Математика Арифметика Геометрия Тетрадь-тренажер 6 класс Бунимович Кузнецова

_э_ ПРОСВЕЩЕН ИЗДАТЕЛЬСТ Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» АТЕМАТИКА Арифметика Геометрия Тетрадь-тренажёр Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» Арифметика Геометрия Тетрадь-тренажёр 6 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций 3-е издание Москва «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2013 УДК 373.167.1:51 ББК 22.1Я72 М34 Серия «Академический школьный учебник» основана в 2005 году Проект «Российская академия наук. Российская академия образования, издательство «Просвещение» — российской школе» Руководители проекта: вице-президент РАН акад. В. В. Козлов, президент РАО акад. Н. Д. Никанд-ров, чл.-корр. РАО, д-р пед. наук А. М. Кондаков Научные редакторы серии: акад. РАО, д-р пед. наук А. А. Кузнецов, акад. РАО, д-р пед. наук М. В. Рыжаков, д-р экон. наук С. В. Сидоренко Серия «Сферы» основана в 2003 году Руководители проекта: чл.-корр. РАО, д-р пед. наук А. М. Кондаков чл.-корр. РАО, д-р геогр. наук В. П. Дронов Линия учебно-методических комплексов «СФЕРЫ» по математике Авторы: канд. пед. наук Е. А. Бунимович, канд. пед. наук Л. В. Кузнецова, канд. пед. наук С. С. Минаева, канд. пед. наук Л. О. Рослова, канд. пед. наук С. Б. Суворова Математика. Арифметика. Геометрия. Тетрадь-тренажёр. М34 6 класс : пособие для учащихся общеобразоват. организаций / [Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева и др.]; Рос. акад. наук. Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — 3-е изд. — М. : Просвещение, 2013. — 160 с. : ил.— (Академический школьный учебник) (Сферы). — ISBN 978-5-09-027103-5. Тетрадь-тренажёр является составной частью учебно-методического комплекса «Математика. Арифметика. Геометрия» для 6 класса линии УМК «Сферы». В ней содержатся задания в соответствии с ФГОС ООО. Главной особенностью тетради является распределение заданий по видам деятельности внутри каждой темы, что позволяет учителю эффективно формировать необходимые умения и навыки, а также развивать познавательную деятельность учащихся. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1Я72 ISBN 978-5-09-027103-5 Издательство «Просвещение», 2011, 2013 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2011, 2013 Все права защищены ВВЕДЕНИЕ 9 а в тетради, как и в учебнике, 12 глав. Каждую из них можно легко узнать по цвету страниц, такому же, как и цвет соответствующей главы учебника. С помощью тетради-тренажёра вы сможете лучше освоить содержание учебника, научитесь решать задачи, выполнять геометрические построения, анализировать и находить закономерности. Она предназначена для того, чтобы вы могли потренироваться в выполнении всех видов упражнений, необходимых при изучении математики. Задания в каждой главе распределены по рубрикам. «РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ». Задания этой рубрики помогут вам научиться понимать математические тексты, выделять в них математическое содержание и формулировать его на языке математики. «РАБОТАЕМ С МОДЕЛЯМИ». Эти задания на работу со схемами, чертежами, изображениями, предметными моделями. Они делают более наглядным материал, который вы изучаете. «ОСВАИВАЕМ АЛГОРИТМЫ». Задания этой рубрики помогут вам освоить основные правила действий с числами и алгоритмы построения геометрических фигур. «АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ». Задания этой рубрики помогут вам научиться устанавливать правила и находить закономерности в мире чисел и фигур, делать выводы, аргументировать их и подтверждать рассуждениями, обосновывать подмеченные закономерности. «ВЫПОЛНЯЕМ ТЕСТ». Выполняя эти задания, вы можете проверить свои знания. При работе с тетрадью-тренажёром вам может потребоваться учебник. Ссылки на него даны на полях тетради рядом с теми заданиями, для выполнения которых он необходим. Желаем успеха! Q 12 9 12 * РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ Прочитайте в учебнике правила сложения и вычитания дробей (с. 12). Ш Заполните пропуски в тексте: а) Чтобы найти сумму {или разность) дробей с одинаковыми знаменателями, нужно найти ____________________________________ числителей этих дробей, а знаменатель ______________________________________ б) Чтобы найти сумму {или разность) дробей с разными знаменателями, нужно ____________________________________________________________ - + — = Ь d а с — + - = Ь Ь Какое правило — а или б ad-\-cb а с _ ad-cb Ь d bd с а-с bd а +с а Ь ’ Ь — записано ниже в буквенном виде? — правило _________ — правило _________ Вспомните, как получить дробь, обратную данной: для этого надо числитель и знаменатель данной дроби поменять местами — «перевернуть» дробь. 7 3 3 Например, для дроби - обратной является дробь а ^ О II дробь, обратная 7 3 7 дроби -. Поэтому дроби у и g называют взаимно обратными. Произведение двух взаимно обратных дробей равно 1. В Заполните таблицу: Дробь 2 3 3 2 10 li 2 1 5 12 Т 22 3 Дробь, обратная данной Впишите такое число, чтобы получилось верное равенство: = 1 2- ■ =1 1:-= 1: = -— 2 __ 5 ___ _________ 4 12 11 = 1 li 3 1 : 12 11 10 Прочитайте в учебнике правило деления дробей (с. 12). I Соотнесите каждый шаг деления дроби — на дробь — (левая колонка) с его описанием (правая колонка). 2.3^2 5 ■ 2 ~ 5 _ 22 _ 4 5-3 15 воспользовались правилом умножения дробей заменили деление умножением на дробь, обратную делителю Эту цепочку равенств можно записать короче: 2 . 3 2-2 _ 4 5 ■ 2 5-3 15 ‘ Теперь сформулируйте правило короткого деления дроби на дробь: Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби ________________________ на знаменатель второй, а знаменатель первой на _________________________ второй. дроби Первое произведение записать в в а второе — Прочитайте в учебнике правила, которые показывают: как найти часть от числа, выраженную дробью, как найти число по его части, как узнать, какую часть одно число составляет от другого. Н Заполните пропуски в тексте: Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, надо это число ________________________ на данную дробь. Чтобы найти число по его части, надо эту часть ________________ на соответствующую ему дробь. Чтобы узнать, какую часть одно число составляет от другого, надо первое число _____________________ на второе. Ш Придумайте и запишите задачу, решение которой можно записать с помощью следующего выражения: 120 • - 4 150 : -4 150 200 It РАБОТАЕМ С МОДЕЛЯМИ Закрасьте часть фигуры, соответствующую указанной дроби. 3 4 2 3 1 2 Запишите дробь, соответствующую незакрашенной части. Образец: Под каждой точкой, отмеченной на координатной прямой, запишите соответствующее число. а —I—I—*—*—I—I—*—I—I—*—н- 0 1 -*—I—I—*—I—I—I— 2 10 —I-----1- 11 12 Отметьте на координатной прямой числа: i- 1- 2. i2. J_. A- iJL 6 6 3 3 3 12 12 12 0 90 99 99 Бак автомобиля вмещает 60 л бензина. Рассмотрите на рисунке положение указателя и запишите, сколько в баке литров бензина. О i 1 Вместимость бака для воды 200 л. Рассмотрите на рисунке положение ука- | зателя и запишите, сколько в баке литров воды. j 200 200 200 0 0 0 200 . л Около каждой фигуры записана её площадь. Чему равна площадь закрашенной части фигуры? незакрашенной части фигуры? б к 900 мм^ 625 мм^ 672 мм^ □ мм^ □ мм^ □ мм^ □ мм^ □ мм^ □ мм^ ГЛАВА 1 в мерных сосудах находится вода. В каждом случае известна одна из двух величин: или вместимость сосуда, или количество налитой в него воды. Определите неизвестную величину. Образец: а ф - Л у 12 л 12.1 = 111 = 41л 5 5 5 — У 10 л 6 л { Какая часть бака заполнена водой? а 80 л УЮО л 20 л- У 25 л 8 л -< Л У? 28 л ц УЗО л 5 л Л У Л >•25 л 9 Сколько процентов квадрата закрашено? Закрасьте часть квадрата, выраженную в процентах. 26% 55% 80% Запишите, сколько процентов квадрата закрашено и сколько не закрашено. Образец: □ 38%, n62% □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ lOj о <* 20, 21 ГЛАВА 1 Закрасьте часть круга, выраженную в процентах. Предварительно выразите процент дробью и сократите её. 25% 25 100 4 50% 75% 100% в шестых классах был проведён опрос 50 учащихся о том, какой сайт в Интернете они считают лучшим. Назвать можно было только один сайт. В таблице приведены названные шестиклассниками сайты и процент учащихся, назвавших каждый из них. ж- i?v.- 1 ) ! ■1 I Название сайта Википе- дия Мой мир Живой журнал Однокласс- ники ВКонтакте Процент 24% 16% 10% 18% 32% учащихся И По данным этой таблицы достройте столбчатую диаграмму (столбик для Википедии уже изображён). _L X Википедия Мой мир Живой журнал Однокласс- ВКонтакте ники Н Заполните пропуски в следующих фразах: 1) Наиболее популярен среди учащихся сайт _ 2) Наименее популярен среди учащихся сайт 3) За сайт «Одноклассники» высказались ____ % учащихся. 4) Пользуются Интернетом для получения познавательной информации ^ учащихся. _____________^ учащихся. 5) Пользуются Интернетом для общения 6) Для каждого сайта найдите число учащихся, считающих этот сайт лучшим. Википедия Мой мир Живой журнал Одноклассники ВКонтакте шЯг\ sjsj На круговых диаграммах представлены распределения: а) калорийности питания между суточными приёмами пищи; б) отметок, полученных учащимися класса, за контрольную работу; в) времени в распорядке дня; г) участия шестиклассников в спортивных секциях. В каждую диаграмму впишите недостающие данные. j а Калорийность питания Распорядок дня б Отметки за контрольную работу г Участие в спортивных секциях Изобразите приблизительно на круговых диаграммах следующие данные: а) Опрос зрителей регионального телеканала показал, что среди них женщины составляют 45%, мужчины — 40%, дети и подростки — 15%. б) При ответе на вопрос об отношении к новому фильму, показанному по телевидению в воскресенье вечером, учащиеся школы распределились следующим образом: понравился — 42%, не понравился — 22%, нет определённого мнения — 10%, остальные не смотрели. 99 ние жителей города к рок-музыке. Было опрошено по 200 человек каждой возрастной группы. Ш Заполните четвёртый столбец таблицы. Возраст (в годах) Любят рок-музыку (чел.) Не любят рок-музыку (чел.) Относятся безразлично (чел.) 14—18 160 20 19—24 140 20 25—40 120 40 41—55 80 80 Старше 55 40 100 В Изобразите эти же данные с помощью пиктограммы. Используйте следующие обозначения: —нравится —не нравится Каждая «мордочка» обозначает 20 человек. °_^1 — безразличны Возраст (в годах) Отношение к рок-музыке 14—18 19—24 25—40 41—55 Старше 55 ииииииииии (продолжение на странице 14) ГЛАВА 1 ■ Постройте столбчатую диаграмму, на которой представлены результаты опроса. Сделайте возможные выводы и запишите их. Число ответов СИ - нравится СИ — не нравится СИ ~ безразличны f ® ОСВАИВАЕМ АЛГОРИТМЫ 22 Запишите частное в виде дроби: ^ Г • т б) 8 4 12 6 16 20 24 12 28 14 20 25 Восстановите запись: а) - _ 2 18 3 б)^ _ 3 8 16 _ 3 4 24 6 2 10 2 20 “ И 15 “ 5 “ 9 36 “ 9 8 15 5 25 5 6 12 “ 3 12 40 18 “ 3 Сократите дробь: а) 24 27 36 45 40 “ 54 “ 84 120 “ б) 60 75 125 250 100 “ 1000 1000 1000 “ Из данных чисел выпишите те, которые могут быть общими 2:3 = 1:4 = 9 : 10 = 3 : 19 = 6:5 = 17 : 15 = 10 : 9 = 15 : 7 = Заполните пропуски: 1 а)-^ = ^ 4 5 6 7 8 \ ми указанных дробей; подчеркните наименьший знаменатель. Дроби Числа Общие знаменатели а) 1 и i- 15, 18, 30, 45, 60, 90, 135 б) i, ^ И -^4 8 12 12, 24, 36, 48, 60, 72 12, 18, 36, 54, 72 ГЛАВА 1 ■i -:я1 i' Приведите дроби из упражнения 26 к наименьшему общему знаменателю, а) б) в) Сравните дроби, приведя их к общему знаменателю: ^>^=77 77 5 11 в) 13 3 8 13 3 6)i. =____L = _ А ^5 ’10 ’5 3 . 10 ’ ^>1 = 7 12 _5^ 9 7 12 Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю: ^>7 Л_ 50 1_ 10 «I 10 1£ 11 т_ 8 Проценты 1% 7% 9% 43% 89% 91% Дробь 1 100 Заполните таблицу (предварительно сократите полученные дроби): Проценты 10% 20% 25% 40% 50% 60% 70% 75% 80% Дробь 10 Выразите дробь в процентах: Дробь Дробь со знаменателем 100 Проценты 1 4 1 _ 1-25 _ 25 4 4-25 100 25% 1 20 20 3 5 Заполните таблицу (старайтесь считать устно): Старая цена товара, р. 3000 4500 800 500 1200 600 Уценка, % 10 20 25 30 50 75 Величина уценки, р. Новая цена, р. Заполните таблицу (старайтесь считать устно): Старая цена товара, р. 400 900 600 500 2500 Повышение цены, % 5 8 10 12 20 Повышение цены, р. Новая цена, р. АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ J 1) Придумайте удобный способ для вычисления суммы и найдите её значение: 1 1 1 1 I . 2 2 2) , (З 3 + 4 ^ и + 57 + 1- 2) Составьте по этому же правилу сумму всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 6 и вычислите её значение. Fli ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ 1) Убедитесь, что верны равенства: 1 + i = i 2 4 4 2 4 8 8 1 + i + i+J_ = li 2 4 8 16 16 2) Подметьте закономерность в построении этих равенств, запишите следующее равенство и проверьте себя, выполнив сложение. Не выполняя сложения, докажите, что верно каждое из следующих неравенств. (Для этого разберите, как это сделано в пункте 1, и воспользуйтесь таким же способом в следующих пунктах.) 3 4 2 Решение. Так как то - -I- -I- —. 3 4 3 4 4 4 „1^1 1 1^1.1 Но значит, - Ч- — > —. 4 4 2 3 4 2 2)i + i + l + l>l. 5 6 7 8 2 3) Подметьте закономерность в построении этих неравенств и запишите похожее неравенство, которое начинается так: { 1 1 I — -1- — -Ь 6 7 Докажите, что это неравенство верно. 1) Первоначальная цена компьютера была снижена на 10%, а затем его новая цена была повышена на 10%. Дороже или дешевле по сравнению с первоначальной ценой стал стоить компьютер? Подсказка. Проведите числовой эксперимент: возьмите какую-нибудь цену, например 100 р., и выполните нужные вычисления. Ш Проиллюстрируйте с помощью рисунка свой вывод, изобразив цены отрезками (первоночальную цену изобразите отрезком длиной 10 клеток). Первоначальная цена: Цена после снижения: Цена после повышения: Ответ: 2) Теперь решите такую задачу: Первоначальная цена компьютера была повышена на 10%, а затем его новая цена была понижена на 10%. Дороже или дешевле по сравнению с первоначальной ценой стал стоить компьютер? Первоначальная цена: Цена после снижения: Цена после повышения: Ответ: Цш im РОБИ И ПРЙЦЕНТЫ 11 Учащимся одной из школ предложили высказать своё мнение о том, существует ли на самом деле Лохнесское чудовище. На диаграмме показано, как распределились мнения учащихся. Рассмотрите диаграмму и ответьте на вопросы: 1) Сколько процентов учащихся не имеют своего мнения на этот счёт? 2) Сколько процентов учащихся можно отнести к «оптимистам» (т. е. к тем, кто склонен ответить на этот вопрос положительно) и «пессимистам»? «Оптимисты» _______________________________________________________ « Пессимисты » 3) Кого больше — «оптимистов» или «пессимистов» (подчеркните нужное)? На сколько процентов? _________________________________________________ 4) Сколько процентов учащихся имеют твёрдое мнение по этому вопросу? 5) Известно, что было опрошено 200 учащихся. Сколько учащихся уверены в существовании Лохнесского чудовища? _____________________________ Ш Подумайте, на какие ещё вопросы можно получить ответы, используя эту диаграмму. Запишите придуманные вами вопросы и предложите своим товарищам ответить на них. 221 Какие из дробей ^ можно привести к знаменателю 100? 3 5 15 25 Ответ: 13 5 3 Какое из чисел —, —, —, — является наименьшим? 2 8 12 2 2) 3) 12 ^'1 Сократите дробь Ответ: 45 150 ' 2 1 1 Сложите дроби —, — и —. 3 6 4 Ответ: Вычислите: 1 -Ответ: ______ 3 9 Для каждого выражения укажите его значение. / \2 А. Н - Б. 2- ,_3^ в. 35 6 5 ■ 10 4 V у 1) 8 2) 1^ 16 3) i 5 4) lA 16 Ответ: А Б В Найдите значение выражения Ответ: 10 1-- 10 Прочитайте задачу: ^ В шестых классах школы 60 учащихся. Это составляет — всех учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе? Какое из действий надо выполнить, чтобы решить эту задачу? 1) 60 10 2) 60 : 10 3) ^ : 60 4) 60 + ^ ш ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ ОО Из 120 мест в авиалайнере занятыми во время рейса оказалось - всех мест. Сколько мест было свободно? Ответ; После того как поезд прошёл 80 км, ему осталось пройти 40 км до конечного пункта. Какую часть всего пути прошёл поезд? 1 1)1 3) i 3 4) 8 Выразите дробью 49%: 49 04 1 1) 100 2) 49 3) Ш 49 4) 10 Для каждого числа процентов из верхней строки укажите соответствующую ему дробь в нижней строке (одна дробь лишняя). А. 40% 7 Б. 25% 1) 10 2)i 3) 1 В. 50% 4) 2 5 Г. 70% 5) i Ответ: А Б В Г На диаграмме представлены результаты районной контрольной работы по математике в 6 классе. Сколько процентов учащихся получили отметку « 2 » ? Ответ; Бригада должна отремонтировать участок дороги длиной 600 м. За первую РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ О 30 <* 30 Вставьте в текст пропущенные слова и величины: Если одну пару вертикальных углов составляют острые углы, то другую __________________. Пусть, например, каждый из ________________ углов равен 120°, тогда каждый из 180° - ___ углов равен В каком из трёх утверждений сказано верно, какие углы называют смежными? Около неверных утверждений укажите номер рисунка, который его опровергает. A. Два угла называют смежными, если у них есть общая вершина, а две стороны этих углов вместе составляют прямую. ______ Б. Два угла называют смежными, если у них есть общая сторона. ______ B. Два угла называют смежными, если у них есть общая сторона, а две другие стороны этих углов вместе составляют прямую. _____ вашем рисунке вертикальные углы. Разрежьте кальку по проведённым прямым. 1) Используя вырезанные углы, убедитесь, что вертикальные углы равны. 2) Какие углы составляют развёрнутый угол? Составьте различные развёрнутые углы. Ответ: _______________________________ 3) Представьте, что один из углов, образовавшихся при пересечении прямых, равен 90°. Чему тогда равны остальные углы? ________________________ 4) Запишите на чертеже величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении прямых а и Ь, если известен один из них. о 35 1) С помощью линейки и угольника проведите три параллельные прямые. Обозначьте их буквами а, Ь, с. Для каждой пары прямых запишите, что они параллельны, используя знак ||. Ответ: N М 2) Проведите прямую, пересекающую каждую из проведённых вами параллельных прямых. Отметьте углы, под которыми эта прямая их пересекает, цифрами 1, 2, 3. Убедитесь, что эти углы равны. 3) Параллельные прямые а и Ь пересечены прямой с. Величина одного из получившихся углов равна 55°. Запишите на чертеже величины остальных углов. Возьмите куб. Обведите фломастером красного цвета пару параллельных рёбер, фломастером синего цвета пару перпендикулярных рёбер, фломастером зелёного цвета пару скрещивающихся рёбер. 1) Обведите фломастером на рисунке справа: а) ребро, перпендикулярное ребру АВ; б) ребро, параллельное ребру АВ и не лежащее с ним в одной грани; в) ребро, скрещивающееся с ребром АВ. Указание. При необходимости воспользуйтесь моделью куба. 2) Проведите на рисунке: а) диагональ грани ABNO, параллельную диагонали DM\ б) диагональ грани AOKD, скрещивающуюся с диагональю NC. 1) На рисунке изображены две развёртки пирамиды. На каждой развёртке отмечены точки К w. N одной грани и точки М и L на другой и проведены прямые KN и ML. Перенесите каждый рисунок на кальку, сверните развёртки и определите, в каком случае прямые KN и ML будут пересекающимися, а в каком — скрещивающимися. К М М о 38 2) На рисунке справа изображена развёртка пирамиды. Прямые KN и ML пересекаются в пространстве (точка М лежит на ребре пирамиды). Постройте точку М. D 3) Проведите какую-нибудь прямую, лежащую в плоскости грани CDE пирамиды DFCE (рисунок слева) и пересекающую прямую АВ. 1) Проводя окружности с центром в точке А, найдите: а) ближайшую к дому лесника точку озера; б) ближайшую точку шоссе; в) ближайшее дерево. Чему равно расстояние от дома лесника до каждого из этих объектов на плане? Чему равно это расстояние на местности, если 1 см на плане соответствует 100 м на местности? Заполните таблицу. Объект Расстояние на плане, см Расстояние на местности, м Озеро Шоссе Дерево о 30 к А 2) Отметьте красным карандашом несколько точек, расположенных от точки А на расстоянии, большем 2 см, и синим карандашом несколько точек на расстоянии, меньшем 2 см. В Закрасьте множество всех точек, которые расположены от точки А на расстоянии, большем 1,5 см и меньшем 2 см. 3) Проложите кратчайшие пути: от дома (П) до шоссе; от дома до колодца (К); от дома до опушки леса. Чему равно расстояние от дома до автобусной остановки (А)? до реки? Ответ: от дома до остановки ___________ от дома до реки ________________ б D* Через точку А проведите прямую, перпендикулярную прямой Ь. а ■■ a 34 Через каждую вершину треугольника проведите прямую, перпендикулярную прямой, на которой лежит противоположная ей сторона. Проведите несколько прямых, параллельных прямой т (рис. а). б а М т Через точку М проведите прямую а, параллельную прямой Ъ (рис. б). Проведите через отмеченные точки прямые, параллельные прямым а и Ь. Если вы сделаете это аккуратно, то получите сетку из одинаковых четырёхугольников. Проведите прямую, параллельную стороне АС и пересекающую две другие стороны треугольника АВС. Отметьте равные углы в маленьком и большом треугольниках. В РОСТРАМ Измерьте расстояние от точки А до каждой прямой. К какой из двух прямых точка А расположена ближе? Ответ: ___________________ А Чему равно расстояние между параллельными прямыми а VI Ы а Ответ: Постройте прямую, расположенную на расстоянии 2 см от данной прямой. Сколько таких прямых? Ответ: ^ АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ На стороне ОА угла АОВ отметили несколько точек. Каждая следующая точка удалена от предыдущей на одно и то же расстояние. Проведите через эти точки параллельные прямые так, чтобы они пересекли сторону ОВ. Равны ли отрезки, отсекаемые этими прямыми на стороне ОВ? Ответ: ________________ 1^. Щ- «Г Л ^ ^ li m* Скопируйте рисунок. 1) В каждом треугольнике измерьте с помощью транспортира величины углов. Результаты занесите в таблицу. Найдите сумму углов треугольника. Треугольник Величины углов Сумма углов АВС ZA = . ZB = , ZC = KMN DOF Сделайте вывод: сумма углов треугольника равна 2) К этому выводу можно прийти и с помощью рассуждений. Для этого выполните следующие построения: 1. Продлите стороны АВ и СВ за вершину В. 2. Начертите прямую, проходящую через вершину В и параллельную прямой АС. 3. Отметьте угол с вершиной в В: а) равный углу А; б) равный углу С; в) равный углу В. ПРОСТРАНСТВЕ Посмотрите на рисунок: все три угла треугольника как бы собрались вместе в вершине В. И оказывается, что вместе они составляют развёрнутый угол, т. е. их сумма равна 180°. 3) Найдите неизвестные углы треугольника по данным, указанным на рисунках. 4) Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при вершине равен 28° б) угол при основании равен 77° Ответ: а) б) Хозяйка, приведя козу на пастбище, вбила два колышка (А и В) на расстоянии 4 м один от другого и натянула между ними верёвку с кольцом, которое свободно перемещалось по ней. К кольцу привязала верёвку с козой. Длина верёвки составляла 2 м. Нарисуйте образовавшееся пастбище. ^Wmw ГЛАВА 2 38 Постройте область, в которой может находиться точка С, если известно, что расстояние от точки А до точки С меньше, чем расстояние от точки А до точки В, а расстояние от точки В до точки С больше, чем расстояние от точки В до точки А. А ВЫПОЛНЯЕ1У1 ТЕСТ Известно, что /Л = 35°. Укажите величины остальных углов. Ответ: А2 Z.3 А4 Постройте какую-нибудь прямую т, которая пересекает прямую к под углом 45°, и прямую I, перпендикулярную прямой к. к Прямые а и Ь — параллельные, А1 Укажите величину угла 2. = 72°. Ответ: ■4 оо Какие высказывания являются верными, а какие — неверными? (Верные высказывания отметьте знаком « + », неверные — знаком «-».) 1) Прямые а и & параллельны. 2) В точке В пересекаются прямые с, d и а. 3) Прямая d пересекает прямую с под углом 50° 4) Прямая с перпендикулярна прямой d. 5) Треугольник АВС — прямоугольный. Ответ: Проведите через точку А прямую I, параллельную прямой к. По рисунку к заданию 5 найдите расстояние от точки А до прямой к. Ответ: ______________________________ По рисунку к заданию 3 найдите расстояние между прямыми а и Ь. Ответ: ______________________________ ПОДВЕДЁМ НТО тт Q (п) о 45 РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ Прочитайте в учебнике текст (с. 45) о названиях разрядов в десятичной записи числа. Над каждой цифрой десятичной дроби 145,32084 запишите название разряда, в котором она содержится: ___ Прочитайте текст: во Т В метрической системе мер из основных единиц измерения величин получают другие единицы — кратные и дольные. Кратные единицы превышают основную в 10, 100, 1000 раз и т. д.; дольные составляют и т. д. части основной единицы. ю’ 1 100 ’ 1 1000 Названия новых единиц образуются с помощью десятичных приставок. Вот значения некоторых приставок: дека — от греческого deka (десять) — гекто — от греческого hekaton (сто) кило — от греческого kilo (тысяча) -деци — от латинского decern (десять) санти — от латинского cent (сто) — милли — от латинского mille (тысяча) — означает «увеличение в 10 раз»; — означает «увеличение в 100 раз»; — означает «увеличение в 1000 раз»; — означает «уменьшение в 10 раз»; означает «уменьшение в 100 раз»; — означает «уменьшение в 1000 раз». Список приставок со временем расширился. Современная физика имеет дело со столь малыми величинами, а современная астрономия — со столь большими, что потребовались новые единицы измерения и соответственно новые приставки для их обозначения. Например: мега — от греческого megas (большой) — означает «увеличение в 1 000 000 раз»; гига — от греческого gigas (гигантский) — означает «увеличение в 1 000 000 000 раз»; микро — от греческого micros (малый) — означает «уменьшение в 1 000 000 раз»; нано — от греческого nanos (карлик) — означает «уменьшение в 1 000 000 000 раз». 1) Занесите в таблицу десятичные приставки, описанные в тексте: Приставка Увеличение Приставка Уменьшение дека в 10 раз 2) Впишите в пустые клетки таблицы соответствующие единицы измерения величин и отметьте галочкой те из них, которые вам приходилось применять на практике: Увеличение Основная единица Уменьшение в 1000 раз в 100 раз в 10 раз в 10 раз в 100 раз в 1000 раз декалитр литр грамм метр 3) С помощью заполненной таблицы ответьте на вопросы: а) Сколько содержится: миллилитров в 1 литре? 1 л = _______ миллиметров в 1 дециметре? 1 дм = ______ миллиграммов в 1 килограмме? 1 кг = ______ б) Какую часть составляет: 1 миллиграмм от 1 грамма? 1 дециметр от 1 километра? 1 литр от 1 декалитра? 1 мг = 1 дм = 1 л = мл мм мг г км дкл в) Что больше и во сколько раз: 1 миллисекунда или 1 наносекунда? Ответ: 1 мс_____1 нс; в ______________ раз. 3 2 3i12‘5* 56*321*^ I РАБОТАЕМ C МОДЕЛЯМИ Дан квадрат 10X10 клеток. Закрасьте указанную часть этого квадрата. а 0,07 0,4 0,65 Какая часть квадрата закрашена? Выразите ответ сначала десятичной дробью, а потом обыкновенной. Закрасьте такую же часть соседнего квадрата каким-нибудь другим способом. б Ответ: Ответ: Закрасьте каким-либо способом указанную часть квадрата, выразив предва-Ч рительно десятичную дробь обыкновенной и сократив её. а 0,5 = 0,2 = 0,75 = Под каждой меткой координатной прямой подпишите соответствующее число: а 46 б в L ——1 0 , ■ 1 , , , , , 1 0 i ' 1 1 2 0 1 2 Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие указанным числам: а) 0,1; 0,6; 1,3; 1,7; 2,5; 2,9; 0 1 2 3 б) 0,4; 1,5; 2,8; 3,3; 4,1; 5,7; 0 1 2 3 4 5 6 в) 0,06; 0,16 ; 0,245. 6 ' ' ' ' ' ' ' ' 'од' 0,2 0,3 Под каждой ветствующее точкой, отмеченной на координатной число: прямой, запи а 7 8 9 б 0,2 0,3 « 0,5 '' о',б ' ОД 2 о'А * 0^5 ' о',6 0,2 0,3 0,4 0,5 Покажите стрелками примерное положение на координатной прямой точек, соответствующих указанным числам: 0,3 1,5 2,3 3,5 4,7 6,2 о Q 44,45 Впишите в каждую рамочку подходяш;ее число. О 76 1 На каждом изображении координатной прямой выделите цветным каранда- шом жит отрезок, ограниченный двумя соседними метками, которому принадле-точка с координатой 0,7356. а —1 1 1 1 1 1 1 1 1— 0 1 б 0,7 0,8 в 0,73 0,74 # ОСВАИВАЕМ АЛГОРИТМЫ 1 Заполните таблицу: Читается Количество цифр после запятой в десятичной дроби Запись в виде десятичной дроби 0 целых 8 десятых 1 0,8 6 целых 53 сотых 10 целых 108 тысячных 4 целых 5 сотых 0 целых 19 тысячных 100 целых 1 тысячная * 14 целых 305 десятитысячных 0 целых 6 десятитысячных 0 целых 2147 стотысячных 3 целых 48 стотысячных 1 целая 2 миллионных €) 46 Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной. Десятичная дробь Читается Обыкновенная дробь 0,7 0 целых 7 десятых 7 10 0,9 0,04 0,001 0,042 0,0036 б) 1,9 = 1,93 = 19,3 = 0,193 = Запишите число в виде десятичной дроби: «и- б) — ’ 100 в) 123 1000 3—= ^100 408 'юоо — = 10 131 100 ■ 1142 1000 25 Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: а) 0,3 = _____ 0,33 = _________ 0,333 = __________ 0,033 = __________ ! Разберите приём, с помощью которого обыкновенная дробь ^qqqq запи- сана в виде десятичной: 25 0025 10 000 10 000 = 0,0025. а) б) в) Запишите обыкновенную дробь в виде десятичной: 2 . о 1 100 4 1000 28 1000 г) 3 Д) 2 е) 1000 65 100 000 1001 1 000 000 3 2 ? 9 12 5*.-56*321* 3 n , о n п tA * Подчеркните равные десятичные дроби и запишите самую короткую: а) 0,8; 0,08; 0,80; 0,008; 0,8000; 0,0008; __________ б) 5,1; 5,01; 5,010; 5,001; 5,01000; 5,00010; __________ в) 0,330; 0,303; 0,033; 0,3030; 0,0303. __________ Впишите знак > или <: а) 0,15 < 0,23, б) 0,05 0,19, в) 0,11 0,05, 0,27 0,33, 0,07 0,1, 0,03 0,21, 0,46 0,28, 0,2 0,09, 0,35 0,03, 0,08 0,01; 3,15 3,015; 4,008 4,01. Каждой десятичной дроби (верхняя строка) поставлена в соответствие некоторая буква (нижняя строка): Дробь 0,304 0,0043 0,034 0,3004 0,34 Буква Ф Ы Р Е С Поменяйте порядок дробей, расположив их в порядке убывания: Дробь Буква II Какое слово у вас получилось? Каждой десятичной дроби (верхняя строка) поставлена в соответствие некоторая буква (нижняя строка): Дробь 0,1 1,101 0,01 0,11 1,01 1,1 1,011 Буква О Е м л О ц Д Поменяйте порядок дробей, расположив их в порядке возрастания: Дробь Буква Какое слово у вас получилось? Соедините числа стрелками последовательно в порядке возрастания. Запишите цепочку соответствующих неравенств. Образец: То,81 3 2 3 ? 1 2 5 • г 56*321’' Я - 3,3 n : ono Соедините числа стрелками последовательно в порядке убывания. Образец: 0,32 >0.31 >0.23 >0.203 3,71 3,8 3,83 3,705 а 2 • 1,58 • 9,5 *9,145 • 1,92 • 1,75 *8,9 *1,29 *8,899 б щ •0,05 д *8,48 *0,19 *4,48 , •0,21 *8,84 *8,44 *4,88 *0,09 г 9 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Опровергните каждое из следующих утверждений, приведя соответствующий контрпример: Утверждение Контрпример Если у двух десятичных дробей целые части одинаковы, то из них та больше, у которой цифр после запятой больше Если в десятичной дроби вычеркнуть нуль, стоящий после запятой, то получится дробь, равная исходной Если в десятичной дроби зачеркнуть последнюю цифру, то получится дробь, меньшая исходной Установите закономерность, по которой строится последовательность десятичных дробей, и запишите три следующие дроби: 1. 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 2. 0,1; 0,01; 0,101; 0,0101; 3. 0,02; 0,202; 0,0202; 0,20202; 4. 0,1; 0,12; 0,123; 0,1234; ___ 5. 0,9; 0,89; 0,789; 0,6789; ___ 1) В последовательности под номером 4 каждая следующая дробь больше предыдущей. Есть ли в этом перечне другие последовательности, обладающие таким же свойством? 2) В каких последовательностях каждая следующая дробь меньше предыдущей! 3) Какие последовательности не обладают ни тем ни другим свойством? Некоторая десятичная дробь заключена между числами 0,001 и 0,01. 1) Какие цифры могут быть записаны у такой дроби: в разряде десятых?___________ в разряде тысячных? _____________ в разряде сотых?_____________ в разряде десятитысячных? _______ 1 3 2 "5 9 12 5*2 56 * 32 1 • ^ У. *к • QsJ 2) Может ли такая дробь иметь: два десятичных знака? _______ три десятичных знака? _______ четыре десятичных знака? Если да, то запишите рядом пример такой десятичной дроби. 3) Сколько всего существует таких десятичных дробей, имеющих: три десятичных знака? ___________________________________ четыре десятичных знака? _______________________________ В десятичной дроби 0,528047169 нужно вычеркнуть четыре десятичных знака так, чтобы получилось: а) возможно большее число; б) возможно меньшее число. Р в III в Н И 0. а) 0,528047169 * б) 0,528047169 а ■ ^ ВЫПОЛНЯЕМ ТЕСТ в каких разрядах десятичной дроби 519,2516 записана цифра 5? 1) только в разряде десятых 2) только в разряде сотен 3) в разрядах десятых и десятков 4) в разрядах сотых и сотен Как записать цифрами число «пятнадцать целых восемь тысячных»? 1) 15,8 2) 15,08 3) 15,008 4) 15,0008 Запишите в виде десятичной дроби число 1) 0,7003 2) 7,003 3) 70,03 7003 1000 ■ 4) 7,3 Три из указанных ниже чисел отмечены точками на координатной прямой. Для какого из чисел на рисунке нет соответствующей точки? 1) 0,208 2) 0,28 3) 0,228 4) 0,282 0,2 Какое из равенств верно? 1) 3 м 8 см = 3,8 м 3) 1 т 80 кг = 1,08 т 2) 4 кг 60 г = 4,6 кг 4) 2 км 900 м = 2,009 км 0,3 ДРОБИ Какую из приведённых обыкновенных дробей нельзя представить в виде десятичной дроби? 1) — 28 2) 10 15 4) 25 Для каждой обыкновенной дроби из верхней строки укажите равную ей десятичную дробь из нижней строки. А. 1 Б. ^ В. ^ Г. i 5 4 20 8 1) 0,05 2) 0,375 3) 0,2 4) 0,75 Ответ: А Б В Г Расположите десятичные дроби 0,391, 0,319, 0,39 в порядке возрастания. 1) 0,319; 0,39; 0,391 2) 0,391; 0,39; 0,319 3) 0,319; 0,391; 0,39 4) 0,39; 0,391; 0,319 4 Сравните числа 0,4 и —. Ответ: _______________________ При подстановке какой из указанных цифр вместо звёздочки в неравенство 5,*8 < 5,38 получится НЕВЕРНОЕ утверждение? 1) о 2) 1 3) 2 4) 3 ПОДВЕДЁМ ИТОГИ Q J I Прочитайте текст: Числовая последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего, называется возрастающей. Например, последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ... — возрастающая. Числовая последовательность, в которой каждый следующий член меньше предыдущего, называется убывающей. Например, последовательность дробей ..., ... — убывающая. 1) Подметьте закономерности, по которым строятся данные последовательности, и продолжите каждую из них. 6,3 Как меняются члены каждой из последовательностей? Закончите предложения: Последовательность 6,3; 5,9; 5,5; ... является ____________________________ Последовательность 2,8; 3,1; 3,4; ... является 2) Придумайте свои примеры: а) возрастающей последовательности; б) убывающей последовательности; Каждое числовое равенство, приведённое ниже, иллюстрирует некоторое свойство арифметических действий. Запишите это свойство с помощью букв. Числовое равенство Образец; 0,3 • 3,54 = 3,54 • 0,3 а) (1,7 • 12,5) • 8 = 1,7 • (12,5 • 8) б) 2,9 • 0,6 + 5,1 • 0,6 = 0,6 • (2,9 + 5,1) Буквенная запись а ■ Ь == Ь JL. OQ I 64, 65 .ij I Вы знаете, что умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. сводится к переносу запятой в этой дроби. Так же легко умножать и делить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. 1) Найдём произведение 12,35 • 0,1: 12,35 • 0,1 = 12,35 • — = = 1,235. ------------ 10 10 --------------------------- Отсюда понятно правило: Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д„ можно в этой дроби перенести запятую на столько цифр влево, сколько десятичных знаков содержится в множителе. Ш Пользуясь сформулированным правилом, найдите произведение: а) 56,78 • 0,1 = ____________ в) 7400 • 0,001 = _____________ б) 23,29 • 0,01 = ___________ г) 5,8 • 0,01 = _______________ 2) Найдём частное 12,35 : 0,1: 12,35 : 0,1 = 12,35 : ^ = 12,35 • 10 = 123^. Отсюда понятно правило: Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., можно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько десятичных знаков содержится в делителе. Ш Пользуясь сформулированным правилом, найдите частное: а) 56,78 : 0,1 = _____________ в) 7400 : 0,001 = ________ б) 23,29 : 0,01 = ____________ г) 5,8 : 0,01 = __________ ® РАБОТАЕМ С МОДЕЛЯМИ 95 Запишите каждую дробь в таблицу и выполните действие. Образец; 7,0256 + 43,193 Целая часть Дробная часть Слагаемое 7 0 2 5 6 Слагаемое 4 3 1 9 3 0 Сумма 5 0 2 1 8 6 а) 46,73 + 0,6098 + 305,021 Целая часть Дробная часть Слагаемое Слагаемое Слагаемое Сумма б) 71,347 - 6,1025 Целая часть Дробная часть У меньшаемое Вычитаемое Разность в) 542,18 - 50,3647 Целая часть Дробная часть У меньшаемое Вычитаемое Разность 1) Найдите произведение (поставьте запятую там, где нужно, или допишите нули): 2 I, 5 3 7 ■ 1 0 - 2 1 5 3 7 2 и 5 3 7 ■ 1 0 0 = 2 1 5 3 7 2 I, 5 3 7 ■ 1 0 0 0 = 2 1 5 3 7 2 I, 5 3 7 ■ 1 0 0 0 0 2 1 5 3 7 2 1, 5 3 7 ■ 1 0 0 0 0 0 = 2 1 5 3 7 2) Найдите частное (поставьте запятую там, где нужно, или допишите нули): 2 1,5 3 7 2 1,5 3 7 2 1,5 3 7 2 1,5 3 7 1 1 1 I о 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 = 2 2 2 2 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 Известно, что 45 • 68 = 3060. Используя этот результат, найдите произведения чисел, указанных в таблице (ненужные нули зачеркните, нужные нули допишите). Произведение Результат 4,5 ■ 6,8 306 0 0,45 • 0,68 30 6 0 4,5 ■ 0,0068 30 6 0 0,045 ■ 0,068 306 0 450 • 0,068 30 6 0 Покажите примерное положение числа а на координатной прямой и округ-лите данное число до выделенного разряда. I Образец: а = 32,172 а ~ 32,2 а Н-----h Н----------1--------1- 32,1 32,2 а) а = 15,463 а —1----1----1----1----1---1----1---1----1---1----1----h 15,4 15,5 б) а = 7,3516 -------------------------------1------------------------------1------------------------------h а ~ Н----h Н----1----1---1----h -t—► 7,35 7,36 в) а = 0,8253 а ^-----1---h Н----1----1---1----1---1----h 0,82 0,83 Пешеход А идёт со скоростью 3 км/ч. Пешеход В идёт в том же направлении со скоростью 3,5 км/ч. Сейчас расстояние между пешеходами 1,5 км (см. рисунок). 3,5 км/ч 3 км/ч В-^ А-^ —•■■■■■ — 1 км Ч Ш Покажите на рисунке красной и синей точками положения пешеходов через указанные промежутки времени и определите расстояние между ними: через 1 ч расстояние через 2 ч расстояние км, км. через 3 ч расстояние через 4 ч расстояние км, км. Ш Ответьте на вопросы: На какое расстояние сближаются пешеходы за 1 час? Через какое время пешеход В догонит пешехода А? _ Через какое время пешеход В обгонит пешехода А на 1 км? 1. 100 102 Лодка А плывёт против течения реки со скоростью 3,5 км/ч. Плот В плывёт по реке со скоростью 1,5 км/ч. Сейчас расстояние между ними 12 км (см. рисунок). 3,5 км/ч А—> —•---- 1.5 км/ч В ----•— / км ш Покажите на рисунке красной и синей точками положения лодки и плота через указанные промежутки времени и определите расстояние между ними: через 1 ч расстояние _____км. через 2 ч расстояние через 3 ч расстояние _км, км. , г 5 б 3, 7 2, 9 3 4, 2 9 2, 7 4, О 2 Дополните дроби: ■ до 1: + 6, 3 5 2, 7 9 0 5 3 I, 6 Л ^ / 5, 6 0,4 0,1 0,3 0,35 0,56 0,09 0,287 0,004 В до 10: 1,3 9,6 5,5 7,43 2,65 5,02 4,999 3,111 103 106 107 « Вычислите устно и запишите ответ: а) 0,08 + 0,2 = _______ 0,01 + 0,09 = ______ 8,3 - 5,3 = _______ 4,4-4 = _______ 1,6 - 0,8 = ________ 1,1 - 0,6 = ________ б) 1,7 + 0,7 0,9 + 1,4 3,6 + 0,4 0,8 + 2,5 3 - 0,3 2,3 - 0,4 женин или деления.) а) 8,8 10 = 88, 3,3 100 = 0,033, 10,5 10 = 1,05, 0,36 100 = 36; б) 7,5 44,55 0,37 3,78 100 = 750, 10 = 4,455, 10 = 3,7, 100 = 0,0378. Какое число пропущено? (Впишите его.) а) 42,3 • 0,05 • 3,8 • _ 0,007 = 423, = 50, = 380, = 0,07; б) 16,7 : 8 : _ 1,3 : _ 0,6 : = 1,67, = 0,08, = 0,0013, = 0,06. Выполните умножение: 2, 4 I X 3, 5 X I 5, 3 1,0 2 X 1,2 5 4, 4 X 3, 6 0,1 2 X о, 1 о 7 о, 2 4 X о, о 3 4 о, 2 5 108 Поставьте в ответе пропущенную запятую: 109 69 110 112 О <* 72 113 Заполните таблицу: Выполните деление: 3,7 5 а) ^3 1 4, 2 1 0 8 3 в) 0,0 1 6 X Я X 5 X 5 0 2 5 13 6 8 5 4 15 8 0 0 Вычислите устно и запишите ответ: а) 0,3 • 6 = б) 1,5 • 2 = в) 2,5 • г = 0,4 • 9 = 1,2 • 5 2,5 • г = 4 • 0,6 = 1,5 • 4 = 3,5 • г = 5 • 0,8 = 1,5 • 6 = 3,5 • 4 = Заполните таблицу: а 0,5 1,1 0,3 аЗ 0,49 0,04 15 3.4 8 8 1.5 2 1 3 а 0,5 0,4 0,2 0,027 0,001 Вычислите устно и запишите ответ в виде десятичной дроби: а) 0,9 : 3 = б) 7,5 : 3 = в) 1 : 2 = 1,8 : 6 = 4,5 : 3 = 1:5 = 2,4 : 3 = 0,32 : 2 = 3:2 = 8,4 : 2 = 0,54 : 2 = 1:4 = Г5 15 действия c де<^тичными дробями 114 116 QQ 117 Впишите а) 3 • пропущенное число: = 3,6 б) 2 • = 5 • 2 =0,8 10 • = 3 0,3 : = 0,03 : 0,3 = 3 : 0,5 = 2 5 : = 2 Заполните таблицу: а 1,8 0,6 5 0,12 Ъ 3 0,2 7 3 а ' Ь 9,8 0,25 а : Ъ 0,02 1,5 Заполните таблицу: а 1,5 0,9 а ■ 10 2,5 а • 100 3 а • 0,1 0,025 Решим задачу на части: Хозяйке нужно смешать сухофрукты так, чтобы в смеси содержалось изюма 1 часть, слив 2 части, яблок 3 части. Сколько изюма, слив и яблок она должна взять, чтобы получилось полтора килограмма такой смеси? Решение: 1) На 1,5 кг смеси приходится часть смеси приходится 1,5 : _ частей, тогда на одну кг. 2) Изюм составляет одну часть, значит, его нужно_____кг\ сливы составляют 2 части, значит, их нужно ____ кг\ яблоки составляют 3 части, значит, их нужно ____ кг. Проверка: Выполняется ли условие: масса смеси составляет 1,5 кг? ______ + _____ + ______ = ____ кг — да / нет (нужное подчеркнуть). Ответ: изюма — __________, слив — _________, яблок — ________. 118 119 121 J Округлите десятичные дроби: a) до десятых: 0,364 ______ 1,23 ~ _______ 0,919 ~ ______ 4,0585 « _____ б) до сотых: 0,7348 ~ ___ I, 19105 ~ _ 2,67503 ~ _ II, 87412 « _ в) до тысячных: 2,9013 ~ ______ 0,07454 « _____ 3,2478 ~ ______ 0,9093 ~ ______ Выразите заданные величины приближённо в целых метрах, дециметрах, сантиметрах и заполните таблицу: 3,847 м 7,936 м 10,724 м 0,983 м 1,185 м 13,215 м 4 М 38 дм 385 см о, 1 0. 1 1 + о, 1 о, 1 1 0. 1 1 1 + о, 1 о, 1 1 о, 1 1 1 0. 1 1 1 1 Н Какое число получится в результате сложения: пяти слагаемых? ______________________ девяти слагаемых? ____________________ десяти слагаемых? ____________________ двенадцати слагаемых? Вычислите значения выражений: 1 - 0,1 = _________________ 1 - 0,1 - 0,01 = ________________ 1 - 0,1 - 0,01 - 0,001 = ________ 1 - 0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 = 122 123 124 125 i. Догадайтесь, чему равно значение выражения: 1 - 0,1 - 0,01 - 0,00...01= ________ 10 цифр Восстановите пропущенные десятичные дроби: 2, 3 1 + б, / 8 3 6, 7 4 О, 2 _ 2 4, 5 6 8, 9 4 I 4, 3 5 3 2,3 4 Подметьте закономерность и допишите каждую последовательность чисел. 0,00064 Зная, что 856 : 16 = 53,5, найдите частное: а) 856 : 1,6 = ___________________ б) 85,6 : 1,6 = __________________ в) 0,856 : 16 = __________________ г) 0,0856 : 0,16 = Некоторую десятичную дробь округлили до сотых, затем эту же дробь округлили до тысячных. Приведите пример, когда результат первого округления: 1) меньше второго; 2) больше второго; 3) равен второму. № п/п Исходное число Результат округления исходного числа до сотых до тысячных^^^-^ 1 2 3 ВЫПОЛНЯЕМ ТЕСТ Сложение и вычитание дробей Каждой сумме из левого столбца поставьте в соответствие равную ей десятичную дробь из правого столбца. A. 1 + 0,05 + 0,0007 Б. 1 + 0,5 + 0,0007 B. 1 + 0,005 + 0,0007 Г. 1 + 0,5 + 0,007 1) 1,5007 2) 1,507 3) 1,0507 4) 1,0057 Ответ: А Б В Г Найдите сумму длин отрезков, равных 56 см, 64 см и 2,6 м. 1) 3,6 м 2) 3,8 м 3) 14,6 м 4) 2,72 м Продолжите предложение:' Число 7,77 больше числа 5,5555 на __________________. Определите, по какому правилу записана последовательность чисел: 5,86; 5,95; 6,04; .... Найдите пятое число в этой последовательности. 1) 6,22 2) 6,12 3) 7,02 4) 8,02 Вычислите: 21,8 - 3,2 -I- 0,8 - 1,25. 1) 18,5 2) 18,15 3) 19,4 4) 20,65 Найдите неизвестное число: 12,8 - х = 3,75. Ответ: _____________________________ Какое из приведённых выражений можно вычислить только в обыкновенных дробях? Чему равно его значение? l)i+ “ 4 20 2) i + 0,7 5 3) ^ - 0,13 20 4) 0,5 - i Ответ: выражение ; его значение равно о li а i Умножение и деление дробей Запишите цифрами число 0,75 млн. Ответ: Вычислите: 2,4 : 16 • 0,6. Ответ: ________________ Вычислите: 0,8+ 0,4 1,4+ 0,4 1) 3) 0,4 4) 0,6 Когда все орехи разложили в два пакета, то оказалось, что масса орехов в первом пакете в 2 раза меньше, чем во втором. Сколько всего орехов в двух пакетах, если в первом пакете 1,4 кг? 1) 0,7 кг 2) 2,1 кг 3) 2,8 кг 4) 4,2 кг В кувшин помещается 800 мл воды. Его заполнили на 0,6 объёма. Сколько воды можно ещё добавить в кувшин? 1) 320 мл 2) 400 мл 3) 480 мл 4) 200 мл Спортсмен тренируется на стадионе, пробегая по кругу 0,4 км. Какое наименьшее число кругов он должен сделать, чтобы пробежать не менее 3 км? 1) 6 2) 7 3) 8 4) 9 Скорость велосипедиста 12 км/ч. Какое расстояние он преодолеет за 4 мин? 1) 0,05 км 2) 0,8 км 3) 0,3 км 4) 4,8 км Автомобиль проехал 90 км, что составило 0,6 расстояния, которое он должен проехать. Найдите это расстояние. Ответ: В каком случае при вычислении допущена ошибка? 1) 1 - 0,1^ = 0,99 2) (0,4 + 0,2)2 _ q gg 3) 0,52 - 0,2 = 0,05 4) 0,2 + 0,22 _ g jg ПОДВЕДЕМ итоги ^ РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ 126 127 ОО 128 О 34, 86, 87 Прямая k — касательная к окружности. Дополните предложения; И Касательная радиусу окружности, проведённому в точку касания. Ш Прямая k и окружность имеют __________ ____________________ точку. Ш Любая прямая, проходящая через центр окружности, пересекает её в ____________ Рассмотрите рисунок и запишите номера верных утверждений. 1) Треугольник MAN — равносторонний. 2) Длина отрезка MN меньше суммы радиусов окружностей. 3) Прямая АВ перпендикулярна отрезку MN и проходит через его середину. 4) Прямая АВ — касательная к окружностям. 5) Точка М равноудалена от точек А и В. Ответ: РАБОТАЕМ С МОДЕЛЯМИ 1) Проведите следуюш;ие прямые, параллельные прямой к: пересекаюш;ие данную окружность; не пересекающие её; касательные к окружности. ш Ответьте на вопросы: а) Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность? Ответ: б) Как надо провести прямую, пересекающую окружность, чтобы длина отрезка, соединяющего точки пересечения, была наибольшей? Ответ: ____ в) Сколько существует касательных к данной окружности, параллельных прямой fe? Ответ: г) Каково взаимное положение касательной и радиуса окружности, проведённого в точку касания? Ответ; к 129 2) Постройте прямую т, которая касается данной окружности и параллельна прямой k (рис. а). Постройте ещё одну окружность, для которой прямые кит являются касательными. а б N 3) С помощью угольника проведите через точку N касательную к окружности (рис. б). Сколько таких касательных можно провести? Ответ: _______ Точка Р — центр меньшей окружности — перемещается по прямой к. Начертите положение этой окружности, если она: A. касается большей окружности внешним образом; Б. пересекает большую окружность; B. касается большей окружности внутренним образом; Г. целиком лежит внутри большей окружности. Для каждого из этих положений укажите верное высказывание относительно расстояния между центрами окружностей. 1) Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов. 2) Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов. 3) Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов. 4) Расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов, но больше разности. Ответ: А Б В Г I—— 130 131 ОСВАИВАЕМ АЛГОРИТМЫ Через точку А проведите касательную к окружности. Отметьте на окружности точки В, С, D и постройте касательные в этих точках. К данной окружности проведите касательные, параллельные прямой k. 132 оо ,в Постройте точки, удалённые от концов отрезка АВ на 2 -см. Сколько таких точек? Постройте ещё несколько точек, равноудалённых от концов отрезка. Где расположены все такие точки? Ответ: __________________ 133 134 86 Постройте треугольник, стороны которого равны трём данным отрезкам. Постройте треугольник, равный данному. В окружность с центром в точке О, вторую — касающуюся её внешним образом и третью — касающуюся её внутренним образом. Ш Начертите ещё две окружности так, чтобы первая из них целиком лежала внутри окружности с центром в точке О, вторая — содержала внутри себя окружность с центром в точке О. N 136 Постройте несколько окружностей, касаюндихся прямой k в точке С. Каково взаимное расположение прямой k и прямой, проходящей через центры этих окружностей? 137 На рисунке изображены три окружности, каждая из которых касается двух данных окружностей. От руки нарисуйте четвёртую окружность, касающуюся трёх данных. Сколько решений имеет задача? 138 Ш' и? РЙ>-; Ответ: На рисунке изображена окружность, радиус которой равен 3 см, и на ней отмечены 12 точек. Постройте 12 окружностей с центрами в отмеченных точках радиусом 1 см. Начертите окружности, касающиеся каждой из двенадцати проведённых окружностей. Чему равны их радиусы? Ответ: _______________________ 139 140 Скопируйте рисунок. Продолжите рисунок. Постройте какой-нибудь равнобедренный треугольник так, чтобы данный отрезок был его боковой стороной (рис. а); основанием (рис. б). 142 м. Отметьте на рисунке а равные углы; на рисунке б равные отрезки. б а ЛГ 143 QQ |: If' tL 1) Постройте равнобедренный треугольник с вершиной в точке А, основанием ВС, лежаш;им на прямой Ь, и боковыми сторонами, равными 3 см. Сравните боковые стороны треугольника: АВ АС. Сравните противолежащие им углы: АС АВ. Ш Сделайте вывод: Против _____________ сторон в треугольнике лежат углы. 2) В каждом треугольнике отмечены равные элементы. Есть ли в них ещё равные элементы? Отметьте их. i] -j и 'V\ ;',l 'Л ii ВЫПОЛНЯЕМ ТЕСТ Какая прямая не является касательной к окружности? 1) прямая п 2) прямая т 3) прямая k 4) прямая I Постройте касательные к окружности, параллельные прямой к. оо .;i" - Радиус одной окружности равен 6 см, радиус другой — 3 см; окружности касаются внутренним образом. Какой рисунок соответствует взаимному расположению этих окружностей? Радиус одной окружности равен 10 см, радиус другой — 6 см, расстояние между их центрами — 7 см. Каково взаимное расположение окружностей? 1) касаются внешним образом 2) касаются внутренним образом 3) пересекаются 4) меньшая целиком лежит внутри большей Суш;ествуют ли треугольники с указанными длинами сторон? (Если да, поставьте в таблицу знак «-1-», если нет — знак «-».) 1) 7, 8, 15 см Ответ: 2) 3, 7, 7 см 3) 3, 3, 9 см 4) 8, 9, 10 см Данные отрезки — стороны треугольника. Постройте этот треугольник. ■I Ш Ик шт\ 144 О 104 РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ Прочитайте текст: Точка С делит отрезок АВ на два отрезка: АС = 6 см, ВС = 4 см. •-----------------•------------• А СВ Найдём отношение длины отрезка АС к длине отрезка ВС и обратное отношение: 2 АС : БС = 6 : 4 = 1,5; БС : АС = 4 : 6 = Отношение АС к ВС показывает, во сколько раз длина отрезка АС больше длины отрезка ВС. Отношение ВС к АС показывает, какую часть составляет длина отрезка ВС от длины отрезка АС. В Ответьте на вопросы: 1) Что показывает отношение АВ к АС? Найдите это отношение. 2) Что показывает отношение АС к АБ? Найдите это отношение. 3) Какое отношение надо найти, чтобы узнать, во сколько раз длина отрезка АБ больше длины отрезка ВС? Найдите это отношение. 4) Какое отношение надо найти, чтобы узнать, какую часть составляет длина отрезка ВС от длины отрезка АБ? Найдите это отношение. В Учитель проверил 45 контрольных работ, и ему осталось проверить ещё 75. Запишите отношение, показывающее: а) во сколько раз число непроверенных работ больше числа проверенных: б) какую часть проверенные работы составляют от непроверенных: Составьте ещё несколько отношений по заданному условию и запишите, что они показывают. ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ 145 9 109 f! [ Прочитайте текст рубрики «В фокусе» на с. 105 учебника. Н Опишите аналогичным образом следующую ситуацию: а) Отношение числа распустившихся тюльпанов к числу посаженных равно б) Отношение числа мальчиков, поющих в хоре, к общему числу участников хора равно 1:2. _____________________________________________________ И Сформулируйте утверждение иначе, используя слово «отношение»: а) Каждый десятый зритель, пришедший на концерт, знаком с артистом. б) Каждая тысячная ворона — белая. и определите, какую часть от длины отрезка АВ составляет отрезок АС; отрезок ВС. а АС : ВС = А С В б А С В в А С В АС = — отрезка АВ, ВС = — отрезка АВ. АС : ВС = АС = — отрезка АВ, ВС — — отрезка АВ. АС : ВС = АС = — отрезка АВ, ВС = — отрезка АВ. А I--1--1--1--н АС : ВС = ___________; С В I I I__, I I I АС — — отрезка АВ, ВС = — отрезка АВ. 147 148 108, 109 Ей. Разделите отрезок АВ в данном отношении и определите, какую часть от длины отрезка АВ составляет длина каждого получившегося отрезка, а) Точка С делит отрезок АВ в отношении 1:2. В АС =---АВ; ВС = -АВ. б) Точка С делит отрезок АВ в отношении 3:2. А I— В АС =---АВ; ВС = - -АВ. в) Точка С делит отрезок АВ в отношении 3:1. В АС =---АВ; ВС -АВ. г) Точка С делит отрезок АВ в отношении 3:5. А I— В АС -АВ; ВС = -АВ. На рисунке приведён план расположения на местности дома, школы, детского сада и стадиона. ■ Выполните необходимые измерения и определите масштаб плана, если известно, что на местности расстояние от стадиона до детсада равно 350 м. _________________________________________ Масштаб: _____________________ Н Найдите реальное расстояние: а) от школы до стадиона: _______________________________________________ б) от дома до детского сада: в) от дома до школы: _____ ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ 149 1 . ■ ^ 5 Начертите две копии фигуры: одну в масштабе 2:1, другую в масштабе 1:2. Не забудьте в каждом случае указать масштаб. Масштаб: Масштаб: Масштаб: Масштаб: 150 151 Определите, какой примерно процент площади фигуры закрашен (выберите наиболее подходящий ответ). 1) 20% 2) 27% 3) 48% 1) 40% 2) 60% 3) 90% 1) 40% 2) 50% 3) 60% 1) 40% 2) 60% 3) 80% 1) 25% 2) 33% 3) 66% 1) 55% 2) 25% 3) 45% Определите, какой примерно процент сосуда заполнен водой (выберите наиболее подходящий ответ). 1) 30% 2) 50% 3) 70% 1) 10% 2) 40% 3) 60% 1) 10% 2) 27% 3) 30% 1) 40% 2) 70% 3) 80% LS 1) 25% 2) 33% 3) 66% 1) 55% 2) 25% 3) 45% ОСВАИВАЕМ АЛГОРИТМЫ 152 Заполните пропуски в цепочке равных отношений и продолжите цепочку, записав в ней ещё два отношения: а) 10 : 20 = 1 : ___ = 3 : _____ = б) 15 : 5 = 3 : ____ = 12 : ____ = в) 1 : 2,5 = ____ : 5 = ____ : 20 = г) 0,6 : 0,2 = 2 = 3 153 154 155 156 157 а) 0,42 0,36 0,25 0,73 0,55 0,95 0,84 0,15 0,16 42% Найдите и подчеркните отношения, равные отношению, записанному слева; а) 2 ; 5 8 ; 20 = 0,4 1,2^ 3 = 0,4 1 2 ' : 1 = 2,5 0^^ 1 = 0,4 б) 3 ; 4 75 ; 100 = 0,03 ; 0,4 = 1 4 . 1 ' 3 ~ 0,15 ; 0,2 = в) 4 ; 3 12 ; 16 = 2 ; 1,5 = 1 4 . 1 _ ■ 3 ~ 2,8 ; 2,1 = г) 3 ; 5 24 ; 40 = 0,03 ; 0,05 = 1 , 3 ' . 1 _ ' 5 1,2 ; 2 = д) 5 ; 3 25 ; 9 = 0,05 ; 0,03 = 1 , 3 ' , 1 _ ' 5 3 ; 1,8 = Выразите величины в одних единицах и вычислите отношение; а) 50 см к 2 м; 2 ж = 200 СМ, 50 СМ : 200 СМ = 0,4 б) 2 км к 200 м; _______________________________________ в) 400 г к 1 кг; _______________________________________ г) 20 мин к 2 ч; _______________________________________ д) 150 к. к 2 р.; ______________________________________ Выразите проценты десятичной дробью; а) 16% 48% 35% 65% 73% 96% 75% 63% 12% 0,16 б) в) Выразите в процентах десятичную дробь; б) Выразите в процентах обыкновенную дробь; 7% 1% 5% 9% 2% 6% 3% 4% 8% 0,07 20% 80% 50% 30% 70% 90% 60% 10% 40% 0,2 0,4 0,8 0,08 0,2 0,03 0,5 0,09 0,9 0,04 40% 1 2 3 4 4 5 7_ ' 10 21 50 li 20 7 25 1 20 50% 158 3 159 Заполните таблицу: a) Цена повышена на Сколько процентов первоначальной стоимости товара составляет новая цена Во сколько раз выросла цена 20% 100% + 20% = 120% в 1,2 раза 33% •- 25% 50% 100% б) Цена снижена на Сколько процентов первоначальной стоимости товара составляет новая цена Какую часть составляет новая цена от первоначальной стоимости товара 20% 100% - 20% = 80% 0,8 40% 25% 50% 33% АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Задача. При выборе президента школьного попечительского совета голоса между двумя кандидатами на эту должность распределились в отношении 3:2. Сколько процентов проголосовали за победителя и сколько — за проигравшего? Решите эту задачу с помощью такой модели: 1) Начертите квадрат со стороной 10 клеток. 2) Пусть этот квадрат означает обш;ее число голосовавших. 3) Разделите его на две части в отношении 3:2, заштрихуйте большую часть. Чьим голосам соответствует эта часть? 4) Определите, какую часть всего квадрата составляет заштрихованная часть. 160 5) Определите, сколько процентов всего квадрата составляет заштрихованная часть: ____________________________________ Таким образом, за победителя проголосовали ______%, за проигравшего — ______% голосовавших. Эту задачу можно решить и без рисунка. 1) Сколько всего частей приходится на всех голосовавших? _____________ 2) Сколько процентов приходится на одну часть? на 3 части? ____________ _% голосовавших, за проигравшего За победителя проголосовали ____ ______% голосовавших. Решите такую задачу: Население страны делится на взрослых и детей до 15 лет в отношении 7:3. Сколько процентов населения составляют взрослые и сколько — дети? 161 Что больше: а) 20% от 25 кг или 25% от 20 кг; б) 40% от 60 р. или 60% от 40 р.? Объясните полученный вами результат. т- 162 Решите задачу, используя схематический рисунок: а) Туристы прошли 40% пути и остановились на привал. После привала до ночёвки они прошли 50% оставшегося пути. Сколько процентов всего пути осталось пройти туристам? Весь путь Ответ: б) Магазин закупил футболки на складе и стал продавать их на 50% выше закупочной цены. Во время распродажи цена футболок была снижена на 50%. Какой стала цена во время распродажи — выше или ниже закупочной цены? Ответ: ВЫПОЛНЯЕМ ТЕСТ Отрезок АВ разделён точкой С на две части так, что АС = 20 см, ВС = 8 см. лг Вычислите отношение —. АВ ^>1 2) 3) Сплав состоит из меди и цинка, массы которых относятся как 3:2. Какую часть всего сплава составляет медь? Ответ: Всех участников конкурса певцов разделили на две группы в отношении 3:4 для прослушивания в разные дни. В меньшей группе оказалось 120 человек. Сколько всего человек участвовало в конкурсе? 1) 90 2) 160 3) 210 4) 280 Какое из следующих отношений выражает отношение 400 г к 3 кг? 1) 400:3 2) 3:400 3) 15:2 4) 2:15 Масштаб плана 1:1000. Чему равно расстояние от дома до причала в действительности, если на плане оно равно 34 см? Ответ: ___________________________ Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты. А. 0,25 Б. 0,5 В. 0,09 Г. 0,9 1) 50% 2) 90% 3) 25% 4) 9% Ответ: А Б В Г Во сколько раз увеличилась стоимость товара, если она повысилась на 50% ? Ответ: ____________________________ Школьники решили собрать 600 р. для покупки подарков первоклассникам. Однако они собрали 120% этой суммы. Сколько всего денег собрали школьники? Ответ: Показ очередной серии телефильма занял 50 мин, причём 20% этого времени ушло на рекламу. Сколько минут длился фильм без рекламы? 1) 10 мин 2) 30 мин 3) 40 мин 4) 50 мин Расстояние от одного города до другого равно 40 км. Проехав 30 км, автобус сделал остановку. Сколько процентов всего пути проехал автобус? Ответ: _________________ fjlABA I ■ ^ РАБОТАЕМ C ТЕКСТОМ 163 О 126, 127 164 165 О 127 166 m Запишите выражение в соответствии с правилами математического языка: а) X • 11 = ________________ б) За - 4 • 6 = _______________________ т + п • 9 ______________ с • 2 + d • 7 = _______________________ а • 10 - 4 = k ■ р ■ 5 = Запишите выражение, используя в качестве знака деления дробную черту: а) (а - 3) : 4 = ___________ б) х : {у + z) = _____________________ а : Ь + с = {х + у) : 2 = а - Ъ : с = (т • п) : k = Запишите в виде математического выражения последовательность действий: а) 7 умножить на 2 и к произведению прибавить 8: _____________________ б) к 16 прибавить 48 и сумму умножить на 100: ________________________ в) из 100 вычесть 28 и разность увеличить в 2 раза: Сопоставьте каждое математическое выражение и его перевод на русский язык (проведите стрелки): + у" квадрат суммы двух чисел 2(т + п) удвоенное произведение двух чисел (а + bf удвоенная сумма двух чисел 2cd сумма квадратов двух чисел Зс 20% числа 0,5р треть числа а 3 утроенное число 0,2d половина числа i ВЫРАЖЕНИЯ>^ ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ еь I 167 9 <* 130, 131 • 168 169 1 Q2U 171 I I ! Закончите предложения (проверьте себя по учебнику): 1) Замену буквы числом в буквенном выражении называют 2) Число, которое подставляют вместо буквы, называют 3) Числа, которые можно подставлять в буквенное выражение, называют Подставим в выражение 2а + 15 вместо буквы а число 5. Получим 2 ■ 5 + 15 = 25. Закончите предложение: Число 25 называют ___ Закончите предложение: Число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство, называют ________________________ РАБОТАЕМ С МОДЕЛЯМИ Заполните пропуски в предложениях: а) У двух кошек 4 * 2 лап, 2 ‘ 2 уха, 2 носа. У пяти кошек __________ лап, _________ ушей, У п кошек _______ носов. лап. ушей. носов. б) Яблоко стоит 9 р., а груша стоит 7 р. За 5 яблок и 3 груши надо заплатить 9 • 5 + За X яблок и 6 груш надо заплатить ________ За п яблок и т груш надо заплатить ________ в) Лимон стоит а р., а апельсин стоит Ь р. За 2 лимона и 3 апельсина надо заплатить За п лимонов и т апельсинов надо заплатить Тетрадь стоит а р., а карандаш стоит Ь р. Заполните таблицу: Заплатили Что купили 36 р. 3 карандаша 2а + 6 р. 7 карандашей и 4 тетради 5(а + Ь) р. т: -5> If fjlABA 172 173 Переведите условие задачи на математический язык. 1) Прочитайте задачу: В 6А классе 35 учащихся, а в 6Б классе 23 учащихся. Сколько учащихся надо перевести из 6А класса в 6Б, чтобы в обоих классах учащихся стало поровну? Н Пусть из 6А в 6Б надо перевести х учащихся. Заполните таблицу: Было Стало 6А 6Б Запишите уравнение: 2) Прочитайте задачу: В первой колбе было 47 г воды, а во второй колбе — 75 г воды. Сколько граммов воды надо перелить из второй колбы в первую, чтобы в обеих колбах стало воды поровну? I Пусть из второй колбы в первую колбу надо перелить х граммов воды. Заполните таблицу: Было Стало I II Запишите уравнение: ОСВАИВАЕМ АЛГОРИТМЫ Заполните таблицу: а) а 0 0,5 3 4 1 ll 6 1,5 2а 2а -1- 3 3(2а -1- 3) б) в) п 2 3 4 5 0,1" с 0 0,1 0,3 3 2 5 1 с" 1 - с" 174 Найдите значение выражения ах + by: а) при а = 5, Ь = 6, X = 0,1, у = 0,5: + б) при а = 2, Ь = 0,8, X = 5, у = 0,5: + • = 175 Составьте формулу для вычисления периметра фигуры и найдите периметр 134 J fflABA 176 177 135 I i t I 1 i 178 о <* 139 Запишите формулу: I периметра треугольника со сторонами а, Ь и с периметра равностороннего треугольника со стороной а периметра прямоугольника со сторонами а и с плогцади прямоугольника со сторонами а и Ь объёма прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, Ь и с Запишите формулу для вычисления объёма фигуры, составленной из прямоугольных параллелепипедов: а б а V = Запишите формулу: В длины окружности с диаметром d длины окружности с радиусом г плош;ади круга с радиусом г __ объёма шара с радиусом г _____ I ВЫРАЖЕНИЯ,, ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ Si’- - ~~ 179 180 181 Из прямоугольника со сторонами а п Ь вырезали круг с радиусом г. Площадь оставшейся части прямоугольника можно найти по формуле S ~ аЬ — Зг^. Выполните необходимые измерения (в см) и найдите площадь S. (Ответ округлите до десятых.) а = S = Ь = г = Прочитайте задачу: Из задуманного числа вычли 10, результат умножили на 0,5, к произведению прибавили 12, полученную сумму умножили на 5 и получили 70. Найдите задуманное число. Переведите условие задачи на математический язык. На русском языке Задумали число Вычли из него 10 Результат умножили на 0,5 К произведению прибавили 12 Полученную сумму умножили на 5 Составили уравнение На математическом языке X Прочитайте задачу: В коробке 27 синих, красных и зелёных карандашей. Синих карандашей вдвое меньше, чем красных, и на 3 карандаша меньше, чем зелёных. Сколько красных карандашей в коробке? Прокомментируйте каждый шаг в составлении уравнения. На математическом языке X 2х X + 3 л: -Ь 2л: + (л: -I- 3) л: -1- 2л: -Ь (л: -Н 3) = 27 На русском языке число синих карандашей ,■4 %»>-. шой прямоугольник и найдите его периметр и площадь. (Зарисуйте и рассмотрите все случаи.) а а а а ь Ь Ь Ь Р = S = Р = S = р = S = ( * ВЫПОЛНЯЕМ ТЕСТ Составьте выражение по условию задачи: «Саше а лет. Он младше сестры в 3 раза. Сколько лет сестре?» 1) а + 3 2) а - 3 3) За 4) ^ О Найдите значение выражения Ьс — а при а = 1,5, Ь = 0,5, с = 6. 1) 1,5 2) 2,25 3) 5 4) 29,5 Принтер печатает страницу за 6 с. Обозначьте время распечатки нескольких страниц буквой Т. Запишите формулу для вычисления времени, которое потребуется, чтобы распечатать на этом принтере п страниц. Ответ: Запишите выражение для вычисления площади фигуры. Ответ: а Какое из чисел 3, 4, 5, 6 является корнем уравнения 20 - 1,5х = 12,5? 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 Задумали число, увеличили его в 4 раза и к результату прибавили 7. Получилось 35. Какое число задумали? Ответ: Решите уравнение — х = 12. 3 Ответ: '“‘О 0 184 QO 152 РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ Прочитайте текст и выполните построение по приведённому описанию: 1) Проведите окружность произвольного радиуса. 2) Проведите пересекающую её окружность того же радиуса. 3) Проведите третью окружность того же радиуса с центром в одной из точек пересечения первых двух окружностей. 4) Проведите все оси симметрии получившейся фигуры. 185 148 На рисунке показано, как с помощью циркуля и линейки построить точку, симметричную точке А относительно прямой k. Рассмотрите рисунок. Опишите последовательность действий. Выполните построение. 1 2 3 ky / 'А /у^А 186 187 I Ha рисунке показано, как построить прямую, параллельную прямой к, с помощью циркуля и линейки. Рассмотрите рисунок. Опишите последовательность действий. Выполните построение. 3 Aj О > 4 4 ту А, k у О У 'Ув i 4 Сопоставьте фигуру и соответствующие ей свойства. А Б В 1) Фигура имеет единственную ось симметрии. 2) Фигура имеет центр симметрии и не имеет осей симметрии. 3) Фигура имеет две оси и центр симметрии. 4) Фигура не имеет ни оси, ни центра симметрии. Ответ: А Б В Г и РАБОТАЕМ С МОДЕЛЯМИ 188 189 I 1) Начертите на листе бумаги треугольник АВС и прямую к, не пересекающую его. Проведите от руки треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно прямой к. Проверьте себя, перегнув лист по прямой к и проткнув сложенный лист в вершинах треугольника АВС. 2) Нарисуйте от руки фигуру, симметричную данной относительно проведённой прямой. Проверьте себя, выполнив измерения. а лл 1) Перенесите рисунок на кальку и найдите на ней с помощью перегибания прямую, относительно которой две данные фигуры симметричны. а б в 2) Постройте эту прямую на данном рисунке с помощью линейки и угольника. СИММЕТРИЯ £ 190 <* 152 191 t I I, t , 1.. i 192 Скопируйте фигуру с помощью кальки и найдите все её оси симметрии. Проведите найденные оси симметрии фигуры на рисунке. а 1) Вырежите из бумаги равнобедренный треугольник, основание которого равно 6 см, боковые стороны — по 5 см. С помощью перегибания найдите его ось симметрии. Проведите её по линейке. 2) Проведите ось симметрии треугольника АВС на рисунке. Обозначьте точку пересечения оси симметрии с основанием треугольника буквой О. Дополните предложение: Прямая — ось симметрии треугольника АВС. Ш Ось симметрии разделила треугольник на два равных треугольника. Найдите, используя модель, вырезанную из бумаги, и отметьте на рисунке равные элементы этих треугольников. В Убедитесь, что верны высказывания: A. Точка О — середина основания АС. Б. Луч ВО — биссектриса угла В. B. АО = СО. Г. Треугольник АОВ — прямоугольный. Д. Ось симметрии перпендикулярна основанию треугольника. Проверьте с помощью кальки, что точка О — центр симметрии фигуры (рис. а). Найдите центр симметрии фигуры (рис. б), выполнив построения, и проверьте это, повернув фигуру на 180°, с помощью кальки. 194 i.p-: . Постройте точку К, симметричную точке М относительно прямой I. Отметьте точки N и Р по разные стороны от прямой I и постройте точки, симметричные им относительно прямой I. Постройте с помощью чертёжных инструментов фигуру, симметричную данной относительно проведённой прямой. d N шт 195 Постройте точки, симметричные точкам А, В и С относительно точки О. О 196 Постройте отрезок, симметричный отрезку АВ относительно прямой /е, а затем отрезок, симметричный получившемуся относительно прямой т. 197 Постройте отрезок, симметричный данному относительно точки А, а затем отрезок, симметричный получившемуся относительно точки В. В 9 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ 198 199 157 Точка М — центр симметрии фигуры, часть которой изображена на рисунке. Достройте фигуру. 200 Найдите центр симметрии фигуры, состоящей из двух окружностей. а б в ii СИММЕТРИЯ Ml? ? V J > ♦' я • • ^ ' Jn. JOr 'ft 201 202 203 Постройте фигуру A^, симметричную фигуре A относительно прямой k, и фигуру Аз, симметричную фигуре Aj относительно прямой т. Как можно получить фигуру Ag из фигуры А? Ни одна из фигур, изображённых на рисунке, не имеет центра симметрии. Разделите каждую фигуру на две части, имеющие центры симметрии. а б Раскрасьте рисунок так, чтобы получившийся узор обладал осевой симметрией (рис. а); центральной симметрией (рис. б). а Постройте треугольник AjBjCj, симметричный треугольнику АВС относительно прямой k. В На каком рисунке изображены два отрезка, симметричные относительно прямой /г? Ответ: Установите соответствие между фигурой и числом её осей симметрии. А. Круг Б. Квадрат В. Равнобедренный треугольник 1) одна 2) две 3) четыре 4) бесконечно много Ответ: А Б В СИММЕТРИЯ Прямая m — ось симметрии многоугольника. Укажите сторону многоугольника, симметричную стороне АВ. 1) CD 2) ED 3) КЕ 4) ВС 'Е Точка О — центр симметрии многоугольника. Какая вершина симметрична вершине А относительно точки О? 1) М 2) D 3) К 4) С К Начертите точку В, симметричную точке А относительно точки О. А О 0 204 а 162, 163 РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ Закончите предложения (проверьте себя по учебнику): 1) Множество целых чисел образуют ______________ 2) Натуральные числа иначе называют 3) Числа, противоположные натуральным, можно иначе назвать 4) Число О не относится 205 206 166 Прочитайте правила знаков: Если перед числом поставить знак « + », то получится равное ему число; иными словами, знак « + » не меняет число. Если перед числом поставить знак «-», то получится противоположное ему число; иными словами, знак «-» меняет число на противоположное. Заполните таблицу: Число Означает Записывается без скобок +(+10) Число, равное -\-10 +(+20) = +10 +(-2) -(+3) -(-8) Н Запишите без скобок: +(+п) = ___ +(—а) -(+а) -(-а) = JL. Прочитайте в учебнике фрагмент текста о натуральном ряде и ряде целых чисел и выполните следующие задания: I Запишите ряд целых чисел, двигаясь вправо и влево от нуля: О '4 207 126, 127 208 90 Ш Ответьте на вопросы (напишите справа «да» или «нет»). Существует ли: наибольшее натуральное число? _______ наименьшее натуральное число? _______ наибольшее целое число? _______ наименьшее целое число? _______ наибольшее целое отрицательное число? _______ наименьшее целое отрицательное число? _______ Ш Впишите пропущенные слова: Из двух целых чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит ________________________, и меньше то, которое в ряду целых чисел стоит Ш Сравните числа: 18 7 -15 -10 О Заполните таблицу, переведя предложения с русского языка на математический (запишите их в виде неравенств): На русском языке На математическом языке Число а — положительное Число Ъ — отрицательное Число, противоположное числу с, — положительное Число, противоположное числу d, — отрицательное Заполните таблицу, записав в виде буквенного равенства указанные свойства и правила: Свойство нуля при сложении а + 0 = а Свойство суммы противоположных чисел Правило нахождения разности двух чисел Свойство нуля при умножении Свойство единицы при умножении Правило умножения на минус единицу 211 212 10° выше нуля 7° мороза ____ 20° тепла ____ долг 500 р. 14° ниже нуля выигрыш 150 р. доход 800 р. __ расход 840 р. _ Поставьте знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство: 4 °С о °С -10 °С о °С 5 °С -15 °С -20 °С -2 °С Заполните таблицу (в случае затруднения используйте термометр): Температура в начале недели Изменение температуры Температура в конце недели 0° повысилась на 5° 0° понизилась на 4° -5° повысилась на 10° 3° понизилась на 8° -6° понизилась на 6° в таблице приведены данные о температуре воздуха, которая измерялась в течение недели в 12 часов дня. Поне- дельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота Воскре- сенье +3° -1° -3° 0° +2° -4° -12° Опишите с помощью положительного или отрицательного числа изменение температуры: 214 с понедельника на вторник -4° с четверга на пятницу со вторника на среду с пятницы на субботу со среды на четверг с субботы на воскресенье 1) В таблице приведены данные о забитых и пропущенных мячах на одном из чемпионатов по футболу. Заполните последний столбец таблицы, используя для описания результатов положительные и отрицательные числа. Команда Число забитых мячей Число пропущенных мячей Разница забитых и пропущенных мячей Швейцария 5 2 Испания 3 3 Боливия 0 1 Колумбия 2 5 2) После проведённых матчей (см. п. 1) каждая команда сыграла ещё по одному матчу со следующими результатами: Швейцария — Колумбия 0:2, Испания — Боливия 3:2. По результатам этих игр внесите изменения в таблицу, записав справа от каждого числа новый результат. (Используйте ручку другого цвета.) 215 216 Игра «2 кубикам. Бросают два игральных кубика. Белый кубик показывает число выигрышных очков, чёрный — число проигрышных. Занесите в таблицу результаты каждого броска. Игра «2 кубикам. Заполните таблицу, используя положительные и 217 218 Игра «4 кубика». В коробке находятся четыре игральных кубика: два белых и два чёрных. Берут наугад два кубика и бросают. Белый кубик показывает число выигрышных очков, чёрный — число проигрышных. Заполните таблицу: Номер хода Первый кубик («-(-» или «—») Второй кубик («-1-» или «—») Общий счёт («-1-» или «—») 1 -h4 +3 +7 2 +2 -5 3 -1 -4 4 -3 +2 5 -Ь4 -4 6 -3 +5 Проведите с соседом по парте игру «4 кубика» (смотрите задание 217). Бросайте по очереди с соседом по два кубика и заносите результаты в таблицу. Сделайте по 5 ходов. Сравните итоги игры. Кто выиграл? Номер хода Первый кубик («-1-» или «—») Второй кубик («-1-» или «—») Общий счёт («-Ь» или «—») 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Ваш итог: _ Итог соседа: Итог игры: 219 Под каждой меткой на координатной прямой запишите целое число. 1-----------------------1----------------------1-----------------------1 t Н----1----1-----1---ь 0 1 220 О 167 221 222 Отметьте на координатной прямой числа: а) 20; -20; 30; -30; -40; -60; о 10 б) 15; 25; -25; -35; -45; -55. о 10 Отметьте на координатной прямой красным карандашом точки, удалённые ' от точки О на 4 единицы, и синим карандашом точки, удалённые от точ- , ки -3 на 2 единицы. Обозначьте все отмеченные точки и запишите их коор- ; динаты. 1 -I------------1------------1-----------1------------1-----------1------------1-----------1------------1-----------н Красные точки: о 1 Синие точки: На координатной прямой точками отмечены последовательные целые числа. Подпишите под каждой точкой соответствующее ей число. п п-3 227 228 ОСВАИВАЕМ АЛГОРИТМЫ 223 Щ Сравните числа: О а) 4 0 б) -5 7 в) -3 -5 -1 0 1 -7 -6 -2 166, 167 0 -3 2 -2 -1 -10 0 7 -1 1 -2 -1 224 Щ Сравните числа: 1 О а) -7 -4 б) -100 -90 в) -200 -300 -11 -12 -100 -105 -500 -1500 -20 -25 -99 -9 -1000 -2000 225 1 Сравните числа: О а) -21 30 б) 100 -1000 в) 24 -2 -76 -70 -1000 -1001 0 -100 45 -45 -94 -100 -74 0 226 1 Впишите в свободную часть неравенства какое-нибудь число, при к( П запись будет верной: j а) -6 < _ б) - -4 > в) -8 < < -2 -4 > _ > -2 -5 < < 0 1 > -20 -1 > — -1 < < 7 Запишите два последовательных целых числа, между которыми заключено данное число: а) _____ < 5 < _______ б) _______________ < -1 < _______ ____ < О < _______ __________________ < -7 < _______ ____ < 1 < _______ __________________ < -80 < ______ Найдите все целые значения х, при которых данное неравенство будет верным: Образец: -5 < д: < 0; л: = —4; —3; —2; —1. а) -1 < JC < 8; X = ________________________________________________ б) -6 < д: < 1; X = ________________________________________________ в) -4 < д: < 4; х = ________________________________________________ г) -10 < д < -5; X = _____________________________________________________ 229 О Соедините числа стрелками в порядке возрастания, начиная с самого маленького, и запишите цепочку соответствующих неравенств. 230 Соедините числа стрелками в порядке убывания, начиная с самого большого, и запишите цепочку соответствующих неравенств. 231 232 О 170 233 234 Сравните значение суммы с нулём: а) -775 + 800 0 б) -453 + (-387) О -775 + 775 О -453 + 387 О 775 + (-800) О -387 + (-387) О Заполните таблицу: а -3 -10 -10 10 7 0 Ь -2 -20 9 -9 -7 -4 а, + Ь Впишите пропущенное слагаемое: а) -7 -Ь = -4 б) + 8 -1 в) 9 -Ь = 0 -7 -Ь = -10 + (-8) = -17 -ь 11 =0 7 + = 4 + (-8) = 1 -12 + = 0 Найдите значение каждого выражения, вычислив отдельно сумму положительных и сумму отрицательных слагаемых: Выражение Сумма положи- тельных слагаемых отрица- тельных слагаемых общая -3 + 6 +(-2) +10 16 -5 И -4 + 7 + (-9) + 8 -5 + 4 + (-1) + 2 9 + (-4) + 7 + (-12) \ 3 + 11 + (-7) + (-8) -12 + 7 + (-3) + 9 -8 + 4 + (-6) + 12 6 + (-11) + 7 + (-8) 11 + (-5) + 6 + 1 + (-4) -10 + 2 + (-5) + (-8) + 12 -40 + 5 + (-25) + (-35) + 10 235 236 237 238 Запишите разность в виде суммы: а) 3 - 7 = 3 + (-7) 3 - (-7) = _______ -3-7 = ________ -3 - (-7) = ______ б) а - & а - i-b) -а - Ь • -а - (-Ь) Заполните таблицу: а 12 7 0 -4 -10 -8 -3 0 Ъ 20 15 3 2 14 -4 -1 -6 а — Ъ Вычислите: а) -12 + 7 = б) -7 + 7 = в) -6 + (-8) = -8-13 = 5-12 = 4 + (-1) = 3 + (-8) = -3 + 1 = -10 - 10 = -7 - (-11) = 5 - (-16) = 0-7 -5-12 -6 - (-13) = 0 + (-3) = 6 + (-14) = 13 - 13 = -8 - (-4) = -8 + (-7) = 20 + (-9) = 2 + (-2) = 9-15 -4-0 = -15+7 = Преобразуйте выражение в равное, не содержащее скобок: а) 4 + (-6) + (-8) = 4 - (-6) + (-8) = 4 - (-6) - (-8) = -4 - (+6) + (-8) = б) + (-г/) = _____________ m - (~п) = ___________ а + (-Ь) — (+с) = -а - (-6) + (-С) = N 239 241 Найдите значение каждого выражения, сложив отдельно положительные и отрицательные числа: Выражение Сумма положи- тельных слагаемых отрица- тельных слагаемых общая 15-13-7 + 2 18-12-4 + 3 -6-3 + 5- 7 + 1 -4 + 8 - 3 + 2 -5 + 12-9 + 1 2-11 + 6- 7 + 3 -7 + 8- 4- 5 + 10-1 11-3 + 1- 6 + 2- 4 10-7 + 8- 9 + 2- 4 -1-3 + 4- 2- 5+10 -8-7-15 + 10 + 2 + 8 Заполните таблицу: 240 1 Сравните с нулём значение произведения: О а) (-6) • (-2) 0 б) 7 • (-2) 0 в) -5-0 0 <* ; (-4) • 5 0 -3 • (-6) 0 -8 • 1 0 178 (-7) • ( -8) 0 -11 • 4 0 -1 • (-12) 0 1 14 • (-1) 0 -1 • (-9) 0 0 • (-3) 0 1 (-10) • (-10) 0 -2 • 8 0 -7 • (-1) 0 а 11 -12 10 -6 0 -9 15 -7 Ъ 8 3 -10 -3 -16 1 -1 -1 а • Ъ 242 Выполните умножение и заполните таблицу: 243 да Ь • а -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 4 -3 -2 -1 0 1 -4 2 3 4 Подберите пропущенный множитель: а) -5 • __ = -10 б) -5 • ___ = -5 в) -3 • __ =12 -4 • ___ = 4 7 • = -21 -7 • =0 • 4 = -16 • (-2) = 10 • (-1) = -8 а) -432 : 9 = 432 : (-9) = -432 : (-9) = б) 432 432 -432 48 = (-48) = (-48) = в) 48 • 9 = -48 • (-9) = -48 • 9 = ■G.I0 Вычислите: -8 • (-5) = б) 2 • (-10) = в) -3 • (-1) = -6 : 2 = -20 : (-4) = -30 : 6 = -7 : (-1) = 9 • (-9) = -16 : (-4) = -5 • 7 = 8 : (-4) = -5 • 0 = 248 Заполните таблицу: 249 с -8 -5 -3 0 3 5 2с 2с + 6 10 - (2с + 6) Числовой кроссворд. Впишите число, обозначенное знаком *. А 1 7 В С D Е F G Н I J К L м N О р Q По горизонтали: А. -50 + 33 = *. В. -18 - 17 = *. D. о - * = 300. Е. (-20f = *. G. (-12)^ J. -6 + 11 - 30 + 16 = *. К. (-30) • * = -3000. L. (-15)2 - 9 N. * + б = -24. О. -57 + 10 - 88 = *. Р. (7 - 35) : (-2) = *. Q. 16 - (3 - 30) = *. По вертикали: А. 17 - 40 = *. В. 11 - * = 29. С. * : (-1) = -500. D. -9 - 7 Е. * - 16 = -30. F. (-15) - 4- 4- 8 = * G. 0-* = -136. Н. (-1 - 81) : (-2) = *. I. (-101) • 2 • (-10) = *. М. * : (-3) = -517. N. 42 + * = 28. О. (-6) • (-2) : (-4) • 3 = *. 250 QQ 251 252 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ На координатной прямой отмечены точки А, В, С, D. Координаты точек В и D известны. Найдите координаты точек А и С. А В С D -2 Ответ: А ( .); с (. .)• На координатной прямой точками отмечены целые числа а, Ь, т и п. Используя рисунок, сравните числа: а) 0 а б) -п 0 в) -п -а 0 т -а 0 -Ь -т а т п -т -а -Ь п Ь -а Ь -т -п п т О а 1) Заполните таблицу: а Ь а — Ъ Ъ — а 20 7 -15 8 30 -9 -10 -6 • 2) Закончите вывод: значения выражений а - Ь и Ь - а являются 3) Зная разность чисел хну, найдите разность чисел у и х: X - у = 20 X - у = 40 X - у = О у - X = _________________ у - X = _________________ У - X = _ : 1) Найдите значения следующих произведений при а = 2, Ь = -3, с = -4: дд 1 а • Ь • с (-а) • Ь ■ с = (-а) • (-Ь) ■ с (-а) • (-6) • (-С) = 2) Зная, что а ■ Ь • с = 1260, найдите значения произведений; а • Ь • (-с) = _____________________________________________ а • i-b) • (-С) = (-а) • (-6) • (-С) = 254 Заполните таблицу, определив, если возможно, знак суммы, разности, произведения и частного. (Если выражение положительно, запишите «-1-»; если отрицательно, запишите «-»; если знак выражения определить нельзя, поставьте «?») Знаки чисел Знак выражения а и & а + Ь а — Ъ а • Ь а : Ь а > 0, & > 0 а > 0, 6 < 0 а < 0, 6 > 0 а < 0, 6 < 0 255 в клетках квадрата запишите числа -1, +2, -3, -1-4, -5, ч-б, -7, -t-8, -9 таким образом, чтобы их произведения по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям были отрицательны. Числовой кроссворд. (В каждую клетку вписывается или знак, или одна цифра.) А 1 7 В С D Е F G н I J К L М N О Р По горизонтали: А. Число, противоположное 17. С. -(-141). Е. -297 + 1000. G.1-3 + 5--7 + 9-11 + 13- 15. Н. Неизвестное слагаемое в равенстве л: + 70 = 20. I. Квадрат числа -11. К. Сумма тысячи слагаемых, равных -1. M. (-1)^ • (-8)2. N. -15 + (-6 + 17). О. Наименьшее из целых чисел, нахо-дяш;ихся между числами -26 и -14. Р. (-10) • 6 • (-10). По вертикали: А. Куб числа -3. В. -(-(-48)). D. Число, противоположное -100. F. Число, противоположное числу -311. G. Наибольшее из целых чисел, находящихся между числами -20 и —10. Н. Число, предшествующее -719 на координатной прямой. J. -8 + 1 - 12 + 3. К. Следующее число в последовательности -35, -28, -21, ... . L. Большее из чисел -566 и -556. М. -6 • 15 — 3 • 2. N. Число, на 3 меньшее -30. О. Произведение 99 множителей, равных -1. ВЫПОЛНЯЕМ ТЕСТ Какое из равенств неверно? 1) -(-2) = 2 2) +(+4) = 4 3) -(+5) = -5 4) +(-3) Какое из чисел -17, -28, -6, —12 является наименьшим? 1) -17 2) -28 3) -6 4) -12 = 3 40 / ^ Расположите числа -19, О, -20, 1 в порядке убывания. 1) 1, О, -19, -20 3) -20, -19, О, 1 2) 1, О, -20, -19 4) -19, -20, О, 1 Значение какого из выражений равно -7? 1) -6 + 13 2) -2 + (-9) 3) 6 + (-13) 4) 9 - (-2) Замените выражение +(-3) + (-4) - (-5) равным, не содержащим скобок. 1) -3-4 + 5 3) 3-4-5 2) -3 + 4- 5 4) 3 + 4- 5 Найдите значение выражения 3-5 + 8 + 5 — 9 — 11. Ответ: __________________________ Каждому выражению (верхняя строка) поставьте в соответствие его значение при X = -20, у = 38 (нижняя строка). А. X + у В. X - у В. -X — у Т. у - X 1) 58 2) -58 3) 18 4) -18 Ответ: А Б В Г Значение какого из выражений является положительным числом? 1) -240 • (-18) • (-452) 3) -240 • (-18) • 0 2) 240 • 18 • (-452) 4) -240 • (-18) • 452 Каждому выражению (верхняя строка) поставьте в соответствие его значение (нижняя строка). А. -9 • (-1) Б. 36 : (-4) В. 0 : (-5) 1) -5 Ответ: 2) о 3) -9 4) 9 А Б В Найдите значение выражения (-10) • (-8) : (-5). Ответ: _________________________ ВЕДЕМ ИТОГИ 257 258 ОО 188, 189 О 184, 185 Вставьте слово «больше» или «меньше»: 1) Любое положительное число ________ 2) Любое отрицательное число ________ 3) Любое положительное число _________________________ отрицательного числа. 4) Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого нуля. нуля. любого \2,5\ > \1\ Прочитайте утверждение, записанное слева, вставьте нужное слово («больше», «меньше», «равно») и запишите это утверждение справа символически, используя знак модуля. 1) Расстояние на координатной прямой от точки 2,5 до нуля больше, чем расстояние от точки 1 до нуля. - 2) Расстояние на координатной прямой от точки 5,1 до нуля _______________________, чем расстояние от точки 10 до нуля. _ 3) Расстояние на координатной прямой от точки -10 до нуля чем расстояние от точки -1,5 до нуля. 4) Расстояние на координатной прямой от точки -0,5 до нуля _______________________, чем расстояние от точки 1,5 до нуля. 5) Расстояние на координатной прямой от точки -12,5 до нуля _______________________, чем расстояние от точки 5 до нуля. 6) Расстояние на координатной прямой от точки 8,6 до нуля точки -8,6 до нуля. расстоянию от ветствующее число. -3,5 -4 -2 -1 о Q а a 260 Отметьте на координатной прямой указанные числа: Г а) 0,5; -0,5; -1,5; 1,5; -2,5; -3,5 О яч 1. 1 1. 1. б) , 1, — , 3 3 3 2|; 3 3 -2-; 2^ 6 6 261 Под каждой точкой подпишите число, которому соответствует эта точка. а ABCDEFGHI —»-*-«-*-*-*-«-*-*- АВС —Ф-•-»— D Е —«----Ф— G Н I -Ф----» ♦ -3 А В С D —Ф----Ф----Ф----Ф— Е F G Н I Н—Ф—I—Ф—и—Ф—I—Ф—I Ф -1 А —Ф— Б С -Ф— D -Ф— £ G Н -0,5 О 0,5 262 263 I О 184 265 На координатной прямой точками отмечены некоторые числа. Отметьте числа, противоположные каждому из них, обозначьте полученные точки буквами. На строке внизу выпишите все пары точек с противоположными координатами. а В С 2 3 О Е —4— D О ^3 D и М н—I * I N В Н-------1-----1-----1------h- -1 -0,5 о 0,3 0,9 На координатной прямой точками отмечены некоторые числа. Отметьте с по-мош;ью циркуля числа, противоположные каждому из них. а о 2,5 3,5 -45 -10 о 30 50 * ОСВАИВАЕМ АЛГОРИТМЫ 264 Даны числа: -100; -3,5; -1—; -3—; ; 0,25; 1,4; 1,5; 1-; —; 100. Найдите 2 2 4 5 5 среди них равные числа и противоположные числа, запишите их в соответствующую строку таблицы. Равные числа —3,5 и ~3^’ Противоположные числа Заполните таблицу: а 1 5 -80 2,7 2 7 —а -8 3,2 2 9 -15,8 0 0 а 266 267 270 а <* 192 Допишите равенства: -(+24,9) = _______ 2 ^ 'ч -(-8,5) -(______ -(-124) + 1^ .) = 15 ) = -480 J = 2 Вставьте между числами знак > или <: <* a) i -ll 6 3 б) -12,25 2,3 в) -3,7 -4,5 189 О 1 1 1 -2- 15 5 0,01 -156,3 -- -3-2 2 1 -45^ 0 -15,9 -18,4 -5 ' ) 0 - — 0,05 0 -12 i 99 12 268 1 Впишите какое-нибудь число, чтобы неравенство было верным: ! -6,3 < -10 > 2 < < 1 ) f 9 -А > > -10,7 -3 < i' 1 1 11 ! i < -1 -5,8 > -11 < i 269 1 Впишите два соседних целых числа: ^ 1 <2< < 7,5 < < -30- < 3 3 1 <-2 < < -10,5 < < 125,2 < 1 1 9 I i < -0,6 < < 28,2 < < -15,5 < Вычислите: (-0,6) + (-0,3) (-1,3) + (-13) (-6,1) + (-2,3) (-6,1) + (-7,9) (-4,3) + (-2,8) (-10,4) + (-0,6) 273 275 Вычислите: -0,2 - (-0,3) = 5.3 - (-1,3) = 6.4 - (+7,4) = -4,3 - (+1,5) = 0,5 - (+1,6) = Выражение Сумма положи- тельных слагаемых отрица- тельных слагаемых общая . 0,3 - 0,1 + 0,4 - 0,8 + 2,2 -5 + 1,5 - 1,7 - 2,5 + 3,3 2,1 + 0,6 - 1,4 + 1,3 - 2,8 -8,4 - 2,9 + 10,7 + 3,2 - 2,7 5,5 - 2,2 - 0,8 - 3,4 + 1 + 0,3 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 276 а 196 277 278 200 Заполните таблицу: а -2 -2,1 -2,3 0 -4,8 2 3 -1 Ъ -3 -10 -3 -3,8 0 -6 3,05 а • Ь Заполните таблицу: Отметьте точки на координатной плоскости: А (4; 3), В (-3; -2), С (5; -4), В (-4; 4), В (2; 0), F (0; 5), G (-1; 0), Я (0; -3), В (5; -1), L (-5; -4), М (-3; 3), N (5; 2), Р (0; 1), В (3; 0), S (0; -4), Т (-5; 0). а -2 7 -6,3 4,5 -7,5 0 -1 Ъ 3 -3 -2,1 -0,9 -0,15 2 3 5 а : Ъ 279 Запишите координаты отмеченных точек: 280 А (_ В (-С (-D (-Е (-F (-К (. М (. N (_ Р (-R (_ На координатной плоскости отмечено несколько точек. Продвигаясь по столбцам сверху вниз, отметьте точки, заданные координатами: (0; -4), (-0,5; -3,5), (-1 (-2 (-4 (-5 -4), -4), -3), -2), (-5,5; 0), (-5; 2), (-4; 3,5), (-3; 4), (-2; 4), (-1; 3,5), (-0,5; 3), (0; 3,5), (1; 4). Если точки найдены правильно, то, соединив их кривой, вы увидите яблоко. а РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 281 fUM ^ 0 а Q а Пририсуйте к яблоку веточку: (-0,5; 3), (-0,5; 5), (0; 6), Пририсуйте ещё листик: (0; 6), (-0,5; 8), (-3; 9), (0; 7), (-1,5; 9), (-3; 7,5), (1; 6,5), (-2; 6,5), (-1; 6), (2; 6,5). (0; 6). Нарисуйте собаку по заданным на координатной плоскости точкам: (2; 0), (-1,5; 3), (-2; -2,5), (- 1; -6), (3; -3), (1; 1), (-2; 2,5), (-2,5; -3), (0 -4), (3; -5), (2; 2), (-1,5; 2), (-2,5; -4), (1 -5), (2,5; -4), (2; 1), (-2; 1,5), (-2; -3,5), (0 -6), (2,5; -3), (3; 2), (-1,5; 1), (-1,5; -4), (1 5; -6), (1,5; -2), (1; 4), (-1; 1), (-1; -3), (2 -5), (2; 0). (0; 4), (-0,5; 0), (-1,5; -5), (2 -6), (-1; 3,5), (-1; -1), (-2; -5,5), (3 -6), (-1; 2,5), (-1,5; -3), (-2; -6), (4 -4), —t— -4 У 6 5 4 3 2 1 ~~0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 282 Запишите последовательность точек, задающих рисунок ёлки: 283 (-1; -6), (-1; -5), (________;_______), (________;_______), (________;_______), ), ), На координатной плоскости нарисуйте другую ёлку (или иной предмет) и закодируйте этот рисунок с помощью координат. Предложите соседу по парте восстановить рисунок по вашим координатам. Координаты точек: РАЦИрНАЛЬНЫЕ ЧИ11ЛЛ и п 0 а i * i 1 А здесь нарисуйте рисунок, закодированный вашим соседом. 284 QQ <* 189 285 286 200, 201 !У На координатной прямой изображены числа с и d. Сравните их модули. d О О d d О а) б) в) г) Определите, на каком из рисунков изображены числа а и 6, и запишите справа номер соответствующего рисунка: а О Ь а О а) числа а и Ь — отрицательные и |а| < |б| б) числа а VI Ь — отрицательные и |а| > |б| 2 а 1 0 ь 4 а 0 ь в) число а — отрицательное, число Ь — положительное и |а| < |fc| г) число а — отрицательное, число Ь — положительное и |а| > |&| а) На координатной плоскости (рис. а) отметьте пять точек, имеющих абсциссу, равную 4. О а tbi о в 1) Запишите координаты этих точек: 2) Как вы думаете, где расположены все точки, имеющие абсциссу 4? 3) Изобразите множество всех точек, имеющих абсциссу 4. б) На этой же координатной плоскости (рис. а) отметьте пять точек, имеющих ординату, равную -2. Запишите координаты этих точек: 1) Как вы думаете, где расположены все точки, имеющие ординату -2? 2) Изобразите множество всех точек, имеющих ординату -2. в) На координатной плоскости (рис. б) постройте прямую, все точки которой имеют абсциссу, равную -3; равную 2; равную 0. На координатной плоскости (рис. б) постройте прямую, все точки которой имеют ординату, равную 5; равную -1; равную 0. 1 -■ I 287 148 в верхней строке таблицы указаны координаты нескольких точек. Точка (2; 5) (4; -3) (-1; 7) (-5; -2) (1; 6) (-3; -2) Точка, симметричная относительно оси у Точка, симметричная относительно оси х Выполните следующие задания: ■ 1) Отметьте на координатной плоскости (рис. а) точки, координаты которых приведены в верхней строке таблицы, и точки, симметричные им относительно оси у. Координаты каждой новой точки записывайте во вторую строку таблицы. а 1-- 0 б У‘ 1- 0 1 X 2) Подметьте закономерность и запишите, как связаны между собой: ординаты точек, симметричных друг другу относительно оси у: абсциссы точек, симметричных друг другу относительно оси у: 3) Запишите координаты точки, симметричной относительно оси у точке: А(15; 12) ____________________ С(-32; -1) ___________________________ В(-20; 34) ___________________ П(а; Ь) ______________________________ В 1) Отметьте на координатной плоскости (рис. б) точки, координаты которых приведены в верхней строке таблицы, и точки, симметричные им относительно оси X. Заполните нижнюю строку таблицы. El a 288 ! 2) Подметьте закономерность и запишите, как связаны между собой: ординаты точек, симметричных друг другу относительно оси jc: абсциссы точек, симметричных друг другу относительно оси х: 3) Запишите координаты точки, симметричной относительно оси х точке: А(10; 25) ____________________ С(-18; -100) _______________________ Б(-30; 12) ___________________ D{a; Ь) ____________________________ Игра «Найдите клад» (играйте вдвоём). Отметьте в первой координатной четверти какую-нибудь точку с целыми координатами - здесь спрятан клад. Ваш сосед по парте должен его найти. Для этого он называет координаты какой-нибудь точки и отмечает её в своей тетради. Если он попал, то клад найден. Если не попал, то вы указываете ему, в каком направлении надо двигаться от его точки (например, правее и ниже). Сосед, следуя таким указаниям, называет следующую точку. Игра продолжается, пока не будет найден клад. Спрячьте клад в других координатных четвертях и продолжайте игру. Поменяйтесь ролями и проведите игру сначала. \ I Ha координатной прямой отмечены точки А и В. Запишите координаты каждой из них. А ч—»—I ■ В Ч-------1- 0’ 1 Ответ: А( .), В(_ .)• Для каждого утверждения в левом столбце укажите нужное слово из правого. 1) меньше А. Любое отрицательное число ... любого положительного числа. I Б. Нуль ... любого отрицательного числа. В. Из двух отрицательных чисел ... то, у которого модуль больше. 2) больше 1 Ответ: А Б В Чему равен модуль числа -140? Ответ: ______________________ Какая из данных точек расположена на координатной прямой дальше от начала координат? 1) А(-1,5) 2) К{-7,2) 3) М(3,8) 4) С(8,5) Укажите наименьшее из чисел -0,3; 0,03; -0,303; 1) -0,3 2) 0,03 3) -0,303 4) 0,003 Найдите разность -0,6 - (-3,8). Ответ: ___________________________ 0,003. Вычислите сумму -1,5 + 6,5 - 5,2. Ответ: ________________________ Найдите значение выражения Ответ: Найдите частное 7,2 : (-0,8). Ответ: ___________________ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧЖЩ ^ Л. 1 Вычислите: (-0,5)^ • (-10) + 3. 289 О 206 РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ Сравните два утверждения: А. У любого параллелограмма есть ось симметрии. Б. Существует параллелограмм, у которого есть ось симметрии. Какое из них верно, а какое неверно? Приведите пример, подтверждающий верное высказывание, и контрпример, опровергающий неверное высказывание. Ответ: ____________________________________________________________ 290 291 Опровергните каждое утверждение с помощью контрпримера. Утверждение Контрпример А. Если в четырёхугольнике есть одна пара равных и одна пара параллельных сторон, то этот четырёхугольник — параллелограмм Б. Если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — прямоугольник В. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот четырёхугольник — квадрат 2 / 3 / в/ В / 4 см 7 3 см / 3 см / / Д / /з см А 4 см С А 4 см На рисунке показано, как построить параллелограмм со сторонами 3 и 4 см и углом между ними, равным 70°. Используемые инструменты — транспортир, линейка, циркуль. Н Опишите последовательность действий и выполните построения. 292 293 На рисунке дана развёртка треугольной призмы. Рассмотрите рисунок и опишите эту призму. РАБОТАЕМ С МОДЕЛЯМИ 1) ABCD — параллелограмм. Проведите диагонали параллелограмма и обозначьте точку пересечения буквой О. Наложите на параллелограмм кальку, скопируйте на неё параллелограмм и проткните в точке О булавкой. В Поверните параллелограмм на 180° и определите новое положение каждой вершины; каждой стороны; диагоналей параллелограмма. В В какой треугольник перейдёт треугольник АВС? _________ треугольник АВО? ________ В Является ли диагональ параллелограмма его осью симметрии? __________ 294 214 295 2) Постройте параллелограмм, ,у которого АВ и АС — стороны, а ВС — диагональ. 3) Точки К, L и М — вершины параллелограмма. Постройте вершину N. Сколькими способами это можно сделать? К . . L М Ответ: Покажите, что параллелограммы, изображённые на рисунке, равновелики. ■ Начертите ещё один равновеликий им параллелограмм. Начертите прямоугольник, равновеликий этим параллелограммам. На рисунке изображена развёртка четырёхугольной призмы. 296 ■ Рассмотрите развёртку и ответьте на вопросы: а) Какую форму имеют основания призмы? ________ б) Чему равна длина рёбер основания? __________ в) Каковы размеры боковых граней? _____________ г) Чему равна высота призмы? __________________ Перенесите фигуры на кальку и вырежите их. Выясните, каждая ли из 297 йрЯ1 й||| j _ ' ^t--;:^;:- t ■ ■3:;;.=:тй- Ш Начертите развёртку треугольной призмы, изображённой на рисунке, и склейте из неё призму. На рисунке изображена развёртка правильной шестиугольной призмы. 1) Начертите такую развёртку, если ребро основания призмы равно 4 см, боковое ребро — 8 см. 2) Склейте из неё призму. 3) Представьте, что эту призму разрезали на три части так, как показано на рисунке. Нарисуйте одну из частей по клеткам или на нелинованной бумаге. 1\ЛНОГОУГбЛЬИ4КЙ и . х; ( <* 207 ются в точке О. Начертите один из таких параллелограммов. 2) Диагонали прямоугольника лежат на проведённых прямых и пересекаются в точке О. Начертите один из таких прямоугольников. 300 Используя данный рисунок, начертите правильный шестиугольник. О 210 301 Окружность разделена на 24 равные части. Если вы соедините последовательно все точки, то получите правильный двадцатичетырёхугольник; если через одну — правильный двенадцатиугольник и т. д. Постройте все возможные правильные многоугольники (разными цветными карандашами). 302 Постройте прямоугольник, равновеликий данному: б параллелограмму. 303 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Постройте ромб, две вершины которого лежат на прямой а и две вершины — на прямой Ь. а 304 Достройте треугольник АВС до параллелограмма так, чтобы сторона ВС была его диагональю. Проведите такие же построения для сторон АВ и АС. В У вас получился большой треугольник. Обозначьте его KLM и обведите стороны цветным карандашом. И Рассмотрите треугольник KLM и выполните следуюш;ие задания: 1) Выпишите пары равных углов треугольника АВС и треугольника KLM. 2) Выпишите пары параллельных сторон треугольника АВС и треугольника KLM. __________________________________________________________ 3) Во сколько раз каждая сторона треугольника KLM больше параллельной стороны треугольника АВС7 __________________________________________ 305 87 306 og I': ■; ‘-vV ШШШШ Через концы диаметров окружцости с центром в точке О проведите касательные к окружности. Вершинами какого четырёхугольника являются точки ; пересечения касательных? а Обратите внимание: если соединить отрезками середины сторон любого четырёхугольника, то всегда получатся четырёхугольники одного и того же вида. Как называется такой четырёхугольник? Ответ:________________ Ш Начертите какой-нибудь параллелограмм, воспользовавшись результатом этой задачи. В каждом четырёхугольнике отметьте середины сторон и последовательно соедините их отрезками. 307 Постройте правильный двенадцатиугольник, используя данный рисунок. 308 шш ша 309 Покажите, как можно разрезать на части фигуру А так, чтобы составить фигуру В. Чему равна площадь каждой фигуры? Начертите прямоугольник, в который можно перекроить данную фигуру. Запишите, чему равна площадь фигуры, если площадь одной клетки равна 0,25 см^. 310 311 312 313 Проведя необходимые построения и измерения, найдите площадь фигуры. б S= S= Проведя необходимые измерения и построения, найдите площадь фигуры. в Площадь квадрата равна 1 кв. ед. Найдите площадь каждой фигуры, его составляющей. Закрасьте равновеликие фигуры, используя цветные карандаши. Si = «2 = 53 = 54 = = Площадь закрашенной части фигуры равна 1 кв. ед. Чему равна площадь | всей фигуры? i • i а б S = S = S = S = 314 На рисунке слева изображена площадка, занятая газоном, и дорожка. Покажите на рисунке справа прямоугольник, равновеликий площади под газоном и площади дорожки. Укажите их размеры. Найдите площадь, занятую газоном, и площадь дорожки. Ответ: 315 На сторонах прямоугольного равнобедренного треугольника постройте три квадрата (сторона каждого квадрата является стороной треугольника). Н Разбейте каждый квадрат на треугольники, равные данному, и убедитесь, что площадь большого квадрата равна сумме площадей маленьких. 316 Рассмотрите рисунок и заполните таблицу. ! ■ к I;: ^ 317 i ;v ft., . яж: . у № п/п Число рёбер основания Число граней Число рёбер Число вершин 1 3 2 3 4 5 п В Сколько граней, рёбер и вершин у «-угольной пирамиды? Ответ занесите в таблицу. Ковш имеет форму и размеры, показанные на рисунке. Нарисуйте каждую его грань, приняв сторону квадратной клетки за отрезок длиной 10 см. Вычислите площадь поверхности ковша и его объём. Решение. Ответ: ВЫПОЛНЯЕМ ТЕСТ Дополните утверждение так, чтобы оно было верным. A. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называют ... Б. Параллелограмм, у которого все углы прямые, называют ... B. Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют ... Г. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, называют ... 1) квадратом 2) параллелограммом 3) ромбом 4) прямоугольником Ответ: А Б В Г Начертите какой-нибудь параллелограмм со сторонами, равными 4 и 5 см. Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 4 и 7 см. Ответ: ____________________________ Какие утверждения являются верными, а какие — неверными? (Верные высказывания отметьте в ответе знаком « + », неверные — знаком «-».) 1) У параллелограмма две пары равных углов. 2) Противоположные стороны параллелограмма равны. 3) Диагонали параллелограмма равны. 4) Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. 5) Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Ответ: Какая из четырёх данных фигур не равновелика трём другим? .. 2 Найдите площадь фигуры. Ответ: Ответ: Площадь большого треугольника равна 36 кв. ед. Чему равна площадь шее- f тиугольника? Какая из данных фигур не является развёрткой треугольной призмы? ПОДВЕДЁМ ИТОГИ © 319 О 228 РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ Прочитайте текст: Вы знаете, что соотношения между множествами принято иллюстрировать с помощью кругов. Такие круги называют кругами Эйлера — по имени великого учёного Леонарда Эйлера. Л. Эйлер (1707—1783) — математик, механик, физик и астроном, родился и вырос в Швейцарии, а работал в основном в России и Германии. За свою жизнь Л. Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги, которые, по его словам, «очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». И Запишите на символическом языке соотношения между множествами. А VI В А и С С и В А, В и С Закончите предложения и проверьте себя по учебнику: Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из элементов, входящих ___________________________________________________ Пересечение множеств А и В обозначают символом _____________________ Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из элементов, входящих ________________________________________________ Объединение множеств А и В обозначают символом _____________________ Покажите штриховкой на схемах множества АПВ и AU.B. yQjl Прочитайте текст: QQ I Кроме операций объединения и пересечения множеств, в математике рассматривают и другие, например разность множеств. Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Разность множеств А и Б обозначают символом А\В. Например, если А = {2, 4, 6, 8, 10} и Б = {2, 4, 8}, то А\В = {6, 10}. Н Заштрихуйте на схемах указанные множества: Ш Пусть Р — множество чётных чисел, К — множество чисел, кратных 4. а) Запишите десять чисел, принадлежащих множеству Р\К: б) Опишите множество Р\К словами: 321 Пусть А — множество натуральных чисел, кратных 5, и Б — множество натуральных чисел, кратных 10. 1) Запишите какие-нибудь шесть чисел, принадлежащих множеству А, и шесть чисел, принадлежащих множеству Б. А: В: 2) Запишите на символическом языке соотношение между множествами А и В и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера. 3) Заполните пропуски в предложении: Любое число, делящееся на ________, делится и на кое число, делящееся на _______, делится и на __ но не вся- ! I I 322 OQ О 228, 229 Пусть С — множество чисел, кратных 9, и D — множество чисел, кратных 3. Н Какое соотношение связывает эти множества? ______________________ В Заполните пропуски в предложении: Если число делится на _________, -то оно делится и на _______, но из того что число делится на на Ф РАБОТАЕМ С МОДЕЛЯМИ 323 , не следует, что оно делится На схемах прямоугольник изображает всех учащихся 6 класса, круг Ч — тех из них, кто любит чёрный шоколад, а круг Б — тех из них, кто любит белый шоколад. Штриховкой выделено некоторое подмножество этих шестиклассников. От каждого рисунка проведите стрелку к соответствующему описанию выделенного множества. Те, кто не любит ни чёрный, ни белый шоколад. Те, кто любит и чёрный, и белый шоколад. Те, кто любит какой-то один вид шоколада: или чёрный, или белый. Те, кто любит белый и не любит чёрный шоколад. 324 На рисунках прямоугольник изображает всех девятиклассников школы, круг К — тех из них, кто пользуется социальной сетью «ВКонтакте», а круг О — ! тех из них, кто сидит в «Одноклассниках». Покажите штриховкой следующие подмножества девятиклассников этой школы: G 0 G 0 G 0 G 0 G 0 1) Сидят и в «ВКонтакте», и в « Одноклассниках ». 2) Не пользуются ни той ни другой сетью. I 3) Сидят только в «ВКонтакте». 4) Сидят только в «Одноклассни- j ках». 5) Пользуются хотя бы одной социальной сетью. 325 О На схеме отражены результаты, опроса учащихся 6 класса об их отношении к детективной литературе и к фантастике. Прямоугольник изображает всех учащихся 6 класса, круг Д — шестиклассников, любящих читать детективы, круг Ф — шестиклассников, любящих фантастику. В Ответьте на вопросы: 1) Сколько учеников не читают ни детективы, ни фантастику? Сколько шестиклассников любят и детективы, и фантастику? _ Сколько учеников любят фантастику, но не читают детективы? 2) Сколько учеников из этого класса увлекаются детективами? _______ Сколько шестиклассников увлекаются хотя бы одним из этих видов литературы? _______ Сколько всего учащихся было опрошено? _______ 326 На схеме с помощью кругов Эйлера отражено участие девятиклассников одной из школ в городских олимпиадах по математике (круг М), по литературе (круг Л) и по английскому языку (круг А). Ответьте на вопросы: 1) Сколько девятиклассников участвовали: в олимпиаде по математике? ______________ в олимпиадах по математике и по английскому языку? ______________ в олимпиадах по литературе и по английскому языку? ___________ в какой-либо одной из трёх олимпиад? ____________ в каких-либо двух олимпиадах? _____________ во всех трёх олимпиадах? _____________ 2) Сколько всего девятиклассников приняли участие в олимпиадах? 3) Сколько учащихся не участвовали в олимпиадах, если всего в девятых классах этой школы учатся 60 учащихся? ________________ •• Г J ’ 1\||[ЮЖЕ Задача. Оля, Катя, Лена и Надя на занятиях в спортивной секции должны по очереди выполнять упражнения на брусьях. Сколько у них есть вариантов установления очерёдности? Решение. 1) Пусть первой будет Оля. Если вторая Катя, то имеем варианты: Если вторая Лена, то имеем варианты: Если вторая Надя, то имеем варианты: 2) Пусть первой будет Катя. Если вторая Оля, то имеем варианты: Если вторая Лена, то имеем варианты: Если вторая Надя, то имеем варианты: 3) Пусть первой будет Лена. Если вторая __________, то имеем варианты Если вторая _______ Если вторая _______ , то имеем варианты: , то имеем варианты: 4) Пусть первой будет Если вторая _________ Если вторая _________ Если вторая __________ Ответ: , то имеем варианты: , то имеем варианты: , то имеем варианты: всего вариантов. ■ Ответьте на вопросы: Сколько всего вариантов, когда: Катя вторая? _________________ Оля последняя? _______________ Надя не последняя? Лена не первая? ___ О к л н О к н л О л 0 л О н О н к О к 0 к к к к Оля и Катя выступают друг за другом? 328 Решите задачу: Запишите все возможные четырёхзначные числа, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, используя каждую только один раз. Решение. Первая цифра 1 12 3 4 12 4 3 I 3 Первая цифра 3 Первая цифра 2 Первая цифра 4 329 Задача. В теннисном турнире участвовали 5 человек. Сколько было сыграно партий, если каждый участник сыграл с остальными по одной партии? Решение. Дайте каждому участнику номер от 1 до 5, тогда каждую партию можно будет закодировать двузначным числом. В Ответьте на вопросы: а) Что будет означать число 23? б) Почему среди кодов не должно быть числа 44? в) Почему среди кодов должно быть только одно из чисел: 15 или 51? 330 OQ Ш Выпишите коды всех партий, расположив их треугольником записывая коды в каждой строке в порядке возрастания. и Ответ: партии. Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог непосредственно переводить с любого из четырёх языков — русского, английского, немецкого, французского — на любой другой из этих языков? Решение. Обозначьте языки буквами Р, А, Н, Ф. Тогда каждый словарь можно закодировать словом из двух букв. В Ответьте на вопросы: а) Какой словарь будет обозначен кодом РА? ________________________ б) Почему среди кодов не должно быть кода НН? ---- в) Почему среди кодов должен быть и код НФ, и код ФН? Перечислите коды всех словарей в алфавитном порядке. Ответ: словарей. 331 332 isab^ Перечислите все натуральные ^исла, не превосходящие 10 000, для записи которых используются только две цифры: 0 и 9. Решение. Однозначное число {оно одно): ________________________________ Двузначные числа {их два): Трёхзначные числа {их четыре): Четырёхзначные числа {их восемь): Объясните, почему на этом шаге перебор заканчивается: Решите задачу, построив дерево возможных вариантов. В магазине продаются футболки четырёх цветов: белые, голубые, красные, чёрные. Андрею нужны две футболки. Сколько у него есть вариантов покупки: а) если он хочет купить футболки разных цветов; б) если футболки могут быть и одного цвета? 1 футб. 2футб. Г К Ч 1 футб. 2 футб. Ответ: а) б) 333 При облицовке кафелем части стены нужно выложить в ряд 6 одинаковых по размеру плиток, из которых 4 плитки голубого цвета и 2 — жёлтого. Сколькими способами это можно сделать, если требуется, чтобы жёлтые плитки не располагались рядом? (Зарисуйте все варианты.) •\жл ■/IV г г г г •мл /tv Щ АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ 334 ? •• • •> 1) Элементы множеств А vl В обозначены на схеме точками. Сколько элементов содержит: множество А? множество В7 множество А Г\В7 множество AUB? 2) Изобразите на схеме следующую ситуацию: множества А и В содержат соответственно 4 и 6 элементов, а множество АПВ — 2 элемента. Сколько элементов содержит множество АСБ? 3) Расположите 4 элемента в множествах А и В так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента. 4) Пусть множество А содержит т элементов, а множество В содержит п элементов. Какое условие должно выполняться, чтобы множество AUB содержало m -Ь п элементов? 1\ЙОЖЕ 335 336 Известно множество цифр, с помощью которых записано число х, и множество цифр, с помощью которых записано число у: соответственно {1, 3} и {1, 3, 5}. Приведите контрпример, опровергающий утверждение х < у. Решение. X = ____ У = «Откройте» правило, по которому можно узнать, сколько подмножеств имеет конечное множество, содержащее п элементов. Решение. 1) Для каждого из множеств {а}, {а, Ь}, {а, Ь, с}, {а, Ь, с, d) перечислите все возможные подмножества и заполните таблицу: Множество Подмножества Число элементов множества Количество подмножеств {а} 0, {а} 1 2 {а, Ь} {а, Ь, с) {а, Ь, с, d) 2) По какой закономерности строится ряд чисел в столбце «Количество подмножеств»? ________________________________________________________ 3) Каким будет следующее число в этом столбце? ____________________ 4) Сколько подмножеств у множества, содержащего 6 элементов? п элементов? _________________________________ ВЫПОЛНЯЕМ ТЕСТ Какое из множеств является конечным? 1) множество натуральных чисел 2) множество четырёхзначных натуральных чисел 3) множество натуральных чисел, больших 100 4) множество целых чисел, меньших 100 Какое утверждение неверно? 1) -7ёЛГ 2) 5£Q 3) - €Z 3 4) ОёЛГ Сколько элементов содержит множество букв в слове МАТЕМАТИКА? 1) 6 2) 7 3) 9 4) 10 Найдите верное утверждение: I \) А CZ В \ 2) В с С 3) С 3 А 4) А 3 Б 3 С Даны два множества С множества СПБ и CUB. Ответ: СПБ = ______ {1, 2, 3, 4, 5, 6} и Б = {2, 4, 6, 8, 10}. Найдите ____ СиБ =________________________ На схемах прямоугольник изображает всех учащихся 10 класса, круг М — тех из них, кто занимается музыкой, круг С — тех из них, кто занимается спортом. Установите соответствие между схемами и их описаниями. А. 1) Те, кто не занимается ни музыкой, ни спортом. 2) Те, кто занимается или музыкой, или спортом. 3) Те, кто занимается только музыкой. 4 ОЖЕ ? 4) Те, кто занимается и музыкой, и спортом. Ответ: А Б В Г Катя, Лена и Соня встают в очередь за мороженым. Сколько есть вариантов этой очереди? 1) 2 2) 3 3) б 4) 9 На столе ручки четырёх цветов: красного, синего, зелёного, чёрного. Пете нужны 2 разные ручки. Сколько у него есть вариантов выбора? 1) 12 2) 6 3) 4 4) 3 f: ПОДВЕДЕМ ИТОГИ СОДЕРЖАНИЕ Введение........................................... 3 Дроби и проценты................................ 4—23 Прямые на плоскостной в пространстве........... 24—33 Десятичные дроби............................... 34—45 Действия с десятичными дробями ................ 46—57 Окружность .................................... 58-67 Отношения и проценты........................... 68—77 иЦ^^^ЕВ Выражения, формулы, уравнения ...................... 78—85 ПНё^ЕИ Симметрия............................................ 86—95 Целые числа .................................. 96—113 Рациональные числа........................... 114—129 Многоугольники и многогранники............... 130—145 Множества. Комбинаторика .................... 146-159 Учебное издание Серия «Академический школьный учебник» Серия «Сферы» Бунимович Евгений Абрамович Кузнецова Людмила Викторовна Минаева Светлана Станиславовна Рослова Лариса Олеговна Суворова Светлана Борисовна МАТЕМАТИКА Арифметика. Геометрия Тетрадь-тренажёр 6 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций Руководитель центра «Сферы» А. В.Сильянова Ответственный за выпуск Н. В. Сафонова Редакторы Н. Б. Грызлова, Н. В. Сафонова Художественное оформление А. П. Асеева, А. М.Драгового Художественный редактор Г. М.Драговая Техническое редактирование и компьютерная вёрстка О. А. Карповой, О. Ю. Мызниковой, О. А. Федотовой ' Дизайн обложки О. В. Поповича, А. М.Драгового Иллюстрации С. Г. Куркиной, И. В. Коробко, В. Н. Шорникова Корректоры Н. И. Новикова, А. В. Рудакова, И. В. Чернова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 31.01.13. Формат 84xl08'/i6- Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBookCSanPin. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 6,69. Тираж 20 000 экз. Заказ № 35102 ц. sm). Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» «Высшая школа». 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1. Тел.: -1-7(4812)31-11-96. Факс: -17(4812)31-31-70. E-mail: spk(§)smolpk.ru https://www.smolpk.ru ОАО «Издательство Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» ЛИНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ «СФЕРЫ» ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ: - МАТЕМАТИКА. Арифметика. Геометрия. 5 класс Арифметика. Геометрия. УМК «МАТЕМАТИКА. Арифметика. Геометрия» включает: Учебник с приложением на электронном носителе (CD-ROM) Тетрадь-тренажёр I — Задачник — Тетрадь-экзаменатор — Поурочное тематическое планирование — Поуро^Ш^ методические рекомендации ^ — Рабочг^^)ограммы — Сайт иДязнет-поддержки www.spheres.ru