Математика 5 класс Учебник Дорофеев Петерсон часть 1

УДК 373:51 ББК 22.1я721 Д6Э Ассоциация «Школа 2000...» Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000...» АПК и НПРО РФ Институт системно-деятельностной педагогики шкш1а201|)- ОбРАЮкАЛЛЬМАЙ АССЛЦИАЦИЙ Программа математического развития для дошкольников, начальной и средней школы «УЧУСЬ УЧИТЬСЯ» Научный руководитель доктор педа1’огических наук Л. Г. Петерсон ЮВЕНТА Допущено Министерством образования и науки РФ Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Д 69 Математика. 5 класс. Часть 1. — Изд. 2-е, перераб. / Г. В. Дорш1)еев, Л. Г. Петерсон. — М.: И;щательство «Ювента», 2011. — 176 с.: ил. TSBN 978-5-85429-0-11 -8 (8-й завод) Учебник ориентирован на ра.звитие мышления и творческих способностей учащихся, формирование у них системы прочных математических знаний, общеучсбпых умений, готовности к самора.твитию. Является составной частью непрерывного курс.а математики «Учусь учиться* для дошкольников, начальной и средней школы, который соответствует новым образовательным стандартам второго поколения (2009). Реализует образовательную систему деятельностного метода обучения «Школа 2000...» (Премия Президента РФ в области образования за 2002 год). Открытый УМК «Школа 2000...* включает в себя непрерывный курю математики «Учусь учит1.ся» и любые учебники Федеральных перечней но другим учебны.м предметам на ш;нове деятельностного метода обучения. Может использоваться во всех типах школ. Рекомендуется использование учебного пособия «Построй свою математику», 5 класс (.эталоны -правила, формулы, алгоритмы, способы действий учащихся но всем темам данного учебника). УДК 373:51 ББК 22.1я721 Курсовую подготовку учителей к реализации деятельностного метода обучения осуществляют Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000...» АПК и ППРО РФ, Институт системно-деятельностной педа1’огики 125212 Москва, Головинское шоссе, д. 8, корн. 2 Тел./факс: (495) 797-89-77, 452-22-33 E-mail: info^isch2000.ru Интернет: www.sch2000.ru У I.SBN 978-5-85429-041-8 (8-й завод) © Издательство «Ювента», Л. Г. Петерсон, 2010, с. изменениями © ООО «С-инфо», Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон, 1996 г л г. в. Дорофеев, Л. Г. Петерсон МАТЕМАТИКА Учебник ДЛЯ 5 класса Часть 1 ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮВЕНТА Москва 2011 J Математика - это стройное, красивое и прочное здание. По первым этажам этого здания ты прошел в начальной школе. 5 класс - это новый этап твоего пути вверх, к вершинам знаний, к настояш,ему жизненному успеху. Твой путь пройдет по страницам этого учебника, а надежным проводником на этом пути будет учитель математики. Чтобы удобнее было пользоваться учебником, введены следующие обозначения: это лучше делать в классе. а это дома. - хорошо бы это повторить, а здесь главное - твоя смекалка. Учебник - это не рабочая тетрадь, к которой ты привык в начальной школе. Постарайся ничего не писать на его страницах ручкой. Необходимые пометки можно делать простым карандашом, а после завершения работы - стереть. Удачи тебе! АВТОРЫ Глава 1 Математический язык § 1. Математические выражения 1. Запись, чтение и составление выражений. В начальной школе мы уже использовали различные математические знаки и буквы для обозначения чисел. Например, мы говорили, что если на одной тарелке d слив, а на другой на 5 слив больше, то на второй тарелке d + 5 слив, а всего на двух тарелках d + (d + 5) слив. Цифры, буквы, скобки и знаки арифметических действий входят в математический алфавит. Из них составляются "слова" математического языка - математические выражения, например: 267, (38-Ь 422) • 26, а - 5, Ь-{с-а), а-Ь, (а + 6) • с, а-2. В трех последних выражениях стоит знак умножения, но принято писать прош;е: аЬ, (а + Ь)с, 2а. При этом в последнем случае переставлены сомножители: числовой множитель пишут перед буквой, а не после нее. В первых двух выражениях букв нет. Такие выражения называют числовыми. Выражения, в которых некоторые числа обозначены буквами, называют буквенными. Нам уже известны названия простейших математических выражений -сумма, разность, произведение, частное. Более сложные выражения обычно называются по последнему выполняемому действию, например: (а - 6) + с - сумма разности чисел а и 6 и числа с, (с + а){Ъ - d)- произведение суммы чисел с и а и разности чисел bvid. Важно научиться не только читать готовые математические выражения, но и составлять их, то есть "переводить" с русского языка на математический, например: На русском языке На математическом языке Произведение первых пяти натуральных чисел 1•2-3-4-5 Сумма всех однозначных чисел 0-МЬ2 + 3-1-4 + 5 + 6 + 7 + 8-1-9 Сумма всех двузначных чисел 10 + 11 + 12 + 13 1 ... + 99 1* Глава 1, §1, п.1 О \л а а а QJ в каких из следующих выражений можно "сэкономить" на знаках умножения? Упрости запись этих выражений. 1) 5-6; 3)12-д:; 5) 4 • 5 • (10 - i/); 7) 9 • 5-Ь/г; 2) (3 + 5)-9; 4)а-с-7; 6) лг• (п + 8) • 2; 8)с-3-6. Даны два числа - 80 и 2. Запиши их сумму, разность, произведение и частное. Даны два числа - 57 и 19. Запиши: 1) произведение суммы данных чисел и большего из них; 2) произведение разности данных чисел и меньшего из них; 3) разность большего из данных чисел и их частного; 4) сумму меньшего из данных чисел и их произведения. Запиши в виде числового выражения; 1) частное от деления числа 143 на разность чисел 67 и 54; 2) произведение числа 13 и суммы чисел 27 и 91; 3) разность числа 135 и частного чисел 105 и 7; 4) частное от деления суммы чисел 43 и 3 на разность чисел 140 и 117. 7) х- Зу; 8) (а - Ь){а + Ь), [Ц Прочитай буквенное выражение: 1) 6-а; 3)d:2; 5)а(6 + с); 2) т + п; 4) 36с; 6)(x-t/):5; Переведи и запиши на математическом языке: 1) разность наименьшего трехзначного и наибольшего двузначного числа; 2) частное наибольшего четырехзначного числа и наименьшего натурального числа; 3) произведение всех нечетных однозначных чисел; 4) сумма всех двузначных чисел, кратных 10; 5) сумма числа мальчиков и числа девочек твоего класса; 6) разность числа всех предметов, которые ты изучаешь, и числа твоих любимых предметов. Запиши выражения для периметра фигур, изображенных на рисунке: 2) а 3) а Придумай и запиши два числовых и два буквенных выражения. Прочитай их. !лава f, 9 I, п. 1 a Запиши число: 1) на 3 большее, чем разность чисел а и 6; 2) на 7 меньшее, чем произведение чисел а и 3) в 5 раз большее, чем частное чисел а и 6; 4) в 4 раза меньшее, чем сумма чисел а и По берегу реки со скоростью v км/ч идет турист. Найди скорость плывущей по реке лодки, зная, что по сравнению со скоростью туриста она: т а) на 2 км/ч меньше; б) на 1 км/ч больше; в) в 2 раза меньше; г) в 2 раза больше. Запиши выражение для ответа на вопрос задачи: 1) В 5 "А" классе а учеников, а в 5 "Б" классе - на 3 ученика меньше. Сколько всего учеников в этих двух классах? 2) В шахматном кружке занимается Ь учеников, а в волейбольной секции -в 3 раза больше. На сколько учеников меньше в шахматном кружке, чем в волейбольной секции? 3) У Тгши было т цветков. Из них п цветков она подарила родителям, k цветков - бабушке, а остальные цветы поставила в вазу. Сколько цветков Таня поставила в вазу? 4) Ира на свой день рождения пригласила пятерых гостей. Для каждого из них она испекла с пирожков и d булочек. Сколько всего пирожков и булочек испекла Ира для гостей? 5) У Маши было а конфет, у Кати Ь конфет, у Димы с конфет, а у Алеши d конфет. Они захотели их поделить поровну. Сколько конфет достанется каждому? 6) В вазе лежало х груш, яблок в 3 раза больше, чем груш, а апельсинов на у меньше, чем яблок. Сколько всего груш, яблок и апельсинов лежало в вазе? 121 Яблоко стоит JC р., а груша у р. Объясни, что может означать выражение: ^)х + у; 2)у-х; 3) За:; 4) 8г/; 5) Злг + 8^; 6) Sy - Sx; 7) у : х; 8) 120 :t/. QT) Запиши в виде выражения: 1) количество сантиметров в а метрах; 2) количество метров в Ь километрах; 3) количество миллиметров в с дециметрах; 4) количество дециметров в d километрах. По шоссе автомобиль двигался 2 часа со скоростью 90 км/ч, а по проселочной дороге - 5 часов со скоростью v км/ч. 1) Сколько всего километров проехал автомобиль? 2) На сколько километров больше проехал автомобиль по проселочной дороге, чем по шоссе? Глава 1, §1, п.1-------------------------—----------------------------- 15 I Придумай задачу, приводящую к выражению вида 3 • П + 5 • П» о величинах: 1) путь, скорость, время (s = vt); 2) стоимость, цена, количество товара (С = ад); 3) работа, производительность, время (А = vt); 4) площадь прямоугольника, его длина и ширина (S = аЬ). Реши задачи, составляя выражения. Есть ли в условиях этих задач лишние данные? 1) Площадь баскетбольной площадки, имеющей прямоугольную форму, а м^, а длина 20 м. Чему равна ее ширина? 2) Спортсмен пробежал Ь метров за 8 минут. С какой скоростью он бежал? 3) Самолету надо пролететь с км. В час он пролетает d км. Сколько километров ему останется лететь после двух часов лета? 4) Сережа дал в кассу магазина д р. в уплату за 4 мороженых по цене t р. Сколько сдачи он должен получить? 5) Четыре яблока можно купить за л: р., а четыре груши - за у р. На сколько рублей груша дороже яблока? 6) Два прямоугольника имеют одинаковую площадь, равную h дм^. Длина первого прямоугольника 5 дм, а длина второго прямоугольника - 7 дм. Ширина какого прямоугольника меньше и на сколько? 7) За 3 часа Вадим прополол а грядок, а Денис - только с грядок. Во сколько раз производительность труда у Вадима больше, чем у Дениса? 8) Два друга взяли в библиотеке одинаковые книги. Первый читает х страниц в день, а второй - у страниц в день. Кто из них прочитает свою книгу быстрее и во сколько раз, если в книге 360 страниц Vix> у1 ш Какими числами можно заменить фигуры, чтобы получились верные равенства? О 1) о + = А □ : Л=7 А - 5=0 4 • <(Зу^= 100 2) [ □ А -ь ]:9. □ -84 90 □ =162 -0=А 18 I Расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам, и расшифруй слово. Что оно означает? У 7 + 9 ц 72-9 Р 7-8 я 46 + 25 А 96-38 16-3 и 52 + 18 М 50-14 н 52 : 4 Что общего и что различного у примеров каждого столбика? Глава 1, §1, п.1 НО Запиши три раза подряд число 7052 и прочитай получившееся число. Сколько классов в записи этого числа? Сколько разрядов? Назови разряды, в которых записана цифра 5. Прочитай предложения: а) Расстояние от Земли до Луны равно примерно 384 400 км. б) В одной неделе 604 800 секунд. в) Площадь России составляет 17 075 400 км^. г) В високосном году 31 622 400 секунд. д) Площадь поверхности Земли 510 072 000 км^. е) Большая полуось Венеры равна 108 208 930 км. ж) Среднее расстояние от Урана до Солнца составляет 2 869 100 000 км. Вспомни правила сравнения натуральных чисел и найди ошибки: а) 389 >2000; г) 632 510 ^ 632 007; б) 7096 < 7900; д) 4 702 329 < 4 702 329; в) 28 542 < 28 524; е) 5 999 999 < 699 999. На какие пепересекающиеся подмножества (части) можно разбить множество фигур на рисунке? Приведи три примера. Какому признаку разбиения соответствуют записанные рядом с рисунком равенства? Какие свойства сложения и вычитания выражают данные равенства? Л Л О о 3 + 4 = 7 4 + 3 = 7 7-3 = 4 7-4 = 3 Выполни действия: 1)50 724 096 + 4 293 512; 3) 16 280 409-572 182; 4) 341 562 004 - 87 316 945. 2) 98 017 894 + 523 495 270; Пользуясь таблицей, расскажи о соотношениях между единицами длины: Сколько миллиметров в 1 дм? Сколько сантиметров в 1 м? Сколько дециметров в 1 км? Глава 1, §1, п.1 Выполни действия: а) 4 м 9 см + 32 дм 1 см; б) 8 дм 4 см - 49 см 3 мм; в) 2 км 85 м - 926 м; г) 14 км 68 м + 9 км 950 м. © 1) Одна сторона треугольника равна 16 см, вторая - на 2 дм больше первой, а третья - в 2 раза меньше суммы первой и второй сторон. Найди периметр треугольника. 2) Одна сторона четырехугольника равна 7 м, вторая - на 5 дм больше первой, а третья - в 3 раза меньше второй. Найди четвертую сторону этого четырехугольника, если его периметр равен 23 м. Запиши в виде выражения: 1) сумма числа 18 и частного чисел а и 5; 2) разность произведения чисел 9 и Ь и числа 23; 3) произведение числа с и суммы чисел d и 4; 4) частное разности чисел 10 и я и числа т. Составь выражения: а) Барону Мюнхаузену а лет, а его лошадь на 25 лет моложе. Во сколько раз барон старше своей лошади? б) Доктор Айболит шел к больным сначала 5 часов со скоростью Ь км/ч, а потом еще 3 часа со скоростью с км/ч. Какой путь прошел доктор Айболит за все это время? в) У лисы Алисы было d сольдо. Она купила себе 3 заколки по цене я сольдо за штуку и бантик за 6 сольдо. Сколько денег у нее осталось? г) Почтальон Печкин в первый день разнес за 4 часа х писем, а во второй день за это же время - на 12 писем больше. На сколько производительность почтальона Печкина во второй день была больше, чем в первый? (Считать дневную производительность Печкина постоянной.) Запиши на математическом языке: а) сумма цифр числа 287; б) разность числа 92 и двузначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке; в) произведение всех различных делителей числа 8; г) частное двух натуральных чисел (введи произвольные обозначения). Запиши числа в десятичной системе счисления: а) три миллиона двести девяносто тысяч семьсот пять; б) двадцать четыре миллиона восемьдесят; в) четыреста один миллион семьдесят две тысячи; г) восемь миллиардов пятьдесят миллионов две тысячи девятьсот шестнадцать. 8 Глава У, §1, п.1 1) Длина прямоугольника равна 12 м, а его ширина на 3 м меньше. Найди периметр и плош;адь прямоугольника. 2) ПлоЕцадь прямоугольника равна 80 дм^, а его ширина равна 5 дм. На сколько надо уменьшить длину прямоугольника, чтобы его площадь уменьшилась на 35 дм^? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи? Верны ли неравенства: а) 20 003 611 - 846 249 < 12 307 579 + 6 849 604; б) 9 352 796 + 20 647 204 > 7 000 000 - 1 949 495? В некотором царстве, в некотором государстве, за синими морями, за высокими горами жил-поживал смышленый парнишка Басик. Закончил Басик начальную школу и перешел в 5 класс. Пришлось в пути ему много преград преодолеть, много трудностей испытать. 1) Нужно было Басику перебраться через топкое болото. Перейти его можно только по кочкам, двигаясь по схеме вправо —► и вверх | (влево и вниз идти нельзя). Сколькими способами можно пройти через это болото? Каким маршрутом двигался Басик, если, прыгая по кочкам, он между делом собирал морошку и набрал 40 ягодок? (Цифрами обозначено количество ягод на каждой кочке.) 2) Повстречал Басик на пути четверых братьев-бездельников, тех, что, лежа на солнышке, любят прохожим путникам советы давать. Второй брат дал Басику вдвое больше советов, чем первый, третий - втрое больше, чем второй, четвертый - вчетверо больше, чем третий, а все вместе братья-бездельники дали Басику 132 бесполезных совета. Сколько советов дал первый брат? Глава 1, §1, п.2 3) Побывал Басик у Бабы-яги. Говорила Яга, что не выберется Басик из ее избушки, потому что поставила она на дверь замок кодовый. Нужно набрать на замке девять разных цифр(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) так, чтобы были верны получившиеся равенства: Знал Басик, только где стоят цифры 1 и 3, но су-мел-таки открыть замок! Как он расставил остальные цифры? 4) Взял Басик с собой в путь-дорогу свою любимую игру "Пентамино". Двенадцать пентамино лежали у Басика в прямоугольной коробке. Но однажды в дороге коробка упала, фигурки высыпались. Хорошо, что Басик на дне коробки нарисовал звездочки. Каким способом можно уложить в коробку все 12 фигурок, если каждую звездочку закрывает ровно одно пентамино? * * * * * * * * * * * * ш в с я* 2. Значение выражения. Если в числовом выражении провести указанные в нем действия, то получится некоторое число. Это число называется значением выражения. Например, значение выражения (43 + 57) • 32 равно 3200. Буквенное выражение можно превратить в числовое. Для этого надо заменить буквы числами. Например, разность а-Ъ при а = 8 и & = 3 превратится в числовое выражение 8-3. Его значение, равное 5, называют значением буквенного выражения а-Ь при а = 8 и Ь = 3. О ш Составь программу действий и найди значение выражения: 1) (8 + 9)-2-5-5 + 360:6: 10; 2) 100 - 12 - 27 : (63 : 7) + (7 Ч- 33): 8. 10 ______________________________________________Гл9ва 1, §1, п.2 35 I Прочитай выражения и найди их значения. Что общего в примерах каждого столбика? Покажи, что любой пример каждого столбика может быть определен как "лишний". 25 + 3-4 72- 16-2 (18+ 12)-7 (40- 12): 4 18:3 + 24 90-45:5 (21-6)-3 (9 - 8): 6 8-6 + 19 6-9-38 5-(25+ 47) 48 : (3 - 8) Составь по схеме выражение и найди его значение: 1) |37] Запиши какое-нибудь числовое выражение, для вычисления значения которого нужно последовательно выполнить: 1) сложение, умножение и вычитание; 2) умножение, вычитание и деление; 3) деление, сложение и умножение; 4) вычитание, деление и вычитание. ш Составь выражение и найди его значение: 1) Оля с Дашей пошли в лес за грибами. Оля нашла 28 грибов, а Даша - на 15 грибов больше. Сколько всего грибов нашли обе девочки? 2) Стасу понравилась книжка за 104 р., а денег у него оказалось в 4 раза меньше. Сколько рублей еще нужно Стасу, чтобы купить эту книжку? 3) В мешке было 50 кг картофеля. Из него брали 9 дней по 2 кг в день. Сколько картофеля еще осталось в мешке? 4) В классе 25 учеников. Из них после уроков домой ушли 7 человек, а остальные разбились на 3 команды для игры. Сколько учеников в каждой команде? 11 Глава 1, §1, п.2-------------- [зЦ Найди значение выражения: т 1) а + 52, если а = 0,18, 49; 2) 90 - 5 : 9, если 6 = О, 9, 810; 3) с(25 - с), если с = 16, 24, 25; 4) 240 : d - 4(m + я), если d = 1, яг = 15, п = 5. Запиши выражение для ответа на вопрос задачи и найди его значение при данных значениях букв: 1) Олег живет на расстоянии а м от школы. Сколько времени он потратит на дорогу от дома до школы, если будет идти со скоростью Ь м/мин? (а = 800, Ь = 50.) 2) Костя шел лесом с км, а полем d км. Весь путь занял t часов. С какой скоростью он шел, если скорость в пути не изменялась? (c = 5,d = l,i = 2.) 3) За 10 тетрадей заплатили х р., а за 15 блокнотов - на I/ р. больше. На сколько рублей блокнот дешевле тетради? (х = 250, у — 20.) 4) Два прямоугольных земельных участка имеют одинаковую площадь а м^. Длина первого участка 6 м, а длина второго участка на 5 м больше. Ширина какого участка меньше и на сколько? (а = 1800, Ь — 45.) 5) Саше т лет, а Игорь на п лет старше. Во сколько раз Саша будет младше Игоря через 3 года? (яг = 2, я = 10.) 6) В трамвае ехало с человек. На остановке вышло Ь человек, а вошло d человек. На следующей остановке никто не вошел, а вышло в 4 раза меньше, чем было первоначально. Сколько человек осталось в трамвае после второй остановки? (с = 24, 6 = 5, d = 8.) Заполни таблицу: а 0 1 2 3 4 5 6 7 20-а 4а Для каких значений а из таблицы выполняются условия: 1)20-а>4я; 2)20-а<4а; 3)20-а = 4а? 42 Заполни таблицу: а 1 3 4 6 7 8 9 15 Ъ 0 4 о 6 9 10 11 29 2а + 2Ь 2(а + Ъ) Что ты замечаешь? Как объяснить полученный результат? 12 ------------------------------------------------------Глава 1, §1, п.2 431 у Вити было 20 марок. Он подарил сестре а марок. Сколько марок у него осталось? При любых ли значениях а задача имеет смысл? Имеет ли она смысл при а = 25, при а = -|-? Почему? Ж\ Найди значения выражения (18 - д:) : л: для всех х, принадлежащих множеству {1, 2,3, 6,9}. Можешь ли ты найти его значение при 5,х = 20, дг = 0? О Игра "Диагональ". Восстанови цепочки вычислений. Заполни таблицу и расшифруй слово. Объясни его смысл. 16^-N+28^-\ :2 /^ -5 0 0 0 0 О"^О^0^СЯО 0 0 О-СГ*СЯ0^О 0 0 О-ОЮ^С^© 90 8 208 9 128 4 128 75 4 Объясни, как найти неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое. Реши уравнения и проиллюстрируй решение на схеме. 1) д:-56 924 = 7409; 3) 610 408 - д: = 5914; 2) д: -Н 72 315 = 140 053; 4) 93 204 - (д: + 7958) = 18 376. Проследи по таблице цепочку единиц площади, расскажи о соотношениях между ними: 1 км^ 1 га 1а 1 м^ 1 дм^ 1 см^ 1 мм^ 100 100 100 100 100 100 Сколько квадратных миллиметров в 1 см^? Сколько квадратных сантиметров в 1 м^? Сколько аров в 1 га? Сколько квадратных метров в 1 км^? 13 Глава 1, §1, п.2 48 I Запиши в виде выражения: 1) количество квадратных миллиметров в а квадратных сантиметрах; 2) количество квадратных дециметров в Ъ арах; 3) количество квадратных сантиметров в с квадратных дециметрах; 4) количество квадратных метров в d гектарах. 491 Выполни действия: а) 5 м^ 9 дм^ + 74 дм^; в) 4 га 8 а + 19 га 52 а; б) 48 га 3 а - 2 га 17 а; г) 15 м^ 6 см^ - 7 м^ 45 см^. 50 I Запиши выражение для площади фигуры, закрашенной на рисунке: а с 1) 3) т 2) т X 4) У п п X у 51 I 1) Ширина прямоугольника 7 дм, а длина - на 2 см больше. Найди его периметр и площадь. 2) Длина прямоугольного участка земли 48 м, а его площадь 12 а. Длину участка увеличили на 5 м, а ширину уменьшили на 5 м. Как изменилась площадь участка и на сколько? ш 1) Ширина прямоугольника 36 см. На сколько увеличится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на 7 см? 2) Длина прямоугольника 5 м 2 дм. На сколько уменьшится его площадь, если щирипу уменьшить на 8 дм? 53 I Реши задачу, составляя выражение: 1) У Кирилла было 84 р. На 20 р. он купил мороженое, а на остальные деньги приобрел для своей коллекции 4 открытки. Сколько рублей стоила каждая открытка? 2) Алеша с папой вышли из дома на озеро и шли к нему сначала 30 мин со скоростью 80 м/мин, а затем еще 10 мин со скоростью на 20 м/мин меньшей. Чему равно расстояние от Алешиного дома до озера? 14 Найди значение числового выражения: 1) (9 • 20 + 60): 4 - 16 - 4 • (20 : 5); 2) 490 : 7 + (57 + 7): 8 • 2 - 3 • (26 - 6). [^3^ Найди значение буквенного выражения: 1) л: (л: + 1)(л: + 2){х + 3), если д: = 2; 2) (2а - 36): с, если а = 26, Ь = 9, с = 5. Глава 1, §1, п.2 56 I Составь выражение и найди его значение при данных значениях букв: 1) Один рыбак поймал а рыб, а второй - на 6 рыб больше первого. Во сколько раз первый рыбак поймал меньше рыб, чем второй? (а = 2, 6 = 8.) 2) Теплоход проплыл вниз по реке с км за 4 часа, а на обратный путь он затратил 5 часов. На сколько километров в час меньше была его скорость на обратном пути? (с = 100.) В 30 м 20 м Е 57 I На рисунке показан план земельного участка и указаны его размеры. Найди плош;адь этого участка и вырази ее в 50 м арах. Чему равна длина прямоугольника, имеющего такую же площадь и ширину 45 м? А X 70 м Реши уравнения: а) д: - 7958 = 16 064; 6)315 + ^ = 430 212; в) 50 000 - 2 = 2796. 59 I Выполни действия: 1) 5 дм^ 17см^ + 27 дм^ 8 см^; 2)3га4а-34а; 3) 9см^ -81 мм^. 601 в числах некоторые цифры заменены звездочками. Можно ли установить, какое из этих чисел больше? Там, где это возможно, запиши ответ с помощью знаков > или <. 1) 5*** и 8**; 3) 47**0 и 48**5; 2) *9и****1; 4)*9***jj*y***^ О ш в числе 92 574 063 зачеркни три цифры так, чтобы оставшиеся пять цифр в той же последовательности образовывали: 1) наибольшее число; 2) наименьшее число. 62 I в стозначном числе 12345678901234567890 ... 1234567890 вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах. В полученном пятидесятизначном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока ничего не остгиюсь. Какая цифра была вычеркнута последней? 15 Глава 1, §1, п.2 Задачи для самопроверки. 64 [Ш т 1^ ЕО Запиши числовое выражение и найди его значение: 1) произведение числа 28 и разности чисел 12 и 7; 2) частное суммы чисел 97 и 43 и произведения чисел 5 и 4. Реши задачу, составляя числовое выражение: 1) Автомобиль едет со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние ему останется проехать через 3 часа пути, если всего ему надо проехать 400 км? 2) В киоск привезли 5 яш;иков с виноградом и 7 ящиков с персиками. Винограда в каждом ящике было 12 кг, а персиков - на 4 кг меньше. Сколько всего килограммов винограда и персиков привезли в киоск? Найди значение буквенного выражения при данных значениях букв: 1) 68 + а : 5, если а = 280; 2) 46 - с, если Ь = 70, с = 42. Составь буквенное выражение и найди его значение. Есть ли в условиях этих задач лишние данные? 1) В классе п учеников. Каждый ученик принес для библиотеки по 4 книги. Сколько всего книг принесли ученики этого класса в библиотеку? (п = 25.) 2) Площадь одного прямоугольника а м^, а площадь другого на 8 м^ больше. Оба прямоугольника имеют одинаковую ширину, равную Ь м. На сколько метров длина первого прямоугольника меньше, чем второго? (а = 10, Ь = 2.) Найди значение выражения: 56 • 3 - (50 - 2 • 7): 12 - 68 : (40 : 10). Запиши числа в десятичной системе счисления: 1) сорок пять тысяч девяносто один; 2) восемь миллионов двадцать семь тысяч четыреста; 3) двадцать миллионов восемьсот тридцать шесть тысяч девять; 4) четыре миллиарда пятьсот шестьдесят миллионов две тысячи триста; 5) восемьсот девять миллиардов девяносто пять тысяч семьсот пятнадцать. Расположи числа в порядке возрастания: 3045, 30 000 045, 543, 400 503, 30 045, 5340, 405 003, 5403, 435 000. Реши уравнения и сделай проверку: а) х - 528 = 2095; б) 832 + у = 60 308; в) 14 010 - 2 = 3815. Вычисли: 1) 8 м 36 см - 5 дм 8 см; 3) 2 дм^ 46 см^ + 18 дм^ 4 см^; 2) 12 км 24 м -Ь 3 км 690 м; 4) 6 га 17 а - 2 га 8 а. 16 Главе 1, §2, п.1 § 2. Математические модели 1. Перевод условия задачи на математический язык. В совершенно различных на первый взгляд задачах можно обнаружить, что их решение одинаково. Например, если на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и груша, то как найти общее число фруктов, лежащих на столе? Конечно, 2 -Ь 2 Ч-1 = 5. Но ведь точно так же мы можем определить и число уроков во вторник, зная, что по расписанию будут два урока русского языка, две математики и география. В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель, складывая не фрукты и не уроки, а натуральные числа. Для того чтобы построить математическую модель, надо прежде всего научиться переводить условия задач с привычного родного языка на специальный, математический язык, чем мы и займемся в этом пункте. Рассмотрим пять различных задач с примерами такого перевода. Задача 1. Сережа, Костя и Денис принесли на выставку 120 почтовых марок. Сережа принес 25 марок, а Костя - в 2 раза больше марок, чем Сережа. Сколько марок принес на выставку Денис? 120 С. 25 +■ К. 25 • 2 + д. Марки Дениса составляют часть всех марок, которые принесли мальчики. Поэтому для ответа на вопрос задачи надо из всех марок вычесть марки Сережи и Кости. Из условия известно, что все трое ребят принесли 120 марок. Сережа принес 25 марок, а Костя - (25 • 2) марок. Значит, Денис принес (120 -25-25*2) марок. Выражение (120 -25-25*2) является математической моделью данной задачи. Для ответа на поставленный вопрос достаточно найти значение этого выражения. Заметим, что для одной и той же задачи могут быть получены разные математические модели. Например, для нашей задачи можно записать также выражение: 120 - (25 + 25 * 2). 17 Глава 1, §2, п.1 т Составь выражения для ответа на вопросы задач: 1) Автомобиль проходит расстояние л: км за 2 часа, а автобус - за 3 часа. На сколько скорость автобуса меньше скорости автомобиля? 2) За X р. можно купить 3 м ситца или 2 м полотна. На сколько рублей 1 м полотна дороже 1м ситца? 3) Бассейн, вмещающий х м^ воды, наполняется через большую трубу за 2 часа, а через маленькую - за 3 часа. На сколько скорость заполнения бассейна через маленькую трубу меньше, чем через большую? 4) Мастер может сделать х одинаковых деталей за 2 часа, а его ученик - за 3 часа. На сколько производительность мастера больше производительности ученика? Что ты замечаешь? Составь задачу с другими величинами, имеющую такую же математическую модель. 73 I Придумай задачи, математической моделью которых является выражение; 1) а-Ь; 2) с + Зс; S)d - т - 5т; 4) 15л; 5) /е: 9; 6) & : (6 - 8); 7) х- Зу; 8) 2т + 2л; 9) а : 4 - а : 9. [75] Среди данных четырех задач найди такие задачи, математические модели которых совпадают. 1) Расстояние от села Михайловка до деревни Зайцеве а км, а от деревни Зайцеве до города - в 2 раза больше. Грузовик проехал от села Михайловка до города через Зайцеве со скоростью Ь км/ч. Сколько времени он был в пути? 2) Ширина прямоугольника а м, а длина - в 2 раза больше. Длину уменьшили на Ь м. Чему стала равна площадь прямоугольника? 3) За Ь часов работы один автомат закрывает а банок, а другой - в 2 раза больше. Сколько банок закроют они вместе за 1 час, если будут работать с той же производительностью? 4) Во дворе гуляют а мальчиков, а девочек - в 2 раза больше. Для игры все дети разбились на команды по Ь человек в каждой. Сколько полу^1илось команд? Найди выражение, которое является правильным переводом задачи на математический язык. Придумай задачу с другими величинами, имеющую такое же решение. а) Из с метров шелка сшили 7 одинаковых платьев. Сколько метров шелка потребуется на 12 таких платьев? 1)(с:7):12; 2)(с: 7)-12; 3) 12 : (е : 7); 4) (с - 7)-12. 18 Глава 1, §2, п.1 ® [HI б) Вертолет пролетел за 3 часа d км. За сколько часов он пролетит с той же скоростью п км? l)n:(d:Sy, 2) (d : 3) • п; 3)(d:3):n; 4) n : (d • 3). в) В одном альбоме х марок наклеено на 10 страниц поровну. В другом альбоме наклеено у марок и на каждой странице на 4 марки меньше, чем в первом альбоме. Сколько страниц занято марками во втором альбоме? 1)(х: 10-4):z/; 2)x:10 + ^:4; 3) (д: - i/- 4): 10; 4) г/: (jc : 10 - 4). Вычисли и расшифруй название профессии. Что ты о ней знаешь? 8 + 9 •3 -2 : 7 21 - 15 •6 : 4 + 25 К 14 + 18 :8 •15 -37 35 : 7 •9 + 15 : 10 • 12 -9 : 11 + 6 И 0 72 -48 : 3 • 7 + 14 18 •8 + 6 : 3 -26 54 : 9 14 21 • 7 Е + 8 • 10 110 : 5 В п 8 24 34 24 28 15 23 70 6 7 Ш Цепочку вычислений, соответствуюта;ую букве "К" предыдущего номера, можно задать выражением: [(8 + 9) * 3 - 2] : 7. Составь выражения для остальных цепочек и проверь правильность записи с помощью вычислений. Число записано в виде суммы разрядных слагаемых. Сколько единиц каждого разряда содержит это число? Запиши его. 1) 70 000 + 2000 + 300 + 50; 3) 9 000 000 + 40 000 + 300 + 50; 2) 400 000 + 8000 + 10 + 7; 4) 80 000 000 + 200 + 3. Запиши число в виде суммы разрядных слагаемых по образцу: 56 074 = 5 • 10 000 + 6 • 1000 + 7-10 + 4 1) 32; 2) 74; 3) 621; 4) 255; 5) 8534; 6) 9067; 7) 29 454; 8) 33 303; 9) 709 015; 10) 5 240 800. 19 Глава 1, §2, п.1 I 80 I 1) 35 714 + 506 + 378 493; 3) 7 000 000 - 38 412; 2) 24 203 622 - 9 680 750; 4) 1 010 100 - (104 717 + 6394). а) Расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставь их соответствующим буквам, и ты узнаешь, как в России в старину называли рифму. 85 20 С 12-3 С 27-4 Е 38-70 И 490-3 Г 216:4 А 480 :40 А 204 : 3 Л 280:5 Е 750 : 25 О 520 : 13 К 600 : 150 Р 840 : 140 б) Расшифруй слово, распололсив ответы примеров в порядке убывания и сопоставив их соответствующим буквам. Подбери для него несколько рифм. А 3 681 139 f 5 327 870 К 8 924 059 + 3648 + 1 072 257 Р 10 000 000 - 2 570 801 Л 302 152 018-301667 308 Ь 809 - 45 Е 796 - 609 У 8002 - 906 С 7200-750 Ф Построй математическую модель задачи: В зоопарке было 35 львов, носорогов, обезьян и крокодилов. Львов было 6, носорогов на 2 меньше, чем львов, а обезьян в 5 раз больше, чем носорогов. Сколько крокодилов было в этом зоопарке? Запиши выражение, являющееся переводом задачи на математический язык. Придумай задачу с другими величинами, имеющую такое же решение. 1) Три одинаковых пакета молока стоят d р. Сколько стоят 5 таких пакетов? 2) За 8 метров пленки для парника заплатили х р. Сколько метров такой пленки можно купить на I/ р.? 3) Мама купила а кг абрикосов. Из них Ь кг съели за обедом, а оставшиеся абрикосы разделили пополам и сварили из одной половины ягод компот, а из другой ~ варенье. Сколько понадобилось для этого сахара, если известно, что на 1 кг абрикосов для компота требуется п кг сахара, а на 1 кг абрикосов для варенья - т кг сахара? [^^8^ Продолжи каждый из рядов на четыре числа, сохраняя закономерность: а) 1, о, 1, о, о, 1, о, о, о, ... в) 1, 9, 3, 11, 5, 13, ... б) 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, ... г) 5, 6, 15, 12, 25, 18, ... Сколько различных чисел можно составить из цифр 5, 4, 7, 0, если цифры в записи числа не повторяются? Глава 1, §2, п.1 Задача 2. В соревнованиях по плаванию приняло участие 60 детей, причем мальчиков было в 3 раза больше, чем девочек. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях? Всех участников соревнований можно разбить на 2 группы - мальчики и девочки. Однако для этой задачи мы не можем составить числовое выражение, так как не известно ни число мальчиков, ни число девочек. 60 60 девочки мальчики девочки мальчики Ъх Обозначим число девочек через х. Тогда число мальчиков равно Зд:, а всего участников соревнований х + Зд:. По условию всего участников 60, и, значит, равенство дс -Ь Зд: = 60 является математической моделью данной задачи. Для ответа на вопрос задачи надо найти неизвестное число д: из равенства X ) Зд: = 60. Составь схему и построй математическую модель задачи: 1) Квартира состоит из 3 комнат общей площадью 42 м^. Первая комната по площади в 2 раза меньше второй, а вторая - на 3 м^ больше третьей. Чему равна площадь каждой комнаты в этой квартире? 2) За книгу, ручку и тетрадь Саша заплатил 270 р. Ручка в 3 раза дороже тетради и на 25 р. дешевле книги. Сколько стоит тетрадь? 3) Мотоциклист проехал расстояние между двумя городами, равное 980 км, за 4 дня. В первый день он проехал на 80 км меньше, чем во второй день, в третий день - половину расстояния, пройденного за первые два дня, а в четвертый день - оставшиеся 140 км. Какое расстояние проехал мотоциклист в третий день? 4) Периметр четырехугольника равен 46 дм. Первая его сторона в 2 раза меньше второй и в 3 раза меньше третьей стороны, а четвертая сторона на 4 см больше первой стороны. Чему равны длины сторон этого четырехугольника? 21 Глава 1, §2, п.1 О Построй математическую модель задачи, обозначая буквой х задуманное число: 1) Одно из чисел на 17 меньгае второго, а их сумма равна 75. Найти большее из этих чисел. 2) Первое число в три раза больше второго, а разность vV этих чисел равна 48. Найти меньшее число. 3) К задуманному числу прибавили 4, сумму увеличили в 5 раз, из результата вычли 16 и получили на 2 меньше, чем получили бы, сложив учетверенное задуманное число с 9. Какое число было задумано? 4) Из задуманного числа вычли 3, полученную разность уменьшили в 2 раза и получили на 5 больше, чем треть задуманного числа. Какое число задумано? Зная, что буквой у обозначено задуманное число, переведи с математического языка на русский: 1) 41/ - 10 = г/ + 2; 4) (2«/ + 6): 3 - 4 = ^ : 2 + 1; 2) Зу + 57 = 5у- 23; 5) (г/: 7 - 3) • 6 + 64 = 2i/ - 18; 3) (7г/ - 46) • 5 = 2t/ + 1; 6) (98 - 4у): 15 • 8 = 24у. [89] Назови наименьшее натуральное число. А имеется ли наибольшее? Известно, что аЪ = с, причем а, h, с Ф- 0. Составь еще три равенства, выражающие взаимосвязь между числами а, Ь и с. Реши примеры, пользуясь равенством 78 • 52 = 4056: 1) 4056:78; 3)52-78; 5)780-52; 2) 4056:52; 4)52-77; 6)78-5200. Зная, что 14 580 : 243 = 60, вычисли устно: 1) 243-60; 3)60-243; 5)1458:243; 2) 14 580:60; 4)60-242; 6)14 580:2430. Реши уравнения с комментированием и сделай проверку. Проиллюстрируй решение с помощью прямоугольника. 1) 8х = 640; 3)д::30 = 50; 5)72:х = 3; 2) 90х = 810; 4) 560: л: = 7; 6)x:32 = 8. Объясни, как найти неизвестный множитель, делимое, делитель. Выполни действия. По какому правилу выполняются действия в каждом столбике? 26-8 96 : 3 52 : 13 29 : 3 72-9 75 : 5 60:12 35 : 6 86-4 42 : 2 48 : 24 47 : 9 43-7 84 : 4 76 : 19 27 : 5 22 Глава 1, §2, п.1 Найди примеры, которые записаны и решены правильно. Какие ошибки допущены в записи и решении остальных примеров? 1) 36 ..36 36 36 ^17 X 17 ^17 X 252 252 252 212 ^ 36 * 36 36 + 36 288 612 3852 572 2) 1110 1110 1110 1110 ^ 309 ^ 309 ^ 309 ^ 309 , 999 + 999 + 999 + 999 333 333 333 333 34299 43290 342990 34299 3) 78000 78000 78000 78000 ^ 90 ^ 90 ^ 90 ^ 90 70200 70200 7020000 702000 7) 580 • 80 090; 8) 30 640 • 7200. Выполни действия и прочитай получившиеся числа: 1) 524-61; 3)9204-58; 5)597-603; 2) 807-43; 4)796-382; 6)8005-902; l^2jj расшифруй названия различных способов образования новых значений слов в языке, сопоставив ответы соответствующим буквам и расположив их: а) в порядке возрастания: М 7 • 31 15 • 42 21 - 49 25 - 54 б) в порядке убывания: 139 • 53 И 129 - 44 О 53 - 134 Е 148 - 53 М 162 - 53 М 40 • 129 Ф 15 • 47 Е 9 - 31 Я 98 - 21 И 102 • 36 Н 45•134 О 18 - 47 Т 9 - 42 Прочитай в энциклопедии или словаре, как образуются новые значения слов этими способами. Приведи примеры. Переведи условие задачи на математический язык: Задуманное число увеличили в 2 раза, из результата вычли 25 и получили число, в 3 раза меньшее задуманного. Какое число задумали? 23 Глава 1, §2, п.1 Составь схему к задаче и построй ее математическую модель: В трех отделениях концерта выступило 20 участников. Во втором отделении выступило в 3 раза меньше участников, чем в первом, а в третьем отделении - на 5 участников больше, чем во втором. Сколько участников концерта выступило в каждом отделении? Реши уравнения и сделай проверку: l)x:72 = 5; 2) 18 • л: = 540; 3) 64 000 : д: = 800. Какой цифрой оканчивается произведение 21 множителя, каждый из которых равен п, если л = 5, 6, 4, 2, 3? А если множителей 1221? Задача 3. Одна сторона прямоугольного участка земли на 3 м больше другой его стороны, Плош,адь участка равна 70 м^. Найти размеры этого участка. Обозначим ширину прямоугольника, выраженную в метрах, через х, тогда его длина равна (х + 3) м, а площадь равна х(х -ь 3) м^. Но по условию площадь равна 70 м^. Таким образом, решением задачи является значение х, удовлетворяющее равенству: х(х + 3) = 70. Это равенство и является математической моделью данной задачи. Напомним, что для построения моделей задач, величины в которых свя- Ф заны отношением а = ft • с, удобно использовать таблицу: Длина Ширина Площадь (х -t- 3) м X м х(х Ч- 3) м^, или 70 м^ 1021 Переведи условие задачи на математический язык: 1) Площадь прямоугольника равна 240 дм^, а ширина на 8 дм меньше длины. Найти длину и ширину этого прямоугольника. 2) Одну из сторон квадрата увеличили на 9 см, а другую уменьшили в 5 раз. В результате получили прямоугольник, периметр которого равен 66 см. Найти длину стороны квадрата. 3) Длина прямоугольного участка земли в 4 раза больше ширины. Если длину этого участка увеличить на 2 м, а ширину уменьшить на 5 м, то площадь его уменьшится на 190 м^. Каковы размеры данного участка? 4) Одна из сторон прямоугольника на 10 см меньше другой. Если меньшую сторону увеличить на 15 см, а большую увеличить на 20 см, то площадь прямоугольника увеличится в 5 раз. Чему равна ширина данного прямоугольника? 24 Глава 1, §2, п.1 Построй математическую модель задачи, обозначая одну из неизвестных величин буквой х\ 1) Турист предполагал пройти маршрут длиной 60 км с некоторой скоростью. Однако из-за погодных условий его скорость на маршруте оказалась на 1 км/ч меньше, и турист прибыл в конечный пункт на 2 ч позже, чем рассчитывал. С какой скоростью прошел турист свой маршрут? 2) Увеличив скорость прохождения дистанции с 250 м/мин до 300 м/мин, спортсмен стал пробегать дистанцию на 1 минуту быстрее. Чему равна длина дистанции? 3) Машинистке надо перепечатать рукопись. Она рассчитала, что, печатая в час 8 страниц, она закончит работу на 4 часа раньше, чем если будет печатать в час по 6 страниц. Сколько страниц в рукописи? 4) Спортсменов сначала построили в ряды по 6 человек, а затем переставили в ряды по 4 человека. При этом число рядов увеличилось па 2. Сколько было спортсменов? 5) Отцу 29 лет, а дочери 5 лет. Через сколько лет отец будет втрое старше дочери? 6) Бабушке 61 год, а внуку 17 лет. Сколько лет назад бабушка была старше внука в 5 раз? 7) На одном складе было 120 т угля, а на другом 96 т. С первого склада ежедневно вывозили по 6 т угля, а со второго - по 3 т. Через сколько дней на обоих складах угля оказалось поровну? 8) В одном баке 46 л машинного масла, а в другом 72 л. Из первого бака ежедневно берут по 3 л масла, а из второго - по 1 л. Через сколько дней во втором баке останется в 6 раз больше масла, чем в первом? ф|Т^ Как изменится произведение, если: а) один множитель увеличить в 9 раз; б) один множитель уменьшить в 7 раз; в) один множитель уменьшить в 2 раза, а другой уменьшить в 8 раз; г) один множитель увеличить в 4 раза, а другой увеличить в 5 раз; д) один множитель увеличить в 12 раз, а другой уменьшить в 4 раза; е) один множитель увеличить в 3 раза, а другой уменьшить в 6 раз; ж) один мнояштель увеличить в п раз, а другой увеличить в 2 раза; з) один множитель уменьшить в т раз, а другой уменьшить в 3 раза? Не вычисляя, сравни произведения и запиши ответ с помош;ью знаков > или <: 1) 29-17 и 35-17; 3) 46 • 85 и 34 • 76; 5) 14 • 56 и 16 • 84; 2) 62-36 и 18-62; 4) 23 • 51 и 97 • 40; 6) 73 • 48 и 41 • 70. 25 Глава 1, §2, п.1 Прочитай неравенства. Какие из этих неравенств являются верными высказываниями, а какие - нет? 9999 <20 000; 4507 >4570; 12 <143 <145; 203 <210 <260. 107| Верно ли высказывание? 1) 9-800<9'738<9 - 700; 2) 40-90 <41-96 <50- 100; 3) 90 • 20 < 87 • 13 < 80 • 10; 4) 500 • 30 < 534 • 39 < 500 • 40. 108 Сделай оценку произведения и запиши ее в виде двойного неравенства. Образец: 30 • 600 < 36-627 < 40 • 700 18 000 < 36 • 627 < 28 000 е 1)72-48; 2)57-83; 3)129-64; 4)25-451. Найди значения выражений и поставь между ними знак равенства или неравенства так, чтобы получилось истинное высказывание: 1) 36-(7218-683)-80-312 и 9085-28:10 + 260; 2) 730 005-7002 -54 и 20 810 - (62 + 985 - 4 - 16 - 249). Разгадай числовой кроссворд. По горизонтали: а) 45 789 - 5; б) 90 090 - 6; в) 139 608 - 7; г) 286 - 504; д) 234-810; е) 485 - 18. По вертикали: ж) 707 - 7; 3) 238 - 3280; 3 Л а И к б ж В м г д е л) 663-577; м) 857-6. и) 213-96; к) 1657-30; ш Построй математическую модель задачи: 1) Одну из сторон квадрата увеличили на 4 дм, а другую уменьшили на 6 дм. В результате получили прямоугольник площадью 56 дм^. Найти длину стороны квадрата. 2) Велосипедист предполагал проехать дистанцию в 120 км с некоторой скоростью. Но он ехал со скоростью на 6 км/ч меньшей и поэтому прибыл в пункт назначения на 1 ч позже, чем предполагал. С какой скоростью ехал велосипедист? 3) Гале 8 лет, а ее маме 34 года. Через сколько лет Галя будет в 2 раза младше мамы? 26 ------------------------------------------------- Глава 1, §2, п.1 4) У Толи было 50 тетрадей в клетку и 40 тетрадей в линейку. В месяц он расходовал по 6 тетрадей в клетку и по 4 в линейку. Через сколько месяцев количество тетрадей обоих видов стало одинаковым? 112| Найди значения выражений и сравни их: 1) (3015-947)-206-704-217 и 203 740 + 9030-210; 2) 52-(48-109 + 2716-35) и 2500-36 090. 1131 Реши уравнения: 1) л:-354 = 2 480 124; 2)^:910 = 602; 3)720 360:2 = 348. nil а) Запиши множество семизначных чисел, которые можно составить из двух цифр "7" и пяти цифр "0". Прочитай полученные числа, б) Запиши множество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 9, если цифры в записи числа не повторяются. Оцв) Четверо ребят - Игорь, Сережа, Миша и Юра - играли во дворе в футбол и разбили окно. - Кто разбил окно? - спросила тетя Даша. - Окно разбил или Юра, или Миша, - сказал Сережа. - Я окно не разбивал, - возразил Юра. - Это сделал Миша, - сказал Игорь. - Нет, Игорь, ты ошибся, - заметил Миша. - Ну что, задали они тебе задачу? - подытожил дядя Вася, наблюдавший эту беседу. - Могу еще добавить, что трое из этих футболистов всегда говорят только правду. А вот четвертого я плохо знаю. Кто разбил окно? С кем из ребят дядя Вася был мало знаком? Задача 4. На экскурсию едут 252 ученика школы. Для них заказаны несколько одинаковых автобусов. Однако выяснилось, что если заказать автобусы, вмещающие на 6 человек больше, то автобусов потребуется на один меньше. Сколько больших автобусов надо заказать, если в обоих случаях предполагается заполнить все автобусы без свободных мест? Обозначим число больших автобусов буквой х, тогда число маленьких автобусов д: + 1, а число детей в каждом автобусе соответственно 252 : х я 252 : (х+ 1). Количество детей в одном автобусе Количество автобусов Общее количество детей Большие автобусы 252 : X X 252 Маленькие автобусы 252 : (х + 1) X + 1 252 27 Глава 1, §2, п.1 Так как по условию в большой автобус вмещается на 6 детей больше, чем в маленький, то разность 252 : х - 252 : (л: + 1) равна 6. Значит, решением задачи является число х, удовлетворяющее равенству: 252 : л: - 252 : (л: + 1) = 6. Можно получить более простую математическую модель этой задачи, обозначив дополнительно буквой у число детей, которых можно разместить в большом автобусе: Количество детей в одном автобусе Количество автобусов Общее количество детей Большие автобусы У X 252 Маленькие автобусы у-6 X + 1 252 Очевидно, что в этом случае математической моделью задачи являются два равенства: 1) ху — 252; 2) (х-{ l)(i/-6) = 252. Искомые числа х и у должны удовлетворять как первому, так и второму равенству. HjH Переведи условие задачи с русского языка на математический двумя различными способами: 1) Два прямоугольника имеют одинаковую площадь, равную 70 м^. Известно, что у первого прямоугольника длина на 4 м больше, а ширина на 2 м меньше, чем у второго прямоугольника. Найти стороны этих прямоугольников. 2) Длина одного прямоугольника равна 32 см, а другого - 15 см. Ширина второго прямоугольника на 6 см больше ширины первого. Найти их площади, если известно, что площадь первого прямоугольника на 46 см^ больше площади второго прямоугольника. 3) Тетради в клетку дороже тетрадей в линейку на 5 р. За 25 тетрадей в клетку надо заплатить на 50 р. больше, чем за 30 тетрадей в линейку. Какова цена тетрадей в клетку и тетрадей в линейку? 4) За 4 м шерстяной ткани надо заплатить на 20 р. больше, чем за 6 м шелковой ткани. Сколько стоит 1 м шелка, если он дешевле 1 м шерсти на 120 р.? 5) Токарь придумал новый способ обработки деталей и за 1 час стал обтачивать на 2 детали больше, чем полагалось по плану. Поэтому дневную норму он выполнил не за 8 ч, а за 7 ч. Сколько деталей по норме должен обработать токарь за день, если на обработку каждой детали он тратит одинаковое время? 6) Если варенье, заготовленное па зиму, разложить в 2-литровые банки, то их потребуется на 9 больше, чем 3-литровых. Сколько литров варенья заготовлено? 28 @[1Г7| __________________________________________________Глава 1, §2, п.1 7) Проехав с некоторой скоростью половину пути, автобус час стоял на месте из-за случившейся на трассе аварии. Чтобы на оставшихся до пункта назначения 200 км наверстать потерянное время, водитель автобуса повел его со скоростью на 10 км/ч большей, чем в начале пути. В конечный пункт автобус прибыл без опоздания. С какой скоростью проехал автобус первую половину пути? 8) Скорый поезд был задержан у семафора 4 на Yg часа и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Чему равна скорость поезда по расписанию? 1171 Переведи с математического языка на русский записанные ниже равенства. При каких значениях а они верны? 1) 2) а-1-0 = 0-1-а = а а — о = а а — а = О 3) 4) а* 1 = 1 'а = а а'0 = 0*а = 0 а:а = 1 0:а = 0 а : 1 = а Перепиши эти равенства по памяти в тетрадь. Составь программу действий и найди значения выражений: 1) 1000 - (561 - 279 • 0) : 561 + (639 - 639) • 9614; 2) (28 • 1 - 28 : 1) : 1240 + (1 • 97 - 90) : 1 - 382 : 382. Что интересного в полученных числах? Поставь вместо звездочек пропущенные цифры: 1) + 3 * 9 5 * 7*62 *14*0 2) * 2 4 * 3 * * 9 1 * 7 36*908 3) -I- 4 * 8 8* * * 8 * g * * * * * * * 4) 5*6 * * -ь **30 * Q * ***** Переведи на математический язык высказывание тремя разными способами: 1) т на 5 больше, чем п; 3) а на 9 меньше, чем Ь; 2) с в 7 раз меньше, чем d; 4) хвЗ раза больше, чем у. Сравни в каждом равенстве натуральные числа, обозначенные буквами: 1) а:5 = 8; 3) х + Ь = у; 5)p-6 = q; 2) k = t-2; 4)т = 3п; 6)c:4 = d. 29 Глава 1, §2, п.1 122| На рисунке изображены два множества линий. Что общего у линий обоих множеств? Чем отличаются линии одного множества от линий другого? А _В Е К ш| Найди на рисунке и запиши с помощью фигурных скобок следующие множества: - множество замкнутых линий; - множество незамкнутых линий; - множество ломаных линий; [ D - множество многоугольников; - множество треугольников; - множество самопересекающихся линий; - множество замкнутых линий без самопересечений. О Найди среди записанных множеств примеры таких двух множеств, одно их которых является подмножеством другого. ш Составь таблицу и переведи условие задачи с русского языка на математический: В зрительном зале 1200 стульев, расположенных рядами с одинаковым числом стульев в каждом ряду. Если в каждом ряду добавить по 5 стульев, то число рядов уменьшится на 8. Сколько было рядов и сколько стульев в каждом ряду? 30 Глава 1, §2, п.1 ЦЦ Ф Составь программу действий и вычисли: а) (30 000 - 408'25) • (609 • 700 - 417 295); б) 6304 • 5080 - (5 000 000 + 14 903 • 412) + 42 447. Нарисуй в тетради замкнутую ломаную линию без самопересечений. Раскрась ограниченную ею внутреннюю область. Как называется полученная фигура? Отметь точку А во внутренней области фигуры, точку В - во внешней области, а точку С - на ее границе. На некотором острове отдельными селениями живут два племени, "правдолюбы" и "лжецы". "Правдолюбы" всегда говорят только правду, а "лжецы" - всегда только неправду. Жители одного племени бывают в селении другого племени, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает, в какое. Он задал один вопрос первому встречному и сразу установил, где он находится. Что он спросил? Игра "Счет с препятствиями". На витрине магазина - куклы и машинки. Ребята решили сосчитать их, но по особому правилу. Считать нужно подряд и куклы, и машинки, например: "Первая кукла, первая машинка, вторая кукла, третья кукла, вторая машинка" и т. д. Попробуй сосчитать таким способом, сколько на витрине кукол, а сколько машинок. Если сразу не получится, вернись к этому заданию еще и еще раз. Глава 1, §2, п.1 -------------------------- Задача 5. Задумано двузначное число, которое на 52 больше произведения своих цифр. Какое число задумано? В этой задаче естественно обозначить буквами хту цифры двузначного числа. Пусть X - цифра десятков, & у - цифра единиц. Тогда их произведение равно ху. Само число тоже можно выразить через его цифры X и г/. Действительно, в х десятках 10х единиц, да еще у единиц - всего в числе содержится 10х + у единиц. По условию число 10х + у на 52 больше произведения своих цифр ху. Значит, должно выполняться равенство 10х + у = ху + 52, которое является математической моделью данной задачи. Итак, мы видим, что построение математических моделей можно сравнить с переводческой работой. После перевода на математический язык содержание задачи записывается намного короче и наглядней. А самое главное - математическая символика упрощает поиск ее решения. Но... об исследовании математических моделей речь пойдет в следующем пункте. О Обозначая цифру десятков двузначного числа буквой х, а цифру единиц - буквой у, запиши на математическом языке условие задачи: 1) Найти двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр. 2) Найти двузначное число, которое на 26 больше произведения своих цифр. 3) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то получится число на 18 большее, чем исходное. Какое число задумано? 4) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то получится число на 27 меньшее, чем исходное. Какое число задумано? Используя для обозначения неизвестных величин буквы х и у, запиши на математическом языке условие задачи: 1) Сумма двух чисел равна 13, а разность 2. Найти эти числа. 2) Периметр прямоугольника равен 70 м, его длина больше ширины на 1 м. Чему равны стороны этого прямоугольника? 3) Мать старше дочери на 26 лет, а вместе им 60 лет. Сколько лет каждой из них? 4) Веревку длиной 58 м разрезали на 2 части, причем одна часть длиннее другой на 12 м. Какую длину имеет каждый кусок веревки? 32 Глава 1, §2, п.1 13Ц Проследи по цепочке таблицу мер массы: Сколько килограммов в 1 т? Сколько граммов в 1 ц? Запиши в виде выражения: 1) количество килограммов в а центнерах; 4) количество центнеров в k тоннах; 2) количество граммов в п килограммах; 5) количество граммов в х центнерах; 3) количество килограммов в d тоннах; 6) количество граммов в т тоннах. Выполни действия: 1) 5 т 63 кг + 937 кг — 2 т 9 ц; 2) 3 кг 12 г - 185 г + 12 кг 720 г; 3) 7 кг 300 г • 8; 4) 4 ц 25 кг ; 5. Используя рисунок, найди массу каждого фрукта, считая фрукты одного вида равными по массе: 1) 135| Реши задачу и запиши решение по действиям с вопросами: 1) Отец с сыном выкопали 4 мешка картошки. В первом мешке было 52 кг картошки, что на 4 кг меньше, чем во втором мешке, но на 4 кг больше, чем в третьем. Масса четвертого мешка составила половину массы первого и третьего мешков вместе. Сколько всего картошки выкопали отец с сыном? (Ответ выразить в центнерах и килограммах.) 2) Печенье, изготовленное в пекарне за день, упаковали в пачки по 300 г. Пачки сложили в коробки в 5 слоев. Каждый слой имеет 4 ряда по 6 пачек в ряду. Чему равна масса печенья, изготовленного пекарней в этот день, если получилось всего 280 коробок? (Ответ выразить в тоннах и килограммах.) 1361 Обозначая цифру десятков двузначного числа буквой х, а цифру единиц - буквой у, запиши на математическом языке условие задачи: 1) Найти двузначное число, частное от деления которого на произведение его цифр равно 3. 2) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то получится число, на 72 меньшее исходноз'о. Какое число задумано? 2 — Дорофеев, 5 кл.. ч. 1 33 Глава 1, §2, п.1 137| Построй математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы хт у. 1) Сумма двух чисел равна 105, а их частное равно 6. Какие это числа? 2) Площадь прямоугольника равна 288 см^, а его периметр - 72 см. Чему равны стороны этого прямоугольника? 1381 Восстанови цепочки вычислений: 1) 139| Реши задачу и запиши решение по действиям с вопросами, а затем составь для нее выражение: Партию из 720 телевизоров должны перевезти на 9 машинах. Однако грузчики сказали, что они смогут разместить коробки с телевизорами так, что на каждой машине поместится на 10 коробок больше. На сколько меньше машин, чем запланировано, потребуется в этом случае для перевозки? (Считать, что на каждой машине перевозится одинаковое количество телевизоров.) 1401 Запиши выражения для периметра и ^ площади фигуры, изображенной на рисунке: с d 34 ф|1^ Глава 1, §2, п.2 Задача, которую в юности решил знаменитый французский физик и математик Симеон-Дени Пуассон (1781-1840 гг.). Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него имеется 2 сосуда: один вместимостью в 8 пинт, а другой вместимостью в 5 пинт. Каким образом налить б пинт меда в сосуд на 8 пинт? 2. Работа с математическими моделями. В предыдущем пункте мы перевели условия пяти задач на математический язык, но не решили их - не ответили на поставленные вопросы. Как же найти неизвестные числа? После перевода мы получили новые тексты этих задач. В этом пункте мы рассмотрим только первые две задачи (стр. 17, 21). Задача 1. Найти значение выражения 120-25-25-2. Значение этого выражения мы без труда можем найти: 120 - 25 - 25 • 2 = 45. Таким образом, ответ к задаче 1 предыдущего пункта следующий: "Денис принес на выставку 45 марок". Задача 2. Найти неизвестные числа х и Зх, если выполняется равенство л: -Ь Зх = 60. Равенства такого вида нам еще не встречались. Но найти нужные нам числа можно, если это равенство записать по-другому, преобразовать. Здесь нам помогут известные свойства чисел - свойство единицы и распределительный закон. В самом деле: х-ЬЗх=1-х-1-3-х = (1-1-3)-х = 4х. Поэтому равенство можно записать в виде: 4х = 60, X = 60 : 4, X = 15. Значит, в соревнованиях участвовало 15 девочек. А число мальчиков, участвовавших в соревнованиях, равно Зх, или 45. Из рассмотренных при.меров видно, что после перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями — к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям. В первой задаче для получения ответа оказалось достаточным использовать известные 2* 35 Глава 1, §2, п.2 нам алгоритмы действий с числами. Вторая задача свелась к решению уравнения нового для нас вида, но изученное ранее распределительное свойство умножения помогло быстро найти ответ. Отсюда следует, что чем больше математических понятий и их свойств мы знаем, тем больше имеем возможностей для отыскания коротко1’0 и простого решения. Однако преобразовать математическую модель к изученному виду не всегда удается. Как искать ответ в этом случае? Методы исследования новых, не встречавшихся ранее математических моделей мы рассмотрим в следующих пунктах. О Построй математическую модель задачи и наиди ответ при данных значениях букв: 1) Купили 3 батона хлеба и 2 кг яблок. Один батон хлеба стоит а р., а 1 кг яблок стоит Ь р. Сколько рублей стоит вся покупка? (а = 25, Ь = 60.) 2) Через одну трубу в бассейн вливается т л воды в минуту, а через другую - п л воды в минуту. Сколько литров воды поступит в бассейн за 15 минут работы обеих труб? (т = 75, п = 45.) 3) За 3 м шерстяной ткани и с м шелка заплатили 1360 р. Сколько стоит 1 м шелка, если 1 м шерстяной ткани стоит d рублей? (с = 2, 0, то в данной задаче это сделать несложно. Действительно, если значение х больше 7, то х -Ь 3 будет больше 10, и тогда произведение х(х + 3) окажется больше 70. Аналогично можно показать, что если значение х меньше 7, то произведение х(х -t- 3) окажется меньше 70. Следовательно, равенство, данное в условии, верно только для одного числа X = 7, а тогда х + 3 = 10. Ответ: длины сторон участка равны 7 ми 10 м. 42 Итак, метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, когда математическая модель представляет собой новый, еще не изученный объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения и ни одно не пропущено. Глава 1, §2, п.З о О Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок. 1) Площадь прямоугольника равна 68 дм^, а длина больше ширины на 13 дм. Чему равны стороны этого прямоугольника? 2) Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см^. Найти стороны прямоугольника. 3) Найти периметр прямоугольника, площадь которого составляет 18 м^, а ширина в 2 раза меньше длины. 4) Площадь прямоугольника равна 64 дм^, а его длина в 4 раза больше ширины. Чему равен периметр прямоугольника? 5) Длину прямоугольника уменьшили на 3 см, а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 30 см^. 6) После того как ширину прямоугольника увеличили на 1 м, а длину уменьшили на 5 м, получили квадрат. Чему равна площадь квадрата, если площадь прямоугольника 91 м“? [269j Как изменится частное, если: а) делимое увеличить в 3 раза; б) делитель увеличить в 5 раз; в) делимое увеличить в 8 раз, а делитель увеличить в 2 раза; г) делимое уменьшить в 6 раз, а делитель уменьшить в 2 раза; д) делимое увеличить в 7 раз, а делитель уменьшить в 5 раз; е) делимое уменьшить в 9 раз, а делитель увеличить в 6 раз; ж) делимое увеличить в п раз, а делитель уменьшить в 3 раза; з) делимое уменьшить в т раз, а делитель увеличить в 8 раз? Не вычисляя, сравни частные и запиши ответ с помощью знаков > или <: 3) 2028 : 78 и 2808: 78; 4) 3596: 29 и 3916: 29; 1) 1872: 39 и 1872: 48; 2) 3348 : 62 и 3348 : 54; Верно ли высказывание: 1) 720 : 8 < 768 : 8 < 800 : 8; 2) 1200 : 30 < 1200 : 32 < 1200 : 40; 3) 20 000 : 50 < 21 068 : 46 < 24 000 : 40; 4) 15 000 : 50 < 17 056 : 52 < 18 000 : 60? 5) 692:4 и 588:7; 6) 2970:45 и 3276:39. Глава 1, §2, п.З EzH Сделай оценку частного и запиши ее в виде двойного неравенства: Образец: 28 000 : 40 < 29 792 : 38 < 30 000 : 30 700 < 29 792 : 38 < 1000 1) 3424 : 4; 2) 4512 : 6; 3) 50 592 : 8; 4) 46 872 : 9; 5) 988 : 26; 6) 3901:47; 7) 20 418:83; 8) 483 621: 69. ЦЦ Выполни прикидку частного: Образец: 57 596 : 68 = 56 000 : 70 = 800 1) 224: 7; 2) 3210:5; 3) 28 348:38; 4) 24 932:46; 5) 172 872:42, 6) 159 183 :69; 7) 103 761: 567; 8) 568176:712. 174| Найди примеры, которые решены правильно. Какие ошибки допущены в решении остальных примеров? 1) 228114 228 114 114 38 63 2) 3) о 144 000 135 90 о 2 916 000 2 88 _ 360 360 о 45 32 72 4500 228 114 228 _ 114 114 о 144 000 135 90 9^ о 2 916 000 2 88 38 603 45 3200 72 40 050 360 360 О 228 114 228 _ 114 О 144 000 135 90 О 2 916 000 2 88 360 360 О 38 6003 45 32 000 72 40 500 1^ Расшифруй слово, расположив ответы примеров в порядке убывания и сопоставив их соответствующим буквам. Что означает это слово? А 5635 : 7 А 20 368 : 67 М 146 520 : 36 д 41 340 : 53 л 371 480 : 74 и 245 294 : 49 О 168 192 : 24 И 402 500 : 175 п 2 198 560 : 728 44 --------------------------------------- ------------ Глава 1, §2, п.З EzH Слева от знака равенства поставь знаки деления так, чтобы получились верные высказывания: ____2 874 = 1 4328 = 54 14461 = 24 [222J Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок. 1) Длина прямоугольника на 5 м больше ширины, а площадь составляет 24 м^. Каковы стороны этого прямоугольника? 2) Длину прямоугольника уменьшили в 2 раза, а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника 60 дм^. 178| Расшифруй названия литературных терминов, сопоставив частные соответствующим буквам и расположив их: а) в порядке возрастания: О 56 : 7 А 36 : 18 Р 63 : 7 И 66 : 6 Л 36 : 12 Е 48:8 Г 56:8 Я 80:4 Л 48: 12 б) в порядке убывания: Ю 192 : 24 Л 200 : 20 И 144 : 36 я 108 : 36 3 144 : 24 А 240:8 Л 240: 12 О Прочитай в энциклопедии или словаре, что означают эти термины. Приведи примеры. I179J Реши уравнения: 1)98:х + 9 = 23; 2)60• («/: 40 + 4) = 720; 3)39 -(15z + 48): 27 = 35. ш Жители города А говорят только правду, жители города Б - только ложь, а жители города В - попеременно правду и ложь (то есть из каждых двух последовательных утверждений одно истинно, а другое ложно). Дежурному по пожарной части из одного из этих городов по телефону сообщили: - У нас пожар, приезжайте скорее! - Где? - спросил дежурный. - В городе В, - ответили ему. Куда должна ехать пожарная машина, если пожар в одном из этих городов действительно был? 45 Глава 1, §2, п.4 4. Метод перебора. При решении задач методом проб и ошибок мы видели, что простой подбор одного неизвестного числа не дает уверенности в том, что найдены все искомые значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные, иногда очень непростые рассуждения. В этом состоит существенный недостаток метода проб и ошибок. Указанного недостатка лишен другой метод решения задач - метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором рассматриваются все мыслимые возможности', если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и дает решение задачи. Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет пайти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем "лобовой" перебор. Рассмотрим задачи 4 и 5 из пункта 1 (стр. 27, 32). Для рещения задачи 4 удобнее использовать второй вариант перевода ее условия на математический язык. Задача 4. Для натуральных чисел х и у выполняются два равенства'. ху = 252, (X + 1){у - 6) = 252. Найти эти числа. Из равенства ху = 252 можно заметить, что числа х и у не могут быть больше, чем 252. Однако и в этом случае "лобовой" перебор потребовал бы рассмотрения огромного числа вариантов. Вместе с тем более внимательный анализ первого равенства показывает, что числа хиу — это парные делители 252: при делении 252 на х получается у, и наоборот. Следовательно, достаточно рассмотреть лишь парные делители числа 252, причем для случая, когда у >5 (так как по условию у - 6 е N). Составим таблицу: X 1 2 3 4 6 7 9 14 18 28 36 у 252 126 84 63 42 36 28 18 14 9 7 Анализ второго равенства позволяет еще больше сократить число возможных вариантов. Действительно, оно означает, что числа х + 1 и у -6 также являются парными делителями числа 252. Из таблицы видно, что такими свойствами обладает только пара х = 6, .1^ = 42. 46 — Глава 1, §2, п.4 Поэтому задача 4 из пункта 1 имеет следующий ответ; "Для экскурсии надо заказать 6 больших автобусов". Задача 5. Для цифр X и у двузначного числа выполняется равенство \0х + у = ху + Ь2. Найти это число, если х - цифра десятков, ау- цифра единиц этого числа. Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все значения л: от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение у от О до 9. Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что правая часть данного равенства больше 52. Значит, и левая его часть, то есть задуманное число, больше 52. Поэтому неизвестное число х не меньше 5, и можно рассматривать только пять значений д: - от 5 до 9. При X = 5 наше равенство имеет вид 50 + у = 6у + 62, а этого быть не может, так как левая часть равенства всегда меньше правой части. При X — 6 имеем 60 + г/ — 6i/ Ч- 52. По правилу "весов", известному из начальной школы, обе части уравнения можно поменять местами, увеличить, уменьшить, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Поэтому если мы из каждой части этого равенства вычтем одно и то же число у, то получим 60 = 5i/ + 52, откуда 5у = 8, что для натурального числа у невозможно. При X = 7 имеем равенство 70 + ^= 7^-1-52. Снова вычитая из каждой части у, получим 70 = 6у + 52, Оу = 18, i/ = 3. Таким образом, для чисел д: = 7 VL у = 3 равенство выполняется и число 73 удовлетворяет условию задачи: 73 = 7-3 + 52. Означает ли это, что мы решили задачу? Нет, поскольку перебор еще не закончен и среди не рассмотренных нами случаев могут найтись решения. Значит, перебор следует продолжить. Выполняя аналогичные преобразования, имеем при д: = 8: 80 + у = 8у + 52, 80 = 7у + 52, 7у = 28, i/ = 4. Наша осторожность помогла нам найти еще одно число - 84, которое удовлетворяет условию задачи: 84 = 8 • 4 + 52. Осталось проверить д: = 9: 90 + г/ = 9г/ + 52, 90 = 8у + 52, Sy = 38, что невозможно. Глава 1, §2, n.4 — Перебор удобнее проводить с помощью таблицы: X Уравнение Упрощенное уравнение У 5 50 + у = 5у + 52 невозможно 6 60 + г/ = 6у + 52 S = 5у невозможно 7 70 + у = 7у + 52 18 = бу у = 8 8 80 + г/ = 8i/ 1- 52 2В = 7у t/ = 4 9 90 + у = 9у + 52 38 = 8у невозможно Таким образом, задумано либо число 73, либо 84, а какое именно из них -неизвестно: условие задачи не дает возможности ответить на этот вопрос. В соответствии с этим и записывается ответ к задаче: "73 или 84". Итак, мы видим, что осуществление полного перебора требует или большого количества труда и времени, или придумывания более остроумной системы перебора. 1811 Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора. 1) В несколько коробок разложили поровну 36 карандашей. Если бы коробок было на 2 меньше, то в каждую пришлось бы положить на 3 карандаша больше. Сколько было коробок и сколько карандашей в каждой коробке? 2) В секции фигурного катания 60 человек. Для занятий их разделили поровну на несколько групп. Если бы групп было на одну больше, то в каждой было бы на 3 человека меньше. Сколько было групп и сколько человек в каждой группе? 3) Петя взял у друга интересную книгу и обещал ее вернуть через несколько дней. Однако он успевал читать в день на 10 страниц больше, чем предполагал, и поэтому сумел вернуть книгу на день раньше срока. За сколько дней Петя прочитал книгу, если в книге 120 страниц и скорость его чтения не менялась? 4) Мастерской надо было сшить 150 костюмов за определенный срок. Но она шила в день на один костюм больше и поэтому закончила работу на 5 дней раньше срока. Сколько костюмов в день шила эта мастерская, работая с постоянной производительностью? Обозначь X цифру десятков, а г/ - цифру единиц двузначного числа. Построй математическую модель задачи и реши ее методом перебора. 1) Задумано двузначное число, которое на 66 больше произведения своих цифр. Какое число задумано? 2) Двузначное число на 25 больше произведения своих цифр. Какое это число? 48 _____________________________________________________Глава 1, §2, п.4 3) Сумма цифр двузначного числа на 19 меньше их произведения. Найди это число. 4) Задумано двузначное число, сумма цифр которого в 2 раза меньше самого числа. Какое число задумано? 5) Если двузначное число уменьшить на 45, то получится двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найди это число. 6) Если двузначное число увеличить на 27, то получится двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Какое это число? 1831 (Устно.) Расшифруй названия терминов математической логики. а) 42-7-5 36:2 + 5 Н (75 + 6):9 /tv 8-(31 -25) В 2-9 + 3-6 39: 13 + 17 С 14-4-28 Е 50:2 + 8 Л 60-13-4 + 2 О 42:6 + 15:3 К 56 : (16-8)- 7 И (12-4)-(45 : 9) 40 28 20 40 9 9 12 10 12 48 9 12 49 36 23 9 20 12 7 Ю 9-5-3-2 3 7-4-25 ъ 78+1 + 69 + 2 и 19 + 29 + 39 + 3 ц 43 + 44 + 45 + 46 + 47 О 192-(162+ 7) К 256-99-1 Я (373 + 148)-373 д (48 + 459) - 449 н 914-(814+ 37) 156 23 63 150 270 63 156 225 90 148 58 90 700 150 270 63 156 225 90 148 49 Глава 1, §2, п.4 в) Л 8+127 с 297 + 5 А 23 + 161 М 158+12 Ц 329 + 72 К 143-9 О 200-6 В 328-27 ь 203-8 я 363 - 70 27 170 420 135 27 134 184 401 27 293 Т 69-4 Е 160*3 Н 29*20 П 840 : 2 Э 700:5 И 810 : 30 140 134 301 27 301 184 135 480 580 276 580 194 302 276 195 184| Найди фигуры, для которых прямая I является осью симметрии. Проверь с помощью кальки. 4) I 7) 9) 50 Глава 1, §2, п.4 Реши уравнения, используя правило "весов": 1)2х-5 = х; 2)y = S-y; 3) 5г = 2 + 24; 4)7m-60 = m. Правило "весов": обе части уравнения можно поменять местами, увеличить, уменьшить, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. 5) 1 911 400 : 5030; 6) 24 766 000 : 40 600. Вычисли: 1) 75 000 : 500; 3) 284 700 : 390; 2) 90 000 : 1800; 4) 1 260 000 : 450; Составь программу действий и вычисли: 1) [924 • 907 - (92 749 + 76 571): 415]: 138; 2) 409 210 - [3007 • (1511 - 560 480 : 620) + 148 687]: 856. Проследи по цепочке таблицу мер объема, расскажи о соотношениях между ними. Какой единице объема равен 1 литр? 1 М^ 1 ДМ^ 1 СМ'"* 1 ММ'^ 1000 1000 1000 Сколько кубических миллиметров в 1 кубическом дециметре? Сколько кубических сантиметров в 1 кубическом метре? Сколько кубических миллиметров в 1 кубическом метре? Запиши в виде выражения: 1) количество кубических миллиметров в а кубических сантиметрах; 2) количество кубических дециметров в Ь кубических метрах; 3) количество кубических сантиметров в с кубических дециметрах; 4) количество кубических сантиметров в d кубических метрах. Выполни действия: 1) 8 дм=' 36 см^ + 964 см=^; 5) 43 см^ 800 мм'^ • 5; 2) 1 м'" 217 дм'^ + 5 м-'’ 95 дм^; 6) 6 м^ 24 дм^ • 25; 3) 4см='-2см"219мм'>; 7)18дмЗ:16; 4) 9 дм^ 4 см^ - 7 дм'* 78 см^; 20 м^ 480 дм^: 40. С - множество делителей числа 8, а D — множество делителей числа 9. а) Запиши множества С и I) с помощью фигурных скобок. б) Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств С w D, найди их объединение и пересечение. Сделай записи, используя знаки U и П. в) Верны ли утверждения: leCnZ), 8(ёСП1), 9eCUil, 72^CUZ1? г) Какое число является делителем любого числа? 51 Глава 1, §2, п.4 Ш Задай характеристическим свойством множество А = {а, б, в}. Составь все подмножества этого множества. Задай характеристическим свойством множество В = {19, 20, 21}. Запиши все множества, равные множеству Б. Найди правильный перевод условия задачи на математический язык. Составь задачу с другими величинами, имеющую такое же решение. С трех полей собрали а ц картофеля. С первого поля собрали 6 ц, а со второго - в 2 раза больше, чем с первого. Картофель, собранный с третьего поля, развезли поровну в 4 овощехранилища. Сколько картофеля отвезли в каждое овощехранилище? 1)(а + 6 + 26):4; 2){а-Ъ- 2Ь) • 4; Разгадай кроссворд. По горизонтали: а) 2496:32 б) 13 590:45 в) 78 400:16 г) 1259 600:25 д) 7205 600:8 е) 5 712 000:34 3) (а - 6 - 2Ь): 4) (6 - а - 2а) 4; 4. По вертикали: а) 2 803 200:4 б) 2 283460:58 в) 3366 720:840 г) 4 807 000:9500 д) 9 560 460:105 060 ж) 24 612 000:30 Ц9а Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора. Мастер за несколько часов изготовил 84 одинаковые детали. Если бы он изготавливал в час на 2 детали больше, то ему для этой работы потребовалось бы на час меньше. С какой производительностью работал мастер, если в течение всего времени работы она не менялась? Обозначь JC цифру десятков, ау- цифру единиц двузначного числа. Построй математическую модель задачи и реши ее методом перебора. Задумано двузначное число меньшее 80, которое на 58 больше произведения своих цифр. Какое число задумано? Найди значение выражения: 1) [(249 • 803 + 189): 248 - 98] • 780; 2) [84 706 - (203 • 407 -f 957)] • (192 150 : 549). Выполни действия: 1) 5 м^ 928 дм=* + 2 м» 84 дм^; 2) 9 см^ 45 мм^ - 6 см'^ 796 мм'^; 3) 18 дм=' 500 см" 4) 42 м": 20. 4; 52 _____________________________________________________Глава 1, §2, п.4 |1о| Вычисли, расположи ответы примеров в порядке возрастания и сопоставь их соответствующим буквам. Расшифруй литературный термин. Что он означает? Приведи примеры. А 5032 : 68 А 25 040: 5 И 78 279:97 Т 40 850 : 43 Т 197 500 : 250 н 234 688: 386 3 2431068:578 Е 1311000:690 2011 А - множество делителей числа 16, а В - множество делителей числа 28. а) Запиши множества А и В с помощью фигурных скобок. б) Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств А и В, найди их объединение и пересечение. Сделай записи, используя знаки ПиУ- в) П = {2, 4, 8}. Какие из высказываний верны: В с А, В с Б, В^А, ВфВ7 202| Нарисуй в тетради по клеточкам фигуру А и прямую I. Построй фигуру, симметричную А относительно I. О [20^ Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. лет до н. э.) Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе - 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности? Задачи для самопроверки. 1^ Найди выражение, которое является правильным переводом данной задачи на математический язык. Отряд пограничников, выполняя боевое задание, прошел а км. Первые 3 часа пограничники шли по дороге со скоростью Ь км/ч и сделали привал на 2 часа. Остальное время они шли по болотистой местности со скоростью с км/ч. Сколько времени пограничники потратили на весь поход? 1) л : 3 + 6 : 2 + с; 2) а : 3 + (6 + с): 2; 3) 3 + 2 + (а 4) 3 + 2 + (а Ь): с; Zb): с. Глава 1, §2, п.4 205| Некоторое число сначала увеличили на 14, потом увеличили в 4 раза, результат вычли из 110 и получили 18. Какое число задумали? 2061 Упрости выражения: 1) а-Ь 4 + За + 12; 2) w 8 • я * 9; 3)16х-7х-2х. 207| Построй математическую модель задачи и найди ответ при данных значениях букв. 1) в 5 одинаковых банок разложили х кг варенья. Сколько таких банок потребуется, чтобы разложить у кг варенья? (х = 15, г/ = 36.) 2) Для столовой закупают на неделю п батонов хлеба. Сколько батонов хлеба надо закупить на 4 дня при постоянном расходе хлеба в день? (я = 280.) 3) При испытании авиамоделей одна из них летела со скоростью а м/с и продержалась в воздухе 40 секунд. Скорость второй была на 2 м/с больше скорости первой, но она продержалась в воздухе только Ь секунд. На сколько метров первая модель пролетела больше, чем вторая? (а = 4, 6 = 25.) Построй математическую модель задачи и ответь на поставленный вопрос. Катя, Ира и Лена вместе собрали 35 стаканов малины. Ира собрала в 2 раза больше малины, чем Катя, а Лена -в 4 раза больше, чем Катя. Сколько малины собрала каждая девочка? Реши задачу методом проб и ошибок. Найти периметр прямоугольника, у которого ширина на 4 см меньше длины, а площадь составляет 32 см^. Реши задачи методом перебора. 1) Найти двузначное число, которое на 34 больше произведения своих цифр. 2) Для новогоднего праздника надо было изготовить 48 гирлянд. Эту работу поручили нескольким ученикам, распределив между ними гирлянды поровну. Если бы учеников было на 2 больше, то гирлянд каждому пришлось бы делать на 4 меньше. Сколько было учеников и сколько гирлянд сделал каждый из них? Выполни действия: 1) 723 • 409; 4) 72 560 : 8; 2) 2070-500; 5)253 536:417; 3) 8003 • 960; 6) 369 000 : 820. Найди значение выражения: 189 + [(747 - 699) • 13 - 35]: 19. 54 Глава 1, §3, п,1 § 3. Язык и логика 1. Высказывания. Речь человека, тексты, которые он читает и пишет, состоят из предложений. Это касается и обычного, и математического языка. То, что говорится в каждом предложении, может оказаться верным или неверным. Например, в учебнике можно прочитать верное предложение "Земля вращается вокруг Солнца", а в таблице умножения - предложение 2-2 = 4. А если ученик скажет, что семью семь сорок семь, - это будет неверное предложение. Надо сказать, что и в учебниках встречаются неверные предложения - из-за опечаток, а иногда и по невнимательности. Верные и неверные предложения называют в математике высказываниями, или утверждениями. При этом вместо слов "верное" и "неверное" часто говорят истинное и ложное. Таким образом, утверждения бывают истинные и ложные. В высказываниях всегда можно выделить тему - то, о чем говорится, и рему - то, что сообщается о теме. Например, в написанном выше предложении говорится о планете Земля - это тема, и сообщается, что она вращается вокруг Солнца, - это рема. Точно так же в математическом предложении 28 -Ь 36 = 64 говорится о сумме чисел 28 и 36 и сообщается, что эта сумма равна 64. Не всякое предложение является утверждением. В самом деле, если кто-нибудь спрашивает "Который час?" или кричит "Ура!", не имеет никакого смысла говорить о том, верны или неверны эти предложения. В первом из этих предложений тема есть, а ремы нет, а во втором нет даже темы. Очень часто бывает, что предложение является утверждением, однако ответить на вопрос, истинно оно или ложно, мы не можем. Например, далеко не все могут ответить на вопрос, истинно или ложно утверждение: "Слово also по-немецки означает следовательно”. Но, посмотрев в словарь, нетрудно убедиться, что оно истинно. Для доказательства истинности утверждения "Слово also по-английски означает следовательно” нужно посмотреть в другой, англо-русский словарь. Там мы найдем, что это слово в английском языке означает "также". Значит, данное утверждение ложно. Так в практической жизни можно доказать или опровергнуть утверждение, используя словарь, справочник, энциклопедию. 55 Глава 1, §3, п.1 В отличие от житейской практики, в науке доказательство и опровержение некоторых утверждений - очень сложное дело. Например, на доказательство утверждения "Земля вращается вокруг Солнца" ученым понадобилось не одно столетие. В итоге накопленное научное знание содержится в словарях, справочниках, энциклопедиях, помогая человеку решать практические задачи. В математике для доказательства истинности утверждений используют строгие математические методы, и нам еще предстоит этому научиться. О |21^ Среди данных предложений найди высказывания и укажи в них тему и рему. а) Когда заканчиваются летние каникулы? б) Учебный год в России начинается 1 сентября. в) Какая красота! г) Каир - столица Египта. д) Сумма пяти и восемнадцати. е) Трижды восемь - двадцать восемь. Найди в высказываниях тему и рему. Какие из этих высказываний истинны, а какие - ложны? а) В каждом январе 31 день. б) В каждом феврале 28 дней. в) Следующий день после воскресенья - вторник. г) В неделе семь дней. д) В слове "определение" 6 слогов. е) Слово "дерево" является глаголом. ж) В слове "учащийся" окончанием является "ся". з) Сумма всех десяти цифр равна 45. и) Всякое трехзначное число больше 100. к) Существует наибольшее пятизначное число. л) Существует наибольшее натуральное число. м) Существует наименьшее натуральное число. н) На рисунке закрашено квадрата. 215| Придумай одно истинное и одно ложное высказывание. Приведи примеры предложений, которые высказываниями не являются. Щб| Определи истинность высказываний и запиши их с помощью знаков > , < , >, <. а) Три меньше пяти. б) Три больше пяти. в) Три меньше или равно пяти. г) Три не больше пяти. д) Три больше или равно пяти. е) Три не меньше пяти. 56 Глава 1, §3, n.1 217| Определи истинность высказываний. Прочитай высказывания третьего столбика разными способами. 1) 12 + 17 = 29; 5)12 + 17 = 28; 9) 12+ 17 >29; 2) 12 + 17 + 29; 6) 12 + 17 + 28; 10) 12 + 17 < 29; 3) 12+ 17 >29; 7) 12+ 17 >28; 11) 12+ 17 >28; 4) 12+ 17 <29; 8) 12 + 17 < 28; 12) 12 + 17 < 28. Истинными или ложными высказываниями становятся следующие предложения при указанных значениях букв х пу7 а) 12х - 35г/ = 1 (х = 3, у = 1); б) 14х - 26у = о (х = 6, г/ = 3); в) 2х - г/ > 27 (х = 14, у = 5); г) X + 2у < 649 (х = 8, у — 320); д) 5х - 6г/ > 28 (х = 8, г/ = 2); е) Зх + у < 210 (х = 60, у = 25). 2191 Какие из следующих высказываний истинны? Как можно их доказать или опровергнуть? а) Муж и жена всегда имеют одинаковую фамилию. б) В начальной хпколе учителя всегда женщины. в) У каждого человека есть родители. г) Император Петр Великий перенес столицу России из Москвы в город Владимир. д) Президент Российской Федерация - высшая государственная должность в России. е) Картину "Богатыри" написал художник В. М. Васнецов. ж) Строки "Москва, Москва!.. Люблю тебя, как сын, как русский, - сильно, пламенно и нежно!" принадлежат М. Ю. Лермонтову. з) По крайней мере у трех великих немецких композиторов-классиков фамилии начинаются с буквы "Б". 220| Проверь истинность утверждения: 28 693 : (7077-2978)- 507 35 • 202 - 51 948 : (1577 - 44 • 35) + 334 3549 6000 Запиши дробь, у которой: а) числитель равен 2, а знаменатель 5; б) знаменатель равен 6, а числитель 7; в) числитель 3, а знаменатель на 2 больше; г) знаменатель 4, а числитель в 2 раза больше. Какие из этих дробей являются правильными, а какие - неправильными? Построй их графическую иллюстрацию с помощью отрезка и его частей. 57 Глава 1, §3, п.1 22^ Какие слова пропущены? О 1) Чтобы найти -д от числа а, надо это число. и на 8. на 9 2) Чтобы найти число, 4 которого равны Ь, надо h 4 ___________________ на 4. на 3 и 3) Чтобы найти, какую часть число 6 составляет от числа 10, надо 6 на 10. 22^ 1) Как найти часть числа а, выраженную дробью ^ ? 2) Как найти число, если его часть, выраженная дробью ^, равна Ы 3) Как найти, какую часть число Ъ составляет от числа а? ш Приведи доказательства или опровержения следующих утверждений: 1) от 18 равно 4. У о 2) Число, которого составляет 48, равно 36. п 3) Число 7 составляет от числа 11. 2251 В книге четыре рассказа. Первый рассказ занимает 12 страниц, что состав- 2 5 ляет -g второго рассказа. Третий рассказ занимает суммы страниц первых двух рассказов. Какую часть книги составляет четвертый рассказ, если всего в книге 64 страницы? 12261 Пересекаются ли: прямая АВ и луч СП; прямая АВ и отрезок EF\ отрезок EF и луч СП? Перечерти рисунок по клеточкам в тетрадь и отметь точки пересечения фигур. Построй луч MN, который пересекает прямую АВ и луч СП, но не пересекает отрезок ЕЕ. О [227J Истинными или ложными становятся следуюхцие предложения при указанных значениях переменных х, у, z? 1) 987х - 830г/ + 4502г = 40 802 149, если х - 607, у ^ 409, 2 = 9005; 2) (X : 24)(у : 53) - 508г = 3 709136, если х = 16 896, у = 413 400, г = 3508. 58 __________________________________________________ Глава 1, §3, п.1 Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны? Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь название животного. Земля имеет только один естественный спутник. В Солнечной системе 8 больших планет. Рим - столица Испании. В Нил и Амазонка - крупнейшие реки Африки. Эльбрус - высочайшая вершина Европы. Америку впервые открыл Америго Веспуччи. Среди двузначных чисел четных чисел больше, чем нечетных. Скорость света в вакууме приближенно равна 300 000 км/с. 1 дм'^ равен 1 литру. Слово "треугольник" состоит из 11 различных букв русского языка. IЛI В слове "перпиндекуляр" сделано 3 ошибки. Слово "bonjour" по-французски означает "до свидания". Слово "оппосум" написано правильно. 0 Квадрат является прямоугольником. |п| Треугольник не является многоугольником. 0 Династия Каролингов предшествовала на троне Франции династии Капетингов. 2291 Осенью с трех яблонь собрали урожай 90 кг яблок. С пер- "■ 5 вой яблони собрали 35 кг, а со второй — ^ урожая первой яблони. С какой яблони собрали больше яблок — со второй или с третьей, и на сколько? Какую часть всего урожая составляют яблоки, собранные с третьей яблони? О Начерти прямую I и отметь на ней точки А, В и С так, чтобы точка В лежала между точками А и С. а) Запиши 6 различных обозначений этой прямой. б) Обведи карандашами разного цвета лучи AS и СА. Найди пересечение этих лучей. в) Построй луч ТК, который пересекает луч ВС, но не пересекает отрезок ВС. [23JJ Продолжи каждый из рядов на три числа, сохраняя закономерность: а) 3, 5, 10, 12, 24, 26, ... б) 1, 2, 5, 10, 17, 26, ... 59 Глава 1, §3, п.2 2. Общие утверждения. Особое значение для математики имеют общие утверждения. Так называют высказывания, в которых утверждается, что все элементы заданного множества обладают указанным свойством. Общий характер высказывания выражается словами любой, каждый, все, всегда и т.п. Например: В каждой неделе 7 дней. Результат умножения любого числа на О равен нулю. Сумма любых двух чисел не зависит от порядка слагаемых. Периметр всякого прямоугольника равен сумме длин его сторон. Сумма двух натуральных чисел всегда делится на 3. Произведение любых двух натуральных чисел больше их суммы. Очень часто обобщающие слова опускают и приведенные высказывания произносят короче: В неделе 7 дней. Результат умножения числа на О равен нулю. Сумма двух чисел не зависит от порядка слагаемых. Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Сумма двух натуральных чисел делится на 3. Произведение двух натуральных чисел больше их суммы. Общее утверждение, как и всякое высказывание, может оказаться как истинным, так и ложным. Так, в приведенных примерах первые четыре утверждения истинны, а последние два ложны. Действительно, сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3: например, 1 -Ь 3 = 4 на 3 не делится. Этот пример показывает, что предпоследнее общее утверждение ложно, то есть он опровергает это утверждение. Пример, опровергающий общее утверждение, называют контрпримером. Приставка "контр" ("против") подчеркивает, что речь идет именно об опровержении утверждения. Привести контрпример для последнего утверждения немного сложнее: надо либо вспомнить, что 2 • 2 = 2 -f 2, либо догадаться взять одно или даже оба числа равными единице: 2-К2 + 1, 1-К1 + 1. Таким образом, для опровержения общего утверждения достаточно привести хотя бы один контрпример. Это касается, конечно, и обычной жизни. Скажем, для опровержения утверждения "Все кошки черные” молено показать белую, рыжую, полосатую кошку - любой окраски, кроме черной. 60 ____________________________________________________ Глава 1, §3, п.2 В то же время для доказательства истинности общего утверждения привести даже большое число примеров недостаточно. Так, встречая среди пограничников только мужчин, мы не можем сделать вывод, что все пограничники - мужчины. И каждый, кто был, например, в московском аэропорту Шереметьево-2, мог бы опровергнуть это утверждение - в настоящее время там работают и пограничники-женщины. Точно так же для доказательства утверждения о сумме углов треугольника недостаточно измерить углы даже миллиона треугольников. [23^ Какие из следующих высказываний являются общими утверждениями? 1) Человек существует не изолированно, а находится в тесной связи с миром природы. 2) Некоторые виды растений и животных занесены в Красную книгу. 3) Продолжительность жизни звезды зависит от ее массы. 2331 Ш О 4) Все планеты Солнечной системы обращаются вокруг Солнца в одном направлении. 5) Некоторые созвездия названы именами животных. 6) У каждой реки есть исток. 7) Все реки впадают в Каспийское море. 8) Некоторые произведения А.С. Пушкина написаны в прозе. 9) Голос любого человека имеет свои особенности звучания. 10) В некоторых аккордах звуки располагаются по терциям. 11) Блок-схемы задают последовательность операций в программе. 12) В некоторых странах весной стрелки часов переводят на час вперед. Приведи примеры истинных и ложных общих высказываний из области математики, русского языка, географии, астрономии, спорта, жизни класса. Приведи контрпример к каждому из следующих утверждений: а) Все натуральные числа больше единицы. б) Любое натуральное число делится на 2. в) Всякое число, делящееся на 5, оканчивается цифрой 5. г) Все города России находятся в Европе. д) Все города Европы находятся в России. е) В каждом месяце не меньше 30 дней. ж) Существительные, оканчивающиеся буквой "е", всегда среднего рода. з) В русском языке подлежащее в предложении всегда является существительным. [23^ Как найти: 2 1) т от х; 04 ^ 3 2) число, -g которого составляют t; 3) часть, которую число 5 составляет от н? Глава 1, §3, п.2 2361 Выполни вычисления по алгоритму, заданному блок-схемой. Расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам, и расшифруй название геометрической фигуры. Какие еще пространственные геометрические фигуры ты знаешь? а 0 1 2 3 4 5 6 7 X Буквы Р э А т Е Д Р Т 237| Подбери пропущенные слова и запиши правила в тетрадь: 1) Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, надо это число_ на знаменатель дроби и_________на числитель. 2) Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, надо эту часть___________на числитель дроби и__________на знаменатель. 3) Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, надо первое число___________на второе. Проиллюстрируй правила с помощью чертежа. 2381 Составь выражения и найди их значения при данных значениях букв: 3 1) В корзине п груш, что составляет у всех фруктов, лежащих в корзине. Сколько всего фруктов в корзине? (га = 21.) 4 2) В наборе х конфет. Шоколадные конфеты составляют g всех конфет этого набора. Сколько нешоколадных конфет в наборе? (д: = 36.) 3) На стоянке стояли а легковых и Ъ грузовых машин. Из них 4 машины уехали. Какую часть всех машин, стоящих на стоянке, составляют уехавшие машины? (а = 5, Ь = 2.) 239| Андрей весит 32 кг, что составляет веса его старшей о *7 сестры и ^ веса его папы. Вес мамы составляет веса о о папы. Смогут ли они все вместе подняться в лифте грузоподъемностью 300 кг, если с ними должен подняться их пудель, который весит 17 кг? 62 Глава 1, §3, п.2 Реши уравнения: 1) 405 - (9л: + 70): 4 - 383; Найди значения выражений: 1) (20 200 - 3 829 925 : 209): (16 000 - 2 014 125 : 131); 2) (2 551 947 - 477 719 : 137): (145 271 - 1 481 384 : 83) 1) Сколько ребер, граней и вершин у прямоугольного параллелепипеда? 2) Найди на рисунке равные ребра и равные грани параллелепипеда. Назови их. 3) С помощью модели прямоугольного параллелепипеда найди длину ломаной линии А^В^BCDDJ , если АВ = 4 см, AD = 8 см, АА^ = 5 см. Пересекаются ли отрезки ВС и 2) 1800 : (240 :у)-47 = 253. 2^ 2441 О DD^? В чем сходство и в чем различие отрезка и луча, луча и прямой? Построй: а) прямую АВ; б) прямую ВА; в) луч АВ; г)лучВА. а) Построй два луча ОС и OD так, чтобы они образовывали острый угол. Измерь величину угла COD и построй смежный с ним угол. Сколько решений имеет эта задача? Как найти величину смежного угла? б) Построй два лучаВТГ и ВМ так, чтобы они образовывали тупой угол. Измерь величину угла КВМ и построй вертикальный для него угол. Сколько решений имеет эта задача? Как найти величину угла, вертикального данному? Реши задачу с помощью схемы: 4 1) Число а составляет числа &. Какую часть числа а составляет число Ы 2) Число а меньше числа ^ на часть Ъ. Какую часть разность (Ъ- а) составляет от а? Составь выражения: 1) Утром Баба-яга прочитала а страниц, а вечером - Ъ страниц. Число страниц, прочитанных ею за день, составило две трети от числа всех страниц книги. Сколько страниц в этой книге? 2) Волк и Заяц соревновались в беге. Волк пробежал за 8 минут с метров, а с Заяц за 3 минуты пробежал этого расстояния. На сколько скорость Зайца оказалась больше скорости Волка? 3) Золушке надо перебрать d кг крупы. Она уже перебрала п кг крупы. Какую часть крупы ей еще осталось перебрать? Найди значения выражений: 1) 4 306 600 - (3798 + а : 230) • 905, если а = 208 840; 2) (60805 + 7 612 040): 7940 - 4895, если Ь = 8007. Глава 1, §3, п.2 Придумай задачи, для решения которых требуется: 1) найти часть от числа; 2) найти число по его части; 3) найти часть, которую одно число составляет от другого. 1) Какие из приведенных высказываний являются общими, а какие - нет? Из букв, соответствующих общим высказываниям, составь имя мальчика. 0 Все фигуры па чертеже - многоугольники. [н] На чертеже есть круги. Некоторые фигуры на чертеже - треугольники. 0 Все фигуры на чертеже - треугольники. Е Каждая фигура на чертеже является квадратом. [т] На чертеже есть квадраты. Некоторые квадраты на чертеже не являются прямоугольниками. Все фигуры на чертеже имеют хотя бы один прямой угол. У некоторых четырехугольников на чертеже 5 сторон. 0 2) Какие высказывания для данного чертежа являются истинными, а какие -ложными? Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь имя девочки. |250| Вода при замерзании увеличивается на ^ своего объема. На какую часть своего объема уменьшается лед при обратном превращении в воду? 251| Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, какова масса пойманной рыбы, он сказал: "Я думаю, что хвост ее весит 1 кг, голова - столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище - сколько голова и хвост вместе". Чему же равна масса этой рыбы? 64 Глава 1, §3, п.З 3. "Хотя бы один' Другой важный для математики тип утверждений - это утверждение о том, что в заданном множестве существует хотя бы один элемент, обладающий определенным свойством. Например: Можно найти такое натуральное число k, что 57 = 3k. Существует такое натуральное число х, что (2х + 3): 7 = 11. Некоторые люди имеют рост больше 2 м20 см. Произведение двух натуральных чисел может быть больше, их суммы. Сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3. Грибы не всегда съедобны. В противоположность утверждению типа "все", истинность утверждения типа "хотя бы один" с помощью примера можно доказать. Так, в первом примере достаточно взять k = 19 - ведь 57 = 3-19,а во втором примере можно убедиться, что указанным свойством обладает х = 37. В третьем примере надо найти хотя бы одного человека ростом выше 2 м 20 см, а в последнем - хотя бы один несъедобный гриб. Утверждения типа "хотя бы один" называют также утверждениями о существовании: в них говорится, что в заданном множестве существует хотя бы один элемент, обладающий указанным свойством. [25^ Среди приведенных ниже высказываний найди общие утверждения, высказывания типа "хотя бы один" и высказывания, не относящиеся к этим двум видам утверждений. 1) Можно найти существительное, состоящее из 7 различных букв. 2) В доме может быть больше 10 этажей. 3) Некоторые люди носят очки. 4) У кошки четыре ноги. 5) Иногда шторм длится более пяти дней. 6) Есть люди, которые не умеют плавать. 7) Некоторые медведи зимой не спят. 8) Акулы - хищные рыбы. 9) Вороны иногда остаются зимовать в городе. 10) В пустыне Сахара иногда идет дождь. 11) На Южном полюсе температура воздуха всегда отрицательная. 12) Император Франции Наполеон I умер в 1815 году. м Придумай различные способы формулировки высказываний: 1) Все птицы имеют крылья. 2) Некоторые птицы не умеют летать. Придумай истинные и ложные высказывания типа "хотя бы один' 3 — Дорофеей, 5 кл., ч. 1 65 Глава 1, §3, п.З 255| Докажи, что существует натуральное число х такое, что: е) х(6 - х) = 8; ж) (д:- 1)(л:+ 11)= 13; з) 35 : д: - 35 : (х + 2) = 2; и) д: + (д: + 1) + (д: + 2) = 18; к) (2х - 1)(3д: - 2)(4д: - 3) = 1. а) Зд: > 128; б) Зд: < 128; в) 2д: - 4 = 52; г) 12д: -1х = 90; д) (8 + Зд:): 10 = 2; 25б| Докажи следующие утверждения: 1) Некоторые числа больше семи. 2) Существуют числа, кратные пяти. 3) Можно найти число, при делении которого на 6 получится 9. 4) Сумма двух правильных дробей может быть неправильной дробью. 5) Число, делящееся на 12, может не делиться на 8. 6) Существует трехзначное число, большее 995. 7) Некоторые делители числа 28 - нечетные числа. 8) Существует число, кратное одновременно 8 и 12. 257| Правильно ли проведено доказательство утверждений? 1) Все натуральные числа делятся на 7: например, 14:7 = 2. 2) Некоторые правильные дроби имеют знаменатель 8: например, знамена- 3 тель дроби g равен 8. 3) Существуют четные числа, кратные 3: например, 26 кратно 3. 4) В русском языке некоторые глаголы начинаются с буквы "и": например, "игрушка” начинается с буквы "и". 5) Все кошки четвероногие: например, у кошки Мурки 4 ноги. 6) Все имена существительные в русском языке состоят из 5 букв: например, существительное "книга" состоит из 5 букв. 25^ Докажи или опровергни утверждения: 1) Все числа кратны десяти. 2) Любое число, оканчивающееся цифрой 3, делится на 3. 3) Сумма цифр двузначного числа не может быть больше произведения его цифр. 4) Существует натуральное число х такое, что 18 - 4д: = 6. 5) Некоторые решения неравенства 2 < д: < 7 являются четными числами. 6) Каждый делитель числа 10 является делителем числа 12. О [259J Вспомни правила сравнения дробей: 1) с одинаковыми числителями; 2) с одинаковыми знаменателями. Сравни: а) 3 17 и 17 ’ 2*3 Hf; ж) в|- и б|; 8 13 и J-- 13 ’ е)1| з)4| и 5^. 66 Глава 1, §3, л.З 2б0| Расшифруй название одного из наиболее опасных действующих вулканов. Он расположен на юге Италии близ Неаполя. 210 340 600 480 92 300 ; 7 + 80 -40 : 60 -85 : 25 : 5 : 14 : 2 + 15 • 70 •7 • 17 •5 •3 •9 + 50 + 16 -49 -70 + 60 -47 :60 - 19 18 : 16 : 18 : 4 + 37 :9 Й У Е 3 И В 9 50 40 5 9 46 61 261 Представь число в виде суммы целой и дробной части; 2^- 8’ 14’ 16 21 ’ 12 — 94 Выполни действия: 6) 9 16 - 3 16 ’ д) 5^ ^ 7 + 7 ’ + 3^^ -^ *^15 2^- 15’ 1 8 + 7 . 8 ’ е) — 3 — * 10 i li-2-28 ’ 7 9 + 4 9 ’ ж) + 2 — • "^12’ л) 4 4 - («7 - 7-^)- 4 5 - 4 , 5 ’ з) «А - 7^; 13 м) 18^ - 9— ) ^10^- Проверь истинность высказываний: 1) 4% от 800 равны 32. 2) Число, 2% которого составляют 200, равно 10 000. 3) Число 9 составляет 9% от 900. 4) 5% от 800 равны 45. 5) Число, 7% которого составляют 35, равно 500. 6) Число 50 составляет 1% от 50 000. 1) Страховка составляет 8% от стоимости автомобиля. Чему равна стоимость автомобиля, если за его страховку клиент заплатил 12 000 р.? 2) Цена масла 400 р. за килограмм, а стоимость батона хлеба составляет 6% цены масла. Сколько должен заплатить человек, купивший 2 батона хлеба и 200 г масла? 3* 67 Глава 1, §3, п.З 265| Найди в каждом равенстве число, которое является кратным двух других чисел (делителей). Запиши другие равенства, устанавливающие соотношение между этими делителями и их кратным: 1)12*6 = 72; 2)32:4 = 8. 26^ При делении числа а на число Ь получилось частное k. Запиши различные равенства, выражающие взаимосвязь между а, Ь и k. Вставь пропущенные буквы: "Число......является делителем числа....." "Число......кратно числу......" 267| 1) Вычисли сумму длин всех ребер, площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 м, 3 м и 5 м. 2) Вычисли сумму длин всех ребер, площадь полной поверхности и объем куба с длиной ребра 4 см. 26^ Из фанеры требуется сделать открытый ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда длиной 40 см, шириной 20 см и высотой 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика? Чему будет равен его объем? 269| Упрости выражение и найди его значение при данном значении переменной: 1) 68л: - 28л: + л: + 9л:, если х = 700; 3) 432г - 130г + 18г - 70д, если z = 520; 2) 199t/ + у- 46i/ - 34t/, если у = 90; 4) 29k + 175k + 71k + 25^, если k = 940. 270| Проверь истинность неравенства: 500 000 - 23 946 : 78 - 498 855 < 2 39 (405 * 8004 - 3 212 197 - 129 472 : 64): 685 40 271J 1) Длина тела у белки меньше, чем у сурка, в 3 раза, или на 40 см. Чему равна длина тела у сурка? А у белки? 2) В школьном саду яблонь больше, чем слив, в 7 раз, или на 240. Сколько яблонь и сколько слив в школьном саду? ^1^ Докажи, что существует такое натуральное число л:, что: 1) 38л: < 1569; 3) (л:+1)(л:+2)(х+3) = 60; 5) Зл: - 1 = 935; 2) 38;с> 1569; 4) л:(л:+1)(л:+2) = 210; 6) 5л: + л: = 1308. 273| Докажи следующие утверждения: 1) Существует натуральное решение неравенства л: < 2. 2) Произведение двух натуральных чисел может быть меньше четырех. 3) Иногда сумма цифр двузначного числа больше их произведения. 4) Некоторые делители числа 18 являются также делителями числа 15. 5) Можно найти квадрат, площадь которого составляет 49 м^. 6) Числа, кратные 5, не всегда кратны 10. 7) Существует число, 1% которого равен 8. 8) Некоторые дроби меньше, чем . Что общего во всех этих высказываниях? 68 Глава 1, §3, п.4 2^ 1) В школе 1200 учеников. Девочки составляют 45% всех учеников. Сколько мальчиков учатся в этой школе? 2) На вечерний сеанс в кинотеатр продано 592 билета, что составляет 74% всех имеющихся в кинотеатре мест. Сколько билетов еще осталось? 27^ Реши уравнения: 1) 1з|-(:г + 2|) = 7|; 2)(у - 4 ^ ) + 1 ^ . 7^ . ш 1) Чтобы сделать бассейн, в земле выкопали котлован в форме прямоугольного параллелепипеда длиной 25 м, шириной 6 м и глубиной 3 м. Сколько кубических метров земли пришлось вынуть? 2) Длина комнаты 7 м, ширина 5 м, а высота 3 м. Сколько квадратных метров обоев требуется для оклейки стен комнаты, если площадь окон и дверей равна 12 м^, а отходы обоев при поклейке составляют ^часть площади оклеивания? Сколько рулонов обоев для этого надо купить, если в каждом рулоне 10 м^ обоев? В хоккей играли две команды. За весь матч было забито 12 голов, причем первая команда забила в 3 раза больше голов, чем вторая. На сколько меньше голов забила вторая команда, чем первая? 1) 52 106 • 503 + 5346 -503-1 300 938; 2) (450 • 2840 - 2034 • 450 - 78 795): 405 - 193. Г1Т\ !78| О [279| Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 143, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги? 4. О доказательстве общих утверждений. Итак, утверждения о существовании можно доказать приведением примера. А как доказываются общие утверждения? Напомним, что в общем утверждении (утверждении типа "все") говорится, что все элементы некоторого множества обладают определенным свойством. Поэтому самый простой прием доказательства состоит в том, что мы "испытываем" по очереди все элементы множества: перебираем их один за другим и для каждого проверяем наше утверждение. Когда эти элементы "закончатся", то утверждение будет доказано. Например, для доказательства того, что в математическом кружке занимаются все мальчики из 5"А", достаточно фамилию каждого мальчика из классного журнала найти в списке участников кружка. 69 Глава 1, §3, п.4 Но в математике дело обстоит не так просто - из-за того, что часто приходится иметь дело с бесконечными множествами, например, со всеми натуральными числами. Элементыбесконечного множества уже нельзя испытать все, и при любом числе испытаний может оказаться, что еще непроверенный элемент как раз и опровергает утверждение, которое мы хотим доказать. Представим себе, например, что из непрозрачного мешка можно вытащить любое число разноцветных шаров. Тогда если мы вытащим поочередно тысячу, миллион или сколько угодно белых шаров, то нет никакой гарантии, что следующий шар не окажется, скажем, красным. Поэтому посредством перебора нельзя убедиться, что все шары в мешке именно белые. Однозначно ответить на вопрос, как доказываются общие утверждения, невозможно. До сих пор в математике есть утверждения, истинность которых математиков очень интересует, но они не могут ни доказать их, ни опровергнуть. В связи е каждой такой нерешенной проблемой, с недоказанным утверждением одни математики думают, что это утверждение верно, другие предполагают, что оно неверно. Но ни те, ни другие не считают свое мнение окончательным до тех пор, пока утверждение не будет доказано или опровергнуто. С некоторыми способами доказательства общих утверждений, которые были выработаны в процессе развития математики, мы познакомимся в следующем пункте. О Докажи методом перебора следуюхцие утверждения: 1) При делении на 9 любого числа из множества {20, 56,101} в остатке получается 2. 2) Все числа из множества (273, 343, 1505} делятся на 7. 3) Число 37 является делителем всех чисел из множества {222, 333, 555}. 4) Все числа из множества {1001, 10011001, 100110011001} кратны 7, 11 и 13. 5) Каждая фигура на рисунке имеет ось симметрии. 6) Все фигуры, изображенные на рисунке, можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя по одной линии дважды. 70 Глава 1, §3, п.4 Докажи или опровергни следующие утверждения: 1) Все летние месяцы состоят из 31 дня. 2) Каждая звонкая согласная русского алфавита имеет парную глухую согласную. 3) При переводе в неправильную дробь любого смешанного числа из множе- ства {2^ > , 5-^ , 13^} в числителе получается 83. О 1о 1D О 4) Все элементы множества {^} удовлетворяют неравенству - 1 У 1У Z7 Zo 5) Уравнение х(х - 5)(л: - 7)(х + 11) = О имеет натуральные корни. 6) Между числами 200 и 220 имеется 6 чисел, кратных 3. 7) В множестве чисел от 40 до 50 каждое число имеет больше двух делителей. 8) 49 шаров можно уложить в виде квадрата так, как показано на рисунке для 4, 9, 16 шаров: 0 0 0 0 ООО 0 0 0 0 00 000 0000 00 000 0000 9) 100 шаров можно уложить в виде равностороннего треугольника так, как показано на рисунке для 6, 10, 15 шаров: О О О ООО О О О ООО О О О О О О О ООО О О О О О О О О О 28^ Придумай высказывание общего вида об элементах конечного множества. Докажи или опровергни его методом перебора. Любую из звездочек в записи 5*5*5*5 можно зачеркнуть или поставить вместо нее знак умножения. Какое из полученных числовых выражений имеет наибольшее значение? По конституции Федерации Бусирия каждая из входящих в ее состав 12 республик должна иметь свой, отличный от других флаг, состоящий из трех продольных или трех поперечных полос различных цветов -красного, желтого или синего. Может ли тринадцатая республика войти в состав Федерации? Т5—: 71 Глава 1, §3, п.4 2851 По рисунку найди делимое, делитель, частное и остаток. Запиши соотношение между ними, пользуясь формулой деления с остатком: а = Ьс + г, г < Ь. 6 раз по 8 2) 9 раз по 15 15 30 45 60 75 90 105 120 >135 Выполни деление с остатком и сделай проверку: 1) 3429:8; 3)2956:35; 5)572 510:807; 2) 81453:9; 4)43 112:59; 6)205 648:672. Почему при делении с остатком нельзя в делимом и делителе отбросить одно и то же число нулей? Выполни деление и сделай проверку. 1)160:30; 2)2700:400; 3)58 000:7000; 4)200 000:40 000. Выдели целую часть из неправильной дроби: Сделай рисунок. О 1 О О Запиши смешанное число в виде неправильной дроби: 2^,5-^,6#,4^. /-IV 4 2 3 о Сделай рисунок. 2901 Найди: 1) 3% от а; 3) число, 8% которого равны с; 2) 14% от Ь; 4) число, 25% которого равны d. Блицтурнир. 1) Медведь сел на пенек и съел с пирожков. Это составило 30% всех пирожков, лежащих в корзине. Сколько пирожков лежало в корзине? О 2) В наборе а фломастеров. ^ всех фломастеров красных тонов. Сколько в наборе фломастеров других тонов? 3) Заяц тащил арбуз, масса которого равна Ь кг. Он встретил Волка, который нес дыню. На сколько тяжелее ноша Волка, если масса арбуза составляет ^ массы дыни? 5 4) В поезде ехало d пассажиров. В первом вагоне ехало 15% всех пассажиров, во втором вагоне - 20% всех пассажиров. Сколько пассажиров ехало в остальных вагонах? 72 Глава 1, §3, п.4 29^ Выполни действия: а) (38 : 2 + 6): 5 + [(72 - 18): 9 + 64 : (8 • 2) - 7] • 19 - 14; б) 100 -56:14- [16 - 28 : (63 : 9)] + 80:40- (36 : 4) + 42. Докажи или опровергни следующие утверждения: 1) Все числа из множества {75, 125, 450} кратны 25. 2) Каждое число из множества {6, 9, 12} является делителем 60. 3) Любое число из множества {19, 20, 21} имеет ровно два делителя. 4) При делении всех чисел из множества {24,38,45} на число 7 в остатке получается 3. |294| 1) Запиши смешанное число в виде неправильной дроби и сделай рисунок: 4 i 3 2 2 ^ 2) Запиши частное в виде дроби и выдели из нее целую часть: 32 : 5, 57 : 12, 430 : 27, 725 : 36. Площадь поселка 600 га. Постройки, дороги и тротуары занимают 45% всей площади поселка, а зеленые насаждения - две трети от оставшейся части. Сколько в поселке неиспользованных площадей? Упрости уравнение, а затем найди его корень: 1) 840 : д: = 900-879; 3) 14^ - 9f = 1025; 2) у - 49 = 1515 : 15; 4) Зт + т + 6т = 2400. 29У| Разделив некоторое целое число на 15, Боря получил в остатке 8, а разделив его на 20, он получил в остатке 17. Покажи, что Боря ошибся. В древнекитайской рукописи Же-Ким (XII-XIII вв. до н. э.) есть предание о том, как император Ию, живший примерно 4000 лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На панцире черепахи был изображен рисунок из белых и черных кружков: / 0-Ч>-0—0--С>-<>-«<>-<>--0 -^7 в этом рисунке была найдена удивительная закономерность. Открытие ее произвело столь неизгладимое впечатление, что символ стали считать священным и употреблять при заклинаниях. Назвали его "ло-шу". Какая закономерность так поразила древних китайцев в этой таблице? 73 Глава 1, §3, п.5 5. Введение обозначений. Как мы уже говорили, истинность высказывания па конечном множестве можно доказать, осуществляя непосредственный перебор. Для доказательства утверждений, верных на бесконечных множествах, в математике часто используют введение специальных обозначений. Подобно тому, как в обычной жизни люди называют друг друга по именам, в математике для рассмотрения любого объекта ему дают имя - обозначение. Если требуется доказать, что все элементы некоторого множества обладают определенным свойством, можно взять произвольный элемент этого множества и обозначить его какой-нибудь буквой. После присвоения элементу некоторого имени мы можем его называть и записывать под присвоенным ему именем в выражениях, формулах, равенствах и неравенствах. При введении обозначений в математике, как и в других науках, имеются определенные традиции. Так, неизвестные числа при решении текстовых задач обозначаются обычно буквами л: и у. А если, например, речь идет о задачах на движение, то для обозначения пути, скорости и времени используются соответственно буквы s, о, t. Площадь геометрических фигур чаще всего обозначается буквой S, периметр многоугольника - буквой Р, объем геометрического тела - буквой V. Посмотрим, как введение обозначений помогает доказывать математические утверждения. Задача 1. Доказать, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3. Напомним, что, когда мы говорим "делится", мы имеем в виду "делится без остатка". Возьмем произвольное натуральное число и обозначим его буквой п. Тогда следующие за ним два числа равны соответственно л + 1 и л + 2. Мы должны доказать, что сумма этих трех чисел, то есть число л + (л + 1) + (л + 2), делится наЗ. Преобразуем полученную сумму, используя переместительное и сочетательное свойства сложения: л + (л + 1) + (л + 2) = л + л+1 + л + 2 = Зл + 3. По распределительному свойству, Зл + 3 = 3- л + 3’1 = 3(л-(-1), и поэтому: л + (л + 1) + (п + 2) = 3(л + 1). Следовательно, данная сумма делится на 3 (без остатка), что и требовалось доказать. 74 Глава 1, §3, п.5 Задача 2. Доказать, что частное двух натуральных чисел не изменится, если каждое из них увеличить в одно и то же число раз (при делении без остатка ). В этой задаче у нас целых четыре "персонажа": два числа, частное от деления одного из них на другое и число, на которое они умножаются для увеличения "в несколько раз". Поэтому мы введем четыре имени: делимое обозначим буквой а, делитель - буквой Ь, частное - буквой k, а четвертое число - буквой с. Так как а : h = к,то выполняется равенство а = bk. Это равенство не нарушится, если обе его части умножить на число с, то есть ас = (bk)c. На основании переместительного и сочетательного свойств умножения имеем: ас = (bk)c = b(kc) = b(ck) = (bc)k. A это равенство и означает, что (ас): (Ьс) = к, то есть при умножении делимого и делителя на одно и то же число частное от деления не меняется, что и требовалось доказать. |299| Докажи, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5. Докажи, что для натуральных чисел верны утверждения: а) Сумма двух четных чисел - число четное. б) Сумма любых двух соседних чисел - число нечетное. в) Разность четного и нечетного числа - число нечетное. г) Произведение любых двух соседних чисел - число четное. Заполни пробелы так, чтобы получившиеся утверждения были верны на множестве натуральных чисел. Докажи их. а) Сумма четного и нечетного числа - число ________________________ б) Сумма любых двух нечетных чисел - число_________________________ в) Разность любых двух нечетных чисел - число _ г) Произведение четного и нечетного числа - число Докажи или опровергни следующие утверждения на множестве натуральных чисел: а) Если разность двух чисел четна, то их сумма четна. б) Если разность двух чисел нечетна, то их сумма нечетна. в) Если сумма двух чисел четна, то они оба четны. г) Если сумма двух чисел четна, то они оба нечетны. д) Если сумма двух чисел четна, то хотя бы одно из них четно. е) Если сумма двух чисел четна, то хотя бы одно из них нечетно. 75 Глава 1, §3, п.5 3031 Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умножения и деления (при условии, что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел). Рассмотри их доказательство и объясни, на основании каких свойств чисел выполнены преобразования. 1) (а'Ь): с = (а : с)'Ь Доказательство: {{а : с) • Ь) • с = {а : с) ■ {Ь ■ с) = (а : с) • {с ■ Ь) = Ца : с) • с)' Ь = а • Ь. Значит, (а ’ Ь): с = (а : с) ‘ Ь, что и требовалось доказать. 2) а:(Ь’с) = (а:Ь): с Доказательство: ((а : Ь): с) • [Ь • с) = ((а : 6): с) • (с * 6) = [((а : Ь): с)' с] • д = (а : д) • Ь = а. Значит, а : (Ь • с) = (а : Ь): с, что и требовалось доказать. 3) а : Ь = (а-с): (Ь ’ с) Доказательство: (а ’ с): (Ь ’ с) = (а • с): (с • Ь) == ((а • с): с): Ь = а : Ь, что и требовалось доказать. 4) а ib = (а : с): (Ь : с) Доказательство: (а : с): (Ь : с) = ((а : с) • с): ЦЬ : с) ■ с) = а : Ь, что и требовалось доказать. На стр. 75 приведено другое доказательство свойства 3. Какое из доказательств тебе понравилось больше? Заполни пробелы и докажи получившиеся утверждения: 1) Если делимое увеличить в 3 раза, а делитель оставить без изменения, то частное____________________________ 2) Если делимое уменьшить в 2 раза, а делитель оставить без изменения, то частное______________________________ 3) Если делитель увеличить в 2 раза, а делимое оставить без изменений, то частное _____________________________ 4) Если делимое и делитель разделить на одно и то же число, отличное от нуля,то частное______________________ 305| Докажи, что: 1) Если каждое из двух чисел делится на 3, то и их сумма делится на 3. 2) Если одно из двух чисел делится на 5, то и их произведение делится на 5. 3) Если одно из чисел делится на 4, а другое нет, то их сумма не делится на 4. 4) Если одно из чисел делится на 6, а другое нет, то их разность не делится на 6. 76 Глава 1, §3, п.5 О [ЗО^ "Счет-тест". В этом задании ты можешь проверить свое умение считать. Тест пройден, если в указанное время все ответы найдены верно. Тест 1 (устно, 4 мин). 70-26 47 + 25 14 + 49 7-5 : 2 : 36 : 3 •3 + 38 • 19 + 19 -9 : 15 -6 : 8 : 16 •9 :4 • 16 •7 45 : 3 20-8 90-26 80-9 •5 :40 :8 -90 -19 •27 •60 : 70 :8 -27 -30 •6 • 17 :9 : 9 : 18 Тест 2 (письменно, 4 мин). а) 843 474 818 + 48 560 769; б) 17 523 401-2 960 845. Тест 3 (письменно, 4 мин). a) 85 900-704; 6)771400:19. 3071 Как, не производя вычислений, найти значения выражений: 1) 815 + 79 - 79 + 79 - 79 + 79 - 79 + 79 - 79; 2) 3400 - 29 + 35 -Ь 29 - 35 - 148 -1- 7 + 148 - 7; 3) 75-6:6-6:6-6:6-6:6-6:6-6:6; 4) 5020 : 94 • 94 • 45 • 2 : 45 • 57 : 57 : 2; b) а + Ь - Ь Л- с - с\ 6) а - Ь : Ь - с : с? Прочитай разными способами равенство: 4 • 6 = 24. Какие еще равенства, выражающие взаимосвязь между числами 4, 6 и 24, можно записать? Какие свойства чисел использованы для составления этих равенств? Запиши данные равенства с помощью умножения. Назови в каждом из них делители и кратное. 1) а : 3 = Ь; 2) с : d = 4; 3) m : 5 = п. Запиши каждое равенство с помощью деления, назови делители и кратное, если значения всех переменных - натуральные числа: 1)2х = у; 2) a = bk; 3) vt = s. 77 Глава 1, §3, п.5 1) В Московском Кремле находятся Царь-колокол и Царь-пушка, отлитые русскими мастерами. Вес колокола - 200 т, а вес пушки составляет 20% веса колокола. Сколько весит Царь-пушка? 2) Спортивная площадка, имеющая площадь 420 м^, занимает 7% школьного участка. Чему равна площадь школьного участка? О 3) После того как туристы прошли ^ всего пути, им осталось пройти 28 км. Чему равна длина их маршрута? 4) Рубашка стоила 300 р., затем цена ее увеличилась на 10%. Сколько стала стоить рубашка после повышения цен? 5) Для хранения желудей их необходимо просушить, причем при сушке они теряют 8% своего веса. Сколько желудей нужно собрать, чтобы после просушки получить 368 кг желудей? 6) Школьники сдали в аптеку 12 кг сушеной малины и 10 кг сушеной черники. Сколько всего свежих ягод они собрали, если малина при сушке теряет ^ своего веса, а черника - ^ своего веса? Составь программу действий и вычисли: 1) 15 • (325 - 325) + 36 • 1 - 29 • [(704 : 704 + 0 • 51): 1 - 0 : 17]; 2) (42 - о : 24): [(16 - 7 : 7): 1 - 1 • 9] + 18 • (6 • 8 - 12 • 4); 3) (7050 • 32 + 14 400): 24 - (1 752 300 : 354 • 804 - 326 936): 608; 4) 20 000 - [8976 • 97 - (4 713 450 : 1005 + 3978 : 39 • 506)]: 310. БЛИЦтурнир. 1) Автобус обычно проходит S км за 4 часа. Однако он ехал со скоростью на 5 км/ч меньше обычной. Какое время затратил автобус на весь путь? 2) Два прямоугольника имеют одинаковую площадь, равную а м^. Длина первого прямоугольника Ь м, а длина второго - на 14 м больше. На сколько ширина второго прямоугольника меньше ширины первого прямоугольника? 3) Одна сторона треугольника равна с м, вторая составляет ^ длины первой стороны, а третья - 25% длины первой стороны. Чему равен периметр треугольника? 4) На одной полке стоит d книг, что составляет ^ книг, стоящих на второй О полке, и 80% книг, стоящих на третьей полке. Сколько книг стоит на всех трех полках вместе? 5) У Саши было п р. Он купил альбом за /г р. и 3 тетради, цена которых в 2 раза меньше цены альбома. На оставшиеся деньги он купил 5 одинаковых карандашей. Сколько стоит один карандаш? 78 __________________________________________________ Глава 1, §3, п.5 6) Бабушка испекла х пирожков. Из них с рисом было у пирожков, с мясом -в 2 раза больше, чем с рисом, а остальные пирожки были с капустой. Треть пирожков с капустой бабушка раздала поровну своим четверым внукам. Сколько пирожков получил каждый внук? 314 Реши уравнения: 1) (80д: + 240): 180 = 4; 3)8f-i 2) 500 - 360 :(у-4) = 460; 4) п + 4 Выполни действия: 3) (2| 2) (з|+5§)-4|; 4)6^ 6 7 ^ 11 ? — ^ 7 I., 11^ 1) Велосипедист проехал в первый час 18 ^ км, а во второй час - на 1 -g км больше, чем в первый. За эти два часа он проехал на 20 ^ км больше, чем в третий час. Какой путь проехал велосипедист за все 3 часа? 1 Я 2) Теплоход проплыл за 3 часа 104 ^ км. В первый час он проплыл 32 ^ км. Это на 3 ^ км меньше, чем он проплыл во второй час. Сколько километров проплыл теплоход в третий час? Расположи карточки с числами и буквами в порядке возрастания чисел и зачеркни 3 буквы так, чтобы получилась фамилия известного русского художника. . 3 5 1 4 5 1 8 7 4 5 Ч 9 2 9 16 16 7 9 ^7 т Р Ь В л М Б А Е Определи координаты точек А, В,С, D и F координатного луча: 1) А В 1 :: D Е F 0 1 2 3 4 5 6 2) А В С D 1 Е F 0 12 24 36 48 60 72 ' 84 96 7 8 У 3191 Начерти координатный луч и отметь па нем точки, выбрав удобную цену деления: 1) А(|), В(2), С(3|), D(4|), Е(6), F(7i); 2) А(5), Б(20), С(35), В(45), В(60), F(85); 3) А(4), В(12), С(28), В(36), F(44), F(52). Глава 1, §3, п.5 |Ш| Перерисуй в тетрадь координатный луч и изобрази на нем движение точки. Запиши формулу зависимости переменной координаты х от времени движения t. Определи координату движущейся точки через 3 минуты после выхода. Проверь с помощью вычислений. 1) 2) 9 ед./мин О + 4- + 4- 4- 4- 12 18 24 30 36 42 48 54 10 ед./мин —I—•- о 15 30 45 4- 60 75 90 |321| Сравни выражения с натуральными значениями переменных: 1) 19 + а и а + 19; 3) 18 : с и 48 : с; 5) m • 14 и w : 14; 2) 5 - 15 и Ь - 21; 4) 25d и 52d; 6) л - 12 и 3 + л. [32^ Определи координаты точек координатного угла и расшифруй названия морских терминов. Что они означают? У к т 11 10 9 8 7 6 4-5 4 3 2 •• 1 ■■ И В О и к Е J_______1_ о , . л tit «—I t * 1 I -t—I- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 (10; 9) (0; 7) (7; 0) (3; 7) (1;4) (7; 3) (9; 6) (10; 2) (11; 4) (9; 6) (11; 4) (7; 3) (1;4) (10; 2) (11; 4) (4; 1) (13; 6) (7; 3) (7; 0) (7; 8) (5; 6) (4; 11) (14; 2) (4; 1) (10; 2) (7; 0) 80 Глава 1, §3, п.5 Ш Движение точки по координатному лучу описывается формулой; 1) д: = 5 + 2i; 2) д: = 80 - 10^ (^ - время в секундах). Определи положение движущейся точки в начальный момент, скорость и направление ее движения. Где окажется точка через 5 секунд после выхода? Проверь с помощью построений. Нарисуй координатный угол и построй точки А (7; 6), В{1; 2), С (5; 10) и D(15; 6). 1) Проведи луч ВА и отрезок CD и определи координаты их точки пересечения. 2) Измерь с помощью транспортира углы, образованные этими отрезком и лучом. Сколько углов достаточно измерить? Какой треугольник называют прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника? Как найти его площадь? Найди площадь го объекта: 1) время начала и направление движения; 2) количество и продолжительность остановок; 3) скорость движения на всех участках пути; 4) время и место встречи с другим объектом; 5) время прибытия в пункт назначения. Глава 1, §3, п.5 321 Начерти два смежных угла. Построй с помощью транспортира биссектрисы этих углов и измерь величину угла, образованного биссектрисами. Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь? Можно ли считать, что замеченная закономерность этим уже доказана? 32^ Перечерти диах'рамму Эйлера-Венна для множествЛ, В и С в тетрадь и раскрась указанные множества: 1) АП В 2) АП С 3) А ив 4) В и С 5) (А П В) П С; 6) AU (ВиС); 7) (А П В) и С; 8) А П (В и С). [329| Докажи, что разность любых двух четных чисел - число четное. |330| Заполни пробел и докажи получившееся утверждение: Произведение четного и нечетного числа - число. 33^ Докажи, что: 1) Если каждое из двух чисел делится на 8, то и их сумма делится на 8. 2) Если одно из двух чисел делится на 3, то и их произведение делится на 3. 3) Каждое натуральное число, кроме 1, в два раза меньше суммы соседних с ним чисел. |Б2| Реши уравнение и сделай проверку: 1) 75 - (5x + л:) • 3 = 39; 2) (8у -6у + 5у):4 = 28. |333| 1) Масса сахара равна 12% от массы сахарного тростника, используемого при производстве сахара. Сколько сахара будет получено из 3 т сахарного тростника? 2) Масса сахара равна 17% от массы сахарной свеклы, используемой при производстве сахара. Сколько свеклы требуется переработать для получения 34 ц сахара? 334| Какое из данных 4 выражений является математической моделью задачи: Теплоход проплыл по реке а км со скоростью Ь км/ч, а затем по озеру на 12 км больше. Сколько времени затратил теплоход на весь путь, если ско- рость его движения по озеру составляет ^ от скорости движения по реке? 1) а: 6 +12: (6: 7-6); 2) (а+12):6-ьа:7-6; 3) а:5 + (а + 12):(6: 7-6); 4) а : 6 + (а + 6): (6 ; 6 • 7). 3351 Проверь истинность высказывания: (320 + 85) • (3003 - 93 528 : 36) - 1025 • 160 ^„l 390 156: 78-[638 774-304-(617+ 89)]: 85 '' 5' 82 Глава 1, §3, п.5 Реши задачу и запиши решение по действиям с вопросами: 1) В куске 32 м ткани. Для пошива 4 одинаковых пальто требуется 17 м 20 см этой ткани. Сколько таких пальто можно сшить из этого куска? Сколько ткани еще останется в куске? 2) Две машинистки, работая вместе, перепечатали 120 страниц рукописи за 6 ч, а одна первая машинистка могла бы выполнить эту работу за 15 ч. За сколько часов, работая отдельно, перепечатала бы эту рукопись вторая машинистка, если они работают с постоянной производительностью? 337| Числовой лабиринт. Надо найти выход из числового лабиринта. Пройти по нему можно, перемещаясь от числа к большему числу, находящемуся рядом с ним в любом из указанных восьми направлений. 1) Какое число обозначает выход из лабиринта? 2) Запиши последовательность чисел, ведущих от входа к выходу. Вход . 5 . 9 . 1 . 7 .2 ^ 16 16 2 11 ^ 7 . 7 . 7 . 9 . 7 .3 16 25 11 9 4 . 1 . 1 . 9 , 5 .1 1 16 32 10 11 ^ 3 , 2 . 9 , 5 .1 1 ^2 3 40 4 ^ 7 3381 Что общего и что различного в выражениях: 1) (7 L _4 + 5— -ft-2-^-И-^- 11 11 5 11 2)7--(4--2^) + 5^ Найди значения выражений. Отметь на числовом луче дроби клеток). Какие из этих дробей равны? Как связаны между собой числители и знаменатели равных дробей? Приведи пример дроби, равной но имеющей другой числитель и знаменатель. Построй фигуру, последовательно соединив точки координатного угла: Aj(7; 8), А,(5; 10), 10), А^(3; 9), А,(3; 8), А,(4; 7), Л,(4; 6), А^(2; 5), А,(0;5), А^,(3; 2),А„(4; 2), А^^(4; 0), AJ6; 0), А,,(6; 1), Д,(5; 1), А^,(5; 3), A,,(6;4),Aj,(6; 6),A^g(5; 8),А^. 83 Глава 1, §3, п.5 341| Пользуясь графиком движения пешехода и велосипедиста, найди истинные высказывания. Из соответствующих им цифр составь наибольшее и наименьшее возможное натуральное число (каждая цифра входит в запись числа один раз). I О I Пешеход вышел из села в город в 12 часов со скоростью 4 км/ч. I 1 I Велосипедист выехал из села в город в 13 ч 15 мин со скоростью 7 км/ч. [ 2 I Велосипедист и пешеход сделали в пути по одной остановке. I 3 I Скорость движения велосипедиста после остановки не изменилась. Скорость движения пешехода после первой остановки увеличилась на 2 км/ч. В 15 ч 30 мин пешеход находился на расстоянии 12 км от города. I 6 I За время с14чдо15ч30 мин пешеход прошел 6 км. I 7 I Встреча пешехода и велосипедиста произошла в 14 ч на расстоянии 7 км от села. Пешеход прибыл в город в 16 ч. [ 9 I Велосипедист вернулся в село в 14 ч 15 мин. [3^^ Установи закономерность и, сохраняя ее, продолжи ряд на два числа: а) 9, 15, 27, 45, 69, ... ; в) 4, 8, 8, 11, 16, 14, 32, 17, ... ; б) 342, 313, 284, 255, ... ; г) 3, 7, 16, 35, 74, 153, ... . 84 Глава 1, §3, п.5 34^ Ткань во время стирки садится на ^ часть по длине и на ^ часть по ширине. Какой длины надо взять кусок ткани, чтобы после стирки иметь 378 м^, если до стирки ширина ее была 90 см? Если каждому из своих детей мама даст по 13 тетрадей, то у нее останется 8 тетрадей; если же она им даст по 15 тетрадей, то все тетради будут розданы. Сколько тетрадей было у мамы? Пифагор Самосский (около 570 - 490 гг. до н. э.) Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. "Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. - Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины". Сколько учеников было у Пифагора? Задачи для самопроверки. Среди данных высказываний найди общие высказывания и высказывания 0 существовании. Из цифр, соответствующих общим высказываниям, составь все возможные трехзначные числа (цифры в записи чисел не повторяются). 1 О I Некоторые натуральные числа являются делителями числа 36. [ 1 I Любое натуральное число делится на себя и на единицу. [ 2 I Можно найти два натуральных делителя числа 7. I 3 I Существует натуральное число, имеющее меньше двух делителей. I 4 I Делитель числа не всегда меньше самого числа. I 5 I Кратное числа не всегда больше самого числа. Все числа, кратные десяти, оканчиваются нулем. Некоторые числа, кратные четырем, оканчиваются цифрой 4. Каждое натуральное число больше предыдущего на единицу. Существует наименьшее натуральное число. 8 Приведи контрпример к утверждению: "Все натуральные решения неравенства 8 < X < 11 кратны двум". 85 Глава 1, §3, п.5 348| Докажи утверждения: 1) Существуют двузначные числа, имеющие 6 делителей. 2) Из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат (считать, что длины сторон прямоугольников выражаются натуральными числами). 3) Если каждое слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7. 3491 Истинными или ложными становятся следующие предложения при указанных значениях переменных х и у? 1) 54х + 32у = 806 (д: = 10, у — 8); 2) (15д: -9): у <17 (д: = 4, г/ = 3). 350 Выполни деление с остатком и сделай проверку: 918 : 45. 351| Определи координаты точек А, В, С, D и Е: А ■ • I * ■ I- 0 5 9 353 Реши уравнения: В . ± С D Е 2 3 4 5 8 9’ о\ и • 11 39’ 3)^и|; 4)3| и 4^ 26; 2) (2|+i,)-3|-l|. 6 354| Задумано число. Если его увеличить на 7 ^ , то получится число, превыша- 10 17 9 ющее разность чисел 9^ и на 4;^. Наиди это число, ZS Zo 355| Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 20 дм, что составляет ^ его Р о длины. Высота параллелепипеда составляет ^ суммы его длины и ширины. Чему равен объем параллелепипеда? 3561 Мама купила 6 чашек по цене 150 р. и чайник за 300 р. Через неделю магазин повысил цену чашки на 10%, а цену чайника снизил на 15%. Увеличилась или уменьшилась при этом стоимость маминой покупки и на сколько? 357| Построй прямоугольник АВСП по координатам его вершин: А (3; 2), В (3; 6), С (9; 6) и П (9; 2). Проведи диагонали этого прямоугольника и найди координаты их точки пересечения. 358| Проверь истинность высказывания: (826 826 : 826 + 205 • 308): 49 - 2350 : 235 , 19 68 - (430 • 80 - 138 600 : 45): 870 "^^^32' 86 Глава 2 Делимость натуральных чисел Во всей этой главе при обсуждении вопросов делимости рассматриваются только натуральные числа. § 1. Основные понятия 1. Делители и кратные. Мы знаем, что, например, число 27 делится на 3. Но почему это утверждение верно? На этот вопрос мы отвечали так: 27 предметов можно разложить на 3 равные группы по 9 предметов в каждой, и ничего не останется. Другими словами, для проверки этого утверждения надо указать "второй сомножитель" числа 3 - в данном случае 9 - такой, чтобы при умножении его на 3 получилось 27. Действительно, 9 • 3 = 27. С другой стороны, 27 не делится на 4, потому что нельзя подобрать такой сомножитель с, чтобы выполнялось равенство 4с = 27. Действительно, при с = 6 произведение 4с - 4 • 6 меньше 27, а при с = 7 произведение 4с = 4 • 7 больше 27. Эти рассуждения иллюстрируют уже знакомое нам определение делимости: Число а делится на число Ъ, если существует такое число с, что выполняется равенство а = Ьс. При этом число с называется частным от деления а на 6, число а -кратным Ъ, а число Ь - делителем а. Например, каждое из чисел 7, 11 и 13 является делителем числа 1001 - в этом можно убедиться, проведя деление "столбиком". В то же время 1001 - кратное каждого из этих чисел. [359| 1) Может ли делитель числа быть больше самого этого числа? Почему? 2) Докажи, что любое число является делителем самого себя. 3) Какое число является делителем всех чисел? 4) Может ли у числа быть ровно 1 делитель, 2 делителя, 3 делителя, больше трех делителей? Докажи, что число 782 является делителем числа 43 792. Как об этом можно сказать иначе? Как найти все делители данного числа? Можно ли упростить перебор, если вспомнить о парных делителях? Сколько делителей у чисел: а) 60; б) 136? 87 Глава 2, §1, п.1 13^ Запиши с помощью фигурных скобок множество делителей каждого из чисел: 6, 7у 12, 17, 32, 42, 81. Сколько делителей у каждого из них? Может ли у числа быть меньше двух делителей? Образец ответа: D(10) = {1, 2, 5, 10}, 4 делителя. [36^ Пользуясь результатами предыдущего задания, найди все общие делители для указанных чисел. Подчеркни их наибольший общий делитель. а) 6 и 7; б) 6 и 12; в) 12 и 81; г) 6, 42 и 81. Образец ответа: П(10, 15) = {1, 5}. 3641 Поставь вместо звездочки нужный знак в следующем предложении: "Если А - множество делителей числа п, В - множество делителей числа k, то А* В - множество общих делителей чисел пик". 365| Найди наибольший общий делитель чисел методом перебора. Делители какого числа целесообразно находить для сокращения перебора? Сформулируй правило (алгоритм) перебора. 1) 7 и 420; 3)1 и 3473; 5) 8, 12 и 42; 7) 33 и 77; 2) 7 и 12 345; 4) 8917 и 2; 6)4, 36 и 84; 8) 555 и 999. Образец ответа: НОД (7, 16, 25) = 1. 13661 Среди чисел а, Ь, с и d найди, не вычисляя, числа, делителями которых являются 2, 5, 10. Проверь с помощью вычислений. а = 3-5-7 6 = 2-5-7 с = 5-5 d = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 11 367| 1) Может ли кратное числа быть меньше самого этого числа? 2) Докажи, что любое число кратно самому себе. |36^ Назови несколько кратных для каждого из чисел: 2, 7, 39, а. Как можно последовательно выписать все кратные данного числа? Может ли число иметь более 1000 кратных? 3691 Запиши с помощью фигурных скобок множество кратных для каждого из чисел: 4, 5, 14, 16, 21. Образец ответа: К(9) = {9, 18, 27, 36, ... }. 370| Пользуясь результатами предыдущего задания, запиши множество общих кратных для чисел: а) 4 и 5; б) 4 и 16; в) 14 и 21. Подчеркни наименьшее общее кратное. Образец ответа: K(S, 12) = {24. 48, 72, 96, ... }. 88 Глава 2, §1, п.1 Ид) Найди наименьшее общее кратное чисел с помощью перебора. Кратные какого числа целесообразно перебирать? 1) 1 и 3473; 3)5, 15 и 25; 5) 3, 10 и 18; 7) 7 и 12 345; 2) 8917 и 2; 4)6, 8 и 12; 6)7, 8 и 14; 8) 36 и 96. Образец ответа: НОК (9, 12, 18) = 36. Определи, не вычисляя, является ли число 2 • 2 • 3 • 5 кратным для чисел а,Ь,с и d. Проверь с помощью вычислений. а = 2-3 6 = 3-3 с = 2-5 d = l 3731 Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь математиче- ский термин: 0 8 — делитель 68 Н 70,- кратное 5 0 15 - делитель 3 Т 4 - кратное 12 к 24 - делитель 72 С 56 - кратное 7 У 1 - делитель а 0 X - кратное х Выбери из чисел 5, 7, 21, 25, 28, 35, 42, 56, 75, 80 те, которые: а) кратны 5; в) являются делителями 100; д) кратны 4 и 7; б) не кратны!; г) не являются делителями 42; е) кратны 4 или 7. Число называется "совершенным", если оно равно сумме всех своих делителей, не считая самого числа. Являются ли числа 6, 28, 496 совершенными? Два числа называются "дружественными", если каждое из них равно сумме делителей другого числа, не считая его самого. Являются ли числа 220 и 284 дружественными? Заполнив несколько строк в таблице, найди закономерность, которой подчиняются числа, стоящие в трех последних столбцах каждой строки. Затем заполни таблицу до конца. Можно ли утверждать, что данная закономерность справедлива для всех пар чисел. Почему? Числа Произведение НОД НОК 4 и 6 24 2 12 6 и 9 5и 7 35 и 45 16 и 18 735 и 845 735-845 5 89 Глава 2, §1, п.1 37^ Какая последняя цифра может быть у числа, кратного: а) 10; 6)5; в) 2; г) 3; д) 7; е) 11; ж) 561; з) 3282? Какое число имеет больше делителей - 7 или 14,6 или 30,12 или 36,8 или 40, 111 или 111 111 111? Сделай вывод. 380| Нарисуй на одном рисунке диаграмму Эйлера-Венна для множеств: 1)D(18)hD(36); 2) D (5) и D (487); 3) D(60), D(12), D(36) и £)(180) О 381J Как связаны между собой два числа и рисунок в первой строке таблицы? Проверь свою гипотезу для второй строки. Пользуясь установленной закономерностью, найди недостаюш;ие числа и рисунки. в) 76 121 48 78 • • • • • • • 9 9 9 9 • • • 9 9 9 • • • • 9 9 9 9 9 • • • • • • ? ? 84 136 117 102 382| Выполни действия и запиши заданную программу действий в виде выражения: а) (I) 68 - 12 @56:7 @8 + 24 б) @ 350 : 5 в) @ 60 - 9 @ 40-70 @9 + 8 @ 3000-2800 @51:17 @102-3 383| Расставь скобки так, чтобы получилось верное равенство: 1) 5 • 38 - 70 : 8 - 6 = 60; 3) 30 - 49 : 42 : 6 • 8 = 184; 2) 630 : 7 : 2 • 9 • 25 = 125; 4) 180 : 300 - 30 • 9 + 199 = 205. г) @ 540 : 90 @ 31-6 @ 1600 : 400 @25-4 90 Глава 2, §1, п.1 Проследи по цепочке таблицу мер времени и расскажи о соотношениях между ними; 365 или 366 1 век 1 год 1 месяц 1 сутки 1ч 1 мин 1 с 100 12 30 или 31 24 60 60 (28 - 29) Сколько суток в одном високосном году? Сколько секунд в одном часе? Сколько минут в одних сутках? а) Какую часть года составляет 1 мес.? 2 мес.? 3 мес.? 4 мес.? 6 мес.? Отметь полученные дроби на числовом луче. Какими еще дробями можно выразить указанные части года? б) Какую часть составляет 1 с от 1 мин? 4 мин от 1 ч? 1 ч от 1 суток? 5 ч от 2 суток? 386| Вырази: 15 12 а) в секундах: — мин, — мин, — ч, 1 — ч, 8 мин 6 с, 2 ч 43 мин; О Z о б) в минутах: ^ "I" ^ ^ ^ мин, 6 ч 48 мин, 3360 с, 1 сут. 4 ч 20 мин. В таблице приведено расписание поездов, идущих из Москвы в Санкт-Петербург: поезда Город^^--С,__^ №2 № 10 №20 №160 №652 Москва 23^® 2215 17J0 230 Тверь - - 307 1815 6»2 Вышний Волочек - - - - 740 Бологое 34й 2U 5Ш 2015 Ц40 С.-Петербург 825 610 938 23^^ 1435 1) Почему в расписании есть пустые клетки? 2) Какой поезд отправляется из Москвы в 23 ч 55 мин и когда он прибывает в Санкт-Петербург? 3) На каком поезде следует ехать, чтобы прибыть в Санкт-Петербург максимально близко к 9 ч утра? 4) Сколько времени затрачивает каждый из поездов, приведенных в расписании, на весь путь от Москвы до Санкт-Петербурга? 5) На сколько меньше времени затрачивает на путь от Твери до Бологого 160-й поезд, чем 652-й? 91 Глава 2, §1, п.1 38^ Самолет летит из Москвы в Ижевск 1 ч 55 мин. В котором часу он вылетает из Москвы, если прибывает в Ижевск в 18 ч 15 мин по местному времени, а из-за разницы в часовых поясах местное время опережает московское на 1 час? Выполни действия: а) 12 мин 54 с + 4 мин 32 с - 11 мин 30 с; б) 5 ч 18 мин - 2 ч 45 мин -Ь 6 ч 27 мин; в) 8 мин 34 с • 9; д) 23 мин 28 с : 4; г) 4 ч 16 мин *5; е) 7 сут. 2 ч : 17. Три года назад брату было 10 лет, а сестре - в 5 раз меньше. Во сколько раз брат был старше сестры год назад? Во сколько раз он будет старше сестры через 3 года? На рисунке показаны различные случаи движения объектов: 1) 3) 56 км/ч 108 км/ч 4) 90 км/ч 36 км/ч 15 км/ч 42 км/ч ш Найди для каждого случая скорость сближения или скорость удаления. На сколько километров изменится расстояние между объектами через 3 ч после начала движения, если встречи за это время не произойдет? 3 Скорость пешехода равна 6 км/ч, что составляет — скорости велосипедиста. С какой скоростью они сближаются, если движутся: а) навстречу друг другу; б) велосипедист догоняет пешехода? Скорость пассажирского поезда 75 км/ч, а скорость товарного поезда состав-13 ляет — скорости пассажирского. С какой скоростью они удаляются, если: 15 а) движутся в противоположных направлениях; б) товарный поезд идет вслед за пассажирским? По одной дороге скачут два всадника. Первый всадник скачет со скоростью а км/ч, а скорость другого всадника составляет 85% скорости первого. С какой скоростью изменяется расстояние между ними, если они движутся: 1) навстречу друг другу; 2) в противоположных направлениях; 3) вдогонку; 4) с отставанием? 92 Глава 2, §1, п.1 395} а) Медиками установлено, что для нормального развития ребенок, которому Т лет (Г меньше 18), должен спать в сутки t часов, где t определяется по Т формуле f = 17 —Сколько времени должен спать в сутки ребенок в возра-сте 1 года, 2 лет, 4 лет, 7 лет? Заполни таблицу: т 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 t б) Построй линейную диаграмму, показывающую изменение продолжительности сна с 8 до 18 лет. Сравни рекомендации медиков со своим режимом дня. Ф Проверь истинность высказывания: 7 < [(7777 : 77 + 157): 86 + 216]: 219 • 306 43 ^ (734 • 208 - 128 - 580 • 40): (818 176 : 272) <7- 43 [397J 1) Запиши множество делителей числа 56, располагая делители в порядке возрастания. 2) Найди с помощью перебора НОД (12, 32, 48). 3) Укажи наибольший общий делитель для чисел 2-7-11 и 7-13. 1) Запиши последовательно в порядке возрастания, начиная с наименьшего, десять кратных числа 15. 2) Найди с помощью перебора НОК (4, 6, 15). 3) Укажи наименьшее общее кратное для чисел 5-7 и 2 • 7 • 11. 3991 Сколько делителей числа 333 333 333 333 ты сможешь найти? 400| Найди четыре различные цифры, которые могут стоять в разряде десятков у чисел, кратных 25? 8 4011 а) Что больше: — от 4 ч 12 мин или 28% от 8 ч 20 мин? У б) Что меньше: число, 15% которого составляют 3 мин 45 с, или число, 3 -— которого составляют 15 мин? 5 В один из дней теннисного турнира на одном корте были сыграны 3 игры, которые длились соответственно 1 ч 48 мин, 1 ч 56 мин и 2 ч 8 мин. В котором часу закончилась последняя игра, если первая игра началась в 10 ч 15 мин, а перерывы между играми длились по 40 мин? Сережа и Валера бегут по одной тропинке. Скорость Сережи 120 м/мин, а скорость Валеры на 4 м/мин меньше. С какой скоростью изменяется расстояние между ними, если они бегут: 1) навстречу друг другу; 2) в противоположных направлениях; 3) вдогонку; 4) с отставанием? 93 Глава 2, §1, п.2 На ткацкой фабрике одна работница обслуживает 5 станков, каждый из которых производит 2 м ткани в минуту, а вторая работница - 4 станка, производящих по 3 м ткани в минуту. Однажды по техническим причинам у второй работницы один из станков был остановлен на 1 ч 30 мин. Какая из работниц выпустила в этот день больше ткани и на сколько, если на фабрике 7-часовой рабочий день? Реши уравнения: а) 900 - (14х + 8): 20 = 894; б) 500 : (Зу - 7) f 95 = 120. О Составь выражение по следующей программе и найди его значение: 1) Разделить 2 310 000 на 75. 2) 10 000 уменьшить на 994. 3) Найти произведение результатов действий 1 и 2. 4) Результат действия 3 уменьшить в 2640 раз. |^в семье шестеро детей, причем возраст каждого ребенка в годах выражается числом, делящимся только на само себя и на единицу. Пятеро из них соответственно на 2,6,8,12 и 14 лет старше самого младшего. Сколько лет младшему? Задача-шутка. Найди дробь, у которой числитель меньше знаменателя и которая не изменится, если ее запись перевернуть "вверх ногами". Когда спросили у пастуха, сколько овец в отаре, то он ответил: "60 овец пьют 2 воду, а остальные — всех овец пасутся". Сколько овец в отаре? О 2. Простые и составные числа. Всякое натуральное число делится само на себя ина I - это следует из равенства а = а • 1. Натуральные числа, которые имеют ровно два различных делителя - само себя и 1, - называются простыми. Таковы, например, числа 2, 3, 5, 7, 89. Натуральные числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Составным является, например, число 6: оно имеет 4 делителя -1, 2, 3 и 6. Число 1 имеет единственный делитель. Оно не считается ни простым, ни составным. Таким образом, множество натуральных чисел разбивается на 3 части: 1) число 1 (имеет единственный делитель); 2) простые числа (имеют в точности 2 делителя); 3) составные числа (имеют больше 2 делителей). Отметим, что утверждение о том, что некоторое число является составным, по сути есть утверждение о существовании: число является составным, если оно имеет хотя бы один делитель, не равный ни ему самому, ни 1. 94 Глава 2, §1, п.2 Другими словами, число является составным, если его можно разложить хотя бы на два множителя, ни один из которых не равен 1. Например, 21 = 3-7. В разложении на два множителя простого числа, напротив, один из множителей всегда равен 1, а другой - самому числу. Интерес математиков к простым числам огромен, начиная с древнейших времен. Само понятие простого числа было введено древнегреческим ученым Пифагором еще в VI веке до н. э. А в III веке до н. э. Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много (то есть за каждым простым числом есть еще большее простое число). Другой греческий математик того же времени, Эратосфен, придумал остроумный способ составления списка простых чисел, который иногда используется в практических вычислениях и сегодня. Он записывал все числа от 1 до какого-либо числа, вычеркивал из него 1, а затем последовательно вычеркивал кратные 2, 3, 5, 7 и т.д. Каждый раз вычеркивались кратные первого "уцелевшего" числа (кроме, разумеется, самого этого числа): X 2 3 / 5 7 X 11 13 17 19 23 29 Ж 31 37 Так как греки делали записи на покрытых воском табличках, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. С тех пор метод Эратосфена называют "решетом Эратосфена": в этом решете простые числа "отсеиваются" от остальных. е [41^ 1) Известно, что число 809 простое. Делится ли оно на 19? 2) Каким числом - простым или составным - является произведение чисел 809 • 809? а) Есть ли четные простые числа? Сколько их? Почему? б) Есть ли простые числа, оканчивающиеся цифрой 0? Какими цифрами не может оканчиваться многозначное простое число? в) Какими цифрами может оканчиваться многозначное составное число? 412 Докажи, что приведенные ниже числа являются составными: а) 8, 28, 111; б) 77 777, 1111, 242 242, 373 737, 111 111 111; в) 1111...1 (1996 цифр); г) 1111...1 (1995 цифр). Найди множество простых решений неравенства: 1)х<10; 2) 5 < г/^19; 3)21<з<41; 4)56офсев, 5 кл., ч. 1 97 Глава 2, §1, п.2 432| Построй математическую модель задачи и найди ее решение методом проб а ошибок. Одна из сторон прямоугольника на 20 см больше другой. Если большую сторону уменьшить в 3 раза, а меньшую сторону увеличить в 2 раза, то площадь нового прямоугольника будет равна 200 см^. Найти стороны данного прямоугольника. 433| Найди значение выражения: 1) 7лг - Зле - X + 5х, если х = 40, 96, 28 000; 2) у + 5у - 4у + 2у, если у = 63, 900, 50 505. Сколько действий в каждом примере тебе для этого понадобилось? В трех коробках 80 карандашей. В первой коробке в 4 раза меньше карандашей, чем во второй, и в 5 раз меньше, чем в третьей. Сколько карандашей в каждой коробке? 435| Построй данные фигуры на клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки, увеличив их размер в 2 раза. 13 [28 695 680 + (796 • 5028 + 172 • 796 + 4800 • 796): 200 - 888]: 128 • 70 080. |43Т| 1) По таблице простых чисел подсчитай, сколько простых чисел в каж-дой из первых десяти сотен. Какую закономерность в расположении простых чисел ты замечаешь? 2) Два простых числа, разность которых равна 2, называют близнецами. Найди в таблице все пары чисел-близнецов. Сколько таких пар среди первых 500 чисел и среди чисел от 500 до 1000? Какие из них самые большие? Ученые до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел-близнецов. Запиши множество делителей числа 56 и выбери из него подмножество А простых делителей. Запиши все двузначные числа, которые представляются в виде произведения двух простых множителей, один из которых равен: а) 11; б) 13; в) 17; г) 19; д) 23; е) 29. 98 _________________ Глава 2, §1, п.2 440| По рисункам найди расстояние между движущимися объектами через 3 с после начала движения, если встречи за это время не произойдет: 3) с м/с d м/с S м Расстояние между двумя теплоходами в 12 ч дня было равно 455 км. Скорость первого теплохода 49 км/ч, а скорость второго теплохода составляет г* — скорости первого. Какое расстояние будет между теплоходами в 15 ч, если они плывут: 1) навстречу друг другу; 2) в противоположных направлениях; 3) вдогонку; 4) с отставанием? ш1 Составь программу действий и вычисли: а) [450 : 5 : (3 • 6) 4 35] • 7 - 6 • 40 + (540 : 60 + 7) • (63 : 9); б) [500 - ( 3500 : 700 • 80 - 40 • 9) • (64 : 8) ]: 9 - (72 : 6): ( 81 : 27). 443| Найди закономерность и, сохраняя ее, заполни пустые клетки: а) 4ii 15 ? ? ®15 11— 15 б) 5^ ^9 2^ 9 ? 8-^ ®9 ? 3^ в) 4 2 4 ? 15-^ ^^19 Построй данные фигуры на клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки, увеличив их размер в 2 раза. Раскрась получившиеся узоры. Придумай и нарисуй свои узоры из геометрических фигур. 4* 99 Глава 2, §2, п.1 о Перемножив четыре простых последовательных числа, Нина получила в результате число, цифра единиц которого 0. Какие числа она перемножила и какой получила результат? 44^ Чтобы войти в замок Арифмос, надо набрать шифр: записать последовательно в возрастающем порядке по одному разу 10 первых простых чисел натурального ряда. В полученном многозначном числе, не переставляя цифры, вычеркнуть половину цифр так, чтобы оставшиеся выражали: а) наименьшее возможное число; б) наибольшее. Какие это числа? 4471 Продолжи ряд на два числа, сохраняя закономерность: 4, 7, 12, 21, 38,... § 2. Основные свойства делимости натуральных чисел 1. Делимость произведения. Задачи, связанные с делимостью натуральных чисел, очень разнообразны. Для их решения полезно знать некоторые общие свойства делимости, которые помогают существенно упрощать вычисления. Задача. Делится ли произведение 6851 • 999 на 3? Ясно, что 999 делится на 3, значит: 6851 • 999 = 6851 • (3 • 333) = 3 • (6851 • 333), то есть 6851 • 999 делится на 3 - частное равно 6851 • 333. Перемножать числа 6851 и 333 здесь не нужно - поскольку мы уже указали частное, а определять его числовое значение в условии данной задачи не требуется. Этот пример иллюстрирует общее утверждение, общее свойство делимости натуральных чисел. Свойство 1. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то и произведение, данных чисел делится на это число. Это свойство - утверждение типа "все": оно выполняется для любых натуральных чисел. Чтобы доказать его "по всем правилам", следует обозначить буквами числа, о которых идет речь в условии. В данном свойстве действуют три "персонажа": два числа - сомножители и некоторое третье число. Первые два числа обозначим буквами а и &, а третье число - буквой с. Одно из чисел а и &, по условию, делится па с. Пусть, например, Ь делится на с. Это означает, что существует k такое, что Ь = ck. Тогда: аЬ = a(ck) = c(ak), то есть аЬ делится на с - в частном получается число ak. 100 __________________________________________________________ Глава 2, §2, п.1 Свойство 2. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое число делится на третье. Обозначим первое, второе и третье числа буквами а, 6 и с. По условию а делится на 6, то есть а = Ьп, где п - некоторое натуральное число. В полученном произведении множитель h делится на с. Значит, по свойству 1, на с делится и все произведение - число а, что и требовалось доказать. 0@Не вычисляя произведения, установи, делится ли оно на данное число. 1) 508-12 на 3; 4) 45 • 26 • 36 па 15; 2) 85 • 3719 на 5; 5) 210 • 29 на 3 и на 29; 3) 2510 • 74 на 37; 6) 3800 • 44 • 18 на 11,100 и 9. 4491 Подбери три значения х так, чтобы произведение: 1) Зх делилось на 5; 3) 9л: делилось на 6; 2) 12л: делилось на 7; 4) Зл’ делилось на 14. 14501 Докалси или опровергни утверждение: 1) Если число делится на произведение двух чисел, то оно делится и на каждое из этих чисел. 2) Если число делится на два других числа, то оно делится и на их произведение. 3) Если произведение двух чисел делится на данное число, то и каждый множитель делится на это число. Какие делители произведения 3 • 25 • 62 ты можешь назвать? 452| Как можно делить произведение на число? Раздели на 9 произведение: а) 28 • 9 • 35; в) 76 • 512 • 360; д) 4500 • 7 • 398; б) 18 • 752 • 800; г) 155 • 810 • 34; 453| Найди значение частного: 1) (12а6с):4; 4) (45л:^/2) : 9; 2) (12аЬс): 12; 5) (45xyz) : 45; 3) (12аЬс): Ь, ЬфО; ^)(4Ъхуг):х, л:т*-0; 4^ е) 83 • 63 000 • 98. 7) (270mnkt): 3; 8) (270mnkt): 270; 9) {270mnkt): k, кФО. О Для чисел, больших 3, определи, каким числом -простым или составным - является: а) число, следующее за простым числом; б) число, следующее за составным числом; в) число, предществующее простому числу; г) число, предшествующее составному числу; д) сумма двух простых чисел; е) сумма двух составных чисел. Глава 2, §2, п.1 455| Найди НОД и НОК чисел 50 и 8. Какими способами можно это сделать? Укажи наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное для чисел, представленных в виде произведения: 1) 2-5-7 и 2-7-13; 2) 2-11 и 5-23. Найди значения сумм. Из соответствующих им букв составь фамилию известного русского композитора. 2-10 000 + 3-100 + 8-10 203 080 23 080 20 380 ® 7 -100 000 + 5 -1000 + 4 70 504 705004 ® 750004 ® 9 -1 000 000 + 1 -10 000 + 6 -100 9010600 916000 @ 9016000 ® 8 - 10 000 + 5 - 1000 + 2-10 + 2 80 522 85 022 ® 805 202 1-100 000 + 7-10 + 3 10 703 10 073 100073 2-100 000 + 6-100 + 4-10 200064 200 640 ® 20 640 © Представь данные числа в виде суммы разрядных слагаемых: а) 35 702; 6)800 410; в) 2 902 009; г) 32 540 206; д) 914 000 358. Найди неизвестную операцию: 1) □: 2) 39 +24 -52 ^ -18 3) □ 4) □ -45 1^ +36 + 81 1^ -56 Два муравья отправились одновременно из одного муравейника за сосновыми иголками. Один муравей ползет со скоростью 3 см/с, а другой - со скоростью 5 см/с. Какое расстояние будет между ними через 8 с, если: 1) они оба ползут на север; 2) один муравей ползет на север, а другой - на юг? По дну водоема ползут два рака со скоростью а дм/мин и Ь дм/мин. Сейчас между ними с дм. Какое расстояние будет между ними через 7 мин, если они ползут: 1) в противоположных направлениях; 2) навстречу друг другу (встречи за это время не произойдет)? 102 Глава 2, §2, п.1 Воробей гонится за стрекозой. Сейчас между ними s м. Скорость воробья X м/мин, а скорость стрекозы у м/мин. Какое расстояние будет между ними через 4 мин, если: 1) х > у; 2) х < у? По данному выражению составь задачу на одновременное движение двух объектов и нарисуй схему. Произойдет ли встреча? Если да, то через сколько времени после начала движения она произойдет? 1) 27-(6 + 3)-2; 2) 27+ (6 + 3)-2; 3) 27-(6-3)-2; 4) 27+ (6-3)-2. 46^ ■в 4^ По рисунку определи число общих точек окружности со следующими фигурами: 1) прямыми АО, АС и СВ; 2) отрезками АО, АС и СВ; 3) лучами АО и ОА, АС и СА, ВС и СВ. ^ Начерти окружность с центром в точке О и радиусом 4 см 5 мм. Проведи прямую,пересекающую окружность в точках А и В. На каком расстоянии от центра окружности находятся точки А и В? Начерти отрезок МК, равный 6 см. Проведи окружность с центром М и радиусом 4 см, а затем другую окружность - с центром К и радиусом 5 см. Обозначь точки пересечения буквами Avi В. 1) Чему равна длина отрезков AM, АК, ВМ и ВК? 2) Измерь транспортиром углы треугольников АМЯ и ВМК. Что ты замечаешь? Как это можно объяснить? Начерти отрезок CD, равный 4 см, и построй все точки, которые: 1) удалены от точек С и П на расстояние 3 см; 2) удалены от точек С и П на расстояние 2 см; 3) находятся на расстоянии 2 см 5 мм от точки С и на расстоянии 3 см 5 мм от точки D. Упрости выражение и найди его значение: 1) 534 - 134 + 8а + 2а, если а = 8, 25, 94 000; 2) 11 6 + 7 6 - 15 + Ь, если Ъ = 50, 99, 1 001 001. Составь выражение и найди его значение при л: = 6. Одна обезьяна увидела в лесу 3 пальмы, а на них — бананы. С одной пальмы она собрала х штук бананов, со второй - в 2 раза больше, чем с первой, а с третьей - на 25 штук больше, чем со второй. Сколько бананов осталось у обезьяны, если 18 бананов она сразу же съела? 1) 850 : 17 • (336 ; 6 - 9 • 4) - [(8100 ; 90 - 34): 7 + 3 • 8] • 30 + 60 : 1; 2) [(18 + 19) • 6 : 3 - 25]: 7 • 90 + 39 • (52 - 52) - 250 : 50 • (270 ; 3 - 76). 103 Глава 2, §2, п.1 - [47jJ Подбери три значения х так, чтобы произведение: 1) 12х делилось на 17; 2) 8л: делилось на 4; 3) 1598л: делилось на 637. |47^ Докажи или опровергни утверждение:"Если произведение двух чисел делится на число k = 3, го хотя бы один из множителей тоже делится на /г". А верно ли это для чисел /г = 4, 5, 8? 47^ Найди частное от деления: 1) 701 • 18 • 395 на 6; 3) 48аЬс на 12; 5) Збтп на т, где тФ0>', 2) 53 • 1784 • 625 на 5; 4) 52л:«/г на 52; 6)27dky на у, ще у Ф 0. ш Два пешехода идут по одной дороге со скоростью соответственно 100 м/мин и 80 м/мин. Сейчас между ними 900 м. Какое расстояние будет между ними через 3 мин? (Рассмотреть 4 случая и нарисовать для каждого из них схему.) 475| Найди неизвестную операцию: 1) 4^ Сделай проверку, взяв в качестве объекта операции число 8. Начерти окружность с центром в точке О и радиусом 2 см. Отметь указанным цветом множество точек X, удовлетворяющих условию: 1) ОХ = 2 см (красным); 2) ОХ < 2 см (синим); 3) ОХ > 2 см (зеленым). Начерти отрезок АВ, равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке А радиусом 4 см и окружность с центром в точке В радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек X, удовлетворяющих условиям: 1) АХ = 4 см и ВХ = 3 см (красным); 2) АХ < 4 см и ВХ < 3 см (синим); 3) АХ < 4 см и ВХ > 3 см (желтым); 4) АХ > 4 см и ВХ < 3 см (зеленым). Где расположены точки, удаленные от точки А больше, чем на 4 см, и от точки В больше, чем на 3 см? Составь программу действий и вычисли: 1) 106 937 - [3801 + (85 447 647 -Н 2 319 003): 3350]; 2) 10 518 + [1845 • 267 + 62 238 : (39 832 - 39 326)]: 41. Представь число 740 208 в виде суммы разрядных слагаемых. 104 Глава 2, §2, п.2 о Составь задачу, решением которой служит выражение: а) 28:7- 5; б) 8 • 12 • 7; в) 35 + (35 - 2) + 35 : 7 • 4. ш Учитель проверил работы трех учеников - Андрея, Виталия и Сергея, но работ с собой не взял. Ученикам же он сказал так: "Все вы, ребята, написали работы на разные оценки: 3, 4 и 5. У Сергея оценка не 5, у Виталия оценка не 4, а вот у Андрея - 4". Оказалось, что ребята действительно получили разные оценки. Но учитель ошибся в том, кто какую оценку получил, и только одному ученику назвал ее правильно. Какую оценку получил каждый из учеников за контрольную работу? На вопрос: "Сколько среди двузначных чисел таких, у каждого из которых сумма цифр равна 9?" - Степа Верхоглядкин стал перебирать все двузначные числа подряд, отбирая нужные ему. Покажи ему более краткий способ решения этой задачи. 2. Делимость суммы и разности. Задача 1. Делится ли число 9393 + 93 • 93 - 186 на 93? Несложно проверить, что числа 9393 и 186 делятся на 93, но тогда: 9393 + 93 • 93 - 186 = 93 • 101 + 93 • 93 - 93 • 2 = 93 • (101 + 93 - 2), так что и 9393 + 93 • 93 - 186 делится на 93. Проверим истинность обш;его утверждения: Свойство 1. Если два числа делятся на некоторое число, то их сумма и разность тоже делятся на это число. Для доказательства обозначим первые два числа буквами а и Ь, а третье число - буквой с. Так как а, по условию, делится на с, то а = с/г. Так как Ь, по условию, делится на с, то Ь = с1. Значит: а + Ь = ck + с1 = c(k + I), то есть а + Ь делится на с — в частном получается число k + I. Точно так же I доказывается, что разность а — Ь делится на с. ; Отметим, что в доказательстве для обозначения частных а : с и Ь : с \ использованы две буквы, k и I. Разные имена потребовались потому, что эти | частные различны. I Доказанное свойство часто полезно для нахождения обш;их делителей двух i чисел. Найдем, например, общие делители чисел 1354 и 1357. ! Пусть оба эти числа делятся на с. Тогда их разность, равная 3, также ; делится на с. Значит, с - это 1 или 3. Однако с не равно 3, так как 1354 : не делится на 3. Следовательно, данные числа имеют только один общий | делитель - число 1. 105 Глава 2, §2, п.2 Задача 2. Делится ли число 215 ка 19? Число 215 равно сумме двух слагаемых 190 + 25, одно из которых делится на 19, а другое нет: 215=190+ 25. Может ли такая сумма делиться на 19? Если бы это было так, то по свойству 1 слагаемое 25, равное разности 215 - 190, тоже делилось бы на 19, а это неверно. Сформулируем тогда следующее общее утверждение и попробуем его доказать: Свойство 2. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то их сумма и разность не делятся на это число. Данные числа обозначим буквами а и Ь, третье число - буквой с. Пусть, например, а делится на с, а 6 не делится на с. Предположим, что сумма а + Ь делится на с. Тогда, по свойству 1, разность (а + 6) - а, то есть число Ь, также делится на с. Мы пришли к противоречию: число Ь одновременно и делится, и не делится на с. Где источник этого противоречия? А дело в том, что мы предположили, что сумма а + Ь делится на с. Это и привело нас к противоречию. Следовательно, сделанное нами предположение неверно, и на самом деле сумма а + Ь не делится на с. Но именно это мы и должны были доказать. Аналогично доказывается данное свойство и для разности двух чисел. О |48^ Определи истинность высказывания: а) 4500 + 25 делится на 5; в) 888 888 - 19 • 320 делится на 8; б) 13 000 - 26 делится на 13; г) 171 717 + 2-34 делится на 17. Какими способами можно делить сумму и разность на число? Найди частное: 5) (68а - 46 + 36): 4; 6) (20ху + 45 - 5k): 5. д) 12, 18 и 78; е) 45, 50 и 195. 1) (9а + 246): 3; 3) (4тл - 96): 2; 2) (бОх - 48у): 6; 4) (49 + 7dc): 7; Найди все общие делители чисел: а) 3523 и 3524; в) 649 и 651; б) 721 518 и 721 519; г) 868 и 882; Каким может быть наибольший общий делитель: а) двух соседних чисел; б) двух последовательных нечетных чисел; в) двух последовательных четных чисел? Объясни, почему выражение не делится на 5: 1)450+14; 2)121-35; 3) 5д: - 96; Определи истинность высказываний: 1) 49 + 63 делится на 7; 5)77 + 88 + 99 делится на 11; 2) 930-754 делится на 10; 6)222 222-56 делится на 111; 3) 3637 + 72 делится на 36; 7) 15 015 015 - 60 делится на 15; 4) 3637 + 71 делится на 36; 8)252 525 + 624 делится на 25. 4)5551 + 251/. 106 Глава 2, §2, п.2 ш о 1) Найди три значения х так, чтобы сумма 348 + х: а) делилась на 2; б) не делилась на 2. 2) Найди три значения у так, чтобы разность у - 520: а) делилась на 10; б) не делилась на 10. Верно ли, что: а) 1002 делится на 9; г) 1 000 023 делится на 25; б) 10 017 делится на 9; д) 999 975 делится на 25; в) 3692 делится на 37; е) 38 425 делится на 25? К задуманному числу прибавили 3, сумму умножили на 4, а затем прибавили 5. Может ли результат равняться 666 666? а) Даны 2008 четных чисел. Является ли их сумма простым числом? б) Даны 2008 нечетных чисел. Является ли их сумма простым числом? Приведи контрпример, опровергающий утверждение: 1) Если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма не делится на это число. 2) Если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма делится на это число. Сравни оба утверждения. Закончи предложение так, чтобы получилось истинное высказывание: "Если ни одно слагаемое не делится на данное число, то ... Рассматриваются все возможные последовательности двузначных чисел, оканчивающихся на одну и ту же цифру. а) Какие из чисел последовательности 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93 простые? б) Во всякой ли из рассматриваемых последовательностей есть простые числа? в) Имеются ли среди этих последовательностей такие, в которых содержится ровно одно простое число? Выбери из множества А = {2, 5, 6, 8, 12, 19, 24, 32, 45, 47} подмножество: 1) простых чисел; 5) чисел, кратных 3 и 5; 2) составных чисел; 6) чисел, кратных 3 или 5; 3) чисел, являющихся делителями 24; 7) делителей 8 или 12; 4) чисел, не кратных 2; 8) делителей 8 и 12. Найди НОД и НОК чисел: 1) 6, 18 и 30; 2) 10, 15 и 25. Какими способами можно это сделать? Укажи НОД и НОК для чисел, представленных в виде произведения: 1)3-3-3-5и2-3-3-7; 2)2-2-2и7-7. Составь задачу, решением которой служит выражение: а) 9000 : 100 • 14; б) 60 : (80 : 16); в) 120 : 5 - 120 : 6. 107 Глава 2, §2, п.2 499 Перерисуй таблицы в тетрадь и заполни пустые клетки: + 4 з± 2 ^7 6 5^ ^ 7 + 5 11 2-^- 3-^- ^11 4IO 11 lA 11 ^11 500| Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 4 км 500 м. По схеме определи, в каком направлении двигались велосипедисты и с какой скоростью изменялось расстояние между ними. Каким оно станет через 3 мин после начала движения? В каких случаях и через сколько времени после выезда произойдет встреча? 1) 250 м/мин 200м/мин 4500 м d =? 3 3) 250 м/мин 200 м/мин 4500 м d =? 2) 250 м/мин 200м/мин 4500 м d 3 4) 200м/мип 250 м/мин 4500 м d =1 Э 50lj с одного аэродрома одновременно в противоположных направлениях вылетели самолет и вертолет. Скорость самолета 740 км/ч, а скорость вертолета 260 км/ч. Какое расстояние будет между ними через t часов после вылета? Запиши ответ в виде формулы и упрости ее. Что означает число 1000 в получившейся формуле? Расстояние между пунктами А и В по шоссе 200 км. По этому шоссе из пункта А в пункт В выехал автомобиль со скоростью 110 км/ч. Одновременно с автомобилем из пункта В в том же направлении выехал автобус со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилем и автобусом через t часов после выезда, если за это время встречи не произойдет? Запиши ответ в виде формулы и упрости ее. Какой смысл имеет число 40 в получившейся формуле? 108 Глава 2, §2, п.2 50Щ Составь задачи на одновременное движение двух объектов, решение которых можно записать в виде формул: 1) rf = 500 - (70 + 30)i; 3) d = 96 - (56 - 40)<; 2) d = 18 + (16 + 4)t; 4) d = 4 + (12 - 7)t. Упрости формулы и определи для каждого случая скорость сближения или скорость удаления объектов. В каких случаях и через сколько времени после начала движения произойдет встреча? Определи координаты точек, отмеченных на рисунке. Чему равно расстояние между точками О и D, А и М, К и. С, выраженное в единичных отрезках? Как найти расстояние между двумя точками координатного луча? 1) о 1 Н о 2) о h м D К Е N 4 7 О М К D В А С F Е N Найди правильный перевод условия задачи на математический язык: а) Товарный поезд должен пройти п км. Он шел д: ч со скоростью 50 км/ч и у ч со скоростью 60 км/ч. Сколько километров ему осталось пройти? 1) п + д:: 50 I- у : 60; 3) п - (50д: -f бОг/); 2) п : (50д: + бОу); 4) п - 50д: - бОг/. б) После того как 12 человек купили по k билетов, а 20 человек - по m билетов, в кассе осталось t билетов. Сколько билетов было в кассе вначале? 1) t - k : 12 - т : 20; S)t + 12k + 20т; 2) t - (12k + 20т); 4) t (12k + 20m). Реши уравнения: 1) ^=3; 2) --2; д: Q -L Y 3) (19 • 700): 70 - = 6000 : 50; 4) 2-(д:-5)- 16 18 - 92 : 4 = 50 000 012 - 49 998 435. 74 + 68 Филеас Фогг отправился со своим слугой Паспарту в кругосветное путешествие. Уже за первую неделю им удалось преодолеть значительное расстоя-ние. По горам они прошли 32 км, что составило — расстояния, которое они проплыли на плоту. Через джунгли они пробирались 2 дня, преодолевая в день 24 км. На воздушном шаре путешественники пролетели в 8 раз больше, чем проплыли на плоту, а на лошадях проскакали 15% расстояния, которое пролетели на воздушном шаре. Какое расстояние преодолел Филеас Фогг со своим слугой за эту неделю? 109 Глава 2, §2, п.2 О |508| Докажи истинность утверждения и найди частное (а, h, с, х, у g N): 1) сумма 56 056 + 112 делится на 56; 2) разность 474 747-47-5 делится на 47; 3) разность 16л:у-72 делится на 8; 4) сумма ЗаЬс + 19а делится на а. 509| Найди два значении гп такие, чтобы сумма 35 + т: а) делилась на 5; б) не делилась на 5. 510| Определи истинность высказываний, представляя число в виде суммы или разности "удобных" чисел. Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь название растения. К какому семейству растений оно принадлежит? н 359 делится на 35; Т и 1001 не делится на 3; Р л 888 016 делится на 8; А к 12 411 не делится на 4; Ю 891 делится па 9; 32 032 не делится на 32; 1100 делится на 111; 69 997 не делится на 7. 51Ц Пользуясь свойством делимости разности на число, найди все общие делители чисел: 1)532 и 533; 2) 999 и 1001; 3)482 и 484; 4) 579 и 582. 512| Запиши множество делителей каждого числа и найди их наибольший общий делитель: а) 28 и 42; б) 15 и 30; в) 17 и 26. 51^ Запиши множество кратных каждого числа и найди их наименьшее общее кратное: а) 6 и 8; б) 9 и 27; в) 7 и 3. 514| Реши уравнения: 7695 г —9 1) 44 - = 25; 2) (98 : 14 + ) • 40 = 480. X |515| Поезд за 7 часов должен пройти 560 км. Первые 2 часа он шел со скоростью 76 км/ч, а в следующие 2 часа его скорость увеличилась на 8 км/ч. С какой скоростью он должен идти оставшийся участок пути, чтобы прийти в пункт назначения по расписанию? 51б| Пес Шарик догоняет кошку Мурку. Шарик бежит со скоростью 10 м/с, а Мурка - со скоростью 7 м/с. Сейчас между ними 30 м. Какое расстояние будет между ними через t секунд? Запиши ответ в виде формулы и упрости ее. Что означает число 3 в этой формуле? Какой вид имела бы формула, если бы Шарик и Мурка убегали друг от друга? 110 Глава 2, §2, п.2 517| По формуле зависимости расстояния d между движущимися объектами от времени движения t построй схему и найди скорость сближения или скорость удаления (d выражено в километрах, а t - л часах): 1) d = 120 - (18 + 12)^; 3) d = 48 - (50 - 42)t; 2) d = 80 + (36 + 9)i; 4) d = 34 + (72 - 45)t. Для каждого случая найди расстояние между движущимися объектами через 2 часа после начала движения. В каких случаях и через сколько времени после начала движения произойдет встреча? |51^ Числовой кроссворд. По горизонтали: а) 451 044 : 748; б) 1 691 480 : 56; в) 35 490 056 : 7; г) 43 750 912 -8; д) 53 906 028 • 604; е) 80 420 ■ 7804; ж.) 97 054 • 98; з) 31 347 600 : 346; и) 148 120 : 529. По вертикали: а) 945 631-642; б) 12 023 036 : 4; в) 1 665 870 : 30; г) 23 472 : 72; ж к м к) 1 367 520 - 36 709; л) 115 672-2600; м) 936 847 + 4 083 843; н) 520 100-430 118; о) 4 882 440 : 8004. 5191 Сколько чисел от 1 до 100 таких, каждое из которых делится на 3, но в своей записи не имеет ни одной тройки? 520| Расшифруй ребусы, если одинаковым буквам соответствуют одинаковые числа, а разным - разные: Ш Е Ш Е Ш Е Ш Е Ш Е П Н а) Е * * * * * д д * * * в в * * А А б) П Н п ы п н п н у у у у у л л л л л ЧЕТЫРЕ КРИКНУЛ Глава 2, §2, п.2 Задачи Л. Н. Толстого. 1) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого? 2) Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р., меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом? Задачи для самопроверки. Запиши буквенный код, соответствуюш;ий истинным высказываниям. 52 - кратное 26; 49 не кратно 7; 45 - делитель 5; 18 не является делителем 9; В Д 1 - простое число; Е 27 - составное число. Составь множество делителей и множество кратных числа 15, а затем - числа 20. Запиши множества их общих делителей и общих кратных. Используя эти множества, найди НОК и НОД чисел 15 и 20. Подбери два значения х так, чтобы выражение: 1) 20х делилось на 11; 3) 48 - д: делилось на 4; 2) 25х не делилось на 3; 4)х + 36 не делилось на 9. 525| 1) Какую часть составляют 7 мин от 3 ч? 3 1 2) Вырази в минутах: -г ч, 3 — ч, 4 ч 18 мин, 480 с. 4 5 Выполни действия: 1) 5 ч 18 мин - 1 ч 43 мин; 2) 8 мин 26 с • 25. Вырази ответ в возможно более крупных единицах измерения времени. Сделай чертеж к задаче и запиши выражение. По одной дороге едут два поезда. Сейчас между ними п км. Скорость первого поезда а км/ч, а скорость второго - Ь км/ч (а > Ь). Какое расстояние будет между поездами через 2 часа, если встречи за это время не произойдет? (Рассмотреть 4 случая.) Составь программу действий и вычисли: 720 - 1(280 : 4) • 5 + 150 - 20 • 8]: 2 - 800 : (64 : 4). 112 Глава 2, §3, п.1 § 3. Признаки делимости натуральных чисел 1. Признаки делимости на 10, на 2 и на 5. Для выяснения, делится ли одно число на другое, всегда можно провести деление известным нам способом - "уголком". Но это занятие часто бывает довольно утомительным, и математики придумали некоторые специальные приемы для получения быстрого ответа на этот вопрос - признаки делимости. Простейший из них нам хорошо известен - это признак делимости на 10, а именно: если число оканчивается на о, то оно делится на 10, а если число оканчивается на любую другую цифру, то оно не делится на 10. Чтобы объединить подобные два утверждения в одно, обычно используют словосочетание "в том и только в том случае". Таким образом, признак делимости на 10 формулируется так: "Число делится на 10 в том и только в том случае, когда его последняя цифра равна 0". Вместо длинного выражения "в том и только в том случае" в математической записи часто употребляется специальный знак (читают: "равносильно"). С помощью знака равносильности признак делимости на 10 записывается так: Число а делится ка 10 <=> Последняя цифра числа а равна 0 Рассмотрим теперь вопрос о делимости на 5. Здесь нам существенно помогут изученные свойства делимости. Задача. Какие из чисел 34 470, 745, 5637 делятся на 5? Число 34 470 делится на 10, а 10 делится на 5. Поэтому, по свойству 2 делимости произведения, 34 470 делится на 5. Ясно, что и всякое число, оканчивающееся цифрой о, делится на 5. Число 745 представим в виде суммы: 745 = 740 + 5. Оба слагаемых делятся на 5, и, по свойству 1 делимости суммы, их сумма 745 делится на 5. Ясно, что и всякое число, оканчивающееся цифрой 5, делится на 5. Число 5637 также представим в виде суммы: 5637 = 5630 -I- 7. Здесь первое слагаемое делится на 5, а второе не делится на 5. По свойству 2 делимости суммы, сумма 5637 не делится па 5. Эти примеры иллюстрируют признак делимости на 5: "Число делится на 5 в том и только в том случае, когда оно оканчивается цифрой 0 или 5". 5 — Дорлф^ш, S кл., Ч. I 113 Глава 2, §3, п.1 С помощью знака равносильности этот признак можно записать так: Число а делится на 5 <=> Последняя цифра числа а равна О или 5 Аналогично можно проиллюстрировать, что число делится на 2 в том и только в том случае, когда оно оканчивается одной из цифр - О, 2, 4, 6, 8. Эти цифры, как мы уже знаем, условились называть четными, в отличие от остальных цифр - 1, 3, 5, 7, 9, которые называют нечетными. Поэтому признак делимости на 2 формулируется немного проще: "Число делится на 2 в том и только в том случае, когда оно оканчивается четной цифрой". Это можно записать так: Число а делится на 2 Последняя цифра числа а - четная Таким образом, числа, кратные 2 (четные числа), оканчиваются четными цифрами, а числа, не кратные 2 (нечетные числа), - нечетными цифрами. Говоря о признаках делимости на 2, 5 и 10, мы рассматривали конкретные примеры. Вместе с тем эти признаки могут быть доказаны и в общем виде, причем все три одновременно. Действительно, в записи многозначного натурального числа можно отделить единицы, то есть представить это число в виде 10а f Ь, где Ь - последняя цифра числа. Например: 590 = 10-59 + о, 348 = 340 + 8 = 10 • 34 + 8, 96 005 = 10 • 9600 + 5. В сумме 10а -I- Ь первое слагаемое делится на 10, а значит, оно делится на 2 и на 5. Поэтому делимость на 2, 5 и 10 зависит только от числа Ь, то есть от последней цифры данного числа. Конечно, в записи числа можно отделить и несколько последних цифр. Например, его можно записать в виде 100а -t- Ь, где Ь - двузначное число, образованное двумя последними цифрами данного числа. Например: 4876 = 100-48+76. Такая запись позволяет получить признаки делимости на 100, 4 и 25. И поскольку 100 кратно 4 и 25, то все зависит от делимости на эти числа числа Ь. Можно отделить и три последние цифры, то есть записать число в виде 1000а + 5, где Ь - трехзначное число. Эту новую запись можно использовать для получения признаков делимости на 1000, 8 и 125. 5291 Выпиши множество решений неравенства 978 < д: < 1020, кратных 10. 530| Докажи, не выполняя вычислений, что: 1) сумма 530 + 7100 делится на 10; 2) сумма 497 + 21 500 не делится на 10; 3) разность 58 930 - 760 кратна 10; 4) разность 8410 - 2927 не кратна 10; 5) произведение 39 - 820 - 713 делится на 10; 6) число 10 является делителем произведения 47-(1310 - 490). 114 Глава 2, §3, п.1 5^ Запиши: 1) Наименьшее пятизначное число, кратное 10, сумма цифр которого равна 12. 2) Наибольшее семизначное число, кратное 1000, сумма цифр которого равна 15. 1) Какие из чисел кратны 2, а какие - нет: 36, 87, 481, 594, 708, 563, 8885, 10 000? 2) Какие из чисел делятся, а какие не делятся на 5: 135, 440, 5554, 73 209, 908 015? Запиши множество: 1) четных решений неравенства 389 < а < 400; 2) нечетных решений неравенства 795 < Ь < 803. Какие числа, кратные 5, являются решениями неравенства: 1)95<с<100; 2)560Ь). С какой скоростью изменяется расстояние между ними, если они едут: а) навстречу друг другу; б) в противоположных направлениях; в) вдогонку; г) с отставанием? 2) Саша и Дима идут по аллее навстречу друг другу. Сейчас между ними 200 м. Через сколько времени они встретятся, если скорость Саши 45 м/мин, а скорость Димы на 10 м/мин больше? Выполни действия: [(9825 Ч 243 000 : 648) • 8070 - 9080 • 9006 + 1 202 730]: 345. 127 § 4. Простые числа и делимость 1. Разложение чисел на простые множители. При решении задач часто приходится представлять данное число в виде произведения нескольких множителей. В этом случае о числе говорят, что оно разложено на множители. Например, запись 40 = 4 • 10 означает, что число 40 разложено на множители 4 и 10. Разложение на множители простого числа не представляет проблемы: оно состоит из двух различных множителей, где всегда один из множителей равен 1, а другой - самому числу. Например, 3 = 3-1. Напротив, составное число всегда раскладывается хотя бы на два множителя, отличных от 1, причем зачастую разными способами. Так, 40 - это не только 4 • 10, но и 4-5-2, и 8 - 5, и 20 - 2 ... Если же в любом из этих произведений продолжить разложение на множители, то все полученные в конечном итоге произведения простых множителей будут отличаться лишь порядком множителей: 40 = 4 - 10 = 2 /\ /\ (D© d)© 2-2-5 40 = 4- 5- 2 = 2- 2- 5- 2 /\ @© 40 = 8 - 5 = 2 /\ @© /\ ©© 2-2-5 40 = 20-2 = 2- 5- 2- 2 ®© А договорившись писать простые множители в разложении числа в порядке возрастания, придем к одному и тому же разложению этого числа на 40 = 2-2-2-5. множители: И вообш;е, всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом (с точностью до порядка множителей). При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости. Если числа небольшие, то запись можно вести, как было показано -в строчку. Для больших чисел используется запись в столбик. Разложим, например, на простые множители число 11 550. Оно оканчивается нулем и поэтому делится на 10 (то есть на произведение 2 - 5). Частное 1155 имеет сумму цифр 12, а значит, делится на 3. Новое частное 385 делится на 5, в ответе получается 77. 11550 2-5 1155 3 385 5 77 7 11 11 1 128 Глава 2, §4, п.1 Продолжая перебирать простые числа, находим делители 7 и 11 числа 77. В итоге в частном остается 1 и получается следующее разложение данного числа на простые множители: 11550 = 2-3-5-5-7- 11. Таким образом, мы видим, что термин "составное число" выбран не случайно: составные числа как бы составлены из "кирпичиков" - простых чисел. Это свойство составных чисел дает возможность ответить на различные вопросы, связанные с делимостью. Приведем лишь два примера. 1) Число делится лишь на те. простые числа, которые входят в его разложение на простые множители. Так, число 11 550 делится на простые числа 2, 3, 5, 7 и 11, но не делится на простое число 13. 2) Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью содержится в разложении на простые множители самого числа. Например, число 11 550 делится на 75 = 3 * 5 • 5, поскольку 11 550 = (3 • 5 • 5) • 2 • 7 • 11. В то же время число 11 550 не делится на 4 = 2 • 2, так как в разложении числа 4 есть "лишняя" двойка. О 1^ Разложи на простые множители числа: 1) 8, 24, 35, 60, 72, 180, 260, 440, 600,1000; 2) 162, 216, 594, 1001, 1024, 2304, 4620, 27 360. Найди все числа, которые раскладываются на два разных однозначных простых множителя. Запиши множество двузначных чисел, разложение которых на простые множители состоит: а) из двух одинаковых множителей; б) из трех одинаковых множителей; в) из четырех одинаковых множителей. Разложи на простые множители числа 510,1092,1368,1430 и определи, делится ли каждое из них на 7, 13, 19. б17| Запиши все четырехзначные числа, в разложение которых на простые множители входят одновременно 7, 11 и 13. 6l8l а = 2 • 2 • 2 • 3 • 5. Выпиши все числа, меньшие 100, на которые делится число а. 1^ Определи, делится ли число а на Ь, и, если делится, найди частное: 1) а = 2-2-2-5- 11, Ь = 2-2'П; 2) а = 3-3-5 - 13, & = 2- 13; 3) а = 2-3-5-5 - 17, & = 2-3-3-5; 4) а = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 19 • 23, & = 2 • 3 • 3 • 19; 5) а = 2- 2- 2- 3- 3- 5-11-13, Ь= 1000; 6) а = 3-5-7-1113-17, fe=1001. Глава 2, §4, п.1 620j 1) Число а четно. Четно ли За? 2) Число Ь не делится на 5. Делится ли на 5 число 3&? 3) Число Зс делится на 7. Делится ли с на 7? 4) Число 6с/ делится на 15. Всегда ли делится ли на 15 число с/? 6211 Докажи или опровергни следующие утверждения: 1) Если число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12. 2) Если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24. 622| Используя разложение на множители чисел 111 и 1001, вычисли наиболее удобным способом: а)3-5-7*11-13; 6)21*37; в) 11 *13 *35; г) 3 • 7 • 11 • 13 • 37. 6231 В магазине имеется больше 300, но меньше 400 ножей и вилок. Если ножи и вилки считать десятками, то получится целое число десятков, если их считать дюжинами - получится целое число дюжин. Сколько в магазине вилок и сколько ножей, если ножей на 160 меньше, чем вилок? [б2^ 1) Почему значения следующих выражений являются составными числами: 151*3, 11*139, 401*13? 2) Является ли составным числом значение произведения 1*17? 3) Почему можно утверждать, что числа 210 724, 380 725, 101 121, 708 273, 290 029 - составные? 62^ Может ли выражаться простым числом площадь квадрата, длина стороны которого является натуральным числом? А площадь прямоугольника, не являющегося квадратом? 62^ Найди множества D (42) и D (56) делителей чисел 42 и 56. Запиши множество D (42, 56) их общих делителей и укажи в этом множестве наибольший элемент. Как он называется? б27| Найди наибольший общий делитель чисел методом перебора: а) 10, 14 и 22; 6)15, 25 и 35; в) 33, 39 и 99; г) 6, 27 и 64. 62^ 1) Запиши множество значений переменной а, при которых дробь у является правильной. 2) Запиши множество значений переменной Ь, при которых дробь — является неправильной. ^ 6291 Сравни части величин: , 3 8 , Т в) g и 8 , 7 ’ д) 2% и ^; ж) 3 ^ 5 5 6) в «14 = , 243 243 9 и 4; 7 е) 8% и ; 9 6 7 ■ 130 Глава 2, §4, п.1 В школьном саду растут яблони, груши, сливы и вишни. Яблони занимают 5 2 4 — всей площади сада, груши - — , вишни ” » а остальную площадь за- нимают сливы. Какую часть площади сада занимают сливы? В школьный буфет привезли пирожки с рисом, картошкой, мясом и вареньем. Пирожки с рисом составляют ^ всех пирожков, а пирожки с мясом -на ^ меньше. С вареньем было столько же пирожков, сколько с рисом. Сколько привезли пирожков с картошкой, если всего привезли 250 пирожков? Магазин повысил цены на диваны на 10%, а на остальные предметы мебели - на 15%. До повышения цен диван стоил 2600 р., стол - 1800 р., а стул -900 р. На сколько после повышения цен увеличилась стоимость набора мебели, состоящего из дивана, стола и четырех стульев? 6331 Найди значение выражения: 1)з| +2|; 4)17-1з|; 2)7| +10|; 5)11-6^; ^^^40 ^40’ 6) 23-9р^; 9)8^-4^ ^^^34 34 • Перерисуй фигуры А и В в тетрадь и разбей их на части, из которых составлен прямоугольник: е Разложи на простые множители числа: 1) 32, 50, 92, 198, 240, 1500; 2) 2520, 10 780, 374 400, 1 742 500. 636| Запиши все трехзначные числа, которые раскладываются на два одинаковых простых множителя. 6371 Выпиши все двузначные числа, являющиеся делителями числа а, если а = 2-3-3-3-11. 131 Глава 2, §4, п.1 638| Определи, делится ли число а на число Ь, и, если делится, найди частное: 1) а = 2-2-3 - 7 - 7, fe-2-2 -11; 4)а = 2• 2• 3• 3• 5• 19• 23, ft = 2• 2• 3• 5; 2) а = 2 • 3 • 5 • 13, ft = 5 • 13; 5) а = 2 • 3 • 3 • 3 • 3 • 5 • 11 • 13, ft = 405; 3) а = 3-5-5-11*17, ft = 3-5-17; 6) а = 2 • 3 • 7 • 11 • 13 • 29, ft = 2002. 639 За самостоятельную работу по математике — учеников тсласса получили • rf 15 тройки, — - четверки, а остальные - пятерки. Каких отметок и на сколько 15 было выставлено больпге - троек или пятерок, если всего в классе 30 учеников? —/Л 5 Т 18 64^ Найди значение выражения (а - 3 Tg ) - (ft + 8 Tg ), если а = 25 > ft = 3 18 6411 Перерисуй фигуры А и В в тетрадь и разбей их на части, из которых составлен квадрат: 642| В магазине шкатулка стоит 1600 р., а в палатке такая же шкатулка стоит на 5% дешевле. За сколько можно купить эту шкатулку в палатке? Какая сумма при этом экономится? G 6431 Разгадай ребусы: бЩ Загадка-анекдот. По Шотландии в одном купе поезда едут два пассажира. Один из них, поглядев в окно, удивился. - Смотрите! - воскликнул он. - В Шотландии, оказывается, овцы черные! - Отнюдь нет, - ответил попутчик. - В Шотландии есть хотя бы одна овца, у которой хотя бы один бок черный. Кто из них лучше знает математику? 132 Глава 2, §4, п.2 645| Барон Мюнхаузен утверждал, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552. Покажи, что он сказал неправду. Вычисляя сумму всех различных простых делителей некоторого шестизначного числа, в записи которого все цифры одинаковы, Степа Растеряйкин получил 70, а Петя Угадайкин - 80. Покажи, что они оба ошиблись. 2. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Все натуральные числа имеют хотя бы один об-пдий делитель - число 1. Однако у некоторых чисел могут быть и другие общие делители. Например, числа 24 и 16 имеют, помимо 1, общие делители 2, 4 и 8. Их наибольшим общим делителем является число 8. Наибольший общий делитель чисел о. и Ь обозначается НОД (а, Ь). Мы уже знаем, что наибольший общий делитель можно найти, перебирая делители меньшего из данных чисел или делители разности этих чисел. Однако на практике эти способы применимы лишь в случае, когда числа невелики. Универсальным способом поиска НОД является разложение данных чисел на простые множители. Найдем, например, наибольший общий делитель чисел 1968 и 2520. Разложим их на простые множители и выделим наибольшее возможное число одинаковых множителей: 1968 = 2- 2- 2- 2- 3-41=(2-2-2-3) 2520 = 2- 2*2-3-3-5-7 = (2-2-2*3) Оба данные числа делятся на произведение 2 • 2 • 2 • 3, равное 24. Большего общего делителя этих чисел подобрать нельзя, так как все остальные их простые делители различны. Значит, НОД (1968, 2520) = 2 • 2 • 2 • 3 = 24. Рассмотренный пример иллюстрирует общий алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных чисел с помощью разложения чисел на простые множители: 1. Разложить данные числа на простые множители. 2. Выписать в виде произведения все общие простые множители. 3. Если необходимо, найти полученное произведение. Пример 1. Найти НОД (60, 72, 96). 60 = 2-2-3-5; 72-2-2-2-3-3; 96 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3. НОД (60, 72, 96) = 2 • 2 • 3 = 12. 2 3 41, 5-7. 133 Глава 2, §4, п.2 Пример 2. Найти НОД (56, 81). 56 = 2-2-2-7; 81 = 3-3-3-3. В разложении чисел 56 и 81 нет одинаковых множителей. Такие числа называются взаимно простыми. Их наибольший общий делитель равен 1: НОД(56, 81)= 1. Пример 3. Найти НОД (45, 450). 45 = 3-З-5; 450 = 2-З-З-5* 5. Видим, что все простые множители числа 45 входят в разложение 450. Действительно, 450 делится на 45, поэтому 45 и будет наибольшим общим делителем этих чисел. О НОД (45, 450) = 45. |647| 1) Опровергни утверждение: "Число 2 является общим делителем всех чисел". Назови три числа, кратных двум. Как они называются? 2) Найди множество значений переменной х, удовлетворяющих высказыванию: "Число X является общим делителем всех чисел". Найди множество значений переменной у, удовлетворяющих высказыванию: " Число у является общим делителем чисел 12 и 30". Подчеркни в этом множестве наибольший элемент. Как он называется? Докажи, что число 5 является наибольшим общим делителем чисел 85 и 90. Какими способами можно это сделать? Даны разложения чисел на простые множители. Найди их наибольший общий делитель: 1) а = 2-3-5, 2) а = 3 • 3 • 7 • 7, 3) а = 2-2-3-3-3-5-7, 4) а = 2-3-5-5-5 - 13, 5) а = 2-3-7, Ь = 2 6) а = 3 • 3 • 5 • 7, Ь = 2 Ь = 2 h = 2 6 = 2 6 = 2 5-7, 2 • 2 • 5, 11; 2 • 5; 3-5-5 2-5-5 с = 2-5-5 с = 2-2-2 11; 7; 7 3 19; 17. 6531 134 Найди наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые множители: 1) 75 и 135; 3)125 и 462; 5) 117, 195 и 312; 2) 180 и 210; 4) 504 и 720; 6) 306, 340 и 850. Найди наибольший общий делитель чисел наиболее удобным способом: 1)14 и 140; 2) 4914 и 4915; 3) 6, 81 и 9054; 4) 3150 и 1848. 1) Даны взаимно простые числа.Всегда ли они простые? 2) Среди чисел 4, 15, 22 и 77 укажи все пары взаимно простых чисел. Глава 2, §4, п.2 65^ Все ли числа каждой группы являются взаимно простыми: 1) 57 и 86; 2)28, 45 и 60; 3)333 и 7000; 4) 328 и 459? б55| 1) Число а делится на число Ь. Найди НОД (а, Ь). 2) В каком случае НОД (а, Ь) = а? Придумай две пары таких чисел. 3) Что можно сказать о числах а и 6, если НОД (а, Ь) = 1? Найди устно: 1) НОД (8, 48); 3) НОД (7, 15); 5) НОД (20, 100); 2) НОД (23, 69); 4) НОД (380, 381); 6) НОД (14, 25). 657| Нарисуй диаграммы Эйлера-Венна множеств: 1) D (18) и D (24); 2) D (36) и 1>(77); 3) D (21) и Z) (42). 658| 1) Ковбой Джо, вычисляя НОД (24, 320), получил в ответе 48 и тут же догадался, что допущена ошибка. Как он это определил? 2) Может ли НОД нескольких чисел быть больше хотя бы одного из этих чисел? Имеется по 48 синих, желтых и зеленых карандашей, 72 красных карандаша и 120 картинок для раскрашивания. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно составить из этих картинок и карандашей так, чтобы все картинки и карандаши вошли в эти наборы? По скольку предметов в каждом наборе? 660| в депо из одинаковых вагонов было сформировано 3 поезда. Первый - на 418 пассажиров, второй - на 456 пассажиров, и третий - на 494 пассажира. Сколько вагонов в каждом поезде, если известно, что общее число вагонов не превышает 50? Вычисли устно, используя законы умножения: 1) 2-7-5-2-5-9; 2) 50-386-2; 3) 203 • 4 • 250; 4) 125- 72-8; 5) 5-12-25 *2; 6) 56 -125-20-3-5. 6621 Запиши множества К(15)иЯ(18) чисел, кратных числам 15 и 18, и множество К (15, 18) их общих кратных. Найди в множестве К (15, 18) наименьший элемент. Как он называется? 663| Найди объединение и пересечение множеств натуральных решений неравенств: 1) X > 8 и X < 11; 2) х<4 и 7<х<9; 3) 2 < X ^ 8 и X ^ 7; 4) 5<х<8 и 1<х<6. 135 Глава 2, §4, п.2 6^ Блицтурнир. 1) Навстречу друг другу едут два поезда. Скорость од- , 4 ного из них равна а км/ч, что составляет —скорости 5 другого поезда. Чему равна их скорость сближения? 2) Автомобиль едет по шоссе со скоростью Ъ км/ч. Впереди него едет велосипедист, скорость которого составляет 23‘М) скорости автомобиля. С какой скоростью уменьшается расстояние между ними? 3) Две лодки плывут по реке навстречу друг другу. Сейчас между ними d км. Скорость первой лодки с км/ч, а скорость второй - в 3 раза меньше. Какое расстояние будет между лодкгши через 2 ч, если известно, что до этого времени они не встретятся? 4) Из двух пунктов, удаленных друг от друга на п км, одновременно в противоположных направлениях выехали два автобуса. Скорость первого автобуса 7 равна V км/ч, а скорость второго составляет — скорости первого. На каком 8 расстоянии друг от друга будут автобусы через 4 часа? |б65| Реши задачу, а затем составь и реши обратную задачу. Сколько можно составить обратных задач? 1) Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск, другой - подъем по соседним эскалаторам, встретились через 40 с. Найти длину наружной части лестницы, если скорость ее движения 1 м/с и пассажиры не переме-щались по эскалатору. 2) Один мальчик пробегает на коньках 8 м в секунду, а другой - 6 м в секунду.Через сколько секунд первый опередит второго на 50 м, если они одновременно побегут из одного и того же места в одном и том же направлении? |ббб| Реши уравнения с комментированием: 1) (2х + 1х)\Ъ = 27; 3) 26 • (7t/ 5 -Ь 3) = 1300; 2) {^у + у+ 12у): 14 = 30; 4) 640 : (5/г + 4 + Ik) = 16. 1) С огорода принесли репу, брюкву и морковь - всего 18 кг. Сколько овощей каждого вида принесли с огорода, если известно, что моркови принесли в 2 раза меньше, чем брюквы, и в 3 раза меньше, чем репы? 2) С огорода принесли огурцы, помидоры и лук - всего 18 кг. Сколько овощей каждого вида принесли с огорода, если огурцов принесли в 4 раза больше, чем лука, а помидоров принесли столько же, сколько и огурцов? Построй с помопщю транспортира смежные углы, если известно, что: 1) один из них в 5 раз больше, чем второй; 2) один из них на 56® больше, чем второй. 136 ______________________________________________________ Глава 2, §4, п.2 3 17 От веревки длиной 8^ м отрезали 3^ м. На сколько метров длина оставшейся части больше той, которую отрезали? В числе 7 030 506 все нули замени одной и той же цифрой - такой, чтобы полученное число делилось на 9. Напиши множество всех возможных цифр. Игра "Танграм". Квадрат разрезали на части так, как показано на рисунке. Используя все 7 частей, составь силуэты зайца и лебедя. Кто первый это сделает - тот и выиграл! ^|бтЗ 672 Найди наибольший обилий делитель чисел, если: 7; 1) а = 2-3-3-3-5-11, Ь = 2-2-3-5 2) а = 2-2-5-5*7-31, 6 = 2-3-5-5 3) а = 3-7-7-19, 6 = 2-5-5-11-19, 4) а = 2-2-3-3-3-29, & = 3 • 3 • 5 • 5 • 29, с = 2 • 3 • 5 • 11 • 29. 673| Найди наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые множители: 1)520 и 468; 2) 814 и 4400; 3)855 и 11 400; 4) 40,100 и 180. 7- 13; 5-31; с = 2-3-3-5 29, с = 2 • 3 Для новогодних подарков купили 270 яблок, 675 мандаринов и различью сладости. Какое наибольшее число подарков можно приготовить, чтобы в них были одинаковые наборы яблок и мандаринов и все они вошли в эти подарки? 675| Володя отправился на велосипеде из деревни Горки в соседнюю деревню Дровино в магазин за продуктами. Перед отъездом он запер в сарае своего пса Грея, боясь, что тот подерется с незнакомыми собаками соседней деревни. Через 6 мин Грей расширил кошачий лаз сарая и кинулся вдогонку со скоростью 400 м/мин. На каком расстоянии от деревни Дровино Грей догнал своего хозяина, если Володя ехал со скоростью 250 м/мин, а расстояние между деревнями 5 км? 137 Глава 2, §4, п.2 6761 Составь выражение и найди его значение при заданных значениях букв: а) Отец красит т метров забора в час, а сын - п метров в час. За сколько времени, работая вместе с той же производительностью, они покрасят забор длиной k метров? (т = 6, п = 2, k = 24.) б) В первом классе учится а учеников, что на 4 ученика меньше, чем во втором классе. В третьем классе учится в 2 раза меньше учеников, чем в первом и втором классах вместе. Сколько учеников во всех трех классах? (а = 22.) в) На машину погрузили Ь ящиков. В каждом ящике было 75 коробок, а в каждой коробке - по с цветных карандашей. Сколько всего карандашей погрузили на машину? (6 = 15, с = 24.) г) Двое рабочих на станках обрабатывают одинаковые детали. Первый обслуживает 5 станков, каждый из которых обрабатывает по х деталей в час, а другой - 4 станка, каждый из которых обрабатывает по у деталей в час. Сколько деталей обработают оба рабочих вместе за 7 часов? (х=12,у = 16.) 677| Пусть А — множество натуральных решений неравенства 5<л:<11, & В — множество натуральных решений неравенства 8 < л: < 12. Запиши множества Л и Б с помощью фигурных скобок, найди их объединение и пересечение. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств А и В. 67^ Реши уравнения и сделай проверку: 1) 560 - Зх = 278; 3) 8000 : (28т + 4) - 15 = 25; 2) {/: 12 + 36 = 111; 4) 64 - (Зл -Ь 8л + л): 40 = 37. 6791 Докажи истинность утверждения: 9 • 9 - [210 : 30 • 7 - 6 • 6 : (15 • 4 - 7 • 8)]: 5 • 8_ [(40 -4:5 + 2700 : 900): 7 • 90 - 26 • 5]: 40 - (9 • 8): (6 • 4) > 1. Из полученной неправильной дроби выдели целую часть и проиллюстрируй это преобразование с помощью числового луча. 680| Игра "Танграм”. Используя все 7 частей, на которые разделен квадрат в № 671, составь силуэты нарисованных фигур: домика, курицы и кошки. 138 Глава 2, §4, п.З О [б^| Найди правило размещения чисел в клетках таблицы и заполни пустые клетки: 25 26 29 28 27 30 33 32 31 5 9 15 7 13 21 11 19 17 6 9 12 15 12 20 21 26 3 15 68^ Когда ' 'послезавтра' станет "вчера", то "сегодня" будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был "сегодня", когда "вчера" было "завтра". Какой сегодня день недели? ^ 68^ Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каж-дой кошке досталось 5 галет, а каждой собаке - 6. Сколько было собак и сколько кошек? 3. Наименьшее обш;ее кратное. Любые два числа а и 6 имеют общие кратные, например, их общими кратными являются произведения аЬ, 2аЬ, ЗаЬ и т.д. Так, произведение 12 • 30, равное 360, делится и на 12, и на 30. Однако существуют и меньшие числа, кратные 12 и 30, - например, 180,120, 60. Число 60 является их наименьшим общим кратным. Наименьшее общее кратное чисел а и 6 обозначается НОК (а, Ь). Найти наименьшее общее кратное можно, перебирая кратные одного из чисел (лучше взять большее число). Например, НОК (12, 30) можно найти так: 30 ' 1 = 30, число 30 не делится на 12, значит, 30 не является НОК (12, 30); 30 • 2 = 60, число 60 делится на 12, значит, НОК (12, 30) = 60. Однако понятно, что такой способ рассуждений удобен лишь для небольших чисел. В общем случае на помощь вновь приходит разложение чисел на простые множители. Продемонстрируем алгоритм нахождения НОК на уже знакомом нам примере чисел 12 и 30. Разложим их на простые множители: 12 = 2-2-3; 30 = 2-3-5. Допишем к простым множителям числа 12 "недостающий" множитель 5 из второго произведения. Полученное произведение 2 • 2 • 3 • 5 содержит оба разложения, а значит, кратно каждому из них: (2 • 2 • 3) • 5 = 2 • (2 • 3 • 5). С другой стороны, оно содержит минимально возможное число множителей. Таким образом, НОК (12, 30) = 2 • 2 • 3 • 5 = 60. 139 Глава 2, §4, п.З Этот способ нахождения НОК можно использовать и в общем случае. Мы приходим к следуюхцему алгоритму нахождения НОК нескольких натуральных чисел с помощью разложения чисел на простые множители: 1. Разложить данные числа на простые множители. 2. Выписать разложение одного из них. 3. Добавить к нему недостающие множители из разложений оставшихся чисел. 4. Если необходимо, найти полученное произведение. Пример 1. Найти НОК (80, 140). 80 = 2-2-2-2-5; 140 = 2-2-5-7. В разложении числа 80 не хватает множителя 7 из разложения числа 140. Значит, НОК (80,140) = 2- 2- 2- 2- 5- 7 = 80-7 = 560. Пример 2. Найти НОК (32, 25). 32 = 2-2-2*2-2; 25 = 5-5. НОК (32. 25) = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5 = 32 • 25 = 800. Числа 32 и 25 взаимно простые - в их разложении нет общих множителей, поэтому наименьшее общее кратное оказалось равным их произведению. И вообще, наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению. Пример 3. Найти НОК (28, 35, 140). 28 = 2-2-7; 35 = 5-7; 140 = 2-2-5-7. Видим, что в разложении числа 140 содержатся все простые множители чисел 28 и 35, то есть 140 является кратным этих чисел. Значит, 140 является в данном случае и наименьшим общим кратным: НОК (28, 35, 140) = 2 • 2 - 5 - 7 = 140. О [б8^ Найди наименьшее общее кратное чисел 28 и 42: 1) составляя множество Я(28, 42) их общих кратных; 2) методом перебора; 3) методом разложения па простые множители. 685| Даны разложения чисел на простые множители. Найди их наименьшее общее кратное: 5-7, & = 2-3-3-5-5-11; 13, 6 = 2-2-2-5-5-7; 6 = 2- 2- 5-7, с = 2- 5-5-7-19; Ь = 2-2-2-2-5, 0 = 2-2-2-3-17. 1) а = 2-2-3-3-3 2) а = 2 • 3 - 5 - 5 - 5 3) а = 2-3-7, 4) а = 3-3-5-7, Найди наименьшее общее кратное чисел методом разложения на простые множители: 1) 28 и 35; 3)21 и 100; 5) 264 и 300; 7) 72, 90 и 96; 2) 16 и 56; 4) 18 и 162; 6) 360 и 1020; 8)58, 87 и 435. 140 Глава 2, §4, п.З 1) Число 8 069 424 делится на 527. Не выполняя разложения на простые множители, найди НОК (527, 8 069 424). 2) Число а делится на число Ь. Чему равен НОК (а, Ь)? 3) Известно, что НОК (а, Ь) = а. Что можно сказать о числах а и &? Вычисли устно: 1) НОК (25, 100); 3) НОК (3,12 121 212); 5) НОК (5, 102 030 405); 2) НОК (18, 54); 4) НОК (9, 117 117 117); 6) НОК (6, 300 200 100). Докажи, что данные числа взаимно простые, и найди их наименьшее общее кратное: 1)4 и 125; 2) 33 и 1000; 3)111 и 200; 4) 18 и 1001. Известно, что НОК (а, Ь) = аЪ. Что можно сказать о числах аиЬ? Найди устно: 1)НОК (5, 12); 2) НОК (10, 17); 3) НОК (8, 21); 4) НОК (6, 25). О 1) Не выполняя вычислений, опровергни утверждение: НОК (352,10 692) = 704. 2) Объясни, почему наименьшее общее кратное двух чисел не может быть меньше любого из них? Докажи истинность равенства: НОК (18, 24) • НОД (18, 24) = 18 • 24. Проверь, выполняется ли оно для чисел 42 и 70, а потом еще для каких-нибудь двух чисел, которые ты возьмешь по собственному усмотрению. Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании рассмотренных примеров утверждать, что это свойство выполняется для всех натуральных чисел? Число яблок в ящике меньше 100. Их можно разделить поровну между 2, 3, 4, 5 и 6 детьми. Сколько яблок в ящике? На кольцевой дорожке длиной 360 м проводится эстафета, длина каждого этапа которой 150 м. Старт и финиш находятся в одном и том же месте. Какое наименьшее число этапов может быть в этой эстафете? В морской порт теплоход "Витязь" прибывает один раз в 12 дней, теплоход "Адмирал Ушаков" - один раз в 20 дней, а теплоход "Надежда" - один раз 18 дней. В прошлый понедельник все три тепло- "" ' хода были в этом порту. В какой день недели они в следующий раз все вместе прибудут в этот порт? [697| Найди значения частных кратчайшим способом: 1) (2 • 3 • 3 • 7): (2 • 7); 3) (2 • 5 • 5 • 7 • 13): (5 • 5 • 13); 2) (2 • 2 • 3 • 5): (2 • 3 • 5); 4) (2 • 2 • 2 • 5 • 11 • 17 • 29): (2 • 2 • 11 • 29). 141 Глава 2, §4, п.З 69^ При помощи разложения чисел на простые множители определи, во сколько раз: а) 10 584 больше 168; б) 525 меньше 13 125. Щ Определи истинность высказываний: 1) Два четных числа не могут быть взаимно простыми. 2) Четное и нечетное числа всегда взаимно простые. 3) Два различных простых числа являются взаимно простыми. 4) Два составных числа не могут быть взаимно простыми. 5) Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые. 6) Если число т делится на число п, то НОД (т, п) = т. а С I I I с г >■ с У 700| Построй с помощью схемы формулу, выражающую числа а и Ь через их сумму с и разность р. Пользуясь установленными соотношениями, реши задачи: 1) В классе 40 учеников, причем девочек на 6 больше, чем мальчиков. Сколько в классе девочек, а сколько мальчиков? ^ 2) Таня купила 70 тетрадей в клетку и в линейку. Тетрадей в линейку было на 12 меньше, чем тетрадей в клетку. Сколько было тетрадей каждого вида? 3) Два бака вмещают 480 л воды, причем один из них вмещает на 32 л меньше, чем второй. Чему равна вместимость каждого бака? 4) Сумма двух чисел 954, а разность 158. Найди эти числа. 1) Объясни смысл равенств: а(Ь + с)== аЬ + ас, а{Ь - с) = аЪ- ас. 2) Разложи каждое число на простые множители и общие множители вынеси за скобки: а) 18-Ь 24; 6)80-32; в) 12 + 48; г) 92-23. Какие свойства чисел при этом используются? 7021 Найди три решения неравенства: l)ig 1) называется произведение п множителей, каждый из которых равен а: а" = а • а • а • • а , п> 1. ^-----V------^ п раз Степенью числа а с натуральным показателем 1 называется само число а: а* = а. Вторая и третья степени числа а имеют специальное название. Вторую степень называют квадратом, а третью - кубом числа а. Читают соответственно: - "а в квадрате", а® - "а в кубе". 6 — Дорофеев, Ь кл., ч. 1 145 Глава 2, §4, п.4 В выражениях, содержащих степени, сначала выполняется возведение в степень, затем умножение и деление, и после этого - сложение и вычитание. Пример. Найти значение выражения 105 - 400 : 2^. 1)2’’ = 2-2-2 = 8; 2)400:8 = 50; 3)105-50 = 55. Значит, 105 - 400 : 2® = 55. Обозначение в виде степени позволяет короче записывать разложение числа на простые множители, например: 144 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 = 2^* • 32; 600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 2^ • 3 • 5^. В свою очередь, это позволяет упростить и правила нахождения НОК и НОД: 1) Чтобы найти НОД нескольких чисел, надо взять их общие простые делители с наименьшими показателями, например: НОД (144, 600) = 2« • 3 = 8 • 3 = 24. 2) Чтобы найти НОК нескольких чисел, надо взять все их простые делители с наибольшими показателями, например: НОК (144, 600) = 2^ • 32 • 52 = 16 • 9 • 25 = 3600. О |718| Запиши выражения короче: 1)8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8; 3) 125 + 125 + 125 + 125 + 125 + 125; 5) (<2 + &) + (а + 6) + (а + 6) + (а + ЬУ, 1)х + х + х + х-^х + у + у + у + у\ 2)8-8*8-8-8-8-8-8-8; 4) 125•125•125■125•125•125; 6) (а + 6) • (а + Ь) • (а + 6) • (а + 6); ^)Х'Х'Х-Х-Х-у'у-у’у. 7191 Прочитай выражение и найди его значение: 2*’; 3“*; 10’’; ?2; 4^. 7201 Запиши и вычисли степени чисел: 1)два в кубе; 3)три в квадрате; 5) один в кубе; 7) ноль в квадрате; 9) десять в кубе; 2) два в седьмой степени; 4) три в пятой степени; 6) один в девятой степени; 8) ноль в двадцать шестой степени; 10) десять в шестой степени. 72Ij Вычисли и сравни степени: 1)32и22; 2) 52 и 2^; 3)42и3^; 4) 2^ и 72. Может ли а" равняться п“, если аФ п7 72^ Сравни: 1) 5^ и 5 • 3; 2) 48 • 2 и 482; 3) 100“ и 100 • 5. Что общего в каждой паре выражений? Существуют ли натуральные значения аип, при которых выполняются соотнощения: 1) а" < а' п; 2) а" > а - п; 3) а" = а - п7 723| 1) Составь таблицу квадратов первых двадцати натуральных чисел. Квадратами каких чисел являются 9, 64, 225? 2) Составь таблицу кубов первых десяти натуральных чисел. Кубом каких чисел являются 8, 64, 1000? 146 Глава 2, §4, п.4 Ш Найди методом проб и ошибок число: а) квадратом которого является 2209; б) кубом которого является 4913. Найди значение выражения: 1) а^, если а = о, 1, 6, 370, 40 900; 2) если 6 = о, 1, 2, 1005; 3) + Ьх- 6, если х = 1, 2, 3, 4, 5. Запиши выражение с использованием действия возведения в степень и определи порядок действий в полученном выражении. Образец: 4 • 4 - (2 • 2 • 2 • 2 f 3 • 6 • 6): 31 = 4^ - (2^ + 3 • 6^): 31. 1) 3 • 3 • 5 • 5 • 5 • 5 • 7; 2) 2-2-2'2'2-3-5-5-5; 3) 8 • 8 + 4 • 4 • 4 - 2 • 7 • 7; 4) 9-9-9-2*4 + 5-6*6; 5) 3-3-3-(2-2-2 + 4-4); 6) (7-7-7-7-11-3-3-3):8; 7) 10 • 10 + (5 • 5 • 5 • 4 + 9 • 9) • 2 : 14; 8) 2020 - 4 • 4 • 4 • (7 • 7 - 3 • 3 • 3): (2 • 2 • 2 • 2). Найди значения выражений: 1) 4-5; 4)82 + 32; 2) 4 • 52; 5) (8 + 3)2; 3) (4 • 5)2; 6) 8 + 32; Прочитай выражения: 1) {а ■ 6)2; 4) (а + bf; 2) а2 • 62; 5) дЗ + ^3. 3) а ‘ Ь'^; 6) а + 6^; 7) 52-2; 8) 52 - 22; 9) (5-2)2; 7) (а - 6)2; 8) а2 - 62; 9) а - 62; 10) 3 - 72 - 25; 11) 56 + 3-92; 12) 42 + 3-52-22. 10) (а : 6)2; 11) а2;62; 12) а: Ь\ Найди НОД и НОК чисел а и 6 по их разложению на простые множители: 1) а = 2‘‘-32-72 и 6 = 2-72-13; 3) а= 22 - 3'- 52 -13 и 6 = 2-’- 32 • 5 -11; 2) а = 2 - 32 • 5'' - 72 и 6 = 2 - 32 • 7; 4) а = 32 • 52 • 19 и 6 = 22 - 7 -13 - 29К Не выполняя вычислений, объясни, почему возведение в квадрат выполнено неверно: 1)362 = 924; 2 ) 752 = 48 25 ; 3)1902 = 36 1 0; 4) 4782 = 2 2 8 4 84. Разложи числа на простые множители, найди их НОД и НОК. 1)975 и 1980; 2) 840 и 2700; 3) 162, 432 и 1440. Найди значения выражений. Что ты замечаешь? 1) 2-102 + 7-102 + 5-10 + 1; 2) 3-102 + 6-102 + 8-10 + 4; 3) 9-102 + 8-102 + 2-102+ 7; 4) 5 -10« + 5 -10-- + 5-102 + 5-102 + 5-102 + 5-10 + 5. 6* 147 Глава 2, §4, п.4 733| Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых, записывая разрядные единицы как степени числа 10: а) 4302; б) 75 681; в) 608 993; г) 89 003 714. Запиши с помощью степени числа 10: 1) количество сантиметров в 1 дм, 1 м, 1 км; 2) количество граммов в 1 кг, 1 ц, 1 т; 3) количество квадратных дециметров в 1 а, 1 га, 1 км^; 4) количество кубических миллиметров в 1 см'\ 1 дм^, 1 м'’ 7351 Математическое исследование. 1) Упрости выражения: 2® • 2*, 7^ • 7^*, 9“* • 9^. Что общего у всех этих выражений? Можно ли упростить произведение 5” • 3^ ? Почему? 2) Как короче записать произведения: • а^, • а"*, • а®? Сформулируй гипотезу о том, как умножить степени с одинаковыми основаниями а” • а", и запиши ее в буквенном виде. 3) Какой смысл следует придать выражению а° (а ^ 0), чтобы предложенное тобой правило не нарушалось? ^^1) Упрости выражения: б*"’: 5^, 11^ : 11'*, 4® : 4^. Что общего у всех этих выражений? Можно ли упростить частное 7“*: 4^ ? Почему? 2) Как короче записать частные: а’’: а®, а®: а'*, а®: (а Ф 0)? Сформулируй гипотезу о том, как разделить степени с одинаковыми основаниями а"' : а" при а О, и запиши ее в буквенном виде. 3) Какой смысл следует придать выражению а“ (а ф 0), чтобы предложенное тобой правило не нарушалось? ' 1) Объясни смысл выражения: (5^)®. Представь его в виде степени с основанием 5. Что ты замечаешь? Проверь свою гипотезу для других аналогичных случаев. 2) Упрости выражения: (а®)^, (а^)'*, (а®)®. Сформулируй гипотезу о возведении степени в степень (а'")" при а 0, и запиши ее в буквенном виде. 7361 в 1934 г. индийский студент Сундарам составил бесконечную таблицу, в которой числа первой строки последовательно увеличивались на 3, числа второй строки - на 5, числа третьей строки - на 7 и т.д., а числа первого столбца увеличивались на 3: 4 7 10 13 16 19 7 12 17 22 27 32 10 17 24 31 38 45 13 22 31 40 49 58 16 27 38 49 60 71 19 32 45 58 71 84 148 ---- -—--------------------------------------------Глава 2, §4, п.4 Если взять любое число из этой таблицы, умножить его на 2 и к произведению прибавить 1, то всегда получится составное число. Если проделать то же самое с числом, не входящим в эту таблицу, то получится простое число. Проверь это свойство для двух чисел, входящих в таблицу, и для двух чисел, не входящих в нее (не забудь, что таблица бесконечная). а) Французский математик Пьер Ферма, живший в XVII веке, обнаружил, что при небольших натуральных значениях п значение выражения 2^" -I- 1 является простым числом. Проверь это утверждение для п = 1, 2, 3. б) Пьер Ферма поставил вопрос о том, будет ли это свойство выполняться при любых п. Позже выяснилось, что в общем виде данное утверждение неверно. Как ты думаешь, каким способом это было доказано? Вычисли устно и расположи полученные числа в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. В ответе - имя математика XVIII века, установившего удивительную закономерность, связанную с понятием простого числа. Проблема, поставленная им, в общем виде не решена до сих пор. 19 56 350 • 4 -49 : 5 -22 • 9 + 25 : 6 + 45 : 19 • 8 : 36 • 20 : 12 • 34 -28 0 X д 340 + 160 : 20 -9 • 7 ; 14 490 : 7 • 4 : 10 -19 • 9 Л 34 + 56 : 5 • 7 -27 : 11 Как изменяются результаты арифметических действий при изменении компонентов? Сравни выражения с натуральными значениями переменных; 1) а + 14 и а + 20; 3) 156 - с и 120 - с; 5) х ; 75 и д:: 57; 2) 436 и 396; 4) d - 39 и d-25; 6) 218 : у и 182 : i/. Пакет, в котором 3 яблока и 2 груши, весит 540 г, а пакет, в котором 3 яблока и 5 груш, весит 900 г. Чему равна масса 1 яблока и 1 груши? (Считать, что яблоки одинаковые и груши тоже, весом пакета пренебречь.) На лесопилке имеются бревна длиной 6 м и 7 м. Надо напилить 42 чурбака длиной 1 м. Бревна какой длины надо брать, чтобы получилось меньше распилов? 149 Глава 2, §4, п.4 742| Первый рабочий за день изготовил 25 одинаковых деталей, а второй - 29 таких же деталей. Первый рабочий заработал за этот день на 280 р. меньше второго. Сколько рублей заработает каждый рабочий за месяц (20 рабочих дней), если будет работать с той же производительностью? тЩ В каждой коробке 20 кусков мела. Первый класс использует в среднем 1 кусок мела в 2 дня, второй класс - 1 кусок мела в день, а третий и четвертый классы — по 2 куска мела в день. Сколько коробок мела потребуется начальной школе на месяц (20 учебных дней), если в ней 4 первых, 3 вторых, 3 третьих и 2 четвертых класса? При движении но таблице вправо числа складываются, а при движении вниз - вычитаются. Найди путь, ведущий от левого верхнего угла в нижний правый так, чтобы получилось число, записанное рядом с таблицей. 4 4 4 2т 5 7 4 «Т Образец решения: .6 ,3 5 .,2,^1 47-Hl^ 7 ^ 1 1 = 8 а) 9 2| 4 4 9 2| 2 9 б) 10 ’и 2-^ ^11 2П 10 11 в) 4 2Т 4 «т 5 6 2т 4 7451 Выполни действия: 1) (3 ч 32 мин — 1 ч 48 мин -Ь 5 ч 56 мин): 23 • 72; 2) (17 мин 25 с Ч- 9 мин 46 с - 2 мин lie)- 2880 : 400; 3) (25 т 3 ц 6 кг - 12 ц 48 кг -Ь 1 т 82 кг): 30 : 838; 4) (16 м 8 см + 42 дм 7 см - 95 см) • 504 : 97; 5) (5 га 6 а 8 м^ — 28 а 40 м^ -I- 8 га 32 м^): 213 • 260; 6) (4 м^ 18 дм^ 20 см’^ -1-21 дм'^ 34 см"* - 38 дм'^ 854 см^) • 5 : 20 001. 150 Глава 2, §4, п.4 БЛИЦтурнир. 1) В магазин привезли яблоки, груши и апельсины. Яблок привезли х кг, масса груш составляет массы яблок, а масса апельсинов - массы яблок. О Сколько всего фруктов привезли в магазин? 2) В июне в пансионате отдыхало у человек, что составило 125% от числа людей, отдыхавших в мае. Сколько человек отдохнуло в пансионате за эти два месяца? 3) Патрульный катер, скорость которого равна а м/мин, догоняет лодку, движущуюся со скоростью Ь м/мин (а > Ь). Сейчас между ними с м. Через сколько времени катер догонит лодку? 4) Света и Галя побежали навстречу друг другу, когда расстояние между ними было d м, и встретились через t с. Галя бежала со скоростью п м/с. С какой скоростью бежала Света? 5) За 2 дня в кинотеатре продано х билетов, причем в первый день продано на у билетов больше, чем во второй. Сколько билетов продано в кинотеатре за второй день? 6) В первой пачке на т тетрадей больше, чем во второй, а всего в двух пачках k тетрадей. Сколько тетрадей в первой пачке? Существует ли куб, длина ребра которого выражается натуральным числом, а сумма длин всех ребер выражается простым числом? 1) Из проволоки длиной 1 м 85 см надо сделать каркасную модель куба. Какая наибольшая длина ребра может быть у этого куба? 2) Объем куба равен 64 см®. Найди сумму длин всех его ребер и площадь полной поверхности. Сторона одного квадрата равна 5 см, а другого - в 2 раза больше. Во сколько раз площадь второго квадрата больше площади первого? Докажи, что полученный результат не зависит от размеров квадрата. Длина ребра одного куба 5 см, а другого - в 2 раза больше. Во сколько раз объем второго куба больше объема первого куба? Докажи, что полученный результат не зависит от размеров куба. На поверхности куба найди кратчайший путь: а) из точки А в точку С через точку В; б) из точки А в точку С через точку D. Найди наибольшее натуральное решение неравенства: ^ 506 • 908 + 9999 - 3574 -45:30- 636 ^ [1 452 480 : 2136 + 302 • (40 102-39 397)]: 530' 151 Глава 2, §4, п.4 е 7541 [75^ прочитай выражения и определи, равны ли их значения: 1) 82 и 8 • 2; 3) 32 и 2»; 5) (4 + 6)2 и 42 + 62; 2) 5^и5-4; 4) 9^ и 1®; 6) (5-If и 5®-1\ Проверь истинность равенств и объясни полученную закономерость, используя рисунок: 12=1 22 = 1 + 3 32 = 1 + 3 + 5 42 = 1 4 3 + 5 + 7 Перепиши равенства в тетрадь и продолжи составление "пирамиды" до 102. 755| Найди значения выражений: 1)5-62; 2)(5-6)2; 3)(64-2-3)2; 4)64-2-32. 7561 Разложи числа на простые множители, найди их НОД и НОК: 1)360 и 588; 2) 1950 и 3300; 3) 180, 200 и 240. 757| Представь числа 849, 3206, 75 012, 503 970 в виде суммы разрядных слагаемых, записывая разрядные единицы как степени числа 10. 758| 1) Сколько метров в 1 см? в 3 см? в х см? 2) Сколько центнеров в 1 кг? в 7 кг? в £/ кг? 3) Сколько часов в 1 мин? в 5 мин? в z мин? Сумма двух чисел равна 3500, а разность составляет 12% суммы. Какие это числа? В овощехранилище привезли 3 т картофеля. При сортировке 120 кг составили отходы, а остальной картофель разложили в одинаковые пакеты поровну и отправили в 3 магазина: в первый - 300 пакетов, во второй - 320 пакетов и в третий - 340 пакетов. Сколько килограммов картофеля было отправлено в каждый магазин? Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см, ширина 25 см, а высота 12 см. Найди длину ребра куба, объем которого равен объему этого прямоугольного параллелепипеда. У какой из двух фигур площадь поверхности больше и на сколько? 152 Глава 2, §4, п.5 Ш О Реши уравнения: 1) 780 : (X - 24) + 25 = 90; 3) (2х + х + 9 + 8х): 4 - 26 = 45; 2) (Sl-y: 350) • 8 = 200; 4) 52-(Зу + 4 + у + Зу): 37 = 50. Составь выражение, соответствующее заданной программе действий, и найди значение выражения: 1) Из числа 500 010 вычесть 497 305. 2) Полученную разность умножить на 309. 3) Произведение, полученное во втором действии, увеличить на 45 875. 4) Результат третьего действия уменьшить в 376 раз. 5) К полученному частному прибавить 3210. |Т6^ Проверь, что значения выражения -I- п + 41 (трехчлен Эйлера) при л = 1, 2, 3, 4, 5 являются простыми числами. При всех ли натуральных значениях л будут получаться простые числа? - Папа, а у тебя интересный возраст, - обратился к отцу сын. - Чем же, сынок? - спросил отец. - А вот смотри, если прибавить к твоему возрасту, 38 годам, число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим полный квадрат. - Да, действительно, 38 -Ь 83 = 121 = 11^, - согласился отец. - А вот теперь давай проверим, не случится ли подобное еще через несколько лет, - предложил он сыну. И они решили эту задачу. Реши ее и ты. В примере ( * * )^ = * * * 9 вместо звездочек поставь цифры так, чтобы получилось верное равенство. Витя нашел такое наименьшее из возможных натуральных чисел, при умножении которого на 2 получается точный квадрат, а при умножении на 3 -точный куб. Какое это число? 5. Дополнительные свойства умножения и деления. Разложение натуральных чисел на простые множители дает большие возможности для упрощения вычислений. Дело в том, что произведение двух чисел получается, если перемножить их разложения на простые множители, например: (2 • 3 • 3) • (2 • 5 • 5 • 7) = 2 • 3 • 3 • 2 • 5 • 5 • 7 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7. Казалось бы, большой пользы от этого нет - получившееся произведение все равно придется долго подсчитывать. Однако реальная польза получается в другом: при выполнении более трудного действия - деления. 153 Глава 2, §4, п.5 Как известно, деление на некоторое число является действием, обратным умножению на это число: делимое равняется произведению делителя и частного. Как мы видели, для получения делимого можно выписать вместе разложения на простые множители делителя и частного. Значит, для получения частного можно, наоборот, из простых множителей делимого вычеркнуть простые множители делителя, например: 183456 = 2-2-2-2-2-3*3-7-7-13, 234 = 2-3-3-13, и поэтому 183456: 234 = 2* 2-2-2-7-7. При этом убирать простые множители можно не все сразу, а постепенно, "по частям". Так, для нахождения частного 5845 : 35 можно заметить, что и делимое, и делитель содержат общий множитель 5. Поэтому сначала можно вычеркнуть из их разложений простой множитель 5, а потом - оставшийся простой множитель 7. Другими словами, сначала делимое и делитель можно разделить на 5, а потом на 7: 5845:35 = 1169: 7=167. Главная польза от этого приема состоит в том, что вместо сложного деления на многозначное число мы можем делить, как правило, на однозначные числа, что значительно легче. Например, для того чтобы разделить некоторое число на 288, мы можем заметить, что 288 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 * 3 = (2 • 2) • (2 • 2 * 2) • (3 * 3), и сначала убрать из делимого первые две двойки, затем оставшиеся три двойки, а потом две тройки. Для этого понадобится три действия деления: данного числа на 4, полученного частного на 8 и нового частного на 9 - три операции деления на однозначные числа. Рассмотренные нами свойства деления можно сформулировать па математическом языке с помощью следующих общих утверждений - теорем (при условии, что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел). Теорема 1. Для любых натуральных чисел а, Ь и с выполняется равенство: /. Ч / 1.Ч а : {Ь • с) = {а : о): с. Доказательство этого равенства уже встречалось нам в № 303, однако разложение на простые множители позволяет упростить рассуждения. Действительно, частное а : (Ь • с) получится, если из числа а удалить простые множители числа 6 • с, то есть "объединение" всех простых множителей чисел бис. Но то же самое получится при вычислении (а : б): с, только сначала здесь удаляются простые множители числа б, а потом - простые множители числа с. Другими словами, а : (б • с) = (а : б): с, что и требовалось доказать. 154 -------------------------------------------------------Глава 2, §4, п.5 Теорема 2. Для любых натуральных чисел а, Ь и с выполняется равенство: а : Ь = (а : с): (Ъ : с). В самом деле, поскольку с является делителем Ь, то разложение на множители частного Ь : с состоит из тех простых делителей 6, которые не вошли в с. Значит, при делении {а : с) : {Ь : с) из числа а за два шага удаляются все делители Ь - сначала вошедшие в с, а затем все оставшиеся. Иначе говоря, а : Ь = (а : с): (Ь : с), что и требовалось доказать. Доказанное только что равенство можно перевести с математического языка на русский следующим образом: частное не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же натуральное число. Не меняется частное и при умножении числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число. Докажем это. Для любых натуральных чисел а, Ь и с выполняется равен-а : о = {а - с) г {п • с). Действительно, равенство {а • с) : (Ь • с) = а : Ь верно, так мы разделили делимое (а • с) и делитель (Ь • с) на число с. А теперь достаточно прочитать это равенство справа налево: а : Ъ = {а • с): {Ь • с), что и требовалось доказать. Последние две теоремы означают, что на множестве натуральных чисел частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число. Разложи делитель на простые множители и объясни, как можно выполнить деление по частям 1) 255 : 15; 2) 666 : 18; 3) 1476 : 36; 4) 4032 : 42. ш Выполни деление по частям: ____^1)171717:51; 2) 495 000:150; 3)322 322 322:966. Пусть известны разложения натуральных чисел а, 6 и с на простые множители. Как получить разложение на простые множители чисел: 1) (а • Ь): с; 2) (а : с) • 6; 3) (Ь:с)- а? IZZD Определи, какие из данных равенств истинны при любых натуральных значениях а, 6 и с, а для оставшихся приведи контрпримеры. 1) (а • 5) • с = а • (Ь • с); 3) (а : Ь) • с = (а ■ с): Ь; 2) (а • Ь): с = (а : с)" Ь; 4) {а : Ь): с = а : (Ь : с). 17721 Разбей данные 6 чисел на группы таким образом, чтобы внутри каждой группы стояли числа, равные при любых натуральных значениях а, 6 и с: 1) (а : 6) • с; 3) (а • с): Ь; Ь) а • {Ь : с); 2) (а : с): Ь; 4) а : {Ь • с): 6) {а: Ь): с. 155 Глава 2, §4, п.5 773| Какое из равенств неверно: 1) ф : с)' а = {Ь ’ а): с; 2) ф : с) • а = {а : с) • Ь; 3) ф :Ь): а = с : ф : а); 4) ф : Ь): а = ф : а): ш Пользуясь свойствами частного (теоремы 2 и 3), реши уравнения: 1) 70 : 5 = 210 : д:; 3) 9 : 11 = д:: 55; 2) д:: 6 = 8 : 2; 4) 64 : д: = 8 : 7. |775| Докажи, что для любых натуральных чисел а и 6 верно равенство: НОД (а, Ь) • НОК (а, Ь) = а-Ь. О [77^ Найди частное чисел: 1) (2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 7 • 13 • 13): (2 • 2 • 3 • 5 • 13); 2) (2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 5 • 7 • 11 • 19): ( 3 • 3 • 5 • 5 • 7 • 19); 3) (32-45): 9; 4) (80 • 936): 8. 777| Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств D (42) и D (63), найди их объединение и пересечение. 778| Прочитай выражения и найди их значения при а = 11, 6 = 7. 1)ф + ЬУ; 2)а2 + &2; 3) а + &^; 4) (а - б)^; 5)а^ + Ь^; 6)а^-Ь\ 779| Определи истинность высказываний и запиши подряд буквы, соответствующие истинным высказываниям. Ты получишь буквенный код. Сумма 83 915 + 780 560 кратна 5. Разность 78 906 - 4612 делится на 3. Произведение 215 • 7209 • 36 кратно 9. Число 532 718 не делится на 2. Числа 5 и 9 являются делителями числа 18181818. (7) Квадрат суммы чисел 3 и 6 равен 81. Разность квадратов чисел 8 и 1 равна 63. Куб разности чисел 4 и 2 равен 56. 780| Найди НОД и НОК чисел с помощью перебора: 1) 2, 4 и 15; 2) 4, 6 и 12; 3) 3, 7 и 14. 781| Найди НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые множители: 1)336 и 252; 2) 38, 190 и 350; 3) 64, 72 и 288. 782| Два мотоциклиста двигались по шоссе навстречу друг другу. Через 8 мин после их встречи расстояние между ними стало равно 12 км. С какой скоростью ехали мотоциклисты, если скорость одного из них была на 100 м/мин больше скорости другого? 156 -----—-------------------------------------------------- Глава 2, §4, п.5 78^ Два поезда - пассажирский и товарный - выехали одновременно в противоположных направлениях из двух городов, расстояние между которыми 70 км. Скорость пассажирского поезда 80 км/ч, а скорость товарного составляет — скорости пассажирского поезда. На каком расстоянии друг 16 от друга будут поезда через 3 часа пути? Переведи условие задачи на математический язык: Поезд должен был пройти 840 км. Пройдя треть пути со скоростью, предусмотренной распис£1нием, он был на 1 ч задержан у семафора, и, чтобы прийти в пункт назначения по расписанию, ему пришлось увеличить скорость на 10 км/ч. С какой скоростью должен был ехать поезд? 784| Построй математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы х к у: 1) На лужайке росли 35 желтых и белых одуванчиков. После того как 8 белых облетели, а 2 желтых побелели, желтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько желтых одуванчиков росло на лужайке вначале? 2) В одной американской фирме каждый служащий является либо республиканцем, либо демократом. После того как один из республиканцев решил стать демократом, тех и других в фирме стало поровну. Затем еще три республиканца решили стать демократами, и тогда демократов стало вдвое больше, чем республиканцев. Сколько служащих в этой фирме? 3 4 5 Какая из трех дробей наибольшая: —, — или — ? 4 5 о Сколько понадобится краски, чтобы покрасить деревянный брус, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 80 см, 30 см и 20 см, если для покраски 1 дм^ поверхности нужно 3 г краски? По формуле объема прямоугольного параллелепипеда V = аЬс найди: 1) а, если 6 = 5 дм, с = 8дм, ^=480дм®; 2) Ь, если а = 14 мм, с = 15 мм, V= 1890 мм'^; 3) с, если а =125 см, & = 80см, F=320дм^; 4) V, если а = 2 дм, Ь — 45 см, с = 300 мм. Выполни действия: 1) 52 + 3^; 2) 3 • 72 - 2^; 3) 0i2: (7« - 9^); 7^ 7901 Выполни деление "по частям": а) 1935 : 45; б) 5544 : 99; в) 888 888 : 24; г) 189 000 : 6300. 157 Глава 2, §4, п.5 Пользуясь свойствами частного, реши уравнения: 1) 32 : 4 = X : 12; 2) 126 : х = 63 : 7; 3) 90 : 15 = 30 : х. 7921 Найди истинные высказывания и составь из соответствуюндих им букв название города: Сумма 4803 + 1809 кратна 9. Разность 3800 - 425 не делится на 5. Число 3 - делитель произведения 17 • 9021 • 40. Число 830 760 делится на 2 и на 5. Квадрат числа 7 равен 14. Квадрат разности чисел 8 и 2 равен 36. Куб числа 5 равен 125. В И К л н м Сумма кубов чисел 1 и 2 равна 27. 7 13 _ 12 12 Т .6 35 19^ 17971 О Переведи условие задачи на математический язык: 1) Жираф в 12 раз тяжелее кенгуру, а слон в 5 раз тяжелее жирафа. Чему равна масса каждого из этих животных, если все вместе они весят 5 т 110 кг? 2) Сумма двух чисел равна 1200, а сумма 60% первого числа и 23% второго числа равна 572, Найти эти числа. Винни-Пух и Кристофер Робин вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через полчаса. С какой скоростью они шли, если скорость Кристофера Робина была на 20 м/мин больше скорости Винни-Пуха, а первоначальное расстояние между ними было равно 3 км 600 м? Вырази: а) в кубических сантиметрах: 5 дм''’270 см^, Здм’^бЗсм^, 29 мм-^; б) в кубических метрах и дециметрах: 4750 дм^, 68 000 000 см^. Длина аквариума 8 дм, ширина 5 дм, а высота 45 см. Сколько литров воды надо палить в пустой аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края на 8 см? Выполни действия: 1)63-2'^; 2)64 + 2-92; 3)(2^ + 22) • l^^. 4)З^-2» +3"-6. [79^ Прекрасная принцесса Турандот дала принцу Калафу такое задание; разложить все 28 косточек домино в 4 кучки так, чтобы суммы очков в кучках были четырьмя последовательными простыми числами. Если принц выполнит задание, то прекрасная Турандот станет его женой, а если нет — ему отрубят голову. Помоги принцу справиться с заданием! 158 ------------—----------------------------------------- Глава 2, §4, п.5 Докажи или опровергни утверждение: "Разность между трехзначным числом и суммой его цифр всегда делится на 9". 800| Задача из арабских сказок "1001 ночь" (ночь 458-я). Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: "Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас, сидящих тогда на ветвях, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну". Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом? Задачи для самопроверки. 802 803 Найди частное: 1) (2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7): (2 • 3 • 3 • 3 • 5); 2) (16 • 21): 7. Найди НОД и НОК чисел 8, 12, 28 методом перебора. Найди НОД и НОК чисел 180 и 396 методом разложения на простые множители. Вычисли устно: 1) НОД (99, 100); 3) НОД (9, 207 207 207); 2) НОК (99, 100); 4) НОК (9, 207 207 207). Найди значения выражений: 1)212; 2)42; 3) (3-5)2; 4)3.52. 5) (3 + 5)^; 6) 3 + 52. Представь число 24 392 в виде суммы разрядных слагаемых, записывая разрядные единицы как степени числа 10. Выполни действия: 1) 18 мин 36 с -Н 24 мин 58 с; 3) 3 ч 25 мин • 7; 2) 5 ч 17 мин - 3 ч 45 мин; 4) 42 мин 48 с : 24. Два катера плывут навстречу друг другу со скоростями соответственно 28 км/ч и 36 км/ч. Сейчас между ними 192 км. Какое расстояние будет между катерами через 2 ч? Мужчина и мальчик вышли одновременно из деревни в город. Скорость мальчика 60 м/мин, а скорость мужчины - 80 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 12 мин после выхода? 5 Скорость автобуса равна 45 км/ч, что составляет — скорости движущегося О вслед за ним автомобиля. Через сколько времени автомобиль догонит автобус, если сейчас между ними 108 км? 159 Глава 2, §5, п.1 § 5. Еще немного логики 1. Равносильность предложений. В математическом языке, кроме знаков арифметических действий и знаков сравнения, есть и другие знаки, помогающие легче и проще записывать предложения из обычного языка. К таким знакам относится знак равносильности, который мы использовали для краткой записи свойств делимости. Действительно, понятие равносильности предложений относится не только к математике, но и к обычному языку. Как в обычном, так и в математическом языке одну и ту же мысль можно выразить несколькими разными способами, в том числе и на разных языках. Например: 1) Вася - родной брат Кати, Катя - родная сестра Васи, Вася и Катя имеют одних и тех же родителей. 2) Андрей живет в Москве, Andrei lives in Moscow, Andrei habite Moscou, Andrei wohnt in Moskau. 3) 2 меньше 5, 5 больше 2, 2 < 5, 5 > 2. 4) Число X на 2 больше числа у, число у на 2 меньше числа х, х - 2 — у, у = х-2,х^у + 2,х-у = 2. 5) Натуральное число а делится на натуральное число натуральное число а кратно натуральному числу Ь; натуральное число Ь является делителем натурального числа а. В каждом отдельном из этих примеров все предложения означают одно и то же, только выражены разными способами. Знак и употребляется для краткой записи утверждения, что два предложения означают одно и то же. Пишут: 2 <' 5 5 > 2. Обратим внимание на написание знака равносильности <=> : если убрать из него "стрелки" слева и справа, то останется знак равенства. Это не случайно. Знак равенства между двумя числовыми выражениями показывает, что эти выражения имеют одно и то же значение, то есть означают одно и то же: например, 2*2 = 4. Знак равносильности имеет такой же смысл, но применяется не для числовых выражений, а для предложений - высказываний или выска-зывательных форм (предложений с переменной). И точно так же, как пишут цепочку равенств при преобразованиях числовых выражений, например: 7*8-20 = 56-20 = 36, можно записывать цепочки равносильных предложений, например: (2х - 3): 5 + 3 = 6 С^> (2х - 3): 5 = 3 2х - 3 = 15 <=> 2х = 18 <=> х = 9. Полученная цепочка "равносильностей" есть, как мы видим, просто запись решения уравнения (2х - 3): 5 -Ь 3 = 6. 160 Глава 2, §5, п.1 Отметим, что для правильного вывода о равносильности двух предложений у человека может не хватать знаний. Скажем, в нашем примере 2 для такого вывода надо знать смысл предложений на каждом из четырех языков, а для написания предыдущей цепочки равносильностей нужно знать свойства арифметических действий. Точно так же для человека, недостаточно знакомого с математикой, предложения "Число k делится на 3" и "Сумма цифр числа k делится на 3" вовсе не означают одно и то же. Однако нам уже известен признак делимости натурального числа /е на 3: Число k делится на 3 в том и только в том случае, когда сумма цифр числа k делится на 3. Поэтому для нас эти два предложения означают одно и то же: сказать о натуральном числе k, что оно делится на 3, - это то же самое, что сказать, что сумма его цифр делится на 3. И вообще, знак равносильности имеет тот же самый смысл, что и слова "в том и только в том случае", часто употребляющиеся в математическом языке. Поэтому мы и записывали признаки делимости с помощью этого знака: Число k делится на 3 <=:> Сумма цифр числа k делится на 3. Кстати, вместо слов "в том и только в том случае" в математике употребляют и некоторые другие выражения такого типа, - например, "тогда и только тогда", "если и только если" и другие. 8111 Запиши с помощью знака равносильности признаки делимости на 9 и на 5. Прочитай полученные утверждения разными способами. |1з| Докажи с помощью контрпримера, что следующие утверждения не являются равносильными: а) "Все кошки четвероногие" и "Все четвероногие - кошки". б) "Число л: делится на 2" и "Число дс оканчивается на 2". в) "Число X оканчивается на 7" и "Число х делится на 7". г) "Число а делится на 6 " и "Число Ь делится на а". д) "Сумма чисел а и Ь делится на с" и "Одно из чисел а и 6 делится на с". е) "Произведение а& делится на с" и "Одно из чисел а и & делится на с". ж) "х'^ -1 = 8" и "х + 2 = 7". з) "у-3< 1" и "у<4". Какие из следующих утверждений верны? 1) а - Ь = с с + а = Ь. 2) а - Ь = с О с + Ь = а. 3) Число X п 2 раза больше у х = у + 2. 4) Число д: в 2 раза больше у х = 2у. 2 5) ^1исло d составляет — числа к d = к 6) Число т составляет 30% числа п т 2 ■ 7. -л: 100-30. 161 Глава 2, §5, п. 1 7) 5 sA П В <г> 5 gA и 5 еВ. 8) л: е А и В <=> х ^ А или д: е В. 9) Прямые I и р параллельны Прямые I и рне имеют общих точек. 10) Прямые I и р перпендикулярны <=> Прямые lap пересекаются. 11) 3(д:+1) = 2д:+5 <=^> Зд: + 3 = 2д:+5. 12) 4д: + 3 = 7 <=> д: = 1. 8141 Используя знак равносильности, запиши решения уравнений: 1) 2а-3 = 25; 4) к + 4к + 6к = 55; 7) 8 + 5д: + д: = 32; 2) 34 + 18 : 6 = 43; 5) 8т - Зт - 2т = 72; 8) 12у - Зу - 6 = 21; 3) (80 - с): 8 = 7; 6) 9п — п + 4п = 60; 9) 7z + 8 + 2 = 48. е ш Запиши в виде равенств утверждения, равносильные следующим: 1) Число а на 3 больше числа Ь. 2) Число с на 9 меньше числа d. 3) Число д: в 4 раза больше числа у. 4) Число 2 в 5 раз меньше числа к. 5) При делении числа а на число Ь получается в частном сив остатке г. 6) При делении числа л на число 4 получается в частном q и в остатке 1. В следующих предложениях поменяй местами тему и рему и определи, получится ли после этого равносильное предложение: а) Все деревья имеют корни. б) Всякое натуральное число, делящееся на 2, является четным. в) Всякое натуральное число, оканчивающееся на 5, делится на 5. г) Дробь является неправильной, если она больше или равна 1. 1Ш| Запиши с помощью знака равносильности признаки делимости на 9 и на 10. Прочитай полученные утверждения разными способами. Используя знак равносильности, запиши решения уравнений: 1) 45 - 72 : д: = 9; 2) 15у-2у + у = 84; 3) 4г - 2 - 7 = 20. Запиши в виде равенств утверждения, равносильные следующим: 1) Число 6 на 7 меньше числа с. 2) Число д: в 2 раза больше числа у. 3) При делении числа d на 8 получается в частном ^ и в остатке 5. 3 4) Число т составляет — числа п. 820| Из арифметики Л. Ф. Магницкого (1703 г.) Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников? 162 ---------——---------------------------------------- Глава 2, §5, п.2 8211 Расшифруй ребус (АР)'^’ = МИР, если одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, а разными - разные. 822| При каких натуральных п число Sn + 3 делится на 13? 2. Определения. Рассматривая различные предложения в предыдущем пункте, мы делали вывод об их равносильности благодаря знанию значений слов русского языка ("брат", "сестра", "родители" и т.д.) и слов иностранного языка ("lives", "ha-bite", "wohnt" и т.д.). Но когда человек изучает язык, каждое новое слово он узнает либо от другого человека, либо из словаря. Например, узнав из словаря, что "cat", "Katze", "chat" - кошка, в дальнейшем можно понимать и произносить на иностранном языке предложения, в которых речь идет о кошке. Точно такая же ситуация в математике. Каждое новое слово математического языка специально разъясняется. Предложения, в которых разъясняется значение новых слов, в математике называют определениями. Математических определений мы уже знаем довольно много. Обычно в них используется слово называется, например: Разностью а-Ь чисел а мЬ называется такое число с, которое при сложении с Ъ дает а Произведением а • Ъ натуральных чисел а и & называется сумма h слагаемых, каждое из которых равно а Частным а : Ь чисел а и Ь {Ь Q) называется такое число с, которое при умножении на Ь дает а Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя Натуральные числа, которые имеют ровно два различных делителя, называются простыми Натуральное число а называется кратным натуральному числу Ъ, если существует натуральное число с такое, что а = he - определение разности - определение произведения - определение частного - определение правильной дроби - определение простого числа - определение кратного В этих предложениях даются определения шести терминов "математикорусского" словаря, которые мы теперь хорошо знаем, но когда-то не знали. При этом каждый раз значение "нового", незнакомого термина разъясняется с помощью знакомых, уже известных. Это и есть главная черта определения: смысл "нового" в нем объясняется через "старое". 163 Глава 2, §5, п.2 Узнавая новое слово в повседневной жизни, мы также встречаемся с определениями. Например, что такое "год"? Отвечая на этот вопрос, обычно говорят, что год (астрономический) - это промежуток времени, за который Земля совершает один оборот вокруг Солнца. Но .это и есть определение. года, которое в стандартном виде звучало бы так: Годом (астрономическим) называется промежуток времени, за который Земля совершает один оборот вокруг Солнца А что такое "сестра" (в простейшем смысле - родная сестра)? Как объяснить это слово иностранцу, который знает по-русски только слова "отец", "мать", "женщина"? Так как сестра - это прежде всего чья-то сестра, то определение может выглядеть так: X называется сестрой у, если х и у имеют одних и тех же отца и мать их- женщина. Таким образом, определения могут даваться в разных формах, иногда и без слова называется. Но всегда в определении есть слово, которое появляется впервые как "новое" и объясняется через уже известные "старые" слова. Для записи определений часто бывает удобно использовать знак равносильности. Например: а - 6 = с О с Ь — а а: Ь = с с ‘ Ь = а {b¥^0) Дробь — - правильная <=> х < у {х,у ^ N) У а - простое <=> а имеет ровно два различных делителя h и с (а, Ь, с ^ N) а кратно Ь существует с такое, что а = Ьс (а, 6, с е А) X - сестра у <=> х и у имеют одних и тех же отца и мать и х -женщина Наконец, длинное слово "существует" с обязательным продолжением "такое, что" иногда заменяют символом 3. Поэтому приведенное определение кратного, например, может быть записано короче: а кратно Ь 3 с: а = Ьс (а, Ь, с ^ N) Заметим, что символа 3 нет ни в одном из алфавитов, он употребляется только в математическом языке. 164 Глава 2, §5, п.2 823| 1) Прочитай в тексте учебника примеры определений. Какие "новые" слова в них объясняются? Какие "старые", уже известные слова для этого используются? 2) Сформулируй определение "брата" (в простейшем смысле - "родного брата"), используя в качестве известных слов "родители" и "мужчина". Приведи различные формулировки. 3) Сформулируй разными способами определение "делителя" и запиши его с помощью знака равносильности и символа 3. Среди предложений, приведенных ниже, найди определения и сформулируй их с помощью слова "называется". Какие понятия в них определяются и какие понятия для этого используются? 1) Световой день - это время от восхода до заката солнца. 2) Световой день в Москве летом составляет больше половины суток. 3) Световой день в Москве и Санкт-Петербурге различен. 4) Лето - время года, продолжающееся в Северном полушарии Земли с 1 июня по 31 августа, а в Южном полушарии - с 1 декабря по 28 (в високосном году 29) февраля. 5) До XIX века в Московском государстве лето продолжалось от 24 июня до 23 сентября. 6) Световой год - это расстояние, которое луч света преодолевает в вакууме за один астрономический земной год. Прочитай определения и назови определяемые понятия. Какие "старые", известные понятия используются для определений? Сделай чертежи. 1) Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки принадлежат отрезку и называются его концами. 2) Ломаной называется фигура, которая состоит из точек плоскости и последовательно соединяющих их отрезков таких, что никакие два отрезка с общим концом не лежат на одной прямой и конец каждого предыдущего отрезка совпадает с началом следующего. 3) Каждый из отрезков, составляющих ломаную, называется звеном ломаной, а концы этих отрезков - вершинами ломаной. 4) Замкнутая ломаная линия без самопересечений называется многоугольником, а ее звенья - сторонами многоугольника. 5) Четырехугольником называется многоугольник с четырьмя сторонами. 6) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые. 7) Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. 8) Многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. 165 Глава 2, §5, п.2 8261 Ответить на вопрос "Что такое?" на математическом языке означает дать соответствующее определение. Что такое: 1) квадрат числа; 3) двузначное число; 5) километр; 2) куб числа; 4) неправильная дробь; 6) метр; 7) час; 8) минута? 827 Какие из следующих высказываний истинны: 1) 3 xeiV 2) 3 xeiV 3) 3 Зх-5 = 14; Зх-5 = 1444; Зх-5 = 1445; 4) 3 m е iV: т^ = 49; 5) 3 л е N: = 32; 6) 3т, neN: т^ + л^ = 25? Прочитай определение числа, кратного 3, используя слово "называется' а кратно 3 3ne7V: а = 3п. По приведенному образцу запиши и прочитай определения: 1) числа, кратного 7; 2) числа, кратного 4; 3) четного числа; 4) нечетного числа. Число X называется квадратным корнем из числа у, если = у. Как называется в этом случае число у? Ш Какие из следующих высказываний верны? а) 3 - квадратный корень из 9; б) 9 - квадратный корень из 3; в) 15 - квадратный корень из 225; г) 482 - квадратный корень из 252 324; д) 491 - квадратный корень из 241 081; е) 632 - квадратный корень из 399 423; ж) 1236 - квадратный корень из 1 524 636; з) 999 - квадратный корень из 999 999; и) 999 - квадратный корень из 999 981. Натуральное число а называется точным квадратом, если существует квадратный корень из числа а, являющийся натуральным числом. а) Приведи несколько примеров точных квадратов и примеров чисел, не являющихся точными квадратами. б) Перечисли все точные квадраты среди первых 100 натуральных чисел. Какие из следующих чисел являются точными квадратами? 1) 169, 625, 1024, 9801, 10 201; 2) 42 235, 354 913, 8 977 834; 3) 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 миллион, 1 миллиард, 9 миллиардов; 4) 1000 ... о (100 нулей, 2007 нулей, 2008 нулей, п нулей); 5) 121, 12 321, 1 234 321, 123 454 321, ..., 12 345 678 987 654 321. 166 Глава 2, §5, п.2 Запиши определения квадратного корня и точного квадрата числа с помощью знаков и 3. Можно ли поставить батальон из 256 солдат в строй из нескольких шеренг таким образом, чтобы число солдат в каждой шеренге было равно числу шеренг? Может ли квадратный корень из числа быть равен самому числу? Прочитай определения. Назови определяемые понятия и понятия, на которых основываются эти определения. Сделай чертежи. 1) Лучом называется часть прямой, ограниченная только одной точкой. Эта точка принадлежит лучу и называется его началом. 2) Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. 3) Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной угла. 4) Два луча с общим началом, составляющие прямую, называются дополнительными лучами. 5) Угол называется развернутым, если его стороны являются дополнительными лучами. 6) Градус - это угол, равный части развернутого угла. ioU 7) Угол называется прямым, если он равен 90". 8) Угол называется острым, если он меньше 90”, а тупым, если он больше 90”, но меньше 180”. 9) Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными лучами для сторон другого. 10) Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. Начерти два луча ОА и ОВ, исходящие из точки О. На сколько частей разделил плоскость угол АОВ? Раскрась их разными цветами. Пользуясь определением смежных углов, докажи, что углы 1 и 2 на рисунках не являются смежными. Есть ли на этих рисунках вертикальные углы? 1) Начерти угол, равный 30®. Построй угол, смежный данному, и измерь его величину. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент еще 2 раза для углов другой величины и сформулируй гипотезу. 2) Выполни то же задание для вертикальных углов. 167 Глава 2, §5, п.2 Сколько ты видишь на рисунке острых углов, прямых углов, тупых углов, развернутых углов, пар смежных углов, вертикальных углов? Назови углы и найди сумму полученных чисел. 8411 Введем следующее определение: А е а О Точка А лежит на прямой а Составь по рисунку и запиши все истинные утверждения такого вида. ш Прочитай определения и назови определяемые понятия. Начерти фигуры, о которых идет речь в этих определениях. 1) Две прямые пересекаются, если эти прямые имеют ровно одну общую точку. 2) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек. 3) Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. 4) Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности. 5) Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой, называется радиусом окружности. 6) Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. 7) Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр этой окружности. 8) Дугой окружности называется каждая из частей, на которые делят окружность любые две ее точки. 9) Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. 10) Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом. 168 ---------------------------------------- — ---------—_ Глава 2, §5, п.2 843| Прочитай утверждения. Основываясь на приведенных определениях и на своем опыте, выскажи гипотезу - верны ли эти утверждения. Через любые две различные точки можно провести только одну прямую. Через любую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной прямой. Через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну параллельную ей прямую. Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну. Две прямые на плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу. Две прямые на плоскости, параллельные третьей, параллельны друг другу. Пересекающиеся прямые на плоскости не могут иметь двух общих точек. Любые две прямые на плоскости или параллельны, или перпендикулярны. Пересекающиеся прямые обязательно перпендикулярны. Любые две прямые па плоскости или параллельны, или пересекаются. Любой острый угол меньше любого тупого угла. Вертикальные углы равны. Сумма смежных углов равна 180". Длина диаметра окружности в два раза больше длины радиуса той же окружности. Все диаметры окружности имеют одну и ту же длину. Угол, вписанный в окружность, всегда острый. Длина стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. 844| Проведи две параллельные друг другу прямые АВ и CD и прямую KL, пересекающую их под острым углом в некоторых точках Р hQ. Какие из углов, образовавшихся на чертеже, могут быть равны? Запиши свои гипотезы в виде равенств. Чем гипотезы отличаются от определений? Образец: Z. АРК ^ АРВ = ... 169 Глава 2, §5, л.2 845| Математическое исследование. Прочитай и осмысли определения. Пользуясь ими, выполни задания. © Треугольник называется равносторонним, если все его стороны имеют одинаковую длину. 1) Укажи все равносторонние треугольники на рисунке: 2) Всякий ли трюугольник является равносторонним? Начерти несколько равносторонних треугольников и измерь их углы. Сформулируй гипотезу. 3) Начерти равносторонний треугольник и соедини отрезками середины его сторон. Что ты наблюдаешь? Повтори эксперимент еще несколько раз. Сформулируй гипотезу. Треугольник называется равнобедренным, если хотя бы две из его сторон имеют одинаковую длину. 1) Укажи на рисунке все равнобедренные треугольники: 2) Является ли равнобедренный треугольник равносторонним? Является ли равносторонний треугольник равнобедренным? 3) Построй диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В и С, где А - множество всех треугольников, В - множество равнобедренных треугольников и С - множество равносторонних треугольников. S можно перегнуть большим числом способов, чем Т, S красивее Т <=> так, чтобы одна часть полностью наложилась на другую (S иТ - треугольники) 1) Какой из треугольников на рисунке самый красивый? Самый некрасивый? Какие треугольники красивее - равнобедренные или равносторонние? 2) Дай аналогичное определение для четырехугольников. Нарисуй четыре четырехугольника, расположив их по возрастанию красоты. 170 -----------------------------------------------------Глава 2, §5, п.2 8461 Исходя из значений слов в русском языке, отгадай по рисункам значения математических терминов и сформулируй свои варианты соответствующих определений. а) Какие из прямых, изображенных на рисунке, являются касательными к окружности, а какие - секущими? б) На каких рисунках изображен треугольник, вписанный в окружность, а на каких — окружность, вписанная в треугольник? в) На каких рисунках изображен треугольник, описанный вокруг окружности, а на каких - окружность, описанная вокруг треугольника? К а богаче Ь а имеет больше простых делителей, чем Ь (а, Ь N) 1) Выбери два числа и выясни, какое из них богаче. 2) Построй последовательность чисел, в которой каждое число (кроме, разумеется, первого) богаче предыдущего. 3) Верно ли, что чем больше число, тем оно богаче? 4) Может ли случиться, что два числа различны, но никакое из них не богаче другого? 5) Существует ли самое богатое число? 6) Придумай, что значит предложение "а беднее Ь". Существует ли самое бедное число? 171 Глава 2, §5, п.2 8481 На рисунке изображена группа людей, связанных семейными отношениями. Горизонтальные отрезки обозначают отношение "муж - жена", а все остальные отрезки - отношение "дети - родители". Заполни пропуски в предложениях: 1) Полина - мать ... 2) Юрий - отец ... 3) Иван - сын ... 4) Ольга - дочь ... 5) Дмитрий - внук ... 6) Наташа - внучка ... 7) Сергей - брат ... Ь) Анна - сестра ... 9) Юрий - муж ... 10) Ирина - жена ... 11) Петр - дедушка ... 12) Мария - бабушка 13) Олег - дядя ... 14) Вера - тетя ... 15) Михаил - тесть ... 16) Елена - теща ... 17) Ирина - свекровь ... 18) Семен - свекор ... 19) Иван - зять ... 20) Полина - невестка .. 21) Олег - деверь ... 22) Сергей - шурин ... 23) Вера - золовка ... 24) Ольга - свояченица. Составь по рисунку истинные высказывания о родственных отношениях в этой семье. Определения: Тесть - это отец жены. Теща - это мать жены. Свекор - это отец мужа. Свекровь - это мать мужа. Деверь - это брат мужа. Шурин - это брат жены. Золовка - это сестра мужа. Свояченица - это сестра жены. Зять - это муж дочери или муж сестры. Невестка - это жена сына или жена брата. 172 Глава 2, §5, п.2 Будем считать слова "мужчина", "женщина", "родитель", "муж", "жена" основными и объяснять с их помощью все остальные слова, обозначающие родственные связи. Запиши с помощью знаков <=> и 3 определения следующих членов семьи: 1) мать; 2) дочь; 3) брат; 4) теща; 5) дедушка; 6) бабушка; 7) внук; 8) внучка; 9) племянник; 10) племянница; 11) дядя; 12) тетя; 13) свекор; 14) свекровь; 15) прабабушка; 16) прадед. Образцы'. X - отец у ■О X - родитель у и х - мужчина X - сын у <=> у - родитель х и х - мужчина X - сестра у •О х - женщина и 3 2, znt - родители х и родители у X - золовка у 3 2: 2 - муж у и х - сестра 2 Обрати внимание на то, что в последнем образце использовано слово "сестра", которое не входит в перечень основных, то есть неопределяемых понятий. Этим следует пользоваться и дальше - в каждом определении можно употреблять ранее определенные, то есть уже известные слова. |850| Найди в учебнике определения следующих понятий: 1) делитель; 2) кратное; 3) простое число; 4) составное число; 5) взаимно простые числа; 6) степень числа; 7) квадрат числа; 8) куб числа. Сформулируй их с помощью слова "называется" и выпиши в тетрадь. Выбери истинные высказывания и запиши соответствующие им буквы подряд в виде буквенного кода: 3 X ^ N: д:-5>1; 3 N: тп^ = т^; @3y^N: 2 <у<3; (д) 3 л е Л^: п- делитель любого числа; 3 2 е N: 2^ + 29 < 24; 3 /г е iV: к кратно любому числу. 852) Запиши с помощью знаков и 3 определения чисел, кратных 5, 9, 24. Математическое исследование. 1) Построй произвольную окружность. Проведи ее диаметр АВ и хорду MN, перпендикулярную диаметру. Какую закономерность ты наблюдаешь? Повтори эксперимент еше 2 раза. Сформулируй гипотезу. 2) Построй произвольную окружность и проведи две параллельные хорды АВ и CD этой окружности. Проведи и сравни хорды АС и BD. Что ты наблюдаешь? Повтори эксперимент еще 2 раза. Сформулируй гипотезу. Построй рисунок, отражающий отношения родства в твоей семье (аналогично № 848, стр. 172). Составь по нему истинные высказывания. 173 Ответы --------------------------------------------------------------------------------------- Глава 1, § 1.4. 3) 135 - 105 : 7; 4) (43 + 3): (140 - 117). 6. 4) 10 + 20 + ... + 90. 11.2) 3ft - ft; 4) 5(с + d), или 5с + 5d; 6) X I 3jc i (Зл: - у). 13. 4) 10 OOOd дм. 16. 3) с - 2d км; 7) в (а : 3): (с : 3), или а : с раз; лишнее условие - 3 ч; 8) первый в (360 : у): (360 : дг), или х: у раз; лишнее условие - 360 страниц. 23.4) 254 245 059. 25. в) 1 км 159 м; г) 24 км 18 м. 26.2) 6 м. 27.4) (10 - п): т. 28. в) d - Зл - 6 сольдо; г) па (дг + 12): 4 - д:: 4 писем в час. 29. в) 1 ■ 2 • 4 • 8. ;Ю. г) 8 050 002 916. 33. 1) 20 способов; 7—> 1 -)-8 > С > 3 > 11 > 4. 2) 4 совета. 34.2) 90. 36.1) 75; 2) 136. 38.2) 78 р.; 4) 6 уч. 39.4) 160. 40.5) (т ( п I 3): (т 1 3); в 3 раза. 46.4) 66 870. 47. 1 м^ = 10 000 см^; 1 км'^ = 1 000 000 м". 48. 2) 10 000ft дм^ 49. б) 45 га 86 а; г) 7 м^99 дм^61 см^ 50.2) т(п-у) ) у(т-х), или n(m-x) + рс(п-у), или тп-ху. 51.2)Ум. на 140м^. 52.2)На416 дм^. 53.2)3 км. 54. 1) 28; 2) 26. 55. 1) 120; 2) 5. 56. 1) (а * ft): а; в 5 раз; 2) с : 4 - с : 5; на 5 км/ч. 57. 27 а; 60 м. 58. в) 47 204. 59. 2) 2 га 70 а; 3) 8 см^ 19 мм*'. 61. 1) 97 463; 2) 24 063. 62. 4. 63.1) 28 ■ (12 - 7) - 140; 2) (97 ^ 43): (5 • 4) = 7. 64.1) 160 км; 2) 116 кг. 65. 1) 124; 2) 238. 66. 1) 4л; 100 книг; 2) (а + 8): ft - а : ft, или 8 : ft; на 4 м меньше; а м" - лишнее данное. 67. 148. 68. 2) 8 027 400; 3) 20 836 009; 4) 4 560 002 300; 5) 809 000 095 715. 69. 543, 3045, 5340, 5403, 30045, 400 503, 405 003, 435 000, 30 000 045. 70. а) 2623; б) 59 476; в) 10 195. 71. 1) 7 м 78 см; 2) 15 км 714 м; 3) 20 дм^ 50 см^; 4) 4 га 9 а. § 2.72. Одинаковые математические модели: дс; 2 - х: 3. 74. Задачи 1, 3 и 4. 75. а) 2; б) 1; в) 4. 78.1) 72 350; 2) 408 017; 3) 9 040 350; 4) 80 000 203. 80. 2) 14 522 872; 4) 898 989. 83. 3) (л + ш) • ((а - ft) : 2) кг. 85. 49 чисел. 87. 3) (х + 4) • 5 - 16 - (4х + 9) - 2; 4) (х - 3): 2 - 5 = х : 3. 96. 6) 7 220 510; 8) 220 608 000. 98. 2х - 25 X : 3, где х - задуманное число. 99. Зх + х + (х + 5) = 20, где х - количество выступивших во втором отделении. 103.4) х : 4 - х : 6 = 2, где х — количество спортсменов. 104. д) Ув. в 3 раза; е) ум. в 2 раза; ж) ув. в 2л раз; з) ум. в Зл? раз. 111. 4) 50 - 6х = 40 - 4х, где х - искомое количество месяцев. 113. 1) 7006; 2) 547 820; 3) 2070. 114. 2) {139, 193, 319, 391, 913, 931}. 115. Окно разбил Миша; дядя Вася с ним мало знаком. 116. 5) / способ: 8х = 7(х + 2); 2 способ: 8х = у и 7(х + 2) ” у, где х дет./ч -производительность по плану, у дет. - дневная норма. 119. 3) 458 • 81 = 37 098. 120.3) ft - а — 9, ft = а + 9. a = ft-9;4)x:i/ = 3, X — Зр, у = х : 3. 124. 1 способ: 1200 : х - 1200 : (х + 5) = 8; 2 способ: ху = 1200 и (х + 5X.V - 8) = 1200, где х - число стульев в ряду, у - число рядов. 125. а) 178 299 000; б) 20 926 731. 129. 2) 10х \ у •• ху + 26; 4) 10х * у = (Шу + х) + 27. 130.2) х - у = 1 я 2(х + у) = 70,1'де хм- длина, у м-ширина. 132.6) 1 000000л? г. 133.1) 3 т 1 ц; 2) 15 кг 547 г; 3) 58 кг 400 г; 4) 85 ?сг. 134.1) 300 г; 2) 250 г. 135.1) 2 ц 6 кг; 2) 10 т 80 кг. 136.1) (10х + у) : (ху) = 3; 2) 10х + у = (Юу + х) + 72. 137. 2) ху = 288 и 2(х + у) = 72, где х см - длина, у см - ширина. 138. 2) 3 га 95 а; 4) 1 т 4 ц. 139. 9 - 720 : (720 : 9 + 10) = 1 (м.). 140.2(а + ft) + 2с, или 2(а + ft + с); ас + bd. 142.4) (х - 7у): 4; 58 р.; 6) (ft : 2 - с) • с; 80 а. 143. 7) 45; 8) 60. 144.в)(80:х + 13)-4 = 72;х- 16;г) 70-(3 + х) • 5 = 15; х = 8. 145.8)90р1л?; 12) 5л. 146.1)8 + (х + 5) = 17, где X дм - длина третьет-о куска; 4 дм; 2 м 1 дм; 6) 4х - х = 72, где х ц - масса отходов; 120 ц. 150.2) 40ft; 1000; 6) 9у + 19; 82. 153. {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 157. 1) 1 856 705; 2) 180 000; 3) 6070; 4) 406 904. 158.1) 2а + 3ft; 111 км; 2) 2(с : ft + ft); 38 м. 159.1) 16. 161.1) 12х + 14; 2) ЗОуг; 4) 2d. 162.1) 39 яблок; 2) 800 г, 1 кг 600 ?', 2 кг 400 г. 164. 1) 49; 2) 11 405. 165. 929, 20, 2. 166. 45 км. 167. 100 яблок. 168. 4) 40 дм; 6) 64 м^. 169. д) Ув. в 35 раз; з) ум. в 8л? раз. 177. 1) 3 м и 8 м; 2) 6 дм. 179. 2) 320; 3) 4. 181. 2) ху = 60 и (х + 1)(у - 3) = 60; 4 группы по 15 человек. 182. 2) 10х + у = ху + 25; 45, 67. 186. 5) 380; 6) 610. 187.1) 6070; 2) 406 904. 189. 4) lOOOOOOd см^ 190. 4) 1 дм"926 см"; 7) 1 дм" 125 см". 191. в) Все утверждения верны; г) 1. 196. 12 дет./ч. 197. 72. 198. 1) 553 020; 2) 394 800. 199. 1) 8 м" 12 дм"; 3) 74 дм". 205. 9. 206. 1) 4а + 16; 2) 72л?л; 3) 7х. 207. 1) ?/ : (х : 5); 12 банок; 2) (л : 7) • 4; 160 батонов; 3) 40а - (а + 2)ft; 10 м. 208. х + 2х + 4х — 35; 5, 10 и 20 стаканов. 209. х(х 4 4) = 32; 24 см. 210. 1) 42, 54. 76, 97; 2) 4 ученика, 12 гирлянд. 211. 1) 295 707; 3) 7 682 880; 4) 9070; 5) 608; 6) 450. 212. 220. § 3.216. а) 3 < 5; б) 3 > 5; в) 3 < 5; г) 3 < 5. 217. Истинные высказывания: 1, 6, 7, 9, 10, 11. 225. ^ кнш'и. 240.2) 40.241.1) 3.245.2) j часть. 246.1) (а + ft): 2 * 3 стр.; 2) (с: 9 • 5): 3 - с: 8 м/мин; 3) —. 247.1) 47 670; 2) 2195. 250. Па Л часть. 251. 8 кг. 262. к) 6; м) l4). 264.1) 150000 р.; 2) 128 р. 267.1) 60 м; 142 м"; 105 м". 4Q 268. 26 дм"; 12 дм". 269. 1) 50х; 35 000; 2) 120?/; 10 800. 270. 20-^< 2 ^; лолшо. 274. 1) 660 мальчиков; 2) 208 билетов. 275 269. 1) 50х; 35 000; 2) 120?/; 10 800. 270. 20^ i. 1) 3-|; 2) 10^ . 276. 2) 64 м"; 7 рулонов. 2) 508. 279. 172 страницы. 283. 5555. 284. Нет. 285. 1) 53 = 8 • 286. 6) с = 306, г - 16. 287. 3) 8 (ост. 2000). 288. 2^, 2^, 4^, 4^. 289. ^ 277. На 6 голов. 278. 1) 27 597 418; 6 + 5, 5 < 8; 2) 135 = 15 • 9 + 0, 0 < 15. 3; И 2 Y'f- 2‘30.1) а : 100 174 ........—.................... ................................... „ Ответы 3) с : 8 • 100. 291. 3) Па ft : 2 • 5 - 6 кг; 4) d - d : 100 • (15 + 20) пассажиров. 295. 110 га. 296. 3) 205; 4) 240.312. 2) 7; 3) 3992; 4) 17373. 313.1) s : (s : 4 - 5) ч; 5) (п - ft - 3(А : 2)): 5 руб. 6) (х-у- 2у): 3 : 4, или (X - By): 12 пирожков. 314. 2) 13; 4) 26. 315. 2) 5; 4) 1^. 316.1) 57-|км; 2) 35-|км. 320. l)x-6 + 9f, 33; 2) д: = 90 - 10/; 60. 325. 2) 12 см^; 3) 42 м^. 332. 2) 16. 335. 2 ^>2^ •, ложно. 336.1)7пальто; 1 м 90см; 2) 10 ч. 338. 1) 2 ^ ; 2) 2 ^ . 343. 480 м. 344. 60 тетрадей. 345. 28 учеников. 347. д: = 9. 350. с = 20, г = 18. 351. D(3i); £ (4 4), или £ (44)- 552. 2) ^ = 3) 4 <4 • 553. 1) 6; 2) 2|. 354. 4^. 355. 5 356. Ув. 4” '4” 2' " '11 .39’‘''19 5- —“9—2.3 па 45 р. 357. (6; 4). 358. 40^^ > 40|| ; истинно. Глава 2, § 1. 361. а) 12 делителей; б) 8 делителей. 375. Да. 376. Да. .378. а) 0; б) О или 5; в) четная цифра; г) любая цифра. 381. а) 240; 375; 6 частей. 388. 15 ч 20 мин. 389. б) 9 ч; д) 5 мип 52 с; е) 10 ч. 390. В 3 ра.за; в 2 раза. .391. 1) = 21 км/ ч; 63 км; 2) = 164 км/ ч; 492 км; 3) = 54 км/ ч; 162 км; 4) = 27 км/ ч; 81 км. 397. 1) {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}; 2) НОД (12, 32, 48) = 4; 3) 7. ,397. 7^ < 7^ ; ложно. 398. 2) НОК (4, 6,15) = 60; 3) 770.402.1) 17 ч 27 мин. 408. 2) 236 м/мин; 4) 4 м/мин. 404. Вторая больше на 570м. 405. а) 8; б) 9. 406. 105070. 407. 5лет. 409. 180овец. 420. Нет. 427.1) с - 9(<) + 5 : 78 • 100) м; 4) dg = с + 9(6 : 78 • 100 - Ь) м. 430. 3) у = Юд: - 1; 4) р = х • х. 432.10 см, 30 см. 434. 8, 32, 40 карандашей. 436. 15 732 189 120. 440. 2) d^= s + 3(с + d) м; 3) cZg = s - 3(х - у) см. 441. 3) 434 км. 442. а) 152; б) 16. 445. 2 • 3 • 5 • 7 = 210. 446. 2 357 111 317 192 329; а) 11 111 229; б) 77 192 329. § 2. 470. 1) 100; 2) 560. 478. 2) 22 536. 481. А. - 5, В. - 4, С. - 3. 486. а) 1; б) 1; в) 2. 495. 5) {45}; 6) {5, 6, 12, 24, 45}. 506. 3) 410; 4) 1420. 507. 2120 км. .508. 4) 36с I 19. 512. в) 1. 51.3. б) 27. 514. 1) 405; 2) 129. 515. 80 км/ч. 519. 26 чис.ел. 520. а) 459 • 459 = 210 681; б) 628 750 • 5 = 3143 750, 682 750 • 5 = 3 413 750. 521. 2) 2000 р. 522. ЛВЕ. 523. НОД (15, 20) = 5; НОК (15, 20) = 60. 526. 2) 3 ч 30 мин 50 с. 528. 500. § 3. 531. 1) 10 290; 2) 9 600 000. 536. а) 12 чисел; б) 6 чисел. 545. 126 чисел. 550. а) 8; б) 7. 555. 64 кг. 556. а) 4 'г; г) 232 м. 557. 2) Успеют. 558. 2) 40 мин; 32 км 400 м. 559. 75 рыб; 15 тарелок ухи. 560. Ложно. 564. (150, 250, .3.50, ... 950}. .565. 1) 68 дуэлей; 3) нет; 4) 56 км. .566. 1) 12; 2) 14-|. .568. 100 000. 569. А = 3; £ = 7. 570. 80 км. 573. 1) 1, 4, 7; 2) 4. 576. 1) 555 555 555; 2) Таких чисел нег. 590. 1) 3; 4) 8; 5) 5. 591. 1) 7; 2) 8. 592. в) (2d + 12): 9 • 4 марок; д) (у • 2) • 3 или 6у учеников; е) л + я : 35 • 100 рыб. 593. Истинно. 596. 4 ^ м; на.|м. .597. 2) у = 5х - 1; 4) у = х • х • х или у = х®. 598. 3 варианта: 2, 5, 8. 599. б) {522, 531, 540, 549}; в) 0. 603. 10^ лет; 43 года. 604. а) 9; б) 18. 605. 1) р = х + 25; 2) у = 9х. 607. 39 916 800. 610. 2356. 611. 2) 2 мин. 612. 5050. § 4.619.1) 2 • 5; 4) 2 4) 3 • 19 • 23; 5) 2 • • 5 • 23; 6) 3 • 5 • 17. 623.100 ножей и 260 вилок. 632. На 1070 р. 638. 2) 2 • 3; 3) 5 • 11; 11-13. 639. Пятерок на 8 больше. 640. 9. 642. 1520 р.; 80 р. 651. 1) 15; 4) 72; 5) 39; 6) 34. 652. 1) 14; 2) 1; 4) 42. 653. 1) Нет. 2) 4 и 15, 4 и 77, 15 и 22, 15 и 77. 658. 2) Нет. 659. 24 набора по 14 предметов в каждом. 660. 11, 12 и 13 вагонов. 663. 3) {7, 8}; {3, 4, 5...}. 664. 4) л + (у -ь у : 8 • 7) • 4 км. 666. 2) 20; 4) 3. 670. {2, 5, 8}. 673.1) 52; 3) 285. 674.135 подарков. 675.1 км. 676. б) 72 ученика; г) 868 деталей. 682. Среда. 683. 6 собак и 4 кошки. 685. 3) (2 • 5 • 5 • 7 • 19) • 2 • 3. 686. 6) 6120; 8) 870. 694. 60 яблок. 695. 12 этапов. 700. а = (с + р) : 2, Ь = (с - р) : 2; 3) 224 л, 256 л. 704. 500 м; 350 м. 705. 72 м. 706. 1) 0; 2) 202 962 491; 3) 72 030; 4) 156. 708. 640 дм"; 512 дм". 710. 2) 144 900; 4) 25 200. 711. 17 и 11 сосулек. 712. 6 а. 715. 10. 716. 2519. 717. бив. 718. 5) 4(а + Ь); 6) (а + 6)<; 7) 5х f 4р; 8) х’ • у\ 720. 2) 2" = 128; 6) 1« = 1; 8) 0"“ = 0; 10) 10« - 1 000 000. 727. 8) 117; 9) 27; 10) 122; 12) 75. 729. 3) НОД = 2" • 3" • 5; НОК = 2" • 3' • .5" • 11 • 13. 74.3.15 кор. 745. 2) 3 ч; 4) 100 м 80 см; 5) 15 га 60 а; 6) 1 дм". 746. 4) с/: / - л м/с; 5) (X - р): 2 бил.; 6) (ft + т): 2 тетр. 752. 1150. 755. 3) 3364; 4) 46. 761. 3 дм; > s, на 18 дм" 60 см". 762. 4) 10. 763. 5555. 765. Повторение через каждые 9 лет: в 47 лет, 56 лет... 766. 19" = 6859. 767. 72. 774. 3) 45; 4) 56. 787. 276 г. 788. 3) 32 см; 4) 27 дм". 789. 4) 375. 791. 1) 96; 2) 14. 793. 2) х + р = 1200 и X : 100 • 60 + р : 100 • 23 = 572, где х - I число, р - II число. 796.148 л. 798. 37, 41, 43, 47. 803. НОД = 36, НОК = 1980. 805. 3) 225; 4) 75; 5) 64; 6) 28. 807. 2) 1 ч 32 мин; 4) 1 мин 47 с. 808. 64 км. 809. 240 м. 810. Через 4 ч. § 5. 813. 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12. 815. 4) ft : г = 5, ft = 5г, ft : 5 = г; 6) л = 4р + 1. 819. 1) с - д = 7, с = Ь + 7, 5 = с - 7; 4) лг = л : 4 • 3. 820. 36 учеников. 821. 16" = 256. 827. 2, 4, 6. 830. а, в, д. 851. АГД. 175 Оглавление Глава 1. Математический язык § 1. Математические выражения. 1. Запись, чтение и составление выражений.................... 3 2. Значение выражения....................................... 10 § 2. Математические модели. 1. Перевод условия задачи на математический язык............ 17 2. Работа с математическими моделями.........................35 3. Метод проб и ошибок.......................................42 4. Метод перебора............................................46 § 3. Язык и логика. 1. Высказывания............................................. 55 2. Общие утверждения........................................ 60 3. "Хотя бы один" .......................................... 65 4. О доказательстве общих утверждений....................... 69 5. Введение обозначений..................................... 74 Глава 2. Делимость натуральных чисел § 1. Основные понятия. 1. Делители и кратные....................................... 87 2. Простые и составные числа................................ 94 § 2. Основные свойства делимости натуральных чисел. 1. Делимость произведения.................................. 100 2. Делимость суммы и разности.............................. 105 § 3. Признаки делимости натуральных чисел. 1. Признаки делимости на 10, на 2 и на 5................... 113 2. Признаки делимости на 3 и на 9.......................... 121 § 4. Простые числа и делимость. 1. Разложение чисел на простые множители .................. 128 2. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа........ 133 3. Наименьшее общее кратное................................ 139 4. Степень числа .......................................... 145 5. Дополнительные свойства умножения и деления............. 153 § 5. Еще немного логики. 1. Равносильность предложений.............................. 160 2. Определения ............................................ 163 Ответы ......................................................... 174 ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ (до 1000) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 Дорофооп Георгин Пладимиропич Петереои Людмила ]>пргиепна Математика 5 класс. Часть 1 Отвйтствйнный яа выпуск Ю. И. Веслинский Научный редактор Д. Л. Абраров Художники //. А. Сеиерцов. С. Ю. Гаврилова Художественный редактор Т. С. Шаляпина Технические редакторы F. В. Бегунова, В. П. Зиновьева Компьютерная верстка /*. К). Шаповалов. А. В. Каляева Корректоры О. Б. Андрюхина, И. Н. Павлова. И. В. Лин. О. И. Козлова, Н. А. Хромова Подписано в печать 19.04.2011. Формат 84x108, 16. Объем 11,0 п. л. Уел. печ. л. 18,48 Иумагй (к1к’*п'ная. 11ечнт1, <м1м*<п'ння. 1'нрнитурн Шкильная. Тираж 390 001—440 000 экз. (8 й завод). Заказ 28534 ik-Suh. И.чдателытво «Ювеита* ((структурное подразделение (КН) «Оиш)ю») 125284 .Москва, а/я 12 Тел.:(495)796-92-93 Факс:(495)796-92-99 E-mail: boolisale<"ai.ru Адрес в Интернете: www.books.si.ru Прнобр4чсти книги МОЖ1Ш н wara.iHHO но а.тр«су: Москва, ул. 1905 года, д. 10 А. ТелесЬон: (499) 253-93-23 Часы работы: с 10 до 19 часон. Кыхо.чиые: 1нм:к|иссеиыс, понедельник Отпечатано в ОАО «Смоленский полиг|»а(||ический комбинат», 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.