Учебник Математика 5 класс Дорофеев Шарыгин Суворова

Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» Академический школьный учебник МАТЕМАТИКА Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» Академический школьный учебник МАТЕМАТИКА 5 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Под редакцией Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 12-е издание Москва «Просвещение» 2011 УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 М34 Серия «Академический школьный учебник» основана в 2005 году Проект «Российская академия наук, Российская академия образования, издательство «Просвещение» — российской школе» Руководители проекта: вице-президент РАН, акад. В. В. Козлов, президент РАО, акад. Н. Д. Никандров, управляющий директор издательства «Просвещение», чл.-корр. РАО А. М. Кондаков Научные редакторы серии: акад. РАО, д-р пед. наук А. А. Кузнецов, акад. РАО, д-р пед. наук М. В. Рыжаков, д-р экон. наук С. В. Сидоренко Авторы: Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, К. А. Краснянская, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/15 от 31.10.07) и Российской академии образования (№ 01-190/5/7д от 11.10.07) Математика. 5 класс : учеб, для общеобразоват. учреждений / М34 [Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.]; под. ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук. Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — 12-е изд. — М. : Просвещение, 2011. — 303 с. : ил. — (Академический школьный учебник). — ISBN 978-5-09-022498-7. Учебник является частью учебного комплекта для 5 класса, включающего также дидактические материалы, рабочую тетрадь, тематические тесты, контрольные работы, устные упражнения и книгу для учителя. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 ISBN 978-5-09-022498-7 Издательство «Просвещение*, 2004 Издательство «Просвещение*, 2009, с изменениями Художественное оформление. Издательство «Просвещение*, 2004 Все права защищены Разнообразный мир линий Всякий раз, когда мы прикасаемся к поверхности бумаги кончиком карандаша, мы отмечаем точку. Если мы ведем карандашом по поверхности, то рисуем линию. Слово «линия» происходит от латинского слова Ипеа, означающего «лен, льняная нить, шнур, веревка». Все точки одинаковы, и одна точка от другой ничем не отличается. А мир линий очень разнообразен. Некоторые линии изображены на рисунке 1. Рис. 1 1* Рис. 2 Математики различают очень много видов линий. Легко отличить замкнутую линию от незамкнутой. Так, нащ)имер, линии @ и @ (см. рис. 1) замкнутые, а линии (§) и незамкнутые. Так же легко отличить самопересекающуюся линию от линии без самопересечений. Уже сами названия позволяют нам без труда определить, к какому виду принадлежит та или иная линия. На рисунке 2 изображена замкнутая линия без самопересечений. Она делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Сама линия служит границей этих областей. Чтобы из одной области попасть в другую, надо пересечь ее границу. Граница большинства государств мира представляет собой одну замкнутую линию: внутренняя область — это сама страна, а внешняя область — заграница. 1. Найдите на рисунке 1: а) замкнутые линии; б) незамкнутые линии; в) самопересекающиеся линии; г) замкнутые линии без самопересечений. 2. Убедитесь, что на рисунке 3 изображены замкнутые самопересекающиеся линии. Сколько точек самопересечения имеет каждая из них? 3. Нарисуйте в тетради какую-нибудь замкнутую и какую-нибудь незамкнутую линии. Чем различаются две линии, изображенные на рисунке 4? Перерисуйте этих «бабочек» в тетрадь. Нарисуйте в тетради замкнутую линию без самопересечений и закрасьте внутреннюю область получившейся фигуры. Отметьте какую-нибудь точку во внутренней области, во внешней области и на границе областей. 4. 5. а) б) в) Рис. 5 6. Возьмите кубик и на его поверхности проведите мелом линию так, как показано на рисунке 5. Попробуйте из куска проволоки сделать такую же линию. 7. Возьмите мячик и на его поверхности отметьте мелом две точки. Соедините их линией. Можно ли через эти две точки провести другую линию? Проведите через эти точки какую-нибудь замкнутую линию. 8. Кусок веревки выложен так, как показано на рисунке 6. Как вы думаете, завяжется ли узел, если потянуть за концы веревки? Проверьте себя, проведя эксперимент. а) I I I Рис. 7 9. Перечертите в тетрадь спираль, изображенную на рисунке 7, и продолжите ее раскручивание. Начертите такую же спираль, но раскручивающуюся в противоположную сторону. 10. Перенесите рисунок 8 в тетрадь и продолжите построение линии. 11. Главный судья мотогонок должен обязательно присутствовать и на старте, и на финише. Какими из известных вам свойств линий должна обладать трасса гонок? Какие из нарисованных на рисунке 9 линий могут изображать трассу для проведения автомобильных гонок? 12. Убедитесь, что узор на рисунке 10 образован одной линией. 13. Воспроизведите узор, изображенный на рисунке 11. Сколько линий составляют этот узор? 14. Скопируйте от руки в тетрадь овал, изображенный на рисунке 12. 15. Перечертите в тетрадь звезду (рис. 13). Прямая. Части прямой. Ломаная Среди всех линий мы выделяем две, в каком-то смысле самые важные. Одна из них — прямая, другая — окружность. Представление о прямой даст натянутая нить. По прямой движется луч света. Камень, если его не бросить, а выпустить из рук, падает на землю по прямой. Если перегнуть лист бумаги, то линия сгиба — прямая линия. Прямые проводят с помощью линейки. Отметим на листе бумаги две точки А и Б и проведем через них прямую (рис. 14). Попробуем провести через эти две точки другую прямую. Нам это не удастся. Через две точки можно провести только одну прямую. Рис. 14 Называют прямую по любым двум принадлежащим ей точкам. Так, проведенную нами через точки А и В прямую можно назвать «прямая АВ». Можно обозначать прямые и одной маленькой буквой латинского алфавита (рис. 15). Рис. 17 Прямая — линия незамкнутая, при этом она неограниченно продолжается в обе стороны. Проводя прямую на листе бумаги, мы показываем лишь ее часть. Проведем прямую и отметим на ней точку О. Она разбивает прямую на два луча, которые идут от точки О в разные стороны по двум направлениям. На рисунке 16 это лучи О А и ОБ. Точка О для каждого луча является его началом. Отметим на прямой две точки К и М (рис. 17). Они ограничивают отрезок КМ с концами в этих точках. Если несколько отрезков расположить так, как показано на рисунке 18, то получится ломаная. Концы отрезков — точки А, В, С, D и Е — называются вершинами ломаной, а сами отрезки АВ, ВС, CD, DE — ее сторонами или звеньями. 16. Отметьте в тетради точки А \л С. Проведите через них прямую. Отметьте на прямой АС еще три точки и обозначьте их. Отметьте четыре точки, не лежащие на прямой АС\ обозначьте их. 17. 1) Начертите две пересекающиеся прямые и обозначьте точку их пересечения буквой D. 2) Проведите через точку D еще одну прямую. 3) Сколько можно построить прямых, проходящих через точку Б? 18. а) Назовите лучи на прямой MN с началом в точке Р (рис. 19). б) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке 20? 19. Проведите прямую и отметьте на ней точки А, В, С так, чтобы точка С: а) принадлежала отрезку с концами в точках А \л В\ Рис. 22 б) не принадлежала отрезку АВ. (Рассмотрите разные варианты; в каждом случае назовите точки в том порядке, как они расположены у вас на прямой.) 20. Начертите отрезок АВ. Отметьте точку К, не принадлежащую прямой АВ. Проведите через точку К: а) прямую Ь, пересекающую отрезок АВ; б) прямую d, не пересекающую отрезок АВ. 21. Рассмотрите рисунок 21. Верно ли утверждение: а) точка А лежит на отрезке ВС; б) точка А лежит на луче BD] в) точка D лежит между точками А и С; г) точки В и С лежат на одном и том же луче с началом в точке В; д) точка В лежит и на луче АС, и на луче СА7 22. Отметьте в тетради точку О, поместив ее в узле квадратной сетки. Постройте: • точку А, расположенную на 5 клеток правее и на 4 клетки выше точки О; • точку В, расположенную на 3 клетки правее и на 2 клетки ниже точки О; • точку С, расположенную на 4 клетки левее и на 1 клетку ниже точки О. Соедините каждую из точек А, В, С с точкой О. Назовите получившиеся отрезки. 23. Скопируйте отрезок АВ, изображенный на рисунке 22, в тетрадь. Постройте по клеткам несколько отрезков, равных АВ. Постройте отрезок, равный отрезку АВ, одним из концов которого является точка А. 24. Перечертите в тетрадь ломаную (рис. 23). Запишите ее звенья. 25. а) Постройте в тетради ломаную по следующему описанию: • отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку А; • от точки А отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз, отметьте точку Б; • от точки В отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз, отметьте точку С; • от точки С отсчитайте 3 клетки вправо и 6 клеток вверх, отметьте точку О. Соедините точки по линейке в том порядке, в котором вы их строили. Назовите ломаную. Из скольких звеньев она состоит? б) Начертите в тетради какую-нибудь ломаную с вершинами в узлах сетки и «продиктуйте» ее соседу по парте. 26. Начертите в тетради: а) замкнутую ломаную, состоящую из трех звеньев; б) незамкнутую ломаную, состоящую из четырех звеньев. 27. 1) Начертите две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую, пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения. Сколько точек пересечения прямых у вас получилось? 2) В некотором городке всего три попарно пересекающиеся прямолинейные улицы. На каждом перекрестке установлен светофор. Сколько всего светофоров в этом городке? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрестки. Сколько придется установить светофоров? А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке, например, с 10 улицами? 28. Проведите прямую а. Отметьте на ней точки А, Б, С и D, удовлетворяющие следующим трем условиям: • точка С лежит между точками А и Б; • точка D не лежит на отрезке АБ; • точки Б, С и Б лежат на одном и том же луче с началом в точке А. Назовите отмеченные точки в том порядке, как они расположились на прямой а. 29. На рисунке 24 изображен каркас куба. Назовите: L N а) отрезки, одним из концов которых является точка М; б) какую-нибудь ломаную, состоящую из трех отрезков; Рис. 24 К М В D в) несколько ломаных, по которым можно пройти а) из точки А в точку К. Какой путь короче: АВКМ или ABCDNM? Назовите еще какой-нибудь путь такой же длины, что и АВКМ, и путь такой же длины, что и ABCDNM. 30. 1) На рисунке 25, а показано, как можно спаять куб из четырех одинаковых кусков проволоки. А можно ли спаять куб из шести одинаковых кусков проволоки? 2) Верно ли, что на рисунках 25, а и 25, б изображен один и тот же каркас? Длина линии 7 Z 7 7 7 7 7 Рис. 25 Отрезки можно сравнивать друг с другом, т. е. устанавливать, равны ли они, а если нет, то какой из них длиннее, а какой — короче. Иногда это легко сделать, наложив один отрезок на другой при помощи циркуля, как это показано на рисунке 26. Однако такой способ сравнения отрезков не всегда возможен. Существует и другой способ — измерение отрезков и сравнение их длин. Чтобы измерить отрезок, мы должны прежде всего иметь единицу измерения, т. е. отрезок, длина которого принята за единицу. В нашей стране и во многих других странах мира основной единицей длины является метр. Есть и другие единицы измерения, связанные с метром: сантиметр, дециметр, километр, миллиметр. Они образуют так называемую метрическую систему единиц. й\ =1 000 м 1. ^ i ц = 0 Рт 1 1 1 0 чк АВ = 2 см 5 мм Рис. 27 В В России метрическая система стала применяться только с 1918 г., до этого для измерения длин использовались такие единицы, как верста^ локоть, аршин и т. д. А, например, в Великобритании метрическая система мер не принята до сих пор. Здесь используют милю, ярд, фут, дюйм. Для измерения длин отрезков пользуются линейкой. На рисунке 27 изображен отрезок АВ. С помопцью линейки установили, что его длина равна 2 см 5 мм. Это записывают так: АВ = 2 см 5 мм. Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и В. В данном случае расстояние между точками А и В равно 2 см 5 мм. Задача измерения длин кривых значительно сложнее: линейкой кривую не измеришь. Люди придумали много способов решения этой проблемы. Вот один из них. Мы хотим измерить кривую на рисунке 28. Выложим вдоль этой кривой нитку, затем распрямим ее и измерим ее длину. Это и будет длина кривой. А в автомобиле есть специальный прибор — спидометр, который, кроме скорости, показывает еш;е и длину пройденного пути. 31 1) Используя циркуль, сравните отрезки АВ и CD, EF и КМ, CD и КМ (рис. 29). 2) Какой из четырех отрезков самый длинный? самый короткий? Перечислите отрезки в порядке возрастания их длин. 32. Определите на глаз среди трех отрезков, изображенных на рисунке 30, наибольший и наименьший. Проверьте себя, воспользовавшись циркулем. Назовите отрезки в порядке убывания их длин. 33. Начертите на нелинованном листе бумаги четыре отрезка, измерьте их и запишите результаты измерений. М Рис. 29 34. Измерьте отрезки АВ и КМ (рис. 31). На сколько отрезок АВ длиннее отрезка КМ? 35. а) Постройте по клеточкам в тетради отрезки длиной 5 см, 6 см 5 мм. б) Постройте на классной доске отрезки длиной 1 м, 1 м 15 см. в) Измерьте длину и ширину вашей комнаты, выбрав подходящий измерительный инструмент. (Длина одной клеточки равна 5 мм.) 36. а) Сделайте рисунок по следующему условию: точка С принадлежит отрезку АВ; АС = 5 см 4 мм, СВ = 3 см 7 мм. Чему равна длина отрезка АВ? б) Сделайте рисунок по следующему условию: точка С принадлежит отрезку АВ; AB=^0 см, АС=4 см 5 мм. Чему равна длина отрезка СВ? 37. Начертите прямую и отметьте на ней точки А и В, такие, что АВ = 3 см. Отметьте на прямой точку С так, чтобы выполнялось условие: а) АС = 2 см, ВС=1 см; б) АС = 2 см, ВС = Ъ см; в) АС = 8 см, ВС = 3 см. 38. Перечертите в тетрадь ломаную, изображенную на рисунке 32, измерьте ее звенья и найдите длину ломаной. 39. Начертите ломаную АВС, такую, что АВ=3 см, ВС=5 см. Чему равна длина этой ломаной? 40. Из точки А в точку С (рис. 33) можно «пройти» по отрезку АС, по ломаной ADC или по ломаной АВС. Какой путь самый короткий? самый длинный? В К^ .м Рис. 31 В Рис. 33 41. Постройте ломаную, длина которой равна 20 см, состоящую из четырех звеньев различной длины. 42. В каких единицах вы будете измерять: а) расстояние от дома до школы; б) длину отреза ткани при покупке? 43. Задание с выбором ответа. Значение какой величины может выражать 138 см? A. Расстояние между городами. Б. Ширина тетради. B. Рост школьника. Г. Длина карандаша. 44. Рост Кати 1 м 40 см. Она выразила его сначала в дециметрах, потом в сантиметрах и, наконец, в миллиметрах и записала: 1 м 40 см = 14 дм =140 см = 14 000 мм. Где ошиблась Катя? 45. Измерьте длину кривой, изображенной на рисунке 34. 46. Заполните пропуски: а) 3 м = ... дм= ... см = ... мм; б) 400 см = ... дм = ... м; в) 4500 м = ... км ... м; 47. Выразите: а) в сантиметрах: 12 дм, 9 дм 6 см, 1 м 88 см, 130 мм; б) в дециметрах: 8 м, 24 м, 1 м 6 дм, 70 см, 320 см; в) в миллиметрах: 5 см, 19 см, 3 см 6 мм, 11 дм; г) в метрах: 7000 мм, 100 см, 80 дм, 3 км, 6 км 350 м; д) в километрах: 2000 м, 14 000 м. г) 84 мм = ... см д) 57 см = ... дм е) 145 см = ... м мм; см; дм ... см. 48. 1) Отрезок АВ в 2 раза длиннее отрезка КМ (рис. 35). Это можно записать в виде равенства: АВ=2 КМ. Запишите с помощью равенства следующее утверждение: а) отрезок ОС в 4 раза длиннее отрезка ЕК\ б) отрезок ОС в 3 раза короче отрезка ЕК. Начертите два отрезка, удовлетворяющие каждому из этих условий. 2) Измерьте отрезок АВ (рис. 36), приняв за единицу измерения: А \ В ] —^ К М Л^^ = ^К\М Рис. 35 в D Рис. 36 а) отрезок CD; б) отрезок EF. Запишите ответ. 3) Отрезок АВ измерили отрезком CD и получили, что АВ=10 CD. Чему равна длина отрезка АВ, если CD=3 см? 5 мм? 3 см 5 мм? 4) Известно, что AB=^0 см, CD=b мм. Запишите в виде равенства результат, который получится, если отрезок АВ измерить отрезком CD. 49. Пусть две клеточки тетради изображают 10 м. Начертите отрезок, соответствующий 60 м; 5 м; 45 м. 50. а) Постройте отрезок АВ. Отметьте на глаз точку С — середину отрезка AlB, а затем точки D \л Е — середины отрезков АС и СВ. Пусть AD = 3 см. Найдите длины отрезков DE и АВ. б) Постройте отрезок АВ. Отметьте точку К — середину отрезка АВ и точки М v\ N — середины отрезков АК и КВ. Известно, что MN = 5 см. Чему равна длина отрезка АВ? 51. Длина отрезка АВ равна 37 см. Точки С и М лежат на этом отрезке, причем точка М находится между точками Б и С. Найдите длину отрезка СМ, если: а) АС=12 см, МВ=М см; б) АМ = 26 см, CB=^8 см. 52. Точки А, Б и С лежат на одной прямой. Расстояние между точками А и Б равно 20 см, а между точками Б и С — 5 см. Найдите расстояние между точками А и С. (Рассмотрите различные случаи расположения точек на прямой.) 53. Допустим, что у вас есть линейка с тремя метками 0, 3 и 10. (Ее уменьшенная копия изображена на рисунке 37.) Как с помощью одной лишь этой линейки построить отрезки длиной 4 см; 2 см; 5 см? Рис. 37 Окружность Среди кривых линий самая важная — окружность (рис. 38, а). В отличие от прямой окружность является замкнутой линией. Она разбивает плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Фигура, ограниченная окружностью,— это хорошо известный вам круг (рис. 38, б). Окружность удивительно гармоничная фигура, древние греки считали ее самой совершенной. Ведь все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — ее центра (рис. 39). Поэтому окружность — кривая, которая может «скользить сама по себе», врапцаясь вокруг центра. Это свойство окружности объясняет, почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми. Отрезок, который соединяет центр окружности с какой-либо ее точкой, называют радиусом окружности. Слово «радиус» соответствует латинскому слову radius, которое на русский язык можно перевести как «спица в колесе». На рисунке 40 изображена окружность с центром в точке О и проведены ее радиусы ОА, ОВ, ОС, OD. Понятно, что OA = OB = OC = OD. Фрагмент фасада Оружейной палаты. Москва. 1851 г. Фрагмент арочной конструкции. Акведук Лопасть прялки. Вологодская область. 1890 г. Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр, называют диаметром окружности. Слово «диаметр» происходит от латинского слова diametros — «поперечник». Диаметр окружности равен двум радиусам (см. рис. 40). Части окружности также имеют свое название — они называются дугами. Окружность всегда привлекала к себе внимание художников и архитекторов. С использованием окружностей можно получать очень красивые узоры. Посмотрите на фотографии: торжественность и устремленность ввысь придают зданиям арки, полукруглые своды и окна. 54. Отметьте точку О и начертите пять отрезков, равных 3 см, с общим концом в точке О. Другие концы этих отрезков лежат на одной окружности. Проведите ее. Чему равен радиус этой окружности? 55. Начертите окружности с радиусами, равными 2 см; 4 см 5 мм. Чему равен диаметр каждой окружности? 56. а) Найдите диаметр окружности, если ее радиус равен: 12 см; 3 см 5 мм; 10 дм. б) Найдите радиус окружности, если ее диаметр равен: 6 см; 9 см; 12 м. 57. Начертите окружность и проведите три прямые, ее пересекающие. Как нужно провести прямую, чтобы расстояние между точками пересечения этой прямой с окружностью было наибольшим? 58. Перечертите рисунок 41 в тетрадь. Проведите и обозначьте еще два отрезка с концами на окружности, равные отрезку АВ. Как называются все эти отрезки? —Gz) 59. На рисунке 42 изображены несколько отрезков и круг. Установите на глаз, какие из отрезков можно закрыть этим кругом. Проверьте себя, выполнив необходимые измерения. 60. Отметьте в тетради точку О. Постройте две окружности с центром в этой точке: одну радиусом 2 см, другую радиусом 3 см. Закрасьте цветным карандашом область, расположенную между этими окружностями. Как бы вы назвали получившуюся фигуру? 61. Скопируйте в тетрадь рисунок, составленный из окружностей (рис. 43). 62. Проведите в тетради горизонтальную прямую по линии клетчатой бумаги. Через каждые три клеточки отметьте на ней точки. Проведите окружности радиусом 4 клеточки с центрами в этих точках. Раскрасьте получившийся узор таким образом, как будто бы вы накладывали каждый следуюидий круг на предыдущий. 63. Отметьте в тетради точки А и В. Измерьте расстояние между ними. Начертите окружность с центром в точке А, проходящую через точку В. Начертите окружность с центром в точке В, проходящую через точку А. Чему равен радиус каждой из окружностей? Каково расстояние от точек пересечения окружностей до их центров? 64. 1) Начертите в тетради отрезок АВ длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке В радиусом 2 см 5 мм. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой С. Чему равно расстояние от точки С до точки А? до точки В7 2) Начертите отрезок АВ, равный 6 см. Найдите точки, которые находятся от точки А на расстоянии, равном 4 см, и от точки В на расстоянии, равном 5 см. 65. 1) Начертите окружность радиусом 3 см и измерьте ее длину. 2) Длину окружности приближенно можно найти, умножив ее радиус на 6. Начертите окружность радиусом 2 см и найдите длину окружности двумя способами: измерением и вычислением. Сравните результаты. 3) Как можно приближенно вычислить длину окружности, если известен ее диаметр? W для ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Обводим линии Попробуем линию, изображенную на рисунке 44, а, обвести одним росчерком, т. е. не отрывая карандаша от листа бумаги и не проходя по одной и той же части линии более одного раза. Фигура эта, такая простая на вид, оказывается, имеет интересную особенность. Если мы начнем движение из узла Б, то у нас это обязательно получится. Один из вариантов обводки показан на рисунке 44, б. А что будет, если мы начнем движение из узла А? Легко убедиться, что обвести линию в этом случае нам не удастся: у нас всегда будут оставаться непройденные отрезки, добраться до которых уже невозможно. Две такие неудачные попытки обводки показаны на рисунках 44, в и 44, г. D 66. а) Удастся ли обвести одним росчерком линию, изображенную на рисунке 44, а, если начать движение из узла С? из узла D? б) Вы начали движение из узла В (см. рис. 44, а). Где вы закончите движение? 67. 1) Назовите все узлы линии, изображенной на рисунке 45, а, начав с которых ее можно обвести одним росчерком. Начертите в тетради эту линию одним росчерком, отметьте начало движения и покажите стрелками направление движения. 2) Выполните такое же задание для линий, изображенных на рисунках 45, б и 45, в. 68. На рисунке 46 изображена линия, которую вы, наверное, умеете рисовать одним росчерком. Это звезда. Оказывается, хотя она и выглядит значительно более сложной, чем предыдущие линии, обвести ее можно, начав с любого узла. Начертите звезду несколько раз, начиная движение из разных узлов. 69. Линию, изображенную на рисунке 47, как и звезду, можно вычертить одним росчерком, начав движение из любого узла. Вычертите эту линию дважды: начав с узла, из которого выходят два отрезка, а затем с узла, из которого выходят четыре отрезка. 70. Начертите одним росчерком линию, изображенную на рисунке 48. а) С а) в) Рис. 46 Рис. 45 б) А теперь попробуйте обвести одним росчерком линию, изображенную на рисунке 49. Вам это сделать не удалось! Почему? Вы не смогли найти нужный узел? Нет! Дело в том, что это вообще невозможно. Проведем рассуждения, которые убедят нас в этом. Рассмотрим узел А. Начнем обводить линию с этого узла. Из него выходят три отрезка. Чтобы пройти по каждому из этих отрезков, мы должны выйти из узла Л по одному из них, в процессе обводки обязательно вернуться в него по другому отрезку и тут же выйти по третьему. А вот снова войти в этот узел мы уже не сможем! Значит, если начать обводку с узла А, то закончить в нем не удастся. Допустим теперь, что узел А не является началом. Тогда в процессе обводки мы должны войти в него по одному из отрезков, выйти по другому и снова вернуться по третьему. А так как выйти из него мы уже не сможем, то узел А в этом случае должен являться концом. Итак, узел А должен быть или начальным, или конечным узлом вычерчивания. Но про три других узла нашей линии можно сказать то же самое. Однако как начальным узлом, так и конечным может быть только один из этих узлов. А значит, обвести эту линию одним росчерком невозможно. Линию нельзя обвести одним росчерком, если она содержит более двух узлов, в которых сходится нечетное число отрезков. 71. Какие линии, изображенные на рисунке 50, можно обвести одним росчерком, а какие — нельзя? 72. а) Можно ли согнуть каркас куба, изображенного на рисунке 51, из единого куска проволоки? б) Можно ли сделать такой каркас из двух кусков проволоки, спаяв их в нескольких узлах? А из трех кусков? Рис. 51 73. Вспомните, как вы учились писать по прописям. Некоторые буквы вы писали не отрывая ручки от бумаги, другие же — нет. а) Какие из букв, изображенных на рисунке 52, можно написать одним росчерком? б) Придумайте свой способ написания букв Б, К, Ж, Ф, при котором их можно вычертить одним росчерком. JЪBЖKH'}^У Рис. 52 ГЛАВА 2 Натуральные числа Как записывают и читают числа Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу палочкой, тогда двумя палочками изображали число 2, тремя — число 3. А потом был сделан очень важный шаг: люди догадались — вместо группы единиц писать один знак. В Древнем Египте палочками обозначали числа от одного до девяти, а десяток обозначали знаком П. Римская нумерация чисел, которая сохранилась и до наших дней, начинается так: I, II, III. Для записи следуюш;их чисел используются новые цифры: V, X, L, С, D, М, обозна-чаюш;ие сразу большое число единиц: V X L С D М пять десять пятьдесят сто пятьсот тысяча С помош,ью этих цифр с применением сложения и вычитания в римской нумерации записывают и другие числа. При этом пользуются такими правилами. Если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей: VI — шесть, XV — пятнадцать, LX — шестьдесят. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей: IV — четыре, IX — девять, XL — сорок. Заметим, что эти правила не являются исчерпывающими. Так, и без специальных правил все знают, что запись XIX означает число 19, а XIV — число 14. Римская нумерация используется редко, но всякий культурный человек должен уметь прочитать на фронтоне здания год, когда оно построено: например, MDCCCXXXIV — тысяча восемьсот тридцать четвертый. С помощью римской нумерации обычно обозначают века, главы в книге. Олимпийские игры и т. д. Однако для практического употребления римская нумерация неудобна. Даже чтобы прочитать число, нужно устно складывать и вычитать, так как каждая цифра, где бы она ни стояла, означает одно и то же число единиц. И совсем уж сложно в этой нумерации выполнять арифметические действия. Попробуйте сложить числа MDCCCLXXIV и CXLVIII (это 1874 и 148) — и вы сами убедитесь в этом! Если бы мы захотели в римской нумерации записать очень большое число, состоящее из многих тысяч и миллионов, то нам потребовалось бы придумать еще много новых цифр — для десятков тысяч, сотен тысяч и т. д. Даже запомнить их все было бы очень трудно. Поэтому великим достижением математиков было изобретение десятичной системы записи чисел, хорошо вам известной. В ней используются только 10 цифр — их обычно называют арабскими: о 8 С?' # ^ ^ ^ ^ .V ^ 3748152 в этой системе значение цифры зависит от того, какое место в записи числа она занимает, а точнее, в каком разряде она находится. Например, в числе 3 748 152 цифра 2 означает две единицы, цифра 5 — пять десятков, цифра 1 — одну сотню и т. д. Поэтому десятичную систему называют позиционной. Изобретение десятичной системы, какой бы простой она сейчас ни казалась, заняло несколько веков. А самая главная трудность состояла в необходимости цифры, которая показывала бы отсутствие единиц соответствующего разряда. Известно, что такая цифра была изобретена в Индии в VII в. — в те времена ее обозначали точкой или кружочком. В десятичной системе с помощью только десяти цифр можно записать любое, сколь угодно большое число. Например: 567 857 034 932 767 611 056 560 007 221 100. (24)— Чтобы прочитать число, записанное в десятичной системе, его разбивают справа налево на классы (группы), по три цифры в каждом. (Самая левая группа может состоять из одной или двух цифр.) Сначала идет класс единиц, потом класс тысяч. Есть названия для классов, следующих за классом тысяч, — это миллион, миллиард, триллион. Так, в записи числа 247 028 541 406 всего четыре класса: миллиарды, миллионы, тысячи, единицы. ■^^acq if,^Ace 247 028 ,{.31АСе 541 406 Читают число слева направо: 247 миллиардов 28 миллионов 541 тысяча 406. 74. Что означает цифра 7 в записи чисел 27, 749, 74 007? 75. Прочитайте числа: 76. а) 925 314; б) 700 040; Прочитайте числа: в) 11100; г) 203 001; д) 450 007; е) 17 000. млрд млн тыс. ед. млрд млн тыс. ед. а) 3 284 376 159; г) 12 036 000 900; б) 285 999 500 273; Д) 7 000 015 270; в) 37 102 000 000; е) 1 000 600 020. 77. 78. 79. д) 114 521 800 000; е) 18 800 011 603. 80. Прочитайте числа: а) 157 398 246; в) 70 000 012; б) 14084000; г) 79 312 333415; Напишите число, в котором: а) 4 тысячи 3 сотни 2 десятка 1 единица; б) 5 миллионов 6 тысяч 7 сотен 8 десятков. Запишите числа: а) триста девятнадцать тысяч двести двадцать пять; б) сорок тысяч сто двенадцать; в) шесть тысяч двадцать семь; г) пятьсот тысяч десять. Запишите цифрами число: а) 237 тыс.; в) 407 млн; б) 1324 тыс.; г) 12 млн; д) 23 004 тыс.; е) 60 005 млн. 81. Каждое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, в числе 2803 содержится 2 тысячи, 8 сотен, 0 десятков и 3 единицы. Поэтому 2803 = 2-1000 + 8* 100 + 0-10 + 3*1. Используя этот образец, запишите в виде суммы разрядных слагаемых число: а) 75; б) 3428; в) 2350; г) 4038; д) 25070. 82. Какое число представлено в виде суммы разрядных слагаемых: а) 6-1000 + 7-100 + 5*10 + 4*1; в) 8-100 + 0-10 + 5-1; б) 2-1000 + 0*100 + 8*10 + 3*1; г) 7-100 + 3-10 + 0-1? 83. Выразите в сантиметрах и прочитайте получившийся результат: а) 270 м; в) 3 км; д) 140 м 20 см; б) 1550 м; г) 800 км; е) 1 км 500 м. 84. Выразите в килограммах: а) 450 ц; г) 20 ц 7 кг; ж) 25 т 8 ц; б) 11 ц; д) 14 т; з) 6 т 9 ц 15 кг; в) 7 ц 56 кг; е) 5 т 165 кг; и) 10 т 36 кг. 85. Дано число: а) 156 998; б) 3 409 999. Запишите три следующих числа и прочитайте их. 86. Дано число: а) 2001; б) 100 100. Запишите три предыдущих числа и прочитайте их. 87. Прочитайте данное число. Составьте другое число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и прочитайте его: а) 1235; б) 40 007; в) 1 000 213. 88. Напишите и прочитайте: а) наибольшее четырехзначное число; б) наибольшее семизначное число; в) наименьшее семизначное число; г) наибольшее девятизначное число; д) наименьшее одиннадцатизначное число. 89. Сколько различных цифр использовано для записи числа: а) 30 350 500 000; б) 4 444 444 444? 90. Сколько чисел можно составить, используя только цифры 2 и 5? 91. Используя все цифры от 0 до 9 по одному разу, запишите сначала наибольшее число, а потом наименьшее число. 92. Запишите последовательность из семи чисел, для записи которых используется только цифра 3 и каждое из следующих имеет на один разряд больше предыдущего. Прочитайте эти числа. 93. Придумайте правило, по которому можно продолжить последовательность чисел: 20, 202, 2020.......Запишите три следующих числа. Про- читайте эти числа. 94. Запишите арабскими цифрами число: а) XXIII: в) XIX; д) CLIX; ж) CCCLXV; б) XVI; г) XIV; е) XL; з) DXXIV. 95. Запишите несколько чисел, которые можно составить с помощью римских цифр: а) I и V; б) X и L. 96. Запишите римскими цифрами год издания этого учебника. 97. Египтяне за 3000 лет до нашей эры обозначали единицы знаком | , десятки — р| , сотни — ^ • Число 234 они записывали так: 99ППП Запишите, используя египетский способ записи чисел, число 327. Сравнение чисел Числа, которые мы называем при счете: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., — называются натуральными. Натуральные числа появились в глубокой древности, когда людям понадобилось вести счет плодов, животных и т. п. Само слово «натуральный» означает в русском языке то же самое, что и слово «естественный», так что название «натуральные» соответствует происхождению чисел в человеческой практике. А слово natura — это и есть по-латыни «природа». Натуральные числа, записанные по порядку одно за другим, образуют натуральный ряд. В натуральном ряду есть наименьшее число и нет наибольшего. Натуральный ряд бесконечен: именно это мы показываем, ставя многоточие. Обратите внимание на то, что число 0 не входит в натуральный ряд чисел, т. е. не считается натуральным числом. Это тоже совершенно естественно, потому что считать предметы никогда не начинают с нуля. Каждое натуральное число получается из предыдуш;его прибавлением единицы: 6 = 5-М, 54 = 53+1, 1000 000 = 999 999 + 1. Но это правило имеет одно исключение: число 1 не имеет предыдуш;его. В то же время у каждого натурального числа имеется следуюш;ее, и это верно для всех чисел без исключения. Заметим, что в натуральном ряду чередуются четные и нечетные числа, т. е. числа, делящиеся и не делящиеся на 2. 1 2 3 4 5 б ... 99 100... Из двух различных натуральных чисел всегда одно больше, а другое меньше. Меньшим считается то число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим — то, которое появляется позже. Например, число 23 больше 17, а число 17 меньше 23. Договорились считать, что число 0 меньше любого натурального числа. Результат сравнения двух чисел записывают с помощью знаков > (больше) и < (меньше). Например: 23>17, 0<5, 17<23, 38 >0. Такие записи называют неравенствами. Число 15 меньше, чем 22, а число 22 меньше, чем 36. Это можно записать в виде двойного неравенства: 15<22<36. Двойное неравенство принято читать «с середины»: число 22 больше, чем 15, и меньше, чем 36. 98. Для каждого из данных чисел назовите следующее число _ и предыдущее: 2567, 1099, 99 000, 1 000 000. 99. Какое из чисел больше: а) 245 или 1002; в) 74 196 или 74 215; б) 25 000 или 9876; г) 1 197 000 или 1 190 426? Запишите ответ с помощью знака >. 100. Какое из чисел меньше: а) 7280 или 7028; в) 15 278 или 15 287; б) 111 111 или 22 222; г) 6 130 248 или 10 471 000? Запишите ответ с помощью знака <. 101. Сравните числа и запишите ответ, поставив вместо звездочки знак > или <: а) 908*789; в) 0*600; д) 1 800 180*180 180; б) 407*1007; г) 3344*4333; е) 115 978*115 887. 102. 103. 104. 105. Верно ли использован знак сравнения: а) 700 000 > 70 099; г) 71 326 < 71 326; б) 12 345 < 5555; д) 88 ООК 9876; в) 54 321 >54317; е) 4434 >4344? Если нет, то исправьте запись. Запишите числа сначала в порядке возрастания, а потом в порядке убывания: а) 89, 88, 61, 49; б) 576, 675, 568, 615. Запишите: а) в порядке возрастания все двузначные числа, большие 80; б) в порядке возрастания все четные числа, меньшие 20; в) в порядке убывания все нечетные однозначные числа. Сравните величины и запишите ответ с помощью знаков >, < или =: г) 15 м 7 см и 169 см; д) 8 км и 7 км 900 м; е) 4 км 300 м и 4300 м. 106. 107. 108. 109. 110. г) 2 Д) 5 е) 7 кг и 1950 г; т и 50 ц; кг 250 г и 70 250 г. в) 270 с и 4 мин 7 с; г) 3 ч 15 мин и 195 мин. 111. а) 980 см и 10 м; б) 5 км и 5125 м; в) 100 см и 1000 мм; Сравните величины: а) 25 т и 19 570 кг; б) 7 ц и 712 кг; в) 3 т 2 ц и 3200 кг; Сравните величины: а) 7 ч и 700 мин; б) 300 мин и 5 ч; Найдите среди данных величин равные: а) 7 км, 700 м, 7000 м, 70 000 см; б) 4 т, 40 кг, 400 кг, 4000 кг, 40 000 г; в) 2 ч, 200 мин, 120 мин, 12 000 с, 7200 с. Какое из двух чисел меньше: а) пятизначное или четырехзначное; б) шестизначное или восьмизначное; в) двенадцатизначное или десятизначное? Запишите в виде неравенства: а) число а больше 15; б) число Ь меньше 100; в) число 28 меньше числа с; г) число а больше числа с. В каждом случае приведите примеры таких чисел. Прочитайте запись: а) 9<17<20; г) 30<34<40; д) 17<300<400; б) 36<39<40; в) 94<95<96; е) 90<93<100. 112. Запишите в виде двойного неравенства: а) число 7 больше 6 и меньше 10; б) число 12 меньше 20 и больше 9; в) число 26 меньше 30 и больше 20; г) число 83 больше 80 и меньше 90; д) число d больше 25 и меньше 30; е) число 14 больше числа а и меньше числа Ь. 113. Назовите два ближайших числа, между которыми находится данное число: а) 28; б) 84; в) 145; г) 219. Ответ запишите в виде двойного неравенства. 114. Запишите все числа, при подстановке которых в рамочку получится верное неравенство 257238; в) 1596>159*; д) 478*>4783; б) 96*4<9614; г) 2438<2*38; е)1686<1*86. 120. Можно ли сравнить числа, в которых вместо некоторых цифр поставили звездочки: а) 9** и 2**; г) 6**** и 6*5**; б) 18*** и 20***; д) 9*4*4 и 8*4*4; в) 3***4 и 3***7; е) **111 и *1111? 121. а) Напишите какое-нибудь пятизначное число, которое меньше 10 101 и оканчивается цифрой 7. Сколько таких чисел можно записать? б) Напишите какое-нибудь шестизначное число, которое больше 999 888 и оканчивается цифрой 6. Сколько таких чисел можно записать? 122. Какие из чисел 45, 96, 116, 200, 29 можно записать в рамочку, чтобы получилось верное неравенство □ -6<100? Можно ли назвать все такие числа? Укажите наибольшее из них. 123. Назовите какое-нибудь число, при подстановке которого в рамочку получится верное неравенство □ + 6>100. Сколько таких чисел? Укажите наименьшее из них. Числа и точки на прямой Вы, наверное, заметили, что в курсе математики мы занимаемся числами и фигурами, т. е. арифметикой и геометрией. Вообще в математике числа и фигуры неразлучны. В этом пункте вы узнаете, как связаны натуральные числа и точки на прямой. Начертим прямую, отметим на ней точку О, а справа от нее еще одну точку — Е (рис. 53). Будем считать, что точка О изображает число О, а точка Е — число 1. Отрезок ОЕ назовем единичным отрезком. 1 - ' 1 ^,— 9 “F 1 —'—1— 0 1 1 1 1^ 1 ; i ' ' 1: Рис. 53 Отложим вправо от точки Е отрезок, равный единичному; получим точку, которая изображает число 2 (рис. 54). Отложив вправо от этой точки еще один единичный отрезок, получим точку, изображающую число 3. Так, шаг за шагом, можно построить точки, которым соответствуют числа 4, 5, 6, .... Прямую с отмеченными точками, которые изображают числа О, 1, 2, 3, 4, ..., называют координатной прямой, а сами ^ 1_2 .5 t Рис. 54 —dD числа называют координатами отмеченных точек. Если, например, точка М имеет координату, равную 8, то это записывают так: М(8). На координатной прямой большему числу соответствует точка, расположенная правее, а меньшему — точка, расположенная левее. Направление, в котором мы перемеш;аемся по прямой, переходя от меньшего числа к большему, показывают стрелкой. Изображение чисел точками прямой для математиков настолько привычно, что в речи часто число и изображаюш;ую его точку не различают. Так, вместо «отметим точку с координатой, равной 5» говорят: «отметим число 5». 127. 128. 124. Какие числа соответствуют точкам, отмеченным на координатной прямой (рис. 55)? Запишите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 56). Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок одну клеточку. Отметьте на ней точки: а) О (0), А (1), В (7), С (10), D (14), Е (19); б) О (0), К (1), L (6). М (9), N (12), Р (17). а) Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок две клеточки. Отметьте на ней числа 1, 3, 5, 7, 9. б) Начертите координатную прямую. Отметьте на ней числа 2, 4, 8, 10. Задание с выбором ответа. Какая из точек Е (98), К (101), М (89) или Р (103) расположена на координатной прямой правее других? А. £ (98). Б. ir (101). В. М (89). Г. Р (103). ^ + г Н-----h \ I I Рис. 55 i ж Р » I I I • I L Рис. 56 129. Запишите координаты всех точек, которые на координатной прямой расположены: а) левее точки с координатой 15; б) левее точки с координатой 27, но правее точки с координатой 12. 130. Начертите прямую и отметьте на ней точку О. Отступив от точки О вправо на четыре клетки, поставьте метку и подпишите под ней число 2. Отметьте на этой координатной прямой числа 1, 4, 8. 131. Начертите прямую и отметьте на ней точку О. Отступив от точки О вправо на три клетки, поставьте метку и подпишите под ней число 6. Отметьте на этой координатной прямой числа 12, 2, 8. 132. Перечертите рисунок 57 в тетрадь и подпишите числа у каждой метки. Н--^—Г--1—^^—г б) ' ■ i — —!—^^^^—: ; 1 i 1 — — ! 1 : 1 1 ! i i ^ 1 ! i 1р0 ' ' ' i I I 1 i 7i )0 i i 1 ! 1 i Рис. 57 133. Найдите: а) координаты точек, которые удалены от точки А (13) на 4 единицы; б) координаты каких-нибудь двух точек, равноудаленных от точки А (9). В каждом случае сделайте рисунок. 134. Каким числам соответствуют точки А, В, С на рисунке 58? А ВС -н----h 0 5 ч------h -I-----------h 20 50 Рис. 58 135. На координатной прямой (рис. 59) отмечены числа а и Ь. Сравните числа а и 12, 6 и 12, а и Ь; запишите результат с помощью знака неравенства. О а 12 2—г. в. Дорофеев, 5 кл. Рис. 59 iL Округление натуральных чисел Известно, что расстояние от Земли до Луны 384 000 км. Если вдуматься в это предложение, то возникают вопросы: например, неужели это расстояние так точно подсчитано и составляет такое «круглое» число километров? А может быть, оно равно 384 025 км? Почему же мы все-таки верим астрономам, которые называют такое расстояние? Такие же «круглые» числа встречаются нам повсюду. Например, в справочниках сообщается, что в Москве проживает 10 млн человек, что стадион «Маракана» в Бразилии вмещает 200 тыс. зрителей. Все эти данные не являются точными, однако в жизни они играют очень важную роль: по ним мы можем сравнивать города по численности населения, страны по территориям и др. И для этого не нужно, например, знать абсолютно точно число людей, живущих в Москве и в Нью-Йорке, тем более что это и невозможно, так как население крупного города ежедневно меняется. Когда полная точность не нужна или невозможна, числа округляют, т. е. заменяют точные данные числами с нулями на конце. Например, директор стадиона точно знает, что на футбольный матч продано 46 238 билетов. Но комментатор матча скажет, что на стадионе 40—50 тысяч зрителей, и этой информации вполне достаточно. А какое из этих двух «круглых» чисел более точно указывает число зрителей на стадионе — 40 000 или 50 000? Ясно, что 50 000 — оно меньше отличается от точного числа 46 238. Если число зрителей обозначить буквой /I, то можно записать: /1~50 000. Знак ~ читается как «приближенно равно». Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т. д. При округлении числа до десятков его заменяют ближайшим «круглым» числом, состоящим из целых десятков, т. е. числом, у которого в разряде единиц стоит цифра 0. При округлении до сотен данное число заменяют «круглым» числом, у которого цифра 0 стоит и в разряде единиц, и в разряде десятков. И т. д. Пример 1. Округлим до десятков число 564. Для этого из двух «круглых» чисел 560 и 570 выберем то, которое ближе к числу 564. Ясно, что это число 560 (рис. 60): 564-560. 560 564 570 Рис. 60 Числа 560 и 570, между которыми заключено число 564, называют его приближенными значениями; число 560 — приближенное значение числа 564 с недостатком, а 570 — приближенное значение с избытком. Округляя число 564 до десятков, мы заменили его приближенным значением с недостатком. Пример 2. Округлим до десятков число 568. Это число ближе к 570, чем к 560 (рис. 61). Поэтому мы должны заменить его приближенным значением с избытком: 568-570. 560 568 570 Рис. 61 Пример 3. Округлим до десятков число 565. Это особый случай, так как число 565 одинаково удалено от соседних «круглых» чисел 560 и 570 (рис. 62). В таких случаях условились округлять число «в большую сторону». Поэтому 565-570. 560 565 570 Рис. 62 Пример 4. Округлим до тысяч число 145 870. Из двух чисел 145 000 и 146 000 второе, т. е. приближенное значение с избытком, ближе к данному числу. Поэтому 145 870-146 000. Округленные результаты часто записывают без нулей, добавляя сокращения «тыс.», «млн», «млрд». В данном случае: 145 870 — 146 тыс. Если требуется округлить натуральное число, вы всегда можете сделать это с помощью рассуждений, как в рассмотренных выше примерах. Можно, однако, поступить иначе — воспользоваться специальным правилом, которое позволяет округлять числа «механически», не рассматривая приближения числа с недостатком и с избытком и не выясняя, какое из них «лучше». 2* Пример 5. Округлим до миллионов число 20 847 250. Заменяем нулями шесть цифр, стоящих правее разряда миллионов, а цифру в разряде миллионов увеличиваем на единицу: 20 847 250-21000 000 = 21 млн. Для самоконтроля полезно проверить, что в «круглом» числе цифр не меньше, чем в исходном. 136. Рассмотрите двойное неравенство и укажите, к какому из двух крайних чисел ближе среднее число: а) 200 <223 <300; в) 2300 < 2378 < 2400; б) 110<117<120: г) 2000<2378<3000. 137. Напишите какое-нибудь число, которое на координатной прямой находится между числами 20 и 30 и расположено: а) ближе к числу 20; б) ближе к числу 30. 138. Напишите какое-нибудь число, которое на координатной прямой находится: а) между числами 700 и 800 и расположено ближе к числу 800; б) между числами 3400 и 3500 и расположено ближе к числу 3400. dD— 139. а) В городе во время переписи населения было зарегистрировано 13 882 жителя. Сообщая результаты переписи, одна газета указала, что в городе примерно 13 тыс. жителей, а другая — 14 тыс. Какое сообщение точнее? б) В вагоне метро находится 148 пассажиров. Какое приближение точнее: 150 пассажиров или 140 пассажиров? 100 пассажиров или 200 пассажиров? 140. Укажите, какое из приближенных равенств точнее: а) 28~30 или 28~20; б) 54-60 или 54-50; в) 746-750 или 746-740; г) 1823-1900 или 1823-1800. 141. Однажды экскурсанты спросили у сторожа музея, сколько лет динозавру, скелет которого стоит в музее. Тот ответил: «Один миллион тридцать четыре года». — «Откуда Вы так точно знаете его возраст?» — изумились экскурсанты. «Но это же очень просто! — ответил сторож. — Когда 34 года назад я пришел работать в музей, мне сказали, что этому динозавру миллион лет...» Правильно ли рассуждал сторож? 142. В англо-русском словаре содержится 8352 слова. Сколько примерно тысяч слов содержится в словаре? 143. От Москвы до Петербурга по железной дороге 660 км. Укажите примерно это расстояние в сотнях километров. 144. а) В школьной библиотеке 27 923 книги. Сколько примерно тысяч книг в школьной библиотеке? Сколько примерно десятков тысяч книг? б) В городской библиотеке 2 387 600 книг. Сколько примерно тысяч книг в городской библиотеке? Сколько примерно миллионов книг? 145. Задание с выбором ответа. Масса слона 5835 кг. Сколько примерно тонн весит слон? А. 58 т. Б. 59 т. В. 6 т. Г. 5 т. 146. Выразите приближенно: а) 19 мм в сантиметрах; б) 28 см в дециметрах; в) 423 см в метрах; 147. Выразите приближенно: а) 7169 г в килограммах; б) 290 кг в центнерах; в) 47 300 кг в тоннах; г) 359 см в дециметрах; д) 482 см в метрах; е) 5621 м в километрах. г) 13 875 г в килограммах; д) 517 кг в центнерах; е) 980 кг в тоннах. 148. В ящике 3720 гвоздей. Укажите примерное количество гвоздей, округлив данное число до сотен, тысяч. 149. Округлите числа: а) 281, 69, 347, 23 до десятков; б) 3267, 8750, 26 342, 21 623 до тысяч; в) 5 487 900, 31 672 350 до миллионов. 150. Округлите число 62 538: а) до десятков; в) до тысяч; б) до сотен; г) до десятков тысяч. 151. Миша задумал число и, округлив его до десятков, записал: 280. Какое число мог задумать Миша? 152. Некоторое число округлили до сотен и получили 53 400. а) Назовите несколько чисел, при округлении которых до сотен получится это число. б) Назовите наименьшее число, при округлении которого до сотен получится это число. в) Назовите наибольшее число, при округлении которого до сотен получится это число. 153. В школе 20 классов, в каждом из которых от 30 до 40 учеников. Оцените число учащихся школы. Какое из двух полученных чисел точнее указывает примерное число учащихся в школе, если в школе 758 учеников? 626 учеников? 154. Запишите ряд чисел, который получится, если последовательно округлять число 28 701 568 до десятков, сотен, тысяч и т. д. Перебор возможных вариантов Перед нами нередко возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных решений. Обычно одни из них нас устраивают, а другие — нет. Чтобы сделать верный выбор, надо рассмотреть все возможные варианты решения. А для этого прежде всего надо найти удобный способ перебора возможных вариантов. Пример 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя только цифры 1, 4 и 7? Будем выписывать числа в порядке возрастания. Такой способ перебора позволит нам не пропустить никакое из чисел и в то же время не повторить ни одно из них. Сначала запишем в порядке возрастания все искомые числа, начинающиеся с цифры 1, затем — начинающиеся с цифры 4 и, наконец, — с цифры 7: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. Таким образом, из трех данных цифр можно составить 9 двузначных чисел. Пример 2. В алфавите племени УАУА имеются только две буквы — «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени? Слова, естественно, удобно выписывать в алфавитном порядке. Сначала выпишем слова, начинающиеся с буквы «а», а затем — с буквы «у»: ааа, аау, ауа, ауу, уаа, уау, ууа, ууу. Итак, получилось 8 трехбуквенных слов. Пример 3. На прямой отметили четыре точки: А, В, С и D (рис. 63). Сколько получилось отрезков? Любые две отмеченные точки являются концами некоторого отрезка. Сначала рассмотрим все отрезки, одним из концов которых является точка А. Это отрезки АВ, АС и AD. Теперь рассмотрим все отрезки с одним из концов в точке В. Это отрезки ВА, ВС и BD. Но отрезок ВА уже был назван: ведь ВА и АВ — это два разных «имени» одного и того же А BCD отрезка. Значит, новыми будут только от- * резки ВС и BD. Рис. 63 Рассуждая точно так же, мы получим, что из всех отрезков с концом в точке С новым будет только отрезок CD. Все отрезки с концом в точке D уже указаны. Итак, мы получили шесть отрезков: АВ, АС, AD, ВС, BD, CD. Часто процесс перебора удобно осуществлять путем построения специальной схемы — так называемого дерева возможных вариантов. Это название принято потому, что такая схема, как вы увидите, действительно напоминает дерево, правда, расположенное «вверх ногами» и без ствола. Корень дерева изображают знаком *. Решим еще раз с помощью построения дерева задачу о числе трехбуквенных слов, которые можно составить, используя алфавит племени УАУА. Чтобы составить слово, надо сначала выбрать его первую букву, а для этого у нас есть два варианта: буква «а» и буква «у». Поэтому из корня — знака * — проведем два отрезка (две ветви) и на их концах поставим буквы «а» и «у» (рис. 64). Теперь надо выбрать вторую букву, а для этого опять есть те же два варианта: «а» и «у». Поэтому от каждой первой буквы проведем по два отрезка, на концах которых снова записываем «а» и «у». Точно так же выбираем и третью букву. Двигаясь по ветвям дерева, мы получим все возможные слова. Например, ветви, выделенные на рисунке 64, дают слова «аау» и «уаа». * Первая буква Вторая буква а Третья буква а а у Полученное слово ааа аау ауа ауу уаа уау ууа ууу Рис. 64 Первая цифра Вторая цифра Полученное число 11 14 17 41 44 47 71 74 77 Рис. 65 На рисунке 65 показано решение с помондью дерева возможных вариантов задачи, рассмотренной в примере 1. 155. Составьте все двузначные числа, в записи которых ис-пользуются только цифры 3 и 7. 156. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? 157. Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр О, 1,2, используя при записи числа каждую цифру один раз. Сколько получится чисел, если каждую цифру использовать не один раз? 158. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и 5? 159. Сколько чисел, делящихся на 9, содержится среди первых ста чисел? 160. Представьте число 10 в виде суммы двух слагаемых всеми возможными способами. (Суммы, отличающиеся порядком слагаемых, считайте одинаковыми.) 161. Шифр для сейфа составляется из трех разных цифр. Запишите все шифры, которые можно составить, используя цифры 1, 2 и 3. 162. Сколько новых чисел можно получить из числа 546, переставляя его цифры? 163. а) В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день? Указание. Перебирая варианты, введите обозначения: Р — русский язык, М — математика, Ф — физкультура. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171 б) В магазине продаются полотенца трех видов: в полоску, в клетку и в горошек. Из скольких вариантов покупки придется выбирать, если нужны два разных полотенца? Указание. Введите обозначения: П — полоска, К — клетка, Г — горошек. а) Из четырех игр: шашки, лото, конструктор и эрудит — надо выбрать две. Сколькими способами можно осуществить этот выбор? б) Сколькими способами можно составить патруль из двух милиционеров, если на дежурство вышли четверо: Быстров, Свистунов, Умнов и Дубов? Саша выбрал в библиотеке пять книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг из пяти есть у Саши? Сколькими способами можно выбрать два цветка, если есть васильки, маки, ромашки и тюльпаны? Сколько получится таких пар, если их составлять из двух разных цветков? Сколько можно составить различных букетов из трех роз, если в продаже белые и красные розы? Проведите прямую, отметьте на ней три точки и обозначьте их. Сколько получилось отрезков с концами в этих точках? Сколько лучей с началом в этих точках? Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву — на самолете, теплоходе, поезде или автобусе? Решите задачу с помощью построения дерева. В костюмерной имеются желтые и белые кофты, а также синие, красные и черные юбки. Сколько из них можно составить различных костюмов? Решите задачу с помощью построения дерева. Имеются ручки четырех цветов: красные, синие, зеленые, черные — и два вида записных книжек. Сколько различных наборов из ручки и записной книжки можно составить из этих предметов? Решите задачу с помощью построения дерева. 172. Отметьте и обозначьте три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько можно построить ломаных с вершинами в этих точках? (Для каждого случая сделайте отдельный рисунок.) 173. Начертите окружность и отметьте на ней три точки. Обведите получившиеся при этом дуги карандашами разных цветов. Сколько карандашей вам потребовалось? Сколько дуг у вас получилось? 174. Две волейбольные команды «Ласточка» и «Орленок» играют матч до трех побед. С каким счетом может закончиться их поединок, если в волейболе ничьих не бывает? Составьте таблицу всех возможных вариантов исхода поединка. 175. Дано число 3241. Запишите все числа, большие данного, которые можно получить с помощью перестановки цифр этого числа. 176. Хоккейная комбинация. На поле пять игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке 66 с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи щайбы между игроками в данной комбинации. 177. Запишите все трехзначные числа, сумма цифр которых равна 3. 178. В школьной лотерее должно быть всего десять различных выигрышей. Есть ручки, блокноты, записные книжки, альбомы для рисования. Можно ли из этих предметов составить десять различных выигрышей, по два разных предмета в каждом? 179. Девять школьников, сдавая экзамены по математике, русскому и английскому языкам, получили отметки «4» и «5». Можно ли утверждать, что по крайней мере двое из них получили по каждому предмету одинаковые отметки? 180. Сколькими способами три друга могут разделить между собой два банана, две груши и два персика так, чтобы каждый получил по два различных фрукта? 181. В телеигре участвуют пять человек, из них трое выходят в финал. Сколько существует различных вариантов тройки финалистов? 182. Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй? 183. Дано число, записанное римскими цифрами: МСХ. Используя законы записи чисел римскими цифрами, запишите все возможные чис- Рис. 66 ла, которые можно получить перестановкой цифр этого числа. Запишите эти числа арабскими цифрами. 184. Туристы отправились в поход на лодках. Они договорились, что в темное время суток будут передавать друг другу сообщения с помощью трех цветных фонариков: желтого, красного, синего. Сколько различных сообщений могут передать туристы, если каждое сообщение шифруется всеми тремя зажженными фонариками, расположенными в ряд? Сколько еще сообщений можно передать, включая один фонарик или два фонарика? ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Магические квадраты Существует предание, согласно которому китайский император Ию, живший примерно четыре тысячи лет назад, увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире (рис. 67). Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Чтобы и нам он стал понятен, заменим каждую фигуру числом, показывающим, сколько в" ней кружков; получим таблицу, изображенную на рисунке 68. Если сложить числа первой строки этой таблицы, получится 15. Точно такой же результат получается, если сложить числа второй, а также третьей строки. При сложении чисел любого столбца тоже получается 15. Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям: 4-Ь5-Ь6=15, 8 + 5-Ь2=15. Символ, изображенный на рисунке 67, китайцы назвали «ло-шу» и считали магическим — он использовался при заклинаниях. Поэтому квадратные таблицы чисел, обладающие таким удивительным свойством, с тех пор называют магическими Рис. 68 квадратами. Рис. 67 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Как же составляют магические квадраты? Составим, например, такой магический квадрат, как тот, что изображен на рисунке 68? Для этого можно попробовать перебрать различные варианты расстановки чисел от 1 до 9 в клетках таблицы. Если повезет — вы получите магический квадрат. Однако при этом надо иметь в виду, что всего существует почти 400 000 разных расстановок чисел в этом квадрате. Гораздо интереснее составить такой магический квадрат с помощью рассуждений. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Всего в квадрате три строки. Значит, в каждой строке магического квадрата сумма чисел должна быть равна 45:3=15. Но тогда, чтобы квадрат был магическим, в каждом столбце и на каждой диагонали сумма чисел тоже должна быть равна 15. Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9: 9 + 5+1 9 + 4 + 2 8 + 6+1 8 + 5 + 2 8 + 4 + 3 7 + 6 + 2 7 + 5 + 3 6+5+4 Заметим, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в выписанных суммах четыре раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах три раза (строка, столбец, диагональ). А число, стоящее на одном из оставшихся четырех мест, должно встречаться в суммах только два раза (строка и столбец). Поскольку в полученных суммах четыре раза встречается только число 5, оно и должно стоять в центре таблицы. Трижды встречаются в суммах числа 2, 4, 6 и 8. Значит, они должны стоять в углах таблицы, причем так, чтобы 2 и 8 были на одной диагонали (2 + 5 + 8=15), а 4 и 6 — на другой. Дважды в суммах встречаются числа 1, 3, 7 и 9. Их нужно поставить на свободные места, учитывая при этом, что сумма чисел в каждой строке должна быть равна 15. Описанный способ дает несколько разных магических квадратов. Например, число 8 можно расположить в любом из четырех углов, что позволит получить разные по виду квадраты. Магические квадраты почитались не только в Древнем Китае. Во времена Средневековья в Европе свойства магических квадратов тоже считались волшебными. Магические квадраты служили талисманами, защищая тех, кто их носил, от разных бед. А. Дюрер. Меланхолия. Гравюра на меди. 1514 г. Знаменитый магический квадрат изображен на гравюре великого немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия». Этот квадрат, составленный из чисел, записанных арабскими цифрами, выглядит так, как показано на рисунке. Интересно, что средние числа в нижней его строке изображают год создания гравюры — 1514. Возможно, Дюрер знал этот квадрат, а может быть, начав именно с этих чисел, смог найти остальные методом подбора... 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 185. Составьте все 8 различных магических квадратов из чисел от 1 до 9. 186. Убедитесь сами, что квадрат Дюрера является магическим, посчитав суммы по строкам, столбцам и диагоналям. Исследуйте другие свойства этого квадрата, посчитав сумму чисел центрального квадрата и каждого из угловых квадратов. 187. Впишите в пустые клетки квадрата такие числа, чтобы квадрат стал магическим. 2 6 5 1 4 б) 42 6 24 18 48 188. Восстановите магические квадраты. б) 3 15 14 13 16 10 11 8 12 9 в) 18 14 15 16 12 14 11 15 8 10 16 2 9 13 12 в) 15 10 9 12 16 19 17 18 14 13 г) 8 11 19 5 16 17 18 15 189. Возьмите квадрат 4X4 и впишите в него числа от 1 до 16 по порядку. Теперь поменяйте местами числа, стоящие в противоположных углах квадрата. А затем поменяйте местами числа, стоящие в противоположных углах центрального квадрата. Если вы все сделали правильно, должен получиться магический квадрат. Проверьте. Задания для самопроверки (Обязательные результаты обучения) 1. Запишите цифрами число: а) двадцать девять тысяч семьсот пятнадцать; б) восемьдесят тысяч двести. 2. Запишите цифрами число: а) 682 млн; б) 5432 тыс. 3. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число: а) 49 532; 6)5017. Сравните числа: а) 888 и 1001; б) 7 500 000 и 7 050 000. Сравните величины: а) 50 м 70 см и 5000 см; б) 2 т 5 ц и 3000 кг; в) 3 ч 20 мин и 200 мин. Какие числа изображены точками А, В \л С (рис. 69)? А ВС —I---1----\-------1---1-------1------h- о 1 Рис. 69 7. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа 3, 10, 7. 8. В книжном шкафу помещается 739 книг. Укажите примерное количество книг в шкафу, округлив данное число книг: а) до десятков; б) до сотен. 9. Выразите приближенно: а) 16 381 г в килограммах; б) 5743 м в километрах. ГЛАВА 3 Действия с на^ральными числами Сложение и вычитание Вы уже умеете складывать и вычитать числа. Числа, которые складывают, называют слагаемыми; число, которое получается при сложении, называют суммой. Если слагаемые обозначить буквами а и Ь, то их сумма запишется так: а + Ь. Напомним, что число О обладает в действии сложения особым свойством: для любого числа а а + 0 = а, 0 + а = а. Например, 12 + 0=12, 0 + 425 = 425, 1244 + 0=1244. Действие вычитания определяется на основе сложения. Вычесть из числа а число Ъ — это значит найти такое число с, которое в сумме с числом Ь дает число а. Например, 8 — 3 = 5, так как 5 + 3 = 8. Результат вычитания называется разностью. Два других «участника» вычитания имеют в отличие от сложения разные названия: уменьшаемое и вычитаемое — «то, что уменьшают» и «то, что вычитают». 1 1 8- 3 = 5 ! умепъшаем,<^е выяип ьаём Г \>е pdan ос\ ть ^ Если уменьшаемое и вычитаемое обозначить буквами а и Ь, то их разность запишется так: а — Ъ. Заметим, что сложить можно любые два натуральных числа, а разность двух чисел можно найти только в том случае, когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему. Из свойства нуля при сложении вытекают соответствуюш;ие свойства вычитания: для любого числа а а —0 = а, а —а = 0. Приведите примеры, иллюстрируюш;ие эти свойства. 191 190. Вычислите: а) 4705 + 74 573; б) 46 756 + 13 248; в) 60 275-6017; г) 3485 + 27 341; д) 34 500-2602; Найдите сумму чисел: а) 112, 85. 2333; б) 1050, 99. 918; е) 23 953 + 7066; ж) 70 563-45 381; з) 9652 + 31 428; и) 30 052-2236; к) 56 000-4606. в) 162, 34, 273, 1199; г) 2455, 361, 14, 28300. 192. Заполните таблицу. ь 17 25 33 59 с 9 16 19 14 12 Ь + с 50 61 93 52 Ь-с 36 58 0 193. Используя равенство 678 + 1357 = 2035, найдите: а) 2035-1357; б) 2035-678. 194. С помощью сложения проверьте, верно ли равенство: а) 2158-599 = 1559; в) 10 032-2255 = 7777; б) 2601-765=1836; г) 11 431-5316 = 6115. 195. Найдите неизвестное число: а) Ь+1111=3000; д) Ь-45 = 96; б) 456 + с = 1362; е) 2045-д:=15; в) р + 207=1451; ж) А;-183 = 2095; г) 1834-1/ = 753; з) 708 + с=1834. 196. Представьте число 2135 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно: а) 750; б) 1325. 197. Сравните значения выражений, не выполняя вычислений: а) 47 + 54 и 50 + 60; в) 245 + 76 и 250 + 80; б) 33 + 72 и 30 + 70; г) 122 + 43 и 120 + 40. 198. Пользуясь оценкой, сравните значение каждой суммы с данным числом: а) 289 + 655 и 1000; в) 107 + 248 и 300; б) 336 + 208 и 500; г) 28 + 57+49 и 150. Образец. Сравните сумму 375 + 197 с числом 600. Решение. 375+ 197 <400+ 200 = 600, т. е. 375+ 197 <600. 199. Найдите приближенное значение суммы, округлив слагаемые до старшего разряда: а) 284 + 634; в) 1945 + 726; д) 705 + 516 + 101; б) 5473 + 2614; г) 495 + 226; е) 1022 + 377 + 999. 200. Определите последнюю цифру результата: а) 315 + 118; в) 2643-834; д) 4378 + 5000; б) 423-211; г) 1600-674; е) 1134-956. 201. Задание с выбором ответа. Из четырех равенств только одно верное. Найдите его, не выполняя вычислений. А. 2435 + 678 = 3108. В. 3005-814 = 2199. Б. 7856-7281=575. Г. 578 + 583 = 961. 202. а) В начале пути на спидометре автомобиля было 16 523 км. Определите, каким станет показание спидометра через 670 км. б) В начале пути на спидометре автомобиля было 27 836 км, а в конце — 28 184 км. Какой путь проделал автомобиль? 203. Во время выборов в городе за одного из двух кандидатов проголосовало 42 356 избирателей, а за другого — на 1600 избирателей больше. Сколько человек всего проголосовало за этих двух кандидатов? 204. На базе было 1840 ц картофеля. В первый день вывезли 775 ц картофеля, во второй — на 50 ц меньше. Сколько картофеля осталось на базе? 205. На овощную базу завезли картофель, морковь и свеклу: моркови — 354 ц, свеклы — на 175 ц меньше, а картофеля — столько же, сколько моркови и свеклы вместе. Сколько всего овощей завезли на базу? 206. Семья во время отпуска совершила путешествие. На автомобиле она проехала 635 км, на поезде — на 160 км меньше, а на самолете — на 90 км больше, чем на поезде и автомобиле вместе. Какой путь проделала семья во время путешествия? Л- '''. 207. Задание с выбором ответа. Книгохранилище библиотеки занимает три комнаты. В одной комнате 8200 книг, в другой — 12 400 книг. а в третьей — 13 500 книг. Сколько примерно тысяч книг находится в библиотеке? А. 108 тыс. Б. 341 тыс. В. 23 тыс. Г. 34 тыс. 208. Из пункта А в пункт С ведут разные дороги (рис. 70). Сколькими маршрутами можно проехать из А в С? Найдите самый короткий маршрут. М Рис. 70 209. Известно, что сумма чисел а и Ь равна числу с. Запишите это утверждение в виде равенства. Запишите другие равенства, связывающие эти числа. 210. Представьте число 2375: а) в виде суммы двух четырехзначных чисел; б) в виде суммы трех трехзначных чисел. 211. Найдите: а) сумму наибольшего четырехзначного числа и наибольшего пятизначного числа; б) сумму наименьшего четырехзначного числа и наибольшего шестизначного числа; в) разность наименьшего шестизначного числа и наибольшего трехзначного числа. 212. Задание с выбором ответа. Найдите разность между наибольшим и наименьшим пятизначными числами, каждое из которых записано с помощью трех цифр: 1, 2 и 3. А. 21 998. Б. 22 222. В. 22 198. Г. 20 888. 213. Запишите два числа, разность которых равна 199. Сколько таких пар чисел можно назвать? 214. Восстановите три предыдущих и три последующих числа в последовательности: а) .... 30, 35, 40, б) ..., 70, 61, 52.. 215. Придумайте правило, по которому можно продолжить последовательность 1, 3, 4, 7, ..., и запишите пять следующих чисел. 216. а) Поезд отходит от станции каждое утро в 7 ч 27 мин и идет до конечной станции 1 ч 55 мин. Когда он прибывает на конечную станцию? б) Поезд прибывает на станцию в 9 ч 15 мин утра. Он находится в пути 10 ч 20 мин. В какое время он отходит от станции отправления? 217. Саша прыгнул в длину на 3 м 18 см. Это на 15 см хуже результата Вовы и на 25 см лучше результата Пети. Какие результаты в прыжках в длину показали Вова и Петя? 218. В трамвае ехало 225 пассажиров. На первой остановке вышло 37 пассажиров и вошло 45 пассажиров, на второй вышло 85 пассажиров и вошло 32 пассажира. Сколько пассажиров стало в трамвае после второй остановки? 219. В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 11 и вошло 6, а на второй вышло 7 и вошло 15 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 40? 220. Автомобиль за три дня проехал 980 км. За первые два дня он проехал 725 км. Сколько километров проезжал автомобиль за каждый из этих дней, если во второй день он проехал на 123 км больше, чем в третий? 221. У учителя на столе в коробке 80 цветных карандашей — красного, синего, желтого и зеленого цвета. Красных и синих 27 штук, желтых — на 4 меньше, чем красных и синих вместе, а зеленых — на 15 штук больше, чем красных. Сколько карандашей каждого цвета в коробке? 222. Яблоко и апельсин вместе весят 415 г, апельсин и груша вместе весят 430 г. Сколько весят яблоко, апельсин, груша в отдельности, если все вместе они весят 565 г? 223. В гирлянде 44 флажка — красного, синего, зеленого и желтого цвета. Красных, синих и зеленых флажков вместе 37 штук, синих, зеленых и желтых — 29 штук, красных, зеленых и желтых — 32 штуки. Сколько флажков каждого цвета в отдельности? (54)— Умножение и деление Кроме действий сложения и вычитания, вам известны также действия умножения и деления. Числа, которые перемножают, называют множителями; результат умножения называют произведением. 1 1 \5 * 3 ^ 15 \ 1 1 1 множители произвебет \ие Если множители обозначить буквами а и fo, то их произведение запишется так: а*6. Напомним свойства умножения, связанные с числом 1 и с числом 0. Для любого числа а а*1=а, 1-а = а, I а-0 = 0, 0-а = 0. Например: 14 1=14, 1 128=128, 1 1=1; 26 0 = 0, 0 1214 = 0, 0 0 = 0. Действие деления определяется на основе умножения. Разделить число а на число Ь — это значит найти такое число с, которое при умножении на Ь даст число а. Например, 18^3 = 6, так как 6-3 = 18. Здесь 18 — делимое, 3 — делитель, 6 — частное. Если делимое и делитель обозначить буквами а и 6, то частное запишется так: а ■ Ь. Заметим, что для любых двух натуральных чисел всегда можно найти их произведение. Однако разделить одно число на другое удается не всегда. Например, нет такого натурального числа, которое равно частному 7:3. Попробуем теперь вычислить частное 7:0, т. е. найти такое число, которое при умножении на 0 даст 7. Но при умножении на о всегда получается 0. Поэтому частное 7:0 не существует. Говорят, что выражение 7'0 не имеет смысла. Считается, что и выражение 0:0 также не имеет смысла. Дело в том, что его значением не может быть какое-то определенное число: какое бы число мы не взяли, умножив его на о, мы всегда получим в произведении 0. Но частное должно быть только одно. На о делить нельзя! Из свойств умножения, связанных с 0 и 1, вытекают соответствующие свойства деления. Для любого числа а а:1 = а; для любого числа а, не равного нулю, а'а=1\ 0:а = 0. Приведите примеры, иллюстрирующие эти свойства. 224. Найдите произведение чисел: а) 1450-18; в) 1730-160; д) 470-201; б) 5603-16; г) 480-3200; е) 400-9060. 225. Найдите частное: а) 7344:34; г) 63 000:280; б) 22 220:55; д) 252 800:800; в) 31 108:44; е) 20 720:40; 226. Вычислите: а) 25-6341; в) 4415-132; б) 99 900:450; г) 6936:102; 227. Определите: а) во сколько раз число 378 200 больше числа 1525; б) во сколько раз число 1173 меньше числа 238 119; в) во сколько раз число 441 559 больше числа 109; г) во сколько раз число 306 меньше числа 674 730. ж) 6363:21; з) 15655:31; и) 10 800:48. д) 50 800:25; е) 1540-602. (5б}^ 228. Заполните таблицу. а 8 18 24 66 72 0 75 Ь 4 3 7 25 1 а * Ь 144 245 а-Ь 6 9 229. Известно, что 1524*356 = 542 544. Не выполняя действий, определите, верно ли равенство: а) 542 544:1524 = 356; в) 542 544:356=1864; б) 1524*542 544 = 356; г) 542 544:356=1524. 230. Используя данное равенство, найдите значения двух следующих выражений: а) 945:35 = 27; б) 555:15 = 37; 27*35 = ? 555:37 = ? 945:27 = ? 15*37 = ? 231. С помощью умножения проверьте, верно ли равенство: а) 23 550:75=314; в) 512 052:852 = 601; б) 52 208:104 = 502; г) 213 060:212=1005. 232. Найдите неизвестное число: а) 18*х = 450; г) 1190:с = 34; б) Ь*23 = 2346; д) Ь:17 = 201; в) 44*d = 24 200; е) 1881:/г=19; 233. Представьте: а) число 2880 в виде произведения двух чисел, одно из которых равно 45; б) число 10 323 в виде произведения двух чисел, одно из которых равно 111. 234. Найдите приближенное значение произведения, округлив множители до старшего разряда: а) 48*23; б) 514*19; в) 196*485; г) 275*209. 235. Определите последнюю цифру результата: а) 23*24; в) 215*33; д) 520*107; б) 689*13; г) 8624*22; е) 4991*217. 236. Задание с выбором ответа. Из четырех равенств только одно верное. Найдите его, не выполняя вычислений. А. 915*25 = 22 870. В. 4860:45 = 108. Б. 735:35 = 201. Г. 206*42 = 852. ж) 25-х = 20 200; з) 21 840:d = 52; и) 30*6 = 23310. — 237. а) Сколько килограммов в 105 т? в 12 т 350 кг? в 4 ц 15 кг? б) Сколько граммов в 20 кг? в 3 кг 120 г? в 2 ц 30 кг? 238. а) Сколько минут в 15 ч? в 10 ч 24 мин? в 3 сутках? б) Сколько секунд в 30 мин? в 3 ч? в 2 ч 12 мин? 239. а) Что больше: 5 км или 500 м? Во сколько раз? б) Что меньше: 3 ч или 90 мин? Во сколько раз? 240. Запишите последовательность из шести чисел, если: а) первое число равно 9, а каждое следующее в 5 раз больше предыдущего: б) первое число равно 192, а каждое следующее в 2 раза меньше предыдущего: в) первое число равно 2, второе 3, а каждое следующее равно произведению двух предыдущих. 241. Назовите три следующих числа последовательности: а) 1, 5, 25, ...: б) 729, 243, 81.. 242. а) Расфасовали 12 кг 600 г конфет в коробки, по 300 г в каждой. Сколько коробок конфет получилось? б) Для 40 новогодних подарков купили 10 кг шоколадных конфет. Сколько граммов конфет содержится в каждом подарке? 243. а) Для отделки одного бального платья нужно 1 м 25 см кружев. Сколько метров кружев понадобится для отделки 24 таких же платьев? Хватит ли 7 м кружев для отделки 6 таких платьев? б) Для изготовления одной детали требуется 45 мин. Сколько времени понадобится для изготовления 11 таких же деталей? Хватит ли трех часов для изготовления четырех таких деталей? 244. Решите задачу, составив выражение. а) Перед соревнованиями всех спортсменов построили в 8 колонн. В каждой колонне 15 рядов по 25 спортсменов. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях? б) В кинотеатре два зрительных зала: большой и малый. В большом зале 40 рядов, по 45 мест в каждом. В малом зале 25 рядов, по 24 места в каждом. Во сколько раз число мест в большом зале превышает число мест в малом зале? 245. а) Электричка прошла 168 км за 3 ч. С какой скоростью шла электричка? б) Автомобиль ехал 4 ч со скоростью 75 км/ч. Какое расстояние проехал автомобиль? в) Велосипедист проехал 24 км. Сколько времени он был в пути, если ехал со скоростью 12 км/ч? 246. а) Поезд проехал 240 км за 3 ч. Сколько километров проедет поезд за 5 ч, если будет ехать с такой же скоростью? б) Автомобиль проехал 140 км со скоростью 70 км/ч. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы проехать 150 км за такое же время? в) Велосипедист ехал 4 ч со скоростью 15 км/ч. За какое время прошел бы он это расстояние пешком, если бы шел со скоростью 4 км/ч? 247. а) Мальчик проходит 80 м за одну минуту. Какое расстояние он может пройти за один час? б) Автомобиль проезжает 1500 м в каждую минуту. Сколько километров он проезжает за один час? 248. а) В 12 плацкартных вагонах столько же мест, сколько в 14 купейных. Сколько мест в одном плацкартном вагоне, если в купейном 36 мест? б) Открыли кран, который в минуту подает 30 л воды и за 5 мин наполняет ванну. Через сливное отверстие вся вода вытекает за 6 мин. Сколько литров воды выливается за одну минуту через сливное отверстие? 249. а) Из 300 г шерсти связали 5 одинаковых детских шапочек. Сколько таких же шапочек можно связать из 1200 г шерсти? б) Было 108 фломастеров, которые разложили в 9 одинаковых коробок. Сколько требуется фломастеров, чтобы разложить их в 27 таких же коробок? 250. В коробке 160 кусков мела. Каждый день для уроков выдается одинаковое количество кусков. Через 3 дня в коробке осталось 52 куска мела. Сколько кусков мела тратится в школе каждый день? 251. Электричка идет из города Крюково со скоростью 65 км/ч. Пассажир сел в электричку на станции, находягцейся в 45 км от Крюково. На каком расстоянии от города будет он через 2 ч? 252. Автомобиль выехал из одного города в другой, расстояние до которого 240 км. Сколько ему останется проехать через 2 ч, если он едет со скоростью 85 км/ч? 253. Толя вышел из дома в школу, расстояние до которой 1200 м. Через 12 мин ему осталось идти до школы 300 м. Сколько метров в минуту проходил Толя? 254. В книге 490 страниц. Олег читает ежедневно по 30 страниц. На какой день после начала чтения книги он дочитает ее до конца? 255. а) Сколько трехлитровых банок понадобится, чтобы перелить весь сок из полного 50-литрового бидона? б) Группа туристов из 45 человек отправляется в поход на лодках. В каждую лодку может сесть 4 человека. Сколько таких лодок потребуется? 256. Выполните деление. (Попробуйте сделать это без записи уголком.) Проверьте себя умножением. а) 352 352:352; г) 164 880:16; ж) 45 030 015:15; б) 787 878:78; д) 4 590 135:45; 3)900 900 180:18; в) 727 272:12; е) 5 012 575:25; и) 175 105 280:35. 257. Составьте пример на деление так, чтобы: а) делитель и частное были двузначными числами; б) делитель был трехзначным числом, а частное — двузначным; в) делитель и частное были трехзначными числами. 258. Найдите: а) три предыдущих числа в последовательности ..., 32, 64, 128; б) три предыдущих и три следующих числа в последовательности ..., 112, 224, 448, ... 259. Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов, по 6 пачек в каждом. Определите массу сложенного в ящик печенья. 260. Чтобы наносить воду из колодца 7-литровым ведром и заполнить бочку вместимостью 140 л, мальчику потребовалось 60 мин. Сколько времени ему понадобится на эту работу, если он возьмет два ведра вместимостью по 5 л? 261. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 80 км/ч за 3 ч. Сколько суток потребовалось бы, чтобы пройти это расстояние пешком со скоростью 5 км/ч? 262. Поезд проехал 80 км за 1 ч 20 мин. Сколько километров проедет поезд за 35 мин при той же скорости? 263. Велосипедист выехал с туристической базы на станцию, расстояние до которой 6 км. Какое расстояние останется ему проехать через 24 мин, если он будет ехать со скоростью 12 км/ч? 264. Петр идет от дома до станции метро, расстояние до которой равно 1 км 700 м. Через 16 мин после выхода ему остается пройти 340 м. Сколько минут занимает у Петра весь путь от дома до метро? 265. Андрей идет от дома до станции метро. Через 8 мин после выхода ему остается пройти 560 м, через 12 мин — 240 м. Сколько минут занимает у Андрея вся дорога и чему равно расстояние от дома до станции? 266. Турист заметил, что если он будет делать 2 шага в секунду, то мост длиной 260 м он преодолеет за 4 мин 20 с. а) Какова длина шага туриста? б) За какое время он преодолеет мост, если увеличит шаг на 15 см? 267. Ниже приведены выдержки из книг Ж. Верна. Переведите выделенные величины в метрическую систему, если известно, что 1 миля ~1609 м, 1 фут ~ 30 см, 1 дюйм ~ 2 см 5 мм. а) «...Было решено ограничивать дневные переходы двадцатью пятью — тридцатью милями...» б) «...Этот аппарат, напоминавший огромного кита, был длиной приблизительно в двести пятьдесят футов и возвышался на десять — двенадцать футов над уровнем моря...» в) «Бумеранг состоял из загнутого куска твердого дерева длиной в тридцать — сорок дюймов. Толщина этого куска в середине равнялась приблизительно трем дюймам». г) «Туземцы были ростом от пяти футов четырех дюймов до пяти футов семи дюймов». Порядок действий в вычислениях Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляют числовые выражения. Если выполнить все указанные в выражении действия, то получится число, которое называют значением выражения. При вычислении значения числового выражения необходимо соблюдать принятый порядок действий. При этом различают выражения, записанные без скобок, и выражения, содержащие скобки. Если в выражении нет скобок и оно содержит только действия сложения и вычитания или только действия умножения и деления, то их выполняют слева направо в том порядке, в котором они записаны. Например: Ф (Ш ® 2g5-150 + 125-175-75+125-175 = 200-175 = 25; Ф® 24-6:9 = 144:9 = 16. Если в выражении скобок нет, то сначала выполняют действия умножения и деления, а потом — сложения и вычитания. Так, при вычислении значения выражения придерживаются такого порядка действий: ф ® @ 2-516-384:12=1032-32=1000. 2-516-384:12 Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках, при этом учитывают сформулированные выше правила. Выражение 2-(516-384):12 составлено из тех же чисел с помощью таких же знаков действий, что и предыдущее. Однако содержащиеся в нем скобки меняют порядок действий — сначала надо вычислить значение выражения, записанного в скобках. Поэтому порядок действий должен быть таким: (D ф ® 2 - (516-384):12 = 2-132:12 = 264:12 = 22. Рассмотрим еще одно выражение со скобками, составленное из тех же чисел и таких же знаков действий: 2-(516-384:12). В этом случае при вычислении значения выражения, заключенного в скобках, нужно сначала выполнить деление: ® (D Ф 2-(516-384:12) = 2-(516-32) = 2-484 = 968. 269. 270. 271 272. 273. 274. 275. 276. д) 7488:144:4-20; е) 6400:16-50:125; ж) 18020:(212-17); з) 4368: (392:28). 268. Найдите значение выражения: а) 2307-453 + 636; б) 734 + 2586-1090 + 175; в) 2806-(1134+ 950)-280; г) 3753-(1793-229)+ 975; Укажите порядок действий и выполните вычисления: а) 15+15-10-10; в) (15 + 15)-(10-10); б) (15 + 15)-10-10; г) 15 + 15-(10-10). Задание с выбором ответа. В каком случае неправильно указан порядок действий? Ф ® (D (D ф (D А. 12-24 + 72:4. В. 27 + (58-7)-6 (D (D Ф Б. 17-85-(63-29). ® ф (D Г. 100-(25 + 90:5). Попробуйте сравнить значения выражений, не выполняя вычислений. Проверьте себя с помощью вычислений: а) 12 + 60:(6:2) и (12 + 60):6:2; б) 5-(20-6)-4 и 5-20-(6-4); в) 1200-(432-153)+12 и 1200-432-153 + 12; г) 6480:(15-24):9 и 6480 = (15-24:9). Вычислите (устно): а) (61-61):240 + (105-104)-218; б) ((54 + 8): (79-78) -60) - (203 - 203). Составьте выражение и найдите его значение: а) сумма произведения 24-11 и частного 96:3; б) разность числа 510 и суммы 236 + 128; в) произведение суммы 27+13 и разности 52-22; г) частное суммы 31 + 29 и числа 30. Выполните действия: а) 703-21 -(361 -349); д) 77-(452-348)-99; б) 2346:(209-186)-15; е) 874-(27-90-1999); в) 6422-24-(372:12); ж) (1593 = 27+ 326)-60; г) 2678: (506-480)+ 297; з) 6720:12-35-898. Вычислите значение выражения: а) 9-(1030-579) + 941; б) 8000-(398+ 132)-15; в) (770-669)-(546-489); Вычислите: а) 136-(668-588)-404-25; б) 1540:11 +1890:9 + 982; г) 819-735:21+206; д) 256 + (2210-788):9; е) (201-4590:45)-101. в) 1953 + (17 432-56-223):16; г) 6010-(130-52-68 890:83). а) 5 SIN 5 VIA [ i 1 б) Рис. 71 277. Запишите разные выражения для вычисления длины ломаной (рис. 71). Решите задачу, составив выражение (278—285). 278. Велосипедисты проехали в первый день 168 км, во второй — в 3 раза меньше, а в третий день — на 20 км больше, чем во второй. Сколько километров проехали велосипедисты за три дня? 279. На овощной склад привезли помидоры на 6 машинах, по 120 ящиков в каждой, потом еще на 8 машинах, по 140 ящиков в каждой. Сколько ящиков помидоров привезли на склад? 280. Для школьного праздника купили 14 коробок, по 9 пирожных в каждой, и 6 коробок, по 12 пирожных в каждой. Все пирожные разложили на 18 тарелок поровну. Сколько пирожных на каждой тарелке? 281. В швейной мастерской было 12 кусков материи, по 40 м в каждом, и 8 кусков материи, по 30 м в каждом. Сколько метров материи осталось после того, как израсходовали 340 м? 282. Таня и ее подруга должны надписать 450 конвертов. Таня надписывает 46 конвертов в час, а ее подруга — 42 конверта. Сколько конвертов останется им надписать: а) через 2 ч работы? б) через 4 ч? в) через 5 ч? 283. Туристу нужно добраться до туристической базы, расстояние до которой 60 км. Сначала он ехал 2 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч, а потом 3 ч шел пешком со скоростью 4 км/ч и после этого сделал привал. Сколько километров ему осталось пройти? 284. Турист направляется из одного города в другой. Он проехал 2 ч на автомобиле со скоростью 70 км/ч, потом 4 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч, и после этого ему осталось пройти 14 км. Чему равно расстояние между городами? (S)— 285. а) Наташа и ее подруга должны надписать 360 конвертов. Наташа надписывает 40 конвертов в час, а ее подруга — 50 конвертов. За какое время они выполнят всю работу, если будут работать вместе? б) Один автомат наполняет соком 75 банок в час, а другой — 65 банок в час. За какое время они наполнят соком 700 банок, если будут включены оба? 286. Переставьте всеми возможными способами знаки действий в выражении 25 + 7*3 — 2 и в каждом случае найдите значение полученного выражения. 287. Расставьте в выражении 2*2-2:2 скобки всеми возможными способами и найдите значение каждого выражения. 288. В выражении 3*3 + 3:3-3 расставьте скобки так, чтобы в результате получилось число: а) 3; б) 9; в) 1. 289. Выполните действия: а) 97 + 13 662:27 + 36 944-43*809; б) 988 + 1530:(12*6-38)*15; в) 4080 - (352 719 - 57 837): 98 + 307 * 107; г) 40*(207*54-793)-270 000:18; д) 215*(368-274) + 68*(127 + 128); е) (8222-4781):37-(1519-637):42. 290. Найдите значение выражения: а) (410 + 96)*(1010-31 248:62)-170*1500; б) (174 208- 208 • (563 + 44)): 333 + 2079:77; в) (18*331 -(46 348 + 67 892):21):14 + 143*26; г) (201 *(400 100-397 964)+ 5280): 24-8154; д) (7470:18-319) + (2060-24*45):28. 291. Кусок проволоки длиной 110 см надо разрезать на куски длиной 15 см и 10 см так, чтобы не осталось обрезков. Запишите различные числовые выражения, показывающие, как это можно сделать. 292. На кондитерскую фабрику привезли 80 кг орехов. При обработке орехов отходы составили 27 кг 500 г. Очищенные орехи расфасовали в одинаковые пакеты и уложили в коробки: в первую коробку положили 30 пакетов, во вторую — 35 пакетов, в третью — 40 пакетов. Сколько килограммов орехов в каждой коробке? 293. Бригада за 30 дней должна была выпустить 2400 станков. Но она изготавливала в день на 20 станков больше, чем планировала. На сколько дней раньше был выполнен этот заказ? 3—г. в. Дорофеев, 5 кл. 294. За 4 ч автомобиль должен был проехать 240 км. Но он увеличил скорость на 20 км/ч. На сколько меньше времени он потратил на дорогу? 295. Две машинистки, работая вместе, перепечатали 264 страницы рукописи за 12 ч. Одна из них печатала 12 страниц в час. Сколько страниц в час печатала другая машинистка? 296. Библиотеке надо переплести 900 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая — за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе? 297. Отец и сын, работая вместе, покрасили забор длиной 168 м за 12 ч. Если бы отец красил забор один, он выполнил бы эту работу за 21 ч. За сколько часов покрасил бы этот забор сын? 298. Две бригады, работая вместе, сшили 120 костюмов. Одна бригада шила в день 13 костюмов, а другая — 11. Сколько костюмов сшила каждая бригада? 299. Над выполнением задания токарь работал 3 ч, а потом его ученик 2 ч. Всего они выточили 108 деталей. Сколько деталей в час вытачивал ученик, если токарь вытачивал в час 26 деталей? 300. Два мастера работают на фабрике елочных украшений. Один из них расписывает 20 елочных шаров в час, а другой — 25. Первый работал 5 дней по 8 ч в день, а второй — 4 дня по 6 ч в день. Сколько елочных шаров расписали они вместе? 301. Два мастера работают на фабрике елочных украшений. Один из них работал 12 дней по 7 ч, а другой — 10 дней по 8 ч, и вместе они расписали 2880 елочных шаров. Сколько шаров в час расписывал первый мастер, если второй расписывал 15 шаров в час? 302. Пакет, в котором 4 яблока и 10 слив, весит 600 г, а пакет, в котором 2 яблока и 10 слив, весит 400 г. Сколько весит яблоко и сколько слива? 303. Большая коробка яиц на 8 р. дороже маленькой. В понедельник магазин продал 2 большие коробки яиц и 4 маленькие. Во вторник было продано 4 большие и 4 маленькие коробки яиц. Известно, что в понедельник магазин выручил на 48 р. меньше, чем во вторник. Сколько денег было получено магазином за эти два дня? 304. Петя, Коля и Слава поочередно парами становились на весы. Петя и Коля вместе весят 55 кг, Коля и Слава — 58 кг, а Петя и Слава — 59 кг. Сколько весит каждый мальчик? Степень числа Вы знаете, что сумму, в которой все слагаемые равны, можно записать короче — в виде произведения. Например: 5 + 5 + 5-Ь5 = 5-4. 4 слагаемых В математике есть специальный способ и для записи произведения, в котором равны все множители. Например: 5■5•5•5=5^ 4 множителя Выражение 5^ называют степенью и читают так: «пять в четвертой степени». В этом выражении число 5 — основание степени, а число 4 — показатель степени. Основание степени — это повторяющийся множитель, а показатель степени равен числу «повторений», т. е. он указывает, сколько одинаковых множителей содержится в произведении. Вторую степень числа называют также квадратом этого числа. Например, запись 3^ читают так: «три во второй степени» или «три в квадрате». Легко найти значение степени 3^: 32 = 3.3 = 9. Третью степень числа называют кубом этого числа. Так, запись 4^ читают: «четыре в третьей степени» или «четыре в кубе». Имеем 4^ = 4-4-4 = 64. Покажем, как вычисляют значения выражений, содержащих степени. Пример 1. Найдем значения выражений 100-Ь5^ и (100 + 5)^: 100 + 5^ = 100 + 5-5 = 100 + 25 = 125, (100 + 5)^ = 105^=105-105 = 11 025. Обратите внимание: в соответствии с порядком выполнения действий в первом случае мы сначала нашли значение степени, а затем вычислили сумму; во втором случае мы сначала вычислили сумму, а уж потом возвели ее в квадрат. Пример 2. Найдем значения выражений 100-5^ и 100^5^: 100-5^=100-25 = 2500, 100:5^ = 100:25 = 4. 3* Если бы мы захотели в выражении 100 = 5^ заменить степень произведением 5*5, то его обязательно нужно было бы заключить в скобки, иначе получилось бы совсем другое выражение, не равное частному 100^5^. А в первом выражении в этом случае скобки можно не ставить: 100-5^ = 100-(5-5) = 100-5*5, но 100:5" = 100:(5-5). 306. 307. 308. 309. 310. 305. Запишите в виде степени: а) 3*3; в) 2-2-2-2-2; б) 10-10-10; г) 4-4-4-4; Запишите короче произведение и сумму: а) 2-2*2-2, 2 + 2 + 2 + 2; б) 8 + 8 + 8, 8-8-8. Вычислите: Д) 10"; е) 110^: а) 17^; б) 6"; в) 22^: г) 10^ ж) 15": з) 42". Вычислите (устно): а) 2". 5", 1". 7": б) 2", 3", 4", 1"; в) 6' 10", 9", ,5 2^ 311 г) 1", г, 2^ 3^ Определите, равны ли значения выражений: а) 5" и 5-3; в) 2" и 5"; б) 12" и 12-2; г) 3" и 4". Сторона квадрата равна 5 см (рис. 72). Его площадь можно найти так: 5-5 = 5" = 25 (см"). Найдите площадь квадрата, сторона которого равна 1 см, 2 см, 10 см, 12 см. Начертите в тетради приведенную ниже таблицу и заполните ее. д) 10-10-10-10-10; е) 1 -1 -1 -1 *1 -1 -1 -1. э t ш Ш'- 5 см Рис. 72 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 х^ 312. Начертите в тетради данную таблицу и заполните ее. X 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 313. 314. 315. 316. 317. 318. 319. 320. 321. 322. 323. 324. 325. Вычислите: а) 2^; б) З'^; в) г) 5®. Найдите число, квадрат которого равен: а) 16; б) 64; в) 36; г) 400. Найдите число, куб которого равен: а) 27; б) 64; в) 8; г) 125. Представьте в виде степени числа 10: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000. Как называют число, равное 10^, 10^, 10®, 10^? Вычислите: а) 2-10®: в) 3-2^; д) 2-5®; ж) 12:2^; б) (2-10)^ г) (3-2)"; е) (2-5)^ з) (12:2)1 Задание с выбором ответа. Какому произведению равно число 300 000 000? А. 3-10®. Б. 3-10^ В. 3-10®. Г. 3•10^. Найдите значение выражения: а) 3•12•5^: в) 704:8^; д) 2^-7^: б) (2-8-7)2; г) (96:24)®; е) 3®-5®. Пользуясь таблицами из упражнений 311 и 312, найдите значение выражения: в) 25-8®; д) (2-8)®; ж) 13®-100; г) 14*9®; е) (3-3)®; з) 7®-20. а) 6-15®; б) 5-13®; Вычислите: а) 231 +12®; б) (9 + 17)®; в) 312-17®; д) (113-108)®; ж) 18®+12®; г) (914-896)®; е) 11® + 79; з) 10®+10®. Найдите значение выражения: а) 100-12®:3; г) (14 + 36)-11®; ж) 600-750:5®; б) 5-4®-319; д) 25-11-16®; з) 904 + (12-3)®; в) (76-66)®-18; е) (16 + 180:12)®; и) 500-2-6®. Вычислите: а) 1® + 2® + 3® + 4® + 5®; б) 1® +2® + 3® + 4® +5®. С помощью степеней числа 10 число 356 можно представить в виде суммы разрядных слагаемых следующим образом: 356 = 3-10® + 5-10 + 6. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: а) 531; б) 4267; в) 608; г) 4051. 326. Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых: а) 2•10^ + 4•10^ + 5•10ч-8; в) 9-10^ + 3-10 + 3; б) 7•10^ + 2•10^ + 0•10 + 1; г) 4*10^ + 1 -10^ + 1 -10 + 4. 327. Определите, по какому правилу составлена последовательность чисел, и запишите следующие три числа: а) 1, 4, 9, 16, б) 1, 8, 27..... Найдите сотое число в каждой последовательности. 3^ в виде про- 328. Упростите выражение, используя степени: а) 2-2*2-5; в) (2-5)-(2-5)-(2-5): б) 13-6-6-6-6; г) 7-7*7-2-2-2-2. 329. Представьте всеми возможными способами число 2^-изведения двух множителей, не равных единице. 330. Проверьте равенство: а) 41 ^+43^ +45^ = 5555; б) 11^12413414^ = 8000; в) 24 24 24 24 242®= 1000. 331. Впишите вместо звездочек такие цифры, чтобы получилось верное равенство. Сколько решений имеет каждая задача? а) (2*)^ = **1; в) (7*)^ = ***5; б) (3*)^ = ***6: г) (2*)^ = **9. 332. Какой цифрой оканчивается квадрат числа: а) 122; б) 923; в) 225; г) 147? 333. Выполните прикидку результата, округлив основание степени до старшего разряда: а) 26^; б) 18^; в) 115^; г) 475^. Образец. 59^^60^ = 3600, 59^~3600. 334. Не выполняя вычислений, объясните, почему возведение в квадрат выполнено неверно: а) 22^ = 4084; в) 101^ = 1021; б) 66^ = 4354; г) 41^ = 1689. 335. Докажите, что данное неравенство верно: а) 2941000; б) 48® <3000; в) 42® >1500; Образец. 28® <1000, так как 28® <30® = 900 <1000. 336. Какой цифрой оканчивается куб числа: а) 925; 6)113; в) 482; г) 527? 337. Найдите приближенное значение степени: а) 21®; б) 28®; в) 315®; г) 975®. Образец. 29® « 30®=27 000. г) 67® >3500. 338. Представьте в виде степени числа 10: 100^, 100^, 100^ 100", 100", 100^ 100", 100^, 100'°. Прочитайте каждое из этих чисел, используя названия, данные в таблице. Степень Название числа 10" миллион 10° миллиард 10'° триллион 10'" квадриллион 10'" квинтиллион 339. Квадраты на рисунке 73, а изображают последовательность квадратов натуральных чисел: 1^, 2^, 3^...... Эти же квадраты на рисунке 73, б изображают последовательность чисел, получаемых по правилу: 1, 1+3, 1+3 + 5... а) б) 1 + 3 1 + 3 + 5 Рис. 73 Поэтому можно записать равенства 1^=1, 2^ = 1+3, 3^=1+3+5. Используя эти рисунки, запишите еще несколько равенств. Задачи на движение Вы уже много раз встречались с задачами на движение. В них рассматриваются три взаимосвязанные величины: скорость движения, т. е. расстояние, пройденное за единицу времени, время движения и пройденный путь. До сих пор вы в основном решали задачи, в которых речь шла о движении одного пешехода, одного велосипедиста, одной машины. Теперь мы будем учиться решать задачи, в которых два участника движения. Задача 1. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого — 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа? Решение. Найдем расстояние, которое пройдет за 3 часа каждый из пешеходов (рис. 74). Первый пешеход пройдет 5*3=15 (км). Второй пешеход пройдет 4*3=12 (км). Значит, через 3 часа между ними будет расстояние, равное 15 + 12 = 27 (км). Эту задачу можно решить и другим способом. Каждый час расстояние между пешеходами увеличивается на 5 + 4 = 9 (км). В таких случаях говорят, что скорость удаления пешеходов равна 9 км/ч. Теперь нетрудно найти, на какое расстояние удалятся друг от друга пешеходы за 3 часа: 9*3 = 27 (км). 5 км/ч 4 км/ч Ц - 5 км • 3 “h 4 км • 3 Рис. 74 к 5 км/ч 4 км/ч А 18 км Рис. 75 Задача 2. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км (рис. 75). Скорость одного из них 5 км/ч, другого — 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Решение. Найдем скорость сближения пешеходов. Она равна 5 + 4 = 9 (км/ч). Так как расстояние между пешеходами 18 км, а за час они сближаются на 9 км, то их встреча произойдет через 18:9 = 2 (ч). Рассмотрим теперь, как решаются задачи на движение по реке. В них есть своя особенность: приходится различать скорость движения по течению и скорость движения против течения. Пусть, например, собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна 7 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Тогда скорость, с которой лодка плывет по течению, складывается из ее собственной скорости и скорости течения: 7 + 2 = 9 (км/ч). А скорость, с которой лодка плывет против течения реки, получается вычитанием скорости течения реки из ее собственной скорости: 7 — 2 = 5 (км/ч). Задача 3. Катер плыл от одной пристани до другой вниз по течению реки 2 часа. Какое расстояние проплыл катер, если его собственная скорость равна 16 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч? Решение. Так как катер плыл по течению, то он двигался со скоростью 16 + 3 = 19 (км/ч). За 2 часа он проплыл расстояние, равное 19-2 = 38 (км). 340. Как изменяется расстояние между двумя автомобилями (уменьшается или увеличивается) и на сколько километров в час, если они движутся со скоростями 70 км/ч и 90 км/ч: а) из одного пункта в противоположных направлениях; б) из двух разных пунктов навстречу друг другу? 341. Используя рисунок (рис. 76), вычислите для каждого случая скорость сближения или скорость удаления. Как вы думаете, кто мог двигаться в каждом из этих случаев? 342. Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними: а) через 2 ч; б) через 3 ч? Решите задачу двумя способами. 343. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет равно: а) 260 км; б) 520 км? 344. Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Расстояние между ними 500 км. Какое расстояние будет между ними: а) через 2 ч; б) через 3 ч? Решите задачу двумя способами. 345. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними: а) через 2 ч; б) через 3 ч? Решите задачу двумя способами. 346. Два поезда движутся из двух городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут поезда: а) за 1 ч до встречи; б) за 2 ч до встречи? 347. Таня и Алеша идут навстречу друг другу, чтобы встретиться. Сейчас расстояние между ними 800 м. Таня идет со скоростью 70 м/мин, а Алеша — со скоростью 80 м/мин. Через сколько минут расстояние между ними будет равно: а) 350 м; б) 50 м? а) в) 4 км/ч 6 км/ч 40 км/ч йГ________Г б) 15 км/ч 70 км/ч г) 5 км/ч 10 км/ч 12 км/ч Рис. 76 348. 349. 350. 351. 352. 353. 354. 355. 356. Андрей едет на велосипеде и в каждую минуту проезжает 200 м. Сергей идет ему навстречу со скоростью 80 м/мин. Через сколько минут они встретятся, если сейчас расстояние между ними: а) 840 м; б) 1 км 400 м? Две моторные лодки одновременно отправляются навстречу друг другу от двух пристаней. Одна идет со скоростью 20 км/ч, а другая — со скоростью 24 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между пристанями равно: а) 88 км; б) 132 км? Петя и Коля одновременно выбегают с разных концов беговой дорожки навстречу друг другу. Петя бежит со скоростью 130 м/мин, а Коля — со скоростью 170 м/мин. Какова длина беговой дорожки, если они встретились: а) через 3 мин; б) через 2 мин? Автомобиль и автобус отправились одновременно с двух автобусных станций навстречу друг другу и встретились через 2 ч. Чему равно расстояние между станциями, если: а) автобус идет со скоростью 40 км/ч, а автомобиль — со скоростью 70 км/ч; б) автобус идет со скоростью 50 км/ч, а автомобиль — со скоростью 85 км/ч? Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 54 км. Через сколько часов они встретятся, если: а) скорость одного из них 10 км/ч, а другого — 8 км/ч; б) скорость одного из них 12 км/ч, а другого — на 3 км/ч больше? Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними: а) через 1 ч; б) через 2 ч; в) через 3 ч? а) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если учесть, что мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки? б) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь — 2 ч. В каком направлении течет река? а) Скорость катера по озеру (в стоячей воде) равна 18 км/ч. Какой путь пройдет катер за 3 ч? б) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров река относит любой предмет (щепку, плот) за 1 ч, 5 ч? Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер: а) по течению реки; б) против течения реки? 357. 358. 359. 360. 361 362. 363. Скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч. Определите: а) скорость катера по течению реки; б) скорость катера против течения реки; в) путь катера по течению реки за 3 ч; г) путь катера против течения реки за 5 ч. Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние проплыл катер за это время, если скорость течения реки 2 км/ч? Собственная скорость теплохода равна 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь между двумя пристанями, расстояние между которыми 120 км, если он будет плыть: а) по течению реки; б) против течения реки? Катер проплыл 72 км по течению реки и вернулся обратно. Какой путь занял у него больше времени и на сколько, если собственная скорость катера 21 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч? Расстояние между причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч? Туристы отправились на прогулку на катере. Они проплыли 36 км по течению реки, сделали привал на 3 ч и затем вернулись обратно. Сколько времени заняла вся прогулка, если собственная скорость катера 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч? Заполните таблицу: Собственная скорость Скорость течения Скорость по течению Скорость против течения 12 км/ч 4 км/ч 25 км/ч 28 км/ч 24 км/ч 20 км/ч 5 км/ч 17 км/ч 3 км/ч 16 км/ч 364. Андрей вышел из школы и направился к дому со скоростью 90 м/мин. Через 10 мин из школы вышел Николай и пошел в противоположном направлении со скоростью 100 м/мин. Какое расстояние будет между мальчиками: а) через 5 мин после выхода Николая; б) через 20 мин после выхода Андрея? 365. От автобусной станции отошел автобус со скоростью 40 км/ч. Через час в противоположном направлении вышел другой автобус, скорость которого 60 км/ч. а) Через какое время после выхода второго автобуса расстояние между ними будет равно 140 км? б) Через какое время после выхода первого автобуса расстояние между ними будет равно 240 км? 366. Расстояние между городами А \л В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из Б в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся? 367. От станции в направлении поселка, расстояние до которого 24 км, вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из поселка выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через сколько часов после своего выхода пешеход встретит велосипедиста? 368. Дима вышел из школы и направился к стадиону со скоростью 100 м/мин. Через 5 мин после его выхода от стадиона к школе направился Олег со скоростью 80 м/мин. Чему равно расстояние между школой и стадионом, если: а) Олег встретил Диму через 10 мин после своего выхода; б) Дима встретил Олега через 20 мин после выхода? 369. Две электрички двигались от двух платформ навстречу друг другу. Через 3 мин после встречи расстояние между ними стало равным 7 км 500 м. Сколько метров в минуту проезжала первая электричка, если вторая проезжала 1200 м в минуту? Выразите скорости электричек в километрах в час. 370. Из городов А и Б одновременно навстречу друг другу вышли скорый и пассажирский поезда. Через 2 ч поезда встретились, а еще через 3 ч пассажирский поезд прибыл в Б. Определите скорость скорого поезда, если скорость пассажирского равна 60 км/ч. 371. Сергей и Глеб каждый день делают пробежку по дорожкам парка. Сергей бежит со скоростью 200 м/мин, а Глеб — со скоростью 160 м/мин. Они бегут по одной дорожке навстречу друг другу, и расстояние между ними в некоторый момент равно 900 м. а) Какое расстояние будет между ними через 3 мин? б) Через сколько минут между ними будет 540 м? 372. Два друга-охотника вышли навстречу друг другу из леса с двух сторон поляны и оказались на расстоянии 450 м друг от друга. Один шел со скоростью 70 м/мин, другой — со скоростью 80 м/мин. Собака одного из охотников побежала навстречу другому. Добежав до него, она вернулась к хозяину и, повернув, снова бросилась к его другу. Так она продолжала свой бег до встречи двух охотников. Определите: а) сколько минут бегала собака между двумя охотниками; б) какое расстояние она пробежала, если она бегала со скоростью 12 км/ч. 373. Скорость катера по течению реки 22 км/ч, а против течения 18 км/ч. Найдите: а) скорость течения реки; б) собственную скорость катера. 374. По течению реки моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Найдите скорость течения реки. 375. Катер проплыл 72 км между пристанями по течению реки за 2 ч, а против течения — за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты? 376. Лодка плывет по течению реки. Скорость течения реки 2 км/ч. В некоторый момент гребец уронил в воду шляпу и, не заметив этого, продолжил плыть дальше. Какое расстояние будет между лодкой и шляпой через 15 мин, если собственная скорость лодки 9 км/ч? Изменится ли ответ, если скорость течения будет другой? 377. По течению реки катер проходит расстояние между пристанями А и В за 7 ч, а против течения — за 9 ч. Скорость течения реки равна 5 км/ч. Спределите собственную скорость катера. ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Последняя цифра Когда два числа складывают в столбик, последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, а остальные их цифры на нее никак не влияют. Точно так же при умножении последняя цифра результата зависит только от последних цифр множителей. Поэтому при нахождении последних цифр сложного числового выражения, составленного из сумм и произведений, многозначные числа можно заменять их последними цифрами. Например, найдем последнюю цифру суммы: 636 • 742 + 6573 • 7848 + 262-591-679. Для этого сначала найдем последние цифры слагаемых. Получим 2, 4 и 8. Сумма 2 + 4 + 8 оканчивается цифрой 4, значит, последняя цифра данной суммы также 4. Если в выражении имеется разность, то так просто решение может не получиться. Например, действуя таким же образом, мы получили бы, что последняя цифра выражения 5871- 741 + 8403 • 4118 - 653 -111 • 61 673 есть 1-1-4 —9, что невозможно. Но наше рассуждение можно подправить: последняя цифра первого слагаемого та же самая, что и у числа 11, и поэтому последняя цифра у заданного «большого числа» та же самая, что и у 11-Ь4 —9, т. е. 6. Степень числа — это произведение одинаковых множителей. Поэтому последняя цифра степени определяется по последней цифре основания степени. Немного сложнее обстоит дело с делением. Так, 24:8 = 3, 64:8 = 8. В обоих случаях делитель и делимое оканчиваются на 4 и на 8, а частное в одном случае оканчивается на 3, в другом — на 8. Однако и в этом более сложном случае некоторые выводы о последней цифре частного можно сделать. Например, если делимое оканчивается на 4, а делитель — на 3, то частное обязательно оканчивается цифрой 8; при умножении последней цифры частного на последнюю цифру делимого 3 должно получиться 4, а таким свойством обладает только цифра 8. А если делимое оканчивается на 4, а делитель — на 6, то последняя цифра частного или 4, или 9 — и никакая другая. 378. Найдите последние цифры значений выражений: а) 151 н-152 -Ы 53 -ь154 -+-155 + 156 + 157+158 -Ь159; б) 15М52-153*154*155-156-157-158 *159: в) 11 •12-13- ... -29; г) 12-123+13-134 + 14-145+ 15-156+ 16-167 + 17-178; д) 154-628 + 814-318 + 774-458 + 314-398 + 654-218; е) 12-123-13-134 + 14-145-15-156 + 16-167; ж) 154-628-814-318 + 774-458-314-398 + 654-218; з) 1999-1999-1999-1999 -1999 -1999 -1999. 379. Какой цифрой оканчивается: а) сумма всех однозначных чисел; б) сумма всех двузначных чисел; в) сумма всех трехзначных чисел; г) сумма всех стозначных чисел? —® 380. Какой цифрой оканчивается: а) произведение всех однозначных чисел, не равных нулю; б) произведение всех трехзначных чисел; в) произведение всех стозначных чисел? 381. Найдите первую не равную нулю цифру справа в произведении: а) первых семи натуральных чисел; б) первых десяти натуральных чисел; в) первых шестнадцати натуральных чисел; г) первых двадцати натуральных чисел. 382. Замените многоточие любым числом так, чтобы получилось верное равенство (там, где это невозможно, объясните почему): а) ...3:...8 = ...2; б) ...4:...6 = ...4; в) (...3:...9:...7)*...4:...3 = ...6. 383. Продолжите фразу: а) квадрат натурального числа может оканчиваться только цифрами • • м б) куб натурального числа может оканчиваться только цифрами .... 384. а) Среди чисел 18-96, 22-88, 51-97 одно является квадратом натурального числа. Какое? б) Какое из чисел 76-19, 98-18, 85-20 не является квадратом натурального числа? Задания для самопроверки (Обязательные результаты обучения) 1. Выполните действия: а) 567 + 6305; в) 857 + 346; б) 9200-574; г) 2416-1257. 2. Найдите неизвестное число: а) д: + 118 = 245; б) 157-г? = 89; 3. Выполните действия: а) 218-704; б) 4212:18; в) 5350-32; 4. Найдите неизвестное число: а) 42-х = 546; б) Ъ^M = ^Ь\ в) 54:с = 3. 5. Ленту длиной 11 м 20 см разрезали на куски по 80 см. Сколько получилось таких кусков? 6. а) С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы проехать 60 км за 5 ч? в) 1/-26 = 93. г) 2834:26. 7. б) За какое время велосипедист проедет расстояние 48 км, если будет ехать со скоростью 12 км/ч? в) Велосипедист ехал 3 ч со скоростью 14 км/ч. Какое расстояние он проехал? Из 560 м ткани сшили 140 одинаковых платьев. Сколько ткани пойдет на 180 таких же платьев? 8. Вычислите: а) 627-46-12 + 118: б) 39-(641-5720:13). 9. В первом книжном шкафу 268 книг, во втором — на 120 книг больше, а в третьем — в 4 раза меньше, чем во втором. Сколько всего книг в трех шкафах вместе? 10. Токарь и ученик изготовили 144 детали. Токарь работал 8 ч и изготовлял 12 деталей в час. Сколько деталей в час изготовлял ученик, если он работал 6 ч? 11. Найдите значение выражения: а) 16^; б) 40^: в) 3-10"; г) (3-10)= Д) (48 + 2)‘ е) 50-2". 12. Автобус ехал 2 ч со скоростью 55 км/ч и сделал остановку. До конца маршрута ему осталось проехать 65 км. Чему равна длина маршрута? 13. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А \л В. Скорость первого 12 км/ч, второго 15 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч, если расстояние между пунктами 64 км? 14. Собственная скорость лодки 6 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Какое расстояние проплывет лодка за 2 ч, если будет плыть по течению? Какое расстояние проплывет лодка за 3 ч, если будет плыть против течения? ГЛАВА 4 Использование свойств действий при вычислениях Свойства сложения и умножения Вам известно переместительное свойство сложения: при перестановке слагаемых сумма не меняется. В соответствии с этим свойством, например, 280 + 361=361 + 280, 0 + 127=127 + 0. С помощью букв переместительное свойство сложения можно записать так: для любых чисел а и Ь а + Ь = & + а. Это буквенное равенство, выражающее общее свойство сложения чисел, заменило нам бесконечное множество числовых равенств. Изобретение способа записи математических предложений с помощью букв, известного сейчас даже школьникам, в свое время было одним из важнейших достижений математики. Оно было сделано только в XVI в. и связано с именем французского математика Ф. Виета. Вы знаете также, что сложение обладает сочетательным свойством. Оно состоит в том, что в сумме трех чисел можно группировать как первые два, так и последние два числа. Например: 10 + (14 + 25) = (10 + 14) + 25. с помощью букв это свойство записывается так: для любых чисел а, Ь и с а + {Ь + с) = {а + Ъ) + с. Таким же образом с помощью букв можно записать переместительное и сочетательное свойства умножения: а'Ь = Ь-ау а*(Ь*с) = (а*Ь)*с. В предыдущей главе мы рассмотрели правила, которые устанавливают порядок действий в вычислениях. По этим правилам вычисляют значения числовых выражений вычислительные машины. Однако человек, который считает хуже машины, в отличие от машины умеет думать, старается ускорить и облегчить свою работу. Такую возможность дают ему свойства сложения и умножения. Вычислим, например, произведение 5 *(37 *2). Для этого сначала преобразуем его с помощью переместительного и сочетательного свойств: 5-(37-2) = 5-(2-37) = (5*2)-37. Теперь ответ можно получить устно: (5-2)*37=10*37 = 370. Вообще переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения позволяют сформулировать следующие правила: слагаемые в сумме можно как угодно переставлять и объединять в группы; множители в произведении можно как угодно переставлять и объединять в группы. Пример 1. Вычислим сумму 44-Ы89 + 56 + 92-Ы1. В этом выражении удобно сгруппировать первое и третье слагаемые, а также второе и пятое — при их сложении получаются «круглые» числа: 100 44+189 + 56-Ь92-Ы1. 200 Записать решение можно так: 44+189 + 56 + 92+11= = (44+ 56)+ (189+11) +92 = =100 + 200 + 92 = 392. Пример 2. Вычислим произведение 4-7-11-25. Произведение 4 и 25 равно 100, а на 100 умножать легко. Поэтому сгруппируем множители следующим образом: ^ 100 4-7JJL-25. 77 Теперь ответ можно получить устно: 4-7-11-25 = (4-25)-(7-11) = 7700. Пример 3. Вычислим произведение 75-7-16-15. Заменим число 75 на произведение 25*3, а число 16 — на произведение 4 • 4. Получим длинное произведение 25*3‘7*4*4*15, которое, однако, легко вычислить. Объединим множители 25 и 4, 3 и 7, 4 и 15, тогда 75-7-16-15 = 25*3*7-4-4*15=100-21-60=126 000. Пример 4. В истории математики известен такой случай. Однажды, а было это в Германии, в конце XVIII в., для того чтобы заставить учеников поработать, учитель дал им задание подсчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Каково же было его удивление, когда уже через несколько минут один ученик сказал ему ответ: искомая сумма равна 5050! Этот ученик, Карл Фридрих Гаусс, стал великим математиком. Как Гауссу удалось быстро подсчитать сумму? Чтобы понять, как рассуждал Гаусс, разберем более простую задачу — найдем сумму натургшьных чисел от 1 до 10: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10. Объединим слагаемые в пары — первое с десятым, второе с девятым и т. д. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 Всего у нас 5 таких пар, и каждая пара в сумме дает 11. Поэтому искомая сумма равна 11*5 = 55. Таким образом, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. Попробуйте теперь сами найти сумму, которую так быстро вычислил Гаусс. 386. 387. 388. 385. Вычислите, группируя одинаковые слагаемые: а) 9 + 5 + 5 + 9 + 9 + 5 + 9 + 5 + 9 + 5 + 5j б) 6 + 3-6 + 2^3 + 2 + 6 + 2^3 + 3 + 2 + 2. Вычислите, группируя слагаемые так, чтобы они дополняли друг друга до «удобного» числа: а) 4 + 4 + 5 + 6 + 6-^6 + 9+1+5; б) 7 + 8 + 7 + 3 + 3 + 2 + 2 + 6 + 5 + 4+1. Найдите сумму: г) 276 + 118 + 324; д) 127 + 32 + 93 + 308; е) 15 + 45 + 65 + 35 + 40. а) 23 + 47 + 11+29; б) 18 + 15 + 32 + 45; в) 27 + 36 + 28 + 23 + 14; Вычислите: а) 3-5-2-7; в) 7-2 б) 5-5-6-4; г) 2-9- 5; 4; Д) 8 е) 5 •4-125-25; •2-2-2-2-5 5-5-6. 389. Заполните таблицы, выполняя вычисления устно. X У Z Х + у+ Z 15 1 13 16 19 14 38 22 16 85 17 15 49 32 28 49 27 21 X У Z X'y'Z 17 5 2 20 29 5 5 8 12 33 4 25 50 37 2 11 15 4 390. Найдите произведение: а) 36-25: б) 125-12; в) 75-24; г) 150-42. 391. Туристы прошли маршрут за 5 дней. В первый день они прошли 15 км, а в каждый следующий день — на 5 км больше, чем в предыдущий. Какова длина маршрута? 392. Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 23 мин, а каждую следующую — на 2 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей? 394. 395. 396. 397. 398. 393. Известно, что b + c = 2^. Чему равно значение выражения: а) с + {Ь+3), б) (с + 5) + Ь, с + (Ь + 6), (с + 10) + Ь, с + (Ь + 9), (с + 15) + &? Известно, что x'y=^2. Чему равно значение выражения: а) х-{у5); б) {х-2)-у; в) y^{x^^0)\ г) (^-2)-(л:-3)? Вычислите произведение: а) 75-14-18; б) 16-125-4-35. Для упрощения умножения часто применяются «маленькие хитрости». Например, известны равенства 7-11-13=1001 и 37-3=111. Воспользовавшись этими равенствами, вычислите: а) 37-15; 6)3-7-11-13-37; в) 182-66. Вычислите сумму, используя прием Гаусса: а) 21 + 22 + 23 + ... + 30; б) 5 + 10 + 15 + 20 + ...+100; в) 93 + 83 + ... + 23 + 13 + 3. В задаче 339 рассматривались равенства 1 = 1^, 1+3 = 2^, 1 + 3 + 5 = 3^, ... (см. рис. 73 на с. 71). а) Пользуясь соответствующим равенством, найдите сумму 1 + 3 + 5+ + ... + 99. б) Найдите эту сумму, пользуясь приемом Гаусса. Распределительное свойство Найдем площадь прямоугольника ABCD, составленного из двух прямоугольников одинаковой ширины (рис. 77). Это можно сделать по-разному. Например, найти длину прямоугольника и умножить ее на ширину: (5 + 3) *4 см^. Или найти площадь каждого из двух прямоугольников и полученные числа сложить: 5*4 + 3*4 см^. 4 см 5 см 3 см Рис. 77 Результат будет один и тот же: (5 + 3)-4 = 5-4 + 3-4. Вообще для любых чисел Ь и с (а + Ь^с = а‘С + Ь‘С. Это буквенное равенство выражает так называемое распределительное свойство. Словами его можно прочитать так: чтобы умножить сумму на некоторое число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить. Обратите внимание на то, что распределительное свойство — это «совместное» свойство сложения и умножения. Заметим, что распределительное свойство верно не только для двух, но и для любого числа слагаемых. Например: (200 + 40 + 7)*3 = 200*3-Ь40*3-Ь7-3. Вычитание вместе с умножением также обладает распределительным свойством. Рассмотрите рисунок 78. Площадь прямоугольника ABCD, с одной стороны, равна произведению (8 — 3) *4 см^, а с другой — разности 8*4 —3*4 см^. При вычислении значений этих выражений получится одно и то же число, т. е. (8-3)-4 = 8-4-3*4. Вообще для любых чисел а, 6 и с — = а- с — Ь'с. Распределительное свойство, как переместительное и сочетательное, применяется для упрощения вычислений. Правда, применяется оно чаще всего «справа налево»: 3 см D 8 см 4 см а-с + Ь'С = {а + Ь)-с^ а'С — Ь‘С = (а — Ь)’С. Рис. 78 п ример 1. Вычислим значение выражения 17-12 + 43-12. Воспользуемся равенством а*с + Ь*с = (а + Ь)*с для преобразования числового выражения 17-12 + 43*12. 17-12 + 43-12 = (17 + 43)-12=60-12 = 720. Говорят, что мы вынесли за скобки общий множитель — число 12. Приведем еще пример того, как использование свойств действий позволяет упрощать вычисления. Пример 2. Вычислим значение выражения 46-32 + 8-16. 46 - 32+ 8-16 = 46-2-16+ 8-16 = 92-16 + 8-16=16-(92+ 8)=1600. 399. Таня и Наташа выбежали одновременно из одной точки в противоположных направлениях. Таня бежит со скоростью 180 м/мин, а Наташа — со скоростью 150 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 4 мин? Решите задачу, составив два разных выражения. 400. Дима и Сережа вышли одновременно навстречу друг другу из своих домов и встретились через 5 мин. Дима шел со скоростью 80 м/мин, а Сережа — со скоростью 100 м/мин. Чему равно расстояние между домами Димы и Сережи? 401. Объясните прием умножения: а) 238-6 = (200 + 30 + 8)-6 = 200-6 + 30-6 + 8-6 = 1200 + 180 + 48 = 1428; б) 97-14 = (100-3)-14 = 100-14-3-14 = 1400-42= 1358. 402. Вычислите, используя распределительное свойство: а) (100 + 8)-14; б) 102-22; в) (200-18)-3; г) 198-15. 403. Найдите значение выражения, вынося за скобки общий множитель: а) 90-25+10-25; в) 23-16 + 16-27; б) 123-27-23-27; г) 40-87-39-87. 404. Сравните значения выражений, не выполняя действий: а) (30 + 56)-5 и 30-5 + 56-5; г) (14-7)-6 и 16-6-7-6; б) (19 + 4)-7 и 19-74-10-7; д) (18-9)-7 и 18-7-11-7; в) 6-18 + 6-21 и (18 + 17)-6; е) 23-15-5-15 и (23-7)-15. 405. Токарь за 1 ч делает 15 деталей, а его ученик — 11 деталей. Сколько деталей сделают они за 8 ч работы? Решите задачу, составив два разных выражения. 406. На одной копировальной машине можно распечатать 6 страниц в минуту, а на другой — 8 страниц. Сколько страниц можно распечатать за 20 мин, если обе машины будут работать одновременно? Решите задачу, составив два разных выражения. 407. На двух копировальных машинах за 15 мин распечатали 180 страниц. Первая машина печатает 6 страниц в минуту. Сколько страниц в минуту печатает вторая машина? 408. В актовом зале стоят стулья, по 17 стульев в ряду. Первые 12 рядов составлены из красных стульев, а следующие 18 рядов — из синих стульев. Сколько стульев в актовом зале? Решите задачу, составив два разных выражения. 409. Лук посадили в 4 ряда, по 15 луковиц в каждом, а потом в каждый ряд посадили еще по 12 луковиц. Сколько всего посадили луковиц? 410. В зале кинотеатра 500 кресел, которые расставлены одинаковыми рядами, по 25 кресел в каждом. В партере 12 рядов. Сколько рядов в амфитеатре? 411. Комплект состоит из большого и двух маленьких полотенец. На большое требуется 1 м 50 см ткани, а на маленькое — 75 см ткани. Сколько ткани потребуется на 45 таких комплектов? 412. Успеет ли электровоз пройти 700 км за 9 ч, если первые 3 ч он будет идти со скоростью 82 км/ч, следующие 3 ч — со скоростью 65 км/ч, а оставшиеся 3 ч — со скоростью 78 км/ч? 413. Десятирублевые купюры сложили в три пачки. В первой оказалось 390 р., во второй — 380 р., а в третьей — 330 р. Сколько всего купюр? 414. Придумайте задачу, для решения которой можно составить два выражения: 4-2 + 6*2 и (4+ 6)*2. 415. Во многих случаях умножение какого-либо числа на 15 легко выполнить устно: нужно к этому числу приписать справа о и затем прибавить половину получившегося числа. Покажем, почему можно применять такой способ: 24*15 = 24* (10+ 5) = 24 *10+ 24* 5 = 240+120 = 360. Пользуясь этим приемом, выполните умножение: а) 56*15; б) 180*15; в) 32*15; г) 840*15. 416. Догадайтесь сами, как умножить устно какое-нибудь число на 101, и обоснуйте свой способ. Придумайте несколько примеров умножения на 101 и решите их. 417. Чтобы умножить трехзначное число на 1001, достаточно приписать к нему справа само это число. Объясните, опираясь на распределительное свойство, почему это верно. 418. а) Вычислите: 9999 4 999 44 99 + 444 9 4444 44444 б) Используйте полученные результаты для вычисления сумм: 9.9 + 9.99 + 9.999 + 9.9999; 5.4 +5-44 +5-444 +5-4444 + 5-44 444. 419. Вычислите наиболее удобным способом: а) 12-17 + 35-13 + 17-23; в) 29-25+15-6 + 19-15; б) 41 •80-25-41+55-29; г) 26-18 + 26-17 + 14-35. 420. Найдите значение выражения: а) 8-28 + 48-7; в) 24-9 + 12-27; б) 38-150-45-80; г) 46-75-65-30. 421. Ученик задумал число, умножил его на 8, затем это же число отдельно умножил на 15 и результаты сложил. В сумме получилось 276. Какое число задумал ученик? 422. Ученик задумал число, умножил его на 16, затем это же число умножил на 9. Первое произведение оказалось на 42 больше второго. Какое число задумал ученик? 423. Два мастера работают на фабрике елочных игрушек. Оба в час расписывают одно и то же количество шаров. Первый мастер работал 5 дней, по 8 ч в день, а второй — 4 дня, по 6 ч в день. Вместе они расписали 1280 елочных шаров. Сколько шаров расписал каждый? 424. Лида и ее подруга должны запечатать 120 конвертов. Они работают с одинаковой скоростью. Лида начала работу, через час к ней присоединилась ее подруга, и через час после этого они закончили работу. Сколько конвертов запечатала каждая девочка? Задачи на части Задача 1. В кулинарной книге написано, что для варенья из малины на 3 части ягод надо брать 2 части сахара. Сколько сахара надо взять на 9 кг ягод? Решение. Так как 9 кг ягод составляют 3 части, то можно узнать, сколько килограммов приходится на одну часть: 9:3 = 3 (кг). Сахар должен составлять 2 части, поэтому сахара надо взять 3-2 = 6 (кг). Задача 2. Для детских новогодних подарков были закуплены шоколадные конфеты и карамель — всего 20 кг. Сколько было закуплено конфет того и другого сорта, если карамели взяли в 3 раза больше, чем шоколадных конфет? Это тоже задача на части, только их надо специально ввести. Будем считать, что шоколадные конфеты составили 1 часть, тогда карамель составила 3 части (рис. 79). Всего на 20 кг конфет приходится 1 + 3 = 4 (части). ^------ 20 кг __yv_ На 1 часть приходится 20:4 = 5 (кг), тогда на 3 части приходится 5-3=15 (кг). Итак, было куплено 5 кг шоколадных конфет и 15 кг карамели. (Проверьте: 15 кг и 5 кг составляют вместе 20 кг, и 15 кг в 3 раза больше, чем 5 кг.) шоколадные конфеты карамель Рис. 79 425. Для варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. а) Сколько сахара следует взять для 2 кг 600 г ягод? б) Сколько килограммов вишни было у мамы, если для варки варенья она приготовила 4 кг 500 г сахара? 426. Требуется смешать 3 части песка и 2 части цемента. Сколько цемента и песка в отдельности надо взять, чтобы получить 30 кг смеси? 427. Для компота купили 1800 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши — 3 части и сливы — 2 части общего веса сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив было в отдельности? 428. Яблоки составляют 7 частей, груши — 4 части, а сливы — 5 частей общего веса сухофруктов. Найдите общий вес сухофруктов, если в них содержится: а) 160 г груш; б) 280 г яблок; в) 225 г слив. 429. При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова. а) Кусок сплава весит 350 г. Сколько в нем содержится свинца и сколько олова? б) Сколько свинца и олова содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца? 430. При помоле на каждые 3 части муки получается 1 часть отходов. Сколько смололи ржи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов? 431. Взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Груш и слив вместе — 2 кг 400 г. Какова общая масса всех фруктов? 432. Купили 60 тетрадей, причем тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку, на тетради в клетку, на все тетради (рис. 80)? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько — в клетку? 433. а) На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке? б) За рубашку и галстук папа заплатил 140 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук? в) В плацкартном вагоне в 3 раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне. Всего в этих вагонах 72 места. Сколько спальных мест в мягком вагоне? 434. а) Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 орехов. Девочка сорвала в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и сколько у девочки? б) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка? в) Надо разложить в два пакета 56 орехов так, чтобы в одном было в 3 раза меньше, чем в другом. Сколько орехов надо положить в каждый пакет? г) В отрывном календаре 366 листов. К сентябрю в календаре осталось листов в 2 раза меньше, чем оторвали. Сколько листов оторвали? 435. а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку. Причем тетрадей в клетку было на 18 больше, чем в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик? (Э2>- б) На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке? 436. а) За три дня Митя прочитал 84 страницы. В первый день он прочитал в 3 раза больше страниц, чем во второй, а в третий — 16 страниц. Сколько страниц прочитал Митя в первый день? б) Кусок ткани длиной 76 м разрезали на три части. Первая из них имеет длину 25 м, а вторая в 2 раза короче третьей. Найдите длину второй и третьей частей. 437. Дочка младше мамы в 4 раза и младше бабушки в 9 раз. Сколько лет каждой, если вместе им 98 лет? 438. У Сережи в коллекции в 3 раза меньше марок, чем у Васи, а у Андрея — в 2 раза больше, чем у Васи. Сколько марок у каждого, если у Андрея на 80 марок больше, чем у Сережи? 439. В двух коробках 36 кусков мела. Когда из одной коробки израсходовали 12 кусков мела, то в ней стало в 3 раза меньше мела, чем в другой. Сколько кусков мела было в каждой коробке первоначально? 440. В двух банках 5 л молока. Когда в одну банку добавили 1 л, то в ней стало в 2 раза больше молока, чем в другой. Сколько литров молока было в каждой банке? 441. В трех больших пакетах и четырех маленьких содержится 550 г печенья. Сколько граммов печенья в маленьком пакете, если в него входит в 2 раза меньше печенья, чем в большой? 442. В шести маленьких коробках на 12 карандашей больше, чем в двух больших. Сколько карандашей во всех маленьких коробках и сколько во всех больших, если в одной маленькой коробке в 2 раза меньше карандашей, чем в большой? Задачи на уравнивание Задача. В двух пачках всего 70 тетрадей, причем в первой на 10 тетрадей больше, чем во второй (рис. 81). Сколько тетрадей в каждой пачке? Решение. Уравняем мысленно каким-либо способом число тетрадей в пачках, например «уберем» из первой пачки 10 тетрадей. Тогда в двух пачках окажется 70 — 10 = 60 тетрадей. 70 II Рис. 81 Так как теперь пачки одинаковы, то в каждой из них 60^2 = 30 тетрадей. Иными словами, мы выяснили, что во второй (меньшей) пачке 30 тетрадей. Чтобы узнать, сколько тетрадей было в первой пачке, «вернем» обратно 10 тетрадей. Получим: 30+10 = 40 тетрадей. Ответ: в пачках 40 и 30 тетрадей. (Проверьте: 40 + 30=70 тетрадей и 40 — 30=10 тетрадей.) 443. а) В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке? б) В двух коробках 60 кассет. В одной из них на 12 кассет меньше, чем в другой. Сколько кассет в каждой коробке? 444. а) Саша собрал на 5 кг картофеля больше, чем Катя, а вместе они собрали 43 кг картофеля. Сколько картофеля собрал каждый? б) Брат с сестрой собрали в лесу 25 белых грибов. Брат нашел на 7 грибов больше, чем его сестра. Сколько грибов нашел брат? 445. а) В школе 92 пятиклассника, причем девочек на 16 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в пятых классах? б) В соревнованиях приняли участие 117 спортсменов, причем юношей на 39 больше, чем девушек. Сколько юношей и сколько девушек участвовало в соревнованиях? 446. а) Таня на 3 года младше своей сестры, а вместе им 27 лет. Сколько лет каждой из них? б) Журнал дороже газеты на 25 р., а вместе они стоят 43 р. Сколько стоят газета и журнал в отдельности? 447. Из «Арифметики» Л. Н. Толстого. а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец? б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого? 448. а) Сумма двух чисел равна 432, первое больше второго на 18. Найдите эти числа, б) Сумма двух чисел равна 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа. 449. а) Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа, б) Сумма двух чисел 87, а разность 19. Найдите эти числа. 450. Представьте число 75 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на единицу меньше другого. 451. Представьте число 154 в виде суммы двух последовательных четных чисел. 452. а) Сумма всех сторон прямоугольника равна 48 см. Его длина на 4 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника. б) Периметр прямоугольника равен 54 см. Его длина на 5 см больше ширины. Найдите площадь прямоугольника. 453. Найдите три последовательных числа, сумма которых равна: а) 48; б) 69. 454. Андрей на 2 года старше Бориса, а Борис на 1 год старше Василия. Сколько лет каждому, если вместе им 40 лет? 455. Семья состоит из четырех человек: матери, отца, сына и дочери. Отец на 5 лет старше матери. Мать в 4 раза старше сына и в 5 раз старше дочери. Сколько лет каждому, если сумма их возрастов 103 года? Указание. Примите возраст матери за 20 частей. ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Треугольные числа Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры — треугольники, квадраты, шестиугольники и т. д. Рассмотрим «упаковки» шаров в равносторонние треугольники. На рисунке 82 изображены первые пять таких треугольников. Чтобы получить шестой тре- Ajl WWW WWwW WWWWw Рис. 82 угольник, надо к пятому пририсовать один ряд в шесть шаров; чтобы получить седьмой, надо к шестому пририсовать ряд в семь шаров и т. д. Нарисуйте в тетради восемь таких треугольников. Каждый шарик в треугольнике — это единица; сколько шаров в треугольнике, столько и единиц в числе. Числа, которые показывают, сколько шаров содержится в треугольниках, называют треугольными. Подсчитаем с помош;ью рисунка несколько первых треугольных чисел и составим таблицу. № числа 1 2 3 4 5 6 7 8 Треугольное число 1 3 6 10 15 Перерисуйте таблицу в тетрадь и продолжите ее заполнение. Для этого можно использовать нарисованные вами треугольники. А можно ли продолжить выписывание треугольных чисел дальше, не обраш;аясь к рисунку? Сделать это совсем просто, если понять правило, по которому каждое следующее треугольное число получается из предыдущего. Посмотрите еще раз на рисунок: чтобы изобразить второе число, мы добавили к первому треугольнику 2 шара; чтобы изобразить третье число, мы добавили к предыдущему треугольнику 3 шара; чтобы получить четвертое число, к предыдущему треугольнику добавили 4 шара и т. д. Понятно, что если мы хотим найти, например, девятое треугольное число, то нам надо к предыдущему, т. е. восьмому треугольнику, добавить 9 шаров. Пользуясь замеченной закономерностью, продолжите выписывать треугольные числа до пятнадцатого. А можно ли найти какое-нибудь треугольное число, не вычисляя всех предыдущих? Попробуем, например, найти иначе треугольное число под номером 10. Обратимся опять к изображению треугольных чисел в виде равносторонних треугольников. Понятно, что десятое треугольное число изображается в виде треугольника с 10 рядами, в которых содержится 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 шаров. Поэтому десятое треугольное число равно сумме: 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10. Для подсчета этой суммы запишем ее слагаемые в обратном порядке и расположим суммы одна под другой: 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10, 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2+ 1. Сумма каждой пары чисел, расположенных друг под другом, равна 11. Всего таких сумм 10. Поэтому удвоенная сумма равна 10*11. Так как десятое треугольное число есть половина этой суммы, то оно равно (10*11):2 = 55. Вообш;е, треугольное число с номером п равно сумме последовательных натуральных чисел от 1 до п. Например, треугольное число с номером 200 равно сумме 1+2+ 3 + 4 + ... +198+199 + 200. Треугольные числа связаны с именем великого древнегреческого математика и философа Пифагора, который жил в VI в. до н. э. Пифагор изображал числа точками. Например, число 5 изображалось так: • • • • • , а число 6 изображалось в виде пря-• • • моугольника: • • • .А числа 1, 4, 9, 16 и т. д. со времен Пифагора называют квадратными. •••• Пифагор рассматривал и пятиугольные • • • • • • • числа (1, 5, 12, 22, ...). Попробуйте само- • •• ••• •••• ... стоятельно изобразить эти числа. 14 9 16 456. а) Шары укладывают в равносторонние треугольники. В пятнадцатом треугольнике 120 шаров. Сколько шаров в шестнадцатом треугольнике? в четырнадцатом? б) Заполните указанную часть таблицы треугольных чисел. № 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Треугольное число 210 457. а) Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось шаров? б) Чему равно треугольное число с номером 35? с номером 50? с номером 1000? 4—г. в. Дорофеев, 5 кл. 458. а) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник — остались лишними 3 шара. А когда стали строить треугольник, сторона которого содержит на 1 шар больше, то не хватило 4 шаров. Сколько было шаров? Указание. Найдите число, отличающееся от соседних треугольных чисел на 3 и на 4 единицы, б) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник — остались лишними 24 шара. А когда стали строить треугольник, сторона которого содержит на 1 шар больше, то не хватило 11 шаров. Сколько было шаров? Указание. Найдите соседние треугольные числа, разность которых равна 35. 459. В каком порядке идут четные и нечетные числа в последовательности треугольных чисел? Четным или нечетным является число с номером 17, 18, 19, 20? Четным или нечетным является число с номером 60, 78, 35? 460. Найдите сумму: а) 15-го и 16-го треугольных чисел; б) 47-го и 48-го треугольных чисел. да Задания для самопроверки (Обязательные результаты обучения) 1. Вычислите, выбирая удобный порядок действий: а) 42 + 61 + 28 + 39 + 30; б) 4-9-5-2-25. 2. Дано выражение 18-(37+ 44). Определите, какое из следующих выражений имеет то же значение, что и данное выражение: 18-37 + 44, 18-37 + 18-44, 37 + 18-44. 3. Найдите значение выражения, вынося за скобки общий множитель: 83-17 + 27-17. 4. Решите задачу двумя способами. Две грузовые машины перевозят картофель с овощной базы в магазины. На одну машину грузят 3500 кг картофеля, а на другую — 2500 кг. Сколько килограммов картофеля перевезут эти машины за 3 рейса? 5. Для приготовления гречневой каши на 2 части гречки берут 3 части воды. Сколько граммов воды надо взять на 300 г гречневой крупы? 6. Чтобы сварить варенье из слив, берут 10 частей слив, 15 частей сахара и 2 части воды. Было приготовлено 540 кг варенья. Сколько слив пошло на варенье? ГЛАВА 5 Многоугольники Как обозначают и сравнивают углы Проведем на листе бумаги два луча АВ и АС с общим началом в точке А (рис. 83). Мы получим угол. Лучи АВ и АС называют сторонами угла, точку А — его вершиной. Сам угол обозначают так: ABAC (или АСАВ). Этот же угол можно обозначить и короче, по его вершине: А А. Углы, как и отрезки, можно сравнивать между собой. Чтобы сравнить два угла, можно наложить их друг на друга, как показано на рисунке 84. Легко увидеть, что первый угол меньше, так как он целиком оказался внутри второго. Если при наложении одного угла на другой они совпадут, то эти углы равны. Луч ОС делит угол АОВ на два равных угла (рис. 85). Такой луч называется биссектрисой угла. 4* прямой угол Рис. 86 Рис. 87 тупой угол Рис. 88 Возьмем угол, вырезанный из листа бумаги. Его биссектрису легко найти перегибанием. Для этого угол надо сложить так, чтобы его стороны совпали. Линия сгиба и будет биссектрисой этого угла. Вы уже использовали для построения фигур и измерений линейку и циркуль. Познакомимся еще с одним инструментом — угольником. С его помощью можно построить особый угол, который называется прямым углом (рис. 86). Прямой угол встречается нам постоянно. Так, на клетчатой бумаге линии пересекаются под прямым углом. Начертим два прямых угла с общей вершиной и одной общей стороной, тогда две другие стороны этих углов составят прямую (рис. 87). Считают, что лучи, составляющие прямую, также образуют угол. Этот угол называют развернутым. Развернутый угол равен двум прямым углам, а прямой угол составляет половину развернутого. Угол, меньший прямого, называется острым углом, а угол, больший прямого, но меньший развернутого, — тупым (рис. 88). 461. Назовите и запишите углы, изображенные на рисунке 89. 462. С помощью кальки найдите на рисунке 90 угол, равный углу А. 463. Начертите в тетради какой-нибудь угол и обозначьте его. А теперь от руки нарисуйте равный ему угол. Проверьте себя с помощью кальки. 464. Вырежьте из листа бумаги три неравных угла. Какой из них является наибольшим? м Рис. 90 465. Начертите в тетради угол и обозначьте его АОС. Проведите луч ОВ так, чтобы он разделил угол АОС на два угла. Назовите эти углы. Сравните их. 466. Начертите на листе бумаги какой-нибудь угол и проведите его биссектрису. Вырежьте этот угол и проверьте перегибанием, правильно ли вы разделили угол пополам. 467. Какие из углов, изображенных на рисунке 91, являются острыми, а какие — тупыми? Есть ли здесь прямой угол? 468. Начертите в тетради острый, прямой и тупой углы. 469. Скопируйте в тетрадь углы, изображенные на рисунке 92. Какой из этих углов острый, какой — тупой, а какой — прямой? Рис. 92 470. Начертите на листе в клетку прямой угол. С помощью перегибания листа найдите его биссектрису и начертите ее карандашом. 471. 1) Сравните углы, на которые поворачивается стрелка часов от цифры 1 до цифры 3 и от цифры 4 до цифры 6. 2) На какой угол (острый, прямой, тупой или развернутый) поворачивается часовая стрелка за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 5 ч, 6 ч? 3) Минутная стрелка за 15 мин поворачивается на некоторый угол. За какое время на тот же угол поворачивается часовая стрелка? 472. С помощью угольника найдите на рисунке 93 прямой угол. Найдите и назовите острые углы, тупые углы. Сравните углы AOD и СОВ,АОС и BOD. Сколько всего углов, меньших развернутого, на рисунке? 473. Начертите два угла с общей стороной: а) составляющие развернутый угол; б) не составляющие развернутый угол. 474. 1) Начертите острый угол ВОС. Постройте угол АОВ, дополняющий его до развернутого угла. Постройте и обозначьте еще один угол, дополняющий угол ВОС до развернутого. 2) Углы АОВ и ВОС составляют развернутый угол. Каким является угол ВОС, если угол АОВ острый? прямой? тупой? 475. 1) Постройте окружность и проведите ее диаметр АВ. Постройте угол АС В с вершиной С, лежащей на окружности. Каким (острым, прямым или тупым) является этот угол? Постройте и измерьте еще два угла с вершинами на окружности, «опирающиеся» на диаметр. Какой вывод можно сделать? 2) Начертите в тетради окружность. Проведите отрезок АВ с концами на окружности, не являющийся диаметром. Отметьте на окружности точки С, D \А Е так, чтобы угол АВС был прямым, угол ABD — острым, угол АВЕ — тупым. Рис. 93 Измерение углов Так же как и отрезки, углы можно сравнивать не только наложением, но и с помощью измерения. Самой распространенной единицей измерения углов является угол величиной в один градус. Представьте, что развернутый угол разделен лучами, выходящими из его вершины, на 180 развернутый 90" прямой Рис. 95 180 равных углов (рис. 94). Угол, ограниченный двумя соседними лучами, и считают равным одному градусу (записывают: 1°). Развернутый угол равен 180°, а прямой угол, который составляет половину развернутого, равен 90° (рис. 95). Величина острого угла меньше 90°, а величина тупого угла больше 90°. На рисунке 96 изображены острый угол АВС, равный 30°, и тупой угол DEFy равный 140°. Записывается это так: ААВС = 30°, ADEF=140°. Для измерения и построения углов используют специальный прибор — транспортир (рис. 97). Шкала транспортира представляет собой полуокружность, разделенную на 180 равных частей. (Обратите внимание, что у транспортира две шкалы — внутренняя и внешняя.) Измерение углов проводится следуюпдим образом (см. рис. 97). Транспортир накладывается на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через начало отсчета на шкале, т. е. через нулевое деление. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах: ААОБ = 50°, АЛОС=140°. Рис. 97 476. 1) Покажите руками угол в 90°, 180°. 2) Повернитесь на 90°, 180°, 360°. 3) На сколько градусов поворачивается минутная стрелка часов за 15 мин, 30 мин, 1 ч? 477. а) Каким (острым, прямым, тупым или развернутым) является угол, величина которого равна 22°, 163°, 90°, 18°, 98°, 180°, 89°, 178°? б) Выберите из данных углов сначала острые, а затем тупые углы: 114°, 54°, 81°, 100°, 139°, 99°, 90°, 77°. 478. Начертите в тетради прямой угол и разделите его на глаз на три равные части. Какова величина каждой части? Проверьте себя с помощью транспортира. 479. Начертите в тетради два острых и два тупых угла. Измерьте каждый из них. 480. Определите сначала, каким (острым или тупым) является угол, а затем с помощью транспортира постройте его: а) 35°; б) 64°; в) 95°; г) 119°; д) 153°. 481. а) На рисунке 98 угол ВАС равен 28°, а угол CAD равен 56°. Чему равен угол BAD? б) Угол ВАС равен 136° (рис. 99), а угол BAD равен 56°. Чему равен угол CAD? 482. а) Угол в 68° разделен биссектрисой на два угла. Найдите их величины. б) Угол, который образует биссектриса с одной стороной данного угла, равен 16°. Чему равен данный угол? 483. Используя линии квадратной сетки, постройте углы, равные 45° и 135°. (Подсказка: 45° = 90°:2, 135°=90°+ 45°.) 484. Начертите окружность и постройте два ее радиуса так, чтобы угол между ними был равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°; г) 180°. 485. Начертите в тетради полукруг и разделите его с помощью транспортира: а) на четыре равные части; б) на шесть равных частей; в) на три равные части. Какова градусная мера каждого из получившихся углов? 486. а) Чему равен угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 1 ч, 3 ч, 4 ч, 11 ч 30 мин? б) Сейчас на часах 10 ч. На сколько градусов изменится величина угла между стрелками через 1 ч? 487. Угол АОС равен 139° (рис. 100). Найдите величину угла СОВ. 488. На рисунке 101 угол COD прямой, а ААОС = A.BOD. Найдите величину угла АОС. 489. Угол АОВ равен 48°. Луч ОС — биссектриса угла АОВ, луч ОМ — биссектриса угла АОС. Найдите величину угла АОМ. (Сделайте схематический рисунок.) 490. 1) Угол АОВ равен 90° (рис. 102). Лучи ОМ и ОК — биссектрисы углов СОВ и СОА. Найдите АМОК. 2) Решите задачу при условии, что аАОВ = А0°. 491. 1) Сколько углов, равных 60° и имеющих общую вершину и общие с «соседями» стороны, можно построить? 2) Отметьте точку и проведите из нее лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми. 3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми? Рис. 100 Рис. 101 Углы и многоугольники На рисунке 103 изображена фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, у которой четыре вершины и четыре звена. Эта фигура — четырехугольник. Точки А, Б, С и £) называют вершинами четырехугольника, соединяющие их отрезки — его сторонами, углы АБС, BCD у CDA, DAB — углами четырехугольника. Чтобы назвать четырехугольник, последовательно перечисляют все его вершины, начиная с любой из них. Наш четырехугольник можно назвать, например, так: ABCD. Рис. 103 Рис. 104 Четырехугольник — это один из видов многоугольников. Все фигуры, изображенные на рисунке 104, — это многоугольники. А фигура на рисунке 105, ограниченная самопересекающейся ломаной, многоугольником не является. Обратите внимание, что угол многоугольника может быть больше развернутого угла. Найдите на рисунке 104 пятиугольник. У него пять углов. Но и сторон у него тоже пять, да и вершин столько же. И вооб-щ;е у любого многоугольника столько же вершин и сторон, сколько у него углов. Поэтому пятиугольник можно было бы называть пя-тисторонником или пятивершинником. Но принято говорить «пятиугольник». На рисунке 106 изображен шестиугольник ABCDEF. Отрезок BE соединяет две его несоседние вершины. Этот отрезок — диагональ шестиугольника. Всего в нем можно провести 9 диагоналей. Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник. Длину границы многоугольника иначе называют его периметром. Слово «периметр» греческого происхождения, означает оно «измеряю вокруг». Периметр обычно обозначают буквой Р. Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон. iKfliJdn&)492. Какие многоугольники вы видите на рисунке 104? ^ 493. Диагональ АС разбивает пятиугольник ABCiCM на два многоугольника (рис. 107). Назовите их. 494. Назовите все вершины, все стороны и все углы четырехугольника, изображенного на рисунке 108. Определите на глаз, есть ли в этом четырехугольнике прямой угол, какой из его углов острый, сколько у него тупых углов. Измерьте и запишите величину каждого угла этого четырехугольника. 495. Измерьте величину каждого угла треугольника АВС (рис. 109). Назовите углы в порядке возрастания их градусных мер. Есть ли в треугольнике прямой угол? острый? тупой? 496. Назовите равные стороны и равные углы многоугольника (рис. 110, 111). Скопируйте его в тетрадь. 497. Скопируйте пятиугольник в тетрадь (рис. 112). Проведите все диагонали пятиугольника и запишите их. М В Рис. 109 Рис. 111 498. Найдите периметр треугольника, изображенного на рисунке 113. 499. Чему равен периметр треугольника АВС со сторонами: а) АВ = 3 см, ВС = 4 см 5 мм, АС = 5 см 3 мм; б) АВ=ВС = 4 см, АС = 1 см 3 мм; в) АВ = ВС=АС = 9 см? 500. Выполнив необходимые измерения, найдите периметр четырехугольника, изображенного на рисунке 114. 501. Периметр четырехугольника КОРТ равен 17 см, КО = 5 см, ОР = 6 см, РТ=КТ. Найдите сторону КТ. 502. Отметьте в тетради три точки, не принадлежащие одной прямой. Начертите два треугольника так, чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами, а у другого принадлежали его сторонам. 503. Начертите четырехугольник, у которого являются тупыми: а) два соседних угла; б) два противоположных угла. 504. Начертите четырехугольник с двумя прямыми углами. Могут ли два других его угла быть не прямыми? 505. а) Треугольник АВС можно также назвать треугольником ВАС. Как еще можно назвать этот треугольник? Сколько всего можно придумать обозначений этого треугольника? б) Запишите все возможные обозначения четырехугольника ABCD. 506. а) Сколько треугольников на рисунке 115? б) Сколько четырехугольников на рисунке 116? 507. Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так: • найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин (рис. 117): • умножить это число на число вершин; • разделить результат на 2 (объясните почему). Рис. 116 Рис. 118 Сколько диагоналей у семиугольника, десятиугольника, стоугольника? У какого многоугольника 9 диагоналей? 508. Найдите все 35 треугольников на рисунке 118. ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Разрезаем квадрат В данном разделе вам предлагаются задачи на разрезание квадрата. Но это не означает, что при их решении вам потребуются ножницы. Здесь имеется в виду, что нужно начертить на клетчатой бумаге заданный в условии задачи квадрат и показать, как должна проходить линия разреза. Задачи на разрезание имеют, как правило, несколько решений. 509. Начертите в тетради какой-нибудь квадрат и разрежьте его прямой на два одинаковых: а) прямоугольника; б) треугольника. Проведите еще одну прямую так, чтобы разрезать квадрат на четыре одинаковые части. Разрезать квадрат на части можно не только прямой, но и ломаной линией. На рисунке 119 ломаная, проходянцая по сторонам клеток, разрезает квадрат со стороной 4 клетки на два одинаковых многоугольника. (Фигуры считаются одинаковыми, если их можно совместить друг с другом наложением.) Начертите в тетра- Рис. 119 ди квадрат со стороной 4 клетки и попробуйте найти еще какой-нибудь способ разрезания такого квадрата на два одинаковых многоугольника. А как разрезать такой квадрат на четыре одинаковых многоугольника (линии разрезов проходят по сторонам клеток)? Наш квадрат содержит 16 квадратиков-клеточек. Понятно, что каждая часть должна состоять из четырех клеток. Поэтому сначала можно найти все такие фигуры, состоящие из четырех клеток, а затем попробовать разрезать квадрат на эти фигуры. 510. 1) Найдите все возможные фигуры, которые можно составить из четырех одинаковых квадратов. Для этого начните с самого простого случая — «уложите» все четыре квадрата в один ряд, а затем рассмотрите другие варианты. Зарисуйте получившиеся фигуры. У вас должно получиться пять различных фигур. 2) Вырежьте по четыре экземпляра каждой фигуры и попробуйте составить из них квадрат. Из каких фигур нельзя составить квадрат? Из каких фигур квадрат можно составить несколькими способами? Зарисуйте все варианты разрезания квадрата со стороной 4 клетки на четыре одинаковые части. 511. Можно ли квадрат со стороной 5 клеток разрезать на две одинаковые части так, чтобы линия разреза проходила по сторонам клеток? 512. Разрежьте квадрат (рис. 120) на четыре одинаковые части, проводя линии разреза по сторонам клеток так, чтобы в каждой части было по одному крестику. 513. На какое наименьшее число квадратов вы можете разрезать квадрат со стороной 13 клеток, если разрезы следует проводить только по сторонам клеток? Наибольшее число, очевидно, равно 169 — числу отдельных клеток. Наименьшее число равно 11. Попробуйте найти это решение. а) б) 1 !«). - - X 1 X X X X X X J— X XXX X U- ^ ^ ■ 1 1 Рис. 120 Делители и кратные Число а делится на число Ь, если можно подобрать такое число с, что выполняется равенство а = Ъ'С. Например, число 60 делится на 10, так как 60 = 10*6. Говорят, что число 10 является делителем числа 60. Можно указать и другие делители этого числа, например 2, 4, 6, 30, само число 60. А вот число 8 его делителем не является: нет такого натурального числа, которое в произведении с числом 8 дает 60. Действительно, произведение 8*7 меньше 60, а произведение 8*8 уже больше 60. Найдем все делители какого-нибудь числа, например 24. Два его делителя очевидны: это 1 и само число 24. Чтобы выяснить, есть ли у этого числа другие делители, будем проверять подряд все числа, начиная с 2. Получим еще шесть делителей: 2, 3, 4, 6, 8, 12. Других делителей у этого числа нет. Таким образом, число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Этот перебор можно сократить, если, отыскав один делитель, записать сразу же и другой, являющийся частным от деления числа 24 на найденный делитель. В ходе перебора такие пары удобно записывать друг под другом: 1 2 3 4 24 12 8 6 Возьмем числа 45 и 9. Число 45 делится на 9, т. е. 9 — делитель 45. Эту связь между числами 45 и 9 выражают еще такими словами: «число 45 — кратное числа 9» (или короче «число 45 кратно 9»). Точно так же: число 8 — делитель 48, а число 48 кратно 8; число 10 — делитель 120, а 120 кратно 10. Итак, если число а делится на число Ь, то число Ь называют делителем числа а, а число а — кратным числа Ь. Вы врщели, что с помощью перебора можно найти все делители некоторого натурального числа. А как обстоит дело с кратными? Будем, к примеру, перебирать числа, кратные 10. Получим: 10, 20, 30, 40, 50 и т. д. Очевидно, что таких чисел бесконечно много, и все их перечислить нельзя. 514. Какие из чисел 2, 12, 35, 40, 112, 120, 200 являются делителями числа 240? Если число 847 разделить на 11, то в частном получится 77. Является ли частное 77 делителем числа 847? Ответ поясните. Известно, что 272 = 34-8. Является ли делителем числа 272 число 34? 8? Найдите еще какие-нибудь делители числа 272 и запишите соответствующие равенства. 517. Назовите по порядку, начиная с наименьшего, все делители: а) числа 30; б) числа 12. 518. Выпишите все делители числа: а) 18; б) 36; в) 70; г) 112. 519. Сколько делителей имеет число: а) 8; б) 9; в) 12; г) 13? 520. а) Сколько существует способов разделить 36 конфет на одинаковые порции? б) В классе 24 ученика. Их надо разбить на одинаковые группы. По скольку человек может быть в этих группах? 521. Выпишите все делители числа 36; числа 45. Подчеркните общие делители этих чисел; назовите их наибольший общий делитель. 522. Запишите по порядку, начиная с наименьшего, четыре числа, делителем которых является число 15. Сколько существует таких чисел? Как называют такие числа? 523. Какие из чисел 438, 145, 110, 279, 321 кратны: а) 2; б) 3; в) 5; г) 9; д) 2 и 5; е) 2 и 3? 524. Запишите по порядку, начиная с наименьшего, несколько чисел, кратных: а) 9; б) 15. 525. Число 392 кратно 14. Найдите: а) три следующих числа, кратные 14; б) три предыдущих числа, кратные 14. 526. Найдите несколько общих кратных чисел: а) 3 и 4; б) 6 и 9. Для каждого случая укажите наименьшее общее кратное. 527. Используя слова «делитель», «делится», «кратное», сформулируйте вывод из данного равенства: а) 252 = 12-21; б) 510 = 34-15. 528. Из чисел 5, 10, 15, 20, 25, 40, 50, 75, 100 выпишите те, которые: а) кратны 25; б) не кратны 10; в) делятся на 5 и на 4; г) кратны 5 и не кратны 4; д) являются делителем числа 500; е) являются делителем числа 500 и не являются делителем числа 50. 529. В одной группе 36 спортсменов, а в другой — 40 спортсменов. Сколько имеется возможностей для построения спортсменов так, чтобы группы шли одна за другой одинаковыми рядами? 530. Из 18 синих и 12 желтых флажков нужно сделать одинаковые гирлянды для елки. Сколько одинаковых гирлянд можно повесить на елку? Для каждого случая укажите количество синих и желтых флажков. 531. Маша задумала число и сказала: «Это число меньше 30, его называют, когда считают тройками и когда считают пятерками». Какое число задумала Маша? 532. Некоторое количество яиц можно разложить в коробки, по 10 штук в каждую, или в коробки, по 12 штук в каждую (в обоих случаях все коробки будут заполнены). Сколько всего яиц, если известно, что их больше 100, но меньше 150? 533. Наибольший общий делитель чисел а \л Ь часто обозначают НОД (а, Ь). Например, пишут: НОД (66, 44) = 22. Найдите: а) НОД (12, 30) б) НОД (24, 40) в) НОД (18, 36) г) НОД (40, 60); д) НОД (24, 25); е) НОД (30, 45, 60). 534. Наименьшее общее кратное чисел а и Ь в математике принято обозначать НОК (а, Ь). Например, пишут: НОК (6, 9)=18. Найдите: а) НОК (3, 7); в) НОК (17, 51); д) НОК (2, 5, 7); б) НОК (4, 6); г) НОК (24, 16); е) НОК (2, 4, 7). 535. Не вычисляя значения выражения, докажите, что: а) 75*9 делится на 15; б) 12-63 делится на 42; в) 12^ кратно 27; г) 2-15^ кратно 50. Образец. Докажем, что 12-36 делится на 16. Решение. Выделим в произведении множитель 16: 12-36 = 4-3-9-4 = (4-4)-(9-3) = 16-(9-3). 536. С конечной остановки выезжают по двум маршрутам автобусы. Первый возвращается каждые 30 мин, второй — каждые 40 мин. Через какое наименьшее время они снова окажутся на конечной остановке вместе? 537. Юноша и девушка измерили одно и то же расстояние в 141 м шагами. Шаг девушки 50 см, а шаг юноши 60 см. Сколько раз их следы совпали? 538. Спортсменов построили в колонну по 6 человек, а затем перестроили, поставив по 4 человека. Сколько всего спортсменов, если их больше 90, но меньше 100? 539. Учитель принес в класс 87 тетрадей и раздал их поровну ученикам. Сколько тетрадей получил каждый ученик и сколько учеников в классе? 540. Ученикам трех классов выдали 574 учебника. Каждый ученик получил одинаковое число книг. Известно, что в каждом классе больше 25, но меньше 30 учащихся. Сколько учебников получил каждый ученик и сколько всего учеников в трех классах? 541. Возле дома Маши останавливаются автобусы, идущие по трем разным маршрутам. Один из них подходит к остановке через каждые 3 мин, другой — через каждые 6 мин, третий — через каждые 10 мин. В 8 ч 45 мин Маша выглянула в окно: на остановке стояли все три автобуса. В какое ближайшее время на остановке окажутся снова три автобуса? В какое ближайшее время на остановке окажутся одновременно два автобуса? Простые и составные числа Число 13 делится на 1 и на 13, и других делителей у этого числа нет. Натуральные числа, имеющие, как и число 13, только два делителя, называют простыми. Натуральное число называется простым числом, если оно имеет только два делителя: 1 и самого себя. Первыми простыми числами в порядке возрастания являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... . Наименьшее простое число — это число 2. Это единственное четное простое число; все остальные простые числа нечетные. Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными. Например, число 6 составное: оно делится не только на 1 и на 6, но еще и на 2, и на 3. Число 1 имеет только один делитель — само это число. Поэтому оно не является ни простым, ни составным числом. Всякое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, или, как говорят, разложить на простые множители. Разложим, например, на простые множители число 90: 90 = 2-45 = 2-3-15 = 2-3-3-5. / \ /\ 3-15 3-5 Произведение одинаковых множителей обычно заменяют степенью. Поэтому 90 = 2-3^-5. Таким образом, какое бы натуральное число (кроме 1) мы ни взяли, оно либо является простым, либо может быть разложено на простые множители. Простые числа — это как бы «кирпичики», из которых с помощью умножения могут быть «построены» все остальные числа. Часто бывает очень сложно определить, простым или составным является число. Поэтому еще с древнейших времен математики составили специальные таблицы простых чисел. Такая таблица, в которой перечислены все простые числа из первой тысячи, помещена на форзаце учебника. Интересный способ составления списка простых чисел придумал древнегреческий математик Эратосфен (III в. до н. э.). Применим его для поиска всех простых чисел до 50. (D л л ю 11 13 )Л 17 19 зв п 23 и т 29 30 31 ^3 м М 37 т 39 40 41 43 м 47 4в 0 30... Выпишем все натуральные числа от 1 до 50. Зачеркнем число 1 — оно не простое. Число 2 простое; обведем его кружочком. Затем зачеркнем все числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8, ... . Первое незачеркнутое число 3 — оно простое; обведем его кружочком. Теперь вычеркнем все числа, кратные 3, т. е. 9, 15, ... (числа 6, 12 и др. зачеркнуты раньше). Первое незачеркнутое число 5 — оно простое; его также обведем кружочком. И т. д. Те числа, которые в конце концов останутся незачеркнутыми, и есть простые числа. Эратосфен писал на восковых табличках специальной палочкой, а составные числа выкалывал острым концом, после чего табличка напоминала решето. С тех пор его способ отыскания простых чисел называют решетом Эратосфена. В настоящее время составление таблиц простых чисел можно «поручить» компьютеру; с его помощью уже получены огромные простые числа, которые «вручную», наверно, никогда бы не были найдены. И возникает такой естественный вопрос: можно ли построить, хотя бы в далеком будущем, такой мощный компьютер, чтобы он нашел все простые числа? Оказывается, что ответ на этот вопрос был найден... больше двух тысяч лет назад. Еще великий математик Древней Греции Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, так что полный их список составить просто невозможно. Можно сказать так: среди простых чисел самого большого числа нет. 542. Какие из следующих чисел являются простыми: 11, 26, 27, 29, 31, 39, 43, 51, 59, 67? 543. Докажите, что данное число не является простым: а) 25; б) 8192; в) 99. 544. Разложите на простые множители числа: а) 30, 70, 42, 110; б) 16, 48, 36, 63; в) 10, 100, 1000, 10 000. 545. Какое число разложено на простые множители: а) 2-3^-7; б) 3^•5•11^? 546. Найдите все делители числа а, если: а) а = 2-11 *17: б) а = 2-3-5-7. 547. Какие из чисел 163, 261, 271, 447, 457, 758 являются простыми? Для ответа воспользуйтесь таблицей простых чисел. 548. При перестановке цифр простого числа 311 опять получится простое число (проверьте это по таблице простых чисел). Найдите все двузначные числа, обладающие таким же свойством. 549. Верно ли утверждение? A. Все простые числа — нечетные. Б. Все нечетные числа — простые. B. Все простые числа, большие 2, — нечетные. Г. Все нечетные числа, большие 2, — составные. 550. а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом? б) Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом? 551. Дано разложение числа а на простые множители: а = 2^ -3^ -5^. Делится ли число а на 18, 70, 11, 48? 552. Простое число имеет два делителя. А сколько делителей имеет квадрат простого числа? куб простого числа? четвертая степень простого числа? Проведите исследование на конкретном примере. Как вы думаете, сколько делителей будет иметь десятая степень простого числа? 553. Вы могли убедиться, что числа, являющиеся кубами простых чисел, имеют четыре делителя. Придумайте несколько чисел, которые также имеют ровно четыре делителя, но не являются кубами простых чисел. Как можно описать все такие числа? Делимость суммы и произведения Возьмем число 1200. Как проверить, делится ли оно на 25? Для этого не обязательно выполнять деление. Достаточно заметить, что 1200 равно произведению 12 и 100. Число 100 делится на 25, поэтому и 1200 делится на 25. В самом деле, 1200=12 *100 = 12-25 *4 = 25-48. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Возьмем числа 70, 49 и 14. Каждое из них делится на 7, поэтому их сумма делится на 7. В этом можно убедиться так: 70 + 49+14 = 7 *104-7 *7 +7 *2 = 7 *(10 +7 + 2) = 7 *19. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число. С суммой связано еще одно полезное свойство делимости. Когда говорят об этом свойстве, то вспоминают поговорку о ложке дегтя в бочке меда. Если одно из слагаемых не делится на некоторое число, а остальные делятся, то сумма на это число не делится. Например, 112 = 60 + 42+10. Два слагаемых — числа 60 и 42 — делятся на 6, а третье слагаемое — число 10 — на 6 не делится. Поэтому и сумма, равная 112, на 6 не делится. А верно ли утверждение: если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число? Легко показать, что это утверждение неверно. В самом деле, рассмотрим равенство 50=11 + 17 + 22. Слагаемые 11, 17 и 22 не делятся на 5, а их сумма на это число делится. Мы показали, что сформулированное утверждение неверно, приведя опровергающий его пример. Такой пример называют контрпримером. Приставка «контр» (от латинского contra) означает «против». 554. Делится ли произведение 6*14 на 2? на 3? на 7? 555. Укажите какие-нибудь пять делителей числа: а) 192=16*12; б) 16 128 = 32*24*21. 556. а) Известно, что некоторое число делится на 10. Делится ли оно на 2? на 5? Ответ объясните. б) Число 1332 делится на 36. Не выполняя деления, укажите еще несколько делителей этого числа. в) Число 672 делится на 112, а число 112 делится на 28. Является ли число 28 делителем числа 672? 557. а) Известно, что некоторое число делится на 4. Можно ли утверждать, что оно делится на 2? б) Известно, что некоторое число делится на 2. Можно ли утверждать, что оно делится на 4? 558. Не выполняя сложения, определите, делится ли сумма: а) 25 + 35 на 5; в) 18 + 36 + 55 + 90 на 9; б) 63 + 24 на 7; г) 50 000 + 8000+700 + 20 на 10. 559. Докажите, не выполняя сложения, что сумма делится на 2, на 3 и на 4: а) 60 + 48 + 24; б) 12 + 36 + 24 + 48. 560. Приведите контрпример для утверждения: а) любое четное число имеет только четные делители; б) любое нечетное число делится на 3. 561. Докажите, что разность 15*16-15*11 делится на 15. Сфор-мулируйте соответствующее свойство разности. 562. Не выполняя вычитания, определите, делится ли разность: а) 72-38 на 2; б) 81-48 на 8; в) 33 500-27 000 на 100. 563. а) Делится ли значение выражения 5*29 + 5*17 на 5? Какие еще делители есть у этого числа? б) Делится ли на 7 значение выражения 41*7-17*7? Укажите еще несколько делителей этого числа. 564. Известно, что каждое слагаемое в некоторой сумме делится на 16. Делится ли эта сумма на 2? на 8? на 4? Можно ли утверждать, что эта сумма не делится на 5? 565. Докажите, что: а) сумма двух четных чисел — четное число; б) сумма четного и нечетного чисел — нечетное число. 566. Опровергните утверждение: а) если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число; б) если произведение двух множителей делится на некоторое число, то и какой-нибудь из этих множителей делится на это число. Простым или составным является число: а) 51^-M7; б) 11Ч22^ + 33^? Представив данное число в виде суммы двух слагаемых, докажите, что: а) число 358 не делится на 17; б) число 238 не делится на 22. Признаки делимости 567. 568. Для того чтобы узнать, делится ли одно число на другое, не всегда нужно выполнять деление. Существуют признаки, позволяющие в некоторых случаях получить ответ на этот вопрос уже по самой записи числа. Некоторые из них вам фактически уже знакомы. Самый простой признак связан с делимостью на 10. Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10. Число, оканчивающееся любой другой цифрой, не делится на 10. Например, числа 1020, 48 960, 580 делятся на 10, а числа 125, 4718 не делятся на 10. По последней цифре числа можно узнать также, делится ли оно на 5 или на 2. Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно делится на 5. Число, оканчивающееся любой другой цифрой, не делится на 5. Например, числа 85, 1290, 15 065 делятся на 5, а числа 348, 5952 не делятся на 5. Если число оканчивается четной цифрой, т. е. одной из ^ цифр о, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2. Числа, оканчивающиеся нечетной цифрой 1, 3, 5, 7, 9, не делятся на 2. Например, числа 1248, 30 540 делятся на 2, а числа 951, 3497 не делятся на 2. Иначе «устроены» признаки делимости на 9 и на 3. Возьмем число 738 и, не выполняя деления, постараемся выяснить, делится ли оно на 9. Для этого представим число 738 в виде суммы разрядных слагаемых и преобразуем ее: 738 = 7-100 + 3-10 + 8 = 7*(99+1) + 3*(9 + 1) + 8 = = 7-99 + 7 + 3*9 + 3 + 8 = (7-99 + 3*9) + (7 + 3 + 8). Сумма 7*99 + 3*9 делится на 9. Сумма 7 + 3 + 8 равна 18; она тоже делится на 9. Следовательно, и вся сумма (7*99 + 3*9) + (7 + 3 + 8) делится на 9. Значит, число 738 делится на 9. Представим теперь таким же образом в виде суммы число 739: 739 = (7*99 + 3*9) + (7 + 3 + 9). Выражение в первых скобках делится на 9, а во вторых — нет. Значит, число 739 не делится на 9. В каждом случае во вторых скобках была записана сумма цифр взятого числа. И результат зависел от того, делится ли эта сумма на 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и само число не делится на 9. Например, число 78 345 делится на 9; в самом деле, сумма его цифр равна 27, а 27 делится на 9. Число 4351 не делится на 9; сумма его цифр равна 13, а 13 не делится на 9. Такими же рассуждениями можно получить и признак делимости на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и само число не делится на 3. Л Например, число 4584 делится на 3, так как сумма его цифр делится на 3. Число 1111 не делится на 3, так как сумма его цифр не делится на 3. 569. Какие из чисел 9376, 881, 1050, 12 345, 1112 делятся на 2? 570. Какие из чисел 132, 815, 2600, 551, 1000 делятся на 5? 571. Какие из чисел 18, 35, 70, 204, 360: а) делятся на 2 и на 5; б) делятся на 2 и не делятся на 5; в) делятся на 5 и не делятся на 2? 572. Из данных чисел выпишите те, которые делятся на 3: 111, 110, 834, 2383, 882. 573. Из данных чисел выпишите те, которые делятся на 9: 212, 216, 8361, 5125. 574. Докажите, что каждое из чисел 37 940, 1272, 1551, 207 027 является составным числом. 575. Не выполняя действий, определите, делится ли на 3 значение выражения: а) 181*261; б) 114 + 305; в) 87 + 204 + 1107. 576. Даны числа: 72, 312, 522, 483, 1197. Выпишите из них те, которые: а) делятся на 9; б) делятся на 3 и не делятся на 9. 577. Верно ли утверждение? а) Если число делится на 9, то оно делится на 3. Ответ объясните. б) Если число делится на 3, то оно делится на 9. Ответ объясните. 578. Задание с выбором ответа. Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5. А. 5335. Б. 9051. В. 1254. Г. 7740. 579. Придумайте три числа, которые: а) делятся на 2 и на 3; б) делятся на 3 и на 5; в) делятся на 10 и на 9; г) делятся на 2 и не делятся на 3; д) делятся на 3 и не делятся на 2. 580. Известно, что число делится на 3 и на 5. Делится ли оно на 15? 581. Найдите неизвестную цифру числа, если известно, что оно делится на 9: а) 318*; б) *56; в) 48*25; г) 8*1. 582. Запишите цифрами 1, 3, 6, 5 два четырехзначных числа, которые: а) делятся на 2; б) делятся на 5. Можно ли записать этими же цифрами число, которое делится на 3? на 9? 583. Запишите какое-нибудь четырехзначное число, которое делится на 9 и оканчивается цифрой: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. 584. Укажите ближайшее к каждому из данных чисел число, делящееся на 9: 732, 596, 2468. 585. Какие числа, делящиеся на 3, заключены между числами 560 и 580? 586. а) За три одинаковые книги продавец предложил заплатить 212 р. 50 к. Докажите, что продавец ошибся. б) Со склада в три магазина должны отвезти 327 книг. Можно ли их распределить так, чтобы во второй магазин книг поступило в 2 раза больше, чем в первый, а в третий — в 3 раза больше, чем во второй? 587. Признаки делимости помогают при разложении числа на простые множители. При этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты. Рассмотрите, как выполнено разложение на множители числа 504, и примените этот прием для разложения на множители следующих чисел: а) 1452; б) 3960; в) 2295; г) 351 000. 588. Запишите какое-нибудь пятизначное число, которое делится на 5 и на 9, но не делится на 2. 589. Даны числа: 354, 180, 198, 287, 435, 414. Выпишите из них те, которые делятся: а) на 15; б) на 6; в) на 18. 590. Сформулируйте признаки делимости: а) на 6; б) на 15; в) на 18; г) на 45. 591. Какую цифру можно приписать к числу 10 слева, чтобы получившееся трехзначное число делилось на 15? делилось на 6? 592. К числу 10 надо приписать по одной цифре справа и слева так, чтобы полученное число делилось на 18. Сделайте это всеми возможными способами. 593. Используя все цифры от 0 до 9 только по одному разу, запишите: а) наименьшее число, делящееся на 5; б) наибольшее число, делящееся на 2; в) наименьшее число, делящееся на 6. 594. Среди чисел 1001, 1002, ..., 1010 — одно простое. Найдите его. 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 7 7 1 504 = i ?^•3^•7 Деление с остатком Вы знаете, что два арифметических действия — сложение и умножение — выполнимы всегда, а два других — вычитание и деление — таким свойством не обладают. Так, из одного числа нельзя вычесть другое, если второе число больше первого. А разделить одно число на другое можно только тогда, когда второе число является делителем первого. В обпдем случае при делении двух натуральных чисел, как вы много раз убеждались, получается остаток. При этом остаток всегда меньше делителя — только в этом случае мы заканчиваем процесс деления уголком. Разделим, например, на 4 числа 180, 181, 182, 183: 180 4 181 4 182 4 183 4 16 45 16 45 16 45 16 45 20 21 22 23 20 20 20 20 0 1 2 3 Число 180 разделилось на 4 нацело, без остатка, оно кратно 4. Поэтому его можно представить в виде произведения частного и делителя: 180 = 45-4. В остальных случаях при делении получились остатки, равные соответственно 1, 2, 3. И, умножив число 45, записанное под уголком, на делитель 4, мы в каждом из этих случаев не получим делимого. Произведение 45*4 «почти равно» делимому, а точнее говоря, меньше его на соответствующий остаток: 181=45-4+1, 182 = 45-4 + 2, 183 = 45-4 + 3. Отметим, что именно этот факт соответствует жизненной практике и смыслу слова «остаток» в русском языке. Например, 182 электролампочки нельзя разложить в коробки, по 4 штуки в каждую. При такой раскладке получится 45 коробок, а 2 лампочки останутся. Это и есть остаток в математическом смысле слова — от деления числа 182 на 4. Если при делении получается остаток, то вместо слова «частное» обычно говорят «неполное частное» — для того чтобы подчеркнуть, что речь идет о делении с остатком. Ill j делцмое делитель 1\8<2 4' . : \ 1 i / ^ ^ 1 4 ! 1 16 —г-н—^ ^[—1— i— 2 2 , , J 1182^4 51- 4 -f 2^8<4^ 2 0 1 1 1 ' ‘ 1 1 1 ' 1^ и^прлт^ое 1 ' . ' - ■ ч 1 2 частное^ ж \ ' --Г— частное QctnamoK Из рассмотренных примеров ясно, что «по отношению к делителю 4» имеется четыре вида натуральных чисел: числа, делящиеся на 4 (кратные 4), и числа, дающие при делении на 4 остатки, равные 1, 2 или 3. Например: 32 33 34 35 128 129 130 131 500 501 502 503 1284 1285 1286 1287 2496 2497 2498 2499 делятся дают в дают в дают в на 4 остатке 1 остатке 2 остатке 3 Каждое из чисел первого вида можно записать в виде изведения, в котором один из множителей равен 4: 32-8*4, 128 = 32*4, Числа трех других видов можно записать в виде суммы, в которой одно слагаемое — произведение неполного частного и делителя, а другое — остаток: 33 = 8*4+1, 129 = 32*4 + 1, 34 = 8*4 + 2, 130 = 32*4 + 2, 35 = 8*4 + 3, 131=32*4 + 3. Но числа первого вида, т. е. кратные 4, также можно записать в виде подобных сумм, только в качестве второго слагаемого следует взять число 0: 32 = 8*4 + 0, 128 = 32*4 + 0, ... Теперь числа всех четырех видов записаны одинаково: Делимое = Неполное частное х Делитель + Остаток Поэтому удобно считать, что всякое натуральное число можно разделить на любое другое натуральное число с остатком. При этом, однако, остаток может оказаться равным 0. Так, при делении натурального числа на 3 возможны остатки, равные о, 1 и 2, т. е. «по отношению к числу 3» натуральные числа делятся на три вида. А знакомые всем четные и нечетные числа — это числа, даюш;ие при делении на 2 в остатке 0 и 1. 595. а) В коробку помещается дюжина вилок. В такие коробки надо разложить 250 вилок. Сколько полных коробок получится, сколько вилок останется? б) Школьная летняя практика длилась 45 дней. Сколько это недель и дней? 596. а) Моток ленты длиной 10 м надо разрезать на куски по 45 см. Сколько таких кусков получится и сколько ленты останется? б) Стулья шириной 60 см надо установить вдоль стены, длина которой 7 м. Сколько стульев поместится вдоль стены? 597. а) Сколько километров и метров в 2300 м? в 75 750 м? в 153 000 см? б) Сколько метров и сантиметров в 211 см? в 1212 см? 598. а) Сколько минут и секунд в 400 с? в 250 с? в 1600 с? б) Сколько часов и минут в 150 мин? в 1500 мин? в 800 мин? 599. а) Учитель подготовил для контрольной работы 42 карточки пяти цветов: белого, желтого, зеленого, красного, синего. Сложив все карточки в этой последовательности (б, ж, з, к, с, б, ж, ...), он пронумеровал их все подряд, начиная с номера 1. Какого цвета карточка с номером 24? с номером 38? с номером 10? последняя карточка? б) В вагоне поезда 36 мест, по 4 места в каждом купе. Определите номер купе, в котором находится место 21; место 15; место 28; место 18. Укажите номера остальных мест купе, в котором находится место 26. 600. Какие остатки могут получиться при делении некоторого числа: а) на 4; б) на 8; в) на 2; г) на 15? 601. Впишите в соответствующую клетку таблицы каждое из чисел от 250 до 274. Остаток от деления на 5 0 1 2 3 4 602. Не выполняя деления, определите, какие остатки получаются при делении каждого из чисел 1237, 48 299, 893, 482: а) на 5; б) на 9; в) на 10. 603. Найдите число, если: а) при делении его на 13 в частном получается 12 и в остатке 7; б) при делении его на 24 в частном получается 17 и в остатке 1. 604. Летние каникулы длятся 73 дня. а) Каким днем недели будет последний день летних каникул, если они начались во вторник? б) Каким днем недели был первый день каникул, если первый день нового учебного года — суббота? 605. а) Сколько в октябре воскресений, если 1 октября — понедельник? А если 1 октября — пятница? Сколько в том и другом случае в октябре понедельников? б) До каникул осталось 26 дней. Сколько воскресений может оказаться в этих днях? в) Подсчитайте, сколько дней в первом полугодии учебного года (с 1 сентября до Нового года), и определите, сколько в нем суббот, если 1 сентября — вторник. 606. а) Если имеющиеся карандаши разложить в коробки, по 8 штук в каждую, то останется 5 лишних карандашей. Если их разложить в коробки, по 6 штук в каждую, то тоже останется 5 лишних карандашей. Сколько имеется карандашей, если их больше 50, но меньше 100? б) в коробке лежат ложки. Когда их пересчитали десятками, то не хватило двух ложек до последнего полного десятка; когда их пересчитали дюжинами, то осталось 8 ложек. Сколько в коробке ложек, если их больше 150, но меньше 200? 607. а) Найдите какое-нибудь двузначное число, которое при делении на 2 и на 3 дает в остатке 1. б) Найдите какое-нибудь двузначное число, которое при делении на 2, на 3 и на 5 дает в остатке 1. 608. а) Найдите какое-нибудь число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3 и при делении на 5 дает в остатке 4. Указание. Если это число увеличить на 1, то полученное число будет кратно числам 2, 3, 4 и 5. б) Найдите какое-нибудь число, которое при делении на 4 дает в остатке 1, при делении на 5 дает в остатке 2 и при делении на 6 дает в остатке 3. 609. Определите, какой остаток получится при делении на 5 суммы двух чисел, если известен остаток от деления на 5 каждого из этих чисел. Заполните таблицу 1. 610. Пользуясь данными таблицы 2, определите, какой остаток получится при делении на 14 следующих чисел: 366-1-737, 921 +380, 737 + 921, 474 + 366, 921+474. 611. а) Даны сто последовательных степеней числа 2: 2, 2^, 2^ ..., 2'°°. Перечислите последние цифры значений этих степеней. Сколько различных цифр получилось? б) Найдите последние цифры степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19 951 995. Таблица 1 Таблица 2 Остаток от деления на 5 первого второго суммы слагае- слагае- мого мого 1 2 3 1 2 2 4 3 4 4 Делимое Делитель Остаток 366 14 2 737 14 9 380 14 2 921 14 11 474 14 12 Разные арифметические задачи При решении многих задач бывает полезно проявить фантазию, видоизменить условие. Рассмотрим решения двух таких задач. Задача 1. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких — по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид? Решение. Представим, что колец во всех пирамидах было поровну — по 5 колец. Сколько для этого нужно снять колец с каждой большой пирамиды? 7 — 5 = 2 (кольца). Сколько колец останется на всех 20 пирамидах? 20*5=100 (колец). Но в условии задачи дано 128 колец. Почему у нас меньше? Мы сняли кольца с больших пирамид. Сколько колец сняли? 128—100 = 28 (колец). Со скольких пирамид сняли по 2 кольца? 28^2=14 (пирамид). Ответ: было 14 больших пирамид. Задача 2. Старинная задача (Китай). В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов. Решение. Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? 35*2 = 70 (ног). Но в условии даны 94 ноги. Где же остальные? Остальные не посчитаны — это передние лапки кроликов. Сколько их? 94 — 70 = 24 (лапки). Сколько же кроликов? 24:2=12 (кроликов). А сколько фазанов? 35 — 12 = 23 (фазана). Ответ: 23 фазана, 12 кроликов. 5—г. в. Дорофеев, 5 кл. 612. В детском саду имеется 20 велосипедов — некоторые из них трехколесные, а некоторые двухколесные. У всех велосипедов вместе 55 колес. Сколько двухколесных велосипедов в детском саду? 613. В классе учатся мальчики и девочки, всего 30 человек. Вася посчитал, что если каждая девочка принесет по 3 кг макулатуры, а каждый мальчик — по 5 кг, то все учащиеся вместе соберут 122 кг макулатуры. Сколько в классе мальчиков? 614. На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на каждой полке. 615. В двух бочках было 40 ведер воды. Когда из первой бочки перелили во вторую в 3 раза больше ведер, чем в ней уже было, воды в бочках стало поровну. Сколько ведер воды было в каждой бочке первоначально? 616. а) Мама решила угостить детей конфетами. Она посчитала, что если дать детям по четыре конфеты, то три конфеты останутся лишними. А чтобы дать по пять конфет, двух конфет не хватит. Сколько было детей? б) Розы надо расставить в вазы. Если в вазы поставить по пять роз, то две розы останутся лишними. А чтобы поставить по шесть роз, четырех роз не хватит. Сколько было ваз? в) В класс принесли чистые тетради. Если выдать учащимся по две тетради, то девятнадцать тетрадей останутся лишними. Если выдать по три тетради, то шести тетрадей не хватит. Сколько было учащихся? Сколько было тетрадей? ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Четно или нечетно? Напомним, что натуральное число, которое делится на 2, называется четным^ а которое не делится на 2 — нечетным. Важно знать, что всякое нечетное число равно сумме четного числа и единицы. При решении задач используются следуюш;ие простые свойства сложения четных и нечетных чисел: сумма двух любых четных чисел — четное число; сумма двух любых нечетных чисел — четное число; сумма четного и нечетного чисел — нечетное число. Ясно, что сумма любого числа четных слагаемых — четное число. Например, сумма 2+ 4+ 6+ 8 + ... + 98 + 100 — четное число, так как все слагаемые в ней — четные числа. Рассмотрим сумму 1 + 3 + 5 + 7 + 9+11 + 13+15 + 17 + 19. Все слагаемые в ней — нечетные числа, а всего слагаемых 10. Слагаемые можно объединить в пары: 1 + 3, 5 + 7 и т. д. Каждая такая пара даст в сумме четное число, поэтому и вся сумма — четное число. Рассмотрим теперь сумму 1 + 3 + 5 + 7 + 9+11+13+15+17 + 19 + 21, в которую входит 11 слагаемых. Если объединять слагаемые в пары, то останется еще одно нечетное число. Поэтому вся сумма — нечетное число. Сумма, содержащая нечетные слагаемые, является четным числом, если число нечетных слагаемых четно. В противном случае такая сумма — число нечетное. 617. 618. Четным или нечетным числом является сумма 699 + 378 + 697 + 843 + 485 + 364 + 615 + 970? Четным или нечетным числом является сумма: а) всех чисел от 1 до 100; б) всех нечетных чисел от 1 до 90; в) всех нечетных чисел от 1 до 49? 619. Заполните пропуски так, чтобы получилось правильное утверждение: а) произведение двух четных чисел является ... числом; б) произведение двух нечетных чисел является ... числом; в) если хотя бы один множитель в произведении является четным числом, то произведение — ... число; г) если все множители в произведении ... числа, то и произведение — ... число. Каждое утверждение проиллюстрируйте примером. 620. Четным или нечетным числом будут сумма и произведение: а) простых однозначных чисел; б) двух последовательных натуральных чисел; в) пяти последовательных нечетных чисел? 5* 621. Что можно сказать о двух числах, если известно, что: а) их сумма четна; б) их произведение четно; в) их сумма и произведение четны; г) их сумма нечетна; д) их произведение нечетно; е) их сумма и произведение нечетны? 622. Какой знак («плюс» или «минус») стоит в выражении: а) 87-86 + 85-84-2 + 1 перед числом 35; б) 68-66 + 64-62 +...+ 4-2 перед числом 38? 623. В последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Каких чисел больше среди первых 12 чисел этой последовательности — четных или нечетных? Четным или нечетным является число, стоящее в последовательности под номером: а) 15; б) 96; в) 1000? да Задания для самопроверки (Обязательные результаты обучения) 1. Какие из чисел 2, 6, 12, 15, 24 являются делителями числа 84? 2. Выпишите все делители числа 40. 3. Представьте число 96 в виде произведения двух множителей, один из которых равен 8. 4. Укажите все общие делители чисел 24 и 18. 5. Какие из чисел 5, 6, 7, 9, 11, 15 являются простыми? 6. Разложите на простые множители число 30. 7. Какие из чисел 272, 312, 405, 512 делятся на: а) 3; б) 9? 8. Какие из чисел 115, 120, 142, 170, 186: а) делятся на 2 и не делятся на 10; б) делятся на 2 и на 5? 9. Запишите три числа, кратные 7. 10. Запишите три общих кратных чисел 8 и 12. 11. Найдите частное и остаток от деления 80 на 7. 12. Какие остатки могут получиться при делении некоторого числа на 5? Приведите пример числа, которое при делении на 5 дает в остатке 2. ГЛАВА 7 Треугольники и четырехугольники Треугольники и их виды Каким наименьшим числом можно заменить часть «много» в слове «многоугольник»? Очевидно, что числом 3. Поэтому самым простым многоугольником является треугольник. Но простой еш;е не значит неинтересный. Треугольники бывают разных видов. Если треугольник имеет две равные стороны, то его называют равнобедренным. Стороны такого треугольника имеют специальные названия: равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. Треугольник АВСу изображенный на рисунке 121, равнобедренный, его боковые стороны — АВ и ВСу а основание — АС. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним (рис. 122). боковые стороны Рис. 121 В прямоугольный треугольник тупоугольный треугольник остроугольный треугольник Рис. 123 Вид треугольника определяется не только числом равных сторон, но и величиной его углов. Посмотрите на рисунок 123. У первого треугольника один из углов прямой. Такой треугольник называют прямоугольным. У второго треугольника один из углов тупой. Это тупоугольный треугольник. У последнего треугольника все углы острые. Его так и называют — остроугольный. Может возникнуть вопрос: а почему мы не нарисовали треугольник, у которого два угла прямые, или треугольник, у которого один угол прямой, а другой тупой? Да потому, что таких треугольников не бывает. Чтобы убедиться в этом, попробуйте нарисовать треугольник с двумя прямыми углами. 624. Треугольник АВС (рис. 124) равнобедренный. Назовите его: а) основание; б) боковые стороны; в) углы при основании; г) угол, противолежащий основанию. 625. На рисунке 125 изображены различные треугольники. Какие из этих треугольников являются равнобедренными? Есть ли среди них равносторонние треугольники? Какие треугольники являются остроугольными? тупоугольными? прямоугольными? Укажите равнобедренный прямоугольный треугольник, равнобедренный тупоугольный треугольник, равнобедренный остроугольный треугольник. 626. Найдите на рисунке 126 равнобедренные треугольники и скопируйте их в тетрадь. Укажите боковые стороны и основание каждого треугольника. В Рис. 124 627. Начертите треугольник, длины сторон которого различны. Обозначьте его АВС. Назовите угол, противолежащий стороне ВС, стороне АВ. Назовите углы, прилежащие к стороне АС. Измерьте стороны и углы треугольника. 628. Определите вид треугольника, углы которого равны: а) 24°, 137°, 19°; б) 40°, 50°, 90°; в) 35°, 60°, 85°: г) 95°, 75°, 10°. 629. а) Начертите на нелинованной бумаге прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол, равны 3 см и 5 см. Обозначьте его. Измерьте сторону, противолежащую прямому углу. б) Начертите на нелинованной бумаге остроугольный треугольник и обозначьте его. Измерьте все его углы. в) Начертите на нелинованной бумаге тупоугольный треугольник и обозначьте его. Измерьте и запишите величину тупого угла и длину наибольшей стороны треугольника. 630. 1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный остроугольный треугольник. Для этого: • начертите какой-нибудь острый угол; • отложите на сторонах угла от его вершины равные отрезки: • соедините их концы. 2) Постройте: а) равнобедренный прямоугольный треугольник; б) равнобедренный тупоугольный треугольник. 631. Постройте равнобедренный треугольник, если: а) боковые стороны треугольника равны 4 см, а угол между ними 40°; б) боковые стороны равны 4 см 5 мм, а угол между ними 120°. 632. Постройте треугольник АВС, такой, чтобы угол А был равен 135°, сторона АВ имела длину 3 см, а сторона ВС — 1 см. Какая из сторон этого треугольника является наибольшей? 633. а) Проволоку длиной 15 см согнули так, что получился равносторонний треугольник. Чему равен периметр этого треугольника? Чему равна его сторона? б) Взяли проволоку длиной 17 см и из нее сделали треугольник, две стороны которого равны 5 см и 6 см. Что вы можете сказать об этом треугольнике? 634. Вычислите периметр равностороннего треугольника со стороной 8 см. 635. а) В равнобедренном треугольнике периметр равен 36 см, а основание равно 10 см. Найдите длину боковой стороны. б) В равнобедренном треугольнике периметр равен 21 см, а боковая сторона равна 6 см. Найдите длину основания. 636. 1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный треугольник АВС следующим образом: начертите отрезок АС — основание треугольника; проведите циркулем две равные окружности с центрами в точках А и С так, чтобы окружности пересекались; одну из точек пересечения обозначьте буквой В; проведите отрезки АВ и ВС. 2) Постройте равнобедренный треугольник, у которого: а) основание равно 5 см, а боковые стороны — 4 см; б) основание равно 6 см, а боковые стороны — 3 см 5 мм. 637. Сколько равносторонних треугольников вы можете найти на рисунке 127? 638. На клетчатой бумаге отмечены шесть точек (рис. 128). Сколько можно построить равнобедренных треугольников с вершинами в этих точках так, чтобы одной из вершин была точка А? Назовите точки, являющиеся вершинами прямоугольного треугольника. Сколько таких треугольников можно построить? 639. 1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный треугольник АВС, у которого АС — основание. Переведите его на кальку. Переверните кальку другой стороной и опять совместите треугольники. Какой вывод можно сделать об углах при основании равнобедренного треугольника? 2) У равностороннего треугольника все углы равны. Попробуйте объяснить, почему это так. I 1 А В С D Е К Рис. 128 прямоугольники Четырехугольники, как и треугольники, бывают самые разные (рис. 129). Среди них мы выделим один, хорошо вам известный — прямоугольник. I Прямоугольник — это такой четырехугольник, у которого I все углы прямые. Найдите прямоугольники на рисунке 129. У прямоугольника противоположные стороны равны, а две смежные (соседние) стороны могут быть различны. (Эти стороны прямоугольника иногда называют длиной и шириной.) Если у прямоугольника все стороны равны, то его называют квадратом. Таким образом, у квадрата все углы прямые и все стороны равны. Построим прямоугольник со сторонами, равными 2 см и 3 см. Для этого: • начертим прямой угол и обозначим его вершину буквой А (рис. 130, а); • от точки А отложим на одной стороне угла отрезок, равный 2 см, а на другой — 3 см (рис. 130, б); обозначим концы отрезков буквами В и D; • построим прямой угол с вершиной в точке В (рис. 130, в) и отложим на стороне угла отрезок ВС, равный 3 см; • соединим точки С и П отрезком (рис. 130, г). Чтобы найти периметр прямоугольника, можно сложить длины смежных сторон и умножить эту сумму на 2. б) В 2 см в) В 2 см 3 см D С 3 см 3 см D Рис. 129 Рис. 130 Найдем, например, периметр построенного прямоугольника: Р = (3 + 2)-2 = 10 (см). У прямоугольника, как и у любого четырехугольника, две диагонали (рис. 131). Они обладают двумя важными свойствами. I Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. D ОВ = ОС = ОА = OD Рис. 131 640. Постройте на листе нелинованной бумаги: а) прямоугольник со сторонами, равными 4 см 5 мм и 5 см 2 мм; б) квадрат со стороной 4 см 8 мм. 641. Начертите в тетради квадрат и проведите одну его диагональ. Что больше: диагональ квадрата или его сторона? Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата? Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата? 642. Какой длины надо взять кусок проволоки, чтобы сделать из него: а) квадрат со стороной 2 см; 6) прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см? Можно ли из куска проволоки длиной 15 см сделать квадрат со стороной 4 см? 643. Произведите необходимые измерения и найдите периметр прямоугольника (рис. 132). 644. Найдите периметр квадрата со стороной: а) 5 см; б) 7 см 5 мм; в) 10 см 3 мм. 645. Найдите периметр прямоугольника со сторонами 22 м и 14 м. 646. Задание с выбором ответа. Найдите периметр прямоугольника со сторонами, равными 3 м 45 см и 1 м 70 см. А. 4 м 15 см. Б. 5 м 15 см. В. 8 м 30 см. Г. 10 м 30 см. 647. а) Периметр прямоугольника равен 36 см, длина одной стороны 10 см. Найдите длину другой стороны. б) Периметр квадрата равен 36 см. Чему равна его сторона? 648. Разметили два земельных участка прямоугольной формы. Размеры одного 110 м и 190 м, а другого — 150 м и 140 м. У какого участка длина ограды будет больше? 649. Начертите в тетради какой-нибудь прямоугольник с периметром, равным 24 см. Укажите длины его сторон. Начертите еще один прямоугольник с таким же периметром, но с другими сторонами. Может ли среди таких прямоугольников быть квадрат? 650. Определите на глаз периметр вашей классной комнаты. Проведите необходимые измерения и проверьте, насколько вы были точны. 651. Пусть сторона клетки тетради изображает 1 м. Начертите прямоугольник, у которого длина равна 4 м, а ширина — 3 м. Изобразите прямоугольник с такими же размерами, если 1 м изображается двумя клетками. 652. Определите вид треугольников АВС, АВО, вое (рис. 133). 653. Сколько прямоугольников изображено на рисунке 134? 654. На рисунке 135 изображены различные четырехугольники. Назовите те из них, у которых диагонали: а) равны; б) в точке пересечения делятся пополам; в) пересекаются под прямым углом; г) равны и в точке пересечения делятся пополам; д) равны и пересекаются под прямым углом; е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом; ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Рис. 133 Рис. 134 прямоугольник квадрат трапеция параллелограмм ромб Рис. 135 Равенство фигур Нарисуем на листе бумаги какой-нибудь многоугольник, приложим к нему лист чистой бумаги и вырежем при помощи ножниц изображенный многоугольник. При этом мы получим два совершенно одинаковых — равных многоугольника. Две геометрические фигуры называют равными, если их можно совместить друг с другом, наложив одну на другую. На рисунке 136 вы видите три равных многоугольника. Обратите внимание на одну особенность: чтобы совместить синий многоугольник с желтым, можно просто передвигать его по листу бумаги. Но таким образом мы не сможем совместить красный многоугольник с синим: для этого нам придется его перевернуть. Для обозначения равных фигур в математике используется известный вам знак равенства =. Например, на рисунке 137 вы видите два равных треугольника: ААВС и AKMN. Знак А является общепринятым символом, обозначающим слово «треугольник ». В равных фигурах равны все соответственные элементы. Так, из того, что многоугольники ABCDE и KLMNP равны (рис. 138), следует, например, что AB = KL, BC = LM, Za = Z.K, AD = AN. Из равенства этих многоугольников можно сделать вывод также о равенстве отрезков BE и LP, углов ADB и KNL, треугольников АСЕ и КМР и т. д. Каким образом можно установить, что две фигуры являются равными? Неужели для этого всякий раз их надо накладывать друг на друга? В математике, как правило, равенство двух фигур устанавливается с помощью спе- В ААВС = АКМЬ Е циальных признаков равенства. Эти признаки указывают, равенство каких простейших элементов фигур — отрезков, углов и т. п. — обеспечивает равенство самих фигур. Например, если у окружностей равны радиусы, то равны и сами окружности. В этом и заключается основной признак равенства окружностей. Для равенства более сложных фигур, в частности многоугольников, требуется равенство большего числа их элементов. 655. Проверьте, используя кальку, что фигуры, изображенные на рисунке 139, равны. Укажите равные элементы этих фигур. 656. С помощью кальки найдите на рисунке 140 четырехугольник, равный четырехугольнику ABCD. 657. На рисунке 141 изображены равные треугольники. Назовите их равные стороны и равные углы. Запишите соответствующие равенства. 658. У двух многоугольников (рис. 142) есть равные элементы. Назовите их. Равны ли эти многоугольники? В_______________С а) В Е Рис. 142 659. Какие из равных фигур, изображенных на рисунке 143, можно совместить, перемещая их по листу бумаги? 660. а) Начертите в тетради треугольник, равный треугольнику АВС (рис. 144). б) Начертите в тетради треугольник, равный треугольнику АВС (рис. 145), но в другом положении. 661. 1) Начертите прямоугольник, обозначьте его и проведите одну диагональ. Диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника. Покажите на чертеже и назовите их равные стороны и равные углы. 2) Возьмите вырезанный из бумаги прямоугольник и разрежьте его по диагонали. Сложите из получившихся равных треугольников равнобедренный треугольник. 3) Равнобедренный треугольник АВС (рис. 146) ф разрезали по прямой ВО. Из получившихся равных прямоугольных треугольников сложили пря- ф моугольник. Нарисуйте прямоугольник. Какой стороне треугольника равна диагональ прямоугольника? 662. 1) Начертите в тетради круг и разделите его отрезком на две равные части. Как называется этот отрезок? Разделите круг на четыре равные части. 2) Как с помощью двух перегибаний можно найти центр круга? Рис. 143 663. продолжите предложение. а) Две окружности равны, если... б) Два квадрата равны, если... в) Два прямоугольника равны, если... 664. Опровергните утверждение, сделав чертеж. а) Два прямоугольника равны, если у них есть по одной равной стороне. б) Два треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника. 665. 1) Вырежите из бумаги четыре равносторонних треугольника, равные треугольнику, изображенному на рисунке 147. Сложите из них: а) треугольник; б) четырехугольник. 2) Вырежите из бумаги четыре равных квадрата со стороной 3 см 5 мм. Сложите из них: а) квадрат; б) прямоугольник. 3) Из имеющихся у вас четырех треугольников и четырех квадратов сложите многоугольник, как показано на рисунке 148. 666. а) Обведите четыре клетки тетрадного листа так, чтобы получился многоугольник. Сколько разных многоугольников таким способом можно нарисовать? б) Из двух равных «уголков» (рис. 149) можно составить разные фигуры. Зарисуйте их в тетради. Может ли среди этих фигур быть прямоугольник? Рис. 147 Рис. 148 Рис. 149 667. Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения. Перечислите все получившиеся треугольники. Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их. 668. Круг составлен из четырех равных элементов (рис. 150). Нарисуйте этот элемент в тетради. Рис. 150 669. Какой из кругов (рис. 151) составлен из двух равных частей? 670. Начертите круг и, проведя радиусы, разрежьте его: а) на 3 равные части; б) на 6 равных частей. Укажите величину угла между радиусами. 671. Возьмите квадрат и проведите его диагонали. Разрежьте квадрат по диагоналям. Какие фигуры вы получили? Равны ли они? Сложите из частей квадрата следующие фигуры и зарисуйте их: а) два квадрата: б) прямоугольник; в) треугольник; г) четырехугольник, не являющийся прямоугольником; д) шестиугольник. 672. Начертите в тетради прямоугольник и разрежьте его: а) на две равные части прямой линией; б) на четыре равные части двумя прямыми линиями. Предложите несколько разных способов. 673. Перенесите фигуру (рис. 152) в тетрадь. Покажите, как эту фигуру можно разрезать одной прямой на две равные части. Сколько способов вы можете предложить? Площадь прямоугольника Мы знаем два способа сравнения отрезков и углов. Два отрезка или угла можно сравнить наложением, а можно измерить их и сравнить получившиеся величины. Можно сравнивать и другие фигуры, например два круга или два квадрата. Попытаемся сравнить два прямоугольника, изображенные на рисунке 153. Понятно, что сравнить их наложением не удастся, так как ни один из них не помещается в другом. Но эти прямоугольники можно сравнить по площади. Вообще, по площади можно сравнивать любые фигуры, например круг с треугольником. Что же такое площадь фигуры? Как ее можно измерить или вычислить? Прежде всего нам нужно выбрать единицу изме- рения площади. Если у нас есть единица длины, то за единицу измерения площади удобно взять единичный квадрат — квадрат со стороной, равной единичному отрезку. Такой квадрат называют квадратной единицей. Так, метру (м) соответствует квадратный метр (м^), сантиметру (см) — квадратный сантиметр (см^). Если фигуру можно разбить на единичные квадраты, то площадь фигуры равна числу квадратных единиц, ее составляющих. Разобьем каждый из прямоугольников, изображенных на рисунке 153, на квадраты со стороной 1 см. Красный разобьется на 2-5 = 10 квадратов, а синий — на 3-4 = 12 квадратов. Поэтому эти прямоугольники имеют площади 10 см^ и 12 см^. Синий прямоугольник имеет большую площадь. Для измерения площади прямоугольника необязательно разбивать его на единичные квадраты — достаточно измерить стороны прямоугольника выбранной единицей длины и полученные значения перемножить. Произведение будет равно площади в соответствующих квадратных единицах. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Чтобы найти площадь квадрата, надо длину его стороны возвести в квадрат. А как найти площадь фигуры, которую нельзя разбить на прямоугольники, например цирковой арены? Во всех цирках мира арена — это круг с диаметром 13 м. На рисунке 154 изображена арена, покрытая квадратной сеткой со стороной квадрата, равной 1 м. Внутри арены умещается 112 квадратов, поэтому ее площадь больше 112 м^. Если добавить квадраты, частично выходящие за арену (их 36), то получим, что площадь арены меньше 148 м^. Чтобы вычислить площадь арены более точно, можно частично покрывающие арену квадраты разбить на более мелкие (например, на квадратные дециметры), подсчитать число этих квадратов внутри арены и добавить величину их площади к 112 м^. Получим число, которое по-прежнему меньше площади арены, но выражает ее точнее. Затем мы получим число, которое больше площади. Продолжая далее, будем находить площадь арены все точнее. 674. 675. Определите площади фигур, изображенных на рисунке 155. Вырежьте из листа бумаги в клетку 8 одинаковых квадратов со стороной, равной 4 клеткам. а) Сложите из этих квадратов какой-нибудь многоугольник. Чему равна его площадь, если один квадрат принять за квадратную единицу? б) Сложите прямоугольник, площадь которого была бы равна 8 кв. ед. Сколько таких прямоугольников можно сложить? Каковы длины сторон каждого из этих прямоугольников? Спределите площадь каждого прямоугольника, изображенного на рисунке 156. 677. Найдите площадь прямоугольника со сторонами, равными: а) 6 см и 7 см; б) 10 мм и 8 мм; в) 25 м и 30 м. а) 676. 1 2 1 СМ г) □ 1 кв.ед Ф ф (В 0 (Б) Рис. 155 Рис. 156 678. 679. 680. 681. 682. 683. 684. 685. Задание с выбором ответа. Найдите площадь прямоугольника со сторонами, равными 1 м и 40 см. А. 40 м^. Б. 280 см^. В. 400 cм^. Г. 4000 см^. Найдите площадь квадрата со стороной: а) 12 см; б) 15 дм; в) 25 м; г) 9 м. Размеры одного прямоугольного садового участка 22 м и 30 м, а другого участка — 32 м и 20 м. Какой из них больше? Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 25 см, а про другую известно, что она: а) на 7 см меньше; б) на 12 см больше; в) в 2 раза больше; г) в 5 раз меньше. Задание с выбором ответа. Площадь прямоугольника равна 36 cм^. Какая из данных пар значений длин сторон не подходит для этого прямоугольника? А. 4 см и 9 см. Б. 2 см и 13 см. В. 6 см и 6 см. Г. 1 см и 36 см? Площадь прямоугольника равна 600 м^, а одна из сторон: а) 30 м; б) 60 м; в) 120 м. Чему равна другая его сторона? Квадрат, изображенный на рисунке 157, разбит на квадраты со сто- роной 1 см. Найдите площадь закрашенной части квадрата. Какова площадь его незакрашенной части? Начертите в тетради прямоугольник, который имеет такую же площадь, что и закрашенная часть квадрата. Многоугольники на рисунке 158 разбиты на два прямоугольника. Вычислите площадь каждого многоугольника. Перенесите один из них в тетрадь и покажите, как еще можно разбить этот многоугольник на прямоугольники. 1 см 1 см б) 1 1 1 1 - Рис. 157 в) 686. Перенесите многоугольник, изображенный на рисунке 159, в тетрадь. Вычислите площадь многоугольника, разбив его на прямоугольники. Рис. 159 1 см J_____^___L 688. 689. 690. 691 692. 693. 687. Сторона большого квадрата равна 7 см (рис. 160). Найдите площадь каждой его части. Площадь квадрата равна 64 cм^. Чему равна его сторона? 1) Площадь прямоугольника равна 18 см^. Какими могут быть длины его сторон? Назовите три варианта. Найдите периметр каждого из трех названных прямоугольников. 2) Площади прямоугольников равны 36 см^. Какими могут быть их периметры? Рассмотрите все возможные варианты. 3) Какой из прямоугольников, имеющих площадь 36 см^, имеет наименьший периметр? 4) Нужно огородить участок прямоугольной формы площадью 900 м^. Какими должны быть длины его сторон, чтобы длина забора оказалась наименьшей? 2 см а) Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон уменьшить в 3 раза? б) Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить вдвое? а) Периметр прямоугольника равен 30 см, одна из его сторон в 4 раза больше другой. Найдите площадь этого прямоугольника. б) Периметр прямоугольника равен 28 см, одна из его сторон на 2 см больше другой. Найдите площадь этого прямоугольника. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь 15 cм^. Найдите длины сторон этого прямоугольника. Закрашенная часть квадрата тоже квадрат (рис. 161). Найдите его площадь. Начертите квадрат, площадь которого равна 8 кв. ед. Рис. 160 Единицы площади Для измерения площадей применяют различные единицы. Какую именно единицу выбрать, зависит от того, что надо измерить. Например, жилую площадь измеряют в квадратных метрах, а территорию страны — в квадратных километрах. 1 км^=1000 000 м^ 1 дм^=100 см^ 1 м^=100 дм^ 1 см^=100 мм^ Для измерения земельных участков применяются также такие единицы площади, как ар и гектар (их записывают: а и га). 1 а=100 м^ 1 га=100 а=10 000 м^ Поэтому если сторона квадрата 10 м, то его площадь 1 а; если сторона квадрата 100 м, то его площадь 1 га. Единица, равная гектару, применяется для измерения площадей больших участков, например поля или лесного массива. Слово «ар» в настоящее время в России практически не используется: вместо слова «ар» говорят «сотка» (попробуйте объяснить значение этого слова). 694. Какую сторону имеет квадрат площадью: а) 1 см^; б) 1 дм^; в) 1 м^; г) 1 а; д) 1 га? Начертите: а) в тетради 1 см^, 1 дм^: б) на доске 1 м^. Расположите в порядке возрастания площади: 1 cм^, 1 м^, 1 мм^, 1 км^, 1 дм^, 1 а, 1 га. Во сколько раз каждая последующая единица больше предыдущей? 697. а) Сколько квадратных сантиметров в 1 м^, 4 м^? б) Сколько квадратных метров в 1 км^, 3 км^? 698. Выразите: а) в квадратных сантиметрах: 7 дм^, 12 дм^, 400 мм^, 1 дм^ 35 см^; б) в квадратных метрах: 1 км^, 300 дм^, 5 а. 699. У прямоугольного участка земли ширина 25 м, а длина 60 м. Какова площадь участка? Ответ выразите в сотках. 700. Поле имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 380 м. Какова площадь поля? Ответ выразите в гектарах. 701. Длина прямоугольного участка земли равна 420 м, а ширина на 100 м меньше. Чему равна площадь этого участка? Ответ выразите в сотках. 702. Найдите площадь прямоугольника, у которого стороны равны 2 м и 1 м 50 см. 703. Площадь садового участка прямоугольной формы равна 6 а. Могут ли длины сторон этого участка принимать значения: а) 300 м и 300 м; б) 10 м и 60 м; в) 60 м и 60 м; г) 20 м и 30 м? 704. 1) Проведите необходимые измерения и найдите площадь тетрадного листа, крышки стола, классной доски, классной комнаты, спортивной площадки. 2) Скольким квадратным метрам приближенно равна площадь классной доски? Что больше: площадь классной комнаты или 1 сотка, площадь спортивной площадки или 1 гектар? 705. Какие измерения надо провести, чтобы определить, какую примерно площадь занимает здание вашей школы: а) без пришкольного участка; б) вместе с пришкольным участком? Сравните эти площади с 1 соткой и 1 гектаром. 706. Под дачные участки выделили 15 га земли. Сколько участков можно разместить на этой площади, если площадь одного участка равна 6 а? 707. Колония птиц может занимать площадь, равную 10 га. На 1 м^ там приходится по 3 гнезда. Сколько всего гнезд в такой колонии? 708. На рисунке 162 изображен план дачного участка. Какую площадь занимают дом, сад, цветник, огород? 709. а) Пусть клетка изображает участок площадью 50 м^. Изобразите прямоугольный участок площадью 9 а. б) Пусть квадрат со стороной 1 мм изображает 1 м^. Какую площадь изображает квадрат со стороной 1 см, 1 дм? Каковы размеры квадрата, изображающего 1 км^? 710. Задание с выбором ответа. Прямоугольный участок земли шириной 80 м занимает площадь, равную 1 га. От него отрезали участок площадью 56 соток (рис. 163). Каков периметр оставшегося участка? А. 410 м. Б. 270 м. В. 300 м. Г. 135 м. 711. На квадратном участке площадью 4 а высаживают яблони. Под каждую яблоню отводится круглый участок радиусом 2 м. Сколько яблонь можно высадить на этом участке, если яблони высаживать одинаковыми рядами вдоль сторон участка? Сделайте от руки рисунок, считая сторону одной клеточки за 2 м. Лист обычной бумаги в клеточку очень удобен для занятий геометрией. Многие построения на таком листе можно сделать проще, чем на листе нелинованной бумаги, и при этом обойтись лишь одной линейкой, причем даже не пользуясь ее шкалой. Задача 1. На клетчатой бумаге проведен отрезок АВ и отмечена точка С (рис. 164). Не пользуясь делениями линейки, постройте отрезок, равный АВ, один из концов которого — в точке С, а другой — в узле сетки. —(лЕ) Отрезок АВ является диагональю прямоугольника, выделенного на рисунке 165. Мы можем «поместить» этот прямоугольник в любое место листа. Очевидно, что при этом в прямоугольнике ничего не изменится. На рисунке 165 построены два отрезка, равные отрезку АВ: это отрезки CD и СО. Продолжите построение отрезков, равных АВ, одним из концов которых является точка С. Попробуйте найти все такие отрезки (их должно быть восемь). Задача 2. Отрезки CD и СО на рисунке 165 образуют прямой угол. Объясните почему. Это легко понять, рассмотрев рисунок 166. Если мы повернем верхний прямоугольник вокруг точки С на 90° (рис. 166, а), то при этом повороте отрезок CD также повернется на 90° и перейдет в отрезок СО. Значит, угол DCO прямой. Это можно объяснить и иначе. Из рисунка 166, б понятно, что Zl)CO=Zl+Z.2. Но если вы посмотрите на исходный прямоугольник, то увидите, что эта сумма равна 90°. 712. 1) Проведен отрезок АВ и отмечена точка О (рис. 167). Не пользуясь делениями линейки, постройте какой-нибудь отрезок, равный АВ, один конец которого расположен в точке О, а другой — в узле сетки. 2) Найдите все такие отрезки. 713. Постройте отрезок АС так, чтобы ABAC был прямым (рис. 168). Рис. 168 714. Отрезок АВ (рис. 169) — сторона квадрата. Постройте этот квадрат. 715. Луч ВС (рис. 170) —сторона угла. Постройте угол АВС, равный 45°. (Указание. Сначала постройте квадрат со стороной ВС.) 716. Отрезок АВ (рис. 171) — боковая сторона равнобедренного треугольника. Перенесите рисунок в тетрадь и постройте какой-нибудь равнобедренный треугольник со стороной АВ, вершины которого лежат в узлах квадратной сетки. Сколько таких треугольников можно построить? 717. Постройте какие-нибудь точки С и О так, чтобы у четырехугольника АВСО были равны все четыре стороны (см. рис. 171). 718. Отрезок АВ — диагональ квадрата ACBD (см. рис. 171). Постройте этот квадрат. 719. Найдите середину отрезка АВ (рис. 172). Рис. 170 Дроби 1 1 2^ 1 ТО Доли У брата и сестры одно яблоко, поэтому они разрезали его на две равные части (рис. 173). Каждая из образовавшихся долей яблока составляет его половину^ или одну вторую часть. Если яблоко разделить на три равные части, на четыре или на пять равных частей, то получатся доли, которые называют так: одна треть, одна четверть, одна пятая (рис. 174). При делении целого на десять равных частей получаются десятые доли, при делении на двадцать равных частей — двадцатые доли, при делении на сто равных частей — сотые доли. Чем больше число частей, тем меньше получаемые доли. Так, одна треть меньше половины, одна четверть меньше одной трети, одна пятая меньше одной четверти и т. д. Рис. 173 Рис. 174 Круг разделили на шесть равных частей (рис. 175). Каждая из этих частей составляет одну шестую круга. Пять частей из шести закрашены. Говорят, что закрашено пять шестых круга. Рис. 175 720. Квадрат разделили на равные части. Какую долю целого квадрата составляет каждая из них (рис. 176)? а) б) 721. Определите по рисунку 177, сколько четвертых долей фигуры закрашено. а) в) Рис. 177 722. а) Как называются доли, получаемые при делении целого на 3, 5, 6, 8 равных частей? б) На сколько равных частей разделили целое, если в результате получились четвертые доли, седьмые доли, десятые доли, двенадцатые доли? 723. 1) Начертите круг. Разделите его на две равные части. Какую долю круга составляет каждая часть? 2) Каждую часть разделите еще раз пополам. Какую долю круга составляет каждая из получившихся частей? 3) Разделите еще раз каждую часть пополам. Какую долю круга составляет каждая из получившихся частей? 724. Воспользовавшись рисунком упражнения 723, ответьте на вопросы. а) Сколько вторых, четвертых, восьмых, шестнадцатых долей содержится в целом? б) Сколько четвертых, восьмых, шестнадцатых долей содержится в половине? в) Сколько восьмых, шестнадцатых долей содержится в четверти? 725. Сколько сантиметров содержится: а) в половине метра; б) в четверти метра; в) в одной пятой метра; г) в трех пятых метра? 726. Сколько граммов содержится: а) в половине килограмма; б) в четверти килограмма; в) в одной сотой килограмма; г) в восемнадцати сотых килограмма? 727. а) Сколько минут содержится в половине часа, в трети часа, в четверти часа? б) Используя слова «половина», «четверть», прочитайте, который час (рис. 178). Рис. 178 728. а) Туристы проехали на автобусе 48 км, а потом прошли пешком половину того расстояния, что проехали на автобусе. Какое расстояние преодолели туристы? б) В тетради 24 страницы, четверть всех страниц исписана. Сколько в тетради чистых страниц? 729. У Алеши — 80 марок, у Бори — на 20 марок больше, чем у Алеши, а у Вовы — третья часть числа всех марок Алеши и Бори. Сколько марок у Вовы? 730. а) Мальчик прочитал треть книги, что составило 20 страниц. Сколько страниц в книге? б) Туристы прошли 12 км. Это составило пятую часть всего пути. Какова длина всего маршрута? 732. 733. ^-------------------------------------------- . а) Сколько сантиметров в дециметре? Какую часть деци- метра составляет 1 см, 3 см? б) Сколько миллиметров в сантиметре? Какую часть сантиметра составляет 1 мм, 4 мм, 7 мм? а) Сколько килограммов в центнере? Какую часть центнера составляет 1 кг, 23 кг, 50 кг? б) Сколько килограммов в тонне? Какую часть тонны составляет 1 кг, 100 кг, 500 кг? в) Сколько граммов в килограмме? Какую часть килограмма составляет 1 г, 133 г, 250 г? Читая книги Ж. Верна, вы не раз встречались с длинами, выраженными в милях. Вот выдержка из книги «Таинственный остров»: «Расстояние между двумя крайними точками, на которые опиралась бухта, составляло около восьми миль, В полумиле от берега был расположен островок, поперечник его в самом широком месте не превышал четверти мили». Выразите данные величины в метрах, если 1 миля-1609 м. а) В книге 60 страниц. Девочка прочитала в первый день половину всех страниц, а во второй — треть оставшихся. Сколько страниц ей осталось прочитать? б) В книге 60 страниц. За два дня девочка прочитала половину всех страниц. Сколько страниц прочитала девочка во второй день, если в первый день она прочитала треть всех страниц? После похода за грибами выяснилось, что из 36 грибов половину нашел папа, третью часть остатка — мама, остальные — сын. Сколько грибов нашел сын? Половина всего класса участвовала в конкурсе чтецов. Треть из них стала победителями. Сколько учащихся в классе, если победителей было 5? 734. 735. 736. Что такое дробь Прямоугольник, изображенный на рисунке 179, разделен на три равные части, и две третьих этого прямоугольника закрашено. Для обозначения такой части используют специальную «двухэтажную» запись: Такую запись называют дробью. Число внизу, под чертой, показывает, на сколько равных частей делили. Его называют знаменателем дроби. Число вверху, над чертой, показывает, сколько таких частей взяли. Его называют числителем дроби. 2‘ 3 \ ^ числитель —&ро6ь 1 ^ знаменатель' . Такие записи, как тоже дроби. Нетрудно понять их «историю». В первом случае предмет разделили на 7 равных частей и взяли 3 части, во втором предмет разделили на 9 равных частей и взяли 4 части, в третьем разделили на 12 равных частей и 8 из них взяли. Вернемся к прямоугольнику, изображенному на рисун- 3 ке 179. Если взять все три его части, то получим прямоугольника. Но это весь прямоугольник целиком, т. е. дробь соответствует целому прямоуголь- Рис. 179 Рис. 180 нику. На рисунке 180 два одинаковых прямоугольника разделены на три равные части. Если взять один прямоугольник целиком и еш;е две части от другого прямоугольника, то 5 2 получится прямоугольника. У дроби числитель меньше знаменателя, у дроби -|- числитель равен знаменателю, у дроби числитель больше знаменателя. Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной. Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной. 31 8 ' 20 ' 32 - правильные дроби ! ! 10 \25\ 6 1 ' Q - неправильные дробр, Дроби можно изображать точками на координатной прямой. 3 Чтобы изобразить, например, дробь нужно разделить единичный отрезок на пять равных частей и отсчитать три такие части (рис. 181). 3 . , , 5 , , О Рис. 181 7 Изобразим теперь на координатной прямой дробь у. Для этого опять разделим единичный отрезок на пять равных частей и отложим семь раз одну такую часть вправо от начальной точки (рис. 182). О Рис. 182 Обратите внимание: дроби -г соответствует точка, располо- 7_ 5 женная левее точки с координатой 1, а дроби — точка, рас 5 положенная правее ее. Так получилось потому, что — единич- ного отрезка меньше, чем этот отрезок, а единичного отрезка больше этого отрезка. 5 Дробь -g- изображается той же точкой, что и число 1 (рис. 183). Рис. 183 737. Прочитайте запись. Назовите знаменатель и числитель дроби и объясните, что они показывают: ,1 ,3 а) ~2 пирога: в) ленты; 1 3 б) у яблока; г) -у расстояния. 738. Запишите указанную долю с помощью дроби: а) одна вторая; в) две третьих; б) одна пятая; г) три четверти. 739. Определите, на сколько равных частей разделен квадрат и какая его часть закрашена (рис. 184). Запишите соответствующую дробь, назовите ее числитель и знаменатель. Какая часть квадрата осталась незакрашенной? 740. Начертите отрезок длиной 18 клеточек. Начертите отрезки, равные 3 14 12 IF’ F’ ¥■ F’ F данного отрезка. 741. Используя разные геометрические фигуры, изобразите дробь: а) 4-; б) 3-; в) г) 3-; д) у; е) -g. 742. Запишите ответ в виде дроби. а) Конфеты разложили поровну в 8 коробок. Какую часть конфет положили в 1 коробку, в 3 коробки, в 7 коробок? б) Бассейн наполняется водой за 7 ч. Какая часть бассейна наполнится за 1 ч, за 2 ч, за 4 ч? в) Комбайн убрал поле за 12 дней. Какая часть поля была убрана за 1 день, за 5 дней, за 7 дней? а) б) в) г) д) е) ж) з) Рис. 184 743. Запишите ответ в виде дроби. а) Какую часть часа составляет 1 мин, 17 мин, 43 мин? б) Какую часть километра составляет 1 м, 89 м, 207 м? в) Какую часть центнера составляет 1 кг, 3 кг, 99 кг? 744. Запишите ответ в виде дроби. а) На столе лежат 8 мячей; 3 из них синие, остальные красные. Какую часть всех мячей составляют синие мячи? красные мячи? б) У светофора остановились 10 автомашин; 2 из них грузовые, 5 легковые, остальные автобусы. Какую часть всех автомашин составляют грузовые автомашины? легковые автомашины? автобусы? в) В коробке 13 карандашей; 4 из них красные, 3 коричневые, остальные зеленые. Какую часть всех карандашей составляют зеленые карандаши? зеленые и коричневые карандаши? 745. Запишите каждую из дробей 1 274428992544 10 2’ 7’ 2’ 8’ 3’ 3’ 9’ 9’ 8’ 5’ 4’ 5’ 4’ 9 В соответствующую строку таблицы. Правильные дроби Неправильные дроби 746. Запишите: а) три правильные дроби со знаменателем, равным 6; б) три неправильные дроби со знаменателем, равным 6. 747. Начертите отрезок длиной 6 клеточек. Начертите отрезки, равные 7 8 3 5 -g, -Q, у, у этого отрезка. 748. Отрезок на рисунке 185 изображает 1 км. Начертите отрезки, соот- 2 7 2 5 ветствующие у км, у км, у км, у км. 1 j 1 —1 ^ ^ i i ! 1 1km ' !_ —h— I ; 1 . 1 1 —1— 1 1 1 i ! r Рис. 185 749. Назовите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 186). В D Рис. 186 6—г. в. Дорофеев, 5 кл. 750. Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 9 см. Отметьте точки с координатами 1 2 5 7 9 11 13 9>9’9’9’9’ 9’ 9' а) Какая из этих точек расположена дальше других от О, а какая ближе всего к О? б) Какие точки расположены левее 1, а какие — правее 1? 751. На координатной прямой отметьте дроби: J_2_3_£^J67__8 6’ 6’ 6’ 6’ 6’ 6’ 6’ 6‘ (Возьмите единичный отрезок, равный 12 клеткам.) 752. На координатной прямой отметьте дроби: 1 24234578 3’ 3’ 3’ 5’ 5’ 5’ 5’ 5’ 5‘ (Возьмите единичный отрезок, равный 15 клеткам.) 753. Полный бак вмещает 40 л воды. Рассмотрите указатель наполнения бака и определите, сколько в нем воды (рис. 187). а) 754. всех 755. 756. а) На книжной полке 32 книги, книг — словари. Сколько словарей на книжной полке? б) Расстояние между двумя городами равно 200 км. Автобус до первой остановки 2 проехал этого расстояния. Сколько километров проехал автобус до первой остановки? а) Спектакль длится 2 ч 40 мин. Антракты составляют этого времени. Какова продолжительность антрактов? б) Телепередача длится 1 ч 30 мин. На рек- 2 ламу отводится этого времени. Сколько минут отводится на рекламу? а) Для школьного праздника решили приготовить 24 подарка, а приготовили этого количества. Сколько подарков приготовили для школьного праздника? б) Таня распространила 30 газет, а ее брат — этого количества. Сколько газет распространил брат Тани? 757. Сколько килограммов содержится: а) в -г т; б) в ^ т; в в 758. Сколько минут содержится: а) в ч; б) в ^ ч; в в 10 11 10 т; ч; в 1 т? г) в ^ ч; V 12 о Д) в ч? 759. Сколько сантиметров содержится: а) в М] б) в м; в) в г) в 11 50 J_ 10 дм; Д) в е) в дм; дм? 1 760. а) За 1 час туристы прошли всего пути. За сколько часов они пройдут весь путь, если будут идти с той же скоростью? б) Площадь кухни 6 м^. Это площади всей квартиры. Какова площадь квартиры? в) В банку насыпали 140 г крупы, и это составило у ее вместимости. Сколько граммов такой крупы вмещает банка? 761. а) На рисунке 188 показан отрезок, соответствующий V У 1 п - 2 3 ^ у м. Построите отрезки, соответствующие у м, у м, . 7 1 М, у М. 2 б) На рисунке 189 показан отрезок, соответствующий ч. Постройте 1.48 отрезки, соответствующие у ч, 1 ч, у ч, у ч. в) На рисунке 190 показан отрезок, соответствующий у км. Постройте отрезок, соответствующий 1 км. 762. а) Будильник показывает 7 ч утра. Какая часть суток прошла? Какую часть суток составляет оставшееся до конца суток время? б) Будильник показывает 12 ч дня. Какая часть суток прошла? Какую часть суток составляет оставшееся до конца суток время? 1 ^ и Рис. 188 Рис. 189 1 ' 1 1 ^ 1 ^ ^ 1 Рис. 190 6* 763. а) В магазин привезли 200 лампочек, 5 из них оказались неисправными. Какую часть всех лампочек составляют исправные? б) В книжном шкафу 300 книг, 78 из них — учебники, 22 — словари, остальные — художественная литература. Какую часть всех книг составляет художественная литература? 764. Маша исписала 9 страниц, и в тетради осталось еще 15 чистых страниц. а) Какую часть всех страниц составляют исписанные страницы? б) Какую часть всех страниц составляют чистые страницы? 765. Какие числа можно подставить вместо буквы k, чтобы: а) дробь у была правильной; б) дробь у была неправильной? 766. Подставьте в дробь у вместо букв а \л Ь всеми возможными способами числа от 1 до 6 так, чтобы полученные дроби были правильными. 13 5 767. Начертите координатную прямую и отметьте на ней дроби -т, 5 12 9 12 16 12 • 768. 769. 770. Какие из точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 191), изображают правильные дроби? неправильные дроби? На координатной прямой точками отмечены числа у. у. у и у (рис. 192). Установите соответствие между указанными точками и числами. а) В парке посадили 60 берез и рябин. Березы составили всех посаженных деревьев. Сколько посадили рябин? 2 б) Из 30 дней июня у были дождливыми, а остальные ми. Сколько солнечных дней было в июне? солнечны- 771. а) Площадь кухни 10 м^. Она составляет общей площади квартиры. Какова площадь квартиры? б) За 3 ч маляры выполнили у всей работы. За сколько часов они выполнят всю работу? В D DB Рис. 191 Рис. 192 772. а) В пакете лежали орехи. Когда высыпали половину содержимого пакета, то в пакете осталось 18 орехов. Сколько орехов было в пакете первоначально? б) Автобус прошел четверть всего маршрута и сделал остановку. После остановки до конца маршрута он прошел 24 км. Какова длина всего маршрута? в) Когда Катя отдала сестре треть всех своих кубиков, у нее осталось 12 кубиков. Сколько кубиков было у Кати первоначально? г) Когда Катя прошла половину дороги от дома до школы, ее догнала Оля. Когда девочки прошли четверть оставшегося до школы пути, их догнала Вера. Вместе им осталось пройти до школы еще 150 м. На каком расстоянии от школы расположен дом Кати? 773. а) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и еще одну книгу, то осталось 2 книги. Сколько книг лежало на столе? б) Когда Петя отдал брату половину всех значков и еще 3 значка, у него осталось 19 значков. Сколько значков было у Пети первоначально? в) Когда использовали третью часть всей воды, имевшейся в ведре, и еще 5 ковшей, в ведре осталось 7 ковшей воды. Сколько ковшей воды было в ведре первоначально? Основное свойство дроби Разделим круг на 3 равные части и 2 из них закрасим (рис. 193). Закрашенная часть соста-2 вит Y круга. Если теперь каждую треть круга разделить на 2 равные части, то получится, что круг разделен на 6 равных частей и 4 из них закрашены (рис. 194). Значит, теперь закрашено -g круга. В обоих случаях была закрашена одна и та- 2 4 же часть круга, а значит, дроби у и выражают одну и ту же величину. Такие дроби называют равными. Таким образом, 3 6 * Если бы мы разделили каждую треть круга не на 2, а на 3 равные части, то закрашен- g нал часть составила бы круга (рис. 195). По- 2 6 этому дроби и также равны: 3 9 • Если и дальше делить каждую треть круга на одинаковые доли, то будем получать новые дроби, равные -|-. Так, если разделить каждую треть круга на 4 равные части, то всего в круге будет 3*4=12 частей. А закрашенными из них окажутся 2*4 = 8 частей. Значит, за- крашенная часть круга выразится дробью 8 . 12 • 8 12 • Равенства, которые мы записали, показывают, что дроби 4 6 8 "б"’ ~12 ^ МОЖНО получить, если числитель и знамена- тель дроби умножить на одно и то же число — на 2, на 3, на 4 и т. д.: 2*2 3-2 2-3 2-4 8 3-3 3-4 12 И наоборот, каждую из дробей 2 ® S 8 Т’ 1l2 ^ образовать в дробь если разделить числитель и знаменатель на их обпдий делитель: 2-2 3*2 3 ’ 2-3 3*3 2^ 3 ’ 8 12 2*4 3*4 И вообпде если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Это утверждение называют основным свойством дроби. с помощью букв основное свойство дроби можно записать так: а • с Ь • с , где с^О. Основное свойство позволяет преобразовать дробь, заменяя ее другой дробью, равной исходной. 4 Пример 1. Заменим дробь равной дробью со знаменателем 100. Так как 100:5 = 20, то числитель и зна- 4 менатель дроби нужно умножить на 20: 4-20 80 5-20 100* Говорят, что дробь привели к новому 1 1 1 ОС 5 ^20 120 80 5 ipc ) J_ знаменателю. Число 20, на которое умножили числитель и знаменатель дроби, называют дополнительным множителем. Запись решения при приведении дроби к новому знаменателю можно вести так, как показано на рисунке. Понятно, что дробь можно привести и к другому знаменателю — к любому, кратному 5: .^2 „ L 3 _ 8 10 12 15 16 20 42 Пример 2. Возьмем дробь Ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, равный 6. Поэтому эту дробь можно заменить более простой: 42 60 7*6 10-6 7 10 * 42 ' \7 7 \ " 6^ а 1 0 и 0 — —i— Говорят, ЧТО дробь сократили. Чтобы сократить дробь, ее числитель и знаменатель нужно разделить на их общий делитель. Запись при сокращении дроби удобно вести так, как показано на рисунке. Пример 3. Сократим дробь Это преобразование можно выполнять последовательно: сначала сократить данную дробь на 10, а затем получившуюся дробь сократить на 3. Решение можно записать так: 120 _ 4 510 "Й" 17* 17 Однако если увидеть, что наибольший общий делитель чисел 120 и 510 равен 30, то результат можно получить сразу, без промежуточных вычислений. Не всякую дробь можно сократить. Например, дробь сократить нельзя, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. Такую дробь называют несократимой. 774. Начертите прямоугольник со сторонами 4 клетки и 6 клеток. Разделите его на четыре равные части и закрасьте 3 прямоугольника. С помощью этого рисунка покажите, 775. что 4 24- Начертите прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см. Разделите его на три равные части. а) На сколько равных частей надо разделить каждую третью часть, чтобы получить девятые доли? Сколько девятых долей в у? б) На сколько равных частей надо разделить каждую девятую часть, чтобы получить восемнадцатые доли? Сколько восемнадцатых долей в 776. Объясните, почему верно равенство: Ч 1 _ 14 5 70 лч 2 _ 4 . б) 7 14. , 6 60 У= ТО’ г) 777. Закончите запись: а) • ct; 3 3.4 .... , 3 3-10 в) Т=ТУо 11 40 55 • ч 1-1-7 ■^^6 6-7 б) = 7 7-2 ч 2 _ 2-8 ''^5 5-8 , 3 3 е) ^ = 100 2-100 778. Восстановите запись: 779. ___ . 1__ ___________ 3 ft 1я ял’ Л 10 48 96' 25 3 6 18 36 Восстановите запись: , 1 2 3 4 5 6 а) 3=-=-=-=-=-; (Г. __. 4 12 20 60’ 780. Приведите дробь: 3 а) J к знаменателю 8, 20, 100, 1000; 2 б) у К знаменателю 14, 21, 35, 140; 5 в) g- к знаменателю 16, 32, 56, 1000. 781. Приведите дроби: к знаменателю 100; 13 СП jQ к знаменателю 60; к знаменателю 24; к знаменателю 45. 782. Какие из данных дробей можно привести к знаменателю 36: 5 10 15 25 75 100’ '"'6 12' 50 36 66- 3 5 6 31 2’ 4’ 5’ 25 2 5 7 5’ 12 ’ 15’ : 1 7 3 17 4’ 6’ 8’ 12 2 7 4 16 3’ 5’ 9’ ■ 15 Рис. 196 7 7 7777777 12’ 11 ’ 10’ 9’ 8’ 7’ 6’ 5’ 4’ 3 1 19 2 • 783. 784. 785. 786. На рисунке 196 изображен прямоугольник. Перечертите его в тет- 0 радь и закрасьте прямоугольника. Дополните запись: а) • 61 —=—• в1 -1=— ^2 6’ ' 12 2’ 12 4- Объясните, почему верно равенство: а) 80 30 _ 6 . в 4 24 . 75 _ 3 100 25 1 8. 90 9’ Восстановите запись: ч 60 _______. р.. _________ 100 10 5’ 100 Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 10 клеткам, и отметьте на ней точки с координатами: 1 2 5 7 9 12 15 10’ 10’ 10’ 10’ 10’ 10’ 10‘ Отметьте на этой координатной прямой точку с координатой: а) i; б) 5’ \ 3 В) X 6 г) т- 787. 788. 789. Сократите дробь: V 5-3. р.. 8-15 . . 4-6 . V 12-3 7-3’ 11-15’ 4-19’ 10-12- Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведений, содержащих одинаковые множители, и сократите дробь: а) 4: б) > 6’ 20 Сократите дроби: а) X 8 10 = X 15, 10’ Д) 30 8 10 10 25 14 49 _9_ 15 15 14, 18' 8 12 12 24 18 20 8 30 О; 12’ 16’ 18’ 40’ 27’ 70’ 36’ 75' 790. Сократите дроби: 4 5 4 8 10 5 . 2 3 4 9 11 5 а) 12’ 15’ 20’ 16’ 40’ 50’ О) 4’ 9’ 16’ 45’ 66’ 35- 791. Сократите дроби: 18 5 16 30 9 2 б) 55 17 1? 24 15 10 а) 20’ 10’ 12’ 20’ 12’ 6’ 22’ 51 ’ 8 ’ 40’ 6 ’ 100 792. Выпишите несократимые дроби: 3 6 15 13 6 24 81 16 5’ 8’ 25’ 14’ 7’ 35’ 90’ 48' 793. а) Выпишите все правильные дроби со знаменателем 12. Сократите те из них, которые можно сократить. б) Выпишите все правильные дроби со знаменателем 20. Сократите те из них, которые можно сократить. 794. а) Какую часть метра составляет 1 см, 5 см, 20 см, 50 см, 75 см? б) Какую часть килограмма составляет 1 г, 200 г, 350 г, 600 г, 850 г? в) Какую часть сантиметра составляет 1 мм, 2 мм, 4 мм, 5 мм? г) Какую часть тонны составляет 1 кг, 10 кг, 300 кг, 500 кг, 650 кг? 795. а) Какую часть часа составляет 1 мин, 3 мин, 10 мин, 20 мин? б) Какую часть минуты составляет 1 с, 2 с, 15 с, 25 с, 42 с? 796. Выразите в метрах: 25 см, 30 см, 60 см, 85 см. 20 м=- м. 797. 798. Образец. 20 см= ... ^ а) Выразите в часах: 12 мин, 15 мин, 20 мин, 24 мин, 30 мин. б) Выразите в минутах: 4 с, 10 с, 20 с, 40 с, 45 с. а) В классе 30 учеников, 12 из них — девочки. Какую часть всех учащихся составляют девочки? Какую часть всех учащихся составляют мальчики? б) В школьном саду растет 20 яблонь и 12 слив. Какую часть всех деревьев составляют яблони? Какую часть всех деревьев составляют сливы? в) в коробке 6 красных, 18 синих и 16 зеленых карандашей. Какую часть всех карандашей составляют красные карандаши? Какую — синие и какую — зеленые? 799. а) Толя идет от дома до школы 18 мин. Какую часть пути проходит Толя за 6 мин, за 9 мин, за 12 мин, за 15 мин? б) Сережа за выполнение некоторой работы должен был получить 90 р. Какую часть работы выполнил Сережа, если он получил 30 р., 45 р., 60 р.? в) Таня держит корм для попугая в коробке. Полной коробки хватает на 30 дней. Какую часть коробки израсходует Таня за 5 дней, за 15 дней, за 24 дня? 800. Определите координату точки А (рис. 197). 801. Сократите дроби: . _20_ ^ _6^ 128. 118’ 444’ 102’ 28 ’ JI08 7^ 72 ’ 243’ 168’ 640- « 2808 1665 802. Используя признаки делимости, докажите, что дроби но сократить. Сократите данные дроби. а) в) , мож- б) г) Рис. 197 803. Сократите дроби: 7-3 10-9 804. 805. 3-14’ 30-9’ 10-11-9 12-14-16. 12-10-11’ 14-16-18’ Сократите дробь: в) г) 4-12 14-15 5-9 ’ 5-9 21-20’ 3-4-25 6-7-30’ 24-15 а) 2-3 -11 2^-3' 5-11 7, б) 2^ • 3^ - 5 - 7^* 2'-з'.75 а) На прямоугольном участке земли со сторонами 50 м и 35 м хотят разместить прямоугольный бассейн, имеющий длину 20 м и ширину 7 м. Какую часть площади всего участка займет бассейн? б) На прямоугольном участке земли со сторонами 20 м и 30 м заложили фундамент для дома. Размеры фундамента 12 м и 10 м. Какую часть площади всего участка займет дом? Приведение дробей к общему знаменателю При решении многих задач дроби, имеющие разные знаменатели, приходится заменять равными им дробями с одинаковыми знаменателями. В таких случаях говорят о приведении дробей к общему знаменателю. При этом, как правило, стараются подобрать наименьший общий знаменатель — тогда вычисления с дробями оказываются проще. 5 Пример 1. Приведем к общему знаменателю дроби и Больший знаменатель — число 24 — делится на меньший, поэтому его и можно взять в качестве общего знаменателя данных дробей. Понятно, что этот общий знаменатель — наименьший из всех возможных. Таким образом, нужно только привести дробь к знаменателю 24. Найдем дополнительный множитель: 24 : 8 = 3. Значит, 7 _ 7-3 _ 21 8 8-3 24 • 2 3 Пример 2. Приведем к общему знаменателю дроби и -g-. Общий знаменатель данных дробей должен делиться и на 3, и на 5, т. е. быть их общим кратным. Можно указать сколько угодно чисел, кратных 3 и 5: 15, 30, 45, 60 и т. д. Наименьшим из них является число 15 — произведение чисел 3 и 5. Поэтому приведем каждую из дробей к знаменателю 15: 2- 5 _ 10 3- 5 15’ 3-3 _ 9 5-3 15 и Вообще, в качестве общего знаменателя дробей всегда можно взять произведение их знаменателей. 7 Пример 3. Приведем к общему знаменателю дроби ^ _8_ 15* В качестве общего знаменателя возьмем произведение чисел 12 и 15, тогда дополнительные множители будут соответственно равны 15 и 12. Получим: 7 _ 7-15 _ 105 8 _ 8-12 _ 96 12 “ 12-15 “ 180’ 15 15-12 180* Однако в данном случае найденный общий знаменатель не является наименьшим. ^ g В самом деле, приведем дроби и yg- к общему знаменателю еще раз, воспользовавшись другим приемом. Будем последовательно перебирать числа, кратные 15 — большему знаменателю, и проверять, делятся ли они на 12. Число 30 на 12 не делится, число 45 тоже не делится, а число 60 делится. Значит, его можно взять в качестве общего знаменателя дробей. Этот общий знаменатель — наименьший. Чтобы привести дроби к знаменателю, равному 60, найдем дополнительные множители: 60:12 = 5, 60:15 = 4. Таким образом, 7 _ 12 12-5 7-5 35 8 8-4 32 60’ 15 15-4 60* 807. 806. Найдите несколько чисел, кратных двум данным числам. Укажите наименьшее общее кратное этих чисел: а) 3 и 7; б) 4 и 5; в) 6 и 12; г) 4 и 6. Найдите несколько общих знаменателей дробей. Назовите их наименьший общий знаменатель: Ч 1 2 а) у И 3-; . 3 1 в) 4 и 3-; , 4 Д) 7 И 9 . 14’ ж) 1 1. и Q, И) I и 5. 6’ лч 3 1 б) 5 и 2; ч 7 5 1^) 6 3 ’ , 2 е) у и 5. 9’ 3)| 5, И д, К)^и 4 15 808. Приведите К наименьшему общему знаменателю дроби: , 1 3 а) 8 4> X 9 1 . П 10 20’ X 2 7 ж) 3 и 7 4 б) 9 и 3; X 7 3 Д) 15 5: X 23 8 . 100 ^ 25’ ,5 5. в) 10 И ~6 ~3 ' , 5 19 И) у И 809. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: а) ^ и j: X 3 2 5 3 ■’ X 2 8 ж) у и ур: 2 3 б) 5 и - X 3 7 Д) 2 и 5: X 1 9 3) 4 и 25-; в) ^ и у: X 5 4 е) 4 И у: И) И у- 810. Приведите дроби к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей. Приведите эти же дроби к наименьшему общему зна- менателю: "4 X 1 1 в) 3 и 3-; Д) 4 « йх 1 1 б) 4: X 1 1 г) 6 Ид: ^х 5 3 е) ^2 и 8- 811. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: ^х 5 3. а) 4 и 21 X 1 3 . г) 6 И 10» X 1 2 . ж) 2 И б) 1 и f; X 1 5 Д) 3 И — ^х 5 7 . 3) 12 И ^g, X 7 5 в) Чб 9: ^х 5 2. е) 8 И 3, . 3 33 10 100- Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби (812-813). 1 1 1 , ^ ^ 3 , 1 Д) 0. 2’ 4’ 6 15’ 10' 5 > 3 3 2 .12 3. г; 2> 3> 5> X 5 4’ 8’ 3 i е) 12; 1 7 2 4 . 3 . 15’ 14’ 5. 10. 11 12’ ' 18’ 3’ 7’ 21 ’ 42• 1 1 8’ 9’ Сравнение дробей Сравнить две неравные дроби — это значит установить, какая из них больше, а какая — меньше. Легко сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями. Так, 2 3 понятно, что "5 Действительно, если, например, разделить яблоко на пять равных долей, то две доли составят меньшую часть яблока, чем три такие же доли. Точно так же 9 8 10 ^ 10’ 3 11 8^8 7 16 25 ^ 25* Рассмотренные примеры позволяют сделать такой вывод: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их сначала нужно привести к общему знаменателю. Пример. Сравним дроби ^ и Наименьший общий знаменатель дробей равен 36. Приведем каждую из дробей к знаменателю 36. Получим: 11 ^ 11-2 ^ 22 7 7-3 21 18 18-2 36’ 7 12 12*3 36* гг 22 . 21 Так как 18 ^12* Иногда дроби с разными знаменателями удается сравнить и не приводя их к общему знаменателю. Например, очевидно, что Действительно, если разде- лить целое (круг, прямоугольник, отрезок) на три равные части, то доли получатся больше, чем при делении на четыре равные части. Легко понять также, что • Действительно, дробь мень-1 2 ше отличается от 1, чем -5-. 8 2 Рис. 198 8 9 8 9 Нетрудно сравнить дроби ^ и -g. Так как -^<1, а то 8<9 3 4 Чтобы узнать, какая из дробей и у больше, а какая — ® 1 3/1 4^1 меньше, можно каждую из них сравнить с а. 3 4 2 8 2 7 2 (рис. 198). Поэтому ° 3 4 4 4 Эти же дроби можно сравнить иначе: -5-<-5-, а -5-<77, поэто- 3 4 8 8 8 7 му ^<у. 815. 814. Начертите отрезок, длина которого равна 12 клеткам. С помощью этого отрезка покажите, что: 5^7 4 ' 4’ 6 " 6 Сравните дроби: в) 12 ^12- V 2 4. 5 5’ 6 3 б) у И у; V 2 4 В) ^ И \ 12 7 г) 1У и 17’ , 10 15 Ж) И тг: , 5 9 Д) -р И т: 8 10 13 14 9 V 14 4 3) -Q- И 13 1-. 9’ 8 27 27 816. 817. 818. \ 7 6 И) 4 И у. 15 ю 7 3 12 9 Определите, какая из дробей -jy, у^, у^, у^, у^ наименьшая и какая — наибольшая. Расположите дроби в порядке возрастания. 29 13 41 7 24 Определите, какая из дробей у^, ^ наибольшая и какая — наименьшая. Расположите дроби в порядке убывания. а) В тетради ученик начертил прямоугольник и закрасил у этого прямоугольника. Какая часть больше — закрашенная или незакрашенная? 819. 5 б) От куска веревки отрезали -д всего куска. Сравните отрезанную часть с оставшейся. в) Проехав всего пути, автобус сделал остановку. Какое расстояние меньше — которое автобус проехал или которое ему осталось проехать? Сравните дроби и запишите результат с помощью знаков или =: >. < в 7 3 Г) 12 9 . Ж) 12 1 8 И 4: 20 И 15’ 24 и у; 6 1 д) 7 3. 2 13. 25 И у: 5 И 2’ 3) 3 ^ 15’ 11 7 5 5. 3 7 , 6 И 4; е) 6 И 8’ и) 10 И 5 12 И 4; К) л) I и м 25 100 1 И 4- 820. 821 а) Учебники составляют у библиотечного фонда, а художественная литература — у. Каких книг в библиотеке больше: учебников или художественных книг? 3 4 б) На садовом участке ^ всей площади занято огородом, а -у — садом. Что занимает большую площадь — сад или огород? Не приводя дроби к общему знаменателю, определите, какая из них меньше: V 1 1 а) у или у; б) ^ или X 1 1 в) у или у: 1 ч 1 1 д) у ИЛИ у; 822. а) у или у; б) ^ или ^ г) -гг- или г) N 1 1 е) у или -у. 823. 824. 825. J_. 5 — 4. ■ / 11 12’ Определите, какая из дробей ближе к 1, и сравните их: 7 2 V 129 12. g или g, д) или 9 99 5 6 4 3. ' / То 100’ б” У' Запишите дробь, равную у, меньшую 4 и большую 4, со знаменателем: а) 10: б) 12; в) 50; г) 8. Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, равный 14 клеткам). Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь у. Какие из отмеченных чисел меньше у? Какие из отмеченных чисел больше у? Выпишите дроби, которые больше у: 2 3 3 5 3 5 3’ 4’ 8’ 8’ 7’ 7- 826. Определите, правильной или неправильной является каждая дробь, и сравните ее с 1: 5. i. JA А Л. Л. 9’ 3’ 8 ’ 31’ 100’ 35’ 827. Сравните: а) у и 1; б) I и 1; I 11. 1 и ^2» ч 12 ч Г) ур И 1; ч 3 7 Д) т И т- 828. а) Выпишите дроби, большие у 15 20’ 4 16 7 10 10 8 6‘ 829. 830. б) Выпишите дроби, меньшие 1 6 _9_ А 5’ 9’ 10’ 12* Запишите дроби в том порядке, как они расположены на координатной прямой: V 1 1 1 1 1 1 А 2’ 5’ 4’ 3’ 3’ 6’ 5’ 12' Запишите все дроби со знаменателем 24, которые расположены между числами у и у. 831. Найдите какое-нибудь число, расположенное между числами: 832. а) т и лч 3 4 б) -F и 1_. 3 2’ 5 '■ 5- Найдите несколько чисел, которые можно подставить вместо k и получить верное двойное неравенство: а) б) j л) 20=-j; и) 7=у: м) 9=^. 849. а) Представьте каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5 в виде дроби со знаменателем 10. б) Представьте число 12 в виде дроби со знаменателем 1, 2, 3, 4. 5. 850. Представьте в виде дроби несколькими способами числа 3, 1,8, 15. 851. Запишите все неправильные дроби с числителем 5. Какие из них представляют натуральные числа? 852. Сравните значения выражений: а) 4:6 и 11:15; б) 112:64 и 9:4; 853. Сравните числа: в) 72:144 и 36:108; г) 81 :45 и 56:48. а) 2 и б) ^ И 4; , 16 21 в) ^ и ,66 111 г) 00 и 2 г. 3 ’ ' / 22 37 • 854. а) Для покраски пола можно выбрать один из двух видов краски. Расход одной краски составляет 2 кг на 5 м^, а другой — 3 кг на 8 м^. Какая из этих двух красок выгоднее? б) Коля за 2 с делает 3 шага, а Борис за 3 с — 5 шагов. Кто из них идет с большей скоростью (длина шага у них одинакова)? в) Таня и Алеша запечатывают конверты. Таня заклеивает 10 конвертов за 8 мин, а Алеша — 6 конвертов за 4 мин. Кто из них ра- ботает быстрее? Случайные события Мы часто говорим: «это возможно», «это невозможно», «это маловероятно», «это обязательно случится». Подобные выражения обычно используют, когда речь идет о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти. Такие события называют случайными. Пример 1. В коробке лежат 5 конфет в синей обертке и одна в белой. Не глядя в коробку, наугад вынимают одну конфету. Можно ли сказать заранее, какого она будет цвета? Конечно, нет. Может произойти одно из двух случайных событий: «вынута конфета в синей обертке» или «вынута конфета в белой обертке». Скорее всего, это будет конфета в синей обертке, поскольку их в коробке больше, чем конфет в белой обертке, однако точно мы этого утверждать не можем. Пример 2. В сумке лежат 4 красных и 4 желтых яблока. Из сумки наугад вынимают яблоко. Какое из событий Л, В, С, D при этом может произойти? А\ «вынуто красное яблоко». В: «вынуто желтое яблоко». С: «вынуто зеленое яблоко». D: «вынуто яблоко». Из сумки можно вынуть только то, что в ней лежит. Значит, можно вынуть красное или желтое яблоко, а зеленое яблоко вынуть невозможно. Можно также сказать, что любой предмет, вынутый из сумки, обязательно будет яблоком, так как, кроме яблок, в сумке ничего нет. События, которые при данных условиях обязательно происходят, называют достоверными. В нашем случае достоверным является событие П: «вынуто яблоко». События, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными. В рассмотренном примере это событие С: «вынуто зеленое яблоко». Рассмотрим события А и В из нашего примера: «Вынуто красное яблоко», «вынуто желтое яблоко». Каждое из них при данных условиях может произойти, а может и не произойти. Сравним шансы наступления событий А и В. Можно ли сказать, что яблоко, вынутое наугад из сумки, скорее будет красным, чем желтым? Такое утверждение будет неверным. Число красных и желтых яблок в сумке одинаково. Поэтому имеются равные шансы вынуть красное яблоко или желтое яблоко. Такие события называются равновероятными. Рис. 200 В ЖИЗНИ мы часто сталкиваемся со случайными событиями. Завтра может пойти дождь, а может и не пойти; при подбрасывании монет- 2^ ки может выпасть орел, а может решка; в фут-^) больном матче команда может выиграть, может проиграть, а может сыграть вничью — все это случайные события. Случайное событие может быть очень вероятным, а может оказаться маловероятным, почти невозможным. Например, если купить один лотерейный билет, то выигрыш автомобиля маловероятен. А вот не выиграть автомобиль очень вероятно. Вероятность наступления случайного события зависит от условий, в которых оно рассматривается. Например, вероятность наступления события «в мае в городе пойдет снег» зависит от того, где расположен этот город. На юге России в мае снег почти никогда не выпадает. Это событие маловероятно. Умение оценивать вероятность наступления случайных событий очень полезно, например при решении вопроса, стоит ли участвовать в лотерее или в игре. Пример 3. Наташа предложила Даниле сыграть в следующую игру. Каждый из них по очереди бросает игральный кубик, на двух гранях которого написано число 1, на двух гранях — 2 и на двух гранях — 3. Если выпадает нечетное число, то одно очко получает Наташа; если четное число, то очко получает Данила. Первый, кто наберет 30 очков, считается победителем. Можно ли считать эту игру справедливой? Равны ли шансы на выигрыш у ее участников? У кубика 6 граней (рис. 200). На четырех из них написано нечетное число (1 или 3) и только на двух — четное число (2). Поэтому можно заранее сказать, что при бросании такого кубика чаще будет выпадать нечетное число. Значит, предложенные Наташей правила игры дают ей больше возможности выиграть, чем Даниле. Если следовать правилам игры, то шансы ребят на выигрыш будут неравными. Такая игра является несправедливой. 855. В три коробки разложили карамель, но в нее попало несколько ирисок (рис. 201). Из какой коробки больше шансов вынуть наугад ириску и из какой — меньше? 856. В каждой коробке с пуговицами (рис. 202) имеется только по одной синей пуговице. Не заглядывая в коробку, из нее вынимают одну пуговицу. Из какой коробки надо вынимать пуговицу, чтобы возможность вынуть синюю была наибольшей? 857. Среди следующих событий укажите достоверные и невозможные события: А: «попугай научится говорить». В\ «вы садитесь в поезд и доезжаете до Северного полюса». С: «наугад взятая с полки книга — «Математика-5». D: «в полдень бьют Кремлевские куранты». Е: «вода в Тихом океане закипит». 858. Сравните вероятность наступления следующих случайных событий, используя для этого выражения: «более вероятно», «менее вероятно», «равновероятно»: а) Вы входите в свою комнату и включаете свет. А\ «комната убрана». В: «комната не убрана». б) Ваш друг смотрит телевизор. А: «показывают футбольный матч». В: «показывают выпуск новостей». в) Вы проснулись и раздвинули шторы. А: «за окном темно». В: «за окном светло». 859. Оцените вероятность наступления событий, используя для этого слова: «достоверно», «возможно», «невозможно», «очень вероятно» и «маловероятно». А: «завтра будет хорошая погода». В: «вас пригласят в гости». С: «в январе в городе пойдет снег». D: «в 12 часов ночи в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце». Е: «на день рождения вам подарят говорящего крокодила». F: «вам подарят живого крокодила». G: «вы получите «5» за контрольную работу по математике». 1 ириска 5 конфет 50 конфет 100 конфет Рис. 201 150 пуговиц 600 пуговиц Рис. 202 Рис. 203 Н: «круглая отличница получит двойку». /: «сорванный цветок погибнет». J: «вас пригласят сниматься в кино». К: «камень, брошенный в воду, утонет». L: «вы выиграете в лотерее миллион». М: «вы выходите на улицу, а навстречу идет с N: «вы купили мороженое и выбросили его». О: «следующий год будет високосным». Р; «вас пригласят лететь на Луну». О: «новая электролампочка не загорится». R: «выпадет желтый снег». S: «вас изберут президентом США». Г: «вас изберут президентом России». 860. На остановке останавливаются три автобуса: № 1, № 2 и № 3. Интервал в движении каждого автобуса примерно 10 мин. Ребята стоят на этой остановке в ожидании автобуса № 2. Однако сначала пришел автобус № 3, затем автобус № 1. После этого каждый из ребят высказал свое мнение о том, какова вероятность, что следующим придет № 2. Данила: «Следующий обязательно будет № 2». Наташа: «Возможно, что следующим придет № 2». Андрей: «Очень возможно, что следующий будет № 2». Даща: «Следующий будет точно не № 2». С кем из ребят вы согласны, с кем не согласны? Объясните сделанный вами выбор? 861. Данила и Наташа заспорили, кто из них будет первым читать интересную книгу. Тогда Наташа предложила сыграть в игру и книгу отдать победителю. Они взяли вертушку, которая изображена на рисунке 203, и установили следующие правила игры: каждый из них поочередно крутит вертушку; если стрелка останавливается на красном, то 1 очко получает Наташа, а если на синем, то 1 очко получает Данила. Если стрелка попадает на желтый цвет, то никто из ребят не получает очков. Кто первым наберет 20 очков, тот считается победителем и получает книгу. Как вы думаете, при таких правилах игра будет справедливой? 862. В школе проводится чемпионат по стрельбе из лука среди пятых классов. От класса можно выделить только одного участника. В каждом классе есть два ученика, которые раньше принимали участие в таких соревнованиях. Используйте указанные в таблице данные, чтобы решить, у кого из двух ребят в каждом классе больше шансов победить на школьном чемпионате. Класс Имя Число соревнований, в которых участвовал Число побед 5 А Даша 10 6 Андрей 10 4 5 Б Наташа 7 3 Данила 5 3 5 В Саша 8 4 Алеша 5 3 5 Г Дима 8 4 Лена 10 5 863. В коробке лежат карандаши: 6 красных, 2 синих и 1 зеленый. Один из карандашей выпал и закатился под стол. Даша закричала первая: «Если он зеленый, то я его беру себе». Андрей, подумав, предложил: «Если карандаш не зеленый и не синий, то я его беру себе». Как вы думаете, у кого из них больше шансов получить выпавший карандаш? 864. На турнире «Золотое копье» в бросании копья должны принять участие 5 мальчиков. В таблице даны результаты этих мальчиков в соревнованиях, в которых они участвовали раньше. Используя представленные в таблице данные, сделайте прогноз о возможных результатах этих мальчиков в турнире «Золотое копье». О ком из мальчиков можно сказать, что его шансы на победу очень велики? О ком из мальчиков можно сказать, что его победа маловероятна? Имя Число соревнований, в которых участвовал Число побед Юра 8 7 Игорь 8 5 Миша 8 3 Саша 7 6 Георгий 7 2 V, - ^v-''v| 865. Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они последними, и притом в полной темноте, поэтому разобрали свои шляпы наугад. Какое из следующих событий невозможно? А\ «каждый надел свою шляпу». В: «все надели чужие шляпы». С: «двое надели чужие шляпы, а один — свою». D: «двое надели свои шляпы, а один — чужую». ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Нахождение НОД и НОК двух чисел с помощью разложения на простые множители Наибольшим общим делителем двух натуральных чисел называют самое большое натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел. Наибольший общий делитель чисел а VI Ъ обозначают НОД (а, Ь). Если числа небольшие, то НОД нетрудно найти, перебрав все их делители. Например, НОД (12, 8) = 4. А если числа большие? Тогда для нахождения наибольшего общего делителя можно воспользоваться разложением на простые множители. Пример 1. Найдем НОД (252, 630). Разложив эти числа на простые множители, получим: 252 = 2-2-3-3-7, 630 = 2 • 3-3 • 5 *7. Выпишем все множители, которые входят в оба разложения: 2, 3, 3, 7. Наибольший общий делитель чисел 252 и 630 будет равен произведению этих множителей: НОД (252, 630) = 2*3*3*7=126. Разложение на простые множители можно использовать и для нахождения наименьшего общего кратного. Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Наименьшее общее кратное чисел а и. Ь обычно обозначают НОК (а, Ь). Если числа небольшие, то их НОК нетрудно найти перебором. Например, НОК (15, 12) = 60. Напомним, что именно так мы и поступили, когда нужно было найти наименьший общий 7 8 знаменатель дробей и (см. с. 173). Но если числа большие, перебор провести трудно. Пример 2. Найдем НОК (126, 180). Разложим эти числа на простые множители: 126 = 2-3 •3*7, 180 = 2-2-3-3-5. Чтобы найти НОК (126, 180), выпишем все множители, входящие в разложение на простые множители первого числа, и добавим «недостающие» множители 2 и 5 из разложения второго числа. Получим: 2-3-3-7-2-5=126-10=1260. 126 10 Число 1260 и является наименьшим общим кратным чисел 126 и 180: НОК (126, 180)=1260. 866. Найдите НОД (а, Ь) и НОК (а, Ь), если а = 2^-3^ *7, Ь = 2^-3^*7^. 867. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 875 и 1225; б) 60, 132 и 240. 868. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 1764 и 1890; б) 24, 75 и 80. 23 47 59 121 869. Сравните дроби: а) ^ и б) 3^ и 870. Найдите какое-нибудь число, расположенное между числами 19 720 ‘ 41 1680 871. Числа а и fe называют взаимно простыми, если НОД (а, b)=^. Покажите, что числа 50 и 189 являются взаимно простыми. Найдите НОК (50, 189). Чему равно НОК (а, Ь), если а и Ь — взаимно простые числа? 872. Сравните произведения: а) НОК (100, 150)-НОД (100, 150) и 100-150; б) НОК (294, 735)-НОД (294, 735) и 294-735. Чему равно произведение НОК (а, Ь)-НОД (а, Ь)? Задания для самопроверки (Обязательные результаты обучения) 1. Начертите отрезок АВ, длина которого равна 12 клеткам. Начерти- 2 те отрезок CD, составляющий у отрезка АВ. 2. В коробке 10 карандашей, 7 из них цветные, остальные простые. Какую часть всех карандашей составляют цветные карандаши и какую — простые? 3. а) Выразите в километрах: 1 м, 509 м. б) Выразите в килограммах: 1 г, 237 г. в) Выразите в часах: 1 мин, 29 мин. 4. Запишите: а) три правильные дроби со знаменателем 8; б) три неправильные дроби со знаменателем 8. 13 7 5. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа у, у, -j. 6. На координатной прямой (рис. 204) отмечены точки. Запишите координаты этих точек. В D Рис. 204 1 3 7. а) Сколько граммов содержится в кг, в кг? б) Сколько сантиметров содержится в м, в ^ м? 1 2 в) Сколько секунд содержится в мин, в мин? 3 8. Выпишите дроби, равные -j: 1 А ii 30’ 8’ 12’ 20■ (l90)--- 9. Приведите дробь 4 к знаменателю 12, 15, 36. 10. Сократите дробь; а) б) 4|: в) г) 48 100' 1000* 11. а) Выразите в метрах: 50 см, 55 см. б) Выразите в часах: 30 мин, 48 мин. 12. В классе 30 учеников, из них 20 — мальчики. Какую часть класса составляют мальчики? 13. Приведите к общему знаменателю дроби: Ч 2 2. ^,3 5 . ,1 1 в) g и 2, б) ^ и ^g, в) ^ и р.. 14. Сравните числа: V 8 6 ,1 1 \ 4 . а) ^ и в) и Д) 5 и 1; йч 5 4 , 7 10 ч 9 . б) g И у , 10 7 ’ е) g И 1 . 15. представьте число 10 в виде дроби со знаменателем 1, 5, 8. 16. Выполните деление: а) 3:5; б) 20:25. 17. Масса восьми одинаковых пачек печенья равна 2 кг. Чему равна масса одной пачки печенья? д Действия с дробями 1 ■3_1+3 5 5“ 5 Сложение дробей С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Най- 3 2 дем, например, сумму у и у. Из рисунка 205 видно, что 7^7 7‘ Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. Например: 9 9 9’ 1 2 7 _ 10 _ 2 15 15 15 15 3* Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так: Рис. 205 а Ъ — + — с с а +Ь (J92)— Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например: ^2 8 4 8 8 5 + 2 8 8’ 3^ r-_ 9 2 _ 9 + 2 10 "^ 15 30 30 30 11 30 22 15’ 2 4 _ 10 12 _ 10+12 3 5 15 15 15 Решение можно записывать короче: 2^ 4 _ 10 + 12 _ 22 3 5 15 15* Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения. 873. Сложите дроби: 1 , 1 СЭ 1 . . 3 3 ^.3,2. .-X 1 . 1 . б) у + у. г) у + у, 3 3’ ч 2 , 2 в) ч 2,2. д) Q Q > 9 9’ ^ + А. 10 10’ е) ^+ 1+1- 874. Сложите дроби и сократите полученную сумму: в) 2 2 ’ б) ^ + ^ + 1 8^8 В) ^ + ^-Ь) 9 ^ д, ч 1 л. 2. ч ^ 2. Д) 6 6 ’ ч 3^7 е) у+тг: 5 5 ’ ч 3 ^ 2 10 ^ 10 3 ' 3’ 8 ' 8 875. Укажите дробь, которая дополняет данную дробь до 1: 4 2 5 3 3 7 7 1 9’ 7> 6’ 5’ 4’ 8* 10’ 2- 876. Впишите в рамочку нужное число: I'+l в) T+I |-1; л) 17 '*'1 1 б)|+П=1; е) 1+□=! 877. Найдите три следующих числа в последовательности: ч -L -L . р-. 8 11 14 17’ 17’ 17... 21 ’ 21 ’ 21.......... 878. Найдите сумму: ч ■'^2^3. 7 ^ 7 7’ _L4.A+_L, 20 20 20 ‘ ч 2 ^ 4 ^ 4 . 15 15 ^ 15’ ч 1 , 7 ,4 г) У +-q + Q-. 7—г. в. Дорофеев, 5 кл. 879. Приведите дроби к общему знаменателю и сложите их: а) | + |; X 2 ^ 1 . в) 5 + 4> X 1 ^ 3. Д) 3 5’ ж) 2 7 ’ б) |+|; X 1 ^ 1 . г) 2 3 ’ е) 5 + 2’ 3) - + -^ з; 3 ^ 10- Сложите дроби: а) в) 12 2 ’ X 1 ^ 3. д) 2 8’ ж; 3 ^ 12> лх 2,1. б) 3 + 0. X 1 ^ 3 Г) -g+Г’ е) • 5 10’ X 5^ 5 З) 8 + 24- Сложите дроби: X 1 ^ 5 а) ^4 + 0-: X 1 ^ 3 В) -0 + Q-: X 3 ^5. д) ю'^'О’ 20 25' лх 2^1 б) 9 + 0 . .14. 12 15’ X 7^1. е) 12 8 ’ X 2 ^ 7 З) 9+12- 882. Выполните сложение: X 3 ^ 1 . а) 4 + 5- -L+A. о; 36 12’ в) !+■ 4 ' 10’ 15 ■^5’ Д) 6 10’ б) я 4 > Ж) Щ 15^0’ З) 5 6- 883. Найдите значение выражения: З'^б‘^18’ 12"^б'^4’ _L . 1.1. б) on 4 я > 20 4 ' 5 884. Найдите сумму: 2 ' 3 ' 5’ ах 1+1+1. d; о ^ я ^ я' \ 1 I 2 I 3 4 25 100- 2 5 7 ’ X ^ 2 ^ 3 В) -2+-3 X 2 ^ 1 ^ 1 I”) я 4 Я ■ 885. Вычислите наиболее простым способом: . _4_ _3_ J_. 3) 27 ^ 27 ^ 27 ^ 27 27 ’ 35 35 35 35 35- 886. Не ВЫПОЛНЯЯ сложения, сравните: X 2 ^ 1 2^1. з) 3 Я ^ 3 “*■ я > ^х 1 ^ 1 ^ 1 1 ^ 1 _^1 4“‘'5'^6 887. До привала туристы прошли -j пути, после привала — еще пути. Какую часть пути они прошли? 2 1 888. Урок длится j ч, перемена — "e Какую часть часа длятся урок с переменой? 1 3 889. Рабочий в первый день выполнил у, а во второй — ^ всего заказа. Какую часть заказа сделал рабочий за два дня? на кг больше. Сколь- 890. В одной коробке кг конфет, а в другой ко килограммов конфет в двух коробках? Выразите ответ в граммах. 891. а) Рабочий может выполнить весь заказ за 3 ч, а ученик — за 7 ч. Какую часть заказа выполнит рабочий за 1 ч? Какую часть заказа выполнит ученик за 1 ч? Какую часть заказа они выполнят вместе за 1 ч? б) Швея может выполнить заказ за 3 дня, а ее ученица — за 6 дней. Какую часть заказа может выполнить швея за 1 день? Какую часть заказа может выполнить ученица за 1 день? Какую часть заказа они могут выполнить вместе за 1 день? 892. а) Один кран заполняет бассейн за 4 ч, а другой — за 3 ч. Какая часть бассейна будет заполнена за 1 ч, если открыть одновременно оба крана? б) Один кран заполняет бак за 10 мин, а другой — за 15 мин. Какая часть бака будет заполнена за 1 мин, если открыть одновремен- но оба крана? 893. Сложите дроби: ЗО"^ 12 в) 27 + 18 \ 5 ^ 2. Д) 19 q » f\\ А^А. \ А-^А О) 2 А 28’ 18 12’ 11 24 е) -;^ + _4_ 15 894. Вычислите: Д) я in ■*' 4 • б) 10 1+А 6 ^ 10 в) 20 5 6 ’ ■^15’ 7 6 14’ 1 —-t--—-4-—— 4 25 20 ’ X А А 1 е) 2 3 9‘ 895. Вычислите наиболее удобным способом: X 3 4 ^ 4 ^ 5. iA5"^11‘^5'^11’ 15 15 18 18 21 ■ _4_ 15 _5_ 21 а+а 24 ^ 24 1 , 1 8 12 16 ^ 20 8 12 16 20- 7* 896. Сравните значения выражений: 7 , 1 3 ч П , 7 3. 12 + 24 ^ 7 ’ 24 ^ 30 4’ 3 .7 3 3. 3 7 16 ■^10 ^ 10 8’ То9 ■ 20 12' б) 897. Не выполняя сложения, сравните с 1 сумму: V ^ 2 ^ 3. V 5 ^ 5. Ч 1 ^ 3 а)р + „, б)о + с, 7' Образец. Сравним с 1 сумму у+у. г. 1 2.1 Решение, у <-2 и поэтому 1 1 , 1 1 898. 899. 5 + 7<2 + 2 Не ВЫПОЛНЯЯ сложения, объясните, почему вычисление выполнено неверно: а) ^ + 4 ^ 5 20' . А , А-89. ч я 10 90’ 15 5 “30- Докажите, что: . j_ j_ j_ j_ j_ j_. . J_ 11 12 ^ 13 14^ 15 ^ 3’ 21 6 7 8 9 10 2’ '"'51 Образец. Докажем, что “jy'*‘'iV+7y >y- Решение, и поэтому j_ 22 j_ 52 в) 01 99 9.q 94 25 ^ ’ 23 24 99 ^ 100 г) •ЁГ + -Е^Т + ...+ 7^ + ^пЬг>9Г А , А+А>А , А+А-А=1 12 ^ 13 15 ^ 15 ^ 15 15 15 5* Значит, 12 13 15 ^ 5 • 900. Не выполняя сложения, сравните с 1 сумму: в а) —н—б) —+Л--in 1ПП > R R > 13 1. . A4-I 1R ' *"/ 9R 4 • 14 15 8 , 1 901 Образец. Сравним с 1 сумму -9+у. 8 1 Решение. Если к у прибавить у, то получится 1. Но у>■9. поэтому у + у>1. В цехе три автомата для заполнения бочек краской. Первый автомат может наполнить бочку за 20 мин, второй — за 15 мин, третий — за 10 мин. Какая часть бочки наполнится за 1 мин, если одновременно включить первый и второй автоматы? А если включить одновременно все три автомата? 902. Таня, Наташа и Алеша упаковывают подарки. Таня может выполнить всю работу за 20 мин, если будет работать одна, Наташа — за 15 мин, а Алеша — за 12 мин. Какую часть работы выполнят они за одну минуту, работая вместе? Упакуют ли они половину всех подарков за 2 мин? 903. Из пунктов А \л В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Первый проходит расстояние между А и В за 3 ч, а второй — за 4 ч. Состоялась ли встреча автомобилей, если они находятся в пути 1 ч, 2 ч? Сложение смешанных дробей Вернемся еще раз к задаче, в которой требуется разделить поровну яблоки между тремя братьями. Допустим, у нас есть 8 яблок. Сколько достанется каждому брату? Такая задача, как мы знаем, решается делением. Так как 8:3 = -|-, то каждому брату достанется яблока. Однако разделить 8 яблок между тремя братьями можно иначе: дать каждому по 2 целых яблока и еще по от двух оставшихся. Для такого «комбинированного» числа, которое складывается из натурального числа и дроби, есть специальное обозначение: 2^. Числа 2 и -g просто записываются рядом. И означает эта запись сумму 2+-д. Такие записи, как 2-|-, называют смешанными дробями. При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а чис- 2 2 ло -g — ее дробной частью. Запись 2-д читают так: «две и две трети ». При делении числа 8 на число 3 мы получили два ответа: -|- и 2-|-. Они выражают одно и то же дробное число. Значит, 3 ^ 3- g Таким образом, неправильная дробь -д представлена в виде смешанной дроби 2-|-. В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть. 187 Пример 1. Выделим целую часть из дроби Разделим уголком числитель дроби на знаменатель: 187 15 15 12 37 30 Частное равно 12 — это целая часть. Остаток равен 7. Поэтому 15 15 15 Пример 2. Представим в виде дроби число 2-^: ^3 "^ 3 13 3 ]_ 3 • Мы представили число 2-^ в виде суммы целой и дробной частей, а затем записали целую часть в виде дроби и воспользовались правилом сложения дробей. Коротко решение можно записать так: „ 1 _ 2-3-Ы _ 7 ^3 “ 3 “ 3* 1 2 Пример 3. Найдем сумму 2-^ + Z-^\ 2 3' +“ 2 + -3+3 +-д-5 + -3 +5—5+ ^ ^+Т[5~^Т5- Мы представили каждую смешанную дробь в виде суммы целой и дробной частей, а затем отдельно сложили целые части и дробные части. 904. Прочитайте смешанную дробь, запишите ее в виде суммы целой и дробной частей: а) I2: б)3у: в) 5-^; г) 4: д) 2^: е)4|. 905. Запишите сумму в виде смешанной дроби: а) 3 + в) 7 + 3: Д) 12 + ; б) 2+у; г) 1+у: е) 1+^- Тесьму измерили метровой линейкой. Получилось 7 м и еще треть метра. Запишите результат измерения. Выразите в граммах: 1 906. 907. 908. 909. а) 2^ кг; б) з|- кг; в) 4у кг; X -.3 г) 1^4 кг; Д) 10 То 27 100 е) кг. Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, рав- 1 3 ный 4 клеткам). Отметьте на координатной прямой числа: 1у, 2-т, 3— 4— 5— 6— О4. ^2’ ^8’ °4- Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 6 клеткам. Отметьте на ней числа: 1у, 1у, 1у, 2-|, 2у, 2у, 2-^. 910. Выделите из дроби целую часть: а) ^ 21 11 М 4 64 АХ ^ 43 ^ ^ Ш ' 12 ’ я ’ 9 150 10 78 25- 911 912. 913. 914. 3’ 3’ 2’ 11 ’ 4 * ^'15 Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби: xAAAZ^. р.. 8 7 10 15 40 2’ 4’ 3’ 3’ 6 ’ 5’ 2’ 3 ’ 4 ’ 9 • Сократите дробь и выделите из нее целую часть: а\40^42^^ 8 ■ 10’ 21 ’ 6 ’ 4 ’ 15’ 12’ 9 ’ 4 ’ 6 • Между какими последовательными натуральными числами заключено число: X 13 а) -у: б) 4 Сравните числа: X 10 5 а) ^ и -5; ( 26 3 16 Образец. Сравним и . 32 В) -5-; , 35 г) ту; д) 17. 15’ е) ^9 24 • 14 И . 100 в) — и 200. 20 ’ , 42 25 г) То т- 22 Решение. 16 . 22 915. а) Велосипедист проехал 23 км за 2 ч. Какова скорость велосипедиста? б) Пешеход прошел 10 км со скоростью 4 км/ч. Сколько часов находился пешеход в пути? 916. Выразите в километрах: а) 2 км 400 м, 1 км 750 м, 3 км 250 м, 6 км 200 м; б) 3200 м, 1450 м, 5500 м, 20 300 м. 917. Выразите в часах: а) 2 ч 20 мин, 1 ч 30 мин, 3 ч 15 мин, 5 ч 24 мин; б) 90 мин, 250 мин, 180 мин, 165 мин. 2 918. Задание с выбором ответа. Укажите дробь, равную числу 4у. А. 6 Б. В. Г. 919. Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби: О— ^ с ^ в; ^2' °6’ '^9’ ' 920. 921 1-1 2— 3— 2— 4—‘ а) I 2» ^3« Од, Чд, б) if 7f sf 3j, б|; Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной дроби: ,3^7. лч 6 ^ 8 . Ч 2 ^ 2. Ч 11 ^ 7 а) 8"^8’ 11*^11’ 3"^3’ 12'^12' 11 ' 11 . 3 ' 3' Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной дроби: 5,2. А.1.11. \ А+И. 15 20’ 12 18’ 4 9 5 7 -■) е) 1+^. а) 12 + 3^ б) 4 с; > Выполните сложение (922—926). 922. а) 2j+1; В) з|+2; д) 4 + 4- б) г) 7j + f е) 1- 923. а) 1 ——Ь2—■ 1 12 .,2, в) 3-g+l-g 1 Д) ■д! б) 3—+ 1—• чЭ 8 f 1 8> Г) 4-f-Ьб- 1 10’ е) 12-iV+34 924. а) 3j+j; б) f + lf в) 4 +lf; г) 2f+ з|. 925. а) ^ з”^ ^ T’ в) ■f + 3'l'; д) 44 б) —+2—■ 8^4’ г) 5-f+3|; е) 4|+10f 926. а) sf+lf: б) l| + 7^ в) 8|+2|-; г) 8^+1 J[, 3’ 4 15 Ж) JL+rI- 20 ^ ° 4 ’ Д) 12- е) 2f + l|: ® 5"^^ 10‘ И) б| + 8у. «1 5 ^ 927. а) В среду уроки в 5 классе длились Зу ч, а перемены — ч. Сколько времени пятиклассники находились в школе? Выразите ответ сначала в часах, а затем в часах и минутах. 3 3 б) Масса котенка кг, а масса иденка 1у кг. Какими будут показания весов, если их поместить на весы вместе? Дайте ответ сначала в килограммах, а затем в килограммах и граммах. 1 3 928. а) Сшили костюм. На юбку ушло Зу м ткани, а на жакет — на у м ткани больше. Сколько ткани пошло на костюм? б) Вера и Коля вышли из своих домов и пошли навстречу друг 2 3 Другу. Вера прошла до встречи ly км, а Коля — на ^ км больше. Чему равна длина пути от дома Веры до дома Коли? 929. Сравните числа: , 35 32 а) ^ и 12 11 108 47 б) — м -3": 31 34, 9 10' , 109 77 г) И ^2- 930. Запишите последовательность из 10 чисел, у которой первое число равно 1, а каждое следующее — на у больше предыдущего. Найдите сумму членов этой последовательности. б) 1^+2+-х: в) 10+-I-+I-: 931. Найдите сумму: 4 2 а) У+-3+7; v^, ^ . 4, о, .Ny . g 932. Вычислите наиболее удобным способом: а) 2^ + 2j+3^+3j+4-^+4-^+5^+5j; г) 5 9 + с + 6- б) 1т + 44-+1т + 2-|+Зх- 2 3 933. а) От куска шелковой ткани отрезали 6-g м, потом еще 3^ м, после чего осталось 1у м. Сколько всего метров шелка было в куске? б) Турист проехал на автобусе 2у ч, потом на попутной машине — 3 ч и еще шел пешком четверть часа. Сколько часов турист, был в пути? 934. Не вычисляя сумму, сравните ее с числом 10: а) з| + б|; б) 2у + 7|; в) 9у+|; г) 4-|- + 5у. 935. Не вычисляя сумму, сравните ее с числом 10: 10 100> а) 9^г7г+‘ б) 9.|2 + 0: в) ^4 25 г) 9^+ ^ 20 10- Вычитание дробных чисел Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например: 8 17 7,18 9 9 ~ 9 ’ как 9 9 ~ 9 • Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей: чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. С помощью букв это правило записывается так: а Ь _ _а—Ь с с с тт 1 ^ 1 _ 3 _ 1 Пример 1. Та-15-T5-J. Если требуется найти разность дробей, знаменатели которых различны, то сначала их приводят к общему знаменателю. Пример 2. ^2 ^3 5 1 _ 5^ 1 _ 10-3 12 8 “ 12 8 ” 24 24 Пример 3. Найдем разность Представим 1 в виде дроби со знаменателем 6, тогда можно будет воспользоваться правилом вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: ^ 6 “ 6 6 “ 6* Промежуточный шаг обычно выполняют устно. 5 Пример 4. Найдем разность 4 —-g. Разобьем число 4 на два слагаемых: 3 и 1. Так как 1_А-1 1 0 0,то4 g 3g. Для вычисления разности, в которой одно из чисел или оба являются смешанными дробями, существует общий способ: смешанные дроби заменяют неправильными дробями и дальше действуют по правилу вычитания дробей. Пример 5. 2 4^4^ 25-12 ^3 5 3 5 13 15 15 • Однако вычисления часто можно упростить, если воспользоваться некоторыми специальными приемами. Пример 6. Найдем разность 6 —2у. Вычтем из 6 сначала число 2 — целую часть смешанной дроби, а потом Y — дробную часть. Получим 2 5 Пример 7. Найдем разность чисел 9у и Зу. Сначала вычтем из 9у число 3: 9у-3у = 6у—у. Продолжить вычисления можно так. «Займем» единицу в целой части числа 6у: Тогда 6у = 5 + 1+у=5 + у. 6у-у = 5 + у-у=5 + у=5у. 936. Выполните вычитание: 937. ч 2 1 . 3 3’ Найдите разность: 1-1. б) q Q, 15 3 . В) 19 4 , ч 57 100 16 16’ 21 21 ’ 17 7 . Г) 37 _ ■'3. 20 20’ 40 40’ е) 12 ч 3 2. в) 7 у, 17 100’ ч 4 2 ’’) я я • 938. Приведите дроби к общему знаменателю и выполните вычитание: 939. 940. Найдите разность: Ч 1-1. Ч 1-1. В) 8 6’ 6 3’ _б_у. 1_1. 7 10’ 4 5’ в) 2 8’ ч 2 4. 3 9’ , 7 А) 10- 1. '5’ , 5 5 ж) 9 12, б) 2 з> 3 5’ ч 3 10 2 . 15’ , 9 3 10 4- Выполните вычитание и проверьте ответ сложением: ч I 1 в) 3 4, 6 15’ ч "Ч в) 12 3. 8’ ч 5 1 9 6- ч 1L-1. 18 6’ ч 7 1 е) 9 4- 941. Найдите значение выражения: ч 1 1^2. в) о л. я > лч 1-1^1. б) и 9 Й > Ч 1-1^1. 3 9 6 ’ ч 5 2^1 Г) + - 4- 942. 3 1 От куска проволоки длиной у м отрезали у м проволоки. Сколько проволоки осталось? Какой кусок длиннее: отрезанный или оставшийся? На сколько? 943. а) Турист прошел у пути. Какую часть пути ему осталось пройти? Какая часть пути больше? На сколько? б) Прочитали всей книги. Какую часть книги осталось прочитать? Больше или меньше половины книги осталось прочитать? На сколько? 944. Заполните таблицу: э) h п tTZT б) ь С Ь + с 1 2 2 3 1 7 2 8 1 1 6 3 Ь С Ь-с 11 3 14 7 1 1 9 1 1 5 2 945. Найдите неизвестное число, обозначенное буквой: Ч 1 ^ _ 5, а) 2 ^ б ’ ч 1 _ 3 . I в) ^ g .|Q, д) 3 , _ ч, 10+W 2’ лч ^ 1 3 б) + ч 5 _ 1 . ’ 6 ^ 3’ е) ^ I - 3 ^+4 8- Выполните вычитание (946—955). Ж) 1-^: 946. а) 1—i-; в) 1-j; ч 3 д) i-j: б) 1-|; г) е) 3) 1 25- 947. а) 3— в) 4-1; Д) 5-|; ж) 9— б) 6-у; г) 8-|; е) 7-|; 3) 2-|. 948. а) 3— '^2 -2; в) 5|-3; Д) 6у-1; б) 5— ^3 -4; г) 12J-9; в) 7|-4. 949. а) 5- 4: в) 6-з|; Д) 7-5-f-; б) 6- 4 г) 4-2|; е) 7-if; 950. а) 5| 1 . 3’ в) 4f-|; Д) 2|- б) 1. 8’ г) 10|-|; е) l|- ж) 8-з|: з) 4-4. 5’ J_ 4- 951. а) б) 64 2д, 41-21-^8 ^8> в) З5 1 gl г) 9-jj-8yj-; Д) 7д 1 д, . .2 .1 е) 45-45, 952. а) я1_1. °2 4> ч cl 2. в) 63 g. Д) б) 3I— ll‘ '^6 ' 3 ’ г) 4g 1 g. е) 2|-4. 953. а) 1 5 8. '9 9* 1 ^ 5 . о; I 12 12' ч о 3 г- 8 в) 8 у ^7 ’ 954. а) ll_2. '2 3’ Ч -1 1 1 в) 18 4’ Д) б) '4 3’ ч i 2 5. ^ 3 6 ’ 955. а) ^3 '2’ Ч -г1 1 . ^9 ^3’ Д) б|-з|; б) 4I-2—• ^5 "^10’ Г) е) 4|-1|. -.5 •") ^ я • 956. Найдите значение выражения: "б 5 /• 6 ' I 9 4 ^'20 I R I’ А_/2+А\+Х 10 5^ 10 20- 957. 958. 19 7 Какое из чисел больше: или -jg? На сколько? Сравните значения выражений: а) 1 + у и 1+у; в) 1+^ 2Q 23 б) 1-у и 1-|: Ч 19 ^ , 17 в) 1 + ^ И 1+^: ч 20 i г) l-oT И 1 30 18 23 959. а) Из 7у т картофеля магазин продал Зу т. Сколько тонн картофеля осталось? 3 1 б) в куске было Юу м материи. Израсходовали на платья 8у м. Сколько метров материи осталось в куске? 5 960. а) До остановки автобус ехал у ч, а на оставшийся путь он затратил на у ч меньше. Сколько времени занял весь маршрут, если на остановке автобус стоял ч? б) Туристы отправились на прогулку на лодке. До привала они плыли -J ч, обратный путь занял у них на у ч больше. Сколько време- ^ ^2 ни длился привал, если на всю прогулку ушло 5у ч? (20б)— 961. а) Найдите скорость лодки по течению реки и скорость лодки против течения, если ее собственная скорость 8 км/ч, а скорость течения реки 1-^ км/ч. б) Скорость лодки по течению реки равна 17-^ км/ч, а скорость те- 3 чения реки равна км/ч. Найдите собственную скорость лодки и ее скорость против течения реки. 962. Если открыть один кран, то детский бассейн наполнится за 12 мин. Какая часть бассейна останется незаполненной, если открыть кран: на 1 мин; на 2 мин? 963. По какому правилу составлена последовательность чисел? Запишите три следующих числа этой последовательности. Найдите сумму всех шести записанных чисел: а) 5. 4|. 4^, б) Зу, 3, 2j, 964. Покажем еще один прием для нахождения разности дробных чисел. Вычислим разность 4-|=(4|-1)+|=з|+|=з|=з|. Мы заменили вычитаемое ближайшим целым числом, в данном случае числом 1, и, чтобы разность не изменилась, «вернули» Воспользовавшись этим приемом, выполните вычитание: \ и 8 14. "^15 15’ б) 9^-5^° 21 в) 965. Найдите значение выражения: а) 20 9 35 3 28 в) 21 22 22 39 б) , . /41 5 \ , -.11 ^ f 84 21 30 966. 967. а) Два тракториста вспахали поле за 4 дня. Если бы работал один из них, то он вспахал бы поле за 6 дней. Какую часть поля обрабатывал каждый тракторист за день? б) Мастер и ученик сделали партию деталей за 3 ч. Если бы мастер работал один, то он выполнил бы эту работу за 4 ч. Какую часть работы выполнял каждый за 1 ч? а) Из пунктов А \л В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Один может проехать расстояние за 3 ч, а другой — за 2 ч. Какая часть расстояния будет между ними через 1 ч? б) с двух турбаз одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Один турист может пройти расстояние между турбазами за 5 ч, а другой — за 3 ч. Какая часть расстояния окажется между ними через 1 ч? 968. а) Один насос может выкачать воду из бассейна за 6 ч, а другой — за 4 ч. Какая часть бассейна останется наполненной водой после 1 ч их совместной работы? б) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 6 ч, а другая — за 8 ч. Какая часть рукописи останется неперепечатанной после 1 ч совместной работы? Умножение дробей м, а ширина — "г м. Задача. Длина прямоугольника Найдите его плош;адь. Решение. Вы знаете, что для нахождения плопцади прямоугольника нужно длину умножить на ширину, т. е. площадь должна быть равна у‘у (м^). Но как найти произведе-4 3„ ние На рисунке 206 показано, как можно получить прямоугольник с данными сторонами: разделить стороны квадрата со стороной 1 м на 5 равных частей и на одной его стороне взять 3 такие части, а на другой — 4 такие части. При таком делении весь квадрат разбит на 25 равных частей. Прямоугольник состоит из 12 таких частей, значит, площадь прямоугольника 12 25 4 5 м^. Поэтому произведение дробей 4: и 12 25* равно 12 25 т. е. Так как 12 = 4*3, а 25 = 5*5, то 4 3 4-3 5 5 5*5‘ Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем. 1 м 1 м Рис. 206 с помощью букв правило умножения дробей можно записать так: а*с b-d' „ . 2 5 2-5 10 Пример 1. j-Y=srY=-2i- Пользуясь сформулированным правилом, можно умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби. ,-г « о 3_2 3_2-3_6 Пример 2. 2-у=уу = уту = — тт о о ^ ^^ Пример 3. 2 9 2 9 2*9 7* 7*5 _ 35 “ 18* Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби. Пример 4. 4I.A ^5 14 3 1 21 5 _ 2Г-^_ 3 _ . 1 5 * 14 2 ~^2* Задачи, которые вы решали раньше умножением, решаются умножением и в том случае, если они содержат дробные данные. ^ Пример 5. Человек шел со скоростью 4-^ км/ч. Какое рас- 2 „ стояние прошел он за у ч? Если бы человек шел, например, 2 ч со скоростью 4 км/ч, то он прошел бы 4*2 км. Так же следует поступить и в данном случае — умножить скорость на время: Ответ: 3 км. Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения. Выполните умножение (969—975). 970. 971 972. Ч 4 5. 5 ‘ 7> А А. 9*5’ ч 3 2. а) 4*9, Г2 J3. 13 * 15’ ч 3 1 . а) 8*2’ 1 А. б) 4 • д, 969. а) j-y: б) 2*6’ ч 5 4. 6*7’ ч 3 1 . в) 4*4, ч 3 1 . I”) е; ’ 5 1 ч 8 1. д) Q ’ о I ч 3 2. 7*3’ 5 2 2 5 3 * 8 7 Jj 8 * 17 9 3 ч 1 А е) 2*3’ Ж) Q Ч > 9 3 £ 3 ' 5 ч 2 7 З) гз * я • ч 2 5. д) Ч ’ я' е) Ж) ж; 5 J, ч 7 3 9*5- 21 7 , 10’ 973. а) 2-у; 6)i-2; 8) l-IS; в) . J7 _1^. 5 ’ 14’ ч 3 1 5*6’ 3*5’ г) з-^; д) 4-3; е) 4-1; \ А 23. 15 * 28’ . _2_ е) 15*22- ч 3 1 . Д) я ■ 4' е) 8 4’ А 1 6*5- ж) 9-у; з) 4-4; и) 4 9- 974. а) 2— ^3 •2; в) з4-3; Д) 4- 9: б) 4- г) 5-2у; е) 3-1 1 4- 975. а) 4 2. ■ 9’ в) Д) 2—* 3. 5’ б) 3 7 * 2—• ^3’ г) 1-J • ly; е) 1.Я 8 . 1 *3- 976. а) В ЧИСЛОВОЙ последовательности первое следующее в 1у раза больше предыдущего. Запишите первые пять чисел этой последовательности. б) Запишите пять чисел, первое из которых равно у, а каждое следующее получается умножением предыдущего на у. Какое число больше — первое или последнее? 3 977. а) Сравните k \л k--^ при следующих значениях k: 4, 100, 2, 6, J, Увеличится или уменьшится число, если его умножить на дробь, меньшую единицы? 978. 979. 980. б) Сравните Ь и b^^^ при следующих значениях Ь\ 4, 100, 2, 6, |. Увеличится или уменьшится число, если его умножить на дробь, большую единицы? в) Какой смысл имеет слово «умножение» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим об умножении на дробное число? Вычислите квадрат и куб числа: 1 а) 2 Вычислите: а) f| б) I: в) т: г) у: д) 1- е) 3 3- ' о \3 б) (I В) Ij г) Д) в) 2^ Задание с выбором ответа. В сутках 24 ч. Поход продолжался 2 З-3 суток. Сколько это часов? А. 80 ч. Б. 88 ч. В. 72 ч. Г. 44 ч. 981. В одном часе 60 мин. Сколько минут: а) в 2-^ ч; б) в 3-| ч; в) в 1-| ч; г) в 4-| ч? 982. В одном килограмме 1000 г. Сколько граммов: а) в 5-g кг; б) В 2-:^ кг; В) В 4-^ кг; г) в 3 Найдите значение выражения (983- -986). 983. а) j-j-h 3 4 2. 8 ‘ 5■3’ В) J 2 10. \ 3 1 *5*11’ 5 ‘ 2 ■■ 984- а) + ^ 11 44 ' 4. ’ 9’ , . 2 ^ 14 5 ^ 3 15'7- _7_ 20 КГ? 985. а] в) 14-(4-+4^'4 1 I4-I 6 * 5 5 986. 987. 988. 5 15 Г 11’ \ 1 1-1 1 ’’^3*7 7'4- /18 ^ 3\ 25. б) I 25 I * ’ 7 88 21 7 Кассир работает ежедневно 7-^ ч. Сколько часов в неделю он работает: а) при пятидневной рабочей неделе; б) при шестидневной рабочей неделе? Сколько часов длятся 5 уроков, если один урок длится: а) т ч; б) f ч? 989. Сколько килограммов бисквита надо купить хозяйке, если она хочет сделать: а) 15 пирожных, по j кг каждое; б) 40 пирожных, по кг каждое? 990. а) Масса дыни 5 кг, а масса арбуза в полтора раза больше. На сколько килограммов масса арбуза больше массы дыни? б) В сумку положили J кг сахара, а крупы — в полтора раза больше. Какова масса сахара и крупы вместе? 991. а) За 1 ч велосипедист проехал 12 км. Сколько километров он про- 1 1 3 5 « ^ ехал за -2 ч, ^ ч, J ч, -g ч? Сколько километров он проедет, двигаясь 1113 с той же скоростью за 3 ч, l-^ ч, ч, 2-g ч, 3^ ч? б) Один килограмм яблок стоит 28 р. Сколько надо заплатить за 2 кг, кг, 2^ кг, ^ кг, кг яблок? 992. а) Спортзал прямоугольной формы имеет размеры 10^ м и 12 м. Чему равна плоицадь спортзала? б) Чему равна пло1цадь комнаты, размеры которой 5^ м и 3^ м? 2 993. На покраску стены требуется -j ч. Сколько времени потребуется, чтобы покрасить стену, площадь которой: а) в 2 раза больше; б) в 1у раза больше? diD— Вычислите (994—996). 4 10 15 5 ’ 27 ‘ 16 30 11 3 . 77 * 18 * 25’ 6 ' 2 ’^^4 "’'5 994 а) d/ с 97 1R. 995. а) 124'1-5-з|-4; \ 1 ^ 1. 7 ‘ 36 ‘ 5’ а _39_ 13 * 100'21 • б) 996. а) I 8 36 г 67 ’ , 3 с л и 1 о ^ 9 с. в) g ’5 + 4д *2 20 г) 2.1-1+4-4+lf 4. 997. При умножении смешанной дроби на натуральное число можно пользоваться распределительным свойством. Например: з|-2 = 3-2 + |-2 = 6+|=74 При этом промежуточные вычисления можно выполнять устно. Пользуясь этим приемом, найдите произведение: а) 15-|--4: б) 10|-9; в) 12^-5; г) nf-Ю. 998. Сравните числа т и т^, если известно, что: а) т больше 1; б) т меньше 1. 999. Сравните числа и с^, если известно, что: а) с больше 1; б) с меньше 1. 1000. Одна швея может выполнить работу за 4 ч, другая — за 5 ч. Какую часть работы выполнят они, работая вместе, за 2 ч, за ч, за j ч? 1001. Одна швея может выполнить работу за 4 ч, другая — за 8 ч. Успе- 2 ЮТ ЛИ ОНИ ВЫПОЛНИТЬ всю работу за 2-д ч, если будут работать вместе? 1002. Пол прямоугольной формы покрасили краской 2 раза. В первый раз 1 на каждый квадратный метр пошло кг краски, а во второй — кг. Сколько израсходовали краски, если длина пола 5 м, а ширина 4^ м? Деление дробей Возьмем дробь и «перевернем» ее, поменяв местами чис-“ 3 литель и знаменатель. Получим дробь -5-. Эту дробь называют 2 ^ обратной дроби -g. Если мы теперь «перевернем» дробь то получим исходную дробь Поэтому такие дроби, как Y ^ называют взаимно обратными. Взаимно обратными являются, например, дроби -г и 7 18 и у и Y (т. е. у и 5). 6 18 "" 7 С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать а Ь так: -7- и —. о а Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1. Например: 2 3 _ 70 183 3 * 2 183 * 70 1. Используя взаимно обратные дроби, мы сможем деление дробей свести к умножению. 2 7 Пусть, например, нужно вычислить частное дробей у и Запишем это неизвестное пока нам частное в виде дроби т. е. будем считать, что Так как делимое равно ml 2 частному, умноженному на делитель, то Умножим обе части последнего равенства на дробь, обратную 7 12 12» т. е. на ( т 7 \ 12 _ 2 п ' 12 Г 7 “3 12 7 HL (J- п ’ 12 12 7 2 12 3 * 7 т п 12 7 • Отсюда понятно правило деления дроби на дробь: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Используя буквы, правило деления дробей можно записать так: Пример 1. 2 3 8 . 4 _ 8 9 _ 4-^ _ 6 1 15 ‘ 9 15 * 4 5 Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби. Пример 2. о.1-1.А ^'4 1*4 2-4 1-3 1=91- 3 "^3* Пример 3. Пример 4. к1.о1-11 ^б*"^2 6 71-Q-J1.1 ‘ 2 2*1 7 1 . 35-^ _ 7 1 Jer-JS 3 ^ 3 • 3 1 5 >5-1 2'21 2— ^2' Задачи, которые вы раньше решали делением, решаются делением и в том случае, если они содержат дробные данные. Пример 5. Велосипедист проехал 9 км за ч. С какой скоростью он ехал? Если бы велосипедист проехал, например, 20 км за 2 ч, то его скорость равнялась бы 20:2=10 (км/ч). Так же следует поступить и в данном случае — разделить расстояние на время: 3 9-4 9: =12 (км/ч). Ответ: 12 км/ч. 1003. Найдите дробь, обратную данной: б) h \ ■'2 в) а) 5; Q, 5 1004. Найдите число, обратное данному: 9 , б) 2у; в) г) ^ , 10 а) г) д) у; е) -Q. д) 16; е) 5. 1005. Впишите в рамочку пропущенное число: а) |-П=1: B)2fQ=i; A)i-n=i; б) г) в) 12-Ц=1. Выполните деление (1006—1012). 1006. а) 2 . 5 3 ■ 7’ X 3 . 1 Г) 4-2; Ж) ж; 2 • 5> б) 1.1. 4 ■ 2’ ,3.3 д) 7 • 5. '=‘^3 5’ в) 2.2. 5 ■ 3’ '=’^9 9’ X 5. 7 и) 6 ‘ 12- 1007. а) 24; В)34; д) ж) 8:|; б) г) е) 10:^; 3) 9:f. 1008. а) 14; в) 1:-|; д) 1 Ж) 1:-|; б) 14; г) r-j) е) 1:|; З) 1 • 7• 1009. а) 42; в) ^■■5; Д) т-З; 9 12 Ж) -^'3; и) Jy б) 42; г) т-3; е) |:4; 3) J--2; 1010. а) з44 в) l|:2^ Д) 1у ■■З}; б) 5—: 3—' ^2 '^3’ г) З|:б| е) б| 7|- 1011. а) 16 . 20. 21 ■ 49 ’ г) 43т; ж) 5:2j; к) 10^:3j: 1012. л\ 1 5 . 8 . ^ 11 ■ 33' В) 1^:3; а) 14:42; б) 25:75; ii-11. 25 ■ 25' е) 1 —• ' 13 39’ В) 100:40; г) 6:5; 3) 4:1-^; \ 15.40. 28 ■ 49’ Д) 20:15; е) 15:9; X -.2.1. л) 13-3, М) 4| :2. ж) 7:8; з) 3:2. 1013. Заполните таблицу: а] ь С Ь*с 3 3 8 2 3 9 4 20 2 16 3 21 б) Ь С Ь-с 5 4 6 9 7 1 10 2 5 2 4 5 1014. Найдите неизвестное число: а) т-л:: б) 5 -л: 1 в) 2'Х = 3‘, г) i^x = ^^ д) X ’ 5 е) 8‘Х = 2; ж) д:-6 = 4: з) 3-л: = -^; и) л:*10 = 25. 1015. а) Сравните Ь и b-j при следующих значениях Ь: 3. 10, 60, |, J. Увеличится или уменьшится число, если его разделить на дробь, меньшую единицы? 3 б) Сравните d и d'-^ при следующих значениях d: 3, 10, 60, f, J, Увеличится или уменьшится число, если его разделить на дробь, большую единицы? в) Какой смысл имеет слово «деление» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим о делении на дробное число? 3 1016. а) Отрезок длиной 3-^ дм разделили на 5 равных частей. Какова длина одной части? б) Ленту длиной 14 м разрезали на 4 равные части. Какова длина одной такой части? 1017. Сколько порций получится, если трехкилограммовый пирог разрезать на порции: а) по у кг; б) по j кг; в) по у кг? —<2^ 1018. а) Проволоку длиной м разделили на куски по 50 см. Сколько получилось кусков? б) В пакете 5^ кг семян травы. Все семена надо разложить в пакетики, по 250 г в каждом. Сколько потребуется пакетиков? 1019. а) Расфасовали Зу кг творога в пачки по j кг. Сколько получилось пачек творога? б) Расфасовали кг конфет в упаковки, по j кг в каждую. Сколько получилось таких упаковок конфет? 1020. а) 2 кг конфет разложили в 8 коробок поровну. Сколько конфет в каждой коробке? б) 3 л сока разлили в 15 стаканов поровну. Сколько сока в каждом стакане? 1021. а) В чайнике 2у л воды. В каждую чашку хотят налить л воды. Сколько полных чашек получится? б) Для перевязки одной посылки требуется 2-j м веревки. Сколько таких посылок можно перевязать, используя клубок, в котором 17 м веревки? 1022. а) Мама сварила 2 кг варенья и хочет разложить его в баночки, каждая из которых вмещает ^ кг варенья. Сколько таких баночек потребуется? 3 б) В одну банку помещается у кг подсолнечного масла. Сколько понадобится банок, чтобы разлить 8 кг масла? 2 1 1023. а) За -g ч автомобиль прошел 40-2 км. Найдите скорость автомобиля. б) Скорость велосипедиста 10-^ км/ч. За какое время он проедет 7 км? 2 в) За 2-д ч велосипедист проехал 24 км. За какое время он проедет 30 км? 1024. Какую часть стены маляр красит за 1 ч, если всю стену он может покрасить: 3 1 а) за 3 ч; б) за 3-д ч; в) за 1-д ч? Найдите значение выражения (1025—1028). 1025. ч 4 5 .. а) 7 • 24 1 14’ ч 7 . 20 . 18 ■ 21 ■■ б) 25-^: 7. 9’ 1026. а) 2:3:5; б) 2:8-3; 1027. .1 3 . 2 ч 3 /2 а) ■4''" 8"^ ■3’ в) Зо • Т+ в) 6:10:3; г) 5:15-2. б) (1-1 1028. a)(1-|]:(i4 г) 14 _3_ 15 1 10’ V -in. 2 3 . 5 10’ е) б) ( Q + -5 в) ч / 1 ^ I 2\. 4, Д) 1 —— — \:?->2 8 ' ’ 3 + 4 2-I-); е) 1 4^8 4- 1029. а) На одной книжной полке 27 книг, а на другой в полтора раза меньше. Сколько книг на двух книжных полках вместе? б) В детский сад привезли 36 кг яблок, груш — в полтора раза меньше, чем яблок, а слив — в полтора раза меньше, чем груш. Сколько всего фруктов привезли в детский сад? 1030. а) Для приготовления крема берут 1 часть сливочного масла и 2 части сахарного песка. Сколько масла и сколько сахара надо взять, чтобы приготовить 1-^ кг крема? б) В начинку для черничного пирога кладут 3 части черники и 2 части сахара. Сколько черники и сколько сахара потребуется для 1-^ кг начинки? —<2^ 1031. Скорость электрички 50 км/ч. На своем маршруте она должна пройти три перегона длиной 12 км, 15 км и 18 км, сделав при этом две 1032. остановки по ч. Сколько потребуется времени на весь маршрут? 2 На путь из пункта А в пункт В автомобиль затратил 1-д ч, а на обратный путь — на 10 мин больше. Определите скорость автомобиля в каждом направлении, если расстояние от А до В равно 110 км. 1033. Расстояние между пунктами А и В равно 20 км. Из пункта А вышел турист со скоростью 4 км/ч. Из пункта В одновременно с ним выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Определите, через какое время они встретятся, если велосипедист едет навстречу туристу. 1034. Собственная скорость теплохода 30 км/ч, скорость течения реки км/ч. За какое время теплоход преодолеет 23 км по течению реки? За какое время теплоход преодолеет 17 км против течения реки? 1035. Расстояние между причалами 27 км. Сколько времени затратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость лодки 12 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч? Вычислите (1036—1038). 1036. а) + + 1037. а) б) fli + 2^VI+f6|-2|V4. 15 30 I I ^ I’ 3 3 1 б) ( R 10 15 1038. а) + + 1 1 б) 70: t + trPt-t • 10 1039. Вычислите наиболее простым способом: чо2.1,о2.2 а) 1i2’^i3'^i4’^i5‘^16’^17’ ^)37*1з+3у*1з; 2 . . 3 . . 3 . 3 б) 5 ■ ^ 5 ‘ ^ 8 ■ ^ 11 ’ ..3 q4 .3 л4 г) 4у8-^ 4у6-д. 1040. Сравните значения выражений, не выполняя вычислений: а) 999-| и 999:|; -L 1. QQ • ч И QQ • о , ,5.1 в) 7 •1Q И Г) ^ И 7 20^2 7 '8’ ^ 100 П 1 100 е) 154 и 15:4f 1041. 99 3 99 3 ’ 9 \ 9 I ' ■ 8 ^8 а) Веревку длиной 18 м надо разрезать на два куска так, чтобы один из них оказался в 3 раза больше другого. Сколько метров в каждом куске? б) В двух корзинах 32 кг яблок, причем в одной из них яблок в 4 раза меньше, чем в другой. Сколько яблок в каждой корзине? 1042. Повесть из 270 страниц решили напечатать в трех номерах журнала, причем во второй номер поместили часть повести, в 1^ раза большую, чем в первый номер, а в третий — в 2 раза большую, чем в первый. Сколько страниц повести было напечатано в каждом номере журнала? 1043. Выполняя домашнее задание. Толя заметил время, которое ушло на приготовление каждого урока: на работу с картой, на решение задачи, на заучивание стихотворения. Используя полученные данные, он составил две задачи. Решите их и попробуйте сами составить задачи, используя свои данные. а) Задания по географии и по математике ученик выполнял ч, причем работа с картой заняла на ч меньше, чем решение задачи. Сколько времени потребовалось на каждое задание? б) На работу с картой и заучивание стихотворения ученик затратил 2 о ■g ч, причем времени на заучивание стихотворения ушло в 3 раза больше, чем на работу с картой. Сколько времени занял каждый урок? 1044. Из неисправного крана капает вода. Андрей подставил под кран пол-литровую банку и заметил, что она наполнилась водой за ч. а) Сколько литров воды вытекает из этого крана за час? за сутки? б) За какое время окажется полной подставленная под этот неисправный кран двухлитровая банка? шестилитровое ведро? 1045. От причала вниз по реке отплыл плот. Ниже по течению реки на расстоянии 17 км от первого причала находится второй. От него на- 2 встречу плоту через -д ч после отплытия плота отправляется теплоход. Через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом, если собственная скорость теплохода равна 25 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч? Рис. 207 1046. Расстояние между городами А и В равно 20 км. Из пункта А вышел турист со скоростью 4 км/ч. Из пункта В одновременно с ним в противоположном направлении выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через какое время турист и велосипедист окажутся на расстоянии 40 км друг от друга? (Рассмотрите два случая.) 1047. Два курьера идут навстречу друг другу и в пути встречаются. Через 5 оЗ ч после их встречи расстояние между ними стало равным 3-^ км. С какой скоростью движется первый курьер, если скорость второго 3-^ км/ч? 1048. Для показа собак соорудили трибуну, передняя стенка которой изображена на рисунке 207. Вычислите площадь передней стенки трибуны и определите, сколько баночек с краской надо купить для ее покраски, если одной баночки хватает на покраску ly м Нахождение части целого и целого по его части Как вы знаете, дроби в математике используются для того, чтобы кратко обозначать часть величины, которая рассматривается. Например, десятину — величину оброка в Древней Руси — можно обозначить дробью Или когда мы говорим «три восьмых садового участка», то эту часть участка можно указать дробью -|-. Если речь идет о части, то обязательно есть и целое — то, от чего берется соответствующая часть. Так, в наших примерах целое — это весь собранный урожай и вся площадь садового участка. Зная целое, нужно уметь находить его часть, указанную соответствующей дробью, и, наоборот, по известной части «восстанавливать» целое. Рассмотрим две задачи. Задача 1. В пятых классах учатся 42 ученика; из них приняли участие в различных олимпиадах. Сколько человек участвовало в олимпиадах? Целое здесь задано числом 42. Чтобы ответить на вопрос 2 задачи, надо наити -д от этого числа. Сначала найдем -|- от 42. Для этого 42 разделим на 3: 42:3=14. 2 Чтобы найти -д от 42, умножим 14 на 2: 14*2 = 28. Значит, в олимпиадах участвовало 28 пятиклассников. Мы решили задачу с помош;ью рассуждений, опираясь на смысл дроби -W. Однако тот же результат можно получить, ес-^ 2 ЛИ умножить число 42 на дробь В самом деле. 42 14 4^-2 -3' = 28. Вообш;е, если требуется найти часть от целого, заданного некоторым числом, можно пользоваться следуюш;им правилом: чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь. Задача 2. Известно, что в различных олимпиадах приня- 2 ли участие 28 пятиклассников, что составило всех учащихся пятых классов. Сколько пятиклассников в школе? Здесь известна часть целого, — число 28; этой части соот-2 ветствует дробь Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно 2 ^ по дроби найти неизвестное целое. Опять решим задачу с помощью рассуждений. Так как 28 — это всех пятиклассников, т. е. целого, то — это 28:2=14. А все целое — это и оно равно 14*3 = 42. Итак, всего в школе 42 пятиклассника. Но, как и в предыдущем случае, ответ можно получить другим способом, воспользовавшись соответствующим правилом действия с дробями. В самом деле, разделив число 28 на дробь 2 получим тот же результат: 14 2^<28--3 3 -2^ 1 42. Вообще, если требуется по части найти целое, можно пользоваться следующим правилом: чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее. 1049. а) На ветке сидело 12 птиц, потом -j их улетело. Сколько птиц улетело? 3 б) В классе 32 ученика, из них каталось на лыжах. Сколько учащихся каталось на лыжах? 2 в) От тесьмы, длина которой 10 м, отрезали ее длины, чтобы завязать коробку с подарками. Сколько метров тесьмы отрезали? 1050. а) В коробке 300 разноцветных шариков. Синие шарики составляют всех шариков, красные — желтые — Сколько в коробке синих шариков? красных шариков? желтых шариков? б) На странице 2000 букв, i всех букв составляет буква «а», 3 3 3 всех букв — буква «и», — буква «м», — буква «ь». Сколь- ко раз встречается на странице каждая из этих букв? а) Таня выполняла домашнее задание 1^ ч, причем этого времени она потратила на решение задач. Сколько времени Таня решала задачи? Выразите ответ в часах, а затем в минутах. 2 1 б) Занятия в школе длятся 6-^ ч, причем ^ этого времени отводится на перемены. Сколько времени отводится на перемены? Выразите ответ в часах, а затем в минутах. 5 а) Было 3500 р., потратили у всех денег. Сколько денег осталось? 1051 1052. б) В тетради 24 страницы, у всех страниц исписаны. Сколько в тетради чистых страниц? 1053. а) Велосипедисты за три дня проехали 144 км. В первый день они проехали у всего пути, а во второй — всего пути. Сколько километров они проехали в третий день? б) Автотуристы за три дня проехали 360 км. В первый день они про-2 3 ехали у, а во второй день — у всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день? 1054. В драмкружке занимается несколько мальчиков и 24 девочки. Число мальчиков составляет у числа девочек. Сколько всего учащихся занимается в драмкружке? 1055. Фильм длится 80 мин. При трансляции по телевидению фильм пре- 3 рывается рекламой, длительность которой составляет длительности фильма. Сколько времени займет трансляция фильма (вместе с рекламой) по телевидению? 2 1056. В классе 18 мальчиков и 16 девочек, -к числа всех мальчиков и 1 ^ у числа всех девочек занимаются в литературном кружке. Сколько учащихся занимается в литературном кружке? 8~г. в. Дорофеев, 5 кл. 1057. а) Какова сумма денег, если 12 р. составляют имеющейся суммы? 3 б) Определите длину отрезка, у которого имеют длину 15 см. 2 1058. а) Сыну 10 лет. Его возраст составляет у возраста отца. Сколько лет отцу? 2 б) Дочери 12 лет. Ее возраст составляет у возраста матери. Сколько лет матери? 1059. а) На пути от дома к озеру Андрей встретил друга. Они вместе про- 2 шли оставшиеся 300 м, что составило у расстояния от дома Андрея до озера. На каком расстоянии от дома Андрея находится озеро? 0 б) До обеда продали 900 кг арбузов, что составило привезенных для продажи арбузов. Сколько килограммов арбузов привезли для продажи? 1060. Задача с выбором ответа. Перед началом футбольного матча продавец продал у пирожков, а в перерыве — еще 15 штук. После это- 2 го у него осталось у того количества пирожков, которые он принес для продажи. Сколько пирожков было у него вначале? А. 56. Б. 68. В. 70. Г. 84. 1062. 1061.Сумма четырех чисел равна 150. Первое число составля-6 7 ет суммы, второе — у первого числа, а третье — на 24 меньше четвертого числа. Найдите эти числа. 3 Ширина прямоугольника 21 см, а длина составляет 1у его ширины. а) Какова площадь прямоугольника? б) Какова длина стороны квадрата с тем же периметром? Цена упаковки составляет цены игрушки. Найдите стоимость игрушки с упаковкой, если цена игрушки: а) 400 р.; б) 150 р. 1063. 1064. В супермаркете «Прогресс» покупатель получает скидку в зависимо сти от стоимости покупки: от 100 р. до 500 Р- — стоимости; от 1065. 1066. 1067. 1068. 1069. 1070. 1071 1072. 1 3 500 р. до 1000 р. — ^ стоимости; от 1000 р. и выше — стоимости. Сколько рублей покупатель заплатит за покупку, если ее стоимость составляет: а) 140 р.; б) 755 р.; в) 2360 р.? а) Было 1000 р. На первую покупку потратили 4- этой суммы, а на 3 вторую — -4 остатка. Сколько рублей осталось? б) Туристы за три дня прошли 48 км. В первый день они прошли ^ всего расстояния, а во второй день — остатка. Сколько километров они прошли в третий день? 3 Прочитали 90 страниц. Это составило всей книги. Сколько страниц осталось прочитать? 2 Когда прочитали 35 страниц, то осталось прочитать у книги. Сколько страниц в книге? В первый день прочитали у, а во второй — у числа всех страниц книги. После этого осталось прочитать 80 страниц. Сколько всего страниц в книге? а) Туристы прошли свой маршрут за два дня. В первый день они 3 1 3 прошли -у маршрута и еще 4у км, во второй день — у маршрута и оставшиеся 5у км. Какова длина маршрута? б) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунк- 2 тов А \л В. При встрече оказалось, что один из них прошел у все- >•0 -• 1 - 1 го расстояния от А до Б и еще ly км, а другой прошел у всего расстояния от А до Б и еще 2у км. Чему равно расстояние от пункта А до пункта Б? Машинистка перепечатала треть всей рукописи, потом еще 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи? Половину книг школьной библиотеки составляют учебники, шестую часть всех учебников — учебники математики. Какую часть всех книг составляют учебники математики? Некто израсходовал половину денег и у остатка. У него осталось 6 тыс. р. Сколько денег было первоначально? 8* ^ sc: "‘v-c 1073. Ha день рождения к Васе пришли четыре друга. Первый получил у пирога, второй — остатка, третий — у нового остатка. Оставшуюся часть пирога Вася разделил поровну с четвертым другом. Кому досталась большая часть? 2 1074. Сыну 8 лет, его возраст составляет у возраста отца. Возраст отца составляет у возраста дедушки. Сколько лет дедушке? 1075. В делегации иностранных гостей каждый знал или английский язык, 1 или немецкий, а некоторые говорили на двух языках; у «англичан» знала немецкий язык, а у «немцев» знала английский язык. Кого в делегации больше — «англичан» или «немцев»? Задачи на совместную работу В учебнике вам встречалась такая задача: «Библиотеке надо переплести 900 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая — за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?» Вспомним, как она решается: 1) 900 ПО = 90 (кн.) — столько книг может переплести за один день первая мастерская; 2) 900П5 = 60 (кн.) — столько книг может переплести за один день вторая мастерская; 3) 90-^60=150 (кн.) — столько книг переплетут за один день две мастерские вместе; 4) 900:150 = 6 (дн.) — за столько дней выполнят работу мастерские, если будут работать вместе. Поменяем теперь в задаче первое условие: будем считать, что библиотеке надо переплести не 900, а 1200 книг, а остальные условия оставим прежними. Решив задачу с новым условием, получим тот же самый ответ: при совместной работе мастерские смогут переплести 1200 книг по-прежнему за 6 дней. Почему так получается? Оказывается, ответ задачи не зависит от того, сколько книг требуется переплести, и эту задачу можно решить, не учитывая первое условие. Сформулируем нашу задачу по-новому: «Библиотеке надо переплести некоторое количество книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая — за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе? » Решение. Узнаем сначала, какую часть работы может выполнить за один день каждая мастерская. Всю работу примем за единицу. Тогда рассуждения будут такими: 1) l:10=-j^ — такую часть работы может выполнить за один день первая мастерская; 2) 1:15 = ^ — такую часть работы может выполнить за один день вторая мастерская; 3) + — такую часть работы могут выполнить за один день две мастерские вместе; 4) 1:-|-=6 (дн.) — за столько дней переплетут книги мастерские, если будут работать вместе. Следующая задача, которую мы разберем, не на совместную работу, а на движение. Но мы не случайно рассматриваем ее в этом пункте. Вы увидите, что она решается так же, как и предыдущая. Задача. Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 часов. Однажды грузовая и легковая машины одновременно выехали навстречу друг другу из этих го- родов и встретились через 12 ч. За сколько часов легковая машина проезжает расстояние между этими городами? Решение. Расстояние между городами примем за 1. 1) 1-12=^ — на такую часть расстояния сближаются машины за 1 ч; 2) 1:30 = -^ — такую часть расстояния проезжает грузовая машина за 1 ч; 04 1 1 _ 3 _ 1 3) — такую часть расстояния проезжает легковая машина за 1 ч; 4) 1:-^=20 (ч) — за столько часов проезжает расстояние между городами легковая машина. 1076. В час первая труба наполняет бассейна, а вторая — бассейна. Какую часть бассейна наполняют за 1 ч две трубы вместе? За сколько часов наполнится весь бассейн, если открыть обе трубы? 1077. Через первую трубу бассейн можно наполнить за 3 ч, через вторую — за 6 ч. Какую часть бассейна наполняет каждая труба за 1 ч? Какую часть бассейна наполнят две трубы за 1 ч? За сколько часов наполнится весь бассейн, если открыть обе трубы одновременно? 1078. а) Через первую трубу можно наполнить бак за 4 мин, через вторую — за 12 мин. За сколько минут можно наполнить бак через две трубы? б) Одна бригада может выполнить работу за б дней, а другая — за 12 дней. За сколько дней две бригады выполнят ту же работу вместе? 1079. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, хватит ли привезенного корма уткам и гусям вместе на 20 дней. (230)— 1080. а) Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся? б) Расстояние от станции до турбазы велосипедист проезжает за 4 ч, а турист проходит за 12 ч. Они отправились из этих двух пунктов навстречу друг другу одновременно. Через сколько часов они встретятся? 1081. а) Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней или одного первого цеха в течение 30 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы одного второго цеха? б) Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле? 1082. Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а другая — за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания три дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание? 1083. Из пунктов А и Б одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришел в В. Через сколько часов после своего выхода из В второй пришел в А? 1084. Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта В в А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и еще через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из Б в А? 1085. Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки — за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние по реке? 1086. Плот от А до Б плывет 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько времени катер плывет от Б до А? 1087. Вниз по течению пароход идет 2 ч, а вверх — 3 ч. Сколько времени между теми же пунктами будет плыть бревно? для ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Старинные задачи на дроби В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречается много интересных задач на дроби. Решение каждой из таких задач требует немалой смекалки и сообразительности, умения рассуждать. Рассмотрим несколько примеров из старинных русских учебников арифметики. Пример 1. Путник, догнав другого, спросил его: «Далеко ли до деревни, которая впереди?» Другой путник ответил: «Расстояние от деревни, из которой ты идешь, равно трети всего расстояния между деревнями. А если пройдешь еш;е две версты, будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось идти первому путнику? Решение. Две версты, которые нужно пройти первому путнику до середины пути между деревнями, составляют часть всего расстояния между деревнями. Значит, расстояние между деревнями в 6 раз больше и равно 2*6=12 верст. Поскольку к моменту встречи путник прошел треть пути, т. е. 12*-|-=4 версты, ему осталось пройти 12 — 4 = 8 верст. Пример 2. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за год, второй — за два года, третий — за три года, четвертый — за четыре года. За сколько лет они построят дом при совместной работе? Решение. Это задача на совместную работу, и, конечно, ее можно решить тем способом, который разобран в пункте 9.7. Однако в знаменитой «Арифметике» Л. Ф. Магницкого, вышедшей в России в 1703 г., предложен другой красивый способ решения задачи. На современном языке это решение можно изложить так. Посмотрим, сколько домов могут построить плотники за 12 лет. Первый плотник может построить 12 домов, второй — 6 домов, третий — 4 дома, четвертый — 3 дома. Значит, всего они могут построить за 12 лет 124-6-Ь4 + 3 = 25 домов. По- 12 этому один дом вместе они построят за 12:25 = -^ года. Понятно, почему при решении задачи был выбран именно промежуток в 12 лет: число 12 делится на каждое из чисел 2, 3 и 4, о которых говорится в задаче. 1088. Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 лет до н. э.). Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: — Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада? Пастух отвечает: — Я привожу две трети от трети скота. Сочти, сколько быков в стаде. 1089. {Китай, II в. н. э.) Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? 1090. В знаменитой книге «1001 ночь» мудрец задает юной деве следующую задачу: «Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?» 1091. {Брахмагупта, Индия, около 600 г.) Слониха, слоненок и слон пришли к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3 ч, слониха — за 5 ч, а слоненок — за 6 ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро? 1092. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (Россия, XVIII в.). Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена? 1093. Из книги «Косс» Адама Ризе {XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось 4- этой суммы, на долю вто- 1 рого — у, а на долю третьего — 17 флоринов. Как велик весь вы- игрыш? 1094. 1 Из Акмимского папируса (VI в.). Некто взял из сокровищницы Из того, что осталось, другой взял гу. Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально. 1095. {Древняя Греция, Герои Александрийский, I в. до н. э.) Бассейн может заполняться через четыре фонтана. Если открыть только первый фонтан, бассейн наполнится за день, только второй — за два дня, только третий — за три дня, только четвертый — за четыре дня. За какое время наполнится бассейн, если открыть все четыре фонтана? Задания для самопроверки (Обязательные результаты обучения) 1. Вычислите: а) 7 + у, 2 2 б) 4+4: \ 3^3. в) с + 7 I \ 3 Г) -R + 8- о D 17 10 2. Выделите целую часть числа: у, у. 1 4 3. Представьте в виде неправильной дроби: 1у, Зу. 4. а) Выразите в метрах: Зу км. б) Выразите в минутах: 2у ч. 5. Начертите координатную прямую с единичным отрезком в 5 клеток и отметьте на ней числа: ly, ly, 2у. 6. Выполните сложение: а) 5 + -q; б) з|+1|. 7. Найдите разность: а) 1- 1 . 9’ V 3 1 в) 4 8’ д) 1-|; ж) 2g 1,2; б) 3. 5’ V 5 1 ’’^6 4’ е) 4-l|; 3) З-1-f 8. Старший брат выкрасил всего забора, а младший — ^ всего забора. Какая часть забора осталась неокрашенной? 9. Вычислите: а) 25 * 8' б) 12^ *4; в) 2f г) i- 10. Найдите значение выражения 11. Выполните действия: а) б) |:30; в) 20:2-1; г) 2-1:3; 4 1 5 12. Найдите значение выражения уу-у- Д) (iif- Д) 15:12. 13. В одной коробке 7^ кг яблок, а в другой — в 3 раза меньше. Сколько килограммов яблок в двух коробках? 14. а) Пешеход идет со скоростью 6 км/ч. Какое расстояние пройдет он 2 о за 3 ч? 3 б) За ^ ч велосипедист проехал 6 км. Чему равна скорость велосипедиста? в) Турист идет со скоростью 4 км/ч. За какое время он пройдет 3 км? 4 15. Для ремонта привезли 36 кг краски. Израсходовали -д всей краски. Сколько килограммов краски израсходовали? Геометрические тела и их изображение Нас окружает множество предметов. Они отличаются формой, размерами, материалом, из которого изготовлены, окраской и многими другими качествами. Математиков интересуют лишь форма предметов и их размеры, поэтому вместо предметов они рассматривают геометрические тела^ например куб, цилиндр, шар, конус (рис. 208). Форму шара имеет, например, мяч. Многие небесные тела имеют форму, близкую к форме шара. Стакан и карандаш часто имеют форму цилиндра. А вот про обсерваторию, которую вы видите на фото, можно сказать, что она состоит из цилиндра и по л у шара. Названия многих геометрических тел идут из глубокой древности, причем произошли они от соответствуюш;их предметов. Например, из Древней Греции пришли термины «конус» {conus — еловая шишка, в дальнейшем — предмет, которым затыкали бочку), «пирамида» {рига — огонь, костер), «цилиндр» {cylindrus — валик). Вспомним, что замкнутая линия разбивает плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Точно так же и в пространстве: поверхность каждого гео- цилиндр Рис. 209 метрического тела делит пространство на внутреннюю и внешнюю области. Поверхность шара называется сферой^ а для поверхностей других геометрических тел специальных терминов нет, говорят просто: поверхность конуса, поверхность куба и т. д. Среди множества геометрических тел есть большая группа многогранников. Некоторые из них изображены на рисунке 209. При всем разнообразии многогранников они имеют ряд обш;их свойств. Поверхность любого многогранника состоит из многоугольников. Каждый из этих многоугольников называют гранью многогранника. Вершины этих многоугольников являются вершинами многогранника, а стороны — ребрами многогранника. Обратите внимание: у многоугольника вершин столько же, сколько сторон, а у многогранника число вершин и число граней необязательно одинаково. С давних пор люди искали различные способы изображения объемных тел, передаю-щ;ие ош;уш;ение глубины пространства. Были разработаны специальные приемы, позволяюпдие обмануть зрение. Один из них — перспектива. Примером перспективы может служить картина, на которой изображены железнодорожные рельсы: рельсы кажутся сходяпдимися в одной точке, что и создает иллюзию объемного изображения. Рис. 210 Посмотрите на рисунок 210, а. Здесь изображен многогранник. Хорошо видны три его передние грани, но, не «обойдя» его, невозможно представить себе, как он выглядит сзади. Представьте себе, что этот многогранник прозрачный (рис. 210, б). Теперь мы видим все его грани, ребра, вершины. Но изображать многогранник прозрачным не очень удобно: получается набор линий, как на рисунке 210, в, в котором трудно разобраться. Глядя на этот рисунок, невозможно понять, как линии расположены в пространстве. Поэтому договорились линии, которые скрыты от глаз наблюдателя, изображать не сплошными, а штриховыми, как показано на рисунке 210, г. 1096. На рисунке 211 изображены различные геометрические тела. Есть ли среди них многогранники? Назовите остальные тела. 1097. Рассмотрите спичечный коробок. Какую форму он имеет? Сколько у него граней, вершин, ребер? Расположите его перед собой так, как показано на рисунке 212. 1098. 1099. 1100. 1101 1102. 1103. Рис. 212 к Рис. 213 Возьмите какой-нибудь многогранник. Рассмотрите его и ответьте на вопросы. 1) Какую форму имеют его грани? Сколько их? Есть ли среди них равные? 2) Сколько у многогранника ребер? Есть ли у него ребра одинаковой длины? 3) Сколько у многогранника вершин? Сколько ребер выходит из каждой вершины? Есть ли среди них равные? Сколько граней сходится в каждой вершине? а) Найдите в вашем наборе многогранников такой же, как многогранник, изображенный на рисунке 213. Сколько у него граней? Какую форму они имеют? Сделайте из палочек и пластилина каркас этого многогранника. б) Выполните то же задание для многогранника, изображенного на рисунке 211 под номером 2. Возьмите куб и определите, сколько у него граней, вершин, ребер. Определите число ребер и число граней куба, сходящихся в каждой его вершине. Поставьте куб на стол. Сколько граней куба имеют общие ребра с нижней гранью? Сколько граней куба не имеют общих ребер с нижней гранью? У многогранника 4 верщины. Найдите такой многогранник в вашем наборе и на рисунке 209. Сколько граней сходится в каждой вершине этого многогранника? Сколько всего у него граней? Какую форму они имеют? Сколько у этого многогранника ребер и сколько ребер выходит из каждой вершины? Какая фигура на рисунке 214 сверху: треугольник или квадрат? Перенесите рисунок в тетрадь и раскрасьте верхнюю фигуру. Сложите полоску бумаги гармошкой и расположите ее на столе так, как показано на рисунке 215. а) б) Рис. 215 Рис. 217 1104. Сверните лист бумаги пополам и расположите его так, как показано на рисунке 216. 1105. На рисунке 217 изображен многогранник. 1) Назовите его невидимые ребра. Назовите грани, у которых: а) все ребра видимые: б) есть видимые и невидимые ребра; в) все ребра невидимые. В каких случаях грань будет видимой, а в каких нет? 2) Сколько ребер сходится в вершине А? Какие из них видимые, а какие невидимые? Назовите вершины, в которых сходятся: а) и видимые, и невидимые ребра; б) только видимые ребра; в) только невидимые ребра. В каких случаях вершина видима, а в каких нет? 1106. Назовите видимые и невидимые грани многогранника (рис. 218). Сколько всего у него граней? Какова их форма? Сколько граней имеют общую вершину А? Какие из этих граней видимые? а) б) Рис. 219 Рис. 220 1107. На рисунке 219 изображен цилиндр. Нарисуйте от руки в тетради цилиндр, проведя видимые линии сплошными, а невидимые — штриховыми. 1108. Перерисуйте в тетрадь многогранник (рис. 220). Закрасьте его видимые грани, используя для каждой грани свой цвет. 1109. Найдите многогранник, изображенный на рисунке 221 слева, среди многогранников, изображенных на этом рисунке справа. 1110. На рисунке 222 изображены многогранник и его виды спереди и слева. Перенесите рисунок 222, 6 в тетрадь и проставьте буквы на нарисованных вами гранях в соответствии с рисунком 222, а. Мысленно поверните многогранник к себе задней гранью. Нарисуйте в тетради заднюю грань многогранника и проставьте буквы. 1111. От куба отрезали угол (рис. 223). 1) Сколько граней у получившегося многогранника? Какую форму они имеют? Сколько у него вершин? Сколько ребер? Сколько граней на этом рисунке не видно? А сколько вершин? 2) Начертите пятиугольную грань многогранника, если ребро куба 4 см, а разрез проходит через середины ребер куба. .-■яУ I -■! 1 Рис. 221 а) М___б) е2Ш7 о__R В\_______ / D вид спереди вид слева Рис. 222 Рис. 223 9—г. в. Дорофеев, 5 кл. —(2^ 3) Как вы думаете, сколько граней будет у этого многогранника, если отрезать еще один угол? 1112. Как пройти по всем ребрам многогранника, изображенного на рисунке 224, проходя каждое ребро только один раз? Выпишите последовательность вершин при таком обходе. 1113. Перерисуйте в тетрадь многогранник, изображенный на рисунке 220 так, чтобы видимые грани стали невидимыми, а невидимые грани стали видимыми. 1114. Взяли три одинаковых проволочных квадрата и спаяли их в вершинах так, что получилась каркасная модель многогранника, изображенная на рисунке 225. Найдите исходные квадраты на рисунке и назовите их. Возьмите три таких проволочных квадрата и попробуйте сложить из них многогранник, изображенный на рисунке. Рис. 224 Е Параллелепипед Рис. 225 Многогранники могут иметь самую различную форму. Среди них выделяют параллелепипеды (рис. 226). Обычный, всем известный кирпич с точки зрения геометрии является параллелепипедом. Форму параллелепипеда имеют многие предметы, с которыми мы встречаемся в жизни, например коробки, используемые для упаковки различных товаров. Форму параллелепипеда часто используют архитекторы при проектировании зданий (см. фото). У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Каждая грань параллелепипеда — прямоугольник. Противоположные грани параллелепипеда равны. Каждый параллелепипед имеет Клуб им. и. в. Русакова, три измерения: длину, ширину и вы-Москва. 1929 г. соту (рис. 227). Рис. 226 Рис. 227 Среди всех параллелепипедов особую роль играет один, хорошо вам известный — куб. Куб — это такой параллелепипед, у которого все ребра равны, поэтому все его грани — квадраты. Понятно, что все три измерения куба равны между собой. 1115. Назовите пипеда. три предмета, имеющие форму параллеле- 1116. Возьмите шесть одинаковых кубиков и сложите из них разные параллелепипеды. Сколько всего параллелепипедов можно сложить? Для каждого из них найдите длину, ширину и высоту. 1117. В качестве параллелепипеда возьмите спичечный коробок. Обведите одним и тем же цветом его равные ребра. Сколько разных цветов вам для этого потребуется? Сколько ребер прямоугольного параллелепипеда выходит из каждой его вершины? Как они окрашены на вашем спичечном коробке? Сколько равных граней у прямоугольного параллелепипеда? Как они расположены? Сколько граней параллелепипеда сходится в каждой вершине? Как окрашены ребра этих граней на вашем спичечном коробке? 1118. Скопируйте в тетрадь параллелепипед, изображенный на рисунке 228, следующим образом: • начертите переднюю (видимую) грань параллелепипеда; • проведите видимые и невидимые ребра боковых граней: • начертите заднюю (невидимую) грань. к с 1119. Перенесите в тетрадь изображение параллелепипеда (рис. 229) и дорисуйте невидимые ребра штриховой линией. 1120. Перечертите в тетрадь параллелепипед, изображенный на рисунке 230, проводя линии так, чтобы грань ABCD была невидимой. 1121. На рисунке 231 изображен куб. Три его грани, имеющие общую верщину D, хотят окрасить в красный цвет, а остальные — в синий. Какие грани будут красными? синими? Назовите общую вершину всех синих граней. 1122. На рисунке 232 изображен параллелепипед. Известны длины его ребер: АВ = 6 см, ML = 4 см, ЛМ = 2 см. 1) Определите длины всех ребер данного параллелепипеда. 2) Каковы размеры граней AMNB, BNKC, MLKN7 Назовите равные им грани. 3) Определите периметр грани ABCD. 4) Начертите грань CDLK в натуральную величину. 1123. Какой длины проволочку достаточно взять, чтобы сделать каркасную модель: а) куба с ребром 10 см; б) параллелепипеда с измерениями 6 см, 10 см, 14 см? 1124. У параллелепипеда длина равна 5 см, ширина — 3 см, высота — 2 см. Начертите все различные грани этого параллелепипеда в натуральную величину. 1125. Сколько и каких фигур надо вырезать из стекла, чтобы сделать аквариум, длина которого равна 40 см, ширина — 20 см, а высота — 30 см? 1126. Найдите сумму площадей всех граней: а) куба с ребром 6 дм; б) параллелепипеда, длина которого равна 8 см, ширина — 4 см, высота — 3 см. 1127. Нужно окрасить куб с ребром 5 дм. Какую площадь нужно окрасить? 1128. Из кубиков с ребром 2 см сложили параллелепипед (рис. 233). Определите его длину, ширину и высоту. Из скольких кубиков сложен этот параллелепипед? Рис. 233 1129. Задание с выбором ответа. Сколько нужно кубиков, чтобы сложить башню (рис. 234)? А. 25. Б. 30. В. 43. Г. 49. 1130. 1) Сложите параллелепипед из одинаковых кубиков, выложив в длину 3 кубика, в ширину 2 кубика, в высоту 2 кубика. Подсчитайте число затраченных кубиков. А сколько кубиков потребуется, если в длину выложить 5 кубиков, в ширину 3 кубика, в высоту 2 кубика? 2) Ребро кубика приняли за единицу длины. В каком случае потребуется больше таких кубиков, чтобы сложить из них куб с ребром, равным 3 ед. длины, или параллелепипед с ребрами, равными 3, 4 и 1 ед. длины? 3) Коробку начали заполнять кубиками, как показано на рисунке 235. Сколько кубиков войдет в коробку? 4) В какую коробку войдет больше кубиков с ребром 1 см: с размерами 4 см, 3 см и 2 см ^ _______14 или с размерами 2 см, 2 см и 5 см? _____ 1131. На рисунке 236, а изображен куб, а на рисунке 236, б — параллелепипед, сложенный из двух таких кубов. Нарисуйте два разных многогранника, сложенные из трех кубов. Есть ли среди них параллелепипед? б) \ ч Рис. 234 Рис. 235 Рис. 236 3 CM Рис. 238 Рис. 237 380 мм Рис. 239 Рис. 240 1132. Многогранники на рисунке 237, б составлены из одинаковых параллелепипедов, один из которых изображен на рисунке 237, а. Определите длины выделенных ломаных. 1133. Можно ли переложить бруски, изображенные на рисунке 238, так, чтобы получился куб? Если да, то каковы будут размеры этого куба? 1134. Сколько шпагата потребуется, чтобы перевязать коробку так, как показано на рисунке 239? На бантик необходимо оставить 2 дм. 1135. Из трех одинаковых брусков сложен параллелепипед (рис. 240). Длина бруска равна 8 см, ширина — 4 см, высота — 2 см. Чему равны размеры параллелепипеда? 1136. Из двух одинаковых листов стекла вырезают заготовки для аквариумов, изображенных на рисунке 241. В каком случае плоидадь обрезков будет больше? 1137. а) Прямоугольный лист цветной бумаги имеет размеры 16 см и 6 см. Достаточно ли этого листа, чтобы оклеить куб с ребром 4 см, если оклеивать можно кусочками бумаги любой формы? 50 см Рис. 241 б) Прямоугольный лист цветной бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа, чтобы оклеить параллелепипед длиной 3 см, шириной 4 см и высотой 5 см? 1138. Куб с ребром 3 дм окрасили зеленой краской и распилили на кубики с ребром 1 дм (рис. 242). 1) Сколько всего получилось кубиков? Сколько среди них имеет одну окрашенную грань, две окрашенные грани, три окрашенные грани? Есть ли неокрашенные кубики? 2) Все кубики выложили в один ряд. Какова длина ряда? 1139. Какие многогранники могут получиться при разрезании куба плоскостью? Проведите эксперимент: вылепите кубик из пластилина и, выбирая различные направления, разрежьте его на две части ножом. Рис. 242 Объем параллелепипеда Еще в глубокой древности у людей возникла необходимость в измерении количества различных веществ. Сыпучие вещества и жидкости можно было мерить, наполняя ими сосуды определенной вместимости, т. е. определяя их количество по объему. В Киевской Руси существовала мера зерна — кадь. (Это примерно 230 кг ржи.) Жидкости же мерили бочками и ведрами. В XIX в. система мер жидкости имела вид: 1 бочка=40 ведрам, 1 ведро =10 штофам, 1 штоф = 2 бутылям, 1 бутыль =10 чаркам. ч: ю На рисунке 243 вы видите две коробки. Какая из них вместительнее? Чтобы ответить на этот вопрос, можно заполнить одну из коробок, например, песком, а затем проверить, весь ли песок поместится в другой коробке, и если весь, то заполнит ли он ее полностью. Однако решить эту задачу можно иначе — вычислить объемы коробок. Для этого нам нужны единицы объемов. Интересно, 3 дм 1 CM 1 CM a) 6) b) 1 CM 1 CM 1 CM 1 CM Рис. 244 Рис. 245 ЧТО еще в Древнем Вавилоне единицами объемов служили кубы, ребром которых являлись единицы длины (рис. 244). Точно так же поступают и сейчас: объем куба с ребром 1 см принимают за один кубический сантиметр (1 см^), объем куба с ребром 1м — за один кубический метр (1 м^) и т. д. Вычислим объемы наших коробок в кубических дециметрах. На основании первой коробки вдоль ребра, равного 3 дм, уложатся 3 кубика (рис. 245, а). Чтобы выложить кубиками все основание, потребуется 2 таких ряда, т. е. 6 кубиков (рис. 245, б). Для заполнения всей коробки кубики нужно уложить в 5 слоев, так как ее высота равна 5 дм. Таким образом, объем первой коробки равен 3*2*5=30 (дм^) (рис. 245, в). Рассуждая аналогично, получим, что объем второй коробки равен 4*3*2 = 24 (дм^). Следовательно, первая коробка вместительнее второй коробки. Обратите внимание, что каждая коробка имеет форму параллелепипеда. И, вычисляя их объемы, мы перемножили измерения этих параллелепипедов. Таким образом, мы пришли к правилу вычисления объема параллелепипеда. I Объем параллелепипеда равен произведению трех его измерений: длины, ширины и высоты. Пример 1. Найдем объем параллелепипеда, измерения которого равны 6 мм, 10 мм и 15 мм: 6-10-15 = 900 (мм"). Пример 2. Найдем объем куба, ребро которого равно 5 дм: 5*5*5 = 125 (дм^). Заметим, что единица объема, равная одному кубическому дециметру, имеет и другое название — литр. В литрах обычно измеряют объемы жидкостей и сыпучих веществ. 1140. Чему равны объемы тел, сложенных из одинаковых кубиков (рис. 246), если объем одного кубика равен 1 кубической единице (1 куб. ед.)? Есть ли среди них тела с равными объемами? \ \ \ \ N Рис. 246 1141. 1) Коробку заполняют кубиками с ребром, равным единице длины (рис. 247). Сколько кубиков войдет в коробку? Каков ее объем? 2) Кубики с ребром 1 дм укладывают в коробку, имеющую размеры 4 дм, 2 дм, 3 дм. Сколько кубиков войдет в коробку? Каков объем коробки? 1142. Из кубиков с ребром 2 см сложили параллелепипед (рис. 248). Определите его измерения и объем. 1143. а) Вылепите из пластилина куб с ребром 1 см. Это кубический сантиметр. б) Изготовьте каркасную модель куба объемом 1 куб. дм. в) Постройте в углу класса куб с ребром 1 м (рис. 249). Как вы думаете, каков объем вашего класса? 1144. Найдите объем параллелепипеда (рис. 250). а) б) Рис. 247 z: Рис. 248 в) Рис. 249 Рис. 250 12 см Рис. 252 1145. Проведите измерения (в мм) и определите объем спичечного коробка. 1146. Найдите объем параллелепипеда, измерения которого равны: а) 1 м, 3 м, 2 м; б) 9 см, 7 см, 10 см; в) 5 мм, 6 мм, 11 см 8 мм; г) 1 м, 1 м 5 дм, 4 дм. 1147. Длина параллелепипеда равна 3 см, ширина — 2 см, высота — 4 см. Каков объем параллелепипеда? У каких из его граней наибольшая площадь и чему она равна? 1148. Какая из коробок вместительнее (рис. 251)? 1149. Какими могут быть размеры комнаты, объем которой равен 60 м^? 1150. Бруски, из которых сложены параллелепипеды (рис. 252), одинаковы и имеют измерения 8 см, 4 см, 2 см. Вычислите объемы параллелепипедов двумя способами: а) сложив объемы соответствующих брусков; б) перемножив измерения параллелепипедов. 1151. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м^, 4 м^, 42 м^; б) в кубических сантиметрах: 1 дм^, 3 дм^, 2 м^; в) в кубических миллиметрах: 1 см^, 5 см^, 3 дм^. 1152. Заполните пропуски: 1 м 25 см =... см, 1 м^ 25 cм^ =... cм^, 1 м^ 25 см^=... см^. 1153. Сравните: а) 70 мм^ и 7 см^; б) 300 см^ и 3 дм^; в) 50 000 дм^ и 5 м^; г) 1000 см® и 1 м®; д) 40 000 мм® и 4 см®; е) 80 000 мм® и 8 дм®; ж) 2 000 000 см® и 2 м®. 1154. Задание с выбором ответа. Вместимость какого сосуда может быть равной 5 дм®? А. Стакана. Б. Кастрюли. В. Флакона духов. Г. Мензурки. 1155. В каких единицах вы будете измерять: а) длину своего прыжка; б) площадь квартиры; в) вместимость ведра; г) периметр школьного участка; д) объем комнаты; е) вместимость стакана; ж) высоту дома? 1156.Сколько пакетов с соком войдет в коробку (рис. 253)? 1о. Рис. 253 1157. Из 10 одинаковых кубиков можно сложить два различных параллелепипеда. Чему равен объем каждого параллелепипеда, если ребро куба равно 4 см? 1158. Аквариумы (рис. 254) заполнили водой так, что уровень воды в каждом аквариуме ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды? 1159. Найдите объем тела (рис. 255). у / j д ш о 50 см 40 см Рис. 254 ьМ 20 см Рис. 255 1160. Бруски размером 2 дм, 4 дм, 8 дм сложили штабелем (рис. 256). Каковы размеры штабеля? Сколько в нем брусков? Каков его объем? 1161. Сколько литров воды вмещает бак, имеющий форму куба с ребром 6 дм? 1162. Сколько литров воды вмещает аквариум длиной 95 см, шириной 32 см и высотой 50 см? 1163. За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За один вдох в легкие поступает 500 см^ воздуха. Какой объем воздуха (в л) проходит через легкие человека за сутки? 1164. У квадратного листа бумаги отрезали уголки (рис. 257, а) и сделали коробку (рис. 257, б). Сторона большого (исходного) квадрата равна 20 см, маленьких (отрезанных) — 5 см. Вычислите объем получившейся коробки. 1165. Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один ряд. Какой длины получился ряд? Ш1 1 1:^-1 Рис. 256 а) Рис. 257 Пирамида Важным и интересным семейством многогранников являются пирамиды (рис. 258). У пирамиды различают основание и боковые грани. Боковые грани — треугольники, сходящиеся в одной вершине, а основание — многоугольник, противолежащий этой вершине. В основании пирамиды может лежать многоугольник с любым количеством сторон. Называют пирамиду по числу сторон ее основания: треугольная, четырехугольная, шестиугольная и т. д. Рис. 258 Простейшей пирамидой является треугольная пирамида (рис. 259). Все ее грани — треугольники, и каждая из них может считаться ее основанием. У треугольной пирамиды четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Ни у одного многогранника не может быть меньшего числа граней, вершин или ребер, чем у треугольной пирамиды. Форму четырехугольных пирамид имели гробницы фараонов в Древнем Египте. Древнеегипетские пирамиды сохранились до наших дней. Одна из самых знаменитых — пирамида Хеопса, высота которой достигает 147 м (см. фото). щ- Пирамиды Древнего Египта. 1169. 1170. 1166.Найдите пирамиды на рисунках 209, 211, 220. Назовите каждую из них. Назовите пирамиду (рис. 260). Укажите ее основание и боковые грани. Начертите пирамиду в тетради. а) Сколько у пятиугольной пирамиды ребер основания? боковых ребер? всего ребер? Сколько у нее боковых граней? всего граней? вершин? б) Ответьте на те же вопросы для семиугольной пирамиды. Сколько вершин, граней, ребер: а) у шестиугольной пирамиды; б) у десятиугольной пирамиды; в) у стоугольной пирамиды? Нужно изготовить каркасную модель треугольной пирамиды, все ребра которой равны 7 см. Сколько потребуется проволоки? а) М D Рис. 260 1172. 1173. 1174. 1175. 1171. На каркас пирамиды напаяна проволока так, как показано на рисунке 261, а. Какие грани пирамиды изображены на рисунке 261, б? Многогранник, изображенный на рисунке 218, б, «составлен» из двух пирамид. Что это за пирамиды? Для каждой из них назовите основание и вершину, ему противолежащую. Многогранник, изображенный на рисунке 262, разрезали на две пирамиды. Назовите основание и вершину каждой из получившихся пирамид. 1) Скопируйте рисунок 263 в тетрадь и дорисуйте его: а) до треугольной пирамиды; б) до четырехугольной пирамиды. 2) У многогранника (рис. 263) пять вершин, но одна вершина не нарисована. Как вы думаете, сколько можно придумать многогранников с пятью вершинами, чтобы у них было разное число ребер? 1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды? 2) У пирамиды 1800 ребер. Какая это пирамида? 3) У пирамиды 28 граней. Сколько у нее вершин? 4) Существует ли пирамида, у которой 1999 ребер? 5) Сумма числа ребер и вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида? 6) Сумма числа вершин, ребер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида? Развертки На рисунке 264, а изображена некоторая фигура. Если ее вырезать из бумаги и сложить (рис. 264, б), то получится куб (рис. 264, в). И наоборот, разрезав поверхность куба по некоторым ребрам, мы можем развернуть ее в плоскую фигуру. При этом мы получим развертку куба. Из бумаги многогранник можно сделать так: начертить на бумаге его развертку, вырезать ее, свернуть по линиям, соответствующим ребрам, и склеить. Для склеивания можно по контуру развертки в некоторых местах оставить узенькие полоски бумаги. а) в) Рис. 264 1176.На рисунке 265 изображена развертка куба. Перечертите ее на лист клетчатой бумаги, увеличив так, чтобы ребро куба было равно 4 см, вырежьте и сверните куб. Поставьте куб на одну из граней. Какие из квадратов развертки соединились при сворачивании куба? Какой из квадратов развертки является верхней гранью куба? 1177. Какие точки совместятся с точкой А при склеивании куба из развертки, изображенной на рисунке 266? Рис. 265 Рис. 266 ) С т ь : F N О Р L 1178. Скопируйте на лист бумаги развертку параллелепипеда (рис. 267), увеличив каждый размер вдвое. Вырежьте ее и сверните параллелепипед. Рис. 267 Рис. 268 Рис. 269 1179. Развертка какого многогранника изображена на рисунке 268? Проверьте себя: перенесите этот рисунок на лист бумаги, вырежьте развертку и сверните ее в многогранник. 1180. Являются ли развертками треугольной пирамиды многоугольники, изображенные на рисунке 269? Скопируйте их на лист бумаги и проверьте. '1181 .Сделайте развертку параллелепипеда, измерения которого равны 9 см, 6 см, 5 см. 1182. Почему фигуры, изображенные на рисунке 270, не могут быть развертками куба? ® Рис. 270 1183. Мысленно сверните куб из развертки, изображенной на рисунке 271, и определите, какая грань является верхней, если закрашенная грань нижняя. а) б) в) г) А А А Б Б В Б В В Г Г д Г д д А Б В г д Рис. 271 --(2^ Рис. 272 1184. Все кубики, из которых сложен многогранник (рис. 272), одинаковы. Перечертите в тетрадь развертку кубика и нанесите на нее недостающие буквы. ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Модели многогранников Изготовить модель многогранника можно, как вы уже знаете, из его развертки. Развертка многогранника — это фигура, составленная из многоугольников, являющихся его гранями и расположенных определенным образом. 1185. У куба одиннадцать разверток. Начертите все развертки куба, воспользовавшись следующими указаниями: • перечертите развертку ф, изображенную на рисунке 273, и получите из нее еще три, переставив верхний квадрат; • перечертите развертку (2) и получите из нее еще две, переставив верхний квадрат; • перечертите развертку (3) и получите из нее еще одну, переставив верхний квадрат; • к вашим разверткам добавьте развертки (3) и (§). ф 0 Рис. 273 а) 7 75Z Ъ У S1 iiP 7 б) 1 2 3 ф сл Рис. 274 1186. На грани куба нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Три положения этого куба изображены на рисунке 274, а. В каждом случае определите, какая цифра находится на нижней грани. Перечертите в тетрадь развертки этого куба (рис. 274, б) и нанесите на них недостающие цифры. 1187. По каким ребрам можно разрезать куб (рис. 275, а), чтобы получить изображенную на рисунке 275, б развертку? Нарисуйте куб в тетради и покажите какую-нибудь линию разреза. 1188. Поверхность куба (рис. 276) разрезали по отрезкам ОК, ON, ОМ, ОА, OD, ОС, МВ и развернули. Нарисуйте получившуюся развертку. ' Но модель куба можно просто сложить из одной полоски бумаги. Это может быть плотная белая или цветная бумага, а также картон. Чтобы линии сгиба были более аккуратными и ровными, не забудьте наметить сгибы твердым карандашом, ножницами или другим острым предметом. б) Рис. 275 а) v: "• 't;'' i\ - Ч ■ ■ ;' El-'M.. \ ■ ■ ■ \ ^ Рис. 277 1189. 1) На рисунке 277 показано, как можно сложить куб с длиной ребра 3 см из полоски бумаги шириной 3 см и длиной 21 см. Рассмотрите рисунок, вырежьте полоску бумаги указанного размера и сложите из нее куб. 2) Сколько квадратов должна содержать полоска бумаги, окрашенная с одной стороны в красный цвет, чтобы сложить из нее куб с шестью красными гранями? Оказывается, многогранники можно сплести из нескольких полосок бумаги одинакового размера. Полоски, как правило, берут разных цветов. Для плетения треугольной пирамиды достаточно двух таких полосок, а для куба — трех. При этом нужно соблюдать два правила; во-первых, ни одно из ребер не должно быть открытой щелью, а во-вторых, все цвета на поверхности модели должны быть представлены поровну. Рассмотрим, например, как можно сплести треугольную пирамиду. На рисунке 278, а изображена, как вы уже знаете, развертка пирамиды. Но если из нее свернуть пирамиду, то некоторые ребра будут «открытыми». Чтобы избежать этого, нам и потребуется вторая полоска (рис. 278, б). • Движением к себе согните полоски по пунктирным линиям; • наложите одну полоску на другую так, чтобы у них совпало по одному треугольнику (рис. 278, в); • согните нижнюю полоску в форме пирамиды; • после этого верхней полоской оберните две грани получившейся пирамиды, а последний концевой треугольник заправьте в образовавшуюся щель. а) б) Рис. 279 Рис. 278 1190. Изготовьте модель треугольной пирамиды описанным выше способом. 1191. 1) Возьмите три полоски бумаги разного цвета, одна из которых изображена на рисунке 279. Движением к себе согните их по внутренним линиям. Теперь попробуйте сплести из этих полосок куб. 2) Существуют две возможности расположения граней одного цвета. В первом случае одинаково окрашенными оказываются противоположные грани куба, а во втором — соседние грани. Как на вашей модели расположились грани одного цвета? Сплетите еще одну модель с иным расположением граней. ГЛАВА 11 Таблицы и диаграммы ГРАФИК Л^'^УРСТВА ПО У£|^А<у 1-2 3-4 5-617-8 9-10 11 1Ь[ ММ "' * '■■даты. ’VV I Чтение и составление таблиц Ежедневно нам необходима разнообразная информация. Она может быть представлена в самых разных формах. Одним из наиболее частых и привычных способов представления информации являются таблицы, расписание уроков, таблица умножения, страница школьного дневника, таблица первенства по футболу, таблица результатов шахматного турнира, календарь, программа передач телевидения, расписание движения автобусов и поездов... — всего не перечислить. Рассмотрим одну из важных для каждого пятиклассника таблиц — страницу классного журнала. Перед вами часть таблицы с оценками по математике за две недели октября. Вы наверняка умеете пользоваться такой таблицей: извлекать из нее и анализировать необходимую информацию. Например, можно определить, какие оценки получил каждый ученик, сравнить результаты одноклассников и даже сделать прогноз о том, какие оценки они получат за первую четверть. Рассмотрим таблицу по вертикали. Первый столбец (колонка) — номера ребят по списку, второй столбец — список фамилий, записанных по алфавиту. Дальше идут столбцы оценок, полученных учениками в определенный день. Например, 14 и 22 октября (контрольные работы) оценки стоят у всех. Однако чаш;е ученика интересует не вся таблица, а только одна ее строка. Например, Олю Дунаеву, конечно, интересует четвертая строка, в которой проставлены ее оценки. Оля учит- № п/п Список учащихся Октябрь 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 1 Аржанов Иван 4 4 5 5 2 Баталин Олег 3 2 5 4 3 Бибичев Андрей 5 4 4 4 4 Дунаева Ольга 4 4 4 4 5 Захарова Елена 3 4 н н 2 3 6 Иванов Денис 5 5 5 ся ровно, и в первой четверти она, скорее всего, получит «4». А вот у Олега Баталина оценки от «2» до «5», и его отметку за четверть предсказать трудно. Для анализа информации в таблице нередко нужно просуммировать содержащиеся в ней данные. В таких случаях в таблицу включается столбец или строка под названием «Всего» («Итого»), в которые записываются полученные суммы. В таблице, помещенной ниже, указаны расходы семьи за различные коммунальные услуги (в рублях) за несколько месяцев. Эти данные просуммированы по каждому столбцу и полученные суммы записаны в последней строке таблицы. Они показывают, сколько рублей заплатила семья за все коммунальные услуги в каждом месяце. Коммунальные услуги Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Квартплата 160 256 261 303 314 324 Газ 36 36 40 40 40 40 Свет 60 75 75 75 75 75 Телефон 86 86 86 106 106 106 Всего 342 453 462 524 535 545 Часто приходится не только пользоваться готовыми таблицами, но и составлять их самим. Рассмотрим примеры. П ример 1. Старосте класса поручили выяснить, как добираются до школы ее одноклассники. Она опросила всех учащихся и представила эти данные в виде таблицы, использовав такие условные обозначения: / — 1 человек,//// — 5 человек. Средство передвижения Подсчет голосов Число учащихся Пешком ftn- tat и 12 На автобусе tta /// 8 На велосипеде ни 4 Всего 24 Из таблицы видно, что староста опросила 24 ученика и половина из них добирается до школы пешком, а треть — на автобусе. Пример 2. В школе проводилась олимпиада по математике. При правильном решении всех задач можно было получить 40 баллов. Работы оценивались так: от 1 до 10 баллов — слабо; от 11 до 20 баллов — удовлетворительно; от 21 до 30 баллов — хорошо; от 31 до 40 баллов — отлично. Было решено за отличные результаты давать приз, а за хорошие — грамоту. Для подведения итогов олимпиады ее результаты представили в виде таблицы: Число баллов Подсчеты Число учащихся 1-10 /// 3 11—20 а-а и 7 21-30 аа / 6 31—40 пи 4 Всего 20 Из этой таблицы видно, что только три участника показали низкие результаты. Десять участников отлично или хорошо справились с работой. По условиям проведения олимпиады четверо из них должны получить приз, а шестеро — грамоты. Пример 3. Каждому, кто интересуется спортивными играми, знакомы так называемые турнирные таблицы. В них записываются ход соревнования и его окончательные результаты. Таблица, помещенная ниже, представляет итоговый результат шахматного турнира с четырьмя участниками, каждый из которых сыграл с остальными по одному разу. № п/п Фамилия, имя 1 2 3 4 Очки Место 1 Виноградов Олег ■ 0 1 1 3-4 2 Галкин МИ...Л ■ 1 4 1 3 Поликарпов Сергей 1 ■ ^2“ 2 4 Антипов Евгений 0 0 ■ ■ ■ 3-4 Участникам турнира присвоены номера: Виноградов — № 1, Галкин — № 2 и т. д. В клетках таблицы на пересечении строк и столбцов помещены результаты партий шахматистов. При этом использованы следующие обозначения: 1 — победа, О — проигрыш, ~2 — ничья. Результат каждой игры записывается в двух клетках таблицы. Например, в клетке на пересечении строки «2* и столбца «4» стоит 1. Это означает, что Галкин (№ 2) выиграл у Антипова (№ 4). При этом, естественно, Антипов (№ 4) проиграл Галкину (№ 2), и поэтому на пересечении строки «4» и столбца «2» стоит О. Понятно, почему клетки на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами закрашены — шахматист не может играть сам с собой. Такая таблица составляется перед турниром. Вначале в ней содержатся только номера и фамилии участников. В ходе турнира она постепенно заполняется. 1192.в таблице представлены результаты наблюдений за погодой в течение четырех месяцев. Погода Месяцы Всего Декабрь Январь Февраль Март Ясно 5 9 7 10 Пасмурно Переменная 19 10 15 10 облачность 7 12 6 11 Заполните последний столбец таблицы. Используя таблицу, ответьте на вопросы: а) В каком месяце было больше всего ясных дней? б) В каких месяцах было одинаковое число пасмурных дней? в) Сколько всего пасмурных дней было за четыре месяца? г) Сколько ясных дней было за всю зиму? 1193. В следующей таблице указано число шайб, заброшенных и пропущенных каждой из трех хоккейных команд в пяти матчах. Название команды Матчи 1 2 3 4 5 «Метеор» 3:2 4:1 1:2 2:0 3:0 «Ракета» 2:1 2:2 3:1 1:1 4:2 «Марс» 3:1 0:4 1:2 2:1 0:2 Запись 3:2 означает, что команда забросила 3 шайбы и пропустила 2 шайбы. Ответьте на вопросы: а) Сколько шайб забросила «Ракета» в пятом матче? б) Сколько шайб забросил и сколько пропустил «Марс» в первых трех матчах? в) Сколько шайб забросил и пропустил «Метеор» в пяти матчах? г) Какая команда провела пять матчей хуже всех? 1194. Ателье заключило на 6 месяцев договор с несколькими вязальщицами свитеров. Выполненная ими работа представлена в таблице. № п/п Фамилия Число связанных свитеров Всего Ян- варь Фев- раль Март Ап- рель Май Июнь 1 Зорина 8 4 4 4 6 5 31 2 Сухова 6 8 1 5 8 2 ? 3 Белоус 5 5 7 6 6 3 32 4 Малова 5 5 4 6 5 5 30 5 Ильина 3 4 4 1 4 3 19 Итого 27 26 20 22 ? 18 ? Используя таблицу, ответьте на вопросы: а) В какой строке таблицы показана работа, выполненная Маловой? б) Сколько свитеров в марте связала Малова? в) Сколько всего свитеров связала за 6 месяцев Ильина? Сухова? г) Сколько всего свитеров связали все вязальщицы за май? д) В какой месяц все вязальщицы связали больще всего свитеров? е) Сколько свитеров связали все вязальщицы за 6 месяцев? ж) Изучив результаты работы каждой вязальщицы за 6 месяцев, мастерская рещила отказаться от услуг одной из них. Можете ли вы назвать ее фамилию? з) Подсчитайте суммы всех значений отдельно в столбце «Всего» и строке «Итого». Сравните полученные результаты и сделайте вывод. 1195. В таблице указано число учащихся в каждой из пяти школ. Символ * обозначает 50 учащихся. Используя таблицу, ответьте на следующие вопросы: а) Сколько учащихся в четвертой школе? б) В какой школе больше всего учащихся? А меньше всего? в) Есть ли школы, в которых одинаковое число учащихся? г) В какой школе больше учащихся: в первой или во второй? д) На сколько больше учеников в школе с наибольшим числом учащихся, чем в школе с наименьшим числом учащихся? Номер школы Число учащихся 1 ***** 2 * * * * 3 ****** 4 ***** 5 ******* 1196. В следующей таблице указано число жителей в четырех городах. Используя таблицу, ответьте на вопросы: а) В каком городе меньше всего жителей? б) В каком городе больше всего жителей? в) Сколько жителей в Данилове? г) Сколько всего жителей во всех городах? Название города Число жителей Число жителей Новинск tttttttttt *> Данилов ttttttttttt О Кларинск ttttttttt о Взлетный ttttt *У Всего 9 - 100 000 жителей, "f”- 10 000 жителей, - 1000 жителей, 1197. При входе в аэропорт висит табло, на котором даются сведения о вылете самолета. Ниже приводится часть этого табло. Используя таблицу, ответьте на вопросы: а) Сколько рейсов на Париж указано на табло? б) Во сколько отправляется рейс № 710? № 512? в) В какой секции идет регистрация рейса на Берлин? г) На какие рейсы идет регистрация? д) Каково время начала регистрации на рейс № 710, если она начинается за 1 ч 30 мин до вылета самолета? Регист- рация Номер рейса Пункт назначения Время вылета Секция регистрации Задержка вылета • • 212 Атланта 15.55 5 • • 357 Париж 16.10 3 О О 415 Берлин 17.15 7 О о 512 Осло 17.20 1 До 19.00 о о 140 Париж 17.30 2 144 Варшава 18.00 6 710 Париж 18.20 10 243 Стамбул 18.30 3 О О — идет регистрация; • • — регистрация окончена. 1198. Пятиклассники принесли в школу книги, которые они решили подарить первоклассникам. Каждый из ребят записал на доске число сданных им книг. В результате получилась следующая запись: 5, 2, 3, 6, 2, 5, 7, 6, 2, 3, 5, 3, 3, 5, 6, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 2. Для анализа полученных данных их представили в виде таблицы. Число сданных книг Подсчеты Число учащихся Всего 2 tiff / 6 2-6=12 3 4 5 / 6 7 Итого В первом столбце таблицы записали числа от 2 до 7, так как ребята принесли от 2 до 7 книг. Во втором столбце знаком «/» стали отмечать каждого ученика, который принес соответствующее число книг. Первый ученик сдал 5 книг, поэтому он отмечен знаком «/» в четвертой строке таблицы. Второй ученик принес 2 книги, поэтому его отметили знаком «/» в первой строке таблицы и т. д. Перечертите в тетрадь таблицу и заполните ее, используя данные из условия задачи. Ответьте на вопросы: а) Сколько всего ребят сдали книги? б) Сколько ребят сдали по 3 книги? по 4 книги? в) Сколько всего было собрано книг? 1199. Школьные садоводы принесли из дома саженцы кустов, чтобы посадить их на пришкольном участке. Сведения о количестве принесенных ими саженцев представлены в таблице. Используя таблицу, ответьте на вопросы: а) Сколько ребят принесли по 3 саженца? по 2 саженца? б) Сколько всего ребят принесли саженцы? в) Сколько всего саженцев принесли садоводы? Число Число саженцев ребят 1 /// 2 — 3 //// 4 // 1201 1200. В школе проводился конкурс «Знаток города». На «слепой» карте города (карта, на которой нет никаких названий) надо было написать названия улиц. Результаты участников приведены в таблице. а) Сколько школьников участвовали в конкурсе? б) Можно ли по данным таблицы определить, сколько участников правильно назвали 13 улиц? 16 улиц? 30 улиц? в) Сколько учаицихся правильно назвали меньше 11 улиц? больше 15 улиц? г) Сколько учащихся получили значок «Знаток города», если для этого надо было правильно указать названия более 20 улиц? д) Сколько учащихся получили в подарок книгу об истории города, если для этого надо было правильно назвать более 30 улиц? е) Какие награды получил участник, который правильно назвал 20 улиц? 24 улицы? 30 улиц? 32 улицы? ж) Названия скольких улиц правильно указали большинство участников? В школе есть возможность организовать занятия по пяти видам спорта. Чтобы определить, какие секции хотели бы посещать пятиклассники, их попросили ответить на вопрос: «Какими из следующих видов спорта вы хотели бы заниматься: баскетболом, волейболом, лыжами, футболом, художественной гимнастикой?» При ответе на вопрос можно было выбрать не более двух из предложенных видов спорта. В таблице представлены результаты проведенного опроса среди учащихся трех пятых классов. Используя таблицу (см. с. 271), ответьте на вопросы: а) Сколько мальчиков из 5В выбрали волейбол? лыжи? б) Сколько учащихся из 5Б выбрали баскетбол? лыжи? в) Сколько девочек из всех трех классов выбрали волейбол? лыжи? гимнастику? г) Сколько всего пятиклассников выбрали волейбол? футбол? д) Какие виды спорта предпочитают девочки из 5А? е) Какие виды спорта популярны среди мальчиков из трех пятых классов? ж) Какие спортивные секции вы посоветовали бы организовать прежде всего для пятиклассников в этой школе? Количество названных улиц Число участников 1—5 1 6-10 7 11—15 12 16—20 19 21—25 5 26—30 4 31-35 2 36-40 1 Более 40 1 Вид спорта Классы Всего пятиклассников 5А 5Б 5В т О со ф CI •iC т с; со т О ш ф Ct т J3 с; со s; т О CQ Ф т .0 т о со ф CI т л с:; СО Баскетбол 1 1 1 1 3 1 Волейбол — 1 2 — 1 — 3 1 Лыжи 5 3 1 5 6 5 12 13 Футбол — 5 — 4 — 6 — 15 Художественная гимнастика 4 — 1 — 4 — 9 — з) Можно ли с помощью этой таблицы определить: сколько учащихся в 5А? Сколько девочек из 5А участвовали в опросе? Сколько всего пятиклассников в этой школе? 1202. Начертите в своей тетради таблицу, в первом столбце которой запишите три буквы алфавита: а, ж, ы. Буквы Подсчеты Число букв на странице а / ж ы Возьмите какую-нибудь книгу и откройте ее на любой странице. Внимательно просматривайте каждое слово на этой странице и каждый раз, как вам встретится буква «а», отмечайте ее в вашей таблице знаком «/» в строке «а». Затем подсчитайте, сколько всего раз вам встретилась буква «а», и запишите это число в последнем столбце таблицы. Таким же образом подсчитайте число букв «ж» и «ы» на этой странице. Используя полученные данные, ответьте на вопросы: а) Какая из букв: а, ж или ы — встречалась чаще, а какая реже? б) Сравните свой результат с результатами товарищей. Чтение и построение диаграмм Пятиклассникам поручили выяснить, какая погода преобладала в начале октября. В течение двух недель они проводили наблюдения и делали записи, используя обозначения: ясно — облачно шел дождь ffl. Вот что у них получилось: 1-й день 2 3 4 5 6 7 ^1 0 •Л* 1 ^1 8 9 10 11 12 13 14 ‘Л‘ 0 ^1 9 9 9 Однако при такой записи трудно понять, какая преобладала погода. Тогда ребята подсчитали число облачных, дождливых и ясных дней в отдельности и изобразили полученные данные в виде столбчатой диаграммы (диаграмма 1). Для этого они построили прямой угол. На его горизонтальной стороне указали погоду, на его вертикальной стороне, выбрав единицу измерения, отметили число дней и построили три столбика. Высота первого столбика, равная 8, показывает, сколько было дождливых дней, второго столбика — сколько было облачных дней, а третьего — сколько было ясных дней. На диаграмме хорошо видно, что в начале октября погода в основном была дождливой или облачной. При построении столбчатых диаграмм можно выбрать любую ширину столбиков и любое расстояние между ними. Однако все столбики должны быть одинаковой ширины и расположены на равном расстоянии один от другого. Например, данные диаграммы 1 можно представить в виде диаграммы 2, поместив столбики рядом, или в виде диаграммы 3, изобразив вместо столбиков отрезки той же высоты. Такие диаграммы, как диаграмма 3, иногда называют линейными. Погода первой половины октября Диаграмма 1 Число Д дней Диаграмма 2 Диаграмма 3 Дождь Облачно Ясно Дождь Облачно Ясно Дождь Облачно Ясно шЩ Число Д детей 1203. Используя диаграмму 4, ответьте на вопросы: а) В каком месяце в селе родилось больше всего детей? б) В каком месяце родилось столько же детей, сколько в апреле? в) В какие месяцы родилось по два ребенка? г) Сколько детей родилось в марте? д) Сколько детей родилось за первую половину года? е) Сколько детей родилось за весь год? Диаграм ма 4 Рождаемость детей в селе Троицком Янв. Фев. Март Апр. Май Июнь Июль Авг. Сент. Окт. Нояб. Дек. 10~Г. В. Дорофеев, 5 кл. 1204. Используя диаграмму 5, ответьте на вопросы: а) Сколько детей родилось в городе в январе? в мае? б) В каком месяце родилось 600 детей? в) В какие месяцы родилось по 400 детей? г) Сколько детей родилось зимой? д) В какие месяцы родилось меньше 400 детей? е) В какие месяцы родилось больше 500 детей? Диаграмма 5 Рождаемость детей в городе Новинске Янв. Фев. Март Апр. Май Июнь Июль Авг. Сент. Окт. Нояб. Дек. Число ^ учащихся 11-10 -9 -8 -7-6 -5 -4 - Диаграм ма 6 Состав кружков для пятиклассников Математи- ческий Литера- турный Туристи- Музы- кальный Диаграмма 7 Норма питания за сутки Второй завтрак 1205. Используя диаграмму 6, ответьте на вопросы: а) В каком кружке больше всего учащихся? б) Есть ли кружки, в которых одинаковое число учащихся? в) В каком кружке больше учащихся: в музыкальном или в литера турном? 1206. Во многих случаях для представления информации удобно использовать круговые диаграммы. На диаграмме 7 показано распределение дневной нормы питания, которую рекомендуют врачи. Используя диаграмму, ответьте на вопросы: а) Сколько раз в день рекомендуют питаться врачи? б) На какую еду приходится большая часть нормы питания за день? в) На какую половину дня приходится ббльшая часть нормы питания: до полудня или после? 1207. На диаграмме 8 показано количество осадков, выпавших за год в Новинске. Используя диаграмму, ответьте на вопросы: а) Сколько осадков выпало в марте? в июне? в июле? б) В каком месяце было меньше всего осадков? в) В какие месяцы выпало одинаковое количество осадков? г) На сколько больше осадков выпало в марте, чем в июне? д) Сколько примерно осадков выпало за лето? за осень? Диаграмма 8 Выпадение осадков в городе Новинске за год Янв. Фев. Март Апр. Май Июнь Июль Авг. Сент. Окт. Нояб. Дек. 10* Опрос общественного мнения В жизни часто важно знать мнения людей по самым разным вопросам. Например, если хотят пригласить на гастроли молодежный ансамбль, то предварительно нужно выяснить, какой из существующих ансамблей наиболее популярен. В противном случае организаторы потерпят убытки. Приведем другой пример. Чтобы сделать заказ для школьного буфета, необходимо знать, что из сладкого больше всего нравится детям. А как узнать мнения людей? Для этого проводят специальные опросы общественного мнения. Полученную при этом информацию обычно представляют в виде таблиц и диаграмм. Рассмотрим такую ситуацию. Для праздничного вечера пятиклассники решили купить что-нибудь вкусное. Однако оказ£1лось, что единого мнения на этот счет нет. Тогда один из ребят предложил ответить всем на вопрос: «Что ты любишь больше всего: пирожные, конфеты, пряники или печенье?» При этом каждый должен был выбрать что-то одно из предложенного. Сначала ребята записывали свои пожелания на доске в следующем виде: - © Данилов Конфеты Андреев Конфеты Дашкова Пирожные Ленская Печенье Ильин Пирожные Михайлов Пирожные Однако быстро сообразили, что такая форма представления информарции неудобна: она слишком громоздка. Тогда они со- ставили таблицу. Каждый ученик свой выбор отметил знаком «/» в соответствующей строке таблицы. В результате получили следующую информацию: Любимые сладости Подсчеты Число ребят Конфеты tm tiff ffff ни 19 Пирожные ffft ffff 10 Пряники 0 Печенье / 1 С помощью этой таблицы уже нетрудно было определить, что к чаю надо купить конфеты и пирожные. 1208. Пятиклассники решили пойти куда-нибудь всем классом. Староста провел опрос общественного мнения, задав каждому вопрос: «Куда бы ты хотел пойти в выходной день?» Результаты опроса представлены в таблице. № п/п Куда пойти Подсчеты Число ребят 1 Театр // 2 Выставка // 3 Цирк tut tut и 4 Музей /// 5 Стадион tut /// 6 Другое // Заполните таблицу и ответьте на вопросы; а) Сколько ребят захотело пойти в музей? в цирк? б) Куда бы вы посоветовали сходить ребятам этого класса? 1209. Многие из вас жалуются на нехватку времени. В чем же основная причина? Для многих ребят это просмотр телевизионных передач. А для ребят вашего класса это тоже основная трата времени? Проведите опрос учащихся, задав каждому из них вопрос: «Сколько часов каждый день ты проводишь у телевизора?» Предложите несколько вариантов ответов, приведенных в таблице. Заполните таблицу и постройте столбчатую диаграмму. Сделайте выводы. № п/п Время у телевизора Подсчет голосов Число ребят 1 Совсем не смотрю 2 1 ч или меньше 3 2 ч 4 3 ч 5 4 ч и больше Всего 1211. 1210. Выберите тему из перечисленных ниже (или придумайте ее самостоятельно) и проведите в классе опрос. Например, что больше нравится ребятам вашего класса: а) из времен года — зима, весна, лето или осень; б) из зимних видов спорта — коньки, лыжи, санки, хоккей; в) отдых — в спортзале, с книгой, во дворе или у телевизора. Составьте таблицу для записи мнений ваших одноклассников. Проведите опрос и заполните таблицу. Используя полученные вами данные, сделайте выводы о вкусах ваших одноклассников. По субботам Андрей подрабатывает — продает газеты. Он предложил Даниле тоже заняться этим. Данила решил сначала изучить спрос. В течение двух часов утром и вечером он записывал количество газет, проданных Андреем и результаты представил в таблицах. Время Подсчеты Число газет 11.00—11.15 11.15—11.30 11.30—11.45 11.45—12.00 ffft ffff ffff tm и fttt ffft ffff / ffff // /// (278>— Продолжение Время Подсчеты Число газет 18.00-18.15 18.15-18.30 18.30—18.45 18.45—19.00 ftff / ffft ffft на-на на на т Hft на-на Hit Htt!! Заполните последние столбцы таблиц и ответьте на вопросы: а) Сколько газет продал Андрей с 11.00 до 11.15, с 11.30 до 12? б) Почему Данила решил продавать газеты вечером в субботу? в) Почему Данила посоветовал Андрею начинать в субботу продажу газет утром с 10.00, а вечером продавать с 19.00? 1212. Проводился опрос членов команды лыжников, чтобы выяснить, какого цвета спортивные костюмы они предпочитают. В таблице представлены результаты ответов 30 ребят на вопрос: «Какой цвет тебе нравится больше других»? Цвет Подсчет голосов Всего ребят Красный на на 10 Розовый / 1 Желтый // 2 Оранжевый пи 4 Зеленый на и 7 Голубой //// 4 Синий / 1 Фиолетовый / 1 Коричневый Всего 30 Большинство (25 ребят из 30) выбрали цвета: красный, оранжевый, зеленый и голубой. Остальные цвета объедините в одну группу под названием «другие цвета». Полученные данные представьте в виде новой таблицы, в которой цвета запишите в следующем порядке: красный, зеленый, оранжевый, голубой, другие цвета. Затем по данным новой таблицы постройте столбчатую диаграмму. Задания для повторения Задание 1 1. Даны числа: 321 000, 3201, 32 001, 32 100. а) Расположите их в порядке возрастания. б) На сколько самое большое из этих чисел больше самого маленького? 2. Вычислите: 350-(2508-2199)+ 1 151 150:230. 16 27 ВО 3. Сократите дроби Какая из них ближе всего к 1? 4. Вычислите: 5 3 5. В школе 180 мальчиков и 140 девочек, -g всех мальчиков и всех девочек занимаются в спортивных секциях. Сколько учаидихся школы не занимаются в спортивных секциях? 6. Найдите площади закрашенных фигур (рис. 280). а) 15 см б) Рис. 280 Задание 2 1. Даны числа: 5 260 000, 520 060, 5260, 526 000. а) Расположите их в порядке убывания. б) На сколько наименьшее число меньше наибольшего? 2. Вычислите: 10 472:34 + 246-13-37 950:75. „ ^ „ „ 48 30 27 3. Отметьте на координатной прямой числа: -jg. 4. Вычислите: 10 15 и 1 .СЛ-1 4г -6+ g. 5. Из 600 учащихся школы ^ занимаются в различных кружках, из них 2 у — в хоровом. а) Сколько учеников занимается в хоровом кружке? б) Какая часть всех школьников занимается хоровым пением? 6. Найдите площади закрашенных фигур (рис. 281). а) Задание 3 1. Какие из чисел 23, 27, 28, 40 можно подставить в рамочку, чтобы получилось верное неравенство: 3*D+17<100? 2. Для компота взяли 4 части смородины, 3 части крыжовника и 2 части малины. Оказалось, что смородины и крыжовника было 560 г. Сколько всего ягод взяли для компота? 3. Даны числа: 7 8 8’ 6 5 12 1^. 1 10 9 17 10 12 8 а) Выпишите числа, меньшие б) Найдите сумму выписанных чисел. в) Найдите сумму чисел, больших 1-^. г) Какая из найденных сумм больше и на сколько? 4. Вычислите: 5. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через час навстречу ему \лз В в А выехал второй велосипедист со скоростью 14 км/ч и встретился с первым через у ч после своего выезда. а) Чему равно расстояние от А до Б? б) Сколько времени затратил первый велосипедист на весь путь? (Выразите ответ в часах и минутах.) 6. Имеется 3 куска проволоки длиной 24 см, 14 см и 37 см. а) Каждый кусок согнули в форме квадрата. Чему равна сторона каждого квадрата? Чему равны площади квадратов с такими сторонами? б) Из этих кусков проволоки согнули прямоугольники, у каждого из которых одна из сторон равна 5 см. Чему равны длины смежных сторон получившихся прямоугольников? Найдите площади прямоугольников с такими сторонами и сравните их с площадями соответствующих квадратов. Задание 4 1. Какие из чисел 115, 110, 90, 36 при подстановке в рамочку дают верное неравенство: 250-П*2>30? 2. Для компота взяли 3 части яблок, 2 части изюма и 5 частей чернослива. Яблок оказалось на 140 г меньше, чем чернослива. Сколько всего фруктов взяли для компота? 2 4 3 3. Какое из чисел у, у, у является самым маленьким, какое самым большим? На сколько наибольшее число больше наименьшего? 4. Вычислите: 5. По шоссе навстречу друг другу едут два велосипедиста. Скорость одного из них 10 км/ч, а другого — 14 км/ч. Расстояние между ними равно 18 км. Сколько километров проедет каждый из них до встречи? 6. Квадрат и прямоугольник имеют одинаковые периметры, равные 10 см. а) Чему равна сторона квадрата? б) Какими могут быть стороны прямоугольника, имеющего такой периметр? Приведите три примера. в) Сравните площадь каждого вашего прямоугольника с площадью квадрата. Задание 5 1. Постройте z.A=140° и отложите на сторонах угла отрезки АВ = 37 мм и АС=42 мм. Выполните необходимые измерения и найдите периметр треугольника АВС. Выразите периметр в сантиметрах. 2. Вычислите: 124-35-(559 + 1118:43). 3. Даны числа: о1 ^ о1 иА А 25 1 ^0| Q| Я' '9* 3’ 4 ’ ^^4’ 6’ 9’ 8 ’ 2 а) Выпишите числа, заключенные между числами 3 и 5. б) Покажите примерное расположение выписанных чисел на координатной прямой. в) Запишите выписанные числа в порядке возрастания. ----(283) 4. Вычислите: 1 1 + 1 1 + 1.1R 8 б'^б 5. Моторная лодка, имеющая собственную скорость 12 км/ч, проплыла 1у ч по течению реки и 2 ч против течения. Какое расстояние проплыла моторная лодка за это время, если скорость течения реки 1-^ км/ч? 6. В трех пакетах 950 г бисера. В одном пакете бисера в полтора раза больше, чем в другом, но в полтора раза меньше, чем в третьем. Сколько граммов бисера в каждом пакете? Задание 6 1. Постройте аВ = 35°. На сторонах угла отложите отрезки ВА и ВС, равные 77 мм. Выполните необходимые измерения и найдите периметр треугольника АВС. Выразите периметр в сантиметрах. 2. Вычислите: 8000-(207-36+ 298): 25. 3. Даны числа: 1 о1 /|1 1 11 о1 о1 О) ц R '^9' 2> ‘-4’ ^3’ 5’ 6 ’ 8’ 2 а) Выпишите числа, заключенные между числами 1 и 3. б) Покажите примерное расположение выписанных чисел на координатной прямой. в) Запишите выписанные числа в порядке убывания. 4. Вычислите: 7_ 3^ , ___1-1 9 ■ 4 6 ■ 8 12 ■ 5- 5. Расстояние между двумя причалами 35 км. Сколько времени потратит теплоход на путь по реке от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость теплохода 17 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч? 6. Орехи надо разложить в три пакета так, чтобы в одном пакете оказалось орехов в два с половиной раза меньше, чем в другом, но в два раза больше, чем в третьем. Сколько орехов надо положить в каждый пакет, если всего имеется 80 орехов? Задание 7 1. Начертите прямоугольник со сторонами 9 см и 12 см и проведите диагональ этого прямоугольника. Измерьте угол между диагональю и большей стороной прямоугольника. Чему равен угол между диагональю и меньшей стороной? 2. Чтобы сделать клетки для кроликов, принесли 5 мотков проволоки, по 38 м в каждом, и 7 мотков проволоки, по 45 м в каждом. На сколько клеток хватит имеюш,ейся проволоки, если для каждой клетки требуется 40 м? Сколько проволоки останется? 3. Даны числа: 8 6 1 12 15 30 3’ 16’ 4’ 30’ 40’ 90- Выпишите числа, которые: 3 3 3 а) равны б) больше -д; в) меньше 4. Вычислите: 2^ 15 2^3 4 Г 8- 5. В кувшине 2-^ л молока. Это в 1-^ раза меньше, чем в бидоне, и на полтора литра больше, чем в бутылке. а) Сколько всего молока? б) Сколько порций молока получится, если его разлить в кружки, 3 о вмещающие л? 2 6. В первый день хозяйка засолила 10 кг огурцов, это составило у со- 3 бранного урожая. Во второй день она засолила у оставшихся огурцов, а остальные замариновала. Сколько огурцов замариновала хозяйка? Задание 8 1. Начертите прямоугольник со сторонами 8 см и 14 см и проведите диагональ этого прямоугольника. Измерьте угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника. Чему равен угол между диагональю и другой стороной? 2. Привезли 28 ящиков перца, по 14 кг в каждом, и 16 ящиков лука, по 26 кг в каждом. Каких овощей привезли больше и на сколько? Сколько всего привезли овощей? 3. Даны числа: 11 20 11 35 5 70 23’ 28’ 14’ 49’ 20’ 80’ Выпишите числа, которые: 5 5 5 а) равны у: б) больше у; в) меньше у. 4. Вычислите: '^ 16 7 25 ' 10 '• 5. Коля приехал на каникулы к бабушке. Через некоторое время он под- считал, что до отъезда осталось 4у недели, что в 1у раза меньше, чем он прожил у бабушки. Сколько дней Коля хочет провести у бабушки? 6. На выставке-продаже до обеда было продано 15 картин, что составило ^ выставленных для продажи картин, а после обеда продали 2 у остатка. Оставшиеся на выставке картины распределили поровну между тремя магазинами. Сколько картин получил каждый магазин? предметный указатель Арабские цифры 24 Биссектриса угла 99 Боковые грани пирамиды 252 Дробное число 180 Дробь 158 Дробь, обратная данной 214 Дуга окружности 17 Вершина многогранника 237 — многоугольника 105, 106 — угла 99 Внешняя область 4 Внутренняя область 4 Вычитаемое 50 Вычитание натуральных чисел 50 — обыкновенных дробей 202 Единицы длины 11 — площади 145, 149 — объема 248 Единичный отрезок 31 Знаменатель дроби 158 Градус 102 Грань многогранника 237 Двойное неравенство 28 Деление натуральных чисел 55 — обыкновенных дробей 214 Деление с остатком 124 Делимость произведения 118 — суммы 118 Делимое 55 Делитель 55, 111 Дерево возможных вариантов 40 Десятичная система записи чисел 24 Диагональ многоугольника 106 Диаграмма круговая 275 — линейная 272 — столбчатая 272 Диаметр окружности 17 Длина линии 12 — отрезка 12 Квадрат 137 Квадрат числа 67 Конус 236 Координата точки 32 Координатная прямая 31 Кратное 112 Круг 16 Куб 236, 243 Куб числа 67 Линия замкнутая 4 — незамкнутая 4 — самопересекающаяся 4 Ломаная 8 Луч 8 Магический квадрат 44 Многогранник 237 Многоугольник 106 Множитель 55 ---(28^ Наибольший общий делитель 188 Наименьшее общее кратное 189 Натуральные числа 27 Нахождение целого по его части 224 — части целого 223 Неправильная дробь 159 Неравенство 28 Несократимая дробь 168 Нечетное число 28 Объем куба 248 — параллелепипеда 247, 248 Общий знаменатель дробей 172 Округление натурального числа 34, 36 Окружность 16 Основание степени 67 Основное свойство дроби 166,167 Остроугольный треугольник 134 Острый угол 100 Отрезок 8 Параллелепипед 242 Перебор возможных вариантов 39 Переместительное свойство сложения 82 ----умножения 83 Периметр многоугольника 106 Пирамида 252 Площадь — квадрата 145 — прямоугольника 145 Поверхность многогранника 237 Показатель степени 67 Правильная дробь 159 Приведение дробей к общему знаменателю 172 Признаки делимости 120, 121 Произведение 55 Простое число 115 Прямая 7 Прямой угол 100 Прямоугольник 137 Прямоугольный треугольник 134 Равнобедренный треугольник 133 Равносторонний треугольник 133 Равные фигуры 140 Радиус окружности 16 Развернутый угол 100 Развертка 255 Разложение числа на простые множители 115 Разность 50 Распределительное свойство 87 Ребро многогранника 237 Решето Эратосфена 116 Римская нумерация 23 Самопересекающаяся линия 4 Свойство единицы при умножении 55 Свойство нуля при сложении 49 -------умножении 55 Слагаемое 49 Сложение натуральных чисел 49 — обыкновенных дробей 192, 197 Смешанная дробь 197 Событие достоверное 183 — невозможное 183 — случайное 182 События равновероятные 183 Сокращение дроби 167 Составное число 115 Сочетательное свойство сложения 83 ----умножения 83 Сравнение натуральных чисел 28 — обыкновенных дробей 175 Степень числа 67 Сторона многоугольника 105, 106 Сумма 49 Сфера 237 Умножение натуральных чисел 55 — обыкновенных дробей 208 Таблица 262 Транспортир 103 Треугольник 133 Треугольные числа 96 Триллион 71 Тупой угол 100 Тупоугольный треугольник 134 Угол 99 Уменьшаемое 50 Центр окружности 16 Цилиндр 236 Частное 55 Четное число 28 Числитель дроби 158 Числовое выражение 61 Шар 36 Справочный материал Старинные российские единицы длины (уточнены в XVIII в. указом Петра I) 1 миля = 7 верст-7 км 488 м 1 верста = 500 саженей ~ 1 км 67 м 1 сажень = 3 аршина =7 футов-2 м 14 см 1 аршин =16 вершков-71 см 1 фут =12 дюймов-30 см 5 мм 1 7TTOXT1\/r = 1 П ТТТТТТЪТЪТ S5 2 см 5 мм 1 дюйм =10 ЛИНИЙ 1 ЛИНИЯ =10 точек Старинные российские единицы массы 1 пуд = 40 фунтов-16 кг 380 г 1 фунт = 32 лота «410 г 1 лот = 3 золотника «13 г 1 золотник = 96 долей «4 г Английские единицы длины 1 миля = 1760 ярдов «1 км 609 м 1 ярд = 3 фута «91 см 1 фут =12 дюймов «30 см 5 мм 1 дюйм =10 линий «2 см 5 мм Английские единицы массы 1 фунт «454 г 1 унция « 28 г Единицы длины 1 см = 10 мм 1 дм = 10 см 1 м = 10 дм = 100 см 1 км =1000 м Единицы объема 1 см^=1000 мм^ 1 дм^ = 1000 см^ 1 м^=1000 дм^= 1 000 000 см^ 1 км^= 1 000 000 000 м^ Единицы площади 1 см^=100 мм^ 1 дм^ = 100 см^ 1 м^ = 100 дм^ = 10 000 см' 1 км" =1000 000 м" 1 а=100 м" 1 га=100 а=10 000 м" Единицы массы 1 г=1000 мг 1 кг = 1000 г 1 ц=100 кг 1 т=10 ц = 1000 кг Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99 N. Еди-\ницы Де-^ сятки 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Ответы Глава 1 8. а) Да; б) нет; в) да. 27. 2) 3 светофора; 3 светофора; 45 светофоров. 28. А, С, Б, D. 30. 1) Да. 2) Нет. 36. а) 9 см 1 мм; б) 5 см 5 мм. 51. а) 8 см; б) 7 см. 56. а) 24 см, 7 см, 20 дм; б) 3 см, 4 см 5 мм, 6 мм. 57. Через центр окружности. 64. 1) СА = 2 см, СВ = 2 см 5 мм. Глава 2 86. а) 1998, 1999, 2000; б) 100 097, 100 098, 100 099. 91. 9 876 543 210 и 1 023 456 789. 94. д) 159; е) 40; ж) 365; з) 524. 119. б) 0; г) 5, 6, 7, 8, 9; е) 7, 8, 9. 120. а), б), д) Можно; в), г), е) нельзя. 121. а) Всего 10 таких чисел; б) всего 11 таких чисел. 123. Таких чисел бесконечно много, наименьшее из них — число 95. 142. 8 тыс. слов. 144. а) 28 тыс.; 3 десятка тыс.; б) 2388 тыс.; 2 млн. 145. В. 146. а) 2 см; б) 3 дм; в) 4 м; г) 36 дм; д) 5 м; е) 6 км. 147. а) 7 кг; б) 3 ц; в) 47 т; г) 14 кг; д) 5 ц; е) 1 т. 148. 3700; 4000. 150. а) 62 540; б) 62 500; в) 63 000; г) 60 000. 151. Любое число от 275 до 284. 155. 33, 37, 73, 77. 156. Должно получиться 16 чисел и 12 чисел. Указание: сначала запишите все такие числа, затем зачеркните те из них, в записи которых цифра повторяется (например, 77). 157. 10, 12, 20, 21. 6 чисел. 158. 8 чисел. Указание: изобразите дерево возможных вариантов. 161. 123, 132, 213, 231, 312, 321. 162. 5. 163. а) 6 вариантов; б) 3 варианта. 164. а) 6 способов; б) 6 способов. 165. 10 вариантов. 166. 10 способов. 6 способов. 167. 4 букета. 168. 3 отрезка. 6 лучей. 169. 8 способов. 170. 6 костюмов. 171. 8 наборов. 173. 6 дуг. 178. Нельзя. Указание: см. задачу 164. 179. Можно. 180. 6 способов. 181. 10 вариантов. 182. 45. 184. 6 сообщений. Еще 9 сообщений. 187. а) 2 7 6 9 5 1 4 3 8 б) 12 42 36 54 30 6 24 18 48 в) 18 13 14 11 15 19 16 17 12 (294)— 188. а) в) 3 2 15 14 13 16 1 4 10 11 6 7 8 5 12 9 15 10 9 12 16 4 6 19 4 17 18 6 10 14 13 8 б) 4 5 14 11 1 15 8 10 16 2 9 7 13 12 3 6 8 14 13 11 19 5 6 16 7 17 18 64 12 10 9 15 Глава 3 190. а) 79278; б) 60004; в) 54258; г) 30 826; д) 31 898; е) 31019; ж) 25 182; з) 41 080; и) 27 816; к) 51 394. 195. г) 1081; д) 141; е) 2030; ж) 2278; з) 1126. 204. 340 ц. 205. 1066 ц. 206. 2310 км. 207. Г. 211. а) 109 998; б) 1 000 999; в) 99001. 212. В. 216. а) 9 ч 22 мин; б) в 22 ч 55 мин. 218. 180 пассажиров. 219. 37 пассажиров. 220. 347 км, 378 км и 255 км. 221. Красных — 15 штук, синих — 12 штук, желтых — 23 штуки, зеленых — 30 штук. 222. Яблоко — 135 г, апельсин — 280 г, груша — 150 г. 223. Красных — 15, синих — 12, зеленых — 10, желтых — 7. 224. а) 26 100; б) 89 648; в) 276 800; г) 1 536 000; д) 94 470; е) 3 624 000. 225. а) 216; б) 404; в) 707; г) 225; д) 316; е) 518; ж) 303; 3) 505; и) 225. 226. а) 158 525; б) 222; в) 582 780; г) 68; д) 2032; е) 927 080. 227. а) В 248 раз; б) в 203 раза; в) в 4051 раз; г) в 2205 раз. 232. а) 25; б) 102; в) 550; г) 35; д) 3417; е) 99; ж) 808; з) 420; и) 777. 242. а) 42 коробки. 244. б) В 3 раза. 246. а) 400 км; б) со скоростью 75 км/ч; в) за 15 ч. 247. а) 4 км 800 м; б) 90 км. 248. а) 42 места 249. а) 20 шапочек; б) 324 фломастера. 250. 36 кусков. 252. 70 км 253. 75 м/мин. 254. На 17-й день. 255. а) 17; б) 12. 256. а) 1001 б) 10 101; в) 60 606; г) 10 305; д) 102 003; е) 200 503; ж) 3 002 001 з) 50 050 010; и) 5 003 008. 259. 30 кг. 260. 42 мин. 262. 35 км 263. 1 км 200 м. 264. 20 мин. 265. 15 мин; 1200 м. 266. а) 50 см б) за 3 мин 20 с. 268. а) 2490; б) 2405; в) 442; г) 3164; д) 260; е) 160 ж) 5; 3) 312. 273. а) 296; б) 146; в) 1200; г) 2. 274. б) 1530; в) 5678; г) 400; д) 7909; е) 443; ж) 23 100; з) 18 702. 275. а) 5000; б) 50; в) 5757; г) 990; д) 414; е) 9999. 276. а) 780; б) 1332; в) 2262; г) 80. 280. 11 пирожных. 281. 380 м. 283. 16 км. 284. 174 км. 285. а) За 4 ч; б) за 5 ч. 289. а) 2760; б) 1663; в) 33 920; г) 400 400; д) 37 550; е) 72. 290. а) 1036; б) 171; в) 3755; г) 9955; д) 131. 292. 15 кг. 17 кг 500 г, 20 кг. 293. На 6 дней. 295. 10 страниц. 296. За 6 дней. 297. За 28 ч. 298. 65 костюмов и 55 костюмов. 301. 20 шаров. 302. Яблоко весит 100 г, слива — 20 г. 303. 272 р. 304. Петя весит 28 кг, Коля —27 кг, Слава —31 кг. 320. в) 11; г) 64; д) 196; е) 1125. 322. в) 23; г) 324; е) 1410; ж) 468; з) 1100. 323. а) 52; б) 1; в) 18 000; г) 6050; д) 19; е) 961; ж) 594; з) 2200; и) 68. 324. а) 55; б) 225. 331. а) Два решения: {21)^ = 441, (29)^ = 841; б) два решения: (34)^= 1156, (36)^ = 1296; в) одно решение: (75)^ = 5625; г) два решения: (23)^ = 529, {27f = 729. 342. а) 280 км; б) 420 км. 343. а) Через 2 ч; б) через 4 ч. 344. а) 220 км; б) 80 км. 346. а) 140 км; б) 280 км. 347. а) Через 3 мин; б) через 5 мин. 348. а) Через 3 мин; б) через 5 мин. 350. а) 900 м; б) 600 м. 352. б) Через 2 ч. 353. а) 28 км; в) 84 км. 358. 73 км. 361. 5 ч. 362. 8 ч. 364. а) 1850 м; б) 2800 м. 365. а) Через 1 ч; б) через 3 ч. 366. Через 4 ч. 367. Через 3 ч. 368. а) 2300 м; б) 3200 м. 370. 90 км/ч. 371. а) 180 м; б) через 1 мин и через 4 мин. 372. а) 3 мин; б) 600 м. 373. а) 2 км/ч; б) 20 км/ч. 374. 2 км/ч. 375. За 12 ч. 376. 2250 м. 377. 40 км/ч. 378. а) 5; б) 0; в) 0; г) 6; д) 0; е) 6; ж) 2; з) 9. 379. а) 5; б) 5; в) 0; г) 0. 380. а) 0; б) 0; в) 0. 381. а) 4; б) 8; в) 8. 382. а) Невозможно; б) 24:6 = 4; в) невозмож- но. 383. а) о, 1, 4, 5, 6, 9; б) всеми возможными. 384. а) 22*88. Глава 4 390. а) 900; б) 1500; в) 1800; г) 6300. 391. 125 км. 392. 168 мин. 395. а) 18 900; б) 280 000. 397. а) 255; б) 1050; в) 480. 407. 6 страниц. 410. 8 рядов. 412. Не успеет. 419. в) 1100; г) 1400. 420. а) 560; б) 2100; в) 540; г) 1500. 421. Число 12. 422. Число 6. 423. Первый — 800 шаров, второй — 480 шаров. 424. 80 конвертов и 40 конвертов. 430. 72 ц. 431. 4 кг 200 г. 433. б) 28 р.; в) 18 мест. 434. б) 44 страницы; г) 244 листа. 435. а) 36 тетрадей; б) 16 книг и 4 книги. 436. а) 51 страницу; б) 17 м и 34 м. 438. У Сережи 16 марок, у Васи 48 марок, у Андрея 96 марок. 439. В коробках было по 18 кусков мела. 440. 3 л и 2 л. 441. 55 г. 442. В маленьких — 36 карандашей, а в больших — 24 карандаша. 444. а) 24 кг и 19 кг; б) 16 грибов. 445. а) 38 девочек и 54 мальчика; б) 78 юношей и 39 девушек. 447. а) 22 овцы и 13 овец; б) 17 овец и 23 овцы. 448. а) 225 и 207; б) 203 и 334. 449. а) 57 и 39; б) 53 и 34. 452. а) 14 см и 10 см; б) 176 см^. 454. Василию 12 лет, Борису 13 лет. Андрею 15 лет. 455. Отцу 45 лет, матери 40 лет, сыну 10 лет, дочери 8 лет. 456. а) 136; 105. 457. а) 325; 6) 630; 1275; 500 500. 458. а) 24; б) 619. 460. а) 256; б) 2304. Глава 5 472. ^AOD>А.СОВ, /LAOO/-BOD\ всего 7 углов. 474. 2) Тупой; прямой; острый. 475. 1) Прямым. 482. а) 34°; б) 32°. 485. а) 45°; б) 30°, в) 60°. 486. 30°, 90°, 120°, 165°. 487. 41°. 488. 45°. 489. 12°. 490. 1) 45°; 2) 20°. 491. 1) Шесть углов; 2) пять лучей. 498. 12 см. 499. а) 12 см 8 мм; б) 15 см 3 мм; в) 27 см. 501. 3 см. 506. а) 6; б) 9. Глава 6 514. 2, 12, 40, 120. 517. а) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; б) 1, 2, 3, 4, 6, 12. 519. а) 4; б) 3; в) 6; г) 2. 520. б) По 2, 3, 4, 6, 8, 12 учащихся. 530. Две гирлянды: 9 синих и 6 желтых флажков; три гирлянды: 6 синих и 4 желтых флажка: шесть гирлянд: 3 синих и 2 желтых флажка. 531. 15. 532. 120 яиц. 536. Через 120 мин. 537. 48 раз (считая начальную точку). 538. 96 спортсменов. 540. 82 ученика по 7 учебников. 541. В 9 ч 15 мин; в 8 ч 51 мин. 558. а), г) Да; б), в) нет. 562. а), в) Да; б) нет. 571. а) 70, 360; б) 18, 204; в) 35. 580. Да. 581. а) 6; б) 7; в) 8; г) 0 или 9. 584. 729, 594, 2466. 585. 561, 564, 567, 570, 573, 576, 579. 592. 2106, 4104, 6102, 8100, 9108. 595. а) Получится 20 полных коробок, останется 10 вилок. 596. а) 22 куска и 10 см останется; б) 11 стульев. 598. а) 6 мин 40 с; 4 мин 10 с; 26 мин 40 с; б) 2 ч 30 мин; 25 ч; 13 ч 20 мин. 603. а) 163; б) 409. 604. а) Четверг; б) среда. 605. б) 3 или 4. 606. а) 53 или 77 карандашей; б) 188 ложек. 607. б) Например, 31, 61, 91. 608. а) Наименьшее такое число — 59; б) наименьшее такое число — 57. 611. а) 2, 4, 6, 8; б) 6, 2, 2, 8, 8. 613. 16 мальчиков. 614. 9 книг на первой полке, 3 книги на второй полке. 616. а) 5 детей; б) 6 ваз; в) 25 учащихся, 69 тетрадей. 617. Нечетным. 618. а) Четным; б) нечетным; в) нечетным. 619. а) Четным; б) нечетным; в) четное. 620. а) Сумма — нечетное число, произведение — четное число. 622. а) Плюс; б) минус. 623. Среди первых 12 чисел последовательности больше нечетных, а) Четное; б) четное; в) нечетное. Глава 7 624. а) ВС\ б) АВ и АС\ в) zlB и Z.C; г) АА. 628. а) Тупоугольный; б) прямоугольный; в) остроугольный: г) тупоугольный. 633. а) Периметр равен 15 см, сторона — 5 см. 634. 24 см. 635. а) 13 см; б) 9 см. 637. 13 треугольников. 642. а) 8 см; б) 34 см. Нет. 644. а) 20 см; б) 30 см; в) 41 см 2 мм. 645. 72 м. 646. Г. 647. а) 8 см; б) 9 см. 652. Треугольник АВС прямоугольный, треугольник АВО равнобедренный тупоугольный, треугольник ВОС равнобедренный остроугольный. 653. 9. 670. а) 120°; б) 60°. 676. 15 cм^; 6 cм^; 9 см^; 7 см^. 677. а) 42 см^; б) 80 мм^; в) 750 м^. 679. а) 144 см2; 225 дм^; в) 625 м^; г) 81 м^. 681. а) 450 см2; г) 125 см2. 033^ 3^ 20 м; б) 10 м; в) 5 м. 685. а) 14 см2; ^^^2 688. 8 см. 691. а) 36 см2; gj ^^^^2 593^ 2 кв. ед. 699. 15 а. 700. 19 га. 706. 250 участков. 707. 300 000 гнезд. 709. б) 1 а; 1 га; 1 м. 710. Б. 711. 25 яблонь. Глава 8 729. 60 марок. 730. б) 60 км. 734. а) 20 страниц; б) 10 страниц. 735. 12 грибов. 736. 30 учащихся. 755. а) 48 мин; б) 4 мин. 9 15 756. а) 28 подарков; б) 48 газет. 764. а) б) 765. а) Любое число от 1 до 6; б) любое число от 1 до 8. 771. а) 65 м2; б) за 7 ч. 772. б) 32 км; г) 400 м. 773. а) 6 книг; б) 44 значка; в) 18 ковшей. 803. б) J, -3; в) -2', г) Q. 830. 838. а) Результат Ко- ли лучше; б) лучше играет команда № 2. 854. а) Выгоднее вторая краска; б) Борис идет с большей скоростью; в) Алеша работает быстрее. 867. а) 175; б) 12. 868. а) 26460; б) 1200. 870. 871. Если а \л Ь взаимно просты, то НОК (а, Ъ)=а'Ъ. 872. НОК (а, &)*НОД (а, Ъ) = а'Ь. Глава 9 53 , 67 \ 3 /гч 3 rtrtrt 3 ч 7 в: ч ^ 885. а) б) "f- 888. ч. 892. а) тт» б) 884. в) 3q; г) gQ. WWW. а, 9. 5 893. б) г) Ш Ц- ®Э4. б) у; г) 1^; е) 895. в) г) 2. 901. 902. j; нет. 907. б) 3400 г; г) 1750 г; е) 5270 г. 915. б) ч 916. б) 3-g км; 1-^ км; 5-2 км; 20^ км. 926. в) 11-^; е) 4^ 927. а) 4-^ ч; 4 ч 10 мин; б) 2-^ кг; 2 кг 350 г. 928. а) 5-|- м; б) 3-:j^ км 931. в) 11-^; г) 7-Щ-. 933. а) 11 j м; б) з| ч. 938. б) г) е) j ч J_. \ J_. ч 19 12’ 30’ 24’ 18 • 24’ 70’ 20’ 36 941. б) 1j; в) г) 952. б) 2^; г) 3^; д) 7-|-; е) 954. б) 7R23 Q 94 17 1 611 в) J- г) е) 2Ц. 955. б) г) 35; д) 2^; е) 2g. 956. б) в) ч 3 ч ____лч 33. ч 13 .7 з) 20' 19’ 9П ’ 94 > (^98)----- 960. а) 2 ч; б) з| ч. 962. 965. б) в) г) 11-^. 967. а) б) 968. а) б) 981. в) 105 мин; г) 280 мин. 982. в) 4250 г; г) 3350 г. 983. в) г) 984. б) 1; в) 2^. 985. в) 15-^; г) 986. б) 1; в) 987. а) 37^ ч; б) 45 ч. 990. а) На 2^ кг; б) 1^ кг. 992. б) 19^ м^. 994. в) г) у. 995. а) 47у; б) 36. 996. а) г) 8^. 1002. 4у кг. 1010. в) |; г) д) е) j. 1011. и) |^; к) 3; л) 5; м) 2у.1019. а) 14 пачек; б) 36 упаковок. 1021. а) 8 чашек; б) 6 посылок. 1022. а) 7 баночек; б) 14 банок. 1023. в) Зу ч. 1025. б) 15; г) 1026. б) |; г) |. 1027. б) г) е) f. 1028. б) 1у; г) е) 1у. 3 1 1029. а) 45 книг; б) 76 кг. 1030. б) у кг черники и у кг сахара. 1031. 1 ч. 1033. Через 1у ч. 1035. 4-| ч. 1036. а) 4у; б) 10у. 1037. а) 1у; б) 20. 1038. а) 2о|; б) 48у. 1039. б) у; г) 8у. 1041. б) 6-| кг и 25у кг. 1042. 60 с, 90 с и 120 с. 1043. б) ^ ч и ^ ч. 1044. а) f л, 18 л; б) 2у ч, 8 ч. 1045. 1^ ч. 1046. 1у ч, з| ч. 1051. а) 1у ч; 72 мин; б) у ч; 50 мин. 1052. а) 1000 р. 1053. б) 81 км. 1054. 33 учащихся. 1055. 86 мин. 1057. б) 25 см. 1058. б) 30 лет. 1065. а) 200 р. 1067. 49 с. 1068. 300 с. 1070. 60 с. 1071. 1073. Всем досталось поровну. 1074. 60 лет. 1079. Нет. 1081. а) На 15 дней; б) за 15 ч. 1082. За 11 дней. 1085. 30 ч. 15 1086. 5 ч. 1087. 12 ч. 1088. 315 быков. 1089. Через 3^ дней. 3 6 1090. 160 яблок. 1091. 1у ч. 1092. ур месяца. 1093. 28 флоринов. 1094. 221. 1095. ^ дня. Глава 10 1101. Три грани; четыре грани. Шесть ребер; три ребра из каждой вершины. 1111. 1)7 граней: три грани имеют форму квадрата, три грани — пятиугольника, одна грань — треугольника; 10 вершин; 15 ребер. 1112. Начать надо с вершины В или Е. Например, такая последовательность: Б, А, Б, С, В, D, С, А, D, Е. 1114. ABCD, АЕСК, KDEB. В каждой вершине соединяли по 2 квадрата. 1121. Красные грани — ABCD, DCOM, ANMD\ синие грани - ABKN, КОММ, ВКОС. Вершина К — общая вершина синих граней. 1126. б) 136 cм^. 1127. 150 см^. 1130. 1) 12 кубиков; 30 кубиков; 3) 18 кубиков. 1136. Во втором случае. 1137. а) Да; б) да. 1138. 1) 27 кубиков; одну окрашенную грань имеют 6 кубиков, две грани — 12 кубиков, три грани — 8 кубиков; не окрашен 1 кубик; 2) 27 дм. 1141. 1) 36 куб. ед.; 2) 24 дм1 1142. 192 см\ 1148. Вторая коробка. 1150. 192 см^; 256 cм^. 1156. 80 пакетов. 1157. 640 см^. 1159. а) 160 дм^; б) 612 см^; в) 180 дм^; г) 430 см®. 1160. Длина — 16 дм, ширина — 16 дм, высота — 10 дм; 40 брусков; 2560 дм®. 1161. 216 л. 1162. 152 л. 1164. 500 см®. 1165. 10 км. 1169. а) 7 вершин, 7 граней, 12 ребер; в) 101 вершина, 101 грань, 200 ребер. 1170. 42 см. 1175. 1) 1882 вершины; 2) девятьсотугольная пирамида; 3) 28 вершин; 4) нет; 5) восьмиугольная пирамида; 6) шестиугольная пирамида. Оглавление Глава 1. Линии ................................................. 3 1.1. Разнообразный мир линий ................................... — 1.2. Прямая. Части прямой. Ломаная ............................. 7 1.3. Длина линии .............................................. 11 1.4. Окружность................................................ 16 Для тех, кому интересно. Обводим линии .................. 19 Глава 2. Натуральные числа..................................... 23 2.1. Как записывают и читают числа............................ — 2.2. Сравнение чисел .......................................... 27 2.3. Числа и точки на прямой.................................. 31 2.4. Округление натуральных чисел.............................. 34 2.5. Перебор возможных вариантов .............................. 39 Для тех, кому интересно. Магические квадраты............. 44 Задания для самопроверки.................................. 48 Глава 3. Действия с натуральными числами...................... 49 3.1. Сложение и вычитание....................................... — 3.2. Умножение и деление ...................................... 55 3.3. Порядок действий в вычислениях............................ 61 3.4. Степень числа ............................................ 67 3.5. Задачи на движение ....................................... 72 Для тех, кому интересно. Последняя цифра................. 78 Задания для самопроверки.................................. 80 Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях ...... 82 4.1. Свойства сложения и умножения ............................. — 4.2. Распределительное свойство................................ 86 4.3. Задачи на части........................................... 90 4.4. Задачи на уравнивание .................................... 94 Для тех, кому интересно. Треугольные числа .............. 95 Задания для самопроверки.................................. 98 Глава 5. Многоугольники........................................ 99 5.1. Как обозначают и сравнивают углы........................... — 5.2. Измерение углов ..........................................102 5.3. Углы и многоугольники......................................105 Для тех, кому интересно. Разрезаем квадрат ................109 Глава 6. Делимость чисел .......................................111 6.1. Делители и кратные ......................................... — 6.2. Простые и составные числа .................................115 6.3. Делимость суммы и произведения .......................118 6.4. Признаки делимости ........................................120 6.5. Деление с остатком ........................................124 6.6. Разные арифметические задачи...............................129 Для тех, кому интересно. Четно или нечетно?................130 Задания для самопроверки...................................132 Глава 7. Треугольники и четырехугольники........................133 7.1. Треугольники и их виды...................................... — 7.2. Прямоугольники ............................................137 7.3. Равенство фигур............................................140 7.4. Площадь прямоугольника ....................................144 7.5. Единицы площади............................................149 Для тех, кому интересно. Построение на клетчатой бумаге ... 151 Глава 8. Дроби .................................................154 8.1. Доли ....................................................... — 8.2. Что такое дробь............................................158 8.3. Основное свойство дроби....................................165 8.4. Приведение дробей к общему знаменателю.....................172 8.5. Сравнение дробей ..........................................175 8.6. Натуральные числа и дроби .................................179 8.7. Случайные события..........................................182 Для тех, кому интересно. Нахождение НОД и НОК двух чисел с помощью разложения на простые множители..................188 Задания для самопроверки...................................190 Глава 9. Действия с дробями.....................................192 9.1. Сложение дробей............................................. — 9.2. Сложение смешанных дробей .................................197 9.3. Вычитание дробных чисел....................................202 9.4. Умножение дробей ..........................................208 9.5. Деление дробей.............................................214 9.6. Нахождение части целого и целого по его части...........222 9.7. Задачи на совместную работу................................228 Для тех, кому интересно. Старинные задачи на дроби ........232 Задания для самопроверки...................................234 Глава 10. Многогранники......................................236 10.1. Геометрические тела и их изображение ..................... — 10.2. Параллелепипед ..........................................242 10.3. Объем параллелепипеда....................................247 10.4. Пирамида ................................................252 10.5. Развертки ...............................................255 Для тех, кому интересно. Модели многогранников ..........258 Глава 11. Таблицы и диаграммы................................262 11.1. Чтение и составление таблиц............................... — 11.2. Чтение и построение диаграмм ............................272 11.3. Опрос общественного мнения ..............................276 Задания для повторения...................................280 Предметный указатель ....................................287 Справочный материал .....................................290 Ответы ..................................................294 Учебное издание Серия «Академический школьный учебник» Дорофеев Георгий Владимирович Шарыгин Игорь Федорович Суворова Светлана Борисовна и др. МАТЕМАТИКА 5 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Т. Г. Войлокова Младший редактор Н. В. Ноговицина Художники О. М. Шмелев, Д. А. Трубин, О. П. Богомолова Художественный редактор О. П. Богомолова Технические редакторы Н. А. Киселева, Е. Н. Зелянина Корректоры Н. В. Белозерова, Н. В. Бурдина, И. В. Чернова, Н. Д. Цухай Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ид № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 18.04.11. Формат 70x90Vie* Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 16,6-1-0,46 форз. Тираж 20 000 экз. Заказ № 28620 ш-гз). Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Открытое акционерное общество «Смоленский полиграфический комбинат». 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1. ” • r- 1. ; j ? j ~! i 1 LJ L.. '• T ^ f i J 1 ' I i ' i ill! r . , : i . . (. . 1 i ' ! ' ' { 1 : i 1 ! . ! 1 1 ^ i i. 1 .1 T ; I ' , •■Г-- }■ ■■■ ; - i A I ■ • Г i ^ i .. .L Кубы чисел - = 1 6^ =216 2^ = 8 7^ = 343 3^ = 27 8^ =512 4^ = 64 9^ = 729 5^ =125 10^= 1000 числитель знаменатель рг1 V" I i--. ; -К Таблица простых чисел 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 г 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 т 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 1 947 953 967 971 977 983 991 997 D Tf|'irn|‘[iTipin|i[i iji п 111 ii]jiii](liii|iiii(irriji ш jin i 9' I'O 14 1'2 ГЗ 1'4 1'5 illlllijU 1'6 делимое . делитель / 182 = 45-4^+2, Щ t 4 неполное остаток частное '-4