Учебник Математика 5 класс Латотин Чеботаревский часть 2

Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 5 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения В 2 частях Часть 2 Допущено Министерством образования Республики Беларусь Минск «Адукацыя i выхаванне» 2013 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 Л27 Перевод с белорусского языка Л. В. Латотиной Рецензент: старший преподаватель кафедры естественно-научных дисциплин и информационных технологий государственного учреждения образования «Минский областной институт развития образования» В. В. Казаков Латотин, Л. А. Л27 Математика : учеб. пособие для 5-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 2 / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский; пер. с белорус. яз. Л. В. Латотиной. — Минск : Аду-кацыя и выхаванне, 2013. — 192 с. : ил. ISBN 978-985-471-579-7. УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 ISBN 978-985-471-579-7 (ч. 2) © Латотин Л. А., ISBN 978-985-471-578-0 Чеб°таревский Б. Д., 2001 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2013, с изменениями © Латотина Л. В., перевод на русский язык, 2013 © Оформление. РУП «Издательство “Адукацыя i выхаванне”», 2013 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Дорогие девочки и мальчики! В первой части вы изучали натуральные числа, научились называть их на обычном языке и языке десятичной системы счисления, выполнять над ними четыре арифметических действия — сложение, вычитание, умножение и деление. В этой части учебного пособия вы будете изучать новые — дробные — числа. Вы научитесь называть и записывать такие числа, выполнять над ними арифметические действия. Дроби используются человечеством уже более четырёх тысячелетий. Они вместе с натуральными числами позволяют решать новые классы задач, возникающих в тех или иных жизненных ситуациях. Каждый из трёх разделов этой части состоит из отдельных параграфов. Параграф начинается с обсуждения вопроса, обозначенного в названии. Чтобы вы могли проверить себя, после объяснительного текста приводятся контрольные вопросы. Они отмечены знаком 9. Если вы не можете ответить на какой-либо вопрос, поищите ответ на него с помощью объяснительного текста. Задачи, идущие после контрольных вопросов, разделены на три группы. Задачи из первой группы — это в основном тренировочные упражнения на обсуждаемую в соответствующем параграфе тему. Во второй группе помещены разнообразные задания, при выполнении которых нужно при- 3 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" менять то, чему вы уже научились. Здесь помещено много текстовых задач. К некоторым из них даются пояснения о том, как их решать, и показывается, как можно оформить записи при их решении в тетради. При решении текстовых задач полезно обратиться к рисункам и схемам. Они помогут сделать условие задачи наглядным и подскажут путь к получению ответов на поставленные вопросы. Задачи третьей группы чаще всего являются творческими. Они не требуют дополнительных знаний — успех здесь сопутствует тем, кто не побоится «провести разведку боем». В некоторых задачах вы найдёте интересные сведения из истории, географии, биологии. Благодаря таким задачам вы научитесь применять математику в различных жизненных ситуациях. Возможно, это подтолкнёт вас обратиться к другим книгам, чтобы расширить свои знания о том, с чем вы встретились в задаче. Желаем вам успехов! Авторы Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 4 раздел Натуральные числа: делимость 17. Простые и составные числа Будем делить число 481 на число 13 и на число 14 (рис. 176). Видим, что число 481 разделилось на 13 до конца и получилось частное 37, при другом делении после второго шага деления осталось число 5. Дальнейшее деление невозможно, так как 5 оставшихся единиц меньше делителя 14. Число 5 называют остатком от деления числа 481 на число 14. Числа 481 и 14, как и раньше, называют делимым и делителем соответственно, а число 34 — неполным частным. Если при делении получается ненулевой остаток, говорят о делении с остатком, если нулевой — о делении без остатка, или делении нацело. Разделив число 481 на 14, мы нашли, что в числе 481 содержится 34 раза по 14 и ещё 5. Значит, 481 = 14 • 34 + 5. Результат деления можно записать и так: 481 : 14 = 34 (ост. 5). Рис. 176 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 5 При делении с остатком остаток меньше делителя, а делимое равно произведению делителя и частного, увеличенному на остаток. Разделить с остатком натуральное число a на натуральное число b означает найти таких два числа q и r, что a = bq + r, причём r < b (рис. 177). Рис. 177 73 : 17 = 4 (ост. 5) — И 73 = 17* 4 + 5 —И и5<17 —И 325 : 25 = 12 (ост. 25) —Л 325 = 25 • 12 + 25 —И, но 25 < 25 — Л Число 56 делится на 7 без остатка, так как 56 = 7 • 8. Вместо «число 56 делится на 7 без остатка» говорят короче: «число 56 делится на 7», или «число 56 кратно 7», или «число 7 есть делитель числа 56» (рис. 178). Не нужно путать высказывание «a делится на b» и задание «a разделить на b». Например, высказывание «42 делится на 5» вы оцените как ложное, а если потребуют «42 разделить на 5», вы назовёте неполное частное 8 и остаток 2. Высказывание «42 делится на 6» вы оцените как истинное, Рис. 178 6 Утверждения Число а делится на число Ъ. Число а кратно числу Ь. Число Ъ — делитель числа а означают одно и то же Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1 2 6 12 1. |1| |1,2| |1,3| |1,2,4| |1,5| |1,2,3,6| |1,7| | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | Рис. 179 а выполняя задание «42 разделить на 6», вы назовёте частное 7. У натуральных чисел может быть разное количество делителей (рис. 179). Число 36 имеет 9 делителей — числа 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Можно назвать число с любым количеством делителей. Привлекают к себе внимание числа, которые делятся только на число 1 и на себя, т. е. имеют только два делителя. Это числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и другие. Натуральное число, которое имеет точно два различных делителя, называют простым. Натуральное число, имеющее больше двух различных делителей, называют составным. Числа 2, 3, 5, 7 — простые. Число 15 составное, так как оно делится не только на 1 и 15, но и на 3. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам, так как оно имеет только один делитель. Число 2 — единственное чётное простое число. Все остальные чётные числа составные, так как для любого такого числа можно указать три различных делителя: 1, 2 и само это число. Значит, все чётные числа, большие 2, — составные. Выяснить для большого числа, простое оно или составное, не так легко. Например, число 26 573 — простое, но чтобы убедиться в этом, нужно проверить, что оно не делится ни на одно меньшее число. 7 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 180 Чтобы не терять напрасно время на эту однообразную работу, пользуются рядом простых чисел, в котором простые числа, начиная с числа 2, записаны по возрастанию. Первых 549 простых чисел приведены в таблице, помещённой в конце учебного пособия. Таблица простых чисел позволяет легко установить, простое данное число или составное: нужно только посмотреть, помещено ли это число в таблицу. Например, число 3331 есть в таблице, значит, оно простое. А вот числа 3017 в таблице нет: после простого числа 3011 сразу идёт число 3019. Значит, число 3017 составное. А что делать, если проверяемое число выходит за пределы данной таблицы простых чисел? Здесь может помочь ЭВМ. Древнегреческий математик Евклид (рис. 180) доказал, что простых чисел бесконечно много, а значит, наибольшего простого числа не существует. Какое бы большое простое число мы ни взяли, можно будет назвать ещё большее простое число. Q 1. Что означает требование Разделите с остатком на-• туральное число a на натуральное число b? 2. Как называют при делении с остатком компоненты и результат деления? 3. Может ли остаток быть больше делителя; равным делителю? 4. Как проверить правильность выполнения деления с остатком? 5. Как можно переформулировать утверждение Число a делится на число b? 6. Чем отличается утверждение Число a делится на число b от задания Число a разделить на число b? Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 8 7. Какое натуральное число называют простым и какое составным? 8. Что такое ряд простых чисел и каким числом он начинается? 9. Какое свойство ряда простых чисел установил Евклид? 455. Результат деления поровну 20 конфет (рис. 181, а) между тремя детьми показан на рисунке 181, б. Отразите это двумя видами записи. б Рис. 181 456. В классе 32 ученика. Они выстроились в шеренги по 7 человек. Определите, сколько получилось полных шеренг и сколько человек в неполной шеренге. 457. Проверьте, правильно ли выполнено деление с остатком. Назовите делимое, делитель, неполное частное, остаток: а) 3125 = 56 • 55 + 45; б) 2466 = 78 • 31 + 48; в) 36 071 = 36 • 998 + 143; г) 15 700 = 39 • 393 + 373; д) 98 613 = 231 • 425 + 430; 225 + 150; 351 + 400; 780 + 780. 9 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" е) 159 000 = 706 ж) 72 004 = 204 з) 602 160 = 771 458. Найдите недостающие числа в столбцах таблицы: Делимое 5327 400 708 9499 5600 Делитель 219 59 2007 678 7809 Частное 207 74 773 Остаток 41 27 0 а) б) в) г) д) е) 459. Разделите с остатком: а) 37 : 5; б) 59 : 7; в) 97 : 7; г) 317:13; д) 101 : 11; е) 1999 : 41; ж) 5171: 97; з) 5437:101; 460. Найдите такие значения переменных, при которых истинно утверждение: и) 69 941 : 349; к) 36 877 : 617; л) 138 647 : 487; м) 173 629:859. а) 42 : 10 б) x : 12 = в) 110 : 16 г) 456 : у д) 2 : 111 a (ост. b); 5 (ост. 11); = m (ост. n); 9 (ост. 6); 9 (ост. 0); r (ост. s); 18 (ост. 16); 7 (ост. и - 2); v (ост. v + 4). 461. а) Делимое равно 2525, делитель — 20. Найдите неполное частное и остаток. б) Делимое равно 2525, неполное частное — 126. Найдите делитель и остаток. в) При делении числа 2236 на некоторое число получили остаток 66. Назовите возможные дели-10 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" е) 0 : ж) c : з) 30 и) 88 789 = 42 = u = : 13 тели и соответствующие им неполные частные. Сколько решений имеет задача? г) При делении некоторого числа на 5 получили неполное частное 31. Назовите возможные остатки и соответствующие им делимые. д) При делении некоторого числа на 7 получили остаток 3. Приведите примеры возможных неполных частных и соответствующих им делимых. Сколько решений имеет задача? е) При делении некоторого числа на другое число получили неполное частное 31 и остаток 30. Приведите примеры делителей и соответствующих им делимых. Сколько решений имеет задача? 462. Из куска ткани длиной 50 м и шириной 1 м 40 см шьют одинаковые костюмы, на каждый из которых расходуется 2 м 90 см. Сколько будет сшито костюмов и какой кусок ткани останется? Какова площадь куска ткани, расходуемой на один костюм? 463. Выполните деление с остатком и ответ запишите равенством a = bq + r: а) 2004 на 100; г) 36 587 на 83; б) 22 504 на 12; д) 3 105 009 на 901; в) 7989 на 98; е) 8 530 412 на 321. 464. Определите: а) сколько понедельников может быть на протяжении года; б) сколько понедельников в текущем году; сколько пятниц; в) какой день недели в текущем году встретится 53 раза. 465. Учитывая, что 1 июня 2019 года — суббота, определите, каким днём недели будет: 11 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а) 8 июня; б) 10 июня; в) 16 июня; г) 21 июня; д) 27 июня; е) 30 июня; ж) 2 июля; з) 31 июля. 466. Докажите без использования таблицы простых чисел, что число составное (рис. 182): а) 33; б) 54; в) 93; г) 315; д) 377; е) 1020. Рис. 182 273:3 = 91 Число 273 делится на 3. Число 273 — составное. 467. Докажите без использования таблицы простых чисел, что число простое (рис. 183): а) 3; б) 13; в) 23; г) 31. 468. Доказано, что если число составное, то у него есть простой делитель, квадрат которого не превосходит это число. Если же такого делителя нет, то это число простое. Выясните, пользуясь этим, простое или составное число (рис. 184): а) 19; в) 97; д) 229; ж) 217; б) 57; г) 147; е) 243; з) 219. Рис. 183 12 11:2 = 5(ост. 1) 11 : 3 = 3(ост. 2) 11 : 5 = 2(ост. 1) Число 11 — простое. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 184 113:2 = 56 (ост. 1) 113: 3 = 37 (ост. 1) 113:5 = 22 (ост. 3) 113: 7 = 16 (ост. 1) 11^=121; 121 >113 Число 113 — простое. Например, для числа 17 нужно убедиться, что это число не делится ни на 2, ни на 3. Делимость на 5 проверять уже не нужно, так как 52 = 25, а это больше 17. 469. Используя таблицу простых чисел, установите, простое или составное число: а) 129; в) 1049; д) 1947; б) 163; г) 1937; е) 2841. 470. Из чисел 1, 2, 5, 9, 21, 35, 39, 41, 45, 49 выберите: а) простые числа; б) составные числа. 471. Определите, в каком промежутке простых чисел больше и на сколько: а) от 100 до 200 или от 200 до 300; б) от 400 до 500 или от 1400 до 1500. 472. Используя таблицу простых чисел, найдите: а) 3 последовательных составных числа; б) 5 последовательных составных чисел. 473. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны есть простое число? 13 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 474. Составное число можно представить произведением двух других чисел, не равных 1, например, 18 = 2 • 9. Проверьте, что данное число составное, и представьте его произведением двух чисел: а) 21; в) 450; д) 441; б) 32; г) 125; е) 133. 475. а) Картофель рассыпали в пакеты по 5 кг и 3 кг. Получилось 24 пакета. При этом масса всех пятикилограммовых пакетов такая же, как и всех трёхкилограммовых. Найдите количество тех и других пакетов. Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 1). Обратим внимание на то, что масса пяти пакетов по 3 кг равна 3 кг • 5, т. е. 15 кг. Такую же массу имеют и три пакета по 5 кг, так как 5 кг • 3 = 15 кг. Вместе эти количества составляют 5 + 3, т. е. 8 пакетов. А по условию всего пакетов 24, т. е. в 24 : 8, или в 3 раза больше. Значит, пакетов по 3 кг имеется 5 • 3, т. е. 15, а пакетов по 5 кг — 3 • 3, т. е. 9. б) Картофель рассыпали в 18 меньших и 12 больших пакетов так, что масса всех меньших пакетов такая же, как и всех больших. Найдите массу большего и массу меньшего пакета, учитывая, что вместе эти массы составляют 10 кг. 476. а) С первого поля, площадь которого равна 70 га, собрали такой же урожай, как и со второго поля, площадь которого составляет 72 га. Найдите урожайности первого и второго полей, учитывая, что они вместе составляют 71 ц/га. б) Урожайность первого поля составила 45 ц/га, а урожайность второго — 35 ц/га. Найди-14 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" те площадь первого и площадь второго полей, учитывая, что вместе эти площади составляют 144 га и то, что с обоих полей собрали одинаковые урожаи. 477. От Мяделя до Молодечно через Вилейку 67 км, причём путь от Мяделя до Вилейки на 23 км длиннее пути от Вилейки до Молодечно. Найдите пути от Вилейки до Мяделя и до Молодечно. 478. Вычислите: а) 23 040 + 197 • 451:41 - 2208; б) 191 • 67 + 16 999 : 89 - 7999; в) 139 049 : 211 • 73 + 1893 - 49 957; г) 6782 • (2034 : 678) - 2030 • 678. 479. Решите уравнение: а) 976x + 4332 = 34 588; б) 709 • (z - 4909) = 22 542 655; в) 4 897 651 - (v - 987 652) = 4 860 607; г) (567 897 - t) • 6001 - 311 619 928 = 0. 480. В полдень от пристани отплыл теплоход. Через 3 ч от той же пристани вслед за теплоходом отплыл катер. Когда катер догонит теплоход, если его скорость равна 55 км/ч, а скорость теплохода — 25 км/ч? На каком расстоянии от пристани будут они в этот момент? 481. По плану 18 рабочих должны выполнить работу за 45 дней. Сколько понадобится рабочих, чтобы выполнить эту работу за 30 дней? 482. В школе 1315 учеников, а классов 41. Найдётся ли такой класс, в котором не менее 33 учеников? 15 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 483. Из 3 кг ржаной муки получается 4 кг хлеба. Сколько килограммов хлеба будет выпечено из 120 кг муки? Сколько муки понадобится для выпечки 220 кг хлеба? 484. Металлический прут длиной 3 м 50 см весит 8 кг 750 г. От него нужно отрезать кусок массой 2 кг. Какой длины должна быть отрезанная часть? 485. Из 100 кг пшеницы получается 95 кг пшеничных хлопьев. Сколько пшеницы было использовано для получения 2850 кг хлопьев? 486. Объём комнаты 72 м3. Учитывая, что длина комнаты равна 6 м, а высота в 2 раза меньше длины, найдите неизвестные измерения комнаты. 487. Нарочь, Уша, Ошмянка — притоки Ви-лии. Нарочь и Уша имеют одинаковые длины, а длины Ошмянки и Уши состоят из 7 и 5 долей соответственно. Найдите длины этих рек, учитывая, что Нарочь короче Ошмянки на 30 км. 488. Мястро и Баторино — озёра Нарочанской группы озёр. Их суммарная площадь составляет 1935 га. Найдите площадь каждого озера, учитывая, что площадь Мястро на 685 га больше. 489. Озеро Нарочь занимает площадь на 160 га больше увеличенной в 40 раз площади озера Бледное. Найдите площади каждого из этих озёр, если вместе они занимают 8155 га. 490. При посеве гречихи на площади 200 га и пшеницы на площади 240 га было израсходовано вместе 64 т 600 кг семян. Определите нормы высева гречихи и пшеницы, учитывая, что норма высева гречихи в 2 раза меньше. 16 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 491. При посеве овса с нормой высева 195 кг/га и ячменя с нормой высева 180 кг/га было израсходовано вместе 30 т 870 кг семян. Определите площади, на которых посеяли овёс и ячмень, учитывая, что для овса она в 3 раза меньше. 492. Есть два прямоугольных параллелепипеда с одинаковыми основаниями и высотами, равными 10 см и 7 см (рис. 185). Найдите площади оснований параллелепипедов и их объёмы, учитывая, что эти объёмы отличаются на 60 см3. 7 см 493. Есть два прямоугольных параллелепипеда с одинаковыми высотами. Площади оснований параллелепипедов равны 35 см2 и 77 см2, а объёмы отличаются на 336 см3 (рис. 186). Найдите: а) объёмы параллелепипедов; б) измерения параллелепипеда с большим объёмом, учитывая,что измерения основания отличаются на 4 см. 10 см Рис. 185 Рис. 186 * * * 494. Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр. 495. Как разрезать квадрат на два равных пятиугольника; шестиугольника? 496. Сколько есть двузначных чисел, в записи каждого из которых встречается хотя бы раз цифра 7? 17 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 18. Признаки делимости Каждое число ряда 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... , начиная со второго числа, получено из предыдущего числа прибавлением числа 2. Поэтому каждое такое число получено сложением некоторого количества двоек и, значит, делится на 2. Число, которое делится на 2, называют чётным числом. Каждое число ряда 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ... , начиная со второго числа, получено из предыдущего числа прибавлением к единице некоторого количества двоек и, значит, не делится на 2. Натуральное число, которое не делится на 2, называют нечётным числом. В натуральном ряду чётные и нечётные числа чередуются (рис. 187). Нечётные числа 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Чётные числа Рис. 187 Узнать о том, делится ли одно число на другое, можно непосредственным делением. Однако для некоторых делителей это делается более просто с помощью соответствующих признаков делимости. Самый простой из них вы уже знаете — это признак делимости на 10 (рис. 188). 18 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 370 = 37-10; 375 = 37-10 + 5 Если число оканчивается нулём, оно делится на 10; если число не оканчивается нулём, оно не делится на 10. Рис. 188 Каждое число можно представить суммой полных десятков и единиц: 697 = 69 • 10 + 7; 5786 = 578 • 10 + 6. Полные десятки можно разделить на 2. Поэтому, если единицы разделятся на 2, то и всё число разделится на 2. А если при делении единиц на 2 получится ненулевой остаток, то этот остаток будет и при делении на 2 всего числа. Количество единиц выражается однозначным числом, а из таких на 2 делятся числа 0, 2, 4, 6, 8 и не делятся числа 1, 3, 5, 7, 9. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными. Получили признак делимости на 2 (рис. 189). 372 = 370 + 2; 373 = 370 + 3 Если число оканчивается чётной цифрой, оно делится на 2; если число не оканчивается чётной цифрой, оно не делится на 2. Рис. 189 Полные десятки можно разделить на 5. Поэтому, чтобы всё число разделилось на 5, нужно, чтобы на 5 разделились и единицы, количество которых представляется последней цифрой, т. е. однозначным числом, из которых на 5 делятся только 0 и 5. Получили признак делимости на 5 (рис. 190). 19 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 375 = 370 + 5; 372 = 370 + 2 Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, оно делится на 5; если число оканчивается другой цифрой, оно не делится на 5. -------------------------------------------------- Рис. 190 Делимость числа на 2, на 5 и на 10 мы определяем по последней его цифре. Иначе устроены признаки делимости на 9 и на 3. Возьмём число 237 и представим его суммой разрядных слагаемых: 237 = 200 + 30 + 7. Из каждой сотни выделим 99 единиц, которые можно разделить на 9. После этого от 2 сотен останутся 2 единицы. Так же из каждого десятка на 9 можно разделить 9 единиц. Поэтому от 2 сотен останутся 2 единицы, а от 3 десятков — 3 единицы. Учитывая 7 единиц из разряда единиц, получим, что неразделёнными остаются 2 + 3 + 7 единиц. Если их можно разделить на 9, то и исходное число 237 разделится на 9. Говорят, что 2 + 3 + 7 есть сумма цифр числа 237, хотя, понятно, знаки-цифры не складывают: складывают однозначные числа, записанные этими цифрами. Сумма 2 + 3 + 7 равна 12 и не делится на 9, поэтому и само число 237 не разделится на 9. Проводя такие же рассуждения для числа 8937, найдём, что неразделёнными останутся 8 + 9 + 3 + 7 единиц. Эта сумма равна 27, а число 27 делится на 9, значит, и число 8937 делится на 9. Получили признак делимости на 9 (рис. 191). Подобными рассуждениями устанавливается признак делимости на 3 (рис. 192). 20 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 237 = 2 • 100 + 3 • 10 + 7 = 2 • (99 + 1) + 3 • (9 + 1) + 7 = = 2* 99 + 2 + 3- 9 + 3 + 7 = (2-99+ 3-9) + (2 + 3 +7) делится на 9 не делится на 9 Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и само число не делится на 9. ---------------------------------------------------------' Рис. 191 237 = 2 • 100 + 3 • 10 + 7 = 2 • (99 + 1) + 3 • (9 + 1) + 7 = = 2-99 + 2 + 3- 9 + 3 + 7 = (2-99+ 3-9) + (2 + 3 +7) делится на 3 делится на 3 Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и само число не делится на 3. Рис. 192 Пример 1. Число 292 677 делится на 3, так как сумма его цифр 2 + 9 + 2 + 6 + 7 + 7 равна 33, а число 33 делится на 3. Число 292 677 не делится на 9, так как сумма его цифр 33 не делится на 9. Пример 2. Число 462 699 делится на 9, так как сумма его цифр равна 36, а число 36 делится на 9. Число 462 699 делится и на 3. Пример 3. Установим, делится ли число 992 271 на 3 и на 9 (рис. 193). 992 271 9+9+2+2+7+1=30 30 делится на 3, поэтому 992 271 делится на 3. 30 не делится на 9, поэтому 992 271 не делится на 9. Рис. 193 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 21 Рис. 194 257 496 897 2+5+7+4+9+6+8+9+7=58 5 + 8 = 13 13 не делится на 3, поэтому 257 496 897 не делится на 3. При определении делимости числа на 3 или на 9 признаки делимости могут использоваться неоднократно (рис. 194). 1. Какое натуральное число называют чётным и какое • нечётным? 2. Как выяснить, делится ли натуральное число a на натуральное число b? 3. Сформулируйте признак делимости числа на 10. 4. Какие цифры называют чётными; нечётными? 5. Сформулируйте признаки делимости числа на 2 и на 5. 6. Что такое сумма цифр числа? 7. Сформулируйте признаки делимости числа на 3 и на 9. 497. Сформулируйте признак делимости числа на 100 и используйте его для установления того, делится ли на 100 число: а) 20; в) 2030; д) 200 000; б) 2000; г) 45 700; е) 497. 498. Делением определите, делится ли первое число на второе: а) 170 на 17; г) 16 459 на 109; б) 234 на 13; д) 87 917 на 2029; в) 948 на 79; е) 20 655 450 на 459. 499. Из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 24, 22, 42, 48 выберите: 22 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а) те, которые делятся на число 6; б) те, которые делят число 24; в) делители числа 12; г) кратные числа 3. 500. Назовите остаток, который получится при делении на 100 числа: а) 520; в) 982; д) 6696; б) 79; г) 7701; е) 1740. 501. Назовите остаток, который получится при делении на 5 числа: а) 9; б) 25; в) 86; г) 853; д) 157. 502. Учитывая, что у — чётное число, определите, какое — чётное или нечётное — число: а) у + 1; г) у + 2; ж) у - 96; б) у - 1; д) у + 73; з) у - 73; в) у - 2; е) у + 96; и) у + 291. 503. Без подсчёта по рисунку 195 определите, чётное или нечётное количество учеников пришло на урок. Рис. 195 23 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 504. Докажите, что число: а) 926 890 делится на 2; б) 26 897 не делится на 5; в) 89 673 не делится на 2; г) 76 545 делится на 5. 505. Учитывая, что звёздочками заменены некоторые цифры, найдите, сколько чётных чисел можно получить из записи: а) 67*; в) 89*27; д) 7*4*3; б) 89*6; г) *97*; е) 6*21*. 506. Учитывая, что звёздочками заменены некоторые цифры, найдите, сколько нечётных чисел можно получить из записи: а) 73*; в) 80*20; д) *03*; б) 62*7; г) 7*4*6; е) 5**3. 507. Напишите ряд чисел, кратных 25. Обратите внимание на две последние цифры этого числа. Сформулируйте признак делимости на 25. 508. Запишите все числа из промежутка: а) от 80 до 91, кратные 2; б) от 127 до 139, кратные 5; в) от 78 до 116, кратные 10; г) от 80 до 123, кратные 2 и не кратные 5; д) от 293 до 790, кратные 100; е) от 125 до 5789, кратные 1000. 509. Определите, делится ли на 9 число: а) 792; г) 90 631; ж) 7 564 893; б) 7864; д) 76 318; з) 234 562 895; в) 8532; е) 785 327; и) 808 109. 510. Запишите три натуральных, кратных трём, числа, которые: а) трёхзначные; в) пятизначные; б) четырёхзначные; г) шестизначные. 24 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 511. Запишите три натуральных, кратных девяти, числа, которые: а) трёхзначные; в) пятизначные; б) четырёхзначные; г) шестизначные. 512. Выпишите из натурального ряда все числа, кратные девяти, которые принадлежат промежутку от: а) 325 до 425; в) 17 090 до 17 230; б) 990 до 1120; г) 23 000 до 23 051. 513. Учитывая, что звёздочки обозначают некоторые цифры, найдите, сколько кратных трём чисел получится из записи: а) 67*; в) 89*21; д) *97*; б) 89*1; г) 7*74; е) 6*21*. 514. Найдите трёхзначное число, которое начинается цифрой: а) 1, делится на 9, на 5 и на 2; б) 2, делится на 9 и на 5, но не делится на 2; в) 5, делится на 2, на 3 и на 5, но не делится на 9. 515. Запишите все: а) двузначные числа, кратные 3 и 13; б) двузначные числа, кратные 17 и не кратные 3; в) трёхзначные числа, кратные 97, которые делятся на 9. 516. Определите, какие из чисел 144, 2400, 4896, 13 005 делятся на: а) 2; б) 3; в) 5; г) 9. 517. Найдите: а) наименьшее пятизначное число, которое делится на 9; б) наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 4. 25 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 518. Найдите, сколько есть трёхзначных чисел, которые содержат по крайней мере одну цифру 7 и делятся на 9. 519. Представьте произведением двух чисел все составные числа из промежутка: а) от 100 до 110; в) от 463 до 467; б) от 207 до 211; г) от 421 до 425. 520. С поля урожайностью 25 ц/га собрали ячменя на 660 ц больше, чем с поля урожайностью 40 ц/га. Найдите площади полей, учитывая, что одна из них в 4 раза больше. Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 1): Первое поле Второе поле Урожай На 660 ц больше Урожайность 25 ц/га 40 ц/га Площадь В 4 раза больше Из условия следует, что площадь первого поля в 4 раза больше. Допустим, что площади обоих полей равны площади второго поля, т. е. площадь первого поля уменьшим в 4 раза. Тогда, чтобы с первого поля собрать прежний урожай, его урожайность должна быть увеличена в 4 раза: 25 ц/га • 4 = 100 ц/га. Видим, что при одинаковых площадях урожайность первого поля была бы на 100 ц/га - 40 ц/га, т. е. на 60 ц/га больше. И это повлекло бы за собой дополнительный урожай в 660 ц. Значит, уменьшенная площадь первого поля и, следовательно, площадь второго поля равна 660 ц : 60 ц/га, т. е. 11 га. Тогда площадь первого поля равна 11 га • 4, т. е. 44 га. 26 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 521. С поля площадью 58 га собрали ячменя на 18 ц больше, чем с поля площадью 19 га. Найдите урожайности полей, учитывая, что урожайность второго поля в 3 раза больше. 522. Провитамина A в 1 кг куриных яиц на 4 мг больше, чем витамина PP. Найдите, сколько каждого витамина в 500 г яиц, учитывая, что содержание провитамина A в 3 раза больше. 523. Свислочь и Рось — притоки Немана. Суммарная площадь их водосбора равна 3050 км2. Найдите площади водосборов каждой из этих рек, учитывая, что тридцать шестая доля площади водосбора Свислочи равна двадцать пятой доле площади водосбора Роси. 524. Найдите угол, который на 30° больше своего смежного. 525. Решите уравнение: а) m • 97 - 318 220 : 35 + 427 = 1617; б) 352 • 311 - 374 274 : 478 + t = 110 643; в) 354 • 806 - с : 257 + 14 676 = 299 594; г) 418 • 304 - 469 440 : х - 103 902 = 22 690. 526. На 21 га посажен картофель. Определите, какой урожай предполагается собрать, учитывая, что с контрольного квадратного участка со стороной 5 м собрали 55 кг картофеля. 527. Для измерения длины в прежние времена в Беларуси использовали локоть, равный 65 см, и вершок, равный 4 см 5 мм. Использовались и другие меры: аршин, равный 16 вершкам; четверть, равная четвёртой доле аршина; миля, равная 27 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 120 локтям; верста, равная 2400 локтям. Выразите эти единицы в современных мерах. Запишите их по возрастанию. 528. По приведённой схеме вычислений (рис. 196) составьте соответствующую формулу и найдите недостающие числа в таблице: a 809 778 3155 665 1130 b 702 180 854 885 c 7097 4853 14 218 56 725 d 5479 4561 11 706 13 059 56 047 e 548 308 827 402 f 106 982 497 865 49 807 1 393 452 k 96 634 186 587 67 409 24 921 а) б) в) г) д) Ь с d 529. Из 3 ц пшеницы получают 240 кг муки, 6 кг манной крупы и 54 кг отрубей. Сколько муки, крупы и отрубей получится из 24 т пшеницы? 530. На 7 овец в день расходуют 14 кг сена. Сколько сена нужно заготовить для четырёх овец на стойловый период, который длится с ноября по апрель включительно? 28 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 531. Постройте угол в 145° и на его сторонах от вершины отложите отрезки длиной 72 мм и 56 мм. Соедините концы этих отрезков. Получился треугольник. Измерьте третью сторону и больший из остальных углов. Найдите вычислением третий угол. Проверьте вычисления измерением. 532. Книгу, в которой 224 страницы, Катя несколько дней читала по 16 страниц в день, а затем столько же дней — по 12 страниц в день. Найдите: а) сколько дней читала книгу Катя; б) сколько страниц книги прочитала Катя с большей скоростью. 533. После того, как первый рабочий с производительностью 9 деталей в час выполнил половину заказа, работу заканчивал второй рабочий с производительностью 12 деталей в час. Найдите время работы первого и время работы второго рабочего, учитывая, что заказ был выполнен за 7 ч. 534. После того, как первый рабочий выполнил половину заказа, затратив 12 ч, работу заканчивал второй рабочий, который работал ещё 9 ч. Найдите производительность труда первого и второго рабочего, учитывая, что вместе она составляет 14 деталей в час. * * * 535. В семье 3 брата, а у каждого брата по одной сестре. Сколько детей в семье? 536. В книжный магазин привезли 223 книги в упаковках по 10 и 17 книг. Сколько было упаковок? 537. Сколько есть трёхзначных чисел, в записи которых использована хотя бы одна цифра 2? 29 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 19. Общие делители чисел Число 350 составное, и его можно представить произведением не равных единице множителей (рис. 197, а). Получили разложение 350 = 5 • 7 • 2 • 5. В правой части равенства все множители — простые числа. Говорят, что число 350 разложено на простые множители. Разложить натуральное число на простые множители означает представить его произведением простых чисел. Число 350 можно разложить на простые множители иным путём (рис. 197, б). Полученное разложение 2 • 7 • 5 • 5 отличается от разложения 5 • 7 • 2 • 5 только порядком множителей. Обычно множители разложения числа записывают по возрастанию: 350 = 2 • 5 • 5 • 7. Число 1 и каждое простое число не раскладываются в произведение других чисел. А каждое составное число можно разложить в произведение простых множителей. Поэтому такие числа и называют составными: они построены, составлены из простых множителей. При любом способе разложе- 30 б 5 7 2 5 350 = 5 • 7 • 2 • 5 350 Рис. 197 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Разложение на простые множители I ишг 504 2 252 II шаг III и IV шаги V и VI шаги 504 252 126 504 252 126 63 21 Рис. 198 V 504 252 126 63 21 7 1 ния получится один и тот же результат, если не обращать внимания на порядок записи множителей. При разложении числа на простые множители можно пользоваться признаками делимости. Процесс разложения можно проследить по рисунку 198. Из разложения числа на простые множители можно получить все возможные его делители, вычислив частичные произведения этого разложения. Например, делителями числа 350 являются числа: 1; 2; 5; 7; 2 • 5; 2 • 7; 5 • 5; 5 • 7; 2 • 5 • 5; 2 • 5 • 7; 5 • 5 • 7; 2 • 5 • 5 • 7. Всего число 350 имеет 12 различных делителей. Задача. Воспитательница детского сада на занятие по рисованию раздала поровну детям 76 карандашей и 57 книжек-раскрасок. Сколько детей в группе? Сколько карандашей и книжек-раскрасок получил каждый ребёнок? Карандаши и книжки были розданы детям поровну. Поэтому количество детей в группе — это делитель и числа 76, и числа 57. Число Делители 76 1, 2, 4, 19, 38, 76 57 1, 3, 19, 57 31 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" У чисел 76 и 57 есть два общих делителя — числа 1 и 19. Но в группе не может быть один ребёнок. Значит, на занятии по рисованию присутствовало 19 детей. Теперь можно найти, сколько карандашей и сколько книжек-раскрасок получил каждый ребёнок: 76 : 19 = 4; 57 : 19 = 3. Получили, что в группе было 19 детей, и каждый ребёнок получил по 4 карандаша и 3 раскраски. При решении задачи нас интересовали общие делители двух данных чисел. У чисел 76 и 57 их оказалось два — 1 и 19. Пример 1. Найдём общие делители чисел 42 и 28 (рис. 199). 42 28 Рис. 199 11, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42| 11, 2, 4, 7, 14, 28| Общие делители — 1, 2, 7, 14 Общим делителем нескольких натуральных чисел называют натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел. Общие делители чисел удобно находить, используя их разложения на простые множители. Два натуральных числа называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является число 1. Пример 2. Найдём общие делители чисел 39 и 20. Их разложения на простые множители следующие: 39 = 3 • 13; 20 = 2 • 2 • 5. Ни один из простых делителей 3 и 13 числа 39 не является простым делителем числа 20. Значит, единственным общим делителем чисел 39 и 20 является число 1. Пример 3. Найдём общие делители чисел 300 и 180 (рис. 200). 32 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1) Разложение на простые множители 2 2 3 3 5 1 2) Общие делители — число 1 и общие множители разложений: 2, 3, 5 3) Другие общие делители — произведения, образованные из общих множителей разложений 300 2 180 150 2 90 75 3 45 25 5 15 5 5 5 1 1 Из двух Из трёх Из четырёх множителей множителей множителей 2-2 = 4 2-2-3 = 12 2 - 2 - 3 - 5 = 60 2-3 = 6 2 - 2 - 5 = 20 2- 5 = 10 3- 5 = 15 2 - 3 - 5 = 30 Всего 12 общих делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12,15, 20, 30, 60 Рис. 200 Два или больше чисел могут иметь больше одного общего делителя. Например, числа 42 и 28 имеют 4 общих делителя — 1, 2, 7, 14. Все эти делители не превосходят меньшего из данных чисел. Поэтому среди всех общих делителей всегда найдётся наибольший. Наибольшее из натуральных чисел, на которое делятся числа a и b, называют наибольшим общим делителем чисел a и b. Наибольший общий делитель чисел a и b обозначают НОД (а, b). НОД (42, 28) = 14, НОД (76, 57) = 19, НОД (39, 20) = 1. Для нахождения НОД (a, b) можно использовать разложения чисел на простые множители. Пример 4. Найдём НОД (84, 140) (рис. 201). 33 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 201 84 42 21 7 1 140 70 35 7 1 НОД (84, 140) = 2 • 2 • 7 = 28 НОД двух чисел равен произведению всех их общих простых делителей. Поэтому возьмём разложение 2 • 2 • 3 • 7 первого числа и проверим, какие из множителей этого разложения принадлежат разложению второго числа. Два первых множителя 2 есть в обоих разложениях. Значит, в НОД входит произведение 2 • 2. Множитель 3 отсутствует в разложении второго числа, а множитель 7 входит в разложение второго числа. Поэтому НОД (84, 140) = 2 • 2 • 7 = 28. Таким же способом находят НОД трёх и больше чисел. Чтобы найти НОД нескольких чисел, можно: • разложить эти числа на простые множители; • выбрав разложение одного из чисел, отобрать те из его множителей, которые входят в разложения всех остальных чисел; • найти произведение отобранных общих множителей. Пример 5. Найдём НОД (210, 126, 462) (рис. 202). 34 210 2 126 2 462 105 3 63 3 231 35 5 21 3 77 7 7 7 7 11 1 1 1 2 3 7 11 Рис. 202 НОД (210,126, 462) = 2 • 3 • 7 = 42 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Понятно, что если все данные числа делятся на одно из этих чисел, то оно и будет наибольшим общим делителем данных чисел. Например, НОД (147, 21, 420, 210) = 21, поскольку на 21 делятся все данные числа. 1. Что означает требование Разложите число на про-• стые множители? 2. Какое число называют делителем другого числа? 3. Какое число называют общим делителем нескольких чисел? 4. Как можно найти все общие делители чисел? 5. Каких два натуральных числа называют взаимно простыми? 6. Какое число называют наибольшим общим делителем нескольких чисел и как его обозначают? 7. Как можно найти наибольший общий делитель нескольких чисел? 8. Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел? 538. Делится ли число 12 012 на число: а) 2; в) 3; д) 11; ж) 25; и) 91; б) 5; г) 9; е) 21; з) 33; к) 140? 539. Запишите разложение числа на простые множители, запишите все его простые делители и найдите все делители: а) 11; в) 129; д) 24; б) 14; г) 27; е) 36. 540. Разложите на простые множители число: а) 165; в) 468; д) 702; б) 126; г) 525; е) 780. 541. Разложите на простые множители все числа: а) от 97 до 101; в) от 113 до 120; б) от 191 до 197; г) от 121 до 128. 35 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 542. Найдите все простые делители числа: а) 110; в) 310; д) 990; ж) 864; б) 210; г) 260; е) 512; з) 1000. 543. Восстановите пример: а) * • б) * • в) ** г) ** ** = 111; *** = 274; • * = 485; • * = 581; д) ** е) ** • ж) ** з) ** • ** = 121; ** = 583; • ** = 1027; ** = 1633. 544. Прямоугольный участок с измерениями 141 и 86 м заменили другим участком такой же площади, у которого длина больше ширины на 35 м. Найдите измерения другого участка. 545. Назовите по 2 общих делителя чисел: а) 2 и 4; г) 22 и 33; ж) 125 и 35; б) 12 и 6; д) 16 и 34; з) 228 и 39; в) 8 и 10; е) 56 и 21; и) 282 и 36. 546. Найдите общие делители чисел по их разложениям на простые множители: а) 231 = 3 • 7 • 11, 2002 = 2 • 7 • 11 • 13; • 2 • 3 • 3 • 3 • 3, 600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5; • 3 • 3 • 3 • 5, 340 = 2 • 2 • 5 • 17, • 5 • 17; • 7 • 11, 2002 = 2 • 7 • 11 • 13, 7 • 11 • 17. 547. Назовите число, взаимно простое с числом: а) 7; в) 21; д) 595; б) 12; г) 210; е) 700. 548. Назовите число, взаимно простое с числами: а) 8 и 12; в) 2 и 3; д) 12, 24, 30; б) 12, 39; г) 2, 4, 6; е) 25, 75, 100, 200. 36 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б) 324 = 2 в) 270 = 2 510 = 2 • 3 г) 231 = 3 6545 = 5 • 549. Найдите наибольший общий делитель чисел: д) 42 и 36; е) 27 и 81; ж) 65 и 70; з) 70 и 80; 550. Найдите наибольший общий делитель чисел: г) 26, 14, 12; д) 30, 15, 10, 25; е) 90, 60, 150, 210. а) 4 и 6; б) 4 и 12; в) 12 и 15; г) 12 и 18; и) 137 и 727; к) 216 и 504; л) 282 и 36; м) 311 и 57. а) 8, 6, 4; б) 28, 16, 36; в) 15, 21, 27; 551. Найдите: а) НОД (7, 3); б) НОД (17, 13); в) НОД (27, 33). 552. Найдите наименьшее шестизначное число, которое делится на 7, 11 и 13. 553. Люба и Оля покупали одинаковые карандаши. Люба уплатила 910 р., а Оля — на 260 р. меньше. Определите, сколько карандашей купила каждая из девочек и сколько стоит один карандаш, учитывая, что каждая из девочек купила меньше 10 карандашей. 554. Пол в комнате размерами 425 см х 650 см нужно выложить декоративной квадратной плиткой. Найдите, каковы наибольшие возможные размеры плитки и сколько плиток таких размеров понадобится. 555. Иногда ученики ошибочно вместо «наибольший общий делитель» говорят «наименьший общий делитель». Чему равен наименьший общий делитель любой пары натуральных чисел? 556. От Волковыска до Слонима (рис. 203) велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч, а назад — 37 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 203 Волковыск Слоним со скоростью 12 км/ч и на обратный путь затратил на 2 ч больше. Найдите расстояние по шоссе от Волковыска до: а) Слонима; б) Зельвы, учитывая, что это расстояние на 14 км больше расстояния от Слонима до Зельвы. Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 3): До Слонима До Волковыска Путь Один и тот же Скорость 20 км/ч 12 км/ч Время На 2 ч больше Пусть после выезда велосипедиста из Слонима прошло время, равное времени, затраченному на поездку от Волковыска до Слонима. После этого велосипедист будет находиться в пути ещё 2 ч и за это время проедет 12 км/ч • 2 ч, т. е. 24 км. Можно сказать и иначе, теперь велосипедист отстал от прежнего графика на 24 км. Это отставание произошло из-за того, что его скорость уменьшилась на 20 км/ч - 12 км/ч, т. е. на 8 км/ч. Иными словами, каждый час велосипедист отставал на 8 км. Поэтому отставание происходило на протяжении 24 км : 8 км/ч, т. е. на протяжении 3 ч. Иными словами, велосипедист при поездке от 38 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Волковыска до Слонима был в дороге 3 ч. Значит, расстояние по шоссе между этими городами равно 20 км/ч • 3 ч, т. е. 60 км. 557. От Славгорода до Иванова автомобилист ехал 6 ч, а назад — 8 ч. Найдите расстояние по шоссе между этими городами, учитывая, что скорости движения отличались на 24 км/ч. 558. Докажите, что составным является число: а) 95; в) 267; д) 1661; б) 1206; г) 1929; е) 3997. 559. На 1 га нужно высевать примерно 4200 тыс. зёрен ячменя. Определите, сколько весит это зерно, учитывая, что 28 зёрен весят 1 г. 560. Старинная белорусская мера объёма гарнец равна 2824 см3. Определите, сколько гарнцев составляет: а) чаша, равная 33 888 см3; б) карец, равный 101 664 см3; в) шанок новый, равный 67 776 см3; г) шанок старый, равный 135 552 см3. 561. Начертите окружность с центром O радиусом 5 см и её хорду MN длиной 5 см. Измерьте угол MON. Проведите диаметр MK. Измерьте углы треугольника MNK. Найдите его периметр. 562. Середины M и N отрезков AB и BC, расположенных на координатном луче, имеют координаты 152 и 402 соответственно. Найдите координаты точек A, B, C, учитывая, что: а) отрезки AB и BC равны; б) отрезок AB состоит из двух долей, а отрезок BC — из трёх таких же долей. 39 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 563. Углы A и E треугольника ACE соответственно равны 35° и 25° (рис. 204). Из вершины C проведён луч CB, составляющий с лучом CE угол в 62° и пересекающий сторону AE в точке K. Определите, какой — острый, прямой, тупой — угол: а) CKE; в) CKA; д) EKB; б) ACK; г) AKB; е) АСЕ. Рис. 204 Е 564. Вычислите: а) (3636 - 36 • (834 - 781)) : 48 + 964; б) 125 644 - ((395 + 207) • 198 + 5619); в) 191 • (7 + (7743 + 9256) : 89) : 573; г) 73 040 - (1997 • (1313 - 1067) : 41) - 2278. 565. В мастерской сшили 7 костюмов, и осталось 43 м ткани. Если бы было сшито 13 таких костюмов, то осталось бы 23 м 50 см. Определите расход ткани на один костюм. 566. Первый автомобиль проехал 420 км, а второй — на 112 км больше. Первый автомобиль расходовал 500 мл бензина на 5 км пути, а второй — 560 мл на 7 км. Определите, какой из автомобилей израсходовал больше топлива и на сколько. 567. Составьте задачу и решите её, учитывая связи между: 40 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Сторона АВ Угол А Сторона ВС Угол В 5 см 12° Сторона АС Угол С Рис. 205 а) сторонами треугольника, изображёнными схемой на рисунке 205, а, и то, что периметр треугольника равен 37 см; б) углами треугольника, изображёнными схемой на рисунке 205, б. 568. Восстановите пример, изображённый схемой: а) **4 X * * * б) **8 * * * *4* 4**2; \JJ Hi Hi Hi Hi + 1*48 -1436 17*2 *** 2 Hi Hi Hi Hi Hi Hi **** в) ***2 2** *7* ***1 **4* ***7 0 0 569. Объясните, почему одно число не делится на другое: а) 2715 на 26; в) 8069 на 21; б) 4328 на 35; г) 9354 на 170. 570. Решите уравнение: а) 41х - 7х = 7174; б) 32а + 47а = 6241; в) 24x + 25x = 24 576 + 5461; г) 169m - 72m = 68 053 + 720. 571. Периметр прямоугольника равен 112 м. Найдите его стороны, учитывая, что одна из них больше другой в 3 раза. 41 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б а Сморгонь t Крево Вишнево Рис. 206 572. От Вишнева до Сморгони (рис. 206) велосипедист ехал 3 ч со скоростью 17 км/ч. Найдите расстояния от Крева до Сморгони и до Гольшан, учитывая, что второе расстояние на 6 км меньше. 573. Из стальной болванки массой 25 кг сделали 64 детали, на каждую из которых израсходовано 185 г. Определите массу оставшейся стали. 574. Туристы прошли 78 км за 3 дня. За первый день они прошли в 2 раза меньше, чем за второй, а за третий — в 3 раза больше, чем за первый. Сколько километров проходили туристы за каждый день? 575. Первая труба заполняет за 5 ч половину бассейна, вторая за то же время — третью его долю. Найдите, за сколько часов обе трубы вместе заполнят бассейн, учитывая, что он имеет размеры 10 м X 6 м X 2 м. 576. На 200 столовых и 160 чайных ложек израсходовано 14 кг серебра. Найдите массу одной столовой и одной чайной ложки, учитывая, что масса чайной ложки вдвое меньше массы столовой. 577. Есть столовые ложки массой по 60 г и чайные ложки массой по 20 г, которых в 3 раза меньше. Вместе они весят 6 кг. Найдите количество столовых и количество чайных ложек. 578. Картофель расфасовали в пакеты по 6 кг, а морковь — в пакеты по 2 кг. Пакетов с картофелем получилось в 3 раза больше, а картофеля в них — на 480 кг больше. Найдите, сколько получилось пакетов с картофелем. 42 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 579. В 60 одинаковых пакетах картофеля на 310 кг больше, чем в 25 одинаковых пакетах моркови. Найдите, сколько весит пакет картофеля, учитывая, что он в 3 раза тяжелее пакета моркови. 580. Из одного населённого пункта выехал велосипедист, а через некоторое время навстречу ему из другого населённого пункта вышел пешеход. Когда они встретились, то оказалось, что велосипедист был в пути в 2 раза дольше и проехал 52 км, а пешеход прошёл 8 км. Найдите скорости велосипедиста и пешехода, учитывая, что вместе они составляют 17 км/ч. * * * 581. Найдите, сколько в первой тысяче натуральных чисел, кратных 7. 582. Найдите, сколько различных произведений, кратных числу 10, можно образовать из чисел 2, 3, 5, 7, 9. 583. Какое число нужно подать на вход машины (рис. 207), чтобы на её выходе получить число: а) 71; в) 138; д) 4213; ж) 291; б) 1032; г) 4018; е) 4086; з) 135 036? Рис. 207 43 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 20. Общие кратные чисел Чисел, кратных данному числу, можно записать любое количество, или, как говорят в математике, бесконечно много (рис. 208). Кратные числа 5 — 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, Рис. 208 Запишем кратные чисел 2 и 3 (рис. 209). Видим, что некоторые из записанных чисел являются общими кратными для обоих чисел 2 и 3. Кратные числа 2 — 2,4, 6, 8,10,12,14,16,18,... Кратные числа 3 — 3,6, 9,12,15,18, 21, 24, 27,... Общие кратные чисел 2 и 3 — 6,12, 18, 24,... Рис. 209 Общим кратным нескольких чисел называют число, которое делится на каждое из этих чисел. Среди общих кратных есть наименьшее и нет наибольшего. Наименьшим общим кратным двух чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Наименьшее общее кратное чисел a и b обозначают НОК (a, b). НОК (2, 3) = 6. По наименьшему общему кратному чисел можно найти их другие общие кратные, умножив НОК на то или иное число (рис. 210). Чтобы найти наименьшее общее кратное чисел, необязательно выписывать последовательно крат-44 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 210 Кратные чисел 2 и 3 НОК (2, 3) = 6 6 12 18 24 30 II II II II 6-2 6-3 6-4 6-5 ные этих чисел до момента, пока не встретится первое общее кратное. Пример 1. Найдём НОК (21, 14). Разложим числа 21 и 14 на простые множители: 21 = 3 • 7, 14 = 2 • 7. НОК (21, 14) должно делиться на 21, поэтому оно должно содержать все множители числа 21, т. е. в НОК должно входить произведение 3 • 7. Так же НОК (21, 14) должно делиться и на 14, значит, оно должно содержать и все множители числа 14. Множитель 7 входит в произведение 3 • 7. Поэтому допишем к этому произведению недостающий множитель 2. Получим произведение (3 • 7) • 2, равное числу 42. Таким образом, НОК (21, 14) = 21 • 2 = 42. Так же находится наименьшее общее кратное больше чем двух чисел (рис. 211). Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, можно: • разложить каждое из этих чисел на простые множители; • записать разложение одного из чисел и дополнить его недостающими множителями из других разложений; • вычислить записанное произведение. 45 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Нахождение НОК (18,12, 70) 18 = 2-3*3 12 = 2*2-3 70 = 2 • 5 * 7 (2*5*7)*2*3*3 = 70*2*3*5 = 1260 (2*2*3)*3*5*7=12*3*5*7 = 1260 НОК (18, 12, 70) = 1260 Рис. 211 Пример 2. Найдём НОК (12, 18, 72, 144) (рис. 212). Если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то оно является наименьшим общим кратным данных чисел. Рис. 212 НОК (12,18, 72,144) 144:12 = 12 144: 18 = 8 144 : 72 = 2 НОК (12, 18, 72, 144) = 144 Пример 3. Найдём НОК (12, 25). Числа 12 и 25 взаимно простые, т. е. их разложения 2 • 2 • 3 и 5 • 5 не имеют общих множителей. Поэтому НОК (12, 25) = 12 • 25 = 300. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению. л 1. Что означает утверждение Число a кратно числу b? • 2. Какое число называют общим кратным нескольких чисел? 46 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 3. Какое число называют наименьшим общим кратным нескольких чисел и как его обозначают? 4. Как можно найти наименьшее общее кратное нескольких чисел? 5. Чему равно наименьшее общее кратное нескольких чисел, из которых одно делится на все остальные? 6. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел? 584. Запишите три первых числа, кратных числам: а) 5; б) 6; в) 7; г) 27; д) 16; е) 18. 585. Запишите все трёхзначные числа, кратные числам: а) 719; в) 331; д) 137; б) 499; г) 157; е) 127. 586. Запишите все чётные четырёхзначные числа, кратные числам: а) 4993; в) 2297; д) 997; б) 3329; г) 1117; е) 5077. 587. Запишите восемь первых чисел, кратных 6, и восемь первых чисел, кратных 8. Из записанных чисел выберите общие кратные чисел 6 и 8. Запишите три следующих общих кратных этих чисел. 588. Запишите четыре первых общих кратных чисел: а) 6 и 4; б) 6 и 5; в) 6 и 35; г) 24 и 36. 589. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 18 и 12; в) 45 и 54; д) 54 и 81; б) 28 и 98; г) 96 и 72; е) 19 и 76. 590. Запишите все чётные трёхзначные общие кратные чисел: а) 21 и 15; в) 56 и 72; д) 12 и 43; б) 23 и 15; г) 11 и 13; е) 35 и 55. 47 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 591. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 6, 8 и 10; б) 15, 10 и 12; в) 21, 14 и 18. 592. Для чисел a и b, записанных в столбцах таблицы, найдите НОД (a, b), НОК (a, b). Сравните произведения НОД (a, b) • НОК (a, b) и ab. Сделайте вывод. a 16 6 21 82 50 225 156 564 b 24 9 35 123 125 75 336 564 593. С двух полей площадью 25 га и 36 га вместе собрали 2640 ц тритикале. Найдите урожаи с этих полей в отдельности, учитывая, что их урожайности относятся как 6 : 5. Первое поле Второе поле Урожай 2640 ц Урожайность 6 долей 5 долей Площадь 25 га 36 га Уравняем урожайность первого поля до урожайности второго, для чего урожайность первого поля сначала уменьшим в 6 раз, а затем результат увеличим в 5 раз. Для того, чтобы не изменился урожай, нужно площадь первого поля уменьшить в 5 раз и полученный результат увеличить в 6 раз. Получим, что площадь первого поля должна быть равной 25 : 5 • 6, т. е. 30 га. Теперь первое и второе поля вместе имеют площадь, равную 30 га + 36 га, т. е. 66 га. Учитывая, что общий урожай с этих полей равен 2640 ц, получаем, что урожайность второго поля равна 2640 ц : 66 га, т. е. 40 ц/га. Поэтому урожай со второго поля составляет 40 ц/га • 36 га, т. е. 1440 ц, 48 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а урожай с первого поля — 2640 ц - 1440 ц, т. е. 1200 ц (см. форзац 1). 594. С двух полей урожайностями 43 ц/га и 47 ц/га вместе собрали 6057 ц тритикале. Найдите урожай с каждого из этих полей, учитывая, что их площади относятся как 8 : 7. 595. С двух полей, площади которых равны 40 га и 36 га, вместе собрали 2444 ц ржи. Найдите урожайности полей, учитывая, что вместе они составляют 64 ц/га. Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 3). Первое поле Второе поле Урожай 2444 ц Урожайность 64 ц/га Площадь 40 га 36 га Уравняем площади полей, например, до площади второго поля. Поскольку с одного гектара первого поля и с одного гектара второго вместе собрали 64 ц, то с 36 га первого и с 36 га второго поля вместе собрали 64 ц/га • 36 га, т. е. 2304 ц. Это меньше собранного урожая на 2444 ц - 2304 ц, т. е. на 140 ц. Разность в 140 ц получилась из-за того, что первое поле было уменьшено на 40 га - 36 га, т. е. на 4 га. Значит, урожайность первого поля равна 140 ц : 4 га, т. е. 35 ц/га. А тогда урожайность второго поля составляет 64 ц/га - 35 ц/га, т. е. 29 ц/га. 596. С двух полей, урожайности которых равны 25 ц/га и 36 ц/га, вместе собрали 2444 ц ржи. Найдите площади полей, учитывая, что вместе они составляют 85 га. 49 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 597. Вычислите: а) 362 + 123 - 2595; в) 5072 - (3212 + 152 125); б) 1093 + (992 + 333); г) 5073 - (5023 - 4812). 598. Восстановите пример: а) * • *** = 204; е) ** • б) * • *** = 791; ж) ** в) ** • ** = 304; з) *** г) * • *** = 4595; и) ** ■ д) *** • * = 1145; к) ** • 599. В конюшне был сделан запас овса для 8 коней на 6 дней. На сколько дней хватит этого запаса для 12 коней? 600. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, изображённого на рисунке 213, учитывая, что размеры даны в сантиметрах. *** = 1111; • ** = 1752; • ** = 6516; *** = 2147; *** = 29 393. Рис. 213 601. Медный лист длиной 1 м 20 см и шириной 90 см имеет толщину 6 мм. Определите, сколько весит такой лист, учитывая, что 1 см3 меди весит 8900 мг. Ответ запишите в граммах; в килограммах и граммах. 602. На координатном луче отложены три равных отрезка AB, BC, CD. Точка C имеет координату 150, а середина M отрезка CD — координату 175. Найдите координаты точек A, B, D и середин K и L отрезков AB и BC. 603. Составьте и решите задачу по схеме, изображённой на рисунке 214, где показаны связи между длинами притоков Немана — Свислочи и Роси. 50 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Свислочь Рось 22 км Рис. 214 604. Ян сначала 3 ч ехал на велосипеде, а затем 5 ч поездом, причём поездом он проехал на 255 км больше. Найдите скорость движения Яна поездом, учитывая, что она в 4 раза больше скорости движения на велосипеде. 605. Яна сначала ехала на велосипеде со скоростью 13 км/ч, а затем поездом со скоростью 55 км/ч, причём поездом она проехала на 456 км больше. Найдите время движения Яны на велосипеде, учитывая, что оно в 3 раза меньше времени движения на поезде. 606. У одного хозяина есть козы и утки, которых вместе 27. Учитывая, что у всех коз столько ног, как и у всех уток, найдите количество тех и других животных. * * * 607. Найдите количество трёхзначных чисел, в записи которых использованы хотя бы один раз и цифра 0, и цифра 1. 608. Решите уравнение НОД (16; х) = 16 - х. 609. На заводе работают трое друзей: конструктор, электрик и токарь. Их фамилии: Ткачёв, Кулеш и Батян. У конструктора нет ни братьев, ни сестёр, и он самый младший из друзей. Батян женат на сестре Ткачёва и старше токаря. Назовите фамилии конструктора и электрика. 51 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Дроби: сложение и вычитание раздел 21. Доля и дробь Дециметр разделён на 10 одинаковых частей — сантиметров (рис. 215). Дециметр разделён также на 100 одинаковых частей — миллиметров (рис. 216). Угол в 1° на транспортире получен делением развёрнутого угла на 180 равных частей (рис. 217). Дециметр Сантиметр — десятая доля дециметра Рис. 215 Дециметр Миллиметр — сотая доля дециметра Рис. 216 52 Градус — стовосъмидесятая доля развёрнутого угла Рис. 217 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 218 Доля есть каждая из равных частей, на которые разделено целое. На рисунке 218, а—е показаны доли пирога: вторая доля, или половина; третья доля, или треть; четвёртая доля, или четверть; пятая доля; шестая доля; двенадцатая доля. Для обозначения доли используют двухуровневую запись из двух чисел, разделённых горизонтальной чертой. Например, десятую долю обозначают ^. Число под чертой показывает количество долей, на которые разделили целое, число над чертой — то, что взята одна из полученных долей. На рисунке 219 круг разделён на семь долей, и пять из них закрашены. Говорят, что закрашенная часть есть пять седьмых круга, и записывают 5. Получили дробное число, или дробь, 5. 53 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 220 " Числитель Образуют дробь < Дробная черта - __ Знаменатель" Читается: «Пять седьмых» 5^1 + 1 + 1 + 1 + 1 7 7 7 7 7 7 5 7 Число, записанное над чертой дроби, называют числителем дроби, а число, записанное под чертой, — знаменателем дроби. Знаменатель называет, на сколько долей разделено целое, числитель показывает, сколько этих долей взято, он получен перечислением взятых долей (рис. 220). Дробь есть доля или результат сложения нескольких долей. Сложение равных натуральных чисел можно заменить умножением числа на количество чисел: 8 + 8 + 8 + 8 = 8 • 4. Это же можно сделать и с суммой долей: 5 1 1 1 1 1 1 „ 7 7 7 7 7 7 7 Вообще, для дроби с числителем m и знаменателем n верно равенство m 1 — • m. n n Между четырьмя детьми разделим 12 яблок (рис. 221, а), т. е. найдём частное 12 : 4 — получим число 3. Значит, каждый ребёнок получит по 3 яблока (рис. 221, б). Между этими детьми разделим 3 яблока (рис. 222, а), т. е. найдём частное 3 : 4. Для этого сначала разделим каждое яблоко на 4 доли и получим 54 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 221 12 кусочков (рис. 222, б). Значит, каждый из детей получит по 3 кусочка. Но 1 кусочек есть 1 3 4 яблока, а 3 кусочка составляют 4 яблока. Получается, что каждый ребёнок получит 33 яблока 3 3 (рис. 222, в). Значит, 3 : 4 = ^^, или 4 = 3 : 4. О ^ О Каждую дробь можно рассматривать как частное от деления её числителя на знаменатель: m — = m: n. n Пример 1. 24= 24 : 8; 5 = 5 : 7. Частное 24 : 8 показывает, во сколько раз число 24 больше числа 8. О частном 5 : 7 говорят, что оно показывает, какую часть число 5 составляет V 5 от числа 7, и эта часть равна у. 55 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а б Частное m : n показывает: во сколько раз число m больше числа п, если делимое m больше делителя n; какую часть число m составляет от числа n, если делимое m меньше делителя n. Например, частное 8 : 6 = — показывает, что g 6 число 8 больше числа 6 в — раза. А поскольку 12 6 12 : 4 = — и 12 : 4 = 3, то получается, что натуральное число 3 равно дроби . Вообще, каждое натуральное число можно выразить дробью. Например, 7 12 14 1 = 7 : 7 = 7; 3 = 12; 7 = 14 : 2 = 14. 7 4 2 Представление натурального числа дробью неоднозначное: 3 - 3 _ 6 _ 9 _ 12 _ = 1 _ 2 _ 3 _ 4 _... . Пример 2. Найдём значение дробного выраже-40 + 38 22 -19 . Поскольку черта дроби обозначает действие де- ния 40 + 38 можно записать как ления, то выражение 22 -19 частное (40 + 38) : (22 - 19). Чтобы найти значение дробного выражения, нужно найти по отдельности значения его числителя и знаменателя и затем первый результат разделить на второй. Получаем: Ц±|| = I8 = 78 : 3 = 26. 56 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Пример 3. Дробное выражение 4 +18 не име- 22:11 - 2 ет значения, так как его знаменатель 22 : 11 - 2 равен нулю, а деление на нуль невозможно. I. Что называют долей? * 2. Что называют дробью? 3. Как называются числа в записи дроби? 4. Что показывает знаменатель дроби? Где он записывается? 5. Что показывает числитель дроби? Где он записывается? 6. Как выразить дробь суммой; произведением? 7. Как частное записать дробью? Как дробь записать частным? 8. Как установить, во сколько раз одно натуральное число больше другого? 9. Как установить, какую часть одно натуральное число составляет от другого? 10. Можно ли натуральное число выразить дробью? II. Как найти значение дробного выражения? 610. Выразите словами и числом, какую долю площади составляет закрашенная часть от площади всей фигуры, представленной на рисунке: а) 223, а; в) 223, в; д) 223, д; б) 223, б; г) 223, г; е) 223, е. 57 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Г L Рис. 224 Рис. 225 611. Выразите словами и числом, какую часть площади составляет закрашенная часть от площади всей фигуры, представленной на рисунке: а) 224, а; д) 224, д; и) 225, в; б) 224, б; е) 224, е; к) 225, г. в) 224, в; ж) 225, а; г) 224, г; з) 225, б; 612. Выразите словами и числом, какую часть объёма составляет закрашенная часть от объёма всей фигуры, представленной на рисунке: 58 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" в е г а) 226, а; в) 226, в; д) 226, д; ж) 226, ж; б) 226, б; г) 226, г; е) 226, е; з) 226, з. 613. Прямоугольный лист бумаги сложите так, чтобы получилось: ч л 3 а) 4 его доли и — площади листа закрасьте; 5 б) 8 его долей и — площади листа закрасьте. 8 614. Верно ли, что записанное число выражает ту часть площади фигуры, которая закрашена на рисунке: а) 227, а; в) 227, в; д) 227, д. б) 227, б; г) 227, г; 615. Нарисуйте в тетради пять квадратов по 16 клеток каждый. На каждом из них выделите 59 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 227 цветом четвёртую долю так, чтобы закрашенные фигуры имели различную форму. 616. Определите, каким числом выражается помеченная тем или иным номером часть площади квадрата, представленного на рисунке: а) 228, а; б) 228, б; в) 228, в. Рис. 228 617. Выразите дробью долю: а) одна вторая; в) одна десятитысячная; б) одна триста седьмая; г) одна миллионная. 618. Найдите, сколько килограммов в: а) 10 ц; б) i^o т; в) 100 т; г) 1 1000 т. 619. Найдите, сколько минут в: а) 2 ч; б) ч; , 1 в) 5 ч; 1 г) 3 ч; , 2 д) 5 ч. 620. Запишите дробью и выразите суммой долей число: а) три четвёртые; б) две сотые; 60 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" в в) шесть шестых; г) пять двести седьмых; д) семь пятьсот двадцать вторых; е) три тысяча пятых. 621. Прямоугольник на рисунке 229 разделён на 24 квадрата-доли. Запишите по меньшей мере два числа, которые Рис. 229 выражают площадь части прямоугольника, состоящей из: а) двух квадратов; д) шести квадратов; б) трёх квадратов; г) восьми квадратов; в) четырёх квадратов; е) двенадцати квадратов. 622. Определите, на какие доли разделён отрезок HK на рисунке 230 и какую часть этого отрезка составляет отрезок: а) BC; г) AB; ж) AC; б) AH; д) HM; з) AK; в) AM; е) KB; и) CD. н I— А D М —I— В с к н Рис. 230 623. Запишите дробь, у которой: а) числитель равен 38, а знаменатель на 26 больше; б) знаменатель равен 648, а числитель в 8 раз меньше; в) числитель равен значению выражения 2173 : 53 -- 1147 : 31, а знаменатель — значению выражения 51 • (147 - 131) : 8. 3 624. — кг можно найти так: 2 3 1 - кг = - кг • 3 = 500 г • 3 = 1500 г. 2 2 Точно так же найдите: , 4 а) 5 м; 2 б) 3 ч; , 7 в) 20 Ц; г) 120 4 мин. 61 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 625. Нарисуйте отрезок PQ длиной 12 см. Разделите его на 6 долей и точки деления обозначьте буквами. Запишите один, а если можно, два отрезка, которые составляют часть отрезка PQ, равную: а) i; 6 2 б) -; ^ 6 в) 1; г) 4; ^ 6 ч 5 д)«; 6 ч 6 е) 6. 626. Нарисуйте отрезок длиной 9 см. Разделите его на 6 долей. Каждую из полученных шестых долей разделите на 3 меньшие доли. Обозначьте точки деления. Запишите по два отрезка, которые соответствуют дроби: ж)|; 1 6; в) 158; д) 7 18 ; 3 , 1 е) 6 18; г) 1в; Т8; , 13 з) 18- 627. По рисунку 231 запишите дробь, которая является координатой точки: а) А; в) C; д) E; ж) G; и) I; б) B; г) D; е) F; з) H; к) J. А BCD Е 0 12 F G Н I J рис 231 1*11*11*11111*11*1111111»- ■ 5 6 7 628. На координатном луче выберите единичный отрезок, равный 12 клеткам. Отметьте на нём точку, соответствующую числу: 14 12 ; 7 6. 1 2 ; в) 4; ч 5 д) 3; ж) 1 12 ; г)6; е)8-е) 4; з) 62 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 629. Нарисуйте прямоугольник со сторонами 9 см и 6 см. Разделите каждую его сторону на 6 равных отрезков. Через точки деления проведите отрезки, параллельные сторонам. Определите, какую часть прямоугольника: а) составляет один малый прямоугольник; б) составляют малые прямоугольники, прилежащие к сторонам. 630. В роще растут липы, берёзы и сосны. Сосны составляют ^ всех деревьев, липы — -4. Определите, какую часть деревьев в роще составляют берёзы. 631. Запишите дробью число, показывающее, во сколько раз первое натуральное число больше второго: а) 24 и 4; в) 96 и 32; д) 111 и 37; б) 24 и 18; г) 346 и 28; е) 255 и 17. 632. Запишите дробью число, показывающее, какую часть первое число составляет от второго: а) 4 и 40; в) 6 и 65; д) 86 и 129; б) 4 и 18; г) 34 и 68; е) 5 и 100. 633. Выразите натуральное число 5 дробью со знаменателем: а) 1; б) 2; в) 10; г) 50. 634. Дробью со знаменателем 3 запишите число: а) 25; в) 13; д) 50; ж) 37; б) 32; г) 46; е) 100; з) 25. 635. Запишите дробью частное: а) 35 : 5; в) 8 : 5; д) 65 : 15; б) 1 : 11; г) 12 : 6; е) 110 : 20. 63 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 636. Запишите частным дробь: а) б) 8 3 ’ 15 637. в) 10 ; 1000’ г) 12’ ) 12 ’ ч 0 д) 7’ , 50 е) 60- Найдите, во сколько раз: а) 6 тыс. р. меньше 24 тыс. р.’ б) 40 учеников больше 8 учеников; в) 14 конфет меньше 70 конфет; г) 20 см меньше 3 м’ д) 5 т больше 4 ц’ е) 5 дм3 меньше 3 м3. 638. Найдите, какую часть составляет: е) 8 л от 56 л’ ж) 20 см от 3 м’ з) 4 ц от 5 т’ и) 5 см3 от 2 дм3’ к) 5 кг от 2 ц. а) 6 тыс. р. от 24 тыс. р.’ б) 8 учеников от 40 учеников’ в) 14 конфет от 70 конфет’ г) 75 м от 150 м’ д) 200 г от 3000 г’ 639. Определите, во сколько раз число: а) 6 меньше числа 60’ б) 90 больше числа 15’ в) 6 больше числа 4’ г) 84 больше числа 37’ д) 11 меньше числа 23’ е) 13 больше числа 11. 640. Определите, какую часть составляет число: а) 6 от числа 60’ г) 37 от числа 84’ б) 15 от числа 90’ д) 11 от числа 23’ в) 4 от числа 6’ е) 11 от числа 13. 641. Найдите сторону квадрата, учитывая, что его периметр равен: а) 20 см’ б) 30 см’ в) 61 см’ г) 57 см. 64 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 642. Путь от Могилёва до Минска составляет по шоссе 201 км (рис. 232). Определите, какую часть этого пути составляет путь: а) от Могилёва до Белынич; б) от Минска до Березино; в) от Могилёва до Березино; г) от Минска до Белынич. Рис. 232 Минск V 105 км Белыничи 40 Березино Могилёв' 643. На рисунке 233 показана шахматная доска. Какую её часть составляют: а) белые клетки; б) клетки первой горизонтали; в) клетки вертикали d; г) клетки горизонталей 3, 4, 5; д) клетки, занятые шахматными фигурами перед началом партии; е) чёрные клетки вертикалей с, d, e; ж) белые клетки вертикалей с, d, e? Рис. 233 f g h 65 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 644. Самостоятельная работа заняла 15 мин. Какая это часть урока? 645. Дробь равна своему числителю. Чему равен её знаменатель? 646. Вычислите: а) 32 д) 13 860 и) 152 -132 10 + 6 ; 36•55 ; 23 • 7 ; б) 97 - 32 е) 12 648 к) 563 -75616 13 ; 3000 - 81 • 32 ; 1002 ' в) 67-44 ж) 1005 : 67 л) 10072 + 5951 67 ; 795 : 53 ; 51•1002 г) 45-14 + 570; з) 6384 : 19 : 21. м) 503 - 423 150 ; 42 ; 82 + 32 +13. 647. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу и через 3 ч встретились. Найдите скорость каждого велосипедиста, учитывая, что первый проезжал за час на 4 км больше второго, а вместе они проехали 108 км (см. форзац 4). 648. Первый велосипедист выехал из Червеня со скоростью 15 км/ч, а через 2 ч из Белынич навстречу ему выехал второй велосипедист со скоростью 18 км/ч (рис. 234). Определите, на каком расстоянии от Березино встретились велосипедисты. Рис. 234 649. Суммарная площадь водосбора Усысы и Свины 783 км2. Найдите площади водосборов этих 66 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Усыса Свина Свина 2 км 26 км Рис. 235 рек, учитывая, что площадь водосбора первой реки на 63 км2 больше. 650. На схеме, приведённой на рисунке 235, показаны связи между длинами Усысы и Свины. Составьте задачу по этой схеме и решите её. 651. Составьте формулу для вычисления площади заштрихованной фигуры (рис. 236). Вычислите эту площадь, учитывая, что: а) a = 13 см, b = 22 см, m = 4 см, n = 7 см; б) a = 27 см, b = 48 см, m = 10 см, n = 21 см; в) a = 42 м, b = 67 м, m = 17 м, n = 25 м. 652. Андрей перемножил пять попарно взаимно простых чисел и получил в произведении 272 272. Найдите эти числа. 653. Длина Припяти равна 761 км, а площадь её водосбора — 121 тыс. км2. Какова средняя площадь водосбора на 1 км длины Припяти? Вычисления проведите с точностью до гектара. 654. Из Несвижа и Городеи в Новогрудок (рис. 237) одновременно выехали два велосипедиста со скоростями 18 км/ч и 14 км/ч соответственно. Рис. 236 67 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" За сколько километров до Новогрудка первый велосипедист догонит второго? 655. Постройте в тетради угол, градусная мера которого равна: а) 90°; в) 45°; д) 0°; б) 150°; г) 180°; е) 105°. 656. 20 столовых и 70 чайных ложек весят вместе 2150 г. Определите, сколько весят столовая и чайная ложка в отдельности, если 11 чайных ложек весят столько, сколько 3 столовые. 657. Путь, который проехал велосипедист за 4 ч, на 50 км больше пути, который прошёл пешеход за 2 ч. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, учитывая, что скорость велосипедиста втрое больше. 658. Скорости велосипедиста и пешехода равны соответственно 15 км/ч и 5 км/ч. Велосипедист проехал на 50 км больше, чем прошёл пешеход. Найдите время движения велосипедиста, учитывая, что оно в 2 раза больше времени движения пешехода. 659. У всех коров, которые есть у одного хозяина, столько же ног, сколько их у всех его 68 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" индюков. Определите, сколько есть коров и сколько индюков, учитывая, что индюков на 5 больше. * * * 660. Записано 16 нечётных чисел. Можно ли утверждать,что по крайней мере 4 из них оканчиваются одной и той же цифрой? 661. Докажите, что если к любому двузначному числу приписать справа это же число, то получится четырёхзначное число, которое делится на 101. 662. Два невисокосных года идут друг за другом. В первом понедельников больше, чем пятниц. Каких из семи дней недели больше содержит второй год? 22. Задачи с известными значениями одного из множителей и отношением значений произведения Задача 1. Масса одного количества чайных ложек по 20 г такая же, как и масса другого количества чайных ложек по 30 г. Определите, сколько есть тех и других ложек, учитывая, что всего их 20. Задача построена на зависимости M = mn массы M определённого количества однородных предметов от массы m одного предмета и количества n предметов. В соответствии с условием известно: масса M1 всех чайных ложек одного вида равна массе M2 всех чайных ложек другого вида, т. е. М1 = M2, или М1 : М2 = 1; масса m1 чайной ложки одного вида равна 20 г; масса m2 чайной ложки другого вида равна 30 г; сумма n1 + n2 количеств n1 и n2 чайных ложек одного и другого вида равна 20. 69 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Таблицей условие задачи можно представить так: Ложки одного вида Ложки другого вида Масса всех ложек Одна и та же Масса одной ложки 20 г 30 г Количество ложек 20 Обратим внимание на то, что 3 ложки по 20 г весят 20 г • 3, т. е. 60 г, и столько же весят 2 ложки по 30 г, поскольку 30 г • 2 = 60 г. Два этих количества вместе составляют 3 + 2, т. е. 5 ложек. А по условию всего ложек 20, т. е. в 20 : 5, или в 4 раза больше. Поэтому ложек первого вида есть 3 • 4, т. е. 12, а ложек второго вида — 2 • 4, т. е. 8. Задача 2. На первом поле посеяли ячмень с нормой высева 180 кг/га, на втором — тритикале с нормой высева 175 кг/га, при этом ячменя израсходовали в 2 раза больше. Найдите площадь второго поля, учитывая, что она вместе с площадью первого поля составляет 106 га. Условие задачи представим таблицей: Первое поле Второе поле Расход семян В 2 раза больше Норма высева 180 кг/га 175 кг/га Площадь 106 га В задаче использована зависимость M = mS расхода семян M от нормы высева m и площади S. Структуры сведений в задачах 1 и 2 аналогичны с тем отличием, что в задаче 1 отношение 70 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Ml : M2 значений произведения M равно единице, а в условии задачи 2 отношение Ml : M2 значений произведения M — двум. Тем не менее при соответствующей предварительной переформулировке условия можно использовать прежний способ решения. Уравняем расход семян на первом поле до расхода семян на втором поле, т. е. расход семян на первом поле уменьшим в 2 раза. Этого можно достичь, если норму высева на первом поле уменьшим в 2 раза. Тогда получим, что эта норма будет равна 180 кг/га : 2, т. е. 90 кг/га. Теперь обратим внимание на то, что расход семян с нормой высева 90 кг/га на 175 га такой же, как и расход семян с нормой высева l75 кг/га на 90 га, т. е. 90 кг/га • 175 га = 175 кг/га • 90 га. Если площади 175 га и 90 га уменьшить в одно и то же число раз, то записанное равенство не нарушится. Поэтому, уменьшив указанные площади в 5 раз, получим равенство 90 кг/га • 35 га = 175 кг/га • 18 га. Площади в 35 га и 18 га вместе составляют 35 га + 18 га, т. е. 53 га, что меньше действительной суммы площадей первого и второго полей в 106 га : 53 га, т. е. в 2 раза. Поэтому площадь второго поля равна 18 га • 2, т. е. 36 га. Задача 3. Ученик за 6 ч изготавливает деталей в 3 раза меньше, чем мастер за 8 ч. Определите производительность мастера, учитывая, что она на 10 дет./ч больше производительности ученика. 71 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Условие задачи представим таблицей: Ученик Мастер Работа В 3 раза меньше Производительность На 10 дет./ч больше Время 6 ч 8 ч В задаче использована зависимость A = pt выполненной работы A от производительности p и времени работы t. Сравнение структуры сведений этой задачи со сведениями задачи 2 показывает, что они отличаются только тем, что в задаче 2 дана сумма Si + S2 значений множителя S, а в задаче 3 — разность pl - p2 значений множителя р. Это требует внесения соответствующих изменений в метод решения, но основная идея остаётся прежней. 1. Уравняем работу, выполненную учеником, до работы, выполненной мастером. 2. 6 ч • 3 = 18 ч — таким было бы время работы ученика. 3. 8 дет./ч • 18 ч = 18 дет./ч • 8 ч — работа с производительностью 8 дет./ч за 18 ч равна работе с производительностью 18 дет./ч за 8 ч. 4. 18 дет./ч - 8 дет./ч = 10 дет./ч — на столько больше производительность мастера, и это соответствует условию. Ответ. 18 дет./ч. 9 72 1. Величина a есть произведение величин b и c , т. е. a = bc. Известны сумма bl + b2 значений bl и b2 множителя b и значения cl и с2 множителя c при неизменном произведении а. Какое из значений — cl или c2 — больше? Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 663. На отрезке PQ длиной 45 см выбрана точка A, и на полученных частях AP и AQ, как на сторонах, построены равносторонние двенадцатиугольник и восьмиугольник (рис. 238). Найдите периметры двенадцатиугольника и восьмиугольника, учитывая, что периметр восьмиугольника в 3 раза меньше (см. форзац 1). 664. На отрезке RS длиной 90 дм выбрана точка B, отстоящая от точки R на 48 дм, и на полученных частях BR и BS, как на сторонах, построены равносторонние многоугольники, причём периметр многоугольника со стороной BR в 2 раза меньше (рис. 239). Найдите количество сторон каждого многоугольника, учитывая, что в сумме они дают 23. 665. Есть 30 одинаковых пакетов с морковью и 72 одинаковых пакета с картофелем, причём пакет с морковью весит на 3 кг меньше пакета с картофелем. Найдите, сколько весит пакет с морковью, учитывая, что картофеля в пакетах в 6 раз больше, чем моркови. Рис. 238 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 73 666. Есть шестикилограммовые пакеты с картофелем и двухкилограммовые пакеты с морковью. При этом пакетов с картофелем на 40 больше, а картофеля в них в 7 раз больше, чем в пакетах с морковью. Определите, сколько овощей во всех этих пакетах (см. форзац 3). 667. В Брест из Полоцка и Мстиславля выехали два автомобилиста (рис. 240). Найдите скорости движения полоцкого и мстиславльского автомобилистов, учитывая, что они относятся как 15 : 14 и то, что полоцкий автомобилист затратил на дорогу на 2 ч меньше. 668. В Гродно из Черикова и Пинска выехали два автомобилиста (рис. 241). Найдите время дви- Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" жения чериковского и время движения пинского автомобилиста, учитывая, что они относятся как 3 : 2 и то, что скорость пинского автомобилиста на 24 км/ч меньше. 669. Путешественник 3 ч ехал на машине и затем 10 ч поездом и всего проехал 840 км. Определите скорость поезда, учитывая, что она относится к скорости машины как 3 : 4. 670. Первый автомобилист выехал из одного населённого пункта со скоростью 76 км/ч, второй выехал через некоторое время навстречу первому со скоростью 90 км/ч. Когда они встретились, то оказалось, что вместе они проехали 1224 км. Определите время движения первого автомобилиста, учитывая, что оно относится ко времени движения второго как 3 : 2. 671. Запишите формулу, связывающую массу M израсходованных семян, норму m высева и площадь S поля. Скажите, как найти: а) массу израсходованных семян, если известны норма высева и площадь поля; б) норму высева, если известны масса израсходованных семян и площадь поля; в) площадь поля, если известны масса израсходованных семян и норма высева. 672. Объясните, почему истинно равенство 90 • 390 = 390 • 90. Используя его, объясните, почему истинно равенство: а) 9 • 390 = 39 • 90; б) 18 • 390 = 78 • 90; 673. Найдите: а) НОД (18; 24); б) НОД (90; 390; 180); в) 45 • 390 = 195 • 90; г) 3 • 390 = 13 • 90. в) НОД (90; 390); г) НОД (90; 360; 108). 75 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" * * * 674. В примере на деление делимое и делитель увеличили в 3 раза. Определите, изменились ли частное и остаток. 675. При умножении некоторого двузначного числа на все однозначные числа, кроме нуля, получаются произведения с одной и той же суммой цифр. Какое это число? 676. Нарисуйте, как нужно разрезать треугольник на три части, чтобы из них можно было сложить прямоугольник. 23. Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Пример 1. Сравним дроби - и 3. 2 3 5 5 Дроби — и — состоят из двух и из трёх пятых 55 долей (рис. 242). Вторая дробь содержит столько же долей, как и первая, и ещё одну. Поэтому вторая дробь больше первой. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше (рис. 243). 2 5 1-1.1 5 5 5 76 _3 5 3 = (1 + 1\+ 1^1 + 1 5 (55^5 55 Рис. 242 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Знаменатели равны Знаменатели равны Числитель первой дроби меньше: Числитель первой дроби больше: 2<3 7>3 Рис. 243 3 3 Пример 2. Сравним дроби - и Эти дроби 4 5 имеют одинаковые числители, т. е. они состоят из одинакового количества различных долей. Поэтому сравним сначала сами доли. Понятно, что четвёртая доля некоторой величины больше пятой доли этой же величины (рис. 244, а). Поэтому и 3 > 3 (рис. 244, б). 45 1 4 3 > 3 4 5 Рис. 244 _3 4 3 > 3 4 5 Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше. Пример 3. Упорядочим дроби :5, и по 11 11 13 возрастанию. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 77 У дробей YY и одинаковые знаменатели и г гг 5 7 5 < 7, поэтому 11 < 11. У дробей ^ и 11 одинаковые числители и 1 о i i 5 5 13 > 11, поэтому 13 < 11. о ^5^7 Значит, 13 < п < П- 3 Задача 1. Картофель посадили на у участка, а томаты — на 2 его. Какая часть участка занята этими культурами? Рисунок 245 показывает, что если к 3 седьмым долям участка, занятым картофелем, прибавить 2 такие же доли, занятые томатами, то получится 5 седьмых долей- 3 + 2 _5 7 Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, оставив тот же знаменатель: a b a + b —I— —------ n n n 7 Задача 2. Картофель и томаты занимают — 8 4 участка, а только картофель — — его. Какая 8 часть участка занята томатами? Рисунок 246 позволяет понять, что если из 7 восьмых долей участка, занятых картофелем и 78 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 246 Т_ 8 4 8 7-4 8 3 8 томатами, вычесть 4 такие же доли, занятые картофелем, то получится 3 восьмых доли. Чтобы из одной дроби вычесть другую дробь с таким же знаменателем, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, оставив тот же знаменатель. a b _ a - b n n n ’ 1. Какая из двух дробей с одинаковыми знаменателями • меньше; больше? 2. Какая из двух дробей с одинаковыми числителями больше; меньше? 3. Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями? 4. Как из одной дроби вычесть другую дробь с тем же знаменателем? 677. Для каждой дроби можно указать дробь, меньше её, и дробь, больше её. Например, 2 < 3 < 4. Укажите такие дроби для дроби: 5 5 5 а) 1; б) 171; в)|; г) Т1; д)112. 678. Определите, при каких значениях переменной верно неравенство: ,.9 a 13 а)2 < ^2 < “2-; «ч ^ b ^ 5 ^ 10 10 10’ ) 20 < А ^ 25 в) 20 < 20 ^ 20. 679. Укажите все дроби со знаменателем: а) 9, которые меньше 59; 7 б) 8, которые больше — и меньше 2. 8 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 79 680. Назовите: а) две дроби со знаменателем 3, которые меньше 2; 3 б) четыре дроби со знаменателем 11, которые боль- 19 ше 11; в) четыре дроби со знаменателем 1, которые боль- 19 ше 11; г) четыре дроби со знаменателем 100, которые 19 меньше —. 10 681. Сравните числа: 2 5 г) 4 6 17 22 7 и 7 ; 7 и 7; ж) т и т 7 4 5 и 4; д) 4 9 0 и 9; з) 2 и 5 2 ; 12 17 е) 11 7 , 39 и 4. 5 и т; 1 и т; и) — ’ 12 682. Упорядочите числа по возрастанию: ,372 а) 9; 9; 9; б) 5. 0. 1. б) 2 ; 2 ; 2 ; ,728 в) 5; 5; 5; ,573 Г>6; б; б; , 20 11 18 16 8 д) 11; 11; 11; 11; 11; ,2120 е) 2 ; 2 ; 2 ; 2 . 683. Упорядочите числа по убыванию: 112 ; 11 ; 11 ,462 а*б; 5; 5; , 12 2 в)й; й; 11 111 11 3 10 5 12 0 б)3; 1в^; 3; Т; 3; , 13 5 15 3 9 г) —; 7; —; 7; 7. 684. Витя и Таня упорядочили вместимости по 3 убыванию. Витя упорядочил так: 2 л; - л; 1 л; 2 2 ^ ^ „^,11 — л; — л, а Таня — так: 2 л; - л; 1 л; — л; - л. 4 ’ ^ ’ ^^42 Найдите ошибку. 80 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 249 Рис. 247 Рис. 248 685. Запишите по возрастанию дроби, которые выражают часть величины, показанную на рисунке: а) 247; б) 248; в) 249. 686. Запишите 3 числа, которые удовлетворяют условию: а) a < 1; б) a < 2; в) a < 3; г) 1 < a < 1. 2 687. Упорядочите числа по возрастанию: 7 .. 3 3 _3; 3 16; 7' 688. Упорядочите числа по возрастанию: 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20; Т; Т; 18; 36; 7; 13; 13; ^ 8; 18 ; 18 ; 8 ; 7 ; 38 . 2 689. Олег истратил на хлеб — всех денег, на 9 7 40 15 молоко — —, на крупу — —, на лимоны — , 3 9 45 13 4 ^ 1^ 1^ 1^ 1^ 1^ 13’ а) б) 3 3 б) й; Ii; 3 5' 3 9‘ 40 ’ 40 ’ 40 всех денег. Определите: а) на покупку чего истрачено больше всего денег; б) на покупку чего истрачено меньше всего денег; в) какая часть денег осталась у Олега. 81 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 690. Какая из дробей больше: б) 5 6 в) 157 18 — или 6 5; 158 или 17; 13 3 г) 402 215 12 или 4; 403 или 193 ? 691. В бидоне было 23 л молока, долили ещё л. Сколько молока стало в бидоне? 692. За два дня выполнили 11 всей работы, при- 16 7 чём в первый день — — работы. Определите, ка- 16 кую часть работы: а) выполнили во второй день; б) нужно ещё выполнить. 693. Найдите сумму: 1 3 5 5 ’ 2 4 7 7 ’ 694. Найдите разность: а) б) , 3 9 ^ 11 11’ ч 5 1 ^ 8 8’ , 19 6 д) —+—; 21 21’ е) 23 18 100 100 а) б) а) б) а) б) 82 5 1 ; в) 13 9 ; д) 45 29. 9 9 ; 16 16 ; 69 69 ; 7 3 г) 15 9 е) 77 58 10 10 ; 17 17; 123 123 695. Выполните сложение: в) 1 2 414 ; 0 3 3 3 ’ 696. Выполните действия: 1 1 2 ; , 9 2 ^ 8 8 7 10; ч А д) 10 ч 1 1 е) тАг. 4 4 3 1 —I—; 5 5 4 2 ч 5 4 в) — + —; М0 10 ч 3 1 д) 7 7 ’ г)1-4; е) 7 3 1 2 4 3 1 2 ’ Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" ж) 4 - 3-Ж) 4 4’ , 3 5 3) 2 + 2’ ,112 и) — ^ —: ^333 к) 2 -1. ) 8 8 ’ а) б) 697. Вычислите: 33 7 10 25 100 100 100 100 900 90 8 1000 1000 1000 ’ в) г) , 13 3 л) 10 - ^o’ ,555 м) 6 + 6+в. 1000 999 9 9 971 671 30 30 698. Составьте все меньшие единицы дроби со знаменателями: а) 3’ б) 4’ в) 5’ г) 6. 699. Определите, при каком значении переменной верно равенство: ,,6 x 10 а) 7 + 7="Т’ -,^8 3 a б) 15 - 15 “ 15’ в) y-19 = ^ 10 10 10 ’ ,9 11 20 г) --^-= —. ^50 b 50 700. Определите, при каком значении переменной верно неравенство: ,1 , x а) 4 + ^ < 1’ 3 , x б) 7 + 8 < 1’ 1 x в) 3 + x < 2’ , x , 1 7 г) ^ + Ю < 10 ■ 701. Решите уравнение: 4^1 5 а) P + 9 = 9’ ^ 12 б) 7 + x = у’ , 1^ , 6 в) 51 - 1 = 51’ г) f _ 19 = И ) ' 27 27' 702. Сравните значения выражений: , 3 9 2 10 а) 11+11 и 11+11’ 31 25 44 35 ) 45 45 и 45 45’ ) 57 1^ 106 _ 29, в) 87 + 87 и 87 87' , 26 13 14 19 ^ 27 27 33 33' 83 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 9 703. Длина прямоугольника — м, а ширина на 16 16 м больше. Найдите периметр прямоугольника. 704. Нарисуйте 3 равных отрезка. Один разделите на 2 доли, второй — на 6, а третий — на 12 долей. По рисунку определите, во сколько раз: а) 1 больше 1; 2 6 б) 1 больше :1; 6 12 в) 1 больше 12; г) 1 больше 6; д) 3 больше 112; е) 5 больше -1. 6 12 705. В первый день машина сделала 8 рейсов, во второй — 11 рейсов и перевезла на 15 т зерна больше. Определите, сколько зерна перевезла машина за первый и за второй день. 706. Машина грузоподъёмностью 4 т перевезла на 14 т зерна меньше, чем вторая машина грузоподъёмностью 6 т. Определите, сколько зерна перевезли первая и вторая машины, учитывая, что они сделали одинаковое количество рейсов. 707. На отрезке AB выбрана такая точка K, что KA : KB = 3 : 4 (рис. 250). На отрезках-частях KA и KB построены равносторонние восьмиугольник и пятиугольник соответственно. Найдите периметры многоугольников, учитывая, что периметр восьмиугольника на 48 см больше. 84 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 1): Первый Второй многоугольник многоугольник Периметр На 48 см больше Длина стороны 3 доли 4 доли Количество сторон 8 5 Уравняем длины сторон многоугольников, например, до длины стороны второго многоугольника. Для этого длину стороны первого многоугольника уменьшим в 3 раза и затем полученный результат увеличим в 4 раза. Для того, чтобы периметр первого многоугольника не изменился, количество его сторон нужно уменьшить в 4 раза, а затем полученный результат увеличить в 3 раза. Получаем, что количество сторон первого многоугольника станет равным 8 : 4 • 3, т. е. равным 6. При равных длинах сторон периметр первого многоугольника больше на 48 см из-за того, что у него сторон больше на одну. Поэтому длина стороны уменьшенного первого многоугольника и, значит, длина стороны второго многоугольника равна 48 см. Поскольку второй многоугольник имеет 5 сторон, то его периметр равен 48 см • 5, т. е. 240 см. Тогда периметр первого многоугольника равен 240 см + + 48 см, т. е. 288 см. 708. На отрезке RS длиной 100 мм выбрана такая точка A, что AR - AS = 18 мм (рис. 251). На Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" отрезках-частях AR и AS построены равносторонние многоугольники, количества сторон которых относятся как 2 : 3. Найдите периметры многоугольников, учитывая, что у многоугольника со стороной AR периметр на 20 мм меньше. 709. Постройте угол, составляющий: а) 1 развёрнутого угла; б) 1 прямого угла; в) — полного угла; 12 , 5 .. г) 20 развёрнутого угла. 710. Отрезок OA координатного луча между числами 0 и 1 точками M, N, P, Q, R, S разделён на доли (рис. 252). Определите, какое число соответствует точке: а) M; б) N; в) P; г) Q; д) R; е) S. о ь- Рис. 252 о М —I— N -Ч— Р -ч- Q ч- R -Ч- S ч- А ч— 711. Перенесите рисунок 252 в тетрадь. Каждую из долей отрезка OA разделите на 3 меньшие доли. Постройте точку S, соответствующую числу 8, и определите, какое число соответствует точке: а) M; б) N; в) P; г) Q; д) R; е) A. 712. Нарисуйте круг. Разделите его пополам, каждую из полученных долей ещё пополам, потом ещё раз каждую долю пополам. Определите, какая часть круга получится, если взять: а) 5 долей; б) 6 долей; в) 4 доли. 86 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 713. Найдите отрезки, на которые данная точка разделяет данный отрезок длиной 376 мм, учитывая, что один из них в 7 раз меньше другого. 714. Дорога из Пружан в Ружаны (рис. 253) на карте показана линией длиной 25 мм. Определите, какую длину имеет на этой карте линия, изображающая дорогу из Кобрина до Баранович; из Сло-нима до Баранович. 715. Из 12 кг муки выпекают 16 кг хлеба. Сколько хлеба будет выпечено из 75 кг муки? 716. За 14 мин колесо сделало 35 полных оборотов. Определите, на какой угол оно повернётся за: а) 1 мин; б) 10 с; в) 1 с. 717. Антон сначала шёл со скоростью 5 км/ч, а потом снизил её до 4 км/ч и прошёл с меньшей скоростью на 6 км больше. Найдите, сколько времени шёл Антон с той и другой скоростью, учитывая, что он был в пути 6 ч. 718. Туристы за 7 ч прошли пешком и проехали автобусом 230 км. Найдите, сколько времени они шли пешком, учитывая, что автобус проезжал 87 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 70 км за час, а пешком туристы проходили 5 км за час. 719. Туристы 3 ч шли пешком и 5 ч ехали автобусом и всего преодолели расстояние в 340 км. Определите, с какой скоростью они шли пешком, учитывая, что эта скорость в сумме со скоростью автобуса даёт 70 км/ч. * * * 720. 9 одинаковых конструкторов вместе содержат меньше 100 деталей, а 12 таких же конструкторов — больше 130 деталей. Сколько деталей в одном конструкторе? 721. Четырём мотоциклистам нужно доставить пакет из одного места в другое за 250 км. Установите, смогут ли они это сделать, если полного бака топлива хватает мотоциклу на 120 км пути, учитывая, что получить топливо в дороге нельзя, можно только слить топливо из бака одного мотоцикла в бак другого. 722. Чётными цифрами записано 25 трёхзначных чисел. Докажите, что по крайней мере 7 из них принадлежат одной сотне. 24. Основное свойство дроби Пример 1. Мама угощала детей пирогом. Лене она дала 1 пирога, Васе — — и Янке — -3 пиро-4 8 12 га. Сравним части пирога, полученные детьми. Изобразим части пирога, полученные детьми, — получим рисунок 254, а—в. Видим, что если пирог разделить на 4 доли, а потом каждую из них ещё и пополам, то получит-88 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 254 ся 8 долей. При этом из 1 четвёртой доли получится 2 восьмых. Значит, Лена и Вася получили пирога поровну: 1 _ 2 4 _ 8. А если каждую из четвёртых долей разделить на 3 доли, то получится 12 долей, и при этом 3 двенадцатые доли составят 1 четвёртую долю. Значит, Лена и Янка также получили равные части пирога: 1 _ А 4 _ 12 . Как результат можем утверждать, что все дети получили одинаковые части пирога: 1 _ 2 _ А 4 _ 8 _ 12 . Обратим внимание на то, что вторая дробь получается из первой умножением числителя и знаменателя её на 2, а третья дробь — умножением на 3. 2 4 Пример 2. Сравним дроби — и —. Для этого ис- 3 6 пользуем основное свойство частного, заменив черту дроби знаком деления: 2 4 2 = 2 : 3 = (2 • 2) : (3 • 2) = 4 : 6 = 66. 89 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Значит, дроби 2 и 4 представляют одно и то 3 6 же число. Пример 3. Сравним дроби — и —. Получим: 8 24 36 = 36 : 24 = (36 : 3) : (24 : 3) = 12 : 8 = ^f. 24 8 36 11 1^ ^ 11 36 Значит, 24 = Y- Но т < у. Поэгому - < 2J. Отметим, что дробь — получена из дроби — 6 3 умножением на 2 её числителя и знаменателя, а дробь 12 — из дроби 36 делением на 3 числителя 8 24 и знаменателя (рис. 255). _6 3 Основное свойство дроби 6-2 _ 12 М _ 36:3 3 • 2 “ 6 24 “ 24 : 3 12 8 Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной дроби. Рис. 255 Основное свойство дроби даёт возможность преобразовывать дробь, заменяя её другой равной дробью. 3 Пример 4. Число - представим дробью со зна- 5 менателем 35. Обратим внимание на то, что новый знаменатель 35 больше исходного знаменателя 5 в 35 : 5, т. е. в 7 раз. Поэтому 3 _ 3^^ _ 21 5 _ 5 • 7 _ 35. Говорят, что дробь - привели к новому знаме- 5 нателю 35. Число 7, на которое умножили числи-90 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" тель и знаменатель дроби называют дополни- 5 тельным множителем. Понятно, что дробь 3 можно привести и к дру- 5 гим знаменателям, которые кратны числу 5: 5 12; 3 _ 15; 20’ 5_25’ ^. 2 3 3 А. 3 _ А. 3 10 ’ 5_15’ 5 5 12 Пример 5. Числитель и знаменатель дроби — имеют общий делитель 4. Поэтому её можно заменить более простой дробью: 12 _ 3 • 4 _ 3 20 _ 5 • 4 _ 5 . Говорят, что дробь 12 сократили на число 4 20 (рис. 256). Рис. 256 Рис. 257 Приведение к новому знаменателю •4 Сокращение Действия приведения дроби к новому знаменателю и сокращения дроби взаимно обратны (рис. 257). Не каждую дробь можно сократить. Например, дробь 3 сократить нельзя, так как числа 3 и 5 5 взаимно просты, они не имеют других общих делителей, кроме числа 1. Такая дробь называется несократимой. 91 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Дробь обычно сокращают на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. После такого сокращения общих делителей уже не остаётся, поэтому получается несократимая дробь. Каждую дробь можно заменить равной ей несократимой дробью. 72 Пример 6. Сократим дробь — (рис. 258). 60 Рис. 258 НОД (72,60) =12 6 ^ _ 6 90 5 5 Пример 7. Сократим дробь 162-490 700 • 243 ■ При сокращении дроби необязательно искать НОД её числителя и знаменателя. Можно сокращать последовательно. Обратив внимание на то, что числа 490 и 700 имеют общий делитель 10, а числа 162 и 243 делятся на 9, можем выполнить сокращение на 10 • 9: 18 49 1б2 • >90 = 18 • 49 • ^243 = 70 • 27 . 70 27 Теперь замечаем, что числа 18 и 27 делятся на 9, а числа 49 и 70 — на 7, и продолжаем сокращение: 2 7 1 >8 • ^9 _ 2 • 7 _ 7_ 70 • _ 10 • 3 _ 15 . 10 3 5 Иной раз полезно не уменьшить, а, наоборот, увеличить знаменатель дроби. Это мы делали в примере 4. 92 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1. Сформулируйте основное свойство частного. * 2. Что заменяет в дробном выражении черта дроби? 3. Сформулируйте основное свойство дроби. 4. Какое действие называют приведением дроби к новому знаменателю? 5. Как называют число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби? 6. Какое действие называют сокращением дроби? 7. Какую дробь называют несократимой? 8. Как данную дробь заменить равной несократимой дробью? 723. Как нужно изменить знаменатель дроби, чтобы величина дроби не изменилась, если: а) числитель дроби умножили на 5; б) знаменатель дроби разделили на 5? 724. Найдите равные дроби среди дробей: 50 .. 7 10 30 21 1 , 6 20 1 4 а) 12; 55; 2; 11; 100’ б) -• ^ ^ 10^ 300 24 10' 725. Замените число: 5 а) - дробью со знаменателем 42; 4 б) Ц дробью с числителем 76. 726. Восстановите записи: 3 * 12 21 * * 102 * * 7 21 * * 63 84 * 2D 126 727. Сравните дроби: а) 1 3 2 и б; , 15 3 Г) 25 и ж) 21 15 и 35; б) 1 3 2 и 5; , 3 5 д) 4 и 8; з) I 25 и 30; в) 4 2 6 и 5; Л 7 5 , е) 39 и 26 ; и) ^ 65 и 195 . 126 93 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 728. Упорядочите величины по возрастанию: ,3 1 4 а) 2 м; 2 м; 2 м; 7 11 2 б) —кг; —кг; —кг; 10 10 10 ,5 1 3 в) 4 ч; 2 ч; 4 ч; 4 0 4 20 г) 2 т; 2 т; 10 т; ,8 5 12 д) 5 дм; 2 дм; — дм; е) 10 км ^ i2^ 1 км 100 ’ 1000 ’ 2 729. Сократите дробь: км 2 а) 22 44 ; 4 14 д) 52; и) б) 45 ; 90 ; е) 14 ■ к) в) 35 . 140 ; ^ 9173 ж) 15-6 51 ; л) г) 45 . 270 ; 15-6 13 з) 9-5-6-26; м) 8 • 11 • 19 3 19 • 22' 4 • 20 ; 25 • 56 • 98•154 33 • 70 • 42•280 6^10^18^21, 8 •15 •27 ’ 144 • 98 • 24 12' •42 •168 ■ 730. Вычислите и ответ запишите несократи- мой дробью: а* 25 ; 4 6 4 ^9 12 б) 215-3 4; , 12 3 е) 16 12 ; 4-13 +13-17 в) 9^13 - 5^13 ; , 21 5 Ж) 28 - 20; 21 39 - 13 21 г) 7 37 - 7 11 ; з) А +18 - 2 М8 27 6 731. Самые большие птицы — в надотряде птиц-бегунов. Масса нанду достигает ^ ц, эму тя-94 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1 1 желее нанду на ^0 Ц, казуар тяжелее эму на 4 ц, а страус тяжелее казуара на — ц. Найдите массы этих птиц в килограммах. 732. Выразите в одинаковых долях: , 3 2 а) 5 и 3; 1 5 б) 2 и 6; , 2 5 в) 9 и !2; . 4 3 г) 12 и 5. 733. Приведите дроби к общему знаменателю: Ч 1 1 а) 4 и 3; 5 7 б) 6 и 8; ч 1 4 В) 2 и 5; 5 4 г)П и 3з; .11 1 д) 2, 3 и 5; ,27 4 е) Т5, 20 и 25; ,117 101 ж) 4, 6, 15 и 120; ) 15 X 11 з) 4 , 6 , 30 и 45 . 734. Приведите дробь: а) 1 к числителю 2; 4; 6; 8; 11; б) 1 к числителю 3; 5; 7; 9; 10; 13; в) 19 к числителю 3; 4; 6; 8; 10; 12; г) -6 к знаменателю 4; 6; 24; 60; 18; 12 4 д) 10 к знаменателю 5; 20; 40; 15; 25; 14 е) 42 к знаменателю 21; 6; 3; 9; 63. „ - 72 60 48 84 12 735. СокРатите дроби 96, 20, 36, Tic и 080 на: а) 2; б) 3; в) 4; г) 6. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 95 736. Укажите действие, c помощью которого от левой части равенства перешли к его правой части: а) 2 = 16; ) 3 24’ 3 21 б) 4 = 28’ , 4 20 в) 5 = 25’ , 7 28 Г) 8 32 ’ , 24 4 Д) 54 = 9 ’ е) 63 72 7 8 20 , 80 40 ж) ^48 = 24’ ) 93 = 31’ з) 27 9 ’ , 7 56 ^ 13 104 737. Сократите дробь — на все возможные числа. 738. Приведите, если возможно, к знаменателю 48 число: а) 1’ г) 3’ ж) ![’ к) 2’ б) 11’ д) з7^’ з) ^’ з) 24’ л) 10’ в)1; е) 5’ е) б’ и) 2’ м) 111. 739. Приведите , если возможно, лю 80 дробь: а) 1’ г) 3’ г) 2’ ж) 12 ’ ж) 37’ к) 4’ 20 б) А’ ч 5 д)2’ з) И’ л) 20’ в) ^’ в) 17’ е) 10’ е) 9 ’ и) м) 222. 740. Приведите, если возможно, к знаменателю 10 или знаменателю 100 дробь: 1’ 1’ 1’ 1’ 1’ 1’ 1’ 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ б’ 7’ 8’ 9’ X’ А’ А’ А’ 35’ 20 ’ 25 ’ 20 ’ 30 ’ 50 ’ 9 13 113 а) б) ) 57’ 150 в) б5’ 75 ’ 30’ б5’ 1130. 96 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 741. Со знаменателем 24 запишите дробь: 100 10 30 а) 9; ^; 5; 10; 12; 4 6 8 б) 40 ; 20 ; ) 48 ; 96 ; 120 24^ 72 ■ 742. Определите, сокращением или приведением к новому знаменателю получается одна дробь из другой: 27 , 5 20 а) 6 и 24 ; . 9 2. в) — и — 9 18 — и — 16 32 15 72 45 6 г) 777 и —. 96 8 а) б) а) б) а) б) в) г) 743. Докажите, что равны дроби: 8 12 , 30 45 12 и 18; в) 48 и 72; 18 24 . 20 8 48 744 32 12 ; 64 56; 14 Сократите дробь: 120 в) г) 160 320 д) е) 92 ; 138 ; 1386 96^ 1848 ■ 745. Запишите дробь натуральным числом: 28 д) 144 и) 480 7 ; 12 ; 160 ; 54 е) 125 к) 105 9 ; 25 ’ 15 ’ 120 ж) 56 л) 192 10 ; ^; 96 ; 11 з) 81 м) 438 т; 27 ; 73 ■ 746. 4 — и —: а) б) - и Приведите к общему знаменателю дроби: 5 5 1 2 9 11 16 , 3 3 в) 2 и 5; , 7 16 г) 10 и Тб’ , 2 3 Д*ТТ и 5; т 4 7 "*15 и 9; 97 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" ж) 4 и 2; 4 и , 5 15 и» 4 и , 22 55 к) Т и 100 747. Упростите: 7-5 15-24 а) 45 • 8 ’ в) 6-4 4 15 7-18 б) 16-24’ г) 63-4’ д) , 5 3 л) 6 и 20’ ч 7 1 м) 15 и 13- 12-3 16-9 ’ 18 32 е) 8 16 ■ 748. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: 1 5 6 4 в) 5 8 7 и 20’ д) 4 1 9 и 6’ г) 7 8 1 и 12’ е) 15 7 6 и 2 ^ 10 15' 749. Сократите дроби и приведите их к наименьшему общему знаменателю: а) 15 70 20 и 10 96 70 б) —, — и 10^ 180 22^ '''7^ 10^* 144 750. Сравните дроби, приведя их к общему числителю: 4 1 2 а) 2 и 3’ 2 6 б) 3 и 7’ , 4 12 в) 9 и 25’ , 15 3 г) 67 и Та’ , 21 3 д) 37 и 5’ , 8 2 е) — и —. ^ 17 5 751. Запишите числа по убыванию: г) 98 1 ’ 3 ^ 11 . 13 . 31 . 2 ’ 7 ’ 20 ’ 30’ 70 ’ 2 ’ 5 ’ 10 _ 11 _ 11 ’ 3 ’ 6 ’ 25 ’ 21’ 23 ’ 2 ’ 4 8 ’ 13 . 16 . 32 . 32 3 ’ 5’ 9 ’ 13 ’ 17 ’ 39 ’ 31 16 . 18 12 _ 3 . 12 . 15 17 ’ 17 ’ 19 ’ 4 ’ 17 ’ 19 • Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 752. Из одного килограмма глины вылепили 9 одинаковых зубров, а из другого — 7 одинаковых бегемотов. Определите, что тяжелее — 5 бегемотов или 7 зубров. 753. На отрезке KL длиной 47 см выбрана такая точка P, что PK - PL =11 см (рис. 259). На отрезках-частях PK и PL, как на сторонах, построены равносторонние многоугольники, у которых вместе 22 стороны. Найдите периметры многоугольников, учитывая, что у многоугольника со стороной PK периметр на 67 см меньше. Из условия о том, что отрезки PK и PL вместе составляют 47 см и PK - PL = 11 см, находим, что PK = (47 см + 11 см) : 2 = 29 см, и PL = 29 см -- 11 см = 18 см. С учётом этого условие задачи представим краткой записью (см. форзац 3). Допустим, что оба многоугольника имеют одинаковое количество сторон, тогда этих сторон будет 22 : 2, т. е. 11. С учётом этого периметр многоугольника со стороной PK был бы равен 29 см • 11, т. е. 319 см, а периметр многоугольника со стороной PL — 18 см • 11, т. е. 198 см. Значит, периметр первого многоугольника на 319 см - 198 см , т. е. на 121 см, больше. Но по 99 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" условию этот периметр на 67 см меньше. Получается, что периметр многоугольника со стороной PK нужно уменьшить на 121 см + 67 см, т. е. на 188 см. Если на единицу уменьшить количество сторон первого многоугольника (со стороной PK) и увеличить на 1 количество сторон второго многоугольника (со стороной PL), то отличие периметров этих многоугольников уменьшится на 29 см + 18 см, т. е. на 47 см. Поэтому количество сторон первого многоугольника нужно уменьшить, а количество сторон второго многоугольника нужно увеличить на 188 см : 47 см, т. е. на 4. Поэтому многоугольник со стороной PK имеет 11 - 4, т. е. 7 сторон, а многоугольник со стороной PL — 11 + 4, т. е. 15 сторон. Значит, периметр многоугольника со стороной PK равен 29 см • 7, т. е. 203 см, а периметр многоугольника со стороной PL — 18 см • 15, т. е. 270 см. 754. На отрезке XY длиной 104 мм выбрана точка T (рис. 260) и на отрезках-частях TY и TX, как на сторонах, построены равносторонние одиннадцатиугольник и восьмиугольник соответственно. Найдите периметры многоугольников, учитывая, что периметр восьмиугольника на 34 мм больше. 755. Чтобы засеять 10 га рожью и 5 га озимой пшеницей, понадобилось 3 т 70 кг семян. Найдите нормы высева ржи и Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" пшеницы, учитывая, что пшеницы на 1 га высевали на 40 кг меньше, чем ржи. Условие задачи представьте краткой записью. Явления, описанные в задаче, — посев ржи и посев пшеницы — отличаются в двух отношениях: засеяны разные площади и нормы высева разные. «Откажемся» от второго отличия, т. е. допустим, что нормы высева одинаковые и равны, например, норме высева ржи. Тогда бы на 5 га, на которых была посеяна пшеница, было бы израсходовано семян больше на 40 кг/га • 5 га, т. е. на 200 кг. А всего было бы израсходовано семян 3070 кг + 200 кг, т. е. 3270 кг. Этими семенами была бы засеяна площадь, равная 10 га + 5 га, т. е. 15 га. Поэтому расход семян на гектар, т. е. норма высева ржи, равен 3270 кг : 15 га, т. е. 218 кг/га. Тогда норма высева пшеницы равна 218 кг/га - 40 кг/га, т. е. 178 кг/га. 756. На первом поле посеяли ячмень с нормой высева 180 кг/га, на втором, площадь которого на 8 га больше, — тритикале с нормой высева 175 кг/га. Найдите площади полей, учитывая, что всего было израсходовано 14 т 180 кг семян. 757. Найдите число: а) при делении на которое числа 2236 получается неполное частное 31 и остаток 66; б) при делении которого на 70 получается неполное частное 21 и остаток 3; в) наибольшее из двузначных чисел, при делении которого на 13 получается остаток 7. Определите, каким при этом будет неполное частное. 101 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 758. На координатном луче в одном направлении отложены три отрезка AB, BC, CD, причём каждый следующий отрезок вдвое длиннее предыдущего. Учитывая, что точка C имеет координату 256, а середина M отрезка CD — координату 320, найдите координаты точек A, B, D и середин K и L отрезков AB и BC. 759. Через точку M внутри угла ABC, равного 65°, проведены две прямые, которые пересекают стороны BA и BC в точках P, K, L, Q ( рис. 261). Найдите углы четырёхугольника BPML и треугольников LMQ и PMK, учитывая, что прямая PQ пересекает сторону BA под прямым углом, а прямая KL — сторону BC под углом в 74°. 760. За несколько ручек по 2000 р. уплатили в 3 раза больше, чем за несколько карандашей по 1200 р. Найдите, сколько куплено ручек и сколько карандашей, учитывая, что всего их оказалось 14. 761. За 10 ручек уплатили в 3 раза больше, чем за 5 карандашей. Найдите цену ручки и цену карандаша, учитывая, что в сумме эти цены составляют 3000 р. 102 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" * * * 762. Решите уравнение НОК (16; х) + x = 60. 763. Двузначное число получается из трёхзначного после зачёркивания одной цифры. Сумма этих чисел равна 187. Найдите числа. 764. В каждом из 75 ящиков лежит не более 17 предметов. Докажите, что по крайней мере в 5 ящиках лежат одинаковые количества предметов. 25. Смешанные дроби Разделим каждый из двух прямоугольников на пять долей (рис. 262). Три из этих долей составляют дробь 3 (рис. 263), пять — дробь - (рис. 264), 57 5 семь — дробь - (рис. 265). У первой из получен- 5 ных дробей числитель меньше знаменателя, у второй — числитель равен знаменателю, у третьей — числитель больше знаменателя. 1 5 1 1 1 1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 \^\ 1111 1111 1111 1111 1111 1111 Рис. 262 Рис. 263 5 7 5 5 Рис. 264 Рис. 265 Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной. Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной (рис. 266). 103 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Дробь т п , правильная, если т<п 'неправильная, если т'^п 1 3 31 2 5 32 7 5 10 5’ 5’ 2 Рис. 266 Пример 1. Изобразим на координатном луче 3 5 7 ЧИСЛа 5’ 5’ 5 3 Чтобы изобразить дробь —, нужно единичный 5 отрезок разделить на пять долей и отложить три такие доли (рис. 267, а). 5 Дробь — изображается той же точкой, что и 5 число 1 (рис. 267, б), так как 5 пятых долей составляют единичный отрезок OE. 7 Чтобы изобразить дробь —, снова единичный 5 отрезок разделим на пять долей и отложим семь таких долей (рис. 267, в). Правильная дробь меньше числа 1, неправильная — больше или равна числу 1. О Е 0 3 5 1 О Е 0 5 5 О Е 0 + 1_ 5 104 Рис. 261 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" в ф я. i iy i g i®e® Рис. 268 Задача. Есть 7 яблок, которые нужно разделить поровну между тремя детьми. Сколько яблок получит каждый ребёнок? Задача решается делением — получим 7 : 3 = 7 7 = - (рис. 268). Каждый ребёнок получит — яблока. 3 3 Можно рассуждать и иначе. Каждому ребёнку достанется по 2 целых яблока и ещё по 1 оставшегося яблока. Для такого числа, которое складывается из натурального числа и дроби, принято обозначение 2^3, которое означает сумму чисел 2 и 1 (рис. 269). Сумму натурального числа и правильной дроби, записанную без знака «+», называют смешанной дробью. При этом первое слагаемое называют Смешанная дробь У ^ целая часть ^ ^ дробная часть Читается: «Две целых и одна третья». Рис. 269 105 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" целой частью смешанной дроби, а второе слагаемое — его дробной частью (см. рис. 269). Каждую смешанную дробь можно выразить неправильной дробью. Пример 2. Представим неправильной дробью 2 смешанную дробь ^ (рис. 270). 5 ““I 3»5 , 2 1-5^5 3-5 + 2 И 5 Рис. 270 Смешанная дробь равна обыкновенной дроби, у которой тот же знаменатель, а числитель является суммой числителя дробной части и произведения целой части на знаменатель дробной части (рис. 271). Рис. 271 Каждую неправильную дробь можно выразить смешанной дробью. Пример 3. Выразим неправильную дробь смешанной дробью. Выделим из неё целую часть: 25 : 7 = 3 (ост. 4). Значит, 25 = 7 • 3 + 4. Поэтому: 25 _ 7-3 + 4 _ 7^3 7 _ _ 4 _ 3 7 7 7 Пример 4. Запишем дробь дробью (рис. 272). 106 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 44 4 _ 34. 7 7 932 „ смешанной 37 932 74 ML 25 192 185 932 = 37* 25 + 7 932 7 Рис. 272 Чтобы неправильную дробь выразить смешанной дробью, нужно разделить с остатком её числитель на знаменатель; неполное частное является целой частью смешанной дроби, а остаток — числителем дробной части (рис. 273). Рис. 273 Пример 5. Сравним числа 275 и ^З3. Запишем числа смешанными дробями: 25 ^4 13 Л 7^33 Видим, что первое число меньше числа 4, а второе — больше этого числа: 25 1 275 < 4 и 4 < 411 (рис. 274). о 25 Л Значит, — < 43. + ^7 3 Рис. 274 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 107 Из двух чисел больше то, целая часть которого больше. Если целые части чисел равны, то больше то число, дробная часть которого больше. 1. Какую дробь называют правильной и какую неправильной? 2. Как правильная и неправильная дроби связаны с числом 1? 3. Как дробное число изобразить на координатном луче? 4. Что называют смешанной дробью; целой частью смешанной дроби; дробной частью смешанной дроби? 5. Как читают смешанную дробь? 6. Как смешанную дробь выразить неправильной дробью? 7. Как неправильную дробь выразить смешанной дробью? 8. Как сравнивают смешанные дроби? 765. Запишите отдельными строчками правильные и неправильные дроби: 1 . 5. 13, 29 ; 21 ; 45 ; 86 ; 56 ; 12 ; 9 ; 91 « 75 ; 6; 6; 18; 18 ; 16 ; 16 ; 92 ; 92 ; 12 ; 7 ; 76 ; 76 ; 3131; 263 _ 192 _ 56 408 510 _ 510 ; 511 264 ; 264 ; 192 ; 192 ; 513 ; 409 ; 511 ; 1000 • 766 . Из дробей 1 7 13 ; 90 ; 32 ; 15; 8 • 36 _ 15 _ 3 ; 90 47 5; 6; 10 ; 18 ; 16 ; 16 ; 93 !; 36 ; 12 ; 7 ; 75 ; 45 ; 3113 ; 261; 149 ; 156 ; 408 ; 400 ; 500 ; 311 211 ; 216 ; 149 ; 192 ; 407 ; 200 ; 1000 ; 113 выпишите те, которые: а) меньше 1; б) больше 1; в) равны 1. 767. Запишите все: а) правильные дроби со знаменателем 6; б) неправильные дроби с числителем 6. 768. Определите, какую цифру может заменять 2a6 переменная a, учитывая, что дробь является 265 „ - aa5 „ неправильной, а дробь —------правильной. 81a 108 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 769. Нарисуйте отрезок длиной 6 см. Построй- те отрезки, которые от его длины составляют 3 Л .3 Л „ 4, 14, 14, 24, 14. По рисунку определите, сколько четвёртых долей содержит каждый из построенных отрезков. 770. Выразите неправильной дробью: а) 1!; б) 4f; в) 78; д) 124; 7 13 г) 87; е) 2б13 ж) 11т5; 15 з) 25il. 1^ ^ 34’ 771. Нарисуйте в тетради отрезок длиной 6 см. 7 Постройте отрезок, который составляет — его дли- 3 ны. С помощью рисунка поясните, как неправиль-7 ную дробь — заменить смешанной дробью. 3 772. Запишите смешанной дробью число: а) 5 3 ; , 127 в) 12 ; , 665 д) 22 ; , 432 Ж) 25 ; б) 15 7 ; , 147 г) 36 ; , 1213 55 ; , 2858 з) 19 • 773. Найдите целую и дробную части числа: а) 5; в) 15) 13 ; , 936 д) 100 ; , 349 ж) 17 ; 40 , 25 , 537 , 978 б> 1г; Г) ^7-; е) 53 ; з) 22 . 774. Покажите на координатном луче число: а) 3; в) 2; 3 д) 5; ж) 1^^; 1 3 6 1 б) 13; г) 23; ^ 10 ’ е> ю; з>29. 775. Между какими последовательными натуральными числами заключено число: а) 67. б) 122. в) 145. г) 247 ? ) 23; ) 12 . ) 13 . ) 82 ■ 109 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 776. Сравните числа: а) 20 21 в) 28 32 д) 411 440 3 и У; 7 и 8 ; 17 и 19 ; б) 17 г) 53 48 е) 301 376 4 и 4; 10 и т; 23 и 29 . 777. Запишите по: 4 11 . 50 2^ ^ _ 11 „ а) возрастанию числа —; —; 59; 7; —; 8; - 65 100 б) убыванию числа —; -ц- 126 ^ q2 1^ 11 778. Выделите целую часть, предварительно сократив дробь: 10 6 ; в) 10в) 15; ч 40 д)15; , 50 ж*1б; и) 72 45; 18 12 ; , 28 г) -8-; е) 42. е) 9 ; , 56 з) 12; к) 252 224 779. Определите, какое из чисел наибольшее и какое наименьшее: ,7 11 2 1 а)Ю; 1б; 3; 2; б) 21; 2-; ^^; 25. ^ ^ ^ 1^ 6 780. Найдите наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству: , ^ 113 779 ^ , а) a < 19; б) 1 k; 781. Выполните действия: в) 1 m t m 379 19 . ч 1З 1 а) +4; б) 4|- 2f; в) 51 - 41 + 51. ^2 2 2 782. Решите уравнение: ч q1 <^3 а) *+34=54; лч «3 к 7 б) 6— Z = ^ ; ^9 9 ’ ч . 3 .7 в) t-Тс=4l0. 783. Максим бежит со скоростью 8 км/ч, а Андрей едет на велосипеде со скоростью 18 км/ч. 110 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 275 Рис. 276 Найдите, на сколько метров в минуту сближаются Максим и Андрей, учитывая, что: а) Андрей догоняет Максима (рис. 275); б) Андрей и Максим движутся навстречу друг другу (рис. 276). 784. Найдите отрезки-части, на которые точка разделяет данный отрезок, учитывая, что одна часть относится ко второй как 5 : 3 и больше неё на 36 мм. 785. Нарисуйте отрезок SD и постройте окружности с центрами в точках S и D, радиусы которых равны 3 см и 2 см. Покажите на рисунке общие точки кругов, ограниченных этими окружностями, учитывая, что длина отрезка SD равна: а) 4 см; б) 5 см; в) 6 см. 786. Постройте угол величиной в 48° и на его сторонах от вершины отложите отрезки длинами 43 мм и 64 мм. Соедините концы этих отрезков. Вы построили треугольник. Измерьте третью его сторону. Измерьте один из углов и найдите вычис- 111 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Q R лением третий угол. Проверьте вычисления измерением. 787. На координатном луче отложены в одну сторону 3 отрезка AB, BC, CD так, что BC в 7 раз короче AB, а CD в 2 раза короче BC. Точка C имеет координату 290, а середина K отрезка AB — координату 236. Найдите координаты точек A, B, D и середин L, M отрезков BC и CD. 788. На рисунке 277 показан прямоугольный параллелепипед и указаны в дециметрах его измерения. Запишите три разных пути по рёбрам параллелепипеда из точки P в точку C кратчайшей длины и найдите эту длину. 789. В 500 г мака и 900 г проса насчитывается примерно 1930 тыс. штук семян, а в 250 г мака и 1100 г проса — 1095 тыс. штук. Сколько штук семян в одном грамме той и другой культуры? 790. Купили несколько карандашей по 1200 р. за карандаш и столько же ручек по 2000 р. за ручку. Найдите стоимость всей покупки, учитывая, что за карандаши уплатили на 4000 р. меньше. 791. Антон за 4 ручки уплатил на 4500 р. меньше, чем Аня за 7 таких же ручек. Найдите цену ручки. 792. Ира за 7 дней прочитала повесть, занимающую на 14 страниц больше повести, которую прочитал Олег за 12 дней. Найдите скорости, с которыми читали книги Ира и Олег, учитывая, что одна из них в два раза больше. 7 в S 7 /6 8 D Рис. 277 112 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 793. Янка читал по 15 страниц в день, а Зина — по 7 страниц в день. Янка прочитал повесть, занимающую на 36 страниц меньше повести, которую прочитала Зина. Найдите время, за которое прочитали повести Янка и Зина, учитывая, что Зина читала книгу в 3 раза дольше. 794. Есть два прямоугольных параллелепипеда — один с высотой 8 см, второй с высотой 9 см. Площадь основания второго параллелепипеда больше на 70 см2, а объём больше в три раза (рис. 278). Найдите: а) объёмы параллелепипедов; б) измерения оснований параллелепипедов, учитывая, что у первого параллелепипеда они отличаются на 1 см, у второго — на 9 см. 795. Есть два прямоугольных параллелепипеда — один с площадью основания 96 см2, второй с площадью основания 36 см2. Высота первого параллелепипеда больше на 3 см, а объём больше в 4 раза (рис. 279). Найдите: а) объёмы параллелепипедов; б) измерения оснований параллелепипеда, учитывая, что у первого параллелепипеда они относятся как 3 : 8, у второго отличаются на 5 см. Рис. 279 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 113 * * * 796. На какое наибольшее число частей четырьмя прямыми можно разделить круг? 797. У продавца было 6 ящиков с вишнями массами 15 кг, 16 кг, 18 кг, 19 кг, 20 кг, 31 кг. Два покупателя взяли 5 ящиков, причём один взял вишен по массе вдвое больше другого. Какой ящик остался? 798. Решите уравнение НОК (12; х) + НОД (12; х) = 42. 26. Сложение и вычитание дробей Мы умеем сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. А если знаменатели разные, то данные дроби заменяют равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Это можно сделать всегда, используя основное свойство дроби. Замену данных дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями называют приведением дробей к общему знаменателю. Пример 1. Приведём к общему знаменателю - 5 10 др°би 7 и 21. Больший знаменатель 21 делится на меньший знаменатель 7. Значит, число 21 может быть общим знаменателем данных дробей. Понятно, что этот общий знаменатель является наименьшим из 5 10 ^ tj л. \J I I всех общих знаменателей дробей — и —. Получи- 7 21 ли, что для решения нужно привести дробь 5 к знаменателю 21 (рис. 280). 114 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 5 и 7 21 21:7 = 3 л. 5. _ 15 7 21 15^10 21 21 3 и 2 4 5 Л ^ = 15 4 20 1 = А 5 20 15и А 20 20 Рис. 280 Рис. 281 Пример 2. Приведём к общему знаменателю й 3 2 дроби 4 и 5. Общий знаменатель данных дробей должен быть общим кратным чисел 4 и 5, которых бесконечно много: 20, 40, 60, ^. Возьмём наименьшее из них — число 20, равное произведению чисел 4 и 5 (рис. 281). Вообще, общим знаменателем дробей всегда можно взять произведение их знаменателей. Пример 3. Приведём к общему знаменателю дроби 9 и 12. Произведение 9 • 12, равное 108, является общим знаменателем данных дробей, но не является наименьшим. Поэтому используем такой приём. Будем последовательно перебирать числа, кратные большему знаменателю 24, и проверять, делятся ли они на 9. Число 24 на 9 не делится, а число 36 уже делится. Общий знаменатель 36 — 115 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" наименьший. Приведём дроби к этому знаменателю (рис. 282). Понятно, что наименьшим общим знаменателем дробей является наименьшее общее кратное их знаменателей. Пример 4. Территория Гомельской области со-39 ставляет 200 39 территории нашей страны, а Брест- ской — ----. Найдём: 250 а) какую часть эти южные области вместе составляют от территории всей страны; б) территория какой области больше и на сколько. а) Чтобы ответить на первый вопрос, сложим ^ 39 39 ^ дроби и , приведя их предварительно к об- 200 250 щему знаменателю 1000: 5 39 4 39 195 156 351 ют 116 200 250 1000 1000 1000 Гомельская и Брестская области вместе занима-351 1000 территории Беларуси. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б) Территория Гомельщины больше, так как 3^ ^ 39 „ „ „ —— > -—г. Найдем, на какую часть. Для этого 200 25^ ^ ’ 399 39 ^ нужно вычислить разность 5 4 39 39 195 200 250 156 39 . Получим: 200 250 1000 1000 1000 Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей, нужно предварительно привести их к общему знаменателю. На практике приведение дробей к общему знаменателю и выполнение действий совмещают в одной записи. Если в результате получается сократимая дробь, ее сокращают, в неправильной дроби выделяют целую часть. 9 11 Пример 5. Найдём сумму чисел — и ^ (рис. 283). А + И 14 21 27 + 22 42 49 42 1 6 4 Рис. 283 Для дробных чисел, как и для натуральных, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения. Пример 6. Найдём сумму чисел 3j2 и 5^. Поскольку смешанная дробь есть сумма целой и дробной частей, то, используя сочетательное и переместительное свойства сложения, получим: 32 15 = (3 + 5) ^3= 20 f 4 2 + 15 3 + — 2 15 5 1 = 20 3 'А 3 20 = 8 8 + 9 60 = 817 60 117 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Чтобы сложить смешанные дроби, нужно сложить отдельно их целые и дробные части и записать сумму полученных чисел. Пример 7. Найдём разность: а) 1- 9; 7 б) 6 - 7. ^ 9 9 а) Учитывая, что 1 =—, получим: 1 - 7 - 9 - 7 - 2 9-9 9-9‘ б) Учтём, что 6 = 5 + 1. Тогда: а 7 . , 7 .2 „ 2 6 ^- 5 +1 ^- 5 ^- ^. 9 9 9 9 Понятно, что промежуточные шаги можно выполнить и устно. 2 Пример 8. Найдём разность 11 - ^. 3 Будем вычитать постепенно — сначала целую 2 часть 3, а затем дробную часть - (рис. 284). 3 11-з| = 11 = 7— * 3 (11-3)-| = Рис. 284 5 5 Пример 9. Выполним вычитание 1^^ - ^. 5 Вычитая из 1^^ целую часть 6, получим: юА - 65 - - 5. 12 6 12 6 118 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Поскольку :5 < 5, то займём единицу в целой 12 6 части числа : 12 4А - 5 = 3 + 12 + А - 5 = 12 6 12 12 6 17 10 77 = 3 + 17 - 10 = 3 + — = 12 12 12 12 I. Сформулируйте основное свойство дроби. * 2. Какое число называется общим кратным данных чисел? 3. Как найти НОК двух или нескольких чисел? 4. Какое действие называют приведением дробей к общему знаменателю? 5. Какие числа можно выбирать в качестве общих знаменателей нескольких дробей? 6. Как при приведении к общему знаменателю определяют дополнительные множители дробей? 7. Как привести несколько дробей к общему знаменателю? 8. Как складывают дроби с разными знаменателями? 9. Как выполнить вычитание дробей с разными знаменателями? 10. Сформулируйте переместительное свойство сложения. II. Сформулируйте сочетательное свойство сложения. 12. Как складывают смешанные дроби? 13. Что делают, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого? 799. Для выращивания комнатных лимонов приготовили смесь из 1— кг дерновой земли, — кг 3 3 листовой земли, — кг перегноя и — кг речного песка. Найдите массу смеси. 119 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 800. Вычислите: ч 1 3 а) 1+ 1 1 ^ 4 8 ч 1 1 М0 15 ч 1 2 ^ 2 3’ ч 1 3 д) 1 - 5; е) 1 - 1 • ) 3 9; 1 -1^4; з) 1| - 5; и) 1+1; к) 5+ ) 6 + 10 ; ч о1 1 л) 23 м) 22 6 ’ 3 10 н) 6 - ^; о) 43 - 21; ^4 8 п) 5— - 2— ^ 15 10 ч и 1 1 5 р) 414 - 12^Т 15 10 41 -8 10 с) т) 801. Вычислите: ч . 3 а) 4 - 7; 4 5 в) 9 + 29 - 3 8 д) 35 - б) 9 -3 5’ г) 6 -4 5 6 + 13; 5 3 + тl; 7 е) 4 + 2~. — 5q . ' 4 8 3 802. Масса котёнка составляет - кг, а масса 3 5 ’ щенка — 1— кг. Определите в килограммах, а за- 4 тем в килограммах и граммах, что покажут весы, если котёнка и щенка взвесить вместе. 803. Выполните сложение и сделайте проверку: а)6+ ЙЧ о16 1 ^ 21 14 ч и5 „7 ^ 5 10 804. Выполните вычитание и сделайте проверку сложением и вычитанием: а) 12 - 3:78; в) 75 - 311; ^6 15 д) 6 б) 127 - ТТ; ^ 16 16 г) ^3 - 15; 10 6 е) 7 15 1 -8 - 10 . 7 '10 805. Вычислите: 111 1 1 ф в*iТ0 1 1 ; 2 4 8 3 2 1 г) 22 7 5 3’ 1 8 3- 1 4; 120 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 4 д) 619-3-^^; 28 35 з) 8 е) 514-23-13; 15 5 20 и) 7 . , 7 , 31 541 ж) 4 1 ; 10 100 1000 к) 6 10 - 77 3 ►--- 20 7 30 и 3 ,7 - 4--1— ; 100 20 60 1 10 1 8 3 4 806. Вычислите наиболее удобным способом: 4.3,7 _ 5 „ 1 7 .,1 а) 44 + 18 + 312 + 68 + 12 + 24 ; б) 22 31 3 41 4 «1 5 ^ + —. 6 12 807. Проверьте, верно ли равенство: 103 , ,^11 „„5 ,, 5 ,,, 97 а) 17— + 23— + 41— = 49------ ^ 38 61 59 716 „2 7 , 2 .,1 . 9 ^ 5 10 15 7 28 29 342 808. Найдите значение выражения: •' ' 4 • I )-lil - i8 б) 118-3—\-\ 13- 20 15 809. Решите уравнение: 4 7 11 ^ 12 18 Л4 7 6 ^ 11 7 4,2 5 в) 13- *=з; 4 4 11 ^ 15 12’ 4 ^ К 6 Д) 5 * + 5 * = 7; е) 611 -51 (= 5. ^6 6 8 810. В трёх пакетах был творог. Когда из перво- 1 7 го пакета взяли — кг, из второго — — кг, а из тре-4 10 3 , 3 тьего — — кг, то в каждом пакете осталось по ^ кг. 4 5 Сколько творога было в каждом пакете сначала? 811. Через одну трубу бак заполняется за 4 ч, а через другую — за 5 ч. Какая часть бака будет заполнена, если открыть обе трубы на 2 ч? 121 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 812. Сократите дробь и выделите целую часть: а) 24 б) 35; б) 25’ в) 350 г) 880 “"2^ "" 14^ 100 813. Глубокое и Середник — озёра Обстернов-ской группы озёр в Миорском районе. Найдите, сколько воды в каждом из озёр, учитывая сведения, представленные схемой на рисунке 285. Глубокое Середник 600 тыс. км® 1020 тыс. км® Рис. 285 814. В гостинице 24 одноместные и двухместные комнаты. Определите, сколько тех и других комнат, учитывая, что в них одновременно можно разместить 40 человек. 815. В 70 одинаковых пакетах картофеля и 20 одинаковых пакетах моркови находится 390 кг овощей. Определите, сколько весит пакет моркови, учитывая, что он вместе с пакетом картофеля весит 7 кг. 816. На первой ферме 400 коров, от которых надаивают за день молока на 6000 л больше, чем от 200 коров на второй ферме. Найдите, сколько молока надаивают в день на первой ферме, учитывая, что удойность коровы на ней в среднем на 5 л больше, чем на второй ферме. 817. Средняя удойность коровы на первой ферме составляет 25 л молока, что на 5 л больше средней удойности коровы на второй ферме, а всего на первой ферме надаивают за день молока на 3500 л больше. Найдите, сколько молока надаивают в 122 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 286 день на первой ферме, учитывая, что на ней на 100 коров больше. 818. Для посева ржи на площади 120 га и пшеницы на площади 275 га было израсходовано вместе 82 т 100 кг семян. Определите нормы высева ржи и пшеницы на 1 га, если ржи на 1 га высевали на 40 кг меньше, чем пшеницы. 819. Найдите смежные углы, учиты- 9 вая, что один из них составляет — второго. 820. У прямоугольного параллелепипеда, изображённого на рисунке 286, площадь грани ABCD в 2 раза меньше площади грани APSD и в 3 раза меньше площади грани DSRC. Найдите площади граней параллелепипеда, учитывая, что площадь грани DSRC на 24 см2 больше площади грани APSD. 821. На координатном луче в одном направлении отложены три отрезка AB, BC, CD, причём отрезок BC в 3 раза длиннее отрезка AB, а отрезок CD в 2 раза длиннее отрезка BC. Учитывая, что точка C имеет координату 768, а середина M отрезка CD — координату 832, найдите координаты точек A, B, D и середин K и L отрезков AB и BC. 822. 41 дм3 ёлки и 72 дм3 дуба вместе весят 78 кг 720 г. Сколько граммов весит 1 дм3 каждого материала, если 41 дм3 ёлки весит столько, сколько 24 дм3 дуба? 823. 200 г малины и 700 г вишен содержат 165 мг витамина C, а 300 г малины и 800 г вишен — 210 мг. Сколько витамина C содержит 100 г ка^к-дой ягоды в отдельности? 123 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 824. За 8 карандашей уплатили столько же, сколько за 6 ручек. Найдите цену карандаша и цену ручки, учитывая, что эти цены отличаются на 500 р. 825. Купили несколько карандашей по 1200 р. и несколько ручек по 1800 р. и уплатили за карандаши столько же, как и за ручки. Найдите, сколько купили карандашей и сколько ручек, учитывая, что ручек купили на 4 меньше. 826. Женя купил несколько карандашей по 2000 р. и на 4 меньше ручек по 5000 р., уплатив за всё 29 000 р. Определите, сколько карандашей и сколько ручек купил Женя. 827. Ира купила 3 ручки и 8 карандашей, уплатив за всё 14 800 р. Определите цену ручки и цену карандаша, учитывая, что ручка дороже на 900 р. 828. Турист сначала шёл со скоростью 4 км/ч, а затем ехал на велосипеде со скоростью 14 км/ч. Всего в пути он был 8 ч и на велосипеде проехал на 22 км больше. Найдите, сколько времени турист шёл пешком. 829. Первый автомобилист за 9 ч проехал на 201 км больше второго, который был в пути 6 ч. Найдите скорости движения автомобилистов, учитывая, что вместе эти скорости составляют 164 км/ч. * * * 830. Какие три цифры нужно дописать к числу 19 981 999, чтобы полученное число делилось без остатка на 7, на 8 и на 9? 831. Найдите наибольшее пятизначное число, у которого каждые две соседние цифры образуют двузначное число, делящееся на 13. Какое пятизначное число, ближайшее к этому числу, имеет это же свойство? 124 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 832. Найдите трёхзначное число, равное кубу суммы его цифр. 27. Задачи, требующие уравнивания произведений Рассмотрим теперь задачи, условия которых не содержат отношений значений величин зависимости a = bc. Задача 1. На первом и втором полях общей площадью 58 га посеяли соответственно люпин и вику, которых израсходовали 11 т. Найдите площади первого и второго полей, учитывая, что нормы высева люпина и вики равны 200 кг/га и 170 кг/га. В задаче использована зависимость M = mS расхода семян M от нормы высева m и площади S. Условие задачи представим таблицей: Первое поле Второе поле Расход семян 11 000 кг Норма высева 200 кг/га 170 кг/га Площадь 58 га В условии этой задачи даны сумма М1 + М2 значений произведения М, отдельные значения m1 и m2 одного множителя m и сумма значений S1 + S2 второго множителя S. Допустим, что на всей площади в 58 га высевали только люпин. Тогда израсходовали бы 200 кг/га • 58 га, т. е. 11 600 кг семян. Но на самом деле семян израсходовали меньше на 11 600 - 11000, т. е. на 600 кг. Это превышение расхода семян произошло из-за того, что на втором поле норма высева была больше действительной нормы высева на 200 кг/га - 170 кг/га, т. е. на 30 кг/га. Зна- 125 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" чит, площадь второго поля равна 600 кг : 30 кг/га, т. е. 20 га. А тогда площадь первого поля равна 58 га - 20 га, т. е. 38 га. Задача 2. На луче с началом A отложены два отрезка AP и AQ длиной 20 см и 30 см соответственно, на которых, как на сторонах, построены равносторонние многоугольники, причём первый многоугольник со стороной AP имеет на три стороны больше (рис. 287). Найдите периметр второго многоугольника, учитывая, что вместе с периметром первого многоугольника он составляет 410 см. В задаче использована зависимость P = an периметра многоугольника P от длины его стороны a и количества сторон n. Условие задачи представим таблицей: Первый Второй многоугольник многоугольник Периметр 410 см Длина стороны 20 см 30 см Количество сторон На 3 больше В условии этой задачи даны сумма Р1 + Р2 значений произведения Р, отдельные значения а1 и а2 одного множителя a и разность n1 - n2 значений второго множителя n. Рис. 287 126 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Допустим, что первый многоугольник имеет то же количество сторон, что и второй многоугольник. Это уменьшит периметр первого многоугольника на 20 см • 3, т. е. на 60 см, а сумма периметров станет равной 410 см - 60 см, т. е. 350 см. Поскольку теперь оба многоугольника имеют одинаковое количество сторон и сторона первого многоугольника в сумме со стороной второго составляет 20 см + 30 см, т. е. 50 см, то количество сторон каждого из этих многоугольников и, значит, действительное количество сторон второго многоугольника равно 350 см : 50 см, т. е. 7. Тогда периметр второго многоугольника составляет 30 см • 7, т. е. 210 см. Задача 3. Купили несколько ручек по 2000 р. и несколько карандашей по 700 р., причём за ручки уплатили на 4400 р. больше, чем за карандаши. Определите, сколько купили ручек, учитывая, что это количество на 3 меньше количества купленных карандашей. В задаче использована зависимость K = pn стоимости K покупки от цены p единицы товара и количества купленных единиц n. Условие задачи представим таблицей: Карандаши Ручки Стоимость На 4400 р. больше Цена 700 р. 2000 р. Количество На 3 меньше В условии этой задачи даны разность К1 - К2 значений произведения P, отдельные значения р1 и p2 одного множителя p и разность n1 - n2 значений второго множителя n. 127 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Уравняем количество купленных ручек до количества купленных карандашей, т. е. количество купленных ручек увеличим на 3. Тогда за ручки уплатили бы на 2000 р. • 3, т. е. на 6000 р. больше, и всего за ручки уплатили бы на 6000 + 4400, т. е. на 10 400 р. больше. Эта разность в стоимостях возникает из-за того, что цена ручки на 2000 - 700, т. е. на 1300 р., больше цены карандаша. Значит, увеличенное количество ручек и потому действительное количество карандашей равно 10 400 р. : 1300 р., т. е. 8. Поэтому количество купленных ручек равно 8 - 3, т. е. 5. Задача 4. С первого поля площадью 50 га собрали пшеницы на 500 ц больше, чем со второго поля площадью 30 га. Найдите урожайности полей, учитывая, что вместе они составляют 90 ц/га. Задача построена на зависимости m = pS собранного урожая m от урожайности поля p и его площади S. Условие задачи представим таблицей: Первое поле Второе поле Урожай На 500 ц больше Урожайность 90 ц/га Площадь 50 га 30 га В условии этой задачи даны разность т1 - m2 значений произведения т, сумма значений р1 + р2 второго множителя p и отдельные значения S1 и S2 первого множителя S. Допустим, что урожайности двух полей одинаковые, т. е. каждая из этих урожайностей равна 90 ц/га : 2, т. е. 45 ц/га. С учётом этого урожай с первого поля был бы равным 45 ц/га • 50, т. е. 2250 ц, а со второго поля — 45 ц • 30, т. е. 1350 ц. 128 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Получили, что урожай с первого поля на 2250 ц - 1350 ц, т. е. на 900 ц, больше. Но по условию этот урожай больше на 500 ц. Значит, урожай с первого поля нужно уменьшить на 900 ц - 500 ц, т. е. на 400 ц. Если на 1 ц/га уменьшить урожайность первого поля и увеличить урожайность второго поля, то отличие в урожаях с этих полей уменьшится на 1 ц/га • 50 га + 1 ц/га • 30 га, т. е. на 80 ц. Значит, таких уменьшений нужно выполнить 400 ц : 80 ц, т. е. 5. Значит, урожайность первого поля равна 45 ц/га - 5 ц/га, т. е. 40 ц/га, а урожайность второго — 45 ц/га + 5 ц/га, т. е. 50 ц/га. 1. Множитель a произведения 5а увеличили на 2. Как * изменилось произведение? 2. Как нужно изменить множитель b, чтобы произведение 3b уменьшилось на 12? 833. На отрезке MN длиной 22 см выбрана точка B, и на отрезках-частях BM и BN, как на высотах, построены прямоугольные параллелепипеды (рис. 288), площади оснований которых соответственно равны 84 см2 и 50 см2, а суммарный объём — 1406 см3. Найдите: а) высоты параллелепипедов; б) подбором измерения основания нижнего параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 5 см; в) подбором измерения основания верхнего параллелепипеда, учитывая, что одно из них в два раза больше другого. 129 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 834. На отрезке UV длиной 14 см выбрана точка C, отстоящая от точки V на 8 см, и на отрезках-частях CU и CV, как на высотах, построены прямоугольные параллелепипеды (рис. 289), площади оснований которых вместе составляют 1156 см2, а суммарный объём равен 7956 см3. Найдите: а) отдельные объёмы параллелепипедов; б) подбором измерения оснований верхнего и нижнего параллелепипедов, учитывая, что большее из них на 4 меньше удвоенного меньшего. 835. Участок, на котором посажен картофель, имеет форму шестиугольника, составленного из двух прямоугольников ABCD и EFGB (рис. 290). Стороны FG, GC и CD этого шестиугольника соответственно равны 4 м, 3 м и 7 м, а площадь — 1 а 44 м2. Найдите другие стороны шестиугольника. 836. Для детского сада купили несколько коробок цветных карандашей по 12 штук в коробке и на 4 меньше коробок цветных карандашей по 8 штук в коробке. Найдите, сколько коробок купили, учитывая, что в них всего 168 карандашей. 837. Для детского сада закупили 15 коробок цветных карандашей с одним количеством карандашей в коробке и 8 коробок цветных карандашей, в каждой 130 Рис. 290 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" из которых было на 6 карандашей больше. Найдите количество карандашей в коробках каждого вида, учитывая, что всего в коробках 324 карандаша. 838. В хозяйстве было 126 дойных коров. На следующий год дойных коров стало 138, и от них надоили за год на 83 160 кг молока больше, чем за предыдущий год. Найдите нынешнюю удойность коровы, учитывая, что прирост составил 180 кг (см. форзац 4). 839. В первом хозяйстве удойность коровы оказалась равной 5120 кг, а во втором — 5310 кг. Годовой надой второго хозяйства получился на 105 300 кг больше. Найдите количество коров в первом хозяйстве, учитывая, что оно на 15 коров меньше количества коров во втором хозяйстве. 840. С первого поля урожайностью 38 ц/га собрали на 116 ц пшеницы больше, чем со второго поля урожайностью 42 ц/га. Найдите отдельные площади полей, учитывая, что вместе эти площади составляют 102 га. 841. С первого поля площадью 41 га собрали ячменя на 142 ц больше, чем со второго поля площадью 47 га. Найдите отдельные урожайности полей, учитывая, что вместе они составляют 70 ц/га. 842. Запишите зависимость, связывающую периметр P равностороннего многоугольника, длину a его стороны и количество n сторон многоугольника. 843. Периметр первого равностороннего многоугольника равен 300 см. Найдите, чему равен периметр второго многоугольника, учитывая, что: а) он имеет столько же сторон, как и первый многоугольник, а длина стороны в 2 раза больше; 131 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б) его сторона равна стороне первого многоугольника, а количество сторон в 5 раз меньше; в) его сторона в 3 раза меньше стороны первого многоугольника, а количество сторон в 5 раз меньше; г) его сторона в 5 раз больше стороны первого многоугольника, а количество сторон в 10 раз больше; д) его сторона в 6 раз меньше стороны первого многоугольника, а количество сторон в 7 раз больше. 844. Есть разность 16t1 - 5t2 двух произведений 16t1 и 5t2. Укажите, как изменится эта разность, если: а) множитель t1 увеличить на 1; б) множитель t2 увеличить на 1; в) множитель t1 уменьшить на 1; г) множитель t2 уменьшить на 1; д) множитель t1 увеличить на 2; е) множитель t2 увеличить на 3; ж) множитель t1 уменьшить на 3; з) множитель t2 уменьшить на 2. 845. Есть разность 37p1 - 52p2 двух произведений 37p1 и 52p2. Укажите, как изменится эта разность, если: а) множители р1 и р2 увеличить на 1; б) множители р1 и р2 уменьшить на 1; в) множитель р1 увеличить на 1, а множитель р2 уменьшить на 1; г) множитель р1 уменьшить на 1, а множитель р2 увеличить на 1; д) множитель р1 уменьшить на 2, а множитель р2 увеличить на 3; 132 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" е) множитель pi увеличить на 3, а множитель р2 уменьшить на 5. 846. От Марьиной Горки до Гродно (рис. 291) машина ехала 4 ч, а назад — 5 ч, уменьшив свою скорость на 17 км/ч. Найдите расстояние по шоссе от Марьиной Горки: а) до Гродно; б) до Лиды, учитывая, что это расстояние относится к расстоянию от Гродно до Лиды как 58 : 27. * * * 847. Можно ли найти значение выражения я17, если разрешается выполнять умножение не более пяти раз? 848. Можно ли число 1 представить суммой пяти дробей с числителем 1 и разными знаменателями? 849. Найдите два числа, разность и частное которых равны пяти. 133 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" раздел Дроби: умножение и деление 28. Умножение и деление дроби на натуральное число Умножение дроби на натуральное число имеет тот же смысл, что и умножение натурального числа на натуральное, а именно произведение есть сумма одинаковых слагаемых. 3 Пример 1. За минуту Алесь прошёл ^ всего пути от дома до школы. Найдём, какую часть пути он пройдёт за 3 мин. По смыслу умножения путь, пройденный Але- Q 3 О сем за 3 мин, можно записать выражением ^' 3. Покажем весь путь отрезком MN, разделённым на 10 долей (рис. 292). За первую минуту Алесь пройдёт 3 десятые доли пути — отрезок MA, за вторую — ещё 3 десятые доли — отрезок AB, за третью — ещё 3 десятые доли — отрезок BN, а за 3 мин — 3 • 3 десятых долей. Получается, что путь, пройденный Алесем за 3 мин, можно передать выраже- м CZ V_ N "V А Y у 3 3 3 10 10 10 3 о 3 3 3 3 + 3 + 3 3*3 1о’^ 10 10 10 10 “ 10 134 Рис. 292 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 3 • ^ ^ ^ 3 • 3 нием ---. Учитывая, что выражения — 3 и —— ^ 10 10 выражают один и тот же путь, можем записать: А.3 = 3:3. 10 10 Чтобы умножить дробь на натуральное число, можно на это число умножить числитель, оставив неизменным знаменатель: ^ , a • k -• k = ---. n n Пример 2. Закрашенный на рисунке 293 прямо- 1 угольник показывает — долю огорода, которую 12 пропалывает Олеся за час. Найдём, какую часть огорода она прополет за 3 ч. По смыслу умножения часть огорода, прополотая за 3 ч, равна — • 3, на рисунке 294 она закрашена. 12 1 Но закрашенная часть составляет 4 огорода. Поэтому можно записать: — • 3 = ^. 12 4 1 Теперь обратим внимание на то, что дробь 4 получается из дроби -1, если её знаменатель 12 12 разделить на 3. Значит, — • 3 = 12 3 12:3. 1 12 Рис. 293 4 “ 12 •3 Рис. 294 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 135 Чтобы умножить дробь на натуральное число, можно на это число разделить знаменатель, оставив неизменным числитель. a г, — • k = n a n : k ■ Пример 3. Сравним с 1 дроби: 75, 13 и . 3 оХ 41 2о Замечаем, что дробь неправильная, она больше 1 и, значит, больше —. и й 3 13 1 Чтобы сравнить числа — и —, сравним снача- 43 3 ла втрое большие числа I3 • 3 и 1 • 3, которые равны 33 и 1. Поскольку дробь 341 — правильная, то 39 ^ ^ 39 41 <1. Поэтому третья доля числа 44 меньше „ 1 а 1^ 1 третьей доли числа 1. Это значит — < -. 43 3 тт 9 1 При сравнении чисел — и — поступим так же: 23 3 — • 3 = 37; 1 • 3 = 1. Поскольку дробь 37 являет- 23 2^ 3 23 „ 2^ . ^ ^ 1 ся неправильной, то — > 1, и поэтому — > -. 23 23 3 Разделить дробь на натуральное число означает уменьшить её в соответствующее количество раз. 4 Пример 4. За 2 ч бассейн был заполнен на — 5 своего объёма. Найдём, какая часть бассейна была заполнена за 1 ч. Представим заполненную часть бассейна на рисунке 295. Часть, которую нужно найти, в 2 раза 4 .. меньше числа —, её можно записать выражением 4 5 4 — : 2. Но разделить число — на 2 означает 4 пя- 55 136 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 295 5 Рис. 296 тых доли разделить на 2 (рис. 296) — получится 4:2 4 : 2 пятых доли, т. е. —^. Таким образом, 5 4 : 2 = 4: 2 5 Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно на это число разделить числитель, оставив неизменным знаменатель: a и — : k n a : k n Пример 5. На рисунке 297 показана 4 часть пирога, разрезанная на 3 доли. Найдём, какую долю всего пирога составляет один кусочек. Поскольку кусочек получен при делении 4 части пирога на 3 доли, то, по смыслу деления, величину кусочка можно записать выражением — : 3. С другой стороны, по-1 4 скольку из 4 части пирога получено 3 кусочка, то из целого пирога было бы получено 12 кусочков. Значит, каждый кусочек равен -1- пирога. Получается, что 12 1 • 3 = -4 ■ 12 ■ Дробь в правой части можно получить из дроби 4, если умножить на 3 её знаменатель. Таким образом, рис. 297 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 137 1 . 3 = 4 • 3 1 4 • 3 • Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно на это число умножить знаменатель, оставив неизменным числитель. ^ , a — : k =-. n n • k 1. Как выразить дробь суммой; произведением? 2. Как умножить дробь на натуральное число без изменения знаменателя дроби? 3. Как умножить дробь на натуральное число без изменения числителя дроби? Всегда ли это можно сделать? 4. Как разделить дробь на натуральное число без изменения числителя дроби? 5. Как разделить дробь на натуральное число без изменения знаменателя дроби? Всегда ли это можно сделать? 3 3 850. На рисунке 298 представлены дроби 8 и 4. Определите: а) какая из дробей больше и во сколько раз; 3 3 б) как число 4 получить из числа 4 • 3 8 _______л______ Рис. 298 "V 3 4 851. Увеличьте в 3 раза число: 56 ; 168 ; 792 4581. 852. Увеличьте двумя способами: , 21 „ в) — в 3 раза; . 13 fc г) 80 в 5 раз. а) 5; в)б; д) , 2 , 7 б) 5; Г) 24; е) а) ^ в 2 раза; б) 112 в 6 раз; 138 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 853. Во сколько раз нужно увеличить число 20, чтобы получить: а) 21; а) 20’ 33 б) 20’ в) I’ , 3 г) 4’ . 27 д) ю’ е) в) 12 больше 1U г) I7 больше ТГ! 854. Во сколько раз: ч 1 1 а) — меньше -’ О 2 1 1 б) 75 меньше 25’ 855. Какую долю единицы составляют: а) 3 двадцать четвёртые доли’ б) 7 пятьдесят шестых долей? 856. Сравните выражения: в) 21 а) 1 • 35 и 1 • 37’ 3 3 2 2 б) 2 • 36 и 2 • 36’ ^7 9 1 7 и 21 • Т’ 8 4 г) — • 15 и — • 14 . 23 25 857. Вычислите наиболее удобным способом: а) — • 31 + — • 79’ 11 11 б) 672-124 - 672-123’ 887 887 в) 347 • — + 347- — ’ ^ 13 13 г) 23-584 - — -584. 18 18 14 858. Ширина прямоугольника — см, а длина 3 в 3 раза больше. Найдите его периметр. 859. Найдите площади различных граней прямоугольного парал лелепипеда по размерам в метрах приведённым на рисунке 299. 860. Вычислите: 7+Г25 - 3 10 +10 J.[ 11 11 П+7'^ Га-А 20+20J.I15 15 а) 1 • 4 +1 • 3’ ^2 3 19 1 .г б) ------^7’ 6 6 в) г) 2 Рис. 299 139 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 861. Земляника занимает 1 площади 5 огорода (рис. 300). Коля прополол третью часть земляничной делянки. Какую часть огорода прополол Коля? ^ ^ 862. Сравните графически числа 3 и 9 и определите: а) какое из чисел меньше и во сколько раз; 2 2 рис. 300 б) как дробь 9 получить из дроби 3. 863. Первый рабочий за 3 ч выполнил 1 часть 1 5 работы, второй за 4 ч — 4 часть работы. Какой рабочий за час выполнил большую часть работы? 864. Уменьшите в 5 раз число: 211; 220; 105 107. 865. Уменьшите двумя способами: 15 о б) 16 в 3 раза. а) 4; в) 15. ) 23 ; , 365 д) 366; ж) б) 5; , 23 г) 35; , 987 е) 98 ; з) ч 16 . а) 17 в 4 раза; 866. Найдите частное: а) 8 :9; 9 21 б) — :7; ^ 34 5 в) - :12; ^ 3 г) — :50. ^ 30 867. Найдите значение выражения: 125 а) (19'6] б) 14 : (65 - 58; ■' (17 + S г, iTi?: (>■ . 4-); д) е) 76 183 26 45 147 147 (53 - 82 29 42. 24 868. Во сколько раз нужно уменьшить число —, 23 чтобы получить: а) ^; б) ^l; 23 46 в) б9; г ) —? г ) 69 • 140 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 6 м Рис. 301 Рис. 302 869. Запишите выражение, показывающее увеличение дроби в 6 раз и последующее уменьшение результата в 7 раз, и найдите значение записанного выражения: ^ 7 .,35 а) Tir; б) 717; в) 14в) 18; г) 301 288 1^ "42 870. Найдите: а) ширину прямоугольника по сведениям, приведённым на рисунке 301; б) высоту прямоугольного параллелепипеда, представленного на рисунке 302, учитывая, что его ^ 48 3 объём равен — М. 5 871. Найдите число, являющееся значением переменной в равенстве: а) 2 = — • ) 3 9; 84 12 б) 77 ^ —; 91 p , a 255 в) — =----- 18 408 872. Найдите отрезки, на которые точка делит данный отрезок длиной 180 см, учитывая, что отрезки-части относятся как 3 : 7. 873. У всех коров одного хозяина столько ног, сколько их у всех его индюков. Определите, сколько имеется коров и сколько индюков, учитывая, что индюков на 5 больше. 874. Определённую работу 160 рабочих выполнили за 96 дней. Какое количество рабочих выполнили бы эту работу за 120 дней? 141 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" А М Рис. 303 875. Встретились рак и щука. Рак спросил: «Сколько тебе лет?» — «А тебе сколько?» — «Мне 18». — «Тогда я в пять раз старше тебя да ещё на одну треть». Сколько лет щуке? 876. Найдите, сколько весит: а) воздух в вашей комнате, учитывая, что 1 м3 воздуха весит 1300 г; б) железный лист размерами 110 см на 240 см и толщиной 1 мм, учитывая, что 1 см3 железа весит 7680 мг. 877. Одна сторона прямоугольника 8 — м, вторая в 3 раза больше. Найди- 3 те площадь прямоугольника. 878. Прямая ND пересекает стороны AB и BM треугольника ABM и продолжение третьей стороны AM (рис. 303). Известно, что Z A = 70°, Z B = 40°, Z MCD = 20°, найдите углы треугольников NCB и MCD. 879. Пешеход и велосипедист, двигаясь навстречу друг другу, до встречи преодолели 72 км за 3 ч. Определите скорости каждого, учитывая, что скорость велосипедиста в 5 раз больше, чем скорость пешехода. 880. Автомобилист со скоростью 85 км/ч проехал путь, в 10 раз больше пути, который проехал велосипедист со скоростью 17 км/ч. Найдите, сколько времени был в пути автомобилист, учитывая, что это время вместе со временем движения велосипедиста составляет 9 ч. 881. Велосипедист за 4 ч проехал путь, который в 3 раза больше пути, который прошёл пешеход за 5 ч. Найдите скорость велосипедиста, учитывая, что вместе со скоростью пешехода она составляет 19 км/ч. 142 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 882. В общежитии есть трёхместные и пятиместные комнаты, причём пятиместных комнат на 42 больше. Найдите количество тех и других комнат, учитывая, что в больших комнатах мест в 4 раза больше. Условие задачи представим краткой записью: Комнаты одного типа Комнаты другого типа Всего мест В 4 раза больше Мест в комнате 3 5 Комнат На 42 больше Уравняем количество мест в трёхместных комнатах до количества всех мест в пятиместных комнатах, т. е. количество всех мест в трёхместных комнатах увеличим в четыре раза. Для этого количество мест в трёхместной комнате увеличим в четыре раза, т. е. сделаем его равным 3 • 4, т. е. 12. Пусть теперь двенадцатиместных комнат столько же, как и пятиместных, т. е. на 42 комнаты больше их действительного количества. Тогда количество мест в них будет превышать количество мест в пятиместных комнатах на 12 • 42, т. е. на 504. Это превышение вызвано тем, что мест в двенадцатиместной комнате на 12 - 5, т. е. на 7, больше. Значит, количество пятиместных комнат равно 504 : 7, т. е. 72, а количество трёхместных комнат — 72 - 42, т. е. 30. 883. В общежитии в 96 комнатах меньшей вместимости мест в 5 раз меньше, чем в 240 комнатах большей вместимости. Найдите вместимость комнат, учитывая, что комната большей вместимости имеет на два места больше. 143 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 884. Вася прочитал повесть, занимающую на 22 страницы больше, чем повесть, которую прочитала Лена. Лена читала в день по 19 страниц, а Вася — по 13 страниц и на 4 дня дольше Лены. Найдите, сколько страниц занимает та и другая повесть. Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 3). Допустим, что Вася читал с той же скоростью, что и Лена. Поскольку он читал на 4 дня дольше, то за эти дни он прочитал бы на 19 • 4, т. е. на 76 страниц больше. Но это больше действительной разности прочитанных страниц на 76 - 22, т. е. на 54. Это вызвано тем, что в действительности Вася читал в день на 19 - 13, т. е. на 6 страниц меньше. Значит, Вася читал повесть 54 : 6, т. е. 9 дней. Тогда Лена читала повесть 9 - 4, т. е. 5 дней. 885. Повесть, которую за 7 дней прочитал Сергей, занимает на 6 страниц больше повести, которую за 9 дней прочитала Кира. Учитывая, что Кира читала в день на 4 страницы меньше Сергея, найдите, сколько страниц занимает та и другая повесть. * * * 886. Сколько есть четырёхзначных чисел, все цифры которых чётные? 887. Из какого количества четырёхзначных чисел вычёркиванием одной цифры можно получить число 552? 888. Есть набор из 20 кружков и 45 треугольников. Два одинаковых предмета из набора можно заменить одним кружком, а два разных — треугольником. Может ли после нескольких таких замен остаться один кружок? 144 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 29. Нахождение дроби числа и числа по его дроби Дроби используют для того, чтобы обозначить часть некоторой величины. Например, предложение Остаётся пройти пять седьмых пути в математическом тексте записывают как Остаётся пройти — пути, а предложение Выполнена треть нуж- 7 1 ной работы — как Выполнена 3 нужной работы. Если говорят о части, то подразумевают и некоторое целое — то, от чего берётся эта часть. В наших примерах целое — это весь путь и вся работа. В жизни часто по целому нужно находить его часть и, наоборот, по известной части устанавливать целое. Пример 1. Путешественники на велосипедах до первого привала проехали 5 пути от Вильнюса до Гродно (рис. 304). Найдём, сколько километров проехали путешественники. Здесь требуется найти — от 5 175 км. Весь путь есть 5 пятых долей (рис. 305). Поэтому 1 пятая доля пути составляет 175 км : 5, т. е. 35 км, а тогда - всего 5 пути — это 2 такие доли: 35 км • 2 = 70 км. Пример 2. Дачнику нужно высадить 90 растений томатов. ? Рис. 305 V 175 км 145 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Чтобы найти величину части ^ от целого С, надо целое разделить на знаменатель п и результат умножить на числитель т. Найти часть Щ от целого С: 1. С:п — такова величина доли. 2. (С:п) • т — такова величина части. Рис. 306 4 Уже сделано — всей работы. Определим, сколько растений уже высажено. 4 1 Нужно найти — от 90. Чтобы найти — от 90, 5 5 нужно 90 разделить на 5 долей: 90 : 5 = 18. Получили, что пятая доля всей работы — это посад- 4 ка 18 растений. Чтобы найти — всей работы, нуж- 5 но взять 4 такие доли: 18 • 4 = 72. Таким образом, уже посажено 72 растения. В обеих этих задачах мы находили часть, задан-m ную дробью —, от целого, заданного числом A (рис. 306). Пример 3. Велосипедист отправился из Бобруйска в Солигорск (рис. 307) и доехал до Слуцка. Проделанный им путь составляет б всей дороги. Найдём путь от Бобруйска до Солигорска. 146 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Весь путь Проделанный путь — 115 км Рис. 308 о 1 6 Проделанный велосипедистом путь равен 115 км, и это составляет 5 шестых долей всего пути (рис. 308). Значит, 1 такая доля в 5 раз меньше, она составляет 115 км : 5, т. е. 23 км. Весь путь велосипедиста состоит из 6 шестых долей. Поэтому он в 6 раз больше одной доли: 23 км • 6 = 138 км. Значит, путь от Бобруйска до Солигорска составляет 138 км. Пример 4. У кролика 28 зубов, что составляет - количества зубов собаки. Найдём, сколько зубов 3 у собаки. Количество 28 зубов у кролика составляет 2 третьи доли от количества зубов собаки (рис. 309). Поэтому 1 третья доля в 2 раза меньше, она состоит из 28 зубов : 2, т. е. из 14, зубов. Количество зубов собаки состоит из 3 таких долей: 14 зубов • 3 = 42 зуба. Значит, у собаки 42 зуба. Собака Кролик — 28 зубов Рис. 309 о В обеих этих задачах мы находили целое по m части —, равной A (рис. 310). n Пример 5. Волчес — правый приток Сожа. Длина Сожа составляет 648 км, а Волчеса — 80 км. Найдём: 147 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Чтобы найти целое по части Щ, равной А, надо число А разделить на числитель т и результат умножить на знаменатель п Найти целое С: 1. А:т — такова величина доли 2. {А’.т)' п — такова величина целого С Рис. 310 а) во сколько раз длина Волчеса меньше длины Сожа; б) какую часть длина Волчеса составляет от длины Сожа. а) По смыслу деления, если большее значение величины делят на меньшее, то определяют, во сколько раз делимое больше делителя, или во сколько раз делитель меньше делимого. Поэтому для ответа на первый вопрос разделим 648 км на 80 км: 648 км : 80 км = 81 ^648 ,80 10 81 10 = 81. 10 1 Значит, Волчес короче Сожа в раза. б) Если меньшее значение величины делят на большее, то определяют, какую часть делимое составляет от делителя. Поэтому для ответа на второй вопрос разделим 80 км на 648 км: 80 = ^ 648 = 81 . Значит, длина Волчеса составляет 10 длины 81 Сожа. 148 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 80 км : 648 км = 1. Как найти величину данной части, выраженной дробью, • от данного числа? 2. Как найти число по указанной величине его данной части, выраженной дробью? 3. Как найти, во сколько раз одно число больше другого? 4. Как найти, какую часть от числа составляет другое число? 889. Найдите, какую часть часа составляет: а) 15 мин (рис. 311, а); б) 30 мин; в) 45 мин; г) 1 мин; д) 12 мин; е) 5 мин (рис. 311, б); ж) 7 мин; з) 10 мин. Рис. 311 890. Найдите, какую часть килограмма составляет: а) 500 г; в) 100 г; д) 125 г; б) 750 г; г) 1 г; е) 7255 г. 891. Выразите в следующей меньшей единице измерения: а) -2 кг; , 7 г) 2 м; ч гг1 ж) б) 5-2 кг; д) 42 м; . 3 з) 20 в) 4 кг; ч 3 е) 10 кг; и) 25 ^ г2. Рис. 312 7^ = 1000 дм®: 25 • 4 = 160 дм® 149 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 3 892. Определите, верно ли, что: а) 5 яблок от 30 яблок составляют шестую долю; б) 6 от 25 л составляет 4 л; в) 4 конфеты есть 1 от 32 конфет; о г) десятая доля от 32 тыс. р. есть 3200 р. 893. Определите, сколько литров воды в ёмкости, представленной на рисунке: а) 313, а; б) 313, б; в) 313, в. Рис. 313 894. Устно найдите четверть от: а) 20 л; г) 92 тыс. р.; ж) 480 000 м2; б) 1200 г; д) 488 кг; з) 180°; в) 52 м; е) 600 000 м3; и) 3 сут. 895. Устно найдите три четверти от: а) 12 г; г) 580 км3; ж) 670 000 т; б) 52 л; д) 996 кг; з) 20 мин; в) 48 км; е) 60 000 дм2; и) 1 км. 896. Устно найдите сотую долю от: а) 300 т; в) 7812 км; д) 1996 га; б) 98 тыс. р.; г) 150 000 км; е) 60 дм2. 150 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 897. Найдите всю величину, учитывая, что: а) 2 стоимости покупки составляет 125 тыс. р.; б) пути до школы составляет 135 м; в) 2 времени ожидания составляют 14 мин; 3 г) стоимость покупки без её восьмой доли составляет 560 р. 898. Найдите: 3 а) - от 240 тыс. р.; О 5 б) 6 от 96 г; 5 в) — от 60 дней; 12 3 г) 7 от 126 см; 2 д) - от 100 л; 5 4 3 е) 9 от 99 км3; 5 ж) — от 144 тетрадей; 12 7 з) — от 90°; 15 12 и) — от 286 га; 13 к) 13) от 120 м2. 899. Определите, чему равна: а) 1 от 15; 5 в) 6 от 42; д) 9 от 351; 5 9 7 б) 7 от 28; г) от 56; е) 79 от 416. 900. Найдите, чему равно число, учитывая, что: а) - его равны 20; 3 б) Т1 его равны 165; 3 в) ^ его равны 117; 5 4 г) Юц его равны 1482. 901. Периметр треугольника 24 см. Одна его 5 3 8 ег°. Найдите стороны треугольника. сторона составляет — периметра, вторая 12 151 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 902. За неделю Артём исписал 5 страниц в но- „ 5 вой тетради по математике, что составляет — ОО всей тетради. Сколько чистых страниц осталось? 903. Определите длину отрезка AB, учитывая, 3 о1 что 7 его составляют 21 см. 904. Найдите число, которое получится после увеличения числа 60 на следующую его часть: а)10; б) — • 12’ в) 14- 905. После уменьшения данного числа получили 420. Найдите это число, если уменьшение составляет следующую часть его: а)8’ б)4’ в)4. 906. Постройте прямой угол PQR. Проведите луч QT, разделяющий угол PQR на части, из ко- 5 торых одна составляет 4 другой. Какой может быть величина угла TQR? 907. Найдите угол сектора, который составляет: 4 а) 9 круга (рис. 314, а); б) круга (рис. 314, б). 12 908. Постройте сектор с радиусом 45 мм и углом, который составляет: 5 ,.8 а) 18 круга’ б) 15 круга. 909. Нарисуйте круг радиусом 5 см. Проведите два радиуса так, чтобы один из полученных секторов состав-2 лял 7 другого. 152 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 314 910. Площадь водосбора притока Днепра реки 7 Березины равна 24 500 км2, что составляет площади водосбора Днепра. Определите, во сколько раз площадь водосбора Березины меньше площади водосбора Днепра. 911. Усвейка и Свечанка — притоки Улы. Дли- 29 на Усвейки 116 км, и это составляет — длины 21 41 Свечанки, а длина Улы равна — длины Свечанки. 28 Найдите длины Улы и Свечанки. 912. Количество пакетов, в которые расфасовано 60 кг моркови, относится к количеству пакетов, в которые расфасовано 360 кг картофеля, как 5 : 12. Учитывая, что пакет с картофелем вместе с пакетом с морковью весят 7 кг, найдите, сколько весит каждый пакет в отдельности. 913. Количество пакетов, в которые расфасовано 200 кг моркови, вместе с количеством пакетов, в которые расфасовано 180 кг картофеля, дают число 80. Найдите массу пакета с морковью, учитывая, что она относится к массе пакета с картофелем как 2 : 3. 914. Решите уравнение: а) (43а + 4319) - 2702 = 3681; б) 41 546 - (52х - 3075) = 41 449; в) 201 512 - (29t + 169 028) = 26 887; г) 720 108 - (754 027 - 91b) = 58 173. 915. Заметив закономерность, четырьмя числами продолжите следующий ряд чисел: а) 8; 19; 30; 41; _; б) 63; 57; 51; 45; ^; 153 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" в) 1; 3; 9; 27; г) 22; 6; 33; 8; 44; 10; _; д) 15; 18; 16; 19; 17; 20; ^; е) 5; 13; 6; 12; 7; 11; 916. Восстановите пример: а) X 3*. + **** 1191 ****8 б) X *** **4 ; 21** + ***5 ***2 в) X **5 4* 3** 11** ☆☆☆☆☆ + **1**8 917. Нарисуйте отрезок MN длиной 5 см. Постройте окружность с центром в точке M радиусом 2 см. Определите, какому условию должен удовлетворять радиус окружности с центром в точке N, чтобы: а) она имела две общие точки с построенной окружностью; б) соответствующие круги имели общие точки. 918. В Средние века для взвешивания изделий из золота часто пользовались гривной и дукатом: 1 гривна = 197 680 мг, 1 дукат = 3490 мг. С точностью до десятков определите, во сколько раз гривна больше дуката. 919. В 3 кг гороха и 4 кг ячневой крупы содержится 120 г жиров. Найдите, сколько миллиграммов жиров в 100 г каждого продукта, учитывая, что жиров в горохе в два раза больше, чем в ячневой крупе. 920. Площади озёр Снуды и Свирь одинаковые и меньше на 22 км2 площади озера Чырвоное. Найдите эти площади, учитывая, что площадь Чырво-ного озера в 2 раза больше площади Свири. 154 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 921. Работу выполняют 3 человека. Если бы они работали по отдельности, то первый мог бы выполнить её за 12 дней, второй — за 15, а третий — за 18. Определите, какую часть работы они выполнят за 3 дня, если будут работать вместе. 922. Машина грузоподъёмностью 5 т перевезла зерна на 2 т больше машины грузоподъёмностью 6 т. Определите, сколько рейсов сделала машина с меньшей грузоподъёмностью, учитывая, что количество её рейсов относится к количеству рейсов другой машины как 5 : 4. 923. Первая машина за 7 рейсов перевезла зерна на 4 т меньше, чем вторая машина за 10 рейсов. Найдите грузоподъёмности первой и второй машины, учитывая, что они относятся как 4 : 3. 924. Легковой автомобиль на путь в 60 км и грузовой на путь в 88 км израсходовали вместе 18 л топлива. Определите расход топлива на 100 км каждым автомобилем, учитывая, что на километр они вместе расходуют 230 мл топлива. 925. Легковой автомобиль с расходом топлива 5 л/100 км и грузовой с расходом 8 л/100 км израсходовали вместе 20 л топлива. Определите путь, пройденный каждым автомобилем, учитывая, что вместе они проехали 292 км. * * * 926. Сколько можно записать трёхзначных чисел, у которых первая цифра чётная, а вторая нечётная? 927. Как разрезать квадрат, показанный на рисунке 315, на 4 одинаковые по форме и по размерам Рис. 315 155 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" части так, чтобы каждая из них содержала по одному закрашенному квадратику? 928. (Старинная задача.) Летела стая гусей. На первое озеро села половина всех гусей и ещё полгуся, на второе — половина всех остальных гусей и ещё полгуся, на третье — половина оставшихся гусей и ещё полгуся, на четвёртое — половина остатка и ещё полгуся и, наконец, на пятое — половина остальных и ещё полгуся. После этого все гуси оказались на пяти озёрах. Сколько гусей было в стае? 30. Умножение дробей Пример 1. Сухой берёзовый брусок объёмом 1 дм3 весит 13 кг. Найдём массу берёзового брус-20 о ка объёмом V дм3. По смыслу умножения ответом нужно считать 13 тл произведение — • V кг. 20 Вычислим это произведение для значений V, п 1 7 равных 7; 9 и 9. Иными словами, нас интересу- 13 1 13 7 ют произведения — - 7, — ^ и — ^. ^ 20 20 9 20 9 Произведение ^9'7 можно найти по правилу умножения дроби на натуральное число: ^•7 = ^ = 91 (кг) 20 7 20 20 ( 1. При нахождении произведения 19 • 1 обратим внимание на то, что девятая доля кубического дециметра берёзы весит в 9 раз меньше одного кубического дециметра: 156 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 13 1 _ 13 : 9 _ 20 9 _ 20 : 9 _ 13 20 • 9 (кг)- тт 13 7 .. При нахождении произведения — ^ учтем, что 20 9 7 3 1 3 — дм3 в 7 раз больше — дм3. Поэтому: 9 137 _ 20 9 _ Вообще, 9 13.1] .7 _ 20 9j 13 20 • 9 7 _ 13-7 20 • 9 91 180 a b m ( a 1 1 a ■ — = 1 — ^ I • m =- n I bn) b • n m = - a • m b • n Получили правило умножения дробей (рис. 316). Чтобы умножить дробь на дробь, надо отдельно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем, а второй — знаменателем: а Ъ т п а • т Ъ • п Рис. 316 Пример 2. Озёра Можейское и Ксензовское находятся в Поставском районе. Площадь Можейс-кого озера равна 66 га, а площадь Ксензовского 3 озера составляет ц от этой площади. Найдём площадь Ксензовского озера. По правилу нахождения части от целого решение запишется выражением 66 : 11 -3, которое можно преобразовать так: 66 : 11 ■ 3 _ 66 ■ 3 _ 66 • 3 66 ^ 3 ---- _ -- • - _ 66 • - 111 1 11 66 Ц. Таким образом, получили другую формулировку правила нахождения части от целого: 157 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" чтобы найти величину части, m заданной дробью п, от целого C, можно целое C умножить на дробь m Рис. 317 n Пример 3. Найдём площадь прямоугольника, длина которого 1 3 З4 см, а ширина — 25 см (рис. 317). Мы знаем, что для нахождения площади прямоугольника нужно его длину умножить на ширину. 1 3 Для вычисления произведения З4 • 25 предварительно преобразуем смешанные дроби в неправильные: 13•13 169 3 . • 2 • 4 5 4 5 = ^9 8 20 . 4 • 5 20 Получили, что площадь прямоугольника равна с“2- Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби. Умножение дробей имеет переместительное и сочетательное свойства, а также распределительное свойство относительно сложения. Справедливы также свойства нуля и единицы при умножении. 1. Как умножить дробь на натуральное число? • 2. Как найти долю от данного натурального числа? 3. Как найти часть от данного натурального числа? 4. Как умножить дробь на дробь? 5. Как найти часть от данного числа? 6. Как найти произведение смешанных дробей? 7. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства умножения. 8. Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения. 9. Запишите свойства нуля и единицы при умножении. 158 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 929. Определите, сколько времени занимают 6 уроков, если продолжительность одного урока: ч 3 а) 4 ч’ б) 1 ч- 930. Вычислите: Ч 3 1 ч 1 1 . 5 3 а) 5'2’ Г) 2ё’ ж) б'1о’ 5 1 ч 1 3 ч 3 . 1 б) 9б’ д) 2 7 ’ 3) I1^’ ч 8 1 ч 7 4 ч о5 я в) 9'!’ е)12'5’ и) ^-4-^ 9 8 к) л) м) 931. Найдите произведение: а) 4 ■ 2 ’ в)15 ■ 4’ д) 5 ■ 5’ 4 ж) 91 ■ 13’ ч 5 . ч . 7 ч „ 13 ч .,4 131 б) 22 ■ 4’ г) 4 ■ 16’ е) 7 ■ 77’ 3) 19 ■ 209' 932. Вычислите наиболее удобным способом: а) 4 ■ 56 ■ 31 в) ,7 ■ 9 7 ■ 9 31 89 4’ 1 9 17 9 17’ б) 37 . 17 , 8 г) 7 ■ 19 6 ■ 19 3 8 ’ 19 31 ’ 13 ' 34 + 13 ■ 34 ■ 933. Вычислите: 17 ,.14 .25 а) б) 13.24.^, в) а) 12 14 15’ б) 16 25 26’ ) 25 ^17 26' 934. Найдите значение числового выражения: ч Г7 3 .8 . , 13 ^ 13 ^ ^23 б) 11+ 8-3^ - 9-3-’ 16 11 32 4 935. Сравните выражения: а) 1 ‘1| • -;f) <^1 . 2 ■ ^ и 4— 2 15 q12 « ■ 5 + 3— ■ 6 ’ 17 б) (-3 - -з)■ (31 + 'f) и [ *1 )■ -('f )■■ 159 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 3 3 1 936. Упростите выражение 2^^ + 2^г - 3^г и . 8 ,1 16 найдите его значение при г, равном —; —; 9 3 2 7 ^1; 420. 63 27 937. В школьной библиотеке 15 600 экземпля- ^ ^ 5 ров книг, из которых — — учебники, — — художественная литература на русском языке, а остальные книги — художественная литература на белорусском языке. Какую часть всех книг библиотеки составляет художественная литература на белорусском языке? 938. В швейной мастерской было 300 м ткани. За 2 первую неделю израсходовали — запаса ткани, за 4 5 вторую — 9 остатка. Какая часть ткани осталась? 939. Самый большой валун на территории нашей страны около д. Горки Шумилинского района (рис. 318) имеет размеры 11 м в длину, 5 м 60 см в ширину и 2 м 80 см в высоту. Определите: а) объём этого валуна, приняв, что он занимает 44 прямоугольного параллелепипеда с этими измерениями; б) массу валуна, учитывая, что 1 дм3 камня весит 3 кг. 940. С поверхности Мирового океана ежегодно ис- Рис. 318 паряется около 452 тыс. км3 воды, из которой 103 113 дождём снова выливается в океан, а остальное вы-160 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 452 тыс. км® ливается на сушу (рис. 319). На сколько больше воды выливается с дождём в океан, чем на сушу? 941. Бобр, Плиса, Сха, Гайна, Поня — притоки Березины. Длины Бобра и Схи составляют соответственно 1-15 и длины Плисы, длина Гайны — 1 9 14 длины Схи, а длина Пони — 20 длины Гайны. Найдите длины этих притоков, учитывая, что длина Плисы равна 64 км. Постройте соответствующую линейную диаграмму. 4 942. Длина стола составляет — м, а ширина — ^ 5 — его длины. Какова площадь стола? О 943. У прямоугольного параллелепипеда, изображённого на рисунке 320, площади граней MNOP и MCFP составляют соответственно — 2 3 и 4 от площади грани PFEO. Площадь грани MNOP на 6 дм2 меньше площади грани MCFP. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда и его объём, учитывая, что длина ребра PO равна 4 дм. р Рис. 320 161 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 944. На отрезке PQ длиной 45 см выбрана точка A, и на полученных частях AP и AQ, как на сторонах, построены равносторонние двенадцатиугольник и восьмиугольник (рис. 321). Найдите стороны двенадцатиугольника и восьмиугольника, учитывая, что их периметры относятся как 3 : 4 (см. форзац 2). 945. На отрезке AB длиной 33 см выбрана точка T, отстоящая от точки B на 18 см, и на полученных частях TA и TB, как на сторонах, построены равносторонние многоугольники, периметры которых относятся как 20 : 27 (рис. 322). Найдите количество сторон этих многоугольников, учитывая, что они вместе дают число 17. 946. Заготовленного фуража хватит для 77 голов скота на 135 суток. На сколько суток хватит этого запаса для: а) 99 голов; б) 100 голов? 947. За 8 ч токарь изготовил 120 деталей. Сколько деталей он сделает за это время, если в час будет изготавливать на 2 детали больше? Решите задачу двумя способами. 47 948. Каждые 100 г воздуха содержат 20 г кислорода, а в 100 г выдохнутого человеком возду-162 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" ха его 1613 г. Сколько кислорода поглощает чело- 50 век за 1 ч, если за это время он пропускает через лёгкие 31 кг воздуха? 2 949. Какое из чисел больше, если первое составляет 2 от 126, а 33 второго равны 21. 950. Янке теперь 10 лет, что составляет 72 от возраста отца. Найдите возраст матери, если он 6 составляет 7 возраста отца. 951. Озёра Яново, Берёзовское, Паульское входят в Ушачскую группу озёр. Площадь озера Яново 770 га, что составляет — площади Берёзовско-го озера, а площадь Берёзовского озера составляет y69 Паульского. Найдите площади Берёзовского и Паульского озёр. 952. Первый и второй легковые автомобили проехали пути, которые относятся как 3 : 4, при этом они израсходовали 6 л и 10 л топлива соответственно. Найдите расход топлива каждого автомобиля, учитывая, что их общий расход составляет 9 л/100 км. Условие задачи представим таблицей: Первый автомобиль Второй автомобиль Топливо 6 л 10 л Расход топлива 9 л/100 км Путь 3 доли 4 доли Уравняем пути, пройденные первым и вторым автомобилями, например, до пути, пройденного 163 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" вторым автомобилем, т. е. путь, пройденный первым автомобилем, сначала уменьшим в 3 раза, а затем результат увеличим в 4 раза. Тогда соответствующим образом изменится и масса израсходованного топлива. Получим, что первый автомобиль израсходовал топлива 6 л : 3 • 4, т. е. 8 л. Теперь нужно 9 л/100 км разделить на две части так, чтобы одна часть составляла 8 долей, а другая — 10 долей. Получаем, что величина доли равна 9 л/100 км : (8 + 10), т. е. ^ л/100 км. Значит, расход топлива первым автомобилем равен 1 л/100 км • 8, т. е. 4 л/100 км, а расход топли- 2 1 ва вторым автомобилем — — л/100 км • 10, т. е. 2 5 л/100 км. 953. Из двух населённых пунктов, отстоящих на 550 км, навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик. Когда они встретились, то оказалось, что легковой автомобиль израсходовал топлива 10 л, а грузовик — 30 л. При этом они израсходовали 6 л и 10 л соответственно. Найдите расходы топлива на 10 км легковым автомобилем и грузовиком, учитывая, что они относятся как 3 : 4. 954. Урожай ржи, собранный с поля площадью 56 га, относится к урожаю ржи, собранному с поля площадью 21 га, как 16 : 5. Найдите урожайность большего поля, учитывая, что она на 7 ц/га больше урожайности меньшего поля (см. форзац 4). 955. Урожай ржи, собранный с первого поля урожайностью 40 ц/га, относится к урожаю ржи, собранному со второго поля урожайностью 45 ц/га, как 14 : 15. Найдите площадь первого 164 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" поля, учитывая, что она на 3 га больше площади второго поля. 956. Легковой автомобиль на путь в 75 км и грузовик на путь в 140 км израсходовали вместе 27 л топлива. Определите расход топлива на 100 км каждого автомобиля, учитывая, что на километр грузовик расходует топлива на 70 мл больше, чем легковой автомобиль. 957. Легковой автомобиль с расходом топлива 4 л/100 км и грузовик с расходом 10 л/100 км израсходовали вместе 11 л топлива. Определите путь, который прошёл каждый автомобиль, учитывая, что грузовик проехал на 37 км меньше. * * * 958. Сколько есть натуральных чисел, которые в семь раз больше своей последней цифры? 959. С помощью чисел 1, 3, 5, 10 запишите число 25 суммой шести слагаемых. Каждое число можно использовать несколько раз или ни разу. Сколькими способами это можно сделать? 960. Сколько можно записать трёхзначных чисел, у которых первая цифра чётная, а последняя нечётная? 31. Деление дробей Умножим число на число 18 — получим ^ 18 7 7 18 7•18 18 — • — = 18.7 = 1. Говорят, что число — обрат- 7 „ 18 7 18 7 но числу —. Произведение — • — также равно 18 7 18 единице, поэтому — обратно числу —. Числа — 18 7 18 и — взаимно обратные. 165 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 15 9 Числа 5 и 5, 19 и 14 также взаимно обратные. Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными. С помощью переменных взаимно обратные чис- a b ла можно записать как — и —. ba Если одно из двух взаимно обратных чисел — правильная дробь, то другое — неправильная дробь. Число 1 взаимно обратно самому себе, а число 0 не имеет обратного себе числа. Для нахождения правила деления дробей учтём то, что действие деления обратно действию умножения, т. е. делением находят неизвестный множитель по произведению и известному множителю. 4 3 Пример 1. Найдём частное 5 : 7. Его значением является такое число a, что произведение его и 3 4 делителя - равно делимому —: 7 5 3 = 4 7 = 5 . Умножим обе части этого равенства на число, обратное числу 3, т. е. на число 7, от этого равен-7 3 ство не нарушится: " 7 = 4 ■ 7 3 = 5 ■ 3. В левой части равенства используем сочетательное свойство умножения: 3 ■ 7 ^ = 4 ■ 7 73) 53. 3 7 a 3 a • — 7 a Но произведение взаимно обратных чисел — и равно единице, поэтому 4 5 a = 7 3. 166 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 4 3 равно произведе- Таким образом, частное 4 7 5 ■ 3, делимым, а второй — числом, обратным делителю. Получили правило деления дробей (рис. 323). нию 57 в котором первый множитель является Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю: а . гп _ а^ ^ п Ъ ' п Ъ т Рис. 323 Пример 2. Площадь прямоугольника составляет 131 см2, а ширина 21 см (рис. 324). Найдём его О 2 длину. Поскольку площадь прямоугольника есть произведение длины и ширины, то для нахождения длины прямоугольника нужно его площадь разделить на ширину, т. е. найти значение частного 131 : 21. Прежде чем выполнять деление, преоб- О2 разуем смешанные дроби в неправильные: 13 1 о 1 105 5 8 : 22 =8 : 2 105 ■ 2 105 • 2 21 8 5 8 • 5 4 = 5 Значит, длина прямоугольника равна 5— см. 4 Чтобы разделить смешанные дроби, нужно предварительно преобразовать их в неправильные дроби. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 324 167 Пример 4. Площадь Минской области равна 34 „ 173 площади нашей 4080 тыс. га, что составляет страны. Найдём эту площадь. По правилу нахождения целого по величине его части решение запишется выражением 4080 : 34 • 173. Его можно переписать так: 4080 4080 : 34 • 173 = „ . 34 4080 173 173 = 4080•173 4080•173 34 = 4080 : 34 1•34 1 34 • 173 Таким образом, чтобы найти целое по величине его части, заданной дробью, можно эту величину разделить на данную дробь. Введение дробей и понимание черты дроби как действия деления расширяет возможности представления чисел. Например, для числа 3 вместе с представлениями с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления: 2 + 1, 1 + 1 + 1, 3 - 0, 4 - 1, 5 - 2, 24 : 8, 1 • 3 теперь возможны и представления с помощью дробей: 6. 6 6; 11 - 2; 1 : 4 • 15 2’4 + 4.3 3.3 : 9.5 4. Каждое из записанных представлений числа 3 является числовым выражением, а число 3 — его значением. Пример 5. Найдём значение числового выражения: 25 517 - 511 36 54 29 17 15 . 14 14 ^ ^ ^17 ^11 ,25 17 15 Оно образовано из чисел ^^, ^т, ^д, тт и — 36 54 29 14 14 с помощью действий вычитания, умножения, сложения и деления. Учтём, что деление, обозначен-168 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" ное чертой дроби, будет выполняться последним. Поэтому исходное выражение можно записать и так: 517 - 5il1 ■ i25l : Г17+15 36 54) 29) ■ 14 14 Соглашение о порядке выполнения действий, принятое для выражений с натуральными числами, распространим и на выражения с дробями. Напомним его. 1. Если выражение без скобок содержит действия одной ступени, то действия выполняются в порядке их записи слева направо. 2. Если выражение без скобок содержит действия разных ступеней, то сначала выполняются действия третьей ступени — возведение в степень, затем второй — умножение и деление и, наконец, первой ступени — сложение и вычитание. 3. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а потом остальные, причём порядок их выполнения определяется пунктами 1 и 2. Составим схему вычисления значения данного выражения (рис. 325). Проведём намеченные вычисления. .17 1,11 -.25 и 15 54 ^29 14 14 1) 517 _ 511 _ 17 _ 11 _ 1) 536 554 36 54 ,,, 29 , 25 29 54 ^ 108 29 108 29 17 • 3 -11 • 2 36 • 3 29 • 54 29 ; 108 ’ 108•29 1 2 ’ 169 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 3' II + 15 14 17 +15 32 14 16 7 ’ 14 4) 1 . 16 _ 1 ■ X - X ^ 2 ■ 7 _ 2 ■ 16 _ 32 ■ Таким образом, значение данного числового вы-7 ражения равно —. 32 1. Какие числа называют взаимно обратными? • 2. Что вы можете сказать о числе, обратном единице; о числе, обратном нулю? 3. Как разделить одну дробь на другую? 4. Как разделить одну смешанную дробь на другую? 5. Как найти целое по величине его части, заданной дробью? 6. Как найти значение числового выражения? 7. Какое действие заменяет черта дроби в дробном выражении? 8. Когда говорят, что выражение не имеет значения? 961. Найдите число, обратное числу: 7 33 3 а) 7; б) ТТ; в) 23; г) 510; 962. Выполните деление: ^ ^ .23 а) 3 9 : 3; б) дЦ : 3; в) 1:2. в) 4 : 5; г) 5 д) 3 е) 9 : ^ 5 7 9; 3 10’ ж) 1 : 8 13 ; з) 13 : 1; з) 25 : 1; ч о1 6 и) ^ ^; 3 7 д) 1. к) 31 ^ 5 11; 7 л) 0 : - м) 3 5 4 —r 25 9 0 21 32 963. Найдите значение выражения — r + : r при значении переменной г, равном: а»1; б) §; в)Т6. 964. Найдите значение выражения: ,255 а) - ^ : —; ^3 7 14 в) 65: ^ 8 йч 7 ^ 14 4 Л б) 8: 1 15 :5 1; г) г 95 ’ 1 12 170 V '12 11 12 21 6 17 60 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 965. Решите уравнение: а) 5 q = 14; 9^ 5 2 i5 „1 б) 3" + 1б = 36; в) - : t = 1—; ^ 6 21 4 4 г) r :2— = 1—; ^ 5 21’ \ 6 ,14 ,3 ^ 7 25 7 , ^ „ 4 . 16 ^ 9 5 45 966. Определите, за какое время можно пройти 142 км, если идти со скоростью 41 км/ч. 2 967. Выход масла из сливок составляет 9 мас- 4 сы сливок, а выход сливок из молока — — массы 25 молока. Сколько нужно молока для изготовления 24 кг масла? 968. Озёра Верхи, Велец, Мнюта находятся в Глубокском районе. Площади первых двух озёр составляют и от площади озера Мнюта. Най- 32 48 дите площади этих озёр, учитывая, что площадь озера Велец на 13 га больше площади озера Верхи. 969. Определите, какое из чисел больше, учитывая, что первое составляет jy от числа 181, а 13 fco 16 второго равны 52. 970. Вычислите: а) 5 • 21 : 20; ^94 б) в) 11 - 3 2 8 1 - 1 2 7; 1 - 2 г) д)|5|- 2 3 е)|А - X1 • Г 6 1 12 18J 17 171 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 971. Найдите значение выражения: а) б) 13- - 9-1 • -4 8 J 5 . 5- - 3- ’ 2 4 - + 4 - 1- : 22 5 2 2 3- 2 5- - 25 6 6 в) г) !24 • 5 33 - 4 ■44 • п 48 . иЗ 3 • 24 7 9 5 3 28- : -3- + 6- :2 5 7 5 3 -И : -6 2- 4 972. Два насоса вместе заполняют бассейн за -0 ч. После 4 ч совместной работы первый насос испортился, из-за чего бассейн был заполнен только за -8 ч. За какое время каждый насос в отдельности мог бы заполнить бассейн? 973. Повесть, напечатанная в трёх номерах журнала «Полымя», содержит -56 страниц. Вторая часть составляет ^ от первой, а третья — ь- 3 3 от первой. Сколько страниц содержит каждая из частей повести? 974. (Из книги «Косс» Адама Ризе, XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. Первому доста- ^ „ - лась 4 этой суммы, второму 7 ’ а третьему -7 флоринов. Какова величина всего выигрыша? 975. Один экскаватор может вырыть котлован за 5 ч, второй — за 8 ч. Какую часть работы они выполнят за 2 ч, работая вместе? 976. Найдите периметр прямоугольной пластины размерами -5 см на 24 см, из которой вырезан квадратный кусок площадью 49 см2. Сколько решений имеет задача? 172 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" м ^'V N R К Рис. 326 977. В прямоугольном параллелепипеде (рис. 326) площадь грани 7 KLMN составляет — площади гра- О ни KRVN, площадь грани KRSL больше на 14 см2 площади грани KLMN и на 8 см2 площади грани KRVN. Найдите объём параллелепипеда, учитывая, что ребро KR равно 8 см. 978. Из Слуцка в Кричев в 7 ч утра выехал мотоциклист и через три часа был в Рогачёве. Найдите с точностью до минуты время прибытия мотоциклиста в населённые пункты, обозначенные на маршруте на рисунке 327. 979. Суммарная длина всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, изображённого на рисунке 328, равна 12 м 8 дм. Найдите боковую поверхность и объём прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что от ребра MA ребро 2 7 QM составляет -, а ребро QN — —. 3 15 980. От Мстиславля до Солигор-ска автомобилист ехал 5 ч, а назад — 5 ч 20 мин. Найдите расстояние S.N R Q Рис. 328 М 173 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" по шоссе от Мстиславля до Солигорска, учитывая, что скорости движения отличались на 41 км/ч. 981. Над заказом сначала работал первый рабочий с производительностью 6 дет./ч, а затем его заканчивал второй рабочий с производительностью 8 дет./ч. Всего было затрачено 13 ч. Найдите количества деталей, изготовленных каждым рабочим, учитывая, что они относятся как 6 : 5. 982. Над заказом сначала 10 ч работал первый рабочий, а затем 6 ч второй рабочий. Количества деталей, изготовленных первым и вторым рабочими, относятся как 4 : 3. Найдите производительность первого и производительность второго рабочего, учитывая, что вместе они составляют 27 дет./ч. 983. На отрезке MN длиной 116 мм выбрана такая точка C, что отрезки CM и CN относятся как 14 : 15. На отрезках CM и CN, как на сторонах, построены равносторонние многоугольники, периметры которых относятся как 4 : 3 (рис. 329). Найдите количество сторон многоугольника, построенного на отрезке CM, учитывая, что оно на 3 больше количества сторон второго многоугольника. 984. На отрезке UV выбрана такая точка D, что DV - DU = 6 мм. На отрезках DU и DV, как на сторонах, построены равносторонние девятиугольник и десятиугольник, периметры которых относятся как 4 : 5 (рис. 330). Найдите отрезки DU и DV. 985. У одного хозяина кур на 8 больше, чем коз, и у всех коз ног на 8 больше, чем у всех кур. Сколько есть кур и сколько коз? 986. Легковой автомобиль с расходом топлива 6 л/100 км израсходовал топлива на 4 л меньше, 174 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" чем грузовик с расходом топлива 10 л/100 км. Определите пути, пройденные каждым автомобилем, учитывая, что вместе они проехали 440 км. 987. Грузовик на путь в 250 км израсходовал на 20 л топлива больше, чем легковой автомобиль на путь в 200 км. Найдите расходы топлива грузовиком и легковым автомобилем, учитывая, что на 100 км вместе они расходуют 17 л. * * * 988. Три пальто стоят больше, чем 5 курток. Определите, могут ли: а) 5 пальто стоить меньше, чем 7 курток; б) 7 пальто стоить меньше, чем 13 курток. 989. Пётр и Адам собирают почтовые марки. Если бы Пётр дал Адаму столько марок, сколько их было у Адама, а затем Адам дал Петру столько, сколько осталось у Петра, то в результате у Петра было бы на 30 марок больше, чем он собрал, а у Адама — в 3 раза меньше, чем собрал он. Сколько марок собрали Пётр и Адам в отдельности? 990. Решите уравнение НОК (8; х) - НОК (6; х) = 12. 175 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 32. Среднее арифметическое Пример 1. Из десяти мальчиков, посещающих занятия шахматного кружка, самому младшему 10 лет, ещё одному — 11, двоим по 12, четверым по 13 и ещё двоим по 14 лет. Определим, каков средний возраст участников шахматного кружка. Для этого найдём общий возраст участников кружка и разделим его на их количество. Получим: 10 + 11 + 12 • 2 + 13 • 4 + 14 • 2 = 125; 125 : 10 = 121. 2 Значит, средний возраст участников кружка равен 121 года. 2 Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество. Взвешивать один мелкий предмет неудобно, и точность взвешивания будет невысокой. Поэтому обычно отсчитывают определённое количество мелких однородных предметов, например, 100 или 1000, находят их общую массу, а потом высчитывают среднюю массу одного предмета. Пример 2. Масса 100 зёрен проса оказалась равной 620 мг. Найдём среднюю массу одного зёрнышка проса. Одно зёрнышко весит в 100 раз меньше, чем 100 зёрен, поэтому масса одного зёр- 620 .1 нышка равна мг, или ^ мг. 100 5 Среднее арифметическое часто характеризует большое количество однородных измерений. 176 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Пример 3. Для определения всхожести зерна посеяли отдельно одна от одной 5 партий по 100 зёрен. Из первой сотни проросло 90 зёрен, из второй — 93, из третьей — 87, из четвёртой — 92 и из пятой — 88. Определим среднюю всхожесть зерна. Всхожесть показывает, какая часть посеянных зёрен прорастёт. Она, понятно, может изменяться в зависимости от выбора опытной партии зёрен. Так, для пер- 90 „ 93 вой партии она составляет „ 87 .. „ 100 ’ 92 второй 100 88 третьей 100, четвёртой 10^ ...... 100 • Понятно, что чем большая партия зёрен исследуется, тем более точными будут результаты. В задаче из партии в 500 зёрен взошло 90 + 93 + 87 + + 92 + 88 = 450 зёрен. Поэтому всхожесть составля- 450 ^ ^ 9 ет 1^, или —. Говорят, что число — является 500 10 10 средней всхожестью зерна. Оно показывает, что из каждых 10 зёрен в среднем 9 должны взойти. Могут взойти из одной десятки и 6 зёрен, из другой — все 10, из какой-либо десятки — вообще ни одного, но из большой партии зёрен около Ю из них взойдёт. Пример 4. В таблице приведены результаты наблюдений за количеством птенцов в гнезде ласточки. Найдём среднее количество птенцов в гнезде. и пятой Количество птенцов в гнезде 2 3 4 5 6 7 Количество гнёзд 3 4 10 17 10 1 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 177 Из таблицы видим, что по 2 птенца было в 3 гнёздах, по 3 — в 4, по 4 — в 10, по 5 — в 17, по 6 — в 10 гнёздах и 7 — в 1 гнезде. Найдём общее количество птенцов во всех гнёздах: 2 • 3 + 3 • 4 + 4 • 10 + 5 • 17 + 6 • 10 + 7 • 1 = 210 и общее количество гнёзд: 3 + 4 + 10 + 17 + 10 + 1 = 45. Среднее количество птенцов в одном гнезде рав- 210 2 2 но -т^, т. е. ^. Среднее количество ^ птенцов 45 3 3 в одном гнезде нужно понимать так: в гнезде скорее всего будет 4 или 5 птенцов, причём 5 птенцов встречаться будет чаще, так как число 42 ближе 3 к числу 5, чем к числу 4. 2 Пример 5. Автомобиль 3— ч ехал по асфальти- 3 3 рованной дороге со скоростью 90 км/ч, 1^ ч — по 7 гравийной дороге со скоростью 50 км/ч и — ч — по 12 полевой дороге со скоростью 30 км/ч. Найдём среднюю скорость движения автомобиля на всём пути. Для этого нужно знать пройденный путь и время, затраченное на него. По асфальтированной дороге автомобиль проехал 90 • 32 км, по гравий- 3 3 7 ной — 50 • ^ км, по полевой — 30 • — км. Все- 4 12 го автомобиль проехал 2 3 7 90 • 3— км + 50 • 1— км + 30 • — км, т. е. 435 км. 3 4 12 На этот путь автомобиль затратил времени о 2 ,3 7 ^ ч + ^ ч + — ч, т. е. 6 ч. 3 4 12 178 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Поэтому средняя скорость движения автомобиля на всём пути равна 435 км : 6 ч, т. е. 721 км/ч. 2 1. Какое число называют средним арифметическим не* скольких чисел? 2. Как найти среднюю скорость движения тела? 3. Как найти среднее арифметическое нескольких измерений? 4. Как находят массу одного мелкого предмета? 991. Найдите среднее арифметическое чисел: г) 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3 и 4; а) 3 и 15; б) 51; 37 и 44; в) 1; 2; 3; 4 и 5; , ,„11 ,„25 д) 1313 и 172б; ,,„1^п17 1п23 е) 1948; 1936 и 1972. 992. С трёх полей, площади которых 37 га, 54 га и 24 га, собрали картофеля соответственно 5550 ц, 9720 ц, 5040 ц. Определите среднюю урожайность картофеля. 993. Турист в первый день прошёл 27 км за 6 ч, во второй — 16 км за 3 ч, в третий — 19 км за 5 ч, в четвёртый — 23 км за 5 ч. Какова средняя скорость движения туриста на всём пройденном пути? 994. Среднее арифметическое двух чисел равно 13, одно из этих чисел — 17. Найдите другое число. 995. Чтобы определить массу одной капли воды, взвесили пустой стакан, накапали в него 100 капель воды и взвесили снова. Пустой стакан весил 60 г, а с водой — 67 г. Какова масса одной капли воды? 996. В таблице приведены сведения о весе телят при рождении. Найдите средний вес телёнка. 179 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Масса, кг Количество телят 23 1 24 1 26 5 27 3 28 7 30 4 31 3 32 11 33 3 Масса, кг Количество телят 34 2 35 6 36 7 37 4 38 1 39 2 40 1 43 1 45 1 997. Длина реки Юкон, находящейся в Америке, равна 3700 км, а площадь её водосбора 875 тыс. км2. Найдите среднюю площадь водосбора на 1 км длины реки. Вычисления проведите с точностью до гектара. 998. Купили 4 кг одних конфет, за которые уплатили 52 тыс. р. и ещё других конфет по 16 тыс. р. за килограмм. Найдите, сколько купили других конфет, учитывая, что средняя цена килограмма конфет оказалась равной 14 тыс. р. 999. Купили 3 кг одних конфет, за которые уплатили 210 тыс. р., и ещё 18 кг других конфет. Найдите цену других конфет, учитывая, что за деньги, затраченные на всю эту покупку, можно было бы купить 11 кг конфет по цене, равной сумме цен купленных конфет. 1000. Решите уравнение: а) I 5- +181 -с1:81 = 2; б) f31 -22 + b + 431-24 = 2702. ^'82) ^ 2 3 5 J 5 180 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1001. От прямоугольного параллелепипеда с измерениями 5 см, 7 см, 4 см отрезали три куска таким образом, что в новом прямоугольном паралле- q1 лепипеде каждое измерение уменьшилось на ^ см. 2 Определите, во сколько раз: а) уменьшился объём прямоугольного параллелепипеда; б) уменьшилась боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что основанием является грань с измерениями 5 см и 7 см; в) уменьшилась полная поверхность прямоугольного параллелепипеда. 1002. Трое друзей выигрыш за участие в конкурсе разделили следующим образом. Первому до- 3 2 сталось 8 выигрыша, второму — 5 того, что осталось, а третьему — оставшиеся 45 000 р. Каким был выигрыш? 1003. Провод длиной 1121 м нужно разрезать на 2 1 три части так, чтобы вторая часть была в 2— раза 5 4 больше первой, а третья — в 19 раза больше второй. Какова длина каждой из частей? 1004. Мастер может выполнить заказ за 1^ ч, 3 1 ^ о 2 а ученик заказа — за ч. За какое время они могут выполнить этот заказ вместе? 1005. В прямоугольном параллелепипеде, изображённом на рисунке 331, суммарная площадь всех его граней равна 700 см2. Площадь грани EFGH составляет 1— площади 2 G Я Я 1. Е Рис. 331 181 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" грани EHSP, а площадь грани EFQP — 1-4 площади грани EFGH. Найдите объём параллелепипеда, учитывая, что ребро GR равно 10 см. 1006. Бассейн наполняется через две трубы. Сначала открыли первую трубу, а через 2 ч 15 мин, когда наполнилась половина бассейна, — вторую. Через ^ ч совместной работы бассейн был наполнен. Какова вместимость бассейна, если через вторую трубу вливалось за час 36 000 л? 1007. Двое рабочих могут выполнить задание за 8 ч. Если первый рабочий будет работать один, он сможет выполнить это заданне за 12 ч. Определите: а) во сколько раз производительность труда первого рабочего больше производительности труда второго; б) какую часть производительности труда первого рабочего составляет производительность труда второго. 1008. Пешеход со скоростью 5 км/ч прошёл путь в 2 раза меньше, чем велосипедист со скоростью 15 км/ч. Найдите время, которое был в пути велосипедист, учитывая, что это время вместе со временем нахождения в пути пешехода составляет 5 ч. 1009. С двух полей площадью 43 га и 69 га вместе собрали 3255 ц тритикале. Найдите урожай, собранный с каждого поля, учитывая, что их урожайности относятся как 2 : 1. 1010. На отрезке AB выбрана такая точка T, что TA - TB = 3 мм. На отрезках TA и TB, как на сторонах, построены равносторонние девятиугольник и десятиугольник, периметры которых относятся как 24 : 25 (рис. 332). Найдите отрезки TA и TB. 182 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1011. На отрезке AB выбрана точка C, отстоящая от точки B на 22 мм. На отрезках AB и AC, как на сторонах, построены равносторонние семиугольник и девятиугольник (рис. 333). Найдите периметры многоугольников, учитывая, что у семиугольника он на 88 мм больше. Условие задачи представим краткой записью: Семиугольник Девятиугольник Периметр На 88 мм больше Длина стороны На 22 мм больше Количество сторон 7 9 Уравняем стороны многоугольников, например, до стороны девятиугольника, т. е. сторону семиугольника уменьшим на 22 мм. Тогда его периметр уменьшится на 22 мм • 7 мм, т. е. на 144 мм, и в сравнении с периметром девятиугольника станет меньшим на 154 мм - 88 мм, т. е. на 66 мм. Эта разность связана с тем, что у семиугольника на 9 - 7, т. е. на 2 стороны меньше. Значит, сто- 183 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" рона девятиугольника равна 66 мм : 2, т. е. 33 мм. Тогда его периметр равен 33 мм • 9 = 297 мм, а периметр семиугольника — 297 мм + 88 мм, т. е. 385 мм. 1012. На луче с началом A выбраны точки B и C, отстоящие от точки A на 47 мм и 41 мм соответственно (рис. 334) и на отрезках AB и AC, как на сторонах, построены равносторонние многоугольники. При этом сторон у первого многоугольника со стороной AB оказалось на 3 меньше, а его периметр — на 75 мм меньше. Найдите периметры многоугольников. 1013. Восстановите пример (ЕМ)Д = ДОМ, учитывая, что одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры. 1014. Рыбаки выловили сетью в пруду 85 рыб, пометили их и снова выпустили в пруд. Во второй день они поймали 120 рыб, среди которых 6 оказались помеченными. Сколько всего рыб в пруду? 1015. Сколько можно записать трёхзначных чисел, у которых первая цифра чётная, а последняя — нечётная? 184 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" ОТВЕТЫ Раздел III 460. б) x = 71; г) у = 50; д) z = 999; е) r = 0, s = 0; ж) c = 772; з) и = 4; и) и = 6. 477. 45 км, 22 км. 479. а) 31; б) 36 704; в) 1024 696; г) 515 969. 480. В 17 ч 30 мин; за 137 км 500 м. 481. 27. 483. 160 кг, 165 кг. 484. 80 см. 485. 3 т. 486. 3 м, 4 м. 487. 75 км, 105 км, 75 км. 488. 1310 га, 625 га. 489. 7960 га, 195 га. 490. Гречихи — 70 кг, пшеницы — 210 кг. 492. 20 см2; 200 см3, 140 см3. 493. а) 280 см3, 616 см3; б) 7 см и 11 см. 496. 18. 505. а) 5; б) 10; в) 0; г) 45; д) 0. 513. а) 3; б) 4; в) 3; г) 4; д) 30; е) 34. 518. 31. 521. 18 ц/га, 54 ц/га. 522. 3 мг, 1 мг. 523. 1800 км2, 1250 км2. 524. 105°. 525. а) 106; б) 1954; в) 104 342; г) 978. 526. 462 т. 527. Четверть — 18 см, аршин — 72 см, миля — 78 м, верста — 1 км 560 м. 529. 192 ц, 480 кг, 4320 кг. 530. ^15 ц. 532. а) 16 дней; б) 128 с. 533. 4 ч, 3 ч. 534. 6 дет./ч, 8 дет./ч. 536. 16. 537. 252. 544. 94 м х 129 м. 552. 100 100. 553. 7, 5; 130 р. 554. 25 см х 25 см; 442. 557. 576 км. 559. 150 кг. 560. а) 12; б) 36; в) 24; г) 48. 562. а) А(27), Б(277), С(527); б) А(52), Б(252), С(552). 564. а) 1000; б) 829; в) 66; г) 58 780. 565. 3 м 25 см. 566. Второй, на 560 мм. 570. а) 211; б) 79; в) 613; г) 709. 571. 14 м, 42 м. 573. 13 кг 160 г. 574. 13 км, 26 км, 39 км. 575. За 6 ч. 576. 50 г, 25 г. 577. 90 и 30. 578. 90. 579. 6 кг. 580. 13 км/ч, 4 км/ч. 581. 142. 582. 8. 594. 3096 ц, 2961 ц. 595. 35 га, 29 га. 597. а) 429; б) 1 340 767; в) 1883; г) 4 049196. 599. На 4 дня. 601. 57 кг 672 г. 602. А(50), Б(100), Б(200), K(75), L(125). 604. 60 км/ч. 605. 3 ч. 606. 9 и 18. Раздел IV 646. а) 2; б) 5; в) 44; г) 8; д) 7; е) 31; ж) 1; з) 1; и) 1; к) 10; л) 2; м) 688. 647. 20 км/ч, 16 км/ч. 649. 423 км2, 185 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 360 км2. 651. ab - 3mn. 652. 7, 11, 13, 16, 17. 653. 15 900 га/км. 654. За 14 км. 656. 55 г, 15 г. 657. 5 км/ч, 15 км/ч. 658. 4 ч. 659. 5 и 10. 663. 360 см и 120 см. 664. 7 и 16. 665. 2 кг. 666. 480 кг. 4 4 7 27 669. 60 км/ч. 670. 9 ч. 701. а) 9; б) 7; в) 5-; г) 97. 703. 40 м. 705. 40 т, 55 т. 706. 28 т, 42 т. 708. 472 мм, 16 492 мм. 714. 85 мм; 30 мм. 715. 100 кг. 716. а) 900°; б) 150°; в) 15°. 718. 4 ч. 719. 65 км/ч. 720. 11. 3 3 21 730. а) —; б) —; в) —. 731. Нанду — 50 кг, эму — 5 8 4 55 кг, казуар — 80 кг, страус — 90 кг. 756. 36 га, 44 га. 757. а) 70; б) 1473; в) 98; 7. 758. А(160), B(192), D(384), K(176), L(224). 759. Z PML = 131°, Z MLQ = 106°, Z LMQ = 49°, Z PMK = 49°, Z PKM = 41°. 760. 9 и 5. 761. 1800 р., 1200 р. 763. 170 и 17. .Г.ТГЛ гч 30 ^61 ^ 103 , 51 , 89^ ^ ^ 7 77°. б) у; в) у; г) 72; д) у; е) ^4. 772. в) 10-2; 15 3 17 г) 4^^^; д) 3099; е) 225:5. 773. а) 2 + 3; е) 10 + 53. 775. а) 2 и 3; г) 3 и 4. 778. в) 02. 780. а) 2; б) 19. 5 15 2 1 782. а) 2-; б) ^; в) 5. 783. а) На 16^ м; б) на 43^ м. 2 9 3 3 784. 90 мм, 54 мм. 787. А(194), B(278), D(296), L(284), M(293). 789. Мака — 3500, проса — 200. 790. 16 000 р. 791. 1500 р. 792. 14 с./день, 7 с./день. 793. 6 дней, 18 дней. 794. а) 336 см3, 1008 см3; б) 6 см и 7 см; 7 см и 16 см. 795. а) 864 см3, 216 см3; 3 1 б) 6 см и 16 см; 4 см и 9 см. 799. 3т кг. 800. л) ^; 8 2 4 1 5 1 5 5 5 м) 25; н) 25; о) 23; п) 33; р) 23. 801. в) 23; г) 23; 13 7 7 178 19 д) 233; е) 8. 802. 2 кг 350 г. 805. а) 8; б) 1335; в) 33; .,59 _11 .,, 849 .„47 .„151 г) ^0I3; д) 1I33; 293; ж) 2I303; и) 2 300 186 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 808. а) |; б) 4^. 809. в)Ц; г) Ц; д) е) |. 17 3 7 9 810. 1— кг, 2— кг, 2-- кг. 811. —. 813. 810 тыс. м3, 20 10 20 10 210 тыс. м3. 814. 8 и 16. 815. 2 кг. 816. 10 000 л. 817. 7500 л. 818. 180 кг, 220 кг. 819. 81°, 99°. 820. 24 см2, 48 см2, 72 см2. 821. А(6822), Б(704), 1 3 Б(896), ^(693^), L(736). 822.480 г, 820 г. 824. 1500 р., 2000 р. 825. 12, 8. 826. 7 и 3. 827. 6300 р., 5400 р. 828. 5 ч. 829. 79 км/ч, 85 км/ч. 833. а) 9 см, 13 см; б) 12 см и 7 см; в) 10 см и 5 см. 834. а) 4080 см3, 3876 см3; б) 34 см и 15 см; 38 см и 17 см. 835. 12 м, 11 м, 15 м. 836. 10 и 6. 837. 12 и 18. 838. 5040 кг. 839. 150. 840. 55 га, 47 га. 846. а) 340 км; б) 232 км. Раздел V 9 9 859. 10 м2, — м2, — м2. 860. а) 3; б) 2; в) 3. 869. а) 2 5 1 2; 5 2 3 8 б) —; в) —. 870. а) — м; б) — м. 871. а) 6; б) 13. 7 3 5 5 872. 54 см и 126 см. 873. 5 коров и 10 индюков. 874. 128. 875. 96. 876. б) d20 кг. 877. 21| м2. 878. Z NCB = 20°, Z BNC = 120°, Z CDM = 50°, Z CMD = 110°. 879. 4 км/ч, 20 км/ч. 880. 6 ч. 881. 15 км/ч. 883. 2 и 4. 885. 105 с., 99 с. 886. 500. 887. 36. 900. а) 30; б) 150; в) 45; г) 143. 901. 10 см, 9 см, 5 см. 902. 31. 903. 49 см. 904. в) 135. 905. а) 3360; б) 1680; в) 560. 906. 40° или 50°. 4 907. а) 160°. 910. В 20^ раза. 911. 123 км, 84 км. 914. а) 48; б) 61; в) 193; г) 1012. 918. В 60 раз. 37 919. 2400 мг; 1200 мг. 921. —. 922. 10. 923. 8 т, 6 т. 60 924. 8 л/100 км, 15 л/100 км. 925. 112 км, 180 км. 928. 31. 930. з) 1; и) 17|; к) 27. 933. а) 12; б) 2|-; 3 2 1 19 1 в) 12-. 934. а) 7-; б) 1; в) ^. 937. ^^т. 938. 3. 187 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 939. а) 129 360 дм3, б) ^388 т. 940. На 372 тыс. км3. 2 942. 5 м2. 943. 3 дм, 4 дм, 6 дм; 72 дм3. 944. 15 см, 30 см. 945. 8 и 9. 946. а) На 105 сут.; б) на 103 сут. 947. 136. 948. d164 г. 950. 30 лет. 951. 490 га, 845 га. 953. 1 л/10 км, 2 л/10 км. 954. 42 ц/га. 955. 63 га. 2 3 956. 8 л и 15 л. 957. 208 км, 171 км. 960. 200. 157 21 77 1 3 963. а) 1400; б) 1 400; в) 1300 - 964- а) 13; б) 4; в) Х^; г) 30. 965. а) 325; б) 2; в) 15; г) ai; д) 2; е) 1. 966. 3 ч 12 мин. 967. 675 кг. 968. Верхи — 9 га, Велец — 22 га, Мнюта — 96 га. 970. а) ^; б) ■1; 16 8 19 ч ^ ^ ч ^ 3 , , ; е) 49. 971. а) 2; б) 25; в) 1; в) 3; г) 11; д) 125 г) 16. 972. За 17 ч 30 мин и за 23 ч 20 мин. 973. 39 с., 52 с. и 65 с. 974. 28 флоринов. 975. 13. 977. 336 см3. 20 979. 350 дм2, 1050 дм3. 980. 360 км. 981. 48 и 40. 982. 12 дет./ч, 15 дет./ч. 983. 10. 984. 48 мм, 54 мм. 985. 20 кур и 12 коз. 986. 250 км, 190 км. 987. 12 л/100 км, 5 л/100 км. 989. Пётр — 120, 47 19 14 Адам — 45. 991. д) 1^; е) 1^. 992. 17^ ц/га. 52 48 23 97 993. 4^9 км/ч. 994. 9. 995. 199 8 г. 996. 3^— кг. 21 997. 23 649 га/км. 998. 2 кг. 999. 80 тыс. р. 5 5 8 4 1000. а) ^^; б) ^. 1001. а) В 8— раза; б) в ^ раза; 24 6 27 7 в) в 3^3 раза. 1002. 120 000 р. 1003. 16— м, 37— м, 581^ м. 1004. За 10 ч. 1005. 1200 см3. 1006. 324 м3. 1007. а) В 2 раза; б) ^2. 1008. 2 ч. 1009. 1806 ц, 1449 ц. 1010. 48 мм, 45 мм. 1012. 376 мм, 451 мм. 1014. 1700. 188 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Таблица простых чисел 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1225 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 189 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2251 2257 2141 2143 2151 2161 2179 2203 2207 2225 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2541 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2641 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 190 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" СОДЕРЖАНИЕ Раздел III Натуральные числа: делимость 17. Простые и составные числа.............5 18. Признаки делимости...................18 19. Общие делители чисел.................30 20. Общие кратные чисел..................44 Раздел IV Дроби: сложение и вычитание 21. Доля и дробь........................52 22. Задачи с известными значениями одного из множителей и отношением значений произведения................69 23. Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями..76 24. Основное свойство дроби..............88 25. Смешанные дроби.................... 103 26. Сложение и вычитание дробей........ 114 27. Задачи, требующие уравнивания произведений....................... 125 Раздел V дроби: умножение и деление 28. Умножение и деление дроби на натуральное число............... 134 29. Нахождение дроби числа и числа по его дроби ...................... 145 30. Умножение дробей................... 156 31. Деление дробей..................... 165 32. Среднее арифметическое............. 176 Ответы ................................. 185 191 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" (Название и номер школы) Учебный год Имя и фамилия ученика Состояние учебного пособия при получении Отметка ученику за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / Учебное издание Латотин Леонид Александрович Чеботаревский Борис Дмитриевич МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 5 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения В 2 частях Часть 2 Редактор Художник обложки Художник Компьютерный набор Компьютерная вёрстка Корректор Е. А. Пастушенко К. К. Шестовский А. Л. Латотин Е. Э. Задорожная, Л. В. Латотина Е. Э. Задорожная Е. В. Полянская Подписано в печать 18.05.2013. Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,0. Уч.-изд. л. 5,9. Тираж 4440 экз. Заказ РУП «Издательство “Адукацыя i выхаванне”». ЛИ № 02330/639 от 31.01.2012. Ул. Будённого, 21, 220070, г. Минск. ООО «Принтхаус». ЛП № 02330/0552738 от 02.02.2010. Ул. Одоевского, 117, 220015, г. Минск. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне"