Математика Арифметика Геометрия 6 класс Задачник Бунимович Кузнецова Минаева

;■ ' .. ’ ' .;•, . ': ., , ■ ^ ‘ ""i > . ' Ч . ■ ‘'ii ' - ' ^№^Ьошр ТО ill?' -i. - , Арифметика Г еометрия ;i - Ч tj- ^v- /“i ^ ^ ^ ^ ' Si^5_y4',’ 'T^.f<>' < I Задачник 6 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций 4-е издание Москва «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2014 ,4.1 / ^ ‘ ‘ ".' ' -Ч« УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 М34 6+ Серия «Сферы» основана в 2003 году Руководители проекта: чл.-корр. РАО, д-р пед. наук А, М. Кондакову чл.-корр. РАО, д-р геогр. наук В. П. Дронов Линия учебно-методических комплексов «СФЕРЫ» по математике Авторы: канд. пед. наук Е. А. Бунимович, канд. пед. наук Л. В. Кузнецова, канд. пед. наук С. С. Минаева, канд. пед. наук Л. О. Рослова, канд. пед. наук С. Б. Суворова Математика. Арифметика. Геометрия. Задачник. 6 класс : по-М34 собие для учащихся общеобразоват. организаций / [Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева и др.]. — 4-е изд. — М. : Просвещение, 2014. — 111 с. : ил. — (Сферы). — ISBN 978-5-09-032621-6. Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса «Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс» линии «Сферы». Задачник состоит из двух частей: части I и части II. Первая часть содержит двухуровневую систему упражнений, дополняющую заданный материал учебника (по всем главам, за исключением геометрических). Вторая часть включает дополнительный материал, расширяющий и углубляющий основное содержание курса. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 ISBN 978-5-09-032621-6 Издательство «Просвещение», 2011, 2013 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2011 Все права защищены СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТЬ 1. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Дроби и проценты............................................... 5 Сравнение дробей............................................ — Вычисления с дробями........................................ 6 «Многоэтажные» дроби....................................... 10 Задачи на совместную работу................................ 11 Нахождение части числа..................................... 12 Нахождение числа по его части.............................. 14 Какую часть одно число составляет от другого.............. 15 Разные задачи на дроби..................................... 16 Понятие процента........................................... 18 Десятичные дроби.............................................. 23 Десятичная запись дробей................................... — Переход от одних единиц измерения к другим................ 26 Перевод обыкновенной дроби в десятичную.................... — Сравнение и упорядочивание десятичных дробей.............. 27 Сравнение обыкновенной дроби и десятичной................. 30 Действия с десятичными дробями................................ 31 Сложение и вычитание десятичных дробей..................... — Решение задач на сложение и вычитание десятичных дробей... 33 Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000,.... 34 Переход от одних единиц измерения к другим................ 36 Умножение десятичных дробей............................... 37 Разные действия с десятичными дробями..................... 39 Деление десятичных дробей................................. 41 Вычисление частного десятичных дробей в общем случае...... 42 Все действия с десятичными дробями........................ 44 Решение задач на движение................................. 46 Округление десятичных дробей.............................. 49 Отношения и проценты.......................................... 51 Деление в данном отношении ................................ — Отношение величин. Масштаб................................ 52 Нахождение процента величины и величины по её проценту.... 54 Выражение отношения в процентах........................... 56 Выражения, формулы, уравнения................................. 59 Запись и чтение математических выражений и предложений..... — Вычисление значений буквенных выражений................... 60 Составление формул и вычисление по формулам............... 61 Вычисления по формулам длины окружности и площади круга .... 63 Решение уравнений и задач с помощью уравнений............. 64 Целые числа .................................................. 66 Сложение целых чисел....................................... — Вычитание целых чисел...................................... — Вычисление значений выражений, составленных из целых чисел с помощью знаков «+» и «-»................................ 67 Умножение и деление целых чисел........................... 69 Разные действия с целыми числами.......................... 70 Рациональные числа............................................ 72 Сравнение рациональных чисел. Модуль числа................. — Сложение и вычитание рациональных чисел .................. 75 Умножение и деление рациональных чисел ................... 77 Все действия с рациональными числами...................... 78 Решение задач на «обратный ход»........................... 80 Множества. Комбинаторика...................................... 82 Понятие множества. Выделение подмножеств................... — Операции над множествами.................................. 83 Решение задач с помощью кругов Эйлера..................... 84 Решение комбинаторных задач перебором вариантов........... 86 Комбинаторные задачи, которые можно решить умножением..... 87 ЧАСТЬ 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Аликвотные дроби.............................................. 89 Задача о пауке и мухе......................................... 90 О колесе, и не только о нём .................................. 92 Бесконечное деление........................................... 94 Путешествие в Зазеркалье...................................... 95 В худшем случае............................................... 97 Системы счисления............................................. 99 Задачи, решаемые в целых числах...............................102 Паркеты.......................................................103 Ответы .......................................................105 Сравнение дробей Сократите дроби (№ 1—2): . ^ ^ Ы. ^ 60’ 48’ 36’ 56’ g. 36 18 66 98 ^ 60’ 90’ 99’ 112* . 360 42 а) ттх» 210 360 1J2 ^ m ^ 297’ 252’ 165’ 363* 540 720 1260 6000 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: ч 1 1 3 2 лч 2 3 б) 5 и , 5 5 ^ 6 7 ч 9 ' 10 2 ^9’ 3 1 8^4’ 8 2 — И -, 9 3 7 3 — и -, 15 5 5 4 "9’ 18 3 5 — и —; 4 6 1 5 - и 6 9 3 8 — и —; 10 15 3 8 и А. 12 Сравните дроби (№ 4—5): , 3 2 5 ** F ^^ч 3 7 б) — и —; 10 30 ч 4 11 Тб “ 60= г) 7 — и • 9 , 5 3 12 “ 8’ ^<4 3 6 ^ 14 21 в) ii и А; ^ 20 15 г) 11 — и 18 12 Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю (№ 6—8): 1. б) 1 и 1 в) 1 1 и ; г) 1 1 и — 5’ 10 100’ 101 100 50 60 3. б) 7 7 . в) 9 9 г) 11 11 и — и —: — и 1 5’ 10 12’ 16 17 15 14 7. л У б) 9 и 10. .TV > в) 5 — и 3. г) 2 7 и —. 8 10 9 9 8 7 12 а) Запишите в порядке возрастания дроби 2 J_ 1 15’ 5’ 15’ 3* 63 1 7 4 б) Запишите в порядке убывания дроби —, —, 10 5 100 2 а) Расстояние от школы до стадиона Андрей и три его друга проходят за 2 13 разное время: Андрей — за - ч, Саша — за - ч, Коля — за — ч, Петя — 5 2 10 за — ч. Они вышли из школы одновременно. В каком порядке они придут на стадион? б) Четыре девятиклассника пробежали дистанцию 60 м за разное время: 1 3 1 .. Алексей — за — мин, Борис — за — мин, Виктор — за — мин, Григорий — за 5 20 6 — мин. В каком порядке мальчики пришли к финишу? оО □ и ПРОЦЕНТЫ а) В 5 классах школы 60 учащихся, а в 6 классах — 84. В школьной спартакиаде приняли участие 25 пятиклассников и 30 шестиклассников. Кто из них активнее участвовал в спартакиаде? б) В начальной школе 180 учащихся, а в 5—6 классах — 150. Кто из них активнее участвовал в школьном конкурсе рисунков, если на него представили рисунки 100 учащихся начальной школы и 90 учащихся 5—6 классов? 13 15 Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю: 9 л 4 5 ^ 5 6 с, 10 . 9 10 ,61 51 10 11 ^ 8 9 60 50 Расположите в порядке возрастания числа: 1 . П 5 24’ 12’ 6’ 4’ ^, 4 5 7 5 7’ 6’ 4’ 1Г , 7 8 7 9 8’ 7’ 9’ 7' 14 Найдите какие-нибудь три числа, которые: а) больше но меньше —; 3 3 3 2 б) меньше -, но больше -. 5 5 8 а) Найдите дробь со знаменателем 26, которая больше —, но меньше —. 25 25 1112 б) Найдите дробь со знаменателем 16, которая больше —, но меньше —. 17 17 9 9 9 9 8 Подсказка, а) Возьмите дробь —; — < — • Остаётся сравнить — и —. 2d 2о 25 26 25 Вычисления с дробями Вычислите (№ 16—18): а) i + 3 5) 3 _ 1 8 7 ^53 а) i + 2 6 б) i - i ' 3 6 а) - + —; б) - - - 8 20 ' 6 8 в) А + 1; 10 9 ч 4 , 2 ^ 15 5 ч 8 , 4 ^ 15 9 , 3 1 5 - 7’ г) ^ ^14 7 г) 12 2. 9’ , 4 3 е)-----—. 7 10 , 4 11 5 25 , 7 7 20 30 Найдите значение выражения: в) 1-г ^ 2 5 1 ,1^3^5 ,3^51 в) —1- —I-; г) —I- — -н —. 3 4 12 5 6 2 Найдите сумму или разность (№ 20—21): а) 5^ 4 а) 2 - + 2: б) 7 + 3-; в) 3^ + 2--, 7 3 6 г) ^ + 4i; 5 2 д) if д е) 4^ + 3 9 «ч -уЗ к ч 12 4 "б - Ч г) 8 4 «' i 1 е) г- -6 Найдите неизвестное число; б) — + X = -; ^ 4 2 Ч 1 1 1 ^ 3 6 Найдите произведение (№ 23—25): 5 4 , 4 21 ^21 32 лч 3 4 8 • 9 = в) 11 15’ , 9 25 20 ’ 12' а) 4. А; 6)1.14; в) 18 • |; г) — • 15; ' 10 Д) 21 7’ е) — • 6. ' 15 а) 1 5’ б) з| . 9, .) 15 . 2|, г) if . 2|, .1 2i . |; е) 3 Найдите степень числа: а) 4, ч / б) li 2- Найдите частное (№ 27—29): 2 а) 3 10’ ЛЧ 7 14 9 = T = B) 21 6 7’ Г) ^ 45 6; 6) 10 : i; b) Q — : 12; 10 r) 3 • 4’ 6) 4| : 6; b) l|:6; r) 2- : 1-; 4 8 Д) 7 : 10; 5 е) 8 : А. 4 ч . 1. ^9 = 3’ е) 5^ : 7. 4 Выполните действия (№ 30—32): ^ 9-7-5 . 26-17-8 10•8 • 6’ б) 13-51-9 9-4.5 20-8-15’ 4-10-3 9 • 7 • 8 а) 10’ ,, 3 15 4 5 • 17 • 9’ ч 6 7.5. ® 7 ' 12 ■ 16’ ,, 7 3 5 ^25 10 6 - ■ 90 1. r) 36 • 1 1 3 ’ 5’ 12 * 3* 2 3. 5 r) 9 10 100 9 7 ■ 12’ 10 11 21 Не выполняя вычислений, определите, какое число надо подставить вместо X, чтобы получилось верное равенство: Ч 5 ^ Ч 3 ^ а) лг • - = 1; в) л: : - = 1; 6 4 Д) 1 : л: = |; б) 2 • л: = 1; г) I : . = 1; е) 1 : л; = 5. Найдите неизвестное число: а) д: • 2 = О 1 б) у • X = 2; в) I : ж = 3; г) л: : i = 4. if I ;i: ml s ЙЯ1 ■ Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч. Какое расстояние он проедет: а) за - ч; б) за 1- ч; 2 в) за — ч; ^ 10 г) за 2- ч? 5 Найдите скорость автобуса, если он проехал: а) 24 км за i ч; б) 60 км за 1— ч; 2 в) 32 км за — ч; 3 г) 98 км за 2— ч. 3 Цена 1 кг печенья 80 р. Сколько надо заплатить: а) за — кг; 4 б) за — кг; 5 в) за - кг; 4 г) за — кг? 5 Сколько стоит 1 кг конфет, если покупатель заплатил: а) 36 р. за — кг; ^ 10 в) 135 р. за 1- кг; 2 б) 120 р. за - кг; 4 г) 160 р. за 1— кг? 4 Выполните действия (№ 39—42): (- +1-1 ; б) 5 + -1 • 1—; в) 1- • 3 1]. [10 2} 8 4j 11 ^ 5 4 3J’ б) li + 2 . А; 15 3 10 в) li - А ^ 2 20 5 9’ в) 25 б) 2 + 2 3 7 г) 15 .4 3,1 а) — : — + — 5 10 9 li-2 5 3 б) ± + 1 : ±; 15 8 16 в) li - i : i-; 2 6 21 Найдите значение выражения (№ 43—44): а) Q _ 3 12 6 О 7 35 • 7’ 1 3 ' 7 \ 3 2 4 ‘ 15 10 / 3 9 5 4 . 4 * 16 8 * 15’ 20 3 , 1 . 3 27 ‘ 5 ^ 10 * 100 в) г) i+ 2 3 9 А 10 li-^ 2 4 в) А + А . А . А. 16 10 14 12’ г) 1 - А : 2i - А. 16 4 12 г) 18. ,43 1 г) — ----. 15 4 10 г) 2^ : — 4 16 4i. [l- - -1 + f- + -l 6 2 5 ^ / 4 6 \ / в) 24 б) 6-2- . 3i - li : i; г) 4 • 2- + 1- - И + 4l) 5j 8 5 4 2 4j 1 3 5j 2. 46 Представьте число — в виде суммы двух чисел; разности двух чисел; произ-5 I ведения двух чисел; частного двух чисел. Отрезок MN разделён точками А, В и С на 4 равные части, а точками D VI Е — на 3 равные части. На сколько частей разделён отрезок? Есть ли среди них равные? Какую часть длины данного отрезка составляет длина каждой получившейся части? 2 1 От верёвки длиной - м надо отрезать - м. Как это сделать, не производя измерений? Самостоятельная работа. Сложение и вычитание дробей Вариант 1 1. Сравните числа: а)|и^; б)^и^; в)^и^ 3 2 13 2. Выполните действия: а) — + - ; б) 2— + — 10 3 15 10 ^ 3 4 . i " 15’ г) si - li ^ 6 3 3. Вычислите: а) ^ ^ + 4; 2 3 5 7 _ 5 _ 1 8 24 3 Вариант 2 1. Сравните числа: g ^ ; б) — 1 10 ’ . 5 i6 “ 11 15 * ■'h Ч 3 B) -- 7 12’ Г) 2i 3. Вычислите: а) | + | + |; | ^ ^ Ite Самостоятельная работа. Умножение и деление дробей Вариант 1 2 7 1.5X2 3 4JI л. л. 1. Выполните действия: а) ‘ б) 24 • в) | : г) 1| : 2. Вычислите: а) 25 10 15 лч А . ^ . 1 28’ 10 * 4 45 * 4* 3. За какое время велосипедист проехал 2— км, если он ехал со скоростью 2 15 км/ч? Ответ дайте в часах, а потом в минутах. I I ^:: - '■ <'' £--.лт Вариант 2 1. Выполните действия: а) б) 36 • в) ^ г) 1 15 10 9 7 9 ^ о о D ч 6 4 15. _ 8 12.7 2. Вычислите: а) - • - • б) - • - + - . 3. За какое время пешеход пройдёт 3 км, если он идёт со скоростью 4— км/ч? Дайте ответ в часах, а потом в минутах. ^ «Многоэтажные» дроби Выполните деление: а) 5 : 4, 9:7, 10:3, 33 : 10; б) 6 : 8, 14 : 21, 9 : 21, 20 : 50; в) 12 : 9, 20 : 16, 15 : 10, 90 : 50. Замените дробную черту знаком деления и вычислите (№ 52—53): 2 4 1 5 3 4’ б) —; ^ 2 в) 2 5’ г) 6 10* 2 1 4 4 3 . » б) в) 7 . г) _9_ 1 4 7 9 3 5 8 10 а) Найдите значение выражения (№ 54—57): 2 _ 1 I - J- 3 6 . 12 а) а) а) а) - + -5 3 4 14 2 8 б) б) 2 _ 1 5 3 в) в) 10 12 1-i г) г) 2 + - ^ у б) в) г) 1 + 1 1-1 1 + 1 1 _ 7 2 3 5 8 1 + 2 1-2 1 + 1 2 + 2 4 О ’ б) 3 > в) 2. > г) 5 1 - -4 1 + - - 1 2 Разделить число на 2 — это всё равно что умножить его на Поэтому 2 3-i 3 - —. Рассуждая таким же образом, представьте в виде произ- ведения выражение: 1 + i 2 4 1-1 б) в) 5 2 10 2 + г) ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ - . > 59 60 Запишите выражение в виде частного, используя черту дроби: 5 1 а) б) i + 7 3 8-6- 4 1 3’ 1 4 в) г) 6 2 10 100 1 2’ 1 100 Найдите значение выражения: 1 2 - а) 2 4 в) 1 - 2 + 4 + б) - + -2 4 11 2 3 1^1 Д) 1 + 1 + 1 + 1 2 г) 2 + е) 3 - 11 2 3 1 - 3 - Задачи на совместную работу а) Брат может прополоть грядку за 30 мин, а его младшая сестра — за 60 мин. Ответьте на вопросы: 1) Какую часть грядки пропалывает за 1 мин брат? 2) Какую часть грядки пропалывает за 1 мин сестра? 3) Какую часть грядки пропалывают они за 1 мин, работая вместе? 4) За сколько минут брат с сестрой пропалывают грядку, работая вместе? б) Мама может почистить картофель для обеда за 16 мин, а сыну на эту работу требуется 48 мин. Ответьте на вопросы: 1) Какую часть картофеля почистит каждый за 1 мин? 2) Какую часть картофеля почистят они за 1 мин, работая вместе? 3) За сколько минут они почистят картофель, работая вместе? а) Мама может вымыть посуду за 20 мин, а дочь — за 30 мин. Ответьте на вопросы: 1) Какую часть работы может выполнить мама за 1 мин? 2) Какую часть работы может выполнить дочь за 1 мин? 3) Какую часть работы могут выполнить за 1 мин мама и дочь вместе? 4) За сколько минут вымоют посуду мама и дочь, работая вместе? б) Один ученик может убрать класс за 30 мин, а другой — за 45 мин. Ответьте на вопросы: 1) Какую часть класса убирает первый ученик за 1 мин? 2) Какую часть класса убирает второй ученик за 1 мин? 3) Какую часть класса уберут за 1 мин два ученика, работая вместе? 4) За сколько минут уберут класс два ученика, работая вместе? 64 65 66 67 Решите задачу, составив такой же план решения, как в задачах 61 и 62 (№ 63—66). а) На выполнение заказа столяру потребуется 4 ч. Ученик столяра выполнит тот же заказ за 12 ч. За сколько часов они выполнят заказ при совместной работе? б) Токарь мог бы выполнить заказ за 6 ч, а его ученик — за 12 ч. За сколько часов они выполнят заказ при совместной работе? а) На двух тракторах можно скосить траву на участке за 2 ч. На одном из этих тракторов можно выкосить этот участок за 3 ч. За сколько часов можно выкосить участок на другом тракторе, если работать только на нём? б) Отец с сыном покрасили забор за 4 ч. Отец справился бы один с этой работой за 5 ч. Сколько часов потребуется сыну для выполнения той же работы? а) Через первую трубу можно откачать воду из бассейна за 10 ч, через вторую — за 12 ч, через третью — за 15 ч. За сколько часов можно откачать воду при совместной работе трёх труб? б) Через первую трубу бассейн наполняется за 10 ч, через вторую — за 15 ч, через третью — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн через три трубы при их совместной работе? Имеюш;ихся материалов хватит для работы трёх цехов в течение 8 дней. Если будет работать только первый цех, то материалов хватит на 18 дней. Одному второму цеху материалов хватит на 24 дня. На сколько дней хватит материалов третьему цеху, если он будет работать один? Разберите, как решена задача, и решите с помош;ью такого же рассуждения задачи «а» и «б»: Велосипедист и пешеход отправились одновременно из двух пунктов навстречу друг другу. Через сколько минут они встретились, если путь от одного пункта до другого занял у велосипедиста 16 мин, а у пешехода 48 мин? 1 — часть пути, а пешеход про-16 Решение. За 1 мин велосипедист проезжает ходит ^ часть пути. Каждую минуту они сближаются А = i 48 12 часть пути. Значит, они встретятся через 12 мин. а) Легковая машина может доехать от одного города до другого за 10 ч, а грузовая — за 15 ч. Через сколько часов встретятся машины, если выедут одновременно из этих городов навстречу друг другу? б) Велосипедист проедет расстояние между сёлами за 40 мин, а мотоциклист — за 10 мин. Через сколько минут они встретятся, если выедут одновременно из этих сёл навстречу друг другу? Нахождение части числа Найдите: а) — от 12 кг; — от 60 кг; — от 70 кг; — от 100 кг; ^ 4 3 7 5 ^ч1^;л З.к 4 3 3 1 б) — от 60 км; - от 15 км; — от — дм; — от — м. ^ 3 5 9 10 10 10 W’ Шх а) Фирма «Соленья-варенья» заготовила для переработки 328 кг грибов, из них — — белые грибы, — — подосиновики, остальные — лисички. Сколько 4 2 килограммов лисичек было заготовлено? б) В магазин привезли 156 кг рыбы; — вс 2 а остальное — окунь. Сколько килограммов окуня привезли в магазин? б) В магазин привезли 156 кг рыбы; — всей рыбы составил судак, — — карп, 2 3 а) На изучение математики в 7 классе на весь год отводится 170 уроков; - всех уроков математики составляет алгебра, а остальные — геометрия. 5 Сколько в 7 классе в году уроков алгебры и сколько уроков геометрии? 2 б) Спектакль длится 3 ч 30 мин. На антракты отводится - этого времени. Сколько времени длятся антракты и сколько представление? Прочитайте задачу: «В школе 420 учаш,ихся, в шестых классах учится 20 всех учаш;ихся школы. Сколько всего учаш,ихся в шестых классах?: В каком случае записано выражение для решения этой задачи? 1) — : 420; ' 20 2) 420 : —; ^ 20 3) 420 . 4) 420 + ' 20 72 Ж' 1 73 Составьте задачу, для решения которой нужно выполнить следуюпа;ее действие: 60 • —. 3 2 а) В магазин привезли 18 т картофеля. В первый день продали — всего кар- 2 тофеля, во второй день — — остатка. Сколько тонн картофеля осталось продать после двух дней работы? 3 б) В рулоне было 28 м ткани. Сначала отрезали - всей ткани, потом 3 — остатка. Сколько метров ткани осталось в рулоне после этого? а) В школе 400 учащихся, — всех учащихся участвовали в школьном лыж- 8 ном кроссе, и ^ участников кросса получили грамоты и призы. Сколько учащихся школы получили грамоты и призы? 3 б) Длина дороги от лагеря до станции 2 км, — этой дороги проходит лесом, 4 и — лесной дороги проходит по краю оврага. Сколько метров дороги про-5 ходит вдоль оврага? а) В доме 100 квартир (одно-, двух- и трёхкомнатных). Однокомнатные квартиры составляют — всех квартир, а двухкомнатные — — оставпхихся. Сколь- 4 5 ко в этом доме трёхкомнатных квартир? ^ б) Площадь земель фермерского хозяйства 10 га. Сад занимает — этой пло- 5 1 щади, причем — сада отведена под ягодные кусты, остальная часть — под 4 яблони. Какую площадь занимают яблони? Нахождение числа по его части Найдите длину отрезка, если: 2 5 а) — его длины равны 3 см; в) — его длины равны 8 дм; 5 7 3 3 б) -- его длины равны 13 м; г) — его длины равны 10 см. 4 10 3 а) В ведро налили 12 л воды, заполнив его на —. Сколько литров воды вме- 4 щается в ведро? б) В первый день продали 180 кг винограда, привезённого в магазин. Это составило ^ всей партии винограда. Сколько всего винограда привезли в ма- 5 газин? а) Мальчик прочитал 140 страниц, что составило — всей книги. 1) Сколько страниц в книге? 2) Сколько страниц ему осталось прочитать? Найдите два способа для ответа на этот вопрос. 3 б) Девочка исписала 36 страниц, что составило — всей тетради. Сколько 4 всего страниц в тетради? Сколько страниц в тетради остались чистыми? Андрей работал на рекламную газету, набирая текст объявлений. За 2- ч он 2 „ ^ выполнил — всей работы. Сколько времени ему понадобится на выполнение О всей работы, если он будет работать с такой же скоростью? Укажите правильный ответ. 1) 1ч; 2) 5 ч; 3) 6^ ч; 4) 3— ч. 4 14 Составьте задачу, для решения которой нужно выполнить следующее дей-2 ствие: 60 : 3 3 а) Туристы проплыли на байдарках — намеченного маршрута, после чего им 5 осталось проплыть 24 км. Какова длина всего маршрута? ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ 82 б) Велосипедисты проехали — расстояния между двумя городами, после чего им осталось проехать 21 км. Чему равно расстояние между городами? а) Для приготовления варенья из смородины количество всех продуктов от- меряют стаканами. При этом ягоды составляют — всего количества стаканов. а сахар и вода соответственно - и — этого количества. Рассчитайте, сколь- 2 14 ко стаканов сахара и воды надо взять, если для варенья собрано 30 стаканов смородины. б) Для изготовления ковра требуются шерстяные нитки четырёх цветов: 1 ^ 2 3 — всех ниток должна быть красного цвета, - — синего, — — коричневого и остальные — белого. Сколько граммов ниток каждого цвета потребовалось для изготовления ковра, если на него ушло 700 г белых ниток? Какую часть одно число составляет от другого а) Какую часть тонны составляет 1кг; 5 кг; 75 кг; 120 кг? б) Какую часть центнера составляет 1кг; 8 кг; 20 кг; 75 кг? а) Длина маршрута 24 км. Какую часть маршрута составляет 1 км; 4 км; 8 км; 12 км? б) В мешке 50 кг сахарного песка. Какую часть массы сахара составляет 1 кг; 2 кг; 10 кг; 45 кг? а) Скорость пассажирского поезда 90 км/ч, а скорость товарного — 60 км/ч. Какую часть скорости пассажирского поезда составляет скорость товарного поезда? Во сколько раз скорость пассажирского поезда больше скорости товарного? б) Из 20-литровой канистры с бензином отлили 12 л бензина. Во сколько раз больше бензина в полной канистре, чем оставшегося бензина? Какую часть канистры занимает оставшийся в ней бензин? а) Из 24 га вспахали 8 га. Какая часть всей площади поля осталась невспаханной? б) Из 28 км дороги заасфальтировали 21км. Какая часть дороги ещё не заасфальтирована? Прочитайте задачу: «Из 45 мин урока 20 мин было отведено на самостоятельную работу. Какая часть урока была отведена на самостоятельную работу?» Какое действие следует выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи? 1) 45 - 20; 2) 20 • 45; 3) 45 : 20; 4) 20 : 45. г Ш . SixflJ ш БИ И ПРОЦЕНТЫ Придумайте и запишите задачу, в которой надо найти, какую часть одна величина составляет от другой. а) От трёхметровой ленты отрезали 1м 20 см, а от пятиметровой ленты отрезали 2 м 20 см. От какой ленты отрезали большую часть? б) В одну банку вмещается 2 кг растительного масла, а в другую — 3 кг. Из первой банки израсходовали 400 г масла, а из второй — 1 кг 200 г. В какой банке осталась большая часть масла? а) С первого участка собрали в 3 раза больше ягод, чем со второго. Какую часть всего урожая собрали с каждого участка? б) Для составления смеси лекарственных трав из ромашки и зверобоя ромашки надо взять в 4 раза меньше, чем зверобоя. Какую часть смеси составляет каждая из этих трав? Разные задачи на дроби Задание с выбором ответа. На выполнение домашнего задания по матема- тике Дарье потребовалось 40 мин, что составило — всего времени, в те- 5 чение которого она делала уроки. Сколько времени Даша делала уроки? Какое действие следует выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи? 1) 40 . 5 2) 40 : f; о 3) ^ : 40; 4) 40 -н -. ' 5 а) Ивану за выполнение некоторой работы должны заплатить 300 р. В пер- вый час он выполнил — всей работы. Какую сумму должны заплатить Ивану за первый час работы? б) Андрей выполнил - заказанной ему работы, и ему заплатили 500 р. О Сколько должны ему заплатить за всю работу? а) Два друга должны были покрасить половину забора, длина которого 150 м. Один из них выполнил - их общей работы, а другой — остальную часть. 5 Сколько метров забора покрасил каждый? б) У Лизы на приготовление домашних заданий ушло 2 ч 30 мин, что соста- вило — времени, затраченного Юлей. За какое время выполнила уроки Юля? На сколько быстрее выполнила уроки Лиза? а) Алёша и Боря соревнуются в бросании мяча в баскетбольную корзину. У Алёши 9 попаданий из 15 бросков, а у Бори 12 попаданий из 18 бросков. Какая часть всех бросков у каждого спортсмена оказалась неудачной? Чей результат лучше? и ■■■ г-- г. i: Ш: 96 б) Два класса писали контрольную работу по математике. Из 32 учащихся 6А класса 24 получили отметки «4» и «5», а из 28 учащихся 6Б класса отметки «4» и «5» получил 21 учащийся. Какую часть учащихся каждого класса составили школьники, получившие «4» и «5»? Результат какого класса лучше? 2 а) В одной школе 500 учащихся, в другой-----этого числа, а в третьей — 5 3 в 1— раза больше, чем во второй. Сколько учащихся в трёх школах? 5 б) В 6А классе 24 учащихся, в 6В — в 1^ раза больше, а в 6В классе 8 7 — числа учащихся 6В. Сколько учащихся в трёх шестых классах? 3 2 а) Ученик закрасил — круга, причём — этой части он закрасил синим цве- 8 3 том, остальное — красным. Какая часть круга закрашена синим цветом? Какая часть круга закрашена красным? б) В коробке с ёлочными игрушками шары составляют — всех игрушек, при- 6 чём — из них красного цвета, остальные — жёлтые. Какую часть ёлочных 5 игрушек составляют красные шары? Какую часть ёлочных игрушек составляют жёлтые шары? 97 98 99 а) Папа поручил Тане покрасить — дачного забора. Таня попросила сестру 5 помочь ей, и та покрасила - Таниной части. Какова длина забора, если се- 4 стра покрасила 2-м? Какую часть забора покрасила Таня? 2 4 б) Мама и сын собрали — всего урожая клубники, причём на долю сына 3 пришлось — собранных ими ягод. Каков был урожай клубники, если сын 4 собрал б кг ягод? Какую часть урожая клубники собрала мама? Сравните: а) — от половины учащихся школы и половину от — учащихся 5 5 2 3 3 2 школы; б) — от — длины отрезка и — от — длины отрезка. 9 8 8 9 а) Высота Шуховской телебашни в Москве составляет — высоты Останкинской телебашни. Во сколько раз Останкинская телебашня выше Шуховской? 2 б) В 2010 г. численность населения Пскова составляла - численности населения Смоленска. Во сколько раз больше было жителей в Смоленске, чем в Пскове? 100 а) Девочки составляют — учащихся класса. Какую часть числа девочек со- 3 ставляют мальчики? Во сколько раз девочек в классе больше, чем мальчиков? 2 б) В кондитерском наборе - всех конфет шоколадные, остальные конфеты — 5 карамель. Какую часть от количества карамели составляют шоколадные конфеты? Во сколько раз шоколадных конфет меньше, чем карамели? 101 Самостоятельная работа. Вариант 1 3 1. Найдите — от 140 км. 7 3 2. От куска ткани длиной 10 м отрезали — её длины. Сколько метров ткани 5 осталось в куске? 5 3. До остановки автомобиль проехал 60 км, что составило — всего пути. Най- 6 дите длину пути. 4. Ведро вмещает 12 л воды. Какая часть ведра будет наполнена, если в него налить 8 л воды? Вариант 2 2 1. Найдите - от 120 км. 5 2. В пакете 30 г перца. Отсыпали — содержимого пакета. Сколько граммов 6 перца осталось в пакете? 3. Переработали 80 кг клубники, что составило — всего урожая. Сколько ки- 8 лограммов составил весь урожай клубники? 4. В канистру вмещается 20 л воды. Какая часть канистры будет наполнена, если в неё налить 15 л воды? 102 Понятие процента Выразите процент дробью: 1) а)3%; 6)7%; в) 11%; 2) а) 5%; 6)15%; в) 35%; г) 27%; г) 55 %. 103 Выразите процент дробью и сократите её: 1) а) 10 %; б) 30 %; в) 70 %; г) 90 %; 2) а) 20 %; б) 25 %; в) 50 %; г) 75 %. 105 Выразите в процентах долю величины (№ 104—105): 67 . 39 . 93 . б) 10 . 70 . 30 . 90 . в) 3 1 5 . 7 100’ 100’ 100’ 100’ 100’ 100’ 100’ 10’ 10’ 10’ 10 1) а) 1; б) 1’ 1 . 20’ г) —; ^ 50 2) а) 2. 5’ 3 4’ ч 11 в) —; 25 г) 9 50* 106 107 108 109 110 114 116 Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу из правого: а) 100 % учащихся школы б) 25 % учащихся школы в) 10 % учащихся школы г) 50 % учащихся школы 1) половина всех учащихся школы 2) все учащиеся школы 3) четверть всех учащихся школы 4) десятая часть всех учащихся школы Как вы понимаете следующие предложения: «С контрольной работой справились 100% учащихся класса», «С контрольной работой справились 50% учащихся класса»? Какая часть учащихся не справилась с контрольной во втором случае? Больше или меньше половины составляют: а) 70%;. 6)15%; в) 30%; г)55%? В библиотеке 23 % всех книг — это книги на иностранных языках. Больше это или меньше половины всех книг? четверти всех книг? Что больше: а) 60 % всего класса или половина класса; б) 20 % зарплаты или четверть зарплаты; в) половина или 45 % всего населения страны; г) половина или 52 % избирателей? В школе 1500 учащихся. Сколько человек от этого количества составляют: а) 30%; 6)40%; в) 50%; г) 55%; д)85%; е)100%? Найдите: а) 10 % от 200 р.; б) 20 % от 400 км; в) 30 % от 700 м; г) 40 % от 800 кг. а) В избирательном округе 25 000 избирателей. В голосовании приняли участие 60 % избирателей. Сколько человек голосовало? б) Банк начисляет на вклад ежегодно 6 % от вложенной суммы. Сколько рублей будет начислено через год на вклад 8000 р.? а) В библиотеке 40 000 книг. Книги на русском языке составляют 75 % всех книг, а на английском — 10 % всех книг. Сколько в библиотеке книг на русском языке и сколько на английском? б) Бригада должна отремонтировать участок дороги длиной 900 м. В первый день она отремонтировала 7 % всего участка, а во второй — 12 % всего участка. Сколько метров дороги отремонтировала бригада в первый день и сколько во второй? а) Напиток «Летний» содержит 50 % сои, 14 % ячменя, 30 % свёклы, 6 % шиповника. Определите массу каждой составляющей в 500 г такого напитка. б) Печенье содержит 10 % белка, 16 % жира, 60 % углеводов. Сколько белка, жира и углеводов содержится в 400 г такого печенья? а) Ячмень содержит 60 % крахмала, а рис — 75 %. Для приготовления крахмала взяли 400 г ячменя и 300 г риса. Из какого зерна крахмала получится больше и на сколько граммов? б) При помоле пшеницы получается 80% муки, а при помоле ржи — 75%. Для помола взяли 4 ц пшеницы и 5 ц ржи. Какой муки при этом получится меньше и на сколько центнеров? В домашней библиотеке 900 книг. Из них 80 % — это книги на русском языке, остальные — на английском. Какие вопросы можно поставить к задаче? Ответьте на них. Набор стаканов для воды стоил 300 р. На распродаже его цену снизили на 25 % 1) На сколько рублей была снижена цена набора? 2) Сколько стоил набор стаканов на распродаже? В сентябре в школу-новостройку пришли 620 учащихся. К концу учебного года в связи с увеличением числа жителей района число учащихся увеличилось на 40 %. 1) На сколько человек увеличилось число учащихся школы? 2) Сколько учащихся оказалось в школе к концу учебного года? После очистки зёрен пшеницы от семян сорной травы масса пшеницы уменьшается на 15%. На сколько уменьшится масса при очистке 1600 г засорённой пшеницы? Сколько чистой пшеницы при этом получится? Цена книги понизилась на 15 %. Найдите новую цену книги, если прежняя составляла: а) 40 р.; б) 60 р.; в) 20 р.; г) 80 р. Цена конфет повысилась на 5 %. Найдите новую цену конфет, если прежняя составляла: а) 120 р.; б) 160 р.; в) 140 р.; г) 180 р. а) Урожай яблок в 200 кг переработали в сушёные яблоки. При сушке масса яблок уменьшилась на 70%. Какова масса сушёных яблок? б) В 2000 г. владелец садового участка взял в банке ссуду 140 000 р. для ремонта дома. Он должен был вернуть эти деньги через год с надбавкой 8 %. Какую сумму он должен был вернуть банку? Чтобы увеличить число покупателей, магазин первые 10 дней после поступления товара продаёт его на 20 % дешевле. За сколько рублей можно купить вещь в этот период, если её цена 300 р.? 220 р.? Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверждения: а) 10 горожан из каждых 100 хотят улучшить свои жилищные условия; б) 56 человек из каждых 100 высказались за необходимость улучшения экологии; в) из каждых 100 новорождённых 52 — мальчики; г) из каждых 100 подростков 74 хотят иметь домашних животных. 126 Сравните: 1 а) 24 % стоимости и — стоимости; 4 в) 19 % стоимости и — стоимости; 5 б) 75 % стоимости и - стоимости; 5 г) 80 % стоимости и — стоимости. 4 Г Чтобы выразить в процентах - какой-либо величины, можно 100 % разделить v 3 на 3, т. е. = 33—. Значит, — какой-либо величины составляет 33^%. 3 3 3 3 Рассуждая так же, выразите в процентах - какой-либо величины. 6 7 3 128 а) Две краски надо смешать так, чтобы одной из них было на 30 % больше, чем другой. Сколько процентов смеси составит каждая краска? б) Заказ между двумя рабочими надо распределить так, чтобы один из них выполнил часть заказа, на 20 % большую, чем другой. Какой процент всего заказа должен выполнить каждый рабочий? 130 I 134 а) С одного участка собрали клубники в 4 раза больше, чем с другого. Какой процент от обш;его количества ягод составил урожай клубники с каждого участка? б) Собрали листья крапивы и малины. Когда листья высушили, то крапивы оказалось в 3 раза меньше, чем малины. Какой процент смеси этих трав составит каждая из них? В магазин привезли 3 т картофеля. В первый день продали 30 % всего картофеля, а во второй — 45 %. В какой день было продано больше картофеля и во сколько раз? Есть ли в задаче лишние данные? Найдите: а) 120% от 3000 р.; г) 150% от 200 км; б) 200 % от 3 кг; д) 180 % от 50 г; в) 300% от 4500 р.; е) 125% от 700 м. (Обратите внимание! В случае «а» имеем 120% >100%, значит, должно получиться больше 3000 р.) Библиотечный фонд школы за год увеличился на 125 %. Сколько книг стало в школьной библиотеке, если первоначально в ней было: а) 400 книг; б) 640 книг? Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей. В следующем месяце она увеличила выпуск этих игрушек на 300 %. Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма? Цена билета для проезда в вагоне люкс на 300 % выше, чем цена в плацкартном вагоне (рис. 1). Во сколько раз проезд в вагоне люкс дороже проезда в плацкартном? Стоимость проезда 400% -- 100% - F!3~1 — вагон люкс Г~^ — плацкартный вагон Рис. 1 \ : 135 136 137 138 139 В связи с инфляцией стоимость проезда в городском автобусе за 2 года возросла на 200 %. Во сколько раз повысилась стоимость проезда? а) Сколько соли и воды в 100 г 5-процентного раствора соли? в 200 г? в 1 кг? б) Сколько мыла и воды в 100 г 10-процентного раствора мыла? в 200 г? в 1 кг? В двух магазинах продавали одинаковые конфеты по одной цене. В первом магазине цену увеличили сначала на 10 %, а через месяц ещё на 20 %. Во втором магазине цену на конфеты подняли сразу на 30 %. Одинаковы ли новые цены на конфеты в этих магазинах? (Замечание. В случае затруднения при решении задачи возьмите какую-нибудь конкретную цену и выполните необходимые действия.) Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Выразите процент дробью и, если возможно, сократите её: 23%, 50%, 75 % , 60 % . 2. Выразите в процентах урожая; урожая. 3. Что больше: 27 % длины или четверть длины? 4. Использовали 54 % топлива. Сколько процентов топлива осталось? Вариант 2 1. Выразите процент дробью и, если возможно, сократите её: 79%, 40%, 25 % , 90 % . 7 73 2. Выразите в процентах дохода; дохода. 3. Что больше: 48 % площади или половина площади? 4. Использовали 36 % удобрений. Сколько процентов удобрений осталось? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Найдите 30% от 150 кг. 2. В ателье имеется 500 м ткани. На пошив детских пальто ушло 24 % всей ткани. Сколько ткани израсходовано? 3. С одного участка собрали 60 кг огурцов, а с другого — на 10 % больше. На сколько килограммов огурцов урожай со второго участка больше урожая с первого участка? Каков урожай огурцов со второго участка? Вариант 2 1. Найдите 40% от 120 км. 2. На склад привезли 400 т угля. В течение дня со склада забрали 15 % угля. Сколько тонн угля забрали со склада в первый день? 3. Один участок пути автомобиль прошёл со скоростью 50 км/ч, а другой — со скоростью, на 20 % большей. На сколько километров в час скорость автомобиля на втором участке больше его скорости на первом? Чему равна скорость автомобиля на втором участке? ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 1ШШ1 м 145 146 ш Десятичная запись дробей а) В каких разрядах десятичной дроби 15,151515 записана цифра 1? цифра 5? б) В каких разрядах десятичной дроби 202,2002 записана цифра 2? цифра 0? Прочитайте десятичные дроби: а) 2,83; 28,3; 0,283; 0,0283; б) 2,02; 2,202; 20,0222; в) 0,654; 0,00654; 6,504; 60,0504. Запишите цифрами десятичную дробь: а) одна целая три десятых, одна целая три сотых, одна целая три тысячных; б) нуль целых одиннадцать сотых, одна целая двадцать пять сотых, десять целых восемь сотых; в) пять целых сорок семь тысячных, семь целых сто пять тысячных, двадцать целых две тысячные; г) нуль целых сто тридцать семь десятитысячных, десять целых пятнадцать стотысячных. Десятичная дробь 7,861 записана в виде суммы разрядных слагаемых: Воспользовавшись этим образцом, представьте в виде суммы разрядных слагаемых десятичную дробь: а) 4,25; г) 4,03; ж) 8,008; б) 6,791; д) 0,203; з) 8,0808; в) 13,3642; е) 1,011; и) 8,80808. Начертите в тетради квадрат 10 х 10 клеток. Закрасьте указанную часть ква- драта и запишите десятичную дробь, соответствующую закрашенной части: а) 3 нижних ряда квадрата и ещё 3 клетки в следующем ряду; б) 4 верхних ряда квадрата и ещё 1 клетка в следующем ряду; в) 5 клеток в левом столбце квадрата; г) 3 клетки в левом столбце квадрата и 7 клеток в правом столбце. Начертите в тетради квадрат 10 х 10 клеток. Раскрасьте синим цветом 0,36 этого квадрата, жёлтым — 0,4 квадрата и красным — 0,09 квадрата. Какая часть квадрата осталась незакрашенной? Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или в виде смешанной дроби: а) 0,6; 1,7; 3,9; г) 0,02; 0,305; 0,048; б) 0,21; 1,14; 2,87; д) 1,0044; 0,0107; в) 0,143; 4,275; 6,111; е) 0,80015; 0,00021. щ Ш Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной и сократите её: а) 0,2; 0,5; 0,6; 0,8; в) 0,25; 0,75; 0,16; 0,55; б) 0,02; 0,04; 0,05; 0,08; г) 0,004; 0,008; 0,025; 0,125. Ь ^ Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: а) 2,7; в) 10,3; д) 14,19; б) 8,9; г) 10,47; е) 15,123. Образец. Представим в виде обыкновенной дроби десятичную дробь 1,1: 1,1 = li = 11. 10 10 Запишите данные десятичные дроби в виде обыкновенных дробей: а) 0,2749; 2,749; 27,49; 274,9; б) 0,3591; 3,591; 35,91; 359,1. Запишите обыкновенную дробь в виде десятичной дроби (№ 150—154): а) б) в) г) 3^; д) а) а) а) 4 . 10’ б) 2 10’ в) 7 10’ г) 5 10’ 17 . 100’ б) 25 . 100’ в) 4 100’ г) 9 100* 154 . 1000’ б) 99 1000’ в) 3 1000’ г) 1 1000 1234 . б) 137 в) 25 г) 6 10000’ 10000’ 10000’ 1000( 205 б) 99 в) 1 100000’ 1000000’ 10000000* 155 156 157 Запишите смешанную дробь в виде десятичной дроби (№ 155—156): а) 10 а) 4 17 . 100’ 329 1000’ б) 6 б) 10 29 . 100’ 101 . 1000’ в) 25 18 1000’ Запишите в виде десятичной дроби число: а) 10’ 111 б) —; ^ 10 в) 505. 100’ г) 1008 100 г) 100—. ^ 100 г) 12 1000 Запишите в виде десятичных дробей следуюш;ие обыкновенные дроби: 2043. 2043 2043 2043 2043 10 100 1000 10000 100000 159 Придумайте и запишите какую-нибудь десятичную дробь, у которой: а) старшим является разряд десятков, а младшим — разряд десятых; б) старший — разряд сотен, а младший — разряд сотых; в) старший — разряд единиц, а младший — разряд тысячных. 161 164 Придумайте две десятичные дроби с четырьмя десятичными знаками, для записи которых можно использовать: а) только цифру 9; б) только цифры О и 9. Вычислите сумму и запишите результат в виде десятичной дроби » а) 4 + — + 10 100 г) ^ + ^ 10 1000 10000 б) 10 + 1 + — + ; д) ^— ^ 10 100 100 10000 Q 4 в) 20 + — + ^ 10 1000 Образец. 3 + — + = 3 ^ 10 100 е) — + —-— 100 10000 + 1000000 — + — = 3— = 3,21. 100 100 100 Найдите координату середины отрезка, соединяюгцего точки координатной прямой: а) 0,1 и 0,2; б) 0,13 и 0,14. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок 20 клеток, и отметьте на ней точки с координатами 0,1; 0,2; ...; 0,9. Покажите при- 1. 2. 1. 5 мерное положение на прямой точек с координатами -; -; -; —. 6 о Ь о Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Запишите в виде десятичной дроби: а) 7 10’ в) 1 25 . 100’ д) 1 2’ б) 18 г) е) J_ 1000’ 10 25 2. Запишите в виде обыкновенной дроби: а) 0,3; б) 0,15; в) 0,007; г) 3,2. 3. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок 10 клеток. Отметьте на ней числа 0,1; 0,5; 1,2. Вариант 2 1. Запишите в виде десятичной дроби: а) 36 . 100’ в) 3 ^ • ^10’ д) 1 5’ б) 21 г) 8^; е) 1 1000 ’ 100 20 2. Запишите в виде обыкновенной дроби: а) 0,7; б) 0,12; в) 0,013; г) 2,5. 3. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок 10 клеток. Отметьте на ней числа 0,1; 0,6; 1,3. Переход от одних единиц измерения к другим С помощью десятичных дробей выразите: а) в сантиметрах: 6 мм; 9 мм; 15 мм; 37 мм; б) в метрах: 24 см; 80 см; 7 см; 115 см; в) в дециметрах: 7 см; 3 см; 28 см; 10 мм; 35 мм; г) в километрах: 245 м; 300 м; 50 м; 1200 м. Используя десятичные дроби, выразите: а) в килограммах: 350 г; 200 г; 40 г; 1400 г; б) в центнерах: 48 кг; 50 кг; 10 кг; 102 кг; в) в тоннах: 645 кг; 800 кг; 90 кг; 1270 кг. Выразите в литрах: а) 750 мл; б) 70 мл; в) 200 мл; г) 1050 мл. Заполните пропуск в равенстве: а) 6 см 8мм = ...см; в) 13 км 24м = ...км; б) 2 м 36см=...м; г) 5 кг 148г=...кг; д) 10 т 205 кг= ... т; е) 8 л 300 мл = ... л. Выразите величину в более крупных единицах, заполнив пропуски в цепочке равенств: а) 1 мм = ... см = ... дм = .... м = ... км; в) 1 г= ... кг = ... ц = ... т; б) 3 мм = ... см = ... дм = ... м = ... км; г) 7 г = ... кг= ... ц= ... т. 170 Выразите: а) в квадратных дециметрах: 1 см^; 8 см^; 25 см^; б) в квадратных метрах: 1 дм^; 6 дм^; 18 дм^; в) в квадратных дециметрах: 1 мм^; 15 мм^; 384 мм^; г) в квадратных метрах: 1 см^; 458 см^; 1255 см^. Образец. Выразим 3 мм^ в квадратных сантиметрах. Так как 1 см^ = 10-10 мм^ = 100 мм^, то 1 мм^ = см^ и 3 мм^ = —^ см^ = 0,03 см^. 100 100 Перевод обыкновенной дроби в десятичную Какие из дробей 1 2 3 5 5 8 2’ 3’ 5’ 6’ 7’ 9 можно представить в виде десятичных? В каждом случае запишите эту обыкновенную дробь в виде десятичной. s,sor ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 27i 173 174 175 176 177 178 179 Приведите дробь к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и запишите её в виде десятичной: а) 4 5’ в) 7 . 50’ д) 8 25’ ж) 1 500’ б) 3 . 20’ г) 2 25’ е) 3 4’ з) 9 200* На ёмкости для жидкости указана её вместимость в литрах. Выразите: ,11113 ^ а) - л; — л; - л; — л; — л десятичными дробями; 2 4 5 8 8 б) 0,4 л; 0,5 л; 0,1л; 0,25 л; 0,2 л обыкновенными дробями. Запишите дробь в виде десятичной (№ 174—175): ч 7 9 ,3 ч 3 б) в) г) 23 . 52’ 2 • 2 • 5' ' 2 . 5 • 5' '23-5’ ч 3 ^,1 ч 7 ,3 ч 6 . 8= 16= 40= 80= т = Сократите дробь и представьте её в виде десятичной: F-g= е) 25.52* е) 400 ^ч 9 в) 11 30 г) 11 52 Перечислите все обыкновенные дроби с числителем, равным 1, которые можно привести: 1) к знаменателю 10; б) к знаменателю 100. Из двух дробей выберите ту, которая обраш;ается в десятичную, и представьте её в виде десятичной: ,4 3 22 15 ч 14 21 ч 5 3 ^ 24 24 ^ 55 55 ^ 42 42’ ^ 75 75 Известно, что если знаменатель обыкновенной дроби не имеет простых делителей, кроме 2 и 5, то эту дробь можно привести к одному из знаменателей 10, 10^, 10^ и т.д. А какому условию должен удовлетворять знаменатель обыкновенной дроби, чтобы её можно было представить в виде шести десятеричной, т. е. привести к одному из знаменателей 60, 60^, 60^ и т. д.? 180 Сравнение и упорядочивание десятичных дробей Среди данных чисел найдите равные десятичные дроби и запишите соответ-ствуюш;ие равенства: а) 21,700; 21,7; 21,07; 21,007; 21,070; б) 30,03; 30,330; 30,003; 30,00300; 30,0300; в) 1,50; 1,05; 1,5000; 1,005; 1,0050; г) 0,0900; 0,9; 0,009; 0,09000; 0,90000. Образец. Даны дроби 1,200; 1,2; 1,02; 1,002; 1,20; 1,0200. 1) 1,200=1,2 = 1,20; 2) 1,02=1,0200. Подчеркните десятичные дроби, которые можно записать короче, и запишите соответствуюш;ие равенства: а) 0,70; 0,07070; 6,05; 0,0007; 0,00500; 19,570; б) 0,400; 0,004; 2,2020; 0,1000; 0,0010; 10,42; в) 2,3060; 0,0010; 6,7001; 0,0003; 100,0100; 3,400; г) 4,0130; 20,200; 0,004; 80,8000; 9,06; 0,084. Между какими соседними натуральными числами заключена десятичная дробь 3,7? 5,01? 9,18? 4,206? Ответ запишите в виде двойного неравенства. Образец. 8 < 8,04 < 9. Сравните десятичные дроби (№ 183—185): а) 0,4 и 0,7; в) 0,21 и 0,31; д) 0,91 и 0,88; г) 0,62 и 0,53; е) 0,70 и 0,71. б) 0,8 и 0,1; а) 0,4 и 0,3817; б) 0,3 и 0,3001; а) 7,41 и 0,741; б) 4,02 и 4,002; в) 0,6 и 0,0695; г) 0,03 и 0,01034. в) 6,004 и 6,01; г) 20,3 и 28,003; д) 10,56 и 1,053; е) 0,99 и 1,0001. Какие натуральные числа заключены между данными десятичными дробями? Запишите ответ в виде цепочки неравенств: а) 2,75 и 4,05; б) 1,08 и 5,06; в) 10,478 и 11,006; г) 12,001 и 16,9. Образец. 11,3< 12< 13 < 14 < 15 < 16<16,5. В таблицах представлены результаты соревнований по двум видам спорта на Олимпийских играх в Пекине в 2008 г. В каждом случае прочитайте последовательно результаты, начиная с лучшего: 1) Метание диска (мужчины) Страна Результат Польша Литва Эстония 67.82 м 67,79 м 68.82 м 2) Бег на 400 м (женщины) Страна Результат США Великобритания Ямайка 49,93 с 49,62 с 49,69 с В таблице даны нормативы по бегу (в секундах) на 60 м для учандихся 9 класса: Мальчики Девочки «5» «4» «3» «5» «4» «3» 8,5 9,2 10,0 9,4 10,0 10,5 191 193 Ответьте на вопросы: а) Выполнил ли норматив мальчик, пробежавший эту дистанцию за 9,95 с? за 7,9 с? за 10,1 с? б) Выполнила ли норматив девочка, пробежавшая 60 м за указанные выше промежутки времени? в) Каков результат мальчика, пробежавшего эту дистанцию за 8,75 с? девочки, пробежавшей эту дистанцию за 10,15 с? Назовите какую-нибудь десятичную дробь, которая заключена между числами: а) 0,9 и 0,99; б) 0,09 и 0,0909. Расположите данные десятичные дроби в порядке возрастания и переставьте соответствуюш;ие им буквы. Какое слово у вас получилось? а) б) 0,72 0,027 0,712 0,2701 0,0172 0,217 Е О ц Н С Л 1,01 1,001 0,1 0,011 0,11 1,1 Е Т п ю и р Что произойдёт с десятичной дробью, если приписать к ней справа «хвост», содержаш;ий не только нули? Проиллюстрируйте свой ответ примерами. Какие цифры можно подставить вместо звёздочки в неравенство 7,019 < 7,*29, чтобы оно оказалось верным? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Сравните числа: а) 1,8 и 0,912; б) 3,438 и 3,48; в) 0,0055 и 0,01. 2. Найдите наименьшее из чисел: 0,018; 0,04; 0,013. 3. Расположите в порядке возрастания числа: 4,05; 4,01; 4,0037. Вариант 2 1. Сравните числа: а) 7,118 и 7,12; б) 0,03 и 0,009; в) 1,2 и 0,871. 2. Найдите наибольшее из чисел: 0,202; 0,21; 0,073. 3. Расположите в порядке убывания числа: 5,007; 5,06; 5,036. 197 198 Сравнение обыкновенной дроби и десятичной Сравните дроби, обратив обыкновенную дробь в десятичную: а) i и 0,55; в) и 0,15; Д) ^ и 0,12; Z О б) 0,75 и 4 г) — и 0,35; ^20 е) — и 0,01. ^ 125 Сравните дроби, обратив десятичную дробь в обыкновенную: а) i и 0,2; в) i и 0,3; д) | и 0,75; ООО б) 0,1 и i; г) I и 0,7; е) 0,8 и Что больше: а) 1,2 или li; б) — или 1,23; в) 2,5 или 2—; г) 3,8 или 3—? 4 5 3 4 В каком порядке расположены на координатной прямой точки: а) 0,7; 0,8; |; в) i; |; 0,33; 5 о 7 б) f; 0,7; 0,8; г) 0,334; |; |? 4 о О Расположите в порядке возрастания числа: а) 0,2; 0,3; в) |; 0,45; 0,345; О О б) |; 0,8; 0,9; г) 0,7; 0,69. 199 Укажите наименьшее из чисел: члгг794 -чгло893 9’ 7’ 5’ 9' 8’ 5‘ 200 а) Найдите какую-нибудь десятичную дробь, которая заключена между числами 0,5 и У б) Найдите какую-нибудь обыкновенную дробь, которая заключена между числами 0,1 и 9 ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ ;v,^1 204 213 Сложение и вычитание десятичных дробей Найдите сумму (№ 201—202): 1 а) 6,37 + 0,12; б) 12,07 + 32,55; в) 0,123 + 7,754; г) 8,4502 + 0,3008; д) 1,35 + 3,12 + 5,23; е) 4,05 + 7,14 + 5,18. а) 2,483 + 14,41; б) 25,39 + 5,136; в) 0,099 + 0,01; г) 0,999 + 0,001; д) 0,111 + 0,009; е) 0,99 + 0,111. Вычислите сумму и проверьте результат, сложив числа в другом порядке: а) 0,64 + 5,4 + 0,77 + 5,62 + 8,67; в) 2,7 + 0,44 + 6,28 + 0,34 + 0,9; б) 0,07 + 0,7 + 0,98 + 0,61 + 5,9; г) 8,3 + 3,07 + 0,12 + 0,45 + 9,39. Сложите массы (в кг): а) 3,4 кг, 500 г, 850 г; б) 1,25 кг, 650 г, 375 г. Сложите длины (в м): а) 1,8 м, 90 см, 150 см; б) 3,4 м, 0,75 м, 80 см, Найдите разность (№ 206—208): а) 9,56-5,32; б) 0,67-0,45; в) 3,205-0,109; г) 7,156-1,076; д) 12,03-8,12; е) 4,523-2,623. а) 3,462-1,35; б) 10,56-4,5; в) 1,375-0,45; г) 0,512-0,28; д) 17,96-1,736; е) 5,53-4,321. а) 1-0,3456; б) 5-0,0267; в) 7-3,0089; г) 11-1,777. Сколько нужно отпилить от каждой из досок длиной 2,7 м, 3 м, 2,35 м и 2,85 м, чтобы получить несколько досок длиной 2,25 м? Из каких остатков можно изготовить доски длиной 0,5 м? Выполните действия: а) 17,5+ 8,54-(3,65+ 12,4); б) 20-(17,38-5,3+ 0,7); в) 18,32-(1,15 + 7,85)-4,7; г) (10-7,89)+ (5-0,321). Найдите неизвестное число: а) л:+1,3 = 3,91; в) л:+ 2,4 = 10; б) 2,7 + д: = 5,87; г) 9,5 + л: = 36; д) 5,8-д: = 4,2; е) л: - 3,6 = 7,4; ж) 25-х=5,7; з) JC - 12,5 = 8,6. а) Напишите пять чисел, первое из которых равно 2,5, а каждое следуюш;ее на 0,2 больше предыдущего. Найдите сумму всех этих чисел. б) Напишите пять чисел, первое из которых равно 2,6, а каждое следующее на 0,3 меньше предыдущего. Найдите сумму всех этих чисел. Выполните действия: а) 8,6+ (18-9,7)-(3,65+ 10,4); б) 30-(25,48-5,4+ 0,6)+ 1,09; в) 17,24-(0,25+ 8,75)-(4,7+ 0,35); г) 20-6,78-(10-0,023)+ 0,22. Г; i., 1'Ш iS' 1 ii Q 1 214 Упростите вычисление суммы и запишите результат: а) 1,9 + 4,8 + 2,13,2j в) 4,3 + 8,1 + 6,7 + 8,9: б) 3,7 + 2,6 + 9,4 + 5,3; г) 8,8 + 5,5 + 3,2 + 3,5. Образец. 6,4 + 0,5 + 7,6 + 9,5 = (6,4 + 7,6) + (8,5 + 9,5) = 14 + 18 = 32. 215 Вычислите удобным способом: I а) 0,355 + 0,134 + 0,245 + 0,266 + 0,567 + 0,433; I б) 0,311 + 1,223 + 0,077 + 0,002 + 0,389 + 0,998. Даны суммы: 4,03 + 1,576 + 0,0545 + 3,007; 7,03 + 4,66 + 8,087 + 0,9148; 3,11 + 0,618 + 0,4425 + 7,055; 1,028 + 0,0234 + 1,067 + 5,8. Найдите значение той из данных сумм, которая больше 10, но меньше 20. 217 Запишите число 10,1 в виде суммы: ■“I а) двух десятичных дробей; б) трёх десятичных дробей. 218 I Если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить (или уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится. Например, если к каждому из чисел в разности 15,6-8,8 прибавить 0,2, то получится выражение 15,8-9. Вычисления во втором случае пропце. Обе разности равны 6,8. В следующих примерах найдите число, которое надо прибавить к уменьшаемому и вычитаемому, чтобы упростить вычисление, и выполните вычитание: а) 71,2-59,5; б) 45,3-9,6; в) 250-199,8; г) 300-49,89. 219 Определите, как изменится сумма трёх чисел, если: а) первое число увеличить на 1,55, второе число увеличить на 2,37, третье число уменьшить на 3,7; б) первое число уменьшить на 0,35, второе число уменьшить на 1,52, третье число увеличить на 1,7. 220 Составьте из чисел 5,7; 0,57; 0,057 все возможные суммы и все возможные разности и найдите их значения. 221 1) Определите закономерность, по которой получаются суммы: 0,1 + 0,2 + 0,3 + ... + 0,9; 0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 0,09; 0,001 + 0,002 + 0,003 + ... + 0,009. 2) Найдите значение выражения 0,000001 + 0,000002 + 0,000003 + ... + 0,000009. 222 Назовите пропущенные числа: а) 2,1 + ... + 0,5 + ... + 3,5 + 0,9 = 10; б) 3,4 + 4,3 + ... + 0,6 + ... + о,7 = 10. Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Выполните действие: а) 7,048 + 11,62; в) 4,586-3,26; д) 1-0,275; б) 0,346 + 0,057; г) 11,68-5,402; е) 14-1,38. действия с десятичными дробями 2. Найдите значение выражения: а) 0,077 + 0,77 + 0,7; б) 2,95 - (0,85 - 0,166). Вариант 2 1. Выполните действие: а) 2,056 + 12,34; в) 6,487-4,17; б) 0,374 + 0,028; г) 13,76-4,303; д) 1-0,386; е) 12-1,19. 2. Найдите значение выражения: а) 0,066 + 0,66 + 0,6; б) 3,64 - (0,54 - 0,177). 224 225 226 227 I 228 Решение задач на сложение и вычитание десятичных дробей а) До привала туристы прошли 0,25 пути, после привала — еш;ё 0,4 всего пути. Какую часть пути им осталось пройти? б) В первый день ремонта школы было отремонтировано 0,2 плош;ади школьных коридоров, во второй — 0,35 площади, в третий — 0,3 площади. Какую часть всей площади коридоров осталось отремонтировать? а) В одном ящике 2,37 кг конфет, а в другом — на 1,5 кг конфет больше. Сколько конфет в двух ящиках? Выразите ответ в килограммах и граммах. б) В первый день продали 5,35 ц картофеля, а во второй — на 0,8 ц меньше. Сколько картофеля продали за 2 дня? Ответ выразите в центнерах и килограммах. а) Достаточно ли 3,5 м ткани на пошив костюма, если на жакет надо 2,3 м, а на юбку — на 1,2 м меньше? б) Достаточно ли 1 ч 40 мин, чтобы добраться от лагеря до станции, если надо сначала идти пешком 0,4 ч, а потом ехать на автобусе на 0,8 ч дольше, чем идти пешком? а) Туристы вышли из лагеря и прошли за день 8,5 км. На следующий день они прошли ещё 2,7 км до озера, а потом вернулись в лагерь другим путём. Весь туристический маршрут составил 18,8 км. Какой путь до озера короче? На сколько километров? б) Самолёт должен прибыть в аэропорт назначения через 3,5 ч после вылета. Однако через 1,6 ч после вылета он сделал промежуточную посадку на 0,3 ч и, пролетев ещё 1,5 ч, прибыл в аэропорт назначения. Раньше или позже назначенного срока прибыл самолёт? На сколько минут? а) В одном ящике на 14,5 кг яблок больше, чем в другом. Из первого ящика переложили во второй 10,5 кг яблок. Может ли оказаться, что яблок в ящиках стало поровну? б) В первом контейнере апельсинов на 18,3 кг меньше, чем во втором. В первый добавили 6,5 кг апельсинов, а из второго взяли 12,5 кг. В каком контейнере стало апельсинов больше и на сколько? 229 Самолёт вылетел из аэропорта и через 0,8 ч полёта в одном направлении сообщил диспетчеру аэропорта, что возвращается назад. Обратный путь занял такое же время, и самолёт возвратился в 4 ч 30 мин. Определите время вылета самолёта. Составьте числовое выражение по условию задачи и решите задачу: С поля убрали свёклу за 4 дня. В первый день собрали на 0,35 т меньше, чем во второй, и на 0,29 т больше, чем в третий. В третий день собрали на 0. 3.т меньше, чем в четвёртый. Сколько тонн свёклы собрали за 4 дня, если в первый день собрали 0,8 т свёклы? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. В тесто для пирожков хозяйка сначала положила 0,3 муки, имевшейся в пакете, а потом — ещё столько же. Какая часть муки осталась в пакете? 2. В одном пакете 1,85 кг муки, в другом — на 0,5 кг больше. Сколько муки в двух пакетах? Выразите ответ в килограммах и граммах. Вариант 2 1. Спортсмен пробежал 0,4 всей дистанции, потом ещё столько же и остановился. Какую часть дистанции не пробежал спортсмен? 2. В первый день бригада отремонтировала 1,5 км дороги, а во второй — на 0,35 км меньше. Какова длина отремонтированного участка дороги? Выразите ответ в километрах и метрах. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, ... г) 7,8-10, 0,021 • 100, 0,0134-1000. Выполните умножение: а) 13,45 -10, б) 0,46 -10, в) 0,023 -10, 4,307-100, 6,82-100, 6,7-100, 12,346-1000; 5,67-1000; 2,35-1000; Определите пропущенный множитель: а) 0,0534 • ... = 53,4; б) 123,4 - ... = 12340. Запишите цифрами число 1,5 млн; 7,5 тыс.; 0,25 млрд. а) Толщина конверта с письмом 0,4 см. Определите толщину пачки, в которой 100 таких конвертов. б) В контейнере 100 банок. Определите массу содержимого контейнера, если масса банки 0,35 кг. а) Можно ли на полке длиной 1,25 м установить 100 одинаковых журналов толщиной 1,3 см? б) Хватит ли 2,5 л сока, чтобы наполнить 10 стаканов по 0,225 л? !■ ■■ I Ш I. 246 247 Выполните деление: a) 20,4 : 10, б) 6,52 : 10, 307,55 : 100, 0,2 : 100, 72,34 : 1000; 100,7 : 1000; Определите пропущенный делитель: а) 2006,4 : ... = 20,064; б) 15,34 в) 123 : 10, 7,07 : 100, 130 : 1000; = 0,001534. г) 8,37: 10, 21 :100, 2,35 : 1000. Определите, по какому правилу записана последовательность чисел, и продолжите её, записав следующее число: а) 0,00000009; 0,00009; 0,09; ...; б) 4500; 45; 0,45; .... Выполните действия: а) 4,7 • 10 : 100; б) 1,6 : 10 • 100; в) 25,3 : 10 : 100; г) 45,67 : 100 • 1000. Представьте в виде десятичной дроби: а) 4,5 10 б) 325,6 100 в) 0,7 100 г) 1,5 1000 1 ^ 43 1 244 ш № 2 45 а) В мотогонках участник пройдёт дистанцию 125 км, если сделает 10 кругов. Какова длина каждого круга? б) В пачке 100 листов бумаги. Определите толщину листа, если толщина пачки 2,5 см. а) Масса 100 гвоздей равна 0,37 кг. Определите массу 1000 гвоздей. б) За 6 мин гонщик преодолел 18,5 км. Какое расстояние он преодолеет за 1 ч? Коробочки со сметаной укладывают в контейнер слоями. В контейнере 4 слоя, каждый из которых содержит 5 коробочек в длину и 5 коробочек в ширину. Какую массу сметаны можно перевезти в таком контейнере, если в каждой коробочке 0,125 кг сметаны? а) Для приготовления 10 порций салата взяли 0,9 кг помидоров, 0,85 кг огурцов, 0,35 кг перцев, 0,5 кг зелени и 0,2 кг приправы. Определите массу каждой порции салата. Ответ выразите в граммах. б) Для изготовления 10 пирожных испекли бисквит массой 1,5 кг, приготовили 0,15 кг сиропа, 0,25 кг крема и 0,2 кг орехов. Определите массу каждого пирожного. Ответ выразите в граммах. Известно, что 8-125 = 1000. Найдите: а) 8 • 0,125; б) 0,08 • 1,25; в) 1 : 12,5. Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Выполните действие: а) 12,53 • 10; в) 4,7 • 100; д) 34,18 : 10; ж) 0,26 : 100; б) 0,0384 • 100; г) 0,0025 • 1000; е) 0,05 : 10; з) 21,19 : 1000. 2. Запишите цифрами число 2,5 тыс.; 1,3 млн; 0,7 млрд. tJv' ДРОБЯМИ Вариант 2 1. Выполните действие: а) 42,18-10; в) 8,3-100; б) 0,0762 - 100; г) 0,0056 - 1000; д) 72,13: 10; е) 0,04 : 10; ж) 0,24 : 100; з) 12,18 : 1000. 2. Запишите цифрами число 7,4 тыс.; 1,6 млн; 0,5 млрд. 248 249 250 251 253 254 Переход от одних единиц измерения к другим Выразите в более мелких единицах измерения (№ 248—249): а) 2,2т = ...кг; б) 3,75кг=...г; в) 0,54 ц=... кг; г) 0,3 ц = ... г. а) 0,25 км = ... м; б) 5,33 м = ... см; в) 0,95 м = ... дм; г) 0,2 м = ... мм. Выразите в более крупных единицах измерения (№ 250—251): а) 32,9кг = ...ц; б) 2455 г = ... кг; в) 24ц = ...т; г) 7мг = ...г. а) 9,5мм = ...см; б) 830м = ...км; в) 20,5дм = ...м; г) 80мм = ...дм. I Выразите плопцадь в более крупных единицах: а) 2000 мм^ = ... см^; в) 15 000 см^ = ... м^; б) 82дм^ = ...м^; г) 5625 см^ = ... дм^. Образец. Выразим 128 см в квадратных дециметрах. 1дм^ = 100см^, значит, 1см^=^^ дм^ и 128см^=^^ дм^ = 1,28дм^. Футбольное поле имеет размер 110x75м. Найдите его площадь и выразите ' её в гектарах (1 га= 10 000 м^). Выразите скорость в метрах в минуту: а) 48 км/ч; б) 54 км/ч; в) 10,2 км/ч; г) 4,2 км/ч. Образец. Пешеход идёт со скоростью 3,6 км/ч. Сколько метров он проходит в минуту? Решение. За 1 ч пешеход проходит 3,6 - 1000 = 3600(м). За 1 мин пешеход про-3600 ходит 60 = 60 (м). Скорость пешехода в метрах в минуту равна 60 м/мин. 255 , -..1 т Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Выразите в метрах: 375 см; 90 см; 5,6 см; 7 см. 2. Выразите в граммах: 1,455 кг; 2,5 кг; 0,125 кг; 0,06 кг. Вариант 2 1. Выразите в дециметрах: 425 см; 60 см; 7,5 см; 8 см. 2. Выразите в метрах: 1,635 км; 1,3 км; 0,225 км; 0,04 км. РЕИСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИШ 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 ,:iv; 267 I - 2 "У! i Умножение десятичных дробей Найдите произведение: а) 4,2 • 3,6; б) 2,8 • 5,5; в) 6,5 • 1,7; г) 9,4 • 1,5; д) 0,7 * 2,4; е) 0,6 • 3,9. Умножьте на 0,15 число 2,8; 3,4; 7,12; 4,04. Вычислите: а) 0,23 0,07; б) 0,08-0,415; в) 1,7-0,033; г) 2,65 - 0,082; д) 1,26-0,08; е) 3,14-0,25. Найдите произведение: а) 12,5-0,01; б) 23,6-0,1; в) 0,001-0,35; г) 0,36 -0,01. Каждое из чисел 3,5; 0,45; 2,05; 0,015 увеличьте в 2,6 раза. 1) Заполните таблицу: п 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2) Используя таблицу, вычислите: а) 1,8^; 1,3^; 1,6^ б) ОД!^; 0Д7^ 0,14^ в) 0,012^ 0,015^; 0,019^ 3) Найдите число, квадрат которого равен 0,0256; 0,0169; 0,0324. Вычислите: а) 4,8 • 3; б) 12 • 0,7; в) 1,05 • 80; г) 3,6 • 4; д) 0,6 • 18; е) 12 - 2,05. Увеличьте в 3 раза каждое из чисел 1,34; 21,6; 8,005; 30,07. Сколько минут в 2,5 ч? 0,4 ч? 1,3 ч? 10,25 ч? Можно выполнить прикидку результата вычисления 49,7-6, заменив десятичную дробь наиболее близким натуральным числом: 49,7-6-50-6 = 300. Выполните прикидку результата: а) 15,93 - 3; б) 30,215 - 7; в) 52 - 4,86; г) 25 - 6,123. а) Цена 1 м ленты 14 р. Какова стоимость 0,8 м, 1,2 м, 2 м 30 см такой ленты? б) Цена 1кг печенья 35 р. Какова стоимость 0,6 кг, 1,3 кг, 700 г такого печенья? а) Какой путь проедет велосипедист со скоростью 12 км/ч за 0,4 ч? за 0,25 ч? за 1 ч 15 мин? б) Скорость плота 3 км/ч. Какой путь он преодолеет за 0,2 ч? за 0,8 ч? за 1 ч 45 мин? 268 Выполните умножение: --- а) 14,25 -6,7; в) 15,04-0,125; б) 0,81 - 133,3; г) 0,705 - 14,43; д) 0,816 -0,035; е) 0,375 - 0,044; ж) 22,6 • 4,06; з) 4,55 -7,07. т* ■ 1 1 II II II 1 ИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 269 S: f - 272 273 274 £ 275 I 276 277 Представьте число в виде произведения двух десятичных дробей: а) 0,12; б) 0,064; в) 0,0006; г) 0,09; д) 0,3; е) 2,4. Выполните действия: а) 0,8-3,75-0,01 • 1,9; б) 4,4 • 2,25 • 0,1 • 0,03; в) 1,6 • 44 • 13,5 • 0,001. 1) Выполните умножение и сравните результат с заданным числом, сделайте вывод: а) 3,8-2,6 и 3,8; б) 3,8 • 0,4 и 3,8; 0,5-2,4 и 0,5; 0,5 • 0,36 и 0,5; 5,6-1,01 и 5,6; 5,6 -0,94 и 5,6. 2) Сравните, не выполняя вычислений. Запишите результат с помощью знака >, < или =: а) 2,76-3,1 и 2,76; в) 5-0,3 и 0,3; д) 0,4 -0,37 и 0,4; б) 41,2 - 0,2 и 41,2; г) 0,75 - 1 и 0,75; е) 0,2 - 0,58 и 0,58. 3) В каждой паре равенств одно неверное. Найдите его, не выполняя вычислений: а) 32,7-0,3 = 9,81 и 3,27-0,3 = 9,81; б) 0,5-21,6 = 10,8 и 23,2-0,4 = 92,8. Запишите пять чисел, первое из которых равно 1,44, а каждое следующее в полтора раза больше предыдущего. Можно ли продолжить эту последовательность чисел бесконечно? Запишите пять чисел, первое из которых равно 2,25, а каждое следующее составляет 0,8 предыдущего. Можно ли продолжать эту последовательность чисел бесконечно? За 10 мин туристы прошли 0,7 км. Какое расстояние они пройдут за 1 ч, двигаясь с той же скоростью? Вычислите наиболее удобным способом: а) 0,2 - 7,8 • 5; б) 0,5 - 3,9 - 20; в) 2,5 -125-8-4; г) 14 - 8 - 0,125 - 0,2. 1) Поставьте запятую в произведении так, чтобы равенство 1,48-26,5 = 3922 было верным. 2) Поставьте запятые в множителях так, чтобы равенство 435-86 = 374,1 было верным (приведите два решения). Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Выполните умножение: а) 5,23 • 1,6; б) 1,26 - 30; в) 0,125 - 0,16. 2. Вычислите степень: 0,4^; 0,3^. 3. Цена килограмма груш 78 р. Сколько стоит 1,6 кг? Вариант 2 1. Выполните умножение: а) 6,27 - 1,3; б) 1,26 - 40; в) 0,375 - 0,08. 2. Вычислите степень: 0,6^; 0,2^. 3. Цена метра ткани 96 р. Сколько стоит 1,4 м? J 278 Разные действия с десятичными дробями г) 0,9-0,5 - 1,4. Найдите значение выражения (№ 278—280): а) 0,5 *(5-1,3); б) 0,6 *2-1,2; в) 7-4 *0,8; а) 10,2-(5,2-3,8) *0,6; б) (8,2-0,7) *(1,3-0,8); в) 0,42*50 + 25*3,02; г) 60*0,35 + 1,44*25. а) 2,31 + 1,32; б) (0,9 + 1,7)2; в) 7,2-2,52; г) 0,92 - 0,55. а) Группа туристов идёт от лагеря к станции, расстояние между которыми 3,5 км, со скоростью 4,6 км/ч. Сколько километров осталось пройти туристам, если они находятся в пути 0,5 ч? б) Игорь идёт из дома на стадион со скоростью 5,5 км/ч. Через 0,2 ч после выхода из дома ему осталось пройти 0,4 км. Чему равно расстояние от дома до стадиона? а) Орехи расфасовали в пакеты по 0,6 кг в каждый: грецкие в 20 пакетов, арахис в 15 пакетов, миндаль в 10 пакетов. Сколько всего килограммов орехов расфасовали в пакеты? б) В санаторий привезли по 12 ящиков помидоров, огурцов и лука: помидоров по 7,5 кг в каждом ящике, огурцов по 12,5 кг, а лука по 5,5 кг. Сколько всего килограммов овощей привезли в санаторий? Найдите: а) 0,5 от 36 м; б) 0,01 от 6 км; в) 0,1 от 60 мин; г) 0,35 от 60 мин. Музыканты, давшие благотворительный концерт, передали городу 4,5 млн р. 1) На покупку школьных учебников было выделено 0,7 этой суммы. Сколько денег было выделено на учебники? 2) На закупку лекарств для больницы было потрачено 0,2 этой суммы. Сколько денег было потрачено на лекарства? а) От ленты длиной 15 м отрезали 0,3 её длины. Сколько метров ленты осталось? б) В мешке 5 кг крупы. В банку отсыпали 0,4 содержимого мешка. Сколько крупы осталось в мешке? а) Автотуристы за 3 дня проехали 360 км. В первый день они проехали 0,35, а во второй — 0,4 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в каждый из трёх дней? б) Дорога от станции до посёлка проходит по шоссе, по просёлку и лесом. Дорога по шоссе составляет 0,4 всего пути, а по просёлку — 0,5 всего пути. Какая часть всего пути проходит лесом? Сколько километров надо идти лесом, если весь путь от станции до посёлка равен 3,5 км? а) В пакет, выдерживающий 5 кг, положили 1,8 кг огурцов, а яблок — в 1,5 раза больше. Не порвётся ли пакет? б) Туристы идут по направлению к станции со скоростью 4,6 км/ч. Им осталось пройти 11 км. Успеют ли туристы к поезду, если он отходит через 3 ч? 288 I 291 I 292 I 293 ^294 Г295 Коробка конфет весит 0,6 кг, а пачка печенья — 0,25 кг. В бандероль можно упаковать не более 2 кг. 1) Можно ли отправить в одной бандероли 3 коробки конфет? 4 коробки конфет? 8 пачек печенья? 4 пачки печенья и 2 коробки конфет? 2) Составьте другие наборы из конфет и печенья, которые можно упаковать в одну бандероль. ! Значение какого из данных выражений наименьшее: а) 1-0,01; 1-0,01^; (1-0,01)2; б) 1-0,01; 1-0,01^; 1-0,01®? Найдите значение выражения: а) 2,02 • 0,45 + 5,0505 • 2 + 39,1 • 0,01; б) (8 - 5 • 0,25) - (4,7 + 5,6 • 0,125) ■ 0,1; в) (6 - 1,96) • (10,2 - 5,7) + (6,8 + 2,6) • (0,37 + 0,03); г) (1 - 0,34) • (2 - 0,75) + 1,05 ■ (4,882 + 3,018). I Вычислите рациональным способом: ■ а) 1,9 ■ 2,5 + 3,1 • 2,5; д) 3,4 • 2,6 + 1,3 • 2,6 + 5,3 • 0,7 + 5,3 • 1,9; б) 12,5-3,7+12,5-4,3; е) 3,6 • 3,8 + 3,6 • 1,6 + 2,7 • 4,6+ 0,9 • 4,6; в) 3,55 • 7 - 3,5 • 7; ж) 1,7 • 2,3 - 1,7 • 1,5 + 0,8 • 2,2 - 0,8 • 0,5; г) 4-6,7-4-4,2; з) 2,5 • 3,5 - 1,6 • 2,5 + 1,9 • 0,7 + 0,8 • 1,9. ^ Найдите значение выражения: ■' 1) 1-0,9 + 0,8-0,7 + 0,6-0,5 + 0,4-0,3 + 0,2-0,1; 2) 20- 19,5 + 19- 18,5 + 18- 17,5 + ... + 1 -0,5. Турист шёл пешком полтора часа. Первые полчаса он шёл со скоростью ' 5,4 км/ч, затем 48 мин — со скоростью 4,5 км/ч, а оставшееся время — со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние прошёл турист за эти полтора часа? I I а) Папа в 2,5 раза старше своего сына и в 2 раза младше своего отца. Во сколько раз дедушка старше внука? б) Масса арбуза 6,4 кг. Арбуз на 2,5 кг тяжелее дыни и в 2 раза легче тыквы. Какова общая масса арбуза, дыни и тыквы? I а) Чтобы завязать две коробки с подарками, от тесьмы, длина которой 8 м, сначала отрезали 0,4 её длины, а потом половину оставшейся части. Найдите длины трёх получившихся кусков этой тесьмы. б) В канистре было 20 л воды. Утром использовали 0,3 всей воды, днём — 0,6 остатка, а вечером — всю оставшуюся воду. Сколько воды использовали вечером? в) На дорогу от дома до стадиона Коля тратит 0,8 ч. На метро он едет 0. 5.всего времени, 0,75 остатка едет на троллейбусе, а остальное время идёт пешком. Сколько времени Коля идёт пешком? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Найдите значение выражения: а) 25 - 3,6 • 1,5 + 2,5; б) (25 - 3,6) • (1,5 + 2,5). 2. От провода длиной 6 м отрезали 0,25 его длины. Сколько метров провода осталось? 305 Вариант 2 1. Найдите значение выражения: а) (25 - 3,6) • 1,5 + 2,5; б) 25 - 3,6 • (1,5 + 2,5). 2. От снега очистили 0,2 участка дороги между посёлками. Сколько километров осталось очистить, если длина дороги 4 км? Деление десятичных дробей Выполните деление десятичной дроби на натуральное число (№ 297—300): а) 9,36 : 6; б) 24,12:4; а) 7,56 : 9; а) 14,6 : 5; а) 0,169 : 13; б) 0,26 : 8; в) 23,94 : 7; г) 15,05 : 5; б) 6,93 : 11; б) 9,8 : 8; в) 0,144 : 12; г) 0,39 : 6; д) 103,68 : 9; е) 284,2 : 7; в) 11,73:23; в) 39,6 : 15; д) 0,121:11; е) 0,42 : 35; ж) 47,52 : 3; з) 32,08 : 4. г) 10,92 : 12. г) 17,8:4. ж) 0,196 : 14; з) 0,36 : 24. 1) Найдите частное двух натуральных чисел, выполнив деление уголком: а) 7 : 2; 2 : 5; б) 25 : 4; 3 : 4; в) 17 : 8; 5 : 8; г) 9 : 5; 3 : 5. 2) Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной разными способами: ч 4 12 3 . 49. , 5 . 17. . 1 . 47 5’ 5 ’ 20’ 20’ ® 16’ 16’ 40’ 40’ Выполните деление десятичной дроби на десятичную (№ 302—303): а) 6,4 ; 0,8; б) 0,91 : 0,13; в) 4,8 : 1,2; г) 0,42 : 0,14. а) 1,87: 1,7; в) 2,25 : 1,5; д) 1,08 : 0,4; ж) 1,08:0,3; б) 1,04 : 0,8; г) 0,426 : 0,3; е) 0,084 : 0,07; з) 0,078 : 0,06. Вычислите и результат проверьте умножением: а) 67,65 : 3,3; в) 0,7344 : 0,24; д) 1,853 : 0,17; б) 6,09 : 1,5; г) 0,051 : 0,0025; е) 0,671 : 0,022. Найдите значение выражения (№ 305—307): а) 1,855 • 1000 : (0,35 • 100); б) 0,0888 • 100 ; (2,4 • 10). а) 25,8 : (3,567 + 20,433): 5; б) (8,155 - 0,655): (3,631 + 0,369). а) (1 - 0,5^): 3 • 5; б) (0,16 + 0,04)^ : 8 • 6; в) (10^ - 35,35): (6 • 0,25). Хозяйка разрезала пирог прямоугольной формы пополам, потом разрезала каждый кусок ещё раз пополам, а каждый получившийся — на 4 равные части. Определите массу каждого куска (в г), если масса пирога равна: а) 2 кг; б) 2,4 кг; в) 2,8 кг. 309 310 311 312 [ 313 314 315 317 1^; nr^'W№, i' ; ,•.>*'< л; ЧНЫМИ ДРОБЯМИ На окраску двух стен дома израсходовали 7,26 кг краски. Сколько килограммов краски было израсходовано на каждую стену, если площадь одной из них на 6 м^ больше, чем площадь другой, а на каждый квадратный метр уходит 0,22 кг краски? Вычислите: а) 37,812 ; 1,84; Не выполняя вычислений, сравните: а) 625 : 2,5 и 625; 625 : 0,1 и 625; б) 68,82 : 0,444; в) 45,156 : 15,9; г) 13,725 : 3,75. б) 0,38 : 9,5 и 0,38; 0,38 : 0,4 и 0,38. 1) Выполните прикидку результата: а) 31,68 : 6,4; б) 102,29 : 3,86; в) 47,47 : 3,76; г) 8,61 : 0,28. Образец. Для прикидки результата вычисления частного 26,571 : 8,5 заменим делимое и делитель близкими к ним «удобными» числами: 26,571 : 8,5-27 : 9 = 3. 2) Определите место запятой в наборе цифр записи частного: а) 56,7 : 8,75 = ^; б) 223,929 : 5,37 = 417; в) 2,5972 : 7,55 = 344. Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Выполните действие: а) 51,15: 15; 6)63:18; в) 3,132 : 0,27; г) 16,32 : 1,6. 2. Сколько стоит 1 кг яблок, если 0,3 кг стоят 16,2 р.? Вариант 2 1. Выполните действие: а) 53,21 : 17; б) 72 : 16; в) 6,696 : 0,31; г) 14,42 : 1,4. 2. Сколько стоит 1 кг слив, если 0,4 кг стоят 27,2 р.? Вычисление частного десятичных дробей в общем случае Представьте в виде обыкновенной дроби и, если возможно, в виде десятичной: а) 1,5 4,8 9 ’ 3,2’ 7,2. 2,1 . б) 8 12,6 0^. 0,07 6 0,14 г) 1,4 0,12 35 4,5 Найдите частное: а) 2,25 : 4,5; б) 0,44 : 6,6; в) 3,78 : 4,2; г) 0,8 : 2,8. Найдите неизвестное число: а) 0,2:х=1,2; б) 0,129 : л: = 0,3; в) 2,5-х= 7,75; г) 0,14 д: = 0,4. Определите, какую часть составляет: 1) а) 1,6 ч от 8 ч; б) 1,5 мин от 6 мин; в) 2,5 сут. от 15сут.; 2) а) 2000 р. от 5000 р.; б) 3000 р. от 3600 р.; в) 5000 р. от 5500 р. 318 Для приготовления творога взяли 6 л молока. Сколько молока надо взять, чтобы приготовить творога в 1,5 раза меньше? в 1,2 раза меньше? 319 а) Скорость велосипедиста 15 км/ч. Какую часть километра преодолевает он за 1 мин? Какое расстояние он проезжает за полчаса? б) Скорость автомобиля 84 км/ч. Какой путь (в км) проезжает он за 1 мин? за 10 мин? а) Сколько бутылок молока сходит с конвейера за 1ч, если за 2,5 ч с него сходит 30 тыс. бутылок? б) Сколько пакетов с соком сходит с конвейера за 1 ч, если за 0,6 ч с него сходит 9 тыс. пакетов? II 325 326 327 Рабочий покрывает лаком пол площадью 72 м^ за 45 мин. Какую площадь он покрывает лаком за 1 мин? За сколько минут рабочий покрывает лаком 20 м^? а) Костя прочитал 30 страниц, что составило 0,3 всей книги. Сколько страниц в книге? б) Чему равна длина отрезка, 0,4 которого составляют 4,8 см? а) Сколько полных банок с соком получится, если разливать 3 л сока в банки ёмкостью 0,2 л? 0,45 л? 0,8 л? 1,25 л? б) Имеется доска длиной 4,5 м. Сколько можно из неё нарезать досок длиной 0,75 м? 0,6 м? 0,9 м? 1,25 м? а) От одной станции до другой 165 км. Первые 1,5 ч поезд шёл со скоростью 60 км/ч. Остальной путь он прошёл за 1,2 ч. С какой скоростью прошёл поезд второй перегон? б) От посёлка до станции 2,7 км. Андрей проходит это расстояние пешком за 0,6 ч. За какое время он проезжает это расстояние на велосипеде, если на велосипеде он едет со скоростью на 6,3 км/ч большей, чем идёт пешком? а) Расстояние между станциями Б и С равно 12,5 км. Электричка отошла от станции В в 12 ч 26 мин и прибыла на станцию С в 12 ч 38 мин. С какой скоростью прошла электричка расстояние между этими двумя станциями? Выразите скорость электрички в километрах в час. б) Таня проезжает на велосипеде 2,4 км за 9 мин, а Коля проезжает 4,4 км за 16 мин. С какой скоростью едет каждый из них? Выразите скорости Тани и Коли в километрах в час. Какая из двух книг напечатана на более тонкой бумаге, если известно, что в первой 500 страниц и её толщина без обложки составляет 155 мм, а во второй 600 страниц и её толщина без обложки 198 мм? а) В первый день Серёжа выучил 0,6 списка словарных слов, во второй — 12 оставшихся слов. Сколько всего слов он выучил? б) Марина истратила на подарки 0,75 суммы денег и на оставшиеся 150 р. купила корм для кота. Сколько денег было у Марины? i ш 1 I ш 328 ЩЩ'Щ Ш? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Представьте в виде обыкновенной дроби и, если возможно, в виде деся- 1 2 2,5 2,6 тичной: а) б) в) 2. Турист прошёл 0,9 км за 0,2 ч, 7 км за 2 ч и 1,7 км за 0,5 ч. На каком участке пути скорость туриста была самой маленькой? 3. Чему равна длина пути, 14,4 км которого составляют 0,4 всего пути? Вариант 2 1. Представьте в виде обыкновенной дроби и, если возможно, в виде деся- 1,4 0,75 2,4 тичной: а) б) -jji в) 2. Турист прошёл 2,2 км за 0,5 ч, 0,46 км за 0,1ч и 0,78 км за 0,2 ч. На каком участке пути скорость туриста была самой большой? 3. Чему равна длина пути, 13,8 км которого составляют 0,6 всего пути? Все действия с десятичными дробями Вычислите: а) (1-0,2): 0,4; б) 12-2,6 : 0,25; в) (1,2+ 0,9): (0,9-0,55); г) (3,6-0,9): (1,8-1,65); д) (5,71+ 3,39): 3,5-1,7; е) 5,5: (2,5-2,06)+ 3,75. Найдите значение выражения (в качестве образца используйте пример 8 из текста учебника): 1,5 • 0,8, ^ 0,07 . 1,7-2,4. 0,51 ’ б) 0,08 0,02 • 6 в) 0,36 г) 0,4 • 3,5 Выполните действия: а) ^ • 0,42; б) 1,75 : 1^; О в) 1,69 • —; ^ 39 г) ^ : 0,14. 5 а) У Юли было 3 ч свободного времени. Она решила выделить 0,2 этого времени для гимнастических упражнений, а оставшееся время распределить поровну для рисования, лепки и чтения. Сколько времени Юля уделит каждому занятию? б) В пакете 4 кг корма для собаки. Юра отсыпал 0,2 пакета в миску, а оставшийся корм рассыпал поровну в четыре банки. Сколько корма в каждой банке? Составьте выражение по условию задачи и решите задачу: а) Молоко разлили в три кувшина. В первый кувшин налили 1,5 л молока, во второй — в 2,5 раза меньше, а в третий — в 1,4 раза больше, чем в первый. Сколько всего молока? шщ 334 335 336 б) Орехи рассыпали в три пакета. В первый пакет насыпали 0,6 кг орехов, во второй — в 5,5 раза больше, а в третий — в 1,5 раза меньше, чем в первый. Сколько всего орехов? Найдите значение выражения (№ 334—335): 12.75 + 1.05 20 - 19.82 3,56 • 2,5 0,5 • 0,4 0,7 > 0,26. 1,3 • 0,6 ’ а) Л. 1 ^ 1 ^ 2-0,5 ’ 2,44 + 0,06’ 0,5 • 0,6. 1,1 • 0,4 а) 0,3 • 1,5 ’ 0,05 -22’ г) 0,82 • 1,5 г) 1 - 0,4 0,05 ■ 0,23 4,6 ■ 0,002 * 1) Разберите способы вычисления значения выражения 2,15: 0,35 1,4. Способ 1. Так как выражение содержит деление на десятичную дробь, то сразу же перейдем к обыкновенным дробям: ^ U 215 • 100 -14 43-2 10 2,15: 0,35 1,4=^ : 100 100 100 • 35 • 10 10 = 8,6. Способ 2. Запишем выражение иначе, используя в качестве знака деления дробную черту, и воспользуемся основным свойством дроби: 2,15 : 0,35 • 1,4 = Mi . 1,4 = ii . 1,4 = 43 • 14 43 -2 0,35 7 7 • 10 10 = 8,6. 2) Вычислите значение выражения: а) 0,44 * 2,5 : 1,21; в) 0,12 : 1,8 • 8,1; б) 0,36 • 1,5 : 1,44; г) 0,42 : 1,4 : 0,9; д) 0,36 : (4,5 : 0,25); е) 5,6 : (120 0,7). 1 ■ '1 1 338 Туристическая тропа от станции до лагеря сначала поднимается в гору, а потом спускается с горы. Расстояние в гору в 4 раза короче, чем с горы, а весь путь составляет 7,5 км. Туристы преодолели путь в гору за 0,6 ч, а остальной путь до лагеря за 1,5 ч. Определите скорость туристов на подъёме и на спуске. Приготовление домашнего задания заняло у Маши 2 ч. Русским языком она занималась 0,3 всего времени. Остальное время ушло на историю и математику, причём на математику она потратила на 0,4 ч меньше, чем на историю. Сколько времени занималась Маша каждым предметом? Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 8 м, а ширина 2,5 м. На 0,4 всей площади огорода посажена морковь, а на остальной — лук и чеснок, причём луком засажена площадь, в 4 раза большая, чем чесноком. Какая площадь засажена морковью, луком и чесноком в отдельности? Душевая имеет длину 3,5 м и ширину 2,5 м. Стены высотой 2,5 м требуется обложить плитками, исключая окно и дверь, которые занимают 0,1 площади стен. Сколько требуется плиток квадратной формы со стороной 25 см? Столб, врытый в землю, возвышается над землёй на 0,8 своей длины. Чему равна длина столба, если его надземная часть равна 1,6 м? 342 343 I 344 345 346 347 348 Под посадку картофеля отвели 0,6 всего участка земли, под посадку моркови — 0,3 этого участка, а на оставшихся 2 сотках (200 м^) посадили лук. Определите площадь всего участка земли. Выразите её в гектарах. Когда турист прошёл 0,35 всего пути, то до середины пути ему осталось пройти 6 км. Найдите длину всего пути. В коробке лежали гвозди. В первый день израсходовали 0,1 всех гвоздей, во второй — половину остатка. Сколько гвоздей было в коробке, если в третий день использовали все оставшиеся 18 гвоздей? Самостоятельная работа. Вариант 1 Найдите значение выражения: 1. а) 18 - 10,5 : 2,5 + 0,5; б) (18 - 10,5): (2,5 -ь 0,5). 2. а) 7,2 9 • 0,05 б) 1,2 - 0,25 - 0,5 1 - 0,25 Вариант 2 Найдите значение выражения: 1. а) (18-10,5): 2,5-ь0,5; б) 18- 10,5 : (2,5 + 0,5). 2. а) 0,07 0,4 • 3,5 б) 4,5 - 3,4 - 0,2 0,4 Решение задач на движение Как изменяется расстояние между автобусом и автомобилем (уменьшается или увеличивается) и на сколько километров в час, если скорость автобуса 50 км/ч, автомобиля 80 км/ч и они двигаются: а) в одном направлении и автомобиль едет за автобусом; б) в одном направлении и автобус едет за автомобилем? а) Когда Ира вышла из дома в школу, Юля была на 240 м впереди неё. Через сколько минут Ира догонит Юлю, если будет идти со скоростью 80 м/мин, а Юля идёт со скоростью 60 м/мин? На каком расстоянии от дома Ира догонит Юлю? Успеет ли Ира догнать Юлю, если школа находится в 1,5 км от дома? б) Из двух городов, расстояние между которыми 30 км, одновременно в одном направлении выехали два поезда со скоростями 50 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов второй поезд догонит первый? а) Разберите, как решена задача: Автомобиль выехал из пункта А со скоростью 60 км/ч. Через 1,5 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии от А второй автомобиль догонит первый? Решение. 1) 60 • 1,5 = 90 (км) — расстояние, пройденное первым автомобилем за 1,5 ч; 2) 80 - 60 = 20 (км/ч) — скорость сближения автомобилей; ] п 349 350 354 90 9 3) 90 : 20 = — = — = 4,5 (ч) — время, которое потребуется второму автомо- ^\J ^ билю, чтобы догнать первый; 4) 80 • 4,5 = 360 км — расстояние от А, на котором второй автомобиль догонит первый. б) Из лагеря вышла группа туристов и отправилась к озеру со скоростью 4 км/ч. Через 1,5 ч вслед за ней выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через какое время и на каком расстоянии от лагеря велосипедист догонит туристов? в) Саша вышел из дома и направился к стадиону со скоростью 50 м/мин. Через 2 мин вслед за ним вышел его брат со скоростью 60 м/мин и догнал Сашу у стадиона. На каком расстоянии от дома находится стадион? Как изменяется расстояние между автобусом и автомобилем (уменьшается или увеличивается) и на сколько километров в час, если скорость автобуса 50 км/ч, автомобиля 80 км/ч и они двигаются: а) в противоположных направлениях из одного и того же пункта; б) навстречу друг другу из разных пунктов? Два велосипедиста одновременно выехали из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 10 км/ч и 12 км/ч. 1) На каком расстоянии друг от друга они будут через 1ч? через 0,5 ч? через 1,3 ч? 2) Через сколько часов расстояние между ними будет 33 км? Два велосипедиста выехали из двух сёл одновременно навстречу друг другу и встретились через 1,6 ч. Скорость одного 10 км/ч, другого 12 км/ч. Чему равно расстояние между сёлами? Собственная скорость лодки 6,5 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. 1) Определите скорость лодки по течению и скорость лодки против течения реки. 2) Найдите, на сколько километров в час скорость лодки по течению больше, чем скорость лодки против течения. а) Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, а скорость течения реки 3,5 км/ч. Расстояние между пристанями 15 км. Сколько времени нужно затратить на путь между пристанями туда и обратно? б) Город В находится в 63 км от города А ниже по течению реки. Теплоход плывёт из А в Б и обратно. На сколько больше времени понадобится ему на обратный путь, если собственная скорость теплохода 32 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч? а) Моторная лодка плыла 2,5 ч по течению реки, а потом 2 ч по озеру. Какое расстояние проплыла за это время моторная лодка, если её собственная скорость 32 км/ч, а скорость течения реки 2,4 км/ч? б) Туристы плыли 4,5 ч на плоту, а затем 1,5 ч на байдарке. Скорость течения реки 2 км/ч, а скорость байдарки в неподвижной воде 20 км/ч. Какое расстояние проплыли туристы? I ДРОБЯМИ 356 359 360 361 362 Из села в город выехал велосипедист со скоростью 11,5 км/ч. Через 2,4 ч вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью 46 км/ч. Через сколько часов и на каком расстоянии от города мотоциклист догонит велосипедиста, если от села до города 40 км? Из двух городов, расстояние между которыми 45 км, одновременно в одном направлении выехали автомобили со скоростями 70 км/ч и 60 км/ч, причём первый автомобиль догоняет второй. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет равно 10 км? Почему задача имеет два решения? Расстояние между станциями 350 км. От этих станций одновременно навстречу друг другу отправились два поезда. Они встретились через 2,5 ч. Определите скорость первого поезда, если скорость второго 65 км/ч. Из двух городов, расстояние между которыми 420 км, одновременно навстречу друг другу выехали грузовая машина со скоростью 60 км/ч и легковая — со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов после их встречи грузовая машина прибудет в пункт назначения? Два поезда выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Расстояние между пунктами А и В равно 350 км. Скорость одного 65 км/ч, другого 75 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними составит 70 км? Почему задача имеет два решения? Катер и плот встретились, и каждый продолжил плыть в своём направлении. Собственная скорость катера 38 км/ч, скорость течения реки 2,5 км/ч. На каком расстоянии друг от друга катер и плот окажутся через 1,5 ч после встречи, Лодка и плот плывут по реке навстречу друг другу. Расстояние между ними равно 9 км. Через 0,5 ч лодка и плот встречаются. Лодка плывёт со скоростью 15 км/ч. Чему равна скорость течения реки и собственная скорость лодки? Города А и В расположены на реке, причём город В ниже по течению. Расстояние между ними равно 30 км. Моторная лодка проходит путь от А до Б за 2 ч, а обратно за 3 ч. За какое время проплывёт от А до Б плот? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. От автобусной остановки одновременно в одном направлении отошли автобус и пешеход. Скорость автобуса равна 35 км/ч, скорость пешехода — 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 0,2 ч? 2. Собственная скорость лодки 9,5 км/ч, скорость течения реки 1,5 км/ч. Расстояние между пристанями 8,8 км. За какое время пройдёт лодка это расстояние, если будет плыть по течению реки? Вариант 2 1. От автобусной остановки одновременно в одном направлении отъехали автобус и велосипедист. Скорость автобуса равна 45 км/ч, скорость велосипедиста — 15 км/ч. Через какое время расстояние между ними будет равно 12 км? Ш/ ■ -.-i w-p жт ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 364 365 2. Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, скорость течения реки 1,5 км/ч. Какое расстояние пройдёт лодка за 0,3 ч, если будет плыть против течения реки? Округление десятичных дробей а) Определите, к какому из чисел, 5 или 6, ближе число: 5,8; 5,3; 5,71; 5,194. б) Определите, к какому из чисел, 0 или 1, ближе число: 0,2; 0,9; 0,16; 0,803. Покажите на координатной прямой расположение данного числа. Назовите целое число, являющееся его приближённым значением с недостатком, приближённым значением с избытком: а) 3,3; 5,7; 0,1; б) 2,04; 1,52; 6,39. Образец. 3,71 ~3 (с недостатком); 3,71 — 4 (с избытком). Округлите: а) до единиц: 52,314; 71,695; 0,781; 531,932; 3,4444; 10,556; б) до десятых: 4,567; 12,035; 7,6419; 145,093; 71,923; 32,964. Округлите до десятых, до сотых, до тысячных: а) 72,36058; б) 0,55393; в) 20,85421; г) 5,96502; д) 21,3596; е) 3,69723, Округлите каждое из чисел до тысячных, до сотых, до десятых. В каждом случае определите, что больше — само число или его приближённое значение: а) 0,33333; б) 0,44444; в) 0,55555; г) 0,66666. 369 ■гг;:—1 ■■ J j й 70 Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной дробью с одним, двумя, тремя знаками после запятой: 2 . 7 б) в) г) 7 9 6 а) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского веса — унциями: 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это число до десятых, до единиц. Скольким примерно граммам равна 1 аптекарская унция? б) В английской системе мер для измерения массы используют фунты: 1 фунт — 0,45359237 кг. Округлите это число до тысячных, до сотых, до десятых. Сколько примерно граммов содержится в 1 фунте? Фермер хочет построить теплицу площадью 75 м^ и длиной 12 м. Он вычислил ширину такой теплицы и округлил её до целых метров. Определите, на сколько изменится при этой ширине площадь теплицы. Футбольное поле на стадионе обычно отделено от трибун беговой дорожкой. Размеры футбольного поля 110 м и 75 м, ширина беговой дорожки 4 м. Найдите площадь футбольного поля вместе с дорожкой (для простоты считайте, что это прямоугольник). Выразите ответ в гектарах и результат округлите до единиц. I щц :К I II 373 [Izi 375 376 377 Es C Выполните прикидку, округлив десятичные дроби до единиц, и найдите точный ответ: Д) 1,8-3,1; е) 6,8 • 4,4; ж) 9,9 • 3,1; з) 4,8.5,2. В каждом случае определите, какую погрешность вы допустили, заменив точное значение приближённым. а) 1,9 + 3,7 -Ь 5,2 -ь 1,8; б) 8,7-f 9,8 + 8,9-Н 9,1; в) 1,8 + 20,1 + 19,9 + 1,2; г) 10,1 + 9,7 + 3,2 + 1,8; Выполните прикидку, округлив числа до высшего разряда: а) 11,4-18,5; б) 98,2-61,5; в) 18,23 + 12,3 + 9,3; г) 21,7 + 29,4 + 32,7. а) Рулон обоев длиной 10,5 м разрезали на 8 равных кусков. Найдите длину каждого куска. Сколько примерно метров и сантиметров содержится в каждом куске? б) Из 3 кг конфет надо сделать 16 одинаковых подарков. Найдите массу конфет в каждом подарке. Сколько примерно граммов конфет содержится в каждом подарке? Решите задачу и запишите ответ с тремя десятичными знаками после запятой. а) Велосипедист за 1 ч преодолевает 14 км. Определите, какое расстояние (в км) преодолеет велосипедист за 1 мин, двигаясь с той же скоростью. б) Автомобиль за 1ч преодолевает 110 км. Определите, какое расстояние (в км) преодолеет автомобиль за 1 мин, двигаясь с той же скоростью. в) Пешеход за 1 ч проходит 4 км. Определите, какое расстояние (в км) пройдёт пешеход за 1 мин, двигаясь с той же скоростью. Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Округлите до десятых: 28,76; 3,529. 2. Округлите до сотых: 4,275; 0,0083. 3. Округлите до тысячных: 8,3751; 0,2597. 4. Выразите приближённо обыкновенную дробь одним, двумя, тремя знаками после запятой. Вариант 2 1. Округлите до десятых: 36,24; 7,368. 2. Округлите до сотых: 0,0072; 1,6252. 3. Округлите до тысячных: 0,2463; 5,3696. 4. Выразите приближённо обыкновенную дробь одним, двумя, тремя знаками после запятой. — десятичной дробью с — десятичной дробью с Ш- V' 380 382 ■ 383 384 385 387 а) Отрезок АВ длиной 48 см разделён точкой С на две части в отношении 3:5. Чему равна длина каждой части? б) Отрезок КМ длиной 36 см разделён точкой С на две части в отношении 5:4. Чему равна длина каждой части? Разделите 550 г конфет в отношении: а) 2 : 3; б) 1 : 9; в) 6 : 5; г) 6 : 19. а) За набор рукописи на компьютере оператор и его ученик получили 5400 р. Они разделили эти деньги в отношении 5:4. Сколько получил каждый? б) Два оператора для набора на компьютере разделили между собой рукопись в 240 страниц в отношении 3:5. Сколько страниц досталось каждому? а) На выполнение домашних заданий по математике и русскому языку у Николая ушло 1,5 ч. Он распределил это время между предметами в отношении 3:2. Сколько времени ушло на каждый предмет? б) На праздничном вечере, который длился 2,4 ч, сначала был школьный концерт, а затем дискотека. Время между ними было распределено в отношении 1:2. Сколько времени было отведено на концерт и сколько на дискотеку? а) Сплав состоит из олова и меди, массы которых относятся как 11:7. Масса сплава 1 кг 440 г. Сколько в сплаве олова? б) Сплав состоит из меди и цинка, массы которых относятся как 3:2. Масса сплава 2,5 кг. Сколько в сплаве меди и сколько цинка? В состав пряжи входят шерсть и акрил в отношении 3:5. а) Сколько шерсти содержится в 240 г такой пряжи? б) Сколько акрила содержится в 200 г такой пряжи? Начертите прямой угол. Разделите его с помош;ью транспортира в отношении: а) 1 : 5; б) 5 : 4; в) 7 : 3; г) 8 : 7. Периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите плош;адь прямоугольника, если известно, что его стороны относятся как: 1) 1 : 5; 2) 1 : 3; 3) 1 : 2; 4) 1:1. Как меняется плош;адь прямоугольника от первого до последнего случая? У какого прямоугольника плош;адь наибольшая? а) Отрезок АВ разделён точкой С на отрезки АС и ВС в отношении 3:5. Какую часть отрезка АВ составляет отрезок АС? отрезок ВС? Какую часть отрезка ВС составляет отрезок АС? б) Массы олова и цинка, входящих в состав сплава, относятся как 5:6. Какую часть массы цинка в сплаве составляет масса олова? Какую часть массы сплава составляет масса олова? масса цинка? а) Число фломастеров в маленькой коробке относится к числу фломастеров в большой коробке как 1:4. Какую часть всех фломастеров составляют фломастеры в маленькой коробке? в большой коробке? Во сколько раз в маленькой коробке меньше фломастеров, чем в большой? ОТНОШЕНЙЯ’ШПКОЦЕНТЫ ,' - да? ^ ■ ■ чЮ{'ГJ 'L 389 390 391 392 393 396 ШавШ б) Брат и сестра разделили плитку шоколада в отношении, равном отношению их возрастов. Брату 10 лет, сестре 15 лет. Какую часть плитки получил брат? получила сестра? Во сколько раз меньше шоколада получил брат, чем сестра? а) Ленту разрезали на две части в отношении 3:5. Длина меньшей части 36 см. Какова длина всей ленты? б) Ленту разрезали на две части в отношении 2:3. Длина большей части 54 см. Чему равна длина всей ленты? Скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста на 55 км/ч, а отношение их скоростей равно 14:3. а) Найдите скорость велосипедиста, б) Найдите скорость мотоциклиста. Отношение длины комнаты к её ширине равно 5:4. а) Найдите плош,адь комнаты, если её длина равна б м. б) Найдите плопцадь комнаты, если её длина больше её ширины на 0,8 м. В двух больших и трёх маленьких коробках 66 карандашей. Число карандашей в маленькой коробке относится к числу карандашей в большой коробке как 5:9. Сколько карандашей в маленькой коробке и сколько в большой? Маме, папе и дочери вместе 75 лет. Папа на 5 лет старше мамы, а возраст мамы относится к возрасту дочери как 3:1. Сколько лет каждому? В зоопарке живут 110 чижей, ужей и ежей. Отношение числа чижей к числу ужей равно 5 : 4, а числа ужей к числу ежей равно 2:1. Сколько в зоопарке чижей, сколько ужей и сколько ежей? Отношение величин. Масштаб а) Скорость велосипедиста 15 км/ч, а мотоциклиста 90 км/ч. Найдите отношение скорости велосипедиста к скорости мотоциклиста и обратное отношение. Что показывает каждое из этих отношений? б) Мотоциклист проехал 210 км, а велосипедист — 35 км. Найдите отношение длины пути, который проехал мотоциклист, к длине пути велосипедиста и обратное отношение. Что показывает каждое из этих отношений? а) Расстояние от дома до школы равно 800 м, а от дома до стадиона — 1,2 км. Найдите отношение расстояния от дома до школы к расстоянию от дома до стадиона и обратное отношение. Что показывает каждое из этих отношений? б) Масса конфет в коробке равна 250 г, а в новогоднем подарке — 1,5 кг. Найдите отношение массы конфет в коробке к массе конфет в новогоднем подарке и обратное отношение. Что показывает каждое из этих отношений? а) Масштаб карты 1 : 5 000 000. Во сколько раз расстояние между двумя точками на местности больше, чем расстояние между соответствуюш;ими точками на карте? Найдите расстояние между городами Санкт-Петербург и Петрозаводск, если на карте оно равно 9 см. Чему равно расстояние между городами Охотск и Якутск, если на этой карте оно равно 17,2 см? I.. I II I 398 399 400 401 402 б) Масштаб плана 1 : 30 000. Во сколько раз расстояние между двумя точками на местности больше, чем расстояние между соответствующими точками на плане? Найдите расстояние между пунктами А и В, если расстояние между ними на плане 3,4 см. Чему равно расстояние между пунктами М и ЛГ, если на этом плане оно равно 7,5 см? а) Масштаб карты 1 : 2 000 000. Во сколько раз расстояние между двумя точками на карте меньше, чем расстояние между соответствующими точками на местности? Каким будет расстояние на карте между городами Волоколамск и Ржев, если на местности оно равно 110 км? между городами Сухуми и Сочи, если в действительности оно равно 125 км? б) Масштаб карты 1 : 5 000 000. Во сколько раз расстояние между двумя точками на карте меньше, чем расстояние между соответствующими точками на местности? Каким будет расстояние на карте между городами Москва и Владимир, если в действительности оно равно 185 км? между городами Москва и Березайка, если на местности оно равно 420 км? Сторона одного квадрата равна 12 см, а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите: 1) отношение стороны большого квадрата к стороне маленького квадрата; 2) отношение периметра большого квадрата к периметру маленького квадрата; 3) отношение площади большого квадрата к площади маленького квадрата. Равны ли отношения периметров и сторон квадратов? площадей и сторон? Ребро одного куба равно 10 см, а другого — 5 см. Найдите: 1) отношение ребра малого куба к ребру большого куба; 2) отношение площади грани малого куба к площади грани большого куба; 3) отношение объёма малого куба к объёму большого куба. Есть ли среди этих отношений равные? а) Расстояние между пунктами X и Y на карте равно 8,5 см, а на местности— 170 км. Найдите масштаб карты. б) Расстояние между пунктами А и В на карте равно 7,2 см, а на местности — 360 км. Найдите масштаб карты. а) Деталь на чертеже, масштаб которого 1:10, имеет длину 3,6 см. Какую длину будет иметь эта деталь на чертеже, масштаб которого 1 : 6? б) Высота мансарды на чертеже, выполненном в масштабе 1 : 25, равна 8,4 см. Чему равна высота этой мансарды на чертеже, масштаб которого 1 : 12? Участок шоссе на карте изображён линией длиной 20 см. Масштаб карты 1 : 200 000. Вертолёт наблюдает за движением транспорта и летит над шоссе со скоростью 100 км/ч. За какое время он пролетит над этим участком? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Отношение числа красных шариков в коробке к числу синих равно 7:2. а) Во сколько раз красных шариков больше, чем синих? б) Какую часть число синих шариков составляет от числа красных? 2. Найдите отношение 6 км к 800 м. 408 3. На вопросы радиовикторины редакция получила 600 ответов радиослушателей. Правильные и неправильные ответы распределились в отношении 3:7. Сколько правильных ответов было получено в редакции? 4. Деталь на чертеже, масштаб которого 1:15, имеет длину 38 мм. Какова длина детали в реальности? Вариант 2 1. Отношение числа зелёных шариков в коробке к числу белых равно 9:2. а) Во сколько раз зелёных шариков больше, чем белых? б) Какую часть число белых шариков составляет от числа зелёных? 2. Найдите отношение 900 г к 6 кг. 3. На вопросы радиовикторины редакция получила 500 ответов радиослушателей. Правильные и неправильные ответы распределились в отношении 2:8. Сколько неправильных ответов было получено в редакции? 4. Длина детали 690 мм. Какую длину будет иметь деталь на чертеже, масштаб которого 1 : 30? Нахождение процента величины и величины по её проценту Выразите процент десятичной дробью и обыкновенной дробью а) 20 %; в) 25 %; д) 40 %; ж) 50 %; б) 60 % ; г) 75 % ; е) 80 %; з) 10 % . При здоровом питании взрослый человек должен получать в день 1400 килокалорий, распределение которых между приёмами пищи показано на диаграмме (рис. 2). Подсчитайте, сколько килокалорий должен получать человек во время: а) завтрака; б) обеда; в) ужина. По плану за неделю нужно было отремонтировать 800 м дороги. За 2 дня бригада выполнила 40 % запланированной работы, за 6 дней — 85 %, за 7 дней — 100 %, за 9 дней Рис. 2 130 %. Сколько метров дороги было отремонтировано к каждому из указанных сроков? Четыре стрелка сделали по 60 выстрелов по мишени. У первого стрелка попадание в цель составило 80 %, у второго — 55 %, у третьего — 95 %, у четвёртого— 75%. Сколько раз каждый стрелок промахнулся? а) Известно, что масса изюма составляет 25 % массы свежего винограда, взятого для сушки. Сколько изюма получится из 48 кг свежего винограда? б) Масса сушёных грибов составляет 11 % массы свежих грибов, взятых для сушки. Сколько сушёных грибов получится из 2 кг свежих? Школьники предполагали собрать 300 р. для внесения в фонд защиты животных. Они собрали 130 % этой суммы. Сколько рублей собрали школьники? Найдите число, если: а) 3 % его равны 60; б) 17 % его равны 340; в) 50 % его равны 18; г) 25 % его равны 31. □□ 418 419 420 421 Магазин вывесил рекламу о снижении цен во время распродажи. Вычислите новую цену товаров. Распродажа Юбки цена 450 р. снижена на 20 % Брюки цена 700 р. снижена на 25 % Магазин покупает товар оптом и при розничной продаже увеличивает его цену на 12 %. По какой цене магазин продаёт товар, если он купил его по цене: а) 3000 р.; б) 2250 р.; в) 11000 р.; г) 35 000 р.? Сколько процентов первоначальной цены товара составила новая цена, если: 1) она понижена на 20 %; на 15 %; на 25 %; на 10 %; 2) она повышена на 20 %; на 15 %; на 25 %; на 10 %? Товар стоил 6000 р. Какой станет цена товара, если: а) сначала её повысить на 10 %, потом понизить на 10 %; б) сначала её понизить на 10%, потом повысить на 10 %? а) Свежие сливы теряют при сушке 70 % своей массы. Сколько сушёных слив (чернослива) получится из 60 кг свежих слив? б) При сушке чайного зелёного листа теряется 96 % его массы. Сколько сухого чая получится из 25 кг зелёного листа? Найдите приближённо: а) 20% от 199 р.; в) 10% от 3025 кг; б) 25% от 599 км; г) 50% от 397 л; Округлите данные и найдите приближённо: а) 19 % от 123 кг; в) 26 % от 810 м; б) 52% от 698 р.; г) 21% от 1999 р.; д) 24 % от 400 р.; е) 19 % от 2500 кг. д) 78 % от 4009 км; е) 9 % от 208 кг. Пешеход за нарушение правил дорожного движения должен до определённого срока заплатить штраф 300 р. За каждый просроченный день сумма штрафа увеличивается на 2 % от первоначальной суммы. Сколько придётся заплатить пешеходу, если он просрочит оплату на 3 дня? а) В школе 400 учаш;ихся. 10 % всех школьников — шестиклассники, 45 % из них — девочки. Сколько девочек и сколько мальчиков в шестых классах? б) В школе 650 учагцихся. 10 % их числа участвовали в конкурсе чтецов, а 40 % из них стали призёрами. Сколько учаш;ихся стали призёрами? Из молока получается 22 % сливок, а из сливок получается Сколько граммов масла получится из 20 кг молока? 18 % масла. В библиотеке 98 000 книг. Книги на русском языке составляют 78 % всех книг, из них 5 % — учебники. Остальные книги на русском языке — это художественная литература и справочники. Количество книг по художественной литературе относится к количеству справочников как 5:2. Сколько в библиотеке справочников на русском языке? II а) В метро 15 % пассажиров читают газеты. Из них 60 % — мужчины. Сколько процентов пассажиров метро составляют мужчины, читающие газеты? б) На выборы пришли 75 % избирателей. За победителя проголосовали 60 % из них. Сколько процентов всех избирателей проголосовали за победителя? 423 Банк принимает вклад на три месяца и в конце этого срока выплачивает 3 % от вклада. Сколько тысяч рублей должен внести клиент банка, чтобы получить доход: а) 75 р.; б) 150 р.; в) 600 р.? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты. А) 0,75 Б) 0,5 В) 0,08 Г) 0,8 1) 50 % 2) 80 % 3) 75 % 4) 8 % 2. Спортсмен-лучник во время тренировки сделал 60 выстрелов по мишени. Попадания в цель составили 65 %. Сколько раз спортсмен промахнулся? 3. При покупке стиральной машины стоимостью 8000 р. покупатель предъявил купон на скидку 5 %. Сколько он заплатит за машину? Вариант 2 1. Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты. А) 0,7 Б) 0,4 В) 0,3 Г) 0,03 1) 40 % 2) 3 % 3) 70 % 4) 30 % 2. Спортсмен-лучник сделал 60 выстрелов по мишени. Попадания в цель составили 95 %. Сколько раз спортсмен промахнулся? 3. Плата за коммунальные услуги составляла 800 р. в месяц. В новом году она выросла на 6 %. Какова стоимость коммунальных услуг? 425 Выражение отношения в процентах Выразите в процентах: а) 0,35; 0,26; 0,03; 0,17; б) 0,5; 0,7; 0,3; 0,1. Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах: 9 а) бензином заполнили — бензобака; 10 б) — учащихся школы едут в школу на автобусе; э 0 в) масса сушёной вишни составляет — массы свежей; 25 . 17 г) магазин продал — привезенного сахара. а) Из 1000 опрошенных школьников 250 назвали физкультуру своим любимым предметом. Сколько процентов опрошенных школьников считают физкультуру любимым предметом? ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ ■I- t- .к б) Из 30 дней месяца 18 дней были солнечными. Сколько процентов в этом месяце составили солнечные дни? в) В школе 250 учащихся, из них 120 занимаются спортом. Сколько процентов учащихся школы занимаются спортом? г) В округе 25 000 избирателей. В выборах приняли участие 13 000 избирателей. Сколько процентов избирателей участвовали в выборах? Контрольную работу по математике писали 150 шестиклассников района, 18 из них получили за работу отметку «5», 66 учеников — отметку «4», 63 ученика получили отметку «3» и 3 ученика— «2». Вычислите в процентах, сколько учащихся выполнили работу на каждую из отметок. а) В начале учебного года в школе было 500 учащихся, к концу года число учащихся возросло на 75. Сколько процентов составляют 75 учащихся от первоначального числа учащихся в школе? На сколько процентов увеличилось число учащихся школы? б) Во время распродажи цена товара, который первоначально стоил 5000 р., понизилась на 500 р. Сколько процентов составляют 500 р. от первоначальной цены товара? На сколько процентов понизилась цена товара? а) Диван, первоначальная стоимость которого 6000 р., был уценён, и его стоимость снизилась на 900 р. На сколько процентов была снижена цена дивана? б) Одна акция компании в январе стоила 120 р., а в феврале стала стоить на 6 р. меньше. На сколько процентов понизилась цена акции? 2 Выразим дробь — приближённо в процентах. Для этого найдём приближён-3 2 ное десятичное значение дроби — с двумя знаками после запятой. В резуль- 3 тате деления уголком числа 2 на число 3 получили в частном 0,666... . Зна- чит, - « 0,67, т. е. 67 %. 3 1 5 Выразите приближённо в процентах: — населения города; — населения го- 3 6 рода; населения города. а) Из 30 дней месяца 9 дней были выходными. Сколько процентов в этом месяце составили рабочие дни? б) Из 50 000 жителей города 15 000 составляют дети до 16 лет. Какой процент жителей города составляет взрослое население? а) Из 40-литровой канистры, наполненной бензином, отлили 8 л бензина. Сколько процентов объёма канистры составляет оставшийся в ней бензин? б) Школьная волейбольная команда из 20 сыгранных за год на соревнованиях игр 12 игр выиграла и ни одной не сыграла вничью. Сколько процентов всех игр команда проиграла? бтНо1иЕНЙЙ®11р6оШнТЬ1 йв 438 439 ,ф 434 В 1998 г. в городе Донце было 280 000 жителей. В 2008 г. численность населения города возросла на 70 000 человек. Ответьте на вопросы: 1) На сколько процентов возросла численность населения города? 2) Сколько процентов от численности населения 2008 г. составила численность населения в 1998 г.? 3) Сколько процентов от первоначальной численности населения составило население в 2008 г.? Десятиклассники выбирали представителя в школьный совет. Голоса распределились между двумя кандидатами в отношении 1:4. Сколько процентов учащихся проголосовали за победителя и сколько за проигравшего? В шестых классах 65 мальчиков и 55 девочек. Сколько примерно процентов от всех шестиклассников составляют мальчики? девочки? 437 В городе А из 21 тыс. избирателей на выборы пришли 13 тыс., а в городе В из 19 тыс. избирателей в выборах участвовали 11 тыс. В каком городе избиратели активнее? На английский язык в течение учебного года в 6 классе отводится 102 урока, а на математику — 170 уроков. Вычислите приближённо, сколько процентов от уроков математики составляют уроки английского языка; сколько процентов от уроков английского языка составляют уроки математики. (Ответ округлите до единиц.) На странице книги 1600 букв. Буква «о» встречается на этой странице 143 раза, буква «и» — 94 раза, буква «с» — 62 раза, буква «ш» — 28 раз. Какой примерно процент всех букв страницы составляет каждая из перечисленных выше букв? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Лыжные костюмы, продававшиеся в двух магазинах по одной и той же цене, весной были уценены. В первом магазине скидка составила - преж- 2 ней цены, во втором — 45 %. В каком из магазинов скидка оказалась больше? 2. Для выращивания рассады кабачков посадили 60 семян, проросло 48 семян. Сколько процентов семян проросло? Вариант 2 1. Два магазина осенью продавали капусту по одной и той же цене. Зимой капуста подорожала. В первом магазине цена повысилась на - прежней 5 цены, во втором — на 15%. В каком из магазинов наценка оказалась меньше? 2. Для выращивания рассады огурцов посадили 50 семян, проросло 45 семян. Сколько процентов семян проросло? 444 445 446 iJS 447 448 Запись и чтение математических выражений и предложений Запишите в виде математического выражения такую последовательность действий: а) число п умножить на 5 и из этого произведения вычесть 25; б) число 7 умножить на /г и это произведение вычесть из 100; в) к числу а прибавить число Ъ и эту сумму умножить на 10; г) из числа а вычесть число Ь и эту разность разделить на число с. 1) Какая последовательность действий и над какими числами задана выражением: а) 4m-hl8; б) 6(b-l-s); в) 50-(д+1); г) {m-nf; д) Зг^; е) а - 5 2) Прочитайте каждое выражение, используя слова «сумма», «разность», « произведение », « частное ». Прочитайте буквенное выражение: а) (a-h4)(d-5); б) bc + ad'. в) а + с а - с г) 2тп; Д) (b-df. а) В каждом яш;ике 20 бутылок минеральной воды. Сколько бутылок в 10 яш;иках? в 15 яш,иках? в п ягциках? б) На одну машину можно погрузить 110 мешков картофеля. Сколько мешков можно перевезти на 5 таких машинах? на 16 таких машинах? на т таких машинах? Длина отрезка равна а см. Чему равна длина другого отрезка, если известно, что: а) он на 10 см длиннее; в) он в 5 раз длиннее; б) он на 7 см короче; г) он в 3 раза короче? Площадь участка равна х м^. Чему равна площадь другого участка, если известно, что он составляет: а) — данной площади; 3 б) четверть данной площади; в) 0,8 данной площади; г) 70 % данной площади? Маме т лет, а её дочери п лет. На сколько лет мама старше дочери? Сколько лет будет дочери через 4 года? Сколько лет было маме 2 года назад? На машину погрузили а ящиков с виноградом по 20 кг и 6 ящиков с персиками по 12 кг. Какова общая масса винограда? персиков? Сколько килограммов фруктов погрузили на машину? Мяч стоит хр., а скакалка стоит ^р., и она дешевле мяча. Каков смысл выражения х-у1 X : у? 2л:? х + Зу? Прочитайте математическое предложение: а) 6® = 125; б) (х - yf = 100; в) (а + 4)(а - 4) = - 16; г) ac + ad = a(c + d). I 451 Прочитайте математическое выражение: т-------- а) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 25; б) 1 + 3 + 5 + 7 + ... 452 I 453 I 454 455 I 456 |'?Я1 ш 457 458 459 + 27j в) 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 100. Запишем число 234 в виде суммы разрядных слагаемых: 2 • 100 + 3 • 10 + 4. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число, имеющее: а) а сотен, Ь единиц; б) k тысяч, т десятков, п единиц. Запишите в виде буквенного выражения: а) произведение двух последовательных натуральных чисел; б) сумму двух последовательных натуральных чисел. Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных натуральных чисел, начиная с числа: а) п; 6) п + З; в) д-2. Запишите в виде буквенного выражения сумму пяти последовательных натуральных чисел, начиная с числа: а) k; б) fe + l; в) /г-1. Выберите и прочитайте все равенства, отвечающие условию: «число а больше числа 17 на 8». а-17 = 8; 17-а = 8; 17-8 = а; 17 + 8 = ц; а-8 = 17; а-ь8 = 17. Каждый пример иллюстрирует некоторое правило. Сформулируйте это правило и запишите его с помощью букв: а) 23 -ь о = 23, б) 8 • 1 = 8, в) 96 • 0,25 = 96:4, 1,7-h о = 1,7, 0,5 • 1 = 0,5, 13,2 • 0,25 = 13,2 : 4, 3 + о = ^ ^ • 1 = 7 7 — • 0,25 = — : 4. 17 17 Вычисление значений буквенных выражений Подставляйте в выражение вместо буквы Ь числа 15; 7,5; 0,125 и каждый раз вычисляйте значение получившегося выражения: а) 0,15-ь6; б) fe-0,12; в) 1006; г) ч 10 Найдите значение выражения: а) 3 + 5а при а = 7; 1,2; 0,04; 0; в) 2-0,1с при с = 0; 0,3; 1,1; 10; б) -(:г -f 6) при х = 3; 1,2; 0,6; 0,03; О г) а^-0,1 при а = 1; 0,8; 0,5; 0,4. Найдите значение каждого из выражений х(х + 1){х + 2); х{х-\‘1){х + 2)(х + 3) при х = 0; 1; 3. Издавна учёные пытались сконструировать буквенное выражение для вычисления простых чисел. Леонард Эйлер, например, смог получить сорок простых чисел, подставляя в выражение п^ + п-\-41 вместо п числа 0, 1, 2, ..., 39. Воспользуйтесь формулой Эйлера и получите несколько простых чисел, подставив вместо п числа 0, 1, 5, 10, 20. Проверьте по таблице простых чисел. I I 462 I 463 464 465 Пусть а = 0,15, &=1,2, с = 0,018, d = 0,45. Найдите значение каждого из вы- » с ас ражении: —; —. аЬ d Прочитайте задачу: «Для конкурса художников приготовили 60 листов бумаги и раздали их участникам конкурса поровну. Сколько человек участвовало в конкурсе, если известно, что их было больше 12, но меньше 20?» Составьте выражение по условию задачи, обозначив число участников конкурса буквой X, и ответьте на вопрос задачи. Прочитайте задачу: «Собственная скорость лодки 8,5 км/ч. За какое время лодка пройдёт 10 км против течения реки?» Составьте выражение по условию задачи, обозначив буквой v скорость течения реки в километрах в час. Определите, какие из чисел 0; 1; 2,5; 8,5; 10 являются допустимыми значениями для буквы v. Составление формул и вычисление по формулам Составьте формулы для вычисления периметра и площади фигуры (рис. 3). а) а б) Ь а Рис. 3 В январе зарплату всех работников завода увеличили в 2 раза. Обозначьте старую зарплату буквой ir, а новую — буквой W и запишите формулу для вычисления новой зарплаты. Определите новую зарплату при it> = 9000 р.; при w=17 000 р. Магазин закупает товар по одной цене (обозначьте её буквой с), а продаёт его по большей цене (обозначьте её буквой п). Запишите формулу для вычисления прибыли от продажи 100 шт. такого товара, обозначив прибыль буквой С. Подсчитайте прибыль, если я = 800 р., с = 550 р.; если я = 7500 р., с = 6000 р. При измерении температуры мы пользуемся градусами Цельсия. Существуют и другие температурные шкалы, например шкала Кельвина. Температура по этой шкале измеряется в кельвинах (К). Если температура измерена в градусах Цельсия (°С), то её можно выразить в кельвинах по следующей формуле: K = °C-t-273. Выразите в кельвинах температуру, равную 0 °С; 37 °С; 100 °С. 469 470 j 471 472 474 й^::Л 475 476 477 Для перевода температуры, измеренной по шкале Фаренгейта (°F), в градусы Цельсия (°С) составляют специальные таблицы. Для этого пользуются фор- мулой °С = 5(°F - 32) Переведите в градусы Цельсия: \ ■; Г J 473 "J а) показания дневных температур в различное время года в канадском городе Калгари: -h68°F, +41 °F, +32 °F; б) показания температуры человека, измеренной по шкале Фаренгейта (результат округлите до десятых): 98 °F, 98,6 °F, 99 °F, 100 °F. Магазин продаёт картофель, расфасованный в бумажные пакеты. Как найти стоимость пакета картофеля? Обозначьте буквами нужные величины и составьте формулу для определения стоимости картофеля. Комната имеет форму прямоугольника со сторонами а и Ь метров. Ширина проёма двери равна 1 м. Сделайте рисунок и составьте формулу для вычисления длины плинтуса L, который укладывают вдоль стен комнаты. Вычислите длину плинтуса, который потребуется для комнаты, если а = 6м, ^? = 3м; а = 4 м, Ь = 5 м. Длины сторон прямоугольного участка земли — х и у метров. Вдоль границы этого участка натягивают трос, чтобы укрепить на нём забор. При этом оставляют проёмы Зм и 1,5 м для ворот и калитки. Сделайте рисунок и составьте формулу для вычисления длины троса L Вычислите длину троса, при л: = 60м, ^=10м; л: = 20м, ^ = 30м. Сторона участка квадратной формы равна а метров. Площадь другого участка квадратной формы составляет 0,16 площади первого. Составьте формулу для вычисления площади второго участка. Вычислите площадь второго участка при а, равном 30, и определите длину стороны такого участка. Длина прямоугольника а см, а ширина составляет 60 % его длины. Запишите формулу для вычисления площади этого прямоугольника. Вычислите площадь при а, равном 10; 5,5. Объём прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, равен: а) 48 см^; б) 81 см^; в) 150 см^. Составьте формулу для вычисления объёма такого параллелепипеда; подберите его измерения, зная, что они выражаются натуральными числами. Фирма выдаёт на прокат велосипеды, при этом плата устанавливается следующим образом: за каждый день проката берётся 50 р. и за оформление заказа ещё 20 р. Обозначьте стоимость проката буквой С и запишите формулу для вычисления стоимости проката велосипеда за п дней. Вычислите стоимость проката велосипеда за 3 дня; за 15 дней; за 24 дня. Турист едет на велосипеде со скоростью 12 км/ч и плывёт на лодке со скоростью 6 км/ч. Составьте формулу для вычисления проделанного туристом пути S км, если он ехал на велосипеде а часов и плыл на лодке Ъ часов. Вычислите S при а = 2, ^? = 3; при а = 2,5, Ь = Ъ. 478 Как подсчитать число квартир в доме, если известно число квартир на одной площадке, число этажей и число подъездов? Обозначьте буквами нужные величины и составьте формулу для определения числа квартир в доме. Составьте формулу для подсчёта числа букв на одной странице книги. Сумма А всех натуральных чисел от 1 до некоторого числа п вычисляется по формуле А = +^)п ^ 1) Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 10; от 1 до 50; от 1 до 100. 2) Как, используя эту формулу, подсчитать сумму всех натуральных чисел от 51 до 100? Чему она равна? Размер телевизионного экрана определяется длиной его диагонали. Длину диагонали, данную в дюймах (d), можно выразить в сантиметрах (/) по формуле I~ 2,5d. 1) Выразите длину диагонали экрана в сантиметрах, если известно, что она -t равна 14 дюймам; 21 дюйму; 29 дюймам. (Ответ округлите до единиц.) 2) Выразите d через I. Пользуясь новой формулой, определите длину диагонали экрана в дюймах, если она равна 51 см; 61 см; 47 см. (Ответ округлите до единиц.) Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Запишите выражение по условию задачи: «Килограмм печенья стоит ар. Сколько стоит коробка печенья, в которой 5 кг?» Вычислите стоимость такой коробки, если 1 кг печенья стоит 80 р. 2. Начертите прямоугольник и обозначьте буквами его стороны. Запишите формулу для вычисления площади прямоугольника. Вариант 2 1. Запишите выражение по условию задачи: «Тетрадь стоит 15 р. Сколько стоит пачка, в которой с таких тетрадей?» Вычислите стоимость такой пачки, если в ней 10 тетрадей. 2. Начертите прямоугольник и обозначьте буквами его стороны. Запишите формулу для вычисления периметра прямоугольника. Вычисления по формулам длины окружности и площади круга Радиус земного шара равен примерно 6340 км. Вычислите длину экватора. (Возьмите 71 ~ 3,14. Ответ округлите до сотен.) Чему равна длина окружности, диаметр которой равен 1 м? Чему равна площадь круга, диаметр которого равен 1 м? Площадь круга равна к м^. Чему равна длина окружности этого круга? 487 488 489 490 491 494 495 Продолжите предложение, вставляя пропущенные числа: 1) Если диаметр круглого ковра 20 дм, то его площадь ...дм^. 2) Если площадь круглого ковра 314 дм^, то его диаметр ...дм. Клумбу в форме круга с радиусом 120 см делят на 8 равных секторов. Сравните площадь каждого сектора с 0,5 м^. Бабушка раскатала тесто в виде квадрата со стороной 30 см и стаканом вырезала 9 кругов диаметром 8 см. Какова площадь обрезков? Ответ округлите до сотен. Международная космическая станция вращается вокруг Земли по круговой орбите, имеющей высоту 450 км над уровнем моря. Какова длина этой орбиты, если средний радиус Земли равен 6371 км? Возьмите к равным 3,14 и ответ округлите до сотен. Решение уравнений и задач с помощью уравнений Решите уравнение, объясняя каждый шаг решения (№ 491—494): в) -X = 6; г) 10: л: = 100; д) х:5 = 5. г) 3 - -X = 2. 3 а) Зх = 2; б) 0,1х = 5; а) 5л:+10 = 20; б)3 + 0,5л: = 6; в)2л:-7=17; а) (7 - л:) + 2 = 8; б) 12 - (л: - 3) = 9; в) 7 + (л + 3) = 15; г) (4 + л:) - 5 = 1. а) 4(л: + 3)=16; б) 10(1 + л:) = 40; в) 2(л:-4)=1; г) 15(3-л:) = 45. Запишите с помощью уравнения условие задачи (№ 495—496): а) На первой полке в 2 раза больше книг, чем на второй. Всего на двух полках 54 книги. Сколько книг на второй полке? б) В коробке 18 красных и синих карандашей. Красных карандашей вдвое меньше, чем синих. Сколько красных карандашей? а) Дорога от дома до школы проходит мимо почты. Расстояние от дома до почты на 200 м больше, чем расстояние от почты до школы. Всё расстояние от дома до школы равно 1500 м. Чему равно расстояние от почты до школы? б) Одна из сторон прямоугольника на 3 м больше другой, а его площадь равна 10 м^. Чему равна меньшая сторона прямоугольника? Решите задачу, составив уравнение (№ 497—498): а) В спортивной секции занимаются 30 ребят, причём мальчиков на 12 больше, чем девочек. Сколько девочек и сколько мальчиков в этой секции? б) За два разных журнала Игорь заплатил 56 р. Один из них дешевле другого на 6 р. Сколько стоит каждый журнал? 498 I 499 I 500 501 502 503 504 505 506 t 507 ! Щ а) Журнал дороже газеты в 2 раза, а вместе они стоят 84 р. Сколько стоят журнал и газета в отдельности? б) Тесьму длиной 60 см разрезали на две части так, что одна из них оказалась в 3 раза длиннее другой. Чему равна длина каждой части тесьмы? Решите уравнение (№ 499—503): а) (1,2-x)+1 = 1,8; в) 0,7-f(л:-н 1) = 2,5; б) 1-(л:-0,3) = 0,1; а) 0,1 (л: + 3) = 9; а) х + (х + 4)= 10; а) (6 + 2х) + х = 9; а) JC + 0,5л: = 3; г) (1 -I- л:) - 3,1 = 5; б) 2(л:-4) = 1; б) (д:-Ы) + (л: + 3) = 5; б) 8 -I- 4л: -t- X = 18; б) X + -X = 12; 3 д) 10-(х-7,7) = 0; е) (1 - х) - 0,6 = 0. в) 1,5(4-х) = 6. в) X -ь (х -ь 2) + (х + 4) = 7. в) x-f- 2 4- Зх = 14. в) X -I- —X = 28. ' 4 В буквенное равенство (а-1)(а-1-1) = а^-1 вместо а подставили натуральное число и получили 19*21 = 399. Догадайтесь, чему равно а. Запишите с помощью уравнения следующие предложения: а) сумма двух последовательных натуральных чисел равна 193; б) сумма трёх последовательных натуральных чисел равна 54; в) произведение двух последовательных нечётных чисел равно 255; г) произведение трёх последовательных нечётных чисел равно 480. Решите задачу, составив уравнение (№ 506—507): а) Доску длиной 4 м распилили на 2 части так, что одна из них составила 0. 6.другой. Чему равна длина большей части доски? 3 б) Число учащихся в 6А классе составляет — от числа учащихся в 6Б клас- 4 се. Всего в двух классах 56 учеников. Сколько учеников в 6Б классе? а) Из куска ткани длиной 4,8 м сшили полотенце и 6 салфеток. На полотенце пошло в 2 раза больше ткани, чем на одну салфетку. Сколько ткани пошло на одну салфетку? б) В 3 одинаковых пакета и одну коробку разложили 15 кг яблок. В коробку поместилось в 2 раза больше яблок, чем в каждый пакет. Сколько килограммов яблок поместилось в каждый пакет? Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Составьте уравнение по условию задачи: «Задумали число, вычли из него 8, результат умножили на 6, получили 90. Какое число задумали?» 2. Решите уравнение: а) 10х ч- 11 = 101; б) 15 - (х - 4) = 5. Вариант 2 1. Составьте уравнение по условию задачи: «Задумали число, умножили его на 10 и прибавили 12, получили 72. Какое число задумали?» 2. Решите уравнение: а) 2х - 10 = 40; б) 14 + (9 - х) = 20. 509 517 518 Сложение целых чисел Вычислите сумму (№ 509—510): Ю (“6) + (—3); в) (+2) + (+8); б) (+3) + (-4); г) (+8) + (-1); а) (-29)+ (+13); б) (+54)+ (-12); в) (-47)+ (-37); г) (-40)+ (+28); д) (-5) +(-6); е) (-5) +(+4). д) (-28)+ (+28); е) (-63)+ (-19). Выполните сложение (№ 511—514): а) (-4)+ 9; б) 6 +(-9); а) (-16)+ 29; б) 43+ (-68); а) 24+ (-50); б) -26+ (-53); а) -52 + 112; б) 49+ (-428); в) (-5) + 3; г) (-8)+ 8; в) 28+ (-13); г) (-49)+ 49; в) -40+ (-29); г) -92 + 17; в) 54+ (-223); г) -37+ (-527); д) 8 +(-2); е) 9 +(-9). д) (-64)+ 21; е) 56+ (-56). д) -27 + 43; е) -81 + 28. д) -324+ (-41); е) 438+ (-43). Вычислите сумму: а) 51+(-20)+ 35; б) -57+ 36+ (-63); в) 42+ (-35)+ (-32); г) -39+ 11+ (-27); д) 32+ (-73)+ 98; е) -37 + 54 + 17. т Подставьте в выражение указанные числа и выполните вычисления: а) 46 + с, с = -25; в) 20 + а + Ь, а = -48, &=14; б) Ь + ЗЗ, г? = -60; г) а + 15 + с, а = -30, с = -10. Вычислите сумму: а) -1 + 2 + (-3) + 4 + (-5) + 6 + (-7) + 8 + (-9) + 10; б) 1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 + (-6) + 7 + (-8) + 9 + (-10); в) -1 + (-2) + (-3) + (-4) + (-5) + (-6) + (-7) + (-8). Запишите выражение и найдите его значение: а) сумма чисел, противоположных числам 20, 40 и 60; б) число, противоположное сумме чисел -35, -13 и -12. 520 Вычитание целых чисел Вычислите разность, заменив вычитание сложением: а) -15-(-3); в) -18-(-22); д) -Ю-(-28); б) 40-(-65); г) 14-(-44); е) -62-(-18). Выполните вычитание: а) 8-15; г) -7-14; б) 10-47; д) -29-31; в) 42-50; е) -28-22; ж) -30-325; з) -240-57; и) -110-215. 524 525 526 Вычислите: а) 19-(-1), -19-(-1), 19-1, -19-1; б) -10-100, 10-100, -10-(-100), 10-(-100); Найдите значение выражения: а) -250-(-250); б) 140-(-140); в) 0-15, о-(-15), -15-0, 15-0. в) 327-327; г) -115-115. Найдите значение разности т-п: а) при т = 76, п = -92; б) при /тг = -44, п = -16; в) при т = -60, п = -20. Найдите неизвестное число, обозначенное буквой х: а) х-27 = -33; в) -51-лс = 10; д) 100-х = -200; б) х-48 = -100; г) -1б-л: = -34; е) 45-л: = -150. Подсказка, Воспользуйтесь правилом нахождения неизвестного уменьшаемого или неизвестного вычитаемого. Например: 1) д:-10 = -20, л:=10-ь(-20), jc = -10; 2) -50-х = -100, л: = (-50)-(-100), д: = 50. 1) Представьте число -30 в виде: а) суммы двух отрицательных чисел; б) суммы положительного числа и отрицательного числа; в) разности двух отрицательных чисел; г) разности отрицательного числа и положительного числа. 2) Объясните, почему число -30 (а также любое другое отрицательное число) нельзя представить в виде разности положительного числа и отрицательного числа. Запишите выражение и найдите его значение: а) число, противоположное разности чисел 3 и -5; б) разность числа -8 и числа, противоположного 10. 528 Вычисление значений выражений, составленных из целых чисел с помощью знаков «+» и «-» В каждом случае замените вычитание сложением и найдите значение получившейся суммы: а) 36-40 +(-6); б) 15-32-(-13); в) -41 -(-29) + 50; г) -23-17-24. Образец. -6-11-(-8) = -6 + (-11) + 8 = -17 + 8=-9. Представьте выражение в виде суммы и выполните сложение: а) 30 - 75 - 10; в) 29-92-11; д) 19 - 95 + 28; б) -54 + 11-28; г) -46-39 + 57; е) -18-52-40. Образец. -24-16 + 35 = -24 + (-16) + 35 = -40 + 35 = -5. 533 534 535 536 Найдите значение выражения: а) -45 -54 + 11; в) -38 -39 + 17; б) -36 + 27 - 63; г) 41 - 90 + 13; д) 72-93-17; е) -13-15-28. Не записывая выражение в виде суммы явно, выпишите входящие в эту сумму слагаемые: а) 32-45-20; в) -12-11 + 9; б) -60 + 30 - 48; г) -25 - 35 - 45. Образец. Сумма: -9-12 + 5; слагаемые: -9, -12, 5. 1) Вычислите, сложив сначала два слагаемых одного знака: а) 14-90 + 26; в) -13 + 11-22; д) -19 + 11 + 48; б) 25 - 42 - 18; г) 27 + 16-50; е) -54 + 17 - 26. 2) Вычислите значение этих же выражений другим способом: складывайте числа последовательно в том порядке, в котором они записаны. Какой способ вам нравится больше? Найдите значение выражения, рассматривая его как сумму: а) -38 -25 + 17-14; в) 51 - 60 - 21 - 18; б) 12 - 46 - 11 + 14; г) 30 - 75 + 60 - 85. Вычислите значение выражения (№ 533—535): а) -8 + 9-10 + 11-12 + 13-14 + 15; б) 9-10 + 11-12 + 13-14 + 15-16; в) -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10, I В В II II а) 1-2 + 3-4 + 5-6 + ... + 99-100; б) -1 + 2-3 + 4-5 + 6-...-99 + 100. а) -59-(-48+ 11); б) 36-(-15+ 28); в) -29-(-71-95); г) 27-(72-93); д) _17_(_1з + 28); е) 35-(-25-49). Зная, что а = 70, Ь = -50, с = -25, найдите значение выражения: а) -а-(Ь + с); б) а-{Ъ-с). в) 5+ (-32). Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Найдите сумму: а) -24+ (-15); б) -48 + 48; 2. Вычислите разность: а)-8-(-13); 6)5-18; в) -12-13. 3. Найдите значение выражения: а) -25 + (-27) + 12; б) -45 - 58 + 33. II II II Вариант 2 1. Найдите сумму: а) -32 + (-6); б) 8 + (-23); в) -36 + 36. 2. Вычислите разность: а) 5-(-12); 6)7-15; в) -10-12. 3. Найдите значение выражения: а) -57+ (-45)+ 22; б) -72 + 48-16. Умножение и деление целых чисел Вычислите произведение (№ 538—539): а) 5 • (-12); в) 7 • (-24); д) -3 • 49; б) -6 11; г)-13 -4; а) -8 • (-2); б) -25-(-4); в) (-12)-(-6); г) (-15) .(-3); е) 16 (-7). д) -13 (-10); е) -41. (-8). 542 Вычислите частное (№ 540—541): а) -72: 8; в) 30 : (-6); б) -16:4; г) 35: (-7); а) -12:(-3); б) -63 : (-9); в) (-60): (-15); г) (-100): (-25); Вычислите значение выражения: а) -15-8; в) (-36) • (-3); б) -12 .(-6); г) (-56): (-7); д) 140: (-20); е) 120 : (-8). д) -360: (-12); е) (-220): (-11), Д) -32 : 8; е) 90 : (-30). Найдите значение выражения: а) (-56 + 56) • (-7); г) 64 : (-32 + 31); б) (36-37) .(-40); д) -144 : (-18 + 17); в) (-28+ 29)-(-13); е) (-31 + 31): (-13 + 12). Определите знак произведения, а затем найдите его значение: а) -4.11. (-25); в) -3 . (-10). 7; д) (-5). (-3). (-20); б) 153.(-6); г) -8.11.20; е) -11 . (-4). (-5). Вычислите: а) -60 : 3 : (-4); б) -120:(-10):(-3); в) -84 : 6 : (-2); г) -96 : (-8): 4; д) 96 : (-6): 2; е) -98: (-7): (-7). Вычислите значение выражения: а) -(40 . (-2)); г) -(60 : (-20)); б) -(-25. (-6)); д) -(-160):(-8); в) -(-1).(-8).(-12); е) -(-84 : (-12)). 549 550 Каким числом — положительным, отрицательным или нулём — является значение произведения: а) (-1). (-2). (-3). (-4). (-5). (-6). (-7). (-8) • (-9); б) (-1). (-2). (-3). (-4). (-5). (-6). (-7). (-8); в) (-3).(-2).(-1) 01.2.3; г) 1 . (-1) • 2 • (-2). 3 • (-3) • ... • 10 • (-10)? Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение нескольких целых чисел, не равных нулю, если: а) число отрицательных множителей чётно; б) число отрицательных множителей нечётно? Найдите неизвестный множитель: а) 25 • (-4) • л: = 2000; б) л: • (-40) • (-50) = -2000; в) 15 X. 10 = -1500; г) -8* 125-д: = -3000. Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Найдите произведение: а) -5-3; б) -4-0; в) -8-(-9); 2. Вычислите: а) -18-20 •(-!); б) -20 • (-14) • (-5). 3. Найдите частное: а) -16: 4; б) -40 : (-8); в)12:(-1); Вариант 2 1. Найдите произведение: а)4.(-3); б) -7* (-8); в)-б.(-1); 2. Вычислите: а) -15 • (-1) • (-40); б) -25 • (-12) • 4. 3. Найдите частное: а) -15:3; б) 0 : (-4); в)-30 : (-6); г) -72.(-1). г) 0:(-5). г) 0.(-7). г) -13:(-1). 552 Разные действия с целыми числами Вычислите (№ 552—553): а) 50-4 17; в) -8-4-18; б) -6-5 + 35; г) -1-(-5)-25; а) 48-(-3)-28; б) 37 + 3 - (-14); д) 100+ 12-(-10); е) -80-3-(-20). в) 400-56 -10; г) 60-14 -8. 558 559 560 561 Определите, положительным или отрицательным числом является значение выражения, и выполните вычисления: а) -15 *(10-20); в) 7-(-28)-34; б) -3. (-14) 4-(-2). (-15); г) -30+ (-10) *(-25). Вычислите (№ 555—556): а) -20 : 4 + 9; б) 5 + 44 : (-4); в) 60 : (-15)-10; г) -20 : (-5)+ 4. а) (-7 + 5-4): 2; б) (3-11+ 2): (-6); в) (-10-20-30): 12; г) (8 + 2-8-10): (-4). 557 Найдите значение выражения: а) -5.(-4)*(-3): 12; б) 12(-5):(-6).(-l); в) -125 : (2-27)-(-10); г) -800: 40-(-5+ 9). Вычислите: а) (26-76): (24-14); б) (-81-23): (8-60); в) (-14). (-12): (4-32); г) (1-56): (1-12). Выполните действия: а) 36 (-45): (-90); б) 68.(-12):(-102); в) -105 • (-16): 56; д) 34 • (-72): 153; г) 72 . (-16): 144; е) 56 • (-28): 49. Подсказка. Можно выполнять действия по порядку, как они записаны. Но тогда придётся умножать столбиком и делить уголком. Поэтому удобнее записать выражение в виде дроби, используя в качестве знака деления дробную черту, а потом эту дробь сократить. тт rrf\ / 1 г/л *^0 * 15 7 • 15 Например: 70 • (-15): 50 = - 50 = -21. Вычислите, используя рациональный приём: а) 15.27-15.37; в) -13.15 + 12.15 - 17.15 + 15.15; б) 57.58-58.59; г) 24.23 - 23.25 + 29.23 - 28.23. Найдите значение выражения: а) 100-а-Ь при а = -8, Ь = -20; б) а:Ь + 20 при а = -200, & = 4; в) -ЗаЬ при а = -11, Ь = 6; г) (а + Ь):с при а = -18, ^ = -12, с = 6. 562 Найдите значение каждого выражения при а = — 10, & = 7, с = — 15: а) а - Ь • с; -(а.&.с); -а . (-&). с; а-Ъ^ (-с); б) а-{Ъ-с)\ -а-{Ь + с); Ь-а-с; с-а-Ь; в) а . (с - Ь); Ь. (а-с); с . (а + Ь); (а - Ь). (Ь + с). 563 564 566 567 А 'б' , В ( \ -li , С [-1-1 .6, 2j 3 V / Сравнение рациональных чисел. Модуль числа а) Изобразите координатную прямую с единичным отрезком 6 клеток. Отметьте на ней точки 0(0), £(1), А Сравните числа — и -1^; 1 и -1—; -1^ и -1^; О и -1^; О и 6 2 3 2 о 2 о б) Изобразите координатную прямую с единичным отрезком 4 клетки. Отметьте на ней точки 0(0), А(-0,5), Б(-2,5), С(1,25). Сравните числа 1 и -0,5; 1,25 и -2,5; -2,5 и -1,25; О и 1,25; О и -0,5. а) Начертите координатную прямую с единичным отрезком 3 клетки. От- 2 метьте на ней точки 0(0), А , В . С(-1), D -l2 . Расположите в по- 12 2 рядке возрастания числа О, —, 1—, -1, -1 — . Ответ запишите цепочкой 3 3 3 неравенств, б) Начертите координатную прямую с единичным отрезком 6 клеток. Отметьте 1 6 на ней точки 0(0), А 1^ 6 . В(\), с , D -li Расположите в порядке 5 11 возрастания числа О, 1—, 1, , -1-. Ответ запишите цепочкой неравенств. 6 6 3 На рисунке 4 схематически показано, как расположены относительно друг друга числа -3,1 и -1,7. -зл -и Рис. 4 Покажите схематически, как расположены относительно друг друга на координатной прямой заданные числа, и сравните их: а) б и -7; б) -6 и 7; в) -4,6 и -8,5; г) -- и -1-. 5 3 Сравните числа (№ 566—567): а) -105 и 0; б) -87 и 3; в) 15 и -90; г) О и -55. а) О и -12,7; б) -54,6 и 23,7; в) О и -0,1; г) 0,01 и -0,1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА' 8 1 а 2 4 7 ^ч- 568 Определите модуль числа и запишите ответ в виде равенства: а) 0,5; 0; -2,15; Y 4 в) 2i; -loi, -8; б) 3,43; 0; -5,2; Образец. I-7,84 I = 7,84. г) -1; 5—; -3—. 11 15 569 Используя знак модуля, запишите, на каком расстоянии от начала координат находится точка: а) А(1,6); б) В(-2,8); в) С(27); г) D -7^ 3 д) ^:(-12,5); 1 е) F 16 6 ж) ЛГ(0,05); з) L(-0,8); и) 0(0). 570 Образец. А(1,6); АО = | 1,6 |= 1,6. Найдите: а)|50|; в)|-1,6|; д) б) 1-1281; г) е) |-9,3|; ж) I 0,5 I; з) |-0,5|. 571 Определите, модуль какого из заданных чисел больше, и запишите вывод с помощью знака модуля: а) -100 и 20; в) 2,3 и -2,3; ч 1 1 д) — и-----; ■^^4 10 б) 3 и -3; г) 1,7 и -0,4; Образец, а) | -100 | > | 20 |. ч 3 1 7 ^ “7-4 5 2 573 Сравните числа (№ 572—573): а) -3,4 и-3,7; б) -2,1 и-0,2; в) -0,48 и-4,8; г) -15,2 и-0,152. шш ч 1 1 а) -- и --; ЯЧ 2 3 ^ 3 4 в) -2| и -з|; Ч 1 1 1 1 г) -1---- И -1------ 10 100 574 На координатной прямой отметили числа 0, а, Ь (рис. 5). Сравните: а) а и 0; Ь и 0; а и Ь; б) | а | и 0; | ^ | и 0; 1 а | и | Ь |. ч, Р? Ш. f Mi [ 575 I На координатной прямой отметили числа О, а, Ь, с (рис. 6). - • - - - - - \ 1 ( г 1 1 1 г Рис. 6 Сравните: а) а и 0; Ь и 0; 0 и с; б) а и ft; с и а; Ь и с; в) |6| и |с|; |а| и |с1; |а| и |6|. 576 Числа а и Ь —• отрицательные, и | а | >| 6 |. Какое из неравенств верно: а>Ь или а<Ы Lizi I 578 Числа а и Ь — отрицательные, и а<Ь. Какое утверждение о модулях чисел а и Ь верно? 1) I а I < I & |; 2) I ^ I > I а |; 3) | а | > | Ь |; 4) для сравнения не хватает данных. 579 1 При каких значениях а верно равенство: а) |а| = |-а|; б) |а| = -|а|? Верно ли утверждение: а) если а = Ь, то \а\ = \Ь\; б) если |а| = |^|, то а = Ь? 580 Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Определите модуль числа и запишите соответствующее равенство с исполь- зованием знака модуля: а) б) 2,7. 3 2. Сравните числа: а) -3,8 и -2,7; б) -1у и 0. 11 1 3 3. Выберите из чисел — —; —; ——; — — наименьшее. 4. Расположите в порядке возрастания числа: -0,3; -4,8; 2,5; -2,5. Вариант 2 1. Определите модуль числа и запишите соответствующее равенство с исполь- зованием знака модуля: а) —; б) -4,2. 4 2. Сравните числа: а) 0 и -2-; б) -4,3 и -5,1. 9 12 13 3. Выберите из чисел —; —; ——; — наибольшее. 2 5 6 5 4. Расположите в порядке возрастания числа: 0,4; -0,4; -0,8; -4,2. 1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА - ^ ^ 2\Щй'Л-7 K4W-»,VV.* :iv* 581 583 585 r 586 Сложение и вычитание рациональных чисел Выполните сложение (№ 581—583): а) -| + •^ + i; 7 7 -1^ б) + 5 5 10 10 в) 9 9 а) 1 + 1 2 4 лч 1.2 б)--+ —\ 6 3 -1 + 5 J_ 10 ч 3 , 1 “8 ^ I’ 7 _3^ 14 12 а) -3,2+ (-4,3); б) 3,5+ (-8,3); в) -0,37 + 2,4; -7,2 + (-3,11); 9,1+ (-1,9); -17,9 + 3,12; -0,48+ (-2,7); 3,8+ (-0,15); -13,1 + (-1,31). Выполните вычитание (№ 584—586): ч 3 4 5 ■ 5 б) 2 _ 3 1 5' 7 7^ 9 , 9, 3 2' 5 3 9 9 \ у 8 ^ 8, "12 - 12 15 7 ч 1 1 -2 - 4’ 1 лч 3 3. ^>8-1’ 15 J_ 14 11. 2 3. _1 _ 1. 3 2’ 5 4’ 9 2’ а) -4,8 - 5,9; б) 6,2-(-1,2); в) 7-9,3; 1,2-12,3; -7,3-(-0,13); -8-(-1,01); -15,1-1,51; -0,25-(-1,2); 8-(-3,17). Ы. 11 ш 587 Выполните действия: 111 2 3 6 ’ б) i - i + ii; 9 3 18 ,3 11 , 1 в)--------h -- 7 14 28 8 - 2 + I’ Ч 2 1 4 ^>3-5+15= е) -1 + i - А 3 4 12 Вычислите (№ 588—589): h 88 К- ,1 • 1 : 1 1 589 Й Л 4 590 , 3 1 . 1 , 2 / \ 1 7 ; д) 3 11 а) 7- [2 4j ; в) -- + То 15 14 28 V / 3 , 1 _ 2 ; г) 2 9 1 2 1 - + 7 14 21 5 10 к / + д! е) 7 14 1 ’ 2 21' а) -3,5 + (4,1-7,1); б) (-2,3-7,1)-4,2; в) -0,15-(-2,7-0,15); г) (-4,1-0,42)+ 7; д) -2,9-(3,11-0,49); е) 7,4-(8,1-9,17). Найдите значение выражения (№ 590—591): 1 2 1 . 1 ч2 3, 3 ^ 4 2 _ 1 -U 1 2 3 5 .3 5^ [1 l1 1 3 и б] 3 4 2 2 3 3 [б 3J [т 5j а) (3,5-2,9)-(3,7-9,1); б) (1,4-3,1) + (5,6-8,7); в) (7,2-9,13)-(4-8,23); Вычислите: а) 31 - 5|; б) - 1|; в) 3| - 5|; -i + 2-; 3 5 -31 + 1; 2 9 2- - gi г) (0,48-1,2)-(0,92-1,4); д) (1,5-6,1) + (1,9-9,1); е) (3,9-10)-(8-9,29). li - 3i; 2 9 4i- -1 3- - -li Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Выполните действия: 1 а) - + ^ 3 «4 1. 3’ в) 0,43+ (-3,2); г) 2,6-(-0,2). 2. Вычислите: а) -0,6+ 5-4,5; б) 2,7- 3,5 -8,5 + 1,1. 594 595 596 597 598 599 .■4 Вариант 2 1. Выполните действия: а) - + 1,3 -5 + 5 = в) 3,4+ (-0,2); г) -0,51-0,6. 2. Вычислите: а) 0,8-2-3,4; б) -2,1 + 3,6- 5,5 + 7,4. Умножение и деление рациональных чисел Выполните умножение (№ 594—595): »“i 3 '_4 5 2 8 ‘ 9 ’ 6 ■ 15 V / А 1 16 ’ 9 в) 7 ^ _8_. 8 * 21’ 5 _ 3 ( * \ _ 9 9 * 10 11 20 а) -0,15*4; б) -7,2 *0,15; в) -4,2 *(-7,5); -14*0,45; -0,18 *(-4,9); 3,8 *(-1,15); -0,5 (-3,7); 4,9 *(-0,1); -4,6 (-0,07). Выполните деление (№ 596—598): в) 3 . 1 2 . 4 3; 5] 4 , 2. ’ 3 * 9’ 5 ■ [ 9, > _3 1 _2 _1 3 9 8 16’ 3 9 ’ 7 ■ . 14, 3 . 2 8 4 9 , 9 5 ‘ , 15 / 9 * 5’ 10 ' 2( 3 . / \ _1 2 4 / _3 . _5 4 2 \ / ’ 3 * 9’ 5 9 ) > _3 1 . _2 . l' 3 i 8 16’ 3 ’ 7 * 14 3 . _ 2 8 4 9 . _ 9 5 ‘ 15 ’ 9 • 5’ 10 ■ 20 а) -6,4 : 0,4; б) -5: (-0,25); -7,2: (-0,6); -14,4 : 1,8; 0,48: (-5); 12,5: (-0,25). Вычислите: / \ 3 2 2 3 1 4 1 а) 4j 5; V ) > з] > 2 V / б) (-1,1)"; (-0,3)^’; (-0,2)^; (-0,1)' ш. 600 601 602 ? t- ь-*, l;r:~ .н/ 605 Сравните: а) (-0,4)^ и 0,2; (-10)^ и (-10)^ в) -0,3 и -0,5^ г) (-0,1)“ и -(-0,1)®. Выполните действия (№ 601—604): .) -I б) 3 • 3 4 9 в) -8: 3 9 . д) 3 4 5 5 ‘ ю’ 5 2 '5. ‘ 9J’ г) _4 3 9 ’ 8 : (-2); е) 7 15 5; 14 з' . 25, , 4, а) 3,6-2,7: (-8,1); б) 7,2 (-0,15): 4,5; в) -1,3-6,4: (-5,2); г) -4,2 : 2,8 : (-0,5); д) -6,3 : (-1,8)-3; е) -8,1 : (-3,6)-(-11), 3 • 4’ в) 1 3 6 . ^ 2 7 7 2j ; г) 1- : 604 а) 1 ■2t. б) . 5 / \ _ 6 4j 6 1 2j 25 \ / Все действия с рациональными числами В каких случаях все три дроби равны: и 2. _2 -5’ 5’ 5 Вычислите: ч 1 1 -3 - 4 = б) -ll - ±; 5 10 8’ 8 ' в) ^ 8 6 . 5 5 ^ 12 8’ -2’ 2’ 2 ’ 8 8 4) -3= -I - != «) -if + if; ж) ^ ^ 9 б’ ч 7,3 з) --+ — 12 4 Вычислите устно (№ 607—608): а) 1 3. 3 5 4 7 4 4’ 8 8’ 9 9’ 1 1; ^ - 1; ii-2; 7 6 8 -2- 1,3; -2,4 -5; -1,6 в) О г) 1 9’ О - 11 5 6 ; 0 - -1- 3j _L. 3 . 1 _ 8 7^ > -L 5 б) 0,8-1; 0,3-2; 0,1-1; 0,2-3; в) 4,1-7,4; -2,6 + 3; -7,7-3,2; -1,5 + 0,7. 1;:: 609 610 j 611 612 613 614 Найдите значение выражения: б) -12 Вычислите устно: 1-2. 5 . в) -5 • 3 - 2 4 ‘ 12’ . 10, - - 2 [4 J 5 ' 12’ г) -5 • _ 3 10 \ - 2 . -7 + 5 2 = г) -8 - 10 9 ’ , -7 + 6 ж) 2 : f- -- р ■ .С'»- - ^ - б) -3 ’ д) -7 + 7 5 ’ -4 - 16 3) _5 ’ ■ Ш: в) + 2 ’ е) 4-10 3 ’ -13 + 3 и) _2 • |Г;- Найдите значение выражения: а) 1,7 .(-4) -1,6-5 ; в) 2.(-1,8-0,4): (-3,6 + 4,!); б) 3,6-2,3. (-0,73 -0,37); г) -5,6: (3,2-2,4)+ 3,4-1,5. а) -3,8 + 17,15-6,2-6,15; 1 1 3,1 ^ 4 7 4 7 в) 0,4 -(-7,8) 0,25; Вычислите устно: .3-5 _1 ^ , 3- + 5 ( \ 1 2 ‘ ' , 2, -6 • 1- + \ li; 1 2 3j -2 е) -0,85-0,3-0,85-0,7. 5-3 0,4 - 0,6 0,6 - 0,4 в) 11 2 3 г) - 11 3 2 1 - 0,72 0,72 д) - е) 3-0,2. 0,2 - 3’ (2,4 - 0,7) 0,7 - 2,4 Даны выражения: о,9-0,5; -0,9-0,5; -0,9 + 0,5; 0,5 + 0,9. Выберите из них то, значение которого: а) равно значению выражения 0,5-0,9; б) противоположно значению выражения 0,5-0,9. Известно, что 2,87 • 3,56 = 10,2172. Найдите значение выражения: а) -2,87 • 3,56; в) -((-2,87) • (-3,56)); б) -(-2,87 • 3,56); г) -(-(-(-2,87 • 3,56))). Сравните с нулем: а) (-4,7)*^ (-1,001)»®“; / \ -5+ 25 11 loj 12 \ / 22 б) (-1,2)»®-(-1,5)®; (-3,2)2». (-1,8)»®; (-5Д)25 . (_2,5)Ц; (-3,4)^® • (-2,8)»®. U 617 Самостоятельная работа. Вариант 1 1. Выполните действия: а) -1 . б) 5,4 : (-0,9); в) • (2); г) (-1,5)^ 2. Вычислите: а) f; б) f в) 1,2-(-5) • (-3); г) (-3,2- 1,7): 0,7. 7 5 4 о 3. Сравните с нулём (-2,37)'^. Вариант 2 1. Выполните действия: а) -| • (-1); б) -5,6 :0,8; в) | • (-3); г) (-0,3)^ 2. Вычислите: а) “| + |’ б) f “ в) 1,4-(-3)-(-4); г) (-4,2 - 2,2): 0,8. 3. Сравните с нулём (-5,18)®. 618 620 621 Решение задач на «обратный ход» Разберите, как решена задача: Задумали число, умножили его на 12, результат уменьшили на 10 и получили 50. Какое число задумали? Решение. Действия с числами изобразим схематически (рис. 7), затем обратным ходом найдём неизвестное число. 1) 50-h 10 = 60; 2) 60:12 = 5. Ответ: 5. х12 -10 50 :12 +10 Рис. 7 Используйте приём «обратного хода» для решения следуюш;их задач: а) Я задумал число, разделил его на 10, результат увеличил на 13 и получил 23. Какое число я задумал? б) Я задумал число, уменьшил его на 18 и результат умножил на 5. Получилось 35. Какое число я задумал? а) Я задумал число, разделил его на 7, результат уменьшил на 3 и новый результат умножил на 4. Получилось 20. Какое число я задумал? б) Я задумал число, умножил его на 8, результат уменьшил на 10 и новый результат умножил на 5. Получилось 70. Какое число я задумад? а) После взлёта самолёт поднялся на заданную высоту. Через некоторое время он опустился на 200 м, затем поднялся на 450 м, опустился на 130 м и вновь поднялся на 150 м. В результате он оказался на высоте 7270 м. На какой высоте был самолёт первоначально? б) К 12 ч дня утренняя температура повысилась на 10°, затем после дождя она опустилась на 5°, к 4 ч дня температура снова повысилась на 2°, к вечеру опустилась на 7° и стала равной 18°. Какой была температура утром? 622 624 625 626 II 627 а) На первой остановке в автобус вошло 7 человек, а вышло 13, на второй остановке вошло 10 человек, а вышло 6. В автобусе осталось 25 человек. Сколько человек было в автобусе до первой остановки? б) Продавш,ица насыпала в пакет сахар, добавила 100 г — оказалось больше чем 2 кг. Она убрала 60 г — оказалось меньше чем 2 кг, добавила 15 г и получила ровно 2 кг. Сколько граммов сахара она насыпала в пакет первоначально? а) В горшок с мёдом кролик добавил 0,4 л мёду, а медвежонок съел 0,75 л. Затем кролик добавил ещё 0,85 л мёду, и в горшке стало 2 л мёду. Сколько литров мёду было в горшке первоначально? б) За первую неделю месяца медвежонок поправился на 0,4 кг, за вторую похудел на 0,25 кг, за третью поправился на 0,1кг, а за четвёртую ещё на 0,55 кг. После этого он стал весить 12 кг. Сколько весил медвежонок в начале месяца? а) Турист прошёл половину пути и ещё 1 км, и ему осталось пройти 12 км. Какова длина всего пути? б) Турист прошёл половину пути и ещё 3 км, и ему осталось пройти ещё 11км. Какова длина всего пути? а) Библиотека из фонда детских книг передала интернату половину книг и ещё 30 книг, после этого она передала половину оставшихся и ещё 10 книг. В результате в библиотеке осталось 150 детских книг. Сколько детских книг было в библиотеке первоначально? б) Туристы половину пути и ещё 1 км проехали на автобусе, половину остатка и ещё 1 км прошли пешком. Им осталось пройти 13 км. Какова длина всего пути? а) Потратили половину имевшейся суммы и ещё 1 тыс. р., потом половину остатка и ещё 1 тыс. р. После чего осталось 25 тыс. р. Сколько денег было первоначально? б) У брата и сестры имелось по некоторой сумме денег. Когда брат потратил половину и треть остатка своих денег, а сестра — треть и половину остатка своих, у них осталось по 50 р. У кого из них было больше денег первоначально? а) Старинная задача. Зашли три путника на постоялый двор и спросили себе картофеля. Пока хозяин варил картофель, они заснули. Через некоторое время проснулся один из них, съел третью часть картофеля и снова заснул. Затем проснулся другой, съел третью часть картофеля и заснул. Наконец, проснулся третий и, не зная, что его спутники уже ели картофель, съел третью часть и снова заснул. На блюде осталось 8 картофелин. Сколько картофелин было подано первоначально? б) Старинная задача-шутка. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у неё половину всех яиц и ещё пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца. Третья купила последний десяток. Сколько яиц принесла крестьянка на базар? Понятие множества. Выделение подмножеств Прочитайте следующие утверждения и выпишите те из них, которые являются верными: а) ISgN, 13 gZ, 13 gQ; в) -26 eN, -25 gZ, -25 gQ, б) 0 G iV, 0 G Z, 0 G Q; I I I Запишите на символическом языке утверждение: 10 в) число-------не целое; о а) число 10 — целое; б) число -10 не является натуральным; г) число 37 — натуральное. Пусть С — множество обыкновенных дробей, которые можно представить 3 17 3 10 в виде десятичных. Какие из чисел —, —, —, —, — являются элементами 4 15 20 75 30 этого множества, а какие не являются? Запишите ответы с помощью знаков G и ^2. Задайте перечислением элементов множество значений п, при которых будет верным двойное неравенство: а)-5<тг<3; 6)-6^n^0; b)|/i|^3; г) \п\<2. Сколько элементов содержит множество: а) цифр десятичной системы счисления; б) букв русского алфавита; в) простых чисел, меньших 30; г) двузначных чисел, меньших 100? 1) Какое из двух множеств не содержит ни одного элемента, т. е. является пустым: а) множество людей, которым больше 100 лет, или множество людей, которым больше 200 лет; б) множество летающих рыб или множество летающих крокодилов; в) множество треугольников, у которых два прямых угла, или множество четырёхугольников, у которых два прямых угла; г) множество чисел, кратных 10 и не кратных 100, или множество чисел, кратных 100 и не кратных 10; д) множество десятичных дробей, которые не представимы в виде обыкновенных, или множество обыкновенных дробей, которые не представимы в виде десятичных? 2) Придумайте свои примеры множеств, которые являются пустыми. Пусть А — множество однозначных натургильных чисел. 1) Опишите словами каждое из следующих подмножеств множества А: {1; 3; 5; 7; 9}, {2; 4; 6; 8}, {3; 6; 9}, {1; 2; 3; 4; 5}. 2) Укажите ещё какие-нибудь три подмножества множества А. 636 637 Опишите словами следующее множество: а) {-1; -2; -3; -4; -5; г) {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ...}; б) (2; 4; 8; 16; 32; ...}; д) (0,2; 0,22; 0,222; 0,2222; 1 2 3 4 5 1 в) {4; 8; 12; 16; 20; ...}; е) 2 3 4 5 6 Сколько элементов содержит множество: а) целых чисел, больших -100, но меньших 50; б) двузначных чисел, в записи которых присутствует цифра 1; в) правильных дробей с числителем, равным 1, которые больше 0,1 и меньше 0,5? 1) О множествах А, Б и С известно, что Ас: В и В с: С. Какое соотношение связывает множества А и С? 2) О множествах А, Б и С известно, что AczB и А с С. Каким может быть соотношение между множествами В и С7 В каждом случае проиллюстрируйте свой ответ с помощью кругов Эйлера. Операции над множествами Даны множества А = {9; 12}, Б = {3;9;15}, С = (3; 6; 9; 12}. Запишите с помощью фигурных скобок следующие множества: ei) АГ\В, А(\С, В(\С; б) А U Б, А U С, Б U С. Пусть L, М — множества букв, с помощью которых записываются соответственно слова «зима», «озимый», «зимовье». Перечислите элементы каждого из этих множеств. Найдите множества: а) iT П L П М; б) iiT U L U М. На прямой а отмечены точки К, L, М vl N (рис. 8). К М N Рис. 8 Какое множество является: а) пересечением множеств точек отрезков КМ и LN7 объединением этих множеств? б) пересечением множеств точек отрезков LM и MN1 объединением этих множеств? в) пересечением множеств точек отрезка KN и прямой а? объединением этих множеств? Пусть С — множество целых чисел, которое задаётся первым неравенством, а D — множество целых чисел, которое задаётся вторым неравенством. Найдите множества СПБ и СУБ: а) -6<ж2и-2<л<3; в) -3<ц<2и 1^71^4; б) -4^ц^0и-1^т1^1; г) |тг|^1 и |тг1^2. II II II I II ' ;,v' N. • , ' ■ ^ 1' ' ' ~lf ■ M^KfC-^A. К^Б^ИЙАТОРИКА 645 ■■v" л4 ■.■'■'^^г=Ч^,■SIS5Г Для каждого из данных чисел запишите множество всех его делителей и обозначьте эти множества буквами А и Б. Запишите множество А П Б и укажите его наибольший элемент. Чем он является для данных чисел? а) 45 и 30; б) 10 и 20; в) 15 и 14. Назовите пять элементов множества, которое является пересечением множеств чисел: а) кратных 3 и кратных 11; в) кратных 6 и кратных 10; б) кратных 20 и кратных 40; г) кратных 20 и кратных 12. В каждом случае укажите наименьший элемент множества. Чем он является для данных чисел? Даны множества: А = {1; 2; 3; 123}, Б = {2; 3; 23}, С = {0; 1; 3; 23}, Б = {0; 2; 20; 23}. Найдите множества: а) (А П Б) и Б; б) С П (Б U Б); в) (А U Б) П (С U Б); г) (А U (Б П С)) П Б. На рисунке 9 прямоугольник изображает множество натуральных чисел N, круг С — множество чисел, деляш;ихся на 3, круг Б — множество чисел, деляш;ихся на 4. Прямоугольник разбивается кругами на четыре области. Приведите примеры чисел, относяш;ихся к каждой из этих областей, и опишите словами соответ-ствуюш,ие множества чисел. Подсказка. А — множество чётных чисел, кратных 5. Рис. 9 Решение задач с помощью кругов Эйлера Разберите, как решена задача, и закончите вычисления: По результатам опроса 52 шестиклассников было установлено, что 23 из них собирают значки, 35 собирают марки, а 16 — и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько человек не увлекаются коллекционированием? Решение. Воспользуемся кругами Эйлера. На рисунке 10 большой круг изображает всех опрошенных шестиклассников, круг 3 — шестиклассников, собираюш;их значки, круг М — шестиклассников, собираюпцих марки. Большой круг разбивается кругами 3 и М на непересекаюпдиеся области, каждой из которых соответствует некоторая категория шестиклассников. Будем последовательно вписывать в эти области соответствующие числа (рис. 11). 1) Значки и марки собирают 16 человек. Впишем число 16 в пересечение кругов 3 и М. 2) Значки собирают 23 человека, а значки и марки — 16 человек. Тогда только значки собирают: 23-16 = 7 человек. Впишем число 7 в свободную часть круга 3. ш II 650 3) Только марки собирают: 35-16=19 человек. Занесём число 19 в схему. 4) Узнаем, сколько человек занимаются коллекционированием: 16 + 7 + 19 = человека. 5) Не занимаются коллекционированием: 52-___=_____ человек. Ответ: ___человек. В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. На рисунке 12 круг С изображает жильцов с собаками, круг К — жильцов с кошками. Сколько жильцов имеют и собак, и кошек? Сколько жильцов имеют собак? имеют только собак? Сколько жильцов имеют кошек? Сколько жильцов не имеют ни кошек, ни собак? Изобразите на кругах Эйлера ситуацию, придумайте вопрос и ответьте на него: а) В понедельник в магазине 12 человек купили только телефон, 4 человека — только автоответчик, а 5 человек — телефон с автоответчиком. 6) Все 10 человек, которые во вторник купили телефон, купили и автоответчик, а 7 человек купили только автоответчик. Из 80 туристов, приехавших в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 — Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные театры посеш,ать не хотят. Сколько человек не собираются идти в театр? Подсказка. Начертите круги Эйлера. Сначала занесите в схему 12 человек, которые хотят посетить оба театра. В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимаются волейболом и 9 — баскетболом, и нет таких, кто не занимался хотя бы одним из этих видов спорта. Сколько мальчиков занимаются и тем и другим? Как изменится ответ, если известно, что один из мальчиков не занимается спортом? Подсказка. Сколько человек из 15 не занимаются волейболом? Какая область на схеме им соответствует? ■ ■■'1 652 653 При опросе 100 семей выяснилось, что у 78 из них есть телевизор, у 85 — холодильник, а у 8 семей нет ни телевизора, ни холодильника. Сколько семей имеют и телевизор, и холодильник? На рисунке 13 круг А изображает всех сотрудников института, знающих английский язык, круг Н — знающих немецкий и круг Ф — французский. Сколько сотрудников института знают: а) все три языка; б) английский и немецкий; в) французский? Сколько всего сотрудников в институте? Сколько из них не говорят по-французски? Рис, 13 На пикник поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 50 человек, с сыром — 60 человек, с ветчиной — 40 человек, с сыром и колбасой — 30 человек, с колбасой и ветчиной — 15 человек, с сыром и ветчиной — 25 человек, 5 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки? Подсказка, Начертите схему, аналогичную рисунку 13. Вначале занесите в неё 5 человек, взявших все три вида бутербродов. 659 Решение комбинаторных задач перебором вариантов Сколькими способами можно расположить в ряд буквы «о», «р», «т»? Какие из получившихся трёхбуквенных слов имеют смысл в русском языке? Сколько существует десятичных дробей с тремя знаками после запятой, у которых целая часть равна 0, а дробная составлена из цифр 1, 2 и 3, причём каждая используется один раз? В театральном буфете имеется 5 сортов пирожных. Сколькими способами девочка-сластёна может выбрать два из них, если она хочет взять обязательно разные пирожные? Подсказка, Занумеруйте сорта пирожных, присвоив им номера от 1 до 5. В первенстве по футболу участвуют 7 команд. Сколько состоится матчей, если: а) каждая команда должна сыграть с каждой один раз; б) каждая команда должна сыграть с каждой два раза — на своём поле и на чужом? Каждый из двух друзей может получить за контрольную по математике любую отметку — от «2» до «5». Сколько существует вариантов получения ими отметок? Выпишите все эти варианты. Сколько различных трёхзначных кодов можно составить, если использовать только цифры 3 и 6? 660 Запишите все возможные десятичные дроби с тремя знаками после запятой, у которых целая часть равна 1, а для записи дробной используются только цифры 2 и 3, причём каждая используется хотя бы один раз. Подсказка. Слова «хотя бы один раз» означают, что каждая цифра может использоваться только один раз, только два раза или все три раза. Человек, пришедший в гости, забыл код, открываюш;ий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и содержит четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придётся перебрать, чтобы открыть дверь? Подсказка. Выпишите сначала все коды, содержаш;ие одну единицу, затем две единицы, далее три единицы. Сколько четырёхзначных чисел можно записать, используя для этого только цифры О и 7? 663 Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6 и 8? 664 665 666 667 668 669 В алфавите племени УАУА имеются только две буквы— «а» и «у». Сколько различных слов, содержаш;их не более трёх букв, можно составить, используя алфавит этого племени? Выпишите все возможные двузначные и трёхзначные числа, которые можно составить из цифр О, 1, 2, 3, используя каждую цифру в записи числа только один раз. Сколько всего таких чисел? Сколькими способами можно разменять Юр. монетами по 1, 2 и 5р.? (Считайте, что имеется необходимое число монет каждого достоинства.) Задача Леонарда Эйлера. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько суш;ествует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу? Имеется ткань двух цветов: голубая и зелёная — и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько суш;ествует различных вариантов обивки этой мебели? Егор и Андрей играют в настольный теннис до трёх побед. (Ничьих в настольном теннисе не бывает.) а) Предположим, что первую партию выиграл Андрей, вторую и третью — Егор. Сколько существует вариантов дальнейшего хода их поединка? Запишите каждый из них. б) Сколько существует вариантов развития поединка, при которых Андрей выиграет со счётом 3:2? Запишите каждый из них. в) Сколько всего существует вариантов хода их поединка? Комбинаторные задачи, которые можно решить умножением Разберите, как решена задача: Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок, выбора конверта с маркой? Сколько существует вариантов А. КОМБИНАТОРИКА 675 Решение. 1) Занумеруем конверты числами 1, 2, 3, а марки числами 1, 2, 3, 4. 2) Построим дерево возможных вариантов (рис. 14): • можно выбрать любой из 3 конвертов, поэтому из корня дерева проведём 3 ветви; • на любой конверт можно наклеить любую из 4 марок, поэтому из каждой ветви первого уровня проведём по 4 ветви. 3) Найдём с помопдью умножения, сколько всего получилось вариантов: 3 • 4 = 12 вариантов. К М Рис. 14 Не прибегая к построению дерева, дайте ответ на вопрос предыдущей задачи, если имеется: а) 2 вида конвертов и 5 видов марок; б) б видов конвертов и 10 видов марок; в) т видов конвертов и п видов марок. В магазине продаются рубашки 4 цветов и галстуки 8 цветов. Сколько существует способов выбрать рубашку с галстуком? От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались? На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных вариантов обеда из трёх блюд можно составить по предложенному меню? Указание. Постройте дерево всевозможных вариантов; оно должно содержать 3 уровня. У Портоса есть 2 пары сапог — со шпорами и без шпор, 4 разные шляпы и 3 разных плаща. Сколько у него вариантов одеться по-разному? В кружке 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту кружка и его заместителя? Аликвотные дроби Математики Древнего Египта «настоящими» считали только дроби, выражающие какую-либо одну долю целого — так называемые единичные или аликвотные дроби. Другие дробные числа они записывали не единым символом, а в виде суммы аликвотных дробей. Если, например, в результате измерения получалась дробь 4’ -1.1 то ответ выражался суммой 2 4* Для упрощения практических расчётов составлялись специальные таблицы, содержащие представления некоторых дробных чисел в виде суммы аликвотных дробей. Одна из таких таблиц обнаружена в древней рукописи «Папирус Ахмеса», названной так по имени учёного, рукой которого она была написана. Вот как в расшифрованном виде выглядят некоторые содержащиеся в таблице записи: А = i + J_ 11 6 66’ А = i + А + _L, 13 8 52 104 2 = i + А + А, 7 6 14 21 А = А + _А. 99 66 198 ■Г Убедитесь сами, что эти равенства действительно верные. В том же «Папирусе Ахмеса» есть такая задача: разделить 7 хлебов между 8 людьми. По-египетски эта задача решалась так. Долю, приходящуюся на каждого человека, т. е. дробное число —, выражали в виде суммы долей 8 - -н — -ь —. Значит, каждому человеку надо было дать полхлеба, четверть 2 4 8 хлеба и восьмушку хлеба. Заметьте, такое решение ещё и удобно: вместо того чтобы каждый хлеб резать на 8 частей, достаточно было четыре хлеба разрезать пополам, два хлеба — на 4 части и один хлеб — на 8 частей. Используя рисунок 15, представьте число 1 в виде суммы трёх аликвотных дробей. Запишите соответствующее равенство и проверьте его. л£ I I __L_, Рис. 15 Старинная задача. Персидский крестьянин завещал трём своим сыновьям 17 верблюдов, причём первый должен был получить — часть всех верблюдов, di 1 1 „ второй-----часть, а третий---. Братья думали долго, но разделить наслед- 3 9 ство по завещанию отца так и не смогли. Мимо на верблюде проезжал Ходжа Насреддин. Он предложил присоединить к верблюдам ещё и своего и решить таким образом возникшую проблему. И действительно, братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причём Ходжа Насреддин получил своего верблюда обратно. Сколько верблюдов досталось каждому сыну? Квадрат со стороной, равной 1, разделили пополам, затем одну его половину опять разделили пополам, одну из получившихся половинок ещё раз разделили пополам и т. д. Используя рисунок 16, докажите, что 1 + i + i + i + + 2 4 8 16 32 64 На сколько сумма аликвотных дробей, записанных в левой части неравенства, отличается от 1? Допустим теперь, что сумма в левой части неравенства, построенная по тому же закону, содержит 100 слагаемых. Будет ли неравенство по-прежнему верным? Представьте в виде суммы различных аликвотных дробей следующую дробь; ,5 ^.7 а) -^ 8 Образец. 8 88288248 5 10 А + JL = 1 ^ 10 10 2 10 Используя аликвотные дроби, покажите, как можно разделить три яблока между четырьмя людьми, не разрезая каждое на 4 части. Рассмотрите равенства: 3 = 1 + 1. 1=1 + 1 + 1. 15 = 1 + 1 + 1+^. 4 2 4 8 2 4 8 16 2 4 8 16 Подметьте закономерность и «сконструируйте» следующее равенство. Проверьте себя, выполнив сложение дробей. Не выполняя сложения дробей, объясните, почему верно каждое неравенство: 1 + 1 + 1 + 1>1; 1 + 1 +i+... + i>l. 4 5 6 7 2 8 9 10 15 2 Подметьте закономерность и запишите следующее неравенство. Найдите значение суммы i + A + + + + 6 12 20 30 42 56 72 90 заменив каждое слагаемое разностью аликвотных дробей: 2 • 3 J_ 12 3 • 4 Задача о пауке и мухе Представьте, что на согнутом листе бумаги с одной стороны от линии сгиба сидит муха (М), а с другой — паук (/7) (рис. 17, а). Паук стремится как можно быстрее доползти до мухи. Значит, ему нужно выбрать кратчайший а) i п у % б) Рис. 17 путь от точки П до точки М. Чтобы указать пауку кратчайший путь к его жертве, развернём лист и соединим точки /7 и М отрезком (рис. 17, б). Снова согнув лист, мы получим искомый путь. Понятно, что длина пути не зависит от того, согнут или развёрнут лист. Решение задачи не изменилось бы, даже если бы две половинки листа были «склеены» и паук при этом оказался на одной стороне листа, а муха — на другой (рис. 18, а). Пауку, чтобы добраться до мухи, надо доползти до края, а затем уже ползти по другой стороне листа. Как и в предыдущем случае, надо развернуть лист и соединить в этой плоскости точки П и М отрезком (рис. 18, б). б) Рис. 18 Паук и муха сидят на соседних гранях куба, ребро которого равно 4 см (рис. 19, а). Сделайте в тетради рисунок, который поможет вам найти кратчайший путь паука к мухе. Измерьте его и покажите этот путь на кубе. Паук и муха сидят в противоположных вершинах куба, ребро которого равно 4 см (рис. 19, б). Сделайте в тетради рисунок, который поможет вам найти кратчайший путь паука к мухе. Покажите, что путь, который идёт сначала по ребру куба, а затем по диагонали грани, длиннее. Сколько существует вариантов движения паука к мухе кратчайшим путём? в) Рис. 19 Открытая коробка имеет форму куба. Паук сидит на внешней стороне грани, а муха — на внутренней стороне противоположной грани (рис. 19, в). Сделайте в тетради рисунок, который поможет вам найти кратчайший путь паука к мухе. о колесе, и не только о нём Одно из самых важных изобретений, сделанных человеком, — это обыкновенное колесо. Схематично колесо можно представить как круг, через центр которого перпендикулярно его плоскости проходит ось. Вокруг этой оси колесо и враш;ается. Когда колесо катится по дороге, его ось находится на одном и том же расстоянии от её поверхности. Это расстояние равно радиусу колеса. Именно поэтому человек, который едет на любом колёсном механизме по дороге без рытвин и бугров, не испытывает неудобств от тряски. Круг — это фигура постоянной ширины. Так говорят потому, что, когда круг катится вдоль прямой, он «заметает» полосу одной и той же ширины (рис. 20). Это свойство круга использовали с самых древних времён в тех случаях, когда надо было переместить на значительное расстояние что-то очень большое и тяжёлое. Для этих целей обычно брали круглые брёвна одинакового диаметра, на которые клали платформу с грузом. Платформу толкали сзади, в результате брёвна начинали катиться. Платформа, а вместе с ней и груз плавно перемещались по дороге. Как только заднее бревно высвобождалось из-под платформы, его тут же переносили вперёд, и движущаяся платформа снова «захватывала» его. Именно таким способом древние строители передвигали огромные камни и плиты, массивные скульптуры, а путешественники перетаскивали свои корабли, преодолевая участки суши (рис. 21). Рис. 20 Рис. 21 Возьмите несколько круглых карандашей одинакового диаметра и с их помощью, воспользовавшись описанным выше способом, переместите какой-нибудь предмет. В качестве платформы можно взять лист картона. Круг «катится» по прямой. При этом точка А описывает линию, которая называется циклоидой (рис. 22). Проследите сами, как получается циклоида. Для этого вырежите круг из бумаги, отметьте на его границе точку и «прокатите» его вдоль какой-нибудь прямой, фиксируя некоторые положения этой точки. Представьте, что у вас есть квадратное «колесо», которое стоит на прямой дороге (рис. 23). Колесо начинает катиться по дороге, последовательно перекатываясь через свои вершины. Изобразите линию, которую будет описывать: а) вершина квадрата А; б) точка пересечения диагоналей О. Рис. 24 Удивительно, но круг — не единственная фигура постоянной ширины. Более того, таких фигур бесконечно много. Самая известная из них — треугольник Рело, названный по имени придумавшего его немецкого механика Франца Рело. Построить треугольник Рело очень просто. Начертим равносторонний треугольник. Заменим его стороны дугами окружностей, центрами которых являются вершины, а радиусами — стороны треугольника (рис. 24). Полученная фигура, составленная из дуг окружностей, и называется треугольником Рело. (Любопытно, что на самом деле эта фигура треугольником не является.) Треугольник Рело имеет постоянную ширину, равную стороне исходного треугольника. Её также можно использовать в качестве катка при перемещении по плоской поверхности, но изготовить гораздо сложнее, чем круг. Постройте треугольник Рело, взяв за основу равносторонний треугольник со стороной 6 см. Вырежите его. Начертите на листе бумаги полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 6 см. «Прокатите» треугольник Рело по этой полосе. Если вы всё сделали правильно, он всё время будет касаться обеих прямых. Треугольник Рело катится по прямой. Изобразите линию, которую описывает вершина этого треугольника. Постройте пару параллельных прямых, касающихся треугольника Рело. Проведите ещё пару касательных, перпендикулярных первой паре. Фигура окажется «запертой» в квадрате и будет касаться каждой из его сторон (рис. 25). Вырежите фигуру, сохранив при этом квадратную рамку. А теперь вращайте фигуру внутри квадрата. Вы убедитесь, что она будет постоянно прилегать к его сторонам. Нарисуйте эмблему для математической олимпиады, взяв за основу треугольник Рело. Рис. 25 Бесконечное деление Вы знаете, что не всякую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. Например, нельзя представить в виде десятичной дробь —. (Объясните почему.) Попробуйте разделить «уголком» числитель этой дроби на знаменатель и посмотрите, что при этом будет происходить. Начиная с некоторого шага, в остатке повторяется одно и то же число 4. Этот процесс никогда не закончится, а поэтому в частном будет бесконечно повторяться одна и та же цифра 3. Получим запись: 0,5833333333333333333333333.... 100 9 6 12 Л ^ 0,5 8 3\32^ 40 36 40 3 6 40 36 4 ------V t I -4.0 33 11 0,3 6 36, 7 0 66 V ^ ~зз \ ^ 70, h- - - L 66\ ■ , 4 —1—м —^—п — Рис. 26 Рис. 27 Проведём ещё один опыт. Рассмотрим дробь — • также не обращается в десятичную. Разделим «уголком» её числитель на знаменатель. Деление привело к бесконечному чередованию в остатке чисел 7 и 4, поэтому и в частном будут бесконечно повторяться, чередуясь, одни и те же цифры — 3 и 6. В результате получится запись: 0,36363636363636363636363636.... Такие выражения, как 0,583333... или 0,363636..., называют периодическими бесконечными дробями. В них периодически повторяется одна и та же цифра (или одна и та же группа цифр). И вообще если обыкновенная дробь не обращается в десятичную, то при делении «уголком» её числителя на знаменатель получается бесконечная периодическая дробь. Разделите числитель на знаменатель «уголком» и убедитесь в том, что деление продолжится бесконечно. Назовите повторяющиеся остатки и повторяю- 1 5 11 щиеся цифры в частном: —; —; —. ^ 3 6 9 Представьте в виде бесконечной периодической дроби число 27 а) С какого знака после запятой начинают повторяться цифры в частном? б) Какая цифра стоит на 12-м месте после запятой? на 20-м? на 100-м? Запишите какую-нибудь обыкновенную дробь, которая не обрагцается в десятичную. Выполните для неё такое же задание, как в упражнении 1. Запишите все правильные обыкновенные дроби со знаменателем 9. Выразите в виде периодической бесконечной дроби первые три числа из этого ряда. Не выполняя деления «уголком», выразите в виде периодической дроби остальные числа из этого ряда. Дробь — представляется в виде бесконечной периодической дроби следую- пдим образом: — =0,142857142857.... Представьте все остальные правильные дроби со знаменателем 7 в виде бесконечной периодической дроби, выписав первые двенадцать знаков после запятой. Выполните действия с периодическими бесконечными дробями и дайте ответ в виде обыкновенной дроби или натурального числа. Указание, Воспользуйтесь для этого результатами упражнения 4. Путешествие в Зазеркалье Вы, конечно, читали замечательные истории о девочке Алисе, приключившиеся с ней в Стране чудес и в Зазеркалье, придуманные Льюисом Кэрроллом. Его настояш;ее имя — Чарлз Доджсон, и был он математиком. Мысль о стране, лежаш;ей по ту сторону зеркала, была подсказана ему одной маленькой девочкой — дочерью его приятеля, которую звали Алисой. Вот какой разговор произошёл однажды между ними: «— Сначала скажи мне, — проговорил он, — подавая мне апельсин, в какой руке ты его держишь. — В правой, — ответила я. — А теперь, — сказал он, — подойди к зеркалу и скажи мне, в какой руке держит апельсин девочка в зеркале. Я с удивлением ответила: — В левой. — Совершенно верно, — сказал он. — Как ты это объяснишь? Я никак не могла это объяснить, но, видя, что он ждёт объяснения, решилась: — Если бы я стояла по ту сторону зеркала, я бы, должно быть, держала апельсин в правой руке? Я помню, что он засмеялся. — Молодец, Алиса, —сказал он. — Лучше мне никто не отвечал». Эта проблема волновала не только математиков, но и философов. «Что может сильнее походить на мою руку, — писал немецкий философ Иммануил Кант, — чем её отражение в зеркале? И тем не менее я не могу совместить ту руку, которую я вижу в зеркале, со своей рукой». Стоя перед зеркалом, мы видим в нём внешне двусторонне симметричную «фигуру». Симметричные объекты, как мы знаем, не меняются при отражении в зеркале, именно поэтому они могут быть наложены на свои зеркальные двойники. Это и создаёт у нас неправильное представление о том, что мы сами и наше отражение совершенно одинаковы. Не только среди людей есть левши, а есть правши. В геологии, например, различают правые и левые кристаллы минералов, в химии — два веш;ества, состоящие из одних и тех же атомов, способы соединения которых образуют зеркальную пару, а физики считают, что частица и античастица представляют собой две зеркальные формы одного и того же образования. 1) Назовём многоугольник 1 левым. Каким будет многоугольник 2? А многоугольник 3? Можно ли совместить многоугольник 2 с многоугольником 1, передвигая по листу бумаги? А многоугольник 3 с многоугольником 1? Что надо сделать, чтобы совместить эти два многоугольника? 2) Можно ли совместить (т. е. надеть одну на другую) правую и левую варежки? Что надо для этого сделать? Проделайте этот опыт, взяв пару варежек. 1) Скрещивая руки на груди, мы завязываем их узлом. Сделать это можно двумя разными способами (рис. 29). Встаньте перед зеркалом и сравните отражения в первом и втором случаях. Рис. 29 2) Скрестите руки как обычно, возьмите верёвку за концы (один конец в левую руку, другой — в правую) и разъедините руки, не выпуская верёвку. Узел, которым были завязаны руки, перейдёт на верёвку. Повторите опыт, сложив руки наоборот. Одинаковыми ли будут узлы в первом и втором случаях? Для выполнения задания вам потребуются прямоугольное зеркгшьце и волчок. Поставьте волчок перед зеркалом, как показано на рисунке 30, а, и закрутите его по часовой стрелке. Сравните направления вращения волчка и его отражения. Положите теперь зеркало на стол, а волчок поставьте на зеркало (рис. 30, б). Снова закрутите волчок и посмотрите, совпадают ли в этом случае направления вращения волчка и отражения. С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРЮСЫ а т б) Рис. 30 1) Чтобы выполнить это задание, приготовьте два прямоугольных зеркальца и какой-нибудь предмет, например карандаш или ластик. Поставьте зеркала под углом 120° друг к другу и положите перед ними карандаш (рис. 31). Сколько теперь стало карандашей? Повторите опыт, сделав угол между зеркалами равным 90°, 60°, 45°. Сколько карандашей вы увидите в каждом случае? 2) Конструкция из двух зеркал, расположенных под некоторым углом друг к другу, используется в детской игрушке калейдоскоп — волшебной трубе, со-здаюш,ей из разноцветных осколков стекла бесконечное множество узоров. Возьмите, например, несколько разноцветных фишек или других мелких предметов и расположите их перед зеркалами. У вас тоже получится узор. 3) Возьмите два прямоугольных зеркальца и поставьте их друг к другу под углом 90°. Поднеся руку к зеркальной конструкции, проверьте, меняет ли она местами правое и левое, как делает это одно зеркало. Интересно, что в таком зеркале вы можете видеть себя таким, каким вас видят окружающие. (В этом состоит преимущество трюмо перед обычным зеркалом.) 4) Расположите эту конструкцию так, чтобы ваше отражение перевернулось вверх ногами. Рис. 31 V" •К"'- - Гг в худшем случае Часто для ответа на вопрос задачи приходится рассматривать самый «неудобный» вариант из всех возможных, или, как говорят, худший случай. А для этого важно уметь правильно определять, какой из вариантов худший. Пример. Имеется непрозрачный мешок, в котором лежат 5 белых и 2 чёрных шара. а) Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар? Какой случай здесь самый худший? Очевидно, тот, когда мы будем вынимать всё время только чёрные шары. В худшем случае, взяв даже 2 шара, белый J шар мы не вытащим. Но если мы вынем 3 шара, то тогда уж точно по крайней мере один из них окажется белым. б) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар и хотя бы один чёрный? Худшим здесь будет случай, когда мы сначала будем вытаскивать одни белые шары и только потом попадётся один чёрный шар. Поэтому потребуется вытащить 5 -1-1 = 6 шаров. Заметьте, что случай, когда сначала попадаются одни чёрные шары, лучше, поскольку уже третий шар окажется белым. Выбор худшего случая зависит от того, каких шаров больше — белых или чёрных. в) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них оказались 2 шара одного цвета? Худший случай — когда сначала идут шары разных цветов. Это возможно, если мы вытащим 2 шара одного цвета. Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие «вы выиграете» было достоверным? В непрозрачном мешке 5 синих, 3 жёлтых и 1 зелёный шар. Сколько шаров в худшем случае придётся вытащить, чтобы среди них обязательно оказался синий шар? жёлтый шар? зелёный шар? синий шар и жёлтый шар? жёлтый шар и зелёный шар? В коробке лежат 100 шаров трёх цветов — синего, зелёного и белого. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из коробки, чтобы среди них оказалось 30 шаров одного цвета? Указание. Рассмотрите худший случай, когда число шаров разных цветов практически одинаково (например, 33 синих, 33 белых и 34 зелёных). В шкафу 10 пар ботинок с 36-го по 45-й размер — по одной паре каждого размера. Какое минимальное количество ботинок надо наугад вынуть из шкафа, чтобы из них можно было составить хотя бы одну пару? В ящике комода лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода не глядя, чтобы среди них оказалась пара носков одного цвета? В коробке лежат 10 пар коричневых и 10 пар чёрных перчаток одного размера. Сколько перчаток нужно взять из коробки не глядя, чтобы среди них оказалась пара перчаток одного цвета? Указание. Не забудьте, что в паре перчаток одна на левую руку, другая на правую. а) Есть 2 двери с разными замками и 2 ключа к этим дверям. Покажите, что одной пробы достаточно, чтобы подобрать ключ к каждой двери. ДОПОЛН1/1Т€ЛЬНЫЕ ВОПРЮСЫ б) Есть 3 ключа от трёх дверей с разными замками. Достаточно ли трёх проб, чтобы подобрать ключ к каждой двери? в) Имеется 5 ключей от пяти комнат с разными замками. Сколько проб потребуется в худшем случае, чтобы подобрать ключи ко всем комнатам? г) Иван-царевич добыл ключи от нескольких комнат в подземелье, но не знает, какой ключ от какой комнаты. Сколько комнат в подземелье, если в худшем случае ему потребуется 21 проба, чтобы выяснить, какой ключ от какой комнаты? Системы счисления Когда люди научились считать по пальцам, они сделали огромный шаг в развитии цивилизации. Пальцы оказались прекрасной «вычислительной машиной». С их помош;ью можно было считать до 5; если взять две руки, то и до 10, а присоединив пальцы ног, можно было считать уже до 20. Научившись считать до 10, люди сделали следующий шаг и стали считать десятками, потом десятками десятков, т. е. сотнями, и т. д. Такой счёт породил десятичную систему счисления, принятую почти у всех народов мира. Для записи чисел в десятичной системе счисления, как вы знаете, используется десять цифр; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью можно записать любое сколь угодно большое число. Это объясняется тем, что десятичная система является ещё и позиционной: значение каждой цифры в записи числа зависит от позиции, которую она занимает. Эта «позиционность» выражена и в русском языке. Например, про число 583 мы говорим: «Пятьсот восемьдесят три», т. е. «5 сотен, 8 десятков, 3 единицы». Записать это можно так: 583 = 5 • 100 + 8 • 10 + 3, или 583 = 5 • 10^ + 8 • 10 + 3. Но не только десятичную систему счисления использовали люди. У жителей южных широт была распространена двадцатеричная система (может быть, потому что они ходили босиком). А у северных народов имела хождение и пятеричная система счисления (наверное, потому, что холодно снимать варежки с обеих рук сразу). Но были народы, у которых в самой глубокой древности счёт шёл до шести, а потом особое значение у них получило число, равное шести десяткам. Так случилось у шумеров и древних вавилонян, которые стали использовать шестидесятеричную систему счисления. В разное время разные народы использовали и двенадцатеричную систему счисления, потому что считать можно не только пальцы, но и фаланги пальцев руки (рис. 32). Следы этих систем счисления остались в языках, традициях, суевериях. Число «двенадцать» называют ещё дюжиной. Дюжинами продают вилки, тарелки, чашки. Циферблат часов поделён на двенадцать частей, год — на двенадцать месяцев, в гороскопе двенадцать знаков зодиака. Конечно, запись одного и того же числа в разных системах счисления различна. Количество цифр, используемое в той или иной системе счисления, такое же, как и основание этой системы. Например, в пятеричной системе счисления используется всего пять цифр: О, 1, 2, 3, 4. Возьмём число, записанное в пятеричной системе, например 21З5. (Цифра 5 внизу указывает основание системы счисления.) Выясним, какое число в привычной для нас десятичной схеме скрывается за записью «два, один, три» в пятеричной. Для этого распишем число 21З5 по разрядам пятеричной системы, т. е. по степеням пятёрки: 21З5 = 2-52 + 1- 5-ьЗ = 2-25 + 5 + 3 = 58. Значит, 2135 = 5810- Гораздо труднее перевести число из десятичной системы счисления в непривычную нам пятеричную систему счисления. Возьмём, например, число 284ю. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых с основанием 5. Мы знаем, что 5^ = 5, 5^ = 25, 5^ = 125, 5^ = 625. Так как 5^ уже больше, чем 284, то нужно выяснить, сколько раз в этом числе «укладывается» 5^. Для этого разделим 284 на 125, получим 284 = 2-5^-Н34. Теперь посмотрим, сколько раз в остатке «укладывается» 5^: 34 = 1-52 + 9. Далее, 9 = 1 - 5 + 4. Итак, 284 = 2-5^ + 1-52+1-5 + 4. Значит, 284ю = 21145. Понятно, что проверить правильность вычислений можно, если воспользоваться более лёгкой процедурой перевода числа из пятеричной системы счисления в десятичную. Лунный календарь делится на периоды, в которых семь дней. Отсюда произошёл обычай соединять дни в семидневки — недели. Знаете ли вы какие-нибудь ещё природные явления, пословицы, связанные с числом 7, упоминания числа 7 в истории? • • • • На рисунке 33 точками изображено некоторое число. Запишите его сначала в десятичной, а потом в пятеричной системе счисления. Какие цифры используются для записи чисел в четверичной системе счисления? в троичной? в двоичной? Переведите в десятичную систему счисления число: а) 23OI4; б) 22II3; в) IOIOI2. • • • • • • • • • • • • Рис. 33 Запишите в десятичной системе счисления: а) IO5; б) IOO5; в) IOOO5. Ресторан закупил семь дюжин столовых приборов. Выразите количество столовых приборов сначала в десятичной системе счисления, а потом в двенад-цатеричной и шестеричной системах счисления. Выразите в пятеричной системе счисления число: а) 3124; б) 194. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Запишите первые пятнадцать натуральных чисел в троичной системе счисления. Кроме десятичной системы счисления, в нгппе время активно используется еш;ё и двоичная. Числа в двоичной системе записываются с помощью всего лишь двух цифр: О и 1. А натуральный ряд в этой системе начинается так: 1; 10; 11; 100; 101; 110; 111; 1000; .... (Убедитесь «обратным переводом», что это и в самом деле натуральный ряд, запишите самостоятельно ещё несколько его членов.) Правда, у двоичной системы есть один существенный недостаток: числа быстро становятся очень «длинными». Например, число IOIOII2 — это всего лишь 43 10‘ 1010112= 1-2® + 0-2*+1-2® +1-2 +1 = 43 10* Зато у двоичной системы есть удивительные достоинства! Ведь числа нужно не только записывать, но и производить с ними арифметические действия. А в двоичной системе таблицы сложения и умножения выглядят удивительно просто (рис. 34). Двоичная система счисления благодаря своим особенностям оказалась исключительно полезной для практики: 1 и 0 можно рассматривать как символы «Да» и «Нет», «Истина» и «Ложь». А это уже относится не только к математике, но и к любой деятельности человека. Недаром поэтому при попытках поиска внеземных цивилизаций использовалась двоичная система. + 0 1 0 0 1 1 1 10 • 0 1 0 0 0 1 0 1 Рис, 34 Какие двоичные числа закодированы цепочками включённых и выключенных лампочек на рисунке 35 (лампочка включена — это 1, лампочка выключена — это 0)? Переведите каждое из них в десятичную систему. Рассмотрите пример сложения чисел в двоичной системе: 101011 11010 1000101 Рис, 35 Выполните сложение в двоичной системе: а) 10 + 11; б) 101 + 1001; в) 101 + 1011. В отрывке из шуточного стихотворения А. Старикова «Необыкновенная девочка» упоминаются некоторые числа: Ей было тысяча сто лет. Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила — Всё это правда, а не бред. I J I ' Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге. За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Что вы узнали о девочке из этого отрывка? В какой системе счисления: а) 5 + 3 = 10; б) 2*2 = 4? Задачи, решаемые в целых числах Задача. Мама дала Алёше 50 р. и попросила купить открытки, чтобы послать знакомым поздравления с наступающим праздником. Алёше понравились открытки по 8 р. и по 6 р. Но продавец сказал, что он только что начал работать и у него совсем нет денег для сдачи. Тогда Алёша решил купить открытки на все 50 р. Удастся ли ему это сделать? Чтобы ответить на вопрос, воспользуемся хорошо знакомым приёмом перебора всех возможных вариантов. Понятно, что купить на все 50 р. без сдачи открытки только одного вида Алёше не удастся (число 50 не делится ни на 8, ни на 6). Если он возьмёт 2 открытки по 8 р., то у него останется 34 р. Но на 34 р. купить без сдачи открытки по 6 р. невозможно. Точно такой же результат получится, если он возьмёт 3 открытки по 8 р. И т. д. Полностью рассуждения Алёши представлены в таблице. Количество открыток по 8 р. Общая стоимость, р. Оставшаяся сумма, р. Количество открыток по 6 р. 1 8 42 7 2 16 34 — 3 24 26 — 4 32 18 3 5 40 10 — 6 48 2 — Из таблицы видно, что у Алёши есть два варианта покупки: 1 открытка по 8 р. и 7 открыток по 6 р. или 4 открытки по 8 р. и 3 открытки по 6 р. Попробуйте теперь сами выяснить, смог бы Алёша на 50 р. купить без сдачи открытки по 8 р. и по 5 р.; по 3 р. и по 6 р. Задач, подобных рассмотренной, очень много. Их особенностью является то, что ответ на поставленный вопрос выражается целыми числами. Такие задачи много веков тому назад послужили толчком к созданию специального раздела математики. На чемпионате по футболу очки начисляют следующим образом: за победу присуждают 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команда сыграла 8 игр и получила 20 очков. Сколько было у неё побед, поражений и сколько игр сыграно вничью? М' i i: Из 30 спичек Володя сложил треугольники и квадраты. Сколько фигур каждого вида у него получилось, если на треугольники он тратил по 3 спички, а на квадраты — по 4? Сколько фигур каждого вида получилось бы у Володи, если бы стороны треугольников и квадратов он складывал из двух спичек? Для игр на детском празднике организаторам нужно 145 фломастеров. В магазине фломастеры есть в упаковках по 20 и по 15 штук. Могут ли организаторы купить ровно столько фломастеров, сколько им нужно? Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней. Камни были разложены в маленькие шкатулки по 15 штук в каждой и в большие — по 40 штук в каждой. Сколько было тех и других шкатулок, если известно, что маленьких шкатулок было меньше, чем больших? Петя предложил Маше отгадать два двузначных числа, которые он задумал. Первое число делится на 7, второе делится на 3 и дополняет первое до 100. Маша сказала, что таких пар чисел несколько. Какие пары чисел отыскала Маша? Укажите какое-нибудь дополнительное условие, при котором его задача имела бы только одно решение. Паркеты Услышав слово «паркет», вы, скорее всего, представите обычный паркет «ёлочкой», выложенный из дош;ечек, имеюш;их форму прямоугольника. Но создание паркета может быть и искусством. Им в совершенстве владели мастера, создававшие паркеты во дворцах царей и вельмож (рис. 36). А на рисунке 37 вы видите один из паркетов известного швейцарского художника Мориса Эшера. С точки зрения математики паркет — это покрытие плоскости геометрическими фигурами без зазоров и пересечений. Рассмотрим паркеты из правильных многоугольников — треугольника, четырёхугольника, шестиугольника. Самый простой пример паркета, составленного из одинаковых квадратов, — это ваша тетрадь в клеточку. На рисунке 38 изображён паркет из правильных треугольников, переходящий в паркет из правильных шестиугольников. I ш. j Рис. 36 Рис. 37 в каждой вершине паркета из треугольников встречается шесть фигур, из квадратов — четыре, из шестиугольников — три. Так получается потому, что углы фигур в каждой вершине паркета должны составлять 360°. Именно поэтому других паркетов из правильных многоугольников быть не может. Если вы попытаетесь сложить паркет, например, из правильных пятиугольников, то увидите, что три пятиугольника не сомкнутся, а четыре «налезут» друг на друга (проделайте это). Выложить паркет можно из нескольких видов правильных многоугольников. Например, паркет на рисунке 39 составлен из одинаковых правильных треугольников, четырёхугольников и шестиугольников. В каждой вершине сходятся треугольник, два квадрата и шестиугольник. Из каких фигур составлен паркет, изображённый на рисунке 40? Какие фигуры сходятся в каждой вершине? Вырежите из цветной бумаги необходимые фигуры и выложите их на столе в виде такого паркета. Из правильных восьмиугольников и квадратов можно сложить паркет так, как показано на рисунке 41. Найдите величину угла правильного восьмиугольника. Вырежите из цветной бумаги необходимые фигуры и выложите из них паркет. Вырежите из бумаги 10 одинаковых произвольных треугольников. Выложите из них паркет. Для составления паркета можно использовать любой треугольник. Чтобы объяснить, почему так происходит, ответьте на вопросы: какие углы треугольника сходятся в каждой вершине паркета? Чему равна сумма углов треугольника? Рис. 40 Рис. 41 Вырежите из бумаги 10 одинаковых произвольных четырёхугольников произвольного вида и выложите из них паркет. Для составления паркета можно использовать любой треугольник. Сколько четырёхугольников сходится в каждой вершине паркета? Часть 1. Задачи и упражнения Дроби И проценты 10. а) Коля, Андрей, Саша, Петя; б) Борис, Виктор, Алексей, Григорий. 11. а) Пятиклассники; б) учаш;иеся 5—6 классов. 18. а) —; б) —; в) —; 40 24 45 i’ id- 1’ ^1= г) i. 25. а) if: б) 30; в) 39; г) 4; д) if; е) if. 29. а) if; б) f; в) f; г) 2; 5 5 2 2 2 4 5 д) 41; е) 30. .) |; б) g; .) i; г) ±. 31. .) i; б) ±: .) 6; г) 1. “) »> Ь ■> Я г) 4-. 36. а) 48 км/ч; б) 40 км/ч; в) 48 км/ч; г) 42 км/ч. 38. а) 120 р.; б) 160 р.; в) 90 р.; г) 128 р. 39. а) 1—; б) 2; в) 1; г) 9. 41. а) ||; б) |; в) ±; г) |. 43. а) 2^; б) |; в) if; г) 2f. 44. а) if; б) 3f; в) f; г) |. 45. а) 13f; б) з|; в) 13^-; г) 11-f. 47. На 15 15 6 частей; есть, MA = CN, AD = EC, DB = BE; MA = CN=—MN, AD = EC = 4 = —МЯ, DB = BE=\mN. 60. a) f; 6) l|; в) f; r) 8; д) if; e) 1. 12 6 5 7 о о 63. a) За Зч; б) за 4 ч. 64. а) За б ч; б) за 20 ч. 65. а) За 4 ч; б) за 5 ч. 66. За 36 дней. 67. а) Через 6 ч; б) через 8 мин. 70. а) 102 урока алгебры и 68 уроков геометрии; б) 1 ч — антракты и 2 ч 30 мин — представление. 71. Ответ: 3. 73. а) 10 т; б) 10 м. 74. а) 45 учаш,ихся; б) 300 м. 75. а) 30 квартир; б) Зга. 77. а) 16л; б) 300кг. 78. а) 1) 196 страниц; 2) 56 страниц; б) 1) 48 страниц; 2) 12 страниц. 79. Ответ: 3. 81. а) 60 км; б) 49 км. 82. а) 35 стаканов сахара и 5 стаканов воды; б) 200 г ниток красного цвета, 2 1 800 г — синего цвета, 300 г — коричневого цвета. 86. а) д? б) —. 87. Ответ: 4. g 89. а) От пятиметровой; б) в первой банке. 90. а) - с первого участка и i со второго; б) ромашка составляет — часть смеси, зверобой 4 5 5 2 1 91. Ответ: 2. 94. а) У Алёши - всех бросков, у Бори - всех бросков; ре- 5 3 3 3 зультат Бори лучше; б) в 6А классе — всех учащихся, в 6Б классе — всех 4 4 учащихся; результаты одинаковы. 95. а) 1020 учащихся; б) 72 учащихся. 96. а) — круга закрашена синим цветом, — — красным; б) всех игрушек 4 8 3 1 3 составляют красные шары, — — жёлтые. 97. а) 25 м; — всего забора; б) 14 кг; 1 2 112 — всего урожая. 99. а) В 3— раза; б) в 1— раза. 100. а) в 2 раза; б) —; 7 3 2 2 3 в 1- раза. 113. а) 15 000 человек; б) 480 р. 114. а) 30 000 книг на русском 2 языке и 4000 — на английском; б) в первый день 63 м, во второй — 108 м. 115. а) 250 г сои, 70 г ячменя, 150 г свёклы, 30 г шиповника; б) 40 г белка, 64 г жира, 240 г углеводов. 116. а) Из ячменя, на 15 г; б) пшеничной, на 0,55 ц. 123. а) 60 кг; б) 151 200 р. 124. а) За 240 р.; б) за 176 р. 128. а) 35 % и 65 %; б) 40 % и 60 %. 129. а) 20 % и 80 %; б) 25 % крапивы и 75 % малины. 130. Во второй день в li 2 раза больше; есть: 3 т. 132. а) 900 книг; б) 1440 книг. 133. 640 игрушечных автомобилей. 134. В 4 раза. 135. В 3 раза. 136. а) 5 г; 10 г; 50 г; б) 10 г мыла и 90 г воды; 20 г мыла и 180 г воды; 100 г мыла и 900 г воды. 137. Нет, в первом магазине цена выше. Десятичные дроби 158. 204,3; 20,43; 2,043; 0,2043; 0,02043. 160. Например: а) 9,9999; 999,9999; б) 0,9009; 90,9999. 161. а) 4,37; б) 11,11; в) 20,904; г) 0,2045; д) 0,0305; е) 0,010101. 162. а) 0,15; 6) 0,135. 165. а) 0,6 см; 0,9 см; 1,5 см; 3,7 см; б) 0,24 м; 0,8 м; 0,07 м; 1,15 м; в) 0,7 дм; 0,3 дм; 2,8 дм; 0,1дм; 0,35 дм; г) 0,245 км; 0,3 км; 0,05 км; 1,2 км. 166. а) 0,35 кг; 0,2 кг; 0,04 кг; 1,4 кг; б) 0,48 ц; 0,5 ц; 0,1ц; 1,02 ц; в) 0,645 т; 0,8 т; 0,09 т; 1,27 т. 167. а) 0,75 л; б) 0,07 л; в) 0,2 л; г) 1,05 л. 170. а) 0,01 дм^; 0,08 дм^; 0,25 дм^; б) 0,01 м^; 0,06 м^; 0,18 м^; в) 0,0001 дм^; 0,0015 дм^; 0,0384 дм^; г) 0,0001 0,0458 0,1255 м2. 172. а) 0,8; б) 0,15; в) 0,14; г) 0,08; д) 0,32; е) 0,75; ж) 0,002; з) 0,045. 174. а) 0,35; б) 0,18; в) 0,075; г) 0,075; д) 0,0125; е) 0,00125. 175. а) 0,375; б) 0,0625; в) 0,175; г) 0,0375; д) 0,048; е) 0,0025. J_. 1.. J_. J_. J_ 10’ 4’ 25’ 20’ 50’ 176. a) 0,25; 6) 0,6; в) 0,7; г) 0,25. 177. a) i; 6) i; i D ^ A О 178. a) _3^ 24 ^ = 0,125; 6) о 22 2 .21 1 ,3 55 5 ^ 42 2 ^75 25 = 0,04. 179. Знаменатель дроби не должен иметь простых делителей, кроме 2, 3 и 5. 186. а) 2,75 <3<4< 4,05; б) 1,08< 2 < 3 <4 < 5 < 5,06; в) 10,478 < 11 < 11,006; г) 12,001 < 13 < 14 < 15 < 16 < 16,9. 188. а) Да; да; нет; б) да; да; да; в) «4»; «3». 190. а) Солнце; б) Юпитер. 191. Дробь увеличится. 192. Все цифры от о до 9. 196. а) 1^; б) 1,23; в) 2,5; г) 3,8. 197. а) -; 0,7; 0,8; 4 5 б) 0,7; f; 0,8. 198. а) 0,2; 0,3; б) 0,8; -; 0,9. 199. а) 0,7; б) -. 4 3 6 5 Действия с десятичными дробями 202. а) 16,893; б) 30,526; в) 0,109; г) 1; д) 0,12; е) 1,101. 204. а) 4,75 кг; б) 2,275 кг. 205. а) 4,2 м; б) 4,95 м. 207. а) 2,112; б) 6,06; в) 0,925; г) 0,232; д) 16,224; е) 1,209. 208. а) 0,6544; б) 4,9733; в) 3,9911; г) 9,223. 210. а) 9,99; б) 7,22; в) 4,62; г) 6,789. 212. а) 14,5; б) 10. 213. а) 2,85; б) 10,41; в) 3,19; г) 3,463. 215. а) 2; б) 3. 216. 11; 2255. 219. а) Увеличится на 0,22; б) уменьшится на 0,17. 221. 2) 0,000045. 225. а) 6 кг 240 г; б) 9 ц 90 кг. -'/т 107J 260. 9,1; 1,17; в) 84; г) 14,4; 45,5 р.; 24,5 р. 268. а) 95,475; 227. а) Второй путь короче на 3,6 км; б) раньше на 6 мин. 228. б) В первом на 0,7 кг. 229. В 2ч 54 мин. 230. 3,7т. 239. а) 90; б) 0,0045. 243. а) 3,7кг; б) 185 км. 245. а) 280 г; б) 210 г. 253. 0,825 га. 254. а) 800 м/мин; б) 900 м/мин; в) 170 м/мин; г) 70 м/мин. 256. а) 15,12; б) 15,4; в) 11,05; г) 14,1; д) 1,68; е) 2,34. 258. а) 0,0161; б) 0,0332; в) 0,0561; г) 0,2173; д) 0,1008; е) 0,785. 5,33; 0,039. 261. 3) 0,16; 0,13; 0,18. 262. а) 14,4; б) 8,4; д) 10,8; е) 24,6. 266. а) 11,2 р.; 16,8 р.; 32,2 р.; б) 21 р.; 267. а) 4,8 км; 3 км; 15 км; б) 0,6 км; 2,4 км; 5,25 км. б) 107,973; в) 1,88; ж) 91,756; з) 32,1685. 270. а) 0,057; 279. а) 9,36; б) 3,75; в) 96,5; г) 57. 282. а) 27 кг; б) 306 кг. 284. 1) 3,15 млн р.; 2) 0,9 млн р. 285. а) 10,5 м; б) 3 кг. 286. а) 126 км; 144 км; 90 км; б) 0,35 км. 290. а) 11,401; б) 6,21; в) 21,94; г) 9,12. 292. 1) 0,5; 2) 10. 293. 7,3 км. 295. а) 3,2 м; 2,4 м; 2,4 м; б) 5,6 л; в) 0,1ч. 297. а) 1,56; б) 6,03; в) 3,42; г) 3,01; д) 11,52; е) 40,6; ж) 15,84; з) 8,02. 298. а) 0,84; б) 0,63; в) 0,51; г) 0,91. 299. а) 2,92; б) 1,225; в) 2,64; г) 4,45. 300. а) 0,013; б) 0,0325; в) 0,012; г) 0,065; д) 0,011; е) 0,012; ж) 0,014; з) 0,015. 303. а) 1,1; б) 1,3; в) 1,5; г) 1,42; д) 2,7; е) 1,2; ж) 3,6; з) 1,3. 304. а) 20,5; б) 4,06; в) 3,06; г) 20,4; д) 10,9; е) 30,5. 305. а) 53; б) 0,37. 306. а) 0,215; б) 1,875. 307. а) 1,25; б) 0,03; в) 43,1. 310. а) 20,55; г) 10,17315; д) 0,02856; е) 0,0165; б) 0,0297; в) 0,9504. 274. 4,2 км. 280. а) 4; б) 6,76; в) 0,95; г) 0,26. б) 155; в) 2,84; г) 3,66. 315. а) 0,5; б) в) 3,1; г) 2у. 319. а) 0,25 км; 7,5 км; б) 1,4 км; 14 км. 321. 1,6 м^; 12,5 мин. 324. а) 62,5 км/ч; б) 0,25 ч. 327. а) 30 слов; б) 600 р. 329. а) 2; б) 1,6; в) 6; г) 18; д) 0,9; е) 16,25. 330. а) 8; б) |; в) 3^; г) 0,05. 331. а) б) 1,3125; О о Ои в) —; г) 10. 333. а) 4,2 л; б) 4,3 кг. 334. а) 9,2; б) 0,072; в) 44,5; г) 2,05. 150 335. а) |; б) 0,4; в) г) 1,25. 336. 2) а) б) 0,375; в) 0,54; г) |; 3 30 11 д) 0,02; е) —. 337. 2,5 км/ч и 4 км/ч. 338. 0,6 ч; 0,5 ч; 0,9 ч. 340. 432 плит- 15 ки. 341.2 м. 342.0,2 га. 343.40 км. 344.40 гвоздей. 347. б) Через 1,5 ч. 348. в) 600 м. 351. 35,2 км. 353. а) 4,25 ч; б) на 0,5 ч. 354. а) 150 км; б) 42 км. 355. Через 0,8 ч; 3,2 км. 356. Через 3,5 ч и через 5,5 ч. 357. 75 км/ч. 358. Через 4 ч. 359. 1) Через 2 ч; через 3 ч. 360. 57 км. 361. 3 км/ч и 18 км/ч. 362. За 12 ч. 366. а) 52; 72; 1; 532; 3; 11; б) 4,6; 12,0; 7,6; 145,1; 71,9; 33,0. 369. б) 0,3; 0,29; 0,286; г) 0,2; 0,17; 0,167. 370. а) ~31,1 г; ~31 г; б) 0,454 кг; 0,45 кг; 0,5 кг; -454 г. 371. На 3 м^. 372. -1 га. 375. а) ^1 м 31 см; б) ~188 г. 376. а) 0,233 км; б) 1,833 км; в) 0,067 км. J_ 15 в) 0,9; г) 316. а) б) 0,43; о Отношения и проценты 380. а) 3000 р. и 2400 р.; б) 90 страниц и 150 страниц. 381. а) 0,9 ч и 0,6 ч; б) 0,8 ч и 1,6 ч. 382. а) 880 г; б) 1,5 кг меди и 1 кг олова. 384. а) 15° и 75°; б) 50° и 40°; в) 63° и 27°; г) 48° и 42°. 385. 1) 45 см^; 2) 60,75 см^ 3) 72 см^; 4) 81 см^ 386. а) б) 387. а) i в 4 раза; б) в 1,5 раза. 388. а) 96 см; б) 90 см. 389. а) 15 км/ч; б) 70 км/ч. 390. а) 28,8 м^; б) 12,8 м^. 391. 10 карандашей и 18 карандашей. 392. Маме 30 лет, дочери 10 лет, папе 35 лет. 393. 50 чижей, 40 ужей, 20 ежей. 396. а) В 5 000 000 раз; между городами Санкт-Петербург и Петрозаводск 450 км; между городами Охотск и Якутск 860 км; б) в 30 000 раз; 1,02 км; 2,25 км. 397. а) В 2 000 000 раз; между городами Волоколамск и Ржев 5,5 см; между городами Сухуми и Сочи 6,25 см; б) в 5 000 000 раз; между городами Москва и Владимир 3,7 см; между городами Москва и Березайка 8,4 см. 400. а) 1 : 2 000 000; б) 1 : 5 000 000. 401. а) 6 см; б) 17,5 см. 402. За 0,4 ч или за 24 мин. 406. 320 м; 680 м; 800 м; 1040 м. 407. 12 раз; 27 раз; 3 раза; 15 раз. 408. а) 12 кг; б) 0,22 кг = 220 г. 409. 390 р. 411. Юбка — 360 р., брюки— 525 р. 414. а) 5940 р.; б) 5940 р. 415. а) 18 кг; б) 1кг. 418. 318 р. 419. а) 18 девочек и 22 мальчика; б) 26 учаш;ихся. 420. 792 г. 421. 20 748 справочников. 422. а) 9%; б) 45%. 423. а) 2500р.; б) 5000р.; в) 20 000р. 428. «5» — 12 %, «4» — 44 %, «3» — 42 %, «2» — 2 %. 430. а) На 15 %; б) на 5 %. 431. Примерно 33 %; примерно 44 % ; примерно 83 % . 432. а) 70 % ; б) 70 % . 433. а) 80 %; б) 40 %. 434. 1) На 25 %; 2) 80 %; 3) 125 %. 435. За победителя проголосовали 56 % избирателей, за проигравшего — 44 % . 436. Мальчики составляют 54 %, девочки — 46 % . 437. В городе Л. 438. 60 %; 167 %. Выражения, формулы, уравнения 446. а) ^х; б) 0,25д:; в) 0,8д:; г) 0,7х, 452. а) а-100-ьЬ; б) k • 1000 + т • 10 + п. О 453. а) п(п + 1); б) n + (n-h 1). 454. в) (п - 2)(п - 1)п(п -I- 1)(п + 2). 455. в) (^ - 1) + + k-h(k-hl) + (k + 2)4-(k-h3). 456. а-17 = 8; 17-ь 8 = а; а - 8 = 17. 457. а) а-н0 = а; б) а-1 = а; в) а-0,25 = а:4. 460. При х = 0 имеем 0; 0; 0; при х=1 имеем 2; 6; 24; при х = 3 имеем 12; 60; 360. 462. 0,1; 0,006. 463. ответ: 15 человек. 464. —; ответ: 1 или 2,5. 469. а) 20°; 5°; 0°; б) 36,7°; 37°; 37,2°; 37,8°. 471. Р = 2а + 2Ь-1; 17м; 17м. 472. 1 = 2х + 2у-4,5; 135,5м; 95,5м. 473. S = 0,16a2; S = 144m^; 12 м. 474. S = 0,6a^; 60 см^ 18,15см2. 476. С = 50га+ 20; 170р.; 770р.; 1220р. 477. S= 12а + 65; 42км; 60км. 481. а) 35см, 53см, 73см; б) d~—, 20 дюймов, 24 дюйма, 19 дюймов. 2,5 484. л м, т. е. ~3 м. 486. 2л м. 487. 1) 314; 2) 20. 488. Площадь сектора боль- ше0,5м^. 489. 400 см^ 490. 42 800 км. 501. а) 3; б) 1,5; в) |; г) |. 502. а) 1; б) 2; в) 2; г) 3. 503. а) 2; б) 11; в) 9; г) 16. 506. а) 2,5 м; б) 32 ученика. 507. а) 0,6 м; б) 3 кг. Целые числа 514. а) 60; б) -379; в) -169; г) -564; д) -365; е) 395. 515. а) 66; б) -84; в) -25; г) -55; д) 57; е) 34. 516. а) 21; б) -27; в) -14; г) -25. 517. а) 5; б) -5; в) -36. 518. а) -120; б) 60. 520. а) -7; б) -37; в) -8; г) -21; д) -60; е) -50; ж) -355; з) -297; и) -325. 522. а) 0; б) 280; в) 0; г) -230. 523. а) 167 б) -28; в) -40. 524. а) -6; б) -52; в) -61; г) 18; д) 300; е) 195. 526. а) -8 б) 2. 527. а) -10; б) -4; в) 38; г) -64. 528. а) -55; б) -71; в) -74; г) -28 д) -48; е) -110. 529. а) -88; б) -72; в) -60; г) -36; д) -38; е) -56 531. а) -50; б) -35; в) -24; г) -7; д) 40; е) -63. 532. а) -60; б) -31; в) -48 г) -70. 533. а) 4; б) -4; в) -55. 534. а) -50; б) 50. 535. а) -22; б) 23; в) 137 г) 48; д) -32; е) 109. 536. а) 5; б) 95. 543. а) 0; б) 40; в) -13; г) -64; д) 144 е) 0. 544. а) 1100; б) -270; в) 210; г) -1760; д) -300; е) -220. 545. а) 5 б) -4; в) 7; г) 3; д) -8; е) -2. 546. а) 80; б) -150; в) 96; г) 3; д) -20; е) -7 547. а) -15 и 15; б) 15 и -15. 548. а) Отрицательным; б) положительным в) нулём; г) положительным. 550. а) -20; б) -1; в) -10; г) 3. 552. а) -18 б) 5; в) -50; г) -20; д) -20; е) -20. 553. а) -172; б) -5; в) -160; г) -52 554. а) 150; б) 72; в) -230; г) 220. 555. а) 4; б) -6; в) -14; г) 8. 556. а) -3 б) 1; в) -5; г) 2. 557. а) -5; б) -10; в) -50; г) -80. 558. а) -5; б) 2; в) -6 г) 5. 559. а) 18; б) 8; в) 30; г) -8; д) -16; е) -32. 560. а) -150; б) -116 в) -45; г) 0. 561. а) -60; б) -30; в) 165; г) -5. 562. а) 1050; б) -1050 в) 1050; г) -1050. Рациональные числа 578. а) При любых значениях а; б) при а = 0. 579. а) Верно; б) неверно. 581. а) 4 5’ 1 7’ б) 5 1 -7’ 5’ 3 5’ в) -1; 5. 3 9’ 7 . 582. а) 1 4’ 7 9’ 7 8’ 9.2 ; в) 1. -1^;- 585. а) - .3. _±. i; б) - 3. _1. 1 ; в)- 1. л > " 7 . -lA. Ю’ 9 8’ 14 6 4 10 9 8 3 2 6 20 18 587. а) -1; б) в) 18 ^ г) - д) -• е) 15’ -i. 588. а) 2 _ 9 28 ; б) 19. 42’ . 23 г) 1 6’ ч 19 -28 = . 590. а) ~ 4 ^.Ч 2 ;б) -; ч 43 . в) —; г) ^ 60 1 70’ д) - 1’ 2 21* 591. а) 6; б) - 4,8; в) 2,3; г) -0,: 24; д) - 11,8; е) -4,81. 592. а) li^; 15 -4“; б)- -8-; -3^; -2^; в) - -2—; - 7—; 4 . 599. а) 9 . 8_ 1 . 9 ^.4 9 18 6 18 10 10 36 35 16 125 81 ; б) 1 32 ,21; -0,027; 0,0016; - -0,00001 . 601. а) |; б) О 2 3’ в) - 12; г) д) -2; е) li. 9 602. а) -1,2; б) -0,24; в) 1,6; г) 3; д) 10,5; е) -: 24,75. 603. а) 1 3 : б) 7’ 4 г) -4|, . 604. а) 3,5 -1 . 609. а) б) й 1 ®4’ г) 7—. 611. а) -14,8; б) 6,13; в) -8,8; г) -1,9. 612. а) 1; б) -i; в) -0,78; 16 ^ г) -1; д) -17; е) -0,85. 614. а) -0,9 + 0,5; б) 0,9-0,5. 616. б) (-l,2)i®x х(-1,5)®>0; (-3,2)21 •(-1,8)‘®<0; (_5Д)25 . (_2,5)Ц > О; (-3,4)2“ ■ (-2,8)'® < 0. 619. а) 100; б) 25. 620. а) 56; б) 3. 621. а) 7000 км; б) 18°. 622. а) 27 чело-век; б) 1945 г. 623. а) 1,5 л; б) 11,2 кг. 624. а) 26 км. Подсказка. Постройте схему для подсчёта пути, который остаётся пройти; б) 28 км. 625. а) 700 книг; б) 58 км. 626. а) 106 тыс. р.; б) денег было поровну, по 150 р. 627. а) 27 картофелин; б) 43 яйца. Множества. Комбинаторика 632. а) 10; б) 33; в) 10; г) 90. 637. а) 149; б) 18; в) 7. 638. 1) А с С; 2) возможны разные варианты: или Б с С, или С а В, или А принадлежит общей части множеств В и Су т, е. множеству Б П С. 640. а) {з; и; м}; б) {з; и; м; а; о; ы; й; в; ь; е}. 641. а) Отрезок LM; отрезок KN; б) точка М; отрезок LN; в) отрезок KN; прямая а. 642. а) СПБ = {-1;0; 1}; С U Б = {-5;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2}; б) СПБ = {-1; 0}; СиБ = {-4; -3; -2; -1; 0; 1}; в) СПБ = {1}; Cl)D = = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}; г) СПБ = {-1; 0; 1}; СиБ = {-2; -1; 0; 1; 2}. 645. а) {0; 2; 3; 20; 23}; б) {0; 3; 23}; в) {1; 2; 3; 23}; г) {2; 23}. 650. 10 человек. 651. И тем и другим занимаются 4 человека. Окажется, что и тем и другим занимаются 5 человек. 652. 71 семья. 654. 7 человек. 656. Шестью способами; рот и тор. 657. 6 дробей. 658. Десятью способами. 659. а) 21; б) 42. 660. 16 вариантов. 661. 8 кодов. 662. Всего б таких дробей. 663. 14 вариантов. 664. 7 чисел. 665. 16 чисел. 666. 14 слов. 667. Получится 9 двузначных и 18 трёхзначных чисел. 668. Десятью способами. 669. 2 варианта. 670. 8 вариантов. 671. а) 3; б) 6; в) 20. 673. а) 10; б) 60; в) тп. 674. 32. 675. 4-3 = 12. 676. 24 варианта обеда. Часть 2. Дополнительные вопросы Аликвотные дроби 2. Всего верблюдов стало 17+1 = 18. Старший сын получил 18:2 = 9 верблюдов, средний — 18:3 = 6 верблюдов, младший — 18 : 9 = 2 верблюда. Всего 9 + 6 + 2 = 17 верблюдов, и один остался у Ходжи Насреддина. 3. Сумма отличается от 1 на —. Неравенство будет по-прежнему верным. 64 4. а) i + i; б) — + в) i + -2 8 2 5 ^2 5 6. |i = i + i + i + J_ + + 32 2 4 8 16 32 .1 ч 1 . 1 н--; г) —I— 10 2 3 Задача о пауке и мухе 1. 54 мм. 2. Кратчайший путь — по отрезку АВ (рис. 43). Таких путей 4. 3. Кратчайший путь изображён на рисунке 44. Рис. 43 Бесконечное деление 2. а) С четвёртого знака; б) на 12-м месте циф- ра 9; на 20-м месте — цифра 5; на 100-м мес те — цифра 2. 5. ^= 0,285714285714...; = 0,428571428571... и т. д. Рис. 44 М- Путешествие в Зазеркалье 1. 1) Многоугольник 2 — левым, а многоугольник 3 — правым. Чтобы совместить многоугольник 3 с многоугольником 1, его надо перевернуть. 2) Чтобы надеть правую варежку на левую, надо сначала вывернуть её наизнанку. 2. 2) Один узел будет правым, а другой — левым. 3. а) Если волчок враш,ает-ся по часовой стрелке, то отражение — против часовой стрелки. 4. 1) 3, 4, б, 8 карандашей. В худшем случае 1. 81 билет. 3. 88 шаров. 4. 11. 5. 3 носка. 6. 21 перчатка. 7. б) Да; в) 10; г) 7 комнат. Системы счисления 5. 84ю=220б. 6. а) 44444д; б) 1234g. 10. в) lOOOOg. 11. а) lOg; б) 4g. Задачи, решаемые в целых числах 3. Могут. Надо купить 2 коробки по 20 шт. и 7 коробок по 15 шт. или 5 коробок по 20 шт. и 3 коробки по 15 шт. 4. 6 больших и 4 маленьких. Ш Учебное издание Серия «Сферы» Бунимович Евгений Абрамович Кузнецова Людмила Викторовна Минаева Светлана Станиславовна и др. Математика Арифметика. Геометрия Задачник 6 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций Руководитель центра «Сферы» А. В. Сильянова Ответственный за выпуск Н. В. Сафонова Редакторы Н. Б. Грызлова, Н. В. Сафонова Художественное оформление А. П. Асеева, А. М. Драгового Художественный редактор А. М.Драговой Компьютерная вёрстка А. Г. Хуторовской, Т. М. Якутович Дизайн обложки О. В. Поповича, А. М. Драгового Иллюстрации И. В. Коробко, К. П. Ткаченко Корректоры Ю. Б. Григорьева, И. П. Ткаченко Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД №05824 от 12.09.01. Подписано в печать 21.08.13. Формат 84 х 108^/i6. Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBook, FreeSet. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 7,70. Доп. тираж 7000 ЭКЗ. Заказ № 4315. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано ОАО «Первая Образцовая типография», филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ» Россия, 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14