Учебник Информатика 5 класс Семенов Рудченко

ж ' ■ УЧЕБНИК —®— ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДА ТЕЛЬСТВО ж А - а N - эн В - бэ о - О С - цэ Р - пэ D - дэ Q - ку Е - е R - эр F - эф S - эс G - гэ Т - тэ Н - аш и - у 1 - и V - вэ J - йот W - дубль-вэ К - ка X - икс L - эль Y - игрек М - эм Z - зет Л Латинский алфавит Фрагмент Большого энциклопедического словаря школьника чиСл««>МХ «М#»>ДМОв. Киым/ е«б«1 «ПиЮ4С КМ|и> TfКС. ДЯОД. AnyUWKTpOfl. Mftt мгктроамуунгаА (•*1.4. глаор«.)р1Ш1ш&) tUM ПОЛуО(>иК«1М*^0' м<И яртоц) с олкмм* Д>4« (швКи Лам. Лм)<1отаа«»:«к<« тлш (<«а1Л яромшклстмс'. Ося. (мк9мо«пхиостп ля-ocet кпмпмп. n«otpc*«. i(0M)r«l*<4^cw)KM>Mft. 1ижмтяепл ь >мгцл К раАИСММфЛту!*' га. «(9. ЯМ 1>ып(чтлсялм |«рг.мс«Ж1ги toxa. а»т-тяроилпми. о(н:кл1^«мш1 »я««1Т{»к4ео«их ueM4t » г.д. диОКт-тиАН (OiMlMtnmMt (24.6 -- шмяу Ши 816). ^хм<жяА ммпер«тор X 264-306. С&ыагслу яомякт - жхмтляпчшпшА юмафм«1.С1»(млк-М№С«и flOAOXniW HMnrpw К ж 304 n(Wf' п|*1аял гсмепко м* xintcnM. Лсбромлкно «сйк' [> AwMUMMf' I - il ■ тиршт.мщч Т|«пи<|>»гиас 4 ДИРИЖМ^Ь 237 сл т масти и noccMHOi tctoilM яг/«рм вСашме (со>с«меш(ыЯ С«шт>. ДИОМЙНЫ, пччша аиооксгтокскчякх xmmiw. cKwr oooBMncnitA. Побочмы* ородухш а vai. ЛМАМ«&б5МаЖК«(1 ЯрОМ-СТН. Лрх CMRTC^ КС тугормх pcTTmAtvce*. t4pc.>yi сж-игл-KiM KyCOfa n др. С|>9С«^Ы Г*МПЛЯ64Л*ЛЛ й Oficc.iui»:. ДИПЛОМА}ня, вфхчмАльмя деяталиккпа слм госушрста 1Т(«мт.«ст1»испс:(над1.11ы> 4pi«ne« омошиих ctKWcmift nr oqnMeviMcnen n/tarii и «лмч ап«>яп14Й iKMiiTTtMM ivcyjiat'Cii.. * такии я» апоци'с яатсрсссв госуларсчав к rptocnx it rpa-mnicA. C«p«o «лкпАсмпош* и|к«ихояи9 Of грач, dfpionia (a ЛреамА Грлппг - emr^aiw ясог-КЯ г МП(<С<П(КМИМ RS лкх пксъмеиами, ffhlffflW unttcM 1МС.ММЦ4К а иачастаа амсумфктои. псих-тмржАП1мых;. ах /каяьиочки). ДИЯАк iDsrac) Пола Алрмм >4ор*к (IS02-H). n>rraidic>rwft Фюик, САМИ м> Rixsmwft каажто-Kdi меховмо!. каактме^'* кжсгроликАмкии. яааатим)! сткопшй. ВиХал XMUtoaoo урм» ПЦК1Ж лхокоакк >аену)к»л f ьыеокв»‘¥ (рСЛл->нактк1мн) ск^юетлан (урламсиае (О которого c.>AMaa« сущаетасммна nojumpv. на U англтмицац. Прелложио жпод кого кмйтоам1Ня. Рмггмал идею e>iK<’cra<>-Вйккм чосткххи б ояакм миахлмым nw*»iv^ (мбпипныЛ тгоиолодь}. Нсбслсаска) иптамл (10»). ДМРбКТОРИЯ, Окоамямсфгакл <кркмг«дьс1ЕД1. COWTf. тртбукгла ■ «у1чепм*1*«его уя* ГН1ЯЛ«т« а к.'Л. «фаре. 3) HcmUKfltMuWrM дм-ролирия - iijiiiMtiTaaciau (н-х i а«рскто(юя) Фу-'ммхуэгкпй pecavd-_ .тмки I ммгйк- I7M - но«4|ч> 17««. дирижДель (ОТ 0««и1с. «иНксвЫт - УК|>АМЛС> миЛ). )4'JMMiI6NMA •jpucTov екдичоатег VTOMtHewnA ООТСКАКГ-мой форко!- KOpityt* 1МЛ41ЧМСМ /1М1Г*ТС>««А <* К№тупи«1с»1 амятаааи н рудой ут<рй1СК»1ИЯ.и«р ш»к лирежайха Л. Жыф <<«ри (•‘‘рмтм 16^) МИ4Л rwjxiaolt ла*««' телч, Пр»КТ1П0СК01»ДМ-ри>х,'Й»т«({1м*М1С- - е мчАха 20 II. (Ф. Цо«*< лсдах К лр.). Келс>.тьто-МДиГЬиЛК>*><М>А MB' дсй. имтииварсккх w* (М«сл1ж ж тл. Палс7Ш1М масса r:|>yii««tuiiu ди> Р*инв6а«А 2(4 т. обк См JK1200 чш. м^. али* на до 245 as Им. см. 1М с. 238. ГРАЖДЛНННТз. -д м, ми. грджддне (10) noXiTT)6; (грджддие мн. я6Х1^) гражданин, житель оЬсап, obyvatel: порСАЫ1Адго граждА-нннд • Беа*ь абмьнддго трсужлдннгд живжштд ерпр 429f 23 24; t грджддиб емоу • непавилН!-АХл его Л 19,14 ЗогрМар Ас; да «€ KAv^ei"b стх этхлиимн Грджддни ослждбнъ Супр 319, 19; скрвБк жб н печаль не им^дхл^ грдждднб Супр 191, 20 21.—Супр 13, 27; 319, 20; 362, 22: 542, 30,— Ср. грддкнмк'ь, жителиш. ГРАЖДеНШе, -жд с (l) о1коЬорл построй ка stavcni: нд пештертхинж грджденни прнпгкдъ Супр 293, 6.~ Ср. зьдаинк грАжд-ь Супр 215, 1 см. грлждь ГРАЖДЬ, ждА л (I) cpoxvTi конюшня staj: оукорм и Еезтачьствовд ж (г. е. црыгквь) • ко-немъ грджд*ь сътворивт» ик Супр 215, 1 грАждьвьн.. (?) Супр 552, 20 ртура в рукописи ГРАНЪ, -д м (1) греч. пег С1их vers: н по сем(ь) рекжт('ь) грднн*ь (!) Евх 65а 3.— Ср. «тихтх < ПРОСЬБА. Вежливая, всепокорнейшая {устар.), встречная, выстраданная, горячая, деликатная, деловая, дерзкая, дипломатичная, дружеская, душевная, жалкая, задушевная, интимная, искренняя, ко-денопре2словенная {устар.)^ мелкая, милостивая {устар), навязчивая {обычно лея.), наглая, настойчивая (обычно хя.), настоятельная, небольшая, невыполнимая, неотступная (обычяо лен.), нижайшая (ус-тор.), ничтожная, покорнейшая (устар.), почтительная, робкая, сердечная, серьезная, слёзная, смиренная, убедительная, унизительная, учтивая. Д Фрагмент Словаря эпитетов русского языка К. С. Горбачевича Фрагмент Старославянского словаря (по рукописям X - XI веков) под ред. R М. Цетлина МУЗЫКА НАРОДНЫЕ МУЗЫКАЛЬНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ TRADIT10WAL MUSICAL INSTRUMENTS митра река soutdboarc) акксипажрукш^ стру»<а open sinnps струны, еедушио меподик! inekxly str*ri£s флейта Лана рапрфес 1Ииам1пдкыи корпус pear-shaped ЬсОу басовая трубка cirone свое еолыика bi^lpe» грубка для нагнетания еоэаука ticHvnpe; губная гармсиика harmonica мехи ЬсЯсив^ аккордеон accordion рискаитсеэя клавиатура lirWe kcvtxMrd'*' диокачтовый регистр IrtWc fcglslcf басовая клавиатура bass keyboard бэссши регистр Lavs regisier трубка, верящая мего^ио chanter. Фрагмент русско-английского словаря в картинках А. Л. Семёнов Т. А. Рудченко информатика Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений Москва «Просвещение» Институт новых технологий 2006 УДК 373.167.1:004 ББК 32.81я720 СЗО В подготовке учебного пособия принимали участие: Е. С. Архипова, М. А. Ройтберг Семёнов А« Л. СЗО Информатика : учеб, для 5 кл. общеобразоват. учреждений / А. Л. Семёнов, Т. А. Рудченко. ~ М. : Просвещение: Институт новых технологий, 2006. - 176 с. : ил. -ISBN 5-09-015257-8. Учебно-методический комплект для 5 класса состоит из учебника, тетради проектов и пособия для учителя, которое содержит сведения о построении всего курса информатики для средней школы, тематическое планирование, комментарии важных понятий курса, а также обсуждение и решение задач и др. Электронная версия книги для учителя размещена на сайтах: www.int-edu.ru/book/inf5; www,prosv.ru/inf5. УДК 373.167.1:004 ББК 32.81я72 Учебное издание Семёнов Алексей Львович Рудченко Татьяна Александровна ИНФОРМАТИКА Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редакторы Т. А. Бурмистрова, А. В. Желонкин Художественный редактор O. П. Богомолова Корректор Н. И. Новикова Внешнее оформление серии; P. Е Самолюбова Дизайн книги: О. П. Богомолова Вёрстка выполнена Институтом новых технологий Отпечатано с диапозитивов, предоставленных издательством «Просвещение». Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09,01. Подписано в печать 24.05.06. Формат 70 X 90 Vie- Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 8,95+0,46 форз. Тираж 10 000 экз. Заказ № 14631 (п-гз). Институт новых технологий. 115162, Москва, ул. Мытная. 50. Тел.: (495) 926-49-65, e-mail: [email protected]. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Открытое акционерное общество Смоленский полиграфический комбинат. 214020, г Смоленск, ул. Смольянинова, 1. ISBN 5-09-015257-8 @ Издательство «Просвещение», 2006 © Художественное оформление. Институт новых технологий, 2006 Все права защищены Введение Дорогой друг! Ты уже знаком с математикой, знаешь, что она помогает людям каждый день в различных подсчётах и измерениях. Математика помогает людям объяснять явления природы. С её помопдью мы записываем в математической форме законы и правила, по которым существует природа. Математика позволяет рассчитать и смоделировать как будет работать ещё не построенный автомобиль, самолёт, холодильник, спроектировать и построить их. Уже более 100 лет математики пытаются понять и описать не только явления природы, но и то, как человек думает. Они сумели сформулировать в математической форме законы человеческих рассуждений, языка, правила, по которым существует человеческое общество. Оказалось, что во всём этом важнейшую роль играет информация. Именно информация хранится у человека в голове в форме воспоминаний, правил языка и поведения. Именно информация передаётся от одного человека к другому, когда один человек что-то сообщает другому. Информация нужна людям, чтобы работать вместе, чтобы управлять машинами и своей собственной деятельностью. Несколько тысяч лет назад люди научились сохранять информацию, рисуя изображения и записывая тексты. Около 150 лет назад они научились передавать информацию с помощью проводов (кабелей), а потом радиоволн. Около 60 лет назад, когда ваши бабушки и дедушки были маленькими, учёные и инженеры научились строить не только машины для обработки дерева, пластика, металла, не только для поездок и полётов, для приготовления пищи и выработки электрической энергии, но и для обработки информации. Вскоре эти машины назвали компьютерами. Сейчас мы встречаем компьютеры повсюду, они имеются внутри телефона, телевизора, автомобиля. Для того чтобы спроектировать и сделать компьютер, людям понадобились полученные математиками и лингвистами знания о человеческом мышлении и языке. Сегодня математические знания о процессах обработки информации человеком и машиной составляют фундамент Информатики — области человеческого знания и деятельности, без которой наша жизнь сегодня была бы совершенно иной. 1* Знание информатики пригодится тебе для того, чтобы понимать, как строятся математические рассуждения, что такое логика, как работает компьютер, сотовый телефон и телевизор, как сегодня компьютеры учатся управлять поездами, играть в шахматы, понимать человеческую речь. Оно необходимо, чтобы научиться грамотно создавать мультимедийные сочинения и страницы в Интернете, искать нужную информацию, организовывать свою собственную информацию, быстро и точно работать с нею, правильно распределять работу между собой. Как построен наш учебник? Каждая глава начинается с объяснительного текста. Рассмотрев и прочитав его, ты сможешь самостоятельно ознакомиться с новыми понятиями, которые будешь использовать для решения задач — самой важной части учебника. Задачи в учебнике встречаются самые разные. Есть задачи простые, а есть сложные, есть задачи на сообразительность и смекалку, задачи математические, лингвистические, биологические, географические. Все эти области знания сегодня обращаются к информатике. Задачи с красным номером являются необязательными, но это не значит, что решать их не стоит, ведь самые интересные и увлекательные задачи находятся именно среди них. Кроме учебника, ты получаешь ещё тетрадь проектов. Задания в ней не совсем обычные. Одни ты будешь решать довольно долго и сам по ходу дела ставить себе новые задачи, другие — решать вместе с друзьями и обсуждать с учителем. Третьи — потребуют обращения к миру за пределами учебника, класса и школы. Всё это тоже очень интересно. Желаем успехов! Обозначения: Т Необязательная задача. Важная информация. Пояснение для тех, кто занимался информатикой во 2-4 классах по учебникам тех же авторов. Указание. Элементы Знакомство с информатикой начнём с самых простых объектов, с которыми мы будем работать, — с элементов. Нам важно договориться о том, какие именно свойства этих объектов для нас важны и какие элементы мы будем считать одинаковыми. Мы будем в основном пользоваться такими элементами: бусинами, буквами, цифрами и фигурками. (Потом нам понадобятся и другие элементы.) Бусины ш о А О Наши бусины будут трёх форм: квадратные, круглые и треугольные — и шести цветов: белые, чёрные, жёлтые, красные, зелёные и синие. Буквы и цифры Мы будем использовать в основном буквы русского и латинского алфавитов и арабские цифры: АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХ ЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 0123456789 На форзаце в конце учебника написано, как правильно называть буквы латинского алфавита. В задачах будут встречаться буквы и других алфавитов, например армянского, грузинского, греческого. Фигурки Фигурками мы будем называть любые картинки — изображения животных, фруктов, предметов, а также дорожных знаков и др. Одинаковые элементы Имена Прежде, чем решать задачи, нужно договориться, какие элементы мы будем считать одинаковыми, а какие разными. Вот пары одинаковых бусин: Вот пары разных бусин: А А Если форма и цвет двух бусин совпадают, то эти бусины мы считаем одинаковыми. Вот пары одинаковых букв Вот пары разных букв и и пара одинаковых цифр: цифр: ЮЮ ZZ 22 АБ ЯВ WM LF 69 Буквы и цифры нельзя поворачивать и переворачивать — при этом могут получиться совсем другие буквы и цифры. Вот пары одинаковых фигурок: Вот пары разных фигурок: АЖ Фигурки нельзя поворачивать и переворачивать — при этом могут получиться совсем другие фигурки. Чтобы было удобно указывать, о каком элементе идёт речь, мы будем давать элементам имена. Именем может быть любая буква, цифра или несколько букв и цифр. Имя будем писать рядом с элементом. БУБУ Теперь, когда фигурки имеют имена, мы можем сравнить фигурки и сказать, например, что фигурки БУБУ и S одинаковые, а фигурки А и 62Щ разные. Это можно записать так; БУБУ = S, А 62Щ. Для каждой пары элементов определи, одинаковые они или разные. Запиши ответ по образцу: «А2 = АЗ» или «А2 ^ АЗ». М1 М2 И® N2 N4 t? С? шт R шж LA SF 2 Найди три одинаковые бусины. Напиши в тетради, какого цвета и какой формы эти бусины. О д 3 Найди две одинаковые буквы. Какие буквы ты нашёл? Напиши такую же букву в тетради. А Q и V Ъ К Г О Е L Ю N F В J и м • • Е Ш Ь W Я Л Ц Н R И с д щ Б D Ж N Y Даны буквы грузинского алфавита. Найди две одинаковые буквы. Какие буквы ты нашёл? Постарайся написать такую же букву в тетради. % ?) & (о 8 8 *8 д 0) fR в Ь ь 0 Б *3 в О) 3 Ь а и 5 <8 У Напиши в тетради: а) две разные русские буквы; б) две разные латинские буквы. 8 Найди и напиши в тетради: а) две одинаковые русские буквы; б) две одинаковые латинские буквы; в) две одинаковые цифры. ю Q п 6 G т В S V W о Е 5 ц 8 N Г ч Б с 1 и у X Э 4 Л 1 Г н J Ж и р D Ш Д ь 2 А я щ L V К R F • • Е М Y ы 7 Z 3 Ъ 9 Ф И 6 Вот предупреждающие дорожные знаки. Эти знаки преду преждают водителя о различных обстоятельствах, которые ожидают его дальше на дороге. Найди два одинаковых знака. Напиши ответ по образцу: «Знаки Ш и Щ одинаковые». Как ты думаешь, что обозначают найденные тобой знаки? Напиши. шшш Многоугольники на сетке Ещё один вид элементов, с которыми мы будем работать, — это многоугольники на сетке. Вот сетка. Точками помечены узлы сетки: Вот отрезки на сетке — они соединяют узлы сетки: А это многоугольники на сетке. Их стороны — это отрезки на сетке: Договоримся, что два многоугольника одинаковые, если их можно совместить, вырезав и наложив друг на друга. При этом мы не будем обращать внимание на их цвет. В остальных случаях мы будем считать многоугольники разными. Вот пары одинаковых многоугольников на сетке: 10 8 9 10 Найди два одинаковых многоугольника на сетке. Напиши ответ по образцу: «Ш = Щ». Нарисуй такой же многоугольник по клеткам в тетради. 1 V —^ Л9Я f —— \ V ' к \s / ' ■ " 4 К Г -л.' ( 1— . ч у \ 5/ ■ , ч \ — V f >\ ' и 4 л Теперь найди ещё одну пару одинаковых многоугольников. Напиши ответ, используя знак равенства. Нарисуй такой же многоугольник по клеткам в тетради. Нарисуй по клеткам в тетради; а) два разных треугольника: б) два одинаковых квадрата; в) два разных квадрата; г) два одинаковых прямоугольника: д) два разных прямоугольника. Найди два одинаковых многоугольника. Напиши ответ, используя знак равенства. Нарисуй такой же многоугольник по клеткам в тетради. 11 13 Найди две одинаковые армянские буквы. Какие буквы ты нашёл? Постарайся написать такую же букву в тетради. u.pq-afcatc^cfbi.i«u- tiaa^irca»fi5Pt^uft Реши задачу. Чтобы Вася не проспал школу, мама завела ему сразу два будильника с одинаковыми звуковыми сигналами. Оба будильника должны будут зазвенеть в 7.00. Затем каждый из будильников будет давать повторные звонки до тех пор, пока его не выключат: первый будильник будет давать по одному звонку через каждые 3 минуты, а второй — через каждые 4 минуты. Сколько Вася услышит звонков, если встанет в 7.17 и одновременно выключит оба будильника? Найди два одинаковых многоугольника на сетке. Напиши ответ, используя знак равенства. Нарисуй такой же многоугольник по клеткам в тетради. г Множество JCMXSX Когда мы собираемся что-то делать, то выбираем предметы, с которыми будем работать, выделив их из всех остальных. Например, если собираемся рисовать, берём бумагу, краски, карандаши, ластик. Если собираемся решать задачу о русских буквах, говорим: «Рассмотрим все буквы русского алфавита...» Такой выделенный набор объектов называется множеством. Понятие множества лежит в основе современной математики и многих разделов информатики. f Множество — это любой набор (коллекция, сово-• купность) любых объектов, выбранных по некоторому правилу. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Элементы множества могут быть какими угодно. Можно говорить, например, о множестве коров в стаде; о множестве всех натуральных чисел, меньших 100; о множестве рек, впадающих в Волгу, или о множестве песчинок на берегах Крыма. В этом учебнике мы будем в основном говорить о множествах, составленных из бусин, фигурок, букв, цифр, многоугольников на сетке и других элементов. Множество Е составлено из бусин. ^■а*о в множестве Ж есть две буквы, одна цифра, две бусины и две фигурки. 13 Множество W содержит только буквы, АЯУЮОЕЭЕ W '' в множестве не может быть двз^х одинаковых элементов — каждый элемент множества отличается от всех остальных элементов этого множества. Вспомните, что в мешке, в отличие от множества, может быть сколько угодно одинаковых элементов. Множество может состоять только из одного элемента. Например, _ _ множество В5 состоит из одной фигур- /'^ а ЛВ5 ки. Множество может быть вообще пустым. Множество называется пустым, если в нём нет ни одного элемента. Множество Ю — пустое. В множестве Ю нет ни одного элемента, поэтому можно сказать; В множестве Ю нет букв. В множестве Ю нет фигурок. Множество Ю — это множество всех однозначных чисел, больших 10. Ю 14 Ответь на вопросы; а) В каком множестве есть цифра 6? Напиши ответ по образцу: «Цифра 6 есть в множестве...». б) Какое множество пусто? Напиши ответ по образцу: «Множество ... — пустое». в) В каком множестве всего 3 элемента? Напиши ответ по образцу: «В множестве... всего 3 элемента». 2 3 Л Д Щ 6 Ю Ж Э 7 9 Ъ Ц Q 14 15 Построй (нарисуй в тетради): а) множество Р, в котором есть две красные бусины и нет треугольных бусин; б) множество Д всех букв русского алфавита; в) множество А, в котором есть цифра и которое состоит из одного элемента; г) пустое множество Т. Не забудь написать рядом с каждым множеством его имя. 16 Построй (нарисуй в тетради): а) множество А, составленное из двух элементов, в котором все элементы — квадратные бусины; б) множество Б из семи элементов, в котором каждый элемент — латинская буква; в) множество В, в котором все элементы — красные треугольные бусины. Реши задачу. Каждую минуту Карлсон съедает половину плюшек, лежащих на тарелке, а Малыш за то же время — одну плюшку. Сколько плюшек испекла фрекен Бок, если тарелка опустела через 3 минуты после того, как к ней подсели Малыш и Карлсон? 18 Даны множества А, Б, В, Г и Д. Напиши ответы на вопросы: а) В каком множестве есть красная треугольная бусина? б) В каком множестве нет синих бусин? в) В каком множестве нет круглых бусин? г) В каком множестве нет круглых жёлтых бусин? (А] А (А] Б в г А О О О _о ■а "а 11^ iC — J 15 Одинаковые (равные) множества ^абХаб^ Подмножество f Множества М и Н одинаковые одних и тех же элементов. они состоят из Каждый элемент множества М есть в множестве Н, каждый элемент множества Н есть в множестве М. О f Множества П и Т тоже одинаковые. Все пустые множества одинаковые. ГО’ Про два одинаковых множества мы будем 1’оворить, что они равны между собой: множества М и Н равны, М = Н. Если два множества не равны, будем говорить, что они разные, и записывать это так: М П. Возьмём несколько элементов из множества G и составим из них новое множество F. Множество F — это подмножество множества G. (А Б в г Д Е)' (А Б В)'' Множества R, J, К, L и W тоже являются подмножествами множества G. (Е А Б в г Д)' (лТ с (Е Д г вУ Гае)"' 16 f Будем говорить, что А — подмножество В, если ^ каждый элемент множества А является элементом множества В. Обратите внимание, что множество R равно G. Если два множества равны, то каждое из них является подмножеством другого. J Пустое множество считается подмножеством любого множества. 19 Построй (нарисуй в тетради) два разных подмножества множества Щ. щ л Построй: а) множество Г всех гласных букв русского алфавита; б) множество Д, все буквы в котором гласные и при этом R ^ V. 21 Найди два одинаковых множества. Запиши ответ, используя знак равенства. 17 22 Построй два разных подмножества множества А, таких, чтобы они не были равны подмножествам В, С, D, Е, F и G. Дай имена построенным тобой подмножествам. к L М ЛА L К М " та" гмТ" 23 24 Реши задачу. В феврале некоторого года было 5 воскресений. Каким днём недели было в том же году 23 февраля? Из данного множества многоугольников на сетке выдели подмножество: а) всех треугольников; б) всех прямоугольников; в) всех квадратов; г) всех четырёхугольников. Запиши эти подмножества в тетрадь: не перерисовывай многоугольники, а записывай их имена и обводи подмножества имён овалами. Подпиши каждое подмножество. 18 tl Последовательность Когда мы пересчитываем предметы, то тем самым выстраиваем эти предметы в цепочку, т. е. в последовательность: первый, второй, третий и т. д. То же самое делает учитель, когда строит учащихся класса по росту. Так же действует ребёнок, когда нанизывает бусины на нитку или кольца на стержень пирамидки. Во всех этих случаях создаётся порядок следования объектов — какой-то объект ставится первым, затем выбирается второй объект, и так объекты выстраиваются в последовательность, пока они не закончатся. Выстраивать в последовательность можно самые разные объекты — дни недели, уроки, бусины, буквы в слове, числа и т. д. Последовательность — одно из самых важных понятий математики и информатики. Последовательное выполнение команд лежит в основе действия компьютера. Порядок букв в слове, цифр в записи числа, с.чов в предложении играет важную роль не только в лингвистике и математике, но и в информатике. Ведь вся информация, с которой работает компьютер и которая хранится в компьютере (и тексты, и музыка, и изображения, и фильмы), оцифрована, т. е. превращена в последовательности нулей и единиц! Объекты, выстроенные в последовательность, называются членами этой последовательности. п; Мы будем строить последовательности в основном из бусин, букв, цифр и фигурок. Например, все члены последовательности Д — бусины: первый второй член член третий четвертый пятый член член член шестой член д предпоследний член 1 А- последний член В последовательности Д шесть членов. Будем гово рить, что длина последовательности Д равна 6. 1^— 19 t Обратите внимание, что в последовательности могут встречаться одинаковые элементы. Вот ещё последовательности: 1-Н Очередь — это тоже последовательность: С последовательностями букв и цифр вы встречались и раньше: почти все слова русского языка — это последовательности букв (иногда в русских словах встречаются и другие знаки, например дефис). Натуральные числа — это последовательности цифр. # Мы будем называть словом любую последователь- • ность букв. Последовательность (слово) П состоит из одной буквы М, длина последовательности П равна 1. Последовательность может быть пустой. Длина такой последовательности — 0. . Последовательность Ф пустая, в ней нет ф|---------- ни одного члена, поэтому можно сказать: * В слове Ф нет букв. В последовательности Ф нет бусин. Как видите, последовательность и цепочка — это одно и то же. nj-M^ 20 Ш Одинаковые последовательности t Две последовательности одинаковые» если они составлены из одних и тех же элементов, идущих в одном порядке. Эти две последовательности одинаковые: Ц! [ Ц = У Вот ещё две одинаковые последовательности: l|-P Е-Д-И-С К-А> и с ^ L = F Это ещё одна пара одинаковых последовательностей: > А = Б Все пустые последовательности — одинаковые. Вот две разные последовательности: -------------> -<4. ]к н ^ к Вот ещё две разные последовательности (два разных слова): v|-n-0-4-T-A> N|-n-0 ч К-А> V - N 21 Все разные Эти три последовательности разные: "Л, г-3 в \^Д 3 2 сч 1-2 “Ь Будем говорить, что все три последовательности разные, если среди них нет двух одинаковых: А В, А С, В С. Конечно, так же можно определять понятие все разные и для любого другого количества элементов, множеств и последовательностей. Будем говорить, что все элементы разные, если среди этих элементов нет двух одинаковых. Так, в любом множестве все элементы разные. Точно так же будем говорить, что все множества разные, если среди данных множеств нет двух одинако вых. Например, здесь все четыре множества разные: 25 Построй: а) две одинаковые последовательности длины 2, все члены которых — круглые бусины; б) три разных слова длины 1; в) две одинаковые последовательности длины 0; г) четыре одинаковые последовательности цифр, каждая длины 2; □ д) две какие хочешь одинаковые последовательности цифр. Не забудь обозначить начало и конец каждой последовательности. 22 26 Построй четыре разных подмножества множества В. Дай имена нарисованным тобой подмножествам. В гг» Выпиши в тетрадь какое хочешь слово, напечатанное на этой странице учебника, длина которого больше 8. Назови это слово V. Ответь на вопросы: а) Какой длины слово V? б) Сколько всего гласных букв в слове V? в) Сколько всего согласных букв в слове V? г) Какая буква предпоследняя в слове V? д) Есть ли в слове V одинаковые буквы? Если есть, то перечисли их. е) Сколько раз слово V встречается на этой странице учебника? 28 Выпиши множество имён всех последовательностей, в ко торых: а) первый член — синяя квадратная бусина; б) последний член — бусина; в) первый и предпоследний члены — одинаковые; г) второй член является последним; д) длина последовательности — 3. Fiih^ 23 29 Построй последовательность длины 7, все члены которой — квадратные белые (нераскрашенные) бусины. Назови свою последовательность W. Теперь раскрась бусины последовательности W по инструкции: 1. Первый член последовательности W раскрась красным. 2. Второй член последовательности W раскрась синим. 3. Третий член последовательности W раскрась таким же цветом, каким раскрашена первая бусина. 4. Четвёртый член последовательности W раскрась таким же цветом, каким раскрашена вторая бусина. 5. Пятый член последовательности W раскрась таким же цветом, каким раскрашена третья бусина. 6. Предпоследний член последовательности W раскрась синим. 7. Последний член последовательности W раскрась красным. 30 Построй: а) множество Д из пяти элементов, которое является подмножеством множества Ц и одновременно — подмножеством множества X; б) два разных множества И и Т, каждое из трёх элементов, таких, что множество И является подмножеством множества Ц, Т — подмножеством множества X; в) множество Е из восьми элементов, для которого множества Ц и X являются подмножествами. 25 15 13 - 17 35 35 58 15 25 31 Нарисуй в тетради по клеткам: а) три разных квадрата; б) четыре разных треугольника; в) четыре разных четырёхугольника. Подпиши каждый рисунок — напиши, какие именно нарисованы многоугольники на сетке. 24 Реши задачу. В расписании 5Б на понедельник завучу школы надо разместить 6 уроков: математика, русский язык, информатика, литература, труд, физкультура. При этом завуч должен учесть следующие условия: • никакие письменные предметы (русский язык, математика, информатика) не должны стоять подряд; • русский язык и литература должны стоять подряд; • математика должна стоять в расписании раньше физкультуры; • труд должен стоять позже информатики; • на втором и третьем уроках нет свободных кабинетов математики и информатики; • вторым уроком перед информатикой должен стоять русский язык. Составь расписание на понедельник. 33 Найди два одинаковых множества. Напиши ответ, используя знак равенства. 25 34 Найди четыре одинаковые последовательности и напиши ответ по образцу: «Последовательности W, X, X Z — одинаковые». Найди четыре разные последовательности и напиши ответ по образцу: «Последовательности W, X, Y Z — разные». На рисунке показаны запрещающие дорожные знаки. Эти знаки запрещают движение транспорта, который на них изображён, или запрещают разворот и поворот любого транспорта в том направлении, куда указывает стрелка. Найди три одинаковых знака. Напиши в тетради имена найденных тобой знаков. Опиши, что изображено на этих знаках. Как ты думаешь, что обозначают найденные тобой знаки? Напиши. OR Истинные и ложные утверждения п L N G R W S Q Y и I D F J 4 —тг к: С‘ ' ■' U ю Утверждения А, В и С — истинные: А В С Множество П составлено из квадратных бусин. В множестве Ю нет квадратов. Множества Ф и Э -- одинаковые. Утверждения D, Е и F — ложные: D Е F В множестве Ц есть русские буквы. В множестве Ю нет треугольников. J Каждое из данных множеств — пустое. ц Определить, истинно ли утверждение, удаётся не всегда. Причины этого могут быть самыми разными: или недостаточно данных в задаче, или вы этого ещё не изучали в школе, или это неизвестно никому на свете, или что-нибудь ещё. Вот пример утверждений, для которых вам, скорее всего, это будет трудно или невозможно сделать: G Н Каждое из данных множеств нарисовано на компьютере. Площадь красного треугольника в множестве Ю равна 1 ед. кв. 27 Для удобства иногда мы будем помещать утверждения в таблицу. В крайнем левом столбце — записывать имена утверждений, а в крайнем правом — писать буквы И, Л, Н, которые будут обозначать: «это утверждение истинно», «это утверждение ложно», «не знаю, истинно это утверждение или ложно». ^ Значения «это утверждение истинно», «это / утверждение ложно», «не знаю, истинно это утверждение или ложно» мы будем называть истинностными значениями утверждений* Имя УТВЕРЖДЕНИЕ Значе- ние J Все бусины в множестве П — треугольные. Л К В множестве Э нет фигурок. И L Все буквы множества Ц есть в алфавите шведского языка. н 36 Какие утверждения в таблице истинны и какие ложны? Вырежи заготовку таблицы со вкладыша тетради проектов, наклей заготовку в тетрадь и заполни крайний правый столбец этой таблицы. Имя УТВЕРЖДЕНИЕ Значе- ние р В множестве А есть круглые бусины. Q В множестве А есть квадратные бусины. R в множестве А всего 9 бусин. S Все бусины в множестве А — треугольные. т В множестве А нет чёрных бусин. 28 37 Построй такое непустое подмножество множества Р, для которого истинно утверждение К. Многоугольники рисуй по клеткам тетради. Дай имя этому подмножеству. К В этом множестве нет треугольников. ЛР Теперь нарисуй в тетради по клеткам такое подмножество множества Р, для которого утверждение К ложно. Дай имя и этому подмножеству. 38 Какие из этих утверждений истинны и какие ложны для слова Y? Ответ запиши по образцу: «Истинные утверждения: А, Б. В, ... . Ложные утверждения: Г, Д, ...» Yi-nO ОС^ к L м N о Р Q Это последовательность длины 10. Второй и предпоследний члены этой последовательности — одинаковые. В этой последовательности есть три одинаковые буквы, В этой последовательности есть три одинаковые согласные буквы. В этой последовательности нет буквы А. В этой последовательности нет девятого члена. Четвёртая и вторая буквы этого слова — одинаковые. 29 39 Какие из этих утверждений истинны и какие ложны? Ответ запиши по образцу; «Истинные утверждения: А, Б, В........ Ложные утверждения: Г, Д, ...» щш h-M А Л в т V Множество А —• это подмножество множества В. Множество А — это подмножество множества Б, Множество А — это подмножество множества Г. X Множество Г — это подмножество множества Б. Y Z Каждый элемент множества Б есть в множестве В, Каждый элемент множества В есть в множестве Б. 40 Какие из этих утверждений истинны и какие ложны? Ответ запиши по образцу: «Истинные утверждения: А, Б, В, ... . Ложные утверждения: Г, Д, ...» У1 Самое большое однозначное число — 9. У2 Самое маленькое двузначное число — 11. УЗ I Число 91 делится на 4 без остатка. У4 Самое маленькое трёхзначное число — 101. У5 У6 в множестве всех двузначных чисел всего 90 элементов. Самое большое однозначное число — чётное. 30 41 Построй два разных подмножества А и В множества Н так, чтобы все следующие утверждения были истинны: В множестве А нет круглых бусин.^ в множестве В нет красных бусин. В множестве А всего 1 элемент. Н Все бусины в множестве В — треугольные. 42 43 ~Л ¥Л Построй последовательность длины 5, все члены которой треугольные бусины, причём все бусины в этой последовательности разные. Пользуясь картой Европы, определи, какие из этих утверждений истинны и какие ложны. А В С D Е F G Н Мадрид — столица Испании. Россия имеет общую границу с Финляндией. Словения находится в Европе. Олимпийские игры 2016 года пройдут в Мексике. Самая большая страна Европы — Австрия. Великобритания имеет сухопутную границу с Францией.J Голландия и Нидерланды — это два названия одной страны, Словения и Словакия это два названия одной страны. Построй множество букв, для которого истинны все следующие утверждения: В этом множестве все буквы русские. В этом множестве нет гласных букв. В этом множестве нет согласных букв. 31 45 Построй такое множество чисел, чтобы для него все утверждения в таблице имели указанные истинностные значения. Имя УТВЕРЖДЕНИЕ Значе- ние А В ЭТОМ множестве нет чётных чисел. Л В Это множество равно подмножеству множества двузначных чисел. И с Каждое из чисел этого множества делится на 11. И D В этом множестве есть числа, которые делятся на 3. Л Е В этом множестве всего 5 элементов. И Найди две одинаковые фигурки. Фигурки в этой задаче — фрагменты карты Европы. На каждом фрагменте фиолетовым цветом выделена территория одного европейского государства, красной точкой отмечена столица этого государства. Для каждой фигурки узнай название государства, территория которого выделена фиолетовым. Можешь воспользоваться атласом. ГГ —7“ 5 1 МИНСК 1 _2 СОФИЯ •1 'jT в» ? ЗАГРЕБ I .з: Lj ПРАГА ТАЛЛИН \) ■'I. П i- Г ПАРИ> У > 7 г . ' 8 1 'w ■^V X ^ ■ . БУДАПЕШТ V т '' 10 рильнюс Шу^ШАВА (11 i2 13 БУХАРЕСТ , 6РАТИСЛАВА S 1.^ / г—г 14 БЕРН 15 кт 32 Члены последовательности Как вы уже знаете, члены последовательности выстроены по порядку: первый, второй, ..., последний. Однако их можно отсчитывать не только от начала, но и от конца последовательности: первый с конца, второй с конца, третий с конца и т. д. Кроме того, расположение любого члена последовательности можно определить относительно другого члена этой последовательности: например, пятый после красной бусины. Кроме того, о двух членах последовательности, необязательно идущих подряд, мы будем говорить, что один (тот, порядковый номер которого меньше) идёт раньше другого. И наоборот, один член последовательности (тот, порядковый номер которого больше) идёт позже другого. На рисунке ниже указано расположение членов последовательности. Все эти бусины идут раньше красной бусины Все эти бусины идут позже ______красной^усины______ S tfO 2 о о SJ Ф я о. с: о. с DT ^ г Л X 1%ъ ?х о 2>Фя 55 с; а о X (0 Д* X о X )S S Ь X ф ф ас; н X X о с >х о § X о >х 2 ^ X ш А ^1—I А И Л А )Х S Ф О Н Q, ^ х'^ о я о. X )ти бусины идут раньше жёлтой бусины >х ci>s оа аф а® О ф с ^ «=х'° ®.s а )Х Ф 2 2 ^ X м о X I? _3 >Х Ф 2 X ^ X Р о S ФОо i’i я о. X >х Ф 2 2^^ н о X Sop с; 9 я а Все эти бусины идут позже жёлтой бусины 2 И631 л. л. Ссмомов 33 Когда утверждения не имеют смысла || Иногда случается, что определить истинностное значение утверждения невозможно, потому что элемента, о котором идёт речь, в последовательности нет. В таких случаях будем говорить, что утверждение не имеет смысла. В Вот, например, утверждения, которые не имеют смыслах В последовательности В зелёная треугольная бусина идёт раньше круглой зелёной. (Нет зелёной треугольной бусины.) В последовательности В следующий элемент после круглой зелёной бусины — треугольная бусина. (Следующей бусины после круглой зелёной нет.) Бывает также, что определить истинностное значение утверждения невозможно, потому что элемент, о котором идёт речь, в последовательности не один. В таких случаях мы тоже будем говорить, что утверждение не имеет смысла. Вот ещё примеры утверждений, которые не имеют смыслах В последовательности В предыдущая бусина перед треугольной синей — квадратная красная, (Есть три треугольные синие бусины.) В последовательности В круглая красная бусина идёт позже квадратной зелёной. В последовательности В круглая красная бусина идёт позже квадратной жёлтой. (Есть две круглые красные бусины.) 34 47 Среди следующих утверждений найди все те, которые не имеют смысла для последовательности С. Ответ запиши по образцу: «Утверждения А, Б, ... не имеют смысла для последовательности С». Определи истинностные значения остальных утверждений для последовательности С. ЮВФ#ПАФ# П1 П2 ПЗ П4 П5 П6 П7 Второй и третий с конца члены этой последовательности — одинаковые. В этой последовательности треугольная синяя бусина идёт позже квадратной синей. В этой последовательности следующая бусина после треугольной — круглая зелёная. В этой последовательности четвёртая бусина после квадратной красной — квадратная жёлтая. В этой последовательности синяя треугольная бусина идёт позже квадратной жёлтой бусины. В этой последовательности зашифровано шпионское сообщение. Двенадцатая бусина этой последовательности — зелёная. 48 Напиши в тетради слово, для которого все следующие утверждения истинны: Длина этого слова равна 5. В этом слове вторая и четвёртая буквы - одинаковые. В этом слове вторая буква после Р — буква Ц. В этом слове третья буква после П — буква Е. Четвёртая буква этого слова — гласная. Чтобы не рисовать каждый раз начало и конец последовательности букв, договоримся, что слова будем всегда писать слева направо. Чёрточки между буквами при этом тоже ставить не будем. 2* 35 49 50 Напиши натуральное число, такое, чтобы длина этой последовательности цифр была меньше 10. Среди следующих утверждений найди все те, которые не имеют смысла для твоей последовательности. Определи истинность остальных утверждений для твоей последовательности. Десятый член этой последовательности ~ цифра 9. В С D Е В этой последовательности цифра 8 идёт раньше цифры 7. В этой последовательности вторая цифра после 3 — цифра 7. В этой последовательности предыдущая цифра перед 4 — цифра 8. В этой последовательности вторая цифра с конца — цифра 1. В этой последовательности цифра 5 идёт позже цифры 2. Теперь построй такую последовательность цифр, для которой все данные утверждения истинны. Среди этих последовательностей выдели подмножество всех тех, для которых утверждение Y истинно. Напиши в тетради имена всех последовательностей этого подмножества. В этой последовательности синяя квадратная бусина идёт раньше красной. 36 51 Последовательность можно строить не только из бусин, букв или фигурок. Членами последовательности могут быть и сами последовательности, например слова. Чтобы легче было читать последовательность слов, будем записывать в ней слова без обозначений начала и конца. Последовательность слов П — это последовательность русских названий месяцев. Среди следующих утверждений найди все те, которые не имеют смысла для последовательности П. Определи истинностные значения остальных утверждений для последовательности П. П В D Н Девятый член ^ последовательности П — слово МАЙ. Слово НОЯБРЬ в последовательности П идёт раньше слова ЯНВАРЬ. В последовательности П есть два одинаковых слова. В последовательности П второе слово после слова НОЯБРЬ — слово ЯНВАРЬ. В последовательности П третье слово перед словом АВГУСТ — слово ИЮНЬ. в последовательности П следующее слово после слова ФЕВРАЛЬ — слово МАРТ. В последовательности П четвёртое с конца слово слово ОКТЯБРЬ. В последовательности П третье слово и третье с конца слово — одинаковые. В последовательности одинаковых слов. П нет двух СЕНТЯБРЬ ОКТЯБРЬ НОЯБРЬ ДЕКАБРЬ ЯНВАРЬ ФЕВРАЛЬ МАРТ АПРЕЛЬ МАЙ ИЮНЬ июль АВГУСТ СЕНТЯБРЬ ОКТЯБРЬ НОЯБРЬ ДЕКАБРЬ ЯНВАРЬ 37 52 Последовательности можно строить и из чисел. Последовательность чисел можно записывать сверху вниз (так же. как записана последовательность слов П в задаче 51) или слева направо, например так: W |-2-32-466-292> Построй последовательность чисел, для которой истинны все следующие утверждения: В этой последовательности нет четных чисел. Длина этой последовательности — 5. Все числа этой последовательности — разные. Каждое число этой последовательности меньше 21 В этой последовательности все числа — двузначные. Каждое число этой последовательности больше 10. Построй последовательность длины 7 названий дней недели так, чтобы все следующие утверждения были истинны: Первое слово этой последовательности — ВОСКРЕСЕНЬЕ. В этой последовательности слово СУББОТА идёт раньше слова ПЯТНИЦА. Все слова в этой последовательности — разные. Во втором и пятом словах этой последовательности последняя букза — согласная. Третье слово этой последовательности имеет длину 5. Первое и четвёртое слова этой последовательности одинаковой длины. В пятом слове этой последовательности есть две одинаковые гласные буквы. 38 54 Построй: а) множество всех однозначных чисел; б) множество всех двузначных чисел, которые меньше 17; в) множество всех двузначных чисел, которые больше 88; г) множество всех трёхзначных чисел, которые меньше 98, Реши задачу. В одном доме живут три друга: Смирнов, Шаров и Николаев. Один из них — любитель футбола, другой — любитель биологии, третий — художник. У футболиста нет ни братьев, ни сестёр, он самый младший из друзей. Николаев старше биолога и учится в одном классе с сестрой Шарова. Определи фамилии любителя футбола, любителя биологии и художника. Д Найди две одинаковые фигурки. Ответ запиши по образцу: «Картинка с номером... такая же, как картинка с номером...»: 1 Ш 6 л ^1^10 0 ш 10 ш 1 39 N l-v Утверждения о каждом элементе Вы знаете значения слов «каждый» и «все» из повседневной жизни: «Каждый будний день я встаю в 6.30», «Каждая девочка нашего класса в прошлой четверти была хорошисткой», «Все мальчики нашего класса — отличники». В информатике «каждый» очень важное понятие, так как оно связано с одним из главных инфор-матических методов работы с объектами — методом полного перебора. Чтобы определить, истинно ли утверждение со словом «каждый», нужно провести полный перебор объектов, к которым относится слово «каждый». Например, чтобы убедиться в истинности утверждения «Каждая книга Саши это книга о животных», надо перебрать абсолютно все Сашины книги. Если хотя бы одна из Сашиных книг не о животных, то утверждение будет ложным. В обычной речи слова «все» и «каждый» употребляются в случаях, когда элементов, к которым они относятся, несколько. Мы будем применять это понятие для любого числа подходящих элементов, в том числе и для одного. Например, для последовательности G истинно утверждение: «В последовательности G следуюи^ая бусина после каждой круглой синей — квадратная», несмотря на то что в последовательности G есть только одна круглая синяя бусина. G Вот другие примеры утверждений с понятием «каждый», истинных для последовательности G. В последовательности G предыдущая бусина перед каждой красной “ треугольная синяя. В последовательности G следующая бусина после каждой квадратной жёлтой — треугольная. В последовательности G каждая треугольная бусина — синяя. | 40 Эти утверждения ложны: В последовательности G следующая бусина после каждой синей — красная. (Следующая бусина после четвёртой — не красная, следующая бусина после восьмой — не красная.) В последовательности G каждая квадратная бусина — жёлтая. (Седьмая бусина — квадратная, но не жёлтая.) Эти утверждения не имеют смысла: В последовательности G третья бусина после каждой жёлтой — синяя. (Третьей бусины после девятого члена последовательности нет.)_________________________________________ В последовательности G предыдущая бусина перед каждой жёлтой — треугольная. (Одна из жёлтых бусин — первая.) 57 Среди следующих утверждений найди все те, которые не имеют смысла для слова W, и выпищи их имена. Определи истинностные значения остальных утверждений для слова W. W |-К-У-К-У-Ш-К-А-^ 41 42 43 44 45 46 47 в слове W предыдущая буква перед каждой буквой У — К. В слове W предыдущая буква перед каждой буквой А — К. В слове W следующая буква после каждой буквы А — К. В слове W вторая буква перед каждой буквой Ш — К. В слове W вторая буква после каждой буквы К согласная. В слове W каждая гласная буква — У. В слове W следующая буква после каждой буквы У — К. 41 58 Построй такую последовательность Р длины 5, чтобы все следующие утверждения были для неё истинными; П1 В этой последовательности следующая бусина после каждой круглой квадратная. П2 ПЗ В этой последовательности предыдущая бусина перед треугольной “ зелёная. Каждая бусина из множества Т встречается в этой последовательности ровно один раз. Теперь построй ещё одну последовательность, для которой утверждения П1, П2 и ПЗ истинны, не равную последовательности Р. 59 Построй последовательность А чисел, длина которой равна 6, по инструкции. 1. Запиши первый член последовательности: какое-нибудь однозначное число, большее 5. 2. Каждый следующий член последовательности находи по правилу: • если предыдущий член — нечётное число, то искомое число равно произведению предыдущего члена и числа 2; • если предыдущий член — чётное число, то искомое число равно сумме предыдущего члена и числа 9. Теперь построй по этой же инструкции ещё одну последовательность длины 6 так, чтобы она не была равна последовательности А. 60 Нарисуй такую же фигуру по клеткам в тетради. Теперь нарисуй, как разрезать этот прямоугольник, чтобы получились два одинаковых квадрата на сетке. 42 61 среди следующих утверждений найди все те, которые не имеют смысла для последовательности чисел М, и выпиши их имена. Определи истинностные значения остальных утверждений для последовательности чисел М. М [-2-22-3-33-4-44-5-55-6-66^ Т1 Т2 ТЗ Т4 В последовательности М следующее число после каждого однозначного — двузначное. В последовательности М предыдущее число перед каждым однозначным — двузначное. В последовательности М следующее число после каждого однозначного больше него в 11 раз, В последовательности М второе число после каждого непоследнего двузначного больше него на 11. 62 Напиши такое число, чтобы для него все утверждения в таблице имели указанные истинностные значения. Имя УТВЕРЖДЕНИЕ Значе- ние А В ЭТОМ числе следующая цифра после каждой цифры 3 — цифра 2. И В В ЭТОМ числе предыдущая цифра перед каждой цифрой 3 — цифра 2. Л С Длина этой последовательности больше 7. Л D В этом числе есть три цифры 3. И Построй такую последовательность бусин длины 8, для которой все следующие утверждения истинны: В этой последовательности следующая бусина после каждой треугольной красной — треугольная синяя. В этой последовательности следующая бусина после каждой непоследней треугольной синей — треугольная красная. 43 64 Реши задачу. Клоуны Бам, Бим и Бом вышли на арену в красной, синей и зелёной рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были зелёные, а рубашка нет. Каких цветов были туфли и рубашка у Бома и Бима? 65 Определи истинностные значения утверждений. К L М N О Р Q Следующий день после каждого четверга —- пятница. Предыдущий день перед каждым понедельником — суббота. Третий день после каждого вторника — четверг Второй день после каждой субботы понедельник. предыдущий день перед каждым вторником — понедельник. Четвёртый день после каждой среды — воскресенье. Следующий день после каждого воскресенья — суббота, Построй два разных подмножества множества С, такие, чтобы они не были равны ни одному из множеств Т, У, Ф, X, Ц и Ч. 1 2 3 67 Нарисуй такую же фигуру по клеткам в тетради. Теперь нарисуй, как разрезать этот прямоугольник, чтобы получились два одинаковых треугольника на сетке. Ш. 44 68 Ш Среди следующих утверждений найди все те, которые не имеют смысла для последовательности М. Определи истинностные значения остальных утверждений для последовательности М. В последовательности М следующее слово после каждого слова ЧЕТВЕРГ — слово ПЯТНИЦА. В последовательности М предыдущее слово перед каждым словом ПОНЕДЕЛЬНИК — слово СУББОТА. и в последовательности М третье слово после каждого слова ВТОРНИК - ЧЕТВЕРГ. W В последовательности М второе слово после каждого слова СУББОТА — слово ПОНЕ-ДЕЛЬНИК. В последовательности М предыдущее слово перед каждым словом ВТОРНИК — слово ПОНЕДЕЛЬНИК. В последовательности М следующее слово после каждого слова СРЕДА — слово ЧЕТВЕРГ Нарисуй такую же фигуру по клеткам в тетради. Теперь нарисуй, как разрезать многоугольник Б, чтобы получились два одинаковых многоугольника на сетке. М ВТОРНИК I СРЕДА I ЧЕТВЕРГ I ПЯТНИЦА I СУББОТА I ВОСКРЕСЕНЬЕ 1 ПОНЕДЕЛЬНИК I ВТОРНИК СРЕДА 1 ЧЕТВЕРГ I ПЯТНИЦА I СУББОТА I ВОСКРЕСЕНЬЕ I ПОНЕДЕЛЬНИК I ВТОРНИК I СРЕДА I ЧЕТВЕРГ \/ 45 Нарисуй, как разрезать многоугольник S, чтобы получились два одинаковых многоугольника на сетке. Реши задачу. На каждом из трёх кабинетов висела табличка с фамилиями работников, занимающих данный кабинет. Первого апреля шутники поменяли таблички на кабинетах так, что ни одна из них не соответствует действительности. Однако можно зайти только в один из кабинетов и спросить фамилию одного из работников, а затем развесить все таблички правильно. В кабинет с какой табличкой нужно зайти? Поясни свой ответ. Найди две одинаковые последовательности. Л м 46 Ш. Площадь многоугольника Вернёмся к многоугольникам на сетке. Мы говорили, что цвет для многоугольников на сетке не важен. Какие свойства многоугольников на сетке для нас важны? Важны только форма и величина, которую в математике называют площадью. Форма многоугольника зависит от того, сколько у него сторон, каковы их длины и какие у него углы. А площади выражаются числами: если площадь какой-то фигуры больше площади другой, это значит, что первая фигура занимает больше места, чем вторая. Но чтобы можно было измерять площади и выражать их числами, необходимо выбрать единицу пло-1цади. Мы будем измерять площади многоугольников на сетке в единичных квадратах. Единичный квадрат — это самый маленький квадрат, который можно нарисовать на сетке. Чтобы узнать площадь многоугольника на сетке, нужно сосчитать, сколько в нём единичных квадратов. Площадь прямоугольника А равна двум единичным квадратам, площадь квадрата В равна 4 ед. кв. ^ Площади одинаковых много-• угольников равны. На рисунке все пять многоугольников одинаковы, площадь каждого многоугольника равна 6 ед. кв. ■—— >■■■ ' _ ■ г— " ■ 1 47 73 Найди площади многоугольников. Ответ запиши по образцу: «Площадь многоугольника Ф равна 5 ед. кв.». G a; . .. 1 и • -■ Ц H JT'r.J-'L. fH 1: J -■ * т •.■ ■il'' -' '/i L f ] ■ex':': ' ir- M fefi . \г. *• *'• N ^ •%.% ,4^ , . * , [ iir •f: ; •—|v 'll ‘ ‘Л;.--. 74 76 Нарисуй в тетради по клеткам; а) прямоугольник, площадь которого равна 6 ед. кв.; б) квадрат площадью 9 ед. кв.; в) квадрат площадью 16 ед. кв. Подумай, как можно найти площадь треугольника В. Нарисуй такой же треугольник по клеткам в тетради и найди его площадь. в Найди площадь многоугольника. 48 < Площадь прямоугольного ^ треугольника на сетке Мы пока умеем находить площади только тех многоугольников на сетке, которые составлены из целых единичных квадратов. Теперь научимся вычислять площадь прямоугольного треугольника на сетке. Треугольник, в котором есть прямой угол, называется прямоугольным. Треугольник на сетке, две стороны которого идут вдоль линий сетки, является прямоугольным. На рисунке все треугольники прямоугольные. Вычислим сначала площадь самого маленького прямоугольного треугольника, стороны которого соединяют соседние узлы сетки (треугольника Т). Для этого возьмём единичный квадрат. Диагональ делит единичный квадрат на две части. Разрезав единичный квадрат по диагонали, получим два треугольника: А и В. Треугольники А и В равны, значит и площади их равны. Вместе они составляют квадрат, площадь которого равна 1 ед. кв. Значит, площадь каждого из треугольников А и В (и равного им треугольника 'Г) равна половине площади единичного квадрата, т. е. ед. кв. ш. в А Вычислим теперь площадь прямоугольного треугольника С: 49 Для этого достроим треугольник С до прямоугольника D. Прямоугольник D составлен из двух одинаковых треугольников, каждый из которых равен треугольнику С. Площадь прямоугольника D равна 3 X 5 = 15 ед. кв., значит, площадь треугольника С равна половине от 15: 7-|- ед. кв. D 77 Найди площади треугольников, 78 79 Найди площадь треугольника Ж. Для этого нарисуй такой же треугольник в тетради по клеткам и нарисуй, как разрезать его на два прямоугольных треугольника. Нарисуй в тетради по клеткам: а) квадрат, площадь которого равна 25 ед. кв.; б) прямоугольник, не являющийся квадратом, площадь которого равна 9 ед. кв. 80 Найди площадь четырёхугольника Ч. Для этого нарисуй такой же четырёхугольник в тетради по клеткам и нарисуй, как разрезать его на прямоугольник и прямоугольный треугольник. 50 81 82 83 Найди площадь многоугольника К. Для этого нарисуй такой же многоугольник в тетради по клеткам и нарисуй, как разрезать его на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Нарисуй в тетради по клеткам: а) квадрат, площадь которого равна 100 ед. кв.; б) прямоугольник, площадь которого равна 120 ед. кв. Построй какое хочешь множество бусин, содержащее больше 10 бусин. Теперь построй такое подмножество своего множества, для которого все следующие утверждения ложны: В этом множестве есть треугольные бусины. В этом множестве есть квадратные бусины. В этом множестве есть круглые бусины. На рисунке ниже показаны предписывающие дорожные знаки. Эти знаки предписывают (приказывают), в каком направлении и какому виду транспорта разрешено движение. Число на таком знаке указывает максимальную разрешенную скорость движения. Найди три одинаковых знака. Опиши, что изображено на найденных знаках. Как ты думаешь, что обозначают найденные тобой знаки? 51 85 Найди три одинаковые фигурки. т ” 52 Пересечение и объединение множеств гом. Пометим такие общие элементы галочками: 1 ...Z мно- ДРУ" Ш Составим множество П из всех элементов, которые есть и в множестве А, и в множестве В. Множество П — это пересечение множеств А и В. Пересечением множеств называется множество, состоящее из всех их общих элементов. Составим теперь множество О — множество всех элементов, которые есть в множестве А или в множестве В. Множество О — это объединение множеств А и В. Т т Объединением множеств называется множество всех э.пементов, которые есть хотя бы в одном из этих множеств. Для мешков вместо объединения обычно используется сумма мешков — результат ссыпания содержимого мешков в один. Пересечение мешков определяется так же, как пересечение множеств. 53 Объединение и пересечение множеств А и В можно наглядно изобразить на такой схеме: 1кГ •л" ГА ■а пересечение множеств А и В В V. J объединение множеств А и В Решим задачу: В нашем классе 19 учащихся. Все учащиеся посещают занятия хотя бы в одном кружке: математическом или биологическом. При этом биологический кружок посещают 12 учащихся класса, а 6 учеников занимаются сразу в двух кружках. Сколько учеников в математическом кружке? Для решения задачи нарисуем схему с множествами. Назовём множество всех учеников, посещающих математический кружок, МА и множество всех учеников, посещающих биологический кружок, БИ. Дадим фигуркам однобуквенные имена. Шесть человек посещают оба кружка, поэтому помещаем в пересечении множеств МА и БИ 6 фигурок. Всего в множестве БИ должно быть 12 фигурок, поэтому помещаем в оставшуюся от пересечения часть множества 54 БИ ещё 6 фигурок. В объединении множеств МА и БИ всего 19 элементов — значит, в оставшуюся от пересечения часть множества МА нужно поместить 19 - 12 = 7 фигурок. Итак, всего в множестве МА оказалось 6 -I 7 = = 13 фигурок. Можно строить пересечение и объединение не только двух множеств, но и любого количества множеств. 86 Построй: а) множество Т, б) множество У, в) множество Ф, г) множество X, д) множество Ц, равное пересечению множеств П и Р; равное объединению множеств П и Р; равное пересечению множеств С и П; равное пересечению множеств С и Р; равное объединению множеств П, Р и С П 87 Построй: а) пересечение множества двузначных чётных чисел и множества Ю; б) пересечение множества двузначных чисел, меньших 26, и множества Ю; в) пересечение множества Ю и множества нечётных двузначных чисел; г) пересечение множества Ю и множества однозначных чисел. Построй множество, равное пересечению множества всех букв русского алфавита и множества всех согласных русских букв. Ю 55 89 □ Реши задачу. У Саши есть 13 футболок. Каждая футболка или жёлтая, или с надписью. Есть и жёлтые футболки с надписью. Выясни, сколько у Саши всего футболок с надписью, если известно, что у него имеется всего 8 жёлтых футболок и 3 из них с надписью? Для решения задачи нарисуй схему с множествами; 1) перерисуй в тетрадь незаполненую схему, данную ниже (на схеме множество Ж — это множество жёлтых футболок, Н — это множество футболок с надписью); 2) напиши в скобках рядом с именем множества, сколько элементов в нём содержится (если это известно): 3) размести футболки в множествах, учитывая количество элементов в каждом множестве: для каждой футболки нарисуй кружок с буквой; 4) теперь сосчитай, сколько элементов в множестве Н, напиши ответ. Ж (?) / ^ • V пересечение Ж и Н (?) объединение Ж и Н (?) ЛН (?) 90 Построй: а) пересечение множества всех треугольных бусин и множества всех красных бусин; б) объединение множества всех жёлтых бусин и множества всех квадратных бусин; в) пересечение множества всех круглых бусин и множества всех треугольных бусин. Построй два таких множества чисел, чтобы их объединение содержало ровно 8 элементов, а пересечение — ровно 4 элемента. Проверь своё решение — построй объединение и пересечение этих множеств. 56 92 Придумай и опиши словами множества (не обязательно состоящие только из таких бусин, которые здесь нарисованы): а) пересечение которых равно множеству А; б) пересечение которых равно множеству Б; в) объединение которых равно множеству В. в 93 Реши задачу. В Кострому приехала группа иностранных туристов, каждый из которых говорит на одном или двух языках: французском и немецком. Известно, что 12 человек говорят по-немецки, 14 — по-французски, а 4 туриста говорят и по-немецки, и по-французски. Сколько всего туристов приехало в составе группы? Для решения задачи нарисуй схему с множествами. 95 Построй два разных подмножества А и В множества У так, чтобы все следующие утверждения были истинны: В множестве А нет круглых бусин. в множестве В нет круглых бусин. в множестве А нет зелёных бусин. В множестве В нет квадратных бусин. Построй: а) множество, равное пересечению множества однозначных чисел и множества чётных чисел; б) множество, равное пересечению множества двузначных чисел и множества чисел, которые делятся на 10; в) множество, равное объединению множества однозначных чисел и множества однозначных чётных чисел. 57 96 Реши задачу. В классе 20 человек занимаются в спортивных секциях; футбольной и баскетбольной. Сколько человек занимается сразу в двух секциях, если известно, что футбольную секцию посещают 12 учеников нашего класса, а баскетбольную — 16 учеников? Для решения задачи нарисуй схему с множествами Нарисуй, как разрезать многоугольник Е, чтобы: а) получились два разных многоугольника на сетке одинаковой площади: б) получились два одинаковых многоугольника на сетке. 98 Даны множества грузинских букв. Среди данных множеств найди: а) множество, равное объединению множеств R и Q; б) множество, равное пересечению множеств R и Q. Ответ запиши по образцу: «Множество Ю равно пересечению множеств R и Q». Ч со 3 (оаэ В cJ 6(05 ^ Е Г 3т там просто свалены в кучу на полу. Поэтому в библиотеке книги упорядочены — каждая книга находится на строго определённом месте. Упорядочены и расписания движения поездов, самолётов или автобусов. Задачи составления расписани!! и вообще упорядочивания больших количеств объектов (в информатике говорят «больших массивов») решаются сегодня при помощи компьютера. Если мы хотим, чтобы в некотором наборе объектов можно было легко найти нужный объект, то мы должны разложить их в определённом порядке — рассортировать. Это можно сделать по-разному. Один из способов сортировки — расположить все объекты в последовательность по опредёленному, удобному для нас правилу. Такой процесс сортировки называется упорядочением. Например, при составлении словарей обычно слова располагают в словарном (лексикографическом) порядке. Общее правило словарного порядка выглядит так: 1. Сравним первые буквы двух слов; если эти буквы разные, то раньше будет идти то слово, первая буква которого идёт раньше в алфавите. 2. Если у двух слов первые буквы одинаковые, то сравним вторые буквы: если эти буквы разные, то раньше будет идти то слово, вторая буква которого идёт раньше в алфавите. 3. Если и вторые буквы у двух слов одинаковые, то сравним третьи буквы: если эти буквы разные, то раньше будет идти то слово, третья буква которого идёт раньше в алфавите. 4. Если и третьи буквы у двух слов одинаковые, будем сравнивать четвёртые, пятые и т. д., пока не дойдём до двух разных букв или пока одно из слов не закончится. В таком случае раньше идёт то слово, которое короче. 59 Есть словари, в которых слова упорядочены по другим правилам, об этом мы поговорим потом. Можно сортировать объекты и по-другому — группировать их по кучкам по определённому правилу. Например, при сортировке пуговиц у бабушки в комоде, достаточно разложить их по кучкам, скажем, так, чтобы в каждой кучке все пуговицы были одинаковыми, или так, чтобы в каждой кучке все пуговицы были одного размера, или так, чтобы в каждой кучке все пуговицы были одного тона. Такая сортировка называется группировкой. В результате группировки получается несколько кучек объектов, а внутри каждой кучки объекты не упорядочены. Иногда при сортировке бывает удобно использовать и группировку, и упорядочение: сначала группировать объекты, а затем внутри каждой группы их упорядочивать. Так, например, часто сортируют книги в библиотеке. Сначала группируют по теме: приключения, фантастика, книги о животных и пр., а внутри каждой темы располагают по алфавиту. При решении задач вы встретитесь с разными способами сортировки. 99 Расположи эти слова в словарном порядке, т. е. построй из них такую последовательность, чтобы слова в ней стояли в словарном порядке. ЗЯБЛИК КАКАДУ ГОРЛИЦА ДЯТЕЛ ЛАСТОЧКА СОЛОВЕЙ КОРШУН ПЕТУХ ВОРОБЕЙ ТЕТЕРЕВ НЕЯСЫТЬ КАЗАРКА ИВОЛГА БУРЕВЕСТНИК ФАЗАН КИВИ МАЛИНОВКА ОРЁЛ УДОД ЖУРАВЛЬ ЩЕГОЛ КЛЁСТ АИСТ РЯБЧИК Обрати внимание, что все слова в этой задаче — это назва-Ud НИЯ птиц. 60 100 Расположи слова в словарном порядке. Каждое слово пиши с новой строки и после каждого слова одну строку пропускай. Потом напиши в пустых строках другие русские слова так, чтобы словарный порядок слов в последовательности сохранился. ОЛЕНЬ ОБВАЛ ОКЕАН ОПЕРЕНИЕ ОНИ ОГАРОК ОВАЛ ОДИН ОМЛЕТ 101 Расположи числа в порядке возрастания — построй из них такую последовательность, чтобы в ней каждое число (кроме первого) было больше предыдущего. 12345 1234 98 89 123456 1234567 987 123 9876 12 98765 2345 23 234 987654 102 Сгруппируй одинаковые фигуры — выпиши имена многоугольников по группам так, чтобы в каждой группе все фигуры были одинаковыми, а две любые фигуры из разных групп были разными. 61 tm •Ki Слова в последовательности Ф упорядочены по некоторому правилу. Опиши это правило. 104 Сгруппируй дорожные знаки — выпиши имена знаков по группам так, чтобы в одной группе были только предупреждающие знаки, в другой группе “ только запрещающие, в третьей — только предписывающие, в четвёртой — все остальные, не вошедшие ни в какую из первых трёх групп. Ф КЛАССИКИ УСИКИ ТРУСИКИ БОТИКИ ПЛЕЧИКИ БУБЕНЧИКИ БЛИНЧИКИ ЩИПЧИКИ ПРЫГАЛКИ ПОСИДЕЛКИ ОПИЛКИ носилки ЧУЛКИ догонялки ПОТЕМКИ САНКИ ВАЛЕНКИ БОТИНКИ ГОНКИ АВТОГОНКИ 62 «я 105 Напиши список учащихся своего класса: а) в словарном порядке фамилий (учащихся с одинаковыми фамилиями можно располагать в этом списке в любом порядке); б) в словарном порядке полных имён (учащихся с одинаковыми именами можно располагать в этом списке в любом порядке): в) упорядоченный по возрасту: начиная с самого старшего учащегося и заканчивая самым младшим (учащихся, родившихся в один день, можно располагать в этом списке в любом порядке). 106 Нарисуй такую же фигуру по клеткам в тетради. Теперь нарисуй, как разрезать прямоугольник Л, чтобы получились четыре одинаковые фигуры, площадь каждой из которых равна 3 ед.кв. Среди данных множеств найди: а) множество, равное объединению двух других данных множеств: б) множество, равное пересечению двух других данных множеств. Записывай полные ответы — чтобы было ясно, объединению (пересечению) каких множеств из данных равно найденное тобой множество. fvxwT* ГмГкТ* fxuv vGII FED vG3 63 108 Расположи слова по следующему правилу (по этому правилу упорядочивают слова в так называемых обратных словарях): 1. Сравним последние буквы двух слов: если эти буквы разные, то раньше будет идти то слово, последняя буква которого идёт раньше в алфавите. 2. Если у двух слов последние буквы одинаковые, то сравним предпоследние буквы: если эти буквы разные, то раньше будет идти то слово, предпоследняя буква которого идёт раньше в алфавите. 3. Если и предпоследние буквы у двух слов одинаковые, то сравним третьи с конца буквы: если эти буквы разные, то раньше будет идти то слово, третья с конца буква которого идёт раньше в алфавите. 4. Если и третьи с конца буквы у двух слов одинаковые, будем сравнивать четвёртые, пятые с конца и т. д., пока не дойдём до двух разных букв или пока одно из слов не закончится. В таком случае раньше идёт то слово, которое короче. УДАРЕНИЕ КВАСОК ОБЕЗЬЯНКА ПЛЕЧО ДУТЫЙ ЧАСОК БАСОК КУПЛЕТ ВОЗДУХ 109 Составь такое слово длины 6, чтобы для него все утверждения в таблице имели указанные истинностные значения. Имя УТВЕРЖДЕНИЕ Значе- ние А В ЭТОМ слове предыдущая буква перед каждой гласной — согласная. и В В этом слове следующая буква после каждой согласной — согласная. л с В этом слове четвёртая буква после К — буква Н. И D В этом слове мягкий знак идёт раньше буквы Н. л Е В этом слове есть две буквы А и одна буква 3. и 64 f 110 □ 112 114 Расположи эти названия городов Великобритании в словарном порядке. В случае затруднений можешь воспользоваться английским алфавитом на линейке справа. MANCHESTER LONDON CARDIFF LIVERPOOL EDINBURGH BIRMINGHAM SHEFFIELD PLYMOUTH BRISTOL GLASGOW Реши задачу. Экономный мальчик Петя любит сдавать бутылки, потому что на деньги, вырученные за три пустые пол-литровые стеклянные бутылки, он может купить себе пол-литра лимонада (в такой же стеклянной бутылке). Дома у Пети нашлось семь таких бутылок. Какое самое большое количество лимонада сможет выпить Петя, имея только этот капитал? площадь которого Нарисуй в тетради по клеткам: а) прямоугольный треугольник, равна 7у ед. кв.; б) прямоугольный треугольник, площадь которого равна 8 у ед. кв.; в) прямоугольный треугольник, равна 8 ед. кв. площадь которого К трёхзначному числу слева приписали 3, и увеличилось в 9 раз. Какое это число? оно Подумай, как можно вычислить площадь многоугольника Ц, не разрезая его на прямоугольники и прямоугольные треугольники. Нарисуй такой же многоугольник в тетради по клеткам и найди его площадь. А В С D Е F G Н I J К L М N О Р Q R S Т и V W X Y Z 3-146Н1 А. Л. Семенов 65 Словари Словарь — это справочная книга, которая содержит слова, расположенные в определённом порядке. Прежде чем говорить о словарях, надо уточнить, что именно мы имеем в виду, когда говорим «слово словаря», Как вы знаете, в информатике словом называют любую последовательность букв. Но наука о языке (она называется языковедением^ или лингвистикой) рассматривает не любые последовательности букв, а только те слова, которые есть в языке. Кроме того, слово в словаре и слово в тексте — не одно и то же. В тексте следуют друг за другом формы слов (или, как говорят, словоформы). Разные формы слов могут относиться к одному словарному слову (например, слоНу слонау слонов относятся к одному словарному слову слон) или к разным словам словаря (например, формы слоноу слонёнкау слонихой относятся к разным словарным словам: слон, слонёноКу слониха). Словари — не просто сборники слов, а собрания каких-то специальных сведений о словах. Каждому слову в словаре отводится его словарная статья, содержащая сведения об этом слове, в разных словарях разные (например, его перевод на другой язык или толкование, т. е, объяснение его смысла). Вы наверняка пользовались двуязычными слова рями. В таком словаре основное содержание словарной статьи — это набор переводов слова на другой язык. Словарные статьи в двуязычном словаре упорядочены в словарном порядке алфавита первого языка: в немецко-русском словаре troXiTi)*;, 0U м.р. 1) гражданин; 2) горожанин, житель города; соотечественник лоХХбкц нар. много раз, многократно, часто 7toXXa7tX.a,1Ж01К1Хо(;, OV многосторонний, многообразный поХхх^у ttoXXii, noXii (род.п. поХХоЬу ffe оо)1.прн1гЛ)многий, многс, многочисленный: 2) большой, значительный; 3) сильный, громкий (о плаче); богатый (об урожае); поздний (о часе); долгий, продолжительный (о Фрагмент древнегреческо-русского словаря 66 пащенок МО 3*а воробьёнок МО 3®а соловьёнок МО 3"а инок МО За барвйнох м 3*а подсвйнок МО 3*а поедйнок м 3*а обжйяок м 3*а ожинок м 3*а блинбк м 3*Ь суглинок м 3*а клинбх м 3*Ь эаклйнок м 3*а подклинок м 3*а пннбк ы 3*Ь мерннбк МО 3*Ь ботйнок и 3*а® полуботинок м 3*а@ почйнок м 3*а шинбк м З^Ь челнбк ы зь звонбх м З’Ь ^-*позво«бх м з*ь поддбиох м 3*а фрагмент грамма- тического словаря русского языка А А. Зализняка используется словарный порядок немецкого, а в русско-немецком — русского. С некоторыми одноязычными словарями^ например, толковыми и орфографическими, вы тоже уже знакомы. Бывают и другие одноязычные словари. Один из самых интересных одноязычных словарей — Грамматический словарь русского языка, составленный одним из крупнейших современных русских лингвистов А. А. Зализняком. В каждой его словарной статье содержится информация о грамматическом поведении слова — как оно склоняется, как спрягается, как у него изменяется при склонении или спряжении ударение и т. п. Вся эта информация записана сокращённо с помощью специальных словарных индексов. Слова в этом словаре стоят в обратном словарном порядке. Создаются также многоязычные переводные словари. Обычно это словари терминов по каким-то отдельным областям знаний: словарь математических терминов, словарь названий животных и растений и пр. Словари-энциклопедии (и взрослые, и детские) часто создаются в форме словаря в картинках. Такие словари бывают и одноязычные, и многоязычные. Словарь в картинках может помочь, когда нужно найти, например, английское название какого-то предмета или животного, но вы забыли (а может быть, и не знали), как это называется по-русски. dove die Taubc la colombf holubicc balUineb der Gimpel U bouirt^il hfi cardinal dcr Kardinal U '‘Ordinal kardiii&l Фрагмент англо-немецко-французско-чешского детского словаря в картинках 3* 67 Существуют и словари, в которых собраны все слова, встречающиеся в произведениях одного автора, например Словарь языка Пушкина. Есть словари-энциклопедии, например Музыкальный энциклопедический словарь, Мифологический словарь. Исторический словарь. Почти все словари, которыми мы сегодня пользуемся, создавались вручную. Вручную создавался и Грамматический словарь русского языка, насчитывающий более 110 000 словарных статей. Вот что пишет его автор в предисловии к последнему изданию: «Начало работы над ним относится к 1964 году. Нынешним молодым читателям уже трудно представить себе, что эта работа делалась вручную. «Это же немыслимый абсурд — делать такую работу без компьютера», — доводилось мне слышать. В действительности рабочим инструментом были четыре хлебных лотка, раздобытых в соседней булочной; в каждый входило по 25 тысяч карточек из тонкой бумаги». И все эти тысячи карточек сортировались вручную, при том, что хороший темп опытного сортировщика составлял тысячу карточек в час. Сегодня такую сортировку, конечно, поручают компьютерной программе. Умение пользоваться словарём является важной частью информационной культуры, о которой мы говорили в самом начале этого учебника. Это относится не только к умению быстро найти нужное слово в словаре, но и к умению правильно выбрать словарь, а также к умению правильно истолковать и использовать информацию, взятую из словаря. ИНФОРМАТИВНЫЙ, -ая, -ое; -йен, -вна. Насыщенный информацией, хорошо информирующий. // сущ ннфор-матйвиосгь, -м, ж. информатика, -и, ж. Наука об общих свойствах и структуре научной информации, закономерностях сс соддания, преобразования, >1акоплсиия, передачи и нс-папьзования. ИНФОРМАТОР, -а, л. Тот, кто информирует. // прил. информ^торскнй, -ая, -ое. ИНФОРМАЦИЯ, -и, 7К. 1. Сведения об окружающем мире и протекающих в нем процессах, воспринимаемые человеком или специальным устройством (спец.). Теория информации (раздел кибернетики, иэу<1ающий способы измерения и передачи информации) 2« Сообщения, осведом-ляюище о положении дел, о состоянии че-го-н. Иаунно-технинеския и. Газетная м. Средства массовой информо1\ии (печать, радио, тсясвидсиис, кино). ♦ Генетическая информация (спец.) — совокупность 1ШСЛСДСТВСШ1ЫХ признаков, передаваемых от клетки к клетке, от орщиизма к организму. // прил. ииформацнбнный, -ая, -ос. Информационное бюро. И. бюллетень. Фрагмент толкового словаря русского языка С. И. Ожегова 68 115 Вот русско-английский словарик названий рыб. Составь англо-русский словарик этих же названий. Не забудь упорядочить слова в словарном порядке. Акула - shark Камбала - plaice Морской конёк - seahorse Окунь - bass Рыба-меч — swordfish Сёмга salmon Сом - sheat Треска - cod Тунец - tuna Угорь - eel Форель - trout Щука — pike 116 Когда составляли некоторый толковый словарь русского языка, завели два набора карточек. На одних карточках писали глаголы, а на других — их значения. Случилось так, что карточки перепутали. Восстанови соответствие глаголов и их значений. ЕХАТЬ УДАЛЯТЬСЯ \ЛЗ -^0 ИДТИ догонять ОТСТАВАТЬ гос^'- другим ofit L, ’ й ®аегся. ®^®*^т-ом й ---- "®Pe„eu,ae?cV°' Два объекта перемещаются в одном и том же направлении, расстояние между ними увеличивается, и один из них находится по-зади другого в расстояние из йих другого. 69 117 Расположи слова в порядке обратного словаря (правило приведено в задаче 108). ТРЕНЬКАТЬ КРЯКАТЬ БАЮКАТЬ ПОМЕЛЬКАТЬ ДЗИНЬКАТЬ ХРЮКАТЬ УБАЮКАТЬ БУЛЬКАТЬ МЕЛЬКАТЬ 118 Вот латинско-русский словарик названий птиц. Составь русско-латинский словарик этих названий. Не забудь упорядочить слова в словарном порядке. ВотЬусШа garrulus - свиристель Corvus frugileus - грач Emberiza aureola - дубровник Erithacus rubecula - малиновка Ficedula hypoleuca - мухоловка-пеструшка Fringilla coelebs - зяблик Loxia curvirostra - клёст-еловик Nucifraga caryocatactes - кедровка Phoenicurus phoenicurus - горихвостка Phylloscopus inornatus - пеночка-зарничка Riparia riparia - береговушка Spinus spinus - чиж 119 120 Найди площадь многоугольника Э. Для этого нарисуй такой же многоугольник в тетради по клеткам и нарисуй, как разрезать его на прямоугольник и прямоугольные треугольники. Построй такое множество из восьми бусин, для которого истинны оба утверждения: Г-Т“1 в ЭТОМ множестве каждая треугольная бусина — красная. В этом множестве каждая квадратная бусина — синяя. 70 Реши задачу. 122 По соседству стоят два города: город Рыцарей и город Лжецов, жители которых ездят друг к другу в гости. При этом рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. В одном из этих городов встретились двое и между ними состоялся такой разговор: Первый. Жители этого города — рыцари. А ты — лжец. Второй. Нет, я рыцарь. Каждый мой сосед скажет, что я рыцарь. Кто был Первый и кто Второй? В каком городе состоялся этот разговор? Выпиши названия всех месяцев года на любых двух иностранных языках. Выписанные переводы и русские названия размести в таблице: в каждом столбце должны быть названия месяцев на одном языке, а в каждой строке - названия одного месяца на разных языках. Для работы тебе понадобятся двуязычные словари. 123 Построй последовательность Ю чисел по инструкции. 1. Запиши первый член последовательности: однозначное число, меньшее 3. 2. Каждый следующий член находи по правилу: искомое число равно сумме предыдущего числа и числа 5. 3. Строй последовательность до тех пор, пока её длина не станет ргшна 15. 124 Теперь построй по той же инструкции ещё одну последовательность так, чтобы она не была равна последовательности Ю. Подумай, как можно вычислить площадь многоугольника И, не разрезая его на части. Нарисуй такой же многоугольник в тетради по клеткам и найди его площадь. 71 125 Сгруппируй названия государств по их принадлежности к Европе, Африке или Южной Америке, а затем в каждой группе расположи слова в словарном порядке. РОССИЯ ЧИЛИ ФИНЛЯНДИЯ ВЕНЕСУЭЛА БОЛИВИЯ КОЛУМБИЯ ЕГИПЕТ ФРАНЦИЯ МОЛДОВА АЛЖИР ГВИНЕЯ БЕЛАРУСЬ ВАТИКАН ЛИТВА ЭСТОНИЯ СОМАЛИ БРАЗИЛИЯ ТАНЗАНИЯ АНГОЛА ПОЛЬША^^^^^^^. ЛАТВИЯ .огситмил ПАРАГВАЙ АРГЕНТИНА 126 Из множества Щ выдели подмножество всех латинских букв. Запиши буквы этого подмножества в алфавитном порядке. И 27 и Ж W Ю Д 6 S Ъ G Z 1 У г R и П Л 3 J щ Ф Ц 7 ь Ш Ы щ т Е Б F L э N Q Я 4 Y 1 5 D И 2 8 V Построй последовательность бусин длины 6, для которой все следующие утверждения истинны: В этой последовательности следующая бусина после каждой квадратной — треугольная. В этой последовательности всего три квадратные бусины. Каждая бусина этой последовательности содержится в множестве У. 72 128 в таблице даны русские слова в морфологическом представлении из лингвистического словаря (точки в слове делят слово на части, знак 0 означает отсутствие той или иной части слова). Выпиши из таблицы: а) все слова, сгруппировав их по корням; б) все слова, сгруппировав их по приставкам; в) все слова с корнем раз/рез; г) все слова с приставкой раз/рас; д) одно слово, которое будет единственным в группе, если рассортировать все слова таблицы сначала по корням, а потом по приставкам. Слово Приставка Корень об.лом.ов.к.а об лом/лам на.рез.к.а на раз/рез раз.рез.к.а раз/рас раз/рез лом.к.а 0 лог/'/лам за.кат.к.а за кат об.кат.к.а об кат раз.рез.к.а р>аз/рас раз/рез об.раз.0 об раз/рез об.рез.0 об раз/рез об.рез.к.и об раз/рез об.лом.к.и об лом/лам кат.ок 0 кат об.лом.0 об лом/лам раз.лом.0 раз/рас лом/лам за. кат. 0 за кат на. кат. 0 на кат об.лам.ыв.а.т.ь об лом/лам раз.рез.а.т.ь раз/рас раз/рез рас.кат.а.т.ь раз/рас кат 73 129 Реши задачу. В некоторой семье каждый ребёнок любит хотя бы один из трёх овощей: капусту, морковь или горох. Сколько детей в этой семье, если из них капусту любят семеро, морковь — шестеро, горох — пятеро, капусту и морковь — четверо, капусту и горох — трое, морковь и горох — двое, и только один ребёнок любит и капусту, и горох, и морковь? □ Для решения задачи нарисуй схему с множествами. 130 Придумай, как можно сгруппировать эти последовательности по четырём группам. Выпиши имена последовательностей по этим группам. Для каждой группы опиши признак, по которому она собрана. OW N М 74 131 Построй последовательность чисел по инструкции. 1. Запиши первый член последовательности: однозначное число, большее 1. 2. Запиши второй член последовательности: однозначное число, большее 2, не равное первому члену последовательности. 3. Каждый следующий член находи по правилу: искомое число равно сумме предыдущего члена и второго члена перед искомым. 4. Строй последовательность до тех пор, пока длина последовательности не станет больше 10. Вот таблица с приближённым описанием свойств планет Солнечной системы. Выпиши планеты: а) в порядке возрастания диаметра; б) в порядке убывания расстояния от Солнца; в) в порядке убывания продолжительности года (периода обращения планеты вокруг Солнца). Планета Диаметр Среднее расстояние от Солнца Продолжительность года Меркурий 4800 км 58 млн км 88 суток Венера 12000 км 108 млн км 225 суток Земля 12800 км 150 млн км 365 суток Марс 6700 км 228 млн км 687 суток Юпитер 140000 км 778 млн км 12 лет Сатурн 120000 км 1431 млн км 29 лет Уран 51000 км 3 млрд км 84 года Нептун 49500 км 4,5 млрд км 165 лет Плутон 2300 км 6 млрд км 248 лет 133 Нарисуй в тетради по клеткам прямоугольный треугольник, площадь которого равна 4у ед. кв. 75 Д Рассмотри эмблемы различных ведомств России. Найди две одинаковые эмблемы. 76 f 135 Построй все подмножества множества W. ш Определи истинностные значения утверждений. В С D Самое большое двузначное число делится без остатка на 3. Самое маленькое трёхзначное число делится без остатка на 25. В множестве всех двузначных чётных чисел всего 45 элементов. ^W о В множестве всех нечётных однозначных чисел содержится нечётное число элементов. 137 Выпиши в порядке убывания последовательность всех двузначных чисел, которые делятся на 17. 138 Расположи слова в словарном порядке. БУДИЛЬНИК буженина бубличек БУБЕНЕЦ БУГОР БУДНИ БУБЕН БУЗИНА БУЙВОЛ БУДОЧНИК БУБЛИК БУДИТЬ БУБНИТЬ БУДТО БУДОЧКА БУБЕНЧИК БУДУЩИЙ 139 Реши задачу. В нашем классе 30 учеников. В этой четверти 20 человек из них побывали на экскурсии в краеведческом музее, 17 человек — в художественном музее, при этом 9 учащихся приняли участие в обеих этих экскурсиях. Сколько учеников нашего класса не были ни в краеведческом, ни в художественном музеях? □ Для решения задачи нарисуй схему с множествами. 77 140 Последовательность нераскрашенных белых бусин раскрашивали по инструкции. После выполнения первого пункта инструкции получилась последовательность S1, после второго — последовательность S2, после третьего —- последовательность S3, после четвёртого — последовательность S4. Напиши эту инструкцию. S1 S2 Вот русско-английский словарик названий фруктов. Составь англо-русский словарик этих названий. Не забудь упорядочить слова в словарном порядке. Айва - quince Ананас — pineapple Банан — banana Гранат - pomegranate Грейпфрут - grape-fruit Груша - pear Инжир - fig Киви - kiwi fruit Лимон - lemon Мандарин - mandarin Хурма - persimmon Яблоко - apple 142 Даны числа, рассортированные на четыре группы по некоторому правилу. Опиши это правило. Запиши ответ по образцу: «В группе А находятся числа, у которых... В группе В находятся числа, у которых...» 64 37 19 ^ ® 92 38 56 73 82 74 65 95 68 77 86 ^ ^ 76 67 49 59 ° 85 94 78 143 Построй последовательность чисел по инструкции. 1. Запиши первый член последовательности: однозначное число, большее 2. 2. Запиши второй член последовательности: однозначное число, большее 2, не равное первому члену последовательности. 3. Каждый следующий член находи по правилу: • если предыдущий член — число, которое делится на 3, то искомое число равно сумме второго числа перед искомым и 5; • если предыдущий член число, которое не делится на 3, то искомое число равно произведению предыдущего числа и 6. 4. Строй последовательность до тех пор, пока длина последовательности не станет больше 8, 144 Построй такую последовательность длины 5, чтобы все следующие утверждения были истинными: В этой последовательности следующая бусина после каждой квадратной — красная. В этой последовательности следующая бусина после каждой красной — круглая. Каждая бусина множества Р встречается в этой последовательности ровно один раз. 145 Подумай, как можно вычислить площадь многоугольника П, не разрезая его на части. Нарисуй такой же многоугольник в тетради по клеткам и найди его площадь. 146 Нарисуй в тетради по клеткам четыре разных треугольника на сетке так, чтобы площадь каждого из них была равна 12 ед. кв. П 79 147 Определи истинностные значения утверждений В В последовательности R следующая бусина после каждой круглой — треугольная. В последовательности R следующая бусина после каждой круглой красной треугольная. В последовательности R жёлтая круглая бусина идёт раньше синей квадратной. D В последовательности R предыдущая бусина перед каждой круглой — треугольная. В последовательности R каждая квадратная бусина ~ красная. В последовательности R вторая бусина после каждой квадратной — круглая. В последовательности R десятая с конца бусина — красная. Н В последовательности R предыдущая бусина перед жёлтой треугольной — красная. 148 Сгруппируй слова по частям речи и внутри каждой группы расположи слова в словарном порядке. Рядом с каждой группой напиши, к какой части речи относятся слова этой группы. ВЫЕЗДНОЙ ОБЪЕХАТЬ ЧУДНЫЙ КВАДРАТ ПРОБЕЖАЛ УКАЗКА КВАДРАТНОЙ ОТКАЗАЛИ ВИЗГ УКАЗАЛ КРУГ ВЫЕЗЖАТЬ ПРОБЕЖКА ТРЕУГОЛЬНОМУ ОТКАЗ ОБЪЕЗД ЧУДНОЙ ВИЗЖИТ КРУГЛАЯ ВЫЕЗДКА 80 "ii«i Реши задачу. Винни-Пух и Пятачок начали одновременное движение в противоположных направлениях вокруг лесного озера. Пятачок бежит со скоростью, в 3 раза большей, чем скорость ходьбы Винни-Пуха. Сколько раз друзья встретятся на своём пути, пока Винни-Пух обойдёт вокруг этого озера ровно 2 раза? 150 Найди площадь многоугольника И. •• • • -'.i v-»3 "л ';?и1 '.'1 гЧ” -Y-, "Г 1 151 Среди данных множеств найди: ^ а) множество, равное пересечению множества всех треугольных бусин и множества всех красных бусин; б) множество, равное объединению множества всех синих бусин и множества всех круглых бусин; в) мнижесгво, равное пересечению множества всех бусин и множества всех синих бусин; г) множество, равное объединению множества всех жёлтых бусин и пустого множества. м ЛБ лд “ЛЕ Л ■ДЩ Ul| X'w .Jl* ж л И 81 152 Построй четыре разные последовательности бусин, для каждой из которых следующие утверждения истинны: 154 □ Длина этой последовательности — 2. Каждая бусина эюй последовательности есть в множестве У. ЙЯ Найди площадь данного многоугольника Д. д Реши задачу. Каждый из трёх мальчиков написал 100 слов, после этого мальчики сравнили свои записи. Если слово встретилось хотя бы у двоих, то его вычёркивали из всех списков и записывали в новый список — «Список совпадающих слов». В результате у первого мальчика в списке осталось 58 слов, у второго — 66, у третьего — 62. В «Списке совпадающих слов» оказалось 54 слова. Сколько было слов, которые встретились сразу в трёх списках? Несколько косточек из одного набора домино уложили так, как показано на рисунке. Определи, где проходят границы между косточками. Для этого вырежи такой же рисунок со вкладыша тетради проектов, наклей его в тетрадь и проведи на нём эти границы жирными линиями. Нужно иметь в виду, что в одном наборе домино все косточки разные. г. ^4-^- .-•Ш ■ ф # ■ '-S .J - •. ^ ■ ■.Г'" ' 82 Построй последовательность бусин длины 10, для которой все следующие утверждения истинны: В этой последовательности следующая бусина после каждой квадратной — красная. В этой последовательности вторая бусина перед каждой жёлтой — квадратная. В этой последовательности следующая бусина после каждой жёлтой — зелёная. Каждая бусина из множества Р встречается в этой последовательности только один раз. 157 Найди два таких множества, которые станут одинаковыми, если правильно раскрасить белые фигурки. Напиши в тетради имена этих множеств и инструкцию, как нужно раскрасить белые фигурки в выбранных тобой множествах, чтобы эти множества стали одинаковыми. Ж/- 4 ^ \ О зг в Е/- 4 83 Дерево На проектных уроках вы занимались сортировкой. Теперь вы легко можете сгруппировать, скажем, множество всех бусин сначала по цветам, а затем в каждой полученной группе — по форме. Такой процесс удобно изобразить в виде дерева: Дерево А — дерево сортировки множества всех бусин. Вначале было множество всех бусин, состоящее из 18 элементов. В результате первой группировки получилось 6 множеств, в каждом бусины одного цвета. В результате второй группировки получились множества, состоящие из отдельных бусин. Как видите, дерево А позволило нам изобразить сразу весь процесс сортировки, и при этом видны результаты каждого её этапа. Дерево — ещё одно из важных понятий информатики и математики. Дерево изображает такие процессы, где на каком-то этапе появляется выбор или объект разделяется на несколько частей. Например, в процессе сортировки множество всех бусин распадается на множества бусин одного цвета, в процессе игры участник может выбрать один из нескольких ходов, а по дороге из школы вы иногда можете выбрать, куда повернуть — направо или налево. 84 Как и обычное дерево, которое растёт на земле, математическое дерево имеет корень и листья. Только математическое дерево всегда «растёт» (т. е. строится) сверху вниз. Корень дерева мы будем обозначать так же, как начало последовательности. Элементы в дереве называются вершинами. Как вы знаете, член последовательности может иметь не больше одного следующего и не больше одного предыдущего элемента — члены последовательности идут один за другим. Дерево устроено по-другому. В дереве за одной вершиной может следовать сразу несколько вершин. Но каждая вершина дерева имеет не больше одной предыдущей вершины. ‘I Вершины дерева, у которых нет предыдущих вер- • шин, называются корневыми. ^ Вершины дерева, после которых нет следующих • вершин, называются листьями. Вот дерево слов Д: д корень дерева корневые вершины ПЕТЯ ВАСЯ ." \ /' \ молчит КРИЧИТ ИГРАЕТ ПОЁТ ЛИСТЬЯ 7 / / / ГРОМКО ТИХО ГРОМКО ТИХО 4 4 4^ V Следующие утверждения истинны для дерева Д: В дереве ровно две корневые вершинь — слова ПЕТЯ и ВАСЯ. Следующие слова после слова ПЕТЯ — листья МОЛЧИТ и КРИЧИТ. Предыдущее слово перед словом ИГРАЕТ — слово ВАСЯ. 85 158 Определи истинностные значения утверждений для дерева У. Запиши ответ по образцу: «Не имеют смысла утверждения... Истинные утверждения... Ложные утверждения...» К L М N О Р Q R S Следующие вершины после жирафа — лось и курица. Предыдущая вершина перед волком — лев. У лошади ровно три следующие вершины. В дереве У всего шестнадцать вершин. В дереве У всего восемь листьев. Следующие вершины после кошки — заяц и индюк. Белка — следующая вершина после дельфина. Следующая вершина после коровы — индюк. Ёж — это лист дерева У. 86 159 Построй какое хочешь дерево бусин. Ответь на вопросы: а) Сколько корневых вершин в твоём дереве? б) Сколько листьев в твоём дереве? в) Сколько всего вершин в твоём дереве? 160 Построй в тетради дерево такой сортировки бусин, при которой все бусины группируются сначала по форме, а затем по цвету. Ответь на вопросы: а) Сколько в твоём дереве получилось корневых вершин? б) Сколько в твоём дереве получилось листьев? 161 т Найди площадь многоугольника Е. Реши задачу. Шестеро рабочих сложат кирпичную стену за 18 дней. За сколько дней сложат такую же стену 12 рабочих? 163 Определи истинностные значения утверждений для дерева R и V W Все корневые вершины круглые. Все листья — красные треугольные бусины. Все листья — красные бусины Все бусины, следующие после каждой жёлтой круглой, — треугольные. Все бусины, следующие после каждой синей, — квадратные красные. Предыдущая бусина перед каждой квадратной красной — треугольная. 87 164 Построй такую последовательность чисел, чтобы все следующие утверждения были истинными: В этой последовательности каждое число, кроме первого, больше предыдущего числа на 14. В этой последовательности первое число 13. Каждое число этой последовательности — двузначное. 165 Вот дерево Ю сортировки некоторого множества чисел. Сколько этапов было в этой сортировке? Для каждого этапа запиши правило, по которому сортировались числа. Ю 28 34 299 11 251 1 12 25 31 23 17 248 153 246 121 5 148 14 36 124 88 166 Закончи каждый пункт инструкции так, чтобы в результате её выполнения все бусины последовательности А оказались раскрашенными. ‘ЮОАО 1. Раскрась следующую бусину после каждой... 2. Раскрась вторую бусину перед каждой... 3. Раскрась... 167 Построй такое дерево русских букв, для которого все следующие утверждения истинны: В этом дереве всего две корневые вершины — буквы А и Б. В этом дереве после каждой буквы А, которая не является листом дерева, следуют ровно две буквы Б. В этом дереве после каждой буквы Б, которая не является листом дерева, следуют ровно три б^жвы А. В этом дереве всего 12 вершин. 168 Даны три множества греческих букв. Построй: а) пересечение множеств А и Б; б) объединение множеств Б и В; в) пересечение множеств Б и В; г) пересечение множеств А, Б и В. 89 •►wj Даны буквы индийского письма деванагари. Найди две одинаковые буквы. щ т ц щ Гч ^ ^ ЦЩЦЦЩЦ'31ХТ^ я Реши лингвистическую задачу. Даны болгарские слова и словосочетания и их переводы на русский язык в перепутанном порядке: □ ЛЕДЕНА ПЛАНИНА ИГЛОЛИСТНО ДЪРВО ГОРСКА ЯГОДА ГОРСКИ ПОЯС ИГЛОЛИСТНА ГОРА ГРАДИНА ПЛАНИНСКА ВЕРИГА ГРАДИНСКА ЯГОДА ГОРОДОМ САД ГОРНАЯ ЦЕПЬ ХВОЙНЫЙ ЛЕС БУРЕЛОМ КЛУБНИКА ЗЕМЛЯНИКА ЛЕСОПОЛОСА АЙСБЕРГ ХВОЙНОЕ ДЕРЕВО Установи русские переводы всех болгарских слов и словосочетаний. Болгарский и русский языки — родственные, и многие болгарские слова похожи на русские. Например, болгарское слово «дърво» похоже на русское слово «дерево» и действительно переводится как «дерево». Но похожие русские и болгарские слова не обязательно обозначают одно и то же. Поэтому для решения задачи нужно провести исследование всех слов и рассуждение. 90 и Путь дерева МИСТЕР I И миссис I БОКЛИ ночью ОТКРЫЛИ I ДОСТАЛИ ПРОСНУЛИСЬ старый I ВДРУГ V I СУНДУК из СУНДУКА I БОЛЬШИЕ { МОРСКИЕ I БИНОКЛИ I и i ОРЕХИ ЧЕТЫРЕ I МЕШКА Посмотрим, какие последовательности слов можно выделить в дереве V. Для этого возьмём корневое слово, затем какое-нибудь одно следующее за ним слово, дальше одно из следующих слов и т. д., пока не дойдём до листа. Получатся три последовательности слов; 1. МИСТЕР И МИССИС БОКЛИ НОЧЬЮ ПРОСНУЛИСЬ ВДРУГ 2. МИСТЕР И МИССИС БОКЛИ ОТКРЫЛИ СТАРЫЙ СУНДУК 3. МИСТЕР И МИССИС БОКЛИ ДОСТАЛИ ИЗ СУНДУКА БОЛЬШИЕ МОРСКИЕ БИНОКЛИ И ОРЕХИ ЧЕТЫРЕ МЕШКА 91 • Последовательность вершин дерева, следующих друг ,! за другом, первый член которой — корневая вершина, а последний член — лист, мы будем называть путём дерева. Каждому листу дерева соответствует один путь — это последовательность, последний член которой — этот лист. Поэтому для дерева можно всегда построить столько путей, сколько в этом дереве листьев. При этом некоторые пути могут оказаться одинаковыми последовательностями. Таким образом, набор всех путей дерева, вообще говоря, множеством не является. В дереве V всего три листа, поэтому для этого дерева можно построить всего три пути — все эти три пути мы выписали на предыдущей странице (эти три последовательности слов взяты из стихотворения Вадима Левина «Ночная баллада»). Родители и дети к ВАСИЛИИ АЛЕКСАНДР / \ Дерево К — фамильное дерево семьи Ивановых. В этом дереве каждая вершина — это член семьи Ивановых. Самый старший из представленных в дереве Ивановых — Василий. У Василия двое детей — Александр и Анна. У Анны один ребёнок — дочь Мария, у Алексадра двое детей — Иван и Нина. Итак, в дереве К каждая некорневая вершина — это ребёнок того, кто стоит в предыдущей вершине, а каждая вершина, не являющаяся листом, — это родитель тех, кто стоит в следующих вершинах. Подобно этому будем называть в любом дереве следующую вершину ребёнком, а предыдущую — родителем. Конечно, корневые вершины не могут быть детьми, а листья не могут быть родителями. АННА I МАРИЯ ИВАН НИНА 92 Щ Уровень вершины Положение вершины дерева относительно корня можно указать, используя понятие уровня вершины дерева. Будем говорить, что корневые вершины дерева — это вершины первого уровня. Дети корневых вершин — это вершины второго уровня, дети вершин второго уровня — это вершины третьего уровня и так далее. Это же можно описать так: ^ Для любого натурального числа к дети • уровня к — это вершины уровня k-fl. вершин В дереве S вершины первого уровня — буквы А и Б, на четвёртом уровне находятся буквы О, Т, О, Б, У, Я, А, А. Вершина пятого уровня в дереве S только одна буква 3. Итак, в дереве S всего 5 уровней. Путь, который соответствует единственному листу пятого уровня, — это слово АРБУЗ. Длина слова АРБУЗ равна 5. ^ Число уровней дерева мы будем называть высотой • дерева. Высота дерева равна самой большой длине пути этого дерева. Высота дерева S равна 5. 171 Построй все пути дерева S, изображённого выше на этой странице. Проверь своё решение: сосчитай, сколько листьев в дереве S и сколько слов у тебя получилось. Должны получиться одинаковые результаты. 172 Построй какое хочешь дерево бусин высоты 6, в котором всего 6 путей и все пути имеют разную длину. 93 173 Построй все такие пути дерева Т, длина которых равна 3. Проверь своё решение: сосчитай листья третьего уровня дерева Т и свои последовательности. Должны получиться одинаковые результаты. Ответь на вопросы: а) Сколько всего в дереве Т путей? б) Сколько всего в дереве Т листьев? в) Сколько всего в дереве Т путей длины 2? г) Сколько в дереве Т вершин второго уровня? д) Какой высоты дерево Т? е) Сколько детей у красной квадратной бусины третьего уровня дерева Т? 174 175 Построй такое дерево бусин высоты 5, в котором все бусины круглые, корневых бусин две — чёрная и белая, и у каждого родителя ровно два ребёнка — чёрная и белая бусины. Сколько в твоём дереве листьев? Найди площадь данного многоугольника А. 176 Построй дерево бусин высоты 3 по инструкции: 1. Нарисуй 1<орень дерева и одну какую хочешь корневую бусину. 2. Нарисуй три разные бусины второго уровня так, чтобы все они были того же цвета, что и их родитель. 3. После каждой бусины второго уровня нарисуй по две бусины так, чтобы все бусины третьего уровня были разного цвета и чтобы каждая бусина третьего уровня была той же формы, что и её родитель. 94 177 Дана таблица с утверждениями. Для каждого данного дерева в таблице есть свой столбец для записи истинностных значений утверждений для этого дерева. Этот столбец озаглавлен именем дерева. Вырежи такую же таблицу из вкладыша тетради проектов и наклей в тетрадь. Заполни пустые столбцы. Д2 НИКОЛАЙ РОМАН / \ ОЛЕГ АННА АНДРЕИ ГЛЕ^ КИРА -г-ДЗ /\ \ \ к н с к ^ А О ^ А ф \1/ \1/ Д4 7^ ДА НЕТ ДА НЕТ^ 1 / \ Г т Имя УТВЕРЖДЕНИЕ Д1 Д2 дз Д4 Д5 У1 Это дерево высоты 4. У2 В этом дереве каждый родитель имеет ровно двух детей. УЗ В этом дереве нет листьев второ-о уровня. У4 в этом дереве всего 5 путей. У5 В этом дереве всего 3 пути длины 4. 95 Нарисуй, как разрезать многоугольник N, чтобы получились два одинаковых многоугольника на сетке. 179 Построй какое-нибудь дерево, в котором всего пять таких путей: 0-А> h _ _ Построй такое дерево чисел, для которого все следующие утверждения истинны: г> в ЭТОМ дереве всего одна корневая вершина — число 900. В этом дереве каждый родитель имеет ровно двоих детей. В этом дереве каждый родитель равен произведению своих детей. В этом дереве всего 6 листьев. в этом дереве нет вершин, равных единице. Реши задачу. В четырёхэтажном доме Ваня живёт выше Пети, но ниже Сени, а Вася живёт выше Сени. Кто на каком этаже живёт? 96 182 Рассмотри на рисунке гербы губерний Российской империи (XIX в.). Найди две одинаковые фигурки. 4 14631 л. л. С^мепоп 97 183 Прочитай описание герба Казанской губернии Российской империи (в старой орфографии). Найди этот герб на с. 97. ГЕРБЪ Казанской губерн1и. Въ серебряномъ шит'Ь черный короноганяый драконь^ крылья и хвостъ червленые, клювъ и когти золотые; языкъ червленый. Щить ув'Ьнчанъ Императорскою короною и окруженъ золотыми дубовыми листьями, соединенными Андреевскою лентою. Реши лингвистическую задачу. Даны венгерские существительные и их переводы на руС' ский язык в перепутанном порядке: NY1RFA KORTE almAk KORTEFA nyi'rfAk ALMA ALMAFA БЕРЁЗА ГРУША (дерево) ЯБЛОНЯ ЯБЛОКО ГРУША (плод) БЕРЁЗЫ ЯБЛОКИ □ □ Установи правильные переводы. При решении задачи обрати внимание, что О — особый гласный звук венгерского языка, знак ' над гласной обозначает её долготу. Слова, данные в русских переводах, по значению можно разделить на четыре группы: плод (ед. число), плод (мн. число), дерево (ед. число), дерево (мн. число). Те же группы можно выделить и в венгерских словах. При этом венгерские слова в каждой группе имеют нечто общее, что отличает их от слов из других групп. Кроме того, в венгерских словах легко выделить группы, соответствующие группам русских однокоренных слов-переводов. 98 к Дерево перебора вариантов П Дерево перебо|эа подмножеств Мы познакомились с деревьями сортировки. Ещё один вид деревьев, которые часто используются в информатике — деревья перебора вариантов. Чтобы построить множество всех возможных вариантов какого-либо процесса, не потеряв ни одного из вариантов и не добавив лишних, очень полезно построить дерево. Задача 1. Если сначала подкинуть одну монету, а потом другую — какими способами они могут упасть на стол? Монета может упасть на стол двумя способами — орлом или решкой. орёл решка орёл решка Чтобы выписать все воомозкпыс варианты, построим дерево перебора вариантов А. На первом уровне дерева поместим все способы падения первой монеты — орёл и решка. На втором уровне после каждой корневой вершины поместим все способы падения второй монеты. В дереве А всего 4 пути. Каждый путь дерева А — это последовательность, первый член которой — одна из сторон первой монеты, а второй член — одна из сторон второй монеты. Т Множество всех путей дерева А и есть множество всех способов, которыми могут упасть на стол две монеты, — таких способов 4: 4* 99 Задача 2. Найти все трёхзначные числа, в записи которых участвуют только цифры из множества М (возможно, с повторениями). М .2 6 Для решения этой задачи построим дерево Б, множество всех путей которого будет её решением. Три уровня дерева Б будут соответствовать трём разрядам наших трёхзначных чисел. В искомых числах в каждом разряде может стоять любая цифра из множества М. Поэтому на первом уровне помеш,аем все цифры из множества М, на втором и на третьем уровнях помещаем цифры так, чтобы множество всех детей каждого родителя было равно множеству М. /1\ 1'^ 2 46 246 246 /!\ /Л /К /1\ /К /К /К /\\ /\\ 246246246246246246246246246 Множество путей дерева Б и является решением задачи. Построение дерева поможет нам и в построении всех подмножеств данного множества. Задача 3. Построить все подмножества множества В. Для каждого из трёх элементов множества В все подмножества можно разделить на две группы: те, которые содержат данный элемент, и те, которые его не содержат. Используя это, будем строить дерево Д. Сначала выберем какой-нибудь один элемент множества В, например синюю треугольную бусину. На первом уровне дерева Д поместим знаки «есть синяя треугольная бусина» и «нет синей треугольной бусины». После каж- 100 дой вершины первого уровня поместим знаки «есть жёлтая круглая бусина» и «нет жёлтой круглой бусины». После каждой вершины второго уровня поместим знаки «есть зелёная квадратная бусина» и «нет зелёной квадратной бусины». Получим дерево Д. д Каждый путь дерева Д изображает одно из подмно жеств множества В. 1СТЬ есть \ нет есть нет есть нет \/ \/ \/ \/ № № [А] (▲I ( Л . о о V ) ■ V / О о V J ■ 101 185 □ Сначала подк1/нули одну монету, затем вторую, потом третью (все монеты разные). Сколькими способами могут упасть на стол эти три монеты? Построй дерево перебора вариантов. Сколько всего существует вариантов падения трёх разных монет? Конечно, рисовать монеты не надо — можно просто рисовать круги с буквой О (для орла) и Р (для решки). Круги для разных монет рисуй разными цветами. 186 Сколько всего существует чётных двузначных чисел, в записи которых нет цифр О, 2 и 3? Построй дерево перебора вариантов. Пользуясь деревом, выпиши все такие числа. 187 Построй все подмножества множества W. 1^ Для этого сначала построй дерево перебора подмножеств. 188 Для трёх множеств слов построй множество всех последовательностей слов длины 3, таких, что первый член последовательности — слово из множества Р, второй — слово из множества Q, третий — слово из множества R. Для решения построй дерево перебора вариантов. КАТЯ ДАША ПЕТЯ МИША ЛО СЛУШАЕТ ЧИТАЕТ Г ^R СКАЗКУ РАССКАЗ СТИХИ 189 Реши задачу, построив дерево перебора вариантов. У Вовы были в кармане 4 монеты: 1 к., 5 к., 10 к., 50 к. Он достал из кармана сколько-то монет (он мог достать и все монеты, мог не достать и ни одной) Сколько денег оказалось в руке у Вовы? Укажи все возможные варианты. 102 190 Сформулируй задачу, для решения которой нужно построить дерево перебора вариантов К. 191 □ ИР 193 Сначала подкинули монету, а затем бросили игральную кость. Сколькими способами могут упасть монета и игральная кость? Построй дерево перебора вариантов. Игральная кость может упасть на стол шестью способами — кверху одной из шести своих граней. Найди площадь треугольника А. Сколько всего существует нечётных трёхзначных чисел, бёльших, чем 500, и таких, что сумма их цифр равна девяти? Построй дерево перебора вариантов. Пользуясь деревом, выпиши все такие числа. Г Г J W______4 194 Построй множество всех последовательностей из двух разных букв, в записи которых участвуют только буквы из множества М. Сначала построй дерево перебора вариантов. г в А Б г д ) 103 Рассмотри меню, которое предлагается посетителям кафе «Таверна». Сколько вариантов завтраков (включающих яичницу или кашу и один напиток) могут заказать посетители кафе «Таверна»? Построй дерево перебора вариантов. Сколько вариантов обедов (включающих один салат, суп, одно второе блюдо, один десерт и один напиток) могут заказать посетители кафе «Таверна»? Построй дерево перебора вариантов. МЕНЮ 3 SI к т I» а 1£ Яичница Кама овинал С а oil SS т i»i Салат «Цезарь» Салат мясной МSIIIи 'Г к ш ^ Молоко (только по утрам) V . Чай Кофе II ы Супник дня И т о р 1о1 с оШ ю д а Курица по-корсикански Биточки Шашлык Судак по-польски II, е е е р т Мороженое 104 Щ Поиск кратчайшего пути ‘г - -Г‘. ' ■ Рассмотри схему дорог между сёлами М, А, Б, В и Г. Числа на схеме указывают длину дорог, проложенных между сёлами, в километрах (дороги далеко не всегда бывают прямые, поэтому длина дороги между сёлами не всегда равна самому короткому расстоянию между ними). Такая схема называется графом. Вообще графом называется набор точек (вершин графа), некоторые из которых соединены линиями (рёбрами графа). Каждое дерево является графом — ведь в дереве тоже есть вершины, и они соединены линиями. Эти линии в дереве тоже называются рёбра.чи. На нашей схеме каждые две вершины соединены между собой ребром, каждое ребро помечено числом — длиной дороги между сёлами. 105 Теперь решим такую задачу: В селе М находится почта, и почтальон должен развезти письма в остальные четыре села (и, конечно, вернуться обратно на почту). Существует много различных маршрутов такой поездки. Как выбрать из них самый короткий? Для решения задачи построим дерево Д перебора вариантов всех возможных маршрутов. Ясно, что если почтальон будет возвращаться в село, в котором уже побывал, то такой маршрут не будет самым коротким, поэтому такие маршруты мы рассматривать не будем. Каждое ребро дерева Д пометим числом, обозначающим длину дороги между сёлами, и для каждого пути дерева Д вычислим длину маршрута (т. е. сумму чисел на его рёбрах). А /1\ 7 11 5 ✓ » \ Б В Г /7 // /I 613 6 9 13 9 / / / / /I Б /1\ 7 6 13 У I \ А В Г /I Л /\ 11 5 11 9 5 9 1 / \ I \ ВГБГБВВГАГАВБГАГАББВАВАБ i I I I I I I I I I I I I I I I I I I I i I I i 9 9 13 13 6 6 9 9 5 5 11 11 13 13 5 5 7 7 6 6 11 11 7 7 I I I I I > I () I I I I I f I I I I I I I I I ГВГБВБГВГАВАГБГАБАВБВАБА I I I { I I I I I I I i I I I I I I I I i 1 I I 464 10 6 10 464 7674 10 47 10 76 10 67 10 7 I i I f I I I I I I I I I I I I I I I I I i I I MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM фффффффффффффффффффффффф 30 42 44 50 37 37 41 37 36 37 45 50 41 45 28 37 37 42 28 36 41 44 41 30 Получилось всего 24 пути (24 варианта маршрутов). Наименьшая длина маршрута — 28 км. Этой длине пути соответствуют два маршрута: М—В—Б—А—Г—М и М——А—Б—В—М. Впрочем, на самом деле это один и тот же путь, только пройденный в разных направлениях. 106 f Графы и деревья, каждому ребру которых присвое-^ но число, называют взвешенными. При этом число, присвоенное ребру, называется весом этого ребра. Конечно, взвешенные деревья и графы можно использовать не только для поиска кратчайшего пути. Это может быть или самый дешёвый путь (при передвижении на транспорте), или самый безопасный путь, или путь, который требует наименьших затрат энергии, или путь, выбранный как-нибудь иначе. Так можно решать самые разные задачи на поиск наилучшего способа. 196 Рассмотри граф, представляющий схему дорог от дома, где живёт Коля, до школы. Нарисуй дерево перебора возможных маршрутов от дома Коли до школы. В качестве вершин такого дерева используй вершины графа (точки, отмеченные на схеме буквами). Через каждую точку можно проходить не больше одного раза, по дорогам со стрелками можно двигаться только в направлении стрелок. Какой путь оказался самым коротким? Дом Коли 107 197 Построй все подмножества множества V. Для этого сначала построй дерево перебора подмножеств. 198 процесс вычисления значения арифметического выражения тоже можно изобразить при помощи дерева. В таком дереве каждый родитель является результатом арифметической операции, применённой ко всем его детям. При этом родитель изображается в виде знака этой операции. Для каждого дерева напиши арифметическое выражение, которое соответствует этому дереву. —ч 2 5 \1/ Nk -f- + -I- 7“^ 7 89 6 17 \1/ \l7 В 7-\ 45 9 \1/ \1/ 7^ 15 8 7~Т + 7^ 8 /—ч 7~^ 71 33 Nl' Nk 7~\ 7^ 21345 26 789 199 Реши задачу. Крыса бежит по лабиринту, который устроен так, что сначала она должна выбрать один из двух проходов, затем один из трёх проходов, а за каждым из них её ожидают четыре прохода. Войдя в какой-то проход, крыса не может вернуться через него обратно. Сколькими различными путями крыса может пройти лабиринт от начала до конца? 108 200 □ Схема линий метро — это тоже граф, вершинами которого являются станции, а рёбрами — линии между станциями. Пользуясь этой схемой линий метрополитена Санкт-Петербурга, выпиши названия всех станций, до которых можно доехать от станции «Новочеркасская» не больше, чем за 11 мин, если на переезд между каждыми двумя соседними станциями уходит 3 мин, а на каждую пересадку — 5 мин. Для решения построй дерево перебора вариантов, присвоив каждому ребру свой вес — время в пути. А£ГТОБУС№80 ДЕВЯТКМЮ ж.д.стАицт'яюятвпг ГРАЖДАНСКИЙ ПР. АКАДЕМИЧЕСКАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ па МУЖЕСТВА ЛЕСНАЯ ВЬБОРГСКАЯ ПЛ. ЛЕНША ФИюя^^аоФвоаля МАЯКОВСКАЯ ПЛ. ВОССТАНИЯ шхмокжтаооАя ПЛ АЛ. НЕВСКОГО-I Ш1. АЛ. НЕВСКОГО Ч1 ВАРШАШМЫВОКЗАЯ БАИПФСЯЧЛВОЮАЯ БАЛТИЙСКАЯ НАР8СКАЯ КИРОВСКИЙ ЗАВОД АВТОЮ ЛЕНИНСКИЙ ПР. ПР. ВЕТЕРАНОВ ШНИЯ1 3 ЛИНИЯ2 4 ЛИНИЯ 3 линия4 109 201 Инициалы — это первые буквы имени и отчества. Например, инициалы Татьяны Михайловны — Т. М., инициалы Николая Николаевича — Н. Н. Сосчитай, сколько в русском языке может быть таких двухбуквенных инициалов. 1^ Ясно, что в инициалах не встретятся буквы Ъ, Ь. Имена, начинающиеся на остальные буквы, даже если их нет в списке русских имёщ могут встретиться в именах у других народов, например: Йорган, Ёшка, Щедрик. Поэтому остальные буквы следует учитывать. Дерево перебора в этой задаче будет большим. Не строя дерева, опиши его по образцу: 1. В этом дереве ... уровня. 2. В этом дереве у каждой корневой вершины ровно ... детей. 3. В этом дереве всего ... листьев. Теперь, пользуясь своим описанием, ответь на вопрос задачи. 202 Построй все такие последовательности бусин, для которых все следующие утверждения истинны: Длина этой последовательности меньше 4. Каждая бусина этой последовательности содержится в множестве Р. В этой последовательности есть две одинаковые бусины. ЛР 203 204 205 Нарисуй, как разрезать многоугольник Y чтобы получились два одинаковых многоугольника на сетке. Построй все возможные последовательности длины 3, составленные только из нулей и единиц. Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры числа 543? Построй дерево перебора вариантов. 110 ш в настоящее время в России принята система автомобильных номеров, в которых сначала идёт буква русского алфавита, потом три цифры, а затем ещё две буквы. Кроме того, отдельно справа пишется номер региона, к которому приписан автомобиль. Сосчитай, сколько существует разных автомобильных номеров в одном регионе (т. е. если не учитывать номер региона). Следует учесть, что в автомобильных номерах буквы Ё, Й, Ъ, Ы, Ь не используются. Дерево перебора в этой задаче будет большим. Не строя дерева, опиши его по образцу; 1. В этом дереве всего ... уровней. 2. В этом дереве всего ... корневых вершин. 3. В этом дереве у каждой корневой вершины ровно ... детей. 4. В этом дереве у каждой вершины второго уровня ровно ... детей. в этом дереве всего ... листьев. Теперь, пользуясь своим описанием, ответь на вопрос за дачи. Реши задачу. Один биолог открыл удивительную разновидность амёб. Каждая из них через одну минуту делится на две. Биолог кладёт амёбу в пробирку, и ровно через час пробирка оказывается заполненной амёбами. Сколько времени потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё положить не одну, а две амёбы? L*i?J Даны буквы древнееврейского алфавита. Найди три одинако вые буквы. ЛpЛTЛЭnЗ■|^<3!)pD'?J^ДD 111 Игры с полной информацией V- "li. Игры — важная часть жизни детей. Взрослые тоже часто играют в игры; кроме того, изучению игр посвящены большие разделы информатики и математики. Существует много разных видов игр: спортивные, компьютерные... Игры, которые мы будем изучать, в математике называются играми с полной информацией. В таких играх в любой момент каждому игроку известно всё, что произошло в игре к этому моменту и какие ходы возможны. Это, например, такие игры, как шахматы, шашки, «крестики-нолики». Игры, исход которых хотя бы частично зависит от случая например, большинство карточных игр, игральные кости, «морской бой», — не являются играми с полной информацией. Обсуждая игры, мы будем использовать следующие понятия: Игроки — это участники игры. В наших играх всегда будет два игрока, мы будем называть их Первый и Второй. Позиция игры — это то, что в 1^акой-то момент получилось при игре двух игроков. Ход игры изменяет позицию. Игроки делают ходы поочерёдно. Первый ход всегда делает Первый. Начальная позиция. — это позиция, которая имеется перед началом игры. Заключительная позиция — такая ситуация в игре, после которой игра продолжаться не может. Партия игры — это один тур игры двух игроков. Партию игры можно представить в виде последовательности позиций, которая начинается с начальной позиции и заканчивается одной из заключительных позиций. Кто из игроков выиграл в этой партии, определяется по тому, какой именно заключительной позицией закончилась партия. Правила игры: — описывают начальную позицию] — определяют, какие ходы возможны в игре; — описывают все возможные заключительные позиции и для каждой заключительной позиции указывают каков исход партии — выиграл Первый, выиграл Второй или партия закончилась вничью. 112 Мы начнём из>^ать игры с полной информацией с игры Камешки. ПРАВИЛА ИГРЫ КАМЕШКИ Начальная позиция. Куча камешков (5 штук и больше). Вместо камешков можно использовать любые мелкие предметы — пуговицы, фасоль, палочки, скрепки. Возможные ходы. Игрок забирает из кучи разрешённое число камешков. Это число определяется дополнительными правилами игры. Как определить победителя. Заключительная позиция игры — это пустая куча камешков. При этом игрок, который забрал последний камешек из кучи, считается выигравшим (и, значит, в этой игре ничьих не бывает). Как видно из правил, в игре Камешки неважно, какие именно камешки были в куче до начала игры и какие именно камешки забирает игрок на своём ходу. Важно только то, сколько камешков было до начала и сколько их осталось после каждого хода. Рассмотрите последовательность W позиций партии игры Камешки (начальная позиция — 6 камешков, разрешается брать 1 или 2 камешка за один ход): w|-6~4“3“2“0^ Позиции, которые получились после ходов Первого, помечены в последовательности W синим цветом. Позиции, которые получились после ходов Второго, остались чёрными. Первый член последовательности W — это начальная позиция, второй член — позиция после первого хода (напомним, что первый ход всегда делает Первый), ..., последний член последовательности W — заключительная позиция. Заключительная позиция получилась в результате хода Второго: Второй забрал 2 оставшихся камешка и выиграл в партии W. 5-14631 А. Л. С’^мспов 113 Дерево игры Последовательность позиций изображает только одну партию. Построим теперь дерево перебора всех возможных партий игры с данными правилами. Такое дерево называется деревом игры. Единственной корневой вершиной дерева игры является начальная позиция, вершинами второго уровня — все позиции, возможные после первого хода, вершинами третьего уровня — все позиции, возможные после второго хода, и т, д. Листья дерева игры — это заключительные позиции. Позиции нашей игры Камешки после ходов Первого помечены в дереве А синим, а после ходов Второго — чёрным. Для удобства можно пометить каждое ребро дерева числом, которое показывает, сколько камешков забрал игрок на этом ходу. ! ■ Каждый путь дерева И1ры является последовательностью одной ИЗ возможных партий игры. Множество всех путей дерева — это множество всех возможных в данной игре партий. 114 209 Построй последовательность позиций такой партии игрь Камешки (начальная позиция — 11 камешков, разрешается брать 1, 2 или 3 камешка за один ход), в которой выиграл Первый. Позиции изображай числами. Теперь построй последовательность позиций другой партии (той же игры), в которой выиграл Второй. 210 Г -г.'Г' 211 т Устройте мини-соревнование с соседом по парте — сыграйте 8 партий в Камешки (начальная позиция — 7 камешков, разрешается брать 1 или 2 камешка за один ход). Начинайте игру по очереди: пусть один из вас играет Первым в партиях с чётными номерами, а другой — с нечётными. Заполни таблицу мини-соревнования (образец такой таблицы дан справа, вырежи такую таблицу из вкладыша тетради проектов и наклей в тетрадь). Пусть за каждую победу игрок получает 1 очко, а за поражение — О очков. Сколько раз в вашем соревновании выиграл Первый? Нарисуй дерево Б чальная позиция -решается брать 1 \ Игроки Партии \ и: s: :0) О СО Н 03 5 о о о о: 5 1-я партия 2-я партия 3-Я партия 4-я партия 5-я партия 6-я партия 7-я партия 8-я партия итого игры Камешки (на-5 камешков, разили 2 камешка за один ход). Запиши позиции, которые получились в результате хода Перво-о, синим, а позиции, которые получились в результате хода Второго, чёрным. Обведи синим листья дерева Б, соответствующие партиям, в которых выиграл Первый. Обведи зелёным листья, соответствующие партиям, в которых вь играл Второй. Реши задачу, построив дерево перебора вариантов. В школьной столовой продают шоколадки по 15 р. и мороженое по 12 р. за порцию. У Оли есть 102 р. Сколько Оле нужно купить шоколадок и сколько порций мороженого, чтобы истратить все свои деньги? Найди все возможные варианты такой покупки. 115 213 Прочитай описание игры Крестики-нолики: Игра ведётся на поле размером 3x3 клетки. В игре принимают участие два игрока, которые делают ходы по очереди. Во время хода игрок рисует свой значок в свободной клетке поля. Первый игрок рисует крестики, второй игрок рисует нолики. Если на поле возник ряд из трёх крестиков (по горизонтали, по вертикали или по диагонали), то выиграл первый игрок; если возник ряд из трёх ноликов, то выиграл второй игрок. Если все клетки поля заполнены значками, но ряда из трёх одинаковых значков не возникло, то игра закончилась вничью. Сформулируй правила этой игры по образцу: Начальная позиция. Возможные ходы. Как определить победителя. В этой игре заключительные позиции бывают трёх видов; 1) ... (выиграл Первый): 2) ... (выиграл Второй); 3) ... (партия закончилась вничью). Нарисуй примеры заключительных позиций каждого из трёх видов, подпиши свои рисунки — напиши, кто выигрывает при такой заключительной позиции. 214 Пусть S — множество всех букв, которые встречаются в слове КАРТОШКА, и R — множество всех букв, которые встречаются в слове МАКАРОНЫ. Построй пересечение и объединение множеств S и R. 215 Построй последовательность А позиций такой партии игры Камешки (начальная позиция — 5 камешков, разрешается брать 1, 2 или 4 камешка за один ход), в которой на третьем ходу выиграл Первый. Построй последовательность Б позиций такой партии той же игры, в которой на четвёртом ходу выиграл Второй. Теперь построй дерево В этой игры. Найди в дереве В путь, равный последовательности А, и обведи лист, соответствующий этому пути, красным. Найди в дереве В путь, равный последовательности Б, и обведи лист, соответствующий этому пути, синим. 116 216 Даны правила игры Ползунок. ПРАВИЛА ИГРЫ ПОЛЗУНОК Начальная позиция. Игровое поле состоит из нескольких рядов точек, расположенных в прямоугольнике. Пример такого поля приведён справа. Возможные ходы. На первом ходу Первый соединяет горизонтальным или вертикальным отрезком две любые соседние точки. На каждом из следующих ходов игрок проводит горизонтальный или вертикальный отрезок, соединяющий один из концов получившейся до этого ломаной линии, с какой-нибудь соСедней точкой, через которую линия ещё не прошла. Такие ходы не разрешены: СП на Как определить победителя. Игра заканчивается, если очередной ход сделать нельзя. Выигрывает игрок, который сделал последний ход. Рассмотри последовательность S позиций партии игры Ползунок на поле 4x3 точки. Ходы Первого помечены синим, ходы Второго — оранжевым. Ответь на вопросы: а) Сколько ходов было сделано в этой партии? б) Сколько ходов сделал Первый и сколько — Второй? в) Кто выиграл? 217 Построй последовательность К позиций такой партии игры Ползунок на поле 4x3, в которой выиграл Второй. Заготовки полей можешь вырезать из вкладыша тетради проектов. Теперь построй последовательность Р такой партии той же игры, в которой выиграл Первый. 117 218 Рассмотри последовательность М позиций партии игры Крестики-нолики. Ответь на вопросы; а) Сколько ходов было сделано в этой партии? б) Сколько ходов сделал Первый и сколько — Второй? в) Каков исход партии? м[- 219 Построй такую последовательность партии Крестики-нолики, в которой на седьмом ходу выигрывает Первый. □ Заготовки полей можешь вырезать из вкладыша тетради проектов. т •1 Определи по графу, сколькими способами можно проехать из города Л в город М. По дорогам со стрелками можно двигаться только в направлении стрелок по каждой дороге можно проезжать не больше одного раза. Афины 118 Ш' Выигрышная стратегия Мы строили различные партии игр, но при этом совсем не принимали во внимание стремление игроков к победе. Теперь нас буд;^^’ интересовать лишь такие партии, в которых оба игрока стремятся к победе. Будем называть такие партии разумными. Игроков, которые стараются победить, а не делаю'1’ ходы наугад, мы тоже будем называть разумными. Итак, играют двое и каждый из них стремится к победе. Если правила игры не допускают ничьей, то в каждой партии кто-то из игроков обязательно выигрывает. Оказывается, что в каждой игре с полной информацией, правила которой не допускают ничьей, существует выигрышная стратегия для одного из игроков. ' Выигрышная стратегия — это правило, следуя которому, один из игроков может выиграть, как бы ни играл его противник. Используя .это правило, можно победить не только ра.эумиого, но и очень сообразительного соперника. Ясно, что для каждой игры с определёнными правилами выигрышную стратегию может иметь только один из игроков. Мы упоминали о том, что шахматы и шашки тоже игры с полной информацией. Значит, и в этих играх есть выигрышная стратегия для одного из игроков. Почему же тогда никто не воспользуется такой стратегией? Поиск выигрышной стратегии в игре с полной информацией происходит при помощи перебора всех возможных партий игры. Для этого строится дерево игры и изучаются вершины построенного дерева. Дерево игры в шахматы огромно: на первом уровне такого дерева 20 вершин, на втором — уже 400 верпгин! Построить такое дерево пока не удалось никому, даже при помощи самого мощного компьютера, поэтому и выигрышную стратегию найти тоже пока не удалось. Неизвестно даже, кто из игроков в шахматной игре имеет такую стратегию. В играх, которые допускаю'г ничью, может существовать ничейная стратегия — правило, позволяющее каждому из игроков свести любую партию к ничьей. Ничейная стратегия есть, например, в игре Крестики-нолики. 119 Выигрышные и проигрышные позиции Для того чтобы найти выигрышную стратегию, нужно последовательно рассмотреть все возможные позиции игры. Все позиции игры можно перебрать, построив дерево игры. Трудность здесь в том, что для многих игр такое дерево оказывается слишком большим. Но для некоторых игр удаётся построить выигрышную стратегию без перебора всех возможных позиций. Такие игры мы обсудим позже. Одна из немногих игр, в которых можно перебрать все позиции, не строя дерева игры, — это игра Камешки'. ведь все возможные позиции этой игры укладываются в начало числового ряда от нуля до начальной позиции. Рассмотрим игру Камешки с начальной позицией 8 камешков, в которой разрешается брать на каждом ходу 1, 3 или 4 камешка. Из^^ать позиции игры будем с точки зрения разумного игрока, чья очередь де.лать ход (кто именно из игроков — Первый или Второй — неважно). Разместим все возможные позиции игры на числовой линейке: 0|1[213Т4]5|6Т7|8| f Назовём позицию выигрышной, если из неё есть • ход, который оставит противнику проигрышную позицию. § Назовём позицию проигрышной, если любой ход из • неё оставляет противнику выигрышную позицию. Позиция О проигрышная: партия закончена, игрок, чья очередь была бы делать ход, уже проиграл. Позиции 1, 3 и 4 выигрышные: игрок может забрать все камешки и тем самым оставить противнику проигрышную позицию 0. Позиция 2 проигрышная: из этой позиции можно сделать только один ход — взять один камешек и тем самым оставить противнику выигрышную позицию 1. Пометим на числовой линейке выигрышные позиции красным, а проигрышные — синим. 1 У’ 8 120 Позиция 5 выигрышная: взяв 3 камешка, игрок оставляет противнику проигрышную позицию 2. Так же и позиция 6 выигрышная: взяв 4 кг1мешка, игрок оставляет противнику проигрышную позицию 2. O’t 2i3 4 5 6l7l8 Позиция 7 проигрышная: все ходы, которые можно сделать из этой позиции, оставляют противнику выигрышные позиции 6, 4 или 3. Начальная позиция 8 выигрышная: взяв один камешек, игрок оставляет противнику проигрышную позицию 7. Oil 2 3 4 5 б 7 8 Изучая позиции игры от заключительной к начальной, мы последовательно пометили все возможные позиции игры как выигрышные шаи проигрышные. При этом начальная позиция оказалась выигрышной. Это означает, что в данной игре выигрышную стратегию имеет Первый (тот, кто должен делать ход в начальной позиции). Пользуясь раскрашенной числовой линейкой, сформулируем выигрышную стратегию для Первого: 1. На первом ходу взять 1 камешек (при этом Второму достаётся 7 камешков). 2. На третьем ходу взять столько камешков, чтобы оставить на столе только 2 камешка или О камешков (сколько именно камешков при этом надо взять, зависит от того, сколько камешков возьмёт Второй на втором ходу). 3. На пятом ходу (если игра не закончилась раньше) забрать 1 оставшийся камешек и выиграть. f Выигрышная стратегия заключается в том, чтобы • после каждого хода оставлять противнику проигрышную позицию. Поэтому выигрышную стратегию в игре имеет тот игрок, который первым сможет занять выигрышную позицию. Поэтому: ^ Если начальная позиция выигрышная, то выигрыш- • ную стратегию имеет Первый, если проигрышная — Второй. 121 Нарисуй, как разрезать многоугольник Q, чтобы получились четыре одинаковых многоугольника на сетке. 222 Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная позиция 15, разрешается брать 1, 3 или 4 камешка). Дгя этого исследуй все позиции игры, раскрась числовую линейку (можно вырезать заготовку числовой линейки со вкладыша тетради проектов). Выясни, у кого из игроков есть выигрышная стратегия. Построй последовательность такой партии, в которой этот игрок следует выигрышной стратегии, а его противник на каждом ходу берёт 1 камешек. 223 Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная позиция 14, разрешается брать 1, 3 или 4 камешка). Можешь воспользоваться числовой линейкой, уже раскрашенной в ходе решения задачи 222. Выясни, у кого из игроков есть выигрышная стратегия в этой игре, сформулируй выигрышную стратегию. 224 Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная позиция 214, разрешается брать 1 или 2 камешка). Для решения не обязательно раскрашивать числовую линейку от О до 214 целиком. Вместо этого можно: 1) раскрасить позиции о'^ О до 15; 2) найти закономерность расположения проигрышных позиций на числовой прямой; 3) определить, какой будет начальная позиция, а, значит, выяснить, у кого из игроков есть выигpыuJнaя стратегия; 4) сформулировать выигрышную стратегию, не перечисляя проигрышные позиции, а описывая их. 22 Я Реши задачу. Пятеро друзей встретились и обменялись рукопожатиями каждый с каждым. Сколько всего было рукопожатий? 122 226 Даны правила игры Сотня: 227 а 228 ПРАВИЛА ИГРЫ СОТНЯ Начальная позиция. Число О. Возможные холы. На каждом ходу игрок прибавляет к имеющемуся числу любое целое число от 1 до 9 включительно. Как определить победителя. Игра заканчивается, если позиция оказывается равной 100. При этом выиграл тот, кто прибавил последнее число. Устройте мини-соревнование с соседом по парте — сыграйте 4 партии в Сотню. Начинайте игру по очереди; пусть один из вас играет Первым в партиях с чётными номерами, а другой — с нечётными. Заполни таблицу мини-соревнования (образец такой таблицы дан в задаче 210, вырежи такую таблицу из вкладыша тетради проектов). Пусть за каждую победу игрок получает 1 очко, а за поражение — О очков. Сколько раз в вашем соревновании выиграл Второй? Найди выигрышную стратегию в игре Сотня. Для этого: 1) начни раскрашивать числовую линейку, начиная с заключительной позиции — от 100 до 78 (можно вырезать заготовку числовой линейки со вкладыша тетради проектов); 2) найди закономерность расположения проигрышных позиций на числовой прямой; 3) определи, какой будет начальная позиц/.я — выигрышной или проигрышной, — а, значит, выясни, у кого из игроков есть выигрышная стратегия; 4) сформулируй выигрышную стратегию. Построй последовательность Г бусин длины не меньше пяти, такую, чтобы все следующие утверждения не имели смысла для этой последовательности: 123 229 Дерево игры Ползунок на поле 5x4 очень большое, оно не помещается на странице. L — это часть такого дерева игры, состоящая из некоторой вершины (т. е. позиции) А и всех вершин, в которые из А идут пути. Таким образом, L есть дерево перебора всех возможных окончаний игры из позиции А. Определи, какой игрок — Первый или Второй — должен ходить в позиции А. Затем определи, у кого из игроков есть выигрышная стратегия. Для этого: 1) перерисуй дерево L в тетрадь, заменив позиции их именами; 2) исследуй все позиции дерева L в учебнике и обведи в тетради имя каждой выигрышной позиции красным, а проигрышной — синим; 3) определи, у кого из игроков есть выигрышная стратегия и запиши эту стратегию в виде последовательности позиций. 124 230 Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная позиция 10, разрешается брать 1, 2 или 3 камешка). [2 Для этого исследуй все позиции игры, раскрась числовую линейку. Выясни, у кого из игроков есть выигрышная стратегия. Построй последовательность позиций такой партии, в которой этот игрок следует выигрышной стратегии, а его противник на каждом ходу берёт 2 камешка. 231 □ Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная позиция 308, разрешается брать 1, 2 или 3 камешка). Для решения не обязательно раскрашивать числовую линейку от О до 308 целиком, а можно; 1) раскрасить позиции от О до 16; 2) найти закономерность расположения проигрышных позиций на числовой прямой; 3) определить, какой будет начальная позиция, а значит, выяснить, кто из игроков обладает выигрышной стратегией; 4) сформулировать выигрышную стратегию, не перечисляя проигрышные позиции, а описывая их. Прочитай описание игры Назови 26: Играют двое. Первый игрок называет любое натуральное число, не превосходящее 4, т. е. одно из чисел: 1, 2, 3, 4. Второй игрок прибавляет к названному числу своё число, также не превосходящее 4. К этой сумме первый прибавляет какое-либо натуральное число, не превосходящее 4, и сообщает сумму, и т. д. Выигрывает тот, кто первым достигнет числа 26. □ Сформулируй правила этой игры как игры с полной информацией. Найди выигрышную стратегию в этой игре. Сколькими различными путями пешка может пройти по шахматной доске из поля с5 на поле а8, если будет двигаться только влево или вверх? Пешка может за один ход сдвинуться только на одно поле. 125 Выигрышные стратегии. Продолжение Продолжим изучение различных игр и поиск выигрышных стратегий путём исследования всех позиций игры. Вы знаете, что у большинства игр деревья игры слишком велики, чтобы мы могли исследовать все позиции такой игры на дереве. Если каждую позицию можно представить в виде числа (как в играх Камешки и Сотня), то все позиции такой игры можно разместить на числовой линейке и исследовать по порядку. Это возмолс-но только тогда, когда разных позиций-чисел не слишком много. Рассмотрим другие примеры игр, все позиции которых мы молсем удобно распололси'гь. Такими играми, например, являются игры на. шахматной доске, в которых игра ведётся только одной фигурой. В такой игре каждая позиция соответствует тому полю шахматной доски, на котором находится фигура (полем в шахматах называется клетка шахматной доски). Поэтому, исследовав все поля шахматной доски, мы исследуем все возможные позиции игры. Каждое поле шахматной доски имеет имя, состоящее из латинской буквы и цифры. Например, поле с красной точкой имеет имя d4, а поле с зелёной точкой — имя g6. с d е f g h d е f g h ПРАВИЛА ИГРЫ КОРОЛЬ Начальная позиция. Игра ведётся на шахматной доске, король стоит на одном из полей (на каком именно — устанавливается дополнительными правилами). Возможные ходы. На каждом ходу игрок передвигает короля на одно поле влево, или на одно поле вниз, или на одно поле влево-вниз по диагонали. Как определить победителя/ Игра заканчивается. если король оказывается в левом нижнем углу доски — на поле а1. Выигрывает игрок, который сделал последний ход. 126 с d е f в h с d е f g h Исследуем все позиции игры Король с начальной позицией d4. Для работы возьмём рисунок шахматной доски, не раскрашенный в шахматном порядке: ведь шахматная раскраска в этой игре роли не играет, а нам при раскрашивании полей она будет мешать. Выигрышные позиции будем раскрашивать красным цветом, проигрышные — синим. Начнем с заключительной позиции — поля al. Эта позиция проигрышная. Все позиции, из которых за один ход можно попасть на поле al, — поля а2, Ь2, Ы — выигрышные позиции. Дальше выбираем для исследования только те поля, все ходы из которых ведут на уже раскрашенные поля. с поля аЗ можно пойти только на поле а2 (выигрышное) — значит, позиция аЗ проигрышная. Аналогично этому позиция с1 проигрышная. Из позиции ЬЗ можно перейти в проигрышную позицию аЗ — значит, позиция ЬЗ выигрышная. Аналш’ично этому выигрышной является позиция с2. Все ходы из позиции сЗ ведут в выигрышные позиции, поэтому позиция сЗ проигрышная. Так мы будем раскрашивать поля, пока не раскрасим все поля квадрата 4x4. Остальные поля доски раскрашивать не надо, потому что они не являются позициями игры Король с начальной позицией d4. Начальная позиция (поле d4) выигрышная; значит, выигрышная стратегия есть у Первого, и заключается она в следующем: 1) пойти на поле сЗ; 2) в зависимости от хода Второго пойти на поле с1 либо на поле аЗ; 3) какой бы ход ни сделал Второй, пойти на поле al. 127 Есть и другие игры, для которых все позиции можно расположить в таблице, похожей на изображение шахматной доски. Такова, например, игра Две кучи камешков: ПРАВИЛА ИГРЫ ДВЕ КУЧИ КАМЕШКОВ Начальная позиция. Две кучи камешков (сколько камешков в каждой куче, устанавливается дополнительными правилами). Возможные ходы. На каждом ходу игрок может взять либо один камешек из одной из куч, либо по одному камешку из обеих куч одновременно. Как определить победителя. Игра заканчивается, если все камешки закончились. Выигрывает тот игрок, который забрал последний камешек. Каждая позиция этой игры — это две кучи камешков; её можно представить в виде пары чисел, где первое число — количество камешков в первой куче, а второе — во второй. Например, пара (5; 2) — позиция игры, где в первой куче 5 камешков, а во второй — 2. Все возможные позиции такой игры можно расположить в таблице, столбцы и строки которой занумерованы числами О, 1, 2 и т. д. Каждая клетка таблицы соответствует некоторой позиции: номер столбца, в котором находится данная клетка, — это число камешков в первой куче, а номер строки — число камешков во второй. На рисунке справа показана таблица для игры Две кучи камешков, где в начальной позиции в первой куче 6 камешков, а во второй — 7. Зелёной точкой помечена клетка, соответствующая позиции (5; 2). При помощи такой таблицы все позиции данной игры можно исследовать так же, как мы исследовали позиции игры Король. Это ты сделаешь, когда будешь решать задачи. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 128 234 Исследуй все позиции игры Король о начальной позицией h8: 1) раскрась шахматную доску, начиная с заключительной позиции — с клетки а1\ 2) определи, выигрышной или проигрышной будет начальная позиция, а значит, выясни, у кого из игроков есть выигрышная стратегия. Рисунки шахматной доски для работы можно вырезать из вкладыша тетради проектов. 235 Даны правила игры Ладья: ПРАВИЛА ИГРЫ ЛАДЬЯ Начальная позиция. Игра ведётся на шахматной доске, ладья стоит на одном из полей (на каком именно ~ устанавливается дополнительными правилами). Возможные ходы. На каждом ходу игрок передвигает ладью на сколько угодно полей вправо или на сколько угодно полей вверх. Как определить победителя. Игра заканчивается, если ладья оказывается в углу доски — на поле h8. Выигрываел сделал последний ход. правом верхнем игрок, который гз 236 Сыграй с соседом по парте две партии в Ладью с начальной позицией а1 и две партии с начальной позицией а2. Нарисуй на шахматной доске путь, который прошла ладья в течение одной из сыгранных вами партий. Рисунки шахматной доски для работы можно вырезать из вкладыша тетради проектов. Определи, при каких начальных пози1диях в игре Ладья выигрышная стратегия есть у Первого и при каких — у Второго: 1) раскрась шахматную доску, начиная с заключительной позиции ~ поля h8\ 2) постарайся коротко описать, при каких начальных позициях выигрышную стратегию имеет Первый и при каких — Второй; 3) сформулируй выигрышную стратегию для Первого в игре с начальной позицией на поле а2; 4) сформулируй выигрышную стратегию для Второго в игре с начальной позицией на поле а1. 129 237 Даны правила игры Ферзь: ПРАВИЛА ИГРЫ ФЕРЗЬ Начальная позиция. Игра ведётся на шахматной доске, ферзь стоит на одном из полей (на каком именно — устанавливается дополнительными правилами). Возможные ходы. На каждом ходу игрок передвигае! ферзя на сколько угодно полей влево, или на сколько угодно полей вниз, или на сколько угодно полей по диагонали влево-вниз. Как определить победителя. Игра заканчивается, если ферзь оказывается в левом нижнем углу доски — на поле а/. Выигрывает игрок, который сделал последний ход. Найди выигрышную стратегию в игре Ферзь с начальной позицией д8 и в той же игре с начальной позицией h5: 1) раскрась все поля шахматной доски, начиная с заключительной позиции — поля а/; 2) для каждой из двух начальных позиций (д8 и h5) определи, какой она будет — выигрышной или проигрышной, а значит, у кого из игроков есть в игре с этой начальной позицией выигрышная стратегия; 3) сформулируй выигрышную стратегию для каждой из этих двух начальных позиций. Теперь выпиши имена шести полей, с начальными позициями в которых в игре Ферзь выигрышная стратегия есть у Первого. Выпиши имена ещё шести полей, с начальными позициями в которых в игре Ферзь выигрышная стратегия есть у Второго. 238 Построй часть дерева игры Ползунок с данной позицией в корневой вершине. По образцу, приведённому на странице 124, дай всем вершинам полученного дерева имена и найди выигрышную стратегию □окончания игры из этой позиции. Для этого проведи исследование, как в задаче 229. 130 0 12 3 4 0 1 2 3 4 5 :т 239 Найди выигрышную стратегию в игре Две кучи камешков с начальной позицией (4; 5): раскрась поле, начиная с заключительной позищ^и — клетки (0; О), и определи, какой будет начальная позиция — выигрышной или проигрышной, а значит, у кого из игроков есть выигрышная стратегия. Запиши последовательность позиций какой-нибудь партии, в которой один из игроков использует выигрышную стратегию, а другой на первом своём ходу берёт по одному камешку из каждой кучи, а на следующем — берёт один камешек из одной из куч (позиции обозначай парами чисел). 240 Даны правила игры Две кучи камешков 2: ПРАВИЛА ИГРЫ ДВЕ КУЧИ КАМЕШКОВ 2 Начальная позиция. Две кучи камешков (сколько камешков в каждой куче, устанавливается дополнительными правилами). Возможные ходы. На каждом ходу игрок может взять либо сколько угодно камешков из одной кучи, либо поровну камешков из обеих куч одновременно. Как определить победителя. Игра заканчивается, если все камешки закончились. Выигрывает игрок, который забрал последний камешек. Напиши последовательность позиций партии игры Две кучи камешков 2. а) с начальной позицией (9; 6), в которой выиграл Первый; б) с начальной позицией (7; 4), в которой выиграл Второй. Реши задачу, используя поиск выигрышной стратегии в игре. Алёша Попович и Добрыня Никитич воюют с девятиглавым змеем. По очереди Богатыри ходят к его пещере и отрубают 1, 2 или 3 головы. Как начавшему бой Алёше обрести славу победителя змея (отрубить последнюю голову)? 131 242 ВЯ Найди выигрышную стратегию в игре Две кучки камешков 2 с начальной позицией (6; 10) и в той же игре с начальной позицией (9; 8): 1) раскрась таблицу 11x11, начиная с заключительной позиции — клетки (0; 0)] 2) определи, какой будет каждая из данных начальных позиций — выигрышной или проигрышной, — а значит, у кого из игроков есть в этой позиции выигрышная стратегия; 3) сформулируй выигрышную стратегию для каждой из данных начальных позиций. Теперь для каждой из данных начальных позиций запиши последовательность позиций какой-нибудь партии, в которой один из игроков использует выигрышную стратегию, а другой на каждом ходу берёт по одному камешку из каждой кучки. Нарисуй, как разрезать многоугольник G, чтобы получились два одинаковых многоугольника на сетке. -Ы Даны правила игры Пешка: ПРАВИЛА ИГРЫ ПЕШКА Начальная позиция. Игра ведётся на шахматной доске, пешка стоит на одном из полей (на каком именно поле — устанавливается дополнительными правилами). Возможные ходы. На каждом ходу игрок передвигает пешку на одно поле влево или на одно поле вниз. Как определить победителя. Игра заканчивается, если пешка оказывается в левом нижнем углу доски — на поле а1. Выигрывает тот игрок, который сделал последний ход. Исследуй игру Пешка, Попытайся объяснить, почему в этой игре выигрышная стратегия не нужна — победа не зависит от того, насколько умело играют игроки. При каких начальных позициях в игре Пешка выигрывает Первый и при каких — Второй? 132 Равновесные ~1 выигрышные стратегии До сих пор для того чтобы построить выигрышную стратегию, мы исследовали все позиции игры и выделяли выигрышные и проигрышные позиции. Но для многих игр существуют стратегии, построение которых не требует исследования всех позиций. Таковы, например, равновесные стратегии, которыми мы сейчас займёмся. Рассмотрим игру Монеты на весах: ПРАВИЛА ИГРЫ МОНЕТЫ НА ВЕСАХ Начальная позиция. На каждой чашке весов лежат монеты (сколько именно монет лежит на каждой чашке, устанавливается дополнительными правилами). Все монеты одинаковые. Возможные ходы. На каждом ходу игрок может взять сколько угодно монет с одной чашки. Как определить победителя. Игра заканчивается, если все монеты закончились. Выи| рывает игрок, который забрал последнюю монету. Пусть в начальной позиции на каждой чашке лежит по 20 монет. При такой начальной позиции весы находятся в равновесии — ведь монет на чашках поровну, и все монеты одинаковые. Первый любым своим ходом это равновесие нарушит — он возьмёт монеты только с одной чахпки. А Второй может восстановить равновесие — взять столько же монет с другой чашки. Пусть и дальше Второй каждым своим ходом восстанавливает равновесие. Выигрышна ли такая стратегия для Второго? Восстанавливая равновесие на каждом ходу. Второй добивается того, что все равновесные позиции достаются Первому. Но и заключительная позиция — равновесная (на обеих чашках ничего нет), так что и эта позиция в какой-то момент игры достанется Первому. При этом Первый уже не сможет сделать очередной ход и проиграет. Таким образом, описанная стратегия является выигрышной для Второго. 133 Итак, для предложенной равновесной стратегии мы проверили два условия: 1. Второй всегда сможет сделать свой ход. 2. Заключительная позиция обязательно достанется Первому (и поэтому он обязательно проиграет). Оба эти условия выполнены, значит, наша стратегия выигрышная. ^ Стратегию, при которой игрок на кал-сдом своём хо-• ду восстанавливает равновесие (т. е. делает позицию равновесной), мы будем называть равновесной стратегией. В игре Монеты на весах, где начальная позиция неравновесная (например, на одной чашке лежит 15 монет, а на другой — 29), равновесную стратегию имеет Первый: на первом ходу он должен сделать позицию равновесной (взять 14 монет из 29), а дальше повторять ходы Второго, восстанав.пивая равновесие. Эта стратегия выигрыиша для Первого: он всегда сможет сделать ход, а заключительная позиция обязательно достанется Второму. Равновесную стратегию можно строить не только в играх со взвешиванием, но и во многих других играх. Обычно это игры, в которых проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Для построения равновесной стратегии в такой игре нужно сначала сообразить, какие позиции считать «равновесными». При этом важно, чтобы и зак.тючительная позиция тоже оказалась « равновесной ». Равновесную стратегию можно построить, например, для игры Ладья. Действительно, можно считать равновесными такие позиции этой игры, в которых ладья стоит на чёрной диагонали шахматной доски. Тогда в игре с начальной позицией а1 равновесная стратегия Второго состоит в том, чтобы каждый раз после хода Первого возвращать ладью на эту диагональ (и тем самым делать позицию снова равновесной). Такая стратегия оказывается выигрышной для Второго. Следуя этой стратегии, Второй каждый раз передвигает ладью па столько же полей. 134 на сколько её передвинул Первый на предыдущем ходу; но если Первый сделал ход по вертикали, то Второй ходит по горизонтали, и наоборот. Второй всегда сможет сделать такой ход, и заключительная позиция непременно достанется его противнику. На рисунке (с. 134) показан пример партии, в которой Второй следует этой стратегии (на рисунке схема пути ладьи в этой партии). Заметим, что эта равновесная стратегия ничем не отличается от той стратегии, которую мы построили, изучив все позиции игры: мы просто получили один и тот же результат разными способами. Приведём ещё один пример игры, для которой можно построить равновесную стратегию. Это знакомая вам игра Ползунок на поле 5x4. Какие позиции в этой игре мы будем считать равновесными? Начальную позицию этой игры можно повернуть «вверх ногами» — от этого рисунок поля не изменится (см. рисунок справа). Будем считать равновесными и другие позиции, которые не изменяются при таком повороте. Вот примеры таких позиций: I • А А А -i- щ . • г • .' • • • • • • • • • • • • • # • • • • • L-*,— '■ Пусть теперь Первый следует такой равновесной стратегии: на первом ходу он проводит вертикальный отрезок в центре поля (при этом позиция остаётся равновесной). А потом после каждого хода Второго Первый восстанавливает равновесие: если Второй сделал ход на одном конце ползунка (ломаной), то Первый проводит отрезок на другом конце и в обратном направлении. Вот пример начала партии, в которой Первый следует такой стратегии: 135 в :п \Щ 'п: ! ти: 19—Л..Л • * При такой стратегии если Второму удалось сделать ход, то и Первому это удастся — он всегда сможет про вести отрезок на другой стороне поля и восстановить равновесие. Если же Второй сделать ход не может, то Второй уже проиграл. Следовательно, описанная равновесная стратегия выигрышна для Первого. В задачах вы встретитесь со многими другими играми, в которых можно построить выигрышную равновесную стратегию. Некоторые игры будут похожи на те, которые мы разобрали, а другие будут непохожи. В каждой такой игре нужно будет выделить равновесные позиции и описать равновесную стратегию для одного из игроков. После этого останется только убедиться, что построенная вами равновесная стратегия является выигрышной — как бы ни играл противник, игрок, следующий этой стратегии, непременно выиграет. 245 Даны правила игры Шары и ящики. ПРАВИЛА ИГРЫ ШАРЫ И ЯЩИКИ Начальная позиция. Два открытых ящика, в каждом лежат шары. Сколько шаров в каждом ящике определяется дополнительными правилами. Возможные ходы. На каждом ходу игрок забирает из одного ящика сколько угодно шаров. Как определить победителя. Игра заканчивается, если очередной ход сделать невозможно — шары закончились. Выигрывает тот, кто сделал последний ход. 136 ■л-:- y-i Исследуй игру Шары и ящики для различных начальных позиций. Кто из игроков обладает выигрышной стратегией? Опиши эту стратегию. Нужно рассмотреть два варианта начальных позиций: 1) если шаров в ящиках поровну; 2) если шаров в ящиках не поровну. 246 Сформулируй равновесную выигрышную стратегию для Первого в игре Ладья с начальной позицией аЗ. Приведи пример партии этой игры, в которой Первый следует твоей стратегии, — нарисуй путь ладьи в такой партии. 247 В игре Ползунок на поле 4x3 существует равновесная выигрышная стратегия для Первого, подобная той, которая описана на странице 135. Построй последовательность позиций какой-либо партии этой игры, в которой Первый следует равновесной выигрышной стратегии. • • • • • • • • • • • 4 248 249 в игре Ползунок на поле 4x4 равновесную выигрышную стратегию для Первого, которая описана на странице 135, построить не удастся. Но в этой игре существует другая равновесная выигрышная стратегия для Первого. Она получается, если считать равновесными такие позиции, в которых при перегибании поля по синей линии его правая и левая части совпадают. Эта стратегия заключается в зеркальном повторении ходов Второго (представь себе, что зеркало стоит на синей прямой). Построй последовательность позиций какой-либо партии, в которой Первый следует такой стратегии и первым ходом соединяет две средние точки нижнего ряда. Сгруппируй числа множества Р по остаткам от деления на 4: в одну группу помести все числа множества Р, которые делятся на 4 без остатка, в другую — те числа, при делении которых на 4 получается остаток 1, и т. д. • • • • • • • • • • • • • 35 24 71 3 80 10 85 9 144 55 93 46 137 250 Даны правила игры Минусы: ПРАВИЛА ИГРЫ МИНУСЫ Начальная позиция. В строке написано несколько минусов. Сколько именно, определяется дополнительными правилами. Возможные ходы. На каждом ходу игрок переправляет один минус на плюс или два соседних минуса на два плюса. Как определить победителя. Игра заканчивается, если очередной ход сделать невозможно — минусы закончились. Выигрывает тот, кто сделал последний ход. Найди выигрышную стратегию в игре Минусы с начальной позицией 18 минусов и в той же игре с начальной позицией 21 минус. Определи, кто обладает выигрышной стратегией, и опиши эту стратегию для каждой из данных начальных позиций. Теперь попробуй обобщить свои выводы — опиши выигрышную стратегию для любой игры Минусы: а) если начальная позиция — нечётное число минусов; б) если начальная позиция — чётное число минусов. Построй два таких множества бусин А и В, для которых все следующие утверждения истинны: Множество П равно пересечению множеств А и В. Множество О равно объединению множеств А и В. В множестве А жёлтых бусин больше, чем квадратных. В множестве В треугольных бусин больше, чем красных. ЛО /--\П у V___у Пусть Т — множество всех чисел, на которые делится без остатка число 96, и Н — множество всех чисел, на которые делится без остатка число 72. Построй множество всех чисел, на которые делятся без остатка оба числа 96 и 72. 138 253 Исследуй игру Оттесни шашку. У кого из игроков есть равновесная выигрышная стратегия? Сформулируй эту стратегию. ПРАВИЛА ИГРЫ ОТТЕСНИ ШАШКУ Начальная позиция. Полоска 1x20 клеток В клетках полоски стоят белая и чёрная шашки. крайних Возможные холы. Каждый игрок на своём ходу передвигает свою шашку на одну или две клетки по направлению к середине полосы, если это возможно. Перепрыгивать через шашку противника нельзя. Первый двигает белую шашку, Второй — чёрную. Как определить победителя. Игра заканчивается, если очередной ход сделать невозможно. Выигрывает тот, кто сделал последний ход. 254 Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры числа 5434? Построй дерево перебора вариантов. 255 Построй последовательность однозначных чисел длины 5. для которой все следующие утверждения истинны: 256 В этой последовательности следующее число после каждого нечётного •— чётное. Первый член этой последовательности больше третьего на 2. Каждый член этой последовательности есть в множестве К. К П. Б. Петров, А. К. Петров. Реши задачу. Известно, что К. М. Петров, В. Д. Петров, Н. В. Петров, М. С. Петров, И. В. Петров, Д. М. Петров, Р. Б. Петров, Г. Д. Петров, Б. К. Петров — представители одного рода, причём один из них — основатель рода, остальные — его сьновья, внуки и правнуки. Других сыновей, внуков и правнуков у него не было. Построй дерево родства Петровых, если известно, что у каждого отца было по два сына, внуков у основателя рода четыре, а у его сыновей — по два. 139 Биоинформатика. Белки и ДНК. j Почему сын похож на отца? с древних времён люди замечали, что у тигров рождаются тигрята, у птиц — птенцы, у людей — дети. Мало того, дети обычно внешне похожи на родителей имеют тот же цвет глаз, цвет волос или форму носа. Новорожденный младенец часто не похож ни на мать, ни на отца, но со временем он приобретает черты внешнего сходства с матерью и отцом. Получается, что любой организм уже при рождении (а на самом деле ещё до рождения) «знает», какие у него во взрослом состоянии будут глаза, рост или голос. Значит, вся эта информация уже заложена с рождения, она где-то хранится, а по мере роста организм лишь считывает эту информацию и приобретает те черты, которые ему предписаны наследственной программой. Где же и как хранится наследственная информация? Как организм считывает её и понимает? Как он использует эту информацию по мере развития и роста? Этим вопросам много веков. Но ответы учёные стали находить только в последние 50 лет. Всё в мире состоит из отдельных частей — и предметы, и живые организмы. В свою очередь, эти части сами состоят из частей, и т. д. Некоторые более крупные части мы видим, а есть и такие маленькие, которые наш глаз не способен различить (они в миллионы раз тоньше человеческого волоса). Мы видим, например, что дом сложен из кирпичей, но мы не можем различить, из каких частичек состоит вода в стакане. И в воде, и в кирпичах, из которых построен дом, и в клетках тела человека можно выделить мельчайшие частицы, которые называются молекулами. Многое вокруг нас — и живое, и неживое — построено из молекул. Молекулы очень малы, их невозможно Почему дети похожи на родителей? 140 увидеть без специальных приборов. К счастью, такие приборы существуют — они помогают изучать молекулы. t Среди молекул любого живого организма на нашей • планете основную часть составляют молекулы особых веществ - белков. Различных белков, т. е. различных видов молекул белков, очень много — несколько миллионов. Например, только в организме человека встречается около 30 000 различных белков. Но при этом молекулы всех белков устроены похожим образом. V Молекула любого белка это цепочка (последова-2 тельность), состоящая из сотен, а иногда и тысяч звеньев. При этом во всех известных молекулах белков встречается только 20 видов звеньев! (Можно сказать, что книга жизни написана в 20-буквенном алфавите.) Звенья белковых цепей называют аминокислотными остатками. Каждый аминокислотный остаток имеет своё название и обозначение (одной буквой латинского алфавита), поэтому белки часто описывают словами (последовательностями букв) в 20-буквенном алфавите (см. таблицу на форзаце в конце учебника). Именно набором белков один организм отличается от другого. Наборы белков у двух людей (у двух кошек, двух берёз) очень похожи, только мелкие различия определяют, например, разный цвет глаз у разных людей или разную расцветку шерсти двух кошек. Наборы белков у организмов разных видов разные, но, чем более родственны эти виды, тем более похожи наборы белков. Например, белки человека и шимпанзе совпадают на 99% (т. е. различается только одно звено из 100). А у че.1ювека Компьютерная модель молекулы белка. Радужная расцветка позволяет проследить ход звеньев цепочки. Молекула на рисунке увеличена примерно в миллиард раз. 141 и мыши степень сходства — около 80% (отличается 20 звеньев из 100). Где же хранится наследственная ин(1юрмация? За хранение и передачу наследственной информации в живых организмах отвечают специальные молекулы — молекулы ДНК. ДНК — это сокрапдение, полное название — дезоксирибонуклеиновая кислота. Молекулы ДНК во всех клетках одного живого организма одинаковы. Но при этом молекулы ДНК разных органимов разные: у каждого человека свои молекулы ДНК, у каждой мышки — свои. Все молекулы ДНК, как и молекулы белков, — это цепочки, но звенья в молекулах ДНК отличаются от звеньев белков. Звенья ДНК называются нуклеотидами. В молекулах ДНК встречается всего 4 вида нуклеотидов. Молекулы ДНК в клетках живых организмов гораздо длиннее молекул белков. Дансе самые короткие молекулы ДНК (ДНК вирусов) содержат сотни тысяч звеньев (нуклеотидов). А ДНК человека содержит около 3 миллиардов нуклеотидов. То есть молекула ДНК - - это целая книга, написанная в 4-буквенном алфавите. Нуклеотиды обозначаются латинскими буквами А, С, G и Т. Молекулы ДНК каждого живого организма полностью определяют, какие белки будут в этом организме. Но как именно это происходит? Иными словами, как в ДНК закодированы (т. е. зашифрованы) белки? На этот вопрос мы ответим позже. А пока займёмся просто шифрованием. Шифрование ССАССТ С древних времён люди использовали шифрование для секретной передачи и хранения информации. Шифро вание выглядит как увлекательная игра, но преследует серьёзные цели. Шифры используются в военных целях, для передачи секретных сообш;ений, для хранения тайного знания и во многих других случаях. 142 Первые зашифрованные сообщения использовались ещё в Древнем Египте. Способ шифрования тогда был очень прост, сейчас он называется «шифрование простой подстановкой»: каждый иероглиф исходного сообщения заменялся в зашифрованном сообщении другим. При этом одинаковые иероглифы заменялись одинаковыми, а разные — разными. Сегодня существует много разных способов шифрования и шифров. Мы будем пользоваться лишь одним способом, который построен по следующим правилам: 1. Каждая русская буква, а также пробел или знак препинания заменяется последовательностью латинских букв длины 3. Такая последовательность называется кодом. При этом используются только четыре латинские буквы — А, С, G, Т. 2. Каждый код всегда заменяет (кодирует) одну и ту же букву или знак. При этом одна буква или знак не обязательно всегда заменяется одним и тем же кодом. 3. При замене букв и знаков кодами порядок букв и знаков не меняется. Г Замена каждой буквы её кодом называется шифрованием. Обратная замена каждого кода на соответствующую ему букву называется расшифровкой. Д.ЧЯ удобства шифрования и расшифровки строят шифровальную таблицу, в которой указан код (или все коды, если их несколько) для калсдой буквы, для пробела и знаков препинания. Незаполненная часть такой таблицы помещена справа. § Полный шифр — это заполненная • шифровальная таблица, указывающая соответствие каждой буквы или знака и каждого кода. Буква/ знак Код А Б В Г д Е Е Вот примеры шифровок: Код буквы Я — CAT. Шифровка с.лова ТЫ — CCCCGG. Зашифруем слово ОНИ — получим шифровку ACTAGCTAA. Закодируем слово КОМПЬЮТЕР — получим пшфровку AGGACTACGATCCTTCGACCCAGAAGT. 143 После раскодирования шифровки GAAAAACTCTAACCGAG-TACTAAGAAAAGCAGCCGGACC получаем слово ЗАШИФРОВАННЫЙ. Обратите внимание, что знак переноса нам помогает удобно расположить на странице слова и их шифровки. При этом знак переноса при шифровании и расшифровке не учитывается. Полный шифр вы построите, решая задачи. 257 Вырежи со вкладыша тетради проектов заготовку шифровальной таблицы и вложи в тетрадь (лучше прикрепить её скрепкой, чтобы потом не выпала). Используя коды из примеров на страницах 143 и 144, заполни в своей таблице □ все строки, которые сможешь. Теперь проверь; в таблице должны быть коды для 19 букв. 258 Зашифруй те слова множества F, для шифрования которых в твоей таблице имеются все необходимые коды. Запиши шифровки в тетрадь. ШАР БАНАН ШАРФ КАРТОШКА ОНА ОН ВЬЮНОК дедушка 259 т Сколько различных последовательностей длины 3 можно составить из букв множества М (конечно, буквы могут повторяться)? Построй дерево перебора вариантов. Можно ли было использовать для шифрования букв русского алфавита не тройки, а пары, составленные из букв множества М? Поясни свой ответ. При расшифровке удобно пользоваться обратной шифровальной таблицей — таблицей расшифровки. В такой таблице в левой колонке выписаны все возможные коды (в словарном порядке), а в правой — буквы или знаки, которые этим кодам соответствуют. Вырежи со вкладыша тетради проектов заготовку таблицы расшифровки и вложи в тетрадь. Заполни в этой таблице все строки, которые сможешь. Для этого воспользуйся своей шифровальной таблицей. 144 260 Раскодируй шифровки; перепиши их в тетрадь и напиши рядом с каждой зашифрованное в ней слово, AGGACTGAAAAA AGGACTGAACGG ATCAGAAGTAAGAAACAT AAAAGCCCCAGTAAAAGGCCC 261 Множество В — это множество шифровок всех слов из множества А. Для каждого слова из множества А найди его шифровку в множестве В, запиши в тетрадь пары — слово и его шифровка. Затем, пользуясь словами множества А и их шифровками, заполни пустые клетки шифровальной таблицы и таблицы расшифровки. УХ ЧАС ЭХ УЖ БАЦ БАС ЛУГА ДУГА ЛУЖА ОБЩИХ ОБЪЁМ CAGCCT ААСАААСАС ССАССТ AACAAAATG ССАСАА CGCAAAATG АСАССАААТААА АТТССАСААААА АТТССАААТААА ACTAACGCCTAACCT ACTAACTCCATAACG В 262 Проверь себя — в каждой таблице теперь должны быть коды для всех русских букв. Нарисуй такой же многоугольник по клеткам в тетради. Теперь нарисуй, как разрезать этот четырёхугольник на части, чтобы из этих частей можно было собрать прямоугольник на сетке. Нарисуй такой прямоугольник и покажи штриховыми линиями, из каких частей он составлен. 6-1<1631 А. Л. Семсиоо 145 263 Дано зашифрованное предложение. Слова в этой шифровке разделены тройкой символов, кодирующей пробел. Расшифруй и запиши в тетрадь предложение. Дополни таблицы шифровки и расшифровки кодом пробела. ACGAAAACGAAACTAACGCGGATTAAA- CTAAGTAAAACGCCA 264 при помощи шифровальной таблицы зашифруй слова: ПАРОМ, ВОЗДУХ. Теперь, не обращаясь к шифровальной таблице, зашифруй слова: ПАРОВОЗ, ДУХОМ. 265 На квадратном участке расположены три дома, а в ограде сделаны три калитки. Проложи дорожку от каждого дома к калитке с тем же номером так, чтобы дорожки не пересекались. Нарисуй схему участка и дорожек в тетради. Дома перерисовывать не надо — достаточно поставить номера. 266 При помощи таблицы расшифровки раскодируй следующие шифровки, запиши в тетрадь получившиеся слова. ATCAAAAGTAAAACAACTAGGATG CCGAGAAAGAGTAAAATTCTT ACGCCAGAACGGAGGAAA AGCAGAACTCCCTCCAGAACGATTAG- AACGCGGACC 267 Пользуясь шифровальной таблицей, зашифруй предложение: ЛЮБЛЮ ГРОЗУ В НАЧАЛЕ МАЯ. 146 Раскодируй зашифрованное предложение. ATCAGTTAACCTACTACATAACTAATG- AGAAATACTACAAGCCATCTAAGCAAA- CTAAGGAAACCCACTAGGCTAAAGCT- AATGAGAACGCTT 269 Даны правила игры Три кучи камешков: ПРАВИЛА ИГРЫ ТРИ КУЧИ КАМЕШКОВ Начальная позиция. Три кучи камешков, во всех кучах камней поровну (сколько именно, устанавливается дополнительными правилами). Возможные ходы. На каждом ходу игрок может взять любое число камешков, но только из одной кучи. Как определить победителя. Игра заканчивается, если все камешки закончились. Выигрывает игрок который забрал последний камешек. Известно, что в игре Три кучи камешков Первый имеет равновесную выигрышную стратегию. Сформулируй эту стратегию. Реши задачу. Жители двух соседних городов — города Рыцарей и города Лжецов — раз в год приезжают на ярмарку в город Хитрецов. Известно, что рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а хитрецы говорят правду через раз, т. е. из двух сказанных ими подряд предложений одно — правда, а другое — ложь. На ярмарке встретились трое и затеяли спор: Первый. Один из нас рыцарь. Второй. Да уж ты-то точно лжец. Третий. Оба вы лжецы. Хотя я тоже не рыцарь. Определи, кто такие Первый, Второй и Третий, если точно известно, что все они живут в разных городах. 6* 147 Биоинформатика. Как кодируются белки Вы уже знаете, что в состав любого живого организма входят молекулы белков. Именно набор белков определяет, например, почему у одного человека глаза карие, а у другого — голубые. Каждая молекула белка — это цепочка (последовательность). Звенья этой цепочки называются аминокислотными остатками или просто остатками. Все белки каждого живого существа закодированы в особой молекуле — молекуле ДНК. Молекула ДНК — ЭТО тоже цепочка, состоящая из звеньев другого вида — нуклеотидов. Таким образом, в одной последовательности (молекуле ДНК) закодированы другие последовательности (молекулы белков). А как именно, каким шифром в ДНК закодированы белки? Оказывается, это происходит примерно так же, как в задачах на шифрование, которые вы решали. Аминокислотные остатки (звенья молекул белка) могут быть только двадцати видов. Это значит, что молекула белка похожа на длинное слово, написанное в 20-буквенном алфавите. Каждый из двадцати возможных остатков имеет своё название и обозначается одной латинской буквой (см. таблицу на форзаце в конце учебника). Все молекулы ДНК построены только из четырёх Раскрашенная модель молекулы ДНК. Молекула ДНК очень длинная — здесь представлена только небольшая её часть. На модели видно, что молекула ДНК состоит из двух цепочек (одна раскрашена жёлтым, а другая — красным). В этих цепочках нуклеотиды расположены друг против друга и связаны особыми химическими связями (они показаны голубым). 148 I видов нуклеотидов. Вот их русские и английские наиим-ния и буквы, которыми они обозначаются: аденин {Adenine, А), цитозин {Cytosine, С), гуанин {Guanine, G), тимин {Thymine, Т). Молекулу ДНК можно сравнить с очень длинным сло1зом, написанным в 4-буквенном алфавите. Не вся молекула ДНК кодирует белки, а только некоторые её участки, которые называются генами. Мол(^-кула ДНК простейших организмов (вирусов, бактерий) почти вся состоит из генов, а в молекуле ДНК человшса гены составляют только около 3% всей длины. Зачем нужны остальные 97% ДНК, человека, науке пока изи