Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>
. Затем в новом окне сверху справа - СТРЕЛКА ВНИЗ 
. Для чтения - просто листай колесиком страницы вверх и вниз.
г. К- Мурании, О. В. Муравима
ГЭС
МАТЕМАТИКА
■»' ирофа
I Электронное приложение ВЕРТИКАЛЬ • www.drofa.ru
г. к. Муравип, О. В. Муравина
гос
МАТЕМАТИКА
Учебник
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
5-е издание, стереотипное
еертикАЛь
Москва
■** орофа
2014
5
УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 М91
Муравин, Г. К.
М91 Математика. 5 кл.: учебник / Г. К. Муравии, О. В. Муравииа. — 3*е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2014. — 318, [2] с.: ил.
ISBN 978-5-358-13524-6
Учебник входит в линию >'че6во-методичеснвх комплексов по математике для t — П классов. Теоретический материал >'чебннка представлен в виде блоков, в которые включены разнообразные и иытерссиые задачи, дифференцированные по уровню сложности. К большинству задач дамы ответы, к трудным задачам — советы л решения.
Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образовапия, одобрен НАН и НАО, имеет гриф «Рекомендовано» и включён в Федера.'.ьный перечень учебников в составе завершённой предметной линии.
УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72
ISBN 978-5-358-13524-6
ООО «ДРОФА». 2U12
Оглавление
От авторов............................................... 5
Глава 1.
Натуральные числа и куль........................ 6
1. Десятичная система счисления..................... 6
2. Сравнение чисел................................. 14
3. Шкалы и координаты...............................21
4. Геометрические фигуры ...........................32
5. Равенство фигур .................................45
6. Измерение углов..................................52
Глава 2.
Числовые и буквенные выражения.................68
7. Числовые выражения и их значения................68
8. Площадь прямоугольника..........................78
9. Объём прямоугольного параллелепипеда ...........87
10. Буквенные выражения ............................98
11. Формулы и уравнения............................109
Глава 3.
Доли и дроби...................................120
12. Понятие о долях и д(юбяХ........................120
13. Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями.
Умножение дроби на натуральное число.............131
14. Треутльники ....................................138
I Глава Д Действия с дробями............................148
15. Дробь как результат деления натуральных чисел...148
16. Деление дроби на натуральное число.
Основное свойство дроби..........................156
17. Сравнение дробей................................164
18. Сложение и вычитание дробей.....................171
19. Умножение на дробь .............................179
20. Деление на дробь................................186
Глава 5. Десятичные дроби..........................196
21. Понятие десятичной дроби ........................196
22. Сравнение десятичных дробей......................204
23. Сложение и вычитание десятичных дробей...........213
24. Умножение десятичных дробей......................219
25. Деление десятичной дроби на натургшьное число....225
26. Бесконечные десятичные дроби.....................231
27. Округление чисел ................................235
28. Деление на десятичную дробь......................242
29. Процентные расчёты...............................247
30. Среднее арифметическое чисел.....................254
Глава 6.
Повторение ...................................260
31. Натуральные числа и нуль........................260
32. Обыкновенные дроби..............................272
33. Десятичные дроби................................279
Задачи для летнего досуга...........................288
Ответы, советы, решения ...............................293
Список дополнительной литературы.......................314
Предметный указатель ..................................317
Темы проектов..........................................319
Дорогие пятиклассники!
Вы продолжаете изучать одну из самых древних наук — математику.
Математика — фундамент технического прогресса. Без неё немыслимы строительство зданий и мостов» использование атомной энергии, космические полёты. Важную роль математики в развитии интеллекта человека отмечал Михаил Ломоносов: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит».
Знать математику — значит уметь решать задачи. В нашем учебнике много разнообразных и интересных задач. В задачах, номера которых не имеют обозначений, вы не должны испытать затруднений. Значком отмечены задачи, в которых путь к ответу немного сложнее. Задачи, над которыми следует подумать, имеют обо-зняче-ние «•*. Изобретательность понадобится вам при решении задач на смекалку.
Часть задач учебника удобнее решать в рабочей тетради. Для этих задач указана ссылка на номер задания тетради с помощью значка 1^. Ссылка с помощью значка ^ указывает на материалы, представленные на электронном приложении к учебнику.
Учебник состоит из глав, главы — из пунктов. В каждом пункте есть и теоретический материал, и задачи. Каждый пункт учебника завершается контрольными вопросами и заданиями. В учебнике есть раздел «Ответы, советы, решения». В этом разделе вы найдёте ответы к большинству заданий, а к некоторым из них — советы и даже решения. Поможет вашей работе и справочный материал, размещённый на форзацах учебника.
История математики — это история великих открытий. С некоторыми из них вы познакомитесь в главе 6 «Повторение». Наше время — период расцвета математики, но впереди ещё очень много открытий. Надеемся, что некоторые из них предстоит сделать вам.
Желаем вам успеха/
г Ав»а
Натуральные числа и нуль
Десятичная система счисления
Жизнь в современном мире невозможна без чисел. Номера домов и страниц книг, даты, время и температура, зарплаты и цены... с числами мы встречаемся везде. Изучению свойств чисел и правил действий с ними посвящена значительная часть курса математики 5 и 6 классов.
Использовать числа люди стали уже в глубокой древности. Числа 1, 2, 3, ...» которые используются при счёте предметов, назвали натуральными от латинского слова natura^ что означает « природа ♦.
1. 1) Выполнив действия, найдите, какие числа соответствуют буквам, стоящим в верхней строке таблицы. Ш 1
К Е Т И Л М
560 : 70 100 - 96 121-118 48:8 240 : 120 279 : 279
2) Подпишите буквы под соответствующими им числами.
1 2 3 4 1 2 3 6 8 2
Получившееся слово — название науки, которая изучает числа, арифметические действия, геометрические фигуры и их свойства.
Счёт начинается с числа 1 — наименьшего натурального числа, а каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего: 1 + 1” 2, 2 + 1 — 3, 99 + 1 — 100, ... . Вооб-
ще, при счёте меньшее число называется раньше, а большее позже.
Число нуль не относится к натуральным числам.
2*. Найдите правильные утверждения и выпишите их номера.
1) Любое натуральное число имеет следующее за ним.
2) Каждое натуральное число имеет предыдущее число, которое также является натуральным.
3) Число 1 — наименьшее натуральное число.
4) Наибольшего натурального числа не существует.
5) Цифра 4 в записи числа 34 607 означает число сотен.
6) Для записи числа 406 405 использовано 6 разных цифр.
7) Любое натуральное число больше нуля.
8) Десять единиц одного разряди образуют единицу следующего разряда.
3. Запишите число, которое:
1) следует за числом 1999;
2) предшествует числу 10 000;
3) ^^ на 10 меньше, чем наименьшее двузначное число;
4) 0 в 3 раза меньше наибольшего двузначного числа;
5) 0 на 90 больше наименьшего трёхзначного числа;
6) в 2 раза больше числа 500.
40. Ответьте на вопросы.
1) Сколько существует однозначных чисел?
2) Сколько существует двузначных чисел?
3) ^ Сколько раз встречается цифра 7 в записи натуральных чисел от 1 до 100?
4) ^ Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить, используя только цифры 8 и о или одну из них? Прочитайте полученные числа.
у некоторых первобытных племён для счёта было всего четыре слова: один^ два^ три и много. Развитие цивилизации потребовало несравнимо больше чисел, и люди изобрели различные си-стелгы счисления.
Одной из широко используемых является арабская система счисления (нумерация). С ней вы познакомились в начальной школе. Для записи любого числа в этой системе используются цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Всего цифр десять, поэтому арабскую систему называют десятичной.
Значение цифры в записи числа меняется в зависимости от места (позиции), которое она занимает. Например, цифра 5 в числе 254 обозначает число десятков, а в числе 513 — число сотен. Поэтому арабская система счисления, которой мы пользуемся, называется позиционной.
Чтобы правильно читать и записывать числа, нужно знать таблицу разрядов и классов. Ш 3
Таблица разрядов и классов
Класс триллионов Класс миллиардов Класс миллионов Класс тысяч Класс единиц
сот. дес. ед. сот. дес. ед. сот. дес. ед. сот. дес. ед. сот. дес. ед.
2 0 1 0 0 0 3 8 0 5 0 7 9 8
1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 4 5
2 8 0 0 5 6 0 0 0 9
6 8 1 1 1 1 0 0 4 5 5 5
Правило чтения чисел
Пусть нужно прочитать число 20100038050798.
(Т) Разбиваем число на классы, отделяя по три цифры справа налево: 20 100 038 050 798.
@ Читаем число слева направо: называем число, представленное первой группой цифр, и название класса, затем
называем число, представленное второй группой цифр, и название класса и т. д.
(З) Если все три разряда класса заполнены нулями, то при чтении числа этот класс пропускают.
Число 20 100 038 050 798 читается так: двадцать триллионов сто миллиардов тридцать восемь миллионов пятьдесят тысяч семьсот девяносто восемь.
5. Прочитайте числа, записанные в таблице на странице 8.
1) Назовите цифру, которая стоит в разряде: единиц, единиц тысяч, единиц миллионов.
2) Назовите старший разряд чисел.
3) Назовите разряд, в котором стоит цифра 8.
В таблице на странице 8 не поместились более мощные классы. Так, слева от класса триллионов должен быть класс квадриллионов у ещё левее классы квинтиллионов^ секстиллионов и т. д. Отметим также, что необходимость в использовании названий этих классов в практической деятельности человека возникает довольно редко.
6. 1) Прочитайте числа: н
а) 6470; д) 4367577030;
б) 34578; е) 1234567890;
в) 147683; ж)207000023040;
г) 1111714; 3)90324567710101.
2) Назовите разряд числа, в котором стоит цифра 4.
3) Назовите цифру, которая стоит в разряде (если этот разряд в записи числа есть):
а) единиц; в) миллионов;
б) сотен тысяч; г) десятков миллиардов.
4) Запишите числа: 506305; 3612; 10006; 518200403 в столбик, расположив друг под другом цифры одноимённых разрядов.
7®, Составьте число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Прочитайте данное число и число, составленное вами:
1)1234; 2)20135; 3)602071; 4)601002007.
8. Прочитайте предложения.
1) Длина экватора Земли равна 40 075 696 м.
2) Расстояние от Солнца до Земли равно 149 597 900 км.
3) Один календарный год равен 31 557 600 с.
4) Россия занимает площадь 17 075 400 км^.
9*. Запишите цифрами:
1) наименьшее пятизначное число;
2) наибольшее шестизначное число;
3) какое-нибудь число, которое больше миллиона;
4) число, которое на 2 меньше триллиона. Ш 2
10.1) Постарайтесь запомнить правило записи чисел прописью, т, е, словами.
Правило записи чисел
Пятьсот, шестьсот, семьсот, восемьсот, девятьсот пишутся с мягким знаком.
Миллион, миллиард, триллион и др. пишутся с двумя буквами *л». Используются сокращения: единица — ед., сотня — сот., десяток — дес., тысяча — тыс., миллион — млн, миллиард — млрд, триллион — трлн.
1 млн “ 1 000 000, 1 млрд = 1 000 000 000,
^ 1 трлн = 1 000 000 000 000.
2) Запишите цифрами: Ш 7 Н
а) пятьдесят шесть тысяч триста восемьдесят восемь;
б) два миллиона тридцать пять тысяч семь;
в) сто двадцать пять миллиардов двадцать пять миллионов семьсот три тысячи сто один;
г) двести тридцать миллионов пятьдесят тысяч двадцать один;
д) один миллион вооемк;
10
е) один миллиард две тысячи пять;
ж) 0 наибольшее пятизначное число;
з) 0 наименьшее семизначное число.
11. Запишите прописью числа: Ш 4
1) 708; 2) 1 бОО 004; 3) 1 500 000 008; 4) 1 000 000 000 909.
12. Запишите с помощью цифр числа:
1) 23 тыс.; 7) 601 тыс. 7 ед.;
2) 205 млн; 8) 23 млн 4 сот.;
3) 40 млрд; 9) 301 млрд 5 млн 6 тыс.;
4) 14 трлн; 10) 147 млн 59 тыс. 8 ед.;
5) 26 млн 113 тыс.; 11) 309 млрд 51 сот. 12 ед.;
6) 97 млрд 56 млн; 12) 1 млн 1 тыс. 1 ед.
13*. 1) По какому правилу записываются числа в последовательности: т 5
а) 11U 222, 333, ...; в) 234, 368, 502, ...;
б) 1500, 1300, 1100, ...; г) 10, 100, 1000, ...?
2) Продолжите последовательность, записав следующие два числа. Прочитайте записанные числа.
14.1) Запишите семизначное число. Прочитайте записанное число. Назовите старший разряд в этом числе. Сколько классов в данном числе?
2) Запишите восьмизначное число, в котором 5 млн и 5 ед. Прочитайте полученное число. Назовите старший разряд в этом числе. Сколько цифр в записи данного числа?
Сумма разрядных слагаемых 4^
Числа в десятичной системе могут быть представлены в виде суммы значений цифр, которыми они записаны.
Так, например, 70 893 = 70 000 + 800 + 90 + 3.
Слагаемые правой части равенства называют разрядными.
15. Найдите устно сумму:
1) 6000 + 500 + 50 + 4;
2) 700 000 + 6000 + 30 + 7;
3) 8 000 000 + 50 000 + 6;
4) 1 000 000 000+ 200 + 1.
— 11
16. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых числа:
1) 5 326 192; 3)40 204; 5) 1000 845;
2) 356 200; 4) 300 002; 6) 1 000 200 012.
17.1) Найдите сумму цифр числа:
а) 58 297; 6)999 996; в) 3 333 444; г) 407 803.
Образец нахождения суммы цифр чис.та 70 893:
7 + 0 + 8+ 9 + 3 = 27.
2) Составьте пятизначное число, сумма цифр которого равна 5.
3) ® Найдите число, на 18 большее суммы своих цифр.
4) ® Сколько всего можно составить трёхзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна:
а) одному; б) двум; в) трём?
18. На сколько можно уменьшить число 459 218, чтобы в нём изменилась только цифра, стоящая в разряде:
1) десятков; 2) сотен; 3) тысяч; 4) десятков тысяч?
19^. 1) Назовите старший разряд частного: Ш Ч. 1. С 91
а) 438: 6; в) 6417: 31; д) 164 502 : 78;
б) 935 : 5; г) 18 585 : 315; е) 4 139 100 : 73.
2) Назовите старший разряд произведения:
а) 66 *9; в) 569 *15;
б) 179-8; г) 315-231;
20.1) В книге 200 страниц. Саша прочитал 90 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать?
2)^ В книге 200 страниц. Саша прочитал 90, а Коля— ПО страниц. Можно ли сказать, что они вместе прочитали всю книгу?
21. Найдите двузначное число, произведение цифр которого равно наибольшему однозначному числу, а цифра десятков меньше цифры единиц.
д) 4590-23;
е) 7803-467.
12
Задачи на смекалку
22. Коля ждет зелёного сигнала светофора и вслух считает проезжающие машины. Сколько машин проехало мимо Коли после того, как он назвал число 17, если при счёте 35 зажёгся зелёный свет? Каким действием вы нашли ответ на вопрос задачи?
23.1) Каким числом может оказаться разность трёхзначногю числа и суммы его цифр?
2) Запишите какие-нибудь два трёхзначных числа, у которых такая разность: а) наименьшая; б) наибольшая.
24. Сколько различных чисел можно записать цифрами 1, 3, 8 и О, если цифры в записи числа не повторяются?
25. Из трёхзначного числа, записанного цифрами 5, 6 и 7, вычитается число 23. Какое наименьшее число можно записать, используя все цифры результата?
26. Записаны подряд натуральные числа от 1 до 999. Сколько раз в записи всех чисел встречается цифра 9?
27.1) В книге 250 страниц. Сколько нужно написать цифр, чтобы пронумеровать все страницы?
2) Для нумерации страниц книги потребовалось написать 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге?
28. Игра «Число 100». Играют двое. Игроки поочерёдно называют произвольные натуральные числа не больше 10. Эти числа складываются. Побеждает тот, кто первым назовёт число, которое в сумме с названными ранее числами даст 100. Как нужно играть, чтобы победить?
Контрольные вопросы и задания
1. Прочитайте число 9876543210. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых. Сколько классов в записи данного числа? Какая цифра стоит в разряде десятков миллионов? ^ Тест ЁШ 8
13
2. Запишите с помощью цифр число двадцать пять миллиардов сто миллионов двадцать восемь.
3. Запишите прописью число 1500060300. 0 Тест
Сравнение чисел
В ряду натуральных чисел каждое следующее число больше предыдущего. И наоборот, предыдущее число в этом ряду меньше последующего. При записи результата сравнения двух чисел словам «больше» и «меньше» соответствуют знаки неравенств: ♦ >» — больше, ♦<» — меньше.
7 > 3, 10 < 20, 358 < 432. Такие записи называют неравенствами.
Если же числа равны, то между ними ставится знак равенства «=» — равно.
5 — 5, 27 = 27. Такие записи называют равенствами,
29.1) Назовите равенства и неравенства:
а) 2306 = 2306; в) 2347 + 11 = 2358;
б) 1 235 003 < 1 236 003; г) 578 > 398.
2) Прочитайте равенства и неравенства. Проверьте, следовали ли вы при чтении следующему правилу.
Правила чтения равенств и неравенств
Левую часть равенства читают в именительном падеже, а правую — в дательном.
Например, 5000 = 5000 — пять тысяч равно пяти тысячам; 3 + 4 = 7 — сумма трёх и четырёх равна семи.
Левую часть неравенства читают в именительном падеже, а правую — в родительном падеже.
Например, 6 000 000 > 5 000 000 — шесть миллионов больше пяти миллионов. ^
14
30.1) Сравните числа:
а) 98 и 89; г) 34 и 134;
б) 4067 и 4076; д) 1056 и 156;
в) 123 447 и 123 546; е) 5 000 000 и 500 000. 2) Как вы сравнивали числа в первом столбце и как втором столбце?
во
Правило сравнения чисел
(I) Сравнить количество цифр в записи сравниваемых чисел.
@ Если количество цифр в записи чисел разное, то больше число, у которого количество цифр больше.
Например, 3456 > 987, потому что четырёхзначное число больше трёхзначного числа.
@ Если количество цифр одинаковое, то сравниваем числа поразрядно, начиная со старшего разряда. Больше то число, у которого первая неодинаковая цифра больше.
Например, 59 042 > 59 037, потому что у данных чисел в разрядах десятков тысяч, единиц тысяч и сотен цифры равные, а цифра десятков в числе 59 042 больше, чем в числе
59 037. Й
31.1) Сравните числа: Ш 9 ^
а) 10 и 100; в) 276 000 и 1000;
б) 5000 и 500; г) 56 000 000 и 2000.
2) На сколько одно число больше другого?
3) Во сколько раз одно число меньше другого?
32. 1) Самое глубокое озеро мира — Байкал, его глубина составляет 1620 м. Марианская впадина в Тихом океане имеет глубину, равную 11 022 м. На сколько метров Марианская
впадина глубже Байкала?
2) Площадь Тихого океана составляет 179 650 тыс. км^. Атлантического океана — 106 100 тыс. км^, Индийского
1S
океана — 74 900 тыс. км^, Северного Ледовитого океана — 14 750 тыс. км^. На сколько тысяч квадратных километров площадь Тихого океана меньше суммы площадей Атлантического, Индийского и Северного Ледовитого океанов?
3) Гора Чогори в Азии занимает второе место в мире по высоте, которая составляет 8611 м, что на 2969 м больше высоты самой высокой вершины России — Эльбруса и на 237 м ниже самой высокой горы мира — Эвереста. Найдите высоту Эльбруса и Эвереста.
33.1) Во сколько раз масса Царь-колокола, находящегося на территории Кремля, больше самого большого китийского колокола, если известно, что масса Царь-колокола равна 12 000 пудов, а масса китайского колокола 3000 пудов? (12 тыс. пудов « 200 т.)
2) Недалеко от Царь-колокола стоит Царь-пушка, её масса в 5 раз меньше массы Царь-колокола. В 1536 г. Царь-пуш-ка была самым большим артиллерийским орудием. Найдите массу Царь-пушки.
34^. 1) Отцу 38 лет, а сыну 14. Во сколько раз отец был старше сына 6 лет назад?
2) Средняя продолжительность жизни мужчин в России в 3 раза больше, чем у первобытных людей. В то же время
16
она на 53 года меньше срока жизни современных долгожителей, которые живут по ПО лет. Вычислите среднюю продолжительность жизни первобытных людей.
35.1) Потратили 213 р., что на 85 р. меньше, чем осталось. Сколько рублей осталось?
2) Проехали 153 км, что на 65 км больше, чем осталось проехать. Сколько километров осталось проехать?
36. С 1990 г. во Франции на железной дороге курсирует высокоскоростной поезд, который расстояние 400 км между Парижем и Лионом проходит за 2 ч. В 1987 г. в Японии был создан поезд, летящий над рельсами на магнитной подвеске. Японскому поезду на 400 км потребовался бы всего 1 ч.
1) На сколько скорость японского поезда больше, чем французского?
2) Во сколько раз японский поезд быстрее французского?
3) Во сколько раз скорости поездов, созданных в 1987 г. и 1990 г., больше скорости первого поезда, построенного в 1804 г., который развивал скорость 20 км/ч?
37. Решите задачи и сами придумайте какую-нибудь задачу, которая имеет такое же решение.
1) Расстояние между Москвой и Ярославлем равно 240 км. Автобус проходит это расстояние за 5 ч, а поезд — за 4 ч. На сколько километров в час скорость поезда больше скорости автобуса?
2) На 60 р. Света может купить 4 марки или 5 конвертов. На сколько конверт дешевле марки?
3) Токарь вытачивает 240 деталей за 4 дня, а его ученик — за 5 дней. На сколько производительность токаря выше производительности его ученика?
4) Бассейн объёмом 240 м^ наполняется одной трубой за 4 ч, а второй — за 5 ч. На сколько пропускная способность первой трубы больше пропускной способности второй трубы? в
17
38*. Сравните, если возможно, числа, в которых некоторые цифры обозначены звёздочками: Ш Ю
1) 1*** и 2**: 3) 1423 и *789; 5) 5**1* и 5**2*;
2) 9*** и 8***; 4) ***23 и **89; 6) 2579 и 257*.
39®. 1) Замените звёздочки цифрами так, чтобы получились верные неравенства: Ш 11
а) 3128 > 3*28; г) 47583 > 4758*;
б) *556 < 3556; д)5*1*82 > 581782;
в) 107*9 > 10769; е)5***83 < 500161.
2)® Сколькими способами можно получить верные неравенства в каждом случае?
40®. Верно ли, что у большего числа:
1) сумма разрядных слагаемых больше, чем у меньшего числа;
2) цифра старшего разряда больше, чем у меньшего числа? Если ответ утвердительный, то объясните его, если отрицательный, то приведите контрпример (пример, который опровергает утверждение).
41. Запишите массы животных в порядке возрастания:
курица — 1900 г, овца — 62 кг, индюк — 17 кг, слон — 4 т, голубь — 500 г, верблюд — 6 ц.
42.1) Назовите все натуральные числа, которые лежат между:
а) 9 и 15; в) 5837 и 5840;
б) 1098 и 1103; г) 1 999 998 и 2 000 000.
2) Существует ли натуральное число, которое лежит между: а) о и 2; б) 0 и 1; в) 5728 и 5729; г) 78 125 и 78 215?
43. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые больше 135, но меньше 142.
Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.
Например, 2 < 3 < 5. Это двойное неравенство читается так: «три больше двух, но меньше пяти».
18
44. Запишите в виде двойного неравенства: Ш 12,13
1) число пять больше четырёх, но меньше шести;
2) число сто больше девяносто девяти, но меньше ста двух.
45. Прочитайте двойное неравенство:
1) 15 < 19 < 21; 3) 307 831 < 310 000 < 310 005;
2) о < 5 < 10; 4) 1 000 000 < 1 000 100 < 1 100 000.
46. Запишите какое-нибудь двойное неравенство, среднее число в котором равно результату вычислений: Ш 14
1) 579 f 183; 3)56-23;
2) 7903 - 578; 4) 790 704 ; 51.
47. Запишите в порядке:
1) возрастания все двузначные числа, большие 95;
2) убывания все чётные числа, меньшие 10;
3) возрастания все нечётные однозначные числа;
4) убывания все круглые числа (числа, оканчивающиеся нулём), которые больше 15 631, но меньше 15 675.
48. Наблюдатели оценили, что в стае не меньше 40, но не больше 50 птиц.
Сколько птиц могло быть в стае?
49. Игра «Отгадайте число».
1) Задумали число, которое оканчивается цифрой 7. Это число больше 360, но меньше 370. Какое число задумали?
2) Задумали чётное число, которое больше 182, но меньше
186. Какое число задумали?
3) Придумайте сами аналогичную задачу и задайте её соседу по парте.
Кроме неравенств со знаками *>» и ♦<», которые называют строгими^ используют нестрогие неравенства, для которых введены знаки *>* и <<*. Знак читается «больше или равно*, знак «<* — «меньше или равно». Нестрогое неравенство
19
допускает случай равенства левой и правой его частей. Так, например, 6 < 6 — верное неравенство.
50. Прочитайте верные неравенства:
1) 23 <32; 3)5 <7; 5)7^7;
2) 178 >158; 4) 19 >9; 6) 7 < 7;
7) 56 < 60 < 62;
8) 97<98< 100.
51. Каким числом можно заменить букву х, чтобы получилось верное неравенство:
1) х<3; 5)671000
т ц ^=± кг г :ю :ioo :iooo
1) Занолыите многоточия в следующих равенствах: ^
а) 1 т = ... ц; г) 1 ц - ... г;
б) 1 ц = ... кг; д) 1 т = ... г;
в) 1 кг - ... г; е) 1 т “ ... кг.
2) Выразите:
а) 2 ц 37 кг в граммах; б) 250 000 000 г в центнерах.
23
3) Сравните: Ш 16
а) 3 т и 3000 кг; г) 5 т 4 ц 5 кг и 546 000 г;
б) 2 000 000 г и 3 т; д) 2103 кг и 2 т 1 ц;
в) 4 т 3 ц и 420 кг; е) 50 т 57 кг и 505 ц.
4) Заполните многоточия так, чтобы полу'сились верные равенства:
а) 4 т 4 ц + 23 ц » ... ц;
б) 256 кг + 149 кг = ... г;
в) 45 т + 19 т = ... ц;
64. Выполните действия: Ш
1) 5 см 5 мм ■ 6;
2) 3т4ц:2;
3) 700 ц : 10;
4) 5 км : 100;
18
г) 7 ц - 257 кг * ... кг;
д) 1 т - 1 ц 1 кг 1 г = ... г;
е) 6 т 7 ц + 3 т 3 ц “ ... т.
5) 72 кг : 16 кг;
6) 24 м : 60 см;
7) 53 км 286 м + 30 км 744 м;
8) 24 т 536 кг -ь 72 т 924 кг.
Обычно измерения выполняются с помощью соответствующих приборов. Так, чтобы найти ширину класса, можно взять рулетку, при измерении длины отрезка в тетради мы пользуемся линейкой, а для измерения длины кривой линии существует курвиметр (от латинского слова curvus — кривая). Для измерения времени используются часы или секундомер, для измерения массы служат весы, температуру измеряют термометром (градусником), скорость — спидометром (от английского слова speed — скорость).
На линейке, весах, термометре и спидометре нанесены шкалы, на которых мы и видим результаты измерений. Число единиц измерения, соответствующих одному делению шкалы, называют ценой деления,
65. 1) Назовите приборы, изображённые на рисунке 1.
2) Что измеряют эти приборы?
3) Назовите цену деления шкалы каждого из приборов.
4) Снимите показания приборов.
24
/
X
4*
>Л Off
Off
5
111 111
С а
м
Рис. 1
Как бы аккуратно мы ни применяли измерительный прибор» полученный результат может отличаться от измеряемой величины на цену деления этого прибора. Так, при использовании линейки точность измерения равна 1 мм, термометр показывает температуру с точностью до 1 градуса, а весы измеряют массу товара с точностью до 50 г. Говорят, что результаты измерения величии являются приближёнными.
66. Назовите точность измерения приборов на рисунке 1.
.1
67.1) Какова точность измерения термометров, изображённых на рисунке 2?
2) Какую температуру показывает каждый термометр?
X 49
м1 Off
Off
Off
л !_•
1
4«
Щ р|
1Д| Ё1
•с
49
*9
Ш
•С
ЩШм
м
Ml
29i
•С
49
Ё2*
Off
lil 111
Рис. 2
25
3) Сравните показания термометров. Результаты сравнения запишите с помощью неравенств и двойных неравенств.
4) Какую температуру будут показывать термометры, если их столбики опустятся на 5 или поднимутся на 7 делений?
68.1) Какова цена деления шкал, изображённых на рисунке 3? 2) Какие числа должны быть указаны под делениями? 0
о)
0 2 4 6
й)
I ■ I ■ I > I ' I ■ I ' I
о 24 48 72
100
200
г)
t I > . I ■ 60 120
Рмс.З
69. Начертите в тетради горизонтальный отрезок длиной 8 см. Под левым концом отрезка напишите число 0, а под правым — 40. Разделите отрезок штрихами на 8 равных частей. Расставьте на полу»1енной шкале числа 20, 35, 25, 15 под соответствующими штрихами. Какова цена деления шкалы?
На луче (рис. 4) с началом в точке О отмечена точка Е и под ней число 1. Под точкой О подписано число 0. Отрезок ОЕ — единичный отрезок. Далее от точки Е на луче последовательно о’гложены отрезки, равные отрезку ОЕ.
Под точками лу^ш подписаны числа, которые называются координатами этих точек. Любое натуральное число является координатой некоторой точки этого луча. Сам луч называют координатным лучом. Начало координатного луча имеет координату 0. Точка А имеет координату 2. Записывается: А(2).
70.1) Назовите координаты точек, отмеченных на рисунке 4.
О Е А
D
R
♦-
К
L
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2! 22 23 24 Рис.4 Ш 21 в
26
2) Какая из точек лежит левее на координатном луче: а) О или Е\ б) D или К\ в) А или Е\ г) L или Ю
71®. Начертите луч. Отступив от начала луча вправо на четыре клетки, отметьте на нём число 2.
Отметьте на луче числа: 1, 4, 7.
72. Какая из точек лежит правее на координатном луче:
1) А(4) или В(5); 3) 7C(101) или L(llO);
2) С(13) или £>(11): 4) М(10 245) или N(10 254)?
73^. Расскажите, как отметить точку М{2) на координатном луче (рис. 5). Ш 19,24
а)
О
б)
Е
я)
г);
Рис. 5
74*. 1) Найдите длину единичного отрезка координатного луча, представленного на рисунке 6. Ш 20 2) Расскажите, как отметить точку С(3).
а)
Рис. б
27
75. 1) Отметьте на координатном луче с единичным отрезком, равным 1 см. точки; 0(0), £(1), *5(5), Л(3), Г(7). Ш 23 2) На этом же луче отметьте точки, которые удалены от точки Т на 2 единицы. Запишите координаты этих точек.
76*. 1) Какой отрезок вы примете за единичный, если вам нужно отметить на координатном луче точки:
а) А(25), В(40), С(62);
б) 0(150), Г(210),Л(550);
в) 7С(1200), 1.(1400), М(1650)?
2) Для каждого случая постройте координатные лучи и отметьте указанные точки.
77, Постройте координатный луч и отметьте все натуральные числа, которые: Ш 22
1) меньше или равны 5;
2) больше 7, но меньше 9;
3) больше 11, но меньше 13;
4) больше или равны 1, но меньше или равны 6.
78®. 1) Какое из чисел, 5 или 15, расположено на координатном луче ближе к числу 11?
2) Назовите числа на координатном луче, которые удалены от числа 14 на 5 единиц.
3) Назовите какие-нибудь два числа на координатном луче, равноудалённые от числа 8.
79. Останкинская телевизионная башня в Москве состоит из железобетонной опоры высотой 384 м и металлической части, которая короче этой опоры на 231 м. Найдите высоту телевизиогтной башни.
80. От Астрахани до Махачкалы по Каспийскому морю 410 км. Теплоход на подводных крыльях может пройти это расстояние за 5 ч. С какой скоростью должен плыть теплоход?
81. Эскалатор в метро движется со скоростью 32 м/мин.
Длина эскалатора 96 м. На сколько быстрее спустит-
28
ся к поезду пассажир, идущий по эскалатору со скоростью
16 м/мин, чем стоящий на эскалаторе пассажир?
82.1) Магазин получил 8 коробок с печеньем и 6 коробок с конфетами. Всё печенье весило 72 кг. Вес коробки с печеньем в 3 раза меньше веса коробки с конфетами. Сколько всего килограммов печенья и конфет получил магазин? (Вес пустой коробки не учитывать.) Ш 25
2) Макароны упаковали в одинаковые коробки. Масса
17 коробок на 32 кг бсльше, чем масса 9 коробок. Хватит ли 214 коробок для упаковки 970 кг макарон?
3) В булочной было 874 кг чёрного и белого хлеба. После того как продали 325 кг чёрного и 237 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько чёрного и сколько белого хлеба было в булочной? ^ 25
4) На заправочной станции было 540 т бензина и дизельного топлива. После продажи равных количеств бензина и дизельного топлива на станции осталось 120 т бензина и 130 т дизельного топлива. Сколько тонн бензина было на заправочной станции?
83. 1) Машина в первый день проехала 513 км за 9 ч. Во второй день машина находилась в пути 7 ч и ехала с прежней скоростью.
Сколько километров проехала машина за 2 дня?
2) Весь путь автомобиля составил 465 км. На первый участок пути по шоссе автомобиль затратил 3 ч, на второй по просёлочной дороге — 5 ч. Найдите скорость автомобиля на каждом участке пути, если известно, что на просёлочной дороге его скорость была на 27 км/ч меньше, чем на шоссе.
3) Автобус за 8 ч прошёл расстояние 560 км. На обратный путь он затратил 7 ч. На сколько изменилась скорость автобуса на обратном пути?
4) Моторная лодка, двигаясь со скоростью 15 км/ч, за первый день прошла 210 км. Во второй день, увеличив ско-
29
рость на 3 км/ч, лодка прошла 306 км. Сколько часов моторная лодка была в пути?
84. Практическая работа.
Когда нет измерительного прибора, расстояния можно измерять «голыми руками*. Для этого полезно знать: а) расстояние между концами большого и указательного пальцев, когда они широко раздвинуты; 6) ширину своей ладони; в) расстояние между концами раздвинутых среднего и указательного пальцев; г) длину своего указательного пальца; д) расстояние между концами большого пальца и мизинца, когда они широко расставлены (рис. 7).
г
^10 см
?
5 см
лИ
\ /
а)
б)
в)
Рис. 7
г)
д)
Задание.
1) Измерьте с помощью линейки размеры своей руки.
2) Измерьте рукой ширину парты.
3) Проверьте полученный результат с помощью линейки.
Задачи на смекалку
85. Циферблат часов (рис. 8) нужно разрезать на 6 частей любой формы так, чтобы суммы чисел на каждой части были равны.
86. На вопрос: «Сколько тебе лет?* Петя ответил: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году мне будет 13 лет*. В каком месяце и какого числа произошёл этот удивительный диалог?
Рис. 8
30
87. Кладём гирьку 1 г на левую чашку весов, затем 2 г — на правую, 3 г — вновь на левую, 4 г — на правую и т. д. до 100 г включительно. На сколько граммов груз на правой чашке весов больше?
88. Банка с мёдом весит 500 г. Такая же банка с керосином весит 350 г. Керосин легче мёда в 2 раза. Сколько весит пустая банка?
89. Старинная задача.
Портной имеет отрез сукна длиной 10 м и каждый день отрезает по одному метру. На который день он отрежет в последний раз?
90. Как, ничего не измеряя, отрезать от ленты длиной 1 м 44 см кусок длиной 27 см?
91. Два из трёх одинаковых по виду колец имеют равные массы, а третье — немного легче. Как определить это кольцо с помощью одного взвешивания на рычажных весах?
92. Два из трёх одинаковых по виду колец имеют равные массы, а третье кольцо имеет другую массу. Как определить это кольцо с помощью двух взвешиваний на рычажных весах?
Контрольные вопросы и задания
1. Назовите известные вам измерительные приборы. Ш 26
2. Назовите единицы измерения времени, скорости, массы, длины, температуры. Составьте схему перевода одних единиц времени в другие.
3. Постройте координатный луч и отметьте на нём следующие точки: Л(10), В(25), С(40), В(50). Какова длина единичного отрезка в миллиметрах? Н Тест
31
®-L Геометрические фигуры
Геометрия и арифметика — важные части математики. В арифметике в основном занимаются вычислениями» т. е. дей> ствиями с числами. Да и само название арифметика произошло от греческого слова арифмос^ что в переводе означает ♦число». Название геометрия происходит от двух греческих слов гео — ♦земля» и метрео — ♦измерять». Геометрия — это наука о фигурах, их свойствах и взаимном расположении.
Фигуры вы будете чертить в тетрадях и на классной доске. Поверхности классной доски и страницы тетради являются плоскими поверхностями, или, как говорят в геометрии, — плоскостями. Точнее говоря, они представляют собой только части бесконечных плоскостей. в
93.1) Поверхности каких из следующих предметов: пол, потолок, занавеска, лепесток цветка, лист дерева, ручка — можно считать плоскими?
2) Приведите свои примеры плоских поверхностей.
В геометрии имеют дело с рисунками — чертежами, на которых изображаются геометрические фигуры. С основными геометрическими фигурами вы уже знакомы. Это точка^ от-резоку луЧу прямаяу угол, треугольник, прямоугольник, многоугольник, окружность. Все эти фигуры, кроме точки, изображаются с помощью линий. Слово линия происходит от латинского слова Ипит, что означает ♦льняная нить». Латынь — это язык, на котором говорили в Древнем Риме. В Средние века на латыни писалось большинство научных трудов. В наше время латинский алфавит используется в большинстве европейских стран. Латинский алфавит приведён на заднем форзаце учебника.
94. На рисунке 9 изображены прямая, отрезок, луч, угол, треугольник, окружность, прямоугольник, четырёхугольник, пятиугольник и круг.
32
Рис. 9
1) Укажите каждую из этих фигур.
2) Какие чертёжные инструменты вам понадобятся для изображения таких фигур?
95*. 1) Начертите отрезок АВ. Отметьте точки так, чтобы точка:
а) К не принадлежала отрезку AS;
б) L принадлежала отрезку AS;
в) N находилась между точками Л и L;
г) М находилась на отрезке между точками N и L.
2) Сколько отрезков образовалось на отрезке АВ?
Есть бесконечно много линий, которыми можно соединить точки А и В. Рассмотрим три из них (рис. 10). Линия AMNB называется ломанойу она состоит из трёх звеньев — отрезков AM, MNy NB.
Представим себе, что все три линии являются нитями. Тогда ломаную AMNB и кривую АВ можно распрямить, потянув, например, за конец В.
При этом мы увидим, что они явно длиннее отрезка АВ, т. е. он является самой короткой из всех линий, соединяю-
33
щих точки Ап в. Длину отрезка АВ и считают расстоянием между точками А и В.
96. Используя линейку, найдите на рисунке 10:
1) расстояние между точками А и В;
2) длину ломаной AMNB, равную сумме длин её звеньев.
97.1) Отметьте в тетради точки М п N.
2) Найдите длину отрезка MN.
3) Укажите расстояния до точек М п N от какой-нибудь точки В, принадлежащей отрезку MN, и точки С, не принадлежащей отрезку MN.
4) ® Вычислите суммы расстояний МВ + NB и МС + ЛГС, сравните их с длиной отрезка MN. Какой вывод можно сделать?
98. Запишите цифрами, что:
1) длина отрезка АВ равна трём сантиметрам;
2) длина отрезка FE равна двум метрам и трём сантиметрам;
3) сумма длин отрезков CD и KL равна пяти сантиметрам;
4) один метр равен ста сантиметрам.
Правило чтения равенств и неравенств с отрезками Выражение левой части равенства читают в именительном падеже, а выражение правой части читают в дательном падеже.
Например, АВ — 7 см — длина отрезка АВ равна семи сантиметрам.
Выражение левой части неравенства читают в именительном падеже, выражение правой части читают в родительном падеже.
Например, АВ < CD — длина отрезка АВ меньше длины отрезка CD.
99О. Точка К принадлежит отрезку СВ, а точка N находится на отрезке между точками К пС. Сравните длины отрезков и результат запишите с помощью знаков неравенств: Ш 27
1) СВ и NK; 3) BN и ВК;
2) CN и САГ; 4) СВ и СК.
34
lOO®. Какие из точек Л/, Л^, Р расположены на отрезке АВ длиной 7 см, если AM = 3 см, AN = 4 см, АК — 2 см,
АР “ 3 см, ВМ “ 5 см, BN “ 3 см, Sit = 5 см, SP = 6 см?
101*. 1) Определите длины отрезков А С (рис. 11) на глаз.
Измерьте их с помощью линейки и оцените свой глазомер.
2) Запишите названия отрезков в порядке убывания их длин.
Рис. 11
Сравнить длины отрезков можно и не измеряя их длин. Для этого воспользуемся циркулем. Поставим иожкн циркуля на точки С и Z) (см. рис. 11). Циркуль как бы запомнил расстояние между этими точками. Теперь поставим одну ножку на точку К. Если без изменения раствора циркуля вторую его ножку можно поставить на точку L, то CD » KL. Если раствор циркуля придётся увеличить, то второй отрезок длиннее, а если уменьшить, то второй отрезок короче. В нашем случае раствор циркуля приходится увеличить, значит, отрезок KL длиннее, чем отрезок CD, ^
Поставим ножку циркуля с иголкой на точку О и ножкой с грифелем проведем линию (рис. 12, а). Полу^шлась окружность.
35
Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от точки О, которую называют центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности, называют радиусом. Отрезок, состоящий из двух радиусов, — это диаметр окружности. Ш 28, 31 в
102.1) Начертите отрезок АВ длиной 3 см и с помощью цирку-
ля проведите две окружности, центрами которых являются точки А и В, а радиусы равны 2 см. 32
2)^ Как расположены точки пересечения построенных окружностей по отношению к концам отрезка? Ш 33
103.1) Начертите отрезок АВ длиной 3 см и с помощью циркуля отметьте все точки, которые удалены от его концов:
а) на 2 см; б) на 25 мм; в) на 3 см; г) на 35 мм. 2)® Выскажите гипотезу (предположение): на какой линии расположены точки, равноудалённые от концов отрезка.
104*. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Докажите, что диаметр — это самая длинная хорда.
105.1) Постройте окружность с центром О и радиусом ОВ, равным 3 см. Отметьте точку М внутри образовавшегося круга, а точку N вне круга. Ш 29
2) ® Сравните длины отрезков: ОМ и ОВ, ON и OR. Сделайте вывод.
3) Пересечёт ли отрезок MN окружность?
106. Постройте окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Поставьте точку А внутри круга, точку В вне круга.
1) Сравните расстояние ОА и ОВ с радиусом.
2) Найдите точку пересечения отрезка АВ с окружностью.
107. Постройте окружность радиусом 35 мм. ОШ 30
1) Проведите прямую АВ, которая пересекает окружность.
2) Проведите прямую CZ>, не пересекающую окружность.
3) Проведите прямую КЬу которая касается окружности, т. е. имеет с окружностью единственную общую точку.
36
108. Можно ли из прямоугольно!Ч> листа фанеры длиной 6 дм и шириной 4 дм вырезать круг радиусом:
1) 1 дм; 2) 2 дм; 3) 3 дм?
В
Рнс. 13
Существует единственный отрезок с концами в точках Л и В. Если бесконечно продолжать этот отрезок по линейке за его концы (рис. 13), то получится прямая АВ.
Через две точки Л и В проходит единственная прямая АВ. ^
Прямая бесконечна, т. е. неограниченно продолжается в обе стороны, хотя изобразить мы можем только её часть.
Если на плоскости проведены две прямые, то они либо пересекаются в некоторой точке, либо не имеют ни одной общей точки.
Две прямые, лежащие в плоскости и не имеющие общих точек, называют параллельными. 0
nmt ^ t-ULL.. - -~
Термин параллельность^ который происходит от греческого слова параллелои— «идущие рядом*, стал использовать великий древнегреческий учёный Пифагор примерно 2500 лет назад.
109.1) Назовите четыре пары параллельных прямых на рисунке 14. 0
2) Определите, параллельны ли прямые на рисунках 15 и 16.
Рмс. 16
37
110. Посмотрите на рисунок 17. Два из пяти изображённых на нём отрезков лежат на прямой. Как называется эта прямая: АС или ВС? Проверьте свой ответ с помощью линейки.
111. Через каждые две точки проводится прямая. Сколько получится прямых, если даны:
1) 3 точки, не лежащие на одной прямой;
2) 4 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
Сделайте рисунок к каждому случаю.
Рис. 17
Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками. Каждый раз, глядя на прямоугольник, мы видим две пары параллельных отрезков. На рисунке 18 изображён четырёхугольник ABCD^ противоположные стороны которого параллельны.
Четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называют параллелограммом.
Поставим на прямой АВ точку С между точками А п В (рис. 19). Точка С разбила прямую АВ на два лу^га СА и СВ с общим началом в точке С. Начало луча в его названии всегда указывается на первом месте. ЁШ 35
112. Проведите луч АВ и отметьте на нем точки С и D. Сколько образовалось лучей; отрезков? Запишите их названия.
^ D
Рис. 18
АС В
Рис. 19
38
из. Постройте луч MN. Проведите прямую АВ, которая пересекает луч MN, и отрезок DEy который не пересекает луч MN. Пересекаются ли прямая АВ и отрезок £)£?
114. Постройте луч АК и отложите на нём от его начала один за другим три отрезка по 2 см. Можно ли на этом луче отложить также один за другим 100 таких отрезков?
115. Постройте пересекающиеся лучи АВ и CD. Проведите луч KLy который пересекает луч АВ и не пересекает луч CD.
116^. На прямой отложите отрезки АВ - 5 см и ВС = 7 см. Найдите длину отрезка АС. От чего будет зависеть ответ?
Jly'iH СА и СВ с общим началом в точке С (рис. 20) образуют угол АСВ. Точка С называется вершиной угла (она указывается в середине), а лучи СА и СВ — сторонами угла.
Вместо слова угол в геометрии используют специальное обозначение «Z.». Так, на рисунке 20 изображён А АСВ.
117. 1) Начертите прямую СВ, которая пересекает прямую АВ в точке О.
2) Сколько получилось: а) лучей; б) углов? Назовите их.
3) * Можно ли угол АОС назвать:
а) углом СОА; б) углом ОАС; в) углом ОСА?
Поворачиваясь вокруг точки С, луч СА образует с лучом СВ разные углы (рис. 21). С названиями некоторых из них вы уже
В С
в
О)
в)
г)
Рнс.21
39
встречались. На рисунке 21, а, б, в вы видите тупойу прямой и острый углы. На рисунке 21, г угол АСВ — развернутый. Он образован лучами СА и СВ, дополняющими друг друга до прямой. Такие лучи называются дополнительными.
Прямой угол можно построить с помощью угольника (рис. 22).
Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными.
Термин перпендикуляр происходит от латинского слова perpendicularis— ♦отвесный».
118.1) Пользуясь угольником и линейкой, на рисунке 23 найдите перпендикулярные и параллельные прямые. Ш 38
Ь d с т р
Рис. 23
2) Рассмотрите рисунок 24. Объясните, как построить: а) перпендикулярные прямые; б) параллельные прямые.
119. Постройте на нелинованном листе бумаги с помощью угольника какой-нибудь прямоугольник.
120. На рисунке 25 изображены углы.
1) Назовите углы: а) острые; б) прямые; в) тупые. Как с помощью угольника проверить правильность ответов?
2) Сколько на рисунке лучей с началом в точке D1
121^. Постройте прямой угол ЛОВ. Проведите луч ОС так, чтобы угол вое был острым, а угол АОС оказался тупым.
40
1220. Проведите через одну точку три прямые. Сколько при этом образовалось углов?
123. Рассмотрите рисунок 26. Заполните многоточия так, чтобы получились верные утверждения.
1) Точка и ... .
2) Точка ... и ... .
3) Точка
4) Точка
лежит между точками
не лежит между точками
Рис. 26
принадлежит лучу.... не принадлежит отрезку....
5) Отрезки ... и ... пересекаются в точке ....
6) Лучи ... и ... пересекаются в точке ....
7) Угол ... прямой, угол ... острый, угол ... тупой.
8) Лучи ... и ... образуют угол ... . Ш 36
Замкнутые ломаные линии — ломаные, начало и конец которых совпадают.
Каждые два соседних звена ломаной образуют угол, поэтому фигуру, образованную замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются, называют многоугольником. Звенья ломаной называют сторонами многоугольника, а вершины углов — вершинами многоугольника.
124.1) Назовите фигуры, изображённые на рисунке 27.
2) Назовите вершины и стороны многоугольников.
41
3) Какие углы многоугольников острые, тупые и прямые?
4) Какое наименьшее число сторон может быть у многоугольника и как он при этом называется?
5) Назовите параллельные и перпендикулярные стороны в многоугольниках, если такие в них имеются.
125*. 1) Как вы думаете, почему данные треугольники так называются?
2) Можно ли определить вид треугольника, зная, что у него есть: а) тупой угол; б) прямой угол; в) острый угол?
Если вид треугольника определить нельзя, укажите, что ещё нужно о нём знать.
42
126^. Отрезок АВ разделён некоторой точкой на два отрезка. Расстояние между серединами этих отрезков равно 5 дм. Какой длины отрезок АВ? Ш 39
127.1) Найдите длину ломаной ATil, состоящей из трёх звеньев, если известно, что AS = 240 см, длина ВС в 15 раз меньше AS, а длина СК на 27 см больше ВС.
2) Ломаная состоит из четырёх звеньев, длина каждого следующего звена на 6 см больше предыдущего. Найдите длину каждого звена ломаной, если известно, что длина ломаной равна 96 см.
128®. 1) Постройте произвольный треугольник. Измерьте длины его сторон. Сравните длину каждой из его сторон с суммой длин двух других. Сделайте вывод.
2) Существует ли треугольник с длинами сторон:
а) 10 см, 10 см. 10 см; в) 13 см, 14 см, 15 см;
б) 15 см, 15 см, 20 см; г) 10 см. 14 см, 25 см?
3) Если треугольник существует, дайте ему название.
4) Как рациональнее проверить, существует ли треугольник с данными длинами сторон? Ш 34, 37
Неравенство треугольника
Длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.
129.1) Найдите периметр (сумму длин сторон) прямоугольника, если известно, что его длина равна 118 см, а ширина в 2 раза меньше.
2) Найдите длину стороны квадрата с периметром, равным 92 см.
130. Боксёрский ринг (рис. 28) имеет форму квадрата с длиной стороны 6 м. Ринг огорожен тройным канатом. Сколько метров каната требуется для ограждения ринга? Рнс. 28
— 43
.Задачи на смекалку
131. Планировка прямоугольных участков садового кооператива показана па рисунке 29. У хозяина каждого участка можно узнать периметр его участка. Какое наименьшее число хозяев надо опросить, чтобы узнать внешний периметр всего садового кооператива?
132. Разделите двумя прямыми на шесть частей фигуру, изображённую на рисунке 30. 0l!| iO
1 2
3 4 5
6 7
Рнс. 29
133. Начертите 3 прямые и отметьте на каждой из них по 2 точки так, чтобы на рисунке в итоге оказались отмечены всего 4 точки. Покажите все случаи.
134. Игра «Танграм» — китайская головоломка. Название татрам возникло в Европе и, вероятнее всего, переводится как «китайские буквы», так как в переводе с греческого тань означает «китаец», а грамма — «буква». Рассказывают, что Наполеон, находясь в изгнании на острове Св. Елены, часами занимался составлением картинок из элементов танграма.
1) На клетчатой бумаге начертите квадрат с длиной стороны 10 см, разрежьте его, как показано на рисунке 31.
2) Используя все 7 частей, сложите человечков с рисунка 32: а) «^Гаепитие»; б) «Фехтовальщики».
м
Рис. 32
3) Сложите из фигур треугольники больших размеров.
4) Можно ли составить квадрат из двух или трёх фигур?
5) Из каких фигур можно составить прямоугольник?
Контрольные вопросы и задания
1.
2.
3.
Начертите отрезок АВ. Постройте точку Х>, принадлежащую отрезку АВ. Постройте точку Е, принадлежащую отрезку АВ, но не принадлежащую лучу BD.
Начертите окружность с центром в точке О и радиусом ОЛ, равным 3 см. Проведите хорды Л4 и ЛВ, равные радиусу. Каким треугольником является треугольник АВ Л?
Постройте четырёхугольник, в котором есть прямой, тупой и острый углы. 0 Тест
Равенство фигур
Геометрические фигуры могут иметь разную форму, как, например, треугольник и окружность, или остроугольный и тупоугольный треугольники (рис. 33). Если же фигуры имеют одну и ту же форму, они могут отличаться друг от друга своими размерами.
Когда и форма, и размеры фигур совпадают, говорят, что фигуры равны. о
45
135. Назовите равные фигуры на рисунке 33. СШ ^3, 44 Ответ обоснуйте.
а)
Даже если фигуры имеют одинаковую форму, нельзя полагаться только на зрение, чтобы сказать, что эти фигуры равны. Посмотрите на центральные круги на рисунке 34. Трудно поверить, но эти круги равны.
а)
Рис. 34
б)
136. сравните длины отрезков:
1) на рисунке 35;
2) на рисунке 36;
3) на рисунке 37.
Проверьте свой ответ с помощью линейки или циркуля.
Ответить на вопрос о равенстве отрезков можно, измерив их длины или применив циркуль. Сложнее обстоит дело с произвольными фигурами (рис. 38). Похоже, что нижняя фигура
>
Рис. 36
<
Рис. 36
Рис. 37
46
больше. Проверим это с помощью прозрачной бумаги — кальки или полиэтиленовой плёнки. Скопируем на кальку одну из фигур и постараемся наложить копию на вторую фигуру так, чтобы они совпали. Если нам это удастся, то фигуры равны. При наложении кальку можно переворачивать.
Рнс. 38
Фигуры, которые можно наложить одну на другую так, I чтобы они полностью совпали, на.зывают равными. ^ I
137. Копируя фигуры (рис. 39) на кальку, найдите наложением равные фигуры. Кальку при наложении можно переворачивать.
138. Найдите равные фигуры на рисунке 40. Ответ обоснуйте.
Я
м _
в
Рис. 40
47
139.1) Как найти равные отрезки на рисунке 41? 2) Запишите и прочитайте равенства отрезков.
С D
К N
М
Рис. 41
140. У каких многоугольников, изображённых на рисунке 42:
1) есть равные друг другу стороны;
2) нет равных друг другу сторон?
Как называются эти многоухюльники?
С
Рнс. 42
141. Можно ли сравнить по длине:
1) два отрезка; 5)* отрезок и луч;
2) два луча; 6)* отрезок и ломаную;
3) две прямые; 7) окружность и отрезок;
4) две ломаные; 8)^ кривую и ломаную?
142.1) Равны ли длины сторон у М четырёхугольников, представленных на рисунке 43?
2) Равны ли четырёхугольни-ки?
В
48
143. 1) Равны ли чёрный и белый квадраты на рисунке 44, а?
2) На рисунке 44. б изображён знаменитый китайский знак «инь-янь».
Равны ли чёрные и белые части круга?
а)
б)
Рис. 44
Рис. 45
144. Отрезки АС и BD, соединяющие противоположные вершины прямоугольника (рис. 45), называкуг диагоналями прямоугольника. Вырежьте из бумаги прямоугольник, проведите его диагональ и разрежьте прямоугольник по диагонали.
Наложите получившиеся у вас прямоугольные треугольники друг на друга и проверьте, равны ли они.
145. Вырежьте из бумаги прямоугольник, проведите его диагонали и разрежьте прямоугольник по его диагоналям на четыре треугольника. Есть ли среди получившихся треугольников равные?
146. С помощью циркуля начертите окружность. По линейке проведите диаметр. Вырежьте круг и разрежьте его по диаметру. Равны ли получившиеся у вас фигуры?
147. С помощью циркуля начертите окружность. По линейке проведите два каких-нибудь диаметра. Вырежьте круг и
49
разрежьте его по диаметрам. Есть ли среди получившихся у вас четырёх секторов равные?
148®. Закончите предложения.
1) Отрезки равны, если равны их ... .
2) Окружности равны, если равны их ....
3) Квадраты равны, если равны их ....
4) Фигуры равны, если ... . Ш 42
149.1) Начертите прямоугольник ABCD. Запишите равные элементы у прямоугольника.
2) Начертите квадрат. Запишите равные элементы этого квадрата. Ш 41
150. Постройте прямоугольник, у которого длина равна 6 см, а ширина в 3 раза меньше. Постройте квадрат, периметр которого равен периметру прямоугольника. Ш 44, 45
151. Скопируйте в свои тетради по клеточкам фигуру, которая изображена на рисунке 46.
152. Практическая работа.
1)С помощью перегибания получите из прямоугольного листа бумаги квадрат. С помощью перегибаний квадрата найдите точку пересечения его диагоналей.
so
а) Сравните диагонали квадрата.
б) Чему равен угол между диагоналями квадрата?
в) На какие фигуры делит диагональ квадрат?
2) С помощью перегибаний листа бумаги, на котором изображена окружность, найдите центр окружности.
Задачи на смекалку
153. Укажите «лишнюю» фигуру на рисунке 47.
а)
(Г)
л)
Рас. 47
154. Из палочек собрали 4 конструкции (рис. 48). Какие из них можно поднять, взяв за любую из палочек?
X-W- -у-
-Д- -А- -А-
Рис. 48
155. Задачи со спичками.
1) Расположите 12 спичек так, чтобы полу'шлось:
а) пять квадратов;
б) шесть квадратов.
2) Из спичек сложена фигура, изображённая на рисунке 49.
а) Сколько изображено треугольников? Сколько изображено равных треугольников?
Рис. 49
51
б) Уберите пять спичек таким образом, чтобы осталось пять треугольников.
в) Переложите шесть спичек так, чтобы получилась фигура, состоящая из шести равных четырёхугсльников.
156. Задача на разрезание. Ш 46 Квадрат содержит 16 клеток. Разрежьте квадрат по сторонам клеток на две равные части. Сколькими способами можно разрезать квадрат?
157. Разделите фигуру, изображённую на рисунке 50, на четыре равные части так, чтобы сумма чисел в каждой части была равна одному и тому же числу. Ш 47
3 8
и 9
8 11 5 6
14 3 10 9
Рис. 50
Контрольные вопросы и задания
1. Приведите примеры равных фигур.
2. Постройте две окружности с радиусом 3 см. Равны ли построенные окружности?
3. Как выяснить, равны ли отрезки, окружности, квадраты, произвольные фигуры? ^ Тест
Измерение углов
Нам часто придётся иметь дело сразу с несколькими углами. Если один из углов можно наложить на другой так, чтобы они совпали, — углы равны. На рисунке 51 изображены два угла / и 2. При наложении угол I совпал с углом 2, следовательно, эти углы равны: Z. i = 2.
Если два угла не равны друг другу, то один из них больше, а другой соответственно меньше.
52
Z 1--/L2
На рисунке 52 при наложении угла 2 на угол 1 одна сторона совпала» а другая сторона угла 2 оказалась между сторонами угла 1. Это значит, что угол 2 меньше угла 1\ А2 < /.1,
^2 < /L1
158.1) Используя кальку, найдите на рисунке 53 пару равных между собой углов и запишите результат с помощью знака равенства.
2) Используя кальку, сравните изображённые на рисунке углы и запишите результат с помощью знаков неравенств.
Сравнивать углы с помощью кальки неудобно. Некоторые углы можно сравнить на глаз — тупой, прямой, острый, развёрнутый.
S3
о
G
К
159. Назовите прямой, острый и тупой углы на рисунке 54.
Другой способ сравнения углов связан с измерением величин этих углов. Измеряются углы с помощью специального прибора — транспортира (рис. 55). На транспортире имеется шкала, представляющая собой полуокружность, разделённую на 180 равных частей — градусов. Для обозначения градусов применяют специальный значок
Измерение угла транспортиром Чтобы измерить величину угла АО-В, приложим транспортир к углу так, чтобы:
(Т) специальная центральная отметка транспортира совпала с вершиной О угла;
54
@ одна из сторон угла прошла через отметку О (нуль градусов) на шкале транспортира;
(з) вторая сторона угла пересекла шкалу транспортира;
(S) там, где вторая сторона пересекла шкалу, читаем величину угла.
Запись /LAOS = llO*^ читается: ♦угол АОВ равен ста десяти градусам».
160.1) Чем отличаются транспортиры на рисунках 55 и 56? Посмотрите на свой транспортир. У вашего транспортира одна или две шкалы?
2) Чему равна величина угла МОК на рисунке 56? Ш 49
Рис. 55
Рис. 56
На большинстве транспортиров для удобства их использования нанесены две шкалы. В зависимости от того, как приложен транспортир, следует использовать либо одну из них, либо другую. Чтобы не ошибиться в выборе шкалы, величину угла предварительно оценивают на глаз, а затем свою оценку уточняют с помощью транспортира.
Достаточно, конечно, определить на глаз, каким углом, тупым или острым, является измеряемый угол. Тем не менее полезно попрактиковаться в оценке так, чтобы ошибаться не более чем на 10®.
55
о
м
к
N
F
Рис. 57
161. Найдите величины углов, изображённых на рисунке 57. ^
162. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах, когда они показывают:
1)1ч; 2) 2 ч; 3) 3 ч; 4) 6 ч; 5) 9 ч 30 мин?
С помощью транспортира можно не только измерять, но и строить углы.
Правило построения угла с помощью транспортира Построим, например, угол, равный 50".
(I) Проведём луч КС.
@ Приложим транспортир так, чтобы его центральная отметка совпала с точкой а сам луч КС прошёл через 0 на шкале транспортира.
56
Отметим точку D там, где на соответствующей шкале транспортира указано число 50 (рис. 58).
(4) С помощью линейки проведём луч KD.
Рис. 58
Мы полугшли угол CKDy равный 50"^.
163. Постройте с помощью транспортира углы: Ш 50—52
1) ЗО^'; 2) 40*^; 3) 60’; 4) 90^; 5) 135°; 6) 170°.
164.1) Назовите величины углов на рисунке 59.
2) Какой шкалой вы пользуе-гесь — верхней или нижней?
3) Сколько градусов составляет прямой угол?
4) Какой может быть величина острого угла? Сравните градусные меры острого и прямого углов.
5) Какой может быть величина тупого угла? Сравните градусные меры тупого и прямого углов.
6) Чему равен ра.звёрнутый угол? Ш 48,56
Рис. 59
57
Прямой угол равен 90®, развёрнутый угол равен 180®. Острый угол больше 0®, но меньше 90®, тупой угол больше 90®, но меньше 180®.
165. Постройте четырёхугольник ABCD, у которого:
1) два угла острых, а два — тупых;
2) один угол прямой, один тупой и два острых;
3) два прямых угла, один острый и один тупой.
166. На рисунке 60 луч ОВ делит угол АОС на два угла: АОВ и
вое.
1) Измерьте /_АОВ и / АОС.
2) Найдите ^ ВОС.
Рис. 60
Вывод. Если провести луч из вершины угла так, чтобы он прошёл между его сторонами, то углы, на которые этот луч разделит угол, в сумме дадут величину самого угла.
ZAOC = Z АОВ + / ВОС.
Из этого равенства легко выразить, например, угол ВОС:
Z. ВОС = Z.AOC - ^АОВ.
Говорят, ч'го угол АОС равен сумме углов АОВ и ВОС, а угол ВОС равен разности углов АОС и АОВ.
Правило записи и чтения равенств и неравенств с величинами углов
Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая — в дательном. Например, Z.ABC = 10° — угол АВС равен десяти градусам; Z.AOB + Z.BOC “ 25® — сумма углов ЛОВ и ВОС равна двадцати пяти градусам.
Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая — в родительном. Например,
Z-AOB > Z. ВОС — угол АОВ больше угла ВОС;
Z.C > 80® — угол С больше восьмидесяти градусов.
58
167. Прочитайте записи:
1) ^АВС = Ж;
2) /Ll I /.2 = 90°;
3)/Л-/С = 65°;
168. На плоскости проведены три луча АСу AD. Чему может быть равен угол BAD, если:
1) ^ ВАС = 56°, /- CAD = 38°;
2) / ВЛС= 112°, ZCAD = 75°?
169.1) Назовите острые, прямые, тупые и развёрнутые углы на рисунке 61.
2) Найдите величины углов:
д)/- АОВ'у г) Z ВОС; ж)/ СО£;
б) ZAOC; д)/.СОВ; з)/ВОВ;
в) ZAOB; е) Z DOE; и) / BOD.
3) Как вы находили величины углов в каждом столбце?
170. Постройте развёрнутый угол ЛОС. Из вершины О проведите луч ОВ. Сколько получилось углов?
Jly^i, проведённый из вершины развёрнутого угла (рис. 62), делит его на два угла, которые имеют одну общую сторону, а другие их стороны дополняют друг друга до прямой.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами, называют смежными.
Рис. 61
Рис. 62
------59
171. Объясните, почему углы / и 2 не являются смежными (рис. 63).
172.1) Запишите пары смежных углов на рисунке 64.
2) Чему равна сумма смежных углов?
173. Найдите второй смежный угол, если первый равен:
1) Ж; 2) 120^; 3) 37°; 4) 145°.
174. Найдите смежные углы, если известно, что: Ш 55
1) первый угол в 2 раза больше второго;
2) второй угол на 30° больше первого.
и
V
60
Равные углы на рисунках обычно отмечают одинаковым количеством дужек, соединяющих их стороны. Рядом с дужками укалывают величину угла. А для прямого угла используют специальное обозначение, которое вы видите на рисунке 65.
175. Прямые углы можно определить на глаз. Не пользуясь транспортиром, найдите величины углов на рисунке 66, обозначенные знаком «?».
-в
Рнс. 65
к
D
м
N
Рис. 66
176. Практическая работа.
Вырежьте из бумаги угол АОВ. Согните угол так, чтобы линия сгиба делила его на две равные части. По линии сгиба из вершины О проведите луч ОС (рис. 67).
Рис. 67
61
Луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам, называют биссектрисой угла. 0
Термин биссектриса происходит от латинских слов bis — ♦ надвое* nsectrix — «секущая*.
177. 1) На какие углы делит биссектриса угол, равный:
а)74^ 6)112°: в)56°?
2) На какие углы делит развёрнутый угол его биссектриса?
3) На какие углы делит прямой угол его биссектриса?
178. С помощью транспортира постройте биссектрисы:
1) развёрнутого угла; 3) угла, равнот 64°;
2) прямого угла; 4) угла, равного 120°. 54,53
179. Луч МК делит угол PMQ на углы с величинами 50° и 70°.
1) Чему равна величина угла PMQ1
2) Сделайте рисунок по условию задачи и проведите бис* сектриск углов РМК и KMQ.
3) Не пользуясь транспортиром, найдите величину угла, образованного этими биссектрисами.
180. Начертите смежные углы и проведите их биссектрисы. Какой угол образуют эти биссектрисы?
181®. Прямые ЛВ и CD пересекаются в точ- А ке О (рис. 68).
1) 3ная, что /.АОС = 45°, найдите величину угла: а)ЛОО; б) BOD; в) СОВ.
2) Запишите пары равных углов. ^ Рис 68
D
в
Углы AOD и вое имеют общую вершину, а их стороны дополняют друг друга до прямой.
Углы, стороны которых являются дополнительными лучами, называют вертикальными. ^
Название вертикальные происходит от латинского слова verticalis — «вершинные*.
62
При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Задача № 181, которую вы решили, позволяет сделать важный вывод.
Вертикальные углы равны.
182. На рисунке 69 величины некоторых углов известны. Найдите величину угла ВАС,
М
D
в)
В
183.1) В прямоугольнике ABCD (рис. 70) проведена диагональ АС. Отметьте дужками равные острые углы треугольников АВС и ADC. Ш 59
63
2) Достройте прямоугольник ASCZ), зная, что две его стороны лежат на параллельных прямых а и Ь (рис. 71, а).
Рис. 71
3) Параллельные прямые тип пересечены прямой I (рис, 71,6). Ш 60,61
а) Выпишите углы, равные углам 1 п 2.
б) Выпишите углы, которые в сумме с углом 2 дают 180°.
4) Найдите величины всех углов (см. рис. 71, 6), если:
а) Л3 = 57°; b)Z5 = 125°;
б) / 1 -113°; г)/6 = 39°.
В геометрии часто встречаются прямые, при пересечении которых все четыре образовавшихся угла оказываются прямыми.
Такие прямые называют взаимно перпендикулярными.
Для построения прямых углов обычно используют чертёжные угольники. Есть два вида чертёжных угольников (рис. 72). Каждый из них имеет форму прямоугольного треугольника.
Стороны, заключающие прямой угол в треугольнике, называют катетами^ а сторону, лежащую напротив прямого угла, называют гипотенузой.
64
Катеты одного из чертёжных треугольников равны между собой. В зависимости от наличия или отсутствия у треугольника равных сторон треугольники бывают равнобедренные, равносторонние и разносторонние.
Треугольник, имеющий две равные стороны, называют | равнобедренным.
Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
Треугольник, у которого нет равных сторон, называют разносторонним. 0
184®. 1) И.*чмеркте углы у чертёжных угольников.
2) Какие углы можно построить с помощью:
а) одного чертёжного угольника;
б) двух чертёжных угольников разной формы?
3) Чему равен угол АВС на рисунке 73?
4) Найдите сумму углов в каждом чертёжном угольнике.
185*. Практическая работа.
Выскажите предположение о сумме углов треугольника, проделав следующие практические задания.
1) Вырежьте из бумаги треугольник и сложите его, как показано на рисунке 74.
В
Рис. 73
Рис. 74
65
2) Начертите треугольник, измерьте транспортиром его углы и найдите сумму этих углов. Ш S7,58
186. Постройте квадрат и проведите его диагонали.
1) Сравните диагонали квадрата.
2) Чему равен угол между диагоналями?
3) На какие фигуры делит квадрат его диагональ?
187. Выберите правильные утверждения и из их номеров составьте число.
1) Углом на.зывают фигуру, образованную двумя лу'шми.
2) На рисунке 75 изображён угол /LAOB.
3) Градус — это сто восьмидесятая доля развёрнутого угла.
4) Угол в 1® — острый.
5) Все прямые углы равны между собой.
6) Два дополнительных друг для друга луча образуют развёрнутый угол.
7) Угол, равный трети развёрнутого, содержит 60®.
8) Стороны угла — лучи.
9) На рисунке 76 изображено шесть углов.
Задачи на снекалху
188. Разбейте круг на 8 секторов так, чтобы угол каждого сектора на 10® отличался от угла каждого из соседних с ним.
1) Приведите несколько решений этой задачи.
2) Можно ли разбить круг на 7 секторов так, чтобы углы любых двух соседних отличались на 10®?
189. Найдите величину угла АВС, зная, что его биссектриса образует со стороной угол, равный углу, смежному с углом ARC.
бб
190. Сделайте рисунок так, чтобы он служил контрпримером к следующему утверждению.
1) Если угол меньше развёрнутого, то он тупой.
2) Если луч образует со сторонами угла равные углы, то он является биссектрисой этого угла.
3) Если два угла имеют общую вершину, а их биссектрисы вместе составляют прямую, то эти углы вертикальные.
4) Если биссектрисы двух равных углов лежат на одной прямой, то эти углы вертикальные.
191. Задача-шутка. Лупа (увеличительное стекло) даёт четырёхкратное увеличение. Каким будет угол в 25®, рассматриваемый через лупу?
192. Какая фигура «лишняя»?
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте названия углам, если:
1) ^А = 10®;
2) ^В = 90®;
3) z:C= 110®;
4) ^£> = 180®.
2. Биссектриса разбила угол на два прямых угла. В каком угле была проведена биссектриса?
3. Постройте угол ЛОБ, равный 130°. Проведите биссектрису этого угла.
4. С помощью компаса (рис. 77) отвеэътс на вопросы. Какой угол между направлениями на:
1) север и восток;
2) север и юг;
3) север и северо-восток;
4) юго-восток и северо-восток;
5) юго-восток и северо-запад?
4.1. С. 33 Ш 62
67
Числовые и буквенные выражения
Числовые выражения и их значения
С числами часто выполняют арифметические действия. Чтобы показать» какие арифметические действия следует выполнить, из чисел, знаков арифметических действий и скобок составляют числовые выражения.
Правило чтения числовых выражений После слов суммоу равностьу произведение и частное числа читают в родительном падеже.
Например, 25 + 11 — сумма двадцати пяти и одиннадцати; 78-9 — разность семидесяти восьми и девяти;
25*2 — произведение двадцати пяти и двух;
12:6 — частное двенадцати и шести. ^
193. Прочитайте выражение и найдите устно его значение: Ш 63
1) 34 + 72; 4)240:6;
2) 548- 19; 5)34 500:10;
3) 45*5; 6)356 I 644.
Какое действие следует выполнять раньше, а какое позже, определяет правило порядка действий. Согласно этому правилу сначала выполняются умножение или деление, затем сложение или вычитание, а при наличии в выражении скобок действия в них выполняются в первую очередь. Так, например, при вычислении значения выражения 2 + 3*4 сначала на-
68
ходят произведение чисел 3 и 4, равное 12, а затем сумму чисел 2 и 12.
При вычислении значения выражения 2 + 3*4 последним действием является сложение. По последнему действию это выражение можно назвать суглмой числа 2 и произведения чисел 3 и 4.
Последним действием при вычислении значения выражения (2 + 3) • 4 будет умножение, поэтому данное выражение — произведение суммы чисел 2 и 3 и числа 4.
Если последним выполняется вычитание, то выражение называют разностью, если деление, то яастным. Так, разность числа 3 и частного чисел 27 и 9 равна нулю. Записывайся 3 — 27 : 9 " О, а частное суммы и разности чисел 6 и 2 равно двум: (6+ 2): (6-2) «2.©
194,1) Определите, в каком порядке следует выполнять действия, прочитайте и найдите значение выражения: в
а) (900 - 377) + 100; д) (965 - 143) + (150 - 22);
б) 34-(50 : 10): е) (45-2)-(13*3);
в) 965 : (37 - 32); ж) (56 : 8) • (28 : 4);
г) 100 - (24 • 4); з) (2400 : 20): (20 * 3). Ш 70
2)® Какие скобки в этих выражениях лишние?
195. Определите порядок выполнения действий и найдите значение выражения:
1) 7*(125-( 192); 3)542 + 235-27*13;
2) 253 + 3563 : 7; 4) 167 400 : 27 - 91 * 62.
196. Запишите в виде числового выражения: ^
1) произведение 31 и 98;
2) сумму круглых двузначных чисел;
3) разность наименьшего трёхзначного и наибольшего двузначного чисел;
4) частное наибольшего четырёхзначного и наименьшего натурального чисел;
5) произведение числа 25 и суммы чисел 8 и 93;
6) разность числа 425 и частного 2262 и 78;
7) частное суммы чисел 36 и 92 и разности чисел 56 и 21.
69
197*. 1) Зная, что 432 + 584 — 1016, найдите: 03 64 ^
а) 532 + 584; д) 4320 + 5840;
б) 532 + 684; е) 216+ 292;
в) 332+ 684; ж) 332+ 484;
г) 482 + 484; з) 232 + 784.
2) Ответьте на вопросы, подтверждая свои ответы примерами данного задания.
а) Что произойдёт с суммой, если одно из слагаемых увеличить на 100?
б) Что произойдёт с суммой двух слагаемых, если каждое слагаемое увеличить на 100?
в) Что произойдёт с суммой двух слагаемых, если каждое слагаемое увеличить в 10 раз?
г) Что произойдёт с суммой двух слагаемых, если каждое слагаемое уменьшить в 2 раза?
д) Что произойдёт с суммой, если одно слагаемое увеличить на 100, а другое уменьшить на 100?
е) Что произойдёт с суммой, если одно слагаемое увеличить на 50, а второе — уменьшить на 100?
ж) Что произойдёт с суммой двух слагаемых, если каждое слагаемое уменьшить на 100?
198*. 1) Зная, что 88 -125 = 11 000, найдите: Ш 65
ж) 176-125;
з) 176-250;
и) 44 • 25.
а) 880-125; г) 44-125
б) 88-1250; д) 11-125
в) 880-1250; е) 44-250;
2) Ответьте на вопросы, подтверждая свои ответы примерами данного задания.
а) Что произойдёт с произведением, если один из множителей увеличить в 10 раз?
б) Как изменится произведение двух множителей, если каждый множитель увеличить в 10 раз?
в) Как изменится произведение, если один из множителей уменьшить в 2 раза?
70
г) Что произойдёт с произведением, если один множитель уменьшить в 2 раза, а другой — в 5 раз?
д) Что произойдёт с произведением, если один множитель уменьшить в 2 раза, а другой увеличить в 2 раза?
199. Назовите последнюю цифру результата: Ш 66
1) 356 + 429; 5) 4500 + 6987;
2) 34-36; 6)14 670-8740;
3) 656-38; 7)3645-362;
4) 26 725:5; 8)2890-657.
200^. Не выполняя вычислений, объясните, почему действия выполнены неверно: Ш 67
5) 788 + 338 = 926;
6) 3821 -2934 = 1887;
7) 364-104-5096;
8) 70 875:675- 15,
1) 354 + 976= 1331;
2) 5781-1563 = 14 216;
3) 364-2765 = 1 006 465;
4) 54 510: 237 = 231;
201. Вычислите письменно: Ш 68, 69,4.1. с 91
1) 76 398 + 3579; 3) 5356 • 87;
2) 173 589 - 87 707; 4) 24 411 : 237.
202^. Сравните значения выражений, не вычисляя их значений:
1) 2313 + 426 и 4567 + 567; 5) 637 911: 3 и 637 911: 9;
2) 6346 - 5671 и 6346 - 4889; 6) 3456 ■ 27 и 3457 • 45;
3) 7639-465 и 8011 -465;
4) 4765 :5и 5815: 5;
203 о. Запишите последовательно три числа, если:
1) первое число равно 125, а каждое следующее на 25 больше предыдущего;
2) первое число равно 729, а каждое следующее в 3 раза меньше предыдущего;
3) первое число равно 2, а каждое следующее равно произведению предыдущего числа на себя;
4) первое число равно 13, второе 17, а следующее равно сумме двух предыдущих;
5) первое число равно 2, второе 5, а следующее равно произведению двух предыдущих.
7) 634 + 853 и 734 + 753;
8) 488-11 И244-55. Ш 71
71
204. Найдите значение выражения:
1) (1380 + 632) • (1182 - 1155):
2) 566 + 39*(1111 -988);
3) 3201 “(893 +- 3319): 324;
4) 999 + 17 982:111:6;
5) 1032 : (2736 : 19 : 6);
6) (2578+ 102-27): 124.
205^. Каким наибольшим натуральным числом можно заменить букву Ху чтобы стало верным неравенство д: < (563 + 337) • (808 - 155 956 : 307)? Ш 73
206*. 1) Как, не выполняя вычислений, убедиться в верности двойного неравенства:
а) 40 + 60 < 48 + 67 < 50 + 70;
б) 500 + 300 < 571 + 369 < 600 + 400;
в) 90 - 40 < 94 - 38 < 100 - 30;
г) 800 - 400 < 863 - 378 < 900 - 300;
д) 300•30 < 374•34 < 400 - 40;
е) 4000•300 < 4842•356 < 5000•400;
ж) 2400 : 4 < 2432 : 4 < 2800 : 4;
з) 3000 : 60 < 3392 : 53 < 3500 : 50?
2) Не выполняя вычислений, запишите какие-нибудь два выражения так, чтобы значение одного из них было меньше, а другого — больше, чем значение данного выражения:
а) 479+ 377; г) 483-274;
б) 1703-899; д) 1744: 8;
в) 369-27; 0)9360:45.
207. Среди чисел 493, 5393, 7843, 10 863 найдите значение выражения:
1) 6789 + 1054; 3) 13 804 : 28;
2) 153-71; 4)9476-4083.
208.1) Запишите координаты точек Л, Б, С и Z), изображённых на рисунке 78. в
а)
о
56 Л В 17 23
С D 121 27 34
Рис. 78
72
2)* Как изменится координата точки С(76), если сдвинуть точку:
а) вправо на 29 единиц; б) влево на 38 единиц?
209*. Запишите числовое выражение, при вычислении значения которого операции выполняются в следующей последовательности:
1) сложение, вычитание, деление;
2) сложение, умножение, вычитание, деление.
210®. Девять чисел записаны в таблицу, состоящую из трёх строк и трёх столбцов.
Складывая числа первой строки, ученик получил сумму
818, числа второй строки, по его подсчётам, дали в сумме
819, а сумма чисел третьей строки — 917. Проделав те же вычисления для столбцов, ученик получил суммы: 1185, 722 и 648. Правильны ли его вычисления?
211. На рыбалке Миша поймал 12 рыб, Коля — 8, а Лена — 5. Используя эти данные, составьте выражения, дающие ответы на вопросы.
1) Сколько рыб поймали три рыболова?
2) На сколько рыб больше поймал Миша, чем Коля?
3) На сколько рыб меньше Коли поймала Лена?
4) Во сколько раз улов у Лены меньше, чем у Миши с Колей вместе?
5) Сколько рыб будет у каждого рыболова, если весь свой улов они разделят поровну? Ш 74
212®. 1) Найдите два числа, если известно, что их сумма равна 50, а разность 6.
2) Найдите два числа, если известно, что одно из них на 48 больше другого, а сумма этих чисел равна 100.
213^. Решите задачи составлением выражения. Что общего в этих задачах?
1) Лена купила 9 лимонов по цене 15 р. и 6 гранатов по 25 р. за штуку. Сколько денег Лена заплатила за покупку?
73
2) В магазин привезли лимоны: 9 лириков по 5 кг и 6 ящиков по 7 кг. Сколько килограммов лимонов привезли в магазин?
3) Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч и затратил на весь путь 3 ч. Его друг, двигавшийся ему навстречу на мопеде со скоростью 21 км/ч, затратил на путь до встречи 2 ч. На каком расстоянии были велосипедист и его друг в начале пути?
4) Один токарь изготавливает за час 5 деталей, а другой — 7 деталей. Первый токарь работал 9 ч, а второй — 6 ч. Сколько деталей изготовили оба токаря вместе?
214. Объясните, как решается каждая задача.
1) В ларёк привезли 3 ящика гранатов по 15 кг в каждом и 4 ящика лимонов по 20 кг в каждом. Сколько килограммов фруктов привезли в ларёк?
2) На складе стояло 9 ящиков яблок и 6 ящиков груш. Яблок было 90 кг. Сколько было килограммов груш, если масса одного ящика яблок и груш одинакова?
215.Задача на встречное движение, d
Из двух сёл выехали одновременно навстречу друг другу трактор и телега с сеном. Скорость трактора равна 10 км/ч, а скорость телеги — 6 км/ч. Чему равно расстояние между сёлами, если встреча произошла через 3 ч после начала движения?
1) Дайте устные пояснения к схеме.
2) Сравните представленные способы ? км
решения задачи.
Способ 1. Способ 2.
1) 6 + 10 = 16 (км/ч); 1) 10 • 3 = 30 (км);
2) 16 - 3 = 48 (км). 2) 6 • 3 = 18 (км);
О т в е т. 48 км. 3) 30 + 18 = 48 (км).
О т в е т. 48 км.
10 км/ч
б км/ч
f-Зч
74
216.Задача н& движение в противоположных направ лениях.
Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скохюсти 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 ч после отправления?
60 км/ч 70 км/ч
1) Дайте устные нояснения к схеме.
? км
< = 3ч
2) Сравните разные способы решения задачи.
Способ!. Способ 2.
1) 60 + 70 = 130 (км/ч); 1) 60 • 3 “ 180 (км);
2) 130 • 3 - 390 (км). 2) 70 • 3 = 210 (км);
Ответ. 390 км. 3) 180 + 210 = 390 (км).
Ответ. 390 км.
217. Задача на движение вдогонку.
Из двух пунктов, удалённых друг от друга на 60 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, скорость второго 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого? Нарисуйте схему и объясните решение задачи.
1) 50 - 40 == 10 (км/ч); 2) 60 : 10 = 6 (ч). Ответ. Через 6 ч.
218. 3 а д а ч а на движение с отставанием.
Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста — 12 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 84 км?
Нарисуйте схему и объясните решение задачи.
1) 40 - 12 = 28 (км/ч); 2) 84 : 28 - 3 (ч). Ответ. Через 3 ч.
219. Задачи на движение двух объектов.
1) Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого — 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
75
2) Из деревни вышел пешеход, а через 2 ч в том же направлении выехал велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а скорость пешехода 5 км/ч. Через сколько часов велосипедист догонит пешехода?
3) Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 560 км?
4) Одновременно из одного пункта в одном направлении выехали две автомашины, одна со скоростью 85 км/ч, а другая — 60 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 100 км?
Задачи на сменалну
220. Ученик переписал с доски равенство, но забыл расставить скобки: 6*8 +20:4-2* 58. Где должны стоять скобки? н
221. Саша получил в школе пять двоек по пяти предметам. Дома после такого печального события Саша оапимался очень усердно, и у него возникла забавная мысль: нельзя ли из этих пяти двоек составить все школьные оценки.
1) Запишите каждую школьную оценку с помощью пяти двоек, знаков арифметических действий и скобок.
2) Запишите каждое из натуральных чисел от 6 до 16 с помощью пяти двоек, знаков арифметических действий и скобок. Ш 72
222. Однажды, когда знаменитому немецкому математику Карлу Гауссу (1777—1855) было 10 лет, его школьный у^штель предложил классу найти сумму чисел от 1 до 100. Как только учитель закончил диктовать задание, у Гаусса уже был готов ответ: 101 • 50 * 5050. Как рассуждал Гаусс? Попробуйте и вы быстро вычислить:
1) 1 i 2 t 3 + ... +97 + 98 + 99;
2) 1 + 3 + 5 + ... + 995 + 997 + 999;
3) 99 - 97 + 95 - 93 + 91 - 89 + ... + 7 - 5 + 3 - 1.
76
223. Найдите правило нахождения числа» стоящего в средней клетке первой строки. Какое число должно стоять в пустой клетке по этому правилу? 75
37 63 26 92 38 54 57 3 19
48 37 81 43 64 16
а)
б)
в)
224. Слева от знака равенства вставьте между цифрами знаки «плюс» так, чтобы получилось верное равенство: е
1) 1 2 3 4 5 - 51; 3) 5 6 7 8 9 = 152;
2) 1 2 3 4 5 - 240; 4) 5 6 7 8 9 = 800.
225. Одно трёхзначное число записали цифрами 1, 8 и 5, другое — 6, 2 и 4. Расположите в каждом числе цифры таким образом, чтобы произведение этих чисел было:
1) наибольшим;
2) наименьшим.
226. Сложили 111 тысяч, 111 сотен и 111 единиц. Какое число получилось? Ш 77
227. Квадрат называют магическим, если суммы чисел в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой диагонали равны. Заполните магические квадраты. Ш 76
2 9
5
6 8
:Ю7 97
337
577 367
о)
б)
77
Контрольные вопросы и задания
1, Прочитайте выражение 560 : 2 - 201 : 3 и найдите его значение. Ш 78
2. Решите задачу, составив по её тексту числовое выражение. На складе лесопилки находится 16 штабелей брёвен по 64 бревна в каждом и 10 штабелей по 42 бревна в каждом. Сколько всего брёвен на складе?
Площадь прямоугольника
Длины отрезков мы измеряли с помощью линейки, а величины углов — с помощью транспортира. Ещё одну из основных геометрических величин — площадь обычно приходится вычислять.
За единицу площади принимают площадь квадрата, длина стороны которого равна единице длины. На рисунке 79 сторона квадрата равна 1 см, поэтому его площадь называют квадратным сантиметром. В квадратных сантиметрах удобно указывать, например, площадь страницы учебника, в квадратных метрах — площадь квартиры, сельскохозяйственные поля измеряют в гектарах, а для площадей стран обычно используют квадратные километры.
Длина прямоугольника ABCD на рисунке 80 равна 3 см, а его ширина 2 см. Этот прямоугольник состоит из 6 квадратов, сторона каждого из которых равна 1 см. Значит, площадь прямоугольника равна 6 квадратным сантиметрам.
1 см
Рнс. 79
Рис. 80
78
Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
При вычислении площади прямоугольника его длина и ширина должны быть выражены в одних и тех же единицах. Например, если длина прямоугольника 3 см, а его ширина 25 мм, мы переводим длину в миллиметры (3 см = 30 мм) и только затем находим площадь этого прямоугольника: 30-25 = 750 (мм2).
228.1) Найдите площадь прямоугольника со сторонами:
а) 13 см и 6 см; в) 6 дм и 30 см;
б) 150 мм и 30 мм; г) 8 м 30 см и 12 см.
2) Площадь ирямоу1ч>льника равна 125 дм^, а его длина 25 дм. Найдите ширину прямоугольника.
3) Ширина прямоугольника равна 32 мм, а его длина на 19 мм больше. Найдите площадь прямоугольника.
4) Длина прямоугольника равна 56 см. а его ширина в 8 раз меньше. Найдите площадь прямоугольника.
5) Найдите площадь квадрата со стороной 11м.
Стороны квадрата имеют одинаковую длину, и его площадь находится как произведение двух равных множителей.
Произведения нескольких равных множителей часто встречаются в математике, поэтому для них ввели специальное обозначение — степень. Так, например, произведение 5 • 5 • 5 • 5, состоящее из четырёх множителей, каждый из которых равен 5, можно записать в виде степени 5**.
Число 5 называют основанием степени.
Число 4 называют показателем степени.
Правило чтения степеней Выражение 5^ читается: «пять в четвёртой степени».
229. Замените произведение степенью: Ш 79
1) 2-2-2-2'2; 3) 10-10-10;
2) 13-13-13-13-13-13; 4)125-125.
79
степень произведением равных множите-
4) 96.
230. Запишите
лей: Ш 80
1)258; 2)1062; 3)17'*;
231. Запишите число 16 в виде степени: Ш 81
1) с показателем 2; 2) с показателем 4.
232. Запишите цифрами: Ш 82
1) два в третьей степени; 3) пять в третьей степени;
2) три во второй степени; 4) шесть в десятой степени.
233. Прочитайте выражение и найдите его значение:
1) 52; 2) 38; 3) 4) 10^; 5) 1*0; 6) 0*00; 7) 2^\ 8) 92.
Площадь квадрата со стороной 7 см равна 72 квадратных сантиметров. Поэтому часто вместо слов «семь во второй степени* говорят «семь в квадрате* или «квадрат семи*. Используют обозначение степени и для сокращённого указания единиц площади. Например, вместо слов квадратный сантиметр пишут см2. Так, площадь квадрата со стороной 7 см равна 49 см2.
234. По таблице квадратов двузначных чисел, представленной
на форзаце учебника, найдите:
1) значение выражения:
а) Ц2; б) 812; в) 452. р) 272; д) 532. g) 552.
2) число, квадрат которого равен:
а) 144; б) 6724; в) 3136; г) 9801; д) 5776; е) 841.
Удобно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся цифрой 5.
Правило возведения в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5
Число десяткоз умножают на следующее за ним натуральное число и приписывают к результату 25.
Например, 752 ~ 5625, так как 7*8 = 56; 1052 _ ц q25^ так как 10-11 =* 110.
80
235. Устно вычислите: 1) 85^; 2) 995^; 3) 205^; 4) 3005^.
В предыдущем пункте мы говорили о том, что при отсутствии скобок сначала выполняется умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Важно запомнить, что вычисление степеней, которое называется возведением, в степень, выполняется раньше, чем умножение и деление.
236. Укажите порядок действий и вычислите устно: Ш 86
1) 5 -Ь 3 • 42; 2) 2(5 + 4)2; 3) 52 Ч 42.
237. Найдите значение выражения: Ш 83 ^
1) 122-(-2=^; 4)(21 - I?)-**; 7)62.32;
2) 23 + 2-*: 5) (21 - 17)^: 8) 3242 _ (2202 -н 348 : 29);
3) 42.5; 6) 201 • 12 - 372; 9) (g3 _ 4З). (Ц _ 9^3.
238. Запишите числовое выражение и найдите его значение:
1) сумма квадратов семи и девяти;
2) разность квадратов восьми и пяти;
3) два в пятой степени разделить на два в третьей степени;
4) произведение квадрата числа пять и квадрата числа четыре;
5) квадрат числа семь, увеличенный на девять;
6) разность ста тридцати и одиннадцати в квадрате.
239. Представьте в виде степени числа 10: в
1)10; 2)100; 3) 1000; 4) 10 000; 5) 100 000; 6)1000 000;
7) 1 000 000 000.
240. Запишите число, представ.Л1еиыое в виде суммы разрядных слагаемых: Ш 84
1) 2- Ю'"» + 3-10'* f 6* 103 ч- 4-102 + 7*10 + 9;
10^ ч- о • 10* ч- 4 • 103 ч- о • 102 ч- 8;
2) 7
3) 1
4) 5
10^Ч-4-103ч-6;
10^.
241. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых, используя степени числа 10: Ш 85 1) 362; 2) 156 892; 3) 2 036 000; 4) 3 030 303.
81
Выразим сторону квадрата, равную 1 м, в сантиметрах, получим 1 м = 100 см. Тогда его площадь, выраженная в см^, равна 100^ см^ *= 10 000 см^. Значит. 1 м^ = 10 000 см^.
Можно вывести и соотношения между площадями других квадратов, сторонами которых являются известные единицы длины. Зная, что 1 км = 1000 м, нетрудно выразить квадратные километры в квадратных метрах: 1 км^ — 1 000 000 м^.
Иначе обстоит дело с двумя другими особенно часто используемыми в сельском хозяйстве единицами площади — аром (а) и гектаром (га). За 1 а приняли площадь квадрата со стороной 10 м. Приставка «гекто», которая обозначается буквой «г», перед любой единицей измерения увеличивает её в 100 раз, т. е.
1 га = 100 а. ^
Схема перевода единиц площади
100
100
100
100
100
100
КМ"
га
м"
ДМ"
СМ"
мм
2
:юо :юо :юо :юо :юо :юо 242. Пользуясь схемой перевода единиц площади, ответьте на вопросы.
1) Сколько гектаров в 1 км^?
2) Сколько аров в 1 га?
3) Сколько квадратных сантиметров в 1 дм^?
4) Сколько квадратных сантиметров в 1 м^?
5) Во сколько раз 1 а больше 1 дм^?
6) На сколько 1 а меньше 1 га?
243®. Какова сторона квадрата, площадь которого равна 1 га?
244. Сделайте сокращённые записи:
1) пятьдесят шесть квадратных метров;
2) тридцать два гектара;
3) один квадратный дециметр равен ста квадратным сантиметрам;
4) два гектара равны двадцати тысячам квадратных метров;
5) девяносто аров меньше одного гектара;
6) одиннадцать тысяч аров больше одного квадратного километра.
82
245. Прочитайте записи:
1) 5 га; 3) 1 км^ = 100 га;
2) 23 а; 4) 1 а = 10 000 дм^;
5) 3 га > 299 а;
6) 23 га 8 а > 2304 а.
246. Вставьте пропущенные числа: Ш 87
1) 1 га = ... м^;
2) 17а*...м
3) 5 га 21 а = ... м^;
4) 400 м2-...а;
5) 5200 а «... га;
6) 43 км2 9QQ 3 PQ.
2.
7) 2 км2 _ _ д.
8) 400 000 дм2 = ... а;
9) 51 км2 3 га = ... а;
10) 2 м2 -=... см
2.
11) 790 000 мм2 q^2.
12) 37 м2 8 дм2 = ... см2.
2470. Морская миля равна 1852 м. Выразите квадратную милю в единицах площади:
1) м2; 2) дм2.
248. Хрхина прямоутльного поля равна 500 м, а ширина — 300 м. Найдите площадь поля и выразите её в арах и гектарах.
249.1) При посеве гороха требуется 320 кг семян на 1 га. Сколько килограммов семян понадобится для поля площадью 489 га?
2) С 1 га поля собрали 42 ц пшеницы. Сколько центнеров пшеницы соберут с поля площадью 827 га?
250.1) Площадь прямоугольника 72 м2. Одна из его сторон равна 6 м. Какая сторона прямоугольника больше и на сколько?
2) В прямоугольнике одна сторона на 8 дм больше другой. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 28 дм. Ш 88
3) Ширина прямоугольника равна 25 см. На сколько увеличится площадь этого прямоугольника, если шч> длину увеличить с 30 см до 35 см?
251. Площадь комнаты 20 м2, а её длина 4 м. В эту комнату хотят положить ковёр, размеры которое 2 х 3 м. Можно ли это сделать?
83
252. Исследовательская задача.
Квадрат и прямоугольник имеют одинаковые периметры. Площадь какой фигуры больше? Проведите исследование, если периметр равен: 1) 16 см; 2) 32 см.
Выскажите гипотезу.
253. 1) Постройте прямоугольник, площадь которого равна 16 см^.
2)^ Сколько прямоугольников с такой же площадью, длины сторон которых в сантиметрах выражены натуральными числами, можно построить?
254*. Как изменится площадь квадрата, если его сторону:
1) увеличить в 2 раза; 2) уменьшить в 3 раза?
255*. Найдите площади фигур, изображённых на рисунке 81.
7
3
8
6
а)
б)
в)
Рис. 81
256. Решите задачу, составив числовое выражение.
1) Площадь всей поверхности Земли составляет 510 млн км^. Сколько квадратных километров составляет площадь поверхности воды, если площадь поверхности суши равна 149 млн км^?
2) Площадь Северной Америки — 24 млн 247 тыс. км^, площадь Южной Америки — 17 млн 834 тыс. км^. Площадь Азии на 2282 тыс. км^ больше, чем площадь Северной и Южной Америки вместе. Какова площадь Азии?
3) Тихий океан — самый большой океан Земли, его площадь составляет примерно 180 млн км^. Это в 12 раз больше
84
площади Северного Ледовитого океана. Найдите площадь Северного Ледовитого океана.
257. Найдите площади хоккейных полей и расположите полученные числа в порядке возрастания, если известно, что хоккей на траве проводится на поле 915 х 550 дм, хоккей с мячом — 90 X 50 м, хоккей с шайбой — 61 х 30 м.
258. Равны ли фигуры, изображённые на рисунке 82? Равны ли периметры фигур? Равны ли площади фигур?
В. 1
259. Составьте число из номеров верных утверждений.
1) Площади равных фигур равны.
2) Если равны площади фигур, то равны и фигуры.
3) Периметры равных прямоугольников равны.
4) Бели периметры прямоугольников равны и прямоугольники.
5) Если площади прямоугольников равны, и прямоугольники,
6) Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
7) Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
8) Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.
9) Если периметры квадратов равны, то равны и их площади.
Рис. 82
то равны
то равны
Задачи на смекалку
260. Найдите двузначные числа, квадраты которых имеют вид
6... и ...6, если известно, что вместо «...» в каждом числе должны стоять равные двузначные числа.
261. Знаменитый российский математик Андрей Николаевич Колмогоров в возрасте пяти-шести лет любил придумывать
85
задачи и публиковать их в домашнем журнале. Вот одно из его ранних открытий: 1*12.
1 + 3 = 2^
1 + 3 + 5 = 32.
1) Попробуйте сформулщювать свойство, подмеченное шестилетним Колмогоровым.
2) Объясните полученную закономерность, используя рисунок 83.
Рис. 83
3) Проверьте, выполняется ли она для большего числа слагаемых. Ш 89
262.1) Проверьте, верны ли следующие равенства:
1» + 22-(1 h 2)2,
13 + 2» + 33 = (1 + 2 + 3)2,
13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2.
2) Сформулируйте данное свойство чисел.
3) Проверьте это свойство для первых пяти натуральных чисел.
263. Задача-шутка. Если вы можете сказать, чему равно два в квадрате, три в квадрате и т. д., то тогда ответьте, чему равен угол в квадрате.
264, Разгадайте ребус «Число в квадрате». Помните, что разные буквы заменяют разные числа. 90,91
1) ^пять пять ШЕСТЬ 3) wCEMb СЕМЬ
□□□□я □□□□□□ □□□□□□ + □□□□□□ □□□□□□ СЕМЬ + □□ME □□мс □□□□□□□□
□□□□□□□ □□□□□ШЕСТЬ
86
Контрольные вопросы и задания
1. Выразите в арах: 1) 32 га; 2) 56 000 м2. Ш 92 0 Тест
2. Длина прямоугольника равна 54 см, а его ширина на 27 см меньше. Найдите площадь прямоугольника.
3. Найдите значение выражения - (8427 : 3 - 522).
Объём прямоугольного параллелепипеда
На рисунке 84 вы видите круг, четырёхугольник, в котором проведены его диагонали, и шестиугольник. 0
D
А на рисунке 85 эти фигуры раскрасили, и они, как говорят художники, приобрели объём, т. е. как бы вышли из плоскости
в пространство. 0
а)
л)
Рмс. 85
87
Каждая из фигур, изображённых на рисунке 85, представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью. Такие пространственные фигуры называют геометрическими телами.
Тело на рисунке 85, а — хорошо знакомый вам шар. Полезно знать, что поверхность шара имеет специальное название — сфера.
Поверхность треугольной пирамиды (рис. 85, б) образована четырьмя треугольниками, которые называют гранями пирамиды. Сторона АС граней АВС и ACD на самом деле не видна. Её закрывают грани ABD и CBD пирамиды. Такие линии называют невидимыми и изображают штрихами,
Если не использовать штриховых линий, изображения могут получиться неоднозначными. Так, например, попробуйте по рисунку 86 понять, как расположен полупрозрачный куб или сколько кубиков, шесть или семь, на рисунке 87.
Треугольная пирамида — простейший многогранник, т. е. геометрическое тело, поверхность которого образована многоугольниками. Стороны этих многоугольников являются рёбрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.
Все шесть граней многогранника на рисунке 85, в и на рисунках 86 и 88 — прямоугольники. Такие многогранники имеют своё название — прямоугольный параллелепипед.
Вершина
Грань
Ребро
Рис. 86
Рис. 87
Рис. 88
88
Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются квадратами, называют кубом.
265. 1) Назовите на рисунке 89 плоские и объёмные геометрические фигуры.
2) Какие тела являются многогранниками?
3) Какими фигурами являются грани этих многогранников?
Рис. 89
266. Назовите несколько предметов из окружающего мира, которые имеют форму:
1) куба; 3) треугольной пирамиды;
2) шара; 4) прямоугольного параллелепипеда.
267. На рисунке 90 изображён прямоугольный параллелепипед. Ш 93
1) Назовите вершины, рёбра и грани прямоугольного параллелепипеда.
2) Сколько вершин, рёбер, граней у прямоугольного параллелепипеда?
3) Какими фигурами являются грани прямоугольного параллелепипеда?
4) Назовите параллельные и перпендикулярные рёбра прямоугольного параллелепипеда.
D
Рис. 90
М
/Г" /
1 1 1 с
( 1 1
• 7
N
89
5) Назовите равные рёбра и равные грани.
6) Сравните длины ломаных: ei)ABCMiABLKN\
б)АВСМиАВМ.
268. На рисунке 91 изображён куб с ребрюм 2 см.
1) Назовите грани, содержащие точку А.
2) Назовите рёбра, одним из концов которых служит точка L.
3) ^ Составьте из рёбер куба замкнутую ломаную так, чтобы в ней было как можно больше звеньев. Найдите её длину.
4) Составьте из рёбер куба несколько ломаных, которые соединят точкуЛ с точкой L. Найдите их длины.
5) Найдите длину проволоки, необходимой для изготовления каркаса этого куба.
269. На какой грани куба — левой, правой, верхней, нижней, передней, тыльной (рис. 92) — изображён круг?
а)
б)
<7)
Рис. 92
г)
д)
Если поверхность прямоугольного параллелепипеда разрезать по некоторым рёбрам, то её можно будет развернуть и уложить на плоскость.
Фигура, которая при этом получится, называется развёрткой.
270. На развёртке прямоугольного параллелепипеда (рис. 93) одна грань обозначена буквами.
!)• Назовите грани прямоугольного параллелепипеда, на которых отмечены точки X, У, Z.
2) Чему равна длина, ширина и высота этого прямоугольного параллелепипеда?
90 —
в
в
1 F
1 1 ^
> ^ • 7
м
N
D
X
5 см
Z
б см
D 3 см
Рис. 93
3) Найдите периметр грани: а) KLMN\ б) BLMC.
4) Найдите площадь грани: h)ABLK\ b)AKND.
5) Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.
271*. Из представленных на рисунке 94 кубиков выберите кубик, развёртка которох о изображена на том же рисунке.
Пирамида это многогранник, основанием которого служит многоугольник, а все боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину.
На рисунке 95 изображена шестиугольная пирамида.
и
91
272. Сколько у пирамиды: 1) вершин; 2) рёбер; 3) граней, если в её основании лежит:
а) треугольник; в) шестиугольник;
б) четырёхугольник; г) девятиугольник? Ш 94
273. 1) Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, если у неё:
а) 4 вершины; 5 вершин; 100 вершин;
б) 8 рёбер; 12 рёбер; 500 рёбер;
в) 4 грани; 5 граней; 25 граней?
2)* Существует ли пирамида, у которой: Ш 95 а) 999 рёбер: б) 57 граней; в) 2002 вершины?
274. На рисунке 96 изображены многогранники. Найдите закономерность и заполните пустые клетки. Ш 96
Рис. 96
Важной сравнительной характеристикой геометрических тел является объём. За единицу измерения объёмов принимают объём единияного куба — куба с ребром, равным единице. Так, объём куба с ребром в 1 см — это 1 кубический сантиметр.
92
Рмс.97
275. Для каждого из тел, представленных на рисунке 97, найдите объём. Тела составлены из кубов с ребром, равным 1 см. в
Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда на рисунке 98 равны соответственно 4, 3 и 5 см. ^1тобы подсчитать, из скольких единичных кубов он составлен, разделим его на пять слоёв 1Ч)лщиной 1 см каждый. В каждом из них 4 • 3 “ 12 единичных кубов, значит, всего в этом прямоугольном параллелепипеде 12*5 •» 60 единичных кубов, т. е. его объём равен 60 кубическим сантиметрам. При нахождении объёма прямоугольного параллелепипеда мы перемножили его длину, ширину и высоту, которые называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Рнс.98
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений.
93
Объём куба с ребром 2 см равен 2 • 2 • 2 = 2^ кубических сантиметров. Поэтому вместо слов «два в третьей степени* обычно говорят Фдва в кубе* или «куб числа два*. Используют обозначение степени и для сокращённого указания единиц объёма, так, например, вместо слов кубический сантиметр пишут см®. Объём куба с ребром 2 см равен 8 см®.
276. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра равны:
1) 3 см, 4 см, 5 см; 3) 6 м, 7 м, 3 м;
2) 12 дм. 5 дм, 2 дм; 4) 25 мм. 4 мм. 17 мм.
277. Найдите объём куба, если его ребро равно:
1)2 мм; 2) 3 см; 3) 4 дм; 4)5 м.
278. Укажите измерения нескольких прямоугольных параллелепипедов с таким же объёмом, как у куба с ребром б см.
279. Начертите в тетради и заполните таблицу квадратов и кубов однозначных чисел. Используя таблицу, найдите:
1) число: а) 10 • 8®; б) 3®; в) 8®; г) 4®; д) 5 • 7®; е) 2 • 6®; ШО 97
2) число, квадрат которого равен: а) 49; б) 81; в) 64; г) 36;
3) число, куб которого равен: а) 8; б) 125; в) 729; г) 216.
а 1 2 3 4 5 6 7 8 9
а®
а®
280. Существует ли куб, длина ребра которого выражена натуральным числом сантиметров, а объём равен:
1)27 см®; 2) 64 см®; 3) 729 см®; 4) 125 см®? Если существует, запишите длину его ребра.
281. Ответьте на вопросы.
1) Какой цифрой оканчивается квадрат числа:
а) 261; 6)682; в) 245; г) 849; д) 5840; е) 5776?
2) Какой цифрой может оканчиваться число, если его квадрат оканчивается цифрой:
а) 0; 6)1: в) 4; г) 5; л) 6; е) 9?
94
3) Какой цифрой оканчивается куб числа:
а) 124; 6)781; в) 7680; г) 4673; д) 7892; е) 675?
4) Какой цифрой может оканчиваться число, если его куб оканчивается цифрой:
а) 0; 6)1; в) 5; г) 6; д) 8; е) 9?
282. Запишите выражение и найдите его значение:
1) сумма куба числа 7 и числа 19;
2) разность квадратов чисел 9 и 7;
3) сумма кубов чисел 4 и 6;
4) разность кубов чисел 9 и 8;
5) произведение куба числа 5 и квадрата числа 4;
б) два в пятой степени разделить на два в третьей степени.
283. Прочитайте выражение и найдите его значение:
1) 5 + 23; 4)53-23;
2) (2+ 5)3; 5) 23-53;
3) 23 + 53; 6)5-23.
При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда его измерения должны быть выражены в одинаковых единицах длины. Так, если измерения равны 2 дм, 15 см и 45 мм, то сначала следует перевести дециметры и сантиметры в миллиметры: 2 дм = 200 мм, 15 см = 150 мм, а затем уже найти их произведение 200 •150*45 = 1 350 000 ммЗ.
Полученный ответ можно несколько упростить, если заметить, что 1 см3 * IQ , 10 мм = 1000 мм3. Тогда
1 350 000 мм3 = 1350 смЗ.
284.1) Составьте схему перевода метрических единиц объёма. 2) Заполните многоточия в следующих равенствах:
а) 1 м3 = ... дм3; д) 7 смЗ — ... ммЗ;
б) 1 дм3 = ... см3; g) 5 дрдЗ 72 смЗ = ... смЗ;
в) 1 см3рдрдЗ. 32 000 дм3 = ... м*;
г) 1 м3 =>... см3; з) 2 м3 5 дмЗ = ... дм^.
285.1) Высота комнаты 2 м 50 см, ширина 4 м, длина 6 м 5 дм. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?
95
2) Объём комнаты равен 80 м®. Найдите высоту комнаты, если известно, что площадь пола равна 2500 дм^.
3) Объём аквариума равен 198 дм^. Найдите высоту аквариума, если известно, что его длина равна 8 дм, а ширина 4 дм 5 см.
4) Найдите объём куба, если площадь его поверхности равна 24 м^. Ш 98
286^. 1) Высота спортивного зала 4 м, а его длина в 2 раза больше ширины, которая, в свою очередь, на 50 см больше высоты. Найдите объём спортивного зала.
2) Периметр пола спортивного зала 80 м. Найдите объём зала, если его длина в 3 раза больше ширины, а высота равна 4 м 5 дм.
287®, 1) Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Во сколько раз: а) увеличился его периметр; б) увеличилась его площадь?
2) Ребро куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз:
а) увеличилась площадь его поверхности;
б) увеличился его объём? 101
288. Плавательный бассейн вмещает 825 м^ воды. За 1 ч через первую трубу в бассейн вливается 30 м^, а через вторую — 25 воды.
1) Сколько потребуется времени, чтобы наполнить бассейн?
2) Какой объём бассейна останется незаполненным через Зч?
289. Бассейн, объём которого 240 м^, одной трубой наполняется за 3 ч, а второй трубой — за 4 ч. На сколько больше воды поступает в бассейн за 1 ч через первую трубу, чем через вторую?
290. Во время дождя под водосточную трубу поставили пустую бочку. Каждую минуту в неё вливается 6 л воды, а через щель выливается 2 л. Сколько воды будет в бочке через 7 мин, если дождь не прекратится?
96
Задачи на смекалку
291. Найдите объём тела, составленного из кубиков со стороной 1 см (рис. 99). Можно ли из данных кубиков сложить прямоугольный параллелепипед с измерениями:
1) 1 X 1 X 8;
2) 2 X 2 X 3;
3) 1 X 2 X 5;
4) 3x3x2?
Рис. 99
292. Нарисуйте куб и пронумеруйте его вершины числами от 1 до 8 так, чтобы сумма номеров вершин каждой из шести граней оказалась одинаковой.
293. Какой цифрой оканчивается произведение одиннадцати множителей, каждый из которых равен:
1)12; 2)23; 3)54; 4)75; 5)96?
294. Вместо звёздочек = ***9 поставьте цифры так, чтобы получить верное равенство. Ш 99
295. Из 18 одинаковых кубиков сложили прямоугольный параллелепипед высотой три кубика. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если площадь поверхности одного кубика равна 6 см^.
296. Найдите ребро куба, объём которого в кубических метрах и площадь поверхности в квадратных метрах выражается одним и тем же натуральным числом.
297. Прописными буквами выделены три слова. Выберите из списка предложенных слов четвёртое слово, которое так же связано с третьим, как второе с первым. Ш 100
1) САНТИМЕТР — ДЛИНА, ГЕКТАР — ?
Список слов: а) километр; б) квадратный дециметр; в) площадь; г) объём.
97
2) АР — КВАДРАТНЫЙ МЕТР» ДЕЦИМЕТР — ?
Список слов: а) длина; б) метр; в) сантиметр; г) миллиметр;
д) километр.
3) КВАДРАТ — ПРЯМОУГОЛЬНИК» КУБ — ?
Список слов: а) прямоугольный параллелепипед; б) многогранник; в) пирамида; г) шар.
Контрольные вопросы и задания
1. Сколько вершин» ребер и граней у прямоугольного параллелепипеда?
2. Заполните многоточие: 2 дм® + 4 см® - ... мм®.
3. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра равны 1 м 3 дм» 2 дм, 5 дм. 102 Tea
"d I Буквенные выражения
Разные числовые выражения могут иметь одинаковые значения. Так, например» 23 + (7 + 18) = (23 + 7) ^ 18 = 48. В исходном выражении мы для облегчения устных вычислений переставили скобки. Тем самым мы применили известный вам из начальной школы сочетательный закон сложения.
298.1) Примените сочетательный .закон сложения при вычислениях:
а) 77 + (23 + 834); в) 47 + 53 + 198;
б) (238 + 171) + 29; г) 569 + 333 + 167.
2) Объясните» как вы применяли сочетательный закон в каждом случае.
При записи сочетательного закона сложения нужно показать, что его можно применять к любым числам. С этой целью в математике числа обычно заменяют строчными латинскими буквами а, Ь, Су dy ... . Тогда для любых чисел а, б и с сочетательный закон сложения будет выглядеть так: Ш ЮЗ
а + (& + с) * (а + 5) -f с.
98
Вам знакомы и другие законы арифмети^1еских действий. С помощью букв их можно записать следующим образом.
Переместительный закон сложения умножения
а + Ь — Ь + а а*Ь = Ь*а
Сочетательный закон сложения умножения
а + (6 + с) = (а + 6) + с а • (Ь • с) = (а • Ь) • с
Распределительный закон (Ь + с) •assb'o + ca ^
299. 1) Какие законы сложения проиллюстрированы с помощью отрезков на рисунке 100?
с d т п к
а)
т
fi)
Рис. 100
2) Какие законы арифметических действий проиллюстрированы с помощью прямоугольников на рисунке 101?
3) Объясните с помощью рисунка 102 равенство
{аЬ)с “ а(6с).
tf)
Рис. 101
Рис. 102
99
300. Сформулируйте свойство:
1) (а + 6) - с “ а + (6 - с) или {а + Ь)-с
2) а - (Ь + с) ^ а - Ь - с.
(а - с) + Ь;
301. Вычислите устно, называя законы арифметических действий: Ш 109
1)236 + 548 + 764; 7) 25-123-2;
2) 648 + 1698 + 302
3) (364 ( 785)-585
4) (867+ 499)-767
5) 256 • 54 + 744 • 54
6) 83•686 - 83•586
8) 5-17-8;
9) (100 + 3) *4;
10) (100- 1)-4;
11) (333 +999) :3;
12) (967-467); 5.
0);
302. 1) Сформулируйте свойства действий с нулём.
2) Найдите устно значение выражения:
а) (4572 + 17 478) -3-0; д) (789 - 788) ■ 1;
б) о : (45 • 37 + 58 - 579); е) (1000 - 999): (1 i
в) 7856 • о + (6439 - 6439); ж) 676 • 1 : 676;
г) 325 • 967 - 967 • 325; з) (567 • 45): (45 • 567).
3) ^ Как вы объясните полученные результаты? Ш 104
4) ® В каких случаях значение выражения равно нулю?
Свойства действий с нулём Сложение и вычитание Умножение и деление
а + 0 = аи0 + а = а а-0*0и0*а-0
0 + 0 = 0 и 0-0 = 0 0-0 * о
а — а = 0иа — 0 = а 0:а = 0, где а » 0 Q
303. Запишите в буквенной форме:
1) раснределительный закон умножения относительно вычитания;
2) распределительный закон деления относительно сложения;
3) свойство умножения любого числа на число 1;
4) свойство деления нуля на любое отличное от нуля число.
кю
304. Проверьте данные равенства при а = 472, 6 = 118 и с =* 2:
а) а:с + 6:с = (а + 6):с; в)а*6:с*»а:е*^ = 6:с*а;
б) а : с - Ь : с = (а - 6): с; г) а ; 6 ; с * а : (6 • с).
Довольно часто в выражение вместе с буквами входят и числа, такие выражения тоже называют буквенными.
Правило чтения буквенных выражений Буквенные выражения читаются так же, как и числовые, например а{Ь + с) — это произведение а и суммы Ь и с.
В отличие от чисел буквы при чтении не склоняются, поэтому выражение х у читается как ♦ сумма икс и игрек*, а выражение у - г — ♦разность игрек и зэт*.
Буквы Ху у Vi г мужского рода. Поэтому, например, равенство X = S читается: «икс равен трём*. Все остальные буквы относятся к среднему роду.
Равенство с = 5 читается: *цэравно пяти*.
305. 1) Запишите в виде буквенного выражения:
а) разность а и 34; в) частное 56 и Ь\
б) сумма и 15; г) произведение с и 3;
д) * разность произведения чисел 2 и d и числа k\
е) ® сумма произведения чисел 3 и е и числа 4.
2) Назовите компоненты действий в полученных выражениях.
306. Прочитайте буквенные выражения: в
1) х + 255; 5) */ + (34 +л);
2) 900 - Ьу 6) (9-2) • 100;
3) 46*х; 7)c'id : 10);
4) k :302; 8) J : (fe - 80).
307. Назовите компоненты действий в выражениях:
1) а ^ (58 - с); 5) а - (с + 3);
2) (Ь - 12) 4 5d; 6) (л + 4) - 7т;
3) k{k+ 1): 7) с: (56 + 3);
4) (Ь - 21)(с + 9); 8) (р + 1): (Дг - 8).
101
308*. Сравните в равенстве числа, обозначенные буквами: Ш 110
1) а + 3 = 6; Ь)Ь-т = п\
2) c-5 = d; 6)9:c-d;
7)9 + b = 9 + c;
4)x :7-y; 8)y~8~z-7.
309O.C помощью знака умножения запишите соотношения между буквами в равенстве:
1) а : & “ 3; 2) 7 : с = d; 3) /г : 9 - т; 4) Z f = 1; 5) п : р - 0.
310*. Запишите в виде равенства тремя способами:
1) число а на 5 больше числа Ь;
2) число m в 6 раз больше числа п;
3) число Z на 7 меньше числа t;
4) число X в8 раз меньше числа у.
311.1) Заполните таблицу. 105,106
а 20 32 44 56 68 80 92
а- 19
100-а
2) Как изменяются значения данных выражений с увеличением числа а?
3) * Назовите все числа а, при которых а - 19 > 100 - а.
4) Как изменяются с увеличением числа а значения выражений:
а) а: 2; б) 10а; в) а* а; г) а-а; д)а:а?
Законы арифметических действий применяют не только к числовым, но и к буквенным выражениям. Так, например, используя распределительный закон умножения, можно заменить выражение 2*Ь Ь*Ь более простым:
2*fr + 5'6 = (2-f-5)-6-7-6.
Обычно перед буквой и перед скобкой знак умножения не ставят, считая, что аЬ — а-7fo — 7 • 5(с + d) — 5 • (с + d),
аЬ : а*Ь : с. Тогда {Ь + с)а^ Ьа + са.
102
312. В каких выражениях знак умножения можно убрать:
1) 21-а; 4)Ь-(с f 13);
2) х’у; 5)6*(x + i/);
3) 58-32-d; 6) 144*г : 45?
313. Упростите выражение: Ш 107
1) 13а + 18а; 4)а + а-Ь-Ь;
2) 21Ь - 9&; 5) с + 2с + 5с + 13с;
3) X + X + X + у + у; 6) 56 - 7с? - 2с?.
314. Запишите выражение без скобок:
1) 5(а + 6); 3) 10(2т + п);
2) 7(с-с?); 4)12{4х-3у).
315®. 1) При каких значениях а выполняются условия:
а) За = 0; д) а > 10;
б) За — 3; е) а + 5 < 10;
в) а : а = 1; ж) За < 9;
г) о < 5; з) За + 5 < 12?
2) На какие две группы можно разбить данные математические записи?
31б*. Найдите закономерность и продолжите последовательность выражений:
1) а» 2а, 4а, ...; 3) Sx + 2, Зл: + 5, Зд: + 8,
2) Ь, Ь + 1, б + 2,...; 4) 2у + 1, 4у + 3, бр + 5,... .
317. Каким по порядку действием будет деление при вычислении значения выражения: Ш 108
1) а + fo : с; 4){Ь ~ 81)с? : с;
2) а : Ь + cd; 5) ak \ Ь : с;
S) а + Ь : с — т; 6) (а + 35)с - 100 : с??
318. Проверьте, выполняется ли при а = 24 и — 13 равенст-
во: Ш 109
1) a^-b‘i = {a + b) (а-Ь);
2) (а + Ь)^ а^ + + 2аЬ;
3) (а-б)2 = а2 + б2_2а6.
103
319. Запишите в виде выражения число:
1) дециметров в х м; 5) квадратных сантиметров в k м^;
2) гектаров в а км^; 6) кубических сантиметров в с м^;
3) аров в h га; 7) кубических миллиметров в у дм^;
4) граммов в ^ ц; 8) квадратных сантиметров в d дм^.
320^. Как изменится значение выражения 7а, если а:
1) увеличить на 1; 3) увеличить в 2 раза;
2) уменьшить на 2; 4) уменьшить в 3 раза?
321^. На координатном лу»1в (рис. 103) отмочены точки 1 и а. Расскажите, как отметить на луче с помощью циркуля точки: 1)2а; 2) а -1; 3) а + 3; 4) За + 2. Ш П2
Рис. 103
322®. ТочкаА имеет координату а.
1) Какие координаты имеют точки В, С и Z) (рис. 104)?
2) Координата точки В (рис. 105) равна а + 1. Какую координату имеет точка F? ЁЗ 113—115
0 А{а)
1 » ч
в с ♦ ♦
D
Л(а) В(а +1)
Рмс. 104
Рмс. 105
323^. Найдите правильные утверждения и из их номеров составьте число.
1) Равенство (а + fe) + с = а + (^? + с) верно при любых значениях букв.
2) Значения выражений 13 - а и а + 10 равны при а = 3.
3) При с * о равенство с + 200 = 201 верное.
4) Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить на 5, то разность не изменится.
5) В выражении (х - 3) - (у + 1) уменьшаемым является
(у-Ы).
104
6) при X = 337 значение выражения 456 - х равно 129.
7) ас ■= с, если а = 1, с — любое число.
8) а + с “ а, если с = 0.
Числа, буквы, знаки арифметических действий и скобки — это слова языка, на котором говорит математика. Как и в обычном языке, из этих слов составляются различные выражения. Часто мы приходим к числовым и буквенным выражениям в результате перевода на математический язык условия задачи.
Задача. У Коли в коллекции т марок, а у Саши — на 7 марок больше. Сколько марок у обоих мальчиков вместе?
Решение. У Саши есть т и еще 7 марок, т. е. m + 7 марок. Сложим число Колиных марок с числом Сашиных. т + (т + 7) {т + т) + 7 = 2т + 7 (марок).
Ответ. У Коли и Саши вместе 2т + 7 марок.
Сколько бы марок ни было у Коли, мы можем заменить этим числом букву т в выражении 2т + 7 и найти значение полученного числового выражения. Если, например, у Коли 85 марок, то при m = 85 получаем 2 • 85 + 7 •= 177. Говорят, что 177 — это значение буквенного выражения 2т + 7 при т = 85.
324. Карандаш стоит х р., а ручка — 4/ р. Объясните, что показывает выражение;
Ь)Ьх-2у;
6) у : X.
1) у - х\ 3) 6л: и 2у\
2) л: + у; 4) 6х + 2у\
325. Даны выражения:
а) а -н (а + Ь)\
б) а + 5 -ь с;
в) а “ 6 - с;
г) а * Ь — €\
Выберите то из них, которое даёт ответ на вопрос задачи.
1) У Саши а марок, а у Вити — на 6 марок больше. Сколько всего марок у Саши и Вити?
2) У Сережи а карандашей, что на Ь карандашей больше, чем у его сестры. Сколько карандашей у них вместе?
д) а - (б + с);
е) (а + 6) + а;
ж) а + (а “ 5).
105
3) Мама принесла домой а яблок. Из них Ь яблок она дала сыну и с яблок дочери. Сколько яблок у неё осталось?
4) В автобусе едут а мужчин и Ь женщин. На остановке вышло с пассажиров. Сколько пассажиров осталось в автобусе?
5) В графине было а литрюв воды. Сначала отлили Ь литров, затем с литров. Сколько литров воды осталось? Ш 116
326^. Нарезной батон стоит а р., а пирожное — Ь р.
1) Сколько стоят:
а) 5 батонов; б) 7 пирожных; в) 2 батона и 3 пирожных?
2) На сколько пирожное дороже батона?
3) На сколько дешевле одно пирожное, чем три батона?
4) Во сколько раз 5 батонов дороже, чем 2 пирожных?
3270. Одно число т, а другое число на 13 меньше. Запишите в виде буквенного выражения: 1) разность; 2) сумму этих чисел. Упростите полученное выражение и найдите его значение при m = 17.
328. На схемах (рис. 106) обозначены длины отрезков. Фигурная скобка показывает сумму их длин. Какое буквенное выражение должно стоять на месте знака вопроса? ^
>?
>с
а) в)
? ' ?
• а
б)
г)
Рнс. 106
106
329. 1) Составьте выражение к задаче.
а) У Маши х наклеек, что в 2 раза меньше, чем у Тани. Сколько наклеек у Тани?
б) Из X красных роз и у белых роз сделали букеты. Сколько получилось букетов, если в каждом букете по 3 розы?
в) В пенале х ручек, а карандашей в 2 раза больше. Сколько в пенале ручек и карандашей?
г) Тетрадь стоит д; р., а книга — в у раз дорюже. На сколько рублей книга дороже, чем тетрадь?
д) Груша стоит х р., а яблоко — у р. Сколько заплатили за 3 груши и 3 яблока?
2) Найдите значение составленного выражения при д: = 9,
у = 6.
330. Составьте выражение, отвечающее на вопрос задачи.
1) Гоночный велосипед движется со скоростью 72 км/ч. Какое расстояние он проедет за t ч?
2) Скаковая лошадь движется со скоростью 69 км/ч. За сколько часов она пробежит а км?
331®. Составьте выражение.
1) Пешеходу надо пройти а км. Он шёл 3 ч со скоростью с км/ч. Сколько километров ему осталось пройти?
2) Мотоциклист ехал 2 ч со скоростью а км/ч и 3 ч со скоростью с км/ч. Какое расстояние проехал мотоциклист?
3) Поезд проехал с км за 2 ч. Какое расстояние он проедет за 3 ч, если будет ехать с той же скоростью?
4) По течению реки за 2 ч лодка проплыла х км. Против течения тот же путь она проделала за 3 ч. На сколько меньше была скорость лодки на обратном пути?
332^. Запишите выражение, отвечающее на вопрос задачи.
1) Самолёт пролетел за 2 ч а км. Сколько километров он пролетит за 5 ч, если его скорость не изменится?
2) Одновременно из двух городов навстречу друг другу выехали два легковых автомобиля и встретились через t ч.
107
Скорость одного автомобиля v км/ч. Найдите скорость другого, если расстояние между городами s км.
3) Одновременно из двух городов навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через t ч. Найдите расстояние между городами, если скорость одного автомобиля V км/ч, а скорость другого и км/ч.
Задачи на сменалну
333. Какие цифры нужно поставить вместо букв А и By чтобы получилось верное равенство АВ •А'В^ ВВВ7 Ш 111
334. В равенстве МУХА* А = СЛОН нужно буквы заменить цифрами от 1 до 8. Известно, что вместо буквы А нужно поставить цифру 2. Восстановите числовое равенство.
335. На прямой через равные промежутки поставили 10 точек, которые заняли отрезок длины а. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, и они заняли отре.зок длины 6. Во сколько раз а меньше h?
336. Кусок проволоки длиной X футов разрезали на 6 равных кусков по 2 фута 4 дюйма. Найдите величину Ху зная, что в одном футе двенадцать дюймов.
337. Число X равно сумме первых 20 натуральных чисел, а число у равно сумме первых 10 натуральных чисел. На сколько число X больше, чем число у7
Контрольные вопросы и задания
1. Даны математические записи: Ш П7 ^ Тест
1) 17 + 8; 5) 3057 >987;
2) х-53: 6) а <5;
3) 45-9 = 36; 7)с + а = о + с;
4) с :d; 8)(fr-22)*3.
108
Прочитайте: а) выражения; б) числовые выражения; в) буквенные выражения; г) буквенные равенства; л) числовые равенства; е) неравенства; ж) буквенные неравенства.
2. Найдите значение выражения (1800 » 999): т при т~9.
Формулы и уравнения
Как известно» пройденный путь равен произведению скорости и времени движения. Обычно величину пройденного пути обозначают буквой з, скорость движения — буквой р, а время — буквой t. Почему для обозначения пройденного пути стали использовать букву s, неизвестно, а выбор букв v и t ле1’ко объяснить тем, что они являются первыми буквами французских слов Vitesse — «скорость* и temp — «время*.
Эти обозначения приводят к формуле пути s — vt. Само слово формула переводится с латыни как «форма* или
«правило*. и
338. Найдите по формуле пути:
1) расстояние, которое пройдёт теплоход за 3 ч со скоростью 34 км/ч;
2) скорость катера, который проходит 360 км за 5 ч;
3) время, затраченное теплоходом на путь 192 км, при движении со скоростью 24 км/ч.
339. В типографиях машины набирают 2000 знаков в минуту. На одной машинописной странице 30 строк, в каждой строке 60 знаков.
1) Сколько секунд потребуется для набора двух машинописных страниц?
2) Сколько времени потребовалось бы для набора таких же страниц в середине прошлого века, если тогда на набор тратили в 10 раз больше времени?
109
в формуле площади прямоугольника S = аЬ площадь обозначается заглавной латинской буквой S, а длины сторон прямоугольника — буквами аиЬ. е
340.1) Найдите по формуле площади прямоугольника S = afr:ta П9
а) длину а, если S * 135 см^, 6 = 5 см;
б) ширину 6, если S = 52 дм^, а = 13 дм;
в) площадь S, если а = 25 мм, 6 — 8 мм.
2) Найдите, используя формулу периметра прямоугольника Р = 2{а + 6):
а) периметр прямоугольника со сторонами 107 см и 123 см;
б) длину прямоугольника, если его периметр 126 м, а ширина 29 м;
в) ширину прямоугольника, периметр которого 234 дм, а длина 78 дм.
341.1) Запишите формулу: ^
а) периметра квадрата Р со стороной а;
б) площади квадрата S со стороной а;
в) объёма куба V с ребром а,
2) Найдите периметр и площадь квадрата и объём куба, если а = 8 см.
342. Запишите формулы площади и периметра фигуры, изображённой на рисунке 107.
1 1 Ь а
а с
а)
Рис. 107
по
343.1) Запишите формулу объёма V прямоугольного параллелепипеда с длиной а, шириной Ь и высотой /i.
2) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:
а) а * 18 см, 12 см, Л = 13 см;
б) а — 203 м, 6 = 107 м, /г = 129 м.
3) Найдите:
а) высоту Л, если V = 2024 м^, а — 23 м, = 11 м;
б) длину а, если V - 2730 Л 15 м, 6 = 14 м.
344. Запишите формулу деления с остатком, если а — делимое, Ь — делитель, д — неполное частное, а г — остаток. Найдите:
1) а, если ^ — 6, г=7;
2) Ь, если а — 37, ^ = 7, г = 2;
3) д, если а - 6518, Ь = 63, г = 29;
4) г, если а = 18115, fc = 215, ^ — 55. 118
345. Карандаш стоит к р., ручка — г р., а блокнот — 6 р.
1) Запишите формулу стоимости С комплекта, состоящего из трёх карандашей, двух py'ieK и одного блокнота.
2) Составьте какой-нибудь другой комплект из этих предметов и запишите формулу его стоимости.
346. Решите задачи, используя формулу работы А = ot, где V — производительность,
t — время.
1) С конвейера Волжского автозавода каждую минуту сходили 3 машины ♦Жигули*. Сколько машин выпускал автозавод за день?
2) За 4 ч работы штукатур-плиточник выкладывает плиткой 8 м^ стены. С какой производительностью работает штукатур?
3) Сколько В1>емсни потребуется машинистке, чтобы перепечатать рукопись, в которой 150 страниц, если она печатает 25 страниц за час?
111
347. Для каждой формулы подберите фигуру на рисунке 108:
Р » 2(а + b);V = аЬс\ S = аЬ; Р = а Ьб + c + rf;
S = 2{аЬ he + ас); Р = а + 6 + с; rf - 2г. Ш 120
348. На рисунке 109 изображены схемы движения двух объектов.
1) Запишите формулу скорости их сближения или удаления для каждой схемы.
18 км/ч 90 км/ч 36 км/ч
3 км/ч
а)
56 км/ч 108 км/ч 15 км/ч
«)
42 км/ч
б)
г)
Рис. 109
2) Найдите, на сколько изменится расстояние между объектами через 3 ч, если в начале расстояние между ними было 300 км.
349. При решении задачи укажите, какую из следующих формул скорости в ней можно применить:
‘'сбл = <^| + •'г; >^.бл = «^1 - "2’ «уд = «I + «2! «уд = «I - «2-
112
1) Два мотоциклиста выехали навстречу друг другу из пунктов А ^ By расстояние между которыми 232 км. Скорость одного из мотоциклистов 62 км/ч, а скорость другого — 54 км/ч. Через сколько часов мотоциклисты встретятся?
2) Всадник выезжает из пункта А и едет со скоростью 12 км/ч; в то же время из пункта В, отстоящего от А на 24 км, со скоростью 4 км/ч выходит пешеход. Оба движутся в одном направлении, совпадающем с направлением из А в В. На каком расстоянии от В всадник догонит пешехода?
3) От станции в одном направлении отправляются два поезда, скорость одного 60 км/ч, а другого— 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч?
4) От станции в противоположных направлениях отправ.ая-ются два поезда. Скорость пассажирского поезда 70 км/ч, а скорость товарного — 40 км/ч. Через сколько часов расстояние между поездами будет 440 км?
350. Какую из формул скорости при движении по реке вы будете использовать при ответе на вопрос задачи:
теч “ *^собст ^против теч *^собст
1) Собственная скорость катера 18 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью катер будет идти по озеру? С какой скоростью катер будет двигаться по течению реки? С какой скоростью катер будет двигаться против течения реки?
2) Скорость теплохода в стоячей воде равна 23 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Какой путь пройдёт теплоход за
113
3 ч по течению реки? Какой путь пройдёт теплоход против течения реки за то же время?
3) Сколько времени потребуется моторной лодке, чтобы проплыть 90 км вверх по реке, если скорость движения лодки по озеру равна 20 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?
4) На реке расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если её собственная скорость 10 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Часто буквами обозначают неизвестные величины и получают уравнения.
Уравнение — это равенство с неизвестным, значение которого нужно найти.
Обычно для обозначения неизвестного используют буквы дс, у или 2.
с уравнениями вы уже встречались и умеете их решать, т. е. находить то значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Такое значение неизвестного называют корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
J
Правило чтения уравнений
При чтении уравнений, как и при чтении равенств, левая часть уравнения читается в именительном падеже, а правая — в родительном. Напомним, что названия букв х, у у г — мужского рода, а остальных латинских букв — среднего рода. Названия букв в математике не склоняются.
Например, д: = 5 читается «икс равен пяти»,
а " 7 — «а равно семи»,
X + 4 = 7 — «сумма икс и числа четыре равна семи».
1U
351.1) Прочитайте и решите уравнение: 0
а) X + 16 = 32; г) 0 - X = 5; ж)(25-25):г = 1;
б) (/ - 83 = 100; д) г * 23 = 46; з)х: 15 = 45;
в) 0 : г = 0; е) 25 : у - 25; и)(13-13):г/ = 0.
2) Назовите уравнения, которые:
5) 1/ -7 = 32-145;
6) 2л: = 4640 : 145.
а) имеют один корень;
б) не имеют корней;
в) имеют более одного корня.
352®. Зная, что частное чисел 4640 и 145 равно 32, назовите корень уравнения:
1) 145 • д: = 4640; 3) г • 32 = 4640;
2) 1/: 32 = 145; 4) 4640 ; 2 = 145;
353. 1) Решите уравнение:
а) 23-12 + 23*18 = х; в) 25л: + 46л: = 213;
б) (35 + 25) • X = 300; г) 56х - 27х = 232.
2) Какими свойствами арифметических действий вы воспользовались?
354. Найдите неизвестное число и сделайте проверку, подставив это число в уравнение:
1) а + 2546 = 3764; 4) 2898 : d = 23;
2) 46 789 - 6 = 5788; 5) х : 540 = 360;
3) с • 345 = 43 815; 6) I/ - 7127 = 835.
355.1) Найдите:
а) неизвестный делитель, если 52 208 — делимое, а 502 — частное;
б) неизвестное слагаемое, если второе слагаемое равно 875 347, а сумма — 900 003;
в) неизвестный множитель, если произведение равно 63 315, а известный множитель равен 27;
г) неизвестное уменьшаемое, если разность равна 7 600 083, а вычитаемое — 59 995.
2) Какими свойствами арифметических действий вы пользовались в каждом из заданий?
115
356. Решите уравнение: Ш 121
1) (д: + 36) • 10 = ИЗО; 4) 1022 - (34дг - 5895) » 15;
2) 21 • ж 4 349 = 832; 5) {х + 296) • 84 = 9758 + 16 114;
3) х: 12 + 524 = 1000; 6)1971 : д: - 439 = (234 • 109): 117.
357. Игра «Отгадайте число».
1) Задумали число, увеличили его на 34 и получили 72. Найдите задуманное число,
2) Задумали число, уменьшили его в 2 раза, результат увеличили на 24 и получили 90. Какое число задумали?
3) Придумайте аналогичную задачу и предложите её своему соседу по парте. Ш 124
358. По схеме, изображённой на рисунке 110, запишите уравнение и решите его. ^
28
10
114
а)
в)
U0
47
у 36
134
6}
Рис. 110
> >
г)
>65
Уравнения можно использовать при решении различных задач.
Задача. Маршрут длиной 50 км турист прошёл за два дня. В первый день он прошёл на 10 км больше, чем во второй. Сколько километров прошёл турист во второй день? ^
Решение. Обозначим искомое число километров буквой X. В первый день турист прошёл на 10 км больше, чем во второй, т. е. д: I 10 (км). За два дня турист прошёл д: + 10 + д: (км), что составляет 50 км. Получаем уравнение jc + 10 + д: = 50.
Иб
Решаем это уравнение, х + 10 + х = 50, 2х + 10 ** 50,
2л: - 50 - 10, 2л: = 40, х - 20.
Записываем ответ. Во второй день турист прошёл 20 км.
359. Решите задачу двумя способами:
а) по вопросам; б) составляя уравнение.
1) Трое рыбаков поймали 64 окуня и стали варить уху. Когда один рыбак дал 6 окуней, другой — 8, а третий — 5, то окуней у них осталось поровну. Сколько окуней поймал каждый рыбак?
2) Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. Иа шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?
3) Боковая сторона равнобедренного треугольника на 13 см больше его основания. Периметр треугольника равен 68 см. Найдите стороны треугольника.
4) Периметр прямоугольника равен 114 дм, а его ширина меньше длины на 9 дм. Найдите стороны прямоугольника.
360. Решите задачу, составляя уравнение.
1) Сумма трёх чисел равна 72. Каждое следующее число на 12 больше предыдущего. Найдите эти числа.
2) ® Сумма двух чисел равна 58, а их разность — 4. Найдите эти числа.
361. Объясните, как составлено уравнение к задаче.
1) Расстояние между двумя пешеходами, идущими навстречу друг другу, 720 м. Скорость одного из них на 8 м/мин больше скорости другого. Найдите скорости пешеходов, если известно, что они встретились через 6 мин.
Решение.
и (м/мин) t (мин) 8 (М)
1-й пешеход X 6 бд: 720
2-й пешеход х + 8 6 6(д: + 8)
бд: + 6(х + 8) - 720.
117
2) Расстояние между двумя железнодорожными станциями 385 км. С этих станций навстречу друг другу выехали поезда. Первый поезд вышел раньше второго на 2 ч и двигался со скоростью 53 км/ч. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Найдите скорость второго поезда.
Решение.
V (км/ч) t (Ч) S (км)
1- й поезд 2- й поезд 53 X 2 + 3 3 53(2 + 3) Зх 385
53(2 + 3) + Зд: = 385.
362.1) Постройте три угла, в сумме образующие развёрнутый угол, так, чтобы первый был в 2 раза больше второго, а третий в 3 раза больше первого.
2) Постройте смежные углы, если известно, что один из них в 5 раз меньше другого.
Задачи на смекалку
363. 1) Поезд длиной 450 м проходит мост за 35 с, а мимо дежурного по станции он проходит за 15 с. Найдите скорость поезда и длину моста.
2) Поезд проходит мост длиной 450 м за 45 с, а мимо светофора он проходит за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
364. Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 13 см. Найдите длины сторон этого треугольника, зная, что АВ+АС^ 10 см. Ш 122
365. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 2008. Найдите уменьшаемое. Ш 123
118
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны а, б, с. Найдите её при а = 5 см, Ь — 2 дм, с - 3 дм 4 см.
2. Решите уравнение (л: + 37): 2 • 5 = 105. Ш 125
3. Решите задачу, составляя уравнение. Мальчиков в 5 классе на три человека больше, чем девочек. Сколько девочек в классе, если всего в нём 25 школьников?
Ш Ч. 1.С67
Доли и дроби
Понятие о долях и дробях
И Вы уже встречались с долями^ которые образуются при делении целого на равные части. Так» например, при делении целого на 7 равных частей получаются седьмые доли, при делении на две равные части полу^1аются вторые доли (их называют половинами), при делении на три равные части — третьи доли (трети), а при делении на четыре — четвёртые доли (четверти).
366. Ответьте на вопросы.
1) Как по-другому назвать: четвёртую часть часа; одну из двух равных частей яблока; сотую часть метра?
2) Сколько сантиметров содержится:
а) в половине метра;
б) в четверти метра;
в) в сотой части километра?
3) Сколько минут:
а) в трети часа; б) в половине часа; в) в четверти часа?
4) Чему равна одна сотая часть:
а) метра; б) килограмма; в) рубля?
5) Как зависит размер одной части от количества частей, на которые делят целое?
367. На вопрос: «Который час?* в разное время суток были даны следующие ответы:
1) половина первого;
2) четверть второго;
3) без четверти три.
Как иначе можно было ответить на этот вопрос?
120
368. Назовите время, которое показывают часы (рис. 111), используя слова половина и четверть.
369. Назовите отрезки на рисунке 112, которые равны:
А С D Е F G II В
Рис. И 2
3) четверти отрезка ЛВ;
4) шестой части отрезка АВ.
1) половине отрезка АВ;
2) трети отрезка АВ;
370. Известно, что MN — 6 см.
1) Изобразите в тетради отрезок, равный:
а) половине отрезка MN\ в) четверти отрезка MN\
б) трети отрезка MN\ г) шестой части отрезка MN.
2) Сравните полученные части отрезка.
371. Изобразите в тетради отрезок, пятой частью которого является отрезок BQ, если: 1) PQ * 2 см; 2) PQ = 1 см.
372. 1) Высота сфинкса равна пятидесятой части километра.
Найдите высоту сфинкса.
2) Площадь Северного Ледовитого океана 14 750 000 км^.
В зимний период десятая часть его площади не покрывается льдом. Вычислите площадь Северного Ледовитого океана, которая покрывается льдом.
121
3) Сколько стоит книга, если седьмая часть её цены составляет 23 рубля?
4) Напечатав 17 страниц, машинистка выполнила четверть своей работы. Сколько страниц ей осталось напечатать?
5) 0 Урок длится 45 мин. Продолжительность первой перемены составляет девятую часть урока, второй перемены — третью часть урока. Во сколько раз вторая перемена длиннее первой?
6) Куртка стоит 300 р. Сколько будет стоить куртка после увеличения её цены на сотую долю?
в м
Рис. 113
Отрезок AF (рис. 113) состоит из А двух третьих долей отрезка АВ, а отрезок AM — из четырёх третьих долей отрезка АВ. Таким образом, длина AF равна двум третьим долям, а длина AM равна четырём третьим долям длины АВ.
Величину, состоящую из одной или нескольких долей, обычно указывают в виде дроби.
Дробь состоит из горизонтальной черты, под чертой записывается число равных долей, на которые делилось (дробилось) целое, — знаменатель дроби^ а над чертой записывается, сколько таких долей было взято, — числитель дроби.
2
Так, две трети записывается в виде дроби ^, треть —
о
в виде дроби 5, три четверти — в виде дроби ^, семь пя-о 4
7
тых — в виде дроби - .
5
Правило чтения дробей
Числитель — количественное числительное женского рода (одна, две). Знаменатель — порядковое числительное (вторая, третья).
Образец чтения:
i — одна вторая, | — две третьих, | — четыре пятых. 0
122
б) в) г) д)
Рис. 114
373. На рисунке 114 закрашены части фигур. Для каждой фигуры запишите дробью, какая её часть закрашена. Замените дроби соответствующими буквами и прочитайте получившееся слово, если известно, что:
127 в
< _ • -Г<-(
г)
Рис. 115
374.1) Запишите дробью, какая часть фигуры закрашена на рисунке 115.
2) Прочитайте записанные дроби. Ш 126
375. Начертите квадрат со стороной 4 см. 129
3 б
1) Закрасьте: а) ^ квадрата; б) г квадрата.
4 о
2) Объясните, как вы рассуждали при закрашивании квадрата.
3) Найдите площади закрашенных частей квадрата.
Разговор о дробях мы начали с отрезков AF, АВ и AM (см. рис. 113). С помощью дробей мы можем записать соотно-
2 4
шение между их длинами: AF — -4-Л/ = g АН.
123
Отрезок AF меньше отрезка АВ, а отрезок AM больше отрезка АВ. Сравнивая дроби | и |» мы видим, что у первой из
них числитель меньше знаменателя, а у второй числитель больше знаменателя. в
Если числитель дроби меньше знаменателя, то её называют правильной^ а если числитель дроби больше или равен знаменателю — то неправильной.
376. 1) Запишите дробь:
а) одна десятая; д) одиннадцать двадцать пятых;
б) три восьмых; с) двадцать три сотых;
в) девять двенадцатых; ж) семнадцать одиннадцатых;
г) шесть шестых; з) две тысячных.
2) Сколько из записанных дробей оказались неправильными?
377. 1) Изобразите в тетради отрезок ЛВ длиной в 12 тетрадных
клеток. Отметьте на луче AS точки L, М, N, Р и R так,
чтобы: Ш 128
а) АК = ^АВ;
б) AL=^AB;
в)АМ=^АВ;
r)AN=^AB;
Л)АР=^АВ;
e)AR= 1аВ. ь
2) Как вы думаете, почему одни дроби назвали правильными, а другие неправильными?
378. Сколько существует:
1) правильных дробей со знаменателем: а) 2; б) 3; в) 5; г) 10;
2) неправильных дробей с числителем: а) 3; б) 7; в) 11? Приведите примеры таких дробей.
379. На рисунке 116 изображены отрезки. Вставьте пропущен-ные дроби:
с
•-
D
В
-т
Рис. Пб
124
1) АВ = 3) AD =
2) AD = ...CD; 4) BD - ...CB.
380. 1) Найдите координаты точек A, В, С, D, изображённых на рисунке 117. Ш 132 ^
О ДБ
ОД Б С £) а) I—I—•—<—
<5)
С D % ♦—^
о 10 1
Рис. 117
2) Постройте координатный луч так, чтобы на нём было удобно отметить точки: t -^(f)' ■^(^)' ^
9
381.1) При каких натуральных значениях х дробь - будет: Ш1 133
дг
а)правильной;
б)неправильной?
2) При каких натуральных значениях х дробь будет пра-
вильной, а дробь - неправильной?
X
382*. 1) Сравните доли: Щ] 134
ч 1 1
в) И
ч 1 1
ЙЧ 1 1
^>ТоТ”По^
4852 4851
г)
и
1010 ■' 1001 ’
2) Сформулируйте правило сравнения долей.
383.1) Расположите в порядке убывания доли:
1 J_ 1 J_ 1 2’ 11’ 5’ 14’ 17’ 8*
2)® Найдите закономерность и продолжите полученную последовательность долей.
384®. 1) Запишите с помощью дробей: Ш 130
а) какую часть метра составляют: 1 дм, 1 см, 1 мм, 9 дм, 52 мм, 27 см;
б) какую часть рубля составляют: 1 к,, 7 к., 27 к., ПО к.;
125 —
в) какую часть года составляют: 1 месяц, 7 месяцев, 12 месяцев, 13 месяцев;
г) какую часть часа составляют: 1 мин, 3 мин, 67 мин;
д) какую часть суток составляют: 1 ч, 7 ч, 13 ч, 24 ч.
2) Разбейте полученные дроби на две группы: правильные и неправильные.
385. Три килограмма конфет разделили поровну между восемью участниками экскурсии.
1) Какую часть всех конфет получил каждый экскурсант?
2) Какую часть килограмма получил каждый экскурсант?
3) Сколько граммов конфет получил каждый экскурсант?
386. Папа дал Алёше 12 карандашей и сказал: «Подари сестре
3
^ карандашей — она чаще рисует*. Сколько карандашей
Алёша должен подарить сестре?
Алёша нарисовал схему к задаче.
Затем записал решение:
1) 12:4 = 3(к.);
2) 3-3 = 9 (к.).
О т в е т. 9 карандашей.
Ответьте на вопросы.
1) Что обозначает весь отрезок на схеме?
2) Почему отрезок разбит на 4 части?
3) Почему на схеме отмечены 3 части?
4) Что Алёша нашёл в первом действии?
5) Что Алёша нашёл во втором действии?
387. 1) Выразите в других единицах измерения:
12к.
100 1000
3 5”* , 2 Д)дЧ:
3 2 е) ^ мин; и) \ кг.
т;
126
2) ® По какому правилу задания распределены в строки и столбцы?
3) ® Сформулируйте правило нахождения дроби от целого.
2
388®. 1) Математический диктант занял ^ времени урока.
Сколько минут пошло на математический диктант, если весь урок длился 45 мин?
2) В математическом тесте было 10 заданий. Ученик правильно выполнил I всего теста. Какую оценку получит уче-5
ник, если за 9 правильно выполненных заданий выставляется отметка «5», за 7 заданий — отметка *4», за 5 заданий — «3*?
389.1) Укажите на рисунке 118 отрезок:
а) половиной длины которого является длина отрезка KL\
б) четвертью длины которого является длина отрезка KL\
в) третью длины которого является длина отрезка KL.
2) Какой из названных отрезков самый короткий?
Ответ обоснуйте.
к L т S
м
N Е
Рис. 118
390. Длина отрезка CD равна 3 см. Найдите длину отрезка
MNj если!
\)CD= \ mN\ ы 4)С£>= %MN\
2) CD= \ О b)*CD=^MN-,
3)CD=^MN; 6)* CD=^MN. О
127
391. Найдите число, если известно, что: Ш 135
1) i его часть равна 7;
4) 2 числа равны 9; э
2) ^ его часть равна 8;
5) числа равны 10;
3) = числа равны 6;
о
6) ~ числа равны 18.
392. У Маши имеется 15 наклеек, что составляет ^ числа наклеек Лены. ^
Сколько наклеек у Лены? Решение.
1) 15 : 3 = 5 (н.); 2) 5 • 5 « 25 (н.). Ответ. 25 наклеек.
Ответьте на вопросы.
1) Что обозначает весь отрезок?
2) Почему отрезок разбит на 5 частей?
3) Почему на схеме отмечены 3 части?
4) Что найдено в первом действии?
5) Что найдено во втором действии?
~ —15 н.
D
?н.
393. На рисунке 119 выберите схему, которая соответствует условию задачи, и решите задачу по действиям.
1)В школе за день съели - всех фруктов. Сколько кило-
D
граммов фруктов съели в школе, если закуплено было 150 кг?
i — 150 кг 5
? кг а)
5-?кг
150 кг
б)
Рис. 119
128
о
2) В школе за день съели - всех фруктов, что составило
о
150 кг. Сколько килограммов фруктов было закуплено школой?
394®. 1) Когда прозвенел звонок, учитель раздал 15 тетрадей,
что составило - от всего количества тетрадей. Сколько тет-5
радей учителю осталось раздать?
2) В электрический чайник налили 400 мл воды, заполнив 2
5 его объёма. Сколько миллилитрюв воды вмещает чайник?
3
3) После продажи - всех яблок в магазине их оставалось
э
еще 100 кг. Сколько килограммов яблок продали? Сколько килограммов яблок было завезено в магазин?
2
4) Почтальон прошёл 6 км, что составило ^ всего его маршрута. Сколько километров осталось пройти почтальону?
5) Взошло 3 от всех 56 высаженных семян. Сколько семян
о
не взошло?
g
6) Из высаженных семян взошли 78, что составило всех высаженных семян. Сколько семян не взошло?
395®. Длина отрезка LK составляет ^ от длины отрезка MN.
о
Какой частью длины отрезка LK является длина отрезка МЮ
39б®. Лев Толстой как-то заметил, что человек — это дробь, числитель которой — то, что думают о нём другие, а знаменатель — что думает о себе он сам. Как вы считаете, какой дробью, правильной или неправильной, лучше быть? А вы себя какой дробью считаете?
129
Задачи на смекалку
397. Известно, что ткань после стирки
садится по длине на ~ часть и по
1о
ширине на ^ часть. Какой длины 15
надо взять отрез ткани шириной 90 см, чтобы после стирки площадь ткани стала 378 м^?
398. Найдите закономерность в представленной последовательности записи дробей и допишите следующие две дроби:
,.1.8, 5. 7. . лч 1.2. 3.4.
^ 2* 4* б’ 8............... ^ 2’ 3* 4’ 5’ *’**
^ 2’ 4’ 8’ 16......
399. Задача-шутка. Найдите какую-нибудь правильную дробь, которая не изменится, если в числителе и знаменателе числа перевернуть вверх ногами.
Контрольные вопросы и задания
1. Если у дроби поменять местами числитель и знаменатель, как изменится:
1) правильная дробь;
2) неправильная дробь?
2. Сколько в половине содержится:
1) четвертей; 3) десятых;
2) восьмых; 4) сотых?
3. 1) В классе 28 учеников, - из них составляют мальчики. Сколько девочек в классе?
с
2) Побелили 20 деревьев, что составило ^ числа всех деревьев сада. Сколько деревьев в саду? Н 7ест
130
Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями. Умножение дроби на натуральное число
в м
РнсЛ20
Рассмотрим отрезки AF, АВ и FM (рис. 120). ^
С помощью дробей можно выразить длины отрезков AF и FM через длину отрезка АВ:
AF - 1аВ, FM = \аВ. б б
Найдём теперь длину отрезка AM, равную сумме длин отрезков AF и FM.
AM^AF + FM= §АВ+ ~АВ.
5 5
Первое слагаемое суммы состоит из двух пятых долей отрезка АВ, а второе — из четырёх пятых, значит, отрезок AM состоит из шести пятых отрезка АВ.
\ab + \ав = = |ав. Н
б б 5 б
400.1) Заполните пропуски, выразив с К М N D
длину одного отрезка через длину Рис. 121
другого (рис. 121):
а) KC = ...CD; д) DM = ...CD;
б) КМ = ...CD; е) CD~...KM;
в) MN = ...CD; ж) KM--...MN\
г) СЛ/-...СГ); з) КМ= ...СК.
2) Поставьте вместо мншх)точий отрезки, чтобы получились верные равенства:
а) СМ»...+ ...; д)С^ =
б) + ...; е) КМ = ...- ...;
в)СЛ^ » ... + ... + ...; ж) СК = • • » 1
г) KD= ... + ... + ...; з) CN ... .
131
3) в полученных равенствах выразите длины отрезков через длину отрезка CD.
Мы говорили, что при измерении различных величин сначала выбирается единица измерения. Приняв на рисунке 120 длину отрезка АВ за единицу, мы полу'шм, что длина отрезка
2
AF равна двум пятым единицы или просто числу ■=. Соответ-
5
ственно, FM = ^ и AM = |. Тогда | ^ = р, и мы полу^гаем
О D ODD
правило сложения дробей с равными знаменателями.
npaBHvio сложения дробей с равными знаменателями При сложении дробей с равными знаменателями их числители складываются, а знаменатель остаётся прежним.
Рассуждая аналогичным образом, получим, что
АР = ЛМ-FM=\ - I = ^ = ?.
5 5 5 5
137J38
Правило вычитания дробей с равными знаменателями вы можете сформулировать самостоятельно, а объединённое правило сложения и вычитания дробей с равными знаменателями легко записать в буквенной форме:
а^Ь_с_а+Ь^с ^ d d d d ‘ ”
401.1) Запишите выражение и найдите его значение:
а) сумма пяти шестнадцатых и одиннадцати шестнадцатых;
б) разность двадцати семи сотых и девятнадцати сотых;
в) к тридцати двум пятьдесят третьим прибавить восемнадцать пятьдесят третьих;
г) из сорока трёх семидесятых вычесть двадцать шесть семидесятых;
д) от тридцати сорок третьих отнять двадцать три сорок третьих.
2) Сформулируйте правила чтения выражений с дробями.
132
402.1) Запишите в буквенной форме правило сложения двух дробей с равными знаменателями. Сформулируйте это правило.
2) Вычислите устно:
ч 1 . 5 3 ^ 7 , 9 ^ 21 ч 8 ^ 39. 72 . 19
а) ^ + ^; б) 12 13: в) 28 28 ’ 57 57 ^ 101 ^ 101 ‘
3) Как вы думаете, какая из сумм «лишняя*? Ш 139
403.1) Запишите в буквенной форме правило вычитания дробей с равными знаменателями. Сформулируйте это правило.
2) Вычислите устно:
,7 5 -ч 11 8 .53 27 ч 99
9’®^5 15’®^ 60 60*'’^
_ ч 390 _ 250 100 100^^^ 607 ” 607’
3) Как вы думаете, какая из разностей «лишняя*? Ш 140 404. Найдите координаты точек М и N на рисунке 122.
М _ N
3
6
Рнс. 122
405*. За единичный отрезок координатного луча принят отрезок длиной 15 см. Найдите длину отрезка АВ, если
в(|).еа 141
406. Найдите значение выражения;
1) + 593
1000 1000 ’
281 555.
389 389 ’
3)
4)
392 199
567*
573
567 902 1000 1000’
еч 193 391
207 207
6)
504
777
215.
207’
369
237 777 777•
407. 1) Андрей собрал | кг грибов, что на ^ кг меньше, чем собрал Максим. Сколько килограммов грибов собрали ребята?
133
2) До обеда на сканере скопировали jj рукописи, а после
4
обеда — — рукописи. Какую часть рукописи скопировали за день? Какую часть рукописи осталось скопировать?
408.1) В мешке 50 кг сахара. На варенье израсходовали ■= все-
5
го сахара, а на компоты — | всего сахара. Сколько килограммов сахара осталось в мешке?
2) В ателье по пошиву одежды на костюмы пошло 24 м тка-
2
ни, что составило ^ всей ткани, а на палью израсходовали
g
^ всей ткани. Сколько метров ткани осталось?
409.1) Запишите уравнение и решите его:
а) сумма икс и тринадцати семнадцатых равна шестнадцати семнадцатым;
б) разность игрек и одиннадцати пятнадцатых равна двум пятнадцатым.
2) Сформулируйте правило чтения уравнений с дробями. 410. Решите уравнение:
1) л: -I- — — — • ^^11 11’
^ 15 15’
3)# (X ^ _2_] - А => .
^ [ 17} 17 17’
^ 36 136 ) 36
Вы знаете, что сумма одинаковых натуральных чисел — это произведение одного из них на число слах'аемых. Точно так же сумма одинаковых дробей — это произведение одной из этих дробей на их количество в сумме:
24-2.2,2.2 2.
7 7 7 7 7 7
134
По правилу сложения дробей с равными знаменателями в левой части равенства получается
2 + 2 + 2^-2 + 2_2-5 7 7
2 2 2 2 2
7 7 7 7 7
2 2*5
Значит, • 5 = —^. Это приводит нас к правилу. Ш 142
Правило умножения дроби на натуральное число При умножении дроби на натуральное число её числитель умножают на это число, а знаменатель оставляют прежним.
411.1) Увеличьте каждую из следующих дробей в 2 раза: О 11123И55^^
2’ 3* 5* 5’ 7’ 19’ 4’ 6М0’ 18*
2) Увеличьте каждую из следующих дробей в 3 раза:
4’ 5’ 8’ 10’ 7’ 11 ’ 23’ 29’ 12* ^
3
412. Найдите число, которое больше числа = :
о
1) в 2 раза; 2) в Зраза; 3) в 5 раз.
413. Решите уравнение: Ш 144
2)л; : 13*
67’
4).:42=|-f|;
414. Найдите значение выражения: Ш 145
кй 7
1) а - Ьс, если
6 7
2) kd + mly если /г = —,с/*5, m-—,/=7.
135
415*. 1) Турист каждый день прохо-
g
дит всего маршрута. Пройдёт
ли турист весь маршрут: а) за 3 дня; б) за 4 дня?
2) Наборщица за один день может
4
набрать — текста рукописи. Успеет ли она набрать всю рукопись: а) за 4 дня; б) за 5 дней?
3) По расписанию автобус должен был идти 3 ч со скоростью 57 км/ч. Из-за проводившихся по пути следования ав-
2
тобуса дорожных работ за первый час он прошёл ~ всего пу-
ти, а за второй час — в 2 раза больше. Сколько километров ему осталось пройти за третий час?
2
4) В классе 34 ученика. Гимнастикой занимаются всех
учащихся класса» на лыжную секцию ходит в 3 раза больше учеников. Никто из учеников» занимающихся гимнастикой» UC посещает занятий лыжной секции. Сколько учеников класса не посещают ни секцию гимнастики, ни лыжную секцию?
416. Найдите:
1V 3 4
1) периметр треугольника» если его стороны равны —, jj
5
и м,
2) периметр равностороннего треугольника, если его стпро-
11
на составляет — дм;
. 3
3) периметр квадрата со стороной ^ дм;
о
И 7
4) периметр прямоугольника со сторонами jg ** jg
136
5) площадь прямоугольника со сторонами 2 см и | см;
D
6) объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого
g
равны 3 дм, 2 дм и - дм.
417. Найдите число, которое:
2 9
1) на больше, чем — ;
04 56 72
2) на меньше, чем jjg»
3) в 5 раз больше, чем ^ ;
13
4) в 10 раз больше, чем .
418. Запишите четыре дроби, первая из которых равна;
2 17
1) ^, а каждая следующая на ^ больше предыдущей;
OV 162 28
2) тттт;, а каждая следующая на меньше предыдущей;
163 1оЗ
3) 3 , а каждая следующая в 2 раза больше предыдущей. 5
419. В пустые клетки вставьте дроби так, чтобы получился магический квадрат с суммой чи-
17
нали. Ш 146
сел по вертикали, горизонтали и диаго*
2 17 9 17
5 17
6 17
Задачи на смекалку
420. Угадайте закономерность в порядке записи чисел и запишите следующие две дроби:
^ 12’ 12’ 12’ •••’
2)А.±. А.
^ 19’ 19’ 19’
17. И. П.
' 23’23’ 23’*"*
421. На одной чаше весов лежит головка сыра, а на другой — | ((
D
такой же головки и еще | кг. Сколько весит головка сыра?
137
422. Как изменится величина дроби, если к числителю прибавить знаменатель, а знаменатель оставить тем же?
423. Найдите все натуральные значения х, при которых будет
1 ^ X 2^5 верным неравенство ^ ^ ^.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте правила действий с дробями: а + Ь ^ лчв Ь а - Ь ^
1)^ + 1 d d
2^ ^ ^ d
3)2.п=^.
О т> ^ 17 9 ^ 6
2. Решите уравнение +
3. в первый день мастер выполнил всей работы, а во второй день — в 2 раза больше, чем в первый. Успел ли мастер выполнить задание за 2 дня? Ш 147 Н Тест
Треугольники
В большинстве геометрических задач речь так или иначе заходит о треугольниках.
Проведя диагональ BD в прямоугольнике ABCZ) (рис. 123), мы получим два равных прямоугольных треугольника ABD и СОВ.
Равенство этих треугольников позволяет ------------,с
сделать вывод о том, что площадь каждого из них в 2 раза меньше площади прямоугольника.
^ABCD AB’AD
’ABD
Рис. 123
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
138
424. Найдите площадь треугольника ABD, изображённого на рисунке 123, если:
1) ЛВ-12см, Л1) = 2м16см;
2) АВ - 5 дм 7 см, AD = 21 дм 2 см.
425. Найдите площади фигур, изображённых на рисунке 124.
5 см
2 см
а)
в)
4 см
Площадь любого треугольника можно найти, представляя её в виде суммы (рис. 125) или разности (рис. 126) площадей
соответствующих прямоугольных треугольников. ^
426®. Какие соображения позволяют переходить от одного выражения к другому в следующих цепочках равенств?
•••) ^АВС ~ ^АВН ^СВН “
_АИ-ВИ , ИС‘ВН _
2 2 “
АН-ВН + НС^ВП _
2
^ (АН + НОВН ^АС- ВН ^25).
А Ш
Рис. 125
139
^АВС ~ ^АВН ^СВИ ~
_АН-ВИ НС-ВН _
2 ” 2
_АН-ВИ~НС-ВН
2
_ (АН - НС)ВН _ АС • ВИ 2 “2 (см. рис. 126).
В
II
Общим катетом прямоугольных треугольников АВИ и СВН является перпендикуляр ВН « Л, опущенный на сторону АС треугольника, как на рисунке 125, или на её продолжение, как на рисунке 126.
Этот перпендикуляр является наименьшим из отрезков, соединяющих точку В с прямой АС.
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника на сторону или её продолжение, называют высотой треугольника. 0
Сторону, к которой проводится перпендикуляр, часто называют основанием треугольника. Используя понятия основания и высоты, можно сформулировать следующий вывод.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, опущенную на это основание. о
427. Найдите площадь треугольника, если известно, что его основание и высота равны соответственно:
1) 5 см и 7 см; 2) — дм и 3 дм; 3) | м и 6 дм; 4) см и 8 см. 1о о И
428. Постройте какой-нибудь треугольник и найдите его площадь. Ш 148
140
429. Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого на 5 см, а сумма катетов равна 19 см. Найдите площадь этого треугольника.
В
Рис. 127
Острые углы двух прямоугольных тре- А
угольников (см. рис. 123), на которые прямоугольник разрезается своей диагональю, составляют два прямых угла, значит, сумма острых углов одного прямоугольного треугольника в два раза меньше, т. е. 90^^.
Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^, мы можем найти сумму углов любого треугольника. Оказывается, что для этого его достаточно ра.зрезать на два прямоугольных треугольника (рис. 127). Сумма углов треугольника АВС равна сумме острых углов прямоугольных треугольников ANB и СНВ. Эта сумма равна 180°.
Сумма углов треугольника равна 180°.
430.1) Чему равен третий угол треугольника, если; Ш 149
а) один угол треугольника равен 48°, другой — 59°;
б) один угол треугольника равен 20°, другой — в 2 раза
больше; 2 1
в) один угол треугольника составляет ^ , другой — ^ суммы всех трёх углов?
2) Каким является полученный треугольник — остроугольным, прямоугольным или тупоугольным?
431. Найдите углы в треугольнике, зная, что: Ш 150
1) все его углы равны;
2) трсушльник прямоугольный и два его угла равны;
3) один угол в треугольнике равен 40°, а другие равны между собой;
2
4) один угол составляет ^ от суммы всех углов, а второй — в 2 раза больше первого. ^
141
432. Существует ли треугольник с углами: Ш 151
1) 30% 60% 90% 3) 45% 45% 90% 5) 67% 28% 86%
2) 60% 60% 60% 4) 2% 79% 99% 6) 45% 27% 81^?
433. Решите задачи, составляя уравнение.
1) Сумма двух углов треугольника равна 80®, один из них больше другого на 20°, Найдите все углы треугольника.
2) В треугольнике средний из углов вдвое больше меньшего, а больший втрое больше меньшего. Найдите величины углов треугольника.
3) Найдите величины углов треугольника, если известно, что второй угол в 2 раза больше первого, а третий — больше первого на 60°.
4) Найдите величины углов треугольника, если известно, что один угол на 35° меньше второго и на 25° меньше третьего.
5) Найдите величины углов треугольника, если известно,
^ 4
что второй угол составляет ^ от первого угла и на 10° меньше третьего. т 152
434. Практическая работа.
1) Начертите: а) четырёхугольник; б) пятиугольник.
2) Найдите сумму углов построенной фигуры. Ш 153
Равные прямоугольные треугольники, из которых состоит прямоугольник, можно сложить иначе (рис. 128 и 129).
На рисунке 128 получился равнобедренный треугольник, а на рисунке 129 — четырёхугольник, который своей диагональю BD делится на два равнобедренных треугольника с общим основанием. Равнобедренный треугольник похож на греческую букву Д — дельта, поэтому такой четырёхугольник называют дельтоидом.
Наиболее часто нам будет встречаться дельтоид, составленный из двух равных равнобедренных треугольников (рис. 130). Такой дельтоид имеет собственное имя — ромб. Все стороны такого четырёхугольника равны между собой.
142
в
в
с
Рнс.129
Рис. 130
Четырёхугольник, все стороны которого равны между собой, называется ромбом.
435. Прямоугольник разрезали по его диагоналям и из получившихся треугольников сложили два квадрата. Каким был исходный прямоугольник? Ш 154
436. Посмотрите на равнобедренный треугольник на рисунке 128.
1) Что вы можете сказать об углах, на которые высота ВИ делит угол В этого треугольника? 155
2) Чем является точка Н для основания треугольника АВН1
3) Что можно сказать об углах, прилежащих к основанию равнобедренного треугольника?
4) Найдите величины углов равнобедренного треугольни-
1
ка, если известно, что угол при основании составляет - от
угла между боковыми сторонами. Ш 156
437®. Посмотрите на рисунок 129.
Какие углы образуются при пересечении диагоналей дельтоида?
143
438®. На рисунке 131 изображён четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. )57,158
1) Каким треугольником является треугольник АВН7 Чему равна его площадь?
2) Каким треугольником является треугольник СВН7 Чему равна его площадь?
3) Чему равна площадь треугольника АБС?
4) Чему равна площадь треугольника ADC?
5) Чему равна площадь четырёхугольника ABCZ)?
6) Сделайте вывод о том, чему равна площадь четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
439®. Одна диагональ ромба на 15 см больше другой, а их сумма равна 93 см. Найдите площадь этого ромба.
С прямоугольным треугольником связана одна из самых знаменитых теорем геометрии — теорема Пифагора. Греческое слово теорема означает ♦доказанное утверждение*. Теорема Пифагора задаёт соотношение между катетами а и б и гипотенузой с прямоугольного треугольника. Докажем её.
На рисунке 132 квадрат со стороной п + б разрезан на части двумя способами. Б1сли убрать из каждого квадрата по четыре равных белых треугольника, то площади оставшихся частей квадратов будут равны. На первом рисунке останется квадрат со стороной с, а на втором — два квадрата со сторонами а и б. Значит, + Ь^.
D
а
Рис. 131
Ь а
а Ь
Рис. 132
144
Теорема Пифагора
Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
440*. В Древнем Египте ещё за 2000 лет до нашей эры прямой угол строили так. На верёвке на равных расстояниях друг от друга и от концов завязывали 11 узелков. Затем концы верёвки связывали так, чтобы образовавшийся узел оказался на таком же расстоянии от соседних с ним. Верёвку растягивали, держа за узелки так, что между первым и вторым растягивающим было 2 узелка, а между вторым и третьим — три узелка. Построением прямых углов занимались специалисты гарпедопапты — натягиватели верёвок, которые не посвящали в тайну построения прямого угла посторонних египтян.
1) Сколько узелков было между первым и третьим растягивающим?
2) Бели расстояние на натянутой верёвке между двумя соседними узелками равно 1 м, го какова длина верёвки с узелками?
3) Каковы длины сторон получившегося треугольника?
4) Проверьте, равна ли сумма квадратов двух из сторон этого треугольника квадрату его третьей стороны.
441®. Испюльзуя теорему Пифагора, докажите, что гипотенуза длиннее катета. в Ш 159
Только у прямоугольных треугольников сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны.
IHUlili 1Г
145
442.1) Проверьте, являются ли прямоугольными треугольники со сторонами:
а) 5 см, 12 см, 13 см; б) б см, 8 см, 10 см.
2) Найдите периметр и площадь этих треугольников.
443 •. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 3 см, а их сумма в 7 раз больше. Найдите площадь и периметр этого треугольника.
444*. Не вычисляя площадей треугольников со сторонами 5, 5, 6 и 5, 5, 8, определите, взглянув на рисунок 133, равны ли их площади.
Задачи на смекалку
445. Постройте квадрат, прямоугольник и прямоугольный треугольник, площади которых равны 16 см^, а длины сторон четырёхугольников и катетов треугольника выражаются натуральным числом в сантиметрах. Сравните их периметры.
446. Треугольник разрезали так, как показано на рисунке 134. Какую из фигур рисунка 135 нельзя составить из полученных частей?
Рис. 134
I I
б)
д)
146
Рис. 136
Рис. 137
447. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 136, зная, что площадь клетки равна | см^.
448. Разрежьте тупоугольный треугольник на остроугольные так, чтобы не осталось лишних частей.
449. Найдите сумму пронумерованных углов пятиконечной звезды (рис. 137).
450. Начертите квадрат и покажите, как его разрезать по одной прямой линии на две неравные части так, чтобы из них можно было сложить треугольник. Какую часть от площади квадрата составляет площадь большей из полученных
частей?
Контрольные вопросы и задания
1. Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?
2. Найдите площадь треугольника с основанием 5 см и высотой I см.
3. Найдите углы треугольника, если известно, что второй угол
о
составляет первого угла, а третий — на 20^^ больше второго.
4. Почему прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называют египетским? в Тест
147
Действия с дробями
Дробь как результат деления натуральных чисел
Деление яблока на три равные части приводит к дроби 5.
3
Если делить десять яблок, можно разделить на 3 каждое
яблоко — получится 30 частей по ^ яблока, и каждому из тро-
о
их любителей яблок достанется по 10 таких частей, т. е. по ^ яблока. Деление десяти яблок на три равные части привело
нас к дроби .
Математика имеет дело не с конкретными предметами (яблоками, апельсинами, конфетами и т. п.), а с числами. Математики говорят, что при делении числа десять на число три полу-
10
чается дробь — десять третьих^ и пишут 10 : 3 =
3
При делении натурального числа а на натуральное число Ь
а
получается дробь -.
, а
Черта дроби означает то же самое, что и знак деления «:», и используется в математике даже чаще него,
148
451.1) Запишите в виде дроби частное: Ш 161 О
а) 3 : 7; б) 9 : 10; в) 1 : 12; г) 47 : 1; д) 42 : 21; е) 51 : 51.
2) Назовите правильные и неправильные дроби.
3) Есть ли среди получившихся дробей натуральные числа? Если есть, назовите их.
452. Запишите в виде частного дробь: Ш 160
1)
27’
04 13 04 431 .4
2>Ш’
121. 121 ’
6)*.
453. Найдите неизвестное число х:Ш 162 в
1)^=х;
100
3) — = 28;
ОС
2>|
9;
4)^ ^ 12
10;
6) ™ = 1.
X
ч 16 ,
в) И 1;
, 34 99
'■>34 “99 =
, 4 5
Л>5“4 =
е) i и 0.
454.1) Сравните числа:
а) | и1;
б) I и 1;
2) ® Сформулируйте определение правильной дроби, сравнивая её с единицей.
3) * Сформулируйте определение неправильной дроби, сравнивая её с единицей.
4) Сформулируйте вывод о сравнении правильной дроби с неправильной.
455. 1) При каких натуральных значениях d дробь будет: а) правильной; б)неправильной?
7
2) При каких натуральных значениях d дрюбь ^ будет:
а) правильной; б)неправильной?
3) * При каких натуральных значениях d дробь ^ будет правильной, а дробь - — неправильной?
149
456. Вставьте пропущенные числа:
1) 1 = 12. » 5) 13’
2) 3 = Т’ 6) 10+ ® — * * * • 7 ’
3) 9 = Too* 7) 23 _ 11 “ *■
4) 12 = "И* 8) 300 15 ■ ... Ш
457. Решите уравнение:
1) X _ 7 “ 12; 4) У-12 31 = 5;
2) 56 ^ У = 8; 5) 2г + 32 17 ^ *
3) X + 21 ■5 =10; 6) 81 2х+ 3 -9.
Чтобы разделить десять яблок на троих порювну, совсем не обязательно разрезать каждое яблоко. Разумнее было бы раздать по три целых яблока, а затем десятое яблоко разрезать на три равные части. Тогда каждому досталось бы по три целых яблока и ещё по ^ яблока, т. е. ^ = 3 +
о о о
Выражение 3 + ^ является суммой натурального числа и
правильной дроби. Обычно такие суммы называют смешанными числами и записывают сокращённо, пропуская знак « + * между целой и дробной частями:
3 + i = Зд (читается: *три целых одна третья*).
*5 <3
В начале пункта при делении 10 на 3 получилась дробь
10
Теперь этот же результат мы записали в виде смешаннохх) чис-лаЗ^.т. е. у =з|. Ш 163
150
458. Запишите числа:
1) числитель дроби триста один, знаменатель триста двадцать пять;
2) двсналдйть восемнадцатых;
3) одна целая три четвёртых;
4) двадцать три целых пять восьмых.
459. На координатном луче отмечены точки (рис. 138). Запишите координаты точек неправильными дробями и смешанными числами.
О Е А В С
О
О
Е
-f-
А В
К
Е
2
L
3
М
N
2 3
Рнс. 138
460. Начертите координатный луч, приняв за единичный отрезок 6 клеток тетради. Отметьте на координатном лу^1е точ-
ки: r(l|).s(2|),fl(2l),p(^).
461. Скажите, между какими последовательными натуральными числами заключено число: Ш 165
16
i)i|:
2)5
17’
3)32|;
4) 99 .Ё?.
462. Представьте смешанное число в виде суммы его целой и дробной частей:
1)2|;
2)12^;
463. Без каких знаков «+» можно обойтись в выражениях:
1) 5 + ? •
9’
4)1 + |+3 + |;
2) 3 + 1;
3) 3 + 2+
5) * 2 * 2;
6) *4 +
151
464. Выпишите и прочитайте все смешанные числа, у которых целая часть равна 5, а знаменатель дробной части равен б.
С делением 10 на 3 вы встречались ещё задолго до знакомства с дробями. Это действие называлось делением с остатком. При делении 10 на 3 получается неполное частное^ равное 3, и остаток, равный 1, что записывается следующим образом:
10 : 3 = 3 (ост. 1).
Правила перехода от неправильной дроби к смешанному числу и обратно
Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, нужно разделить с остатком числитель дроби на её знаменатель: неполное частное дает целую часть смешанного числа, а остаток — числитель его дробной части.
Например, 31 : 7 = 4 (ост. 3), значит, ^ = 4^ .
Чтобы записать смешанное число в виде дроби, знаменатель дробной части смешанного числа умножают на целую часть, прибавляют числитель дробной части и записывают результат в числитель.
4 + 3 _ 31 7 7 ‘
3 7
Например, 4- —
465. Замените равенством неправильной дроби и смешанного числа запись деления с остатком:
1)22;5 = 4(ост. 2); 3) 24 : 7 = 3(ост. 3);^Ш 166
2) 46 : 8 = 5 (ост. 6); 4) 131 : 12 = 10 (ост. 11).
'. Вставьте вместо многоточия пропущенное число:
7)6?
2)Н.З-; 5)9^ = f; 8)т--а
3)4-Т= 6)5^-^^; 9)2|
152
467. 1) Представьте в виде смешанного числа неправильную дробь:
8. 43 . 13’ . 1785.
7’
15. 10’ г) • ' 23 ’
2) Назовите целую и дробную части полученного смешанного числа.
468. Запихните в виде неправильной дроби числа:
31.
Чо’
23
2. 7’ 3)12^; 5)
9 И’ 6)
111
469. Выразите: ^
1) в часах: а) 2 ч 37 мин; б) 43 мин; в) 1 сут 5 ч 13 мин;
2) в километрах: а) 7 км 137 м; б) 21 км 701 м; в) 503 м.
470. Устно решите уравнение: Ш ^68
1) 2| +л:-2|;
2) 5||-у = 0;
4710, Решите уравнение:
1) = 186;
3) 71-г = 7|;
4) д:+2-45;
31
3) ^ -t- 202
2)2 f
180 JC- 11
«22;
4)
17
Zx - 168 15
300;
-12 = 58. Ш 171 О
472. Решите задачу и запишите ответ в виде смешанного числа.
1) Из 6 м ткани сшили 4 одинаковых школьных костюма. Сколько метров ткани пошло на один костюм?
2) В школе за 5 дней ученики съели 123 кг хлеба. Сколько килограммов хлеба съедают в школе за день?
3) За 3 ч машинистка напечатала 76 страниц. Сколько страниц машинистка печатает за 1 ч?
153
4) Каждый из пяти членов семьи использует в день пачки чая в пакетиках. Сколько таких пачек чая нужно семье на один день?
5) На 9 пальто пошло 50 м ткани. Сколько метров ткани потребуется на 3 таких пальто?
6) Автобус за 5 ч проходит 312 км. Сколько километров пройдёт автобус за 7 ч?
7) Ежемесячный бюджет семьи Кузнецовых составляет 23 501 р. Сколько рублей приходится на каждою из четырёх членов семьи в месяц?
473. Какое число нужно вставить в пустую клетку, чтобы сумма всех чисел была равна 10? Ш 167,169 ^
1)
474. Расположите в порядке возрастания числа:
224 1427 513 975
1)2- — — 4- 2-• ^ 6’ 81 * 24’ 7’ ^2^
2)
18 * 234 ’ 93 ’ 117*
475^. Найдите закономерность и вставьте пропущенные числа:
Ш 172
1) 2’ ^2’ ^2’
2)i....2?,3^,4|;
476*. Найдите закономерность и запишите следующие два числа:
12 20 30 4 ’ 5 ’ 6 ’**•’
29
7 ’ **■
18 27 8 * 8......
1)9- 8? 7-^ 9’ 9’ 9’
2)5^ 27 5З ^^^5’ 5 ’ 5 5)li
О) 1 ^ 2^ 3^
Ш 170
15 ^1 7 ’ ^7’
154
Задачи на смекалку
477. Заполните пустые клетки так, чтобы полу'шть наибольший из возможных остатков 6D : 17 = □ (ост. DO). Ш 173
478. На кондитерской фабрике в каждую коробку шоколадных конфет вкладывают талон. За 10 накопленных талонов покупателю бесплатно выдаётся коробка конфет. Какую часть стоимости коробки составляет стоимость одного талона?
13
479. От полудня до настоящей минуты прошло ^ сут. Который теперь час?
480. Как разделить 4 л молока, которое находится в кувшине, между двумя друзьями поровну при условии, что у них имеются и.з посуды только два пустых кув-
1пина: один, вмещающий 2^ л, и другой, вмещающий 1^ л?
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите равенство (а + Ь): с - а : с + Ь : с, заменив знак деления дробной чертой. Сформулируйте правило деления суммы на число.
123
2. Запишите неправильную дробь в виде смешанного
числа.
3. Запишите смешанное число 2— в виде неправильной
15
дроби, и Тест
155
Деление дроби на натуральное число. Основное свойство дроби
К правилу умножения дроби на натуральное число мы пришли. складывая несколько одинаковых дробей. Например.
2 =^ 2 2 2 2 2 ^^
3 3 3 3 3 3 3 *3'
Этот же результат можно получить и из чисто практических соображений. При делении двух яблок на троих каждо-2
му достается по ^ яблока. Если бы яблок было в 5 раз больше
(2 • 5 = 10), то каждому досталось бы больше в 5 раз, т. е.
2 ■ 5 _ 2 с
— =
Увеличение числителя дроби в несколько раз приводит к увеличению дроби во столько же раз.
Рассмотрим ещё одну ситуацию. Пусть, например, 10 яблок делят не на троих, а на девятерых (9 »» 3*3). При увеличении числа любителей яблок доля каждого уме1£ьшается. Поскольку претендентов на яблоки стало в 3 раза больше, то доля каждого
в 3 раза уменьшилась, т. е. ~ * ^ ^ ^ ^ приводит нас
к правилу деления дроби на натуральное число.
Правило деления дроби на натуральное число При делении дроби на натуральное число её знаменатель умножают на это число.
а а
> : m = —. о от
156
481*. Покажите с помощью отрезков, что значит: Ш 174
g
1) увеличить дробь ^ в 2 раза;
э
3
2) уменьшить дробь ? в 2 раза.
D
482. Как изменится дробь: Ш 177 фф
к
1) р:, если её числитель умножить на 2;
У
2) ^ , если её числитель разделить на 2; о
3) i , если её знаменатель умножить на 2; о
4) ^, если её знаменатель разделить на 2?
483*. 1) Как увеличить число | в 3 раза?
о
2) Как уменьшить число ^ в 5 раз?
484. Разделите устно центральное число на числа, записанные в кружочках (рис. 139).
485. Найдите значение выражения:
Рис. 139
157
486. Как изменится дробь, если:
1) её числитель умножить на 2;
2) её знаменатель умножить на 4;
3) ^ её числитель умножить на 4, а знаменатель умножить на 2;
4) * её числитель и знаменатель умножить ка 3?
Если сначала числитель дроби умножить на 3, то дробь в 3 раза увеличится, если же затем умножить на 3 и её знаменатель, то дробь в 3 раза уменьшится, т. е. в итоге она не изменится!
Основное свойство дроби
При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число величина дроби не изменяется.
а
Ь
ап Ьп *
Это свойство дроби настолько часто используется в математике, что его назвали осиовныле. ^
487. Какая часть каждого из прямоугольников, представленных на рисунке 140, закрашена? Какое свойство дроби иллюстрирует этот рисунок? Ш 175
а)1 I
б)
в)
г)
Рис. 140
158
12
ОФОО
6 6 6 6
Рис. 141
488. С помощью модели часов (рис. 141) объясните равенство
дробей : т 174
IV 1 3 15, 3) 3 _ 9 45.
1>4 = 12 “ 60* 4 12 60’
^ = 6 30. л \ 1 _ 4 20
12 “ 60’ 4) 3 12 “ 60*
489. Верны ли равенства:
^>1 = 2. 6* 2)| " 50* 3) 3 13 ■ _ 15. ‘ 65* 4) 7 10
70 ^ 100*
Объясните, как получены равные дроби.
490. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 замените равными им дробями со знаменателем: 1) 9; 2) 11.
4910. Числа ^ > I» замените равными им дробями
со знаменателем: 1) 8; 2) 100. Ш 178
3
492.1) Представьте ~ в виде дроби со знаменателем:
а) 8;
б) 20;
в) 36;
г) 96.
2) Представьте | в виде дроби со знаменателем:
D
а) 15;
б) 35;
в) 80;
г) 100.
493*. 1) Какие из следующих ниже дробей нельзя заменить равными им дробями со знаменателем 100:
2 ’ 4 * 5 * 6 ’ 8 Чо * 20 * 25 * 50 ^5 *
1S9
2) Что произойдёт с числителями остальных дробей при замене?
3) Запишите дроби со знаменателем 100, которыми можно заменить данные дроби.
494®. Можно ли дробь | заменить равной ей дробью со знаме-
0
нателем:
1)12;
2)15;
3) 600;
4)31?
Если и числитель, и знаменатель некоторой дроби делятся на одно и то же натуральное число, то дробь можно упростить, или, как говорят в математике, сократить на это число. Так,
^ 48
например, мы можем сократить дробь —, разделив ее числи-
оО
4
тсль и знаменатель на 12. При этом получим - . Действительно,
э
умножив числитель и знаменатель дроби р на 12, мы вернём-
О
СЯ к исходной дроби I? . Значит, по основному свойству дроби
1? = 1 60 “ 5 ‘
в
Дроби, которые можно сократить, называют сократимыми.
495. На каком из кругов, представленных на рисунке 142, закрашенная часть составляет одну треть?
о)
б)
в)
Рис. 142
г)
д)
160
496.1) Верны ли равенства:
, 44 4
J7 7;
лИ2 _ 6.
^^ 63 9 ’
, 35 7
^>45 = 9*
г)
530
53
1000 100
2) Объясните, как получены равные дроби.
Сокращать дробь можно постепенно. Например,
12
120
60
4
66
20
£
1
5*
497. Сократите, если возможно, следующие дроби: Ш 179 О п2.1^.4.£.21.1^.1^.1^.3.£.16.18.
Ч Чт * 8 Чб Чб ’ 14 * 21 ’ 16 ’ 9 ’ 12 ’ 21 ’ 24 *
«.Q 20. 8. 12. 15
1 Z! ’ с » ел ♦
32 140
144 35 35
16 ’ 5 ’ 60 * 131 * 128 ’ 22 ’ 140 * 12 ’ 84 * 15 *
о'п 42 . 36 . 43 . 90. 27 . 51 . 63 . 17 . 20 . 100 32 ’ 84 ’ 98 ^ 75 * 63 ^ 85 ’ 42 ’ 100 ^ 36 ’ 250 ‘
498. Запишите в виде смешанного числа, по возможности со-
кратив дробь:
1)^; 720 600 ’
2)|: 4)t“; Й4 660 420 •
499. Вставьте пропущенные числа: Ш 180 4^
14 5 _ 25 8
2) — = —’ ^52 13’
04 11 55.
4)15 = ±.
27’
51 А
^М9 57’
в\ —
' 100 10 *
7 19 1 2 17 5
500. Замените дроби тъ^ тб* г.* тп* z равными им дробями
12 4о 2 о 24 Ь
со знаменателем 96.
161
501.1) Найдите равные среди дробей:
2963 90 316 45
18’ 10’ 54’ 27’ 100’ 7’ 9’ 14’ 50’
2) Приведите свои примеры дробей, равных данным.
502*. 1) Расставьте в порядке возрастания числа:
1 15 3 1 1 3 2’ 16’ 8’4' ’4*
49 5 3 7 27
2) Расставьте в порядке убывания числа: ’ 6 * 2 ’ 4 ’ Т2
503. Вычислите: Ш 181,182
7
2)f:7;
4) у : 4;
504. Найдите значение выражения:
1) ~ при rf, равном: а) 1; б) 0; в) 15; г) 45; д) 3;
1о
п(\
2) -т- при by равном: а) 1; б) 50; в) 10; г) 60; д) 100.
о
32
505. Запишите пять чисел, первое из которых равно ^ , а каж-
л
дое следующее в 2 раза меньше предыдущего.
506.1) Чтобы собрать 100 г мёда, пчела доставляет в улей 16 тыс. нош нектара. Какова масса одной ноши нектара?
2) За сутки матка пчелы отклады-вает 2000 яиц. Сколько яиц она откладывает за 1 ч? 183
507. Какую часть развёрнутого угла составляет угол, равный:
1) 1*^; 3)30°; 5)90°; 7)45°;
2) 10°; 4) 60°; 6) 120°; 8) 135°?
162
508. Выразите:
1) 100 М ...см; 5) 1 ^ а .. . м^;
2) 3 y^T-...ц; 6) 1 w2 = 25 “ '... см^;
3) 1 2 - км'^ = ... га; 4 7) ... дм^;
4) 2 ^га=...а; 8) i™’ = ... см^
Задачи на смекалку
509. После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?
510. Какими способами можно разделить: Ш 184
1) три равных отрезка на 4 равные части;
2) пять равных отрезков на 3 равные части?
Какое наименьшее число частей можно при этом получить?
511.1) Запишите все дроби вида -, если известно, что:
У
а) К JC < 3, 5 < < 8; в) 10 < д: < 12. 12 < */ < 15;
б) 3 < дг < 5, 4 < t/ < 7; г) 9 < х < 11, 10 < I/ < 13.
2) Сколько среди получившихся дробей сократимых?
3) Сколько среди получившихся дробей правильных?
512. Найдите закономерность и вставьте пропущенное число.
Ш 185
513. Разделите головку сыра (рис. 143) тремя разрезами на 8 одинаковых частей. Ш 186
163
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите свойство частного {а :Ь) •с = {а*с): Ьс помощью дробной черты. Сформулируйте данное свойство. ^ Тест
2, Сформулируйте следующее свойство дроби: Ш 187
а • с а
Ъ’
1)
а
_ а ,
fo • с & •
2)
Ь • с
3. Как изменится дробь, если числитель дроби увеличить в 3 раза, а знаменатель увеличить в 6 раз?
4. Сократите дробь — и запишите эту дробь в виде смешанно-
о
го числа.
5. Замените дробь ^ равной ей дробью со знаменателем 90.
Сравнение дробей
514. Что общего у дробей в каждой строке? Сравните дроби и сформулируйте правило сравнения таких дробей: Ш 193
14 ч 1 1
1) а)2 и-
2) а)|„?
3) а)|и?
6)ini
. 9 9
То” 100 =
7 9
">1о“То*
D-Lh-L.
^ 125 457'
, 34 34
567 “ 568'
V 31 57
г) и
100 100
Легко сравнивать дроби, числители которых равны. Иред-
2
ставив, например, что - — доля каждого при дележе трёх яблок на четверых, а | — доля при дележе тех же яблок на пяте-
3 3
рых, получим, что ^ ^ ^ • Так же просто сравнить дроби с рав-
164
ными знаменателями. Понятно, что чем больше яблок делишь,
6 5
тем больше будет доля каждохч). Например, ^ ^ . Н
Правила сравнения дробей с одинаковыми числителями или одинаковыми знаменателями Из дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше.
Из дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше.
515. Каким правилом вы будете пользоваться при сравнении дробей в каждом из следующих случаев? Сравните дроби:
,, 9 9 04
17 ” 19’
27 27.
100 ” 98’
Ь Ь
04 4 19 ^4 3 2
41
6) — и
41
С +
Ш 197
516. Расположите в порядке возрастания числа:
J_ ^ ^ ^ Ш 188
100* 100* 100’ 100* 100* 100*
_._тт -„333 333 3 -
1) наибольшую; 2) наименьшую. Ш 189
518. Найдите такие натуральные значения х, чтобы были верными неравенства:
3)f - .
Замену дробен равными им дробями с одинаковыми [ знаменателями называют приведением, дробей к общему знаменателю.
519. Сравните дроби: ^
1,3 5
04 5 4
04 7 71
4)^и-;
СЧ 5 2
«ч 2 3
®>15“20
190
3 5 7
За общий знаменатель дробей 4 » g g можно взять, например, их произведение 4 • 6 • 8 = 184. Но обычно стараются выбирать наименьшее число — наименьший общий знаменатель. В нашем примере его найти нетрудно — это число 24:
Z=21^
4 24 ’ 6 24 ” 8 24 * ^
520. Приведите к общему знаменателю и расположите в порядке возрастания дроби: Ш 191 ^
1)1 2 3. ^ 2’ 3’ 5*
2)1 ? 1-
3’ 7* 9’
04 5 3 5 .
' 6* 8’ 12*
4)11 ® ^
^ 36 ’ 4 ’ 72 *
166
521 о. 1) Приведите к общему знаменателю дроби: Ш 192 ^
7 14 2. М* 8’ 21 * 3'
2 1 J_ _5
Ч’ 3’ 12* 18*
Запишите их в порядке возрастания.
2) Приведите к общему знаменателю дроби:
. 1 3 5 2. ^ 2 ’ 4 * 8 ’ 3 ’
д. 5 1 _4_ 2 Ч* 3* 15’ 5*
Запишите их в порядке убывания. 522. Сравните числа:
1) 1иЬ
2) |и1;
3) ^и1;
4) | и1;
йч 11 999 .
10 “ 1000’
74 5 6
^>5*^5’
QV 101 -
7 8 9
523*. 1) Сравните дроби я ♦ х . тл с единицей и узнайте, какая
О г) 10
из дробей наибольшая.
04 гя « 99 100 101 о о
2) Сравните дроби » щ » ^ единицей и узнайте, ка-
кая из дробей наименьшая.
5 10
3) Сравните дроби ^,
20 1 4 99 9 .
Т7С с единицей
б’ 11 ’ 21 ’ 2’ 5’ 100’ 10 и расположите их в порядке убывания. Ш 194
524*. 1) Сравните дроби А» с дробью i и узнайте, ка-
14 40 1Ь 4
кая из дробей наибольшая.
2) Сравните дроби ^» М * i с дробью i и узнайте, какая из
14 ыУ} О А
дробей наименьшая. Ш 195
525*. 1) Не приводя дроби к общему знаменателю, сравните:
.4 2 3
3 “ 4 ’
«48 3
®>Т5«7’
4 19 29
60 ” 90 ■
2) Составьте ещё несколько пар дробей, которые можно сравнить без приведения их к общему знаменателю.
167
526. Сравните: Ш 196
1Л 1 1
4) 7 КГ И 250 г; 4
д\ 3 3 4
6) __м** и
1000
100
ДМ'
527. Средняя продолжительность сна взрослого человека 8 ч, средняя продолжительность сна ребёнка составляет ^ сут.
1) На сколько часов меньше спит взрослый по сравнению с ребёнком?
2) Какую часть суток взрослый человек бодрствует?
3) Сколько часов ребёнок бодрствует? Ш 198
2
528.1) Расстояние от Солнца до Меркурия составляет - , а рас-
э
стояние от Солнца до Венеры — расстояния от Солнца до
Земли. Какая планета расположена ближе к Солнцу — Меркурий или Венера?
3 11
2) Масса Меркурия составляет —, масса Марса — ,
ои 1 ии
g
а масса Луны — массы Земли. Какое из этих космиче-ских тел имеет меньшую массу?
168
529. 1) Денис решил контрольную работу за г ч, а Максим —
о
за ч. Кто из них быстрее решил контрольную работу?
X. ш
5 11
2) За неделю брат прочитал книги, а сестра — ^ этой
же книги. Кто прочитал больше страниц — сестра или брат?
8 3
3) Возраст дочери составляет , а возраст сына — ^ возраста отца. Кто старше — сын или дочь?
4) * Первый баскетболист бросил мяч в корзину 70 раз и попал 50 раз, второй из 60 бросков попал 45 раз.
Кто из баскетболистов чаще попадает в корзину?
530. !)• Родители Лены тратят на оплату жилья Д: своего семейного
15
бюджета, родители Сергея — ^.
В какой семье доход больше, если обе семьи платят за квартиры одинаковые суммы?
2) В семьях Кати и Оли одинаковый доход. Родители Кати отдают за квартиру ~, а родители Оли — ^ семейного бюджета.
У какой семьи жилищные условия лучше?
531. Выберите правильные утверждения и запишите число, составленное из их номеров в порядке следования утверждений.
1) Числитель правильной дроби больше её знаменателя.
2) Правильная дробь расположена на координатном луче левее единицы. Ш 199
-169 —
л
1
Рис. 144
3) Если в дроби ^ поменять местами числитель и знаменатель, то величина дроби увеличится.
4 222 m
МП 202*
5) Точка Л, отмеченная на координатном луче (рис. 144), имеет координату 6. Ш 200
2 2 6
6) Числа -,1,15 и 5 записаны в порядке возрастания.
о О о
7) Правильная дробь больше единицы.
8) Можно записать 5 различных правильных дробей со знаменателем 5.
2
9) -г от 40 составляет 16. о
10) Дробь
п
п + 1
неправильная при .тюбом натуральном п.
Задачи на смекалку
532. Какое время показывают часы, если до конца су'гок осталась i часть времени, прошедшего от их начала?
533. Сравните дроби: 1) | и ; 2) 1| и ^.
534.1) Найдите какую-нибудь дробь с однозначным знаменате-
7 8
лем, которая была бы больше ^, но меньше ^ .
2) Найдите наименьшую дробь со знаменателем 7, большую
1 2
5, но меньшую ^ . о о
170
Контрольные вопросы и задания
1. Как можно сравнить две дроби? Приведите примеры.
2. Сравните дроби: ^ Тест
,, 50 57
99 “ 99’
о, 99 99
2>Тоо“ТоТ’
99 100
Сложение и вычитание дробей
535,1) Вычислите устно:
1+5. А + ^. -5.+Ц. 9А+®..
77’ 11 11’ 17 17’ 19 19’
2)® Как вы думаете, какая из сумм ♦лишняя*?
X + 15
27 27*
Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями вы уже научились. Так, например,
7_
17*
4 11 8 _ 4 4 11 -8
17 17 17 17
Если же знаменатели дробей различны, поможет уже знакомое вам по предыдущему пункту преобразование — приведение дробей к общему знаменателю:
20 _ 30 4 27 - 20 _ 37 36
5 3_5^30 27
6 4 9 36 36
36
36*
т 201
Числа, на которые умножаются числители и знаменатели исходных дробей при преобразовании, называют дополнительными множителями. Их удобно записывать над дробями:
5VS. 3V5. _ б’ч* _ 30 + 27 - 20 _ 37 ^
6 4 9 36 36 * ^
536. 1) Вычислите: | + i ; i - i; 1 + i ; | ^. (Ш 202
2) Найдите закономерность и продолжите цепочку выражений.
171
537. 1) Вычислите: I +
2) Найдите закономерность и продолжите цепочку выражений. Ш 203
538. Вычислите: в
1) 5+3. S 4’
2) 5 + “ •
9 ^15’
7) А - А.
4l 12’
И 8*
539. Выполните действия:
^ 2 7 4’
2) i + ? - i -
^^9^4 5’
^ 2 4 8 ’
51^ - A + 1.
15 6’
5 . 5 3
5)l2"-6"4 =
7)^-A + 1.
S 10 2*
_7
25
9)6 -li + A.
^ 7 42 12’
10) A + A _ ?.
11 33 4’
11) 11-19 + ^.
^ 60 80 40 ’
21 . 13 _ 26 ^^^ 33 44 55*
При сложении и вычитании смешанных чисел удобнее действовать отдельно с целыми и дробными частями: Ш 204 е
1 +
30 + 8-21 36
ill.
36
Иногда, правда, приходится «перетаскивать» к дробным частям единицу: Ш 205
9 4.28- 15 _о13 24 '^24*
540.1) Объясните, как выполнено вычитание в примере:
3 70 3 67 -6 •
10 10 10 " 10 ^То’
3 6 + 10 3 бА.
10 10 10 “ 10
172
2) Вычислите:
^ 3*^ 4....
3) ® Найдите закономерность и продолжите цепочку разностей.
541.1) Вычислите устно: О
7 7’ 11 11* 17 17* 27 27'
2)^ Как вы думаете» какая из разностей «лишняя»?
542. Вычислите: Ш 206 О
24-
2)l|+4i+3|;
«21т|-иЙ+18И.
543*. Выполните сложение рационально: Ш 208
2) si +si +13| +зА +105 + П~ +=.
11
11
544.1) Найдите сумму: Ш 207
7
а)А +_Ё_
^ 10 ^ 100
+
100
1000’
2 . 2
+
1000*
b)2.№ + 6.10+1 + A + j|,+^,;
г) 7-103 +9+:А.
2) Запишите число в виде суммы дробей, знаменателями которых являются степени числа 10:
а)
17 . 100*
б)
369 . 1000*
. 65
г)
273
105'
173
545. Рабочий выполнил за первый день ^, за второй — и за
Э 1U
третий — ^ часть всей работы. Какую часть работы он вы-15
полнил за эти три дня? Какая часть работы ему осталась?
54б®,Два поезда отправились одновременно навстречу друг другу от двух станций, расстояние между которыми один поезд проходит за 24 мин, другой — за 36 мин. На какую часть этого расстояния сблизятся поезда за первые б мин?
547. Масса сосуда с жидкостью равна 3^ кг, а масса пустого
<т
сосуда — кг. Какова масса жидкости? Ш 209
548. От мотка проволоки длиной 60 м отрезали 2 раза по
3 3
9т м, затем 3 раза по Ют м. Сколько метров проволоки
4 5
осталось в мотке?
549.1) После того как из одного ящика переложили в другой
о
4т кг яблок, в каждом ящике оказалось по 16 кг яблок. 4
Сколько килограммов яблок было в каждом из ящиков первоначально?
2)* Яблоки лежали в двух ящиках. Для того чтобы в обоих ящиках яблок стало поровну, пришлось из первого ящика переложить во второй 4^ кг яблок.
Па сколько килограммов яблок больше было в первом ящике?
550.1) Заказанная работа была выполнена за три дня. В первый день было сделано ^ всей работы, а во второй — ^. Какую часть работы выполнили в третий день?
- 17А
2) Рабочий за 4 дня выполнил некоторую работу, сделав в первый день
3 7
^, во второй день — —, а в тре-
g
тий — 5 всей работы. Какую часть о
работы он выполнил в четвёртый день?
551*. 1)В бассейн проведены три трубы. С помощью первой трубы бассейн можно наполнить за 10 ч, с помощью второй — за 8 ч, а через третью вся вода из наполненного бассейна может вылиться за 5 ч. Найдите, какая часть бассейна будет наполнена за 1 ч для случая, когда все три трубы будут действовать одновременно.
2) Один насос может наполнить бак нефтью за 16 мин, другой — за 15 мин, а третий — за 18 мин.
Какую часть бака могут наполнить нефтью все три насоса вместе за 1 мин?
3) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 6 ч, другая — за 8 ч. Какую часть рукописи они могут перепечатать за 1 ч, работая вместе?
552. Семье требуется в неделю 6 кг мяса. В магазине было
2 7
куплено три упаковки мяса массами 1~, 2^ и 2 кг. Хватит
о 1U
ли этого мяса семье на неделю?
553®. В классе у^1ится менее 50 школьников. За контрольную работу i часть учеников получили пятёрки, i — четвёрки,
i — тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?
175
554^. 1) К числителю и знаменателю нравилыюй дроби
10
прибавили по 5. На сколько увеличилась дробь?
11
2) К числителю и знаменателю неправильной дроби прибавили по 5. На сколько уменьшилась дробь?
555*. 1) Возьмите какую-нибудь правильную дробь. Прибавьте к её числителю и знаменателю по 1. Как и на сколько изменилась дробь?
2) Возьмите какую-нибудь неправильную дробь. Прибавьте к её числителю и знаменателю по 1. Как и на сколько изменилась дробь?
556^. Найдите число, которое на столько же меньше 5у2* на
5 1
сколько 3q меньше 6^.
V О
5570, Когда от числа отняли 2 раза по 2^, 3 раза по 3 и 2 раза
4 о
2 11
по 5, то осталось 3 ^ . Какое это было число?
558*. Что произойдёт с суммой двух чисел, если: 1) к одному
слагаемому прибавить 3^; 2) к одному слагаемому приба-
1 э
вить 3“, а к другому— si; 3) из одного слагаемого вы-15 о
честь 4^ , а из другого — 3^ ; 4) к одному слагаемому при-1U 5
бавить 2^ , а из другого вычесть ; 5) к одному слагаемому
2 2
прибавить 7т , а из другого вычесть 7р ?
5 о
559. Как изменится сумма трёх чисел, если из одного слагаемо-17 17
го вычесть , из другого вычесть 12^ , а к третьему прибавить 14^?
tlD
176
560®. Подумайте, как, не вьшолияя сложения дробей с разными знаменателями, убедиться в том, что неравенство верно:
3)f+|<5
'^^б'^7'^8 8*
с. I , г . 1 . 3 . 6)|+i+i
г) см и - см.
Площадь прямоугольника с измерениями 5 см и 2 см равна их произведению 5^2 = 10 (см^). Если уменьшить сторону, равную 2 см, в 3 раза (рис. 146), то и площадь уменьшится в 3 ра-
за. S = 5-| -(5-2):3-^ (см2). Ш 211 ^
Заметим, что к этому же результату приводит и правило
умножения дроби на натуральное число | • 5
О
2-5
При умножении на дробь умножают на её числитель и делят на её знаменатель.
h аЬ а • - = —.
Уменьшим теперь и другую сторону прямоугольника в 7 раз. Во столько же раз уменьшится и площадь прямоугольни-
ка (рис. 147). S = I • 5 - (2^] = ^ (см^). ^
Рис. 146
Рис. 147
179
2 5 2
Произведение дробей = • i= оказалось равным дроби 5-
U 7 о
7*
числитель которой равен произведению числителей» а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.
Правило умножения дробей При умножении дроби на дробь перемножаются их числители и перемножаются их знаменатели, результат умножения числителей записывается в числитель, а результат умножения знаменателей — в знаменатель.
а ^ с
Ь ’ 5
ас
bd'
567. Вычислите устно:
1)5.1- '6 2’ л\ ^ 3 10 * 10
5’ кч 3 7. ^>4*5’
3)1.5- ’ 3 7’ Р, 5 9
568. Выполните умножение и, если возможно, сократите получившуюся дробь: Ш 212 3
X) 5 ___
Ч 10’
04 5 8 04 4 21 ., 15 38 е, 37 90
Правило умножения сметанных чисел При умножении смешанных чисел их необходимо представить в виде неправильных дробей и выполнять действие по правилу умножения дроби на дробь.
Например, 1^
«2 ^ 12 8 _ 12-8 3 “ 7 ’ 3 7*3
32 .4
= Т=4^-
180
569. Найдите» чему равны следующие произведения: Ш 213
2)5.ll;
Qv 2 «5
И ‘^6*
^^^7 * 20’
5)3§.4Z;
«)4-п-
570^, Длина окружности примерно в з| раза больше длины её
диаметра. На какое расстояние откатится колесо диа-
метром ~ м, сделав: 214
5
1) один оборот; 2) два оборота; 3) три с половиной оборота? Выразите это расстояние в сантиметрах.
571. От базы до первого привала турист шёл Зр ч со скоростью
.т
4^ км/ч. Какое расстояние прошёл турист за ото время?
о
572. no дороге в школу Борис решил сосчитать свои шаги. Оказалось, что он шагнул 575 раз. Какое расстояние прошёл Борис, если каждый шаг приближал его к школе
на I м? о
3 7 12 1
573 О, 1) Умножьте сумму дробей - , ^ и — на ЗЗ5 .
о о 43 о
2) Даны два числа: 1о| и 9^ . Вычислите произведение суммы этих чисел на их разность.
574. Вычислите:
1) 1 + ±.5-
Ч 18 4’
<> И.
2) 448-7“Ч =
181
575.1) Прочитайте выражения: 215
2) Найдите значения выражений.
3) Сравните полученные значения.
3
576. Запишите четыре числа, первое из которых равно
2
а каждое следующее в 1 ^ раза больше предыдущего.
577. Расстояние между двумя городами равно 680 км. Из них одновременно навстречу друг другу отправляются два поез-
1 2
да со скоростями 85^ км/ч и 97^ км/ч. Какое расстояние
2
будет между поездами через 2^ ч после их отправления?
578. Из бака выходят две трубы. Черюз одну из них вытекает
р л воды в минуту, а через другую— в 1,5 раза больше. 5
Полный бак опорожняется через обе трубы за з| мин. Сколько литров воды вмещает бак?
579. Ракета, имеющая скорость 8 км/с, становится искусственным спутником Земли.
7
При увеличении её скорости в 2з раза она
о
может покинуть Солнечную систему. Найдите скорость, при которой ракета может покинуть Солнечную систему.
-г
Задача. Посевная площадь составляет 350 га. Под посевы пшеницы выделили ^ всей площади. Сколько гектаров планируют засеять пшеницей? ^
182
Решение. Эту задачу можно решить в два действия. Сначала найти i часть посевной площади, разделив 350 на 7, а за-
с
тем найти ^ площади, увеличив полученный результат в 5 раз.
1) 350 : 7 = 50; 2) 50 • 5 = 250 (га).
Однако такие задачи обычно решают в одно действие. Действительно, разделив на 7 и умножив на 5, мы тем самым умножили число 350 на дробь ^ . 350 • 5 = §50_5 ^ gso (га).
Ответ. 250 га. Ш 216
24^ PS «—А. 9 J
- # V ^
Правило нахождения дроби от числа Чтобы найти дробь от числа, его умножают на эту дробь.
580. 1) В школе всего 480 учащихся, g из них мальчики. Сколько мальчиков и сколько девочек учится в школе?
2) Сахар составляет ^ массы сахарной свёклы. Сколько са-
хара содержится в 570 ц сахарной свёклы? Ш 2\7 ^
4
3) Один градус шкалы Цельсия составляет g градуса шкалы Реомюра. Сколько градусов покажет термометр Реомюра в тот момент, когда термометр Цельсия показывает 22 ^ °7
581®. Проволоку длиной 34| м разрезали на три части. Первая
1 W 8
часть составила ^ всей проволоки, вторая — - проволоки,
оставшейся после того, как отрезали первую часть. Найдите длину каждой из трёх частей проволоки.
- 183
582*. Ширина зала 8^ м, его длина в 2,5 раза больше ширины,
д
а высота составляет половину ширины. Какую массу имеет воздух, наполняющий зал, если известно, что масса 1 м^
воздуха примерно равна кг?
583 О. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату его третьей стороны, то этот треугольник прямоугольный.
1) Проверьте, являются ли прямоугольными треугольники
,14 13 3 4 ,
со сторонами: а) ^ = и см; б) - , - и 1 см.
о 5 1э э э
2) Найдите периметры и площади треугольников. Ш 218
3 4 5
584^, Найдите площадь треугольника со сторонами |- и ^ м.
585. Сколько понадобится кусков обоев длиной 13 м и шириной
1 4
50 см для оклейки степы с измерениями 3? и 2? м?
Z 5
2
586. Найдите объём куба, длина ребра которого равна 1 ^ см.
о
587®. Ниже приведены примеры умножения на 5, на 25, на 50, на 125:
38 • 5 = 38 • 10 : 2 = 380 : 2 = 190;
97 • 25 - 97 • 100 : 4 - 9700 : 4 = 2425;
59 • 50 = 59 • 100 : 2 » 5900 : 2 = 2950;
83 • 125 - 83 • 1000 : 8 = 83 000 : 8 « 10 375.
1) Объясните приёмы умножения на 5, на 25, на 50, на 125.
2) Вычислите устно:
а) 87-5; д)758*5; и)43*5 + 23*5;
б) 79-25; е) 25-345; к) 25 • 34 + 38 • 25;
в) 65-50; ж) 125-50; л) 153 • 50 - 29 • 50;
г) 94-125; з) 24-125; м) 2-9-11-25.
184
Задачи на смекалку
588. Михаэль Шумахер и Рубенс Баррикелло заочно соревновались в автогонках. Шумахер ехал по трассе в Монте-Карло и должен был проехать 40 кругов, Баррикелло — по трассе в Имоле и должен проехать 60 кругов (длина дистанции у них была одинаковая). В тот момент, когда Шумахер проехал 15 кругов, Баррикелло проехал то же самое расстояние и оказался в 8 км от линии старта. Найдите длину дистанции.
589. Я отпил i чашечки чёрного кофе и долил её молоком.
Затем выпил | чашечки и снова долил её молоком. Потом 3
я выпил полчашечки и опять долил молока. Наконец, я выпил полную чашечку.
Чего я выпил больше — кофе или молока?
590. Имеющегося на ферме корма для коров хватит на 8 дней, а для коров и телят вместе — на 6 дней. Какую часть имеющегося корма съедят телята за 3 дня?
591.4 коровы чёрной масти и 3 коровы рыжей масти за 5 дней дали такое же количество молока, что 3 коровы чёрной масти и 5 коров рыжей масти за 4 дня. Какие коровы более производительны — чёрные или рыжие? (В этой задаче считается, что от каждой коровы одной масти надаивают в день одно и то же количество молока.)
592. Существуют пары неравных чисел, сумма и произведение которых равны.
Например. 3+1^ = 3*li
Найдите ещё какие-нибудь пары таких чисел.
185
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйге правило умножения смешанных чисел.
2. Найдите значение выражения 1 ^ '*'(^1
2
3. Высота прямоугольного окна 1 ^ м, а его ширина составляет
о
2
7 высоты. Найдите площадь окна. 010 219 О Tea
5
Деление на дробь
♦До базы ещё 15 км» — подумал турист» идущий со скоростью 4i км/ч. — Вот если бы у меня был велосипед, я бы двигался в 2 раза быстрее».
Чтобы найти, сколько времени туристу предстоит идти до его базы, нужно путь 15 км разделить на скорость 4^ км/ч. По-1 9
скольку ^2 ~ 2 ’ **Р**^^^™ ^ необходимости деления на дробь:
15:4i=15:|.
Па велосипеде турист мог бы двигаться в 2 раза быстрее, т. е. со скоростью 9 км/ч. И на те же 15 км у него бы ушло
15 : 9 = ^ (ч). Но, поскольку скорость туриста в 2 раза мень-
15
ше, времени ему потребуется в 2 раза больше, т. е. ' 2 (ч). Таким образом, 15 : | = ^ • 2 = (ч). ^
186
Правило деления на дробь
При делении на дробь делимое умножают на знаменатель дроби и делят на её числитель.
^ . Ь _ ас * с Ь *
593. 1) Разделите устно дробь на натуральное число: ^
V 5 . а) g : 4; б) 1 : 3: в) у : 4; , 25 : 5.
2) Разделите натуральное число на дробь:
X ,4 5 a)4:g; 6)3:1; в)4:^; г) 5 : 25 16'
594. Вычислите устно:
1)^:4; 3)1:3: 5) у : 5; 7) У ^ 16 :7;
2)4:^; 4)3:1; 6)5:^; 8)7: 21 16'
595. Сколько раз:
g
1) - содержится в 15;
4) I содержится в 18;
2) 5 содержится в 20; о
2
3) у содержится в 8;
О
5) ^ содержится в 21;
6) содержится в 33?
i м
Заметим, что деление на дробь 5 приводит к такому же ре-
А
зультату, что и умножение на «перевёрнутую* дробь ^ .
15:|
Дроби ^ и - называют взаимно обратными. Ь а
187
Правило деления на дробь
Деление на дробь ^ можно заменить умножением на об-
ратную ей дробь ^.
с ‘ ^ = с • ^ — —
' Ь а а '
.1 _
596. Запишите числа, обратные данным: Ш 220 фф
1)|; 2)^; 3)|: 4)i; 5)2; 6)1; 7)б|; 8)7|.
597. Замените деление умножением на обратную дробь и вычислите: Ш 221
4 4’
2) 5 • ?.
З^А .А.
11 * 11 ’
13 26
5" = Т5-
598^. Какое число нужно вставить вместо многоточия, чтобы стало верным равенство: 222
1)3
4 4 35 ’
04 *4 . 6 _ 10. 7 * ... 21’
3)-;^=9;
599*. На какое число нужно разделить дробь ^, чтобы в част-
ш X
9)1;
10) 2?
ном получилось:
1)|; 3)5; 5)f; Т) 10. 21’
4) А • ' 21’ 6) у. 8) 21. 10’
600*. На какие числа надо умножить J ^ ; 4; 11; si : б|. что-
2 7 3 5
бы В произведении получить 1? Как называют два числа, произведение которых равно 1?
188
601.1) Масса курицы равна 2^ кг, а масса утки в 2 раза боль-
3
ше. На сколько масса утки больше массы курицы?
g
2) Масса собаки 6^ кг, а масса кошки в 3 раза меньше. На сколько масса кошки меньше массы собаки?
602.1) Два велосипедиста выехали одновременно из одного
пункта в одном направлении. Скорость одного велосипедис-
2 2
та 17я км/ч, скорость другого — 15= км/ч. Какое расстоя-о о
ние будет между ними через 3 ч?
2) Два пешехода находятся на расстоянии 17~ км и идут навстречу друг другу. Один пешеход идёт со скоростью 4| км/ч, другой — со скоростью 3^ км/ч. Через сколько часов они встретятся?
603.1) Гепард пробегает за 30 мин 50 км. С какой скоро> стью бежит гепард? Какое расстояние он пробежит за 12 мин?
2) Заяц бежит со скоростью 25 км/ч.
Какое расстояние пробежит заяц за 5 мин?
Если нужно разделить дробь на смешанное число, его следует представить в виде дроби.
„ 5 оЗ 5 15 5*4 2
Например, g:3j = g:-=^=g.
189
604. Вычислите: Ш 223, 230
1)4: 2?- ^5’ 4)ii -2^ ^^18 *^9* 7) 18:2i; 10)2|:li
2)6 : -2®-^^l4 *^7* 8)10: l|: U)l|:2l
3) 26 -1= R4 11 . 1 7 . 9)35 : 2|; Э 12)4=1
605. Найдите частное дробей: Ш 224
1)3
IS ‘ ок*
п. 11 . 22.
25’ * 45*
20 30
21 * 35*
6060. Выполните действия:
1) 3 . 5 4 * 6 *4 4- 4=
2) 4 = ( 4- 1)4! 4) . о 1 , •'^6*
3) fA + iJL 2 : 2- 9 • •
V15 12 ) 103 32*
4) 4- и2 . ol ^3-^2 )-4- & 229
607. Решите уравнение: Ш 225
1) х+ |д:=
2) 2у-|у-6?:
27 36
^>^•75-
5^“ 3^"^4’
6080. Даны числа: 5? ; 3^; 4§ и li .
9 2 о о
Запишите выражения и вычислите их значения:
1) сумма разности первых двух чисел и разности последних двух чисел;
2) разность суммы первых двух чисел и суммы последних двух чисел;
190
3) частное разности первых двух чисел и разности последних двух чисел;
4) частное произведения первых двух чисел и суммы последних двух чисел;
5) произведение частного от деления первых двух чисел и частного от деления последних двух чисел.
609*. Что произойдёт с частным, если:
1) делимое и делитель умножить на ^;
04 2
2) делитель разделить на ■=;
о
04 2 2
3) делимое умножить на - , а делитель разделить на ^ ;
3 о
7 4
4) делимое разделить на -, а делитель умножить на ^ ?
610. Делимое умножили на 9. Что надо сделать с делителем, чтобы частное:
1) увеличилось в два с половиной раза;
2) уменьшилось в два с половиной раза?
611*. Приёмы быстрого деления на 5, 25 и 50. Ниже приведены примеры вычислений:
95 : 5 = 95 • 2 : 10 = 190 : 10 = 19;
275 : 25 = 275 • 4 : 100 = 1100 : 100 = 11;
1150:50= 1150-2: 100 = 2300: 100-23.
1) Объясните приёмы деления на 5, на 25 и на 50.
2) Используя приёмы деления на 5, на 25 и на 50, найдите значения выражений:
а) 695 : 5; г) 995 : 5; ж) 185 : 5;
6) 325 : 25; л) 600 : 25; з) 1525 : 25;
в) 3050: 50; е) 1700 : 50; и) 1050 : 50.
Когда турист, о котором мы говорили в начале пункта, на-
« 3
чал мечтать о велосипеде, ему оставалось проити -т всего пути.
4
----191
Это расстояние было равно 15 км. Найдём, сколько всего километров должен был пройти турист.
Такие задачи вы умеете решать в два действия. Сначала
находим \ всего пути: 15 : 3 = 5 (км), а затем и весь путь: 4
5 • 4 = 20 (км).
Находя целое по его дроби, мы разделили число 15 на числитель дроби и умножили результат на знаменатель дроби. Но ведь именно так выполняется деление на дробь! Значит, найти целое по его дроби можно было в одно действие, разделив число
1C «3 1сЗ 15*4
15 на дробь -7, т. е. 15 : -т = —=—
4 4 3
= 20 (км). 0 т 228
—
Чтобы найти целое по его части, выраженной дробью, нужно известную часть разделить на эту дробь.
612. Размер обуви равен 1^ длины ступни в сантиметрах. Какова длина ступни человека, носящего 39 размер обуви?
613.1) Сколько стоят два с половиной килограмма орехов, если i кг орехов стоит 63 р.?
2) Турист планировал пройти за первые три дня = всего
О
маршрута. Тогда ему осталось бы преодолеть ещё 27 км. Какой длины весь маршрут?
3) Два поезда отправились одновременно навстречу друг другу от двух станций. Первый поезд проходит расстояние между станциями за 24 мин, второй — за 36 мин. Через сколько минут после отправления поезда встретятся?
4) В бассейн проведены две трубы. Одна труба может наполнить бассейн за 3 ч, другая — за 2 ч. За сколько минут смогут наполнить бассейн обе трубы, работая вместе?
192
614. Расстояние от Солнца до Земли составляет а расстояние от Солнца до Марса — ~ расстояния от Солнца до Плутона. Во сколько раз Земля ближе к Солнцу, чем Марс?
615. В Санкт-Петербурге в Зимнем дворце 400 залов. Залов на
2
третьем этаже в 2^ раза меньше, чем на втором, и на 120 за-
О
лов меньше, чем на первом. Сколько залов на каждом этаже Зимнего дворца?
616. 1) После того как Сергей потратил ^ своих денег, у него осталось 90 р. Сколько денег потратил Сергей?
2
2) Когда Николай прошёл •= длины дорожки, ему осталось
D
пройти 30 м. Какова длина дорожки?
617*. 1) Первая труба может наполнить бассейн за 45 мин, а две трубы при совместной работе наполнят его за 18 мин. За сколько минут бассейн может наполнить одна вторая труба? 2) Две машины выехали навстречу друг другу из пунктов А и В и встретились через 24 мин. Первая машина проехала от А до В за 40 мин. За сколько минут вторая машина проедет от В до А?
193
618.1) Вставьте в кружки пропущенные числа (рис. 148).
2) Подумайте, как из числа, записанного в квадрате (рис. 149), можно получить числа, записанные в кружках.
Задачи на смекалку
619. Даны выражения: Ш 226
2)-
•3\ ^ с .
•^>6-5 =
Какие буквы к как можно переставить в выражениях, чтобы при любых натуральных а, 6, с и d их значения от этой перестановки не изменились?
620. Если j/ = l + i их>1,то какому из чисел ^^^^ ^
может быть равно число у7 Ш 227
621. У Паши на дне рождения было пятеро друзей. Первому он отрезал J часть пирога, второму — ^ остатка, третьему —
i нового остатка, четвёртому — | оставшегося к этому мо-
194
менту пирога. Последний кусок Паша разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок пирога?
622. Вода при замерзании увеличивается на ^ своего объёма.
На какую часть своего объёма уменьшается лёд при обратном превращении в воду?
Контрольные вопросы и задания
2 5 15 2
1. Найдите пары взаимно обратных чисел:
2. Может ли произведение двух дробных чисел быть натуральным числом? Ш 226,227
3. Найдите значение выражения
4. В двух альбомах 30 марок, причем в одном ио пих марок в полтора раза меньше, чем в другом. Сколько марок в каждом альбоме? Ш 231
т 4.2. с 42 I# Тест
Глааа
Десятичные
дроби
Понятие десятичной дроби
623. Прочитайте числа, записанные в таблице разрядов.
С помощью какого арифметического действия было получено число, записанное в строке 2 таблицы:
1) из числа, записанного в строке 1;
2) из числа, записанного в строке 3?
Класс тысяч K.iacc единиц
Сотни Десятки Бдиннцы Сотни Десятки Едилицы
1 2
1 2
1 2
624. Закончите предложение:
1) при умножении натурального числа на 10 каждая цифра числа в таблице разрядов сдвигается на ...;
2) при делении натуральною числа на 10 каждая цифра числа в таблице разрядов сдвигается па ... .
Вы знаете, что слева от класса тысяч в таблице расположены классы миллионов, миллиардов, триллионов и т. д. Поэтому на один разряд влево можно сдвинуть любое записанное в таблице число.
196
Пока речь шла о натуральных числах, таблица заканчивалась справа разрядом единиц. Знакомство с дробями позволяет продолжить таблицу вправо и за разряд единиц. При этом мы по-прежнему будем соблюдать принцип уменьшения в 10 раз при переходе к соседнему справа разряду. Уменьшение единицы в 10 раз приводит нас к десятым долям 1:10 = ^, умень-
шение yq в 10 раз — к сотым долям — : 10 = ,
1 1Л 1 1
затем пойдут разряды тысячных : 10 “ ^
десятитысячных
: 10
1
1000* и т. д. Таким об-
1000 1000-10 10 000 разом, таблицу разрядов можно продолжать вправо неограниченно.
... Сотни Десят- ки Едини- цы Деся- тые Сотые Тысяч- ные Десятиты- сячные ...
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
Целая часть числа Дробная ча<ггь числа
Сдвиг числа 12 на один разряд вправо приводит к числу 12 2
^ ^ 10 * Д^ьнейшие сдвиги вправо приводят соответствен-
но к числам:
12 12
12
100’ 1000* 10 000
..в
197
625. Запишите числа в виде обыкновенной дроби или смешанного числа. т 232
... Сотый Десят- ки Едини- цы Деся- тые Сотые Тысяч- ные Десяти- тысячные
3 7 1
3 7 1
3 7 1
3 7 1
3 7 1
Целая часть числа Дробная часть числа
626. Какое арифметическое действие сдвигает числа в таблице разрядов:
1) на 2 разряда влево; 3) на 3 разряда вправо;
2) на 5 разрядов влево; 4) на 4 разряда вправо?
» — —
Жирная вертикальная черта в таблице разделяет целую и дробную части числа, что позволяет легко записать соответствующее смешанное число.
627. Запишите числа в виде смешанного числа. ^ 232
... Сотни Десят- ки Едини- цы Деся- тые Сотые Тысяч- ные Десяти- тысячные
3 5 7
4 2 3 1
7 4 3
5 5 5
Целая часть числа Дробная часть числа
198
Есть и более простой способ записи дробей, в знаменателях которых стоят числа 10, 100, 1000 и т. п. Такие дроби можно записывать без дробной черты, отделяя дробную часть от целой
507
с помощью запятой. Так, например, число представ-
ленное в первой строке таблицы (№ 627), можно записать как 30,507, число 402^^qqq — как 402,0301, число — как
7,0043.
Вы, конечно, заметили, что, как и при записи натуральных чисел, в пустых разрядах дробной части ставятся нули. Если же пустыми оказываются все разряды целой части, то нуль ста-
12
вится слева от запятой. Так. например, правильную дробь можно записать как 0,12. 0
Число, записанное с помощью дробной черты, над и под которой стоят натуральные числа, называется обыкновенной дробью.
Число, записанное цифрами, между которыми поставлена запятая, называется десятичной дробью.
628. Запишите в виде десятичной дроби: Ш 233 О
5 .. 1
3)
2)2
43 . 100’
4)40
100’ 12
5)
10 000’ 509
1000’
6)710
10000*
629^. 1) Равны ли дроби:
а) 30,507 - 30,50700; в) 7,0043 = 7,00430;
б) 402,0301 - 402,301; г) 0,12 = 0,12000?
2) Верно ли утверждение: «Приписывание нулей справа от знаков, стоящих после запятой, не изменяет десятичную дробь»? Ш 234
199
630.1) Найдите и выпишите равные между собой числа:
а) 0,6; 0,006; 0,60; 0,06000; 0,600;
б) 1; 0,1; 1,0; 1,01; 1,000; 1,0001.
2) Запишите ещё несколько чисел, равных данным.
631. Запиши'ге в виде обыкновенной дроби или смешанного числа:
1) 0,1; 3)30,04; 5)0,009;
2) 3,23; 4)0,045; 6)703,0102. Ш 235
632. Запишите в виде десятичной дроби частное:
1) 2:10; 3)1:1000; 5)7:10 000;
2) 41:100; 4)571:1000; 6)5467:100.
633. Даны числа: 1; 0,25; 51,08; 0; jf: 508; 65^.
Назовите: 1) натуральные числа; 2) обыкновенные дроби;
3) десятичные дроби.
Правило чтения десятичных дробей Десятичные дроби читаются так, как читались бы соответствующие смешанные числа:
30,507 — тридцать целых пятьсот семь тысячных,
402,0102 — четыреста две целых сто две десятитысячных, 7,0041 — семь целых сорок одна десятитысячная.
В последние годы десятичные дроби часто читают так, как они записаны, например 30,507 (тридцать запятая пятьсот семь), 402,0102 (четыре нуль два запятая нуль один нуль два), 7,0041 (семь запятая два нуля сорок один). 0
634. Запишите числа цифрами:
1) две целых двадцать восемь сотых;
2) нуль целых одна сотая;
3) сто две целых двенадцать тысячных;
4) нуль целых две тысячные.
635. Прочитайте предложения.
1) Самое малонаселённое место в Европе — Гренландия, где на 1 км^ приходится 0,03 человека.
200
2) Самая маленькая страна мира — город*государство Ватикан, занимающий площадь 0,44 км^.
3) Самые высокие люди мира — народ динка в Судане, их рост составляет в среднем 2,1 м.
4) Самые низкие люди в мире — народ мбути, проживающий в Конго, их рост составляет в среднем 1,4 м.
636. Запишите десятичной дробью показания приборов на рисунке 150.
е) г)
0)
•?)
Рнс. 150
д) 90,0122;
е) 0,008014.
е)
ж)
0 1 2 3 4 S
3 4 i
637.1) Прочитайте числа:
а) 28,14; в) 502,501;
б) 1,03; г) 0,0051;
2) На.зовите младший разряд дроби.
3) Назовите разряд, в котором стоит цифра 1.
638. Начертите в тетради таблицу разрядов и запишите в неё следующие числа: Ш 236 фф
1) 0,2; 3)51,123; 5)0,0008;
2) 3,04; 4)10,010; 6)300,003.
201
639. Замените дробью со знаменателем 10,100 или 1000 и запишите в виде десятичной дроби следующие числа:
1
2)^
6)
125 ■
640®. Выберите дроби, которые можно привести к знаменателям 10, 100, 1000 и т. п., и запишите их в виде десятичных ^-„1211 3 2
дробей. 2 ’ 3 » 20 ^7 М25 ‘ ^
641. Представьте нат^фальное число: 1) 1; 2) 10; 3) 7; 4) 25 в виде обыкновенной дроби со знаменателем: а) 10; б) 100; в) 1000.
Вы знаете, что любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби с любым знаменателем, например о 3 6 9 „
о = проще представить натуральное число
в виде десятичной дроби, например 3 = 3,0 * 3,00 = ... .
При умножении числа на 10 все его цифры в таблице разрядов сдвигаются на один разряд влево, а при делении на 10, наоборот, цифры числа в таблице разрядов сдвигаются на один разряд вправо. ^
Умножение десятичной дроби на 10 перемещает запятую на один разряд вправо.
12,357-10 = 123,57.
Деление десятичной дроби на 10 перемещает запятую на один разряд влево.
12,357: 10 = 1,2357.
642. Вычислите: Ш 238 О
1) 3,5-10; 5)6,5-100; 9)5,7-1000;
2) 41,7 : 10; 6) 67,3 : 100; 10) 183,9 : 1000;
3) 0,35 • 10; 7) 0,032 • 100; 11) 0,0077 -1000;
4) 0,17:10; 8)0,51:100; 12)2:1000.
643. Запишите три обыкновенные дроби, которые равны:
1)2,3; 2)0,006; 3)5,40; 4)9.
202
Задачи на сменалну
644. Найдите и исправьте число, которое нарушает закономер* ность:
1) 0,1010010001; 10.10010001; 1010,010001; 101010,0001;
2) 123456; 12345.6; 1234,56; 123,456; 1,23456.
645. Решите старинные задачи.
1) Крестьянину надо перевезти через реку волка, козу и капусту. Да вот беда: лодка так мала, что в ней, кроме крестьянина, может поместиться или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк её съест, а если оставить козу с капустой, то будет съедена капуста. Как перевезти крестьянину волка, козу и капусту на другой берег?
2) Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошёл отряд солдат. Лодкя так мала, что на ней могут переправиться через реку или двое мальчиков, или только один солдат. И всё-таки всем солдатам удалось на этой лодке переправиться через реку. Как?
646. Даны два числа: 2 и 3. Какой знак следует поставить между ними, чтобы получилось число больше двух, но меньше трёх?
203
Контрольные вопросы и задания
1. 1) Перенесите запятую так, чтобы каждое из данных чисел содержало 5 целых: 500,1; 0,56; 56,7; 0,0592; 53.
2) Во сколько раз изменилось данное число?
3 15
2. Представьте в виде десятичной дроби: 1) Jq I 2) .
3. Представьте в виде обыкновенной дроби: 1) 1,7; 2) 10,007.
4. Вычислите: 1) 34 : 100; 2) 0,012 • 10. О Тест
Сравнение десятичных дробей
Приложим линейку к координатному лучу ОЛ, изображённому на рисунке 151. Единичный отрезок ОЕ на этом луче равен 1 см. Точка С отстоит от начала луча на 5 см 3 мм. Используя десятичные дриОи, длину отрезка ОС можно указать в сантиметрах: ОС = 5,3 см. Значит, координатой точки С является число 5,3. о
647. Задан координатный луч ОА (см. рис. 151).
1) Укажите на луче точку, отстоящую от нуля на 7,6 см.
2) Есть ли на луче точка, отстоящая от его начала на 8,4 см?
3) Какие координаты имеют точки М, iV, Р, £)?
4) Укажите длину отрезка OD:
а) в метрах; в) в сантиметрах;
б) в дециметрах; г) в километрах.
о
Е
м
N
D
6 6 7
Рис. 151
10
И
204
_______М N В F Л ^
О 0,8
Рнс. 152
648. На рисунке 152 изображён координатный луч ОА. Проведите необходимые измерения с помощью линейки и найдите:
1) длину единичного отрезка;
2) координаты точек М, N и
На рисунке 153 изображён фрагмент координатного луча с нанесёнными на него штрихами. Точка D на этом луче расположена между штрихами. Мы видим, что координата точки Z) больше чем 4,3, но меньше чем 4,4.
D
4,3 4,4
Рис. 153
Представим себе, что мы рассматриваем часть луча вокруг точки D с увеличением в 10 раз. Разделим отрезок между штрихами на 10 равных частей, длина каждой из которых равна 0,01 единичного отрезка (рис. 154). На рисунке мы видим, что OD = 4,37 см.
D
4.3
4,37
4,4
Рис. 154
Определяя координаты точки Z), мы перешли к более мелким десятичным долям. Подобным же образом на координатном луче отмечают точки с десятичными координатами. Построим, например, точку Л^(4,372).
Сначала от точки О отсчитываем 4 единичных отрезка, добавляем 3 десятых единичного отрезка, затем 7 сотых единич-
205
4,37
N
4,372
Рис. 155
4,38
ного отрезка и, наконец, переходим к тысячным долям единичного отрезка (рис. 155).
Тысячных долей может оказаться недостаточно. Тогда придётся переходить к десятитысячным, стотысячным и т. д.
649. Ответьте на вопросы.
1) Какой луч называют координатным?
2) Что называют координатой точки?
3) Как построить точку А(2,361) на координатном луче?
650. Укажите координаты точек, отмеченных на координатном луче (рис. 156). ^
С
А
-Г
f
в
Рис. 156
651^. На координатных лучах (рис. 157) отмечены точки Аи В.
1) Выполните необходимые измерения и укажите длину единичного отрезка (в сантиметрах).
2) Объясните, как найдены точки А(5,3) и Б(5,32) на координатном лу^1е.
3) Сравните числа 5,3 и 5,32.
а)
б)
А
5.3
В
5,32
Рис. 157
652.1) Изобразите на координатном луче точки: Ш 239,240 АГ(4), 5(4,5), Г(3,9). Р(4,50). ^
2) Сравните числа: а) 4,5 и 4,50; б) 4 и 3,9; в) 4; 4,5 и 3,9.
206
а)
б)
е)
О АВС D Е
0 1
о Р Н S
0 1
о К L —1 » 1—1—1 ♦ * ♦ 1 * М » * 1—» t •
Рис. 158
653. На рисунке 158 изображены координатные лучи. Запишите координаты отмеченных точек.
654. Начертите координатный луч, взяв за единицу длины пять тетрадных клеточек, отметьте на этом луче точки:
1) К(2); 3)Л(3,7); 5)5(1,53);
2) q(|): 4)т(2|); 6)Р(0,75).
655. На рисунке 159 изображены фрагменты координатных лучей. Укажите координаты отмеченных на них точек.
о)
М
N
L
-Ф-
В
77,256 С
й)
D
23,37
23,38
Е
-Ф-
F
-Ф-
77,258
К
Рис. 159
656».С какой стороны от единицы на координатном лу»1е изображаются:
1) правильные дроби; 2) неправильные дроби?
657. Какая из двух точек на координатном луче лежит правее:
1) Л(5,7) или В(5,1); 4) Af(0,9) или /^(1,1);
2) С(0,45) или D (0,49); 5) Р(0) или Л(0,1);
3) АГ(2,38) или Ш); 6) 5(5,6) или Г(6,5)?
го7
658.1) Выберите единичный отрезок так, чтобы было удобно изобразигь на координатном луче точки:
в) Р(0,2); 5(0,8); Г(0,65); К(0,45); r)i/(|);C/(l|);G(2,5);f(ll).
2)® Каким выбрать единичный отрюзок на координатном луче, чтобы было удобно изобразить числа:
1 „ 2 . 15. 9 .
15’ 15’ 3’
Если координатный луч расположен горизонтально и его точки находятся справа от начала координат, то точка с большей координатой будет правее, чем точка с меньшей координатой.
Точка координатного луча, расположенная правее, имеет большую координату.
Правило чтения равенств и неравеиств с дробями Равенства или неравенства с дробями читаются так же, как с натуральными числами. Нужно помнить, что при чтении десятичных дробей склоняются все их части. Например, 3,7 = 3,7 — три целых семь десятых равны трём целым семи десятым, 2 > 1,01 — два больше одной целой одной сотой.
659. Прочитайте записи:
1) 5,9 >5,0467;
2) 1 < 1,0017;
3) 0,0001 >0;
4) 71,034 = 71,034.
660. Выберите и назовите равные дроби среди следующих чисел; 7,35; 73,5: 7,350; 7,53; 7,3500; 7 7^; 7^; Щ
Ответ объясните.
208
661. Сравните числа, записанные в таблице.
1)
Единицы i Десятые Сотые
3 7 5
4 2
5
2)
3)
Единицы • Десятые Сотые
5 3
5 3 2
5 3 3
Единицы 9 Десятые Сотые Тысячные
4 5
4 5 7 9
4 5 7 8
662. Проанализируйте правило сравнения десятичных дробей. Что у него общего и чем оно отличается от правила сравнения натуральных чисел?
Правило сравнения десятичных дробей
(Т) Если целые части десятичных дробей различны, то больше та дробь, у которой больше целая часть.
(2) Если целые части десятичных дробей равны, то больше та дробь, у которой больше десятых.
(3) Если же и десятых поровну, то больше та дробь, у которой больше сотых, и т. д. 0
209
ббЗ. 1) Сравните дроби:
а) 4,57 и 5,1; г) 12,1 и 9,9; ж) 6,00102 и 6,1;
б) 3,1 и 3,8; д) 0,52 и 0,57; з) 467,034 и 466,034;
в) 18,77 и 18,73; е) 10,5 и 1,05; и) 321,123 и 321,124.
2) Как вы будете рассуждать при сравнении дробей:
а) 5.1 и 5,11; б) 67,3 и 67,204? Ш 241
бб4^. Замените значок ♦*» цифрой так, чтобы полученная запись была верной:
1) 5,688 < 5,6*1; 3) 5* 67 < 52,31;
2) 9,*57 = 9.4**; 4) 71,09* < 71,091. Ш 242
бб5*. 1) Сколько натуральных чисел находится между числами:
а) 3,7 и 6,1; в) 21,3 и 22,4;
б) 52 и 56,2; г) 0 и 1,5?
2) Между какими соседними натуральными чис.лами заключена дробь:
а) 4,29; 6)12,08; в) 1,002; г) 160378,25?
3) Укажите какое-нибудь значение х, при котором верно неравенство:
в) 19,8 < X < 19,9;
г) 0,016<х< 0,017. Ш 243
а) 2 < X < 3;
б) 4,5 < X < 4,7;
ббб. Сравните величины;
1) 9,23 м и 9,25 м;
2) 13,15 кг и 15 кг;
3) 0,605 т и 607 кг;
4) 5,271 га и 527,1 а;
5) 3,802 км и 3912 м;
6) 0,0253 и 2,57 дм^.
бб7. Расшифруйте имя и фамилию голландского математика, который изобрел десятичные дроби, расположив числа:
1) в порядке возрастания;
3,02 2,23 3,2 2,3 2,03
О И Н М С
210
2) в порядке убывания.
7,0707 7,777 7,707 7,7707 7,077 7,77
Н С В Т И Е
б68®. Выберите верные утверждения. Для неверных утверждений приведите опровергающий пример. Вычеркните буквы, которые соответствуют неправильным утверждениям. Если вы всё сделаете правильно, у вас останется слово, которое и будет вашей наградой.
М — натуральные числа сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда.
О — десятичные дроби сравнивают пора.зрядно, начиная со старшего разряда.
Л — из двух натуральных чисел то число больше, которое содержит больше цифр в записи числа.
К — из двух десятичных дробей та дробь больше, у которой больше цифр в записи числа.
Н — из двух десятичных дробей та дробь больше, которая содержит больше десятичных знаков.
О — из двух десятичных дробей та дробь больше, у которой больше целая часть.
П — из двух десятичных дробей та дробь больше, у которой больше дробная часть.
Д — из двух десятичных дробей с одинаковой целой частью та больше, у которой дробная часть больше.
Е — из двух натуральных чисел с одинаковым числом цифр то число больше, в котором больше единиц в наивысшем разряде.
В — из двух десятичных дробей та дробь больше, в которой больше единиц в наивысшем разряде.
Ц — из двух десятичных дробей с одинаковой целой частью та дробь больше, в которой больше единиц в наивысшем разряде.
211
Задачи на смекалку
669. 1) Найдите закономерность и продолжите последовательность чисел: ОН) 244
а) 1,2; 0,12:0.012; 0,0012;
б) 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333
в) 0.9; 0,89; 0,789; 0,6789;
г) 0,11; 0,101; 0,1001; 0,10001; ... .
2) Увеличиваются или уменьшаются числа в этой последовательности?
670. В числе 0,5027803 вычеркните три цифры после запятой так, чтобы получилось:
1) как можно большее число;
2) как можно меньшее число.
671.1) Как набрать из реки ровно 6 л воды, если имеются два ведра: одно ёмкостью 4 л, другое — 9 л?
2) Ехали два крестьянина и нашли три бочонка: один восьмиведерный с квасом, и два пустых — пятиведёрный и трехведёрный. Крестьяне решили поделить квас поровну тут же на месте с помощью этих трёх бочонков. Как они разделили квас?
212
Контрольные вопросы и задания
1. Расскажите, как сравнивают десятичные дроби.
2. Постройте координатный луч и отметьте на нём точки: Л(1,3): B(2,7):C[5g ].
3. Сравните числа; 1) 2 и 1,3; 2) 37,15 и 37,51. ^ Tea
Сложение и вычитание десятичных дробей
672. Не вычисляя значений выражений, сравните устно, на сколько они отличаются в каждом столбце:
1) 72,56+ 11,231;
2) 72,57+11,24;
3) 72,58 + 11,3;
4) 56.78-23,56
5) 56.78-23.61
6) 56,78-23,73
7) 73,56 + 12,23;
8) 83,56 + 2,23;
9) 73,36 + 12,43.
Сложение и вычитание десятичных дробей, как и аналогичные действия с натуральными числами, выполняются поразрядно,
Прави.ло сложения десятичных дробей Найдём, например, сумму дробей 49,076 и 5,3405.
(Т) Подпишем слагаемые одно под другим так, чтобы цифры одноимённых разрядов располагались друг под другом, а запятая — под запятой. В разряде десятитысячных в первом слагаемом поставим цифру 0.
Сложим числа, не обращая внимания на запятые.
В найденной сумме поставим запятую под запятыми слагаемых.
49,0760 _ 5,3405 54,4165 ^
213
673^. 1) Чем отличаются записи сложения дробей в столбик?
а) 187,6 б) 187,600
24,591 + 24,591
212,191 212,191
Ш 245
2) Можно ли верно выполнить сложение, не добавляя нулей в слагаемое?
674.1) Найдите ошибки в записи слагаемых в столбик.
а) 24,39 + 3,621 б) ^ 5,68 +14,003 в) 1,1003 5,675 г) ^ 1,3 + 12,273
2) Исправьте ошибки и выполните сложение.
675. Вычислите:
1) 3,62 + 24,39; 3) 1,1 + 5,675;
2) 5,68 + 14,003; 4) 1,3 f 12,273.
676.1) Вычислите периметры многоугольников:
а) AS + ВС + АС = 5,7 см + 5,7 см + 5,7 см;
б) АВ + ВС + CD + DA 4,5 см -f 4,5 см + 4,5 см + 4,5 см;
в) АВ + ВС + CD -ь DA =® 2,3 см + 4,7 см + 2,3 см + 4.7 см;
г) АВ + ВС + CD + DA = 3,4 см + 3,4 см + 5,1 см + 5,1 см. 2)^ Дайте названия фигурам, периметры которых вы нашли.
677®, Существует ли треугольник со сторонами:
1) 4,6 см, 5,3 см, 9,1 см; 3) 70 мм, 48,9 мм, 50,1 мм;
2) 12,25 м, 7,25 м. 19,5 м; 4) 19,3 дм, 15,02 дм, 26 дм?
Вычитание десятичных дробей, как и сложение, проводится поразрядно.
Правило вычитания десятичных дробей Пусть нужно найти, например, разность дробей 27,206 и 14,75.
2U
(Т) Подпишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы цифры одноимённых разрядов располагались друг под другом, а запятая — под запятой. В разряде тысячных в вычитаемом поставим цифру 0.
Проведём вычитание, не обращая внимания на запятые.
В найденной разности поставим запятую под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.
27,206
14,750
12,456
Ш 245 й
678. Найдите значение выражения:
1) 238 + 34,87; 5) 723 - 177,302;
2) 533,187 - 78; 6) 7,5 + 234,812;
3) 619,903 + 47; 7) 472,3 - 50,733;
4) 26,888 + 4,74; 8)911,277-28,66. й
679.1) Сравните значения выражений, не вычисляя их:
а) 124,09 + 56,01 и 56,01 + 124,09;
б) 3,92 + (34,33 + 6,08) и (3,92 + 34,33) + 6,08;
в) 15,239 - (4,009 + 5,23) и 15,239 - 4,009 - 5,23.
2) Вычислите значения выражений наиболее удобным способом. Ш 249
680. Найдите закономерность числа:
1) 4,121;4,117; 4,113; ...;
2) 1; 0,9; 0,8;...;
и запишите два следующих
3) 6,15; 6,3:6,45; ...;
4) 9,83; 9,03; 8,23; ... . Ш 251
681. Представьте сначала в виде суммы, а затем в виде разности натурального числа и десятичной дроби следующие числа: 1)1,3; 2)7,256; 3) 15,003; 4)1,11.
Сложение и вычитание чисел удобно иллюстрировать с помощью координатного Л5П1а.
21S
О.б
о
1.6
2,2
1,6
Рмс. 160
Рис. 161
На рисунке 160 сумма координат точек Л и В равна координате точки С, так как
ОС = ОА+АС”ОА + ОВ-= 0.6 + 1,6 = 2,2.
На рисунке 161 мы видим, что разность координат точек С и В равна координате точки Л, так как
ОА = ОС-АС = ОС -ОВ = 2.2 - 1.6 = 0.6. О
682. Вычислите устно:
1) 0,4 + 0.3-0,2 + 0.01; 3)0.76-0,24-0,01 +0.3;
2) 2 + 0.5 - 0,3 + 1,82; 4) 1 - 0,5 + 1,5 - 0,05.
683. Найдите расстояние между точками на координатном луче:
1) F(1100), £(157): 3) Г(56,712), 5(7,8);
2) М(23,41), 7^(19,5); 4) АГ(0.7), L(12). Ш 248
Определение расстоянии между точками на координатном луче
Чтобы найти расстояние между двумя точками, заданными координатами, нужно из большей координаты вычесть меньшую. 0
684.1) Запишите значение выражения в виде десятичной дроби: т 252
10^ + 7.10. 1 + +
6)7-10^+^;
г)3.105 + 8-10^ + 6+:1 + :^з.
2) Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:
а) 0,26; в) 406.809; д) 400050,002;
б) 1,627; г) 352,0005; е) 204902,3085.
216
3) 17,33с + 8,9с + 11.5с;
4) 6d-2,91d + 4,6c/.
6850. Упростите выражение:
1) 2,3а + 4,8а-2,9а;
2) 0,436-0,28fe-0,09b;
686. Выполните действия:
1) 7,62 + 4,2; 3) 13,91 + 4,5; 5) 5,04 + 4,96;
2) 5,9 - 0,836; 4) 11,2 - 8,243: 6) 36,903 - 9,814.
687. Выполните цепочку вычислений: Ш 246, 253 ^
1) [д
2) 0
688. Упростите выражение:
1) 0,57(/ + 42,39.у + 49,431/ + 6,02(/ ^ 8,61i/;
2) « 3,9 *4,4а-3,4а+ 3,9-5,6а-5,6а. Ш 247
689. 1) Серёжа купил две бутылки воды массой по 0,3 кг, два пакета печенья по 0,5 кг и батон хлеба 0,8 кг. Все покупки он сложил в пакет, рассчитанный на 3 кг. Выдержит ли пакет?
2) При помоле пшеницы мука составляет 0,81 часть массы, а манная крупа — 0.02 части, всё остальное составляют кормовые отходы. Какую часть массы пшеницы составляют кормовые отходы?
690. На базе было 50 т овощей. В первый день продали 17,3 т овощей, во второй — на 2,1 т больше. Сколько тонн овощей осталось на базе после двух дней торговли?
691®. Падающий камень пролетает за первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину ущелья, если камень падает в него 4 с.
692^. 1) Сумма двух чисел равна 39,2. Одно число на 3,2 больше другого. Найдите второе число.
2) Сумма двух чисел равна 50,5. Одно число на 9,5 меньше другого. Найдите второе число.
217
693^. На прямой отмечены два отрезка AM — 12,3 см и МВ = 7,7 см. Чему равен отрезок АВ? Ш 248
694. Один из множителей равен 1,2. Как изменится произведение, если второй множитель:
1) увеличить на 5; 2) уменьшить на 10?
Задачи на смекалку
695. Учитель записал на классной доске примеры сложения и вычитания десятичных дрюбей. Ш 254 На перемене в класс зашли ученики младших классов и стёрли все запятые. Восстановите равенства.
16 + 14 = 3 856 - 556 = 3 73 - 5 = 23
7 + 104 - 804 306+ 15 = 321 64-17 = 623
696. Б коробке лежат 5 чёрных и 7 белых шаров. Какое число шаров следует не глядя взять из коробки, чтобы среди них обязательно оказался; 1) чёрный шар; 2) белый шар?
697. Одинаковые цифры в каждом из следующих примеров зашифрованы одинаковыми буквами, причём разным буквам соо1’ветствуют разные цифры. Расшифруйте эти примеры.
1) , СУМК,Л СУМК,А 2) СЛОВ,0 СЛОВ,0
БАГАЖ ПЕСНЯ
Ш 250
Контрольные вопросы и задания
1. Расскажите правила сложения и вычитания десятичных дробей.
2. Вычислите 92,37 + 0,991 - 18,632.
3. Известно, что С(27,13), £)(9,8). Найдите расстояние ме.жду точкамиСи!). й Тест
218
Умножение десятичных дробей
698. Вместо многоточия вставьте одно из указанных в скобках слов так, чтобы получилось верное утверждение.
1) При умножении десятичной дроби на 10 нужно перенести запятую ... (вправо, влево) на один знак.
2) При делении десятичной дроби на 10 нужно перенести запятую ... (вправо, влево) на один знак.
3) При умножении десятичной дроби на 100 нужно перенести запятую ... (вправо, влево) на ... (один, два, три) знака.
4) При делении десятичной дроби на 100 нужно перенести запятую ... (вправо, влево) на ... (один, два, три) знака. OlD 255
256
9)0.567*1000;
10) 1,34 : 10;
11) 0,1*1000;
12)0,1 : 100.
699. Вычислите:
1) 23*10;
2) 3*100;
3) 3600: 10;
4) 45 300: 100;
5) 560 : 10;
6) 560 : 100;
7) 560*1000;
8) 560 : 10 000;
700. Во сколько раз изменится десятичная дробь, если запятую перенести:
1) на 2 разряда вправо: 3) на 4 разряда вправо;
2) на 3 разряда влево; 4) на 7 разрядов влево?
701. Во сколько раз число 67,23 отличается от числа:
1)6,723; 2)672,3; 3)6723; 4)0,6723?
702. Закончите предложение.
1) Если один из множителей увеличить в 2 раза, то произведение ... .
2) Если каждый из двух множителей увеличить в 2 раза, то произведение ... .
3) Если один из множителей уменьшить в 10 раз, то произведение ....
4) Если каждый из двух множителей уменьшить а 10 раз, то произведение ....
5) Если один множитель уменьшить в 10 раз, а другой увеличить в 10 раз, то произведение ... .
219
703®. Зная, что 632*38 = 24 016, назовите значение выражения: 257
1) 63,2*38: 3)6,32*38: 5)6,32*3,8;
2) 632 * 3,8: 4) 632 • 0,38; 6) 0,632 • 0,38.
При увеличении одного из множителей в несколько раз произведение увеличивается во столько же раз. Это свойство позволяет свести умножение десятичных дробей к умножению натуральных чисел. Пусть, например, нужно умножить 7 на 1,2.
Произведение чисел 7 и 1,2 в 10 раз меньше произведения 7*12, значит,
7*1,2 “(7* 12): 10 = 84 : 10-8,4.
Рассмотрим ещё один пример.
Вычислить 0,007 *0,12.
Множитель 0,007 в 1000 раз меньше, чем 7, а множитель 0,12 в 100 раз меньше, чем 12, значит, произведение 0,007*0,12 в 100 000 раз меньше, чем произведение 7*12. Имеем
0,007*0,12 = (7*12) : 100 000--84 : 100 000 = 0,00084.
Те же результаты можно получить с помощью правила умножения обыкновенных дробей:
12 _ 7*12 _ 84 ^
10 10 10 ’ ’
7 12 7* 12 84
7*1,2 = 7 0,007*0,12 =
= 0,00084.
1000 100 1000 * 100 100 000
Как вы знаете, деление десятичной дроби на числа 10, 100, 1000 и т. д. сводится к переносу запятой на столько знаков влево, сколько у делителя нулей. ^
704. Известно, что 23*16 = 368. Ш 259
1) Найдите:
а) 2,3 * 16; б) 0,23 * 16; в) 23 ■ 1,6; г) 2,3 • 1,6; д) 0,23 • 0,16.
2) Сформулируйте правило умножения десятичных дробей.
220
Правило умножения десятичных дробей
(Т) Перемножить десятичные дроби как натуральные числа, не обращая внимания на запятые.
@ В найденном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. Ш 263
705. Найдите ошибки в вычислениях: Ш 260
1) 0.01 • 3 - 0,3; 3) 3 • 0.007 = 2,1; 5) 0.006 • 3 = 0,18;
2) 0,08 • 4 - 32.00: 4) 0,05 • 2 = 0,01;
706. Вычислите: Ш 258
1) 54,3 : 10; 3) 16,92 : 100;
2) 54,3-0,1; 4) 16,92-0.01;
6) 48-0,1 =0.48.
5) 1,23 : 1000;
6) 1,23-0.001.
707*. Сравните значения выражений:
1) 3,45 • 92,3 и 34,5 • 9,23; 4) 6.5 • 0,01 и 6,5 - 0,001;
2) 87,3 • 2.5 и 8,73 • 2,5; 5) 6.02 • 0,23 и 0.602 • 2.3;
3) 0,37-0,38 и 3.7-3.8; 6)5.9 : 1000 и 5,9 - 0,01.
708®. Вставьте пропущенную запятую так, чтобы получилось верное равенство: Ш 261
1) 35,47 -12 = 42564; 4) 0,15 • 2,3 - 345;
2) 4.56 • 382 = 174192; 5) 5,46 - 3,08 = 168168:
3) 123,2 • 200 = 246400; 6) 0,456 - 0,382 = 174192.
709*. Вычислите рациональным способом:
1) 23,4273 • 5 76,5727 • 5 + 6,346;
2) 6,4 • 456 : 100 - (37,9 - 33,34)- 6,4;
3) 45,3 • 0,5 • 2 + 0,25 - 5.7 ■ 4;
4) 4034 : 1000 + 7,84 -1,25 - 4034 • 0,001;
5) 1,12 + 2.342- 112: 100-2342: 10 000;
6) 2.5 - 0,4 ■ 50 • 0,02 + 0.52.74 s - 0,4;
7) 123,45 • 6,789 - 678,9 • 1,2345;
8) 12.34 - 567,89 - 56,789 • 123,4.
- 221
710. Найдите зиачеыие выражения: Ш 264 фф
1) 75,12 14; 3) 0,056 • 15; 5) 123,3 • 1,33;
2) 6.7 ■ 240; 4) 86,6 ■ 4,3; 6) 90,5 • 2,58.
711*. С помощью таблицы квадратов на переднем форзаце учебника найдите:
1) а) 1,2^; б) 0,682; в) 7.22; р) 2,72. д) о,892; е) 0,472;
2) число, квадрат которого равен:
а) 8,41; б) 67,24; в) 0,3136; г) 0,5776.
712^« Найдите выражения, значения которых равны:
1) 6.42 - 4,42; 4) (6.4 - 4,4)(6,4 + 4.4);
2) (3.9 - 2,5)2; 5) 3,02 - 2 • 3,9 • 2,5 + 2,52;
3) (3,9 + 2,5)2; 6) 3,92 + 2 • 3,9 • 2,5 1 2,52.
713®. Найдите закономерность и запишите следующие три числа: Ш 262
1) 1456; 145,6; 14,56; ...;
2) 0.195; 1,95; 19,5; ...;
3) 0,01; 0,04; 0,09;
4) 0,5; 1; 1,5; ... .
3) 64 + 26-0,03-1,8;
4) 0,81 : 10 + 0,19:0,1.
714®. Вычислите устно:
1) 0,3-0,7 + 14-0,94;
2) 0,97-0,43 + 0,16-0,5;
715.1) Найдите письменно значение выражения:
а) 85,3-4,1; г) 1,56-20,7;
б) 6.36-32.5; д)0.75-0,12:
в) 27,2-4.8; е) 0,08-0,21.
2) Найдите ответы в круге (рис. 162), Из букв сложится слово. Запишите его.
716. Упростите выражение:
1) (2,7л: + 3.1) - 2 - 10(0,1л: + 0,08);
2) 5,1(х-2)-3(1,2лг-2);
3) 0,1(2д: + 55) - 3(1,5 + 2.2л:);
4) 3,2(х-5)-6(0,5х-1).
222
717. Найдите значение выражения:
1) + 5f4x - 1,8-л^ при X “ 5,5;
2) 6,2*/ - 2Ау - 3,2(/ при у = 0,67;
3) ISx - 2 - (5x - 11) при X = 0,8:
4) 15х - 4 - (8х - 12) при х = 0,7.
718. Вычислите;
1) 6,3 • 7 - 10,28; 3) 4,8 • 1,3 - 0,3 • 2,7;
2) 0,7 • 32 + 2,07; 4) (16,84 - 12,37) • 2,3.
719*^. Решите уравнения, расположите их корни в порядке убывания и замените их соответствующими буквами:
1) X : 2,7 + 21,24 = 81,25; 4) 72.04 - х : 3,002 = 24,64;
2) 3,22 + ^ . 3^21 « 50; 5) х : 1,2 - 3,6 • 2,5 = 41.
3) х: 3,02 - 24,6 = 2,72;
Г = 162,027; С «96,3078; С = 60.
У = 127,6296; А = 142,2948;
720. Один рабочий обрабатывает 15 деталей в час, другой — в 1,2 раза больше. Сколько деталей они обрабатывают вместе за 8 ч?
721.1) Прямоугольная площадка для игры в бадминтон имеет размеры 13,42 м и 6,1 м. Найдите площадь площадки,
2) Самая крупная из ядовитых змей-медянок имеет длину 0,75 м, а самая крупная королевская кобра длиннее медянки в 7,44 раза. Какова длина королевской кобры?
3) При посеве моркови расходуется 0,35 г семян на 1 м2. Сколько семян надо приготовить для посева на поле длиной 210 м и шириной 140 м?
4) При покраске пола требуется 0,2 кг краски на 1 м2. Сколько потребуется краски для комнаты размерами 2,0 м на 3,3 м?
5) Пачка массой 1 кг состоит из 200 листов писчей бумаги. Сколько листов бумаги в пачке массой: а) 2,3 кг; б) 1,5 кг;
в) 0,8 кг?
6) Масса 1 см® железа равна 7,9 г. Найдите массу куска железа, объём которого равен: а) 4,9 см®; б) 0,5 см®; в) 1,5 см®.
223
722.1) Купили 1,5 кг рыбы по цене 95 р. за 1 кг и 0,6 кг картофеля по цене 11,5 р. за 1 кг. Какую сдачу должны полу^хить с 500 р.?
2) В магазине купили ткань двух видов: 3,4 м по цене 125,3 р. за метр и 4,7 м по цене 100,7 р, за метр. Сколько сдачи получили с 1000 р.?
7230.1) Скорость катера в стоячей воде 16,7 км/ч, а скорость течения рекЕ 2,3 км/ч. Катер шёл 2 ч по течению реки, а затем повернул назад и шёл ещё 3 ч. Сколько километров прошёл катер?
2) Катер сначала 2 ч шёл против течения реки, а затем повернул обратно и ещё 1,5 ч шёл по течению. Какой путь проделал катер за эти 3,5 ч, если скорость течения реки 1,8 км/ч, а скорость катера в стоячей воде 21,4 км/ч?
724*. 1) Сумма двух чисел равна 21,6. Одно число в 3,5 раза больше другого. Найдите эти числа.
2) Сумма двух чисел равна 59,8. Одно число в 4,2 раза меньше другого. Найдите эти числа.
725.1) Найдите периметр и площадь квадрата, сторона которого равна 0,26 м.
2) Длина каждой из сторон шестиугольника равна 8,43 дм. Найдите периметр шестиугольника.
726. Найдите объём, площадь поверхности и сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны:
1) а = 2,4 см, 6 — 5 см, с = 1,2 см;
2) а “ 0,13 м, 6 = 1,4 м, с « 5 м.
Задачи на смекалку
727. Когда в некотором двузначном числе переставили цифры, оно увеличилось в 4,5 ря.'чя. Какое это число?
224
728. Известно, что 0,4*/ = 5. Не вычисляя значения */, найдите 4,44*/,
729. Сколько составят полторы трети от 100?
Контрольные вопросы и задания
1. Может ли произведение двух чисел оказаться меньше каждого из множителей? Приведите пример.
2. Решите уравнение 9,9895 - X : 1,207= 1,8.
3. Один рабочий делает 14 деталей в час, другой — в 1,5 раза больше. Сколько деталей будет сделано ими обоими за 8 ч?
4. Гоночная машина «Формулы-1» движется со скоростью 320 км/ч. Какое расстояние она проходит за:
1)2ч; 2) 0,5 ч; 3)0,1ч?
Деление десятичной дроби на натуральное число
Как вы видели, сложение, вычитание и умножение десятичных дробей сводится к выполнению соответствующих действий с натуральными числами. К действиям с натуральными числами приводит и деление десятичных дробей.
730*. Вместо многоточия вставьте одно из указанных в скобках слов так, чтобы получилось верное утверждение.
1) Если делимое увеличить в 10 раз, то частное ... (увеличится, уменьшится) в 10 раз. Ш 265
2) Если делитель увеличить в 10 раз, то частное ... (увеличится, уменьшится) в 10 раз.
3) Если делимое и делитель увеличить в одно и то же число раз, то значение частного ... (изменится, не изменится).
4) Если делимое и делитель уменьшить в одно и то же число раз, то значение частного ... (изменится, не изменится).
5) Если делимое увеличить в 10 раз, а делитель уменьшить в 10 раз, то частное ... (увеличится, уменьшится) в 100 раз.
225
731®. 1) Используя свойства деления, определите, во сколько раз значение одного выражения больше другого:
а) 42 : 7 и 4,2 : 7; г) 396 : 3 и 396 : 0,03;
б) 56 : 8 и 56 : 0,8; д) 36 : 18 и 0,36 : 18;
в) 2468 : 2 и 24,68 : 2; е) 65 : 5 и 650 : 0,5.
2) Вычислите значения выражений.
7320. Поставьте запятые так, чтобы равенства стали верными: Ш 266
1) 3,6:2-18;
2) 45,36:6 = 756;
3) 163,71 : 51 -321;
733*. 1) Проверьте равенства:
а) 235 848:372-634;
б) 677 097:3271 = 207;
4) 15,444:39 = 396;
5) 462,5 : 125-37;
6) 15,912:204 = 78.
в) 345 690 : 345 = 1002;
г) 3 097 500:4130 = 750.
2) Воспользуйтесь этими равенствами, чтобы найти значения выражений:
а) 1,002-34,5; д) 327,1 • 2,07;
б) 235,848 : 372; е) 3,45 • 1,002;
в) 34,5690 : 345; ж) 309,75 : 75;
г) 6770,97 : 3271; з) 235 848 : 37,2.
734. Сравните значения выражений и сделайте вывод:
1) 38 : 19; 380 : 190; 3,8 : 1,9;
2) 28:7; 2,8 : 0,7; 0,28:0,07;
3) 8,4 : 4; 84 : 40; 8400 : 4000;
4) 0,25:0,05; 25:5; 2,5 : 0,5.
Во многих случаях деление десятичной дроби на натуральное число приходится выполнять в столбик.
Разделим, например, десятичную дробь 25,92 на натуральное число 6.
(Т) Сначала разделим на 6 целую часть делимого — натуральное число 25. В частном получается четыре, а в остатке — единица.
_ 25,921^
24__|4“
1
226
Снесём к остатку цифру десятых и будем делить 19 десятых на 6. В частном при этом получается три десятых, а одна десятая оказывается в остатке.
25,9216 24___ 4,3
19
18
Снесём к остатку цифру сотых и будем делить 12 сотых на 6. 12 сотых делится на б без остатка. В частном при этом получается две сотых.
25,92 ”24
4,32
-19
18
_12
12
О
Деление закончено. 25,92 : б “ 4,32. U
Правило деления десятичной дроби на натуральное число
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо делить её так же, как натуральное число, а запятую в частном поставить сразу, как только закончится деление целой части.
735. Объясните, как выполнено деление. Ш1 268
1) 47,31 3 2) 13,26 15
3 15,77 120 0,884
17 126
15 120
23
^1
21
*■21
О
60
60
о
227
Рис. 163
736. Проверьте равенства, выполнив указанное деление: Ш 267
1) 86,8 : 4 - 21,7; 5) 433,08 : 54 - 8,02;
2) 82,8 : 23 - 3,6; 6) 1653,6 : 12 = 137,8;
3) 538,2 : 46= 11,7; 7) 1,2 : 125 = 0,0096;
4) 30,71 : 83 = 0,37; 8) 9919,35 : 987 = 10,5.
737. Какие числа должны стоять в кружочках на рисунке 163? 738*. Решите уравнение:
1) И.Зд: + 6,74 = 9; 3) 0,7251 : а + 0,83 = 25;
2) 63,34 - 0,68^/ » 63; 4) 5,26 - 4,95 : с - 4,16.
Запятая в частном может оказаться и при делении натуральных чисел. Пусть, например, нужно разделить натуральное число 7 на натуральное число 8. Результат деления легко
7
записать в виде обыкновенной дроби 3. А для того чтобы полу-
8
чить десятичную дробь, будем делить 7 на 8 в столбик.
Число 7 меньше 8, поэтому целая часть частного равна нулю. Представим число 7 как 70 десятых и разделим па 8.
В частном получаем 8 десятых, а в остатке 6 десятых. Приписываем к остатку справа нуль и делим на 8 теперь уже 60 сотых.
В частном получаем 7 сотых, а в остатке 4 сотых. 7 0 8 Приписываем к остатку нуль, полу'шем 40 тысячных и делим на 8.
В частном при этом получается 5 тысячных, а остаток оказывается равным нулю.
7,0
31
_6
56
0,875
Деление закончено. 3 = 0,875.
8
40
40.
о
228
739. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной:
1)5-
4<
2)|;
5)7i;
а) с помощью деления;
б) с помощью основного свойства дроби.
740. Выполните деление:
1)1:8; 2) 24 : 625; 3) 45:6; 4) 3 : 32.
741. Найдите выражения» значения которых равны между собой:
О) 9,6 ; 32 ; 0,03;
7) 7,32:2-5,74:2;
8) 3,6-(9,6 : 3);
9) 0,96: (36:3);
10) 9,6: (3,6:3).
в) а • Ь : с = а : с • Ь = Ь
г) а : б : с “ а : (6 • с)?
1) (7,32+ 5,74): 2;
2) 3,6-9,6 : 3;
3) (7,32-5,74): 2;
4) 3,6 : 3*9,6;
5) 7,32:2 + 5,74:2;
742^. 1) Верны ли равенства:
а) а : с + 6 : с * (а » б): с; в) а* Ь : с = а : с • = Ь : с • а;
6) а : с - Ь : с = (а - Ь): с;
2) Проверьте данные равенства при а = 4,2, = 4 и с * 2.
743. Найдите закономерность и укажите два следующих числа:
1) 2,3; 3; 3,7; 4,4; ...; 3) 1,2; 2,4; 4,8; 9.6; ...;
2) 8,5; 7,8; 7,1; 6,4; 4) 12,8; 6,4; 3,2; 1,6; ... .
744*. 1) Увеличьте каждое из чисел в 5 раз: Ш 269, 272
а) 3,7; г) 102,23;
б) 0,56; д) 0,0061;
в) 0,023; е) 50 078.2.
2) Уменьшите каждое из чисел в 5 раз:
а) 25,5; 6)1; в) 1,2; г) 0,001; д)34,3; е)3,1.
745*. Из чисел 0,001; 0,01; 0,1; 1; 10 выберите ближайшее к
20 • 0,3 • 2005
значению выражения-----— .
746.1) Запишите четыре числа, первое из которых равно 5,32, а каждое следующее в 2 раза меньше предыдущего.
2) Запишите четыре числа, первое из которых равно 0,27, а каждое следующее в 3 раза больше предыдущего.
- 229
747. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного на 3,5 км/ч меньше, чем другого?
748®. Автомобиль «Ока» расходует 3,5 л на 100 км, а «Жигули* — 1 л на 14 км.
1) Какой автомобиль более экономичен в затратах на бензин?
2) Сколько бензина потребуется «Оке* и сколько «Жигулям* на поездку из Москвы в Белгород, расстояние до которого 640 км?
749. 1) За 20 с радиокомментатор успевает сказать 100 слов. С какой скоростью (сколько слов в минуту) говорит радиокомментатор? С какой скоростью говорите вы?
2) За три одинаковые книги заплатили 315,75 р. Сколько стоят пять таких книг?
750^. 1) Самая быстрая улитка за 10 мин проползёт 1,5 м. С какой скоростью движется самая быстрая улитка? Найдите скорость улитки в м/мин и км/ч.
2) Космический корабль .за 0,1 с проходит 1 км пути. Выразите скорость корабля в км/ч.
3) Один взмах крыльев пчелы занимает 0,005 с. Сколько взмахов сделает Ш1ела за минуту? Ш 271
Задачи па смекалку
751. Из маленьких кубиков сложен большой куб (рис. 164). Найдите двумя способами объём маленького куба, если ребро большого куба равно 6,3 см.
752. Поверхность куба окрасили, а затем распилили куб на маленькие кубики, как показано на рисунке 164. У скольких кубиков окрашено: 1) по одной грани; 2) по две грани; 3) по три грани? Ш 273
753. Найдите закономерносгь и вставьте пропущенное число:
1) 9; 4,5; ...; 1,125; 0,5625; 2) 2; 0,4; 0,08;...; 0,0032.
Рис. 164
230
Контрольные вопросы и задания
1. Найдите значение выражения 0,5 * 4 - 4,368 : 42 + 4,104.
о
2. Представьте смешанное число 4— в виде десятичной дроби.
3. Человек прошёл 105,6 м. Сколько шагов он сделал, если длина его шага равна 80 см? Ш 270 ^ Тест
Бесконечные десятичные дроби
В предыдущем пункте вы научились делить десятичные дроби на натуральные числа и использовали это умение для перевода обыкновенных дробей в десятичные. Во всех случаях на каком-то шаге деления в остатке получался нуль, и деление заканчивалось. Однако так бывает далеко не всегда. Попробуем,
например, перевести в десятичную дробь число |. Для этого
число 1 будем делить на 3.
_ 1,0 13
0,3333...
10
9
_9
_10
9
1
• • •
Можно, конечно, и дальше продолжать процесс деления, но, очевидно, что ничего нового это нам не принесёт. Мы всё время будем записывать в частном очередную тройку, получать в остатке 1, дописывать к ней нуль, делить на 3, записывать в частном следующую тройку, полу'шть в остатке 1 и т. д.
Понятно, что мы никогда не получим в остатке нуль, а значит, деление никогда не закончится.
2Э1 —
в частном у нас получается десятичная дробь 0,33333... .
После занятой в этой дроби стоит бесконечно много цифр, поэтому её называют бесконечной десятичной дробью.
Возникает естественный вопрос, как записать эту дробь. Ведь нельзя же записать бесконечно много цифр, даже если все они одинаковые.
Договорились бесконечно повторяющуюся цифру или группу цифр называть периодом дроби и записывать в скобках:
0,3333... = 0,(3); 3,250474747... = 3,250(47).
Сами такие дроби получили название бесконечных периодических десятичных дробей.
В числе 0,3333... сразу после запятой бесконечно повторяется цифра 3. В числе 3,2504747... бесконечное повторение цифр 4 и 7 начинается с разряда десятитысячных.
Прави.чо чтения периодической дроби При чтении периодической дроби сначала читается число, стоящее перед периодом, а затем число, стоящее в периоде.
Например, 25,1(34) читается так: «двадцать пять целых, одна десятая и тридцать четыре в периоде*. |||
754. Запишите цифрами периодические десятичные дроби: ШУ 274
1) нуль целых и два в периоде;
2) двадцать целых и тринадцать в периоде;
3) одна целая шесть десятых и четыре в периоде;
4) сто целых две сотых и двести двенадцать в периоде.
755. Прочитайте периодические дроби: 03 275
1) 0,(7); 2) 36,17(28): 3) 2,3(5); 4) 132,2(89).
756. Запишите бесконечные десятичные дроби, указав период:
1) 6,5777...; 2) 12,34555...; 3) 3,333...; 4) 1,115151... .
757. 1) Переведите обыкновенную дробь в десятичную: tIJ 277
7
а)|:
в)
10*
Ч 27
">п*
д)|:
ч 5
®^3*
2) Запишите полученные бесконечные десятичные дроби, указав период.
3) Назовите коне*1ные и бесконечные десят1гчпыс дроби.
232
758, Запишите в виде бесконечной десятичной дроби, указав период: Ш 278
1)^-
3’
2)^-9 ’
4)25.
^ 27
Определяя координаты точки на координатном луче, мы последовательно выясняем, чему равна целая часть координаты, какая цифра стоит в разряде десятых, сотых, тысячных и т. д. Однако этот процесс может оказаться и бесконечным. Так, на следующих рисунках показано начало бесконечного
процесса определения координаты точки С, равный |
(рис. 165).
а)
С
+•—ь
б) к
0,3 0,4 С
б)
0,3 0,33 0,34
С 0,334
——I—
0,4
0,33
0,333
С 0,3334
0,34
0,333 0,3333 0,334
Рнс. 165
Конечно, если знать заранее, что координата точки С равна
i , проще было бы перевести дробь \ в десятичную дробь деле-о 3
нием: г
о
0.(3).
759. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки:
1)ЛЗ,(5)); 2)Д(2,7(8)); 4)г(И|.
760. Сравните дроби: Ш 276,279
11 17
1) 0,(3) и 0,3; 2) 2,3(17) и 2,31(7); 3) 1,57 и ; 4) ^ и ^'
13*
233
761*. 1) Известно» что а > Ь иЬ ^ 0. Какое утверждение верно: а) а : 6 < 1; б) а : 6 > 1; в) а : 6 = 1?
2) Известно, что а 6^0и^<1. Какое утверждение верно:
а)а:б<а; б)а:б>а; в)а:Ь = 17
3) Известно, что а : Ь > 1. Какое утверждение верно:
а)а <Ь; б)а> Ь; в) а - Ь?
Задачи на смекалку
762. Замените цифрой знак так, чтобы полученная запись
была верной: 280
1) 95,6(8) < 95,688*: 3) 5.(67) > 5,67*;
2) 9,(57) - 9,5(**); 4) 1,7(89) < 1,7(8**).
763. Найдите закономерность и вставьте пропущенное число.
Ш 281
764. Победителями первенства школы по шахматам стали восьмиклассник Белов, девятиклассник Чернов и десятиклассник Рыжов.
— Обратите внимание, — заметил один из них, — среди нас есть рыжий, блондин, т. е. беловолосый, и я — брюнет, т. е. черноволосый. Но ни одна из фамилий не соответствует цвету волос обладателя.
— Действительно, забавно, — согласился восьмиклассник. Какого цвета волосы у каждого из победителей?
765. На листе бумаги написаны двадцать чисел, равных 1,1, и двадцать чисел, равных 1,11.
Зачеркните несколько чисел так, чтобы сумма оставшихся была равна 19,93.
234
Контрольные вопросы и задания
1. Прочитайте дробь 5,6(7).
13
2, Переведите обыкновенную дробь — в десятичную и укажите её период.
3. Сравните дроби 53,3(15) и 53,3(151). О Тест
Округление чисел
Определяя координаты точки на координатном луче, мы последовательно выясняем, чему равна целая часть координаты, какая цифра стоит в разряде десятых, сотых, тысячных и т. д. Этот процесс может оказаться бесконечным. Так, на рисунке 166 с последовательным увеличением в 10 раз от рисунка а) до г) на координатном луче показана точка С, координата которой равна 0,(3). Вы уже встречались с этими рисунками в предыдущем пункте.
На рисунке 166, а мы видим, что 0,3 < 0,(3) < 0,4.
Числа 0,3 и 0,4 являются приближёнными значениями координаты 0,(3). Каждое из них отличается от 0,(3) менее чем
на0,1.Ш 282 О
а)
б)
в)
г)
С
0 0,3 6.4 г
с
о'з ' 0,33 0,34 0.4
с 0,334
о'зз' 0,333 ’ ' 0,34
с 0,3334
0,333 0,3333 0,334
Рнс. 1бб
235
Говорят, что эти числа являются приближениями 'шсла 0,(3) с точностью до 0,1:
0,3 — приближение числа 0,(3) с недостатком^
0,4 — приближение числа 0,(3) с избытком.
Для записи приближённых значений используется знак приближённого равенства С его помощью можно записать, что 0.(3) « 0,3 и 0,(3) = 0,4.
Точка С расположена ближе к точке с координатой 0,3, чем к точке с координатой 0,4. Значит, 0,(3) отличается от 0,3 меньше, чем от 0,4. Другими словами, число 0,3 является более точным приближением 0,(3), чем число 0,4.
Рисунок 166, б показывает, что приближёнными значениями 0,(3) с точностью до 0,01 являются числа 0,33 и 0,34. При этом 0,33 — более точное приближение.
766.1) Прочитайте записи:
а) 9,05 а 9; в) 2,99 « 3;
б) 4,51 «4,5: г) 17,62 «17,7.
2) Для чисел 9,05; 4,51; 2,99; 17,62 найдите приближения с точностью до 0,1 с недостатком и с избытком.
3) Какое приближение в каждом случае является более точным — с недостатком или с избытком?
767. Запишите в виде двойного неравенства, что:
1) число восемь целых одна десятая больше восьми, но меньше восьми целых двух десятых;
2) число один больше нуля, но меньше одной целой пяти десятых;
3) число нуль целых две десятых больше нуля, но меньше одного;
4) число две целых пять десятых больше двух, но меньше трёх.
768. 1) Прочитайте двойное неравенство:
а) 4<4,371<5;
б) 4,3 <4.371 <4,4;
в) 4,37 <4,371 <4,38.
2) Назовите приближения числа 4,371 с недостатком и избытком с точностью до: а) целых; б) десятых; в) сотых.
236
769. 1) Назовите какое-нибудь число, которое:
а) больше 2, но меньше 3;
б) больше 12,5, но меньше 12,7;
в) больше 10,08, но меньше 10,09;
г) больше о, но меньше 1.
2) Запишите соответствующее двойное неравенство.
3) Прочитайте составленное неравенство.
770.1) Найдите приближения с точностью до 0,01 с недостатком и с избытком для следующих чисел: 283
а) 0.353; 6)1,396; в) 28,107; г) 182,182.
2) Какое из приближений более точное — с недостатком или с избытком?
771.1) По рисунку 166, в укажите приближения координаты точки С с точностью до 0,001. Какое из этих приближений точнее?
2) По рисунку 166, г укажите приближения координаты точки С с точностью до 0,0001. Какое из них точнее?
772, 1) По рисунку 167 укажите с точностью до 1; до 0,1; до 0,01 приближения координаты: а) т точки М;б) п точки N.
2) Какое из найденных приближений, с недостатком или с избытком, точнее?
3) ^ Как вы думаете, может ли цифра в разряде тысячных: а) числа т быть меньше 5; б) числа п быть больше 5?
М
N
2.3
Рис. 167
773®. С какой точностью указаны
46,28475 и какое из них точнее:
2А
приближения числа
1) 46,28475-46,28 и
46,28475-46,29;
2) 46,28475-46,2 и
46.28475 = 46,3;
3) 46,28475 = 46,284 и
46.28475 = 46,285;
4) 46,28475 = 46 и
46.28475 = 47;
5) 46,28475 = 46,2847 и
46.28475 = 46,2848;
6) 46,28475 = 40 и
46.28475 = 50?
237
Переходя от данного числа к его приближению с точностью до единицы некоторого разряда, мы отбрасываем цифры всех младших разрядов или заменяем их нулями. Такой переход называют округлением числа до соответствующего разряда.
774.1) Округлите до сотых с недостатком и с избытком число: а) 4,831; 6)54,086; в) 0,5558; г) 7,143.
2) Какое из полученных приближений точнее?
Результаты, которые полу'1ены при выполнении заданий 773 и 774, позволяют сформулировать правило округления.
Правило округления чисел
Если в разряде, следующем за разрядом, до которого округляется число, стоит одна из цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то округление производится с недостатком, а если другая цифра, то с избытком.
Округлим по этому правилу число 6,2537 до сотых. Следующим после разряда сотых идёт разряд тысячных. В разряде тысячных у числа 6,2537 стоит цифра 3, значит, округлять следует с недостатком. При этом цифры разрядов, следующих за разрядом сотых, отбрасываются: 6,2537 « 6,25.
Если округлять число 6,2537 до десятых, то следует посмотреть на цифру следующее разряда, т. е. на цифру сотых. В разряде сотых стоит цифра 5, значит, округлять следует с избытком: 6,2537 6,3. и
775. Пользуясь правилом, округлите до десятых числа: Ш 284
1)2,64; 2)2,473; 3)2,573; 4)2,157. Н
Правило округления часто применяется к бесконечным десятичным дробям.
776, Числа 1) 0,(6); 2) 1,(9); 3) 7,(47); 4) 52,(108) округлите до:
а) единиц; г) тысячных:
б) десятых; д) миллионных;
в) сотых; е) десятимиллиоыных. Ш 288
238
777. Замените обыкновенную дробь её десятичным приближе-
3 15 25 69
нием с точностью до сотых: 1) - ; 2) 7=; 3) -г-г; 4) .
7 17 11 ^3
778*. Определите устно, какие из следующих приближений
сделаны не по правилу округления. Исправьте ошибки:
1) 2,781 = 2,8; 3) 0,047 = 0,04; 5) 15,(8) ^ 16;
2) 583,9 « 600; 4) 0,(96) - 0,96;
779.1) Назовите какие-нибудь два числа, удовлетворяющие двойному неравенству: Ш 286
а) 2,3 < а < 2,6; г) 4,6 < с < 4,7;
б) 5,324 < X < 5,357; д) 6,11 < ci < 6,112;
в) о < 6 < 1; е) 7,67 < у < 7,6701.
2)* Сколько можно записать чисел, удовлетворяющих этому неравенству?
780. Округлите числа 4,781; 93,406; 9,928; 0,0547 до: Ш 285,287 4^
1) единиц; 2) десятых; 3) сотых.
7810. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 7,2 см,
3 4
что составляет ? длины и | высоты. Найдите объём прямо-
4 5
угольного параллелепипеда в кубических сантиметрах и округлите ответ до десятых. Ш 289, 290
782. Самая длинная змея — удав анаконда, его длина равна 10 м. Найдите длину самой маленькой ящерицы — геккона, если известно, что она короче удава в 335 раз. Ответ округлите до сантиметров.
239
783. Глубину моря измеряют с помощью эхолота. Издаваемый им звук доходит до дна, отражается и возвращается к эхолоту. Скорость звука в воде 1500 м/с.
1) Марианская впадина в Тихом океане имеет самую большую в мире глубину. Найдите глубину Марианской впадины, если время, измеренное эхолотом, равно 14,7 с.
2) Глубина озера Байкал равна 1600 м. Найдите время, измеренное эхолотом, с точностью до сотых долей секунды.
784.1) Бегуны на разных дистанциях показывают разное время: 100 м пробегают за 10 с, 1500 м — за 3 мин 30 с, 5 км — за 13 мин 23 с, 10 км — за 27 мин 20 с, 40 км — за 2 ч. На какой дистанции спортсмены достигают наибольшей скорости? 2) Самый длинный железнодорожный тоннель Сейкан в Японии, его длина 54 км. Сколько времени проведёт в тоннеле поезд, который движется со скоростью 80 км/ч?
785. Округлите показания часов до ближайшего часа, получаса или четверти часа.
Задачи на смекалку
786. На голове человека примерно 150 000 волос. За месяц примерно 3000 из них выпадают. Определите примерную продолжительность жизни волоса.
787. В ящике лежат 5 чёрных и 7 белых носков. Коля в темноте вытаскивает из ящика носки. Какое число носков ему сле-
гло
дует взять, чтобы среди них обязательно оказалась пара: 1) носков одного цвета; 2) чёрных носков; 3) белых носков?
788. Собрался Алёша Попович на бой со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. «Вот тебе меч-кладенец, — говорит ему Баба Яга. — Одним ударом ты можешь срубить Змею либо 1 голову, либо 2 головы, либо 1 хвост, либо 2 хвоста. Запомни: срубишь голову — новая вырастет, срубишь хвост — 2 новых вырастут, срубишь 2 хвоста — голова вырастет, срубишь 2 головы — ничего не вырастет*. За сколько ударов Алёша Попович может срубить Змею все головы и все хвосты? Какие удары нужно наносить?
Контрольные вопросы и задания
1. Расскажите правило округления десятичных дробей и приведите примеры его использования.
2. Найдите приближения числа 26,038 с точностью до 0,01 с недостатком и с избытком. Округлите данное число до разряда сотых по правилу округления.
3. Замените обыкновенную дробь ^ её десятичным приближением с точностью до 0,001. Ш 291 Н Т®ст
241
-®»-L Деление на десятичную дробь
Деление на десятичную дробь легко заменить делением на натуральное число. Для этого вспомним, что при увеличении делителя и делимого в одно и то же число раз частное не изменяется. Например, 5,7 : 0,19 = 570 : 19 — 30.
В этом примере делитель и делимое были одновременно увеличены в 100 раз. Фактически это увеличение свелось к перемещению запятой в делителе и делимом на два знака вправо, именно столько знаков после запятой и было в делителе.
789. Вычислите устно: Ш 292
1) 5,6 : 0,8; 3) 0,8 : 0,16; 5) 36 : 0,03;
2) 2 : 0,25; 4) 12,1 : 1,1; 6) 78 : 0,01.
При письменных вычислениях в столбик обычно записывают уже увеличенные делитель и делимое.
790.1) Найдите частное чисел: Ш 293
а) 0,8: 0,5; в) 6,72: 5,6;
б) 29,6:3,7; г) 2,961 : 0,47.
2) Выполните проверку, перемножив частное и делитель.
791. Выполните деление: ^ 294 в
1) 0,0261 : 0,03; 3) 189,54 : 0,78; 5) 5 : 0,8;
2) 6.944 : 3,2; 4) 128,34 : 0,138; 6) 32 : 1,28.
792®. 1) Цифру какого разряда надо получить в частном, чтобы выполнить деление в столбик с точностью до 0,01?
2) Вычислите с точностью до сотых:
а) 5: 0,6; в) 0,178 : 0.15: л) 1.05: 12;
б) 18 : 1.3; г) 0,029 : 3,7; е) 18,3524 : 2,134.
793. Выполните устно цепочки вычислений в столбцах таблицы. Расположив буквы в порядке возрастания результатов вычислений, вы получите имя великого немецкого математика, который в 1684 г. ввёл знак деления, а 1698 г. — современный знак умножения.
242
8,1 : 9 1-0,3 0,2-0,5 3,6+ 2,8 0,56:2 0,092•100 15.6-0.1
•2 : 7 •9 :0,8 : 1,4 :4 : 3
:3 •78 :0,03 •0,001 •11 -0,4 •8
•4 : 2 : 10 + 3 + 1,72 •2 - 0,31
Л И Е Й Ц Б Н
794. Устно найдите неизвестное число, обозначенное буквой:
1) а + 2,7 - 27; 3) 6Д - с = 0,61; 5) 1 : л: = 4;
2) 10 • 6 = 3,1; 4) d : 0,01 = 10; 6) i/ • 0,9 = 0,09.
795. 1) Решите уравнения, которые не требуют письменных вычислений.
2) Решите уравнения, выполнив письменные вычисления:
а) 3,8л: = 623,2; д) 0,587x « 58,7;
б) 623x - 6,23; е) 7,329х = 366,45;
в) 802,4х - 8,024; ж) 7,329х = 7,329;
г) 62,3л: = 803,67; з) 9,29л: - 0.
796.1) Найдите как можно большее натуральное значение jc, чтобы было верным неравенство
л:<(23,79: 7,8-6,8: 17)* 3,04 - 2,04.
2) Найдите как можно меньшее натуральное значение д:, чтобы было верным неравенство
лг > (3,42 : 0,57 • 9.5 - 6,6) • 3,3.
797. Какими натуральными числами можно заменить х в двойном неравенстве:
1) (3,1 • 5,3 - 14,39): 1.7 < д: < 4,2 • 4,6 : 4 - 1,73;
2) 3.8 -1,75 : 0,95 < л < 2,38 + 3,4 : 0,85 • 1,55?
798. Верно ли, что:
1) 36,2 + 821,1 ; 34,5 - 50; 2) 76,2 • 2,45 - 185,69 = 1?
799. Верно ли, что:
1) 11 <(3,91 : 2,3-5,4-4,03)-2,4 < 12;
2) 1 < 6,93 : (0,028 + 0,36 • 4,2) - 3,8 < 2?
243
800. Вычислите:
1) (5,27 - 24,9(0,48 - 0,38)): 0,2;
2) (4,47 - 27,1(1,56 - 1,46)): 0,2.
Иногда в выражение входят и обыкновенные, и десятичные дроби. При вычислении значений таких выражений десятичные дроби обы'шо переводят в обыкновенные.
8010. Найдите значение выражения:
4)(36,8-3,5-li):l|-14}|;
-2^0.52.
8020. Найдите значение выражения:
-('If '‘)(7’»2-б|):(2^+0,2);
2)(ll ]: 3,125: 5) 12,8 • 0,25 : - 0,125 ];
2). 3,6
3) [if + I-0,355): 0,59; 6)
(l,5 + 2? + 3:
15±:2-7
803 o. Решите уравнение:
1)(51-д.).2,7-1А=3?:
2)(8,4:x+35]:4i=ll.
244
804. 1) Верёвку разрезали на две части. Длина одной части верёвки 5,4 м, а длина другой части в 1,2 раза меньше. Найдите длину верёвки,
2) Двигатель за 4,5 ч расходует 66,6 л горючего. Сколько литров горючего расходует двигатель за 2,1 ч?
3) Поезд прошёл 87,5 км за 1,4 ч. Какое расстояние пройдёт поезд за 2,2 ч, если его скорость не изменится?
4) Поезд движется из Москвы в Киев со скоростью 62,5 км/ч и находится в пути 12 ч. Какое расстояние проезжает поезд от Москвы до Киева? Во сколько раз меньше времени мог бы затратить на этот путь высокоскоростной поезд, если бы он мог двигаться со скоростью 500 км/ч? Ш 297
805.1) В магазин привезли печенье. В первый день продали 52 кг печенья, а во второй день — в 1,3 раза меньше, чем в первый. Сколько килограммов печенья привезли в магазин, если за два дня была продана треть привезённого печенья? 2) Поле площадью 24 га занято под картофель и капусту. Капустой занято в 2,2 раза меньше площади, чем картофелем. Какая площадь занята капустой, а какая — картофелем? Ш 296
Задачи на смекалку
806. Найдите правило размещения чисел в верхнем и нижнем полукругах и вставьте недостающие числа (рис. 168). Ш 295
а)
б)
Рнс. 168
245
807, Том Сойер и Гек Финн нашли клад из золотых монет и драгоценных камней. Том разделил клад на две равные, по его мнению, части, а Гек выбрал себе часть, которая ему понравилась больше. Понятно, что при этом оба мальчика были довольны результатами раздела. Придумайте, как разделить клад на троих, чтобы каждый из них считал, что получил не меньше его трети.
808. 1) В некотором царстве, в некотором государстве живут рыцари (они всегда говорят правду) и лжецы (они всегда лгут).
а) Человек говорит: *Я — лжец». Является ли он жителем этой страны?
б) Каждый из собравшихся на площади жителей заявил остальным: «Вы все— лжецы». Сколько рыцарей среди собравшихся на площади?
2) В стране два города, в одном из которых живут лжецы, а в другом — рыцари. Как, встретив на развилке дорог жителя этой страны, выяснить, задав всего один вопрос, какая дорога в какой город ведёт?
Контрольные вопросы и задания
1. Может ли частное оказаться больше делимого? Если может, приведите пример. ^ Тест
2. Вычислите 2,22 : 3,7 ь 5,36 : 0,67.
3. Площадь треугольника 2,4 см^, а его основание 3,2 см. Найдите высоту этого треугольника, проведённую к основанию.
246
Процентные расчёты
Мы уже говорили о том, что некоторые доли целого имеют свои собственные названия: половина, треть и четверть. Эти доли выражают довольно большие части целого. А в тех случаях, когда нужны маленькие части, обычно используют проценты. Слово процент происходит от латинских слов pro centum (на сто) и означает сотую долю целого. Проценты обозначают с помощью специального значка «%». Например, 1% — это 0,01 часть целого, 12,5% — это 0,125 целого и т. п. ^
809. Верно ли, что: Ш 298
1) 1% от 1 м равен 1 см; 3) 1 а равен 1% от 1 га;
2) 1% от 1 кг равен 1 г; 4) 1 дм^ равен 1% от 1 м^?
810. Найдите целое, если 1% от него составляет:
1)0,03 г; 2)25м=^; 3)100р.; 4) 92 человека.
811. Какое число отличается от других: Ш 289
1) 1% от 34; 0,01-34; 0,1-34;
2) 1-224; 0,2-224; 0,5-224; 50% от 224;
3)0,25-56; 25% от 56; 1-56; 0,2-56;
4)0,2-49; 20% от 49; 1 .49- 5 1.49?
812. Сколько процентов целого приходится на его:
1) половину; 2) четверть?
813.1) Какой процент фигуры закрашен на рисунке 169? ^
2) Определите площадь всей фигуры, если площадь её закрашенной части равна: а) 5 м^; б) 90 м^; в) 150 м^. РШ 300
<0
Рис. 169
247
Проценты люди начали применять задолго до изобретения десятичных дробей, но и в наши дни трудно найти газету, в которой не говорилось бы о повышении или понижении каких-то величин на несколько процентов. О процентах по вкладам говорят в банке, да и в школе часто можно услышать, например, о проценте успеваемости учащихся,
Правило чтения процентов
В слове процент ударение ставится на второй слог во всех падежах в единственном и множественном числе.
Слово процент читается в том же падеже, что и числительное.
7) 25% от 484;
8) 20% от 555;
9) 10% от 4.
814. Найдите: 301
1) 1% от 435; 4) 50% от 224;
2) 2% от 111; 5) 100% от 12,3;
3) 5% от 125; 6)12% от 1,1;
815. Ответьте на вопросы. Ш 303
1) Как найти:
а) 1% от числа а; б) 2% от числа а;
2) Чему равно:
а) 100% от числа а; в) 25% от числа а;
б) 50% от числа а; г) 20% от числа а?
816. Найдите число, зная, что: Ш 302
1) 1% его равен:
2) 2% его равны:
в) 10% от числа а?
а)3; б) 40; в) 2,4; г) 0.07
а) 7; б) 15; в) 6,5; г) 0,11
а) 6; б) 235; в) 0,32; г) 0,02
а) 2; б) 10; в) 0,11; г) 5.6.
817. Объясните смысл предложения.
1) Из молока получается 25% сливок.
2) В свёкле содержится 20% сахара.
3) При перегонке нефти получается ЗО'/о керосина.
818. 1) Уменьшите на 10% число: а) 200; б) 500; в) 120, 2) Увеличьте на 5% число: а) 30; б) 140; в) 1000.
248
819. Что больше:
1) 13% от 19 или 19% от 13;
2) 2,3% от 15 или 12% от 150;
3) 21% от 65 или 15% от 91?
820. В первой строке таблицы указываются проценты, во второй — равное им число. В третьей строке записывается число, которое принято за 100%. Заполните пустые клетки таблицы. Ш 306
Проценты 5% 40% 12% 15%
'1исло, соответствующее этим процентам 35 100 60 3
Число, принятое за 100% 7 200 75 15
«4 St ^ —
При сравнении двух величин за 100% принимается та, с которой проводится сравнение. Во всех задачах на проценты сначала следует понять, какая величина принимается за 100%.
821.1) Сколько процентов составляет: Ый 304, 307, 308
а) число 2 от числа 5;
б) число 5 от числа 2;
2) На сколько процентов:
а) число 2 меньше числа 5;
б) число 5 больше числа 2;
в) число 9 от числа 6;
г) число 7 от числа 8?
в) число 9 больше числа 6;
г) число 7 меньше числа 8?
S22^. На сколько процентов изменилась величина, если она:
1) увеличилась в 2 раза; 4) увеличилась в 8 раз;
2) уменьшилась в 10 раз; 5) увеличилась в 10 раз;
3) уменьшилась в 4 раза; 6) увеличилась в 1,5 раза?
823. Врачи рекомендуют дисвиую норму питания распределить на 4 приёма: утренний завтрак должен составлять 25%,
249
второй завтрак— 15%, обед— 45%. Сколько процентов дневной нормы питания должно приходиться на ужин?
824®. Прочитайте задачу и скажите, какая величина принята за 100‘М». Известна ли эта величина? Как найти 1%? Как ответить на вопрос задачи?
1) В банке по некоторому вкладу начисляют 11% годовых. Это значит, что внесённая сумма через год увеличивается на 11%. На сколько увеличится вклад, составляющий 2500 р., через год?
2) В банке по некоторому вкладу начисляют 11% годовых. ^1ерез год сумма на вкладе увеличилась на 561 р. Какая сумма была внесена в банк?
3) В банк положили 3200 р., а через год на счету оказалось на 256 р. больше. Сколько процентов годовых начислил банк по этому вкладу?
825, Прочитайте задачу и скажите, что в ней принято за 100%, как найти 1%. Решите задачу. ^
1) В 5 «А* классе учатся 25 учеников, из них 80% занимаются спортом. Сколько 5'^1еников занимаются спортом?
2) 15 человек, которые составляют 50% класса, изучают немецкий язык. Сколько учеников в классе?
3) 13 учеников из 20 занимаются в танцевальном кружке. Сколько процентов учеников ходят в танцевальный кружок?
4) В школе 1000 учеников. В пятых классах учатся 10% всех учащихся школы. Сколько в школе учеников пятых классов?
5) 1% всех учеников школы заболели гриппом. Сколько учеников в школе, если грипп у пяти школьников?
826. Что принято за 100%? Какая величина приходится на 1% в следующих задачах? Решите задачи.
1) Из 30 учеников класса 40% составляют девочки. Сколько девочек в этом классе?
2) В пятых классах 12 девочек, что составляет 20% числа всех пятиклассников школы. Сколько в школе пятиклассников?
3) Какой процент в вашем классе составляют:
а) мальчики; б) девочки?
250
827.1) Катя прочитала 30% книги. Сколько страниц в книге, если ей осталось прочитать 140 страниц?
2) Катя прочитала 30% книги, в которой 140 страниц. Сколько страниц прочитала Катя?
3) В книге 140 страниц. Катя прочитала 35 страниц. Какой процент книги Кате осталось прочитать?
828.1) Какую заработную плату начисляют работнику, если после уплаты 13% налогов он получает на руки 8700 р.?
2) Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказы, чтобы заработать 1 млн р.?
829. Из 48 кг свежих вишен получается 9,6 кг сушёных. Сколько процентов от массы свежих вишен это составляет? Чему равен процент усушки?
830. Зёрна кофе при жарке теряют 12% своей массы. Сколько обжаренного кофе получится из 1,5 кг свежего?
831.1) Размер единого социального налога составляет 13%. Сколько рублей нужно заплатить с суммы:
а) 20 000 р.; б) 150 000 р.; в) 500 000 р.; г) 1000 000 р.?
2) Какой будет заработная плата после повышения на 23%, если до повышения она составляла:
а) 2500 р.; б) 5600 р.; в) 10 000 р.?
3) В магазине идёт распродажа товаров со скидкой 15%. Найдите новые цены товаров, которые имели первоначально цену:
а) 2250 р.; б) 15 300 р.; в) 10 500 р.; г) 450 р.
832. Редактор прочитал в первый день 33% всей книги, во второй день — 32% всей книги и закончил чтение в третий день. Сколько страниц читал редактор каждый день, если в книге 200 страниц?
Ответьте на вопросы и решите задачу.
1) Что принято за 100%?
2) Сколько страниц приходится на 1% ?
251
3) Сколько страниц редактор прочитал в первый день?
4) Сколько страниц редактор прочитал во второй день?
5) Сколько страниц редактор прочитал за первые два дня?
6) Сколько страниц редактор прочитал в последний день?
833.6 магазине в первый день продали 52Уо, а во второй день — 34% всех завезённых апельсинов. В третий день было продано 28 кг апельсинов. Сколько килограммов апельсинов продали в первый и сколько во второй день?
Ответьте на вопросы и решите задачу.
1) Что принято за 100% ?
2) Сколько процентов апельсинов продали в первый и во второй день вместе?
3) Сколько процентов апельсинов продали в третий день?
4) Сколько килограммов апельсинов приходится на 1%?
5) Сколько килограммов апельсинов продали в первый день?
6) Сколько килограммов апельсинов продали во второй день?
834. Школьники организовали выставку марок. Из числа представленных на выставку марок 18% были о животных, 40% о спорте и ещё 21 марка на другие темы. Сколько было марок на выставке?
835. Для изготовления миндального пирожного требуется масла и миндаля поровну по 12,5%, в 2 раза больше сахара, а остальное — мука. Сколько потребуется миндаля, если муки и сахара взяли 1 кг 200 г?
836. Для приготовления бетона требуется 40% цемента, 30% песка, а остальное — мелкий камень. Сколько следует взять песка, цемента и мелкого камня для изготовления 180 кг бетона?
83?о. При помоле пшеницы получается 81% муки, 2% манной крупы и 17% кормовых отходов. Сколько муки и манной крупы полу^штся из 1,5 т зерна? Сколько килограммов
252
пшеницы нужно перемолоть, чтобы получить: 1) 1 кг муки; 2) 1 кг манной крупы? (Ответ округлите до десятых.)
838®. Начертите в тетради квадрат со стороной 10 клеток. Этот квадрат будет планом поля. Покажите на рисунке части поля, занятые каждой культурой, если известно, что на 15% поля засеяна рожь, на 29% — овёс, на 13% — гречиха, а остальная часть занята пшеницей. Сколько процентов поля занимает пшеница?
839®. 1) Светлана решила увеличить размеры своей фотографии на 150%.
Какой процент площади новой фотографии составит исходный снимок?
2) Мария решила уменьшить фотографию так, чтобы она поместилась в рамку. Она рассчитала, что для этого ей придётся уменьшить все размеры снимка на 8%. Какой процент площади исходной фотографии составит её уменьшенная копия?
(Ответ округлите до десятых.)
Задачи на смекалку
840. Что больше: 15,5% от 49 или 49% от 15,5?
841. Найдите наименьшее натуральное число, 20% которого больше, чем 1,2.
842. Мультфильм «Шрек* смотрели все 30 учеников класса. При этом ♦Шрек-1» посмотрели 90% учеников, а «Шрек-2* — 70%. Сколько учеников видели обе части мультфильма — и <1Шрек-1», и ♦Шрек-2*?
843. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли Миша и Маша. Кто из них пройдёт к моменту встречи большее расстояние, если шаг Маши на 30% короче шага Миши, а Миша сделает на 30% меньше шагов, чем Маша?
253
Контрольные вопросы и задания
308
1. Найдите 1% от числа: 1) 3457; 2) 2,45. Ш
2. Ответьте на вопросы.
1) Как найти проценты от числа?
2) Как найти число по его процентам?
3) Как узнать, какой процент составляет одно число от другого?
3. Решите задачи.
1) Из молока получают 12% творога. Сколько творога можно получить из 25 кг молока? Сколько нужно взять молока, чтобы получить 1 кг творога?
2) С понедельника по пятницу чайник «Tefal» в магазине стоит 860 р., а в субботу его цена составляет 817 р. На сколько процентов магазин снижает цену на чайник по субботам? Ш 309 в Tea
~| Среднее арифметическое чисел
Во многих видах спорта выступление участника оценивается одновременно несколькими судьями. Оценки судей часто оказываются различными. Чтобы объективно оценить выступление спортсмена, выводится так называемый средний балл. Все выставленные значения оценок складываются, и полученная сумма делится на число оценок. Так, например, если пять судей дали спортсмену оценки 9,1; 9,3; 9,5; 9,5; 9,2, то средний балл равен дроби
9,1 + 9,3 + 9,5 + 9,5 + 9,2 _ ^ gg
о
Сумму чисел, делённую на число слагаемых, называют средним, арифметическим этих чисел. ^
254
844. Найдите устно среднее арифметическое чисел: фф
1) 15 и 17; 3)11, 12 и 13; 5) 2,7 и 0,7;
2) 123 и 11; 4) 120, 240 и 360; 6) 1,5, 1,6 и 1,7.
845. Найдите среднее арифметическое чисел и округлите результат до сотых: ОШ 312
1) 12,0765 и 2,1725; 3) 1001; 10,01; 0,001;
2) 0,2614; 1,012 н 2,3; 4) 56,03; 4,35; 0,2; 150,0027.
846. Сравните:
1) 1,34 и среднее арифметическое чисел 1,33 и 1,35;
2) среднее арифметическое чисел 3,6; 2,7; 1,2 и среднее арифметическое чисел 2,46; 3,02; 1,72.
847. Отметьте на координатном луче точки А(2,7), В(5,3) и точку С, координаты которой являются средним арифметическим координат точек А и В.
848^. 1) Выберите длину единичного отрезка, изобразите нужный фрагмент координатного луча и отметьте на нём указанные числа и их среднее арифметическое:
а) 1,4 и 2,8; в) 362 и 370;
б) 12,2 и 14,4; г) 1200 и 1450.
2) Как расположено среднее арифметическое по отношению к заданным числам?
849®. На координатных лучах (рис. 170) отмечены точки А, В и М так, что координата точки М равна среднему арифметическому координат точек А и В. Координаты двух из этих точек даны. Найдите координату третьей точки. 310, 311
а)
б)
3,24
А
М
М
В
6.48
В
2.37 3,54
в)
г)
М
6,43
М
т
Я
6,62
И
—t—
п
Рис. 170
2SS
8500. Запишите среднее арифметическое чисел:
1) аис; 3)а, бис;
2) а - 2 и а + 2; 4) а + 1, а + 2, а ) 3, а + 4.
851. Пройдя 100 м на школьном стадионе, Саша насчитал 182 своих шага. Возвращаясь из школы домой, Саша сделал 1340 шагов.
1) Какова средняя длина одного Сашиного шага?
2) На каком расстоянии от школы живёт Саша?
852. Практическое задание.
1) Измерьте среднюю длину своего шага.
2) Используйте найденное значение для того, чтобы найти:
а) длину школьного коридора;
б) длину класса;
в) расстояние от своего дома до школы.
853. После медицинского осмотра учеников 5 класса учитель предложил на уроке для сравнения два частных, в которых рассчитывался средний рост девочек и мальчиков: девочки — 2019 : 14; мальчики — 1811 : 12. Средний рост учеников находится как среднее арифметическое.
1) Можно ли из выражений понять, сколько >шеников в классе? Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
2) У кого средний рост больше — у мальчиков или у девочек этого класса?
854. Найдите средний рост семьи Ивановых, представленной на рисунке 171.
855. Практическое задание.
1) Найдите средний рост всех мальчиков вашего класса и средний рост всех учеников вашего класса.
2) ^ Можно ли по этим данным сравнить средний рост девочек со средним ростом мальчиков?
256
1.0м 1,4м 1,7м 1,8м 1,3м
Рис. 171
856. 1) Найдите среднее арифметическое оценок вашего класса за последнюю контрольную работу. Округлив это среднее арифметическое до целых, определите средний балл вашего класса за эту контрольную работу.
2) Найдите среднее арифметическое всех своих отметок по математике за эту четверть. Округлите его до целых.
Устроит ли вас такая четвертная отметка?
3) * Как вы думаете, в каком случае средний балл вашего класса за год будет выше, если его находить как среднее арифметическое всех отметок, полученных в этом году, или как среднее арифметическое всех четвертных отметок?
857. Ученик в начале четверти получил по математике оценки: 2,3, 4, 3,2 и 5.
1) Чему равно среднее арифметическое этих оценок?
2) ^ Сколько пятёрок ему надо получить, чтобы среднее арифметическое оценок за четверть по математике стало равно 4?
3) * Успеет ли он исправить четвертную оценку, если до конца четверти осталось 3 урока?
257
858®. В 5 классе после уроков ребята провели соревнование на скорость чтения. В соревновании участвовали 7 человек. Каждый читал текст в течение 5 мин. Вот их результаты: 105, 121, 131, 116, 125, 135, 149 слов в минуту. Какова средняя скорость чтения у ребят, участвовавших в соревнованиях?
859. Практическая работа.
1) Найдите свою скорость чтения.
2) 0 На сколько процентов она отличается от скорости чтения вашего соседа по парте?
860*. Лодка прошла 12 км по течению реки и вернулась обратно. Скорость лодки по течению реки 6 км/ч, а против течения её скорость 4 км/ч.
1) Какую среднюю скорость имела лодка на всём маршруте?
2) Чем является среднее арифметическое скоростей лодки по течению реки и против течения?
3) На сколько процентов отличается средняя скорость лодки от среднего арифметического её скоростей по течению и против течения?
8610. Лесничий добирался до дома сложным маршрутом: 3,2 ч он ехал на машине по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 2,5 ч на мотоцикле по просёлочной дороге со скоростью 40 км/ч, последние 0,5 ч он шёл пешком по лесу со скоростью 6 км/ч.
1) С какой средней скоростью двигался лесничий?
2) ® Равна ли его средняя скорость среднему арифметическому скоростей, с которыми он двигался на разных участках маршрута?
Задачи на смекалку
862. Может ли среднее арифметическое тридцати пяти натуральных чисел равняться 6,35?
863. Среднее арифметическое шести чисел равно 345, а среднее арифметическое четырёх других чисел равно 555. Чему равно среднее арифметическое всех десяти чисел?
258
864.1) Семья состоит из отца, матери и двух детей. Средний возраст членов семьи равен 19,75 лет. Когда мама вышла из комнаты, средний возраст оставшихся в комнате членов семьи стал равен 16 годам. Сколько лет маме?
2) Средний возраст членов многодетной семьи составляет 15 лет. Маме с папой вместе 70 лет. Сколько детей в многодетной семье, если средний возраст детей 7 лет?
Контрольные вопросы и задания
1. приведите примеры ситуаций, где требуется найти среднее арифметическое.
2. На соревнованиях по фигурному катанию судьи оценили технику выступления спортивной пары баллами: 4,8; 5,0; 5,2; 5,2; 5,0; 5,3. Какую оценку за технику получила эта пара? Ш 315
3. Среднее арифметическое трёх чисел равно 56,7. Одно из них число 21,3, другое — 19,8. Найдите третье число.
4.4. С. 78 Н Тест
Повторение
Натуральные числа и нуль
865.1) Вычислите: ОШ 316
а) Р - 34 • 10; д) К = 809 000 : 1000;
б) Ф = 56 ■ 100; е) Е = 1 002 500 • 10;
в) А = 630 : 10; ж) Т = 710 000 : 10 000;
г) М = 700 : 100; з) И » 450 ■ 1 000 000.
2) В нижнюю строку таблицы впишите буквы, соответствующие числам верхней строки. Получится название раздела математики, изучающего свойства чисел и действий с ними.
63 340 450 000 000 5600 7 10 025 000 71 450 000 000 809 63
Слово арифметика происходит от греческого слова ариф-MoCt что означает *число1^. Можно сказать, что арифметика — это наука о числах и действиях с ними.
Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Египте, Вавилоне, Китае и Индии, накопленные математические знания которых были развиты и продолжены учёными Древней Греции.
Термин натуральное число впервые употребил в VI в. в своей книге «О введении в арифметику* Боэций — римский учёный, переводивший на латынь работы математиков прошлого.
Натуральные числа служат фундаментом всей математической науки.
260
Первыми записями чисел были зарубки на деревянных брусках, а позднее чёрточки. Для обозначения больших чисел стали применять специальные знаки-цифры. Вы познакомились с арабскими цифрами, составляющими основу десятичной нумерации.
В Древней Руси для записи чисел использовались буквы алфавита. Чтобы отличить буквы от цифр, над буквами ставили специальный знак — тйтло. Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв — десятки, а последние девять букв — сотни. Число десять тысяч называли словом тьма.
В таблице показана связь между некоторыми старинными русскими (славянскими), арабскими цифрами и современным русским алфавитом.
Арабские цифры 1 2 3 4 5 6 7
Славянские цифры А I Г д в S г
866®. Даны некоторые числа, записанные по древнерусской системе с использованием букв современного алфавита; СРВ = 192, ФЙВ - 423, ШМЁ = 857.
1) Запишите в десятичной системе нумерации числа, записанные по древнерусской системе:
СМБ, ТИЛ, ЦЛГ.
2) Запишите по древнерусской системе числа:
113,212,545.
Как вы думаете, позиционным или непозиционным являе'г-ся древнерусский способ записи чисел? Ответ обоснуйте.
В Древнем Риме была создана своя система нумерации. Римские цифры мы можем увидеть на фронтонах некоторых старинных зданий, в книгах, где ими нумеруют главы, да и номер нашего двадцать первого века обы^сно записывают в римской системе счисления.
261
в римской нумерации есть семь основных цифр, которыми являются буквы языка древних римлян — латыни.
Нумерация Число
Арабская 1 5 10 50 100 500 1000
Римская 1 V X L С D м
Существует несколько гипотез о происхождении римских цифр. Одни считают, что V обозначает раскрытую ладонь с пятью пальцами, а X — две скрещенные руки. Другие же полагают, что к появлению знака X привело перечеркивание десяти черточек, а V — это половина от X.
Где бы в записи числа ни стояла римская цифра, она всегда обозначает одно и то же число. Однако и в римской системе счисления есть некоторые правила записи чисел.
Правила записи чисел в римской системе
(Г) Одна и та же цифра не записывается подряд более трёх раз.
@ Меньшая цифра (цифра, соответствующая меньшему числу), стоящая справа от большей, показывает, что числа следует сложить, а меньшая цифра, стоящая слева от большей, — что меньшее число надо вычесть из большего. При этом могло быть только шесть вариантов такого вычитания: TV. IX. XL, ХС, CD. CM.
Цифры записываются слева направо в порядке убывания.
Например, число MIX^CLXXIX "
- 1000 ь 500+ 100+ 100 + 50+ 10 + 10 f (10 - 1) = 1779.
867. Запишите следующее и предыдущее натуральные числа для каждого из чисел:
1)V; 2)Х; 3) L; 4) С; 5) D; 6) М
в системе счисления: а) арабской; б) римской.
868^, Запишите, пользуясь римскими цифрами:
1) год своего рождения;
2) год, в котором вы должны закончить школу.
262
869^. Запишите все числа, которые можно составить из цифр:
1) ТиХ; 2)СиО.
S70^, 1) Запишите римские числа VII, XIX, XLVII, MDCLXVI, MMDCCCXIX в арабской системе счисления.
2) Как вы думаете, позиционной или непозициошюй является римская система счисления? Ответ обоснуйте.
871®. Из палочек выложено равенство:
VI-IV=XI VII
а)
в)
VH-V
г)
Как получить верное равенство, переложив всего одну палочку?
Современная десятичная запись натуральных чисел появилась в Индии в VI в. В VII—VIII вв. её переняли арабы, а затем с ней познакомились и в странах Европы, где её назвали арабской. Интересно, что сами арабы по-прежнему называют свою систему индийской. Как ни странно, но до XVIII в. в Европе в официальных документах разрешалось использовать только римские цифры, и лишь с начала XIX в. арабскую нумерацию стали применять повсеместно.
В 1703 г. вышел первый российский учебник математики «Арифметика сиречь наука числительная...*. Автором учебника был преподаватель Школы математических и навигац-ких наук Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739). В учебнике использовались современные арабские цифры, однако год издания книги и номера страниц были даны в славянской нумерации. Русские названия арабских чисел непосредст-
263
д) 36 000 780;
е) 34 343 434.
венно связаны с десятичной системой счисления. Так, например, шестнадцать означает «шесть на десять», шестьдесят — «шесть десятков», а шестьсот — «шесть сотен».
872. 1) Используя только цифры 8 и 0, запишите и прочитайте несколько шестизначных чисел.
2)* Сколько всего различных шестизначных чисел можно записать, используя только цифры 8 и 0?
873^. Сколько всего можно составить различных трёхзначных чисел, у которых сумма цифр равна:
1) одному; 2) двум; 3) трём?
874.1) Прочитайте число:
а) 340; в) 4 050 702;
б) 90 236; г) 500 000 006;
2) Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых.
875*. Как вы думаете, до какого разряда произведено округление?
1) Территория России занимает 17 075 400 км^.
2) Население России составляет 146 300 000 человек.
3) Самый многонаселённый город России — Москва, более 9 000 000 жителей.
4) Великая Китайская стена, её длина примерно 6400 км, была построена для защиты границ Китая от набегов кочевников в 240—210 гг. до н. э.
5) Амазонка — самая протяжённая река мира, её длина 7000 км.
Под округлением, натурального числа понимают замену его таким ближайшим по зиачению числом, в котором одна или несколько последних цифр заменены нулями. ^
876. Округлите числа в предложениях так, как вам представляется целесообразным.Ш 319
1) Волга — это самая длинная река в Европе, её протяжённость 3531 км.
264
г) 2, 3 и 5.
2) Самый высокий водопад в Европе — Гаварни во Французских Пиренеях имеет высоту 421 м.
3) Самое глубокое озеро мира — Байкал с наибольшей глубиной 1625 м.
4) Самая высокая гора мира — Эверест в Гималаях имеет высоту 8848 м.
877. Даны числа: 15, 20, 25, 28, 30, 36, 48, 56, 72. Выберите из них те числа:
1) которые делятся без остатка на: а) 3; б) 4; в) 5; г) 8;
2) 0 которые делятся без остатка на:
а)2иЗ; б) 3 и 5; в) 2, 4 и 8;
878®. Существует ли число, которое:
1) равно своему квадрату;
2) равно своему кубу;
3) больше своего квадрата?
879*.1) Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел?
2) Какой цифрой оканчивается произведение всех нечётных двузначных чисел?
880. Сравните числа: Ш 318
1) 909 и 990;
2) 34 768 и 3698;
3) 800 068 и 80 069;
4) 503 857 и 503 861.
881.1) Прочитайте двойные неравенства:
а) К 9 < И; г) 432 < 500 < 799;
б) 55 < 50 < 5; д) 9000 < О 10 000;
в) 599 < 600 < 601; е) 11 000 < d < 10 100.
2) Найдите ошибки и исправьте их,
882'^. Запишите все натуральные числа, которые можно поставить вместо буквы, так, чтобы получилось верное неравенство:
1) л: < 5; 4) 28 098 < у < 28 111;
2) 298 < д: < 300; 5)® К f + К 9;
3) 1205 <у< 1215; 6)® 10 < s - 3 < 15.
265
883. 1) Сравните числа: а) а п Ь\ 6) а п с\ в) d vl а\ г) d к Су которые являются координатами соответствующих точек (рис. 172).
2)® Составьте двойные неравенства —« - - -
для чисел, обозначенных данными буквами.
bed Рис, 172
884*. 1) Расставьте точки с координатами m и л на координатном луче, если известно, что т больше л, но меньше ky а k меньше I.
2) Какой буквой обозначена наибольшая из координат?
3) Какой буквой обозначена наименьшая из координат?
4) Составьте двойные неравенства для чисел, обозначенных данными буквами.
885. На рисунке 173 изображены координатные лучи.
А в
О
ff)
6
12
18
24
30
А
36
В
42
48
54
О
21
42
63 84
Рис. 173
105
126
147
1) Найдите координаты точек А и Б.
2) Найдите расстояние А8.
88б®. 1) Как изменится координата точки С(17). если точку передвинуть:
а) на 5 единиц влево; б) на 10 единиц вправо?
2) Куда переместится точка ЛС(10), если её координату: а) увеличить на 20; б) уменьшить на 10?
Назовите новую координату точки.
887 •. Представьте, что на координатном луче изображена точка с координатой а.
1) Где будут расположены точки, имеющие координаты а + 1 и а - 1?
266
2) Чему равно расстояние между этими точками?
3) Каково расстояние от точек а \ 1 и а - 1 до точки с координатой а?
888®. Представьте, что на координатном луче изображены точки с координатами а + 2 и а - 2.
1) Где будет расположена точка с координатой а?
2) Каково расстояние между точками с координатами а + 2 и а - 2?
До XV в. общепринятых арифметических знаков не было. В XV—XVI вв. стали применять для сложения букву р — первую букву слова plus (более), а для вычитания букву т — первую букву слова minus (менее). Использовали также латинское слово et (союз «и»), которое в скорописи постепенно превратилось в знак «+♦. Современные знаки и *-* стали встречаться в 80-х гг. XV в. Знак умножения «Х* был введён в 1631 г. английским математиком Вильямом Оутредом (1574 — 1660). Точку для обозначения умножения стал использовать знаменитый немецкий математик XVII в. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Он же предложил двоеточие для обозначения действия деления. Знак ♦=» был введён английским врачом Робертом Рекордом в 1557 г.
Современные знаки действий и равенства входили во всеобщее употребление медленно и стали общепринятыми лишь в конце XVII в.
889. Прочитайте выражение и устно найдите его значение: U
1) 4708 + 58; 3)250 : 2; 5) 120-4 + 130-4;
2) 1000 - 215; 4) 9340 - 3; 6) (27 + 53): (21 - 17).
890®. Зная, что 88 -125 =11 000. устно найдите значение выражения:
1) 880-125; 4)44-125
2) 88-1250; 5)11-125
3) 880-1250; 6)44-250
7) 176-125;
8) 176-250;
9) 44-25.
267
891. Найдите среднее арифметическое чисел:
1) 325 и 527; 3) 68. 406. 591 и 1059;
2) 1207 и 508; 4) 2045, 78, 11 839.
892*. Замените звёздочку числом так. чтобы получилось верное равенство: йЭ 321
1) 235 • * = 2350; 4) 345 000 000 : * « 1 000 000;
2) 1000 • * = 45 000; 5) * - 367 = 36 700;
3) 1 100000:*=110; 6)*: 10000 = 71.
893. Вычислите рационально: Ш 322, 328
1) 369 369 ; 123 + (601 - 599)(93 - 57) • 50 --(357-27-57 *27): 270+ 27;
2) ((278 278 • 139 - 139 • 21 722): 60 000 + (61 • 49 --61*44)): 100 + 42 : 3.
Таблицы квадратов и кубов чисел были составлены ещё древними вавилонянами. Древнее происхождение имеет и таблица умножения. Ёю пользовались вавилоняне, греки, римляне и другие народы. Наиболее ранняя известная таблица умножения от 1 X 1 до 10 X 10 содержится в «Арифметике* греческого математика Никомаха из Геразы (I—II вв.). Передаваясь от народа к народу, из поколения в поколение, таблица умножения дошла и до нас. Есть она и на (}юрзаце нашего учебника.
Знание таблицы умножения всегда считалось необходимым для каждого ученика.
894. С помощью таблицы квадратов двузначных натуральных чисел, которая размещена на форзаце:
1) найдите: а) 61^: б) 73^:
2) проверьте, верно ли неравенство:
а) 1100 < 34=^ < 1200; б) 6000 < 82^ < 6500;
3) запишите в виде двойного неравенства три последовательных натуральных числа, средним из которых является: Ш 323
а) 322; б) 562. в) 732. р) 332^
268
895*. 1) Сутцествует ли квадрат, сторона которого выражается натуральным числом метров, а площадь равна:
а) 16 м2; б) 121 м2; в) 3025 м2; г) 5043 м^?
2) Если такой квадрат существует, найдите его периметр.
896. Запишите выражение и найдите его значение:
1) два в пятой степени;
2) три в квадрате;
3) четыре в кубе;
4) сто во второй степени;
5) основание степени восемь, а показатель степени два;
б) основание степени десять, а показатель степени шесть.
5) (12+ 18)2; 12;
6) (12 + 122) . 12.
897®. Найдите значение выражения:
1) 43-42-412; 3)352-34*32;
2) 43-41-412; 4)352-32-35;
898®. Верны ли равенства:
1) (20 732•45 - 732•45): 900 = 1001;
2) (32 048 • 809 + 77 952 • 809): 809 = 110 000?
899. Самое большое в мире письмо написал персидский шах турецкому султану в XVI в. Найдите площадь письма, если известно, что его длина 10 м, а ширина 7 м. 326
900.1) Сколько сантиметров проволоки требуется для изготовления каркаса куба с длиной ребра 5 см?
2) Найдите объём и площадь поверхности куба, имеющего такую длину ребра.
901. На олимпиадах в Древней Греции длина беговой дорожки составляла примерно 192 м — это, согласно легенде, 600 длин ступни знаменитого Геракла. Найдите длину ступни Геракла. Сколько ступней Геракла нужно было отмерить на дорожке в 6912 см?
902. Старинная задача. Одного мужика спросили, сколько у него денег. Он ответил: «Мой брат втрое богаче меня, отец
269
втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех нас ровно 1000 р. Вот и узнайте, сколько у меня денег*.
903.1) Путешественник ехал 3 ч на поезде и 5 ч на теплоходе. Какое расстояние проехал путешественник, если скорость поезда 85 км/ч, а скорость теплохода 30 км/ч? С какой средней скоростью передвигался путешественник?
2) Автобус 3 ч шёл со скоростью 35 км/ч и 4 ч со скоростью 40 км/ч. Какое расстояние прошёл автобус за всё это время? Какова была средняя скорость автобуса на всём маршруте? tlil 327
904.1) Скорость катера, идущего против течения реки, 11 км/ч, скорость течения реки 4 км/ч. Найдите собственную скорость катера и его скорость по течению реки.
2) Скорость теплохода, идущего по течению реки, 43 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода и его скорость против течения реки.
905. Из пункта Л в пункт В по течению реки лодка идёт 3 ч, а обратно — 4 ч. Найдите собственную скорость лодки, если расстояние от Л до В равно 24 км.
Буквы и различные математические знаки медленно входили во всеобщее употребление. До XV в. все величины записывались словами. Алгебру того времени поэтому называют риторической, т. е. словесной. Лишь во второй половине XV в. в некоторых странах Европы появились первые буквенные символы.
В конце XVI в, французский математик Франсуа Виет (1540—1603) ввёл буквы для обозначения не только неизвестных, но и любых чисел.
Создание буквенной символики, происходившее во многих странах мира, было завершено в XVII в., и к первой половине XVIII в. установилась общепризнанная система записи буквенных выражений.
Скобки и современный знак равенства встречаются впервые в трудах математиков XVI в. Знаки неравенства ♦<♦ и *>* бы-
270
ли введены в первой половине XVII в. английским учёным Гар* риотом.
Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и ускорило её развитие.
906.1) Прочитайте:
а) (а + ft) • с = а • с + ft • с;
б) 56 < 136;
в) 74-9 = 63;
г) х: 10 = 100;
2) Назовите:
д) а + (ft + 58);
е) (900-150): 10;
ж) 5 001 145 ^ 743;
з) X < 5.
а) выражения; б) равенства; в) неравенства; г) уравнения.
907. Прочитайте выражение:
1) а + 255; 3)46-с;
2) 900-6; 4)d:k;
5) m t (34 + п);
6) (9-ft)-100;
7) c*{d : 10);
8) d : ik-t).
908. Найдите значение выражения: Ш 324
1) а + ft при а = 75, ft = 66; 3) а ■ ft при а - 200, ft = 50;
2) а - ft при а = 101, ft = 67; 4) а : ft при а = 564, ft = 2.
909*. Разделив число а на число ft с остатком, получили выражение а = ftc + ft. Чему равно: 1) а - Ьс; 2) а - ft; 3) ft; 4) с?
910. Выполните деление с остатком:
1) 13 : 4; 3)61 : 18; 5) 1955 : 15;
2) 18:5; 4)1332:13; 6)2301:201.
9ЦО. По формуле а = bq + г найдите:
1) а, если ft = 23, q = 31, г = 21;
2) ft, если а “ 45 114, q = 15, г = 9;
3) <7, если а = 2427, ft - 17, г — 13;
4) г, если а *-* 5760, ft = 230, q = 25.
Еще 4000 лет назад древние вавилоняне и египтяне решали различные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности.
271
в московском папирусе, датируемом 1850 г. до н. э. (московским он назван, поскольку хранится в Москве), содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название «хау» (в переводе оно означает ♦количество* или «куча*). Так называемое «исчисление кучи* или «вычисление хау* соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.
3)2-х = х : 10.
912*. Угадайте неизвестное число: Ш 325 1) 23 • JC = 23 : х; 2) х + х = х • х;
913*. При каком значении буквы верно равенство:
1}х + 100 = 100; 3) 73 - а = 73; 5) с - с- - 0;
2)87-а = 87; 4) & Ю = 0; в)Ь + Ь^0?
9140. Найдите неизвестное число и сделайте проверку:
1) с • 345 « 43 815; 2) х : 540 = 360; 3) 2898 : d = 23.
915. Решите уравнение:
1) Зх + 9х + 352 - 5260; 3) 21х - 5х - 84 = 940;
2) 17(2х - 15) + 82 = 3193; 4) (Зх + 41) • 28 - 248 = 3000.
916*. Найдите периметр и площадь прямоугольного треугольника, стороны которого равны: а) 5, 12 и 13; 6)6, 8 и 10. В чём особенность данных треугольников?
9170, в двух магазинах было 532 холодильника. После того как оба магазина продали холодильников поровну, в одном магазине осталось 86, а в другом — 192 холодильника. Сколько холодильников было в каждом магазине первоначально?
Обыкновенные дроби
С древних времён людям приходилось считать предметы и измерять длины, время, площади, вести расчёты за покупки и пр. Не всегда результат выражался натуральным числом, приходилось учитывать части и доли.
272
в русском языке слово дробь появилось в VIII в., оно происходит от глагола дробить— «разбивать». В учебниках математики XVII в. дроби назывались «ломаными числами».
В Риме пользовались двенадцатеричными дробями* т. е.
дробями, у которых в знаменателе стояло число 12. Дробь ^
5
римляне называли одной унцией, — пятью унциями.
918.1) Объясните, почему три унции римляне называли четвертью, четыре унции — третью, шесть унций — половиной.
2) Объясните, о каких действиях с дробями идёт речь в отрывке из произведения Горация — знаменитого римского поэта I в. до н. э., в котором описана беседа учителя с учеником в одной из римских школ этой эпохи: чУчитель. Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от 5 унций отнять 1 унцию?
Ученик. Одна треть.
Учитель. Правильно, ты умеешь беречь своё имущество».
Первая дробь, с которой познакомились люди, была ^, затем последовали дроби д» ^ . 5 » и др., т. е. самые простые
о 4 о 1 о
дроби, доли целого, которые назывались основными дробями. В числителе этих дробей стояла единица.
Египтяне, например, выражали любую дробь в виде суммы основных дробей.
Лишь значительно позже греки, а затем и индийцы стали использовать обыкновенные дроби, у которых в числителе и знаменателе могли стоять любые натуральные числа.
Эта статуя древнеегипетского писца (III в. до н. э.) хранится в Луврском музее
273
в Париже. Возможно, скульптор запечатлел его, когда он записывал дробь.
919. Задания из папируса Ахмеса, который хранится в Лондоне в Британском музее. Найдите, какая обыкновенная дробь представлена суммой основных дробей:
Ч 66’
52 ^ 104’
2)
6
14
i-
21
4)
66 198 *
Обозначение дробей появилось в Древней Индии, затем ими стали пользоваться арабы, а в XII—XIV вв. этому научились и европейцы.
Сначала дробная черта между числителем и знаменателем не ставилась, она появилась примерно 300 лет назад. Первым среди европейских учёных стал пользоваться современной записью дроби и ввёл слово дробь итальянский купец и путешественник Леонардо Фибоначчи в 1202 г. Названия числитель и знаменатель придумал в XIII в. Максим Плануд — греческий монах, учёный-математик. Ш 333
Действия с дробями считались самым трудным разделом арифметики. В Германии и поныне сохранилось выражение ♦ попасть в дроби*, т. е. оказаться в трудном положении.
4 21 14 300
920. Сократите дроби: stj ^ лт; J тт:
30 ’ 27 * 49 ’ 500 * 444 ’ 40
921. Найдите среднее арифметическое чисел: Ш 334
332
1)1 2 4. Ч’ 3’ 5’
2 А.
Ч’ 7’ 14’
.vc7 .1 q3
4)5g,4^.35.
922. Расскажите, как на координатном луче отметить точки:
274
923. Между какими натуральными числами на координатном луче расположены числа: Ш 330,331
1)1?: 2)з|: 3)12|; 4)20оА; 5)34 5091??
924®. В старинных книгах на Руси можно было встретить такие названия дробей:
- — пол или полтина,
ы
- — пятина, 5
Tj — седьмина,
10
— десятина.
1) Попробуйте объяснить, как появились названия:
а) ■; — четь; 4
в) тт; — полполчети; 1о
б) 5 — полчети; о
г) ^ — полполполчети.
2) Дробь - называли третью. Догадайтесь, как называли
о
дроби:
в)
24*
3) ® Объясните названия смешанных чисел:
а) li — полвтора;
б) 2 i — полтретья;
в) з| — полчетвёрта.
4) Сохранился ли рассмотренный способ чтения дробей в наше время?
925®. В старину на Руси использовались монеты: 3 к. — алтын, 5 к. — пятак, 15 к. — пятиалтынный, 10 к. — гривенник, 20 к. — двугривенный, 25 к. — четвертак, 50 к. — полтинник.
27S
Были и монеты достоинством меньше одной копейки:
1
грош — g к.,
полушка — - к.
1) Почему 25 к. называли четвертаком, а 50 к. — полтинником?
2) Сколько полушек в алтыне? Сколько грошей в пятаке?
3) Как можно разменять гривенник на алтыны и гроши?
926. Шахматная доска состоит из 8 рядов по 8 клеток в каждом ряду. Какую часть доски составляет: Ш 335
1) 1 клетка;
2) 5 клеток;
3) 1 ряд клеток;
4) 2 ряда клеток?
927^. Вычислите:
п ® . f - -L '1 + 15 . ®.
^ 7 420 30 J 21 * 7’
3)2:2|+ll.3i-2|;
2)± .fl2_±U15
^ 45 4 25 15 J 16
15
4)3 : 3^ +2~ 4 5
928®. Вычислите рациональным способом:
1)96.^5+97
^ - 192. _5_ • 125 125 125’
f)\ol2 .3,-4 е?
2)Зт9‘423+1Г9-^23"^Т9-
929.1)Брат с сестрой собирали орехи. Сестра собрала ;; всех
о
собранных ими орехов. Сколько орехов собрал брат, если всего было собрано 120 орехов?
2) Петя с Леной собирали в лесу грибы. Лена собрала 54 гриба, что составило | всех собранных ребятами грибов.
Сколько грибов было собрано?
276
Слово градус переводится с латыни как «шаг», «ступень». Измерение углов в градусах появилось более 3 тыс. лет назад в Вавилоне, где использовалась шестидесятеричная система счисления и шестидесятеричные дроби. Именно поэтому вавилонские математики и астрономы делили окружность на 360 частей — градусов, т. е. шесть раз по шестьдесят, каждый градус — на 60 мин, а минуту — на 60 с.
Минута переводится с латыни как «маленькая часть», а секунда — «вторая», т. е. следующая маленькая часть.
Вавилонская система счисления до сих пор используется и при измерении времени:
1мин = ^ч.1с-^ мин.
Шестидесятеричными дробями пользовались астрономы всего мира до XVII в., поэтому их называли астрономически-ми дробями. В отличие от них, арабские дроби, которыми мы пользуемся, стали называть обыкновенными.
930^. 1) Выразите в обыкновенных дробях шестидесятеричные дроби:
а)
18
б)
3250
в)
104 000
г)
810 000
60’ 602 ’ 603 ’ *' бО'*
2) Выразите в шестидесятеричных дробях обыкновенные дроби:
а)|;
б)|;
1 5 ^^8 =
3) Поставьте число вместо многоточия:
а) 2 мин = ... ч;
б) ^ ч == ... мин; э
в) 15 мин 12 с = ... ч.
В конце XV'III в. при разработке метрической системы мер французские учёные предложили делить прямой угол не на 90,
а на 100 частей. Такой угол в прямого угла называют словом град. В градах измеряют углы в геодезии, а также пользу-
277
ются ими в некоторых строительных расчётах, однако широкого распространения эта единица измерения углов так и не получила.
931. Сын спросил отца, сколько тому лет. Отец ответил так: ♦ Если к моим годам прибавить их половину, затем четверть и еще один год, то получится 134*. Сколько лет отцу?
932.Задача из «Арифметики...* Л. Магницкого.
Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в ут^енир гворго сына?* Учитель ответил: «Если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четверть столько, и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников*. Спрашивается: «Сколько было у учителя учеников?*
933. Задача о Пифагоре, который жил в 580—501 гг. до н. э. Поликрат, правитель греческого острова Самос, однажды спросил Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, — отвечал Пифагор. — Половина моих учеников изучают прекрасную математику, четверть исследуют тайны вечной природы, седьмая часть упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь ещё к ним трёх юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько y^ieHHKOB веду я к рождению вечной истины*. Сколько учеников было у Пифагора?
934. Когда спросили у пастуха, сколько овец в отаре, он отве-
2
тил: «60 овец пьют воду, а остальные ^ всех овец пасутся*.
о
Сколько овец в отаре?
935.1) Одна бригада может выполнить задание за 21 день, а вторая — за 28 дней. За сколько дней они выполнят задание, работая вместе?
2) Первая труба может наполнить бассейн за 24 мин, а вторая — за 40 мин. За сколько минут они наполнят бассейн при совместной работе?
278
936. 1) На прошлой неделе Миша прочитал ^ всей книги, а на
этой неделе закончил чтение книги, прочитав половину оставшихся и ещё 20 страниц. Сколько страниц в книге?
2) Токарь выполнил до обеда ^ задания. После обеда ему осталось обточить половину оставшихся деталей и ещё 24 детали. Сколько деталей должен был обточить токарь за день?
Десятичные дроби
Появление и развитие десятичных дробей было тесно связано с метрологией — учением о мерах. Уже во II в. до н. э. существовала десятичная система мер длины. Примерно в III в. появилась десятичная система мер массы и объёма. Тогда же возникло и понятие десятичной дроби.
Правила вычисления с десятичными дробями описал знаменитый учёный Джемшид ибы Масуд аль-Каши, живший в городе Самарканде в начале XV в. Вместо запятой аль-Каши использовал вертикальную черту, отделявшую дробную часть. Через 150 лет после аль-Каши десятичные дроби заново изобрёл фламандский инженер и учёный Симон Стевин.
Десятичную запятую или точку для отделения целой части стали использовать с XVII в. Точка для отделения целой части от дробной и сейчас используется в США, Англии и некоторых других странах.
В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в первом российском учебнике математики.
Широкое применение десятичные дроби получили в XIX в. после введения метрической системы мер и весов.
937. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых числа: Ш 336
382
1)256;
2)
1000’
3) 506,023.
279
938. Определите, в каком порядке должны выполняться арифметические действия, и вычислите:
1) 4,6 *(5,8 + 6,3);
2) 6,72 - (35,556 + 4,544): 8,02;
3) 81,5 + 4,2-10,12.
939. Вычислите:
l)24-i+05*^* 2) ^
1)2,4 - +и,5. g. 2) 43.0Д5 •
940. Расположите в порядке возрастания числа: 337
1, 0,48, 45,^, 3,032.
941. Плавание через пролив Ла-Манш, отделяющий Англию от Франции, считается одним из занимательнейших спортивных событий. Ширина пролива составляет 33 км. В 1875 г. офицер Британского флота капитан Мэтью Уэбб первым переплыл пролив Ла-Манш, затратив 21 ч 45 мин. В 1926 г. мир потрясло известие о том, что пролив переплыла женщина — американская чемпионка Гертруда Эдерли, затратив 14 ч 34 мин. До неё этого успеха добились всего пять мужчин. В настоящее время сотни пловцов преодолевают Ла-Манш туда и обратно. Наилучшее время было показано в 1978 г. американцем Пенни Дином, оно составило 7 ч 40 мин. Самым молодым пловцом был одиннадцатилетний англичанин Томас Грегори, а самым старшим стал его шестидесятилетний соотечественник Бертрам Батт. Найдите скорости плавания М. Уэбба, Г. Эдерли и П. Дина.
942. Округлите числа до сотых с недостатком и с избытком и запишите результат в виде двойного неравенства: Ш 338
5) 5,(37):
1)|;
о. 48.
2)23,451;
4)2||;
6) 12,2(181).
280
943. Найдите число, которое: Ш 339
1) на 21 больше 11;
3) в 4 раза больше 1 ^;
4) в 4,3 раза меньше 5,59.
2) на 2,87 меньше 5,29;
944*. Какие цифры можно подставить вместо звёздочки, чтобы стало верным неравенство: 340, 341
1) 3,*8>3,5; 3)6,87 <6,*7;
2) О,*5 > 0,25; 4) 15,92 > 15,8*?
945*. Поставьте запятую так, чтобы стало верным равенство: т 342
1) 32,76 • 0,3 = 9828; 3) 22.1 • 3,7 = 8177;
2) 0,54-21,6* 11 664; 4) 125*0,03 « 375.
946.1) Отметьте на координатном луче числа:
0,1; 0,5; i; i; 1,4: |; 1^.
1 113
2) Сравните числа: а) 0,5 и ^; б) 0,1 и ^; в) ^ и - .
4
3) Какой десятичной дробью можно записать число 1^ ?
4) Вычислите:
a)l,4 + l|; 6)0,5-i;
ч 1 1 о. 1 4
947.1) Запишите в виде периодической десятичной дроби обыкновенную дробь:
а)д:
В)ОИ.
^ 99’
г)
29
99*
2)* Найдите обыкновенную дробь, равную периодической дроби:
а) 0,(6); б) 0,(8); в) 0,(13); г) 1,(37).
948^. Вычислите:
1) (87,05 • 2.7 - 55,68 : 32) • 0.8 : 0,02;
2) 522,348 : 87 + 2,7 • (0,84 - 0,128 : 0,16).
281
949^. Найдите значение выражения: Ш 344
1) (4,75-2| ]-0,8;
2) 12,375: +0,75j;
3) (1-0,532):
4) 0,4063: (I
950. Решите уравнение: Ш 4.2. С. 93
1) 4,7д:-(2.5д:+ 12,4) = 1,9;
2) (8,3-д:)-4,7 «5,64;
3) д: + 0,23-7 +0,5;
4
4) 2,136 : (1,9-X)-7^.
951. Много лет назад в английском графстве Камберленд разразилась сильная гроза. Ветер вырывал деревья с корнями, оставляя глубокие ямы. В одной из них был обнаружен графит, из которого стали изготавливать грифели карандашей. Решите уравнение, корнем которого является год открытия графита:
21,87 - (313 : д: + 8,74) = 12,93.
952. Длина школьного коридора 31,25 м, а его ширина 4,13 м. Найдите площадь школьного коридора. Ответ округлите до
сотых.
343
953. Найдите объём, площадь поверхности и сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны:
1) а « 6,4 см, 5 = 5 см, с = 2,1 см;
2) а = 0,24 м, 5 = 0,4 м, с = 1,5 м.
954. Ширила прямоугольного параллелепипеда 8,4 см, что составляет I его длины и 7 высоты. Найдите объём прямо-
5 4
угольного параллелепипеда в см^ и округлите ответ до целых.
955. Московский папирус, написанный примерно в 1850 г. до н. э., хранится в Государственном музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина. Найдите его площадь, зная, что длина папируса 5,5 м, а ширина 8 см.
282
в 1875 г. на конференции в Париже было принято соглашение о введении единой системы мер для 20 государств. Тогда же был изготовлен эталон метра, который и поныне хранится в Париже в Международном бюро мер и весов. В Санкт-Петербурге хранится копия эталона метра. Метр — основная единица длины, которая и дала название метрической системе мер.
В настоящее время на метрическую систему мер перешло большинство стран. Однако Великобритания и США сохранили свои традиционные единицы. В этих странах по-прежнему длины измеряют в милях^ ярдаху футах и дюймах.
Ярд — по одной из версий, расстояние от кончика носа английского короля Генриха I до кончиков пальцев его вытянутой руки.
Слово фут в переводе с английского означает «нога*. Эта мера длины возникла как средняя длина ступни человека.
Слово дюйм в переводе с голландского языка означает ♦большой палец». Эта единица повсеместно используется, например, при указании такой важной характеристики компьютерной картинки, как разрешение. Так, разрешение 300 dpi {dots per inch — точек на дюйм) означает, что на одном квадратном дюйме расположено 300 цветовых точек, из которых составлена картинка.
В России метрическая система мер стала применяться с 1918 г., а до этого в Российской империи использовались свои единицы измерений.
Связь между мерами длины США,
Российской империи и метрическими единицами
1 миля ~ 1,51 версты » 1,61 км 1 сажень “ 3 аршина ~ 7 футов « 2 м 13 см 1 аршин =16 вершков == 71 см 1 ярд = 3 фута = 36 дюймов » 91 см 1 фут = 12 дюймов ~ 31 см 1 дюйм » 2 см 5 мм
283
1 маховая сажень
&г-
/ "л
\
1 шаг
956. Выразите в метрах:
1) версту; 2) сажень; 3) фут; 4) вершок.
л
957. Практическая работа.
1) Измерьте:
а) расстояние от кончиков пальцев до локтя согнутой руки (локоть);
б) расстояние между концами расставленных большого и указательного пальцев (пядь);
в) длину стопы (фут);
г) расстояние между концами пальцев расставленных в сторону рук (маховая сажень).
2) Сравните измеренные вами фут и сажень с их метрическими значениями.
Для измерения площадей в Российской империи применялись квадратные сажень, аршин, фут, дюйм, вершок. Основной земельной мерой начиная с XVI в. служила десятина, равная 2400 квадратных саженей. Название происходит от представления десятины как квадрата со стороной 0,1 версты.
958. Найдите, сколько:
1) квадратных аршин в квадратной версте;
2) квадратных дюймов в квадратном ярде;
3) квадратных километров в квадратной миле.
284
Слово процент произошло от латинских слов pro centumy что буквально переводится как «на сто* и означает одну сотую долю целого. Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчёты и поэтому до сих пор широко используются в различных сферах человеческой деятельности. Проценты применялись индийцами уже в V в. Па тысячу лет позже в Европе проценты стал применять бельгийский учёный С. Стевин. В 1584 г. он впервые опубликовал таблицу процентов. Введение процентов оказалось удобным для оценки содержания одного вещества в другом, для измерения динамики производства, роста денежного дохода и т. д. Например, в пищевой промышленности используется 9%-й уксус — раствор, содержащий 9 частей уксусной эссенции и 91 часть воды. В витринах магазинов при распродаже товаров указывают, на сколько процентов снижены цены.
Знак % появился в результате опечатки. В рукописях слова pro centum часто заменяли сокращением cto. В 1685 г. в Париже было издано руководство по коммерческой арифметике, в котором наборщик по ошибке вместо cto набрал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.
959. В городе 80 000 жителей, из них коренное население составляет бО'/о. Сколько коренных жителей в городе?
960. Организм человека (по массе) содержит 60% воды, 14% белков, 10% жиров, 1% углеводов и другие вещества. Найдите массу каждого элемента в организме человека, который весит 50 кг.
961.3а перевод денег банк берёт 3% от переводимой суммы. Сколько денег нужно внести в банк, чтобы перевести
1000 р.?
962. Средняя продолжительность жизни мужчин в США достигла 75 лет, что составляет всего лишь 62,5% от макси-
285
мальной зафиксированной продолжительности жизни. Какова максимальная продолжительность жизни человека?
963. Выразите скорости полёта мухи и ворона в процентах от скорости стрижа, если известно, что скорость мухи 25 км/ч, скорость ворона 50 км/ч, а скорость стрижа 100 км/ч.
964. Продолжительность жизни Мамонтова дерева 2500 лет. Продолжительность жизни дуба составляет 40%, сосны — 16%, а груши — 12% от продолжительности жизни Мамонтова дерева. Сколько лет живут дуб, сосна, груша?
965®. В классе 35 учеников, причём число мальчиков составляет 75% от числа девочек. Сколько в классе мальчиков?
9б6®. 35 г соли растворили в 165 г воды. Сколько процентов соли содержится в растворе?
9670. Школьники собрали 456 кг макулатуры. Из неё при переработке получилась писчая бумага, масса которой составила 60% массы макулатуры. Сколько тетрадей полу»1ится из этой макулатуры, если масса одной тетради 30 г?
9680. Сливочное мороженое содержит 16% сахара. На приготовление мороженого израсходовали 2 кг сахара. Сколько из него получится порций мороженого по 100 г каждая?
969*. На сколько процентов изменится цена товара, если:
1) её снизить в 2 ра.за; 2) её повысить в 1,5 раза;
3) её увеличить в 4 раза?
9700. Атмосферный воздух содержит (по объёму) 77% азота, 21% кислорода, около 1% нейтральных газов и небольшое количество примесей. Сколько кислорода содержится в комнате с размерами 4 м, 5 м, 3 м?
9710. Какое растение живёт дольше — брусника или черника, если 5% возраста брусники составляет 15 лет, а 7% возраста черники — 21 год?
2S6
972. Масса сушёных грибов составляет 14% от массы свежих.
1) Сколько сушёных грибов можно получить из 20 кг свежих?
2) * Сколько свежих грибов надо взять, чтобы получить 3 кг сушёных?
973®, Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом цены на 10% ниже, а количество проданного за день товара па 10% больше, чем во втором. В каком из магазинов выручка больше?
974®. в городе с населением 200 тыс. человек в выборах городской думы приняли участие 40% жителей, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в выборах, если право голоса имеют 85% жителей?
975, Белый медведь весит 600 кг, а бурый медведь легче белого на 55%.
1) Чему равна масса бурого медведя?
2) ® На сколько процентов белый медведь тяжелее бурого? Ш 4.2. с. 90 О Тест
Вы успешно закончили 5 класс, и впереди у вас летние каникулы.
Авторы желают вам хорошо отдохнуть и набраться новых сил.
А чтобы не было скучно в плохую погоду, вам и вашим друзьям предлагается 30 занимательных задач.
Задачи для летнего досуга
1. Задача-шутка. Летели утки: одна впереди, две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего уток?
2. Задача-шутка. Бюро прогнозов сообщило в 12 ч дня, что в Москве в ближайшую неделю сохранится безоблачная погода. Можно ли ожидать, что через 36 ч в Москве будет светить солнце?
3. Задача-шутка. В кармане лежат две монеты на общую сумму 15 к. Одна из них не пятак. Что это за монеты?
4. В вагоне метро сидят рядом пять девочек. Лена сидит через столько же человек от Маши, как и от Нины. Катя сидит через столько же человек от Лены, как и от Нины. Оксана сидит между двумя своими лучшими подругами. Как их зовут?
5. Лёша, Саша и Денис учатся в одном классе. Каждый из них занимается одним из видов спорта: плаванием, бегом или борьбой.
Известно, что:
1) Саша сидит за одной партой с тем, кто занимается плаванием;
2) бегун и Лёша не живут в одном доме;
3) Лёша и пловец родились в один день.
Каким видом спорта занимается каждый из ребят?
288
6. За круглым столом сидят Иванов, Петров, Сидоров и Кузнецов. Их имена Андрей, Сергей, Пётр и Максим. Как зовут Иванова, Петрова, Сидорова и Кузнецова, если известно, что:
1) фамилия Андрея не Иванов;
2) Сергей сидит между Сидоровым и Петром;
3) Петров сидит между Андреем и Сергеем?
7. Однажды в минуту отдыха друзья-мушкетёры Лтос, Пор-тос, Арамис и д’Артаньян решили немного поразвлечься в перетягивании каната. Портос с д’Артаньяном легко перетянули Атоса с Арамисом. Но когда Портос стал в паре с Атосом, то победа против Арамиса с д’Артаньяном досталась им уже не так легко. А когда Портос с Арамисом оказались против Атоса с д’Артаньяном, то никакая из этих пар не смогла одолеть другую. Определите, как мушкетёры распределяются по силе.
8. В семье три брата: Антои, Иван и Сергей. Антон не старше Сергея, а Иван не старше Антона. Кто из братьев старше всех? Кто младше всех?
9. Из трёх монет одна фальшивая. Как одним взвешиванием па чашечных весах без гирь узнать, какая из монет фальшивая, если известно, что она легче остальных?
10. Из четырёх монет одна фальшивая. Сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь потребуется, чтобы найти фальшивую монету, если известно, что она тяжелее остальных?
11. Есть три монеты, одна из которых фальшивая, но неизвестно, легче она или тяжелее. Сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь потребуется, чтобы найти фальшивую монету?
12. Часы отбивают пять ударов за 20 с. За сколько секунд они отобьют 10 ударов?
289
13. Улитка ползёт по столбу, высота которого 10 м. За день она поднимается на 3 м вверх, а ночью спускается на 2 м вниз. За сколько дней доползёт улитка до конца столба?
14. Перед мастером пять звеньев цепи, по три кольца в каждом. Их надо соединить в одну цепь. Какое наименьшее число колец надо мастеру для этого расковать, а потом опять заковать?
15. Маугли попросил обезьян принести орехи. Обезьяны набрали орехов поровну, но по дороге они поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую орехом. В итоге Маугли досталось лишь 33 ореха. По сколько орехов собрали обезьяны, если каждая принесла больше одного ореха?
16. — Мама, сколько тебе лет? — спросил однажды сын свою маму.
— Сообрази сам. Если к половине моих лет прибавить семь, узнаешь мой возраст 13 лет тому назад, — ответила мама. Сколько лет маме?
17. Сумма возрастов мужа, жены, дочери и сына составляет 73 года. Муж старше жены на три года, дочь старше сына на два года. Четыре года тому назад членам семьи было в сумме 58 лет. Сколько лет сейчас каждому члену этой семьи?
18. У мальчика столько братьев, сколько сестёр, а у его сестры братьев в три раза больше, чем сестёр. Может ли такое быть? Если может, то сколько мальчиков и сколько девочек в семье?
19. Яблоко и груша вместе стоят 8 р. Пять яблок и две груши стоят 25 р. Сколько стоит одно яблоко и сколько стоит одна груша?
20. Бабушка разводит кроликов и гусей. На вопрос внука: ♦Сколько у тебя кроликов и гусей?» бабушка ответила:
290
♦ Посчитай сам, я только скажу, что у них 25 голов и 54 лапки*. Сколько кроликов и сколько гусей у бабушки?
21. Как расставить 10 стульев так, чтобы у каждой стены квадратной комнаты стояло по три стула?
22. Проведите шесть прямых и отметьте ыа каждой иа них по пять точек так, чтобы всего было отмечено 24 точки.
23. Отметьте 12 точек так, чтобы:
1) на двух прямых оказалось по четыре точки, а на третьей прямой — шесть точек;
2) на каждой стороне прямоугольника было по четыре точки;
3) две из них оказались внутри прямоугольника, а остальные поровну на каждой его стороне.
24. Для выпуска школьной математической газеты встретились художники, которые обменялись рукопожатиями. В газету они вставили следующую задачу: «Зная, что было 10 рукопожатий, скажите, сколько человек выпускали газету*.
25. У хозяйки два горшка подсолнечного масла: один на 8 л, другой на 3 л. Как ей отлить соседке 6 л масла, если у хозяйки есть только один пустой горшок, вмещающий 5 л масла?
26. Имеется несколько кувшинов, среди которых есть два кувшина разной формы, а также два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина разной формы, имеющие разный цвет.
27. В мешке лежат по 10 яблок каждого из трёх сортов. Какое минимальное число яблок надо взять из мешка не глядя, чтобы среди них наверняка оказались:
1) два яблока одного сорта;
2) пять яблок одного сорта;
3) яблоки всех трёх сортов?
28. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, причём в каждом ящике лежат яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
291
29. В коробке лежат карандаши: семь красных и пять синих. В темноте берут карандаши. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них наверняка оказалось:
1) не меньше двух красных;
2) не меньше трёх синих;
3) красный и синий;
4) два карандаша одного цвета?
30. В классе пять отличников, 20 хорошистов и 10 троечников. Отличник может полу^шть только «пять», хорошист — «4» или «5», троечник — «3», «4» или «5». В класс пришёл новый учитель, он никого не знает из учеников. Сколько y^ie-ников ему необходимо вызвать к доске, чтобы наверняка поставить хотя бы одну пятёрку?
Ответы, советы, решения
Глава 1. Натуральные числа и нуль
2. 1, 3, 4, 7. 8. 3. 1)2000; 2)9999; 3)0; 4)33; 5)190; 6)1000.
4.1) 10. 2) 90. 3) 20. Цифра 7 и в разряде единиц, и в разряде десятков встречается по 10 раз. 4) 8. Совет. Выпишите все такие числа.
9.1) 10 ООО; 2) 999 999; 3) 1 000 001; 4) 999 999 999 998. 13.1) а) К пре-
дыдущему числу прибавляют 111; б) из предыдущего числа вычитают 200; в) к предыдущему числу прибавляют 134; г) предыдущее число умножают на 10. 17. 2) Например, 20 003; 3) число должно быть двузначным. Число десятков в нём должно быть равным 2. Подходят числа 20, 21, 29; 4) а) 1; б) 3; в) 6. 18. 1) На 10; 2) на 100,
200; 3)пп 1000, 2000, ..., 9000; 4) на 10 000, 20 000, 50 000.
20, 2) Скорее всего, оба мальчика читали книгу с начала, а не с конца. Поэтому ни один из них не дочитал её до конца. Возможно, правда, что мальчики читали книгу вслух по очереди и всю её прочитали.
21. Произведение цифр равно 9, значит, это либо 3 • 3, либо 1 • 9, либо
9*1. Поскольку цифра десятков меньше, чем цифра единиц, получаем число 19. 22. 18. 23. 1)99, 108, 117. 180; 198, 207, 216,
279; 297... 378; 396.. 477; 891, .... 972. 2) а) 100, 102; б) 990,
992. 24. 49. 25. 247. 26. 300. 27.1) 642; 2) 500.
32. 1)На 9402 м; 2) на 16 100 тыс. км^; 3) 5642 м и 8848 м.
33. 1) В 4 раза; 2) 40 т. 34. 1) В 4 раза; 2)19 лет. 35. 1)298 р.;
- - 293
2) 88 км. 36.1)На 200 км/ч; 2) в 2 раза; 3)в 20 раз и в 10 раз.
37.1)На 12 км/ч; 2) на Зр.; 3)на 12 деталей в день; 4) на 12 в час. 38. Первое число больше в заданиях 1), 2) и 4). Второе число больше в задании 3). Нельзя сделать вывод в задании 5). В задании б) первое число во всяком случае не меньше, чем второе. 39. 2) а) 1; б) 2; в) 3; г) 3; д) 12; е) 1. 40. 1) Да. ведь сумма разрядных слагаемых равна самому числу. 43. 831. 44. 1) 4 < 5 < 6. 46.1) 1 < 762 < 770;
4)2 15.504 < 16 000. 51.6)67. 68. 69. 70, 71. 52.1)90 158;
2)30 158. 53. Да, например, 99 и 100. 54. На 7182. 55.7 человек. 56. 50 листов. 57. 7 учеников. 58. В 5 раз.
64.1) 3 дм 3 см; 6) 40; 8) 97 т 460 кг. 68.1) а) 2; б) 50; в) 12; г) 20.
78.2)9 и 19. 80. 82 км/ч. 81. На 1 мин. 82. 1)234 кг; 3)481 кг и 393 кг. 83.1) 912 км; 2) если бы все 8 ч автомобиль ехал по просёлочной дороге, то его путь был бы на 81 км короче, т. е. 384 км. Скорость автомобиля на просёлочной дороге 48 км/ч, а на шоссе — 75 км/ч.
4) 31ч. 86. Разговор произошёл 1 января. 87. На 50 г. 88.200 г. 89. На девятый день.
100. Точки NviK. 101. 2) KL, CD, АВ, FE. 102. 2) Они находятся на равных расстояниях от концов отрезка — равноудалены от концов. 103. 2) Все такие точки лежат на прямой. 108, Можно в заданиях 1) и 2). В задании 3) нельзя. 111.1)3; 2)6. 114. Можно. 116.12 см. если точка В расположена между точками А и С. 2 см, если точка Л расположена между точками С и В. 117. 3) Можно в задании а); нельзя в заданиях б) и в). 122. 15 углов, считая 3 развёрнутых. 125. 2) Можно в заданиях а) и б). Нельзя в задании в). Этой информации мало, так как острый угол есть у любого треугольника. 126. 10 дм. 127. 1) 299 см; 2) 15 см, 21 см, 27 см, 33 см. 128. 2) а) Равносторонний; б) равнобедренный; в) разносторонний;
г) не существует. 4) С о в е т. Сравнить большую из сторон с суммой двух других. 129.1) 354 см; 2) 23 см. 130. 72 м. 131. Двух. 133. В трёх
294
случаях: три прямые пересекаются в одной точке, которая является общей для трёх прямых: две параллельные пересечены третьей прямой. каждая точка пересечения является общей для пересекающихся прямых, и каждая параллельная прямая имеет ещё по одной точке, не совпадающей с точкой пересечения; три прямые в пересечении образуют треугольник, две вершины которого являются общими точками для пересекающихся прямых, а прямые, пересекающиеся в третьей вершине, имеют по точке, не совпадающей с этой вершиной.
142. 1)Да; 2) нет. 143.Да. 153.г). 154. Первую и третью.
160. 2) 123®. 162. 1) 30®; 2) 60®; 3) 90®; 4) 180®; 5) 105®. 173.1) 90®; 2)60®: 4)35®. 174.1)60® и 120®; 2)75® и 105®. 177.1) а) По 37®; б) по 56®; в) по 28®: 2) на прямые углы; 3) по 45®. 179. 1) 120®; 3) 60®. 180. Прямой. 182. а) 72®; б) 45®; в) 138®; г) 37®; д) 71®; е) 120®. 188. 2) Нельзя. 189.120°.
Глава 2. Числовые и буквенные выражения
195.1)2219; 2)762; 3)426; 4)558. 201.1) 79 977; 2)85 882;
3)465 972; 4) 103. 204.1)54 324; 2)5363; 3)3188; 4)1026; 5)43; 6)43. 205. 269 999. 208. 1)а)А(73), В(96); б) £>(87). С(60); 2) п) увеличится на 29; б) уменьшится на 38. 210. Нет. Когда ученик складывал числа первый раз, их сумма оказалась чётной, т. е. могла разделиться на 2 без остатка. Второе сложение чисел привело ученика к нечётной сумме. 211.1) 12 + 8 -f 5; 2) 12 - 8; 3) 8 — 5; 4) (12 + 8): 5;
5) (12 + 8 5): 3. 212.1)22 и 28; 2)26 и 74. 219. 1) Через 2 ч;
2) через 2 ч; 3) через 4 ч; 4) через 4 ч. 222. 1) 4950; 2) 250 000; 3) 50.
228. 1) а) 78 см^; 6)4500 мм^; в) 18 дм^; г) 9960 см^; 2) 5 дм; 3) 1632 мм^; 4) 392 см^; 5) 121 м^. 229. 2) 13®: 3) 10». 231.1)4»; 2) 2^ 233.5) 1; 6)0; 7)8; 8)81. 234.1) д) 3969; е) 3025; 2)6)82; г) 99, 235.3)42 025; 4)9 030 025. 237.1) 152; 2)39; 3)80; 4)64; 5)256;
6) 1043; 7) 972: 8) 56 564; 9) 19. 238. 1) 7» + 9» - 130; 6) 130 - 11» » 9. 239. 1) 10'; 6) 10«. 240.1) 236 479; 2) 704 008; 3) 104 006; 4) 50 000. 241. 4)3-10® - 3-10* -г 3-102 + 3. 243. 100 м. 247. 1)3 429 904 2) 342 990 400 дм». 248. 1500 а, 15 га. 249. 1) 156 480 кг; 2) 34 734 ц.
250. 1) Вторая сто1Юна больше на 6 м; 2) 33 дм»; 3) на 125 см».
251. Можно. 253. 2) Три прямоугольника, так как число 16 делится на длины сторон без остатка в трёх случаях. 254. 1) Увеличится в 4 раза; 2) уменьшится в 9 раз. 255. в) 30. 259.136 789. 260. 25 и 16.
268. 5) 24 см. 271. Кубик на рисунке в). 273. 2) а) Нет; б) да;
в) да. 275. а) 27 см»: б) 27 см». 285. 1)65 м»; 2) 3 м 2 дм; 3)55 см;
4) 8 м». 286. 1) 162 м»: 2) 1350 м». 287. 1) а) В 3 раза; б) в 9 раз;
2) а) в 9 ра.ч; б) в 27 раз. 288. 1) 15 ч; 2) 660 м». 289. На 20 м». 290.28 л. 291.10. 1) Можно, и ещё останется два кубика; 2) нет;
3) можно; 4) нет. 293. Последняя цифра произведения определяется
296
произведением последних цифр множителей. 1)8; 2)7; 3)4; 4)5;
5) 6. 294.19® » 6859. 295. 54 см® или 42 см®. 296.6 м.
305.1) д) 2d - k. 308. 2) с на 5 больше, чем 4) д: в 7 раз больше, чем у, если у ^ 0; 7)Ь равно с. 309.1) ЗЬ — а; 4) 2 = 1 • 5) п —
- О'р. 310. 3)г + 7 = г, г = f - 7у t - z = 7; 4)Нх = у, у у : дг «
= 8. 311.3) 60, 61,62.. 100. 313.3) Зд: h 2у; 4) 2а - 26; 5) 21с; 6) 56 -
- 9d. 315. 1) а) а = О; в) а ^ О; е) О, 1, 2, 3, 4. 316. 4)..., Ну + 7, Юр +
+ 9..... 319. 5) 10 000/е см®; 7) 10®р мм®. 320. 1) Увеличится на 7;
2) уменьшится на 14; 3) увеличится в 2 раза; 4) уменьшится в 3 раза. 322. 1) J3(4a), С(5а), D(7a); 2) F{a + 5). 323.1478. 324. 5) На сколько 6 карандашей дороже двух ручек; 6) во сколько раз ручка дороже карандаша. 325. 1) Выражение а; 2) ж; 3) в, д; 4) г; 5) в, д. 326. 1) а) 5а;
б) 7Ь; в) 2а + 36; 2) 6 - а; 3) За - 6; 4) 5а : (26). 327. 1) m - (т -
- 13) “ 13. 328. а) 2а + 6; б) 4а : 5 и а : 5; в) (с — 6): 2; г) 2а : 3 и а : 3. 329.1) а) 2х; б) (дг + р): 3; в) дг + 2дг или Зде; г) ух - х; д) Зд: + Зр или 3(дс + р). 331.1) (а - Зс) км; 2) (2а + Зс) км; 3) с : 2 • 3 км; 4) (д:: 2 -
- д: ; 3) км/ч. 332.1) а : 2-5 км; 2)(а : / - ь^)км/ч; 3)(а-ь ы)?км. 335. В 11 раз. 336.14 футов. 337. На 155.
341.1) а) Л — 4а; б) S — а®; в) У — а®. 342. а) S =• (а + d)(b + с)-
- ас, Я - 2(а 4 6 4 с 4 d); б) S - а6 - (6 - с)(а - d), Р = 2(а + 6).
343. 2) а) 2808 см®; б) 2 802 009 м®; 3) а) Л = 8 м; б) h = 13 м. 344. а = -6д + г. 1)55; 2)5; 3)103; 4)6290. 345. 1) С = 36 + 2г + ^ (р.).
346.1)4320 автомашин при круглосуточной работе; 2) 2 м® в час;
3) 6 ч. 348. Р е ш е н и е. а) + *^2* “ 3 + 18-21 (км/ч).
6)иуд = о, + '=56+ 108 = 164 (км/ч). в)а^1л “ ‘ ^^2>
1) ^^сбл "90 - 36 - 54 (км/ч), г) Оуд - о, - 1) Оуд = 42 - 15 =
- 27 (км/ч). 353. 1) а) 690; 6)5; в) 3; г) 8. 354.1) 1218; 2)41001;
3) 127: 4) 126; 5) 194 400; 6) 7962. 355. 1) а) 104; б) 24 656; в) 2345;
г) 7 660 078. 356.1) 77; 2) 23; 3) 5712; 4) 203; 5) 12; 6) 3. 358. Р е шe-н и е. а) дг + 28 — 114, д: — 86; б) 47 + р + 36 — 134, р — 51; в) 2дг 10 —
297
= 40. л: - 15; г) 7x + 9 - 65. л: - 8. 359. 1) 21. 23 и 20 окуней; 2) 300 г, 200 г, 700 г; 3) 27 см. 27 см, 14 см; 4) 24 дм, 33 дм. 360.1) 12. 24, 36. Решение. X + (JC + 12) + (д: + 12)+ 12 = 72. Зд: + 36 = 72. Зд: = 36, д- - 12. 2) 27 и 31. Р е ш е н и е. д: + (дг - 4) = 58, дг = 27. 362. 1) 20“. 40®, 120®. Решение. Пусть второй угол равен д:, тогда первый угол — 2дг, а третий — 3 • 2д:. Зная, что развёрнутый угол равен 180®, составим уравнение: д: + 2д: + 3 • 2д: = 180, 9д: = 180, дг = 20. 2) 30® и 150®. Решение. д: + 5д:= 180, д: = 30. 363. 1) 30 м/с — скорость поезда, 600 м — длина моста; 2) 225 м — длина поезда, 15 м/с — скорость поезда. 365. 1004.
Глава 3. Доли и дроби
369.1)АЯ и НВ\ 2)AF, CG и DH; 3)АБ. CF, DG и ЕН; 4)уШ, се, DF, EG и FH. 372. 1) 20 м; 2) 13 275 000 км^; 3) 161 р.;
4) 51 страницу; 5) в 3 раза: 6) 303 р. 373. Дробь. 374.1) а) ^; б) |; в) ? ; г) А. 375. 3) а) 12 см^; б) 12 см2. 376. 2) Две. 379. 1) |; 2) ?; 3)1; 4)^. 380.1)а)А(|), в(|), с(|). 0(1); б)л(|), в(|), с(|), 381.1) а) 10. 11, 12,...; 6)1, 2, 3... 9; 2)1, 2, 3,..., 8.
382.1)а)1>|;б)^>^;в)^
101
< -L-
4851 ’ ^ 1010 1001
383-^ I I А. h- Г7- й- 2-3............385.1)|; 2) |; 3) 375 г.
388. 1) 10 мин; 2) отметку *4*. 390.1) 6 см; 2) 9 см: 3) 2 см; 4) 5 см. 391.1)63; 2)56; 3)9; 4)15; 5)35; 6) 14. 394.1)10 тетрадей; 2) 1800 мл; 3)150 кг, 250 кг; 4) 3 км; 5)7 семян; 6)13 семян.
395. Длина отрезка MN составляет - от длины отрезка LK.
О
397. 480 398.1) ^; 2) |; ?; 3) |^. 399. Например, ^.
405.15 см. 406.5)1^; 6)^. 407.1) ^ кг; 2) скопировали
^07 777 О
7 4
YY рукописи, осталось — рукописи. 408. 1) 10 кг; 2) 24 м. 410. 3) jc —
636
_ 506.
23'
- И''‘>"-Г6-^12.1)|;2)|;3)^,413.3).= 3^
414,1)0; 2)1. 415.1) и 2) а) Нет; б) да; 3) 57 км; 4)18 учеников. 416. 4) ~ м; 5) ? CM=^; 6) Щ дм^. 417. 2) ^; 4) ^. 420. D ^^;
’ т1* Й ’ А * ^ ^23. 3, 4, 5, 6.
299
^-fa-п
424.1) 1296 см2; 2) 6042 см^. 425. а) 24 см^, 427.1) у см^;
2) дм2;
3)18 дм2;
а X I 6 о
4) YJ см2.
429. 42 см2. 430.1) в) 120^^^;
2) а) остроугольный; б) и в) тупоугольный. 431. 3)40”. 70” и 70®. Решение. (180" - 40”) : 2 = 70”. 432.1)Да; 2)да; 3)да; 4)да. 433. 1)Совет. Сначала найдите первые два угле. 3)Совет. Составьте и решите уравнение дг ^ 2х Мл" + 60) = 180. 5) 90”, 40” и 50”.
Решение. |Д:-г ~х + + 10 j - 180, - 170, х = 90.
435. Квадратом. 436. 4) 135®, Щ-, .Решение.
с 2 DO
— 180, X * 135. 437. Прямые. 439.1053 см2. 440.1) Четыре узелка; 2) 12 м; 3) 3 м, 4 м и 5 м. 443. 54 см2; 3^ 444, Равны, так как
каждый из треугольников составлен из двух равных египетских треугольников. 445. Наибольший периметр у прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 32 см. Наименьший периметр у квадрата.
447. — см2. Площадь тетрадной клетки равна - см2. 449, 180®. 4 4
450. 3.
4
Глава 4. Действия с дробями
455. 2) а) 8, 9, 10,3) 1, 2, 3,6, 7. 457. 3) 205; 4) 167; 5) 69; 6) 3. 465. 4) ш = 1о1|. 466. 6) 5| = f; 8) И = 5|. 467. D Д) 17^;
е)21|2. 468.2)fl; 4)^; 6)^. 469.1)а)2|1 ч; в)291?ч;
2)6)21^^ КМ. 471. 1)5708; 2)20; 3)713; 4)609. 472. 1)1? м;
3 1 s
2) 24р кг; 3) 25^ страницы; 4) 1^ пачки; 5) в 3 раза меньше, т. е.
о о 10
1б| м; 6) 4361 км; 7) 5875^ р. 474. Совет. Запишите неправильные дроби как смешанные числа. 475. 1) 2; 2) 1^; 3) 2? . 476.2) 5^, 6;
7 W D
4 4 с 5 ^ лк 42 56 * е\ е 1 43 ^ лч 36 45 /77 о/ i^\
4g t 9 4) у t g t 5) 5^ » Y I n) I • 477# o7 • 17 3 (oct« 16)«
478. 479. 18 4 30 мин.
482. 1), 4) Увеличится в 2 раза; 2), 3) уменьшится в 2 раза.
483,1) Разделить знаменатель д}ю6и на 3 или числитель дроби умножить на 3; 2) разделить числитель дроби на 5 или знаменатель дроби
умножить на 5. 485, 1)^; 2) ; 3)1; 4)1. 486. 3) Увеличится в
2 раза; 4) дробь не изменится. 491. ^ = 'Ш'
492 . 1) 3^6^ 15 - 27 _ —: 2) ? 6 . 1^ 32 40 . 493 . 1) -
4 8 20 “ 36 96 ’ ^ 5 " 15 ” 35 80 100 • 6’
7 8*^ 20 55 .494. 1), 3); Можно; 2), 4) нельзя. 495. а). г). ^ 498. l)li; 2)l|;
3)1 3. 4) 16^; 6) Is- 501 . 1) 5 = 2 3 6 9 90 _ 45
7 ' 13 7 ' 9 18 27 54 ’ 10 100 50’
3 _ 7 “ 6 14 . 502.1) 1 4* 3 1 3 8’ 2’ 4 15 1-’ 16’ 2)^ 12’ 4 ^ ’ 12’ 7 4’ 3 5 2’ 6* 503. l)i^-
301
It = if = Ш • Ш "Р"«ерно 83 яйца.
3
509. На одну стирку. 512. З7 .
4
517.1) ? ; 2) ^. 518. 1) 5, 6, 7, ...; 2) 1, 2. 3. 4. 5; 3) 1, 2, 3, 4. 5;
1) 1, ЭХУ. I) ^ ^ 8 * 6 7 * 10 100 ’ 7 5 ’ 3 ’
2 ^ 3 СОЛ 14 15 18 20. ^ 18 21 28. «ч 9 Ю 20. .. 7
' 15 20' ^ 30’ 30’ 30’ ^ 63* 63* 63’ ^ 24’ 24’ 24’ ^72*
22 54
15 12
Ц?1 П«\Ц2 112 1^ 147. 5>4.vl6 15 _ _
72’ 72* ^^’*^^468’ 168’ 168’ 168’ ' ' 24 ’ 24’ 24’ 24*
523 11 ~ • 21 • 31 ^ 15 5 4 1 сод 1) -2. • 21 —
1) 10 ’ 102’ ^ЧоО* 21 * 11 ’ 10’ 6’ 5’ 2 * ^ 20’ ^ 20*
525.1)а)| < ?; б) ^ > ?; в) ^ . 527. 1)На 2ч; 2)? сут;
90
<7
3) 75 сут. 528. 1) Меркурий; 2) Луна. 529. 1) Максим потратил
35 мин» а Денис — 36 мин; 3) сын старше дочери; 4) второй, так как
^ • 530.1) В семье Лены доход больше, так как квартплата сото 60
ставляет меньшую часть семейного дохода, чем в семье Сергея. 5 8
2) Поскольку 55 < 51 ♦ родитбли Оли платят за квартиру больше. Вс-(>5
роятво, их жилищные условия лучше. 531, 2469. 532,19 ч 12 мин. 533. Дроби равны. 534. 1) |» | • f J 2) |.
536.2) 1 . 537.2) 1 . 538.1) 11; 2)|; 3)i; 4)^;
Г4 101 . «4 97 . 74 41 . д. 9 (-,0 14 9. 13. 67 . .. 7. 4 .
72 ’ 180’ 132’ 88* 28’ 42’ 180’ ^^8’ ^^5’
302
^ i = »> ш = I = ш = "> i-0 = Ш s =
= : 5 - 1 - 4|. 542. 2) 8|; 3) l|: 4) 28? . 543. 1) 34±, 2) 4si .
6
®)2Ш; В)261Ш; г) 7009 3
1000
в
То Ш 1000
9 , 6
; в)
1000
+
11
545. Выполнил осталось
wU uU
10 000 . 546.
; г)
+
= 2)“)^ + Ш’
Я
+
1000 10 000 100 000* . 547. 2|| кг. 548. вД: м.
12 50 10
549.1) 20? кг и 11? кг; 2) на 9? кг. 550.1)^; 2)1. 551.1)1;
133 7
2) 3) ^ . 552. Хватит. 553. Одна неудовлетворительная работа.
554.1) На 2) на 556. 557. 9|. 558. 2) Увеличится на
8^ ; 3) уменьшится на 7^; 4) увеличится на : 5) не изменится.
559. Уменьшится на тЦ . 562. 2) ~ . 563. 2) а) ~ ^; б) ^ ;
63
30
1
36
64
35 36
10 11
V ,_11_11_ . 1 _ 1 ■ 1 _ 1 _ 1 _
' 24 2.*i’ ^ 2 2 Я Я *** QK 09 00 1ПО ^
1 99 СЛС 01
■ Too “ Too ‘
568.1)1; 2)12; 3)|; 4)6; 5) 1. 569. 1)41; 2)1; 3)1; 4)2|;
5) 6) 1^. 570.1)з|| м = 377 см; 2)7^ м 754 см; 3) 1з1 м =
Ы оО оЭ ОО О
= 1320 см. 571.131 км. 572. 345 м. 573. 1) бб^; 2) 24^ . 574. 1) А ;
э 6 1о 24
2)2^: 3)2; 4)1з1. 575.2)а)||; б) ^; в) ||. 577. 191§км. 578. б| л. 579.23 км/с. 580.1) 288 мальчиков и 192 девочки; 2) 120 ц;
303
3)18 градусов. 581.8s м, 23 м, 2^ м. 582.895:^^ кг « 896 кг.
о о llHJU
583. 1) Треугольники прямоугольные. 584. Треугольник прямо-
6 17
угольный. Его площадь — м^. 585. 2 куска. 586. 4^ см^.
588.960 км. 589. Кофе и молока поровну. 590. 591, Коровы ры-
жей масти. 592. Например, 5h17;9h1s;21h1^.
4 о
596. 3) 2; 5) Ь 6) 1; 7) ^: 8) А. 598. 4) 30. 599. D |?; 4) 2; 7) 1
8) 9) 10) А. 601. 1) На 2\ кг; 2) на 4i кг. 602. 1)б| км
21
21
2) через 2 ч. 603.1) 100 км/ч; 20 км; 2) 2 А км. 604.1) |; 2) |; 4) i 10) 12)^. 605.1)5; 2)5; 3)^; 4) |. 606.1) 1; 2)3; 3) i
4)10. 607.1)?; 2)4; 3)2зА; 4) А. 608.1)(5? - з1) + (4? --^i)-^i=3)(5?-3|)=(4|-ll).^;4)3^;5)4^.
4
609.1) Не изменится; 3) умножится на 4) не изменится.
610.1) Умножить на 2) умножить на 612.26 см.
613. 1)630 р.; 2) 67s км; 3)14? мин; 4) 72 мин. 614. В l| раза. 615. 60, 160 и 180 залов. Решение, -t-2?x + <х + 120) — 400.
616.1) 135 р.; 2) 50 м. 617.1) За 30 мин; 2) за 60 мин. 620.® при л: - 7. 621. Всем досталось поровну. 622. На ™ часть.
304
Глава 5. Десятичные дроби
626. 1) Умножение на 100; 2) умножение на 100 000; 3) деление на 1000; 4) деление на 10 000. 628.3)0,05; 4)40,012; 5)0,0001
6) 710,0509. 629. 1) Равны а), в) и г); 2) верно. 631. 3) 30
100
6) 703
102 10 000
. 632.3)0,001; 6)54,67. 634.3) 102,012. 639. 1)0,2
2)0,5; 3)0,25; 4)0,125; 5)0,04; 6)0,008. 640. ^ = 0.5; ^ - 0,55
~ - 0,016. 641. 2) б) 10 = = 10,00. 642.11) 7,7. 643. 3) 5,40 -
54 27 81
“гг; = -=“ “ Тс* 644. Последнее число должно быть 101001,0001. 1U 5 15
645.1) Сначала козу, затем волка, козу вернуть, затем капусту и, наконец, козу. 2) Сначала оба мальчика переправляются на другой берег, затем один мальчик возвращает лодку назад, затем переправляется солдат, второй мальчик перегоняет лодку назад, и всё повторяется. 646. Запятую.
647.4) 9,9 см. 653.а)Л(0,б), В(0,8), 0(1,4), £(1,8); б)р[|),
/г(|^, S(2|); в)£(0,2), L(0,5), Л/(1,05). 655. а) М(77,2564),
ЛГ(77,2568). L(77,2572), В(77,2576); б)В(23,375), £(23,3825), F(23,385), £(23,39). 669. 1) а) 0,00012; б) 0,33333; в) 0,56789;
г) 0,100001. 2) Уменьшаются в заданиях а), в) и г); увеличиваются в задании б). 670.1) 0,7803; 2) 0,0203.
675.1)28,01; 2)19,683; 3)6,775; 4) 13,573. 677. 1), 3), 4) существует; 2) не существует. 678. 1) 272,87; 2) 455,187; 3)666,903;
305
4) 31,628: 5) 545.698; 6) 242,312; 7) 421,567; 8) 882,617. 680. 1) 4,109; 4,105; 2) 0,7; 0,6; 3) 6,6; 6,75; 4) 7,43; 6,63. 681. 1) 1 + 0.3; 2 - 0,7; 2) 5 + 2,256; 10 - 2,744. 683.2)3,91; 4) 11,3. 684.1) г) 308006,107;
2)д)4-105+ 5-10
685.1)4,2а; 2) 0,065; 3)37,73с; 4) 7,69с/.
108*
686.1)11,82; 2)5,064; 3)18,41; 4)2,957; 5)10; 6)27,089.
688. 1) 107,02j/; 2)30а. 689.1) Выдержит; 2)0,17 часть массы. Решение. 1 - (0,81 + 0,02) = 0,17. 690.13.3т. 691. 78,4м. 692. 1) 18; 2)30. 693.20 см или 4,6 см. 694. 1) Увеличится на 6; 2) уменьшится на 12.
709.1)506,346; 2)0; 3)51; 4)9,8; 5)0; 6)8,48; 7)0; 8)0.
710.1) 1051,68; 2)1608; 3)0,84; 4)372,38; 5) 163,989; 6)233,49.
711.1) в) 51,84; д) 0,7921; 2) а) 2,9; 6)8,2; в) 0,56; г) 0,76.
712. 1) 21,6; 2) 1,96; 3) 40,96; 4) 21,6; 5) 1,96; 6) 40,96. 713. 1) 1,456; 0.1456; 0,01456; 3)0,16; 0,25; 0,36; 4)2; 2,5; 3. 714.1)13,27;
2) 0,62; 3)62,98: 4)1,981. 715. УМНИЦА. 717. 1) 34,65; 2) 0,402;
3) 15,4; 4) 12,9. 718.1)33,82; 2)24,47; 3)5,43; 4)10,281.
719. ГАУСС. Вы получили фамилию знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777—1855), который ещё в детстве обнаружил выдающиеся способности. В девятнадцать лет он решил .задачу о воз.можности построения циркулем и линейкой правильных многоугольников, над которой бились учёные в течение двух тысяч лет. 720. 264 детали. 721.1) 81,862 м^; 2) 5,58 м; 3) 10,29 кг;
4) 1,716 кг; 5)н)460 листов; 6)300 листов; в) 160 листов;
6) а) 38,71 г; б) 3,95 г; в) 11,85 г. 722.1) 350,6 р.; 2) 100,69 р.
723.1) 81,2 км; 2) 74 км. 724.1)4,8 и 16,8; 2)11,5 и 48,3.
725.1) 1,04 м, 0,0676 м2; 2) 50,58 дм. 726.1) 14,4 см», 41,76 см2, 34,4 см; 2) 0,91 м®, 15,664 м2, 26,12 м. 727. 18. 729. 50.
736.8) Пропущен 0 после запятой. 738.1)0,2; 2)0,5; 3)0,03;
4) 4,5. 739. 1) 0,75; 2) 0,625; 3) 0,35; 4) 1,4; 5) 7,5; 6) 17,25.
306 -
740.1)0.125; 2)0.0384; 3)7,5; 4)0.09375. 741. 1)6,53; 2)11,52 3)0,79; 4) 11.52; 5)6,53; 6) 10; 7)0,79; 8)11,52; 9)0,08. 743. 1)5,1 5,8; 2) 5,7; 5; 3) 19,2; 38,4; 4) 0,8; 0,4. 744. 1) а) 18,5; б) 2,8; в) 0,115
г) 511,15; д) 0,0305; е)250 391; 2) а) 5,1; 6)0,2; в)0,24; г)0,0002
д) 6,86; е)0,62. 745.1. 747.17,25 км/ч, 20,75 км/ч. 748.1) Экономичнее «Ока»; 2)22,4л и 45,44л. Решение. 1)«Ока^ тратит 0,035 л па 1 км, «Жигули* — 0,071 л на 1 км. 0,071 > 0,035, значит, ♦Ока* экономнее. 2)0,035*640 " 22,4 (л); 0,071*640 — 45,44 (л).
750. I) 0,15 м/мин = 0,009 км/ч; 2) 36 000 км/ч; 3) 12 000 взмахов. 752. 1) V шести; 2) у двенадцати; 3) у восьми. 753. 1) 2,25; 2) 0,016.
756.4) 1,1(15). 757. 1) а) 0,4; б) 0,(3); в) 0.7; г) 2,(45); д) 1,25;
е) 1,(6). 758.1) 0.(6); 2) 2,(2); 3) 1,(13); 4) 3,(518). 760. 1) 0,(3) > 0,3;
2) 2,3(17) < 2,31(7); 3) 1,57 < ^; 4) || > . 761.1), 2) и 3) верно
утверждение б). 762, 1) 95,6(8) < 95,6889; 2) 9,(57) = 9,5(75);
3) 5,(67) > 5,675; 4) 1,7(89) < 1,7(899). 763.0,(23). 764. Белов рыжий, Чернов блондин, Рыжов брюнет. 765. Должно остаться 13 чисел 1,11 и 5 чисел 1,1.
767.1) 8 < 8.1 < 8,2; 4) 2 < 2,5 < 3. 768. 2) а) 4 и 5; б) 4,3 и 4,4;
в) 4,37 и 4,38. 770.1) а) 0,35 и 0,36; 2) а) с недостатком. 771. 1) 0,333 и 0,334. Приближение 0,333 точнее; 2) 0,3333 и 0,3334. Приближение 0,3333 точнее. 772. 3) Не может. 773. 1) Приближения указаны с точностью до 0,01. Число 46,28 отличается от 46,28475 меньше чем на 0,005, т. е. меньше чем на половину единицы разряда сотых, а 46,29 — болыпе чем на половину единицы разряда сотых. Значит, число 46,28 — более точное приближение. 2) Приближения указаны с точностью до 0,1. Более точное приближение 46,3. Это приближение отличается от числа 46,28475 меньше чем на половину единицы разряда десятых. 5) До 0,0001. Одинаковая точгюсть. 6) До 10. Точнее 50. 774. 1) а) 4,83 и 4,84; б) 54,08 и 54,09; в) 0,55 и 0,56; г) 7,14 и 7,15; 2) а) 4,83; 6)54,09; в) 0,56; г) 7,14. 775.1) 2,6; 2)2,5; 3)2,6;
307
Л) 2,2. 776. 3) а) 7; б) 7.5; в) 7,47; г) 7,475; д) 7,474747; е) 7,4747475;
4) а) 52; 6)52,1; в) 52,11; г) 52,108; д) 52,108108; е) 52,1081081.
777.1)0,43; 2)0,88; 3)2,27; 4)3,00. 778. 3) 0,047 == 0,05; 4) 0,(96) ~ =5 0,97. 779. 2) Бесконечно много чисел. 781. 622,1 см^. 782. 3 см.
783. 1) 11 025 м; 2) 2,13 с. 784. 1) Наибольшая скорость на короткой дистанции 100 м - 10 м/с; остальные скорости 7,14 м/с; 6,22 м/с; 6,09 м/с; 5,56 м/с; 2) 0,675 ч. 786. Примерно 4 года. 787. 1) Три носка; 2) девять носков; 3) семь носков.
789.1) 7; 2)8; 3)5; 4)11; 5)1200; 6)7800. 790. 1) а) 1,6; 6)8;
в) 1,2; г) 6,3. 791. 1)0,87; 2)2,17; 3)243: 4)930; 5)6,25; 6)25.
792.1) Разряда тысячных; 2) а) 8,33; 6)13,85; в) 1,19; г) 0,01;
д)0,09; е)8,6. 793. ЛЕЙБНИЦ. 794. 1)24,3; 2)0,31; 3)5,49; 4)0,1;
5) 0,25; 6)0,1. 795.1)6)0,01; в) 0,01; д) 100; ж) 1; з)0; 2) а) 164;
г) 12,9; е)50. 796. 1)6; 2) 167. 797. 1)2 и 3; 2)8. 798. 1)Иет. Значение левой части равенства 60. 2) Верно, 799. Нет 1) и 2).
800.1) 13,9; 2)8,8. 801. l)9g; 2)0,625; 3)2,24; 4)5^; 5)2^;
6) 5^ . 802. 1) I; 2) ^ ; 3) 3; 4) 0,5; 5) 5,12; 6) 5о|. 803.1) |; 2) 4,2.
804. 1)9,9 м; 2)31,08 л; 3) 137,5 км; 4) 750 км; в 8 раз меньше.
805. 1) 276 кг; 2) капустой 7,5 га, картофелем 16,5 га. 808,2) «Какая дорога ведёт в твой город?*
809.1), 3) и 4) верно; 2) неверно, так как 1% от 1 кг равен 10 г.
810.1) 3 г; 2) 2500 м^; 3) 10 000 р.; 4) 9200 человек. 811.1) 0,1 от 34;
2)0,2 от 224; 3) 0,2 от 56; 4) | *49. 812. 1) 50%; 2) 25%.
813.1) а)50%; 6)30%; в)75%; 2)а)10м2; б) 300 м2; в) 200 м2.
814.1) 4,35; 2)2,22; 3)6,25; 4)112; 5)12,3; 6)0,132; 7)121; 8)111;
9)0,4. 815. 2) а) а; б) 0,5а; в) 0,25а. 816. 4) а) б)^; в) ^ ;
г)^. 818, 1) а) 180; 6)450; в) 108; 2) а) 31,5; 6)147; в) 1050.
308
821.1) а) 40%; б) 250%: в) 150%; г) 87,5%: 2) а) на 60%; б) ва 150%;
в) на 50%; г) на 12,5%. 822.1) На 100%: 2) на 90%: 3) на 75%; 4) на 700%: 5) на 900%; 6) на 50%. 823. 15%. 824. 1) На 275 р. Решение. В этой задаче за 100% принимается внесённая сумма, т. с. 2500 р.; 1% - 25 р.; 11% — 275 р. 2) 5100 р. Решение. За 100% принимается исходная сумма, тогда 11% — 561 р.; 1% — 51р.; 100% — 5100р. 3)8%. Решение. За 100% принимается внесённая сумма, т. е. 3200 р.; 1% — 32 р.; 256 : 32 = 8(%).
825.1) 20 учеников; 2)30 учеников; 3)65%; 4)100 пятиклассников; 5)500 учеников. 826.1) 12 девочек; 2)60 пятиклассников.
827.1) 200 страниц; 2) 42 страницы; 3) 75%. 828. 1) 10 000 р.; 2) на 20 млн р. 829. 20%; усушка на 80%. 830. 1,32 кг. 831,1) а) 2600 р.;
б) 19 500 р.; в) 65 000 р.; г) 130 000 р.; 2) а) 3075 р.; б) 6888 р.;
в) 12 300 р. 832.1) 200 страниц; 2) 2 страницы; 3) 66 страниц; 4) 64 страницы; 5) 130 страниц; 6) 70 страниц. 833. 1) Массу всех завезённых апельсинов; 2) 86%; 3) 14%; 4) 2 кг; 5) 104 кг; 6) 68 кг. 834. 50 марок. 835. 200 г. Р е ш е н и е. Миндаля — 12,5%, масла — 12,5%, сахара— 25% и муки— 50%. Муки и сахара требуется 75%, значит, 75% — 1200 г; 1% — 16 г; 12,5% — 200 г. 836. 72 кг цемента, 54кг песка и 54кг мелкого камня. Решение. 100% — 180кг; 1% — 1,8 кг; 40% — 72 кг, 30% — 54 кг, 100% - 40% - 30% - 30%. 837.1215 кг муки и 30 кг манной крупы. 1)* 1,2 кг пшеницы; 2) 30 кг пшеницы. Решение. Принимая за 100% количество
требуемою зерна, получим: 1)81% — 1 кг, 1% — ~ кг, 100% —
О 1
кг и 1,2 кг; 2)2% — 1кг, 1% — 0,5 кг, 100% — 50 кг,
о1
838. 43%. 839.1) 16%; 2) 84,6%. 841. 7. 842.18 учеников.
844.1)16; 2)67; 3)12; 4)240; 5)1,7; 6)1,6. 845.1) 7,12; 2)1,19; 3) 337,00; 4) 52,65. 846.1) Числа равны; 2) среднее арифметическое первых т|)ёх чисел больше. 849. а) Л/(4,86); tf)B(4,71);
а h + с
3
; 4) о — 2,5.
в)А(6,24); г)м(^2-^]. 850. 2) а: 3)
851. 1) 55 см; 2) примерно 740 м. 853.1) Девочек 14, мальчиков 12,
309
а всего учеников в классе 26; 2) у мальчиков средний рост больше. 854.1.44 м. 857. 1) 3,17. 2) Ученику нужно получить 5 пятерок. Р е-шение. (2-рЗ + 4 + 3 + 2 + 5 + 5х): (6 + д:) - 4, 19 f 5х = 4 • (6 + д:), 19 + 5д: = 24 + 4д;, д: * 5. 3) За три урока ученик может полу'шть три пятёрки, тогда срсдпсс арифметическое его оценок будет равно
7
(19 + 5 • 3): (6 + 3) = 3g *5 4. Таким образом, ученик успеет исправить
V
четвертную оценку. 858. 126 слов в минуту. 860.1) 4,8 км/ч; 2) скоростью лодки в стоячей воде; 3) на 4%. 861. 1) = 63 км/ч; 2) пет, среднее арифметическое скоростей примерно 45,3 км/ч. 862. Нет, так как 6,35 • 35 * 222,25. Сумма натуральных чисел не может быть дробным числом. 863. 429. 864.1) Маме 31 год; 2) пятеро детей.
Глава 6. Повторение
•—ЕВ—I________
865. АРИФМЕТИКА. 866.1) 152, 211, 644; 2) СИВ, ТИБ, ХЛД. 867. 1) а) 4 и 6; б) IV и VI; 2) а) 9 и 11; б) IX и XI; 3) а) 49 и 51; б) ХЫХ и U; 4) а) 99 и 101; б) XCIX и CI; 5) а) 499 и 501; б) CDLXLIX и DI; 6) а) 999 и 1001; б) Ш и MI. 869. 1) I, II, III, IX, X, XI, XII, XIII, XIX, XX, XXI, XXII, ХХШ, XXIX, XXX, XXXI, XXXII, XXXIII; 2) С, СС, ССС, CD, D, DC, DCC, DCCC. 870. 1)7, 19, 47. 1666, 2819. 872.32 числа. 873. 1) Одно; 2) три; 3) шесть. 875. До разряда
1) сотен; 2) сотен тысяч; 3) миллионов; 4) сотен; 5) тысяч. 878. 1) 0; 1;
2) 0; 1; 3) например, 0,1. 879. 1)0; 2) 5. 881. б) 5 < 50 < 55; д) 9000 < < с < 10 000; е) 10 100 < d < 11 000. 884. 2) /; 3) п. 887. 2) 2; 3) 1. 888. 2)4. 891.3)531; 4)4654. 893. 1)6600; 2)24. 895. а) Существует, периметр равен 16 м; в) существует, периметр равен 220 м; г) не существует. 896. 1) 2^ - 32; 3) 4^ - 64; 6) 10*^ - 1 000 000. 897. 1) 125; 2)82; 3)137; 4)105; 5)75; 6)13. 898.1)Нет; 2)да. 900.1)60ом. 901.32см, 216 ступней. 902.25р. Решение. 1 + 3 + 9 + 27 =
“ 40 (частей). 1000 : 40 " 25 (р.). 903. I) 405 км; 5о| км/ч; 2) 265 км;
о
37^ км/ч. 904.1) 15 км/ч; 19 км/ч; 2) 40 км/ч; 37 км/ч. 905, 7 км/ч.
Решение. Скорость лодки по течению реки равна 24 : 3 — 8 (км/ч), а её скорость про'гив течения равна 24 : 4 = 0 (км/ч). Скорость течения реки (8 - 6): 2 = 1 (км/ч), а значит, собственная скорость лодки равна 7 км/ч, т, е. среднему арифметическому скорости лодки по течению и против течения. 909. 1) к; 2) Ьс; 4) (а ~ Л): Ь. 910. 1) 13 ; 4 -= 3 (ост. 1): 2) 18 : 5 = 3 (ост. 3); 3) 61 : 18 = 3 (ост. 7); 4) 1332 : 13 = - 102 (ост. 6); 5) 1955 : 15 - 130 (ост. 5); 6) 2301 : 201 = 11 (ост. 90). 911. 1) 734; 2)3007; 3) 142; 4) 10. 912. 1) 1; 2)0 или 2; 3)0. 913. 1), 2), 3), 4) и 6) при нуле; 5) при любом значении. 914.1)127; 2) 194 400: 3) 126. 915. 1)409; 2)99; 3)64; 4)25. 916. Периметр и площадь выражаются одпим и тем же числом. 917. 213 и 319 холодильников.
311
919 П — ’4^— 920 021 11—*
919. 1) , 4) 3) jg, 4) 99* 3^0. Х5'9*7»5»4’8‘ 90’
2)|: 3)2|; 4)4П. 927. 1)5; 2) |; 3).зИ; 4)2|?. 928.1)^;
2)20. 929.1)40 орехов; 2)90 грибов. 930. 1) а) б) ; в) Ц;
^>1^’^>«)|5^б)|;в)^;г)^.931.0тду76лет.Решение.
X + \х + 7^+1 = 134, 7^ = 133, X = 76. 932.36 учеников. 2 4 4
933. 28 учеников. Решение. Пусть х — количество учеников у Пифагора, тогда -д: (уч.) изучают математику, jX (уч.) исследуют
тайны природы, ^х (уч.) упражняют силу духа. Зная, что если мы
всё сложим и добавим ещё трёх учеников, то получим число всех учеников Пифагора, составим уравнение: jc — ^ jc > f + 3. Умножим уравнение на 28, полу»1им 28д: * 14дг + 7х + 4д: + 84, Зд: = 84,
2
X — 28. 934. 180 овец. Решение. Если 1 — вся отара, тогда 1 - ^ “
— 5 (ч.) отары пьёт воду. 60 овец составляют ^ всей отары, значит, 3 3
вся отара в 3 раза больше и составляет: 60*3= 180 (ов.). 935. 1) За
12 дней; 2) за 15 мин. 936. 1) 70 страниц; 2) 108 деталей.
937.3)5-102 + 6 ^ 2 ^ 3 .938.1)55.66; 2) 1,72; 3)509,942.
10^ 10®
939.1) 1,225; 2)3,4. 941. Скорость Уабба l|| км/ч » 1,5 км/ч, ско-
11 в 7
рость Эдерли км/ч « 2,3 км/ч, скорость Дипа 4^g км/ч «
312
=== 4,3 км/ч. 942.1) 0,57 < | < 0,58; 2) 23,45 < 23,451 < 23,46; 3) 3,69 <
< ^ < 3,70; 4) 2,88 < < 2,89; 5) 5,37 < 5,(37) < 5,38; 6) 12,21 <
< 12,2(181) < 12,22. 943, 1)4||; 2)2,42; 3)б|; 4) 1,3. 946.3) 1.8;
4) а) 3,2: 6)0: в) 2,05. 947. 1) а) 0,(5); б) 0,(7); в) 0,(17); г) 0,(29);
2)а)|: б)|; в) У: г)^. 948.1)9331,8; 2)6,112. 949. 1)2,1;
2)8,25; 3)0.72. 950.1)6,5: 2)7.1; 3)1,02; 4) 1,6. 951.1565 г. 952.129,06 м^. 953. 1)67,2 CM=J, 111,88 см^ 54 см; 2) 0,144 м^,
2,112 м2, 8,56 м. 954. 790 см2. 955. 0.44 м^. 958.1)2 250 000 квадратных аршин; 2) 1296 квадратных дюймов; 3) 2,59 км^. 959. 48 000 жителей. 960. 30 кг воды, 7 кг белков, 5 кг жиров, 0,5 кг углеводов, 7,5кг других веществ. 961.1030р. 962.120 лет. 963.25%, 50%.
964. Дуб живёт 1000 лет, сосна — 400 лет, а груша — 300 лет.
965. 15 мальчиков. Решение. 100% — это число девочек. Тогда, 175% — 35. 1% — 0,2, 7.5% — 15. 966.17,5%. Решение. Масса раствора 200 г - 100%, 1% — 2 г, 35 : 2 = 17,5 (%). 967. 9120 тетрадей. 968.125 порций. 969. 1) Уменьшится на 50%; 2) увеличится на 50%; 3) увеличится на 300%. 970. 12,6 кислорода. 971. Возраст брусники равен возрасту черники. 972. 1) 2,8 кг; 2) примерно 21,5 кг. 973. Во втором магазине. 974. 68 тыс. жителей. 975.1) 270 кг; 2) на 122,2%.
Список дополнительной литературы
Александрова II. В. История математических терминов, понятий, обозначений. Словарь-справочник. — М.: ЛКИ, 2008.
Аменицкий Н. Н.» Сахаров И. П. Забавная арифметика. — М.; Просвещение, 2008.
Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1—5 классы. — М.: Высшая школа, 2002.
Баврии И. И.. Фрибус Е. А. Занимательные задачи по математике. — М.: Владос, 2002.
Балаян Э. И. Готовимся к олимпиадам по математике.
5—11 классы. — М.: Дрофа, 2002.
Вероятность и статистика. 5—9 классы. Практикум. (CD-ROM). — М.: Дрофа, 2002.
Гарднер М. Л>п:1шие математические игры и головоломки. — М-: ACT, 2009.
Гарднер М. Новые математические развлечения. — М.: ACT, 2009.
Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. — М.: Терра-Книжный клуб, 2008.
Коликов А. Ф.. Коликов А. В. Изобретательность в вычислениях. — М.: Дрофа, 2008.
314
Кордемский Б. А. Математические яавлекалки. — М.: Оыикс.
2005.
Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел. — М.: Просвещение, 2008.
Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы. — М.: Дрофа, 2009.
Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка: пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1984.
Нестеренко Ю. В., Олехник С. //., Потапов М. К. Задачи на смекалку. — М.: Дрофа, 2006.
Олехник С. Н.. Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. Старинные занимательные задачи. — М.: Дрофа, 2006. — (Познавательно! Занимательно!).
Перельман Я. И. Загадки и диковинки в мире чисел. — М.: Астрель, ACT, 2009.
Перельман Я. И. Математика в занимательных рассказах. — М,: ACT, Астрель, 2009.
Савин А. //. Я познаю мир. Математика. — М.: ACT, 2008.
Смалиан Р. Алиса в Стране Головоломок. — М.: Просвещение,
2008.
Фарков А. В. Математические олимпиады. — М.: Экзамен, 2009.
Худодатова Л. М. Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. 5 класс. — М.: Школьная Пресса. 2002.
Чулков П. В. Математика: Школьные олимпиады. 5—6 классы. — М.: НЦ ЭКАС, 2007.
Шарыгин И. Ф., Ерганжиева J7. Н. Наглядная геометрия. 5—6 классы. — М.: Дро(|)а, 2009.
Шевкин А. В. Школьная олимпиада по математике. Задачи и решения. — М.: Илекса, 2008.
315
Кроме того, можно найти интересные книги и журналы в Интернете на сайтах:
https://www.turgor.ru/ — международный математический турнир городов
https://math.rusolymp.ru/ — Всероссийская олимпиада школьников по мач'ематике
https://www.kenguru.8p.ru/ — Российская страница международного математического конкурса «Кенгуру»
https://files.schooI-collection,edu.ru/dlrstore/3e72b9al-2e8f-4371-9c9e-f688640fe66e/index.html — электронный справочник
https://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/157c6fl6-90f7-2019-4cd6-428a9c3b3346/ — история математики
https://free-math.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/ olimpiadnye_zadachi/shkolnaja_olimpiada_5_klass/8-1-0-27 — олимпиады для 5 класса
https://free-math.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/ planemetrija/25 — ааннматсльиси! математика
Предметный указатель
Ар 82
Арифметика 32, 260 Биссектриса угла 62 Вертикальные углы 62 Взаимно обратные дроби 187 Возведение в степень 81 Выражение буквенное 98, 101
— числовое 68
Высота треугольника 140 Вычитание 68
— десятичных дробей 214
— обыкновенных дробей 171
— смешанных чисел 172 Гектар 82 Геометрия 32 Геометрические тела 88 Гипотенуза 64
Градус 54
Деление десятичных дробей 227,242
— обыкновенных дробей 187,
188
— смешанных чисел 189
— с остатком 152 Дельтоид 142 Диагональ 49 Диаметр 36 Доли 120
Дробная часть 150, 152 Дробь 122
— десятичная 199, 279 периодическая 232
~ неправильная 124
— обыкновенная 199, 277
— правильная 124
— сок1)атимая 160 Дюйм 283 Единицы длины 22
— массы 23
— объёма 95
— площади 82
Закон переместительный 99
— сочетательный 99
— распределительный 99 Значение числового выражения 68
— буквенного выражения 68 Катет 64
Квадриллион 9 Квинтиллион 9 Контрпример 18 Координата точки луча 26 Координатный луч 26 Корень уравнения 114 Круглые числа 19 Куб 89
Курвиметр 24 Ломаная 33 Математика 6
Метрическая система мер 283 Миля 283 Многогранник 88 Многоугольник 41 Натуральное число 6, 260
317
Неравенство 14
— двойное 18
— строгое 19
— нестрогое 19
— треугольника 43 Нумерация 8
— арабская 8, 263
— римская 262
— славянская 261
Объём прямоугольного параллелепипеда 93
Округление десятичной дроби 238
— натурального числа 264 Окружность 35 Основание треугольника 140 Основное свойство дроби 158 Параллелограмм 38 Периметр 43
Пирамида 91
— треугольная 88 Площадь 78
— прямоугольника 79
— квадрата 80
— треугольника 140 Приближение с избытком 236
— с недостатком 236 Приближённое значение 235 Процент 247, 285 Прямоугольный параллелепипед 88
Прямые параллельные 37
— перпендикулярные 40 Равенство 14
Радиус 36 Развёртка 90 Разрядные слагаемые 11 Расстояние между точками 34, 216
Решить уравнение 114 Ромб 143 Секстиллион 9 Смежные углы 59 Смешанное число 150 Степень 79
Среднее арифметическое 254 Сфера 88
Теорема Пифагора 145 Тонна 22,23 Точность измерения 25 Транспортир 54 Треугольник остроугольный 42
— прямоугольный 42
— равнобедренный 65
— равносторонний 65
— разносторонний 65
— тупоугольный 42 Триллион 9
Угол 39
— острый 58
— прямой 58
— развёрнутый 58
— тупой 58 Уравнение 114, 272 Формула 109
— периметра 110
— пути 109
— площади прямоугольника
ПО
— работы 111
— объёма параллелепипеда 111 Фут 283
Хорда 36
Целая часть дроби 150, 152
Цена деления 24
Центнер 22, 23
Цифра 8
Шар 88
Ярд 283
- 318
Темы проектов
1. Системы счисления.
2. Числа вокруг нас.
3. История развития единиц на Руси и в других странах.
4. История появления денег.
5. История появления обыкновенных дробей.
6. Геометрические головоломки (♦Пифагор», ♦Колумбово яйцо», ♦Танграм» и др.).
7. Оптические иллюзии (иллюзии параллельности, равенства и др.).
8. История появления десятичных дробей.
9. Процентные расчёты.
Учебное издание
Муравин Георгий Константинович Муравина Ольга Викторовна
МАТЕМАТИКА
5 класс
Учебник
Зав. редакцией О. В. Муравина Редактор Т.С.Зельдман
Художественные редакторы А. В. Пряхин, А. А. Шувалова Художественное оформление А. В. Копалин Технический редактор И. В. Грибкова Компьютерная верстка Т.Н. Рыбина Корректор Г. И. Мосякина
Всоотяетгтпимс Фплгрй.1М(«.1я аякопом от 29.12.2010 г. № 456*<1*Я ЗНАК пкформяакояноА продукшт на лаяяоя издаяяс не ставятся
Ортификят соответствия РОСС RU. ЛЕ51. И 16508.
Подаисано к печати 14.10.13. Формат 70 х 90 Вунштюфсетнаи. Гарыатура «Школьная*. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 23.3. Тираж 4000 эка. Заказ >1^ 13*02549.
ООО «ДРОФА*. 127016. Москва. Сущевский вал. 49. Пре.гпожения н замечания по солержанкю и оформ.тенню книги просим направлять в рсдакишо общею образоваиим издательства «Дрофа*: 127018. Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail; chl«f@ „„2
км‘ ^га 1—^ а (—» ^^ дм^ ^^ см* ( ^ мм
:100 :100 :100 :100 :100 :100
объёма
,•1 000 000 000 »-1ооо S-1000 0*1229
^ -—» дм® ~—» см® (—» 8
: 1 000 000 000 :1000 :1000
км
мм‘
Схемы и формулы для решения задач на совмеаное движение двух объектов
Встречное движение
О Движение с отставанием
Уо
е Движение в противоположных направлениях
Движение вдогонку