Учебник Математика 6 класс Дорофеев Шарыгин Суворова

Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» Академический школьный учебник МАТЕМАТИКА ____®______ ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 М34 Авторы: Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, К. А. Краснянская, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/15 от 31.10.07) и Российской академии образования (№ 01-191/5/7Д от 11.10.07) Серия «Академический школьный учебник» основана в 2005 году Проект «Российская академия наук. Российская академия образования, издательство «Просвещение» — российской школе» Руководители проекта: вице-президент РАН, акад. В. В. Козлов, президент РАО, акад. Н. Д. Никандров, генеральный директор издательства «Просвещение» чл.-корр. РАО А. М. Кондаков Научные редакторы серии: акад.-секретарь РАО, д-р пед. наук А. А. Кузнецов, акад. РАО, д-р пед. наук М. В. Рыжаков, д-р экон. наук С. В. Сидоренко Математика. 6 класс : учеб, для общеобразоват. учрежде-М34 ний / [ Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук. Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — 11-е изд. — М. : Просвещение, 2010. — 303 с. : ил. — (Академический школьный учебник). — ISBN 978-5-09-022756-8. Учебник является частью учебного комплекта для 6 класса, включающего также дидактические материалы, рабочую тетрадь, тематические тесты и книгу для учителя. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 ISBN 978-5-09-022756-8 © Издательство «Просвещение», 2004 © Издательство «Просвещение», 2008, с изменениями Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2004 Все права защищены -{^Обыкновенные дроби^ Ф Что мы знаем о дробях С самых древних времен, наряду с необходимостью считать предметы, у людей появилась потребность в измерении длин, площадей, углов и других величин. Используемые единицы измерения часто не укладывались в измеряемой величине целое число раз. Для получения более точных результатов меры стали делить на части, что привело к появлению дробей. В Древнем Вавилоне за 2000 лет до н. э. при измерениях величин применяли шестидесятые доли. Вавилоняне изобрели систему измерения углов, которая используется и поныне. Ученые в Древнем Вавилоне понимали, что при измерении углов в астрономии, религии, мореплавании нельзя ограничиваться лишь целым числом градусов, так как при этом расчеты оказываются очень неточными. Поэтому они стали использовать более мелкие единицы. Градус разделили на 60 равных частей — минуты: в градусе 60 минут, так что 1 минута — это часть градуса. Для большей точности минуту разделили еще на 60 частей и получили секунды: в минуте 60 секунд, так что 1 секунда — это часть минуты. Вообще, первыми в практике людей появились самые простые дроби, составляющие одну долю целого и т. д.|. И вна- чале люди для вычислений употребляли только такие дроби. Лишь 1* значительно позже греки, а затем индусы стали использовать в вычислениях и другие дроби. Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали сверху, а числитель — снизу. В привычном для нас виде дроби впервые стали записываться в Древней Индии около 1500 лет назад, но при этом индусы обходились без черты между числителем и знаменателем. Общеупотребительной черта дроби стала только с XVI в. Интересно, что в языках разных народов слова для обозначения понятия «дробь» происходят от таких глаголов, как «раздроблять», «разбивать», «ломать». А в первых русских учебниках математики дроби так и назывались — «ломаные числа». В древности и в Средние века учение о дробях считалось хотя и самым трудным, но и самым важным разделом арифметики. Римский оратор Цицерон, живший в I в. до н. э., сказал: «Вез знания дробей никто не может признаться знающим арифметику!» Вспомним основное свойство дроби, которое позволяет приводить дроби к новому знаменателю и сокращать их. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. ■ Пример 1. Приведем дробь к знаменателю 36. Сначала найдем дополнительный множитель: 36:3 = 12. Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на 12: 1 • 12 3-12 12 36 Заметим, что дробь можно привести к любому знаменателю, кратному 3, т. е. к 6, 9, 12 и любому другому числу, делящемуся на 3. Однако эту дробь нельзя привести, например, к знаменателю 10, так как число 10 на 3 не делится. Вспомним правила, по которым выполняют действия с дробями. Чтобы найти сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно найти сумму или разность их числителей, а знаменатель оставить прежним. Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю. 9 3 ■ Пример 2. Сложим дроби и Общий знаменатель этих дробей должен делиться и на 20, и на 16. Таким числом является, например, произведение знаменателей — число 320. Однако если мы хотим найти наименьший общий знаменатель, то можно действовать так. Будем последовательно перебирать числа, кратные 20 — большему знаменателю, и проверять, делятся ли они на 16. Число 40 не делится на 16, число 60 также на него не делится, а 80 уже делится. Найдем дополнительные множители: 80:16 = 5; 80:20 = 4. Поэтому 9^^ 3"^^9-4 + 3-5_36-H5 51 20 16 80 80 80 • Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе, а второе — в знаменателе. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Пример 3. Найдем значение выражения 1 . 3 2 4* Заменим деление умножением на обратное число: .2 Jl.A 2 ■ 4 1 4 2 ’ 3 1-4 1 • 2 .2-3 1-3 3' 1. Какая часть фигуры закрашена (рис. 1)? Запишите ответ разными дробями. г) Д) 2. Изобразите какую-нибудь геометрическую фигуру (прямоугольник, круг или отрезок) и закрасьте ту ее часть. которая соответ( . 5 _ 7 . 8 15 а) g! б) g| Сократите дробь: в) -J2- 25' , 24 , 20 44 , 36 и) 30’ 36’ 100’ ж) QQ-, 12 > 14 , 32 . 18 к) 48’ 56’ е) 90’ 4. Приведите дроби: V 4 5 7 а) "д ■ ^0 ■ знаменателю 18; 8’ 16’ 40 к знаменателю 80. 66 99’ 98 112- 5. В Древнем Риме при измерении величин применялись дроби со знамена- но о 1 5 телем 12. Вместо говорили «одна унция», вместо — «пять унции» и т. п. Выразите в унциях: половину, треть, четверть, пять шестых, три четверти. Сравните дроби и запишите результат сравнения с 1 <. =: > 4 7 , 5 7 , 9 , 1 ^^5 '^10’ в) ^ и 8’ Д) -g и Ч’ ^>5 7 , 3 6 . . 8 и Т б) .,2 и ^д: г) -Q и 16’ е) I20 2 9' 7. Запишите дроби в порядке возрастания: а) f. 11 2 5 в) 17 2 3 12’ 3’ 6’ 20’ 5’ 4’ 2 7 1 7 4 63 1 ’ 5’ 15’ 3’ 10’ 5’ 100’ 2 17 8. а) На тренировке Оля пробежала стометровку за мин, Галя — за мин, г, 3 ^ 4 „ Вера — за мин, Зоя — за мин. В каком порядке девочки пришли к финишу, если они стартовали одновременно? б) Расстояние от школы до стадиона Толя и три его друга проходят за раз- 2 1 3 ное время: Толя — за у ч, Саша — за ч, Коля — за ч, Петя — за 7 „ -^2 ч- Они вышли из школы одновременно. В каком порядке они придут на стадион? 9. Найдите сумму ИЛИ разность: ^ 5 1. 6 6’ ^ 7 2 10 5’ ж) f .4 1 . 45 30 ’ 10 10’ ^ 7 5 Д) 9 у. 3) 14; 17 11 Л) 24 8 ’ V 2 7 “З ^ 8'= и) + м) 4+4 10. Выполните вычисления: а) 4 + 5j: 3 2 ^‘5''’^’3’ я) 3-у; ж) з|-|; б) г) 5|--2: e)4-l|; . я 1 4 1 3) 4з 12- Л^. Найдите произведение или частное: 9 5 10 ■ 12' .7.7. 8 ■ 16’ Ж) 15--|; к) -|м8: 3. 11. 5 - 15’ 27 . 18 40’35’ 3) 1:у: л) 9 2 В) 22 • 3 ■ е) |:6; и) |-•12; м) 10у. 12. Вычислите: ж) lf=10y: а) 2|-15; V о1 3 ^3 ‘5’ К) 41 :8; б) 28-1|: Д) 3-^:30; , ^1 13 ^5 ■ 15’ л) 57:30; в) е) 6:1^; и) 10-3; м) 14:42. 13. Выполните действия: 14. а) 9- 7-5 3 5 10 ж) 3 2 7 10' ■8-6’ г) 25 6 9 ’ 8 ■ 15 ■ 20’ б) 17 •26-8 д) 9 7 3) 4 8 10 13 •51-9’ 8 • 16 ■ 12’ 9 ■ 9 17’ в) 9' ■5-4 е) 4 7 8 и) 9 5 9 20' ■8-15’ 9 ■ 10 ■ 3’ 10 ■ 33 ■ 16' Вычислите удобным способом 1 5 4.4 2,3 4 6 ^. ТГ""8'*'ТГ + ТГ^8- 15. Найдите значение выражения а) 25-h в) 7 27 11 ю + 8--^: 11 36 ■ 36' _1_ 6 5 2/’ Д) 10-5- 4 1 3’ 3\ 15 . ^ . 1 . 1 е) 1 , 3 8 3 т) ' 16’ г) 5:1у + 7:1-д: 2 4' ' 15 10 16. Двум дежурным было поручено вымыть парты в классе. Когда они закончили работу, то первый сказал, что вымыл всех парт, а второй сказал, что 2 вымыл у всех парт. Их товарищ заметил, что кто-то из них ошибся в расчетах.. Как он догадался? 17. Задание с выбором ответа. Пирог разделили на 6 равных частей. Одну из них разделили еще на 3 равные части. Какую часть пирога составляет одна маленькая часть? А J_ _ J_ _ 1 _ 1 А. 3. Б. g. В. .jg. Г. .|g. 18. а) Толя покрасил в субботу забора. В воскресенье три его друга при- щли ему помочь. Вместе с Толей они разделили незакрашенную часть забора поровну и докрасили забор. Какую часть забора покрасил каждый из них в воскресенье? б) Три школьницы решили написать поздравительные открытки к празднику. Они разделили всю работу поровну. Однако Таня нашла себе трех помощниц, с которыми разделила свою часть работы поровну. Какую часть всей работы выполнила Таня? 19. а) У Андрея два аквариума. Длина, ширина и высота одного из них равна а другого — В какой аквариум вмещается больше воды? б) Сколько потребуется проволоки для изготовления каркасной модели па- 4 ,1 ,2 раллелепипеда с измерениями дм, 1-^ дм, 1-g- дм? 20. Брат может прополоть грядку за 30 мин, а его младшая сестра — за 60 мин. Ответьте на вопросы. 1) Какую часть грядки пропалывает за 1 мин брат? 2) Какую часть грядки пропалывает за 1 мин сестра? 3) Какую часть грядки пропалывают они за 1 мин, работая вместе? 4) За сколько минут брат с сестрой пропалывают грядку, работая вместе? 21. Мама может почистить картофель для обеда за 16 мин, а сыну на эту работу потребуется 48 мин. Ответьте на вопросы. 1) Какую часть картофеля почистит каждый из них за 1 мин? 2) Какую часть картофеля почистят они за 1 мин, работая вместе? 3) За сколько минут они почистят картофель для обеда, работая вместе? 22. Корова съедает копну сена за 3 дня, а коза может съесть такую копну за 6 дней. Ответьте на вопросы. 1) Какую часть копны съедает каждое животное за 1 день? 2) За сколько дней съедят такую копну корова и коза вместе? 9 2 1 10 , 5 м, 2 м. 4 3 3 ум. 4 10 26. 28. 31 23. Покажите, что верны равенства: 9 99 55 555 999’ 13 _ 1313 _ 131313 77 7777 777777' 24. Сократите дробь: а) 78 338’ б) 700 840’ в) 255 525’ 324 405’ Д) 84-108 48-126’ е) 96-35-110 33-80-105' 25. Выполните действия: 16 14 27’ Д.21.3-З.Д Ч 3 4 5' Найдите значение выражения: 15 121 ’ 2 б) 5 18 14 35 9 Ф 6 ■ ' ^ 19 15)'^'^5 ''' \^2 15) 5 'ИО 1б)' 27. Расположите в порядке возрастания следующие суммы: 1 1 3^8’ hv hi Найдите какие-нибудь числа, которые: а) больше у, но меньше у; б) меньшему, но больше у. ^ ^ 16 17 29. Найдите дробь со знаменателем 26, которая больше и меньше 30. Не приводя дроби к общему знаменателю, установите, какая из них наибольшая: а) 11 21 31 48’ 36’ 72' 20’ 40’ 60’ На заводе трудятся рабочие разной квалификации. Рабочий высшего разряда может выполнить заказ за 12 дней, менее опытный рабочий — за 20 дней. Рабочий самой низкой квалификации выполнит этот заказ за 30 дней. За сколько дней выполнит этот заказ бригада из трех рабочих разной квалификации? 32. Отец и сын, работая вместе, покрасили забор за 12 ч. Если бы отец красил забор один, он выполнил бы эту работу за 21 ч. За сколько часов покрасил бы этот забор сын? 33. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из двух пунктов навстречу друг другу. Через сколько минут они встретились, если путь от одного пункта до другого занял у велосипедиста 16 мин, а у пешехода — 48 мин? 34. Отрезок MN сначала разделили точками Л и S на 3 равные части, а затем точками С, D и Е на 4 равные части. а) На сколько частей разделен отрезок? Есть ли среди них равные? б) Какую часть длины данного отрезка составляет длина каждой получившейся части? 2 1 35. От веревки, длина которой у м, нужно отрезать' производя измерений? м. Как это сделать, не 36. Задача-исследование. 1) Дана правильная дробь -j. Запишите обратную ей дробь. Правильной или неправильной является эта дробь? Какая из этих двух дробей ближе к 1? 2) Запишите какую-нибудь правильную дробь и дробь, обратную ей. Какая из них ближе к 1? Проведите такой эксперимент еще раз. 3) Сделайте вывод о том, какая из дробей ближе к 1 — правильная или обратная ей неправильная. Поясните свой вывод. «Многоэтажные» дроби Вы знаете, что частное двух натуральных чисел равно дроби, числитель которой — делимое, а знаменатель — делитель. 7 _____ 10 5 Например, 7-3 = -^, 10:14 = ^ = -,^. Иными словами, такие записи, как т-.п тл т обозначают одно и и то же. Поэтому черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел. В математике принято использовать черту дроби в качестве знака деления и при записи более сложных выражений. Так, выраже- 4^1 ние ----- является иным способом записи частного + ^“"5 В дальнейшем нам будут встречаться дроби, числители и знаменатели которых — любые выражения, а не только натуральные числа. При вычислении значения такой «многоэтажной» дроби последним выполняется действие деления: выражение в числителе делится на выражение в знаменателе. ■ Пример 1. Найдем значение дроби ^+3 2 4 Для этого надо выполнить два действия: 10-4 1) = ’ 2 4 4’ 2) 10:-7=10-4 4 5 = 8. Запись решения можно вести «цепочкой»: 10 10 10-4 2 4 4 = 8. Если вы умеете выполнять устно такие действия, как, напри-2 мер, 30*-;^ = 20, то сможете преобразовывать «многоэтажные» дро- О 5 би быстрее. j "з ■ Пример 2. Найдем значение дроби — . "З Умножим числитель и знаменатель дроби на 30. Значение дроби при этом не изменится, а в числителе и знаменателе окажутся целые числа. Получим j-j 10-6 4 5‘ 2 1 /2 1\ 3 2 ^°’(з 2) зо-|-зо-| 20-15 Ет: 37. Запишите частное в виде дроби и упростите ее (если это возможно): а) 2:7, 11:15, 8:9, 73:100; б) 6:12, 15:20, 8:28, 10:35; в) 21 : 10, 14:6, 15:9, 40:5. 38. Запишите выражение в виде дроби и сократите эту дробь: а) (21-18):14; б) 60: (16-25); в) (12 • 15): 40; г) (4 • 24): (42 • 8). 39. Замените знаком деления (:) черту дроби: а) 1 в) 100 18-17’ 8-12-16’ б) 15-31 23-16 2 ’ г) 11-41• 40. Найдите значение выражения: а) 1 2 1 8 2 2 2 3 4 в) 4 3 5 3 ’ 1 ’ 3 ’ 5 ’ 4 ’ 2 * 4 3 8 „ 1 „ 3 1 1 1 '^4 1 2 ’ 1 ’ 5 ’ г) 3 ■ 2^ 1 о 1 3 7 2 ^7 ^ 2 41. Вычислите: 1 2. 2 ■ 3 а) б) 1 ’ 1 1’ 3 4 ■ 2 42. Найдите значение выражения: в) 1 ± ± 2 ■ 6 ± J_ 4 ■ 7 1 14 а) б) -у 2 , 1 17 1 3 6 100 10 4^3 2 ’ в) 3 ’ Д) 10 у ж) >4 1 3 6 е) 2'^4 3) 10 5 ■4' г) 1 у 10 2 2 43. Что может означать запись ? Примите по очереди каждую дробную 3 черту за «основную» и запишите соответствующие выражения. Найдите значение каждого из этих выражений. 44. Разделить некоторое число на 2 — это все равно что умножить его на 3-J 4 , 1 , 1 Поэтому —-—Рассуждая таким же образом, представьте в ви- де произведения выражение: 5 а) 1 1 2 3 1 -- б) в) _4 5 2 -I 2 '3 '10 5 45. Запишите выражение в виде частного, используя черту дроби: б) г) (^+^)-7оо- 46. Найдите значение выражения: 1 1 1 - а) 2-- б) 2- в) 3 + ^ 2 + - 4 6-- 1 1 1 2 3 6 + - 1 Д) 2 + е) 1 1 +- 1 +- 1 + • Основные задачи на дроби Вспомним, как решаются основные задачи на дроби. ■ Пример 1. Предположим, по радио сообщили, что жители города Синегорска, возле которого расположен химический завод, активно борются против загрязнения окру-2 жающеи среды и из них присоединились к экологическому движению Гринпис («Зеленый мир»). Человек, знакомый с дробями, поймет, что к движению Гринпис присоединилось чуть меньше половины жителей города. Чтобы подсчитать их число, необходимо знать, сколько жителей в Си- 2 негорске, и уметь наити -g- от этого количества. 2 4 Допустим, в городе проживает 80 000 человек. Найти от 80 000 можно по-разному: опираясь на смысл понятия дроби и по правилу нахождения части от числа. Решим задачу первым способом. Найдем пятую часть от 80 000 и результат умножим на 2: (80 000:5) • 2 = 32 000 (чел.). Теперь решим эту же задачу, воспользовавшись правилом: чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число 2 умножить на данную дробь. Умножив 80 000 на -^, получим тот же результат: 80000--|= =32000 (чел.). О & Может возникнуть обратная задача. ■ Пример 2. Пусть известно, что 32 000 человек из города Си-негорска присоединились к движению Гринпис и что это состав- 2 ляет — от числа его жителей. Имея такую информацию, нетрудно подсчитать, каково население города. 2 По условию 32 000 — это у населения города. Так как все на- 5 селение составляет то 32 000 надо разделить на 2 и результат умножить на 5; (32000:2)-5 = 80000 (чел.). Эту же задачу можно решить и по правилу нахождения числа по его части: чтобы найти число по его части, нужно эту часть разделить на дробь, ей соответствующую. 2 Разделив 32 000 на получим 32 000:|- = ^^^|^ = 80 000 (чел.). ■ Пример 3. Рассмотрим теперь третью ситуацию. Пусть журналисту стало известно, что в городе Синегорске проживает 80000 человек и 32000 из них присоединились к движению Гринпис. В своем сообщении по радио журналист хочет подчеркнуть, что это довольно большая часть населения города. Для этого он должен сосчитать, какую часть 32 000 составляют от 80 000. 1 Один человек — это часть населения города. Тогда 80 000 ооппг\ 32 000 32 2 32 000 человек составляют sqqqq населения города. Для ответа на вопрос о том, какую часть составляют 32000 че- 32000 -, которая выражает част- ловек от 80000, мы записали дробь qqqqq: ное от деления 32000 на 80000. Таким образом, мы пришли к правилу: Чтобы узнать, какую часть меньшее число составляет от большего, надо первое число разделить на второе. 47. Прочитайте предложения и вставьте нужные слова. а) Чтобы найти половину некоторого числа, нужно это число разделить на ... или умножить на ... . б) Чтобы найти четверть некоторого числа, нужно это число разделить на ... или умножить на ... . в) Чтобы найти десятую часть некоторого числа, нужно это число разделить на ... или умножить на ... . г) Чтобы найти сотую часть некоторого числа, нужно это число разделить на ... или умножить на ... . 48. Найдите: а) от 8 кг; 3 4 в) от 12 кг; д) -д от 18 кг; б) ^ от 30 кг; 2 3 г) -g от 20 кг; е) от 50 кг. 49. Найдите: а) от J м; ,31 43 Т 1о o’ 1о б) ^ от ^ г; ,2 1 ,3 1 г) -g от ^ см; е) ^ от ^ м. 50. а) Стакан вмещает 2 160 г крупы. Крупой наполнили -g стакана. мов крупы насыпали в стакан? б) Общая площадь окон, которые надо вымыть, составляет 24 м^. За час 5 вымыли этой площади. Определите площадь окон, вымытых за час. о 3 51. а) От лент1>1 длиной 2 м 40 см отрезали ее длины. Найдите длину оставшейся части. 3 б) Занятия в школе длятся 5 ч 30 мин. Перемены занимают этого времени. Сколько часов длятся уроки? 52. Составьте задачу, для решения которой нужно выполнить следующее дей- 3 ствие: 300-Tj^. 53. а) Размеры макета составляют реальных размеров дома. Чему равна ширина окна в доме, если на макете окно имеет ширину 60 мм? б) Размеры участка земли на плане составляют его истинных размеров. Чему равна сторона участка, если ее длина на плане равна 16 см? 3 54. а) В бак налили 36 л воды и заполнили его объема. Сколько воды вмещает бак? 2 б) Продали привезенного в магазин винограда, что составило 180 кг. Сколько всего винограда привезли в магазин? 2 1 55. Задание с выбором ответа. Андрей покрасил у садового домика за Зу ч. За сколько часов он покрасит весь дом, если будет работать с такой же скоростью? А. 1 ч. Б. 7 ч. В. 12у ч. Г. 24у ч. 56. Составьте задачу, для решения которой надо выполнить следующее дейст- 2 вие: 300: у. 57. а) Николай за выполнение некоторой работы должен получить 300 р. В пер- 3 вый час он выполнил у всей работы. Сколько денег заплатят ему за первый час работы? 2 б) Сергей выполнил у заказанной ему работы, и ему заплатили 500 р. Сколько ему заплатят за всю работу? 58. а) Два брата должны были покрасить половину забора, длина которого 126 м. 2 Один из них выполнил у их общей работы, а другой — остальную часть. Сколько метров забора покрасил каждый? б) У Тани на приготовление домашних заданий ушло 3 ч 30 мин, что со- 3 ставило у времени, потраченного Галей. На сколько быстрее выполнила уроки Таня? 59. а) Какую часть суток составляет 1 ч? 2 ч? 2у ч? 5у ч? б) Какую часть часа составляют 30 мин? 15 мин? 10 мин? 6 мин? 60. 61. 62. а) Из 30 000 избирателей пришли голосовать 24000 человек. Какая часть избирателей приняла участие в голосовании? б) В школе 1800 учащихся. На уроках 15 декабря отсутствовало 120 учеников. Какая часть учащихся щколы была в этот день на уроках? а) Стакан вмещает 200 г молока (рис. 2). Какую часть стакана нужно наполнить, чтобы в нем оказалось 160 г молока? Какая часть стакана останется незаполненной? б) Человек спит в среднем 8 ч в сутки. Какую часть суток человек спит? Какую часть суток человек бодрствует? а) Скорость товарного поезда 60 км/ч, а скорость пассажирского — 80 км/ч. Какую часть скорости пассажирского составляет скорость товарного поезда? Во сколько раз скорость пассажирского поезда больше скорости товарного? б) Из двадцатилитрового бидона, наполненного водой, отлили 8 л. Какую часть бидона заполняет оставшаяся в нем вода? Во сколько раз воды в полном бидоне было больше, чем осталось? 63. в книге 75 страниц. В первый день ученик прочитал всей книги, во 2 второй остатка. Сколько страниц ему осталось прочитать? 64. В одной школе 500 учащихся, в другой — этого числа, а в третьей — 3 в 1у раза больше, чем во второй. Сколько учащихся в третьей школе? 65. В доме 100 квартир (одно-, двух- и трехкомнатных). Однокомнатные квар- 1 3 тиры составляют часть всех квартир, а двухкомнатные — оставшихся квартир. Сколько в этом доме трехкомнатных квартир? 66. Сад занимает земельного участка, причем сада отведена под яблони. Какую площадь занимают яблони, если площадь всего участка 10 соток? Какая часть всего участка занята яблонями? г, 1 2 67. В шестых классах учится всех учащихся школы, причем -g- из них — девочки. Сколько девочек в шестых классах, если всего в школе 910 учеников? Какую часть всех учеников школы составляют шестиклассницы? 3 2 68. Ученик закрасил круга, причем этой части он закрасил синим цветом, а остальное — красным. Какая часть круга закрашена синим цветом? Какая часть круга закрашена красным? 69. Что больше: 1 1 3 2 2 3 а) -g- от половины или половина от б) от или от -^? 70. а) Для приготовления коктейля взяли 350 г молока. Рассчитайте, сколько граммов сиропа, ванилина и какао в отдельности надо взять, если по ре- 7 центу молоко составляет массы коктейля, а сироп, ванилин и какао со- 1 1 ответственно и массы коктейля. б) Для изготовления ковра требуются шерстяные нитки разного цвета. При 1 ^ 2-3 этом всех ниток должна быть красного цвета, — синего, — коричневого, остальные — белого. Сколько граммов ниток каждого цвета требуется для изготовления ковра, если на него ушло 700 г белых ниток? 5 71. Сергей заполнил тетради, и у него осталось 36 чистых листов. Сколько листов в тетради? 72. За м ткани заплатили на 20 р. больше, чем за м такой же ткани. Сколько стоит метр ткани? 73. Чтобы распечатать на принтере две рукописи, взяли пачку бумаги. На одну 3 2 рукопись ушло -g- пачки, а на другую — остатка. Сколько листов бумаги было в пачке, если осталось 24 листа? 2 74. Папа поручил Тане покрасить забора. Таня попросила сестру помочь ей, и та покрасила Таниной части. Какова длина забора, если сестра покрасила 2-^ м? Какую часть забора покрасила Таня? 4 75. Мама и сын собрали -j- всего урожая клубники, причем на долю сына при- 3 шлось собранных ими ягод. Каков был урожай клубники, если сын собрал 6 кг ягод? Какую часть урожая клубники собрала мама? 76. Первый стрелок сделал 80 выстрелов по летящей мишени и попал в цель 60 раз, второй из 60 выстрелов попал 50 раз. Кто из них показал лучший результат? 3 77. а) Высота Шуховской телебашни в Москве составляет 11 высоты Останкинской телебашни. Во сколько раз Останкинская башня выше Шуховской? 2 б) В 2001 г. численность населения Пскова составляла численности населения Смоленска. Во сколько раз больше жителей в Смоленске, чем в Пскове? 3 78. а) Сельские жители в России составляют всего населения. Какую часть городского населения составляет сельское? Во сколько раз городских жителей больше, чем сельских? 1 б) В ноябре в Московской области число солнечных дней составило от всех дней месяца. Какую часть составило в ноябре число солнечных дней от числа пасмурных? Во сколько раз пасмурных дней было больше, чем солнечных? 79. Спортивный зал, одна сторона которого равна 15 м, разделили на раздевалку и помещение для занятий (рис. 3). Площадь раздевалки со- 2 ставила у площади всего зала и оказалась равной 90 м^. Найдите размеры помещения для занятий. 80. Старинная задача. Корона весит 60 мин (единица массы в Древней Греции) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. Золото 2 3 3 и медь составляют золото и олово — золото и железо — общей массы сплава. Определите массу каждого металла в отдельности. Что такое процент Вам, наверное, не раз приходилось слышать по радио или встречать в газетах слово процент. Например: в выборах приняло участие 67 процентов жителей города; стоимость проезда в городском транспорте повысилась на 50 процентов; рейтинг (показатель популярности) передачи «Поле чудес» составляет 19 процентов. Что же понимают под словом «процент»? Процентом от некоторой величины называется одна сотая ее часть. Поэтому, чтобы найти один процент от величины, нужно разделить эту величину на 100. Например: 1 процент от 500 т равен 5 т, так как 500^100 = 5; 1 процент от 1 км составляет 10 м, действительно, 1 км = 1000 м, а 1000:100 = 10. Для слова «процент» в математике есть специальный знак: %. Так, вместо слов «10 процентов» пишут: 10%. Величина, от которой вычисляются проценты (например, количество телевизоров, выпускаемых заводом за год, доход семьи, численность населения и т. д.), составляет 100 своих сотых долей, т. е. 100%, ■ Пример 1. Зимняя куртка стоит 1200 р. На весенней распродаже ее можно купить на 33% дешевле. Сколько можно сэкономить денег, если купить куртку на распродаже? Сначала найдем 1% стоимости куртки: 1200:100 = 12 (р.). Теперь найдем 33% ее стоимости: 12-33 = 396 (р.). Значит, купив куртку на распродаже, можно сэкономить 396 р. Можно было рассуждать иначе: 33% величины — это 33 ее 33 сотых доли, т. е. 33% выражаются дробью . 33 33 Чтобы найти , от 1200, нужно 1200 умножить на 100 100’ 33 1200-33 , 12”'100=^Ю0”^®® *Р'*' Иногда нужное число процентов от величины находится еще проще. Так бывает, если требуется найти, к примеру, 10%, 25%, 50%. Так, 10% — это или Поэтому, чтобы найти 10% от какой-либо величины, достаточно разделить эту величину на 10. Например, 10% от 1200 р. составляют 120 р. В таблице приведены некоторые проценты, которые «легко считаются», и соответствующие им дроби. 10% 20% 25% 50% 75% 1 1 1 1 3 10 5 4 2 4 ■ Пример 2. В прошлом году в марафоне, посвященном Дню города, участвовало 200 горожан. В этом году число участников марафона увеличилось на 120%. Сколько горожан приняло участие в марафоне в этом году? Чтобы найти 120% от 200, нужно 200 разделить на 100 и результат умножить на 120: (200:100)-120 = 240 (чел.), это 1% Значит, в этом году число участников марафона увеличилось на 240 человек, и всего их стало 200 + 240 = 440 (чел.). ■ Пример 3. При рождении ребенок весил 3 кг. За год его вес увеличился на 200%. Сколько весил ребенок, когда ему исполнился один год? Исходный вес ребенка составляет 100%, т. е. 3 кг — это 100%. Тогда 200% составляют 6 кг. Значит, к году ребенок стал весить 3 + 6 = 9 (кг). Слово «процент» имеет латинское происхождение: в переводе с латыни pro centum означает «на сто». Заметим, что в речи часто вместо слова «процент» используют именно это словосочетание. На- пример, говорят, что в России на каждые 100 человек приходится 12 имеющих высшее образование. Это означает, что 12% населения России имеют высшее образование. 81. Замените проценты дробью и, если можно, сократите ее. а) Мальчики составляют 60% класса. б) В голосовании приняло участие 73% избирателей. в) В математическом кружке занимается 7% всех учащихся школы. г) В июле цена автомобиля была повышена на 20%. д) При покупке большой партии товара покупателю предоставляется скидка 15%. е) Ежемесячно цена акции повышается на 1%. 82. Подберите из газет или журналов несколько предложений (объявлений), в которых используется слово «процент». 83. Выразите проценты дробью и, если можно, сократите ее: а) 37%, 83%, 61%; б) 15%, 50%, 60%; в) 49%, 40%; 80%. 84. Квадрат содержит 100 клеток (рис. 4). Для каждого рисунка ответьте на вопросы. а) Сколько сотых долей квадрата закрашено? б) Сколько процентов квадрата закрашено? в) Сколько процентов квадрата не закрашено? а) б) в) Рис. 4 85. Начертите квадрат 10x10 клеток. Закрасьте: а) 18% квадрата; б) 50% квадрата; в) 100% квадрата. 86. Выразите в процентах: 3 а) б) 100 79 100 всех книг библиотеки; всех книг библиотеки; 60 100 50 100 всех книг библиотеки; всех книг библиотеки. 87. Выразите проценты дробью и сократите ее. Проценты 10% 20% 25% 50% 75% 80% Дробь 88. Какая часть прямоугольника закрашена (рис. 5)? Выразите эту часть в процентах. - в) б) г) Рис. 5 100% учащихся школы 25% учащихся школы 10% учащихся школы 50% учащихся школы 89. Начертите круг и закрасьте его часть; а) 50%; б) 25%; в) 75%. 90. Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу в правом: половина всех учащихся школы все учащиеся школы четверть всех учащихся школы десятая часть всех учащихся школы 91. а) 25% учащихся класса соревновались в беге, а 75% учащихся класса пришли за них болеть. Все ли учащиеся класса пришли на соревнования? б) За неделю туристы проехали 50% пути на поезде и 40% пути на автобусе. Весь ли путь проехали туристы за неделю? 92. Как вы понимаете следующие предложения: «С контрольной работой справились 100% учащихся класса», «С контрольной работой справились 50% учащихся класса»? Какая часть учащихся не справилась с контрольной во втором случае? 93. а) Потратили 20% имевшихся денег. Сколько процентов денег осталось? б) Девочки составляют 65% всех членов драмкружка. Сколько процентов всех членов драмкружка составляют мальчики? 94. Больше или меньше половины составляют; а) 70%; б) 15%; в) 30%; г) 55%? 95. В библиотеке 23% всех книг — это книги на иностранных языках. Больше это или меньше половины всех книг? четверти всех книг? 96. а) В классе 40% девочек. Кого в классе больше — мальчиков или девочек? б) Сельское население в России составляет 30%. Каких жителей в России больше — сельских или городских? 97. Что больше: а) 60% всего класса или половина класса; б) 20% зарплаты или четверть зарплаты; в) половина или 45% всего населения страны? 98. а) Найдите 1% от: 100 р.. 200 м, 300 км, 600 кг. б) Найдите 1% от: 1000 т, 10 000 р., Юм, 1 ц. 99. а) Найдите: 1% от 1 м, 7% от 1 м, 25% от 1 м. б) Найдите: 1% от 1 т, 6% от 1 т, 26% от 1 т. 100. В школе 1500 учащихся. Сколько человек от этого количества составляют: а) 30%; б) 40%; в) 50%; г) 55%; д) 85%; е) 100%? 101. Найдите: а) 10% от 200 р.; б) 20% от 400 км; в) 30% от 700 м; г) 40% от 800 кг. 102. В городе 30 000 жителей. Вычислите устно, сколько жителей составляют 10% всего населения города. Используйте полученный результат для нахождения 30%, 40%, 60% населения города. 103. а) В избирательном округе 25 000 избирателей. В голосовании приняло участие 60% избирателей. Сколько человек голосовало? б) Банк начисляет на вклад ежегодно 8% от вложенной суммы. Сколько рублей будет начислено через год на вклад в 5000 р.? 104. а) В библиотеке 40 000 книг. Книги на русском языке составляют 75% всех книг, а на английском — 10% всех книг. Сколько в библиотеке книг на русском языке и сколько на английском? б) Бригада должна отремонтировать участок дороги длиной 900 м. В первый день она отремонтировала 7% всего участка, а во второй — 12% всего участка. Сколько метров дороги отремонтировала бригада в первый день и сколько во второй? 105. В магазине было 800 кг картофеля. Продали 60% картофеля. 1) Сколько килограммов картофеля продано? 2) Сколько процентов составил картофель, оставшийся в магазине? 3) Сколько килограммов картофеля осталось в магазине? 106. В домашней библиотеке 900 книг. Из них 80% — это книги на русском языке, остальные — на английском. Какие вопросы можно поставить к задаче? Ответьте на них. 107. Набор стаканов для воды стоил 300 р. На распродаже его цену снизили на 25%. 1) На сколько рублей была снижена цена набора? 2) Какова была цена набора на распродаже? 108. В сентябре в школу-новостройку пришло 620 учащихся. К концу учебного года в связи с увеличением числа жителей района число учащихся увеличилось на 40%. 1) На сколько человек увеличилось число учащихся школы? 2) Сколько учащихся оказалось в школе к концу учебного года? 109. Урожай яблок в 200 кг переработали в сушеные яблоки. При сушке масса яблок уменьшилась на 70%. Какова масса сушеных яблок? 110. В 2000 г. владелец садового участка взял в банке ссуду 140000 р. для постройки дома. Он должен был вернуть'эти деньги через год с надбавкой 8%. Какую сумму он должен был вернуть банку? 111. Чтобы увеличить число покупателей, магазин первые 10 дней после поступления товара продает его на 20% дешевле. За сколько рублей можно купить вещь в этот период, если ее цена 300 р.? 220 р.? 112. Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверждения: а) 10 горожан из каждых 100 хотят улучшить свои жилищные условия; б) 43 человека из каждых 100 доверяют гороскопам; в) из каждых 100 новорожденных 52 — мальчики; г) из каждых 100 жителей города 25 имеют домащних животных. 113. Выразите в процентах: а) всего урожая яблок; б) у всего урожая яблок. 114. Сколько процентов площади квадрата закрашено (рис. 6)? а) б) в) Рис. 6 115. Чтобы выразить в процентах всех книг библиотеки, можно рассуждать следующим образом. Все книги библиотеки составляют 100%. Найдем у от 100%. Для этого умножим 100 на Значит, у всех книг библиотеки составляет 33-2%. Рассуждая так же, выразите в процентах 4-, ^ всех книг библиотеки, о г о 116. Во время распродажи лимонад стоимостью 15 р. за бутылку продавали на 20% дешевле. Сколько денег сэкономит покупатель, если он купит партию в 120 бутылок? 117. Магазин принимает вещи для комиссионной продажи по следующим правилам: если вещь не продана в течение двадцати дней, то она уценивается на 10%: если она не продана в следующие двадцать дней, то она уценивается второй раз — на 15% ее новой цены. Заполните таблицу для вещей, проданных после второй уценки. Первоначальная цена Первая уценка Цена после первой уценки Вторая уценка Цена после второй уценки 3000 р. 2600 р. 800 р. 118. В магазин привезли 3 т картофеля. В первый день продали 30% всего картофеля, а во второй — 45%. В какой день было продано больще картофеля и во сколько раз? Есть ли в задаче лишние данные? 119. В магазин привезли 3 т картофеля и 900 кг помидоров. В первый день продали 30% всего картофеля и 45% всех помидоров. Каких овощей было продано больше и во сколько раз? 120. За 3 ч поезд прошел 200 км. В первый час он прошел 40% всего пути, во второй час — 50% остатка. Сколько километров прошел поезд за третий час? 121. Библиотечный фонд школы за год увеличился на 125%. Сколько книг стало в школьной библиотеке, если первоначально в ней было: а) 400 книг; б) 640 книг? 122. Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей. В следующем месяце она увеличила выпуск этих игрушек на 300%. Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма? 123. Цена билета для проезда от города Белогорска до города Черноморска в купейном вагоне на 100% выше, чем в плацкартном (рис. 7). Во сколько раз проезд в купейном вагоне дороже проезда в плацкартном? 124. В связи с инфляцией стоимость проезда в городском автобусе за два-года возросла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость проезда? Рис. 7 Стоимость проезда 200% 100% -- плацкартный вагон купейный вагон 125. Квартплата в отдаленных районах города Северный в два раза ниже, чем в центральных. На сколько процентов квартплата в отдаленных районах меньше, чем в центральных? 126. Во сколько раз меньше стал стоить товар, если его уценили на: а) 50%: 6) 90%: в) 98%? 127. Сравните 61% от числа 83 и 83% от числа 61. Столбчатые и круговые диаграммы Столбчатые диаграммы удобно использовать в тех случаях, когда нужно сравнить полученные данные (например, результаты опроса общественного мнения), показать, как меняется со временем интересующее нас явление, и т. д. ■ Пример!. Магазин, продающий легковые автомашины, ведет учет продаж автомобилей разных марок. Данные о продаже автомобилей «Москвич», «Жигули» и «Волга» представили на диаграммах, которые для наглядности объединили в одну (рис. 8). I I - «Москвич» □ - «Жигули» П- Рис. 8 «Волга» Из диаграммы ясно, что больше всего ежемесячно продавали «Жигулей», причем спрос на них оставался примерно одинаковым. Постоянно увеличивался спрос на «Волги», и, начиная с марта, уменьшался спрос на «Москвичи». Учитывая изменение спроса покупателей, магазину выгодно уменьшить заказ на «Москвичи» и увеличить заказ на «Волги». Круговые диаграммы удобно использовать в тех случаях, когда нужно представить соотношение между частями целого. (26)— ■ Пример 2. На круговой диаграмме показаны результаты выборов мэра некоторого города из двух кандидатов А и Б (рис. 9). Круг изображает всех избирателей города, т. е. 100% избирателей. Их голоса распределились следующим образом. За кандидата А проголосовало 52% избирателей, поэтому на диаграмме им отведено чуть больше половины круга. За кандидата Б проголосовало 12% избирателей, им отведена примерно восьмая часть круга. Не участвовал в выборах 31% избирателей, на диаграмме им отведено около трети круга. С помощью этой диаграммы можно получить некоторую дополнительную информацию. Приняли участие в выборах большинство избирателей (около 70%). За первого кандидата проголосовало примерно в четыре раза больше избирателей, чем за второго. Почти все избиратели, которые пришли на выборы, проголосовали за одного из двух кандидатов; только 5% проголосовали против обоих. 128. Бригада строителей проложила асфальтовую дорогу длиной 9 км за четыре месяца. На диаграмме (рис. 10) показан объем выполненной работы по месяцам. а) В какие месяцы было проложено более 25% дороги? менее 15% дороги? б) Какая часть дороги была проложена в марте? в апреле? в мае? за два последних месяца? в) Сколько метров дороги было проложено в марте? в апреле? в июне? 129. На диаграмме (рис. 11) показано, как распределились мнения учащихся при ответе на вопрос: «Какое из следующих занятий вам нравится боль-ще всего: чтение, просмотр телевизионных передач, занятия спортом, прогулка?» При этом каждый выбрал только одно из этих занятий, а) Чем увлекается большая часть учащихся? меньшая часть учащихся? Объем выполненной работы, % Рис. 10 000 Рис. 13 Черные пиджаки Белые пиджаки Темно-серые пиджаки Другие изделия Светло-серые пиджаки Рис. 14 б) Сколько процентов учащихся предпочитают активный отдых? пассивный отдых? в) Сколько человек указали в качестве любимого занятия чтение, если всего было опрошено 250 учащихся? 130. На диаграмме (рис. 12) показано соотношение суши и Мирового океана на поверхности Земли. Сколько примерно процентов поверхности Земли занимает Мировой океан? суша? Как вы думаете, почему Землю называют голубой планетой? 131. Среди деревьев парка березы составляли 55%, осины — 15%, остальные деревья были других пород. На какой из диаграмм изображены эти данные (рис. 13)? 132. На диаграмме (рис. 14) представлены данные о продукции ателье по пошиву мужской одежды. а) Какова основная продукция данного ателье? б) Пиджаков какого цвета ателье производит меньше всего? больше всего? в) Сколько процентов продукции приходится на пиджаки светлого цвета? темного цвета? г) Сколько процентов всех изделий могут составлять жилеты? 133. На диаграмме (рис. 15) показано, как распределились мнения учащихся о прочитанной книге. Изобразите схематично эти данные на круговой диаграмме. 134. На диаграмме (рис. 16) показано, как распределились мнения учащихся при ответе на вопрос: «Существует ли Лохнесское чудовище?» Сколько процентов учащихся считают существование Лохнесского чудовища достоверным? возможным? невозможным? 135. В таблице представлены результаты опроса школьников нескольких стран относительно того, должны ли дети 7 лет обслуживать себя сами и выполнять работу по дому. Представьте эти данные на столбчатой диаграмме. Указание. Используйте в качестве образца диаграмму на рисунке 8. Страна Результаты опроса Самообслуживание, % Работа по дому, % Австралия 78 21 Болгария 82 33 Чехия 85 15 Венгрия 73 25 Швеция 65 10 США 80 18 136. На станции техобслуживания ведут учет неисправностей поступающих автомобилей. Данные о поломках за последние три месяца свели в таблицу. Объект Месяц поломки октябрь ноябрь декабрь Двигатель 9 18 Подвеска 25 26 15 Кузов 24 50 35 Тормозная система 12 15 22 Всего * Выполните следующие задания и закончите заполнение таблицы: а) Сколько поломок двигателя зарегистрировано в октябре, если поломки двигателя за ноябрь и декабрь составили от общего числа поломок двигателя? Запишите результат в соответствующую клетку таблицы. б) Подсчитайте общее число неисправностей поступивших автомобилей в каждом из трех месяцев и впишите результаты в таблицу. Какая из диаграмм (рис. 17) соответствует последней строке? в) Изобразите схематично на круговой диаграмме данные о неисправностях автомобилей Рис. 17 за ноябрь. ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Аликвотные дроби Математики Древнего Египта «настоящими» считали только дроби, выражающие какую-либо одну долю целого — так называемые единичные или аликвотные дроби. Другие дробные числа они записывали не единым символом, а в виде суммы аликвотных дро- 3 бей. Если, например, в результате измерения получалась дробь „1,1 то ответ выражался суммой + Для упрощения практических расчетов составлялись специальные таблицы, содержащие представления некоторых дробных чисел в виде суммы аликвотных дробей. Одна из таких таблиц обнаружена в древней рукописи «Папирус Ахмеса», названной так по имени ученого, рукой которого она была написана. Вот как в расшифрованном виде выглядят некоторые содержащиеся в таблице записи: 11 6 66’ 13 8 52 104’ 7 6 14 21’ 2 99 1 66 198' Убедитесь сами, что эти равенства действительно верные. В том же «Папирусе Ахмеса» есть такая задача: разделить 7 хлебов между 8 людьми. По-египетски эта задача решалась так. Долю, приходящуюся на каждого человека, т. е. дробное число „ 1,1,1 выражали в виде суммы долей Значит, каждому человеку надо было дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Заметьте, такое решение еще и удобно: вместо того чтобы каждый хлеб резать на 8 частей, достаточно было четыре хлеба разрезать пополам, два хлеба — на 4 части и один хлеб — на 8 частей. 137. Используя рисунок 18, представьте число 1 в виде суммы трех аликвотных дробей. Запишите соответствующее равенство и проверьте его. 138. Старинная задача. Персидский крестьянин завещал трем своим сыновьям 17 верблюдов, причем 1 Рис. 18 1 первый должен был получить часть всех верблюдов, второй —часть, 1 „ а третий — Братья думали долго, но разделить наследство по завещанию отца так и не смогли. Мимо на верблюде проезжал Ходжа Насреддин. Он предложил присоединить к верблюдам еще и своего и рещить таким образом возникшую проблему. И действительно, братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причем Ходжа Насреддин получил своего верблюда обратно. Сколько верблюдов досталось каждому сыну? 1 J_ 1 16 32 64 139. Квадрат со стороной, равной 1, разделили пополам, затем одну его половину опять разделили пополам, одну из получившихся половинок еще раз разделили пополам и т. д. (рис. 19). Используя рисунок, докажите, что На сколько сумма аликвотных дробей, записанных в левой части неравенства, отличается от 1? Допустим теперь, что сумма в левой части неравенства, построенная по тому же закону, содержит 100 слагаемых. Будет ли неравенство по-прежнему верным? 140. Представьте в виде суммы различных аликвотных дробей следующую дробь: а,|: Рис. 19 7 , 4 , 5 10’ в) у: г) g. 7 4 3 1 2 1 1 8 8 8 2'^8'^8 2 3 6 5 1 1 1 1 4 10 10 10 = 2 + 10- 141. Используя аликвотные дроби, покажите, как можно разделить три яблока между четырьмя людьми, не разрезая каждое на 4 части. 142. Рассмотрите равенства: 3=1 + 1- 4 2 4’ 1=1 1+1 8 2^48’ 16 2 4 8 16' Подметьте закономерность и «сконструируйте» следующее равенство. Проверьте себя, выполнив сложение дробей. 143. Не выполняя сложения дробей, объясните, почему верно каждое неравенство: Подметьте закономерность и запишите следующее неравенство. 144. Найдите значение суммы 1 _L _L4.J_4._L _L _L + _L 6 12 20 30 42 56 72 90 ■ заменив каждое слагаемое разностью аликвотных дробей: 1 _ 1 _ 1__1^ 1 _ 1 _ 1_± 6 “ 2-3 “ 2 3’ 12 ~ 3-4 “ 3 4..... (2к Задания для самопроверки к главе 1 (Обязательные результаты обучения) Выполните действие: 5^1. 9 6’ д) у- 14 15’ ж) 24--I: 3 3. 4 8’ ^ i 1 2 ^ 15 3’ е) 1у . 5 ■ 8’ 3) 1:30. 2. Найдите значение выражения: Т_ 9’ ^ J- А 10 ‘ 21 4+1= в) 10 21 г) (2- 1 6 9 ■ 4’ 7 \ /5 3 , 1о)‘(7 14] 3. Вычислите: а) 1 1 + 1 2 4 2 :г: б) -т- 4. На теплоходе 120 мест. Во время поездки пассажирами было занято у всех мест. Сколько свободных мест оказалось на теплоходе? 5. В учебнике 160 страниц. Какую часть учебника составляет глава, содержащая 60 страниц? 6. Выразите дробью: 20%, 25%, 40%, 50%, 75%. 7 7. Выразите в процентах: 25 100 стоимости товара. 100 стоимости товара. 8. На круговой диаграмме показано, чем занимаются ученики 6 класса после уроков в школе (рис. 20). Используя диаграмму, ответьте на вопрос: какой процент учащихся занимается музыкой? 9. Что больше: а) 46% площади или половина площади; б) четверть объема или 30% объема? 10. Из 500 участников конкурса 12% — дети. Сколько детей участвует в конкурсе? 11. В магазин привезли со склада ботинки по 300 р. за одну пару, а при продаже увеличили цену на 20%. а) Какую надбавку к первоначальной цене сделал магазин? б) По какой цене продают эти ботинки в магазине? 2 —Дорофеев, 6 кл. Вы уже много знаете о прямой. Прямая бесконечна; в отличие, например, от окружности эта линия незамкнутая; через две точки можно провести только одну прямую. Поговорим теперь подробнее о взаимном расположении двух прямых. На рисунке 21 изображены две пересекающиеся прямые. Они делят плоскость на четыре угла. У этих углов общая вершина — точка пересечения прямых. Посмотрите на углы 1 и 3. Для таких углов есть специальное название — их называют вертикальными. Точно так же называют углы 2 и 4. Таким образом, при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Очевидно, что В самом деле, каждый из этих углов дополняет один и тот же угол (Z2 или Z.4) до развернутого. Точно так же /L2 = /L4. Вертикальные углы равны 9 Если одну пару вертикальных углов составляют острые углы, то другую — тупые. Пусть, например, каждый из острых углов 90 Рис. 22 равен 30°, тогда каждый из тупых углов равен 180°-30°= 150°. Может оказаться так, что все четыре угла, образовавшиеся при пересечении двух прямых, равны между собой, тогда каждый из них равен 90° (рис. 22). В этом случае прямые называют перпендикулярными. Это название произошло от латинского слова perpendicularis, что означает «отвесный». Дело в том, что с давних времен строители для получения прямых углов пользовались отвесами — грузиками на длинной веревке (рис. 23). Для обозначения перпендикулярности используют знак ±, напоминающий отвес. А фразу «прямая а перпендикулярна прямой 6» записывают так: а ±5. Перпендикулярные прямые можно построить и с помощью угольника, и с помощью транспортира (рис. 24). И совсем просто начертить их на клетчатой бумаге. Рис. 23 —8 1 [ 10 0 10 30 50 70 90 100 Рис. 24 yiTl45 . На рисунке 25 изображены две пересекающиеся прямые а и 6 и задана величина одного из углов. Найдите величины остальных углов. 2* 146. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен: а) 10°; б) 115°: в) 90°. Найдите остальные углы. 147. Найдите на рисунке 26 перпендикулярные прямые. Запишите ответ, используя знак 1. 148. Задание с выбором ответа. Найдите на рисунке 27 все пары перпендикулярных прямых. А. a±d и а±с. Б. Ь±с и a±d. В. b±d и aLc. Г. а Lb и bLd. 149. Используя транспортир, постройте прямые, угол между которыми равен; а) 25°: б) 70°; в) 90°. 150. Начертите на нелинованной бумаге без помощи транспортира прямые, пересекающиеся под углом: а) 45°; б) 60°. Проверьте себя, выполнив измерения. 151. На нелинованной бумаге проведите прямую к. Отметьте точку С так, чтобы она лежала на прямой к, и точку А так, чтобы она не лежала на этой прямой. С помощью угольника через каждую из этих точек проведите прямую, перпендикулярную прямой к. 152. Прямые АВ, CD, КМ пересекаются в точке О (рис. 28), причем ZAOM = = 47° и Z>10C = 32°. Найдите АСОК, АКОВ, ABOD, ADOM. Рис. 28 153. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 254°. Найдите величину каждого угла. Рис. 30 154. Через точку О проведены три прямые (рис. 29), /LA0C= 142°, /lAOB = 91°. Найдите углы, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4. 155. На нелинованной бумаге проведите прямую k и отметьте точку С так, чтобы она: а) лежала на прямой к] б) не лежала на прямой к. Перегибая лист бумаги, постройте прямую, перпендикулярную прямой к и проходящую через точку С. 156. Одна сторона углов 1 \л 2 на рисунке 30 общая, а две другие стороны составляют прямую линию. Такие углы называют смежными. Смежные углы образуют развернутый угол, т. е. их сумма равна 180°. а) Один из двух смежных углов равен 40°. Чему равен другой угол? б) Могут ли смежные углы быть равными? Если да, то сделайте соответствующий рисунок. в) Назовите все пары смежных углов, изображенных на рисунке 21. г) По рисунку 28 назовите угол, смежный с углом АОС. Сколько таких углов? Назовите углы, смежные с углом: СОК, АОМ, KOD. 157. Задача-исследование. 1) Рассмотрите рисунок 31: углы ВОС и СОА — смежные, луч ОМ — биссектриса угла СОВ, луч ON — биссектриса угла АОС. Пусть ZAOC-40°. Чему равен угол между биссектрисами? 2) Решите эту же задачу при условии, что угол АОС равен 60°, 82°. 3) Какое можно выдвинуть предположение на основе решения этих задач? Попробуйте обосновать свой вывод. Параллельные прямые Любые две прямые на плоскости или пересекаются, или не пересекаются. Если прямые не пересекаются, то их называют параллельными (рис. 32). Название это происходит от греческого слова, означающего «рядом идущие». Для обозначения параллельности двух прямых древнегреческие математики использовали знак « = ». Однако когда в XVIII в. этот знак стали использовать как знак равенства, параллельность стали обозначать с помощью знака «II». Если прямые а и 6 параллельны, то записывают это так: а II Ь. Построим несколько параллельных прямых и проведем прямую, их пересекающую (рис. 33). Эта прямая пересечет каждую из параллельных прямых под одним и тем же углом: Z2 =Z.2 = zl3. Это очень важное свойство, характеризующее параллельные прямые. На нем, в частности, основан способ их построения с помощью угольника и линейки. Пусть дана некоторая прямая т (рис. 34, а) и требуется начертить прямую, ей паргшлельную. Для этого: • одну сторону угольника расположим вдоль прямой т (рис. 34, б); • положение угольника зафиксируем линейкой (рис. 34, в); • передвинем угольник вдоль линейки и проведем новую прямую (рис. 34, г). Построенная прямая параллельна данной прямой. На рисунке 35 построены две прямые а и Ь, перпендикулярные одной и той же прямой т. Прямые а и Ь параллельны. Если прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. м Итак, две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве возможен еще один случай взаимного расположения двух прямых. Посмотрите на куб, изображенный на рисунке 36. Ребра АВ и LM не параллельны, хотя прямые, которым они принадлежат, не пересекаются. Такие прямые называются скрещивающимися. Обратите внимание: эти прямые лежат в разных плоскостях. 159. 160. 161. 162. 58. Приведите примеры параллельных и скрещивающихся прямых, которые встречаются в окружающем мире. Найдите на рисунке 37 четыре пары параллельных прямых. Выпишите эти пары, используя знак «11». Назовите пары прямых, которые пересекают прямую а под одним и тем же углом. Какие стороны многоугольника параллельны (рис. 38)? Начертите в тетради по линиям клетки: а) две параллельные прямые а и Ь и прямую с, им перпендикулярную; б) прямую а и прямые Ь, с, d, ей перпендикулярные. а) Проведите произвольную прямую Ь. С помощью линейки и угольника постройте несколько прямых, параллельных прямой Ь. а) А б) -<Е) В м D Рис. 41 б) Проведите произвольную прямую Ь и отметьте точку К, не лежащую на этой прямой. Через точку К проведите прямую, параллельную прямой Ь. 163. Какие ребра параллелепипеда, изображенного на рисунке 39, параллельны ребру ЛО? ребру DN7 ребру DC? Назовите ребра параллелепипеда, принадлежащие скрещивающимся прямым. 164. Какие ребра пирамиды, изображенной на рисунке 40, принадлежат скрещивающимся прямым? 165. Постройте какой-нибудь четырехугольник ABCD, у которого: а) ЛБ || CD и SCIMD; б) AB\\CD и BC^AD (1" — непараллельны); в) ABWCD, ABLAD и bc)I;ad. 166. Определите на глаз, параллельны ли прямые а и Ь (рис. 41), и проверьте себя с помощью инструментов. ___ 167. а) Прямые а и Ь параллельны, Z5 = 45° (рис. 42). Какие еще углы равны 45°? б) Прямые тип параллельны, /.1 = 38° (рис. 43). Назовите величины остальных углов, обозначенных цифрами. 168. Прямые а, Ь \л с параллельны (рис. 44). Известны величины двух углов. Найдите величины углов, обозначенных цифрами 7, 2 и 3. 169. На ребрах куба взяты точки О и Р (рис. 45). Пересекает ли прямая ОР прямую AD7 прямые DN, KN, ВМ, МК, LN, АВ7 170. На рисунке 46 показан способ построения прямой, параллельной данной, с помощью одного угольника. На каком свойстве параллельных прямых основан этот способ? а) Начертите какую-нибудь прямую и постройте с помощью угольника прямую, ей параллельную. 171. На нелинованной бумаге проведите прямую. Перегибая лист, постройте прямую, ей параллельную. 172. Задача-исследование. 1) Изобразите все случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости (их всего четыре). Какое наибольшее число точек пересечения могут иметь три прямые? 2) На плоскости проведены четыре прямые и отмечены точки, в которых эти прямые попарно пересекаются. Какое наибольшее число таких точек могло получиться? Расстояние Вам, конечно, не раз приходилось слышать и употреблять слово «расстояние». Что же это такое? Самый простой случай — это расстояние между двумя точками. Возьмем две точки А и В. Существует бесконечно много линий на плоскости, двигаясь по которым можно из точки А попасть в точку в. Некоторые из линий изображены на рисунке 47. Самый короткий путь из точки А в точку В — отрезок АВ. Его длина и есть расстояние между точками А и В. Но в геометрии говорят о расстоянии и в других, более сложных случаях, например: расстояние от точки до некоторой фигуры (прямой, окружности), расстояние между двумя параллельными прямыми и т. д. И при этом расстояние — это всегда кратчайший путь. На плане, изображенном на рисунке 48, вы видите озеро и дом лесника. Как проложить кратчайший путь от дома лесника к водоему? Будем проводить окружности с центром в точке О, увеличивая их радиусы, пока одна из них не «достигнет» озера. В результате найдем точку озера, ближайшую к дому лесника. На плане это точка М. Отрезок ОМ и есть расстояние от дома лесника до озера. Пусть теперь нужно найти расстояние от дома до дороги. Изобразим их схематически точкой А и прямой I (рис. 49, а). Чтобы найти расстояние от точки А до прямой I, нужно найти ближайшую к А точку этой прямой. Для этого проведем через точку А прямую, перпендикулярную I, и обозначим точку их пересечения буквой К (рис. 49, б). На рисунке 49, в хорошо видно, что отрезок АК короче любого другого отрезка, соединяющего точку А с точкой прямой I, значит, К и есть ближайшая к А точка прямой. а) .А б) К Рис. 49 Таким образом, расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, проведенному из точки к этой прямой. А что имеют в виду, когда говорят о расстоянии между параллельными прямыми? с М а N Ь Рис. 50 На рисунке 50 проведены параллельные прямые а и Ь и прямая с — их общий перпендикуляр. Длина отрезка MN будет одной и той же, в каком бы месте ни провести перпендикуляр с. Длину этого отрезка и называют расстоянием между параллельными прямыми. Рельсы на прямолинейном участке железнодорожного пути должны оставаться параллельными: они не могут сближаться или удаляться друг от друга. Поэтому их крепят к шпалам на одном и том же расстоянии друг от друга. Это расстояние называют шириной колеи. Расстояние от точки до плоскости тоже измеряется по перпендикуляру. Легко понять, какую прямую называют перпендикулярной к плоскости. Возьмите карандаш и поставьте его сначала наклонно, а потом вертикально. Во втором случае он перпендикулярен плоскости стола: с любой прямой, лежащей в плоскости и проходящей через основание карандаша, он образует прямой угол (рис. 51). Прямые, перпендикулярные плоскости, вы видите и в окружающей обстановке, и на геометрических моделях. Посмотрите на куб, изображенный на рисунке 52: ребро АВ перпендикулярно грани AKND, ребро ВС перпендикулярно грани CMND. Перпендикулярность играет важную роль в окружающей нас действительности. Так, космическая ракета, стоящая на старте, должна располагаться строго перпендикулярно плоскости стартовой площадки. А вот нарушение перпендику- лярности может привести к серьезным последствиям. Возможно, вы слышали о Пизанской башне: она стоит наклонно к поверхности земли, и именно поэтому существует угроза ее падения. 173. а) Отметьте в тетради точку О и постройте пять точек, находящихся от нее на расстоянии 3 см. Что представляет собой множество всех точек плоскости, удаленных от этой точки на 3 см? б) Отметьте в тетради точку М и покажите штриховкой множество всех точек, расположенных от точки М на расстоянии, большем 2 см и меньшем 3 см. Проведите в тетради прямую, не совпадающую с линиями сетки. Отметьте две точки, взяв их по разные стороны от прямой. Найдите расстояние от каждой из этих точек до прямой. Введите необходимые обозначения и запишите ответ. 175. Найдите расстояние от точки А до прямой а и до прямой Ь (рис. 53). 174. 176. Перечертите рисунок 54 в тетрадь. Найдите расстояние от каждой вершины треугольника АВС до прямой а. 177. Начертите какую-нибудь окружность и прямую, ее не пересекающую. Найдите расстояние: а) от центра окружности до прямой; б) от прямой до окружности. 178. Начертите какую-нибудь прямую АВ. Постройте несколько точек, находящихся от прямой АВ на расстоянии 2 см. Где расположены все такие точки? 179. На рисунке 55 изображены три параллельные прямые. Найдите расстояние между каждой парой этих прямых. 180. а) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4 см. б) Начертите четыре параллельные прямые, увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм. 181. По одну сторону от прямой I расположены точки А, В, С \л D. Расстояния от этих точек до прямой соответственно равны 4 см 3 мм, 4 см 1 мм, 3 см 9 мм и 4 см 6 мм. Через точку А проведена прямая, параллельная I. Какие из отрезков ВС, CD и DB эта прямая пересекает, а какие нет? 182. а) Расстояние между параллельными прямыми тип равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой т. Определите расстояние от точки А до прямой п. Сколько решений имеет задача? б) Точка А расположена на расстоянии 3 см от одной из двух параллельных прямых и на расстоянии 5 см от другой. Чему равно расстояние между параллельными прямыми? 183. На рисунке 56 изображен параллелепипед. Найдите расстояние: а) от вершины В до передней грани параллелепипеда и до его нижней грани; б) от вершины А до задней грани и до правой боковой грани; в) от точки С до передней грани, до верхней грани и до левой боковой грани. У, 8 см А )- ^6 В 4см I см Рис. 56 184 185. 186. 187. Дачный участок огорожен забором, рыть колодец так, от колодца до была наименьшей В а) Что больше: диагональ прямоугольника или его сторона? б) Какой из отрезков самый длинный: ребро куба ВС, диагональ грани АВ или диагональ куба АС (рис. 57)? Какой из этих отрезков самый короткий? прямоугольной формы Хозяин участка хочет вы-чтобы сумма расстояний каждой стенки забора Объясните ему, что он может вырыть колодец в любой точке участка. На рисунке 58 изображены две пересекающиеся дороги. Мальчик выходит из дома. Он хочет побывать на обеих дорогах и при этом пройти самым коротким путем. Как он должен идти? Постройте четыре точки Д В, С и D по следующему условию: точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ, АВ = 8 см, АС = 4 см, СВ = 8 см, АО = 6 см, ОВ = 4 см. Измерьте расстояние между точками С и О. Рис. 57 188. На лугу вбиты два колышка, а между ними натянута проволока так, что веревка, к которой привязана коза, может свободно перемещаться вдоль проволоки от одного колышка до другого. Длина проволоки равна 5 м, длина веревки — 4 м. Покажите на чертеже «владения» козы, где она может щипать траву. (Пусть сторона одной клетки тетради изображает 1 м.) 189. Задача-исследование. 1) На отрезке АВ, длина которого равна 10 см, взята точка С так, что АС-2 см. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и СВ. Решите эту же задачу, если АС = 4 см. 2) На отрезке АВ, длина которого равна 8 см, произвольным образом отмечена точка С. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и СВ. 3) Решите задачи 1 и 2 для случая, когда точка С лежит на прямой АВ, но не принадлежит отрезку АВ. Ф ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Орнаменты Слово «орнамент» произошло от латинского ornamentum — украшение и означает «узор из повторяющихся элементов». Искусство создания орнамента восходит к далекой древности. Уже первобытные люди пытались украшать простейшими узорами глиняную посуду, рукоятки топоров, кожаные изделия. Первые орнаменты складывались из отрезков прямых или кривых линий (рис. 59). Интересно, что эти линии отражают самые ранние способы изготовления того предмета, на который они нанесены. С их помощью современные ученые могут воссоздать историю создания этих предметов. xz>c3C3< ххххзсх: Рис. 59 Рис. 60 Со временем орнаменты становились все более сложными, изысканными, художники включали в них хитросплетения различных линий, изображения растений и животных, даже надписи на изделии часто выполняли в виде орнамента. Орнаментами украшали каменные и деревянные постройки, домашнюю утварь, одежду, их высекали на камне, вырезали по дереву, выкладывали из мозаики, вышивали на ткани,, рисовали на керамике. Главное, что характерно для орнамента, — это повторяемость его элементов. Рассмотрите внимательно орнаменты, представленные на этой странице. Все они получены многократным повторением некоторого фрагмента — сдвигом фрагмента вдоль одной прямой на одно и то же расстояние. В математике такое перемещение фигуры называют параллельным переносом. Построить орнамент можно с использованием трафарета. Для этого положим на лист бумаги линейку, приложим к ней трафарет и обведем контур отверстия карандашом (рис. 60). Линейка задает нам линию сдвига. Сдвинем трафарет вдоль линейки и вновь обведем контур отверстия. 190. Орнамент, изображенный на рисунке 61, построен с помощью трафарета буквы «ж» параллельным переносом вдоль вертикальной прямой на 1 см. Возьмите какой-нибудь трафарет и постройте с его помощью свой орнамент. 191. Рисовать орнаменты очень удобно на клетчатой бумаге. Перенесите рисунок 62 в тетрадь и продолжите построение орнамента. Раскрасьте повторяющийся элемент орнамента. На отрезок какой длины сдвигается этот элемент? W Z7 W Z7 W Z7 Z7 UW Z7 W Z7 W Рис. 61 -I—I—I- Рис. 62 Рис. 64 Рис. 65 192. Нарисуйте от руки орнамент, который получается при параллельном переносе элемента (рис. 63) вдоль вертикальной прямой. 193. Орнамент на рисунке 64 — часть украшения деревенской избы. Изобразите повторяющийся элемент этого орнамента. 194. Элементы древних орнаментов можно встретить и в произведениях современных мастеров, например на решетке одного из московских мостов (рис. 65). В верхней части решетки использован орнамент, характерный для древних мастеров (см. рис. 59), его часто можно видеть на греческих амфорах. А основная часть решетки, как бы сплетенная из окружностей, создает образ летящей колесницы. Воспроизведите рисунок решетки в тетради. 195. Постройте орнамент по следующему алгоритму: (J) перенесите четырехугольник в тетрадь (рис. 66); @ нарисуйте второй четырехугольник, полученный сдвигом первого на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх; @ нарисуйте третий четырехугольник, полученный сдвигом второго на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз; @ последовательно повторите пункты 2 и 3. Раскрасьте получившийся орнамент. Pi^q 55 196. Орнамент в упражнении 195 получается с помощью двух параллельных переносов. Придумайте и постройте свой орнамент, который также получается с помощью двух параллельных переносов. Как записывают и читают десятичные дроби С развитием математики дроби стали использоваться не только для решения простейших практических, бытовых задач, но и для более сложных расчетов. Однако правила действий с дробями, как вы уже убедились, достаточно сложны. И математики придумали, как упростить вычисления: для дробей со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. они стали применять новую, так называемую десятичную запись. Десятичная запись, которую применяют для таких дробей, проще «двухэтажной» записи обыкновенных дробей — с числителем и знаменателем. Дроби 10’ 100’ 1000’ 10000’ ••• записывают так: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; .... Эти десятичные дроби читаются так же, как соответствующие обыкновенные, но с добавлением слов «0 целых»: «0 целых 1 десятая», «о целых 1 сотая», «0 целых 1 тысячная», «0 целых 1 десятитысячная» и т. д. Нетрудно догадаться, как записывают и читают некоторые другие десятичные дроби. Например: 3 вместо пишут 0,3 и читают «0 целых 3 десятых»; вместо вместо 100 8 1000 пишут 0,07 и читают «0 целых 7 сотых»; пишут 0,008 и читают «0 целых 8 тысячных». л 3 8 14 2 Рис. 67 Так же обстоит дело и со смешанными дробями. Например, вме- 3 сто 2^^ пишут 2,3 и читают «2 целых 3 десятых». Способ записи десятичных дробей является естественным обобщением известного вам способа записи натуральных чисел. В записи натурального числа значение цифры зависит от того, в каком разряде она находится (рис. 67). Единицы двух соседних разрядов отличаются друг от друга в 10 раз. Для записи десятичных дробей используют новые разряды, которые пишут справа от разряда единиц, поставив после него запятую. В этих разрядах указывают доли единицы. В первом после запятой указывают число десятых долей; его так и называют — разряд десятых. Во втором указывают число сотых долей и называют его разрядом сотых и т. д. (рис. 68). Цифра о выполняет свою обычную роль, она показывает отсутствие единиц соответствующего разряда. Что, например, означает запись 7,35? Как ее прочитать? В числе 7,35 содержится 7 единиц, 3 десятых и 5 сотых. Поэтому 5, 4 о 2 1 5 7 ■л .я Рис. 68 7,35 = 7+^+^=7 + 30 -н 100 100 = 7 + -^=7 35 100 100' Таким образом, 7,35 — это десятичная запись числа 7 35 100’ Из данного примера понятно, что десятичную дробь легко прочитать и не переходя к обыкновенной. При чтении десятичной дроби сначала читают ее часть, стоящую до запятой, и добавляют слово «целых», а затем — часть, стоящую после запятой, и добавляют название последнего разряда. Например: 0,018 — «нуль целых восемнадцать тысячных»; 40,0056 — «сорок целых пятьдесят шесть десятитысячных». Чтобы не ошибаться при переходе от десятичной дроби к обыкновенной и наоборот, полезно помнить: В десятичной дроби после запятой должно быть столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби. Это правило проиллюстрировано на рисунке 69. 5,013^ t 13 'юоо ♦ 3 цифры и 3 нуля Рис. 69 Десятичные дроби, так же как и обыкновенные, изображают точками на координатной прямой. Пусть нужно построить точку, соответствующую числу 0,3. Для этого отрезок между точками 0 и 1 делят на 10 равных частей и отсчитывают 3 такие части (рис. 70, а). Если нужно построить точку, соответствующую, например, десятичной дроби 0,36, то делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка, которая следует за точкой с координатой 0,3. Получают сотые доли единичного отрезка. Отсчитав от точки 0,3 шесть сотых долей, отмечают точку с координатой 0,36 (рис. 70, б). Изобретение десятичных дробей является одним из величайших достижений человеческой культуры. Однако прошли века, прежде чем десятичные дроби стали широко использоваться при вычислениях и приобрели современный вид. Нидерландский математик и инженер Симон Стевин (XVI в.), с именем которого связывают открытие десятичных дробей в Европе, десятичную дробь 35,912 записывал так: 35(g) 9ф 1(1) 2(g) . Позднее такую десятичную дробь стали записывать проще: 35° 912 (рис. 70, б). Теперь же вместо кружка, отделяющего целую часть от дробной, мы пишем внизу запятую. Но в некоторых странах, например в Англии, США, вместо запятой ставят точку. 0,3 а) б) .0,36 iiimimi -f- 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Рис. 70 0,7 0,8 0,9 197. Назовите число единиц каждого разряда: а) 0,27; 34,106; 19,041; б) 123,5476; 6902,0584. 198. Дано число 242,341. В каких разрядах записана цифра 2? 3? 4? 1? 199. Дано число 6487,024689. Какая цифра записана в разряде; а) сотых; в) десятитысячных; д) тысячных; б) десятых; г) стотысячных; е) миллионных? 200. Прочитайте десятичные дроби: 0.3; 2,7; 15,6; 2,31; 0,09; 5,126; 2,803; 27,055. 201. Запишите десятичные дроби: нуль целых пять десятых; шестнадцать целых тридцать одна сотая; десять целых восемь сотых; пять целых триста восемь тысячных; нуль целых двадцать пять тысячных. 202. Запишите в виде обыкновенной дроби: 0,9; 0,123; 0,03; 0,77; 0,007; 0,021. 203. Запишите в виде смешанной дроби; 1.3; 10,1; 256,73; 1,01; 3,009; 1,021. 204. Запишите десятичные дроби в виде обыкновенных и сократите их: а) 0,5; 0,2; 0,8; 0,75; 0,25; 0,05; б) 0,4; 0,6; 0,36; 0,04; 0,0375; 0,008. 205. Запишите в виде десятичной дроби: 3 23 7 457 9 21 10’ 100’ 100’ б) 11 ■Jo' ^ 100’ * ^ J87 10’ 341 1000 3 100’ 528 1000’ 238 1000’ 15 12 8 1000’ 1000’ 1349 1002 1000’ 10 ’ 100’ 100’ 1000’ 1000' 206. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых: а) 6,25; б) 1,37; в) 0,234; г) 5,1351. 5 6 1 Образец. 3,615 = 3+ 1000 3 + 0,6 + 0,01 +0,005. 207. Какие числа отмечены точками на координатной прямой (рис. 71)? а) ) I I > i I I ♦ I ♦ I I I » I I I ■ I б) 7 8 Рис. 71 208. Какие числа отмечены точками на координатной прямой (рис. 72)? а) —I- 0,1 0,2 б) -+- 2,3 2,4 2,5 Рис. 72 209. На координатной прямой некоторые точки обозначены буквами (рис. 73). Какая из точек соответствует числу: 34,8; 34,2; 34,6; 35,4; 35,8; 35,6? В D F К L М N _1— -—^^—.—_ 34 35 Рис. 73 36 210. Начертите координатную прямую (за единичный отрезок примите 10 клеток). Отметьте на ней числа: 0,1; 0,3; 0,7; 1,2; 1,4; 1,5. 211. а) В числе 54 038 сначала отделите запятой одну цифру справа, а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево. Читайте каждую получившуюся десятичную дробь, б) В числе 6,012345 последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо. Читайте каждую получившуюся десятичную дробь. 212. а) На XIX зимних Олимпийских играх российская спортсменка С. Журова пробежала на коньках дистанцию 500 м за 37,55 с. Какой результат показала другая спортсменка, которая улучшила это время на одну сотую секунды? на две десятых секунды? б) На XVII зимних Олимпийских играх первое место в беге на коньках на 500 м занял А. Голубев (Россия). Он пробежал дистанцию за 36,33 с. Спортсмен из Японии, занявший третье место, имел результат на две десятых секунды хуже. Какой результат показал японский спортсмен? 213. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок восемь клеток. Отметьте на этой прямой числа: 0,5; 0,75; 1,5; 1,25; 0,125. 214. Отметьте на координатной прямой точки с координатами: 0,35; 0,79; 1,28; 1,51. 215. Запишите все натуральные числа и все десятичные дроби, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, соблюдая следующее условие: цифра используется в записи числа не более одного раза (это означает, что цифру можно вообще не использовать или использовать только один раз). Сколько натуральных чисел у вас получилось? Сколько десятичных дробей? -® Перевод обыкновенной дроби в десятичную Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной. Для этого достаточно записать ее со знаменателем. Например: 0,207 J000’ “^ 100 100' Однако не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде 3 десятичной. Например, дробь — обращается в десятичную, а дробь 7 ^ нет. Убедимся в этом с помощью несложных рассуждений. Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно привести ее к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д. При разложении каждого из этих чисел на простые множители получается одинаковое число двоек и пятерок: 10 = 2*5; 100=10*10 = 2*5*2*5; 1000 = 10 • 10 • 10 = 2 • 5 • 2 • 5 • 2 • 5; Никаких других множителей эти разложения не содержат. 3 Возьмем дробь -g-. При разложении ее знаменателя на простые множители получается произведение 2*2*2. Если домножить его на три пятерки, то получится один из знаменателей указанного ряда — число 1000: 3_ 3*5*5*5 _ 375 _ 8 2*2*2*5*5*5 1000 Проведенное рассуждение позволяет сделать вывод: Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной._____________^ Возьмем теперь дробь Разложив на простые множители знаменатель этой дроби, получим произведение 3 * 5, содержащее число 3. На какие бы целые числа ни домножали знаменатель, «мешающий» множитель 3 всегда будет присутствовать, поэтому произведения только из двоек и пятерок никогда не получится. Значит, 7 дробь нельзя привести ни к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д. Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то эту обыкновенную дрюбь нельзя представить в виде десятичной. Обратите внимание: в последнем утверждении речь идет только о несократимых дробях. И это не случайно. Возьмем, например, 21 дробь Ее знаменатель содержит простой множитель 3. Однако после сокращения дроби он «исчезнет»: 21 _ 7 _ 7-5 _ 35 20 20-5 100 60 = 0,35. 216. Приведите дроби к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д. и запишите соответствующие десятичные дроби: II ЛМ Л_ _31_ 50’ 3 1 1 1 1 1 1 2’ 4’ 5’ 20’ 25’ 125’ 3 2 3 11 4 21 4’ 5’ 5’ 20’ 25’ 25’ 3 3-2-2-2 а) б) Образец в) 200’ 200’ 500’ 250’ г) 2- 3- 1^ 12^ 10^ 4-^°^ 2’ Л' 20’ 50’ 500’ 50’ 1 200' 24 125 5-5-5-2-2-2 1000 217. Заполните таблицу и запомните результат. = 0,024. Обыкновенная дробь 1 2 1 4 3 4 1 5 1 8 Десятичная дробь 218. Укажите, какие дроби можно представить в виде десятичных, а какие нельзя; ±. 1. 1.1 1.1 1. 1. J-. -L. J-. -L. J-. J-. J- 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ 10’ 11’ 12’ 13’ 14’ 15’ 16' 219. Выразите время в часах сначала обыкновенной дробью, а затем, если можно, десятичной: а) 30 мин; в) 24 мин; д) 10 мин; ж) 35 мин; б) 6 мин; г) 15 мин; е) 20 мин; з) 42 мин. 220. Выразите время в часах и, если возможно, запишите ответ в виде десятичной дроби: а) 1 ч 12 мин; в) 10 ч 45 мин; д) 3 ч 50 мин; б) 2 ч 30 мин; г) 1 ч 40 мин; е) 2 ч 48 мин. 221. Запишите частное в виде обыкновенной дроби и, если возможно, обратите ее в десятичную: а) 15:2; в) 37:25; д) 25:15; ж) 8:12; и) 6:15; л) 5:8; б) 23:5; г) 9:6; е) 32:6; з) 19:9; к) 12:18; м)10:30. 222. Определите, можно ли записать данную дробь в виде десятичной (если да, то запишите): а) 19 б) 53 400’ 625’ ' 160’ ' 750' 223. Сократите дроби и запишите их в виде десятичных: 21 12 11. 39^. 24 12’ 48’ 44’ 15’ 40’ 75' 224. Выпишите дроби, которые можно представить в виде десятичных: 8 . 6 11. Ц. 32 36 24 ’ 24 ’ 35 ’ 35 ’ 48 ’ 48 ‘ 225. Представьте дроби в виде десятичных: 12 18 54 22 32 42 60’ 90’ Образец. 300’ 48 110’ 16 300 100 400’ = 0,16. 700' 226. Обратите десятичную дробь в обыкновенную и найдите значение выражения: 2 „. „„2 ,1..„ ...2 а) -д-(-0,5; б) 0,6- 5, 3 '®’^’ г) 0,4: у. 227. Не выполняя вычислений, для каждого выражения из первой строки подберите равное ему выражение из второй. Запишите соответствующие равенства: 3^ 4 0,5- •0,5; у-0,2; 1 -0,125; 0,75-у; 0,25- 1 Десятичные дроби и метрическая система мер Вам известны соотношения, с помощью которых одни единицы длины выражаются через другие, более мелкие. Например: 1 см = 10 мм, 1 м = 100 см, 1 км =1000 м. Теперь, используя десятичные дроби, можно записать другие соотношения, связывающие эти же единицы длины: 1 мм = 0,1 см, 1 см = 0,01 м, 1 м = 0,001 км. Такие же равенства можно записать с единицами измерения массы — тоннами, килограммами, граммами. dE)— Десятичные дроби появились в математике гораздо раньше, чем современные единицы измерения — метры и граммы. Удобство обращения с десятичными дробями привело к тому, что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей, связанную с измерениями: люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер. Заметим, что Россия была одной из первых стран, подписавших «Метрическую конвенцию» (слово «конвенция» означает «международное соглашение, договор»). Это произошло в 1875 г. В метрической системе мер одна единица получается из другой умножением или делением на 10, 100, 1000 и т. д. Именно так обстоит дело с единицами длины и массы. Десятичные соотношения между различными метрическими единицами отражены в их названиях. Так, приставка кило — от греческого kilo (тысяча) — означает «увеличение в 1000 раз». Например, килограмм (кило-грамм) — 1000 граммов. Вот значения других приставок: гекто — от греческого hekaton (сто) — означает «увеличение в 100 раз»; например, гектар — 100 ар; дека — от греческого deka (десять) — означает «увеличение в 10 раз»; например, декалитр — 10 литров; деци — от латинского decern (десять) — означает «уменьшение в 10 раз»; так, дециметр (деци-метр) — десятая часть метра; санти — от латинского cent (сто) — означает «уменьшение в 100 раз»; так, сантиметр (санти-метр) — это сотая часть метра; милли — от латинского mille (тысяча) — означает «уменьшение в 1000 раз»; например, миллиметр (милли-метр) — это тысячная часть метра. В то же время в системе измерения времени и углов сохранились древние традиции: например, час делится на 60 минут, минута — на 60 секунд. Интересно отметить, что в современном спорте, где секунда оказалась слишком большой единицей для измерения результатов, используется смешанная система измерения времени. Секунду делят не на 60 равных частей, а на десятые, • сотые и тысячные. Поэтому результат саночника 1.02,343 означает, что он прошел трассу за 1 минуту 2 и 343 тысячных секунды. ЕГ 228. Какую часть составляет: а) 1 см от 1 м; 1 м от 1 км; 1 мм от 1 см; 1 дм от 1 м; б) 1 г от 1 кг; 1 кг от 1 т; 1 кг от 1 ц; 1 мг от 1 г; в) 1 мм от 1 дм; 1 мм от 1 м; 1 см от 1 км? 229. а) Какую часть метра составляют; 3 дм; 8 дм; 2 см; 5 см; 4 мм; 7 мм? б) Какую часть дециметра составляют; 6 см; 3 см; 9 мм; 4 мм? в) Какую часть километра составляют; 123 м; 450 м; 600 м; 75 м; 10 м? Образец. Какую часть метра составляют 7 дм? 1 дм = м, а 7 дм = -|^ м = 0,7 м. 230. а) Выразите в метрах: 53 см;'4 м 67 см; 277 см; 304 см. б) Выразите в килограммах: 2 кг 255 г; 350 г; 1470 г. в) Выразите в тоннах; 1 т 255 кг; 678 кг; 2034 кг. 231. а) Выразите в сантиметрах и миллиметрах: 3,1 см; 5,3 см; 54,8 см; 4,6 см. б) Выразите в килограммах и граммах: 2,325 кг; 23,625 кг; 4,25 кг; 3,5 кг. 232. Выразите в рублях; а) 1 к.; 8 к.; 10 к.; 50 к.; б) 2 р. 30 к.; 5 р. 75 к.; 1 р. 5 к.; 10 р. 63 к. 233. а) Выразите в копейках: 0,84 р.; 0,2 р.; 0,07 р.; 0,4 р. б) Вл^азите в рублях и копейках; 2,35 р.; 1,5 р.; 12,08 р. 234. В 3 м 8 дм 1 см содержится 3 целых 8 десятых и 1 сотая метра, т. е. 3 м 8 дм 1 см = 3,81 м. Рассуждая таким же образом, выразите: а) в метрах: 4 м 7 дм 5 см; 12 м 2 дм 1 см; 3 дм 6 см 1 м 8 см; б) в дециметрах: 8 дм 2 см 3 мм; 7 м 2 дм 6 мм; 2 м 1 м 3 дм 4 см 6 мм. 235. Среди приведенных равенств найдите неверные и исправьте их: 1 кг 70 г= 1,7 кг; 2 т 340 кг =2,034 т; 25 мм = 0,025 м; 82 дм = 0,82 м. 236. а) Выразите в часах и запишите результат десятичной дробью: 30 мин; 2 ч 15 мин; 3 ч 12 мин; 6 мин; 45 мин. б) Выразите в минутах: 0,1 ч; 0,3 ч; 1,2 ч; 3,5 ч. 237. Задание с выбором ответа. Какое равенство верно? А. 1,4 4=1 ч 40 мин. Б. 1,4 ч=1 ч 4 мин. В. 1,4 ч=1 ч 24 мин. 9 7 мм; см; 238. Какую часть составляет: а) 1 мм^ от 1 см^; б) 1 см® от 1 дм®; 1 см® от 1 дм®; 1 см® от 1 м®; 1 см от 1 м®; 1 мм® от 1 м®? 239. В 1 гектаре (1 га) содержится 10 000 м^, в 1 аре (1 а) содержится 100 Какую часть составляет: а) 1 м от 1 а; в) 1 м от 1 га; .2 240. 241. д) 1 а от 1 га; б) 15 от 1 а; г) 200 от 1 га; е) 5 а от 1 га? Известны длины сторон прямоугольника; 1,5 см и 3,4 см. Найдите площадь этого прямоугольника в квадратных сантиметрах. Решите задачу разными способами: 1) выразив длины сторон в миллиметрах; 2) перейдя от десятичных дробей к обыкновенным. 1) Измерьте длину и ширину тетради и выразите результат сначала в миллиметрах, затем в сантиметрах и, наконец, в дециметрах. 2) Вычислите площадь тетрадного листа и выразите ее в квадратных сантиметрах. Сравнение десятичных дробей Вы знаете, что одно и то же число может быть представлено в виде обыкновенной дроби разными способами. Так же обстоит дело и при записи чисел в виде десятичных дробей. Например, десятичные дроби 0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число. В самом деле, запишем каждую из этих дробей в виде обыкновенной дроби: ч чп 0,3 = ^ и 0,30 = ^. 3 30 По основному свойству дроби Поэтому 0,3 = 0,30. Точно так же можно показать, что, например, 1,5 = 1,50 = 1,500=1,5000. Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно число нулей, то получится дробь, равная данной. Понятно, что нули, записанные в конце десятичной дроби, можно отбросить. Если в десятичной дроби последние цифры — нули, то, отбросив их, получим дробь, равную данной. Например, 7,80 = 7,8; 0,04100 = 0,041. Любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби с каким угодно знаменателем, записанным единицей с нулями. Например: .^^70 ^ 700 7000 ^ 10 100 1000 —<59) Поэтому любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после запятой: 7 = 7,0 = 7,00 = 7,000 = ... . Десятичные дроби, как и натуральные числа, сравнивают по разрядам. ■ Пример 1. Сравним десятичные дроби 2,7 и 3,1. Так как 2 единицы меньше, чем 3 единицы, то 2,7 <3,1. Точка, изображающая на координатной прямой число 2,7, расположена левее (рис. 74). 2,7 3,1 ь -+—t- Рис. 74 ■ Пример 2. Сравним десятичные дроби 1,8 и 1,42. Целые части этих дробей одинаковы, но различаются цифры в разряде десятых: 8 десятых больше, чем 4 десятых. Поэтому 1,8 >1,42 (рис. 75). 1,42 1,8 -+-1- -I—t- Рис. 75 ■ Пример 3. Сравним десятичные дроби 2,5081 и 2,508. Целые части этих дробей одинаковы, кроме того, совпадают первые три цифры после запятой. Но так как у первой дроби есть еще и четвертая цифра после запятой, а у второй соответствующий разряд отсутствует, то 2,5081 >2,508. Можно было бы рассуждать так. Уравняем число разрядов, приписав ко второй дроби цифру 0. Получим 2,5080. Цифры в разрядах единиц, десятых, сотых и тысячных одинаковы, а в следующем разряде цифры различны: в первой дроби стоит .цифра 1, а во второй — цифра 0. Поэтому первая дробь больше. 242. Есть ли среди данных чисел равные? Если есть, то укажите их: а) 3,001; б) 6,800; в) 0,4; 3,010; 6,080; 0,40; 3,100; 6,880; 0,004; 3,1; 6,08; 0,400. 243. К некоторому числу приписывают справа один нуль, два нуля, три нуля и т. д. Что происходит с этим числом, если оно является: а) натуральным числом; б) десятичной дробью? 244. 245. 246. 247. 248. 249. 250. 251. 252. 253. 254. 255. 256. Верно ли, что: а) 12,40=12,4; в) 1,03=1,30; д) 160=16; б) 25 = 25,0; г) 1,500=1,50; е) 2,01 = 2,0100000? Замените данную десятичную дробь равной: а) 3,6000; б) 70,0200; в) 0,8700; г) 0,0030. Запишите числа в столбик разряд под разрядом. Припишите справа нули так, чтобы число цифр после запятой было одинаковым: а) 1,3; 7,83; 10,506; 0,9; б) 4,007; 5,06; 3,1; 0,0004; в) 1,08; 0,0037; 2,53; 6,4. а) Выразите в метрах: 17 м 30 см; 70 м 50 см. б) Выразите в тоннах: 6 т 660 кг; 5 т 500 кг. Между какими соседними натуральными числами заключено число: 3,7; 5,01; 9,18; 4,206? Запишите ответ в виде двойного неравенства. Образец. 8 <8,04 <9. Какие натуральные числа заключены между данными десятичными дробями? Запишите ответ в виде цепочки неравенств. а) 2,75 и 4,05; в) 10,478 и 11,006; б) 1,08 и 5,06; г) 12,001 и 16,9. Образец. 11,3<12<13<14< 15 < 16 < 16,5. Сравните десятичные дроби: а) 7,62 и 9,4; б) 9,9 и 8,95; в) 5,35 и 3,53; г) 17,004 и 16,9. Задание с выбором ответа. Какое из утверждений верно? А. 2,103 = 2,13. Б. 2,103>2,13. В. 2,103<2,13. Сравните десятичные дроби, поставив вместо звездочки (*) один из знаков < или >: в) 0,0452*0,0358; г) 0,8*0,704; а) 0,219*0,246; б) 0,4789*0,4791; Сравните числа: а) 50,001 и 50,01; б) 17,183 и 17,09; д) 0,25*0,3; е) 0,019*0,0067. д) 0,89 и 1,5; е) 0,00041 и 0,0005. в) 29,5 и 29,53; г) 7 и 6,99; Какое из трех данных чисел наибольшее и какое наименьшее: а) 0,016; 0,044; 0,031; в) 0,5; 0,6; 0,56; б) 2,601; 2,610; 2,061; г) 3,215; 32,15; 0,3215? Расположите в порядке возрастания числа: а) 7,34; 7,4; 7,3; в) 2,356; 2,35; 2,36; б) 10,2; 10,1; 10,16; г) 0,007; 0,008; 0,0073. Расположите в порядке убывания числа: а) 22,86; 23,01; 22,68; 21,99; б) 0,93; 0,853; 0,914; 0,94; в) 0,09; 0,111; 0,1; 0,091. 257. В таблицах представлены результаты соревнований в беге на дистанцию 400 м с барьерами на Олимпийских играх в Сиднее (Австралия, 2000). Назовите последовательно результаты, начиная с победителя. Женщины Страна Время, с Румыния 54,35 Куба 53,68 Россия 53,02 Исландия 54,63 Украина 53,98 Марокко 53,57 Ямайка 53,45 Мужчины Страна Время, с Бразилия 48,34 Италия 48,78 Польша 48,44 США 47,50 Украина 49,01 Сауд. Аравия 47,53 ЮАР 47,81 258. Найдите какую-нибудь десятичную дробь, заключенную между; а) 2,7 и 2,8; б) 0,8 и 0,9. 259. Напишите три десятичные дроби, каждая из которых: а) больше чем 9,61, но меньше чем 9,62; б) меньше чем 0,0001. ___ 260. Что произойдет с десятичной дробью, если приписать к ней справа «хвост», содержащий не только нули? Проиллюстрируйте свой ответ примером. 261. Покажите, что при подстановке любой цифры вместо звездочки неравенство 7,019 <7,*29 окажется верным. 262. Покажите, что при подстановке любой цифры вместо звездочки неравенство 7,019>7,*19 окажется неверным. 263. Какие цифры можно подставить вместо звездочки, чтобы полученное неравенство было верным: а) 0,488 <0,4*8; в) 3,07 0,0*; б) 1*,93<11,93; г) 6,*9<6,38? 264. Сравните: 4 а) 1 и 0,5; в) 0,75 и 4 5’ А) б) 7 и 0,4; г) 0,25 и 1 4’ е) и 0,4; 1 25 (®ь— и 0,03. 265. Расположите числа в порядке возрастания: а) 37 : 0,7; б) 0,13; 29 0,125. 4’ 500' ’ ' ’ ’ ■ 200' 266. Найдите какую-нибудь обыкновенную дробь, большую 0,1, но меньшую 0,2. 267. Дана десятичная дробь 6,73401152. Вычеркните одну цифру после запятой так, чтобы дробь: а) увеличилась; б) уменьшилась. Для каждого случая укажите все решения. При решении задач 268, 269 поэкспериментируйте с числами. 268. В десятичной дроби среди цифр, стоящих после запятой, есть один нуль. Его вычеркнули. Сравните получившееся число с исходным, если этот нуль стоял: а) в конце десятичной дроби; б) не в конце десятичной дроби. 269. В десятичной дроби с «длинным хвостом» зачеркнули две последние цифры. Что произошло с этой десятичной дробью? 270. Запишите все натуральные числа и неравные десятичные дроби, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, используя каждую цифру в записи числа не более одного раза. Задачи на уравнивание ■ Задача!, в двух мешках 90 жетонов для аттракционов, причем в первом на 10 жетонов больше, чем во втором. Сколько жетонов в каждом мешке? Если бы из первого мешка вынули 10 жетонов, то количество жетонов в мешках сравнялось бы и всего в двух мешках оказалось бы 90 — 10 = 80 жетонов. Значит, во втором мешке 80:2 = 40 жетонов, а в первом — на 10 больше, т. е. в первом мешке 404-10 = 50 жетонов. Идея уравнивания помогает решать и более сложные задачи. ■ Задача 2. На трех полках 47 книг. На средней полке на 4 книги меньше, чем на верхней, и на 2 книги больше, чем на нижней полке. Сколько книг на верхней полке? Сделаем схематический рисунок по условию задачи (рис. 76). Если на среднюю полку добавить '-------------- 4 книги, а на нижнюю — 6 книг, то книг на полках станет поровну — столь- |__________ ко, сколько на верхней полке. Всего мы добавили 10 книг, теперь на трех полках 47 4-10 = 57 книг. Значит, на ' верхней полке 57:3 = 19 книг. Рис. 76 3 н М7 ■ ЗадачаЗ. Для награждения победителей математической олимпиады школа купила 30 книг по 20 р. и по 25 р. — всего на 665 р. Сколько было куплено тех и других книг? Допустим, что все книги стоили одинаково и за каждую заплатили по 20 р. Тогда стоимость всех книг была бы 20*30 = 600 р. Но заплатили за книги на 665 — 600 = 65 рублей больше, так как часть книг была дороже. Разница цен составила 25 — 20 = 5 рублей. Поэтому по 25 рублей купили 65:5 = 13 книг, а по 20 рублей купили 30 — 13 = 17 книг. 271. а) Купили 12 кг картошки и капусты, причем капусты на 5 кг меньше, чем картошки. Сколько капусты и картошки купили в отдельности? б) Туристы прошли маршрут за два дня. Они были в пути 14 ч, причем в первый день на 3 ч дольше, чем во второй. Сколько часов шли туристы в первый день и сколько во второй? 272. а) Для трех шестых классов купили подарки к празднику на сумму 980 р., причем для 6А было выделено столько же денег, сколько для 6Б, а для 6В на 80 р. больше. Сколько потратили на подарки для каждого класса? б) Ко дню рождения купили три коробки конфет — две маленькие и одну большую. В маленькую коробку входит на 160 г конфет меньше, чем в большую. Общая масса конфет 880 г. Какова масса конфет в каждой коробке? 273. а) В первой бригаде на 3 человека меньше, чем во второй, а во второй бригаде на 5 человек больше, чем в третьей. Сколько человек в каждой бригаде, если во всех трех 52 человека? б) На второй полке книг на 5 больше, чем на первой, но на 5 меньше, чем на третьей. Всего на полках 105 книг. Сколько книг на каждой полке? 274. На двух стеллажах стояло 450 книг. Когда с одного стеллажа переставили на другой 20 книг, то книг на стеллажах стало поровну. Сколько книг стояло на каждом стеллаже первоначально? ___ 275. В бригаде 7 человек получили премию по 2500 р. или по 3000 р. Всего было выдано 20 000 р. Сколько выдали премий по 2500 р. и сколько по 3000 р.? 276. Купили 8 коробок конфет — больших по 800 г и маленьких по 400 г. Общая масса конфет 4 кг. Сколько купили маленьких коробок конфет и сколько больших? 277. На плакате изображено 10 треугольников и четырехугольников. У всех вместе 36 сторон. Сколько треугольников и сколько четырехугольников изображено на плакате? 278. В магазине приготовили к продаже 300 гвоздик в букетах по 5 и по 7 штук. Сколько было букетов каждого вида, если всего приготовили , 50 букетов? UJ'>n 279. Старинная задача. На дворе бегают куры и поросята. У всех вместе 20 голов и 52 ноги. Сколько на дворе кур и сколько поросят? 280. На уроке физкультуры ребята разделились на 3 команды. Учитель, чтобы уравнять число ребят в командах, перевел одного игрока из первой команды во вторую и двух игроков из второй команды в третью. Теперь игроков в командах стало поровну. Сколько игроков было в каждой команде первоначально, если на уроке присутствовало 33 ученика? 281. Мама в 3 раза старше сына, а папа на 4 года старше мамы. Всем вместе 81 год. Сколько лет папе? 282. На 210 р. купили 4 тетради, книгу, которая в 9 раз дороже тетради, и альбом, который на 10 р. дешевле книги. Сколько стоит одна тетрадь, книга и альбом в отдельности? CD ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Еще раз задачи на уравнивание ■ Задача 1. За 3 книги и 5 тетрадей заплатили 95 р., а за 1 книгу и 2 тетради — 33 р. Сколько стоит тетрадь? Запишем коротко условие задачи: 3 кн. и 5 т. — 95 р. 1 кн. и 2 т. — 33 р. Утроим вторую покупку. Тогда количество книг в первой и второй строках уравняется: 3 кн. и 5 т. — 95 р. 3 кн. и б т. — 99 р. Теперь вторая покупка отличается от первой на одну тетрадь. Поэтому тетрадь стоит 99 — 95 = 4 (р.). ■ Задача 2. Три котенка и два щенка весят 2 кг 600 г, а два котенка и три щенка весят 2 кг 900 г. Сколько весит щенок? (Предполагается, что все котята имеют одинаковый вес, все щенки тоже имеют одинаковый вес.) Запишем коротко условие: — 2 кг 600 г, — 2 кг 900 г. 3 к. и 2 щ. 2 к. и 3 щ. Из условия следует, что 5 котят и щенков весят 5 кг 500 г. 3 — Дорофеев, б кл. Значит, 1 котенок и 1 щенок весят 1 кг 100 г; 2 котенка и 2 щенка весят 2 кг 200 г. Сравнивая условия: 2 к. и 3 щ. — 2 кг 900 г 2 к. и 2 щ. — 2 кг 200 г, видим, что щенок весит 700 г. 283. Три ручки и два карандаша стоят 170 р., а три ручки и три карандаша стоят 180 р. Сколько стоит одна ручка и сколько один карандаш? 284. В трех маленьких и четырех больших букетах 29 цветков, а в пяти маленьких и четырех больших букетах 35 цветков. Сколько цветков в каждом букете в отдельности? 285. Масса двух плиток шоколада — большой и маленькой — 120 г, а трех больших плиток и двух маленьких — 320 г. Какова масса каждой плитки? 286. Пять яблок и три груши весят 810 г, а три яблока и пять груш весят 870 г. Сколько весит одно яблоко? одна груша? 287. Масса трех гвоздей и двух шурупов — 40 г, а пяти гвоздей и трех шурупов — 65 г. Какова масса одного гвоздя? 288. Четыре гусеничных и два колесных трактора вспахали 16 га. Сколько гектаров за это время вспахал один колесный трактор, если он заменяет два гусеничных трактора? 289. Три большие и две маленькие коробки конфет дороже двух больших и трех маленьких коробок конфет на 30 р. Сколько стоит большая коробка конфет, если она в 2 раза дороже маленькой. (2ж Задания для самопроверки к главе 3 (Обязательные результаты обучения) 9 27 1. Запишите в виде десятичной дроби число: “jq^: 2. Запишите в виде обыкновенной дроби число: 0,7; 0,09; 0,203. 3 549 100’ 100' -н о 0,1 Рис. 77 -И— 0,2 3. Запишите числа, соответствующие отмеченным на координатной прямой точкам (рис. 77). 4. Начертите координатную прямую (за единичный отрезок примите 10 клеток). Отметьте на ней числа: 0,1; 0,5; 1,8; 2,2. 5. Запишите в виде десятичной дроби: 6. Сравните числа: а) 1,001 и 0,999; б) 8,54 и 8,455; в) 0,305 и 0,3050. 7. Дополните равенство: а) 1 кг 200 г=... кг; б) 2 км 130 м = ... км; в) 2 м 31 см = ... м; г) 750 г=... кг; д) 256 м = ... км; е) 80 см = ... м. •iO|6Zf35' ействия с десятичными дробями Сложение и вычитание десятичных дробей Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том, что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий с натуральными числами — надо только научиться правильно ставить в результате запятую. Сначала выясним, как складывают и вычитают десятичные дроби. ■ Пример 1. Найдем сумму 3,44 и 7,28. Обратим эти десятичные дроби в обыкновенные и выполним сложение. У каждой десятичной дроби две цифры после запятой, поэтому складывать придется обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем, равным 100: 44 28 3,44 + 7,28 = 3^+7 100 344^ 728 100 100 100 344+728 1072 ^ 100 100 100 Вы видите, что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел, которые получаются при выбрасывании запятой из данных десятичных дробей. А в сумме после запятой тоже оказалось две цифры — столько же, сколько их содержится в каждом из слагаемых. 3* Поэтому сложение этих десятичных дробей можно выполнить «в столбик», подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом. ■ Пример 2. Сложим 3,5 и 12,74. Данные десятичные дроби содержат разное количество цифр после запятой. Уравняем их число, приписав к первой дроби нуль: 3,5 = 3,50. Теперь можно выполнить сложение «в столбик». Дополнительные нули можно и не приписывать, однако нужно помнить, что они стоят на «пустых» местах. +3.4 41 -1^3, ; ■ +3;5:0 1.2Л4. 16,24 ■ Пример 3. Найдем разность чисел 24,7 и 6,835. Уравняем число цифр после запятой и выполним вычитание «в столбик». ' i2!4r7%0i ~ 6:8 3 5^ 1 7,8 6 5 J 290. Выполните сложение: а) 4,15 + 3,23; б) 12,31+7,54; в) 50,24 + 9,41; г) 1,74+18,05. 291. Найдите сумму: а) 2,57 + 4,62; г) 0,315 + 0,026; ж) 2,56 + 2,73; б) 0,513 + 0,477; д) 3,72+15,43; з) 0,24 + 0,96; в) 1,18 + 3,22; е) 0,004+1,326; и) 1,911 +0,099. 292. Ученик выполнил сложение и записал ответ, забыв поставить запятую. Исправьте его ошибку. Объясните, как вы рассуждали. а) 84,365 + 4,731 =89096; б) 3,1297 + 0,0854 = 32151. 293. Правильно ли выполнено сложение? Если неправильно, то объясните, в чем ошибка. а) б) .3,26 2:5 +3,2 6 2. 5 .3,2 6 2.5 . + .2,7; + .2,7. 10.4 10.4 + 2,7. 10.4 3,5 1 5,3 1 5,76 12,11 13,1 1 2,1 294. Вычислите; а) 12,9 + 6,31; б) 0,82+1,5; в) 4,7 + 0,63; г) 104,2 + 6,77; д) 7,356 + 22,54; е) 0,033+ 15,37; ж) 123,6+1,234; з) 10,84 + 5,5; и) 2,11 +0,099. 295. Число 0,256 можно представить в виде суммы разрядных слагаемых следующим образом: 0,256 = 0,2 + 0,05-^0,006. а) Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 0,149; 2,36; 15,03. б) Какое число представлено в виде суммы разрядных слагаемых: 0,3 + 0,02 + 0,001; 4 + 0,5 + 0,007; 10 + 1+0,1+0,02? 296. Найдите разность: а) 8,9-5,4; в) 10,4-1,1; б) 15,6-8,3; г) 29,9-10,8. 297. Выполните вычитание: 3)0.438-0,212; г) 0,461-0,181; б) 2,85-1,33; д) 6,22-3,32; в) 3,43-0,26; е) 5,17-2,86; 298. Ученик выполнил вычитание «в столбик» и записал ответ, забыв поставить запятую. Исправьте его ошибку. Объясните, как вы рассуждали. а) 28,01 -9,55=1846; б) 510,666-343,366=167300. 299. Правильно ли выполнено вычитание? Если неправильно, то объясните, в чем ошибка. ж) 0,202-0,111; з) 5,71-2,63; и) 3,25-2,45. а) б) _2,72 2,72 j2,72 1.3 "х_х 1.з:. 2 5,9 1,6 9 1,4 2 _3,4 0 _3,4 0 Q.2.4-. 0,2:4 3,2 6 3,16 300. Вычислите: а) 96,637-7,63; б) 8,405-0,23; в) 10,3-5,42; г) 13,6-13,46; д) 18,8-13,51; е) 94,3-5,15; ж) 7,08-4,125; з) 20,4-5,31; и) 80,1-78,6. 301. Найдите разность: а) 126-38,7; б) 82-20,16; в) 51-23,04; г) 112-72,92. 302. Заполните таблицу: а 1.1 1.2 1.3 1,6 1.7 1,8 ь 0.7 0,5 0,6 0,8 0.5 0.3 а + Ь 1.7 2 а-Ь 0,7 0,9 303. Вычислите: а) 5,673 + 4,62; г) 12,04-7,3; ж) 95,05-8,5; б) 6,84-0,381; д) 12,18 + 4,823; з) 4-0,127; в) 10,5 + 3,75; е) 89-6,7; и) 56,9 + 49. 304. Дополните каждое из чисел: а) 0,7; 0,03; 0,75; 0,006 до 1; б) 2,3; 7,25; 6,05; 9,99 до 10; в) 3,4; 47,34; 53,09; 29,13 до 100. 305. Представьте разными способами в виде суммы двух десятичных дробей натуральное число: а) 1; б) 2; в) 3; г) 10. 306. Найдите значение выражения: а) 1,6+3,7+4,8+5,9; в) 20-(0,8+0,03)-1,9; б) 2,5-1,8+2,43-1,7; г) (18,7+3,53)-(10-1,67). 307. а) Составьте из чисел 4,84; 5,055; 10,5 все возможные суммы и найдите их значения. б) Составьте из чисел 6,37; 2,13; 4,85 все возможные разности и вычислите их значения. 308. а) Напишите пять чисел, первое из которых равно 2,1, а каждое следующее на 0,2 больше предыдущего. Найдите сумму всех этих чисел. б) Напишите пять чисел, первое из которых равно 2,6, а каждое следующее на 0,3 меньше предыдущего. Найдите сумму всех этих чисел. 309. Найдите неизвестное число: а) 0 + 2,37 = 9,24; г) 10,3-6 = 6,6; б) 3,75 + 6 = 4,92; д) 0-7,18=14,2; в) х + 0,18 = 5; е) 10-л: = 0,99. 310. а) Из какого числа надо вычесть 0,33, чтобы получилось 0,88? б) К какому числу надо прибавить 1,9, чтобы получилось 21,1? 311. а) Какое число надо уменьшить на 1,7, чтобы получилось 8,38? б) Какое число надо увеличить на 5,5, чтобы получилось 10,1? 312. Сравните с 1 сумму: а) 0,499 + 0,4821; в) 0,78 + 0,509; б) 0,673 + 0,587; г) 0,49 + 0,488. Образец. 0,384 +0,415 <0,5 +0,5= 1. 313. Не выполняя сложения, сравните сумму с числом 10: а) 4,79 + 4,538; в) 2,901 +2,809 + 2,999; б) 6,124 + 4,001; г) 4,356 + 3,05 + 3,204. 314. а) Измерьте длины сторон четырехугольника (рис. 78), выразите их в сантиметрах и найдите периметр этого четырехугольника. Детский Рис. 79 б) На плане изображены две дороги, по которым можно пройти из дома в школу: мимо стадиона или мимо детского сада (рис. 79). Выполнив необходимые измерения, выразите длины в сантиметрах и определите, какой путь короче. 315. Скорость течения реки равна 3,2 км/ч. Найдите; а) скорость лодки по течению и скорость лодки против течения, если ее собственная скорость равна 12,5 км/ч; б) собственную скорость лодки и скорость лодки по течению, если ее скорость против течения равна 7,2 км/ч; в) собственную скорость лодки и скорость лодки против течения, если ее скорость по течению равна 14,2 км/ч. Решите задачу, составив выражение (316, 317). 316. а) В одной банке 5,2 кг краски, в другой — на 1,6 кг больше. Сколько килограммов краски в двух банках вместе? б) Щенок весит 2,3 кг, а котенок — на 1,8 кг меньше. Сколько весят они вместе? 317. а) В кувшине на 2,7 л молока меньше, чем в бидоне, и на 1,5 л меньше, чем в ведре. Сколько всего молока, если в кувшине 1,25 л молока? б) Сторона треугольника, равная 11,5 см, на 0,6 см меньше второй стороны и на 0,9 см больше третьей. Каков периметр треугольника? 318. а) Дедушка с внуком вместе собрали 18,5 кг яблок. В ящике у дедушки на 2,5 кг яблок больше, чем у внука. Сколько килограммов яблок в ящике у каждого? б) В двух канистрах было 15,4 л бензина. В одной канистре было на 3,4 л меньше, чем в другой. Сколько бензина было в каждой канистре? 319. Имеются бидоны вместимостью 1 л, 2 л, 3 л и 4 л. В какой бидон можно слить молоко из двух банок, в которых содержится: а) 0,95 л и 0,85 л; б) 1,85 л и 1,75 л? 320. В посылку можно положить не больше 8 кг груза. Можно ли упаковать в одну посылку грузы массой: а) 2,5 кг, 3,7 кг и 2,4 кг; б) 1,7 кг, 0,5 кг и 5,6 кг? 321. Вычислите, обратив десятичную дробь в обыкновенную: а) 0,5+ -|-; в) Tjy + 0,25; Д) f+ 0,8; б) 0,2-у; г) f-0,1; е) 0,4-у. 322. Вычислите, обратив обыкновенную дробь в десятичную: а) 2,82+ -|: 4 б) ^ + 3,78; в) 2,71 - — г) 1^-1,33; д) ^+1,27; е) 1,78-f. 324 325 326. 327 328. 329. 330. 323. Выполните действия; а) (23,437+ 7,2096)-(100,41 -87,5334); б) 102,093-(47,123 + 5,68 + 31,7): в) 55,28+ 76,438-(8,6+ 0,738); г) 100,6-(47,84+ 26,38)-9,208. . Вычислите удобным способом: а) 1,2+ 2,3+ 3,4+ 4,5+ 5,6+ 6,7+ 7,8; б) 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6,7 + 7,8 + 8,5 + 9,2; в) 1,7 + 3,3 + 7,72 + 3,28+1,11 +8,89; г) 18,8+19+12,2+11,4 + 0,6+11. . Какие из чисел 15, 16, 17, 18 можно подставить вместо буквы, чтобы получилось верное неравенство; а)х-6,5<10; б) 20<л:+ 4,7<22? Расстояние между селами 15 км. Туристы прошли в первый час 5,2 км, во второй час на 0,5 км меньше, а в третий — на 0,9 км меньше, чем во второй. Сколько километров им осталось пройти? Первое поле на 3,2 га меньше второго, а третье поле на 4,8 га больше второго. На сколько гектаров третье поле * больше первого? Скорость течения реки равна 4,6 км/ч. На сколько километров в час скорость катера по течению больше его скорости против течения? Попугай, канарейка и щегол вместе склевали 45,6 г зерна. Попугай и канарейка вместе склевали 29,9 г, а канарейка и щегол — 25,1 г. Сколько зерна склевала каждая птица? а) Продолжите последовательность чисел: 3,75; 3,5; 3,25; .... Можно ли продолжать эту последовательность бесконечно? б) Восстановите три последующих и три предыдущих числа в последовательности ... 1; 1,01; 1,02; ... . Есть ли в этой последовательности наименьшее число? наибольшее число? 331. Вычислите: а) 0,75 + -^-»-у: б) 0,256+ у-у: в) -^ + у-0,2; г) 0.741 -н-^ +0,009. 332. Найдите сумму: а) 0,1 + 0,2 + 0,3 + ... + 0,9; б) 0,01 +0,02 +0,03+... + 0,09; в) 0,001 +0,002+ 0,003 + ...+ 0,009. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, ... Будем умножать десятичную дробь 6,735 на 10, 100, 1000 и т. д.: 6735 1Д 1 6,735-10 = 6,735-100 = 1000 6735 6735 35 ■ — о <- 100 100 6735 100 = 67,35, 6,735-1000 = 1000 6735 1 1000 10 = 6735. 673^ = 673,5, 1000 1 Мы видим, что в исходной дроби меняется положение запятой: при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак, при умножении на 100 — на 2 знака, при умножении на 1000 — на 3 знака. Отсюда ясно, что можно пользоваться правилом: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо, сколько нулей содержится в множителе. Пользуясь этим правилом, найдем произведения: 6,735 -10 000 = 6,7350 -10 000 = 67 350; 6,735-100000 = 6,73500-100000 = 673 500. Обратите внимание: при умножении на 1000 мы получили число без запятой, так как в данной дроби всего три знака после запятой. А чтобы воспользоваться нашим правилом при умножении на 10 000 и 100 000, нам пришлось приписать к данной дроби справа нули. Деление десятичной дроби на 10, 100 и т. д. также сводится к переносу запятой. Возьмем, например, число 851,3: 8513 J_ 10 851,3:10 = ^^-^ = 851,3:100 = 10 ' 8513 =85^ = 85,13, 1 100 8513 100 = 8^;^ = 8,513. 10 100 1000 1000 Из этих примеров понятно правило: Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., Л нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево, сколько нулей содержится в делителе. J Попробуем теперь разделить дробь 851,3, например, на 10 000. По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака, но у нашей дроби перед запятой только 3 знака! Чтобы понять, как воспользоваться правилом и в таком «неприятном» случае, найдем частное, перейдя к обыкновенным дробям: 851,3:10000 = 8513 1 8513 = 0,08513. 10 10 000 100000 Получившийся ответ подсказывает нам прием, который позволяет в любом случае находить результат деления на 10, 100, 1000 и т. д. с помош;ью переноса запятой, — к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные нули: 851,3:10 000 = 00851,3:10 000 = 0,08513. 333. Выполните умножение: а) 15,47-10; 6) 913,134-100; б) 0,75-10; в) 13,003-10; г) 0,01 -10; Д) 9,8-10; ж) 10,28-100; з) 0,0045-100; и) 0,36-100; к) 4,5-100; л) 4,8071 -1000; м) 3,7-1000; н) 16,14-1000; о) 0,0018-1000; п) 0,001 -1000. 334. Представьте в виде натурального числа; а) 1,5 тыс.; г) 2,5 млн; ж) 7,5 млрд; б) 40,7 тыс.; д) 10,2 млн; в) 0,6 тыс.; е) 0,9 млн; з) 12,55 млрд; и) 0,785 млрд. 335. Выполните деление: а) б) в) г) Д) 27,13:10; 104,85:10; 9,28:10; 1,5:10; 0,36:10; е) 210,36:100; ж) /18,5:100; з) ,i4,7:100; и) 0,25:100; к) 0,08:100; л) 2345,56:1000; м) 562,7:1000; н) 36,128:1000; о) 4,931:1000; п) 0,137:1000. 336. 337. 338. 339. 340. 341. 342. 343. а) Увеличьте каждое из чисел 0,2; 1,112; 13,0247; 34,05 в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз. б) Уменьшите каждое из чисел 2500; 1555,01; 4,45; 0,6 в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз. Задание с выбором ответа. а) Во сколько раз 15,51 больше 0,01551? А. В 10 раз. Б. В 100 раз. В. В 1000 раз. б) Во сколько раз 2,06013 меньше 206,013? А. В 10 раз. Б. В 100 раз. В. В 1000 раз. На какое число нужно умножить или разделить число 25,6, чтобы в результате получилось: г) в) 0,0256; 256? и) 0,67-10; к) 1,8:1000; л) 25,76-10000; м) 100,72:100. а) 25600; б) 2,56; Выполните действия: а) 24,85-100; д) 0,48:10; б) 13,76:10; е) 4,75-1000; в) 0,346-10; ж) 3,8:100; г) 124,34:1000; з) 0,5-100; Выразите: а) в метрах: 23 км, 5,127 км, 0,027 км, 0,35 км, 0,4 км; б) в миллиметрах: 16 см, 10,5 см, 0,3 см, 1,7 см, 0,4 см; в) в миллилитрах: 0,356 л, 0,012 л, 1,25 л, 0,1 л, 0,8 л. Выразите: а) в метрах: 526 см, 48 см, 20 см, 7,6 см, 5 см; б) в граммах; 3000 мг, 25,6 мг, 15 мг, 4 мг; в) в литрах: 2560 мл, 350 мл, 2,8 мл, 0,05 мл. а) За 20 компьютеров заплатили 484,5 тыс. р. Сколько надо заплатить за 200 таких же компьютеров? б) За 100 стиральных машин заплатили 1,26 млн р. Сколько надо заплатить за 10 таких же стиральных машин? Продолжите последовательность, записав еще три ее члена: а) 110; 11; 1,1; ...; б) 0,000001234; 0,0001234; 0,01234; ... . 344. а) Выразите в квадратных сантиметрах: 0,25 м^; 33 мм^; 0,5 дм^. б) Футбольное поле имеет размеры 110 м на 75 м. Найдите его площадь и выразите ее в гектарах (1 га= 10 000 м^). 345. Разберите, как выполнено умножение: 12,3-20=12,3-10-2=123-2 = Пользуясь этим приемом, вычислите: а) 1,8-90; 6)41,1-20; в) 3,05-300. = 246. 346. Как изменится положение запятой в десятичной дроби, если эту дробь; а) уменьшить в 1000 раз и еще в 10 раз; б) уменьшить в 10 раз, а затем увеличить в 1000 раз? 347. Сравните значения выражений: а) 563,2-70,4 и 56,32-704; в) 563,2:70,4 и 56,32:7,04; б) 563,2-70,4 и 5,632-704; г) 563,2:70,4 и 0,5632:0,704. 348. Задание с выбором ответа. Известно, что 8-125 = 1000. а) Найдите 0,08-1,25. б) Найдите 1:12,5. А. 1000. Б. 10. В. 0,1. А. 0,08. Б. 0,8. В. 8. 349. Задача-исследование. 1) Разберите, как выполнено умножение: 32,5-0,1 = 32,5--:j^ = 32,5:10 = 3,25. Как найти значение произведения 32,5-0,1 с помощью переноса запятой? 2) Сформулируйте правило умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. 3) Найдите: а) 23,6-0,1; б) 37-0,01; в) 0,6-0,1; г) 540000-0,001. Умножение десятичных дробей Умножение десятичных дробей также сводится к умножению соответствующих натуральных чисел. Но место запятой при умножении определяется иначе, чем при сложении. Перемножим числа 3,76 и 2,4, заменив их обыкновенными дробями: ^"2^=9,024. 3 76-2 4 = 3 - 2 3,7Ь 2,4 djQQ 2^q- jqqq 1000 Фактически нам пришлось перемножить натуральные числа, которые получаются, если из данных десятичных дробей выбросить запятую. В первом множителе две цифры после запятой, во вто- , 9024 ром — одна, поэтому в знаменателе дроби получилось число с тремя нулями, а в соответствующей десятичной дроби — три цифры после запятой. Таким образом, приходим к правилу: Две десятичные дроби перемножают как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. В произведении отделяют запятой справа столько цифр, сколько их содержится после запятой в обоих множителях вместе. ■ Пример 1. Найдем произведение чисел 0,215 и 0,33. Выполним умножение «в столбик», не обращая внимания на запятые. Перемножив числа без учета запятых, мы получили результат 7095. Чтобы отделить в нем пять цифр, пришлось слева дописать нули. Сформулированное правило умножения применимо и в том случае, когда один из множителей — натуральное число. ■ Пример 2. Найдем произведение чисел 0,235 и 120. Получим 0,235*120 = 28,2. I—т -X- 0l2lf5; iP 6 4 4 5 5i 0 0|7 0 95 : ‘Т-----г ^213 5 120 +- 4I7J0I 2'3 5_____ 2:8,2 0:0 :..Lj 350. Выполните умножение: а) 7,8 *2,9; в) 4,4 *2,2; Д) 1,6 *2,5; б) 0,4 *3,8; г) 3,5 *6,4; е) 0,8 *7,5. 351. Известно, что 52*47 = 2444. Используя этот результат, найдите произведение: а) 5,2 *4,7; б) 0,52*4,7; в) 52*4,7; г) 0,52*0,47. Вычислите (352, 353). 352. 353. 354. 355. 356. 357. а) 85,3*4,1; г) 1,56*0,2; б) 6,36*2,5; д) 2,06 *3,05; в) 27,2*0,06; е) 1,04*8,02; а) 6,35*0,08; г) 0,21 • 0,084; б) 0,75*1,26; д) 0,065*0,34; в) 0,082-0,5; е) 0,003*0,07; Найдите произведение чисел: а) 3,55 и 6; г) 6,71 и 23; б) 4,77 и 3; д) 3,02 и 15; в) 0,235 и 4; е) 0,75 и 44; ж) 10,3*1,01; з) 5,08*2,05; и) 2,35*0,14. ж) 103,15*0,001; з) 5,56*0,01; и) 1,23*0,02. ж) 0,25 и 4; з) 0,2 и 5; и) 0,125 й 8. Один метр ткани стоит 450 р. Сколько стоят 5 м, 2,5 м, 3,8 м, 0,6 м этой ткани? Скорость звука в воздухе 0,33 км/с. На каком расстоянии от вас происходит гроза, если вы увидели вспышку молнии, а раскат грома услышали через 5 с? через 10 с? через 24 с? Велосипедист ехал со скоростью 12,5 км/ч. Какой путь он проехал за 2 ч? за 0,5 ч? за 1,5 ч? за 2,5 ч? 358. Вычислите устно: 360. 361. а) 0,3-6 б) 8-0,5 в) 0,1-7 г) 0,75-10; Д) 2,5-2; е) 4-1,2; ж) 0,4-0,1; з) 0,03-10; и) 4-2,5; к) 0,2-5; л) 1,3-3; м) 18-0,1. 359. Вычислите наиболее удобным способом: а) 1,5-2,2-2; б) 6,54-0,25-4; Вычислите: а) 0,6^; в) 1,1^; б) 0,3^; , г) 0,5'; Заполните таблицу. в) 2-3,8-0,5; г) 2,5-0,061-4; Д) 0,2'; е) 1,1'; д) 13,7-0,2-5; е) 0,25-0,2-4-5. ж) 0,01'; з) 0,5'. п 2 3 4 5 о,г 364. 365. 366. 367. 362. Выполните умножение и сравните результат с заданным числом. Сделайте вывод. а) 3,8-2,6 и 3,8; б) 3,8-0,4 и 3,8; 0,8-1,4 и 0,8; 0,8-0,35 и 0,8; 5,6-1,01 и 5,6; 5,6-0,94 и 5,6. 363. Сравните, не выполняя вычислений. Запишите результат с помощью знака >, < или =: а) 2,76-3,1 и 2,76; в) 5-0,3 и 0,3; д) 0,4-0,37 и 0,4; б) 41,2-0,2 и 41,2; г) 0,75-1 и 0,75; е) 0,2-0,58 и 0,58. В каждой паре равенств одно неверное. Найдите его, не выполняя вычислений; а) 32,7-0,3 = 9,81 и 3,27-0,3 = 9,81; б) 0,5-21,6=10,8 и 23,2-0,4 = 92,8. а) Запишите пять чисел, первое из которых равно 1,44, а каждое последующее в 1,5 раза больше предыдущего. Можно ли продолжать эту последовательность чисел бесконечно? б) Запишите пять чисел, первое из которых равно 25, а каждое следующее составляет 0,8 предыдущего. Можно ли продолжать эту последовательность чисел бесконечно? Найдите значение выражения: а) 0,4-2,55-1,6; б) (1,34+ 0,9)-5,4; в) 40-(7,85-3,9); г) 17-3,44-3,5; Вычислите: а) 2,1'-2,1; б) 0,9-0,9'; д) (8,4+1,92)-(1,7-1,5); е) 17,5-3-4,5-1,725; ж) 2,15-(3,9 + 0,18)-5; з) 20,3-5,7-(2,4+ 0,43). в) 2-0,8'; г) (2-0,8)'; д) 2,5'-0,5'; е) (2,5-0,5)'. 368. а) Площадь какой комнаты больше — с размерами 5,1 ми 3,4 м или 4,8 м и 3,7 м? б) Коробка, размеры которой 2,3 дм, 2,3 дм и 4 дм, наполнена сахарным песком (рис. 80). Можно ли пересыпать весь этот песок в коробку с размерами 4 дм, 4 дм и 1,4 дм? Решите задачу, составив выражение, соответствующее условию (369, 370). 369. а) Группа туристов идет от лагеря к станции, расстояние между которыми 3,5 км, со скоростью 4,7 км/ч. Сколько километров осталось пройти туристам, если они находятся в пути 0,5 ч? б) Игорь идет из дома на стадион со скоростью 5,5 км/ч. Через 0,2 ч после выхода из дома ему осталось пройти 0,4 км. Чему равно расстояние от дома до стадиона? 370. а) Орехи расфасовали в пакеты по 0,7 кг в каждый: грецкие — в 20 пакетов, арахис — в 15 пакетов, миндаль — в 10 пакетов. Сколько всего килограммов орехов расфасовали в пакеты? б) В санаторий привезли по 12 ящиков помидоров, огурцов и лука; помидоров по 7,5 кг в каждом ящике, огурцов по 12,5 кг, а лука по 5,5 кг. Сколько всего килограммов овощей привезли в санаторий? 371. Найдите: а) 0,5 от 36 м; в) 0,15 от 9 км; д) 0,25 от 60 мин; б) 0,01 от 6 км; г) 0,1 от 60 мин; е) 0,35 от 60 мин. 372. Музыканты, давшие благотворительный концерт, передали городу 4.5 млн р. 1) На покупку школьных учебников было выделено 0,7 этой суммы. Сколько денег было выделено на учебники? 2) На закупку лекарств для больниц было потрачено 0,2 этой суммы. Сколько было потрачено на лекарства? 373. а) От ленты длиной 15 м отрезали 0,3 ее длины. Сколько метров ленты осталось? б) Уроки и перемены длятся 6 ч. На уроки уходит 0,75 этого времени. Сколько времени длятся перемены? 374. а) Дорога от станции до поселка проходит по шоссе, по проселку и лесом. Дорога по шоссе составляет 0,4 всего пути, а по проселку — 0,5 всего пути. Какая часть всего пути проходит лесом? Сколько километров надо идти лесом, если весь путь от станции до поселка равен 3.5 км? б) При ремонте участка шоссе длиной 20 км в первый день отремонтировали 0,35 всего участка, во второй день — 0,4 всего участка, остальное — в третий день. Сколько километров ремонтировали каждый день? 375. а) В пакет, выдерживающий 5 кг, положили 1,8 кг огурцов, а яблок в 1,5 раза больше. Не порвется ли пакет? б) Туристы идут по направлению к станции со скоростью 4,6 км/ч. Им осталось пройти 11 км. Успеют ли туристы к поезду, если он отходит через 3 ч? 376. Коробка конфет весит 0,6 кг, а пачка печенья — 0,25 кг. В бандероль можно упаковать не более 2 кг. 1) Можно ли отправить в одной бандероли 3 коробки конфет? 4 коробки конфет? 8 пачек печенья? 4 пачки печенья и 2 коробки конфет? 2) Составьте другие наборы из конфет и печенья, которые можно упаковать в одну бандероль. 377. Обратите десятичную дробь в обыкновенную и выполните умножение. Представьте ответ, если возможно, в виде десятичной дроби: а) -|-0,15; в) ■^•0,1; Д) 1.5-|; б) 0,12--|-; г) 2,1-у; е) Зу-0,4 378. Выполните умножение: а) 14,25-6,04; г) 22,5-4,006; б) 15,04-0,125; д) 0,81 -1,033; в) 0,816-0,035; е) 4,25-0,00444; 379. Выполните действия: а) 0,14-0,35-0,022; г) 32-0,03-1,1-0,005; б) 0,8-0,375-1,93; д) 4-0,15-3,6-0,001; в) 4,4-2,25-10,2; е) 1,6-0,375-0,05-3,3 380. 381. 382. ж) 3600-2,005; з) 0,705-64,46; и) 0,0155-1200. Выполните умножение, используя следующий прием: 48-0,5 = 48-^ = 48:2 = 24; 48-0,25 = 48-^ = 48:4 = 4 12. Д) 158-0,5; е) 1008-0,25. д) 75-0,2-0,5-4; е) 0,8-0,125-4-25. 383. а) 116-0,5; в) 64-0,25; б) 84-0,25; г) 284-0,5; Вычислите рациональным способом: а) 50-18,8-0,2; в) 8 - 0,111 - 0,125; б) 2,5-0,0034-400; г) 0,4-7,5-4-2,5; Вычислите рациональным способом: а) 3,4-2,6+1,3-2,6+ 5,3-0,7+ 5,3-1,9 б) 3,6 - 3,8 + 3,6 -1,6 + 2,7 - 4,6 + 0,9 - 4,6 в) 1,7 • 2,3 - 1,7 -1,5 + 0,8 - 2,2 - 0,8 - 0,5 г) 2,5 - 3,5 - 1,6 - 2,5 + 1,9 - 0,7 + 0,8 -1,9. Найдите число, квадрат которого равен: 0,64; 0,01; 0,0009. 384. Найдите число, куб которого равен: 0,064; 0,008; 0,125. 385. 1) Заполните таблицу. п 11 12 13 14 15 16 17 18 19 386. 387. 388. 389. 390. 2) Используя таблицу, вычислите: а) 1,8^; 1,3^; 1,6^; б) 0,11^; 0,17^; 0,14^; в) 0,012^; 0,015^; 0,0191 Найдите значение выражения: а) 2,02-0,45+ 5,0505-2+ 39,1-0,01; б) (6-1,96) • (10,2 - 5,7) + (6,8 + 2,6) • (0,37 + 0,03); в) (1 -0,34)-(2-0,75)+1,05-(4,882 + 3,018); г) (8 - 5 • 0,25) - (4,7 + 5,6 • 0,125) • 0,1. Турист шел пешком полтора часа. Первые полчаса он шел со скоростью 5,4 км/ч, затем 48 мин — со скоростью 4,5 км/ч, а оставшееся время — со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние прошел турист за эти полтора часа? Папа в 2,5 раза старше своего сына и в 2 раза младше своего отца. Во сколько раз дедушка старше внука? На дорогу от дома до стадиона Коля тратит 0,8 ч. На метро он едет 0,5 всего времени; 0,75 остатка едет на троллейбусе, а остальное время идет пешком. Сколько времени Коля идет пешком? Сторона квадрата равна 0,4 дм. Найдите сторону квадрата, площадь которого составляет 0,25 площади данного квадрата. Деление десятичных дробей Вы видели, что результат сложения, вычитания и умножения десятичных дробей выражается десятичной дробью. Иначе обстоит дело с делением: частное десятичных дробей не всегда можно записать в виде десятичной дроби. Возьмем, например, частные 0,28:1,4 и 1,2:0,9 и вычислим каждое из них, перейдя к обыкновенным дробям: 0,28 1,4 100 10 100 14 1,2:0,9^ 12 . 9 10 ■ 10 12 10 10 9 £ 3' В первом случае мы получили десятичную дробь 0,2, а во втором — обыкновенную дробь которая в десятичную не обраща- ется. Если частное выражается десятичной дробью, его можно вычислить, используя деление уголком, так же, как при делении натуральных чисел. Рассмотрим сначала случай деления десятичной дроби на натуральное число. Этот случай можно считать главным, так как все остальные сводятся к нему. ■ Пример 1. Найдем частное 7,47:3. Сначала разделили на 3 число 7 — целую часть дроби 7,47; после этого в частном поставили запятую. Остаток от деления раздробили в десятые и разделили 14 десятых на 3. Новый остаток раздробили в сотые и разделили 27 сотых на 3. Нуль в остатке означает, что деление закончено. Таким образом, 7,47:3 = 2,49. Г ! 1 i' T"’: 3i i j Ul]4l- i ili2l [ I Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление натуральных чисел. Сразу после того, как закончено деление целой части, в частном ставят запятую. ■ Пример 2. Найдем частное 1,28:4. Целая часть делимого равна 1, она меньше делителя. Поэтому в частном записали О целых, после чего поставили запятую и продолжили деление. Получили 1,28:4 = 0,32. ■ Пример 3. Найдем частное 93,2:16. Когда все цифры делимого 93,2 были снесены, нуль в остатке не получился. Однако мы знаем, что десятичная дробь не изменится, если к ней приписать справа нули. Поэтому, чтобы продолжить деление, мы последовательно приписывали к делимому нули и вычисляли следуюш;ие цифры частного. Получили, что 93,2:16 = 5,825. -г risliti ; il!3]2j 1—-i----i-— I )Tlt6 — 5[8 2 5 -4—I— - — ЧХ- 0! Заметим, что в подобных случаях нуль можно приписывать не к делимому, а непосредственно к остатку. Деление на десятичную дробь легко свести к делению на натуральное число. Возьмем, например, частное 0,126:0,45. Его значение не изменится, если делимое и делитель умножить на 100. Поэтому 0,126:0,45=12,6:45. Таким образом, вместо деления на десятичную дробь 0,45 нужно выполнить деление на натуральное число 45. (Найдите результат самостоятельно. У вас должно получиться 0,28.) Обратите внимание: чтобы из первого частного получить второе, достаточно в делимом и делителе перенести запятую на два знака вправо. Это и понятно: ведь умножение десятичной дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо. Вообще, удобно пользоваться правилом: Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их содержится после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число. Вот примеры такого преобразования частного: 30,2:0,4 = 302:4; 3,5:0,07 = 3,50:0,07 = 350: 7; 26:0,013 = 26,000:0,013 = 26 000:13. 392 391. Обратите десятичные дроби в обыкновенные и выполните деление: а) 2,7:0,4; б) 0,16:0,24; в) 3,2:0,08; г) 2,5:4,5. Выполните деление (используйте в качестве образца пример 1 из текста): а) 192,6 б) 477,4 в) 17,22 9; 14; 2; г) 30,25:5; д) 336,6:11; е) 8,176:4; ж) 28,29:23; з) 68,25:25; и) 17,15:7. 393. Вычислите (используйте в качестве образца пример 2): а) 4,41 б) 8,28 в) 4,88 г) 4,65:15; Д) 10,71:21; е) 5,12:32; ж) 0,121:11; з) 0,084:7; и) 0,115:5. 394. Найдите частное (в качестве образца воспользуйтесь примером 3): а) 5,87:2; б) 10,63:2; в) 3,42:4; г) 10,4:5; Д) 13,8:15; е) 24,4:8; ж) 14,7 з) 44,5 и) 19,6 12; 4; 16. 395. Выполните деление «уголком»: а) 157:2; б) 78:4; в) 304:5; г) 33:60 д) 490:4 е) 12:25 8; 15; 16. ж) 300 з) 531 и) 300: 396. Обратите обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель «уголком»: 19 18 ,7 .5 а) 40’ б) 25’ в) 8’ 16' 397. Вычислите в уме и результат проверьте умножением: а) 0,8:4j г) 3,5:7; ж) 0,91 :7; к) 9,8:2; б) 0,9:3; д) 6,5:5; з) 0,84:6; л) 0,54:2; в) 2,1:3; е) 5,2:4; и) 7,2:3; м) 0,75:5. 398. а) Конфеты разложили поровну в 8 коробок. Сколько конфет в каждой коробке, если всего было 3,6 кг конфет? б) Из 13,5 м ткани можно сшить 5 костюмов. Сколько ткани требуется для одного костюма? 399. а) Большая собака весит 20,2 кг. Маленькая в 4 раза легче, а кошка в 10 раз легче большой собаки. Сколько весит маленькая собака и сколько кошка? б) В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором, а во втором — в 2 раза больше, чем в третьем. Сколько молока в каждом бидоне, если в первом 4,5 л молока? Выполните деление (400—402). 400. а) 17,4:0,6; г) 4,95:1,5; ж) 3,36: 1.5; б) 30,6:0,9; д) 0,343:0,7; 3) 8,46: 1.2; в) 17,28:7,2; е) 1,624:5,6; и) 10,01 :9,1. 401. а) 512:0,16; в) 12,25:0,005; Д) 81,2: 0,35; б) 198:0,036; г) 15,3:0,015; е) 1050: 4,2. 402. а) 8,9:0,4; г) 0,2106:3,9; ж) 11.1: 0,04; б) 3,08:0,05; Д) 1,23:0,6; 3) 0,04: 2,5; в) 77,7:0,37; е) 28,42:1,4; и) 3,534 1-0,5. 403. Вычислите и результат проверьте умножением: а) 8,04:6,7; в) 0,945:1,8; Д) 14,23 :0,1; б) 1,072:0,8; г) 70:5,6; е) 0,24: 0,001 404. Вычислите устно: а) 12:0,3; 6:0,6; 15:0,1; 48:0,8; б) 0,35:0,007; 1,( 5:0,2; 0,24:0,12; 0,3:0,G !; в) 0,15:0,5; 0,04:0,4; 0,08:0,02; 0,25:0,05. 405. а) Шаг ребенка 0,3 м. Сколько шагов надо сделать ребенку, чтобы пройти 6 м? б) Каждая таблетка содержит 0,25 мг лекарства. Сколько таблеток в день должен принять больной, если ему назначено 2 мг лекарства в сутки? 406. 407. 408. 409. а) Площадь прямоугольной комнаты 17,76 м^. Длина одной стены 4,8 м. Найдите длину другой стены комнаты. б) Какова скорость поезда, если он прошел 45,6 км за 0,6 ч? а) На упаковке некоторого товара указаны его стоимость и масса. Сколько стоит 1 кг этого товара, если 1,5 кг стоят 54 р.? 0,4 кг стоят 25 р.? б) Цена некоторого товара 9,8 р. за 1 кг. Сколько купили этого товара, если за покупку заплатили 34,3 р.? 4,41 р.? Найдите неизвестное число: а) 10-(/ = 8; в) 4,8-у = 6\ б) 4-а = 2,4; г) 0,3 •& = 0,66; Заполните таблицу. д) 0,1-д:=17: е) 2,25:лг=1,5. а Ь а + Ь а-Ь а • Ь а Ь 7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,07 70 0,07 410. а) Сколько кусков ленты по 2,5 м получится из мотка длиной 23 м? б) В бидоне содержится 4,6 л молока. Сколько бутылок емкостью 0,5 л потребуется, чтобы разлить в них все молоко из бидона? в) Для оклейки стен комнаты требуется 77,7 м обоев. Сколько рулонов обоев надо купить, если длина каждого рулона 10,5 м? г) Доску, длина которой 6,2 м, надо распилить на куски длиной 0,5 м. Сколько таких кусков получится? Найдите значение выражения (411, 412). 411. 3)6,144:12+1,64; в) (62,1-61,44): 1,2; б) 0,07-0,1001:1,43; г) 48:(73,29+ 46,71). 412. а) 15,3:(1+0,25-16); г) (4,8-0,42-8,5):0,5; д) 30- 19,56: (4,2+ 3,95); е) (2,6-1,04): 0,24-0,8. 413. а) Машина с прицепом возит песок с карьера на завод. За рабочую смену она перевезла 97,2 т песка. Сколько рейсов сделала машина, если в ее кузов вмещается 5,2 т песка, а в прицеп — 2,9 т? б) Чтобы сшить кухонные полотенца, хозяйка отрезала от куска полотна длиной 5,5 м несколько кусков по 0,65 м каждый. У нее остался кусок длиной 0,95 м. Сколько полотенец сшила хозяйка? 414. а) Из проволоки согнули треугольник со сторонами 7,5 см, 8,3 см и 9,4 см. Из этой же проволоки согнули квадрат. Чему равна его сторона? а) 15,3:(1 +0,25-16); б) 40,28-22,5:12,5+1,7; в) 1,6-1,1 + 1,8:4; б) Из проволоки согнули квадрат со стороной 8,4 см. Из этой же проволоки согнули равносторонний треугольник. Чему равна его сторона? 415. а) В одном пакете 1,5 кг кофе, а в другом — 0,9 кг. Сколько кофе надо пересыпать из одного пакета в другой, чтобы кофе в них оказалось поровну? Сколько кофе будет после этого в каждом пакете? б) В двух пакетах 1,3 кг семян. Если из одного пакета переложить в другой 0,15 кг семян, то семян в пакетах станет поровну. Сколько семян было в каждом пакете первоначально? 416. а) С двух ульев собрали 43,3 кг меда. С одного из них получили на 1,7 кг меньше, чем с другого. Сколько килограммов меда собрали с каждого улья? б) Масса яблока и груши 0,625 кг. Яблоко тяжелее груши на 0,185 кг. Чему равны масса яблока и масса груши? 417. а) Масса двух кусков сыра 1,4 кг. Один из них в 3 раза тяжелее другого. Найдите массу большего куска. б) В двух пакетах 3,75 кг кофе. В одном пакете кофе в 2 раза меньше, чем в другом. Сколько кофе в большем пакете? 418. Вычислите: а) 9:0,0032; б) 375,013:7,9; в) 0,2205:14,7; г) 8,16:0,204; д) 37,812:1,84; е) 45,156:15,9; ж) 0,567:8,75; з) 0,375:0,3125; Известно, что 17:8 = 2,125. Используя 1,7:0,8; 0,17:8; 17:0,08. Вычислите устно: а) 8,326:0,09-0,09; в) 6,723-5,2:6,723; б) 1,784:0,04-0,4; г) 25,41 - 3,8:2,541. Найдите значение выражения (421, 422). 419. 420. и) 0,06882:0,444; к) 90:6,4; л) 22,3929:5,37; м) 27,03:36,04. этот результат, найдите частное: 421. а) 3,5-(8,68 + 1,136)-135,531:33,3; б) 39,072:9,6 + (55,4-17,66):6,8; в) (8,94+ 9,39): (7,57-1,4-2,05); 422. а) 3,5:7 + 2,8:0,4-0,74-5; б) 0,57:1,9-4,4-0,68:1,7:0,4; в) 50-19,56:(0,237 + 0,163)-0,71 -0,5; г) 10,02 - 5 - (44 - (34,5 + 7,87)): 0,05; д) 3,36:3,2 + (4-(7-6,3)-4,2)-1,1; е) (22,506 + 14,694): 3,72 - 1,08 - (3 + 1,65) г) 10,79:8,3-(5-0,56): 3,7; д) 46,08:(1,5-1,116)-0,04 + 44,8; е) 8,364: (8-3,92)-2,05-0,4. ■5,07:65. 423. Для одинаковых подарков к детскому празднику взяли 4,2 кг шоколадных конфет, а карамели на 2,4 кг больше. Какова масса конфет в подарке, если в каждом из них 0,175 кг шоколадных конфет? 424. В четырех бидонах 6,2 л молока. В первом бидоне такое же количество молока, как во втором, в третьем — в 3 раза больше, чем в четвертом, а в четвертом — 0,8 л молока. Сколько литров молока в каждом бидоне? 425. Туристическая тропа от станции до лагеря сначала поднимается в гору, а потом спускается с горы. Расстояние в гору в 4 раза короче, чем с горы, а весь путь составляет 7,5 км. Туристы преодолели путь в гору за 0,6 ч, а остальной путь до лагеря за 1,5 ч. Определите скорость туристов на подъеме и на спуске. 426. На окраску двух стен дома израсходовали 7,26 кг краски. Сколько килограммов краски было израсходовано на каждую стену, если площадь одной из них на 6 м^ больше, чем площадь другой, а на каждый квадратный метр уходит 0,22 кг краски? 427. Приготовление домашнего задания заняло у Маши 2 ч. Русским языком она занималась 0,3 всего времени. Остальное время ушло на историю и математику, причем на математику она потратила на 0,2 ч меньше, чем на историю. Сколько времени она занималась каждым предметом? 428. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 8 м, ширина 2,5 м. На 0,4 всей площади огорода посажена морковь, на остальной — лук и чеснок, причем луком засажена площадь, в 4 раза большая, чем чесноком. Какая площадь засажена морковью, луком и чесноком в отдельности? 429. Дущевая имеет длину 3,5 м и ширину 2,5 м. Стены высотой 2,5 м требуется обложить плитками, исключая окно и дверь, которые занимают 0,1 площади стен. Сколько требуется плиток квадратной формы со стороной 25 см? 430. Столб, врытый в землю, возвышается над землей на 0,8 своей длины. Какова длина столба, если его надземная часть равна 1,6 м? 431. Под посадку картофеля отвели 0,6 всего участка земли, под посадку моркови — 0,3 этого участка, а на оставшихся 2 сотках (200 м^) посадили лук. Определите площадь всего участка земли. Выразите ее в гектарах. 432. Когда турист прошел 0,35 всего пути, то до середины пути ему осталось пройти 6 км. Найдите длину всего пути. 433. Задача-исследование. 1) Найдите частное, сравните результат с делимым и сделайте вывод: а) 3,6:1,2; 0,55:1,1; 2,4:4,8; б) 3,6:0,12; 0,55:0,11; 2,4:0,48. 2) Не выполняя вычислений, сравните: а) 1,95:1,3 и 1,95; в) 0,25:1 и 0,25; б) 7,8:0,4 и 7,8 г) 0,72:0,3 и 0,7. 3) В каждой паре равенств одно неверное. Найдите его, не выполняя вычислений; а) 85,75:0,7=12,25 и 85,75:0,7=122,5; б) 33,6:1,5 = 22,4 и 33,6:1,5 = 224. Деление десятичных дробей (продолжение) 0,5 3 0,1.6Jlj Задания, которые вы выполнили при изучении предыдущего пункта, сводились к нахождению частного десятичных дробей делением «уголком». Покажем теперь, что этот прием не всегда приводит к желаемому результату. Пусть нужно найти частное 0,05:0,3. Попробуем г -^ I вычислить его с помощью деления «уголком». Для этого будем делить 0,5 на 3. Вы видите, что при делении все время повторяется один и тот же остаток— число 2. Значит, деление никогда не закончится, сколько ' бы мы его ни продолжали. Но частное чисел 0,05 и 0,3 существует, найти : его конечно же можно. Для этого достаточно перейти . . к обыкновенным дробям: j_|_ 5.3 5 10 5 1 30 3 'Ч- Oi •~|—I 0,05:0,3 = 77^: — = •-=-=-57Г =- 100 10 100 3 30 6' Можно действовать и по-другому — записать частное 0,05 = 0,3 в виде дроби и преобразовать эту дробь так, чтобы в числителе и знаменателе оказались натуральные числа: П n о 0.05 0,05-100 _ 5 _ 1 , , 0,3 0,3-100 30 6‘ Обратите внимание: частное 0,05 = 0,3 равно дроби которая в десятичную не обращается. Поэтому деление «уголком» дроби 0,5 на 3 и оказалось «бесконечным». В заключение подчеркнем, что частное десятичных дробей всегда можно найти, перейдя к обыкновенным дробям. Причем, как вы видели, иногда вычислить частное по-другому просто невозможно. Однако в «хороших» случаях результат удается найти делением «уголком». (Шу- 434. Найдите частное и, если возможно, выразите ответ десятичной дробью: а) 0,7:0.3 г) 4,2:2.8; ж) 3,5:1,5; б) 3,5:3; д) 0,33:0,9; 3)0.04:1,2; в) 2,5:9; е) 0,24:1,5; и) 3:1,2. 435. Найдите значение выражения: 0,4 0,25 , 1.7 ts’ б) 436. Вычислите: 0,3’ 12,6 3,8 0,24 1,2 ’ 20 ’ 0,9 ’ 1 8 0,6’ 1.4' а) у:0,2; б) 1,4:у; в) у: 1.6; д) ^:0,01; е) 0,8:4. 437. а) Какую часть улицы асфальтирует машина за 1 ч, если на асфальтирование всей улицы требуется 4 ч? 2,5 ч? 0,8 ч? б) Какую часть пути проехал автомобиль за 1 ч, если весь путь он проехал за 2 ч? за 1,6 ч? за 1,5 ч? 438. а) Газированную воду на фабрике разливают в банки по 0,33 л. Сколько полных банок получится при разливе 100 л газированной воды? б) Чтобы сшить 1 юбку, требуется 1,8 м ткани. Сколько юбок получится из 15 м этой ткани? 439. Заполните таблицу. а 5,4 2.8 5,6 1.2 4,7 70 2.5 1,2 ь 4 5 0,6 0,5 0,1 0,01 0,25 1,4 а-Ь а ■ Ь 440. а) В мешке в 1,5 раза больше сахара, чем в коробке, и в 12,5 раза больше, чем в банке. Сколько сахара в коробке и сколько в банке, если в мешке 37,5 кг сахара? б) Собака в 2,5 раза тяжелее щенка, а щенок в 2,5 раза тяжелее котенка. Сколько весит щенок и сколько котенок, если собака весит 5,5 кг? 441. а) Из 12 м ткани можно сшить 15 юбок. Сколько таких же юбок получится из 4,8 м ткани? б) Из 18 м ткани можно сшить 15 брюк. Сколько ткани останется, если сшить всего 8 брюк? 442. а) От одной станции до другой 165 км. Первые 1,5 ч поезд шел со скоростью 60 км/ч. Остальной путь он прошел за 1,2 ч. С какой скоростью прошел поезд второй перегон? б) От поселка до станции 2,7 км. Андрей проходит это расстояние пешком за 0,6 ч. За какое время он проезжает это расстояние на велосипеде, если на велосипеде он едет со скоростью, на 6,3 км/ч большей, чем идет пешком? 443. а) Расстояние между станциями Вороново и Сорокино равно 12,5 км. Электричка отошла от станции Вороново в 12 ч 26 мин и прибыла на станцию Сорокино в 12 ч 38 мин. С какой скоростью прошла электричка расстояние между этими двумя станциями? Выразите скорость электрички в километрах в час. б) Таня проезжает на велосипеде 2,4 км за 9 мин, а Коля проезжает 4,4 км за 16 мин. С какой скоростью едет каждый из них? Выразите скорости Тани и Коли в километрах в час. 444. Вычислите: 3,4 + 2,8 а) 1-0,4’ Образец. 0,2 1,2 в) г) 3-0,5 3 + 0,5’ 4,5-2,7 14,6+15,4’ Д) ■ е) 0,04-0,25 0,9-0,88 ’ 0,5+1,2 3,4-0,9 ■ Вычисления можно вести цепочкой; 2-0,75 1,25 125 5 2 + 0,75 2,75 2/5 11 ■ Вычислите: . 5-0,1 . 10-0,7 Д) 0,2-7 0,6 ’ в) 4 ; 0,42 ’ 0,5-3. е) 1.12 0,3 ’ г1 ■ 2,6-0,5’ 5.6-3- Образец. Найдем значение выражения -. Для этого преобразуем 1,4-0,2 2,1 выражение так, чтобы в числителе и знаменателе были натуральные числа: 1,4-0,2_ 1,4-10-0,2-10_ 14-2 _ 2 2,1-100 21-10 15' 2,1 446. Вычислите; 5,8-2,65 а) б) 1,4-(3,7-2,2)’ 15,94+17^175" 10,06+14,24 ’ в) 21-10 3,5-(4,9-4,6) 2-(4,5-3,6) ’ (36,8-28,9)-3 г) (12,52+12,48)-0,4- 447. Разберите, как выполнено вычисление: 2,25:0,15-0,4 = 225. 15 4 225 100 4 _ 225-100-4 ■ 10 15-4 = 6. 100’100 10 100 15 10 100-15-10 10 Воспользовавшись приведенным образцом, найдите значение выражения: а) 1,4-1,5:2,1; б) 9:0,12:300; в) 0,36: (4.5:0,25); г) 5,6: (120-0,7). Округление десятичных дробей Пусть поле прямоугольной формы имеет размер 340X270 м. Найдем его площадь, перемножив данные числа. Получим 91800 м^. Так как 1 га = 10 000 м^, то площадь поля равна 9,18 га. На практике, говоря о площади поля, указывают обычно лишь целое число гектаров. Так, в нашем случае можно сказать, что площадь равна примерно 9 га. Рассмотрим другой пример. Пусть комната прямоугольной формы имеет размер 5,6 х 3,8 м. Перемножив длину и ширину, получим 21,28 м^. Но в документах на жилье, указывая площадь помещения, часто ограничиваются десятыми долями квадратного метра. Для комнаты с данными размерами будет записано 21,3 м^. Таким образом, при использовании десятичных дробей в практических расчетах их округляют, т. е. заменяют дробями с меньшим числом десятичных знаков или даже целыми числами. При этом важно получить более точный результат, т. е. допустить меньшую ошибку. Обратите внимание: в первом примере мы просто отбросили ненужные десятичные знаки числа 9,18, а во втором отбросили в числе 21,28 цифру сотых, увеличив цифру десятых на единицу. Почему же мы так поступили? Десятичная дробь 9,18 заключена между числами 9 и 10. Но число 9 отличается от 9,18 на 0,18, а число 10 — на 0,82, т. е. гораздо больше (рис. 81, а). Поэтому при округлении десятичной дроби 9,18 до целых г следует заменить ее числом 9, т. е. ее приближенным значением с недостатком: 9,18-9. Точно так же рассуждаем во втором случае. Число 21,28 заключено между дробями 21,2 и 21,3. Очевидно, что дробь 21,28 ближе к числу 21,3, чем к числу 21,2 (рис. 81, б). Поэтому 21,28 = 21,3. В этом случае мы взяли приближенное значение с избытком. Подобно тому как натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т. д., десятичные дроби можно округлять до единиц десятых, сотых, тысячных и т. д. Например: 3.8026 = 4 — округление до единиц (3,8026 ближе к 4, чем к 3); 3.8026 = 3,8 — округление до десятых (3,8026 ближе к 3,8 чем к 3,9); 3.8026 = 3,80 — округление до сотых (3,8026 ближе к 3,80, чем к 3,81); 3.8026 = 3,803 — округление до тысячных (3,8026 ближе к 3,803, чем к 3,802). Обратите внимание на третье приближенное равенство: чтобы показать, что округление проведено до сотых, мы оставили цифру «нуль» в разряде сотых. Рассмотренные примеры позволяют сформулировать правило, по которому можно округлять десятичные дроби механически, не подбирая специально лучший результат. Сначала у дроби отбрасывают все цифры, стоящие правее разряда, до которого проводится округление. Если при этом отброшенная часть начинается с цифры, меньшей 5, то результат уже получен. Если отброшенная часть начинается с цифры, большей или равной 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу. ■ Пример 1. Округлим дробь 0,172504 до десятых. После запятой мы должны оставить одну цифру. Так как отбрасываемая часть начинается с цифры, большей 5, то цифру в разряде десятых следует увеличить на единицу, т. е. 0,172504 = 0,2. ■ Пример 2. Округлим дробь 0,39608 до сотых: 0,39608 = 0,40. К цифре 9 в разряде сотых прибавили единицу, так как первая отбрасываемая цифра больше 5. Вы знаете, что не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной. Однако для практических расчетов десятичные дроби удобнее, поэтому обычно обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после запятой. А для этого прибегают к делению «уголком». 7 ■ Примерз. Выразим дробь — приближенно десятичной дробью с двумя знаками после запятой. Будем делить «уголком» числитель дроби на ее знаменатель и оборвем деление в тот момент, когда получим третий знак после запятой. Округлим дробь 0,466 до сотых и получим, 7 15 что 0,47. ■ Пример 4. В пошивочной мастерской из 10 метров ткани изготовили 7 одинаковых детских костюмов. Сколько ткани пошло на один костюм? Понятно, что естественная форма ответа в такой задаче — это указание метров и сантиметров. Поэтому будем делить «уголком» 10 на 7. Таким образом, на один костюм пошло примерно 1,4 м, т. е. 1 м 40 см. [ I llT4;2' _з о . 448. Прочитайте двойное неравенство. К какому из двух крайних чисел ближе среднее число: а) 6 <6,3 <7; в) 14,3 < 14,37 < 14,4; б) 9<9,6<10; г) 20,К 20,12< 20,2? 449. Покажите примерное расположение данного числа на координатной прямой. Назовите целое число, являющееся его приближенным значением с недостатком; приближенным значением с избытком: а) 3,3; 5,7; 0,1; б) 2,04; 1,52; 6,39. Образец. 3,71 ~3 (с нед.); 3,71=4 (с изб.). 450. Какое из приближенных равенств точнее: а) 0,36 = 0,4 или 0,36 = 0,3; б) 1,654=1,6 или 1,654=1,7; в) 2,834 = 2,83 или 2,834 = 2,84? 451. а) Расстояние на море измеряется в милях. В 1 морской миле содержится 1,853 км. Округлите это число до десятых, до единиц. Скольким примерно километрам равна 1 морская миля? б) До введения метрической системы мер расстояния на Руси мерили верстами: 1 верста ~ 1,0688 км. Округлите это число до сотых; до десятых. Скольким примерно километрам равна 1 верста? 452. а) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского веса — унциями: 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это число до десятых; до единиц. Скольким примерно граммам равна 1 аптекарская унция? б) В английской системе мер для измерения массы используют фунты: 1 фунт == 0,45359237 кг. Округлите это число до тысячных; до сотых; до десятых. Сколько примерно граммов содержится в 1 фунте? 453. Округлите до единиц: а) 38,459; б) 105,83; в) 0,963; г) 0,782; д) 9,6004; е) 29,48. 454. Округлите до десятых, до сотых, до тысячных: а) 28,37267; б) 43,52859; в) 106,09311; г) 4,03954. 455. Округлите число: а) 282,0954 до десятых, до сотых, до тысячных; б) 2 820 954 до десятков, до сотен, до тысяч. Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление десятичных дробей? 456. а) Найдите ошибку, допущенную при округлении: 0,5743 = 0,5; 2,1035 = 2,11; 31 526 = 3153. б) Ученик выполнял задание «Округлите 123,756 до десятых» и получил 123,756=120. В чем его ошибка? 457. Ленту длиной 2,5 м разрезали на 8 равных частей. Найдите длину каждой части и округлите результат до сотых. Сколько примерно сантиметров содержится в каждой части? 458. Площадка для игры в бадминтон имеет размеры 13,4 м и 5,2 м. Найдите площадь игрового поля, результат округлите до единиц. 459. Задание с выбором ответа. Какой из следующих ответов является лучшим приближением для 1 тыс. секунд? А. 2 ч. Б. 3 ч. В. 0,2 ч. Г. 0,3 ч. 460. Коля купил продукты, причем масса различных свертков оказалась равной 0,756 кг, 1,2 кг и 2,87 кг. Чтобы выяснить, тяжелой ли будет сумка, он сделал прикидку, округлив числа до единиц: 0,756+1,2 + 2,87=1 + 1 +3 = 5 (кг). 461. Рассуждая таким же образом, прикиньте общую массу покупок, если масса каждой равна: а) 2,05 кг, 3,7 кг и 0,925 кг; б) 0,6 кг, 1,87 кг, 2,2 кг и 3,08 кг. Выполните прикидку, округлив десятичные дроби до единиц, а затем найдите точный ответ: а) 2,8+ 3,1-(-0,7 +3,3; в) 1,9-6,1; б) 21,51 + 19,92+10,06; г) 4,08-9,1. Из трех ответов к каждому примеру один верный. Найдите его. прикидку; а) 28,671 + 12,529. А. 0,412. Б. 4,12. В. 41,2. б) 60,0348 + 9,6762. А. 6,9711. Б. 69,711. В. 697,11 в) 2,96-12,5. А. 3,7. Б. 37. В. 370. г) 89,8-1,95. А. 17,511. Б. 175,11. В. 1751,1 д) 368,036-19,836. А. 3,482. Б. 34,82. В. 348,2. е) 26,75:12,5 А. 214. Б. 21,4. В. 2,14. 463. 464. Выразите приближенно обыкновенную дробь десятичной с одним, двумя, тремя знаками после запятой: а) 3’ б) 5_ 6’ в) Заполните таблицу. Если дробь нельзя представить в виде десятичной, запишите ее приближенное значение с двумя знаками после запятой. Обыкновенная Десятичная дробь дробь 1 2 0,5 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 Обыкновенная Десятичная дробь дробь 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 1 13 465. Найдите приближенное значение частного с двумя знаками после запятой: а) 7:0,3; 6)0,28:0,9; в) 3,5:1,5; г) 2:1,2. 466. а) Доску длиной 6,5 м распилили на 6 одинаковых частей. Чему равна длина каждой части? Ответ выразите в метрах и сантиметрах, б) На упаковке с сахарным песком, взвешенной на электронных весах, указана ее стоимость: 24,30 р. Цена 1 кг песка равна 21 р. Чему равна масса песка в упаковке? Ответ выразите в килограммах и граммах. 468. 469 470. 467. Округлите число 1,666666 до тысячных; до сотых; до десятых. В каждом случае найдите разность между полученным приближенным значением и данной дробью. Футбольное поле на стадионе обычно отделено от трибун беговыми дорожками. Размеры футбольного поля 110 м и 75 м, ширина беговой дорожки 4 м. Найдите площадь футбольного поля вместе с дорожками (для простоты считайте, что это прямоугольник). Выразите ответ в гектарах и результат округлите до единиц. Печенье, цена которого 26 р. за 1 кг, расфасовано в пакеты. На упаковках указана их масса: 724 г, 615 г, 830 г. Какую стоимость для каждой упаковки скорее всего назовет продавец? а) Некоторую десятичную дробь с тремя знаками после запятой округлили до сотых и получили 3,27. Найдите все десятичные дроби с тремя знаками после запятой, при округлении которых до сотых получится это число. Укажите наибольшую и наименьшую из полученных дробей. б) Найдите наибольшую из десятичных дробей с четырьмя знаками после запятой, при округлении которой до сотых получится число 8,65. Ф Задачи на движение ■ Задача 1. Один пешеход идет со скоростью 4 км/ч, а другой идет вслед за ним со скоростью 6 км/ч. В начальный момент времени расстояние между ними равно 8 км (рис. 82). Через какое время второй пешеход догонит первого? Скорость второго пешехода больше скорости первого на 6 — 4 = 2 (км/ч), т. е. их скорость сближения равна 2 км/ч. Тогда время, через которое он догонит первого пешехода, равно 8:2 = 4 (ч). Г-Чг: 1 6 км!ч gf 4 /слг/ч 1 ^ 1 8 км Рис. 82 90 кл/ч 60-2 = 120 (кл) Рис. 83 ■ Задача 2. Автомобиль выехал из пункта А со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А второй автомобиль догонит первый? За 2 ч первый автомобиль прошел расстояние, равное 60*2 = = 120 (км) (рис. 83). Скорость сближения автомобилей равна 90 — 60 = 30 (км/ч). Поэтому, чтобы догнать первый автомобиль, второму потребуется 120:30 = 4 (ч). За это время он удалится от пункта А на расстояние, равное 90*4 = 360 (км). 471. Как изменяется расстояние между автобусом и автомобилем (уменьшается или увеличивается) и на сколько километров в час, если скорость автобуса 50 км/ч, автомобиля 80 км/ч и они двигаются: а) в одном направлении и автомобиль едет за автобусом; б) в одном направлении и автобус едет за автомобилем; в) в противоположных направлениях из одного и того же пункта; г) навстречу друг другу из разных пунктов? 472. Используя рисунок 84, вычислите для каждого случая скорость сближения или скорость удаления. Как вы думаете, кто мог двигаться в каждом случае? а) 6 км/ч 4 км/ч в) 40 км/ч 60 км/ч ------1 б) 10 км/ч I - 15 км/ч г) 15 км/ч 120 км/ч Рис. 84 473. Два велосипедиста одновременно выехали из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 10 км/ч и 12 км/ч. 1) На каком расстоянии друг от друга они будут через 1 ч? через 0,5 ч? через 1,1 ч? 2) Через сколько часов расстояние между ними будет 33 км? 4 — Дорофеев, 6 кл. л. 474. Расстояние между двумя пунктами 22,5 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Один из них идет со скоростью 4,3 км/ч, а другой — 4,7 км/ч. 1) Какое расстояние будет между туристами через 1 ч? через 0,5 ч? через 2,5 ч? 2) Через сколько часов они встретятся? 475. Два катера одновременно отправились от одной пристани в одном направлении. Их скорости соответственно равны 20 км/ч и 30 км/ч. 1) Какое расстояние будет между ними через 1 ч? через 1,5 ч? 2) Через сколько часов расстояние между ними будет равно 25 км? 476. Решите задачу двумя способами. а) Два велосипедиста выехали из двух сел одновременно навстречу друг другу и встретились через 1,6 ч. Скорость одного 10 км/ч, другого 12 км/ч. Каково расстояние между селами? б) Расстояние между станциями 350 км. От этих станций одновременно навстречу друг другу отправились два поезда. Они встретились через 2,5 ч. Определите скорость первого поезда, если скорость второго 65 км/ч. 477. а) Из двух городов, расстояние между которыми 30 км, одновременно в одном направлении вышли два поезда со скоростями 50 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов второй поезд догонит первый? б) Из двух сел, расстояние между которыми 18 км, одновременно в одном направлении выехали велосипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 9 км/ч, мотоциклист — со скоростью 54 км/ч. Сколько километров проедет велосипедист до того момента, когда его догонит мотоциклист? 478. а) Расстояние между станциями А \л В равно 165 км. От этих станций одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 1,5 ч на разъезде, который находится в 90 км от станции А. С какой скоростью идут поезда? б) Расстояние между поселками Лив равно 24 км. Из поселка А по направлению к поселку В выехал автобус. Одновременно с ним из поселка В в том же направлении выехал велосипедист. Автобус через 0,6 ч догнал велосипедиста на расстоянии 9 км от поселка В. С какой скоростью ехал автобус и какова была скорость велосипедиста? 479. а) Собственная скорость катера 25,5 км/ч, скорость течения реки 2,5 км/ч. Какой путь пройдет катер за 1,5 ч по течению? против течения? б) Скорость ветра 5 км/ч. Собственная скорость вертолета 100 км/ч. Какой путь он пролетит за 2,4 ч при попутном ветре? при встречном ветре? 480. а) Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, а скорость течения реки 3,5 км/ч. Расстояние между пристанями 15 км. Сколько времени затратит лодка на путь между пристанями туда и обратно? б) Город В находится в 63 км от города А ниже по течению реки. Теплоход плывет из Л в 6 и обратно. На сколько больше времени понадобится ему на обратный путь, если собственная скорость теплохода 32 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч? 481. а) Моторная лодка плыла 2,5 ч по течению реки, а потом 2 ч по озеру. Какое расстояние проплыла за это время моторная лодка, если ее собственная скорость 32 км/ч, а скорость течения реки 2,4 км/ч? б) Туристы плыли 4,5 ч на плоту, а затем 1,5 ч на байдарке. Скорость течения реки 2 км/ч, а скорость байдарки в стоячей воде 20 км/ч. Какое расстояние проплыли туристы? 482. Колонна автобусов движется со скоростью 60 км/ч. а) Патрульная машина движется из конца колонны в ее начало со скоростью 85 км/ч. С какой скоростью она сближается с первым автобусом? б) От начала колонны к ее концу патрульная машина движется со скоростью 80 км/ч. С какой скоростью патрульная машина сближается с последним автобусом? 483. Колонна автобусов длиной 400 м движется по шоссе со скоростью 50 км/ч. Инспектору, машина которого замыкает колонну, нужно подъехать к головному автобусу. За сколько минут инспектор догонит головной автобус, если будет ехать со скоростью 60 км/ч? 484. Из дачного поселка на станцию, расстояние между которыми 5,4 км, отправился пешеход со скоростью 4,5 км/ч. Через 0,5 ч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью, равной 12 км/ч. Кто из них раньше и на сколько прибудет на станцию? 485. Из пункта А в пункт В вышел турист со скоростью 4,5 км/ч. Через 2 ч из В в А вышел почтальон с такой же скоростью, и через 1,2 ч после своего выхода он встретил туриста. Найдите расстояние от А до В. 486. Оля вышла из дома, а через 6 мин ее сестра отправилась вдогонку за ней. Оля за 1 мин проходит 50 м, а ее сестра — 70 м. Через сколько минут после своего выхода сестра догонит Олю? 487. 4* Саша вышел из дома и отправился к стадиону. Он проходит 50 м за 1 мин. Через 2 мин вслед за ним вышел его брат, который за 1 мин проходит 60 м. На каком расстоянии от дома находится стадион, если братья пришли туда одновременно? 488. Из двух городов, расстояние между которыми 45 км, одновременно в одном направлении выехали автомобили со скоростями 70 км/ч и 60 км/ч, причем первый автомобиль догоняет второй. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет равно 10 км? Почему задача имеет два решения? 489. Два поезда выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Расстояние между пунктами А и В равно 350 км. Скорость одного 65 км/ч, другого — 75 км/ч. Через сколько часов расстояние между поездами составит 70 км? Почему задача имеет два решения? 490. Города А \л В расположены на реке, причем В ниже по течению. Расстояние между ними равно 30 км. Моторная лодка проходит путь от Л до S за 2 ч, а обратно за 3 ч. За какое время проплывет от 4 до В плот? 491. Лодка и плот плывут по реке навстречу друг другу. Расстояние между ними равно 9 км. Через 0,5 ч лодка и плот встречаются. Лодка плывет со скоростью 15 км/ч. Чему равна скорость течения реки и собственная скорость лодки? 492. Папа и сын плывут на лодке против течения реки. В какой-то момент сын уронил папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу. Определите, на каком расстоянии от лодки находится шляпа, если собственная скорость лодки 6 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. 493. Папа и сын плывут на лодке по течению. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Через 30 мин папа заметил пропажу, развернул лодку и поплыл навстречу шляпе. Через сколько минут они встретят шляпу, если собственная скорость лодки 10 км/ч, скорость течения 2,4 км/ч? Нет ли здесь лишних данных? 494. Иван Иванович и Петр Петрович отдыхают в пансионате и каждый день совершают прогулки к озеру. Расстояние от пансионата до озера 1 км. Петр Петрович за 1 мин проходит 75 м, а Иван Иванович — 50 м. а) Однажды Иван Иванович и Петр Петрович вместе пошли от пансионата к озеру. Петр Петрович первым дошел до озера, повернул назад и с той же скоростью пошел навстречу Ивану Ивановичу. Через сколько минут после выхода из пансионата они встретятся? б) В следующий раз, когда они вместе отправились из пансионата к озеру, Петр Петрович дошел до озера, повернул назад, встретил Ивана Ивановича, повернул еще раз и опять пошел к озеру. Так он ходил туда и обратно, пока Иван Иванович не дошел до озера. Какое расстояние за это время прошел Петр Петрович? в) Однажды Иван Иванович вышел из пансионата и пошел к озеру, и одновременно с ним от озера к пансионату, отправился Петр Петрович. Гуляя, каждый доходит до места назначения и тут же поворачивает обратно. Через сколько минут после выхода они встретятся в первый раз? во второй раз? ф для ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО «Длинные» выражения с десятичными дробями Здесь мы будем выполнять вычисления с десятичными дробями, содержащими большое число знаков после запятой. Найдем, например, значение произведения 0,1 • 0,01 • 0,001 •• 0,00... 01. 20 цифр Многоточие в записи математических выражений «переводится» как «и т. д.». В данном случае оно означает, что дальше в произведении содержатся дроби 0,0001; 0,00001; ... . Всего в этом произведении 20 множителей, и в каждой следующей дроби после запятой на один нуль больше, чем в предыдущей. Очевидно, что в результате получится дробь вида 0,00... 01 и нужно лишь определить число ее знаков после запятой. Из правила умножения десятичных дробей следует, что после запятой в этой дроби будет столько цифр, сколько их содержится во всех множителях вместе, т. е. 1 + 2 + 3 + ... + 20. Найдем эту сумму, воспользовавшись «методом Гаусса». Объединим слагаемые в пары — первое с двадцатым, второе с девятнадцатым и т. д. Всего таких пар будет 10, и каждая пара в сумме даст число 21. Поэтому искомая сумма равна 21*10 = 210. Таким образом, 1 + 2 + 3 + ... + 20 = 210. Теперь можно записать значение данного произведения. Для этого нам опять придется использовать многоточие: 0,1 • 0,01 *0,001 •... *0,00...01 = 0,00...01. 20 цифр 210 цифр 495. Найдите сумму и произведение чисел: а) 0,1; 0,01; 0,001; ...; 0,00...01; 50 цифр б) 0,1’°; 0,1”; 0,Г^; ...; 0,1^°; в) 0,01; 0,0001; 0,000001; ...; 0,00...01; 10 цифр г) 0,1; 0,0001; 0,0000001; ...; 0,00...01. 496. Найдите значение выражения: а) 0,00...01 -0,00...01; б) 1 -0,1 -0,01 -...-О.ОО-01. 10 цифр 20 цифр 10 цифр 497. Определите закономерность, по которой получаются следующие суммы: 0,1 0,1 0,1 + 0,11 +0,11 +0,11 “77 0,111 0,111 —гтт 0,1111 и т. д. Какое число получится в результате, если число слагаемых будет равно 9? 10? 11? 19? 20? (7Ж Задания для самопроверки к главе 4 (Обязательные результаты обучения) 1. Вычислите: а) 24,9 + 8,23; 6) 65,1-1,68; в) 36,27 + 4,3; г) 21-5,06. 2. Найдите неизвестное число: а) д:+1,7 = 2,2; б) 3,5 +ft = 5; в) а-0,3 = 0,8; г)2-с=1,3. 3. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число 2,3405. 4. Запишите в виде натурального числа: 2,5 млн, 34,5 тыс. 5. Выразите: 3,25 км в метрах, 830 г в килограммах. 6. Выполните действие: а) 12,375*10; б) 425,086=100. 7. Вычислите: а) 7,68*2,5; б) 1,3*0,004. 8. Найдите значение выражения: а) 2,7^; б) 0,2®; в) 1,5-0,7^ г) (1,25*4)7 9. а) Турист идет со скоростью 4,4 км/ч. Какой путь он пройдет за 1,5 ч? б) Один метр ткани стоит 75 р. Сколько стоят 2,4 м такой ткани? 10. В первый день туристы прошли 0,3 всего маршрута. Сколько километров им осталось пройти, если весь маршрут составляет 40 км? 11. В лейке воды на 2,3 л больше, чем в ковше, а в ведре в 1,5 раза больше, чем в лейке. Сколько всего литров воды, если в лейке 3,6 л? 12. Вычислите: а) 7,92 = 6; 6)0,091=0,7; в) 3,77 = 2,6; г) 15 = 25. 13. Найдите неизвестное число: а) 1,5*д: = 6; 6)ft*6 = 9; в)а=1,2 = 0,5; г) 7 = с = 0,35. 14. а) Шаг пешехода равен 0,6 м. Сколько шагов ему надо сделать, чтобы преодолеть 90 м? б) За какое время проедет велосипедист 4,5 км, если будет ехать со скоростью 15 км/ч? 15. Найдите значение выражения: а) 10,5-2,7+1,3-6,8; в) 8,8-(2,6+1,68):4; б) 18,3-12,5*0,4 + 0,12; г) (2-0,3*5.7):0,5. 16. Из 140 м ткани в мастерской сшили 10 чехлов для кресел и 8 чехлов для диванов. На чехол для кресла пошло 6,4 м ткани. Сколько ткани пошло на чехол для дивана? 17. Вычислите: 2 а) 0,6:0,9; б) 12:2,8; , 0,7 4j’ г) 1.5' 18. Орехи нужно разложить в пакеты. В каждый пакет вмещается 1,5 кг орехов. Сколько пакетов потребуется, чтобы разложить 52 кг орехов? 19. Округлите число 17,6354: а) до единиц; б) до десятых; в) до сотых. 20. Ленту длиной 5,75 м разрезали на четыре равные части. Найдите длину каждой части, округлив результат до десятых. 21. Собственная скорость лодки 6,5 км/ч, а скорость течения реки 2,5 км/ч. Расстояние между пристанями 18 км. Сколько времени затратит лодка на путь между пристанями по течению реки? против течения реки? 22. Два автобуса выехали одновременно из двух городов навстречу друг другу со скоростями 40 км/ч и 48 км/ч. Расстояние между городами 132 км. Через сколько часов автобусы встретятся? 23. От школы к стадиону выехал велосипедист со скоростью 11,5 км/ч. Одновременно с ним от стадиона к школе по тому же пути выехал другой велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 0,2 ч они встретились. Найдите длину пути от школы до стадиона. 24. От причала в одном направлении вышли одновременно два катера. Скорость одного катера 45 км/ч, другого — 37 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет равно 20 км? 25. С турбазы в одном направлении одновременно вышли два туриста со скоростями 3,5 км/ч и 4 км/ч. Какое расстояние будет между туристами через 2 ч? ^^^-(Окружн^ть Прямая и окружность На рисунке 85, а изображена окружность с центром в точке О и прямая k, ее не пересекающая. Расстояние от центра О до прямой равно длине перпендикуляра ОМ. Оно больше радиуса окружности. Будем теперь перемещать прямую параллельно самой себе, приближая ее к центру окружности. В какой-то момент расстояние от центра до прямой станет равным радиусу и точка М окажется на окружности (рис. 85, б). В этом случае прямую k называют касательной к окружности, а точку М — точкой касания. Продолжим движение к центру. Расстояние от центра до прямой сначала будет уменьшаться, а после того как прямая пройдет через центр — снова увеличиваться. Все время, пока это расстояние будет меньше радиуса, прямая будет пересекать окружность (рис. 85, в). Как только оно опять станет равным радиусу, мы получим еще одну а) б) г) д) касательную (рис. 85, г). А затем прямая и окружность вновь не будут иметь общих точек (рис. 85, д). Таким образом, прямая и окружность могут пересекаться, могут не пересекаться и, наконец, прямая может касаться окружности. На рисунке 85, б хорошо видно свойство касательной: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. На этом свойстве основан способ построения касательной к окружности. На рисунке 86, а изображена окружность с центром в точке О и на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке: • проведем радиус ОА (рис. 86, б); • построим прямую d, перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А (рис. 86, в). Прямая d и является касательной к окружности в точке А. В дальнейшем вы узнаете, что касательная играет большую роль при описании многих физических явлений. Взгляните на фото. На нем хорошо видно, что искры — раскаленные частички точильного камня, оторвавшиеся от него, — летят по касательной к кругу в точке отрыва. Ет: 498. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см. а радиус окружности равен: а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см? Сделайте схематический рисунок. 499. Известно, что прямая и окружность пересекаются в точках Д и Б. Как должна проходить прямая, чтобы длина отрезка АВ была наибольшей? 500. К окружности, радиус которой равен 6 см, проведены две параллельные касательные (рис. 87). Чему равно расстояние между ними? 501. Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку А. Постройте касательную к окружности в точке А. 502. Начертите окружность радиусом 3 см. Проведите какую-нибудь прямую через центр окружности. Постройте касательные к окружности: а) перпендикулярные проведенной прямой; б) параллельные проведенной прямой. Рис. 87 ___ 503. Начертите две параллельные прямые. Постройте какую-нибудь окружность, для которой обе эти прямые являются касательными. Сколько таких окружностей можно построить? Где лежат их центры? 504. Проведите прямую и постройте какую-нибудь окружность радиусом 3 см, для которой эта прямая является касательной. Сколько таких окружностей можно построить? Где расположены их центры? 505. Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов, касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей? 506. Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте окружность, касающуюся всех сторон квадрата. Две окружности на плоскости На рисунке 88, а изображены две окружности. Точка О — центр большей окружности, точка Р — центр меньшей. Меньшая окружность целиком находится вне большей, и расстояние между их центрами больше суммы радиусов. Начнем перемещать меньшую окружность по направлению к большей. При этом центры окружностей будут сближаться. В какой-то момент меньшая окружность коснется большей, и расстояние между центрами будет равно сумме радиусов (рис. 88, б). Такое касание называется внешним. Если дальше сближать центры, то окружности сначала будут пересекаться (рис. 88, в), а затем снова коснутся друг друга (рис. 88, г). На этот раз касание будет внутренним, и расстояние между центрами станет равным разности радиусов. Рис. 88 Сближая и дальше центры окружностей, мы снова получим не-пересекающиеся окружности, но теперь меньшая целиком будет лежать внутри большей (рис. 88, д). В случае, когда центры совпадают, окружности называют концентрическими (рис. 88, е). Бросив камешек в спокойную гладь водоема, вы увидите, как от точки падения камня разбегается сразу несколько концентрических окружностей. 507. Начертите в тетради две равные окружности так, чтобы они пересекались; не пересекались. В каждом случае измерьте расстояние между центрами окружностей. 508. Начертите три концентрические окружности с радиусами 3 см, 4 см, 5 см. 509. а) Радиус меньшей окружности равен 3 см, радиус большей — 5 см (рис. 89). Чему равно расстояние между центрами окружностей? б) Расстояние между центрами окружностей равно 2,5 см (рис. 90). Чему равны радиусы этих окружностей? 510. Постройте две окружности по данным, приведенным в таблице. В каждом случае найдите расстояние между самыми удаленными и самыми близкими точками двух окружностей. Расстояние между центрами, см Радиус первой окружности, см Радиус второй окружности, см 0,5 2 3 1 4 3 6 2 2 5 2 3 511. Постройте в тетради цветок, изображенный на рисунке 91. 512. Расстояние между точками А и В равно 5 см. Точка А — центр окружности, радиус которой равен 3 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы? 513. На каждом из рисунков 92 изображена небольшая задача. В каждом случае рассмотрите рисунок и найдите радиусы АР и ВР. а) ОД = 5 см АР=? ВД = ? б) ОД = 3 см АР = ? ВД = ? 514. Найдите периметр четырехугольника ABCD. (Сторона одной клетки на рисунке справа равна 5 мм.) 515. Радиусы двух окружностей равны 3 см и 5 см, а расстояние между наиболее удаленными точками этих окружностей равно: а) 18 см; в) 13 см; б) 16 см; г) 8 см. Найдите расстояние между центрами окружностей. Указание. Можно выполнить построения по условию задачи или воспользоваться рисунком 88. 516. Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей (рис. 88, а—г) определите, сколько можно провести различных прямых, касающихся обеих окружностей. Сделайте в тетради схематические рисунки. Построение треугольника Проведите такой эксперимент: соберите из элементов металлического конструктора четырехугольник и треугольник и попробуйте подвигать их стороны. Четырехугольник при этом будет трансформироваться, а треугольник нет. Говорят, что треугольник — жесткая фигура. Этим его свойством широко пользуются на практике, например для закрепления деталей конструкций. Как говорят математики, треугольник однозначно определяется тремя своими сторонами. Построим треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см. Для этого нам придется воспользоваться не только линейкой, но и циркулем. Начертим прямую и отложим на ней отрезок, равный одной из сторон треугольника, например 5 см. Обозначим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А W. С (рис. 93). Как же построить третью вершину — точку Б? Рис. 93 Рис. 94 Вот здесь нам и понадобится циркуль! Любая точка, удаленная от точки А на 3 см, лежит на окружности с центром А и радиусом 3 см. Точно так же любая точка, удаленная от вершины С на 4 см, лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см (рис. 94, а). Следовательно, третья вершина треугольника должна принадлежать и первой окружности, и второй, а значит, она должна быть точкой пересечения этих окружностей. Окружности пересекаются в двух точках. Обозначим одну из них буквой В и проведем отрезки АВ и ВС. Получим треугольник АВС, имеюш(ий заданные стороны (рис. 94, б). Понятно, что если бы мы взяли другую точку пересечения окружностей, то получили бы треугольник, равный треугольнику АВС. Теперь попытаемся построить треугольник со сторонами 1, 2 и 4 см. Сделать это нам не удастся — окружности не пересекутся (рис. 95). Этот пример показывает, что не всякие три отрезка могут быть сторонами треугольника. Возникает вопрос: в каком случае три отрезка могут служить сторонами треугольника, а в каком нет? В первом построении окружности пересеклись, потому что расстояние между их центрами меньше суммы радиусов (рис. 88, в). При втором построении окружности не пересеклись, так как расстояние между их центрами больше суммы радиусов (рис. 88, а). Ясно, что треугольник не получится и в том случае, если расстояние между центрами равно сумме радиусов (рис. 88, б). Таким образом, из трех отрезков можно построить треугольник, если каждый из этих трех отрезков меньше суммы двух других. На самом деле достаточно проверить, что наибольший отрезок меньше суммы двух других. Мы пришли к выводу, который математики называют неравенством треугольника: Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. 517. Постройте треугольник со сторонами: а) 3, 4 и 6 см; б) 2, 4 и 5 см; в) 5, 6 и 7 см. 518. Отрезки, изображенные на рисунке 96, — сто- у_ роны треугольника. Постройте этот треугольник. 519. 520. 521. I Рис. 96 а) Постройте равносторонний треугольник со j_______ стороной 6 см. б) Постройте равнобедренный треугольник, основание которого равно 4 см, а боковые сто- ' роны — 5 см. 1) Убедитесь, что нельзя построить треугольник, стороны которого равны: а) 7, 3 и 3 см; б) 6, 4 и 2 см. Измените длину одной из сторон так, чтобы треугольник можно было построить. Выполните построение. 2) Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 11, 13 и 25 см; б) 15, 6 и 12 см; в) 20, 18 и 38 см? Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами, равным 80°, по следующему алгоритму: • начертите угол, равный 80°; • на одной стороне угла отложите отрезок, равный 3 см, а на другой — отрезок 5 см; • соедините полученные точки. 522. Постройте треугольник, если известны его стороны и угол между ними: а) 6 см, 7 см, 30°; б) 3 см, 4 см, 120°. 523. Постройте равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 5 см, а угол между ними равен: а) 40°; б) 110°. 524. Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: стороны, образующие прямой угол, называются катетами; сторона, лежащая 525. против прямого угла, называется гипотенузой (рис. 97). Постройте прямоугольный треугольник, если; а) его катеты равны 4 см и 6 см; б) один из катетов равен 3,5 см, а гипотенуза равна 5,5 см. Постройте треугольник по элементам, заданным на рисунке 98. 3 см 4 см Ответьте на вопрос задачи, используя неравенство треугольника (526, 527). 526. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 7 см, а другая — 15 см. Какая сторона является основанием? 527. Даны четыре отрезка длиной 2, 3, 5 и 6 см. Сколько различных треугольников можно построить из этих отрезков? 528. Многоугольник, изображенный на рисунке 99, а, называют снежинкой Коха. Постройте ее. Для этого: • начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см (рис. 99, б); • каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник (рис. 99, в); • повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника (рис. 99, г); • чтобы получить снежинку, изображенную на рисунке 99, а, надо сделать еще один шаг построения. Во сколько раз увеличивается число сторон снежинки Коха на каждом шаге построения? Во сколько раз при этом уменьшается длина ее стороны? Сколько сторон у снежинки, получаемой на каждом шаге? Чему равен ее периметр? а) 529. Задача-исследование. 1) На рисунке 100 изображены три треугольника. Для каждого из них укажите, выполнив необходимые измерения, наибольшую сторону и наибольший угол, наименьшую сторону и наименьший угол. Как расположены в треугольнике друг относительно друга большая сторона и больший угол? меньшая сторона и меньший угол? 2) В треугольнике АВС известны длины сторон: >48=19 дм, ВС= 10 дм, ЛС=11 дм. Какой угол является наибольшим, а какой наименьшим? 3) В треугольнике АВС известны величины углов: /LA - 50°, Z.B = 30°, /1C =100°. Назовите стороны треугольника в порядке возрастания их длин. Круглые тела Цилиндр Шар Рис. 101 Конус Формы предметов окружающего мира очень разнообразны. Среди них встречаются не только многогранники, но и так называемые круглые тела. Прежде всего это цилиндр, конус и шар (рис. 101). У многогранника все части поверхности плоские. Поверхности цилиндра и конуса состоят как из плоских частей, так и из кривых, а шар — «абсолютно круглый». Слово «цилиндр» пришло к нам из Древней Греции и происходит от слова, в переводе означающего «валик». Форму цилиндра имеют многие предметы, созданные руками человека: колонны зданий, трубы, стаканы, бревна и др. Интересно, что мужской головной убор, распространенный в XIX в., тоже носит название «цилиндр». Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности, которую еще называют цилиндрической. Основания цилиндра — это два равных круга, расположенные в параллельных плоскостях. На рисунке их изображают в виде двух эллипсов — «сплюснутых» окружностей (рис. 102). Отрезок, соединяющий центры оснований, перпендикулярен каждому из них. Его называют высотой цилиндра. Слово «конус» переводится с древнегреческого как «шишка» или «верхушка шлема». «Предметы-конусы» встречаются гораздо реже, чем «предметы-цилиндры». Форму конуса имеют, например, горка песка, воронка. Конус в определенном смысле похож на пирамиду. У него, как и у пирамиды, есть вершина и основание, только в основании лежит не многоугольник, а круг. Перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к плоскости основания, попадает в центр круга (рис. 103). Этот перпендикуляр называют высотой конуса. Особое место среди круглых тел занимает шар. Поверхность шара называется сферой. Мы называем нашу планету земным шаром, строго говоря. Земля — это «почти шар». А пример сферы — это оболочка мяча, пленка мыльного пузыря. Собственно, само слово «сфера» происходит от греческого слова, обозначающего «мяч». У шара и сферы, так же как у круга и окружности, есть центр, радиус и диаметр (рис. 104). Границей круга, как вам известно, является окружность, а границей шара — сфера. Еще в древности математики интересовались тем, какие фигуры получаются при сечении пространственных тел плоскостью. Представьте, что шар рассекается плоскостью подобно тому, как апельсин разрезается ножом. При рассечении шара плоскостью может получиться только круг. Диаметр круга будет наибольшим, когда плоскость сечения пройдет через центр шара (рис. 105). Соответствующие таким кругам окружности называются большими Основание ■ Высота Основание Рис. 102 окружностями. Их диаметры равны диаметру шара. Вспомните параллели и меридианы, нанесенные на глобус. Параллели — это окружности, получаемые при «разрезании» земного шара параллельными плоскостями (рис. 106). Самая большая параллель — это экватор, его диаметр равен диаметру Земли. Когда параллели приближаются к полюсам, их диаметры уменьшаются. Меридианы же — это большие полуокружности, проходящие через полюса (рис. 107). Сетку из параллелей и меридианов, покрывающую поверхность земного шара, ввели древнегреческие ученые Эратосфен и Гиппарх. При разрезании цилиндра и конуса плоскостями, наряду с окружностью, получаются и другие линии. Так, если поверхность цилиндра рассекается плоскостью, параллельной основаниям, то в сечении получается окружность (рис. 108, а). Если же плоскость пройдет «наискосок» (как показано на рисунке 108, б), то в сечении получится уже не окружность, а эллипс. Поверхности цилиндра и конуса, как и поверхность многогранника, можно развернуть на плоскость. Такие развертки изображены на рисунке 109. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник, а боковая поверхность конуса — в круговой сектор (часть круга, ограниченная двумя радиусами). В отличие от Рис. 108 этих тел поверхность шара нельзя развернуть на плоскость. Поэтому на всех географических картах изображение земной поверхности искажено. 530. Назовите несколько известных вам предметов, имеющих форму шара, цилиндра, конуса. 531. Скопируйте в тетрадь изображение цилиндра, конуса, шара (рис. 110). 532. 533. 534. 535. а) Возьмите прямоугольный лист бумаги и сверните из него цилиндр. Как вы думаете, чему равна его высота? Сверните из этого же листа цилиндр с другой высотой. б) Вырежьте из одного и того же круга два неравных сектора. Сверните каждый сектор в конус. Какой конус оказался выше: полученный из большего сектора или меньшего? а) Проведите на поверхности шара (например, мяче) несколько больших окружностей. Сколько больших окружностей можно провести на поверхности шара? Можно ли провести две большие окружности так, чтобы они не пересекались? б) На сфере проведены две большие окружности (рис. 111). По рисунку можно предположить, что они пересеклись в четырех точках. А сколько на самом деле точек пересечения? а) Радиус шара равен 5 см (рис. 112). Какие отрезки на этом рисунке равны 5 см? б) У цилиндра и радиус основания, и высота равны 10 см (рис. 113). Какие отрезки на рисунке равны 10 см? Определите вид треугольника ОАВ. а) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так, чтобы в сечении получился круг, эллипс. Как надо разрезать цилиндр, чтобы в сечении получился прямоугольник? б) Вылепите из пластилина конус. Разрежьте его так, чтобы в сечении был эллипс. Как надо разрезать конус, чтобы в сечении был треугольник? круг? Рис. 113 536. В сечении каких круглых тел может получится прямоугольник? круг? треугольник? эллипс? 537. От какой из трех головок сыра отрезан кусок, изображенный слева на рисунке 114? а) Рис. 114 538. Сколько шпагата пошло на то, чтобы перевязать коробку так, как показано на рисунке 115? (На бантик необходимо 20 см.) 539. Цилиндр помещен в параллелепипед так, как показано на рисунке 116. Чему равна высота цилиндра? Чему равен радиус его основания? 540. а) Шар поместили в куб так, что он касается всех граней куба (рис. 117). Сколько всего точек касания? Чему равен диаметр шара, если ребро куба равно 6 см? б) Можно ли поместить в куб с ребром 7 см шар радиусом 4 см? Рис. 116 / 4 / / / V Q 4 ( Рис. 118 Рис. 119 541. Сколько шаров диаметром 1 см войдет в коробку в форме куба с ребром 4 см (рис. 118)? А шаров, радиус которых равен 1 см? 542. Шар помещен в цилиндр так, что он касается и его боковой поверхности, и оснований (рис. 119). Радиус основания цилиндра равен 5 см. Каков диаметр шара? Какова высота цилиндра? 543. Чтобы измерить радиус футбольного мяча, Егор сделал на нем мелом отметину и положил на пол у стены так, чтобы мел отпечатался на стене. Что нужно сделать, чтобы найти радиус мяча? 544. Представьте себе четыре одинаковых шара, каждый из которых касается трех других. Вершинами какого многогранника являются центры этих шаров? Найдите ребра этого многогранника, если радиусы шаров равны 1 см. 545. Плоскость, параллельная основанию конуса, рассекла его на две части. Зарисуйте ту часть, которую называют усеченным конусом. 546. Задача-исследование. 1) На сколько частей делится окружность одним диаметром? двумя диаметрами? тремя диаметрами? 2) На сколько частей делится сфера одной большой окружностью? двумя большими окружностями? тремя большими окружностями? 3) На сколько частей может быть разделена сфера двумя окружностями? Ф ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО О колесе, и не только о нем Одно из самых важных изобретений человечества — это обыкновенное колесо. Схематично колесо можно представить как круг, через центр которого перпендикулярно его плоскости проходит ось. Вокруг этой оси колесо и вращается. Когда колесо катится, его ось находится на одном и том же расстоянии от поверхности дороги. Это расстояние равно радиусу колеса. Именно поэтому человек, который едет на любом колесном механизме по дороге без рытвин и бугров, не испытывает неудобств от тряски. 547. Круг «катится» по прямой. При этом точка А описывает линию, которая называется циклоидой (рис. 120). Проследите сами, как получается циклоида. Для этого вырежьте круг из бумаги, отметьте на его границе точку и «прокатите» его вдоль какой-нибудь прямой, фиксируя некоторые положения этой точки. 548. Представьте, что у вас есть квадратное «колесо», которое стоит на прямой дороге (рис. 121). Колесо начинает «катиться» по дороге, последовательно перекатываясь через свои вершины. Изобразите линию, которую будет описывать: а) вершина квадрата А\ б) точка пересечения диагоналей О. Глядя на грандиозные сооружения, созданные нашими далекими предками, невольно задумываешься, каким образом перемещали они огромные камни и плиты, массивные скульптуры. С помощью каких приспособлений древние путешественники, в том числе и древние славяне, передвигали свои корабли, когда им приходилось преодолевать участки суши? Для этих целей обычно использовались круглые бревна одинакового диаметра, на которые клали платформу. Сверху помещали груз. Платформу толкали сзади, в результате чего бревна начинали катиться. Платформа, а вместе с ней и груз плавно перемещались по дороге. Как только заднее бревно высвобождалось из-под платформы, его тут же переносили вперед и движущаяся платформа снова «захватывала» его. Такой способ перемещения возможен потому, что круг — это фигура постоянной ширины. Так говорят потому, что, когда круг катится вдоль прямой, он «заметает» полосу одной и той же ширины (рис. 122). Рис. 122 Удивительно, но круг не единственная фигура постоянной ширины. Более того, таких фигур бесконечно много. Самая известная из них — треугольник Рело, названный по имени придумавшего его немецкого механика Франца Рело. Построить треугольник Рело очень просто. Начертим равносторонний треугольник. Заменим его стороны дугами окружностей, центрами которых являются вершины, а радиусами — стороны треугольника (рис. 123). Полученная фигура, составленная из дуг окружностей, и называется треугольником Рело. (Любопытно, что на самом деле эта фигура треугольником не является.) Треугольник Рело имеет постоянную ширину, равную стороне исходного треугольника. Его также можно использовать в качестве катка при перемепдении по плоской поверхности, но гораздо сложнее изготовить, чем круг. 549. 550. 551. Постройте треугольник Рело, взяв за основу равносторонний треугольник со стороной 6 см. Вырежьте его. Начертите на листе бумаги полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 6 см. «Прокатите» треугольник Рело по этой полосе. Если вы все сделали правильно, то он все время будет касаться обеих прямых. Треугольник Рело катится по прямой. Изобразите линию, которую описывает вершина этого треугольника. Постройте пару параллельных прямых, касающихся треугольника Рело. Проведите еще пару касательных, перпендикулярных первой паре. Фигура окажется «запертой» в квадрате и будет касаться каждой из его сторон (рис. 124). Вырежьте фигуру, сохранив при этом квадратную рамку. А теперь вращайте фигуру внутри квадрата. Убедитесь, что она будет постоянно прилегать к его сторонам. 552. Нарисуйте эмблему для математической олимпиады, взяв за основу треугольник Рело. Отношения и процентью^ Что такое отношение Для сравнения чисел и величин существует, как вы знаете, два способа: вычисление разности или вычисление частного. В первом случае получают ответ на вопрос, на сколько одно число больше (или меньше) другого, во втором — во сколько раз одно из них больше (или меньше) другого, или какую часть одно из них составляет от другого. Пусть, например, известно, что в классе 15 мальчиков и 10 девочек. Сравнивая эти данные, можно сказать, что мальчиков на 5 больше, чем девочек (в самом деле, 15 — 10 = 5). Можно также сказать, что мальчиков в 1,5 раза больше, чем девочек (действитель- но, 777=1,5), или что девочки составляют — от числа мальчиков 1U о , 10 _ 2, (так как Y5 “з)- Оба способа сравнения чисел постоянно используются при решении практических задач, но служат они для разных целей. К делению прибегают в тех случаях, когда хотят получить качественную оценку той или иной ситуации. ■ Пример 1. В городе Березники проводится математический конкурс «Пифагор». В этом году число участников конкурса по сравнению с предыдущим годом увеличилось на 50 человек. Большой ли это прирост? Ответ зависит от того, сколько школьников участвовало в конкурсе в прошлом году. Если, например, их было 25, то в этом году участников стало в 3 раза больше, и прирост можно считать достаточно большим. Если же раньше в конкурсе участвовало 1000 чело- 1050 век, то число участников увеличилось всего в -=1,05 раза. Ины- 1000 ми словами, оно почти не изменилось. В тех случаях, когда величины сравнивают с помощью деления, вместо слова «частное» обычно используют термин «отношение». Иными словами, отношение двух чисел — это другое название их частного. Частные а'Ь и ^ читают еще и так: «Отношение числа а к числу 5». Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. ' 6 см ш Пример 2. Стороны прямоугольника 9 см и 6 см (на рисунке он изображен в уменьшенном виде). Найдем отношения длин его сторон. Сначала вычислим отношение большей стороны к меньшей: — = 1 5 Это отношение показывает, что одна сторона в 1,5 раза больше другой стороны. Теперь найдем отношение меньшей стороны к большей, т. е. обратное отношение: 9 см 9 3* Это отношение показывает, что меньшая сторона составляет -г- О большей стороны. Иногда отношение оставляют «невычисленным». Так, стороны прямоугольника на рисунке относятся как 9:6. Для записи отношения в таких случаях используют двоеточие, гп 9 _ 3 Так как то можно записать и такое равенство: 9:б = 3:2. Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же число, не равное 0, то получится отношение, равное данному. Например: 9:6 = 3: 2 = 0,30,2 = 0,6:0,4 = 90:60=... . Отношение одноименных величин (длин, площадей, масс и т. д.) выражается числом. А отношение разноименных величин — это новая величина. Так, отношение пути ко времени — это скорость. Если путь измерен в километрах, а время — в часах, то скорость будет выражена в километрах в час. Например: 30 км _ 30 км _ р, км 6 ч ■* 6 ч ч ■ Если путь измерен в метрах, а время в секундах, то скорость выражается в метрах в секунду: 60 м _ 60 м _ - м 40 с ~ 40 с “ с • ^ _ км м Отметим, что обозначения и т. п. приняты именно по- тому, что расстояние делят на время. Их обычно записывают с наклонной чертой: км/ч, м/с, м/мин и т. д. Отношение стоимос^’и приобретенного покупателем товара к его количеству (массе, длине, числу штук и др.) — это цена товара. Она тоже может измеряться в аналогичных единицах: р./кг, р./м, р./шт., ... . Однако на практике такие обозначения не употребляют, а выражают единицы цены словами: «30 р. за килограмм», «50 р. за пачку» и т. д. 554. 555. 556. 557. 553. Учитель проверил 45 ученических работ, и ему осталось проверить еще 75. а) Во сколько раз число непроверенных работ больше числа проверенных? б) Какую часть составляют проверенные работы от непроверенных? в) Каки^ еще отнощения можно составить, используя условие задачи? Составьте их. Что они показывают? Напишите несколько отношений, равных: а) 5; б) 0,5; Прочитайте отношение и вычислите его: а) 16:24; 6)121:33; в) 1,4:2,1; г) 1,5:0,6; в) I- Какое отношение «лишнее»: 10:15; 20:25; 1:1,5; 1 , 1.1. Д) 2 • 3 > :1. 2 ■ ^ J 2 '5 • 5- В тетради 30 чистых и 18 исписанных страниц. Что показывает отношение 30:18? отношение 18:30? а) Замените каждое из отношений равным, записанным меньшими числами. — 558. 559. 560. 561. 562. б) Какие еще отношения можно составить, используя условие задачи? Составьте эти отношения и упростите их. Задание с выбором ответа. Из 20-литровой канистры, наполненной бензином, отлили 6 л. Какое из следующих отношений означает отношение количества вылитого бензина к оставшемуся? A. ЗМО. Б. 7:3. В. 3:7. Г. 7:10. а) Составьте всевозможные отношения сторон треугольника АВС (рис. 125) и вычислите их. (Все маленькие отрезки равны между собой.) б) На прямой последовательно откладываются точки А, B, С, D, Е, F, причем AB = BC = CD = DE=EF. Найдите отношения AD-DF, AC-AF, BD-CE, BF-BD. Начертите какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно: а) 1:2; б) 5:3; в) 1 :1. В каком случае получился квадрат? Начертите отрезок АВ. Отметьте на нем точку С таким образом, чтобы выполнялось условие: АС а) ВС 1; ВС^^’ т)^ = 2 ' ВС 563. д) 10 мин к 10 ч; е) 4 ч к 40 мин. 564. 565. а) Отношение числа красных шариков к числу синих равно 5 -2. Каких шариков больше? Во сколько раз? Запишите обратное отношение. Что оно показывает? б) Ручка в 1,5 раза дороже карандаша. Чему равно отношение стоимости ручки к стоимости карандаша? Чему равно отношение стоимости карандаша к стоимости ручки? Найдите отношение: а) 3 км к 750 м; в) 700 г к 1 кг; б) 300 м к 2,1 км; г) 20 ц к 160 кг; Указание. Не забудьте выразить величины в одних единицах. Ответьте на вопрос задачи, составив и вычислив соответствующее отношение. а) Велосипедист проехал 36 км за 2,4 ч. С какой скоростью он ехал? б) Принтер за 15 мин напечатал 180 страниц. Какова производительность принтера? Скорость звука в воздухе равна примерно 300 м/с. Артиллерийский снаряд летит со скоростью 1,5 км/с. Найдите отношение скорости артиллерийского снаряда к скорости звука. Во сколько раз скорость артиллерийского снаряда больше скорости звука? 566. Все расстояния на карте уменьшены по сравнению с действительными в одно и то же число раз. Отношение длины отрезка на карте к реальному расстоянию на местности называют масштабом карты. а) Расстояние между двумя поселками на карте равно 4 см, а расстояние между этими поселками на местности равно 4 км. Определите масштаб карты. б) Расстояние между школой и автобусной остановкой на плане равно 2 см, а в действительности 50 м. Определите масштаб плана. 567. Масштаб плана 1:1000. а) Во сколько раз расстояние между двумя точками на плане меньше расстояния между этими же точками на местности? Во сколько раз расстояние на местности больше соответствующего расстояния на плане? б) Чему равно расстояние между двумя точками на местности, если на плане оно равно 1,5 см? 12 см? в) Чему равно расстояние между двумя точками на плане, если на самом деле оно равно 20 м? 350 м? Как вы думаете, можно ли на этом плане указать точки, расстояние между которыми на местности равно 0,5 м? 568. В результате опроса шестиклассников выяснилось, что отношение чис- 3 ла детей, умеющих плавать, к общему числу опрошенных равно Этот результат можно описать еще и так: «три из четырех шестиклассников умеют плавать» или «каждый четвертый шестиклассник не умеет плавать». Опишите аналогичным образом следующую ситуацию: , 4 а) отношение числа распустившихся тюльпанов к числу посаженных равно ; б) отношение числа финалистов к числу участников конкурса равно в) отношение числа пропущенных шайб к числу бросков по воротам равно 2:3; г) отношение числа мальчиков к общему числу участников танцевального ансамбля равно 1:2. 569. Сформулируйте данное утверждение иначе, используя слово «отношение»: а) каждый двадцатый школьник — рыжий; б) каждый десятый зритель, пришедший на концерт, знаком с артистом; в) каждый восьмой из пропускавших уроки — прогульщик; г) каждая тысячная ворона — белая. 570. 571, 572. 573. 574. 575. 576. Замените отношение дробных чисел равным ему отношением целых чисел: v1 1 ..22 б) 4,5:2,7; в) 2 ■ 5’ Н ' 3' ■'!. /. //Mil/ I; /■/ Hi- /:Н Н ‘ ........ а) 0,5: 1,5; Образец. 1,5:2,5 = 15:25 = 3:5. Сторона одного квадрата равна 12 см, а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите: 1) отношение стороны большого квадрата к стороне малого квадрата: 2) отношение периметра большого квадрата к периметру малого квадрата; 3) отношение площади большого квадрата к площади малого квадрата. Какие из этих отношений равны? Равны ли отношения площадей и сторон квадратов? Ребро одного куба равно 10 см, а дру-того — 5 см. Найдите: ^ 1) отношение ребра малого куба к ребру большого куба; 2) отношение площади грани малого куба к площади грани большого куба; 3) отношение объема малого куба к объему большого куба. Равны ли эти отношения? Составьте по данному условию два отношения. В каждом случае поясните смысл образовавшейся величины и укажите, в каких единицах она измеряется. а) За 3 ч Таня прочитала 36 страниц. б) За 50 р. купили 2 м ткани. в) Сделав 10 шагов, Петя прошел 4 м. г) Принтер за 5 мин распечатал 30 страниц. Стороны прямоугольника 60 см и 80 см. i а) Начертите в тетради этот прямоугольник в масштабе 1:20. б) Измерьте диагональ прямоугольника на вашем чертеже и найдите длину диагонали данного прямоугольника. Участок шоссе на карте изображен линией длиной 20 см. Масштаб карты 1:200000. Вертолет наблюдает за движением транспорта и летит над шоссе со скоростью 100 км/ч. За какое время он пролетит над этим участком? а) На рисунке 126 Л — это расстояние от пола до верхнего края лестницы, приставленной к стене, а — расстояние от нижнего края лестницы до стены. Отношение Л к а определяет крутизну лест- Рис. 126 (Шу— ницы. в каком случае лестница имеет ббльшую крутизну: если Л =1,8 м и а =1,2 м или если Л = 2 м и а = 1,5 м? б) Перед посевом семена проверяют на всхожесть: сажают определенное количество семян и в назначенный срок находят отношение числа проросших семян к числу посеянных. Определите, в каком из двух пакетов всхожесть семян лучше, если известно, что при посадке 20 семян из первого пакета проросло 14, а при посадке 25 семян из второго проросло 18. 577. а) Андрей и Борис занимаются боксом. На тренировках Андрей из 18 проведенных боев выиграл 7, а Борис из 12 боев выиграл 5. Чей результат лучше? б) В одну банку мама налила 500 г воды и насыпала 120 г сахара, в другую — 700 г воды и 180 г сахара. В какой банке вода слаще? 578. а) Из 30 шариков, лежащих в коробке, 24 красных; во второй коробке из 50 шариков 25 красных; в третьей — из 100 шариков 40 красных. Из каждой коробки не глядя вынимают один шарик. В каком случае вероятнее всего вынуть красный шарик? б) Перед выборами в городскую думу был проведен опрос избирателей. За кандидата А из 60 опрошенных высказалось 42 человека, за кандидата Б из 50 опрошенных высказалось 15 человек, а за кандидата В из 40 опрошенных — 36. У какого кандидата больше шансов победить на выборах? Деление в данном отношении в практической жизни человека — при использовании кулинарных рецептов, при приготовлении смесей и растворов, при распределении доходов — часто возникает необходимость разделить ту или иную величину на части, отношение которых равно заданному отношению. В таких случаях говорят, что требуется разделить величину в данном отношении. ш Пример. Для учащихся пятых и шестых классов школа приобрела 50 билетов в цирк. В пятых классах учится 72 человека, а в шестых — 48. Как разделить билеты между пятиклассниками и шестиклассниками? В школе решили, что будет справедливо разделить билеты в том же отношении, в котором находится число пятиклассников и число шестиклассников, т. е. в отношении 72 к 48. Упростим это отношение: 72:48 = 3:2. Таким образом, 50 билетов надо разделить в отношении 3 = 2. А для этого надо решить знакомую вам задачу «на части». Всего имеется 3 + 2 = 5 частей, и на каждую часть приходится 50^5 = 10 билетов. Поэтому пятиклассникам следует выделить 10*3 = 30 билетов, а шестиклассникам — 10 • 2 = 20 билетов. 579. а) За набор рукописи на компьютере оператор и его ученик получили 2400 р. Они разделили эти деньги в отношении 2:1. Сколько получил каждый? б) Две машинистки разделили между собой рукопись в 120 страниц в отношении 3:5. Сколько страниц досталось печатать каждой? 580. а) На изучение математики в седьмом классе отводится 170 уроков. Это время распределяется между алгеброй и геометрией в отношении 3:2. Сколько в учебном году уроков алгебры и сколько геометрии? б) На выполнение домашних заданий по математике и русскому языку у Николая ушло 1,5 ч. Сн распределил время между этими предметами в отношении 4:5. Сколько времени ушло на каждый предмет? 581. а) Сплав состоит из меди и цинка, массы которых относятся как 9:8. Масса сплава 2 кг 550 г. Сколько в этом сплаве цинка? б) Сплав состоит из олова и меди, массы которых относятся как 11:7. Масса сплава 1 кг 440 г. Сколько в сплаве олова? 582. Периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что его стороны относятся как: а) 1:5; б) 1:3; в) 1:2; г) 1:1. Как меняется площадь прямоугольника от первого до последнего случая? У какого прямоугольника площадь наибольшая? 583. Отрезки АС и АВ относятся как 3 к 5 (рис. 127). Чему равно отношение: 584. 585. А С Рис. 127 а) АС-СВ-, б) СВ-АВ7 Отношение числа мальчиков в школе к числу девочек равно 5:4. Определите, какую часть составляют мальчики от числа всех учащихся школы и какую часть составляют девочки от числа всех учащихся школы. Задание с выбором ответа. У хозяина две собаки. Большая весит 9 кг, а маленькая — 3 кг. Он разделил между ними пакет с кормом в отношении, равном отношению их масс. Какая часть корма досталась меньшей собаке? 4’ В. ± 9' Г. J_ 12' 586. В театральной студии занимаются ученики пятого и шестого классов. Отношение числа пятиклассников к числу шестиклассников равно 1:3. а) Сколько в студии пятиклассников, если в ней 24 шестиклассника? б) Сколько в студии учеников шестого класса, если в ней 15 пятиклассников? в) Сколько всего учеников занимается в студии, если в ней 30 шестиклассников? г) На сколько в студии больше шестиклассников, чем пятиклассников, если всего в ней 36 учеников? д) Сколько всего учеников занимается в студии, если шестиклассников на 16 больше, чем пятиклассников? 587. Отношение длины комнаты к ее ширине равно 5 : 4. а) Найдите площадь комнаты, если ее длина равна 6 м. б) Найдите площадь комнаты, если ее длина больше ее ширины на 0,8 м. 588. Учитель разложил весь имеющийся мел в две коробки в отношении 7:4. Когда из большей коробки израсходовали 12 кусков, то мела в коробках стало поровну. Сколько всего кусков мела было первоначально? 589. В двух больших и трех маленьких коробках 66 карандашей. Число карандашей в маленькой коробке относится к числу карандашей в большой как 5:9. Сколько карандашей в маленькой коробке и сколько в большой? 590. Маме, папе и дочери вместе 75 лет. Папа на 5 лет старше мамы, а возраст мамы относится к возрасту дочери как 3:1. Сколько лет каждому? 591. В зоопарке живут 110 чижей, ужей и ежей. Отношение числа чижей к числу ужей равно 5:4, а числа ужей к числу ежей равно 2:1. Сколько в зоопарке чижей, сколько ужей и сколько ежей? Указание. Замените отношение 2:1 равным ему отношением 4'2. «Главная» задача на проценты Вам уже приходилось решать одну из главных задач на проценты: находить некоторое число процентов от заданной величины. Теперь при решении таких задач вы сможете использовать десятичные дроби. ■ Пример 1. Согласно российским законам заработок человека облагается так называемым подоходным налогом, который составляет 13% заработка. Какую сумму в качестве подоходного налога должен заплатить человек, заработавший 2700 р.? 13 Так как 13% — это ^j^^ = 0,13, то надо найти 0,13 от 2700 р. Для этого можно 2700 р. умножить на 0,13: 2700-0,13 = 351 (р.). 5 — Дорофеев. 6 кл. Таким образом, сумма подоходного налога с заработка в 2700 р. составляет 351 р. Для решения задачи мы заменили 13% десятичной дробью 0,13. Точно так же можно выразить десятичной дробью и любое другое число процентов: 65 як = 0,65; 65% — это 150% — это 41^=1,5. 100 100 Из приведенных примеров понятно правило, по которому можно от процентов перейти к десятичной дроби: (Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100. При решении задач вы можете пользоваться этим правилом или рассуждать, как в примере 1. ■ Пример 2. Рубашка стоила 120 р. Сколько она стала стоить после повышения цены на 35% ? Сначала узнаем, на сколько рублей увеличилась цена. Так как 35% — это 0,35, то надо найти 0,35 от 120 р.: 120-0,35 = 42 (р.) — на столько увеличилась цена. Теперь найдем новую цену: 120 + 42 = 162 (р.). Можно рассуждать иначе. Старая цена составляет 100%, а новая — на 35% больше, т. е. она составляет 135% старой цены. Так как 135% — это 1,35, то старую цену надо умножить на 1,35. Имеем 120-1,35 = 162 (р.). 592. Выразите десятичной дробью: а) 21%, 56%, 78%; б) 60%, 80%, 50%; в) 6%, 8%, 2%. 593. Заполните таблицу. Проценты Десятичная дробь Обыкновенная дробь 10% 20% 25% 50% 75% 80% 594. 595. 596. а) Бак автомобиля вмещает 40 л бензина. Сколько литров бензина в баке, если заполнено 55% его объема? б) За первую неделю построили 24% дороги. Сколько метров дороги построено, если вся дорога будет иметь длину 850 м? Морковь Лук Свекла Капуста Картофель Рис. 128 ■ В магазине за неделю было продано 6 т овощей. На диаграмме показано, какие овощи были проданы и сколько процентов от общей продажи это составило (рис. 128). а) Сколько процентов проданных овощей составил картофель? б) Сколько килограммов овощей каждого вида было продано? Среди шестиклассников школы провели опрос. Их попросили высказать свое мнение об утверждении; «Чтобы хорошо учиться по математике, надо заучивать текст учебника». Распределение их мнений показано на диаграмме (рис. 129). а) Сколько процентов учащихся затруднились ответить? б) Сколько учащихся дали каждый из ответов, если в опросе участвовали 80 школьников? 597. Выразите десятичной дробью: а) 112%: б) 175%: в) 120%: г) 250%: д) Ю5%: е) ioi%. Согласны 25% Затруднились ответить Не согласны 65% Рис. 129 Образец. 130% — это 130 100 = 1,3. 598. Начертите отрезок АВ, длина которого равна 5 см. Начертите отрезки, длины которых равны 80%, 150%, 200% и 220% длины отрезка АВ. Найдите длину каждого построенного отрезка. 599. По плану за неделю нужно было отремонтировать 850 м дороги. За 3 дня бригада выполнила 40%, за 6 дней — 85%, за 7 дней — 100%, за 9 дней — 130% запланированной работы. Сколько метров дороги было отремонтировано в каждом случае? 600. Сколько процентов от первоначальной цены товара составляет новая цена, если: а) товар подорожал на 40%: на 15%: на 5%: б) товар подешевел на 20%: на 8%: на 1%? 601. Решите задачу разными способами. а) Оптовая цена товара на складе 5500 р. Торговая надбавка в магазине составляет 12%. Сколько стоит этот товар в магазине? 5* б) фруктовый сок подешевел на 15%. Сколько стал стоить 1 л сока, если до уценки он стоил 20 р.? Решите задачу (602—604). 602. Банк начисляет на вклад ежегодно 9%. Сколько денег будет на счету через год, если было вложено 5000 р.? 603. Продавец купил товар по 1100 р. и планирует получить при продаже прибыль 15%. По какой цене должен он продать этот товар? 604. а) Ткань, цена которой 150 р. за метр, уценена на 8%. Какова новая цена ткани? б) Оператор за день должен был набрать 50 страниц текста, но набрал на 14% меньше. Сколько страниц набрал оператор? ___ 605. Клюква содержит 6% сахара, а брусника — 9% сахара. Подсчитайте, сколько сахара содержится в 80 г тех и других ягод, ответ округлите до единиц. 606. Пешеход за нарушение правил дорожного движения должен до определенного срока заплатить штраф 200 р. За каждый просроченный день сумма увеличивается на 2% от суммы штрафа. Сколько придется заплатить пешеходу, если он просрочит оплату на 5 дней? 607. а) Во сколько раз увеличилась стоимость товара, если она выросла на 50%? на 35%? на 27%? на 80%? на 150%? б) Во сколько раз уменьшилась стоимость товара, если его уценили на 90%? на 80%? на 50%? на 25%? 608. В школе 800 учащихся. В шестых классах учится 10% всех школьников, причем 45% из них — девочки. Сколько девочек и сколько мальчиков в шестых классах? 609. 610. 611. Из молока получается 22% сливок, из сливок получается 18% масла. Сколько масла получится из 10 кг молока? Общая площадь учебных кабинетов щколы 600 м^. Из них 25% отведено для начальных классов. Остальная площадь распределена между средними и старщими классами в отношении 3:2. Сколько квадратных метров занимают кабинеты начальных классов, средних и старших? В библиотеке 98 000 книг. Книги на русском языке составляют 78% всех книг, из них 5% — учебники. Остальные книги на русском языке — это художественная литература и справочники. Их отношение равно 5:2. Сколько в библиотеке справочников на русском языке? Решите задачу на нахождение величины по ее проценту (612—615). 612. Известно, что 4% некоторой суммы денег составляют 20 р. Сколько рублей приходится на 1%? Какова вся сумма? Ответьте на эти же вопросы, если 5% суммы составляет 400 р. 613. а) В коробке лежали лампочки, 4 из них разбились. Разбитые лампочки составляли 2% от числа всех лампочек. Сколько всего лампочек было в коробке? б) В школе 15 учеников учатся на «5». Это составляет 5% всех учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе? 614. Задание с выбором ответа. В первый час работы продавец продал 40 кг яблок. Это составило 16% от первоначального количества яблок. Сколько килограммов яблок было у продавца первоначально? А. 6.4 кг. Б. 640 кг. В. 25 кг. Г. 250 кг. 615. Найдите число, если: а) 3% его равны 60; в) 50% его равны 18; б) 17% его равны 340; г) 25% его равны 31. 616. 15% некоторого числа равны 12. Найдите: а) 5% этого числа; г) 50% этого числа; б) 3% этого числа; д) 45% этого числа; в) 30% этого числа; е) 100% этого числа. 617. 1) Разберите, как решена задача: Ковер, цена которого 9880 р., на распродаже стоил на 20% дешевле. Сколько примерно рублей можно сэкономить, если купить ковер на распродаже? Решение. 9880 р. — это почти 10 000 р., 20% — это от 10 000 — 10 000 618. 619. 620. это = 2000. Можно сэкономить примерно 2000 р. 2) Рассуждая так же, определите, сколько можно сэкономить, если купить на распродаже со скидкой 20% товар стоимостью 399 р.; 4890 р.; 19790 р. Перед Новым годом магазин снизил цены на товары на 25%. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если она была 799 р.? 1980 р.? 9880 р.? 11 890 р.? Округлите данные и найдите приближенно: а) 19% от 120 кг; в) 26% от 810 м; б) 52% от 697 р.; г) 21% от 1990 р.; На диаграмме (рис. 130) показа- д) 76% от 4012 км; е) 9% от 208 г. но, сколько процентов радиослушателей предпочитают те или иные передачи. В городе было опрошено 24 250 человек. Найдите приближенно: а) сколько человек из числа опрошенных слушают пьесы? б) на сколько больше горожан предпочитают музыкальные передачи новостям? Пьесы Новости Музыкальные передачи —I—I—I—I—I—I—I—I— 10 20 30 40 50 60 70 80% Рис. 130 Выражение отношения в процентах ■ Пример 1. Среди жителей села Дедово 350 человек имеют право участвовать в голосовании. На избирательный участок в день выборов пришли 189 человек. Какая часть избирателей села Дедово приняла участие в голосовании? Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем отношение 189 к 350. 189 27 Получим Но в такой форме ответ неудобен, поэтому пе- рейдем к десятичным дробям: 27 50 = 0,54. Для наглядности число избирателей принято выражать в про- 54 центах. Так как 0,54 = ^^, то голосовать пришло 54% избирателей. В ходе решения задачи мы перешли от десятичной дроби 0,54 к процентам: 0,54 — это 54%. Точно так же и другие десятичные дроби выражаются в процентах. Например: 48 0,48 — это 48%; действительно, 0,48 = -j^; 6 0,06 — это 6%; действительно, 0,06 = 1,25 — это 125%; действительно, 1,25 = 100’ 125 100' (Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам, нужно эту дробь умножить на 100. ■ Пример 2. Из 2150 телевизоров, выпущенных за месяц на заводе А, в первый же год потребовали ремонта 49 штук. А из 725 телевизоров, сделанных за месяц на заводе В, в первый год потребовал ремонта 31 телевизор. На каком заводе процент некачественных телевизоров выше? Так как в первом случае потребовали ремонта 49 телевизоров из 2150, а во втором — 31 из 725, то доли некачественных телевизоров выражаются отношениями 49 31 2150 и 725* Перейдем от обыкновенных дробей к десятичным, а затем к процентам: -i- i- M. 4 9 0 4 9,0 0 43Т0 0 _6.0 0.0 4 3 0 0 17 0i0 2 15 0 ГГ-1--Н—Ч- 0,0 2 2 L2X 3 10-_3 1 0 0, 29 0 0^ _2,0 0 0 14 5 0 5 5 0 72 5 0,0 4 2 —t—1- -i- -H 4—i-J J X ' Таким образом, 49 ^0,02 и 31 = 0,04. 2150 ’ 725 В первом случае доля телевизоров, потребовавших ремонта, оказалась примерно равной 0,02, т. е. 2%, а во втором — 0,04, т. е. 4%. Таким образом, на заводе В процент некачественных телевизоров выше. 621. Выразите в процентах: а) 0,24 учащихся школы; 0,38 учащихся школы; 0,76 учащихся школы; б) 0,3 учащихся школы; 0,5 учащихся школы; 0,9 учащихся школы. 622. В школе подсчитали, какая часть ее годового бюджета требуется на разные нужды. Результат показан в таблице. Покупка учебников 0,37 Покупка оборудования 0,6 Ремонт столов 0,08 Ремонт помещений 1,25 Покупка мебели 1.1 Выразите эти доли в процентах. Как вы думаете, какие школьные потребности могут быть за год выполнены? 623. Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах: а) бензином заполнили бака; б) ^ учащихся школы едут в школу на автобусе; , „ 6 в) масса сушеной вишни составляет массы свежей; г) магазин продал привезенного сахара. б) в) Рис. 131 624. 625. 626. 627. 628. 629. 630. 631. Сколько процентов площади прямоугольника закрашено (рис. 131)? Вася бросил мяч в баскетбольное кольцо 10 раз. Определите, какую часть составляет число попаданий от числа бросков, и выразите эту часть в процентах, если он попал: а) 1 раз; б) 2 раза; в) 4 раза; г) 6 раз. а) Из 500 радиослушателей, участвовавших в викторине, правильный ответ прислали 350. Найдите отношение числа радиослушателей, правильно ответивших на вопросы викторины, к числу ее участников. Сколько процентов радиослушателей правильно ответили на вопросы? б) В школе 1200 учащихся, из них 900 учащихся занимаются спортом. Найдите отношение числа спортсменов к числу учащихся школы. Сколько процентов учащихся занимаются спортом? а) В избирательном округе 25 000 избирателей. В голосовании приняли участие 13000 избирателей. Какой процент избирателей участвовал в голосовании? б) Из 30 000 жителей города 6900 — дети. Какой процент всего населения составляют дети? Контрольную работу по математике писали 150 шестиклассников: 18 из них получили за работу «5», 66 учеников — «4», 63 получили «3» и 3 ученика — «2». Вычислите в процентах, сколько учащихся выполнили работу на каждую из отметок. а) Акции фирмы в августе стоили 1000 р. В сентябре их стоимость повысилась на 30 р. Сколько процентов составляет 30 р. от первоначальной стоимости? На сколько процентов повысилась цена акции? б) Стоимость проезда в московском метро повысилась в 2000 г. на 1 р. На сколько процентов повысилась стоимость проезда в метро, если до этого она была 4 р.? а) Во время распродажи цена стола, который стоил 3000 р., была снижена на 600 р. Сколько процентов составляют 600 р. от первоначальной стоимости? На сколько процентов была снижена цена стола? б) Акции фирмы в январе стоили 50 р. В феврале их стоимость понизилась на 2 р. На сколько процентов понизилась цена акций? Выразите десятичную дробь приближенно в процентах, предварительно округлив ее до сотых: а) 0,843; б) 0,1391; в) 0,5016; г) 0,0449; д) 0,4666; е) 0,018. 632. Сколько примерно процентов составляет: 633. 634. г) семейного бюджета; Д) денежного вклада; е) TjY городского бюджета? а) учащихся школы; б) библиотечного фонда; в) Y населения Москвы; Указание. Замените обыкновенную дробь приближенно десятичной дробью с двумя знаками после запятой. Для каждого предложения в левом столбце подберите соответствующее предложение в правом: а) 33% жителей; 1) половина жителей; б) 25% жителей; 2) примерно треть жителей; в) 50% жителей; 3) примерно две трети жителей; г) 66% жителей; 4) четверть жителей. Задание с выбором ответа. Определите, какой примерно процент площади фигуры закрашен (рис. 132). A. 20% Б. 27% B. 48% A. 25% Б. 33% B. 66% A. 40% Б. 60% B. 90% A. 55% Б. 25% B. 45% 635. 636. Рис. 132 Не выполняя вычислений, определите, больше или меньше 50% получится, если выразить в процентах следующую дробь: 2. 4. 1 . 2. ^ _5_, 5’ 5’ 3’ 3' ■'^^12' а) е) ^2' Перед Новым годом разные магазины объявили разное снижение цен на один и тот же товар, который продавался по одной и той же цене. В каком магазине — А или В — выгоднее купить вещь, если: а) магазин А снизил цену на а магазин S — на 30%; б) магазин 4 — на а магазин В — на 25%; в) магазин А — на а магазин 6 — на 20%? D 637. На первом заводе из 1000 изделий 29 оказались бракованными, а на втором — из 2000 изделий 42. Найдите примерный процент брака на каждом заводе и определите, какой из двух заводов выпустил продукцию лучшего качества. 638. В городе А из 21 тыс. избирателей на выборы пришли 13 тыс., а в городе 6 из 19 тыс. избирателей в выборах участвовали 11 тыс. В каком городе избиратели активнее? 639. Из сорокалитровой канистры, наполненной бензином, отлили 8 л. Какую часть канистры составляет оставшийся в ней бензин? Выразите эту часть в процентах. 640. Боксер из 60 проведенных боев выиграл 54. Сколько процентов составляют проигранные им бои? 641. Смешали 160 г какао и 40 г сахара. Сколько процентов всей смеси составляет какао? Сколько процентов всей смеси составляет сахар? 642. В шестых классах 65 мальчиков и 55 девочек. Сколько примерно процентов от всех шестиклассников составляют мальчики? девочки? 643. В сентябре акция стоила 250 р., а в октябре ее цена понизилась до 200 р. На сколько процентов понизилась цена акции? 644. В 1999 г. дом был куплен за 40 тыс. р. В 2001 г. он стал стоить 60 тыс. р. На сколько процентов выросла цена дома? 645. В школьной библиотеке имеются книги и журналы. Отношение числа книг к числу журналов равно 4:1. а) Какую часть библиотечного фонда составляют журналы? Выразите эту часть в процентах. б) Сколько процентов библиотечного фонда составляют книги? Найдите ответ на этот вопрос разными способами. 646. Десятиклассники выбирали представителя в школьный совет. Голоса учащихся распределились между двумя кандидатами в отношении 5 = 4. Сколько примерно процентов учащихся проголосовали за победителя, сколько за проигравшего? (Ответ округлите до единиц.) Ф ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Бесконечное деление Вы знаете, что не всякую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. Например, нельзя представить в виде де- 7 сятичной дробь —. (Объясните почему.) Попробуйте разделить «уголком» числитель этой дроби на ее знаменатель и посмотрите, что при этом будет происходить. Начиная с некоторого шага, в остатке повторяется одно и то же число 4. Этот процесс никогда не за- кончится, а поэтому в частном будет бесконечно повторяться одна и та же цифра 3. Получим запись: 0,5833333333333333333333333... . Проведем еще один опыт. Рассмотрим 4 дробь Она также не обращается в десятичную. Разделим «уголком» ее числитель на знаменатель. Деление привело к бесконечному чередованию в остатке чисел 7 и 4, поэтому и в частном будут бесконечно повторяться, чередуясь, одни и те же цифры — 3 и 6. В результате получится запись: 0,36363636363636363636363636... . Такие выражения, как 0,583333... или 0,363636..., называют периодическими бесконечными дробями. В них периодически повторяется одна и та же цифра (или одна и та же группа цифр). И вообще если обыкновенная дробь не обращается в десятичную, то при делении «уголком» ее числителя на знаменатель получается бесконечная периодическая дробь. _7,0 L61Q. f2 11.0 0. -1 9_6!4 1 _4 о ; АЛ 0,5 8 3J3 3 .-Г Е .4 0 АЛ _4 ОГ АЛ --1 "1“ _4,0. 3 3 11 _7 о ЛЛ _4 3 0,3 6.3 6 -t- 7 0 '6 6 647. 648. 649. 650. 651. Разделите числитель на знаменатель «уголком» и убедитесь в том. что деление продолжится бесконечно. Назовите повторяющиеся остатки и пов- 1 5 11 теряющиеся цифры в частном: у; Представьте в виде бесконечной периодической дроби число а) С какого знака после запятой начинают повторяться цифры в частном? б) Какая цифра стоит на 12-м месте после запятой? на 20-м? на 100-м? Запишите какую-нибудь обыкновенную дробь, которая не обращается в десятичную. Выполните для нее такое же задание, как в упражнении 648. Запишите все правильные обыкновенные дроби со знаменателем 9. Выразите в виде периодической бесконечной дроби первые три числа из этого ряда. Не выполняя деления «уголком», выразите в виде периодической дроби остальные числа из этого ряда. Дробь у представляется в виде бесконечной периодической дроби следующим образом: у=0,142857142857... . Представьте все остальные правильные дроби со знаменателем 7 в виде бесконечной периодической дроби, выписав первые двенадцать знаков после запятой. 652. Выполните действия с периодическими бесконечными дробями и дайте ответ в виде обыкновенной дроби или натурального числа. Указание. Воспользуйтесь для этого результатами упражнения 650. а) б) + 0,010101... в) 0,777... 0,101010... 0,4444... 0,272727... 0,050505... г) 0,3333... ^0,6666... д) 0.4444...-9 е) 0,5555...-90 (2м Задания для самопроверки к главе 6 (Обязательные результаты обучения) 1. Отрезок АВ разделен точкой С на две части так, что AC=^2 см, ВС=6 см. АС ВС Найдите отношение: а) б) 2. В коробке находятся простые и цветные карандаши. Отношение числа простых карандашей к числу цветных равно 5:8. Какую часть числа цветных карандашей составляют простые? Во сколько раз цветных карандашей больше, чем простых? 3. Найдите отношение: а) 24 см к 4 дм; б) 1,2 кг к 300 г; в) 20 мин к 2 ч. 4. Занятия в школе длятся 5 ч. Время на уроки и перемены распределяется между ними в отношении 9:1. Сколько времени длятся уроки и сколько перемены? 5. Выразите десятичной дробью: а) 37%; б) 50%; в) 4%; г) 135%. 6. Найдите: а) 16% от 200 р.; б) 125% от 200 р. 7. Банк ежегодно начисляет 11% на вложенную сумму. Клиент открыл счет на 5000 р. Сколько денег будет на его счету через год? 8. В начале учебного года в школе училось 550 учеников. За год число учащихся школы уменьшилось на 8%. Сколько учащихся стало в школе? 9. Выразите в процентах: 3 4 3 б) 0,4 жителей России; г) -Jq избирателей округа 10. Сколько примерно процентов составляет: а) 0,67 жителей России; в) -г избирателей округа; ^ 3 а) учащихся класса; б) у учащихся класса. 11. Для выращивания рассады помидоров посадили 50 семян. Проросло 45 семян. Определите, какая часть семян проросла, и выразите ее в процентах. Осевая симметрия Слово «симметрия» греческого происхождения. Оно, как и слово «гармония», означает «соразмерность», «наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей». С давних времен люди использовали симметрию в архитектуре, предметах быта, орнаментах. Взгляните на снежинку, бабочку, морскую звезду, кристалл минерала (рис. 133) — это лишь некоторые примеры проявления симметрии в природе. Рис. 133 В математике рассматриваются различные виды симметрии. Познакомимся сначала с осевой симметрией. Возьмите лист бумаги. Проведите на нем какую-нибудь прямую и перегните лист по этой прямой. Проткните сложенный лист иглой (рис. 134). Развернув лист, вы увидите две точки, расположен- а) в) --FF».. Щшш- щщт штт Рис. 134 ные по разные стороны от этой прямой. Говорят, что эти точки симметричны относительно прямой — линии сгиба. Проведите через полученные точки прямую. С помощью инструментов вы можете убедиться, что эта прямая перпендикулярна линии сгиба, а точки находятся от нее на одинаковом расстоянии. Это — важное свойство симметричных точек. С его помощью можно строить точки, симметричные относительно некоторой прямой, и без перегибания листа бумаги. Пусть дана прямая I и точка М (рис. 135, а). Построим точку, симметричную точке М относительно I. Для этого: • проведем через точку М прямую, перпендикулярную I (рис. 135, б)-, • отметим на ней точку К, расположенную на таком же расстоянии от прямой I, что и точка М (рис. 135, в). Точка К симметрична точке М относительно прямой I. а) М в) М 3. к Рассмотрите рисунок 136: четырехугольники ABCD и симметричны относительно прямой к. Симметричные вершины обозначены одной и той же буквой, но с добавлением индекса — цифры, поставленной внизу. Обратите внимание: называя четырехугольник ABCD, вы «обходите» его по часовой стрелке, а симметричный ему четырехугольник A■^B^C^D^ — против часовой стрелки. Таким образом, осевая симметрия меняет направление обхода на противоположное. Если перегнуть рисунок 136 по прямой к, то четырехугольники и АВСD совпадут. Иными словами, эти четырехугольники равны. Если фигуры симметричны, то они равны. Аналогом осевой симметрии в пространстве является симметрия относительно плоскости — зеркальная симметрия. Отражение в воде — пример зеркальной симметрии в природе. С этой симметрией мы также постоянно встречаемся, глядя на себя в зеркало. Зеркальная симметрия, как и осевая, меняет ориентацию предмета. Если вы, стоя перед зеркалом, закружитесь по часовой стрелке, ваше отражение будет крутиться против часовой стрелки. Заметьте: все, что вы делаете правой рукой, ваше отражение делает левой и наоборот. Рис. 136 653. Перенесите рисунок 137 в тетрадь и постройте точки, симметричные точкам Л, Б и С относительно прямой к. 654. Мысленно перегните рисунок по проведенной прямой (рис. 138) и выясните, симметричны ли относительно этой прямой изображенные на нем фигуры. 1 1 ! ,л р в к Рис. 137 О 655. На рисунке 139 изображены два четырехугольника, симметричные относительно прямой k. Какая точка симметрична точке Л? точке А/? точке С? Какой отрезок симметричен отрезку AD? отрезку DS? отрезку CN? Какой угол симметричен углу CNM7 углу BAD7 углу BCD7 656. Перенесите рисунок 140 в тетрадь и постройте фигуры, симметричные данным относительно прямой к. Отметьте во внутренней области каждой фигуры какую-нибудь точку и постройте точку, ей симметричную. 657. Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно прямой т (рис. 141). 658. На нелинованной бумаге проведите произвольную прямую и обозначьте ее буквой т. а) Начертите отрезок, не пересекающий прямую т, и постройте отрезок, симметричный ему относительно прямой т. б) Начертите отрезок, пересекающий прямую т, и постройте отрезок, симметричный ему относительно прямой т. в) Начертите ломаную из двух звеньев, одна из вершин которой лежит на прямой т. Постройте ломаную, симметричную ей относительно прямой т. ' г) Начертите четырехугольник, одна из сторон которого лежит на прямой т, и постройте симметричный ему четырехугольник относительно прямой т. 659. Начертите окружность и постройте симметричную ей окружность относительно прямой, которая: а) не пересекает окружность: б) пересекает окружность, но не проходит через ее центр; в) проходит через центр окружности; г) является касательной к окружности. зеркало \\\\\\\\\\\ Рис. 142 660. Нарисуйте от руки фигуры, симметричные буквам русского алфавита относительно проведенных прямых (рис. 42). Какие буквы латинского алфавита вы получили? 661. Задание с выбором ответа. Как выглядит зеркальное отражение буквы У (рис. 143)? Проверьте себя, используя зеркало. 662. Мальчик изобразил рожицу и ее отражение в зеркале (рис. 144). Сколько ошибок вы можете найти в его рисунке? 663. Постройте прямую I относительно которой точки А и В симметричны (рис. 145). ' 664. Постройте прямую, относительно которой прямая т симметрична прямой п (рис. 146). Сколько таких прямых можно построить? а) б) А А В В а) б) т п т п Рис. 145 Рис. 146 665. 666. 667. Проведите прямую, симметричную прямой k относительно прямой I, если прямые k \л I. а) параллельны: б) пересекаются. Скопируйте рисунок 147 в тетрадь. Постройте точку в,, симметричную точке В относительно прямой т, а затем точку Sj, симметричную точке В, относительно прямой k. Выполните такие же построения для точки С. Квадрат разделен на 16 маленьких квадратов, один из которых окрашен (рис. 148). Будем считать, что эта краска не засыхает. Если большой квадрат перегнуть по одной из проведенных линий, окрашенная часть увеличится. Какое число перегибаний нужно сделать, чтобы окрасить весь квадрат? Рис. 147 668. Рис. 148 Задача-исследование. 1) Начертите треугольник АВС и проведите параллельные прямые k и т, не пересекающие этот треугольник. 2) Постройте треугольники, симметричные треугольнику АВС относительно прямой k и относительно прямой т. 3) Каково взаимное расположение соответствующих сторон двух новых треугольников? Ось симметрии фигуры а) б) в) Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой прямой, если при перегибании фигуры по этой прямой две части, на которые прямая разбивает фигуру, совпадают. Получить симметричную фигуру очень просто. Возьмите лист бумаги и сложите его пополам. Нарисуйте на нем какую-нибудь линию с концами на сгибе листа, как, например, на рисунке 149, а, разрежьте лист по этой линии (рис. 149, б) и разверните вырезанную фигуру (рис. 149, в). Фигура, которую вы получили, симметрична. Линия сгиба — это ось симметрии фигуры. Фигура может иметь и не одну ось симметрии (рис. 150). С другой стороны, далеко не у каждой фигуры есть ось симметрии. Таков, например, многоугольник, изображенный на рисунке 151. а) б) IB Рис. 150 Рис. 153 Многие известные вам фигуры симметричны. Например, у прямоугольника две оси симметрии. Есть ось симметрии и у равнобедренного треугольника. Перегните его так, чтобы совпали вершины при основании, линия сгиба и будет его осью симметрии (рис. 152). Ось симметрии разбивает равнобедренный треугольник на две равные части. Она делит пополам угол, противолежащий основанию, проходит через середину основания и перпендикулярна ему. Окружность, а также ограниченный ею круг — это «самые симметричные» фигуры на плоскости. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии (рис. 153). В пространстве сходным свойством обладает шар — он симметричен относительно любой плоскости, рассекающей его по большой окружности (рис. 154). Но если на плоскости только круг обладает таким интересным свойством, то в пространстве есть и другие тела, имеющие бесконечно много плоскостей симметрии. Из уже известных вам тел это цилиндр и конус (рис. 155). Рис. 156 Симметричными могут быть и многогранники. Например, у параллелепипеда три плоскости симметрии (рис. 156). Несмотря на всеобщий характер симметрии окружающего нас мира, в природе мы не встречаем примеров математически безупречной симметрии. Например, нетрудно указать плоскость, относительно которой человеческое тело можно считать симметричным. Но столь же легко всегда указать и отклонения от полной симметрии. Именно эти небольшие отклонения от нее — родинка, волосы, расчесанные на косой пробор, или какая-нибудь деталь в одежде — делают облик человека асимметричным. Симметрия и асимметрия тесно соседствуют друг с другом. Например, в начале шахматной партии расположение фигур одного цвета асимметрично из-за короля и королевы, в то же время расстановка черных фигур является зеркальным отражением расположения белых. 669. Является ли проведенная прямая осью симметрии фигуры (рис. 157)? Почему? 670. Среди фигур, изображенных на рисунке 158, найдите фигуры, имеющие оси симметрии. Перерисуйте их в тетрадь и проведите оси симметрии. 671. Нарисуйте какой-нибудь многоугольник, который; а) не имеет осей симметрии; б) имеет одну ось симметрии; в) имеет две оси симметрии. 672. Сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, изображенных на рисунке 159? 673. а) Возьмите прямоугольный лист бумаги и найдите оси симметрии этого прямоугольника путем перегибания. Начертите в тетради прямоугольник и проведите его оси симметрии. Является ли диагональ осью симметрии прямоугольника? б) г) в) е) Рис. 161 б) у квадрата четыре оси симметрии. Найдите их с помощью перегибания. Начертите в тетради квадрат и проведите его оси симметрии. 674. Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных треугольника со сторонами 3 см, 5 см и 5 см и со сторонами 7 см, 4 см и 4 см. В каждом треугольнике проведите ось симметрии. На каждом рисунке отметьте равные отрезки и равные углы. 675. Прямая ОР — ось симметрии треугольника КРМ (рис. 160). а) Назовите все равные элементы треугольников КОР и РОМ. Каков вид треугольников КРМ, КОР и РОМ? б) Длина стороны КМ равна 24 см, а периметр треугольника КРМ — 56 см. Найдите длины отрезков ОК и ОМ, длины сторон КР и РМ. в) Какова величина углов КОР и РОМ? Найдите угол РМО, если Z.PKO = 40°. 676. Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? Начертите в тетради равносторонний треугольник и проведите все его оси симметрии. 677. Сколько осей симметрии у снежинки (рис. 133)? у морской звезды? Сделайте в тетради схематические рисунки и покажите оси симметрии снежинки и морской звезды. 678. Прямые МР \л KN — оси симметрии прямоугольника ABCD (рис = 6 см, CN=4 см. Найдите: а) периметр прямоугольника ABCD\ б) периметр прямоугольника КВМО\ в) длину ломаной AKNC. 679. Какая фигура может получиться в сечении, если плоскостью симметрии рассечь: а) параллелепипед; б) цилиндр; в) конус? 680. На рисунке 162 изображена часть узора чувашской национальной вышивки и проведены две его оси симметрии. Восстановите узор. Есть ли еще оси симметрии у этого узора? 161), ВМ= 681. а) Какие буквы русского алфавита на рисунке 163 имеют одну ось симметрии? две оси симметрии? АБВГДЕЖЗИКЛМНОПР СТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ Рис. 163 б) Одно слово на рисунке 164 имеет горизонтальную ось симметрии, а другое — вертикальную. Составьте самостоятельно слово, обладающее горизонтальной симметрией, и слово, обладающее вертикальной симметрией. КОФЕ Н О т А Рис. 164 Рис. 165 Рис. 166 в) Прочтите слова, отраженные в зеркале (рис. 165). Одно из них читается легко, а другое нет. Составьте сами такие же слова г) Зеркало поможет вам догадаться, какое слово не дописано на рисунке 166. Может быть, вам удастся составить другое слово, обладающее таким же интересным свойством? 682. Прямая BD перпендикулярна отрезку АС и делит его пополам (рис. 167), АВ-Ъ см, AD = 3,5 см, 40 = 3 см. Найдите периметр: а) четырехугольника ABCD\ б) треугольника АВС. 683. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием, равным 6 см. Где расположены вершины этих треугольников? 684. Начертите отрезок АВ. Проведите через середину отрезка прямую, ему перпендикулярную. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник ACBD был симметричен относительно прямой АВ. Сколько всего осей симметрии у этого четырехугольника? При каком расположении точек С и D у четырехугольника будет 4 оси симметрии? \В 685. Сколько осей симметрии имеет фигура, изображенная на рисунке 168? Постройте эту фигуру и проведите все ее оси симметрии. 686. Перегибая лист бумаги, постройте равнобедренный треугольник. 687. На кальке отметьте точки А и Б. Перегибая ее, постройте квадрат со стороной АВ. 688. Задача-исследование. 1) Возьмите лист тонкой бумаги и перегните его дважды так, чтобы линии сгиба были перпендикулярны друг другу. Вырежьте из сложенного листа какую-нибудь фигуру (рис. 169) и разверните ее. Сколько у получившейся фигуры осей симметрии? 2) Возьмите другой лист бумаги, сложите его таким же образом, а затем перегните так, чтобы совместились стороны прямого угла. Снова вырежьте какую-нибудь фигуру. Сколько у нее осей симметрии? 3) Вырежьте третью фигуру, перегнув лист еще один раз. Сколько осей симметрии у третьей фигуры? Сколько осей симметрии будет у вырезанной фигуры, если вы перегнете лист 5 раз? 689. У параллелепипеда три плоскости симметрии (см. рис. 156). А сколько их у куба? Указание. Рассмотрите дополнительно плоскости, проходящие через диагонали противоположных граней. Центральная симметрия Еще одним видом симметрии является центральная симметрия. Отметим на листе бумаги точки О и А (рис. 170, а). Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг точки О (для этого поставим ножку циркуля в точку О). След, который оставляет точка А при повороте, — это дуга окружности (рис. 170, б). При повороте на 180° точка А перешла в диаметрально противоположную ей точку В. Точки А и В называют симметричными относительно точки О. Заметьте: если точки А и В симметричны относительно точки О, то точка О — середина отрезка АВ. На этом основан способ построения центрально-симметричных точек. б) Рис. 170 а) А б) О О ' в) О Рис. 171 Построим точку в, симметричную точке А относительно точки О (рис. 171, а). Для этого: • проведем прямую ОА (рис. 171, б); • по другую сторону от точки О отложим отрезок ОВ, равный отрезку ОА (рис. 171, в). Точка В симметрична точке А относительно точки О. Из рисунка 172 понятно, как построить треугольник А,В,С,, симметричный данному треугольнику АВС относительно точки О: достаточно построить точки, симметричные его вершинам. Вы знаете, что существуют фигуры, которые имеют ось симметрии, а некоторые и не одну. Но фигура может иметь и центр симметрии. Точка является центром симметрии фигуры, если при повороте вокруг этой точки на 180° фигура переходит сама в себя. Рассмотрите фигуру на рисунке 173. Точка О — ее центр симметрии. Чтобы убедиться в этом, наложите на рисунок кальку и прикрепите ее в точке О булавкой. Перенесите фигуру на кальку и поверните ее на 180°. Фигура на кальке совместится с фигурой на бумаге. Вы уже встречались с центрально-симметричными фигурами. Это прежде всего окружность (рис. 174, а), а также эллипс (рис. 174, б). Центр симметрии имеет и прямоугольник: это точка пересечения его диагоналей (рис. 174, в). Вы можете убедиться в этом, используя кальку. б) Рис. 173 Рис. 174 690. Отметьте на листе нелинованной бумаги точки О, А, В С. Постройте точки, симметричные точкам А, В, С относительно точки О. 691. Скопируйте рисунок 175 в тетрадь и постройте фигуру, симметричную дан- г) В с Г/ \ / \ / \ 0 А Рис. 175 692. На нелинованной бумаге начертите произвольный треугольник и постройте треугольник, симметричный ему относительно одной из его вершин. 693. Точка О — центр симметрии шестиугольника ABCDEK (рис. 176). Назовите точки, симметричные точкам А, В, С и К относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку АК? отрезку АО? отрезку ВС? треугольнику EOD? четырехугольнику ABCD? четырехугольнику АВСО? 694. Какая из фигур, изображенных на рисунке 177, имеет центр симметрии? оси симметрии? 695. Начертите в тетради прямоугольник и постройте его центр симметрии. На сторонах прямоугольника возьмите какие-нибудь три точки и постройте точки, симметричные им относительно центра симметрии. Ф Рис. 177 696. На рисунке 178 изображена часть фигуры, центром симметрии которой является точка М. Перенесите рисунок в тетрадь и достройте фигуру. 697. Перенесите фигуру (рис. 179) в тетрадь и найдите ее центр симметрии. 698. Задание с выбором ответа. Какая из букв латинского алфавита не имеет центра симметрии? 1) Н; 2) /; 3) К\ 4) N\ 5) X. 699. Какие из букв латинского алфавита, изображенных на рисунке 180, имеют и центр, и ось симметрии? 700. Центр куба — это точка пересечения его диагоналей (рис. 181). Назовите вершины куба, симметричные относительно его центра — точки О. ABCDEFG HIJKLM NOPQRST UVWXYZ Рис. 180 Г 701. Прямоугольник разрежьте по одной из его диагоналей. Из двух получившихся треугольников сложите различные фигуры, имеющие: а) ось симметрии; б) центр симметрии. Зарисуйте их в тетради. 702. Начертите фигуру со следующими свойствами: а) фигура имеет и центр, и ось симметрии; б) фигура имеет центр, но не имеет оси симметрии; в) фигура имеет ось, но не имеет центра симметрии. 703. Нарисуйте в тетради линзу — общую часть двух пересекающихся кругов равных радиусов. Есть ли у линзы оси симметрии и центр симметрии? а) б) Рис. 182 704. На рисунке 182 изображен квадрат 4x4 и часть ломаной линии, проходящей по сторонам клеток. Продолжите линию так, чтобы она разделила квадрат на две равные части. Придумайте другую ломаную, которая делила бы квадрат 4X4 на две равные части. 705. Через точку О требуется провести прямую, которая разбила бы данную фигуру на две равные части (рис. 183). Как это сделать? Указание. Обратите внимание, что фигура имеет центр симметрии. 706. Коля и Петя играют в игру. Они по очереди выкладывают одинаковые кубики на прямоугольный стол. Кто не сможет сделать очередной ход, проигрывает (кубики имеются в достаточном количестве). Коля только что изучал в школе законы центральной симметрии. Он говорит, что наверняка сможет выиграть, если будет ходить первым. Как вы думаете, прав ли Коля? Как он должен играть, чтобы наверняка выиграть у Пети? 0 ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Задача о пауке и мухе Представьте, что на согнутом листе бумаги с одной стороны от линии сгиба сидит муха (М), а с другой — паук (П) (рис. 184, а). Паук стремится как можно быстрее доползти до мухи. Значит, ему б) Рис. 184 Рис. 185 нужно выбрать кратчайший путь от точки П до точки М. Чтобы указать пауку кратчайший путь к его жертве, развернем лист и соединим точки П и М отрезком (рис. 184, б). Снова согнув лист, мы получим искомый путь. Понятно, что длина пути не зависит от того, согнут или развернут лист. Решение задачи не изменилось бы, даже если бы две половинки листа были «склеены» и паук при этом оказался на одной стороне листа, а муха — на другой (рис. 185, а). Пауку, чтобы добраться до мухи, надо доползти до края, а затем уже ползти по другой стороне листа. Как и в предыдущем случае, надо развернуть лист и соединить в этой плоскости точки П и М отрезком (рис. 185, б). 707. Паук и муха сидят на соседних гранях куба, ребро которого равно 4 см (рис. 186). Сделайте в тетради рисунок, который поможет вам найти кратчайший путь паука к мухе. Измерьте его и покажите этот путь на кубе. 708. Паук и муха сидят в противоположных вершинах куба, ребро которого равно 4 см (рис. 187). Сделайте в тетради рисунок, который поможет вам найти кратчайший путь паука к мухе. Покажите, что путь сначала по ребру куба, а затем по диагонали грани длиннее. Сколько существует вариантов движения паука к мухе кратчайшим путем? 709. Открытая коробка имеет форму куба. Паук сидит на внешней стороне грани, а муха — на внутренней стороне противоположной грани (рис. 188). Сделайте в тетради рисунок, который поможет найти кратчайший путь паука к мухе. Какие числа называют целыми До сих пор на уроках математики мы рассматривали натуральные и дробные числа. Однако в жизни вы уже наверняка встречались и с другими числами — отрицательными. В самом деле, из сообщения о погоде вы могли узнать, что температура воздуха была, например, —12°, а на географической карте увидеть отметку — 1733 м для глубины озера Байкал. Такие числа, «похожие» на натуральные, но со знаком «минус», нужны в тех случаях, когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях. Для выражения величины отрицательным числом вводят некоторую начальную, нулевую отметку — в наших примерах это температура замерзания воды (при нормальном атмосферном давлении) или уровень Мирового океана. И если значение величины ниже этой нулевой отметки, то ставят знак «минус» (рис. 189). Это обозначение очень удобно — иначе оно не могло бы войти в практику. В самом деле, в нашем языке существуют слова противоположных значений — антонимы, и вполне можно было бы говорить, например, что температура в Москве «от 1 градуса мороза до 1 градуса тепла». 500 400 300 200 100 о -100 -200 -300 Но удобно ли читалось бы это сообщение на экране телевизора? А как можно было бы обозначить на карте глубину озера или высоту горы? Конечно, из такого затруднения можно выйти, записывая, например, высоту и глубину цифрами разного цвета. Подобным образом поступали математики в древнем Китае, использовавшие для обозначения отрицательных чисел другой цвет. Однако в настоящее время обозначение отрицательных чисел с помощью знака «минус» принято во всем мире. Итак, наряду с натуральными числами 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ... мы будем рассматривать отрицательные числа, каждое из которых получается приписыванием к соответствующему натуральному числу знака «минус»: -1, -2, -3, -4, ..., -100, ..., -1000, ... . Натуральное число и соответствующее ему отрицательное число называют противоположными числами. Например, числа 15 и —15 являются противоположными. Можно сказать также, что число -15 противоположно числу 15, а число 15 противоположно числу —15. Число 0 считается противоположным самому себе. С помощью знака «минус», как мы видели, записывается число, противоположное натуральному. Этот знак мы будем использовать и для обозначения числа, противоположного отрицательному. Например, число, противоположное — 15, записывается так: — (—15). Но число, противоположное —15, — это 15, т. е. -(-15) = 15. Точно так же -(-7) = 7, -(-109) = 109. Вообще число, противоположное числу п, обозначают — п. Если п = 25, то — п = -25; если п = —40, то — л = — (—40) = 40; если л = 0, то — п = 0. Обратите внимание: для того чтобы записать число, противопо- ложное отрицательному, мы заключаем это отрицательное число в скобки. Такие выражения, как —15, смысла не имеют. Натуральные числа, противоположные им отрицательные чис- Л ла и число о называют целыми числами. Все эти числа вместе составляют множество целых чисел.________________ ! Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами, т. е. слова «натуральное число» и «положительное целое число» означают одно и то же. Перед положительными числами, для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от отрицательных, иногда ставится знак «плюс». Например, -1-5 — это то же самое число, что и 5, т. е. -1-5 = 5. Поэтому о двух целых числах можно сказать, что это числа одного знака, если они оба положительны или оба отрицательны. В противном случае, если одно положительно, а другое отрицательно, говорят, что это числа разных знаков. О противоположных числах говорят, что они отличаются только знаками. Число О занимает, как всегда, особое положение: оно не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам, а как бы разделяет их. 710. Приведите чисел. 711. 712. примеры использования положительных и отрицательных -ьбООО -1- Эльбрус 713. 714. Запишите с помощью знаков «-1-» и «-» сообщения службы погоды: а) 20 градусов тепла; б) 3 градуса мороза; в) 20 градусов мороза; г) 12 градусов тепла. Изобразите в тетради шкалу термометра (рис. 190). Отметьте на ней данные погоды на 10 января: Париж +1 °С, Лондон +3°С, Берлин -9°С, Рим +6°С, Варшава -12°С, Москва -10°С, Новосибирск - 14°С. Найдите по шкале высоты гор и глубины морей (рис. 191). Бросают белый и черный кубики. Белый кубик показывает число выигрышных очков, черный — число проигрышных. Будем выигрышные очки записывать со знаком «-н», а проигрышные — со знаком «-». Запишите с помощью этих знаков результаты бросаний: +7 +6 +5 +4 -1-3 +2 Ч-1 Париж о -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -101 -11 -12 -13 -14 -15 Рис. 190 -1-5000 - - -1-4000 -■ -ТЗООО -t-2000 -• -ыооо -■ 0-- -1000 -2000 ■- -3000 - -4000 - -5000 -- . Монблан . Этна ■ Олимп ■ Везувий Каспийское море Черное море Красное море ' Японское море Рис. 191 а) белый кубик — 3 очка, черный кубик — 1 очко; б) белый кубик — 6 очков, черный кубик — 6 очков; в) белый кубик — 1 очко, черный кубик — 4 очка. 715. На чемпионате мира по футболу результаты команд сравнивают по разнице забитых и пропущенных мячей. а) Объясните, что означают следующие данные: Команда Разница забитых и пропущенных мячей Бразилия + 7 Россия + 1 Польша -2 Камерун -4 б) Заполните последний столбик таблицы: Команда Число забитых мячей Число пропущенных мячей Разница забитых и пропущенных мячей Швейцария 5 2 Испания 3 3 Боливия 0 1 Колумбия 2 5 в) После проведенных матчей (см. пункт «б») каждая команда сыграла еще по одному матчу со следующими результатами: Команды Счет Швейцария:Колумбия 0:2 Испания:Боливия 3:1 Используя данные предыдущей таблицы, подсчитайте, какой стала разница забитых и пропущенных мячей у каждой из команд. 716. Назовите число, противоположное данному: а) +5\ -2; +4; -21; +18; -32; +11; -7; -15; 0; +10; б) -3; 1; -7; 0; 24; -1000; 73; 203; -330; 330. ' Дорофеев, 6 кл. 717. Заполните таблицу. Число Противоположное число + 4 -(+4) = -4 -3 -(-3) = 3 +1 -5 -100 + 1800 718. Запишите без скобок: а) -(+11); б) -(+9); в) -(-7); г) -(-10); д)-(+15); е) -(-20). 719. а) Дано положительное число. Положительным или отрицательным является противоположное ему число? б) Дано отрицательное число. Положительным или отрицательным является противоположное ему число? 720. Дано число п. Назовите число - л, если л = +15; -1; -100; 0. ___ 721. а) Коллекционер купил пять картин по цене 300 р., 1600 р., 1200 р., 2500 р. и 300 р. Потом он их продал соответственно за 350 р., 1500 р., 1000 р., 2700 р. и 250 р. Определите, какой доход или убыток получил он от продажи каждой картины. Запишите ответ, используя знаки «+» (доход) и «-» (убыток). б) Подводная лодка сначала плыла на глубине 400 м, потом опустилась на 200 м глубже, а затем поднялась на 300 м. На какой глубине находится подводная лодка? Запишите ответ с помощью знака «-». 722. Вставьте нужное слово: а) если а — положительное число, то -а ..... число; б) если Ь — отрицательное число, то -Ь ..... число. Для каждого случая приведите числовой пример. 723. Какое число надо записать в скобках, чтобы получилось верное равенство: а) -(...) = -11; б)-(...) = 11; в) -(...) = 86; г) -(...) = -71? 724. Запишите число, равное данному: а) -(-(+1)); д) -(-(-(...(-(+3))...); б) -(-(-2)); в) -(-(-(+8))); г) -(-(-(-5))); 10 знаков «-» е) -(-(-(...(-(+3))...). 15 знаков «-» Сравнение целых чисел Целые числа, так же как и натуральные, можно сравнивать между собой. Вспомним, что из двух натуральных чисел большим считается то, которое при счете появляется позже, и меньшим — то, которое появляется раньше. Так, 10 <14, 60 <85, 248 <500. Натуральные числа мы записывали в виде последовательности в том порядке, в котором они появляются при счете: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Двигаясь по ряду натуральных чисел вправо, мы переходим от меньшего числа к большему, а двигаясь влево — от большего числа к меньшему. Поэтому в натуральном ряду запятые можно заменить на знак «меньше»: 1<2<3<4<5 ... . В натуральном ряду есть начало — число 1, но нет конца: мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко, до бесконечности. Целые числа также можно расположить в «ряд», но он не будет иметь ни начгша, ни конца, продолжаясь бесконечно в обе стороны: ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, о, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . Естественно старое правило сравнения чисел распространить на новые числа: Из двух целых чисел больше то, которое в «ряду» целых чисел стоит правее, и меньше то, которое стоит левее. Поэтому здесь мы также можем заменить запятые на знак «меньше»: ... -4<-3<-2<-K0—104. 6* —(Т§) ■ Пример 2. Сравним числа —1000 и —989. Сначала сравним противоположные им натуральные числа 1000 и 989. Число 1000 позже появляется при счете; в «ряду» целых чисел оно расположено правее числа 989: ..., 1, 2, 3, ..., 989, ..., 1000, ... . Это означает, что 1000 >989. Тогда при «обратном счете» позже появится число —1000; оно расположено левее числа —989. ..., -1000, ..., -989, ..., -1, о, 1, ..., 989, ..., 1000, ... . Отсюда ясно, что -1000 <-989. 725. Назовите по порядку целые числа: а) от -5 до 5; в) от -10 до 0; 726. б) от -7 до 3; г) от -15 до -9; Д) от е) от ■40 до -25; ■100 до - 90. Укажите, какое из чисел ближе к 0: а) 10 или 100; в) -10 или 2; б) -10 или -100; г) -2 или 10; д) 7 или —7; е) -4 или 4. 727. Между какими двумя последовательными целыми числами находится данное число? Ответ запишите в виде двойного неравенства (например, -3<-2<-1). а) 3; б) 0; в) -5; г) -1; д) -100; е) -253. 728. Сравните целые числа: а) 3 и -8; в) -1 и -10; д) 4 и 0; б) -8 и 8; г) -6 и 0; е) -9 и -2. 729. а) Какое из двух целых чисел больше: положительное или отрицательное? положительное или 0? отрицательное или 0? б) Какое из двух целых чисел меньше: положительное или 0? отрицательное или о? положительное или отрицательное? 730. Сравните числа: а) -1000 и 253; в) 351 и -351; д) -2 и 200; б) -200 и -150; г) -101 и -102; е) -310 и -1003. 731. Назовите какие-нибудь пять целых чисел: а) меньшие 0; б) большие 0; в) меньшие 2; г) большие -7. 732. Запишите сначала от меньшего к большему, а потом от большего к меньшему последовательность целых чисел, заключенных между: а) -7 и 2; б) -15 и -5; в) -3 и 3; г) -20 и -10. 733. Запишите все отрицательные целые числа, которые: а) больше -8; б) больше -12, но меньше -9; в) меньше 3, но больше —11. 734. Какие целые числа можно подставить вместо буквы а, чтобы получилось верное неравенство: а) -1<а<3; б) -7<а<7; в) -20<а<-10; г) -105<а<-96? 735. а) Запишите данные числа в порядке возрастания (от меньшего к большему): 0; 2; -2; -15; 1; -40; 5. б) Запишите данные числа в порядке убывания (от большего к меньшему): 10; -1; 0; 2; -4; -10; -20. 736. Сравните сначала данные числа, а затем числа, им противоположные: а) 10 и 15; в) -12 и -1; д) 23 и 5; б) -6 и -8; г) 4 и -5; е) 100 и -50. 737. Выполните задание и проиллюстрируйте каждый случай конкретным примером. а) Известно, что а и 6 — положительные целые числа, причем а<Ь. Сравните -а и -Ь. б) Известно, что а м Ь — отрицательные целые числа, причем а<Ь. Сравните -а и -Ь. в) Известно, что а и 6 — целые числа разных знаков, причем а<Ь. Сравните -о и -Ь. Сложение целых чисел Чтобы понять, по каким правилам складывают целые числа, рассмотрим «денежные» примеры — с доходами и расходами. При этом расход будем считать «отрицательным доходом», а израсходованные суммы денег обозначать отрицательными числами. Сначала рассмотрим сложение чисел одного знака. Положительные целые числа, т. е. натуральные числа, мы складывать умеем. Например: (+9) + (+11) = + 20. Из примера с подсчетом денег легко понять, как складываются отрицательные числа. Если человек израсходовал сначала 4 тыс. р., а затем еще 5 тыс. р., то общий расход составил 9 тыс. р. Поэтому естественно считать, что (-4) + (-5) = -9. Величину расхода мы определили сложением чисел 4 и 5: 4 + 5 = 9. Из приведенных примеров видно, что сумма двух положительных чисел положительна, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна. А как складывать числа разных знаков! Ясно, что если человек получил денег больше, чем потратил, то его доход окажется положительным. Например, если он получил 5 тыс. р. и потратил 3 тыс. р., то его доход составил 2 тыс. р. (+5) + (-3) = + 2. Величину дохода в этом случае мы нашли вычитанием: 5-3 = 2. Если же человек получил денег меньше, чем потратил, то его доход выражается отрицательным числом. Например, при доходе 4 тыс. р. и расходе 7 тыс. р. получится убыток, равный 3 тыс. р. Поэтому (-7) + (+4) = -3. Величину убытка мы также нашли вычитанием: 7 — 4 = 3. Из приведенных примеров видно, что сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным числом, так и отрицательным; знак суммы зависит от того, какое слагаемое «перевесило» — положительное или отрицательное. Итак, при сложении целых чисел мы работаем в действительности только с соответствующими натуральными числами. Но в одних случаях (когда слагаемые одного знака) мы эти натуральные числа складываем, а в других случаях (когда слагаемые разных знаков) из большего натурального числа вычитаем меньшее. Представим теперь, что доход и расход были одинаковы, например по 10 тыс. р. Очевидно, что в этом случае прибыль равна нулю. Поэтому (+10) + (—10) = 0. Вообще, сумма противоположных чисел равна 0: л + (—га) = 0. Наконец, правило сложения целого числа с нулем такое же, как и для натуральных чисел: л + 0 = 0 +л = п. Например, (—43) + 0 = —43, 0 + (—18) = —18. Заметим, что действие сложения целых чисел, как и действие сложения натуральных чисел, обладает переместительным и сочетательным свойствами. Эти свойства позволяют переставлять слагаемые и объединять их в группы, что часто помогает упрощать вычисления. Например, (- 6) + 10 + (- 4) = ((- 6) -I- (- 4)) + 10 = (- 10) +10 = 0. ЕГ запишите результат с помо- 738. Подсчитайте итоги денежных операций и щью положительных и отрицательных чисел: а) доход 5 тыс. р. и расход 9 тыс. р.; б) расход 12 тыс. р. и доход 3 тыс. р.; в) доход 6 тыс. р. и расход 2 тыс. р.; г) расход 8 тыс. р. и расход 10 тыс. р.; д) доход 7 тыс. р. и расход 7 тыс. р. 739. Бросают одновременно два белых и два черных кубика (белые кубики — выигрыш, черные — проигрыш). Запишите с помощью положительных и отрицательных чисел общий результат, выпавший на четырех кубиках, если: а) на белых кубиках выпало 12 очков, а на черных — 2 очка; б) на белых — 3 очка, а на черных — 8 очков; в) на белых — 9 очков, а на черных — 3 очка; г) на белых — 7 очков, а на черных — 11 очков. 740. Найдите сумму (представьте, что вы подсчитываете доходы и расходы): а)(+1) + (+3), б) (+4) + (-3), в) (+1) + (-5), (-4)+(-1), (+5) + [-2), (+4) + (-6), (-3) + (-3); (+3) + (-3); (+2) + (-3). 741. Определите знак суммы и выполните сложение: а) (-10) + (+11); б) (-7) +(-6); д) (+20)+ (-21); е) (-100)+ (-150). д) (+3) + (-5); е) (-3) + (+4). в) (-12) + (+3); г) (-15) + (+18); 742. Выполните сложение: а) (-4) + (-2); в) (-11) + (-20); б) (+1) + (-6); г) (-6) + (+2); 743. Чему равна сумма: а) (+8) + (-8); б) (-10) + (+10); в) (-100) + (+100)? 744. Выполните сложение: а) (+13) + (+1) + (-1); г) 0 + (-11) + (+11); б) (+20) + (-20) + (+1); д) (+12) + (-6) + (-12); в) (-35) +(+35) +(+8); е) (-7) + (-15) + (+15). 745. Запишите и вычислите сумму чисел: а) -7, -13 и -22; в) -6, -19 и 0; 747. 748. 749. 750. 751. б) -5. -12 и -17; 13, -17 и -30. 746. Представьте в виде суммы двух отрицательных слагаемых число: а) -10; б) -23; в) -99; г) -101. Выполните сложение: а) (+6) + (-7); д) (-7) + (+7); б) (-5)+ (+14); е) (+9)+ (-14); в) (-1) + (+8); ж) (-8) + (+11); г) (-20) + (+13); 3) (+17) + (-9); и) (-22) + (+22): к) (+8) + (-13); л) (-7) + (+9); м) (-20) + (+4). Представьте в виде суммы двух слагаемых разных знаков: а) -8; б) +8; в) -25; г) 0. Сложите числа: а) -3, +8, +7 и -4; б) +15, -5, 0, -12 и +7. Вычислите: а) (-1000)+ (+10); б) (+200) +(-2); в) (-1 1) + (+1100); д) г) (+33)+ (-3300); е) (-350)+ (-350); (-2000)+ (-1999). Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают: положительные числа записывают без знака «+», а отрицательное число, которое стоит в начале выражения, записывают без скобок. Например, (-20) + (+4) = -20 + 4. Опустите скобки и знак «+» там, где это возможно: а) (+7) + (-10); в) (-5) + (+12); д) (+3) + (-1) + (-15); б) (-8) + (-11); г) (+6) + (+18); е) (-8) + (+12) + (-4). 752. Замените сумму равной ей суммой, поменяв местами слагаемые: а) 7 + (-3) = б) -4 + (-2) = 753. Найдите сумму: а) -5 + (-10); б) -3 + (-4); в) -20 +(-6); 754. Вычислите: а) -9 + 12 + (-8); б) 10 + (-7) + (-6); в) -5 + (-6) + (-9); 755. Заполните таблицу. в) -10 + 5 = г) 6 + (-7) = г) -15+ (-20); д) 1+(-1); е) 26 +(-6); Д) -9 + 12 = е) -1+8 = ж) 100+ (-200); з) 80+ (-20); и) -8 + 8; к) -150+ 100; л) -36 + 20; м) -78 + 180. г) -10 + (-19)+10; д) 25 + (-3)+17; е) 9 + (-15)+ 14; ж) 8 + (-17)+17; з) -20 +(-4)+ 9; и) 25+14+(-19). а -3 -10 -10 10 7 0 Ь -2 -20 9 -9 -7 -4 а + Ь 756. Вставьте пропущенное слагаемое: а) 8 + ... = 5; г) (-1) + ... = -1; б) 15 + ... = 0; д) (-10) + ...= -5; в) (-4) + ... = -6; е) 7 + ... = -2; ж) 3 + ... = -3; з) (-2) + ... = -12; и) О +... = — 6. 757. Найдите сумму: а) (-2) + (-4) + (-6) + 4 + 3 + 5; б) (-5) + (-4) + (-3)+15+14+13; в) 1 +(-2)+3 + (-4) + 5 + (-6): г) 20 + (-18)+16 + (-14)+12 + (-10). 758. Дана сумма: -2 +(-4)+ 7. Запишите все возможные суммы, которые можно получить из данной перестановкой слагаемых. Чему равно значение каждого из выражений? 759. Найдите значение выражения: а) -(-8) + 3; в) -(-10) + (-6); б) -(12 + (-1)); г)-((-3) + 1): 760. Сравните значения выражений: а) -(3+8) и (-3)+(-8): б) -(6+1) и (-6)+(-1); в) -((-10)+(-5)) и 10+5. 761. Заполните таблицу. Сделайте вывод. д) -((-20)+ (-10)); е) -(-(6 + 4)). а Ь а + Ь -(а + Ь) (-а) + (-Ь) 20 15 -20 -15 -20 15 20 -15 762. Подставьте в сумму а + Ь + с вместо букв указанные числа и выполните вычисления: а) а=17, Ь = -23, с = -9; в) а = 25, fe = -19, с = 50; б) а = -33, b = -^8, с = 26; г) а = -12, Ь = -20, с = -19. Образец. а) а + 6 + с= 17 + (-23) + (-9) = ... . 763. Найдите сумму всех целых чисел: а) от -100 до 100; в) от -70 до 50; б) от -100 до 150; г) от -150 до 70. Вычитание целых чисел Вспомним, что разностью чисел а и Ь называют такое число с, которое при сложении с числом Ь дает число а. Это определение разности мы распространим и на целые числа. Например, 2-7- —5, так как (—5) +7 = 2, Итак, разность 2 — 7 равна -5. Но и сумма 2 +(—7) равна —5. Таким образом, 2-7 = 2 + (-7). Точно так же 5-(-3) = 5 + (+3), (-14)-(+6) = (-14) + (-6), 0-(-7) = 0 + (+7). Вообще, вычитание всегда можно свести к сложению. Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. С помощью букв это правило записывается так: а-Ь = а + {-Ь). Пример 1. Найдем разность (—12)-24: (- 12) - 24 = (- 12) -Ь (- 24) = - 36. ■ Пример 2. Найдем разность 12 — (-24): 12 - (- 24) = 12 + (-1- 24) = 36. Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от множества натуральных чисел. В множестве натуральных чисел сложить можно любые два числа, но вычесть одно число из другого можно не всегда. Так, нельзя из числа 3 вычесть 5. Благодаря введению отрицательных чисел мы получили возможность вычитать из меньшего числа большее. И в множестве целых чисел действие вычитания выполнимо всегда. Можно сказать, что арифметика целых чисел «богаче» арифметики натуральных чисел (с целыми числами мы можем обращаться более свободно, чем с натуральными). Заметим, что в том же смысле арифметика дробных чисел «богаче» арифметики натуральных чисел: одно дробное число всегда можно разделить на другое (не равное 0), а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда. Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения «длинных» выражений, составленных из целых чисел с помощью знаков «плюс» и «минус». ■ Пример 3. Найдем значение выражения 28 —37 —13-(-26. Представим данное выражение в виде суммы: 28+ (-37)+ (-13)+ 26. Эту сумму можно вычислить, складывая числа последовательно: 28 + (- 37) + (- 13) + 26 = - 9 + (- 13) + 26 = - 22 + 26 = 4. Но можно воспользоваться и другим приемом — сложить по отдельности положительные и отрицательные слагаемые, а затем найти сумму двух получившихся чисел: 28 + (- 37) + (-13) + 26 = 28^26 + (- 37) + (- 13) = 54 + (- 50) = 4. Кстати, именно так обычно поступают, подводя итоги денежных операций: подсчитывают отдельно доходы и расходы, а затем находят общий результат. 764. Замените вычитание сложением и вычислите: а) (-D-8 765. Вычислите а) -10-20 б) -4-5; б) (-3)-14; в) (-5)-2; г)(-12)-10. в) -12-10; г) -60-1; Д) -1-100; е) -5-0; ж) -11-11; з) -25-75. 766. Замените вычитание сложением и вычислите: в) -17-(-2); г) З-(-З). в) 46-(-6); г) -30-(-30); а) 4-(-7); б) -7-(-9); 767. Вычислите: а) 18-(-5); б) -21-(-20); 768. Выполните вычитание: а) 7-7; в) 3-5; б) 2-8; г) 1-10; 769. Найдите разность: а) 100-200; в) 91-100; б) 20-26; г) 1-100; 770. Вставьте пропущенное число: а) О-... = -4; в) ...-3 = -2; б) 2-... = -6; г) ...-10 = -9 Д) 0-11; е) 10-12; д) 15-(-20); е) -50-(-5); ж) 0-3; з) 4-7. ж) 23-(-28); з) -31 -(-62). д) 20-720; е) 90-180; ж) 44-54; з) 1000-1001. 771. Заполните таблицу. а 12 7 0 -4 -10 -8 -3 0 Ъ 20 15 3 2 14 -4 -1 -6 а-Ь 774. 775. 776. 777. 778. 779. 780. 772. Поставьте вместо многоточия знак «=» или « Ф »: а) -3-2...-3 + (-2); в) 0-(-1)... 0+1; б) - 6 - 10... - 6 - (- 10); г) -15-(-2)...-15 +(-2). 773. Выполните действия: а) -7 + 4; б) -20-20: Вычислите: а) -256+181; б) -352-204; в) 725-831; в) 12-14; г) 20-(-16): Д) е) -3 + (-30): -4-(-11); ж) 15 + (-16): з) 20 +(-7). ж) 186+ (-235); з) 194 + (-158); и) 789-1000. г) 154-(-138); д) -206+ (-456); е) -315-(-827); Найдите неизвестное слагаемое: а) -2 + х=18; в) -9 + л: = -5; б) лг + 4 = -1; г) -3 + лг = -10. Найдите неизвестное уменьшаемое или неизвестное вычитаемое: а) 5-x=10; в) -5-х = — 3', д) -7-х = 4; б) х-6 = -11; г) х-{-4) = 0; е) л:-(-2)=1. Вычислите: а) (-14) + (-7) + (+30): в) (-7) + (+12) + (-6): б) (-3) + (-18) + (+4): г) (-1) + (-4) + (+8). Представьте выражение в виде суммы и выполните вычисления: а) 18-12-26; г) 30-35 + 6; б) -13-8+12; д) -1+2-3; в) -4 + 3-10; е) 15-25 + 20; Найдите значение выражения: а) -14-7 + 9; в) 5-13 + 6; д) б) 7-12-8; г) 24-31-9; е) Найдите значение выражения: а) 20 + (-15)-(-6); в) -3+12-(-22); б) 10-20-(-40); г) -7-(-7) + (-29) ж) 5 + 6-17; з) -2-4 + 3. -7-3-11; -4 + 4 + 8; ж) -3-6+10; з) -5 + 5-0. 781. Составьте из чисел -12, -20, 4 все возможные суммы, содержащие два слагаемых, а также все возможные разности. Найдите значение каждого выражения. 782. Вычислите: а) 26-(18 + 7»; б) -84-(-18-6): в) (3-23)-(4-10): г) (-8+15)-(-6-20). 783. 1) Поменяем местами левую и правую части в равенстве 14-7-9= 14 + (-7) + (-9), получим 14 + (-7) + (-9)= 14-7-9. Отсюда видно, что сумму 14+ (-?) +(-9) можно представить в более простом виде, выписывая слагаемые одно за другим с их знаками. В этой записи нет скобок и промежуточных знаков сложения. 2) Замените выражение равным, не содержащим скобок; а) -3 + (-8); в) -5-(-17) + 4 + (-3); б) -2-(-4); г) 4-(-1)-(-2) + (-3)-8. Образец. 5-(+2) + (-3) = 5-ь(-2)-1-(-3) = 5-2-3. 784. Не записывая выражение в виде суммы явно, перечислите входящие в эту сумму слагаемые: а) -1-14-1-32-МО; в) 18-30-31 -34; б) -12-Н41 -27-20; г) -101-102-103-104. 785. Вычислите, сложив отдельно положительные и отрицательные числа: а) -5-3-1-6-8-ь4; д) 17-19-50-1-21-г37; б) 1-2-<-5-7-11: е) -ЗИ-42-М4-12-60: в) 7-4-9-г 8-6; ж) 10-1-i-8-f4-25; г) 4-8-1-3-9-гб; з) - 12-2-1-35-41 -25. Образец. Найдем значение выражения -28-^17 — 16-1-13. 1) 174-13 = 30; 2) -28-16 = -44; 3) 30-44 = -14. 786. Вычислите: ^ а) 14-23-37 4-234-56-13; в) -5'^ - 18-2^1-11 4-5\-г^-14; б) 12-27 4-94-27-49-124-38; г) 4'б4-^-1^^-^-^4-Ц-100. 787. Запишите равенство, применив переместительный закон сложения: -84-15 = ... 10-15 = ... -6-20 = ... 788. Рассматривая выражение 10-15 4-20 как сумму, переставьте слагаемые в этой сумме всеми возможными способами. 789. Заполните таблицу и сделайте вывод. а Ь а-Ъ Ь~а 20 7 -15 8 30 -9 -10 -6 790. Задание с выбором ответа. Значение какого выражения противоположно значению выражения: 380-470? А. 470 + 380. Б. -470-380. В, 470-380. Г. -470 + 380. 791. Подставьте в выражение а + Ь-с указанные числа и выполните вычисления: а) а = —3, 6 = —15, с = — 27', в) а = —65, 6=15, с = —50; б) а = -34, 6 = -24, с = -56; г) а = -99, 6=100, с=10. Образец, а) а + 6-с = (-3) + (-15)-(-27) = ... . 792. Известно, что а = -100, 6=180, с = -125. Найдите: а) а —6 +с; в) а + 6 + с; б) а-6-с; г) -а-6 + с. 793. Найдите неизвестное число: а) (-28)-л: = -13: в) (-x)-5 = 8; б) (-1)-л: = 24; г) -36 + (-л:) = 0. Умножение целых чисел Чтобы понять, как перемножают целые числа, проведем несложные рассуждения. Рассмотрим четыре произведения: 5-3, (-5)-3, 3-(-5), (-5)-(-3). Для натуральных чисел умножение сводится к сложению, поэтому произведение 5*3 — это сумма трех слагаемых, каждое из которых равно 5: 5-3 = 5 +5-Ь 5 = 15. Произведением (— 5) • 3 естественно считать сумму трех слагаемых, каждое из которых равно - 5. Так как (— 5) -Ь (— 5) -Ь (— 5) = = — 15, то (-5)-3 = -15. Понятно, что произведение 3*(~5), которое получается из произведения (— 5) • 3 перестановкой множителей, тоже должно быть равно —15: 3-(-5) = -15. Остается сообразить, как перемножить отрицательные числа — 5 и — 3. Еще в XVIII веке великий русский ученый, математик и механик Леонард Эйлер в своем учебном пособии «Универсаль- ная арифметика» объяснял правило умножения отрицательных чисел примерно следующим образом. Ясно, что (— 5) • 3 = — 15. Поэтому произведение (—5)*(-3) не может быть равно —15. Однако оно должно быть как-то связано с числом 15. Остается одна возможность: (-5)-(-3)=15. Итак, Вообще, 5-3 = 15 и 3-(-5) = -15 и (-5)-(-3) = 15; 5-(-3) = -15. произведение двух чисел одного знака положительно, а произведение двух чисел разных знаков отрицательно. Коротко правила знаков при умножении формулируют так: плюс на минус дает минус, минус на минус дает плюс. Числа О и 1 при умножении сохраняют свои старые свойства, которые имели место для натуральных чисел: п-0 = 0 и п‘1 = п. Например: (-4)-0 = 0, 0-(-100) = 0, (-26)-1 = -2б, 1-(-10) = -10. Особую роль при умножении целых чисел играет также число — 1: при умножении на —1 число заменяется на противоположное. Например: 12-(-1) = -12, (-12)-(-1)=12. Вообще, п-(—1) = —п. Умножение целых чисел обладает теми же свойствами, что и умножение натуральных, — переместительным и сочетательным. Справедливо также распределительное свойство. Заметим, что распределительное свойство выполняется именно потому, что для умножения мы приняли указанные выше правила знаков, в частности правило «минус на минус дает плюс». Поэтому, «придумывая» правило умножения отрицательных чисел, можно было бы рассуждать следующим образом. Попробуем ответить на вопрос: чему должно быть равно произведение (—5)-(—3), чтобы выполнялось распределительное свойство? Если это свойство выполняется, то (- 5) • ((- 3) + 3) = (- 5) • (- 3) + (- 5) • 3 = (- 5) • (- 3) + (- 15). с другой стороны, (-5)*((-3) + 3) = (-5)-0 = 0, так что (-5)-(-3) + (-15) = 0. Но это и означает, что (—5) • (—3) = 15. д) (+12)-(-5); е) (-1)-(+32). д) (-З)-(-ЮО): е) (-5)-(-20). 794. Выполните умножение: а) (+7)-(-4): в) (+15)-(-3): б) (-20)-(+5): г) (-10)-(+100); 795. Выполните умножение: а) (-8)-(-6); в) (-б)-(-З); б) (-10)-(-7): г)(-14)-(-1): 796. Вычислите: а)\8-(-5): б) -6-^4; в) -3-(-8); г) -15-(-6); д)..11-(-4): е) -7-80. 797. Не выполняя умножения, сравните числа: а) -13-(-23) и 0; г) -24-25 и -24-(-25); б) 14-(-16) и 0; д) 18-(-16) и -18-16; в) -37-21 и 0; е) -32-(-15) и 32-(-15). 798. Подберите неизвестный множитель: а) -10-л: = 70; в) -8-л: = 64; б) л:-(-12) = -24; г) л:-(-4) = -20. 799. Пусть а \л Ь — целые числа. В каких случаях выполняется неравенство a-fc>0: 1) а>0, &<0; 3) а<0, Ь>0; 2) а<0, 6<0; 4) а>0, &>0? 800. Заполните таблицу. а 11 -12 10 -6 0 -9 15 -7 Ь 8 3 -10 -30 -16 1 -1 -1 а - Ь 801. Выполните умножение: а) -1-10; в) 26-(-1); д) -101-0; б) -18-(-1); г) о-С-25); е)0-(-1). 802. Подберите неизвестный множитель: а) 257-а = -257; в) а-(-312) = -312; б) х-(-184) = 0; г) -108-6=108. 803. Представьте число в виде произведения двух целых чисел: а) -100; б) 40; в) -23; г) -1; д) 1; е) 0. 804. Определите закономерность в последовательности равенств: 4-(-5) = -20; 3-(-5) = -15; 2-("5) = -10; 1-(-5) = -5. Запишите следующие пять равенств. 805. Найдите произведение: а) 20-(-5)-6; д) (-1)• (-10)• (-10); б) (-10)-(-3)-4; е) 6-(-5)-(-5); в) -2-(-3)-25; ж) (-2)• (-2)• (-2); г) 4-(-4)-(-1); 3) -5-(-6)-3. 806. Определите, положительным, отрицательным или нулем является произведение трех целых чисел, если: а) два числа отрицательны, одно положительно;" б) одно число отрицательно, одно положительно и одно равно нулю; в) одно число отрицательно и два положительны; г) все три числа отрицательны. 807. Подберите неизвестный множитель: а) (-1)-(-2)-х=18; в) (-3) • х• (-2) = -12; б) 8-(-3)-х = 24; г) х-(-4)-7 = 0. 808. Расположите в порядке возрастания произведения: -17-23, -17-38, -17-(-38), -17-(-23). 809. Вычислите: а) -7-(-6)+ 17; б) 18-(-5)-1; в) 50-4-17; г) -1-(-5)+11-(-4); д) -8-5-(-9)-(-3); е) -8-2-(-8). 810. Определите, положительным или отрицательным числом является значение выражения, и выполните вычисления: а) -15-(10-20); в) 7-(-28)-34; б) -3-(-14) + (-2)-(-15); г) -14 + (-10)-(-26). 811. Найдите значение выражения: а) 8-(-10)-(-3)-4; в) - 2 - (-2) - (-2) - (-2); б) -1-(-15)-(-2)-3; г) 7-20-(-1)-2. 812. Представьте число -60 в виде произведения: а) трех множителей; б) четырех множителей, 813. Представьте число 120 в виде произведения нескольких множителей, среди которых есть отрицательные. 814. Заполните таблицу и сформулируйте подмеченные свойства. а -1 4 10 -8 -4 ь 1 -2 2 5 -3 с 3 -6 -5 -6 -2 U'b-c (-а)-Ь-с {-а)-{-Ь)-с 815. Запишите: произведение чисел а и 6; число, противоположное произведению а и Ь. Найдите значение каждого из этих выражений, если: а) а = -4, Ь = 2\ в) а = -3, Ь = -7\ б) а=1, Ь = -10; г) а=12, 6 = 5. 816. Пусть а и 6 — целые числа, причем а>0 и 6<0. Сравните с нулем: а) а-6: б) (-а)-Ь\ в) а-{-Ъ)\ г) (-а)-(-Ь). Проиллюстрируйте каждый случай конкретным примером. 817. Задание с выбором ответа. Укажите неверное равенство: А. ^ •{-п) = -п. Б. (-1)*п = -п. В. {-^)• {-п) = -п. 818. Найдите значения произведений: а) 15-(-1)-(-1)-(-1) и 15-(-1)-(-1)-(-1)-(-1); б) 15-(-1)-...-(-1) и 15-(-1)-...-(-1). 40 раз 79 раз 819. Каким числом — положительным, отрицательным или нулем — является произведение: а) (-1)-(-2)-(-3)-(-4)-(-5)-(-6)-(-7)-(-8)*(-9): б) (-1)-(-2)-(-3)-(-4)-(-5)-(-6)-(-7)-(-8); в) (-3)-(-2)-(-1)-0-1-2-3; г) 1 -(-1)-2-(-2)-3-(-3)-...-10-(-10)? 820. Определите, положительным или отрицательным является произведение нескольких целых чисел, не равных 0, если: а) число отрицательных множителей четно; б) число отрицательных множителей нечетно. 821. Не выполняя вычислений, определите знак произведения: а) (-1-2-3-4-5-6-7-8)-(-27); б) (1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8)-(-1-2-3-4-5-6-7-8); в) (1-2 + 3-4 + 5-6 + 7-8)-(-1-2-3-4-5-6-7-8); г) (-1 +2-3+ 4-5+ 6-7 +8-9+10)-(-10). Деление целых чисел Правила деления двух целых чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков: частное двух чисел одного знака положительно; частное двух чисел разных знаков отрицательно. Например, (-16):(-2) = 8, 200:(-100) = -2, (-8):8 = -1. При делении нуля на любое целое число, не равное нулю, в частном получается нуль. Например, 0'(— 7) — 0. Как обычно, на нуль делить нельзя. При делении любого целого числа на 1 получается это же число: 5:1 = 5, (-12):1 = -12. При делении любого целого числа на — 1 получается противоположное число: 5:(-1) = -5, (-12):(-1)=12. к) -1:(-1): л) -18:18; м) -270: (-30). 822. Проверьте деление с помощью умножения: а) (-42):2 = -21; в) (-24):(-6) = 4; б) 70:(-7) = -10; г) 0:(-3) = 0. 823. Выполните деление: а) -48:12; г)-30:(-10); ж) -100:5; б) 64:(-4); д) -78:(-6); з) -850:(-85); в) 12:(-1); е)99:(-11); и)360:(-12); 824. Какое число надо подставить вместо х, чтобы получилось верное равен-. ство: а) д::1=-7; б) -26:д:=26; в) л::(-8) = 0; г) д::(-1) = -1? 825. Какое число надо умножить на (-7), чтобы в произведении получилось: а) -56; б) 168; в) 700; г) -147? 826. Найдите неизвестный множитель: а) 23-х = -276; в)-12-с = 252; б) а-(-21) = -315; г) Ь-(-16) = -400. 827. Заполните таблицу. а 64 - 144 -36 -20 72 -100 -15 0 Ъ -4 -12 36 - 1 -2 10 -15 - 1 а ■ Ь 828. Пусть а \л h — целые числа, причем а делится на Ь. Сравните с нулем частное а-Ь, если: а) а<0, Ь<0\ б) а<0, Ь>0\ в) а>0, Ь>0\ г) а>0, Ь<0. в) (-7 + 5):(-1): г) -27:(-3)--10; д) 0-(-28):(-7); е) -36: (-8+ 20). ___ 829. Вычислите; а) -20:4-9; б) 5 + 11 - (-4); 830. Найдите значение выражения; а) -5-(-4)-(-3):12; г) 12■ (-5):(-6)• (-1); б) (-12-6 + 30):(-4); д) (6-12):(-2 + 8): в) -125:(2-27)-(-10); е) -800:40-(-5 + 9). 831. Определите знак результата и выполните действия; а) (26-76): (24-14); в) (-14) • (-12): (4-32); б) (-81-23):(8-60); г) (1-56):(1 - 12). 832. Вычислите: а) (-7 + 5-4):2; б) (3-11 +2):(-6); 833. Заполните таблицу. в) (-10-20-30):12; г) (8 + 2-8-10):(-4). X У х + у х-у х-у х-у - 108 -27 -240 6 12 -12 - 18 -18 834. Подставьте в выражение а-Ь-с указанные числа и выполните вычисления: а) а = -12, b = Q, с = -6; в) а = 60, 6 = 0, с = -5; б) а = 24, Ь = -3, с = 9; г) а = -18, 6 = -3, с = -9. 835. Известно, что а = -90, 6 =-15, с = 3. Найдите значение выражения: а) а -Ь-с, б) а-(Ь-сУ, в) а-Ь-с\ г) а-(Ь-с). 836. Найдите неизвестный множитель: а) 25-(-4)-л: = 2000; в) 15-л:-10 = -1500; б) л:-(-40)-(-50) = -2000; г) -8-125-л: = -3000. 837. Задание с выбором ответа. Укажите неверное равенство: А. (-n)■■^=-n. Б. (-Д):(-1) = Л. В. п:(-1) = П. Множества Слово «множество» в математическом языке употребляется, может быть, даже чаще, чем слово «число»: оно связано не только с арифметикой, но и с другими разделами математики. Этим словом в математике называют любую совокупность каких угодно объектов (или предметов). Так, в словосочетаниях «отара овец», «стая журавлей», «рота солдат» вместо соответствующего собирательного слова в математике говорят просто «множество». Точно так же команда — это множество игроков, алфавит — множество букв. В слове «множество» каждый, конечно, слышит «много». Но что означает «много» или «мало», этого никто сказать точно не может. Со времен Древней Греции известен парадокс «кучи зерна». (Слово «парадокс» греческого происхождения и означает «неожиданное противоречие».) Этот парадокс заключается в попытке ответить на вопрос: «Сколько зерен составляет кучу?» Ясно, что 2, 4, 23 зерна — это еще не куча, а миллион зерен — это уже, конечно, куча. А где «не куча» переходит в «кучу» — неизвестно. И если бы мы попытались установить между ними точную границу, то попали бы в странное положение. Например, 37 зерен мы кучей еще не.,называем, а 38 — уже может быть кучей? Математики решают этот вопрос тем, что попросту его не ставят: термин «множество» употребляется независимо от того, сколько объектов в него входит. Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, М, Р и т. д. А основные числовые множества — натуральных и целых чисел — всегда обозначают буквами N и Z. Можно сказать, что эти буквы — «имена собственные» указанных множеств: N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел. Всякий объект, входящий в множество, называют его элементом. Например, если С — множество учащихся 6 класса и Иванов учится в этом классе, то он — элемент множества С. Тот факт, что X является элементом множества А, записывается с помощью знака е так: х€А. (Читается: «л: принадлежит мно- жеству А» или «х — элемент множества А».) Можно, например, записать: «Иванов 6 С». Обратите внимание: такие записи, как 2eN, лучше читать не буквально, а в «литературном переводе» (например, «2 — число натуральное»). Чтобы задать конечное множество, можно просто перечислить все его элементы; при этом в записи используют фигурные скобки. Например, запись С={1, 2, 3, 4, 5} означает, что множество С состоит из первых пяти натуральных чисел. Однако задавать множество путем перечисления его элементов удобно только в том случае, когда их число невелико. Ведь гораздо проще, к примеру, сказать, что В — множество двузначных чисел, чем перечислять все двузначные числа от 10 до 99. К тому же в математике рассматриваются и бесконечные множества. Поэтому чаще всего множества задают описанием; например, Р — множество натуральных чисел, имеющих только два делителя. В то же время, описав словами некоторое множество, нельзя гарантировать, что найдется хотя бы один объект, отвечающий этому описанию. Предположим, о множестве А сказано, что оно состоит из чисел, делящихся на 4, но не делящихся на 2. Однако такие числа не существуют! В подобных случаях множество называют пустым и обозначают символом 0. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными, а для записи равенства двух множеств употребляют, как обычно, знак «=». Например, если А — множество положительных целых чисел, то A = N. Аналогично {1, 2, 3, 4, 5} = {3, 2, 4, 5, 1}. Это означает, в частности, что элементы множества можно перечислять в любом порядке. Возьмем множества А = {1, 3, 5} и В = {1, 2, 3, 4, 5}. Каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В. В таких случаях говорят, что множество А является подмножеством множества В, и пишут: Ас В. Это соотношение между множествами А и В проиллюстрировано на рисунке 192 с помощью так называемых кругов Эйлера. Множество изображается в виде некоторого круга, а его элементы изображаются точками этого круга. Мы видим, что все точки круга А принадлежат кругу В. (Заметим, что пустое множество считают подмножеством любого множества.) Из двух данных множеств с помощью специальных операций можно образовывать новые множества — их объединение и пересечение. Объединением двух множеств называют множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств. Объединение множеств А п В записывают так: AKJ В. На рисунке 193 левый круг обозначает множество А, правый — множество В. Вся заштрихованная область изображает объединение множеств А и В. Если, например, А = {2, 4, 6} и В = {4, 6, 8, 10}, то Al^ В = {2, 4, 6, 8, 10}. Объединением множеств положительных четных и положительных нечетных чисел служит множество натуральных чисел. Объединением множества натуральных чисел и множества целых чисел является множество целых чисел. Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из данных множеств. Иными словами, пересечение двух множеств — это их общая часть. Пересечение множеств А и В записывают так: АП В. На рисунке 193 оно показано двойной штриховкой. Например, если А = {2, 4, 6} и В = {4, 6, 8, 10}, то АПВ — {4, 6}. Пересечение множеств положительных четных и положительных нечетных чисел есть пустое множество. Пересечением множества натуральных чисел и множества целых чисел является множество натуральных чисел. Заметим, что термин «пересечение» по существу геометрического происхождения. Например, когда мы говорим о точках пересечения окружности и прямой, то имеем в виду их общие точки. 838. Пусть А — множество целых чисел, больших -100 и меньших 150. Какие из чисел о, -125, 135, -99, 100, -100 являются элементами этого множества? Запишите ответ с использованием знака е. 839. Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число; а) 3254; б) 3252; в) 11000; г) 555 555. 840. Прочитайте следующие утверждения и определите, верны ли они (догадайтесь, что означает знак i): а) 256ЛГ, -256Z, ~2biN\ б) -86iV, 8eZ -QiZ. 841. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число 10 — натуральное; б) число -7 не является натуральным; в) число -100 является целым; г) число 2,5 — не целое. 842. Задайте множество А описанием: а) Л = {1, 3. 5, 7, 9}; б) А = {-2, -1. о, 1. 2}; в) 4 = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; ^ л-11 23456) 843. Задание с выбором ответа. Даны множества: Л4={5, 4, 6}, Р={4, 5, 6}, 7= {5, 6, 7}, 5= {4, 6}. Какое из утверждений неверно? А. М = Р. Б. P^S. В. М^Т. Г. Р=Т. 844. Даны множества: 4 = {10}, е = {10, 15}, С={5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}. Поставьте вместо ... знак включения (с или э) так, чтобы получилось верное утверждение: а) A...D; б) А...Б; в) С...А\ г) С...В. 845. Укажите несколько конечных и бесконечных подмножеств множества натуральных чисел N. Выполните это же задание для множества целых чисел Z. 846. а) Пусть Р — множество простых чисел. Изобразите соотношение между множествами Р, N и Z с помощью кругов Эйлера и запишите соответствующую «цепочку», используя знак с. б) Пусть А — множество всех треугольников, В — множество равнобедренных треугольников, С — множество равносторонних треугольников. Изобразите соотнощение между этими множествами с помощью кругов Эйлера и запишите соответствующую «цепочку», используя знак с. 847. а) Даны множества: А = {2, 3, 8}, Б = {2, 3, 8, 11}, С={5, 11}. Найдите: 1)4 и Б, 4UC, БиС; 2)4ПБ, 4 Г) С, СПБ. б) Даны множества: К={а, Ь, с}, М={х, у], Р={Ь, с, х}. Найдите: ^) KUM, МиР, КиР; 2) КПМ. МГ\Р, КПР. 848. Задайте бесконечное множество с помощью описания: а) {-1, -2, -3, -4, -5, ...}; в) {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ^ II 1 1 1 12’ 3’ 4’ 5 б) {2, 4, 8, 16, 32, ...}; ....). 849. а) Пусть 4 — множество натуральных делителей числа 18, Б — множество натуральных делителей числа 24. Запишите множество 4ПБ. Укажите наибольший элемент этого множества. Как его называют? б) Пусть А — множество натуральных чисел, кратных А, В — множество натуральных чисел, кратных 6. Назовите несколько элементов множества АП В. Укажите наименьший элемент этого множества. Как его называют? 850. Какое из двух множеств является подмножеством другого: а) А или А и В; Ь) А или А П Б? 851. Закончите равенство, в котором большими буквами обозначены некоторые множества (воспользуйтесь рис. 193): а) (АиБ)ПА = ...; б) (А П Б) U Б =... . 852. На рисунке 194 большой круг изображает множество натуральных чисел N, а два малых — его подмножества: А — множество чисел, делящихся на 2. Б — множество чисел, делящихся на 3. Большой круг разбивается малыми на четыре области. Какие числа соответствуют каждой из этих областей? Приведите примеры. 853. Расположите 4 элемента в двух множествах так было по 3 элемента. 854. Множества А и Б содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А П Б — 2 элемента. Сколько элементов в множестве А и Б? Рис. 194 чтобы в каждом из них Ф ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Решение задач с помощью кругов Эйлера Решим задачу: «Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 — и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием? » В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера. На рисунке 195 большой круг Рис. 195 обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М — школьников, собирающих марки. Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис. 195). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, — школьники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием. Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис. 196). Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки — 16 школьников, то только значки собирают 23 — 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 — 16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы. Из рисунка 196 ясно, сколько всего человек занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 — 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга. 855. В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. На рисунке 197 круг С изображает жильцов с собаками, круг К — жильцов с кошками. Сколько жильцов имеют и собак, и кошек? Сколько жильцов имеют только собак? Сколько жильцов имеют кошек? Сколько жильцов не имеют ни кошек, ни собак? 856. Изобразите на кругах Эйлера ситуацию, придумайте вопрос и ответьте на него: а) В понедельник в магазине 12 человек купили только телефон, 4 человека — только автоответчик, а 5 человек — телефон с автоответчиком. б) Все 10 человек, которые во вторник купили телефон, купили и автоответчик, а 7 человек купили только автоответчик. 857. В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимаются волейболом и 9 — баскетболом, и нет таких, кто не занимался хотя бы одним из этих видов спорта. Сколько мальчиков занимается и тем и другим? Как изменится ответ, если известно, что один из мальчиков не занимается спортом? 858. Из 80 туристов, приехавших в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 — Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти в театр? 859. При опросе 100 семей выяснилось, что у 78 из них есть телевизор, у 85 — холодильник, а у 8 семей нет ни телевизора, ни холодильника. У скольких семей есть и телевизор, и холодильник? 860. На рисунке 198 круг А изображает всех сотрудников института, знающих английский язык, круг Н — знающих немецкий и круг Ф — французский. Сколько сотрудников института знает: а) все три языка; б) английский и немецкий; в) французский? Сколько всего сотрудников в институте? Сколько из них не говорит по-французски? 861. На пикник поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 50 человек, с сыром — 60 человек, с ветчиной — 40 человек, с сыром и колбасой — 30 человек, с колбасой и ветчиной — 15 человек, с сыром и ветчиной — 25 человек, 5 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки? Указание. Начертите схему, как на рисунке 198, и заполните ее, читая условие задачи с конца. 862. Школа представила отчет: «Всего в школе 60 шестиклассников, из них 37 отличников по математике, 33 — по русскому языку и 42 — по физкультуре. При этом у 21 человека пятерки по математике и по русскому, у 23 — по математике и по физкультуре, у 22 — по русскому и по физкультуре; 20 человек учатся на «отлично» по всем трем предметам». Верен ли отчет школы? 863. Покажите с помощью кругов Эйлера, что ситуация, описанная ниже, возможна. а) В математической олимпиаде для шестых классов участвовали 50 человек. Арифметическую задачу решили 40 из них, а геометрическую — 20. б) В классе 20 учеников. Из них немецкий язык изучают 10 человек, а английский — 15. в) В классе 20 учеников. Из них английский язык изучают 15, немецкий — 10 и еще 1 человек — французский. г) В классе 16 девочек. Из них 15 занимаются танцами, 6 — музыкой и еще 2 девочки — пением. (Зж Задания для самопроверки к главе 8 (Обязательные результаты обучения) 1. Из ряда чисел 12, -15, 1, -3, О, 6, -9 выпишите: а) целые положительные числа; б) целые отрицательные числа. 2. Запишите число, противоположное числу: а) 16; б) -10; в) 0. 3. Какому числу равно выражение: а) -(+17); б) -(-60)? 4. Сравните числа: а) -8 и -10; б) -7 и 0; в) 1 и -100. 5. Запишите все целые числа: а) большие -7 и меньшие 7; б) большие -10 и меньшие 1; в) большие -25 и меньшие 18. 6. Между какими целыми числами находится число: а) -99; б) -1? Ответ запишите с помощью двойного неравенства. Найдите сумму: а) (-15) + (-6); б) (+18) + (-18); в) (+14) + (-6); г) (+3) + (-22). Найдите разность: а) -15-(-20); в) 16-(-3); д) 0-(-41); б) -6-(+23); г) 4-(+12); е) -25-(+20). Выполните действие: а) -5+10; б) -20-30; в) 0-32; г) 1-50. Вычислите: а) -5 + 14-7; в) - 12-(+8) + (-10); б) 30-45 + 5; г) 20-(-14)-(-15). 11. Выполните умножение: а) -5-(-3); в) 4-(-7); д) (-1)• (-5)• (-3); б) 0-(-6); г) 10-(-1); е) (-2)-(-2)-(-4). 12. Выполните деление: а) -32:8; б) -54: (-6); в) 42: (-7); г) 0:(-3). 7. 8. 10. Г ^^(Ёомбинаторика. Случайные собь1тия Логика перебора Вам уже приходилось решать комбинаторные задачи с помощью перебора всех возможных вариантов. Чтобы осуществить перебор, часто приходится вводить условные обозначения. Например, если в задаче речь идет о красных и зеленых шарах, то необязательно рисовать эти шары или писать полностью их цвета. Можно ограничиться только первыми буквами — К и 3. Такую замену предметов их условными обозначениями называют кодированием. ш Задача 1. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута? Обозначим города их первыми буквами: В, Р и Ф. Тогда код каждого маршрута будет состоять из трех букв, каждая из которых должна быть использована только один раз, например ВФР или ФРВ. Дерево возможных вариантов изображено на рисунке 199. Путешествие можно начать в любом из Первый город Второй город Третий город Вариант путешествия трех городов. Если сначала посетить Венецию, то затем можно поехать в Рим или во Флоренцию. Если вторым посетить Рим, то третьей будет Флоренция; если второй будет Флоренция, то третьим будет Рим. Это первые 2 варианта путешествия. А всего, как мы видим, существует б вариантов. ■ Задача 2. Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков — русского, английского, немецкого, французского — на любой другой из этих языков? Каждый из языков обозначим его первой буквой, и тогда каждый словарь будет «словом» из двух букв: например, АН — это англо-немецкий словарь, а НА — немецко-английский. Выпишем эти «слова» в алфавитном порядке, причем для удобства подсчета вариантов каждую группу «слов», начинающихся с одной и той же буквы, расположим в отдельной строке. Сначала фиксируем букву А и добавляем к ней все остальные буквы, кроме, естественно, самой буквы А. Так мы получим первую строку: АН, АР, АФ. Затем фиксируем букву Н и, добавляя к ней остальные буквы, получаем вторую строку и т. д. В результате получим 12 «слов»: АН АР АФ НА HP НФ РА PH РФ ФА ФН ФР Таким образом, переводчику понадобится 12 словарей. ■ Задача 3. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий? Дадим каждому из приятелей номер — от 1 до 8. Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Например, двузначное число 47 — это рукопожатие между приятелями с номерами 4 и 7. Ясно, что среди кодов рукопожатий у нас не появится, например, 33 — это означало бы, что один из друзей пожал руку сам себе. Кроме того, такие коды, как, например, числа 68 и 86, означают одно и то же рукопожатие, а значит, учитывать надо только одно из них. Договоримся, что из чисел, кодирующих одно и то же рукопожатие, мы всегда будем учитывать меньшее. Поэтому из чисел 68 и 86 надо выбрать 68. Коды рукопожатий естественно выписывать в порядке возрастания. Для подсчета их удобно расположить треугольником: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 34, 35, 36, 37, 38, 45, 46, 47, 48, 56, 57, 58, 67, 68, 78. Число кодов равно: 7-Ь6-ь5-Н4-I-3-Ь2-I-1 = 28. Таким образом, всего было сделано 28 рукопожатий. ■ Задача 4. Человек, пришедший в гости, забыл код, открывающий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и содержит четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть дверь? Выпишем сначала все коды, содержащие одну единицу, затем — две единицы, далее — три единицы. Получим: 0001 ООН 0111 0010 0101 1011 0100 ОНО 1101 1000 1001 1110 1010 1100 — 4 варианта — 6 вариантов — 4 варианта Следовательно, в 14 попыток. худшем случае человеку придется сделать 864. Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос разного цвета. Сколько существует различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосами? 865. Витя, Толя и Игорь купили вместе интересную книгу и решили читать ее по очереди. Выпишите все варианты такой очереди. Сколько есть вариантов, в которых Игорь на первом месте? Витя не на последнем месте? 866. Составьте все множества, равные множеству {1; 2; 3}. 867. Используя цифры 3, 4, 5, причем каждую только один раз, составьте все возможные трехзначные числа, которые делятся: а) на 2; б) на 5; в) на 3; г) на 6. 868. Выпишите все возможные двузначные и трехзначные числа, которые можно составить из цифр О, 1, 2, 3, используя каждую цифру в записи только один раз. 869. а) На соревнование по легкой атлетике нужно отправить двух мальчиков из пяти лучших спортсменов среди шестиклассников — Антона, Петра, Бориса, Володи, Коли. Перечислите все варианты выбора участников соревнования. Сколько этих вариантов? б) Для участия в эстафете 2x100 м нужно выбрать двух мальчиков из пяти, обязательно указав, кто побежит первым, а кто — вторым. Перечислите все варианты выбора участников соревнования в этом случае. Сколько этих вариантов? 870. На районной олимпиаде по математике оказалось шесть победителей. Однако на областную олимпиаду можно отправить только двоих. а) Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов? Указание. Дайте каждому победителю номер — от 1 до 6. б) Сколько существует вариантов, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде? 871. К переправе одновременно подошли пять человек. Лодочник сказал, что в его лодке поместятся только два пассажира. а) Сколькими способами можно выбрать двоих пассажиров из пяти? б) Сколько существует способов выбора пассажиров, если одного из них необходимо срочно отправить на другой берег в больницу? в) Предположим, что лодочник отвез двоих пассажиров и вернулся за оставшимися. Сколькими способами можно выбрать того, кому придется остаться еще раз? 872. Два курьера фирмы должны забрать почту из четырех филиалов, причем каждый успеет съездить только в два филиала из четырех. Сколькими способами они могут распределить между собой поездки? Указание. Достаточно подсчитать число способов, которыми один курьер может выбрать два филиала из четырех. 873. Каждый из двух друзей может получить за контрольную по математике любую отметку — от 2 до 5. Сколько существует вариантов получения ими отметок? Выпищите все эти варианты. 874. В турнире участвовали шесть шахматистов и каждый из них сыграл с каждым из остальных по одной партии. Дайте каждому шахматисту свой номер, закодируйте каждую из партий парой чисел и выпишите все партии. Сколько всего было сыграно партий? 875. На рисунке 200 изображены пять точек. Каждые две точки соедините отрезком. Сколько всего получилось отрезков? Перечислите их. 876. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника? В D Е Рис. 200 877. Слово, полученное из данного слова перестановкой букв (но не обязательно имеющее смысл), называют его анаграммой; например, «нос» и «сно» — анаграммы слова «сон». Выпишите в алфавитном порядке все анаграммы слов; а) «нос» и «dog»; б) «мама» и «дама». Сравните количество анаграмм для слов в каждой паре. Как бы вы объяснили получившийся результат? 878. Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка — «Хочу пойти гулять куда-нибудь», а остальные строки все разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении? Указание. В строке 4 разных слова, закодируйте их цифрами. Записав стихотворение в закодированном виде, «переведите» его на русский язык. 879. Задача Леонарда Эйлера. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу? 880. Имеется ткань двух цветов; голубая и зеленая — и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели? 881. Человек забыл код, открывающий замок на его чемодане, но вспомнил, что код состоит из трех разных цифр, каждая из которых не больше 3. Кроме того, в код точно не входит сочетание 13. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть свой чемодан? 882. Сколькими способами можно разложить три разные по достоинству монеты в два кармана? 883. Сколькими способами можно разменять 10 рублей монетами по 1, 2 и 5 рублей? (Считайте, что имеется необходимое число монет каждого достоинства.) 884. Укротитель должен вывести на арену четырех львов и двух пантер так, чтобы две пантеры не шли одна за другой. Сколькими способами могут быть выбраны места для пантер в цепочке зверей? 885. Егор и Андрей играют в настольный теннис до трех побед. (Ничьих в настольном теннисе не бывает.) а) Предположим, что первую партию выиграл Андрей, вторую и третью — Егор. Сколько существует вариантов дальнейшего хода их поединка? Запишите каждый из них. б) Сколько существует вариантов развития поединка, при которых Андрей выиграет со счетом 3:2? Запишите каждый из них. в) Сколько всего существует вариантов хода их поединка? 7 — Дорофеев. 6 кл. 886. а) Четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три билета. Сколькими способами они могут выбрать тройку счастливцев? Как удобнее перебирать: тройки тех, кто пойдет, или тех, кто не пойдет? б) Из шести кандидатов нужно составить команду для участия в гонках на четырехместных байдарках. Сколько существует вариантов для выбора четверки участников соревнования и сколько для выбора пары запасных? Ответьте на оба вопроса, проведя только один перебор. Правило умножения Подъем Спуск 2 3 4 1 2 4 1 2 3 ■ Задача 1. От турбазы к горному озеру ведут четыре тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались? Занумеруем тропы числами от 1 до 4 и построим дерево возможных вариантов (рис. 201). На первом уровне дерева 4 узла (подъем по любой из четырех троп). Из каждого узла выходят 3 ветви (спуск по трем остальным тропам). Всего получилось 4*3 = 12 маршрутов. Представим, что к озеру ведут не четыре, а десять троп. Сколько в этом случае существует маршрутов, если по-прежнему решено спускаться не по той тропе, по которой поднимались? Изобразить дерево возможных вариантов в такой ситуации сложно. Гораздо легче решить эту задачу с помощью рассуждений. Подниматься к озеру можно по любой из десяти троп, а спускаться — по любой из оставшихся девяти троп. Таким образом, всего получим 10*9 = 90 различных маршрутов похода. 1 3 4 Рис. 201 Мы получили ответ умножением. Математики сказали бы, что мы использовали известное в комбинаторике правило умножения. Такой способ подсчета возможен, если дерево вариантов «правильное»: из каждого узла одного уровня выходит одно и то же число ветвей. Заметим, что если надо выяснить, является ли дерево «правильным», необязательно строить его целиком. Достаточно изобразить какой-либо фрагмент. На рисунке 202 изображен фрагмент дерева в том случае, когда к озеру ведут 10 троп. По нему нетрудно увидеть, что в данной ситуации дерево «правильное». Подъем 12 345 6789 10 Спуск 2345 67 89 10 ... 12 345678 9 Рис. 202 ■ Задача 2. На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных вариантов обеда из трех блюд можно составить по предложенному меню? В меню указаны 2 супа. С каждым из них можно взять любое из трех вторых блюд. Получаем 2 • 3 = 6 вариантов выбора супа и второго. К каждому из этих шести вариантов можно взять любой из четырех имеющихся соков. Итого получаем 2*3*4 = 24 варианта обеда из трех блюд. Если бы мы решили задачу с помощью построения дерева, оно, конечно, было бы «правильным» (рис. 203). Суп Второе блюдо Сок 1234 1234 1234 Рис. 203 1234 1234 1234 ■ Задача 3. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры четные? Четных цифр всего пять — это 0, 2, 4, б и 8. Из них надо сначала выбрать первую цифру трехзначного числа. Для этого есть только 4 возможности, поскольку цифра 0 первой быть не может. Вторую цифру можно выбрать пятью способами, третью — также пятью способами. Следовательно, всего существует 4*5*5 = 100 трехзначных чисел, удовлетворяющих условию задачи. Конечно, совсем не каждую комбинаторную задачу можно решить по правилу умножения. Добавим, например, к задаче 2 такое условие: один из супов — молочный, а одно из вторых блюд — рыбное и после молочного су- 7* па есть его не рекомендуется. В таком случае разным супам будет соответствовать разное количество вариантов вторых блюд. При новом условии дерево возможных вариантов уже не будет «правильным» и правило умножения применять нельзя. 887. а) Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов выбора конверта с маркой? б) В магазине продаются рубашки 4 цветов и галстуки 8 цветов. Сколько существует способов выбрать рубашку с галстуком? 888. У Портоса есть сапоги со шпорами и без шпор, 4 разные шляпы и 3 разных плаща. Сколько у него вариантов одеться по-разному? 889. В кружке 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту кружка и его заместителя? 890. Четверо ребят должны дежурить в классе четыре дня подряд по одному дню каждый. Сколькими способами можно составить расписание их дежурств? 891. Концерт состоит из 5 номеров. Сколько имеется вариантов программы этого концерта? 892. а) Сколько существует четных двузначных чисел? б) Сколько существует четных трехзначных чисел? ___ 893. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из семи цифр и начинаются с 313. На сколько абонентов рассчитана эта станция? 894. Аппаратура телефонной сети, обслуживающей 300 000 абонентов, рассчитана на 6 цифр в номере. Хватит ли этой сети для обслуживания еще 700 000 абонентов? (Номер телефона не может начинаться с цифры 0.) 895. В автохозяйстве 1001 автомобиль. Для их регистрации выделены номера К***ОД50 (вместо * ставится любая цифра от 0 до 9). Хватит ли этих номеров на все автомобили хозяйства? 896. Сколько существует шестизначных чисел, у которых: а) третья цифра 3; б) последняя цифра четная; в) на нечетных местах стоят нечетные цифры; г) на нечетных местах стоят четные цифры? 897. Для передачи текста по радио и телеграфу использовалась азбука Морзе, в которой каждая буква состоит из точек и тире. Например, буква Е обозначается точкой «•», а буква Э — набором из пяти знаков «------». До- статочно ли наборов от одного до пяти знаков для обозначения всех букв русского алфавита и всех цифр? Почему букву Е решили обозначить одним знаком, а букву Э — пятью? 898. Саша и Даша решали задачу: «В спортивном клубе 5 пловцов имеют лучшие результаты. Сколькими способами можно составить из них команду из двух человек для участия в соревнованиях?» Саша рассуждал так: «Есть 5 способов выбрать первого участника команды, при этом остается 4 способа выбора второго участника. Применим правило умножения: 5x4 = 20. Итого 20 способов». Даша занумеровала всех пловцов и выписала все возможные варианты команды. У нее получилось всего 10 вариантов: 12; 13; 14; 15; 23; 24; 25; 34; 35; 45. Кто из ребят прав? 899. В футбольном чемпионате принимают участие 15 ко-манд. Сколько всего игр будет сыграно на этом чемпионате, если: а) каждая команда с остальными участниками играет на своем и на чужом поле; б) каждая команда сыграет с каждой только один раз? В каком случае можно применить правило умножения, а в каком нельзя? Почему? Сравнение шансов Напомним, что случайным называют событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти. Купив лотерейный билет, вы можете выиграть, а можете и не выиграть; на выборах может победить один кандидат, а может и другой. Выигрыш в лотерею и победа на выборах — это примеры случайных событий. Есть такие события, которые в данных условиях происходят всегда; их называют достоверными. Например, в нормальных атмосферных условиях при 0°С вода замерзает, а при 100 °С закипает; если опрокинуть чашку с чаем, он обязательно выливается. События, которые в данных условиях никогда не происходят, называют невозможными. Например, невозможно в обычных условиях не вылить воду, перевернув стакан вверх дном. Заметим, что в математике достоверные и невозможные события относят к случайным. ■ Пример 1. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем, не глядя, один за другим 4 шара. Рассмотрим следующие события: А: все вынутые шары одного цвета; В: все вынутые шары разного цвета; С: среди вынутых есть шары разного цвета; D: среди вынутых есть шары трех цветов. Событие А — невозможное: нельзя вытащить из коробки 4 шара одного цвета (их по три каждого цвета). Событие В тоже невозможное: разных цветов не может быть больше трех, а вынутых шаров — 4. Событие С — достоверное: ведь все 4 шара, как мы уже выяснили, не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно окажутся шары разных цветов. А событие D может произойти, а может не произойти. Чтобы показать это, нужно привести пример такой ситуации, или, как говорят математики, такого исхода, когда данное событие происходит, и такого исхода, когда оно не происходит. Закодируем исходы опыта первыми буквами цветов, в которые окрашены вынутые шары. Например, КЖЖЗ означает, что вынули один красный, два желтых и один зеленый шар. Тогда КЖЖЗ — пример исхода, при котором событие D происходит, а ККЖЖ — пример исхода, когда событие D не происходит. Случайные события, которые имеют равные шансы, называют равновозможными или равновероятными. На устном экзамене ученик берет один из разложенных перед ним билетов. Шансы взять любой из экзаменационных билетов равны. Равновероятным является выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании игрального кубика, а также «орла» или «решки» при бросании монеты. Но не все события являются равновозможными Может не зазвонить будильник, перегореть лампочка, сломаться автобус, но в обычных условиях такие события маловероятны. Более вероятно, что будильник зазвонит, лампочка загорится, автобус поедет. У одних событий шансов произойти больше, значит, они более вероятны — ближе к достоверным. А у других шансов меньше, они менее вероятны — ближе к невозможным. У невозможных событий нет никаких шансов произойти, а достоверные события имеют все шансы произойти, при определенных условиях они произойдут обязательно. Мы живем в мире случайных событий. Поэтому важно понять, можно ли найти какие-то закономерности в мире случайного. Можно ли оценить шансы наступления интересующего нас случайного события? ■ Пример 2. Бросают игральный кубик (рис. 204). Выясним, каковы шансы наступления следующих событий: А: выпадает четное число очков; В", выпадает меньше десяти очков; С: выпадает пять очков; D: выпадает семь очков. Будем рассуждать так. Четное число очков — на трех из шести граней кубика. Значит, есть три шанса из шести, что событие А произойдет. Событие В — достоверное. В самом деле, сколько бы ни выпало очков при бросании кубика, их точно будет меньше 10. Таким образом, у события В есть все шансы произойти. При бросании кубика из шести возможных исходов только при одном выпадет пять очков. Значит, у события С только один шанс из шести. А событие D — невозможное. При бросании кубика ни при каком исходе не может выпасть семь очков. Значит, у события D нет никаких шансов. Теперь мы можем перечислить рассмотренные события в порядке увеличения их шансов: D, С, А, В. Чем больше шансов, тем вероятнее будет соответствующее случайное событие. Например, событие А вероятнее события С. Конечно, совсем не всегда можно подсчитать шансы наступления того или иного события, как мы это делали в предыдущем примере. Часто шансы оценивают на основе имеющихся данных, жизненного опыта. Например, шансы события «бутерброд падает маслом вниз» не посчитаешь. Но здесь вполне можно призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд чаще всего падает именно маслом вниз (известен даже шуточный «закон бутерброда»). Значит, это весьма вероятное событие. ■ Пример 3. Сравним между собой на основе опыта общения по телефону шансы следующих случайных событий и определите, какие из них более вероятны: А: вам никто не позвонит с 5 до 6 утра; В: вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра; С: вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 вечера; D: вам никто не позвонит с б до 9 вечера. Ранним утром звонки бывают очень редко, поэтому у события В крайне мало шансов произойти, оно маловероятное, почти невозможное. А у события А очень много шансов, это практически достоверное событие. Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятнее, чем событие D. Хотя, если вам вообще звонят редко, D может оказаться вероятнее, чем С. 900. Какие из перечисленных ниже случайных событий достоверные, возможные: а) черепаха научится говорить; б) вода в чайнике, стоящем на плите, закипит; в) день рождения одного из ваших знакомых — 30 февраля; г) вы выиграете, участвуя в лотерее; д) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее; е) вы проиграете партию в шахматы; ж) вы завтра встретите инопланетянина; з) на следующей неделе испортится погода; и) вы нажали на звонок, а он не зазвонил; к) сегодня — четверг; л) после четверга будет пятница; м) после пятницы будет четверг? 901. Придумайте по три примера достоверных, невозможных событий, а также событий, о которых нельзя сказать, что они обязательно произойдут. 902. В коробке лежат 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из коробки наугад вынимают две ручки. Какие из следующих событий невозможные, достоверные: А: будут вынуты две красные ручки; В: будут вынуты две зеленые ручки; С: будут вынуты две синие ручки; D: будут вынуты две ручки разных цветов; Е: будут вынуты два карандаша? 903. Егор и Данила договорились: если стрелка вертушки (рис. 205) остановится на белом поле, то забор будет красить Егор, а если на голубом поле — Данила. У кого из мальчиков больше шансов красить забор? 904. Два приятеля с помощью вертушки (рис. 206) решают, как им провести воскресенье: если стрелка остановится на белом, они пойдут в кино; если на голубом — на стадион. Какое из событий вероятнее: приятели пойдут на стадион или в кино? 905. 906. 907. Используя выражения «более вероятное», «менее вероятное», «равновероятные события», сравните шансы наступления событий А \л В: а) Вы просыпаетесь утром. А: это будний день. В: это выходной. б) Вы подбрасываете игральный кубик. А: выпадает шестерка. В: выпадает не шестерка. в) Сборная России играет в хоккей со сборной Чехии. А: выигрывает сборная России. В: сборная России не выигрывает. Антон, Борис и Вадим учатся в разных классах: 6А, 6Б и 6В. От каждого класса по жребию выбирают одного делегата в школьный хор. У кого из друзей больше шансов петь в хоре, если в 6А учатся 25 человек, в 6Б — 22 человека, а в 6В — 28 человек? Имеется 5 коробок, в которых лежат белые и черные шары, одинаковые на ощупь: в I коробке — 2 черных шара; во II коробке — 2 черных и 3 белых шара; в III коробке — 3 черных и 3 белых шара; в IV коробке — 2 белых и 3 черных шара; в V коробке — 3 белых шара. Из каждой коробки не глядя вытаскивают один шар. Перечислите коробки в порядке возрастания шансов события: вынутый шар — белый. 908. Вы выигрываете, если стрелка останавливается на белом. Какая из вертушек, изображенных на рисунке 207, дает вам больше шансов на выигрыш? Ф Рис. 207 909. Из колоды в 36 карт наугад вытягивают одну. Оценим шансы события: «Это карта пиковой масти». Так как всего в колоде 9 карт пиковой масти, то шансы такого события можно оценить как 9:36, т. е. 1 :4. Рассуждая также, оцените шансы следующих событий: А: на этой карте — король; Б: эта карта красной масти; С: эта карта бубновой масти. 910. В коробке три красных, три желтых, три зеленых шара, одинаковых на ощупь. Сначала вытаскивают наугад один шар и возвращают его назад, затем вытаскивают наугад два шара и возвращают их обратно и т. д.; наконец, вынимают все девять шаров. Рассмотрим событие А: среди вынутых шаров окажутся шары всех трех цветов. При каком числе вынутых шаров событие А — невозможное, а при каком — достоверное? 911. На дверях первого и второго подъездов стоят кодовые замки. Чтобы открыть первый замок, нужно одновременно нажать три цифры из десяти, а чтобы открыть второй — семь цифр из десяти. В каком из двух случаев шансов открыть замок больше? Эксперименты со случайными исходами Когда перед началом игры хотят договориться, какая команда на какой половине поля будет играть или кто из игроков сделает первый ход, то обычно подбрасывают монету. Так поступают потому, что выпадение «орла» или «решки» считается равновероятным и заинтересованные стороны имеют равные шансы. Но представьте себе, что монеты у игроков не оказалось и один из них предложил подбросить кнопку. Можно ли считать такую замену справедливой, т. е. останутся ли шансы сторон равными? Кнопка может упасть либо на острие, либо на кружок (рис. 208). Чтобы ответить на вопрос, равны ли шансы этих исходов, надо много раз подбросить кнопку и собрать информацию о результатах. Если окажется, что при многократном подбрасывании кнопки количество падений на острие и на кружок будет примерно равным, то, значит, эти два исхода практически равновероятны и замена монеты на кнопку справедлива. А если результаты будут заметно отличаться, то эти два исхода нельзя считать равновероятными. Этой проблемой заинтересовалась группа шестиклассников из 40 человек, занимавшихся в летней математической школе. Они понимали, что, чем больше подбрасывать кнопку, тем достовернее будут полученные выводы. Поэтому ребята договорились, что каждый подбросит кнопку 100 раз, фиксируя при этом результаты, а потом эти результаты они просуммируют (поскольку кнопки из одной коробки можно считать практически одинаковыми). Всего было сделано 100-40 = 4000 подбрасываний. В результате выяснилось, что на острие кнопка упала 1809 раз, а на кружок — Рис. 208 2191 раз. Значит, примерно в 45% случаев кнопка падала на острие и в 55% — на кружок. Всего было сделано 100*40 = 4000 подбрасываний. В результате выяснилось, что на острие кнопка упала 1809 раз, а на кружок — 2191 раз. Значит, примерно в 45% случаев кнопка падала на острие и в 55% — на кружок. Эти результаты показывают, что у кнопки больше шансов упасть на кружок, т. е. этот исход более вероятен. Следовательно, замену монеты кнопкой нельзя считать справедливой, поскольку у игроков шансы начать игру при такой замене становятся неравными. Конечно, и при подбрасывании монеты нельзя ожидать, что «орел» и «решка» выпадут ровно в половине случаев. Если, например, подбросить монету 10 раз, то орел может выпасть и 2, и 7, и все 10 раз, и ни разу — все такие события возможны. Однако при большом количестве подбрасываний число исходов «решка» и «орел» будет приблизительно равным. Обратите внимание: мы говорим «приблизительно», т. е. мы не утверждаем, что, например, при 1000 подбрасываний монеты «орел» выпадет в точности 500 раз. Так, в начале XX века английский математик Карл Пирсон провел 24 000 экспериментов с подбрасыванием монеты. При этом «орел» у него выпал 12 012 раз, т. е. практически в 50% случаев. Такие опыты, как подбрасывание монеты или кнопки, называют экспериментами со случайными исходами. Вообще, к экспериментам со случайными исходами относятся самые разные испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз примерно в одних и тех же условиях. Например, это стрельба по мишени, участие в лотерее, многолетние наблюдения за погодой в один и тот же день в одном и том же месте, опыты с рулеткой, игральным кубиком, монетой, кнопкой. В экспериментах со случайными исходами удивительно то, что, хотя результат каждого отдельного эксперимента зависит от случая, при проведении большого числа таких экспериментов выявляются отчетливые закономерности, которые дают возможность оценить шансы наступления интересующего нас случайного события. Изучением таких закономерностей в мире случайного занимается специальная наука — теория вероятностей. 912. Повторите в классе эксперимент с кнопкой, описанный в этом пункте. Организуйте работу следующим образом: 1) Разделитесь на пары. Каждая пара должна подбросить кнопку 200 раз. Один из участников будет подбрасывать кнопку, а другой — фиксировать результаты в таблице. Исходы Подсчеты Итого На острие ч-ш-... На кружок -Н-Н- ... 2) Сведите все результаты в общую таблицу. Номер пары На острие На кружок 1 2 Итого 3) Найдите отношение каждого из исходов к общему числу бросков и выразите эти отношения в процентах. 4) Сопоставьте свой вывод с результатом, описанным на с. 203. 913. Подбрасывается игральный кубик. а) Как вы думаете, какое из событий при однократном подбрасывании игрального кубика более вероятно: А\ выпадет одно очко; В: выпадет не одно очко? б) Как вы думаете, в каком примерно проценте случаев при многократном подбрасывании кубика выпадет одно очко? Проверьте свое предположение, проведя в классе эксперименты с кубиками. Сравните результат, полученный экспериментально, со своим предположением. 914. Изготовьте «неправильный» кубик из листа плотной бумаги. Для этого надо вырезать фигуру, изображенную на рисунке 209, написать на гранях цифры и склеить кубик, предварительно прикрепив с внутренней стороны грани с цифрой 1 кусок пластилина, как показано на рисунке. Подбросьте «неправильный» кубик 1000 раз. Сколько раз при этом у вас выпадет одно очко? Сравните результат с результатом задачи 913 б. Рис. 209 Замечание. В экспериментах с «неправильными» кубиками нельзя объединять результаты, полученные разными учениками, поскольку такие кубики никак нельзя считать одинаковыми. 915. Подбрасывайте два игральных кубика и записывайте сумму выпавших очков. Проводите эксперимент до того момента, пока сумма, равная 7, выпадет 25 раз. Сколько раз за это время выпала сумма, равная 2? Какая сумма выпадает чаще: 2 или 7? Попробуйте объяснить полученный результат. 916. Какие из всех возможных результатов при бросании двух кубиков будут наименее вероятными? наиболее вероятными? Почему? Проверьте свои предположения, проведя соответствующие эксперименты. 917. Готовясь к участию в телеигре «Поле чудес», где по буквам отгадываются слова, Олег задумался: «А какую букву стоит назвать первой, когда в слове еще не угадано ни одной буквы?» Понятно, что в такой ситуации выигрыщная стратегия — начать игру с самой распространенной в русском языке буквы. Но как ее определить? Чтобы помочь Олегу, 33 его одноклассника распределили между собой все буквы алфавита, взяли один и тот же текст и каждый посчитал, сколько раз в нем встречается «его» буква. Так они экспериментально определили самую распространенную букву русского языка. Как вы думаете, что это за буква? Чтобы проверить свою догадку, проведите в классе такой же эксперимент, выбрав случайным образом текст из книжки, которая есть у всех, например из учебника. ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО В худшем случае Часто для ответа на вопрос задачи приходится рассматривать самый «неудобный» вариант из всех возможных, или, как говорят, худший случай. А для этого важно уметь правильно определять, какой из возможных вариантов худший. ■ Пример. Имеется непрозрачный мешок, в котором лежат 5 белых и 2 черных шара. а) Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар? Какой случай здесь самый худший? Очевидно, тот, когда мы будем вынимать все время только черные шары. В худшем случае, взяв даже 2 шара, белый шар мы не выташ;им. Но если мы вынем 3 шара, то тогда уж точно по крайней мере один из них окажется белым. б) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар и хотя бы один черный? Худшим здесь будет случай, когда мы сначала будем вытаскивать одни белые шары и только потом попадется один черный шар. Поэтому потребуется вытащить 5-1-1 = 6 шаров. Заметьте, что случай, когда сначала попадаются одни черные шары, лучше, поскольку уже третий шар окажется белым. Выбор худшего случая зависит от того, каких шаров больше — белых или черных. в) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них оказались 2 шара одного цвета? Худший случай — когда сначала идут шары разных цветов. Это возможно, если мы вытащим 2 шара. А вытащив третий, будем уже иметь 2 шара одного цвета. 918. Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие «вы выиграете» было достоверным? 919. В непрозрачном мешке 5 синих, 3 желтых и 1 зеленый шар. Сколько шаров в худшем случае придется вытащить, чтобы среди них обязательно оказался синий шар? желтый шар? зеленый шар? синий шар и желтый шар? желтый шар и зеленый шар? 920. В коробке лежат 100 шаров трех цветов — синего, зеленого и белого. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из коробки, чтобы среди них оказалось 30 шаров одного цвета? Указание. Рассмотрите худший случай, когда число шаров разных цветов практически одинаково (например, 33 синих, 33 белых и 34 зеленых). 921. В шкафу 10 пар ботинок с 36-го по 45-й размер — по одной паре каждого размера. Какое минимальное количество ботинок надо наугад вынуть из шкафа, чтобы из них можно было составить хотя бы одну пару? 922. В ящике комода лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода не глядя, чтобы среди них оказалась пара носков одного цвета? 923. В коробке лежат 10 пар коричневых и 10 пар черных перчаток одного размера. Сколько перчаток нужно взять из коробки не глядя, чтобы среди них оказалась пара перчаток одного цвета? Указание. Не забудьте, что в паре перчаток одна на левую руку, другая на правую. 924. 1) Есть 2 двери с разными замками и 2 ключа к этим дверям. Покажите, что одной пробы достаточно, чтобы подобрать ключ к каждой двери. 2) Есть 3 ключа от трех дверей с разными замками. Покажите, что достаточно трех проб, чтобы подобрать ключ к каждой двери? 3) Имеются 5 ключей от пяти комнат с разными замками. Достаточно ли десяти проб, чтобы подобрать ключ к каждой двери? 925. В классе учатся 10 мальчиков и 20 девочек. Какие из следующих событий для такого класса являются невозможными, случайными, достоверными: А\ есть два человека, родившиеся в разных месяцах; В: есть два мальчика, родившиеся в одном месяце; С: есть две девочки, родившиеся в одном месяце; D: все мальчики родились в разных месяцах; Е: все девочки родились в разных месяцах? (2* Задания для самопроверки к главе 9 (Обязательные результаты обучения) 1. Из цифр 1, 2, 3, 4 составляют всевозможные двузначные числа. Сколько всего таких чисел получится? Перечислите их. 2. Продаются воздушные шарики 4 цветов. Мама предложила Пете купить три разных шарика. Сколько вариантов для выбора есть у Пети? 3. Имеются футболки 8 разных видов и шорты 5 видов. Сколько существует различных вариантов спортивной формы, состоящей из футболки и шорт? 4. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетные? 5. В первенстве по теннису участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько было сыграно партий? 6. В лотерее на каждые 100 билетов приходится один выигрышный. Сергей купил 100 билетов и уверен, что среди них наверняка будет хотя бы один выигрышный. Согласны ли вы с его мнением? 7. Из сумки, в которой лежит 12 красных и 10 зеленых яблок, вынимают наугад одно яблоко. Выпишите события в порядке убывания их шансов: А\ достали красное яблоко; С: достали яблоко; В: достали зеленое яблоко; D: достали грушу. 8. Организаторы лотереи, популярной среди школьников города N, утверждали, что в каждом туре лотереи половина билетов выигрышная. а) Денис купил 6 билетов, из которых только 2 оказались выигрышными. Можно ли считать, что организаторы лотереи не заслуживают доверия? б) Через некоторое время школьники стали замечать, что они выигрывают гораздо реже, чем проигрывают. Тогда они собрали статистические данные по школам города и выяснили, что из 1215 купленных билетов выигрышными оказались 283. Можно ли теперь утверждать, что организаторы лотереи не заслуживают доверия? ?'гГ-Г Г -6 -5 -4 -3 -2 -1 О -6<-4,8<-4 Рациональные числа)- Какие числа называют рациональными Вы знаете, что и для математических расчетов, и в реальной жизни необходимы не только целые числа, но и дробные, в том числе отрицательные дроби. Например, если убыток предприятия составил 1,5 млн р., то его удобно показать как отрицательную прибыль: —1,5 млн р. Или если популярность политического деятеля упала на 8,3%, то в соответствующей таблице в графе «Рост популярности» поставят число — 8,3%, означающее отрицательный рост. Итак, дробные числа, с которыми мы до сих пор имели дело, будем теперь называть положительными и наряду с ними рассматривать отрицательные дробные числа. Положительные дробные числа, как и положительные целые, можно записывать со знаком «плюс». Например, -1-0,1 — это то же самое, что 0,1, т. е. -ЬО,1 = 0,1. Отрицательные дробные числа, как и отрицательные целые, получаются приписыванием к положительным числам знака «минус»: -1; -8,07; и т. д. Такие дробные числа, как и —8,07 и —8,07, 2-^ и —2-^, о <3 о о естественно, называют противоположными числами. Подчеркнем, что если перед некоторым числом, положительным или отрицательным, поставить знак «плюс», то получится то же самое число; если же поставить знак «минус», то получится противоположное число. Например: -Ь(-Ь3,5) = -Ь3,5 = 3,5; -(-Ь3,5) = -3,5; -Ь(-3,5) = -3,5; -(-3,5) = -1-3,5 = 3,5. Целые и дробные числа вместе составляют множество рациональных чисел. 1 22 Так, —1^, 18,4, —148, 256, О — это все примеры рациональ- ных чисел. Множество рациональных чисел, как и множества натуральных и целых чисел, имеет «собственное имя»: его принято обозначать буквой Q. Существует версия, согласно которой слово «рациональное» произошло от латинского слова ratio, означающего «разум». Математики Древней Греции неожиданно обнаружили, что для решения такой практически важной задачи, как измерение длин отрезков, не хватает не только целых, но и дробных чисел, так что возникла необходимость в изобретении новых чисел. Эти новые числа назвали иррациональными, т. е. «неразумными», непонятными (вы узнаете об этих числах в старших классах). А для противопоставления привычные, «хорошие» числа назвали «разумными», рациональными. Вы уже умеете изображать положительные числа — натуральные и дробные — точками на координатной прямой. Для этого берут, как правило, горизонтально расположенную прямую, отмечают на ней некоторую точку и обозначают ее буквой О — это начало отсчета. Точка О делит прямую на два луча. На «правом» луче отмечают произвольную точку Е и считают, что эта точка изображает число 1. Отрезок ОЕ называют единичным отрезком — его длина считается равной 1 (рис. 210). Н--1-1—н О Е —I--!— о 1 н—t- В -i—^ -4,2 н—h О Е ч—h 0 1 А 3,5 Рис. 210 Рис. 211 Чтобы отметить на координатной прямой какое-нибудь положительное число, например 3,5, вправо от точки О откладывают отрезок, длина которого равна 3,5 единицы (рис. 211). Таким же образом на «правом» луче координатной прямой изображается любое положительное число. Нетрудно понять теперь, как изображаются точками на прямой отрицательные числа. Для этого используют «левый» луч. Например, чтобы отметить на координатной прямой число —4,2, нужно отложить влево от точки О отрезок, равный 4,2 единицы (рис. 211). Сама точка О, естественно, изображает число 0. Числа 3,5; —4,2 и о являются координатами точек А, В и О. Это записывают так: А(3,5), Б(-4,2), 0(0). Противоположные числа изображаются точками координатной прямой, симметричными относительно точки О. Например, числам 5 и —5 соответствуют точки, расположенные справа и слева от точки О на расстоянии, равном 5 единицам (рис. 212). Направление луча, на котором изображают положительные числа, называют положительным направлением. Его принято указывать стрелкой. -5 н—I—I—I—I—t-0 1 Рис. 212 ^^926. Среди чисел 1; -2,1; 0; 6; --I-: 2^\ -100; 3,05; -7 укажите: а) положительные числа; б) отрицательные числа; в) целые числа; г) натуральные числа; д) целые положительные числа; е) отрицательные дробные числа. 927. Задание с выбором ответа. Найдите неверное утверждение. А. -86Z. Б. -4«ЛГ. В. ^ЗiQ. Г. 1,3eQ. 928. Запишите: а) пять отрицательных дробей со знаменателем 3; б) пять отрицательных десятичных дробей с одной цифрой после запятой; в) пять чисел, расположенных между -1 и 0. 929. Назовите число, противоположное данному: -100; 100,45; - 930. Заполните таблицу. 2д; д; 0,001; а 1 3 -2,4 3 7 -а -1 6 -5,4 1 8 2 3 931. Упростите запись: а) +(-2,4); +(+0,6); +(-у); б) -(+1,7); -(-8,5); F D ■*—I—*—I- 0 1 Рис. 213 932. Среди чисел -2,5; 1-^: “1.5; -j: "2-j; -3,5 укажите: a) равные числа; б) противоположные числа. 933. На координатной прямой отмечены точки (рис. 213). Запишите их координаты. 934. Начертите координатную прямую. Отметьте точками данное число и число, ему противоположное: а) 1; 3; 5; 7; б) -2; -4; -6; -8. 935. Отметьте на координатной прямой целые числа, заключенные между числами: а) -3 и 4; б) -8 и 1; в) -28 и -20. 936. Запишите координаты всех отмеченных точек (рис. 214). 937. На координатной прямой отмечены точки (рис. 215). Запишите их координаты. HGFEOABCD L N А О М Е К { • ♦-----• •-----•---Ф---I -0,5 о 1 Рис. 214 Н------1-----1-----*-----1-----»-----1-----»-----1- -10 1 Рис. 215 938. Запишите координаты отмеченных точек, начиная с точки А (рис. 216). а) IHGFEDCBA -6 б) J -5 Я G D В н—h н—*- -I—•—I— -1 Рис. 216 939. На координатной прямой точками отмечены некоторые числа (рис. 217). Отметьте точками противоположные им числа. Назовите координаты всех отмеченных точек. а) В О Е б) М н—*—н -4 N н—I—^ о О н—h D 4 в -1 -0,5 о 0,3 Рис. 217 0,9 940. а) Отметьте на координатной прямой числа: -0,5; -1; -1,5; -2; -2,5; -3; -3,5. б) Изобразите координатную прямую (единичный отрезок — 10 клеток) и отметьте числа: 5; 5,3; 5,7; 6; 6,4, а затем отметьте числа: — 5; —5,3; —5,7; —6; —6,4. 941. Изобразите координатную прямую (единичный отрезок — 4 клетки). Отметьте на ней точки: а) 0(0), Е(1), м(-|), A/(-1j); 942. 14/’ ' 4/ б) 0(0), Е(1), 4(1,5), В {-2,25). Какая иЗ данных точек расположена на координатной прямой дальше от начала координат: а) 4 (-17) или Б(-80); в) К (-0,5) или L (-0,50); б) С (-3,03) или О (-2,97); г) /И (--|) или /V (--|)? 943. Среди чисел -2,5; l4-; 0; -1,5; -2-^; -3,5 укажите: а) равные числа; б) противоположные числа. ___ 944. Прочитайте разными способами соотношения между множествами натуральных, целых и рациональных чисел и изобразите каждое из них с помощью кругов Эйлера: NcZ, ZcQ, NcZcQ. Указание. Соотношение NcZ, кроме известного вам способа, можно прочитать еще и так: всякое натуральное число является целым. 945. Закончите равенства: а) NnZ=...\ NnQ = ...; ZnQ=...-, б) NL)Z=...-, N\JQ=...\ ZUQ = ... . 946. Выпишите две дроби со знаменателем 7, которые изображаются точками, расположенными на координатной прямой между точками: а) 4 (у) и Б (у); в) /W (2у) и /V (^); б) с(-|) и D(-f); г) и P(-1|). 947. Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после запятой, которые на координатной прямой изображаются точками, лежащими между: а) 4 (2,5) и Б (3,1); в) М (3,8) и N (5,1); б) С (-3,9) и D(-3,1); г) /С (-10,9) и Р(-9,9). 948. На координатной прямой отмечены числа а и Ь __________,_________^^ (рис. 218). а о Ь а) Какое из них положительное, какое отрицатель- 218 ное? б) Как с помощью циркуля отметить на прямой противоположные им числа -а и -Ь7 949. Найдите неизвестное число х, если: 1 а) -x = 5-2: б) -х = -3,2; в) -(-х) = -0,5; г) -(-x) = 10; Д) -(-(-(-^))) = 7.1; е) -(-(-(-(-г)))) = -12. Сравнение рациональных чисел. Модуль числа Вы уже умеете сравнивать положительные числа, можете сравнить два целых числа. А теперь надо научиться сравнивать любые рациональные числа. Правила сравнения нам «подскажет» координатная прямая. Как и раньше, будем считать, что из двух чисел меньше то, которому соответствует точка координатной прямой, расположенная левее, и больше то, которому соответствует точка, расположенная правее. Отрицательные числа на координатной прямой изображаются точками, расположенными левее нуля, а положительные — точками, расположенными правее нуля. Поэтому: Любое отрицательное число меньше нуля. Любое положительное число больше нуля. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. положитель- ■ Пример 1. Сравним числа —100 и 0,1. Так как —100 — отрицательное число, а 0,1 ное, то —100 <0,1. Рассмотрим теперь, как сравнивают два отрицательных числа. ■ Пример 2. Сравним числа —6,5 и —4. Точка — 6,5 удалена от начала координат на 6,5 единицы, а точка — 4 — на 4 единицы (рис. 219). Так как точка —6,5 расположена левее, то — 6,5<-4. Рис. 219 Чтобы выяснить, какое из этих двух отрицательных чисел меньше, нам пришлось сравнить положительные числа 6,5 и 4 — расстояния от нуля до соответствующих точек на координатной прямой, или, как говорят, модули данных чисел: модуль числа —6,5 равен 6,5; модуль числа —4 равен 4. Слово «модуль» происходит от латинского modus, означающего «мера», «величина». Получить модуль отрицательного числа очень просто — достаточно отбросить знак «минус». Используя термин «модуль», правило сравнения отрицательных чисел можно сформулировать так: Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше. В математике принято говорить не только о модуле отрицательного числа, но и о модуле положительного числа, а также о модуле нуля. Например, число 3 удалено от начала отсчета на 3 единицы, поэтому естественно считать, что модуль этого числа равен 3. А число О находится на «нулевом» расстоянии от самого себя, поэтому и модуль его равен 0. Таким образом: Модуль положительного числа равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен числу, ему противоположному. Модуль нуля равен нулю. Из сказанного ясно, что модуль любого числа или положителен, или равен нулю. (Можно сказать иначе: модуль любого числа не отрицателен.) Для модуля есть специальное обозначение. Если а — некоторое число, то его модуль обозначают символом | а j. Например, |-4|, |3|, |0|. Вы, конечно, уже поняли, что если число изображено точкой на координатной прямой, то расстояние от этой точки до нуля и есть модуль данного числа (рис. 220). Чем дальше от нуля точка, изображающая некоторое число, тем больше модуль этого числа. А у противоположных чисел, которые изображаются точками, симметричными относительно нуля, модули равны. 950. Покажите схематически на координатной прямой положение данного 3 числа: а) 3,5; б) -4,5; в) --;г: г) -3,9. О ----•--------• ^ —4 6 —2 1 951. На рисунке 221 показано положение на координат- ’ ’ ной прямой чисел -3,6 и -2,1. Рис. 221 952. 953. 954. 955. Покажите схематически, как расположены на координатной прямой относительно друг друга числа: 3 1 а) 5 и -3; б) -5 и 3; в) -3,7 и -9,3; г) и Сравните с нулем: б) 0,4; 2,01; -з|. а) -0,7; 3,13; — Сравните числа: ^ ^ б)-уи1^; в) -3-^ и г)6уи-13у. а) у и -g. 956. Сравните числа: а) 2,6 и -1,3; б) -3,9 и 0,1; в) 3,5 и -3,7; г) -2,3 и 3,2. Какое из чисел расположено на координатной прямой левее; какое из чисел меньше: а) -3 или -4; в) -10у или б) -9,5 или -9,1; г) -ЗОу или -ЗОу? Между какими соседними целыми числами заключено число: -0,4; ~2у; 5 -101,1; -57у? Ответ запишите в виде двойного неравенства. Образец. -6<-5,8<-5. 957. Чему равен модуль числа: а) -3; 4; 70; -62; -100; 360; 1 1 б) -3,9; 3,9; 2’ -у: 3,13; 3,13; 958. 959. в) 2,7; -4,5; -у; 1 у; 5,07; 0; -6у? Сравните числа: а) -6 и -8; в) -1,2 и -3,4; д) -12,9 и -1,29; б) -9 и -8; г) -16,5 и -16; е) -3,1 и -3,12; Сравните: ж) -15,1 и-14,9; з) -0,1 и -0,01. 960. а) -у и -1; г) -2 и -1у: ж) —у и -ур; б) -у и -у; , 5 1 Д) -у и -у: . 2 1 . 3) g и 2- в) 1g и ^2’ . 3 3 -у "То^ . 2 3 и) -у и -у. Сравните числа: а) -Зу и -3-|; б) -4,12 и -4,21; г) (215) 961. Используя знак модуля, запишите, на каком расстоянии от начала координат находится точка: а) 4(1,5); б) М{0); в) /С(-1,4); г) l{-2j). Образец. Б(-2,7); еО= |-2,7| =2,7. 962. Найдите: а) |5|: б) |-10|; в) |3,6|; г) |--||; д) |у|; е) |-0,5|; ж) |-9,3|; з) ||-|. 963. Сравните: а) |-3| и |3|: в) |2,1| и 1-2,1|; д) |-^| и I-777I; б) |-1б0| и |20|: г) (1,3| и |-0,5|; 10 N |3| I 1 I ItI г^1- 964. Расположите числа в порядке возрастания. Запишите ответ в виде двойного неравенства: а) 0; -у; у: б) 1,7; 0; -1,7; в) 2,5; -2,1; 0,5; г) -у; --|; 0. 965. Вычислите: а) |5| + |-5|; б) |-25| + |-20|; в) |(-29) + {-1)|; г) |(-3)+15|. 966. Сравните: а) |3| + |7| и |3 + 7|; в) |-6| + |5| и |(-6) + 5|; б) |-1| + |10| и |(-1)+10|; г) |-5| + |-8| и |(-5) + (-8)|. 967. Расположите в порядке возрастания числа: а) -2у; -5; 0; -3,5; 2,6; 6у; б) 5-|; 968. Расположите в порядке убывания числа: ■9; 0; 1 4' ■2,7; -3,12. а) -3 3’ -3; 6; 0; 2у; -9; б) -10; -16; -у; 0; у; 2у. 969. а) Расположите в порядке возрастания десятичные дроби: -0,101; -0,1101; -0,01011; -0,011. б) Расположите в порядке убывания десятичные дроби: -0,3001; -0,31; -0,3301; -0,03331. 970. Существуют ли такие значения х, при которых выполняется данное равенство? Если существуют, то назовите их: а) |х|=0; б) |л:|=4; в) |дг|=-1. 971. Покажите, где на координатной прямой расположены точки, координаты которых удовлетворяют условию: а) |а|=6; б) |а|<6; в) |а|>6. 972. Числа а и Ь — отрицательные, и 1а|>|Ь|. Какое из неравенств верно: а>Ь или а|a|. В. |a|>|ft|. Г. Сравнить невозможно. 974. На каком из рисунков (рис. 222) изображены числа а и ft, если известно, что: а) числа д и ft — положительные и |д[ ^ \Ь\\ б) числа а и ft — отрицательные и |а| >|ft|; в) число а — отрицательное, число ft — положительное и |а| < |ft|; г) число а — отрицательное, число ft — положительное и |a|>|ft|? Ф н—(-ft о -Н—I--► Н—I- 0ft Oft Рис. 222 а о 975. На координатной прямой изображены числа с и d (рис. 223). Сравните их модули. а) б) -I—I-0 с в) d Рис. 223 г) Ч---h 976. При каких значениях а верно равенство: а) 1а| = |-а|; 977. Верно ли утверждение: а) если a = ft, то |а| = |ft|: б) если |a| = |ft|, то a = ft? Действия с рациональными числами б) |а|--|а|? Рассматривая правила действий с целыми числами, мы опирались на жизненный опыт — примеры с доходами и расходами, с выигрышными и проигрышными очками. Теперь эти правила можно сформулировать более точно, используя математическое понятие модуля. Сумма двух отрицательных чисел есть отрицательное число. Чтобы найти модуль суммы отрицательных чисел, надо сложить модули слагаемых. Сумма двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемого, у которого модуль больше. Чтобы найти модуль такой суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший. Обратите внимание: в каждом правиле выделяются два момента — определение знака суммы и способ нахождения ее модуля. Этими же правилами пользуются и при сложении любых рациональных чисел. П р и м е р 1. Вычислим сумму + (-1) У отрицательного слагаемого модуль больше, поэтому в результате запишем знак «минус». Модуль суммы найдем вычитанием: V 6/ 3 Решение можно записать в виде «цепочки»: —= Таким образом, ■I' + l 6 \ 6/ \6 б) 6 3 6i Вычитание рациональных чисел, как и целых, сводится к сложению. Чтобы вычесть из одного числа другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. ■ Пример 2. (-1,7)-0,8 = (-1,7) + (-0,8) = -2,5. Мы заменили разность чисел —1,7 и 0,8 суммой: (—1,7)-1-(—0,8). Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное, поэтому в результате записан знак «минус». Модуль суммы (—1,7)-Ь(—0,8) нашли, сложив модули слагаемых: 1,7-1-0,8 = 2,5. Пример 3. 15 V 10/ 15 V 10^ 30 ч- _9_^ /_9___4 15^1 30 Uo 30^ 30 6* Мы заменили вычитание сложением и затем привели дроби к общему знаменателю. Так как модуль положительного слагаемого больше, то сумма положительна. Модуль суммы нашли вычитанием. При умножении и делении двух рациональных чисел, как и двух целых чисел, сначала по правилам знаков определяют знак результата, а затем находят его модуль. Произведение двух чисел одного знака положительно, а произведение двух чисел разных знаков отрицательно. Чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули множителей. Пример 4. = “ 2- 3 3- 8 4' Частное двух чисел одного знака положительно, а частное двух чисел разных знаков отрицательно. Чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя. О К ОС ■ Пример 5. (-3,5):(-0,7) = -Ь-^ = ^=5. Заметим, что отрицательные дроби можно записывать по-разному. Рассмотрим, например, частные (— 5): 6 и 5 = (— 6). Каждое из них равно отрицательному числу —С другой стороны, каждое из этих частных можно записать с помощью дробной черты: (-5):6 = ^ и 5:(-б) = ^, 5 “5 5 Таким образом, = = 6 -6' Вы видите, что при записи отрицательных дробей «минус» можно ставить перед дробью, «вносить» его в числитель или «убирать» в знаменатель. Покажем, как это можно использовать при выполнении действий с дробями. Пример 6. 3 9 3 V 9/ 3 9 ^-3 -5_-3 + (-5)_-8 8 9 9 9 9 9’ Сначала мы привели отрицательные дроби к общему знаменателю, а затем воспользовались правилом сложения дробей: а . Ь _а + Ь с с с ' 5 _3 4 8 20 15 20 8-15 -7 7 20* Пример 7. ^ ^ ог\ 20 20 Мы воспользовались правилом вычитания дробей с одинаковы- а — Ь ми знаменателями: с В заключение подчеркнем, что действия сложения и умножения рациональных чисел, так же как и целых чисел, обладают переместительным, сочетательным и распределительным свойствами. Эти свойства позволяют в любой сумме и в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы. 978. Выполните сложение: а) (-2,5) + (-10); д) (-15) + (-2.3): б) (-2,5) + (-1): в) (-0,6)+ (-0.3): г) (-1.3)+ (-13); е) (-6.1) + (-2,3); ж) (-4,3)+ (-2.8); з) (-6,13) + (-7,9). 979. Найдите сумму: а) (-|) + (-5); б) (-7) + (-|): в) (-|) + (-|): г) (-l|) + (-^). 981. Сложите числа: а) 6.2 +(-5): б) (-6.5) +1; в) (-12,9) + 2,1; 982. Вычислите: а) 5++(-3); б) 4^ + 1 Г) 13,7 + (-2,5); Д) 6.1+(-9): е) (-7)+ 4,5; в) 2^+(-6): '■) (-5) +2- ж) 8,4 + (-9.1): з) 9,1 +(-0.8); и) (-10) + 8,9. 984. Вычислите, заменив вычитание сложением: а) 4,3-(-1,2); б) (-1)-(4)^ 3/ ' 3J в) (-5,9)-(-13,8); ,3/4, г) 5-(- д) 7,25-(-10.1): е) ^ 8 l-i)^ ж) о-(-о,4): з) (4)-(4)- 985. Заполните таблицу. 986. Вычислите: а) 1 5 3 1 Д) 5 3 3 3’ -4-3 = 6 ■^2 = б) 1 1 2 3 е) 3 2 5 10’ 5-7 = 5 3' 987. Вычислите; а) -3,2-(-2); б) -4,3-(-2); в) -1,2-(-3): г) 1,3-{-3): д) -5,1 -0,4; е) 6,2-(-0.8): ж) 13,1 • з) -4,2' и) -1,8 (-1.2); 4,2; (-1,8). 988. Вычислите: 1 а) ■2; б) 5-(-7); в) -у-(-2); А А 9 ■ 8’ , 3 / 10\ 989. Заполните таблицу. ж) -1 2 3’ 3 -f (-1); „ 2f(-A) И) -1 22 i (4)' 990. Заполните пропуски так, чтобы получилось верное равенство: а) -8-... = -0,8; б) 3,1 -... = -9,3; в) ...•(-5,7) = 5,7; г) ...-(-8,9) = -8,9; д) -17,3-... = 0; е) -1,2-... = 12. 991. Найдите число, обратное данному: -7; 1 10' 992. Вычислите: 4 а) - 9 :4; о: 1-1): ж) -^:^- Ж) ^ б) -f Ч-З); д) -1:-^; ,11/ 5\ 3 ' б)’ е) -f Ч-1): . 11 -25^15- 993. Выполните деление: а) 12,6:(-4); г) -14,4:1,2; ж) 20,9 :(-1); б) -5:(-2,5); д) 0,48: (-8); 3) 0:(-17,3); в) 1:(-2,5); е) -15,9:(-1); и) -99,1 :(-9,91). 994. Заполните таблицу. а -3 7 -8,2 -6,3 4,5 -7,5 6,12 0 0 ь 2 -3 -0,2 -2,1 -0,09 0,15 -0,4 4,3 -8,9 а'Ь 995. В каких случаях все три дроби равны: 2 2 -2. 2 2 7’ -7’ 7 ’ 3) _5- 5’ 5’ 3 -3 -3. 1 1 , 4’ 4 ’ -4’ 4) g . 8 ’ -8^ 996. Запишите частное в виде дроби и, если возможно, сократите ее: а) -2:3; г) -18:12; ж) 45:(-75); б) 5:(-7); д)-12:(-36); з)-25:(-15); в) -3:(-8); е) -48:64; и) -100:(-200). 997. Используя приемы, показанные в примерах 6 и 7 (с. 219), вычислите: а) -2-4: б)-д 4’ ^ I 3 3-4: 9 3' Вычислите устно (998 — 1000). , 1 3 3 5 4 7 998. а) J -4; 8 8’ 9 9’ б) 6 1. 15 2’ 2 1 5 \ / 1 \ в) 0--д; 0-(-l2). 999. а) -Н-0,7; -3 + 1,3; -5 + 4,2; -4 + 3,5 б) -0,6 + 4; -0,4+1; -0,1+1; -0,7+1 в) -2-1,3; -2,4-5; -1,6-4; -8-3,2 г) 0,8-1; 0,3-2; 0,1 -1; 0,2-3. 1000. а) -о,7-2,8; 1,3-2,7; -5,8 + 3,3; -0,6+1,1; б) -0,5-6,4; 3,8-10; -0,2-1,9; -4,5 + 3,1; в) 4,1-7,4; -2,6 + 3; -7,8-3,2; -1,5 + 0,7. 1001. Вычислите: а) -28+13 + 20-15; в) -5+10-12-20+10; б) 105-100-25+10; г) 17-21-17 + 21-18. 1002. Найдите значение выражения: а) о,7-0,2-1,6+ 0,3-0,4; б) -3 + 0,9-1,4-0,2 + 6,1; 3 3 3’ , 2 2 2 5 5 5' 1003. Найдите значение произведения: а) (-10)-(-0,1)-(-2,5); г) (-1)-(-3,7)-10; В) 2 -(-З)- 4’ Вычислите (1004—1006). 1004. а) -5-0,4 + 6; б) -5-(0,4 + 6); 1005. а) е) 2'^‘3^ в) -2-(-2,5)-2,6; г) -2-(-2,5-2,6). а) -12.|-2.^; г)-,2.(|-2)-|. 1006. а) 1.5 + (-1) : б) 1,5-(-1) 1007. Вычислите устно: 1,5-(-3,5) 1,5 + (-3,5)' в) -2,5+ 0,4 , -0,5-(-0,6) а) -7 + 5 2 ’ г) -8-10 9 ’ ж) б) -4+13 -3 ■ Д) 4-4 5 ’ 3) в) -9+1 2 ’ е) 4-10 3 ' и) -2,5-0,4 -7 + 6 2 ’ -4-16 -5 ■ 3-13 0,5-0,6 1008. Найдите значение степени: 'M-lVf' е)(-0.5)” 1009. Заполните пропуски так, чтобы получилось верное равенство: а) -6 + ... = -8; г) ... + (-3,8) = -4; б) -6,5 + ... = -10,5; д) ... + (-9,1) = -10,1; в) ... + (-3,9) = -13,9; е) -0,2+ ... = -0,4. 1010. 1011. 1012. 1013. 1014. Подберите число так, чтобы получилось верное равенство: а) -4.5 + ... = -3,5; г) -3,1+... = -1.1; б) ... + 3 = -2,9; д) ... + (-4,9) = -1,9: в) -13,1+... = -13,1; е) 0,48 + ... = 0. Найдите значение выражения; а) 5,5-(-0,9)-3-10,1; г) 0.8-1,5-1,4 + 2,3; б) -2,8:(1.6-1,2) + 3,4; д) (-1,9-0,3):(-2,6 + 3,1); в) 1,7-(-4)-1,6-5; е) 3.6-2.3-(-0,73-0,37). Поставьте в выражении 0,1-5-1,5:0,4 скобки всеми возможными способами и найдите значение каждого из получившихся выражений. Вычислите: . 1_1___L. 2 3 5’ 4 5 10’ в) ^ 6’ 4 '2 8- Найдите значение дроби: 0,7-1,5 1,2-3,1 +0,8 а) б) -1.3-0,3’ -0,9-1,5 0.9-1,5 ’ в) г) 0,01 1,5 + 3,2-0,5 -0,3 1015. 1016. Вычислите наиболее удобным способом: а) -3,8 + 17,15-6,2-6,15; „113 1 б) 4" 7 “4 ^7 = д) “6-|i-2+ 1-з|; в) 0,4-(-7.8)-0,25; е) -0,85-0,3-0,85-0,7. Заполните таблицу. а 11 -4 -2,5 -0.5 0 Ь 7 5 10 -0,7 1,6 а — Ь Ь-а Какую закономерность вы заметили? 1017. Вычислите устно: а) б) 1 1 3-5 в) 2 3 Д) 3-0,2 5-3’ 1 1 ’ 0,2-3- 3 2 0,4-0,6 1 -0,72 е) -(2.5-1) 0,6-0,4’ г) 0,72-1 ’ 1-2,5 (224)— 1018. Даны выражения: 0,9-0,5; -0,5-0,9; -0,9 + 0,5; 0,5 + 0,9. Выберите из них то, значение которого: а) равно значению выражения 0,5-0,9; б) противоположно значению выражения 0,5-0,9. 1019. Известно, что 2,8-3,5 = 9,8. Найдите значение выражения: а) -2,8-3,5; в) -((-2,8) • (-3,5)); б) -(-2,8-3,5); г) -(-(-(-2,8-3,5))). 1020. Сравните с нулем: а) (-0,3)"; б) (-4,8)^ в) (-1,05)^ г, д) (-1)”; 1021. 1022. 1023. 1024. 1025. 1026. Подставьте в выражение а—Ь+с указанные числа и выполните вычисления: а) а = 0, ft = 20,7, с = -10,3; в) а=1,2, Ь = 4,8, с = -4,2; б) а = -10, 6 = -5,5, с = 2,5; г) а = -0,7, 6 = -10, с = -5. Известно, что а = -0,2, ft = 2,5. Найдите: а-Ь\ -{а-ЬУ, {-а)'{-Ь)\ (-а)-Ь\ а-{-Ь). Известно, что д: < О и у<0. Определите, положительным или отрицательным является число: а) х-у\ б) (-х)-{-уУ, в) х + у, г) (-х) + (-у). Определите, положительным или отрицательным является число - —, У если: а) д:>0, £/>0; б) д:<0, у<0\ в) х>0, у<0. 1) Найдите значение выражения 12-14-Н5-10. В данном выражении измените знак перед каждым числом на противоположный и найдите значение нового выражения. Что вы заметили? 2) Запишите выражение, значение которого противоположно значению данного выражения: а) -15 + 8; в) - 1-2-3 + 4 + 5-18 + 27; б) -360-290; г) 10-15+11 -107-38-18. Проверьте себя, выполнив вычисления. 1) Какие из данных выражений равны: 12-14 + 5-10; -(12-14 + 5-10); -12+14-5+10? Запишите ответ, используя знак «=». 2) Замените выражение равным, не содержащим скобок: а) -(27 + 30); в) - (18-10 + 11 + 5); б) -(-14-10); v)-(-x + y-2). 8 — Дорофеев. 6 кл. n +3 Решение задач на «обратный ход» ■ Задача 1. Петя задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 21. Какое число задумал Петя? Эту задачу нетрудно решить «обратным ходом» (рис. 224). Сначала из 21 вычтем 3: 21-3 = 18. Теперь результат разделим на 2: 18:2 = 9. Значит, Петя задумал число 9. ■ Задача 2. Вася нарвал в лесу орехов. По дороге домой он встретил одного за другим четырех друзей. Каждому он отдавал половину имевшихся у него орехов. Домой он принес 10 орехов. Сколько орехов нарвал Вася? Встречая каждого друга, Вася делил орехи поровну, в результате у него осталось 10 орехов. Первоначальное число орехов найдем «обратным ходом» с помощью рисунка 225. Получим (((10*2)'2)-2)*2 = 160 (орехов). :2 :2 :2 •2 -2 Рис. 225 1027. а) Я задумал число, умножил его на 5, прибавил 3 и получил 38. Какое число я задумал? б) Я задумал число, разделил его на 2 и к результату прибавил 23. Получилось 77. Какое число я задумал? 1028. а) Ваня задумал число, умножил его на 7, к результату прибавил 8, полученное число разделил на 3 и из результата вычел 10. Получилось 226. Какое число задумал Ваня? б) Маша задумала число, прибавила к нему 5, результат умножила на 3, из получившегося произведения вычла 7 и получила 32. Какое число Маша задумала? 1029. Составьте свою задачу на задумывание числа и решите ее. (^26)--- 1030. у Коли была некоторая сумма денег, а мама дала ему 25 р. Половину всей суммы Коля потратил, и у него осталось 17 р. Сколько денег было у Коли первоначально? 1031. На первой остановке в автобус вошло 7 человек, а вышло 13, на второй остановке вошло 10 человек, а вышло 6. В автобусе осталось 25 человек. Сколько человек было в автобусе до первой остановки? 1032. Продавщица насыпала в пакет сахар, добавила 100 г — оказалось больше чем 2 кг, убрала 60 г — оказалось меньше чем 2 кг, добавила 15 г и получила ровно 2 кг. Сколько граммов сахара она первоначально насыпала в пакет? 1033. а) В горшок с медом добавили 0,4 л меда, а затем 0,75 л переложили в банку. Через некоторое время в горшок добавили еще 0,85 л, и в нем стало 2 л меда. Сколько меда было в горшке первоначально? б) В понедельник расход муки в кафе по сравнению с воскресеньем увеличился на 0,4 кг, во вторник он уменьшился по сравнению с понедельником на 0,25 кг, а в среду снова увеличился на 0,65 кг и составил 12 кг. Каков был расход муки в воскресенье? 1034. У Маши была некоторая сумма денег. На первую покупку она потра-1 _ 1 тила всей суммы, а на вторую остатка, после чего у нее осталось 12 р. Сколько рублей было у Маши первоначально? 1035. В первый месяц на ферме израсходовали запасенных кормов, во вто- 1 . 1 рои месяц остатка, в третий месяц -г нового остатка, после чего ос- О 4 талось 30 ц кормов. Сколько центнеров кормов было на ферме первоначально? 1036. У брата и сестры имелось по некоторой сумме денег. Когда брат потратил половину и треть остатка своих денег, а сестра — треть и половину остатка своих, у них осталось по 50 р. У кого из них было больше денег первоначально? 1037. Старинная задача. Зашли три путника на постоялый двор и спросили себе картофеля. Пока хозяин варил картофель, они заснули. Через некоторое время проснулся один из них, съел третью часть картофеля и снова заснул. Затем проснулся другой, съел третью часть картофеля и заснул. Наконец, проснулся третий и, не зная, что его спутники уже ели картофель, съел третью часть и снова заснул. На блюде осталось 8 картофелин. Сколько картофелин было подано первоначально? 1038. Старинная задача. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще пол-яйца. Третья купила последний десяток. Сколько яиц принесла крестьянка на базар? 8* Что такое координаты в речи взрослых вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты». Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, которые и считаются в этом случае координатами. Главное, чтобы по этим данным можно было найти человека. Именно в этом и состоит суть координат, или, как обычно говорят, системы координат: это правило, по которому определяется положение того или иного объекта. Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Кроме почтовых адресов и номеров телефонов, вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер места), с системой географических координат (долгота и широта) и т. п. Те из вас, кто играл в «морской бой», пользовались при этом соответствующей системой координат. Каждая клетка на игровом поле определяется буквой и цифрой. Буквами помечены вертикали игрового поля, а цифрами — горизонтали (рис. 226). 10 9 8 7 6 5 4 3 2М е: Е ее: ЕЕ Е Е а б в г д е ж 3 и к Рис. 226 8 1 ill 1 tiL 1 1 7 1 1 1 1 I 1 1 1 6 5 4 3 2 1 £ А А А А А А 1 0 L 111 i lI а ь с d е f 8 h Рис. 227 Аналогичная система координат используется в шахматах, но вертикали на шахматной доске всегда обозначаются латинскими буквами (рис. 227). С помощью этих координат можно записать ход любой шахматной партии. Такого рода «клеточные» координаты обычно используются на военных, морских, геологических картах. Применяются они и на туристических схемах городов для облегчения поиска нужной улицы или какой-либо достопримечательности. Идея координат зародилась в глубокой древности. Их изобретение было вызвано потребностью в создании небесных и географичес- ких карт. Долготой и широтой в качестве географических координат пользовался древнегреческий астроном Клавдий Птолемей (II в. н. э.). Квадратная сетка, играющая роль координат, была обнаружена на стене одной древнеегипетской гробницы. Прямоугольной сеткой для разметки холста пользовались и художники Возрождения. А сам термин «координаты» произошел от латинского слова ordinatus — упорядоченный; приставка со- указывает на совместность: координат обычно бывает две или более. 1039. Посмотрите на номера пунктов в учебнике — они тоже имеют свои координаты. Объясните какие. 1040. На шахматной доске расставлены пять фигур — король, ферзь, слон, конь и ладья (рис. 228). Запишите их координаты (например, король — d5). i — t — 1 D 1 2 1 а Ь с d е f Рис. 228 g h а b с d е f g Рис. 229 1041. Определите координаты клеток, занятых двумя конями (рис. 229). Запишите координаты всех клеток, находящихся под угрозой нападения этих коней. 1042. В квадрате 10 хю клеток изображена цифра 4 (рис. 230). «Зашифруйте» эту цифру с помощью координат. (На первом месте пишите букву, на втором — цифру.) 1043. Начертите квадрат 10x10 клеток. Изобразите с помощью крестиков любую цифру и «зашифруйте» ее. Предложите соседу по парте восстановить эту цифру по вашему шифру. 1044. На рисунке 231 изображен фрагмент карты Московской области. а) Найдите на этой карте города, если известны квадраты, в которых они расположены: Клин (ЗБ): Дубна (4А); Красногорск (4В); Руза (2Г); Поречье (1Г); Звенигород (ЗГ). abcdefghi j Рис. 230 б) Укажите квадрат, в котором расположены: Истринское водохранилище; Сенежское озеро; Рузское водохранилище; озеро Глубокое. в) Укажите квадраты, через которые проходят железные дороги: Москва—Шаховская; Москва—Клин. 1045. Придумайте систему координат для определения места ученика в классе. Укажите координаты нескольких учеников. 1046. Рассмотрите карту Западной Европы. а) Запишите координаты (широту и долготу) городов: Киев, Минск, Париж, Гамбург, Лондон. б) Найдите города, расположенные на 60° с. ш.; на 50° с. ш. Для каждого города определите географическую долготу. в) Найдите города, расположенные на 18° в. д. Для каждого города определите географическую широту. г) Определите, какие города имеют координаты: (41° с. ш., 4° з. д.); (47° с. ш., 6° в. д.); (55° с. ш., 25° в. д.); (38° с. ш., 24° в. д.). 1047. Каждый участок маршрута, изображенного на рисунке 232, можно описать с помощью трех координат: заметный ориентир, угол между северным направлением и направлением движения (азимут), расстояние. Например, участок маршрута, идущий от сухого дерева к белому камню, можно записать так: (сухое дерево, 50°, 90 м). Запишите таким образом весь изображенный на рисунке 232 маршрут, начиная с первого участка и до конечной цели. 1048. Туристический маршрут от лесного лагеря до водопада записан следующим образом: (палатка, 0°, 400 м); (муравейник, 30°, 800 м): (поленница, 60°, 600 м); (переправа, 40°, 600 м). Начертите маршрут по данным координатам, используя масштаб: 1 см — 200 м. Прямоугольные координаты на плоскости Вспомните, как задают координаты на прямой. Для этого на прямой выбирают начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок. После этого любая точка прямой получает свою собственную координату. Например, точки А, В, С имеют соответственно координаты —1,5; 2,5; 4 (рис. 233). Таким образом, координата точки указывает ее место на координатной прямой. А как указать положение точки на плоскости? Для этого на плоскости чертят две перпендикулярные прямые (обычно одну из них располагают горизонтально, а другую — вертикально) и вводят на каждой из них обычные координаты (рис. 234). Точка пересечения прямых О — это начало отсчета на каждой коорди- В -1,5 С —•— о 1 2,5 Рис. 233 натнои прямой; единичный отрезок, как правило, один и тот же. На горизонтальной прямой положительное направление выбирается «слева направо», на вертикальной — «снизу вверх». Эти направления показывают стрелками. Точку О называют началом координат. Эта буква выбрана не случайно, а как первая буква латинского слова origo — начало. Сами координатные прямые называют осями координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью л:), вертикальную ось называют осью ординат (осью у). Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью. Оси разбивают координатную плоскость на четыре области, которые называются координатными четвертями. Их нумеруют против часовой стрелки (см. рис. 234). Покажем, как определяется положение точки на координатной плоскости. Пусть на координатной плоскости отмечена некоторая точка А (рис. 235, а). Опустим из нее перпендикуляр на ось х. Он пересечет ось X в точке с координатой, равной 3 (рис. 235, б). Число х — 3 называют абсциссой или первой координатой точки А. а) —1 ifi 1 б) Hi prrqjSi . 1 • Т), !~Т J ^^ 1 Ll |А г i 1 1 1 1 6 Д.-!- !В)| \А У' ——f + ' 1 \В\ М М,1 \ 1 мм, е\ 1 1 1 ! М ! М 1 ' ! 1 '. !• 1 1 10 “jn гт? 1 ; iC! М * ' 1 ‘■1 1 1 i ' 1 м м_. if) —гм;— ■ м 1 1 1 1 ,1 1 М 1 - . мммТ^ И i 1 * ' ^ ^ 1 и 1 '■ lJ ! 1 i 1 I . п J-.1 . i . Рис. 237 1050. Постройте прямоугольную систему координат и отметьте точки, имеющие следующие координаты: а) х = 3, у = 5; x = -^, у = 2\ х = -3, у = -^ И х = 4, у = - б) х = 5, у = 0; х = -3, у = 1; х = 0, у = -3: х = 2, у=-5 в) х = 6, у = 2; х = -2, у = 0; х = -5, У = 5; х = 0, у = 3. 1051. Отметьте на координатной плоскости точки: а) (2; 5), (6; -4), (-2; 2), (-1; -3). (6; 0); б) (7; 4). (-3; 3), (-4; -5), (2; -1), (-3; 0); в) (4; -1). (0: 3). (-2; 4), (-1; -1), (0; -2). 1052. На координатной плоскости отметьте точки: А (2,5; 3), В (-1,5; -2,5), С (-2,8; 4), D (3; -3,2), Е (0; 4,5), К(-1,1;0). 1053. Постройте отрезок АВ по координатам его концов и найдите координаты точки, в которой он пересекает ось х: а) А (4; 2), В (2; -2); б) А (-1; -3), В (-3; 3). 1054. а) Постройте треугольник, если известны координаты его вершин: А (0; -3), В (-2; 3), С (5; 2). Укажите координаты точек, в которых стороны треугольника пересекают ось х. б) Постройте четырехугольник ABCD, если его вершины имеют координаты: Л (-3; -4), В (-3; 4), С (3; 2), D (3; -2). Укажите координаты точек, в которых стороны четырехугольника пересекают оси координат. 1055. На координатной плоскости постройте данную точку и точку, симметричную ей относительно оси х, и запишите ее координаты: а) 4 (6; 2): б) Б (3; -1); в) С (2; 4,5); г) D (-3,5; -3,5). Сопоставьте координаты точек, симметричных относительно оси х, и сделайте вывод. I 1056. На координатной плоскости постройте данную точку и точку, симметричную ей относительно оси у, и запишите ее координаты: а) 4 (5; 1); б) Б (4; -2,5); в) С (-3; 4); г) D (-1,5; -6). Сопоставьте координаты точек, симметричных относительно оси у, и сделайте вывод. 1057. На координатной плоскости постройте: а) треугольник АВС по координатам его вершин: 4 (-6; 2), В (-2; 2) и С (-2; 4); б) треугольник DEF, симметричный треугольнику АВС относительно оси х\ запишите координаты вершин треугольника DEF; в) треугольник KLM, симметричный треугольнику АВС относительно оси у, запишите координаты его вершин. 1058. а) На координатной плоскости постройте прямоугольник ABCD по координатам его вершин: > 4 (5; 3), В (-2; 3), С (-2; -2), D (5; -2). Вычислите периметр и площадь прямоугольника ABCD. б) На координатной плоскости отметьте точки 4 (-8; 3), Б (1; 3), С (1; -2). Постройте четвертую точку D так, чтобы получился прямоугольник ABCD. Вычислите периметр и площадь прямоугольника ABCD. (§$— 1059. а) На координатной плоскости отметьте пять точек, имеющих абсциссу, равную 4. Запишите координаты этих точек. Где расположены все точки с абсциссой, равной 4? б) На координатной плоскости отметьте пять точек, имеющих ординату, равную 1. Запишите координаты этих точек. Где расположены все точки с ординатой, равной 1? абсциссу. 1060. все точки которой имеют равную: все точки которой имеют ординату, равную: положи- Постройте прямую, а) 3; б) -2; в) 0. 1061. Постройте прямую, а) 2; б) -4; в) 0. 1062. Начертите систему координат. а) Отметьте несколько точек, абсцисса и ордината которых тельные числа. Где на координатной плоскости расположены все такие точки? б) Отметьте несколько точек, абсцисса и ордината которых — отрицательные числа. Где на координатной плоскости расположены все такие точки? в) Отметьте несколько точек, у которых абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Где на координатной плоскости расположены все такие точки? г) Отметьте несколько точек, у которых абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Где на координатной плоскости расположены все такие точки? 1063. Система координат, которую вы изучили, называется прямоугольной. Можно ли придумать не прямоугольную систему координат? А можно ли направлять оси не вправо и вверх, а влево и вниз? 0 ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Системы счисления Когда люди научились считать по пальцам, они сделали огромный шаг в развитии цивилизации. Пальцы оказались прекрасной «вычислительной машиной». С их помощью можно было считать до 5; если взять две руки, то и до 10, а присоединив пальцы ног, можно было считать уже до 20, Научившись считать до 10, люди сделали следующий шаг и стали считать десятками, потом десятками десятков, т. е. сотнями, и т. д. Такой счет породил десятичную систему счисления, принятую почти у всех народов мира. Для записи чисел в десятичной системе счисления, как вы знаете, используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью можно записать любое, сколь угодно большое число. Это объясняется тем, что десятичная система является еще и позиционной: значение каждой цифры в записи числа зависит от позиции. ГрГГ) 4 УГ1 6 J которую она занимает. Эта «позиционность» выражена и в языке. Например, про число 583 мы говорим: «Пятьсот восемьдесят три», т. е. «5 сотен, 8 десятков, 3 единицы». Записать это можно так: 583 = 5-100 + 8-10 + 3, или 583 = 5-10^ + 8-10 + 3. Но не только десятичную систему счисления использовали люди. У жителей южных широт была распространена двадцатеричная система (может быть, потому, что ходили они босиком). А у северных народов имела хождение и пятеричная система счисления (наверное, потому, что холодно снимать варежки с обеих рук сразу). Но были народы, у которых в самой глубокой древности счет шел до шести, а потом особое значение у них получило число, равное шести десяткам. Так случилось у шумеров и древних вавилонян, которые стали использовать шестидесятеричную систему счисления. В разное время разные народы использовали и двенадцатеричную систему счисления, потому что считать можно не только пальцы, но и фаланги пальцев руки (рис. 238). Следы этих систем счисления остались в языках, традициях, суевериях. Число «двенадцать» называют еще дюжиной. Дюжинами продают вилки, тарелки, чашки. Циферблат часов поделен на двенадцать частей, год цать месяцев, в гороскопе двенадцать знаков зодиака. Конечно, запись одного и того же числа в разных системах счисления различна. Количество цифр, используемое в той или иной системе счисления, такое же, как и основание этой системы. Например, в пятеричной системе счисления используется всего пять цифр: о, 1, 2, 3, 4. Возьмем число, записанное в пятеричной системе, например 21З5. (Цифра 5 внизу указывает основание системы счисления.) Выясним, какое число в привычной для нас десятичной системе скрывается за записью «два, один, три» в пятеричной. Для этого распишем число 21З5 по разрядам пятеричной системы, т. е. по степеням пятерки: 21З5 = 2-54l-5 + 3 = 2-25 + 5 + 3 = 58. Значит, 2135 = 5810. Гораздо труднее перевести число из десятичной в непривычную нам пятеричную систему счисления. Возьмем, например, число 284ю. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых с основанием 5. Мы знаем, что 5' = 5, 5^ = 25, 5®=125, 5‘‘ = 625. Так как Ъ* уже больше, чем 284, то нужно выяснить, сколько раз в этом числе «укладывается» 5^. Рис. 238 на двенад- Для этого разделим 284 на 125, получим 284 = 2-5^ + 34. Теперь посмотрим, сколько раз в остатке «укладывается» 5^: 34 = 1-5^ + 9. Далее, 9=1-5 + 4. Итак, 284 = (2)-5® + ф-5^ + (1)-5+ ©. Значит, 284io = 21145. Понятно, что проверить правильность вычислений можно, если воспользоваться более легкой процедурой перевода числа из пятеричной системы счисления в десятичную. 1064. Лунный календарь делится на периоды, в которых семь дней. Отсюда произошел обычай соединять дни в семидневки — недели. Знаете ли вы какие-нибудь еще природные явления, связанные с числом 7? Может быть, вспомните пословицы, упоминания числа 7 в истории? 1065. На рисунке 239 точками изображено некоторое число. Запишите его сначала в десятичной, а потом в пятеричной системе счисления. 1066. Какие цифры используются для записи чисел в четверичной системе счисления? в троичной? в двоичной? Переведите в десятичную систему счисления число: а) 23OI4; б) 22113; в) lOIOIj. 1067. Запишите в десятичной системе счисления: а) IO5; б) lOOgi в) IOOO5. 1068. Ресторан закупил семь дюжин столовых приборов. Выразите количество столовых приборов сначала в десятичной, а потом в двенадцатеричной и шестеричной системах счисления. 1069. Выразите в пятеричной системе счисления число: а) 3124; б) 194. 1070. Запишите первые пятнадцать натуральных чисел в троичной системе счисления. Рис. 239 Кроме десятичной системы счисления, в наше время активно используется еще и двоичная. Числа в двоичной системе записываются с помощью всего лишь двух цифр: О и 1. А натуральный ряд в этой системе начинается так: 1; 10; 11; 100; 101; 110; 111; 1000; ... . (Убедитесь «обратным переводом», что это и в самом деле натуральный ряд, запишите самостоятельно еще несколько его членов.) Правда, у двоичной системы есть один существенный недостаток: числа быстро становятся очень «длинными». Например, число 10101 Ig — это всего лишь 43ю: 1010112=1 2® -ь о • 2'‘ -Ы • 2^ -Ь о • 2^ -И • 2 -Ы = 43 10‘ есть + 0 1 0 0 1 1 1 10 X 0 1 0 0 0 1 0 1 Рис. 240 Зато у двоичной системы удивительные достоинства! Ведь числа нужно не только записывать, но и производить с ними арифметические действия. А в двоичной системе таблицы сложения и умножения выглядят удивительно просто (рис. 240). Двоичная система счисления благодаря своим особенностям оказалась исключительно полезной для практики: 1 и 0 можно рассматривать как символы «Да» и «Нет», «Истина» и «Ложь». А это уже относится не только к математике, но и к любой деятельности человека. Недаром поэтому при попытках поиска внеземных цивилизаций использовалась двоичная система. 1071. Какие двоЛчные числа закодирова- ....... ны цепочками включенных и выключенных лампочек на рисунке 241 (лампочка включена — это 1; лампочка выключена — это 0)? Переведите каждое из них в десятичную систему. 1072. Рассмотрите пример сложения чисел в двоичной системе: 101011 11010 1000101 Рис. 241 Выполните сложение в двоичной системе: а) 10+11; б) 101 + 1001; в) 101 + 1011. 1073. В отрывке из шуточного стихотворения А. Старикова «Необыкновенная девочка» упоминаются некоторые числа: Ей было тысяча сто лет, Когда, пыля десятком ног. Она в сто первый класс ходила. Она шагала по дороге, В портфеле по сто книг носила — За ней всегда бежал щенок Все это правда, а не бред. С одним хвостом, зато стоногий. Что вы узнали о девочке из этого отрывка? 1074. В какой системе счисления: а) 5 + 3 = 10; б) 2-2 = 4? (2Ж Задания для самопроверки к главе 10 (Обязательные результаты обучения) 1 4 1. Даны числа: -7g-; 90,1; -0,5; 0; -100; 3. Укажите среди них числа: а) положительные; б) отрицательные; в) целые; г) целые отрицательные. 2. Запишите число, противоположное числу: а) 18,3; б) --j; в) 0. 3. Чему равен модуль числа: а) 2,8; 4. Найдите: а) |-27|; б) -5,6? б) |18|; в) 1-^1; г) |4,1|. 13 I о I 5. Сравните: а) и б) -1,2 и -1,02; в) 0 и -3,5; г) -2,4 и 1,5. 6. Отметьте на координатной прямой числа: а) 4; -1; -6; б) 0,5; -0,5; -1,2. 7. Отметьте на координатной прямой данное число и число, ему противоположное: а) 3; б) -1,5. 8. Запишите координаты точек, отмеченных на рисунке. а) б) о 1 9. Выполните действия: а) -0,8-2,3; б) 3 2- в) -0,7+1; г) 0-10,3; д) -5-(-0,6); е) -6-у; -6 ж) 8,1:(-0,9); к) з) -2,4: (-0,6); л) и) 1,2-(-1); м) н—I— -5 -1-( -2,1 3 ’ -5,4 -10 • -h 10. Найдите число, обратное данному: а) б) -8. 11. Вычислите: а) (-4)^; б) (-10)^; в) (-|)^: г) (-0,1)^ 12. Найдите значение выражения: а) 16-(-3)-(-7); в) 2,5-(-4) + 15; б) -7-10 + (-24); г) -12-(0,7-1,2). 13. Постройте на координатной плоскости точки: А (-6; -3), В (5; 7), С (-4; 2), D (3; -5), К (0; 4), L (0; -2), М (6; 0), N (-3; 0). 14. Запишите координаты точек (рис. 242). ---(^^ 1 ■ ’ i |-1Т7 I I ' F i ' iK I i I i 1 I i I _ J R 1 'g! ' E 0 X 1 1 1 t 1 ! ! 1 ’ T, 1 ’ ’ 1 ' : 1 : ' ’ ' Рис. 242 X P-2 У -фуквы и формулы о математическом языке С помощью языка люди передают друг другу разнообразные сведения, выражают свои мысли и чувства, или, как говорят, обмениваются информацией. В мире существует много — около 2000 — различных языков, на которых говорят, пишут и читают разные народы. Это так называемые естественные языки — они возникали и развивались вместе с народами. По мере изучения математики вы постепенно знакомитесь с математическим языком. Он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. В математическом языке есть свой алфавит. Буквами в нем являются различные математические знаки. Прежде всего к ним относятся цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9. С помощью цифр по специальным правилам записывают числа. Вы знакомы и с другими математическими знаками: =, >, <, +, •. %. Математическими знаками являются также и скобки. В математическом языке используются еще и латинские буквы. Вам уже приходилось применять их для обозначения точек, отрезков, прямых, углов, а также для обозначения чисел. Когда, например, говорят «Возьмем число к», то это означает, что некоторому числу — неважно, какому именно — дали «имя» к, и дальше с ним можно обращаться так, как будто оно вполне определенное. Например, можно записать его сумму с числом 5, получится /г+ 5. Можно умножить его на 10, получится fe*10. Записи й + 5 и ft'JrO- — это математические выражения. \^1атематические выражения — слова математического языка — составляют из чисел, букв, знаков действий и скобок. Вот еще примеры выражений: (6 —2) *5; (—6):3; а — Ь. ( При составлении выражений соблюдаются определенные правила. Например, если нужно записать разность чисел 2 и —3, то мы пишем не 2----3, а заключаем число — 3 в скобки: 2 - (- 3). Если нужно умножить сумму чисел 5 и 6 на 2, то мы заключаем эту сумму в скобки: (5-Ь6)‘2. А выражение 5-1-6-2 имеет совсем другой смысл: оно равно сумме 5-Ь(6*2). Однако в этом случае мы договорились скобки не ставить: при отсутствии скобок умножение должно выполняться раньше сложения. При записи буквенных выражений, содержащих действие умножения, немного изменяют привычные правила. Так, вместо а • б обычно пишут ба, т. е. числовой множитель записывают перед буквенным и точку между ними не ставят. Точно так же вместо (с4-4)*10 пишут 10(с-ь4), вместо о*&*3 пишут Zab. В то же время никогда не пишут, например, а7. Если необходим именно такой порядок множителей в произведении чисел а и 7, то точку обязательно ставят, т. е. пишут а • 7. Частное двух чисел, обозначенных буквами, записывают обычно с помощью черты дроби, например I ’Г 3, I , I (!a|f ,^)j- :i=;«r в математическом языке используются и математические предложения, выражающие некоторую мысль. Вот примеры математических предложений: 2 4-3 = 5; 8 <9; 87 делится на 9; а — четное число. Первые два из них — верные утверждения, третье — неверное. Четвертое предложение отличается от первых трех; при одних значениях а оно обращается в верное равенство, при других — в неверное. Занимаясь математикой, вы постоянно переводите словосочетания с русского языка на математический и наоборот. Например, фраза «сумма чисел два и три» на математическом языке записывается так: 2 4-3. Вы знаете переместительное свойство сложения: при перестановке слагаемых сумма не меняется. На математическом языке оно записывается так: а 4-6 = 6 4-а для любых чисел а и Ь. - Дорофеев, 6 кл. Вам известно также распределительное свойство. С помощью букв оно записывается следующим образом: для любых чисел а и Ь {а + Ь)с = ас + Ьс. Его можно перевести на русский язык по-разному. Перевод, «близкий к тексту», может быть таким: произведение суммы двух слагаемых и некоторого числа равно сумме произведений каждого из слагаемых на это число. А можно перевести и так: чтобы умножить сумму на некоторое число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить. В первом варианте перевода мы просто формулируем некоторый математический факт, а во втором сообщаем, как математический факт можно использовать при вычислениях. Предложения математического языка, как правило, короче, чем в естественном языке, именно благодаря использованию специальных математических знаков. Кроме того, они понятны людям, говорящим на разных языках. 1075. Запишите в виде математического выражения такую последовательность действий: а) число 7 умножить на 2 и к произведению прибавить 8; б) число 15 разделить на 4 и из частного вычесть 6,2; в) к числу 12 прибавить 107 и сумму умножить на 100; г) из числа 25,6 вычесть 8,9 и разность умножить на 1,1. 1076. Запишите в виде математического выражения такую последовательность действий: а) число k умножить на 4 и к произведению прибавить 14; б) число 12 умножить на число а и это произведение вычесть из 100; в) к числу 2 прибавить число 83 и эту сумму умножить на 100; г) к числу а прибавить число Ь и эту сумму разделить на число с; д) из числа т вычесть число х и разделить на эту разность число с; е) число а возвести в квадрат и к результату прибавить 18; ж) к числу а прибавить Ь и эту сумму возвести в квадрат. 1077. Какая последовательность действий и над какими числами задана выражением: а) a-t-b + 15; б) Зт-7\ в) 2+ 1,5д:; г) (2 + а)(Ь-Д) 5(й + 3); е) 7ГГ7Т с); ж) 100-(г/-2); з) а^-с; и) (n-Sf? 1078. а) В каждое из выражений (1-х) и 1-х подставьте вместо х число -1. Выполните вычисления. б) В каждое из выражений (1 +а)Ь и 1 + ай подставьте вместо а число 3, а вместо Ь число -2,5. Выполните вычисления. 1079. Запишите с помощью математического выражения: а) произведение суммы чисел а и 6 и числа 7; б) сумму числа 10 и произведения чисел а \л х\ в) разность числа с и произведения чисел 7 и fe; г) разность числа т и суммы чисел 2 и л; д) удвоенное произведение чисел а \л Ь\ е) произведение суммы чисел х и г/ и их разности. Yo^. Прочитайте, используя слова «сумма», «разность», «произведение», «частное»: а) (12 + 8)-25; б) 6-8 + 5; в) (15 + 3)-(15-3): г) 21 -(18 + 3); Д) 4ft+ 7; е) а + 2 ж) т(3 — п)\ з) (a + ft)(a-ft); и) а-{Ь + с). 1081. Пусть дано некоторое число. Обозначьте его какой-нибудь буквой и запишите в виде буквенного выражения: а) удвоенное данное число; д) число, на 2 большее данного; б) половину этого числа; е) число, на 3 меньшее данного; в) две трети этого числа; ж) число, противоположное данному. г) 10% этого числа; 1082. Запишите в виде буквенного выражения: а) сумму двух чисел; б) произведение двух чисел; в) частное двух чисел; г) сумму трех равных чисел; д) произведение четырех равных чисел. 1083. Длина отрезка равна с метров. Чему равна длина отрезка, который на 10 м длиннее данного? на 3 м короче данного? в 2 раза длиннее, чем данный? в 3 раза короче, чем данный? 1084. Ане 12 лет. Как записать возраст членов ее семьи, если: а) папа в k раз старше Ани; б) мама на т лет старше Ани; в) брат в а раз младше Ани; г) сестра на п лет младше Ани? 1085. У 2 кошек 2-4 лапы, 2-2 уха, 2 носа. Продолжите запись: у 4 кошек 4-4 лапы, ... уха, ... носа; у 15 кошек ... лап, ... ушей, ... носов; у п кошек ... лап, ... ушей, ... носов. 1086. У 2 автомобилей с прицепом 2 • 6 колес, 2-2 фары, 2 руля. Продолжите запись: у 5 автомобилей с прицепом 5-6 колес, ... фар, ... рулей у 20 автомобилей с прицепом ... колес, ...фар, ... рулей; у k автомобилей с прицепом ... колес, ... фар, ... рулей. 9* 1087. Яблоко стоит 10 р., а слива — 5 р. За 2 яблока и 3 сливы надо заплатить 2-10 + 3-5 р. Продолжите запись: за 5 яблок и 4 сливы надо заплатить 5-10 + ...; за 12 яблок и 10 слив надо заплатить за а яблок и Ь слив надо заплатить ... . 1088. Конфета стоит а рублей, а пряник стоит с рублей. Сколько стоят 7 конфет? 5 пряников? 6 конфет и 2 пряника? х конфет и у пряников? 1089. Килограмм шоколадных конфет стоит а рублей, килограмм карамели стоит Ь рублей. а) Что было куплено, если стоимость покупки (в рублях) равна а + Ь? ЗЬ7 2а? 2а+ Ь? б) Каков смысл выражения а-ЬЗ 1090. Придумайте задачу, по условию которой можно составить выражение: а а) а+ Ь\ б) X-у, в) mir, г) 1091. Запишите в виде математического предложения: а) число k больше 5; в) модуль числа т больше 1; б) число X меньше числа с; г) квадрат числа а равен 4. Подставьте вместо буквы в каждое предложение такое число, чтобы получилось верное утверждение; неверное утверждение. 1092. Переведите на математический язык предложение: а) сумма числа х и числа 15 равна 31; б) произведение чисел а и Ь равно 8; в) удвоенное число т равно 11; г) половина числа Ь равна 1,5; д) разность чисел Ь и с больше 3; е) произведение чисел 5 и д: меньше числа у. 1093. С помощью букв записаны некоторые свойства действий над числами. Дайте перевод этих математических записей на русский язык. Каждое из них проиллюстрируйте конкретными примерами: а) а + 0 = а; в) х +у = у + х; р) (а + Ь)с = ас + Ьс\ б) x•^=x^, V) аЬ = Ьа\ е) а-(-1) = -а. 1094. Подставьте вместо буквы а такое число, чтобы: а) произведение 6а было целым положительным числом; целым отрицательным числом; дробным положительным числом; дробным отрицательным числом; б) произведение было целым положительным числом; целым отри- цательным числом; дробным положительным числом; дробным отрицательным числом. (2^ 1095. Предложение «5 больше 3 на 2» можно перевести на математический язык разными способами: 5-3 = 2, 5 = 3 + 2, 5-2 = 3. Переведите разными способами на математический язык следующие предложения: а) число 17 больше числа 10 на 7; б) число k больше числа т на 3; в) число 9 меньше числа д: на 5; г) число а меньше числа fe на 1; д) число 10 больше числа 5 в 2 раза; е) число п больше числа k в 3 раза; ж) число с меньше числа 20 в 4 раза; з) число X меньше числа у в 6 раз. Примеры иллюстрируют некоторое правило. Сформулируйте это правило и запишите его с помощью букв: 1096. а) 7-0 = 0, 15,3-0 = 0, I- 0; б) 50:1 = 50, 2.6:1=2,6, 8 ' 8’ 8) 4 + (-4) = 0, 0,3 + (-0,3) = 0, 1097. Для записи «длинных» выражений в математике часто используют многоточие. Например, выражение 1-2.3-...-50 означает произведение всех натуральных чисел от 1 до 50. Запишите в виде математического выражения: а) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100; б) произведение всех натуральных чисел от 1 до л; в) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100; г) сумму всех натуральных чисел от 1 до л; д) сумму всех двузначных чисел; е) сумму всех трехзначных чисел; ж) сумму всех четных двузначных чисел; з) сумму всех нечетных двузначных чисел. 1098. На координатной прямой точками отмечены последовательные целые числа. Одно из них обозначено буквой л (рис. 243). Подпишите соответствующие числа под остальными точками. Рис. 243 1099. Запишите в виде буквенного выражения: а) произведение двух последовательных целых чисел; б) сумму двух последовательных целых чисел. 1100. Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных целых чисел, начиная с числа: а) л; б) л + 3; в) л-2. -^245) 1101. Запишите в виде буквенного выражения сумму пяти последовательных целых чисел, начиная с числа: а) й; б) fe + 1; в) fe - 1. 1102. На координатной прямой отмечено число — а (рис. 244). Перечертите рисунок в тетрадь и отметьте на координатной пря- Рис. 244 мой точки, соответствующие числам: ^ 1 2а, -а, -2а. О Составление формул в математике правила часто записывают с помощью равенств, содержащих буквы. В таких случаях говорят, что правило выражено формулой. и Пример 1. Известно, что периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Обозначим периметр буквой Р. Если стороны треугольника равны, например, 4 см, 6 см и 7 см, то его периметр равен 4 + б-Ь7 = 17 (см). Если стороны треугольника равны 2,7 дм, 4,5 дм и 5,3 дм, то его периметр равен 2,7-f 4,5 + 5,3 = 12,5 (дм). Каковы бы ни были конкретные значения длин сторон треугольника, чтобы найти его периметр, их надо сложить. Обозначим периметр треугольника буквой Р, а длины его сторон, выраженные в одних и тех же единицах, буквами а, Ь и с (рис. 245). Тогда Р = а + Ь + с. Записанное равенство — формула периметра треугольника. Если треугольник равносторонний, то эта формула примет другой вид. Пусть длина стороны равностороннего треугольника равна а. Тогда Р = а + а + а = а*3 = 3а, т. е. Р = 3а. ■ П ример 2. Составим формулы периметра и площади прямоугольника. Чтобы найти периметр прямоугольника, можно умножить на 2 его длину и его ширину и полученные произведения сложить. Рис. 246 Если длины сторон прямоугольника обозначить буквами а VI Ь (рис. 246), то формулу его периметра можно записать так: Р = 2а + 2Ь. Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длину и ширину и результат умножить на 2: Р^2(а + Ь). Очевидно, что результаты вычислений по обеим формулам будут одинаковы. Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно его длину умножить на ширину. Обозначим площадь прямоугольника буквой S, а длины его сторон буквами а и Ь. Тогда S = ab. т Пример 3. Составим формулу объема параллелепипеда (рис. 247). Известно, что объем параллелепипеда равен произведению трех его измерений. Обозначим объем параллелепипеда буквой V, а длину, ширину и высоту буквами а, Ь и с. Получим формулу а V=abc. Рис. 247 ■ Пример4. Всем нам постоянно приходится подсчитывать стоимость того или иного товара. Например, 2 кг конфет по 70 р. за килограмм стоят 70-2 = 140 (р.); полкилограмма яблок по 30 р. за килограмм стоят 30-0,5 = 15 (р.). Обозначим стоимость буквой С. Тогда стоимость т килограммов товара по р рублей за килограмм вычисляется по формуле С—рт. 1103. а) Улитка ползет со скоростью 4 м/мин. 1) Какое расстояние проползет улитка за 3 мин? за 5 мин? за 10 мин? за f мин? 2) Обозначьте расстояние буквой S и запишите формулу для вычисления расстояния, преодоленного улиткой за f мин. б) в одной тетради 48 листов. 1) Сколько листов в 2 тетрадях? в 100 тетрадях? в п тетрадях? 2) Обозначьте общее количество листов в п тетрадях заглавной буквой N и запишите формулу для вычисления N. в) Одна шариковая ручка стоит а рублей. 1) Сколько стоят 2 шариковые ручки? 34 шариковые ручки? 50 шариковых ручек? т шариковых ручек? 2) Обозначьте стоимость покупки буквой С и запишите формулу для вычисления стоимости т ручек. г) За 1 мин междугородного телефонного разговора берется плата х рублей. 1) Какова стоимость разговора продолжительностью 3 мин? 5 мин? 15 мин? с мин? 2) Обозначьте стоимость разговора буквой А и запишите формулу для вычисления стоимости междугородного разговора за с мин. Составьте формулы для вычисления периметров многоугольников, изображенных на рисунке 248. б) Рис. 248 1105. Начертите квадрат. Обозначьте длину его стороны какой-нибудь буквой и составьте формулы периметра и площади квадрата. 1106. а) Чтобы найти площадь изображенного на рисунке 249 многоугольника, его можно разбить на прямоугольники или достроить до прямоугольника. Вычислите площадь этого многоугольника двумя способами. б) Составьте формулы для вычисления площадей фигур, изображенных на рисунке 250. 4 дм 4 дм Рис. 249 У ® @ Рис. 250 а) б) а а Рис. 251 Рис. 252 1107. Составьте формулы для вычисления площади закрашенной части фигуры (рис. 251). 1108. а) Начертите куб. Обозначьте длину его ребра какой-нибудь буквой и составьте формулу объема куба. б) Запишите формулы для вычисления объемов фигур, изображенных на рисунке 252. 1109. а) В январе зарплату всех работников завода увеличили в 2 раза. Обозначите старую зарплату буквой W, а новую зарплату буквой W и запишите формулу для вычисления новой зарплаты. Определите новую зарплату при w=2500 р.; при w = 3250 р.; w=1850 р. б) Магазин закупает товар по одной цене (обозначьте ее буквой k), а продает его по большей цене (обозначьте ее буквой п). Запишите формулу для вычисления прибыли от продажи, обозначив прибыль буквой С. Подсчитайте прибыль, если л = 800 р.; fe = 550 р.; если л = 7500 р.; А = 6000 р. 1110. За перевод суммы денег в а рублей почта берет плату, равную с рублей, которая вычисляется по формуле с = 0,1 а. Подставьте в формулу вместо а значения: 500 р., 1700 р., 13000 р. — и найдите соответствующие значения с. При каждой подстановке скажите, что вы находите. 1111. При измерении температуры мы пользуемся градусами Цельсия. Существуют и другие температурные шкалы, например шкала Кельвина. Температура по этой шкале измеряется в кельвинах (К). Если температура измерена в градусах Цельсия (°С), то ее можно выразить в кельвинах по следующей формуле: К = С + 273. Выразите в кельвинах температуру, равную 0°С; 37 °С; 100°С; -20°С; -39°С. 1112. Если известны размеры стены, то можно вычислить, сколько потребуется кирпичей для ее строительства. Для этого используется формула N=6Mh, где N — число кирпичей, I — длина стены в метрах, h — высота стены в метрах (рис. 253). I Рис. 253 1113. Найдите Л/, если; а) 1 = 6, Л = 4; б) 1 = 5, Л = 5; в) 1 = 2А, Л = 15. В каждом случае сформулируйте задачу, которую вы решали. Площадь закрашенной части фигуры (рис. 254) вычисляется по формуле S = /A^- а'. Объясните, как получена эта формула. Найдите S, если: а) 4 = 1,9 м, а = 1,1 м; б) 4 = 2,5 м, а= 1,5 м. 1114. а) Комната имеет форму прямоугольника со сторонами а \л Ь метров. Ширина проема двери равна 1 м. Сделайте рисунок и составьте формулу для вычисления длины плинтуса L, который укладывают вдоль стен комнаты. Вычислите длину плинтуса, который требуется для комнаты, если а = 6 м, Ь = Ъ м; а = А м, Ъ = 5 м. б) Длины сторон прямоугольного участка земли — х v\ у метров. Вдоль границы этого участка натягивают трос, чтобы укрепить на нем забор. При этом оставляют проемы 3 м и 1,5 м для ворот и калитки. Сделайте рисунок и составьте формулу для вычисления длины троса L. Вычислите L при л: = 60 м, 1/=10 м; д: = 20 м, г/= 30 м. 1115. Фирма выдает напрокат велосипеды, при этом плата устанавливается следующим образом: за каждый день проката берется 20 р. и за оформление заказа еще 12 р. а) Обозначьте стоимость проката буквой С и запишите формулу для вычисления стоимости проката велосипеда за п дней. б) Вычислите стоимость проката велосипеда за 3 дня; за 15 дней; за 30 дней. 1116. Каждый работающий платит подоходный налог в размере 13% от заработка. а) Составьте формулу для вычисления этого налога Т от заработка S. б) Вычислите Т при 5 = 3 тыс. р.; 5 = 2,2 тыс. р. 1117. Магазин приобрел телевизоры по цене с рублей, а продал по цене а рублей. а) Составьте формулу для вычисления прибыли Р от продажи 25 телевизоров. б) Найдите Р, если с = 5000, а = 7500; с = 3500, а = 4200. ........... .«км 1118. Турист едет на велосипеде со скоростью 12 и плывет на лодке со « км скоростью 6 а) Составьте формулу для вычисления проделанного туристом пути s (км), если он ехал на велосипеде а часов и плыл на лодке Ь часов. б) Вычислите 5 при а = 2, 6 = 3; а = 2,5, 6 = 5. (25^ 1119. а) Магазин продает картофель, расфасованный в бумажные пакеты. Как найти стоимость пакета картофеля? Обозначьте буквами нужные величины и составьте формулу для определения стоимости пакета картофеля. б) Как подсчитать число квартир в доме, если известно число квартир на одной площадке, число этажей и число подъездов? Обозначьте буквами нужные величины и составьте формулу для определения числа квартир в доме. в) Составьте формулу для примерного подсчета числа букв на одной странице книги. 1120. Составьте формулу для вычисления пе- а) б) риметра многоугольника (рис. 255). 1121. В некоторых странах (например, в Англии, США) для измерения температуры используется шкала Фаренгейта. Для перевода температуры, измеренной в градусах Фаренгейта, в градусы Цельсия составляют специальные таблицы. Для этого пользуются формулой у 5(F-32) 255 9 где буква F обозначает число градусов по шкале Фаренгейта, а С — число градусов по шкале Цельсия. а) Переведите в градусы Цельсия показания дневных температур в различное время года в канадском городе Калгари: +68°F, +41 °F, +32°F, -М4Т, -4°F. б) Переведите в градусы Цельсия показания температуры человека, измеренной по шкале Фаренгейта (результат округлите до десятых): 98 °F, 98,6 °F, 99 °F. 100°F. 1122. a) Число диагоналей L выпуклого многоугольника, у которого п сторон, вычисляется по формуле L = ■ Подсчитайте число диагоналей вы- пуклого пятиугольника; десятиугольника; двенадцатиугольника. б) Сумма А всех натуральных чисел от 1 до некоторого числа п вычис- ляется по формуле А = (1 + п)п Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 10; от 1 до 50; от 1 до 100. Как, используя эту формулу, подсчитать сумму всех натуральных чисел от 51 до 100? Чему она равна? Вычисления по формулам Вам неоднократно приходилось решать задачи на движение. На- 1С]М пример: «Поезд шел 3 ч со скоростью 90 -----. Какой путь прошел поезд? » Известно, что пройденный путь равен произведению скорости и времени движения (при условии, что за равные промежутки времени проходятся одинаковые отрезки пути). Поэтому поезд прошел путь, равный 90-3 = 270 (км). Нетрудно записать и формулу, по которой находят путь при равномерном движении. Обозначим скорость движения буквой и, время движения буквой t, а пройденный путь буквой s. Тогда S — vt. Здесь V, t и S — первые буквы латинских слов velocitas (скорость), tempus (время), spatium (расстояние); именно их обычно используют при записи формул, связанных с движением. При решении задач на движение приходится не только вычислять пройденный путь, но и по известным пути и времени движения находить скорость, а также по известным пути и скорости определять время движения. Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну-единственную формулу s = vt, в которой участвуют три числа, обозначенные буквами. Если мы знаем два из них, то можем узнать и третье: s = vt (по и и t умножением находим s); t--^ (по S и и делением находим t); у = у (по sat делением находим v). Говорят, что в первом равенстве s выражено через о и i, во втором — t выражено через s и и, в третьем — и выражено через S и t. 1123. Заполните таблицу, пользуясь в каждом случае одной из формул: s = vt, г = ■7. t = —- t V S 75 км 16 км 1000 км 5000 м V 60 км/ч 4 км/ч 1,5 м/с 800 км/ч t 3 ч 5 ч 10 с 20 мин 1124. Банки с консервами пакуются в коробки. Общая масса М банок в коробке определяется по формуле М = тп, где т — масса одной банки, п — количество банок в коробке. Объясните, что определяется по формуле м м ^ п = — и т = —. Заполните таблицу, поль-т п зуясь каждый раз нужной формулой. м т п 0,25 кг 12 6 кг 6 3000 г 150 г 8,4 кг 24 480 г 10 9,6 кг 0,8 кг 1125. Из формулы площади прямоугольника S=ab выразите а через S и fe. Найдите сторону а, если: а) 5 = 30 см^, 6 = 5 см; б) 5 = 6,5 м^, 6 = 1,3 м. 1126. Ответьте на следующие вопросы, пользуясь формулой периметра равностороннего треугольника Р = 3а. а) Чему равен периметр треугольника, если его сторона равна 4 см? 10,5 см? 12 см? б) Чему равна сторона треугольника, если его периметр равен 6 см? 30 см? 7,5 см? в) Выразите сторону а равностороннего треугольника через его периметр Р. 1127. В кинозале п рядов по k кресел в каждом ряду. Число мест в кинозале можно вычислить по формуле N=kn. а) Сколько мест в кинозале, если 6=10, л = 12; 6 = 33, л = 25? б) Сколько в кинозале рядов, если в каждом ряду 15 кресел, а всего в кинозале 300 мест? Выразите л через Л/ и 6. в) Сколько кресел в каждом ряду, если всего в кинозале 176 мест и 11 рядов? Выразите 6 через Л/ и л. 1128. В магазине продают женскую одежду, на которой указаны размеры, принятые в некоторых европейских странах. Эти размеры можно перевести в размеры, принятые в России, по формуле Д = Е+6, где Я обозначает размер в нашей стране, Е — европейский размер. а) Определите, какому размеру в нащей стране соответствует платье, на котором стоит размер: 36, 38, 40, 42, 44. б) Определите, какому европейскому размеру соответствует размер отечественного костюма: 42, 44, 46, 48. Выразите Е через Я. 1129. Периметр треугольника Р можно определить по формуле Р=а + Ь + с, где а, Ь, с — длины сторон. а) Найдите периметр треугольника, если его стороны равны: 4 см, 5 см, 3 см; 7 см, 9 см, 11 см. б) Найдите неизвестную сторону треугольника, если Р=18 см, Ь = 6 см, с = 7 см; Р=24 см, а = 8 см, Ь-9 см. в) Выразите сторону с треугольника через периметр Р и две другие стороны а и 6. а) Вычислите неизвестную длину ребра параллелепипеда, если V=48 Ь = 3 см, с = 4 см; V=2^0 см , а = 6 см, с = 7 см; V=24 м^, а = 'у 1130. Объем параллелепипеда V вычисляется по формуле V=abc, где а, Ь, с — его измерения. ^=48 см'' •3 м, Ь = 2 м. б) Выразите длину какого-либо ребра параллелепипеда через его объем и длины других ребер. 1131. Количество кирпичей, необходимое для строительства стены, можно вычислить по формуле N = 6Uh, где I — длина, h — высота стены (в метрах). а) Вычислите, сколько кирпичей требуется для кладки 1 м^ стены. б) Сколько кирпичей ушло на кладку стены длиной 4,5 м и высотой 3,5 м? в) Какой высоты стену можно сложить, если имеется 150 кирпичей и длина стены должна быть 3 м? (Ответ округлите до десятых.) Выразите h через N и I. г) Какой длины кирпичный барьер можно построить, если имеется 150 кирпичей и высота барьера должна быть 0,5 м? (Ответ округлите до единиц.) Выразите I через N \л h. 1132. Размер телевизионного экрана определяется длиной его диагонали. Длину диагонали, данную в дюймах (d), можно выразить в сантиметрах (/) по формуле l~2,5d. а) Выразите длину диагонали экрана в сантиметрах, если известно, что она равна 14 дюймам; 21 дюйму; 29 дюймам. (Ответ округлите до единиц.) б) Выразите d через I. Пользуясь новой формулой, определите длину диагонали экрана в дюймах, если она равна 51 см; 61 см; 47 см. (Ответ округлите до единиц.) 1133. а) Проволоку длиной 24 см согнули в прямоугольник. Какую длину будет иметь вторая сторона этого прямоугольника, если одна из сторон равна 8 см? 4 см? 9 см? б) Выразите сторону а прямоугольника через его периметр Р и сторону Ь. Формулы длины окружности и площади круга Чтобы получить формулу, по которой можно вычислить длину окружности, проделайте такой эксперимент. Возьмите стакан или какой-нибудь другой предмет, дно которого имеет форму круга. Оберните стакан ниткой и, развернув нитку, измерьте ее длину линейкой. В результате вы получите длину окружности, ограничивающей дно стакана. Затем измерьте линейкой диаметр донышка. Найдите отношение длины окружности к длине диаметра. Если вы аккуратно проделаете эту работу, то получите число, близкое к 3. Если обозначить длину окружности буквой С, а диаметр буквой d (рис. 256), то можно записать: Иными словами, длина окружности примерно в 3 раза больше своего диаметра, т. е. С-3d. Вообще, отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же, т. е. оно не зависит от размеров окружности. Этот замечательный факт был обнаружен еще в Древнем Египте, около 3,5 тыс. лет назад. Древние ученые умели вычислять это отношение длины окружности к ее диаметру с большой степенью точности. В XVIII веке для этого числа было введено специальное обозначение — л (буква греческого алфавита, читается «пи»). Необычность и удивительность этого числа в том, что его нет среди известных вам чисел — целых и дробных, т. е. среди рациональных чисел. В старших классах вы подробнее изучите такие числа, а сейчас только скажем, что число л можно выражать с помощью рациональных чисел приближенно, и в настоящее время известны его десятичные приближения с большим числом знаков после запятой. Вот как, например, выглядит приближенное значение л с десятью знаками после запятой: л«3,1415926535. Используя введенное обозначение, можно записать формулу длины окружности: C = nd. Если в данной формуле выразить диаметр через радиус, т. е. вместо d написать 2г, то получим другую формулу длины окружности: С = 2яг. Для вычислений по этим формулам обычно пользуются приближенным значением числа тс, равным 3,14, а иногда даже и равным 3. ■ Пример 1. Найдем, какой длины бордюр потребуется для ограждения клумбы, имеющей форму круга с диаметром, равным 4 м. Возьмем л~ 3,14 и подставим в формулу длины окружности C = Kd вместо d число 4, получим С«3,14-4 = 12,56 (м). Таким образом, нужен бордюр длиной 12,6 м. Рис. 257 Существует и формула площади круга: 8 = кг^, где S — площадь круга, г — радиус круга (рис. 257). В эту формулу входит число п. ш Пример 2. Известно, что во всех цирках мира диаметр арены равен 13 м. Найдем площадь цирковой арены (ответ округлим до единиц). Сначала найдем радиус арены: г=^ = 6,5 (м). Возьмем л~3 и подставим в формулу S = nr^ вместо г число 6,5. Получим 5-3-6,5^ = 3-42,25=126,75. Таким образом, S~127 м^. 1134. а) Вычислите длину окружности, диаметр которой равен 10 см; 2,5 м. (Возьмите я~3,14.) б) Вычислите длину окружности, радиус которой равен 7,5 см; 5 м. (Возьмите я~3.) 1135. Радиус земного шара равен примерно 6400 км. Вычислите длину экватора. (Возьмите я = 3,14. Ответ округлите до тысяч.) 1136. Вычислите площадь круга, радиус которого равен 100 м; 20 см. (Возьмите я = 3,14). 1137. В таблице даны диаметры d различных круглых салфеток. d см 10 13 15 18 20 25 L см Определите длину кружева L, которое потребуется для отделки каждой салфетки (рис. 258), и заполните таблицу. Считайте по приближенной формуле L = 3,14с/ и ответ выразите целым числом сантиметров (с избытком). Рис. 258 1138. а) Найдите длину выделенной дуги окружности (рис. 259). б) Найдите площадь закрашенной части круга (рис. 259). Указание. Возьмите тс =<3,14 и ответ округлите до десятых. Рис. 259 1139. На рисунке 260 изображен школьный стадион, вокруг которого проложена беговая дорожка. Найдите длину дорожки и площадь стадиона. (Возьмите я = 3,14.) 1140. Из квадратного листа картона вырезали круг (рис. 261). Найдите площадь обрезков. 1141. На рисунке 262 изображен цилиндр и его развертка. Чему равны длины сторон прямоугольника, который является частью развертки? Изготовьте развертку в натуральную величину и склейте из нее цилиндр. 40 см 40 см 10 см 6 см Что такое уравнение ■ Задача. Андрей задумал число, умножил его на 2, к полученному числу прибавил 1, результат умножил на 2 и вычел 1., После этого он получил число 33. Какое число задумал Андрей? Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей получил: на первом шаге — число 2лг; на втором шаге — число 2л: -Ь 1; на третьем шаге — число 2(2л:-1-1); на четвертом шаге — число 2(2л:-1-1) —1. В результате у него получилось число 33. Следовательно, 2{2х+1)—1 и 33 — это равные числа: 2(2л:-Ы)-1 = 33. Мы составили равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой. Такие равенства называют уравнениями. И задача состоит в том, чтобы найти это неизвестное число, или, как говорят, решить уравнение. Будем рассуждать последовательно. Слева в данном равенстве стоит разность двух чисел, первое из которых нам неизвестно, и эта разность равна 3?. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности, равной 33, прибавить вычитаемое 1, т. е. 2(2л:-Ы) = 34. Теперь слева стоит произведение числа 2 на неизвестное число 2л:-Ь1, и это произведение равно 34. Значит, неизвестный множитель 2л:-Ь1 равен частному от деления 34 на 2: 2л:-И = 17. И снова мы имеем уравнение: сумма неизвестного слагаемого 2л: с числом 1 равна 17. Но тогда 2л: = 16. Отсюда л: = 8. Обычно при решении уравнения рассуждения проводят устно, а запись решения выглядит так: 2(2л:+1)-1 = 33, 2(2х+1) = 34, 2л: + 1 = 17, 2л; =16, л: = 8. Число 8 — это корень данного уравнения. Если подставить его вместо л: в левую часть исходного уравнения и выполнить указанные действия, то получится 33. Корень уравнения — это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. (§8)— ш "Т77И7Т-71Г 1142. Найдите задуманное число. Для этого запишите условие задачи с помощью уравнения и решите его. а) Андрей задумал число, вычел из него 10 и получил 15,6. б) Таня задумала число, прибавила к нему 1,7 и получила 20,7. в) Николай задумал число, умножил его на 2,5 и получил 10. г) Олег задумал число, нашел этого числа и получил 5. 1143. Найдите неизвестное число: д) 2х = 76; е) 54а = 162. а) л;н б) 31 8 = 73; + а = 94; в) с- г) 36 18= 108; -Л = 15; 1144. Решите уравнение и проверьте, правильно ли найден корень: а) jc + 9 = 27; г) 60-с =18; б) 15 + 1/ = 51; в) Ь-7= 14; д) 10Л=15; е) 5л: = 65. 1145. а) На рисунке изображены весы, чашки которых хаходятся в равновесии (рис. 263). Опишите с помощью уравнения каждую из этих ситуаций и решите полученное уравнение, б) Составьте уравнение по рисунку 264 и решите его. 1146. Есть ли среди чисел 3, 4 и 5 корень уравнения: а) 2л: - 1 = 9; в) 4л: = 8; б) 10-Зл:=1; г) 36:л:=12? 1147. Найдите подбором корень уравнения: 1 _ . - 1 а) -2 0 = 5; б) -^с = 4; в) 2^ = -д; г) 0,7т = 0. 1148, Запишите условие каждой за-■ дачи с помощью уравнения. Решите одну из этих задач. а) Задумали число, умножили его на 10, к результату прибавили 30, получили 100. Какое число задумали? б) Таня задумала число, умножила его на 15 и результат вычла из 80. Получила 20. Какое число задумала Таня? Рис. 263 Рис. 264 1,7 в) Саша задумал число, прибавил к нему 15 и результат умножил на 10. Получил 200. Какое число задумал Саша? г) Задумали число, удвоили его, из результата вычли 6, получили 42. Какое число задумали? 1149. Составьте задачу для своего соседа по парте. Для этого задумайте какое-нибудь число, умножьте его на 5, к результату прибавьте 100. Какое число вы получили? Теперь запишите свою задачу. Она должна начинаться так: «Я задумал число, умножил его на...» А Составьте уравнение по условию задачи (1150—1152). У/ 1150. а) Туристский маршрут проходит по про- ^ селочной дороге 0,8 км, вдоль реки ^ /х ^ 3,5 км, полем 1,7 км и дальше лесом. » ^ Сколько километров туристы идут лесом, если длина всего маршрута 15 км? б) От куска ткани отрезали полметра и еще четверть метра. В куске осталось полтора метра. Найдите первоначальную длину куска ткани. 1151. а) В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 8 и вошло 5, а на второй вышло 9 и вошло 16 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 35? б) Продавец в коробку с катушками добавил 2 десятка катушек. До обеда он продал 37 катушек и добавил в коробку еще 40. К концу рабочего дня он продал еще 45 катушек, а в коробке осталось 3 катушки. Сколько катушек было в коробке первоначально? 1152. а) К концу года цена журнала увеличилась в 2 раза, а через полгода она поднялась еще на 6 р., и после этого журнал стал стоить 30 р. Какова была первоначальная цена журнала? б) В коробку с конфетами добавили 19 конфет и разделили их поровну между 8 детьми. Каждый получил по 7 конфет. Сколько конфет было в коробке сначала? 1153. Решите уравнение и сделайте проверку: а) 56-ьЗл: = 62: б)8а-11=69; в) 94-5& = 64; г)6г/-М0=16. 1154. Запишите условие каждой задачи с помощью уравнения. Решите какую-нибудь из этих задач. а) Ученик задумал число, умножил его на 2, из результата вычел 15, полученный ответ разде^1ил на 10 и получил 0. Найдите задуманное число. б) Ученик задумал число, прибавил к нему 7, эту сумму умножил на 3, из результата вычел 15 и получил 30. Найдите задуманное число. 1155. в) Ученик задумал число, умножил его на 4, к результату прибавил 16, эту сумму разделил на 2 и получил 23. Найдите задуманное число. г) Ученик задумал число, вычел из него 1, результат умножил на 5, к произведению прибавил 10 и получил 15. Найдите задуманное число. Найдите подбором корни уравнения: в) х + 2 = 2х; д) |al=2f^ а) 10а = а; б) 2х = х+1; ж) 1 = 1 3’ г) t/^ = 25; е) X -х\ 3) - = 2. 1156. Имеет ли корни уравнение: а) х = л: + 2; б) х = 2х\ в) х + 3 = х + 6; г) Зх = 6д:? 1157. Составьте уравнение по условию задачи и решите ее. а) Перед обедом у продавца осталась треть имевшихся у него яблок. После обеда он продал еще 55 кг яблок и у него осталось 14 кг яблок. Сколько яблок было у продавца первоначально? б) Из банки отлили половину молока, потом еще 300 г. После этого в банке осталось 100 г молока. Сколько молока было в банке сначала? 1158. Решите уравнение: а) 1,5д:-н7=10; б) 2,6а-0,9 = 3; в) (г/ + 1,1)-2 = 5; г) 6:10-0,1 =0,07; д) (а-1):0,5 = 5,2; е) (х: 100)+ 20 = 7,2; ж) 10-0,36-6,4; з) 1,5 + 2,5дг = 5. Ti X 2^ Составьте уравнение по условию задачи (1159—1162). 1159. а) В двух коробках 27 карандашей, причем в одной из них на 5 карандашей больше, чем в другой. Сколько карандашей в каждой коробке? б) Маршрут в 48 км туристы прошли за 2 дня, причем в первый на 10 км меньше, чем во второй. Сколько прошли туристы в первый день? 1160. а) В баке и ведре 24 л воды. В ведре воды в 3 раза меньше, чем в баке. Сколько литров воды в ведре? б) В компот положили 18 яблок и слив, причем слив в 2 раза больше, чем яблок. Сколько яблок положили в компот? 1161. а) Олег в 3 раза старше Андрея. Сколько лет каждому мальчику, если Олег на 8 лет старше Андрея? б) Саша старше Сережи на 4 года. Через год им вместе будет 20 лет. Сколько лет каждому? 1162. а) В одном баке было в 2 раза больше бензина, чем в другом. Из первого бака отлили 7 л бензина, а во второй добавили 3 л. После этого бензина в баках стало поровну. Сколько бензина было во втором баке? б) В одном детском саду было в 3 раза больше детей, чем в другом. Когда из первого детского сада перевели во второй 30 детей, то детей в детских садах стало поровну. Сколько детей было во втором детском саду сначала? ф для ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Задачи, решаемые в целых числах ■ Задача. Мама дала Алеше 50 р. и попросила купить открытки, чтобы послать знакомым поздравления с наступаюш;им праздником. Алеше понравились открытки по 8 р. и по 6 р. Но продавец сказал, что он только что начал работать и у него совсем нет денег для сдачи. Тогда Алеша решил купить открытки на все 50 р. Удастся ли ему это сделать? Чтобы Ответить на вопрос, воспользуемся хорошо знакомым приемом перебора всех возможных вариантов. Понятно, что купить на все 50 р. без сдачи открытки только одного вида Алеше не удастся (число 50 не делится ни на 8, ни на 6). Если Алеша купит одну открытку за 8 р., то у него останется 42 р. и он сможет купить еще 7 открыток по 6 р. Если он возьмет 2 открытки по 8 р., то у него останется 34 р. Но на 34 р. купить без сдачи открытки по 6 р. невозможно. Точно такой же результат получится, если он возьмет 3 открытки по 8 р. И т. д. Полностью рассуждения Алеши представлены в таблице. Кол-во открыток по 8 р Общая стоимость, р. Оставшаяся сумма, р. Кол-во открыток по 6 р. 1 8 42 7 2 16 34 — 3 24 26 — 4 32 18 3 5 40 10 — 6 48 2 — Из таблицы видно, что у Алеши есть два варианта покупки: 1 открытка по 8 р. и 7 открыток по 6 р. или 4 открытки по 8 р. и 3 открытки по 6 р. Попробуйте теперь сами выяснить, смог бы Алеша на 50 р. купить без сдачи открытки по 8 р. и по 5 р.; по 3 р. и по 6 р. Задач, подобных рассмотренной, очень много. Их особенностью является то, что ответ на поставленный вопрос выражается целыми числами. Такие задачи много веков*тому назад послужили толчком к созданию специального раздела математики. 1163. На чемпионате по футболу очки начисляют следующим образом; за победу присуждают 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение О очков. Команда сыграла 8 игр и получила 20 очков. Сколько было у нее побед, поражений и сколько игр сыграно ^ичью? 1164. Из 30 спичек Володя сложил треугольники и квадраты. Сколько фигур каждого вида у него получилось, если на треугольники он тратил по 3 спички, а на квадраты — по 4? Сколько фигур каждого вида получилось бы у Володи, если бы стороны треугольников и квадратов он складывал из двух спичек? 1165. Для игр на детском празднике организаторам нужно 145 фломастеров. В магазине фломастеры есть в упаковках по 20 и по 15 штук. Могут ли организаторы купить ровно столько фломастеров, сколько им нужно? 1166. Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней. Камни были разложены в маленькие шкатулки по 15 штук в каждой и в большие — по 40 штук в каждой. Сколько было тех и других шкатулок, если известно, что маленьких шкатулок было меньше, чем больших? 1167. Петя предложил Маше отгадать два двузначных числа, которые он задумал. Первое число делится на 7, второе делится на 3 и дополняет первое до 100. Маша сказала, что таких пар чисел несколько. Какие пары чисел отыскала Маша? Укажите какое-нибудь дополнительное условие, при котором его задача имела бы только одно решение. (1Ж Задания для самопроверки к главе 11 2. 3. 4. (Обязательные результаты, обучения) Составьте выражение по условию задачи: «Наташе k лет, а Лена на 5 лет младше Наташи. Сколько лет Лене?» Запишите формулу периметра прямоугольника. а) Запишите формулу площади прямоугольника (стороны прямоугольника обозначьте буквами а и й). б) Вычислите площадь прямоугольника, если а = 15 см, й=100 см. в) Найдите сторону прямоугольника, если его площадь равна 240 м^, а одна из сторон равна 12 м. Запишите формулу для вычисления площади фигуры, изображенной на рисунке 265. Решите уравнение: 1 а)-гх = 2: б) JC-7 = 5,2; в)лг-ь9=17; г) 8,6-х = 5,1. Рис. 265 Составьте уравнение по условию задачи (6, 7). 6. Задумали число, увеличили его в 3 раза и из результата вычли 7. Получилось 17. Какое число задумали? 7. С полки сняли 7 книг, потом еще 9 книг, затем добавили 12 книг. После этого на полке стало 40 книг. Сколько книг было на полке первоначально? ногоугольники и многогранники) Сумма углов треугольника Среди всевозможных многоугольников наименьшее число сторон имеет треугольник. Человек начал изучать треугольник с глубокой древности. Многие его свойства издавна и по сей день используются в технике, строительстве, даже в искусстве. В этом пункте вы познакомитесь с одним из важнейших свойств треугольника — свойством его углов. Предлагаем вам провести следующий эксперимент. Пусть каждый ученик в классе начертит в тетради какой-нибудь треугольник, измерит с помощью транспортира его углы и найдет их сумму. У всех должен получиться результат, близкий к 180°. Это объясняется тем, что сумма углов любого треугольника в точности равна 180°. А небольшие отклонения от этой величины, которые, возможно, у вас получились, связаны с погрешностями при измерении. Сумма углов любого треугольника равна 180°. J ш Задача. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 50°. Найдем величины углов при основании. Равнобедренный треугольник обладает следующим свойством: углы при основании равнобедренного треугольника равны (рис. 266). Это следует из того, что у него есть ось симметрии. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то углы при основании вместе составляют 180° —50°= 130°. Значит, каждый из них равен 130°: 2 = 65°. 1168. Найдите неизвестные углы треугольника (рис. 267). в) Рис. 267 1169. В треугольнике АВС ZA = 37°, zlS=109°. Найдите угол С. 1170. Объясните, почему в треугольнике не может быть: а) больше одного тупого угла; б) больше одного прямого угла. 1171. а) Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°. Какова величина другого острого угла? Начертите этот треугольник, если известно, что его гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла) равна 5 см. б) Начертите в тетради какой-нибудь прямоугольный равнобедренный треугольник. Чему равны острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника? 1172. Вычислите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при вершине равен 28°; б) угол при основании равен 77°. 1173. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. Чему равна величина угла равностороннего треугольника? 1174. а) Найдите величины двух углов равнобедренного треугольника, если известно, что третий угол равен 124°; 48°. Сколько решений имеет задача в каждом случае? б) Постройте два различных равнобедренных треугольника с основанием, равным 5 см, и одним из углов, равным 40°. 1175. Найдите углы треугольника, изображенного на рисунке 268. 1176. Постройте какой-нибудь треугольник АВС, в котором /14 = 40°, ^6 = 50°. Проведите биссектрисы углов А и В. Точку пересечения биссектрис обозначьте буквой О. Вычислите величину угла АОВ. —(2^ в Рис. 270 Рис. 271 1177. В треугольнике АВС АА = 30“ (рис. 269). Найти величину угла CBD. Указание. Вычисляйте углы в порядке их номеров на рисунке. 1178. Квадрат ABCD, изображенный на рисунке 270, разбит на четыре треугольника. Найдите углы этих треугольников. Указание. Начните с треугольника AOD. 1179. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что угол В в 2 раза больше угла А, угол С в 3 раза больше угла А. Каков вид этого треугольника? 1180. Задача-исследование. 1) В четырехугольнике ABCD проведена диагональ (рис. 271). Она разбивает четырехугольник на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°. Чему равна сумма углов четырехугольника? 2) Начертите в тетради пятиугольник и проведите все диагонали, выходящие из какой-нибудь его вершины. Сколько треугольников получилось? Чему равна сумма углов пятиугольника? 3) Сумма углов четырехугольника равна 180° *2, пятиугольника — 180°*3. Покажите, что сумма углов шестиугольника равна 180°-4. Чему равна сумма углов л-угольника? Параллелсграмм На рисунке 272 проведены две пары параллельных прямых. При их пересечении образовался четырехугольник. Его противоположные стороны параллельны. Такой четырехугольник имеет специальное название — параллелограмм. Параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Центр симметрии параллелограмма — это точка пересечения его диагоналей. Чтобы убедиться в этом, наложите на параллелограмм кальку, прикрепите ее в точке пересечения диагоналей булавкой, переведите параллелограмм на кальку и поверните ее на 180°. Параллелограмм снова «войдет» в свой контур (рис. 273). Эксперимент с калькой позволяет нам открыть др^Фие свойства параллелограмма. Например, в результате выполненного поворота противоположные стороны параллелограмма «поменялись местами», значит, они равны. Итак, противоположные стороны параллелограмма не только параллельны, но и равны. При этом же повороте закрашенный треугольник совместился с белым (рис. 274). Значит, диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Кроме того, при повороте отрезки О А и ОС, а также О В и OD поменялись местами. Это означает, что диагонали точкой пересечения делятся пополам. Таким свойством диагоналей обладает только параллелограмм. Используем это свойство для его построения. • Проведем две пересекающиеся прямые и обозначим точку их пересечения буквой О (рис. 275, а). • На одной из прямых отложим циркулем равные отрезки ОА и ОС, а на другой — равные отрезки О В и OD (рис. 275, б). • Соединим последовательно точки А, В, С и D (рис. 275, в). Четырехугольник ABCD — параллелограмм. б) В Некоторые параллелограммы имеют свои названия. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называют ромбом (рис. 276). Диагонали ромба, кроме свойств, присущих всем параллелограммам, обладают еще одним: они перпендикулярны друг другу. К параллелограммам относятся и такие хорошо вам знакомые фигуры, как прямоугольник и квадрат. От других параллелограммов прямоугольник отличается тем, что у него все углы прямые; а у квадрата и все углы прямые, и все стороны равны (рис. 277). Слово «параллелограмм» происходит от греческого слова, которое в переводе означает «изображенный параллельными». Из Древней Греции пришло к нам и слово «ромб», означающее «волчок», чей силуэт действительно имеет форму ромба. Рис. Рис. 277 1181. Назовите все параллелограммы, которые вы видите на рисунке 278. 1182. Постройте на нелинованной бумаге несколько различных параллелограммов с помощью; а) угольника и линейки; б) одной линейки. 1183. 1) Найдите на рисунке 279 все параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. 2) Перечертите в тетрадь параллелограммы с номерами 2, 5, 6. 1184. а) Начертите в тетради, используя свойства клетчатой бумаги, какой-нибудь параллелограмм, б) Точки А, В и С — вершины параллелограмма, АВ — его сторона (рис. 280). Постройте точку D — четвертую вершину параллелограмма. Сколькими способами это можно сделать? 1185. Воспользуйтесь результатами эксперимента с калькой (см. рис. 273) и допишите равенства; АВ = ..., ВС=..., ОС = ..„ 00 = ..., = /.8 = ..., ААВО = ..„ ААВС = ... . J,186. \ Вычислите периметр: а) параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см; А 1 1 В 1 i 1 1 1 i Рис. 280 б) ромба со стороной 8,5 см. ' 1187; / 1188 В Обозначьте длины сторон параллелограмма буквами и составьте формулу для вычисления периметра параллелограмма. Составьте формулу для вычисления периметра ромба. На рисунке 281 изображены параллелограммы ABCD и ВСМК. Найдите их периметры. 1189. Начертите: а) какой-нибудь параллелограмм, диагонали которого равны 4 см и 6 см; б) ромб, диагонали которого равны 4 см и 6 см. 1190. Диагонали прямоугольника равны, а диагонали квадрата не только равны, но и перпендикулярны друг другу. а) Постройте прямоугольник, диагонали которого равны 6 см. Постройте другой прямоугольник с такими же диагоналями. б) Постройте квадрат с диагоналями, равными 8 см. Можно ли построить другой квадрат с такими же диагоналями? 1191. а) У ромба две оси симметрии. Покажите их на рисунке, б) Перегибая лист бумаги, постройте ромб. __1192. На рисунке 282 изображены ромбы АВСЕ и BCDE. Найдите периметр треугольника ВСЕ и его углы, если БС = 3 см. 1193. Постройте параллелограмм, диагонали которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под углом 30°. 1194. Постройте параллелограмм по заданным сторонам и диагонали (рис. 283). а) D 1195. На рисунке 284, а—г показаны способы построения прямоугольника, квадрата, ромба и параллелограмма. Опишите словами способ построения каждого четырехугольника и выполните построения. 1 1196. а) Сколько ромбов на рисунке 285? б) Сколько параллелограммов на рисунке 286? 1197. Четырехугольники на рисунке 287 — параллелограммы. Определите стороны треугольника. 1198. а) Вырежьте из бумаги два равных неравнобедренных треугольника и сложите из них различные параллелограммы. Сколько различных параллелограммов вам удалось сложить? А если взять два равных равнобедренных треугольника? два равных равносторонних треугольника? б) Точки А, В и С (рис. 288) — вершины параллелограмма. Постройте все параллелограммы, вершины которых находятся в этих точках. Указание. Используйте карандаши разных цветов. 1199. 1) На рисунке 289 А — множество параллелограммов, В — множество прямоугольников, С — множество ромбов. Множество каких четырехугольников обозначено буквой D? 2) Закончите предложение: Всякий прямоугольник является ... . Всякий ромб является ... . Всякий квадрат является ... . Рис. 287 Рис. 288 (27^ Правильные многоугольники в равностороннем треугольнике, как вы знаете, равны все стороны и все углы. Четырехугольник с равными сторонами и равными углами — это хорошо известный вам квадрат. Существует и пятиугольник с такими же свойствами, и шестиугольник (рис. 290), и вообще многоугольник с любым числом сторон. Рис. 290 (Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, называют правильным. Таким образом, равносторонний треугольник — это правильный треугольник, а квадрат — это правильный четырехугольник. Обратите внимание на интересный и важный факт: правильный шестиугольник можно составить из правильных треугольников. Сложим три одинаковых правильных треугольника, как показано на рисунке 291 (белые треугольники). При этом три их угла, приложенные друг к другу, образуют развернутый угол (60° • 3 = 180°). Приложив снизу еще три таких треугольника, мы получим шестиугольник. Этот шестиугольник правильный: каждая его сторона равна стороне правильного треугольника, а каждый угол — двум углам треугольника, т. е. 120°. Если вы когда-нибудь видели пчелиные соты, то, возможно, заметили, что их основа — правильные шестиугольники. И это не случайно. Как доказали математики, такая конструкция очень экономична и прочна. Пчелы «дошли» до этого «своим умом». Рис. 291 Правильные многоугольники обладают важным свойством: все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности (рис. 292). Это свойство можно использовать для его построения. Построить правильный многоугольник можно так: разделить окружность на соответствующее число равных частей (равных дуг) и соединить последовательно точки деления. Легче всего построить правильный шестиугольник. Чтобы разделить окружность на шесть равных частей, достаточно «пройтись» по окружности циркулем с шагом, равным ее радиусу (рис. 293). Соединив последовательно все полученные точки, мы получим правильный шестиугольник. Если мы соединим эти точки через одну, то получим правильный треугольник. А если каждую из шести дуг окружности разделим пополам, то мы сможем построить правильный двенадцатиугольник. Внимание ученых и художников всегда привлекали правильные многогранники. Правильным называют многогранник, все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Вы, наверное, удивитесь, но существует всего лишь пять правильных многогранников (рис. 294). Гексаэдр (Куб) Рис. 294 Икосаэдр Додекаэдр Форму правильных многогранников имеют некоторые кристаллы. Например, кристалл поваренной соли имеет форму куба. *w 1200. Постройте правильный шестиугольник со стороной 4 см. Рядом постройте правильный треугольник. 1201. Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Воспользуйтесь этим для построения квадрата. 1202. Сколько осей симметрии у правильного треугольника? четырехугольника? пятиугольника? шестиугольника? десятиугольника? Нарисуйте эти фигуры от руки и проведите их оси симметрии. Сколько осей симметрии у правильного 100-угольника? У каких правильных многоугольников есть центр симметрии? 1203. а) На рисунке 295 показано, как можно построить правильный двенадцатиугольник. Рассмотрите рисунок и выполните построения, б) Постройте правильный восьмиугольник. Рис. 296 1204. Завяжите узлом полоску бумаги и осторожно разгладьте ее (рис. 296). Вы получите правильный пятиугольник. 10—Дорофеев. 6 кл. 1205. Постройте правильный пятиугольник по следующему плану. Используя транспортир, постройте пять равных углов с общей вершиной, составляющих в сумме 360°. • Проведите окружность произвольного радиуса с центром в вершине углов. • Соедините последовательно полученные точки пересечения окружности со сторонами углов. 1206. Чему равны углы правильного шестиугольника? правильного пятиугольника? правильного восьмиугольника? 1207. Используя изображения правильных многогранников (см. рис. 294), заполните таблицу. Правильный многогранник Форма граней Число граней в одной вершине вершин граней ребер Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Слово «тетраэдр» переводится с греческого как «четырехгранник», «гексаэдр» — шестигранник. Как бы вы перевели с греческого названия других правильных многогранников? Площади Две фигуры, имеющие одинаковые площади, называют равновеликими. Найдем, например, площади квадрата и прямоугольника, изображенных на рисунке 297. Площадь квадрата равна 2*2 = 4 (кв. ед.). 2 4 Рис. 297 площадь прямоугольника равна 1*4 = 4 (кв. ед.). Следовательно, эти фигуры равновелики. На рисунке 298 те же квадрат и прямоугольник наложены друг на друга. Закрашенные многоугольники равновелики. Действительно, если от равных величин (площади квадрата и площади прямоугольника) отнять поровну (площадь белого многоугольника), то поровну и останется. Если фигуры составлены из одинаковых частей, или, как говорят, равносоставлены, то они имеют и равные площади. Рассмотрим две фигуры, изображенные на рисунке 299, а. Оказывается, эти столь непохожие друг на друга фигуры можно разрезать на одинаковые части (рис. 299, б). Значит, они равновелики. Это свойство равносоставленных фигур дает нам полезный прием нахождения площадей. Он заключается в перекраивании одной фигуры в другую, площадь которой мы вычислять умеем. Рис. 299 Используем этот прием, чтобы найти площадь параллелограмма. Разрежем параллелограмм вдоль линии, перпендикулярной стороне, и переложим отрезанный треугольник, как показано на рисунке 300. Параллелограмм удалось перекроить в прямоугольник, а способ вычисления площади прямоугольника уже известен. Подобным образом можно найти и площадь треугольника (рис. 301, а). Треугольник легко достроить до параллелограмма, проведя прямые, параллельные двум его сторонам (рис. 301, б). Очевидно, что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма. А как найти площадь параллелограмма, вы уже знаете. 1208. Среди фигур, изображенных на рисунке 302, найдите равновеликие. 1209. Нарисуйте какой-нибудь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью, длины сторон которых выражаются целыми числами? 1210. Покажите, что площади фигур, изображенных на рисунке 303, равны. Указание. Перекроите каждую фигуру в квадрат. 1211. Два одинаковых квадрата расположены так, как показано на рисунке 304. Докажите, что сумма площадей синих треугольников равна сумме площадей белых треугольников. 1212. а) Покажите, как параллелограмм, изображенный на рисунке 305, можно перекроить в прямоугольник. Чему равна площадь параллелограмма? б) Вырежьте из бумаги параллелограмм и перекроите его в прямоугольник. Проведя необходимые измерения, найдите площадь этого параллелограмма. 1213. 1) Каковы измерения прямоугольника, в который можно перекроить параллелограмм, изображенный на рисунке 306? Чему равна площадь параллелограмма? 4 см 5 см Рис. 306 (рис. 307). 1214. а) Найдите площади закрашенных треугольников, изображенных на рисунке 308. 3 см 3 см Ф Рис. 308 б) Достройте каждый треугольник, изображенный на рисунке 309, до прямоугольника и определите его площадь. 1215. Составьте формулу для вычисления площади S прямоугольного треугольника с катетами а и Ь (рис. 310). Вычислите площадь треугольника при: а) а = 3 см, Ь = 4 см; б) а = 4,5 см, Ь = 6 см. 1216. Нарисуйте несколько фигур, равновеликих фигуре, изображенной на рисунке 311. Рис. 310 Рис. 311 1217. Перечертите данный треугольник в тетрадь (рис. 312). Чему равна площадь треугольника? 1218. Определите площади многоугольников (рис. 313). 1219. Прямоугольники, изображенные на рисунке 314, равновелики. Верно ли, что закрашенные треугольники также имеют одинаковые площади? Рис. 314 Рис. 315 1220. Найдите площадь закрашенного треугольника (рис. 315). 1221. Через точку внутри квадрата проведены прямые по сторонам и диагоналям клеток (рис. 316). Покажите, что сумма площадей закрашенных частей равна сумме площадей незакрашенных частей. ) Рис. 316 (278)— 4 см 3 см 5 см Рис. 317 Рис. 318 1222. а) От квадрата отрезали четыре равных треугольника (рис. 317). Найдите площадь оставшейся части. Какой фигурой является закрашенный многоугольник? б) От квадрата отрезали четыре равных треугольника (рис. 318). Чему равна площадь каждого треугольника? Призма в этом пункте вы познакомитесь епде с одним семейством многогранников — призмами. Название «призма» произошло от греческого слова, которое можно перевести как «отпиленный кусок». Посмотрите на рисунок 319: на нем изображены различные призмы. Рис. 319 Среди граней призмы различают боковые грани и основания (рис. 320). Основания представляют собой два равных многоугольника, расположенные в параллельных плоскостях, боковые грани призмы — прямоугольники. Называют призму по числу сторон основания. Например, призма, изображенная на рисунке 320, четырехугольная. Основание / / % \ z Боковая грань Основание Рис. 320 с одной из четырехугольных призм вы уже хорошо знакомы — это параллелепипед (рис. 321). Точнее его называют прямоугольным параллелепипедом: все его грани являются прямоугольниками. Призмы часто использовались зодчими при возведении замков, башен, церквей. Посмотрите на фото. На нем вы видите башню рыцарского замка, расположенного в городе Выборге. Нижняя часть башни — это куб, а средняя ее часть — восьмиугольная призма, «вырезанная» из такого же куба. 1223. Назовите каждую призму на рисунке 319. 1224. Начертите в тетради такую же призму, как на рисунке 322. Закрасьте видимые боковые грани одним цветом, а видимое основание другим. 1225. а) Сколько у пятиугольной призмы боковых ребер? всего ребер? Сколько у нее боковых граней? всего граней? Сколько у этой призмы вершин? б) Ответьте на те же вопросы для шестиугольной призмы. 1226. Сколько потребуется проволоки, чтобы изготовить каркасную модель: а) треугольной призмы, все ребра которой равны 10 см; б) пятиугольной призмы, боковые ребра которой равны 8 см, а все ребра основания равны 5 см? 1227. а) Куб распилили, как показано на рисунке 323. Какие при этом получились многогранники? б) Нарисуйте пятиугольную призму (например, как на рисунке 322, б). Покажите, как можно распилить ее на треугольные призмы. 1228. На рисунке 324 изображена развертка треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник. Перенесите развертку на лист плотной бумаги, увеличив каждый отрезок в 3 раза. Склейте призму из получившейся развертки. Указание. Не забудьте оставить полоски бумаги для склеивания развертки. Существует ли призма, у которой у ко- 1229. Сколько вершин, ребер, граней: а) у семиугольной призмы; б) у десятиугольной призмы; в) у п-угольной призмы? 1230. а) У призмы 2000 вершин. Сколько вершин в каждом основании этой призмы? Назовите эту призму. 2001 вершина? б) У призмы 33 ребра. Что это за призма? Существует ли призма, торой 100 ребер? в) У призмы 22 грани. Какая это призма? Существует ли призма, у которой 23 грани? 1231. Известно, что данный многогранник является либо пирамидой, либо призмой. Что это за многогранник, если у него: а) 13 вершин; б) 15 ребер? 1232. Найдите объемы многогранников, изображенных на рисунке 325. 5 см Рис. 325 1233. Запишите формулу для вычисления объемов V многогранников, изображенных на рисунке 326. 1234. Основанием параллелепипеда является квадрат. Боковое ребро параллелепипеда равно а см, ребро основания равно Ь см. Запишите формулу для вычисления длины L проволоки, которая потребуется на изготовление его каркаса. 1235. Куб с ребром 10 см распилили на части тремя плоскостями, параллельными его граням так, как показано на рисунке 327. На сколько частей разрезан куб? Найдите объемы наибольшей и наименьшей частей. 1236. а) Пусть в многограннике В — число вершин, Р — число ребер, Г — число граней. Число В-Р + Г называют эйлеровой характеристикой, по имени великого российского математика Леонарда Эйлера. Убедитесь, что для всех многогранников в таблице это число равно 2, т. е. В-Р + Г = 2. 3 см 7 см см Многогранник Число В-Р + Г вершин ребер граней Призма треугольная четырехугольная Пирамида пятиугольная восьмиугольная б) Убедитесь, что для правильных многогранников (см. № 1207) число В-Р + Г также равно 2. ф. для ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Паркеты Вы, конечно, знаете, что такое паркет. Обычно паркет выкладывают из дощечек, имеющих форму прямоугольника, и чаще всего «елочкой». Но составление паркета может быть и искусством. Им в совершенстве владели крепостные мастера, создававшие паркеты во дворцах царей и вельмож (см. фото). С точки зрения математики паркет — это покрытие плоскости геометрическими фигурами без зазоров и пересечений. Рассмотрим сначала паркеты из правильных многоугольников — треугольника, четырехугольника и шестиугольника. Самый простой пример паркета, составленного из одинаковых квадратов, — это ваша тетрадь в клеточку. На рисунке 328 изображен паркет из правильных треугольников, переходящий в паркет из правильных шестиугольников. В каждой вершине паркета из треугольников встречается шесть фигур, из квадратов — четыре, из шестиугольников — три. Так получается потому, что углы фигур в каждой вершине паркета должны составлять 360°. Именно поэтому других паркетов из правильных многоугольников быть не может. Если вы попытаетесь сложить паркет, например, из правильных пятиугольников, то увидите, что три пятиугольника не сомкнутся, а четыре «налезут» друг на друга. Выложить паркет можно и из нескольких видов правильных многоугольников. Например, паркет на рисунке 329 составлен из правильных треугольников, четырехугольников и шестиугольников. В каждой вершине сходятся треугольник, два квадрата и шестиугольник. Рис. 329 ----(283) Рис. 330 Рис. 331 1237. Из каких фигур составлен паркет, изображенный на рисунке 330? Какие фигуры сходятся в каждой его вершине? Вырежьте из цветной бумаги необходимые фигуры и выложите их на столе в виде такого паркета. 1238. Из правильных восьмиугольников и квадратов можно сложить паркет так, как показано на рисунке 331. Найдите величину угла правильного восьмиугольника. Но не только правильные многоугольники могут служить для составления паркета. 1239. Вырежьте из бумаги 20 одинаковых произвольных треугольников. Выложите из них паркет. Всегда ли это можно сделать? Почему? 1240. Вырежьте из бумаги 10 одинаковых четырехугольников произвольного вида и выложите из них паркет. Объясните, почему это можно сделать. В этом вам поможет рисунок 332. Посмотрите на рисунок 333. Это один из удивительных паркетов, созданных известным швейцарским художником Морисом Эшером. Конечно, придумать нечто подобное очень непросто, но все же попытаться стоит! За основу можно взять квадрат и попробовать превратить его в более сложный элемент для получения паркета. Для этого составьте из нескольких квадратов другие фигуры (334, а), или разбейте квадрат на равные части (рис. 334, б), или перекроите его (рис. 334, в). Рис. 333 (2^)— 1241. Начертите в тетради паркеты из элементов, изображенных на рисунке 334. Рис. 335 1242. Рассмотрите внимательно паркеты, изображенные на рисунке 335, — они созданы вашими сверстниками. Попробуйте выделить элемент одного из паркетов и нарисовать его. Придумайте свой паркет. (2Ж Задания для итогового повторения Задание 1 ^ п . 108 360 315 1. Даны дроби: 225! 430' 540' а) Сократите данные дроби, используя известные вам признаки делимости натуральных чисел. б) Укажите наибольшую и наименьшую из этих дробей. 2. а) Какая .часть прямоугольника на рисунке 336 закрашена? 2 б) Сравните получившееся число с числом 3' в) Сколько еще квадратов надо закрасить, чтобы было закрашено прямоугольника? Рис. 336 3. Вычислите: (|-|):(| + ^)-з|. 3 4. В журнале 168 страниц. Корректор прочитал до обеда всего журнала, а после обеда еще несколько страниц. После этого ему осталось прочитать -д журнала. Сколько страниц прочитал корректор после обеда? 5. Зрители могут выйти из кинозала через узкие и широкие двери. Если открыты только узкие двери, то все зрители выходят за 15 мин. Если открыты только широкие двери, то все зрители выходят за 10 мин. За какое время зал освободится, если открыты одновременно те и другие двери? Задание 2 Даны дроби: 36 27 75 40’ 45’ 50’ а) Сократите эти дроби и укажите наименьшую из них. б) Начертите координатную прямую и отметьте на ней данные числа. 2. Поле площадью 7,5 га разбито на 12 равных участков. а) Найдите площадь каждого участка. б) Выразите площадь участка в квадратных метрах и в арах (1 га = 10 000 м^, 1 а=100 м^). 3. Вычислите: 30: (5-54-: 1 4")- л о о 2 4. Редактор прочитал рукописи, что составило 80 страниц. На другой день он прочитал четверть оставшихся страниц. а) Сколько страниц в рукописи? б) Сколько страниц еще не прочитано? 2. 3. 4. 6. 1. Зрители могут выйти из кинозала через узкие и широкие двери. Если открыты одновременно те и другие двери, то зал освободится через 4 мин. Если открыты только узкие двери, то все зрители выйдут через 12 мин. За какое время все зрители выйдут из кинозала, если открыты только широкие двери? Задание 3 Даны числа: 5,25; 5,51; 4,12; 3,305; 5,503; 3,295; 4,638. а) Выпишите те из них, которые больше 3,3, но меньше 5,5. б) Расположите выписанные числа в порядке возрастания. в) Найдите сумму этих чисел. Вычислите: (9,12-0,18’ 1,5) = {3,17+ 4,33). Два мяча находятся на расстоянии 6 м друг от друга. Одновременно они покатились навстречу друг другу и столкнулись через 4 с. а) Найдите скорость сближения мячей. б) Найдите скорость движения каждого мяча, если известно, что скорость одного из них в 2 раза меньше скорости другого. Для детского праздника купили рулон цветной бумаги длиной 16,5 м. На изготовление флажков пошло 0,4 этого рулона. Сколько можно сделать гирлянд из остатков рулона, если на каждую требуется 1,5 м? Фермер собрал 8,5 ц яблок и 20 ц картофеля. На хранение он положил 80% собранных яблок и 30% собранного картофеля, а остальное продал. Чего он продал больше: яблок или картофеля? На сколько центнеров? Бассейн прямоугольной формы имеет размер 6x9 м. По периметру бассейна выложили бордюр из квадратной плитки размером 30x30 см (рис. 337). а) Сколько потребовалось плиток? б) Какую площадь занимает бассейн вместе с бордюром? Рис. 337 Задание 4 Даны числа: 17,63; 17,629; 17,745; 19,534; 20,12. а) Укажите наибольшее и наименьшее из этих чисел. б) На сколько наибольшее число больше наименьшего? в) Расположите числа в порядке возрастания. Вычислите: 43,68:1,4-(0,0312+ 0,056 • 1,05). Два теплохода вышли в одном направлении из одного и того же порта. Один вышел в 7 ч со скоростью 20 км/ч, а другой — в 10 ч 30 мин со скоростью 37,5 км/ч. а) Какое расстояние будет между теплоходами в 11 ч 30 мин? б) Сколько будет времени, когда второй теплоход догонит первый? в) Какое расстояние будет между ними в 19 ч, если они будут продолжать движение с такими же скоростями? —® 4. В киоск привезли 600 газет. Число газет «Досуг» составляло 0,3 всех газет, а остальными были газеты «Спорт» и «Кино». Газет «Спорт» было в 2 раза больше, чем газет «Кино». Сколько газет каждого названия привезли в киоск? 5. В школе 250 мальчиков и 450 девочек. В школьной хоровой студии занимаются 30% всех мальчиков и 20% всех девочек. Кого в студии больше: мальчиков или девочек — и на сколько? 6. Вокруг газона прямоугольной формы выложена дорожка из плиток размером 40X40 см (плитки уложены в один ряд). Площадь газона 320 м^, а площадь газона с дорожкой 354,24 м^. а) Сколько плиток потребовалось для укладки дорожки? б) Чему равен периметр газона? Указание. Сделайте рисунок. -|: 1-^: 1-^: 1-^; 1,025; 1,250; 1,52. Задание 5 . „ .1 .1 1. Даны числа: 1-^1 "• "4! Выпишите те из них, которые: а) равны 1,25; б) меньше 1,25. 18 2 “ 1 о 7 2. Найдите значение выражения: а) 7,2 • 0,5:5,4; б) — 3. Ленту длиной 25 м разрезали на 6 равных частей. Найдите длину каждой части, выразив ее в метрах и сантиметрах. 4. Длины сторон прямоугольника относятся как 3:2. Длина большей стороны равна 12 см. Найдите периметр этого прямоугольника. 5. Оптовый склад продает магазинам рис, гречку и пшено. На диаграмме (рис. 338) показано, сколько той или иной крупы продано со склада за месяц. а) Какую часть от общей массы проданных за месяц круп составляет крупа, пользующаяся наибольшим спросом? Выразите эту часть в процентах. б) Перерисуйте диаграмму, выразив долю каждой крупы в процентах. 6. Два коммерсанта вложили в проект соответственно 2,5 млн р. и 4 млн р. и получили 10% прибыли. Одну половину этой прибыли они потратили на новое оборудование, а вторую половину разделили между собой в том же отношении, в каком находились внесенные ими деньги. Сколько получил каждый? Задание 6 1. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок 20 клеток. а) Отметьте на координатной прямой числа 0,5 и 0,15 и представьте их в виде обыкновенных дробей. б) Обозначьте буквой середину отрезка, концы которого имеют координаты 0,5 и 0,8. Запишите координату отмеченной точки сначала в виде десятичной дроби, а потом в виде обыкновенной дроби. 2. Найдите значение выражения: а) 5,4-1,8 б) 4,5-0,8 Университеты и научные институты 0,67 + 0,83’ ' 4,32 • 3. Торт массой 2,5 кг разрезали на 12 одинаковых кусков. Найдите массу каждого куска, выразив ее в граммах. 4. В коробке 27 белых и синих шариков. Число белых шариков относится к числу синих как 4:5. Сколько в коробке белых шариков? 5. На диаграмме (рис. 339) представлено распределение между потребителями компьютеров, проданных магазином за год. а) Определите, какую долю составляют компьютеры, купленные университетами и научными институтами. Выразите эту долю в процентах. б) Перерисуйте диаграмму, выразив долю каждого потребителя в процентах. 6. С предприятия, приносящего доход 25%, два коммерсанта получили прибыль 130 тыс. р. Полученные деньги они разделили в том же отношении, в каком находились их вклады в это предприятие. Сколько денег вложил каждый коммерсант в это предприятие, если их вклады относились как 1,5:5? Рис. 339 Задание 7 1 2’ 4. Даны числа: -1,5; 0,25; 0,5; 0; а) Выпишите числа, меньшие 0,5. б) Расположите эти числа в порядке возрастания. в) Отметьте выписанные числа на координатной прямой. Найдите значение выражения: а) (-0,4)^: (-0,04-0,2); б) Автомобиль едет из одного города в другой. Проехав 2 ч со скоростью V км/ч, он сделал остановку. После этого ему осталось проехать I км. а) Составьте формулу для вычисления расстояния s (км) между этими городами. б) Вычислите S при у = 60, 1 = 70. в) Сколько километров осталось проехать автомобилю после остановки, если s = 220, у = 70? Выразите I через s и у. г) С какой скоростью ехал автомобиль первые 2 ч, если s = 200, 1=507 Выразите у через S и Z. На координатной плоскости построен прямоугольник ABCD. Известны координаты трех вершин: А(-5; 2), S (-5; 6), С (1; 6). а) Запишите координаты вершины D. б) Найдите периметр и площадь прямоугольника ABCD. в) Постройте прямоугольник Л,Б,С,0,. симметричный данному относительно оси X. г) Укажите координаты середин отрезков БВ,, БО„ BD. Даны числа: -0.5; (-0,5)^; (-0,5)^ (-0,5^ а) Не выполняя возведения в степень, сравните каждое из чисел с нулем. б) Расположите числа в порядке возрастания. в) Запишите сумму наименьшего и наибольшего из этих чисел и найдите ее значение. Участник математической олимпиады правильно решил 4 арифметические и 3 геометрические задачи и получил 22,5 балла. За решение геометрической задачи начислялось на 0,5 балла больше, чем за решение арифметической задачи. Сколько баллов начислялось за решение каждой арифметической и каждой геометрической задачи? Задание 8 Вычислите: а) -15-1-22-17-9: б) 6-(-20) + (-13); в) 5-(-7) + (-3)-(-9); , -8-1-20 г) -3 (4 \2 5 / Z\ --^1 -~Q ' б) (0,25-0,375):0,75. 3. Для шитья полотенец взяли кусок ткани длиной L м. На каждое полотенце идет 0,9 м ткани. После того как сшили п полотенец, в куске осталось I м ткани. а) Составьте формулу для вычисления длины оставшегося куска ткани, б) Вычислите I при L = 50, п = 40. в) Определите длину всего куска ткани, если га = 20, Z=12. Выразите L через п <л I. г) Сколько полотенец было сшито, если L=70, Z = 16? Выразите п через L и I. 4. На координатной плоскости отметьте точку А (-3; -4). а) Постройте точку В, симметричную А относительно оси х, и точку С, симметричную А относительно у. б) Найдите площадь треугольника АВС. в) Укажите координаты середин отрезков АВ, ВС, АС. г) Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно оси X. 5. Даны числа: -0,7; (-0,7)^; 1,3; 1,3^. а) Расположите эти числа в порядке убывания, б) Найдите сумму данных чисел. 6. Участник математической олимпиады решил 9 арифметических и геометрических задач и получил 20 баллов. За решение арифметической задачи начислялось 2 балла, а геометрической — 2,5 балла. Сколько арифметических и сколько геометрических задач решил участник олимпиады? сж Ответы Глава I 17 . J_ . J_ , 100’ 18’ 36’ ^20' 15. а) 45; б) 1^; в) г) 9— д) 3^; 9. и) 1 ^ е) 18. а) j: б) 22. 2) За 2 дня. 24. д) 1^; е) 25. в) 11 у; г) 12-|. 26. а) 1у; б) 6^; в) г) 31. За 6 дней. 32. За 28 ч. 33. Через 12 мин. 1 42. ж) у; 3) 1^. 46. г) 0; д) 2у; е) Tjj. 51. а) 1 м 50 см; б) 4 ч. 53. а) 72 см; 4 14 б) 16 м. 58. а) 42 м и 21 м; б) на 1 ч 10 мин. 60. а) у; б) у^. 63. 18 страниц. 64. 320 учащихся. 65. 30 квартир. 71. 96 листов. 72. 120 р. 73. 180 листов. 77. а) В 3-| раза. 78. б) у; в 9 раз. 79. 15x15 м. 80. ЗОу, 9у, 14у и 5у мин. 103. а) 15 тыс. чел.; б) 400 р. 104. а) 30 тыс. книг и 4 тыс. книг; б) 63 м и 108 м. 108. 1) На 248 человек; 2) 868 учащихся. 109. 60 кг. 110. 151200 р. 116. 360 р. 120. 60 км. 121. а) 900 книг; б) 1440 книг. 123. В 2 раза. 125. На 50%. 129. в) 50 учащихся. 130. Мировой океан — 70%, суша— 30%. 132. г) Не более 12%. 136. а) 9; б) 70; 100; 90; последняя диаграмма. Глава II 145. а) Z3 = 29°, ^2 = ^14=151°. 146. а) 10°, 170°, 170°; б) 115°, 65°, 65°; в) все по 90°. 152. ^СО/С=ZOOM = 101°, Z/C06 = 47°, ZBOD = 32°. 153. 106°, 74°, 106°, 74°. 154. Z1=Z4 = 38°, Z2 = 91°, Z3 = 51°. 159. a\\b, m\\l, n\\c, k\\d. 167. a) Zl, Z2 и Z6; 6) Z2 = Z6 = Z5 = 38°, Z3 = Z4 = Z7 = Z8= 142°. 168. Zl=70°, z2=110°, Z3 = 80°. 172. 1) 3 точки; 2) 6 точек. 181. Пересекает отрезки CD и BD. 182. а) Два решения: 8 см или 2 см; б) 8 см или 2 см. 183. а) 6 см, 8 см; б) 6 см, 4 см; в) 3 см, 4 см и 4 см. 186. По перпендикуляру ко второй дороге. Глава III 208. а) 0,02; 0,05; 0,14; 0,17. 215. 15 натуральных чисел, 18 десятичных дробей. 219. в) у 4 = 0,4 ч; г) у ч = 0,25 ч; ж) ^ ч: з) ту ч = 0,7 ч. 220. б) 2у ч = 2,5 ч; 2 г) 1 у ч. 222. а) Можно; 0,0475; б) можно; 0,0112; в) можно; 0,01875; г) нельзя. 6 14 36 , 1 . ,, 1. , 224. 24- 35. 48' 226. а) 1 g, б) ^, в) , г) 1у. 235. 1 кг 70 г =1,07 кг; 2 т 340 кг = 2,34 т; 82 дм = 8,2 м. 236. б) 6 мин; 18 мин; 72 мин; 210 мин. 237. В. 240. 5,1 см^. 242. а) Да; 3,100 = 3,1. 247. а) 17,3 м; 70,5 м. 252. г) 0,8 > 0,704; д) 0,25 <0,3; е) 0,019 >0,0067. 263. а) 9; б) 0; в) 8; 9; г) 0; 1; 2. 264. а) у <0,5; б) у<0,4; в) 0,75<у; г) 0,25 = у; д) у>0,4; е) ^>0,03. 265. а) -^<0,7<-|; 29 1 б) 0,125<0,13<-^. 271. б) 8^ ч и 5j ч. 272. б) 240 г и 400 г. 273. б) 30, 35 и 40 книг. 274. 205 и 245 книг. 276. 2 большие и 6 маленьких коробок. 277. 4 треугольника и 6 четырехугольников. 278. По 25 букетов. 280. 12, 12 и 9 учеников. 281. 37 лет. 282. 10 р., 90 р. и 80 р. 285. Масса большой 80 г, масса маленькой 40 г 287. 10 г. 288. 4 га. 289. 60 р. Глава IV 291. е) 1,33; ж) 5,29; з) 1,2; и) 2,01. 294. е) 15,403; ж) 124,834; з) 16,34; и) 2,209. 296. а) 3,5; б) 7,3; в) 9,3; г) 19,1. 297. г) 0,28; д) 2,9; е) 2,31; ж) 0,091; 3) 3,08; и) 0,8. 300. г) 0,14; д) 5,29; е) 89,15; ж) 2,955; з) 15,09; и) 1,5. 303. е) 82,3; ж) 86,55; з) 3,873; и) 105,9. 308. а) 12,5; б) 10. 309. а) 6,87; г) 3,7; д) 21,38. 310. а) 1,21. 311. б) 4,6. 316. а) 12 кг; б) 2,8 кг. 318. а) 8 кг и 10,5 кг; б) 6 л и 9,4 л. 321. в)-^; г) 4fI Д) 1 е) 322. в) 2,11; г) 0,17; д) 1,31; е) 1,03. 323 328. На 9,2 км/ч. 329 3’ ■' 15’ ' 15’ 30‘ а) 17,77; б) 17,59; в) 122,38; г) 17,172. 326. 1,3 км. 327. На 8 га. 20,5 г, 9,4 г и 15,7 г. 331. в) г) 1. 332. в) 0,045. 334. б) 40 700; д) 10 200 000; и) 785 000 000. 340. в) 356 мл; 12 мл; 1250 мл; 100 мл; 80 мл. 341. в) 2,56 л; 0,35 л; 0,0028 л; 0,00005 л. 350. в) 9,68; г) 22,4; д) 4; е) 6. 352. б) 15,9; д) 6,283; з) 10,414. 353. г) 0,01764; д) 0,0221; е) 0,00021. 354. г) 154,33; д) 45,3; е) 33. 360. в) 1,21; г) 0,25; д) 0,008; е) 1,331. 366. а) 1,632; б) 12,096; д) 2,064; е) 2,275. 367. д) 6; е) 4. 369. а) 1,15 км; км. 372. 1) 3,15 млн р.; 2) 0,9 млн р. 373. а) 10,5 м; ^ е) б) 1,5 км. 372. 1) 3,15 374. а) 0,35 км; б) 7 км, 8 км р.; 2) 0,9 млн 5 км. 377. Р- Д) g. а) 11,401; б) 21,94; в) 9,12 1,5. 379. б) 1,5 ч. г) 0,00528; г) 6,21. 387. 7,3 км. а) 0,63; г) 0,31; ж) 0,011; д) 0,00216; е) 0,099. 386. 389. 6 мин. 392. б) 34,1; д) 30,6; ж) 1,23; з) 2,73. 393. 3) 0,012; и) 0,023. 394. б) 5,315; д) 0,92; ж) 1,225; з) 11,125; и) 1,225. 395. е) 0,48; ж) 37,5; 3) 35,4; и) 18,75. 398. а) 450 г; б) 2 м 70 см. 400. б) 34; д) 0,49; е) 0,29; ж) 2,24; 3) 7,05; и) 1,1. 401. б) 5500; г) 1020; е) 250. 402. в) 210; г) 0,054; ж) 277,5; з) 0,016; и) 7,068. 405. а) 20 шагов; б) 8 таблеток. 410. а) 9 кусков; б) 10 бутылок; в) 8 рулонов; г) 12 кусков. 411. а) 2,152; б) 0; в) 0,55; г) 0,4. 412. б) 40,18; г) 2,46; д) 27,6; е) 5,2. 413. а) 12 рейсов; б) 7 полотенец. 415. б) 0,5 кг и 0,8 кг. 416. а) 20,8 кг и 22,5 кг; б) 405 г и 220 г. 417. а) 1,05 кг; б) 2,5 кг. 418. а) 2812,5; д) 20,55; е) 2,84; ж) 0,0648; з) 1,2; и) 0,155; к) 14,0625; л) 4,17; м) 0,75. 421. а) 30,286; б) 9,62; в) 3,9; г) 0,1; д) 49,6; е) 1,23. 422. а) 3,8; б) 0,32; в) 0,745; г) 17,5; д) 1,01; е) 4,9. 423. 275 г. 424. 1,5 л, 1,5 л, 2,4 л и 0,8 л. 425. 2,5 км/ч и 4 км/ч. 426. 2,97 кг и 4,29 кг. 430. 2 м. б) г) 10,5; ж) 1436. а) Зу; б) 4,9; в) -|; г) ^ ^ 432. 40 км. 435. е) 1,4. 438. б) 8 6’ юбок. 9’ 3’ 441. 443. а) 62,5 км/ч; б) 16 км/ч и б) 8,4 м. 442. а) 62,5 16,5 км/ч. 444. д) 0,5; е) д) 3^-. 446. а) 1,5; б) 4 — 451. а) ~2 км; б) ~1 в) км. 452. б) за 0,25 ч. а) -|; г) 10; Tj^; г) 2,37. 447. а) 1; б) 0,25; в) 0,02; г) а) «31 г; б) «454 г. 457. «31 см. 458. «70 м^. км/ч; 445 463. г) 0,6; 0,57; 0,571. 465. а) 23,33; б) 0,31; в) 2,33; г) 1,67. 466. а) 1 м 8 см; б) 1 кг 157 г. 476. а) 35,2 км; б) 75 км/ч. 477. а) Через 1,5 ч; б) 3,6 км. 478. а) 60 км/ч и 50 км/ч; б) 55 км/ч и 15 км/ч. 480. а) 4,25 ч; б) на 0,5 ч. 481. а) 150 км; б) 42 км. 483. 2,4 мин. 484. Велосипедист; на 0,25 ч. 485. 19,8 км. 486. Через 15 мин. 487. 600 м. 490. За 12 ч. 491. 3 км/ч и 18 км/ч. 492. 1,5 км. 493. Через 30 мин. Лишние данные — скорости. 494. а) Через 16 мин; б) 1500 м; в) через 8 мин и через 24 мин. 495. в) 0,0101010101 и 0,00...01. 496. а) 0,00...099...9; б) 0,8888888889. 30 цифр 10 цифр 10 цифр Глава V 499. Через центр окружности. 500. 12 см. 504. На двух прямых, параллельных данной прямой и расположенных от нее на расстоянии 3 см. 505. На прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой. 509. а) 8 см, 2 см; б) 2,5 см и 5 см. 512. 2 см и 8 см. 513. а) АР=3 см, ВР = 7 см; б) ЛР=1 см, ВР=7 см. 514. 50 мм. 515. а) 10 см; б) 8 см; в) 5 см; г) 0 см. 516. а) 4; б) 3; в) 2; г) 1; д) — е) ни одной. 520. 2) а) нельзя; б) можно; в) нельзя. 526. Сторона, равная 7 см. 527. Два треугольника со сторонами 2, 5, 6 см и 3, 5, 6 см. 534. а) ОА и ОС; б) ОА, АВ, ВС, ОС. OD. 537. в). 538. 180 см. 539. Высота — 24 см, радиус основания — 15 см. 540. а) 6 см; б) нет. 541. 64 шара; 8 шаров. 542. Диаметр шара и высота цилиндра — 10 см. 544. Вершинами треугольной пирамиды, все ребра которой равны 2 см. Глава VI 1 563. а) 4; г) 12,5; д) 565. 5М; в 5 раз. 566. а) 1: 100 000; б) 1:2500. 570. б) 5:3; в) 5:2. 575. За 0,4 ч. 576. а) В первом случае; б) во втором пакете. 578. а) Из первой коробки; б) у кандидата В. 580. а) 102 урока и 68 уроков; б) 40 мин и 50 мин. 581. а) 1 кг 200 г; б) 880 г. 588. 44 куска мела. 589. 10 карандашей и 18 карандашей. 590. 30, 35 и 10 лет. 591. 50, 40 и 20. 594. а) 22 л; б) 204 м. 602. 5450 р. 603. 1265 р. 604. а) 138 р.; б) 43 страницы. 606. 220 р. 608. 36 девочек и 44 мальчика. 609. 396 г. 610. 150 м^, 270 м^, 180 м^. 611. 20 748 справочников. 613. а) 200 лампочек; б) 300 учащихся. 627. а) 52%; б) 23%. 628. 12%-«5», 44% - «4», 42%-«3», 2%-«2». 629. а) На 3%; б) на 25%. 630. а) На 20%; б) на 4%. 639. 80%. 640. 10%. 641. 80% и 20%. 642. 54% и 46%. 648. а) С четвертого знака; б) на 12-м месте — 2 цифра 9; на 20-м месте — цифра 5; на 100-м месте — цифра 2. 651. у = = 0,285714285714...; у = 0,428571428571... и т. д. 652. а) у; б) у; в) у; г) 1; Д) 4; е) 50. Глава VII 654. а) - в) Нет. 660. N, W, R. 664. а) Одну; б) две. 667. 4 перегибания. 668. Соответствующие стороны параллельны. 672. 1) Две; 2) одну; 3) одну; 4) две; 5) бесконечно много. 675. б) КО = ОМ =12 см; КР = РМ=16 см; в) ZKOP = ZPOM = 90°, /.РМО = 40°. 676. Три. 677. У снежинки — шесть, у мор- ---(293) ской звезды — пять. 678. а) 40 см; б) 20 см; в) 20 см. 679. а) Прямоугольник; б) прямоугольник или окружность; в) треугольник. 682. а) 17 см; б) 16 см. 689. Девять. 693. Точки D, Е, К v\ С соответственно. Отрезок CD, отрезок OD, отрезок ЕК, треугольник ВОА, четырехугольник DEKA, четырехугольник DEKO. 700. 4 и С,, 6 и D,, D и Б,, С и 4,. 705. Провести прямую через данную точку и центр симметрии фигуры. 706. Коля прав. Первый кубик он должен положить в центр симметрии стола, а в каждый из последующих ходов класть кубик симметрично относительно центра тому кубику, который положил Петя. Глава Vm 723. а) -И1; б) -11; в) -86; г) +71. 724. а) +1; б) -2; в) -8; г) +5; д) +3 е) -3. 730. б) -200<-150; г) -101 >-102; е) -310>-1003. 733. а) -7; -6 -5; -4; -3; -2; -1; б) -11; -10. 734. а) 0; 1; 2; г) -104; -103; -102; -101 -100; -99; -98; -97. 737. а) -а>-&; б) -а>-Ь\ в) -а>-Ь. 744. г) 0 д) - 6; е) -7. 745. в) -25; г) -60. 747. г) -7; д) 0; е) -5; ж) 3; з) 8; и) 0 к) -5; л) 2; м) -16. 749. а) 8; б) 5. 750. а) -990; б) 198; в) 1089; г) -3267 д) -700; е) -3999. 754. д) 39; е) 8; ж) 8; з) -15. 757. б) 30; г) 6. 759. в) 4 г) 2; д) 30; е) 10. 762. а) -15; б) -25; в) 56; г) -51. 763. а) 0; б) 6275 в) -1210. 774. д) -662; е) 512; ж) -49; з) 36. 777. в) -1; г) 3. 778. г) 1 е) 10; ж) -6; з) -3. 779. д) -21; е) 8; ж) 1; з) 0. 785. е) -47; ж) -4; з) -45 786. а) 20; б) -2; в) -21; г) -100. 791. а) 9; б) -2; в) 0; г) -9. 792. а) -405 б) -155; в) -45; г) -205. 793. а) л: = -15; б) х = ~25; в) л: = -13; г) х = -36 798. а) х = -7; б) х = 2\ в) д: = -8; г) х = 5. 805. б) 120; г) 16; е) 150; ж) -8 3) 90. 807. а) л: = 9; б) д: = -1; в) х = -2-, г) л: = 0. 809. г) -39; д) -67; е) 8 810. а) 150; б) 72; в) -230; г) 246. 811. а) 960; б) -90; в) 16; г) -280 824. а) -7; б) -1; в) 0; г) 1. 825. а) 8; б) -24; в) -100; г) 21. 826. а) x = -^2 б) а = 15; в) с = -21; г) Ь = 25. 829. а) -14; б) -39; в) 2; г) -1; д) -4 е) -3. 830. а) -5; б) -3; в) -50; г) -10; д) -1; е) -80. 831. а) -5; б) 2 в) -6; г) 5. 832. а) -3; б) 1; в) -5; г) 2. 834. а) 16; б) -8; в) 0; г) -6 835. а) 18; б) 2; в) 450; г) 450. 836. а) х = -20; б) д: = -1; в) х = -Ю\ г) х = 3 849. а) 4ПБ = {1; 2; 3; 6}, 6 —наибольший общий делитель чисел 18 и 24; б) наименьший элемент — число 12, это наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 851. а) {АиВ)Г\А = А\ б) (AD B)U В = В. 854. 9 элементов. 858. 10 человек 859. У 71 семьи. 861. 7 человек. 862. Нет. Глава IX 868. Получится 9 двузначных и 18 трехзначных чисел. 869. а) 10; б) 20. 870. а) 15; б) 5. 871. а) 10; б) 4; в) 3. 872. Шестью способами. 873. 16 вариантов. 874. 15 партий. 875. 10 отрезков. 876. Шестью способами. 878. 24 строки. 879. 2. 880. 8. 881. 20. 882. Восемью способами. 884. Десятью способами. 885. а) 3; б) 6; в) 20. 887. а) 12; б) 32. 888. 24. 889. 6-5 = 30. 890. 4-3X Х2-1=24. 891. 5-4-3-2-1 = 120. 892. а) 9-5 = 45; б) 9-10-5 = 450. 893. На 10 000 абонентов. 894. Нет. 895. Нет. 896. а) 90 000; б) 450 000; в) 125 000; г) 100 000. 897. Достаточно. 898. Права Даша. 899. а) 210; б) 105. 902. Б и Е — невозможные события; достоверных событий нет. 903. Шансы равны. 907. I, IV, III, II, V. 909. Шансы события А равны 4:36 = 1 :9; шансы события В равны 18:36=1:2; шансы события С равны 9:36 = 1:4. 910. Событие А невозможное. если вынимают 1 или 2 шара; достоверное, если вынимают от 7 до 9 шаров. 918. 81 билет. 920. 88 шаров. 921. 11. 922. 3 носка. 923. 21 перчатку. 924. б) Да; в) 10; г) 7 комнат. Глава X 943. а) -2,5 и -2^; б) и -1,5; j и -3,5. 949. а) б) 3.2; в) -0,5; 1,1 . . 1 . . 1 . 3,3 г) 10; д) 7,1; е) 12. 959. б) --2<--5: в) - 1-^ > - 1 тг; е 7^ 10’ и) 960. б) -5^<-5-jj; в) -4,12>-4,21. 963. в) 12,1 | = |-2,11; 11 Д) > 1 10 964. г) -|-<-^<0. 965. в) 30; г) 12. 970. а) 0; б) 4 и -4; в) не существует. 972. а<Ь. 976. а) Для любых; б) а = 0. 977. а) Верно б) неверно. 978. ж) -7,1; з) -14,03. 979. в) -|-; г) - 1 41- 981. д) -2,9 15' з) 8,3. 982. в) “3-^; г) 1 984. д) 17,35; е) -|; з) 986. в) -1 ^ г) д) е) -1^. 987. ж) -15,72; з) -17,64; и) 3,24. 988. в) у; г) -у д) у. 992. в) 1,5; д) -Зу; ж) -2,5; з) -4,4. 993. а) -3,15; в) -0,4; е) 15,9 и) 10. 997. б) -1-|; г) -у. 1001. в) -17; г) 18. 1002. б) 2,4; г) -14- О 1003. б) -у; в) --|; е) -у. 1004. в) 2,4; г) 10,2. 1005. в) -9-|; г) 6,25. 1006. в) 2,1; г) -3. 1011. а) -1,9; б) -3,6; в) -14,8; г) 1; д) -4,4; е) 6,13. 1013. в) -у; г) -1у. 1014. в) -110; г) -4. 1015. в) -0,78; д) -17. 1021. в) -7,8; г) 4,3. 1027. б) 108. 1028. б) 8. 1030. 9 р. 1031. 27 человек. 1033. б) 11,2 кг. 1034. 36 р. 1035. 60 ц. 1036. Денег было поровну. 1037. 27 картофелин. 1038. 43 яйца. 1068. 84,q = 220g. 1069. а) 44444g; б) 1234s. 1072. в) lOOOOg. 1074. а) В восьмеричной; б) во всех системах счисления с основаниями 5, 6 и т. д. Глава XI 1078. а) 4 и 0; б) -10 и 2,5. 1079. б) Ю + ах; г) т-{2 + п); д) 2аЬ\ е) {х + у)х х(х-у). 1100. в) (n-2){n-^)n(n + ^)[n + 2). 1103. а) S = 4f, б) Л/ = 48л; в) С = = атп\ г) А = хс. 1104. а) P=2a + 4x; б) Р = 2а + Ь + с' в) Р=5т. 1106. а) 36 дм^. 1107. а) S = ab-c^-, б) S = ab-xy. 1108. б) V=a^-x^\ V=a^ + b^ + c^. 1111. 273 К 310 К; 373 К; 253 К; 234 К. 1112. а) Л1= 1464; б) Л/= 1525; в) Л/=21960 1113. а) 2,4 м^; б) 4 м1 1114. а) Р=2а + 2Ь-\\ 17 м; 17 м; б) L = 2x + 2y-4,5 135,5 м; 95,5 м. 1115. а) С = 20л+12. 1116. а) 7=0,135; б) 390 р., 286 р 1117. а) Р=25(а-с) или Р=25а-25с. 1118. а) s=12a + 6b. 1120. а) Р=2х + 2у б) Р=2х~2у-2а. 1122. б) Чтобы найти сумму всех натуральных чисел от 51 до 100, надо найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, сумму всех р натуральных чисел от 1 до 50 и от первой суммы отнять вторую. 1126. в) а=у- 1129. в) c = P-a-b или c = P-(a + b). 1130. б) a = j^- 1131. в) Л = 0,8 м, Л = Л/ 61Z ’ г) 1^5 м, 1 = N 6^h^ 1132. а) 35 см, 53 см, 73 см; б) d 20 дюймов, 24 дюйма, 19 дюймов. 1133. б) а - Р-2Ь 2,5’ 1134. б) ~45 см, =30 м. 1135. =40 тыс. км. 1138. а) 15,7 см; 1,6 см; 6,3 см; б) 39,3 см^; 0,8 см^; 9,4 см1 1139. 257 м; 4462,5 м^ 1140. 344 см^. 1147. в) г) 0. 1155. г) 5 и -5; д) 2 и -2; е) о и 1; ж) 6; з) у. 1156. а) Нет; б) х = 0. 1157. а) 207 кг; б) 800 г. 1158. в) 5,9; г) 1,7; д) 3.6; з) 1,4. 1165. Могут. Надо купить 2 коробки по 20 шт. и 7 коробок по 15 шт. или 5 коробок по 20 шт. и 3 коробки по 15 шт. 1166. 6 больших и 4 маленькие. Глава XII 1168. а) 50°; б) 50°; в) 50°, 50°; г) 30°. 1169. ^С = 34°. 1171. а) 60°; б) 45°. 1172. а) 28°, 76°, 76°; б) 26°, 77°, 77°. 1173. 60°. 1174. а) В первом случае — одно решение: 28° и 28°; во втором случае — два решения: 48° и 84°; 66° и 66°. 1175. 80°, 70° и 30°. 1176. 135°. 1177. 60°. 1178. В AAOD- /J\OD = ^LOAD = = /LODA = QQ°\ в ААОВ- /.ВАО=30°, /iABO=ZAOB = 75°- в ADOC-гССDO = 30°, ADCO = = Z.DOC = 75°; в АВОС- АВОС= 150°, ^ОВС=АОСВ= 15°. 1179. /Л = 30°, АВ = 60°, ZC = 90°; прямоугольный. 1186. а) 30,2 см; б) 34 см. 1192. 9 см, 60°. 1196. а) 5 ромбов; б) 16 параллелограммов. 1197. 1 см, 2 см, 2 см. 1206. 120°; 108°; 135°. 1212. а) 25 кв. ед. 1213. 1) а) 3 и 4 см, 12 см^; б) 4 и 5 см, 20 см^; в) 3 и 12 см, 36 см^; 2) S = tra. 1214. а) 14 см^; 4,5 cм^; б) 7,5 см^; 8 см^. 1215. S = ^ab', а) 6 см^; б) 13,5 см^. 1217. 12 кв. ед. 1218. 1) 20 кв. ед.; 2) 12 кв. ед.; 3) 20 кв. ед. 1219. Верно. 1220. 13,5 кв. ед. 1222. а) 25 см^; б) 6 см^. 1225. а) 5 боковых ребер, всего ребер — 15; 5 боковых граней, всего граней — 7; 10 вершин. 1226. а) 90 см; б) 90 см. 1229. а) 14 вершин, 21 ребро, 9 граней; б) 20 вершин, 30 ребер, 12 граней; в) 2п вершин, Зп ребер, л + 2 грани. 1231. а) 12-угольная пирамида; б) 5-угольная призма. 1232. а) 2000 см^ б) 105 см^ в) 1296 см^ г) 2100 см^ 1233. а) V=xyb+acb] б) V= -ах^\ в) V=^abc. 1234. L = 4a + 3b. 1235. 8 частей; 343 см®; 27 см®. Задания для итогового повторения Задание 1 3. 1.4. 49 страниц. 5. За 6 мин. Задание 2 2. а) 0,625 га; б) 6250 м®; 62,5 а. 3. 20. 4. а) 200 страниц; б) 90 страниц. 5. За 6 мин. Задание 3 1. в) 31,621. 2. 1,18. 3. а) 1,5 м/с; б) 0,5 м/с и 1 м/с. 4. 6 гирлянд. 5. Яблок на 0,8 ц больше. 6. а) 104 плитки; б) 63,36 м®. (296) Задание 4 1. б) На 2,491. 2. 31,11. 3. а) 52,5 км; б) 14 ч 30 мин; в) 78,75 км. 4. 180 экземпляров газеты «Досуг», 280 — «Спорт» и 140 — «Кино». 5. Девочек на 15 больше. 6. а) 214 плиток; б) 84 м. Задание 5 2 1 2. а) б) 0,12. 3. 4-^ м«4 м 17 см. 4. 40 см. 5. а) Рис составляет 0,48 всей крупы; 48%; б) рис — 48%, гречка — 28%, пшено — 24%. 6. 125 тыс. р. и 200 тыс. р. Задание 6 5 2. а) 2,4; б) 3. =208 г. 4. 12. 5. а) 0,3; 30%; б) университеты и научные ин- О ституты — 30%, школы — 25%, домашние пользователи — 5%, предприятия — 40%. 6. 120 тыс. р. и 400 тыс. р. Задание 7. 2. а) б) 3. а) s = 2v + i, б) 190 км; в) 80 км; г) 75 км/ч; и = ^ 2 ^ • 4. а) 0(1; 2); б) 20 см; 24 см^; г) (0; 6), (3; 4), (-2; 4). 5. в) -0,25. 6. 3 бал- ла за арифметическую задачу и 3,5 балла за геометрическую. Задание 8 2. а) 2^; б) 3. а) l = L-0,9rv, б) 14 м; в) 30 м; L = l + 0,9ir, г) 60 полотенец; n = h-l 0,9 4. б) 24 кв. ед.; в) (-3; 0), (0; 0), (0; -4). 5. в) 1,947. 6. 5 арифмети- ческих и 4 геометрические задачи. Предметный указатель Абсцисса точки 232 Аликвотная дробь 30 Высота конуса 114 — цилиндра 114 Гексаэдр 273 Гипотенуза 112 Декартова система координат 233 Деление в данном отношении 127 Десятичные дроби 49 — вычитание 68 — деление 82, 83, 88 — округление 92 — сложение 67 — сравнение 60 — умножение 76 Диаграмма круговая 26 — столбчатая 26 Диаметр шара 114 Додекаэдр 273 Икосаэдр 273 Касательная к окружности 104 Катет 111 Комбинаторное правило умножение 194 Конус 114 — усеченный 118 Концентрические окружности 107 Координатная плоскость 232 — прямая 209 Корень уравнения 258 Круги Эйлера182 Круглые тела 113 Круговой сектор 115 Математическое выражение 241 — предложение 241 Метрическая система мер 57 Многоугольник 264 Множество 181 — бесконечное 182 — конечное 182 Модуль числа 214 Наименьший общий знаменатель дробей 5 Начало координат 232 Неравенство треугольника 111 Объединение множеств 183 Обыкновенные дроби 4 — вычитание 4 — деление 5 — сложение 4 — умножение 5 Октаэдр 273 Ордината точки 232 Орнамент 46 Оси координат 232 Основное свойство дроби 4 Ось абсцисс 232 — ординат 232 Ось симметрии фигуры 146 Отношение 122 Отрицательные числа 158, 208 Параллелограмм 266 Параллельный перенос 47 Паркеты 283 Перебор возможных вариантов 189 Пересечение множеств 183 Периодическая бесконечная дробь 139 Подмножество 182 Правильный многогранник 272 — многоугольник 271 Представление обыкновенной дроби в виде десятичной 54, 55 Приближенное значение с недостатком (с избытком) 92 Призма 279 Противоположные числа 159, 208 Процент 19 Прямые параллельные 37 — пересекающиеся 34 — перпендикулярные 35 — скрещивающиеся 39 Пустое множество 182 Равновеликие фигуры 274 Равносоставленные фигуры 275 Радиус щара 114 Расстояние между двумя точками 41 — между параллельными прямыми 42 — от точки до плоскости 43 — от точки до прямой 42 Рациональные числа 209 -- сравнение 213, 214 -- вычитание 218 -- деление 219 -- сложение 217 -- умножение 218 Ромб 268 Симметрия зеркальная 143 — осевая 141 — центральная 152 Система счисления 235 Событие достоверное 198 — невозможное 198 — случайное 197 События равновероятные 197 Сфера 114 Тетраэдр 273 Углы вертикальные 34 — смежные 37 Уравнение 258 Формула 246 Формула длины окружности 256 — объема параллелепипеда 247 — периметра прямоугольника 247 треугольника 246 — площади круга 256 прямоугольника 247 — пути при равномерном движении 252 Целые числа 159 --- сравнение 163 --- вычитание 170 --- деление 179 --- сложение 166 --- умножение 175 Центр симметрии фигуры 153 Цилиндр 113 Шар 114 Эксперименты со случайными исходами 203 Элемент множества 181 Эллипс 115 сж Оглавление Глава 1. Обыкновенные дроби 1.1. Что мы знаем о дробях............................... 3 1.2. «Многоэтажные» дроби ............................... 10 1.3. Основные задачи на дроби............................ 13 1.4. Что такое процент.................................... 19 1.5. Столбчатые и круговые диаграммы..................... 26 Для тех, кому интересно. Аликвотные дроби .......... 30 Задания для самопроверки к главе 1.................. 33 Глава 2. Прямые на плоскости и в пространстве 2.1. Пересекающиеся прямые................................ 34 2.2. Параллельные прямые.................................. 37 2.3. Расстояние........................................... 41 Для тех, кому интересно. Орнаменты ................. 46 Глава 3. Десятичные дроби 3.1. 1^.ак записывают и читают десятичные дроби........... 4^ 3.2. Перевод обыкновенной дроби в десятичную.............. 54 3.3. Десятичные дроби и метрическая система мер........... 56 3.4. Сравнение десятичных дробей.......................... 59 3.5. Задачи на уравнивание ............................... 63 Для тех, кому интересно. Еще раз задачи на уравнивание.................................................. 65 Задания для самопроверки к главе 3................... 66 Глава 4. Действия с десятичными дробями 4.1. Сложение и вычитание десятичных дробей.............. 67 4.2. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000,................................................ 73 4.3. Умножение десятичных дробей ......................... 76 4.4. Деление десятичных дробей............................ 81 4.5. Деление десятичных дробей (продолжение).............. 88 4.6. Округление десятичных дробей ........................ 91 4.7. Задачи на движение................................... 96 Для тех, кому интересно. «Длинные» выражения с десятичными дробями .....................................101 Задания для самопроверки к главе 4...................102 Глава 5. Окружность 5.1. Прямая и окружность..................................104 5.2. Две окружности на плоскости..........................106 5.3. Построение треугольника ............................109 5.4. Круглые тела........................................113 Для тех, кому интересно. О колесе, и не только о нем 118 Глава 6. Отношения и проценты 6.1. Что такое отношение ................................121 6.2. Деление в данном отношении..........................127 6.3. «Главная» задача на проценты .......................129 6.4. Выражение отношения в процентах.....................134 Для тех, кому интересно. Бесконечное деление........138 Задания для самопроверки к главе 6..................140 Глава 7. Симметрия 7.1. Осевая симметрия ...................................141 7.2. Ось симметрии фигуры ...............................146 7.3. Центральная симметрия...............................152 Для тех, кому интересно. Задача о пауке и мухе .... 156 Глава 8. Целые числа 8.1. Какие числа называют целыми.........................158 8.2. Сравнение целых чисел ..............................163 8.3. Сложение целых чисел ...............................165 8.4. Вычитание целых чисел...............................170 8.5. Умножение целых чисел...............................174 8.6. Деление целых чисел ................................179 8.7. Множества ..........................................181 Для тех, кому интересно. Решение задач с помощью кругов Эйлера..........................................185 Задания для самопроверки к главе 8..................188 Глава 9. Комбинаторика. Случайные события 9.1. Логика перебора.....................................189 9.2. Правило умножения...................................194 9.3. Сравнение шансов ...................................197 9.4. Эксперименты со случайными исходами ................202 Для тех, кому интересно. В худшем случае............205 Задания для самопроверки к главе 9..................207 Глава 10. Рациональные числа 10.1. Какие числа называют рациональными ...............208 10.2. Сравнение рациональных чисел. Модуль числа........213 10.3. Действия с рациональными числами..................217 10.4. Решение задач на «обратный ход»...................226 10.5. Что такое координаты .............................228 10.6. Прямоугольные координаты на плоскости..............231 Для тех, кому интересно. Системы счисления..........235 Задания для самопроверки к главе 10 239 Глава 11. Буквы и формулы 11.1. О математическом языке.............................240 11.2. Составление формул ................................246 11.3. Вычисления по формулам ............................251 11.4. Формулы длины окружности и площади круга...........255 11.5. Что такое уравнение ...............................258 Для тех, кому интересно. Задачи, решаемые в целых числах .............................................262 Задания для самопроверки к главе 11 263 Глава 12. Многоугольники и многогранники 12.1. Сумма углов треугольника...........................264 12.2. Параллелограмм.....................................266 12.3. Правильные многоугольники..........................271 12.4. Площади ...........................................274 12.5. Призма ............................................279 Для тех, кому интересно. Паркеты ...................283 Задания для итогового повторения....................286 Ответы..............................................291 Предметный указатель................................298 Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99 N.. Еди-\^ницы Де- \ СЯТКИ N. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801