Математика 5 класс Учебник Дорофеев Петерсон часть 2

Л.1|^[|т^е4н УДК 373:51 ББК 22.1я721 Д09 Ассоциация «Школа 2000...>» Центр системно-деятельностной педа1огики «Школа 2000...» АПК и ППРО РФ Институт системпо-дсятсльностной педагогики \ шкш1а2000_ ОС»*ЭО«*Т1ЛЬНА* М«.<Л1ИАиИ« Программа математического развития для дошкольников, начальной и средней школы «УЧУСЬ УЧИТЬСЯ» Научный руководитель доктор педагогических наук Л. Г. Петерсон ЮВЕНТА Допущено Министерством образования и науки РФ Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Д 69 Математика. 5 класс. Часть 2. Изд. 2-е, порераб. / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. М.: И;здательство «Ювепта», 2011. — 240 с.: ил. ISBN 978 5 85429 042-5 (8-й завод) Учебник ориентирован на развитие мышления и творческих способностей учащихся, (1юрми-ровапис у них системы нрочиых математических знаний, общеучебных умений, готовности к саморазвитию. Является составной частью непрерывного курса математики «Учусь учиться» для дошкольников, начальной и средней школы, который еоответствует новым образовательным стандартам второго ноколения (2009). Реализует образовательную систему деятельностного метода обучения «Школа 2000...» (11(>емия Президента РФ в области образования за 2002 год). Открытый УМК «Школа 2(ХЮ...» включает в себя ненрерывиый курс математики «Учусь учиться» и любые учебники Федеральных перечней по другим учебным предметам на основе деятельностного метода обучения. Может использоваться во всех типах школ. Рекомендуется использование учебного пособия «Построй спою математику», 5 класс (эталоны -правила, формулы, алгоритмы, снособы действий учащихся ио всем темам данного учебника). УДК 373:51 ББК 22.1я721 Курсовую подготовку учителей к реализации деятельностного метода обучения осуществляют Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000...» АПК и ППРО РФ, Институт системно-деятельностной педагогики 125212 Москва, Головинское шоссе, д. 8, корн. 2 Тел./факс: (495) 797-89-77, 452-22-33 E-mail: info('^sch2000.ru Интернет: www.sch2000.ru ISBN 978-5-85429-042-.'} (8-й завод) (О Издатольстно «Ювепта», Л. 1'. Петерсон, 2010, с изменениями © ООО »С-инф(>», Г. В. Дорофоев, Л. Г. Петерсон, 1996 г л г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон МАТЕМАТИКА Учебник для 5 класса Часть 2 V ИЗД,\ТЕЛЬСТВО ЮВЕНТА Москва 2011 J в книге используются условные обозначения: - задачи по новой теме для работы в классе, 0 О О задачи для домашней работы, повторение ранее пройденного. задачи на смекалку. Глава 3 Дроби § 1. Понятие дроби С самых древних времен для решения жизненно важных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопрос “Сколько?”: сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько верст от села до уездного центра и т. д. Так появились числа. Как иногда в шутку говорят математики, “Бог создал натуральные числа, а все остальное - дело рук человеческих”. Однако для ответа на вопрос “Сколько?” натуральных чисел очень часто не хватало. Так, убив мамонта и разделив его поровну, 10 охотников не могли сказать, “сколько мамонтов” получил каждый. И еще долгое время после того, как мамонты вымерли, разделив три лепешки поровну на пятерых своих детей, их мама не могла сказать, сколько же лепешек получил каждый. Человечеству понадобилось придумать новые - дробные - числа, то есть придумать дроби. Для ответа на более сложные вопросы - например, сколько овец в двух стадах, у кого из двух земледельцев урожай больше - понадобилось научиться складывать числа, сравнивать их между собой. Так постепенно, в течение тысячелетий, формировалось понятие числа. Люди учились называть и записывать числа, проводить с ними вычисления и создали тот пласт математической культуры, который в дальнейшем был назван арифметикой. Значительную часть этого многовекового пути мы уже прошли в начальной школе - подобно тому, как за 9 месяцев каждый из нас из зародыша превратился в человека, проделав путь, на который природе понадобились миллионы лет. Теперь нам предстоит “прожить” еще несколько веков развития математики и прежде всего изучить арифметику дробных чисел - научиться сравнивать дроби между собой, совершать с ними арифметические действия, а главное - использовать эти числа при решении пргпстических задач. Но вначале нам необходимо вспомнить некоторые важные сведения о натуральных числах и дробях, известные из начальной школы. 1* Глава 3, §1, п.1 1. Натуральные числа и дроби. Натуральные числа служат, прежде всего, для счета предметов. Они получаются и при измерении величин, - но только тогда, когда выбранная мерка укладывается в измеряемой величине целое число раз. Например, число 5 - это количество кошек на рисунке и длина отрезка АВ в сантиметрах: В АВ = 5 см Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Это множество бесконечно: Л^ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Как нам уже известно, для записи натуральных чисел обычно пользуются десятичной позиционной системой записи чисел. Любые два натуральных числа можно сравнить по величине, можно сложить или перемножить. Действия сложения и умножения натуральных чисел обладают следующими основными свойствами: а + Ь = Ь + а — переместительное свойство сложения; (а + Ь) + с = а + {Ь + с) — сочетательное свойство сложения; ah = Ъа — переместительное свойство умножения; (ah)c = a(hc) — сочетательное свойство умножения; (а + Ь)с = ас + Ъс — распределительное свойство умножения относительно сложения. Натуральные числа можно не только складывать и умножать, но и вычитать и делить. Мы уже знаем, что на множестве натуральных чисел N: Разность чисел аиЬ- это такое число с, что Ь + с = а. Частное чисел а и 6 — это такое число с, что Ьс = а. Это определения разности и частного натуральных чисел. С помощью знака равносильности их можно записать так: а-Ъ = сос + Ъ = а а : Ь = с сЬ = а - Ь : Ь 0 а а В + ь • ь Вычитание и деление являются обратными действиями по отношению к сложению и умножению соответственно, то есть: (а -&) + & = а (а :&)•& = а {а + Ъ) - Ь = а {а • Ъ) : Ь = а (при условии, что данные действия вычитания и деления выполнимы на множестве N). Глава 3, §1, п.1 В отличие от сложения и умножения, вычитание и деление натуральных чисел можно выполнить не всегда. Например, нельзя число 7 разделить на 2 — нет такого натурального числа с, для которого с • 2 = 7. С другой стороны, на практике 7 одинаковых яблок можно разделить поровну между 2 детьми. Но в этом случае неизбежно появляется половина яблока - дробное число яблок, для математического обозначения которого вводится дробь . Тогда при дележе яблок каждый получит 7 половинок, или от целого яблока, и мы видим, что применение дробных чисел позволяет ответить на вопрос “Сколько?” и в тех случаях, когда натуральных чисел недостаточно. Для того чтобы математическая теория могла отвечать на практические вопросы, во всех таких случаях вводятся в рассмотрение новые - дробные -числа, или дроби. Дробь - это запись вида — , где т ^ N, п ^ N. С помощью дробей можно представить результат деления любого натурального числа на любое натураль- ное число, например: 7:2 = 3 : 7 16:24 = 1®. 2 7 24 И вообще, для любых натуральных чисел тип можно записать: т т п = —. п т п п неправильные: В дроби ^ (читается: “эм на эн” или “эм энных”) число т, находящееся над чертой, называется числителем, а число л, находящееся под чертой, - знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили единицу ("целое"), ачислитель показывает, сколько таких частейвзяли. Черту дроби можно понимать как знак деления. Если натуральные числа дополнить нулем, то, взяв т = О, будем считать, что О : п = — (пФО). Если числитель дроби равен ее знаменателю, то п : п Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называют правильной, а если он больше или равен знаменателю, то дробь называют неправильной. 1 2 7 Например, дробь — - правильная, а дроби -г и — 2 2 2 Правильные дроби меньше 1, а неправильные — больше или равны 1. Глава 3, §1, п.1 При делении 7 яблок на двоих детей ответ можно получить и другим способом: раздать каждому по 3 яблока и одно оставшееся разделить пополам. Тогда каждый получит по 3 -I- , или, как обычно записывают, 3 яблока. Вторая запись при этом называется смешанным числом (или смешанной дробью) — “целое число + дробь”. Ясно, что при любом из рассмотренных способов дележа каждый получит 7 1 7 1 од но и то же количество яблок, значит, числа "2 При этом оба числа могут быть преобразованы друг в друга по следующим правилам. Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, числитель делят на знаменатель с остатком: частное дает целую часть, остаток - числитель, а делитель - знаменатель дробной части. В нашем примере: _ 7 I 2 — знаменатель дробной части 6 3 — целая часть 1 — числитель дробной части Обратно, чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, можно: 1) знаменатель умножить на целую часть; 2) к произведению прибавить числитель дробной части; 3) полученную сумму записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений. А именно: 3 + 1 _ 7 2 2‘ Эти правила можно использовать для любых смешанных чисел и неправиль- 39 4 ных дробей. Например, — = 5 у, так как при делении 39 на 7 получается част- к .47-5 + 4 39 ное 5 и остаток 4. Обратно, 5 у =---= -у. Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без остатка, то 18 эта дробь преобразовывается в натуральное число: — = 18 : 3 = 6. О Натуральные и дробные числа можно изображать точками числового (координатного) луча. Это луч, на котором расположены числа по следующему правилу: выбран единичный отрезок, начало луча соответствует числу О, а все остальные точки соответствуют числам, равным расстояниям от этой точки до начала луча. А Е М С »-------1--1---1 • I-----1---1--------1-------------1-^ h 0 2 3 3| 4 6 8 Глава 3, §1, п.1 Число, соответствующее некоторой точке числового луча, называется координатой этой точки. Например, координатой точки Е является число 1, координатой А - число , координатой М - число 3 —, а координатой С - число 7. Пишут: £ (1), А (|), М (31), С (7). По расположению двух точек на числовом луче можно сравнивать числа: большее из двух чисел расположено правее, а м[еньшее — левее. На числовом луче можно также изображать сложение и вычитание чисел: _2 4 -Ь- 0 ^ ^. 11 4 4 4 _2 — ^ 2 I- 0 + -I- 1 4 4f 5 6 7-2i -4i Вместе с тем, числовой луч обычно используют для сравнения, сложения и вычитания чисел тогда, когда числа несложно изобразить. А если нет? Алгоритмы сравнения и операций над натуральными числами и числом О нам уже хорошо известны. Мы познакомились также с некоторыми правилами сравнения дробей, научились складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. А вот остальные действия с дробными числами и их свойства нам еще предстоит изучить. Ош Какие высказывания истинны, а какие - ложны? Какие - общие, а какие - типа “хотя бы один”? а) .Любое натуральное число в десятичной позиционной системе счисления можно записать с помощью десяти цифр. б) Некоторые натуральные числа записываются с помощью трех цифр. в) Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше первая цифра. г) Некоторые четырехзначные натуральные числа больше некоторых пятизначных натуральных чисел. д) Существует наименьшее натуральное число. е) Существует наибольшее натуральное число. ж) Все натуральные числа больше единицы. з) Каждое натуральное число на единицу меньше следующего за ним. и) Натуральное число может быть больше своего квадрата. ^2j 1) Запиши подряд три раза число 3560. Прочитай получившееся число. Сколько в его записи классов? Сколько разрядов? 2) Что означает цифра 3 в записи получившегося числа? Какая цифра в разряде сотен миллионов? Сколько в нем всего сотен миллионов? 3) Назови разряды, в которых записаны нули. Можно ли пропустить нули в записи числа? 4) Какие различные системы записи чисел ты знаешь? Как записать римскими цифрами число 3560? Глава 3, §1, п.1 а Запиши цифрами число: 1) следующее за числом восемьсот пять миллионов двести семьдесят девять тысяч девятьсот девяносто девять; 2) предшествующее числу семьдесят четыре миллиарда пятьдесят шесть миллионов две тысячи девятьсот; 3) предшествующее числу 35001 400 000; 4) следующее за числом 192 939 495 999. В числах вместо некоторых цифр стоят звездочки. Можно ли их сравнить? 1) *1***и9**; 2) 27** и 30**; 3) 99*** и *8***; 4)***5и***6. Прочитай определение и назови определяемое понятие: Произведением числа а на число ЫЬ> 1) называется сумма Ь слагаемых, каждое из которых равно а: а‘ Ь ^ а + а + ... + а, где а,Ь ^ N h раз а т а Почему при Ь = 1 и ft = о данное определение не имеет смысла? Как определяется понятие произведения в этих случаях? Запиши эти определения в виде буквенных равенств. Прочитай в тексте данного пункта учебника определения разности и частного. Пользуясь ими, найди, если возможно, значения выражений: а - 0, а - а, а : 1, а: а, 0 : а, а: 0. Какое из данных выражений не имеет смысла? Счет-тест (10 мин) 1) 938 790 475 I 13 076 225 542; 3) 67 190 • 40 500; 2) 210 521 052 105 - 209 286 484 215; 4) 5 925 100 800 : 976. Запиши в тетрадь буквенные равенства, выражающие свойства сложения и умножения: переместительное, сочетательное, распределительное - и объясни их смысл. Используя эти свойства, реши примеры наиболее удобным способом: 1) 201 + 202 4- 203 + 204 + 205 + 206 -Ь 207 -Ь 208 -1- 209; 2) 400 -Ь (24 589 + 927) + (3600 + 73 + 411); 3) 4-5-376-2*25-5*2; 4) 2-(14-2-8)-(125-5-3-5); ^ 5) 974-385 +5-385-Ь385-21; 6) 5084 - 23 + 5084 t 976 - 5084. а) Составь и расположи в порядке возрастания все возможные трехзначные числа, которые можно записать с помощью цифр 7,1,9 (цифры в записи числа не повторяются). б) Составь и расположи в порядке убывания все возможные пятизначные числа, которые можно записать с помощью трех четверок и двух нулей. 8 Глава 3, §1, п,1 ш и т Используя все цифры, причем каждую только один раз, составь и прочитай наименьшее возможное натуральное число, в разряде сотен миллионов которого стоит цифра 5, а единицы разряда десятков тысяч отсутствуют. Прочитай число 39 052 784. Зачеркни три цифры так, чтобы получилось: 1) наименьшее возможное натуральное число; 2) наибольшее возможное натуральное число. В сказочном государстве Бусирия люди знают только натуральные числа и о, умеют их складывать и вычитать, а “умножают” их по бусирскому правилу: а0Ь = аЬ + а + Ь. Представь себя учеником бусргрской школы и выполни контрольную работу: 1) Вычисли значения выражений: 203, 409, 00712, 508, 208-h308. 2) Докажи, что бусирское умножение “ О ” обладает переместительным свойством. 3) Выясни, обладает ли оно сочетательным свойством. 4) Проверь, выполняется ли распределительное свойство: (а + Ь)0с = a(S)c + Ь(^)с. 5) Какое число обладает свойством единицы (при обычном умножении: а • 1 = а)? А свойством нуля (а • О = 0)? [Ш Что обозначают числитель и знаменатель дроби? Нарисуй чертеж, иллюст- ОН 3 4 7 рирующий дробь: а) —; б) —; в) —. 8 4 6 Запиши с помощью дробей, какие части фигур закрашены. Какие из этих частей можно выразить натуральными числами, а какие - с помощью процентов? У 7 \ / \ 7 \ Z / 7 7 7 7 7 Глава 3, §1, п.1---------------------------------------------------- НО Прочитай дроби. Какая дробь в каждой из групп а, б и в может быть «лишней». Обоснуй свой выбор. 2 5 7 11. ^ 3’ 7’ 9’13’ f-425 15 10 47, ^ 7 ’ 14’21’18 ^ 28 ^ VS ’ 13’ 13’ 11 т Запиши с помощью дроби: 1) Какую часть метра составляют 1 дм, 9 дм, 1 см, 27 см? 2) Какую часть тонны составляют 1 кг, 16 кг, 1 ц, 85 ц? 3) Какую часть часа составляют 1 мин, 3 мин, 1 с, 49 с? ОН Какую часть отрезка АВ составляет отрезок CD7 Какую часть отрезка CD составляет отрезок АВ? 1) А*—*----1111--------1—н В 2)Ак—I—I■ I -■I—1—1—I—'В D *D 03 Какую часть каждый из отрезков АВ, CD и EF составляет от других отрезков? Сделай записи. А С Е — ,в 1 1 . п 1 1 1 I ОН 2^ Найди множество значений переменной х (х е N), при которых: ^ будет неправильной. X — 4 а) дробь —;;— будет правильной; б) дробь 7\^ jr л л л Л-МЯ ля у КЯ ^ X i ^ Какие высказывания истинны? К ложным общим высказываниям приведи контрпримеры. а) Всякая правильная дробь меньше 1. б) Неправильная дробь всегда больше 1. в) Некоторые неправильные дроби меньше 1. г) Любая правильная дробь меньше любой неправильной, д) Неправильная дробь может быть меньше 2. [ 21 I Запиши частные 3 : 25, 17:6, 4:1, 20:2, 7:7 в виде 1 ^ 24 8 72 45 дроби, а дроби ±, ~, 2., 1В., ^ в виде частного. 4 7 11 1 9 45 Реши уравнения: 2)^^=16; 3)^ 8; 4) 336 29 п = 7. Образец: § = 2оа = 8-2оа = 16 О 1) Ленту длиной 3 метра разрезали на 4 равные части. Сколько метров в каждой части? 2) Пловец за 7 секунд проплыл 5 метров. С какой скоростью он плыл? 10 Глава 3, §1, п.1 24 ИЮ 26 i Сколько седьмых долей в единице? Представь единицу в виде дроби со знаменателем 5, 67, 89, 100, л. Сколько пятых долей в числе 3? Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, k замени равными им дробями сначала со знаменателем 9, затем - 11, а затем - со знаменателем 100. Как записать с помощью знака процента сотые доли величины? 1) Нарисуй числовой луч, приняв за единицу 8 клеток тетради. Отметь на 1 5 3 5 1J7 2 ’ 2 ’ 8 ’ 8 ’ 8 ■ 1 3 2) Сравни дроби 77 и — . Как сравнить дроби с помощью числового луча? 2 о 3 5 3) Сравни дроби и —. Вспомни правило сравнения дробей с одинаковыми ° ° 19 53 знаменателями. Пользуясь им, сравни дроби — и —. 78 78 5 5 4) Сравни дроби 77 и —. Запиши две какие-нибудь дроби с одинаковыми чис- 2 8 лителями и сравни их. 17 5) Представь дробь — в виде смешанного числа. 8 7 11 15 19 1) Выдели целую часть из дробей —, —, -тг»• Проиллюстрируй решение 6 6 6 6 с помощью числового луча. 2) Выдели целую часть из дробей —, —, —, 5^ 9769 7 12 18 100 125 1000 1) 19 кг халвы разложили поровну в 4 коробки. Сколько килограммов халвы положили в каждую коробку? 2) Из 40 м ткани сшили 9 одинаковых костюмов. Сколько метров ткани пошло на каждый костюм? Знак какого арифметического действия пропущен в записи смешанного числа между его целой и дробной частью? 1) Представь смешанные числа 1-^,2-^,3-§-,4-§- в виде неправильных дро- 5 5 5 5 бей. Проиллюстрируй решение на числовом луче. 2) Прюдставь в 7 2 9 4 21 виде неправильных дробей числа I77,5 —, 7 —, 15—,10 — 9 5 13 7 47 Счет-тест (5 мип) 3)2+-i; 5)в1+з|; 7)5f-2f; б)12|-4|: 11 Глава 3, §1, п.1 Числа на карточках записываются по общему правилу. Найди его и заполни клетки со знаком вопроса. 3^ 4 4 4 8^ з1 33 О Найди расстояние между точками Аи В координатного луча, если: 1) А (28 715), В (103 600); 2) А (3^), В (7 j^); 3) А (81), В (11). 1^3^ Запиши число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 1) 2-10='+ 5-102+ 9* 10+ 6; 3) 5-10« + 6-10=4-2-10 + 4; 2) 8-10='+ 9-10^ + 7-10=' + 1-10 + 5; 4) 4-10^ + 8-10^ + 7-10^ +2-10^. Представь в виде суммы разрядных слагаемых числа, используя степени числа 10: а) 7984, 6)42 012; в) 505 050; г) 9 090 909; д) 123 456 789; е)4 400 040 004. Найди методом проб и ошибок число: 1) квадратом которого является 1764; 2) кубом которого является 2197. Можно ли ответить на вопрос с одной попытки? 1) (863 + 256 - 0) - (214 : 214) - 1 - 863; 2) о - (996 + 7008 - 32 - 74 359) + 785:1- (543 - 543): 9374; 3) 1596 - о : 1249 + (188 : 188) - 4]: 1 + (712 - 60 928 : 952) - (38 - 38); 4) 72 - (49 : 49) - [(7602 : 14 - 36) - (6815 - 6815) - 0 : 325 + 12 : 1] -1. Запиши в виде буквенных равенств правила вычитания числа из суммы и суммы из числа и реши с их помощью примеры первого столбика. Перепиши полученные равенства, заменив в них знак “+” на знак “ • ”, а знак ” на знак Какие правила получились? Используй их для решения примеров второго столбика. д) (29-720): 72; е) (18 000- 56): 18; ж) 1250: (125-5); з) (2430: 5): 2. Переведи условие задачи па математический язык: 1) На выставке кошек представлены кошки сибирской, ангорской, персидской и сиамской пород. Сиамских кошек в 2 раза больше, чем ангорских, персидских - в 3 раза больше, чем сиамских, а сибирских - на 13 меньше, чем персидских. Сколько кошек каждой породы на выставке, если всего их 77? 2) На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель ответил: “Пятерок на 3 больше, чем двоек, троек на одну меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше, чем двоек”. Сколько человек получили пятерки и сколько четверки, если в классе 32 человека? а) (283 + 195)-83; б) (549+ 678)-478; в) 756-(256+ 36); г) 842 - 396 - 4; 12 Глава 3, §1, п.1 Ш ш [43] 5] Ш О liU 1) Если задуманное число вычесть из числа 777, результат уменьшить в 7 раз, а затем увеличить на 7, то получится число, которое на 7 больше, чем наименьшее трехзначное число. Найди задуманное число. 2) Задумали число, разделили на него 555, полученное частное вычли из 55, результат увеличили в 5 раз и получили число, в 10 раз большее квадрата числа 5. Какое число задумали? 1) В классе 28 учеников. Девочки составляют у количества всех учеников класса. Сколько девочек в классе? 2) В шахматном турнире приняли участие 48 человек, что составило 6% всех учеников школы. Сколько учатцихся в этой школе? 3) В танцевальном ансамбле 32 танцора. Из них 8 человек уехали на гастроли. Какая часть участников ансамбля уехала на гастроли? 1) Рабочий получил за месяц k рублей. 14% этих денег он истратил на ремонт квартиры. Сколько денег пришлось ему заплатить за ремонт? 2 2) Маляр покрасил т рам, что составило — всех рам, которые ему надо по- 5 красить за день. Сколько рам он должен покрасить в этот день? 3) В автобусном парке п машин. Из них 7 машин ремонтируется. Какая часть всех машин находится в ремонте? Русские изобретатели отец и сын Черепановы построили первый паровоз в 1834 году. Он проезжал 1 км за 4 мин. Какое расстояние проезжал этот паровоз за 1 минуту? Вырази его скорость в километрах в час. Во сколько раз паровоз Черепановых шел медленнее современных поездов, средняя скорость которых составляет примерно 90 км/ч? Скорость катера 24 км/ч. Успеет ли он за 15 мин проплыть 8000 м? Построй 3 угла, в сумме образуюш;их развернутый угол, так, чтобы первый из них был в 2 раза больше второго, а третий - в 3 раза больше первого. Напиши все возможные натуральные числа, составленные с помощью двух пятерок и пяти нулей. Расположи их в порядке убывания. Представь каждое из полученных чисел в виде суммы разрядных слагаемых. 1) 79 797 979 \ х=1 067 452 300; 2) х- 544 544 = 11 756 686; 3) л:: 9307 = 8640; 4) 4 540 200 : л: = 564 Математический фокус. Запиши четырехзначное число, у которого калсдая последующая цифра на 1 больше предыдущей. Затем запиши число теми же цифрами, по в обратном порядке. Вычти из большего числа меньшее. Повтори это еще 3 раза, беря иные числа, и сравни полученные результаты. ^1то ты замечаешь? 13 Глава 3, §1, п.1 Переведи условие задачи на математический язык: На изготовление свитера, шапки и шарфа израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие? 1) Какую часть километра составляют 1 м, 58 м, 1 дм, 439 дм? 2) Какую часть квадратного метра составляют 1 дм^, 214 дм^, 1 см^, 75 см^? 3) Какую часть центнера составляют 1 кг, 9 кг, 1 г, 547 г? 4) Какую часть суток составляет 1 ч, 5 ч, 1 мин, 32 мин? 5 С одной пасеки собрали 1350 кг меда, что составляет — меда, собранного со О второй пасеки. На какой пасеке было больше ульев и на сколько, если с каждого улья получили по 90 кг меда? D ” 176 237 413 У21 Выдели целую часть дробей: __ к 2 5 9 53 I Представь смешанное число в виде неправильной дроби: 9 —; 4 — ; 2 —. 7 42 9о 541 Расшифруй скороговорку. Повтори ее 10 раз подряд. 55 I Реши уравнения: =9; У 2) y = 9; 3)^4-^ = 23; 4) 7-^^= 72. Ф 9 ’ '5-18 Лодка проплыла по реке 300 м за 2 мин. Во сколько раз скорость лодки меньше скорости теплохода, плывуш;его по той же реке в том же направлении со скоростью 27 км/ч? Через сколько времени теплоход догонит лодку, если сейчас между ними 36 км? 57 I Дбдка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Дедка, бабка, внучка. Жучка и кошка вместе с мышкой могут вытащить репку, а без мышки — не могут. Сколько надо позвать мышек, чтобы они смогли сами вытащить репку? Продолжи ряд на две фигуры, сохраняя закономерность: Ф Е 14 Глава 3, §1, п.2 2. Основное свойство дроби. Преобразование дробей. На рисунке закрашена — круга. В каждой половине со- 5 держится — круга. Обе дроби равны между собой, но при этом числитель и знаменатель второй дроби в 5 раз превышает числитель и знаменатель первой дроби. Полученное равенство можно записать двумя способами: 5 5 : 5 _ 1 2 2-5 10 10 10 : 5 2 ‘ Если числитель и янаменателъ дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь: а _ а • п а _ а : п h п Ъ : п а,Ь,п е N Это верно и для любых других дробей. Действительно, для натуральных чисел ранее было доказано, что а : Ь = (а • п) : {Ь • п) и а : Ь = {а : п) : (Ь : п) (п. 2.4.5). С другой стороны, нам известно, что знак деления можно j заменить чертой дроби (п. 3.1.1). Таким образом, приходим к выводу: ! Мы получили утверждение, которое называют основным свойством дроби. С его помощью можно преобразовывать дроби. Второе равенство позволяет упрощать дроби, например: 36 _ 36 : 4 44 44:4 11 ‘ Такое преобразование называют сокращением дроби. В примере мы сокра-36 9 тили дробь —— на 4. Полученную дробь —— сократить нельзя, так как 9 и 11 -44 11 взаимно простые числа (то есть НОД (9; 11) = 1). Дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, называется несократимой. Каждую дробь можно единственным образом записать в виде несократимой дроби. Для этого нужно сократить ее на наибольший обш,ий делитель числителя и знаменателя. Например, НОД (245, 15) = 5. Поэтому, разделив числитель и знаменатель дроби на 5, мы получим равную ей несократимую дробь. 49 Запись обычно ведут так: 49 3^^ 3 ' На практике часто удобно не вычислять НОД числителя и знаменателя, а проводить сокращение дроби последовательно, например: 210 70 _ 14_ 2 315 105 21 3 15 Глава 3, §1, п.2 (сначала сократили на 3, а потом на 5 и на 7). При этом, разумеется, для нахождения общих делителей полезно использовать признаки делимости. Можно также раскладывать числитель и знаменатель дроби на множители, причем не обязательно простые: 750 _ 75 _ W-Ж _ 5 1200 120 8‘ 2 1 Таким образом, основное свойство дроби позволяет упрощать запись дроби. Но иногда для выполнения некоторого действия ее, наоборот, приходится услож- 1 2 нять. Например, чтобы сравнить дроби и — , можно числитель и знаменатель 2 15 5 дроби — умножить на число 3: 2 5 2 • 3 5 • 3 15 тя 1 6 1/2 И поскольку — < —, то, значит, и —< —. 15 15 15 5 Замену дроби равной ей дробью с новым знаменателем называют приведением дроби к новому знаменателю. А число, на которое умножается числитель и знаменатель данной дроби, называют дополнительным множителем. Любую дробь можно привести к знаменателю, кратному знаменателю этой дроби. Приведем, например, дробь у к знаменателю 56: 1) Найдем дополнительный множитель: 56 : 7 = 8. 2) Умножим числитель и знаменатель дроби — на дополнительный множитель: g 4 7 4 • 8 7 • 8 56' Для приведения двух или нескольких дробей к общему знаменателю выбирают знаменатель, кратный всем знаменателям данных дробей. При этом для простоты вычислений знаменатель лучше выбирать как можно меньший, а для этого нужно взять наименьшее общее кратное знаменателей всех получившихся дробей. 117 3 Например, для дробей , тт и — вычисляем сначала НОК (6, 15, 8) = 120. 6 15 8 Дополнительными множителями для данных дробей будут соответственно частные 120 : 6 = 20, 120 : 15 = 8, 120 : 8 = 15, поэтому: 2^ 8 . \Ь. ^1_11-20_ 220 "7 _ 7 • 8 _ 56 ^_3-15_45 6 6-20 120’ 15 15-8 120’ 8 8-15 120' Тем самым мы привели три заданные дроби к наименьшему общему знаменателю. 16 Глава 3, §1, п.2 Итак, чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, можно: 1) найти наименьшее общее кратное знамена-телеи данных дробей; 2) найти дополнительный множитель для каждой дроби; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. И еще одно важное замечание. Основное свойство дроби показывает, что всякое целое или дробное число можно записать в виде дроби бесконечным числом способов, например: 3 = . 1 = 10 = 15^^= . 23 _ 230 _ 2300 1 2 3 4 4 8 12 16 100 1000 10000 0 |^9j Начерти координатный луч, приняв за единичный отрезок 12 клеток. Отметь на нем точку А (^). Какими еще дробями может быть выраже- 6 на координата точки А1 Приведи три примера и запиши соответствующие 1 ^ равенства. |60| Объясни равенство дробей сначала с помощью рисунка, а потом с помощью основного свойства дроби: 20. а) i = 4 60’ 3 60’ в) 1 = ^; 2 60 г) i = M. 4 60 т Докажи истинность высказываний: 7 _42 . ^ 15 90’ 6)80 = 16 35 7 в) 1- = Й6. Ч2 96’ г) = А ^140 10 СО 1 7 1) Умножь числитель и знаменатель каждой дроби —, —, ——, — на 4. ^ 6 9 13 1 2) Раздели числитель и знаменатель каждой дроби —, —, —, — на 5. 45 60 55 5 Найди такие значения переменных хиу, при которых данные предложения становятся истинными высказываниями: 3 _ X 6 ^^ ^ ’ ’ у at) 4 62 60 у 1) ^ = JL _2_ = £1 X _ 7 , Ь 15’ 11 л: ’ 40 8 ’ 2)1 = ^ 1=1- М=12 ^ 36’ 4 32’ 30 17 Глава 3, §1, п.2 641 1) Приведи каждую дробь к знаменателю 6 и найди сумму: . 2) Найди сумму и разность дробей, приведя их к общему знаменателю: 1 + А 1-1 2-А 1+А 6 12’ 8 4 ’ 5 15’ 7 28 ■ 18 3 75 ^ 56 2) Сравни дроби, приведя их к общему числителю или знаменателю: 65 I 1) Приведи каждую дробь к числителю 6 и сравни дроби: и —. 7 5 56 1иА, 2 13 2 3 — и —, 5 10 Аи1 12 5’ 1и5 3 7 661 Сколько в содержится: а) двенадцатых долей; ■ 2 3 6 б) восемнадцатых долей; в) тридцать шестых долей? 67 I Можно ли дробь заменить равной ей дробью: 1Э а) с числителем 48, 31, 2, 6а; б) со знаменателем 60, 76, 5, 306? ^6^ 1) Что означает выражение ^'’сократить дробь”? Сформулируй определение несократимой дроби. 42 2) Какие возможны способы сокращения дробей? Сократи дробь —— тремя 720 различными способами. Какой из них тебе понравился больше? 69 I Сократи дроби: 125 75 24 125 42 . а) 75 ’ 100’ 360’Ю00’320’ б) 75 33 820 45 105 300 243 41 900 1200 70 I Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: 15-3 9*5 21 •4 • 3 19•8 • 11 а) б) 7 • 10’ 5 • 21’ 9 • 105 ’ 12 • 57 • 7 ’ 2а 15mkt ISdcm Ж. Sab’ S4mt ’ 4bbdmk ’ 4тпху ’ в) тп^ За^Ь 4с mnk’ баЬ ’ Sc'^d ’ 20x^yz I 71 I Докажи, что сократимы дроби: а) 1^, Ш, б)ИИ, УН LLLI^ 945 768 350 1980 5472 9315 Сократи их, разложив сначала числитель и знаменатель на множители. 1^^ Объясни, почему несократимы дроби: —, И-, Н , 2007 49 193 67 2008 73 I Запиши частные 48 : 72, 14 : 56, 40 : 64 в виде несократимых дробей. 18 Глава 3, §1, п.2 74 ИЗ т _ ,/100\ о/120\ ^/300\ _/84\ Отметь на координатном луче точки А j» В j, С 1) Запиши множество натуральных значений переменной х, при которых X дробь — является правильной несократимой дробью. 2) Запиши множество натуральных значений переменной у, при которых дробь — является неправильной сократимой дробью. У Какие из высказываний общие, а какие типа “хотя бы один”? Докажи или опровергни их. 1) Дробь, числитель и знаменатель которой кратны 3, сократима. 2 2) Все дроби, большие — , сократимы. О 3) Существует сократимая дробь, числитель и знаменатель которой простые числа. 4) Всякая дробь при сокращении уменьшается. 1 5) Некоторые сократимые дроби равны 2 • 6) Неправильная дробь после сокращения может стать правильной. 7) Дробь несократима тогда и только тогда, когда разность между ее числителем и знаменателем равна 1. 1) Какую часть часа составляют 5 мин, 12 мин, 15 мин, 40 мин, 45 мин? 2) Какую часть суток составляют Зч,6ч, 12ч, 15ч, 18 ч? 3) Какую часть центнера составляют 5 кг, 10 кг, 20 кг, 25 кг, 50 кг, 75 кг? 4) Какую часть тонны составляют 8 ц, 30 кг, 125 кг, 250 кг, 500 кг, 800 кг? Один оператор набрал 48 страниц текста за 9 ч, а другой - 68 страниц за 12 ч. Кто из них работает быстрее? Из 42 м полотна сшили 10 одинаковых пододеяльников, а из 33 м - 15 одинаковых простыней. Сколько полотна идет на комплект, в который входит 1 простыня и 1 пододеяльник? Как разделить сумму, разность и произведение на число? Пользуясь свойствами делимости, докажи или опровергни высказывания: ни [79| [Ш „ч 5 5 • 1 _ 5 . .4 5 +Ж_ 5+1 ^ >8" 6 6 ’ ^ >8" 6 6 6 Проверь с помощью вычислений. Можно ли сократить дробь 18 19 Глава 3, §1, п.2 81 I Применив распределительный закон, представь числитель в виде произведения, а затем сократи дробь: а) 15 • 9 - 15 • 6. «Л7 • 4 + 17 • 9. 18 • 7 + 18 • 3 - ? о) -------- ; в) 9 • 30 34 • 52 1200 г) 24 • 11 - 24 • 3 300 Образец: 1 1 32 • 5 + 32 • 9 _ 32 • (5 + 9) ^ 3^- >Г _ 1 • 1 _ J_ 160-28 160-28 5-2 10 5 2 '821 Докажи, что дроби несократимы: а) 39 б) 111 в) 13 013 г) 25 + 49-2 35 Д) 38 100’ '2500’ ' 20 480’ :!^азложи на множители числитель, а затем сократи дробь: 18-8-19-3 1) 4а + 4Ь 8с очЗлг-би. а^ + ас, ^ ^ 2)-!^, 6)—^(а*0у. i) (m.n^O). Знаменатель дроби равен: а) 18; б) 100. Дробь сократили. Может ли знаменатель этой дроби после сокращения стать равным семи? Какие простые множители могут входить в разложение на множители нового знаменателя? 85 I Сколько в числах 1, 7, 9, /п. содержится вторых, третьих, восьмых, пятнадцатых, сотых долей? 86 I Приведи дробь: а) к знаменателю 56; о б) -- к знаменателю 80; 16 в) — к знаменателю 42; 14 g г) — к знаменателю 75. 15 87 I Из ряда чисел выпиши те, которые могут быть общими знаменателями для указанных дробей: а) |и1 6,12,24,40,48; в) ^ ^ 68 10 15 б) и I 18, 24, 36, 72, 90; г) | и А 12 9 8 14 20, 30, 45, 50, 60; 14, 16, 28, 56, 70. 88 I Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби: , 5 3 "Ч-б"4- ,, 2 7 ,11 23 в) Г-;:? И -г:- ; '12 60’ 1 4 1 ">5 - 6- , 8 2 Д) 9 и , 7 6 = , 4 5 ^^ТЬ’'Г2' . 11 17 ^^Г2^Г8’ , 23 2 "%"45’ Ч 3 ^^56 “ 7 . 126’ , 15 13 л) гг:; и — ; ' 52 78 , 29 35 м) ттгг и 180 216 20 Глава 3, §1, п.2 ш Вырази следующие части величин в процентах: ^ ^ Г7 3 5 10 20’25’50’ 2 ‘ Сократи дроби, а затем приведи их к наименьшему общему знаменателю: ^ 2’ 4 ’ 5 ’10’20’25’50’ б)|, |,л, 4 ,36 55 “'54 " 99 = ш .,707 48 , ®'808 “в0= “* 80 и 135 ,234 75 г) . и 3200 “162’ Чб8 225' Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю. Если возможно, вначале сократи их. 5 1 125 28 ^ 2 63’ й, 4 16 17 "^21’56“35’ в)^ ^12’ 18'777 444 120 И 720 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями и приведи их к наименьшему общему знаменателю: За - аЪ ^ 8с + 4с 0)5/1 + - 2fl2 1г\ ах Qcd ’ ' Зп “ баг/ Игорь, Дима и Олег играли в игру. Игорь заработал а Дима - -f- всех разыгранных очков. 4 5 Какую часть всех очков заработал Олег? Вырази части выигрыша каждого из ребят в процентах. Кто из них выиграл? 7(у + 2fe) k'^ - kxf \у^Чк)Ъс ” ЪЪк 94 I Мировой океан разделяют на пять больших частей - океанов. Тихий океан 23 занимает примерно ^ всей поверхности Мирового океана. Атлантический -6 X X — , Индийский - , а. Северный Ледовитый океан - — . Вырази площади океанов земного шара в процентах от их общей площади. Какую часть всей поверхности океанов занимает пятый - Южный океан? Сколько способов ответа на последний вопрос ты сможешь найти? 1) Ира прошла 4 км за 48 мин, а ее брат прошел 2 км за 20 мин. Кто из них шел быстрее и на сколько? 2) 21 л молока разлили в 6 одинаковых бидонов, а 13 л кваса - в 4 одинаковые банки. Чья вместимость больше - бидона или банки, и на сколько? т О 98 L96J Прочитай утверждения. Какие из них истинные, а какие - ложные? Обоснуй. 1) Э д: еЛГ: 4 < дс < 5; В)3 т, п eN: = 25; 2) 3 у eN: у <1; 4) 3 fe eN: k имеет ровно два различных делителя. Найди НОД и НОК чисел: 1) 15, 20 и 75; 2) 150, 180 и 315. Докажи, что сумма 750 384 + 540 • 121: а) кратна 9; б) не делится на 5; в) делится на 2 и на 3; г) не кратна 10. 21 Глава 3, §1, п.2 Верно ли, что разность 3000 • 468 - 937 200: а) делится на 100; б) не делится на 1000; в) не кратна 9; г) делится на 4 и на 25? Щ Подбери вместо пропусков числа так, чтобы получились верные равенства: 1) 5 • (4 + 7) = 5 • □ + □ • 7; 4) (35 + а) • 2 = □ + 2а; 2) □ •(11-7) = П -21; 5) 10 •(□-□)= 140-Юд:; 3) (П-П)-20 = 80-60; 6) 9с + □ = (9 + 1)с. Ш1 Вычисли устно и расшифруй имя и фамилию гениального математика XIX века с удивительной и трагической судьбой. Блицтурнир. 1) Вася и Надя читают одну и ту же книгу. Васе осталось прочитать а страниц, а Наде Ь страниц. Сколько страниц прочитала Надя, если Вася прочитал 32 страницы? 2) Ученикам класса раздали по 3 простых и по 4 цветных карандаша, а всего d карандашей. Сколько роздано простых карандашей? 3) В синей папке в 5 раз больше листов, чем в красной. Сколько листов в красной папке, если в ней их на с меньше, чем в синей? 4) В пансионате отдыхают х взрослых, а детей - в 2 раза меньше. Все отдыхающие размещены поровну в четырех корпусах. Сколько человек проживает в каждом корпусе? 5) Один грузовик при полной загрузке перевозит п т груза за 6 рейсов, а другой - /п т за 9 рейсов. За сколько рейсов, работая вместе, оба грузовика могут перевезти а т груза, если будут загружены полностью? 6) Яблоко, груша и банан весят вместе у г. Яблоко весит на 50 г меньше груши и на 80 г меньше банана. Сколько граммов весит яблоко? 103| Реши уравнения: 1) 140-(д:: 7+ 29)-4 = 12; 2) 720: (5л:-12)-56 = 34; 22 3) 100 : [19 + (15д: - 84): 6] = 4; 4) [72 - 64 : (40 - 8х)] • 4 = 272. Глава 3, §1, п.2 Щ Щ Прочитай выражения и найди их значения при а = 5, 6 = 1: 1)(а-6)^; 2)а^-Ъ'^\ З)а-Ь‘^; А){а + ЬУ\ 5)a^ + ft^; 6)а + Ь'^. У натуральных чисел есть много удивительных свойств. Возьмем какое-нибудь натуральное число п eN, например, п = 6. Запишем множество его делителей D (6) = {1; 2; 3; 6} и для каждого элемента множества D (6) запишем, сколько у него различных делителей: 1,2,2,4. Полученные числа обладают следующей особенностью: сумма кубов этих чисел равна квадрату их суммы, то есть + 2^ + 2^ + = {\ + 2 t- 2 + 4)^. Проверь это равенство. Потом проверь указанное свойство для числа 12 и еще для какого-нибудь числа по своему выбору. Вставь вместо звездочек подходящие цифры и сделай проверку: Щ| Построй математические модели задач: 1) У Вити было на 80 р. больше, чем у Маши. Когда Витя потратил половину своих денег, у него стало на 10 р. меньше, чем было у Маши. Сколько денег было у Маши и Вити вместе первоначально? 2) В трех поселках живут 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем на 500 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке? 3) Из города А в город В выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 30 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 4 ч больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если расстояние между городами 90 км? 4) Пешеход должен был пройти 12 км за определенный срок, но он был задержан с выходом на 1 ч. Поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход, если он пришел вовремя? 1081 Переменная х принимает .значения из множества {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Зависи- 2 ос ос 5 мость у от X задается формулой: 1)у = ——г; 2) у = —г—. Найди множество "Г о ■ оХ значений переменной у и обозначь его А. Выпиши из множества А подмножество В правильных дробей. 23 Глава 3, §1, п.2 Щ Старинные задачи. 1) Один человек идет из первого города во второй и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет навстречу ему из второго города и в день проходит по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся, если вышли одновременно? 2) Некий юноша пошел из Москвы в Вологду. Он проходил в день по 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 верст. На каком расстоянии от Москвы второй юноша догнал первого? 3) Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты 500 сажен, а собака в 5 минут - 1300 сажен. Какое расстояние будет между собакой и зайцем через 10 мин? В какое время собака догонит зайца? Ш По графикам движения, приведенным на чертеже, определи скорость движения каждого объекта и запиши формулу, выражающую зависимость пройденного расстояния s от времени движения t. ках пути, время и место их встречи, продолжительность остановок, время прибытия в пункт назначения. 24 Глава 3, §1, п.2 Расстояние между пунктами А и Б по шоссе 15 км. В 9 ч утра из А в В вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 1 ч 15 мин пути он сделал 45-минут-ный привал, а затем продолжил путь, снизив скорость до 3 км/ч. Пройдя 2 ч с этой скоростью, он сделал вторую остановку, которая длилась 15 мин, и оставшийся до пункта В путь вновь шел со скоростью 4 км/ч. Из пункта В второй пешеход вышел навстречу первому в 10 ч утра со скоростью 6 км/ч. В 11 ч он сделал остановку на 45 мин. После остановки он шел до пункта А со скоростью 4 км/ч. Построй графики движения пешеходов (1 ч - 4 клетки, 1 км - 1 клетка) и определи, когда и на каком расстоянии от пункта А произошла их встреча. Кто из них раньше пришел в пункт назначения и на сколько? 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий любые две его несоседние вершины. 2) Какие из отрезков на чертеже являются диагоналями четырехугольников? Сколько всего диагоналей у четырехугольника? Можно ли отнести полученный вывод к прямоугольникам, квадратам? Почему? Тн1 О 3*) Сколько диагоналей у пятиугольника, шестиугольника, семиугольника? Сформулируй гипотезу о числе диагоналей у п-угольника, проверь ее для д = 3, 4, 5, 6 и попробуй обосновать. Пользуясь установленной закономерностью, найди число диагоналей 100-угольника, 1000-угольника. Докажи равенство: ________(20 844 : 18 - 3384 : 36) • 205 - (255 - 48)^ + 24 729_ _ 2 240 • 609 + 720 • [114 240 : (266 000 : 4750) - 1531] - 1027 : 13 • 160 5 ' Перерисуй фигуры в тетрадь. Закрась части фигур, соответствующие указанным дробям. Какими еще дробями можно выразить закрашенные части фигур? Запиши ответ с помощью равенств. 3 8 25 Глава 3, §1, п.2 Запиши в тетрадь равенства, вставляя вместо букв подходящие числа. Расшифруй известное высказывание великого Галилея: 2 = Д . 3 _ 9 . 3 4 15 _ В . 5 _ 35. 3 12 4 Я ’ 45 9 ’ 25 5 ’ К 42’ М _ 1 . 30 6 , 5 _ 10 1 _ 18. 27 _ 9 . 20 4 ’ и 11’ Е 14’ А 36’ 30 О ’ 28 _ 7 . 2 _ Р . 35 _ 5 П _ 6 . 4 _ Г 44 Ы’ 9 18’ 63 Т ’ 39 13’ 15 60 18 4 55 4 10 8 2 16 10 3 10 4 55 9 12 20 11 6 10 5 5 2 9 7 5 2 9 55 6 55 Сократи дроби: 1) используя признаки делимости: 105 1400 135 375 . 210’ 600 ’ 162’ 500 ’ 2) разложив сначала числитель и знаменатель на множители: 148 1386 592 ’ 756 1 1 81 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: 1) 3 • 5 • 28 2) \2abd 3) т^п 4) 29 • 38 - 29 • 23 еч ЗХ + Ъу 21у 15-49’ 8bdx ' 6wn ’ 29-60 Какую часть развернутого угла составляет угол: 1) 20°; 2) 30°; 3) 45°; 4) 60°; 5) 90°; 6) 120°; 7) 135°; 8) 150°? Проиллюстрируй ответ с помощью рисунков. Приведи дроби с натуральными числителями и знаменателями к наименьшему общему знаменателю: е;ч 8 7 ,74 5 8 8’ 9 4 7 13 «ч13 11 „ 3 . 1,14 8 *>75 "Тб’ 04 5 3 и 2а За !• 7 13 ^^3-2 ^24’ 6)13,11 и 25 15 20 о\ Ь п ^\cd ^ lOd Приведи дроби с натуральными числителями и знаменателями к наименьшему общему знаменателю, сделав сначала сокращение: 1) 88 и 36 о, 30 875 2)^т^ и 275 135’ '540 1750’ ’ А8Ьс Ibcnk' 04 8а6 ЪЬпк 3) ■„и 4) 9с 9t 9t 5а + За — и 56a^ ш Найди неизвестные числа при следующих условиях: 1) Если из утроенного неизвестного числа вычесть 16, то получим 17. 2) Если к учетверенному неизвестному числу прибавить 39, то получим 67. 3) Если от удвоенного неизвестного числа отнять 125, то получим квадрат числа 5. 4) Если к неизвестному числу приписать справа нуль и новое число сложить с неизвестным, то в сумме получится 484. 26 Глава 3, §1, п.2 щ ш Реши уравнения: 1) [(185 - 5л:) • 15 - 90]: 45 = 58; 2) [{Sy - 98): 2 + 56] • 36 - 268 = 2000. Найди множество А значений переменной х, при которых одновременно дробь — будет правильной, а дробь — - неправильной. Построй математические модели задач: 1) В двух библиотеках 2280 книг. Когда первая библиотека передала второй 180 книг, во второй библиотеке оказалось книг в 2 раза больше, чем в первой. Сколько книг было первоначально в каждой библиотеке? 2) Экскурсанты переправлялись через реку в лодках. Если бы в каждую лодку село по 6 человек, то не хватило бы места для 4 человек. Если бы в каждую лодку село по 8 человек, то одна лодка оказалась бы свободной. Сколько было лодок и сколько экскурсантов? 3) Трое рабочих сделали 105 тумбочек. Первый рабочий сделал в 2 раза больше тумбочек, чем второй и третий вместе, а второй рабочий — на 5 больше, чем третий. Сколько тумбочек сделал каждый? Числовой кроссворд. По вертикали: a. 1985 • 4070 b. 54 987 480 : 687 c. 1058 • 2009 d. 47 569 020:634 e. 3600 • 780 а с е / ь d k 1 т п По горизонтали: /. 5707 • 540 к. 540 222 500 : 7690 L 2 930 549 + 1 874 536 т. 5 555 555-5 461 025 п. 17 375-144 |l27j 1) Из двух городов, расстояние между которыми 232 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через 8 ч они встретились. Вычисли скорость второго велосипедиста, если первый ехал со скоростью 15 км/ч. 2) В 9 ч утра из поселка выехал автобус со скоростью 56 км/ч, а через час из того же поселка, но в противоположном направлении, выехал автомобиль со скоростью 72 км/ч. На каком расстоянии друг от друга окажутся автомобиль и автобус в полдень? 3) Два дельфина плывут в одном направлении. Скорость одного дельфина 200 м/мин, а другого - 300 м/мин. Сейчас между ними 700 м. На каком расстоянии друг от друга будут дельфины через 5 мин? Запиши формулу, выражаюнчую зависимость расстояния между дельфинами d от времени движения f. (Рассмотри 2 случая.) Глава 3, §1, п.2 Ш Докажи истинность высказывания: 207 • 32 : 72 - ( 21 140 : 7 - 43 • 70) (4800 : 120 + 360) -8:10- (503^- 3009): 5000 «i- Ш На рисунке изображен график зависимости пути велосипедиста s от времени его движения Щ 1) Сколько времени ехал велосипедист до первой остановки? 2) Какой путь он проехал до остановки? 3) Сколько времени велосипедист отдыхал? 4) С какой скоростью ехал велосипедист до остановки и после остановки? Запиши в возрастающем порядке три дроби: а) с одинаковыми числителями; б) с одинаковыми знаменателями. Из| Щ 1311 Последовательность (а^) задана своими первыми тремя членами: 123456, 1234567, 12345678, ... Запиши и прочитай ее четвертый, пятый, шестой и десятый члены - а^, а^, а^, - при сохранении указанной закономерности. Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число. В первом случае получили в остатке 4, а во втором - 18. На какое число делили? Ко1’да Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там размеры всех вещей ровно в 12 раз меньше, чем на его родине. Сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера? Океанологи, проводя исследования в специально огороженной части водоема, выловили сетью 80 рыбип, пометили их и снова выпустили. На второй день они поймали 80 рыбин, среди которых оказалось 5 помеченных. Сколько всего рыбин в запруде, если помеченная рыба равномерно распределяется с остальной? 28 Глава 3, §1, п.З 3. Сравнение дробей. Как и натуральные числа, дроби можно сравнивать друг с другом. Проще всего сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями. Два правила сравнения дробей известны нам из начальной школы. Они следуют из самого понятия дроби. Действительно, если мы, например, делим некоторую сумму денег на несколько равных частей, то чем больше мы возьмем таких частей, тем больше 2 4 денег нам достанется. Так, — < —. И вообще, О о Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та дробь, у которой числитель меньше. Легко сравнить и две дроби с одинаковыми числителями. Если мы делим предмет на большее число частей, то каждая часть получается меньше. Например, ^ . Но тогда и несколько “маленьких” о о частей вместе меньше, чем такое же количество 2 2 “больших” частей: вообще, 5 о Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та дробь, у которой знаменатель больше. Но как сравнить две дроби, у которых и знаменатели и числители различны? Оказывается, это также несложно: благодаря основному свойству дроби мы всегда можем добиться, чтобы данные дроби имели или один и тот же знаменатель, или один и тот же числитель. 4 5 Сравним, например, — и —. Приведем их к наименьшему общему знамена- о«. 4 _4 • 4 _ 16 5 телюЗб. Q g _ ^ 36’ 12 5-3 15 16 ^ 15 4^5 ---Таккак^>^,тои g >3^. 12 • 3 Еще проще было привести эти дроби к общему числителю: 1 А = 9 45 ’ 12 48 ■ Ясно, что первая дробь больще - при равных числителях у нее знаменатель меньше. Приведение к одинаковому числителю особенно полезно в случае, когда знаменатели дробей большие. Например, дроби и —А можно сравнить устно, 331 211 если привести их к одинаковому числителю 12. Очевидно, что первая дробь г 12 12 больше, так как . 29 Глава 3, §1, п.З Существует еще ряд “хитрых” приемов, с помощью которых можно просто сравнить две дроби. Например: 1) 112 ,, 113 113 112 , потому что первая дробь меньше 1, а вторая больше 1; 23 33 1 1 2) — > — , потому что первая дробь больше —, а вторая меньше тг; 45 о / Z Z ON 1 2 3 4 3>2 ^4-=5 ^ 2008 < ^ , потому ЧТО все данные дроби меньше 1 и 2009 1^ 2 1 3 1_ 1 4 ’ 5’ . Иначе говоря, 2009 дроби последовательно приближаются к 1, и поэтому каждая следующая дробь больше предыдущей. Особенно хорошо это видно на числовом луче. Сформулируем теперь общее правило сравнения, пригодное для любых дробей с натуральными числителями и знаменателями: £. ' £ Ь d <=> ad”. Общее правило сравнения дробей очень удобно, так как для его применения достаточно лишь перемножить и сравнить натуральные числа. Но кто рискнет с его помощью сравнить 2007 дробей, рассмотренных выше? Поэтому, прежде чем применять общее правило, всегда полезно подумать и попробовать найти более короткий путь. Из полученного общего правила сравнения дробей следует важное условие равенства дробей: а е Ь '~ d ^ ad = be Действительно, если при таком “перекрестном” умножении числителей и знаменателей полученные произведения оказались равными, то это означает, что ни одна из дробей не больше и не меньше другой, а значит, дроби равны. Теперь мы можем легко сравнивать смешанные числа. При этом даже не нужно переводить их в неправильные дроби, например: 3 12 8 13 ^ , потому что 12 < 13; 1о 2 ю 2 3^2 12 — > 12 Y , потому что -g > у Так можно сравнить любые две смешанные дроби. 30 о -------------------------------------Глава 3, §1, п.З Ш5 8 3 Т Что меньше: — или ? Что больше: — или ? Запиши, пользуясь знаком равносильности, правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. Тзб| Сравни дроби, приводя их к наименьшему общему знаменателю: ч 7 5 '‘>12" 9 ’ ®>Т8”Т5’ ,10 7 . 27 " 24’ , 25 23 " 48 Щ щ 17 1 3 1113 Приведи дроби наименьшему общему знаме- о 15 1^ 10 4 о о нателю и расположи их: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания. Существует ли число, расположенное между числами: г) I и I? 7 7 Найди несколько значений х, удовлетворяющих неравенству: а) ^ < л: < ; б) -^ < л: < -^. Сколько существует таких чисел? о 5 9 9 113 3 Объясни, не приводя дроби к общему знаменателю, почему — > ——, —- < — . 2 10 17 5 Запиши, пользуясь знаком равносильности, правило сравнения дробей с одинаковыми числителями. Сравни дроби, приводя их к наименьшему общему числителю: \93 5 ^4 б ^1 ”>Г25''43’ «>ГГГ ----- " 307’ ®'ю01 " 2005’ И 750 1429' ш 20 2 Х32 13 Приведи дроби 7Г,ТТ»ТТ» тт» ’ 77’Т к наименьшему общему числи- 9 41 11 3 8 7 24 телю и расположи их: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания. Определи, какая из дробей ближе к единице, и сравни их : , 8 15 “Тб „20 17 “ 18’ и il 95 39 l4^ 4 2 9 8 Расположи дроби в порядке возрастания: ■g »"g» Jq > •g 5 ,120 85 ■■'m “ 88 ■ 3 n ^ ^ 7’ 5’15’59‘ Сравни c числом i дроби: — ^ ^ 24^ 2 8 19 45 80 504 Укажи наибольшую и наименьшую из дробей. Запиши дроби в порядке убывания. а) П 21 20’ 40’ 60’ 6)13, 11 24 16 20 в) М П ^ ^ 48’ 36 ’ 72 ‘ 31 Глава 3, §1, п.З 147| Сравни дроби наиболее удобным способом: 14 13 ^>25" 2) и 77 1481 Сравни дроби, пользуясь общим правилом сравнения дробей: 27 Q4 6 ^>59" 3 K4I9 5)— и 7 . 50’ 29 ’ 19 ’ 10 . 4)^ И 64 2 «4 35 ®*зв “ 36 . 8)бА „ бА. 33 ’ 135 ’ 37 ’ 4 8 4 ^ 11 ’ Образец: ., 9 5 , 5 9 , 7 11 б)^^и-; в)-и~; г)-и-; 4 4 3 ^>45^ 3“7 8 4 „ 25 11 v25 • 4 <1> 88 V 100 88 < 100 _8 ± 25^1V (Символ V означает, что вместо него должен стоять один из знаков: >, < или =.) 1^ ш Из чисел ряда 3, 4, 9, 10 составь две дроби и сравни их наиболее удобным способом. Как еще можно сравнить эти дроби? Известно, что а, Ь, с и d - натуральные числа, причем а < Ь < с < d . Сравни дроби: ^ (X Ь 1) - и - ; о а с “ d’ 04 с Ь 3) - и а d 1511 Найди X, если известно, что дроби равны: ч л: 12 ®^25 “ 15 ’ Образец: й4 9 д: ®>24" 32- ч 18 8 в)— и —; X 16 .4 а с 4)-7 и 77 d Ь ч 14 22 16 _ 6 д: 15 ^ 16-15 = д:-6 ^ X 16-15 40 1) Митя записал дробь, знаменатель которой на 12 больше числителя, и пос- 5 ле сокращения получил дробь — . Какую дробь записал Митя? 6 2) Ира задумала число, прибавила его к числителю и знаменателю дроби 11 3 —, затем сократила полученную дробь и получила в результате — . Какое 41 число задумала Ира? 8 1531 шагов Тани составляют 9 м, а 20 шагов Кати -17 м. Чей шаг короче - Тани или Кати? 2) Алеша, Толя и Саша играли в баскетбол. Алеша сделал 5 бросков и попал 3 раза. Толя из 9 бросков попал 5 раз, а Саша из 15 бросков - 7 раз. Кто из мальчиков был более метким? 32 Глава 3, §1, п.З ИЗ 1) Автобус проезжает расстояние от города до деревни за 6 ч, а автомобиль -за 4 ч. Кто из них проедет большее расстояние - автобус за 5 ч или автомобиль за 3 ч? 2) Трех метровое бревно распилили на 7 равных частей, а пятиметровое -на 9. Части какого бревна длиннее? Лев Толстой как-то заметил, что человек подобен дроби, числитель которой есть то, что человек представляет собой, а знаменатель - то, что он думает о себе. Как ты считаешь, какой дробью, правильной или неправильной, лучше быть? А себя ты какой дробью считаешь? Найди общие утверждения и утверждения о существовании (типа «хотя бы один»). Докажи или опровергни их. 1) Существует правильная дробь со знаменателем 2. 2) Существует неправильная дробь с числителем 2. 3) Любая правильная дробь меньше любой неправильной. 4) Две дроби с равными знаменателями равны. 5) Дробь, числитель и знаменатель которой кратны 5, сократима. 6) Дробь сократима тогда и только тогда, когда ее числитель и знаменатель кратны 5. 7) Дробь сократима в том и только в том случае, когда ее числитель кратен знаменателю. 8) Дробь сократима, если и только если наибольший общий делитель числителя и знаменателя больше 1. Прочитай высказывания. Найди и опровергни ложные высказывания. Докажи истинность остальных высказываний. 1) 3 X е N: л: < ; 2) 3yeN: y>j; 3) 3a,heN: a^-b'^ = 7; 4) 3 a, 6 e A: (a - b)^ = 7. Ш Переведи на математический язык следующие утверждения, если буквами в них обозначены натуральные числа. 1) Число k кратно 4. 2) Число d кратно 5. 3) Число т четно. 4) Число п нечетно. 5) При делении числа а на число Ь получается частное 3 и остаток 8. 6) При делении числа с на 9 получается частное q и остаток 1. 7) Существуют 2 натуральных числа, сумма квадратов которых меньше 20. 8) Существуют 2 натуральных числа, квадрат суммы которых равен 64. 6 кл., ч. 33 Глава 3, §1, п.З Ш Реши примеры и уравнения. Расшифруй имя английского писателя конца XIX века и название одного из самых известных его произведений. ©(52 : 13 + 7)-3 @(12-5)*8: 1 ©81 : (36: 4)+ 45 ® (40 • 8): 2 : 5 ©(7-4-27:3) *2 ® (600 : 5 - 72): 8 • 60 @ 80х - 540 = 180 ® (90-450: 9): 8-6 ® 150-630 : д: = 60 @ 200 : [(21 • 7 + 13): 40] (g) (260 - х): 6 = 30 © [(420 : 7 • 9 - 50): 70] • 6 © (д:: 7) • 50 - 75 = 175 32 - (70 • 9 - 390): 60 © 360 : (8д: + 7х) = 6 360 30 42 28 360 50 30 33 50 360 30 35 38 32 80 7 33 33 50 7 35 28 56 33 30 56 33 30 54 360 30 35 7 4 Щ Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: а) • ^^Т05’ ч 3 • 14 • 62 ®^31 • 10 • 27 ’ д) 24yz ж) + 2л. 12л ’ б) ; 1200 ч 56 • 15 • 38 . ^ 75 • 16 • 57 ’ ч 30а2 з) 6а - 66 12 ■ 161 Приведи к общему знаменателю дроби и найди их сумму (а, 6, с, d е N): , 4 5 а) - и - ; 3 а «ч 3 2 б) - и - ; а о ч а 2 ”>2 "I- ч а с “I- ш Из примера г) выведи правило сложения дробей и сложи по этому правилу 1 3 дроби — и — . Можно ли упростить полу^юыную дробь? 6 8 Сумма всех чисел в клетках квадрата равна 10. Какое число надо поставить в пустую клетку? 4 si ^7 3 7 9 4 32 2^ ^5 5 9 ? 2I ^ 9 4 7 2 11 2-^ ^ 11 1631 Найди значение выражения: i4^i5^„7^2 4,7^1 1) а + 1-+2- + - ,еслиа = -, 1д,2-; 2) 6+^ + 4-^ +3-^,если6 = 5,6^, 7г|^. 15 15 1о 1515 34 Глава 3, §1, п.З Игра “Остров сокровищ”. 1) На острове сокровищ была пещера, в которой Флинт спрятал свои сокровища. Вход в пещеру был тщательно замаскирован, и найти его мог только старый пират Бен Ган. Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо с описанием системы координат. Далее с помощью координат он зашифровал место, где спрятан клад: Тбб| Пещера с сокровищами находится в точке пересечения диагоналей четмрехуголкника, оврозованного четырьмя дувами: (0;1),(2;7),(8;5),(5;1). Определи координаты входа в пещеру. 2) Нанеси на карту объекты: А - форт, В - бухта, С - склад, D - водопад, Е - гора, F - форт, N - наблюдательная вышка и еще два каких-нибудь объекта М и Я. Опиши их положение с помощью координат и сообщи эти координаты соседу по парте. Пусть он восстановит твою карту, а ты, в свою очередь, восстанови его карту. Кто сумел правильнее расшифровать местонахождение зашифрованных объектов? 1) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 96 км. Скорость первого велосипедиста 15 км/ч. Чему равна скорость второго велосипедиста, если велосипедисты встретились через 3 ч? Какое расстояние будет между велосипедистами через 2 ч после встречи, если они продолжат движение? 2) По шоссе в одном направлении едут автомобиль и автобус. Автобус движется впереди со скоростью 60 км/ч, а автомобиль догоняет его со скоростью 75 км/ч. Сейчас между ними 45 км. Через сколько времени автомобиль перегонит автобус на 30 км? Из двух городов, расстояние между которыми 320 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 7 равна 45 км/ч, а скорость второго составляет — скорости первого. Пусть *7 d км - расстояние между мотоциклистами через t ч после выезда. Составь формулу, задающую зависимость d от t, рассмотрев два случая: а) мотоциклисты еще не встретились; б) встреча мотоциклистов уже произошла, но они продолжают движение. 2* 35 Глава 3, §1, п.З Построй математическую модель задачи: 1) Вася идет из дома в школу. Если бы он шел со скоростью на 20 м/мин больше, то пришел бы в школу на 4 мин раньше, а если бы его скорость была на 12 м/мин меньше, он пришел бы в школу на 4 мин позже. С какой скоростью идет Вася, если расстояние от дома до школы 440 метров? 2) Расстояние между двумя пешеходами, идущими навстречу друг другу, 720 м. Скорость одного из них на 8 м/мин больше скорости другого. Найти скорость пешеходов, если известно, что они встретились через 6 мин. 3) Две лодки плывут по реке в одном направлении. Скорость лодки, плывущей впереди, составляет 80% скорости лодки, плывущей сзади. За 15 мин расстояние между ними уменьшилось с 800 м до 200 м. С какой скоростью плывут лодки? Рассмотри выражение: 10-2-1-4-14-5-7-2 + 11. Как изменяет число 10 каждое действие? Сколько раз увеличивали число 10 и на сколько увеличили всего? Сколько раз уменьшали число 10 и на сколько уменьшили всего? Как изменится число 10 в результате всех операций? Зависит ли ответ от порядка, в котором эти операции выполняются? Используя предыдущее задание, проанализируй образец и определи способ вычислений. Найди значения данных выражений таким же способом. а) 18 + 9- 2- 4 + 6- 8-1 + 5-4; в) 64+ 79-28- 4 +21-42+ 6 + 9-16; б) 30-7-4 + 9- 6 + 3 + 7- 8 +2; г) 45-26- 3 + 17 +20-24+ 5 + 3-8. Образец: 25 + 27- 16-9 + 3-4-11 = 15 -- ЛЛ ------ АЛ 1) 27 + 3 = 30(+) 3) 40 - 30 = 10 (-) 2) 16 + 9 +4 + 11= 40 (-) 4)25-10 = 15 ш ml 1) На первых трех этажах шестиэтажного дома проживает 85 человек. На четвертом этаже на 4 жильца больше, чем на первом, на пятом - на 7 жильцов меньше, чем на втором, а на шестом - на 8 больше, чем на третьем. Сколько всего жильцов в этом доме? 2) В поезде 8 вагонов. В первых четырех едут 129 человек, в пятом вагоне на 3 человека больше, чем в первом, в шестом - на 5 человек меньше, чем во втором, а в седьмом и восьмом вагонах вместе столько же, сколько в третьем и четвертом. Сколько всего пассажиров в этом поезде? Сравни дроби: 47 428 440 : 948 • 56 - [(908=^ - 908 • 2): 24 - 32 597] [(5689 • 7002): 3501 + (40 280 - 39 572)^+ 87 358] • 4 и 4 ТтЗ Сравни дроби и —^ , приведя их: 1) к общему знаменателю; 105 120 2) к общему числителю. 36 --- ----Глава 3, §11 п.З mu а) Переведи смешанные числа в неправильные дроби и расположи их в порядке возрастания, сопоставив соответствующим буквам; 16’ 29’ 26’ 9 ’ 3 ’13’ 12’ 2’ 17’ 11’ 8 ’ 4 ’ 24’ 6 ’ 27' ©©®®@®@®©©®®©©© б) Выдели целую часть из неправильных дробей и расположи полученные смешанные числа в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам: ^^^^^35^^31 5’ 10’ 9’ 5’ 8’ 9’11’ 5’ 9’ 4’ 5’ 7’ 4’ 8’ 8’ 5’ 10' ®©®®®©®®©®©©®©®®© Расшифруй имя английского писателя конца XIX - начала XX века и название одного из его произведений. тз Сравни дроби наиболее удобным способом: 17 . 20 ’ 2007 ^ 2008 2008 . “ 2009 ’ 5) А 11 4 “ 5’ 4 .. 12345 ^67890 98765 . ^ 43210 ’ 6)8| ^ 2 h4j 179’ 1751 Сократи дроби, а затем сравни их: 7 • 15 • 48 52 15 1) И 2) И 8•81 • 59 171 260 195’ ' 25-49-24 59 • 45 • 1б‘ В 4-литровую кастрюлю с водой хозяйка бросила три столовые ложки соли, а в 3-литровую - две. Где раствор оказался более соленым? По реке движется моторный катер со скоростью 225 м/мин, а впереди него в том же направлении плывет экскурсионный теплоход, скорость которого 2 составляет — скорости катера. Каким станет расстояние между теплоходом 3 и катером через 15 мин, если сейчас между ними 3 км? Через сколько времени катер догонит теплоход? На каком расстоянии они окажутся через 10 мин после встречи, если будут продолжать движение? Собака, почуяв приближение хозяина, побежала ему навстречу, когда он находился на расстоянии 150 мот дома.Через 10 с расстояние между ними сократилось до 50 м. С какой скоростью шел хозяин, если скорость собаки на 8 м/с больше скорости хозяина? Глава 3, §1, п.З Тт^ 1) По графику опиши движение путешественников (определи скорость и направление их движения на всех участках пути, количество и продолжительность остановок, продолжительность всего маршрута). I80| 2) Как, не выполняя вычислений, определить, на каком участке пути скорость движения была наибольшей, а на каком - наименьшей? 3) На каком расстоянии от пункта С находились туристы через 3 ч после выхода? На каком расстоянии были они в это время от пункта D? 4) В котором часу находились туристы на расстоянии 12 км от пункта С? Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями и приведи их к наименьшему общему знаменателю: 222 . 5abd 4ху . 12 ^ ^ 32’ 80 ^ 333 ’ 5abd о) —г и ^ ' 35аЬ 2х^ Построй многоугольник А,... А^^ по координатам его вершин: А, (2; 14), А2(4; 14), А,(4; 15), А^(5; 15), А,(5; 16), А,(6; 16),АД6; 9), Аз(13; 9), АД13; 10), А,,(14; 10), А,^(14; 0), А^^^З; 0), А,з(13; 6), AJ12; 6), А,,(12; 0), AJ11; 0),А,,(11; 6), AJ6; 6), А„(6; 0), AJ5; 0), Аз,(5; Q),AJ3; 6),А^^(3; 3), AJ2; 3),Аз,Д2; 7),Аз,(4; 7),Аз,(4; 12), Аз,(2; 12), А^. Что получилось? Сравни дроби: [(90 480 • 364): 312 : 104 : 29) • (70 000 - 69 942 + 2f [1 022 200 : 3800 - (197 745 600 : 2080 - 18 899): 4009] • 1092 -I 1831 в сказочной стране Перра-Терра среди прочих обитателей проживают Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с девятью Барабасами, а каждый Барабас знаком с десятью Карабасами. Кого в этой стране больше - Кара-басов или Барабасов? 38 I84| Тетушке Маше на три года меньше, чем Саше вместе с его ровесником Пашей. Сколько лет было Саше в то время, когда тетушке Маше было столько, сколько сейчас Паше? 185| Сравни дроби: ,41 411 6П’ д. 200200201 ^200200203 ^ 300300301 300300304 Глава 3, §1, п.З Задачи для самопроверки Т8б| 1881 Запиши цифрами число: семь миллиардов сорок два миллиона пятьдесят шесть тысяч тридцать девять. Запиши предыдугцее и последующее числа. Сравни числа: а) 58 072 318 и 694 899; б) 35 240 648 и 35 240 715. Вычисли: [7070 • 309 - 230 • (168 324 : 156) + 63 540]: 2500. п й 1485 Сократи дробь и выдели из нее целую часть. 450 5 Представь число 4 — в виде дроби. X U 1911 Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю: , 8 11 9 “ 18- Ш1 Сравни дроби: |Т^ Реши уравнения: , 3 8 «.4 3 ®>Г5 " 7' ,5 5 .,17 2 6 " 8’ ®'зо “ ¥■ , 7 13 ®>24 " 30 , 79 5 ”>68 ”ПЗ- 2)х-2^ - l| 7 7 , 11 19 '■>12 ” 20 3)6| -у f, 3 о ^ «>216” ^16' 1) Отцу 42 года, а возраст сына составляет — возраста отца. Сколько лет сыну? 2) В одном отрезе а м ткани, что составляет 30% длины второго отреза. Чему равна длина второго отреза? 3) Какую часть тонны составляют 125 кг? С двух станций, расстояние между которыми 960 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда - пассажирский и товарный. Скорость пассажирского поезда 90 км/ч, а товарного - на 20 км/ч меньше. Какое расстояние будет между поездами через 2 ч после выхода? Из деревни в город вышел пешеход со скоростью 80 м/мин. Через 20 мин вслед за пешеходом выехал велосипедист, который догнал пешехода уже через 10 мин. С какой скоростью ехал велосипедист? 39 Глава 3, §2, п.1 § 2. Арифметика дробей 1. Сложение и вычитание дробей. Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями мы научились еще в начальной школе. Для сложения таких дробей нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. На математическом языке это правило записывается следующим образом: Для любых натуральных чисел а, Ь,с: ~ ~ ~ • Аналогично, но чуть сложнее записывается правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: Для любых натуральных чисел а, Ъ, с при а > Ь: а Ъ с а - Ь Что же касается дробей с разными знаменателями, то для их сложения или вычитания достаточно привести их к одному знаменателю. А это можно сделать на основании основного свойства дроби, например: Чу' Чу гу 27 + 28 55 11 . 5 _ 5 9 35 - 27 8 ^ 21' ^ 10 15 = =11 = ii 30 6 6’ 2)i-^ = 6 14 30 30 6 6 ’ ' 6 14 42 42 В ответе дробь обычно приводят к несократимому виду, а из неправильной дроби выделяют целую часть. Для сложения и вычитания дробей верны изученные ранее свойства этих действий. Их использование иногда позволяет упрощать вычисления, например: П , JL= + + = i + ^ = 1 3 . ^ 99 25 99 25 \99 99/ \25 25/ 99 25 5 5’ 2)/5 ^17\17^5 /17_17\ 5 5 Мб 49/ 49 6 \49 49/ 6 6‘ Сформулируем на математическом языке общие правила сложения и вычи- d С тания дробей. Пусть даны дроби — и ^, где а, b,c,de N. Их общим знаменателем может служить произведение bd - оно делится и на 6, и на d. Поэтому dy by — 4- — = — + — — £ _ £. = ~ Ь d bd bd bd ' b d bd bd bd ’ Ясно, что вычитание возможно только в случае, когда числитель полученной дроби больше или равен нулю, то есть ad-bc> 0. Заметим, что общий знаменатель bd для данных дробей далеко не всегда является наименьшим. Поэтому непосредственное применение этих правил часто ведет к более громоздким вычислениям. 40 о Глава 3, §2, п.1 Выполни действия: 1 2 + 1 . 3 ’ Ч 1 л. 1 . ■^^6 12 ’ И)| + 5 . 12 ’ ч 17 л. 11 . 20 15 ’ 1 1. • ч 2 4 3 27’ 5 . 19 5 . 42 63 ’ 4 5’ 18’ 3 + 4 , ^ 25 5 ’ Л)| + 19 . , 16 ^ 13 ^15’ 5 7 ’ 20 ’ 5 3. .29 7 . 60 30 ’ м)|- 8 , 21 3 9 8’ 15 ’ ЁЦ Найди значение выражения: ^ 3 ^ 4’ 7 , 1 _ 2 . ^ 8 6 3 ’ ,9 3^5 "5 7 ’ г) A-J_ ’ 24 60 40 „л 5 ^ 10 _ 3 . ■^44 21 4 ’ е) А +А. ^ 6 16 12’ .10 ^ 2 _/А4-2\_ А. 3 \20 9/ 18’ ^^456 7 Реши уравнения: 14^3 5 , : ^ 20 12 ! П 12 4 10 ^^7 ^ 54 9 27’ 2^ Найди значение выражения: 1) ^ , если а = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 8 а 2) ^ ’ если Ь = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 3) 4 + если с = 1, 2, 3, 4, 5, 6. 4 6 8 Для дробей с обш;им знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи: 1) переместительное свойство сложения; 2) сочетательное свойство сложения; 3) правило вычитания числа из суммы; 4) правило вычитания суммы из числа. Пользуясь свойствами сложения и вычитания дробей, вычисли наиболее удобным способом: ч 13 “>Т7 в) (- + -) V44 в/ 7 . ,35 ^^68 (-i- + -LV 44’ \68 22/’ -А)- г) 1 f5+19\ Is зв/ 1 36 ’ ч14 ®^39 (-+-). \12 39/ 41 Глава 3, §2, п.1 20^ Запиши для дробей в общем виде и докажи особые случаи сложения и вычитания с нулем. Для каждого случая придумай и реши соответствующие примеры. Ш1 Выполни сложение и вычитание дробей с натуральными числителями и знаменателями: 1)^ + ^; л: у 2) - - - ; т п + ас 7),— + “ от. 10/е’ сч d т 8) 2^ - _L xt 8л: ‘ Щ 205| 1) За день с лотка продано — ц винограда и — ц яблок, причем до обеда про- ^ и “Г 7 дано — ц этих фруктов, а остальное - после обеда. Сколько центнеров винограда и яблок продано после обеда? 2) Велосипедист проехал в первый час \ пути, во второй час - пути, а в 3 4 5 третий час - — пути. Какую часть пути он проехал за 3 часа? Какую часть ему еще осталось проехать? Гк -IQ 1 XT От веревки длиной — м отрезали м. На сколько метров отрезанный ку- сок веревки меньше оставшегося? 1) Одна сторона треугольника равна — дм, вторая - на дм длиннее пер- 5 10 „ 7 вой, а третья - на — дм короче второй. Чему равен периметр треугольника? ш и 1 3 2) Ширина прямоугольника —м, что на —м меньше длины. Найди его 4 10 периметр. 1) Через большую трубу бассейн наполняется за 6 ч, а через маленькую - за 14 ч. Первая труба проработала 1 ч, а вторая -7 ч. Какую часть бассейна осталось наполнить? 2) Через большую трубу бассейн наполняется за 9 ч, а через маленькую - за 12 ч. Какую часть бассейна останется наполнить после 4 ч совместной работы обеих труб? 1) Двое рабочих выполнили задание за 6 ч. Если бы работал один первый рабочий, то он выполнил бы это задание за 10 часов. Какую часть работы выполнял за час каждый рабочий, если они работали с постоянной производительностью? 2) Мастер может выполнить задание за 3 ч, а его ученик - за 6 ч. Какую часть работы выполнят они за 1 час, работая вместе с той же производительностью? 42 ----------------------------------------------—_ Глава 3, §2, п. 1 1) Из двух городов одновременно навстречу другу другу выехали 2 автомобиля. Один может проехать все расстояние между городами за 5 ч, а другой — за 4 ч. Какая часть первоначального расстояния будет между ними через 1 ч? 2) Реши предыдуш,ую задачу для случая движения вдогонку. 7 1) Запиши множество дробей, удаленных на числовом лу^1е от дроби -— 1 на — . Проиллюстрируй полученный ответ на чертеже. 2) Запиши с помощью двойного неравенства множество чисел х, удаленных 7 1 2 19 на числовом луче от дроби — меньше, чем на —. Докажи, что дроби — , ——, 15 3 375 101 875 ттт: ’ тттг^ принадлежат этому множеству. 150 1500 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие (буква е читается: “эпсилон”): “Множество точек числового луча, удаленных от точки а на расстояние меньшее, чем с, называется е-окрестностью точки а”. Изобрази с помощью числового луча Б-окрестность точки 3 при б = 1. 2) Используя чертеж, установи, верно ли сделан перевод приведенного определения на математический язык: Точка X принадлежит Б-окрестности точки а + Б <:^а-е<х<а + е а - Е а а + г 3) Пользуясь определением е-окрестности, запиши в виде двойного неравенства Б-окрестности точек: 3 _____ 1 , если е = - ; 10 5 -,еслиБ=- О 4 2 - , если е = g ; 1 1 - , если е = - ; Проиллюстрируй ответы на чертеже, подобрав подходящие единичные отрезки. Для каждой е-окрестности запиши по одному числу, которое ей принадлежит, и по одному числу, которое ей не принадлежит. ш Докажи или опровергни утверждения: 1 , 1 3) 3 а еЛ^: i < < i ; 5) 3 л еЛГ: < 1 . л: 2 ' 3 12 2 3 8 2 ’ ^<1; 2 2 6)3p,qeN: ^ <1 2 43 Глава 3, §2, п.1 Ш Как изменяется дробь с увеличением и уменьшением числителя, знаменателя? Не выполняя преобразований, расположи дроби: а) 3 5 1 2 1 4 6 2 11’ 8’ 15’ 11’20’ 9’ 7’15 3 7 3 7 1 5 2 5 в порядке возрастания; в порядке убывания. '16’ 9’17’12’18’12’17’16 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: 495 . 4620’ 22 • 16 • 45 Ш1 а) ^^5 • 64 • 33 ’ Реши уравнения: 15 ^ 3 . а -Ь 15 7 ’ в) г) 25 - 5 . 50 ’ 9 • 4 + 6 • 4 8 • 81 - 8 • 56 Д) е) 45ас 54:abk 12xz , IQxyz ж) з) 1) 04 4 _ 60 - m 5 “~40~ 3) Ьх- 7 12 1 4 5d + lOd 15dn - 6b 2a{b - 6)' 30 Составь выражения и найди их значения: 5 4) - = ' 3 27 + 2у 1) Сумма чисел 7 и 3 . Л. ^ J. м О 4 7 2) Разность числа 5 — и суммы чисел 1 и 2 — . 13 13 13 5 7 4 3) Сумма разности чисел 4 — и 2 — и разности чисел 6 и 1 — . У У у 3 7 9 4) Разность суммы чисел 5 — и 4 и разности чисел 3 — и 2 — 2J^ Как изменяется сумма при увеличении или уменьшении слагаемых? Как изменяется разность при изменении уменьшаемого и вычитаемого? Сравни выражения: 1) а-Ь 8 и а-f 25; 3) 56-си 20-с; 5)т-12и/п-4; 2) 42-ЬЬи6 +19; 4)d-7Hd-15; 6) 39 - я и 61 - л. Ш Перерисуй таблицы в тетрадь и определи, как изменяется сумма а + Ь и разность а — Ь при изменении аиЬ (знаком “-I- с” условимся обозначать увеличение данного числа на с, а знаком с” - уменьшение на с). 1) а Ь а + Ь а-Ь + 7 + 3 + 7 -3 -7 + 3 -7 -3 2) а Ь а + Ь а-Ь + 1 + 4 + 1 -4 - 1 + 4 - 1 -4 44 Глава 3, §2, п.1 На соревнованиях по биатлону одновременно стартовали два лыжника: первый - со скоростью 320 м/мин, а второй - со скоростью 300 м/мин. Мишени находятся на расстоянии 4 км 800 м от места старта. На каком расстоянии от мишеней будет находиться второй лыжник в момент прибытия туда первого лыжника? ш 22| Два велосипедиста стартовали в одном заезде спортивных соревнований на дистанцию 12 км. Скорость первого велосипедиста 500 м/мин, а второго -на 20 м/мин меньше. Какое расстояние до финиша останется ехать второму велосипедисту в момент прибытия туда первого? Два туриста двигались с одинаковой скоростью. Первый прошел 8 км, а второй - 12 км. Первый турист был в пути на 40 мин меньше второго. Сколько времени находился в пути второй турист? Миша и Алеша побежали навстречу друг другу, когда расстояние между ними было 180 м, и встретились через 15 с. До встречи Миша пробежал на 30 м больше, чем Алеша. С какой скоростью бежал каждый из них? БЛИЦтурнир, 1) Байдарка шла 3 ч со скоростью а км/ч, а остальное время - со скоростью Ь км/ч. Сколько часов она была в пути, если всего прошла с км? 2) Два муравья одновременно поползли от дерева в противоположных направлениях. Скорость первого муравья равна т см/с, а скорость второго составляет ^ скорости первого. Через сколько секунд расстояние между 6 ними будет равно k см? 3) Два катера плывут навстречу друг другу. Скорость первого катера равна X км/ч, что составляет 80% скорости второго катера. Сейчас между ними у км. На каком расстоянии друг от друга будут катера через 2 ч, если до этого времени они еще не встретятся? 4) Из поселка одновременно в одном направлении выехали два всадника. Через 20 мин расстояние между ними стало d м. Скорость всадника, который ехал быстрее, равна п м/мин. Чему равна скорость второго всадника? Запиши выражения: 1) Произведение утроенного числа т и суммы чисел end. 2) Сумма квадратов чисел а и 6. 3) Квадрат суммы чисел пик. 4) Разность квадратов чисел а и 5. 5) Частное куба числа х и квадрата числа у. Глава 3, §2, п.1 Прочитай выражения: а^ + Ь^ (а + ЬУ а^ + 2аЬ + ЬК Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу: а Ь а^ + Ь^ (а + ЬУ + 2аЬ + Ъ'^ 2 5 1 9 8 6 7 4 т\ Щ Что ты замечаешь? Подбери еще две пары значений а и б по собственному выбору и проверь свою гипотезу. Существуют ли значения переменных а и 6, при которых значения всех трех выражений будут равны? Зависимость между переменными хну задается формулой: 1)у = 2х\ 2)у-=х + 2. Составь таблицу соответствующих значений хну при j: е {О, 1, 2, 3, 4, 5}. Построй координатный угол и отметь в нем точки (л:, у), координаты которых удовлетворяют данной зависимости. Что интересного в расположении этих точек? 1) Луна совершает полный оборот вокруг Земли за 27 сут. 7 ч 43 мин 11с. Сколько это секунд? 2) Сатурн совершает полный оборот вокруг своей оси в течение 38 340 с, а Юпитер - в течение 35 400 с. Вырази это время в часах и минутах. Выполни действия и вырази ответ в наиболее крупных единицах измерения: 1) (2 га 8 а 47 м^ - 51 а 42 м^): 15; 3) (5 см 8 мм + 34 см 7 мм) • 6400; 2) (5 кг 16 г -1- 4 кг 784 г) • 250; 4) (10 м'^ - 3 м'* 88 дм"^): 3600. О i)i + 3- 4 ’ Выполни действия: 7 3)^ -^^44 33’ 5)i + ^-А. 10 12’ 17 2) __. 4) ^60 20’ 450 2311 Реши уравнения: j_. 90’ 6) 10 -(3-3)+ 5 \4 5/ 8 46 Глава 3, §2, п.1 Пользуясь свойствами сложения и вычитания дробей, вычисли наиболее удобным способом: , 18 ^ 3 ^ 1 ^ 2 ^*19 ■"7+19+7' /29 ^ 5 \ 4 ,38 /4 , 11\ ^Н75^12/ 75’ \51^48/‘ Приведи дроби к общему знаменателю и выполни действия (значения всех переменных - натуральные числа): 1 ч m _ ^ ^ 4 /г ’ 2)| + -^; а п ®>^+ Т’ 4) ^ Sx 6х ш 1) Фермер с октября до января израсходовал — годового запаса овса, а с 1 января до апреля - на — больше. Какая часть овса у него еще осталась? О 2) Рабочий может выполнить производственное задание за 5 ч, а его ученик - за 8 ч. Какую часть работы останется выполнить после 2 ч их совместной работы? Как изменяется сумма а + Ьи разность а-Ь при изменении аиЬ? Перерисуй таблицы в тетрадь и заполни пропуски (см. № 219): 1) а Ь а + Ь а-Ъ + 5 + 2 -5 + 2 + 5 -2 -5 -2 2) а Ь а + Ь а-Ь + 8 + 12 -8 + 12 + 8 - 12 -8 -12 ш Сократи дроби, а затем расположи их в порядке возрастания (а, h ^ N): 112 5 + 7 26 • 8 • 17 32-3 + 32 25аЬ 392’ 14 ’ 51-13-24’ 32-7 ’ 156а’ Реши уравнения: 1 \ ^ ~ 9 . 04 32 - у ^ ^ ^4 16 ’ ^24 8 ’ 3) 35 11 40 + 32 22 января в 15 ч из Петропавловска-Камчатского в Тикси вышел ледокол со скоростью 18 км/ч. Вслед за ним 23 января в 19 ч вышел караван судов со скоростью 32 км/ч. Устойчивая радиосвязь между ледоколом и судами может быть установлена, когда расстояние между ними составит 70 км. Какого числа и в какое время это произойдет? 47 Глава 3, §2, п.1 23^ По шоссе навстречу друг другу едут автобус и мотоциклист. Скорость автобуса равна 900 м/мин, а скорость мотоциклиста составляет 75% скорости автобуса. Сейчас расстояние между ними равно 25 км 200 м. Через сколько времени они встретятся? Какое расстояние будет между ними через 4 мин после встречи, если они продолжат движение? 2 Задумано число. Если к нему прибавить 4у, из полученной суммы вычесть 3 Y, а разность вычесть из 8 то получится 2 -у. Какое число задумано? 2411 Найди значения выражений: 1) (8 мин 25 с - 3 мин 45 с) • 36; 3) (8 м^ 4 см^ - 9 дм^ 64 см^): 260; 2) (5 ц 2 кг -Ь 78 кг) • 5; 4) (5 м^ 45 дм^ 45 см® - 5 м® 5 дм® 5 см®): 40. О Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж вместе взятые, и столько же, сколько картина, корзина и картонка вместе. При этом каждый из предметов - картина, корзина и картонка - в отдельности весил больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что если к собаке на весы добавить саквояж, то вместе они перевешивают диван, и то же самое происходит, если к собаке на весы добавить чемодан. Докажи, что претензия дамы была справедлива. Что больше: ,1^1 1^1 a)--f- или - + - в) -f 1 2005 2009 или б) -ь 2006 2008’ г) 2006 2007 или 2008 2009 ш На волшебном дереве выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Если сорвать один из плодов - вырастет такой же, если одновременно сорвать два одинаковых плода - вырастет апельсин, а если одновременно сорвать два разных плода -вырастет банан. Как надо срывать плоды, чтобы в какой-то момент на дереве остался ровно один плод? Какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы через некоторое время на дереве ничего не осталось? 245| Расшифруй ребус: КИС + КСИ = ИСК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным - разные. 48 Глава 3, §2, п.2 2. Сложение и вычитание смешанных чисел. Из начальной школы нам известно, что при сложении смешанных чисел можно сначала сложить целые части, а затем - дробные части. Это следует из переместительного и сочетательного свойств сложения: Записывают короче: +4l = 5L±J = 5i = 5i Если дробные части смешанных чисел имеют разные знаменатели, то их предварительно приводят к общему знаменателю. А из дробной части суммы, если она окажется больше 1, выделяют целую часть: - ЛО+11 .21 7 . 3 Таким образом, чтобы сложить смешанные числа, можно: 1) привести дробные части к наименьшему общему знаменателю; 2) сложить отдельно целые и дробные части; 3) если необходимо, сократить дробную часть; 4) если дробная часть суммы окажется неправильной дробью, выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы. Аналогично вычитание смешанных чисел сводится к вычитанию (если это возможно) отдельно целых частей и дробных частей: Как и при сложении, запись упрощают, а дробные части, в случае необходимости, приводят к общему знаменателю: ^1 о 25 - 16 ^15 =^“30“ 2-5- =2— . 30 10 Если дробные части “не вычитаются” (в уменьшаемом дробная часть меньше, чем в вычитаемом), то из целой части уменьшаемого можно “занять” единицу: '^2 11 *8 9§-ЗГ2-4 11 12 .20 .11 ^12“^l2 Итак, чтобы вычесть смешанные числа, можно: 1) привести дробные части к наименьшему общему знаменателю; 2) если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, ”занять” единицу из целой части; 3) вычесть отдельно целые и дробные части; 4) если необходимо, сократить дробную часть. По приведенным правилам можно проводить также совместные вычисления с дробями, натуральными числами и смешанными числами, например: ..7 5 8 - = 3^=3^^ 8 8 ^4 11-2^ = 10|-2| = 8^. 7 7 7 7 49 Глава 3, §2, п.2 Qm Вычисли суммы и найди, что общего в примерах каждого столбика: 1)2| + 7|; 9 4 + 3 + 4 2 2)1|+з|; ^^^12^^48 ’ 29 17 Вычисли разности. Что общего в примерах каждого столбика? е\ ^ 3 5 ^>®4 “8 = 13)2|-l| ; 2)3-1; к\ ч 5 4 . “9 = 14)101-б1; 3)8-2|; 7)9— ——• ^16 24’ 11 \ 31.5 _ 1 _Z_. ^^^^44 ^33’ 4)5-4§; 8)415-А; ^ 49 14’ 16)7^-21. Найди значения выражений: 1)15-7| ) 0 + 2|; 3)1 -4)= На вершине горы, возвышающейся на 784 — м над уровнем моря, постав- X ^ лена башня высотой 38 м. На крыше башни стоит громоотвод, высота 4 которого равна 3 — м. На какой высоте над уровнем моря находится шпиль О этого громоотвода? ! 3 семье пятеро сыновей. Старшему 11 лет, а каждый следующий младше предыдущего 7 на 2— года. Сколько лет младшему сыну? JL ^ Через сколько лет в семье родится следующий сын, если эта закономерность сохранится? 1| Запиши два смешанных числа так, чтобы выполнялось одно из условий: 7 1) одно из чисел больше другого на 4 8’ 2) разность чисел равна меньшему числу; 3) сумма чисел равна натуральному числу. 50 Глава 3, §2, п.2 Реши уравнения: 1) (4-x)+li-3^; 3)lf+(*-2|)-i + 6i; 2) 4|+(,-2|) = 5§; 4)(7^-*)-11=б ---к 2 1 25^ Отцу 42 •д года. Мать моложе отца на 3 лет. 5 Когда родился сын, матери было 24^^ года, а когда родилась дочь - 27-^ лет. О 1) Сколько сейчас лет сыну и дочери? 2) На сколько лет сын старше дочери? 3) Сколько лет было отцу, когда родились его сын и дочь? Садовник собрал клубнику с четырех грядок. С первой собрал 1-|- кг, со второй - на ^ кг больше, чем с первой, с третьей - на кг больше, чем с 4 2 g первых двух вместе, а с четвертой - на 2 — нг меньше, чем с третьей. Сколько килограммов клубники собрал он со всех четырех грядок? Перерисуй таблицу в тетрадь и определи, как изменяется сумма а + 6 и разность а - Ь при указанных изменениях а и &: 1) а ь а + Ь а-Ь -4 -4 -4 2) а ь а + Ь а-Ь -1 +4 -4 "4 -4 -4 -4 Выполни действия наиболее простым способом: 24 -2^> '4г7+4)= 4^^ 35 + 1 6/ 56/’ 789 51 Глава 3, §2, п.2 О 153 711 3 1 Вычисли: + + 2-§- + 1 —. Как ты думаешь, какая 7 711112 о о о из сумм может быть лишней? 2581 Вычисли: '^“'1'”’ 1^®*^**® числа будут получаться, если продолжить эту цепочку разностей, сохраняя правило? Чему равна разность, стоящая на 100-м месте? ^3 6 ’ 5 10 ’ 7 14 ’ 25^ Вычисли: а)|+;|; j+|; | + Продолжи цепочку выражений, сохраняя правило. Можно ли, не вычисляя, сказать, какие ответы будут получаться дальше? 1) Прочитай задачу: “В классе а девочек и с мальчиков. По болезни сегодня отсутствуют Ь девочек и d мальчиков. Сколько учащихся сегодня присутствует на занятиях?” Что означают выражения: (а + с) - (6 + d) и (а-Ь) + (с- d)? 2) Из равенства (а + с) - (Ь + d) = (а - Ь) + (с - d) сформулируй правило вычитания суммы из суммы. Используй это правило для вычисления разности 'iT ’ 3) Исходя из правила вычитания суммы из суммы, докажи равенство: (а + с) - {Ь + с) = а - Ь. Замени в нем знак “+” на знак “ • ”, а знак на знак Что получилось? Что получится, если заменить в новом равенстве знак деления на черту дроби? 4) Замени в равенстве {а + с) - {Ь + d) = {а - Ь) + (с - d) знак “+” на знак “ • ”, а знак на знак Переведи получившееся высказывание с математического языка на русский. Что получится, если в новом равенстве заменить знак деления на черту дроби? Сформулируй гипотезу об истинности этих высказываний и попробуй ее доказать. 1) Представь ^ в виде дроби со знаменателем 8, 20, 36, 56, 96. 2 2) Можно ли дробь — привести к знаменателю 45, 82, 120, 514, 8075? о 2621 Сократимы ли дроби: 123 123456 123456789 321 ’ 654321 ’ 987654321 52 ----------------------------------------------------Глава 3, §2, п.2 В числителе дроби стоит число 123456789101112131415...272829, а в знаменателе - число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке: 92827262...321. Сократима ли эта дробь? Докажи или опровергни высказывания: 1) 3 п 6 ЛГ: дробь сократима; 3)3 п е N: дробь ^ сократима; 2)3 п € N: дробь 2 2п + 1 Q п 4- 1 несократима; 4) 3 п € iV: дробь—- несократима. 26^ 2 ‘ ' ' ' ■* 2 Могут ли быть сократимыми дроби {т, п, k & N): 2п + 1 Зп - 1 2п + 1 Зп + 1 2п + 1 2п + 1 2п + 1 5п + 3« 4 ’ 6 ’ 15 ’ 25 ’ 2п ’ 2п-1’ 2k ’ 7m - 1 Какие из этих дробей не могут оказаться натуральными числами? 1) Сократи дроби, представляя степени в виде произведений (значения всех переменных — натуральное число): iL ^ ^ — — £l £l а^’ с^’ d ’ m«’ n^' ’ q'^ ’ Как найти ответ, не выписывая произведений? 2) Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: у1 у^' а" ^ ,п I 2 ’ I 5 , £^(т>4), |1(п<12), |J(P>9). ^(Р<9)- ш а"' ‘ 6® ' с"* ' ■" ' " хч У‘‘ 1) Сравни данные дроби, подбирая натуральное или дробное число, расположенное между ними: ,38 а) -:г:г и 23 йч23 б) 7г:г и 38 Образец: 2) Сравни примеры каждого столбика. Что ты замечаешь? Закончи предложение: 98 47’ ,238 “>107 " 623 . 345 ’ ,612 д) и '^411 8586. 1401’ 47 . , 107 г) —— и 238 345. ,111 "*6Т2 " 1401 98’ 623’ 8586 ■ 2681 Придумай, как, используя рисунок, доказать, что + 4 + + + "А" <1? На сколько левая часть 2 4 8 16 32 64 неравенства меньше правой? 53 Глава 3, §2, п.2 27^ Блицтурнир. 1) Велосипедист едет со скоростью с м/мин. Навстречу ему движется автобус. Расстояние между ними за 5 мин сократилось на d м. Чему равна скорость автобуса? 2) Милиционер преследует нарушителя. За 8 мин расстояние между ними сократилось на k м. Сейчас между ними S м. Через сколько времени милиционер догонит нарушителя? 3 3) Путешественник прошел за первый день а км, за второй - — расстояния, пройденного в первый день, а за третий день - 70% этого расстояния. Какое расстояние прошел путешественник за 3 дня? 4) Плош;адь комнаты равна Ь м^, что составляет 40% площади второй комнаты. На сколько площадь второй комнаты больше площади первой? 5) Длина аквариума п дм, ширина - в 2 раза меньше, а высота - на 3 дм меньше длины. Сколько воды требуется налить в пустой аквариум, если уровень воды должен быть ниже верхнего края аквариума на 1 дм? 6) Один маляр может покрасить забор за д: ч, а другой - за у ч. Какую часть забора смогут они покрасить за 2 ч, работая вместе с той же производительностью? 1) Пользуясь рисунком, объясни, ^ ^ почему верно равенство: (а + Ь) • (с + d) = ас + ad + Ьс + bd. Выведи из этого равенства правило умножения суммы на сумму. 2) Выполни умножение и упрости полученные выражения: (х + 3)’(х + 2), (5 + о • (5 +1), (а + Ь)\ (4 + у)-{1 + у), ik + 3)-(k + 3), ic + dr. Проанализируй ответы последнего столбика и придумай правило вычисления квадрата суммы двух чисел. Переведи условие задачи на математический язык: 1) Длина садового участка прямоугольной формы на 10 м больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400 м^. Для этого длину увеличили на 10 м, а ширину на 2 м. Чему равна площадь нового участка? 2) Под строительную площадку отвели прямоугольный участок, длина которого на 25 м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину - на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м^. Чему равна площадь образовавшейся строительной площадки? d 54 Глава 3, §2, п.2 2^ О Построй математическую модель задачи и реши ее методом перебора: 1) Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 меньше исходного. Найти эти числа. 2) Сумма цифр двузначного числа равна 12. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет у исходного числа. Найти эти числа. Построй отрезки MN и PQ и найди координаты их точки пересечения: 1) М (5; 0), N (0; 15), Р (0; 6), Q (8; 0); 2) М (4; 0), N (0; 8), Р (0; 5), Q (10; 0). Что интересного в расположении концов отрезков? Чем характеризуются координаты точек, расположенных на оси абсцисс, на оси ординат? ,± 21 '36 Выполни действия: 4)2^ + б|- 1^- ; 45 ’ ^36 4)^ 275| Реши уравнения: \*15 ' ” 15 ' "46 ■ 27^ Найди значение выражения наиболее удобным способом: ^/_3 ^о40\ „16 ,„13 /о13 , V86 ■^®49/’ ^39’ Г 14 ^25/' 27^ Камень, брошенный вниз со склона ущелья, пролетает в первую секунду 9 4 4 — м, а в каждую следующую секунду на 9 — м больше, чем в предыдущую. 1 и о Определи глубину ущелья, если камень коснулся дна ущелья через 3 с. 278| В числителе дроби записали произведение всех четных чисел первого десятка, а в знаменателе - произведение всех нечетных чисел первого десятка. Приведи эту дробь к несократимому виду. Килограмм масла стоит 180 р., что составляет 90% стоимости килограмма мяса. Стоимость пакета молока составляет 20% стоимости килограмма 4 мяса, или -- стоимости десятка яиц. Сколько надо 5 заплатить за три десятка яиц? Сократи дроби: 1) 1^ ; 2) у ; 3) ^ (а е Л^); 4) у (& е Л/"). 55 Глава 3, §2, п.2-------------------------------------------——---------- ШКак изменяется сумма а + Ь и разность а - Ь при указанных изменениях а и 6? 1) а h a + h а-Ъ -4 -4 -1 2) а Ь а + Ъ а-Ь -1 -1 9 |28 Прочитай выражение и преобразуй его в сумму (см. № 270): 1) (а + 9) (6 + 4); 2) (х + 6) (2 + х); 3)(m + nY; 4)(с + 3)^. Переведи условие задачи на математический язык: У прямоугольника длина на 8 см больше ширины. После того как длину увеличили на 5 см, а ширину уменьшили на 4 см, его площадь уменьшилась на 40 см^. Найти стороны данного прямоугольника. Сумма цифр двузначного числа равна 14. Когда эти цифры поменяли местами, получили число, которое на 36 меньше исходного. Найди эти числа. 1) Построй четырехугольник ABCD, если А (0; 3), В (5; 6), С (10; 3), D (5; 0), и найди координаты точки пересечения его диагоналей. 2) Сколько осей симметрии имеет четырехугольник ABCD? 3) Измерь углы четырехугольника ABCD. Что ты замечаешь? 4) Найди как можно больше свойств этого четырехугольника. |28б| Существует ли двузначное число, в 2 раза большее прюизведения своих цифр? В одном классе обучается меньше чем 50 учащихся. На Тверской улице проживает учащихся этого класса, на Петровке - ^, на Малой Бронной - — и на Большой Дмитровке - остальные ученики. Сколько учеников проживает на Большой Дмитровке? “Ну, погоди!” - зарычал Волк, заметив в 30 м Зайца, и бросился за ним, когда тому оставалось бежать до места укрытия 250 м. Догонит ли Волк Зайца, если он пробегает за минуту 600 м, а Заяц - 550 м? 56 Глава 3, §2, п.З 3. Умножение дробей. Из начальной школы хорошо известна формула площади прямоугольника: S = аЬ, где а и Ь - длины сторон прямоугольника, а S - его площадь. Однако по этой формуле мы можем пока найти только площадь прямоугольников, у которых длины сторон выражаются натуральными числами. Если же длины 2 3 сторон выражаются дробными числами - например, — дм и -у дм, - то площадь 5 4 прямоугольника является произведением этих дробей, а как эти дроби перемножить - нам пока неизвестно. Итак, для вычисления площади данного прямоугольника и любого другого прямоугольника, длины сторон которого выражаются дробными числами, нам необходимо получить правило умножения дробей. Конечно, оно в математике уже есть, но как оно появилось? Сейчас мы проведем рассуждения, которые покажут, что математические правила возникают не случайно, а естественным путем - из решения практических задач. Нарисуем квадрат со стороной 1 дм и разделим одну его сторону на 5, а другую сторону - на 4 одинаковые части. Площадь квадрата равна 1 дм^, и он разбит на 20 одинаковых маленьких 1 1 прямоугольников с длинами сторон — дм и -- дм. 5 4 Значит, каждый маленький прямоугольник 3 -дм 1 дм — дм 5 1 дм имеет площадь — дм^. Далее, прямоугольник ^ и 2 3 со сторонами — дм и — дм, площадь которого 5 4 мы вычисляем (на рисунке он закрашен), состоит из 2 • 3 = 6 маленьких прямоугольников. ^ 6 , „ / 2 3 \ й Поэтому его площадь равна ^ дм'^, а с другой стороны, она равна j дм“. Итак, искомое произведение найдено, и теперь нам надо понять, как из л о Л дробей — и — получить дробь — . Ответ напрашивается сам собой: 6 = 2 • 3, 5 4 20 20 = 5 • 4, то есть числитель “новой” дроби равен произведению числителей данных дробей, а ее знаменатель равен произведению их знаменателей. Эти рассуждения иллюстрируют правило умножения дробей: Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель - произведению их знаменателей: п п П£* а,Ь, С, d G N а Ъ £ d ас bd' Попробуй, используя данное определение и свойства действий с натуральными числами, самостоятельно доказать, что умножение дробей обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами. 57 Глава 3, §2, п.З При умножении дробей для упрощения вычислений их числители и знаменатели перемножают не сразу, а сначала сокращают общие множители, например: 8 2 35 ’ 9 8 • 2 _ 16_ . 1 3^-Ж 5-3 15 15 5 3 Правило умножения дробей позволяет также перемножать дробь и натураль- п 1’ ное число. Действительно, натуральное число п - это то же самое, что дробь и поэтому: а ^ а п _ ап ъ'^ Ь‘ 1~ Ь' Однако на практике натуральное число п дробью не заменяют, а используют только результат проведенного вычисления, то есть пишут, например: 4 4 4 • 1^ _16_. 1 9 Ж 3 3' 3 Другими словами, при умножении дроби на натуральное число можно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения: а ап и АТ = a,b,neN о о Смешанные числа проще всего перемножать, записывая их сначала в виде неправильных дробей, а затем применяя общее правило умножения дробей, например: i5 3 15 8 4^-2^=^ ^7^8 7 = 1^= 11 1 4 4 ^^4' X -Ж 1 4 при умножении смешанного числа на натуральное используется распределительное свойство умножения, например: 4| -9 = (4 + |)-9 = 4-9 + ■|•9 = 36 + ^ = 36 t 7^ =43-^. 6 6 6 2 2 2 Обычно записывают короче, что делает такой способ вычисления практически очень удобным: 4|-9.86^-4з|. Итак, при умножении смешанного числа на натуральное можно отдельно умножить на это число его целую и дробную части и полученные результаты сложить. Отметим также, что для любой дроби — выполняются равенства: 1 9i -Ь~ Ь' £.0 = 0* — = 0 —• Ь ^ Ь ' Ь Эти равенства мояшо обосновать, опираясь на частные случаи умножения натуральных чисел на 0 и на 1. 58 о Глава 3, §2, п.З Найди значение выражения: а) 3 22 ч 16 45 19 И)(^ [\2 11 ’ 45’ ■^^81' 57 ' 4 ’ i)’ 12 14. 5 77 к)(^ 0) 7 ' 27’ ®^49 88 ’ 25’ 3/’ 18 13 4I8 35 19 л) (■ 7\2 в) 39 36’ 3 *42’ 8/ ’ г) 24 51. ч 20 73 46 м) ( 5\з 17' 40’ 48 ■ 73’ 4/ ' 2901 Найди произведение дробей с натуральными числителями и знаменателями: . аЬ 56 6) 3i/ \2xz' в) 48m nk nk^ 54m3’ г) b^c 24^2 30d 1) Длина стороны квадрата — дм. Чему равна его площадь? 2 1 2) Ширина прямоугольника — см, а его длина на — см больше. Чему равна 5 2 площадь прямоугольника? 3 3) Куб имеет ребро, равное — м. Найти его объем. 5 3 4 4) Длина прямоугольного параллелепипеда равна — дм, ширина - — дм, 1 а высота на — дм меньше ширины. Чему равен объем параллелепипеда? О Представь в виде произведения двух дробей число: а) ; б) в) ; г) 1. 15 9 5 293| Найди значение выражения: .,5 _ 3 9 4 36 1) а, еслиа 04 6 , 1 5 2) ^ о, если Ь = 35 3 ’ 2 JL 9 ’ 18' 294 Введи буквенные обозначения и докажи: а) переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения дробей; б) частные случаи умножения дробей на О и на 1. 295| Упрости выражение и найди его значение: ,,1^5 1 139 15 з"-" б“" 4’ 8’Те-22’ 04 5 . 1 . ^ 7 . . 4 8 6 12 ’35’49’-* 59 Глава 3, §2, п.З 29^ Как умножить дробь па натуральное число? Выполни умножение. Что общего в примерах каждой строки, каждого столбца? 27 •3; °^360 6)7- 2 _ 21 ’ г)9-^-^ 810’ е)32-^; ж) ^-60; з) 70 126’ и) — • т; т K)5k-^. 45 7| в Китае площади земельных участков измеряют мерой му. Скольким гектарам равен участок в 40 му, если 1 му равен га? 15 298| 1) Сколько километров пройдет человек со ско- . / 1 3 5 7 „ ростью 4 км/ч за -г ч, — ч, — ч, -—ч.' 5 4 6 10 2) Самолет летит со скоростью 600 км/ч. Какое 3 11 4 ^ расстояние он пролетит за — ч, гг^ч, -г^ч.' о 12 15 3 1 3) Лодка плыла ч со скоростью 8 км/ч и — ч со скоростью 12 км/ч. Какое 4 3 расстояние проплыла лодка за все это время? 2 2 4) Оксана ехала на велосипеде — ч со скоростью 18 км/ч и шла пешком — ч О О со скоростью 5 км/ч. На сколько большее расстояние она проехала на вело- сипеде, чем прошла пешком 9 Федя стал перемножать смешанные числа “по аналогии” со сложением - отдельно перемножать их целые и дробные части. Приведи контрпример, опровергающий такое “правило”. Выполни умполсение: а)1у и)зА.7|; чИ 14. “^^ 2 45’ K)10|-l|; ч о 3 г ^ °>25'®8 = B)4i •s2- ^5’ ж)1|-б|; „^9! 1®. ^^2 25’ •1^- ^8’ 3)4f2|; м)5|--з|; Р)12|-3|. 60 Глава 3, §2, п.З Ш Найди значение выражения: 1) 1.2. 3 '234 з)|'| зод Вычисли: а)1| -3; 4 4)li • И -И .1 5 ’ ^3 ^4 ^ ; 9 10 5) (l + 10 11 ’ 23 24 24 ■ 25 ’ 6)(i- l)-(i-i)-/ 6)2 1 „ 2 5 7 ■ ' =)4^ •6; г)з| 1 5 ’ 6/ _J_). 4/ \ 99/ \ 100/ 303 1) Сколько весит стеклянный кубик с ребром 5 см, если 1 см® стекла весит 2 — г? 5 1 2) В килограмме морской воды — кг соли. Сколько килограммов соли в двух бочках морской воды, содержащих по 500 л воды каждая, если 1л мор- 1 12 „ СКОИ воды весит Itttt: кг? 125 ЁЗ 1) в палатку привезли 30 ящиков винох'рада. В 18 ящиках было по 8-^ кг, 3 ^ а в каждом из остальных - на 1-j кг меньше. Сколько килограммов винограда привезли в палатку? |Щ Щ 2) Площадь первого поля 16 га, а площадь второго поля а 1 раза больше. Урожай пшеницы на первом поле составил 37 ц с гектара, а на втором -2 в 1 раза больше. На сколько килограммов пшеницы больше собрали со 15 второго поля, чем с первого? По шоссе едут в одном направлении велосипедист со скоростью 17-^ км/ч и автобус со скоростью 45 км/ч. Сейчас между ними 38 км. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 1-^ ч, если: 1) автобус едет впереди велосипедиста; 2) велосипедист едет впереди автобуса? Реши уравнения: 4 4 а)2| -л: = 2|; б) 6 — • I/ = 0; =7i ; г)А=-4^ = 0. 61 Глава 3, §2, п.З Великий древнегреческий ученый Архимед (III в. до э.) установил, что длина окружности примерно в 3 у раза больше ее диаметра. Пользуясь этим результатом, найди приближенные ответы на вопросы задач: 1) Чему примерно равна длина беговой дорожки иппо-дрома, имеюш;ей форму круга радиусом — км? О 3 2) Диаметр колеса мотоцикла равен — м. Колесо делает в минуту 233 i оборота. Чему примерно равна скорость О мотоцикла в час? 3) На пруду сделаны для конькобежцев две круговые дорожки. Расстояние между дорожками 3 м. Отец с сыном сделали по 8 кругов. Сын ехал по внутренней дорожке, а отец - по внешней. На сколько примерно метров больше проехал отец, чем сын? 4) Радиусы кругов на двух различных параллелях земного шара составляют соответственно 5600 км и 3500 км. По какой параллели короче “кругосветное” путешествие и примерно на сколько километров? 308| Найди значение выражения: 0-5^-17 49’ 2 15 1) Сравни а и а • — при а = 5, 20, тт > "о • Что ты наблюдаешь? Сформулируй о ^ о гипотезу о том, как изменяется число при его умножении на дробь, меньшую единицы. 5 15 2) Сравни Ь W Ь • — при & = 5, 20, » "3 ' Сформулируй гипотезу о том, как изменяется число при его умножении на дробь, большую единицы. 3) Какой смысл у слова “умножение” в русском языке? Может ли изменяться смысл этого слова, когда мы говорим об умножении дробных чисел? 62 Глава 3, §2, п.З щ Не выполняя умножения чисел, сравни: о ^ о\ ^ 3 ~ 1 7 5 7 _ и \ Q 4 _ о 7 ^^19^19*^4’ ^^24^4*24’ Известно, что некоторое число а больше 1. Сравни и а^. 31^ Известно, что некоторое число Ь меньше 1. Сравни и Ь^. 313| Упрости выражение и найди его значение: 1) 3-|а + ■| + 2^a+l|-, если а = 0,1, 4, 1-| ; 2) 4|ь + 1|+1^& + 2,еслиЬ = 0, 1,5,^, l| . При каких значениях переменной верно равенство: Щ ^56 ’ 8 Ь 3)f f = i; 4) d — = 1‘? 7 Что ты наблюдаешь? Сделай вывод. Найди х: 1) 1^ = 1; 2) -х = 1; 5 зП 3)8x = 1; Реши уравнение по образцу и сделай проверку: ^8 7’ Образец: 2)^У = 2; ’ 9 2 4) 12х= 1. 4)А,.6. зТЗ Игра “Интеллектуальный марафон”. Найди произведение всех чисел, сидящих на каждом дереве: 63 Глава 3, §2, п.З О 1) Напиши все числа, взаимно простые с числом 12 и меньшие его. Все ли они являются простыми? 2) Напиши все числа, взаимно простые с числом 10 и меньшие его. Сколько среди этих чисел простых, а сколько составных? Докажи или опровергни высказывания: 1)3р - простое число: дробь сократима; 3)3 п е N: п р + 10 2)3 k- составное число: НОД (к; 15) = 1; >1; п + 10 4)3meN: HOK(m;15) = 5. 3^ Приведи к несократимому виду дроби: 22•333-44•555 20082008 2008 -20092009 2 • 4•6•8•... •200 а) б) 222 • 33 • 444 • 55 ’ 20092009 ’ 2009 • 20082008’ 1 • 2 • 3 • 4 • ... • 100 ’ 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 111111111’ 222222222’ 333333333’ 555555555’ 777777777' ш Используя свойство делимости суммы, разности и произведения натуральных чисел, докажи, что ч ^ Р Н+-4"2- 32^ 1) Переднее колесо экипажа имеет в окружности 225 см, а заднее - 325 см. Какое наименьшее расстояние должен проехать экипаж, чтобы и переднее и заднее колесо сделали по целому числу оборотов? 2) Из двух сцепляющихся зубчатых колес одно имеет 28, а другое 16 зубьев. До начала движения краской отмечены два соприкасающихся зубца этих колес. Через какое минимальное количество оборотов того и другого колеса опять совпадут отметки на них? Легенда рассказывает, что в древности великий Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль “Сиракосия”. Крылатыми стали произнесенные тогда слова Архимеда. Расшифруй их. (Буквы соответствуют полученным значениям д;.) Глава 3, §2, п.З |з^ 1) Запиши с помощью несократимых дробей части величин, выраженные в процентах: 3%, 5%, 10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 48%, 70%, 96%. 1132 7 1 19 4 1 47 2) Вырази в процентах части величин: 1) iVT'iV-6aHK начисляет по обычному вкладу доход 6% годовых от внесенной суммы, а по срочному вкладу -15%. Какой доход получит вкладчик в конце года, если он внесет в начале года в NTN-6a.nK 250 000 р., причем 150 000 р. из них - на срочный вклад? 2) В первом туре математической олимпиады принимали участие 340 чело- 4 ..3 век. — всех участников прошли во второй тур, а — участников второго 17 16 тура были премированы. Сколько человек получили премии? 3) В библиотеке имеется 22 500 книг. Из них 84% всех книг - на русском языке. Среди иностранных книг 35% на французском языке. Сколько французских книг в библиотеке? 1) Шахматная команда школы набрала в соревнованиях 72 очка, что со- 3 ставило — от максимально возможного количества очков, которые можно 5 было набрать во всех сыгранных ею партиях. Сколько партий сыграли в соревнованиях шахматисты школы, если в каждой партии разыгрывалось одно очко? Сколько партий сыграл каждый шахматист, если в составе команды было 12 человек и все они сыграли одинаковое количество партий? 2) Помогая летом на уборке овощей, Вадим заработал 4500 р., что составило 60% суммы, необходимой ему для покупки гитары. Сколько денег надо ему еще заработать, чтобы купить эту гитару? 3) Картофелем засажен участок земли площадью 180 м^, что составляет 45% площади огорода. А огород занимает 40% площади всего дачного участка. Чему равна площадь этого дачного участка? щ В кооперативном доме проходили выборы председателя кооператива. Было 3 выдвинуто 4 кандидатуры. За г-на Деточкина было отдано — всех голосов, 2 ЧТО составило — хюлосов, отданных за г-на Лужина. Господин Коридоров набрал на 30 голосов меньше, чем Деточкин и Лужин вместе. А остальные проголосовали за г-на Швабрина. Кто стал председателем кооператива, если в кооперативе 252 члена и по Уставу председателем становится кандидат, получивший наибольшее число голосов? Смог бы этот кандидат стать председателем, если бы по Уставу требовалось набрать не менее 50% голосов? 66 Глава 3, §2, п.З 33II Как изменится сумма двух чисел, если: 1 1 1) одно слагаемое увеличить на 4 —, а другое - на 3 — ; 1U 5 2) одно слагаемое уменьшить на 4^, а другое - на 3 ; 10 5 3) одно слагаемое увеличить на 4т^, а другое уменьшить на 3-^ ; 10 5 4) одно слагаемое уменьшить на 4 , а другое увеличить на 3-^ ? 10 5 7 1) Как и на сколько изменится дробь —, если к ее числителю и знаменателю прибавить по 5? 10 1^ 2) Как и на сколько изменится дробь —, если к ее числителю и знаменателю прибавить по 5? Построй математическую модель задачи и найди ответ, воспользовавшись при необходимости методом перебора: 1) Одно из двух натуральных чисел на 4 больше другого. Найди эти числа, если их произведение равно 96. 2) У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала? 3) Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м^. Найди длины сторон газона, если известно, что они выражаются натуральными числами. 4) В несколько посылок упаковали 36 книг и 54 журнала, распределив их между посылками поровну. В каждой посылке книг на 2 меньше, чем журналов. Сколько получилось посылок? Упрости выражение и найди его значение: 1) 4а + 56 + 12 + 2а + 4 4 96, если а = 7, 6 = 3; 2) 12с + с? + 7 + 8сН- Зс + 5, если с = 4, d = 2; 3) 9 + 2т + 46 + 6 + Зт + 6, если m = 8, 6 = 1; 4) Ъх + 2 + у + \1 + Чу + 6х, если х= 1, t/ = 0. Образец: ^ 6^= (2 • а + 3 • а) + (4 • 6 +1 • 6) + (7 + 5) = = (2 + 3)а + (4 + 1)6 + 12 = 5а + 56 4- 12. Если а = 6, 6 = 1, то 5а + 56 + 12 = 5 • 6 + 5 • 1 + 12 = 47. 1^ Преобразуй произведение в сумму: 1) (25 + х){х + 3); 2) {у + Ъ){у + 17); 3) (6 + 2)2; 4) (3 + nf 3* 67 Глава 3, §2, п.З------------------------------------------------------- |Щ в бассейн проведены три трубы. С помощью первой трубы бассейн можно наполнить за 10 ч, с помощью второй трубы - за 8 ч, а с помощью третьей трубы вся вода из бассейна может вылиться за 5 часов. Какая часть бассейна наполнится за 1 ч, если будут действовать все три трубы? Л острой график движения по рассказу “Приключения пса Грея”, считая движение Грея прямолинейным, и ответь по графику на вопросы. (1 час -4 клетки, 1 км - 1 клетка.) “Однажды хозяин Грея поехал из деревни в город за покупками, встретил там своего старинного друга и остался у него ночевать. А Грей, проснувшись утром и почувствовав сильный голод, решил отправиться в лес за добычей. В 1он выбежал из дома со скоростью 6 км/ч и через 1 ч достиг опушки леса. Залег в траву и стал ждать. Через 30 мин на опушку выскочил заяц, и пес погнался за ним со скоростью 40 км/ч. Через 15 мин гонки Грей понял, что зайца ему не догнать, и остановился на 15 мин отдышаться. А потом побежал обратно, озираясь и принюхиваясь, со скоростью 4 км/ч. Через 30 мин он увидел барсука и погнал его в сторону деревни со скоростью 24 км/ч. Через 15 мин Грей почти уже его догнал и совсем было схватил за толстый бок, но в этот момент барсук юркнул в нору. Целый час пес рыл нору и наконец понял, что это занятие бесполезное. На всякий случай он еще 30 мин сторожил барсука, притаившись около норы. Но у барсука были другие планы по поводу своего будущего и вылезать он не собирался. Удрученный пес, понурив голову, потрусил в деревню со скоростью 4 км/ч. Через 30 мин он добрался до опушки леса и издалека увидел, что из трубы его дома идет дымок. Окрыленный надеждой, он бросился бежать и через полчаса был уже дома, где его ждали хозяин, вернувшийся из города, и прекрасная кость в миске”. 1) В котором часу Грей вернулся домой? 2) С какой скоростью бежал он последние полчаса? 3) На каком расстоянии от дома был Грей в момент, когда вернулся домой хозяин, - в 14 ч 30 мин? Что в это время делал Грей? 4) В какое время Грей находился на расстоянии 6 км от дома? зз| Найди значение выражения: а) (5080 » 604 - 432 ♦ 7002 + 200):107 б) 293 100 000 : 750 - 390 770 (706 • 24 - 53 5209 • 101) : 7240 (5322-38=*) : 79 : 361 + _ (507 ♦ 7050) : (13^ • 5^) : 47 . (204 034 - 201 989) : 409 ’ (31 023 - 30 918)2 . 245 8^: 82 68 |Щ 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Глава 3, §2, п.З Четырехугольник называется ромбом, если все его стороны имеют одинаковую длину. 2) Сколько ромбов на рисунке? 3) Сформулируй гипотезу о свойстве диагоналей ромба. 4) Что общего между фигурами ромб и квадрат и чем они различаются? 5) Построй диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В, С и D, где А -множество всех четырехугольников, В - множество ромбов, С — множество квадратов и В - множество прямоугольников. Qm Выполни действия: а) _8_ 35 85 25 в) 4 19 21 Д)() a 32’ 7 ‘ 40 ' 38’ э) ’ 6 ■ 5 г) 11 9 10 e)(; , 2kt 39 ’ 36 ’ 20 ■ 11’ l) ’ Ь с а т 341| 1) Найди объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина равна 7 3 — м, ширина на — м меньше длины, а высота в 6 раз больше ширины. 8 8 4 2) Тетя Даша купила 4 пакета гречки массой — кг, 5 а тетя Глаша купила за ту же сумму 5 пакетов такой же точно гречки, но расфасованной в пакеты 3 по — кг. Докажи, что тетя Даша совершила более 5 выгодную покупку, чем тетя Глаша. Вычисли: 2 5 6)12-3 2 , 39’ M 1 1 2 Д) 1 2 * 1 3 8 15’ r)l|-8; +i)(i - iK* + i)(i - i)(i - ?)• 69 Глава 3, §2, п.З---------------------------------------------------- Ш 1)(<-2|-и) -(^П- ®!)= 3)(lf+ 2i-l|).4-(3i-lj^).5; 1) Фермер вспахал весной поле под овес за 3 дня. В первый день он вспахал 3 1 12 — га, во второй день - на — га меньше, чем в первый, а в третий день ему помог сын и они вместе вспахали ® 2 у раза больше, чем во второй день. Чему равна площадь вспаханного поля? 3 2) Одна бригада асфальтирует за день 1 — км дороги, а другая, используя 1 ^ более производительную технику, в 2 — раза больше, чем первая. Начав ра- боту одновременно и продвигаясь навстречу друг другу, обе бригады заасфальтировали дорогу между городом и поселком за 10 дней. Чему равна длина этой дороги? ш Реши примеры и расположи ответы в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Зачеркни третью и седьмую буквы. Знаешь ли ты, кто это? К 3^--^ ^10 10 [т 7— -2 — 55 33 0 4-4 и н 1+4 7 7 А 4 4 2— -1- 1 — 5 9 Р 4-i с 1^ + 3^ 4iP-2ii 21 28 34^ Упрости выражение и найди его значение: 2) + 4-J+ 2|-дг + 2|-, если 1-|. 2. 347| Приведи дроби к несократимому виду, если а,Ь,с ^ N , 840 ^,25-252525-2525 1Т64’ "7575-75-757575' 4’’ 8= ’ “'2-3*-5' |34| 1) Возьми какую-нибудь правильную дробь, прибавь к ее числителю и знаменателю по 3. Как и на сколько изменилась дробь? 2) Возьми какую-нибудь неправильную дробь, прибавь к ее числителю и знаменателю по 3. Как и на сколько изменилась дробь? 3) Возьми какую-нибудь дробь, равную 1, прибавь к ее числителю и знаменателю по 3. Как и на сколько изменилась дробь? 4) Проанализируй результаты решения предыдущих задач и сформулируй гипотезу. Можно ли считать полученное утверждение верным на основании рассмотренных примеров? Почему? 8= Д) 2‘’ • 3 • 5^ е) а • 5^•с ’ 70 Глава 3, §2, п.З ш 2) Вырази в процентах части величин: 1) Запиши с помопдью несократимых дробей части величин, выраженные в процентах: 8%, 35%, 50%, 60%, 75%, 80%. 10’ 25’ 20’ 5 ’ 50 ’ 20’ 2 ’ 4 ‘ 1) Вкладчик внес в банк, дающий 5% годовых от внесенной суммы, 40 000 р. Какая сумма будет на его счету через год, два года, т^)и года? 2) Аист пролетел примерно 400 км, что составило :г-г расстояния, которое 1 . пролетела летучая мышь, и лишь — от пути, который преодолела египетская 1о 1 цапля. Перелетная саранча пролетела без посадки расстояние в 5 большее, чем египетская цапля. Во сколько раз путь перелета саранчи больше, чем у летучей мыши? 3^ Выбирая директора, работники кондитерской фабрики проголосовали следующим образом. За г-на Пирожкова проголосовали 212 человек, за 47 г-жу Тортикову - ^ от числа проголосовавших за г-на Пирожкова. Господин Булкин получил на 42 голоса больше, чем г-жа Конфеткипа, а вместе Булкин и Конфеткина набрали 80”/) от общего числа голосов Пирожкова и Тортиковой. Кто набрал большее число голосов и стал директором фабрики? На сколько голосов больше получила Тортикова, чем Конфеткина? Построй математическую модель задачи и найди ответ методом перебора: 1) Произведение двух натуральных чисел равно 72. Найти эти числа, если одно из них больше другого на 6. 2) На турбазе имеются палатки и домики, обпще число которых равно 25. В каждом домике живут 4 человека, а в палатке - 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если всего на этой турбазе отдыхают 70 человек? 3) Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 40 м. Площадь участка 96 м^. Найти длины сторон этого участка, если известно, что они выражаются натуральными числами. В бассейн проведено 2 трубы. С помощью первой трубы бассейн может наполниться за 9 ч, а с помощью второй трубы вся вода из наполненного бассейна может вылиться за 6 ч. Как и на какую часть объема бассейна изменится уровень воды в нем за 1 час, если одновременно открыть обе трубы? Используя циркуль и линейку, построй 3 различных ромба, длина стороны каждого из которых равна 4 см. Сформулируй гипотезу о свойстве углов ромба и проверь ее для построенных ромбов с помощью измерений. 71 Глава 3, §2, п.З..................................................—■ |35^ Построй график движения по рассказу “В поисках капитана Гранта” (2 клетки - 1 ч, 1 клетка - 1 км) и ответь на поставленные вопросы: “8 февраля 1862 года в 7 ч утра экспедиция лорда Гленарвана отправилась вдоль реки Рио-Глазго к поселению индейцев, находящемуся в 25 км от их места стоянки. Первые 2 ч они шли со скоростью 3 км/ч. Затем их путь пересек водопад, через который им пришлось переправляться в течение 1 ч 30 мин. Далее тропа оказалась более ровной, и их скорость увеличилась до 4 км/ч. Еще через 2 ч 30 мин путники подошли к участку, где тропа местами заросла колючими кустами и лианами. Они сделали получасовой привал и шли следующий участок пути со скоростью 1 км/ч, продираясь через заросли. Через час трудной дороги они вышли на ровное плато, где сделали остановку на 1 ч 30 мин для обеда и отдыха. Остальной путь до поселения экспедиция прошла за 2 ч”. 1) С какой скоростью шли путешественники последние 2 часа? 2) Сколько времени занял весь их путь? 3) На каком расстоянии от исходного пункта они находились в полдень? 4) Какое расстояние от водопада до плато? 5) За какое время экспедиция преодолела расстояние от водопада до плато? 6) Какой путь прошла экспедиция за время от 10 ч 30 мин до 17 ч? 7) С какой скоростью должна была бы идти экспедиция, двигаясь равномерно, чтобы пройти весь свой путь за то же время? О Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы каждый был соединен ровно с пятнадцатью? В коробке лежат 7 костяшек домино из одного комплекта, но границ между ними не видно. Нарисуй, где проходят границы между костяшками, и объясни свой ответ. • • • • • • • • • • • • 358| Докажи истинность высказывания 1)1 I4- I4- 4-1 ^ 2+ 2) I + 4 + i 2 3 Из шахматной доски вырезали 2 угловые клетки, расположенные на одной диагонали. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31-й косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски? 72 Глава 3, §2, п.4 4. Деление дробей. Построим правило деления дробей. Но здесь мы будем исходить не из практической задачи, а из связи деления с умножением. По определению деления натуральных чисел разделить число а на число Ь это значит найти такое число с, которое при умножении на Ь дает а. Другими словами, равенство а:Ь = с означает то же самое, что сЬ = а: а :Ь = с <» сЬ = а Будем считать это определение верным и на множестве дробных чисел при 2 3 ЬфО. Применим его для деления, например, — на — • Тогда в соответствии с о 7 принятым определением, нам надо найти дробь —, где p,q е N, удовлетворяю- Р 3 2 ^ щую равенству * у ’g’’ 2 . 3 ^р ^ 5 7 Я 7 Чтобы получить в левой части последнего равенства дробь ^, умножим обе 7 его части на — и воспользуемся распределительным свойством умножения; О ./>3.7 2 7 „Р.37. 2 7 ^ Р . 2 7_/> 2 7 4 7' 353 9^3 = 21 . 16 ’ ж)А. 8. йч 2 13 ' 10’ 6 . 7 ’ ч 3 . 7 ®^10‘100‘ ЗбЗ| ч20 Д)-д-: 8; ж)И: 12; 6)|:2; ^21 ■ ч56 ">13^ 7; зб4 6)0:^; ^ 6 . 6 . ®^23 *23’ '■'“•(14) §3 к 1 ж) 8 : 2 ^; р-ч 7 , « 6 , \ 1 п 3 1 23 3)3|:4; л)41:7; 5 в1 5— • — • ^^13*39’ е) 1— • 2 — • ^25*^25’ и)15:б1; 4 ч 1 7 о 3 м)1д:3-; н) 12А:4; о) 45|§:5; п) 34П:17. Ш Выполни деление, если значения всех переменных -натуральные числа: ч аЬ За 3 с ~ (Г7 • тт; ’ п п 5d 10 3 ч ч -3 Ь'^ в)_:х; г)6-- Банка вмещает — кг меда. Сколько таких банок надо взять, чтобы разложить в них 13 — кг меда? 75 Глава 3, §2, п.4 368| За 1 — кг конфет покупатель заплатил 324 р. Сколько стоит 1 кг таких кон-—J 5 фет? 369| Бревно, длина которого 8— м, распилили па 11 равных частей. Чему равна 5 длина каждой части? щ За сколько времени Максим дойдет до школы, удаленной от его дома на рас- 1 7 стояние 2 — км, если будет идти со скоростью 2 км/ч, 2— км/ч, 3 км/ч, 4 10 3 — км/ч, 4 км/ч, 5 — км/ч? 4 2 8 ' ' ' I g 37II На ткацком станке за -^ч изготавливают 8 — м ткани. Сколько метров тка-—* 20 4 ни будет изготовлено на этом станке за рабочий день, продолжительность которого составляет 7 — ч? 5 1X5 372| 1) Сравни т и т : — при m = 4, 10, — , — . Как изменяется число при его ' —* 5 5 8 делении на дробь, меньшую единицы? 5 125 2) Сравни пип: — при п = 5, 15, — , — . Как изменяется число при его делении на дробь, большую единицы? 3) Для натуральных чисел делимое никогда не бывает меньше делителя и частного. Сохраняется ли это свойство для деления дробей? Сравни, не вычисляя, если значения всех переменных - натуральные числа: ,,_3 _3 ,5 очЛ2 6 .12 о 2 ,74 5 1)8^7 и 5-: Ijj; 3)4-:-и4^; 5)аиа:3-; 7)е:-ие; .,о21 q21 7 ... 11 . 8) d и d : —. 5 3^ 1) Разность двух чисел а их сумма - 17. Во сколько раз одно из них больше второго? 5 1 2) Сумма двух чисел 10 ^ , а их разность “ 2 . Во сколько раз одно из них меньше второго? 375| Найди значение выражения: 1) з|:а,еслиа=^,1, l|,l|,2j^,3, з|,10; 2) Ь : 4|, еслиЬ = -|, 1, 2^, 4|, б|, 7,12|, 28. Что ты замечаешь? 76 Глава 3, §2, п.4 3761 Расположи дроби в порядке возрастания: Mirant |з^ Как найти неизвестный множитель, делимое, делитель? Реши уравнения: 3\1« /зу“* 2/ ' к 1 7 1) 5^-а-р 2) 4|-б|.г, 3781 Вычисли: 11 4 . 9 ’ «м2 „7 7) 4т = 2 1 2 11’ 6) 2 2 — 1 3 • .(/> 8)24- 3 7 112 1 2'4=(Н)= 3^ 1) Сторону прямоугольного участка земли, равную 35 м, увеличили на 7 8 — м и получили прямоугольный участок площадью 882 м^. Чему была ^ vl щ равна площадь первоначального участка? 2) Площадь поверхности куба равна 13-^ см^. Чему равна длина ребра этого куба? 1) Длина основания прямоугольного параллелепипеда 2 — м, а ширина 9 в 1 — раза меньше длины. Чему равна высота этого параллелепипеда, если 4 его объем равен 12 — м^? 5 3 2) Из куска свинца, имеющего форму куба с ребром — дм, сделали квадрат- 5 пый лист толщиной дм. Чему равна площадь листа? Выполни действия: i-l2.о2. 6 ^ 9 ■ 3 ’ 4) 5) ■ilNIh 6) ±.l±:2f.24-2±:( 77 Глава 3, §2, п.4 383| 1) Расстояние между двумя железнодорожными станциями 336 км. С этих станций выехали одновременно навстречу друг другу два поезда и встрети- 2 лись через 2—ч. Найди скорость каждого поезда, если скорость одного из 5 них на 5 км/ч больше скорости другого? 2) С аэродрома в 12 ч дня вылетел вертолет. Через 1 ч с того же аэродрома Cl в том же направлении вылетел самолет. Скорость самолета равна 800 км/ч, что в 4 раза больше скорости вертолета. В котором часу самолет догонит вертолет? На каком расстоянии от аэродрома это произойдет? Велосипедист и мотоциклист выехали в разное время навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 168 км. Скорость мотоцикли- 3 3 ста 36— км/ч, а скорость велосипедиста в 2^ раза меньше. Проехав 70 км, велосипедист встретил мотоциклиста. На сколько раньше мотоциклиста он выехал? ш Из дачного поселка в деревню вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 25 мин из того же поселка в том же направлении выехал велосипедист со скоростью 21 км/ч. Успеет ли велосипедист догнать пешехода до его прихода в деревню, если расстояние между деревней и дачным поселком 3 ^ км? 385| 1) Межгалактическая экспедиция профессора Селезнева в результате проведенных ею измерений установила, что экваториальный диаметр Юпи- 4 тера составляет примерно 142— тыс. км. Во сколько раз экваториальный 5 диаметр Юпитера больше, чем экваториальный диаметр Земли, равный при- 3 мерно 12— тыс. км? 2) Алиса Селезнева, спасаясь от космических пиратов, мчится по планете X 2 на вездеходе к “машине времени” со скоростью 4— км/мин, а пираты гонят- 2 ^ ся за ней со скоростью 4 — км/мин. О Сколько времени требуется пиратам, чтобы догнать Алису, если сейчас расстояние между ними равно 12 км? Успеет ли Алиса убежать от пиратов, если до “машины времени” ей нужно добираться еще 176 км, а для того, чтобы завести машину, ей требуется 2 минуты? 78 Реши уравнения: (.sq!./ i 7ч_17 ^5. 5)3 8 :(j: ^^24^ 18 *^^6’ 1)3л: + 5л: = 7; 2) 1 = бл: - 2х -Н л:; 6)24i+8f-(x:li).5^; 3)7^д:-д: = 9|; 1 14 4 8 4)1 :2^=x + 4jx; 0\ 1^ A 1^ 8)4-:l--2--4-ljg*. Глава 3, §2, п.4 О Составь и реши уравнения: 1) Задуманное число сначала увеличили в два с половиной раза, затем умеыь- 1 1 7 1 5 и .. шили в 1— раза, вычли ~ и получили 1 — . Наиди задуманное число. 1 ^ 10 О 2 2) Изб— вычли задуманное число, а разность увеличили сначала в 1— раза, 4 3 ® а потом в 2 — раза. В результате получилось число, в 5 — раза меньшее числа 146. Какое число задумали? 4 3) Сумма двух чисел равна 12—, одно из них в 3 раза больше другого. Найти эти числа. 5 4) К задуманному числу прибавили 4 у и получили число, в 12 раз больше задуманного. Найти задуманное число. 5) Задуманное число увеличили на , затем то же самое число увеличили 1 ^ на 2 ^2 и полученные суммы перемнолсили. В результате получилось число, на 8 — большее квадрата задуманного числа. Какое число задумано? 4 3881 Может ли быть: а) несократимой дробь, у которой числитель и знаменатель оба делятся на 3? 6) сократимой дробь, у которой числитель и знаменатель оба не делятся на 3? в) сократимой дробь, у которой числитель делится на 3, а знаменатель не делится на 3? г) несократимой дробь, у которой числитель делится на 3, а знаменатель не делится на 3? Числитель дроби делится на 3, а знаменатель не делится на 3. Может ли эта дробь быть сократимой? 79 Глава 3, §2, п.4 3^ Найди наименьшее и наибольшее трехзначное число п, при котором дроби 3 4 5 6 п + 1 л + 2 /1 + 3 // + 4 все несократимы. 391 Сократи дроби, если значения всех переменных - натуральные числа и уф г: 2640 5544 ’ 3) 5670 . ’ 33075 ’ 4) 8а^6 . Збаб^с ’ 52/nfe^ . 5) 6) 56 • 78 29 • 56 - 56 • 16’ 11 ‘ 25 - 7 • 25 . 25 • 44 - 14 • 25’ 7) 8) а(Ь + с) _ ас ’ ху - XZ У - Z Назови пять чисел х, таких, что т ^ • Можно ли назвать еще 10 таких 4 2 чисел? А сто чисел, тысячу, миллион? U g 2 393| 1) Найди число, которое на столько же меньше 5 — , на сколько 2 меньше 2) От неизвестного числа отняли два раза по 2 -j, три раза по — и два раза 4 о 2 11 по —, после чего осталось 3 —. Найди это число. О 24 1) к числителю и знаменателю дроби — прибавили по 2. Как изменилась 4 дробь и на сколько? 2) К числителю и знаменателю дроби ^ прибавили по 2. Как изменилась О дробь и на сколько? 3^ 1) Сформулируй гипотезу о том, как изменяется правильная дробь, когда к ее числителю и знаменателю прибавляют одно и то же натуральное число. Докажи свою гипотезу, используя метод введения буквенных обозначений. 2) Выполни предыдущее задание для случая, когда данная дробь неправильная. 3961 Двое играют в следующую игру. Разрешается называть любое число, меньшее 1, и проиграет тот, кто не сможет назвать число большее, чем назвал его соперник. Кто выиграет, если оба знают математику достаточно хорошо? 3^ Придумай 100 несократимых дробей и расположи их в возрастающем порядке. 80 Глава 3, §2, п.4 398| 1) Увеличь в 3 раза каждое из чисел: 13 1 2) Найди числа, которые больше числа 1— в 2 раза, 3 раза, 5 раз, 1 — раза, 15 4 « 3 6 — раза. 3991 Выполни действия, если значения всех переменных - натуральные числа: п . 04 4 ^ I/ . ^Дба Ь . ,, 21d^ ^ ^ 5г Ш'~ЬГ’ 32- ш 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Факториалом натурального числа п называется произведение всех натуральных чисел от 1 до л: л! = 1-2-3-4-...-л (л! читается: “эн факториал”). и • 2) Вычисли: 2!, 3!, 41, 51, 61, 101. 3) Сравнш±„^. 4) Приведи к несократимому виду дроби: 11 11 51 81 121 1001 7Г 41’ 31-41’ 4! • 41’ 51-71’ 981 - 2Г 5) Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю: 1 _ 1 JLhJ- --и_______ 71 51’ 991 ЮОГ 6) Найди значение разностей: J__J_ J__J_ J_ _ J_ J_ _ J_ 21 31’ 31 41’ 41 51’ 5! 61 ‘ Запиши следующие две разности и найди их 1 1 значение. Чему равна разность л1 (л+1)1 БЫЛЬ: “Однажды на экзамене...” Преподаватель. Прочитайте выражение: 21 31 41 51 Студент. Единица, деленная на два-а-а!.. Плюс единица, деленная на три-и-и!.. Плюс единица, деленная на четы-ы-ыре!.. Преподаватель. Постойте, постойте... Почему вы кричите? Студент. Но там же написаны восклицательные знаки?! 81 Глава 3, §2, п.4 14011 ;L) Среди малышей Солнечного города Знайка славился сообразительностью и хорошей памятью. Однако в своих финансовых делах он не полагался на память, а предпочитал тщательно записывать все свои доходы и расходы. Доходы он обозначал знаком а расходы — знаком Например, запись + 15 + 3 + 8-5 + 9-3 + 2-7-1-2 Ь 4, которую Знайка сделал в январе, означает, что в начале месяца у него было 15 монет, а в течение месяца к ним добавились сначала 3 монеты, потом 8, потом он израсходовал 5 монет и т. д. а) Какие еще доходы и расходы были у Знайки в январе? б) Как удобнее подсчитывать итог за месяц? 2) Вслед за Знайкой все малыши Солнечного города стали вести свои финансовые дела методом “доходов и расходов”. Сиропчик, Пончик, Тюбик и Авоська сделали в феврале такие записи: Сиропчик: + 8- 2 + 4 + 9-11-5 + 4 + 5- 2; Пончик: + 17-1-3 + 6- 2- 5 + 4- 2 + 1; Тюбик: + 5 + 1 + 6- 2- 8 + 4- 3-3; Авоська: + 3- 2 + 1- 3 + 4- 2-1 — 5. а) Как в течение февраля изменилось количество монет у каждого малыша? б) Сколько монет стало в конце февраля у Сиропчика и Пончика? в) Что произошло у Тюбика? г) Какой долг образовался у Авоськи? Как удобно его обозначить? д) Проследи изменения числа монет у малышей с помощью числового луча. Всегда ли хватает для этого чисел? Какие числа и где удобно записать? Что тебе напоминает получившаяся шкала? 3) У Незнайки в конце февраля долг составил 12 монет. Поэтому запись за март у него выглядела так: -12 + 2-1-6 + 4-3 + 5 + 4. Что произошло с его финансовыми делами за март? Какой получился итог? Найди значение выражения, используя метод “доходов и расходов”: 1 3 2 5 р71 .31. о 3 I 5 - 4 о ^ А ^ л 1 ^ ^^^16^6 ^13 ^6^48 ^39^ ^3' 40 82 Глава 3, §2, п.4 4031 Упрости выражение и найди его значение: 1V . 3 Q1 7 ^1 9 ^4 — 1) 4—х + х + 2—х + гтДС + Згтгд:, если х =тт» 1т> 3; о Z 1о 1U 14 о о. .2 ,q2, ,i3 5 .qI 6 2) lgi/ + 3- + y+l^+g<, + 2^;,, если!,-^,1д.9. Ш 40б| И 1) К Новому году родители учащихся двух пятых классов купили для детей подарки. За все подарки для 5 “А” заплатили 6480 р., а за подарки для 5 “Б” -5760 р. Цена каждого подарка одинакова. В 5 “А” на 3 человека больше, чем в 5 “Б”. Сколько учащихся в каждом классе? 2) Мальчики выкладывали дорожку из кирпичей. Степа работал на 35 мин дольше, чем Петя. Степа выложил 120 кирпичей, а Петя - 85. Их производительность одинаковая. Сколько времени работал каждый из мальчиков? 1) Трем братьям вместе 36 лет, а среднему и младшему в сумме 19 лет. Средний брат старше младшего на 3 года. Сколько лет каждому брату? 2) Трем сестрам вместе 24 года. Младшей - 5 лет, а разница в годах у средней со старшей и младшей одинаковая. Сколько лет каждой сестре? Чтобы покрасить забор площадью 180 м^. Тому Сойеру понадобится 6 дней, а Геку Финну - 3 дня. За сколько дней они покрасят забор, если станут работать вместе? Есть ли лишнее данное в условии задачи? Незнайка и Самоделкин одновременно выехали на велосипедах навстречу другу другу: Незнайка из Солнечного города, а Самоделкин - из Цветочного. Незнайка может проехать все расстояние между городами за 15 ч, а Самоделкин - за 10 ч. 1) Через сколько часов после выезда Незнайка и Самоделкин встретились? 2) Найди расстояние между Солнечньп^! и Цветочным городами, если скорость Самоделкина на 6 км/ч больше скорости Незнайки. Прочитай выражения, найди их значения и сравни: Что ты наблюдаешь? Сформулируй и докажи гипотезу. Вычисли: 141 141 V 141^ ■ 1) (l|/ + 2.ll.lf+(l|/; + 2 2) (4А)%2 .4^. 5A+(sA)^ 4)(зА)%2 • 83 Глава 3, §2, п.4 Ш 1) Магазин приобрел сыр по цене 200 р. за килограмм. По какой цене он должен его продавать, чтобы получить от закупочной цены прибыль: а) 10%; б) 15%; в) 20%;г)25%? 2) Киоск, продав продукции на 48 000 р., понес 4% убытка от выручки (суммы денег, полученных от покупателей за проданный товар). Найди сумму убытка. 3) Предприниматель купил товар за 600 000 р., а продал его за 840 000 р. Какой процент от закупочной цены товара составляет прибыль? Ill Фирма “Стройсервис” построила дом, состоящий из 32 квартир. Из них 1 — квартир - четырехкомнатные, половина оставшихся - трехкомнатные, а остальные - двухкомнатные. Площадь четырехкомнатной квартиры составляет 144 м^, площадь трехкомнатной - на 27 м^ меньше, чем четырехком- 1 натнои, а площадь двухкомнатной составляет — от суммы площадей трех- О комнатной и четырехкомнатной. Куплены все квартиры. Прибыль с 1 м^ составила 3000 р. Сколько денег заработала фирма после продажи квартир этого дома, если учесть, что 24% фирма выплатила государству в качестве налога на прибыль? Ш1 Обозначь неизвестную величину х и построй математическую модель задачи. Найди X. 1) Сергей доехал на велосипеде от озера до деревни и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 час. От озера до деревни он ехал со скоростью 15 км/ч, а на обратном пути его скорость была 10 км/ч. Чему равно расстояние от озера до деревни? 2) Николай дошел от станции до почты и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 час. От станции до почты он шел со скоростью 6 км/ч, а на обратном пути его скорость была 4 км/ч. Чему равно расстояние от станции до почты? 4131 Зависимость переменной у от переменной х задана таблицей: а) X 1 2 3 4 5 6 у 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 б) X 1 2 3 4 5 6 У 2 3 4 5 6 7 5 10 15 20 25 30 Найди эту зависимость и запиши ее в виде формулы. Придумай свой пример зависимости между переменными хну. Запиши формулу зависимости у от х и составь таблицу. 84 Глава 3, §2, п.4 Щ Переменная х принимает значения из множества {2,4, 6, 8,10}. Зависимость 12 у от X задается формулой: а) I/ = 0^ I'" — ; б) г/ = —------. Построй таблицу 6 ’ 2х соответствующих значений х ш у и определи, как изменяются значения у с увеличением значений х. 415 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Многоугольник, у которого все стороны и все углы равны, называется правильным. 2) Найди на рисунке правильные многоугольники: 3) Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180", вычисли величину угла правильного четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника. Построй формулу зависимости величины угла правильного многоугольника от числа его сторон п. Математическое исследование. 1) Проведи окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Построй центральный угол ЛОБ, равный 60°. Измерь длину хорды АВ. Повтори эксперимент еще два раза. Что ты замечаешь? Сделай вывод. 2) Исходя из полученного вывода, придумай, как построить правильный шестиугольник, пользуясь только циркулем и линейкой без делений. 3) Раздели окружность с помощью циркуля на 6 равных частей. Соедини отрезками три из отмеченных точек так, чтобы образовался правильный треугольник. Измерь углы между радиусами, соединяющими центр окружности с вершинами треугольника. Сделай вывод. 4) Как, пользуясь циркулем, линейкой и транспортиром, построить правильные четырехугольник и пятиугольник? Выполни построения. Объясни, почему выводы, полученные в этом исследовании, являются пока лишь гипотезами. Попробуй придумать доказательство своих гипотез для общего случая. 85 Глава 3, §2, п.4 Ш Известно, что сумма углов треугольника равна 180°. Придумай способ вычисления суммы углов четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника, ... , л-угольника. (Суммы удобно обозначать соответственно -S^, -S^, «в» -S-) 418| Найди значение выражения: (500 + 310) : 9-5 + 150 (640 + 80) : 90»(150 : 2) (1000 : 100 • 40 + 350) : 50 480 - (200 + 430) : 70 • 40 ’ 2) Ф 40-10 : 50-125 - 160 (490 : 70-20 f 210) : 50 191 Выполни деление: (60-6 - 120) : 80-50 (200 : 50-25 + 140) : 120' 0^6 . 5 . . 12 Ч'б’ ^45’23 в)А.^. ^21 ■ 49’ r)i- А. Ч ■ 10’ . т Д)у — (Ь, т, t N). ш а)|: 5; б) 1^ : 2; 23 г)^ : 16; ^35 (* д)—:п (с, d, п d т -1 5 8 а) 1^^ . 3)63:63; Д) 56:4|; ж)27у:3 и)9|:9|; г)7|:4|; е)12|:9; о 3)40j-| :5 к)0;3±. ш Выполни деление, если значения всех переменных - натуральные числа: а . 2а . в) ^ : 5 ; а г)6 У Д)1: ^ к ш 1) Таня подсчитала, что по длине комнаты умеш;ается 7 ее шагов. Длина комнаты 4 м. Чему равна длина Таниного шага предполагая, что все ее D шаги одинаковые? 3 2) Плот проплыл 18 км за 6 — ч. За сколько времени он проплывет 20 км с ^ 1 той же скоростью? Какое расстояние он проплывет за 11 ч? 3) Прямоугольный параллелепипед равен по объему кубу с ребром 4 дм. Длина параллелепипеда 5 дм, а ширина в 2 раза меньше длины. На сколь- О ко дециметров высота параллелепипеда больше его ширины? Найди значение выражения: Ш Папа с сыном накопали осенью на даче 3 мешка картошки: большой, средний и маленький. Большой мешок весил 58 кг, средний весил в lA раза 3 1V меньше большого, а маленький - в 1 - раза меньше среднего. Сколько всего килограммов весил урожай картошки, собранный папой с сыном? ш l)2i + 8|:e|: 86 Глава 3, §2, п.4 Ш 42^ Из Москвы по Рижскому шоссе выехал автобус со скоростью 54 км/ч. Через 1 4 2-^4 вслед за ним выехал автомобиль со скоростью в 1 "д раза больше скорости автобуса. На каком расстоянии от автобуса будет автомобиль через 1 ч 45 мин после своего выезда? Через сколько времени после своего выезда он догонит автобус? С какой скоростью надо ехать автомобилю, чтобы до- 1 гнать автобус через 3 "g ч? 1) Стол с шестью одинаковыми стульями стоит 20 600 р., а такие же стол и четыре стула стоят 15 800 р. Сколько стоит стол и сколько стоит стул? 2) Деду, отцу и сыну вместе 100 лет, а отцу и сыну - 34 года. Сын моложе отца на 26 лет. На сколько лет дед старше внука? ш Реши уравнения: 1) 10 : 1 = 8х - 2х -I- X - Зх; О а,(8|:..з|):41=ф 45" *30 9 Во время каникул Электроник решил заработать деньги для своего нового путешествия. На заводе, выпускающем детские велосипеды, он взялся вставлять спицы в колеса и за неделю вставил 8 000 000 спиц по 20 в каждое колесо. В первый день Электроник сделал 5% всех изготовленных им колес. В каждый из следующих трех дней он увеличивал выработку на 50% от количества колес, изготовленных в предыдущий день. В пятый день он сделал на 20 000 колес больше, чем в четвертый. А в последние два дня количество сделанных им колес было одинаковым. На сколько больше колес сделал Электроник в последний день, чем в первый? Сократи дроби, если значения всех переменных - натуральные числа: а) 450 б) в) 12 • 5 - 12 г) а^Ь^с д) 2х -f 4х 4200' '2-32-5-7’ ' 12-4 ’ '' аЬс^ ' ' 2ху 431| Найди дробь, знаменателем которой является однозначное число и которая 7 8 больше —, но меньше —. 9 9 Выполни действия, если значения всех переменных - натуральные числа: а ЗЬ^ ш .. п т 2) 21b а 04 ^ 42d ' 4с ’ Х'У* , vV А- *>rs^4-12- 87 Глава 3, §2, п.4---------------------------- Ш Упрости выражение и найди его значение; 14 к 3 ^ о 2 ^ ^35 1 1 о 6 1) 5— а + 3 — а + а+ — а, если а = 1, -, 2—. 1 р рр; р; Числовой кроссворд. По горизонтали: а. 76 090 • 5800 б. 2 603 120 : 520 в. 908 • 8042 г. 3 347 020 : 9046 Д.272 е. 46» ж. (300 + 9)2 з. (526-496)2 и. 705•430 к. 208 080 : 36 л. 505 050-495 532 м. 1 928 730 : 239 н. 44 539 132 : 8002 По вертикали: а. 316 688 + 85 691 к. 495 954 : 8406 о. 250 908-93 815 п. 1 529 544 : 5048 р. 499 807 + 1 509 453 А л-п А 3 ^ ^ > если Ь X 2 ^ 4 а о п р с б в у ф X Г т ж д 3 е III и э ю я к ц ч м Л н с. 217*121 т. 2 544 500 : 3500 у. 1 297 800 : 9270 ф. 2 109 000 : 5550 X. 6 004 848 + 98158 ц. 531 750 : 7090 ч. 5 184 000 : 64 000 ш. 1 164 416 : 352 э. 285 670 : 742 ю. 422 100 : 4020 я. 576 576 : 1001 ш о Пользуясь циркулем, линейкой и транспортиром, построй на листе без клеток правильный: а) шестиугольник; б) треугольник; в) четырехугольник; г) пятиугольник. Зб| Найди закономерность и запиши следующие два числа в ряду: ш Замени буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным - разные): ХОД + ход + ход + ход + ход = МАТ Сколько решений этой задачи ты сможешь найти? .1 2 4 7 11 3 ’ 5’ 8’ 12 88 Глава 3, §2, п.5 Ш И ш Докажи, что среди любых восьми различных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа, разность которых делится на 7. Начерти прямоугольник размером 4x6 клеток. Покажи, как его можно “замостить” трех клеточными уголками так, чтобы никакие два из них не образовывали прямоугольник. (“Замостить” - покрыть без наложений и свободных клеток.) Из пунктов А и В одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Через час оказалось, что велосипедист находится точно посередине между А и мотоциклистом, а еще через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта А. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше, чем скорость велосипедиста? Олегу подарили игрушечного робота. Наблюдая за ним в течение долгого времени, он заметил, что: 1) если сейчас робот кивает, то через минуту он моргает; 2) если сейчас робот топает, то через минуту он хлопает; 3) если сейчас робот пищит, то через минуту он кивает; 4) если сейчас робот трещит, то через минуту он пищит; 5) если сейчас робот моргает, то через минуту он топает; 6) если сейчас робот хлопает, то через минуту он трещит. Сейчас робот пищит. Что он будет делать через 40 минут? 5. Примеры вычислений с дробями. Нам известно, что частное двух натуральных чисел равно дроби, у которой делимое - числитель, а делитель - знаменатель, например: 5:12 = -^ 12 При этом черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления. Такое обозначение действия деления с помощью черты дроби часто оказывается очень удобным, и его принято использовать для записи более сложных выражений. Например, частное 1 можно записать в виде дроби • При вычислении Го^Гб значения получившейся “многоэтажной” дроби последним выполняется действие деления: выражение в числителе делят на выражение в знаменателе. 89 Глава 3, §2, п.5 Запись решения можно вести “по действиям’’’ или “цепочкой”. Запись “по действиям”’. У' У .Л _5 - 2_ 3 . ^ 2 5 10 10 ’ 4- 8 _9 + 16 ^>То'"Т5““30“ 3) 3 10 ■ 6 105 Запись “цепочкой”: 11 5-2 2 5 30 6’ 3 3 -Ж 9 ) 25 >ег 5 10 _8_ 15 10 _ 3 9 + 16 10 30 30 _3_ 10 6 5 3 3 »Ж КГ • 5 5 25 Однако во многих случаях вычислений с дробями быстрее всего приводит к цели переход к натуральным числам. Например, в нашей “многоэтажной” дроби наименьшим общим знаменателем всех дробей, входящих в ее запись, является число 30: НОК(2, 5, 10, 15) = 30. Следовательно, если мы умножим и числитель, и знаменатель .этой дроби на 30, то оба они станут целыми, а дробь при этом не изменится. Поэтому (И) 30 \10 15/ 30 15-6 9 + 16 25' Особенно удобен переход к натуральным числам при работе с выражениями, содержащими сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить значение выражения 2 3 4 5 6 Р е щ е II и е: Обозначим искомое значение буквой S. Наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей - число 60, и мы подсчитаем, чему равно 60S: 60S > = (l - -^ + 4 Т f т • 60 = 60 - 30 + 20 - 15 + 12 - 10 = 37. \ 2 о 4 5 о / 37 Отсюда находим, что S =-;77г . 60 90 Глава 3, §2, п.5 Пример 2. Решить уравнение 1^1 5 ^2 ^3 ,1 Решение: Умножим обе части уравнения на число 24 - наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей, входящих в его запись. Получим уравнение, равносильное данному, но записанное уже только с использованием целых чисел: 4л: + Зл: - 5х + 16л: + 18л: = 26. Ясно, что в левой части уравнения нужно вынести л: за скобки и выполнить сложение и вычитание получившихся чисел: (4-Ь 3 - 5 + 16 + 18)л: = 26, 36л: = 26, = ^ = 13. ^ 36’ ^ 18‘ Пример 3. Решить уравнение Решение: Перейдем в данном уравнении от дробных чисел к целым. Для этого умножим обе его части на наименьший общий знаменатель исходных дробей - число 18: 5 + 6х + 20 + 27х = 69. X Пример 4. .44 33 ’ 11 2 Что больше: — + или ? 14 16 15 Пользуясь свойствами сложения и умножения, упростим левую часть уравнения, а затем найдем искомое значение х. (6х + 27х) + 5 + 20 = 69, (6 + 27)х + 25 = 69, ЗЗх f 25 = 69, ЗЗх = 44, Решение: Если одно число больше другого, то после умножения их обоих на одно и то же натуральное число неравенство между ними сохранится. Умно- 11 2 жим сумму — + Yg и число — на произведение 14*15*16. После умножения все дроби превращаются в натуральные числа, и теперь нам надо выяснить, что больше: 16*15 f 14 • 15 или 2 * 14 * 16. 91 Глава 3, §2, п.5 Можно заметить, что оба числа, 16 ♦ 15 + 14 • 15 и 2*14* 16, делятся на 2, и неравенство между ними не изменится, если оба разделить на 2. Таким образом, остается сравнить числа 8 • 15 -Ь 7 • 15 и 14 • 16. Первое из них равно 15 • 15 = 225, второе равно 224, то есть первое из этих чисел больше. А это означает, что именно первое из исходных чисел больше: 14 16 15 Решение этой задачи проще записать с помощью математической символики. В начале решения мы, естественно, не знаем, какое из чисел больше, но можем поставить между ними знак неравенства произвольным образом, понимая, конечно, что при этом могло получиться и неверное высказывание. Так мы и сделаем, “забыв” о том, что мы уже знаем правильный ответ: — Ч-— 14 16 A«14.16.15.(i+i) 16/<14’16-15-Тб ° 15 • (16 + 14) < 14 • 16 • 2 О 15 • 15 < 14 • 16 225 < 224 (ложно). Поскольку мы получили неверное неравенство, то и первое написанное нами 1 неравенство неверно. И так как 225>224, той О 14 J_>^ 16 ^ 15 Назови числитель и знаменатель дроби. Запиши ее в виде частного. 2 а) 2| 8- 2-| 6 2 ’ 7 3 15т -2 5 3 Ч2 д) аЬ'^ 10 I е) 45 У (у ^ г). Щ а) Чем похожи и чем отличаются дроби и -^ ? Найди их значения. 2 3 б) Что может означать запись ^ ? Рассмотри различные варианты и запи- 4 ши каждую из полученных дробей в виде частного. Найди значения частных. Вычисли: 30 а) б) 12 4 4-2 11 4-1 в) г) (7i:li):(8:7) О 7I.A’ 1 9 : ( 1A-H2) ’ 2 25 \ 8т : 2 3 /ч 1-г ^ е)т-Т- \ 28 4 / 92 Глава 3, §2, п.5 msi Вычисли, используя распределительное свойство умножения: яА.бЗ 11 4 а) .5 .3 , . 5 .1’ б) 5 7 4 7 2 — . 1 _ t 2 — • 1 — 9 ^8^9 ^8 (i|r в) .2 .1^.2 „1 49*5-+4-.3- 42.5i_4l.3i 9 2 9 2 Щ Составь программу действий и вычисли: 1 + i_i 3 5 1) 1 + 3) 1- i-fi 3 5 5) 1 + 1 + 1 + 2) I- -2 1 2 4) hi ^-1 6) 2- 2- 6 2- 2-i Найди значение выражения, используя переход к натуральным числам: 111 1-1 4+4+4 а) б) 7 -1’ 1 1 1 ’ д> 2 2 , 2 ’ ж) 1^ 3 6 12 5 9 11 3^1 2 А + И 10 15 . г% ч * 2 5 3 2^ 4 8. ч 9 ч б г) . ч 3 е) . 7 20. 4^9 з) ^2 4 8 2^3 6 20 l4-2i 2i' 5 ) i . 2 i '3 ^4 l^.ll.li 2 3 4 Найди значение выражения разными способами. Какой из них ты считаешь наиболее удобным? - 1 ^ 1 ^ 1 ^ 1 ^ 1 ‘*>2^3’"б + 9 + 18' .,1 1^1 1^1 1 - . 2 1 ,5 ^^2 4^8 1б'^32 64’ ^^^11 2 ^22' 93 Глава 3, §2, п.5----------------------------------------- ш Реши уравнения, используя переход к натуральным числам: 1^1 _2 “ 5 4 2 3 3 10 ’ кч 7 1^1 119 ®>I0^-4^+r■^20^ 5 . 12’ 7 о 1 3 . ^^^16 ^8 4^^’ ш Перепиши уравнение и подчеркни слагаемые, содержащие множитель х. Пользуясь распределительным свойством умножения, упрости выражение и найди X. Сделай проверку. ^чо1 , 15 3 1_ 5 . ^^8 16 S 2 ^16’ ,3 ^.1^3 ^4 .3 ш Сравни: 1 ^ 1 2 Ч и ! “*30 1 1 и 1 . ^ rvwn 48 50 49' 31 31 32’ 1 1 ^ 1 и h — : 1 1 и — — 1 гГ^ 11 21 23 ’ 58 56 57 ’ 1 Запиши ряд, составленный из ответов примеров, взятых в указанном порядке. Найди закономерность и запиши два следующих числа в этом ряду: ® (D ® ® ® ® 210 : 7 34 • 5 56-8 39 + 42 250-90 4500 : 50 • 20 + 190 : 16 : 9 : 40 • 6 -240 : 60 • 80 • 40 • 7 : 27 : 18 • 15 :2 -40 1 19 - 14 • 5 -58 -23 : 5 • 2 • 16 о 7 9 о 7 * 7 • ш Расшифруй название одного из самых ярких созвездий Северного полушария, расположив ответы примеров в порядке убывания и сопоставив их соответствующим буквам. Как отыскать это созвездие на звездном небе? 0 “*3 ^12 и ^2 6 2 Я 25* ^ 3 Е и 2-i • 3 5 О ^5 5 к ®8^Т2 С ч2 .«2 ®3-®7 12 — ■ 4 1^17 .4 ± о2 «2 16 ^5 ® 3 94 Вычисли и сравни: 4Hr-(F-(ir Глава 3, §2, п.5 Переведи высказывания с русского языка на математический. Определи вид высказываний. Докажи или опровергни их. 1) Квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов. 2) Существуют числа, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов. 3) Квадрат разности двух чисел равен разности их квадратов. 4) С>чцествуют числа, квадрат разности которых равен разности их квадратов. Переведи высказывания с математического языка на русский, если а, Ь, с ^ N. Сравни высказывания: что в них общего и чем они отличаются? Какую форму записи этих высказываний ты находишь более удобной? а , а ‘ h. — • о =--- с 1) (а • Ь):с = {а:с) • Ъ 2) а'.{Ь ’ с) = (а : ft): с 3) а : ft = (а • с): (ft • с) 4) а : ft = (а : с): (ft : с) и и и 9. ft ft : с с а и — = Ь ' с а • с . h ‘ с' а : с Ь : с 45^ Переведи высказывания с математического языка на русский. Докажи или опровергни их. 1) (а • Ь)‘-а‘ ■ Ь‘\ 2) где 6 # 0. ш Вычисли: 1)2" • 5^ • 2" • 5"; 2) S'* • 2" • 2' • 5 • 5" • 2. 1) Числитель дроби больше ее знаменателя па 5. Может ли быть сократима эта дробь? 2) Числитель и знаменатель дроби отличаются на 7. В каких случаях эта дробь сократима? g^ Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: а) б) 693 + 207 . 693 108 1080 + 324 ’ в) г) 56-15-21 . 27*49-10’ 35-36 35-6 + 35-36 д) е) 48aft . 56ftcd ’ 4m^nk . 24т^п* ’ ж) з) x{t + k) . y{t + k) ’ ab - ас bd - cd ' 95 Глава 3, §2, п.5 1| Найди 5 последовательных натуральных чисел таких, что сумма двух больших из этих чисел равна сумме трех остальных. Можно ли решить эту задачу методом перебора! Почему? Как изменится величина дроби, если к ее числителю прибавить знаменатель? А если к числителю прибавить тысячную долю знаменателя? 463| 1) Используя обш;ее правило сравнения дробей и правило “весов”, найди с а — 2 множество натуральных чисел а, для которых дробь -; а) больше ; б) меньше —; Ct в)равна 2) Найди множество натуральных чисел а, для которых дробь 5 5 5 а) больше ; б) меньше ; в) рав 2а Л- 3 ~Тб которых дробь 2а •+• 3 а а) больше — ; 2 б) меньше — ; 2 в)равна Как от куска ленты длиной две трети метра отрезать кусок длиной в полметра, не имея никаких принадлежностей для измерения? 465| Блицтурнир. 1) Катамаран отплыл от причала со скоростью а м/мин. Через 12 мин от того же причала вслед за катамараном отплыла моторная лодка со скоростью Ь м/мин (а < Ь). Через сколько минут лодка догонит катамаран? 2) Из деревни в поселок выехал велосипедист со скоростью с м/мип. Через 20 мин из той же деревни в том же направлении вышел пешеход со скоростью d м/мин (d < с). Какое расстояние будет между ними через 5 мин после выхода пешехода? 3) Две машины едут по шоссе в противоположных направлениях. Сейчас расстояние между ними к км. Какое расстояние будет между ними через 2 ч,если , 9 скорость первой машины равна т км/ч, что составляет скорости второй машины? 4) Расстояние между двумя городами по железной дороге d км. Из первого города во второй выехал товарный поезд со скоростью X км/ч. Через 3 ч навстречу ему выехал пассажирский поезд со скоростью у км/ч. Через сколько времени они встретятся? 96 Глава 3, §2, п.5 Ш1 Робинзон Крузо на необитаемом острове нашел 24 колоса риса, в каждом из которых было 54 зерна, и 27 колосьев ячме- 2 ня по 48 зерен в каждом. Сначала он посеял по — зерен каж- О дого вида, но весь урожай погиб от засухи. На новом участке он посеял остальные зерна, и ни одно зерно не погибло. Во сколько раз у Робинзона Крузо стало больше зерна после сбора урожая по сравнению с тем, что он нашел, если считать, что в колосьях каждого вида всегда постоянное количество зерен, а из каждого зерна вырастает один колос? На числовом луче отмечены точки 1 и а. Перерисуй чертеж на бумагу без клеток и отметь на луче с помощью циркуля точки: 1) а + 1, 2а, За - 1; 2) а - 2, За, 2а + 1. О а На тренировке в 50-метровом бассейне два пловца стартовали одновременно на дистанцию 200 м. Один плыл кролем, другой - брассом. На рисунке приведены графики их движения: 1) Сколько времени затратили пловцы на каждые 50 м и на всю дистанцию? 2) Сколько раз и на каком расстоянии от стартовой стенки бассейна встречались пловцы? 3) С какой скоростью плыл каждый из спортсменов? 4) На сколько секунд раньше финишировал первый пловец? 5) Па сколько метров обогнал первый пловец второго к моменту финиша? ш Между пунктами А и В, удаленными друг от друга на расстояние 150 км, установлено автобусное сообщение. По расписанию автобусы выходят из обоих пунктовв 7®®, 14®®, 17®®. Весь путь каждый автобус проходит с постоянной скоростью за 3 часа. Построй график движения автобусов и определи: 1) Какое наименьшее число автобусов могут обслужить эту линию? 2) Сколько раз, в какое время и на каком расстоянии от пунктов А и В автобусы встречаются? 4 " Дорофеей. 5 кл.. ч. 2 97 Глава 3, §2, п.5 470| Чем характеризуются координаты точек, принадлежащих осям координат? Из точек, указанных ниже, выбери отдельно точки, принадлежащие оси абсцисс, и точки, принадлежащие оси ординат. Составь из них соответственно название страны и название ее столицы. Р(0;4), Я(5;0), Я(12;0), £ (0; 11), Л (3; 0), У(0; 1), Я (8; 4), Г(0;5), В (6; 0), Й (0; 9), Д (2; 2), А (3; 0), Б (0; 7). 471[ Построй треугольник АВС по координатам его вершин А (7; 9), В (4; 0), С (16; 6). 1) Какие из точек М (14; 5), iV(5; 14), К (8; 10), Г (10; 8) принадлежат сторонам треугольника? 2) Определи координаты точки D - середины стороны ВС треугольника АВС. 3) Измерь стороны треугольника АВС и определи, является ли он равносторонним? Является ли он равнобедренным? 4) Построй с помощью циркуля и линейки три равнобедренных треугольника и измерь транспортиром их углы. Сформулируй гипотезу. 47^ Вычисли и назови пять свойств полученного числа: 7008 • 406 - (2 135 714 + 709 456) + 93 840 : (10 000 - 245 160 : 27) (116 802 : 567 + 142 800 : 408): 278 • [2 483 502 : 609 - (429 + 3559)] ^731 Найди значение выражения: О 1 + 1 а) 4 б) 3 2 — • 1—+ 2 — • 2 — 7 П 7 11 2i.iA 7 11 1 + в) 2-1- 2 + ш Вычисли, используя переход к натуральным числам: 1 2 J_ 3 7 15 7 14 . 4 *13’ 29. ’ А-1 ’ i 10 21^* 14 7 4‘l3*29 в) 5 7 П 13 2 „ 1 10 - • Л - ♦ - 9 7 13 ш Реши уравнения и сделай проверку: i4il ^5 ^1ч8. б 1 ^1 _1. ^^2 ^б^^З 9’ ^8^ 2^ ^12^ 4’ 04 4 ,5 ,1 ,3 "^Т5"^6^^ 2 = 4- 761 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: 1) 52 - 12 12 2) 37-8 37-16 + 37 • 4’ 3) 9ап'^ 18а^д 4) (2а - Ь)с (2а - b)d 98 Глава 3, §2, п.5 Ш Найди множество натуральных чисел а, для й а + 2 которых дробь —-—: О 3 а) больше 4^ -, б) меньше -; в)равна — . 'Щ Построй математическую модель задачи: На соревнованиях по велоспорту один велосипедист стартовал на 15 мин раньше другого. Скорость первого велосипедиста а м/мин, а скорость второго - Ь м/мин. Какое расстояние будет между ними через 30 мин после старта второго велосипедиста, если: \) а > Ь\ 2) а <Ы (Считать, что велосипедисты стартуют из одной точки и за указанное время второй велосипедист не успел догнать первого.) В третий год своего пребывания на острове Робинзон Крузо со своим другом Пятницей решили засеять поле прямоугольной формы. Ширина поля 60 м, 3 что составляет — его длины. Робинзон Крузо может вскопать в день 220 м^, а производительность Пятницы составляет лишь производительности Робинзона Крузо. Сколько времени им потребуется, чтобы вскопать это поле? Построй треугольник АВС по координатам вершин А (0; 4), В (8; 0) и С (16; 8) и измерь его углы с помощью транспортира. Отметь середины Му N VI К сторон треугольника АВС, соедини их отрезками и измерь углы полученного треугольника MNK. Повтори эксперимент еще два раза для произвольных треугольников. Сформулируй гипотезу. Можно ли считать твою гипотезу верной на основании выполненных построений и измерений? Вычисли и назови три свойства полученного числа: 5^-3 4 12 -Ь 22.11:3-3 5 8 11 Арифметическая головоломка. Числовой квадрат составлен из цифр, входящих в ответы примеров. Перерисуй его в тетрадь и отметь на нем разными цветами ответы примеров, как показано на образце для первого примера (каждая из цифр квадрата принадлежит ответу только одного примера): 6) 20 615 : 589; 7) 692 424 : 978; 8) 3 949 400 : 806; 9) 1224 512:4028; 10) 37271920:5320. 1) 2 888 889 + 949 494; 2) 331964 + 61 759 036; 3) 3 010 072-2 856 354; 4) 670 . 84; 5) 739 • 6020; 7 0 0 8 3 0 4 .1 1 6 1 7 4 9 а 5 3 7 0 8 0 6 2 0 9 5 0 -8® 1 6 3 4 4 0 0 0 2 5 4 8 7 8 0 8 0 4* 99 Глава 3, §2, п.6 о ■83| в бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, кувшин стоит между сосудом с лимонадом и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Какая жидкость налита в каждый сосуд? Имеются 4 куска проволоки длиной 18 см каждый. Как из них сделать каркасную модель параллелепипеда с размерами 8 см, 4 см и 6 см, не разрезая этих кусков? 6. Задачи на дроби. Из начальной школы нам известно, что в задачах на дроби речь идет о некоторой величине а, принятой за единицу (“целое”), и некоторой ее части Ь, выраженной дробью —. Соотношение между а, 6 и — п п показано на рисунке: 1 — а Тип задачи определяется тем, какая из величин -а,Ь или (И - неизвестна. п Соответственно, выделяются три типа задач на дроби, со способами решения которых мы познакомились в начальной школе. 1. Задачи на нахождение части от числа, выраженной дробью. Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, можно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на ее числитель: Ь = а: п • т 2. Задачи на нахождение числа по его части, выраженной дробью. Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на числитель дроби и умножить на ее знаменатель: а = Ь:т • п 3. Задачи на нахождение части, которую одно число составляет от другого. Чтобы найти часть, которую первое число составляет от второго, можно первое число разделить на второе: т п т . — — h : а 100 Глава 3, §2, п.6 Изученные правила действий с дробями позволяют упростить решение этих задач. Рассмотрим примеры. 5 Задача 1. Саша гулял 40 мин. И.з них — всего времени он играл в футбол. О Сколько времени игра.я Саша в футбол? к Р е ш е II и е: в задаче надо найти — от 40 мин. Для этого 8 узнаем сначала одну восьмую, а затем полученное число увеличим в 5 раз; 40 : 8 • 5 = 25 (мин). Преобразуем полученное выражение: 5 1 — 40 мин — — ? мин 8 .. Q . 40 . 40 • 40:8-5=--5= — 40. |. При этом два действия - деление на знаменатель дроби, а затем умножение на ее числитель - заменяются одним действием - умножением на дробь. Подобные преобразования можно выполнить для любой дроби. Приходим к правилу: Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, можно это число умножить на данную дробь. 3 Задача 2. Турист прошел 18 км, что составляет — его маршрута. Сколь- 1 — ? км 3 1 Q ----18 км 4 ко всего километров должен пройти турист? Решение: Найдем сначала часть маршрута, разде- лив 18 км на 3, а затем узнаем весь маршрут, умножив полученное число на 4: 18 : 3 • 4 = 24 (км). Выражение, стоящее в левой части равенства, можно записать иначе: 18:3 • 4 = i^^ =18 • 1 = 18: 4. 3 3 4 При этом два действия — деление на числитель дроби, а затем умножение на ее знаменатель - заменяются одним действием - делением на дробь. Это верно и для общего случая: Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на данную дробь. 101 Глава 3, §2, п.6 Задача 3. Урок длится 45 мин. На решение уравнения ушло 10 мин. Какая часть урока была занята решением уравнения? Решение: 1 мин составляет — часть урока. Значит, 45 10 тт й 10 10 мин - это — урока. Дробь — можно представить как 45 45 1 — 45 мин ? —10 мин частное от деления 10 на 45: 10:45 = 10 45 2 9 Таким образом, на решение уравнения затрачено — урока. V/ Итак, мы видим, что третье правило решения задач на дроби сохраняется, но теперь дробь, полученную в результате, мы можем упростить по изученным правилам преобразования дробей. Чтобы найти, какую часть первое число составляет от второго, можно первое число разделить на второе. Перевод всех трех правил на математический язык можно представить в виде одного равенства: Полученное равенство верно как для случая, когда дробь — является пра- п вильной, так и для случая, когда эта дробь является неправильной. О 1-851 Как найти часть числа а, выраженную дробью — ? Какую часть числа т п а составляют: 2 о\ 5 04 8 ... 14 кч 7 л\151 о Dga; 2) -а; 3)-а; 4) -а; 5)—а; 6) — а? Какие из этих частей больше а, а какие меньше а? Почему? 4861 Найди: от 24; д) ^от 21; ,2 ,7 и)-от1-; Н) 3 Г.П. — от 60; 5 е) ^ от 18; к)|от2|; о) 10 „о У ^2; , 1 12 8°"25' л) 8% от 250; п) 12 у от 35; ,40 9 м) 27% от 4-^; о р) 11 7 4^ от а; 102 Глава 3, §2, п.6 Ш Блицтурнир. Составь выражение и упрости его. Придумай задачи с другими величинами, которые решаются так же. 1) В дачном кооперативе а участков. Из них 3 U — участков уже застроены. На скольких уча- 4 стках уже построены дома? 2) Стоимость дома h р. На постройку дома можно взять ссуду в банке в размере 25% стоимости дома. Какую ссуду выдает банк на постройку дома? 4 2 3) Костя поймал с рыб. — всех пойманных рыб были караси, а — - ерши. »7 ^ Сколько всего карасей и ершей поймал Костя? 5 4) Папа с Таней собрали d грибов. всех грибов были подосиновики, а ос- О тальные - белые грибы. Сколько белых грибов собрали папа с Таней? 5) Роликовые коньки в ГУМе стоят р., а в спортивном магазине “Динамо” -на 15% дешевле. Сколько стоят роликовые коньки в магазине “Динамо”? 6) Олег увлекся астрономией. В понедельник он рассмотрел в телескоп т звезд, а во вторник - ^ этого количества. На сколько больше звезд рас- О смотрел Олег во вторник, чем в понедельник? 7) В компьютерной игре “Охота на динозавров” разыгрывается п очков. Ира 3 набрала Yq всех возможных очков, а Саша - в 2 раза больше. Сколько очков набрал Саша? 8) В пансионате провели спортивные соревнования. В соревнованиях по теннису приняли участие ^ всех отдыхающих, а в шахматном турнире - 8 9 — всех отдыхающих. Во сколько раз больше отдыхающих приняли участие в соревнованиях по теннису, чем в шахматном турнире? gg8| Длина экватора Земли равна примерно 40 000 км, а ее диаметр составляет g —— длины экватора. ^1ему примерно равен диаметр Земли? 25 Масса муравья составляет 10% массы груза, который он может перетащить за 1 раз. Чему равна масса муравья, если за 1 раз он может перетащить '7 — Г груза? 2 5 103 Глава 3, §2, п.6------------------------------- Дровосек сегодня срубил на 2 дерева больше, чем вчера, а завтра он собирается срубить на 10% меньше, чем сегодня. Сколько деревьев он планирует срубить завтра, если вчера он срубил 8 деревьев? ЁЁЗ За 5 часов рабочий делает 250 одинаковых деталей, а его ученик - 30% этого количества. На сколько быстрее рабочий сделает 300 таких деталей, чем его ученик - 150 деталей? 49^ 1) Длина прямоугольника равна а м, а ширина составляет — длины. Чему равна его плош;адь? 8 2) Ширина прямоугольника равна & см, а длина составляет ширины. Чему О равен его периметр? 3) Длина первого прямоугольника равна с м, а ширина -du. Длина второго 2 3 прямоугольника составляет — длины первого, а ширина “тт; ширины пер- А V/ вого. Во сколько раз плопдадь первого прямоугольника больше плош;ади второго прямоугольника? 3 4) Длина прямоугольника равна п мм, а ширина составляет -- длины. На 5 сколько квадратных миллиметров плош,адь этого прямоугольника меньше плоидади квадрата с тем же периметром? 4^ Как найти число а по его части Ь, выраженной дробью ^ ? Используя равенство, определи, какую часть числа а составляет число Ь, и сделай чертеж. 1)а = Ь: - ; о 2)а = Ь Найди 2 9 3)а = Ь: - ; 4 4)ч-Ь:- число, если: а) его составляют 45; g б) Y его составляют 24; 2 в) его составляют 18; .10 г) “^его составляют 25; ,11 33 д) ^ его составляют ^; , 5 „1 е) Y его составляют 2 —; ж) 6% его составляют 48; 3 з) 150% его составляют 6^; , 7 и) его составляют а; О к) ^ его составляют Ь; л) 20% его составляют с; м) 240% его составляют d. 104 Глава 3, §2, п.6 Ш Блицтурнир. Составь выражение и упрости его. Придумай задачи с другими величинами, которые решаются так же. 1) В олимпиаде по математике победителями стали а человек, что составило ^ числа ее участников. Сколько человек приняли участие в олимпиаде по 15 математике? 2) На пришкольном участке посадили h берез и с лип. Число посаженных деревьев составило-^ числа деревьев, которые запланировано посадить. 1 О Сколько деревьев запланировано посадить на пришкольном участке? 3) Количество осадков в июне было равно d мм, что составило 125% месячной июньской нормы. Чему равна норма осадков в июне? 2 4) В мае было k пасмурных дней. Число пасмурных дней составило — числа О солнечных дней. На сколько солнечных дней в мае было больше, чем пасмурных? 4 5) Число квартир в первом доме составляет — числа квартир во втором доме О и — числа квартир в третьем доме. Сколько квартир в этих трех домах вме-1 О сте, если в первом доме т квартир? 6) Стоимость пальто составляет 40% стоимости шубы и 160% стоимости кожаной куртки. Во сколько раз шуба дороже кожаной куртки? |4^ Заяц живет примерно 6 лет, что составляет продолжительности жизни белки. Сколько примерно лет живет белка? ш Наименьшая ширина Керченского пролива равна примерно 4 км, что составляет 5% наименьшей ширины Берингова пролива. Чему примерно равна наименьшая ширина Берингова пролива? После аварии в колесе велосипеда у Миши не хватает 10% спиц. В магазине он купил недостающие спицы плюс одну запасную. Сколько спиц в колесе, если Миша купил 4 спицы? ш Скорость машины по шоссе равна 80 км/ч, что составляет ^ ее скорости по бездорожью. На О сколько часов быстрее машина проедет 300 км по шоссе, чем 30 км по бездорожью? 105 Глава 3, §2, п.6 1) Длина прямоугольника равна а м, что составляет его ширины. Чему А равна площадь прямоугольника? 3 2) Ширина прямоугольника Ь дм, что составляет — его длины. Чему равен периметр прямоугольника? 4 5 3) Сторона квадрата с мм. Она составляет — длины прямоугольника и — его 5 о ширины. Во сколько раз площадь прямоугольника больше площади квадрата? 1 4) Длина прямоугольника равна d см, что составляет — его ширины. Ши- 9 3 рина прямоугольника составляет — стороны квадрата. Найди периметр квадрата. ^ Запиши дробью часть, которую составляют: а) 3 от 11; в) 6 от 24; д) 9 от 100; б) 7 от 5; г) 45 от 18; е) 140 от 100; Части величин выражены дробями: —; 1 3 2’ 5’ 10’ 20’ 25’ 50 ж) т от 8; з) 5 от п, где пфО. 18 27 „ —. Вырази эти части в процентах. Блицтурнир. 1) На стоянке стояло а автомашин. Из них 7 машин были иностранных марок. Какую часть машин, находящихся на стоянке, составляют машины иностранных марок? 2) В классе 32 человека. Из них Ь девочек. Какую часть всех учащихся класса составляют девочки? 3) Самостоятельная работа на уроке продолжалась с мин, а ее проверка -3 мин. Какая часть урока ушла на самостоятельную работу и ее проверку, если продолжительность урока 45 мин? 4) В книге d страниц. Аня прочитала 28 страниц. Какую часть книги ей еще осталось прочитать? 5) В палатку привезли т кг яблок, п кг груш и 30 кг винограда. До обеда продали 60 кг привезенных фруктов. Какую часть привезенных фруктов продали до обеда? 6) Турист наметил пройти маршрут длиной 90 км. В первый день он прошел х км, во второй день - в 2 раза больше, чем в первый, а в третий день - на 5 км меньше, чем во второй. Какую часть пути прошел турист за эти три дня? 106 Глава 3, §2, п.6 Ш Приближенное значение диаметра Земли равно 12 800 км, а диаметра Солнца - 1 395 200 км. Какую примерно часть диаметр Земли составляет от диаметра Солнца? Кусок латуни массой 5 кг содержит 3 кг меди. Какую часть этого куска составляет медь? Вырази полученную часть в процентах. В столовой в начале года было 300 чашек. За год разбилось 45 чашек. Сколько процентов всех чашек разбилось за год? В клавиатуре пианино на каждые 7 белых клавиш приходится 5 черных. Вместе они образуют октаву. Какую часть октавы составляют белые клавиши? Составь и реши задачи по схеме. Придумай и реши для них обратные задачи. 1 — 80 га о\ 1 — ? м^ 1 — 30 км ? — 8 км 5^ 5Щ Однажды Дима и Игорь встретились на прогулке и, поздоровавшись, разошлись в противоположные стороны. Дима идет со скоростью 4-^ км/ч, а скорость Игоря составляет — скорости Димы. Через сколько времени расстояние между ними станет равным 3 км? Две бригады начали одновременно строительство тоннеля, двигаясь навстречу друг другу. Одна бригада проходит в день 2 м тоннеля, что составляет 2 — от выработки в день второй бригады. Через сколько времени бригады О закончат строительство тоннеля длиной 250 м? Из деревни в город одновременно в одном направлении выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста равна 15 км/ч, что составляет 3 тт — скорости мотоциклиста. На каком расстоянии друг от друга окажутся велосипедист и мотоциклист через 36 мин после выезда? Легковая машина и трамвай отъехали от светофора одновременно в одном направлении. Легковая машина едет со скоростью 60 км/ч, 4 а скорость трамвая составляет — скорости лег- 5 ковой машины. К следуюш;ему светофору автомобиль подъехал через 5 мин. На каком расстоянии от второго светофора будет в это время трамвай? Глава 3, §2, п.6--------------------------------------------------------- 513| Для нормального освещения класса дневным светом необходимо, чтобы ве- 1 личина площади окон составляла не менее — площади пола. Достаточно ли 1 ^ 3 3 света в классе, длина которого 9 — м и ширина 8— м, если в классе имеется о 4 4 окна высотой 1 м и шириной 2 м? 5l4l Имеются полотенца трех размеров. Длина одного из них равна м, что составляет — длины второго. Длина третьего полотенца составляет сум-5 12 мы длин первых двух. Какую часть длина третьего полотенца составляет от длины второго? ш Блицтурнир. Составь выражение и найди его значение при заданных значениях переменных. 2 1) Периметр треугольника а м. Одна его сторона составляет — периметра, а У вторая сторона - — периметра. Чему равна длина третьей стороны? (а = 36.) У 2) Оля потратила Ь р., что составило всех ее денег. Сколько денег у нее 5 осталось? (Ь = 200.) 3) В слове 8 букв. Из них с букв гласные, а остальные - согласные. Какую часть всех букв этого слова составляют согласные буквы? (с = 3.) Q 4) Дочери d лет. Ее возраст составляет — возраста матери, а отец на 4 года 14 старше матери. Сколько лет отцу? (d = 6.) 5) В саду п деревьев. Число яблонь состав- ляет -- всех деревьев этого сада, а число ви-5 3 тт шен составляет — всех деревьев. На сколько яблоневых деревьев больше, чем вишневых? (л = 20.) 6) Ира посадила на грядке т семян петрушки, а лука — в 3 раза больше, чем 4 2 петрушки. Взошло — семян петрушки и — семян лука. Сколько всего се- 5 3 мян взошло на этой грядке? (т = 30.) 108 Глава 3, §2, п.6 Длина аквариума, имеющех’о форму прямоугольного параллелепипеда, рав- 4 на о дм, а ширина составляет — длины. Когда в аквариум налили 40 л воды, 5 2 он оказался наполненным на — своего объема. Какую часть длины аквариума О составляет его высота? (1л равен по объему 1 дм^.) 517| На праздник в детский сад купили надувные шары трех цветов - красного, зеленого и желтого. Красных шаров было 40, О число зеленых шаров составило — от чис- 5 2 ла красных шаров и — от числа желтых О шаров. Сколько шаров привезли в детский сад? Какую часть из них удалось надуть, если при надувании лопнула — часть красных шаров, — часть зеле-20 12 ных и — часть желтых? 36 Игра “Лучший счетчик”. Правила: Играют 6 человек. По жребию определяют номер своего столбика примеров. Игроки по очереди в быстром темпе последовательно называют ответы примеров своего столбика. Игрок становится победителем, если он сумел без ошибок назвать ответы всех своих примеров не более чем за 25 с. (Победителей может быть несколько.) 1 II III IV VI 6 4 9 2 • 9 20 -3 54 : 9 13 -5 50 • 5 42 + 8 160 : 2 50 + 60 14 • 5 32 + 11 63 : 3 46 + 8 30 : 15 7 + 8 3 • 4 20-4 49:7 12-7 9 • 30 53 4- 7 240:6 50 + 70 13 ■ 3 32 + 12 88:4 32 + 9 36 : 18 9 + 5 5 • 6 20-5 48:6 11-4 40 • 7 15 + 5 180 : 3 50 + 80 15 • 7 32 + 13 46 : 2 25 + 7 38 : 19 8 + 4 8 • 3 20-6 81 : 9 15-9 6 • 60 31 + 9 450 : 5 50 + 90 18 • 5 32 4 14 39 : 3 56 + 8 54 : 27 6 + 7 7 • 2 20-7 63:7 14-6 80 • 4 47 + 3 640:8 70 + 30 19 • 2 32 + 15 52 : 4 69 + 3 28 : 14 5 + 6 4 • 4 20-8 36:9 16-7 70 • 8 26 + 4 150:3 80 + 30 18 • 4 32 + 16 72 : 2 28 + 5 64 : 32 109 Глава 3, §2, п.6 '.■Z числителю и знаменателю несократимой дроби прибавили по 1. Обязательно ли она останется несократимой? Может ли она остаться несократимой? 5^ ; Z числителю и знаменателю сократимой дроби прибавили по 1. Может ли она остаться сократимой? Может ли она стать несократимой? 521| Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: 1) 156 - 39 390 2) 27-48+27-3 27-48-27-3 0 2008 у. 3)4™; 4)* 2010 2 2008 еч 45аЬ лч 2т-6п 5) -ггг- ? 6) 1 563 522| Сравни: 14 13 7 3) — ^ 21 100 . ^ 101 ’ гсчЗб б)7Г;:7 и 37 37. 36’ „ч48 ^>83 ^ 4)^ ^ 60 41 и -ХТГ'у 80 Г4 16 “>62** 1515. 6262’ 126 ®> 427 5т-15л 4847. 8383’ 125126 и 427427 Известно, что натуральное число а больше 10. Что больше: -,4 2а + 3 23 1)-------- или — ; а 10 04 2а - 3 17 о 2)------- или — а 10 ИЗ Представь в виде дроби сумму или разность двух дробей, если значения всех переменных - натуральные числа: а о Реши уравнения: 3 _ А. с 4с ’ 3) - -1; У X 4)^ + on 4-4; 8 3 4 4 3) - f + — ' 5 15 Ul® =2-1. ' 7 21’ 4)l|+ + = . ' 3 9 3 9 Зт Заполни пустое место в квадрате так, чтобы сумма всех чисел в нем равнялась единице. Посчитай произведение чисел в каждой строчке. а) 1 3 1 10 ? 1 15 б) 7 1 4 1 12 1 2 Составь из чисел, записанных в квадрате, скобок и знаков и выражение значение которого равно 1. 110 ------- ------Глава 3, §2, п.б Ш Выполни вычисления по программе, заданной блок-схемой. Расшифруй высказывание. Кому оно принадлежит? Как ты его понимаешь? а 0 2 3 1 2 3 4 4 X К Ь Н р О 3 В и Е з! 8 35 5I 4 1о| 8 41 4 4 Найди сумму: 1) всех однозначных чисел; 2) всех двузначных чисел; 3) всех трехзначных чисел; 4) всех четырехзначных чисел. Реши уравнения методом проб и ошибок, если х g. N: 1)д:=^-Ы2х = 63; 2) хМ 150. Построй математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы х и у. Найди ответ методом перебора: Ученик купил 10 тетрадей в клетку и линейку, уплатив за покупку 280 р. Тетрадь в клетку стоит 30 р., а тетрадь в линейку - 25 р. Сколько тетрадей в клетку и сколько в линейку купил ученик? Докажи утверждения, введя буквенные обозначения. 1) Если к двузначному числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, кратное 11. 2) Если трехзначное число записано с помош;ью одной цифры, то оно де.чится на 37, 111 Глава 3, §2, п.6 Щ 1) Прочитай определения и назови определяемые понятия: Прямоугольным треугольником называется треугольник, один угол которого прямой. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. 100 2) Начерти прямоугольный треугольник. Измерь его непрямые углы и найди их сумму. Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь? Можно ли полученное утверждение считать верным для любого прямоугольного треугольника? Попробуй его доказать. 3) Начерти прямоугольный треугольник. Соедини отрезком вершину прямого угла с серединой гипотенузы. Сравни по длине проведенный отрезок и гипотенузу. Повтори эксперимент еще 2 раза. Сформулируй гипотезу. 4) Начерти прямоугольный треугольник и проведи окружность, диаметром которой является его гипотенуза. Повтори эксперимент еще 2 раза. Сформулируй гипотезу. у см д 5331 На рисунке показано, как из- -менялся рост Жени от рождения до 7 лет. Определи по графику: 1) Какие величины обозначают переменные х и у1 2) Какой рост был у Жени, когда она родилась, в полгода, в 3 года, в 5 лет? 3) В каком возрасте рост ее был равен 60 см, 80 см, 90 см? 4) На сколько сантиметров изменился ее рост с 4 до 7 лет? 5) В течение какого времени рост Жени увеличился с 60 см до 90 см? Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу: X лет 0 1 2 3 4 5 6 7 у см X лет 112 Глава 3, §2, п.6 Найди значение выражения: 1 а) , если а = 2; б) если 6 = 3. а + Ь- а + а + 1 6-1 535| Найди частное куба числа а и квадрата числа 6, если: а = [(8039 • 7005 - 4 730 895): (4004 + 56)]: (48^ + 79 • 3), 1) Обозначая “+а” - доход (прибавление денег), а “-а”-расход (уменьшение денег), найди, что получится в результате указанных преобразований: (+2) + (+3) (-4) + (-1) (-2) +(-4) (+1) + (-2) (-3) + (+5) (-6) + (+3) 2) Придумай и реши свои аналогичные примеры на сложение чисел, обозначающих доходы и расходы. 3) Где на числовой прямой разумно расположить числа, обозначающие до- ходы (-f 1, +2, +3 и Т.Д.), а где - числа, обозначающие расходы (-1, -2, -3 и Т.Д.)? Как в таком случае интерпретировать прибавление чисел со знаком “+”, а как - прибавление чисел со знаком Проверь с помощью числовой прямой ответы решенных выше примеров. —I----1----1---1----1---1---1---1----1 ) н------1---1----и--1—► @|53^ о Найди: 1)^ от 220; 2) 45% от 1 3 ’ 3) 250% от X. 1) Тетушка Полли заставила как-то раз Тома отчистить до блеска а серебряных ложек. Том похвастался трем своим друзьям, что это очень интересное занятие, и друзья Тома тоже захотели почистить ложки. Дик по- 1 15 чистил — всех ложек, Джим — —,э. Билл - — . Сколько о 5 12 ложек осталось почистить Тому? Составь выражение и найди его значение при а =- 24. 2) Том Сойер и Гек Финн нашли клад, стоимость которого оценили в 200 000 долларов. Их вознаграждение составило 20% от стоимости клада. Том и Гек решили отдать в пользу школы 12% своих денег, церкви - 8% и дому престарелых - 10%. Остальную сумму они решили поделить между собой поровну. Сколько денег получил каждый из них? 113 Глава 3, §2, п.6 5391 Найди число, если: а) его составляют 90; -.7 к 5 б) — его составляют 5 — 3 6 в) 20% его составляют —; о г) 125% его составляют у. 54^ 1) Буратино, Пьеро и Карабас-Барабас измеряли свой рост. Выяснилось, что рост Буратино равен 6 см и g он составляет — роста Пьеро. Рост Пьеро составляет 3 9 — роста Карабаса-Барабаса. Во сколько раз Карабас- О ^ Барабас выше Буратино? Зависит ли ответ от значения Ь7 2) Карабас-Барабас гонится за Буратино. За минуту Карабас-Барабас делает 60 шагов, что составляет — числа шагов, которые делает за минуту Буратино. 5 Длина шага Буратино равна 25 см, что составляет ^ длины шага Карабаса- Барабаса. С какой скоростью бегут Буратино и Карабас-Барабас? Каким станет расстояние между ними через 10 минут, если сейчас Буратино впереди Карабаса-Барабаса на 10 метров? ш Запиши дробью часть, которую составляют: а) 5 от 6; б) 24 от 16; в) а от 4; г) k от п (п¥^0). 1) Три Толстяка съели за завтраком торт массой а кг. Первый Толстяк съел кусок массой Ь кг, второй -массой с кг. Какую часть торта съел третий Толстяк? 2) Суок раздобыла у наследника Тутти ключ от клетки оружейника Просперо. Чтобы пробраться к клетке, ей надо незаметно пройти по дворцу 120 м, по парку - 3 -- ее пути по дворцу, а вдоль зверинца столько, сколько 4 по парку и по дворцу вместе. Какую часть всего ее пути составляет путь по парку? ш 1) Длина минутной стрелки кремлевских курантов - 328 см. Высота цифр на циферблате составляет ^ от длины минутной стрелки. Вычисли высоту цифр на циферблате кремлевских курантов. 2) Автодорожники делают за неделю 4 км дороги. Когда длина дороги достигла 76 км, построенную часть дороги начали размечать. Через сколько недель разметчики догонят автодорожников, если скорость автодорожников составляет — скорости разметчиков? 114 ----------------------------------------------------Глава 3, §2, п.б |544| в коллекции нумизмата 45 старинных монет. Монеты XVII века состав-...^ 2 3 ляют — числа всех монет и — числа монет XVIII века. Монеты XIX века составляют от числа всех монет за минусом монет XVII-XVII в.в., а 5 остальные - дореволюционные монеты XX века. Какую часть всех монет составляют монеты XX века? 5^ Реши уравнения: 04 5 _u О ^ _L 1 с 1 ш Построй математическую модель задачи, введя для обозначения неизвестных величин буквы х и у. Найди ответ методом перебора. Произведение двух натуральных чисел равно 48, а их сумма составляет от произведения. Чему равна разность этих чисел? 3 Какие из высказываний являются общими, а какие — типа "хотя бы один”? Определи их истинность. Докажи или опровергни их. 1) Все прямоугольные треугольники являются равнобедренными. 2) Существуют равнобедренные прямоугольные треугольники. 3) Некоторые прямоугольные треугольники имеют ось симметрии. 4) Любой прямоугольный треугольник имеет ось симметрии. На графике показано, как изменялся рост Пети от рождения до 5 лет. Перерисуй в тетрадь таблицу и заполни ее. Ответь на вопросы: 1) Какой рост был у Пети в 3-^ года, 5 лет? Cl 2) В каком возрасте рост его был равен 60 см? 3) На сколько увеличился рост Пети с полугода до трех с половиной лет? 4) Когда он рос быстрее - в четвертый или пятый год жизни? 115 Глава 3, §2, п.6 5^ Построй график изменения роста Оли в течение первых шести лет жизни, пользуясь таблицей: X лет 0 1 2 1 4 2 2^ 2 3 3^ ^2 4 4 5 .1 6 у см 51 60 66 72 77 81 85 88 91 94 96 98 100 550| 553| Найди сумму чисел, обозначающих доходы и расходы. Проиллюстрируй решение на числовой прямой (см. № 536). 1) (-5) + (+3); 2) (+4) + (-6); 3) (-2) + (-3). Выполни вычисления по программе. Составь выражение, задающее ту же самую программу действий. 1) 314 340 разделить на 620. 2) 243 810 разделить на 27. 3) Сложить результаты первых двух действий. 4) Из полученной суммы вычесть 649. 5) 564 умножить на 309. 6) 15 336 288 разделить на полученное произведение. 7) Результат 4-го действия разделить на результат 6-го действия. 55:^ Записаны все числа подряд от 1 до 40. Не изменяя порядка записи, вычеркни 60 цифр так, чтобы оставшиеся 11 цифр выражали: а) наименьшее число; б) наибольшее число. Докажи, что среди пяти произвольных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа, разность которых кратна четырем. После того как туристы прошли 1 км и половину оставшегося пути, им еще осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен путь? Старинная задача. К адвокату обратились 5 человек с просьбой разделить наследство. Оно состояло из трех старинных картин одинаковой стоимости. Адвокат предложил: первые три человека заплатят оставшимся двум по 18 тыс. р. каждый, а картины возьмут себе. Оставшиеся 2 человека, разделив деньги, получат поровну с другими тремя. Сколько стоит каждая картина? Найди произведение: 116 Глава 3, §2, п.7 7. Задачи на дроби (продолжение). Рассмотрим теперь более сложные, комбинированные задачи на дроби. Задача 1. У Ани было 120 р. Из них 40% она затратила на завтрак в буфете, а на остальные деньги купила 6 тетрадей. Сколько рублей стоит одна тетрадь? 100% — 120 р. ( завтрак б тетрадей 40% — ? р. Стоимость тетрадей можно узнать различными способами. Рассмотрим два способа решения этой задачи. I способ: 40 12 1) 120 100 —^ = 48 (р.) - СТОИТ завтрак. JUHr, 2) 120 - 48 = 72 (р.) - стоят 6 тетрадей. 3) 72:6 = 12(р.) II способ: 1) 100% 2) 120 • - 40% = 60% - часть всех денег, затраченная на тетради. 12 о 60 100 = 72 (р.) - стоят 6 тетрадей. 3) 72 : 6 - 12(р.) Ответ: одна тетрадь стоит 12 р. «Задача 2. Мать оставила для трех своих сыновей тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым пришел из школы младший сын. Увидев на тарелке сливы, он съел третью часть и ушел гулять. Вторым пришел средний сын. Думая, что его братья не ели слив, он съел третью часть того, что было на тарелке, и тоже ушел гулять. Позднее всех пришел старший сын и съел 4 сливы - третью часть слив, которые он увидел на тарелке. Сколько слив было вначале? 1 — ?с. 117 Глава 3, §2, п.7 Решение: При решении задачи следует обратить внимание на то, что средний и старший сыновья брали с тарелки треть не всех слив, а только тех, которые оставались на тарелке до них. 1)1- 1=2 ’ 3 3 часть слив, которая оставалась на тарелке. 2) 4 : ^ ^ — 12 (с.) - II остаток. О J. _ . „ . 2 W- 3 . Q , 3) 12 : — = —-^= 18 (с.) -1 остаток. О 4) 18:|-i^=27(c.) О т В е т: на тарелке было вначале 27 слив. Часто при решении задач на дроби введение буквенных обозначений позволяет упростить поиск решения, сделать его более коротким. Разберем решение двух таких задач. 2 5 Задача 3. Найти число, если — от него равны числу, — которого состав- 3 6 ляют 25. Решение: Обозначим искомое число х. Тогда по условию: Отсюда находим х: 2 5 15 2 ок 5 2 „„2 ЖГ-3 — л: = 25:— <=> —д: = 30<=>д: = 30: — <=>дг = —о х = 45. 3 6 3 Ответ: искомое число равно 45. Задача 4. В трех районах города проживает 12 000 человек. Сколько человек живет в каждом районе, если известно, что — числа жителей пер- О вого района равны ^ числа жителей второго райо-2 на и — числа жителей третьего района? 5 Решение: Обозначим число жителей первого района х, второго района - у, а третьего района - г. Тогда по условию: ■|^=-|г/=-|2 о 20х = 15i/= 12г. 118 Глава 3, §2, п.7 20л: 4 20л: 5 Из этих равенств следует, что у - = — л:, а 2 = -гтг Значит: 15 о 12 о X + £/ + 2 = 12 000 с^> л: +1 л: + |л: = 12 000 О 12лг = 36 000 X = 3000. Итак, в первом районе проживает 3000 человек. Чтобы найти число жите- 4 5 леи остальных двух районов, надо 3000 умножить соответственно на — и —: 1000 ^ ^ 3000 • = 4000 (чел.) - во втором районе. 1000 3000 • ^ ^ = 5000 (чел.) - в третьем районе. Последнюю задачу еще проще было бы решить, используя ее графическую Из схемы видно, что число жителей всех районов удобно выразить через величину, равную от числа жителей первого района. Обозна^1Им эту величину k. О Тогда в первом районе проживает 3k человек, во втором районе - 4к человек, а в третьем - 5 /г человек. По условию, во всех трех районах 12 000 жителей, значит: 3/г + 4/г-Ь5/е = 12 000 о 12/г=12 000 о ^ = 1000. Приходим к тому же ответу: в первом районе 1000 • 3 = 3000 жителей, во втором - 1000 ♦ 4 = 4000 жителей, а в третьем - 1000 • 5 = 5000 жителей. Иногда условие задачи удобнее проанализировать с помощью таблицы. Приведем пример такой задачи. Задача 5. В первый день я отпил стакана черного кофе и долил стакан мо- О локом, потом отпил еще — стакана и снова долил его молоком, после чего отпил еще стакана. Во второй-я сначала отпил стакана и долил стакан о 5 молоком, затем отпил еще \ стакана, долив стакан снова мо.гоком, после чего 4 отпил еще стакана. В каком случае я выпил кофе больше? О 119 Глава 3, §2, п.7 Решение: Составим таблицу, показывающую, как в первый день изменялась часть выпитого и оставшегося в стакане черного кофе: Отпил черного кофе Осталось в стакане черного кофе 1 1 — стакана О , 1 2 1 - — = — стакана О О 2 2 11 77 • — = -г стакана о 4 о 2 11 Т ~ 77 стакана о о 2 3 111 _ . _ стакана Всего выпито: 3 6 10 10 + 5 + 3 30 18 3 — = 7" стакана. оО 5 Аналогично получаем, что столько же кофе выпито во второй день. Итак, при решении составных задач на дроби, кроме основных правил, рассмотренных в предыдущих пунктах, на помощь могут прийти схемы, таблицы, числовые и буквенные выражения, уравнения. Выбор “инструментов” и способа решения задачи всегда остается за тем, кто ее решает. Однако решение тем лучше, чем оно проще и быстрее приводит к верному ответу. О 17 Ромашка при сушке теряет — своего веса. Достаточно ли собрать 2 о 105 кг цветков ромашки, чтобы сдать в аптеку 15 кг сухой ромашки? 558| 1) В классе присутствовало 30 учеников. Число отсутствовавших составило числа 1о всех учащихся этого класса. Сколько всего учащихся в этом классе? 2) Доклад ученика занял урока, рассказ 5 2 1 учителя - —, а решение задач - — урока. 15 о Остальную часть урока учащиеся писали самостоятельную работу. Сколько минут длилась самостоятельная работа, если продолжительность урока 45 мин? 120 Глава 3, §2, п.7 При размоле пшеницы получается: муки — от первоначального количе- 5 ства пшеницы, манной крупы - , а остальную часть составляют отруби. 50 Сколько муки и манной крупы получили при размоле, если масса отрубей составила 36 кг? |560| 1) Двум операторам было поручено набрать на компьютере рукопись. Пер- 3 5 вый оператор набрал — всей рукописи, а второй за то же время - — всей рукописи. Сколько страниц в рукописи, если первый оператор набрал на 7 страниц больше, чем второй? 2 2) Автотурист проехал в первый день — намеченного пути, а во второй 5 день - остальной путь. Какой путь он проехал в каждый из этих дней, если известно, что в первый день он проехал на 80 км меньше, чем во второй? 5621 1) В питомнике вырастили 3200 саженцев фруктовых деревьев. Сажен- 2 цы яблонь составили 55% всех саженцев, причем — яблонь были сорта “Память воина”. Сколько саженцев яблонь этого сорта вырастили в питомнике? 2) В пятые классы гимназии поступало 400 учеников. Конкурсный отбор по 3 математике выдержали — всех учеников, а 60% сдавших математику успешно написали работу по русскому языку и были зачислены в гимназию. Сколько пятых классов в этой гимназии, если в каждый из них зачислено по 24 ученика? 1) Для кошки купили 3 кг сухого корма. В первую неделю она съела часть корма, 6 во вторую - ^ остатка. Сколько корма 25 еще осталось? 2) Семья заготовила на зиму 60 банок кон- 2 сервированных фруктов. В — этих банок D 3 были абрикосы, в — всех банок за минусом 4 банок с абрикосами - вишни, а в остальных банках - персики. На сколько банок с абрикосами было больше, чем банок с персиками? 121 Глава 3, §2, п.7 56^ 1) Петя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 10% от первоначальной массы. После второго откусывания она составила 160 г. Какой она была вначале? За сколько откусываний Петя при этих условиях доест пирожок? 2) В соответствии с экологическими нормами, необходимо провести плановую вырубку деревьев в городском парке так, чтобы после вырубки осталось 750 деревьев. Для этого сначала вырубили 3 2 — всех деревьев, а потом - еще — того, что осталось. Сколько деревьев было в парке первоначально? 564| i Забушка поставила перед тремя внуками вазочку с шоколадными батончиками. За угощением внуки подходили поочередно. Первый, но просьбе бабушки, взял \ всех батончиков и еще 1 батончик. Второму было предложено 4 взять — того, что осталось, и еще 2 батончика. Третьему полагалось взять также — остатка и еще 3 батончика. После чего ваза опустела. Докажи, что 4 всем внукам досталось поровну. Ш5 3 1) Найти число, если его равны числу, — которого составляют 27. о 5 3 5 2) Найти число, если — его равны числу, — которого составляют 10. 14 6 1) Найти два числа, если одно из них составляет у другого, а их сумма равна 22. Q 2) Найти два числа, если одно из них составляет — другого, а их разность равна 35. 56Т| 1) В классе 30 учеников, причем число девочек составляет -I- числа мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в этом классе? Какую часть всех учащихся класса составляют мальчики? 2 2) В трех домах проживает 400 человек. — числа жильцов первого дома рав- 5 ны числа жильцов второго дома и ^ числа жильцов третьего дома. Сколько О человек проживает в каждом доме? 122 Глава 3, §2, п.7 56^ 1) Велосипедист проехал — часть пути и еще 12 км, и ему осталось проехать 3 ^ — пути и еще 9 км. Сколько километров составил весь путь? О 2) Возвращаясь из Москвы домой на поезде, пассажир по рассеянности проехал свою станцию, а когда сошел на следующей, то рассчитал, что поезду 13 осталось пройти — всего своего пути, а ему придется проехать обратно 14 км. ^1ему равна длина пути поезда, если станция, на которой жил пассажир, удалена от Москвы на расстояние всего пути? О 1) Школьник прочитал книгу за 3 дня. В первый день он прочитал всей 5 5 1 книги, во второй - — остатка, а в третий - — нового остатка и последние О 3 16 страниц. Сколько страниц в книге? 2) Фермер продал картофель трем покупателям: первому — часть всего кар- 4 л, 4 4 тофеля, второму - — остатка, а третьему - — нового остатка и последние 9 о 10 кг. Сколько картофеля купил каждый из трех покупателей? 5^ Я отпил — чашечки черного кофе и долил ее молоком, потом отпил треть ча-6 шечки и долил ее молоком. Потом я выпил еще полчащечки и снова долил ее молоком. После этого я выпил всю чашечку до конца. Чего я выпил больше: черного кофе или молока? Четыре хозяина смежных садовых участков наняли рабочих для устройства общего колодца глубиной 7 м на равноправных началах. Оплату условились производить так. За прорытый первый метр - 432 р. При углублении на первые 4 метра оплата за каждый прорытый метр составляет стоимости предыдущего, а при углублении более 4 метров - -I- стоимости (ffp* предыдущего. Плотницкие работы договорились оплачивать по 1200 р. за каждый метр глубины. Кроме того, были закуплены материалы, стоимость которых составила треть от общей стоимости труда рабочих. Во сколько обошлось строительство колодца каждому хозяину? 123 Глава 3, §2, п.7 57^ Таня, Надя и Света собирали грибы. Таня собрала седьмую часть того, что собрали Надя и Света вместе. Надя собрала третью часть того, что собрали вместе Таня и Света. 1) У кого больше грибов и во сколько раз - у Нади или у Тани? 2) Какую часть сбора Светы составляет совместный сбор Нади и Тани? 573| Старинная задача-шутка. Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и еще пол-яйца, второму - половину того, что у нее осталось, и еще пол-яйца, третьему - половину нового остатка и еще пол-яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось от прежней торговли, и еще пол-яйца. После этого у нее ничего не осталось. Сколько она принесла яиц? О 5741 Вычисли устно: 25-9 25-99 25 - 999 25-11 2525: 25 25 000:25 42-9 42-99 42 - 999 42-11 42 042:42 42 000:420 63-9 63-99 63 - 999 63-11 630 063:63 63 000:6300 Запиши множество правильных дробей и множество неправильных дробей, которые можно составить из чисел 2, 3, 4, 5. Какая из записей может быть «лишней» и почему? 4_i 2^ 3-fi i + 2^ 3^ 3.^ i + 3 Продолжи ряды на два числа, сохраняя закономерность. Уменьшаются или увеличиваются значения дробей в этих рядах? 1) 48 24 12 80 ’ 40’20'“ Ё1 Одна из дробей: 2 6 18 ’ 3’ 9’27 33 3 6 i А J 8 ’23’16 11210 19 '30 является несократимой записью дроби Какая именно? 8532111 28440370 124 Глава 3, §2, п.7 Ш Сократи дроби (а фО, хф 0): 1) 5 + 40 2) 28 3) 25-4 + 25-6 б® 4)|т; 10 ’ “44*9’ '^25-9 - 25-4’ '5 Найди три дроби, удовлетворяющие неравенству: 5)^; 6) 12а6 18а2 л 3 ^ 4 . б)|а; 2)3 а gN: а^<а. Подбери недостающие натуральные числа так, чтобы получились верные равенства, если известно, что дроби во всех равенствах правильные: □ 5 1 3 1) = 2^ 2 _1_=0 i -0 = J_ 9 □’ ''q 15 5’ 4 12' Расшифруй высказывание великого французского писателя эпохи Возрождения Франсуа Рабле. Попробуй отыскать пример из жизни, который подтверждает эту мысль Рабле. 1) 8 035 640-984 693 2) 298 566 + 78 534 3) 480 124 290:5307 4) 2680 • 706 5) 257 228 000 : 8560 9047 — привычки 1 892 080 - крушение 7 151 057 - сам в себе 377 100-без 203 680 - пожнешь 90 470 - совести 276 090 - в других 7 050 947 - ум 9470 - счастье 30 050 - личности 6031 Реши уравнения и расшифруй название известной книги. Кто ее написал? н л ф 8 4^‘^9 16 0^7 ^5=^-25 = f0 з|:(2|-дг).2§ Ч“2'*'2''^'^'2 "12 Ю и 1 .Л 1 4 1 5 _ 2 ^6'^4^^^15^ Ч 3 [^1лс+ д: 1 И З5Х IjqX З2 2 о. 7 , 1 о. 5 1 3^ 12 4^ 6 ^12 5-^5^ + i0^-'l2=^5 5 6 5 5 6 if 2 3 4 1 2 ^1 2 3 4 5 6 li 5 1 2 3^ ^4 5 8 *1 5~Дорофсч:и, Г) кл.. м. 2. 129 Глава 3, §2, п.7 60^ Выполни действия с числами, обозначающими доходы и расходы, и проиллюстрируй решение на числовой прямой (см. № 536): а) (-7) +(+2); б) (-4) +(-2); 6051 Вычисли площади фигур: 1) в)(+9) + (-5). 9 см 2) 8 м бОЫ Температура воздуха в течение дня измерялась через каждые 2 часа. Результаты измерений занесены в таблицу: X часов 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 у градусов 1 2 4 7 9 11 12 10 7 5 4 3 2 О Построй график изменения температуры воздуха в течение этого дня. Придумай по графику 3 вопроса и ответь на них. Дано натуральное число а. Что больше: а . а Ч 1 а)---или ^ , 'а а + 1 -..а + 1 ц-ЬЗо б)---- или ----? а а + 2 Задача-анекдот. Одну даму спросили, сколько ей лет. Она ответила: “Тридцать пять... без суббот и воскресений”. Сколько лет даме? Старинная задача. Шли три крестьянина и зашли в избу отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картошку, а сами заснули. Хозяка сварила картофель, но не стала будить, а поставила миску с едой и ушла. Проснулся один крестьянин, съел третью часть картофелин и снова заснул. Вскоре проснулся другой. Ему невдомек было, что один из мужиков уже взял свою долю. Поэтому он отсчитал третью часть оставшихся картофелин, съел их и заснул. После чего проснулся третий. Полагая, что он проснулся первый, он тоже взял с тарелки только третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что на тарелке осталось 8 картофелин. Тогда только и объяснилось дело. Сколько картошки подала на стол хозяйка? 130 Глава 3, §2, п.8 бЩ Два ученика купили себе по книге. До покупки у первого ученика было на 60 р. больше, чем у второго, а после покупки денег у них стало поровну. 2 5 Первый затратил на покупку книги — своих денег, а второй - — своих О у денег. Сколько рублей каждый из учеников заплатил за свою книгу? 8. Задачи на совместную работу. Однажды учитель предложил своим ученикам решить старинную задачу из математической рукописи XVII века: “Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый: - Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил в 3 года. А другой молвил: - Я бы поставил его в шесть лет. Оба решили сообща ставить двор. Сколь долго они ставили двор?” Мнения в классе разделились. Одни ребята утверждали, что оба плотника вместе будут строить дом 3 -f 6 = 9 лет. Другие возражали - так быть не может: вместе плотники должны построить дом быстрее, а не дольше, чем каждый из них в отдельности. Вскоре все поняли, что время совместной работы плотников не может быть больше трех лет. Но как его найти? Затруднение, возникшее у ребят, связано с тем, что при совместной работе складывается не время работы, а части работы, которую делают ее участники. Например, из условия задачи о плотниках следует, что первый плотник выполнит за 1 год часть всей работы, а второй плотник - часть. Зна- о о чит, вместе за год они выполнят тг + тг = тг часть всей работы, и, чтобы поста- о о 2 вить двор, им потребуется столько времени, сколько раз по содержится в целой единице: 1 : -g = 2 (года). Итак, при решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается за 1, а часть работы, выполненная за единицу времени (то есть производительность), находится по формуле: Р = 1 : Т, гдер - искомая часть работы, а Т - время работы. Соответственно, Т = 1 :р. Рассмотрим теперь, как используется этот прием при решении различных задач на совместную работу. 5* 131 Глава 3, §2, п.8 Задача 1. В городе есть искусственный водоем. Одна из труб может заполнить его за 4 ч, вторая - заЪ ч,а третья - за 24 ч. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу 3 трубы? Решение: 1) 1 • 4 = (водоема) - наполнится через I трубу за 1 час. 2) 1 : 8 = -3- (водоема) - наполнится через II трубу за 1 час. О 3) 1 : 24 = ^ (водоема) - наполнится через III трубу за 1 час. 6 3 .Л , 1 , 1 6 + 3 + 1 10 . . ... 4) — f — + — = -—---= —— (водоема) - наполнится через 3 трубы за 1 час. 4 о Z4 Z4 J4 24 12 „2, , То = Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоем наполнится 2 5 за 2-^ ч Задача 2. Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь заЗ ч,а другой - за 4^4. Через сколько времени они встретятся? Решение: Это тоже задача на “совместную работу”, хотя, строго говоря, никто не работает. Но можно считать, что “работа” пешеходов - это прохождение пути. Поэтому весь путь принимается за “единицу” и вычисляется часть пути, пройденная каждым пешеходом. 1) 1 : 3 = — (расстояния) - проходит I пешеход за 1 ч. О 1 9 2 2 2) 1:4 — =1: (Расстояния) - проходит II пешеход за 1 ч. 2J ^ i7 ^ 3 , '^^3^9 ^ ^ ^ (расстояния) - сближаются оба пешехода за 1 ч. .44.5 9 9 .4.4 Ответ: пешеходы встретятся через 1 — ч. 5 132 Глава 3, §2, п.8 Задача 3. Бассейн заполняется через 2 трубы заЗ—ч. Если открыть одну О первую трубу, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько времени наполнится бассейн через одну вторую трубу? Решение: 1) 1:6 = -^ (бассейна) - наполнится через I трубу за 1 час. о 2) 1 : 3 = 1 : ^ = 1 • (бассейна) - наполнится через обе трубы О О 1U 1 и вместе за 1 час. i- о у 9—5 4 2 3) — - = тт (бассейна) - наполнится через II трубу за 1 час. 10 о оО оО 15 4)1:А = 1.15 = 1А = 71(,). ' 15 2 2 *2 ^' 1 Ответ: бассейн наполнится через одну вторую трубу за 7 ч. Задача 4. Чтобы выкачать из цистерны нефть, поставили два насоса различной мощности. Если бы действовали оба насоса, то цистерна оказалась бы пуста через 12 мин. Оба действовали в течение 4 мин, после чего работал только второй насос, который через 24 мин выкачал всю оставшуюся нефть. За сколько минут каждый насос, действуя один, мог бы выкачать всю нефть! Решение: 1) 1: 12 (цистерны) - выкачивают два насоса за 1 мин. 1 4 1 2) • 4 = (цистерны) - выкачали два насоса за 4 мин. 1 2 3) 1 - — = — (цистерны) - выкачал II насос за 24 мин. О о 4) 2 :24 = —^ 3 3-24 J-=^ 02 36 36 ■— (цистерны) - выкачивает II насос за 1 мин. 36 = ;^ = -^(цистерны) - выкачивает I насос за 1 мин. оО 1о 6) 1 : 7^ = 1 • 36 == 36 (мин). об 7) 1 : — = 1 • 18=18 (мин). 1 О Ответ: один первый насос выкачает нефть за 18 мин, а один второй - за 36 мин. 133 Глава 3, §2, п.8 о бТз| 6Й1 Вася проходит расстояние между домом и школой за 10 мин. Какую часть пути проходит он за 1 мин, за 4 мин? Мастер делает всю работу за 3 ч, а его ученик - за 6 ч. 1) Какую часть работы делает каждый из них за 1 ч? 2) Какую часть работы сделают они вместе за 1 ч? 3) За сколько времени они вместе сделают всю работу, если будут работать вместе, сохраняя свою производительность? 1) Для разравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая машина может выполнить всю работу за 36 дней, а вторая - за 45 дней. За сколько дней могут выполнить всю работу обе машины, работая совместно? 2) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковая машина. Автобус проезжает весь путь за 12 ч, а легковая машина - за 6 ч. Через сколько времени они встретятся? 1) Три экскаватора различной мощности могут вырыть котлован, работая отдельно: первый - за 10 дней, второй - за 12 дней, а третий - за 15 дней. За сколько времени они могут вырыть котлован, работая совместно? 2) Школа заказала в щвейной мастерской спортивную форму для участников соревнований. Одна швея может выполнить весь заказ за 20 дней, вто- о 1 в 2 — раза ш бТб| рой для выполнения заказа требуется — этого времени, а третьей • 5 больше времени, чем второй. За сколько времени могут выполнить весь заказ три швеи, работая совместно? 1) Водоем наполняется двумя трубами за 5 часов, а через одну первую трубу - за 6 часов. Через сколько времени будет наполнен водоем, если открыть только одну вторую трубу? 2) Два трактора вспахали поле за 6 часов. Первый трактор, работая один, вспахал бы это поле за 15 часов. За сколько времени вспахал бы это поле второй трактор, работая один? 1) К ванне проведены два крана. Через один кран ванна может наполниться за 12 мин, а через другой “ в 1 раза быстрее. За сколько минут наполнится ванны, если открыть сразу оба крана? 6 2) Плавательный бассейн наполняется двумя трубами при их совместной работе за 48 мин. Через первую трубу бассейн может наполниться за 2 ч. За сколько времени наполнится бассейн на — сво- 4 его объема только через одну вторую трубу? 134 Глава 3, §2, п.8 бТ^ щ Две снегоуборочные машины могут убрать снег за 6 ч. После 3 ч совместной работы первую машину отправили в другой район города, а оставшаяся машина закончила уборку за 5 ч. За сколько часов каждая машина, работая отдельно, может выполнить всю работу? Один каменш;ик может выполнить задание за 9 дней, а другой - за 12 дней. Первый каменщик работал над выполнением этого задания 6 дней, после чего работу закончил второй каменщик. За сколько дней было выполнено задание? 1) Две машинистки напечатали рукопись за 6 ч. Одна из них работает в 3 раза быстрее, чем другая. За сколько дней могла бы напечатать эту рукопись каждая машинистка, работая отдельно? 2) Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев за 12 дней. Сколько дней потребуется на выполнение этой работы одной первой бригаде, если она может выполнить ее в 1 раза быстрее, чем вторая? 6^ б20| Первый насос может выкачать всю воду из котлована за 36 ч, а второй -в 2 раза быстрее. После того как они, работая вместе, выкачали всей воды, О второй насос сломался, и остальную воду выкачал один первый насос. За сколько времени была выкачана вся вода из этого котлована? Из пунктов А и Б одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Они встретились через 4 ч после выезда, а через 5 ч после встречи первый автомобиль пришел в В. Через сколько времени после встречи второй автомобиль пришел в А? Из Санкт-Петербурга в Москву выехал пассажирский поезд. Одновременно с ним из Москвы в Санкт-Петербург выехал товарный поезд. Пассажирский поезд через 4 ч 48 мин после выезда встретил товарный и через 3 ч 12 мин после встречи прибыл в Москву. За сколько времени товарный поезд проходит путь от Москвы до Санкт-Петербурга? Миша проезжает на велосипеде путь от дома до дачи за 30 мин, а его сестра - за 45 мин. Однажды по дороге на дачу Миша встретил сестру, выехавшую с дачи домой на 10 мин позже Миши. Через сколько времени после выезда сестры они встретились? Сколько времени после встречи с сестрой пришлось Мише еще ехать до дачи? (Считать, что скорость Миши и его сестры не изменяется.) Глава 3, §2, п.8 О Переведи с математического языка на русский и проверь истинность утверждений. Сравни данные утверждения. Что ты замечаешь? а.) 3 X, у е N: х‘^ = у'^; б) 3 п е N: п = х‘^ а п — у^, где х, у е N. Переведи с русского языка на математический: Сумма кубов первых п последовательных натуральных чисел равна квадрату их суммы. Проверь истинность данного высказывания для л = 2,3,4,5,6. Можно ли на основании проведенного исследования утверждать, что данное высказывание верно для всех натуральных п? ш Реши уравнения: ^х 2х 40’ 2)-^ ^^3 л:’ 18 ’ 7^ 3) - + X 3_ 14* На оптовом рынке А картофель продается мешками по 40 кг, и каждый мешок стоит 1 тыс. р. На оптовом рынке В картофель продается мешками по 50 кг, и каждый мешок стоит 1 тыс. 100 р. Где картофель дешевле? По итогам работы за неделю отдел контроля телевизионного завода составил таблицу проверки качества телевизоров, выпущенных с конвейера: Дни недели Выпущено Признано годными Брак Понедельник 235 228 7 Вторник 245 239 6 Среда 255 251 4 Четверг 256 250 6 Пятница 240 233 7 Суббота 182 175 7 В какие дни бракованные телевизоры составили наименьшую часть выпущенных, а в какие - наибольшую часть? Р 629| Что можно сказать о числителе дроби 1000 , если известно, что эта дробь: а) сократима; б) несократима? 630| Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби: 10® и 10^ 3) 10^ и 10" , где т> п. 136 Глава 3, §2, п.8 Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби Р „ Я . Р „ Я . Р 1) и 2) и 3) и 6331 ш 2.53 '2-3-52 22-5 '11" 32.7-Ц2 Какие из дробей можно привести к знаменателю 1000: 7 3 3 3 3 41 2 1 1 1 33 133 133о 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 5 ’25 ’ 3 ’ 2-2-2-5*5’ 2=^-5"’ 2^-5 ’ 15 ’ 35 ’ 49 ‘ Докажи, что дробь, в знаменателе у которой нет простых делителей, кроме 2 и 5, можно привести к знаменателю вида 10", где п & N. Что можно сказать о числе р, если известно, что дробь можно привести к знаменателю 1000: а) б) 3="- 5® 63^ Вычисли: 1 о о 3 . . 1 1^5 в) 2" - 5- 7’ г) 2 • 5' 1) ц2 oi.^1 3 ‘^7*^4 2) 3) 14 15^-21 8 ■ ^ 5 1) Параллельные прямые а и Ь пересечены прямой с. Среди образовавшихся углов найди: а) вертикальные углы; б) смежные углы, 2) Как ты думаешь, почему Z 3 и Z 6 называют внутренними накрест лежащими? Почему Z 1 и Z 8 называют внешними накрест лежащими? Есть ли еще внутренние и внешние накрест лежащие углы на этом черетеже? 3) Почему Z 3 и Z 5 называют внутренними односторонними? Почему Z 1 и Z 7 называют внешними односторонними? Есть ли еще внутренние и внешние односторонние углы на этом чертеже? 4) Z 1 = 135°. Найди величины углов 2, 3 и 4. 5) Z 7 = 45°. Найди величины углов 5, 6 и 8. 6) Понаблюдай, как связаны между собой величины накрест лежащих углов (внутренних и внешних)? Как связаны между собой величины односторонних углов (внутренних и внешних)? Сформулируй гипотезу и проверь ее для каких-нибудь двух других параллельных прямых а и 6 и секущей с. Можно ли установленную закономерность распространить на общий случай? Почему? 137 Глава 3, §2, п.8 1) Выполни действия с помощью числовой прямой (см. № 588). Что общего в примерах каждого столбика? Проанализируй, как изменяется число, если к нему прибавляют (t 2)? А если к нему прибавляют (-2)? Придумай более удобный способ записи этих примеров - без скобок. -н -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 О (+5) + (+2) (-1) + (+2) (-7) +(+2) (+6) + (-2) (+1) + (-2) (-4) +(-2) 2) Запиши примеры в виде суммы чисел со знаками или и найди ответ: -7+3 -6-2 5-6 -2-3 1-8 -4+5 -1-5 -6+4 Проверь ответы с помощью числовой прямой. 638} На чертеже изображен график изменения температуры в один из дней ноября. Что обозначают на оси у числа со знаком А числа без знака? 1) Какая температура воздуха была в 5 часов, в 20 часов? 2) Была ли в этот день достигнута температура 6“, -2"? Если да, то в котором часу это произошло? 3) В котором часу температура воздуха была самой высокой, самой низкой? 4) В какое время температура увеличивалась, уменьшалась? 5) На сколько градусов изменилась температура с 5 до 12 часов, с 16 до 23 часов? 6) В какое время температура была равна 0"? В какое время она была положительной, отрицательной? Пусть А - множество правильных несократимых дробей со знаменателем 10, а В - множество правильных сократимых дробей с числителем 7. Есть ли в этих множествах равные дроби? 138 ф ----------------------------------------------Глава 3, §2, п.8 Малыш может съесть банку варенья за 30 мин, а Карлсон - в 5 раз быстрее. За сколько времени они съедят такую банку варенья, если начнут со своей обычной скоростью есть ее вместе? Винни-Пух и Пятачок вышли из своих домиков навстречу друг другу и встретились через 2 ч 40 мин. Винни-Пух может пройти все расстояние между домиками за 8 ч. За сколько времени может пройти это расстояние Пятачок? 643 Реши уравнения: Ux X 8’ 2)-+ 1_ , 12 ’ 3'2^+81 Винтик и Шпунтик прокладывали трубы для фонтана из газированной воды. Они рассчитали, что вместе сделают всю работу за 5 -I" ч, при этом Винтик будет работать в 2 раза быстрее Шпунтика. 1) За сколько времени может выполнить всю работу каждый из малышей в отдельности? 2) После того как Винтик и Шпунтик проработали вместе 2 ч, Шпунтика срочно вызвали устранять аварию. Через сколько времени Винтик, работая один, закончит прокладку труб? Приведи к наименьшему обш;ему знаменателю дроби: 1 - 1 . 04 1 1 . 04 1 1) 10' и 2) 2 • З'- 5' и 2^-32 3) 22 - 5- 7' и 32-52.7 Выбери дроби, которые можно привести к знаменателю вида 10", где п е N, и выполни преобразования. Из букв, соответствуюш;их этим дробям, составь фамилию известного шахматиста. 53_1_4^2_^П 1 9 7’ 20’ 12’ 9’ 35’ 55’ 60’ 25’ 22*32.5’ 0 0 0 К П Вычисли и отгадай, кто был первым чемпионом мира по шахматам? 99 - 9 . [(8 . 9 - 40 : 5): 16 + (9 . 4): 6] + 70 . 8 : (4 . 7 + 12) 914 - Х.Р. Капабланка 23 - В. Стейниц 149 — Эм. Ласкер 139 Глава 3, §2, п.8 64^ Реши примеры и с их помощью найди зашифрованный путь конем из верхнего левого угла в нижний правый угол (первый ход показан на рисунке): 1) 63 018:9; 2) 15 018:6; 3) 92 250 : 30; 4) 212 320 : 40; 5) 697 202 : 86; 6) 5 420 880 : 720; 7) 5 413 694 : 598; 8) 14 804 550 : 4925. 7 5 2 4 3 1 0 6 0 6 9 3 0 8 1 8 0 2 7 5 7 1 3 0 4 5 0 9 7 0 5 6 2 0 3 8 5 2 4 1 3 4 8 9 2 3 0 9 7 6 2 0 5 3 0 0 0 3 0 5 4 8 5 6 Проведи две параллельные прямые и секущую. Измерь транспортиром один из образовавшихся углов. Исходя из результатов исследования данной фигуры, проведенного в № 636 (стр. 137), сделай предположения относительно величин остальных углов и проверь их с помощью измерений. Полученные результаты занеси в таблицу: Z 1 = Величины углов Z 2 Z3 Z4 Z 5 Z 6 Z 7 Z8 Гипотеза Измерения Какие из твоих предположений подтвердились измерениями? Какие предположения ты можешь доказать? 6491 На чертеже изображен график изменения температуры в один из дней марта: 1) Какая температура воздуха была в 6 часов, в 15 часов? 2) В котором часу температура воздуха была -Ы", -4“? 3) В котором часу температура воздуха была самой высокой, самой низкой? 4) В какое время температура увеличивалась, уменьшалась? 5) На сколько градусов изменилась температура с 3 ч до 6 ч, с 9 ч до 12 ч? 6) В какое время температура была равна 0°? В какое время она была положительной, отрицательной? 140 ---Глава 3, §2, п.8 Запиши выражение в виде суммы чисел со знаками “+” или (см. № 637). Найди ответ и проверь его с помош;ью числовой прямой. а) -5 + 3; б) -4-1; в) 3 - 7; г)-2-4. Ф 6531 т Имеются 4 палочки длиной 1 см, 4 палочки длиной 2 см, 7 палочек длиной 3 см, 5 палочек длиной 4 см. Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник? Какие из фигур на рисунке являются развертками прямоугольного параллелепипеда? в) б) ' ^ ' а) г) 65^ Найди ошибку в рассуждении: “Рассмотрим верное равенство: 35+10-45 = 42+ 12-54. В каждой части этого равенства вынесем за скобки общий множитель: 5 • (7 +2-9) = 6 • (7 + 2-9). Разделим обе части полученного равенства на множитель (7 + 2-9). Получим: 5 = 6”. На одном заводе работают 3 друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назови фамилии слесаря, токаря и сварщика. Задачи для самопроверки. 6551 Выполни действия: l)^+i-4 8’ 3)2|+lf; 2)^-А. 4 21’ 4)4-2|; 6)з|-1 Найди значение выражения: (ю-9|) + з1 -K-D- 20’ 15' Глава 3, §2, п.8 65Т| На окраску окон израсходовали 3 кг краски. На окраску дверей пошло на 3 5 — кг меньше, чем на окраску пола. Сколько всего израсходовали краски, 4 если на двери пошло 2 — кг ? 5 65^ Реши уравнение: 5 — -^д: + 2—j = l. Лредставь в виде дроби: l)i-f (а,6.0); 2)i+i(c0). 6601 Найди произведение: 4- 10. 21’ 3)8 • 3 4’ . 9 35 . 4)3| . II- * 16 * 27 ’ S’ 66 Ц Из двух городов, удаленных друг от друга на расстояние 467 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного поезда со-3 1 ставляет 56 — км/ч, а скорость другого - 71 — км/ч. На каком расстоянии X и о 3 друг от друга будут поезда через 1 ч после отправления? 5 66^ Ширина прямоугольного параллелепипеда 2 — дм, длина - в 1 "g раза больше ширины, а высота - на 1-^ дм меньше длины. Чему равен объем этого б прямоугольного параллелепипеда? 663| Выполни деление (6, X 0): 4 4 4)А:3; 10) 1 . b . ■ 6’ 2)5:|; 5) 12 : 48; 11'т . Зх , ■ 10 ’ 3)1;|: 6)8:2|; 12)f : 10. Реши уравнения: l)5x = 2; 2)1у-9\-, 3)г:2|-1^; 4) si :(-з| 142 Глава 3, §2, п.8 6651 Выполни действия: ... 3 5 о 2 д 6 2)lf li:2af; 3)7|.2:li.lf. 1) Участок земли площадью — га разделили на 6 равных частей. Чему равна 5 площадь каждой части? Вырази ее в гектарах, в арах, в квадратных метрах. 3 1 2) Пешеход за 2 ^ ч прошел 8 — км. С какой скоростью он шел? 4 4 2 5 3) За 1 — ч выполнено ^ всей работы. Какая часть работы выполнена за 1 ч? 3 4) Покупатель на 900 р. купил 3 — кг колбасы. Сколько надо заплатить за 4 кг такой колбасы? о Докажи, что значение выражения является наименьшим натуральным числом: 66^ Найди значение выражения: 9 -f-: а, если а= 3, 5-^, 16. о 5 3 2 Расстояние между поселками А и В равно 14-д км. Из поселка А в В вышел 2 1 пешеход со скоростью 3 км/ч. Через ч после его выхода из поселка В в А вышел второй пешеход со скоростью в 1 раза меньшей, чем у первого. О За сколько времени каждый из пешеходов пройдет весь путь от А до В ? Через сколько времени после своего выхода второй пешеход встретится с первым? 6^ Составь и реши уравнение: Число 1-|- разделили на задуманное число, к полученному частному приба-2 2 вили 2 —, сумму умножили на 1 —, а затем из полученного произведения 5 3 2 5 вычли 1—. В результате получили 2 — . Найти задуманное число, о о 143 Глава 3, §2, п.8 671 Вычисли: 1) 2| • з| -5-i 3 4 8 , 13 . j, ^ 13 ’ 42 ■ 3 2) 2 4 6 3*7*11 2 5 9 3*7*11 1 + 1 + i 2 4 3) 1 - 1 + i 2 4 Щ ;.) Саша за выполнение некоторой работы должен получить а р. В первый день он выполнил 30% всей работы. Сколько денег он заработал за первый день? 2) Наташа прошла Ь км, что составило — всего пути. Чему равен весь ее путь? У 3) Ведро вмеидает с л воды. В него налили 5 л воды. Какая часть ведра заполнена водой? 6^ Средняя продолжительность сна человека составляет 8 ч в сутки. Какую часть суток человек в среднем бодрствует? В фотоальбоме у Игоря заполнено ^ всех страниц, а свободных 20 страниц 8 Сколько всего страниц в фотоальбоме у Игоря? 67^ Первый рабочий сделал за смену всего заказа, а второй всего зака-h—iJ lb lb за. Второй рабочий получил за выполненную работу на 800 р. больше, чем первый. Сколько стоил весь заказ, если оплата рабочим производилась пропорционально выполненному объему работы? Сколько денег заработал за эту смену каждый рабочий? |б7^ На огород приходится ^ садового участка, причем ^ огорода отведено под клубнику. Какую часть всего садового участка занимает клубника? Щ Мама купила 800 г сыра. За завтраком съели -у всего сыра, за обедом - остатка, 4 5 а остальной сыр съели за ужином. Сколько граммов сыра съели за ужином? 678| Из всех собранных грибов засушили, 5 — оставшихся - засолили, а остальные 28 штук пожарили. Сколько всего собрали грибов? Какую часть всех грибов засолили? 144 Глава 3, §2, п.8 67^ Сережа и Дима соревновались, кто лучше бросает мяч в кольцо. Сережа из 20 бросков попал в кольцо 15 раз, а Дима из 30 бросков попал 18 раз. Кто из них более меткий? В апреле было 12 солнечных дней, а остальные дни были пасмурные. Какую часть апреля составили солнечные дни, а какую часть - пасмурные дни? 6811 Отец может выкопать всю картошку со своего огорода за 6 ч, старший сын - за 8 ч, а младший сын - за 12 ч. За сколько времени они могут выкопать всю картошку, работая вместе? В бассейн проведены 2 трубы - большая и маленькая. Обе трубы вместе могут наполнить бассейн за 5 ч, а одна большая - за 6 ч. За сколько времени может 2 наполнится — бассейна через одну маленькую трубу? О Двум машинисткам поручено перепечатать рукопись. Первая машинистка может выполнить всю работу за 10 ч, а вторая - за 15 ч. После 4 ч совместной работы первая машинистка ушла к врачу, и работу закончила одна вторая машинистка. За сколько времени был выполнен весь заказ, если машинистки работают с постоянной производительностью? Найди натуральные корни уравнения методом проб и ошибок: 4х = 93. Реши задачу методом перебора: Одно из натуральных чисел на 5 больше другого. Найти эти числа, если их произведение равно 104. Упрости выражение и найди его значение: ..,2 „3,5 4 1) 1—а + 2—а + —а, если а = —; о 4 о 7 2) ^Ь+ 1-^ -Ь 3-^^> + если & = 1-^ ; 5 2 о о о 3) 2с + 4d + с + 7d + Зс, если с = 5, d = 4. 4) 8т -Ь 12 + 4п + 3 -f- 6т + 5п, если m = 3, п = 2. 1) Построй правильный шестиугольник и измерь его углы. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. 2) Можно ли на основании выполненных построений и измерений утверждать, что наблюдаемое свойство верно для всех правильных шестиугольников? Почему? 145 Глава 4, §1, п.1 Глава 4 Десятичные дроби § 1. Понятие десятичной дроби 1. Новая запись чисел. В истории было много разных способов для записи натуральных чисел, но в конце концов “победила” одна - десятичная позиционная система записи, которая в настоящее время получила наибольшее распространение. Похожая история произошла и с записью дробей. Дроби, как известно, возникли в связи с делением предмета на несколько равных частей. И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное число равных частей, то и дроби рассматриваются с самыми различными знаме- 1 3 29 тт й нателями - например, , — и т.д. При этом вычисления с дробями гораздо 5 8 56 сложнее, чем вычисления с натуральными числами, в чем каждый уже убедился на собственном опыте. Так, в Древнем Египте такие вычисления могли проводить только жрецы - самые образованные люди того времени. Около шести столетий назад, в XV веке, знаменитый ученый Средневековья аль-Каши из города Самарканда изобрел способ записи дробей, который позволил резко уменьшить сложность вычислений. В Европе этот способ записи дробей заново изобрел более столетия спустя голландский ученый Симон Стевин. Идея заключалась в том, чтобы ограничить число рассматриваемых дробей только дробями со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. Несколько позднее дроби со стандартными знаменателями вида 10'“ (ц е N) стали записывать в строчку и называть десятичными дробями. А введенные ранее, привычные дроби стали называть обыкновенными. Заметим, что точнее было бы говорить не о десятичных дробях, а о десятичной записи дробей: это те же дроби, только со знаменателями вида 10" (п^М)и иначе записанные. Записывают и читают десятичные дроби так: 3 Yq = 0,3 (ноль целых три десятых); 2^ 100 156 1000 = 2,47 (две целых 47 сотых); = 0,156 (ноль целых 156 тысячных); 2309 5 20 ООО 5,2309 (пять целых 2309 десятитысячных). 146 Глава 4, §1, п.1 Таким образом, читают десятичные дроби так же, как и обыкновенные, но с обязательным указанием числа целых единиц (даже если их “ноль”). При этом целая часть десятичной дроби отделяется от дробной части запятой. Вместе с тем, используются и другие способы записи десятичных дробей. Так, в Англии, Америке и многих других странах вместо запятой ставится точка. Точно так же точка может ставиться при записи десятичных дробей на дисплее калькулятора или компьютера. Из приведенных примеров видно, что в десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей 156 обыкновенной дроби. Так, в знаменателе дроби три нуля, и в ее десятич- ной записи 0,156 три знака после запятой. Все приведенные примеры обладают, однако, одной особенностью: в числителях дробей столько же цифр, сколько нулей в знаменателе. А как быть в случае, когда 72 это не так? Например, как записать в виде десятичной дробь ^^^qqqq ' Оказывается, это несложно, если применить маленькую “математическую хитрость”: разрешить приписывать нули к натуральному числу слева, условно считая, что оно от этого не меняется, например: 72 = 072 = 0072 = 00072 = ... Впрочем, такое обозначение натуральных чисел с нулями в начале используется и в обычной жизни. Например, на четырехцифровом кодовом замке в подъезде вместо номера квартиры 18 набирают 0018, полагая при этом, что 0018= 18. Поэтому наша дробь записывается так: „72 „ 0072 10000 ^10000 Аналогично, ^ = о 09* 100 100 ’ ’ 2 нуля и 2 знака = 3,0072. 34 00034 100000 100000 5 нулей и 5 знаков = 0,00034. Таким образом, для дробей, имеющих знаменатели вида 10" (п е N), можно пользоваться следующим алгоритмом десятичной записи: 1. Выделить целую часть дроби и записать ее (если она есть). 2. Уравнять, если необходимо, число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе, не меняя значения дроби. 3. Поставить запятую, отделяющую целую часть от дробной. 4. Записать числитель дробной части. 147 Глава 4, §1, п.1 По числу знаков, стоящих в записи десятичной дроби после запятой, можно узнать, чему равен знаменатель дроби. Например, дробь 7,025 имеет три знака после запятой, - значит, знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен 1000. Таким образом, десятичная запись числа указывает как его целую часть, так и числитель и знаменатель дробной части. Поэтому любую десятичную дробь легко записать в виде обыкновенной дроби (простой или смешанной), например: 7,025 = 7 J I---^ 25 ^1 1000 40' целая часть дробная часть Приписывание одного, двух, трех и т.д. нулей справа от знаков, стоящих после запятой, не изменяет десятичной дроби, так как является, по сути, умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. Действительно, 7 70 700 _ 7000 10 , и поэтому 0,7 = 0,70 = 0,700 = 0,7000 100 1000 10000 Это означает, в частности, что натуральное число также можно записать в виде десятичной дроби, и при этом бесконечным числом способов: 31 = 31,0 = 31,00 = 31,000 = 31,0000 = ... Способ записи десятичных дробей является естественным продолжением известного нам десятичного позиционного способа записи чисел. При этом новыми разрядными единицами являются: 10 = 0,01; 1 = 0,001; = 0,0001; 100 ’ ’ 1000 ’ ’ 10000 Каждый знак в записи десятичной дроби обозначает, сколько единиц соответствующего разряда в ней содержится. Так, число 5,627 содержит 5 целых единиц, 6 десятых, 2 сотых и 7 тысячных. Действительно, 5, 627 = 5 627 1000 5 + 600 -ь 20 1000 1000 7 .62 1000 10 100 + 1000' Таким образом, первая цифра после запятой обозначает число десятых, вторая - число сотых, третья - число тысячных и т.д. Используя новые разряды, десятичную дробь, как и натуральное число, можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Итак, в десятичной записи дроби: 1) значение каждой цифры зависит от ее места в записи (позиции); 2) единица каждого разряда содержит 10 единиц предыдущего разряда (одна десятая содержит 10 сотых, одна сотая — 10 тысячных и т.д.). Поэтому, так же как и для натуральных чисел, ее можно назвать десятичной позиционной системой записи. 148 Таблица разрядов десятичных дробей имеет следующий вид: Глава 4, §1, п.1 Дробь Десятичная дробь Целая часть Дробная часть • S о о S :t: н « с 0) КС 2 ST S я JS ф Ф S н № О Ф ф 3 Н О о 1 ф Ц « Е ^ л ф д ф 6 у Н & О в Щ 3 СЗ X я о • 100000 3 8 9 0 0 1 3 5 Из таблицы видно, сколько и каких разрядных единиц содержит дробь 38,00135. При этом отсутствие единиц в разряде, как и прежде, обозначается нулем. Изобретение десятичных дробей существенно повлияло не только на научную жизнь, но и на жизнь простых людей. Благодаря этим дробям оказалось возможным - через много лет - перейти к единой системе измерения величин, к метрической системе мер, которой мы широко пользуемся в быту. Так, единицы расстояния, массы, площади, объема принято делить именно на 10, 100, 1000 и т.д. частей, и известные “приставки” деци, санти, милли возникли от латинских слов decimus, centesimus, miliarius (десятый, сотый, тысячный): 1 дм = 0,1м; 1см = 0,01м; 1 мм = 0,001м. Денежные единицы большинства стран делятся на 100 частей: 1 копейка = 0,01 рубля, 1 цент = 0,01 доллара, 1 евроцент = 0,01 евро, 1 пенс = 0,01 фунта стерлингов. Вместе с тем, для некоторых величин по традиции, идущей из древности, используют не десятичные, а другие соотношения. Так, например, при измерении времени некоторые более мелкие единицы равны ^ части более крупных 11 единиц: 1 мин = гг ч, 1 с = — мин. 60 60 Интересно также, что в спорте используется “смешанная” система измерения времени: минуты делят на 60 частей, а секунды — на 10 и 100 частей. Поэтому результат бегуна на 400 м записывается в виде 4 : 04,25 или 4 : 04.25 -при этом минуты и секунды разделяются, как это ни странно с точки зрения математической традиции, двоеточием. [688| в больших общественных зданиях для нумерации помещений используют систему, в которой все номера имеют одно и то же количество цифр, и по номеру помещения можно узнать одновременно и этаж, на котором оно находится. Например, в 22-этажном отеле, где на каждом этаже меньше 100 помещений, номер 1844 означает комнату 44 на 18 этаже. Какой номер будет иметь в этом отеле тридцать пятая комната на 8 этаже, третья на 21 этаже, седьмая на 2 этаже? 149 Глава 4, §1, п.1 Запиши в виде десятичной дроби и прочитай: 9 24 375 7 41 3 92 а) 256 10 ’100 ’ 1000’100 ’ 1000’ 1000’ 10000 ’100000 ’ ^10’ ®1оо’ 549 9 6 14 105 4801 1000’ "100’ 10000’ 100000' 1) Сколько знаков после запятой имеет десятичная дробь, если знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000? 2) Чему равен знаменатель дроби, если ее десятичная запись содержит 1,2, 3, 4, 5, 6 знаков после запятой? 691| Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей или смешанных чисел: 0,2; 5,6; 0,04; 25,18; 1,049; 8,007; 0,0005; 12,0321; 0,6042; 3,000096. 1) В числе 1 030 405 отдели запятой одну цифру справа и прочитай получившуюся десятичную дробь. Затем последовательно сдвигай запятую на одну цифру влево и называй, какие дроби при этом получаются. 2) Прочитай число: 0,0870421. Последовательно сдвигай запятую на одну цифру вправо и называй получившиеся десятичные дроби. 693| Сколько различных десятичных дробей, имеющих три знака после запятой, можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 (цифры в записи десятичной дроби не повторяются)? Запиши и прочитай эти дроби. Запиши десятичные дроби: а) 0 целых 5 десятых; б) 0 целых 5 сотых; в) о целых 5 десятитысячных; г) 1 целая 43 сотых; д) 2 целых 8 сотых; е) 6 целых 201 тысячная; ж) 24 целых 1025 десятитысячных; з) 3 целых 4 тысячных; и) 12 целых 56 стотысячных; к) 5 целых 837 миллионных. 695| Приведи дробь к знаменателю вида 10", /г е ?V, и запиши соответствующую десятичную дробь: 1 3 2 7 18 23 2 2 ’ 4’5 ’20’25’50’125‘ Упрости запись числа, представленного в виде десятичной дроби: а) 4,8000; 6)002,900200; в) 05,3070; г) 71,00000. Среди приведенных ниже дробей найди дроби, равные 2,17. Из соответствующих им букв составь название животного: ' ' ” 20,17 К 2,017 О 2,1700 Е 02,17 Ь 02,170 С л 2,170 И 2,0017 Т 21,70 А 2,0107 н Н 002,17 6981 Представь дробь в виде суммы разрядных слагаемых и назови число единиц каждого разряда: а) 3,42; 6)0,518; в) 1,027; г) 2,9034. 150 -----------------------------------------------------Глава 4, §1, п. 1 Дано число 123,456789. Какая цифра записана в разряде: а) сотых; б) десятых; в) тысячных; г) десятитысячных; д) миллионных; е) стотысячных? |Щ Найди цену деления шкалы координатной прямой и её фрагментов и определи координаты точек А, В, С, D, Е, F: л В С D Е . ^ 1 . F 0 1 2 3 б) А В 1 ^ ^ С D Е F 0 ОД 0',2 в) А 1 . . . ^ . в . . 1 ^ . С D Е F 9 1 1 1 V 1 1 1 10 11 12 13 14 А 1 — в С ' ■ 1 D Е 1 • 1 1 1 1 1 • 1 F ► 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 701| 1) Начерти координатную прямую, приняв за единичный отрезок 10 клеток. Отметь на ней точки: А (0,4), В (0,8), С (1,3), D (1,7), Е (2,1). 2) Начерти координатную прямую, приняв за единичный отрезок 20 клеток. Отметь на ней точки: А (0,05), В (0,25), С (0,4), D (0,55), Е (0,75), i^(0,9). 702| 1) Вырази с помощью десятичных дробей, какую часть более крупных единиц измерения составляют: а) 1 см; б) 1 г; в) 1 кг; г) 1 м^. Образец: 1 дм = 0,1 м = 0,0001 км 2) Пользуясь десятичными дробями, вырази: а) в километрах: 418 м; 27 м; 4 м; 8 км 175 м; 3 км 56 м; 1 км 2 м; б) в метрах: 5 дм; 42 мм; 9 см; 1 м 36 см; 2 м 5 см; 4 м 7 мм; 342 см; в) в дециметрах: 3 см; 5 мм; 7 дм 4 см; 2 дм 1 см 8 мм; 15 дм 2 мм; г) в килограммах: 372 г; 3 г; 58 г; 1 кг 32 г; 1 кг 4 г. 7^ Вырази: а) в сантиметрах и миллиметрах: 2,4 см; 36,2 см; б) в килограммах и граммах: 5,314 кг; 1,042 кг; 3,24 кг; 8,5 кг. 151 Глава 4, §1, п.1 7^ Начерти отрезки АВ, CD, EF и MN, если известно, что АВ = 2,4 см, CD = 1,2 дм, EF = 1,35 дм и MN = 0,056 м. 1) Объясни, почему 2 ч 45 мин 2,45 ч, 1 мин 30 с т* 1,3 мин. 2) Вырази в часах и запиши результат десятичной дробью: 6 мин; 30 мин; 1 ч 12 мин; 3 ч 15 мин; 2 ч 48 мин. 3) Вырази в секундах: 0,5 мин; 1,4 мин; 3,7 мин; 1,75 мин. Ф 70^ Прочитай число и назови все его разряды. В каких разрядах записана цифра 5? Представь это число в виде суммы разрядных слагаемых: 1) 7 500 058; 2) 50 205 640. Прочитай выражение и найди его значение: 1)52; 2)3^; 3)72; 4) 2^; 5)152+32; 6) (15+ 3)2; 7) (5 - 4)»; 8)52-4®. 7081 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: а) 7а - 2а б) 12 в) 8с - 2с г) 2®-3-52 Д) 2bx^z Щ 35 ’ '"2Ь + Ь* “'8с + 2с’ ^'2-32*52’ 125х^у Выполни действия и сократи получившиеся дроби: 36 9 8’ «ч 7 . 5 17 8А 6 24ft ** Какая из величин больше, а какая меньше? На сколько или во сколько раз? 1)а = 6 + 7; 2)3c = d; Z)m:b = k; 4)jc-4 = i/. 7111 в корзине а яблок и Ь груш. Переведи на математический язык каждое из предложений: 1) Яблок в корзине столько же, сколько груш. 2) Яблок на 6 больше, чем груш. 3) Яблок в 2 раза меньше, чем груш. Построй математическую модель задачи и реши ее: 1) В школьной спортивной олимпиаде участвовало 124 человека, из них мальчиков на 32 больше, чем девочек. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в олимпиаде? 2) В трех пятых классах школы 79 человек. Число учаш;ихся 5 “Б” составля-ет Y от числа учащихся 5 “А”, а в 5 “В” учится на 3 человека больше, чем в 5 “Б”. Сколько учащихся учится в каждом из пятых классов? 71 3| Нарисуй в тетради координатную прямую и отметь на ней точки (см. № 536): А (1); В (-1); С (|); П (-|); Е (l|); F (-l|). 152 ---------—--------------------------------------------------/лава 4, §1, п.1 тщ Найди сначала сумму чисел со знаком затем сумму чисел со знаком а затем - их общий результат: 1) (+4) + (-6) + (+3) + (+2) + (-4); 3) (-3) + (+5) + (-8) + (+4) + (+2); 2) (-5) + (+1) + (+8) + (-7) + (+6); 4) (+1) + (-9) + (+3) + (+2) + (-1). Образец: (-2) + (+7) + (-11) + (+3) + (-1) = (+10) + (-14) = -4. Tin 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. О 3) Является ли параллелограммом прямоугольник, ромб, квадрат? 4) Построй в тетради параллелограмм по клеточкам, как показано на рисунке. Какие свойства сторон и углов параллелограмма ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу. Достаточно ли для ее доказательства измерить стороны и углы нескольких параллелограммов? Почему? тта Запиши числа в виде десятичных дробей и прочитай их: 39 l4^, 3 9 715 . 4- 24 Ю’ЮО’ 100’ 1000’ 10000 ’ 100000’ 1000000' Выбери дроби, у которых в разряде десятых стоит цифра, обозначающая четное число, в разряде сотых - нечетное число, в разряде тысячных - число, кратное 3. Из букв, соответствующих этим дробям, составь название реки. И 3,940 О 0,876 Л 5,2394 Е 0,56666 8,235 Р 6,198 [Ц 4,7139 0 5,23941 0,413 т 9,401 0 0,2945 0 1,699508 153 Глава 4, §1, п.1 1718| Выдели из дробей целую часть. Полученные числа запиши в виде десятичных дробей. ч 47 б) 534 в) 985 г) 7805 д) 14756 е) 583021 10 ’ “"100’ 100 ’ 100 ’ 1000 Сравни полученные десятичные дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том, как, не выполняя вычислений, записать неправильную дробь со знаменателем вида 10" (л е N) в виде десятичной дроби. тТ| 3 трехкомнатной квартире площадь маленькой комнаты составляет площади большой и на О 8 м^ меньше площади средней комнаты. Найди площадь каждой комнаты, если общая площадь всех трех комнат равна 50 м^. Пользуясь десятичными дробями, вырази: а) в сантиметрах: 7 мм; 19 мм; 25 мм; 948 мм; 314 мм; 8 см 25 мм; 5 см 8 мм; б) в центнерах: 3 ц 48 кг; 12 ц 9 кг; 5 ц 20 кг; 831 кг; 1758 кг; 28 612 кг; в) в минутах: 1 мин 30 с; 15 с; 3 мин 45 с; 8 мин 24 с. тЩ Измерь свой рост и запиши его в метрах. Построй параллелограмм и проведи в нем диагонали. Какое свойство диагоналей параллелограмма ты наблюдаешь? Повтори эксперимент еще 2 раза и сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее верной для любого параллелограмма? Почему? 723| Вычисли и запиши ответ в виде десятичной дроби: (3 496 800 : 496 - 352 • 807: 66 + 342 854): 9600 в одном месяце три среды пришлись на четные числа. Какого числа в этом месяце будет второе воскресенье? |725| Д’ва рыбака сварили уху из наловленных рыб. Один поймал 4 рыбы, а другой - 6 (рыбы на удивление одинаковые). К костру пригласили третьего рыбака, который не поймал ни одной рыбки. Тот с благодарностью принял приглашение, но с условием, что свой “рыбный” пай возместит в сумме 200 рублей. Хозяева сначала отказывались от денег, но потом уступили. Как следует поделить внесенные деньги, чтобы пай каждого из троих рыбаков оказался равным? 154 Глава 4, §1, п.2 2. Десятичные и обыкновенные дроби. Итак, для дробных чисел мы имеем два вида записи - “с запятой”, и “со знаменателем”. Дроби, записанные “с запятой”, названы нами десятичными дробями, поэтому и дроби со знаменателем получили специальное название -обыкновенные дроби. Такое название не означает, что десятичные дроби являются какими-то необыкновенными или сложными. Напротив, десятичные дроби - это те же обыкновенные дроби, но со стандартным знаменателем вида 10" (л е N) и записанные не “в два этажа”, а “в строчку”. Что же касается их “сложности”, то действия с ними зачастую гораздо проще, чем с обыкновенными дробями, и выполняются почти так же, как с натуральными числами. Благодаря этому десятичные дроби стали широко использоваться в науке и в повседневной жизни. Иначе это изобретение было бы просто забыто. Таким образом, десятичные и обыкновенные дроби - это две различные системы записи чисел. И одно и то же число может иметь несколько имен — в той и в другой системе. Например, 2-^ и 2,5 - это два имени, две записи одного и того же числа. Именно этот факт записывается в виде равенства 2 — =2,5. Впрочем, и в каждой из этих систем записи число имеет бесконечно много имен: pi = А 2 2 4 6 ”■ Такого рода примеры разных имен можно найти и в обычной жизни. Одного и того же человека могут звать Ваня, Ванечка, Ванюша, Иван, Ян, Жан, Иоанн, Джон, Йоган, Йоханн, Хуан и т.д. Поскольку десятичные дроби - это лишь другой способ записи дробных чисел, то все знакомые нам свойства действий над этими числами (переместительное, сочетательное, распределительное и др.) выполняются как для обыкновенных, так и для десятичных дробей. Во всех рассмотренных выше десятичных дробях число знаков после запя-той (без >^ета нулей в конце) является конечным. Но бывают дроби с бесконечным числом знаков после запятой, например, 0,1234567891011..., где после запятой выписаны подряд все натуральные числа. Конечную десятичную дробь всегда можно записать в виде обыкновенной. Действительно, если целая часть конечной десятичной дроби равна нулю, то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ноль целых”, например: 82 2,5 = 2,50 = 2,500 = о 37 = -ii-' 100’ 0,0082 10000' 155 Глава 4, §1, п.2 Если же целая часть конечной десятичной дроби не равна нулю, то добавляется перевод полученного смешанного числа в неправильную дробь: гг 7 _ 7-1000 + 56 7056 1000 1000 1000' Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило: чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной, можно отбросить из ее записи запятую, полученное натуральное число поставить в числитель, а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями, сколько знаков после запятой. Например: 2,73 = 273 . 100’ 3,500 = 100 100’ 0,0051 = 3500. 1000’ 00051 51 10000 10000' Итак, всякую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной. В то же время обратное утверждение “всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной” неверно: в качестве контрпримера можно привести дробь —. ^ 1 Действительно, предположим, что существует десятичная дробь, равная —. 3 Тогда ее можно привести к знаменателю 10" (л е Л^), и для некоторых натуральных чисел аил выполняется равенство или За = 10". Но это равенство неверно, так как За делится па 3, а 10" не делится 3. Мы пришли к противоречию. Оно возникло из-за предположения о том, что дробь равна некоторой конечной десятичной дроби. Значит, это предположе-^ 1 ние неверно, то есть дробь — нельзя записать в виде конечной десятичной дроби. О А как вообще по числителю и знаменателю дроби узнать, можно ли ее записать в виде конечной десятичной? Оказывается, если дробь несократима, то все зависит только от ее знаменателя. Это можно выяснить тем же рассуждением, которое мы провели для дроби -i-. О В самом деле, пусть несократимая дробь — (р, q ^ N) равна некоторой деся- а Р ^ тичнои дроби . Так как дробь — несократима, то числа рид не имеют общих простых делителей. Равенство ^ равносильно равенству 10"р = ад. Это последнее равенство показывает, что простыми делителями знаменателя д могут быть только простые делители числа 10, то есть только 2 и 5. 156 Глава 4, §1, п.2 Таким образом, если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной, то ее знаменатель в качестве простых делителей может иметь только числа 2 и 5. С другой стороны, если в знаменателе несократимой дроби нет простых делителей, отличных от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной. Справедливость этого утверждения проиллюстрируем на примере: 7 _ 7 _7-23 _ 56 5^ = 0,056. 125 5» 53-23 1000 Можно провести и общее доказательство. В самом деле, пусть знаменатель q несократимой дроби не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. Это означает, что в разложении числа q на простые множители имеются только числа 2 и 5 (может быть, конечно, только 2 или только 5). Если число двоек и пятерок одинаково, то, перемножив их попарно (каждую двойку со своей пятеркой), мы получим, что q есть степень числа 10, а тогда дробь переводится в конечную десятичную непосредственно. Если же двоек, например, меньше, чем пятерок, то числитель и знаменатель дроби можно домножить на недостающее число двоек. При этом дробь не изменится, но в новой ее записи число двоек и пятерок будет одинаковым, а в этом случае, как мы только что видели, дробь можно перевести в конечную десятичную. Таким образом, мы доказали, что: Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной в том и только в том случае, когда ее знаменатель не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. Полученное утверждение называют условием перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную. Это условие можно сформулировать и по-другому: Несократимую дробь нельзя представить в виде конечной десятичной в том и только в том случае, когда ее знаменатель имеет простые делители, отличные от 2 и 5. О 7261 Запиши по крайней мере семью различными способами число: 1)|; 2)2,4; 3)3,125; 4)1^. Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей: 1)0,042; 2)1,8; 3)5,06; 4)14,305; 5)358,0094; 6)9,730851. 728| Запиши любую конечную десятичную дробь по собственному выбору и представь ее в виде обыкновенной дроби. 157 Глава 4, §1, п.2 Докажи, что дробь 57 4200 нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Почему данную дробь можно перевести в конечную десятичную? Выполни перевод. а) 22-5 б) в): 21 г) ^; д) е), 47 2.52’ 2^ ’ ^'2“-5’ ^22-55' Найди дроби, которые можно записать в виде конечной десятичной дроби. Из букв, соответствующих этим дробям, составь название страны. 2 3 21 7 8 35 9 4 1 33 1 9’ 4’ 5 ’ 6’ 25’ 14’ 20’ 11 ’ 50’ 8 ’ 64 А Н 0 0 Я В И Т В ш В Разложи числитель и знаменатель дроби на простые множители и сократи дробь. Какие из этих дробей можно перевести в конечную десятичную дробь? Выполни преобразования. 1) 91 . 260’ 2) 63 . 840 ’ 3) 847 . 5500 ’ 4) 459 20400 ^3^ Математический диктант. Запиши десятичные дроби: а) 2 целых 8 десятых; б) 0 целых 7 десятых; в) 4 целых 25 сотых; г) 0 целых 3 сотые; д) 1 целая 715 тысячных; е) 27 целых 9 тысячных; ж) 10 целых 1 десятитысячная; з) 56 целых 948 десятитысячных; и) 18 целых 45 стотысячных; к) 5 целых 5005 миллионных. 734| Докажи или опровергни высказывание: * 4 4 1)21 >2А. 9 ^ 19' 3) Дробь равна десятичной дроби 0,0003. 10000 4) Произведение двух чисел больше каждого множителя. 5) Всякий квадрат является прямоугольником. 6) Существует прямоугольник, который не является квадратом. Вычисли устно. Какие свойства арифметических действий при этом использовались? Сформулируй их и запиши в виде буквенных равенств: 1) 27 + 214 + 8973 + 86; 2) 5 • 108 • 2 • 25 • 7 • 4; 3) 475 • 38 + 475 • 60 + 475 • 2; 4) (888 + 333 + 555): 111; 5) (859 + 1374)- 759; 6) 642-(542+ 25); 7) (160 • 63): 21; 8) 54 000 : (54 • 125). 158 |736j Блицтурнир, Глава 4, §1, п,2 о д 1) На клумбе растет а роз. Из них ^ составляют розы белого цвета, — - розы у 9 красного цвета, а остальные - желтые розы. Сколько желтых роз на клумбе? 3 2) В классе Ь мальчиков. Число мальчиков этого класса составляет — числа 5 девочек. На сколько мальчиков меньше, чем девочек? 3) Турист преодолел с км. Из них d км он шел пешком, а остальной путь плыл на байдарке. Какую часть всего пути он плыл на байдарке? 4) Два пешехода вышли одновременно из одного поселка в одном направлении. Скорость одного пешехода равна х км/ч, а скорость другого составляет 5 — скорости первого. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы 6 2 9 через — ч? О Ребята проводили эксперимент: в различные сосуды меркой наливали воду и с помощью линейки измеряли высоту h уровня воды в сосуде. По результатам измерений строился график зависимости высоты уровня h от числа мерок п: Проанализируй по графику скорость изменения уровня воды в сосуде (когда уровень воды изменялся быстрее, а когда - медленнее) и по этим данным угадай форму сосуда. Докажи, что ответ примера нельзя записать в виде конечной десятичной дроби: 40 032 - (87 312 • о + 263 886 : 854) • 108' 159 Глава 4, §1, п.2 0^ Выбери из дробей те, которые можно записать в виде конечной десятичной дроби. Из букв, соответствующих этим дробям, составь название цветка: 10 Ш ^ 255 108 200 150 207 33 210 13 75’ 14’ 60 136’ 0 0 45 И м 780’ 920’ 375’ 560’ 3000' Ё] 0 0 0 Ш 7^ Составь выражение и упрости его. Найди значение полученного выражения при а = 21. Учащиеся собирали лекарственные растения. Они заготовили а кг листьев зверобоя, ягод бузины - Y от массы заготовленного зверобоя, а листьев мяты - 40% от общего количества зверобоя и бузины. Сколько килограммов мяты заготовили учащиеся? Измерь длину и ширину тетради и вырази результат в дециметрах. Вычисли площадь тетрадного листа и вырази ее в квадратных дециметрах. Возьми прозрачный сосуд и мерку, умещающуюся в нем 10-15 раз. Наливай в сосуд воду меркой и заноси в таблицу высоту уровня воды в сосуде (л -число мерок, Л см - высота уровня воды): п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 h см О По данным таблицы построй график зависимости высоты уровня воды в сосуде h от числа мерок л (1 мерка соответствует 1 клетке оси абсцисс, 1 см уровня воды - 2 клеткам оси ординат). [74^ Дано: т = 44...4, л = 33...3. Можно ли подобрать такие тип, чтобы: а) число т было делителем числа л; б) число л было делителем числа ml В день рождения к Наташе должны прийти либо три гостя, либо четыре. Для гостей приготовлен рулет, который хозяйка хочет разрезать до их прихода так, чтобы его можно было раздать им поровну. При этом желательно, чтобы число кусков было меньше 12 и чтобы каждый гость получил свою часть не более чем в двух кусках. Наташа справилась с этой задачей. Сколько получилось кусков, какой объем каждого куска (в долях це.чого) и какие куски оказались на тарелке у каждого гостя, если сама Наташа рулет не ест? 160 Глава 4, §1, п.З 3. Приближенные равенства. Округление чисел. Р1звестно, что в России в настоящее время проживает примерно 142 миллионов человек. И хотя число россиян постоянно меняется - люди рождаются, умирают, - существуют определенные границы изменений данного числа. Например, мы можем утверждать, что оно заведомо не равно 237 875 226 или 45 987 567 - эти числа “слишком сильно” отличаются от 142 000 000. Для слов примерно, приближенно в математике используется специальный знак « - знак приближенного равенства. И если обозначить число живущих в России в настоящее время буквой Р (отpopulation), то приведенное выше высказывание можно записать совсем коротко: Р« 142 000 000. Результаты большинства практических измерений - и расстояний между городами, и промслсутков времени, и объемов тел и т.д. - являются приближенными. Поэтому приближенными являются и многие равенства, описывающие реальные ситуации. С приближенными равенствами мы уже встречались в начальной школе, делая прикидку результатов арифметических действий. Прикидка помогает легко и быстро найти приближенный ответ и тем самым исключить возможные ошибки в вычислениях. Например, заменив числа 618 344 и 8356 более удобными для вычисления круглыми числами, мы убеждаемся в том, что их частное равно примерно 80, а не 8 или 800: 618 344 : 8356 « 640 000 : 8000 = 80. В практических расчетах значение имеет не столько удобство вычислений, сколько степень точности ответа. Так, на главных мировых валютных и сырьевых биржах, где определяется стоимость золота в валюте разных стран - американских долларах, английских фунтах стерлингов, евро и других, - а также стоимость валют относительно друг друга, измерения ведутся с точностью до 0,0001 - до четвертого десятичного знака. И понятно почему - например, ошибка на единицу в четвертом знаке после запятой при обмене миллиарда долларов на евро “стоит” очень дорого: 100 000 $. Поэтому в математике существуют правила округления {приближения), позволяющие заменять числа их ближайшими удобными для расчета числами с наибольшей точностью. Эти правила просты и естественны. Попробуем в них разобраться. Например, каким круглым числом с одним или несколькими нулями следует заменить 2583, чтобы ошибка была как можно меньше? Ответ, конечно, зависит от того, сколько нулей в конце записи числа мы хотим получить в результате. 5 К.Ч, ч 2 161 Глава 4, §1, п.З Рассмотрим простейший случай, когда мы хотим иметь в конце записи только один нуль. Ясно, что 2580 < 2583 < 2590, то есть 2583 следует заменить или на 2580, или на 2590. Эти два числа называют приближениями числа 2583: первое - с недостатком, а второе - с избытком. Какому же из этих приближений отдать предпочтение? Так как цифра единиц 3 меньше 5, то число 2583 расположено ближе к 2580. Значит, с точки зрения точности вычислений 2583 лучше заменить числом 2580 - его нижней границей, а не числом 2590 - верхней границей: Зед. : 7ед. Г . . Y , 1 I ^ 2580 2583 1 1 2590 Круглое число 2580 с одним нулем в конце записи состоит из 258 десятков, поэтому о нем говорят как о приближении с точностью до десятков. Таким образом, _ I 2580 (с точностью до десятков). Аналогично и при округлении чисел с точностью до сотен, тысяч и т.д. берется приближение с недостатком или с избытком в зависимости от того, какое из них “ближе” к данному числу. Эту близость определяет цифра, записанная в разряде, следуюш,ем (в направлении слева направо) за разрядом, до которого округляют: если она меньше 5, то лучше взять приближение с недостатком, а если больше 5 - то приближение с избытком. Так, 25[^3 а: 2600 (с точностью до сотен), поскольку за разрядом сотен следует цифра 8, большая 5. Целесообразность такого выбора хорошо видна на рисунке: 8 дес. ! 2 дес. 2500 2580 2600 2500 < 2583 < 2600 А вот за разрядом тысяч в числе 2583 следует особая, “серединная” цифра 5, так как 2500 расположено посередине между верхней и нижней границами (2000 и 3000).Однако 83 единицы относят 2583 ближе к верхней границе - 3000: ______5 сот.____ j _____5 сот._____ \^2583 \ 4----1--1---1--1---1 • I I-----1--1---Ь 2000 < 2583 < 3000 2000 3000 25Ю0 I Поэтому естественно считать 2[^83 а 3000 (с точностью до тысяч). Для установления общего правила условились выбирать верхнюю границу и тогда, когда данное число расположено ровно посередине между двумя границами, например: 2[^00 » 3000 (с точностью до тысяч). 162 Глава 4, §1, п.З Итак, округлить натуральное число с точностью до данного разряда — значит заменить все цифры младших разрядов нулями, а цифру данного разряда определить по следующему правилу: 1) если в исходном числе цифра, следующая (в направлении слева направо) за данным разрядом, меньше 5, то цифра данного разряда остается без изменения; 2) если в исходном числе цифра, следующая за данным разрядом, больше или равна 5, то цифра данного разряда увеличивается на 1. Пример 1, Округлить число 58 492 с точностью до тысяч. Цифры разрядов младше тысяч заменяем нулями. За разрядом тысяч следует цифра 4. Так как 4 < 5, то цифру 8 в разряде тысяч не изменяем: 58092 W 58 000. Пример 2. Округлить число 256 903 789 с точностью до сотен миллионов. Сто миллионов - это единица с восьмью нулями, поэтому цифры восьми младших разрядов заменяем нулями. За разрядом сотен миллионов следует цифра 5, поэтому цифру 2 в разряде сотен миллионов увеличиваем на 1: 206 903 789 « 300 000 000. Десятичные дроби округляют по тем же правилам. Разница лишь в том, что цифры младших разрядов не заменяют нулями, а просто отбрасывают -ведь это не изменяет величины десятичной дроби. Пример 3. Округлить дробь 37,15803 с точностью до: а) единиц; б) десятых; в) сотых; г) тысячных; д) десятитысячных. а) 37,05803 « 37 (с точностью до единиц); б) 37,10803 « 37,2 (с точностью до 0,1); в) 37,15003 « 37,16 (с точностью до 0,01); г) 37,15803 » 37,158 (с точностью до 0,001); д) 37,15800 « 37,1580 (с точностью до 0,0001). Заметим, что ответы двух последних примеров - это фактически одно и то же число. Но “лишний” нуль в последнем примере отбросить нельзя, так как он показывает заданную точность приближения. 19 Пример 4. Заменить дробь — десятичной дробг>ю с точностью до сотых. Из предыдущего пункта мы знаем, что не всякую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А так как в знаменателе несокра-19 ТИМОЙ дроби— содержится множитель 3, отличный от 2 и 5, то перевести эту дробь в конечную десятичную нельзя. 6* 163 Глава 4, §1, п.З 19 Однако мы можем заменить дробь ^ по установленным выше правилам 6 ближайшей конечной десятичной дробью с любой указанной точностью (до десятых, сотых, тысячных и т.д.). По условию задачи нам требуется это сделать с точностью до сотых. Разделим числитель 19 данной дроби на знаменатель 6. Делить будем, как обычно, уголком. При этом, когда деление целой части закончится, продолжим делить последовательно десятые, сотые, тысячные и т.д., поставив в частном запятую: _ 19,000 [6____ 18 3,166.. 10 6 40 36 _40 36 4 ... Теперь заметим, что дальше делить не имеет смысла, так как мы округляем до сотых и трех цифр после запятой нам достаточно. За разрядом сотых, до которого мы округляем, идет цифра 6, поэтому цифру разряда сотых увеличиваем на 1: 3, 1б[б|... »3, 17 19 Значит, W 3, 17 с точностью до 0,01. о Для того чтобы записывать любые дроби в виде десятичных, в математике используют бесконечные десятичные дроби. Так, поскольку при делении 19 на 6 после разряда десятых всегда идет цифра 19 6, то считают, что = 3,1666... Так как цифра 6 постоянно повторяется, то ® 19 можно записать короче = 3,1(6). Последнее выражение читают: “3 целых 6 одна десятая и 6 в периоде”. Производя деление уголком и замечая возникающие закономерности, можно проверить, что 4 5 f =0,(4); ^=0,8(3); ^ =0,(18); 109 900 = 0,12(1). Запиши с помощью двойного неравенства нижнюю и верхнюю границу чисел 1758 и 8751 с точностью: а) до десятков; б) до сотен; в) до тысяч. Сделай рисунки и определи для каждого случая, какое из приближений точнее: с недостатком или с избытком? Найди приближения числа 1,48 с точностью до десятых с недостатком и избытком. Сделай рисунок и определи, какое из них точнее. То же задание выполни для чисел 5,32 и 2,75. 164 Глава 4, §1, п.З Прочитай приближенные равенства. С точностью до какого разряда округлено каждое число? 1) 356 08§ «356 080; 356 0[^2«356 100; 356 [^82 «356 000; 35§ 082 « 360 000; |б 082 «400 000; 7[^,0395 « 80; 75,[^395«75; 75,0|3|95 « 75,0; 75,03§5« 75,04; 75,039[5]« 75,040. 7^ ш ш с точностью до какого разряда выполнено округление? Верно ли оно выполнено? Если нет, то в чем ошибка? 1)39 054 «391; 2) 27,314 « 27,4; 3) 8,0497 « 8,0. Округли число с заданной точностью: 1) 79 306; 951 043; 8 260 458 до десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч; 2) 10,5296; 7,02546; 0,897305 до единиц, десятых, сотых, тысячных. В таблице приведены данные о планетах Солнечной системы: Планеты Диаметры планет в километрах Период обращения по орбите в земных годах и сутках Средние солнечные сутки Масса в единицах массы Земли Меркурий 4880 87,97 сут. 175,952349 сут. 0,054 Венера 12 100 224,70 сут. 116,815467 сут. 0,816 Земля 12 714 365,26 сут. 24 ч 1,000 Марс 6780 686,98 сут. 1,027488 сут. 0,108 Юпитер 142 884 11,86 года 0,410069 сут. 317,366 Сатурн 120 500 29,46 года 0,456088 сут. 95,152 Уран 51 118 84,01 года 0,71806 сут. 14,543 Нептун 49 600 164,79 года 0,667 сут. 17,225 Округли: 1) Диаметр Земли с точностью до десятков, сотен, тысяч. 2) Диаметр Юпитера с точностью до тысяч, десятков тысяч. 3) Массу Венеры, Урана и Нептуна в единицах массы Земли с точностью до десятых, сотых. 4) Период обращения по орбите Меркурия, Марса и Юпитера с точностью до десятков, единиц, десятых. 5) Средние солнечные сутки Марса, Юпитера и Сатурна с точностью до стотысячных, сотых, десятых. 165 Глава 4, §1, п.З 751| Замени дробь конечной десятичной дробью с точностью до десятых, сотых, тысячных: а)1; 6)1; в)16; г)А; д)19; ж)«. 3 9 16 11 12 21 7 Докажи, что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь, и запиши ее в виде бесконечной десятичной дроби, указав период: - 1 .,25 ,34 .11 ,47 ,95 а)^; б)-; b)jj; г)-; д)е) Вырази число в десятках и округли полученное число десятков с точностью до единиц: 75, 34, 816, 421, 1859, 6394. Образец: 538 = 53,8 дес. ~ 54 дес. 751 7^ Вырази число в сотнях и округли полученное число сотен с точностью до десятых: 612, 871, 1304, 4950, 78, 45. Вырази число в тысячах и округли полученное число тысяч с точностью до сотых: 5402, 2783, 30 456, 84 609, 731, 79. Вырази число в миллионах и округли полученное число миллионов с точностью до тысячных: 6 009 842, 15 624 035, 946 207, 34 567. Вычисли площадь фигуры, вырази ее в квадратных сантиметрах и округли с точностью до десятых: 1) 32 мм 32 мм 2) 45 мм 56 мм 70 мм О 1^ Измерения прямоугольного параллелепипеда 178 см, 62 см и 96 см. Вычисли объем прямоугольного параллелепипеда, вырази в кубических метрах и округли до сотых. |Т59| Выполни прикидку и определи пропущенные цифры: 750 354 + 13 628 = * 63 982 358 • 7639 = * 734 762 Не выполняя вычислений, найди среди чисел, записанных в рамке, точное значение частного: 1) 21 286 : 58 2) 62 748 : 83 37, 367, 3087 3)173 692:346 52,458, 502 756, 78,7000 4) 4 455 380 : 607 734,769, 7340 166 Глава 4, §1, п.З В каждом из следующих чисел перенеси запятую на 2 разряда вправо и прочитай полученные числа: 370,8; 4,35; 25,102; 0,0852; 5,60094. А теперь выполни то же задание, перенося запятую на 2 разряда влево. Запиши в виде десятичной дроби числа: а) 8 целых 7 сотых; б) 4 целых 37 десятитысячных; в) 0 целых 475 миллионных. Уравняй число знаков после запятой в следующих числах, не меняя их значения: 2,05; 6,7; 9,438; 7; 0,00021. Упрости: 1) 7а + 18а-а - 9а; 3) 6с + 4d + с + 3d; 2) 12Ь - ЪЪ - АЪ + h; А) х + 2у + Зх -\-Ах; Сократи дроби, если а, Ь,с, N: 5) 15 + m -Ь 6 + 2т; 6) 3/е + 11 + 9 + Й. 1) 18-75-49 . 28-35-27 ’ 2) 300 + 400 + 500 400 3) ЗбаЬс^ . 81а'‘&с ’ 4) 24d 24d - Sd ш Выполни действия и сократи получившиеся дроби (а, Ь е N); о л 1 За 5а 15а ’ 76Л Найди методом перебора множество пар (т, п) натуральных чисел, удов- 5 п 1 летворяющих равенству:---Б" “ "о • т о 2 Туристы прошли маршрут за три дня. В первый день они прошли — часть маршрута и еще 4 км. Во второй день прошли 25% оставшегося пути и еще 5 6 км. В третий день прошли — оставшегося пути и последние 8 км. Сколько У километров содержал весь маршрут? Построй математическую модель задачи: 1) Патрульная машина движется по шоссе из пункта А в пункт В. Когда до 2 пункта В осталось — расстояния АБ, водитель получил приказ вернуться к пункту С, расположенному на этом шоссе на расстоянии, равном АВ от пункта А. Чему равно расстояние АВ, если машина при движении обратно прошла до пункта С 52 км? 2) На самолете старого образца перелет из города М в город N продолжался 3 ч 40 мин. На усовершенствованном самолете за счет увеличения его скорости на 405 км/ч время перелета снизилось на 1 ч 48 мин. Чему равно расстояние между городами М и N7 167 Глава 4, §1, п.З ш 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие; Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие - не параллельны. 2) Найди на рисунке трапеции; 3) Является ли трапецией параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат? 4) Пусть А - множество четырехугольников, В - множество трапеций, С -множество параллелограммов, D - множество прямоугольников, Е - множество ромбов иР — множество квадратов. Построй диаграмму Эйлера-Венна этих множеств. 5) Перечерти трапецию ABCD в тетрадь и продолжи ее стороны. Проанализируй чертеж и сформулируй гипотезу - как связаны между собой величины углов трапеции? Проверь с помощью измерений. Повтори эксперимент еще 2 раза. Можно ли на основании нескольких измерений распространить полученный вывод на все трапеции? 5-2-4 + 3 + 1-8. 1) Сравни примеры (см. № 637); (+5) + (-2) + (-4) + (+3) + (+1) + (-8) и Что в них общего и чем они отличаются друг от друга? 2) Реши эти примеры с помощью числовой прямой. Какие перемещения по числовой прямой надо выполнить в том и другом случае? Какой способ записи удобнее? 3) Реши эти же примеры, используя понятия доходов и расходов. Зависит ли ответ от способа решения? Реши примеры сначала с помощью числовой прямой, а затем используя понятия доходов и расходов (см. № 637); а) —2 -ЬЗ~6 + 4 — 5; б) 1-4 + 2Ч-5-7; в) -3-1 + 4-3+ 2. 168 Глава 4, §1, п.З 773| Реши пример и округли полученный результат до десятков тысяч: [(172 950 : 75) • 6008 - 1306 • 6008]: 125 + 75 • 1920 (li + 2# + 3 2 3 |):(l4-16i:2i).3| 4/ ' 8 5' 5 Ош Округли число с заданной точностью: а) 428 056 до десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч; б) 25,6073 до десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных. 775| Месяц по лунному календарю длится примерно 29,5306 дня. Округли продолжительность лунного месяца до десятых. 1Щ О Архимед установил, что частное от деления длины окружности на ее диа- 22 метр составляет примерно —. Запиши это число в виде конечной десятичной дроби с точностью до сотых. Вырази число в сотнях тысяч и округли полученное число сотен тысяч с точностью до тысячных: 832 715, 490 562, 7 480 992, 25 349 999. 7781 Папа принес с базара арбуз. За ужином он съел 1 1 — часть арбуза, мама съела часть арбуза, а 4 о 1 сын - -g часть арбуза. После этого осталось еш;е 2 кг 300 г. Сколько весил арбуз? Мама положила на тарелку абрикосы. После того как брат взял у часть всех 1 ‘ абрикосов, а сестра - — остатка, на тарелке осталось еш,е 18 абрикосов. Сколько абрикосов положила мама на тарелку? Реши пример “-4 -Н 3 -Н 2 - 5 - 1” сначала с помош;ью числовой прямой, а потом - используя понятия доходов и расходов (см. № 637). Какой способ решения удобнее? Запиши этот пример в виде суммы чисел со знаками “-Н” и 781| Что обш;его у трапеций на рисунке? Какой термин, по твоему мнению, можно предложить для выражения этого свойства? Измерь углы трапеций и сформулируй гипотезу. Достаточно ли проведенных измерений, чтобы распространить твою гипотезу на все трапеции такого вида? 78^ D Е М Глава 4, §1, п.4 О Запиши ответ примера в виде конечной десятичной дроби и округли ее с точностью до десятых: (4-'l)-(4+4)-4-(ir4) [240 768 + (4638 + 476 392 : 94) • 7080 - 57 390 832]: 718 : 1007 ‘ У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер? 7^ Не меняя порядка расположения цифр, поставь между ними знаки арифметических действий и скобки так, чтобы в результате этих действий в каждом ряду получилось бы по 1. Если понадобится, то две рядом стоящие цифры можно считать двузначным числом. 12 3 = 1 1 2 3 4 = 1 12345=1 123456 = 1 1234567 = 1 12345678 = 1 123456789 = 1 4. Сравнение десятичных дробей. Преимущества работы с десятичными дробями ясно видны уже при сравнении дробей. Действительно, для сравнения обыкновенных дробей приходится использовать разные “хитрые” приемы, производить громоздкие вычисления. Десятичные же дроби легко сравнивать по разрядам. Пример 1. Сравнить 5,380879 и 12,7. Данные десятичные дроби имеют различные целые части, причем 5 < 12. Значит, 5,380879 < 12,7. Пример 2. Сравнить 3,48 и 3,475. Целые части обеих дробей одинаковы. Чтобы сравнить их дробные части, приведем их к общему знаменателю 1000. Для этого припишем к числу 3,48 справа один нуль: 3,48 = 3,480. Тогда для сравнения данных дробей достаточно сравнить натуральные числа 480 и 475: 480 > 475 3,480 > 3,475 о 3,48 > 3,475. Таким образом, сравнение данных десятичных дробей свелось к сравнению их соответствующих десятичных разрядов. Это верно и в общем случае. Приходим к следующему правилу сравнения десятичных дробей: 1) Ёсли целые части десятичных дробей различны, то больше та дробь, у которой больше целая часть. 2) Если целые части десятичных дробей одинаковы, то больше та дробь, у которой больше цифра в первом из несовпавших разрядов после запятой (в направлении слева направо). Воспользуемся этим правилом для сравнения, например, дробей 4,305629 и 4,30568. Целые части дробей одинаковы, а в первом из несовпавших разрядов -разряде стотысячных - в первой дроби стоит цифра 2, а во второй - цифра 8. Так как 2 < 8, то и 4,305629 < 4,30568. 170 о Глава 4, §1, п.4 |Т8^ Сравни дроби: а) 0,3 и 0,8; б) 0,90 и 0,9; в) 0,40 и 0,100; г) 0,52 и 0,7; д) 5,6 и 3,6; е) 2,99 и 13,1; ж) 7,500 и 7,5; з) 1,09 и 10,2; и) 0,759 и 0,76; к) 3,4208 и 3,4028; л) 4,0986 и 4,1; м) 12,576 и 9,99999. ш щ тЩ Найди закономерность и запиши следуюш;ее число в последовательности. В каких последовательностях числа расположены в порядке возрастания, а в каких - в порядке убывания? 1) 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; ... 2) 0,6; 0,56; 0,456; 0,3456; 0,23456; ... 3) 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; ... 4) 0,3; 0,03; 0,303; 0,0303; 0,30303; ... Поставь вместо звездочки знак > , < или =: 1) 0,12345 * 0,0102030405; 3) 7,777777 * 50,50505050505; 2) 0,32032032 * 0,321; 4) 2,57043566 * 2,5703456666. Запиши в тетради две десятичные дроби по собственному выбору и сравни их. р Дробь — записали в виде конечной десятичной дроби в первом случае с точностью до 0,01, а во втором - до 0,001. Может ли быть первое число: а) меньше второго; б) больше второго; в) равно второму? Докажи полученные утверждения. Что больше: а) 0,3 или 0,(3); б) — или 0,33; О в) — или 0,34? В числе 0,528047169 вычеркни 4 знака после запятой так, чтобы получилось: а) возможно большее число; б) возможно меньшее число. Расшифруй слова, сопоставив дробям соответствуюш;ие буквы и расположив их: а) в порядке возрастания: 0,72; 0,027; 0,712; 0,2701; 0,0172; 0,217. 0 Н Б Й б) в порядке убывания: 1,01; 1,001; 0,1; 0,011; О Л Е 0,11; 1,1. ~ь\ [м 171 Глава 4, §1, п.4 |79j Найди объединение и пересечение множеств А и В натуральных решений неравенств 4,7 < х< 7,4 и 5,09 <х < 9,05. Сделай рисунок на числовой прямой. ш Запиши три десятичные дроби, удовлетворяющие неравенству: а) 1<л:<2; в) 0,01 < х ^ 0,02; б) 0,1 < X < 0,2; г) 0,001 < х < 0,002. 7^ Из чисел, записанных справа от цветной черты, выбери те, которые не удовлетворяют неравенству, записанному в той же строке слева от этой черты. Из соответствующих им букв составь математический термин. Что оп означает? 1) 2,78<х<3,06 2,7 © 2,95 2,079 © 3,005 ® 0,46 < X < 0,56 0,5207 ® 0,409 5,3 0,508 ® 8,25 <х< 8,3 8,08 8,295 9,01 ® 8,2561 1,003 < X < 1,4 1,03 © 1,5 © 1,099 ® 1,243 ® 2) ! 0,9 < X < 1,5 0,96 ® 0,099 ® 1,58 ® 1,25 ® 3,5 <х< 3,72 ' j 3,08 ® 3,68 ® 3,7009 ® 3,8 © 12,4 <х< 12,6 12,05 ® 1,25 ® 12,538 ® 13,5 ® 0,006 < X < 0,01 : 0,0075 ® 0,2 ® 0,004 @ 0,0099 ® |792 Запиши точки в том порядке, в котором они расположены на координатной прямой, и расшифруй слова. Что получилось? 1) А (0,21); С (2,001); В (10,2); В (0,201); Л^(1,2); F (0,012). 2) А (0,904); В (9,04); L(40,9); М (4,099); С/(9,4); В(0,09); Т(0,49). 1) Запиши в порядке убывания все возможные дроби с тремя знаками после запятой, целая часть которых равна 0, а дробная часть составлена из цифр 5 и 2 (цифры в записи числа могут повторяться). 2) Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой, целая часть которых равна 0, а дробная часть составлена из цифр, сумма которых равна 3 (цифры в записи числа могут повторяться). 172 Глава 4, §1, п.4 7^ Среди результатов по слалому и санному спорту, показанных спортсменами на Олимпийских играх 1994 г. в Норвегии, определи лучший и найди, сколько долей секунды отделяют его от второго результата: Слалом: Женщины Мужчины 2:02,53 1:56,68 2:03,05 1:56,35 2:02,17 1:57,80 2:02,52 1:56,01 2:02,02 1:56,61 Сравни: а) 9999 и 10 000; б) 25 612 и 2569; в) 45 870 436 и 45 809 437; Санный спорт: Женщины 3:21,833 3:21,584 3:21,418 3:21,571 3:22,424 , 5 5 ">8“ 9- д)2— и 3 — ; а; ^rj . 96 97 '>97"96- Мужчины 3:16,937 3:16,652 3:15,527 3:16,276 3:16,901 , 39 39 , 43 54 ">88“ 1) Что произойдет с натуральным числом, если справа или слева приписать к его записи нуль? А что произойдет в этих случаях с десятичной дробью? 2) Верно ли, что: 3,4000 = 3,4; 2,07 = 2,70; 850 = 85 000; 75 = 75,0000; 1,600 = 1,060; 42,050 = 42,005? 3) Запиши три дроби, равные 8,020. Известно, что выполнив округление числа а с соблюдением всех правил получили, что а « 32. Может ли быть а = 31,28? Какие значения может принимать а? Запиши двойное неравенство, указав верхнюю и нижнюю границы а. Запиши с помощью двойного неравенства множество возможных значений а, если: 1) а « 9000 (с точностью до тысяч); 4) а « 0,23 (с точностью до сотых); 2) а » 42 (с точностью до единиц); 5) а » 0,01 (с точностью до сотых); 3) а » 7,8 (с точностью до десятых); 6) а « 0,010 (с точностью до тысячных). Докажи, что данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Запиши ее в виде бесконечной периодической дроби, указав период, а затем округли с точностью до тысячных: ^^18’ л 47 36’ 173 Глава 4, §1, п.4 804j 1) в столовой ложке вмещается 25 г муки, а в стакане - 130 г муки. Сколько примерно столовых ложек муки вмещает стакан? 2) В столовой ложке вмещается 30 г соли, а в стакане - 220 г соли. Сколькими примерно столовыми ложками можно отмерить стакан соли? 805 Реши уравнения: а) 7—Х + X 4 "^12 3 5' B)(2|-*):3i + 2i| = 3i; г)4|-б|:(20х-14|)^1|. 6)l| + 2|x + ^ + x = 9; Найди значение выражения: 1) -I-Зх - 18, если л: = 3; 5; 8. 2) 2у^ - 1200 : г/, если у = 5; 6; 10. В деревне Простоквашино кот Матроскин и пес Шарик вспахали поле прямоугольной формы на тракторе “Митя”. Ширина поля равна 15 м, что составляет 75% его длины. Матроскин и Шарик „ 2 засеяли капустой — своего поля, а остальную 5 его часть засеяли морковью. Осенью они собрали урожай: моркови по 10 кг с квадратного метра, а капусты - по 12 кг. Все овощи Матроскин и Шарик разложили в мешки по 40 кг и увезли на тракторе за 3 рейса. В первый раз “Митя” увез всего урожая, а во второй раз - 5 — остатка. Сколько мешков увез “Митя” в третий раз? У Расстояние от деревни Простоквашино до станции 2 км 700 м. Однажды дядя Федор приехал на электричке на станцию и пошел в Простоквашино со скоростью 50 м/мин. Одновременно из Простоквашино навстречу ему выбежал Шарик со скоростью 130 м/мин. Запиши формулу, выражающую зависимость расстояния d м между дядей Федором и Шариком от времени их движения t мин. Найди по этой формуле, на каком расстоянии друг от друга будут они через 8 мин? Через сколько времени после начала движения они встретятся? Имеют ли оси симметрии параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, и если да - то сколько? Ответ проиллюстрируй на рисунке. ш Определи вид высказываний. Докажи или опровергни их: 1) Всякая трапеция имеет ось симметрии. 2) Некоторые трапеции имеют ось симметрии. 174 Глава4, §1, п.4 Ш| Реши примеры (см. № 771). Что в них общего и чем они отличаются? Как ты думаешь, почему не изменился ответ? -5 + 4- 2-113; -5 +3-1+4 -2; -5 + 4 + 3-1-2; -5-2 14-1 + 3; -5-1 + 4-2 + 3; -5-2 + 4 + 3-1. Докажи, что ответ примера можно представить в виде конечной десятичной дроби. Запиши десятичную дробь и округли ее с точностью до сотых. О Ш| (409 224 : 578): (2 761 200 : 3900) • 128 - 534 905 • (156 - 156) ’ [^0| Сравни дроби: а) 0,70 и 0,8; г) 2,75 и 3,45; ж) 4,32509 и 4,3251; б) 0,03 и 0,2; д) 40,001 и 40,01; з) 5,09348 и 5,09062; в) 0,4 и 0,16; е) 19,8 и 19,800; и) 1,2121212121 и 1,221221. Выбери в каждой строке букву, соответствующую истинному высказыванию, и расшифруй название деревянных укреплений, которые были построены в 1591 г. вокруг Москвы: 1 7,02 > 7,20 7,02 = 7,20 ® 7,02 < 7,20 ® 2 0,5 > 0,4999 0,5 = 0,4999 ® 0,5 <0,4999 ® 3 2,94 >0,2947 ® 2,94 = 0,2947 ® 2,94 < 0,2947 ® 4 1,8000 > 1,8 1,8000 = 1,8 1,8000 < 1,8 © 5 0,99999 > 1 0,99999 = 1 ® 0,99999 < 1 © 6 8,125 > 8,025 ® 8,125 = 8,025 @ 8,125 <8,025 ® 7 4,259 > 42,59 @ 4,259 = 42,59 © 4,259 <42,59 ® 8 5,87040 > 5,8732 ® 5,87040 = 5,8732 © 5,87040 < 5,8732 № строки 5 2 7 1 4 8 6 3 Буква 175 Глава 4, §1, п.4 815| Реши уравнение. Ответ представь в виде конечной десятичной дроби или докажи, что такое представление невозможно: 1) 14х - 2х + 9х - X - 5х = 40; 2) + 6-|-^ : ~ = 4-|-. ш Найди значение выражения: 1) + 3-д , если а = 1 1_, 3 ’ 2) 20 - Ь^, если Ь = 2 817| Коммисар Жюв, преследуя Фантомаса, обнаружил, что тот, убегая от погони, 288 км проехал на машине, пешком прошел в 16 раз меньше этого расстояния, на самолете пролетел на 438 км больше, чем проехал на машине и прошел пешком, а на теплоходе проплыл 75% расстояния, которое пролетел на самолете. Какое расстояние преодолел Фантомас, убегая от погони? 8181 Рассмотри внимательно таблицы и запиши формулы, выражающие зависимость переменной у от переменной х: 1) X 1 2 3 4 5 6 у 5 10 15 20 25 30 2) X 1 2 3 4 5 6 У 7 12 17 22 27 32 1) Перенеси рисунок равнобедренной трапеции по клеточкам в тетрадь. Симметрично отобрази орнамент на другую половину и раскрась его так, чтобы было красиво. 2) Придумай свой орнамент для любого четырехугольника, имеющего ось симметрии, нарисуй его и раскрась. Реши пример и сравни ответ с числом 18,085: [2 179 320:429- 180 - (11 488 + 1078 ♦ 704)]: 1200 /4.^-2—V 6 --22- \ 7 14/ 4 5 176 Глава 4, §1, п.4 Ф Вычисли, записав десятичные дроби в виде обыкновенных. Ответ запиши в виде десятичной дроби. а) 1,2+ 0,36; 6)0,45-0,1; в)0,3*0,2; г) 3,2 :0,08. Среди семи внешне одинаковых монет есть одна фальшивая - более легкая по весу. Как при помош,и всего двух взвешиваний на чашечных весах (без гирь) найти фальшивую? В книгах новгородских писцов XV в. упоминаются такие меры жидких тел: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, насадка и 15,5 ведра уравниваются с двадцатью бочками и восемью ведрами. Могут ли историки на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке? Задачи для самопроверки. Запиши в виде десятичной дроби и прочитай числа: 6 .2 .1 .7 57 . 98 a)3ioo> о^юоо’ в) 100000 ’ .2 ,1 ■■>5’ ">25’ е) 200 Вырази: а) в метрах: 15 дм; 15 см; 15 мм; б) в граммах: 0,2 кг; 8,04 кг; в) в часах: 24 мин; 1 ч 45 мин; 150 мин; г) в секундах; 0,5 мин; 2,9 мин. Запиши число “3 целых 45 тысячных” сначала в виде десятичной дроби тремя различными способами, а затем в виде обыкновенной дроби двумя различными способами. Можно ли представить дробь 18 3600 в виде конечной десятичной дроби? Докажи. Округли число: а) 24 518 до десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч; б) 73,5926 до десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных. О Замени дробь —— конечной десятичной дробью с точностью до сотых. 45 Вырази число 824 952 в десятках тысяч и округли полученное число десятков тысяч с точностью до сотых. Сравни дроби: а) 0,388 и 0,4; б) 20,7 и 2,09; в) 5,60103 и 5,6021. Расположи дроби 7,021; 0,72; 7,1; 7,02 в порядке убывания. 7'“Лорофеев, 5 кл.. ■ 177 Глава 4, §2, п.1 Переведи на математический язык тремя различными способами: 1) Натуральное число х в 9 раз меньше натурального числа у. 2) Число а на 15 больше числа Ь. В игре “Пойми меня” команда “Веселые ребята” в первой части игры заработала 300 очков, что составило числа очков, заработанных во второй час- О ти, и 50% числа очков, заработанных в третьей части. Команда “Кактус” в третьей части заработала столько же очков, сколько и их соперники, во второй части - в 2 раза меньше очков, чем соперники, зато в первой части - на 100 очков больше, чем они. Кто победил в этой игре? Па сколько больше очков заработала команда-победительница? § 2. Арифметика десятичных дробей в данном параграфе при обсуждении арифметических действий с десятичными дробями мы будем рассматривать только конечные десятичные дроби и называть их для краткости просто десятичными дробями. 1. Сложение и вычитание десятичных дробей. Возможность представления любой десятичной дроби в виде обыкновенной уже позволяет проводить с десятичными дробями все арифметические действия. Например: п ОА п л ^4 4 24*10 6 ^ -100 Ч-о - То^ “ 10 “ Конечно, десятичные дроби не получили бы столь широкого распространения, если бы для вычислений сначала нужно было бы перевести их в обыкновенные дроби, выполнить действия, а затем снова вернуться к десятичным дробям. Именно поэтому мы и должны установить правила выполнения арифметических действий непосредственно с десятичными дробями, без перевода их в обыкновенные. Начнем со сложения. Вычислим сумму 16,2 + 3,18, уравняв число знаков после запятой и переходя к сложению обыкновенных дробей: 1620 + 318 1938 16,2 + 3,18 = 16,20 + 3,18 = ?^+ = 19,38. 100 100 Из полученного равенства видно, что сложение десятичных дробей почти не отличается от сложения натуральных чисел. В самом деле, после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа, как бы отбросив запятую, а в ответе отделили запятой две последние цифры - по числу десятичных знаков в данных дробях. Аналогично выполняется и вычитание. 178 Глава 4, §2, п.1 Заметим, что сложение и вычитание десятичных дробей можно записать “в столбик”: 16,20 16,20 3,18 3,18 + 19,38 13,02 Если после выполнения действий в конце дробной части появляются несколько нулей, то их, естественно, писать не надо. Таким образом, мы получаем следующий алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей: 1) Уравнять в дробях число знаков после запятой. 2) Записать их “в столбик” так, чтобы запятая оказалась под запятой. 3) Выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую. 4) Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях. Приведем несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей с помощью установленного алгоритма: + 0,579 2,800 + 5,3664 19,7336 -ь 96,99999 3,00001 7,9500 2,0612 5,8888 3,379 25,1000 = 25,1 100,00000 = 100 Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам, аналогично разложению по разрядам натуральных чисел. Действительно, на основании этих правил можно записать, например, равенство: 123,0456 = 100 + 20 + 3 + 0,04 + 0,005 + 0,0006. Это равенство показывает, сколько единиц каждого разряда содержит число 123,0456, а именно: 1 сотню, 2 десятка, 3 единицы, 4 сотых, 5 тысячных и 6 десятитысячных, а единицы разряда десятых в нем отсутствуют. О |835| Найди ошибки в записи и решении примеров. Повтори алгоритм сложения и вычитания десятичных дробей и реши примеры правильно: 1) , 2, 15 3,9 + 2, 1 5 3, 9 2,5 4 5,2 4 |836| Вычисли: а) 2,3 + 8,4; б) 12,7-3,5; в) 0,48 + 4,12; г) 9,518-5,236; + 2, 1 5 3,9 5,0 5 2) 5, 2 8 1.6 5, 1 2 5.2 8 1, 6 4.2 2 5,2 8 1.6 4,6 8 д) 7,5 + 0, 75; е) 48,9-4,82; ж) 7,324 + 732,4; з) 91,9-0,919; и) 6,3 + 49,756; к) 2,1045-0,87; л) 3,45+ 8,6916; м) 10-4,939292. 7* Глава 4, §2, п.1 Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых: 2,73; 15,048; 750,943; 0,555555; 8,32074; 6025,6025. Образец: 43,1052 = 40 + 3 + 0,1 + 0,005 + 0,0002 838| Вычисли устно: а) 4 + 0,5; б) 0,28 + 3; в) 2+ 7,2; г) 15,4 - 3; д) 0,3+ 0,4; е) 0,9-0,5; ж) 0,08 + 0,02; з) 0,32-0,05; и) 2,3+ 5,4; к) 4,7-1,2; л) 9,74-1,54; м) 6,38+ 0,62; н) 0,003+ 0,05; 0)0,52 + 0,009; п) 1-0,3; р) 0,6 - 0,04. 839| Составь все возможные суммы из чисел 1,2; 0,12 и 0,012 и найди их значения. 8^ Составь все возможные разности из чисел 3,6; 0,36 и 0,036 и найди их значения. 841| 1) Запиши последовательность из 7 чисел, в которой первое число равно 4,4, а каждое следующее больше предыдущего на 0,6. Вычисли разность наибольшего и наименьшего членов этой последовательности. 2) Запиши последовательность из 7 чисел, в которой первое и второе число равны соответственно 9,3 и 9,1, а далее разность между каждыми двумя соседними числами увеличивается на 0,1. Найди сумму наибольшего и наименьшего членов этой последовательности. 842| Игра “Кто быстрее?”. По аналогии с игрой “крестики-нолики” найди строку, столбец или диагональ, сумма чисел в которых дает выигрышную сумму, указанную над таблицей: 1,5 0,4 0,9 0,6 0,5 0,8 0,3 0,1 0,5 0,2 5,6 3,2 1,4 0,2 1,5 2,6 2,8 0,4 4,9 0,3 12,4 5,5 2,7 1,4 3,6 7,3 4,4 9,1 2,4 0,8 0,32 0,08 0,12 0,05 0,26 0,18 0,12 0,04 0,2 0,15 21 6,9 8,2 4,3 8,4 5,6 7,6 3,7 9,1 8,5 3,25 1,04 0,9 2,81 0,41 0,25 1,6 1,8 2,7 0,03 180 -------------------------------------------------------Глава 4, §2, п.1 |84^ Викторина “В мире литературы”. Расшифруй названия литературных терминов. Можешь ли ты объяснить их смысл? а) б) а X буква 0,1 0,2 0,3 0,5 1,8 2,4 3,2 а X буква 0,5 1,1 2,3 3,9 4,2 5,6 7,5 8,9 10 а X буква 0,8 1,7 3,6 3,9 4,5 5 6,1 7,3 181 Глава 4, §2, п.1 13 Сделай прикидку, округлив до целых, а затем найди точное значение выражения. Чему равна погрешность приближения? 1) 75,278 - 3,86 + 12,9; 3) 33,72 + 0,38 - 8,005 + 674,1; 2) 8,14 + 48,2 - 5,736; 4) 117,5 - 2,63 - 14,9 + 5,0805. 845| Реши уравнения с комментированием: 1) х + 5,95 = 761,5; 4)х- 84,52 = 218,48; 2) х- 74,85 = 338,563; 5) 30,58 + д: = 476,146; 3) 64,021-х = 9,7; 6) 256 - д: = 28,73. Поставь в примерах недостающие нули и запятые так, чтобы выполнялось равенство. Докажи истинность полученных равенств с помощью вычислений. а) 237+ 358 = 38,17; г) 183 - 79 = 17,51; б) 752-36 = 3,92; д) 120 + 3,8 = 158; в) 506+ 95 = 145,6; е) 483 - 4,25 = 4405. 84^ Игра “Проще простого”. Игра проводится по аналогии с игрой “Крестики-нолики”. Из предложенных девяти дробей надо выбрать пару чисел, а затем сложить ее или вычесть - по знаку около таблицы. Если сумма (разность) принадлежит таблице, игрок отмечает в таблице ее значение соответственно “крестиком” или “ноликом”. Выигрывает тот, кто первым заполнит “крестиком” или “ноликом” строку, столбец или диагональ. 12,5 7,3 141,6 5,4 23,9 0,8 56,4 2,1 94,2 а) © б) 0 61,8 7,5 26 8,1 2,9 63,7 12,7 148,9 58,5 23,1 10,4 43,9 11,4 55,6 117,7 49,1 88,8 5,2 в) 0 г) © 36,4 17,9 101,5 95 19,8 29,3 57,2 31,2 198 7,1 81,7 16,6 85,2 1,9 70,3 37,8 3,3 51 Д) © е) © 118,1 13,3 68,9 6,2 9,4 29,3 99,6 235,8 24,7 129,1 4,6 54,3 11,7 21,8 86,9 32,5 18,5 47,4 84^ Найди значение выражения: 1) 28,7 м2 + 15,6 м2 - 9,73 м2 - 5,2 м2 + 0,63 м2; 2) 5,2 кг - 3,6 кг - 0,321 кг + 4,075 кг - 2,93 кг. 182 Глава 4, §2, п.1 85^ Вырази в метрах и найди значение выражения: 1) 2 м 35 см - 5 дм 6 см + 74 дм - 95 см 3 мм + 1 м 8 дм 7 см 3 мм; 2) 820 см - 3 дм 14 мм + 1 м 7 см - 263 мм + 30 см 7 мм. 1) Первая сторона треугольника равна 7,4 дм, вторая на 32 см длиннее пер- 4 вой, а третья составляет — от суммы первых двух. Найди периметр этого треугольника и вырази его в дециметрах. 2) Периметр треугольника равен 1,24 м. Первая сторона равна 4 дм 3 см, а вторая на 16 см короче первой. Найди длину третьей стороны и вырази ее в метрах. Выполни программу действий, затем по данной программе составь выражение и найди его значение. Сравни полученные ответы. 1) Увеличить число 2,16 на 0,145. 2) Из числа 17,5 вычесть результат первого действия. 3) Найти разность чисел 18,4 и 3,78. 4) Из результата второго действия вычесть результат третьего действия. Выполни вычисления по схеме и составь выражение: 853 Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Проверь справедливость записанных равенств для некоторых десятичных дробей, взяв значения букв по собственному выбору. Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей. Почему? Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае? Вычисли наиболее удобным способом и объясни, на основании каких свойств сложения и вычитания выполнены преобразования: 1) 3,2 Ь 3,4 + 3,6 -1- 3,8; 2) 1,1 + 1,2+1,3+1,4+1,5+1,6+1,7+1,8+1,9; 3) 0,715 + 2,83 + 4,285 + 0,17; 4) (7,5 + 0,4 + 1,48) + 2,5 + (0,52 + 3,6); 5) (5,719+ 9,37)-4,719; 6) (3,31 +8,596)-8,576; 7) 4,754-(2,754 I 1,8); 8) 11,383-(5,4 + 0,383). 183 Глава 4, §2, п.1 Как изменяется сумма с увеличением или уменьшением слагаемых? Как изменяется разность при изменении уменьшаемого или вычитаемого? ш Как изменится сумма, если: а) первое слагаемое увеличится на 3,5; б) второе слагаемое уменьшится на 1,4; в) первое слагаемое увеличится на 3,5, а второе - уменьшится на 1,4; г) первое слагаемое уменьшится на 3,5, а второе - увеличится на 1,4? [85^ Как изменится разность, если: а) уменьшаемое увеличится на 3,5; б) вычитаемое увеличится на 1,4; в) уменьшаемое увеличится на 3,5, а вычитаемое увеличится на 1,4; г) уменьшаемое увеличится на 3,5, а вычитаемое уменьшится на 1,4? 85^ Перечерти таблицу в тетрадь и определи, как изменяются сумма а + Ь и разность а - Ь при указанных изменениях а и & (знак “+” означает увеличение, а знак - уменьшение): 1) а Ь а + Ь +0,5 +0,5 -0,5 +0,5 +0,5 -0,5 -0,5 -0,5 2) а Ь а- Ь +0,5 +0,5 -0,5 +0,5 +0,5 -0,5 -0,5 -0,5 Рассмотри решение примера и объясни прием вычисления. Придумай и реши 3 примера с использованием этого приема. 1) 2,98 + 6,14 = 3 + 6,12 = 9,12; 2) 5,7 - 3,9 = 5,8 - 4 = 1,8. 861| Сравни: 1) 2,5 + 9,14 и 9,14 + 2,5; 3)7,9-2,12 и 9,7-2,12; 2) 3,46 + 5,817 и 3,46 + 5,2; 4)8,04-1,56 и 8,04-1,6. Заполни пропуски так, чтобы получилась верная запись: а) П^ДбП б)_П4,7П1 в) 3,П508 2 5,9 0 0 1П,28П ■^□,2П74П ЗП,4П4 2 1,П7 1 4,0 2 9^2 Г)_1П,203 0П 8,0 бД2 7 6,П2 5ПЗ 863 Замени обыкновенную дробь десятичной и вычисли: а) 1^+0,574; б)8,32-|; в)4|-2,17; г)5,6+|. 184 ■ Глава 4, §2, п.1 Медведь весит 0,7 т, масса бегемота - на 2,9 т больше массы медведя, а общая масса слона и бегемота 8,1 т. Сколько весит слон? 1) Сваю длиной 10 м забили в землю на глубину 2,15 м. Чему равна высота видимой части сваи? 2) От каната длиной 17,24 м отрезали 5,8 м. На сколько отрезанная часть каната меньше оставшейся? По чертежу найди скорость сближения и скорость удаления объектов и определи, на каком расстоянии друг от друга они будут через час после начала движения: 1) 3,8 км/ч — 5,6 км/ч 3) 12,2 км 9,4 км/ч ------*- 6,7 км/ч —► 10,8 км 2) 12,5 км/ч — 18,3 км/ч -------*- 44,3 км 4) 54,9 км/ч —► 98,6 км/ч 131,1 км 1) В соревнованиях по тройному прыжку Юра сделал прыжки 3,42 м, 2,76 м и 2,5 м, а Саша -3,56 м, 2,3 м и 2,54 м. Кто из них прыгнул дальше и на сколько? 2) Маляру для покраски детской площадки потребовалось 8,36 кг зеленой краски, красной краски - на 4,14 кг больше, чем зеленой, а желтой - на 6,32 кг меньше, чем красной и зеленой вместе. Сколько всего килограммов краски израсходовал маляр на покраску детской площадки? Составь задачу по выражению и реши ее двумя способами: 1) 9,8 - (2,5 + 1,8); 2) (12,9 +5,4) - 7,9. Составь выражение и найди его значение: 1) На склад в первый день привезли а т картофеля, во второй - на 6,7 т больше, чем в первый, а в третий день - половину того, что привезли во второй. Сколько тонн картофеля привезли на склад за 3 дня? (а = 11,3) 2) Из мешка муки массой Ь кг отсыпали сначала с кг, а затем - на 1,2 кг меньше. Сколько килограммов муки осталось в мешке? (& = 20,4; с = 4,1) 185 Глава 4, §2, п.1 1) Число сначала увеличили на 0,8» затем уменьшили на 0,32, после этого снова увеличили на 2,54 и уменьшили на 3,2 и, наконец, увеличили на 9,601 и уменьшили на 34,39. В результате получилось 55,111. Какое число было вначале? 2) Задуманное число сначала 10 раз увеличили на 0,5, а затем 10 раз уменьшили на 0,49 и получили 12,44. Какое число задумано? Ф [87JJ в записи десятичной дроби вычеркнули “хвост” -несколько последних цифр, отличных от нуля, стояш;их после запятой. Увеличилась или уменьшилась эта дробь? Из записи десятичной дроби вычеркнули ноль, стоящий после запятой. Как изменилась эта дробь, если: а) вычеркнутый ноль стоял в конце записи; б) вычеркнутый ноль стоял не в конце записи? [873| Из записи десятичной дроби вычеркнули цифру, стоящую после запятой. Увеличилась или уменьшилась эта дробь, если: а) эта цифра стояла в конце записи; б) эта цифра стояла не в конце записи? ЁЗ Какие из следующих дробей представимы в виде конечных десятичных: 25 842 3615 1111111 123123123 1) 32’ 64 ’ 20 25 320 222 7^ 1001 10011001 100110011001 _________ ^ 24 ’ 9 ’ 55 ’ 66 ’ 66 ’ 222222 ’ 111111 999 74 ’ 175 875| Замени звездочки цифрой так, чтобы оба высказывания были верными. Найди множество всех возможных решений: 1)9,0* <9,02 и 5,14 >5,*9; 2) 3,8* >3,87 и 2,1*8 <2,193. Запиши в порядке возрастания все возможные дроби с тремя знаками после запятой, целая часть которых равна 0, а дробная часть составлена из цифр: а) 2, 4 и 8 (цифры в записи числа не повторяются); б) 1 и 3 (цифры в записи числа могут повторяться). 8^ Какие из следующих высказываний верны? Выпиши в тетрадь истинные высказывания. а) 1=0,66; 1=0,6' б) 7^ = 0,3134; в) 201 186 15 = 12,4; 201 186 --- ^ 15 ; |-0.6( » 0,3134; 12,4. 2 3 2 3 186 Глава 4, §2, п.1 Найди цену деления шкалы фрагмента координатной прямой и определи координаты точек Л, В, С, D, Е, F: а) В D —I'"»' ) 1—1 5 h—1 1 1 » 1 1 1 1 €) 1—1 1 6 4—*-Н—1-*ЬН 7 8 1 1 > б) А В CD Е F 0,3 о'а 1 1 1 1 Т 1 0,5 в) А BCD Е F lio' 2,0 1 1 1 1 « I 1 1 1 1 2,2 г) А ВС D Е F 3,28 3,29 3,30 Два велосипедиста едут по шоссе. Скорость первого велосипедиста равна 5 15 км/ч, что составляет — скорости второго велосипедиста. Сейчас рассто- 6 яние между ними равно 132 км. На каком расстоянии друг от друга будут они через 3 часа, если движутся: а) навстречу друг другу; б) вдогонку; в) в противоположных направлениях; г) с отставанием. Расстояние между Александровной и Бекасово 4 км 500 м. Из Александровки в Бекасово вышел пешеход со скоростью 60 м/мин. Через 5 мин после его выхода навстречу ему из Бекасово в Александровну вышел второй пешеход со скоростью 80 м/мин. Через сколько времени после выхода второго пешехода и на каком расстоянии от Бекасово произошла встреча? Запиши данные суммы чисел со знаками “-Ь” и без скобок и найди ответ (см. № 637). Сравни примеры каждого столбика. Что ты замечаешь? (-8) + (+3) (-5) +(-2) (-1) + (+5) (+3) + (-8) (-2) + (-5) (+5) + (-1) Вычисли и запиши ответ в виде периодической десятичной дроби: Глава 4, §2, п.1 8831 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Внешним углом треугольника называется угол, смежный с его внутренним углом. 2) Начерти треугольник АВС и построй его внешний угол при вершине А. Сколько решений имеет эта задача? Сколько внешних углов имеет треугольник АВС при вершинах В и С? Сравни внешние углы при каждой вершине и сформулируй гипотезу. 3) Измерь внешние углы треугольника АВС по одному при каждой вершине и найди их сумму. Повтори эксперимент еш;е 2 раза для двух произвольных треугольников. Сформулируй гипотезу. Достаточно ли проведенных измерений для того, чтобы считать твою гипотезу дшеазаппой? Почему? На чертеже изображен график изменения уровня воды в реке в весеннелетний сезон по сравнению со средним уровнем (будем считать, что в месяце 30 дней): '' \ А / л Л X / \ У f \ J / V / \ В с 1) Какой отметки достиг уровень воды в реке 20 апреля, 15 июня? 2) Достигла ли вода отметки 400 см, 750 см? Если да, то какого числа это произошло? 3) Какого числа уровень воды был самым высоким? 4) В какие дни вода прибывала, убывала? 5) На сколько сантиметров изменился уровень воды за первые 10 дней мая? 6) В какие дни уровень воды был выше 400 см? 188 Глава 4, §2, п.1 Выполни действия и сократи дроби, если значения всех переменных - натуральные числа: 14 6а^ о\^ . А!.. к '014’ 3) 5d Ibd .2 ’ |8^ Зо 49 ’ 6 ■ 25’ Упрости выражение: 1) 8л: - л: + 4л; - 2jc; 2) 2а + 76 + а + 36; 2 ^ 2i/ • • 4)f-: 3) Ъп + 4 + 12 + п. 8871 Составь выражение и найди его значение при а = 16: О в классе п девочек, а число мальчиков составляет — числа девочек. 4 Сколько всего учеников в этом классе? Построй математическую модель и реши задачу: 2 Три тыквы вместе весят 15 кг, при этом вторая тыква в 1— раза тяжелее О первой, а третья - па 2 кг тяжелее второй. Сколько весит каждая тыква? Блицтурнир. 1) 5 одинаковых плиток шоколада стоят х р. Сколько таких плиток можно купить на ^ р.? 2) За 12 м ткани заплатили т р. Сколько надо заплатить за 4 м этой ткани? 3) Кукла стоит а р., а стоимость машинки состав- 3 ляет — стоимости куклы. Даша купила 3 куклы и О 2 машинки. Сколько стоит эта покупка? 4) В больнице лежат 6 женш;ин и с мужчин. Какую часть всех больных этой больницы составляют женш,ины? 2 5) В банку налили d л оливкового масла, что составило — объема масла в 5 бидоне. На сколько больше масла в бидоне, чем в банке? 6) Сумка и перчатки вместе стоят п р., причем сумка на k р. дороже перчаток. Сколько стоит сумка? [890| Расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствуюш;им буквам, и ты узнаешь: а) название металла, который при горении выделяет большое количество света: [й] 0,35 + 0,392 Ш 5-4,573 0 2,174-1,9 Щ 0,72+ 0,004 М н 3,087-2,84 1,5-1,028 б) название металла, который плавает в воде, как пробка: 0 0,0032 + 0,0168 0 0,0025 + 0,0015 И 4,78-4,777 Й л 8,3245-8,324 Й 3,556-3,456 189 Глава 4, §2, п.1 8911 Расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам, и ты узнаешь: а) название одного из самых прочных металлов: Щ 2,02 + 0,001 0 7,002-4,9 7,61-5,4 Щ 1,8 + 0,32 ^ 2,1-0,088 б) название металла, который можно сплющить пальцами: 6-2,9947 Щ 9,25-3,9 Т 3,273 + 1,78 Й 103,03-99, 5 н 13,103-7,6 Р 4,2 + 0,8305 Реши примеры и определи истинность высказываний. Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь название металла. Чем он интересен? Гт[ 0,9 + 0,284 < 6,08 - 3,98 Щ 96,39 - 88,1 > 4,24 + 78,26 0 1,4583 + 4,8 < 5,48 + 0,805 В 60,45 - 9,4 > 60,748-9,7 8931 Составь программу действий и вычисли: 1) (2,5 + 0,613 + 0,96) - (7,5 - (2,86 +3,9)); 2) 27,004 - (45 - (30,02 - 8,26) + 3,184) + (5,008 - 4,7) 0 5-0,99 <0,882+ 3,12 145,02 - 124,52 > 14,537 + 4,37 21,28 - 12,38 < 11,8875 - 3,6 0 75 + 0,562 > 25,06 + 5,5004 89д Реши уравнения: 1) (7,5 +х) - 2,94 = 5,67; 2) 50 - (л: + 6,4) = 16,33. 895| По чертежу найди скорость сближения или скорость удаления объектов. На каком расстоянии друг от друга будут они через 1 мин после выхода? 1) 45,3 м/мин 36,8 м/мин —► 25,5 м 3) 72,4 м/мин ■<— 127,2 м/мип ---------► 820 м 2) 4) 15,9 м/мип —► 21,6 м/мин -<---- 150 м 180 м/мин —► 240,7 м/мин ------► 524,8 м 190 Глава 4, §2, п.1 Составь выражение и найди его значение при а = 27,4: По шоссе едет мотоциклист со скоростью 38,7 км/ч, а впереди него - автобус со скоростю 52,4 км/ч. Сейчас расстояние между ними равно а км. Каким оно станет через час? Со станции вышел товарный поезд со скоростью 56 км/ч. ^1ерез 2 часа с той же станции и в том же направлении вышел пассажирский поезд со скоростью 84 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 1 ч 30 мин после выхода пассажирского поезда? Через сколько времени после своего выхода пассажирский поезд догонит товарный? Вырази в килограммах и вычисли: 13 кг 80 г — 1 кг 800 г + 5 ц 3 кг 170 г — 70 icr 6 г. В конце учебного года Юра весил 42,45 кг. Летом он взвешивался 2 раза. После того как он прожил 2 месяца на даче, он поправился на 3,9 кг, а за месяц путешествий он похудел на 1,75 кг. Каким стал вес Юры к началу нового учебного года? Выполни действия и сократи получившиеся дроби, если значения всех переменных - натуральные числа: а) а б) 4с 8с2 в) 1Р. X ’ г) 35 14 ■ 2 • _ 126. Zb d ’ 3d ’ ^ п тп‘ Подбери удобный единичный отрезок и построй на фрагменте числовой прямой точку: 1) А (12,3); 2) В (7,45); 3) С (5,018). Построй математическую модель задачи и найди ответ: 2 В школе 768 учеников, причем мальчиков в 1— раз больше, чем девочек. 5 Сколько мальчиков и сколько девочек учится в этой школе? Проверь, зависит ли значение суммы (-5) + (-!) + (+4) от порядка действий (см. № 637). Сформулируй гипотезу. Вычисли и запиши дробь в виде бесконечной периодической дроби, указав период: (3870-407-59 476 100:290): 10 000 2) (43 103 856 : 8607 + 4030 • 596): 792 - 3024 ’ 6 (2|,4|).3|:2 191 Глава 4, §2, п.1 905| Перерисуй четырехугольник ABCD по клеточкам в тетрадь. Построй внешние углы этого четырехугольника по одному при каждой вершине и найди их сумму. Повтори эксперимент еще два раза для произвольных четырехугольников EFGH и MNPQ и сформулируй гипотезу. Можно ли считать твою гипотезу верной на основании выполненных построений и измерений? Почему? 90^ В таблице приведены результаты измерения температуры Т воды в чайнике при нагревании. Построй график, выражающий зависимость температуры Т "С от времени нагревания t мин (1 мин - 1 см по оси абсцисс, 10 "С - 1 см по оси ординат). Задай по графику три вопроса и ответь на них. t мин 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 22 25 29 34 40 47 56 68 83 100 100 Найди сумму чисел: 0,01 + 0,02 + 0,03+ ... +0,98 + 0,99. Продолжи ряд на два числа, сохраняя закономерность: а) 0,2; 0,3; 0,5; 0,8; 1,2... б) 3,7; 3,5; 4,1; 3,1; 4,5; 2,7... Витя нашел такое двузначное натуральное число, при умножении которого на 2 получается точный квадрат, а при умножении на 3 - точный куб. Какое число нашел Витя? Купленные в подарок игрушки (сумочка, кукла, машинка и бегемот) уложили в 4 коробки по одной игрушке в каждую. Узнай, что в какую коробку положили, если известно что все коробки разных цветов и: 1) машинка и бегемот не в красной коробке; 2) коробка с куклой находится между синей коробкой и коробкой с сумочкой; 3) в зеленой коробке не сумочка и не машинка; 4) желтая и зеленая коробки находятся около коробки с бегемотом. В детский сад ходят 367 детей. Докажи, что хотя бы у двоих из них дни рождения в один и тот же день. В контрольной работе по математике Вовочка сделал 10 ошибок, а остальные ребята - не больше. Докажи, что по крайней мере четверо учеников сделали одинаковое число ошибок (быть может, и ноль), если известно, что в классе 34 человека. 192 Глава 4, §2, п.2 2. Умножение и деление десятичной дроби на 10,100,1000 и т.д. Умножение и деление натуральных чисел на 10,100,1000 и т.д. - дело простое: к данному числу надо лишь приписать или отбросить нужное число нулей. Объясняется это тем, что выбранная нами система записи натуральных чисел является десятичной. Система записи десятичных дробей устроена так же: единица любого разряда в 10 раз меньше предыдущей и в 10 раз больше последующей. Поэтому можно ожидать, что и для десятичных дробей правила умножения и деления на 10, 100, 1000 и т.д. не будут сложными. Проведем исследование. Умножим число 2,75 на 10,100,1000 и т.д., используя действия с обыкновенными дробями. Получим: 275 10_ 275*10" ‘ 100 ‘ 1 100*1 10 2,75 * 100=1^ *i^ = ^ = 27 5- 10 2,75 * 1000 = 275 1000 100 ’ 1 275 * Ш1 _ 275 100*1 1 1 10 275 * 1000 _ 100*1 1 = 275; 2750 = 2750. Мы видим, что запятая последовательно перемещается на 1, 2, 3 и т.д. разряда вправо (учитывая, что 2,75 = 2,7500...): 2.75 * 10 000 = 2,7500 * 10 000 = 27 500; 2.75 * 100 000 = 2,75000 * 100 000 = 275 000. И поскольку к десятичной дроби справа можно приписать любое число нулей, не изменяя ее, то эта закономерность продолжится и дальше. Деление - действие, обратное умножению. Поэтому при делении на 10,100, 1000 и т.д. запятая будет перемещаться не вправо, а влево - соответственно на 1, 2, 3 и т.д. разряда. А если знаков будет недостаточно, то мы, как условились раньше, припишем слева десятичной дроби столько нулей, сколько требуется, -ведь от этого дробь не изменится: 2.75 : 10 = 02,75 : 10 =0,275; 2.75 : 100 = 002,75 : 100 = 0,0275; 2.75 :1000 = 0002,75 : 1000 = 0,00275. 193 Глава 4, §2, п.2 Рассмотренный пример иллюстрирует обш,ее правило: при умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. запятая переносится соответственно на 1, 2, 3 а т.д. разряда вправо, а при делении - на 1, 2, 3 и т.д. разряда влево. Заметим, что при умножении числа па 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. оно уменьшается соответственно в 10, 100, 1000 и т.д. раз, а при делении - увеличивается в 10, 100, 1000 и т.д. раз. Например: а:0,1=а:^ = а — = а • 10. Поэтому при умножении десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. запятая переносится соответственно на 1, 2, 3 и т.д. разряда влево, а при делении — на 1,2, S и т.д. разряда вправо. Например: 48,03 • 0,01 = 48,03 : 100 = 0,4803; 25,6 : 0,001 = 25,6 • 1000 = 25 600. |91 3| Найди произведение: 1)2,3-10; 2)9,468-100; 0,58 - 10; 0,39 - 100; 32,1 - 10; 7,5 - 100; 0,0073 • 10; 0,0002 - 100; Запиши цифрами число: 4,7 тыс.; 0,54 тыс.; 10,6 млн.; 0,03 млн.; 8,94 млрд.; 0,205 млрд. 3) 0,625 - 1000; 4) 31,17 - 10 000; 5,2-1000; 0,2-1000 000; 0,08 - 1000; 5,481 - 100 000; 14,75 - 1000; 2350,4 ♦ 10 000 000. Найди частное: 1)73,8:10; 2)228,3:100; 4,25 : 10; 0,76 : 10; 0,004 : 10; Вырази: 50,6 : 100; 2,9 : 100; 0,05: 100; 3) 7819,2 : 1000; 15,3 : 1000; 4,16 : 1000; 0,074 : 1000; 4) 560,9 : 10 000; 0,86 : 1 000 000; 34,82 :100 000; 253 :10 000 000. а) в тысячах число 90, 250, 4800; б) в миллионах число 400, 7320, 10 000, 620 900, 8 500 000; в) в миллиардах число 2000, 18 000, 4 580 000, 3 600 000 000. Вырази: а) в метрах: 2,4 км; 0,045 км; 7,9 дм; 6 дм; 52 см; 0,3 см; 14 мм; 3,8 мм; б) в дециметрах: 0,2 см; 3,14 см; 46 мм; 1,2 мм; 8,56 м; 4,015 м; 6,3 км. в) в центнерах: 1,6 кг; 0,5 кг; 84 кг; 416 г; 38,9 г; 6,3 т; 0,917 т. 194 Глава 4, §2, п.2 9181 1) Увеличь число 3,25: а) в 10 раз; б) в 100 раз; в) в 10 000 раз. 2) Уменьши число 17,9: а) в 10 раз; б) в 100 раз; в) в 100 000 раз. Выполни действия: а) 39,6-10; д) 11,5 : 100 000; б) 7,12 : 100; е) 0,208 • 1 000 000; в) 43,4*100; ж) 9,3: 10 000; г) 60,6 : 1000; з) 0,045 • 100 000; и) 5,9 : 10 • 1000; к) 0,45 • 100 : 10; л) 803,6 : 1000*100; м) 14:10: 1000. 1^ 1) В пачке 1000 листов бумаги. Толщина пачки 20 см. Определи толщину листа. 2) В коробке 100 банок йогурта. Масса одной банки равна 0,148 кг, а масса пустой коробки - 0,8 кг. Чему равна масса полной коробки? В бидоне 3 л молока. Можно ли наполнить из него 10 стаканов по 0,25 л? 1) За 10 новогодних подарков заплатили 1235 р. Сколько надо заплатить за 100 таких подарков? 2) Пешеход прошел мост длиной 0,256 км за 4 мин. Какое расстояние он пройдет за 40 мин с той же скоростью? Замени умножение делением и вычисли. Сделай вывод. а)3,8*0,1; 6)16,2*0,01; в)0,7* 0,001. Замени деление умножением и вычисли. Сделай вывод. а) 5,32 : 0,1; Вычисли: 1)35,4 * 0,1; 78 * 0,1; 0,2 * 0,01; 4,9 * 0,001; 6)0,64 : 0,01; в) 1,0025: 0,001. 113 2)6,25:0,1; 3) 0,00‘ 53:0,1; 5*0 0,296 : 0,01; 4,87 3,18:0,001; 1,61^ Найди значение выражения: 1) 14,25а + 0,0256 + 0,795с, если а = 10, 6 = 100, с = 1000; 2) 34,9л: + 1856г/ + 0,5г, если л: = 0,1, у = 0,01, г = 0,001. 1) Сапоги стоили 3000 р. Цена на них последовательно понижалась 2 раза на 10 %. Какой стала цена сапог после второго понижения? 2) Свитер стоил 800 р. Цена на него последовательно повышалась 2 раза на 10 % . Какой стала цена свитера после второго повышения? 195 Глава 4, §2, п.2 92 Блицтурнир. Вырази 1% и 10% в десятичных дробях и реши задачи: 1) В университете учится а студентов. 1% студентов университета проживают в общежитии. Сколько студентов проживает в общежитии? 2) Открытка стоит 6 р., что составляет 1 % стоимости букета цветов. Сколько стоит букет цветов? 3) Стадион вмещает с зрителей. На матч по футболу уже продано 10% всех имеющихся билетов. Сколько билетов продано? 4) В щколе французский язык изучают 10% учеников. Сколько всего учеников в школе, если французский язык изучают d учеников? 5) Турист наметил маршрут длиной п км. 1% всего маршрута он проехал на лодке, а 10% -прошел пешком. Сколько всего километров он проехал на лодке и прошел пешком? 6) Площадь дачного участка равна k га, что составляет 1% площади участков, занимаемых садовым товариществом, а площадь садового товарищества составляет 10% всех площадей, отведенных под дачные участки в районе за год. Чему равна общая площадь садовых участков, отведенных в районе за этот год? Найди значение выражения: 1) (0,38 : 0,1 - 295 : 100 + 0,00164 • 10 000) • 0,1 -Ь 7,5 • 0,01; 2) 0,84 • 100 • 0,1 + 595,9 • 0,01 - (9,115 : 0,01 - 8,56 : 0,1): 100. Реши примеры и расшифруй пословицу: 1) 0,7 + 0,5 3,9+ 5,4 7,6-0,8 10,3-1,9 2) 0,4-0,28 5,68 + 0,12 15-7,2 4,3 + 3,83 8,4 - пригодится 6.8 - всегда 50 - дело 7.8 - горшки 3) 168,25-32-7,819 234 + 52,03-26,9 74, 5-3,54 + 842,01 12,76 + 0,6 + 8,914 4,518+ (62-37,5)+ 0,82 (46,3 - 2,е59) - (6,75 + 0,005) 53,102 - (16,9 - 0,07) + 13,728 251,9 - (78,018 + 3,8) - 2,01 128,431 - чем 22,274-да 36,955 - лучше 912,97 - авось 5,8 - боги 9,3 - учиться 0,12 - не 168,072 - брось 29,838 — небось 259,13-на 8,13 - обжигают 1,2 - грамоте 196 Глава 4, §2, п.2 Найди общие высказывания и высказывания о существовании. Докажи или опровергни их. 1) Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной. 2) Любую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. 3) Дробь, знаменатель которой в качестве простых делителей содержит только 2 и 5, можно представить в виде десятичной дроби. 4) Существует дробь, знаменатель которой делится на 3, но которую можно представить в виде десятичной. 5) Из двух десятичных дробей больше та дробь, у которой больше знаков после запятой. 6) Иногда приближение числа с точностью до 0,01 больше, чем его приближение с точностью до 0,001. Известно, что а » 7,2. Может ли а принимать значения: 1) а = 6,98; 2) а = 7,195; 3) а = 7,2; 4) а = 7,(2); 5) а = 7,(16)? Запиши в виде двойного неравенства множество всех значений, которые может принимать а. Известно, что а « 3,14. Какие из высказываний: а) верны при всех значениях а; б) неверны при всех значениях а? а <3,14; а >3,14; а <3,15; а >3,15; а <3,133; а >3,133; а <3,144; а >3,144; а«3,143; а»3,145; а«3,146; a*3,1456. Что произойдет с суммой двух чисе.ч, если округлить: а) одно из слагаемых с избытком; б) одно из слагаемых с недостатком; в) оба слагаемых с избытком; г) оба слагаемых с недостатком; д) одно из слагаемых с избытком, а другое - с недостатком? Приведи примеры. Что произойдет с разностью двух чисел, если округлить: а) уменьшаемое с избытком или с недостатком; б) вычитаемое с избытком или с недостатком; в) уменьшаемое и вычитаемое с избытком; г) уменьшаемое и вычитаемое с недостатком; д) уменьшаемое с избытком, а вычитаемое с недостатком; е) уменьшаемое с недостатком, а вычитаемое с избытком? Приведи примеры. Упрости выражение и найди его значение: 1) 9,4 + а + (5,38 - 4,38), если а = 0,82; 2) Ь + 42,7 - (39,825 + 2,74), если Ь = 3,585; 3) 17,56-(24,16- 19,8) +с, если с = 11,04; 4) d- 50,19 - (68,7 - 9,1), если d - 130. Хозяйка заготовила корм для гусей и уток, которого хватило на 2 месяца. На сколько времени хватило бы его одним гусям и одним уткам, если утки съедают его в 2 раза быстрее, чем гуси? 197 Глава 4, §2, п.2 938| Бак наполняется через основной кран за 15 мин, а через запасной - за 25 мин. Сначала в течение 3 минут он наполнялся через основной кран, а затем дополнительно открыли запасной. За сколько времени был наполнен бак? Построй математическую модель задачи и реши ее методом перебора: В школьном зале 80 стульев. Перед утренником их расставили в несколько рядов - поровну в каждом ряду. Затем было решено уменьшить число стульев в ряду на 4, при этом число рядов увеличилось на 1. Сколько стало рядов и сколько стульев в каждом новом ряду? Запиши сумму чисел без скобок и найди ответ, используя понятия доходов и расходов (см. № 637): а) (-7,2) + (-2,4); в) (-1,5) -Ь (+0,6); д) (-4,1) + (-0,7) + (-5); б) (+3,4)+ (-0,8); г) (-0,3)+ (-5,9); е) (+6,8) + (-2,8) + (-3,6). |94lJ Рассмотри таблицы и запиши формулы, выражающие зависимость переменной у от X. Найди по формуле значение у при л: = 0, 7, 10, 15. 1) О X 1 2 3 4 5 6 у 1 4 9 16 25 36 2) X 1 2 3 4 5 6 У 1 8 27 64 125 216 Вычисли: 1)0,96 • 10; 8,34 : 10; 35,79 • 100; 0,63 : 100; 2) 1,38 • 1000; 29,7 : 10 000; 0,094 • 100 000; 2,5: 1000 000; ш Вырази в более мелких единицах: 1) 5,3 м = ... см; 2) 5,2 кг = ... г; 0,18м = ...дм; 6,315т = ...ц; 12,7 дм = ... мм; 92,03 т = ... кг; 0,04км = ...м; 0,74ц = ...кг; Вырази в более крупных единицах: 1) 7,8 мм = ... см; 43,6 см = ... м; 15 м = ... км; 1920 дм = ... км; 2) 29кг = .. 17,5ц = 8,4 кг = , 250г = .. т; .. т; . ц; кг; 3) 0,085 • 100 : 10; 56,8 : 10 • 1000; 0,9036 • 10 000: 100; 4,5 : 100 • 1 000 000. 3) 34 м^ = ... дм^; 15.2 га = ... а; 0,06 дм^ = ... мм^; 0,95 км^ = ... м^. 3) 1,5 мм^ = ... см^; 140 см^ = ... м^; 56.2 а = ... га; 60 000 м^ = ... км^. 198 Глава 4, §2, п.2 Й5| В 100 Г черной смородины содержится примерно 250 мг витамина С (1 мг = 0,001 г). Определи содержание витамина С в граммах на 1 кг черной смородины. Сколько суточных доз витамина С для взрослого человека заменяет 1 кг черной смородины, если 1 суточная доза составляет 0,05 г? Перерисуй таблицы в тетрадь и заполни пустые клетки: а) X 36,2 45 8,3 0,7 0,1л: 0,01л: 0,001л: б) У 0,025 5,48 17 2,4 у: 0,1 у: 0,01 у: 0,001 Вычисли: 1)42,5*0,1; 2)0,096:0,01; 7,8:0,01; 500*0,0001; 5300 * 0,0001; 0,84 : 0,001; Составь выражение и найди его значение: 1) разность суммы чисел 5,69 и 1,606 и числа 1,29; 2) сумма разности чисел 3,7 и 2,388 и числа 0,76; 3) разность суммы чисел 8,59 и 2,31 и их разности; 4) разность числа 54,002 и разности чисел 28,7 и 5,001. Арифметический ребус. 3) 2,19 : 10 : 0,01; 58,6 * 0,001 * 100; 741,5 * 0,1 : 1000. По вертикали: а) 10,2856 + 2,59; б) 456,399 -Ь 27188,701; Старинная задача. По горизонтали: в) 55,614-23,1569; г) 15739,045- 13,745. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 10 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 15 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? Вычисли и докажи, что полученную дробь нельзя перевести в десятичную. Запиши ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, указав период. l3.(5_(4l.2_2i:|):13.8A)_4|:3,3. 199 Глава 4, §2, п.З Числовые головоломки. 1) Из семи спичек выложено число . Как превратить эту 1 * дробь в число равное , не прибавляя и не убавляя спичек? ^ 3 2) Число 37 записано при помощи пяти троек: 37 = 33 + 3 + —. Найди другой способ выразить число 37 при помощи пяти троек, используя скобки и знаки арифметических действий. Изменение порядка множителей не считается другим способом. Расшифруй записи, если одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а разные буквы - разные цифры: а) СУМК,А СУМК, А б) СЛОВ, О слов, о БАГАЖ ПЕСНЯ Ш а) Раздели фигуру Л на 9 равных по площади фигур. б) Покажи, как разделить фигуру В на 8 равных по площади фигур шестью отрезками. А В 3. Умножение десятичных дробей. Установим правило умножения конечных десятичных дробей, используя, как и ранее, переход к обыкновенным дробям. Вычислим, например, произведение 3,21 • 2,6: 8346 о о. о ^ 321 26 321 -26 = 8,346. 1000 Мы видим, что умножение данных десятичных дробей свелось к умножению натуральных чисел, которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях. А число знаков после запятой в произведении такое же, как в обоих множителях вместе. И вообще, алгоритм умножения десятичных дробей можно записать так: 1) Отбросить в множителях запятые и перемножить получившиеся натуральные числа. 2) В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой, сколько их в обоих множителях вместе. 200 Глава 4, §2, п.З Записывают умножение десятичных дробей, как и натуральных чисел, -‘в столбик”, не глядя на запятые, например: + 2,3 5 0,0 1 4 9 4 0 2 3 5 0,0 о 5 6 3 4 0 0 0 + 2 2 4 16 8 О 0,0 3 2 9 о = 0,0 3 2 9 9551 Вычисли устно: 1 9 0,4 о о о = 1 9 0,4 0,2; 2)0,8 - 0,7; 3) 60 - 0,03; 4) 5,78 - 0; 5) 0,32; - 4; 0,4 - 0,3; 0,9 - 800; 1 - 92,6; 0,22; 2,5; 1,2 - 0,6; 0,004 - 0,6; 0,89 - 0,1; 0,072; • 9; 0,15 • 0,5; 3,5 - 0,02; 0,001 - 4,8; 0,012. 0,5 2 1,6 Зная, что 712 • 43 = 30 616, вычисли: 1) 7,12-43; 3)71,2-0,43; 5)712-0,0043; 7)0,712 - 0,043; 2) 7,12 - 4,3; 4)71,2 - 0,043; 6)712 - 0,00043; 8)0,712 - 0,0043. Сделай прикидку произведения: 1) 9,6-7,18; 3)5,12 - 0,308; 5)83,9 - 6,374; 7)0,027-529,4; 2) 2,346 - 8,2; 4)4,219-0,75; 6)0,48-16,109; 8)3,152 - 78,006. Образец: 36,915 - 0,028 «40 - 0,03 = 1,2 Зная, что 728 - 5609 = 4 083 352, найди правильные ответы. Из соответствующих им букв составь название созвездия. 7,28 - 56,09 40,83352 ^ 4083,352 0 408,3352 0 4,083352 0 72,8 - 0,5609 0,4083352 0 408,3352 0 4,083352 0 40,83352 0 7280 - 5,609 408,3352 0 40,83352 0 40833,52 0 4083,352 0 7,28 - 0,5609 0,4083352 0 4,083352 0 40,83352 0 408,3352 0 959| Даны числа: 29,6; 5,8; 42,13; 73,9; 11,04; 0,96; 57,109; 105,6. Выбери из них одно и вставь вместо звездочки так, чтобы ответ примера был максимально близок к указанному приближению: 1) 2,38 • *« 120; 3) *- 5,12 «150; 5)4,02 - *«400; 7) * - 30,6 « 30; 2) 3,04 - * « 18; 4) * - 0,64 «6; 6) * • 1,95 « 80; 8) 2,8 • * « 210. 201 Глава 4, §2, п.З 9601 Вычисли, проверь себя, сделав “прикидку а) 4,07-96; д) 5,09-6,09; б) 31,6-705; е) 34,2-0,407; в) 19,2-3,7; ж) 0,705-0,508; г) 70,08-0,4; з) 55,6 - 0,9003; и) 7,4 - 900; к) 9200-0,85; л) 0,907-4090; м) 6700-87,6; н) 0,25-160-12,12; 0)0,08-0,375-5,05; 11)36,67-660-0,045; р) 0,09-279,1 -3000. ED Игра “Кто быстрее?”. Игра заключается в том, чтобы найти выигрышную строчку, столбец или диагональ, произведение чисел в которых равняется числу, записанному около таблицы. Выигрывает тот, кто сделает это быстрее и сумеет доказать правильность решения. а) 66,924 в) 4,644 Д) 130,56 0,7 2,5 9,1 0,3 1,4 5,6 2,2 7,8 3,9 2,4 4,3 4,1 5,8 0,9 3,6 7,5 1,2 9,7 б) 321,3 г) 5,04 е) 3,8 6,9 2,3 7,5 5,1 8,4 0,2 1,6 4,7 4,5 1,6 0,7 3,1 2,8 8,4 6,2 5,3 7,9 1,9 7,3 6,4 5,7 8,5 3,8 2,4 1,2 0,6 22,77 8,4 9,9 1,8 1,7 0,1 2,3 3,2 6,8 5,5 Найди значение выражения (в скобках указано число знаков после запятой в последнем множителе): а) 0,1 - 0,01 - б) 0,2 - 0,02 - в) 0,1 - 0,01 - г) 0,1 - 0,001 д) 0,1 - 0,01 - 0,001 - ... - 0,00...01 (9 знаков); 0,002 - ... - 0,00...02 (9 знаков); 0,001 - ... - 0,00...01 (99 знаков); - 0,00001 - ... - 0,00...01 (99 знаков); 0,001 - ... - 0,00...01 (999 знаков). Скорость скворца 19,5 м/с, а скорость стрижа в 1,4 раза больше. Насколько метров меньше, чем стриж, пролетит скворец: а) в секунду; б) в минуту? Составь задачу по выражению и реши ее: а) 92,4 - 3,2; б) 18,6 - 3 + 9,5 - 2; в) (14,7+ 8,9) - 2. 202 ------------------------------------------Глава 4, §2, п.З Садовый участок прямоугольной формы имеет длину 30,2 м, а ширину - на 9,7м меньше. Чему равна площадь этого садового участка ? Сколько надо заплатить за установку изгороди вокруг него, если 1 погонный метр изгороди стоит 250 р,, а установка одного метра стоит 50 р.? Вырази полученное число в тысячах рублей и округли до десятых. 96Я Найди площадь фигур: ш 1) Сарай имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Ширина сарая 7,5 м, длина - в 1,68 раза больше ширины, а высота - на 9,4 м меньше длины. Сарай заполнен сеном. Чему равна масса этого сена, если 1 м^ сена весит 0,6 ц? 2) Бак без крышки имеет форму куба с ребром 0,6 м. Найди объем и площадь наружной поверхности бака. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить бак снаружи и изнутри, если на покраску 1 м^ расходуется 0,2 кг краски? Прочитай выражение и найди его значение: 1) (0,5+ 0,2)2; 3)0,52-0,22; 5) (0,5 + 0,2)^; 7)0,52- 2) 0,52 + 0,22; 4) (0,5-0,2)2; 6)0,52 + 0,22; 8)(0,5- Запиши выражение и сосчитай: 1) сумма квадратов чисел 1,5 и 2) квадрат разности чисел 3,6 и 2,8; 3) разность кубов чисел 0,6 4) куб суммы чисел 3,7 и 1,3. Выполни программу действий и составь выражение: 1) Найти произведение чисел 4,06 и 30,5. 2) Число 0,007 увеличить в 310 раз. 3) Сложить результаты 1-го и 2-го действий. 4) Возвести в куб число 0,2. 5) Число 7,25 умножить на результат 4-го действия. 6) Результат 5-го действия уменьшить на 0,008. 7) Результат 3-го действия разделить на число 3. 8) Число 32 умножить на результат 6-го действия. 9) Найти разность результатов 7-го и 8-го действий. ■ 0,22; -0,2)2. 4,5; и 0,4; 203 Глава 4, §2, п.З 9711 Лайди значение выражения: 1) (15,2-4,8 • (150 • 0,12 + 1,56)) • 40-0,22 • 602 .0,53. 2) 10,697 + (0,62 + 0,82)2 . ((3,78 + 16,3)2 _ 12,9 • 0,016): 1000. Запиши с помощью букв переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения. Проверь справедливость записанных равенств для значений букв, взятых из множества десятичных дробей по собственному выбору. Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей. ____ Почему? Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае? 9731 Вычисли наиболее удобным способом: 1) 0,2 • 7,24 • 50; 2) 93,6 • 4 • 0,25; 3) 0,125 • 8 • 5,42; 4) 0,4 • 3,2 • 5 • 0,02 • 25; 5) 0,5 • 12,5 • 0,688 • 20 • 0,8; 6) 2,3 • 6,9 + 7,7 • 6,9; 7) 14,5 • 3,8-14,5 • 2,8; 8) 21,3 • 8,5 + 21,3 • 91,5; 9) 74,06 • 0,03-4,06 • 0,03; 10) 45,16 • 1,04 + 1,04 • 54,84. '4спользуя распределительное свойство умножения, найди одну пару хку, удовлетворяющих равенству: 1) д: • (3,6 - 0,6) = 4 • 3,6 - 4 • .v; 3) {х + 4,1) • 0,2 = 1,6 + г/; 2) 0,7 • (5 + JC) = I/ + 0,14; 4) (9 - д:) • г/ = 4,5 - 0,35. 975| Как найти часть числа, выраженную дробью? Изменится ли правило, если часть выражена десятичной дробью? Найди: 1) 0,8 от 20; 3) 0,05 от 80; 5) 1% от 0,9; 7) 40% от 60; 2) 0,6 от 12; 4) 0,15 от 4; 6) 10% от 17; 8) 50% от 0,2. 1) Первый из трех множителей равен 2,4, второй составляет 62,5% первого множителя, а третий - 0,4 первого множителя. Найти произведение. 2) Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что одно из трех ребер, выходящих из его вершины, равно 2,25 м, а длина каждого из двух других ребер составляет 80% длины этого ребра. Щ а) Что больше: 0,7 от 0,16 или 0,16 от 0,7? б) Что меньше: 48% от 30 или 30% от 48? 97^ 1) Сплав содержит 78% олова, 16% сурьмы и 6% меди. Какое количество каждого из этих металлов содержится в 150 г сплава? 2) Соя содержит 40% белка и 29% крахмала. Фасоль содержит 23% белка и 55% крахмала. На сколько больше белка в 25 кг сои, чем в 25 кг фасоли? На сколько больше крахмала в 25 кг фасоли, чем в 25 кг сои? 204 Глава 4, §2, п.З 1) Золотая цепочка весит 8 г. Какова масса золота в ней, если это золото 375-й, 583-й, 958-й пробы? 2) Серебряное колье весит 20 г. Сколько в нем серебра, если на колье указана проба серебра 800,875,916? {Пробой драгоценного металла называется число граммов этого металла в 1000 г сплава.) Периметр треугольника равен 6,4 см. Длина первой стороны составляет 0,35 периметра, а длина второй стороны - 75% длины первой. Найди длину третьей стороны. Лыжники прошли за три дня 80 км. В первый день они прошли 25% всего пути, а во второй день - 0,6 оставшегося расстояния. Сколько километров прошли лыжники в третий день? Числовой кроссворд. По вертикали: а) 6,08 • 70,5; б) 0,2457 • 3700; в) 108 000 • 0,00857; По горизонтали: г) 107,3 • 2,088; д) 5,094 • 9070. Известно, что рост А.С. Пушкина был равен 5 английским футам 5,5 дюймам. Вырази его в сантиметрах, если 1 фут = 30,48 см, а 1 дюйм = 2,54 см. Результат округли до единиц. Автомобиль затрачивает на 10 км пути при движении за городом 0,8 л бензина, в городском режиме при движении без пробок - 1 л, а в пробке - 1,5 л. По пути на дачу автомобиль проехал по городу 7,3 км, причем 1,8 км из них в пробке, а затем за городом -28,5 км. Сколько бензина затрачено на этот путь? Что произойдет с произведением двух чисел, если округлить: а) один из множителей с избытком; б) один из множителей с недостатком; в) оба множителя с избытком; г) оба множителя с недостатком; д) один множитель с недостатком, а другой с избытком? а б В г д Сравни, используя знаки >,<, = : 1)9,5 • 0,3 и 9,5; 2)0,28 • 0,45 и 0,45 • 0,28; 1,6 • 7,9 и 7; 3,19 • 2,14 и 3,19 • 1,4; 5,5 • 0,4 и 0,5; 7,18 • 0,56 и 0,56 • 7,21; 3) 0,15а и а; 2,015 и 5; 4,6с и 6,4с. 205 Глава 4, §2, п.З 5) 241 • 0,85 = 20,485; 6) 0,034 • 19 = 6,46. Предложи один способ расстановки недостающих запятых и нулей, при котором получается верное равенство: 1) 9,6 • 0,25 = 24; 3) 6,15 • 784 = 482,16; 2) 548 • 2,1 = 11,508; 4) 0,46 • 3,18 = 14628; Найди значение выражения: 1) 20,1а - 17,07а, если а = 2,8; 25 000; 0,407; 2) 6,48fo + 3,6Ь, если ft =5,6; 90; 80,5; 3) с + 1,2 + 7,05с + 12,6, если с = 0,4; 300; 2,04; 4) 13,45+l,085d +3,92d-8,4, если d=100; 1,1; 4040. 1^ Переведи обыкновенные дроби в десятичные. Какими способами можно это сделать? 31 3 . Q4 19 , 04 7 . .4 8 ’ ^ 20 ’ ^ 250’ 400' Составь задачу по схеме и реши ее: 1) 3,8 км/ч —► 5,4 км/ч ------ 3) 41,4 км t - 2,5 ч а = ? 16,9 км/ч 48,7 км/ч 159 км t * 3,6 ч d = ? 2) 82,9 км/ч -------► 78,4 км/ч —► 10,8 км < = 0,9ч 4) 54,3 км/ч 96,1 км/ч 16,4 км ( = 15 мин / = ? и В 8 ч утра от пристани отошел катер со скоростью 18,2 км/ч, а в 9 ч 30 мин от этой же пристани в том же направлении отошел теплоход со скоростью 26,6 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут катер и теплоход в 11 ч 15 мин? Алеша мастерит из белого картона игральный кубик с ребром 2,5 дм. На каждой 1’рани кубика надо разместить черные кружки, изображающие числа от 1 до 6 (па одной грани - 1 кружок, на другой - 2 кружка и т.д.). 1) Чему равен объем игрального кубика? 2) Чему равна площадь поверхности белого цвета, если площадь одного кружка равна 0,2 дм^ ? 206 Глава 4, §2, п.З О Прочитай выражение и найди его значение: 1) (а + ЬУ, если а = 0,19, Ь = 0,51; 3) а® + если а = 0,5, Ь = 0,4; 2) - Ь^, если а = 1,5, h = 0,8; 4) (а - если а = 4, 5 = 3,7. Запиши выражение и найди его значение. Ответ округли до сотых: 1) Разность числа 90,7 и произведения чисел 0,0356 и 590. 2) Сумма произведения чисел 26,8 и 0,968 и числа 8,6126. 3) Произведение суммы чисел 3,96 и 36,64 и разности чисел 8 и 2,995. |99^ Найди закономерность и запиши следующие 2 члена последовательности: 1) 10,3; 8,9; 7,5; 6,1... 3) 7600; 760; 76; 7,6... 2) 0,15; 1,16; 2,18; 3,21 ... 4) 0,0000049; 0,00049; 0,049... Вычисли и расшифруй имя великого древнегреческого трагика и имя одного из главных героев его произведений: ® 3,8 0,57 87,8 4,16 5 -1,4 -0,37 i 0,5 + 1,2 -2,6 • 0,1 1 1,82 -6,3 • 10 :0,1 -0,02 : 0,01 • 0,01 - 51,4 + 3,25 • 100 : 100 + 1,4 :0,01 -7,05 С И Л X э 5,75 + 38,8 0 68,06 f 1,94 0 2,97 + 0,032 932,6-876 0 200,3-118,48 0 111,11-83,84 ® Е 53,8+ 1,705 12,34-5,67 Е П 20,2 22 220 2,02 2,22 6,67 3,002 56,6 44,55 27,27 70 55,505 81,82 997| 1) Как изменится десятичная дробь, если запятую переместить на 1 знак вправо, на 2 знака влево, на 3 знака вправо, на 4 знака влево? 2) Увеличь в 10 раз числа: 2,31; 0,485; 187,2; 0,036. 3) Уменьши в 100 раз числа: 604,9; 17; 3,25; 0,008. 998| 1) Доли величины выражены в процентах. Вырази их десятичными дробями: 1%, 3%, 4,5%, 10%, 16%, 20%, 25%, 32%, 40%, 48,5%, 50%, 75%, 82,4%, 93%, 105%, 180%. 2) Доли величины выражены десятичными дробями. Вырази их в процентах: 0,02; 0,035; 0,1; 0,12; 0,24; 0,3; 0,45; 0,56; 0,612; 0,75; 0,9; 1,2; 1,44; 2,5. 207 Глава 4, §2, п.З 19991 1) Верно ли, что стоимость товара равна производительности, умноженной на время? Как найти стоимость товара? Что обозначают величины С, а и п в формуле стоимости С = а • п? Как найти цену товара, количество товара? Найди неизвестные величины: С а п ?р. 800 р./шт. 9 штук 1500 р. 30 р./тетр. ? тетрадей 720 р. ? р./конф. 60 конфет 2) Цена шарика 25 р. Купили п шариков. Запиши формулу зависимости между стоимостью С всех шариков и их числом п. Заполни таблицу: п шариков 1 2 3 4 5 6 С рублей 3) Надо купить карандаши на 120 р. Запиши формулу зависимости числа купленных карандашей п от их цены а р. за карандаш. Составь таблицу соответственных значений пи а для а = 5, 10, 12, 15, 20, 24, 30 рублей. 1000| 1) Запиши формулу работы, обозначая выполненную работу - А, производительность - W, время выполненной работы-t. Пользуясь формулой, найди неизвестные величины: А W t 180 деталей ? дет./день 6 дней ? страниц 12 стр./ч 4ч 90 м^ 3 м®/мин ? мин 2) В рукописи 60 страниц. Запиши формулу зависимости времени t ч печатания рукописи от производительности W страниц в час. Составь таблицу соответственных значений w и t, если ta = 3,4,5,6, 10, 12 страниц в час. 3) Сравни формулу работы А = ivt и формулу стоимости С = ап. Что в них общего и что различного? Приведи примеры других величин, связанных зависимостью а = Ьс. 10011 Переменные хиу связаны зависимостью: у — х(х -f 9) - 8дс. Составь таблицу соответственных значений хиу, если х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Можно ли зависимость у от х выразить другой формулой? Как получить эту новую формулу с помощью преобразований? 208 Глава 4, §2, п.З а ^ 9 ’ 3)5-|; а 4:Ьс 5л: . л:^. ^ 42yz’ 6у’ 3 . Ъс' 4)|+ *; п в)^-(2п); 8) ^: d\ Ш| Выполни действия, если значения всех переменных - натуральные числа. Если возможно, сократи получившиеся дроби: «к Докажи, что дробь нельзя перевести в конечную десятичную. Замени ее конечной десятичной дробью с точностью до тысячных: '•зо’ ®*1з- ®’эт- Какие из следующих дробей представимы в виде конечных десятичных: 2< . 37 . 53 . 73 . 11 2^ • 3® • 5® • 73 1) 2® • 3" • 5' 7‘^ 2) 25 . 37 . 511 . 72 . 11 Дана дробь, которую можно представить в виде конечной десятичной дроби. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби: а) удвоенную дробь; б) утроенную дробь; в) ее половину; г) ее третью часть; д) ее пятую часть; е) ее седьмую часть; ж) обратную ей дробь? Даны две обыкновенные дроби, каждая из которых может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби их сумму, разность, произведение, частное? а) Сумма двух данных обыкновенных дробей может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби каждую из этих дробей? б) Сумма двух данных обыкновенных дробей, а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной другую дробь? а) Произведение двух данных обыкновенных дробей, отличных от О, может быть представлено в виде конечной десятичной дроби. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби каждую из этих дробей? б) Произведение двух данных обыкновенных дробей, отличных от О, а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей. Всегда ли можно ли представить в виде конечной десятичной дроби другую дробь? 1Щ Упрости выражения. Что общего в примерах каждого столбца, каждой строки? 1) 1,2х + 2,7jc 4- JC -Ь 0,1л:; 2) 3,6п + 6 -1- 0,7& + 2д; 3) 7,4л + 2,6 + л + 5,8; 4) ЗАу -у- 0,121/ + 0,05у; 5) 15,2с + l,6d + 2,9d-c; 6) 8,3 + 6,28^-1,52 t 0,5/г. 8~Лорофе«в. 5 КЛ-, ч. 2 Глава 4, §2, п.З Шо| Реши уравнения: 1) 5,6а 4 1,25а + 3,15а = 2,7; 2) 9,186 + 78,46 + 12,426 = 3,5; 3) 12х - 11,99д: 4- 83,4 = 117,96; 4) 358,4г/ + 641,6^^ - 172,5 = 604,5. 1011| Построй математическую модель задачи и найди ответ; В школьную библиотеку поступило 700 учебников по математике, русскому языку и литературе. Учебников по математике было в 2 раза больше, чем учебников по русскому языку, и на 75 меньше, чем учебников по литературе. Сколько учебников по каждому из этих предметов поступило в школьную библиотеку? 1012| 1) Отметь на координатной плоскости точки А(2; 3), В(8; 11), С(14; 9), D(8; 1) и построй четырехугольник АВСП. Проведи диагонали АС и BD и найди координаты их точки пересечения О. 2) Измерь стороны и углы четырехугольника ABCD и установи как можно больше его свойств. 10131 Докажи, что произведение значений данных выражений равно 1: 1) 1—4-—- 4-^-3—• 4 * 9- 5 — -—’ ^ 20 5’ 18 ^^9’ ^ 7 22’ 2» 4+4= 4-4= 11.3^. 4I.A 15 3 ’ 2 21 • Запиши суммы чисел без скобок и найди ответ (см. № 637). Что ты замечаешь? О (-1,9)+ (-5,8) (-5,8)+ (-1,9) (-8,7)+ (+3,2) (+3,2)+ (-8,7) (-2,1)+ (-1,2) (-1,2)+ (-2,1) (-5)+ (+3,9) (+3,9) +(-5) I1Q15I Найди значение произведения 348 • 506. Используя полученный результат, вычисли: 1) 3,48 • 506; 2) 3,48 • 5,06; 3) 34,8 - 50,6; 5)348-0,506; 7)0,348-5,06; 4) 34,8-0,506; 6)348-0,00506; 8)0,348-0,0506. ш Сделай “прикидку”, а затем вычисли. Как помогает прикидка оценить правильность вычислений? а) 0,7 - 40; б) 0,3 - 0,5; в) 1,5 - 0,08; г) 0,92; Д) 307,2 - 7; е) 71,5 - 36; ж) 0,25 - 579; з) 9,86 - 406; и) 4,25 - 0,208; к) 30,4 - 9,04; л) 8,92 - 700,8; м) 2,003 - 80,6; н) 5,26 - 70; о) 0,0304 - 500; п) 8000 - 7,25; р) 0,248 - 9050. 210 -----------------------——------------------------------Глава 4, §2, п.З 1017| Найди в таблице выигрышную строчку, столбец или диагональ (произведение чисел в них равняется числу, записанному около таблицы). Докажи правильность решения с помощью вычислений. а) 170,1 б) 15,3 в) 21,12 7,5 1,4 0,8 5,9 6,3 4,2 9,1 2,7 3,6 0,2 3,4 7,1 4,7 2,5 5,3 6,6 1,8 9,7 1,1 3,2 6,4 2,3 5,5 8,7 0,6 7,8 9,9 Ш1 Воздух в 825 раз легче воды, а ртуть в 13,6 раза тяжелее воды. Во сколько раз ртуть тяжелее воздуха? Килограмм картофеля стоит 15р., килограмм капусты - 25 р., а килограмм моркови - 18 р. Хозяйка купила 4,8 кг картофеля, 2,04 кг капусты и 1,5 кг моркови. Сколько она должна заплатить за покупку? В школьной тетради 24 листа размером 15,6 см х 20,5 см. 1) Чему равна общая площадь всех страниц тетради? Вырази ее в квадратных метрах и округли полученное число до десятых. 2) Если выложить все тетрадные листы один за другим, совмещая по длине, то чему будет равен периметр периметр полученного прямоугольника? Вырази его в метрах и округли полученное число до сотых. Перепиши примеры в тетрадь, заполнив пропуски так, чтобы получились верные записи; а) □□ 9, 8 б) 0.П4П ПОз □ " 8П6П ^ 7ПП.8 + 274ПП . 4Q7 0 + ЗП2ПП □ □□□ □□□□□ Представь ответ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, указав период: ((91,2-0,064 • 750,5) • 600 - 70,9^ + 126,01): 110. Вычисли наиболее простым способом: 1) 34,946 • 0,2 • 500; 3)2,929 • 8,356 + 2,929 • 1,644; 2) 12,5 • 7,28 • 4 • 0,8 • 0,25; 4)47,612 • 3,21-47,512 • 3,21. 8* 211 Глава 4, §2, п.З тщ Шо| Длина класса 10,25 м, ширина - 7,5 м, а высота - 4,8 м. Сколько килограммов кислорода содержится в массе воздуха, наполняющей объем этого пустого класса, если масса 1 м® воздуха равна примерно 1,21 кг, а кислород составляет 24% этой массы? Ответ округли с точностью до десятых. Масса куриного яйца равна 80 г. Белок составляет 55% всей массы, а желток - 75% массы белка. Найди массу скорлупы. Два лыжника бегут по кольцевой трассе навстречу друг другу. Скорость первого лыжника 8,3 км/ч, а скорость второго на 1,9 км/ч больше. Через каждые 0,4 ч они встречаются. Чему равна длина трассы? Печенье упаковано в коробки, на которых написано: “Брутто — 12 кг, нетто - 11 кг”. Запиши десятичной дробью с точностью до сотых часть, которую вес нетто составляет от веса брутто. Вырази округленную часть в процентах. {Брутто - вес товара с упаковкой, нетто - без упаковки.) Упрости выражение и найди его значение: 1) 3,46jc - 0,927jc + 2,8х + 0,67л:, если л: = 500,1; 2) 4,25t/ + 16,9 f 1,5г/ - 11,203, если у = 0,0808. Три брата на даче заготавливали дрова. Средний брат заготовил в 2 раза больше дров, чем младший, а старший - в 3,5 раза больше, чем средний. Когда они сложили все дрова в сарай, то вместе с уже имеющимися дровами в сарае оказалось 6 м^ дров. Сколько кубических метров дров наколол каждый из братьев, если известно, что до начала заготовки в сарае было 0,6 м^ дров? Зависимость между переменными л: и г/ задана формулой: у = х(х + 2) - х^. 1) Заполни таблицу соответственных значений л; и у: л: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 У 2) Сравни соответственные значения х и у в таблице и найди другую формулу, выражающую зависимость у от х. Можно ли получить эту формулу из первоначальной формулы? 212 ------------------------------------------------------Глава 4, §2, п.З [l03j 1) Отметь на координатной плоскости точки А (0; 2), В (9; 11), С (9; 5), D (6; 2) и построй четырехугольник ABCD. Как называется такой четырехугольник? 2) Построй четырехугольник KLMN, если К (1; 7), L (4; 10), М (11; 3), N (8; 0). Определи его вид. 3) Раскрась цветным карандашом пересечение четырехугольников ABCD и KLMN. Какая фигура получилась? О i034l [ШЗ^ Три купчихи - Олимпиада Петровна, Виктория Карповна и Поликсена Федоровна - сели пить чай. Олимпиада Петровна и Виктория Карповна выпили вдвоем 11 чашек, Виктория Карповна и Поликсена Федоровна -15, а Олимпиада Петровна и Поликсена Федоровна - 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе? Сколько чашек чая выпила каждая из них? Числовые головоломки. 1) Какой цифрой оканчивается произведение: 101 • 102 • 103 • 104 • 105 • 106 • 107 • 108 • 109? 2) Какой цифрой оканчивается произведение 33 множителей, каждый из которых равен 3? Как записать это произведение с помопц>ю лишь трех троек? 3) Что надо поставить вместо звездочки в записи 4*5, чтобы получить число, большее четырех, но меньшее пяти? 10351 Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома ручку. Если теперь он продолжит путь с той же скоростью, то придет в школу за 3 мин до звонка, а если вернется домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает на 7 мин. Какую часть пути он прошел до того, как вспомнил о ручке? (Временем, необходимым для того, чтобы зайти в дом и взять ручку, - пренебречь.) Ш3б1 Оле было дано пятизначное число. К этому числу она должна была прибавить 200 000 и полученную сумму умножить на 3. Вместо этого Оля приписала к этому числу цифру 2 и получила верный результат. Какое число было дано Оле? 213 Глава 4, §2, п.4 [037| Ваня, Коля и Петя играли в настольный теннис “на вылет”, то есть в каждой партии двое играют, а третий ждет и в следующей партии замещает проигравшего (ничьих не бывает). В итоге оказалось, что Ваня сыграл 12 партий, а Коля — 25 партий. Сколько партий Коля отдыхал? Ответ объясни. 4. Деление десятичных дробей. Умножение десятичных дробей, как мы видели в предыдущем пункте, легко сводится к умножению натуральных чисел - надо только внимательно определить место запятой в произведении. А вот с делением десятичных дробей дело обстоит сложнее: может оказаться, что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби. Это связано с тем, что не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби. Попробуем, однако, и при делении десятичных дробей воспользоваться их аналогией с натуральными числами. Деление натуральных чисел проводится поразрядно: сначала делятся старшие счетные единицы, а затем последовательно, разряд за разрядом, -младшие. Используем этот же принцип и для деления десятичных дробей. Сначала рассмотрим простейший случай - деление десятичной дроби на натуральное число. Например, пусть надо разделить число 9,5 на 4. Разделим сначала целые единицы, затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли, оставшиеся десятые доли - в сотые и т.д. Если десятичных знаков окажется недостаточно, то всегда можно приписать к ним справа столько нулей, сколько требуется. Итак, будем делить на 4 сначала 9 целых, а затем последовательно -15 десятых, 30 сотых, 20 тысячных. В итоге получаем, что: 9,5:4 = 2,375. И вообще, чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, можно: 1) Выполнить деление целой части. 2) Поставить в частном запятую. 3) Продолжить деление, не обращая внимания на запятую, дописывая в делимом после запятой столько нулей, сколько потребуется. Теперь рассмотрим деление на десятичную дробь. Этот случай легко свести к делению на натуральное число. Найдем, например, частное от деления 0,3105 на 1,5. Для этого сначала заменим знак деления дробной чертой и применим основное свойство дроби: 0,3105 : 1,5 = * 10 _ 3,105 9,500 8 15 12 30 20 20 о 2,375 1,5 - 10 15 = 3,105 : 15. 214 — Глава 4, §2, п.4 Теперь выполним деление дроби на натуральное число по установленному выше правилу: ЗД05 I 15 О 0,207 31 105 105 о Данный способ можно применить для деления на любую десятичную дробь. Таким образом, чтобы разделить число на десятичную дробь, можно: 1) Перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе. 2) Выполнить деление на натуральное число. Рассмотрим теперь случай, когда при использовании данного правила получается бесконечный процесс деления на натуральное число. Попробуем, например, найти частное дробей 0,8 и 0,6: 0,8:0,6 = 8:6 = 1,33333... Мы видим, что сколько бы мы ни продолжали деление, в новых разрядах частного всегда будет получаться цифра 3. Происходит это потому, что точное значение частного равно несократимой дроби — , в знаменателе которой есть простой мно-3 8,0000... I 6 6 1,333... 20 1J 20 20 18 20 житель 3. Следовательно, эта дробь - а стало быть, и частное 0,8 : 0,6 - не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Следует сказать, что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей. Вместе с тем, как мы говорили, основным назначением десятичных дробей является их использование для практических измерений. А эти измерения, как правило, являются приближенными. Так, расстояния в разных случаях измеряют с точностью до 1 м, 1 см, 1 мм и т.д., массу - с точностью до 1 г, 1 ц, 1 т и т.д. Поэтому и результаты арифметических действий в практических расчетах часто приходится округлять. Заметим, что точно так же “вычисляет” и калькулятор: при делении, например, на калькуляторе с десятью разрядами числа 0,2 на 0,3 результат получается в виде десятичной дроби 0,666666667, которая является приближенным значением частного 0,2 : 0,3 с точностью до миллиардных. Подобным образом с некоторой заданной точностью одну десятичную дробь всегда можно разделить па другую десятичную дробь. 215 Глава 4, §2, п.4 О [103^ Проверь, верно ли выполнена “прикидка”: 1)86,4:4» 20; 2) 489,2 : 5» 100; 3) 419,64 : 52 »8; 27,27 :7»4; 509,4: 6 »80; 2163, 4 : 29« 70; 75,84: 8» 9; 764,7 :3»250; 5625,62 : 91 «60. Найди с помощью прикидки приближенное значение частного: 1) 27,72:3; 3)177,6:6; 5)3622,6:59; 2) 24,85:5; 4)200,56:23; 6)259,94:82. Шо| Зная, что 3595 : 5 = 719, найди частное: 1)35,95:5; 2)359,5:5; 3)3,595:5; 4)0,3595:5. 10411 Выполни прикидку и поставь в частных пропущенные запятые и нули: а) 33,28 : 8 = 416; г) 2049,74 : 22 = 9317; б) 4,23:6 = 705; д) 1505,7 : 315 = 478; в) 2558,4 : 41 = 624; е) 22,008 : 42 = 524. Вычисли устно. Результат проверь умножением: 1)8,4:4, 2) 1,6:8; 3)0,81:9; 4)9:2; 6,8 : 2; 2,4 : 4; 0,64 : 8; 1:4; 10,5:5; 6,3:7; 0,3:6; 2,8:70. 104^ Выполни деление. Проверь результат с помощью умножения: а) 81,18: 9; г) 312,156 : 39; ж) 1,463: 7; к) 5,751: 639; б) 361,2:42; д) 1852,59 : 37; з) 0,288: 6; л) 0,138: 345; в) 5168: 85; е) 4584,36 : 506; и) 4,35: 58; м) 0,05076 : 72. Реши задачи и определи, что в них общего и что различного. Придумай аналогичную задачу с другими величинами и числами: 1) Лодка проплыла 16,8 км по течению реки за 2 ч, а вернулась обратно за 3 ч. На сколько километров в час скорость лодки по течению больше, чем ее скорость против течения? 2) Саша купил 4 одинаковые ручки за 96 р., а Ира купила 6 таких же ручек за 132 р. Кто купил ручки по более низкой цене? 3) Конфеты расфасованы в коробки по 10,8 кг в каждой. Из одной коробки их разложили поровну в 9 пакетов, а из другой - в 15 пакетов. Масса каких пакетов меньше и на сколько? 216 Глава 4, §2, п.4 [10451 Выполни деление. Результат проверь с помощью умножения: а) 25,2: 0,4; е) 20,416 : 0,29; л) 427,8 : 0,046; ж) 3,7259 : 3,7; з) 648,432 : 0,72; и) 200,1 :0,69; к) 56,58 : 0,0082; б) 49,56 : 0,007; в) 397,5:0,53; г) 276,08 : 0,068; д) 7164,5: 8,9; м) 295,22 : 0,0058; н) 6 : 0,0064; о) 0,08008 : 3,85; п) 0,02292 : 0,075. 104б| Игра “Проще простого”. Игра проводится по аналогии с игрой “Крестики-нолики”. Из предложенных десяти чисел надо выбрать пару чисел, а затем найти их частное. Если частное принадлежит таблице, игрок отмечает его в таблице соответственно “крестиком” или “ноликом”. Выигрывает тот, кто первым заполнит строку, столбец или диагональ. 0,5 1,2 25 0,1 20 1,8 50 2,5 10 0,4 а) 25 0,05 12 2,4 100 5 0,18 20 0,2 б) 0,01 500 3 8 0,25 10 200 0,12 6,25 в) 40 250 0,04 18 50 3,6 4,5 125 4 10471 Найди число, если: а) 0,09 его составляют 638,1; г) 4% его составляют 0,1634; б) 0,72 его составляют 58,104; д) 35% его составляют 7,014; в) 1,96 его составляют 1097,6; е) 240% его составляют 23 040. 1048| Блицтурнир. 1) Сыну 12 лет, его возраст составляет 0,4 возраста отца. Сколько лет отцу? 2) Плотцадь одной комнаты равна 15,2 м^, что составляет 80% площади второй комнаты. Чему равна площадь второй комнаты? 3) В классе 12 девочек. Число девочек класса составляет 0,6 числа мальчиков. Сколько всего учащихся в этом классе? 4) Автотурист проехал в первый день 180 км. Это составило 120% пути, который он проехал во второй день. На сколько километров больше проехал автотурист в первый день, чем во второй? 5) Бананы стоят 40 р., что составляет 50% стоимости винограда, а стоимость винограда составляет 32% стоимости ананасов. Сколько стоят ананасы? 217 Глава 4, §2, п.4 1049| Не вычисляя, найди в строках правильные ответы. Из соответствующих им букв составь фамилию известного философа XVITI в., который выдвинул гипотезу о происхождении Солнечной системы из первоначальной туманности (космогоническая теория). В какой стране жил этот философ? 1,218 : 4 3,045 @ 30,45 0,3045 304,5 0 121,8:0,4 304,5 0 3,045 0 30,45 0 3045 0 0,1218:0,04 30,45 0 0,3045 0 304,5 0 3,045 0 1,218:0,04 0,3045 0 30,45 0 3,045 0 304,5 0 Ш| Числовой кроссворд. По горизонтали: а) 3,709 • 6,08; б) 197,5 • 40,07; в) 82 600 • 8,006; По вертикали: г) 1511,955: 125; д) 360,242 : 0,08; е) 10132,71 : 0,0375. Ш| Найди часть, которую одно число составляет от другого, и вырази ее в процентах: 1)45 от 30; 2) 0,7 от 2,8; 3) 0,36 от 6; 4) 4,8 от 64. 1) Вчера плащ стоил 3500 р., а сегодня - 2800 р. Какую часть новая цена плаща составляет от старой? Вырази эту часть в процентах, 2) Из 360 т сахарной свеклы получили 57,6 т сахара. Какой процент содержания сахара в сахарной свекле? 1) При переработке 8 ц пшеницы получено 6,8 ц муки. Какую часть первоначальной массы пшеницы составили отходы? Вырази эту часть в процентах. 2) Рыбак поймал 19,5 кг рыбы, а после вяления ее масса уменьшилась до 11,7 кг. Сколько процентов своей массы теряет рыба при вялении? Звезды имеют различную яркость. Самые яркие - звезды первой величины, а самые слабые по яркости, которые можно разглядеть в ночном небе, - звезды шестой величины. Яркость звезд при переходе от одной величины к другой последовательно уменьшается примерно в 2,5 раза. Какую часть яркость звезд шестой величины составляет от яркости звезд первой величины? Округли результат до тысячных и вырази его в процентах. 218 Глава 4, §2, п.4 1055| Найди значения а, & и с: 1) 2) 3) 4) Составь программу действий и вычисли: 1) 6,82 + (15 - 0,024): 0,72 + 10 • 0,01; 2) (44,33 + 100,006): 4,8 - 0,179 : 0,1; 3) 37,2 : (1,6 - 1,352) - 30,8 • (1,25 + 2,8); 4) 15,3 : 15 + (8,484 : 1,05 + 0,034 : 1,7) • 0,01. Папа изготовил ящик для своих инструментов. Он использовал 0,78 м^ фанеры по цене 160 р. за квадратный метр, 0,45 м^ оргалита по 96 р. за квадратный метр, 2 петли по 74 р. за штуку, 14 шурупов по 12 р. за десяток, защелку за 15 р. и 2 ручки по 27,5 р. за штуку. Кроме того, ему потребовалось 0,15 кг гвоздей по цене 140 р. за килограмм и упаковка клея за 26 р. В магазине такой готовый ящик стоит 2460 р. Сколько денег сэкономил папа? Портной для пошива рубашек приобрел 2 рулона одинаковой ткани, один рулон длиной 17,5 м, а другой-на 5 м больше. 1) Сколько рубашек он сшил из этой ткани, если на одну рубашку идет 2,5 м? 2) По какой цене за метр портной покупал ткань, если известно, что каждая рубашка была продана по цене 800 р. за штуку, а стоимость пошива и торговая наценка составили 40% цены? Дачник приобрел участок земли квадратной формы с периметром 200 м по цене 5,8 тыс. р. за сотку. Он решил поставить ограду с двумя калитками шириной 1,25 м каждая. Стоимость одной калитки равна 3,6 тыс. р., а 10 погонных метров ограды стоят 6 тыс. р. Бригада рабочих поставила ограду за два дня, работая по 8 часов в день. Их работа в течение одного часа стоит 350 р. 1) Чему равна стоимость участка земли? 2) Чему равна стоимость ограды вместе с ее установкой? Глава 4, §2, п.4 Прочитай выражение и найди его значение при а = 0,05 и & = 0,1: 1) (а:ЬГ; 3){a:bf; 2) : Ь^; 4) : Ь^; Вычисли: а) 0,1 • 0,2 • 0,3 • 0,4; 5) : Ь^; 6) : Ь^. b)(0,1)«; д) 0,0016: 0,02; ж) (9: 0,03)2; г) (0,2)5; е) 0,35 : 0,00007; 3)0,12:0,12. 6)0,4 • 0,05 • 0,006; 1обЭ Найди значение выражения: 1) 97,6 : (0,42 . 30,5) . (4,22 + 1,08) - 0,7 • 0,005 : 0,52 • 2800; 2) (38,76 : 9,5 - 77,4 : 30)2 . (5 _ 4 g)3 + (2,42 - 1,62) . ода. С одного цветка одновременно в противоположные стороны полетели две стрекозы. Через 0,08 ч между ними было 4,4 км. Скорость полета первой стрекозы равна 28,8 км/ч. Чему равна скорость полета второй стрекозы? Почтовый поезд вышел со станции в 7 ч 54 мин утра со скоростью 48,5 км/ч. В 9 ч 30 мин утра с той же станции и в том же направлении отправился скорый поезд. С какой скоростью он должен ехать, чтобы догнать почтовый поезд на расстоянии 174,6 км от станции? Из морского порта отплыл пароход со скоростью 36,8 км/ч. Через 1,75 ч из этого же порта и в том же направлении отплыл катер. Через 1,8 ч после выхода катера расстояние между пароходом и катером стало равно 86,9 км. С какой скоростью плыл катер? В 8 ч утра из пункта И в пункт В выехал автобус со скоростью 45,6 км/ч, а в 9 ч утра из того же пункта в том же направлении выехала легковая машина. Автобус, двигаясь без остановок, прибыл в пункт Б в 14 ч, а легковая машина - в 13 ч 30 мин. На каком расстоянии от А машина догнала автобус? В котором часу это произошло? Какое расстояние было между машиной и автобусом за полчаса до встречи и через полчаса после встречи? Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 51 км, одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста. Скорость первого велосипедиста равна 15,3 км/ч, что составляет 0,6 скорости второго велосипедиста. Через сколько времени после выезда расстояние между велосипедистами будет равно 22,44 км? (Рассмотреть два случая - момент времени до встречи и после встречи.) 220 Глава 4, §2, п.4 Реши уравнения: 1) 2,16а - 0,7а + 1,04а = 11,77; 2) 15,056+ 3,26-& = 34,5; 3) 4,8oJ + 5,91 + lZ,2d = 150; 4) 0,2с + 1,6с + 1,1 = 52,5 + 3,5; 5) (2,3л: + 0,9): 0,04 - 19,176 = 9,074; 6) 4,505 : (0,4г/ - 0,02) + 2,29 = 3,54; 7) 10,72 + 0,324 : (5,5 -t:78) = 10,8; 8) 25,12-5,12 • (4,5-32) = 0,056 • 380. Ш| 1) Длина прямоугольника в 1,25 раза больше ширины. Найди его плош,адь, если периметр прямоугольника равен 66,6 см. 2) Ширина прямоугольника в 3,2 раза меньше длины, а периметр равен 105 м. Найди периметр и плош;адь квадрата со стороной, равной ширине этого прямоугольника. 1) Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет 80% длины, а высота -124% длины. Найди объем этого прямоугольного параллелепипеда, если сумма длин всех его ребер равна 30,4 дм. 2) Куб и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую сумму длин ребер - 42 см. Ширина прямоугольного параллелепипеда на 1,2 см меньше длины, а высота - на 0,9 см больше ширины. На сколько квадратных сантиметров плогцадь поверхности куба больше плопдади поверхности прямоугольного параллелепипеда? 1) Два велосипедиста находились на расстоянии 21,3 км друг от друга. Они выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 0,6 ч. Найди скорость каждого велосипедиста, если скорость одного из них составляет 150% скорости другого. 2) Два пешехода находились на расстоянии 3,2 км друг от друга. Они вышли одновременно в противоположных направлениях и через 0,4 ч оказались на расстоянии 6,8 км друг от друга. Найди скорости пешеходов, если известно, что скорость одного из пешеходов на 0,6 км/ч больше скорости другого пешехода. 1) Два поезда - пассажирский и товарный - выехали одновременно в одном направлении из двух городов, удаленных друг от друга на расстояние 52,8 км. Через 1,75 ч расстояние между поездами увеличилось до 75,2 км. Найди скорости поездов, если скорость товарного поезда составляет 84% скорости пассажирского поезда. 2) По реке плывет плот. Через 1,4 ч после того, как он проплыл мимо пристани, от этой пристани вниз по реке отправилась лодка. Через 0,5 ч после своего выхода лодка догнала плот. С какой скоростью плыла лодка, если известно, что скорость лодки больше скорости плота на 7 км/ч. Глава 4, §2, п.4 1073 Вычисли устно и расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Объясни смысл полученного слова. @1,6:0,8 '@5,1:0,17 @0,01:0,02 @7,2:0,036 @2:0,05 @0,48:0,6 @ 7:0,007 @0,09:0,001. Магический квадрат. Выполни деление с точностью до сотых. Ответы примеров соответственно их номерам запиши в клетки 1, 2, 3 и 4 квадрата. Остальные клетки квадрата заполни так, чтобы он стал магическим, то есть чтобы сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же. 1) 775,4 : 74; 2) 15,092 :0,48; 3) 183,39 : 3,5; 4) 4320,056:91,6. 1 4 5 7 2 6 8 9 3 1073 Как изменяется частное двух чисел при изменении делимого и делителя? Что произойдет с частным, если округлить: а) делимое с избытком; б) делимое с недостатком; в) делитель с избытком; г) делитель с недостатком; д) делимое и делитель с недостатком; е) делимое и делитель с избытком; ж) делимое с избытком, а делитель - с недостатком; з) делимое с недостатком, а делитель - с избытком? Сравни, если все переменные натуральные числа: 1) а : 7,2 и а: 2,7; 3) 4,026 : с и 4,206 : с; 5) /г: 0,03 и к • 0,03; 2) 6: 1,45 и 6: 1,5; 4) 9,08 : d и 8,999 : d; 6) л • 2,18 и л : 2,18. [077| Равны ли выражения? Если нет, то во сколько раз одно из них больше или меньше другого? 1) 14,56 : 1,82 и 145,6 : 1,82; 2) 14,56 : 1,82 и 0,1456 : 1,82; 3) 14,56 : 1,82 и 14,56 : 182; 4) 14,56 : 1,82 и 14,56 : 0,182; 10781 Вычисли устно: 1) 12,34 • 567,89-123,4 • 56,789; 2) 12,34 : 567,89 - 123,4 : 5678,9; 3) (12,34 • 567,89-1,234 • 5678,9) 5) 14,56 : 1,82 и 145,6 : 18,2; 6) 14,56 : 1,82 и 1,456 : 0,182; 7) 14,56: 1,82 и 1456 : 18,2; 8) 14,56 : 1,82 и 1,456 : 0,0182. (12,34 • 567,89 t 12340 • 0,56789); 4) (12,34 : 567,89 - 1,234 : 56,789) • (12,34 : 567,89 -f 12340 : 0,56789). 222 ------------------------------------------------Глава 4, §2, п.4 1079| Выполни программу действий и расшифруй математические термины. Можешь ли ты объяснить их смысл? 1) ср а 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 5 X ' 0.5 буквы •0,1 :0,1 J- > 2) а 0,8 1 1,4 1,8 2,4 4 X буквы П И О Р Я ц 112 3,08 0,18 112 0,18 3,08 429 0,67 4,58 223 Глава 4, §2, п.4 1080| 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Отношением числа а к числу Ь называется частное от деления а на Ь. 2) Найди отношение числа а к числу Ь, если: а) а = 6, 6 = 3; г) а = 896, 6 = 2,8; ж) а = 16,0128, 6 = 3,2; б) а = 8, 6 = 40; д) а = 109,2, 6 = 0,014; з) а = 0,06001, 6 = 0,00085; в) а = 19, 6 = 7; е) а = 120,03, 6 = 0,15; и) а = 15185,06, 6 = 0,0506. 1081| Практическая работа. 1) Начерти окружность произвольного радиуса. Измерь с помош;ью нитки длину окружности и найди отношение длины окружности к ее диаметру. Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. 2) Измерь с помощью палетки площадь произвольного круга. Найди отношение площади круга к квадрату его радиуса. Повтори эксперимент еще 2 раза. Сформулируй гипотезу. 1082| 1) Архимед установил, что отношение длины окружности к ее диаметру 22 есть величина постоянная, равная примерно значению дроби —. Вырази ее десятичной дробью с точностью до сотых и запиши приближенное равенство, выражающее зависимость длины окружности С от ее диаметра D. 2) Пользуясь полученным равенством, найди приближенное значение: а) длины окружности, радиус которой равен: 5 см; 16 дм; 40 м; б) диаметра и радиуса окружности, длина которой равна: 12,56 дм; 1,57 м; 188,4 см. 22 1) Уже в древности было известно, что Архимедово число-^— примерно равно отношению площади круга к квадрату его радиуса. Замени эту дробь десятичной дробью с точностью до сотых и запиши приближенное равенство, выражающее зависимость площади круга S от квадрата его радиуса R. 2) Пользуясь полученным равенством, найди приближенное значение: а) площади круга, радиус которого равен: 5 см; 16 м; 40 дм; б) радиуса и диаметра круга, площадь которого равна: 78,5 см^; 12,56 дм^; 314 м^. 224 о ------------------------- ——----------------------Глава 4, §2, п.4 цщ Найди общие высказывания и высказывания о существовании. Докажи или опровергни их: 1) Все натуральные числа, меньшие 4, простые. 2) Число 10 имеет составные делители. 3) Всякое составное число имеет составные делители, не равные ему. 4) Число, кратное 3 и 5, кратно 15. 5) 3 а е i?: 5 • а < 5 (Д - множество дробей). 6) 3 6 е Л: 24 : 5 > 24 (Л - множество дробей). 7) 3cGiV: 24: с > 24 (N — множество натуральных чисел). 8) 3deiV: 24 : d > 24 (N - множество натуральных чисел). 1085| Приведи примеры дробей, которые можно привести к знаменателю 10, к знаменателю 100. В каком случае несократимую дробь ^ можно привести к знаменателю 100? Выпиши множество дробей с числителем 1, которые можно привести к знаменателю 10, и множество дробей с числителем 1, которые можно привести к знаменателю 100. Найди пересечение и объединение этих множеств. Что ты замечаешь? Верны ли утверждения? 1) Если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби, то ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5. 2) Если знаменатель несократимой дроби имеет в качестве простых делителей только 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби. 3) Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае, когда ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5. Какие из этих утверждений останутся верными, если убрать слово несократимая (с соответствующим падежным окончанием)? 1088| Найди натуральное число д, если: 0,2; 0,3. Являются ли периодическими “дроби”, если сохранится закономерность их построения: а) 0,101001000100001000001...; б) 0,123456789101112131415... ? q в)|- «0,1; , 1 д) ~ « /о q 1 «0,14; г) «0,13; 1 е) g « Глава 4, §2, п.4 Найди, какую часть число А составляет от числа В, и вырази эту часть в процентах: 2М = 4.(в|-1|) 12 Ч 14 • ^ 7 ’ Из запаса кислоты в 2 кг студент взял для опыта 84 — г. Оказалось, что 3 ^ он взял на 1 — г больше, чем следовало. При повторном опыте он взял все- 1 ^ таки на — г больше, чем следовало. Сколько кислоты осталось после двух 5 опытов? Шахматная школа для участия в городских соревнованиях должна сформировать команду из трех человек. Отборочный турнир прошли шесть человек. Результаты их игр за последние полгода приведены в таблице. Назови трех ребят, показавших лучшую результативность (результативность - это частное от деления числа набранных очков на число игр). № Фамилия, имя Число игр Число очков 1 Конев Л. 56 37 2 Королев Б. 40 25 3 Ладьин В. 64 48 4 Офицеров Г. 32 28 5 Пешков Д. 45 27 6 Ферзев Е. 48 43 10931 Вырази; 1) в метрах в минуту: 6 км/ч, 18 км/ч, 42 км/ч, 90 км/ч; 2) в метрах в секунду: 30 м/мин, 180 м/мип, 240 м/мин, 690 м/мин; 3) в километрах в час: 4 м/с, 15 м/с, 50 м/мин, 800 м/мин. Образец: 1C / 15*1000 / ! 15 км/ч = —— м/мин = 250 м/мин 8 м/с = 60 8•3600 1000 км/ч = 28,8 км/ч 226 Глава 4, §2, п.4 Собака пытается догнать лисицу. Скорость собаки 42 км/ч, а скорость лисицы 37,5 км/ч. Сейчас между ними 750 м. На каком расстоянии друг от друга они будут через t мин (t < )? Запиши формулу зависимости расстояния d м между собакой и лисицей от времени их движения t мин и составь таблицу соответственных значений twd для значений f = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 мин. Через сколько минут собака догонит лисицу? Рассмотри таблицу. Построй формулу зависимости переменной у от переменной х: 1) 2) X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 у 0,6 1,2 1,8 2,4 3 X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 У 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 3) 4) X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 У 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 У 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 Игра “Кто больше?”. 1) Какая фигура изображена на рисунке? Измерь ее стороны, углы, диагонали и перечисли как можно больше ее свойств. все пути. 3) Сколько на рисунке прямых, острых, тупых углов? Назови все пары вертикальных и смежных углов. [109Т| 1) Что общего у всех фигур на рисунке? Как все их можно назвать одним словом? Какая фигура лишняя? Почему? Как можно назвать все оставшиеся фигуры? Перечисли все возможные названия для каждой из них. О 2) Найди на рисунке острые, прямые и тупые углы. Из букв, соответствующих каждому виду углов, составь по три слова слова. 227 Глава 4, §2, п.4 О Построй математическую модель задачи и ответь на поставленный в задаче вопрос. 1) Маша посчитала, что если даст всем своим гостям по 2 пирожка, то 4 пирожка останутся лишними, а если будет давать всем по 3 пирожка, то 2 пирожков не хватит. Сколько гостей пригласила Маша? 2) Если турист проедет расстояние между городами А и В на велосипеде, то он затратит на 2 ч 30 мин меньше времени, чем если пройдет этот же путь пешком. Чему равно расстояние между А и В, если на велосипеде турист едет со скоростью 12 км/ч, а пешком идет со скоростью 4 км/ч? Выполни действия с числами, обозначающими доходы и расходы (см. № 637). Что общего в приведенных примерах? Сформулируй гипотезу. -2,5+ 3,6-1,2 3,6-1,2-2,5 -1,2-2,5+ 3,6 -2,5 - 1,2 + 3,6 3,6 - 2,5 - 1,2 - 1,2 4 3,6 - 2,5 11001 Перепиши равенства и поставь в частных пропущенные запятые и нули: а) 49,44 : 6 = 824; в) 44,1 : 98 = 45; д) 1753,38 : 54 = 3247; б) 204,8:8 = 256; г) 102,06 : 14 = 729; е) 317,52 : 756 = 42. Выполни деление, результат проверь с помощью умножения. Расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам и расшифруй слово. Оно имеет два значения: одно - из области балета, а второе - из области живописи. Найди эти значения в словаре или энциклопедии. Щ18:24 05568,3:69 [Ё] 56,32:8 0 1,8356:26 0326,4:34 03099,81:509 0 1563,9:78 00,7221:87 Дима сыграл 12 партий в шахматы и набрал 9 очков, а Игорь за 10 шахматных партий набрал 8 очков. Кто из них сыграл результативнее? Вычисли и проверь с помощью прикидки. Расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам и расшифруй географические названия. Что это такое и где расположено? 1) Е 50,4:0,7 049,4:9,5 Ы 2,989 : 42,7 Н Н 13,6 : 0,34 0 3936 : 4,8 П 190,5:0,375 Н 14,076:0,46 2) П 244,62:2,7 0,0705 : 7,5 0,0306 : 0,85 0 72,54 : 0,009 ^275,728:30,4 0 1771,2 : 2,05 037,647:0,94 4,536 : 4,5 228 Глава 4, §2, п.4 Самолет доставил смену зимовщиков из Москвы на полярную станцию, В первый день самолет пролетел 2400 км. Это составило 0,8 пути, который самолет пролетел во второй день. А весь путь за первые 2 дня был в 4,5 раза больше пути третьего дня. Чему равна длина воздушного пути от Москвы до полярной станции? Фермер привез на рынок 8 ц картошки и продал ее за 3 дня. В первый день он продал 320 кг, а во второй день - 0,6 этого количества. Сколько килограммов картошки продал фермер в третий день? Какую часть привезенной картошки продавал фермер в каждый из трех дней? Вырази эти части в процентах. Составь программу действий и вычисли: 1) 102 - 2,5 • (1,06 + 1,554 : 0,148) -+- 3854 : 500; 2) 510 : (22,34 - 9,84) + (588,41 - 78,6 • 3,05): 37,9; 3) 3500,2 : 0,86 • (3,2 - 2,491) - 31,635 : (2,8 • 8,6 - 19,58) • 80; 4) (8 : 0,032 + 30,647 : 0,1): (10 - 0,567 : (2,61 + 9,99); 0,01 - 0,84 : 8,4). Квадратный стол со стороной 1,2 м имеет две выдвижные доски шириной 0,5 м. 1) Сколько человек можно разместить за этим столом, если на каждого человека по длине и ширине стола должно приходиться не менее 0,5 м? 2) Какими должны быть размеры и площадь скатерти для этого стола, чтобы края скатерти свисали с каждой стороны на 0,4 м? Пользуясь блок-схемой, вычисли значения х и расположи их в порядке убывания, сопоставив соответствующим буквам. Расшифруй фамилию древнегреческого ученого, который одним из первых дал образцы применения математики в естествознании и технике: а 0,05 0,1 0,3 0,5 0,6 1 2 X буквы Р А И X Д Е М Найди значение выражения: 1) (а + 3,62)^: 0,25 - : 40, если а = 0,4; 2) ; 0,05 + (1,2 - bf : 0,4 -Ь 70,037, если Ь = 0,6. 229 Глава 4, §2, п.4 Шо1 Из пункта А в пункт В одновременно по одной дороге отправились пешеход и велосипедист. Расстояние между пунктами А и В равно 24 км. Пешеход идет со скоростью 3,75 км/ч, что составляет 25% скорости велосипедиста. Через сколько времени расстояние между ними станет равно 9 км? Какое при этом расстояние до пункта В останется проехать велосипедисту и пройти пешеходу? 1111| Реши уравнения: 1) 5,8x+ 7,04х = 3,21; 2) 0,321/- 7,29 = 5,67; 3) (2,61 - 42): 0,03 + 4,6 = 90; 4) 8,36 - 5,36 : (0,2/г + 0,i7k) = 7,56. 1 112| Ширина прямоугольника составляет 40% длины, а его периметр равен 68,6 см. Найди площадь этого прямоугольника и вырази ее в квадратных дециметрах. поезда вышли одновременно в одном направлении с двух железнодорожных станций, расстояние между которыми 84 км. Через 1,5 ч расстояние между поездами сократилось до 58,8 км. Найди скорости поездов, если известно, что скорость одного из них составляет 79% скорости другого. шз Числовой кроссворд. По горизонтали: а) 2,9628 : 24; б) 92,592 : 7,5; в) 70370,1; 300; г) 86,4195 : 0,025; д) 82,22202:0,0018; е) 45,4312 : 0,00008; По вертикали: а) 0,15 • 0,823; ж) 0,064 • 192,9; з) 3890 • 0,0603; и) 0,3389 • 10 200; к) 35,41 • 1290; л) 521 000 • 1,09. а . 7 ж 3 и к л 6 7 в 7 Г у д > е UJj 1) На какое число надо умножить 2 чтобы получить тот же результат, 1 5 что и при делении 3 на 0,35? ^ 5 2) На какое число надо разделить 3— , чтобы получить число в 2 раза боль- 13 ^ шее, чем разность ^ ^ 1 12 Длина классной комнаты 13 — м, ее ширина - 7 — м, а высота - 3— м. Сколь- 3 Z о ко весит воздух, наполняющий этот пустой класс, если 1 дм® воздуха весит примерно 1,2 г. шз Запиши ряд чисел, которые получатся, если последовательно округлять число 7450,956 с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых. ПИ 230 Глава 4, §2, п.4 та Вырази: 1) в метрах в минуту: 24 км/ч, 15 м/с; 2) в метрах в секунду: 540 м/мин, 90 км/ч; 3) в километрах в час: 5 м/с, 100 м/мин. Два пешехода идут в противоположных направлениях. Скорость одного из них 4,2 км/ч, а скорость другого - 80 м/мин. Сейчас расстояние между ними равно 30 м. На каком расстоянии друг от друга они будут через t мин? Запиши формулу зависимости расстояния d м между пешеходами от времени их движения t мин и составь таблицу соответственных значений t Hd для t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 мин. Сравни, если все переменные натуральные числа: 1) а ♦ 0,8 и а; 3) 7,4 • с и с • 4,7; 5) k : 0,4 и /г; 7) 5,6 : л и 8,1 : л; 2) 6 • 1,2 и Ь; 4) d • 0,5 и d • 0,6; 6) т : 3,5 и /п; 8) f : 0,2 и ^ : 0,7. Начерти прямоугольник, стороны которого в 2 раза больше сторон данного прямоугольника, и заполни его паркетом по образцу. Раскрась получившийся рисунок так, чтобы было красиво. 2) О 7—к г. S г 7 Старинная задача. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов? Задача из “Счетной мудрости” (XVII в.). Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен. Мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было и женска порознь? (1 гривна равнялась 10 копейкам, а 1 алтын - 3 копейкам.) \Щ Вася и Петя, поссорившись, разбежались с одинаковыми скоростями в противоположных направлениях. Через 5 минут Вася спохватился, повернул назад и, увеличив скорость, побежал догонять Петю. Во сколько раз увеличил скорость Вася, если он догнал Петю через 5 минут после того, как повернул назад? 231 Глава 4, §2, п.4 1125| Из рассказа А.П.Чехова “Репетитор”. Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Сколько купил он того и другого по отдельности, если синее сукно стоило 5 р. за аршин, а черное - 3 р.? Задачи для самопроверки. 1126 Представь в виде суммы разрядных слагаемых число 180,7405. Найди сумму: 9000 + 700 + 2 + 0,06 + 0,009. Вычисли: а) 2,514+ 40,3; д) 7,8 : 100; б) 94,2-7,56; е) 0,74 • 1000; в) 43,912+ 0,588; ж)32,5-0,1; г) 62-5,996; 3)4,025:0,01; Счет-тест (в тестах 1-5 записываются только ответы). Тест 1 (2 мин) 2,06 + 4,23 0,24 + 4 3,42 + 1,58 9 + 1,395 и) 3,015*58; и) 2,574 : 0,36; к) 2,96 • 1,03; 0)9,696:0,096; л) 20,5 • 0,308; п) 74,524 : 2,48; м) 0,056 • 7900; р) 0,17604 : 4,89. 1,5+ 2,3 0,9+ 3,4 Тест 2 (2 мин) 4,8-1,2 0,37-0,17 2,5-0,7 0,94-0,21 Тест 3 (2 мин) 2,94 - 10 50,6:10 0,73 • 100 0,3 : 100 Тест 4 (3 мин) 2 • 0,9 0,3 • 0,7 0,4 • 80 0,08 • 0,2 Тест 5 (3 мин) 2,5:5 0,8:0,4 4,8:0,06 0,36 : 6 10 : 0,2 0,63 : 0,7 Тест 6 (6 мин) 6,72 • 506 3,094 • 7050 Тест 7 (6 мин) 80,55 : 0,895 435,84 : 4,8 3,16 + 2,4 1,8 + 0,35 5,68-3,2 4-1,5 1-0,6 2,3-0,04 19-0,1 25:0,1 78,5 - 0,01 0,689 : 0,01 0,05 - 1,8 (0,4)2 2,6 - 0,01 (0,01)3 2,9 : 0,29 0,034 : 3,4 27,5 - 0,084 0,01768:0,52 232 Глава 4, §2, п.4 гщ гщ Найди значения выражений: 1) 7,04:5 + 5,624:9,5; 2) 1872 : (11,76 - 9,36) • 0,505; 3) 0,609 : 0,01 • 700 - (9,794 + 143,8): 0,069; 4) 38,5 • 9,04 - (9,86 + 303,64): (7,35 - 6,4) + 87 : 12,5. Вырази в дециметрах и найди значение выражения: 9 дм 2 мм + 3 м 6 дм 8 см - 25 дм 7 см + 3 см 8 мм - 42 см. Два автомобиля едут по шоссе навстречу друг другу. Скорость одного из них равна 75,8 км/ч, а скорость другого - 64,4 км/ч. Сейчас между ними 56,08 км. На каком расстоянии друг от друга будут автомобили через 15 мин? Через сколько времени они встретятся? Велосипедист и пешеход отправились одновременно из деревни на станцию. Велосипедист ехал со скоростью 18,4 км/ч. Через 0,6 ч он обогнал пешехода на 7,68 км. С какой скоростью шел пешеход? Лодка плывет по реке со скоростью 8,4 км/ч. Впереди нее на расстоянии 2 км плывет плот. Найди скорость плота, если известно, что лодка догнала его через 24 мин. С одной и той же станции одновременно в противоположных направлениях вышли два поезда - пассажирский и товарный. Пассажирский поезд идет со скоростью а км/ч, а скорость товарного поезда составляет 75% скорости пассажирского поезда. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 2,4 ч? Составь выражение и найди его значение при а = 84. ГЩ Реши уравнения: 1Ч1(-3 ^ 2)3i-(4i. + .):5i-^, Ширина прямоугольника равна 3,6 м, что составляет 0,45 его длины. Ширину прямоугольника увеличили на 25% , а длину - на 20% от первоначального значения. На сколько квадратных метров увеличилась его площадь? Длина коробки равна а дм, ширина составляет 40% длины, а высота - 125% длины. Коробку наполнили пшеничным зерном, 1 дм^ которого весит 0,8 кг. Сколько весит коробка с зерном, если пустая коробка весит 1,4 кг? Составь выражение и найди его значение при а = 5,7. Ответ округли с точностью до десятых. 233 Глава 4, §2, п.4 Задачи на повторение. 01 1141 |П44| Найди в каком месте нарушена закономерность: а) 5,4; 0,054; 0,0054; 0,000054... в) 2; 0,6; 0,18; 0,54; 0,162; 0,0486... б) 8,44; 4,22; 2,11; 1,55; 0,775... г) 70; 8; 7; 1,6; 0,7; 0,32; 0,07; 0,64... Игра “Пятый лишний”. Какое число может быть «лишним»? а) 2,333; 3,233; 33,23; 3,232; 3,332; 6)107; 20,6; 3,5; 4,04; 70,3. я 9 1 197 Среди чисел 4,085; 1 ^ ; 16; 0;— ; 7,24;— ; 3; — ;52,0 найди: 4 9 15 100 а) натуральные числа; б) числа, записанные в виде обыкновенных дробей; в) запись в виде смешанных чисел; г) запись в виде десятичных дробей. Назови разряды числа, в которых записана цифра 7: а) 707 070 707 070; б) 72,72727272. Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых; а) 92 504 633; 6)21,0583407. В записи числа 38 *61 07* поставь вместо звездочек цифры так, чтобы получилось число: а) кратное 2; б) кратное 5; в) кратное 10; г) кратное 100; д) кратное 3; е) кратное 9; ж) кратное 2 и 3; з) кратное 15; и) кратное 45; к) кратное 25; л) кратное 8. 1145 Докажи, что сумма 82л + 1723 - 901, где л е ЛГ, является числом нечетным. Докалси или опровергни высказывание: 1) Каждый элемент множества А = {2, 4, 6, 10, 24, 60} является делителем числа 240. 2) Все делители числа 240 - четные числа. 3) Сумма любых двух нечетных чисел и четного числа есть число четное. 4) Существуют двузначные делители числа 8. 5) 3 X е iV (л:^ = 5х). 6) Число 1 является простым числом. 11471 Чему равна цена деления шкалы числовой прямой? Перечерти ее в тетрадь 1 17 иотметьианейчисла: —; 0,5; 1,25; 1—; 1—; 2,75; 3,1250. 8 2 8 i t «■ I I I I I I I 0 1 148 5 24 9 7 14 1 48 Среди дробей —, -5- , 77 , -x , X77 » ^ , 73 найди: a) правильные дроби; 17 3 9 2 245 56 48 б) неправильные дроби; в) сократимые дроби; г) несократимые дроби. 234 Глава 4, §2, п.4 Выдели целую часть числа: 11 17 25 54 78 43 1569 4 ’ 3 ’ 8 ’ 5 ’23’ 10’ 100 ■ 1150 5 2 8 3 47 Представь число в виде неправильной дроби: 1тг>4 —>3—,15—, 16г-;г7-. 9 11 17 4 100 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: 14-^. 04 594^ . 2-3"-5-73 . ..ISa^&c ^,32-7-32-2 «,3а + а Ч’ Чб 200’ ^22.3-5-72.Ц’ ^24afe2 ’ 320 ’ ^ 6а=^ Выполни действия, если значения всех переменных - натуральные числа: ■,x5а а 24’ 3) 28с 4) 12х^ 9х^ d'^ 21с’ 2Ьу ' 10у 11531 Запиши выражение и найди его значение при данных значениях букв: 3 1 1) Сумма квадрата числа а и куба числа Ь(а = -^,Ь = —). 1 3 2) Квадрат разности числа л: и удвоенного числа у (х = 4 у =1 3) Частное суммы чисел m и п и их разности (дг = 1 п= -I-). Вычисли и представь ответ в виде конечной десятичной дроби с точностью до сотых: 5 1) 4|:б4 13 2) (4f:ll + 7:2i-lf).3i 20:((з^-2|).4|+16:з|: А)' 1155| Запиши число “2 целых 15 десятитысячных” сначала в виде обыкновенной дроби пятью различными способами, а затем в виде десятичной дроби тремя различными способами. Вычисли. В чем особенность этих примеров? 3,8:0,38 0,4 + 0,02 30-25,5 0,07 • 500 120 : 400 -5,2 : 7 :90 -29,4 • 0,6 :0,6 • 40 • 2 : 0,07 t 0,2 • 0,05 :0,08 -0,03 • 1,5 :0,1 7 7 7 7 7 1158 Реши уравнения: 1) 53,76 : (4,248 - l,56x) + 3,8 = 55; 2) (2,7г/ + 3,08j/) : 1,7 - 3,08 = 12,22. Сравни числа: 14 3 5 1) тт; и 77Г; 17 17 04 ® 3)— И ^3 99 100 39. 77’ 5) 2,8 и 2,008; 6) 13,6 и 1,37; 7) 0,04 и 0,0092; 8) 5,6018 и 5,618. 235 Глава 4, §2, п.4 гщ 1163 1164 Упрости выражения, используя законы действий над числами: 1) 3,28 +(7,12 +а); 3) 7,4с + 2,6с - с - 5,2с; 5) 12л: • 0,05i/♦ 2,5; 2) ft+ 4,5+ 0,86; 4) d + 2,7 + l,9d+4,5; 6)366-0,2^2. Составь выражение и найди его значение при данных значениях букв: 1) В автобусе едут а человек (мужчины и женщины), причем 0,6 числа всех пассажиров - женщины. Сколько в автобусе мужчин? (а = 25) 2) В двухэтажном доме проживает Ь человек, что составляет 80% числа жителей трехэтажного дома. Сколько всего жит'елей в этих двух домах? (6 = 64) 3) В классе с учеников. За контрольную работу по математике выставлено d пятерок, а четверок - в 2 раза больше. Какая часть класса написала контрольную работу на “4” и “5”? (с == 32, d = 8) 4) В куске л: м ткани. Портной отрезал сначала f/ м, а затем - 20% остатка. Сколько ткани еще осталось в куске? (л: = 15, у = 4,5) Мотоциклист проезжает путь от деревни до станции за 0,3 ч. Он выехал из деревни, когда велосипедист, следующий по тому же маршруту со скоростью 15 км/ч, уже отъехал на расстояние 9 км. На станцию велосипедист и мотоциклист прибыли одновременно. 1) С какой скоростью ехал мотоциклист? 2) Чему равно расстояние от деревни до станции? 3) За сколько времени проехал расстояние от деревни до станции велосипедист? 4) На каком расстоянии от велосипедиста был мотоциклист через 10 мин после своего выезда? Расстояние от метро “Юго-Западная” до аэропорта Внуково маршрутное такси проезжает за треть часа, а рейсовый автобус - за полчаса. Через сколько времени они встретятся, если выедут одновременно от метро и аэропорта навстречу друг другу со своей обычной скоростью? Найди методом проб и ошибок все натуральные корни уравнения: л:^ - 15л: = 16. Реши задачу методом перебора: Цифры двузначного числа поменяли местами. В результате получилось число, которое в 4,5 раза больше данного. Какое это число? Начерти на плоскости произвольный четырехугольник и соедини последовательно середины его сторон. Измерь углы и стороны образовавшегося четырехугольника. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент еще 2 раза и сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенного исследования утверждать, что выявленное свойство выполняется для любого четырехугольника? Игра “15 спичек”. Из 15 спичек, лежащих на столе, двое играющих поочередно отнимают не менее одной и не более трех спичек. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Как надо вести игру, чтобы, начав первым, не проиграть? 236 184. 3 года. 188. 800. 189. 3 . 190. f|. 191. в) ^ и ^ . 192. г) 193. 2) 4 |; 3) 5 | . 194. 1) 12 лет; ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ответы Глава 3, § 1. 9.6)44 400, 44 040, 44 004,40 440, 40 404, 40 044.11.1)30 274; 2)95 784. 17.1)СЛ = 4 ЛВ, 7 ^ ЛВ^-^CD. ,37. 4) 60. 39. 2)х + (4х - 1) 4 4х + (д; + 3) =» 32, где х - число двоек. 40. 2) 111.42.1) h : 100 • 14 р.; 2) 7W : 2 • 5 рам; 3) ^ . 43. ^ км; 15 км/ч; в 6 раз. 45. 40\ 20“, 120°. 47. 1) 987 654 321; 3) 80 412 480; 4) 8050. 51. На второй пасеке на 9 ульев больше. 52.19 |, 8 , 6 ||. 53. у , ^ — . 55. 3) 198; 4) 25. .56. В 3 ра.за; чере,э 2 часа. 57. 1237 мышек. 63. 2) 12, 8. 15. 66. в) 18. 24, 30. 70. в) f , |, ’^ -75. 1) {1, 5, 7, 11}; 2) {2, 3, 4, 6, 8. 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}. 81. в) ^ ; г) ||. 83. 3) ^ ; 4) . 86. г) . 88. к) ^ и ^ ; и|;б)|§и f§;r)| и |. ^ ' выиграл Дима. 102. 5) а ; (я : 6 + m : 9) рейсов. 103. 3) 8; 4) 3. 104. 1) 16; 2) 24; 3) 4; 4) 216; 5) 126; 6) 6. 107. 4) 12 : дг - 12 : (дг + 1) ^ 1, где х км/ч - планируемая скорость пешехода. 109. 3) 50 сажен; через 15 мип. 110. II. а) а - 12<; Ь) s = 8t; с) s - 6<; d) я = 4i. 112. В 12 "; в 8 км от Л; второй раньше па 15 мин. 117. 2) ^ ^ . 118. 2) |f-; 3) f; 4) { ; 5) ^ . 119. 4) |; 8) | . 120. 8) ^ и . 121.1) II и II ; 4) и у . 122. 4) 44.123.1) 1; 2) 14.124. Л = (4; 5; 6}. 125.1) 2(д: - 180) = (2280 -х) + 180, гдех - первоначальное количество кнш' в I библиотеке; 2) 6х 4 = 8(х-1), гдех - количество лодок. 129.4)12 км/ч; 24 км/ч. 132.Делилина 24.133.1728 кор.134.1280 рыбин. 143.а) |<Ц; в) Ц'Ц • 146.6)j^ , . 160.3) |; 4)~<|.152.2)7.160.е)Ц ;ж)^^^ . 161.г)^у^ .165.2)Через5часов. 166.а)с/-320 - 80< км;б)г1-80(1 - 4) км. 171.11 < 1 I . 178.1 м/с. 179.4) 11 ч 30 мин и 16 ч 20 мин. 180. б)|^ и у^. 182. • 183. Больше Карабасов. 19 .«о пч . 2 04 .. 8 -- _ ш Т» Ь - — - - ГШ - ■ ,■■■■■ и ■ ЖМ’Ж Т! ■ — •— ■ ■ • • • m Л . J - К) • 12 2) а : 30 • 100 -м; 3) ^ часть. 195. 640 км. 196. 240 м/мип. § 2.197.н) 1 ;р) ^ . 198.ж) ^ . 199.4) |.206.На | м. 210.1) —часть; 2) Цчасть. 215.г) ^ ;ж) ^ . 216.1)20; 3) 2; 4) 9. 217. 3) 6 | ; 4) 8 | . 221. 480 м. 222. 2 ч. 224. 2) А: : (/п + m : 6 • 5) с; 3) р - 2(х < х ; 80 • 100) км; 4) я- 18,085. 823. Могут; в одной бочке 4 насадки. 824. в) 0,00006; е) 0,035. 829. «0,18. 830. «82,50 д. тыс. 238 ...............................—______________________________________________________________Ответы § 2. Я15.3) 54,321; 5) 445,566; 6) 227,27.848.1) 30 м^; 2) 2,424 кг. 849.1) 10,11 м; 2) 9 м. 850.1) 32,4 дм; 2) 0,54 м. 851.0,575.852.25,5.853.1) 19,019; 2) 0,0707.865.2) 5,64 м. 866.3) = 2,7 км/ч; 8,1 км; 4) = 43,7 км/ч; 174,8 км. 870.1) 80,08; 2) 12,34. 880.30 мин; 2 км400 м. 882.1) 7,0(6); 2) 3,(09). 885.4) ^ . 886.2) За + 105; 3) 6п +16. 888.3 кг; 5 кг;7кг.889.3)з|ар.;4) ;5)на1,5йл;6) р.893.1)3,333;2)0,888.895.1)и^,, = 8,5м/мин;17м;4)и^^ = 60,7м/мин; 585,5м. 896.а + 13,7км;41,1км.897.70км;4ч.898.1)444,444кг.899.44,6кг.900.6)-^; г) 904.1)9,1(3);2)1,36(1). 907.49,5.909.72.919.к)4,5;л)80,36;м)0,0014.925.3)9,1;0.05;48 700;0,1614.926.1)940;2)22,0505.927.1)2430р.; 2) 968 р. 928.1) 0,01а чел.; 2) 1005 р.; 4) lOdytr.; 5) 0,11л км; 6) 10005 га. 929.1) 1,8; 2) 6,1. 936.1) 10,4 t а; 11,22; 2)5 t 0,135; 3,72; 3) 13,2 f с; 24,24; 4) d-109,79; 20,21.937.6 мес.; Змее. 938.10 мин 30 с. 939.5 рядов по 16 стульев. 940. а) -9,6; б) +2,6; 3) -0,9; г) -6,2; д) -9,8; е) +0,4.942.3) 0,85; 5680; 90,36; 45 000.943.2) 5200 г; 63,15 ц; 92 030 кг; 74 кг; 3) 3400 дм^; 1520 а; 600 мм^; 950 000 м^. 944. 2) 0,029 т; 1,75 т; 0,084 ц; 0,25 кг; 3) 0,015 см“; 0,014 м^; 0,562 га; 0,06 км^ 945.2,5 г; 50 суточных дм. 947.3) 21,9; 5,86; 0,07415.948.2) 2,072; 3) 4,62; 4) 30,303.951.3,(18). 953.7926,5 + 7926,5=15 853;9453,5 f 9453,5 = 18 907.960.о)0,1515;п)1089,099;р)75 357.965.619,1 м^;30 420р.; »30,4тыс.р.966.а)28,2см2;б)172,5дм=.967.1)181,44ц;2)0,216мЗ;1,8м2;0,72кг.968.5)0,343;6)0,133. 969.1)22,5; 2) 0,64; 3) 0.152; 4) 125.970.40,4.971.1) 2,48; 2) 11,1.976.1) 3,4.56; 2) 7,29 мг*. 978.1) 117 г, 24 г и 9 г; 2) на 4,25 кг; наб.Ькг. 981.24км. 984. 3,1л. 990.1)18,4км; 2)6,75км; 3)273,48км; 4)54км. 991.12,6км. 992.15,625дм^33,3дм^ 993.1) 0,49; 2) 1,61; 3)0,189; 4) 0,027. 994.1)»69,70; 2)к34,56; 3)»203,20.1002. 1009. 3) 8,4л + 8,4; 4) 2,33(/; 5) 14,2 с + 4,5d; 6) 6,78 + 6,78/г. 1010.1) 0,27; 2) 0,035; 3) 3456; 4) 0,777. 1011. 2.50, 125 и 325 учебников. 1016.н)368,2;0)15,2; п) 58 000;р)2244,4.1018.В10 472раза. 1020.1) »1.5m^;2) »7,90м. 1022.190,(90). 1024.100,0кг. 1025.3г. 1026.7,4 км. 1027. »0,92; » 92%. 1028.1)3002,1003; 2)6,1616.1029. Младший брат-0,54 м^, средний - 1,08м-\ старший - 3,78 м"’. 1030.1/ = 2х. 1032. а) 8; б) 10.1033. 20 чашек; О.П. - 5 чашек, В.К. - 6 чашек, 11.Ф. - 9 чашек. 1034.1) 0; 2) 3; 3“; 3) 4,5.1035. jnyra. 1036. 85 714.1043. а) 9,02; в) 60,8; г) 8,004; е) 9,06; з) 0,048; к) 0,009; л) 0,0004; м) 0,000705.1045. б) 7080; в) 750; д) 805; е) 70,4; ж) 1,007; з) 900,6; и) 290; к) 69(Ю; м) 50 900; о) 0,0208; п) 0,3056. 1047. б) 80,7; в) 560; г) 4,085; д) 20,04; е) 9600.1051.1) 150%; 4) 7,5%. 1052.1) 80%; 2) 16%. 1053.1) 15%; 2) 40%. 1054. 0,01024; *1,0%. 1056. 1) 27,72; 2) 28,28; 3) 25,26; 4) 1,101. 1057. 2010,2 р. 1058. 1) 16 рубашек; 2) 192 р. 1059. 1) 145 тыс. р.; 2) 131,3 тыс. р. 1060. 5) 2,5; 6) 0,0125. 1061. а) 0,0024; в) 0,000000001; г) 0,00032; д) 0,08; с)5000; ж)90 000;з)о, 1.1062.1)66,8; 2)0,05.1063.26,2км/ч. 1064.87,3км/ч. 1065.24,3км/ч. 1066.182,4 км;в 12ч; 7,6км в обоих случаях. 1067.1 случай-через 42 мин; П случай-через 1ч 48 мин. 1068.1)4,708; 2)2; 3)8,005; 4).30,5; 5) 0,l;6)9,06;7)113,l;8)l,25.1069.1)273,8cM*; 2)50м; 156,25м^. 1070.1) 15,5дм^2)на 0,78см^. 1071.1)21,3км/ч; 14,2км/ч;2)4,8км/ч;4,2км/ч. 1072.1)80км/ч;67,2км/ч;2) 9,5км/ч. 1074.1)10,48.1090.1) g = *5 = 0,8, или 80%; 2) ^ = |- - 1,25, или 12.5%. 1091.1 кг833г. 1095.3)i/ = 0,lx. 1098.1)6гостей; 2) 15км. 1104.6600км. 1105.288кг; 40%, 24%, 36%. 1106. 1) 80,808; 2) 50; 3) 2323,23; 4) 103,05. 1107.1) 8 человек; 2) 3 м х 2 м, б м^. 1109. 1) 64,64; 2)77,777.1110.48 мин; 12 кми21 км. 1111.1)0,25; 2)40,5; 3)0,012; 4) 10.1112.2,401 дм". 1113.63,2км/ч;80км/ч. 1115.1) 3 у ; 2) 1 у . 1122.23 фазана и 12 кроликов. 1123.40 мужчин и 80 женщин. 1124. П3ра.за. 1125.75 аршин и 63 аршина. 1127.9702,069.1128. а)42,814;б)86,64;в)44,5;г)56,004;ж)3,25;з)402,5;и)174,87;к)3,0488;л)6,314; м) 442,4; н) 7,15; о) 101; п) 30,05; р) 0,036. ИЗО. 1) 2; 2) 393,9; 3) 40 404; 4) 25.1131.16,3 дм. 1132.21,03 км; 24 мин. 1133.5,бкм/ч.1134.3,4км/ч.1135.(а+0,75а)-2,4; 352,8км.1136.1)^ ;2)3.1138.0,4а" I 1,4;75,4772кг * 75,5кг. 1151.1) 5";2)^ ;3)|i ;4)^ ;5)j ;6)|j .1152.2) g ;3) ^ ;4) f|. 1153.1)а"+&»; ;2)(лг-2#;§ .1154.1)* 9,82; 2) * 4,67. 11,57.1)2,05;2)4,5.1159.2)1,8(м 4,5;3)3,8c;4)2,9d + 7,2;5)l,5x-|/;6)7,2A".1160.1)0,4a;104eH.;2)2,256; 144 чел.; 4) 0,8(х у); 8,4 м. 1161.1) 45 км/ч; 2) 13,5 км; 3) .54 мин; 4) 4 км. 1162. Через 12 мин. 116;!. 16.1164.18. 239 Оглавление Глава 3. Дроби. § 1. Понятие дроби 1. Натуральные числа и дроби.................................4 2. Основное свойство дроби. Преобразование дробей.............. 15 3. Сравнение дробей........................................ 29 § 2. Арифметика дробей 1. Сложение и вычитание дробей ............................ 40 2. Сложение и вычитание смешанных чисел.................... 49 3. Умножение дробей........................................ 57 4. Деление дробей...........................................73 5. Примеры вычислений с дробями ........................... 89 6. Задачи на дроби ....................................... 100 7. Задачи на дроби (продолжение).......................... 117 8. Задачи на совместную работу............................ 131 Глава 4. Десятичные дроби. § 1. Понятие десятичной дроби 1. Новая запись чисел .................................... 146 2. Десятичные и обыкновенные дроби ............................ 155 3. Приближенные равенства. Округление чисел................161 4. Сравнение десятичных дробей ........................... 170 § 2. Арифметика десятичных дробей 1. Сложение и вычитание десятичных дробей ................ 178 2. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. 193 3. Умножение десятичных дробей............................ 200 4. Деление десятичных дробей ............................. 214 Задачи на повторение.......................................234 Ответы.................................................... 237 ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ (до 1000) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 Дороф««|1 Георгин Клалимнровнч Петерсон Людмила 1'еоргиевна Математика 5 класс. Часть 2 Ответственный .та выпуск Ю. И. Веслинский Научный редактор Jf. Л. Абраров Художники П. Л. Северцов, С. Ю. Гаяралояа Художественный редактор Т. С. Шаляпина Технические редакторы £. В. Бегунова, В. Н. Зиновьева Компьютерная верстка Р. Ю. Шаповалов, Л. В. Каляева Корректоры О, Б. Андрюхина, И. Н. Павлова, II. В. Лин, О, И. Ко.глова, II, А, Хромова Подписано в печать 19.04.2011. Формат 84x108/16. (№та-м I.I.O п. л. Уел. неч. л. 2.5,20 Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Школьная. Тираж 390 001 440 000 ока. (8 й оанод). :1акао № 285.55 (каш>. Иодателы:тво «Юнентн» (гтруктурнш! нодря.тделение ООО «С-инфо») 125284 Москна, а/я 42 Тел.: (49.5) 796-92 93 Факс: (495) 796 92 99 E-mail: booksale(.<'''si.ru Адрес в Интернете: www.lHK)ks.si.ni Приобрести книги можно в магазине по адресу: Москва, ул. 1905 шда, д. 10 Л. Телеф<Н1: (499) 253-93-2.3 Часы работы: с 10 до 19 часов. Выходные: воскресенье, понедельник Отпечатано в ОАО «Смоленский полиграфический ко.мбинат», 214020, г. С.чоленск, ул. (;мол10н1инона, I.