинилась на 10 см. Определите жесткость ленты. 2. Мальчик, действуя силой 20 Н на закрепленный шнур, удлинил его на 5,0 мм. С какой силой нужно действовать на этот шнур, чтобы удлинить его на 2,0 см? 3. Две пружины равной длины, скрепленные одними концами, растягивают за другие свободные концы руками. Пружина жесткостью 0,1 удлинилась на 5 см. Какова жесткость второй пружины, если ее удлинение равно 1 см? 4. Груз массой 0,1 кг подвешен на вертикальной пружине, жесткость которой 100 На сколько удлинилась пружина под тяжестью груза? 5. На тонкой проволоке подвешен груз массой 10 кг. При этом длина проволоки увеличилась на 0,5 мм. Чему равна жесткость проволоки? 6. Тело массой 5,0 кг поднимают вертикально вверх на проволоке с жесткостью, равной 200 На сколько удлинилась проволока: а) при равномерном подъеме тела; б) при подъеме с ускорением 2,0 -у? Адукацыйны партал www.adu.by 90 Основы динаммм ^§18. Механические свойства тел Для строительства здании, мостов, самолетов, автомобилей необходимо знать механические свойства используемых материалов: дерева, бетона, стали, алюминия и т, п. Нужно также учитывать поведение этих веществ при больших деформациях, способных привести к разрушениям, - При деформации по всему объему тела возникают упругие силы, т. е. тело находится в напряженном состоянии. Для характеристики этого Состояний вводят механическое напряжение — физическую величину, равную отношению модуля силы упругости к площади поперечного сечения тела: Д с = упр S Эта величина численно равна силе упругости, возникающей в единичном сечении тела, и измеряется в ньютонах на квадратный метр или в паскалях (Па), как давление. На практике вы сталкивались с тем, что абсолютное удлинение зависит от начальных размеров тела, например, под действием одной и той же силы длинный резиновый шнур растягивается больше, чем короткий (рис. 93), Поэтому вводят относительное удлинение: AL ^ = 7“’ о которое показывает, на какую долю первоначальной длины тела изменяется каждая ее единица. В некоторых случаях относительное удлинение выражают в процентах. При исследовании растяжений различных тел было обнаружено, что наблюдается сложная зависимость напряжения от относительного удлинения тела, называемая диаграммой растяжения (рис. 94). Обсудим, какие процессы в деформируемом теле отражают различные участки этой диаграммы. Рис. 93 Рис. 94 а J Е ' ^Пр -аЬг* ’ ' Ор /а 0 I Адукацыйны партал www.adu.by Механические свойства тел 91 На участке ОЛ напряжение прямо пропорционально относительному удлинению, и если воздействие прекратилось, то тело восстанавливает свою форму л размеры, т. е. происходит упругая деформация. На практике такая зависимость наблюдается при небольших относительных деформациях н только до определенного напряжения ст„, которое называется пределом пропорциональности. На участке АВ такая зависимость нарушается, но до некоторого напряжения, называемого пределом упругости cTj,np; после прекращения воздействия размеры н форма тела полностью восстанавливаются. При напряжениях, превышающих предел упругости, наблюдается пластичная деформация (участок BD). На участке CD деформация происходит почти без увеличения напряжения. Это явление называется текучестью материала, а образцы, для которых область текучести велика, могут без разрушения вадержнвать большие деформации. Материалы, у которых область текучести почти отсутствует, являются хрупкими. Они разрушаются даже при небольших деформациях. Хрупкость характерна для стекла, кирпича, бетона, чугуна. Точка диаграммы Е соответствует напряжению, называемому пределом прочности о„р, при дальнейшей деформации образец разрушается. Зависимость, отраженная на диаграмме участком ОЛ, соответствует закону Гука в другой форме: механическое напряжение в упруго деформированном теле прямо пропорционально относительной деформации; о = £е = ЕМ где Е — модуль продольной упругости, который в честь ученого Томаса Юнга называется модулем Юнга и является характеристикой вещества, из которого сделано тело. Так, модуль продольной упругости живого дерева (рис. 95) больше, чем сухого дерева (рис. 96). Так как относительная деформация безразмерная величина, то модуль Юнга измеряется, как и механическое напряжение, в паскалях (Па). ■ Как видно из формулы, модуль Юнга численно равен напряжению, возникающему в теле при относительной деформации, равной единице, т, е. при увеличении длины образца вдвое, так как при -^=1, Е-Е(^ = Е^ н £ = 2£,1. Адукацыйны партал www.adu.by 92 Основы динамики Рис. 95 Рис. 96 Если использовать соответствующие формулы для напряжения и относительного удлинения, то установленную зависимость для модуля силы упругости можно записать следующим образом; р ^ ESM 'Г'р Ц ' Сравнив с записью закона Гука, получим выражение для жесткости; ^ - I—> До которое поясняет зависимость жесткости тела от его начальных размеров и свойств вещества. Для некоторых тел, например стержней, нитей, тросов, при небольших деформациях площадь поперечного сечения практически остается постоянной, и закон Гука для модуля силы упругости можно использовать в форме: = kM. Модуль упругости и предел прочности различных веществ можно узнать в справочниках. Главные выводы 1. Механическое напряжение вводится для характеристики сил упругое* ти, возникающих в теле. 2. Для различных тел на опыте установлена сложная зависимость механического напряжения от относительной деформации, называемая диаграммой напряжения. 3. Модуль упругости вещества определяется его химическим составом и строением. Адукацыйны партал www.adu.by Силы сопротивлений движению. Сила трения покой 93 Контрольные вопросы 1. Что характеризуют механическое напряжение и относительное удлинение? В каких единицах измеряются эти величины? 2. Что общего и различного между жесткостью и модулем упругости? 3. Что такое диаграмма растяжения? 4. Чем характеризуется пластичная деформация? Как она проявляется на практике? 5. Приведите примеры использования человеком упругих и пластичных деформаций. Упражнение 17 1. Каким должен быть минимадьный диаметр стального троса, чтобы он выдержал груз массой i т? Предел прочности стали считайте равным 500 МПа. 2. Берцовая кость человека выдерживает силу сжатия 50 кН, Считая предел прочности кости человека равным 170 МПа, оцените среднюю плошадь поперечного сечения берцовой кости. 3. С какой силой нужно растягивать закрепленную стальную проволоку длиной 2 м и сечением 0,5 мм^, чтобы удлинить ее на 2 мм? {f,.^ = 2- 10" Па.) 4. Из скольких стальных проволок диаметром 1,3 мм должен состоять трос, чтобы его можно было использовать для равномерного подъема груза массой 2,0 т? (а„= 500 МПа.) 5* Из какого материала сделан образец, имеющий цилиндрическую форму с площадью поперечного сечения 100 мм^, если груз массой 1,2 кг, подвешенный к нему, вызывает относительную деформацию образца, равную 1 %? 6*, Две одинаковые пружины жесткостью к соединяют вместе. Какова жесткость получившейся системы, если они соединены: а) последовательно; б) параллельно? § 19. Силы сопротивления движению. Сила трения покоя Как вы уже знаете, взаимодействие различных тел может либо вызывать движение конкретного тела, либо препятствовать ему. Например, если мы дуем в сторону легкого листа бумаги на столе, то заставляем двигаться воздух, а тот, в свою очередь, приводит в движение бумагу. Если мы поднимем тот же лист и отпустим, то он начнет двигаться под действием силы тяжести, а воздух будет препятствовать этому движению (рис. 97). Адукацыйны партал www.adu.by 94 Основы динамики Рис. 98 На практике все силы сопротивления движению разделяют на силы сухого (внешнего) трения (покоя, скольжения и качения), которые возникают при взаимодействии соприкасаюш,ихся твердых тел друг с другом, а также силы вязкого трения, проявляющиеся при движении тела в жидкости или газе. Рассмотрим на опыте, как проявляется и от чего зависит сила трения покоя. К бруску, лежащему на горизонтальной поверююсти, прикрепим динамометр, на который будем действовать в горизонтальном направлении (рис. 98). Потянем слегка за динамометр, но так, чтобы брусок оставался в покое. Отметим показание прибора и проанализируем результаты нашего действия. Так как брусок покоится, то по второму закону Ньютона векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Сила тяжести уравновешивается силой упругости стола в вертикальном направлении. Следовательно, и в горизонтальном направлении воздействие ущнамометра на брусок должно быть компенсировано какой-то силой. При изучении физики в 7-м классе вы узнали, что так проявляется сила трения покоя Почему она возникает? Под микроскопом на поверхности любого твердого тела хорошо видны разнообразные выступы и впадины (рис. 99). Многочисленные неровности соприкасающихся поверхностей цепляются друг за друга, деформируются и препятствуют относительному перемещению тел. Кроме того, расстояние между молекулами, расположенными на выступах соприкасающихся поверхностей, мало, и поэтому возможно электромагнитное взаимодействие молекул. Все эти сложные взаимодействия в механике характеризуются силой трения покоя, или силой трения сцепления. Адукацыйны партал www.adu.by Силы сопротивления движению. Сила трения покоя 95 Рис. 100 Уменьшится ли сила трения покоя, если отшлифовать поверхность тел? Да, уменьшится, но только до определенной степени шлифовки, а при дальнейшей обработке сила трения покоя возрастает. Это происходит потому, что по мере сглаживания неровностей соприкасающихся поверхностей в значительной мере увеличивается число межмолекулярных взаимодействий. Продолжим опыт, постепенно увеличивая силу воздействия. Показания динамометра увеличиваются, а тело еще покоится, следовательно, и сила трения покоя тоже возрастает. В этом основная особенность силы трения покоя. Сила трения покоя равна по модулю и направлена противоположно силе, приложенной к покоящемуся телу параллельно поверхности соприкосновения его с другим телом: ^тр0=*^- Если еш.е увеличивать действующую силу, то при определенном показании динамометра тело начнет двигаться. Это значит, что существует определенная максимальная сила трения покоя, и действующая сила должна ее превысить, чтобы тело приобрело ускорение. Вы знаете, что наиболее трудно на практике сдвинуть с места тяжелые предметы. Давайте выясним, почему это так. Поставим на брусок добавочный груз и измерим максимальную силу трения покоя {рис. 100). Ее численное значение увеличивается. При добавлении еще одного груза сила трения покоя вновь возрастает. Снимем с бруска грузы и подействуем на него добавочной силой вертикально вниз (рис, 101). Сила трения покоя также увеличивается. Как объяснить эти опыты? При добавлении грузов, как и при воздействии вертикальной силой, увеличивается сила дав- ГтрО F' 0 = 0 штш Рэ Адукацыйны партал www.adu.by 96 Основы динамики ления бруска на опору. Опыт показывает, что модуль максимальной силы трения покоя прямо пропорционален силе давления тела на опору: ' трО шах где — коэффициент трения покоя, — сила давления тела на опору. Коэффициент трения покоя зависит от веществ, из которых изготовлены соприкасающиеся тела, и степени обработки их поверхностей. Сила трения покоя удерживает тело, лежащее на наклонной плоскости (рис. 102), а также брусок, прижимаемый к вертикальной стене (рис. 103). Чем тяжелее брусок, тем больше должна быть сила трения покоя, чтобы уравновешивать силу тяжести. Поэтому тяжелый брусок приходится прижимать к стене со значительной по модулю силой. По третьему закону Ньютона F^-~N, где /V — сила нормальной реакции опоры, действующая на тело. Так как /^д = Л^, то часто используют формулу: ^tpo = IVV. Возникает вопрос: всегда ли сила трения покоя препятствует движению? Нет, не всегда. Во многих случаях сила трения покоя способствует движению. Например, кирпич, неподвижно лежащий на ленте транспортера, движется вместе с ней, потому что на него со стороны ленты действует сила трения покоя (рис. 104). Адукацыйны партал www.adu.by Силы оаг|ротивления движению. Сила трения покоя 97 Ведущее колесо автомобиля, если не пробуксовывает, действует на опору против направления движения с силой По третьему закону Ньютона со стороны опоры на него действует сила трения покоя ^о, вызывающая движение (рис. 105): ^ ^[Ю ■ „ Рис. 105 При ходьбе сила трения покоя дает возможность человеку толкнуть опору с некоторой силой. По третьему закону Ньютона на человека действует такая же по величине и противоположная по направлению сила. Трение покоя позволяет человеку брать руками различные тела, например топор, лопату, руль велосипеда или автомобиля, а также управлять движением этих тел, использовать их для совершения работы. Главные выводы 1. Сила трения покоя (сцепления) всегда направлена параллельно поверхности соприкосновения двух тел и противоположно силе, стремящейся вывести это тело из состояния покоя. 2. Модуль силы трения покоя может быть различен и в данный момент равен модулю силы, стремящейся вывести тело из состояния покоя, 3. Максимальная сила трепня покоя, действующая на тело со стороны опоры, прямо пропорциональна силе нормального давления тела на данную опору. Контрольные вопросы 1. При каких обстоя™льстеах возникает сила трения покоя? Как она направлена? 2. От чего зависит коэффициент трения покоя? 3. Почему коэффициент трения покоя зависит от веществ, из которых изготовпень! сопри-<асающиеся тела? 4. Действует ли сила трения покоя на стол, стоящий на полу? Почему? Если нет, то что и (ак нужно сделать, чтобы она возникла? 5. Приведите несколько примеров, в которых сила трения покоя играет роль движущей :илы. 6*. Тело лежит на доске, которую медленно поднимают за один из концов. Как изменяется юдуль силы трения покоя? 7*. Почему для занятий различными видами спорта используется обувь с особыми видами одошвы? Адукацыйны партал www.adu.by 98 Основы динамики Упражнение 18 1. На тяжелый шкаф, стоящий в комнате, действуют горизонтальной силой 10 Н. Чему равна сила трения покоя? Чему равна сила трения покоя, если на шкаф действуют в 5,0 раз большей силой, а он остается неподвижным? 2. С какой горизонтальной силой нужно прижимать деревянный брус массой 3 кг к вертикальной стене, чтобы он не двигался, если коэффициент трения покоя равен 0,3? ^Считать g= 10 3. Кирпич массой 2,0 кг лежит неподвижно на равномерно движущейся ленте транспортера, составляющей с горизонтом угол 30°. Чему равна сила трения покоя? ^Считать g= 10 -^.j 4. Маленькая гайка массой 10 г лежит неподвижно на вращающемся с частотой 1,0 в горизонтальной плоскости диске на расстоянии 5,0 см от его оси вращения. Какова сила трения покоя? Будет ли гайка лежать неподвижно при переносе ее на расстояние 10 см от оси вращения, если максимальный коэффициент трения покоя 0,10? § 20. Силы трения скольжения и качения Термин «скольжение» в физике используется для описания движения одного тела по поверхности другого тела. Рассмотрим равномерное движение бруска по горизонтальной поверхности доски (рнс. 106), т. е. его скольжение по опоре. Мы действуем с определенной горизонтальной силой на динамометр, а он передает наше воздействие бруску и показывает модуль действующей на брусок силы. Если скорость бруска постоянна, то силу, вызывающую движение, должна компенсировать сила взаимодействия бруска с опорой. При изучении физики в 7-м классе вы узнали, что эта сила называется силой трения скольжения. Она возникает из-за электромагнитного взаимодействия молекул на неровностях соприкасающихся поверхностей, зацепления неровностей и их пластичной деформации при относительном движении тел. Из эксперимента следует, что сила Рис. 106 трения скольжения, действующая на Адукацыйны партал www.adu.by Силы трения скольжения vi качения 99 тело, направлена противоположно направлению его движения. По третьему закону Ньютона на опору при движении тела действует сила трения скольжения направленная в сторону движения тела. Поместим на брусок груз такой же массы и будем тянуть горизонтально динамометр так, чтобы брусок с грузом двигался равномерно (рис. 107). Динамометр при атом покажет вдвое большую силу. Если еще увеличить массу бруска, то сила трения скольжения также возрастет. Опыты показывают, что модуль силы трения скольжения прямо пропорционален модулю силы нормального давления; ^Тр “ Ц^Д1 где р — коэффициент трения скольжения. Так как по третьему закону Ньютона Fj^-N, то можно записать Рис. 107 Рассмотрим равномерное движение бруска с грузом по другой стороне доски, более шероховатой (рис. 108). При постоянной скорости движения динамометр показывает большую силу, хотя сила нормального давления не изменилась. Значит, изменился коэффициент трения скольжения, и именно он зависит от качества обработки соприкасающихся поверхностей. Если заменить доску листом стекла или другого материала, то показания динамометра снова изменятся, т. е. коэффициент трения зависит от свойств обоих веществ соприкасающихся поверхностей. Однако опыт показывает, что коэффициент трения не зависит от относительного положения тел. Например, коэффициент трения льда по железу такой же, как и железа при скольжении но льду. Рнс. 108 Адукацыйны партал www.adu.by 100 Основы динамики Рис. 109 Зависит ли коэффициент трения от площади соприкосновения тел? Если сравнить показания динамометра при равномерном движении бруска в различных положениях {рис. 109), то оказывается, что показания во всех трех случаях совпадают, т. е. коэффициент трения не зависит от площади соприкосновения тел. Вы знаете из личного опыта, что сдвинуть тело с места труднее, чем перемещать его с постоянной скоростью. Многочисленные эксперименты показывают, что действительно при движении с малыми скоростями величина силы трения скольжения немного меньше величины максимальной силы трения покоя и практически не зависит от скорости тела. Это объясняется тем, что коэффициент трения скольжения в большинстве случаев немного меньше коэффициента трения покоя. Так как различия невелики, то при решении задач коэффициенты трения принимают равными по величине и обозначают одной буквой ц. Поэтому силу трения скольжения в большинстве задач считают постоянной и приближенно равной максимальной силе трения покоя. Одним из достижений в истории человечества считается изобретение несколько тысяч лет назад такого привычного для нас колеса. Если вращающиеся колесо или шар участвуют и в поступательном движении но какой-то поверхности, то возникает сила сопротивления движению, которую называют силой трения качения. Чтобы объяснить причины ее возникновения, рассмотрим качение тяжелого цилиндра по куску поролона, деформация которого при этом хорошо наблюдается (рис. ПО). Цилиндр соприкасается с поролоном на очень малой площади, а значит, оказывает на него достаточно большое давление. Поролон при этом деформируется. Адукацыйны партал www.adu.by Силы трения скольжения и качения 101 —'СЗ— Рис. 110 Вследствие этой деформации перед катящимся цилиндром возникает как бы горка. Для характеристики этого явления в механике вводят силу трения качения. Чем более пластична возникающая деформация, тем больше сила трения качения. Если цилиндр катится по та* кой поверхности, что ее деформация упруга и незначительна, то сила трения качения невелика. Она во много раз меньше силы трения скольжения, которая возникала бы только гфи поступательном движении этого же тела. В таких су!учаях при относительном движении тел выгоднее скольжение заменить качением, и поэтому используют колеса для транспорта и подшипники в различных механизмах. Если при движении происходит значительная деформация тела и опоры или только опоры, то сила трения качения велика, и поэтому, например, зимой у телеги заменяют колеса на полозья. Главные выводы КСила трения скольжения препятствует движению, всегда направлена противоположно относительной скорости тела. 2. Модуль силы трения скольжения прямо пропорционален модулю силы нормального давления тела на опору. 3. Коэффициент трения скольжения зависит от свойств веществ соприкасающихся поверхностей, степени их обработки и не зависит от взаимного расположения поверхностей и площади их соприкосновения. 4. Сила трения качения намного меньше силы трения скольжения, если деформации взаимодействующих при движении тел очень малы. Контрольные вопросьг 1. Что такое сила трении скольжения? Как она направлена? 2. От чего зависит сипа трения скольжения? 3. От чего зависит коэффициент трения скольжения? 4. Почему коэффициент трения скольжения не зависит от взаимного расположения соприкасающихся поверхностей? 5. Что общего и различного между трением покоя и трением скольжения? 6. Почему делают шипы на шинах и на подошвах? Адукацыйны партал www.adu.by 102 Основы динамики 7. Деревянный брусок равномерно перемещают по тор*йонтальной неподйизкной деревянной доске. Какую силу прилагают к бруску: большую, меньшую Ш1и равную его силе тяжес™? 8. Почему при движении дереаянного бруска по доске сила трения возрастает, если на доску насыпать песок, но уменьшается, если насьшать пшено? 9*. Какую роль играют силы трения при повороте велосашеда на горизонтальной дороге? Упражнение 19 1. Вычислите силу, с которой нужно двигать по деревянному полу деревянный шкаф массой 20 кг, чтобы он двигался равномерно. Коэффициент трения 0,25. 2. Брусок массой 0,50 кг прижимается к бетонной стене горизонтальной силой 100 Н. С какой вертикальной силой нужно действовать на брусок, чтобы он начал двигаться равномерно по стене в вертикальном направлении вверх? вниз? Коэффициент трения 0,75. 3. Тело массой 1 кг начинает двигаться с ускорением 1 по горизонтальной поверхности. Вычислите модуль действующей на тело горизонтальной силы, если коэффициент трения 0,2. 4. С какой скоростью двигались аэросани, если после выключения двигателя они прошли до остановки путь 250 м, а коэффициент трения 0,02? 5. Шофер выключил двигатель и при скорости 72 затормозил. Сколько времени будет двигаться автомобиль до остановки, если коэффициент трения 0,60? Какой путь он при этом пройдет? 6. Шайба, брошенная вверх вдоль ледяной горки, пройдя некоторое расстояние, остановилась и соскользнула вниз. Определите ускорение шайбы при подъеме и спуске, если угол наклона горки к горизонту 30°, а коэффициент трения 0,10. 7. Автомобиль движется со скоростью 54 -1^ на повороте горизонтальной дороги с радиусом кривизны 100 м. При каком коэффициенте трения шин о дорогу автомобиль «впишется» в поворот? 8*, Тело начало двигаться вверх по наклонной плоскости со скоростью Уц. Какое расстояние провдет тело до остановки, если коэффициент трения ц и наклонная плоскость составляет угол а с горизонтом? 9*. Какую скорость приобретет тело в предыдущей задаче, если пройдет вниз по наклонной плоскости то же расстояние? 10* Тело массой т лежит на горизонтальной доске, один конец которой начинают медленно поднимать вверх. Постройте качественный график зависимости силы трения от угла наклона доски к горизонту, если коэффициент трения р. Адукацыйны партал www.adu.by Вязкое трение 103 § 21. Вязкое трение При движении твердого теда в жидкости иди газе также возникает сида сопротивления движению, которую в этих сдучаях называют силой жидкого или вязкого трения. Экспериментально установлено, что сила, действующая на движущееся тело Б жидкости или газе, также направлена в сторону, противоположную движению, но численно она во много раз меньше силы трения скольжения при небольших скоростях движения. В отличие от сухого трения для тела в жидкости или газе отсутствует сила трения покоя и даже самая маленькая сила, приложенная к телу, вызывает его движение, если этому не препятствуют другие силы. Следовательно, сила вязкого трения не противодействует возникновению движения, и поэтому в механизмы вводят разнообразные смазки для движущихся друг относительно друга частей. Проведем опыт. Возьмем два одинаковых тетрадных листа и отпустим в горизонтальном положении с одной высоты (рис, 111, о). Листы плавно и почти одновременно упадут на пол. Сделаем из одного листа плотный и маленький комок, а другой лист просто сомнем и повторим опыт. Первым упадет маленький комок (рис. 1М, б). Как вы думаете, почему, ведь массы листов одинаковы? Да, вы правы, сопротивление воздуха движению тел зависит от их формы и размеров. На рисунке 112 показаны тела различной формы; диск, шар и каплеобразное тело, у которых площади одного из поперечных сечений одинаковы. При движении этих тел в жидкости или газе в 1юправлении, перпендикулярном этому сечению, наибольшая сила вязкого трения действует на плоскую шайбу, а наименьшая — на тело каплеобразной формы. Форму тела, при которой сила вязкого трения (сопротивления) мала, называют обтекаемой и ее стараются придать телам, движущимся в жидкое-1 Рис. 111 Адукацыйны партал www.adu.by 104 Основы динамики ти или газе. Обтекаемую форму имеют ракеты и самолеты, подводные лодки и скоростные автомобили. Установлено, что сила вязкого трения зависит от скорости движения тела. При малых скоростях ее модуль прямо пропорционален скорости движения тела относительно среды: Рис. 112 где — коэффициент сопротивления, зависящий от формы, размеров тела, состояния его поверхности и свойств среды. При больших скоростях движения модуль силы сопротивления пропорционален квадрату скорости: Это объясняется тем, что при большой скорости тела возникают сложные движения слоев среды, и поэтому появляется добавочное сопротивление. Качественный график зависимости проекции силы сопротивления на направление скорости от модуля скорости представлен на рисунке 113. Сила сопротивления всегда направлена противоположно скорости. Если скорость невелика, то сила сопротивления линейно зависит от скорости, а при больших скоростях график имеет вид параболы. Следовательно, при ускоренном движении тела в жидкости или газе, например под действием силы тяжести, вместе с ростом скорости растет и сила вязкого трения. При некотором значении скорости тела сила вязкого трения становится равной его силе тяжести, и затем тело движется с установившейся скоростью, тем большей, чем больше сила тяжести тела. Например, размеры и форма парашюта подбираются с таким расчетом, чтобы скорость установившегося движения была безопасной для че- Рис. 113 ловека при его приземлении ^— около б При нераскрытом парашюте сила вязкого трения станет Адукацыйны партал www.adu.by Вязкое трение 105 равной силе тяжести только при весьма большой скорости падения — около 50—60 с Учет всех сил сопротивления на практике достаточно сложен, поэтому при решении задач нужно внимательно прочесть условие и оценить, какой вид трения необходимо учесть и каким в данных условиях можно пренебречь. Главные выводы 1. Снла вязкого трения при малых скоростях пропорциональна модулю скорости, а при больших — квадрату модуля скорости тела. 2. Сила вязкого трения зависит от формы тела. Форму тела, при ко* торой сила сопротивления движению (вязкого трения) минимальна, называют обтекаемой. 3. Сила вязкого трения, как правило, много меньше силы трения скольжения, и поэтому в различных механизмах используют смазку. Контрольные вопросы 1. Что общего между вязким и сухим трением? 2. В чем различия вязкого и сухого трения? 3. Как зависит модуль силы вязкого трения от скорости тела? 4. Сила трения между колесами велосиледа и дорогой лочти не зависит от скорости. Но чем с большей скоростью едет велосиледист, тем с большей мускульной силой он должен действовать на педали. Как это объяснить? 5. Почему большую льдину, плавающую в воде, привести в движение легко, но сразу же сообщить ей большую скорость — трудно? Упражнение 20 1. Прн равномерном движении в горизонтальном направлении двигатели самолета развивают силу тяги 160 кН. Определите силу сопротивления воздуха. 2. Парашютист опускается вертикально вниз с постоянной скоростью. Вычислите силу сопротивления воздуха, если масса человека вместе с парашютом 80 кг. 3. Автомобиль движется равномерно по скоростной дороге. Во сколько раз необходимо увеличить силу тяги двигателя при увеличении скорости движения в 1,5 раза, если сила сопротивления пропорциональна квадрату модуля скорости? Адукацыйны партал www.adu.by 106 Основы динамики 4. Поставьте на стол бутылку, а за ней свечу. Подуйте на бутылку, свеча погаснет. Почему? Повторите опыт, заменив бутылку предметом другой формы, например книгой. Каков результат опыта в этом случае? Почему? 5. Автомобиль движется со скоростью 72 относительно дороги. Ветер дует в горизонтальном направлении со скоростью 15 относительно Земли. При движении автомобиля сила сопротивления прямо пропорциональна квадрату его скорости относительно воздуха. Во сколько раз отличается сила сопротивления воздуха при движении автомобиля против ветра от силы сопротивления воздуха при движении автомобиля по ветру? Адукацыйны партал www.adu.by Почему нельзя мгновенно остановить или разогнать любое тело? Почему невозможно построить вечный двигатель? Почему человеку трудно идти по льду? Почему и как движутся ракеты? 'IV ■Ж*** к™ дукацыйны партам wwWi?ad!!!^y * .* 108 Законы сеисранения Глава III, ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ в МЕХАНИКЕ Как уже отмечалось, три закона Ньютона являются основой механики. Выдающийся американский физик XX ст. R Фейнман в своих знаменитых «Фейнмановскнх лекциях» отметил, что вся классическая механика содержится в этих законах. С их гюмощью в принципе можно решить любую задачу о движении тел с малыми скоростями. Значение законов Ньютона заключается не только в этом. Они позволили создать стройную физическую теорию механического движения тел, ввести такие фундаментальные физические величины, как энергия и импульс, установить для них законы сохранения, являющиеся фундаментальными законами природы. С помощью этих законов в динамике решаются задачи, когда силы взаимодействия тел неизвестны. Например, при столкновении тел трудно определить значения сил взаимодействия между ними. § 22. Общая формулировка основного закона динамики. Импульс тела. Импульс силы Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона) ma = F может быть записано и в другом виде. Как известно из кинематики, где У; и У2 — скорости тела в моменты времени /, и 4 соответственно. Подставив это выражение в (1), получим: _ тщ-тщ ___ р 6-1, (1) (2) (3) Введем новую физическую величину — импульс тела: p = mv. Итак, импульс тела — физическая векторная величина, совпадающая по направлению со скоростью тела в данный момент времени и равная произведению массы тела на его скорость, Как следует из определения, импульс тела измеряется в СИ в килограмм-метрах в секунду Адукацыйны партал www.adu.by Общая формулировка основного закона динамики. Импульс тела. Импульс силы 109 Впервые понятие импульса тела было введено в физику как произведение массы тела на модуль его скорости французским мыслителем и математиком Р.Декартом. Импульс тела как вектор был введен И. Ньютоном. Хотя скорость н импульс тела связаны меноту собой простой зависимое' тью, они коренным образом отличаются друг от друга. Скорость тела — чисто кинематическая характеристика движения. Импульс тела является динамической характеристикой движения, связанной с причинами (силами), вызывающими движение. С помощью важнейщего понятия импульса основное уравнение динамики запишется в виде: Рч ~ Pi _ _ р /г - ^ (4) и может быть сформулировано следующим образом. Изменение импульса тела в единицу времени равно векторной сумме всех сил, действующих на данное тело. Это более общая формулировка второго закона Ньютона. Именно так сформулировал Ньютон свой основной закон в знаменитой книге «Математические начала натуральной философии». На первый взгляд уравнение (4) идентично уравнению (I). Это верно в том случае, если масса тела при движении не меняется. Если же масса тела изменяется, например при движении ракет, осьмниогов, катеров с водометными движителями и т, д,, то для описания движения тел необходимо применять более общее уравнение (4), а не уравнение (1), Уравнение (4) может быть записано еще и в виде: Др = Мб (5) Данное выражение позволяет сделать важнейший вывод: для изменения импульса тела сила должна действеюать определенный промежуток времени. Импульс, а следовательно, и скорость тела мгновенно изменить нельзя. Величина FAt называется импульсом силы. Импульс силы в СИ измеряется в ньютон-секундах (Н- с). Необходимо отметить, что выражение (.5) для импульса силы справедливо для случая, когда сила не изменяется в течение промеж7тка времени At. Если она изменяется, то вычислить таким образом импульс силы нельзя. Однако можно ввести понятие средней силы, действующей на тело в течение того же промежутка времени. Адукацыйны партал www.adu.by 110 Законы сохранения Действительно, предположим, что на тело действует постоянная сила Fg в течение некоторого промежутка времени = На рисунке 114 представлен график зависимости модуля силы от времени. Из формулы (5) следует, что величина модуля импульса этой силы численно равна площади прямоугольника. Если же сила непостоянна во времени, например линейно увеличивается: F = kt (рис. 115) от /| = о до ^2. то импульс этой силы тоже равен площади под прямой, т, е. площади треугольника. Очевидно, что импульс этой силы равен Естественно, можно заменить эту силу такой постоянной силой, которая изменит импульс тела на ту же величину; {F)t2=\ktl‘, {F)^\kt2. Вычисленная таким образом сила называется средней силой и обозначается {F}. Поэтому выражение (4) часто записывается в виде; {F)At = hp (6) и используется для оценки средней силы при кратковременных взаимодействиях тел (ударах, толчках и т. п.). ZUh примера оценим среднюю силу, действующую со стороны пола на теннисный мяч массой т при его падении с высоты h^. Как показывает опыт, после удара о пол мяч поднимается на меньшую высоту /гг. По этим данным мы можем вычислить скорость мяча по известной формуле v-^2gh в момент касания пола и в момент отскока от пола. Соответственно, изменение Адукацыйны партал www.adu.by Общая формулировка основного закона динамики. Импульс тела. Импульс силы 111 импульса мяча за время удара показано на рисунке 116, Модуль этого вектора: |Д= jpg - ДI = moj -I- ши, = т)■ Это выражение получено в предположении отсутствия сопротивления воздуха. Уменьшение высоты подъема мяча обусловлено тем, что удар неупругий. Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции пола N и сила тяжести mg. Поскольку сила реакции изменяется в течение времени удара, то необходимо использовать уравнение (6), В проекции на вертикальное направление оно примет вид: {N)ts.i-mgh.i =1Др). i Ар I. Рис. 116 Следовательно, + mg. (7) Опыт проводился с мячом массой ш= 55 г. Его бросали без начальной скорости с высоты Л, = 1,0 м. После отскока от пола мяч поднимался на среднюю высоту = 63 см. Считая, что удар происходил за время = 0,15 с, после подстановки численных значений в формулу (7) и вычисления, получим, что (jV) =3,4 H = 6,3m^j. Если мяч просто лежит на полу (рис. 117), то сила реакции N, действующая на него, равна mg. Значит, средняя сила реакции, действующая на мяч, при ударе в данном опыте в 6,3 раза превосходила силу тяжести. Главные выводы (.Импульсом тела (количеством движения) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. 2. Импульсом силы называется векторная физическая величина, равная произведению постоянной или средней силы на промежуток времени действия силы, 3. Изменение импульса тела в единицу времени равно векторной сумме всех действующих на тело сил. Адукацыйны партал www.adu.by 112 Законы сохранения Контрольные вопросы 1. Что такое импульс тела? 2. Что такое импульс силы? Как направлен импульс силы? 3. Что можно сказать об импульсе тела, если сумма сил, действующих на тело, равна нулю? 4. В СИ импульс тела измеряется в единицы измерения или различны? кгм Импульс силы — в Н ' с. Одинаковы ли эти Упражнение 21 1. Определите величину импульса тела массой 4,0 кг, движущегося со скоростью 2,0 —. с 2. Стальной шарик массой т = 400 г падает с высоты 1,2 м и после удара о пол подскакивает на высоту, в 10 раз меньшую. Найдите изменение модуля импульса шарика и среднюю силу, действующую на него, если соударение длилось 0,10 с, 3. Оцените среднюю силу удара, которую испытывает человек, спрыгнувший с высоты 3 м, если считать, что время удара 0,5 с. Массу человека примите равной 70 кг. 4. Оцените перегрузку, которую испытывает парашютист после раскрытия парашюта, если до раскрытия он двигался со скоростью 50 а после раскрытия со скоростью 10 Считайте, что указанное изменение скорости происходит за время 1,0 с, S*. Футболист ударил по лежащему мячу так, что дальность полета мяча составила 30 м. Максимальная высота полета мяча в 4,0 раза меньше дальности. С какой средней силой действовал футболист на мяч, если время соударения 0,20 с? Масса мяча 0,40 кг. Сопротивление воздуха не учитывать. Импульсом силы тяжести за время удара пренебречь, 6* После падения диска ребром на твердую горизонтальную поверхность с некоторой высоты он подскочил на высоту, в 2 раза меньшую. Если бросить этот же диск, но вращающийся вокруг горизонтальной оси, совпадающей с его осью симметрии, с той же высоты, то он отскочит под углом 30° к вертикали. Определите коэффициент трения скольжения ребра диска о пол. Импульсом силы тяжести пренебречь. Адукацыйны партал www.adu.by Закон сохранения импульса 113 § 23. Закон сохранения импульса До сих пор мы рассматривали изменение скорости отдельного тела под действием некоторых сил. Теперь давайте рассмотрим вопрос об изменении импульсов нескольких тел под действием сил взаимодействия между ними. В механике всякая группа тел, выделенная нами, называется механической системой. Рассмотрим систему, состоящую из двух тележек с пружинными бамперами, находящихся на горизонтальных рельсах. На тележки действуют силы тяжести и силы реакции рельсов. Эти силы действуют со стороны тел, не входящих в систему, и поэтому называются внешними силами. Итак, внешние силы — это силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в выделенную систему. При столкновении тележек между ними возникают силы взаимодействия. Эти силы при([ято называть внутренними. Внутренние силы в любой механической системе — это силы взаимодействия между телами, входящими в данную систему. Если на тела системы действуют только внутренние силы, то такая система называется замкнутой. В том случае, когда на тела системы действуют еще внешние силы, система тел называется незамкнутой. Хорошим примером замкнутой системы является Солнечная система. Движение любой из плар[ет относительно Солнца происходит вследствие, во-первых, силы притяжения к Солнцу и, во-вторых, сил притяжения к остальным планетам Солнечной системы. Очевидно, что система, состоящая из, например, Солнца, Земли и Луны, не является замкнутой. Теперь давайте рассмотрим опыт по столкновению двух одинаковых тележек. Толкнув одну из тележек, мы увидим, что она после столкновения остановится, а покоящаяся ранее тележка придет в движение (рис. I )8, «, б) с той Же скоростью, т. е. тележки обменяются скоростями. Рис. 118 5. Зак. 12, Адукацыйны партал www.adu.by 114 Рис. 119 Видоизменим опыт. Повернем тедежки так, чтобы они не были обращены друг к дру17 пружинными бамперами. На одну из тележек прикрепим пластилиновый шарик. Если толкнуть одну из тележек, то после столкновения с другой они будут двигаться вместе (рис, 119, п, б), При этом скорость тележек будет в 2 раза меньше скорости первой тележки до столкновения. Из этого опыта следует, что скорость изменяется в зависимости от типа столкновения. Однако можно заметить, импульс системы не изменяется. Действительно, до столкновения двигалась одна тележка, и ее импульс был равен mv, после столкновения движутся обе тележки, и их суммарный импульс равен 2т ■ — = Таким образом, при столкновении тележек их суммарный импульс сохраняется. Можно ли считать систему, состоящую из двух сталкивающихся тележек, замкнутой? Очевидно, нет, поскольку на тележки действуют Земля и рельсы, т. е. внешние силы. Однако эти внешние силы направлены перпендикулярно движению тележек, и они в любой момент времени столкновения взаимно уравновешиваются. Таким образом, они не изменяют скорости движения тележек. Тогда в горизонтальной плоскости систему из двух тележек можно считать замкнутой. Изменение скорости тележек происходит только под действием внутренних сил — сил взаимодействия между тележками. Импульс системы до взаимодействия равен импульсу системы после взаимодействия. Суммарный импульс системы не изменяется под действием внутренних сил. Действительно, рассмотрим изменение состояния движения двух тел под действием только сил взаимодействия между ними. Внешние силы отсутствуют, т, е. наша система является замкнутой (рис. 120), По третьему закону Ньютона: Р^--р2 = F. Рис. 120 Адукацыйны партал www.adu.by Закон сохранения импульса 115 Запишем уравнение (5) из § 22 д/1я каждого из тел. Для тела I; FAi = /«i?j -m|0|. (1) Для тела 2; -ДД/= "^2^2- (2) где и, и 5з — скорости тел до взаимодействия, и tTj — после взаимодейс-I твия. Будем также считать промежуток времени Д/ достаточно малым, чтобы силы взаимодействия существенно не изменялись. Сложим почленно эти равенства: О = /71| - т,5| + ил и m\V^+m.^V2 = (3) В левой части равенства (3) стоит сумма импульсов обоих тел до взаимо* действия, а в правой — сумма их импульсов после взаимодействия. Импульс каждого тела изменился, но сумма осталась неизменной. Очевидно, что если взаимодействуют не два, а несколько тел, то для каждой пары тел можно написать соотношения (1) и (2) и доказать, что векторная сумма импульсов тел замкнутой системы не изменяется. В этом и состоит закон сохранений импульса системы. Если в замкнутой системе п тел и их импульсы до взаимодействия — р,, р2... р„, после взаимодействия — Д, й...... Fnt "fo Рх + р2+ ...+ Р„ = А + Ра + - + Рп- (4) Векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, остается неизменной при любых движениях и взаимодействиях тел систе* мы. Это и есть закон сохранения шинульт. Всякий раз, когда под действием сил взаимодействия изменяется импульс одного из тел, непременно изменяются и импульсы других тел замкнутой системы так, что суммарный импульс Bcexfj тел остается неизменным, IJ Закон сохранения импульса для замкнутых систем является одним из фундаментальных законов природы, хотя мы его получили, опираясь па второй и третий законы Ньютона, Поскольку импульс тела является физической векторной величиной, то, следовательно, закон должен выполняться и для проекций импульса на оси Адукацыйны партал www.adu.by 116 Законы сохранения иыбранноГ) системы координат. Например, для проекций на ось Ох выбранной системы координат равенство (4) примет вид: Рц + + "■ + Рчх ^ + Mil + -+ ' Поскольку при решении практических задач о движении тел в земных условиях в систему обычно Земля не включается, то такая система тел не будет замкнутой. Однако если в каждый момент взаимодействия тел сумма в!!ешиих сил в каком-то направлении равна нулю, то в этом направлении импульс системы не изменяется. В плоскости, перпендику.лярнон этому направлению, систему можно считать замкнутой и применять закон сохранения импульса для определения скоростей движения тел. Этот закон можно применять и для незамкнутых систем, когда внешние силы, действующие на тела, значительно меньше сил взаимодействия между телами системы. Главные выводы 1. Закон сохранения импульса является фундаментальным .законом природы. Он всегда выполняется для замкнутых систем. 2. Если те,па выделенной системы движутся только под действием сил взаимодействия между ними, то векторная сумма импульсов тел системы не изменяется с течением времени. 3. Закон сохранения импульса можно использовать в земных условиях для систем тел, на которые действуют внешние силы, если они взаимно компенсируются или импульсом этих сил можно пренебречь по сравнению с импульсом сил взаимодействия. Контрольные вопросы 1, Что такое механическая система? 2. Какую систему тел принято считать замкнутой? 3. Могут ли осколки взорвавшейся гранаты лететь в одном направлеиии, если: а) граната покоилась; 6) двигалась с некоторой скоростью? 4, Что нужно делать космонавту в открытом космосе, чтобы вернуться к кораблю, если фал, к которому он был привязан, оборвался? Упражнение 22 1. Мальчик, бегуишй со скоростью 6,0 догоняет велосипедиста, едущего со скоростью 4,0 и вскакивает на багажник. С какой скоростью станет двигаться велосипед сразу после этого? Масса мальчика 40 кг, масса велосипедиста вместе с велосипедом 60 кг. Адукацыйны партал www.adu.by Реактивное движение 117 2. Девушка стоит на коньках лицом к юноше, который скользит к ней со скоростью 3,0 Ее масса 50 кг, его — 70 кг. Если они обнимутся и не будут тормозить коньками свое движение, то чему будет равна их общая скорость? 3. Протон, движущийся со скоростью 3,0 ■ 10^ упруго сталкивается с по- коивщимся ядром гелия и отскакивает назад со скоростью 1,8- 10^ у. Масса протона в 4 раза меньше массы ядра гелия. Определите скорость ядра гелия после столкновения. 4. Бильярдный шар, движущийся со скоростью 5,0 ^ по горизонтальному столу, сталкивается с таким же покоящимся шаром. Направление его движения после столкновения составило угол 30° с первоначальным. Угол разлета бильярдных шаров равен 90°. Определите скорости шаров после столкновения. 5. Снаряд, имеющий скорость 500 разорвался на два осколка равной массы в наивысшей точке траектории. Они разлетелись симметрично относительно направления первоначальной скорости под углом 60“ к ней. Определите скорости осколков непосредственно после взрыва. 6*. Снаряд, имеющий скорость 500 разорвался на три осколка равной массы в наивысшей точке траектории. Относительно центра взрыва осколки разлетелись симметрично. Один из осколков полетел горизонтально с максимально возможной скоростью 800 Определите скорости двух других осколков. § 24. Реактивное движение Одним из наиболее ярких проявлений и практического применения закона сохранения импульса является реактивное движение. Это движение, которое возникает, когда от системы отделяется и движется с некоторой скоростью относительно нее какая-то ее часть. В живой природе так движется осьминог (рис. 121), выбрасывая воду. Типичным примером реактивного движения может служить движение ракет. Рис. 121 Адукацыйны партал www.adu.by 118 Законы сохранения Рис. 122 122 схематично На рисунке предсташ1ено устройство ракеты. В головной ее части I помещается полезный груз. Это может быть боезаряд, навигаимопное оборудование для управления движением боевой ракеты. В космическом корабле в головной части помещаются космонавты, научные приборы, система обеспечения жизнедеятельности, система навигационного оборудования н т. п. В части 2 находится запас топлива и окислителя, а также различные системы управления. Топливо и окислитель подаются в камеру сгорания 3, где топливо сгорает и превращается в газ, имеющий высокую температуру. Реактивное сопло 4 формирует реактивную струю, движущуюся с большой скоростью относительно ракеты. Газ в камере и все остальное, что составляет ракету, можно рассматривать как систему двух взаимодействующих тел. Будем пока считать, что силы притяжения к Земле отсутствуют. Тогда ракета представляет собой замкнутую систему, и перед стартом ее общий импульс относительно Земли равен нулю. Газ, вырываюнщйся из сопла, имеет определенный импульс. Поэтому оставшаяся часть ракеты по закону сохранения импульса получает импульс, равный но модулю импульсу газа, но противоположный но направлению. На рисунке 122 стрелками показаны силы давления газа, сообщающие ракете этот импульс. Закон сохранения импульса позволяет оценить скорость ракеты и силу, действующую на нее. Предположим, что за некоторый промея^^ток времени At из сопла вырывается масса газа Агп со скоростью й относительно ракеты, тогда, обозначив массу ракеты через М, по закону сохранения импульса можно записать: Л'1Цр -г Дшо = 0, (1) где щ скорость ракеты. Величину Amv можно переписать следувощим образом: Amv = -~vAi. CAi Но ^ — масса газа, которая выбрасывается из ракеты в единицу вре- Д/ имеет размерность силы, н она мени. Нетрудно убедиться, что величина называется реактивной силой. Реактивная сила равна произведению массы газа, вырывающегося из сопла в единицу времени, и скорости струн газа. Адукацыйны партал www.adu.by Реактивное движение 119 Ошдовательно, чтобы реактивная сила была максимальной, нужно повышать скорость газовой струи. В современных ракетах она может достигать 4,5 Уравнение {1) можно записать в виде ^ (2) = FAi, д/ где в правой части стоит импульс реактивной силы F = ~^~v, который увеличивает скорость ракеты. Из (2) следует, что скорость ракеты направлена в сторону, противоположную скорости выбрасываемых газов. Вследствие вылета газов масса ракеты все время уменьшается. Так что масса космического корабля, которая может быть выведена на орбиту искусственного спутника Земли, составляет малую долю его первоначальной массы. Например, при скорости космического корабля, равной первой космической, точный расчет показывает, что для одноступенчатых ракет при скорости вылета газов относительно ракеты 2 ^ отношение массы топлива к полезной массе равно 55. Если скорость газовой струи 3 то отношение масс равно 14. Ракеты известны давно. Впервые о них упоминается в китайских хрониках 1150 г. Естественно, что такое интересное явление, как движение ракет, изучалось многими учеными. Так, в 1650 г. в Амстердаме вьинла книга «Великое искусство артиллерии» генерал-лейтенанта польской армии К. Семеновича, уроженца Беларуси. В ней была глава, посвященная описанию движения ракет н их конструкций. Эта книга практически одновременно была переведена на основные европейские языки. Большой вклад в теорию движения ракет внесли русские ученые И. В. Мещерский и К, Э. Циолковский. В 1903 г. К, Э, Циолковский впервые предложил и теоретически обосновал идею использования ракет для космических полетов. Им была получена формула, сейчас носящая его имя, позволяющая оценить запас топлива, который должен быть в ракете, чтобы она стала искусственным спутником Земли. В 1904 г. И. В. Мещерским было получено уравнение, с помощью которого можно описать движение ракет. Идея К- Э. Циолковского была осуществлена советскими учеными под ру-коаодством С. П. Королева. Первый в истории искусственный спутник Земли массой 84 кг был запущен с помощью ракеты в Советском Союзе 4 октября 1957 г. Первым че^[овеком, который совершил космический полет, был гражданин СССР Ю. А, Гагарин. 12 апреля 1961 г, он облетел земной шар за 108 мин на корабле-спутнике «Восток». Адукацыйны партал www.adu.by 120 Законы сохранения Советские ракеты первыми достигли Луны, первыми облетели Луну и сфотографировали ее невидимую с Земли сторону, первыми достигли планеты Венера. В 1969 г. американский астронавт Н, Армстронг впервые в истории человечества ступил на поверхность другого небесного тела — Луны. Американские астронавты совершили несколько полетов на Луну с выходом на ее поверхность и длительным (до трех земных суток) сроком пребывания на ней. Началось практическое освоение космоса. Ряд стран запустили искусственные спутники Земли, предназначенные для связи, телевидения, наблюдения за погодой, научных и других целей. Так, с помощью приборов, установленных на искусственных спутниках Земли, был обнаружен дрейф континентов. Было доказано, что расстояние между побережьями Африки и Америки увеличивается на несколько сантиметров в год. Белорусские ученые тоже внесли свой вклад в освоение космоса. Группа ученых под руководством академика Л. И. Киселевского создала ряд научных приборов, побывавших в космосе. Ученые Института тепломассообмена НАН Беларуси рассчитали тепловую защиту космических кораблей, Комаштирами космических кораблей типа «Союз» и орбитальных станций «Салют» были и уроженцы Беларуси, летчики-космонавты, дважды Герои Советского Союза П. И. Климук и В. В. Коваленок. Главные выводы (.Изменение скорости ракеты обусловлено действием реактивной силы, создаваемой струей газа, вытекающей из сопла. 2. Движение ракет (реактивное движение) объясняется выполнением закона сохранения импульса. 3. Реактивная сила равна произведению массы газа, вырывающегося из сопла в единицу времени, и скорости струи газа относительно ракеты. Контрольные волрось) 1. Каким образом можно увеличить реактивную силу струи таза? 2. От чего зависит конечная скорость ракеты? 3. Из каких осноань1х частей состоит ракета? 4. Что вы можете рассказать об истории развития космонавтики? Адукацыйны партал www.adu.by Механическая работа 121 Глава IV. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ § 25. Механическая работа С понятием «меха[1ическая работа» или просто «работа» мы уже встречались в курсе физики 8-го класса, Мехаиичесжая работа — это процесс передачи движения от одного тела (системы тел) к другому телу (или системе тел); физическая скалярная величина, являющаяся количественной мерой этого процесса, называется работой. Она определяется следующим образом. Когда на тело действует постоянная сила и тело, двигаясь прямолинейно в направлении действия силы, совершает перемещение Дг, то говорят, что сила F совершает работу А, равную произведению мог^ля силы и модуля перемещения; (1) Из определения следует, что работа — скалярная величина, а также то, что в метрической системе единиц (СИ) единица измерения работы 1 Н - 1 м = 1 Дж {джоуль). Эта единица названа в честь английского ученого Д. Джоуля, впервые экспериментально обосновав1него эквивалентность работы и теплоты. Мы рассмотрели самый простой случай, когда перемещение тела и сила, действующая на него, совпадают по направлению. А как нужно вычислять работу силы, если ее направление не совпадает с перемещением? Для выяснения этого вопроса рассмотрим следующий опыт (рис. 123), Через блок перекинута нить, на которой висит брусок некоторой массы. На брусок действуют две силы ^— сила натяжения нити Д, и сила тяжести mg. Если равномерно тянуть за нить, то тело будет равномерно двигаться, и, следовательно, по второму закону Ньютона ре-зультируюпшя сила, действующая на тело, будет равна 1!улю. Значит, при перемещении |Дл| тела работа результирующей силы будет тоже равна нулю. Однако сила натяжения совершает работу Д, =/^||Дг[. Поскольку F„ = mg, то мы должны предположить, что сила тяжести тоже совершает такую же работу по величине, но отрицательную, т. е. A„--A„,g. Следовательно, работа сил Адукацыйны партал www.adu.by 122 Законы сохранения может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Заметим, что сила тяжести по направлению противоположна перемещению тела. Это обстоятельство и другие соображения [юзволяют предложить общую формулу для работы постоянной силы при пря-“124 молинейпом движении. Если вектор силы и перемещения составляют между собой угол а, то работа этой силы определяется по формуле А = f lArlcos а. {2} Это и есть общее выражение для работы постоянной силы. Действительно, если векторы F и Аг совпадают по направлению, то а = 0 и cosct=l. Поэтому /1 = |Ё|[Дг|. Если а = 180“ (cos 180“ = -1), то Л = -[^|дг|. Еслиа = 90“ (cos90° = 0), то Л = 0; т. е. сила, направление которой перпендикулярно движению, не совершает работы (вернее, ее работа равна нулю). Очевидно, что если О < а < 90°, то работа положительная, если 90° < а < 180°, то работа отрицательная. Для примера навдем работу каждой из всех сил, действующих на движущиеся санки. На рисунке 124 показаны все силы, действующие на тело. Это сила еютя-женин веревки F, составляющая угол а с горизонтом, сила тяжести mg, нормальная сила реакции N и сила трения Если перемещение санок равно |Дг], то работа силы натяжения Л=|f||Ar|cosa. Работа силы тяжести по формуле (2) Л„^ = 0, так как а = 90°. По той же причине Л,v = 0 н, наконец, Л^р= = -|Еф||Дг|. Поскольку результирующая сила: F^ = F + mg + F^+F^^, то работу результирующей силы можно найти как сумму работ всех действующих на санки сил; Лр = Л^--ьЛ,„^-(-Лл,-ьЛ^= |El|Ar|cosa- |Др||Дг|. Очевидно, что значение работы результирующей силы может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Адукацыйны партал www.adu.by Механическая работа 123 При прямолинейном движении тела в одну сторону модуль перемещения |Дл| и путь S совпадают. Поэтому формулу {2} часто записывают в виде: А = fscosa. (3) На рисунке 125 представлен график зависимости силы, приложенной к телу, совпадающей по направлению с перемещением, от пройденного пути s. В соответствии с формулой {I) работа этой силы численно равна площади прямоугольника (заштриховано). Если же сила изменяется в процессе движения, то работа этой силы тоже будет численно равна площади под кривой. В частности, на рисунке 126 представлен график силы, которая линейно уменьшается с пройденным расстоянием до нуля. Очевидно, что работа этой силы на пути 5j численно равна площади треугольника, т. е.: A=-^F„Si. Главные выводы {.Механическая работа характеризует процесс передачи движения от одного тела (системы тел) к другому телу (или системе тел). 2. Работа силы — это физическая скалярная величина, равная произведению модулей силы, перемещения и косинуса угла между направлениями силы и перемещения, если сила не изменяется в процессе движения. 3. При движении тела все действующие на него силы совершают работу. 4. Работа результирующей силы равна алгебраической сумме работ всех сил, действующих на тело. Адукацыйны партал www.adu.by 124 Законы сохранении Контрольные вопросы 1. в каком случае работа скшы равна нулю? 2. Может ли быть положительной работа сипы трения? 3. Чему равна работа результирующей силы, действующей на тело? 4. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. Какую работу север— шает сила гравитационного тяготения, действующая на корабль? Упражнение 23 1. Какую работу совершила сила натяжения троса при равномерном подъеме краном груза 300 кг на высоту 3,0 м? 2. Человек тянет санки массой 5,5 кг по горизонтальной поверхности равномерно и прямолинейно. Сила натяжения веревки направлена под углом 45° к горизонту. Вычислите работу этой силы на пути 10 м, если коэффициент трения скольжения 0,10, 3. Лыжник массой 50 кг соскальзывает со склона горы, составляющего угол 30“ с горизонтом. Долина склона 40 м. Какую работу при этом совершает сила тяжести? Чему равна работа силы трения скольжения, если коэффициент трения 0,12? 4* Мальчик втаскивает санки массой 5,0 кг на горку, составляющую угол 15“ с горизонтом. Веревка образует угол 20° с поверхностью горки. Определите, какую работу совершит мальчик. Чему равна работа силы тяжести и силы трения скольжения, если коэффициент трения скольжения 0,11? Длина горки 15 м. 5*. Окно закрывается плотной шторой. Масса шторы 4,0 кг, ее длина 2,4 м. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы накрутить штору на вал над окном? 6*. К лежащему на горизонтальном столе бруску массой m прикреплена пружина жесткости k. Коэффициент трения между бруском и столом р. К свободному концу пружины приложена сила под углом а = 30“ к горизонту, под действием которой брусок равномерно перемещается на расстояние х. Определите работу, выполненную этой силой. § 26. Кинетическая энергия тела Рассмотрим движение тела массой т под действием нескольких сил, например движение санок (см. рис. 124). Предположим также, что сила натяжения веревок постоянна, а следовательно, постоянной будет и результирующая Адукацыйны партал www.adu.by Кинетическая энергия тела 125 сила Fp. Она совпадает по направлению с перемещением тела или противоположна ему. Эта сила, естественно, вызывает ускорение санок, т. е. изменяет их скорость. Кроме того, она совершает работу. Следовательно, меж;^ работой результирующей силы и изменением скорости санок должна существовать связь. Рассмотрим случай, когда проекция результирующей силы на направление движения положительна, т. е. санки движутся равноускоренно с ускорением а, которое находится из второго закона Ньютона; Fp = та. (I) Работа результирующей силы; A = F^Ar, (2) где Дг — модуль перемещения тела за некоторый промежуток времени. Подставим выражение (I) в (2). В результате получим: A-mahr. (3) При равноускоренном одномерном движении модуль перемещения Дг и изменение скорости связаны соотношением; Дг = - 2й (4) где Uj и 02 —начальная и конечная скорости тела, которое совершило перемещение Дг с ускорением о. Соотношение (3J с учетом (4) примет вид: , vk-v^ mvf (5) Полученная формула связывает работу результирующей силы, действую. Эта величина называется кине- щен на тело, с изменением величины 1ПУ^ тической энергией тела и обычно обозначается К. Кинетическая анергия тела —это энергия движения. Она равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости: К = - Тогда формула (5) примет вид: А = К2-К^ = АК. (6) (7) Адукацыйны партал www.adu.by 126 Законы сохранения -i- 1 1 1 03fT Рис. 127 Рис. 128 Итак, работа результирующей силы, действующей на тело, равна изменению кинетической энереии тела. Как вы уже знаете, изменение какой-то величины равно разности конечного значения и начального. Из формулы (7) очевидно следует, что кинетическая энергия выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в СИ в джоулях. Когда результирувошая сила действует по направлению движения тела и, следовательно, совершает положительную работу, то K2>Ki- Это означает, что кинетическая энергия тела увеличивается. Понятно, что, если результирующая сила направлена в сторону, противоположную движению, она совершает отрицательную работу, и кинетическая энергия тела уменьшается. Следует отметить, что, хотя мы получили формулу (7) для частного случая равноускоренного и прямолинейного движения, она справедлива и в случае изменяюпгейся во времени результирующей силы. Поэтому формулу (7) часто называют теоремой о кинетической энергии. Итак, любое движущееся тело (рис. 127, 128) обладает кинетической энергией. Поскольку скорость тела зависит от выбора инерциальной системы отсчета, то и кинетическая энергия также зависит от выбора системы отсчета. Очевидно, что, как и работа, кинетическая энергия является скалярной физической величиной. Она не зависит от направления движения тела, а определяется его массой и квадратом скорости. Главные выводы [.Кинетическая энергия тела — это энергия движения. Она равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости и зависит от выбора системы отсчета. Адукацыйны партал www.adu.by 14инеттвская тела 127 2. Изменение кинетической энергии равно работе всех сил, действующих на тело, 3. Кинетическая энергия измеряется в тех же единицах, что и работа. Контрольные вопросы 1, В чем состоит теорема о кинетической энергии тепа? 2, Как изменяется кинетическая энергия тепа, вспи равнодействующая асе к сил, приложенных к нему, совершает; а) положительную работу; б) отрицательную работу? 3, Изменяется ли кинетическая энергия тела при изменении ьтаправления вектора его скорости без изменения ее модуля? Упражнение 24 1. Какую работу совершают силы сопротивления при остановке автомобиля массой 3,0 т, движущегося со скоростью 54 2. Вычислите кинетическую энергию первого искусственного спутника Земли массой 84 кг, который двигался по круговой орбите на высоте 160 км над поверхностью Земли. Средний радиус Земли 6400 км. 3. Свободно падающий камень массой 300 г имеет на некоторой высоте скорость 16-^. Определите кинетическую энергию камин через 3,0 с после этого. 4. Мяч массой 500 г бросили со скоростью 8,0 под углом 60° к горизонту, Чему равна кинетическая энергия мяча в нанвысшей точке траектории? Сопротивление воздуха не учитывать. 5*. К покоившемуся телу массой 2,0 кг, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложена сила 40 Н, направленная под углом 30" к горизонту. После прохождения пути в 3,0 м вектор силы становится горизонтальным. Затем тело проходит еще 30 м. Изыщите кинетическую энергию и его скорость в конце первого участка и на всем пути. 6*. Какую работу совершает сила давления пороховых газов при выстреле, если пуля массой 10 г вылетает со скоростью 600 Считать, что работа силы трения равна половине кинетической энергии пули. Адукацыйны партал www.adu.by 128 Законы сохранения 27. Столкновения Наиболее общим явлением, наблюдаемым в природе, является взаимодействие материальных тел. Бильярдные шары, сближаясь, в момент соприкосновения взаимодействуют друг с другом, В результате этого меняются скорости шаров, их кинетические энергии. О таком взаимодействии шаров говорят как об их столкновениях. Но понятие «столкновение» относится не только к взаимодействиям, происходящим в результате соприкосновения материальных тел. Комета, прилетевшая из отдаленных областей пространства и прошедшая в окрестности Солнца, меняет свою скорость и удаляется. Этот процесс также является столкновением, хотя непосредственного соприкосновения между кометой н Солнцем не произошло, а осуществлено оно было посредством сил тяготения. Характерная особенность это1'о взаимодействия, дающая нам возможность рассматривать его как столкновение, заключается в том, что область пространства, в котором о!Ю произошло, относительно мала. Заметное изменение скорости кометы происходит вблизи Солнца (рнс. 129), Приведенные примеры позволяют нам дать следующее определение столкновения. Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени. Вне этого промежутка времени можно говорить о начальных и конечных импульсах тел, когда тела можно считать невзаимодействующими. Столкновение материальных тел часто называется ударом. Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений. Это частный случай столкновения, например столкновение шаров, шайб, автомобилей и т. п. Процессы столкновения являются чрезвычайно сложными, ^29 Например, при столкновении двух Адукацыйны партал www.adu.by Столкновения 129 шаров в момент кх соорнкосновення начинается деформация шаров. В результате часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации, Затем энергия деформации снова превращается в кинетическую, однако не полностью — часть энергии превращается во внутреннюю. Кроме того, после столкновения шары будут вращаться по иному, чем до столкновения. Главный интерес при рассмотрении столкновений заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется начальным состоянием, а после — конечным. Между величинами, характери.зую-щими начальное и конечное состояния, соблюдаются определенные соотношения, независящие от детального характера взаимодействия. Такими величинами, в частности, являются импульс н энергия системы тел. В зависимости от характера изменения кинетической энергии тел все столкновения делятся иа ynpifeue и неупругив. Если при столкновении кинетическая энергия тел сохраняется, то столкновение называется упругим, если же не сохраняется — неупругим Рассмотрим вначале абсолютно иеупругое столкновение (абсолютно не-упруглй удар). Это частный случаи неупругого столкновения, при котором после столкновения тела «слипаются» н движутся вместе. Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета первое тело массой движется до столкновения со скоростью й,, а второе тело массой пи — со скоростью 5^. Следовательно, импульсы тел до столкновения равны соответственно: p\=tHiV\ и После столкновения образуется тело массой т^+пи, которое движется со скоростью и. Импульс тела; p = (mj+m2)5. Так как изменение импульсов тел происходило под действием только сил взаимодействия между ними, а это внутренние силы, то должен выполняться закон сохранения импульса: Pi + p2 = Р. или m^v^ л- т.Що = ('^1 + Щ) У- Процесс столкновения обычно наглядно представляют с помощью векторной диаграммы импульсов (рис. 130). Нетрудно убедиться, что кинетическая энергия системы не сохраняется. До столкновения она составляет: miv'i , matff Адукацыйны партал www.adu.by 130 Законы сохранения после столкновения — Изменение кинетической энергии: = (2) Для расчета выберем оси координат так, как показано на рисунке 130, и сгфоектируем на них равенство (I). В результате получим: fm[0| cosa+m^yj = {т^ +/Пз)у^, nifl2 sina = (Ш| +тз)о^. Отсюда легко находится квадрат скорости тел после столкновения: I. f I - rt 2 ti 2 ,) „ „ ni^vf+im.mnv^vocosa+mlv^ V -y„ + w„ (mi+maP ' Подставив полученное выражение в (2), получим после несложных преобразований: —-{v'^-2v^V2 совач-Уз)- АК = -. Как видно, кинетическая энергия системы уменьшилась. Часть кинетической энергии превратилась в теплоту. Если тела при столкновении не «слипаются», то скорости тел после столкновения можно найти из закона сохранения импульса: А+Р2 = ^1 + Й- где штрихом отмечены импульсы тел после столкновения. При этом кинетическая энергия может как уменьшаться, так и увеличиваться. Последнее происходит, например, при различных взрывах. В этом случае часть внутренней энергии превращается в кинетическую энергию осколков. Как уже отмечалось, при упругом столкновении выполняется закон сохранения импульса и механической энергии. Рассмотрим вначале лобовое столкновение, т. е. такое столкновение, при котором импульсы тел до и после столкновения параллельны некоторой прямой. Эту прямую мы примем за ось Ох (рис. 131). Закон сохранения импульса в этом случае примет вид: Адукацыйны партал www.adu.by Столкновения 131 Pt Р2 Pi О до столкновения после столкновения Рис. 131 а закон сохранения кинетической энергии — 2 т 2 " 2 2 ■ (3) (4) Из этих уравнений найдем скорости тел после удара. Для этого перепишем (3) и (4) следующим образом: (5) (6) Воспользовавшись тем, что d'^ - Ь'^ = (а - Ь) (а + Ь), из выражений (5) и (6) легко получить: = + (7) Выразив отсюда, например, 1/,^ и подставив его в (5), после несложных преобразований находим: , _ 2/П|У|1 + (т2-/П|)С2л-1П[ + т2 ' Аналогично: /П| + т2 ’ Проекции импульсов тел после столкновения равны соответственно: Р'и = + (ш, - т.) у, J Г и *' Ръ = '^'2^2. =7ЯГ^ + (^2 - "Й )Щх)- Проанализируем полученные выражения для некоторых частных случаев. Предположим, что тело 2 до столкновения покоилось, т. е. Адукацыйны партал www.adu.by 132 Законы cpxpwiiiiMft Тогда , _ mtim^-rTh) „ m|-ma . m|+rH2 + P2^ = _ 2mjm2 2m.) -Pi^- (8}J (9) Ш|+т2 При равных массах тел mi =т^> получим: p'i.=o; Л^="1|Ц^ = Ри- Значит, первое тело остановится, а второе гфш^ет в движение с таким же-импульсом. Теперь предположим, что масса второго тела намного больше массы первого. Тогда, пренебрегая mj по сравнению с т^, получим; Ргх=2Р|,- Значит, первое тело отскочит назад с таким же по модулю импульсом, а тело 2 получит импульс, равный удвоенному значению импульса первого тела. Найдем кинетическую энергию тел после столкновения для случая, когда Ua = 0: " ............................ (10) (11) _ P\i _ i Ри _ ^ . ' 2 2/tti 2 (m|+m2)^ т-^ (m[ + m2)' '' К',=- frujV -2 Р2х 4тгД|х _ 4m, m2 rrOi. 2m2 2(m(+m2)'^ где К{ — кинетическая энергия первого тела до столкновения. Из полученных выражений следует, что при Ш] первое тело останавливается, а второе приобретает ту же энергию. Если масса второго тела намного больше массы первого ;н,, то из (10) и (11) следует, что /([ = /([, /Сз=0. Значит, кинетическая энергия первого тела не изменяется, а второе тело получает импульс, но его энергия не изменяется. Главные выводы {.Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени, Адукацыйны партал www.adu.by Столкновения 133 2. Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений. 3. Столкновение тел называется упругим, если кинетическая энергия тел сохраняется. При неупругом столкновении кинетическая энергия тел не сохраняется. 4. При столкновениях тел выполняется закон сохранения импульса. Контрольные вопросьр 1. Какие столкновения называются упругими? Какие — неупругими? 2. Как вы думаете, каких столкновений — упругих или неупругих — встренаетсп больше в практической деятельности челееека? 3. Какой удар называется абсолютно неупругим ударом? 4. При свободном падении с некоторой высоты на пол мяч подскакивает на меньшую высоту, Каким является удар мяча о поп: упругим или неупругим? 5. Как вы думаете, процесс столкновения кометы с Солнцем, описанный в параграфе, является упругим или неупругим? Упражнение 25 1. Тело массой испытало абсолютно неупругое столкновение с покоившимся телом массой /714 = 2^1. Какая часть кинетической энергии системы превратилась в теплоту? 2. Тело I испытало лобовое упругое соударение с покоившимся до удара телом 2. Найдите отношение масс тел, если после столкновения они разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями. 3. Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью 20 разорвалось на два осколка массами 10 кг н 5,0 кг. Скорость меньшего осколка 20 ^ и направлена вертикально вверх. Найдите модуль н направление скорости движения больн]ого осколка. 4* Стальной шар массой 20 г падает с высоты 1,0 м на горизонтальную сталь- f | ную плиту и после столкновения подскакивает на высоту 81 см. Какой импульс получила плита? Чему равна энергия, превратившаяся в теплоту? 5* После упругого столкновения тела / с покоившимся телом 2 оба тела разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения тела /, и угол между направлениями их разлета а = 60°. Найдите отношение масс этих тел. Адукацыйны партал www.adu.by 134 Законы сохранения § 28. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей в § 25 мы уже говорили о том, что каждая сила, действующая на движущееся тело, совершает работу. Проанализируем более подробно работу, со-аершаемуво силой тяжести. При небольших расстояниях от поверхности Земли сила тяжести постоянна и ito модулю равна mg. Пусть тело массой т падает с высоты h\ до высоты 1ц (рис. 132). Модуль перемещения Дг равен при этом h\-h2- Так как направления перемещения и силы совпадают, то работа силы тяжести положительна и равна: А - mg{h\ - А,). (1) Высоты А| и Аг можно отсчитывать от любого уровня. Это может быть уровень поверхности Земли, пола класса или поверхности стола и т. д. Высоту выбранного уровня принимают равной нулю. Поэтому этот уровень называют нулевым. Если тело падает с высоты Л до нулевого уровня, то работа силы тяжести: А - mgh. (2) Теперь выясним, какую работу соверщает сила тяжести, если тело движется не по вертикали. Для этого рассмотрим движение тела по наклонной плоскости, Пусть тело массой т совершило перемещение Дг, равное по модулю длине наклонной плоскости (рис. 133). Работа силы тяжести в этом случае равна: А = ^^ig[Дr|sina, где а ~ угол между вектором перемещения и вектором силы тяжести. Из рисунка видно, что |Дг|5ша -Н. Поэтому А = mgh. Ai “0~ Аг fl2 Рис. 132 Адукацыйны партал www.adu.by Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей 135 Мы получили для работы силы тяжести такое же выражение, как и в случае движения тела по вертикали (см. формулу (2)), Отсюда следует, что работа силы тяжести не зависит от того, движется ли тело по вертикали или проходит более длинный путь по наклонной плоскости. Работа силы тяжести оггределяется только изменением высоты относительно некоторого уровня. Теперь докажем, что работа силы тяжести определяется формулой (2) при движении по любой траектории. Например, некоторое тело бросили горизонтально с высоты h (рис, 134). Как известно, траекторией такого движения является парабола. Мысленно разобьем траекторию на маленькие участки AAi, Л1Л2,/4„В, такие, что их можно считать прямыми линиями. Каждый из них можно считать маленькой наклонной плоскостью, а движение по траектории АВ рассматривать как движение по множеству наклонных плоскостей. Работа силы тяжести на каждой из них равна произведению силы тяжести на изменение высоты. Например, на участке Л^Лз работа равна rngth^ - Полную же работу силы тяжести на всем пути нзвдем, сложив работу на каждом участке; A = mg{h-hi) + mgiht-li2) + ... + mg(h„~0)^ = mg{h - Л| -ь/ij - /I2 +... + h„) = mgh. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от формы траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положениях тела, т. е. вычисляется по формуле (1). Отсюда следует, что если тело движется по замкнутой траектории, где начальное и конечное положения тела совпадают, то работа силы тяжести равна нулю. Такие силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положениями тела в пространстве, называются потенцшыьными или консервативными. Другое определение потенциальных сил; зто такие силы, работа которых по замкнутой траектории равна нулю. Для потенциальных сил можно ввести понятие потенциальной энергии. Действительно, формула (I) может быть переписана следующим образом: А = nigihI - Л2) = - (rtigh2mghi). (3) Правая часть этого равенства представляет собой изменение величины mgh, взятое с противоположным знаком. Адукацыйны партал www.adu.by 136 Законы сохранения В § 26 мы ввели понятие кинетической энергии, изменение которой равно работе сил, действующих иа тело. Теперь мы встретились еще с одной величиной, изменение которой (но с противоположным знаком) тоже равно работе силы — в данном случае работе силы тяжести. Величину, равную mgh, называют потенциальной энергией Я тела в гравитационном поле. Тогда формулу (3) можно записать в виде: А =-(Я2-Я|) = -ДЯ. (4) Говорят, что работа силы тяжести равна убыли нотенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли. Если тело падает с высоты h до нулевого уровня, то работа силы тяжести равна его начальной потенциальной энергии: А = П = mgh. Следовательно, потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, равна работе силы тяжести при падении тела с этой высоты. Например, этим пользуются при забивании свай на строительных площадках (рис. 135). Чтобы подмять тело с нулевого уровня на эту же высоту, должна быть совершена работа другой силой, направленной против силы тяжести. Потенциальная энергия зависит от положения тела относительно нулевого уровня и, следовательно, от координат тела. Так как нулевой уровень может быть выбран произвольно, то и потенциальная энергия определяется неоднозначно. Однако физический смысл имеет разность потенциальных энергий тела ДЯ, а эта разность не зависит от выбора нулевого уровня. Сила тяжести является силон, с которой Земля притягивает тело. Тело обА А Ям ладает потенциальной энергией, пото- ш Я взаимодействует с Землей. Ш Я Не было бы Земли, не было бы и силы ’ Я притяжения, а следовательно, и потен- циальной энергии тела. Поэтому по-щ теициальная энергия — это энергия ^— взаимодействия, в данном случае тела Рис. 135 и Земли. Адукацыйны партал www.adu.by Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей 137 Главные выводы 1. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положениями тела. 2. Работа силы тяжести равна нулю, если тело возвращается в исходное положение. 3. Сила тяжести является потенциальной силой. 4. Потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, равна работе силы тяжести при падении тела с этой высоты. 5. Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия тел. Контрольные вопросы 1. Зависит ли работа силы тяжести от модуля вектора перемещения тела? 2. Тело движется по наклонной плоскости. Какие из сил, действующих на тело, совершают не равную нулю работу? Зависит ли работа силы тяжести от длины наклонной плоскости при заданной ее высоте? 3. Как связана потенциальная энергия тела с работой cwjibt тяжести? 4. Как изменяется потенциальная энергия тела, если оно движется по траектории, изображенной на рисунке 136? Упражнение 26 1. Тело массой 3,0 кг падает с высоты 9,8 м без начальной скорости. На сколько изменится потенциальная энергия тела через: а)0,5 с; б) 1,0 с? Сопротивление воздуха не учитывать, 2. Тело некоторой массы бросили вертикально с начальной скоростью 10 На какой высоте потенциальная энергия тела равна его кинетической энергии? Сомротиапение воздуха не учитывать. В точке бросания потенциальную энергию считать равной нулю. 3. Тело массой т бросили под углом а к горизонту с начальной скоростью Чему равна потенциальная энергия тела в наивысшей точке траектории относительно точки бросания? Какую работу при этом совершила сила тяжести? Сопротивление воздуха не учитывать. Адукацыйны партал www.adu.by 138 Законы § 29. Работа силы упругости Как известно, сила упругости — это сила, возникающая при деформации тела внешними воздействиями. Наиболее удобно изучать действие этой силы на примере пружин или резинового шнура, поскольку достаточно малые внешние силы вызывают значительное изменение их длины, которое легко можно измерить. Рассмотрим систему, состоящую из пружины и тела некоторой массы, лежащего на достаточно гладкой горизонтальной поверхности (рис, 137, а). Правый конец пружины прикреплен к стене, а левый — к телу. Направим ось Ох, как показано на рисунке 137. Если тело сместить на расстояние JCj от положения равновесия, то пружина будет действовать на него с силой упругости (рис. 137, б), направленной влево. Модуль проекции этой силы на ось Ох равен kXi, где k — жесткость пружины. Теперь отпустим тело. Тогда под действием силы упругости пружины тело будет смещаться влево. При этом движении сила упругости совершает работу. Предположим, что тело переместилось из положения А в положение В (рис, 137, в) так, что расстояние от положения равновесия стало Х2. Модуль перемещения тела равен x^-X2. Направления действия силы и перемещения тела совпадают. Для нахождения работы, совершенной пружиной по перемещению тела, необходимо учесть, что сила упругости меняется, так как ее величина зависит от удлинения пружины. Воспользуемся графиком зависимости модуля силы от удлинения пружины (рис. 138), Как нам уже известно, работа силы чис- А ШШЧ б Рис. 137 Рис. 138 Адукацыйны партал www.adu.by Работа силы упругости 139 ленно равна площади под графиком силы. В нашем случае площади трапеции. Нетрудно сообразить, что (1) Из полученной формулы следует, что работа силы упругости пружины зависит только от координат Jti и JCj начального и конечного положений. Из рисунка 137 видно, что Х\ w Х2 — это и удлинение пружины, и координаты ее конца в выбранной системе координат. Следовательно, работа силы упругости не зависит от формы траектории. А если траектория замкнута, то работа равна нулю. Итак, сила упругости является потенциальной силой. Удлинение пружины или резинового шнура часто обозначают через Д/, поэтому (2) где Д/| и Д/а — удлинения пружины в начальном н конечном положениях. Формулу {1) для работы силы упругости можно записать и в таком виде: (3) в правой части полученного равенства стоит изменение величины со знаком «минус». Поэтому, как и в случае силы тяжести, величина ■— представляет собой потенциальную энергию упруго деформированного тела: " 2 “ 2 ’ A=-{П.2-П^) = -^ГL (4) (5) Таким образом, работа силы упругости равна изменению nomenyua.'ib-ной энергии упруго деформированного тела (пружины), взятому с противоположным знаков. [I Если в конечном состоянии удлинение пружины равно нулю, то формула (5) с учетом {1) принимает вид: Л = 77 = Отсюда следует, что потенциальная энергия упруго деформированной пружины равна работе сил упругости при переходе тела (пружины) Адукацыйны партал www.adu.by 140 Законь! сохранения п в состояние, в котором его деформация равна нулю. Например, растянутая пружина закрывает дверь подъезда (рис. 139). О потенциальной энергии тела, на которое действует сила тяжести, мы говорили, что это энергия взаимодействия тела с Землей. Потенциальная энергия упруго деформированного тела — это тоже энергия взаимодействия. Однако в этом случае речь идет о взаимодействии частиц, из которых Рис, 139 состоит тело. Главные выводы 1. Работа силы упругости не зависит от формы траектории тела, а определяется положением тела в начальном и конечном состояниях. 2. Сила упругости является потенциальной силой. 3. Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе сил упругости при переходе в недеформированное состояние. Контрольные вопросы 1. Изменятся ли потенциальная энергия упруго деформированной пружинь!, если прикрепленное к ней тело вернулось в исходную точку? 2. Тело, прикрепленное к пружине, вращается по горизонтальной окружности некоторого радиуса. Изменяется ли при этом потенциальная энергия деформации пружины? Упражнение 27 1. На пружину подвесили тело массой т = 200 г, в результате этого пружина удлинилась на 5,0 см. Какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть пружину на 10 см? Еще на 10 см? 2, Стальной трос жесткостью 5,0- 10^ растянут на 2,0 мм. Вычислите потенциальную энергию упругой деформации троса. 3* Потенциальная энергия упруго сжатой между шарами пружины равна 100 Дж (рис, 140). Масса одного шара 800 г, другого — 200 г. Какой будет кинетическая энергия каждого из шаров после освобождения пружины? Силами трения и массой пружины пренебречь. ио Адукацыйны партал www.adu.by Работа силы трения 141 § 30. Работа силы трения Движение тел на Земле происходит под действием различных сил, но практически всегда присутствуют силы трения, силы сопротивления среды, в которой движется тело. Поэтому рассмотрим на частных примерах работу этих сил. Проведем агедующий опыт. Толкнем брусок, лежащий на столе. Он придет в движение, а затем остановится. В процессе движения на него действуют сила тяжести mg, сила нормальной реакции стола N и сила трения скольжения (рис. 141). Под действием этих сил брусок движется. Равнодействующая сил; F^=mg+N + F,^ = F,^, (1) поскольку сила тяжести компенсируется силой нормальной реакции стола. По теореме об изменении кинетической энергии тела работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела. Если в начальный момент времени скорость тела была равна Цц, а затем тело остановилось, то Л = Ко-К,=0~- _ mVn 2 2 ‘ С другой стороны, эта работа есть работа сил трения, т. е.; (2) Таким образом, работа силы трения скольжения отрицательна. При скольжении одного тела но поверхЕюсти другого происходит, во-первых, деформация шероховатостей обеих поверхностей и, во-вторых, трущиеся тела нагреваются, т. е. повышается их температура. В этом можно легко убедиться, если потереть деревянный брусок о доску. Из курса физики 8-го класса известно, что температура тел определяется средней КЕЕнетической энергией движения молекул, из которых они состоят. Повышение температуры трущихся тел означает увелЕ1ченне средней ЕДЕиетической энергии хаотического движения молекул этих тел, а следовательно, их внутренней энергии. Таким образом, можно сказать, что начальная кинетическая энергия бруска превратилась во внутренЕЕвою ЭЕЕергию трущихся тел. Адукацыйны партал www.adu.by 142 Законы сохранения Работу силы трения скольжения мы можем легко подсчитать и Hiianc. По закону сухого трения = = где р — коэффициент трения скольже- ния. Пусть брусок совершил перемещение Дг. Тогда работа силы трения будет равна; = cosa =-pmgAr, (3) так как а = 180“, cosa --1. Из формулы (3) следует, что работа силы трения зависит от модуля перемещения тела. Если тело вернется в исходную точку, то работа силы трения не будет равна нулю. Таким образом, сила трения не является потенциальной силой. Для нее нельзя ввести понятие потенциальной энергии. Такие силы, работа которых зависит от формы траектории движения тела, называются непотенциальными или диссипативными (лат. dissipative — рассеяние). Очевидно, что сила сопротивления среды (газа или жидкости) при движении некоторого тела, направленная в сторону, противоположную скорости тела, также совершает работу. Однако не надо думать, что работа сил трения всегда отрицательна. Ведь именно благодаря силе трения покоя человек и pa;i-личные машины движутся по земле. Действительно, при ходьбе человек действует на поверхность Земли с силой ^ (кроме силы нормальной реакции), а по третьему закону Ньютона Земля действует на ногу человека с силой трения покоя р2, равной по модулю Е|, но противоположно направленной (рис. 142). Благодаря этой силе человек и движется. Сила Eg направлена также, как и скорость человека, следовательно, и работа этой силы положительна. Если тело лежит на движущейся ленте транспортера, то именно благодаря силе трения оно приобретает скорость (рис. 143). Точно так же под действием силы трения покоя движутся и автомобили. На ве,ауп;ие колеса автомобиля от мотора передается вращательный момент. Рис. 144 Адукацыйны партал www.adu.by Закон сохранения механической энергии 143 Колеса пытаются провернуться, следовательно, в горизонтальном направлении они действуют на поверхность земли с силой F (рис. 144). По третьему закону Ньютона земля действует на колеса, а следовательно, и на машину с силой трения покоя Если колесо проскальзывает, то с силой трения скольжения, направленной для ведущих колес в сторону движения автомобиля. Главные выводы ЕСилы трения не являются потенциальными силами. 2. Работа сил трения зависит от формы траектории движения тела. Работа сил трения по замкнутой траектории не равна нулю. 3. Работа сил трения обычно отрицательна. Она идет на увеличение внутренней энергии взаимодействующих тел. Контрольные вопросы 1. Почему трущиеся тела нагреваются? 2. Как вы думаете, шины автомобиля больше нагреваются при качении по шоссе или при проскальзывании? 3. Приведите примеры, в которых сила трения совершает положительную работу. § 31. Закон сохранения механической энергии в предыдущих параграфах мы познакомились с двумя видами механической энергии тел: кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия — это энергия тела, движущегося с некоторой скоростью относительно выбранной системы отсчета. Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия. Естественно, при движении некоторого тела могут изменяться и кинетическая, и потенциальная энергии. Рассмотрим этот вопрос более подробно на примере тела массой т, брошенного под углом к горизонту. На такое тело действуют две силы — сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха ^ (рис. 145). Равнодействующая этих сил: Ff-tng + F^. Предположим, что в положении / тело имеет скорость 5| и находится иа высоте Л,, а в точке 2 имеет скорость щ и находится на высоте относительно некоторого уровня, принятого за нулевой. При движении тела из начального положения / в конечное положение 2, как Рис. 145 Адукацыйны партал www.adu.by 144 Законы сохранения уже было раньше показано, работа равнодействующей (результируюохей) силы равна сумме работ всех сил, действующих на тело. В нашем случае + О) в § 26 было показано, что работа результирующей силы равна изменению кинетической энергии тела: д _ 2 2 “"'2 'М- (2) В тоже время, как мы знаем, работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии тела: A„g = -(mgh2- mg/z,) = -(//2-/7|). (3) Поэтому выражение (1) с учетом (2) и (3) можно переписать в следующем виде: 2 2 mvf , , , , . -f- —^ - mg/г, ) + А„ или J - + mgh, j . Н) В полученном выражении в скобках стоит сумма кинетической и потенциальной энергии тела в конечном и начальном положениях тела. Эта величина называется полкой механической энергией тела или просто механической энергией W: , W = ^^ + mgh= К + П. Используя понятие полной механической энергии, выражению (4) можно придать вид; ____ ____ ^ ' (5) W,-W,=A... Сила трения не является потенциальной, поэтому из (5) следует, что изменение механической энергии тела равно работе непотенциальных сил. Если |СИл трения нет, то мы приходим к закону сохранения механической ^энергии: W, = W„ или ^+mgh,=^ + mgh„ <6) т. е. для тел, движущихся под действием силы тяжести в отсутствие сил сопротивления, полная механическая энергия сохраняется. Адукацыйны партал www.adu.by Закон сохранения механической энергии 145 При движении тела вверх его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая энергия уменьшается. И наоборот, при движении вниз его потенциальная энергия уменьшается, зато увеличивается кинетическая. Например, такое превращение энергии происходит при раскачивании на качелях (рис. 146). Причем изменение одной в точности равно изменению другой, если пренебречь сопротивлением воздуха и трением в подвесе качелей. Это следует из формулы (6), которуво можно переписать в виде: Рис. 146 mvo ■=mgh2-mghi. 2 2 Если на тело, кроме силы тяжести, действует еще и сила упругости пружины, то можно ввести полную механическую энергиво системы в виде; W = m^ + mgh + k^, (7) и она будет сохраняться при движении тела, если работа всех других сил, действующих иа него, равна нулю. Закон сохранения полной механической энергии является частным случаем общего закона сохранения и превращения энергии. Если работа сил трения не равна нулю, то механическая энергия системы изменяется. Мы показали раньше, что работа этих сил идет на изменение внутренней энергии тел: тела нагреваются. Если все тщательно подсчитать, то сумма кинетической, потенциальной и внутренней энергии всех взаимодействующих тел остается неизменной. При движении тел происходит взаимное превращение одного вида энергии в другой. Но полная энергия остается постоянной. Закон сохранения и превращения энергии является одним из важнейших законов не только физики, но и всех других наук о природе. На его основе строятся новые научные теории. Любой теоретический вывод следует проверить «испытанием» на совместимость с этим законом. Если вывод не согласуется с законом сохранения и превращения энергии, то он неверен. Б. Зак 12 Адукацыйны партал www.adu.by 146 Законы сохранения Главные выводы 1. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии тела. 2. Если на тело действуют сила тяжести и сила упругости, которые являются потенциальными силами, то изменение полной механической энергии, определенной равенством (7), равно работе непотенциальных сил, действующих на тело. 3. Если диссипативные силы не действуют или работой этих сил можно пренебречь, то выполняется закон сохранения энергии в виде Wi = т. е. полная механическая энергия системы есть величина постоянная. 4. Закон сохранения полной механической энергии является частным случаем общего закона сохранения и превращения энергии. Контрольные вопросы Т.Что такое механическая энергия тела? 2. При каких условиях механическая энергия тел сохраняется? 3. При действии каких сил на тело его механическая энергия не сохраняется? Упражнение 28 1. Тело массой 100 г бросают с начальной скоростью 10 ^ под углом к горизонту, Определите его скорость в каивысшен точке траектории, находящейся на высоте 4 м относительно точки бросания. Под каким углом бросили тело? Сопротивление воздуха не учитывать, 2. Парашютист массой 70 кг прыгнул с самолета, летящего на высоте 3000 м со скоростью 120 -1^. Через некоторое время после раскрытия парашюта он стал двигаться с постоянной скоростью 7,0 Найдите работу сил сопротивления за все время движения парашютиста, 3. Тело бросили вертикально вверх со скоростью Ю На какой высоте от первоначального уровня скорость тела станет равной половине первоначальной? Сопротивление воздуха не учитывать. 4. На пружине подвесили тело. Пружина при этом удлинилась на 5,0 см. Пружину растянули еще на 6,0 см и отпустили. Чему равна скорость тела 8 момент прохождения положения равновесия? В момент, когда удлинение пружины равно нулю? 5. Спортсмен массой 70 кг прыгает с высоты 5,0 м на упругую сетку батута. Чему равна максимальная энергия упругой деформации сетки, если ее Адукацыйны партал www.adu.by Мощность 147 максимальный прогиб оказался при этом равным 1 м? 6*. На столе друг над другом лежат два бруска одинаковой массы т. Между ними находится сжатая при помощи нити пружина, жесткость которой k (рис. 147). При каком минимальном сжатии пружины е{ижний брусок оторвется от стола после пережигания нити? Ряс. 147 § 32. Мощность Одна и та же работа в разных случаях может быть выполнена за различные промежутки времени, т. е. она может совершаться неодинаково быстро. Например, при подъеме груза на определенную высоту подъемным краном (рис. 148) будет затрачено гораздо меньше времени, чем при использовании лебедки. Для характеристики процесса выполнения работы важно знать не только ее численное значение, ио и время, за которое она выполняется. Очевидно, что чем меньшее время требуется для выполнения данной работы, тем эффективнее работает машина, механизм и др. Величина, характеризующая быстроту совершения работы, называется мощностью. Ее обычно обозначают буквой Р. Если в течение промежутка времени Д/ была совершена работа А, то средняя мощность равна отношению работы к этому промежутку времени: . А. Л <1) Из определения видно, что мощность численно равна работе, совершаемой в единицу времени. Таким образом, единицей мощности является джоуль в секунду Эта единица по- лучила название ватт (Вт); 1 Вт= 1 Это название дано в честь английского ученого Джеймса Уатта — изобретателя универсального парового двигателя. Уаттом была впервые введена единица мощности, которая и до сих пор используется для характеристики мощности различных двигателей — 1 лошадиная сила (1 л. с. = 736 Вт). Рис. 148 Адукацыйны партал www.adu.by 148 Законы сохранения Понятно, что во времена Уатта на заре технической революции мощность построенной паровой машины было естественно сравнить с мощностью лошади — единственным в то время «двигателем». Может ли человек развивать мощность, равную I л. с.? Ответ на этот вопрос положительный. Рассмотрим разбег спортсмена на короткие дистанции. Хорошие спортсмены дистанцию в ЮО м пробегают за 10 с, т. е. их средняя скорость 10 Разбег длится 3 с, а работа А, которую совершают мышцы с 2 спортсмена, не может быть меньше, чем кинетическая энергия приобре- тенная им за время разбега. Следовательно, средняя мощность не меньше, чем (Р) = -4_ = ' Д( 2Д/■ Если предположить, что масса спортсмена т = 80 кг, то 80 КГ'100-54^ (р) =---33-10^ Вт = 1,8л.с. Разумеется, развивать такую мощность длительное время не сможет даже очень тренированный человек. Если известна мощность, то работа выражается равенством; А = РМ. {2) Это позволяет ввести еще одну единицу работы (а значит, и энергии) следующим путем. За единицу работы можно принять работу, которая совершается некоторой силой в течение 1с при мощности в 1 Вт. Она называется ватт-секундой. Понятно, что 1 Вт - с= 1 Дж. Часто используются более крупные внесистемные единицы работы и энергии: киловатт-час (кВт-ч) и мегаватт-час (МВт- ч): 1 кВт-4=1000 Вт-3600 с = 3,6- 10*^ Дж; 1 МВт-ч= ЮООкВт-3600с=3,6- 10* Дж. При движении любого тела на него в общем случае действует несколько сил. Каж;щя сила совершает работу, н, следовательно, для каждой силы мы можем вычислить мощность. Наиболее общее выражение для работы постоянной силы, направленной под углом а к направлению движения, Л = ЕДгсоза. Поэтому средняя мощность этой силы: - = F^o)cosa, (3) /р\_ Л — P^rcosa \1 М &г так как — — модуль средней скорости тела. Адукацыйны партал www.adu.by Мощность 149 Ясно, что если мо;(уль силы в некоторой момент времени равен F и модуль мгновенной скорости у, а угол между ними а, то мгновенное значение мощности этой силы: P=Focosa. <4) Как следует из формулы (4), при заданной мощности мотора сила тяги тем меньше, чем больше скорость движения автомобиля. Вот почему водители при подъеме в гору, когда нужна наибольшая сила тяги, переключают двигатель на пониженную передачу. Для движения по горизонтальному участку с постоянной скоростью достаточно, чтобы сила тяги преодолевала силу сопротивления движению. Формула (4) позволяет объяснить, что быстроходные поезда, автомобили, корабли, самолеты нуждаются в двигателях большой мощности и конструкции, обеспечивающей как можно меньшую силу сопротивления. Любой двигатель или механическое устройство предназначены для выполнения определенной механической работы. Эта работа называется полезной работой. Для двигателя автомобиля — это работа по его перемещению, для токарного станка — работа по вытачиванию детали и т. п. В любой машине, в любом двигателе полезная работа всегда меньше той энергии, которая затрачивается для приведения их в действие, потому что всегда существуют силы трения, работа которых приводит к нагреванию каких-либо частей устройства. А нагревание нельзя считать полезным результатом действия машины. Поэтому каждое устройство характеризуется особой величиной, которая показывает, насколько эффективно используется подводимая к нему энергия. Эта величина называется коэффициентом полезного действия (КПД) и эбычно обозначается греческой буквой (эта). Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной таботы, совершенной машиной за некоторый промежуток времени, ко всей (атраченной работе (подведенной энергии) за тот же промежуток времени: т> — ^ Ап ' Лз W (5) Коэффициент полезного действия обычно выражается в процентах. Ъскольку и полезную, и затраченную работы можно представить как про-[зведение мощности на промежуток времени, в течение которого работала Адукацыйны партал www.adu.by 150 Законы сохранения машина, то коэффициент полезного действия можно определить следующим образом; где Р„\{ Р, ~~ полезная мощность и затраченная мощность соответственно. Главные выводы 1. Мощность численно равна работе, которую совершает сила в единицу времени. 2. Мощность силы равна произведению силы на скорость тела и косинус угла между направлением силы и скорости в данный момент времени. 3. Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы, совершенной машиной за некоторый промежуток времени, ко всей затраченной работе (подведенной энергии) за тот же промежуток времени. Контрольные вопросы 1. Что такое мощность? В каких единицах она измеряется? 2. Какая физическая величина выражается в киловатт-часах? 3. Когда автомобиль набирает скорость при постоянной мощности двигателя, остается ли сила тяги неизменной? Упражнение 29 1. Автомобиль движется по горизонтальному участку дороги со скоростью 72 Мощность двигателя равна 80 л. с. Чему равна сила сопротивления движению, действующая на автомобиль? 2. Подъемный кран равномерно поднимает груз массой 300 кг на высоту 5 м в течение промежутка времени, равного 1 мин. Чему равна мощность силы натяжения троса? Мощность силы тяжести? 3. Чему равна мощность, развиваемая силой тяжести тела, которое движется в некоторый момент времени со скоростью 15 ^ под углом 30° к горизонту? Масса тела 5,0 кг. 4. КПД двигателя автомобиля равен 40 %. Определите мощность двигателя, если за 10 с автомобиль разгоняется до скорости 100 Масса автомобиля 1,5 т. Силы сопротивления не учитывать. Адукацыйны партал www.adu.by в чем хитрость игрушки ваньки-встаньки? Почему кораблям, движущимся в море параллельными курсами, необходимо идти на определенном расстоянии друг от друга? Почему человек в Мертвом море не тонет? й . www.adu.by 152 Статика ГЛАВА V. СТАТИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ § 33. Условия равновесия тел Основным признаком взаимодействия тел в динамике является возникновение ускорений. Однако часто бывает нужно знать, при каких условиях тело, на которое действует несколько сил, не движется с ускорением, а покоится или движется равномерно и прямолинейно. В последнем случае мы всегда можем выбрать другую инерциальную систему отсчета, в которой тело покоится, поэтому в дальнейшем будем изучать условия равновесия покоящихся тел. Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой. Все опытные факты, которые мы рассмотрели в предыдущих параграфах, убеждают нас в том, что тело покоится, если равнодействующая всех сил, действующих на него, равна нулю. Итак, первое условие равновесия тела: векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Если на тело действует п сил ..., то F, + F, + ... + F„^Q. (1) F,,^+F2y +... + F,^y =0; F,,+F,,+... + F„, =0. Из этого условия следует, что и сумма проекций всех сил на любое направление тоже должна быть равна нулю. В частности, сумма проекций сил на оси выбранной декартовой системы координат равна нулю; ■ iy^F2y ■ Фактически эти три равенства эквивалентны одному векторному равенству {1). Но с их помощью достаточно просто решать задачи, поскольку проекции сил — скалярные величины. В повседневной жизни и технике часто встречаются тела, которые не могут двигаться поступательно, но могут вращаться вокруг оси. Примерами таких тел могут служить двери и окна, качели, колеса машин и детали механизмов и т. д. На рисунке 149, а изображен однородный диск, который может вращаться вокруг закрепленной оси, проходящей через его центр — точку О. Если подвесить к нему тело в точке Л, то диск будет находиться в равновесии. Адукацыйны партал www.adu.by Условия равновесия тел 153 Естественно, что действующая сила F будет уравновешиваться силой упругости со стороны оси вращения. Если подвесить тело в точке В, то равновесие тоже не нарушится. Отсюда можно сделать вывод, что точку приложения силы натяжения можно переносить вдоль линии действия силы. При этом силы F и лежат на одной прямой. Если же прямая, на которой лежит вектор силы F, не проходит через ось вращения, то эта сила не может быть уравновешена силой упругости оси, и тело поворачивается вокруг нее (рис. 149, б). На рисунке 149, в изображен тот же диск, на который действуют две силы Ej и Численные значения этих сил определяются динамометрами. Сила ^ вращает диск против часовой стрелки, а сила — по часовой стрелке. Диск не будет вращаться, если выполняется условие: (2) F,l,=F,l„ где /i и /а — кратчайшие расстояния от оси вращения до прямых, на которых лежат векторы сил ^ и Fj- Итак, мы получили известное вам из курса физики 8-го класса условие равновесия рычага. Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы называется плечом силы, а произведение модуля силы F на плечо / называется моментом силы М: ________^ ' ' (3) M^Fl. Из определения момента силы следует, что единицей его измерения в СИ является I ньютон-метр (1 И* м). Адукацыйны партал www.adu.by 154 Статика Следовательно, равенство (2) означает равенство моментов сил F; и F^. Но момент силы F] вращает диск против часовой стрелки, а момент силы F-2 — по часовой стрелке. Поэтому им нужно приписать различные знаки. Обычно положительным считавот момент силы, вызывающий вращение по часовой стрелке, а отрицательным — момент силы, вызывающий вращение против часовой стрелки. Если же на тело, закрепленное на оси, действуют п сил, то оно будет в равновесии, если алгебраическая сумма моментов сил будет равна нулю; Рис, 150 Л1,ч-Л12 + ...-нМ„ = 0. (4) Итак, вторым условием равновесия тела является правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно этой оси равна нулю. Таким образом, тело будет находиться в равновесии, если выполняются два условия: (I) н (4). Например, доска, изображенная на рисунке 150, находится в равновесии. Главные выводы 1. Чтобы тело находилось в равновесии, векторная сумма всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю. 2. При равновесии тела сумма проекций всех сил, действующих на тело, на любое направление должна быть равна нулю. 3. Точку приложения силы можно переносить вдоль линии действия силы. 4. Вторым условием равновесия тела является равенство нулю алгебраической суммы моментов приложенных к телу сил. Контрольные вопросы 1. Что называется моментом силы относительно оси вращения? 2. Почему необходимо приписывать знак моментам сил, действующим на тело? 3. Где и как нужно действовать на тяжелую дверь, чтобы с минимальным усилием открыть ее? Адукацыйны партал www.adu.by г Цй{ф тяжести тела. Центр масс тепа 155 § 34. Центр тяжести тела. Центр масс тела Когда мы рассматривали опыты с подвешенными телами, находящимися в равновесии, точка приложения сил натяжения была нам известна. А где приложена сила тяжести? В какой точке? Из этих опытов следует только то, что точка приложения силы тяжести при равновесии лежит на линии действия силы натяжения подвеса. Но это позволяет решить задачу о нахождении точки приложения силы тяжести экспериментальным путем. Если подвешивать плоское тело в разных точках (рис. 151), то линии действия сил натяжения пересекутся в одной точке С. Эта точка и будет точкой приложения силы тяжести. Она называется центром тяжести. Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоского тела, но и любого другого. Очевидно, что положение центра тяжести тел правильной формы можно указать, не выполняя описанный опыт. Так, например, центр тяжести однородного шара находится в его геометрическом центре, поскольку любой диаметр является осью симметрии шара. Центр тяжести круглого диска также находится в его геометрическом центре, как и центр тяжести обруча или кольца, и т. д. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может находиться вне тела. Положение центра тяжести тела можно и вычислить. Предварительно рассмотрим сле-'|Дующий опыт. Пусть тело состоит из двух шаров массами Ш| и т<2, насаженных на стержень (рис. 152, а). Если масса стержня значительно меньше масс шаров, то ею можно пренебречь. На каждьш из шаров действуют силы тяжести, приложенные в их центре тяжести. Для того Адукацыйны партал www.adu.by 156 Статика чтобы система находилась в равновесии, призму надо расположить так, чтобы ЛИНИН действия силы реакции призмы проходила через центр тяжести этой системы — точку С. В этом случае суммарный момент сил относительно точки С равен нулю, т. е. выполняется условие: = (1) или _ ^2 ГП2 !\ ' Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Соотношение (1) можно получить и иначе. Поскольку момент сил тяжести равен нулЕО, то он должен быть равен нулю и относительно любой горизонтальной оси, проходящей, например, через точку О. Иначе тело вращалось бы вокруг этой оси. Обозначим расстояние между точками С и О через о. Тогда алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно точки О примет вид: -mig{l^-a)-Fa + m2g{ci3-k) = Q. Поскольку F={m\ л m2)g, то после несложных преобразований получим соотношение (1). Такой подход позволяет находить положение центра тяжести аналитически. Направим ось Ох вдоль стержня (рис. 152, б). Выберем начало отсчета в произвольной точке О, тогда координаты точек приложения сил соответственно будут Х|, Хс и JCj. Запишем условие моментов относительно точки О: Отсюда Хг = -triigx^ - Fxc+ Ol2gX2 = 0- _ (mjJti +nt2X2)g _ Ш|Х) +^2X2 Ш1 + tTlo (2) При выводе этой формулы было использовано значение силы F = {mi ч- m2) g. Таким образом, центр тяжести этой системы тел отстоит от точки О на расстоянии Хс- определенном формулой (2). Напомним, что выражение (2) является следствием правила моментов при равновесии тела, но в правой части отсутствует ускорение свободного падения, В него входят только координаты центра тяжести тел и их массы, поэтому точка, координата которой определяется формулой (2), называет- Адукацыйны партал www.adu.by Цш^ тяжести тела. Центр масс тела 157 ся центром масс тела. Следует отметить, что центр масс и центр тяжести совпадают, если тело находится в однородном гравитационном поле. Понятие центра масс является более об-UWM, чем понятие центра тяжести. Центр масс является характеристикой тела или системы тел. важной не только для задач, где речь идет о силе тяжести, но и для решения других физических проблем. Рис. 153 (3) Если произвольное тело можно разбить на п элементов, массы которых m^, т-1,.... т„, и если известны координаты центров масс этих элементов х-^. Ху, ..., л'п относительно выбранной системы координат, то координата центра масс тела вычисляется по формуле: д. _ Х[ГЧ| + х^т-2 + ..,+х„т„ ^ т\ + т2 + ...+т„ ' Естественно, что такие же соотношения можно записать и для и Zq. Для примера вычислим положение центра масс столярного угольника. Он состоит из деревянного бруска I и деревянной линейки 2, Соединенных под прямым углом (рис. 153). Положим, что масса бруска / в два раза больше массы линейки (/Н| = 2ша). Так как линейка и брусок — однородные параллелепипеды, то центры масс находятся в их геометрических центрах. Очевидно, что центр масс угольника находится где-то на линии, соединяющей центры масс бруска (Cj) и линейки (Ci). Выберем наиболее оптирлальным образом систему координат, как показано на рисунке. Тогда координаты центра масс бруска: х, = О, ух = а-с ft+c координаты центра масс линеики; Хг= ^ По формуле (3): , 1/2 = 0. Хг = /П| -0 + mi + m-2 Ь+с 2 _Ь+с. 6 ’ т. а-с Ус=- + т„-0 т,+т„ а-с 3 • Таким образом, центр масс угольника находится вне тела. Адукацыйны партал www.adu.by 158 Статика Главные выводы 1. Центр тяжести — точка, в которой приложена сила тяжести. 2. Центр масс симметричных однородных тел находится в их геометрическом центре. 3. Координаты центра масс тела можно вычислить по формуле (3). Контрольные вопросы 1. Какими методами можно определить положение центра масс тела? 2, Может ли центр масс находиться вне тела? § 35. Виды равновесия тела в механике часто возникает необходимость ответить на вопрос: в каких случаях тело может сколь угодно долго оставаться в покое, если оно находилось в покое в начальный момент? Естественно, что должны выполняться условия равновесия, рассмотренные в § 33. Но практически не во всяком положении равновесия тело, находящееся в начальный момент в покое, будет оставаться в покое и в последующие моменты времени. Дело в том, что в реальных условиях, помимо учитываемых нами сил {сила тяжести, сила реакции подвеса, опоры, силы трения и т. д. |, тело испытывает и неучитываемые случайные воздействия: небольшие сотрясения, колебания воздуха н т. п. Под действием таких сил тело хотя бы немного будет отклоняться от положения равновесия, а в этом случае дальнейшее поведение тела может быть различным. При отклонении тела от положения равновесия действующие на него силы, как правило, изменяются. Возникает отличная от нуля равнодействующая сила, которая вызывает движение тела. Если равнодействующая возвращает тело в положение равновесия, то тело все время, несмотря на толчки, будет находиться вблизи положения равновесия. Такое положение равновесия называется устойчивым. В устойчивом равновесии находится, например, шарик на вогнутой подставке (рис. 154, а). При отклонении шарика от положения равновесия равнодействующая F направлена к положению равновесия. Очевидно, что в отклоненном положении потенциальная энергия шарика увеличивается. Следовательно, можно утверждать, что устойчивое положение тела — это такое положение. при котором потенциальная энергия тела минимальна. Если равнодействующая сила не возвращает тело в первоначальное положение равновесия, а вызывает дальнейшее отклонение от него, то такое по- Адукацыйны партал www.adu.by Виды равновесия тела 159 Рис. 154 ложение равновесия называется неустойчивым. В таком положении, например, находится шарик на выпуклой подставке (рис. 154, б). При отклонении равнодействующая сила F направлена от положения равновесия. При этом потенциальная энергия шарика уменьшается. Таким образом, неустойчивое положение тела характеризуется тем, что при отклонении от положения равновесия равнодействуюи^ая сил, приложенных к телу, направлена от положения равновесия, а потенциальная энергия тела уменьшается. Если при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая всех сил, приложенных к телу, остается равной нулю, то такое положение равновесия называется безразличным. В таком положении, например, находится шарик на горизонтальной плоскости (рис. 154, в). Другим примером устойчивого и неустойчивого равновесия может быть равновесие тела, имеющего ось вращения. На рисунке 155, а изображена линейка, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. Она находится в устойчивом равновесии, если ее центр тяжести — точка С — на- Рис. 155 Адукацыйны партал www.adu.by leo Статика Ё ходится ниже точки О. При отклонении от положения равновесия (рис. 155, б) возникает момент силы тяжести, который возвращает линейку в положение равновесия. Очевидно, что в отклоненном положении потенциальная анергия линейки больше, чем в положении равновесия. Таким образом, тело, имеющее ось вращения, будет находиться в устойчивом IbwK равновесии, если центр тяжести тела находит- ся ниже оси вращения. Если же центр тяжести находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения, расположен выше оси вращения, то равновесие неустойчивое (рис. 155, в, г). В этом случае при отклонении момент силы тяжести отклоняет тело еще дальше от первоначального положения равновесия. При этом потенциальная энергия тела уменьшается. Если же ось вращения проходят через его центр тяжести, то при любом положении момент силы тяжести равен нулю, поскольку равно нулю плечо этой силы. Рассмотрим теперь условия устойчивости тела, опирающегося не на одну точку, как в рассмотренных случаях, а на несколько точек (например, стол или блок, прислоненный к опоре, показанный на рисунке 156) или площадку (например, ящик, поставлен}!ый на горизонтальную плоскость). В этих случаях для равновесия тела необходимо, чтобы вертикаль, проведенная через центр тяжести, проходила внутри площади опоры тела, т. е. внутри контура, образованного лиинями. соединяющими точки опоры, или внутри площадки, иа которую опирается тело. При этом равновесие является устойчивым. Например, стол, стояпщй на горизонтальном полу, находится в устойчивом равновесии (рис. 157, а). Если наклонять стол, то его центр тяжести будет подниматься (рис. 157, б). Однако момент силы тяжести относительно оси вращения будет стремиться вернуть его в первоначальное положение до тех лор, пока линия действия силы тяжести проходит через площадь опоры стола. 0^ Если, однако, наклонить стол так, что линия действия силы тяжести выйдет за пределы площади опоры стола, то он опрокинется вследствие действия момента силы тяжести. Очевидно, что имеется предельный угол наклона, после которого первоначальное равновесие уже не восстанавливается, н тело опрокидывается (рис. 157,й). Адукацыйны партал www.adu.by Виды равновесия тепа 161 Рис. 157 Предельный угол тем меньше, чем выше расположен центр тяжести тела при данной площади опоры. Высоко нагруженный грузовик легче опрокинется, чем в случае, когда центр тяжести груза лежит низко. Главные выводы 1. Равновесие тела бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. 2. Устойчивым равновесием тела является такое равновесие, при выведении тела из которого возникает равнодействующая сила, направленная в сторону первоначального положения тела, или момент сил, возвращающий тело в положение равновесия. В устойчивом положении потенциальная энергия тела минимальна. 3. Неустойчивым равновесием тела называется такое равновесие, при выведении тела из которого возникает равнодействующая сила, направленная от положения равновесия, или момент сил, отклоняющий тело от положения равновесия. Потенциальная энергия тела в положении неустойчивого равновесия больше, чем потенциальная энергия тела в отклоненном положении. 4. Безразличным положением равновесия является такое положение, при выведении тела из которого равнодействующая сила или момент сил остаются равными нулю. Потенциальная энергия тела при этом не меняется. Контрольные вопросы 1. Объясните, почему детская игрушка ванька-встанька при отклонении возвращается в j исходное состояние. 2. Почему человек, несущий труэ на спине, наклоняется вперед? 3. Почему более удобно нести груз в обеих руках, чем груз такой же массы в одной руке? Адукацыйны партал www.adu.by 162 Статика Упражнение 30 L Докажите, что центр масс плоского треугольного тела лежит на пересечении медиан. 2. Наклейте географическую карту Беларуси на картон и вырежьте карту по контуру. Определите экспериментально, где находится центр масс Беларуси. 3*. Вычислите положение центра масс системы, состоящей из пяти шаров массами т, 2т, Зт, 4т. 5т. Шары расположены на невесомом стержне. Расстояние между их центрами 5,0 см. 4*. Определите положение центра масс тонкого однородного диска радиуса /?, в котором вырезан круг диаметра /?. Центр круга находится на расстоянии от центра диска. 5*. Определите все силы, действующие на лестницу, прислоненную к вертикальной стене, если она образует угол, равный 75°, с полом. Масса лестницы I2 кг. При какой величине угла лестница начнет скользить, если коэффициенты трения о пол и о стенку одинаковы и равны 0,30? Глава VI. СТАТИКА И ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ Механическое движение жидкостей н газов, как и твердых тел, подчиняется законам механики Ньютона. При этом также, как и в механике твердого тела, не изучают молекулярное строение жидкостей и газов, а рассматривают их как среду, в которой вещество распределено непрерывно. Раздел механики, изучающий равновесие жидкостей и газов, называется гидростатикой. Движение жидкостей изучается в гидродинамике, а газов — в аэродинами* ке. Следует заметить, что основные законы, которым подчиняются движение и равновесие жидкостей и газов, одинаковы. Поэтому под термином «жидкость» понимают и жидкость, и газ. § 36. Давление в жидкостях и газах Давайте вспомним и уточним некоторые понятия и законы статики жидкостей, известные из физики 7-го класса. В отличие от твердых тел жидкости и газы не имеют определенной формы. Газы равномерно заполняют весь объем. Вследствие текучести жидкость Адукацыйны партал www.adu.by Давление s жидкостях и газах 163 Рис. 158 принимает форму сосуда, в котором находится, занимая обычно часть объема сосуда. Объем жидкости сохраняется. Между жидкостью и остальной частью объема сосуда, наполненного парами жидкости и воздухом, образуется свободная поверхность. Когда сосуд неподвижен, свободная поверхность строго горизонтальна, т. е. вектор ускорения свободного падения g перпендикулярен поверхности. Только у стенок сосуда поверхность жидкости несколько искривляется. Это явление будет объяснено впоследствии при изучении молекулярной физики. Налитая в сосуд жидкость вызывает деформацию стенок. Эту деформацию трудно заметить, если стенки твердые. Но если в сосуде сделать отверстие и заклеить его эластичной пленкой, то деформация стенки будет заметна (рис. 158). Таким образом, жидкость действует на стенки сосуда, а возникающие упругие силы в стенках действуют на жидкость по третьему закону Ньютона. Эти силы перпендикулярны поверхности стенки в каждой ее точке. На свободную поверхность жидкости тоже действуют перпендикулярные силы ;о стороны воздуха (рис. 159). Таким образом, жидкость находится в сжатом состоянии. Это утверждение справедливо и для газов. Воздух атмосферы Земли сжимает сила тяготения. Внутри жидкости возникают силы упругости, называемые силами давле-шя. Для характеристики этих упругих напряжений вводят понятие давления. Рассмотрим цидиндрический сосуд с жидкостью, закрытый поршнем рис. 160). На поршень действует сверху сила Д и со стороны жидкости сни-у сила F'. Поскольку поршень неподвижен, а силой тяжести поршня пока Адукацыйны партал www.adu.by 164 Статика можно пренебречь, то поршень действует на жидкость с силой F. Причем эта сила равномерно распределена по поверхности жидкости. Отношение модуля силы F к площади поверхности называется давлением: (1) В системе СИ давление измеряется в паскалях Па = 1 -Ц-j. Мысленно проведем в жидкости горизонтальную плоскость, разделяющую ее на две части (см. рис. 160). Часть / находится в равновесии, следовательно, со стороны части 2 действует сила f,, равномерно распределенная по площади. Значит, напряженное состояние жи,ткости в этой плоскости можно охарактеризовать давлением: Поскольку плоскость мы провели произвольно, то, следовательно, напря-жe^н^oe состояние жидкости в каждой точке характери.зуется давлением. Выделим мысленно вертикальный столб жидкости высотой 1г, основанием которого является площадка площади S (рис. 161). Объем вьщелемного столба жидкости равен Sh и его масса m = pSh. На верхнее основание столба действует сила атмосферного давления Ро = Ро5, на нижнее основание — сила давления Р| = р|5. Так как жидкость неподвижна, то сумма сил давления и силы тяжести столба жидкости должна быть равна нулю. В проекции на вертикальное направление можно записать: или PtS-poS~pShg=0, Pi=A)+pg'^- (2) Итак, давление внутри жидкости на любой глубине И слагается из атмосферного давления (или внешнего давления) на жидкость и давления pgh, обусловленного действием силы тяжести, которое называется гидростатическим давлением. В метрологии широко используется внесистемная единица давления 1 мм. рт. ст. Это давление, которое оказывает столбик ртути высотой 1 мм. 1 мм рт. ст. = 13,6' Ю'* 4- ■ 9,8 • 1 ■ 10'^ м = 133 Па. М-’ с' Из-за того что по мере погружения в жидкость давление возрастает, для постройки подводных лодок и батискафов используют особо прочные матери- Адукацыйны партал www.adu.by Давление в жидкостях и газах 165 алы. Увеличение давления с глубиной ощущают работающие под водой водолазы, спортсмены, увлекающиеся подводным плаванием. Следует отметить, что формула (2) получена в предположении, что плотность жидкости не изменяется с глубиной, т, е, жидкость несжимаема. Формулой (2) можно пользоваться и для расчета давления воздуха на некоторой высоте. Хотя газы значительно легче сжимаются, чем жидкости, для небольших высот сжимаемостью воздуха можно пренебречь. Например, значения давления атмосферного воздуха, рассчитанные по формуле (2) и по более точной формуле для высоты 1000 м над поверхностью Земли, отличаются на 6 %, На рисунке 162 изображены соелчненные между собой сосуды, называемые сообщающимися сосудами. Чаишк, лежа {ркс. 163)— примеры сообщающихся сосудов. Поверхность однородной жидкости в сообщающихся сосудах устанавливается на одном горизонтальном уровне. Это легко объяснить, пользуясь формулой (2). В покоящейся однородной жидкости давление на любом уровне в обоих сообщающихся сосудах одинаково. Адукацыйны партал www.adu.by 166 Статика Если же в сообщающихся сосудах находят* ся разнородные жидкости, то при равновесии уровни этих жидкостей не будут одинаковыми (рис. 164). Давление на уровне АА' при равновесии одинаково: Po + P,ghi=pu + p2gfi2, где ро — внешнее давление, Pi и рз — плотности жидкостей в сообщающихся сосудах. Из полученного соотношения следует ^2 Pi ' в сообщающихся сосудах высоты столбов жидкости над уровнем раздела жидкостей относятся обратно пропорционально плотностям этих жидкостей. Главные выводы 1. Жидкость и газ находятся в сжатом состоянии. 2. Степень сжатия жидкости н газа характеризуется давлением. 3. Гидростатическое давление несжимаемой жидкости на глубине h от свободной поверхности равно p = pgh. 4. В сообщающихся сосудах уровень свободной поверхности одинаков для однородной жидкости и разный для разнородных жидкостей. Контрольные вопросы 1. Как расположена свободная поверхность покоящейся жидкости? 2. Что такое давление? 3. Как определяется гидростатическое давление? 4. Зависит ли от формы сообщающихся сосудов положение уровня свободной поверхности жидкости? 1. 2. Упражнение 31 Оцените гидростатическое давление в магистральной трубе водопровода, если на верхнем этаже 9-этажного дома есть вода. Высоту этажа считать равной 3,5 м, плотность воды 1 ■ 10^ В сосуд с площадью основания 5 налиты две несмещивающиеся жидкости, плотности которых р1 и рг (Pi <р2)* Высоты жрадкостей соответственно Л| и Найдите силу гидростатического давления, действующую на дно сосуда. Адукацыйны партал www.adu.by Закон Паскаля 167 3*.В цилиндрическом сосуде радиуса R находится жидкость плотности р. Высота налитой жидкости h. Чему равна сила гидростатического давления, действующая на половину боковой поверхности стенок сосуда? На всю боковую поверхность? 4* В расширяющемся кверху сосуде находится вода массой т. Раддус нижнего основания /?,, радиус свободной поверхности жидкости — R^. Найдите силу гидростатического давления, действующую на дно сосуда. § 37. Закон Паскаля В предыдущем параграфе установлено, что силы давления, действующие на стенку сосуда, перпендикулярны ей. Тоже относится и к любой площадке, мысленно выделенной внутри жидкости. Зависит ли давление от ориентации площадки? Для ответа на этот вопрос выделим мысленно внутри жидкости небольшой объем в виде треугольной призмы (рис. 165, а), одна из граней которой расположена горизонтально. Площади оснований призмы будем считать малыми по сравнению с площадями боковых граней. Малым будет и объем призмы, и, следовательно, силой тяжести, действующей на призму, можно пренебречь по сравнению с силами давления, действующими на грани призмы. На рисунке 165, б изображено поперечное сечение призмы. На боковые грани призмы действуют силы давления и F^. Силы давления на основания призмы взаимно уравновешиваются, и их можно не учитывать. Поскольку призма покоится, то ^+Я+й=о. Рис. 165 Адукацыйны партал www.adu.by 168 Статика Векторы этих сил образуют треугольник {рис. 165, в), подобный треуголь-ни)^' основания призмы АОВ (см. рис. 165, б), так как углы в этих двух треугольниках соответственно равны. Из подобия треугольников следует, что ОА ОВ 3 — ^3 АВ' Умножим знаменатели этого равенства на высоту призмы BC = OK=AD. Из рисунка 165, а видно, что з[1аменатель каждой дроби станет равен площади соответствующей боковой грани. Обозначив площади этих граней призмы 5|, S^, S:), получим: Г\ Го Г'\ , -сг-=-^==-^» или 5| ^ 5^' Р1 = Р‘1 = РЗ- (I) Таким образом, давление в неподвижной жидкости или газе не зависит от ориентации площадки внутри жидкости, т. е, давление — мэо-тропно. Вспомним, что по определению давление не зависит и от размеров площадки, на которую оно действует, оно всегда относится к единице площади по- вер.хности. Таким образом, давление представляет собой такую характеристику состояния жидкости в данном месте, которая не зависит ни от ориентации, ии от размеров площадки, на которой давление измеряется. Давление зависит лишь от степени сжатия жидкости в данном месте. Давление внутри жидкости на некоторой глубине согласно формуле (2) предыдущего параграфа создается внешними силами и гидростатическим давлением. Следовательно, давление, создаваемое внешними силами, передается без изменения в каждую точку жидкости, в этом и состоит суть закона Паскаля. Если давление, создаваемое внешними силами, изменится на некоторую величину, то на столько же изменится и давление в каждой точке жидкости. Закон Паскаля можно подтвердить экслеримен-тально с помощью металлического шара с отверстиями и присоединенного к нему цилиндра с поршнем. Если заполнить эту систему водой (задымленным воздухом) и вдвигать поршень (рис. 166), то из отверстий брызнут радиально расходящиеся одинаковые струи воды. Рис, 166 Адукацыйны партал www.adu.by J Закон Паскаля 169 Рис. 167 Рис. 168 Закон Паскаля позволяет объяснить действие распространенного в технике устройства — гидравлического пресса. Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров разных диаметров, cнaбжeF^ньtx поршнями и соединенных трубкой (рис. [67). Пространство под поршнями и трубка заполняются жидкостью (обычно машинным маслом). Обозначим площадь малого поршня через 5|, а большого поршня — через 5^. Пусть к малому поршню приложена сила С Эта сила создает в жидкости давление Р = которое передается без изменения в большой цилиндр. Следовательно, для того чтобы жидкость не была вытеснена из первого цилиндра во второй, к нему нужно приложить силу; F, = pS, = F,§-. Сила F2 во столько раз больше силы F^, во сколько раз площадь второго поршня больше площади первого. Таким образом, при помощи гидравлического пресса малой силой можно уравновесить большую силу. На принципе работы гидраш1ического пресса основано действие гидроусилителей руля и гидротормозов автомобилей, гидравлических домкратов рис. 168) для подъема тяжелых грузов. Главные выводы 1, Давление в жидкости и газе не зависит от ориентации площадки и ве-1ИЧИНЫ ее площади. Оно характеризует степень сжатия жидкости или газа. 2. Давление, создаваемое внешними силами, передается во все точки кидкости (газа) одинаково. Адукацыйны партал www.adu.by 170 Статика Контрольные вопросы 1. Как направлены силы давления, действующие на стенки сосуда? 2. Обьясните физическую сущность закона Паскаля. § 38. Закон Архимеда На поверхность тела, погруженного в жидкость, действуют силы давления. Так как давление увеличивается с глубиной погружения, то силы давления, действующие на нижнюю часть тела, всегда больше, что отражено на рисунке 169 длиной стрелок. Поэтому можно ожидать, что равнодействующая сил давления будет направлена вверх. Опыт подтверждает это предположение. Если подвешенное к крючку динамометра тело опустить в воду, то показания динамометра уменьшатся (рис. 170). Равнодействующая сил давления на тело, погруженное в жидкость, называется выталкивающей силой или силой Архимеда. Рассмотрим тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, погруженное в жидкость так, что его основания расположены горизонтально (рис. 171). Силы давления, действующие на боко- Рис. 170 Адукацыйны партал www.adu.by Закон Архимеда 171 Рис. 171 Рис. 172 Рис. 173 вые грани тела, уравновешены. Они сжимают тело. Силы же, действующие на основания параллелепипеда, не одинаковы. Модуль силы давления, действующей на верхнее основание: F\ = {Pa + Qgfi\)S, где ро — внешнее давление, ft, — высота столба жидкости над верхним основанием, р — плотность жидкости, S — площадь основания. Модуль силы давления жидкости, действующей на нижнее основание: F2^(Pfi + Pgh2)S, где Л2 — глубина, на которой находится нижнее основание. Поскольку Л2 > /ij, то р2> Fj, и, следовательно, равнодействующая будет направлена вверх и по модулю равна: Таккак {/г2-Л|) — высота параллелепипеда, то pA-PgV, где K=S(^2-/i|) — объем тела. В векторном виде выражение для силы Архимеда примет вид: ^A=-pgV- И) (2) Мы получили выражение выталкивающей силы для прямоугольного параллелепипеда, погруженного в жидкость. Однако эта формула справедлива для тела любой формы. Действительно, выталкивающая сила, действующая на тело (рис. 172), есть равнодействующая сил давления жидкости на его поверхность. Представим себе, что тело удалено, и его место занято той же жидкостью (рис. 173). Давление на поверхность такого мысленно выделенного объема Адукацыйны партал www.adu.by 172 Статика Рис. 175 будет таким же, каким было давление на поверхность самого тела. Значит, и равнодействующая сила давления на тело (выталкивающая сила) равна равнодействующей силе давления на выделенный объем жидкости. Но этот объем жидкости находится в равновесии. Силы, действующие на него, — это сила тяжести mg и выталкивающая сила (см, рис. 173). Значит, выталкивающая сила равна по модулю силе тяжести, действующей на выделенный объем жидкости, и приложена она в центре масс выделенного объема жидкости. Точку приложения выталкивающей силы называют также центром давления. Таким образом, f^A=-m=-pyg- Итак, на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная по модулю весу жидкости в объеме, занимаемом телом (вытесненный объем), и приложенная в центре масс этого объема (центре давления). Это и есть закон Архимеда, экспериментально установленный Архимедом более 2200 лет тому назад. Примерная схема опыта Архимеда изображена на рисунках 174, 175, 176. Пустой стакан А («ведерко Архимеда») и сплошной цилиндр В, имеющий объем, в точности равный вместимости стакана, подвесим к динамометру (см. рис. 174). Затем, подставив сосуд с водой, погрузим цилиндр в воду. Равновесие нарущится, и растяжение динамометра уменьщит- Адукацыйны партал www.adu.by Закон Архимеда 173 ся (см. рис. !75). Разность показаний динамометра как раз равна вытадкива-ющей силе, действующей на цилиндр. Если наполнить стакан водой, то пружина динамометра снова растянется до первоначальной длины (см. рис. 176). Таким образом, доказано, что выталкивающая сила, действующая на погруженное тело, равна силе тяжести жидкости в объеме тела. По третьему закону Ньютона если жидкость действует на погруженное тело, то и тело действует на жидкость. Эта сила направлена вертикально вниз и равна по модулю силе Архимеда. Это утверждение доказывается следующим опытом. Неполный стакан с водой фавновешивают на весах. Затем в стакан погружают тело, подвешенное на штативе. При этом чашка со стаканом опускается, и лтля восстановления равновесия приходится добавить на другую чашку гири, вес которых равен весу зоды, вытесненной телом. Сила Архимеда действует также на тела в воздухе. Однако плотность воз-lyxa мала, и действием выталкивающей силы в большинстве случаев можно пренебречь. Выталкивающая сила действует на тела в жидкостях и газах, потому что они :жаты силой притяжения к Земле. В состоянии невесомости сила Архимеда не 1ействует. Рис. 176 Гпавные выводы 1. Из-за того что давление увеличивается с глубиной погружения, на гело, погруженное в жидкость (газ), действует выталкивающая сила, 2. На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая ;ила, равная по модулю весу жидкости в объеме, занимаемом телом. Эта ;ила приложена в центре давления. 3. Тело, погруженное в жидкость, действует на жидкость с силой, рав-шй по модулю выталкивающей силе и противоположно направленной. 4. В невесомости сила Архимеда отсутствует. Адукацыйны партал www.adu.by 174 Статика Контрольные вопросы 1. Объясните возникновение выталкивающей силы, действующей на тело, погруженное в жидкость. 2. На дне сосуда с жидкостью лежит тело, плотность которого чуть больше плотности жидкости. Можно ли заставить тело вспльггь, повышая давление в сосуде? 3. На рычаге уравновесили два одинаковых тела, затем одно тело погрузили в воду, а другое — в сосуд с керосином. В какую сторону отклонится рычаг при их полном погружении? 4. Что произойдет с рычажными весами, находящимися в равновесии в воде, если в стакан с водой, стоящий на чашке весов, погрузить палец, не прикасаясь им ни ко дну, ни к стенкам стакана? Упражнение 32 1. Найдите выталкивающую силу, денствуюшуЕО на погруженный в воду камень массой 3,0 кг, если его плотность равна 2,4- 10* 2. Куб с ребром 100 мм погружен в сосуд, наполненный водой, поверх которой налит керосин так, что линия раздела обеих жидкостей проходит посередине ребра куба. Найдите выталкивающую силу, действующую на куб. Плотность керосина 0,81 ■ 10* 3. Кусок пробки массой Ш г, обмотанный медной проволокой с поперечным сечением 1 мм*, остается в равновесий в воде, не погружаясь и не всплывая. Найдите длину проволоки. 4. Определите давление жидкости на нижнюю поверхность плавающей стеклянной чашки сечения 5 и массой т, если атмосферное давление равно р^. 5*. Тонкостенный стакан массой т вертикально плавает на границе раздела жидкостей, плотности которых р| и р^. Определите глубину погружения стакана в нижнюю жидкость, если дно стакана имеет толщину It н площадь 5. а сам стакан заполнен жидкостью, плотность которой р|. § 39. Плавание тел. Воздухоплавание Закон Архимеда дает возможность объяснить все вопросы, связанные с плаванием тел. Погрузим полностью тело в жидкость и предоставим самому себе. Если сила тяжести больше силы Архимеда, то оно будет тонуть, пока не упадет на дно сосуда (рис. 177). Если сила тяжести меньше силы Архимеда, то оно будет всплывать, поднимаясь к поверхности жидкости (см. рис. 177). В том случае, когда сила тяжести в точности равна выталкивающей силе, оно будет находиться в равновесии и пзгавзть внутри жидкости. Адукацыйны партал www.adu.by Плавание тел. Воздухоплавание 175 Рассмотрим тела, которые тонут в жидкости. Если тело однородное, т, е. во всех точках имеет одну и ту же плотность, то нетрудно показать, что в этом случае плотность тела больше плотности жидкости. Действительно: mgypA, или PrgV>p^gV. Отсюда следует, что р,, > Если тело неоднородное, т, е. плотность тела неодинакова в различных точках, например тело с пустотами внутри, то под плотностью тела необходимо понимать среднюю плотность: {рД>р,^. Для тонуш,их тел неправильной формы, объем которых трудно найти при помощи измерения размеров тела, закон Архимеда позволяет экспериментально определить плотность тела. Для этого тело необходимо дважды взвесить: один раз в воздухе, а другой раз — погружая его в жидкость, плотность которой известна. Первое взвешивание дает значение силы тяжести; P=p£V. Результат второго взвешивания F дает разность между силой тяжести mg и выталкивающей силой F=P-F, = p,gV~p^V. Заменив в этой формуле объем тела V на легко получить, что Рт “ Рж р ’ (1) в случае неоднородного тела определяемая по этой формуле величина р, даст среднюю плотность. Если тело, погруженное в жидкость, находится в равновесии, то плотность тела {или его средняя плотность) равна плотности жидкости. Можно проделать следующий опыт. Куриное яйцо тонет в пресной воде, но плавает в соленой. При растворении соли плотность раствора увеличивается. При этом концентрация раствора постепенно уменьшается кверху, т. е. раствор является неоднородной жидкостью. Его плотность вверху меньше, чем внизу. Поэтому Б таком растворе куриное яйцо вначале будет тонуть, а затем остановится, не достигнув дна, и будет плавать на такой глубине, где его плотность равна средней плотности раствора на данной глубине. Другим примером плаванид тел под водой является плавание подводных лодок (рис. 178). Они должны иметь возможность всплывать и погружаться Адукацыйны партал www.adu.by 176 Статика Рис. 178 в воду, а также плыть под поверхностью воды. Так как объем лодки остается во всех случаях неизменным, то для выполнения этих маневров на лодке должна быть предусмотрена возможность изменения ее массы. В лодке сделан ряд балластных отсеков, которые при помощи специальных устройств можно заполнить забортной водой (при этом масса лодки увеличивается, и она погружается) и освободить от воды (при этом масса лодки уменьшается, и она всплывает). Конечно, трудно подобрать такую массу воды, чтобы ввяталкивающая сила в точности была равна силе тяжести. Поэтому для сохранения заданной глубины нужно все время изменять количество балласта либо все время двигаться, маневрируя рулями глубины. Если сила тяжести тела, погруженного в жидкость, меньше силы Архимеда, то оно всплывает. Поднявшись на поверхность, оно плавает так, что часть его выступает из жидкости. В этом случае плотность тела меньше плотности жидкости, В самом деле, на тело, плавающее таким образом, действуют сила тяжести tng=^^gV и выталкивающая сила = где V\ — объем погру- женной в жидкость части тела: = (2) и так как V| < V, то из (2) следует, что р^< р*. Из (2) также следует, что объем тела, погруженного в жидкость, зависит от отношения плотностей жидкости и тела. Так, для льдины, плавающей на воде, под водой находится примерно 92 % ее объема (плотность льда 920 плотность воды 1000 -—I. \ М-’ М'“ / На основании закона плавания тел сконструирован прибор — ареометр, с помощью которого измеряют плотности жидкостей. Ареометр представляет собой стеклянный сосуд с грузиком и длинным отростком, на котором нанесена шкала (рис. 179, а). При плавании в жидкости ареометр погружается на большую или меньшую глубину в зависимости от плотности жидкости (рис. 179, б). Чем больше плотность жидкости, тем меньше он погружается. На шкале непосредственно отмечаются значе[жя плотности жидкости. Ареометр применяется обычно для точных измерений в жидкостях с близкими плотностями. Адукацыйны партал www.adu.by Плавание тел. Воздухоплавание 177 Сплошные тела плавают в жидкости так, чтобы равновесие было устойчивым. Для доказательства этого утверждения рассмотрим плавание бревна в воде. Если бревно однородное, то оно плавает, так как показано на рисунке 180. Очевштно, что сила тя -жести приложена в центре масс бревна С, а выталкивающая сила в центре масс вытесненной жидкости D (центре давления). Причем линии действия этих сил совпадают. Вотклоненном положении (рис. 181) центр масс вытесненной жидкости смещается относительно бревна, и возникает момент сил, который возвращает бревно в исходное состояние. Тело, имеющее полости, куда жидкость не проникает при плавании, вытеснит такой же объем, что и сплошное тело. Поэтому и сила Архимеда для такого тела такая же, как и для сплошного. Но масса тела с полостями меньше массы сплошного тела. Поэтому при достаточно больших полостях такое тело может плавать, хотя плотность вещества тела больше плотности жидкости (например, корабли, лодки и т, п.). Объем вытесненной кораблем воды значительно больше объема стали, из которой сделан корпус судна, поэтому он может плавать, несмотря на то что плотность стали в 8 раз больше плотности воды. Рис. 179 Рис. 180 7. Зав. 1г Адукацыйны партал www.adu.by 178 Статика Рис. 182 Если пространство внутри судна заполнить водой, например, в случае течи, то вытесненный объем воды уменьшится и судно начнет тонуть. Полет воздуинюго шара или дирижабля (рис. 182) в воздухе напоминает плавание подводной лодки под водой. Если масса всего летательного аппарата, в том числе и масса газа, заполняющего оболочку, меньше массы воздуха в объеме, вытесняемом аппаратом, то он поднимается вверх. Если эти массы равны, шар неподвижно висит в воздухе. Если масса аппарата с газом больше массы вытесняемого воздуха, то аппарат опускается. Главные выводы Тело, погруженное в жидкость, тонет, плавает внутри жидкости или всплывает, если плотность тела (средняя плотность) больше, равна или меньше плотности жидкости соответственно. Контрольные вопросы 1. Где больше осадка судна при одной и той же загрузке — в море или в реке? 2. В стакане с водой плавает кусок льда. Как изменится уровень воды, когда лед растает? 3. ведерко, доверху напитое водой, висит на пружиннь^х весах. Если опустить в него некоторое тело, подвешенное на нити, то часть воды выльется. Изменится ли показание весов? W Упражнение 33 1. Кусок меди в воздухе весит 4,00 Н, а при погружении в некоторую жидкость — 3,59 Н. Найдите плотность жидкости, если плотность меди 8,9- 10" 2. Кусок железа в воде весит 9,8 Н. Найдите его объем. Плотность железа 7,8- 10" Льдина, имеющая форму призмы, плавает в воде. Высота льда над водой составляет 2,0 см. Какова масса льдины, если площадь ее основания 2000 см^? Плотность льда 0,92 ■ 10" 4. Однородное тело плавает на поверхности спирта так, что объем погруженной части составляет 0,92 всего объема тела. Найдите объем погружен- 3. Адукацыйны партал www.adu.by Движение жидкостей. Уравнение неразрывности 179 1ЮН части при плавании этого тела на поверхности воды. Плотность спирта 0,80- 10' М'* 5*. Деревянный куб с ребром 0,50 м плавает в озере, на две трети своего объема погруженный в воду. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы полностью погрузить куб в воду? § 40. Движение жидкостей. Уравнение неразрывности Как уже отмечалось, раздел механики, изучающий движение жидкостей и газов, а таюке взаимодействие движущихся жидкостей и газов с твердыми телами, называется еидро- и аэродинамикой. Наблюдая за течением воды в реке или движением атмосферного воздуха, можно убедиться в сложном характере движения. Спокойное течение воды в реке в одних местах соседствует с ви.хревым движением в других. Если слегка открыть край, вода вытекает струйкой, которая не изменяет свое положение в пространстве, если полностью открыть кран — форма струн изменяется, происходит разбиение ее на отдельные струи и капли. Порывы ветра сменяются относительно сиокоЙ!1ым движением воздуха. Поэтому гидро- и аэродинамика — сложная в математическом и физическом смысле наука. Во-первых, необходимо научиться описывать движение каждой частицы жидкости и, во-вторых, установить законы, которым подчиняется это движение. Как и движение твердых тел, движение жидкостей и газов происходит под действием сил. Мы уже знаем, что это силы давления и тяжести. Кроме того, необходимо еще учитывать наличие сид внутреннего трения, или вязкосг?ш. Вязкостью называется свойство жидкости или газа оказывать сопротивление относительному перемещению своих частей. Как мы впоследствии покажем, давление в различных точках потока жидкости или газа различно. Поэтому вьщеленный объем жидкости или газа подвергается различному сжатию при движении. Если сжимаемость жидкости мала, то у газов она существенна. Как известно, при сжатии laaa его температура увеличивается. Таким образом, без учета тепловых явлений, происходящих в движущемся газе, нельзя построить теорию движения, используя только законы механики. Однако, если скорости движения жидкостей и газов малые, значительно меньше скорости звука, то тепловыми явлениями можно пренебречь. Если еще пренебречь силами внутреннего трения, то мы получим модель идеальной жидкости. Итак, модель идеальной жидкости состоит в том, что не учиты- Адукацыйны партал www.adu.by 180 Статика Рис. 183 Рис. 184 J вают вязкость жидкости и ее сжимаемость. Мы в основном будем рассматривать явдения в идеальной жидкости. Движение жидкости, при котором отдельные слои скользят друг относительно друга, не перемешиваясь, называется ламинарным (слоистым) течением. Ддижение жидкости, сопровождающееся перемешиваЕ1ием ее различных слоев с образованием завихрений, называется турбулентным (вихревым). Ламинарным является течение воды в спокойных реках. Оно наиболее изучено, и мы ограничимся рассмотрением ламинарного течения. Однако наиболее распространенным является турбулентное движение. Примерами турбулентного движения могут служить беспорядочное движение дыма из заводских труб (рис. 183), завихрения воды в реках за сваями мостов или большими камнями (рис. 184), образование смерчей и т. д. Ламинарное течение переходит в турбулентное движение при увеличении скорости жидкости. Течение жидкости удобно наблюдать с помощью прибора, изображенного на рисунке 185. Он состоит из широкой стеклянной трубки, соединенной через боковой отросток с водопроводом. В торец через пробку введена тонкая трубка, соединенная с сосудом, в который налита подкрашенная жидкость. Пока скорость течения воды невелика, струйка подкрашенной жидкости движется, не распадаясь, вместе с водой. Это ламинарное течение. Постепенно открывая водопроводный кран, мы можем так увеличить скорость движения воды, что возникает турбулентное течение. Жидкость завихря-ется, и окрашенная струйка размывается в широкую ленту с неровными краями (рис. 186). Адукацыйны партал www.adu.by Движение жидкостей. Уравнение неразрывности 181 Рис. 185 Рис. 186 Турбулентное движение в реальных жидкостях очень сложно. До сих нор нет полной теории его, хотя проблемы турбулентности изучаются уже более 150 лет. При описании движения жидкостей поступают следующим образом. Выделяют в жидкости малые объемы (частицы) и одновременно определяют скорости этих элементов во всем объеме жидкости. Наглядное представление о движении жидкости можно получить с помощью линий тока. Они строятся следующим образом. Выделим в потоке жидкости некоторую частицу. Она имеет в данный момент скорость ц. Отступим немного, перейдем к следующей частице, которая имеет скорость V2 в тот же момент времени. Поступая аналогичным образом, соединим частицы кривой так, чтобы касательная к ней была параллельна скорости частиц (рис. 187). Построенная таким образом линия и есть линия тока. Существенно отметить, что линии тока строятся для некоторого фиксированного момента времени. На ней находятся частицы, скорости которых направлены по касательной к линии тока. Если во всех точках пространства линии тока не меняют своего положения со временем, то такое течение жидкости называется стационарным (установившимся), При стационарном течении частицы, приходящие в данную точку пространства в различные моменты времени, имеют одну и ту же скорость. В этом случае линия тока совпадает с траекторией частиц. TS.aas \7. Адукацыйны партал www.adu.by 182 Статика Если линия тока меняет свое положение в пространстве со временем, то такое движение жидкости называется нестационарным. Объем жидкости, ограниченный линиями тока, называется трубкой тока {рис. 188). Скорости частиц жидкости в каждой точке боковой поверхности трубки направлены Рис. 188 по касательной к ней. Поэтому при своем движении они не пересекают стенок трубки. Выделим в жидкости тонкую трубку тока, чтобы в каждом поперечном сечении скорости частиц жидкости можно было считать одинаковыми. Рассмотрим два сечения трубки тока с площадями S] и S2 {рис. 189). Обозначим через о, и Uj соответствующие скорости течения жидкости. За малый промежуток времени Д/ через первое сечение проходит жидкость, масса которой равна р[5|У|АЛ а через второе — p2S20aA/. Здесь Р| и р2 — плотности жидкости в первом и втором сечениях. Поскольку через боковую поверхность трубки тока жидкость не поступает, то массы жидкости, протекающие через оба сечения, должны быть равны: р|5|0|Д/ = Мы выбрали сечения трубки тока произвольно. Следовательно, для любого сечения трубки тока величина р5у одинаковая. Таким образом, мы прищли к уравнению неразрывности. При стационарном течении жидкости величина pSi» пастоянна для любого сечения трубки тока: ' ' ([) pStf = const. Адукацыйны партал www.adu.by уравнение Бернулли 183 Если жидкость несжимаема (р = const), то уравнение неразрывности для любого сечения трубки тока примет вид; ' (2) Si;= const. Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы. Согласно этому уравнению скорость жидкости в узких местах больше, чем в широких. Уравнения (I ) и (2) можно использовать и для широких трубок тока, если под V понимать среднюю скорость жидкости по сечению. Главные выводы 1, Ламинарным (слоистым) движением жидкости называется такое движение, при котором отдельные слои ее скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. 2, Движение жидкости, сопровождающееся перемешиванием ее различных слоев с образованием завихрений, называется турбулентным (вихревым). 3. Линия тока — это воображаемая линия, проведенная в жидкости в некоторый момент времени так, что все частицы жидкости, находящиеся на ней, имеют скорость, направленную по касательной к этой линии. 4. При стационарном течении жидкости для любого сечения тонкой трубки тока справедливо уравнение неразрывности. Контрольные вопросы 1. Какие бывают движения жидкостей и газов? 2. Объясните, что такое идеальная жидкость. 3. Какое ламинарное течение наэьшается стационарным, а какое — нестационарным? 4. Какой закон выражает уравнение неразрывности? *% 41. Уравнение Бернулли При изучении статики жидкости мы выяснили, как распределяется давление в неподвижной жидкости. А как распределяется давление в движущейся жидкости? Выясним это экспериментально. Возьмем трубку переменного сечения с небольшими отверстиями в стенке, в которые вставлены открытые сверху манометрические трубочки (рис. 190). Отверстия в стенке практически не влияют на распределение давления в жидкости. При стационарном течении Адукацыйны партал www.adu.by 184 Статика жидкость в манометрических трубочках поднимется па определенную высоту. Высота столба жидкости от некоторого уровня показывает разность между давлением жидкости в трубке в месте расположения отверстий и атмосферным давлением. Опыт показывает, что в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Но по уравнению неразрывности, чем больше сечение трубки, тем меньше скорость течения жидкости. Следовательно, можно сделать вывод; при стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и, наоборот, меньше в тех местах, где скорость течения больше. Эта зависимость была установлена швейцарским физиком Д. Бернулли и называется законом Бернулли. Качественное объяснение этого закона основано на уравнении неразрывности и втором законе Ньютона. Выделим небольшой объем жидкости, который движется вдоль трубки. При переходе из широкой части трубки в узкую его скорость увеличивается от б| до и.2 (см. рис. 190) согласно уравнению неразрывности. Следовательно, этот объем жидкости движется ускоренно. По второму закону Ньютона ускорение вызывается силой и совпадает с ней по направлению. Такой силой в нашем случае может быть лишь равнодействующая сила давления окружающей жидкости на выделенный объем. Значит, давление на объем при переходе из широкой части трубки в узкую должно быть больше со стороны жидкости в широкой части трубки, чем со стороны узкой (рис. 191). Аналогичные рассуждения объясняют повышение давления при движении жидкости из узкой части трубки в широкую, Д. Бернулли также установил зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения и перепада высоты. Выделим в потоке идеальной жидкости тонкую трубку тока, а в ней некоторый объем между сечениями АВ и CD (рис, 192), Адукацыйны партал www.adu.by У^авнени0_Бе£н^^ 185 Пусть площадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в сечении АВ соответственно равны S), Р|, Oj, а в сечении CD — 52, v^. Под действием сил давления ^ и ^ и силы тяжести вьщеленный объем жидкости за малый промежуток времени сместится вправо и займет положение между сечениями A\Bi и CiD\. Силы давления ^ и совершат работу: А = F^l^ = p^S^v^M-= {р, -Р2)^А/. {1) Существенно, что при стационарном течении жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями Л^В\ и CD (см, рис. 192), остается неизменной. Все происходит так, как если бы жидкость, занимавшая объем ABBiA\, переместилась и заняла объем CDCfi^. Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии жидкости, переходящей из области АВВ\А\ в область CDD^C\. При этом изменяются кинетическая энергия К и потенциальная энергия П. Изменение полной энергии W выделенного объема жидкости равно: AW = АК + АП = ^pAV{vl-v^) + pg(SJ^h^-S^l^h^), где h^ 1\ h2 — высоты расположения соответствующих объемов {см. рие. 192). Поскольку мы рассматриваем идеальную жидкость, в которой нет сил трения, то в данном случае можно использовать закон сохранения энергии в форме ЛИ/= Л. С учетом этого получаем: ^pAV{vl-v^^) + pgAV(k2-h^) = (p^ -P2)AV. Адукацыйны партал www.adu.by 186 Статика После сокращения на ДК соберем величины с одинаковыми индексами в одной части равенства. В результате получим: /7, + pg/г, + р ^ = Р; + pg/j. + р (2) Мы произвольно выбирали поперечные сечения трубки тока. Поэтому выражение p + pg/H-p^ = const (3) является постоянным в любом сечении трубки тока. Это и есть уравнение Бернулли. Выясним физический смысл входящих в формулу (3) величин. Величину р-^ можно записать: _ Дт где Дж — масса выделенного малого объема жидкости, Д1^ — его объем, 2 Следовательно, р.^ есть кинетическая энергия единичного объема и называется плотностью кинетической энергии. Аналогично можно показать, что pgh — плотность потенциальной энергии. Итак, сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий {трехюген Бернулли) при стационарном течении идеальной жидкости остается постоянной для любого сечения трубки тока. В уравнении {3) площадь поперечного сечения отсутствует. Следовательно, можно выбрать очень тонкую трубку тока, которая фактически представляет собой линию тока. Поэтому уравнение Бернулли часто формулируют так: при стационарном течении идеальной жидкости трехчлен Бернулли p+p^ + pgh постоянен вдоль любой линии тока. Используя уравнение Бернулли, можно объяснить ряд интересных явлений и решить многие задачи. Так, при горизонтальном течении жидкости плотность потенциальной энергии постоянна и уравнение Бернулли примет вид: p + p^ = cons1. Отсюда следует, что в тех точках пространства, где скорость больше, давление меньше. Это подтверждается опытом, описанным в начале этого параграфа. С помощью уравнения Бернулли можно найти скорость истечения жид- Адукацыйны партал www.adu.by У£авнение_Бе£н^л^ 187 кости из отверстия, расположенного в сосуде на глубине h относительно поверхности жидкости (рис. 193). Выделим в сосуде линию тока I—2, как показано на рисунке. Пусть атмосферное давление рц. Записав уравнение Бернулли для точек / и 2, получим: Pi)+P^+PS^ = Pa+^- (4) Считая площадь отверстия малой по сравнению с площадьЕО поперечного сечения сосуда, можно пренебречь скоростью опускания уровня жидкости в сосуде, положив Oi=0. Тогда из формулы (4) следует формула Торричелли: V2 = yj^. Истечение происходит с той же скоростью, какую имело бы тело при свободном падении с высоты И. Зависимость давления в жидкости и газе от их скорости лежит в основе принципа действия многих устройств и приборов. На рисунке 194 изображена схема устройства водоструйного насоса. Струя БОДЫ подается в трубку А, имеющую на одном конце сужение. По сужению вода течет с большей скоростью. Из-за этого давление в струе в этом месте оказывается меньше атмосферного, воздух из сосуда всасывается в струю через трубку В и удаляется вместе с водой. На рисунке 195 изображен простейший пульверизатор, состоящий из двух трубок, расположенных перпендикулярно. Через горизонтальную трубку продувается воздух. В узкой части струи при выходе из трубки давление меньше атмосферного. Жидкость поднимается по вертикальной трубке из-за разности давлений и распыляется струей воздуха. Точно так же работают различные краскораспылители. Рис. 195 Адукацыйны партал www.adu.by 188 Статика Главные выводы 1. При движении жидкости в тех местах, где скорость течения больше, давление меньше. 2. При стационарном течении идеальной жидкости сумма давления и плотности кинетической и потенциальной энергий жидкости постоянна вдоль линии тока. Контрольные вопросы 2 1. Какой физический смысл имеют величины и р^А? ‘ 2. Почему две баржи, проплывающие вблизи друг друга, могут столкнуться? 3. Почему во время бурь, когда скорость ветра достигает значительной величинь(, он срывает крыши построек? Упражнение 34 1. В бак равномерной струей наливается вода. За 1 с притекает 2,0 л воды. В дне бака имеется отверстие площадью 2,0 см^. На каком уровне h будет держаться вода в баке? 2. На поршень шпрИЕ^, имеющего площадь S, действует постоянная сила F. С какой скоростью вытекает струя из отверстия в горизонтальном направлении? Плотность жидкости р. 3*. На столе стоит цилиндрический сосуд высоты наполненный доверху водой. Считая воду идеальной жидкостью, определите высоту h, на которой нужно сделать небольшое отверстие в боковой стенке сосуда, чтобы вытекающая из него струя попадала на стол на наибольшем удалении от сосуда. Адукацыйны партал www.adu.by Как распространяются звуки в различных средах? Как работают маятниковые часы и виброустановки? Что такое эхо и как его использует человек? Чем отличается музыкальный звук от шума? Адукацыйны партал www.adu.by 190 Колебания и волны Глава VII. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Окружающий нас мир наполнен разнообразными колебательными движениями и процессами; колеблются ветки деревьев и кузов троллейбуса или вагон трамвая при движении, колебания струн под руками умелого музыканта вызывают колебания воздуха, и мы слышим прекрасную музыку. Работу большинства электрических бытовых приборов обеспечивает переменный ток, т, е. колебательное движение электронов в проводниках, а видео и звуковую информацию мы получаем с помощью электромагнитных волн, которые представляют собой распространягощиеея в пространстве колебания электромагнитного поля. Кроме того, многие важнейшие процессы внутри организма человека являются колебательными: сердце человека в спокойном состоянии совершает около одного колебательного движения в секунду, процесс дыхания обеспечивается колебательными движениями легких, под действием повторяющихся нервных импульсов каждая мышца в теле человека непрерывно то сокращается, то растягивается. Колебательные процессы изучаются и используются во многих сферах деятельности человека: в радиотехнике и связи, строительстве, автомобиле- и самолетостроении, медицине, биологии, химии и т. п. § 42. Гармонические колебания Колебанием называется процесс, при котором какая-либо физическая величина, характеризующая этот процесс, последовательно изменяется то в одну, то в другую сторону около некоторого своего среднего значении. Например, на качелях, подвешенных на веревках, человек отклоняется то вперед и вверх, то назад и вверх от положения равновесия. Механической колебательной системой называется совокупность тел, в которой могут происходить колебательные процессы. На рисунке 196 представлены наиболее простые механические колебательные системы: вертикальный пружинный маятник (рис, 196, а) образуют Земля, штатив, пружина и груз; физический маятник (рнс. 196, б) — Земля, штатив и шарик на нити; горизонтальный пружинный маятник (рис. 196, е) — два штатива, две пружины и шарик. Для возникновения колебаний в любой из этих систем необходимо вывести подвешенное тело из положения устойчивого раввювесия. Адукацыйны партал www.adu.by Гармонические колебания 191 Всякая колебательная система имеет положение устойчивого равновесия и самопроизвольно (без внешнего воздействия) из него выйти не может. Периодическими называются колебания, повторяющиеся через определенный промежуток времени. Периодом колебания называется промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание. Если за промежуток времени t совершено N полных колебаний, то период определяется по формуле: T = -L. N Частота колебаний, как и при вращательном движении, — величи!ш, обратная периоду, равная числу колебаний, совершенных системой за одну секунду; Г I ' В СИ период измеряется в секундах (с), а частота — в герцах (Гц), Смещением называется любое отклонение физической величины от ее значения в положении равновесия. Амплитудой А называется максимальное смещение. На рисунке 197 показан горизонтальный пружинный маятник, состоящий из тела, которое может двигаться по гладкому столу (без трения) около 197 д; = о шшии^ги х =-А а о х=А JIUlUULri X = —А Адукацыйны партал www.adu.by 192 Колебания и волны Рис. 199 положения равновесия под действием пружины. Выберем начало координат под положением равновесия тела. В этой системе смещение тела изменяется от значения -Л до значения Л. Гармоническими называются колебания, при которых какая-либо величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Например, гармонические колебания физического маятника можно зарегистрировать следующим способом. В качестве груза взять небольшой флакон с чернилами, которые могут вытекать через очень маленькое отверстие снизу. Под колеблющимся маятником двигать равномерно по столу бумажную ленту (рис. 198). Полученная на бумаге кривая {рис. 199) называется осциллограммой (лат, oscillum — колебание, греч. graphic — пишу) и представляет собой синусоиду или косинусоиду в зависимости от выбора начального момента времени наблюдения (момента отсчета времени). Чтобы установить основные кинематические признаки гармонических колебаний, рассмотрим их математическую модель на примере изменения физических величин, характеризующих движение маленького шарика (материальной точки) по окружности с постоянной угловой скоростью (0. Начало координат поместим в центре окружности радиуса R. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в положении Mq (рис. 200) и ее радиус-вектор составлял с осью Ох угол фо- Через промежуток времени / точка переместилась в положение М„ а ее радиус-вектор повернулся на угол и составляет в данный момент с осью Ох угол Ф, =фо +Дф = фо-ьо)1. Рис, 199 I Адукацыйны партал www.adu.by Гармонические колебания 193 Рис. 200 Тогда в момент времени / координаты точки: JC; = /?COS(p; = /?cos(o)?+ ip,j): =/?sintp; =/?5!п(св/ + Фо), Расположим перпендикулярно плоскости картона и перпендикулярно друг другу два экрана и будем освещать движущийся шарик (рис. 201). На вертикальном экране / тень от шарика будет двигаться вдоль оси Оу но закону У( = /?81лф, = /?зш(ю/ + фц), т. е. совершать колебания возле начала координат. На горизонтальном экране тень шарика будет двигаться вдоль оси Ох по закону JC, =/?со5фу -/?соз(ю^ + ф„) н также совершать колебания около начала координат. Фазой колебания называется аргумент синуса или косинуса, или, в выбранной системе отсчета, угол между радиус-вектором и осью Ох. Так как 5Шф, =со5(90°-ф(), то говорят, что колебания координаты Xj сдвинуты по фазе на 90° или на — относительно колебаний координаты у,. Начальная фаза колебания Фн характеризует положение точки в начальный момент времени. Если в начальный момент времени шарик находится на оси Ох, то начальная фаза колебания равна нулю. Так как -1 <51Пф^< 1 и -1 <со5ф, < 1, координаты шарика и его теней изменяются в пределах: ^ х, ^ R, ^ у, ^ R. Таким образом, мгновенные значения координат х, и у, можно рассматри- | вать как смешения от нулевого значения, а модуль амплитудного значения для обеих координат равен радиусу окружности: х„ = R. Адукацыйны партал www.adu.by 194 Колебания и волны а У1 б У1 IV Ф/ук \ ^ \ ^ ) 1 o' 1 ^ Рис. 202 Так как шарик движется с постоянной угловой скоростью w, то модули его линейной скорости и центростремительного ускорения постоянны и равны v~o)R, a = oi^R. Но направление каждого из этих векторов меняется с течением времени, и поэтому изменяются их проекции на оси координат. Выразим проекции вектора скорости через ее модуль и угол поворота радиус-вектора (рис. 202, а); = -ysin((>, =-ysin(tpo-i-oiO = -e)/?sin((po + raO; = ucos((p|j +a)/) = to/?cos((pg + ш0- Для проекций ускорения на оси координат (рис, 202, ^): =-о sirup, =-asin((P() + ft)0 = -a)^/?sm{{po -t-шО; =-flcos(p, =-а cos((p(, -ги/) = -<о^/?со5((Ро +(ц/). Из этих уравнений следует, что проекции векторов скорости и ускорения также зависят от времени по гармоническому закону. Модули амплитудных значений проекций скорости равны: а модули амплитудных значений проекций ускорения paBiiu: ~ ^утах = О = В) Следовательно, колебательное движение является сложным леремениьш движением, так как и скорость и ускорение точки зависят от времени. Для упрощения примем, что в начальный момент движения точка находилась на оси Ох, т. е. Фо=0 и ф, = соС Адукацыйны партал www.adu.by Гармвнические колебания 195 На рисунке 203 представлена зависимость координаты х (кривая Г) и проекции ускорения Qj, (кривая 2) на ось Ох от времени: a^=-oi^Rcosat и =/?coso)/. На рисунке 204 представлена зависимость координаты у (кривая /) и проекции ускорения Uy (кривая 2) на ось Оу от времени: =-co'/?sinft)/ и =/?sino)/. Сравнение графиков кавдой координаты с соответствующим графиком ускорения показывает: I) графики проекций ускорений сдвинуты относительно графиков координат иа 180° = л, или, как говорят, проекция ускорения изменяется с течением времени в противофазе изменению координаты; 2) в любой момент времени проекция ускорения пропор[щональна координате (смещению): = а^=-ш^х, с коэффициентом пропорциональности <в^. Знак «-» соответствует противоположному отклонению проекции ускорения и координат от нулевых значений в любой момент времени. Соотношения =-0)^у,, =-w®jc, ябляк}тся основным признаком гармонических колебаний, так как справедливы только для гармонически изменяющихся с течением времени величин. При гармонических колебаниях ускорение направлено к положению равновесия, противоположно по фазе смещению, а модуль ускорения пропорционален модулю смещения с коэффициентом пропорциональности Физическая величина ю называется циклической частотой гармонических колебаний; „ ы~~-2т. Циклическая частота измеряется в радианах в секунду Адукацыйны партал www.adu.by 196 Колебания и волны Необходимо отметить, что если при рассмотрении какого-нибудь колебательного процесса получено соотношение, подобное то можно счи- тать этот процесс зависящим от времени по гармоническому закону. Тогда по формуле 7^ = -— можно определить период этих колебаний. Птавные выводы 1. При колебательном движении физическая величина изменяется толь* ко в определенном интервале зиаченнн, отклоняясь от равновесного значения то в одну сторону, то в другую. 2. При гармонических колебаниях координата, проекция скорости и проекция ускорения точки изменяются с течением времени по гармоническому закону. 3. Основным признаком колебательного процесса, зависящего от времени по гармоническому закону, является соотношение между проекцией ускорения и смещением: а^=~0)^х,. Контрольные вопросы 1. Что общего и различного между физическими понятиями «смещение» и "амплитуда»? 2. Что общего и различного между физическими понятиями «фаза» и «начальная фаза»? 3. Можно ли считать колебательное движение равноускореннь^м? Равномерным? 4. Чем отличаются физические величины: частота и циклическая частота? 5. Как максимальное значение скорости при гармонических колебаниях связано с их амплитудой и циклической частотой? 6. В одинаковых или противоположных фазах колеблются: а) крылья птицы; б) руки человека при гребле на лодке; в) стеклоочистители на автомобилях (грузовых и легковых)? 7. Чему равен сдвиг фаз между, а) координатой и скоростью колеблющейся точки; б) скоростью и ускорением; в) координатой и ускорением колеблющейся точки? 8. Судно движется равномерно, испытывая бортовую качку. Какова траектория движения верхнего конца мачты? Упражнение 35 1. На рисунке 205 представлены графики движения тел. В каких случаях движение является: а) колебательным; 2) периодическим; в) гармоническим? 2. За ОЛИН ход поршень машины проходит расстояние 500 мм со средней скоростью 4,0 Найдите частоту колебаний поршня, 3. Координата колеблющегося ишрика зависит от времени по закону Л', =5sinn/ (см), (/ — в секундах). Найдите; а) амплитуду колебаний; Адукацыйны партал www.adu.by Гармонические _коле6ания 197 б) период и частоту колебаний; в) смещение через — с; г) модуль максимальной скорости движения; д) модуль максимального ускорения. 4. Запишите уравнение для координаты косинусоидального колебания, если его амплитуда равна 10 см, а период 0,5 с. Постройте график колебаний. 5. Запишите уравнения синусоидальных колебаний, если за I мин совершается 120 колебаний с амплитудой 50 см при различных начальных фазах; а) 0; б) в) п; г) д) 2к. Постройте графики этих колебаний. В каком из этих случаев колебание может быть записано по закону косинуса с начальной фазой, равной нулю? 6. На рисунке 206 даны графики трех колебательных движений. Какие характеристики колебаний для них одинаковые, а какие — различные? 7* Вал электрической швейной машины делает 1200 За один оборот вала игла совершает одно полное колебание, и ее кончик отклоняется от положения равновесия на 1,0 см. Найдите: а) период колебаний иглы; б) циклическую частоту; в) модуль максимальной скорости; г) модуль максимального ускорения; д) расстояние, пройденное кончиком иглы за два периода колебаний. Адукацыйны партал www.adu.by 198 Колебания и волны 8*. Тело совершает гармонические колебания вдоль оси Ох. В начальный момент времени оно проходит положение равновесия со скоростью Vq, направленной в положительном направлении оси Ох. Запишите зависимость координаты тела от времени, если период колебаний равен Т. § 43. Пружинный маятник Пружинным маятником называется система, состоящая из пружины жесткостью k и тела массой т. В простейшей модели пружинного маятника рассматривают только упругую деформацию пружины и пренебрегают: 1) сопротивлением среды и трением скольжения; 2) размерами тела, т. е. тело считается материальной точкой, хотя чаще всего его изображают прямоугольником; 3) массой пружины. Горизонтальный пружинный маятник — маятник, в котором колебания тела на пружине происходят вдоль горизонтальной прямой. Вертикальный пружинный маятник — маятник, в котором колебания тела на пружине происходят вдоль вертикальной прямой. Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника. Пусть пружина прикреплена к вертикальной стене, а тело может скользить без трения по гладкому горизонтальному столу (рис, 207, а). Если пружина ие растянута, то на покоящееся тело действуют только сила тяжести ing и сила реакции опоры N, и по второму закону Ньютона: ma = 0 = mg + N. Выведем тело из положения равновесия, растягивая при этом пружину, н отпустим его. Так как пружина растянута, то на тело действует сила упругости пружины Ёудр, и по второму закону Ньютона: ma = Fy„p + mg+N. В системе координат, начало которой расположено под положением равновесия тела (рис. 207, б), запишем для проекций на ось Оу. may=0 = -mg+ N и ось Ох: пш ~ F Адукацыйны партал www.adu.by Пружинный маятник 199 Рис. 207 Согласно закону Гука проекция силы упругости в выбранной системе отсчета: * ynpj » где Xi — абсолютное удлинение пружины, или координата тела в выбранной системе отсчета. Выразим проекцию ускорения: а,=-^х, т И сравним с соотношением, характеризующим гармонические колебания: й, = . Сравнение позволяет считать, что т И циклическая частота колебаний равна: V т а период колебаний тела на пружине: T = 2K = 2nfi. ы У k Чтобы записать уравнение гармонических колебаний для координаты тела, необходимо знать амплитуду и фазу колебаний. Амплитуда колебаний равна максимальному значению координаты тела, или максимальному абсолютному удлинению пружины. Эта величина в соответствии с законом Гука; /^упртах ~ третьим законом Ньютона: Адукацыйны партал www.adu.by 200 Колебания и волны -“^тя^ определяется максимальной величиной деформирующей силы: р лод действием которой тело смещается из положения равновесия. Пусть в начальный момент времени координата тела максимальна, т. е, мы начинаем следить за его движением в момент начала движения тела к положению равновесия. Тогда уравнение для координаты может быть записано как: JC/ = JCm.. ™S со/ = cos -^/ = COS^/ с начальной фазой Фи = 0. Или по закону синуса: in (ft)/-h sin + -|-)= sin + f) c начальной фа.зой Фо=-^. В соответствии с формулами, полученными при рассмотрении гармонических колебаний, можно записать уравнения ;ущ проекций скорости и ускорения тела: , sin^/; cos^/. где модули максимальных (амплитудных) значений скорости и ускорения соответственно равны: ^ ^тах ^тах ^мпах* Рассмотрим характеристики движения тела в некоторые моменты времени. Через промежуток времени, равный / = -^ после начала движения тела 4 К положению равновесия, координата тела, проекции скорости и ускорения равны: Хг =JfmaxCOS-| = 0; Т sin-S-= 4 о г cos-^ = 0. ^ " В этот момент тело проходит положение равновесия (рис. 208, а) с максимальной скоростью, а ускорение равно нулю, так как пружина не деформирована. Адукацыйны партал www.adu.by пружинный маятник 201 Через половину периода ^ = у координата тела, проекции скорости и ускорения равны: у -_ft)jrm,,sin7r = 0; а В этот момент тело на мгновение останавливается, пружина максимально сжата, и, соответственно, ускорение максимально и направлено к положению равновесия (рис. 208, б). Через промежуток времени, равный периоду, координата тела равна; и т. д. в таком идеальном случае, без действия сил трения и сопротивления, тело на пружине должно колебаться бесконечно долго. Колебания называются незатухающими, если их амплитуда постоянна, т. е. не зависит от времени. Следовательно, рассмотренные колебания пружинного маятника являются незатухающими. Можно показать, что для вертикального пружинного маятника циклическая частота или период колебаний определяются теми же величинами ^ и m и равны; Жесткость пружины и масса груза — характеристики данной колебательной системы, а колебания поддерживаются за счет силы упругости, которая в. Зах. 13. Адукацыйны партал www.adu.by 202 Колебания и волны ягитется сшюй взаимодействия между телом и пружиной в колебательной системе. Свободными, или собственными, называются колебания, происходянше только НОД действием сил взаимодействия в самой колебательной системе при отсутствии сил сопротивления движению. Период или частота собственных (свободных) колебаний обусловлены только характеристиками колебате.пьной системы, а амплитуда колебаний остается неизменной и определена причи((ами, которые вывели систему из наложения равновесия. Главные выводы 1. Пружинный маятник — модель колебательной системы, в которой рассматривают только упругую деформацию пружины и пренебрегают массой пружины и размерами тела. 2. Калебания пружинного маятника яв.ляются гармоническими, форма записи уравнения колебаний {косинусоидальные или синусоидальные) выбирается в зависимости от начальных условий и удобства математической записи. 3. Период или частота калебаний пружинного маятника зависят только от жесткости пружины и массы тела: = амплитуда колебаний определяется причинами, которые вывели маятник из положения равновесия. Контрольные вопросы 1, Почему пружинный маятник — модель реальной колебательной системы? 2 Можно ли считать движение груза пружинного маятника: а) равномерным; б) равноускоренным? 3, Почему можно считать колебания пружинного маятника гармоническими? 4, Можно ли записать уравнение для координаты груза маятника как с помощью синуса, так и с помощью косинуса? Чем будут отличаться эти уравнения? 5, Если уравнение движения пружинного маятника описывается по закону косинуса, то в какие моменты времени скорость груза маятника максимальна по модулю? 6, При каких положениях маятника и почему ускорение груза: а) максимально; б> разно нулю? 7, При каких условиях колебания пружинного маятника незатухающие? 8 От чего зависят период и амплитуда свободных колебаний? Адукацыйны партал www.adu.by Й^матический маятник 203 Упражнение 36 1. массой 250 г прикреплен к пружине жесткостью 100 -У . Найдите период и частоту его колебании. 2. К пружине подвесили гирьку, при этом пружина удлинилась иа 10 см. Каким будет период колебании гирьки на этой пружине? 3. Тело массой 50 г колеблется на пружине. После замены тела на другое период колебаний увеличился в два раза. Чему равна масса другого тела? 4. Тело колеблется иа пружине с периодом 1 с. Пружину увчоротнли на ллииы и вновь подвесили тело. Чему равен новый период колебаний? 5. Уравнение колебаний тела массой 100 г на пружине: х, =0,lsin2n;/ (м). Найдите жесткость пружины и мaкcимaльнy^o скорость тела. 6. Запишите уравнение косинусоидальных колебаний груза массой 250 г иа пружине жесткостью 100 если в начальный момент времени растяжение пружины было максимальным и равно 10 см. Через какое время после начала колебаний скорость груза стала максимальной н чему равен ее мо-;1уль? 7* Через 0,10 с после отклонения груза пружинного маятника от положения равновесия его смешение равно половине амплитуды: jc = 0,5/1 = 0,5 см. Жесткость пружины 50 Запишите уравнения колебаний для координаТЫ и проекции скорости груза, считая, что в начальный момент груз кахо' дился в положении равновесия. Найдите массу груза и его скорость через 0,1с. 8*. Однородная жидкость заполняет установленную вертикально U-образную трубку постоянного сечения. Обшан длина столба жидкости в обоих коленах L. Трубку встряхнули так. что уровень жидкости в одном колене стал немного выше, чем в другом. Докажите, что если трением можно пренебречь, то жидкость в трубке будет совершать гармонические колебания, п найдите их период. § 44. Математический маятник Рассмотрим колебания маленького стального гиарика, подвешенного на длинной нерастяжимой нити. Отклоним нить с шариком на небольшой угол от вертикали и отпустим. Под действием силы тяжести и силы натяжения нити шарик начнет колебательное движение (рне. 209, а). Можно засечь время, Адукацыйны партал www.adu.by 204 Колебания и волны ® ////и//// 0,Д оД / А ! у ; i \ \ \ 1 \ / i ; \F L о1Ц ...Л.Я \ :: О'----:-: ^ -- . mg Рис. 209 нгшрнмер 5 полных колебаний, и определить период колебаний. Из-за сил трения о воздух и внутреннего трения в материале нити возле точки подвеса энергия, полученная шариком при выведении из положения равновесия, постепенно переходит во внутреннюю, и его амплитуда колебаний уменьшается. Измерим вновь время 5 полных колебаний и определим период при меньшей амплитуде. Период колебании не изменился. Исследуем, от чего зависит период колебаний. Подвесим на той же нити вместо стального шарика пластмассовый таких же размеров, но меньшей массы. Период колебаний остался прежним. Если подвесить шарик на нити большей длины, то период колебаний увеличится. Чтобы получить формулу для периода колебаний, необходимо, как всегда, для упрощения математических расчетов сначала охарактеризовать используемую модель колебательной системы. Математическим маятником называется находящаяся в гравитационном поле материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник — это модель малых реальных колебаний тела под действием силы тяготения при условии, что можно пренебречь; I) размерами подвешенного тела по сравнению с длиной нити; 2) сопротивлением движению тела; 3) массой нитн; 4) деформацией нити. Для того чтобы получить формулу для периода колебаний, проведем еще два опыта. Отклоним шарик на нити длиной I на небольшое расстояние от вертикальной линии 00, и измерим это расстояние R {см. рис. 209, а). Отпустим шарик и определим период его колебаний Д, Вновь отведем шарик на расстояние R от линии 00| и толкнем так, чтобы шарик начал двигаться по окружности радиуса R, а нить при его движении описывала коническую поверхность {рис. 209, б). Определим период вращения шарика Д и сравним с периодом колебаний. Эти величины оказываются равными; Д - Д. Адукацыйны партал www.adu.by Математический маятник 205 Шарик движется по окружности с центростремительным ускорением под действием двух сил: силы тяжести mg и силы натяжения нити F. По второму закону Ньютона; ma = rng + F. Спроецируем на оси координат и получим выражение для ускорения шарика: ma = Fsma\ 0 = Fcosa-mg; a = gtga. f При малых углах отклонения нити tga » sina =-^. С другой стороны, центростремительное ускорение равно: Используя эти уравнения, получим выражение для периода. Период колебаний математического маятника можно рассчитать по формуле: При малых отклонениях от положения равновесия период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Это свойство маятника называется изохронностью {изо — постоянный, хронос — время). Свободные колебания математического маятника можно считать гармо* ническнмн только при малых углах отклонения нити от вертикали. Формула для периода свободных (или собственных) колебаний математического маятника показывает, что, как и для пружинного маятника, период колебаний определяется только параметрами колебательной системы: длиной нити и ускорением свободного падения (характеризующим взаимодействие маятника с Землей) в месте расположения маятника. Так как период колебаний маятника может быть определен н по формуле Г = где N — число полных колебаний маятника за время (, то, используя обе формулы, можно вычислить ускорение свободного падения в данном месте Земли. Как мы уже обсуждали, ускорение свободного падения зависит от многих параметров, в том числе н от средней плотности залегающих под почвой пород. В 30-е годы XX в. не существовало современных физических методов геологической разведки, и контуры знаменитого месторождения магнитного железняка в России «1^рская магнитная аномалия» были определены с помощью прибора, основной частью которого был маятник. Там, где плотная Адукацыйны партал www.adu.by 206 Колебания и волны железосодержащая порода была близко под почвой, ускорение свободного падения было больше, а период колебаний маятника меньше. 1 Полученная формула для периода колебаний математического маятника 1 может быть использована для оценки периода колебаний так называемого физического маятника, т. е. колеблющегося тела, размерами которого I нельзя пренебречь по сравнению с длиной подвеса. В этом случае исполь-, .^yют понятие — приведенная длина которая больше L — расстояния ' от точки подвеса до центра тяжести. Тогда период колебаний физического маятника Гф можно оценить по формуле: t При использовании маятниковых часов [^eoбxoдимo учитывать зависимость ускорения свободного падения от массы Земли М и расстояния г до ее центра: „ -GM - GM Следовательно, при перемещении таких часов высоко в горы, в глубокую шахту или на другую планету период маятниковых часов будет меняться, и они будут отставать или спешить по сравнению с их показаниями в месте изготов-лошя. TiaBHbie выводы 1. Математический маятник — это тело малых размеров, подвешенное на длинной невесомой и нерастяжимой нити, совершающее колебания под действием постоянной силы тяготения. 2. Колебания математического маятника являются гармоническими лишь при отклонении нити от вертикали на малые углы. 3. Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле: Т = 2т1 Контрольные вопросы 1. при каких условиях шарик, подвешенный на нити, можно считать математическим маятником? 2. Можно ли считать движение математического маятника к положению равновесия: а) равномерным: б) равноускоренным? Почему? Адукацыйны партал www.adu.by Математический маятник 207 3. При каком условии колебания математического маятника можно считать гармоническими? 4. Если смещение математического маятника из положения равновесия зависит от времени по закону синуса, то через какой момент времени после начала движения скорость маятника максимальна по модулю? 5. При каких положениях маятника и почему ускорение маятника; а) максимально; 6) равно нулю? 6. При каком условии колебания математического маятника являются незатухающими? 8. Почему при подъеме математического маятника на гору изменяется период его колебаний? 9. Шарик математического маятника заменили на другой, таких же размеров, но с массой в 2 раза меньше. Что можно сказать об изменении его периода колебаний? Упражнение 37 1. При свободных колебаниях шарик математического маятника проходит путь 2 см из крайнего положения к положению равновесия за 0,2 с. Найдите: а) амплитуду колебании; б) период колебаний; в) путь шарика за 2,5 периода колебаний. 2. Изготовьте дома модель математического маятника — подвесьте маленькую гайку на нити такой длины, чтобы период колебаний маятника был равен 2 с. Как изменится период, если: а) гайку заменить на другую, вдвое большей массы; б) длину нити уменьшить в 4 раза? 3. Два математических маятника совершают за 1 мин соответственно iO и 7 колебаний. Найдите отношение длин нитей маятников, 4. Математический маятник [шренеслн с Земли на .Hyijy. Ускорение свободного пдтения на Луне 1,6 41. Во сколько раз изменился период колебаний? С" 5. Маятник длиной 2,00 м совершает 1268 колебаний за 1,00 ч. Навдите по этим данным ускорение свободного падения в месте, где расположен маятник. 6* Часы с маятником длиной 1.00 м за сутки отстают точно на 1 ч. Что нужно сделать с маятником, чтобы часы не отставали? 7*. На какую высоту над поверхностью планеты нужно поднять математический маятник, чтобы период его колебаний увеличился в 2 раза? Радиус планеты равен R. 8*. Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз его поднимают по вертикали до точки подвеса, второй раз нить с шариком отклоняют на небольшой угол. В каком случае шарик вернется в положение равновесия быстрее? Во сколько раз отличаются промежутки времени возврашемия в обоих случаях: Адукацыйны партал www.adu.by 208 Колебания и волны § 45. Превращение энергии при механических колебаниях Как мы уже обсуждали, в рассмотренных моделях гармонических колебаний пружинного и математического маятников предполагалось, что сопротивление движению отсутствует. В этом случае должен выполняться закон сохранения и превращения механической энергии. Покажем выполнение закона сохранения энергии при гармонических колебаниях на примере горизонтального пружинного маятника. Работа деформирующей силы при растяжении пружины была затрачена на потенциальную энергию упругой деформации: При движении к положению равновесия деформация пружины уменьшается, и при некоторой деформации х,{нли координате тела) (рис. 2!0) потенциальная энергия упру- кх^ гой деформации равна: Двигаясь ускоренно под действием силы упругости, тело приобрело ско- IV/ рость и соответственно кинетическую энергию; где гп— масса тела, Uj — скорость тела в момент, когда его координата х^. Используя уравнения для координаты и проекции скорости: х, =-o)x,„a,,sinai/ и формулу для циклической частоты; са^ = -^, найдем сумму кинетической энергии груза и потенциальной энергии в любой момент времени: _ kx'f mvt W +W =-^ + -_ Рис, 210 2 2 ■ Таким образом, в любой момент времени механическая энергия системы, равная сумме кинетической энергии тела и упругой энергии пружины, остается постоянной и равной начальной максимальной потенциальной энергии. Полная энергия колебаний может быть выражена и через макси-мальнуЕо кинетическую энергию: Адукацыйны партал www.adu.by Превращэние энергии при механических колебаниях 209 Ь _ kxf , ти 2“ "^“2 'i _ т{-ых„ = const. 2 2 Ана;10ГИчно можно показать выполнение закона сохранения и превращения механической энергии при свободных колебаниях математического маятника. В случае возбуждения колебаний при отклонении маятника из положения равновесия работа внешней силы идет на увеличение потенциальной энергии груза маятника. При подъеме на высоту Н потенциальная энергия груза относительно положения равновесия (рис, 211): 'X'=Wn,r^ = mgH. При движении маятника к положению равновесия происходит увеличение кинетической энергии груза за счет потенциальной энергии, и на высоте h полная энергия: W=mgh+ При прохождении положения равновесия потенциальная энергия груза становится равной нулю, а кинетическая энергия имеет максимальное значение: W= W - " " ктах ^ Следовательно, можно записать закон сохранения механической энергии для математического маятника: Г!? ГП"‘^ = const. 2 2 2 Для реального маятника из-за трения о воздух и внутреннего трения в нити возле точки подвеса часть механической энергии за каждый период колебаний переходит во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул Q. В этом случае выполняется закон сохранения полной энергии: W =W +0 птах " It max ' т:’ и через промежуток времени, равный периоду, максимальное значение потенциальной энергии меньше начального: <117 "птах "птах* Следовательно, в процессе колебательного движения амплитуда колебания уменьшается. Адукацыйны партал www.adu.by 210 Колебания и волны Рис. 213 Затухающими называются колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается (рис. 212). Например, если толкнуть качели с сидящим на них человеком, то колебания этой системы будут затухающими. В этом случае для сохранения амплитуды колебаний необходимо пополнять потери энергии. Например, поддерживать амплиту/^ колебаний качелей постоянной можно, периодически их подталкивая. Вынужденными называются колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы. Рассмотрим вынужденные колебания в следующем опыте. Подвесим пружинный маятник к стержню с изгибом (рис. 213), который можно вращать с помощью рукоятки. Отверстие, через которое проходит подвес маятника, позволяет ему двигаться только вверх или вниз. При вращении рукоятки с постоянной частотой на маятник будет с такой же частотой действовать сила со стороны стержня. У пружинного маятника есть собственная частота колебаний. Пусть частота вращения стержня не равна этой частоте. Тогда под действием периодически изменяющейся силы амплитуда колебаний груза сначала увеличивается (рис. 214), а через некоторое время устанавливаются колебаний с постоянной амнлиту- Рис. 214 Адукацыйны партал www.adu.by 1реаращение энергии при механических колебаниях 211 он и периодом, равным периоду вынуждающей илы. При установившихся колебаниях работа вешней СИДЫ равна потерям энергии в коле-ательной системе, а значение установившейся иплитуды определяется: 1) потерями энергии; ) амплитудой действующей силы; 3) частотой 1И периодом внешней силы. Еаж изменять частоту вращения стержня соответственно, частоту вынуждающей сшня, можно зарегистрировать характерную зави-мость амплитуды вынужденных колебаний от стоты (рис. 215), которая называется резо~ \нсной кривой. При частоте вынуждающей лы, приближающейся к собственной частоте колебаний маятника, амнлиту-колебаний растет, а при больших частотах уменьшается. Механическим резонансом называется резкое возрастание амплитуды нужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы бли:жа к частоте ктвенных колебаний системы. Представленные на рисунке 215 резонансные кривые нолучешя при раз-jHbix силах сопротивления движению. Резонансная кривая I по.;1учена при ftbix силах трения, а резонансная кривая 2 — при напичии больших сил со-яивлсння движению. Следовательно, резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний I резонансе наблюдается лишь при наличии малых сил сопротивления двн-шю. Например, если толкать качели «в такт» их движению, то можно их «рас-ивать» до все большей амплитуды. Возрастание амплитуды колебаний про-одит до тех пор, пока энергия, поступающая в колебательную систему за г работы периодической силы, больше энергии потерь. Явление резонанса имеет огромное практическое зиачсине, так как ис-ьзуется лдя усиления различных колебаний в технике. Вынужденные колебания используют при работе вмброустройств для янения сыпучего основания под фундаменты и дороги, уплотнения бе-t при заливке фувдаментов. Вибраторы применяются для вибрационного )ужения свай, труб, при виброукладке бетона, сортировке сыпучих мате-юв. Адукацыйны партал www.adu.by 214 Колебания и волны 3. Какие колебания называют вынужденными? От чего зависят амплитуда и период вынужденных колебаний? 4. При каких условиях амплитуда вынужденных колебаний: а) постоянна: б) возрастает? 5. В ведре несут воду. Почему иногда вода начинает выплескиваться из ведра? 6. Стоящий на качелях человек может раскачивать качели, приседая в определенные моменты их движения. В какие моменты его необходимо делать? За счет чего возрастает амплитуда колебаний? 7*. Свинцовый и алюминиевый шарики одинаковь|Х размеров подвешены на длинных нитях одинаковой длины. Их отклоняют на один и тот же угол и отпускают. Сравните периоды и амплитуды колебаний шариков. Упражнение 38 1. К пружине жесткостью 400 подвщием груз массой 0,50 кг. С какой частотой должна действовать на груз переменная сила, чтобы наблюдался резонанс? 2. Период собственных вертикальных колебаний железнодорожного вагона 1,25 с. На стыках рельсов, расстояние между которыми 25 м, вагон получает вертикальные периодические удары. При какой скорости поезда возникнет сильное раскачивание вагона? 3. Математический маятник длиной И см подвешен в вагоне поезда. При какой скорости поезда маятник будет сильно раскачиваться, если длина рельсов между стыками 12,5 м? 4. Материальная точка массой 10 г колеблется по закону x- = 0,5sinTr/ <м). Найдите полную энергию колебаний и макси мал bEiyio скорость точки. 5. Максимальная кинетическая энергия тела, колеблющегося на пружине, 0,4 Дж, При движении между крайними положениями тело проходит путь 20 см. Навдите жесткость пружины. 6* Масса груза математического маятника 20 г, длина нити 1,0 м. Нить с грузом отклонили от вертикали так, что груз поднялся на высоту 5,0 см, н отпустили. Найдите амплитуду колебаний груза геометрически и с помощью .закона сохранения энергии. 7*. На горизонтальной площадке, совершаЕощей вдоль вертикали гармоЕШчес-кие колебания с частотой 50 Гц, лежит песчинка. При какой амплЕЕтудс колебаний Еэесчинка начнет Еюдскакивать? Адукацыйны партал www.adu.by Х£!И(1ческие волны 215 Глава VIII. ВОЛНЫ § 46. Механические волны Реальные колебательные системы практически всегда расположены в ка-н-либо среде. Поэтому колебательная система может отдавать энергию чае-цам среды, непосредственно приле[аюшим к ней, вызывая их вынужденные лебания. Например, движение качелей происходит в воздухе, и, стоя возле X, мы ощущаем движение воздуха, как бы ветерок дует на нас при прохож-нии качелей то с одной, то с другой стороны. Как мы уже обсуждали, между молекулами вещества существуют силы вза-юдействин, которые определяют его упругие свойства. Если какие-то частн-.I выводятся из положения равновесия, то силы взаимодействия со стороны седних частиц препятствуют этому и одновременно смещают сами соседние стицы. Вследствие взаимодействия между частицами колебательное движе-le передается от одной частицы к другой, и колебательный процесс рас про-раняется в среде. Механической волной называется процесс распространения колебаний в Фугой среде. Как модель возникновения н распространения механической вол[1ы мож-) рассмотреть движение двух поплавков на поверхности воды. Подергаем I леску один из них так, чтобы поплавок начал колебаться вверх-вниз, месте с поплавком смешаются соприкасающиеся с ним частицы воды, ко-)рые вовлекают в движение ближайшие к ним другие частицы, и от поплав-1 по всем направлениям распространяются волны. Эти волны вовлекают в злебательное двтшеиие второй поплавок, и от него появляются такие же злны. Важно отметить, что оба поплавка только колеблются возле положения эвиовесия, а волны распространяются от них во всех налрашшнияк. Источником колебаний млн вибратором называется кoлeблFQщeecя тело, о.збуждающее волновое движение частиц среды. Рассмотрим модель еще более простой механической волны, которая аспространяется только в одном направлении. Х1ля этого во.зьмем рези но-ый шнур с нанизанными на него бусинами, один конец закрепим, а второй оиец будем периодически двигать вверх-вниз возле положения равновесия рис. 217). Адукацыйны партал www.adu.by 216 Колебания и волны В качестве источника колебании выступает паша рука, и пусть ее колебания, а следовательно, колебания ближайшей от нее бусины происходят вдоль оси Оу по закону: где Л — амплитуда колебания бусины, которая подвержена нашим воздействиям, — фаза колебания, Т — период колебания. На рисунке показаны положения бусин на шнуре через каждую восьмую часть периода колебаний. В момент /i= — 4 фа:за колебания первой бусины равна а фазы колебаний всех остальных бусин, колеблющихся возле своего положения равновесия иа оси Ох, меньше В этом случае говорят, что колебания других бусин отстают по фазе от колебаний первой тем больше, чем дальше опн расположены от источника колебаний, В момент времени смещение первой бусины будет таким же, как и в момент т. е, смешение каждой бусины от положения равновесия повторяется с периодом, равным периоду вибратора. Следовательно, при распространении волны: 1) смещение каждой точки шнура от положения равновесия происходит с течением времени периодически; 2) смещения всех точек шнура в каждый момент времени периодически изменяются от точки к точке, т. е. являются периодической функцией координат. Иногда говорят, что при распространении волны происходит перемед1ение фазы колебания от точки к точке с определенной скоростью. Адукацыйны партал www.adu.by Механические волны 217 Фазовой скоростью называется скорость распространения какой-либо фазы от одной точки среды к другой. Бегущей водной называется распространение колебательного движения в :реде с определенной скоростью v. Пусть волна вдоль шнура распространилась до точки с координатой Jr. Бусина в этой точке будет иметь такую же фазу колебаний, как и первая, но i более поздний момент времени распространения волны, т. е. отставать на i = -^. Следовательно, уравнение колебаний бусины вдоль оси Оу около по-0 южения ее равновесия, имеющего координату лг, будет повторять уравнение юлебаний первой бусины, но с соответствующим отставанием по фазе: Это уравнение называют уравнением бегущей волны вдоль оси Ох. Важно понимать, что при распространении бегущей механической волны шстицы среды не перемещаются вместе с волной, а только совершают ко-юбания около своих положений устойчивого равновесия. Поэтому бегущая юлна не переносит вещество, а переносит энергию колебательного дви-кення. Словосочетание «колебания частиц совпадают по фазе» используют для 'ех частиц, участвующих в волновом процессе, которые в данпый момент нме-от одинаковые смещения от положения равновесия н одинаковые проекции ;корости. А фазы колебании таких частиц отличаются на четное число, умно-кенное на к: лл, где п — четное число. В зависимости от направления колебаний частиц среды относительно на-фавления распространения волны различают поперечные и продольные годны. Поперечной волной называется распространение колебательного процесса i среде, при котором частицы среды колеблются перпендикулярно направле-1ИЮ распространения волны. Рассмотренный пример колебаний бусин на шнуре является моделью воз-1ИКНОВСНИЯ и распространения поперечной волны. Условием распространения поперечных волн в среде является возникнове-[ие при деформации сдвига упругих возвращающих сил. Поэтому поперечные |j юлны могут распространяться в твердых веществах, вдоль упругих шнуров, II :трун и т. д,, на поверхности жидкостей. Адукацыйны партал www.adu.by 218 Колебания и волны Сгущения Сгущения Разрежения Разрежения Продольной волной называет-ен pact!ространенне колебательного tiponecca в среде, при котором частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. Продольные волны возникают при деформации сжатия или растяжения. Примером продольных волн может служить распространение колебате.[1ьного процесса вдоль ряда подвешенных шариков, которые скреплены друг с другом одинаковыми пружинками {рис. 218, ti). EaiH вывести из положения равновесия один из шариков н отпустить, то в горизонтальном направлении за счет взаимодействия шариков и пружинок начнет распространяться продольная волна, представляющая собой сгущения и разрежения витков пружин (рис. 218, б). При атом каждый шарик колеблется вдоль направления распространения волны. Продольные волны могут, например, возникать, если в длинной трубке с воздухом возле одного из концов поршень совершает колебательное движение (рис, 219). В зтом случае в воздухе будет распространяться упругая волна, представляюнщя собой чередование сгущений и разрежений среды, которое будет характеризоваться периодическим изменением плотности или дааления в среде. Мембрана микрофона, установленного возле другого конца трубки, начнет колебаться под воздействием воздуха, и стрелка присоединенного к микрофону гальванометра также начнет колебаться. Продольные волны могут возникать и распространяться в вешестве, нахи-дяшемся в любом состоянии: твердом, жидком и газообразном. Поперечные волны возникают и распространяются только в твердых веществах. Необходимо отметить, что распространение механических воли определяется передачей энергии колебательного движения от одной частицы к другой. Но частицы среды лишь колеблются возле положений равновесия, а распро- Рис. 218 Адукацыйны партал www.adu.by Механические волны 219 Рис. 219 страняющаяся волна переносит энергию в пространстве. Энергия, переносимая волрюй, равна сумме кинетических энергий колеблющихся частиц и потенциальной энергии упругой деформации среды. Главные вьгводы 1. Механическая волна — это гфоцесс распространения колебаний от одной частицы среды к другой. Период колебаний частиц среды, т, е. период волны, определяется источником колебаний. 2. При распространении механической волны частицы среды не перемещаются вместе с волной, а только совершают колебания около своих положений устойчивого равновесия. Поэтому бегущая волна не переносит вещество, а переносит энергию колебательного движения, 3. В зависимости от направления колебания частиц среды относительно направления распространения волны различают поперечные и продольные волны. Контрольные вопросы 1. Что называется механической волной? При каком условии возможно распространение волны среды? 2. Чем определяется период или частота волны? 3. Какие волнь[ называются поперечными? В каких средах они могут распространяться? 4. Какие волны назь[ваются продольными? В каких средах они могут распространяться? 5. При каком условии амплитуда бегущей волны постоянна? 6. Что имеют в виду, говоря, что две частицы среды колеблются в одинаковой фазе? 7. Что переносится бегущей волной; вещество или энергия? Адукацыйны партал www.adu.by 220 Колебания и волны Упражнение 39 1. На поверхности воды распространяется волна со скоростью 3 Что можно сказать о скорости частиц на гребнях волны? 2. Амплитуда бегущей волны 20 см. Какой путь проходят частицы среды за время, равное двум периодам колебаний? 3. На рисунке 220 показана поперечная волна, распространяющаяся влево. Покажите стрелками направление скоростей частиц среды Д, В, С, D. 4. На рисунке 221 показано направление скорости частицы А изображения поперечной волны. В каком направлении распространяется волЕ1а? 5. Уравнение бегущей в среде волны имеет вид: у = 0,1 sin(2n/-2^') (м), t (с). Чему равны: а) амплитуда колебаний частиц среды; б) период их колебаний; в) фазовая скорость; г) время, в течение которого волна распространится от источника колебаний на расстояние 12 м? 6*. Поплавок колеблется на воде с периодом 1 с, скорость распространяющейся от него волны 2 На каких расстояниях от поплавка фаза колебаний частиц вода такая же, как непосредственно возле него? § 47. Скорость распространения волны. Длина волны Механическая волна — это процесс распространения колебательного движения в среде от частицы к частице, обусловленный взаимодействием между ними. Следовательно, скорость распространения механических волн в среде должна зависеть от сил взаимодействия между частицами среды. Адукацыйны партал www.adu.by Скорость распространения волны. Длина волны 221 При рассмотрении механических деформаций мы обсуждали, что силы взаимодействия в веществе зависят от свойств молекул или атомов и расстояний, на которых они находятся. Опыты по изучению механических волн показывают, что скорость их распространения в однородной среде тем больше, чем меньше плотность вещества и чем более упругим оно является. При изучении простейших упругих деформаций растяжения и сжатия мы познакомились с одной из характеристик упругих свойств вещества — продольным модулем упругости, или модулем Юнга Е. Установлено, что при распространении продольных волн вдоль стержня их скорость определяется но формуле: где 0)| — скорость про- дольной волны, Е — модуль Юнга для вещества стержня, р — плотность вещества стержня. Подобные формулы установлены для скорости распространения продольных и поперечных волн и для более сложных случаев. Скорость механических волн в среде определяется физическими характеристиками среды: упругими свойствами и плотностью. Различные виды упругой деформации характеризуются количественно отличающимися коэффициентами. Поэтому, например, в твердых телах продольные волны распространяются быстрее поперечных, и скорость продольных волн в железе с^|=5170 а поперечных— yj^-2550 Различия в скорости распространения продольных и поперечных волн в веществе используются для изучения особенностей его строения. Например, в геофизике изучается распространение продольных и поперечных волн в земном коре, что позволяет получать информацию о ее строении и определять расположение эпицентров землетрясений. 1Хдн характеристики волн применяют понятие длина волны, которое можно ввести двумя способами ^рис.^^у, 1) длиной волны X называется расстояние, на которое распространяется колебательный процесс в среде за время, равное периоду колебаний ее частиц; Адукацыйны партал www.adu.by 222 Колебания и волны 2) длиной водны X называется расстояние между двумя ближайшими точками fieiymcfi волны, которые колеблются в одинаковой фазе. В том, что чти два варианта онредсления длины волны равноправны, легко убедиться, проанализировав развитие волнового процесса на рисунке 222, Пусть известны период Т и екорость волны и. Тогда согласно первому варианту определения длины волны: 1 = vT. Как мы уже обсуждали, период волны определяется источником колебаний, а скорость обусловлена свойствами среды, поэтому при распространении колебательного процесса из одной среды в другую изменяются скорость и длина волны, а частота и период не изменяются. На границе раздела двух сред может происходить отражение и преломление механических всшн, подобное отражениво и преломлению света, которое вы рассматривали в оптике. При этом .законы отражения и преломления механических воли аналогичны законам отражения и преломлении света. На практике наблюдаются два типичных случая отражения, один из которых иаз1.1вают отражением с потерей полуволны, а второй ^— отражением бел потери полуволны. В cfiynae отражения с потерей полуволны (рис. 223), если волна до отражения двигалась гребнем вперед, то после отражения волна будет распространяться впадиной вперед (и наоборот), т. е. при таком отражении фаза вюлиы и.зменя-ется на противоположную. Такое отражение наблюдается на границе двух сред, если скорость раснространення волны во второй среде меньше, чем в первой. Если во второй среде скорость распространения волны больше, чем в первой, то от границы этих сред происходит отражение без потери полуволны, т, е. если волна до отражения двигалась гребнем вперед, то и после отражения она будет распространяться гребнем вперед. Рассмотрим простейшую модель одного из интересных случаев распространения и отражения волн на примере инти, один конец которой привя-■зан к молоточку звонка, а к другому концу через блок подвешена маленькая гирька (рис, 224). Частицы нити передают друг другу колебания от мсшоточка, и волна распространяется до блока, вызывая вынужденные колебания груза. Эти колебания порождают отраженную волну той же частоты. Таким образом, каждая точка нити участвует в двух колебаниях, которые приходят с разных сторон. Адукацыйны партал www.adu.by ЁШРбйть распространения волны. Длина волны 223 Рис. 224 Если изменять расстояние от молоточка до блока, то можно наблюдать, как при некоторых расстояниях возникают так называемые стоячие волны. Стояние волны возникают только тогда, когда на расстоянии от источника до препятствия, отражающего волны, укладывается целое число четвертей волны. Название «стоячие волны» возникло потому, что при распространении таких волн нет перемещения фазы между колеблющимися точками, а некоторые из точек стоячей волны совсем не колеблются. Узлами называются те точки стоячей волны, которые не колеблются. Например, точки Л, В, С на рисунке 224. Расстояние между соседними узлами составляет половину длины стоячей волны. Пучностями называются точки стоячей волны, амплитуды которых максимальны. Например, точки Е, F на рисунке 224. Стоячие волны можно наблюдать на натянутых горизонтально канатах, струнах. Причем в зависимости от точки воздействия на струну одной и той же длины в ней одновременно могут возникать одна или несколько кратных ей стоячих волн. В окружаюнюм мире мы часто наблюдаем возникновение и исчезновение (затухание) волн. Например, на спокойной поверхности воды в пруду волны от брошенного камешка довольно быстро исчезают. Или на поверхности лужи при резком порыве ветра вдруг возникает «рябь» — много мелких волн, которые могут исчезнуть так же быстро. Затуханием волны называется уменьшение ее амплитуды в процессе распространения. Колебательному движению частиц среды прелятствугот силы сопротивления, В результате этого энергия колебательного движения частиц переходит во внутреннюю энергию вещества, и волны затухают. Адукацыйны партал www.adu.by 224 Колебания и волны Главные выводы 1. Скорость механических волн зависит от физических характеристик среды: ее упругих свойств и плотности. 2. Д1ИНОЙ волны называется расстояние, на которое распространяется колебательный процесс в однородной среде за время, равное периоду колебании частиц волны (или расстояние между двумя точками волны, колеблющимися в одинаковой фазе). 3. При переходе в другую среду период и частота волны остаются постоянными, а скорость распространения волны изменяется, поэтому изменяется и длина волны. 4. При различии в скоростях распространения волн в двух средах на их границе происходит отражение и преломление волны. 5. Реальное колебательное движение частиц в любой среде происходит при наличии сил сопротивления, и поэтому механические волны в любой реальной среде затухают. Контрольные вопросы 1. От чего зависит скорость распространения механических волн? 2. От чего зависит длина механической волны? 3. Будут ли распространяться механические волны в вакууме? Почему? 4. Почему продольные и поперечные волны распространяются в одном и том же веществе с различной скоростью? 5. Плотность стали и чугуна почти одинакова, а модуль упругости стали примерно в 2 раза больше модуля упругости чугуна. Механические волны одновременно начали распространяться по одинаковым по форме и размерам стержням из чугуна и стали. По какому из стержней волны пробегут за меньшее время? Упражнение 40 1. Мимо неподвижного наблюдателя но озеру за 10 с прошло 4 гребня волн. Чему равен период волны? 2. В океане длина волны достигает 270 м, а ее период — 13,5 с. Найдите скорость этой океанском волны. 3. Человек занимается серфингом и, находясь на доске, движется вместе с волной. С какой скоростью волна несет человека, если при длине волны 25 м колебания частиц поверхности воды происходят с периодом 1,5 с? 4. Расстояние между ближайшими гребнями волн в море 6 м. Лодка, привязанная к причалу, качается на волнах, движущихся со скоростью 2 Чему равна частота ударов волн о корпус лодки? Адукацыйны партал www.adu.by зуковые волны 225 , Волна распространяется со скоростью 6 при частоте 4 Гц. Чему равна разность фаз точек волны, отстоящих друг от друга на расстоянии 50 см? , Волна от катера, проходящего по озеру, дошла до берега через 1,0 мин, причем расстояние между соседними гребнями 1,5 м, а время между двумя последовательными их ударами о берег 2,0 с. Как далеко от берега проходил катер? § 48. Звуковые волны Окружающий мир наполнен огромным количеством звуков, которые изда-т люди, птицы и другие животные, машины и т. д. Что же такое звук и как ^ возникает? Проведем опыт с металлической тарелкой из ударных инструментов оркес-)а (рис, 225). Ударим по краю тарелки, когда она находится на стойке и когда на лежит на мягком кресле. В обоих случаях мы услышим звуки, но они будут отличаться. Почему зву-н разные? Тарелка на стойке после удара достаточно долго колеблется, лежащая на )есле — практически не колеблется. Различные опыты показывают, что звук возникает только от колеблющих-I тел, которые называют источниками звука. Каким же образом звук до-'игает уха человека? На этот вопрос ответил в 1660 г. английский ученый Р, Бойль, Он изучал нучание колеблющихся тел, помещенных под колокол воздушного насоса же. 226). При наличии под колоколом воздуха звук от звонка хорошо слы- Адукацыйны партал www.adu.by 226 Колебания и волны 1 1иел. При откачивании из под кодокода водчуха громкость звука уменьшается, и наконец звук совсем исчезает. Если впустить воздух под колокол, то вновь слышен громкий звук. Следовательно, для распространения звука от колеблю-uiei'ocB тела необходима среда. Кроме того, калщый знает, что звуки слышны в воде, через стекло, стены и т, д. Дело в том, что в окружающем мире: в воздухе, воде, почве, зданиях, мостах, рельсах, автомобилях, мебели н т. д. — непрерывно распространяются разнообразные колебания от различных источников колебаний. Механические волны в интервале частот приблизительно от 20 Гц до 20 000 Гц слуховая система человека воспринимает как звуковые колебания, а колебания других частот ощущаются нами в основном как вибрация, толчки, удары и т. н. Акустикой называется раздел физики, изучающий возникновение и распространение звуковых волн. Большинство звуковых волн достигают уха человека по воздуху, а в газах, как мы обсуждали, распространяются только продольные волны, представляющие собой области сгущения или разрежения молекул, т. е. периодические изменения плотности и давления. Именно периодические изменения давления воздуха вызывают вынужденные кулеба!!ия ущной барабанной перепонки, которые сложным образом преобразуются в сигналы, распространяющиеся по нервам в кору головного мозга. Барабанная перепонка и остальная сложная система, определяющая слух человека, способны преобразовывать в нервные импульсы лишь определенный диапазон частот механических колебаний, в среднем от 20 Гц до 20000 Гц. Поэтому ввели следующие определения. Звуком называется волновой процесс, распространяющийся в твердых телах в виде продольных н поперечных воли, а в жидкостях и газах в виде продольных воли с частотой в пределах 20—20 000 Гц, Инфразвуком называются волны с частотой меньше 20 Гц, а ультразвуком — с частотой больше 20 000 Гц. В последнее время при изучении вещества интенсивно используется гиперзвук с частотой порядка 10'*Гц. Частота я период звуковой волны определяются источником звука, т. е. акустическим или звуковым вибратором. Скорость звуковых волн, как и всех механических волн, зависит от упругих свойств среды и ее плотности. В воздухе, в зависимости от его температуры и Адукацыйны партал www.adu.by вуковые волны 227 важности, скорость звука 330—340 в вода, в зависимости от темпсрату- ы и примесей, — 1480—1530 в железе — около 5850 Длину звуковой волны можно вычислить, как и для всех механических элн, по формуле: ^ ^ ^ X = vT. Для сравнения звуков используют различные слова, например «высокий» ли «низкий», «металлический» или «музыкальный», при сравнении голосов эворят «бас» или «тенор» и т. д. Измерения показывают, что звуки, воспринимаемые человеком как «тонне», «высокие», имеют большую частоту, чем звуки «низкие». При зтом, как равило, каждое звучащее тело создает свой набор звуковых воли нескольких астот, в результате чего звуки от разных колеблющихся тел отличаются. Музыкальным тоном называется звуковая волна одной частоты, подчиняющаяся гармоническому закону. Для настройки музыкальных инструментов используются камертоны рис, 227), каж-тый из которых сделан так, что создает, практически, звук од-юй частоты, или один музыкальный тон. Для тех, кто занимается музыкой или пением, интересно будет знать, что он «ля» первой октавы (рис, 228) соответствует частоте 440 Гц. том «ля» iTopofi октавы — частоте 880 Гц и т. д. Голос, способный и.здавать звуки низкой частоты, называется, басом, (Нижний» рекорд да я баса — звук при частоте 44 Гц. Самая высокая нота, фопетая певицей, соответствовала частоте 2300 Гц. Рис. 228 Адукацыйны партал www.adu.by 228 Колебания и волны Рис. 229 Так как большинство звучащих тел создают целый набор звуковых частот, то для описания создаваемых ими звуков принято использовать целый ряд терминов. Основным тоном называется звук наименьшей частоты, издаваемый звучащим телом. Обертонами называются звуки более высоких частот, чем основной тон, их частоты являются кратными частоте основного тона. Тембр сложного звука определяется количеством тонов и их частотами. Тембр определяет неповторимость звуков человеческих голосов н различных музыкальных инструментов. В струнах музыкальных инструментов {рис. 229) возникают стоячие волны. Частота стоячей волны зависит от точки воздействия на струну. Поэтому в руках умелого гитариста одна струна может петь, почти как целый оркестр. Основной тон голоса человека определяется так называемыми голосовыми связками: чем они тоньше и короче, тем больше частота колебаний и выше голос. Но неповторимость и красоту голоса создают обертоны, которые возникают при колебаниях не только связок, но и губ, языка и т, д. Чем отличается музыкальный звук от шума? Шумом называется такой сложный звук, в котором нельзя выделить отдельные гармонические тоны. Поэтому волчий вой и комариный писк — звуки музыкальные, а барабанный бой и стук кастаньет являются шумом. А чем отличаются «громкие» и «тихие» звуки? Громкость звука зависит от энергии колебаний звуковой волны и особенностей слухового аппарата человека. Самые тихие звуки, воспринимаемые человеком, вызывают колебания барабанной перепонки с энергией порядка Ю“'*'Дж. Самые громкие звуки (еще без болевых ощущений), например недалеко от взлетающего реактивного самолета, соответстауют энергии колебаний порядка 10"‘'Дж. Кажется, что энергия Ю’^'Дж = 0,1 мДж очень маленькая, но для маленькой и тонкой барабанной перепонки превышение этой энергии может привести к ее разрыву. Адукацыйны партал www.adu.by Звуковые волны 229 Единица громкости называется белом (Б) в честь физика Генриха Бела. На практике чаще используют децибел: 1 дБ = 0,1 Б, На рисунке 230 представлена диаграмма громкости звуков от различных источников. Тиканье часов или шепот на расстоянии I м соответствуют 10 дБ, а звуковая волна громкостью порядка ! 30 дБ вызывает ощущение боли. Объективной физической характеристикой звуковой волны, определяюищй ее громкость, является интенсивность. Интенсивностью звука / называется физическая величина, Рис. 230 равная энергии, переносимой звуковой волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны. Интенсивность определяется по формуле: St где W — энергия звуковой волны, переносимая через поверхность площадью 5 в течение времени t. Для интенсивности нет специальной единицы измерения, и она измеряется в ваттах на квадратный метр Точечным источником звука называется колебательная система, размеры которой много меньше длины создаваемой ею звуковой волны. Например, при частоте звука 500 Гц и скорости в воздухе 340 длина звуковой волны А = 0,68 м = 68см, и маленький колокольчик можно считать точечным источником, В этом случае волны распространяются как бы из точки и будут сферическими по форме. На расстоянии г от источника площадь сферической »-поверхности 5 = 4тсг'^ w Р I 4пг'^ ’ Адукацыйны партал www.adu.by 230 Колебания и волны где Р — мощность источника, т, е. энергия звуковых воли, создаваемая им в одну секун;]у. Если мощность источника постоянна и нотерями энергии колебательного двушения можно пренебречь, то интенсивность сферической звуковой ванны убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до источника, При увеличении расстояиня в 2 раза интенсивность звука уменьшается в 4 раза. Как мы уже обсуждали, слуховой аппарат челоЕ1ека и обрабатЕ^шающие звуковую ИЕЕформацню системы коры головного мозга способны распознавать ЛЕЕшь звуки в определеннЕях интервалах громкости и частоты. Под акустическим загрязнением понимают распространение в окружаво-Ецем человека пространстве очень большого количества шумовых звуков или звуков болышй громкости. При акустическом загрязнении человек не может правильЕЕО воспринимать информацию, некоторые люди ощущают боль, может повышаться артериальное давлеЕше и т. п. Например, если в классе звучат два голоеа: учитель задает вопросы, а ученик отвечает, то слуховая система всех остальных уче)!иков способна воспринимать, а мозг способеЕ! обрабатывать и запомиЕЕать НЕ)формацию, переносимую звуковыми волнами от говоряищх. После звонка, на перемене, начинают говорить одиовременЕю практЕЕчески все Е1аходящиеся ее классе ученики. В этих условиях услышать, что говорит даже стоящий рядом человек, очень трудно. В совремеЕЕНом городе уровень уличЕюго шума может достигать 80—90 дБ, и это негативно влияет на работу слухового ariEsapara и мозга человека. Еще больший уровень шума соответствует концерту рок-музыкантов. Поэтому с течением лет чувствЕЕтельность их слуха снижается, они ставЕовятся «тугоухими», т. е. плохо слышат и воспрниимавот звуки и речь нормальной громкости. На основании исследований установЕлены санитарвЕые нормы, согласно которым безопасный уровень громкости звуков для человека jje должен и ре вел-шать 30—40 дБ. Главные выводы 1. ЗвукоЕи называется волновой процесс, распространяющийся в твердых телах в виде продольных и поперечных волн, а в жидкостях и газах в виде продольных волн с частотой в пределах от 20 Гц до 20 000 Гц, 2. Скорость звуковых волн зависит от упругих свойств и плотности вещества, в которых они распространяются. Адукацыйны партал www.adu.by >уковые волны 231 3. Музыкальные звуки представляют собой гармонические изменнющи-я звуковые волны. 4. При акустическом загрязнении окружающей человека среды может шжаться чувствительность его слуховой системы и могут возникать боле-.le ощущения. Контрольные вопросы 1. При каких условиях возникают и распространяются звуковые волны? 2. При полете большинство насекомых издают звук. Чем он вызывается? Чем отличаются полете движения крыльев комара и мухи? 3. У космонавтов, работающих на Луне, вышла из строя радиосвязь. Могут ли они пого. 'рить друг с другом? 4. Почему 6 тумаке звуки распространяются быстрее? 5. Какой звук — низкого или высокого тона — имеет большую длину волны? 6. Как изменяются частота, период и длина звуковой волны при переходе из воды в воздух? 7. Если ударить молотком по одному концу длинной металлической трубы, то человек у (угого конца услышит двойной удар. Почему? Упражнение 41 . В воздухе скорость звука 340 у. Рассчитайте длины звуковых води мужского и женского голосов, основные тоны которых соответствуют частотам 80 Гц н 1400 Гц. . Человек сбросил камень в пропасть глубиной 180 м. Через какое время после начала движения камня он услышит звук удара камня о дно, если скорость звука в воздухе 340 -^? . Найдите скорость звука в воде, если колебания с периодом 0.005 с вызывают звуковую волну длиной 7,175 м. . Звук распространяется из воздуха в воду. Во сколько раз изменяется при этом переходе длина его волны, если скорость звука в воде 1500 а в воздухе — 340 , Человек услышал удар грома через 5,0 с после того, как увидел молнию. На каком расстоянии от человека была молния? = 340 ', При стрельбе по мишени пуля вылетела из ружья со скоростью 700 Стрелок услышал звук от удара о мишень через 3,0 с после выстрела. На каком расстоянии от стрелка расположена мишень? Адукацыйны партал www.adu.by 232 Колебания и волны 7. Найдите частоту звуковьо; колебаний в стали, если расстояние между ближайшими точками звуковой волны, отличающимися по фазе на 0,57с, составляет 1,54 м. Скорость звука в стали 5000 8. Найдите разность фаз между двумя точками звуковой волны, отстоящими друг от друга на расстоянии 25 см, если частота колебаний 680 Гц, а скорость звука в воздухе 340 9* Узлы стоячей волны, создаваемой камертоном в воздухе, отстоят друг от друга на расстоянии 40,0 см. Найдите частоту колебаний камертона, если скорость звука в воздухе 340 § 49. Звуковые явления Так как скорость звука зависит от упругих свойств среды и ее плотности, то при переходе из одной среды в другую скорость звука скачком изменяется. Поэтому для звуковых волн на границе двух сред могут наблюдаться явления отражения и преломления. Волна, распространяющаяся нз первой среды, вызывает вынужденные колебания частиц второй среды. Колебания зтих частиц являются источником новых звуковых волн, которые распространяются не только во второй среде, но и в первой. Так возникают отраженные и преломленные звуковые волны. Отражение волн можно рассмотреть на следующем примере. Капнем из пипетки маленькую каплю воды в прямоугольную ванночку с водой. От места падения капли начинает распространяться круговая волна, от края ванночки волна отражается и движется в обратном направлении (рис. 231). Эхом называется отраженная звуковая волна, возвратившаяся к источнику звука. В окружающем мире 3X0 наблюдается при отражении от скал, стен зданий и т, д. (рис. 232). При этом вогнутые арки зданий и каменных мостов отражают звуковые волны лучше всего. В закрытом большом помещении, например в театре, может происходить многократное отражение звуковых волн от стен и потолка, поэтому в момент прекращения действия источника звук не сразу ис-Рис. 231 чезает. Адукацыйны партал www.adu.by Звуковые явления 233 Рис, 232 Реверберацией (послезвучанием) называется /величение продолжительности звука из-за его отражения от окружающих предметов. Реверберация зависит как от объема помещения, так и от его формы, материала потолка, стен, пола, мебели. Время реверберации является важнейшей характеристикой тех больших помещений, в которых выступают актеры, ораторы, музыканты, и его следует учитывать при их проектировании. Часто говорят, что в помещении «хорошая акустика», если голос человека без микрофона со сцены можно достаточно хорошо услышать даже на большом удалении от нее. Если такое помещение заполнено людьми, то время реверберации порядка 2 с, а если помещение пустое, то время реверберации примерно в 2 раза больше. Эхо может быть использовано для звуколокации, т, е, оценки расстояний до отражающих звуковые волны предметов. Например, можно измерить промежуток времени между моментами испускания звука и моментом его возвращения к источнику после отражения. Пройденный звуком путь S туда и назад одинаков, тогда измеренный промежуток времени: и где V — скорость звука. В результате можно рассчитать расстояние до места отражения звуковой волны: с —М 2 ■ На практике для звуколокации (эхолокации) лучше использовать неслышимые человеком ультразвуки. Это обусловлено тем, что ультразвуковые волны большой мощности можно получать направленными, т. е. в виде узкого пучка волн. Это позволяет не только оценить расстояние, ко и определить направление на отражающий звук объект. Например, для определения глубины водоемов (рис. 233), поиска косяков рыбы и т. п, используются эхолоты — приборы, излучающие ультразвуковые волны и принимающие их после отражения. В живой Рис. 233 I 6. Зак 12. Адукацыйны партал www.adu.by 234 Колебания и волны природе дельфины и летучие мыши используют ультразвуки для ориентации в пространстве и при ловле добычи. Звуколокаторы позволяют находить различные повреждения в изделиях (полости, трещины и т. д). Ультразвуковая диагностика (УЗИ) (рис. 234) используется в медицине для обнаружения опухолей, заболеваний внутренних органов и т. п. Если частота звуковой волны совпадает с собственной частотой колебаний какой-либо колебательной системы, то наблюдается акустический резонанс. Например, обычный камертон издает достаточно тихий звук, и поэтому его устанавливают на деревянном ящике (см. рис. 227) с собственной частотой колебаний, равной частоте камертона. Благодаря резонансу стенки ящика колеблются с большой амплитудой, и звук становится гораздо громче, поэтому ящик называют резонатором . Резонаторами являются корпуса (деки) большинства музыкальных инструментов (рис. 235), а также полости рта и носа человека. В духовых инструментах акустическими резонаторами являются трубы, а явление резонанса наблюдается для колебаний воздуха, который их заполняет. Рис. 234 Рис. 235 Адукацыйны партал www.adu.by Звуковые явления 235 В последнее время большое значение приобрело изучение и использование инфразвуков'. V < 20 Гц. Мощные инфразвуковые волны в земной коре могут возникать при землетрясениях, извержениях вулканов и взрывах различной природы. Кроме тога, инфразвуки возникают при работе мощных двигателей, выстрелах из орудий, мощных потоках воздуха. Знание особенностей возникновения и распространения инфразвуков позволяет контролировать состояние земной коры, тестировать работу двигателей и т. п. Главные выводы 1. При прохождении границы двух различных сред наблюдается отражение и преломление звуковых волн, 2. Эхом называется отраженная звуковая волна, возвратившаяся к источнику возникновения звука, 3. Отражение звуковых волн используется для определения расстояний до различных объектов, обнаружения дефектов в различных деталях, диагностики в медицине. Контрольные вопросы 1. Почему скорость заука изменяется при прохождении границы двух раэличньгх сред? 2. Как объяснить возникновение отраженной вопны? 3. В каких случаях и почему возникает эхо? 4. Почему наиболее сильное эхо возникает от вогнутых поверхностей арок зданий и каменных мостов? 5. Почему в концертном зале с хорошей акустикой можно слушать выступление артиста без микрофона? 6. Камертон в одном случае зажат в тисках, а в другом — закреплен на резонаторном ящике. В обоих случаях его ударяют с одинаковой силой. В каком случае и почему камертон будет звучать дольше? Упражнение 42 1. Человек услышал эхо своего голоса через 0,50 с после произнесения звука, На каком расстоянии от человека находится стена, отразившая звук, если скорость звука равна 340 -^? 2. Какова глубина моря, если ультразвуковой сигнал эхолокатора возвратился через i,5 с? Скорость звука в воде 1480 у. Адукацыйны партал www.adu.by 236 Колебания и волны 3. Во сколько раз изменится длина звуковой волны при переходе звука из воздуха в воду, если скорости звука в воде и воздухе соответственно равны 1435 и 340 -^? 4. Расстояния от источника звука до точек Л и S в воде соответственно равны 80 м и 105 м. Источник испускает волны частотой 28 Гц. Определите разность фаз звуковой волны в точках Л и В. Скорость звука принять равной 1400 с 5. Дорожный мастер, приложив ухо к рельсу, услышал звук начавшего движение поезда, а через t — 2,0 с после этого до него донесся гудок локомотива при отправлении. На каком расстоянии от станции отправления находился мастер? Скорости звуковых волн в воздухе и в стали принять равными соответственно 330 и 5000 Адукацыйны партал www.adu.by «Один опыт я ставлю выше, чем тысячу мнений, рожденных только воображением». М. в. Ломоносов Адукацыйны партал www.adu.by 238 Лабораторный эксперимент Лабораторная работа 1 Определение массы тела динамическим методом Цель работы: определить массу тела конического маятника динамическим методом; рассчитать абсолютную погрешность прямых измерений модуля результирующей силы, действующей на тело. Оборудование; штатив с муфтой и кольцом, груз из набора по механике, нить длиной 50—60 см, два двойных листа бумаги в клеточку, приклеенных друг к другу (на листах начерчена окружность, /? = 15 см), динамометр, секундомер, линейка. Вывод расчетных формул При движении по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью тело массой т имеет центростремительное ускорение а, направленное к центру окружности. Если по окружности движется тело, подвешенное на нити, то нить описывает коническую поверхность, и такое тело называется коническим маятником (рис. 236). По второму закону Ньютона движение тела происходит под действием результирующей двух сил, приложенных к нему: силы тяжести mg груза и силы упругости нити F (см. рис. 236): fp = mg4-A Модуль результирующей силы Ер можно измерить динамометром при таком же отклонении груза. С другой стороны, модуль результиругопюй силы: Fp = ma„. (1) Модуль нормального (центростремительного) ускорения можно определить по формуле: ' ''' (2) Рис. 236 а - где Т — период вращения, R — радиус окружности. Адукацыйны партал www.adu.by лабораторный ajtcnepLHMfeinr 239 Тогда (3) Порядок вь!полнения работы 1. Нить длиной 50—60 см привяжите одним концом к грузу, а другим — к кольну штатива. Закрепите лист бумаги так, чтобы центр начерченной окружности находился под висящим грузом. Взявшись за нить вблизи точки подвеса, приведите груз в равномерное движение по окружности так, чтобы он двигался над начерченной на бумаге окружностью {см. рис. 236), 2. Для нахождения периода вращения измерьте с помощью секундомера за промежуток времени t 10 оборотов груза. Для этого один из учащихся фиксирует начало отсчета времени словом «нуль», а второй с этого момента начинает вслух отсчет оборотов движения груза. Измеренный промежуток времени t и N-10 оборотов груза занесите в таблицу. Повторите измерение 5 раз и все результаты занесите в таблицу, Рассчитайте среднее время движения по формуле: (/) = № опыта N Л с 1 2 3 4 5 Среднее 3. Рассчитайте среднее значение периода вращения груза, разделив среднее время на число оборотов: 4. Измерьте не менее 3 раз радиус окружности R и рассчитайте среднее значение {R) и модуля нормального ускорения по формуле: Адукацыйны партал www.adu.by 240 Лабораторный эксперимент 5. Зацепив динамометр за груз в точке подвеса, отведите его от центра окружности на расстояние /? и по показаниям шкалы динамометра определите модуль результирующей силы F^,. Опыт повторите 5 раз и вычислите среднее значение модуля результирующей силы {F^}. 6, Определите т груза по формуле: т = 4Tt^(R) ■ 7. Рассчитайте абсолютную погрешность прямых измерений AF^ модуля равнодействующей силы Fp. Результат прямых измерений Fp запишите в интервальной форме: Fp = (Fp) ± AFp. Контрольные вопросы 1. Что называется периодом вращения? Как его можно определить? 2. Как направлена равнодействующая силы тяжести шарика и натяжения нити? Почему? 3. Как зависит сила натяжения нити от угловой скорости шарика? Выводы Суперзадание. Считая массу груза неизвестной, определите силу натяжения нити при равномерном вращении груза. Лабораторная работа 2 Изучение движения тела, брошенного горизонтально Цель работы: определить модуль начальной скорости, сообщенной телу в горизонтальном направлении, при его движении под действием силы тяжести; рассчитать абсолютную погрешность прямых измерений дальности полета тела. Оборудование: штатив с лапкой, шарик, лоток для пуска шарика, листы белой и копировальной бумаги, линейка. Вывод расчетных формул Движение шарика, брошенного горизонтально, происходит по параболической траектории. Выберем за начало координат начальное положение шарика, ось Оу направим вертикально вниз, а ось Ojc — горизонтально. В этой системе отсчета кинематические законы движения шарика вдоль осей Ох и Оу будут иметь вид: ^ р где Vo, = Vo, gy = g. ■ = ^^oЛ у = -т Адукацыйны партал www.adu.by 241 Рис. 237 В последний момент движения шарика конечная координата по оси Оу y^^=h, а конечная координата по оси Ох x^=L — дальности полета. Следовательно, L = vJ^, и промежуток времени падения: /„ = ^ модуль началь- ной скорости; Порядок выполнения работы 1. Укрепите в штативе лоток так, чтобы загнутый конец был расположен горизонтально на высоте 20—30 см {рис. 237). 2. Отметьте мелом положение на лотке, откуда будете пускать шарик. Сделайте пробный опыт и заметьте, в какую точку стола упал шарик. Положите лист копировальной бумаги на лист белой бумаги в месте падения шарика. Лист белой бумаги предварительно закрепите скотчем. 3. Положите шарик на лоток там, где проведена метка, и отпустите его. Отметьте на белом листе цифрой / точку приземления шарика. 4. Если провести опыт несколько раз, то значение дальности полета будет иметь некоторый разброс из-за влияния различных причин, которые невозможно учесть. Поэтому повторите опыт не менее 5 раз, проверяя горизонтальность конца лотка и отмечая каждый раз точку приземления шарика цифрами /, 2, 3, 4, 5. 5. Измерьте во всех опытах высоту падения и дальность полета шарика. Данные занесите в таблицу. Адукацыйны партал www.adu.by 242 Лабораторный эксперимент № опыта h, М L, М [ 2 3 4 5 Среднее 6. Найдите среднее значение высоты; , м 1 Повторные измерения ' 2 Повторные измерения 3 Повторные измерения 4 Повторные измерения 5. Используя метод подсчета цифр, рассчитайте силу упругости пружины по формуле (1) при подвешивании одного, двух, трех и четырех грузов = Занесите данные расчетов в таблицу, 6. Для нахождения среднего значения жесткости пружины {k) постройте график зависимости модуля силы упругости от абсолютного удлинения при различном количестве грузов. 7. Выбрав точку С на графике так, чтобы соответствующие этой точке графика значения силы /у; и удлинения Xq были по возможности большими, но не выходили за интервалы измерения модуля силы, определите среднее значение {k)'. (^)=Л. I^ct Контрольные вопросы 1. К чему приложены сила упругости и вес груза? 2. Для любого ли количества грузов будет выполняться прямая пропорциональная зависимость модуля силы упругости F от абсолютного удлинения х? Почему? Выводы Суперзадание. Как изменится жесткость пружины, если длину пружины уменьшить на Д ? V Адукацыйны партал www.adu.by Л|6враторный эксперимент 245 Лабораторная работа 4 Определение коэффициента трения скольжения Цель работы; определить коэффициент трения скольжения дерева по дереву; рассчитать абсолютную погрешность прямых измерений веса бруска с грузами методом цены деления. Оборудование; деревянный брусок, доска, грузы известной массы, мерная лента (линейка). Вывод расчетных формул На движущийся деревянный брусок (рис. 239) действуют сила упругости пружины динамометра сила трения сила тяжести mg и сила реакции доски N. При равномерном движении бруска по доске векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю: Py^p + ^p+fng + N=0. Для проекций на ось Ojc, направленную вдоль движения бруска, ^уг,р-^тр=0. или Для проекций на ось Оу: -mg + N = 0, или mg = N. Модуль силы трения скольжения равен: F.^=yN -gmg. Тогда коэффициент трения скольжения равен: mg Модуль силы тяжести бруска можно определить, подвесив брусок на динамометре, Если подвешенный брусок покоится, то модуль силы тяжести равен модулю его веса, определяемого по показаниям динамометра; mg = P. Рис. 239 { Адукацыйны партал www.adu.by 246 Лабораторный эксперимент Следовательно, коэффициент трения скольжения можно определить по формуле: |=Др-. Порядок выполнения работы 1. С помощью динамометра измерьте вес бруска Р. Повторите измерения не менее 3 раз. Результаты занесите в таблицу. 2. На брусок положите груз, прикрепите динамометр и с помощью его равномерно перемещайте брусок по доске {см. рис, 239), отмечая значения силы упругости, равные по модулю силе трения: Опыт повторите не мепее 5 раз, а результаты измерений силы упругости занесите в таблицу. КопнчестЕО грузои Р. и (Р), н Н <Др>. н Повторные измерения Повторные измерения 1 2 3 3. Опыты !—2 повторите с двумя и тремя грузами. Данные занесите в таблицу, 4. Найдите средние значения (Р) и (Г^р) в опытах с 1, 2, 3 грузами. 5. Постройте график зависимости (Р^р) от (Я) бруска с грузами. По графику определите среднее значение козффи[щента трения (р) {аналогично жесткости пружины в лабораторной работе 3): <М) = <Р> • 6. По методу цены деления рассчитайте абсолютную погрешность АР прямых измерении модуля веса Р бруска с грузами. Запищите результат прямы.х измерений Я в интервальной форме; Я=(Я)± ДЯ. Контрольные вопросы 1. Что характеризует коэффициент трения скольжения? 2. От чего зависит коэффициент трения скольжения? 3. Почему коэффициент трения скольжения является безразмерной величиной? Адукацыйны партал www.adu.by Лабораторный эксперимент 247 Выводы Суперзадание. Как с помощью линейки, бруска с грузами и доски определить коэффициент трения скольжения дерева по дереву? Лабораторная работа 5 Проверка закона сохранения импульса Цель работы: определить импульсы замкнутой по направлению системы до и после взаимодействия тел, входящих в нее; проверить закон сохранения импульса; рассчитать абсолютную погрешность прямых измерений дальности полета одного из шаров. Оборудование: штатив с лапкой, лоток, два шара одинакового объема и разной массы, листы белой и копировальной бумаги, линейка, весы, разновес. Вывод расчетньЕХ формул Если шар скатывается с лотка, конец которого расположен горизонтально (рис. 240), то в конце лотка он приобретает скорость, вектор которой направлен горизонтально. Следовательно, импульс шара Д-то, также направлен горизонтально. Проекцию скорости 0,^ на ось Оа' легко определить, измерив дальность полета Lx и высоту Н\ = П) Рис. 240 248 Лабораторный эксперимент Тогда проекция импульса первого шара на горизонтальную ось Ох равна: (2) Если поместить на краю лотка второй шар, то в конце скатывания первого шара с той же высоты произойдет соударение шаров. Так как второй шар до удара был неподвижен, то его импульс Ро=0. После взаимодействия шары имеют скорости и направленные горизонтально, и, соответственно, будут отличаться дальности их полета: Ц и Ц. Соответственно, проекции импульсов шаров: (3) (4) Так как внешние действующие на шары силы (тяжести н реакции опоры) имеют равные нулю проекции на ось Ох, то можно записать закон сохранения импульса ;цля проекций на это направление: или, используя со* отношения (2), (3) и (4): f Ц) Z., = . (5) Таким образом, можно убедиться в справедливости закона сохранения импульса, проверив, выполняется ли равенство (5). Порядок выполнения работы 1. Измерьте массы шаров Ш| и на весах, повторив измерения 3 раза, 2. Укрепите лоток в лапке штатива так, чтобы конец лотка был расположен горизонтально примерно на высоте Я = 20 см от поверхности стола (см, рис. 240). 3. Сделав метку на лотке, пустите с этого положения шар большей массы Ш| и понаблюдайте, в каком месте стола упадет шар. Закрепите в этом месте лист белой бумаги, а сверху — лист копировальной бумаги, 4. Поместите первый шар (массой /П)) на метку и отпустите. По оставленной им метке на белом листе определите дальность полета Е|. Опыт повторите 5 раз, данные занесите в таблицу. Найдите среднее значение (Z,)). Адукацыйны партал www.adu.by Лабедаторныйчэаспаримент 249 № опыта ГП[, кг «2, кг ii, М м 1^. м 1 2 * 3 4 5 Среднее 5. Установите на краю лотка второй шар меньшей массы и отпустите первый шар с того же места, что и в задании 3, По меткам на белом листе найдите дальности полета шаров Ц и L^. Опыт повторите 5 раз и найдите среднее значение (Ц) и (Zi), Все данные занесите в таблицу, 6. Проверьте выполнение закона сохранения импульса, подставив значения 3*. 0.33 4; 25 0,71 4. УпражнениеЗ. 4*.Таккака„= 0,034 4 н |До| =0,034 то с точностью до 0,001 — #>■* * I С с м н I ас I = и.иоч —, то с точностью до и,ои I ■ . I I С с Упражнение 4. I. Для алюминиевого 2,0см; для медного 6,6см. 2. 13см. 3. 0,80 4- '*• 20 кг; 22 кг, 5. Отношение масс 2,0. 6.2,0 т. С'' Упражнение 5. 1. 1 Н; 7 Н. 2. 5 Н под углом 37“ ко второй силе. 3. а) 180°; 6)0^; в) 120°. 4. Нет; да; да; да; нет. 5. а) 0,58; б) 1.1. 6*. 7Н. Упражнение 6. I. 3 4- 2- 25кг. 3. jf = jc„ +3/+ 4. Ют. 5. 12 4^ 8 4- с' 6.1-^. 7*. а)5,05кН; б)5,05кН; в)4,95кН; г)4,95кН. 8*. 20кН; 15 кН. Упражнение 7. !. 60 Н. 2. 98 Н; 98 Н. 3. 8,0 Н. 4. 2 Н. 5.0,11кН. 6. 1 кН. 7*. 0,60кН; 0,58 кН; 0,60 кН; 0,58 кН. 8*. 0,54 кН. Упражнение 8. 1. 9/?з. 2. 54/?з от центра Земли. 3. 0,17 Н. 4.2- 10“'° Н. 5*. 1,9- 10^^ кг. 6*. 2,0! ■ Ш'*°кг, Упражнение 9, 1. 2560 км. 2, На 25 %. 3. 1.7 4- 4. 3,7 4- &• 275 46*. 24,9 4- 7*. —лО<р)Д. С 3 Упражнение 10. 3. 50 5,0. 4. 80 м; 40 5. В 6 раз. 6. 5 1 с; 5 м. 8*. На 0,40 с; на 3,0 4 Адукацыйны партал www.adu.by >тветы к упражнениям 259 Упражнение 11.1. 5,0 см.2.9,2 4Р; 4,6 м. 3. 20 м; 10м;21 76“.4.а)20 )7,4J^; в) 16^; г) 15м; д)35м. 5. 27° или 63'’. 6*. 9,0^. 7*. а) 0,45км; ) 0,38 км; в) 0,51 км, 8*. а) 2,0 с; б) 17 м; в) 17 г) 60°, Упражнение 12. 1. 50 Н. 2. а)0,70кН; 6)0,91 кН; в)0,70кН. 3. 1,9 кН. 4.2 . 0,60 кН; 0,30 кН; 0,90 кН, 6*. На 0,24 Н. 7*. = 1,9; k„ = 3.9. Упражнение 13. 1. 0,0300 4-- 2. 1,4 ч. 3. 17 раз. 4. 2,95 ч. 5. 136 М'' Упражнение 14. I. 1,49 ч. 2. 5,7 3. 36. 10"м; 3.1 4.27- 10^ км; 6,7 . 26. 10^км. 6. 1,8ч. 7*. Упражнение 15. 1. 20 Н. 2. 98Н. 3. 5 кН; 0,1 кН. 4. а)30Н; 6)31 Н; в)28Н. . 15 Н. 6. 0,29 кН. 7. 3,2 Н. Упражнение 16. 1. 50 -У-. 2. 80 Н. 3. 0,5 4, 1 см. 5. 0,2 6. 0,25 мм; ,30 мм. Упражнение 17. 1. 0,5см. 2. 2,9см^ 3. 0,1 кН. 4,30. 5*. Медь. 6. а) 6}2k. Упражнение 18. 1. ЮН; 50 Н. 2. 0,1 кН, 3. ЮН. 4. 0,02 Н; нет. Упражнение 19. 1. 50 Н. 2. 80 Н; 70 Н. 3. 3 Н, 4, 10 5. 3,3 с; 33 м. . 5.9 J|.; 4,1 « 7.0,23. 8*.s=-----^2--------. Ema-pcosa C“ 2g(sina + pcosa) ^sinct + pcoso 0*. Cm. рис. 244. Упражнение 20, I. 160кН. 2. 0,78 кН. . 2,25. 5. 49. Упражнение 21. 1. 8,0 кг- м . 2,6 кг- м ; 26 Н. 3. 1,8- 10'’И, 4.5,0, *. 35 Н. 6*. 0,25. Упражнение 22. 1. 4,8 2. 1,75 . 1.2 4. 2,5 5. 1000 6. 704 с с с с Адукацыйны партал www.adu.by 260 Ответы к упражнениям Упражнение 23. 1.9,0- 10^ Дж. 2.49 Дж. 3.5,1 ■ 10^Дж;-2,3- 10^ Дж. 4*. 2,6- 10^ Дж; -1,9- 10^Дж; -48Дж. 5*. 47Дж. 6*. \i.mg[ V 2k / Упражнение 24. 1. 104Дж, 2. -3,4- 10®Дж. 3. 2,6- 10®Дж. 4.3,1- 10‘Дж. 5*. 1,0- Ю^Дж; 102,2- Ю^Дж; 156*.2,7- Ю^Дж. , , Упражнение 25. 1. 2. 3. 3. 0,17^^. 4*. 3,7- 10~2Дж. 5*. 2. mvi sm а; mvn Упражнение 26. I. -ЗбДж; -1,4- Ю^Дж. 2. 2,5м. 3. ^ ^ Упражнение 27. 1. 0,20Дж; 0,59Дж. 2. 1,0- 10"Дж. 3. 20Дж; 80Дж. см -sm а. Упражнение 28. 1. 4,6-; 62°. 2. -2,0- 10®Дж. 3. 3,8 м. 4. 8,4-^; 46 с с с 5.4,1 кОж. 6.М>^. ■ - ■ ..... k Упражнение 29. 1. 2,9кН. 2. 2,5-102Вт; -2,5-102Вт. 3.-3,7- 10® Вт. 4. 6,5- 10® л. с. ■■ ■ D Упражнение 30. 3*. 16 см от центра шарика массой т. 4*. — от центра диска. 5*. 1,2- 10® Н; 16 Н; 57°. ® Упражнение 31. 1. 3- 10® Па. 2.Sg(p|/i, + 3*. pgR/i®. 4*. р = 3mg K(Rf + R^R2 + Rl) Упражнение 32. 1. 5,4 Н. 2. 8,9 Н. 3. 5,0 м. 4.pgS+mg. 5. mg-pfSh (P2~Pi)S ' Упражнение 33. 1. 9,1 - 10® Ц-. 2. 1,5- 10® см®. 3. 46 кг. 4.0,74. 5*. 3,4 кДж. м° ^_ Упражнение 34. 1. 4,0 см. 2. 3*. —■ Н. \Sp 2 Упражнение 35. 2. 4 Гц. 3. а) 5 см; б) 2 с; 0,5 Гц; в) 3,5 см; г) 16 -^; д) 49 С 4.х= 10 cos4л/. 5. а)х = 0,5 sin4л/; б)л: = 0,5 sin ^4л/-1--|-^ = -0,5 cos4л/; в)х = 0,5 sin (4л/ -I- л); г)х= 0,5 sin + = 0,5 cos4л/; д)х = 0,5 sin(4л/ -i- 2л). vj 7*. а) 0,05 с; б) 40л; в) 1,3 г) 158 д)8см. 8*. х,=sin ^/. с® . . , 2я Г Ответы к упражнениям 26t Упражнение 36. 1.0,314 с; 3,18Гц. 2.0,63 с. 3.0,20 кг. 4.0,5 с. 5.3,9—; м 0,63—. 6.х=0,1 COS20/; 0,08с;2—. 7*. jc= 0,01 sin 5,2^; и,= 0,005cos 5,2f; 1,8кг; * С с 0,04 8*. Т=2п р. S ё Упражнение 37. 1. а) 2 см; б) 0,8 с; в) 0,2 м. 2. а) Не изменится; б) уменьшит- ся в 2 раза. 3. 2. 4.2,5. 5. 9,79 -у. 6*. Укоротить на 8 см. 7*. R. 8*. В первом; в 1,1 раза. ^ Н Упражнение 38. I. 4,5 Гц. 2. 20-^. 3, 19-^. 4. 12мДж; 1,0^- 5. 80-^. 6*. 0,32 м. 7*. 0,1 мм. Упражнение 39. 2. 1,6 м. 5. а)0,1 м; б) 1 с; в) 3 г)4 с. 6*. 2 м; 4 м; 6 м и т. д. Упражнение 40. I. 2,5 с. 2. 20 3. 17 4. 0,3 Гц. 5. 6. 45 м. Упражнение 41.1. 4.3 м; 0.24 м. 2.6,5 с. 3. 1435 4. 4.4. 5. 1,7 км. 6.0,68 км. 7.812 Гц. 8.JC. 9*.425 Гц. Упражнение 42. 1. 85 м. 2. 1,1 км. 3. 4,2. 4, тг. 5. 0,70 км. Адукацыйны партал www.adu.by СОДЕРЖАНИЕ Как работать ь' учебным пособием Введение........................ Повторение. Основы кинематики........... § 1, Оеиовиые гтоиятия кииемапш! ....... § 2. Простейшие виды механического движения 1. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ.............. Глава I. Законы Ньютона.............. §3. §-t- §5, §7-§8. Инерция. Первый закон Ньютона .,. Вза и моде нет вне тел. Масса тела .... Сила, Сложение сил. Равнодействующая Второй закон Ньютона ............ Третий закон Ньютона............. Значение .законов Ньютона. Принцип отиое-нтельностн в механике Глава II. Силы в механике___ § 9, Закон веемнрното тяготения ................................. § 10, Сила тяжести. Ускорение свободного падения ,............... § 11. Свободное паление тел (движение по прям1>линенн1)й траектории) § 12. Свободное падение тел (движение tio криволинейной траектории) § 13. Вес тела .................................................. *§ 14. Завнснмоеть ускорения свободного падения от широты местности § 15. Движение планет и искусствен и ы.х спутников § 16, Сила упругости, Ви.ды деформаций ................ § 17, Закон Гука .................................... *§ 18. Механические свойства тел .................... § 19, Силы еопротивления движению. Сила трения покоя §20, Силы Тренин скольжения и качения................ §21. Вязкое трение .................................... 3 4 5 И 17 18 2.3 28 33 38 43 47 53 56 63 71 76 79 83 87 90 93 98 103 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ............................. Глава III. Законы сохранения в механике ............... § 22, Общая формулировка основного .закона динамики. Импульс тела § 23. Закон сохранения импульса ......................... §24. Реактивное движение................................. Глава IV, Работа и энергия § 25, Механическая работа...................................... § 26. Клнетическая анергия тела ............................... Импульс силы 107 108 ! 13 ! 17 121 124 Адукацыйны партал www.adu.by Содержание 263 *§ 27. Столкновения ......................................................... 128 § 28. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей.. 134 § 29. Работа силы упругости.................................................. 138 § 30. Работа силы трения .................................................... 141 §31. Закон сохранения механической энергии .................................. 143 §32. Мощность................................................................ 147 3. СТАТИКА ............................................................ 151 Глава V. Статика твердых тел................................................. 152 § 33. Условия равновесия тел ................................................ §34. Центр тяжести тела. Центр масс тела .................................... 155 § 35. Виды равновесия тела .................................................. 158 Глава VI. Статика и динамика жидкостей и газов............................... 162 § 36. Давление в жидкостях и газах .......................................... § 37. Закон Паскаля.......................................................... 167 § 38. Закон Архимеда......................................................... 170 §39. Плавание тел. Воздухоплавание........................................... 174 §40. Движение жидкостей. Уравнение неразрывности ............................ 179 §41. Уравнение Бернулли...................................................... 183 4. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ .................................................. 189 Глава VII. Механические колебания ........................................... 190 § 42. Гармонические колебания ............................................... §43. Пружинный маятник....................................................... 198 § 44. Математический маятник ................................................ 203 § 45. Превращение энергии при механических колебаниях........................ 208 Глава VIII. Волны .................,......................................... 215 § 46. Механические волны .................................................... §47. Скорость распространения волны. Длина волны ............................ 220 § 48. Звуковые волны ........................................................ 225 § 49. Звуковые явления....................................................... 232 5. ЛАБОРАТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ............................................ 237 Ответы к упражнениям ........................................................ 258 (Название и номер школы) Учебный год Имя и фамилия ученика Состояние учебного пособия при получении Оценка ученику за поль.зоЕииие учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Учебное издание Жолнеревич Иван Иосифович Медведь Ирина Николаевна ФИЗИКА Учебное пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования, с русским языком обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) 2-е издание Зав. редакцией S. Г. Вехтина. Редактор J], В. Гринкевич. Оформление Е, Г. Дашкевич. Художественный редактор Л В. Павленко, Технический редактор М. И. Чепловодская. Компьютерная верстка £. В. ПруЬывус. Корректоры О. С. /<оэицкая, Д. Р. Досик, Т. Н. Ведерникова, 3. Н. Гришели, А. В. Алешко, В. С. Бабеня. Подписано а печать с диапозитивов 12.01.2007. Формат 70 ><90 Бумага для ВХИ, Гарнитура литературная. Офсетная печать. Уел. печ. л. 19,3-1-0,29 форз. Уел. кр.-отт. 79. Уч.-изд. л, 12,54 0,22 форз. Тираж 101 500 экз. Заказ 12 . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министеретва информации Республики Беларусь. ЛИ № 02330/0131732 от 01.04.2004. 220004, Минск, проспект Победителен, 1!. Республиканское унитарное предприятие «Минская фабрика цветной печати». 22СЮ24. Минск, Корженевского, 20. Адукацыйны партал www.adu.by ■ ( Учебный год 1 Имя и фамилия ученика ] Состояние учебного ^ гюсобия при получении j ' пммпм 1 Jr 20 / 1 20 / 20 / \ 20 / 20 / Учебное издание Жолнеревич Иван Иосифович Медведь Ирина Николаевна ФИЗИКА Учебное пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение обидего среднего образования, с русским языком обучения с 12-летннм сроком обучения (базовый и повышенный уровни) 2-е издание Зав. редакцией В. Г. Бехтини. Редактор J1. В. Гринкевич. Оформление Е. Г. Дашкевич. Художественный редактор Л. В. Павленко. Технический редактор М, И. Чеплоаодская. Компьютерная верстка Е. В. Прудывус. Корректоры О. С. Козицкая, Д. Р. Досик, Т. И. Ведерникова, 3. N. Гришели, А. В. Агешко, В. С. Бабеня. Подписано в печать с диапозитивов 12.01.2007, Формат 70 х 90 ’/|в. Бумага дли ВХИ, Гарнитура литературная. Офсетная печать. Уел. печ. л, 19,3 + 0,29 форз. Уел, кр.-отт. 79, Уч.-изд. л, 12.54 + 0,22 форз. Тираж 101 500 экз. Заказ 12. Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. ЛИ № 02330/0131732 от 01.04.2004. 220004, Минск, проспект Победителей, 11. Республиканское унитарное предприятие «Минская фабрика цветной печати», 220024, Минск, Коржеиевского, 20, I Адукацыйны партал www.adu.by СИЛА (дБ) 10 ШЕПОТ НА РАССТОЯНИИ 1 м К 30 ш СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ ШУМА В ЗРИТЕЛЬНОМ ЗАЛЕ ■ НЕГРОМКАЯ МУЗЫКА £ 50 Ч ** РАЗГОВОР НА РАССТОЯНИИ 1 м Н- .к:. _ ■ 60 1 ГРОМКИЙ ЗВУК РАДИОПРИЕМНИКА - - 1 ° 1а РАБОТА МОТОРА ГРУЗОВОГО АВТОМОБИЛЯ I 90 ^Р^ОНЦЕРТ СИМФОНИЧЕСКОГО ОРКЕСТРА 1 1 В 100 АВТОМОБИЛЬНАЯ СИРЕНА J Щ 110 |Ь РАБОТА ОТБОЙНОГО МОЛОТКА К 120 В РАБОТА РЕАКТИВНОГО ДВИГАТЕЛЯ НА РАССТОЯНИИ 5 м’ Щ 130 УРОВЕНЬ ЗВУКА ВБЛИЗИ БОЛЕВОГО ПОРОГА Адукацыйны партал www.adu.by РВЛ[НИЕ ДАВЛЕНИЕ: (Па) В ЦЕНТРЕ ЗЕМЛИ 10 13 мощного ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ПРЕССА 10 12 ЖАЛА ПЧЕЛЫ 9 ■ 10 \ НАСОСА БУРОВОЙ УСТАНОВКИ 10^ ^ КОНЬКА НА ЛЕД 10‘ ' АТМОСФЕРНОЕ 10= 1 НОГИ ЧЕЛОВЕКА ю' : ЛЫЖИ НА СНЕГ 3 1 10 J у ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ ВОДЫ 10^ Ц ЗВУКА СВЕТА 10 -1 I 10' Адукацыйны партал www.adu.by