Учебник Математика 6 класс Бевз

г. П. Бевз, В. Г. Бевз Учебник для общеобразовательных учебных заведений Рекомендовано Министерством ^ , i ..'-' образования и HayKu^fVO\\^ Украины "abtoi^_____ рЕШУБЛтН КРКМ Перевод с украинского №25Ь70297 9'i022 м CiMii-fpofoab вуп. TiT0«8.'? тел. 27-05-50 N*. № _а*А- Киев «Генеза» 2006 ББК 22.1я721 Б36 Реноме ндова но Министерством образования и науки Украины (приказ 341 от 28.04.2006 г.) Издано за счет государственных средств. Продажа .запрещена Перевод с украинского Н. Е. Зубченко Бевз Г. П. Б36 Математика: 6 кл.: Учеб, ддя общеобразоват. у’1ебн. заведений: Пер. с укр. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. - К.: Генеза, 2006. — 304 с.: ил. ISBN 966-504 526-1 ISBN 966-504-526-1 (рус.) ISBN 966-504-506-7 (укр.) ББК 22.1я721 © Бевз Г. II., 13евз В. Г., 2006 © Издательство «Генеза*. художественное оформление, 2СЮ6 Уважаемые шестиклассники! Математика - одна из самых древних, интересных и необходимых наук. Ее изучают в каждом классе общеобразовательной школы, в средних специальных и высших учебных заведениях, поскольку математические знания необходимы каждому специалисту. Этот учебник поможет вам овладеть математикой за 6-й класс. В каждом его параграфе имеются теоретические сведения и упражнения. Читая теоретический материал, основное внимание обращайте на слова, напечатанные курсивом. Это — мате матические термины. Необходимо понять, что эти слова означают, и запомнить их. Предложения, напечатанные жирным шрнф'гом, - это правила или другие важные математпгческие утверждения, их необходимо помнить и использовать при решении задач. В каждом iiaparpacjx! учебника имеется рубрика «Узнайте больше». В ной помещена дополнительная ин<]юрмация для учащихся, которые интересуются MaTeMa'iHKoft. В рубрике «Выполняем вместе» номерами в кружках (например, (2)) обозначены важнейшие упражнения, а крулсочком (•) - их решения. Советуем просмотреть эти примеры, прежде чем выполнять задания самостоятельно. Задания, рекомендованные для домашней работы, напечатаны пурпурным цветом. В учебнике имеются упражнения четырех уровней сложности. Наиболее простые из них (в рубрике «Устные упражнения») советуем решать устно всем учащимся. Для письменного решения предназначены упражнения уровней Л и Б. Для тех учащихся, которые особенно интересуются математикой, предлагаются задачи, обозначенные звездочкой (*). Эти задачи необязательные. Но если вы хотите развивать свое математическое мышление и испытать себя, если вы действительно интересуетесь математикой, — решайте их. Желаем успехов! 1234567891234 3 123456Т. Раздел '■- А- Делимость натуральных чисел Математика — царица наук, а арифметика — царица математики. К. Гаусс § 1. Деление и делители числа В этом разделе рассматриваются важнейшие сведения из теории чисел. Это очень древняя и интересная математическая наука, которая исследует свойства натуральных чисел, связанные с их делением. Кратко основное содержание раздела выглядит так. • Деление и делители числа. • Признаки делимости на 10, 5 и 2. Признаки делимости на 3 и 9. • Разложение чисел на простые множители. • Наибольший общий делитель. • Наименьшее общее кратное. Эти темы часто используются в последующих разделах математики. В частности, без их знания невозможно успешно изучать обыкновенные дроби. Поэтому раздел 1 учебника можно считать введением к разделу 2. ф Деление и делители числа Складывать и умножать можно любые числа. Вычитание возможно лишь тогда, когда вычитаемое не больше уменьшаемого. Сложное с делением. Деление - это действие, обратное умножению. 20 : 4 = 5, потому что 5 • 4 = 20. Разделить одно число на другое — значит найти такое третье число, которое при умножении на второе дает первое число. То есть, если о: Ь = fe, то о = Ь • fe. Вы уже знаете, что иногда при делении одного числа на другое получают неполное частное и остаток. Вы также знаете, что делить можно и дробные числа. В этом разделе мы будем рассматривать деление только натуральных чисел, причем без остатка. 123456789123^ 5 1234567 Wi Раздел -А-Делимость натуральных чисел Например, число 21 делится на 7. Говорят, что число 7 является делителем числа 21. Делителями числа 21 являются также числа 1, 3 и 21. Никакое другое число не является делителем числа 21. Если а делится на Ь, то число Ь называют делителем числа а. Нап})нмер, число 22 имеет четыре делителя: 1, 2, 11 и 22; число 9 имеет три делителя: 1, 3 и 9; число 7 имеет два делителя: 1 и 7. Число, которое имеет только два делителя, называется простым числом. Можно сказать и так. Число, которое де лится только на 1 и само на себя, называется простым. Простыми являются числа 2, 3, 5, 7, И, 13, 17, 19, ... . Простых чисел cymecrTByci’ бесконечно много. Таблица простых чисел, меньших 1000, пpeдc’i'aв.пeнa на (]юрзаце учебника. Число, имеющее больше двух де-.пнтелей, называется составным. Составными, например, являются числа 4, 6, 8, 9, 10,12, 14. Со- ^ ^ ставных чисел также бесконечно много. Число 1 имеет только один делитель: 1. Его не принято называть ни простым, ни составным числом. В зависимости от количества делителей все натуральные числа делятся на три класса: простые числа, составные числа, число 1. Простое 7 = 1-7. Составное 14=1-2-7. 1 — не простое и не составное. ^ Узнайте больше Z891234 Ес ли простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется пос.педовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17............... Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, еще ученые Древней 6 1234567891234 i: , § 1. Деление и делители числа Греции заметили, что среди простых чисел много таких, разность которых равна 2, например: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т. д. Такие пары чисел называются простыми числами-близнецами. Уже более 25 веков математики пытаются выяснить, существуют ли наибольшие числа-близнецы, но и до сих пор ответа на этот вопрос мы не знаем. Существует также много других проблем (епщ не решенных задач), связанных с простыми числами. t > Проверьте себя 1. Что значит разделить одно число на другое? 2. Когда говорят, что число р является делителем числа а? 3. Сформулируйте определение простого числа. 4. Назовите пять первых простых чисел. 5. Назовите пять первых составных чисел. 6. Сколько существует простых чисел? А составных? ф Выполняем вместе (Т) Проверьте, является ли число 7 делителем числа 63. А числа 67? • 63 : 7 = 9, поэтому число 7 - делитель 63. 67:7 = 9 (остаток 4), поэтому 7 - не делитель числа 67. @ Найдите наибольший делитель и наибольший простой делитель числа 20. • Делителями числа 20 являются 1, 2, 4, 5, 10, 20. Наибольший из них - 20, наибольший простой делитель - 5. G Устные упражнения 1. Простое или составное число 10? А число 11? 2. Назовите наименьший делитель числа 35. А какой наименьший простой делитель числа 35? 3. Назовите наибольший делитель числа 49. 4. Сколько разных делителей имеет число 17? 5. Число р - простое. Сколько разных делителей оно илхеег? 6. Верно ли, что каждое натуральное число, отличное от 1, имеет по крайней мере два делителя? 7. Сколько разных делителей имеет число 4? 1234567891234 7 123456' Делимость натуральных чисел Уровень А 8. Является ли 8 делителем числа 40? А числа 60? 9. Сколько делителей имеет число 20? Запишите их. 10. Верно ли, что 1 является делителем каждого числа? 11. Запишите все делители числа 30. 12. Какое однозначное число делится и на 2, и на 3? 13. Существует ли число, которое делится и на 2, и на 7? 14. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится и на 3, и на 8. 15. Число р делится на 8. Делится ли оно на 2? Л на 4? Покажите на примерах. 16. Какое из чисел имеет больше делителей: 12 или 13? 17. Является ли число 17 простым? А число 27? 18* Ученик утверждает: «Число, имеющее два делителя, называется простым». Какую ошибку он допустил? Покажите на примерах. 19. Покажите, что число 14 составное. А число 41? 20. Составным или простым является число 49? А число 29? Уровень Б 21. Какое из утверждений верно: а) каждое натуральное число простое или составное; б) если натуральное число не простое, то оно составное; в) если натуральное число больше 1 и не простое, то оно составное? 22. Найдите сумму всех делителей числа 9. 23. Что больше: сумма всех делителей числа 6 или сумма всех делителей числа 7? 24. Число а - простое. Найдите сумму всех его делителей. 25. Найдите произведение всех делителей числа 10. 26. Число а - простое. Найдите произведение всех его делителей. Упражнения для повгорешт''^\ /891234 27. Вычислите устно: а) 45-1-12, б) 5,3-1-7, 37-1-16, 82-41, 65-17; 8 1234567891234 0,2 4-3,5, 4 - 3,8, 6,7-5; в) 12-5, 1.3-3, 4,6 : 2, 3 : 0,3. § 1. Делепхе и делители числа Выполните действия (28 28. а) 385 + 429, 805-718, 4328 - 3009; в) 2,4 • 3,5, 72,5-0,26, 0,03 : 0,15; 29. а) 529 : 23, 3,136 : 112, 5929 : 110; 30. а) 7 + 125 : 5; 31. а) 4,8 + 3 : 4; 9 Ч 32. а) 33). б) 59,7 + 12,9, 13,8-6,51, 3,05-2,007; г) 2,5 • 3,7 • 4, 0,04 • 25, 4,9-0,25. в) 32,5 7,8 0,8 б) 5,76 : 2,4, 7,84 : 14, 33,64 : 2,9; б) 8 - 23 : 5; б) 7,5 - 1 : 25; 5 1 0,72 7 7 33. а)2,5-8 + (17-0,1): 26; б) 183-0,5-(6,2 + 1,9): 5,4. 34. Какое из чисел больше: а) 1,2 или 1,125; б) 3,786 или 3,8; 23 12 15 0,5, 1,8, 73,96 : 8,6. в) 13 : 2 + 15 : 25. в) 6,5 -6:5. 21-». 5 5 в) в) - или -; г) — или —? 13 13 35. Найдите число, которое: а) на 1,9 меньше 5,83; б) в 4 раза меньше 0,75; в) в 2,5 раза больше 0,32. 36. Запишите два числа таких, что: а) их сумма равна 30, а разность — 6; б) их сумма равна 12,5, а одно из них в 4 раза больше другого; в) их разность равна 3,4, а одно из них в 3 раза больше другого; г) их полуразность равна 4,5, а полусумма - 45. 37. Найдите число: а) которое составляет 2,4 % числа 350; б) 20 % которого равны числу 38,4; в) которое на 12 % больше числа 8,5. 38. Решите уравнение: а)Зх + 17 = 50; б) 1,5х - 5 = 7,6. 39. В двух ящиках 53 кг яблок. Сколько яблок в каждом ящике, если в первом их на 5 кг больше, чем во втором? i234567891234 9 12345671 Раздел Делимость натуральных чисел 40. Проволоку длиной 43 м разрезали на две части так, что одна из них оказалась в три раза длиннее другой. Найдите длину большей части. 41. Из городов А и В одновременно навстречу друг др>ту выехали два автомобиля и встретились через 1 ч 30 мин. Найдите расстояние между городами Л и В, если скорости автомобилей равны 68 км/ч и 72 км/ч. 42. Начертите две прямые, пересекающиеся под углом 60°. Найдите значение трех иных углов, образованных этими прямыми. 43. Точка К лежит на отрезке АВ, длина которого равна 1,7 м. Найдите длину отрезка АК", если КВ = 45 см, 44. Найдите периметр и площадь прямоугольника, стороны которого равны 6 м и 4,5 м. 45. Во сколько раз площадь квадрата со стороной 12 см больше площади квадрата со стороной 4 см? 46. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 3 см, 4,5 см и 6,7 см. 47. Три одинаковые игральные кости расположены так, как пока-зано на рисунке 1. Найдите сумму I J J очков на всех невидимых гранях .этих костей. Т‘ I / Рис. 1 ф Признаки делршости на 10, 5 и 2 Как узнать, делится ли то или иное число на 10? Очень легко. Нужно лишь посмотреть на его последнюю цифру. Если она о, то данное число делится на 10. Если же последняя цифра не 0, то это число на 10 не делится. Два пос.аедние предложения можно заменить одним, которое называется признаком делимости чисел на 10. На 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0. 7891234 § 2. Признаки делимости на 10, 5 и 2 Используя этот признак, можно сразу (не выполняя деления) сказать, что числа 130, 3700, 4080 делятся на 10, а числа 83, 305, 1001 на 10 не делятся.' Признак делимости на 5 можно сформулировать так. На 5 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 3 или 0. Например, каждое из чисел 95, 375, 70, 4900 делится на 5, а каждое из чисел 37, 559, 5008 на 5 не делится. Убедитесь в этом, разделив каждое из этих чисел на 5. На 2 делится каждое натуральное число, которое окап-чиваетея цифрой 0, 2, 4, 6 или 8. Эти цифры называют четными. Поэтому признак делимости на 2 можно сформулировать так. На 2 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой Примеры чисел, которые делятся на 2: о, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 376, 11 108. Числа, которые делятся на 2, называются четными. Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называются нечетными. Каждое натуральное число, которое оканчивается нечетной цифрой, - нечетное. Нечетное число не делится на 2. В зависимости от делимости на 2 все натуральные числа можно разбить на два класса: четные и нечетные числа. На координатном луче за каждым четным числом следует нечетное, а за каждым нечетным - четное (рис. 2). о 2 3 4 5.6 7 8 9 10 0 Нечетные числа 0 Четные числа Рис. 2 1234567891234 11 123456 Реадел Делимость натуральных чисел Узнайте больше Четные и нечетные числа рассматривал древнегреческий ученый Пифагор еще почти 25 веков назад. Ученые Древнего Китая четные чис-па называли женскими, а нечетные — мужскими. Если в выражение 2п вместо п подставить числа О, 1,2, 3, 4, ..., то получим последовательность четных чисел'. О, 2,4,6, 8, 10, 12, 14, ... . Если в выражение 2п -f 1 подС1'автъ вместо п числа 0, 1, 2, 3, 4,..., то получим последовательность нечетных чисел'. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... . Каждая из э'шх последовательностей бесконечная. Проверьте себя 1. Сформулируйте признак делимости чисел на 10. 2. Какие ци^)ры называют четными, а какие - нечетными? 3. С<1юрмулируйте признак делимости чисел на 2; на 5. 4. Какие числа называют четными? Приведите примеры. 5. Сколько существует четных ци(^)р и четных чисел? 6. Сколько существует нечетных цифр и нечетных чисел? ф Выполняем вместе ^123'- (1) Найдите наибольшее четное трехзначное число. • Наибольшее трехзначное число 999 — нечетное. Ему предшествует четное число 998. Следовательно, наибольшее четное трехзначное число 998. @ Сколько существует нечетных чисел, которые больше 90 и меньше 100? • Такими являются числа 91, 93, 95, 97 и 99. Их всего 5. (S) Докажите, что сумма двух нечетных чисел - число четное. • Если числа аиЬ нечетные, тоа = 2п-+-1и& = 2т + 1, где пит- некоторые натуральные числа. Тогда а + Ь = 2п + 2т + 2 = 2(п -¥ т + 1), в. это число четное. 12 123456 '891234 § 2. Признаки делимости на 10, 5 и 2 о Устные упражнения 48. Назовите пять наименьших нечетных чисел. 49. Назовите пять наименьших четных чисел. 50. Назовите пять наименьших чисел, которые делятся на 5. 51. Какое утверждение верно: а) если число делится на 10, то оно делится и на 2; б) если число делится на 10, то оно делится и на 5; в) если число делится на 2, то оно делится и на 10; г) если число делится на 5, то оно делится и на 10? И Уровень А 52. Какие из чисел 35, 270, 3005, 9900, 600 080 делятся на 10? Запишите числа, которые не делятся на 10. 53. Запишите все двузначные числа, которые делятся на 10. 54. Запишите пять наименьших трехзначных чисел, которые делятся на 10. 55. Запишите пять наибольших трехзначных чисел, которые делятся на 10. 56. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые делятся на 10. 57. Какие из чисел 5, 95,130, 54, 108,5551,10 000 делятся на 5? Запишите числа, которые не делятся на 5. 58. Запишите пять наименьших натуральных чисел, которые делятся на 5. 59. Запишите пять наименьших трехзначных чисел, которые делятся на 5. 60. Сколько существует двузначных чисел, которые делятся на 5? 61. Какие из чисел 7, 10, 39, 180, 10 005, 22 243 делятся на 2? Запишите их. 62. Какие из чисел 9, 36, 45, 333, 47, 10, 10 008 не делятся на 2? Найдите сумму наибольшего и наименьшего из них. 63. Запишите все четные натуральные числа, которые меньше 20. 64. Запишите все нечетные натуральные числа, которые не больше 21. 65. Запишите все четные двузначные числа, имеющие в записи цифру 7. 66. Найдите сумму всех четных однозначных чисел. 67. Найдите сумму всех нечетных однозначных чисе.ч. .23456789123- 13 '’3456 Раздал 1 Делимость натуральных чисел 68. Припишите справа к числу 327 такую цифру, чтобы образовалось четырехзначное число, которое делится и на 2, и на 5. Делится ли это число на 10? 69. Покажите на примерах, что сумма двух четных чисел -число четное. 70. Четным или нечетным числом является сумма двух нечетных чисел? Приведите примеры. «S Уровень Б 891234 71. Какое утверждение верно: а) если число оканчивается цифрой О, то оно делится на 10; б) если число делится на 10, то оно оканчивается цифрой 0; в) если последняя цифра числа не 0, то оно не делится на 10; г) если число не делится на 10, то его последняя цифра не о? 72. Запишите наибольшее число, все цифры которого разные и которое не делится на 10. 73. Какое однозначное число нужно прибавить к числу 592, чтобы полученная сумма: а) делилась на 10; б) делилась на 5, но не делилась на 10? 74. Число а - четное. Каким будет число а ч- 1? 75. Число а — нечетное. Каким будет число а + 1? 76. Верно ли, что в последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... за каждым нечетным числом следует четное, а за каждым четным - нечетное? 77. Дети играли в такую ипзу. Пятиклассник писал многозначные числа и показывал шестикласснику только их последние цифры, а тот угадывал, какое из них делится на 2, 5,10, а какое не делится (рис. 3). Как он это делал? '■О — делится на 2, 5,10; |7 — не делится на 2, 5,10; |6 — делится на 2, но не делится на 5,10. Рис. 3 14 1234567891234 § 3. Признаки делимости на 3 и 9 78*. Докажите, что: а) сумма двух четных чисел - число четное; б) сумма двух чисел разной четности — число нечетное; в) сумма трех нечетных чисел — число нечетное. Упражнения для повто, 79. Вычислите: а) 37 028 + 8672; б) 65 006 - 20 379; в) 383 • 607; г) 3003 : 39. 80. Во сколько раз сумма чисел 894 и 892 больше их разности? 81. Найдите 20 % от числа: а) 320; б) 20; в) 6,4; г) 0,5. 82. Решите у^завнение: а)2х 17 = 131; б) Зх - 17 = 100. 83. Найдите периметр квадрата, если его сторона равна: а) 8 см; б) 3,5 дм; в) а км. 84. Ученик прочитал 0,6 книги, имеющей 235 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать? Признаки делимости на 3 и 9 Чтобы узнать, делится число на 3 или нет, находят его сумму цифр. Например, сумма цифр числа 21 204 равна 9, поскольку 2 + 1 + 2 + о + 4 = 9. Оказывается, что если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Если же сумма цифр числа на 3 не делится, то и число на 3 не делится. Это - признак делимости на 3. На 3 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Примеры. Сумма цифр числа 31 104 равна 9, а 9 делится на 3, поэтому и число 31104 делится на 3. Сумма цифр числа 5051 равна 11, она не делится на 3. Поэтому и число 5051 Eia 3 не делится. Проверьте! Аналогично формулируется и признак делимости на 9. 1234567891234 15 1234567 Раздел] Делимость I натуральных чисел На 9 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится на 9. Примеры. Число 5742 делится на 9, поскольку сумма его цифр 5 + 7 + 44-2 = 18, а 18 делится на 9. А число 5051 на 9 не делится, так как его сумма цифр 5 + 0 + 5 + 1 = 11, а 11 на 9 не делится. Каждое число, которое делится на 9, называется кратным числа 9. Каждое число, которое делится на 3, называется кратным числа 3. Вообще, если одно число делится на другое, то первое называется кратным другого. 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... - последовательность натуральных чисел, кратных 3. Таких чисел бесконечно много. Наименьшее из них число 3, наибольшего не существует. Говорят: «кратное трех», но «кратно трем». Узнайте больше! Если число а делится на р, то а = р • k. Тогда иас = рс-к. Здесь все буквы обозначают натуральные числа. Итак, если один из множителей делится на какое-то число, то и прои.зведение этих множителей делится на это же число. Если каждое из чисел а п Ь делится на р, то а = pk и Ъ = pm. Поэтому а Л Ъ = рк рт = р • (к + т). Число к т натуральное, тогда число а + Ь также делится на р. Следовательно, если каждое из двух слагаемых делится на какое-то число, то и их сумма делится на это число. О признаках делимости на 4, 6, 7,11,13 читайте на с. 37. iSfi вшж Проверьте себя 191234 1. С(1к>рмулируйте признак делимости чисел на 3. 2. Сформулируйте признак делимости чисел на 9. 3. Какие числа называют кратными числа 3? 4. Какие числа называют кратными числа 9? 5. Какие числа называют кратными числа р? 16 234567891234 § 3. Признаки делимости на 3 и 9 Ф Выполняем вместе ~ й (D Какое утверждение верно: а) если число делится на 9, то оно делится и на 3. б) если число делится на 3, то оно делится и на 9? • Если число делится на 9, то сумма его цифр делится на 9. Эта сумма делится и на 3. Поэтому первое утверждение верно. Второе утверждение неверно. Например, 30 делится на 3, но не делится на 9. @ Запишите наибольшее четырехзначное число, которое кратно 3, но не кратно 9. • Наибольшее четырехзначное число 9999. Оно делится и на 9, и на 3. Если это число уменьшить на 3, то получим число 9996. Оно кратно 3, но не кратно 9. С Устные упражнения 85. Какие из чисел 20, 21, 22, 23, 24, 25 делятся на 3? 86. Какие из чисел 33, 44, 45, 46, 54, 64 делятся на 9? 87. Назовите три числа, кратных 3. 88. Назовите три числа, кратных 9. 89. Назовите три числа, кратных 7. 90. Назовите три числа, кратных 12. 91. Число 123 делится на 3 и не делится на 9. Верно ли, что сколько бы нулей или девяток не написать в конце числа 123 или между его цифрами, то каждое полученное таким способом число делится на 3 и не делится на 9? & Уровень А 92. Какие из чисел 504, 735,1002, 2037, 7236 делятся на 3? 93. Какие из чисел 405, 738, 2001, 3333, 7704 делятся на 9? 94. Припишите справа к числу 11 такую цифру, чтобы полученное трехзначное число делилось на 9. 95. Припишите слева к числу 12 такую цифру, чтобы полученное трехзначное число делилось на 9. 96. Какую цифру нужно записать между цифрами числа 25, чтобы полученное число делилось на 9? ^34357а9'.23^ 17 ЯаздвяТ I Делимость %>^/^У[натуральных чисел 97. Верно ли, что если между цифрами числа 1827 написать произвольное количество нулей, то получится число, кратное 3 и 9? 98. Запишите наименьшее трехзначное число, которое делится на 3. 99. Запишите наибольшее трехзначное число, которое делится на 9. 100. Запишите пять первых натура.тгьных чисел, кратных 9. 101. Запишите пять первых натуральных чисел: а) кратных 5; б) кратных 10. 102. Найдите сумму всех однозначных чисел, кратных 3. 103. Насадите сумму всех чисел, которые меньше 20 и кратны 3. 104. Какое наименьшее число нужно прибавить к 247, чтобы их сумма делилась па 3? 105. Переставляя цифры 1, 4, 7, можно получить шесть разных 'грехзначных чисел: 147, 174, 417, 471, 714, 741. Есть ли среди них числа, кратные 3? А кратные 9? Уровень Б 100. Переставляя цифры 2, 3 и 4, можно получить шесть разных трехзначных чисел. Докажите, что каждое из них делится на 9. 107. Переставляя цифры 1, 2, 3 и 4, можно получить много разных четьфехзначных чисел. Докажите, что ни одно из них не делится на 3. 108. Докажите, что если каждое из двух слагаемых делится на 10, то и сумма их делится на 10. 109. Докажите, что если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма их делится на 5. 110. Докажите, что если одно слагаемое делится па 10, а другое не делится, то их сумма на 10 не делится. 111. Верно ли, что если число п натуральное, то значение выражения Зп кратно 3? 112. Заполните таблицу. J91234 п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5п Верно ли, что все числа второй строчки таблицы кратные 5? 113. Докажите, что каждое число, записанное аремя одинаковыми цифрами, делится на 3. 114. Может ли быть простым число, кратное 9? А 10? 18 1234567891234 § 4. Разложение чисел на простые множители 115. Запишите наибольшее трехзначное число, которое i делится: а) на 2 и на 3; б) на 2 и на 9; в) на 2, 3 и 5. Упражнения для noi 116. Найдите квадрат числа: а) 28; 6)34; в) 2,5; г) 0,21. 117. Найдите куб числа: а) 11; 6)12; в) 1,1; г) 0,12. 118. Вычислите значение выражения: а) 8,45 - (459 : 9 - 49); б) 4” - 32 119. Найдите число, 0,3 которого равны: а) 60; 6)3; в) 0,15. 120. Найдите неполное частное и остаток при делении числа 97 на 7. 121. На сколько произведение чисел 3,5 и 2,8 больше их суммы? 122. Четыре девочки стояли по кругу и разговаривали (рис. 4). Девочка в зеленом платье - не Вера и не Алеся. Она стоит между Марийкой и девочкой в голубом платье. А девочка в белом платье стоит между Алесей и девочкой в розовом платье. В каких платьях Вера и Марийка? (2^ + 8). аы Разложение чисел W на простые множители Какие простые числа нужно умножить, чтобы полу^чить 15? Нетрудно догадаться, что такими числами являются 3 и 5. Следовательно, 15 = 3 • 5. Такое представление числа 15 называется его разложением на простые множители. Другие примеры: 30 = 2-3*5; 45 = 3-3-5; 88 = 2-2-2-11. Каждое составное число можно разложить на два или больше простых множителей. 1234567891234 19 12345( Рвздвл Делимость натуральных чисел 104 2 52 2 26 2 13 13 1 Как это делать покажем на примере. Пусть нужно разложить на простые мнол<ители число 104. Пишем это число, и справа от него проводим вертикальную черту. По признаку делимости определяем, что число 104 делится на 2 - наименьшее простое число. За чертой пишем число 2, а 52 - частное от деления 104 на 2 - записываем под числом 104. То же самое делаем с частным 52 и новым частным 26. Разделив 26 на его наименьший делитель 2, получим простое число 13. Его пишем тоже справа от черты. 13 делится на 13. Частное равно 1. На этом процесс определения простых множителей числа 104 завершен. Все они записаны справа от черты. Итак, 104 = 2 • 2 ’ 2 • 13. Это и есть разложение числа 104 на простые множители. В отдельных случаях разложение числа на простые множители можно упростить. Например, число 9000 на простые множители можно разложить так: 9000 = = 9 =3-3-2 =2-2-2 10* 10 ♦ 5-2- f 3-3 10 = 5-2-5= 5-5-5. 9000 9 3 • 3 1000 10 2 • 5 100 10 2 • 5 10 10 2 • 5 1 2-2-2-3-3-5-5-5 Число 9000 раскладывается на восемь простых множителей. Каждый из них является делителем числа 9000. Вообще, каждый из множителей, на какие раскладывается число а, является делителем этого числа. Разных простых делителей число 9000 имеет три: 2, 3 и 5. А разных натуральных делителей это число имеет очень много: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10,12, 15,..., 4500, 9000. .234 Узнайте больше Как вы уже знаете, произведение аа называют квадратом числа а, а произведение ааа — кубом числа а и обозначают а^ и а® соответственно. Аналогично, аааа = а , ааааа = а , аааааа = а 20 § 4. Разложение чисел на щюстые множители Такие произведения равных чисел называют соответственно четвертой, пятой, шестой степенью числа а. а-а = а Произведение п чисел, каждое из которых равно а, называют п-й степенью числа а и обозначают символом а". Здесь а" - степень, а - основание степени, п - показатель степени. Используя понятие степени, разложение числа на простые множители можно записать короче: 104 = 2^ 13, 512 = 2®, 9000 = 2^-3^-5“. Разложить на простые множители числа, которые делятся на 2, 3, 5, 9, 10, сравнительно несложно. В иных случаях это бывает сделать сложно. Попытайтесь, например, разложить на простые множители число 323. Специалисты, которым часто приходиться заниматься разложением чисел на множители, пользуются специальными таблицами. Часть такой таблицы (для небольших чисел, которые не делятся на 2, 3, 5) представлена на форзаце учебника. Пользуясь этой таблицей, можно сразу записать: 323 = 17 - 19. Проверьте себя 1. На какие простые множители можно разложить число 14? 2. Каждое ли составное число можно разложить на простые множители? 3. На какие простые множители можно разложить число 100? А 1000? 4. Сколько разных простых делителей имеет число 200? А 2000? 5. Как удобнее всего разложить на простые множители число 7000? 6. Верно ли разложено на простые множители число: а)900 = 2-2-5-5-9; 6)47=1-47? 21 Раядал а Делимость натуральных чисел ф Выполняем вместе ф Можно ли разложить на простые множители число 1? • Нет, нельзя. Каждое простое число больше I. А произведение чисел, каждое из которых больше I, не может равняться I. (2) Можно ли равенство 17=1-17 считать разложением числа на простые множители? • Нельзя. Хотя в произведении 1*17 каждое число — множитель, но первое из них - число не простое. ф Разложите на простые множители число 600. • 600 = 6 • 100 = 2 • 3 • 2 • 2 • 5 • 5 = 2-' • 3 • 51 ф Разложите на простые множители число 266. • Число 266 делится на 2, поэтому 266 = 2 • 133. Число 133 не делится ни на какое из чисел 2, 3, 5. Его нет и в таблице простых чисел. Ищем его в таблице разложения чисел на простые множители: 133 = 7 • 19. Следовательно, 266 = 2-7 - 19. (§) Какое наименьшее т1>ехзначное число можно разложить на два одинаковых простых множителя? • 7 - 7 = 49 - число не трехзначное, 11 - 11 = 121 — трехзначное. Значит искомое число равно 121. С Устные упражнения 891234 123. На какие простые множители можно разложить число 15? 124. Какое число можно разложить на простые множители 2, 2 и 5? 125. Какое число можно разложить на множители 25 и 28? 126. Найдите наименьший простой делитель числа 40. 127. Найдите наибольший делитель числа 101. 128. Можно ли равенство 7=1-7 считать разложением числа 7 на множители? Л на простые множители? 129. Чем отличается «разложение числа на множители» от «разложения числа на простые множители»? Приведите примеры. 130. Какому числу соответствует разложение на множители: а) 2® - 5; б) 2" - 5^ • 7? 22 1234567891234 § 4. Рс13ЛОжен11е чисел на простые множители О Уровень А Уровень Б 131. Разложите на простые множители число: а) 12; б) 36; в) 50; г) 105. 132. Разложите на простые множители число: а) 100; б) 500; в) 2500; г) 3780. 133. Можно ли равенство 1100 = 11 ■ 100 считать разложением числа 1100 на множители? Разложите число 1100 на простые множители. 134. Найдите наименьший простой делитель числа 87. 135. Найдите наибольший простой делитель числа 484. 136. Найдите все делители числа: а) 8; б) 81; в) 162. 137. Во сколько раз число, которое раскладывается на множители 2, 3, 5 и 7, больше числа, которое раскладывается на множители 2, 3 и 5? 138. Разложение одного числа 3 • 5 • 11, а другого - 3 • 5 • 13. На сколько первое число меньше или больше второго? 139. Разложение числа 200 на простые множители можно записать так: 200 = 2^* • 5^. Запишите подобным способом разложения чисел 100,250,270,300, 500. 140. Разложение числа 40 на простые множители можно изобразить в виде схемы. Изобразите подобной схемой разложение на простые множители числа: а) 24; б) 50; в) 80. 141. Какое наибольшее двузначное число можно разложить на три одинаковых простых множителя? 142. Какое двузначное число можно разложить па два простых множителя, разность которых равна 2? 143. На какие числа делится произведение: а) 2 • 5 • 7; б) 2 • 3 • 3 ■ 5? 144. Сколько разных делителей имеет квадрат простого числа? 145. Сколько разных делителей имеет куб простого числа? 146. Покажите, что число 28 в два раза меньше суммы всех его делителей. Имеет ли такое свойство число 82? 147*. Число, сумма всех делителей которого в два раза больше самого числа, называется совершенным. Найдите наименьшее совершенное число. 1234567891234 23 12345С Раздал а Делимость натур>альных чисел :1234 148*. Докажите, что число 496 - совершенное. 149. Замените звездочки цифрами так, чтобы равенство было верным: а) 2 ■ 9 • * = *0; б) 3 ■ * • 5 = 7*; в) 2 • * • 7 • 11 = 77*; г)3‘3'*=*3. 150. На какое одно и то же число делятся 20 и 18? Какое наименьшее натуральное число делится на 20 и на 18? 151*. Найдите сумму всех делителей числа 2'^ • 3^. Упражнения ДЛЯ повторена 152. Сколько существует натуральных чисел, меньших 107? Л не больших 107? 153. Сколько существует натуральных значений х таких, что 32<л:<123? 154. На сколько сумма квадратов чисел 2,5 и 1,5 меньше квадрата их суммы? 155. Найдите два числа, сумма которых равна 94, а разность 32. 156. Найдите два числа, сумма которых 9 м равна 64, а частное 3. 157. Квадрат и прямоугольник имеют 4 м равные площади (рис. 5). Найдите периметр квадрата, если стороны прямоугольника равны 4 м и 9 м. 158. Площадь поля прямоугольной формы равна 4 га, его длина - 500 м. Найдите ширину этого поля. (1 га = 10 000 м^.) 159*. Среди шести старинных одинаковых монет одна фальшивая, она легче других. Как можно определить ее с помощью двух взвешиваний, не имея никаких гирь? Наибольший общий делитель Часто возникает необходимость находить общие делители двух или нескольких чисел. Попытаемся найти, например, общие делители чисел 30 и 45. 30 делится на: 1, 2, 3 , 5 , 6, 10, 15,30; 45 делится на: 1, 3 , 5 , 9, 15 , 45. 24 1234567891234 Рис. 5 § 5. Наибольший общий делитель Числа 30 и 45 имеют четыре общих делителя: 1, 3, 5 и 15. Наибольшее из этих четырех чисел 15. Это - наибольший общий делитель чисел 30 и 45. Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких чисел называется наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Найдем, например, НОД (72, 84, 90). Разложим каждое из этих чисел на простые множители: 2 3 5 72 2 84 2 90 36 2 42 2 45 18 2 21 3 15 9 3 7 7 5 3 1 3 1 1 Числа 72, 84, 90 имеют два общих простых делителя: 2 и 3. Умножив их, получим: НОД (72, 84, 90) = 2-3 = 6. Чтобы найти наибольн1ий общий делитель нескольких чисел, необходимо ра:м10жить их на простые множители и умножить все их общие множители.___________ Найдем НОД (65, 32). Поскольку 65 = 5 13, 32 = 2-2-2-2-2, то числа 65 и 32 имеют только один общий делитель -число 1. Поэтому НОД (65, 32) = 1. Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми. Числа 65 и 32 взаимно простые. Замечание. Не путайте взаимно простые числа с простыми. Некоторое число может быть простым, но не взаимно простым. (Взаимно - значит с каким-то другим.) Взаимно простыми могут быть и составные числа. 1234567891234 25 12345< Pi Делимость j натуральных чисел Узнайте больше Взаимно простыми могут быть не только два числа, но и три, и больше. Например, числа 8, 9 и 25 - взаимно простые. Эти три числа не только взаимно простые, но п попарно взаимно простые, поскольку каждые два из них — числа взаимно просггые. Л вот числа 6, 8 и 9 — взаимно простые, но не попарно взаимно простые, поскольку НОД (6, 8) = 2, НОД (6, 9) = 3. Ш. Проверьте себя 1. Что такое наибольший общий делитель двух чисел? 2. Как называются числа, НОД которых равен 1? 3. Какие числа называются взаимно простыми? 4. Приведите примеры двух чисел, НОД которых равен I. 5. Как можно найти НОД нескольких чисел? Ф Выполняем вместе 72 2 156 2 36 2 78 2 18 2 39 3 9 3 13 13 3 1 3 1 (D Найдите НОД (72, 156). • В разложениях чисел 72 и 156 на простые множители общими являются такие простые множители: 2, 2 и 3. Поэтому НОД (72, 156) = 2^-3=12. @ Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить из 6 васильков и 9 ромашек? • Необходимо найти наибольшее число, на которое делится 6 и 9, то есть наибольший общий делитель этих чисел. НОД (6, 9) = 3. Следовательно, можно составить 3 букета (рис. 6). ?891234 Рис. 6 26 1234567891234 ^ 5. Наибольший общий делитель Устные упражнения 160. Является ли число 5 общим делителем чисел 100 и 125? Л наибольшим общим делителем этих чисел? 161. Назовите несколько чисел, взаимно простых с числом 6. 162. Назовите несколько чисел, не взаимно простых с числом 8. 163. Найдите НОД чисел; а) 2 и 8; б) 12 и 8; в) 32 и 8; г) 320 и 8. 164. Известно, что НОД (12, п) = 6. Делится ли число п на 2, на 3, на 4, на 6, на 12? Уровень А в) 16, 32 и 48. 11, 165. Найдите все общие делители чисел: а) 30 и 40; б) 56 и 98; в) 154 и 165. 166. Найдите НОД чисел: а) 30 и 70; б) 42 и 48; в) 120 и 160. 167. Вычислите: а) НОД (125, 400); б) НОД (96, 120); в) НОД (396, 284); г) НОД (259, 280); д) НОД (576, 324); е) НОД (133, 221). 168. Найдите НОД трех чисел: а) 26, 39 и 52; б) 27, 54 и 72; 169. Вычислите: а) ПОД (42, 70, 97); б) НОД (24, 30, 42, 48); в) НОД (100, 101, 102, 103). 170. Даны разложения чисел на множители: а = 2 • 2 fc = 2 • 2 ’ 2 ■ 7, с = 2 • 2 • 3 ■ 5. Найдите: а) НОД (а, Ь); б) НОД (а, с); в) НОД (Ь, с); г) НОД (а, Ь, с). 171. 71аны разложения чисел на множители: х-2="-5", у = 2^3-5", 2 = 2-3''-5". Найдите: а) НОД (X, у); б) НОД (х, 2); в) НОД (у, 2); г) НОД (JC, у, 2). 172. Верно ли, что числа 23 и 45 взаимно простые? Л числа 23 и 46? Ответ обоснуйте. 173. Какие данные пары чисел взаимно простые: а) 16 и 9; б) 18 и 81; в) 11 и 121? 174. Взаимно простые ли числа 1002 и 2001? А числа 1001 и 1010? 1234567891234 22 123456 Рвздвл Делимость “ ■ ■ ^ натуральных чисел 89123- Уровень Б 175. Число а делится на п. Могут ли эти числа быть взаимно простыми? 176. Число а де.лится на простое число р. Могут ли эти числа быть взаимно простыми? 177. Приведите примеры чисе.л а, Ь, с таких, что НОД (а, Ь) = = 2, НОД (а, с) = 3, НОД (Ь, с) = 5. 178. Числа а, Ь, с такие, что НОД (а, Ь) = 2, НОД (Ь, с) = 3. Найдите НОД (а, Ь, с). 179. Докажите, что числа 9, 10 и а взаимно простые, каким бы не было натуральное число а. 180. Докажите, что при любых натуральных значениях а и Ь числа 15, 22, аи Ь взаимно простые. 181. Сколько существует разных трехзначных чисел, записанных разными цифрами 4, 6 и 8? Найдите НОД всех этих чисел. 182. Могут ли быть взаимно простыми любые два числа, записанные четными цифрами? 183. В классе 30 учеников. Во сколько рядов можно построить учеников так, чтобы в каждом ряду их было по{Ювну? 184. Коллекционер хочет расположить 210 марок так, чтобы в каждом ряду бьию одинаковое число ма1юк. Сколькими способами он может это сделать? 185. Лист бумаги, длина кото1Юго равна 35 см, а ширина -21 см, разрезали на наибольшие из всех возможных равные квадраты. Сколько получи.пи квадратов? Упражнения дляГловтор&вЯШШШШШШШ 186. Найдите 30 % от числа: а) 400; 6)30; в) 1; г) 0,5. 187. Найдите число, 25 % которого равны: а)1; 6)160; в) 0,7; г) 15,2. 188. Решите уравнение: а)4дг-15 = 45; б) 0,5х + 3 = 8,7; в) 9,7 - 0,2д: = 1. 189. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие условию: а) JC < 9; б)34<х<41; в) 2л: < 26. 190. Скорость движения поезда равна 60 км/ч. Сколько километров он проедет за 2,5 ч? За сколько минут он проедет 0,5 км? 28 1234567891234 § 6. Нсшменыпее общее кратное 191. В двух ящиках всего 65 кг яблок. Сколько яблок в каждом ящике, если в первом на 9 кг больше, чем во втором? Решите задачу, пользуясь рисунком 7. 192*. На рисунке 8 изображена фигура, составленная из пяти равных квадратов. Разрежьте ее на пять частей и сложите из них квадрат. 9 кг II 65 кг Рис. 7 Рис. 8 ф Наименьшее общее кратное Запишем несколько натуральных чисел, которые делятся на 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64. Каждое из этих чисел кратно 8. Любое число, которое делится на п, называется кратным числа п. Напомним, что речь идет только о натуральных числах и о делении без остатка. Числа, кратные6,-это: 6, 12,18, 24,30, 36,42, 48,... . Числа, кратные4,-это: 4, 8, 12,16, 20, 24,28, 32, 36 , ... . Общими кратными чисел 4 и 6 являются: 12, 24, 36 и много других чисел. Наибольшего общего кратного числа 6 и 4 не имеют. Л наименьшее существует. Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел называется такое наименьшее натуральное число, которое делится на каждое данное число. НОК (4, 6) = 12. 1ДЦЧИИ Наименьшее общее кратное двух чисел можно найти, разложив эти числа на простые множители. Найдем, например, НОК (72, 90). Для этого разложим числа 72 и 90 на простые множители. Их НОК должно содержать все 1234567891234 29 123456 2 2 2 3 3 90 45 15 5 1 ; ДеГОШСХЛ’Ь пуральных чисел простые множители числа 72 и все простые множители числа 90. Следовательно, чтобы найти НОК (72, 90), необходимо простые множители числа 72 дополнить такими простыми множителями числа 90, которых нет в разложении числа 72. В данном случае к произведению 2 • 2 • 2 • 3 • 3 надо дописать множитель 5. Имеем: НОК (72, 90) = 2- 2- 2- 3- 3- 5 = 72-5 = 360. Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению. Например, НОК (5, 8) = 40. Почему? Л как найти НОК трех чисел? 72 36 18 9 3 1 Чтобы найти наименьшее общее кратное чисел а, h и с, надо простые множители числа а дополнить такими простыми множителями чисел hue, которых в а нет, и умножить их. Найдем, например, НОК чисел 72, 90 и 80. Поскольку 72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3, 90 = 2-З-З-5, 80 = 2-2-2-2-5, то НОК (72, 90, 80) = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 2 = 720. 891234 Узнайте больше Рассмотрим пример. Пусть а = 42 = 2- 3*7, а6 = 33 = = 3-11. Их произведение а6 = 2- 3-7-3-11. Такое же и произведение НОД (а, Ь) - НОК (а, Ь). Проверьте! Это свойство верно для любых значений а и Ь. Произведение НОД и НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел. Всегда НОД (а, Ь) • НОК (а, Ь) - аЬ. Поэтому, чтобы найти наименьшее общее кратное двух »шсел, можно произведение этих чисел разделить на их наибольший общий делитель. Из этого утверждения вытекают важные следствия: 1. Если НОД (а, Ь)= 1, то НОК (а, Ь) = аЬ. 2. Если число а делится на Ъ, то НОК (а, Ь) = а. 30 1234567891234 '3 § 6. Наименьшее общее кратноё-^''.'j .^,л. Проверьте себя 1. Какое число называется кратным числа а? 2. Сколько существует чисел, кратаых 5? Есть ли среди них наибольшее? 3. Какое число называют общим кратным чисел а и Ь7 4. Сколько существует общих кратных чисел 2 и 3? Ес'гь ли среди них наибольшее? 5. Что обозначает запись НОК (а, Ь)7 6. Сформулируйте определение НОК чисел аиЬ. 7. Как найти ИОК нескольких чисел? ф Выполняем вместе (Г) Найдите наибольшее двузначное число, кратное чисел 2 и 7. • Если число X кратно 2 и 7, то дг = 14/г, где п - число натуральное. Если п = 8, то х = 112 — не двузначное. Если п = 7, то X = 98. Ответ. 98. (2) Во время тренировки на стадионе два велосипедиста стартовали одновременно. Первый велосипедист проезжает полный круг за 75 с, а второй - за 100 с. Через какое время велосипедисты вновь встретятся на старте? • Искомый интервал времени должен быть кратным чисел 75 и 100. Найдем НОК (75, 100). 75 = 3-5'5, 100=2-2-5-5. НОК (75, 100) = 100 • 3 = 300. 300 с = 5 мин. Следовательно, спустя 5 мин велосипедисты вновь встретятся на старте. С Устные упражнения 193. Каждое ли число, которое кратно 6, кратно и 3? Каждое ли число, которое кратно 3, кратно и 6? 194. Какое наименьшее натуральное число кратно чисел 3 и 8? А чисел 3 и 9? 195. Вычислите: а) НОК (10, 15); б) НОК (14, 7); в) НОК (1, 47). 1234567891234 31 123451 Раздел 1 Депимость di) натуральных чисел 196. Найдите НОК чисел: а) 1, 3 и 5; б) 10, 20 и 30; в) 1, 2, 3 и 4. 197. Число а делится на Ь. Чему равно НОК (а, 6)? 198. Чему равно НОК (а, Ь), если а и Ь — взаимно простые числа? 199. Зная, что 1001 = 7 • 11 • 13, найдите: а) НОК (13, 1001) и НОД (13, 1001); б) НОК (77, 13) и НОД (77, 13); в) НОК (1001, 7, 11, 13) и НОД (1001, 7, 11, 13). Уровень А 200. Найдите пять чисел, кратных: а) числа 7; б) числа 9; в) числа 15. 201. Найдите НОК чисел: а) 50 и 70; б) 120 и 180; в) 370 и 740. 202. Вычислите: а) НОК (90, 145); б) НОК (60, 420); в) НОК (52, 102); г) НОК (66, 385). 203. На сколько НОК (80, 100) меиьпш НОК (7, 100)? 204. На сколько НОК (30, 36) больше НОД (30, 36)? 205. Во сколько раз НОК (72, 88) больше НОД (72. 88)? 206. Вычислите: а) НОК (2, 3, 16); б) НОК (2, 5, 17). & Уровень Б гт2зл 207. Дано числа а = 2^ • 5^, 6 = 3^ • 5 и с = 2 • 3^. Вычислите: а) НОК (а, Ь); б) НОК (а, с); в) НОК (а, Ь, с). 208. При каком условии НОК (а, Ь) = НОД (а, Ь)? 209. Вычислите: а) НОК (124, 648); б) НОК (936, 748); в) НОК (320, 360, 720); г) НОК (132, 198, 275). 210. Сравните: а) НОК (936, 1404) и НОК (936, 748); б) НОК (124, 648) и НОК (648, 972). 211. Какое наименьшее трехзначное число кратно 5 и 13? 212. Найдите наименьшее трехзначное число, кратное чисел 2, 3 и 5. 32 1234567891234 'ki: § 6. Наименьшее общее кратное 213. Найдите длину проволоки, если известно, что она меньше 4 м и что всю проволоку без остатка можно разрезать на куски по 2 дм, по 3 дм и по 5 дм. 214. Сколько существует раз.чичных пар натуральных чисел, НОК которых равно 6? Запишите их. 215. Сколько существует раз.чичных пар натуральных чисел, НОК которых равно 30? 2.16. Покажите на примерах, что какими бы не были числа а и 6, всегда НОК (а, Ь) • НОД (а, Ь) = аЬ. 217. Сколько в классе учеников, если их можно построить в шеренги по 2, по 3 и по 5 учеников? 218. Верно ли, что: а) каждое число, кратное 3 и 5, равно 15п, где п — некоторое натуральное число; б) каждое общее кратное чисел 6 и 8 равно 48п, где п - некоторое натуральное число? 219*. Одна из двух соединенных шестерней имеет 6 зубцов, а другая - 15 (рис. 9). Сколько оборотов должна совершить меньшая шестерня, чтобы их зубцы возвратились в первоначальное положение? Упражнения для повторения"* 220. Вычислите: 3,7(2,6- 1,1); а) 4,25 в) 4- б)3,2^-(0,Г + 2,3"); г) 2- + 2- + 2- + 2~. 4 4 4 4 221. Найдите периметр и площадь фигуры, изобраясенной на рисунке 10, если а = 3,5 см. 3 222. Какое из чисел больше: 0,3 или —? Почему? ® 7 3 223. На сколько сумма чисел — и — больше их разности? ” ° 224. Найдите меры углов треугольника, если один из них прямой, а второй составляет половину 'гретьего. (Вспомните, что сумма углов каждого треугольника равна 180°.) а 4а а а 2 г. П. Бевз ‘1Иатематика". 6 кл. Рис. 10 12345678912- 33 \23ноЬ Раздел Делимость ' натуральных чисел 225. Найдите углы треугольника, если один из них равен 60°, а второй - на 20° больше третьего. .2;^ Самостоятельная работа 1 Вариант 1 1°. Запишите все простые числа, которые больше 10 и меньше 20. 2°. Разложите на простые множители число 420. 3°. Найдите НОД (42, 56) и НОК (42, 56). 4*. Найдите такое значение х, которое является общим делителем чисел 52 и 78, если 25<х < 35. 5*. Какое наибольшее двузначное число делится на 13? 6**. Найдите сумму всех делителей числа 30. Вариант 2 1°. Запишите все простые числа, которые больше 20 и меньше 30. 2°. Разложите на простые множители число 280. 3°. Найдите НОД (28, 42) и НОК (28, 42). 4*. Найдите такое значение х, которое является общим делителем чисел 52 и 39, если 10 < д: < 25. 5*. Какое наименьшее трехзначное число делится на 13? 6**. Найдите сумму всех делителей числа 70. Вариант 3 1°. Запишите все простые числа, которые больше 30 и меньше 40. 2°. Разложите на простые множители число 540. 3°. Найдите НОД (88, 121, 484) и НОК (88, 121, 484). 4*. Найдите такие значения д:, которые кратны числам 9 и 21, если 100—. 8 8 11 11 Сумма дробей с равными знаменателями равна дроби, в которой знаменатель тот же, а числитель равен сумме о ^ гг, а Ь а+Ь числителей данных дробей. То есть, всегда —-н—=-. с с с 3 14 Например, —I— =—. 5 5 5 Разность дробей с равными знаменателями равна дроби, в которой знаменатель тот же, а числитель равен разности а Ь а—Ь числителей данных дробей. То есть, всегда-=-----. Например, 50 50 50‘ 191234 42 1234567891234 § 7. Обыкновенные дроби с равными знаменателями Обыкновенную дробь называют правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель больше знаменателя или равен знаменателю, то такую дробь 7 называют неправильной. Например, дробь — — правтшьная, У а дроби — и — — неправильные. Значение каждой правильной 5 6 дроби меньше 1. Если числитель равен знаменателю, то значение такой дроби равно 1. Например, — = — = — = — = 1 (рис. 13). 2 3 4 5 Если числитель больше знаменателя, то из такой дроби можно выделить целую часть: 8 , 3 ,3 5 5 5 Каждую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной: 0,3 = --; 0,76 = 76 10 100 Узнайте больше 47 4,7 = — . 10 Желательно различать дроби и дробные числа. Вам уже известны натуральные числа и дробные. Ни одно натуральное число не считается дробным и ни одно дробное — натуральным. А дроби - это специальные символы, которыми обозначают как дробные, так и натуральные числа. Например, дроби обозначают натуральные числа 2 2 2 2 1, 2, 3, 4. Обратите внимание на то, что одно и то же натуральное или дробное число можно записать многими различными дробями. 234567891Я?-' 43 1234567 Раздел Обыкновенные х(ро6и 12 3 Например, разные дроби —обозначают одно и то же 2 4 6 число: половину. На координатном луче каждой точке соответствует единственное число, а записывать его можно многими различными способами (рис. 14). 12 3 2’ 4’ б’ ЧГ“ 4 6 8 2’ 3*4’ о 1 2 Рис. 14 Ж Проверьте себя 1. Какие бывают числа? 2. Как можно записывать дробные числа? 3. Что такое обыкновенная дробь? 4. Как называются члены обыкновенной дроби? 5. Что показывает знаменатель дроби? А числитель? 6. Как складывают дроби с равными знаменателями? 7. Как вычитают дроби с равными знаменателями? Выполняем вместе 3 17 (Т) Сравните числа: а) — и 0,5; б)-и 0,17. W н ЧО 100 • а) 0,5 = —, —<—, поэтому — <0,5; ' 10 10 10 ^10 б) 17 100 = 0,17, поэтому данные числа равны. 1 7 Вычислим значение: а) 0,7н---; б) 3,15—1----. 10 100 7891234 • а) 0,7 + — = 0,7 + 0,1 = 0,8; 10 б) 3,15-1—= 3,15-1,07 = 2,08. 100 44 1234567891234 § 7, Обыкновенные дроби с равными знаменатетмми С Устные упражнения 226. Назовите числитель и знаменатель дроби: 7’ 25’ 15’ 227. Какое число больше: ,3 2^7 6 а)—или—; б)— или—; 5 5 18 18 , 12 15., в) — или —? , 17 3 в)----1--. 10 10 228. Выполните сложение: ч 2 3 4 1 а)—н—; б)—н—; 7 7 9 9 229. Выполните вычитание: а)3_2. g 1_2. 5 5’ ” 9 9’ 230. Какие из дробей правильные, какие неправильные: 2 7 9 13 18 30 43 105 103^ , 10 7 в)-------. 17 17 7’ 5’ 9’ 15’ 13’ 47’ 43’ 103’ 105 231. Значение каких дробей меньше 1: 4 7 5 12 11 31 59 207 702, 11’ 12’ 41’ 95’ 307’ 703 5 3 9 232. Значение каких дробей больше 1: 6 4 3 14 20 3 57 110 210 5’ 7’ 8’ 13’ 3 ’ 20’ 35’ 120’ 120 ’ 233. Значение каких дробей равно 1: 7 4 10 11 33 17 107 1023 1257, 8’ 4’ 10’ 10’ З’ 17’ 107’ 1024’ 1257 О Уровень А Вычислите значения выражений (234 — 237). 2 4 1 234. а) 3 3 3 «ч 7 2 1 б) —+—+—. 12 12 12 ,243 235. а) -+-; 5 5 5 «ч 5 3 6 б) - +------. 8 8 8 «Ч 7 1 5 б)----------1--. 12 12 12 13 13 13 13 ^ 6 5 4 5 б) — +-------------. 11 11 11 11 1234567891234 45|12345€ Раздел Обыкновенные дроби 288. Запишите в виде обыкновенной дроби число: 0,3; 0,23; 0,08; 0,13. 239. Сравните числа: г) 1,2 и а) ^ и 0,3; б) ^ и 0,15; в) 0,07 и ^ 10 10 10 10 О Уровень Б Вычислите значения выражений (240— 242). 240. а) 0,5+—; 10 241. а) 0,8-—; 10 б) 100 +0,12; 242. а) 1,3+ 10’ б)—-0,27; 100 б) 2,7- — ; 10 в) 2,77 + в) 3,89-в) 2,3- 23 100‘ 19 100 ■ 23 100 243. Запишите число 1 в виде дроби со знаменателем: 2; 3; 4; 5; 6. 244. Сколько существует разных обыкновенных дробей, членами которых являются числа 2, 3, 5 и 6? Сколько среди них правильных дробей, сколько неправильных? 245. Запишите все смешанные числа, членами которых являются числа 2, 3, 5 и 6. 246. Вместо звездочек запишите один из знаков «>»,«<» или «=»: а) — * 1; 8 ч , 15 6) 1*1= д)1* 17 17' в) — * 1; 12 е) — * 3. 2 Упражнения для повторения +ьЗ 247. 87,6 кг сахара расфасовали в два мешка так, что во втором оказалось вдвое больше сахара, чем в первом. На сколько килограммов сахара во втором мешке больше, чем в первом? 248. Трубу длиной 12,3 м разрезали на две части так, что длина первой части на 4,1 м больше второй. Во сколько раз первая часть трубы длиннее второй? 249. Найдите 0,2 от: а) 35 км; б) 42 кг; в) 50 л; г) 2 га. 91234 46 :23456789123ч § 8. Основное свойство дроби 250. Найдите 30 % от: а) 40 м; б) 600 г; в) 10 ч. 251. а) Во сколько раз 60 % числа д: больше 20 % числа х1 б) На сколько 60 % числа 85 больше 30 % этого же числа? 252. Одна сторона прямоугольника равна 48 см, а другая - на 50 % длиннее. Найдите периметр и площадь прямоугольника. 253*. Фигуру, имеющую форму вазы (рис. 15), разрежьте на три части так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Рис. 15 Основное свойство дроби Разделим число 3 на 10. Получим 0,3 или —. 3 Следовательно, 3 : 10 = —. Так же, разделив 28 на 100, получим Всегда а :Ь = — , или иначе ^ = а:6. ^100 Ъ Ь Каждая обыкновенная дробь — это частное от деления ее числителя на знаменатель. 125 - = 2:3; - = 5:7; 3 7 83 = 125:83. Черта дроби - это обозначение знака деления. Вспомните основное свойство деления. Частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Например, 10 : 2 = 5 и 20 : 4 = 5, и 30 : 6 = 5. Основное свойство деления справедливо и тогда, когда деление обозначено чертой дроби. Значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Это - основное свойство дроби. r4.;:^V2^l23M7j_2_ Раздел Обыкновенные дроби Умножим, например, числитель и знаменатель дроби 2 4 8 — на 2 и на 4. Получим дроби — и— (рис. 16). 3 6 12 Все эти дроби имеют одно и то же значение. Говорят, что эти дроби равны. 2 4 8 391234 Рассмотрите любую дробь, например—. Если ее числитель 3 умножить на 2, то значение дроби увеличится вдвое (рис. 17). Вообще, если числитель дроби увеличить в несколько раз, то и значение дроби увеличится во столько же раз. Если же на 2 умножить знаменатель дроби —, то получим дробь —, 3 6 которая вдвое меньше (рис. 18). Вообще, если знаменатель дроби увеличить в несколько раз, то значение дроби уменьшится во столько же раз. Если же умножить на натуральное число п числитель (значение дроби увеличится в п раз) и знаменатель (значение дроби уменьшится в п раз), то в результате значение дроби не изменится. Это иное обоснование основного свойства дроби. ■-ч/ ✓ 48 1234567891234 § 8. Основное свойство дроби Проверьте себя 1. Как можно записать частное а : с? 2. Сформулируйте основное свойство частного, 3. Сформулируйте основное свойство дроби. 4. Как изменится значение дроби, если ее числитель умножить на число п? 5. Как изменится значение дроби, если ее знаменатель увеличить в п раз? Выполняем вместе ф Запишите число 5 в виде дроби со знаменателем 1, 2, 3. ^ 5 , 10 ^ 15 5 = — , 5 = —, 5 =—. 1 2 3 @ Как изменится значение дроби, если ее числитель уменьшить в 3 раза? • От увеличения числителя дроби в несколько раз значение дроби увеличится во столько же раз. Например, дробь — больше — в 3 раза. А дробь — меньше — в 3 раза. 5 5 5 5 Если числитель дроби уменьшить в несколько раз, то значение дроби уменьшится во столько же раз. Вычислите 5—. 7 7 7 7 7 ф Сколько сотых содержится в числе —? 5 3 3-20 60 5 5-20 100 Ответ. 60. 1234567891234 49 123456 Раздел Обыкновенные дроби С Устные упражнения 254. Верно ли равенство: ,12 «,2 4 Я 6 а)—=—; 6)— =—; в)—= —; 2 4 3 6 5 10 255. Объясните, почему верно равенство: , 4 12 а) — = —; 7 21 2 б) — = -; 15 3 B)f = 2; 9 90 г)- = 4. 2 256. Назовите три разные дроби, каждая из которых рав- 3 на —. 4 7 257. Если члены дроби — умножить на 3, то какую дробь получим? ® g 258. Если числитель и знаменатель дроби — разделить на 4, 12 то какую дробь получим? Сравните ее с данной дробью. Уровень А 259. Запишите обыкновенную дробь в виде десятичной: А. JL. 1£. JA. AL. 1^. 1^. 3 10’ 10’ 10’ 100’ 100’ 10’ 100’ 1000' 260. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной: 0,7; 0,9; 0,23; 0,015; 1,2; 2,25; 3,07. 261. Запишите дробь в виде частного с помощью двоеточия: 8 17 1 24 43 54 23 102 103 9’ 19’ 32’ 97’ 8 ’ 45’ Т’ 1оз’ 102’ 262. Запишите частное в виде обыкновенной дроби: 7:10; 8:9; 13:17; 14:27; 35:100; 27:200. 263. Запишите число 2 в виде дроби со знаменателем: 2; 3;8; 13. 264. Запишите число 3 в виде дроби со знаменателем: 2; 3; 11; 15. 265. Сравните числа: а)— и 2; 5 б) —иЗ; 5 в) 4 и 17 г) 5 и 21 П234 50 1234567891234 § 8. Основное свойство дрюби 266. Вычислите: а)2-1; 2 3’ =)8-|: г) ^-3; 4 -2; ж) 34-—; 4 7 3)15- — 10 410 17 -36 Д)12——; е) — 5 5 267. При каком условии дробь равна своему числителю? Приведите примеры. 268. Какую часть метра составляют: 25 см; 30 см; 75 см? Ф Уровень Б 269. Какую часть суток составляют: 6 ч; 8 ч; 12 ч; 18 ч? 270. Какую часть часа составляют: 6 мин; 8 мин; 12 мин; 18 мин? 271. Отметьте на координатном луче дроби: 1. 2. 2. 4. 1. gj_ З’ З’ б’ б’ 5’ 10‘ 13 8 27 Сколько десятых содержится в числе: —; —; — ? 2 5 4 112 1 273. Сколько шестых содержится в числе: —; —; —; 2—? 2 3 3 3 274. Замените х таким числом, ^гтобы верно было равенство: . X 2 ^.5х 12 1 а) —= -; б)- =—; в)— = -; ^3 6 7 14 X 2 .л: + 1 3 ^х-2 4 .х + 2 15 =18- 275. Выразите: 4 2.8. а) в центнерах: — от 4 т; — от 4 т; 5 20 2 4 б) в минутах: — от 1,5 ч; ^ от 1,5 ч. Результаты сравните. Длина отрезка АВ равна с, точки К и Р делят его на три равные части (рис. 19). Найдите длины отрезков КР, АР, КВ. А К Р В Рис. 19 12345е-’еЛ1?.3.51 1234SC Раздел Обыкновенные дроби 277. Площадь прямоугольника В ABCD равна S. Точки К vi Р -середины его сторон АВ и ВС (рис. 20). Найдите площадь пря- f[ моугольника КВРО и многоугольника AKOPCD. О Рис. 20 D Упражнения для повторения 278. Выполните действия: а) 3,4 + 2,5-(5,7-3,3); в) 0,5 + 0,5^ + 0,5®; 279. Решите уравнение: а) 2,5л:+ 3,2 = 13,2; в) 5,4 + Зл: = 9,9; П234 б) 14,8-(3,8-2,9): 0,3; г) 1,2 + 1,2 - 1,2®. б) 3,2-(л:+ 0,5) = 6,4; г) (2 - Зл-) • 0,5 = 0. 280. Начертите равносторонний треугольник, периметр которого равен 1 дм. 281. Произведение двух некоторых натуральных чисел — число нечетное. Четной или нечетной является сумма этих чисел? 282*. Произведение четырех последовательных натуральных чисел равно 3024. Какие это числа? 283. Из порта А в порт В одновременно вышли катер и теплоход, скорости которых соответственно равны 36,5 км/ч и 30,5 км/ч. Какое расстояние между ними будет через 0,5 ч? А через 2 ч? Ф Сокращение дробей Из основного свойства дроби следует, что значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель разделить на их общий делитель. Так можно упрощать дроби, не изменяя их значения. 50 г. Пусть, например, дана дробь —. Ее числитель и знаменатель делятся на 10. Разделив их на этот общий делитель, 5 о « 50 получим —. Эта дробь имеет то же значение, что и —, но 7 70 проще, поскольку записана меньшими числами. Такое 52 1234567891234 § 9. Сокращение дробей упрощение дроби называется сокращением дроби. В дан-50 ном случае дробь — сокращена на 10, то есть ее числи- тель и знаменатель разделены на 10. Наибольшее число, на которое можно сократить дробь, равно наибольшему общему делителю ее числителя и знаменателя. Поэтому, чтобы сократить дробь, сначала находят наибольший общий делитель числителя и знаменателя, а потом числитель и знаменатель этой дроби делят на этот НОД. „ ^ 48 „ Пусть, например, надо сократить дробь —. Поступаем так: 60 48 = 2-2-2-2-3, 60 = 2-2-3-5, 48 4->f НОД (48, 60) = 2 • 2 • 3= 12, — = 60 ъ-yi 4 5' Сокращая дробь, некоторые вычисления можно делать устно. Не обязательно сразу сокращать дробь на НОД числителя и знаменателя. Используя признаки делимости, 48 дробь можно сначала сократить на 2, полученную дробь 60 сократить на 2, а потом — на 3. Записывать можно так: 48 24 = — =—. или так:— = —;—^ = 5 12 4 48 2-2-/-/-Х 4 — =—, или так:— = - - 15 5 60 60 30 15 5' 60 Если числитель и знаменатель дроби — числа взаимно простые, то такую дробь называют несократимой. Несократимыми, например, являются дроби —, 7 10 106 Несократимую дробь сократить нельзя. Если числитель и знаменатель дроби разделить на их наибольший общий делитель, получим несократимую дробь. 1234567891234 53 123451 Раздел Обыкновенные дроби Узнайте больше 1. Можно ли сократить дробь 143, 221' Члены этой дроби не делятся на 2, 3, 5, 7. Может они -простые числа? Нет, в таблице простых чисел их нет. В таблице разложения чисел на простые множители находим: 143 = 11 13, 221 = 13 17. Поэтому 143 1В>^ 11 221~>^17~17‘ 441 2. Можно ли сократить дробь---? 22 22 = 2 • 11. Поскольку число 441 не делится ни на 2, ни на 11, то эта дробь несократима. ‘t© ■й Проверьте себя 1. Сформулируйте основное свойство дроби. 2. Что значит сократить дробь? 3. На какое наибольшее число можно сократить дробь? 4. Какую дробь называют несократимой? 5. Верно ли, что при любом значении числа а дробь — не- а сократима? 6. Некоторую дробь можно сократить на 10. Можно ли сократить ее на 2? А на 5? Почему? Выполняем вместе 6 ф Сократите дробь 646 • 6 = 2 • 3. Число 646 делится на 2 и не делится на 3. Поэтому данную дробь можно сократить только на 2. 6 3 646 " 323' :234 54 1234567891234 § 9. Сокращение дробей @ Запишите в виде обыкновенной несократимой дроби; а) 0,35; 6)1,44. 35 Х-7 7 • а) 0,35 =---= 100 2> ^ у > л > * 4 9 15 20 30 60 200 оог тл ^ „ 4 6 12 8 31 40 „ 285. Какие из дробей; —; —; —; —несократимые? 5 8 10 81 93 41 28(). Сравните числа: а)1и-; б)1и|; 4 о в) 2 и—. 6 287. На какие числа можно сократить дробь: 21 а) 63 б)“? 72 О Уровень А 288. Найдите все общие делители числителя и знаменателя дроби —. Сократите дробь. 72 289. Найдите наибольший общий делитель числителя и 42 знаменателя дроби Сократите дробь. 140 290. Сократите дроби: 12 13 4 40 40 75 11 402 333 198 14 39 40 30 60 70 33 204 444 909 1234567891234 55.12345 Раздел Обыкновенные дроби а 1234 291. Сократите дробь — на НОД (а, Ь): Ь 12 72’ 40 ’ 72 90’ 81 54’ 98 42’ 120 138 315 224 144 184 378 288 292. Сократите дробь постепенно, исполъауя признаки делимости: 30 42’ 24 54 90’ 90 72’ 81 54’ 84 200 162 243 120 240 270 810 293. Сократите дробь каким-либо способом: 10. 25. 30 66 65 94 . 93 115 690 15’ 35’ 66’ 99’ 13’ 144’ 115’ 92 ’ 294. Дробь сначала сократили на 2, потом еще на 2, наконец - на 11. На какое число можно было сократить эту дробь сразу? 295. Напишите пять дробей, которые можно сократить: а) на 2; б) на 3; в) на 5; г) на 9. 296. Запишите число в виде обыкновенной дроби и сократите ее: 0,4; 0,5; 0,6; 0,25; 0,75; 0,45; 0,08; 0,05; 0,125. 297. Сократите дробное выражение и вычислите его значение: , 2-3-5 2-719 , 26-45 а)-----; б)------; в)— . 3-5-7 7-20 3-5-13 & Уровень Б 298. При каком значении х верно равенство: ,20 40 ^,30 JC , 65 5„ X 6 100 10 13 X 299. Решите уравнение: . X 1 6 JC ,5 X а) — б) — = —; в)---=----. 45 9 50 25 100 300 3(Ю. Сравните числа, сначала сократив дроби: ,13 ^,3 27 , 4 10 , 17 160 а)—и—; б)—и—; в) — и—; г) — и----, 2 6 5 45 6 12 10 100 301. Сложите дроби, сначала сократив их: ,22 ^, 2 3 ,3 4 , 30 40 а)—н—; б)----1—; в)—н—; г)----+---. 3 6 10 5 9 6 100 400 302. Найдите разность дробей: ,32 ^,32 ,53 ,2 3 а)----; б)------; в)-------; г)—------. 8 16 2 4 10 6 10 30 56 1234567891234 § 9. Сокращение дробей 303. Упроегите дробное выражение и вычислите его значение: .12-5-12-2 20-1 а)----------; б) 48 19-8 + 19-2 304. а) Найдите периметр четырехугольника, каждая 1 сторона которого равна — м. б) Найдите периметр прямоугольника, одна сторона ко-1 1 торого равна — м, а другая - — м. 3 6 5 5 1 305. Стороны треугольника равны — м, — м и — м. Найдите 6 6 3 его периметр. 306. Сократите дробь: ч 77 91 а) 77:7:7; б) 1001 1001 в) 143 1001 г) 169 1001 Упражнения для повторения 307. Вычислите значение выражения: а) 2л: 1 15, если л: = 0,7; Л'= 1,8; л: = 35,8; б) Зу - 4,5, если у = 3,2; у = 4,7; у = 1,5. 308. Сколько квадратов изображено на рисунке 21? 309. Прямоугольник со сторонами 21 см и 7 см имеет такой же периметр, 1<ак и квадрат. Найдите сторону квадрата. 310. Прямоугольник со сторонами 28 дм и 7 см имеет такую же площадь, как и квадрат. Найдите сторону квадрата. 311. На сколько минут полчаса больше четверти часа? А пятой части часа? 312*. В трех складах хранится 1400 т угля. Сколько угля в каждом складе, если в первом его на 300 т больше, чем во втором, и на 200 т меньше, чем в третьем. Решите задачу, используя рисунок 22. I ■ П III 300 т -t- »1400т Рис. 21 200 т Рис. 22 1234567891234 57 12345 Раздел Обыкновенные дроби Приведение дробей к общему знаменателю Вы уже умеете сравнивать дроби с равными знаменате- 3 2 лями. Например, знаете, что — >—, поскольку 3 > 2. А как 5 5 сравнивать дроби с разными знаменателями? Какая из двух 3 7 дробей больше: — или — ? Чтобы ответить на этот вопрос, надо привести данные дроби к общему знаменателю. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получим дробь —, знаменатель которой такой же, как и знаменатель второй дроби. А сравнивать дроби ^ ^ о . 3 7 6 7 умеете. Заменив дроби — и — на — и —, мы привели их 5 10 10 10 ^ к общему знаменателю 10. Итак, чтобы сравнивать, складывать или вычитать дроби, надо приводить их к общему знаменателю. Поэтому очень важно уметь преобразовывать дроби. Можно приводить к общему знаменателю две и больше дробей. Например, чтобы привести к общему знаменателю .13 5 дроби —, —и—, достаточно числитель и знаменатель пер-2 4 12 вой дроби умножить на 6, а второй - на 3. В результате 6 9 5 получим: —, — и —. Знаменатели этих дробей равны, а значение каждой из них такое же, как и значение соответствующей данной дроби. Привести несколько дробей к общему знаменателю — это значит замен1ггь их дробями с одинаковыми знаменателями, не изменяя значений самих дробей. Чаще всего приводят дроби к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному всех знаменателей данных дробей. Пример. Приведите к наименьшему общему знамена- ! 3 2 1 телю дроби — и —, 5 3 10 Решение. НОК (5, 3, 10) - 30, 30 : 5 = 6, 30 : 3 = 10, ■ 30 : 10 = 3. Следовательно, числитель и знаменатель пер- 158 я.б?;- Г- ------------ § 10. Приведение дробей к общему знгименателю вой, второй и третьей дроби надо умножить на дополнительные множители 6, 10 и 3 соответственно. Получим: 2 _ 2-10 20 1 1-3 3 5~5-6~30’ 3~3-10~30’ 10~10-3”30' Если не требуется, чтобы общий знаменатель был наименьшим, то им может быть произведение знаменателей данных дробей. Например, общим знаменателем дробей 3 2 1 —, — и — может быть и произведение 5 • 3 • 10, то есть 150. 5 3 10 % Проверьте себя 1. Что значит привести дроби к общему знаменателю? 2. Чему равен наименьший общий знаменатель дробей 2 1., „ 2 1 — и— ? А дробей — и--? 3 5 3 6 3. Дано дроби со знаменателями а и с. Может ли их общим знаменателем быть произведение ас? 4. Чему равен наименьший общий знаменатель дробей со знаменателями 6 и 9? 5. Для чего надо уметь приводить дроби к общему знаменателю? Выполняем вместе 3 1 ф Приведите к общему знаменателю дроби — и—. 4 6 • Общим знаменателем двух дробей может быть произведение их знаменателей. В данном случае - произведение 4 ■ 6 = 24. 3_^_1В 11-4 4 4~4-6~24’ б“б-4~24’ 3 1 (2) Приведите дроби —и— к наименьшему общему знаменателю. 6 • Наименьший общий знаменатель данных дробей -НОК их знаменателей. НОК (4, 6) = 12. Поэтому 33-39 1 1-2 2 4 4-3 12 6 6-2 12 59 Раздел С Обыкновенные дроби 4 Устные упражнения 313. к какому наименьшему общему знаменателю можно привести дроби: , 3 5 а) — и—; 7 14 б)-и-; 2 5 , 7 7 в) —и—; 12 6 Л 1 1, г) -и—? 2 3 6 314. Приведите к общему знаменателю дроби: 1 1 -И-; 2 3 Й.1 1 б)-и-; 2 5 .1 1 в) —И~ 2 7 2 1 -И-; 3 5 .2 1 .1 2 4 5 Уровень А 315. Запишите число — в виде дроби со знаменателем: 12; 6 18; 42. 316. Приведите к общему знаменателю дроби: -12 ^.3 1 ,71 Л8 а) —и—; б) —и—; в) —и—; г)—и—, 2 3 5 4 4 8 3 30 317. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: --471325 б)—и—, -и —, -и—; 9 12 4 10 9 6 - ,3 5 2 5 3 5 а))-и—, —и—, —и—; 4 8 3 9 2 8 ,7 9 3 4 8 14 ,332 753 в)—-и—, —и —, —и —; г)—и—, —и-—, —и —. 13 26 23 46 15 25 7 5 15 12 6 14 318. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: i234 ,111 а) —и—; 2 4 8 2 3 б)-, -и—; 6 9 4 ,54 3 в) —, —и—; 12 15 10 ,13 7 г) —, — и—; 2 5 10 - 3 1 5 Д)—, —И-; 10 15 6 12 3 е) —, —и—. 18 21 14 319. Какое из двух чисел больше: , 2 3 а) — или —; 3 4 б)-или-; в) 6 5 1 12 , 81 — или —; г) —-3 19 85 или 161 170 320. Сравните числа: .3 2 ,78 а) —и—; б)—и—; Ч 3 8 9 60 1234567891234 ,12 16 ,13 39 в)—и—; г)—и—. 15 20 14 42 § 10. Приведение дробей к общему знаменателю Г 321. Поставьте вместо звездочки нужный знак «>», «<» или «=»; , 2 3 а) - * 5 7 б) - * —; 7 8 9 10 — * —; 10 11 в)— * , 24 27 г) — * —. 56 63 322. Докажите, что: . 1 2 а) 2 3 4 3 б) 5 4 ч 8 9 в) —> —; 9 11 , 12 12 г) —>—. 35 37 323. Сравните числа: а)-и 0,74; б) iи0,15; в)-и 0,3; 8 г) 0,25и-. 5 Уровень Б 324. Разместите числа в порядке их возрастания: ,765432 ^, 6789 10 11 9 ^9 ^9 ^9 „9 ^9 л •-л* 8 7 6 4 3 5 6 7 8 9 10 325. Сколько содержится: ч ^ лч 4 ч 3_ а) восьмых в —; б) десятых в —; в) сороковых в — г 2 5 5 326. Разместите числа в порядке убывания: 9 10 .2 .3 . « —; —; 1—; 1—; 1,59; 1,6. 6 7 3 4 6 3 Зв 1 327. Есть ли среди чисел —, 1 — , —, 1—, 1,02, 1,2, 1,22 равные? 5 15 30 5 328. Обоснуйте утверждение. Если знаменатели двух несократимых дробей — числа взаимно простые, то наименьший общий знаменатель этих дробей равен произведению их знаменателей. Приведите примеры. 329. Верно ли утверждение задачи 328 для случая трех дробей? Найдите наименьший общий знаменатель дробей 111 -, —и — . 6 10 15 330. Обоснуйте утверждение. Из двух дробей с равными числителями больше та, знаменатель которой меньше. Приведите примеры. 331. Пятиметровую колоду разрезали на 8 равных частей, а семиметровую - на 14. Части какой колоды длиннее? =23466789123 61 123456 Раздел Обыкновенные дроби 332. Один из двух одинаковых тортов разрезали на 8 равных частей, а другой - на 14. Масса чего больше: двух кусков первого торта или трех кусков второго? Решите задачу, сравнивая две дроби. Сделайте рисунок. 333. При каком значении х верно равенство: а)2 = |; 6)3 = ^; 5 в)12 = |; г) 13 = —? 13 Упражнения для повторения 334. Найдите 0,6 числа: а) 1000; б) 46,8; в) 0,3; г) 0. 335. Найдите число, 0,3 которого равны: а) 15; 6)3; в) 0,6. 336. Что больше: 30 % числа 150 или 40 % числа 120? На сколько? 337. Одна сторона треугольника равна 0,4 м, вторая и тр<;тья - на 20 % и 30 % длиннее первой. Найдите периметр треугольника. 338. 25 % поля засеяли просом, а остальное — грючихой. Во сколько раз площадь под гречихой больше площади, занятой просом? 339. Внук приехал к бабушке 29 мая и пробыл у нее 75 дней. Когда он уехал от бабушки? 340. Игорь задумал число. Если его умножить на 2, а произведение увеличить на 26, то получим 84. 4 см Какое число задумал Игорь? Рис. 23 341. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 4 см (рис. 23). Найдите площадь его поверхности и объем. Сложение и вычитание дробей Вспомните, как складывают и вычитают дроби с равными знаменателями. о со 1 1 1 1 1 ✓ Примеры. ,12 4 1+2-Н4 7 а) —h—h—=------=—; 9 9 9 9 9 8 2 _8-2_ 6 23 23" 23 "23* 162 § 11. Сложение и вычитание дробей Чтобы найти сумму или р>азность дробей с разными знаменателями, надо сначала привести их к общему знаменателю, а потом — сложить или вычесть по известным уже правилам. Над числителями можно писать дополнительные множители или только представлять их. Рассмотрим примеры. 3 4_7, 8^2 ” 8 ^8 ~ 8’ 15 10 30 30 30 б‘ Сумму дроби и натурального числа записывают в виде смешанного числа: 7+2 = 72; ®+2=2®. 3 3 9 9 Смешанное число можно преобразовать в неправиль- ^ гг ,7 21 ^2 21 2 23 ную дробь. Поскольку 7 =—,то 7—=—-ь—= —. 3 3 3 3 3 Чтобы неправильную дробь преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель. Неполное частное — это целая часть, а остаток — числитель дробной части. Например, чтобы — преобразовать в смешанное число, 5 разделим 32 на 5. 32 2 32 : 5 = 6 (ост. 2). Поэтому — = 6—. 5 5 Для любых чисел - натуральных или Д1юбных — справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Раздел Обыкновенные дроби Разные случаи вычитания показаны на примерах: _12.10 2.8 «4 0,2 „3 2-1 а)5--= 4--= 4—; б)8-1- = 7—1—= 6-; 99 999 3333 в) 2,5-1- = 2—-1—= 1—= 1,1. 5 10 10 10 А Проверьте себя 1. Как сложить или вьп1есть дроби с равными знаменателями? 2. Как найти сумму дробей с разными знаменателями? 3. Как найти разность дробей с разными знаменателями? 4. Как преобразовать неправильную дробь в смешанное число? 5. Каждую ли неправильную дробь можно преобразовать в смешанное число? 6. Сформулируйте законы сложения для дробных чисел. Выполняем вместе 3 5 (I) Сложите дроби — и—. 8 6 • НОК (8, 6) = 24. Дополнительные множители - 3 и 4, поскольку 24 : 8 = 3, 24 : 6 = 4. Поэтому 8^6 ~ 24^ 24 “24“ 24’ Можно записать и так: 3^“ 5^^9 + 20 29^^ 5 8^б“ 24 “24“ 24‘ 2 3 17 @ Найдите разность чисел: а) 3—и1—; б) 4— и1—. 5 10 3 15 .a)3?-lA.(3-l).f2-AL2.r±-AV2i_; 5 10 [5 10 J ilO 10 j 10 7891234 1 7 б) поскольку — < —, то 3 15 1 '7 /|\® ' .20 .13 4--1—= 3--1 —= 3-1 —= 2- 3 15 3 15 15 15 15 64 1234567891234 § 11. Сложение и вычитание дробей О Устные упражнения ---- Вычислите значения выражений (342 — 344). 342. а)-+-; 7 7 «Ч 6 7 б)—+—; 11 11 в) 1 1 2"^4’ .4 5 г)—+—; 9 9 .5 3 е) 1 1 3^9’ *>М’ з)А_^. Чз 13’ и) 1 1 3 6' 343. а) 1+-; 3 6)3+-; 5 в) г)§+2; 4 д) 7+1; 5 е) -+3. 7 344. а) 2-+-; 3 3 б) 1-+-; 5 5 в) 2-+7-; 8 8 г) 3,8+7^; 5 Д) 4,5 + 1^; е) .1 .3 1-+4-. 4 4 Уровень А Выполните действия (345 — 352). 345. а)-+-; 2 3 «ч 1 1 2 5 ч 1 1 в) —+—; 3 5 ч 1 1 г)- + -; 5 6 ч 1 1 ч 1 1 е) -—J—. 13 2 346. а) 2 6 б)^-Ч 5 2 B)i-i- Ч 3’ г) ; 8 3 .6 2 , 10 1 е) . 11 2 347. а)-+—; 6 10 б)^-А; 7 14 ч 3 1 в) —+—; 8 12 г) ; 9 15 ч 5 1 ч5 4 6 9 0.0 ч13 И 11 13 6)-+—; 6 15 , 23 2 в) ; 6 9 ч 1 4 г)—+—; 12 15 ч 1 2 .8 7 е) . 7 8 3 г П. Бееэ "Математика’', 6 кл. 1234567891234 65 1234567 Раздел Обыкновенные дроби 349. а) 3-+-; 9 6 .3,3 в) —+1—; 4 8 г) 1 ; 8 4 .6 ,1 1 9 350. а) 5--—; 7 14 в)*®-!!; 5 3 г)12--8—; 8 28 д)4|-з|: ^34 ,,1 е) 11—. 3 4 351. а) 0,5-|; б) 0,3+|; 6 в) 1.7 + ^; г) 1.8-li; 4 д) 0,25+3^; 4 е) 1 + 2,3. 352. а) 6,4 + 1--2-; 5 8 б) 4,7-2- + 9-. 3 6 Вычислите значения выражений (353—356). 353. а) 2 3 6 354. а)----1--; 4 8 12 355. а) 3-+-+2-; 2 3 4 г) 12-1-4-0,2; 5 . 1 1 1 1 356. а) —I-1—-f —; 2 3 4 5 ,4 4,14 5 15 3 9 «.3 2 1 5 3 15 2 12 б) 3 6 15 «.«2 ,1 1 ,13 5 в) —4-1—. 2 4 8 в) 1 1 2 5 15 .^1 il 5 в) 4—1----; 4 9 6 1 7 е)-4-3,2— 5 5 «.1313 б) —h---; 3 4 6 8 .о1 2 1 3 2 3 4 8 357. Заполните таблицы. ’41234 Слагаемое 1 15 !-« 17 3 , 1 „ 3 Слагаемое 1- 2— 5 2 11 13 ,4 oil о 16 Сумма 10 1- 5 2,7 2— 34 33 66 1234567891234 §11. Сложение и вычитание дробей Уменьшаемое 4« 20 7 3,2 Вычитаемое 5 24 25 Разность 2,7 9 14 1 30 5 16 5 1 3 358. Один арбуз весит 3— кг, а другой - 2— кг. Сколько 2 4 килограммов весят два арбуза вместе? 1 3 359. Арбуз весит 3— кг, а дыня — на — кг меньше. Сколько 5 4 килограммов весят арбуз и дыня вместе? 360. Масса одной книги трехтомника равна — кг, второй - 4 ^ кг, а третьей - ^ кг. Найдите массу трехтомника. На сколько килограммов первый том легче или тяжелее второго и третьего томов? 361. Семиметровую трубу разрезали на две части. Длина 5 одной части равна 2— м. Найдите длину другой части трубы. ® 362. В первый день заасфальтировали — км дороги, а во 16 второй — на — км больше. Сколько километров дороги за-8 асфальтировали за два дня? 363. В одном ящике 5,3 кг винограда, а в другом — на 1— кг 5 больше. Сколько килограммов винограда в обоих ящиках вместе? ^ 364. От мотка проволоки длиной 30 м сначала отрезали 7— м, 2 а потом еще 8— м. Сколько метров проволоки осталось в .V 5 мотке ( 1234567891234 67 1234565 ■■ Раздел Обыкновенные дроби Уровень Б Вычислите значения выражений (365 — 368). 365. а) 0,7+---; 5 3 1 7 в) 0,7+1---; 2 8 б)- + 3,2-2^; 3 9 г) 3,45-2^ + 3-. 2 5 366.a)4-l+fH_A\ 6)^+fi3_n 25 [ 25 15 j 45 ( 45 9 I л 8 Г, 7 1 ^ в) 4—+ 1----- 39 24 32 г)—0,25+2,125. 8 367. а) 4 в) 368. а) 3 17 [ 12 17 I (27 6 J 27 ,e-fA,n ( 35 5 / 6)8 г)3 б)2- + 3 19 7_\ 24 [ Зб’^24 f 1-[з^-2П 2(45/ 2,08-l|j; в)3,7+ -+0,3 I; г) 8,5+-9 2,5. Решите уравнения (369 — 370). 6 4 369. а) — + х =—; 25 5 ч 7 2 15 3 370. a)jc+ —= 1-; 15 4 в)х-7- = 3-; 2 4 4 4 б)д:---= -; 15 5 ч 2 8 г) х + —=—. 3 9 б) 1—х =—; 8 16 г) 2,8—jc =—. 4 7891234 371. На покраску окон ушло 2— кг краски, на покраску по- 6 1п7 - л ла — Ю— кг, на покраску дверей — на 4— кг меньше, чем на 68 1234567891234 § 11. Сложение и вычишяие дробей покраску пола. Сколько всего израсходовали краски? 372. На токарном станке деталь обрабатывали 1— ч, на фрезеровальном — в 2 раза дольше. Сколько времени ушло на изготовление детали на этих двух станках? 373. Бригада выполнила задание за 3 дня. В первый день 1 2 она выполнила — всей работы, во второй — — всей работы. 3 5 Какую часть работы бригада выполнила в третий день? 374. На токе было 8— т зерна. Сколько зерна стало на токе 1 2 после того, как завезли 2— т, а потом вывезли 3— т? 3 5 375. Найдите число, которое меньше 5— на столько, на сколь- 3 ко 6— больше 3—. 2 4 376. После того как из одного ящика переложили в дру- гой 2— кг груш, в каждом ящике их стало по 18 кг. Сколь-4 ко килограммов груш было в каждом ящике вначале? 377. На сколько сумма чисел 0,5 и — больше их разности? 3 378. Найдите периметр прямоугольника, одна сторона кснюро- .3 1 го равна 1— м, а вторая — — м. 5 2 379. Найдите периметр равнобедренного треугольника, осно- вание которого равно — дм, а боковая сторона — — дм. 4 5 8 380. Периметр равнобедренного треугольника равен — дм. а боковая сторона — — дм. Найдите длину его основания. 3 12345678П123 69 123456J Раздел Обыкновенные дроби 381. На рисунке 24 АВ = 3— м, ВС = \— м, DE = — м. 2 5 6 Вычислите периметр фигуры. Е D В К м ^ к В D Рис. 24 Рис. 25 ■891234 382*. Найдите периметр фигуры (рис. 25), если ВС — — дм, С1) = 1-дм, МР = -т-4 5 383. Покажите, что для любых натуральных чисел а и 6 а , а+Ь всегда —+ 1 =-. Ь Ь 384. Как изменится значение дроби, если ее знаменател не изменять, а к числителю прибавить число, равное 3hj менателю? 385*. Дробь — правильная. Какая из дробей больше: — ил Ь Ь Покажите на примерах. 6+1 Упражнения для повтореЕОШвШШШ1^ШШ 386. Выполните деление с остатком: а) 57 : 7; б) 82 : 26; в) 40 : 37. 387. Какие из чисел 1323, 3895, 83 325, 88 008 делятся на 3, а какие - на 9? 388. Разложите на простые множители число: а) 2704; б) 7007. 389. Выпишите все делители числа: а) 18; б) 144; в) 882. 390. Найдите НОД и НОК чисел: а) 60 и 90; б) 12, 28 и 36. 70 1234567891234 Ссшостоятельная работа 2 391. Когда из канистры отлили 8 л бензина, в ней осталось 75 % того бензина, который был в канистре сначала. Сколько бензина осталось в канистре? 392. Периметр треугольника равен 4,5 дм. Одна его сторона меньше периметра на 3,2 дм, а другая -на 3,1 дм. Найдите третью сторону треугольника. 393. Найдите углы прямоугольного треугольника, если наименьший из них меньше наибольшего угла на 57°. 394*. Сколько кубиков недостает на рисунке 26, чтобы сложить из них большой куб? Самостоятельная работа 2 Вариант 1 1°. Вычислите: ч 3 7 а)- + 5 15 6)21-5; 4 6 в) 3 8 I в J 2*. На сколько сумма чисел 0,6 и — больше их разности? 3°. Решите уравнение: а)—+дс = 1—; б)—х =—; 6 8 8 9 ч 4 7 в) X-----=-----. 15 20 4*. Одна деталь весит 1,4 кг, а другая - на — кг меньше. 4 Сколько весят обе детали вместе? 5*. Найдите периметр прямоугольника, одна сторона кото- 3 рого равна 3— м, а другая - на — м длиннее. 5 4 Вариант 2 1°. Вычислите: 8 12’ б) 3-+1—; 5 15 в) 2 Н-1) 123456789123^ 71 123456: Раздел Обыкновенные дроби 2*. На сколько сумма чисел — и 0,2 больше их разности? 3 3°. Решите уравнение: а) х+—= 1—; 8 4 7 б) — х = -; 7 8 в)х-А=1. 12 3 4*. Автомобиль весит 1— т, а прицеп — на 0,75 т меньше. 5 Сколько весит автомобиль вместе с прицепом? 5*. Найдите периметр прямоугольника, стороны которого И 4 равны 1— м и — м. 4 5 Вариант 3 1°. Вычислите: , 33 9 а)------; 34 17 8 12 1 2*. На сколько сумма — + — + — меньше разности 2,5—? 9 18 3 5 3°. Решите уравнение: 7 16 11 ,9 fll 1Л 15 25 75 16 i 32 4 I 2 2 а)-+х = 1—; 5 15 «л 2 3 б) X— = -; 3 2 B,(x-f)-0,3=2i. 4*. Одна деталь весит 2,3 кг, вторая — на — кг тяжелее, а 6 третья - на — кг легче второй. Сколько весят три детали 3 вместе? 5*. Найдите периметр прямоугольника, одна сторона ко- 7 торого равна 3— м, а другая - на 1,25 м короче. 8 57891234 Вариант 4 1°. Вычисшите: , 11 7 а) —----; 12 30 9 19 3 11 б)-------+ -; в) 13 65 5 12 30 60 ) 1 12 1 2*. На сколько разность 1,3— больше суммы — +—+—? 3 6 5 3 72 1234567891234 3°. Решите уравнение: . 3 1 5 а) х+— = 2—; б)—х = 14 7 8 12 Готовимся к тематическому контрогао 1 в) 4*. Одна дыня весит 3,5 кг, вторая - на — кг легче, а тре- 3 тья — на 1^ кг тяжелее, чем вторая. Сколько весят три дыни вместе? 5*. Стороны одного прямоугольника равны 2— м и 3— м, 2 5 а другого — 3,5 м и 2,1 м. На сколько метрюв периметр первого прямоугольника больше или меньше периметра второго? Готовимся ^ к тематическому контролю Вопросы для самопроверки 1. Что называют обыкновенной дробью? 2. Что показывают числитель и знаменатель обыкновенной дроби? 3. Какие обыкновенные дроби называют правильными? Неправильными? 4. Как преобразовать десятичную дробь в обыкновенную? 5. При каком условии обыкновенная дробь больше 1? 6. Сформулируйте основное свой(ггво дроби. 7. Что значит сократить дробь? 8. Как сократить обыкновенную дробь? Приведите примеры. 9. Какие дроби называют несократимыми? 10. Что значит привести дроби к общему знаменателю? 11. Как сложить дроби с равными знаменателями? 12. Как найти разность дробей с равными знаменателями? 13. Как сложить или вычесть дроби с разными знаменателями? 14. Как из неправильной дроби выделить целую часть? 15. Как преобразовать смешанное число в неправильную дробь? Задания в тестовой форме 1. Какая из представленных ниже дробей правильная? ч 5 .,5 ,5 3 4 5 7 2 12345678П1234 73 1234 ООышиЁоныые дроби 21 2. В виде какого смешанного числа можно записать дробь — ? 5 а)2^; 6)5-; в) 5^; г) 4^. ^5 ^2 4 ^5 1 15 3 3. Какое из чисел 1, 2—, 5—, —, — наименьшее? 5 2 7 2 а) 1; 6)2^; 5 в) у: "'1= д)б|. 4. Какой знак надо по<;тавить вместо звездочки в записи 1,25*-? 2 а) «>►>; б) «=»; в) «<»; г)«>». 30 5. Какой вид будет иметь дробь — после сокращения? 6. Решите уравнение jc+—= 1. а) 1; >21 г) —• г) 4. >91234 7. Вычислите сумму —i—. 2 7 1 3 21 1 а) 2-; 6)2—; в)—; г) 2-. 5 14 5 2 X 8. При каких значениях дг равенство — = 3 верно? 6 а) 30; 6)15; в) 18; г) 24. 9. Найдите наименьший общий знаменатель дробей 7 5 — и —. 36 24 а)3; 6)6; в) 9; г) 72. Типовые задачи 2 7 6 3 1°. Выполните действие: а)--1- —; б)------. 11 11 13 13 2°. Сократите дробь: а) —; б) —; в) 45 20 130 74 1234567891234 § 12. Умножение дробей 3°. Сравните дроби: а) —и—; 7 7 3 3 2 б)—и—; в)—и—. 4 8 7 5 4*. Запишите в виде обьвкновенной дроби число: а) 0,4; б) 2,5. г> ч 3 5 _ 8 5 ,11,7 5 . Вычислите: а) —+—; б)-; в) — +1—. 8 24 9 6 12 15 3 1^ 6*. Решите уравнение: ~ ^ л:--1-0,3 = 2-. [7] 5 3 1 7*. Масса пусгой банки равна — кг, а заполненной медом - 6—кг. 4 2 Сколько килограммов меда в банке? 5 8**. Даша в первый день прочитала — книги, а во второй - 9 на — меньше. Какую часть книги она прочитала во вторюП 1 день? Успела ли он^ й'д1ва~^ня прочесть всю книг у? / / I --г f , ,• 7-7-т-т ■ h-hi -Xi-L / 7-7-ГТ - ГХ Умножение дробей Существует много задач, для решения которых надо уметь умножать обыкновенные дроби. Например, если 7 3 стороны прямоугольника равны дм и — дм (рис. 27), то, чтобы найти его площадь, нужно умножить эти дроби. Это нетрудно сделать, есухи вспомнить, как умножают десятичные дроби: 7 Q Q1 = 0,7-0,3 = 0,21 = —. 10 10 100 Обратите внимание: произведение числителей 7 • 3 = 21, а произведение знаменателей 10 ■ 10 = 100. Произведением данных дробей является дробь, числитель которой равен произведению их числителей, а знаменатель - произведению знаменателей. Любые другие обыкновенные дроби умножают подобным образом. Рис. 27 1234567891234 75 123^ Раздел Обыкновенные оби Произведете двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей. а с а-с Ь d bd □ Подобным образом умножают три и больше дробей: а с т _а - с ■ т Ь d п b’d-n Примечание. Множители чисшителя и знаменателя желательно сократить еще до их умножения. Например, 3 5 7 3^-5-Х _ 5 Т' б‘ 22' Чтобы перемножить обыкновенные дроби, натуральные числа, десятичные дроби или смешанные числа, их надо преобразовать в обыкновенные дроби. Например, s з’^2~з’2“ ’ 7* 7 2 14* Для любых дробных чисел, как и для натуральных, всегда выполняются переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения. То есть, какие не были бы числа а, Ь, с, всегда а • h = h • а, а • (ft - с) = (а • ft) • с, (а + Ь) - с = а • с \ h • с. Надо также помнить, что какой бы не была обыкно- венная дробь —, всегда п —-0 = 0. п п п Э1234 Узнайте больше Рассмотрите два произведения: а) 15- —= 20, здесь 20 > 15; 3 76 1234567891234 б) 15 • — = 3, здесь 3 < 15. 5 § 12. Умножение дробей Верным является и общее утверждение. Пусть а - про- ^ извольное число больше 0. При умножении числа а на ' неправильную дробь получаем произведение больше а, а при умножении на правильную дробь - произведение меньше а. Произведение нескольких правильных дробей меньше каждой из этих дробей. ш Проверьте себя 1. Чему равно произведение нескольких дробей? 2. Как перемножить дробь и натуральное число? 3. Как умножить смешанные числа? 4. Справедливы ли законы умножения для дробных чисел? Сформулируйте их. 5. При каком условии произведение двух дробей меньше каждой из них? А при каком - больше каждой из них? Ф Выполняем вместе (I) Вычислите произведение чисел: 6 25 , 8 7 а) — и—; 21 16 б) —,2-и1-. 25 2 3 • а)----------- 1 21 16 6 ''/2 = 1. 6 12 6 00 б) — *2—• 1— = — • — • — = 25 2 3 25 2 3 25-2-3 3 |)Умножьте 2—на2. 7 п - к Q 17 _ 34 .6 Первым способ. 2—-2 = 2 = — = 4—. ^ 7 7 7 7 Второй способ ■2|-2=(2.|) D Найдите квадрат и куб числа 1—. ^ 4 J 4 j 4 4 16 16 ■2 = 4.«=4в. 7 7 1234567891234 77 12345 Раздел Обьжновенные дроби (i^1=LL1=^=5^ ( 4 j 4 4 4 64 64* С Устные упражнения 395. Вычислите: ,111] 11 ^, 1325 41 а)--,---,---; б)---,---,----; 2 5 2 3 2 7 2 5 3 7 3 5 ,223331 ,7. 9 ,_3_ 3 5 5 7 4 2 8 5 7 396. Вычислите, применив распределительный закон умножения: б) (|.з}5, (2Л).4, в) 1-.5, 2--8, 6 li. 5 8 6 7- (■•I) \ + -5 10; 397. Всегда ли при умножении числа на правильную дробь число уменьшается? Приведите примеры. 398. Всегда ли при умножении числа на неправильную дробь число увеличивается? Приведите примеры. О Уровень А Вычислите произведения (399 — 402). 4234 QOO 10 399. а)-----; 5 12 ^ 9 10’ 400. а)1^.^; 25 9 ,14 45 г)------; 15 49 5 11 78 1234567891234 йч 3 4 б)---; 8 5 ч8 3 "'54= 6)12.21; 35 9 . 9 21 "’П-29= б) 1--; 3 8 Д)2|-2: В) 2.2; 8 7 е)2.А. 6 10 , 25 27 в)-----; 36 50 , 45 13 е)-----. 52 15 4il 2 е)3-—. 3 10 § 12. Умножение дробей Ф 9' Вычислите значения выражений (403—408). 402. а) 1^ -1^; 6)2^1^; в)з| 2 3 3 2 3 1 1 . .,1 ^2 4 г)12--1-; 2 5 Д)3--2-; 403. а) — +-- Чо------- 7 27 9 35 ,259 ^ 3^2710’ 4(H.a)^-^.i^; 6 13 18 ,5 8 7 в)--------; 12 21 16 405. а) 1 + -1-; 5 6 406. а) 5-4-—; 3 13 „5 5 16 б) — +------; 14 8 35 3 14 2 г)---------. 7 15 7 ^ 3 8 51 4 17 64 5 ^ 4 ^ '^^ 8 * 35 7 16’ 407. а) .13 1 2—-2— 50 20 б) 2 + --16; 8 7 1 б)2---1-; 8 7 ,1 в) 1 + 2--6. 3 в) 1----1—. 22 6 б) 408. a)(ll--0,5 )•—; ( 3 J 13 (5 j 22 б)|^20,6-8| 1-8. а). 409. Значение какого выражения больше: 8 15 ,3 3 9 6 5. 9 16 7 5 14 11 7 410. Вспомните, что такое квадрат числа (а^ = а Возведите в квадрат числа: 1. 1. 1. 2. Ё. £. il 2’ 3’ 4’ З’ 4’ 5’ 7’ 10’ ^2’ З' 411. Вспомните, что такое куб числа (а^ = а • а • а). Возведите в куб числа: 1 1^ 2 3^ 1. 3 1 I « 9 9 9 9 9^9^* 2 3 3 2 4 4 2 3 Вычислите значения выражений (412 — 413). 412. а, - '2'' 2 r5t f it > 1 б) .7, 1234567891234 79 1234f Раядвл Обыкновенные дроби 413. а) (ip б) в) 1з г) (■iP 3 8 414. Что больше: сумма чисел — и— или их произведение? 415. На сколько произведение чисел 3— и — больше или 5 8 меньше их разности? 416. Найдите длину ломаной, если длина каждого из ее 2 двенадцати звеньев равна — дм. 3 417. Найдите периметр шестиугольника, каждая сггорона ко-торого равна 2— см. 7 418. Найдите площадь квадрата, сторона которого равна — см. 9 419. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны: 5 3 13 1 а) — м и — м; б) 3— дм и 2— дм; в) 1— м и 0,7 м. 6 4 2 4 7 & Уровень Б Выполните действия (420 — 424). ..^,378 «, 256 368 420. а)----; б)-----; в)------. 4 12 21 3 8 25 4119 421. а) 1—-18---; " “ ^ ^ 11 3 5 6)2—• 11 20 25 . 4 ^ 7 26 13 18 15 422. а)|1--- + 25,7 1 4 7 ..ОО чЗ 14 „.,8 15. 423. а) — • — + 0,3• — • —, 7 15 9 16 89 г) 3--12---. 2 5 7 ( рртр; б) 3----l,4l-25. [45 J 26 8 Ы 21 15 16 13 121 21-8 39 ;123‘ 26 17+2 424. a)4-.fl--- —. —\ 6)2,5- 3 ( 6 25 28 I 425. На сколько площадь квадрата со стороной а больше площади квадрата со стороной ft, если а = 3— м, ft = 2— м? 2 2 80 1234567891234 .' § 12. Умножение дробей 426. Найдите объем куба, ребро которого равно: а) — м; б) 1— см; в) 2— дм. 2 3 3 427. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны: И 2 3 .,,3 -1 _1 а) — м, — м и — м; б) 1— см, 2— см и 3— см. 2 3 5 5 2 3 428. На сколько объем куба с ребрюм а больше объема ку- ба с ребром Ь, если а = — м, Ь = — м? 2 3 1 2 429. Из прямоугольного листа жеш’и размером 2 — м на — м вы- 4 3 „ 1 резали три одинаковых квадрата со стороной — м (рис. 28). 3 Чему равна плохцадь оставшейся части листа? Рис. 28 Рис. 29 1 4 430. Из прямоугольного листа картона размером 1— м на — м 2 5 при каждом его угле вырезали равные квадраты со сто- „ 1 роной — м (рис. 29). Чему равна площадь оставшейся 5 части листа? 431. Найдите объем фигуры (рис. 30), сложенной из одина- 2 ковых кубиков. Ребро кубика равно — дм. 3 1234567Я.91234 81 12345f Раздел Обыкновенные дроби Выполните действия (432—434). 433. a)|^l,6-|j -0.75-|; •21; 8 б)^ + Д^ = 5-| 1 2-"^ г) л:-0,12- — 5 891234 435. Упростите выражение: а)—-0,9л:; б)—-1—а; в)—-0,25/i; г)1—-0,75x. 3 75 5 3 41^. Вычислите значение выражения: 2 5 2 3 а)—•2,5д:, еслид: = 2—; б)2-3,5- —а, если« = 1—; 5 7 7 8 2 в)1—-О.бл:^, если jc = 0,2. 3 437. Решите уравнение: а) 4 —+ л: = 4 в) 0,125 -4 Упражнения для повто]. 438. Округлите десятичные дроби: 2,785; 14,007; 0,9876; 135,609: а) до единиц; б) до десятых; в) до сотых. 439. Найдите расстояние между городами Ап В, если на карте расстояние между ними равно 12 см, а масштаб карты 1 : 500 000. 440. Найдите три наименьшие натуральные значения х, которые удовлетворяют неравенству х> 13,9. 441. Найдите все натуральные числа, которые удовлетворяют двум неравенствам одновременно: х < 54,2 и л: > 49,8. 442. Решите уравнение: а) 12,5д; + 4,7 = 7,2; б)8-0,8д: = 3. 443*. За 10 яблок, 5 груш и 3 лимона уплатили 11 грн., за 10 яблок, 3 груши и 1 лимон — 7,8 грн., за 2 груши и 1 лимон — 2,2 грн. Сколько стоят отдельно яблоко, груша и лимон? 82 1234567891234 is- § 13. Деление дробей Деление дробей Делить десятичные дроби вы уже умеете. Знаете, напри- 35 5 7 мер, что 0,35 : 0,5 = 0,7, то есть-: —=—. 100 10 10 ^ 35 10 7 Сравните это равенство с таким:-----=—. 100 5 10 Как видим, разделить ли число на — или умножить 10 его на —, результаты получаем одинаковые. Оказывайся, 5 ччх) подобное свойство сохраняется и при делении любого т числа на любую дробь —. Всегда п т п а: — = а—. п т т Ведь разделить число а на--это значит найти такое чис- п т ло, которое при умножении на — дает а. А равенство п ( п\ т \а— — = а верно. \ т ) п Дроби — и — называются взаимно обратными. Вообще, п т два числа взаимно обратные, если их произведение равно 1. и « 1 „ 12 13 Взаимно обратными, наприм^, являются числа — и 3, — и —^. 3 13 12 Из сказанного вытекает такое правило. Чтобы разделить число на дробь, надо умножить его на число, обратное делителю. т п а: — = а — п т 1234567891234 83 123456 рбыкновенные дроби Примеры. 'I 2 ^1-'^ ' 1 ,8 _ 8 1 8 9 9 3 27 На О делить нельзя! _ . 2 .5 20 б) 4: — = 4 • — = — = 10; 5 2 2 2 2 2 2 ;^-3 3 Узнайте больше Деление можно обозначать двоеточием или чертой дроби, 2 Например, частное 2 : 3 и дробь — обозначают одно и то же 3 число. Так же выражение 3, 3,5 можна записать в виде 2--1 2 Это — пример дробного выражения. Его можно считать и дробью, но не обыкновенной. Числитель и знаменатель обыкновенной дроби - числа натуральные. А в рассматриваемой дроби числитель 3,5 и знаменатель 2——1 — числа 2 не натуральные. Другие примеры дробных выражений: 3 1_ 1 42.. 3 2,6-2 3 1 + — 4 4 4 1 1 ^1 + - 2-1- Г891234 Для вычисления значения таких дробных выражений упрощают их числители и знаменатели, заменяют черту дроби двоеточием и используют другие свойства обыкновенных дробей. Например, ,,3 2 ^3 2 38 4 34 6 а) 5—----= 5----=----= — = 4—; 7 5,5-2 7 3,5 7 7 7 7 4.Ч4 1 414,7,3,3 б) 1н-^ — 1-ь —— 1-fl: — — In— — 1—. ' 7 3 7 7 2+- 3 84 1234567891234 § 13. Деление дробей 1^. Проверьте себя 1. Какие числа называют взаимно обратными? 2. Сформулируйте правило деления числа на дробь. 3. Можно ли число О делить на дробь? 4. Можно ли какую-либо дробь делить на О? Ф Выполняем вместе (Т) Вычислите значение выражения 2^:5-^. • Заменим смешанные числа неправильными дробями: 4 9' 2i-5- = -- —-- A-AlI, '^3‘^4“3' 4 “з’21“з 'Н /8 @ Площадь прямоугольника равна 2 м^, а одна из его сторон - 1^ м. Найдите длину второй стороны. • 2:l- = 2:- = 2- = ®=ii(M). 3 3 5 5 5 О Устные упражнения 444. Докажите, что взаимно обратными являются числа: ,5 6 а)-и-; 6 5 «ч 7 12 б) -и—; 12 7 в) — и 5; 5 г)0,7и1-. 7 445. Являются ли взаимно обратными числа: ,45 «ЛО 3 ч 3 « 4i2 Ло а)—и—; б)—и—; в)—и6; г)1—и1—? 5 4 6 18 2 7 23 1 446. Назовите число, обратное числу: —; —; —; —; 7. 3 5 18 13 Выполните действия (447 — 449). 22 77 1„^ 8 447. а) — :—, —, —:0,5; б) —:1, — 3 3 4 4 2 4 7 41 2 . 8 . 7 в)1:-, 1:—, 1:—; 7 9 10 2 5’ Раздел Обыкновенные дроби 15 4 448. а)-:2, -:3, -:5; 3 6 3 , 14 ^ 40 „ 18 „ в) —: 7, —: 8, —: 9; 15 13 19 449. а) 4 2 6 3 4 1 55’ 7*7’ 99’ 1 1_ 1 3.3 Х51а« •• • ш 7 5 13 8 7 4 «.6 „ 8 . 5 _ б) —: 3, —: 4, —: 5; 7 9 8 , Л 4 ,2 7 8 _2 г)1—, 1—:—, —:2—. 3 3 5 5 3 3 ^, 6 3 12 4 16 8 б)—:—, —:—; 11 11 13 13 17 17 г)-:0,4, -:0,6, 1,5:-. ц Уровень А Выполните действия (450 — 454). 6 9 450. а) —:—; 13 26 451. а) 56:-; 9 12 2 452. а) ; 13 39 453. а) 4-:37; 8 454. а) — :1—; 65 13 Вычислите значения выражений (455 — 456). , 16 8 3 24 12 4 17 51 4 ' 44 22 , 15 25 в) —: —; 16 64 , 76 38 ^ 77’99' 2Q 6)87:—; 30 в) 56:—; 11 г) 39:—. 35 б) —:—; 8 40 , 24 8 в) —: —; 25 35 , 16 24 г) —:—. 21 35 6)lA:e; в) 5—: 30; 11 г) 3—:49. 16 б)-: 2-; 9 3 B)2-:li; 2 4 4 2 г) 9-:4-. 5 3 б)—:-=—. 25 15 5 456.a,[2|-i]:2i; б,(з|-|]:Л Решите уравнения (457 — 460). 457. а) 8 19' 41 2 '891234 86 1234567891234 3 "38’ ЙЧ 8 2 б) X-—. 27 81 9 б)-х = 3~. 9 3 7 б) —:х =—. 11 33 3 11 б)8-:д: = — 6 54 I § 13. Деление дробей 462. Верно ли, что число увеличится, если разделить его на правильную дробь? Приведите примеры. 463. Значение какого выражения больше: ,31 31 ^. 63 63 а)—:—или----; б)—:—или-----: 5 2 5 2 " 7 2 7 2 38 _ 24 в) 19:— или 16:—; 45 31 12 г) 2—: 1,3 или 3,2:1—? 5 5 464. Разделите — м на 2, 3, 4, 5 и 6 равных частей. 13 5 465. Разделите 1— ч на 2, 3, 4, 5 и 6 равных частей. 466. Проволоку, длина которой равна 14^ м, разрезали на 2 3 равные части. Найдите длину одной части. 467. Торт, масса которого равна 0,8 кг, разрезали на 6 равных частей. Найдите массу одной части торта. 468. Найдите длину стороны квадрата, периметр которого 6 равен м. 11 Уровень Б Выполните действия (469 — 471). 469. а)3--:2; 8 470. а) — :5+—:2; 12 6 ,„2 4 Л7 7 471. а) 2—:—+1—; 3 9 18 9 3 1 4 7 2 б) —:4-—:2. 13 13 ^ 2 14 „8 4 3 15 21 7 1234567891234 87 1234567 Яаадвл Обыкновенные дроби 472. Найдите число, обратное: ч 2 1 а) сумме чисел g разности; в) их произведению; г) их частному. 5 3 473. Найдите частное от деления суммы чисел —и— на их 12 8 разность. 1 7 474. Найдите частное от деления произведения чисел — и— 7 о на их сумму. 475. Вычислите значение выражения: 5 а) 2х - 0,4, если х =—; 6 «4^1 3 б) —а+—, если « =—; 5 3 2 в) х^ + 0,3, если JC =—; 2 2 г) 2с - с, еслис =—. 3 476. Выполните действия: a)li-—:5+4,5:-; 6 18 2 б)1:1,2+|- „чГ Л 9 2 а) 1,75-1-+- : —+-; [ 8 2 ) 16 3 г)[2|.2.5' :fl,35-— \ 15 477. Решите уравнение: а) —jc = l—-0,5; 4 4 ЙЧ 2 1 б) JC: — = — • 14 3 2i- 3’ чЗ q3/-wc в) —:лс = 3—: 0,5-6-; 7 4 2 r)f-x-l-U 4 :- = 9. 3 478. Вычислите значение выражения: а) f ■(!) •“ б) l3j : —+0,6; 6 в) 0,5: — 3 ^2Y .3, --:0,25. 151 4 789123* 479. Найдите длину стороны квадрата, если она меньше Л периметра этого квадрата на 1— м. 5 480. Периметр шестиугольника, все стороны которого равны, равен 4— м. Найдите длину его стороны. 2 88 1234567891234 § 13. Деление дробей 8 2 481. Площадь прямоугольника равна — дм , а одна из его 15 сторон — — дм. Найдите длину другой стороны, 3 482. Периметр прямоугольника равен 10 м. Найдите длины 1 его сторон, если одна з них на — м длиннее другой. 3 483. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 1 дм"*, 7 4 а длины его двух ребер - — дм и — дм. Найдите длину 8 5 третьего ребра. 484. Заполните пустые клеточки квадрата (рис. 31) так, чтобы произведения чисел каждого ряда, каждого столбика и диагоналей равнялись друг другу. 1 8 1 2 1 а Рис. 31 б 485. Задача-шутка. Если в 23— ч идет дождь, то можно 2 ли надеяться, что через 23— ч будет солнечная погода? 2 Упражнения дтшлО! 486. Поезд движется со скоростью 65 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 3,4 ч? За какое время он пройдет 195 км? 487. Автомобиль за 2,5 ч проходит 175 км. За какое время он пройдет 315 км? 488. Найдите стороны треугольника, если одна из них длиннее другой на 4 м, короче третьей на 4 м и на 36 м короче периметра. 1234567891234 89 12345 Раздел Обыкновенные дроби 489. Найдите углы треугольника, если один из них больше другого на 10° и меньше третьего на 40°. 490. На сколько длина прямоугольника больше его ширины, если ширина равна 45 см, а его площадь - 27 дм^? 491*. Сколько лет Максиму, если 3 года назад он был старше сестры в 7 раз, а в прошлом году - только в 3 раза? 492*. В классе - 30 учеников. Из них 18 тренируются в секции легкой атлетики, 10 - в секции плавания, 3 - в обеих секциях. Сколько учеников класса не посещают ни одной из этих секций? Задачи на умножение и деление дробей Умножением на дробь чаще всего решают задачи на нахождение части числа (дроби от числа или процентов от числа). Обратные им задачи (нахождение числа по известной его части или по процентам) решают делением. Все эти виды задач рассматривались в 5-м классе для десятичных дробей. Также можно решать задачи и с обыкновенными дробями. 2 Задача. В книге 200 страниц. Ученик прочитал — 5 книги. Сколько страниц прочитал ученик? 2 Решение. 200- —= 80. 5 Ответ. Ученик прочитал 80 страниц. В этой задаче 200 — данное число, 80 - его часть, которая соответствует дроби —. 5 S1234 Обратная задача. Ученик прочитал 80 страниц, что составляет ^ всей книги. Сколько всего страниц в книге? 90 1234567891234 § 14. Задачи на умножение и деление дробей Решение. Пусть в книге х страниц. Тогда л:- —= 80, л: = 80:—, д: = 200. 5 5 Ответ. В книге 200 страниц. Число по известной дроби находят делением. т т Бели — от X равно с, то х = с:—. п п Рассмотренные задачи наиболее простые. Их можно решать одним действием. Несколько сложней, например, такая задача. 2 Задача. В книге 200 страниц. Ученик прочитал — книги. 5 Сколько страниц еще осталось ему прочитать? Решение. Рассмотрим два способа. Первый способ. 1) Сколько страниц ученик прочитал? 200 -= 80. 5 2) Сколько страниц осталось прочитать? 200-80=120. Второй способ. 1) Какую часть книги осталось прочитать? 1-2Л. 5 5 2) Сколько страниц осталось прочитать? 200-- = 120. 5 Ответ. Осталось прочитать 120 страниц. Узнайте больше Подобные рассмотренным вьппе задачам и задачи на проценты. Решая их, проценты надо заменить дробями. Задача. Площадь поля равна 300 га. В первый день комбайнеры убрали 28 % этой площади. Сколько гектаров им осталось убрать? л234567891234 91 1'345 Раздел Обыкновенные дроби Решение. Рассмотрим два способа. Первый способ. 28 300----= 84 (га), 300-84 = 216 (га). 100 Второй способ. 72 100 % - 28 % = 72 %, 300---------= 216 (га). 100 Ответ. 216 га. Ей ■ц^ Проверьте себя 1. Как найти половину числа? А трютью часть числа? 2. Как найти дробь от числа? 3. Как найти число, если известна его половина? 4. Как найти число по известному значению его дроби? Ф Выполняем вместе 91234 (D Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Они двигались со скоростями 60 км/ч и 75 км/ч и встретились через 1— ч. Найдите 3 расстояние между городами. • Первый способ. За 1— ч один автомобиль проедет 3 60-1—= 80 (км), а другой - 75’1 —= 100 (км), 3 3 80 км -Ь 100 км = 180 км. Второй способ. За 1 ч автомобили сближались на 60 км + 75 км = 135 км. 135-1—= 180 (км). 3 Ответ. 180 км. (2) Один трактор может вспахать поле за 20 ч, другой — за 30 ч. За сколько часов они могут вспахать поле, работая вместе? • Первый трактор за 1 ч может вспахать ^ часть поля, 92 1234567891234 § 14. Задачи на умножение и деление дробей „ 1 115 1 другой - ■— часть поля, а вместе -—I-= — = — часть. 30 20 30 60 12 Все поле они могут вспахать вместе за 12 ч, поскольку 1: —= 12(4). 12 Задачи такого типа называют задачами на совместную работу. На линию вышло 35 автобусов, что составляет 70 % всех автобусов автопарка. Сколько в автопарке автобусов? • 70 % = 0,7. Если всего автобусов х, то 0,7л: = 35, л: = 35 : 0,7 = 50. Ответ. 50 автобусов. С Устные упражнения ^ 1113 3 4 493. Сколько копеек составляют —гривны/ 2 4 5 4 5 5 494. Сколько килограммов составляют — то1шы? 2 4 5 4 5 5 ^ 1113 3 4 495. Сколько метров составляют кило- 2 4 5 4 5 5 метра? 496. Сколько минут составляет часа? 2 3 4 5 Уровень А 1497, Найдите: 3 3 а) — от 350 кг; б) — от 15 м; 7 5 в) — от 24 ч. 12 498. В селе 120 домов, — из них — кирпичные. Сколько 3 кирпичных домов в селе? 3 •499, Дети собрали 130 грибов, из них — - белые. Сколь- 13 ко белых грибов собрали дети? 1234567891234 93 123451 Раздел Обыкновенные дроби 500. В школьной библиотеке всего 2500 книг, — из них — 5 учебники. Сколько учебников в школьной библиотеке? 501. Чебурашка подарил крокодилу Гене 18 порций мо- 2 роженого, — из них - эскимо. Сколько эскимо подарил о Чебурашка? 2 502. Учащиеся высадили возле школы 140 кустов, из них- 7 кусты розы. Сколько кустов розы высадили учащиеся? 503. Периметр треугольника равен 240 см. Найдите его 5 основание, если оно составляет — периметра треугольшпса. (504.)У детей было 30 грн., — этих денег они истратили на 5 конфеты. Сколько денег осталось? 3 505. Рабочий должен изготовить 200 деталей, а изготовил — 4 запланированного количества. Сколько деталей ему осталось сделать? 2 506. От стометрового мотка проволоки отрезали — его. Сколько метров проволоки осталось в мотке? 507. Автомобиль за 1 ч проходит 72 км. Сколько километ- 1 5 ров он проходит за — ч; за — ч; за 1 мин; за 15 мин? 3 6 508. Площадь одного поля равна 27 га, а другого - в 2— раза 3 больше. Найдите площадь другого поля. 509. Вычислите высоту горы Ай-Петри, если она составляет 3 — высоты Говерлы, а высота Говерлы — 2060 м. 3 510. Цена одной книги равна — цены другой. Сколько 2 стоят эти книги вместе, если книга с меньшей ценой стоит 3,2 грн.? 94 1234567891234 § 14. Задачи на умножение и деление дробей 511. Одна бригада может заасфальтировать дорогу за 6 недель, другая — за 3 недели. За сколько недель заасфальтируют эту дорогу обе бригады, работая вместе? 512. Мастер может выполнить определенную работу за полчаса, а ученик — за 70 мин. За какое время они смогут выполнить ее, работая вместе? q_ 3 513. Сколько градусов составляют — 5 прямого угла (рис. 32)? 5 514. Насколько градусов — развернутого 9 угла больше чем ^ прямого угла? 515. — части сплава — медь. Сколько 5 меди в 35 кг такого сплава? 3 516. — массы раствора - соль. Сколько соли содержится 25 в 5 кг такого раствора? 517. Телевизор стоит 1080 грн., а видеомагнито^юн-- 4 стоимости телевизора. Во сколько раз видеомагнито<}юн дешевле телевизора? 2 518. Компьютер стоит 3000 грн., принтер-его стоимости, 15 4 а сканер - — стоимости принтера. Сколько стоят все эти 5 предметы вместе? 519. На сколько треть числа 120 меньше его половины? & Уровень Б 3 2 3 520. На сколько — числа — больше числа —? 5 3 20 3 2 3 521. На сколько — числа — больше, чем — его? 5 3 20 522. Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста со скоростями 12 км/ч и 14 км/ч. 1 3 Какое расстояние между ними будет через — ч? А через 1 — ч? 4 4 23456781'123! 95 123451 Раздел Обыкновенные дроби 523. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 56 км/ч. Расстояние между ними — 85 км. Какое будет расстояние между поездами через — ч? 4 л 3 „ А через — ч? 8 524. Мотоциклист догоняет велосипедиста. Они движутся со скоростями 36 км/ч и 14 км/ч. Расстояние между ними 25 км. Какое будет расстояние между ними через 10 , — ч^ 11 525. Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч, а скорость 2 течения реки — 1— км/ч. Сколько километров пройдет катер 3 против течения за полтора часа? 3 1 526. Катер шел — ч по течению и 1— ч против течения реки. 5 2 Какое расстояние прошел катер за все это время, если его скорость в стоячей воде равна 24 км/ч, а скорость течения - 2— км/ч? 2 527. Найдите число: 2 а) — которого составляют 35 % числа 60; 3 3 б) — которого составляют 12 % числа 0,5. 5 528. Одна сеялка может засеять поле за 26 ч, другая — за 39, третья — за 52 ч. За сколько часов засеют это поле три сеялки, работая вместе? 529. Две бригады, работая вместе, выполняют определенное задание за 20 рабочих дней, первая бригада - за 36 рабочих дней. За какое время это задание смогла бы выполнить вторая бригада? 530. Периметр прямоугольника равен 1— м. Найдите 891234 длину его основания, если оно в два раза длиннее высоты прямоугольника. 531. На сколько 6— %числа 3000 больше 2— %этого числа? 2 6 96 1234567891234 § 14. Задачи на умножение я деление дробей | 532. У ученика было 6 грн. 20—% денег он уплатил за 3 обед. Сколько денег осталось у ученика? 2 533. Морская вода содержит 3—% соли. Сколько соли 5 растворено в 10 кг морской воды? 534. Сторона квадрата равна 5 дм. Как изменится его площадь, если каждую его сторону увеличить на — %? 5 535. Товар стоит 350 грн. Сколько он будет стоить после того, как его цена: а) увеличится на 3— %; б) уменьшится на 5—%? 2 5 536. Ширина прямоугольника равна 36 см, что составляет — его длины. Найдите площадь прямоугольника. 537. Длина прямоугольника равна 49 см, что составляет 7 — его ширины. Найдите периметр прямоугольника. 5 538. В первый день комбайнер скосил 24 га пшеницы, что составляет ^ часть пшеничного поля (рис. 33). Сколько на этом поле осталось еще нескошенной пшеницы? 539. Магазин продал 870 кг картофеля, что составляет 60 % всего завезенного карто^юля. Сколько непроданного картофеля осталось в магазине? у него осталось 2,1 грн. Сколько денег было у ученика сначала? 541. Проехав — расстояния от пункта А до В, водитель под-5 считал, что ехать ему до В осталось на 52 км больше, чем он уже проехал. Найдите расстояние между пунктами Aw В. 542. Один повар может слепить 100 вареников за 40 мин, а второй - за 1 ч. За какое время могут слепить 100 вареников оба повара, работая вместе? 4 г. П. Бевз '’Математика', 6 кл. 1234567891234 97 1234561 Раздел Обыкновевные дроби 543. Одна труба может заполнить резервуар водой за 2 ч, а другая - за 3 ч (рис. 34). За сколько часов наполнится резервуар, если открыть обе трубы? 544. После того как тракторист вспахал 12 % всего поля, не вспаханными остались 110 га. Найдите площадь всего поля. 545. При варке мясо теряет примерно 36 % своей массы. Сколько надо взять сырюго мяса, чтобы получить 1 кг вареного? 546. При сушке сливы теряют 88 % своей массы. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 30 кг сушеных? 547. Сберегательный банк выплачивает своим вкладчикам 12 % годовых. Сколько денег надо положить в банк, чтобы через год получить 162 грн. прибыли? 548. Автобусы составляют 30 % всех машин автопарка, грузовые машины — 40 % остатка. Остальные 42 машины -легковые. Сколько всего машин в автопарке? 549. Один тракторист вспахал 40 % поля, второй — 35 % поля, третий - остальные 90 га. Найдите площадь всего поля. 550. После того как цену телевизора снизили на 15 %, он стал стоить 850 грн. Сколько стоил этот телевизор до снижения цены? 551. Сначала товар стоил 180 грн. Через некоторое время его цену повысили на 20%, а потом снизили на 10%. Какой стала цена товара после этих двух переоценок? 552. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, во второй - 25 % оставшейся части и еще остальные 6 га. Найдите площадь луга. Воспользуйтесь рисунком 35 и решите задачу устно. за 2 ч за 3 ч — — 2 га 6 га 1 ! 25 % 1 1 Рис. 35 3789123'? Рис. 34 553. Один комбайнер скосил 30% пшеничного поля, второй - 40% остатка, а третий - на 28 га больше, чем второй. Найдите площадь всего поля. 98 1234567891234 § 15. Преобразование обыкновенных дробей ж десятичные Упражнения для повтО} 554. Сравните числа: а) 0,3и 3 , 2 3 в) — и—. 3 4 .2 1 в)-----. 3 4 б) 0,35и-; 5 555. Вычислите: а)-+-; б)-+0,35; 5 3 3 556. Решите уравнение: a)2,4x +1,8 = 7,8; б) 35,7 - 4л: = 0,1. о ..^1347 ээ7. Запишите в виде десятичной дроби: —; —; —; —. 2 4 5 20 558. На сколько сумма чисел 3,89 и 2,98 больше их разности? 559. На сколько сумма чисел 0,2 и 0,3 больше суммы их квадратов? 560. На сколько квадрат суммы чисел 1,5 и 0,6 больше суммы их квадратов? 561. Во сколько раз площадь квадрата со стороной 1,5 см меньше площади квадрата со стороной 15 см? Преобразование обыкновенных дробей в десятичные Как преобразовывать десятичные дроби в обыкновенные, вы уже знаете. А преобразовывать обыкновенные а дроби в десятичные? Из того что дробь---это частное Ь а : Ь, вытекает такое правило преобразования обыкновенной дроби в десятичную. Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, достаточно ее числитель разделить на знаменатель. Преобразуем, например, в десятичную дробь —. Разде- 25 лив 7 на 25, получим 0,28. Следовательно, — = 0,28. 25 1234567891234 99 4* 12345671 Обыкновенные дроби Можно поступить иначе: умножить числитель и знаменатель данной дроби на такое число, чтобы знаменатель стал числом, записанным единицей с нулями. Например, 3 - 3-5 _ 15 20 20-5 100 ’ Не каждую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную. Попытаемся, например, преобразовать в 2 десятичную дробь — Делить 2 на 3 можно бесконечно, 3 поскольку остаток 2 периодически повторяется. В результате получим бесконечную периодическую десятичную 2 дробь - = 0,666... (рис. 36). 3 —— 0,666666666... I789I234 Рис. 36 Бесконечную периодическую десятичную дробь 0,666... короче записывают так: 0,(6). Читают: «0 целых 6 в периоде». А бесконечную периодическую десятичную дробь 1,2333... записывают 1,2(3) и читают «1 целая 2 десятых и 3 в периоде*. Цифру или группу цифр, которые повторяются, называют периодом периодической десятичной дроби. Выполнять действия над бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому их округляют, отбрасьшая «хвосты* цифр. Подробней об этом — в следующем парагра(})е. Как узнать, превращается ли данная обыкновенная дробь в десятичную или в бесконечную десятичную дробь? Если дробь сократима, то ее надо сначала сократить. ЕЗсли разложение знаменателя несократимой дроби содержит только простые множители 2 и 5, то такая обыкновенная дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Потому что члены этой дроби можно умножить на такое число, что знаменателем станет число, записанное единицей с нулями. Например, " " « =0,06. 50 2*5^ 2"-5" 100 1(Ю 1234567891234 § 15. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные Если в разложении на простые множители знаменателя несократимой дроби есть простые множители, отличные от 2 и 5, то такая дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь. Узнайте больше Бесконечные периодические десятичные дроби бывают двух видов: чистые и смешанные. Чистые - это те, у которых период начинается сразу же после запятой, например 0,333... или 21,424242... . Дробная часть чистой бесконечной периодической десятичной дроби равна обыкновенной дроби, в которой числитель равен периоду, а знаменатель - числу, записанному столькими девятками, сколько цифр в периоде. Например, 0,3333... 21,45454545... = 21 —= 21—. 93 99 11 Более подробно бесконечные периодические десятичные дроби изучаются в старших классах. Проверьте себя 1. Как преобразовать десятичную дробь в обыкновенную? 2. Как преобразовать обыкновенную дробь в десятичную? 3. Каждую ли обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь? 4. Какие обыкновенные дроби преобразуются в конечные десятичные дроби? 5. Каждая ли обыкновенная дробь преобразуется в конечную десятичную или в бесконечную периодическую десятичную дробь? 6. Что такое период бесконечной периодической десятичной дроби? ф Выполняем вместе (I) Преобразуйте в десятичную дробь 13 50 • Первый способ. 13 : 50 = 0,26. 1234567891234 101 1234567 Раз1Двл 9 Обыкновенные дроби о . ^ 13 13-2 26 Второй способ. — =-------=---- 50 50-2 100 = 0,26. @ Запишите в виде десятичной дроби число 3— 40 • Первый способ. Поделим 7 на 40. 7 : 40 = 0,175. Поэтому 3—^ = 3,175. 40 Второй способ. Поэтому 3— = 3,175. 40 7-25 175 40 2-^-5 8-5-25 1000 = 0,175. С Устные упражнения 562. Прочитайте числа: 0,7; 2,(3); 0,(21); 4,2(6); 3,45(61). ^ ^„23157 26 3 563. Какие из обыкновенных дробей —, — 5 4 9 6 8 25 16 преобразуются в конечные десятичные дроби, а какие - в бесконечные периодические? 564. Какие из смешанных чисел 3—, 2—, 12—, 4-^-, 2—, 1-^ 2 5 4 3 6 7 преобразуются в конечные десятичные дроби, а какие - в бесконечные периодические? Уровень А Л891234 565. Запишите обыкновенной дробью число: 0,5; 0,13; 0,39; 1,2; 2,75; 12,3; 3,08; 11,11. Преобразуйте в десятичные дроби (566 — 569). 3 17 9 103 5 7 3 17 ■ ю’ ю’ 100’ 100’ ЮОО’ 20’ 50’ 50' 1 2 3 3 7 2 15 18 10 4 V*'« 9 9* 2 5 5 2 2 4 25 12 25 8 568. 1-; 2-; 3-; 1-; 4—; 1—; 5-; 7-. 2 5 5 4 25 55 8 8 ^^^36 9 9 9 18 45 14 _3 6 15 12 18 6 15 36 35 6 102 1234567891234 § 15. Преобразование обыкновенных дробей в десятичный Выполните действия, предварительно преобразовав обыкновенные дроби в десятичные (570—572). 570. а) -+о,75; б) - + 0,4; в) -+0,8. 4 5 5 571. а) 3^-0,5; б) 4--0,2; в) 5,3-2^. 2 5 5 572. а)— + 1,05; 6)2,4-—; в) 4,125-2-. 20 25 8 1 573. Длина прямоугольника равна 2— м, а ширина — на 1,5 м 4 меньше. Найдите периметр прямоугольника. 574. Скорость катера в стоячей воде равна 27,5 км/ч, скорость 3 течения реки - 2— км/ч. Найдите скорость кйтера по 5 течению реки и против течения. 575. Найдите полусумму чисел: а) 3,4 и |; б) 0,02 и^. & Уровень Б 576. Запишите десятичной дробью число: vo7 .,,„1 ,126 ,17 а) 3—; 6)12—; в)---; г)—. 25 16 125 32 577. Запишите в виде бесконечной десятичной дроби: <■ ->S‘ 578. Найдите полусумму чисел: а) 1-и 2,25; б) 2-, 3-и 5,125. 4 • 8 4 579. Найдите среднее арифметическое чисел: а)4,25и21; б) з|, 2^ и 1,15. 580. На сколько сумма чисел 3— и 2,25 больше их полу-разности? ® 5 581. Шнур длиной 3— м разрезали на две части так, что 6 одна оказалась на полметра длиннее другой. Найдите длину большей части. 1234567891234 103 1234567 Обыкновенные дроби 582. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 9— км, 4 одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 40 мин. Найдите скорость одного из них, если скорость другого равна 5,1 км/ч. 583*. Преобразуйте в обыкновенную дробь бесконечную периодическую десятичную дробь: а) 0,(4); б) 3,(8); в) 0,(21); г) 8,0(3). Упражнения для повторения 584. Сравните значения выражений(3,7-1,5): 4,4 и 16-1,3'^. 585. Решите уравнение: a)2,5jc = 4,8; б) 43 - 2,4х= 13; в) х: 2,5 = 1,4. 586. Найдите значение выражения а +1: а, если а=4; а=0,25. 587. Периметр равнобедренного треугольника равен 63 см. Найдите его основание, если длина его на 3 см больше длины боковой стороны. 588. Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Найдите его боковую сторону, если ее длина на 5 см больше длины основания. 589. Найдите меры углов треугольника, если один из них равен сумме двух других и на 30° больше третьего. 590. Компьютер стоит 1500 грн. Сколько он будет стоить, если цена снизится на 10 % ? 591*. Ни одни из трех часов, изображенных на рисунке 37, не идут точно. Одни отстают на полчаса, другие спешат на 40 мин, а третьи давно не работают. Сколько времени сейчас? 7891234 104 1234567891234 § 16. Приближенные значения и действия с ними Приближенные значения и действия с ними Сколько людей живет в Киеве? Назвать точное число жителей Киева невозможно, ведь каждый день сотни людей приезжают, сотни отъезжают, кто-то рождается, а кто-то умирает. Сейчас в Киеве примерно 2,6 млн человек. И когда измеряют длины, площади, объемы, температуру, время, скорости и другие величины, то их значения тоже приближенные. При округлении бесконечных десятичных дробей тоже получают их приближенные значения. 2 2 Например, зная, что — = 0,6666..., пишут — = 0,667. Здесь 0,667 - десятичное приближение числа — до ты- 3 сячных. Подобные приближенные значения величин (приближенные числа) приходится складывать, вычитать, умножать, делить. Понятно, что и результаты таких действий приближенные. Выполняя действия с приближенными числами, желательно придерживаться определенных правил. Самые простые из них - правила подсчета цифр. Здесь идет речь о десятичных знаках и значащих цифрах. Десятичными знаками числа называют все его цифры, какие стоят справа от десяпгчной запятой. Значащие цифры числа — все его цифры, кроме нулей слева, а также кроме нулей справа, записанных вместо цифр, отброшенных при округлении. Например, в числе 0,00476 - пять десятичных знаков и три значагцие цифры. Когда пишут, что диаметр планеты Венера равен 12 400 км, то в этом числе десятичных знаков нет, а значащих хщфр три: 1, 2 и 4. Два последние нуля стоят вместо цифр, отброшенных при округлении. Как выполнять действия с приближенными числами? Пусть, например, надо найти сумму приближенных чисел 3,24 и 2,5. Если бы эти значения были точными, то их сумма равнялась бы 5,74. Но они приближенные, то есть получены в результате отбрасывания последующих неизвестных цифр, которые обозначим вопросительными знаками. Следовательно, имеются в виду 3,24? и 2,5?. Найдем сумму и разность этих чисел: 3,24? _3,24? + 2,5? 5,7?? 2,5? 0,7?? 105 23 Раздел Обыкновенные дрюби Рассматривая подобные примеры, приходим к такому правилу. При сложении и вычитании приближенных чисел [В результате надо сохран5пъ столько десятичных знаков, сколько их имеет компонент действия с наименьшим количеством десятичных знаков. В данных примерах наименьше десятичных знаков имеет число 2,5. У него всего один десятичный знак. Поэтому полученные сумму и разность нужно записывать с одним десятичным знаком: 3,24 I 2,5 » 5,7; 3,24 - 2,5 ~ 0,7. Умножим эти же приближенные числа 3,24? и 2,5?: 3,24? 2,5? ???? 1620? 648? 8,1???? При умножении приближенных чисел в результате надо сохранять столько значащих 1щфр, сколько их имеет множитель с наименьшим количеством значащих 1щфр. Подобным правилом пользуются также и при делении приближенных чисел. Итак, если числа 3,24 и 2,5 -приближенные, то 3,24 • 2,5 = 8,1; 3,24 : 2,5 = 1,3. Приведенные выше правила называют правилами подсчета цифр. Они не обеспечивают высокой точности вычислений, но для большинства практических применений такой точности вполне достаточно. Проверьте себя 1. Что такое десятичные знаки числа? 2. Какие цифры называют значащими? 3. Назовите десятичные знаки и значащие цифры числа 0,308. 106 1234567891234 § 16. Приближенные значения и действия с ними 4. Сформулируйте правила сложения и вычитания приближенных чисел. 5. Сформулируйте правила умножения и деления приближенных чисел. Ф Выполняем вместе (I) Найдите приближенное значение числа — до тысячных. 12 • Разделив 5 на 12, имеем бесконечную периодическую десятичную дробь 0,41666... . Следовательно, — == 0,42 - округлено до сотых; 12 5 — « 0,417 - округлено до тысячных. @ Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами а и 6, если а « 8,52 см, Ь = 12,2 см. • Р = (а + 6) • 2; S = a • Ь. Р = (8,52 + 12,2) • 2 = 20,72 • 2 = 41,44 » 41,4 (см). S = 8,52 • 12,2 = 103,944 « 104 (см^). С Устные упражнения 592. Округлите до десятков, сотен, тысяч число: а) 28 532; б) 63 082,7. 593. Округлите до десятых, сотых, тысячных число; а) 0,2222...; 6)3,7777...; в) 5,(3); г) 4,0(38). О Уровень А 594. Дробь — преобразуйте в десятичную и округлите ее до сотых, тысячных. 595. Найдите десятичное приближение до сотых: а)-; б)в) 1—; г) 8-^. 8 11 9 12 596. Вычислите значение выражения, округлив до сотых: i2345678912?- 107 2345Р - Раздел Обыкновенные дроби а) 3,5+—; 3 б) --0,235; 15 в) 3,7+-. 9 597. Вычислите, округлив до тысячных: а) 6,7569+-; б) 2--0,3747; в) 3,1807-1—. 6 3 17 598. Найдите сумму приближенных чисел: а) 32,5 и 9,437; б) 0,234 и 1,72. 599. Найдите разность приближенных чисел 34,256 и 21,8. Уровень Б 600. Найдите сумму, произведение и частное приближенных чисел: а) 2,31 и 1,407; б) 5,321 и 0,04; в) 127,5 и 0,012. 601. Найдите периметр и площадь прямоугольника, длины сторон которого имеют такие приближенные значения: а) 3,41 м и 2,85 м; б) 5,8 дм и 4,25 дм. 602*. Найдите периметр и площадь прямоугольника, стороны которого равны хи у, если 2,8 <х< 2,9 и 4,3 <у< 4,4 (все размеры - в сантиметрах). (ЮЗ. Найдите корень уравнения, округлив его до сотых: a)6jc=19; 6)lii/ = 5; в) 12с = 7; г)0,6дг=1,3. (Ю4. Практическое задание. Выполнив необходимые измерения, вычислите площадь обложки учебника по математике. Со сколькими значащими цифрами надо записать ответ? Упражнения для повторения 605. Найдите значение выражения: а) 8,3а - 4, если а = 2,83; б) 0,28с + 0,3, если с = 1,04; в) 15,7л: - 2,1, если л: = 3,24. 606. Какие натуральные значения х удовлетворяют неравенству: а) 0,8 < л: < 17,8; б) 3,78 < л: < 12,3; в) 4 < 2л: < 15? (Ю7. Найдите 35 % от: а) 34 км; б) 86 кг; в) 320 га; г) 83,4 грн. (Ю8. Найдите острые утлы щ)ямоугольного треугольника (рис. 38), если один из них: 108 234Ъ* . Самостоятельная работа 3 а) в два раза больше другого; б) на 50 % больше другого. 609. Сколько гектаров имеет поле прямоугольной формы, если его периметр равен 0,6 км, а одна из сторон в два раза длиннее другой? Самостоятельная работа 3 Вариант 1 1°. Вычислите: ч26 «,,27 ,„_43 а)---; 6)1—:—; в) 3,2----. 3 7 5 15 9 8 2°. Решите уравнение: а)-ж = 46; 6)1-- = 0,5. 3 5 3*. На сколько — числа 450 больше 15 % числа 480? 3 4*. Найдите число, 80 % которого равны —. 5 5*. Сторона квадрата меньше его периметра на 2— м. 5 Найдите площадь квадрата. Вариант 2 1°. Вычислите: .3 8 а)----; 4 9 6)2-:-; в) 2,4--:-. 3 9 5 5 2°. Решите уравнение: а)-л: = 18; б)1,3-- = 1. 4 5 3*. На сколько 45 % числа 120 больше — числа 210? 7 1 4*. Найдите число, 75 % которого равны —. 2 5*. Периметр квадрата больше его стороны на 2— м. Найдите площадь квадрата. 23:- 109 ^3 iSf Раздел рбыкновенные дроби Вариант 3 1°. Вычислите: а) 1,2-—; б) 2,1:1—; в)—ь—:—. 8 4 2 5 15 2°. Решите уравнение: а)—дс:+—= 2; б) —(jc-2) = 0,5. 8 3 3 3 3*. На сколько-числа 260 меньше, чем 120 % числа 2,4? 400 4*. Найдите число, 3 — % которого равны —. 3 2 5 2 5*. Ширина прямоугольника равна 2— м, что составляет — 6 3 его длины. Найдите площадь прямоугольника. Вариант 4 1°. Вычислите: ,о6 , . о о ч 5 3 ЛЗ а) 2—-1,4; 6)5—:2,2; в)---:1—. 7 2 12 7 14 2°. Решите уравнение: а) 1,25jc-3 = |; б) |(jc+2) = 2,4. 3 1 3*. На сколько 3,5 % числа 32 меньше, чем — числа З—? 5 3 2 6 4*. Найдите число, 2— % которого равны —. 3 25 15 5*. Длина прямоугольника равна 3 — м, что составляет — его 3 4 ширины. Найдите площадь прямоугольника. Готовимся к тематическому контролю ^91234 Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте правило умножения? ■ 2. Как умножить смешанные числа? 3. Какие числа называют взаимно обратными? 110 1234567891234 Готовимся к тематическому контролю 4. Сформулируйте правило деления обыкновенных дробей. 5. Как разделить дробь на натуральное число? Натуральное число на дробь? 6. Как найти дробь от числа? 7. Как найти число по известной дроби? 8. Как найти несколько процентов от числа? 9. Как найти число, если известны его проценты? 10. Приведите пример бесконечной периодической десятичной дроби. 11. Как можно получить число 0,6666...? 12. Как обыкновенные дроби пр>еобразовать в десятичные? 13. Сформулируйте правила сложения и вычитания приближенных значений. Задания в тестовой форме а) 4^; о б) 2—; 10 а)^- «>4’ 3 5 2'?' 15’ а^? 4 3. Вычислите объем куба, ребро которого равно 1— см. 2 ч 27 Л « а) — см; б) 1- см ; О О в) 1— см; 4 ч «3 3 г) 3— см . 8 4. Назовите число, обратное числу 8 а) 5; 2 ®>!= 3 1 5. Найдите частное —: —. 8 12 а) 4i; в) 4- г) 32 6. Какой знак надо поставить вместо звездочки в записи /1^ /if ? а) «>»; б) «=»; в) «<»; г) «>». 234Ь67891234 111 123451 Раздел Обыкновенные дроби 7. Чему равна — развернутого угла? JL^ а) 17°; б) 15°; в) 20°; г) 14°. 8. Запишите десятичной дробью число 4—. 4 а) 4,4; б) 4,14; в) 4,25; 9. Найдите десятичное приближение до сотых числа —. 9 а) 0,77; 6)0,88; Типовые задачи 1°. Вычислите: в) 0,78; г) 0,425. о сотых г) 0,8. , 3 5 а)------; 4 7 3 7 4 9 2°. Преобразуйте в десятичную дробь: ч 1 «Ч 21 а) -; б) —. 4 5 3 3°. Найдите — числа 120. 4 4°. Решите уравнение: а)3х =—; б)—х = 15. 4 5 2 5*. Юбка стоит 50 грн. и составляет — стоимости всего 5 костюма. Сколько стоит костюм? 6*. Выполните действия: а) 4-:6^; 6)3--64. 4 8 '8 7*. Найдите значение выражения: а)125:з5-3^; 9 9 9 б) 1---0,6 4 •1 —. 23 4234 8”. По лыжной трассе в одном направлении идут два лыжника. Сейчас расстояние между ними 3,4 км. Скорость льшашка, идущего спереди, равна 9^ км/ч, что составляет 70 % скорости лыжника, идущего сзади. Через какое время j второй лыжник догонит первого? ^—'——■—'—^^ I I I I I I ГI , L X 112 1234567891234 Исторический сведения Г Исторические ceej Дробные числа в Египте были известны еще 4000 лет назад. Записывали их тогда только единичными дрюбями (такими, числители которых равны 1) или суммами еди- 2 2 ничных дробей. Например, вместо современных — и —■ 5 13 11111 египтяне писали — н и —i н-. 3 15 8 52 104 Приводим одну задачу с папируса Ахмеса (XVI в. до н. э.): « Надо поровну разделить 7 буханок хлеба между 8 людьми». Сейчас мы записали бы, что 7 , каждому человеку надо дать — бухан- 8 ки. А в папирусе дан иной ответ: 111^ «—I--h— буханки». 2 4 8 Египтяне обозначали дроби, как показано на рисунке 39. В Вавилоне 4000 лет назад ис- пользовали единичные дроби со знаменателями 60, 60 , 60‘. Со временем такие дроби использовали астрономы. поэтому их назвали астрономическими дробями. Древнегреческие математики рассматривали числа, которые сейчас записывают в виде дробей —, но называли п их отношениями. И читали их не так, как теперь. Например, Эратосфен (III в. до н. э.) писал не «— мериди- 83 ана», а «11 таких частей, каких весь меридиан содержит 83». Римляне пользовались дробями со знаменателем 12, которые называли унциями. Когда говорили «5 унций» 5 13 или «13 унций», то имели в виду — или —. 12 12 т Индийские математики обыкновенные дроби вида —, п 2 3 например —, — и другие, рассматривали еще в IV в. до н. э. 7 8 123456:^89123^ 113 123451 Раздел Обыкновенные дроби '123-; В VII в. они формулировали правила действий: «Произведение дробей - это произведение числителей, разделенное на произведение знаменателей» и др. А вот арабам обыкновенные дроби не нравились. Они писали, что дроби вида — плохие, поэтому «деловые люди не любят таких п дробей и выражают их суммами долей (единичных дробей)». В Киевской Руси наиболее известным вычислителем был монах Кирик. Он вычислял, используя единичные дроби со знаменателями 12, 60, 300, 1500, 7500, 37 500, 187 5(Ю, 937 500. Писал, что «более сего не бывает». Дроби, отличные от единичных, в европейских учебниках появились только с XVIII в. Их изучение считалось очень неприятным делом. Появилась даже поговорка: «Попал в дроби» (то есть попал в переделку). Обыкновенные дроби тогда называли «ломаными числами». Слова «числитель» и «знаменатель» впервые появились в XIII в., «сокращение дробей» и «приведение дрюбей к общему знаменателю» — в XV в., а «правильные» и «неправильные» дроби — в XVIII в. Чтобы разделить дробь на дробь, раньше обязательно приводили их к общему знаменателю, а потом числитель одной дроби делили на числитель другой. В Украине тоже сначала использовали только единичные дроби. Еще и сейчас дроби называют «половиной», «третью», «четвертиной», а в начале XX в. украинцы говорили «пятина», «восьмйна», «девятйна», «десятина». Числа 1—,2—,4—,5—,6—,8— называли соответственно: 2 2 2 2 2 2 «полтора», «полтретья», «полпятая», «полшестая», «полседьмая», «полдевятая». Индийские авторы, изображая обыкновенные дрюби, знаменатель писали под числителем, но без черты дрюби. Черуга дрюби введена была только в XVI в. С серюдины XIX в. некоторые авторы предлагали записывать обыкновенные дроби в одну строку т/п. Такая форма записи особенно удобна для печатных аппаратов и вычислительных машин. Но пока что она не стала общепринятой. 114 1234567891234 Главное в разделе 2 [ Главное в разделе 2 а Обыкновенная дробь----это частное при делении нату- Ь ральных чисел а \л Ь. Числитель а и знаменатель Ь вместе называют членами дроби. Дальше вместо обыкновенная дробь будем писать короче: дробь. Дробь называют правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Все другие дроби - неправильные. Значение каждой правильной дроби меньше 1, а неправильной - больше или равно 1. Из неправильной дроби можно выделить целую часть и записать в виде смешанного или натурального числа. U 8 о2 21 Например, -=2-; — = 3. 3 3 7 Основное свойство дроби. Значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Используя это свойство, дроби можно сокращать или приводить к общему знаменателю. Дробь называют несократимой, если ее числитель и знаменатель - взаимно простые числа. Дроби с равными знаменателями складывают и вычитают согласно формулам: Ь а-Ь а Ь а + Ь — + — =-1 т т т а т т т Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю. Чтобы умножить дробь на дробь, надо отдельно умножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем произведения данных дробей. Две дроби называют взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Всегда верны равенства: а т _ am а т _а п _ ап СП сп’ с п cm cm Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, надо ее числитель разделить на знаменатель. При этом может образоваться или десятичная дробь, или бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, - = 0,75; - = 1,66666...=г(6). 4 3 Я4.567Й .23 . 115 ;л45- Разделу Отношения и пропорции Математика — наука молодых. Н. Винер § 17. Отношения В этом разделе речь идет о вещах, уже известных вам. Отношение - это частное, пропорция — равенство двух отношений. Например, а: с - отношение, а : с = т : п - пропорция. Но теперь обратим внимание на такие свойства частного и равенства двух частных, какие раньше не рассматривали. А еще введем новые термины: отношение, пропорция, вероятность и другие. Основное содержание раздела такое. • Основное свойство отношения. • Вероятность случайного события. • Пропорции. • Процентное отношение. • Пропорциональные величины. • Окружность, круг, диаграммы. Эти темы важны не только для математики и других наук, они часто используются в практической деятельности миллионов людей. ф Отношения Частное от деления одного числа на другое называют также отношением этих чисел. Записывают отношение с помощью двоеточия или черты дроби. Примеры отношений: 3:5; —• 2,7:0,4; 54 7 8 ——это и дробь «три четвертых», и «частное от деления 3 на 4», 4 и «отношение чисел 3 и 4». Поскольку отношение т: п — это 117 i23' Раздал Ж юшения : прохюрции то же самое, что и дробь —, а к каждой дроби можно п применить основное свойство дроби, поэтому это свойство верно и для каждого частного, и для отношения. Основное свойство отношения Отношение двух чисел не изменится,^если каждое из них умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Используя это свойство, отношения можно упрощать. Оба члена отношения можно разделить на их общий делитель. Например, отношение 3000 : 5000 можно заменить равным ему отношением 3 : 5. Отношение дробных чисел можно заменить отношением натуральных чисел. Для этого надо данные дроби привести к общему знаменателю и отбросить его. Например, = = 9 6 18 18 Одним из примеров использования отношений является масштаб. Если, например, на географической карте указан масштаб 1 : 5 500 000, то это означает, что все расстояния на карте в 5 500 000 раз меньше соответствующих расстояний на земной поверхности. То есть одному сантиметру на карте соответствует 5 500 000 см (или 55 км) на местности. Можно говорить не только об отношении чисел, а и об отношении значений величин. Если два значения какой-то величины выражены в одинаковых единицах измерения, то отношением этих значений называют отношение соответствующих чисел. Например, 3 м : 5 м = 3 : 5; 18 кг : 9 кг = 18 : 9. Но 2 м : 37 см = 200 см : 37 см = 200 : 37. Узнайте больше Иногда рассматривают и отношение значений разноименных величин. Например, если высота, площадь основания и объем прямоугольного параллелепипеда равны соответственно 2 м, 8 м^, 16 м’\ то отношение 16 м'^ : 8 м^ 118 L § 17. Отношения равно высоте параллелепипеда, а отношение 16 : 2 м - площади основания данного параллелепипеда. А если самолет пролетает расстояние 1400 км за 2 ч, то его скорость равна отношению расстояния ко времени: 1400 км : 2 ч = 700 км/ч. Вообще, если какое-то тело движется равномерно, то его скорость — это отношение пройденного п^тги ко времени. Со временем в физике вы будете рассматривать плотность вещества — отношение массы тела к объему, давление — отношение силы к площади и т. п. ГМ Проверьте себя 1. Что такое частное? 2. Что такое отношение? 3. Верно ли, что обыкновенная дробь - это отношение его числителя к знаменателю? 4. Сформулируйте основное свойство отношения. 5. Сформулируйте следствия, вытекающие из основного свойства отношения. Ф Выполняем вместе (Г) Упростите отношение 400 : 600. • НОД (400, 600) = 200. Разделим кождый член данного отношения на 200. Имеем 400 : 600 = 2:3. 8 7 Замените отношение —: — отношением натураль- 15 10 ных чисел. • Приведем заданные дроби к общему знаменателю 30. 8 . 7 _ 8-2 , 7-3 16 21 ‘l0“l5-2’l0-3 30 30 15 = —: — = 16:21. (§) Упростите отношение 2—: 3—. 3 2 21:з1ЛДЛ:1Л = 2:3. 3 2 3 2 3 2 3 ’345H789I234 119 Л345* Раздал с Отношения пропорхши Устные упражнения 610. Найдите отношение: а) 20 к 4; б) 15 к 30; в) 0,5 к 2; г) 0,1 к 1. 611. Назовите несколько пар чисел, отношение которых равно: а) 2; 6)12; в)1; г) 612. На катке юношей в 2 раза больше, чем девупгек. Найдите отношение числа юношей к числу всех конькобежцев. 613. Найдите отношение: а) 20 см к 40 см; б) 300 кг к 30 кг; в) 15 ч к 5 ч; г) 100 км к 2 ч. 0 Уровень А 614. Запишите с помощью двоеточия отношение чисел: а) 3 и 5; б) 12 и 7; в) 0,5 и 2,5; г)—и—. 3 5 615. Запишите с помощью черты дроби отношение чисел: 3 а) 2 и 7; б) 13 и 9; в) 0,6 и 0,7; г)1и—. 616. Чему равно отношение: а) 204 к 60; б) 260 к 104; 617. Вычислите отношение; а) 0,5 к 0,4; б) 0,7 к 3,5; 618. Найдите значение отношения: в) 2002 к 77? в) 4,5 к 0,15. а) — к —; 2 5 б) - к -; 6 3 в) 2— к 1,3. 6 ■123^ 619. Найдите отношение значений величин: а) 3 км к 4 км; б) 15 кг к 45 кг; в) 7 г к 140 г. 620. Упростите отношение чисел: а) 34 : 102; б) 130 : 225; в) 224 : 48; г) 101 : 505. Замените отношение дробных чисел отношением натуральных чисел (621 — 623). 621. а) 0,2 : 0,9; б)-:-; в) 3,2:-: г) 2-;-. 3 6 О ^ 1 1 622. а) 0,05 : 0,25; б)-:0; в) 0,3:-; г)1:1^. 5 15 3 3 120 1234567891234 § 17. Отношения 623. а) 1,2:24; б)-:-; 8 7 624. Какое отношение больше: а) 4:5 или 5:6; в)-: 0,2; 5 2 2 г)3-:5-. 5 3 .,11 1 1 „ б) —: — или { 2 3 3 4 Уровень Б 625. Вычислите отношение значений величин; а)3м:2м; б) 1м:4 дм; в) 700 г:3,5 кг; г) 10 м^ :5 м; д)3см^:0,6см‘*; е) 5 км :0,5 ч. 626. Точка С делит отрезок АВ в отношении АС :СВ = 2:3. Найдите отношение: а)АС:АВ; б)СВ:АВ. 627. Найдите два числа, сумма которых равна 120, а отношение: „ . а) 2; 6)0,5; в)^; г) 3^. о 5 628. В классе 12 девочек и 18 мальчиков. Какую часть составляют: а) девочки от учащихся всего класса; б) мальчики от учащихся всего класса; в) девочки относительно мальчиков? 629. Сколько километров от Киева до Одессы, если на карте с масштабом 1:4 000 000 этому расстоянию соответствует 11 см? 630. Расстояние от Киева до Полтавы примерно 300 км. На карте этому расстоянию соответствует 6 см. Какой масштаб карты? 631. На плане, масштаб которого 1 : 2000, поле изображено в виде прямоугольника (рис. 40). Сделайте необходимые измерения и вычислите площадь поля. 1234567891234 121 12345 Раздел jC^pTHO] Q^npo >шения пропорции 632. Числовой масштаб 1 : 200 000 соответствует изображенному на рисунке 41 линейному масштабу. Начертите линейный масштаб, который соответствует числовому масштабу 1 : 500 000. 2 о 2 4 6 8 10 км Т I Рис. 41 633. Какой числовой масштаб соответствует линейному масштабу, изображенному на рисунке 42? 80 о 80 160 240 320 400 км I-FTI4---- 1-^^--1 III Рис. 42 Л23‘ Упражнения ддямпвто} 634. Найдите 2, 5, 10, 40 и 120 процентов числа 2400. 635. Вычислите удобным способом значение выражения: а) 3,27 • 12,5 - 3,27 • 2,5 - 32,7; б) (56,2 - 35,4 + 43,8 • 35,4) : 354. 636. Решите уравнение: а)-дг+4,5 = 6^; б)12,7-3х = -. 3 2 5 637. Мотоциклист, двигаясь со скоростью 40 км/ч, преодолевает расстояние между двумя городами за 3 ч. За какое время преодолеет это расстояние автомобиль, скорость которого 60 км/ч? 0^ Вероятность случайного события Отношение часто используют для определения вероятностей случайных событий. Событие — это то, что совершается, происходит, случается. В математике чаще всего рассматривают события, какие еще не совершались, а только возможно произойдут. При этом стараются установить степень уверенности в том, что событие произойдет. Примеры событий: 1) подброшенная монета упадет гербом вверх (рис. 43); 2) приобретенный лотерейный билет выиграет; 3) после ночи наступит утро; 4) игральная кость упадет кверху семеркой. 122 1234567891234 § 18. Вероятность случайного события Рис. 43 Рис. 44 Последнее событие невозможно^ поскольку на гранях кости семерки нет. Событие 3) достоверное, ведь после ночи всегда наступает утро. События 1) и 2) — случайные. Событие называется случайным, если оно может произойти или не произойти. Степень уверенности в том, что случайное событие произойдет, можно характеризовать числом. Рассмотрим пример. При падении подброшенной игральной кости (рис. 44) может произойти 6 различных событий: событие А: выпадет 1 очко; событие Б: выпадет 2 очка; событие В', выпадет 3 очка; событие Г: выпадет 4 очка; событие Д: выпадет 5 очков; событие Е: выпадет 6 очков. Все эти шесть событий имеют одинаковые шансы произойти (если кость правильной формы и изготовлена из одного материала). Такие события называют равновероятными. Дальше рючь пойдет только о равновероятных событиях. Вероятностью события называют отношение количества благоприятных для этого события результатов к количеству всех возможных результатов. Вероятность события А обозначают так: Р(А). В рассмотренном выше случае 6 равновероятных событий, поэтому вероятность каждого из них равна —. Следовательно, Р(А)=1, Р(Б)=1, Р(В)=^, 6 6 6 6 6 6 Вероятность достоверного события принимается за 1, а невозможного - за 0. Вероятность можно выражать обыкновенной и десятичной дробью или процентами. Задача 1. Какова вероятность того, что при падении игральной кости выпадет число очков, кратное 3? Решение. Количество всех возможных событий равно 6. Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6 тольки два (3 и 6) делятся на 3. ,-г 2 1 Поэтому вероятность равна —, или —. 6 3 123456789123- 123 12345 Раздел Отношения пропорции Задача 2. Найдите вероятность того, что ваш товарищ родился в воскресенье. Решение. Всего в неделе 7 дней. Нас интересует событие: «Мой товарищ родился в воскресенье» (событие А). Поскольку воскресенье только 1 раз в неделю, то Р{А) = Узнайте больше Наведенная выше трактовка понятия вероятности верна только для равновероятных событий. Такое понимание вероятности называют классическим. Его чаще всего применяют при решении задач на азартные игры. Намного важнее понятие статистической вероятности. Для примера рассмотрим два похожих события: подброшенная монета упадет кверху гербом (А), подброшенная пу1'овица упадет кверху петелькой (Б). Монета почти одинаковая с обеих сторон, поэтому оба события (монета упадет гербом кверху или книзу) равновероятные. Вероятность каждого из этих событий равна —. 2 Пуговица с одной стороны не такая, как с другой (рис. 45). Поэтому два события (пуговица упадет петелькой кверху или книзу) не равновероятные. Вероятность каждого из них можно определить только экспериментально. Такие вероятности (статистические) вы будете изучать в старших классах. Рис. 45 Проверьте себя .'1234 1. Что такое событие? Приведите примеры. 2. Какие события называют достоверными, невозможными, случайными? 3. Что такое вероятность случайного события? 4. Как обозначают вероятность события А? 5. Чему равна вероятность достоверного события? А невозможного? 124 1234567891234 § 18. Вероятность случайного события Ф Выполняем вместе а) А: 12 С 6)^. 12 Устные упражнения И Уровень А ф Набирая номер телефона, ученик забыл последнюю цифру и решил набрать ее наугад. Какова вероятность того, что он сразу наберет нужный номер телефона? • Поскольку цифр всего 10, то и возможных испытаний 10, благоприятное из них лишь одно. Поэтому искомая вероятность равна 0,1. ф В мешочке находятся 5 голубых и 7 желтых шаров. Какова вероятность того, что, вынимая наугад, вы достанете: а) голубой шар; б) желтый шар? • Всего в мешочке 5 + 7 = 12 шаров. Вынуть голубой шар есть 5 шансов из 12, а желтый — 7 из 12. Поэтому искомые вероятности: 638. Какова вероятность того, что при падении игральной кости выпадет 5 очков? 639. Какова вероятность того, что подброшенная монета упадет гербом книзу? 640. В пакете находится 8 конфет, из них 5 в красных обертках. Какова вероятность того, что взятая наугад конфета окажется не в красной обертке? 641. Какова вероятность того, что Баба Яга родилась в пятницу? 642. Какова вероятность того, что названное наугад двузначное число окажется меньше 100? 643. Какова вероятность того, что, переставив местами буквы в слове ИСТОРИЯ, вы получите слово ТЕОРИЯ? 644. На четырех карточках написано по одной букве, и из них сложено слово ЛАПА. Какова вероятность того, что, перевернув и перемешав эти карточки, вы сразу же возьмете: а) букву А; б) букву Л? 123456789123 125 123456 Рис. 46 645. Окрашенный со всех сторон деревянный куб разрезали на 27 равных кубиков (рис. 46) и положили их в мешочек. Какова вероятность того, что у взятого наугад кубика будет окрашена только: а) 1 грань; б) 2 грани; в) 3 грани; г) 4 грани; д) О граней; е) 5 граней? 646. На экзамене всего 28 билетов. Борис не знает ответов на вопросы двух билетов. Какова вероятность того, что он возьмет несчастливый билет? (>47. В лотерее разыгрывается 250 билетов, из которых выигрышных только 10. Какова вероятность выиграть в этой лотереи, купив только один билет? (>48. В кармане есть 5 монет (рис. 47). Какова вероятность взять монету стоимостью: а) меньше 50 к.; б) больше 10 к.; в) с четным числом копеек? Bf)1234 Уровень Б 649. Какова вероятность того, что взятая наугад перевернутая косточка домино будет иметь: а) 2 очка; б) 5 очков; в) 11 очков; г) 15 очков? 650. Все грани кубика окрашены в два цвета: красный или синий. Вероятность падения кубика на красную грань рав- 1 на —. Сколько кубик имеет синих граней? О 651. в папке находятся карточки с номерами от 1 до 20. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет написано число, которое не делится на 3? 652. В коробке половина всех конфет в красных обертках, треть - в желтых, остальные — в синих. Вы берете наугад одну конфету. Какова вероятность того, что она в синей обертке? 653. В столовой приготовили на обед 2 первых блюда, 3 вторых и 2 третьих. Какова вероятность того, что, заказав обед для товарища, вы угадаете его желание? 126 1234567891234 .п :. ----^im-: • ^л■ ^--л § 19. Пропорции' 654. Практическое задание. Подбросьте 20 раз монету и запишите, сколько раз она упадет гербом кверху. Подбросьте 20 раз пуговицу и запишите, сколько раз она упадет кверху петелькой или опуклостью. Повторите опыт и определите закономерность. Упражнения для повторевия 655. Разложите на простые множители числа: 2006, 2007 и 2008. Найдите их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. 656. Сколько существует разных двузначных чисел? Найдите их сумму. 657. Представьте себе произведение всех натуральных чисел от 1 до 99. Запишите 20 последних цифр этого произведения. 658. «Какое число делится без остатка на 2,3,4,5,6,7,8 и 9?» -спросили одного араба-мудреца. Он ответил: «Умножьте число месяцев в году на число дней в месяце (30) и число дней в неделе, и вы получите ответ». Действительно ли это так? 659. Теннисисты Андрей, Борис и Виктор приехали из трех городов Украины. Первую партию играли Андрей и теннисист из Гайсина, вторую - Борис и теннисист из Донецка. Теннисист из Винницы наблюдал за их игрой. Кто из какого города приехал? Пропорции 1 3 Отношения — и — равны друг другу. Поэтому их можно 2 6 1 3 соединить знаком равенства: 2~0’ 1 : 2 = 3 : 6. Такие равенства называют пропорциями. Пропорция — это равенство двух отношений. л ^ a:b=c:d, или при Ь^О н d^O. В пропорции а:Ь = c:d числа and називают крайними членами, а & и с - средними членами пропорции. 123456789123^ 127 123451 Раздел Отношения пропорции Произведение крайних членов каждой пропорции равно произведению ее средних членов. Ек:ли а : Ь = с : d, то 4:2 = 8:4, a-d = b-c. 4-4=2-8. Это — основное свойство пропорции. Его можно проиллюстрировать на примерах. Ек;ли 1 : 2 = 3 : 6, то 1 ■ 6 = 2 • 3; если 0,3 : 1 = 2,1: 7, то 0,3 • 7 = 1 • 2,1. А можно и доказать. Пусть дано произвольную пропорцию — = —. Умножив h d обе части этого равенства на произведение Ь • d, получим а^_с^^ Сократив первую дробь на Ь, а вторую - на d, Ь d получим равенство а - d = c-b. Таким образом, если а: Ь = с: d, то а • d = Ь ■ с. Поскольку делить на 0 нельзя, то в пропорции а: b = c:d bud отличные от 0. В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличные от нуля. Любой член пропорции можно определить, если известны три других ее члена. Например, если х : 2 = 10 : 5, то X • 5 = 2 • 10. Отсюда х = (2 • 10): 5, или х = 4. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, достаточно произведение ее средних членов разделить на известный крайний. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, достаточно произведение ее крайних членов разделить на известный средний. 891234 Основное свойство пропорции используют при решении уравнений, имеющих вид пропорции. Приведем примеры решения таких уравнений: .X 5 а) — = -; 21 7 128 1234567891234 ^.3 X б) - ; 2 6 в) 8 : X = 4 : 0,5. § 19. Пропорции Решение, а) дс* 7 = 21 - 5, 21-5 х = - 6)2-JC = 3-6, 3-6 Х-- в) 4 • JC = 8 • 0,5, 0,5-8 х = - 7 2 д:=15; дс = 9; л: = 1. Подобным способом можно решать, например, и урав-3,5 „ ___________________________________3,5 7 нение —^ = 7, если заменить его (устно) таким:---=—. X л: 1 Отсюда х = дс = 0,5. Узнайте больше Если пропорция а : Ь = с : d верна, то верно и равенство ad = be. Разделив обе его части на cd, получим ad Ьс ^ а Ь . . — = —. Отсюда — =—, или a:c = b:d. cd cd с d Следовательно, средние члены пропорции можно менять местами. Так же можно показать, что местами можно менять и крайние члены пропорции. Например, поскольку 0,2 : 0,3 = 2 : 3, то верны также пропорции 0,2 : 2 = 0,3 : 3 и 3 : 0,3 = 2 : 0,2. 2^”^’ 16~8’ 2~ 4 ’ 16~4' Ш- Проверьте себя 1. Сформулируйте определение пропорции. 2. Какие в пропорции а : Ь = с : d члены средние, а какие крайние? 3. Сформулируйте основное свойство пропорции. 4. Приведите пример уравнения, имеющего вид пропорции. Как решать уравнения такого вида? 5 г. П. Бевз “Математка’'. 6 кл. 1234567891234 129 12345( Р^'^лздатИОтноше!^ i_ дродоршд^ ф Выполняем вместе (D Составьте пропорцию из чисел 3, 4, 8 и 6. • Поскольку 3 • 8 = 4 • 6, то числа 3 и 8 могут быть средними членами, а другие — крайними. Или наоборот. Поэтому верны пропорции: 4:3 = 8: 6, 4:8 = 3: 6, 8:4 = 6: 3, 3:4 = 6: 8. 3 5 @ Решите уранение — =—. X 2 • Поскольку произведение средних членов пропорции равно произведению крайних, то 5х = 6. Отсюда л: = 6 : 5, или дс= 1,2. С Устные упражнения 660. Равны ли отношения: а)10:2и15:3; б) 30 : 3 и 45 : 5; в) 1: 3 и 0,5 :1,5? 661. Является ли верной пропорцией равенство: а)60:3 = 40:2; 6)4:20 = 3:15; в)0,5:10 = 1:20? 662. Назовите средние и крайние члены пропорции: а)3:21 = 5:35; б)-:- = 2:3; в) 2,4 : 6 3 2 3 : дс. ц Уровень А '891234 663. Равны ли отношения: а)3:5и6:20; б) 7 : 6 и 3,5 : 3? 45 3 664. Является ли равенство ^ верной пропорцией? Запишите ее крайние члены. 665. Почему равенство 2 : 3 = 4 : 5 не является пропорцией? 666. Проверьте, верна ли пропорция: а) 7: 3 = 21: 9; 6)12:4 = 15:5; в) 1: 6 = 2:3; , 8 12 X 4 6 , 7 13 г)—=—; д)—=—; е)—=—. 6 9 6 9 3 7 667. Запишите несколько пропорций, поменяв местами 7 X члены пропорции g = д* 130 1234567891234 § 19. Пропорции 668. Из данных отношений: 7 : 3, 8 : 4, 5 : 6, 6 : 3, 28:12, 20:24 составьте три пропорции. 669. Составьте шесть пропорций, используя равенство 2-9 = 3 *6. 670. Допишите соответствующий член пропорции: а)- = —; б)—= —. 5 10 4 671. Составьте пропорцию из чисел: а) 2, 6, 3 и 4; б) 6, 6, 4 и 9. Используя основное свойство пропорции, решите уравнения (672-674). 672. а)^ = ^; 7 35 йч 2 5 6)- =—; X 15 , 9 18 в)-=—; 2 л- . 2 X г) — = —. 3 12 673. а)- = -; 5 8 «ч^ 2 6)- = -; X 7 ч ^ ^ в) — ; 8 3 ч7 5 г) — . 3 д: 674. а)-= 7; 3 б) —= 3; X 4 в)9 = -; X г)8 = - 675. Найдите число, которое относится к 6 так, как 2 к 3. 676. Найдите число, которое больше 18 во столько раз, во сколько 15 больше 9. Уровень Б Решите уравнения (677 — 678). 2дг7 лгчб1 36 677. а)— =—; б)— =—; в)—=—; 3 5 Зх 6 4 5х , 1 2д: г) - = —. 2 3 678. а)—= 8; 3 6)^=5; в) Д--1 5 6’ г) дс-ь 3 = 0,1. 679. Останется ли верной пропорция 32 : 27 = 64 : 54, если разделить оба члена первого отношения на 3, а второго -на 4? 680. Останется ли верной пропорция 4:6= 10:15, если один из ее крайних членов и один из средних членов умножить на 7? 681. Стороны двух квадратов относятся как 5 : 6. Как относятся их периметры? А площади? 682. Найдите расстояние между городами А и В, если от В до С 60 км и АВ : ВС = 5:3. 5* 1234567891234 131 12345) Autnair /891234 [ения пропорции 683. Прямоугольники ABCD и KLPT такие, что АВ : ВС = = KL : LP (рис. 48). Найдите KL, если АВ = 3 см, AD = 2 см, LP = 3 см. Верна ли пропорция АВ : KL =АВ: КТ7 3 см Рис. 48 684. Для каждого ли натурального числа т верно утверждение: ^ а с am cm ас а с_ а)если—=—,то---=—; о)если—=—,то— =-------/ Ь d Ь d Ь d Ьт dm 685. На рисунке 49 изображен план поля, ширина которого равна 85 м. Сделав необходимые измерения, найдите длину поля. 686. На рисунке 50 изображен план детали в масштабе 1 : 5. Сделав необходимые измерения, найдите периметр и площадь этой детали. Рис. 49 687. Покажите на примерах, что всегда: а с a-t-b c-\rd Рис. 50 а) если — , то Ь d Ь d а а+Ь ас _ б) если — , то — = Ь d с c+d Попытайтесь доказать эти утверждения для любых натуральных чисел а, Ь, с, d. „ CL-b c-d а с 688*. Докажите, что когда---=----, то — . Ь d Ь d 132 1234567891234 ' § 20. Процентное отношение Упражнения для повторешхя^^ 689. Выполните действия: 8)45,3-99 + 453: 10; б) 2002 : (3,7-3) - 110 • 1,3. 690. Сравните значения выражения а+— при а = 5 и а = 0,2. а 691. Найдите значение выражения 35,2х + 64,8i/, если х = у = 1,4- 692. Найдите периметр равнобедренного треугольника, одна сторона которого равна 2,5 см, а другая - в 3 раза длиннее. 693. Начертите прямоугольник, одна сторона которого равна 3,5 см, а периметр — 15 см. Найдите его площадь. 3 694. Два покупателя хотели купить дом. Один имел — сум- 8 мы, которую просил продавец, а второй - —. Когда они 5 сложили вместе все свои деньги, то оказалось, что не достает 2250 грн. Сколько стоил дом? Процентное отношение Если отношение двух чисел выражают в процентах, то его называют процентным отношением. 2 Например, отношение 2 к 5 равно —, или 0,4, или 40%; 5 32 отношение 32 к 25 равно —, или 1,28, или 128%. 25 Существуют задачи, в которых требуется найти, сколько процентов составляет одно число относительно друх'ого, или одно значение величины относительно другого. Их называют задачами на нахождение процентного отношения. 1234567891234 133 123456' Раздал }Отвошею1я )и пропорхщи Задача. Возле школы растет 20 деревьев, из них 8 -липы. Сколько процентов этих деревьев составляют липы? Решение. Отношение лип ко всем деревьям возле шко- g лы равно —, или 0,4, или 40 %. Таким образом, липы составляют 40 % всех деревьев, растущих возле школы. Учитывая сказанное выше и два известных вам вида задач на проценты с 5-го класса, можно подвести итоги. Существует три основных вида задач на проценты: О нахождение процентов от числа; нахождение числа по процентам; © нахождение процентного отношения двух чисел. Рассмотрим примеры таких задач. О Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы выполнили 40 % задания. Сколько гектаров они вспахали в первый день? @ В первый день трактористы вспахали 120 га, что составляет 40 % всего поля. Найдите площадь всего поля. © Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы вспахали 120 га. Сколько процентов всего поля они вспахали в первый день? Попытайтесь решить каждую из этих задач несколькими 2 способами, заменив 40 % дробью 0,4 или —. Сопоставьте 5 эти задачи с основными задачами на дроби (см. § 14). Такие задачи удобно решать способом пропорции. Ск])ормлять решение приведенных выше задач можно так. '191234 О 300 га - 100 %, 300 100 300-40 X — = л: га - 40 %. X 40 ’ 100 @ 120 га - 40 %, 120 40 120 100 X = л: га - 100 %. X 100' 40 © 300 га - 100 %, 300 100 120-100 X = 120 га - JC % . 120 X 300 = 300 (га). = 40 (%). 134 1234567891234 § 20. Процентное отношение Узнайте больше Кроме трех основных видов задач, существуют более сложные задачи на проценты. Прежде всего, это задачи, в которых говорится об увеличении или уменьшении чего-либо на несколько процентов, и обратные им. Решая такие задачи, уточняйте, от чех'о надо брать проценты. Об этом в задаче прямо не сказано, но существуют договоренности о понимании тех или иных высказьшаний. Для примера рассмотрим задачу. Задача. Сначала цену на товар подняли на 10%, а потом снизили на 10%. Как изменилась цена на этот товар в результате двух переоценок? Обратите внимание, что первый раз речь идет о 10 % от начальной цены, а во второй раз - о 10% от повышенной цены. А они не равны. Решение. Пусть сначала товар стоил а грн. После повышения цены на 10% он стал стоить а грн. I + 0,1а грн., или 1,1а грн. 10 % от повышенной цены составляют (1,1а • 0,1) грн., или 0,11а грн. После снижения стоимости, цена товара стала (1,1а - 0,11а) грн., или 0,99а грн. Таким образом, сначала товар стоил а грн., а после двух переоценок он стал стоить 0,99а грн., то есть на 0,01агрн. меньше. Это составляет 0,01а: а = 0,01, или 1 %. Ответ. После двух переоценок начальная цена товара снизилась на 1 %. Примечание. Вместо слов «сколько процентов» иногда говорят «какой процент» (см. задачи 700, 701). Проверьте себя 1. Что такое процент? А процент от числа? 2. Что такое процентное отношение двух чисел? 3. Назовите три основных вида задач на проценты. 4. Как найти несколько процентов от числа? 5. Как найти число по процентам? 6. Как найти процентное отношение двух чисел? 7. Каким способом удобно решать задачи на проценты? 1234567891234 135 1234567 "891234 Выполняем вместе ф в классе всего 27 учеников, два из них отсутствуют. Сколько процентов составляют отсутствующие? Сколько процентов составляют присутствующие? • 2:27-0,074, 0,074 = 7,4%; 25:27-0,926, 0,926 = 92,6%. Ответ. - 7,4 % ; = 92,6 %. Примечание. Вторую часть задачи можно решить проще: 100 % - 7,4 % = 92,6 %. ф Рабочий за смену изготовлял 250 деталей, а теперь изготовляет 270 таких деталей. На сколько процентов повысилась его производительность труда? • Первый способ. 270 : 250 = 1,08 = 108 %; 108 % - 100 % = 8 % . Второй способ. 270 - 250 = 20 (деталей); 20 : 250 = 0,08 = 8 %. Ответ. На 8 %. Q Устные упражнения 695. Найдите 10 % от числа: 120; 6000; 40; 8; 0,7. 696. Найдите число, 50 % которого равны 8; 10; 3000; 1. 697. Выразите в процентах отношение: 7 3 61 3:100; 5:10; 7:20; 13:10; —; —; —. 100 50 10 Уровень А 698. Сколько процентов составляют: 2 8 а) 7 от 20; б) — от—; 3 15 . 2 5 в) — от —; 13 26 г) 1— от 1—? 2 5 699. Сколько процентов составляют: а) 3 см от 5 см; б) 2 см от 1 дм; в) 35 г от 1 кг; г) 15 мин от 1 ч; д) 0,1 м от 1 м; е) 0,5 г от 1 кг; ж) 9 с от 1 ч; з) 9 ц от 1 т? 136 1234567891234 § 20. Процентное отношение 700. Из 50 высеянных горошин взошло 46. Какой процент составляют проросшие горопшны? 701. Должностная ставка служапцего — 590 грн. Он получил 240 грн. аванса. Какой процент от ставки составляет аванс? 702. Сколько процентов площади квадрата ABCD составляет площадь прямоугольника АТРХ (рис. 51)? А площадь прямоугольника ТВМР7 В М С -t- К D Рис. 51 703. Найдите процент соли в растворе, если в 250 г раствора содержится 20 г соли. 704. Смешали 4 кг воды и 1 кг уксусной кислоты. Найдите процент кислоты в растворе. 705. Цену 1 кг печенья увеличили с 10 грн. 80 к. до 11 грн. 34 к. На сколько процентов поднялась цена? 706. Результаты контрольной работы шестиклассников записали в таблицу. Количество баллов 1-3 4-6 7-9 10-12 Всего Количество учеников 2 7 12 4 Отношение (%) Заполните пустые клеточки таблицы. 707. После окончания зимнего сезона цена на обувь снизилась на 18 % и детские сапоги стали стоить 98 грн. 40 к. Какова начальная цена сапог? 1234567891234 137 123456 Огвошенкя nponopi;n>i 708. Семья для приобретения стиральной машины взяла в банке кредит 1800 грн. сроком на два года под 12 % годовых. Какую прибыль получит банк через два года? Уровень Б 7891234 709. На сколько процентов: а) число 25 больше 20; б) число 20 меньше 25? Почему ответ к задаче б) не такой, как к задаче а)? 710. На сколько процентов увеличится число, если его увеличить: а) в 2 раза; б) в 1,6 раза; в) в 10 раз? 711. На сколько процентов уменьшится число, если его уменьшить: а) в 2 раза; б) в 1,6 раза; в) в 10 раз? 712. Первое число составляет 40 % второго. Сколько процентов составляет второе число от первого? 713. Кот в сапогах за первую минуту пробежал 250 м, за вторую - на 60 % больше. Какой процент расстояния он пробежал за третью минуту, если весь его путь равен 1 км? 714. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если одну из его сторон увеличить на 10 %, а другую - на 20 % ? Рассмотрите случаи, когда стороны равны: а) 2 см и 5 см; б) 12 м и 25 м; в)хмиум. Зависит ли ответ от заданных длин сторон? 715. Цену на товар сначала снизили на 10 %, а через некоторое время еще на 10 %. Такой ли была бы цена этого товара, если бы ее сразу снизили на 20 % ? 716. Газета повысила плату за рекламу на 20 %, а потом новую цену снизила на 10 %. На сколько процентов увеличилась начальная цена рекламы? 717. Цену на товар снизили на 25 %. На сколько процентов надо повысить новую цену, чтобы получить первоначальное ее значение? 718. Ежемесячная прибыль семьи составляет 1300 грн. В марте расходы на питание составили 715 грн., а на оплату коммунальных услуг - 390 грн. На сколько процентов больше было израсходовано денег на питание? 719*. Вкладчик внес в банк 6000 грн. под 8 % годовых. Какую сумму он будет иметь на счете через 1 год; через 2 года, если банк насчитывает проценты на проценты? 138 1234567891234 §21. Пропорциональные величины. Ч ’ 720. В одном городе жители разговаривают на украинском и русском языках. 85 % из них знают украинский язык, 75 % - русский. Сколько процентов жителей знают оба языка? Упражнения для повюреншГ"Ш 721. На двух складах вместе хрюнится 1400 т угля. Сколько тонн у1’ля на втором складе, если на первом ei'o в 2,5 раза больше, чем на втором? 722. На двух токах находится 564 т зерна, на первом то- ку ---массы зерна, которая находится на втором. Сколь- 3 ко тонн зерна находится на втором току? 723. Найдите среднее арифметическое чисел: а) 3,7, 12,6 и 8-; б) 0,12, - и 1,88. 5 7 724. Во сколько раз среднее арифметическое чисел а, х и у меньше суммы этих чисел? 725. Найдите два числа, среднее арифметическое которых меньше первого числа на 2 и меньше суммы этих чисел на 3. Пропорциональные величины Пусть 1 кг яблок стоит 3 грн. Сколько стоят 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг таких яблок? Ответ можно записать в виде таблицы. Масса яблок (кг) 1 2 3 4 5 6 Стоимость (грн.) 3 6 9 12 15 18 Здесь две величины: масса и стоимость. Возьмем какие-либо два значения массы, например 3 кг и 5 кг. Соответствующие им значения стоимости: 9 грн. и 15 грн. Из этих четырех чисел можно составить пропорцию 3:5 = 9:15 или 3:9 = 5:15. Такие величины называют пропорциональными. Стоимость яблок пропорциональна их массе. Чем больше покупают яблок, тем больше за них платят. Во столько же раз! 123456789123-: 139 '23456 J Рвздвд :НИЯ нропоршш Две величины называют пропорциональными, если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения второй увеличиваются во столько же раз. Другие примеры пропорциональных величин: объем бензина и его масса, время полета самолета и пройденное им расстояние, длина стороны квадрата и его периметр. А вот площадь квадрата не пропорциональна длине его стороны. Почему? Если каждую сторону квадрата увеличить, например, в 3 раза, то его площадь увеличится не в 3 раза, а в 9 раз. Если величины хну пропорциональные, то их соответствующие значения удовлетворяют равенству у = kx, где k - некоторое число (коэ(^»фициент пропорциональности). Много задач на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорций. Задача. Масса 5 л растительного масла равна 4 кг. Какова масса 12 л этого масла? Решение. Первый способ (приведение к единице). Е1сли масса 5 л масла равна 4 кг, то масса 1 л - в 5 раз меньше, то есть 0,8 кг. Масса 12 л масла в 12 раз больше: 0,8 кг • 12 = 9,6 кг. Второй способ (способ пропорции). 5 л - 4 кг, 12 л - д: кг. 5 4 12*4 Имеем пропорцию — =—. Отсюда х =-----= 9,6 (кг). 12 X б Узнайте больше Кроме пропорциональных величин, часто рассматривают обратно пропорциональные величины. Две величины называют обратно пропорциональными, если с увеличением в несколько раз значений одной величины значения другой уменьшаются во столько же раз. Такими, например, являются скорость и время (при постоянном расстоянии). Поскольку, если скорость движения увеличить в ,7891234! 140 1234567891234 р- § 21. Пропорцилвпяьные величины несколько раз, то это же расстояние можно проити во столько же раз быстрее. Если величины хиу обратно пропорциональны, то их соответствующие значения удовлетворяют равенству k */ = -. X где k — некоторое число (/гид: - отличные от нуля). Обратно пропорциональные величины изучают в курсе алгебры. Чтобы различать пропорциональные величины и обратно пропорциональные, первые также называют прямо пропорциональными величинами. Таким образом, пропорциональные величины и прямо пропорциональные величины - одно и то же понятие. Проверьте себя 1. Приведите примеры величин, пропорциональных величин. 2. Какие две величины называют пропорциональными? 3. Каким равенством связаны значения пропорциональных величин хиу? 4. Каким способом решают задачи с пропорциональными величинами? 5. Приведите пример решения задачи способом приведения к единице. 6. Приведите пример решения задачи способом пропорции. 7. Приведите примеры обратно пропорциональных величин. Ф Выполняем вместе (Т) Насос за 8 ч откачивает 160 м^ воды. Сколько воды он сможет откачать за 10 ч? • Первый способ.За!чнасосоткачивает 160:8=20(м^). За 10 ч - в 10 раз больше: 20 • 10 = 200 (м^). Второй способ. 8ч- 160 м^, 10 ч - JC м^. ы 8 160 Имеем пропорцию — =----- 10 X с Устные упражнения 726. Пропорциональны ли величины, указанные в таблице? Объем изделия из бетона (м») 1 2 3 4 5 Масса (т) 2,1 4,2 6,3 8,4 10,5 727. Пропорциональны ли величины, указанные в таблице? Возраст сына (г.) 1 2 3 4 5 6 Возраст отца (г.) 31 32 33 34 35 36 728. Какие величины пропорциональны: а) масса товара и его стоимость; б) длина проволоки и ее масса; в) масса тела и его объем; г) периметр квадрата и длина его стороны; д) площадь квадрата и длина его стороны; е) длина ребра куба и его объем? 729. Одна величина пропорциональна другой. Пропорциональна ли вторая величина первой? Приведите пример. 730. Автомобиль за 2 ч проехал 120 км. Сколько километров он проедет с такой же скоростью за 1 ч; 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч;.0,5 ч; 0,1 ч? 731. 20 тетрадей стоят 10 грн. Сколько стоят 2, 3, 4, 5, 7, 10, 30, 50 таких тетрадей? Уровень А М234 732. Масса 1 л растительного масла равна 0,8 кг. Найдите массу 2 л, 3 л, 4 л, 5 л, 6 л, 7 л масла. Составьте таблицу и запишите значения величин. 733. Из 0,5 т руды можно выплавить 0,3 т чугуна. Сколько тонн чугуна можно выплавить из 1 т, 2 т, 3 т, 100 т такой руды? 734. Масса 2 м^ дров равна 1600 кг. Найдите массу 112 кубометров таких дров. 735. Из 10 кг ржи получается 9 кг муки. Сколько килограммов ржи надо смолоть, чтобы получить 900 кг муки? 736. Велосипедист за 0,3 ч проехал 4,2 км. Сколько километров он проедет за 2 ч, двигаясь с такой же скоростью? 737. Из 100 кг свежих яблок можно получить 5,8 кг сушеных. Сколько сушеных яблок получится из 750 кг свежих? 142 1234567891234 § 21. Пропорциональные величины - ‘ 738. За 8 м ткани уплатили 96 грн. Сколько стоят 15 м такой ткани? 739. На пошив 12 костюмов израсходовали 28,8 м ткани. Сколько таких костюмов можно сшить из 146,4 м ткани? 740. Расстояние на карте между двумя горюдами равно 15 см. Какое расстояние между этими городами, если масштаб карты 1 : 200 000? 741. Масса 3 м льда равна 2,7 т. Найдите массу 20 м льда. 101 Уровень Б 742. Масса 0,25 дм"^ бронзы равна 2,2 кг. Найдите: а) массу 2 м'^ бронзы; б) объем бронзовой детали, если ее масса равна 4,4 кг. 743. Из 20 кг морской воды можно получить 0,5 кг соли. Сколько надо взять морской воды, чтобы получить 45 кг соли? 744. За 24 мин насос откачивает 144 м^ воды. За какое время он откачает 4260 м^ воды? 745. Для покраски 7,5 м^ пола надо 0,75 кг краски. Сколько краски нужно, чтобы покрасить пол, размеры которого 3,15 м и 4,2 м? 746. На пошив 7 костюмов израсходовали 21,7 м ткани. Сколько нужно ткани для пошива 17 таких костюмов? Сколько костюмов можно сшить из 16 м ткани? 747. За 3 ч турист прошел 16 км. За какое время он пройдет 30 км, двигаясь с такой же скоростью? 748. Сколько надо взять картофеля, чтобы получить 100 кг крахмала, если из 30 кг картофеля получается 5,4 кг крахмала? 749. Чтобы получить 60 кг мельхиора, надо сплавить 9 кг никеля, 12 кг цинка, остальное — медь. Сколько килограммов каждого из этих металлов надо взять, чтобы получить 100 кг мельхиора? Упражнения для повторения-^ - 750. Решите уравнение: а) 5,2л:-3,8= 17; б) 3,9 - 1,2х = 0,3. 751. При каких натуральных значениях п верны неравенства: а)п<4,7; б)2,6<п<8,4; в)0<л<67,8? 752. Сумма углов треугольника больше одного из них на 150°, а другого - на 75°. Найдите градусную меру третьего угла этого треугольника. 1234567891234 143 1234i ошения прсшорции 753. Найдите периметр треугольника, если он больше одной стороны на 35 см, другой — на 45 см, а третьей — на 50 см. 754. Сколько оборотов сделает колесо за 1 мин, вращаясь равномерно со скоростью 20° за секунду? 755. Коля идет со школы домой 30 мин, а его брат Витя -40 мин. Однажды Витя ушел домой на 5 мин раньше. Через сколько минут его догонит брат? 756. Джек выше Райда и ниже Барби, с которой сидит рядом, а Альма выше Барби, но ниже Тома (рис. 52). Кого как звать? '891234 Рис. 52 Задачи на пропорциональное деление Существует много задач, в которых требуется разделить какое-то число или значение величины на части, пропорциональные нескольким данным числам. Рассмотрим одну из таких задач. Задача. Проволоку длиной 60 м разрезали на три части, длины которых пропорциональны числам 2, 3 и 5. Найдите длины этих частей проволоки. Решение. Если искомые длины пропорциональны числам 2, 3 и 5, то они равны 2л, Зл и 5л, где л -некоторое число (рис. 53). Следовательно, 2л -Ь Зл + 5л = = 60, Юл = 60, л = 6. Длины частей щюволоки равны 12 м, 18 м и 30 м. 2л Зл 5л I---1-------1----------1 Рис. 53 144 1234567891234 § 22. Задачи на пропорциональное деление Чтобы понять общее правило решения задач на пропорциональное деление, уравнение 2п + Зп + 5п = 60 преобразуем так: 60 (2 + 3+5)п = 60, я = 2+3+5 Тогда искомые значения 2п, Зп и 5п соответственно равны: 60-2 60-3 60-5 2-I-3-I-5 2 + 3 + 5 2 + 3 + 5 Чтобы разделить число на части, пропорциональные данным числам, надо разделить его на сумму данных чисел и найденное частное умножить на каждое из них. Отдельным видом задач на пропорциональное деление являются задачи на нахождение двух чисел по их сумме и отношению. Сравните две такие задачи. Задача 1. Поле площадью 100 га разделили на две части, площади которых пропорциональны числам 2 и 3. Найдите площади этих частей поля. Задача 2. Поле площадью 100 га разделили на две части, площади которых относятся как 2:3. Найдите площади этих частей поля. Решать такие задачи можно двумя способами. Решение. Первый способ. Если площади частей поля пропорциональны числам 2 и 3 (или относятся как 2 : 3), то они равны 2х и 3jc, где х - некоторое число. Общая площадь ноля равна 100 га, поэтому 2jc + 3jc=100, 5л: =100. Отсюда л: = 20. Следовательно, 2л: = 40, Зх = 60. Ответ. 40 га и 60 га. Второй способ. По правилу деления числа на части, пропорциональные данным числам, сразу определяем площади частей поля: 100-2 100-3 = 40, 2 + 3 Ответ. 40 га и 60 га. 2+3 = 60. 1234567S91234 145 12345С Ртношения вропорщш Узнайте больше Иногда говорят о делении числа на части, обратно пропорциональные данным числам. Поделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, — это значит разделить данное число на части пропорционально числам, обратным данным. Например, разделим число 190 на три части, обратно пропорциональные числам 2, 4 и 5. Обратные им числа — i: i: А. Если привести эти дроби 2’4’5 к общему знаменателю и отбросить его, то получим 10, 5 и 4. Теперь надо число 190 разделить на части, пропорциональные числам 10, 5 и 4. Имеем: 190: (10 +5+ 4) =10; 10-10 = 100; 10-5 = 50; 10-4 = 40. Ответ. 100, 50 и 40. Проверьте себя 1. Какие величины называют прюпорциональными? 2. Приведите пример задачи на пропорциональное деление. 3. Что значит разделить число 100 на части, пропорциональные числам 3 и 7? Как это сделать? 4. Как найти два числа по их сумме и отношению? S1234 Выполняем вместе (I) Разность двух чисел равна 13, а относятся они как 7 : 5 (рис. 54). Найдите эти числа. • По условию задачи искомые числа равны 7а и 5а, где а — некоторое число. Кроме того, 7а — 5а = 13, 2а = 13. Отсюда а = 6,5. Поэтому 7а = 45,5, 5а = 32,5. Ответ. 45,5 и 32,5. 13 7а '-------------------'--------1 5а Рис. 54 146 234567891234 § 22. Задачи на пропорциональное деление @ Кабель длиной 92 м разрезали на три части так, что первая и вторая части относятся как 2 : 3, а вторая и третья - как 5 : 7. Найдите длины этих частей кабеля. • Умножим оба члена первого отношения на 5, а второго на 3, получим отношения 10 : 15 и 15 : 21. Следовательно, длины частей кабеля пропорциональны числам 10, 15 и 21, то есть равны IOjc, 15х и 21jc, где х - некоторое число. Поскольку сумма этих длин равна 92 м, то имеем уравнение Юл: + 15л: -t- 21л: = 92, 46л: = 92. Отсюда л: = 2. Тогда Юл: = 20, 15л: = 30, 21л: = 42. Ответ. 20 м, 30 м и 42 м. С Устные упражнения 757. Разделите число 30 на части, пропорциональные числам 1 и 2. 758. Разделите число 50 на части, пропорциональные числам 2 и 3. 759. Разделите число 60 на части, пропорциональные числам: а) 1 и 2; б) 2 и 3; в) 1 и 9; г)3и7; д) 5 и 7. 760. Разделите число 100 на части, которые относились бы как: а) 2 : 8; 6)3:7; в) 1 : 4; г) 2 : 3; д) 7 : 13. 761. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если они пропорциональны числам 2 и 7. 762. Градусные меры смежных углов прюпорциональны числам 1 и 8. Найдите их. 763. Найдите меры углов треугольника, если известно, что их градусные меры пропорциональны числам 1, 2 и 3. Уровень А 764. Веревку длиной 12 м разрезали на две части, длины которых относятся как 2 : 3. Найдите длины частей веревки. 765. Рельс длиной 18 м разрезали на две части, длины которых пропорциональны числам 4 и 5. Найдите длины частей рельса. 766. Разделите число 3000 на две части, щюпорциональные ^гаслам 2 и 3. 767. Разделите число 1001 на три части, пропорциональные числам 1, 2 и 4. 768. Найдите три числа, пропорциональные числам 3, 5 и 8, если наибольшее из них равно 224. 769. Число 9600 разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 8 и 11. Найдите эти числа. 123456789:23- 147 1234567 шения пропорихии Р[ииу 770. Для изготовления фарфора берут 25 частей белой глины, 2 части песка и 1 часть гипса. Сколько каждого из этих материалов надо взять, чтобы получить 280 кг смеси, из которой изготавливают фарфор? 771. Найдите длины сторон треугольника, если они пропорциональны числам 2, 3 и 4, а периметр треугольника равен 36 см. 772. Найдите длины сторон четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 4 и 5, а периметр четырехугольника равен 105 см. О Уровень Б 773. Чтобы изготовить замазку, берут известь, ржаную муку и масляный лак в соотношениях, указанных на диаграмме (рис. 55). Сколько надо взять каждого материала, чтобы изготовить 4,2 кг замазки? 774. Число 200 разделите на три части, пропорциональные числам: ,111 _1 3 5 а)—,-и—; б)—, —и — . 10 5 5 2 4 6 775. Сумма двух чисел равна 600, а относятся они как 2 5 —. Найдите эти числа. 3 6 776. Найдите длины сторюн четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 3, 3 и 5 (рис. 56), а самая длинная сторона больше самой короткой на 12 см. 777. Найдите меры углов треугольника, если они пропорциональны числам 1, 3 и 5, 778. Найдите меры углов треугольника, если один из них в 2 раза больше второго и в 3 раза меньше третьего. 779. Сумма трех чисел равна 24,8. Найдите эти числа, если первое из них относится ко второму как 3 : 5, а второе к третьему как 2:3. /891234«148 1234567891234 -------1 -■ ------------- § 23. Окружность и круг 780. 10 коням на 30 дней нужно 9 ц овса. Сколько овса нужно 24 коням на 36 дней? 781. Найдите три числа, пропорциональные числам 2, 4 и 7, среднее арифметическое которых равно 52. 782. Карту, выполненную в масштабе 1 : 25 000, переделали на карту с масштабом 1 : 10 000. Найдите длину железной дороги на новой карте, если на старой она изображена отрезком длиной 15 см. Упражнения для повторешяй Окружность и круг 783. Округлите числа 2,3094 и 8,7088 до тысячных, сотых, десятых. 784. Найдите сумму, разность, произведение и частное приближенных чисел 0,912 и 1,07. 785. Просклоняйте словосочетание девять процентов. 786. На сколько процентов сумма чисел 3,5 и 2,5 больше их разности? 787. Найдите площадь поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 26 см, 3 дм и 0,4 м. 788. Вчера в классе присутствовало в 8 раз больше учеников, чем 01Х)утствовало. Сегодня не пришли еще 2 ученика, поэтому отсутствующие ученики составляют уже 20 % от присутствующих. Сколько всего учеников в этом классе? Окружность можно начертить циркулем (рис. 57). Если острие циркуля, каким начерчена окружность, находится в точке О, то эта точка — центр данной окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. А отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр, -диаметром. На рисунке 58 точка О -центр окружности, АВ - диаметр, ОА и ОВ - радиусы. В окружности можно провести бесконечно много радиусов и диаметров. Каждый диаметр в 2 раза длиннее радиуса, то есть d = 2г. 1234567891234 149 12345« ;ошенз1я пропорции Форму окружности имеет обруч, обод стакана, экватор и параллели на глобусе и т. п. Чтобы измерить длину окружности, можно вдоль нее положить нить, а потом измерить ее длину. А можно длину окружности не измерять, а вычислять. Ученые еще в древние времена установили, что отношение длины каждой окружности к длине ее диаметра равно одному и тому же числу, приближенное значение которого равно 3,14. Это число во всем мире обозначают буквой к (пи) (см. с. 168). Следовательно, если длина окружности I, а ее диаметр d,TO I: й = ж. Отсюда / = nd. Поскольку d = 2г. то I = 2тгг. Это - формула длины окружности. Длина окружности 1 = 2пг 1 = 2я • 1 М а а2-3,141 ма6,28м ■123' Например, если радиус окружности равен 5 см, то ее длина /а 2-3,14-5 = 31,4 (см). Ответ приближенный, поскольку тг = 3,14. Окружность на плоскости разбивает ее на две области: внутреннюю и внешнюю. Объединение окружности и ее внутренней области называют кругом (рис. 59). Центр, радиус, диаметр круга — это соответственно центр, радиус, диаметр окружности, которая ограничивает данный круг. Площадь круга, как и длина окружности, зависит от длины его радиуса. Доказано, что площадь каждого круга радиуса ОА в л раз больше площади квадрата со стороной ОА (рис. 60). То есть, если радиус круга равен г, то его площадь S = лг^. Это — формула площади круга. Например, если радиус круга равен 10 см, то площадь этого круга S = 3,14 • 10^; S = 314 (см^). 150 1234567891234 § 23. Окружность X круг Часть круга, ограниченная его двумя радиусами, называется круговым сектором. На рисунке 61 изображен круг, разделенный на 3 равные сектора. Подумайте, как можно найти площадь каждого из них, если радиус круга равен 2 см. Рис. 59 Узнайте больше Если круг вращать вокруг его диаметра, то образуется шар. Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок, который соединяет две точки поверхности шара и проходит через его центр, — диаметром шара. Диаметр шара равен двум его радиусам. На рисунке 62 изображен шар с центром О и радиусом ОА. Если через центр шара провести плоскость, то она пересечет шар по кругу, а поверхность шара - по окружности. На географическом глобусе такими окружностями являются экватор и линии меридианов. Поскольку длина окружности радиуса г равна 2тгг, то длина экватора шара радиуса г равна 2т1г. 123456789123ч 151 123451 Раздел юшения пропорвдш Кругами являются также основания цилиндра (рис. 63, а). Разрезав поверхность цилиндра вдоль некоторых линий (каких?), ее можно развернуть. В результате образуется развертка поверхности цилиндра (рис. 63, б). Боковая поверхность цилиндра развертывается в прямоугольник. Основание этого прямоугольника равно длине окружности основания цилиндра. Если радиус основания цилиндра равен г, то длина окружности основания цилиндра - 2кг. Поэтому основание прямоуго.льника, в который развертывается боковая поверхность цилиндра, тоже равно 2кг. Высота этого прямоугольника h — это высота данного цилиндра. Площадь развертки боковой поверхности цилиндра равна 2кгк. Такая же площадь боковой поверхности цилиндра: Sg = 2кг1г. h Рис. 63 Чтобы найти площадь всей поверхности цилиндра, надо к площади его боковой поверхности прибавить площади двух его оснований. Поскольку площадь круга радиуса г равна Kt^, то площадь поверхности цилиндра S = 2Krh + 2к/. Проверьте себя ^891234 1. Что такое радиус окружности? Диаметр? 2. Чему равно отношение длины окружности к ее диаметру? А к радиусу? 3. Запишите формулу длины окружности. 4. Чему приближенно равно число л? 5. Что такое круг? 6. Что такое центр, радиус, диаметр круга? 7. Запишите формулу площади круга. 8. Что называют круговым сектором? 152 1234567891234 § 23. Окружность и круг Ф Выполняем вместе (I) Какой путь проходит за I ч конец часовой стрелки, длина которой равна 30 см (рис. 64)? • Длина окружности, описанной концом стрелки, равна 2л • 30 см = 188,4 см. За час стрелка опишет — часть окруж- ности. Поэтому — • 188,4 см = 15,7 см. С Ответ. ~ 15,7 см. t Устные упражнения 789. Чему равна длина окружности радиуса I см? А радиуса I м? 790. Что больше: длина отрезка 6 дм или длина окружности радиуса 1 дм? 791. Чему равна длина полуокружности (рис. 65) радиуса 1 м? 792. Что больше: площадь квадрата со стороной 1 м или площадь круга радиуса 2 м? 793. Во сколько раз длина окружности радиуса 4 см длиннее длины окружности радиуса 1 см? 794. Каждая вершина квадрата лежит на окружности (рис. 66). Что больше: а) периметр квадрата или длина окружности; б) площадь квадрата или площадь круга, ограниченного этой окружностью? 1234567891234 153 123451 шевия пропорции ции| 795. Разгадайте ребусы. От ® Д’* «’ыз @Ф Уровень А 796. Начертите окружность радиуса 3 см. Обозначьте буквой ее центр, проведите радиус, диаметр. 797. Найдите диаметр окружности, если ее радиус равен: а) 2,5 м; б) 3,4 см. 798. Найдите радиус окружности, диаметр которой равен: а) 7 м; б) 0,35 дм. 799. Начертите окружность. Проведите в ней два взаимно перпендикулярные диаметра. 800. Начертите окружность. Проведите в ней три радиуса так, чтобы они образовали три равных угла. 801. Найдите длину окружности, диаметр которой равен: а) 10 см; б) 4 м; в) 0,5 дм; г) с км. 802. Найдите длину окружности, радиус которой равен: 3 а) 15 мм; б) 12 м; в) 2,5 дм; г) — км. 4 803. Найдите диаметр окружности, длина которой равна: а) 314 см; б) 62,8 дм; в) 0,314 км. 804. Найдите радиус окружности, длина которой равна: а) 31,4 м; б) 0,942 м; в) 0,628 км. 805. Вычислите площадь круга, радиус которого равен: а) 20 см; б) 0,4 м; в) 0,5а дм. 806. Вычислите площадь круга, диаметр которого равен: а) 8 дм; б) 15 см; в) 0,2 м; г) 0,02 км. 807. Площадь круга равна 314 см^. Найдите длину его радиуса. Уровень Б ■П1234 808. Найдите диаметр круга, площадь которого равна 78,5 м1 809. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью длиной 6,28 см. 810. Начертите круг радиуса 2 см и разделите его на четыре равные сектора. Найдите площадь одного сектора. 811. Какой путь проходит за 2 ч конец минутной стрелки, длина которой равна 1,5 см? 154 1234567891234 § 23. Окружнсхлъ и круг 812. Найдите длину ремня, натянутого на два шкива, если радиус каждого из них равен 0,4 м, а расстояние между их центрами - 2,5 м (рис. 67). 818. Чтобы вытянуть ведро воды, надо ручку коловорота повернуть 15 раз. Найдите глубину колодца, если диаметр барабана равен 26 см. 814. На катушку, диаметр которой равен 5 см, намотано 20 витков проволоки. Найдите длину этой проволоки. 815. Диаметр велосипедного колеса равен 8 дм. Сколько оборотов сделает это колесо, если велосипедист проедет 1 км? 816. Модель самолета летает по окружности радиуса 30 м. Какое расстояние пролетит эта модель за 40 оборотов? 817. Радиус одного круга равен диаметру другого. Найдите отношение площадей этих кругов. 818. Сделав необходимые измерения, вычислите площади фигур, изображенных на рисунке 68. 819. Вычислите площадь прокладки, изображенной на рисунке 69, если ОВ = 1 см, ОС = 2 см, ОО, = 6 см. С 820. Практическое задание. При помощи нити и линейки или сантиметровой ленты измерьте диаметр и длину обода: а) стакана; б) блюдца; в) банки; г) тарелки. Найдите их отношение. Результаты запишите в форме таблицы. Упражнения для повторент 821. в трех ящиках всего 58 кг яблок. Сколько килограммов яблок в первом ящике, если в нем столько же яблок, как и во втором, и на 2 кг больше, чем в третьем? 1234567891234 155 123451 пения ’Пропорции г1‘- 822. Тракторист в первый день вспахал 12 га поля, во второй - на 10 % больше, а в третий - на 2 га меньше, чем во второй день. Сколько гектаров он вспахал за три дня? 823. Решите уравнение: а)3,2х + 2,5 = 17,5; б) 1,3^ - 1,3дг = 0. 824. Надя взяла у подруги книгу на 3 дня. В первый день она прочитала половину книги, во второй - третью часть оставшихся страниц, а в третий - половину того, что прочитала за первые два дня. Успела ли она прочитать книгу? 825. Когда купленные на праздник конфеты сестрички раскладывали по две, по три, по четыре, то каждый раз оставалась одна конфета, а когда раскладывали по пять, остатка не было. Сколько всего было конфет? 826. Задача-шутка. Крестьянка продавала яйца. Первый покупатель купил у нее половину всех яиц и еще пол-яйца, второй - половину остатка и еще пол-яйца. После этого осталось одно надбитое яйцо. Сколько яиц продано? Диаграммы 5Э1234 Рисунки воспринимаются и запоминаются лучше, чем слова и цифры. Для наглядного изображения числовых значений различных величин используют диаграммы. Это слово греческого происхождения, оно обозначает «рисунок». Диаграмма - это символический рисунок, который наглядно иллюстрирует соотношение между значениями величин. Чаще всего используют линейные, столбчатые и круговые диаграммы. Линейная диаграмма, как правило, состоит из нескольких отрезков. Например, изображенная на рисунке 70 диаграмма позволяет наглядно сравнить длины наибольших рек Европы. Большему значению длины реки соответствует Волга Дунай Урал Днепр Дон Днестр 3530 км 2857 км 2428 км 2291 км 1870 км 1362 км Рис. 70 156 1234567891234 § 24. Диагр>аммы более длинный отрезок. На этой диаграмме отрезки расположены горизонтально. На других диаграммах их изображают вертикально. Линейная диаграмма на рисунке 71 иллюстрирует, как с годами увеличивалось население Земли (в миллионах). В 1750 г. людей было примерно 730 миллионов, в 1800 г. — 950 миллионов и т. д. В 2000 г. было примерно 6 миллиардов человек. 6000 2500 730 _1_ 950 1250 1650 1750 1800 1850 1900 1950 2000 Рис. 71 Столбчатая диаграмма отличается от линейной тем. что в ней отрезки заменены прямоугольниками. Такой является диаграмма, изображенная на рисунке 72. На ней 2,61 сравнивается численность населения наибольших городов Украины (в миллионах; по данным Всеукраинской переписи 2001 г.). Круговая диаграмма имеет вид круга, разделенного радиусами на части (секторы). Поэтому такие диаграммы 1234567891234 157 1234567 '^Отношения [рропорции 789123^ называют также секторными. На рисунке 73 изображена диаграмма, которая показывает, сколько процентов живет в Украине украинцев, русских и людей других национальностей (данные за 2001 г.). Весь круг соответствует 100 процентам. Иногда диаграмма помогает решить задачу. Пусть, например, надо найти два числа, сумма которых равна 27, а разность — 7. Этой задаче соответствует диаграмма, изображенная на рисунке 74. Первое число больше второго на 7. Если из первого вычесть 7, получим 20 - удвоенное второе число. Таким образом, второе число равно 10, а первое - 17. Так, пользуясь диаграммой, задачу можно решить устно. Русские 17,3% Другие 4,9 % ^27 Рис. 73 Рис. 74 Узнайте больше Иногда на диаграммах вместо столбиков изображают прямоугольные параллелепипеды или цилиндры (рис. 75). При этом придерживаются таких требований: основания таких фигур долясны быть равны, а высоты — пропорциональны соответствующим значениям величин. тыс. 1Ш 2004 158 1234567891234 § 24. Диаграммы Когда хотят изобразить наглядно соотношения между сродными объектами, пользуются кругами, овалами и т. п. Например, соотношения между четырехугольниками, прямоугольниками и квадратами можно изобразить так, как показано на рисунке 76. Такие схематические изображения называют диаграммами Эйлера — в честь известного швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Проверьте себя 1. Что такое диаграмма? 2. Какие бывают диаграммы? 3. Приведите примеры линейной диаграммы. 4. Приведите примеры секторной диаграммы. Ф Выполняем вместе (Т) Постройте столбчатую диаграмму, отображающую площади океанов по данным таблицы. Название океана Площадь, млн кв. км 1 Тихий 179 2 Атлантический 90 3 Индийский 76 4 Северный Ледовитый 16 • Построим на одной прямой равные основания четырех прямоугольников. Пусть площади 10 млн кв. км соответствует прямоугольник, высота которого равна одной клеточке тетради (0,5 см). Высоту столбика, который соответствует площади Тихого океана, найдем из пропорции 10:0,5 = 179: л:. Отсюда х~9 см. Высоты других столбиков: 4,5 см, 3,8 см и 0,8 см. Строим диаграмму (рис. 77). Рис. 77 .234567891234 159 1234667! jW Отношения [пропорции Я91234 @ Постройте при помощи компьютера секторную диаграмму, которая отображает состав винегрета (картофель — 40 г, свекла - 40 г, морковь - 24 г, лук — 10 г, огурец квашеный — 20 г, растительное масло — 4 г). • 1. Включите компьютер, при помощи кнопки «Пуск» создайте новый документ (рис. 78, а). 2. В открытом окне последовательно нажмите кнопки «Вставка» —> «Рисунок» —> «Диаграмма» (рис. 78, б). Рис. 78 3. В новом окне нажмите последовательно кнопки «Диаграмма» «Тип диаграммы» и выберите в мешо «Круговая». 4. Введите в таблицу заданные значения (рис. 79). ш ‘ ■ кпрт(Х|№ЛЬ в свекла □ морковь □ лук Вогурец В масло '» Снек/в : Мсрсоеь Лук | Огурем * М££<ю J ____4#;. . 44 ______10. 20.________4 пт- ,^>1 г |»1 И| ЛЛт о I Км « Рис. 79 5. Сохраните и распечатайте полученное изображение. Оно может быть таким, как на рисунке 79. 160 1234567891234 L "Л § 24. Диаграммы G Устные упражнения 827. На рисунке 75 изображена диаграмма, которая отображает количество футбольных мячей, поступивших в общеобразовательные школы Украины в последние годы. Проанализируйте ее. 828. Найдите значения х, у п z, которые соответствуют диаграмме, изображенной на рисунке 80. X I У Z ' > 25 X I У> Z I >22 а б Рис. 80 829. Проанализируйте диаграмму, которая показывает химический состав пищевых продуктов (рис. 81). а - свинина б - карп Рис. 81 И Уровень А 830. Постройте столбчатую диаграмму численности жителей городов мира по таким данным: население Токио - 26,8 млн, Сан-Пауло - 16,4 млн, Нью-Йорка - 16,3 млн. 831. Постройте линейную диаграмму наибольших лиманов и озер Украины по таким данным: Днестровский лиман имеет площадь 360 км^, озеро Сасик (Кундук) - 210 км^. Молочный лиман — 170 км^, Тилигульский лиман — 160 км^, озеро Ялпуг — 149 км^. 832. В математическом конкурсе участвовало 2720 учеников 5-6-х классов. На диаграмме (рис. 82) показана зависимость количества участников (в %), которые правильно решили задачу, от номера задачи. При помощи этой диаграммы установите: 6 Г. П. Бевз *^Мзтематика', 6 ка 1234567891234 161 1234561 Раздел Отношения и пропориии а) какая задача оказалась самой трудной; б) были ли задачи, которые не решил ни один участник; в) какую задачу правильно решили почти все участники; г) какие задачи решили менее 20 % участников; д) какие задачи решили более 80 % участников; е) какой процент составляют ученики, решившие задачи № 2 и 13; ж) сколько учеников решили задачи № 9, 22, 27? 833. Измерьте рост всех членов своей семьи и постройте соответствующую линейную диаграмму. 834. Постройте столбчатую диаграмму учитывая возраст всех членов вашей семьи. 835. В классе обучаются 32 ученика. Из них шесть учатся на «10-12«>, двенадцать — на «9-11», четверо — на «3-5*, остальные - на «6-8*. Постройте: а) столбчатую диаграмму; б) круговую диаграмму. 836. Одно число больше другого на 5 и меньше третьего на 6, а их сумма равна 52. Найдите эти числа. По условию задачи постройте диаграмму. Решите задачу, пользуясь этой диаграммой. П23< О Уровень Б '5Я 837. Дневную норму пищи врачи рекомендуют распределять так: первый завтрак - 25 %, второй — 15 %, обед -45 % и ужин - 15 %. Изобразите это при помощи круговой диаграммы. 162 1234567891234 § 24. Диаграммы 838. Постройте секторную или столбчатую диаграмму распределения посевных площадей в Украине, если в среднем они такие: 1) озимая пшеница — 23,3 %; 2) другие зерновые — 21,8 %; 3) технические культуры - 11,5 %; 4) кормовые культуры - 37,1 %; 5) картофель и овощи — 6,3 %. 839. На китайском языке разговаривает 701 млн человек, на английском - 386 млн, на русском - 265 млн, на испанском - 245 млн, на хинди - 237 млн, на арабском — 147 млн, на немецком - 119 млн, на французском - 103 млн. Постройте по этим данным столбчатую диаграмму. 840. С помощью географической карты определите расстояние от Киева до областных центров Украины и по этим данным постройте линейную диаграмму. 841. Изобразите при помощи диаграммы Эйлера соотношение между такими объектами: а) животные, собаки, коты, бульдоги; 6) треугольники, прямоугольные треугольники, равносторонние треугольники, равнобедренные треугольники. 842. Практическое задание. Подсчитаемте, сколько часов в сутки вы спите, сколько проводите в школе, сколько выполняете домашние задания, сколько занимаетесь другими делами, и постройте соответствующую круговую диаграмму. Упражнения для повторения 7 1 843. Разместите числа 3,4,3,39, —, 3 — в порядке возрастания. 2 9 844. Весной молодой тополь имел высоту 3,5 м, а за полгода вырос на 25 см. На сколько процентов он вырос за полгода? 845. Из двух городов, расстояние между которыми 400 км, одновременно выехали навстречу друг другу два грузовых автомобиля и встретились через 4 ч. Скорость одного из них 52 км/ч. Найдите скорость другого автомобиля. 846. Площадь квадрата равна 81 см^. НаММдите его периметр. 847. Ученик утверждает: «Еще позавчера мне было 12 лет, а в следующем году мне будет 15 ». При каком условии это возможно? 1234567891234 163 1234567 Отношения пропорции Самостоятельная работа 4 Вариант 1 1°. Замените отношением натуральных чисел отношение: а)-:-; 6)0.7:-; в)1-:2,3. 3 7 4 2 2*. На сколько процентов: а) число 63 больше 50; б) число 80 меньше 200? 3*^. Решите уравнение: X 17 йч 5 1 „ а)— = —; б)—= 1,3. 12 30 JC 4*. Масса 25 м проволоки равна 12 кг. Чему равна масса 40 м такой проволоки? 5*. Найдите длины сторон треугольника, если они пропорциональны числам 3, 5 и 6, а периметр треугольника равен 2,8 дм. Вариант 2 1°. Замените отношением натуральных чисел отношение: ,3 2 ^ я)-:-; 6)0,6:-; 5 7 4 в) 2—: 3,5. 3 .^891234 2*. На сколько процентов: а) число 53 больше 40; б) число 75 меньше 125? 3°. Решите уравнение: а)—= ^; 6)2,5 = -. ДС 16 X 4*. Масса 5 м^ мела равна 12 т. Чему равна масса 24 м® мела? 5*. Найдите длины сторон четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 3 и 4, а периметр четырехугольника равен 75 см. Вариант 3 1°. Замените отношением натуральных чисел отношение: а)-:—; 6)1,2:-; в)2-:3-. 8 14 4 2 3 2*. На сколько процентов: ^ ^ а) число 2,3 больше 1,6; б) число — меньше —? 2 3 164 1234567891234 ' ' ль Готовимся к тематическому контролю 3°. Решите уравнение: 12 JC .,6 Л а)— =—; б)—= 1—. 7 3,5 X 7 4*. Масса 8 см^ серебра равна 84 г. Чему равна масса 0,5 дм'^ серебра? 5*. Найдите длины сторон четырехугольника, если они пропорциональны числам 3, 4, 5 и 7, а периметр четырехугольника равен 3,8 см. Вариант 4 1°. Замените отношением натуральных чисел отношение: 4 7 2 1 2 а)-:-; б)-:2,5; в)3-:2-. 5 8 3 2 3 7 1 2*. На сколько процентов сумма чисел — и — : 5 5 б) меньше их частного? а) больше их разности; 3°. Решите уравнение: а)^ = ^; 6)^ = 2^. X о X 2 4*. Масса 4 м'* антрацита равна 6 т. Чему рав(;н объем 16,5 т антрацита? 5*. Найдите длины сторон четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 5 и 7, а наиболее длинная сторона на 85 см длиннее самой короткой. А Готовимся к тематическому контролю Вопросы для самопроверки 1. Что такое отношение двух чисел? 2. С<})ормулируйте основное свойство отношения. 3. Что такое процентное отношение? 4. Как найти процентное отношение? 5. Сформулируйте определение пропорции. 6. Сформулируйте основное свойство пропорции. 7. Какие величины называют пропорциональными? 8. Приведите примеры пропорциональных величин. 9. Какими способами решают задачи на пропорциональное деление? 1234567891234 165 1234561 Раздел i789123- юшения пропорции Задания в тестовой форме 1. Упростите отношение 0,12 : 0,3. а) 12 : 3; 6)4; в) 2 : 5; г) 5 : 2. 2. Вычислите отношение величин 3 м : 20 см. а) 1,5; 6)15; в) 3,2; г) 32. 3. Какова вероятность того, что Красная Шапочка родилась в январе? ”4’ 4. На каждой грани куба написана одна буква из слова «МОЛОКО». Какова вероятность того, что куб упадет на грань с буквой «О»? а)-; б) i; в)-; г)—. 6 3 2 6 5. Какое число относится к 14 так, как 5 к 7? а) 10; 6)140; в) 7; г) 50. 6. Найдите неизвестный член пропорции 4 : 1,5 = 6 : л:, а) 4,5; 6)1; в) 22,5; г) 2,25. 7. Какой процент всхожести ржи, если из 200 высеянных зерен взошло 188? а) 98%; 6)96%; в) 94%; г) 92%. 8. На сколько процентов число 45 меньше числа 50? а) на 5 %; 6) на 10 %; в) на 15 %; г) на 20 %. 9. Разделите число 120 на части, пропорциональные числам 3 и 5. а) 40 и 80; 6) 45 и 75; в) 35 и 85; г) 30 и 50. 10. Найдите длину окружности, радиус которой равен 2 см. а) =1,256 см; 6) = 6,28 см; в) =12,56 см; г) = 62,8 см. Типовые задачи 1°. Составьте пропорцию из чисел 3, 5, 6 и 10. 2°. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции: а) jc: 3 = 8 : 5; б) 1,2 : jC = 0,3 : 2,5; в) 3,2 : 0,6 = 40jc ; 5. 3°. Вычислите площадь круга радиуса 5 см. 4°. В мешочке 8 белых и 7 красных шариков. Какова вероятность того, что взятый наугад шарик окажется красным? 5*. Найдите диаметр окружности, длина которой 62,8 см. 6*. За 5 ч трактор может вспахать 4 га поля. Сколько гектаров поля он вспашет за 7 ч? 166 1234567891234 Исторические сведения 7*. Сплавили 1,2 кг цинка и 3,8 кг меди. Какой процент сплава составляет цинк? 8*. В классе 36 учеников. В первом семестре по математике четыре из них получили 12 баллов, три — 10 баллов, десять - 9 баллов, девять - 8 баллов, пять — 7 баллов, а остальные - 5 баллов. Постройте соответствующую секторную или столбчатую диаграмму. 9**. Семья полу^1ила новое жилье в 80-квартирном доме. Какова вероятность того, что номер новой квартиры будет содержать цифру 5? -j—и ,—f- 10**. Для праздничной распродажи цену на товар снизили сначала на 10 %, а потом еще на 20 %. На сколько про-j;eHTOB снизилась цена после двух переоценок? i Исторические сведения О'гношения чисел интересовали ученых Египта и Вавилона еще 4000 лет назад. Математики Древней Греции исследовали в основном отношения отрезков. А поскольку длины отрезков выражаются числами, то все их знания об отношении отрезков верны и для отношения чисел. Пропорции также были хорошо известны египтянам, вавилонянам и грекам. В знаменитом труде «Начала» Евклида (IV в. до н. э.) им посвящена вся пятая книга. В частности, в ней обосновано и много «производных пропорций», которые вытекают из какой-то данной. Самой прекрасной пропорцией древние греки считали «золотую пропорцию», когда отрезок длиной т + п делят на две части тип так, что {т + п): т = т : п (рис. 83). При этом т п а 1,618. Такую пропорцию называли также «божественной пропорцией»; считали, что ей соответствуют наиболее совершенные творения природы и шедевры художников. т п Рис. 83 Окружность и круг людям были известны еще в древние времена. Раньше люди не различали окружность и круг. Например, пели: «Ой зшди, зшди, ясен мюяцю, як млино-вее коло». Хотя «повний м1сяць» и «мJшнoвий кам1нь» имеют форму круга, а не окружности. Происхождение слова « коло» украинское и очень древнее. 1234567891234 167 1234567 Раздал ^ Отношения - ИПрОПОрШО! В наших краях еще несколько тысячелетий назад женщины носили украшения, которые имели детали в виде окружностей (рис. 84). И колеса колесниц мастеровые люди умели изготовлять еще несколько тысячелетий до новой эры. Изобретение колеса — большое открытие. Сначала люди пользовались катками, потом, чтобы катки не переносить, додумались вставлять их в прорезы, словно в подшипники. Со временем колеса начали изготовлять отдельно от оси, но из сплошного дерева. Только позже научились изготовлять колеса со спицами, которые были больше, легче и к^юпче. Схематически историю изобретения колеса показано на рисунке 85. Рис. 84 >7891234 Рис. 85 Интересная история числа я - отношения длины окружности к ее диаметру. Ученые Вавилона считали, что я = 3. Древние египтяне знали более точное значение этого числа: 3,16. 22 Древнегреческий ученый Архимед нашел, что я = —, поэтому это число называют архимедовым. Приближенно оно равно 3,14. Для решения большинства практических задач такой 'гочности достаточно. Но со временем китайские, европейские и другие математики находили все больше и больше десятичных знаков числа я. Сейчас доказано, что оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью: я = 3,1415926536... . 168 !234567891234 Главное в разделе 3 Главное в разделе 3 Частное от деления двух чисел называют также их отноше- а нием. Отношение чисел а и 6 - это а : h, или — • Каждая обыкно- о венная дробь является отношением ее числителя к знаменателю. Основное свойство отношения. Значение отношения не изменится, если оба члена умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Например, 300 : 500 -3:5. Отношение дробных чисел всегда можно заменить отношением натуральных чисел. Например, 3 7 21 21 Процентным отношением называют отношение, выраженное в процентах. Например, 3:15 = 0,2 = 20 %. Вероятностью события называют отношение количества благоприятных для него результатов к количеству всех возможных результатов. Например, вероятность того, что подброшенная монета упадет кверху гербом, равна 0,5. Отношение длины каждой окружности к ее диаметру равно числу к, которое приближенно равно 3,14. Длину I окружности и площадь S круга находят по формулам I = 2пг, S = яг , где г -радиус. Равенство двух отношений называют пропорцией. Примеры пропорций: 6:8 = 3:4; 2^ = 1; 2 = А; 12 : (а - 2) = 4 : 7. 40 8 X 15 Основное свойство пропорции. Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних. То есть, если а : Ь = с : d, то ad = Ьс. Две величины называют пропорциональными (прямо пропорциональными), если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения другой увеличиваются во столько же раз. Например, стоимость товара пропорциональна его количеству, пройденный автомобилем путь (при равномерном движении) пропорциональный времени движения. Если величины X и у пропорциональные, то у = kx. Чтобы разделить число на части, пропорциональные данным числам, надо разделить его на сумму данных чисел и умножить на каждое из них. Разделим, например, число 540 на три части, пропорциональные числам 2, 3 и 5. 2 + 3 + 5= 10, 540: 10 = 54. Умножив 54 на 2, на 3 и на 5, имеем: 108, 162 и 270. ;2Г 156789123'^ 169i 234Р : Раздел Рациональные числа Число высвечивает глубину мироздания. Г. Лейбниц § 25. Положительные и отрицательные числа Этот раздел содержит очень важный и нужный материал. Натуральные и дробные числа, с которыми вы имели дело до сих пор, были известны людям более 4 тысячелетий назад. А отрицательные числа вошли в математику намного позже — несколько веков назад. Основное содержание этого раздела такое. • Положительные и отрицательные числа. • Действия с положительными и отрицательными числами. • Преобразование простейших выражений. • Перпендикулярные и параллельные прямые. • Координатная плоскость и графики. Весь эт'от материал является фундамеш'ом математики, физики и других наук, которые вы будете изучать в последующих классах. Положительные и отрицательные числа Существуют числа, значения которых меньше 0. Их иазътвакуг отрицательными числами. Например, отрицательными числами обоз1та-чают значение температуры. Температура, при которой начинает замерзать вода — о градусов по Цельсию ("С). А бьшает еще холодней. Тогда столбик ртути в термометре опускается ниже отметки 0 °С. Если столбик ртути размещен так, как на ри-cjnHKe 86, то говорят, что термометр показывает «4 градуса мороза», или «4 градуса ниже нуля», или «минус 4 градуса». Пишут: -4 °С. Иногда передают такие сведения о погоде: «В Ялте сегодня 5 градусов, в Одессе — 0 градусов, в Харькове - минус 2 градуса, в Киеве -минус 3 градуса». Эти значения температуры можно записать так: 5, 0, -2, -3 градуса. Числа 5 и о вам уже известны. А числа -2 и -3 — примеры отрицательных чисел. --3 - , --4 - ■ —8 Рис. 86 123чСо789123': 171 12345е Раздел Рациональные числа Отрицательные числа записывают со знаком минус «—». Приводим еще примеры отрицательных чисел: -6; -7; -12; -137; -|;-5^;-3,2; -0,08. Те числа, что рассматривались раньше (кроме 0), теперь будем называть положительными числами. Иногда положительные числа пишут со знаком плюс «-ь». Число о — ни положительное, ни отрицательное. Все положительные числа вместе с нулем называют неотрицательными. h 30 - 20 - 10 - о - - 10 - -20 - -30 Рис. 87 СИ'рицательными и положительными числами обозначают не только значения температуры, но и расположение местности над уровнем моря (рис. 87), изменение количества денег в кассе (задача 857), они используются также во многих других случаях. Узнайте больше 391234 Обратите внимание на правильное произношение положительных и отрицательных чисел. Например, а = 10 —а равно десяти; дс = —14 - X равно минус четырнадцати; о 2,5 — с больше двух целых пяти десятых; п < — 7 — п меньше минус семи. Названия знаков чисел («-)-» и «-») не склоняются. Например, минус три, минус трех, минус трем и т. п. 172 1234567891234 § 25. Положительные и отрицательные числа Проверьте себя 1. Приведите примеры отрицательных чисел. 2. При какой температуре начинает замерзать вода? 3. Положительное или отрицательное число О? 4. Какие числа называют неположительными? 5. Как называют вместе положительные числа и число О? Ф Выполняем вместе (I) Просклоняйте словосочетание «положительная разность», «минус семь». • И. положительная разность Р. положительной разности Д. положительной разности В. положительную разность Т. положительной разностью II. положительной разности минус семь минус семи минус семи минус семь минус семью минус семи С Устные упражнения 848. Прочитайте числа 3, -7, - 12, 52, 0,3, 2 7 —,--, — 2,9. Какие из них положительные, 3 12 а какие - отрицательные? 849. Сколько градусов показывает термометр, изображенный на рисунке 88? Сколько он будет показывать, если температура снизится на 3 °С? А если на 5 °С? 850. Просклоняйте словосочетания «положительное число», «отрицательный множитель». 851. Верно ли, что число 0 - число неположительное? Является ли число 0 неотрицательным? 852. На географических картах возле горы Говерлы и берега Каспийского моря написаны числа 2061 и -28. Что они означают? 6 5 4 3 2 1 О -- 1 --2 --3 --4 --5 --6 --7 --8 «) Рис. 88 1234567891234 173 1234£ Раздел ^ Рациональные числа 1234 853. Поворот шкива на 80° в направлении вращения часовой стрелки обозначают так: +80”. А как обозначить поворот шкива на 90° в противоположном направлении (рис. 89)? О Уровень А 2 3 1 854. Какие из чисел 3, -8, —109, —,—,0,-2—,-32,6 не- 7 8 3 отрицательные? Выпишите их. 855. Нарисуйте схематически термометр, который показывает-? °С. Сколько градусов он будет показывать, если температура повысится на 4 "С? А если снизится на 3 °С? 856. Запишите, используя отрицательные числа: а) 17 градусов мороза; б) 100 м ниже уровня моря; в) 5 градусов ниже нуля. 857. Деньги, вложенные вкладчиком в банк, кассир записывает со знаком «+», а взятые из банка - со знаком «-». Как изменилась сумма денег в кассе после того, как кассир обслужил пять вкладчиков (см. таблицу)? Вкладчик Денежная операция 1 + 300 2 -250 3 -200 4 + 700 5 -400 858. Просклоняйте словосочетания «минус двести», «минус три седьмых». О Уровень Б 859. В школу за год поступило а учащихся, а выбыло из нее Ь учащихся. На сколько изменилось количество учащихся за год? Объясните смысл ответа, если: а) а = 40, Ь = 23; б)а = 37, Ь = 45; в) а = 53, 6 = 53. 174 1234567891234 § 25.Полсхясительные и отрицательные числа и 860. Каждый ученик должен отрезать планку длиной 250 мм. Измерив отрезанные учениками планки, учитель записал результаты в таблицу. Объясните, что обозначают эти записи. Кто из учеников допустил наибольшую погрешность? Какой длины планку отрезал каждый ученик? Ученик Погрешность (мм) Адамчук -2 Белый + 1 Бойко + 2 Величко -3 Гришко -1 861. Практическое задание. Измерьте толщину своих >д1ебников в миллиметрах (без обложки), запишите данные в таблицу. Найдите среднее значение толщины учебника и определите, на сколько толщина каждого учебника отличается от среднего значения. Мате- матика Исто- рия Русский язык Иностранный язык Среднее значение Толщина Разность Упражнения для повторения 862. Постройте прямоугольный 7реугольник, меньшие стороны которого равны 3 см и 4 см. Найдите его площадь. 863. От поля, площадь которого равна 12 га, отделили участок в форме прямоугольника, размеры которого равны 60 м и 50 м. Найдите площадь оставшегося участка. 864. При каком значении с значения выражений 5,8 и 3,7с — 2 равны? 865. Сколько суток прошло от 1 января 2000 г. до сегодняшнего дня? 866. Можно ли выбрать из таблицы 1 3 5 7 9 11 13 15 пять чисел, сумма которых равна 30? 867. Существует ли прямоугольный параллелепипед, длина ребер и площадь поверхности которого выражаются нечетными натуральными числами? 125 Раздел (а Рациональные числа 868. а) Е[ачертите прямой угол АОВ и проведите все1)едине него луч ОС так, чтобы меры углов АОС и СОВ относились как 2 : 3. б) Начертите прямой угол КРТ и проведите луч РМ так, чтобы меры углов КРМ и МРТ относились как 1 : 3. Рассмотрите все случаи. ф Координатная прямая Посмотрите на линейку с делениями. Е]е штрихи (черточки) делят линейку на равные деления. Большие штрихи обозначают числа О, 1, 2, 3, ... . Расстояние между каждыми двумя соседними большими штрихами равно 1 см. Малым штрихам также соответствуют числа, но дробные (рис. 90). Все нанесенные на линейку штрихи образуют шкалу. Шкала линейки содержит штрихи, которым соответствуют только неотрицательные числа. А на шкале термометра есть штрихи, которым соответствуют и отрицательные числа (см. рис. 88). 0,1 0,5 0,8 2,9 V\/ / 1 2 3 ;i234 Рис. 90 Для математики наиболее пригодна прямолинейная шкала с равными делениями, бесконечная в обе стороны. Вы уже знаете, что такое координатный луч (вспомните!). На координатный луч чем-то похожа и координатная прямая. Представим себе прямую (бесконечную). Обозначим на ней какую-либо точку О - это начало отсчета. Справа от нее на равных расстояниях друг от друга обозначим точки и поставим им в соответствие числа: 1, 2, 3, 4, ... . На таких же расстояниях друг от друга обозначим на прямой точки слева от точки О и поставим им в соответ- 176 1234567891234 § 26. Координэтпах прямая ствие числа: —1, -2, -3, -4,... (рис. 91). Такую прямую называют координатной прямой. —I----1---1---h- -6 -5 -4 -3 -I---1--> ♦- 2-1 О 1 Рис. 91 н— 2 3 4 -н- 5 6 Направление вправо от начала отсчета называют положительным, на координатной прямой его обозначают стрелкой. Каждому числу на координатной прямой соответствует определенная единственная точка. Например, на координатной прямой, изображенной на рисунке 92, числу 2 соответствует точка А, числу —3 - точка В, числу — — точ- 2 ,1 ка С, числу 3— — точка D. Говорят, что координата точки А 3 равна 2, координата точки В равна -3 и т. д. Пишут: А(2); В(-3); С В I2j О С ,D К) 0(0). D -4 -3 -2 -1 О 1 Рис. 92 Координата точки О — число О. Это - начало координат. Отрезок, концы которого имеют координаты О и 1, принимают за единичный отрезок (рис. 93). Начало координат Единичный отрезок -I- -2 -1 О Рис. 93 Расстояние между точкой 0(0) и точкой В(-3) (рис. 92) равно трем единичным отрезкам. Пишут ОВ = 3 ед. отр. Если длина единичного отрезка равна 1 см, то ОВ = 3 см. За единичный отрезок можно взять и любой другой, в частности, длиной 1 дм, 5 мм. Например, на рисунке 93 длина единичного отрезка равна 1,7 см. 123456789123^: 177 123456 Раздел Рациональные числа Узнайте больше Своеобразной координатной прямой является лента времени, на которой изображают годы и столетия (рис. 94). Христиане за начало отсчета времени берут день рождения Иисуса Христа (Рождество Христово). Время после этого дня называют новой эрой, а до него — до новой эры. Вместо до новой эры сокращенно пишут до н. э. или до Р. X. до н. э. начало н. э. Рис. 94 н. э. В Западной Европе такой отсчет времени введен с XVI в., а у нас (бывшей Российской империи) - только в 1700 г. До этого восточные славяне счет годам вели «от сотворения мира». Считали, что мир был создан 5508 лет до н. э. % Проверьте себя 1. Что вы знаете о штрихах и делениях на шкале линейки? 2. Как можно начертить координатную прямую? 3. Как на координатной прямой обозначают положительное направление? 4. Какую координату имеет начало координат? 5. Что такое единичный отрезок координатной прямой? Л2? Выполняем вместе (I) Длина единичного отрезка координатной прямой равна 2 см. а) Чему равно расстояние между точками А{-2) и В(3)? б) Найдите координату точки С - серюдины отрезка АВ. • а) Начертим координатную прямую и обозначим на ней точки А(-2) и В(3) (рис. 95). Видим, что в отрезке АВ 178 1234567891234 § 26. Координатная прямая вмещается ровно 5 единичных отрезков. Поэтому АВ = 2 см • 5 = 10 см. б) Точка С - середина отрезка АВ -расположена так, как изображено на рисунке 95. Координата точки С равна 0,5. А -*—ь С В -2-10123 Рис. 95 С Устные упражнения с помощью координатной прямой (рис. 96) дайте ответы на вопросы (869—874). 869. Какие координаты точек: А, В, С, К, Р? 870. Е]сть ли точки с отрицательными координатами на отрезке: АВ, АС, ВР7 871. Какая координата середины отрезка: СВ,АК, ВР, СК7 872. Сколько единичных отрезков содержит отрезок: АВ, АК, СКЧ 873. Какой отрезок длиннее: АВ или СКЧ 874. Какая координата точки X, если точка О - середина отрезка ХВЧ 875. Чему равна длина отрезка АВ (рис. 97)? 876. Имеет ли шкалу кантар (безмен) — ручные пружинные весы (рис. 98)? Определите массу груза. 877. Почему на шкалах весов нет штрихов с отрицательными числами? Может ли масса какого-то предмета выражаться отрицательным числом? О В К Р V-— о 1 2 Рис. 96 т £ J Рис. 97 Рис. 98 .234567891234 179 123456i Раздел ^ Рациональные числа О Уровень А 878. Начертите координатную прямую и обозначьте на ней точки с координатами: 2, 5, —1, -3, -5. 879. Начертите координатную прямую и обозначьте на ней точки А(3), В(5), С(-2), £)(-4). 880. Длина единичного отрезка координатной прямой равна 1 см. Чему равно расстояние между точками: а)Л(2)иВ(5); б)/1Г(-1) и Р(3); в) М(-5) и N(-8)? 881. Длина единичного отрезка координатной прямой равна 5 мм. Чему равно расстояние между точками: а)Щ-2)иТ(4); б) М(6) и С(-3); в) Р(-4) и Q(-1)? 882. На координатной прямой даны точки А(-1) и В(7). Найдите координату середины отрезка АВ. 883. Какая из точек К(-4), Р(-3), Т(3), М(2) расположена ближе всех к точке 0(0)? А к точке С(-2)? 884. Дано точки А(2) и М(4) (рис. 99). Найдите координату такой точки В, для которой: а) В - середина отрезка AM; б) Л — середина отрезка ВМ; в) М - середина отрезка ЛВ. Л М —*— -2-1 О 1 8 Рис. 99 885. Дано точки АГ(-З) и М(0). Найдите координату такой точки Р, для которой: а) К — середина отрезка РМ; б) Р - середина отрезка КМ; в) М - середина отрезка КР. О Уровень Б Z891234 88в. Дано точки Л(-3), В(-1), 0(0), С(4). Длина какого из отрезков АВ, АО, АС, ВО, ВС, ОС наибольшая, а какого -наименьшая? Сделайте рисунок. 887. На координатной прямой обозначены точки М(4) и Н(6). Длина отрезка МН равна 5 см. Найдите: а) длину единичного отрезка этой координатной прямой; б) длину отрезков ОМ и ОН; 180 1234567891234 § 26. Координатная прямая в) расстояние между точками АГ(9) и Н{6); г) расстояние между точками Р(-4) и ЛГ(9). 888. Дано точки А\ \bU] / иС / 1 sj V '1} Найдите длины отрезков АВ, АС и СВ, если длина единичного отрезка равна 1 см. 889. Длина единичного отрезка координатной прямой равна 2 см. Найдите расстояние между точками: а)Л|^|иВ|~1; б) К ( 2^ f 3 -3- и в 2- 1 1 Ч 890. Точки А и В называются симметричными от носитель но точки М, если точка М - середина отрезка ЛВ. Обозначьте на координатной прямой точки К иР, симметричные точкам Л(-2) и С(4) относительно начала координат. 891. Сравните отрезки КР и ЛС задачи 890. Симметричны ли относительно точки 0(0) середины этих отрезков? 892. Дано точки Л(-3) и В(2). Укажите на координатной прямой 'точку С, симметричную точке Л относительно В. Найдите координату точки С и отношение длин отрезков ЛС и ВС. 893. Перерисуйте в тетрадь рисунок 96. Обозначьте точки, симметричные заданным, относительно начала координат. 894. Практическое задание. Нарисуй'то в тетради шкалу одного из домашних бытовых приборов, используемых для измерения величин, которые могут иметь как иоло-жи'гельные, так и отрицательные значения. Упражнения для повторения 895. На сколько сумма чисел 3,6 и — больше: а) их разности; б) их произведения? 896. Постройте TpeyiTOjibHHK по двум его сторонам, длины ко'горых равны 4 см и 5 см, и углу 60'' между ними. 897. Существует ли треугольник со сторонами, длины которых равны 2,5 м, 4,7 миЗ,7 м? Почему? 898. Какое наименьшее значение может иметь выражение X + 16? А выражение (л: Ч- 16) ? 899. Два товарных поезда длиной 250 м каждый едут навстречу ДРУ1' другу со скоростями 50,5 км/ч. Через сколько секунд после встречи их машинистов встретятся кондуктора последних вагонов? 1234567891234 181 123456' Раздел Рациональные числа Целые и дробные числа Числа 3 и -3 отличаются только знаками. Точки с такими координатами расположены по разные стороны от точки О и на одинаковых расстояниях от нее. Такие числа называются противоположными: число 3 противоположно числу -3, а -3 противоположно числу 3. Противоположными являются также числа: —15 и 15, -и-—, 6,7 и-6,7, -2—и 2—. 3 3 3 3 Для каждохю числа существует только одно противоположное ему число (рис. 100). Число 0 противоположно самому себе. противоположные числа f > -2,5 -1 1 2,5 о Рис. 100 П1ЮТИВОПОЛОЖНЫМИ натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... являются числа -1,-2, -3, - 4,—5,-6, ... . Натуральные числа, противоположные им и число 0 вместе называют целыми числами. Существуют три вида целых чисел: целые положительные (натуральные), целые отрицательные (-1, - 2, -3, -4,...) и о. Кроме них, есть и дробные положительные и отрицатель- 13 3 ные числа. Например, —; —; 2 —; -8,5. 2 5 4 Целые и дробные числа вместе называют рациональными числами (рис. 101). отрицательные числа положительные числа чО, 5 -4 -3 -2 -1 4 12 3 ' числонуль рациональные числа Рис. 101 Соотношения между упомянутыми видами чисел можно изобразить такой схемой. -012341182 1234567891234 § 27. Целые и дробные числа 6 10 Примечание. Числа — и---записаны в виде дробей, 3 5 но они не являются д1Х)бными числами. Это целые числа 2 и -2. Ни одно дробное число не является целым, и пи одно целое число не является д1Х)бным. Узнайте больше Все целые числа образуют множество целых чисел. На координатной прямой целым числам соответствуют точки, которые расположены равномерно и бесконе^шо далеко вп1)а-во и влево от начала координат. Множество рациональных чисел - это совокупность целых и дробных чисел. Каждому рациональному числу на координатной прямой соответствует единственная точка. Точки с рациональными координатами расположены на координатной прямой очень плотно, между любыми двумя из них находится бесконечно мнош дру1’их точек с рациональными координатами. И все же на координатной прямой точек, координаты которых — не рациональные числа, еще больше. Об этом вы узнаете в 8-м классе. % Проверьте себя 1. Какое число противоположно числу 7? А числу -7? 2. Как называют числа, противоположные натуральным числам? 3. Какие числа называют целыми отрицательными? А це-jEbiMH неотрицательными? 4. Какие числа называют целыми? 5. Какие числа называют рациональными? 12345678912; 183 123ч Раздел (а Рациональные числа Выполняем вместе (Г) Противоположные ли числа 0,2 и -—? 5 • 0,2 и ^ — разные обозначения одного и того же числа, 0,2 =—. Поэтому числа 0,2 и —— противоположные. 5 5 (2)Точки A(x) и В(-3) имеют противоположные координаты. Найдите значение х. Сколько единичных отрезков содержится в отрезке АБ? • Поскольку числа дг и -3 противоположные, то дг = 3. Начертим координатную прямую и обозначим на ней точки А(3) и Б(-3) (рис. 102). С рисунка видно, что отрезок АВ содержит 6 единичных отрезков. В А W:234 -3 о Рис. 102 С Устные упражнения 900. Какие из утверждений верные: а) каждое натуральное число - число целое; б) каждое натуральное число - число рациональное; в) каждое целое число — число рациональное; г) если рациональное число не целое, то оно дробное; д) если рациональное число не дробное, то оно целое? 2 3 2 3 901. П1ЮТИВОПОЛОЖНЫ ли числа — и — ? А числа — и —? 3 2 3 2 902. На координатной прямой (рис. 103) обозначены точки А(а), B(fc), С(с). Какие из чисел а, Ь и с противоположны друг другую А(а) В(Ь) С{с) а о Рис. 103 903. Верно ли, что числа х и -дг противоположны при каждом значении х? 184 2345t/H<;;234 § 27. Целые и дробные числа Уровень А 904. Запишите числа, противоположные числам — 0,08,19, -37, -435, 1015, -5,1, -—, -3-, 2-, 15 9 3 5 905. Запишите все натуральные числа, меньшие, чем 4, и противоположные им числа. 906. Напишите пять целых чисел, которые не являются натуральными, а также противоположные им. 907. Запишите число: 5 5 а) противоположное числу —; б) обратное числу —. 908. Противоположные ли числа: а) 0,4 иб) 1,5 и в)-1,2 и О ^ о г) -1,5 и —? 2 909. Выберите и запишите пары противоположных чисел: 24; 2^; 2,25; -0,1; -24; -2^; 0,9; 3,4; |; 0,1. 4 5 2 4 5 910. На11дите координату середины отрезка с концами в точках А(а) и В(Ь), если числа а и Ь противоположные. Сделайте рисунок. 911. Обозначьте на координатной прямой точки с координа- . - 6 24 ..15 12 _ 3 тами: а) 3; —; —■; б) —;---; 1,5; —. 2 8 10 8 Уровень Б 912. Пользуясь координатной прямой, обоснуйте утверждение: а) число, противоположное положительному, — отрицательное; б) число, гцютивоположное отрицательному, — положительное; в) если число а противоположно числу Ь и число Ь противоположно числу с, то а = с. 913. Верно ли равенство: а)-(+1,7) = -1,7; б)-(-5) = + 5; в)-(-2,5) = 2,5; г)-(+129) =-129? 1234567891234 185 12346 Раздел Рациональные числа 914. Вычислите значение выражения - а, если: а)а = 3; б)а = -5; в) а = -1,7; г) а = 297. О 15 915. Какие из чисел 3, -17, —, 0,7, 2,4,-1001, -3—, — целые? 4 2 5 4 10 27 _2 18 ^ „ 916. Какие из чисел —,-, —, 3—,---дробные? 2 5 3 3 9 917. Натуральным, целым или дробным является число: а)-5; 6) 1 234 567; в)- 102 г) 135 Д)-3,5? 34 15 918. Сколько существует точек с целыми координатами на координатной прямой между точками А(-4) и В(5)? 919. Сколько существует точек с целыми координатами на координатной прямой слева от точки 0(0)? А справа от точки М(1000)? Приведите примеры. 920. Найдите дс, если: a)-jc = 5,l; б)-дг = -293; в)-(-д:) = 45; r)-x = -5—; д)-(-х) =—; е)-д: = 53—. 3 39 7 Упражнения дляловтореиш^. 921. Вычислите: а)|6,5 + ^ 1-0,8+ 4,2"; б) 0,3"'-0,3"-0,3-0,3^ 123^ 922. На сколько треть числа 22,8 меньше его половины? 923. Сколько процентов составляют: а) 12 от 240; б) 35 см от 4 дм; в) 3 т от 25 ц? 924. Найдите число, 0,5 % кото^юш составляют: а) 0,5; б) 1. 5 925. Найдите все целые числа, которые больше — и меньше 37 —. Сколько среди них натуральных чисел, скодшко простых? 5 _ 926. Периметр прямоугольника равен 38 дм, а сто1юны относятся как 9:10. Найдите его площадь. 927*. Перерисуйте в тетрадь рисунок 104. Запишите в пустых клеточках такие числа, чтобы суммы чисел в каждой строке и в каждом столбике равнялись 10. 186 1234567891234 Рис. 104 § 28. Модуль числа Модуль числа Расстояние от начала координат до точки с координатой а называется модулем числа а. При этом считается, что за единицу длины принято длину единичного отрезка. Например, модулем числа 4 является число 4, модулем числа - 4 также является число 4 (рис. 105). А(-4) -*---1— V______ о В(4) ■~\г- 4 ■V" 4 Рис. 105 Какими бы не были противоположные числа, их модули равны. Например, модуль каждош из чисел -12 и 12 равен 12, модуль каждого из чисел 0,9 и -0,9 равен 0,9. Модулем неотрицательного числа является само число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число. В(-2) о А(3)_ ~v 1-21 = 2, 13| = 3 Модуль числа а обозначают так: |-2б| = 26;|3,8| = 3,8; ~ Модуль любого числа - число неотрицательное. а|. Например, =^;|о| = о. Понятие модуля в математике используют очень часто. В частности решают уравнения и неравенства с модулями. 1234567891234 187 123451 Раздел /it Рациональные числа U23- Уравнение |x| = 3 имеет два решения: 3 и - 3. На координатной прямой решения обозначены точками (рис. 106). Неравенству дг < 3 удовлетворяет каждое число, меньше 3, но больше —3. На координатной прямой точки, которым соответствуют эти числа, изображены утолщенным отрезком без концов (рис. 107). -3 о 3 Рис. 106 Узнайте больше -3 о Рис. 107 Словол/о^//.«ь ла'1’инскогоп1х>исхождения: «modiiliis» - мера. Это слово в разных значениях используют не только в математике, но и в технике, архитектуре, во многих дру1'их науках и отраслях производства. От этого слова п1юисходят также слова мода, модель. Еще совсем недавно вместо «модуль числа» говорили абсолютная величина числа. Так раньше называли «числа без знаков», противопоставляя им относительные числа -числа со знаками. Теперь термины «относительные числа» и «абсолютная величина числа» устарели. т Проверьте себя 1. Что такое модуль числа? 2. Модуль какого числа равен 0? 3. Чему равен д:, если |х| = 6? 4. Верно ли, что модуль любого числа — число положительное? Приведите контрпример. Ф Выполняем вместе (Т) Вычислите значение | д: + 5|, если: а) дг = 2; б) д: = 0. • а) Если д: = 2, то |jc -Ь 5| = |7| = 7; б) если JC = о, то |0 -Ь 5| = |5| = 5. (2) Найдите два решения уравнения |д:| = 15. • |15|=15и| —15|=15, поэтому числа 15 и -15 являются решениями этого уравнения. 188 1234567891234 § 28. Модуль числа С Устные упражнения 928. Какие из утверждений верны: а) если модули двух чисел равны, а их знаки разные, то эти числа противоположные; б) числа с неравными модулями не мох’ут быть противоположными; в) если модули двух чисел равны, то эти числа равны или противоположны? 2 9 929. Найдите модули чисел: 6; -9; -37; 4,5; —;- 3 13 930. Просклоняйте слово модуль. 931. Вычислите: а)|-3| + |3|; б)|—2|-|-3|; в)|5| -li. 3 1-4. О Уровень А 932. Имеет ли решение уравнение: а) |д:| = -1; б) |-л:| = 2? 933. Существует ли такое значение х, при котором: а)|д:|<0; 6)1jc|<-1; в) |х| > 1 000 000? 934. Найдите сумму, разность, произведение и частное модулей чисел - 5 и 2. 935. Вычислите значение выражения: а)1-2| + |-7|; б) |-4l • |-15|; в) |-IBj: |-9|. 936. Запишите отрицательное число, модуль кото1Х)го равен: а) 7; 6)0,12; в) 305. 937. Верно ли, что расстояние между точками Л(“8) и 0(0) равно |-8|? Чему равно расстояние между точками: а) 0(0) и В(0,25); б) С(- 0,25) и В(0,25)? 938. Чему равен |дг|, если |-х| = 203? или Р\ — 4 939. Какая из точек К I I --1 sj расположена ближе к точке 0(0)? Покажите на рисунке. 940. Какие неравенства верны: а)|-2|<|3|; б)|5|<|-17|; в) 12 11 П 12 941. При каких значениях х верно неравенство л: < |л:|? 942. Существует ли такое значение д:, для которого верно неравенство х > |д:|? 943. Решите уравнение: а) |х| = 6; б)|х| = 8; в)|х| = 0. 944. Вычислите: а) 3-1-1,51+ 4; б) 2,5 • |-12| - 5; в) 24:1-161 + 3,5; г) |-81 • 1-4| -1-56|: 7. 123456?'^91234 189! 2345t Раздел -------Рациональные числа 945. Вычислите значение выражения: а) 8 + 5 • |х|, если: 1) л: = 0,7; 2) л: = -0,7; б) 13 - 14 • |x|, если: 1)д: = ^; 2)х = -^. & Уровень Б 391234 946. Вычислите значение выражения: а) 3|а! - |t>| - |2а| + 2\Ь\, если а = 27,3, Ь = -44,4; б) [5 /п| + 2|л| - 2|т| - 3|т], если m = -17,17, п =-7,1; в) |л: + 7| - |л: — 3. 951. При каких значениях х выполняется равенство: а)|д:| = л:; 6)|jr| = -jc; в)х = -|дг|? 952. Какое из утверждений всегда верно: а) если |д:| = \у\, тох = у; б) если х = у,то |дг| = \у\; в) если |о| < Ь, то а < Ь; г) если |а| > |б|, то а < 6? 953. Решите уравнение: а)|х|-6 = 4; б)|дг|+2 = 3; в)3|дг|-7 = 5. Упражнения для повторейШШШШШШШШ 954. Вычислите: а) 3,2^ - 1,3'^; б) 1,2^ - 0,8^. 955. Решите уравнение: а) (х - 5)(х - 7) = 0; б) Здг(д: - 4) = 0. 956. Петя и Галя собрали вместе 12,4 кг клубники. Сколько клубники собрал Петя, если Галя собрала на 2 кг больше? 957. Карлсон купил 15 пирожных по 10 крон и по 14 крон, уплатив всего 190 К1Х)Н. Сколько пирожных каждого вида купил Карлсон? 958*. Поставьте между цифрами знаки действий или скобки так, чтобы равенство было верным: а) 5 5 5 = 5; 6)5 5 5 = 0; в) 5 5 5 = 4. 190 1234567891234 § 29. Сравнение рационгшьных чисел 959*. Больший из двух квадратов разрезали на 4 треугольника (рис. 108). Как из них и меньшего квадрата сложить один большой квадрат? Сравнение рациональных чисел Сравнить два числа - это значит установить, какое из них больше, какое меньше, или показать, что они равны. Сравнивать положительные числа вы уже умеете. На- 2 пример, 2 < 5; 0,8 > 0,27; — <1. А как сравнивать отрица- 3 тельное число с отрицательным или положительным? Из двух положительных чисел меньше то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная левее. Например, точка А(3) расположена левее точки В(5) и 3 < 5 (рис. 109). Это свойство (признак) распространяется и на все рациональные числа. А В —I 1 1----1—I----*- —I— * f ■ <-► о 3 5 Рис. 109 Из двух рациональных чисел меньшим считается то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная левее. Например, точка К(- 5) расположена левее точки О (0) и любой точки с положительной координатой. То же самое можно сказать о точке Р(—3) и о любой другой точке с отрицательной координатой (рис. 110). К Р О —I----♦- 1----¥---1---1--♦- •-----f->- -6 -5 -4 -3 -2 -1 Рис. 110 о 1234567891234 191 12345 Раздел Рациональные числа Поэтому каждое отрицательное число меньше О и любого положительного числа. Например, -7 < 0; - 1508 < 5; -0,3 < 0,2; ——<4—. 2 2 Точка К(- 5) на координатной прямой распололсена левее точки Р(-3) (рис. 110), поэтому —5 < -3. То же самое справедливо относительно любых отрицательных чисел. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль^ которого больше. -14 < -8; -67 < -66; -0,1 < -0,0987; <--. 2 3« Если одно число меньше другого, то второе число больше первого. Если а<Ь,тоЬ> а. Поскольку калсдое отрицательное число меньше 0, а калсдое пололсительное число больше 0, то: • запись д: > о означает, что число х — положительное; • запись X < о означает, что число х — отрицательное. Узнайте больше Знак «>» обозначает (читается) «больше или равно», знак «<» — меньше или равно. Например, если число а больше о или равно 0, то пишут а > 0. Такие числа называют несприцательными. Ек;ли число с меньше 5 или равно 5, то пишут с < 5. ?91234 Проверьте себя 1. Что значит сравнить два числа? 2. Как сравнить два положительных числа? 3. Какое из двух отрицательных чисел больше? 4. Как сравнить любые рациональные числа? 5. Прочитайте записи х > 0 и с < 0, не произнося слов больше, меньше. 6. Что обозначает запись а > 0? А запись а < 0? 192 (234567891234 § 29. Сравнение рациональных чисел I Ф Выполняем вместе (D Между какими соседними целыми числами на координатной прямой находится число -2,4? Запишите это при помощи знака «<», • Начертим часть координатной прямой (рис. 111). Видим, что число — 2,4 находится между соседними целыми числами - 3 и —2. Следовательно, — 3 < -2,4 < -2. -2,4 ^ О -4 -3 -2 -1 Рис. 111 О Какое из чисел больше: -3,4 или - л? • п~ 3,14, а 3,14 < 3,4. Поэтому л < 3,4, а -л > -3,4. С Устные упражнения* 960. Какое из чисел больше: а) 10 001 или 9009; б) 0,1 или 0,0999? 961. Сравните числа: 1 1 5 7 3 , 7 в)ти-1; г)-и-78. 2 3 7 5 4 о 962. Между какими соседними целыми числами находится число: а) 0,1; б)-0,2; в)-8,5; д)-4|7 963. Положительным или отрицательным является число р, если: а) р < 0; б) о < р? Уровень А 964. Поставьте вместо звездочки знак «<» или «>» так, чтобы неравенство было верно: Раздел — Рациональные числа 966. Поставьте вместо звездочки знак «<», «>» или «=» так, чтобы неравенство или равенство было верно: ,2 5 2 4 9.9. 3 6 7 14 2 2 6 „ 3 4 10 8 2 3 4 3 3 4 3 2 967. Какое из чисел -0,7, — и-наибольшее, а какое 5 3 наименьшее? 968. Запишите в виде неравенства предлонссние: а) 0,4 - число полол<ительное; б) - 5,7 — число отрицательное; в) п — число отрицательное; г) 5х - число положительное. - ■ 1 ^ ь 1 2 969. Распололсите числа 0, —, -2, -1,99, —3—, 0,2, -3,3 2 3 в порядке возрастания. 970. Расположите числа 2—, -3,2, -л, л, —1, 3,2, -3—, 1 2 2 в порядке убывания. 971. Проведите на рисунке 112 стрелки от меньшего числа к большему. —3 • • 2 -1 -7 Рис. 112 972. Запишите все целые числа, которые: а) больше - 7 и меньше 3; б) больше —5,6 и меньше 4,8; 2 в) меньше —2,5 и больше —8—. 3 973. Какие целые числа удовлетворяют неравенству: а)-6<х<3; б)-24<х<-19; в)-л<х<л? ;-?1234 Уровень Б 974. Запишите все целые числа, модули которых меньше 3,5. 975. На координатной прямой обозначьте буквами точки, координаты которых целые числа больше - 2,6 и меньше 3,8. 194 12345^789123' § 29. Сравнение рациональных чисел 976. Обозначьте на координатной прямой множество точек, которые соответствуют таким значениям х, при которых |л:| < 4. 977. Известно, что атлЬ - положительные числа, axwy — отрицательные. Сравните: а) а и О; б) О и л:; в) а и л:; г) а и i/; д) 6 и л:; с)Ьиу, ж)|л‘|и|/; з)-аи6. 978. На координатной прямой обозначены точки А(а), В{Ь) и С(с) (рис. 113). Модуль какого из чисел а, Ьис наибольший, а какого наименьший? Какое из чисел а, Ьис наибольшее, а какое - наименьшее? А В С ---------------1--------------^ а 6 0 с Рис. 113 979. Запишите вместо звездочки такую цифру, чтобы неравенство было верно: а)-181 <-18*; б) - *6,4 >-26,4; в)-3*41 >-3141; г)-35,*2>-35,12. Упражнения дляловторе1ШЯ.^-А 980. Какое наименьшее значение может принимать выра-и«ение: a)x^8; б)(д:^ + 8)^ в)|л:-121? 981. Сколько центнеров сена получится из 9,8 ц травы, 3 если при сушке трава теряет — своей массы? 4 982. Сколько соли надо добавить до 8 кг чистой воды, чтобы получить десятипроцентный раствор соли? 983. Наименьшая сторона треугольника короче второй на 3,5 см, а третьей - на 2,8 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 2,7 дм, 984. Сколько стоит книга, если за нее уплатили 2 грн. и еще половину ее стоимости? 985. Проехав половину всего пути, пассажир поезда лег спать и спал до тех пор, пока ему не оставалось проехать половину того расстояния, которое он проехал спящим. Какую часть пути он проехал во время сна? 986. Старинная задача. Лев может съесть овцу за 2 ч, волк - за 3 ч, собака — за 6 ч. За сколько часов они съели бы овцу все вместе? 7* 1234567891234 195 1234' Раздел ‘ Рациональные числа Самостоятельная работа 6 ^ ГЯ91234 Вариант 1 12 3 3 1°. Какие из чисел —83, —, —2—, : 4 4 6 а) целые; б) дробные; в) натуральные? Запишите их в порядке убывания. 2". Обозначьте на координатной прямой точки А (-6) и Б (3). Найдите длину отрезка АВ и координату точки М - середины отрезка АБ. 3°. Найдите модуль разности чисел 3,8 и 0,4, а также сумму их модулей. 4*. Решите уравнение: а) |л:| = 5; б) 2|л:| = 6. 5*. Запишите все целые значения х такие, что |л:| < 3. Вариант 2 3 8 1°. Какие из чисел —, -74,-, 34, -0,2: 7 4 а) целые; б) дробные; в) натуральные? Запишите их в порядке возрастания. 2“. Обозначьте на координатной прямой точки К{- 5) и Б(5). Найдите длину отрезка КР к координату точки С — середины отрезка КР. 3“. Найдите сумму и произведение модулей чисел — 12 и 1,2. 4*. Решите уравнение: а) |л:1 = 3; б) 3|л:| = 6. 5*. Запишите все целые значения х такие, что |л:| < 5. Вариант 3 1°. Какие из чисел -4,4, ——, 2—,32—: а) целые; 3 7 30 2 б) дробные; в) натуральные; г) положительные? Запишите их в порядке убывания. 2". Обозначьте на координатной прямой точки А(- 5) и Б(-1). Найдите координату такой точки К, чтобы точка Б была серединой отрезка АК. 3°. На сколько сумма модулей чисел —6,4 и 4,6 больше, чем |6,4 — 4,61? 4*. Решите уравнение: а) |jcl = 8; б) 5|л:| — 1 = 3. 5*. Запшттите все целые значения х, которые удовлетворяют неравенству |x| < 7. 196 1234567891234 Готовимся к тематическому контролю Вариант 4 .от/. гт1 о с 1 12 15 , 1 . Какие из чисел 7—, — о,о, —,-, —: а) натуральные; 2 13 4 3 б) целые; в) дробные; г) положительные? Запишите их в порядке возрастания. 2". Обозначьте на координатной прямой точки К(— 5) и Р(1). Найдите координату точки М — середины отрезка КР - и расстояние от нее до точки 0(0). 3". На сколько сумма модулей чисел 5,7 и -7,5 больше, чем|7,5-5,7|? 4*. Решите уравнение: а) |л:| = 4; б) 4|л: | + 3 = 5. 5*. Запишите все целые значения х такие, что |лг| < 6. Готовимся к тематическому контролю -Г 'Вопросы для самопроверки 1. Приведите примеры величин, значения которых бывают 1 отрицательными. 2. Положительное или отрицательное число О? 3. Какие числа называются неотрицательными, неполо-мштельными? 4. Какие числа называются противоположными? 5. Какие числа называются целыми? 6. Какие числа называются рациональными? 7. Какими бывают рациональные числа? 8. Что такое модуль числа? Приведите примеры. 9. Какое из двух отрицательных чисел меньше? 10. Как сравнить рациональные числа? 11. Что обозначает запись л: > О, л: < О? Задания в тестовой форме 1. Какая из точек А(1), В(—0,7), С(2), В(—3) ближе всего расположена к точке 0(0)? а) А; б) В; в) С; г) В. 2. Укажите пару противоположных чисел: а) 3 и —; 3 б)3и-3; в) 5 и 0,5; г) 17 и-71. 3. Вычислите значение выражения [ 13 j + |—131. а)0; б)-13; в) 13; г) 26. 1234567891234 197 1234667 Раздел Рациональные числа 144 13 4. Какое из чисел 2,5, -3,2,--, — целое? 12 12 а) - 144 12 ’ б) 2,5; ®Ч2’ г)-3,2. г) 1. г) 10. г) решений нет. !^1234 5. Какое из чисел 0,5, -0,5, 0,1, -1 наименьшее? а) 0,5; б)-0,5; в) 0,1; г)-1. 6. Между какими соседними целыми числами находится число -0,9? а)0и-1; б)0и1; в) 1 и 2; г)-1и—2. 7. Запишите вместо звездочки такую цифру, чтобы неравенство — 123 > -12* было верно. а) 4; б) 0; в) 2; 8. Найдите х, если - (-л:) = -5. а)0; 6)5; в)-5; 9. Решите уравнение |л:| = — 3. а) 3; 6)0; в)-3; 10. Сколько существует целых чисел, которые удовлетворяют неравенству |jc1 < 5? а) 5; 6)10; в) 9; г) 11. Типовые задачи 13 1 1°. Какие из чисел 11,0,7, -4, —, -0,5, —, 0, -327 поло- 12 3 жительные, а какие отрицательные? 2°. Начертите координатную прямую и обозначьте на ной точки А(2), В(-3), С(-0,5), £>(2,5). 3 3°. Запишите число, противоположное числу: а) 35; б) —. 5 4°. Сравните числа: а) 3,9 и -9,3; б) -2,75 и -2,57. 5*. Вычислите значение выражения 27 - 1,5 • |jc|, если: а)дг = -10; б) л: = -0,4. 6*. Длина единичного отрезка координатной прямой равна 0,5 см. Найдите расстояние между точкамиЛ(-0,2) иБ(2,8). 7*. Решите уравнение: а)1дг| = 3,1; б)|дг| = -1,3; в) |лг|-I-4 = 1,2 : 0,3. 8*. Запишит-е все целые значения а такие, что - 5,3 <а< 3,5. 9*‘. Дано точки А(-1) и В(3). Обозначьте на координатной прямой точку С, симметричную А относительно точки В. Найдите координату точки С и отношение длин отрезков АС и СВ. Т ^0'*. Найдите все корщ1 уравнения 5|x^l|-27 = 3. J 198 123456789: 234 § 30. Сложение рациональных чисел Сложение рациональных чисел Складывать положительные числа вы уже умеете. И отрицательные числа складывать нетрудно. Например, (-2) f (-3) = -5; (-0,3) + (-1,2) = -1,5. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и пер№д результатом поставить знак минус. I Чтобы сложить положительное и отрицательное числа, надо найти разность их модулей и перед результатом поставить знак числа с большим модулем. Пусть, например, надо сломсить числа -2,7 и 3. Их модули 2,7 и 3. Вычтем из большего модуля меньший, получим 0,3. Знак числа с большим модулем - плюс, поэтому -2,7 -Ь 3 = 0,3. Другой пример: 18 + (-20) = - 2, Почему именно по таким правилам складывают положительные и отрицательные числа? Потому что отрицательными числами обозначают, как правило, уменьшение чего-либо. Например, если уровень воды в реке снизился на 2 см, то говорят, что он изменился на - 2 см. И если в один день он изменился на - 2 см, а во второй на - 3 см, то за эти два дня он изменился на -5 см (рис. 114). Поэтому и считают, что — 2 -I- (- 3) = — 5. Если в первый день уровень воды изменился па -2 см, а во второй - на 5 см (то есть поднялся на 5 см), то за эти два дня он изменился на 3 см (рис. 115). Следовательно -2 + 5 = 3. Если в первый день уровень воды в реке изменился на -6 см, а во второй — на 2 см, то за два дня он изменился на -4 см (рис. 116). Поэтому -6 + 2 = - 4. 1РМ56' Раздал fk — ^ Рациональные числа Много и других подобных задач (об изменении температуры, прибыли и т. п.) стали основанием сформулированных выше правил сложения рациональных чисел. Узнайте больше Раньше отличали знаки чисел от знаков сложения и вычитания. Некоторые европейские математики даже в начале XX в. знаки действий сложения и вычитания писали только между числами. А положительные и отрицательные числа обозначали стрелочками или знаками «+■> - + f - - и «-» над числами. Например, 2-1-5 = 3, 7-(-8 = 15. Такие записи были неудобными и от них отказались. При сложении рациональных чисел справедливы переместительный и соче1'ательный законы. О них речь пойдет на с. 222. Там вы узнаете, как можно упростить сложение трех и более рациональных чисел. Проверьте себя 1. Как называют числа, которые складывают? 2. Как сложить два отрицательных числа? 3. Как найти сумму положительного и отрицательного чисел? 4. Чему равна сумма двух противоположных чисел? 5. Может ли сумма двух чисел равняться одному из них? Ф Выполняем вместе (3) Может ли сумма двух чисел быть больше каждого из этих чисел? Когда это возмоншо? • Может. Это возможно только тогда, когда эти числа положительные. Ведь, если а + Ь > а, то Ь > О, а если а + Ь > Ь, то а > О. 2 1 (2) Найдите сумму чисел: а) 1,3 и —; б) -4,7 и 2—. 5 2 3-ь(-0,4) = 1,3-0,4 = 0,9; § 30. Сложение рациопальньпс чисел С Устные упражнения 987. Вычислите: 13 + 5; -12 +(-8); -0,7+ 0,7; 988. Заполните таблицу. 4 f 1^ 5\ 5/ а 10 -7 -3 -12 -427 3,8 X -3 6 -8 13 27 -2,1 а + X V f у '-L 989. Найдите сумму чисел -3, —2, -1, 0, 1, 2, 3. 990. Можно ли утверждать, что два числа противоположные, если их сумма равна нулю? 991. Как изменится рациональное число, если к нему прибавить: а) положительное число; б) отрицательное число? 992. Может ли сумма двух чисел быть меньше одного из слагаемых? А меньше каждого слагаемого? Приведите примеры. 993. Найдите значение суммы: а) -2 + (-1), -9+ (-12), -16+ (-38); б) -7 + 3, -60 1 20, -97 + 90; в) 5 +(-8), 27+ (-47), 84 -f(-48). О Уровень А 994. Найдите сумму чисел: а) 17 и-8, -9 и 57, -6 и 300; б) -23 и 56, -48 и 8, 710 и 28; в) 85 и-94, -19 и 76, -94 и 0. Вычислите значения выражений (995 — 998). 996. 995. а)-0,3 + 0,2; в)-1,8 + (-2,9); а)-1,3 + 2,7; в) 0,7+ (-4,9); а)-0,28+ (-1,4); в) 0,09 +(-0,17); 998. а) 3,9+ (-8,53); в)-0,245+ (-10); 997. б) 2,4+ (-1,6); г) 9,6+ (-3,5). б) 4,8+ (-3,9); г)-5+ (-2,3). б) 45,7+ (-8,5); г)-0,8 + (+2,4). б)-12+ (-7,46); г) 2,9 + (-9,2). 999. Найдите сумму двух чисел, одно из которых противоположное числу 2, а второе - обратное числу 2. 1234567891234 201 123456 Разделит Рациональные числа 1000. Вычислите значение выражения т + (-1,6), если: а)т = 4,2; б)т = -2,6; в)т = —. 3 1001. Какие из неравенств верны: а) 30 +(-27) >0; б)-27 +23 <0; в)-9 + (-17) < 1? 1002. Какая сумма больше: -9,3 + 4,8 или -4,8 + 3,9? Выполните действия (1003 — 1005). 1003. а)- + 5 1004. г-v 5 ^ 2^ -- к б) + 5 Г 7 7 \ / ч 2 , д)--+1: -п 6,-1+ 7 7’ ' 2' 1 ( 11 1 3. ы ч 4 5 9 9 е) -5 +—. 4 в) г)12 + 1005. а)-1 + 1; 3 2 Уровень Б Выполните действия (1006—1009). 10(Ю. a)-2l + -; 3 3 ( 2\ -И) Н) , 2 е)--h 3 ,7(7 в)--h 8 10 5 Г 3^ г) 1—+ 2 -‘5 1007. а)- + (-0,5); 4 г) 0,7 + 10 } 1008. а)- + (-2,3); 3 д)-з14= б) 1+1,2; 5 д)-5| + 0,5; 5 б)-| + (-0,3); О .‘123^ 202 г)1 ' ' 367^' \2- -г ч ^2 Л е) -4—hi—. 3 2 в) -| + (-1,8); 5 е)5§ + (-0,5). О в) 2,05 + j^-lj; е) -1 + 0,(3). § 30. Сложение радаональных чисел 1009. а)-1,2+3-6 . 7 ( Л г)----+ 10 6)1-+ 0,05; 6 / о л Д)-3,35 + в) -2-+(-1,4); 4 5J е)3 1010. Заполните таблицу. а 3 -2,5 -5,7 -1,9 3,8 8,12 0,09 Ь -7 -12,5 -3,4 2,31 -9,42 -3,49 -12 а + Ь 1011. Вычислите значение выражения m + п + 1, если: а)т = —11,5, л = -5,5; б)т = -0,3,п = 0,3. 1012. Решите уравнение: а)л--5 = -1; б) Здг - 16 = -10. 1013. Какое из выражений ja| +1&| и |а + &| является модулем суммы, а какое — суммой модулей чисел а и Ь? Вычислите модуль суммы чисел — 3,27 и 2,5, а также сумму их модулей. 1014*. При каком условии |а + б| = |а| +' (Ь|, |а + 6| < |а| + |Ь|? 1015. Подберите два числа, удовлетворяющих уравнению: a)ll+Jfl = 2; б)|-2+дг| = 5; в)1д:-3| = 5. Упражнения для повторения 1016. Два автомобиля, расстояние между которыми равно 350 км, сближаются со скоростью 120 км/ч. Какое расстояние между ними будет: а) через полчаса; б) через 2 ч? 1017. С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы через 1 ч догнать мотоцикл, который находится на расстоянии 30 км от автомобиля и движется со скоростью 45 км/ч? 1018. Найдите длину окружности и площадь крута радиуса 2,5 дм. 1019. Найдите площадь кольца, внутренний и внешний радиусы которого равны 1,3 дм и 3,7 дм соответственно. 1020. На сколько процентов число 3,2 больше 2,3? 1021. Решите уравнение: a)jc" = 64; ■■ 6)(jc-2)" = 25. Рис. 117 1022*. Центры четырех окружностей, каждая из которых касается двух других, расположены на одной прямой как изображено на рисунке 117. Верно ли, что сумма длин трех меньших окружностей равна длине наибольшей? 1234567891234 203 12345С Рациональные числа Вычитание рациональных чисел Вычитание - действие, обратное сложению. Вычесть из одного числа другое — означает найти такое третье число, которое в сумме с другим дает первое. Пусть, например, надо найти разность чисел 7 и —5. Она равна такому числу х, что дг + (- 5) = 7. Этому равенству удовлетворяет число 12. Следовательно, 7 - (-5) = 12. Разность чисел - 5 и 3 равна такому числу х, что дг + 3 = = -5. Этому равенству удовлетворяет число -8. Поэтому, -5-3 = -8. Обратите внимание: 7-(-5) =12 и 7 + 5=12, -5-3 = -8 и -5 + (-3) = -8. Вычесть ли число - 5 или прибавить число 5 - результаты одинаковые. Это верно для любых рациональных чисел. Ведь, если а-6 = дг, тодг + Ь = а, а последнему равенству удовлетворяет значение дг = а + (-Ь). Поскольку а + {-Ь) + + Ь = а + 0 = а. Таким образом, всегда а -Ь = а + (-5). Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Примеры. 13- 17= 13 + (-17) =-4; -4,9 - (-3) = -4,9 + 3 = -1,9; 4 i 2 J 4 2 4 91234 Вычитание рациональных чисел всегда можно заменить сложением: а —Ь = о + (—Ь), а —(—с) = а + с. Любое рациональное число можно вычесть из любого другого. Ведь вычитание рациональных чисел всегда можно заменить сложением, а действие сложения всегда возможно. 204 1234567891234 § 31. Вычитание рациональных чисел Узнайте больше а Подставляя вместо букв а и Ь разные рациональные числа, можно убедиться в том, что разность а —Ь положительная, если а >Ь. Чтобы найти длину отрезка АВ на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца. Например, если на координатной прямой даны точки А(а) и В{Ь), то расстояние АВ в единичных отрезках равноЬ-а, если а<Ь, илиа-Ь, если а >&(рис. 118). Эти два случая можно объединить в один. Какими бы не были точки Л(а) и В(Ь) координатной прямой, расстояние между ними АВ = |а — 6|. А{а) б О Вф) —•—► Вф) Аф) О Рис. 118 Проверьте себя 1. Что означает вычесть из одного числа другое? 2. Как называются компоненты действия вычитания? 3. Как из одного рационального числа вычесть другое? 4. Каким действием можно проверить вычитание? 5. Всегда ли возможно вычитание рациональных чисел? Ф Выполняем вместе (I) Вычислите -4 - (-7). Где здесь уменьшаемое, а где вычитаемое? • —4 — уменьшаемое, - 7 - вычитаемое. -4-(-7) = -4-1- 7 = 3. @ Решите уравнение: а) д: + 24 = -17; б) |лг + 3| = 5. • а) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. —17 -24 = -41. Проверка: -41 -I- 24 = - 17. Следовательно, х = -41. б) Если модуль числа л: -f 3 равен 5, то возможны два случая: или л" + 3 = 5, тогда х = 2, или л: + 3 = - 5, тогда дг =—8. Проверка: |2 + 3| = l5| = 5, [-8 -Ь 3] = | —5| = 5. Итак, уравнение имеет два корня: 2 и —8. 123456789123^ 205 1234J Раздел ------^ Рациональные числа С Устные упражнения 1023. Вычислите: а) 5-2, б)-3-1, в)2-(-3), 2-5, -1-3, 5-19, 0-8; -6-0; 0-(-8); г)-1-(-7), -9-(-5), 0-0. О Уровень А 1024. Представьте в виде суммы и вычислите: а) 13-28; б) 59-(-17); в)-42-97; г)-89-(-53). Выполните действия (1025—1034). 1025. а) 6 - 95; г)-8-84; 1026. а) 7- (-53); в) 1-(-77); 1027. а)-8-(-9); в)-5-(-5); 1028. а) 0,7- 1,2; в) 10,6 - 38,5 1029. а) 12,6 - 83,9 в) 1,3 - 2,007 1030. а)-0,6- 3,9; в) 0,5-3,67; 1031. а) 2,7-(-4,9); в)-27-(-3,067); б) 24 - 96; д)-6-17; б) 9-(-28); г)3-(-152). б)-7-(-3); г)-4-(-69). б) 2,9-4,7; г) 4,8 - 0,48. 6)0,6- 1,3; г) 0,53-5,4. б)-2,4-3,46; г)-3,7-(-3,6). б)-0,8-(-1,6); г)-0,08-(-0,8). в)-9- 57; е)-1 -297. 123'' 1032. а)---; 3 3 1033. а)--3^; 4 4 1034. а)--3,5; 3 б)-------; 3 3 6)-т7-2-; 7 7 б)-|-1,8; О в) Н-1) в) -4--5—. 4 4 в) 3,4-4-. 9 1035. Найдите разность чисел: а) 7,53 и-3,45; б)-26,8 и 47,9; в)-0,235 и-2,35; г) 12,34 и -123,4. 206 1234567891234 § 31. Вычитание {>ациональных чисел 1036. Заполните таблицу. а -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Ь 5,73 -3,24 8,96 -4,9 8,6 -3,28 -6,7 9,07 а-Ь 1037. На сколько число m больше или меньше числа п, если: а)т = -5, п = 3; б) m = 7, п = —10; в)т = 0,3, л = -0,7; г)т = -3,8, л = -8,3? 1038. Каждоеизчисел-16,-7, о, 3, 9, 12 уменьшите на 10. 1039. Каждое из чисел -0,05, -0,37, 1,54, 8,48 уменьшите на 2,5. 1040. Верно ли, что 3,8 - 7,5 и 7,5 - 3,8 - противоположные числа? 1041. Число Г71 противоположное числу 2,7. Найдите значение выражения 5,2 - т. 1042. В полдень температура воздуха была 4°С, а в полночь -3°С. На сколько изменилась температура воздуха за полсуток? 104t3. За день температура воздуха изменилась на - 7 X. Какой она была утром, если вечером термометр показывал - 2 “^С? Уровень Б Вычислите (1044—1045). 1044. а) (3,7 -К 9,1) - (4,8 - 2,5) + 4,9; б) (-12+ 3,2)-(-2,8-5,6). 1045. а) (10,5 - 13,6) + (4,1 - (-2,7)); б) (-4,3 - 5,8) + (-3,9 +7,7). 1046. Обозначьте на координатной прямой точки Л(-3) и В(4). Найдите расстояние между точками^ и В. Верно ли, что: а)ЛБ = 1-3-4|; б) АБ = |4 - (-3)|? 1047. Найдите расстояние между точками K{k) и Р(р), если: а)/г = -5,р = 8; б)/г =-6, р =-32; в)/е = 40, р =-7; г)/г = 27,9, р =-35,8. 1048. Известно, что а = -3,1, 6 = 5,7 и с = -4,8. Вычислите: а)а + Ь + с; б)|а + 5 + с|; в) |а| + |Ь| + |с|. 1049. Верно ли, что равенство \а —Ь\-\Ь - а\ выполняется всегда? Покажите на примерах. 1050. Может ли модуль разности двух чисел равняться сумме их модулей? Покажите на примерах. 1051. Решите уравнение: а)-2 +л: =5; 6)jc-7 = —3; в)5-х = 9. .+ ’2: 207 234£ Раздал /ii‘ Ргщиональные числа ■51234 1052. На рисунке 119 схематически изображен разрез берега моря. Определите, как расположены точкиЛ, В,С, К иР: а) относительно уровня моря; б) относительно друг друга. В, 4S ч.» к 30 20 Ь 10 о - -10 - -20 - -30 Рис. 119 1053. Зимой при температуре воздуха - 23 °С в шахте температура достигает 24 'С. Найдите разность температур. 1054. Вычислите значение выражения 12,9 - а - х, если: а) а = -8,7, л- = 6,7; б) а = -0,73, л: = -6,4. 1055. Заполните таблицу. а 8,13 3,27 0,52 -4,31 -16,35 28,6 Ь 9,09 -5,83 -4,8 -8,07 362,6 906,83 \ — а - Ь 1056. а) Какие из чисел 5, 6, 7, 8, 9, 10 являются корнями уравнения |jc — 7| = |jc| - 7? б) Какие из чисел -5, -4, -3, -2, —1 являются корнями уравнения |л: + 3| = jc-l- 3? 1057. Решите уравнение: a)|3 + Jc| = 5;6)|jc-8| = 2;B)6-l-|4-jt:| = 9. 1058. Считается, что город Рим основан в 753 г. до н. э. Сколько ему лет сейчас? 1059. Сколько прошло лет от средины 3-го года до новой эры до средины 3-го года новой эры. Покажите на координатной прямой. 1060. Известный древнегреческий ученый Аристотель родился в 384 г. до н. э. В каком году будет отмечаться его 2400-летие? 208 1234567891234 § 32. Умножение рациональп11Х чисел 1061. Впишите в пустые клеточки квадратов (рис. 120) такие числа, чтобы суммы чисел каждой вертикали, горизонтали и диагонали равнялись друг другу. -2 0 -7 2 -1 4 -8 9 а Рис. 120 Упражнения для повто\ 1062. Найдите 7,5 % числа: а) 3000; б) 12; в) 0,75. 1063. Найдите число, 7,5 % которого составляют: а) 27; 6)34,8; в) 7,5. 1064. Найдите процентное отношение чисел: а) 3,8 к 380; б) 1 к 20 000; в) 0,4 к 1. 1065. На сколько процентов число 8 меньше 40? А на сколько процентов число 40 больше 8? 1(М>6. Постройте квадраты со сторонами 2 см и 4 см. На сколько процентов площадь первого квадрата меньше площади второго? На сколько процентов площадь второго квадрата больше площади первого квадрата? 1067*. Велосипедист ехал из села в город со скоростью 15 км/ч, а возвращался со скоростью 10 км/ч. Найдите его среднюю скорость. Умножение рациональных чисел Что значит умножить число -3 на 5? Это означает найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно -3: (-3) • 5 = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = - 15. Итак, (-3) • 5 = -15. Чтобы выполнялся переместительный закон умножения, считают, что 5 • (-3) = —15. Рассуждая точно так же относительно чисел -12 и 10, имеем: (-12)- 10 = -120и 10-(-12) = -120. 1234567891234 209 123451 Раздел Рациональные числа Чтобы умножить отрицательное число и положительное, надо умножить их модули и перед результатом поставить знак минус. Примеры. (-1,5)-40 = -60; 8 Г '4 = -2; [ 2 J 3 6 Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули. Примеры. (-2).(-7)=14; (-1,2)-(-5) = 6; Почему именно по таким правилам умножают отрицательные числа, станет понятно позже. В общем виде эти правила записывают так: Знак произведения определяется знаками множителе!!, как показано в таблице. Знак числа а Знак числа Ь Знак произведения а • Ь + + + — — + — + — + — — 210 2: оэ § 32. Умножение рациональных чисел Обратите внимание на отдельные случаи умножения. Каким бы ни было рациональное число а, всегда: а-0 = 0, а*1=а, а-(-1) = -а, 0-а = 0, 1-0 = 0, (-1)-о = -о. Узнайте больше Раньше ученые пытались обосновать правило умножения отрицательных чисел. Хотели понять, почему (-о) • {-Ь)=аЬ. Приводили различные обоснования этого правила, но со временем они оказались неубедительными. Поэтому на протяжении нескольких столетий правила умножения и деления отрицательных чисел считались незаконными, а отрицательные числа называли ошибочными, абсурдными, ненастоящими и т. п. Только со временем ученые поняли, что такие правила нужно не выводить из других, уже известных правил, а считать их правильными по договоренности. В современной математике равенство (-а) -(-6) = аЬ принимается без доказательств и обоснований. Только при такой договоренности рациональные числа становятся полезными и удобными для применения. А если бы не условились считать, что произведение (-а)'(-Ь) всегда равно аЬ, то все учение об отрицательных числах было бы очень примитивным и неинтересным. Его нельзя было бы использовать в математике и в других науках. I Проверьте себя 1. Сформулируйте правило умножения двух отрицательных чисел. 2. Как умножить два числа с разными знаками? 3. Любые ли два рациональных числа можно умножить? 4. Когда произведение двух рациональных чисел больше каждого множителя? Выполняем вместе 2 1 (D Найдите произведение чисел: а) 3,7 и - 0,2; б) -- и -1—. • а) 3,7 • (-0,2) = -(3,7 • 0,2) = -0,74; ^534567891234 211 12345t ' / Раздел *А ------ - Рациональные числа @ При каком условии произведение двух рациональных чисел равно одному из них? • ЕЗсли аЬ = а, то возможны два случая: 1) 6=1,аа - произвольное число; 2) а = О, а 6 - произвольное число. С Устные упражнения 1068. Выполните умножение: а) 14- 10, (- 3) • 10, (-8)( -5); б) (-2)- 10, 10 (-4), (-9)( -11); в) (-0,5)-2, (- 4) • 0,6, (-2,5) •4; г) 2,5 • 0,4, (- 20)-(-7), (-50). (-20). 1069. Вычислите: / л \ а) (-3,25) 0, 0 (-3,17), (-?} 0; б) (-5,97) - 1, 1 •(-0,8), (-il •1; в)0-(-195), (- 1) •(-!), (-1)0. 1070. При каком условии произведение двух рациональных чисел равно числу, противоположному одному из множителей? Приведите примеры. 1071. При каком условии произведение двух рациональных чисел равно нулю? О Уровень А 1072. Запишите сумму в виде произведения и вычислите его: а) 16 -h 16 +16 +16 + 16; б) 3,2 + 3,2 + 3,2 + 3,2 + 3,2 + 3,2; в) (-9) + (-9) + (-9) + (-9) + (-9) + (-9) + (-9); г) 391234 1073. Запишите выражение в виде произведения и вычислите его: а) -4 — 4-4 — 4 — 4-4-4 -4; б) -0,3 - 0,3 - 0,3 - 0,3 - 0,3 - 0,3; 212 1234567891234 в) -(- г) -2 9 § 32. Умножение рациональных чисел . 5)-(-5); 5)-(-5)-(-5)-(-5)-(-5)-( 2_2_2_2_2_2_2_2_2 99999999 9’ 1074. Найдите сумму сорока слагаемых, каждое из которых равно -25. 1075. Найдите сумму ста слагаемых, каждое из которых равно: а)-7; 6)-i; в) 2 - 5; г) 2'’- 9. 1076. Упростите выражение: а) -а — а — а-а-а-а-а; б) - 2л- - 2лс - 2дг - 2л- - 2л- - 2л-; ,111111 в) —с—с — с—с — с—с. 3 3 3 3 3 3 Вычислите действия (1077 — 1081). 1077. а) (-1,4) (-5); в) 23,7-(-40); 1078. а) (-3,5) (-42); в) (-367). (-89); 1079. а) 23,8 (-1,03); в) 70,2 .(-9,5); ^ 2^ ^ б) 3,74 .(-0,5); г) 2,25 .(-0,04). б) (-64) .(-2,25); г) (-3,8) (-2,5). б) (-135). (-8,6); г) (-0,07). (-25,8). 1080. а) 1081. а) 15 6 (-?> И) б) (-ЙИ) »И) 24' б)~(-18); У в) 2^ 5 (-25); г)—.(-26); д)0,5. 13 (-Й е)-.(-2,5). 5 1082. Решите уравнение: а)(-4)-л: = 0; б)-2,Зл- = 0; 1 в) —л- = 0. 7 1083. Вычислите значение выражения (-5). т, если: а)т = 3,8; б)т = -4,4; в)т = -0,72. 1084. Заполните таблицу. X -2 -1 0 1 2 3 4 5 (-4,6). X 1085. Умножьте сумму чисел -8,5 и 4,2: а) на меньшее из них; б) на большее из них; в) на их разность. 1086. Умножьте разность чисел -3,2 и 4,3: а) на меньшее из них; б) на большее из них; в) на их сумму. 1234567891234 213 123456 Раздел I Рациональные числа Уровень Б Выполните действия (1087 — 1089). 1087. . а) (-2,5) j; б) 3,6 • в) 3,6j; г) (-2,7).-; 1088. а)(-3) г) 2 (-4) д)1-.(-0,6); 6)1-2 е) -5 1 ( 2\ f 2 W -- С в) 1 з; 3 J е)-3--(-0,2). -f-f) [-0 ( П ( 1 "1 ( 1 -3- • -2- ; д) -3- 2) 3j , 3 г) 090. Заполните таблицу. е)1^.(-7,7). а -3,4 -0,7 2,9 5,8 14 27 84 108 Ь -7,5 26,4 -94 -67 -73 -0,9 -3,8 -10,8 аЬ 1091. На сколько произведение чисел 5,8 и -2,3 меньше: а) меньшего из них; б) большего из них; в) их суммы? 1092. На сколько произведение чисел -2,7 и - 5 больше: а) большего из них; б) меньшего из них; в) их суммы? 1093. Запишите в виде равенства такое утверждение: модуль произведения чисел а и Ь равен произведению их модулей. Всегда ли это утверждение верно? 1094. Найдите значение выражения: а) J!:^-3 + J^: + 3 + J[: + 3^-д: + 3^-Д[: + 3, если дг = -3,1; б) с-1+с-1+с-1 + с-1+с-1 + с-1, если с = 0,75. Выполните действия (1095 — 1096). 1095. а)-0,6-7 4-3,6 0,4; в) 1 -3,5 (2-2,4); д) 1,3"-(-3). 1,8; |(-5); б) (3,7-4,8)-3,5; г) (-0,5)"-0,4-2,8; е)-3-(1,5-2,7)". ЧННН) § 32. Умножение рациональных чисел 1097. Решите уравнение: a)3(jc+l) = 0; б)(-7)-(5-д:) = 0; в)|д:-3| = 0. 1098. Угадайте, чему равен корень уравнения, и выполните проверку: а)(-8) -jc = 40; 6)12jc = -60; b)0,5jc = -30. 1099. Решите уравнение: а)0-2,3д: = 0; б) (-2,5) • х = 10; в)|х|.(-4,8) = 0; г)|х-3|-(-5) = 0; д)2-х + 2- х + 2- х+ 2- х = 8. 1100. При каждом ли х значения выражений (-3) • х и 0 - Зх равны? А значения выражений 0 - 0,4х и (-0,4) • х? 1101. Положительное или отрицательное число а, если: а)(-5)-а>0; б) В) (-4,3) • (а-7) < о? 1102. При каждом ли значении с верно равенство: а)(с-1)=^ = (1-с)"; б)|с-1| = |1-с|? 1103. Какое число больше: а или с, если -5(а - с) > 0? Упражнения для повторения 1104. Вычислите: а) 21 • 125 • 8 • 3; 6)А.1.з£.2Д. 15 7 4 1105. Запишите сумму выражений 2х + 5 и 4х и упрюстите ее. 1106. Решите уравнение: а)5,2х-7 = 6; б)4 + 5х=10. 1107. Два автомобиля движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 85 км/ч. Какое расстояние между ними будет за 1 ч до встречи? А через 0,5 ч после встречи? 1108. На сколько среднее арифме- тическое чисел 3—, 2,4 и -1,9 мень-6 ше их полусуммы? 1109. Каждое простое число имеет только два делителя. А какие числа имеют только три делителя? 1110*. Можно ли изображенную на рисунке 121 часть шахматной доски разрезать на прямоугольники, состоящие из двух клеточек? Рис. 121 12Г13670^; 2Г 215, Раздел Рациональные числа ш Деление рациональных чисел Деление - действие, обратное умножению. Разделить одно число на другое — это означает найти такое третье число, которое при умножении на второе дает первое. Рассмотрим несколько примеров. Примеры. а) 20 : 2 = 10, б) -8: 2 = -4, в) 10:(-5) = -2, г) -15 : (-3) = 5, поскольку поскольку 10 • 2 = 20; -4 • 2 = -8; поскольку (-2) • (-5)= 10; поскольку 5-(-3) = -15. В каждом из рассмотренных примеров модуль частного равен частному от деления модулей делимого и делителя. Частное отрицательное, если знаки делимого и делителя разные; если знаки делимого и делителя одинаковые, то частное положительное. К таким выводам п{)иходили ученые, рассматривая любые другие примеры. Поэтому пользуются таким правилом. Чтобы разделить одно рациональное число на другое, надо разделить их модули; если знаки делимого и делителя разные, то перед результатом нужно поставить знак минус. 591234 Пусть, например, нужно найти частные -3,6 : 3; 3,6: (-3); -3,6 : (-3). Модуль каждого частного равен 1,2. В первых двух примерах знаки делимого и делителя разные, поэтому частное отрицательное. В третьем примере знаки делимого и делителя одинаковые, поэтому частное положительное. Итак, -3,6:3 = -1,2, 3,6 : (-3) = -1,2, но -3,6:(-3)=1,2. 216 1234567891234 5 33. Деление рациональных чисел Знак числа а Знак числа Ь Знак частного а : 6 + + + — — + — + — + — — При делении О на любое число, отличное от нуля, получают нуль. Делить на О нельзя! Почему? Ведь, если бы, например, «частное» 5 : О равнялось какому-то числу х, то было бы верно равенство дс • О = 5, что невозможно при любом значении х. И «частное» О : О не может равняться какому-то одному числу х, ибо тогда было бы, что дг • О = О, а этому равенству удовлетворяет любое число х. Итак, делить на нуль нельзя! Узнайте больше Если числа а и 6 натуральные, то а :Ь = —. Это равенство Ь распространяют и на дробные числа a\ib. Например, 0,3: (1-2,6)= 3:4=—; 4 1-2,6 Выражения, записанные в правых частях последних равенств, - дроби. Но не обыкновенные. Числитель и знаменатель дроби может быть любым числом и любым выражением. Более детально дроби изучают в алгебре, а здесь подчеркнем, что обыкновенные дроби — это простейшие дроби. Соотношение между понятиями «дроби» и «обыкновенные дроби» можно показать на диаграмме (рис. 122). Чтобы вычислить значение любой дроби, достаточно ее числитель разделить на знаменатель. Например, 0,5-3 Рис. 122 3,5-2' = (0,5-3):(3,5-4) = -2,5:(-0,5) = 5. 1234567891234 217 1234S Раздел Рациональные числа 4 Проверьте себя 1. Что означает разделить число а на число 6? 2. Как называются компоненты действия деления? 3. Сформулируйте правило деления рациональных чисел? 4. Какими знаками можно обозначать действие деления? 5. Можно ли делить на О? Почему? 6. Чем отличаются понятия «дробь» и «обыкновенная дробь»? Ф Выполняем вместе 7 1 (Т) Разделите: а) -27 на 54; б) — на “1~- • а)-27 : 54 = -(27 : 54) = -0,5; ^7 6 б] ^9 б) i97j 3 Найдите отношение чисел -2,5 и . 2 -2,5:(--1=2,5:-= 2,5-2 = 5. 12) 2 С Устные упражнения 1111. Вычислите: а) 48:12, -9:3, б) -6:(-3), -40:8, в) 35: (-7), -28:4, г) -20: (-4), -13:13, 81: (-9), -30:15; 60:(-3), 1:(-5); -36:18, 200: (-5); 0:(-67), -1:(-5). Уровень А ?.34 Вычислите (1112 — 1120). 1112. а) 105 : (-21); б)-114:19; в) 924: (-22); г)-111:37. 1113. а)-432 : 18; б)-504:21; в)-969: (-17); г)-141:47. 218 1234S678S123'' § 33. Деление ргщиональных чисел | 1114. а) 72,5: (-29); в)-5,98: (-23); 1115. а)-377 : (-2,9); в)-55,5 : (-3,7); 1116. а)-3 : 0,25; в)-7 : (-0,25); 1117. а) 0,2 :(-5); в)-1 :(-2,5); 1118. а)-|:(-3); б) б) 70,2: (-26); г)-5,4 : 3,6. б)-83,7 : 2,7; г)-19,6: (-1,4). б)-6 : 0,15; г)-169: (-1,3). б)-0,6 : (-0,75); г) 324: (-0,18). 4 -:(-7); в)-: (-4). 5 1119. а) 2 4 б)-?/ (-1) 5- 20 1120. а) (-2):-; 1 6)3-: (-2); О в) -2-/ 2 1121. Заполните таблицу. X -3 -2 -1 2 3 0,6 1,5 6 : X X : (-5) 1122. Вычислите отношение: ч 3.5 -5 . -3 '2,8 0,2 1,5 г) 2,4 -15 д) 0,36 4,5 Вычислите значения выражений (1123—1125). 1123. а) 335 : (-67) + 13; в) 25-2,5: (-0,5); 1124. а) 22,8 : (-5,7)- 23; в) 2,2:(-0,5) + 1; 4 1125. а) 17-36,6 : (-6,1); в) 5,4-5,4: (-36); б) 189 : (-63) - 28; г) 32,4 + 6:(-0,15). б)-30,5 : (-6,1)- 2,8; г) 7 1 -6.3:- + !-. 9 7 б) 11-4,84: (-0,11); г)-2,5 < 2,5 : (-1). 1126. Найдите неизвестный член пропорции: а)7 : д: = -7 : 13; б) л:: (-5) =-12 : 100; в) - 25 : 8 = дг: (- п); г) 26 : 5 = 39 : (-х). 1127. Вычислите значение выражения: а) -12:х-3,5, если х =-0,36; б) 2,8 + а : (а + 2), если а = - 2,5. 1128. Решите уравнение: а)-3х = 9; б)5х = -35; г)0,5х+13 = 8; д)19-8х = 23; в) 4х + 20 = 8; ч 1 1 1 е) —х +1 =—. 2 5 !2очо-^'^89123 219 ;23ч5 Раздел Рационсшьные числа Уровень Б Выполните действия (1129—1134) 1129. а) 78 : (-26) + 115 : (-23); б)-87: 2,9-102: (-1,7). ИЗО. а) 3,8-51 : (21-4); б) 8,7-(99-31): (-17). 1131. а) -2,7 • 3,8 - 95 : (-19); б)-5,7: 19 + 2,5-3,4. 1132. а) (-1,2)^- 111 :(-37); б)12,4:(-31)-(-l,l)^ 1133. а)-18 : (-6)^-0,5; б)-4,7-(-2,1)=*: (-7). 1134. а)--:--- 3 9 5 1135. Заполните таблицу. -^,1) .у- К-й) б)- 1-:0,6 2 2 7 14 I а -2 -2,5 0,2 0,3 1,6 3,6 Ь 0,5 -0,1 -0,04 -6 -0,8 -0,45 а : Ь Ь : а 1136. Решите уравнение: а)2(3-д:) = 24; б) 4 (д: + 7) = 22; в)|д: + 14 = |; г) 2-^(дг-6) = 11. 5 5 о 1137. Найдите неизвестный член пропорции: а) -3:jc = —:—; 5 9 91234 1138. Найдите отношение -3,5 : 0,07; 6,3 : (-0,9); 1139. Найдите отношение квадратов чисел —0,2 и -0,4. 1140. Найдите отношение кубов чисел — 1 и -0,5. 1141. Вьшислите значение выражения: ,2,4 1 ^.1-4 .3 3 0,6 0,25 0,4 0,5 в)-----h 0,8 -0,4 г) If.(-0,6). 220 1234567891234 д) 50,3-3,2 1:0,5-0,3’ е) (-0,3)" - f-V'‘ 5 § 33. Деление рациональных чисел 1142. Могут ли значения выражений {а • с) •. а к а - (с а) не равняться друг другу? Приведите примеры. 1143. При каком условии значения выражений а : (с • а) и а'{с: а) равны друг другу? А выражений а: (с-а) к (а: с)' а? 1144. При любых ли рациональных значениях акЬффО) верно равенство [а : &| = |а|: |Ь|? А равенство |а|: |fc| = а : 6? 1145. Какими могут быть значения выражений а : |а|, |а|; а? 1146. Может ли быть положительным или отрицательным « 1“1о значение выражения j—:--г |а| а 1147. Решите ребусы (рис. 123). v’-m __ 9 Та Рис. 123 Упражнения для повторенШ* 1148. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 8,4 дм. 1149. Найдите площадь круга, диаметр которого равен 0,8 м. 1150. Найдите длину окружности, радиус которой равен 4 м, и площадь круга, ограниченного этой окружностью. 1151. Найдите площадь кольца, изображенного на рисунке 124, если г = 8 см, а = 4 см. 1152. Одно число составляет 25 % другого, а их разность равна 37. Найдите эти числа. 1153*. Мама предложила дочерям разложить конфеты по трем вазам: в большую положить половину всех кон(})ет и еще 3, во вторую - половину остатка и еще 3, а в третью - половину нового остатка и еще 3, а те 4 конфеты, которые остались, взять себе. Сколько всего было конфет? Раздел /а Рациовальньк; числа Свойства сложения и умножения 1Сак известно, для положительных чисел вьшолняются переместительный и сочетательный законы сложения. Эти законы всегда выполняются и для любых рациональных чисел а, Ь, с: а + Ь = Ь + а — переместительный закон, а + {Ь + с) = (а + Ь) + с — сочетательный закон. I :23^ Примеры. а) -2 + (-3) = -5 и -3 + (-2) = -5. Значит-2+ (-3) = -3 + (-2); б) (3 4-(-5)) + (-8) = -2 + (-8) = -10 и 3 + (-5 + (-8)) = 3 + (-13) = -10. Значит (3 I (- 5)) + (- 8) = 3 + (- 5 + (- 8)). Используя переместительный и сочетательный законы сложения, можно упрощать вычисления сумм трех и большего количества рациональных чисел. Например, переставив местами слагаемые и сгруппировав их в две группы, можно отдельно сложить все положительные слагаемые и отдельно - отрицательные. Если среди слагаемых есть противоположные числа, их можно не учитывать, поскольку сумма противоположных чисел равна нулю. Примеры. а) 2 + (-81) + 3 + (- 17) = 2 + 3 + (-81) + (- 17) = = 5 +(-98) =-93; б) 17 + (-14) -Ь 8 + (-17) + (-8) = = 17 + (-17) + 8 + (-8) +(-14) = -14. Для любых рациональных чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения. То есть, кщсими бы не были рациональные числа а, & и с, всегда: аЬ = Ьа — переместительный закон, (аЬ)с = а(6с) — сочетательный закон, (а + Ь)с = ас + Ьс — распределительный закон.. 222 123-г;0789;23- § 34. Свойства сложения и умножения Убедитесь в правильности указанных равенств для случая, когда, например, а = -2, Ь = 3, с = -4. Переместительный и сочетательный законы умножения позволяют упрощать вычисление произведения трех и больше множителей. Множители не обязательно умножать в той последовательности, в которой они записаны, а можно переставлять и объединять их в группы. Например, произведение 0,25 • (-317) ■ 4 можно вычислить устно, если сначала умножить 0,25 и 4. Обратите внимание! Произведение любых двух отрицательных чисел — число положительное. Если произведение содержит четное число отрицательных множителей, то оно положительное, а если нечетное число отрицательных множителей, то оно отрицательное (при условии, что ни один из множителей — не нуль). Например, произведение 3 • (-2) • (-5) • (-7) • 9 • (-11) положительное, а (- 4) • 5 • (- 6) • (- 9) • 12 - отрицательное. Квадрат отрицательного числа — число положительное, куб отрицательного числа — число отрицательное. Примеры. а) (-5)=^ = (-5)-(-5) = 25; б) (-2у^ = (-2).(-2).(-2) = -8. Если число а отрицательное, то а”, а^, — числа отрицательные, а а^, o', - положительные. Узнайте больше Равенство (а -1- Ь)с — ас + Ьс выражает распределительный закон умножения относительно суммы двух чисел. Похожее свойство умножения верно и относительно разности: всегда (а — Ь)с = ас — Ьс. Докажем это. Поскольку разность всегда можно записать в виде суммы, то (а — Ь)с = (а + {-Ь))с = ас + {~Ь)с = ас — Ьс. Распределительный закон умножения верный также для любого количества положительных или отрицательных слагаемых. Например, всегда верно равенство {а+ Ь-- d)c = ас + Ьс - dc. Действительно, если сумма а + Ь равна некоторому числу т, то (а + Ь - d)c = (т - d)c = тс — dc -= (а + Ь)с - dc = ac + Ьс - dc. Какими бы не были рациональные числа а^Ьшс^сФ 0), всегда верно равенство {а + Ь): с = а: с Л- Ь : с. Действитель- 23 223 Раздел ------“ • Рациональные числа но, согласно распределительному закону умножения верно равенство / 1 \ t 1-\ ^ \ \ CL f) , {a + b):c = {a + b)- —= а-- + Ь • — = — + —= а: С+ Ь:с. с с с с с Из законов сложения и умножения можно вывести много важных и интересных следствий, С ними вы ознакомитесь на уроках алгебры. Ш- Проверьте себя 1. С(1юрмулируйте переместительный закон сложения. 2. Сс}юрмулируйте сочетательный закон сложения. 3. Всегда ли верно равенство а {—с) =— с + а? 4. Чему равна сумма трех чисел, два из которых противоположны друг другу? 5. Сформулируйте переместительный и сочетательный законы умножения. 6. С(]юрмулируйте распределительный закон умножения. Ф Выполняем вместе (2 \ (D Вычислите-17,3+ 7 • 1—-3,2 1-13,7. '9 \ 9 --3,2 -13,7 =-17,3 + 7-7-3,2+ (-13,7) = 7 ) 7 -17,3 + 7- = -17,3 + (-13,7) + 9 - 22,4 = -31 - 22,4 + 9 = = -53,4 + 9 = -44,4. @ На сколько сумма квадратов чисел 6 и —4 больше квадрата их суммы? • 6^ + (-4)'' - (6 + (-4))'* = 36 + 16 - 4 = 48. Ответ. На 48. О Устные упражнения 891234 1154. Вычислите: а) 1,2 + 7,5+ (-1,2), 2 _1 Г 2^ —+3-+ — 3 7^3 224 1234567891234 6)0,8 + 1,23+ (-1,23), 4 -1 ^ — + 2-+ 7 3 (-1) § 34. Свойства сложения и умножения I 1155. Вычислите: а)-2.7,5-(-5), 0,5-(-841)-2, 9,6-(-7.4)-о, З.(_657).|; 1156. Положительное или отрицательное произведение: а) -7 • 13 - (-8) • 49 • (-16) • 35 • (-47) • (-19); б) 3,7 • (-42) ■ 36 • (-54) • (-0,8) • 87,9? 1157. Найдите произведение ста чисел, каждое из которых равно -1. б) 4-(-8,7)-0,25, 0,4 • 851 -(-2,5), 25 -(-833)-(-4), -7-(-477)--. 7 О Уровень А 1158. Проверьте правильность равенства а \ Ь = Ь + а, если: а) а = 7,8, 6 =-2,5; б) а = -2,9, Ь = 4,8. 1159. Найдите сумму чисел: а) 21, -35, 38, -62; б) 57, -49, 38,79, -86. Вычислите (1160—1161). 1160. а) 38 + (-27) + (-83) + 42; • б)(-19) + 47 + (-29) + 53. Ч 1161. а) (-5,7) + 3,9 + (-1,2) + 4,1; 6)13,8-17,1+(-1,7)+ (-3,3). 1162. Найдите сумму всех целых чисел, которые больше -10 и меньше 7. 1163. Верно ли равенство: а)3,5 + (-2,7) = 3,5-2,7; в)4,8 + (-3,9) = 4,8-3,9; 1164. Заполните таблицу. б) 1,3-3,1 = 3,1 - 1,3; г)-7,1 + 1,7 = 1,7-7,17 а 3 -4 -5 43 -56 -83 -97 Ъ -2 38 -76 -73 138 297 388 с -9 -43 96 -89 -95 -49 -138 а + Ь + с 1165. Убедитесь в правильности переместительного, сочетательного и распределительного законов умножения на примере чисел -5, - 2 и -0,5. Вычислите значения выражений (1166—1173). 1166. а) (-7)-(-8)-0,5; U67.»a) (-2,5)-(-12). (-10); 1168. а) (-3) • 20 • (-8) • 0,5; 1169. а)-—-(-32)-8; 16 8 Г. П. Бевз "MaTCMaTHica*'. 6 кп. б) 25-(-2)- 75-(-I). б)-3-(-5)-8-85,3. ^ ' Ж-.. Яаздал /4 ■ _ —^^Рационагьнис числа 1170. а)(-12)-5+ 20-4; 1171. а) 13-(-4)-25 0,1; 1 Г 1 X 1172. а) — 6-(-6)-4- — ; б)6- + 35*( 3 V ^ J 2 1173. а)(-4)", (-6Д (-7f, (-ПД (~3)\ {-4)\ (-5Д б) (-0,1Д (-0,2Д (-0,6/, (-0,1/, (-0,2/; \3 / ч2 в) (-1 t ^ 3' 2 ' 2' 2 ( if 9 , 7 9 , 9 9 . 3 ■И1-И1 Выполните действия: а) (- 3/ + 7; б) (- 5/ - 2"; в) (- 4) + (- 2 + б/. 1175. Найдите сумму квадратов чисел: а) —7иЗ; б) 0,6 и-0,4; в) 1,2 и-2,1. 1176. Найдите квадрат суммы чисел: а) 5 и 12; б)-3,4и3,2; в) 12,7 и-11,7. 1177. Найдите сумму кубов и куб суммы чисел: а)-4и-3; б) 5 и-2; в)-3,1 и 3. И Уровень Б Вычислите (1178—1181). 1178. а) -3,6 + (-2,7) + 8,9 + (-7,5) + 44; б) (-8,76) + 3,21 + (-8,42) + (-7,56) + 9,82. 1179. а) 67 + (-87,5) + 56,8 + (-46,9) + (-28,7); б) -0,74 + 0,72 + 1,21 + (-0,95) + (-1,7). 1 3 I б) —+ —+ 2 4 ^ 2 ( 1\ + 3- + -2 • 3 3| ^ 1 ( 3] — J 4 1 2J 7891234 6)-|+O.2 + f+^-i|+0.8+^-|j. 1182. К сумме чисел -3,8 и 5,2 прибавьте сумму чисел 37 и —84. 1183. К сумме 5,2 + (-3,7) + (- 5,4) прибавьте сумму (—3,7) + + (-5,2). 1184. Найдите модуль суммы и сумму модулей чисел 32, -8,-17и-12. 226 1234567891234 I § 34. Свойства сложения и умножения gl] 1185. Разность между доходами и расходами называется сальдо. Используя данные таблицы, вычислите при помощи положительных и отрицательных чисел сальдо (в гривнях) за каждый месяц и за пять месяцев. Месяц Доход Расход Сальдо Январь 3152 2675 Февраль 4533 6473 Март 2453 2316 Апрель 2085 2347 Май 5642 5804 Всего 1186. Вычислите значение суммы х + у + z + (-2), если: а) JC = -2,3, у = 3,8, Z = -0,5; б) л: = 0,207, у = 0,875, z = -1,67. 1187. На сколько куб суммы чисел —3 и —5 больше или меньше суммы их кубов? 1188. На сколько сумма кубов чисел 0,1 и -0,2 больше или меньше суммы их квадратов? 1189. Найдите значение выражения: а) 8,6 • 9,7 -3,4 • 7,1 - 6,8 • 3,6; б) -3,9 • 4,2 + 2,5 • 7,9 - 8,3 • 4,1; в) -2,5 • (-3,2) + (-8) • (-0,25) - 3,7 • (-2,5). 1190. Вычислите произведение: "i ■ ("i ]■ ("5 ]■ (6 3 2j^3 2 6j^2 6 з/ (-5); 1191. Найдите произведение всех целых чисел, которые больше -13 и меньше 13. 1192. Проверьте правильность равенства а • (- Ь)=(- а) • Ь для: а)а = —3,5 = —5; б) а =-0,3, Ь = -—. 3 1193. При любых ли значениях а,Ъ кс верны равенства: а) (—а) • Ьс = а(-Ь) • с = аЬ • (-с); б) (а + b)cd = acd + bed', в) (а + 5 + d + е)с = ас + Ьс + dc + ес; 8* 1234567891234 222 123456 Раздал /i Рахдаональные числа т){а-Ь - d + е)с = ас - Ьс- dc + ес; д) (а + Ь - d): с = а : с + Ь : с - d : с? Приведите примеры. Попытайтесь доказать эти равенства. 1194. Найдите значение выражения: а) Зх^ - 1, если jc = - 5; б) (2xf + 3, если х = - 0,6; 2 ч в) —X +10, если JC = - 3. 9 1195. Разместите числа —3, —2, -1, о, 1, 2 в кругах (рис. 125) так, чтобы сумма чисел на каждой стороне «треугольника» равнялась —1. А теперь переставьте числа так, чтобы каждая Рис. 125 из сумм равнялась —2. Упражнения для повторения 1196. Найдите неизвестный член пропорции: а) 3,8 : л: = 4,7 : 94; б) 4,08 : 5,1 = 0,7 : jc; 14,4 JC 3,1 0,124 в)-Нг=т^; г)—= 1,2 4,8 0,5 т Г891234 1197. В школьной библиотеке всего 3600 книг. — их об- 4 щего количества - учебники, 3 % остатка — справочники. Сколько справочников в этой библиотеке? 1198. Один насос может откачать воду из котлована за полчаса, другой - за 20 мин. За какое время могут откачать воду из котлована оба насоса, работая вместе? 1191). Найдите длины сторон четырехугольника, если они пропорциональны числам 4, 5, 6 и 7, а наибольшая из них равна 3,5 дм. 1200. Если бы человек двухметрового роста смог обойти земной шар по экватору или меридиану, то его голова описала бы окружность большего радиуса (рис. 126). Прикиньте, на сколько длина этой окружности больше длины экватора или меридиана. Вычислите эту разность. Рис. 126 228 1234567891234 Самостоятельная работа 6 Самостоетельная работа 6 Вариант 1 1°. Выполните действия: а)-2,75-3,8; б) 2,4 • (-3,5); в)-7: 2,1. 2°. Решите уравнение: а)дс-8 = -14; 6)-6jc = 15; в) 0,2х + 7 = 5. 3*. На сколько сумма квадратов чисел -0,2 и 0,3 больше куба их суммы? 4*. Вычислите: а) 5,4 - 8,2 + 2,6 - (-3,7) + (-4,9); б) -5,3 • 0,2 + 0,2 • 7 - 1,7 • (-0,2) + 3,8 : 2. Вариант 2 1°. Выполните действия: а)-4,6-7,85; б) 3,8 • (-2,5); в) 3,8: (-76). 2°. Решите уравнение: a)jc-12 = -37; б)8х = -4; в) 0,3jc + 10 = 7. 3*. На сколько сумма квадратов чисел - 2 и 1,7 больше куба их суммы? 4*. Вычислите: а) -2,6 + 3,9 - 7,4 + 2,6 - (-2,8) + (-3,5); б) -0,8 • 1,4 + 1,4 • (-0,5) - 1,3 • (-1,4) - 5,6 : (-8). Вариант 3 1°. Выполните действия: а)-1,53 + 0,75; б) 3,6 • (-6,25); в) 6: (-0,3). 2°. Решите уравнение: а)13 + л: = -48; б)-0,6л: = 30; в) 0,4л: - 7 =-5. 3*. На сколько сумма кубов чисел -0,2 и 0,3 больше куба их суммы? 4*. Вычислите: а) 3,27 - 8,06 + (-2,73) - (-8,4) - 4,62; б) -3,2 • 0,5 - 0,5 • 7 - 0,2 • (-0,5) + 3,8 : (-1,9). Вариант 4 1°. Выполните действия: а)-0,75+ 1,26; б)-2,75 1,4; в)-6,5 : (-13). 2°. Решите уравнение: а)24-л: = -13; б)-6,7л; = -33,5; в)0,6л: + 17 = 5. 1234567891234 229 123456'. Раздал /а Рациональные числа 3*. На сколько сумма квадратов чисел -3,7 и 4 больше куба их суммы? 4*. Вычислите: а) -5,24 - 3,57 -t- (-6,92) - 8,5 - (-4,24); б) -4,8 • 2,7 2,7 • (-5) -I- 2,7*“ + 2,7 : (-5,4). Готовимся к тематическому контролю ?891234 Вопросы для самопроверки 1. Как сложить два отрицательных числа? 2. Как найти сумму положительного и отрицательного чисел? 3. Чему равна сумма двух противоположных чисел? 4. Как из одного рационального числа вычесть другое? 5. Всегда ли возможно вычитание рациональных чисел? 6. Сс1юрмулируйте правило сложения двух отрицательных чисел. 7. Как умножить два числа с разными знаками? 8. Сформулируйте правило деления рациональных чисел. 9. Сформулируйте законы сложения. 10. Сформулируйте законы умножения. Задания в тестовой форме 1. Чему равна сумма чисел —2,5 и 5,2? а)0; б)-7,7; в) 7,7; г) 2,7. 2. Чему равно произведение чисел 1,1 и -11? а)-111,1; 6)11,11; в)-12,1; г) 12,1. 3. Решите уравнение 5дг = —100. а) 20; б)-20; в)-95; г)-500. 4. Чему равен квадрат числа -0,7? а) 4,9; б)-4,9; в) 0,49; г)-0,49. 5. Чему равен куб числа -0,2? а) 0,08; 6)0,008; в)-0,008; г)-0,08. 6. Вычислите -2,5 • 5,2 - 1,2 • (—2,5). а)-13; 6)10; в)-10; г) 3. 7. Какой знак надо поставить вместо звездочки в записи (-2)="* (-2)^? а) «>»; б) «<»; в) «=»; г) *>». 8. Найдите корни уравнения |jc - 5| = 5. а) 5 и-5; б) 0 и 10; в) 10 и 15; г) —10 и 5. 230 1234567891234 § 35. Преобразование простейших выражений 9. Вычислите произведение — 2,99 • 0. а) 2,99; б)-2,99; в) 0; г)-0,99. 10. Вычислите значение выражения 0,25ху, если х = — 24, у = -23. а) 1,38; б)-183; в)-138; г) 138. в) 19,5 : (-13). Типовые задачи 1°. Выполните действия: а) 1,15-7,26; б)-2,25 • (-1,4); 2°. Решите уравнение: а)34 + д: = -13; б)0,7х = -3,5. 3°. Найдите квадрат и куб числа -1,2. 4°. Вычислите: а) -59 + 37 + (-42) - (-41); б) -2 • (-7) • (-5). 1 5*. Вычислите значение выражения а + 6а + 9, если а = -3—. 6*. Найдите расстояние между точками А(- 7,5) и М(-5,7). 7*. Найдите неизвестный член пропорции х: (-3,2) = -4,8:-. 5 8*. Вычислите А - В, если: А = -2--2- + 5-:(-1,25)-1:(-3), В = 3,25-11 :(-4). 3 7 3 9”. Найдите корни уравнения |5^ - 1,3| = 2,7. ^ 10**. Назовите такие два числа, чтобы модуль их суммы был * меньше суммы их модулей. Запишите соответствующее 1реравенство в общем виде. / / II.. ■ Преобразование простейших выражений Если одно выражение заменить другим, имеющим такие же числовые значения, то такую замену называют преобразованием выражения. Рассмотрим несколько наиболее важных преобразований, которые выполняются на основании законов сложения и умножения. 1. Раскрытие скобок. Раскрыть в выражении скобки — это значит заменить его выражением без скобок. 1234567891234 231 12345671 Раздел Рациональные числа Если выражение со скобками содержит только действие умножения, то для его преобразования используют переместительный и сочетательный законы умножения. Пример. 5х^ ' 3) ' у = 5 ' (—3) • ' у = - 1Ъх^у. Если произведение содержит только числовой и буквенные множители, то числовой множитель пишут первым и называют его коэффициентом . -2,1Ъху'\ козффшщент буквенные множители Пример. В выражениях 2х, -5сх, -0,8п^, ас, -р коэффициентами являются числа 2, -5, -0,8, 1, -1. Коэ«])фи-циенты 1 и -1 обычно не пишут. Раскрывать скобки в выражениях, содержащих действия умножения, сложения и вычитания, можно на основании распределительного закона умножения и следствий из него. Пример. 5(х + 2у - 0,50 = 5х + 10у - 2,5Л Особенно часто приходится раскрывать скобки, перед которыми стоит знак «-1-» или ♦-», то есть умножать выражение в скобках на +1 или -1. В этом случае не обязательно каждый раз применять распределительный закон умножения, а можно использовать такие правила. Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «+», достаточно опустить скобки и знак перед ними. Пример. 2а + (х - I/ + 2) = 2а + X - у + 2. Всегда верно равенство а - (х + у) = а - х - у, поскольку разность а - X - у в сумме с вычитаемым х + у дает а. Из последнего равенства следует такое правило. Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «—», достаточно опустить скобки и знак перед ними, а знаки слагаемых, которые были в скобках, изменить на противоположные. Эти правила верны и для выражений, все слагаемые которых находятся в скобках. Например, -f-(a - с) = а - с, -(а-с) = -а + с. Примеры. -(3 + 4 — 9) = -3-4 +9; 4-(х-а + с) = 4- х + а-с. 2. Приведение подобных слагаемых. Выражение 5х - Зх + 2х - это сумма трех слагаемых: 5х, - Зх и 2х. Слагаемые, отличающиеся только числовым множителем, называются подобными. Согласно распределительному закону умножения 5х — Зх + 2х = (5 — 3 + 2)х = 4х. ?891234i232 1234567891234 ^ 35. Преобразование простейших выражений Такое упрощение выражения называют приведением подобных слагаемых. Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэ<1)фициенты и полученный результат умножить на их общий буквенный множитель. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых позволяют значительно упростить выражения. Пример. 2(т + л - 3) - (2т + 5п — 7) = = 2т + 2п — 6 — 2т — 5л + 7 = — Зл + 1 = 1- Зп. Узнайте больше Раньше вы знали: если выражение содержит скобки, то сначала надо выполнять действия в скобках. Умея раскрывать скобки, вы можете упростить вычисление некоторых выраясений. Например, чтобы вычислить значение выра- ^2 Л не обязательно выполнять дейст- жения 3,28- 2-4-3,28 5 ВИЯ в скобках. Лучше сначала раскрыть их: 3,28- 2--h 3,28 5 = 3,28-2--3,28 = -2-. 5 5 I Проверьте себя 1. Сформулируйте распределительный закон умножения. 2. Из какого закона умножения следует равенство т(а + Ь) = та -1- mb? 3. Сформулируйте правила раскрытия скобок. 4. Какие слагаемые называют подобными? 5. Из какого закона умножения следует правило приведения подобных слагаемых? Выполняем вместе (I) Вычислите значение выражения + 5.8-4|) 1234S67891234 233 123456' Раздел Раююнальные числа !•( 6,8-4-1=5- + 6,8-4- = 6,8 + 1 = 7,8. 3 3 3 (2)Найдите значение выражения 6х - (3 - 4х), если x=3,7. • 6л: — (3 — 4х) = 6х — 3 + 4л: = Юл: - 3. Если л: = 3,7, то Юл: -3 = 37-3 = 34. @ Упростите выражение 3(а + Ь) - (а + ЗЬ + 5). • 3(а + Ь) — (а + ЗЬ + 5) = За + ЗЬ - а - ЗЬ - 5 = 2а - 5. С Устные упражнения 1201. Раскройте скобки: a)-(x + z/), б)+(а + Ь), -(х-у), -(-х-у); 1202. Вычислите: а) 2+ (7-4), 12+ (18- 12), -4+ (-1 + 4), .4 (2 + (-а + Ь), + ф-а); в) х-(х- у), у-{х + р), х + (у- х). б) 18-(9-3), 37-(-37 + 2), -(8-27)+ 8, 3- + 7 --3-3 7 f 2 ^ 2 5- + 3,6 +5-. I 3 j 3 О Уровень А 1203. Приведите подобные слагаемые: а) 2л: + Зху б) 5а - За, -X + 6х, 6р-12р, 8х - 2х + 2, 5 - 7с + 2с, 0,5х + 0,3х; —2р + 0,5р; в) 17с - 2с, -4а - 10а, 4п + 3 - За, О - Зс + 5с. 1204. Запишите коэс1к))ициент выражения: а)-6хр; б)5,2х; в)-у; 1205. Упростите выражение: а)2х-3р; б)-х-8р; г)-5х-(-р); д)у7у^; Раскройте скобки (1206—1208). г)хуг; д)-71а. в) 2х • (-0,5у); е) 3,3х • (- Юх). 891234 1206. а) 2(х - у); г)-Ь(х-у); 1207. а) 9 + (а - х); г) X - (2 + у); 1208. а) -(х + 2) - р; г) 5 - (х + 2); 234 1234567891234 б) 0,5(2 + с); д)-2(2 + с); б) с - (X - 3); д) X + (3 - а); б)-(5с-2) + 1; д) X - (5с - 2); в) 4(2а + 36); е) -3(а - 26). в) 23 — (х — а); е) 0,5 + (х - у). в) 1 - (а + с + х); е) (а + 1)-(х + р). § 35. Преобразовалие простейших выражений Раскройте скобки и найдите значения выражений (1209-1211). 1209. а) 81 - (35 + 19); в) 4,5-(7,2- 10,8); 1210. а) 4,3+ (2-3,5); в) о-(9,45-4,4); б)-(43 + 12)+ 43; г) 3,4+ (2,7-3,4). б) 5,2-(-6+ 9,4); г) 11-(7,3-9). 1211. а) -4- [8 2/ б) - г) f5?-i-2\ [ 3 2 J- 5 7 3 J 7 1212. Приведите подобные слагаемые: а) 2х + 5 - Зх; б) За - 2Ь + 7а; в)5-7х + 11; г)-5Ь-Ь + а. Раскройте скобки и упростите выражения (1213 — 1214). 1213. а) 3 +(а-5); б) 7 - (2 - с); в)х-(2-х); г)-5-(у-4,3). 1214. а)-(а — с) + (3 - с); б)-2 — (х — а - 2); в) (5 + х) - (х - 5); г) (х + I/ + 2) - (X - у). 1215. Найдите значение выражения 3,7 - (с - 2,3), если: а)с = -19; б) с = 0,9; в) с =1,9; г) с = 9,9. Ф Уровень Б 1216. Упростите выражение и назовите его коэффициент: а) 0,2х • (-Зу); б)-5х-0,8х; в)-2х • (-0,5i/); г)5х'^'(-0,1у); д)-2у7у^; е)-Зх • (-10х^). 1217. Найдите значение выражения А, если х = - 2: а) А = -4,2 — (3,7 — х) — 2х; Ь)А = -(3,5 - х) - 1,4х; f 2 1 5—- —+ х |+х; г) А = Зх - (4,5 - 2х). в) А = - 1218. Приведите подобные слагаемые: а) 2х + 3z/ - 5у + 5х; б) За + ЗЬ - а - ЗЬ\ в) —m + 7/п + а - 5п; г) 4 + 5х + 4х - 9. 1219. Раскройте скобки и упростите выражение: а) 2(х — 3,8) — 2х; б)-4а + 2(-0,5 + 2а); в) - 3(5 -с) + Зс-5; г)б-а-х-(З-а-х). Упростите выражения (1220 — 1222). 1220. а) -14 + X + (-42) + 15 + 2х; б) 1,2 - с + (-С - 2,8 + 2с); а)-т-{-2т-3,1) — Зт. - 2.35 = "'3456 Раздал Рациональные числа б) 5а + 7а^ — 14а; г) -6п + 2п - п + 5л^. б) 5а - 6(а + 0,5); г) 26- 13(2-Зс). так, чтобы равенство было 1221. а) 2л; - 8jc + Зл: + х^; в)-2х + 7х - X + 3; 1222. а) Зх - 2(х - 3); в) 12 + 3(а - 4); 1223. Расставьте скобки верным: а)а-Ь-а + Ь = 2(а - Ь); б)х-у-х + у = 2х. 1224. Раскройте скобки и найдите значение выражения: а) 5(3с - 2) + 2(4 -7с) при с = 12,3; б) 3(21/ - 8) - 4(31/ - 5) + 5z/ при Z/ = -17,71. Упражнения для повторения 1225. Вычислите: а) 3,5^-3,5-2,5; б) 6,7 • 5,7 - 5,7^ 1226. Луч делит развернутый угол на два угла, меры которых относятся как 4 к 5. Найдите меры этих углов. 1227. Точки К VIР делят отрезок АВ на три части, пропорциональные числам 2, 3 и 5. Найдите длины этих частей, если: а)ЛВ=120см; б)ЛВ = 0,1м. 1228. В четырехугольнике АБС£) каждый из углов А, В, С равен 80°. Найдите меру угла D. 1229*. Прибыло 100 туристов. 10 из них не знают ни английского, ни французского языка; 83 - знают английский язык, 75 - французский. Сколько туристов знают оба языка? 1230. Заполните пустые клеточки схем (рис. 127, 128). Рис. 127 Рис. 128 Ю1234 Стандартный вид числа Масса Земли равна 5 980 000 000 000 000 000 000 т, а масса Луны - 73 500 000 000 ОСЮ 000 000 т. На сколько тонн масса Земли превышает массу Луны? Попробуйте решить задачу с помохцью калькулятора. По-видимому, вы не сможете даже вывести эти числа на дис- 236 1234567891234 § 36. Стандартный вид числа 10^; 10' 10 10 показателями, в частности: 10"= 1, 10' = 0,1, 10 ^' = 0,01, = 10 -I. 1 Tit ^’^”io“(io, =—=f-T= 1000 [ 10 ) 0,01 = —= f—l =10^; 100 [ 10 ) 0,001 10 0,0001 = = 10 ^ удобно записывать при помощи степеней числа 10 -1 плей обыкновенного калькулятор», ибо он рассчитан на значительно меньшее количество знаков. Выполнять вычисление в столбик с такими большими числами также неудобно: _ 5 980 000 000 000 000 000 000 73 500 000 000 000 000 000 5 906 500 000 000 000 000 000 Для упрощения записей больших чисел и выполнения действий над ними используют специальные правила их записи. Очень большие числа со многими нулями записывают при помощи степеней числа 10. Например, 1 000 000 000 = 10"; 6 000 000 000 = 6 • 1 000 000 000 = 6 • 10". Десятичные дроби со многими нулями после запятой тоже записывают при помощи степеней числа 10, но только с отрицательным показателем степени. Более детально такие степени вы будете изучать в старших классах, а пока поймите самое главное. Рассмотрим две последовательности чисел: 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ... ( I i \ ^ / Ю''; 10'; 10"; 10*'; Первым трюм числам первой последовательности соответствуют степени числа 10: 10^, Ю'*, 10'. Обратите внимание: если показатель степени числа 10 уменьшить на 1, то степень уменьшится в 10 раз. Распространяя это свойство на последующие члены первой последовательности, можно рассматривать степени с целыми отрицательными 10' = 0,001 и т. д. Понять целесообразность таких обозначений поможет прюдставление десятичных дрюбей в виде обыкновенных дрюбей и их степеней. 10000 Очень малые числа со многими нулями после запятой 1234567891234 237 123456 Яаздая ^ Рациональные числа Пример. 0,00000001 = 10 ®, тогда 0,00000003 = 3 - 0,00000001 = 3 • 10 ®. Запись числа в виде а • 10", где 1 < а < 10, п — целое, называют стандартным видом кисла. Число п в такой записи называют порядком данного числа. Запишем в стандартном виде числа, какими выражаются массы Земли, Луны и маленького муравья. 5 980 000 000 000 000 000 000 т = 5,98 • 10^* т, 73 500 000 000 000 000 000 т = 7,35 • Ю'” т. 0,0000015 кг = 1,5 ■ 10 “ кг. Числа, записанные в стандартном виде, используют физики, астрономы, инженеры, микробиологи и другие специалисты. Записанные так числа можно умножать, делить, складывать и вычитать. Рассмотрим сначала, как можно умножать и делить степени числа 10. 1) 10® • 10® = 1000 • 100 = 100000 = 10® = 10®^®; 2) 10®: 10® =1000: 100 = 10= 10‘= 10®’®; 3) 10 ®-10’® = 0,00001-0,001=0,00000001 = 10 ®= 10'®"< ®’; 4) 10 ®: 10 ® = 0,00001 : 0,001 =0,01 = 10 ®= 10 ® ‘ ®’. Рассмотренные примеры можно обобщить. Для любых целых чисел тип верны равенства: Ю" • 10" = 10"" Ю” : 10"= 10'"“"; (10Т=10'"". Используя эти свойства степеней и законы действий, числа, записанные в стандартном виде, можно складывать, вычитать, умножать и делить. Например, если а = 4,2 • 10® и 6 = 1,5 • 10®, то а + 6 = 4,2 - 10® + 1,5 • 10® = (4,2 + 1,5) • 10® = 5,7 -10®; а-6 = 4,2-10® а-6 = 4,2 - 10® - 1,5 - 10® = (4,2 - 1,5) - 10® а : 6 = (4,2 ■ 10®): (1,5 - 10®) = 4,2 : 1,5 = 2,8. В последнем примере использовано основное свойство отношения. 1,5 - 10® = (4,2 - 1,5) - 10® = 2,7 - 10®; 10® = 6,3-10'”; Узнайте больше Сейчас на Земле живет примерно 6,5 • 10“ человек. Можно ли считать точным это число, то есть 6 500 000 000? Нет, это приближенное значение, округленное до милли- '-Л234|238 1234567891234 § Зв. Стандартный кид числа ардов. Все нули в числе 6 500 000 000 - цифры не точные, а полученные в результате округления. В нем только две значащие цифры - 6 и 5. Все другие цифры не значащие. Если значение величины записано в стандартном виде а • 10", то число а - точное, все его цифры значащие. А все нули, которые получены при умножении а на 10", являются ре- зультатом округления. Число 2,5 две значащие цифры 2 и 5. 10 содержит только а Проверьте себя 1. Что такое стандартный вид числа? 2. Что такое порядок числа? 3. Какие действия можно выполнять над числами, записанными в стандартном виде? 4. Как найти произведение степеней числа 10? 5. Как найти частное степеней числа 10? Ф Выполняем вместе (D Масса Земли равна 5,98 • 10^* т, а масса Луны - .1» т. Во сколько раз масса Земли больше массы 7,35 • 10 Луны? • (5,98 = 5,98 • 10": 7,35 = 598 : 7,35 = 81. Ответ. Масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны. 10"‘): (7,35 • Ю'*") = (5,98 • Ю" •10“'): (7,35 • 10'“) = Сравните числа а =6,37 • 10® и с = 6,04 • 10^. • Поскольку показатель степени числа 10 на 1 больше показателя степени 10®, то говорят, что число с на порядок выше числа а. На порядок - это означает примерно в 10 раз, на 2 порядка - примерно в 100 раз. Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел 3 • 10 и 2,5 ■ 10 а -Ь 6 = 3 • 10^ -1- 2,5 • Ю"' = (3 + 2,5) • 10'^ = 5,5 • 10' а-5 = 3 •10"'-2,5 -10 ^ = (3-2,5) -10'^ = 0,5 -10 ^ = 5-10 а • 6 = 3 • 10 ' • 2,5 • 10 ' = (3 • 2,5) • Ю ' • Ю ' = 7,5 а : 5 = (3 • 10 '): (2,5 • 10 ') = 3 : 2,5 = 1,2. 10 14. 1234567891234 239! 123456 Раздел Рациональные числа С Устные упражнения 1231. Назовите числа, записанные в стандартном виде: 33,3 • 10"; 4 • 10'^; 0,006 • Ю"; 1,2 • 10^’; 10 • 10 ^ 1232. Представьте число в стандартном виде: 3000; 1500; 0,011; 0,006; 3450. 1233. Выполните действия: а) 10" ■ 10"; б) 10® : 10^ в) 10 " • 10 "; г) 10® : 10 ^ О Уровень А Запишите в стандартном виде числа (1234—1236). 1234. а) 1 000 000; в) 71 000 000; 1235. а) 0,00005; в) 0,0000017; 1236. а) 0,0032; в) 100 000 000; б) 120 000 000; г) 12 300 000. б) 0,0067; г) 0,001. б) 3 200 000; г) 0,00001. 1237. Запишите в обычном виде число: а) 4,8 10"; б)1,5-10"; в)9-10^ г) 1,5 10"; д) 2,9-10"; е)7-10". 1238. Запишите в стандартном виде приближенные значения таких величин: а) радиус Солнца - 696 000 000 м; б) скорость света - 300 000 000 м/с; в) толщина пленки мыльного пузыря — 0,00000006 см. Выполните действия (1239 — 1242). 1239. а) (2- 10") (3 в) (5 - 10^) - (2 1240. а) (8 ■ 10"): (5 в) (5 ■ 10^): (2 • 10"). 10®); 10"). 10®); б) (3 б) (3 10") (2 • 10"); 10"): (2.10"); 1241. а) 2 в) 5 1242. а) 4 в) 5 10’ + 3 • 10’ 10" + 2 Ю" 10" 3 2 10". 10"; 10". б) 3 • 10" + 2 • 10"; б) 3 • 10" - 2 • 10"; Уровень Б 1243. Найдите произведение и частное чисел: а) 4,2 • 10® и 2,4 • 10®; б) 2,1 - 10 " и 4,2 • Ю "; в) 5,8 • 10^ и 5,8 • 10®; г) 6,8 • Ю" и 8,5 • 10 ". !91234.240 1234567891234 § 37. Решение уравнений ^ ^ 1244. Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел: а) 3,3 • 10" и 1,5 • 10"; б) 1,1 • 10^ и 2,2 - 10^ в) 1,7 • 10 и 2 • 10'; г) 3,9 • 10" и 1,3 • 10". Сравните числа, указав, на сколько порядков или во сколько раз одно из них больше или меньше другого (1245-1246). 1245. а) 3-10" и 1,5 - Ю"; в) 4,2 • 10" и 3 - 10"; 1246. а) 3,9- 10 ® и 1,3- 10 в) 3 • 10 " и 2 • 10 1247. Порядок числа а равен 5. Какой порядок числа: а) 1000а; б) 0,0001а; в) а • 10"; г) а • 10 "? ч-з. 6)1,1.10" и 2 10"; г) 1,7 • 10" и 2 • 10". б) 1,56 ■ 10" и 2,6 • 10 "; г) 1,4 - 10" и 7 -10". Упражнения для повторения 1248. Найдите наибольший общий делитель чисел 54 и 72. 1249. Вычислите 3,7 м - 2,4 см • 3. 1250. Найдите значение х, если -3,5 : х = 7 : (-4). 1251. Периметр треугольника равен 24 дм. Найдите длины его сторон, если они пропорциональны числам 3, 4 и 5. 1252. На заводе всего 260 работников, женщин - в 3 раза меньше, чем мужчин. Сколько процентов работников завода составляют женщины? ф Решение уравнений Как вы уже знаете, уравнение - это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами. Корнем (или решением) уравнения называют то значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Зная отрицательные числа, можно решать и такие уравнения, какие раньше вы решать не умели. Напомним, если к равным числам прибавить одно и то же число, то суммы будут равными. То есть, если а — Ь, той а-\-т = Ь-^т. Уравнение - также равенство. И к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число. Полученное уравнение имеет такой же корень, как и данное уравнение. 123456789123ч 241 123456 Раздал ^ Рациональные числа Например, уравнение 2jc + 7 = 1 имеет корень -3. Если к обеим его частям прибавим число — 7, то получим уравнение 2jc = 1 - 7, корень которого тоже равен -3. Полученное уравнение от данного отличается только местом слагаемого 7. Это слагаемое перенесено с левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Переносить из одной части уравнения в другую можно и неизвестные слагаемые. Например, решая уравнение 5х = 21 - 2х, можно его слагаемое -2х перенести из правой части в левую. Уравнение 5х + 2л: = 21 имеет тот же корень, что и данное уравнение. Обе части числового равенства можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Ек^ли обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и данное. Э1234 Выделенные выше два утверждения - основные свойства уравнений. Они доказываются в старших классах. С их помощью можно р>ешать много уравнений. Пример. Решите уравнение 8,5л -Ь 38 = 5л + 3. Решение. 8,5л-Ь 38 = 5л + 3, 8,5л - 5л = 3 - 38, 3,5л = —35, л = -35 : 3,5, л = -10. Описывать в решении, куда переносим то или иное слагаемое, не обязательно. Способ решения уравнений на основании их свойств удобней и более общий, чем способ решения уравнений на основании зависимостей между компонентами действий, каким вы пользовались до сих пор. 242 1234567891234 § 37. Решение уравнений Узнайте больше Чтобы решить уравнение, содержащее обыкновенные дроби, можно воспользоваться вторым свойством. 15 1 1 Решим к примеру уравнение 14* жим обе его части на 14. Имеем Здг + 7(дс - 1) = 1, Зд: + 7д:-7=1, Юл: = 8. лг = 0,8. Проверьте себя 1. Что такое уравнение? Приведите примеры. 2. Что такое корень уравнения? 3. Какие способы решения уравнений вы знаете? 4. Сформулируйте основные свойства уравнений. Выполняем вместе (D Проволоку длиной 250 м разрезали на три части так, что одна из них оказалась на 25 м короче другой и на 45 м длиннее третьей. Найдите длины этих частей проволоки. • Длину первой части проволоки обозначим х м, тогда длина второй части проволоки равна (л: + 25) м, а третьей — (л: - 45) м. Так как сумма этих длин равна 250 м, то л' + + (л: + 25) + (л: - 45) = 250, или Зл: - 20 = 250. Тогда Здг = 270, х = 90, л:+25 =115, д:-45 = 45. Ответ. 90 м, 115 м и 45 м. @ Найдите два числа, сумма которых равна -3, а половина первого равна четвертой части второго. • Пусть первое число равно х. Тогда второе равно -3 — х. Половина первого числа —л:, а четвертая часть второго 2 ■^(-3-л:). Согласно условию задачи ^л: = ^(-3-л‘). Умножим обе части уравнения на 4. 2лг = -3-лг, 3лг = -3, л: = -1, -3-д: = -2. Ответ. —1 и - 2. 12345678912:’ 243 :23-- Раздел — Рациональные числа С Устные упражнения Решите уравнения (1253 — 1254). 1253. а) л: + 5 = 7; в)у + 0,5 = 1,5; д)Зу = 96; 1254. а) 3,27л: = 0; в)у - 135 = 0; д) (с + 4): 2 = 0; б) JC+ 12 = 32; г) 2х = 42; е) 5с = 100. б) JC- 12 = 12; г) 2{х - 5) = 0; е) (4 - 12)х = 0. 1255. Составьте и решите задачи по рисункам 129 и 130. 25 грн. < 14,8 грн Рис. 129 Рис. 130 "^91234 О Уровень А 1256. Решите уравнение: а)2л: + 10= 7 + 5дг; б) 0,3 - л: = 2,8 - 1,5л:. 1257. Перенесите слагаемые с неизвестными в левую часть уравнения: а) 3л' = 24-л:, 9у = 3,7 + у, -7z = —3 + 1,5г; б) — 5л: = 17 + 2дг, - 18t/= Зг/+ 12, 14 + z = 6z. 1258. Перенесите все неизвестные члены уравнения в левую часть, а известные — в правую: а) 8л: + 12 = д: + 9, 15с-7 = с-6, 62 - 13л: = 18л:; б) 6л: + 18 = 5-л:, 19-5п = 7 + Зп, 51л:+ 41 = 45-51л:. 1259. Одни ли и те же корни имеют уравнения: а) 2л: + 5 = л: + 5 и 2л: = л:; б)3т — 7 = 6т — 7 и 3m = 6m? 1260. Обоснуйте утверждение: если обе части уравнения имеют равные слагаемые, их можно опустить. Решите уравнения (1261 —1267). 1261. а) Зл: + 7 = л: + 5; 1262. а) 5 - 4л: = л: + 20; 1263. а) 0,3- 2л: = 0,5 + 3; 1264. а) 5 - 1,2л: = л: - 5; 1265. а)-л:-13 =-х +7; 2 4 244 1234567891234 б) 2л: - 9 = Зле + 8. б) 9 - л: = 35 - 2л:. б)2,4 = Зл:-4,2. б)4,7-Зл: = Зл: + 4,7. б)-с-1,5 = -с + 3,5. 3 6 § 37. Решение уравнений 1266.а)-2+- = 1-0,52; 5 2 б) -I/-0,2 = 1,3 + 1/. 4 1267. а) 3(п + 3) = 5 - 2п; б) 8(д: - 5) = Зд: - 40. 1268. Решите уравнение, воспользовавшись свойством пропорции: a)jc:5 = 12:(-10); б) 6 : jc = (-5): 2,5; в) 3,5: (-0,7) = jc: 1,8; г)-3 : (-1,5) =-32 : д:. 1269. Сын в 3 раза моложе отца. Сколько лет отцу, если он старше сына на 28 лет? 1270. Грузовой автомобиль загрузили в 4 раза больше, чем прицеп. Сколько центнеров погрузили в прицеп, если на нем было на 12 ц меньше, чем на автомобиле? 1271. Грузовой автомобиль загрузили в 4 раза больше, чем прицеп. Сколько центнеров погрузили в автомобиль, если в автомобиль и прицеп загрузили вместе 40 ц? 1272. Периметр прямоугольника равен 18,8 м, одна из его сторон на 4 см короче другой. Найдите длины сторон прямоугольника. 1273. Боковая сторона равнобедренного треугольника на 3 см длиннее основания. Найдите их длины, если периметр треугольника равен 54 см. 1274. а) Проволоку длиной 350 м разрезали на две части так, что одна из них оказалась в 6 раз короче другой. Найдите их длины. б) Проволоку длиной 350 м разрезали на две части так, что одна из них оказалась на 6 м короче другой. Найдите их длины. 1275. Проволоку длиной 305 м разрезали на три части так, что одна из них оказалась в 3 раза длиннее второй и на 60 м короче третьей. Найдите длину каждой части проволоки. Уровень Б Решите уравнения (1276—1281). 1276. а) 2 - 3(л: + 1) = 3 - 2(х + 5); б) X - 0,4(х - 14) = 3,1(3х - 1). 1277. а) Зх + 0,4 = 0,8(0,5 - 2х); б) 0,4 - 0,5(с + 3) = 1 - 0,2(с - 3). 1234567891234 245 123456 Раадап Рафюнапьные числа 1278. а)-30 + 2х+ 1 = -5{7-х); б) -3(п + 1) + 2 = 3 - 2(л + 5); B)-5(z/-3) = 7-2(3-z/). 1279 3 ( 2j = 4х; б,|Л-(з-.). 6) j(2* + 4) = 3 ( 1 О Х-1— +ДС. 2) 1280. а) -(2-3x) = 0,4-0,lJC + 3; 5 1281. a)-jc + --2jt: = i(3x-5); б)д:-3 = 2 6 3 б 1282. Ручка дороже карандаша на 45 к., а 7 карандашей стоят столько же, сколько 2 ручки. Сколько стоит одна ручка? 1283. Килограмм конфет дороже килограмма печенья на 2,6 грн., а 4 кг конфет стоят столько, сколько 6 кг печенья. Сколько стоит 1 кг конфет и 2 кг печенья? 1284. Заполните таблицу. 5л:-7 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X Ш 1285. Сумма двух чисел равна 90. Известно, что половина первого числа равна третьей части второго. Найдите эти числа. 1286. Сумма двух чисел равна 45. Найдите эти числа, если 0,4 первого числа равны 0,6 второго. 1287. Сумма двух чисел равна 21. Найдите эти числа, если 30 % первого числа равны 40 % второго. 1288. Разность двух чисел равна 2,5. Найдите эти числа, если третья часть большего из них равна половине меньшего. 1289. Разность двух чисел равна 0,8. Найдите эти числа, если они относятся как 5:3. 1290. При каком значении х значения дробей - и —— 18 15 равны между собой? 1291. Среднее арифметическое двух чисел равно 3. Найдите эти числа, если известно, что одно из них в 3 раза больше другого. 1292. Сумма двух чисел равна 1, а разность 0,6. Найдите эти числа. 246 123-15675-9-гЗ'- § 37. Решение уравнений 1293. Задача-шутка. Тане с Колей - двадцать лет, Таня старше втрое. Сколько лет ей? Кто секрет нам ее раскроет? 1294. Составьте и решите задачи по рисункам 131 и 132. д: ^ 7 ^ д: 15 > 124 м 157т Рис. 131 Рис. 132 Упражнения для повтореШ^к 1295. На сколько сумма чисел 4 и -5 меньше их разности? 1296. На сколько сумма чисел аил: больше или меньше их разности, если: а) а = 15, л: =-7; б) а =-8, л: = 19? 1297. Вычислите: а) 5,25+ (-3,5); б)-8,4 - (-3,5); в)-5,9-4,2. 1298. Решите уравнение: а)|л'| = 3; б)|2л:| = 8; в)|л:-3| = 2. 1299. Какие целые значения х удовлетворяют неравенству: а)|л:|<3; б)|2л:|<4; в)|лг-3|<1; г)|л: + 2|<5? 1300. Разделите число 1000 на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 5 и 10. 1301. Найдите два числа, сумма которых равна 1000, а 30 % первого на 200 больше 20 % второго. 1302*. Наде сейчас в 2 раза больше лет, чем будет Алесе тогда, когда Вере станет столько лет, сколько сейчас Наде. Кто из них самая старшая, а кто - самая младшая? 123456789123 ' 247 12345t Раздел Рациональные числа Перпендикулярные и параллельные прямые Две прямые образуют при пересечении четыре угла (рис. 133). Если один из этих углов прямой, то и все другие - тоже прямые. Если Z1 = 90°, то Z2 = 90°, Z3 = 90° и Z4 = 90° (рис. 134). Почему? С В. а ь 1 2 4 3 Рис. 133 Рис. 134 Две прямые, кспорые при пересечении образуют прямые углы, называются перпендикулярными прямыми. Прямые аиЬ, изображенные на рисунке 134, перпендикулярные. Пишут а Lb или 6 J.а. Отрезки и лучи называются пер пендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Например, стороны АВ и AD прямоугольника ABCD перпендикулярные (рис. 135). Стороны прямого угла также перпендикулярны. Через данную точку Р всегда можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой а. Это можно сделать при помощи угольника (рис. 136). Две прямые могут и не пересекаться (рис. 137). Рис. 135 91234 Рис. 136 Рис. 137 Две прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости, называются параллельными прямыми. 248 1234567891234 § 38. Перпендикулярные и параллельные прямые Параллельными, например, являются линии тетради «в линейку», линии нотного стана, рельсы железнодорожного пути. Если прямые а и Ь параллельные, то пишут а || Ь или ЬII а. Два отрезка или луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Например, если ABCD - прямоугольник (см. рис. 135), то АВ || ПС и ВС || AD. Через любую точку Р, которая не лежит на прямой а, можно провести прямую, параллельную прямой а. Для этого можно через точку Р провести прямую с, перпендикулярную прямой а, а потом прямую Ь, перпендикулярную прямой с (рис. 138). При таком построении всегда Ь || а. Можно воспользоваться линейкой и угольником (рис. 139). а а а Рис. 138 Узнайте больше Четырехугольник, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, называется параллелограммом (рис. 140). Каждая сторона параллелограмма равна противоположной стороне. Каждый угол параллелограмма равен противолежащему углу. Параллелограмм с прямыми углами - прямоугольник, параллелограмм с равными сторонами - ромб (рис. 141, а). Прямоугольник с равными сторонами (или ромб с прямыми углами) - квадрат (рис. 141, б). В L Рис. 140 1234567891234 249 12345 а* Раздал Рациональные числа Каждые ли две прямые, которые не пересекаются, являются параллельными? Нет. Прямые а и с, одна из которых лежит в плоскости, а вторая пересекает эту плоскость (рис. 142), не параллельны. Так же не параллельны ребра АК и ВС куба, изображенного на рисунке 143. Так как они не лежат в одной плоскости. А Проверьте себя 1. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых. 2. Какие отрезки называются перпендикулярными? 3. Какие две прямые называются параллельными? 4. Какие отрезки называются параллельными? 5. При помощи каких чера-ежных инструментов можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой? Как это делают? 6. Как можно провести прямую, параллельную данной прямой? Выполняем вместе (D На рисунке 143 изображен куб ABCDKPTM. Параллельны ли прямые АК и БР? А отрезки АК и БР? Перпендикулярны ли прямые АК и АВ? • Прямые АК и БР лежат в одной плоскости (в плоскости квадратаАВРК) и не пересекаются. Поэтому А/Г || БР. Отрезки АК" и БР лежат на параллельных прямых, поэтому параллельны. Прямые АК и АВ пересекаются в точке А под прямым углом, посколь- 7 Г D 1_ Р А Рис. 143 ку все углы квадрата прямые. Следовательно, АК" .LAB. ;1234!250 1234567891234 § 38. Перпендикулярные и паргшлельные прямые С Устные упражнения 1303. Какие из отрезков, изображенных на рисунке 143, перпендикулярные? А какие параллельные? 1304. Какие из прямых, изображенных на рисунке 144, параллельны друг другу? А какие перпендикулярны? 1305. Параллельны ли прямые а и Ь, если каждая из них параллельна некоторой прямой с? 1306. Перпендикулярны ли прямые а и Ь, если каждая из них перпендикулярна некоторой прямой с? Уровень А 1307. Определите сначала на глаз, а потом проверьте с помощью угольника, какие из прямых перпендикулярные (рис. 144). 1Ж)8. Начертите два перпендикулярных отрезка, которые: а) пересекаются; б) не пересекаются; в) имеют общий конец. 1309. Постройте две перпендикулярные прямые при помощи транспортира. 1310. Используя рисунок 143 и символы ± и ||, заполните пропуски: а)АВ...ВС; 6)AB...CD; в)АВ ...AD; г) ВС...AD; p)BC...CD; e)AD ... DC. 1311. Начертите прямую а и обозначьте точку Р вне ее. Проведите через точку Р прямую, параллельную прямой а. Сколько таких прямых можно провести? 1312. Начертите треугольник АВС. Через его вершину А проведите на глаз прямую, параллельную противоположной стороне треугольника. 1313. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О так, что ZAOC = 100° (рис. 145). Вычислите меры углов СОВ, BODuAOD. 1314. При помощи угольника постройте две перпендикулярные прямые. 12345 Раздел Рациональные числа 1315. Начертите остроугольный треугольник АВС. Через каждую его вершину проведите прямую, перпендикулярную противоположной стороне. 1316. Начертите три прямые, параллельные друг другу. Уровень Б 1317. Начертите в тетради отрезок АВ и обозначьте точку К (рис. 146). Сколько разных отрезков, перпендикулярных АВ, можно провести через точку К? А сколько параллельных? 1318. Изображенные на рисунке 147 прямые ОА и ОВ перпендикулярны, лучи ОК и ОР также перпендикулярны, а ZAOK = 30°. Вычислите меры углов ВОК и ВОР. Рис. 147 J91234 Рис. 146 1319. Найдите градусные меры углов, образованных пересечением двух прямых, если один из углов: а) в 3 раза больше другого; б) на 20° меньше другого; в) равен пятой части другого. 1320. Начертите две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О. На одной из них обозначьте точки А и С, а на другой — точки В и D так, чтобы ОА = ОВ = ОС = OD. Найдите расстояния АВ, ВС и CD, если AD = 3 см. 1321. Практическое задание. Покажите, как сгибанием листа бумаги можно получить: а) перпендикулярные отрезки; б) параллельные отрезки; в) прямоугольник; г) углы 45° и 135°. 252 1234567891234 § 39. Координатная плоскость Упражнения для повторения. 1322. Найдите значение выражения: а) (-35) • 203 + 37 • 2003 + 3003 : 77; б) 43,8 • (-3,5) - 3,24 • (-2,5) + 12,08; в) -3--2—+ --f--V30,5. 4 15 8 I 9 j 1323. Найдите все целые значения х, при которых: а)-3,4 < л: < 2,4; б)-4,1 < jc < 2,7. 1324. Начертите треугольник АВС, в котором: а) АВ = 3 см, АС = 4 см, ZA = 45°; б) АВ = ВС = 5 см, ZB = 60°. 1325. На сколько процентов расстояние 7 дм меньше 1 м? 1326. Найдите числа а, Ь и с, если а:Ь = 3:4, Ь:с = 5:6, а наименьшее из них равно 21. 1327. Сумма трех некоторых натуральных чисел - число четное. Четным или нечетным числом является произведение этих чисел? Координатная плоскость Как известно, каждому рациональному числу на координатной прямой отвечает определенная точка. Например, на координатной прямой, изображенной на рисунке 148, числу —2соответствует точка А, ачислу 2,5—точка В. Говорятитак: точке А соответствует число - 2, а точке В - число 2,5. То есть место точки на прямой можно однозначно задать числом. Подобно этому можно определять числами и место точки на плоскости, на глобусе, на географической карте. Только в этих случаях надо указать не одно число, а пару чисел. Например, определяя место какого-нибудь пункта на географической карте, указывают два числа; долготу и широту. А В -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Рис. 148 Рассмотрим, как можно задать парой чисел точку на плоскости. Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются 1234567891234 253 123456i Раздел . Рационсшьные числа в их общем начале координат — точке О (рис. 149). Одну из этих координатных прямых, которая расположена горизонтально, обозначают буквой х и называют осью абсцисс. 4 3 2 1 4 -3 -2 -1 О -1 -2 -3 -4 Рис. 149 Вертикальную координатную прямую у называют осью ординат. Их положительные направления указаны стрелками. Точку О называют началом координат. Е1ди-ничные отрезки на обеих осях в большинстве случаев считаются равными. Объединение двух таких координатных 7891234 Рис. 150 254 1234567891234 § 39. Координатная плоскость прямых называют системой координат. Если на плоскости есть система координат, то ее называют координатной плоскостью. Каждой паре рациональных чисел на координатной плоскости соответствует определенная точка. Например, паре чисел 4 и 2 соответствует точка М (рис. 150). Говорят, что абсцисса точки М равна 4, а ордината 2. Пишут: М(4; 2). Точка К имеет абсциссу - 3 и ординату 1, точка Р — абсциссу о и ординату-3. Пишут: К(-3; 1), Р(0;-3). Первой всегда пишут абсциссу. Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки. Узнайте больше Рассмотренную систему координат впервые использовал французский ученый Р. Декарт. Поэтому ее называют декартовой системой координат. Она состоит из двух прямолинейных осей, пересекающихся под прямым углом в точке 0(0; 0). Единичные отрезки на обеих ее осях равны. Хотя со временем вы ознакомитесь и с такими системами координат, у которых координатные оси имеют разные масштабы. Существуют также другие системы координат. Их рассматривают в старших классах и высших учебных заведениях. Своеобразную систему координат ~ сетку из параллелей и меридианов - используют географы. Географические координаты -долготу и широту - обычно выражают в градусах. Начало географической системы координат -точка О - это точка пересечения экватора с начальным меридианом, который проходит вблизи Лондона (рис. 151). Меридиан, который проходит через Киев, пересекает экватор в такой точке А, что углы ОСА и АСК равны примерно 30,5° и 50,5°. Поэтому говорят, что географические координаты Киева равны примерно 30,5° восточной долготы и 50,5° северной широты. Рис. 151 1234567891234 255 1234567 Раздел Рациональные числа Проверьте себя 1. Как называют оси координат? 2. Что такое начало координат? Какие его координаты? 3. Что такое координатная плоскость? 4. Что такое координаты точки? Назовите их. 5. Как записывают координаты точки на плоскости? С Устные упражнения 1328. а) Назовите координаты точек, обозначенных буквами на рисунке 152. б) Чему равны ординаты точек К, Р. Т, X? в) Назовите абсциссы точек, которые принадлежат оси ординат. г) Абсциссы каких точек отрицательные? д) Ординаты каких точек неположительные? И Уровень А 1329. Начертите систему координат, единичный отрезок которой равен 1 см. Обозначьте точки А(2; 4), В(-3; -2), С(0; -2), D(-l; 3), Е(3; 4), F(l; 0). 1330. Определите координаты точек М, К, Р, Т, обозначенных на рисунке 152. 7891234 yj к 1 2 Л/ 1 X - Ь А к ^ ■ Г 1 — i _ ( > — 0 . , а X 1 i 1 'в р -2 т I 1 3 . Рис. 152 256 1234567891234 § 39. Координатная плоскость 1331. Отметьте на координатной плоскости точки >1(2; 5), В(2; 3), С(2; О), К(2; -1), Р(2; -3). Верно ли, что все они лежат на одной прямой? 1332. Отметьте на координатной плоскости точки А(-3; 2), В(0; 2), С(4; 2). Верно ли, что они лежат на одной прямой? Проведите эту прямую. 1333. Проведите на координатной плоскости прямую, которая проходит через точки К(-3; 4) и Р(-3; -3). Проходит ли эта прямая через точку Т(-3; 1)? А через точку М(-2; О)? 1334. Проведите на координатной плоскости прямую, которая проходит через начало координат и точку А(4; 3). Проходит ли эта прямая через точку АГ(1; 2)? 1335. Три вершины прямоугольника ABCD имеют такие координаты: А(-2; 2), В(4; 2), С(4; -3). Найдите координаты точки D. 1336. Точки А(1; 0), В(1; 3), С(5; 3) - три вершины прямоугольника АВСП. Найдите координаты четвертой вершины прямоухюльника, а также его периметр и площадь, считая, что длина единичного отрезка равна 1 см. 1337*. Считая, что длина единичного отрезка равна 1 см, найдите площадь: а) треугольника с вершинами А(0; 3), 0(0; 0) и В(6; 0); б) треугольника с вершинами /(Г(1; 1), В(4; 1) и Т(4; 4); в) ромба с вершинами А(-3; 0), В(0; 4), С(3; 0) и £)(0; 4); г) параллелограмма с вершинами А(-2; 0), В(0; 3), С(4; 3) и 0(2; 0). 1338. Точки А и В называются симметричными относительно точки М, если М - серюдина отрезкаАВ (рис. 153). Покажите, что точки А(0; 5) и В(0; 1) симметричные относительно точки М(0; 3), а точки К(-3; 2) и В(3; 2) симметричные относительно точки Т(0; 2). М В Рис. 153 1339. Точки А и В называются симметричными относительно прямой а, если прямая а перпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину (рис. 154). Симметричны ли относительно оси абсцисс точки А(2; 4) и В(2; -4)? 9 г. П. Ввез ‘Матемагикэ". 6 кл 1234S67891234 252i123456: 1340. Дано точку С(-3; 2). Отметьте на координатной плоскости точку jRT, симметричную относительно точки М(1; 2). Какие координаты точки КЧ 1341. Дано точку С(-2; -3). Отметьте на координатной плоскости точку К, симметричную точке С относительно оси X, и точку Р, симметричную точке С относительно оси у. Найдите координаты точек К и Р. 1342. Какие координаты точки, симметричной точкеА(-4; 7) относительно начала координат? А относительно точки М(1; 3)? 1343. Даноточки А(—2; 3) и В(5; 3). Найдите длину отрезка АВ в единичных отрезках. 1344. Дано точки К(-3; —3) и Р(—5; -3). Найдите координаты точки М - середины отрезка КР - и расстояние КМ. Уровень Б 1345. Верно ли, что точки А(-2; -2), В(1; 1) и С(4; 4) лежат на одной прямой? Каждая ли точка этой прямой имеет ординату, равную абсциссе? 1346. Зарисуйте часть координатной плоскости, каждая точка которой имеет положительную абсциссу и положительную ординату. 1347. Зарисуйте часть координатной плоскости, каждая точка которой имеет: а) положительную абсциссу и отрицательную ординату; б) отрицательную абсциссу и положительную ординату; в) отрицательную абсциссу и отрицательную ординату. 1348. Какая точка расположена ближе к началу координат: Л(0; 5) или В( -6; 0)? 1349. Через точку М(4; -3) проведите прямые, перпендикулярные осям координат. Найдите координаты точек пересечения этих прямых с осью абсцисс и осью ординат. 1350. Начертите на координатной плоскости птестиугольник с вершинами в точках 0(0; О), А(0; 5), J3(3; 5), С(3; 3), 0(5; 3), Е(Ь; 0). Найдите его периметр и площадь, если ОА = 5 см. 1351. На координатной плоскости проведена линия (рис. 155). Обозначьте буквами точки пересечения этой линии с осями координат. Найдите координаты этих точек. 1352. По географической карте определите координаты Киева, Львова, Харькова. 1353. Отметьте на координатной плоскости точки А(0; 5), В(3; 4), С(4; 3), 0(5; О), 0(4; -3), ЩЗ; - 4), Р(0; -5), Т(-3; -4). Проведите окружность с центром в точке 0(0; О) и радиу- 891234-258 1234567891234 § 39. Координатная плоскость сом 5 единичных отрезков и убедитесь в том, что все указанные точки лежат на этой окружности. Назовите еще координаты нескольких точек, лежащих на этой окружности. 1354. Зарисуйте часть координатной плоскости, на которой расположены все точки М(х; у) такие, что: а) дс > О и I/ > 0; б) jc < 0 и (/ = 0; в) JC = 3 и I/ > 0; г) |jc| < 1 и |i/| < 2. 1355. На шахматной доске координаты полей обозначают латинскими буквами и числами. Например, поле, на котором стоит конь (рис. 156), обозначают так: d2. Запишите координаты полей, отмеченных точками. 1356. Вспомните игру «морской бой». Сделайте соответствующий рисунок и запишите координаты «кораблей». Упражнения для повто} 1357. В трех ящиках 40 кг помидоров, причем в первом ящике на 2 кг больше, чем во втором, и на 3 кг меньше, чем в третьем. Сколько помидоров в каждом ящике? 1358. Периметр 'греугольника равен 43 см. Первая еггорона в 2 раза длиннее второй и на 3 см короче третьей. Найдите длины сторон треугольника. 1359. Сумма трех чисел равна 100. Найдите их, если первое 1ЧИСЛО составляет 50 % второго, а второе - 40 % третьего числа. 1360. Половина суммы трех чисел равна первому из них, которое на 2 меньше второго и на 3 — третьего. Найдите первое из этих чисел. 1234567891234 259 1234567; ' V- ^ Раздел Ргщионгитьные числа 1361. Найдите два числа, разность и отношение которых равны соответственно 10 и 10. 1362. Замените буквы цифрами так, чтобы выполнялось равенство икс + фикс = 1468. Графики Координатную плоскость часто используют для построения графиков. Рассмотрим к примеру график изменения температуры. Представим себе, что температуру воздуха измеряли в течение суток каждые два часа. Результаты измерений записали в таблицу. Часы (ч) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Градусы (°С) 3 1 0 -2 -3 -1 1 4 5 6 5 4 3 Данные этой таблицы показывают соответствие между временем и температурой воздуха: в полночь температура была 3 X, в два часа термометр показывал 1 X и т. д. Чтобы лучше видеть, как изменялась температура, строят ее график. Для этого проведем оси координат. На оси абсцисс будем обозначать время (часы, в которые измеряли температуру), а на оси ординат - соответствующие показания термометра. Отмечаем точки, координаты которых — пары чисел из приведенной выше таблицы: паре чисел О и 3 соответствует точка с координатами О и 3 и т. д. (рис. 157). 7891234 § 40. Графгаси Представим теперь, что температуру воздуха измер51ли не через каждые два часа, а черюз каждые полчаса. Тогда в таблице было бы больше пар чисел, а на координатной плоскости - больше точек (рис. 158, о). А если бы температуру воздуха измеряли негферывно, то все точки на координатной плоскости слились бы в непрерьшную линию (рис. 158, б). Эта линия - график температуры воздуха. Из графика наглядно видно, что до 8-и часов температура снижалась, от 8-и до 18-и — повышалась, а потом снова снижалась; что в промежутке между 4-я и 11-ю часами она была «минусовой» и т. д. Рис. 158 1234567891234 261 123456 Раздал Рациональные числа Графики бывают различными, чаще всего — это линия на координатной плоскости. Такой график наглядно показывает, как изменяются значения одной величины от изменения значений другой величины. Масштабы на осях могут быть разными. Рассмотренный график изменения температуры воздуха со врюменем - кривая линия. А некоторые графики - прямые, лучи, отрезки, ломаные или объединение таких линий с кривыми. Например, графиком прямой пропорциональности является прямая или часть прямой, которая проходит через начало координат. Рассмотрим пример. Если человек 4 ч движется равномерно со скоростью 5 км/ч, то графиком его движения является отрезок, изображенный на рисунке 159. ^891234 Узнайте больше Как вы уже знаете, две величины называются обратно пропорциональными, если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения другой уменьшаются во столько же раз. Например, скорость движения v и время t, в течение которого тело проходит определенное рассто- _ S яние S, — величины обратно пропорциональные: t =—. За V какое время можно преодолеть расстояние 100 км, если двигаться с различными скоростями? Это видно из таблицы: V, км/ч 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, ч 10 5 3- 3 2- 2 2 1? 3 i5 7 li 4 li 9 1 262 1234567891234 § 40. Графики Если нанести на координатную плоскость точки, координаты которых отвечают данным этой таблицы, и провести через них плавную кривую, получим график рассматриваемой зависимости (рис. 160). Графиком каждой обратно пропорциональной зависимости величин является аналогичная кривая линия. Рис. 160 Существуют приборы (термограф, барограф, кардиограф и др.), которые сами вычерчивают графики, специалисты должны уметь их «читать». Больше о различных графиках вы узнаете в старших классах. Проверьте себя 1. Что такое график? 2. Какие бывают графики? 3. Какой вид имеет график прямой пропорциональной зависимости? 4. Для чего нужны графики специалистам? 5. Как строят график «по точкам»? Ф Выполняем вместе (Т) Построим график движения велосипедиста, который 2 ч ехал со скоростью 10 км/ч, потом 1 ч отдыхал, после чего с такой же скоростью ехал еще 2 ч. 123456780123^ 263 123451 Раздел /а I Рациональные числа ~ ^дЛ^оЦИОНсШЬ • Описанной ситуации отвечает приведенная ниже таблица. Нанесем на координатную плоскость точки, координаты которых отвечают данньпм этой таблицы, соединим их отрезками и получим график движения велосипедиста (рис. 161). Время (ч) Расстояние (км) 0 0 1 10 2 20 3 20 4 30 5 40 . G Устные упражнения -я 1363. На рисунке 162 изображен график изменения температуры воздуха в течение суток. а) Какой была температура воздуха в 4 часа; в 20 часов? б) В котором часу она была самой высокой; в котором -самой низкой? в) В котором часу она была нулевой? 3912341264 1234567891234 I------------------------- § 40. Графики г) В какое время температура была положительной, а в какое - отрицательной? д) В какое время температура воздуха повышалась, а в какое — снижалась? е) В котором часу температура воздуха была 2 X? А - 2 °С? ж) Сколько раз в сутки температура была 1 °С? А -1 °С? И Уровень А 1364. Постройте график температуры по данным таблицы. Часы (ч) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Градусы (°С) 2 0 -1 -2 -3 -1 0 1 3 4 6 1865. На рисунке 163 изображен график движения автомобиля в течение пяти часов. а) Какое расстояние проехал автомобиль за 2 ч; за 5 ч? б) С какой скоростью он двигался? в) Заполните таблицу, которая отвечает этому графику. Время движения (ч) 0,5 1 1.5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Расстояние (км) 1366. Постройте график движения велосипедиста по данным таблицы. Время движения (ч) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Расстояние (км) 7 14 21 28 35 42 1367. Мотоцикл двигался 5 ч со скоростью 50 км/ч. Составьте соответствующую таблицу и постройте график движения мотоцикла. 1234567891234 265 123456 Раздел Рациональные числа Г891234 1368. Высота сосны изменялась в зависимости от ее возраста так: Возраст (г.) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Высота (м) 0 3 6 9 12 15 16 17 17 Постройте график зависимости высоты сосны от ее возраста. По графику определите: а) высоту сосны в 15 лет, 23 года, 77 лет; б) в каком возрасте высота сосны была 8 м; в) на сколько метров сосна выросла за первые 20 лет. Уровень Б 1369. Известно, что площадь квадрата S = а^, где а — длина его стороны. Составьте таблицу зависимости площади квадрата от длины его стороны, если а равно: 0 см, 1 см, 2 см, 3 см, 4 см. Постройте график этой зависимости. 1370. Велосипедист 2 ч ехал со скоростью 14 км/ч, а после часового отдыха с такой же скоростью еще 3 ч. Соответствует ли его движению график, изображенный на рисунке 164? Сколько всего километров он проехал? 1371. Велосипедист 3 ч ехал со скоростью 25 км/ч. Отдохнув 1 ч, он с такой же скоростью проехал еще 30 км. Постройте график движения велосипедиста. Сколько всего километров он проехал? 1372. На рисунке 165 изображен график движения группы туристов. Сколько часов туристы были в пути? Сколько километров они прошли? Сколько раз они отдыхали и 266 1234567891234 Самостоятельная I^aбoтa 7 по сколько часов? С какими скоростями шли туристы в первые и последние часы похода? Сь i Ui к i - s30 - ч 25 а Л CiXJ / LU 0 5 — - > / 0 1 23456789 10 X 111 UTMlissL Рис. 165 1373*. У Аленки было 12 грн. Сколько одинаковых игрушек она может купить, если стоимость каждой из них: 1 грн., 2 грн., 3 грн., 4 грн., 6 грн., 12 грн. Составьте соответствующую таблицу и постройте график. Будет ли этот график сплошной линией? Упражнения для повторения . ♦ 1374. Найдите площадь круга, радиус которого равен: а) 2 м; б) 0,5 дм; в) а мм. 1375. Найдите три числа, среднее арифметическое которых равно 63 и которые пропорциональны числам 3, 4 и 8. 1376. Решите уравнение: а) + 3 = 28; б) |л: + 4| = 16. Самостоятельная работа 7 Вариант 1 1°. Упростите выражение: а)26лс—15л:; б) 0,2л: + 7(0,5л: — 3). 2". Решите уравнение: а) 5-л: = -13; б) Зл: - 2 = 1 - 5(1,2 - л:). 3". На двух складах хранится 2880 т угля. Сколько угля на каждом складе, если на первом складе его на 400 т меньше, чем на втором? 4°. Отметьте на координатной плоскости точки Л(-4; -2), Б(-4; 3), С(3; 3) и £)(3; -2). Найдите периметр и площадь четырехугольника ABCD. 1234567891234 267 12345' Раздел 'А Рациональные числа 5*. Мотоциклист в течение 6 ч двигался со скоростью 40 км/ч. Постройте график его движения. Вариант 2 1°. Упростите выражение: а) Збдс - 9jc; б) 0,5jc + 2(0,Зх — 1). 2". Решите уравнение: а)7-д:=19; б) 2jc - 3,8 = 3 - 4(3 - л:). 3". Трубу длиной 12 м разрезали на две части так, что одна из них оказалась на 3 м короче другой. Найдите длины этих частей трубы. 4°. Отметьте на координатной плоскости точки К{-3; -4), Р(-3; 2), Т(4; 2) и М(4; -4). Найдите периметр и площадь четырехугольника КРТМ. 5*. Велосипедист в течение 5 ч двигался со скоростью 15 км/ч. Постройте график его движения. Вариант 3 1”. Упростите выражение: а)-3,5л-+ 4,2дг; б) 2,3х - 3,2(1 - 5л:). 2". Решите уравнение: а)39-2х=17; б) 7л: - 2,8 = 1 - 3(4 - х). 3". Комбайнер скосил 129 га пшеницы и ячменя вместе. Сколько он скосил ячменя, если пшеницы он скосил на 65 га больше? 4”. Отметьте на координатной плоскости точки А(-2; 5), В(3; 5), С(3; -1)кК(-2; — 1). Найдите периметр и площадь четырехугольника АВСК. 5*. Турист в течение 5 ч шел со скоростью 6 км/ч. Постройте график его движения. Вариант 4 1°. Упростите выражение: а)-5,7х-1,5х; б) 4,7а - 2,7(1 - 2а). 2". Решите уравнение: а) 10-0,5х= 16; б) 9х - 0,7 = 2 - 4(1 + х). 3". Телевизор вместе с видеомагнитофоном стоит 2050 грн. Сколько стоит видеомагнитофон, если он дешевле телевизора на 520 грн.? 4°. Отметьте на координатной плоскости точки К(3; 2), Р(3; -4), Т(-3; -4) и М(-3; 2). Найдите периметр и площадь четырехугольника КРТМ. 5*. Автобус в течение 4 ч ехал со скоростью 60 км/ч. Постройте график его движения. 912341268 1234567891234 Готовимся к тематическому контролю Готовимся к тематическому контролю Вопросы для самопроверки 1. ' Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+» ? А знак « —»? 2. Какие слагаемые называют подобными? 3. Что такое уравнение? 4. Что такое корень уравнения? 5. Сформулируйте основные свойства уравнений. 6. Как переносить слагаемые из одной части уравнения в другую? 7. Какие две прямые называют перпендикулярными? 8. Какие две прямые называют параллельными? 9. Как построить систему координат? 10. Как называют оси координат? 11. Что такое координатная плоскость? Задания в тестовой форме 1. Вычислите 2,37 - (7,32 + 2,37). а)0; б)-7,32; в) 7,32; г) 2,37. 2. Чему равен коэффициент выражения а) 2; 6)3; в)-6; г)-2. 3. Упростите выражение 2дг - IOjc + 12дг - Здг. а)-л:; б) 19дг; в) д:; г)-19д:. 4. Решите уравнение 0,5 + Здг = 1,5х - 1. а)-1,5; 6)3; в) 1; г)-1. 5. Как записывают, что прямые а и с — перпендикулярные? а) «1-с; б)а<-С; в)а±С; г) а j с. 6. Как записывают, что прямые тип — параллельные? а) т—п; 6)m||/i; в) т=п; г)т-Цп. 7. Найдите координаты точки А, симметричной точке В(3; 0) относительно начала координат. а)Л(0;3); б)А(0;-3); в)А(3;0); г)А(-3;0). 8. Найдите координаты точки М, симметричной точке yV(2; 1) относительно оси абсцисс. а)М(-2;1); б)М(2;-1); в)М(-1;2); г)Л/(1;-2). 1234567891234 269|12345t Раздал Рациональные числа 891234 9. Найдите значение выражения а(а + 2Ь) — 2аЬ, если а =—, Ь = Ъ—. 5 3 а) 5; в) г)—. 25 10. При каком значении х значения дробей ——^ и 10 равны друг другу? а) 3; 6)4; в) 5; г)-10. Типовые задачи 1”. Упростите выражение: а) За • (—2с); б) 2х I 7х - 5л:; в) —5(1 - «). 2". Решите уравнение: а) 13 + 7л: = 2л:-12; б) 2(л: - 3) + 5 = л:. 3°. Начертите два параллельных отрезка длиной 3 см каждый. 4°. Отметьте на координатной плоскости точки А (-2; 3) и В (6; -1). Проведите отрезок АВ и запишите координаты точек пересечения отрезка AS с осями координат. 5». Найдите значение выралсения ^ 3 ^ 41,3-2 1.25-I-21 10 + 2,5. О*. Упростите выражение 2,5(Зо - 4) - 5(2 + 3,1а) t (а - 7) • 3 и вычислите его значение при а = 100,2. 7*. Решите уравнение: а) (2 - л:): 1,8 = 3,8 : (-0,6); б) -0,4(3ж - 0,5) - 0,7 = 1,3(2jc - 15). 8*. За 4 кг яблок и 3 кг картофеля уплатили на 2,5 грн. больше, чем за 6 кг картофеля и 2 кг яблок. Сколько стоит 1 кг яблок, если 1 кг картофеля дешевле на 2 грн.? 9**. Составьте таблицу зависимости периметра квадрата (Р) от длины его стороны (а), если а равно: 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3. Постройте график этой зависимости. j 10**. Найдите острые углы прямоугольнош треугольника^ i если 50 % одного из них равны 40 % другого^ | / / / 270 1234567891234 Исторические сведения Историчесзсие сведешь Отрицательные числа рассматривали китайские математики еще в V в. до н. э. Положительные числа они писали красной краской, а отрицательные — черной. Однако отрицательные числа сначала использовали только некоторые ученые. В Индии начиная с VII в. отрицательные числа связывали с долгом, а положительные — с имуществом. Правила действий с отрицательными и положительными числами (1юрмулировали так: «сумма двух долгов есть дол1'», «сумма имущества и долга равна их разности», «произведение двух долгов является имуществом». В Европе отрицательные числа стали известными только в XV в. Пользовались ими очень редко. Большинство европейских математиков называли их ненастоящими, вымышленными, абсурдными, ложными числами. Только начиная с XVII в., когда ученые все чаще стали использовать координаты точек, они постепенно смирились с отрицательными числами. Теперь математика, физика и другие науки не могут обойтись без отрицательных чисел. Название рациональные числа происходит от латинского слова «ratio», которое означает отношение. Ведь каждое рациональное число равно отношению некоторых двух целых чисел. Латинские слова «plus» и «niinus» означают соответственно больше и меньше. Системы координат и х'рафики уравнений первым стал рассматривать французский математик XVII в. Рене Декарт (1596-1650). Поэтому часто говорят о декартовой системе координат. Такие системы координат, графики и диахраммы сейчас исполх>зуются во всех науках. Простейшие уравнения ученые Древнего Египта решали почти 4 тысячи лет назад. Неизвестное число в уравнении они называли словом куча и предлагали, например, такие задачи. Куча и ее седьмая часть составляют 19. Найдите кучу. Этой задаче отвечает уравнение jc -ь—jc = 19. Р. Декарт 1234567891234 271 1234567 Раздел Рациональные числа Мухаммед аль Хорезми 891234 Обратите внимание на свойство, сформулированное нас. 242. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это очень важное свойство, оно позволяет сравнительно легко решать много уравнений, которые без знания этого свойства решать очень трудно. Впервые это свойство обнаружил арабский математик IX в. Муххамед аль-Хорезми (Муххамед из Хорезма). Назвал он его словом «аль-джебр», которое означает восстановление. Дело в том, что раньше отрицательные числа считались ненастоящими. Если же отрицательное число перенести из одной части уравнения в другую, оно переходило из ненастоящех’о в настоящее, в этом усматривали его восстановление. Название кних'и, где впервые рассматривалось это свойство, начиналось словом Аль-джебр. Европейцы, сделав перевод книги на латинский язык, назвали ее словом Algehr. Вот так и возникла новая математическая наука - алгебра. Перпендикулярные и параллельные прямые грамотные и мастеровые люди рассматривали еще несколько тысячелетий назад. Две прямые могут быть не только перпендикулярными или параллельными, но мох'ут перюсе-каться под острыми углами или быть скрещивающимися. Более детально это и взаимное расположение друх'их х'еомет-рических фигур рассматривает наука геометрия. Самым древним разделом математики является ариф метика — наука о числах и действиях с ними. В переводе с х’реческого «арифмос» означает число. Арифметика, как и х’еоме'х'рия, возникла в Древней Греции, еще до новой эры в процессе практической деятельности людей, связанной со счетом и измерениями. Учебный предмет с названием арифметика еще совсем недавно изучали в школе до 6-х’О шхасса. Во всех старших классах средних школ изучают алх’ебру и геометрию. Это очень важные, полезные и интересные учебные дисциплины. Раздел «Рациональные числа» этохх) учебника - естественное введение в алх'ебру и геометрию, которые вы будете изучать, начиная с 7-го класса. 272 1234567891234 Главное в разделе 4 | Главное в разделе 4 в этом разделе вы ознакомились со множеством рациональных чисел. Это множество содержит все целые и дробные числа. Целые числа - это все натуральные числа, противоположные им числа (целые отрицательные) и нуль: ...-4, -3, -2, -1. О, 1, 2. 3, 4. 5,... Любые два целых числа можно складывать, вычитать, умножать; в результате каждый раз будем получать целое число. Модулем рационального числа называется это же число, если оно неотрицательное, или противоположное ему число, если оно отрицательное. Каждое отрицательное число меньше нуля и каждого положительного числа; из двух отрицательных больше то, модуль которого меньше. Любые два рациональных числа можно сложить, вычесть, умножить или разделить (за исключением деления на 0); в результате каждый раз получим рациональное число. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед результатом поставить знак минус. Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо найти разность их модулей и перед результатом поставить знак слагаемого с большим модулем. Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Выражение, содержащее сложение и вычитание рациональных чисел, можно заменить суммой. Чтобы умножить два отрицательных числа, достаточно умножить их модули. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком минус. Произведение, которое содержит четное число отрицательных множителей, - положительное, а содержащее нечетное число отрицательных множителей, - отрицательное. Частное двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их модулей. Если знаки делимого и делителя разные, то перед частным их модулей надо поставить знак минус. Делить на 0 нельзя. Основное свойство уравнения. Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую с противоположным знаком. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, корни которого те же, что и данного. Графиком (в простейших случаях) называют линию на координатной плоскости, которая показывает, как изменяются значения одной величины с изменением значений другой. 1 о Г П. Бевз '■Матомагикэ”. 6 кл. 123456789123'? 273 123456 ополнительные материалы I Упражнения для повторения за год Делимость чисел 1377. Залишите все простые числа, которые больше 15 и меньше 35. 1378. Запишите такие составные числа х, которые удовлетворяют условию 21 < JC < 31. 1379. Запишите все такие натуральные числа, которые делятся на 9 и меньше 40. 1380. Припишите к числу 278 слева такую цифру, чтобы образовалось четырехзначное число, кратное 9. 1381. Разложите на множители число: а) 240; б) 350. 1382. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: а) 18 и 32; б) 42 и 105; в) 60, 80 и 140. 1383. Во сколько раз НОД чисел 36 и 48 меньше их НОК? 1384. Разложите на множители числа 140, 175, 210 и найдите: а) НОД (140; 175), НОД (140; 210), НОД (140; 175; 210); б) НОК (140; 175), НОК (175; 210), НОК (140; 175; 210); в) сумму всех простых делителей числа 210; г) сумму всех делителей числа 175. 1385. При помощи цифр 1, 2, 3 напишите все трехзначные числа, в которых каждая цифра встречается только один раз. Сколько из них четных, нечетных, кратных 3, 6, 9? 1386. Найдите сумму чисел, которые меньше 20 и взаимно прюстые с числом 20? 1387. Найдите числа, которые меньше 40 и взаимно простые с числом 60? 1388. Запишите пять четных натуршльных чисел, кратных 7. 1389. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом? Дробные числа 70 1390. Какие из чисел 0,9, 35 ^-0,75, 21 дробные? -1,У 4 о 1391. Запишите обыкновенной дрюбью число: а) 0,8; 6)1,2; в) 2,25; г) 0,(3). Г8912341274 1234567891234 Упражнения для повторения за год 1392. Найдите 0,72 числа: а) 300; б) 72; в) 0,2; г) 0,72. 4 4 1393. Найдите — числа: а) 140; б) 10; в) 1; г) 1394. Найдите число, 0,6 которого равны: а) 102; 6)39; в) 0,6; г) 1. Вычислите (1395—1401). 1395. а)- + 3 f—--:4Vl-; б) 2-:13 + Гз- + 2-1:2-. (l0 2j4 6 ^4б]5 1396.a)2-:4 + fl4- + —1:22-; б) 23+f7--6-1:--5-. 3 (515] 5 (З 8]4 4 1397. а) 32+ 4 —-3— ' 12 24 13 :1- + 3—; 4 18 б) 0,(1) 1398. а) 4 0,(6): 1,(3). 2 7 ( 3 36 / б) 14 63 '^^29 55 42 б) — 95 1400. а) 5- ■ А.] Н '15 ] 20‘ (АП2. [ 14 5] 17 (7 б) 15-I —:1б124-. (45 ] 2 б) 85 91 1402. Павлик выполнил домашнее задание по языку, истории и математике за 2,5 ч. Задание по математике он выполнил в 1— раза быстрее, чем по языку, а задание по 3 истории — на полчаса быстрее, чем задание по языку. Сколько времени он затратил на выполнение каждого задания? 1403. Одна бригада может выполнить некоторую работу за 10,5 дня, а другая - за 7 дней. За сколько дней выполнят эту работу две бри1'ады, работая совместно? 1404. Резервуар наполняется не<1)тью через одну трубу за 4 ч, через друх-ую вся нефть из него выливается за 4,5 ч. За сколько часов наполнится резервуар, если одновременно открыть обе трубы? 1405. Велосипедист проехал 36,75 км, двигаясь по ровной дорогой, на подъеме и спуске. Расстояние, которое 10* 1234567891234 275 123456: ополнительные материалы он проехал на подъем, в 2— раза больше того, которое он 3 проехал по ровной дороге. Спуск на2,75 км длиннее подъема. Сколько километров проехал велосипедист на подъеме и сколько на спуске? 1406. У ученика было 43,5 грн. На покупку мяча он истратил 80 % всех денег. Сколько стоит мяч? 1407. Масса муки составляет 0,7 массы выпеченного из нее хлеба. Сколько можно испечь хлеба из 10 т муки? Сколько нужно муки, чтобы испечь 0,1 т хлеба. 1408. Составьте и решите задачу о движении двух велосипедистов, решение которой свелось бы к уравнению X ^ _л To~V5“ 1409. На одном и том же расстоянии одно колесо кареты совершает 490 оборотов, а другое, обод которох’о на 0,4 м меньше, - 560 оборотов. Найдите длину обода каждош колеса. Отношения и пропорции 1410. Упростите отношение: а) 20: 60; б) 0,4: 1,2; в) 1 : 0,125; 2 3 . .4 „1 г) 3 5 Д) 1-:2-. 5 2 1411. Напишите несколько пропорций, составленных из чисел 2, 4, 3 и 1,5. 1412. Найдите неизвестный член пропорции: а) jc : 3 = 7 : 6; б) 1,2 : 5 = х : 15; в) 11 : 1001 = 0,3 : х. 1413. Найдите отношение: 5 2 1) суммы чисел — и — к их разности; 6 5 2^1 2) суммы чисел — и 2— к их произведению; 5 3 3) разности чисел — и 0,5 к их произведению; 5 5 1 4) полуразности чисел — и — к их сумме. 6 3 ?891234 276 1234567891234 Упражнения для повторения за год 1414. Найдите: 1) 20 % от 350; 3) 12 % от 0,75; 5) 15 % от 124 ipH.; 7) 2,5 % от 10 л; 2) 30 % от 56 000; 4) 125 % от 1,4; 6) 48 % от 3,5 м; 8) 4,2 % от 50 см®; 9) 0,5 % от 84 га; 10)-% от 7,5 км\ 4 1415. Найдите число, если: 1) 20 % его составляют 344; 2) 125 % его составляют 4800; 3) 2,5 % его составляют 640; 4) — % его составляют 6—. 2 2 1416. Сколько процентов составляют: 1)20 от 100; 2) 15 от 4500; 3) 6 от 7,2; 4) 10 от 8; 5) 3 кг от 60 кг; 6) 100 км от 800 км; 7) 35 см от 7 дм; 8) 40 ар от 0,5 га; 9) 7,2 мин от 1,2 ч; 10) 30 м® от 10 ар? 1417. За 2,5 ч поезд прошел 160 км. Какой путь он про- йдет за 4 ч, если будет двигаться с той же скоростью? 1418. Периметр четыреху1'ольника равен 2,25 дм. Найдите длины его сторон, если они пропорциональны числам 4, 6, 7 и 8. 4 8 1419. В первый год проложили — всей дороги, во второй - — 9 27 дороги, а в третий - остальные 5,25 км. Найдите длину всей дороги. 1420. В трех ящиках 86 кг гвоздей. В первом ящике — 30,4 кг, а во втором - на 1,2 кг больше, чем в третьем. Сколько гвоздей в третьем ящике? 1421. Найдите периметр треугольника, если его стороны пропорциональны числам 3, 5 и 7, а наименьшая сторона короче самой длинной на 16 см. 1422. Один насос может откачать воду из резервуара за 2 ч, другой — за 3 ч. За сколько часов они смогут откачать воду из резервуара, работая вместе? 1423. Два трактора могут вспахать поле за 8 ч. За сколько часов смог бы вспахать поле второй трактор, если первый может вспахать eix> за 12 ч? 1234567891234 277 12345671 овюлнительные материалы 57891234 1424. Расстояние 250 км на карте изображено отрезком длиной 5 см. Каким отрезком при этом масштабе изображается расстояние в 800 км? 1425. Разность двух чисел равна 4,8- Найдите эти числа, если одно из них в 5 раз больше другого. 1426. Разделите число 760 на части, пропорциональные числам т, пи k так, чтобы т : п = I : 5, п : k = 3 : 4. 1427. Найдите два числа, пропорциональные числам 3 и 5, если их разность равна —. 1428. Сумма двух чисел равна 14. Найдите эти числа, если 1 2 — первого равна — второго. 2 3 1429. Из букв, написанных на отдельных карточках, сложили слово МАТЕМАТИКА. Потом карточки перевернули и перетасовали. 1^кова вероятность того, что на взятой наугад карточке окажется: 1) буква М; 2) буква А; 3) буква Е; 4) буква О? 1430. Окрашенный со всех сторон прямоугольный параллелепипед с измерениями 2 см, 3 см и 4 см разрезали на кубики объемом I см*. Какова вероятность того, что на взятом наугад кубике окажутся окрашенными: а) 1 грань; б) 2 грани; в) 3 грани; г) 4 грани? 1431. Число m больше 40 на 25 %. На сколько процентов число 40 меньше числа т? 1432. Сумма двух чисел равна 2. Найдите эти числа, если 20 % первого равны 30 % второго. 1433. Составьте задачу, в которой требуется найти два числа: а) по их сумме и отношению; б) по их разности и отношению; в) по их сумме и разности. Задачи экономического содержания 1434. Заработная плата рабочего пропорциональна числу отработанных им часов. В первый месяц он работал 160 ч и получил 960 1'рн. Сколько часов он работал во втором месяце, если получил за работу 1080 грн.? 1435. Общий статутный фонд четырех банков составляет 180 млн грн. Какой статутный фонд каждого из них, если фонды банков пропорциональны числам 2, 2, 3 и 5? 278 1234567891234 Упражнения для повторения за год 1436. Капитал пяти основных страховых компани!^ Украины составляет 8 млрд хрн. Из них наибольшая компания имеет 3 млрд хрн., две другие - по 2 млрд грн., а еще две друх’ие — поровну. Составьте круговую диахрамму распределения капитала страховых компанихх. 1437. На I января 2000 г. уровень безработицы в Украине составлял 4,5 % трудоспособнохчз населения, а число трудоспособных жххтелей — 26 млн. Сколько тох’да было в Украине безработных? 1438. По существующей в Украине системе налохчюбложе-ния налог на прибыль из дохода 2000 хрн. отчисляется в размере 260 хрн. Какой налог надо уплатить из 5000 грн.? Задачи геометрического содержанихх 1439. Найдите площадь прямоухчхльника, если ех’о периметр равен 2 м, а одна из сторон длиннее друх’ой на 2 дм. 1440. Найдите площадь прямоугольнихса, если его периметр равен 26 дм, а стороны пропорциональны числам 2 и 3. 1441. Постройте прямоух’ольныхх треухчхльник, меньшие стороны которохч) равны 3 см и 4 см. Измерьте третью сторону треух’ольника и найдите ех’о периметр и площадь. 1442. Постройте прямоухольник, стороны которохю равны 4 см и 2 см. Найдите ехю площадь. 1443. Постройте равнобедренный треухчхльник, основание которохх) равно 5 см, а высота - 4 см. Вычислите его ххлощадь. 1444. Найдите площадь поверхности и объем куба, р>ебрю которох’о равно 3 дм. 1445. Найдите площадь поверхности и объем прямоух'оль-нохю параллелепипеда, стороны основания которохю равны 2 м, 2 м, а высота - 2,5 м. 1446. Проведите две параллелышхе прямые на расстоянии 3 см друг от друга. Поместится ли между ними окружность радиуса 3 см? А окружность радиуса 1 см? 1447. Начертите квадрат со стороной 6 см и окружность, ко'горая касается всех сторон квадрата. В каком отношении эта окружность делит площадь квадрата? 1448. Начертите окружность, радиус которой равен 3 см, и квадрат, все вершины которого) лежат на этой окружности. В каком отношении квадрат делит площадь круга, ох^рани-ченнох’о данной окружностью? 1234567891234 279 1234567Е ополнительные материалы Рациональные числа Вычислите (1449— 1452). 1449. 1) 3) 5) 7) -2,7 -3,5 1 2 1 2 + 2,4; : 7-3,2; • —-1 2^* *2 ’ ’ :--|1,25| + -; 5 I ’ I 4’ 1450. 1)3,7- 1,2 : 0,4; 3) (7-8,5): 0,5; 5) 3:0,2+ 8-2,5; 7) 0,2^ + 0,3^; 9) (3-1,4):0,2"; 1451.1) 3) 2)-2,4 + 1-2,31; 4)4,8-|3,2|:|0,8|; 6)|2,5|:|0,5р-200; I 7 2 8) -2- : --—. ^353 2) 2,8+ 8,1 : 2,7; 4)-4,9: (2,3-1,6); 6) 12,1 : 0,11 + I : (-0,2); 8) (-0,4)"-1,2^ 10) (2 - 3,5)" : 0,9. ( 2) 4) 6)3 з) 3 -:fo-2- 3 \ 5 1452. 1)-- + 4 ( Я ^ 2--).0,2; fl-iU. (2 3|6’ 5)^-| + 1^:(2-1,5); 3) 6 - (- 0,2): 0,4 + 0,8 - 2,4 : 6; 4) -2--6:(-1,5) + (3,2-0,2.6)". 5 Раскройте скобки и упростите выражения (1453—1455). 1453. 1) 2(а - 3) + 6; 2) - 3(х - 5) + бд:; 3) д: - 3(2 - д:) + 7; 4)-(а - 5) + 2о - 4; 5) (2с - 1) - (Зс - 2); 6) -(1 - 2а) + 3(1 - а); 7) х" - х(8 + х); 8) х" - 2х + х(2 - х); 7891234 9)-0,5(3-2х)-х; 10) 2а {л М I 2j -0,25а. 1454. 1) 6 : (-1,5) - 4,6 + 5(2а - 3); 2) (- 1,6с + 0,4) - (0,5 - 0,8)с; 280 1234567891234 Упрс1жнения для повторения за год Ж’г 3) (2х -Зу + 4)- (Зх -2у + 4); 4) 1 - (1,5jc - 2) - 4(0,5х - 1,1). ( it ■НЫ 0.2 1 1 lf2 1\ 2) —л: — у + -х-у + — h 3 2 6 2[3 3/ -П 4 fl if 1 [ 4 J 3 12 4) 16 (35 I Л — +—х + — у -7 17 27"^) 1455 -За^-а(1-За)-1,5^; 4) ^3 5 1 ^ - + —д: + —I/ 7 17 27 1456. Найдите значение выражения: 1) 2х - 3, если X = 3,5; 2) 15 - 7jc, если д: = 4,2; 3) 8,5а + 0,7, если а = -0,4; 4) JC - 5у + 2, если jc = 3, г/ = - 4; 5) 2ajc - X, если а = 3, дс = -0,5; 1 2 6) -х-¥—ху-\, если л: = 6, 1/ = 0; 2 7 7) а(а — х) 4- ах, если а =—, х = —. 3 13 1457. Решите уравнение: I) х I 27 = 39; 3)-5 + - = х; 3 5)2х + 3 = 45; 7)5 + 4х = 65; 9) (х + 2) + 3 = 43; II) —+ х = —; 2 4 13)3-х = 2,5; 15)2:х = 7: 10; 17) Зх + 5 = х- 1; 2) 1,5 + х = 2,7; 4) 1.8-|=^; 6) Зх + 4 = 1; 8) 0,2х +1 = 3; 10) 0,5 + (хч 1) = 3; 12) 5х+- = -1: 3 14) 1,2-х =-0,8; 16) 1 : 4 = 3 : (X + 2); 18) 7-2х = 3(х - 1); 19)-1,5х = 4-3(х- 5); 20) -(Зх-1)+—= 1,5х. 2 1458. а) Среднее арифметическое семи последовательных чисел равно нулю. Какие это числа? б) Среднее арифметическое девяти последовательных чисел равно 9. Какие это числа? 1234567891234 281 123456 ополнителькые материалы '891234 I Задачи повышенной сложности 1459. К какому числу достаточно приписать справа 36, чтобы оно увеличилось в 103 раза? 1460. При каждом ли натуральном значении п число 10" f 17 делится на 9? 1461. Заполните пустые клеточки ленты (рис. 166) так, чтобы сумма чисел в каждых трех соседних клеточках равнялась 10. -5 Рис. 166 1462. К числу 10 припипште слева и справа по одной цифре так, ч'гобы образовавшееся четырехзначное число делилось на 72. 1463. Восстановите цифры, замененные звездочками: а) 1111 = ** • ***; е) *** * б)1265 = *-**-*3; *** * в) 1001 = * • *1 • **; 210 * г) 1166 = * • *3 • **; *** * д) 2001 = * • *3 • **; *** * * * * * 1464. Найдите двузначное число, сумма цифр которого равна 14, и которое на 36 больше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке. 1465. Отцу с'Х'олько ле*!’, сколько дочери и сыну вместе. Сын в два раза старше дочери и на 20 лет моложе отца. Сколько лет каждому? 1466. Первый рыбак дал на общий обед два окуня, второй — одного окуня, 'хре'гий - 6 грн. Как должны разделить деньги между собой два первых рыбака? 1467. Сколько зайцев и уток подстрхелил охотник, если в корзине, куда он их сложил, оказалось 10 голов и 28 ног? 1468. Скорость сокола больше скорос'ги чайки на 75 км/ч. Чайка летает быстрее стрижа в 1,5 раза. Найдите скорость сокола, если она в 2 раза больше скорости стрижа. 1469. Пассажир пришел на вокзал за 5 мин до отхода электрички. Если бы расстояние до вокзала было на 1 км больше, то, двигаясь с такой же скоростью, он опоздал бы на 5 мин. С какой скоростью шел пассажир? 282 1234567891234 Задачи повышенной сложности 1470. Из пункта А в пункт В связной принес пакет за 35 мин. Возвращаясь в пункт А, он увеличил скорость на 0,6 км/ч и поэтому затратил на дорогу 30 мин. Чему равно расстояние между пунктами А и В? 1471. Электричка прошла мимо меня за 5 с, а мимо плат-<1юрмы длиной 150 м - за 15 с. С какой скоростью двигалась электричка? 1472. Через 2 года мальчик будет в два раза старше, чем был 2 года назад. А девочка через 3 года будет в три раза старше, чем была 3 года назад. Кто из них старше? 1473. Масса полной канистры с водой равна 23 кг, а заполненной нелоловину - 12,5 кг. Какая масса пустой канистры? 1474. 20 туристов - мужчины, женщины и дети — вместе несли груз 200 кг. Сколько среди них было детей, если каждый мужчина нес 20 кг, каждая женщина — 5 кг, а каждый ребенок — 3 кг? 1475. Одно из двух чисел оканчивается нулем, Ек;ли этот нуль зачеркнут'ь, то получится другое число. Найдите эти числа, если их сумма равна 924. 1476. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 разместите в кружках (рис. 167) так, чтобы сумма чисел на каждой стороне равнялась 17. 1477. Обозначьте в тетради 9 точек, как изображено на рисунке 168, Не отрывая карандаш от бумаги, проведите 4 отрезка так, чтобы они прошли через все 9 точек. Рис. 163 1478. Собрали 100 кг грибов, влажность ко^горых составляет 99 %. Когда грибы подсушили, влажность их уменьшилась до 98 %. Какой стала масса этих грибов после подсушивания? 1479. Часть жителей города говорят только на украинском языке, часть - только на русском, а часть знает оба языка. На украинском языке говорят 85 % всех жителей, на рус- 1234567891234 283 12345 ополнительные материалы ском -45%. Сколько процентов всех жителей этого города владеют обоими языками? 1480. Из 9 монет одна фальшивая (легче других). Как обнаружить фальшивую монету двумя взвешиваниями на весах с двумя чашками? 1481. Андрей, Борис, Вера и Анна собирали грибы. Больше всех собрала Анна, Вера — не меньше, чем Борис. Правда ли, что девочки собрали грибов больше, нежели мальчики? 1482. Масса четырех наибольших карпов такая же, как и масса трех наибольших сазанов. Масса одного карпа на 8 кг меньше массы одного сазана. Какая масса наибольшего сазана? 1483. Сколькими способами можно рассадить трех гостей на трех стульях? 1484. Сколько разных трехзначных чисел можно написать цифрами 1, 2 и 3 так, чтобы цифры не повторялись? 1485. В автомобиле 4 свободных места. Сколькими способами можно рассадить по ним 4 пассажиров? 1486. Каждая из пяти подруг написала одно письмо каждой другой. Сколько всего писем они написали? 1487. На классной доске обозначили 5 точек и каждую из них соединили отрезком с каждой другой. Сколько образовалось отрезков? 1488. Сколькими способами можно нанизать на нить 6 разных бусин? А 7 разных бусин? 1489. Произведение всех натуральных чисел от 1 до п кратко о1Эозначают так; п!. Например, 4! = 1 • 2 ■ 3 • 4 = 24. Вычислите: а) 5!; б) 61; в)7!: 61; г) (8! - 71): 71. 1490. В турнире первенства по футболу принимали участие 17 команд. Каждая команда играла с другими по 2 раза. Сколько всего было сыграно матчей в турнирю? 1491. Каждую из фигур, изображенных на рисунке 169, разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат. 591234 а 284 1234567891234 в Рис. 169 Задачи повьппенной сложности 1492. В мешочке есть яблоки трех сортов. Сколько яблок надо взять наугад, чтобы среди них оказалось по меньшей мере 2 яблока одного сорта? 1493. Как надо высадить 16 деревьев, чтобы было 4 ряда и в каждом из них по 5 деревьев? 1494. В какую сторону будет вращаться шестерня Е, если шестерню А вращать так, как показано на рисунке 170? Е 1495. Поставьте между цифрами 987654321 знаки «+» и «-» так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100. 1496. Сколько всего квадратов изображено на рисунке 171? Найдите сумму площадей всех этих квадратов. 1497. Позавчера Оле было еще только 10 лет, а в следующем году ей исполнится 13. Когда она отмечает свой день рождения? 1498. На сковороде помещается 2 рыбины. На поджаривание рыбины с одной стороны требуется 1 мин. Как за 3 мин поджарить 3 рыбины с обеих сторон? 1499. На рисунке 172 закрашено фигуру Ф - часть круга радиуса 2 см. Найдите площадь фигуры Ф и длину линии, которая ее ограничивает. Рис. 171 12345€ ополнительные материалы 1500. Собака догоняет зайца, который находится от нее на расстоянии 150 футов. Она прыгает каждый раз на 9 футов, а заяц — на 7 фугов. Сколько раз должна прыгнуть собака, чтобы настичь зайца? 1501. Наслать пол равными паркетинами можно так, как показано на рисунке 173. Какими еще способами можно замостить пол такими паркетинами? ± 91234 п тпт 11 гм Рис. 173 1502. Найдите площадь голубой фигуры (рис. 174), если точки Л, В,С, D - вершины квадрата и АВ = 5 см. Рис. 174 1503. Запишите вместо одинаковых букв одинаковые цифры, вместо разных букв - разные цифры: а) куб = ла'"; б) акт = пи’‘; в) кок = xx'. 1504. Будильник отстает каждый час на полминуты. Полчаса назад он отставал на 3 мин, а теперь показывает ровно 2 ч. В которюм часу он будет отставать на 5 мин? 1505. Если на одну чашку весов положить кусок мыла, а 3 3 на другую — — такого же куска мыла и гири на — кг, то ве- 4 4 сы будут в равновесии. Найдите массу куска мыла. 286 1234567891234 Задачи повышенной сложности 1506. Старинная задача. Крестьянин купил на яр- марке коня, корову и овцу. За коня он отдал — всех своих 8 денег, за корову - половину того, что дал за коня, за овцу — последних 5 рублей. Сколько стоили конь и корова? 1507. Старинная задача. В харчевне обедали 23 мужчины и женщины. Каждый мужчина уплатил за обед 5 копеек, каждая женщина — 4 копейки, а все вместе - 1 рубль. Сколько среди них было мужчин и сколько женщин? 1508. Который сейчас час, если до окончания суток осталась пятая часть времени, которое прошло от их начала? 1509. Елене сейчас 24 года. А когда ей было столько лет, сколько сейчас Марии, то Марии было в два раза меньше, чем теперь Елене. Сколько лет Марии? 1510. Задача для смекалистых. Николай и Петр с сыновьями рыбачили. Николай поймал столько рыбин, сколько его сын Василий, а Печр - в 3 раза больше, чем его сын. Всего они поймали 35 рыбин. Как зовут сына Петра? Сколько рыбин он поймал? 1511. Андрей посещает библиотеку один раз в 3 дня, Борис - один раз в 4 дня, а Виктор - один раз в 5 дней. Втроем они всчре'шлись в библиотеке в суббсггу. Когда в следующий раз все они снова встретятся в библиотеке? 1512. Сколько воскресений может быть в одном месяце? 1513. В одном месяце три воскресенья выпали в четные числа. Какой день недели был 20 числа того месяца? 1514. Охотник пошел на охоту с собакой. Идут они лесом и вдруг собака увидела зайца. Расстояние от собаки до зайца равнялось 40 прыжкам собаки. Расстояние, которое собака пробегает за 5 прыжков, зая1( пробегает за 6 прыжков. За сколько прыжков собака догонит зайца? (Прыжки совершают одновременно и собака, и заяц.) 1515. Четыре брата Максим, Олег, Евгений и Тарас ловили карасей. Олег и Тарас поймали столько же карасей, сколько Максим и Евгений; Максим словил карасей больше, чем Евгений; Максим с Тарасом поймали рыбы меньше, чем Олег и Евгений. Сколько рыбы поймал каждый из братьев, если Олег поймал 3 карася? 1516. Есть шестилитровая банка растительного масла и две пустые банки: трехлитровая и четырехлитровая. Как налить 1 л масла в трехлитровую банку? 1234567891234 287 12341 ополнительные материалы 1517. Число оканчивается цифрой 2. Если переставить эту цифру в начало числа, то оно удвоится. Найдите это число. 1518. Решите кроссворд (рис. 175). 1 2 3 4 5 6 • 5 Л-'*’* . ♦ 7 8 9 1 10 1 11 f 12 13 14 "Ж 15 16 17 18 г ' 1 ц V 20 21 Рис. 175 По горизонтали: 5. Древняя мера длины. 6. Восьмая ступень гаммы. 8. Первое простое число. 9. Оставшаяся частъ. 10. Квадрат числа. 11. Положение в шахматной игре. 12. Латинская буква. 14. Ученый, занимающийся математикой. 15. Целое число. 16. Геометрическая фигура. 17. Арифметическое действие. 19. Знак азбуки. 20. Одна из трех равных частей. 21. Отрезок, соединяющий две точки окружности. По вертикали: 1. Порядковое числительное. 2. Наука о свете. 3. Французский ученый, создатель системы координат. 4. Пятая часть тысячи. 7. Древняя наука. 11. Сотая часть. 13. Элемент треугольника. 17. Стержень со спиральной нарезкой. 18. Денежная единица в Европейском союзе. Э1234 288 1234567891234 Повторение курса математики за 5 класс [ Повторение курса математики за 5 класс Числа I, 2, 3, 4, 5,используемые для счета, называют натуральными числами. Наименьшее натуральное число 1, наибольшее не существует. Сравнить два числа — это означае*! установить, какое из них больше, какое меньше, или показать, что они равны. Знаки неравенства: < (меньше), > (больше). Законы действий. Какие бы ни были числа а, Ь и с, всегда: а + Ь = Ь + а- переместительный закон сложения; {а + Ь) + с = а + (Ь + с) — сочетательный закон сложения; а • Ь = Ь • а — переместительный закон умножения; (а • Ь) • с = а • (Ь • с) — сочетательный закон умножения; (а + Ь)-с=а-с + Ь-с-распределительный закон умножения. Вычесть из одного числа другое - означает найти такое третье число, Koi'opoe в сумме со вторым дает первое. Ек;ли а — Ь = с, го с + Ь = а. Разделить число а на Ь означает найти такое число с, что с • Ь = а. Запомните, на О делить нельзя] Ек;ли при делении числа а на 6 получается неполное частное q и остаток r,’toa = b-q + r, г<Ь. Неполное частное называют еще приближенным частным и записывают а : b~q. Квадрат числа — это произведение двух равных чисел: а^ = а • а. Куб числа — это произведение трех равных чисел: =а • а • а. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется такое значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство. Дробные числа чаще всего записывакуг при помощи обык- новенных или деся'птчных дробей. Обыкновенная дробь — — Ь а это частное от деления числа а на Ь. Дробь — называется Ь а правильной, если а <Ь. Если а> Ь или а = Ь, то дробь- Ь неправильная.. Записывая дробные числа десятичными дробями, целую часть отделяют от дробной запятой. Из двух десятичных дробей больше та, целая часть которой больше. Если 1234567891234 289 123456 ополнительные материгшы J91234 их целые части равны, то больше та, в которой десятые больше, и т. д. Например, 2,7 > 0,98; 5,4 > 5,297. Складывают и вычитают десятичные дроби поразрядно, записывая их одну под другой так, чтобы запятая была под запятой. 2 27 35,28 23,8 7,235 26,07 28,045 Чтобы умножить две десятичные дроби, можно умножить их, не обращая внимания на запятые, а в произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их есть в обоих множителях после запятой вместе. Например, 8,03 0,02 = 0,1606. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в ней запятую перенеоги вправо сосугветственно на одну, две, три цифры. Чтобы умножить десятичную дробь на о, 1, 0,01, 0,001, достаточно в ней запятую перенести влево соответственно на одну, две, три цифры. Например, 4,0375 • 100 = 403,75; 43,9 • 0,01 = 0,439. Основное свойство частного. Значение частного не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля). Используя это свойство, деление десятичных дробей можно всегда свести к делению натуральных чисел. Например, 3,5:0,07 = 350: 7 = 50. Процент — это сотая часть. 1 % = 0,01. Процент числа -сотая часть этого числа. Чтобы найти р процентов числа а, надо а умножить на 0,01р. Чтобы найти число, р процентов которого составляют Ь, надо число Ъ разделить на 0,01р. Правило округления. Екхли первая из о'гброшенных цифр о, 1, 2, 3, 4, то последнюю цифру числа, которая осталась, не изменяют. ЕЗели первая из отброшенных цифр иная, то последнюю цифру числа, которая осталась, увеличивают на 1. Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на рисунке, чертеже, плане или карте меньше расстояния на местности. Среднее арифметическое нескольких чисел равно сумме этих чисел, разделенной на их количество. Сумма углов треугольника равна 180“, а сумма углов четырехугольника равна 360“. Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину. 290 1234567891234 Краткий толковый словарь Краткий толковый словарь Ар - единица площади, которая равна 100 м^. Арифметика - наука о числах. Величина — количественная характеристика предмета или явления. Вероятность - отношение количества результатов, благоприятных для события, к числу всех возможных результатов. Вычитаемое - число, которое вычитают. Гектар - единица площади, которая равна 100 ар. Градус - едини1Щ меры угла, 1 развернутого угла. 180 График - (в простейших случаях) линия на координатной плоскости, которая 1юказы-вает, как изменяются значения одной величины с изменением значений другой. Деление - действие, обратное умножению. Делимое - число, которое де- ЛЯ1'. Делитель - число, на которое делят. Десятичная дробь - десятичная запись числа, в которой дробная часть от целой отделяется запятой. Диаграмма - символичный рисунок. Дробные числа - рациональные числа, которые не являются целыми. Калькулятор — вычислительный прибор. Квадрат - прямоугольник, в котором все стороны равны. Квадрат числа — произведение двух равных чисел. Координата точки — число, определяющее размепщние точки на прямой. Коордиш1тная плоскость — плоскость с нанесенной на ней системой координат. Координатная прямая — прямая с нанесенными на ней штрихами, которые отвечают определенным числам. Корень уравнения — значение неизвестного, 1гри котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Круг - объединение окружности и ее внутренней области. Куб - прямоугольный ira-раллелепипед, в котором все ребра равны. Куб числа - произведение трех равных чисел. Миллиард — тысяча миллионов, число 1 000 000 000. Множители — числа, которые умножают. Многоугольник — замкнутая простая ломаная. Модуль числа а — число а, если оно неотрицательное, или - а, если число а отрицательное. Натуральный ряд - последовательность 1, 2, 3, 4, 5, ... . НОД нескольких чисел - наибольшее натуральное число. 1234567891234 291 123456 91234 Ji ополнительные материалы ,..54*..'®?: на которое делится каждое из данных чисел. НОК нескольких чисел — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Нумерация - способ наименования и обозначения чисел. Обыкновенная дробь - .запись числа при помощи числителя и знаменателя. Окружность - кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой равноудалены от некоторой точки. Omiiouieiuie - частное от деления одного числа на другое. Периметр - сумма длин сторон многоугольника. Произведение - результат умножения. Пропорция - равенство двух отношений. Простое число - натураль-но 1,125. 35. а) 3,93. 36. а) 18 и 12. 37. а) 8,4. 38. а) 11. 39. 29 кг и 24 кг. 40. 32,25 м. 41. 210 км. 43. 1,25 м. 44. 21 м; 27 м*. 45. В 9 раз. 47. 34. 51. а) и б). 55.990,980, 970,960,950.56.450.60.18.66. 20.71. Все верные. 76. Да. 78. а) Пусть а = 2т, Ь = 2а, где тип- натуральные числа. Тогда а I ft = 2т I 2а = 2(oi + а); б) если к любой четной 1щфр(! (0, 2, 4, 6, 8) прибавить любую нечетную цифру (1, 3, 5, 7, 9), то получим число, которо(5 оканчивастся нечетной цифрой. 81. а) 64; г) 0,1. 84. 94 страницы. 91. Верно, поскольку сумма ци(])р каждого из этих чисел делится только на 3. 93. 405, 738, 7704. 96. 2. 97. Да. 98. 102. 1(Ю. 9, 18, 27, 36, 45.102.18. 107. Поскольку 1 + 2 f 3 + 4 = 10, а 10 не делится на 3.108. Сумма таких чисел оканчива(!тся нулем. 114. Ист. 115. а) 996; б) 990; в) 990. 116. а) 784; г) 0,0441. 117. а) 1331.118. а) 6, 45; б) 62. 119. а) 200. 120. 13 и 6. 121. На 3.5. 128. Да; на простые множители - нет. 130. а) 40; б) 700. 131. а) 2 • 2 • 3. 132. а) 2 • 2 • 5 • 5. 134. 3. 135. 11. 136. б) 1, 3, 9, 27, 81. 137. В 7 раз. 141. 27. 142. 15 или 35. 144. 3. 147. 6. 149. а) 2 • 9 • 5 = 90. 151. 195. 152. 106; 107. 153. 90. 154. На 7.5. 155. 63 и 31. 156. 48 и 16. 157. 24 м. 158. 80 м. 160. Да; нет. 164. Делится на 2, 3 и 6. 165. а) 1, 2, 5, 10. 166. а) 10. 167. в) 4. 168. а) 13. 169. б) 6. 170. а) 4. 171. а) 100. 175. Только тогда, когда а = 1. 176. Нет. 179. Ибо НОД (9, 10) = 1. 181. Таких чисел всего 6, их НОД равен 18. 182. Нет. 185. 15. 186. а) 120; в) 0,3. 187. а) 4; в) 2,8.188. а) 15; б) 11,4. 189. б) 35, 36, 37,38, 39, 40. 190.150 км; 0,5 мин. 193. Да; нет. 194. 24; 9. 197. а. 198. аЬ. 201. а) 350; б) 360. 202. а) 2610; б) 420; в) 2652. 203. На 300. 205. В 99 раз. 206. а) 48. 207. а) 1800. 208. Если а = ft. 209. а) 20 088. 210. б) НОК (124, 648) > НОК (648, 972). 211.130. 212.120.213.3 м. 214.5.215.14.217.30 учеников. 218. а) Да; б) нет. 219.5 оборотов. 220. г) 11.222. Второе число больше, поскольку его знаменатель меньше. 223. На -. 224.90°, 30°, 60°. 225.60°, 70°, 50°. 8 234. а) 2-. 235. а) -. 237. а) —; б) —. 239. а) ® >0,3.240. а) —. 3 5 М3 11 10 10 1234567891234 295 123456 Ответы 242. а) 1,6.246. а) —< 1.247. На 29,2 кг. 248. В 2 раза. 249. а) 7 км. 8 Л 1 Л ОЛ 250. а) 12 м. 251. а) В 3 раза. 252.240 см; 3456 см^. 263. —. 2 3 8 13 13 265. а) —>2. 267. При условии, что знаменатель равен 1. 5 269. | 277. -S. 278. а) 9,4; г) 0,912. 279. а) 4. 283. 3 км; 12 км. 4 4 288. 1, 2, 3, 6, 9, 18; -. 294. На 44. 297. а) -. 298. а) 3. 4 7 301. а) 1. 302. а)303. а) -. 304. а) - м; б) 1 м. 306. а) —.308. 20. 4 4 2 13 310. 14 дм. 316. а) - и -. 319. а) -.321. а) -<-. 323. а) ->0,74. 6 6 4 5 7 4 325. а) 4.328. Если числа акЬ взаимно простые, то НОК (а, Ь) = аЬ. 331. Первой. 338. В 3 раза. 339. 11 августа. 345. а) 4- «^46. а) —. 6 3 З47.а)1—.349.а)3 —.350.а)4^.351.а)^.353.а)1-.354. а)1—. ' т 18 2 6 3 24 1 17 3 3 13 11 355. а) 6 —.356. а) 1 -. 361.4 - м. 362. - км. 365. а) —.366. а) 4—. 12 60 8 4 30 15 1 29 14 13 2 367. а) —. 368. а) 2—. 369. а) —. 370. а) 1 —. 371. 19- кг. 12 35 25 60 3 372. 5 ч. 373. —. 374. 7— т. 375. 2—. 376. 20- кг и 15^ кг. 15 30 12 4 4 1 19 2 4 11 378. 4- м. 379. 1— дм. 380. - дм. 381. 12— м. 382. 6— дм. 5 20 9 15 30 384. Увеличится на 1. 385. Большая дробь ^^^.391.24 л. 393.33*^, Ь+1 57°, 90°. 399. а)-; г)-. 3 6 31234 400. а) -. 401. а) -. 402. а) 2. 403. а) 1 — . 406. а) 4. 407. а) -. 5 2 10 4 5 9 61 408. а) —.409. а) Второго. 412. а) —. 413. г) 1—. 414. Сумма. 6 25 64 296 1234567891234 Ответы 40 fc 1 416. 8 дм. 417. 16 см. 418. — cм^ 419. а) - м^. 420. а) -. 421. а) 15. 81 8 6 422. а) 3.423. а) —. 424. а) 4 -. 425. На 6 426. - м®. 427. а) - м^ 20 6 8 5 428. На — м\ 429. 1- м=*. 430. 1— м^ 432. а) —.433. а) 1,19. 216 6 25 40 434. а) О. 435. а) 0,6х. 436. а) 2^. 437. а) 18^. 440. 14, 15, 16. 442. а) 0,2. 443. 0,5 грн., 0,6 грн., 1 грн. 450. а) 1—. 451. а) 126. 3 452. а) 18; в) 4-. 453. а) 454. а) 455. а) 5^. 456. а) 8 15 10 457. а) —. 458. а) -. 459. а) -. 460. а) 5. 462. Да. 466. 4- •^1(5 Й ' П R 8 6 м. 467. — кг. 468. — м. 469. а) 2—. 470. а) б) -. 471. а) 8^. 15 22 16 6 26 2 472.а)1—.473.19.474. —.475. а)1 —. 476. а) 10^.477. а) 5. 11 57 15 9 478. а) 3 -. 479. - м. 480. - м. 481. - дм. 482. 2^ м и 2- м. 15 5 4 5 3 3 483. 1- дм. 486. 221 км; за 3 ч. 487. За 4,5 ч. 488. 14 м, 18 м, 7 22 м. 489. 40"', 50“, 90". 490. На 15 см. 491. 10 лет. 492. 5 учеников. 497. а) 150 кг. 498. 80 домов. 499. 30 грибов. 5(Ю. 1000 уч(!бников. 504. 24 грн. 505. 50 деталей. 506. 60 м. 507. 24 км; 60 км; 1,2 км; 18 км. 508. 63 га. 510. 8 грн. 511. За 2 недели. 512. За 21 мин. 513.54°. 514. На 50°. 515.14 кг. 516.0,6 кг. 518. 3720 грн. 520. На 521. На —. 522. 0,5 км; 3,5 км. 4 10 523. 56 км; 41,5 км. 524. 5 км. 525. 24,5 км. 526. 48,15 км. 527. а) 31,5. 528. За 12 ч. 529. За 45 дней. 530. ^ м. 531. На 130. 532. 4,76 грн. 533. 340 г. 534. На 10,01 см^ увеличится. 535. а) 362,25 грн. 536. 2268 см^. 537. 168 см. 538. 96 га. 539. 580 кг. 540. 2,7 грн. 541. 260 км. 542. За 24 мин. 543. За 1 ч 12 мин. 544. 125 га. 545. = 1,6 кг. 546. 250 кг. 547. 1350 грн. 548. 100 машин. 549. 360 га. 550. 1000 грн. 551. 194,4 грн. 552. 20 га. 553. 200 га. 556. а) 2,5. 558. На 5,96. 559. На 0,37. 560. На 1,8. 570. а) 1. 571. а) 3. 572. а) 1,4. 573. 6 м. 575. а) 2. 576. а) 3,28. 577. а) 0,2(6). 579. а) 3,25. 580. На 5,3125. 1234567891234 297j1234 Ответы 581. 2- м. 582. - 9,5 км/ч. 583. а) г) 8—. 589. 30", 60", 90". 6 9 30 590. 1350 грн. 591. Двенадцатая. 595. а) 0,38. 596. а) 4,17. 597. а) 7,59. 598. а) 41,9; б) 1,95. 599.12,5. 600.3,72; 3,25; 1,64.601. а) 12,52 м; 9,72 м^. 602.14,4 см; 12,4 см"". 603. а) 3,17. 605. а) 19,489. 606. в) 3, 4, 5, 6, 7. 607. а) 11,9 км; в) 112 га. 608. а) 30°, 60°; б) 36°, 54°. 609. 2 га. 610. а) 5; г) 0,1. 612. 2 : 3. 613. а) 0,5; г) 50 км/ч. 618. а) 2,5; б) 2,5. 620. 1 : 3. 621. а) 2 : 9. 623. а) 1 : 20. 624. а) 4 : 5 < 5 : 6. 626. а) 0,4. 628. а) -; в) -. 629.440 км. 630. а) 1: 5 000 000.633.1:8 000000. 5 3 637. За 2 ч. 640. - . 641. i. 642. 1.643.0. 644. а) б) 645. а) -; 8 7 2 4 9 в) —. 651. 0,7. 652. 653. —. 655. 2006 = 2 • 17 • 59; 2007 = 27 6 12 = 3 • 3 • 223; 2008 = 2 • 2 • 2 • 251. 656. 90; 4905.657. Все они - пули. 658. Да, произведение 12 • 30 • 7 де'лится на есаждое? из этих чисел. 659. Андрей - из Винни1;ы, Борис - из Гайсина. 660. а) Да; б) нет; в) да. 663. а) Нет; б) да. 665. Ибо 2 • 5 3 - 4. 672. а) 4. 673. а) -. 8 674. а) 21. 676. 30. 677. а) 2,1. 678. а) 6. 679. Да. 680. Да. ()81. 5 : 6; 25 : 36. 682. 100 км. 684. а) Да; б) да. 688. Прибавьте к каждой части равенства по 1. 689. а) 4530; б) 2717. 690. Они равны. 691. (35,2 ) 64,8)-1,4 = 140. 692.17,5см. 694. 90 000 грн. 698. а) 35 %; в) 80 %; г) 125 %. 699. а) 60 %; г) 25 %. 700. 92 %. 703. 8 %. 704. 20 %. 705. На 5 %. 707. 120 грн. 708. 432 грн. 709. а) На 25 %; б) на 20 %. 710. а) На 100 %. 711. а) На 50 %. 712. 250 %. 713. 35 %. 714. На 32 %. 715. Да. 716. На 8 %. 718. На 25 %. 719.6480 грн.; 6998,4 грн. 720. 60 %. 721. 400 т. 722. 338,4 т. 723. а) 8,3; б) -. 725. а = 5, с = 1. 726. Да. 727. Н(“г. 735.1 т. 736. 28 км. 737.43,5 кг. 738.180 п>н. 739. 61 костюм. 741. 18 т. 743. 1,8 т. 744. За 11 ч 50 мин. 747. = 5,6 ч. 748. = 556кг. 749.15 кг, 20 кг, 65 кг. 752.45". 753.65 см. 754.3 i оборота. 761. 20° и 70°. 763. 30°, 60° и 90°. 764. 4,8 м и 7,2 м. 765. 8 м и 10 м. 767.143, 286 и 572. 768. 84, 140 и 224. 770. 250 кг, 20 кг, 10 кг. 771.8 см, 12 см и 16 см. 774. б) 48, 72 и 80. 775.160 и 200. 776. 3 см, 9 см, 9 см и 15 см. 779. 4,8, 8 и 12. 781. 24, 48 и 84. 782. 37,5 см. 786. На 500 %. 787. 60,4 дм=", 31,2 дм*. 788. 36. 793. В 4 раза. 795. Округ, вокруг, друг, круиз, шарф, шарж. 797. б) 6,8 см. 12341298 1234567891234 Ответы 801. а) ~ 31,4 см; г) пс км. 805. а) = 12,56 дм^. 807. 10 см. 808. « 10 м. 809. = 3,14 см"". 810. тс см^ 811. 18,8 см. 812. - 7,5 м. 813. = 12,25 м. 817. 4:1. 821. 20 кг. 822. 36,4 га. 824. Да. 825. 25 конфет — наименьшее количество. 826. 7 яиц. 836.17, 12 и 23. 844. = 7 %. 846. 36 см. 847. Вчера, 31 декабря ученику выполнилось 13 лет. 851. Да. 862. 6 см^. 863. 11,7 га. 867. Нет. 880. а) 3 см; б) 4 см. 882.3.884. а) 3; б) 0; в) 6.885. а) Р{- 6); в) Р(3). 886. АС - самый длинный, ОВ - самый короткий. 888. АВ = 1 см, АС = 2 см, СВ = 3 см. 892. С(7); 2. 895. а) На 1,5; б) на 1,65. 5 6 900. Все утверисдения верные. 901. Нет. 907. а) —; б) —. 6 5 2 908. а) Нет. 910. 0(0). 916. 3-. 918. 8. 919. Бесконечно много. 920. а)-5,1; б) 293; в) 45. 922. На 3,8. 924. а) 100. 925. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Все они натуральные, простых среди них четыре: 2, 3, 5 и 7. 926. 90 дм^. 934. 7; 3; 10; 2,5. 938.203.941. Для отрицательных. 942. Не существует. 943. а) 6 и - 6. 951. а) Когда х — число неотрицательное. 952. б) и в). 955. а) 5 и 7; б) 0 и 4.956.5,2 кг, 7,2 кг. 957. 5 и 10. 958. а) 5 • 5 : 5; б) (5 - 5) • 5; в) 5 - 5 : 5. 965. а) 0,3<-; б)--<--.968. а)0,4>0. 972. а) - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2. 979. а) -181 < - 180. 980. а) 8; б) 64; в) 0. 981. 2,45 ц. 982. - кг. У 984. 4 грн. 985. — 3 986. 997. а)-1,68. 999.-1,5. За 1 ч. 990. Да. 995. а) -0,1. 1000. а) 2,6; б) -4,2; в) - 1 1001. Все верные. 1003. а) -^; 15 5 б) - 1. 1004.а)--;б)-. 1005. а)-;б)^. 1006. а)-1-. 1007. а) -. 7 7 6 6 3 4 29 19 1008. а) -1 — . 1009. а) 2—. 1015. а) 1 и -3. 1016. а) 290 км; 30 30 б) 110 км. 1017. 75 км/ч. 1019. 12л дм^. 1021. а) 8 и-8; б)7и-3. 1022. Да. 1024. а) 13 +(-28) = - 15. 1025. а)-89. 1026. а) 60. 1027. а) 1. 1031. а) 7,6. 1033. а) “2^. 1034. а) -3^. 1040. Да. 1049. Да. 1056. а) 7, 8, 9 и 10; б) -3, -2 и -1. 1059. 5 лет. 1060. В 2017 г. 1063. а) 360.1064. а) 1 %; б) 0,005 %; в) 40 %. 1066. На 75 %, на 300 %. 1067. 12 км/ч. Предположите, что расстояние между селом и городом равно, например, 30 км. 1072. б) 3,2 ■ 6 = 19,2. 1234567891234 299 12341 Ответы 1073. а) (-4) • 8 = - 32. 1074. (- 25) • 40 = -1000. 1075. а) (- 7) • 100 = = - 700. 1076. а) - 7а; б) (- 2л:) • 6 = -12лг. 1077. а) 7; б) -1,87. 1080. а) б) 1081. а) -10; б) -10. 1082. а) 0; б) 0.1083. а) -19. 7 3 1086. а) 24. 1087. а) 2; б) -3. 1088. а) 7; б) -1. 1089. а) 2; 6)6. 1091. а) На 11,04. 1093. |аб| = |а! • |*|. Да. 1094. а)-0,5. 24 1095. а) -2,76. 1096. а) - 12—. 1097. а) -1; б) 5; в) 3. 30 11(Ю. Да. 1101. а) О1рицатольн(х!; б) положительное; в) положито! ьное. 1102. Да. 1103.а<с. 1106.6) 1,2.1107.145 км; 72,5 км. 1109. Квадраты простых чисел. 1110. He"!', так как количество белых клеточек не равно количеству черных. 1112. а)-5.1114.а)-2,5.1116.а)-12. 1118. а) i. 1120. а) -4. 1122. а) 1,25. 1123. а) 8. 1124. а) -27. 1125. а) 23. ИЗО. а) 0,8. 1132. а) 4,44. 1133. а)-1. 1134. а) О. 1136. а)-9; б)-1,5. 1137. а)-—.1139. 0,25. 1140. 8. 1141. а) 8; 3 б) -5,5. 1142. Нет. 1143. Если с = 1 или с = — 1. 1144. Да. 1145. 1 или -1. 1146. Нет. 1147. а) Плюшка; б) нлю1ц; в) флюс; г) минута. 1148.4,41 дм^. 1149. = 0,5 м*. 1151.48лсм*.1153.74кон-фггы. 1157.1.1174. а) 16; б) 17. 1177. а)-91 и-343.1179. а)-39,3. 1180.а) 1-. 1188. На0,057 меньше. 1190.а)-1.1191.0.1196. а) 76. 3 1197. 27. 1198. За 12 мин. 1199. 2; 2,5; 3; 3,5 дм. 1200. = 13 м. 1207. а) 9 + а - л:. 1211. а) -2-. 1212. а) 5 - л:. 1216. а)-0,6л?/. 8 1218. а) 7л: - 2у. 1224. а) 10,3. 1225. а) 3,5. 1228. 120^ 1234. а) 10“; г) 1,2310’'. 1237. а) 480000; г) 0,0015. 1239. а) 610". 1240. а) 1,6 • 10*. 1241. а) 5 • 10*. 1242. а) 10*. 1243. а) 1,008 - 10‘*; 1,75. 1244. а) 4,8 - 10*; 1,8 - 10*; 4,95 • Ю"; 2,2. 1245. а)3 - Ю* больше, чем 1,5 • 10*, на 3 порядка, или в 2000 раз. 1247. а) 8; 6)1. 1248.18. 1261. а)-1. 1264. а) 4 —.1266. а)—.1268. а)-6; 11 11 1269. 42 года. 1270. 4 ц. 1272. 2,7 см и 6,7 см. 1273. 16 см, 19 см и 19 см. 1276. а) 6. 1277. а) О. 1278. а) 2. 1280. а) - 6. 1281. а) -. 3 1286. 27 и 18. 1290. 5. 1297. а) 1,75. 1298. а) 3 и - 3. 1299. а)-2, -1,0, 1, 2. 1301. 800 и 200. 1307. с 1 а; а ± d; Ь ± е. 1313. ZCOB = 80°. : 1318. ZBOK = 120°, ZBOP^ 150°. 1319. а) 135° и 45°; б) 80° и 100°. 1320.3 см. 1323. а) -3, -2, -1,0, 1, 2. 1325. На 30 %. 1326.21, 28 91234'300 1234567891234 Ответы и 33,6.1327. Четное. 1334 Нст. 1357.13кг;11кги16кг. 1358.16см, 8 см, 19 см. 1359.12,5; 25 и 62,5. 1360. - 5, - 3, - 2. 1362. фикс = = 1234.1372.10 ч; 30 км; 1 ч и 2 ч; 5 км/ч и =3,3 км/ч. 1375.37,8; 50,4; 100,8. 1376. а) 5 и - 5; б) 12 и - 20. 1377. 17,19, 23, 29, 31. 1379.9, 18, 27 и 36.1380.1278. 1386.80. 1387. Таких чисел 10. 1389. Нет. 1390. Только первое и последнее. 1393. а) 80.1394 а) 170. 1 17 1399. а) 6-; б)—. OQ 1 1395. а)—; 6)2-. 30 4 38 .32 1400. а)3—. 1401. а) 90.1403.4,2 дня. 1404. За 36ч. 1405.14, 6 км 35 и 16,75 км. 1407.14— т; 70 кг. 1409. 2,8 м и 3,2 м. 1410. г) 10 : 9. 1413. 1)37: 13. 1414. 1)70. 1415. 1) 1720. 1416. 1)20%; 10)3%. 1418. 36, 54, 63 и 72 см. 1421. 60 см. 1423. За 24 ч. 1424. 16 см. 1426. 60, 300 и 400. 1429. 1) 0,2; 2) 0,3; 3) 0,1; 4) 0. 1430. а) 6 г) о. 1431. На 20 %. 1434. 180 ч. 1435. 30, 30, 45 и 75 млн грн. 1437. 1,17 млн. 1438. 650 грн. 1439. 24 дм". 1441. 6 см". 1443.10 см". 1445. 28 м", 10 м". 1447. = 43 : 157. 1448. = 57 ; 100. 1 1449. 5,1. 1453. 10) 1,5а. 1457. 20) f. 1458. а) -3, -2,-1, 0, 1, 3 2, 3; б) 5, 6, 7, 8, 9, 1 о, 11, 12, 13. 1459. К числу 12. 1460. Да, поскольку сумма цифр этого числа равна 9. 1461. 8; 7; -5; 8, 7,... 1462.4104. 1463. а) 11 • 101; б) 5 • 11 • 23; в) 7 • 11 • 13; г) 2 • 53 • 11; д) 3 • 23 • 29; с) 840. 1464. 95. 1465. 60, 40 и 20 лег. 1466. Все 6 грн. надо отдать первому рыбаку. 1467. 4 зайца, 6 уток. 1468.300 км/ч. 1469.0,1 км/мин. 1471.15м/с. 1472. Обоим детям по 6 лет. 1473. 2 кг. 1474. 10 детей. 1475. 840 и 84. 1476. При вершинах «треугольника» должны быть числа 1, 2 и 3. 1478. 50 кг. 1479. 30 %. 1481. Да. 1482. 32 кг. 1483. 6 способов. 1484. 6. 1485. 24. 1486. 20. 1487. 10. 1488. 360, 2520. 1489. а) 120; б) 720; в) 7; г) 7. 1490. 272 матча. 1492. 4 яблока. 1493. Задача имеег несколько решений. 1495. 98-*7-6-н5-4-3 + 2+1. Существуют другие решения. 1497. 31 декабря. 1499. 2п см", 4п см. 1500. 75.1502.25 см". 1505.3 кг. 1506.50 руб. и 25 руб. 1507.8 мужчин, 15 женщин. 1508. 8 ч вечера. 1509. 16 лет. 1510. Николай -сын Петра; он поймал 7 рыбин. 1511. НОК (3, 4, 5) = 60. Через 60 дней после субботы будет среда. 1512. 51 или 52. 1513. Четверг. 1514. 240 прынсков. 1515. Олег поймал больше всех, Тарас не поймал ни одного. 1517. Наименьшее из таких чисел 105 263 157 894 736 842. 1234567891234 301 12345 Оглавление 891234 Уважаемые шестиклассники! .....................3 ^Раздел 1. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Деление и делители числа..................5 § 2. Признаки делимости на 10, 5 и 2 ..........10 §3. Признаки делимости на 3 и 9 ..............15 § 4. Разложение чисел на простые множители .....19 § 5. Наибольн1ий общий делитель.................24 § 6. Наименьшее общее кратное ..................29 Самостоятельная работа 1....................34 Готовимся к тематическому контролю..........35 Исторические сведения.......................37 Главное? в разделе 1 .......................39 Раздел 2. ОБЬПШОВЕННЫЕ ДРОБИ Vjg.TJ § 7. Обыкновенные дроби с равными знаменателями ... .41 §8. Основное свойство дроби ..................47 § 9. Сокращение дробей..........................52 § 10. Приведение дробей к общему знаменателю....58 § 11. Сложение и вычитание дробей...............62 Самостоятельная работа 2....................71 Готовимся к тематическому контролю..........73 § 12. Умножение дробе?й ........................75 § 13. Деление дробей............................83 § 14. Задачи на умножение и деление дробей .....90 § 15. Преобразование обыкновенных дробей в десятшшые .........................99 § 16. Приближенные значения и действия с ними .105 Самостоятельная работа 3...................109 Готовимся к тематическому контролю ......110 Исторические сведения .....................113 Главное в разделе 2 .......................115 Раздел 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ § 17. Отношения................................117 § 18. Вероятность случайного события ..........122 § 19. Пропорции ...............................127 § 20. Процентное отношение ....................133 302 1234567891234 § 21. Пропорциональные величины..............139 § 22. Задачи на пропорциональное деление ....144 § 23. Окружность и круг .....................149 § 24. Диаграммы...............................156 Самостоятельная работа 4 ................164 Готовимся к тематическому контролю .......165 Исторические сведения ....................167 Главное в разделе 3 ......................169 Раздел 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 25. Положительные и отрицательные числа ....171 § 26. Координатная прямая ....................176 § 27. Целые и дробные числа ..................182 § 28. Модуль числа ...........................187 § 29. Сравнение рациональных чисел ...........191 Самостоятельная работа 5 .................196 Готовимся к тематическому контролю .......197 § 30. Сложение рациональных чисел ............199 § 31. Вычитание рациональных чисел ...........204 § 32. Умножение рациональных чисел ...........209 § 33. Деление рациональных чисел .............216 § 34. Свойства сложения и умножения...........222 Самостоятельная работа 6 .................229 Готовимся к тематическому контролю .......230 § 35. Пр4?образование прос1Ч?йших выражений ..231 § 36. Стандартный вид числа ..................236 § 37. Решение уравнений.......................241 § 38. Перпендикулярные и параллельные прямые -248 § 39. Координатная плоскость .................253 § 40. Графики ................................260 Самостоятельная работа 7..................267 Готовимся к тематическому контролю .......269 Исторические сведения ....................271 Главное в разделе 4 ......................273 Дополнительные материалы Упражнения для повторения за год..............274 Задачи повышенной сложности ..................282 Повторение курса математики за 5 класс .......289 Краткий толковый словарь......................291 Предметный указатель..........................293 Ответы .......................................295