Учебник Геометрия Профильный уровень 10 класс Гусев Куланин

Учебник Геометрия Профильный уровень 10 класс Гусев Куланин - 2014-2015-2016-2017 год:

Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!

Текст из книги:

в. А, Гусев Е.Д. Куланин А. Г Мякишев С. Н. Федин ГЕОМЕТРИЯ фиЭДАТЕЛЬСТвО в. А. Гусев, Е. Д. Куланин, А. Г. Мякишев, С. Н. Федин ГЕОМЕТРИЯ ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Учебник для 1 о класса Допущено Министерством образования Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы общего образования Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2010 УДК 373.167.1:514(075.3) ББК 22.151.0я721.6 Г96 Гусев В. А. Г96 Геометрия. Профильный уровень : учебник для 10 класса / В. А. Гусев, Е. Д. Куланин, А. Г. Мякишев, С. Н. Федин. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 311 с.: ил. ISBN 978-5-94774-928-1 Учебник для 10 класса является частью учебно-методического комплекта для старших классов школ с углубленным изучением математики. Каждый параграф учебника содержит теоретический материал, примеры с решениями и упражнения для самостоятельной работы. Для учащихся классов физико-математического и естественно-научных профилей. УДК 373.167.1:514(075.3) ББК 22.151.0я721.6 По вопросам приобретения обращаться: «БИНОМ. Лаборатория знаний» Телефон: (499)157-5272 e-mail: [email protected], https://www.Lbz.ru ISBN 978-5-94774-928-1 © БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010 ПРЕДИСЛОВИЕ Геометрия — наиболее интересная и сложная часть школьной математики. Именно со знакомства с ней у многих школьников начинается любовь к «царице всех наук», сохраняющаяся на долгие годы. Стереометрия, как раздел геометрии, изучает пространственные фигуры и их свойства; она способствует формированию пространственного воображения. В настоящем учебнике основной упор делается на освоении стереометрии в классах физико-математического профиля. При этом уделяется внимание изучению новых, не пройденных ранее сведений из планиметрии. Учебник также окажется полезным для тех школьников, чьи интересы к математике шире и глубже общеобразовательного уровня. Учебник геометрии для 10 класса входит в состав УМК наряду с учебником геометрии для 11 класса, задачниками для 10 и 11 классов, а также методическими пособиями для учителя. Изложение материала отличается ясностью и максимальной строгостью, все необходимые теоремы доказываются. Это крайне важно для формирования математической культуры и мышления школьников, приобрести которые при помощи только решения задач, без детальной проработки теорем нельзя. Недаром древнегреческий мудрец Прокл говорил, что «теоремы превосходят задачи достоинством». При этом неоспоримы роль и значение задач, которые представлены в учебнике в достаточном количестве. Часть задач подробно разобрана, остальные предоставляются для самостоятельного решения. Каждый параграф или глава книги открываются одним или несколькими художественными эпиграфами, имеющими отношение к изучаемой теме, а каждая глава оканчивается разделом «Пора передохнуть», посвящённым математическому юмору. Мы надеемся, что подобные «лирические Предисловие отступления» сделают изложение более живым, а предмет геометрии ещё более привлекательным. Благодаря этому строгость изложения курса не покажется вам утомительной. В конце каждого параграфа приводятся упражнения для закрепления пройденного материала. Наиболее трудные задачи отмечены знаком *, а к отдельным задачам, помеченным в конце формулировки знаком @, даются решения, которые приведены в разделе «PemeHnn избранных задач». В этот раздел рекомендуется заглянуть непременно, даже если вы смогли решить задачу самостоятельно, — возможно, там приведено более рациональное решение. Каждая глава завершается краткой сводкой основных определений и теорем. Помещённый в конце книги предметный указатель облегчает навигацию. Параграфы и отдельные пункты, помеченные знаком *, представляют собой дополнительный материал. Кроме того, начало и конец доказательства того или иного теоретического утверждения обозначаются соответственно знаками О и •, а начало и конец решения задачи — знаками Д и А. В учебнике приняты следующие сокращения названий высших учебных заведений: МГУ — Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, НГУ — Новосибирский государственный университет, МФТИ — Московский физико-технический институт (государственный университет), МИЭМ — Московский государственный институт электроники и математики (технический университет), МПГУ — Московский педагогический государственный университет, СГУ — Саратовский государственный университет. Авторы Математическая наука ... предпочтительна сама по себе, а не ради человеческих нужд. .. Математика заслуживает, чтобы ею ревностно занимались, как сама по себе, так и ради умной жизни. То, что занимающиеся математикой избирают её ради неё самой, доказывает ... значительное приращение математического знания за небольшой срок, несмотря на отсутствие какой бы то ни было мзды за изыскания; а помимо этого — приверженность занятиям ею и желание предаваться им, оставив всё остальное, у всех тех, кто хотя бы немного постиг её полезность, откуда ясно, что презирающие математическое знание не вкусили заключённых в нём радостей. Прокл Для земли нарисовал он Краской линию прямую. Для небес — дугу над нею. Для восхода — точку слева. Для заката — точку справа, А для полдня — на вершине. Всё пространство под дугою Белый день обозначало. Звезды в центре — время ночи, А волнистые полоски — Тучи, дождь и непогоду. Г. Лонгфелло. Песнь о Гайавате. Перевод И. Бунина Глава I ПЛАНИМЕТРИЯ Всю природу и изящные небеса символически отражает искусство геометрии. И. Кеплер § 1. Метрические соотношения в треугольнике. Решение треугольников в этом параграфе мы рассмотрим ряд соотношений (формул), позволяющих по некоторым заданным элементам треугольника найти какие-либо другие его элементы (подобного рода задачи называются задачами на решение треугольника), и дадим доказательства некоторых из них. Основные элементы треугольника и их обозначения. Пусть дан треугольник АВС. Введём следующие стандартные обозначения: • а = ВС, Ь = АС, с = АВ; • ZA - а, ZB = ^, ZC = у; а 4- 6 4* С • р = “ ----полупериметр; • г — радиус вписанной в треугольник АВС окружности; • 1~а, гь, г с — радиусы вневписанных в треугольник АВС окружностей, касающихся соответственно сторон а, Ь и с (и продолжений двух других соответствующих сторон); • R — радиус описанной около треугольника АВС окружности; • ha, hb, he — высоты, опущенные соответственно на стороны а, Ь и с (или их продолжения); • гпа, гпь, тпс — медианы, проведённые соответственно из вершин А, В к С\ • 1а, Ibf 1с — биссектрисы соответственно, углов а, j8, у. • Ха = ВА\, у а = CAi, где Лх —основание биссектрисы 1а (аналогично вводятся обозначения хь, уь и х^, Ус)\ • S — площадь треугольника АВС. § 1. Решение треугольников Основные метрические соотношения в треугольнике. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами а, Ь и гипотенузой с справедливы следующие соотношения: 1. а?' — теорема Пифагора; 2. а = с sin а = с cos (5, Ь = с sin = с cos а; R — ■< центр описанной около прямоугольного треугольника окружности есть середина гипотенузы; 4. г=г±^';г„ а-Ь + с _Ь-а-1-с л ♦ ' 6 - „ > г - а + Ь + с_ ' С ““ - Ру 5. S- - аЬ = - chr. 2 2 Все эти соотношения хорошо известны из курса планиметрии, за исключением, быть может, свойства 4. Докажите его, пользуясь приведёнными ниже свойствами 10, 11 произвольного треугольника. Для произвольного треугольника АВС справедливы следующие теоремы и соотношения: 1. Теорема о сумме углов треугольника: а + (3+у — 180°. 2. Полная теорема синусов: ^ sin а sin р sin у = 2R. О В случае прямоугольного треугольника утверждение теоремы очевидно выполняется. Если же треугольник АВС остроугольный (рис. 1), то проведём диаметр ВВ\. Тогда треугольник BCBi — прямоугольный (так как ZBCB\ опирается на диаметр), и тогда а = ВС = = BB\sin/LBB\C — 2i?sina (поскольку ZBBiC = ABAC, как опирающиеся на одну дугу. Для двух других сторон треугольника искомые равенства получаются аналогично. 8 Глава I. Планиметрия Если же треугольник тупоугольный (рис. 2) (например, а > 90'^), то, по теореме о вписанном четырёхугольнике, а — = /.ВАС = 180° - /ВВхС. Как известно, синусы углов, дополняющих друг друга до развёрнутого, равны. Поэтому получаем такие же соотношения, как и в случае остроугольного треугольника. • 3. Теорема косинусов: f 2Ьс cos а = а^. Справедливы и ещё два аналогичных равенства, получаемых циклической перестановкой входящих в формулу элементов: -I- — 2са ■ cosj3 = и — 2ab ■ cos у = — в дальнейшем в подобных случаях мы будем выписывать лишь одно из трёх возможных равенств). О Проведём в треугольнике АВС высоту AAi (рис. 3). Если точка Ai лежит на стороне треугольника, то, по свойствам прямоугольного треугольника, а = ВА\ + CAi — с cos /3 -f 6 cos у. Рис. 4 Если же основание высоты падает на продолжение стороны (рис. 4), то а = СА\ — ВА\ = Ь cos у — с cos( 180° - /3) = с cos/3 -Ь h cos у — т. е. в обоих случаях получаем одно и то же равенство. Итак, а — ВА\ + СА\ = с cos/3 -I- 6 cos у. Проведя остальные две высоты и рассуждая совершенно аналогично, получим ещё два равенства: Ь = а cos y-t- с cos а и с = Ь cos а -f а cos/3. Умножим теперь обе части первого равенства на а, второго — на 6, и третьего — на с, а затем проделаем с новыми равенствами следующее: § 1. Решение треугольников сложим второе и третье, а первое вычтем. После чего теорема косинусов доказана. Ф 4. Основное свойство биссектрисы; ^ = ~. Уа Ь Так как Ха + Уа — в. этого равенства и предыдущего достаточно, чтобы по заданным сторонам треугольника вычислить отрезки, на которые биссектриса делит сторону. О Проведём в треугольнике АВС (рис. 5) биссектрису АА\. На луче В А отложим за точкой А точку D таким образом, чтобы AD = АС = Ь. Тогда треугольник AJDC — равнобедренный, /.ВАС — внешний угол этого треугольника и потому а /ВАС = /ACD + /АВС = 2/ACD => Рис. 5 /ACD /ВАС - /АхАС. Значит, прямые АА\ и CD будут параллельными (так как накрест лежащие углы равны), и по теореме о пропорциональных отрезках, имеем Хд _ ВА\ _ ВА _ с Ф Уа CAi AD h Рассуждая аналогично, можно показать, что таким же свойством обладает и биссектриса соответствующего внешнего угла треугольника, т. е. внутренняя и внешняя биссектрисы делят отрезок основания треугольника в отношении, равном отношению прилежащих сторон — соответственно внутренним и внешним образом. (В случае равнобедренного треугольника внешняя биссектриса при его вершине параллельна основанию. Удобно считать тогда, что она делит основание в отношении 1 ; 1 внешним образом — подробнее см. гл. II, § 17 «Центральное проектированием) Поскольку внутренний и внешний угол треугольника в сумме дают развёрнутый, то внутренняя и внешняя биссектрисы всегда перпендикулярны друг другу (рис 6). Ещё отметим, что, поскольку данный отрезок можно разделить в данном отношении единственным 10 Глава I. Планиметрия образом внутренне и единственным образом внешне, утверждение, обратное к основному свойству биссектрис, также справедливо. Сформулируйте его самостоятельно. Формула Стюарта. Если некоторая точка А\ лежит на стороне ВС треугольника АВС и известны длины его сторон и отрезки ВА\ = р и СА\ = q, то = 2£i±P^ - pq, а О Введём обозначения: AAi — 1\ АВ — с; АС — Ь\ /.АА\В = (р 1л дважды применим теорему косинусов. Для треугольника АА\В: 1^ + р^ — 2/pcos (р = с^. Для треугольника AAiC : + q^ - 2lq cos{180° - (р) = О 1^+ q^+ 2lq cos(p —Ь^. Умножив теперь первое равенство на q, а второе — на р и затем оба равенства сложив, избавимся от неизвестного нам косинуса и получим формулу Стюарта. • 6. Формула длины медианы: + 2с2 - О Эта формула немедленно следует из формулы Стюарта, в которую нужно подставить р = q = ^. Ф В свою очередь, из формулы длины медианы сразу следует так называемое Тождество параллелограмма. В любом параллелограмме сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов длин всех его сторон. О Действительно, поскольку в параллелограмме диагонали делятся пополам точкой их пересечения, то ВО, равная половине диагонали BD, является § 1. Решение треугольников 11 медианой в треугольнике АВС (рис. 7). Поэтому BZ)2 = 2АВ^ + 2ВС^ - АС^. В С Рассуждая аналогично и рассмот- рев треугольник ABD, получим: АС^ = 2АВ^ + 2AD^ - BD^. После сложения этих ра-А ^ ^ D венств и с учётом того, что АВ = CD, ВС = AD, имеем: 2 (АВ2 + БС2) = АВ2 + ВС^ + CD^ + DA^. 8. Первая формула длины биссектрисы: 1^—Ьс — ХцУа- О И эту формулу легко получить из формулы Стюарта, воспользовавшись также леммой о биссектрисе. Проделайте это самостоятельно. • 9. Вторая формула длины биссектрисы: 1а = • cos -. Ь + с 2 О Применим метод площадей. Понятно, что Sabc = SajbAi + SacAi- Но площадь треугольника можно вычислить по формуле «половина произведения сторон на синус угла между ними». Поэтому из приведённого выше равенства следует, что - 6с sin а = - Lc sin - -t- ^ Lb sin - ^ 2 2 2 2 2 => 26c sin - cos - = (6 -f- c) Za sin -2 2 2 (мы воспользовались формулой синуса двойного угла) — и после сокращения на синус половинного угла формула доказана. • 10. Теорема об отрезках касательных для вписанной окружности. Если А\,В\,С\ — точки, в которых вписанная окружность касается соответственно сторон а, 6. с треугольника АВС, то АВ\ = АС\ = = р — а, ВА\ = ВС\ = р — Ь, СВ\ = СА\ = р — с. 11. Теорема об отрезках касательных для вневписаиной окружности. Если Лг.Вг.Сг — точки, в которых вписанная окружность касается соответственно стороны атреугольника АВС и продолжений его 12 Глава I. Планиметрия сторон hue, то ABz = АСг = р, BAz = BCz = р — с, CBz = CAz = р - b. О Обе теоремы легко доказываются, если несколько раз воспользоваться теоремой о том, что отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. # Из теорем о касательных следует, в частности, что точки касания вписанной и вневписанной окружностей с какой-либо стороной треугольника симметричны относительно середины этой стороны. 12. Основная формула площади: S = ^ а ■ ha. Известна из курса планиметрии. 13. S = - Ьс ■ sin а. 14. Формула следует из предыдущей и из свойства 2 прямоугольного треугольника, g _ аЬс ~ AR ■ Формула следует из предыдущей и из полной теоремы синусов. 15. S = pr. Рис. 8 О Соединим отрезками центр I вписанной окружности с вершинами треугольника (рис. 8). Тогда он окажется разбит на три треугольника, у каждого из которых высота совпадает с радиусом, а основание — с соответствующей стороной исходного треугольника. Тогда ■Sabc =-Sb/c +-ScM + Sa/b ^ SABC — ^r{a + b + c)=pr. Понятно, что эта же формула для площади верна вообще для любого многоугольника, в который можно вписать окружность. • 16. S = (р - а)гд. О Доказательство аналогично предыдущему — только нужно две площади сложить, а третью вычесть. Проведите доказательство самостоятельно. • §1. Решение треугольников 13 17. Формула Герова: S = \/р{р — а)(р — Ь)(р — с). Эта формула и две предыдущие позволяют находить радиусы вписанной и вневписанных окружностей, зная стороны треугольника. А если использовать основную формулу площади, то с помощью формулы Ге-рона можно также находить и высоты. Использование третьей формулы площади (п. 15) и формулы Герона позволяет находить радиус по сторонам описанной окружности. О Докажем формулу Герона аналитическим способом. Воспользуемся формулой S = ' sin а, затем след- ствием из основного тригонометрического тождества sina = +Vi — cos^ а (перед корнем ставим именно знак «плюс», так как синус угла, изменяющегося в пределах от О до 180°, положителен) и, наконец, следствием _ Ь^ + с^- д2 ИЗ теоремы косинусов: cos а 2Ьс Проведите соответствующие, несколько громоздкие, выкладки самостоятельно. • 3* Золотое сечение. Отношение диагонали правильного пятиугольника к его стороне (рис. 9) называют золотым сечением или числом Фидия. Можно показать, что ф ^ ^/5+1 _ J gjg 2 Это же число получается, если рассмотреть в равнобедренном треугольнике с углом 36° при вершине отношение боковой стороны к основанию (в этом треугольнике биссектриса угла при основании равна самому основанию и также одному из отрезков, на которые она делит боковую сторону). Докажите это, воспользовавшись основным свойством биссектрисы. Если разделить отрезок внутренним образом так, что весь отрезок относится к большей части, как большая часть к меньшей, снова получим Ф. Рис. 9 14 Глава I. Планиметрия § 2. Теорема Чевы Теорема 1 (Чевы). Выберем в произвольном треугольнике по точке на сторонах, противолежащих вершинам (рис. 10). Тогда следующие два утверждения равносильны: а) Прямые АА\, ВВ\, СС\ пересекаются в некоторой внутренней точке Z треугольника АВС (пересекающиеся в одной точке прямые иногда называются конкурентными) б) ^ .Сё1 = 1 (условие Чевы). CAt ABi BCi О Доказать прямую теорему Чевы (а => б) проще всего, заменив отношения отрезков в условии Чевы на отношение площадей соответствующих треугольников: -Sabai _ Sbza, _ BAi ^ Saba, — Sbza, SaCAi ScZAi CAi Saca, — SczA, i _ Sbza SczA BAx CAx и T. Д. В результате, и в числителе, и в знаменателе получатся одинаковые произведения площадей. Обратная же теорема Чевы следует из прямой: пусть АА\ и ВВ\ пересекаются в точке Z. Проведём прямую CZ до пересечения со стороной треугольника в точке Сг. Для точек Аь Bi, Сг выполняется соотношение Чевы, сопоставив которое с равенством, заданным по условию, приходим к выводу, что Cl = Сг. Теорема Чевы, с небольшими поправками, остаётся справедливой для внешней точки Z треугольника и для точек Аь Bi, Cl, таких, что одна из них принадлежит стороне треугольника, а остальные — продолжению сторон (рис. 11, 12). В этом случае, правда, тройка прямых может быть и параллельна, или точка Z может оказаться на прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно противоположной стороне. Чтобы не выделять эти ситуации в особые, удобно считать, что обычная плоскость пополнена бесконечно удалённой прямой, составленной из бесконечно удалённых точек. §2. Теорема Чевы 15 Cl В каждой из которых пересекается какое-нибудь семейство параллельных прямых (рис. 13). (Такую модель в математике называют проективной плоскостью — на проективной плоскости любые параллельные прямые пересекаются в некоторой точке! — разумеется, бесконечно удалённой). При этом мы полагаем также, что бесконечно удалённая точка прямой ВС делит отрезок ВС пополам внешним образом: уоо D = 1 (подробнее см. гл. II, § 17). • ■^(вс)С Теорема 2 (Чевы в форме синусов). Пусть точки А\, В\, Cl лежат на сторонах (или их продолжениях) треугольника АВС, причём только одна из них принадлежит стороне треугольника, либо все три. Тогда следующие условия равносильны: а) прямые АА\, ВВ\, СС\ конкурентны (т. е. пересекаются в одной точке); sin ZACCi sin ZCBB\ sin ZBAAi 6) sin ZBCCi sin ZABB\ sin ZCAAt = 1. О Действительно, применим теорему синусов, например, к треугольнику ACCi и ВССь затем разделим одно равенство на другое, и, воспользовавшись тем, что синусы углов, дающих в сумме 180°, равны, получим: ZACCj ^ Теперь видно, что теорема Чевы в форме синусов следует из теоремы Чевы в обычной форме. • 16 Глава I. Планиметрия 6 Некоторые замечательные точки треугольника. Центроид, ортоцентр, центр вписанной окружности Теорема Чевы предназначена для того, чтобы доказывать конкурентность прямых, выходящих из вершин треугольника. Самостоятельно докажите с помощью этой теоремы, что в любом треугольнике медианы, высоты и биссектрисы пересекаются в одной точке (соответственно G, Н, I) — при этом для последних двух точек удобно применить теорему Чевы в форме синусов. Центры вневписанных окружностей 1а, 1ь, Центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжения двух других сторон треугольника, мы договорились обозначать Ц- Эта точка является пересечением биссектрис одного внутреннего и двух внешних углов треугольника. Докажите, что эти биссектрисы пересекаются в одной точке, воспользовавшись теоремой Чевы. Аналогично определяются точки 1ь, 1с- Точка Жергонна J и точка Нагеля N Пусть Ai — точка касания вписанной окружности со стороной ВС; В\, Cl — две другие точки касания (рис. 14). Тогда прямые AAi, ВВ\, CCi пересекаются в точке J. Пусть, далее, Ai —точка касания вневписанной окружности с центром в 1а со стороной ВС, Bi — точка касания вневписанной окружности с центром в Ц со стороной АС, С\ — точка касания третьей вневписанной окружности с третьей стороной треугольника (рис. 15). Тогда стандартная тройка прямых пересекается в точке N. Рис. 14 § 2. Теорема Чевы 17 Докажите эти утверждения. Указание: В первом случае достаточно воспользоваться равенствами касательных, проведённых из одной точки, и теоремой Чевы; в другом нужно вспомнить, как выражаются отрезки соответствующих касательных через длины сторон треугольника. Изотомическое и изогональное сопряжение. Изотомическое сопряжение Зафиксируем на плоскости треугольник АВС. Выберем некоторую точку плоскости Z и проведём через неё и вершины треугольника прямые, пересекающие стороны (или их продолжения) треугольника соответственно в точках А\, В\, С\. Каждую такую точку симметрично отобразим относительно середины той стороны, на которой лежит эта точка (при этом будем считать, что бесконечно удалённая точка прямой АВ при симметрии относительно середины АВ переходит в себя). Получим ещё три точки: Аг, Вг, ^2. Тогда прямые АА2, ВВ2 ,СС2 также будут пересекаться в некоторой точке Zn, которая и называется точкой, изотомиче-ски сопряжённой точке Z относительно треугольника АВС. Доказательство сразу следует из теоремы Чевы: в условии Чевы числители меняются местами со знаменателями, и если исходное произведение равнялось единице, то «перевернутое» произведение не изменится. Проверьте, что точки Жергонна и Нагеля образуют пару изотомически сопряжённых точек. Изогональное сопряжение Пусть три прямые, выходящие из вершин треугольника АВС, пересекаются в точке Z. Тогда прямые, им симметричные относительно соответствующих биссектрис треугольника, также пересекаются в одной точке. Эта точка Zi называется точкой, изогонально сопряжённой точке Z относительно треугольника АВС. Для доказательства здесь удобно воспользоваться теоремой Чевы в форме синусов: записанное таким образом условие Чевы «переворачивается» и не меняет своего значения. Покажите, что центр описанной окружности и точка пересечения высот изогонально сопряжены. 18 Глава I. Планиметрия § 3. Теорема Менелая 8 Теорема 3 (Менелая). Пусть в треугольнике АВС точки А\, Вь Cl расположены или все три на продолжениях сторон, или ровно одна на продолжении, а две — на сторонах. Тогда эти точки лежат на одной прямой в том и только том случае, когда выполняется равенство: ПА.1 C3i ACi __ CAi ABi BCi О a. Предположим, что точки Ai, Bi и Ci лежат на одной прямой (рис. 16). Из точек А, В и С проведём перпендикуляры ААо, ВВо и ССо к этой прямой. Из подобия трёх пар треугольников AAqBi и CCqBi, CCqA\ и BBqA\, C\BqB и CiAqA (по двум углам) имеем верные равенства АВ\ __ААр CAi ____ сер ВС\ ___ ВВр в1с ~ СС^ ’ С^~А^' Перемножив их, получим: ABi CAi BCi ___ААр • ССр • ВВо BiC = 1. AiJ3 С\А ССо ■ ВВо ■ ААо Обратно, пусть выполнено условие Менелая BAi CBi ACi _ j CAi AB\ BC\ Пусть прямые AB и AiBi пересекаются в точке Сг (рис. 17). Так как точки Ai Bi и Сг лежат на одной прямой, то по утверждению прямой теоремы Менелая ABi CAi ВС2 _ j BiC A\B epA §4. Вычисление углов 19 Сравнив оба равенства, имеем куда следует, что верны равенства от- ВС2 _ BCi СгА CiA АС2 _ ^ С2В CiB АВ + ВС2 _ AB + BCi АВ ■ С2В АВ СхВ' СгВ СхВ Последнее равенство верно лишь при условии С2В = С\В, т. е. если точки С\ и Сг совпадают. # Теорема 4 (Менелая в форме синусов). Пусть в треугольнике АВС точки Ai, В\, С\расположены или все три на продолжениях сторон, или ровно одна на продолжении, а две — на сторонах. Тогда эти точки лежат на одной прямой в том и только том случае, если выполняется равенство: sin ZACCx sin Z.CBBx sin /.BAAx _ sin ZSCCi sin ZABBx sin ZCAAx Докажите это утверждение самостоятельно. § 4. Вычисление углов 10 I Вычисление углов с вершиной внутри круга. Пусть вершина В угла АВС лежит внутри круга (рис. 18). Тогда угол АВС является внешним углом треугольника ABD и ZABC = ZBAD + ZADB = = ZEAD -Ь ZADC = поскольку вписанные углы ЕАВ и АВС измеряются половинами дуг ED и АС, на которые они опираются. Итак, угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон. I 11 I Вычисление углов с вершиной вне круга. Обозначим точки пересечения сторон угла с вершиной В вне круга через А, D, Е и С так, как показано на рис. 19. Тогда 20 Глава I. Планиметрия угол АЕС — внешний угол треугольника АВЕ и ZAEC = = ZBAE + ZABE = ZDAE + ZABC, откуда ZABC = = ZAEC - ZDAE = ^ 1 k-DE = 'АС поскольку ZAEC = -^^АС и ZDAE — -^DE как вписанные углы, опирающиеся на дуги АС и DE. Таким образом, угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключённых между его сторонами. 'DE), В 90° ZCBD = ZBDC = D 12 Вычисление угла, образованного касательной и хордой. Рассмотрим угол АВС, образованный касательной АВ и хордой ВС (рис. 20). Тогда диаметр BD, проходящий через точку касания В, перпендикулярен касательной АВ и ZBCD = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр BD. Поэтому ZABC = ZABD — ZCBD = |'^БС, так как вписанный угол BDC измеряется половиной дуги ВС. Если хорда ВС проходит через центр окружности, т.е. является диаметром, то ZABC — 90° — I^BC. Тупой угол СВЕ, образованный хордой ВС и касательной BE равен сумме углов CBD и DBE и измеряется полусуммой дуг CD и BKD, т.е. половиной дуги BDC. Итак, угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной заключённой внутри него дуги. § 5. Произведение отрезков хорд, касательная и секущая 21 § 5. Теоремы о произведении отрезков хорд и о КАСАТЕЛЬНОЙ И СЕКУЩЕЙ Теорема 5 (о произведении отрезков хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков, на которые делит точка пересечения одну хорду, равно произведению отрезков, на которые делит точка пересечения вторую хорду. О Пусть К — точка пересечения хорд АВ и CD (рис. 21). Тогда ZAKC — ZBKD как вертикальные, Z.ACD - ZABD как вписанные, опирающиеся на дугу AD, откуда следует, AJC ОК что треугольники АКС и DKB подобны и — — или ПК вк АК ■ ВК = СК ■ DK, что и требовалось доказать. Ф Теорема 6 (о касательной и секущей). Если из точки А, взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь се-кущая АС и касательная АК, то произведение длины секущей АС на длину её внешней части АВ равно квадрату касательной: АС АВ =АК^. О Рассмотрим треугольники АВК и АКС (рис. 22). У них угол А общий, а углы АКВ и АСК равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги ВК (угол AJKB образован касательной АЙГ и хордой КВ, а угол ВСК, равный углу АС^Г, вписанный). Тогда — = —, откуда АС АВ =АК^. Ф АС АК 22 Глава I. Планиметрия § 6. Теорема о сумме квадратов сторон и ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Теорема 7. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. О Из треугольника ABD (рис. 23) по теореме косинусов находим: о о о BD^ ^ АВ^+AD^-2AB AD cos IBAD. (1) В С Рис. 23 Аналогично, из треугольника ACD: АС^ ^AD^С-2AD CD cos ZADC (2) Сложив равенства (1) и (2) и учитывая то, что АВ = CD, cos ZADC = cos(180° — ZBAD) — — cos ZBAD, получим: AC^ + BD^ = AB^ + BC^ + CD^ + AD^. • § 7. Вписанные и описанные многоугольники 13 Определения вписанных и описанных многоугольников. Определение 1. Многоугольник называется вписанным, если существует окружность, проходящая через все вершины этого многоугольника (рис. 24) Определение 2. Многоугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех сторон этого многоугольника (рис. 25). Аг § 7. Вписанные и описанные многоугольники 23 14 Вписанные и описанные четырёхугольники. Свойства и признаки. Определение 3. Четырёхугольник называется вписанным, если его вершины лежат на одной окружности. Теорема 8. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. О Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность (рис. 26). Тогда вписанный угол АВС измеряется половиной дуги ADC, а вписанный угол ADC — половиной дуги АВС. Поэтому сумма углов АВС и ADC измеряется половиной всей окружности, т. е. ZABC -Ь ZADC = \ ■ 360° = 180°. • Справедливо и обратное утверждение. Теорема 9. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то этот четырёхугольник вписанный. О Проведём через вершины А, В и С четырёхугольника ABCD окружность и покажем, что она пройдёт и через четвёртую вершину D. В самом деле, если бы вершина D лежала внутри круга, то угол ADC был бы больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВС (см. § 4) и тогда сумма противоположных углов АВС и ADC была бы больше 180°, что противоречит условию теоремы. Если же вершина D лежала бы вне круга, то угол ADC был бы меньше вписанного угла, опирающегося на дугу АВС (см. п. 10) и тогда сумма противоположных углов АВС и ADC была бы меньше 180°, что также противоречит условию теоремы (в обоих случаях предполагается, что точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС). Итак остаётся единственная возможность — точка D лежит на описанной окружности треугольника АВС. • Определение 4. Четырёхугольник, стороны которого касаются одной окружности, называется описанным. Теорема 10. Суммыпротивоположных сторон описанного четырёхугольника равны. 24 Глава I. Планиметрия О Обозначим точки касания сторон АВ, ВС, CD и DA со вписанной окружностью через М, N, К VL L соответственно (рис. 27). Тогда АМ=АЬ, (3) ВМ = BN, (4) СК = CN, (5) KD = DL (6) как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Сложив равенства (3)-(6), получим: AM + МВ + CK + KD=AB + LD + BN + NC или АВ -Ь CD = AD + ВС, что и требовалось. Ф Справедлива и обратная теорема, которую мы примем без доказательства: Теорема 11. Если суммы сторон выпуклого четырёхугольника равны, то он является описанным. § 8. Решение задач с помощью ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 15 Решение задач с помош[ыо движения. Напомним, что геометрическим преобразованием называется взаимно однозначное отображение плоскости на себя. Движением называют геометрическое преобразование, сохраняющее расстояние между точками. Из курса планиметрии известны следующие свойства движений: 1) любое движение переводит отрезок в равный ему отрезок, а треугольник — в равный ему треугольник; 2) любое движение переводит окружность в равную ей, причём центр переходит в центр; 3) любое движение прямую переводит в прямую; 4) любое движение сохраняет углы между прямыми; 5) поворот, параллельный перенос, осевая и центральная симметрия являются движениями. На всякий случай ниже приведём ещё и определения этих преобразований: § 8. Решение задач с помощью геометрических преобразований 25 Параллельным переносом на вектор аЙ называют преобразование, переводящее точку Р в такую точку Р', что РР' = аЙ. Обозначение: Р' = (Р). Центральной симметрией относительно точки О называют преобразование плоскости, переводящее точку Р в такую точку Р', что О—середина отрезка РР'. При этом по определению полагают, что точка О переходит сама в себя. Обозначение: Р' = So (Р)- Осевой симметрией относительно прямой I называют преобразование плоскости, переводящее точку Р в такую точку Р', что I — серединный перпендикуляр к отрезку РР'. При этом по определению полагают, что точки прямой I переходят сами в себя. Обозначение: Р' = S/ (Р). Поворот с центром О (или относительно точки О) на угол (р — это преобразование плоскости, переводящее точку Р в такую точку Р', что ОР' = ОР и угол поворота от вектора оР к вектору ОР' равен (р. Условимся считать также, что при (р> О поворот осуществляется против часовой стрелки, в противном случае — по часовой стрелке. Обозначение: Р' = Rq(P). Перейдём теперь к рассмотрению некоторых задач, решаемых с помощью движений. Задача 1. Точка М — середина стороны ВС четырёхугольника ABCD и /.AMD = 120° (рис. 28). Докажите, что АВ + ^ ВС 2 CD ^ AD. Л Довольно часто при доказательстве геометрических неравенств «разобщенные» в условии отрезки при помощи того 26 Глава I. Планиметрия или иного движения выстраивают в одну ломаную, после чего требуемое неравенство становится очевидным. Поэтому движения — весьма эффективный метод доказательства геометрических неравенств (да и вообще решения самых разных планиметрических задач). В данном случае используем осевую симметрию. Пусть В' — образ точки В при симметрии относительно прямой AM, а С' — образ точки С при симметрии относительно прямой DM. Из условия и свойств симметрии следует, что ZB'MB = 120° - {ААМВ' + ZDMC') = = 120° - иВМА + ZCMD) = 120° - (180° - ZAMD) = 60°. Кроме того, ^ ВС = ВМ — СМ — МВ' — МС, поэтому треугольник В'МС' — правильный, и, значит, В'С' — ^ ВС. Окончательно имеем: AB+-BC + CD^AB' + ^ В'С' + CD ^ AD, 2 2 так как кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости есть отрезок соединяющей их прямой. А Задача 2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС с основанием АС выбраны точки К € АВ, L € СВ, так, что АХ — BL (рис. 29). Докажите, что KL ^ Л Здесь рассмотрим параллельный перенос на вектор It. При этом А ^ С, К ^ К', В —> В', а четырёхугольник АВВ'С — параллелограмм. Далее, КА = К'С (параллельный перенос, будучи движением, сохраняет расстояние между точками), ZBCK' — ZABL (как накрест лежащие), поэтому треугольники KBL и LCK' равны (по двум сторонам и углу между ними) => KL = К'Ь. Заметив ещё, что КК' = АС и применив неравенство треугольника к точкам К,Ь,К' — получим требуемое. А Рис. 29 § 8. Решение задач с помощью геометрических преобразований “2П Задача 3 (Фаньяно). Впишите в данный остроугольный треугольник АВС треугольник наименьшего периметра (так, чтобы на каждой стороне исходного треугольника лежало по одной вершине вписанного). Рис. 30 А Пусть Ai, Si, Cl — произвольные точки на сторонах SC, СА, АВ соответственно. Попробуем понять, при каком положении точки Ai периметр вписанного треугольника будет минимальным. Отразив симметрично точку Ai относительно сторон AS и АС, получим точки Р и Q. Поскольку симметрия сохраняет длины отрезков, то CiAi = CiP, SiAi = SiQ. Отсюда следует, что PaiBiCi — Ci^i + CiBi + SiAi == PCi + CiSi + BiQ ^ PQ, так как кратчайшее расстояние между двумя точками есть отрезок, соединяющий эти точки. (Мы считаем, что точка Ai выбрана произвольно, а потом зафиксирована на стороне ВС, точки же Si, Cl могут «бегать» по своим сторонам). Итак, как бы ни располагались точки Si, Сь отрезок PQ не превосходит периметра. Как же нужно расположить изначально точку Ai, чтобы минимизировать длину PQ7 Заметим, что АР = AAi = AQ, ZPAB — ZBAA\, ZA\AC = = ZCAQ — расстояния и углы при симметрии не меняются. А так как ZBAA\ + ZAiAC = ZA, то ZPAQ = 2ZA. Мы показали, что при любом положении точки Ai треугольник PAQ является равнобедренным с постоянным углом при вершине. Среди таких треугольников минимальное основание имеет треугольник с наименьшей боковой стороной, т. е. минимальным должно быть расстояние AAi, значит, этот отрезок 28 Глава I. Планиметрия Рис. 31 должен совпадать с основанием высоты. Точно такие же рассуждения можно провести и для двух других точек. И мы приходим к выводу: среди всех вписанных треугольников минимальный периметр будет иметь треугольник, образованный основаниями высот, так называемый ортотреугольник (рис. 31). А Вопрос, почему приведённое выше доказательство не годится для прямоугольного или тупоугольного треугольника? Задача 4 (Ферма—Торричелли—Штейнера). На плоскости дан треугольник АВС, ни один из углов которого не превосходит 120°. Найдите точку, сумма расстояний от которой до его вершин минимальная. Д Прежде всего, отметим, что если никакой угол треугольника не превосходит 120°, внутри треугольника найдётся точка, из которой его стороны видны под углом 120°. В этой точке, например, пересекутся три окружности (рис. 32), описанные около правильных треугольников, построенных на сторонах данного треугольника вовне (её называют точкой Ферма—Торричелли и обозначают буквой Т). Докажите этот факт самостоятельно. (Окружности будут пересекаться и в случае, если величина какого-нибудь угла превосходит 120°, — но вне треугольника, и все стороны под углом в 120° видны уже не будут, рис. 33.) Рис. 33 § 8. Решение задач с помощью геометрических преобразований 29 Рис. 34 Покажем, что она-то и будет являться решением задачи. Для этого выберем произвольную точку Р плоскости и рассмотрим поворот на 60° относительно вершины А (рис. 34). При этом Р ^ Р',С С'. Поворот сохраняет расстояние, поэтому АР - АР', PC = Р'С. Кроме того, равнобедренный треугольник АРР' имеет при вершине угол в 60°, а потому является правильным. Следовательно, АР = РР', и мы снова, как и в предыдущих задачах, собрали изначально разрозненные отрезки в одну ломаную. Имеем: РВ+РА+РС = ВР + РР'+Р'С ^ ВС' (кратчайшее расстояние между двумя точками — отрезок, их соединяющий), причём равенство возникает лишь в случае, если точки Р, Р' лежат на прямой ВС' (в последовательности В-Р-Р'-С). Это означает, что ZBPA + Z.APP' = 180° ZBPA = 120°, и что ZAP'C + ZAP'P — 180° => АР'С = 120° ^ (сохранение углов при повороте!) г^АРС — 120°. Итак, искомая точка оказалась такова, что из неё две стороны треугольника видны под углом в 120®, а значит, под таким же углом видна и третья сторона, а значит, найденная точка совпадает с точкой Торричелли Т. А 16 Решение задач с помощью композиции движений. Использование композиции движений доставляет ещё один мощный метод решения геометрических задач. Результатом последовательного выполнения двух преобразований Р и G (в частности, движений) всегда будет некоторое новое преобразование (движение) Q, которое называют композицией (произведением) преобразований. Обозначение: Q = GoF. Это означает, что для любой точки Р справедливо равенство Q(P) = G(F(P)). Порядок, в котором выполняются преобразования, важен — ибо при перестановке их местами мы можем получить другое итоговое преобразование. Отметим, что аналогично можно рассматривать композицию не только двух, но и любого конечного числа преобразований, причём в этой цепочке произведений результат 30 Глава I. Планиметрия не зависит от расстановки внутренних скобок — как говорят, произведение преобразований ассоциативно. Несложно проверить, что: 1. SboSa = Т^. 2. T-^oSa = Sb, Sb о = Sa, где 3. Тh о Та — Та о Т^ = Та+Ь‘ 4. 1\ II I2 S/joS/j = Т2~^, где Т-^ параллельный перенос, переводящий 1\ в I2, причём Ь. 1\ I2 = О => 5^2 о Sl^ — Rq^, где Rq — поворот, переводящий 1\ в I2. 6. I^oR^= R^oR!^ = R^^. Убедитесь в справедливости этих фактов самостоятельно. Самым же нетривиальным в этом ряду является теорема о композиции поворотов с разными центрами, формулировку и доказательство которой сейчас приведём. 7. Теорема 12. R^ о R^ = R^^^, если а + р не делится нацело на^Ш", uR^oR^ — Т-^ — в противном случае. Геометрический смысл точки С и вектора будет выявлен в процессе доказательства. О Обозначим прямую АВ буквой I. Рва Проведём через точку А прямую li под углом | к прямой I (так, чтобы Яд (1\) = I) и через точку В прямую I2 под углом ^ к прямой I (так, чтобы (I) — I2) — на рис. 35 изображён случай, соответствующий положительным значениям а и j3. Тогда, согласно свойству 5 композиций движений, каждый из исходных поворотов можно представить в виде композиции § 8. Решение задач с помощью геометрических преобразований 31 двух осевых симметрии так: R^^SloSl^ и /4 = о Si- Таким образом, i4 ° Rа — о Si о Si о S;, = Si^ о S/,, поскольку Si о Si = Е (две одинаковые симметрии, последовательно применённые, возвращают любую точку плоскости в себя. Преобразование, оставляющее все точки неподвижными, называют тождественным и обозначают буквой Е). Если проследить на картинке за изменениями произвольной точки Р под действием этих симметрий, видим, что: Р Р' Ра (первые две симметрии, которыми представлен первый поворот) -> Р' Рва (две следующие симметрии, представляющие второй поворот). Как видим, результат такой же, как если бы просто имели бы цепочку Р Р' —> Рва- Далее возможны два случая. Первый (именно он изображён на рисунке): li П Iz — С => S/2 о Sl^ = (в силу свойства 5, сформулированного в начале параграфа, причём понятно, что Rq^ = h)- Очевидно, данный случай будет соответствовать условию 7^ k ■ 180°, где k £ Z. Второй случай отвечает параллельности указанных прямых и соответствует условию = k ■ 180°, что как раз и означает кратность суммы углов поворота 360°. Следовательно, в итоге здесь (см. свойство 6) имеем параллельный перенос на удвоенный вектор, переводящий li в Iz. • Разберём далее задачи. Задача 5 (о сумасшедшем пирате). Пират, очутившись на необитаемом острове, решил закопать сундук с сокровищами. Случилось так, что на острове растут только три дерева: дуб, сосна и берёза. Поэтому пират придумал следующий способ: он идёт сначала от берёзы к дубу, затем поворачивает на 90° против часовой стрелки, и проходит такое же расстояние. Остановившись, он вбивает в этом месте колышек. Затем проделывает ту же процедуру заново, только от берёзы идёт уже к сосне, и там сворачивает на 90° по часовой стрелке. Клад он зарывает посередине между колышками. Вернувшись спустя некоторое время на остров, пират никак не может отыскать 32 Глава I. Планиметрия берёзу, вероятно, пострадавшую от стихийного бедствия. Возможно ли всё-таки найти сокровища? Л Оказывается, описанная выше процедура не зависит от начального месторасположения берёзы и всегда будет оканчиваться в вершине равнобедренного прямоугольного треугольника, с гипотенузой,образованной дубом и сосной. Действительно, пусть берёза произрастает в произвольной точке Б острова (т. е. плоскости). Проведём две прямые из фиксированных точек Д (дуб) и С (сосна) под углом 45° к прямой ДС, как показано на рис. 36. Отметим точку их пересечения К. Очевидно, что /ДКС = = 90°. Первый колышек окажется вбит в точке Бд = ДД9«°(Б) = 5(ДК)0 5(ДС) в силу 5-го свойства. При таком представлении точка Б пройдёт по маршруту Б —Б' —> Бд. Совершенно аналогично обстоит дело и со вторым колышком. Он будет вбит в точке Бс = Я^°(Б) = S(ck) ° ^(ДР)> и теперь точка Б пройдёт по маршруту Б -> Б' —> Бс. Теперь нетрудно понять (см. рис. 36), что композиция симметрий 5(дк) о S(CK) отправляет точку Бс в недолгий путь Бс -> Б' ^ Бд, т. е. что 5(дк> о 5(ск)(Бс) = Бд. Но угол между прямыми ДК и СК — прямой. По свойству 5 тогда мы можем заменить композицию симметрий поворотом на вдвое больший угол относительно точки пересечения осей: 5(дк) о -S(CK) = • Однако поворот на 180° — просто цен- тральная симметрия, поэтому 5к(Бс) = Бд, а это и означает, что середина отрезка БдБс не зависит от выбора начальной точки Б. А Задача 6 (треугольники Наполеона). На сторонах произвольного треугольника АВС построим вовне правильные треугольники. Тогда их центры (скажем, точки пересечения медиан) Од, Ов, Ос всегда являются вершинами правильного треугольника, так называемого первого треугольника Напо-леона (и аналогичный факт имеет место для треугольников. § 8. Решение задач с помощью геометрических преобразований 33 построенных на сторонах внутрь — тогда получим второй треугольник Наполеона). Д Рассмотрим композицию поворотов на 120° относительно центров построенных треугольников: Т = о дшо о Поскольку 120° -I-120° -f 120° = 360°, то, по свойству 7, итоговое движение Т является некоторым параллельным переносом. Проследим теперь путь точки С. Так как из центра правильного треугольника основание видно как раз под углом 120°, получим Во. Вов цепочку: С ----> В -----^ А Вог ^ С, т. е. Т(С) = С. Но если параллельный перенос имеет неподвижную точку, то это — перенос на нулевой вектор, т. е. тождественное преобразование Е. 120° _ Таким образом, показано, что оЯОд 120°, 120° р-120° _ р240° Лп — lir = Е. Но это всё равно, что Rq^ о Rq^ — В правой части этого равенства получился поворот с центром в точке Оа — как результат композиции поворотов, стоящих в левой части. Обратившись к доказательству свойства 7, где разбиралось построение центра нового поворота, приходим к выводу, что отрезки OqOa и OqOa образуют с отрезком ОвОс углы по 60°. Но это и означает, что треугольник ОаОвОс — правильный. На рис. 37 изображён случай внешних треугольников, но, очевидно, такое же в точности доказательство годится и для внутренних. А 17 Решение задач с помощью подобия. Подобием называют геометрическое преобразование, сохраняющее отношение расстояний между точками. Это постоянное отношение называют коэффициентом подобия. Из курса планиметрии известны следующие свойства подобий: 1. Любое подобие переводит треугольник в подобный ему треугольник, причём соответственные элементы треугольника (как, например, высоты, биссектрисы меди- 2-1175 34 Глава I. Планиметрия аны И связанные с ними замечательные точки) переходят в соответственные; 2. Любое подобие переводит окружность в окружность, причём центр переходит в центр; 3. Любое подобие прямую переводит в прямую; 4. Любое подобие сохраняет углы между прямыми; 5. Всякое движение является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k = 1 Напомним далее, что гомотетией с центром в некоторой точке О и коэффициентом k (к ф Q) называют преобразование плоскости, которое каждой точке Р плоскости ставит в соответствие такую точку Р', что выполняется равенство ОР' = hot>. Обозначение: Н(о ,к)(Р) = Р'- Основные свойства гомотетии: 1. Для любых двух точек ^ Р и Q и их образов выполнено равенство P'Q' = Доказательство несложно получить, рассмотрев треугольники OPQ и О P'Q' и доказав их подобие. 2. Любая гомотетия также является преобразованием подобия с коэффициентом подобия |й|. 3. Гомотетия прямые переводит в прямые, причём если прямая проходит через центр гомотетии, то она переходит в себя, а если нет, то в параллельную ей. 4. Для любых двух неконцентрических (т. е. с разными центрами) окружностей разных радиусов существует ровно две гомотетии, переводящие их друг в друга. Центрами этих гомотетий будут точки, делящие отрезок, соединяющий их центры, в отношении, равном отношению радиусов. (Если окружности не пересекаются и не лежат одна в другой, то центры совпадают с точками пересечения внутренних или внешних касательных). В случае внутреннего деления коэффициент гомотетии равен отношению радиусов со знаком «минус» , в случае внешнего — со знаком «плюс». 5. Теорема 13. Композиция двух гомотетий с коэффициентами к\ ик2,где к\к2 ф 1, является гомотетией с коэффициентом k\k2, причём её центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий. § 8. Решение задач с помощью геометрических преобразований 35 Если же k\k2 = 1, то результатом является параллельный перенос. Докажем эту важную теорему, предварительно доказав следующую лемму, представляющую собой, в сущности, обращение очевидного свойства 1. Лемма. Пусть некоторое преобразование плоскости обладает таким свойством: Существует постоянное число k, такое, что для любых двух точек Р и Q и их образов Р', Q' выполнено равенство P'Q' — кР^. Тогда если к — то преобразование является параллельным переносом, а если к ^ 1 — то гомотетией. О Пусть сначала fe = 1. Тогда для любых двух точек Р и Q и их образов Р', Q' имеем: РР' — Р^ -\- QQ' + Q'P' = = -Ot^ -f QQ' + Q^^ — QQ', T. e. PP' = QQ', откуда сразу следует, что наше преобразование есть параллельный перенос. Пусть теперь к ф \. Мы покажем, что преобразование представляет собою гомотетию, если сумеем найти его неподвижную точку О (т. е. совпадающую со своим образом О'), ведь тогда для любой точки Р и её образа Р' будет выполняться равенство ОР' = О'Р' = kO^^, что и является определением гомотетии. Для этой цели рассмотрим три любые точки Р, Q, R, не лежащие на одной прямой, и их образы Р', Q', R', считая, что ни один из них не совпадает со своим прообразом (иначе неподвижная точка нашлась бы сразу). Понятно, далее, что среди пар прямых [PQ,P'Q'), {QR,Q'R'), [RP,R'P') найдётся пара несовпадающих, в противном случае получили бы сразу три неподвижные точки P = P',Q = Q',R = It. Пусть это будет, например, пара (PQ, P'Q'). Заметим, что эти прямые не параллельны — ведь в противном случае четырёхугольник PP'QQ' оказался бы параллелограммом {P'Q' || PQ, так как P'Q' = кР^ по условию), что означало бы равенство P'Q' — PQ, противоречащее предположению к ф 1. Обозначим точку пересечения этих прямых буквой О: PQ П P'Q' = О. Тогда треугольники OPQ и OP'Q' будут подобны с коэффициентом подобия |/е|, откуда. 36 Глава I. Планиметрия в частности, вытекает равенство ОР' = кОр. Неподвижная точка найдена. • Теперь докажем теорему. О По свойству 1 сразу получим, что композиция гомотетий удовлетворяет условию леммы с коэффициентом к = к\ ■ Аг-Значит, остаётся только показать, что при к ф \ центр получившейся гомотетии лежит на прямой, проходяп^ей через центры исходных гомотетий. Проделайте это самостоятельно, используя свойство 4. • Решим теперь задачи с использованием подобия. Задача 7 (прямая Эйлера). В любом (но не равностороннем) треугольнике его ортоцентр Н, центроид G и центр описан- ЫО 2 ной окружности о лежат на одной прямой, причём — - OG ^ (точка G лежит внутри отрезка НО). В равностороннем же треугольнике все три точки совпадают. Л Рассмотрим гомотетию с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом ^ (рис. 38). Она переводит исходный треугольник в серединный (поскольку медианы делятся своею точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершин), причём, являясь преобразованием подобия, должна соответственные точки переводить в соответственные, т. е. § 9. Геометрические места точек (ГМТ) 37 ортоцентр, например, должен переходить в ортоцентр. Но ортоцентр серединного треугольника, очевидно, совпадает с центром описанной около исходного треугольника окружности. А С помощью гомотетии несложно решить и такие, например, задачи — проделайте это самостоятельно. Задача 8. Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения прямых, содержащих её боковые стороны, и середины оснований лежат на одной прямой. (Указание: рассмотрите гомотетии с центрами в точке пересечения диагоналей и в точке пересечения боковых сторон, с коэффициентом, равным отношению оснований, соответственно со знаком «минус» и «плюс».) Задача 9. На окружности фиксированы точки А и В, а точка С движется по этой окружности. Докажите, что точки пересечения медиан треугольника АВС тогда будут двигаться также по некоторой окружности. (Указание: рассмотрите гомотетию с центром в середине отрезка АВ и коэффициентом -). О в заключение этого раздела заметим, что существуют и другие преобразования, успешно использующиеся при решении геометрических задач, такие как аффинные, проективные, а также инверсия. § 9. Геометрические места точек (ГМТ) 18 Геометрические места точек. Геометрическое место точек (коротко — ГМТ), удовлетворяющих некоторым условиям, — это множество, состоящее из всех точек, для которых эти условия выполняются. Перечислим основные ГМТ, известные из курса планиметрии. 1. ГМТ, равноудалённых от концов данного отрезка,— это прямая, проходящая через середину отрезка и ему перпендикулярная (так называемый серединный перпендикуляр). 2. ГМТ, удалённых от фиксированной точки О на данное расстояние R, — это окружность радиуса R с центром О. 38 Глава I. Планиметрия 3. ГМТ, из которых данный отрезок АБ виден под данным углом, — это две симметричные относительно прямой АВ дуги окружности с выколотыми точками А и В. В частном случае прямого угла получаем окружность, построенную на отрезке АВ как на диаметре, без точек А и В. 4. ГМТ, равноудалённых от сторон данного угла и лежащих внутри него, — это биссектриса (внутренняя) угла. 5. ГМТ, равноудалённых от данной прямой, — две параллельные ей прямые. Далее мы разберём несколько задач, связанных с поиском того или иного ГМТ. Однако сначала напомним, что решение любой задачи на ГМТ состоит из двух частей, а именно: Если утверждается, что искомое ГМТ совпадает с неким множеством М, нужно показать, что: а) любая точка, обладающая свойствами искомого ГМТ, принадлежит множеству М; б) любая точка, принадлежащая множеству М, удовлетворяет требуемым свойствам. Если в приведённых ниже решениях какая-то часть рас-суждений опущена, значит, необходимо провести их самостоятельно. 19 Решение задач на нахождение ГМТ. Задача 10. Найдите ГМТ, являющихся серединами всевозможных хорд данной окружности, проходящих через некоторую внутреннюю точку Q этой окружности. Д Пусть М — середина некоторой хорды АВ, проходящей через Q (рис. 39). Тогда треугольник АОВ равнобедренный и в нём медиана совпадает с высотой, поэтому ОМ -L АВ. Следовательно, отрезок QO виден из точки М под прямым углом и, согласно ГМТ № 3, точка М должна лежать на окружности с диаметром QO и центром О'. Обратно, пусть М — некоторая точка на окружности с центром О'. § 9. Геометрические места точек (ГМТ) 39 Проведём хорду, проходящую через точки Q и М. Тогда ZOMQ = 90° как опирающийся на диаметр, ОМ — высота равнобедренного треугольника АОВ и она должна совпадать с медианой. Поэтому М — середина построенной хорды. А Приведённое решение справедливо лишь для таких точек М, которые не совпадают с точками Q и О'. Однако легко проверить, что эти точки также принадлежат искомому ГМТ. «Задача 11. Прямоугольный треугольник RCA гипотенузой RA прислонён к вертикальной стенке и затем начинает соскальзывать до тех пор, пока гипотенуза не примет горизонтального положения (рис. 40). Найдите а) ГМТ, являющихся серединами гипотенузы; б) ГМТ, являющихся вершинами прямого угла. Д а) Зафиксируем треугольник в какой-нибудь момент его падения. Пусть О' — середина его гипотенузы. Треугольник ВОА — прямоугольный, и потому О'А = О'В = = ОО' (как радиусы описанной около прямоугольного треугольника окружности). Значит, точка О' лежит на окружности радиуса ™ с центром в О — точнее, с учётом начального и конечного положений гипотенузы, на четверти такой окружности. Очевидно, верно и обратное утверждение, б) В любой момент падения треугольника около четырёхугольника ОВСА можно описать окружность, поскольку он составлен из двух прямоугольных треугольников с общей гипотенузой АВ. Значит, Z.BOC = ZBAC (как опирающиеся на одну дугу) — величине постоянной. Поэтому вершина С лежит на прямой, проведённой под углом а = ZBAC к прямой ОВ — а точнее, на отрезке этой прямой, концы кото- 40 Глава I. Планиметрия рого определяются начальным и конечным положениями треугольника. Обратное утверждение также справедливо. А Следующую задачу решите самостоятельно. Задача 12. Постройте прямоугольный треугольник АВС по его гипотенузе с и высоте, проведённой из вершины прямого угла С. Указание: Используйте ГМТ № 3 и ГМТ № 5. 20 Решение задач с помощью ГМТ. Существенную помощь в решении планиметрических задач оказывает так называемый метод ГМТ. Нехитрая суть его заключается в следующем: если некоторая точка Р {или множество точек М) удовлетворяет двум условиям, задающим некоторые ГМТ, то точка Р {множество М) содержится в пересечении этих ГМТ. Особенно эффективно этот метод действует в задачах на построение. Прежде чем переходить к примерам, напомним, что полное решение любой задачи на построение состоит из четырёх этапов: 1) анализ, т. е. решение задачи «с конца», в предположении, что всё построено, и выявление основной идеи решения; 2) описание {конструкция) самого построения и — как правило, на этом шаге нужно предъявить цепочку из так называемых элементарных (т. е. легко осуществимых в рамках заданных в условии орудий построения — обыкновенно это классические циркуль и линейка) построений, ведущих к цели; 3) доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условию задачи; 4) исследование, т. е. выяснение количества решений задачи (с точностью до равенства фигур) и от чего оно зависит. Разберём теперь несколько задач, ограничившись лишь демонстрацией основных идей, ведущих к решению. (Полное § 9. Гео,метрические места точек (ГМТ) 41 решение, в особенности исследование, проведите самостоятельно.) Задача 13. Постройте треугольник АВС по его высоте ha, медиане Ша и биссектрисе 1а, выходящим из одной вершины А (рис. 41). А Проведём отрезок АА* — ha и затем через точку А* — перпендикулярную ему прямую, на которой где-то будет расположено основание треугольника ВС (где именно — это-то и предстоит выяснить). Далее, проведём окружности с центром в А и радиусами Шд и 1а, и, отметив соответственно точки пересечения Ао, А/ этих окружностей с прямой ВС, найдём основание соответствующих медианы и биссектрисы (на рис. 41 всё построенное выделено жирным). Задача будет решена, если удастся построить центр описанной окружности О, поскольку проведя из него окружность радиуса ОА и отметив точки её пересечения с прямой ВС, как раз и построим две оставшиеся вершины. С одной стороны, точка О расположена на перпендикуляре к прямой ВС, восстановленном в точке Ао (центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой её хорде). С другой стороны, если удастся построить точку А\ — вторую точку пересечения биссектрисы с описанной окружностью, то О должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку AAi — и мы сумеем построить её как пересечение двух прямых. Но точка А\ делит дугу ВС пополам — и, стало быть, также лежит на перпендикуляре к ВС, проходящем через Aq. Поэтому мы можем построить её, как точку пересечения прямой АА; и этого перпендикуляра. Задача решена. А Задача 14. Постройте треугольник АВС по радиусу описанной окружности R, радиусу вписанной окружности г и углу при вершине А. Л Поскольку а = 2i?sina (полная теорема синусов), то по начальным данным мы можем построить сторону ВС треугольника АБС. Далее, поскольку из точки пересечения биссектрис (центра вписанной окружности) I отрезок ВС виден 42 Глава I. Планиметрия ПОД углом 90°+ 1 (проверьте!), который также легко строится, то I лежит на дуге соответствующей окружности (ГМТ № 3). Кроме того, радиус вписанной окружности, проведённый из её центра в точку касания, перпендикулярен стороне ВС и потому точка I удалена от прямой ВС на расстояние г и лежит на соответствующей прямой (ГМТ № 5). Значит, I расположена на пересечении построенных дуги и прямой (рис. 42). Теперь из найденного центра проведём окружность радиуса г (она и будет вписанной в искомый треугольник). Остаётся только провести касательные к этой окружности из точек В и С (стандартное построение — обязательно выполните его самостоятельно, если вдруг с ним не знакомы). Они пересекутся в вершине А. Треугольник построен. А Рис. 42 § 10. Парабола, эллипс, гипербола 21 Парабола. Уравнение параболы. Определение 5. Параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки F {фокуса) и данной прямой I {директрисы). Обозначим расстояние от точки F до прямой I через 2d и введём систему координат так, чтобы ось ординат совпала с прямой, перпендикулярной I и проходящей через точку F, а ось абсцисс — с прямой, параллельной I и равноудалённой от Z и точки F (рис. 43). Выведем уравнение параболы в этой системе координат. Пусть точка Р с координатами {х\у) принадлежит параболе VI К — основание перпендикуляра, опущенного из Р на прямую I. Тогда PF = РК и, поскольку точка F имеет координаты (0;d), а точка К — координаты {х; -d), по формуле расстояния между двумя точками получаем \/{х- 0)2 + {у - d)^ = у/{х - х)^ + {у d)^. (1) § 10. Парабола, эллипс, гипербола 43 Так как обе части этого уравнения неотрицательны, то после возведения их в квадрат перейдём к равносильному уравнению: о о о х^ + (у- df ^(у + d)\ или откуда + у — 2yd + dr — у^ + 2yd + d^, х^ = Ыу и у = — х^. Ad (2) Таким образом, все точки с координатами, удовлетворяющими уравнению (2), принадлежат параболе. Обратно, ввиду равносильности уравнений (1) и (2) координаты любой точки, удовлетворяющие уравнению (2), будут также удовлетворять уравнению (1), т. е. любая точка с координатами, удовлетворяющими уравнению (2), принадлежит параболе. Если же точка не принадлежит параболе, то её координаты не удовлетворяют уравнению (1), а следовательно, и уравнению (2). Итак, уравнение у = -^х^ является уравнением параболы в указанной системе координат. Как известно из курса алгебры, график функции у — ах^ (а > 0) называется параболой (рис. 44). Но, как мы показали, урав- нение у — 4jX^ также задаёт 4а параболу, поэтому у = = а, откуда d = 4а' Таким образом, фокус параболы у = ах^ имеет координаты (о; а уравнение У — задаёт директрису этой параболы, т. е. график функции у = ах^ является параболой и в смысле данного нами определения — как геометрическое место точек, равноудалённых от точки F ^0; и прямой у — — Этот факт непосредственно вытекает из равносильности уравнений (1) и (2), и поэтому мы его уже доказали. Тем не менее проверим его ещё раз непосредственно. В самом деле, достаточно показать, что PF^ = РК^, где К — основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на прямую У — 44 Гл£ша 1. Планиметрия Тогда так как точки Р и К имеют координаты Р(х] у) и к(^х; ■ 22 Уравнение касательной к параболе. Дадим сначала определение касательной к кривой, используя понятие секущей. Секущей называется прямая, имеющая по крайней мере две общие точки с данной кривой. Пусть секущая I пересекает кривую К в точках М и М' (рис. 45). Рис. 45 При неограниченном приближении точки М' к М по кривой К секущая I будет неограниченно приближаться к некоторой предельной прямой I', которая и будет касательной к кривой К в точке М. При этом точки М и М' сольются в одну точку М. Таким образом. Определение 6. Касательная — это предельное положение секущей, при котором две точки её пересечения с кривой сливаются в одну. Выведем теперь уравнение касательной к параболе у — ах^ в точке М (хо,ах^) (рис. 46). Уравнение касательной будем искать в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом: у = кх + Ь. (3) Поскольку прямая (3) проходит через точку М {хо,ах^), то координаты точки М удовлетворяют уравнению (3): ах1 кхо -Ь Ь. (4) § 10. Парабола, эллипс, гипербола 45 Вычитая из уравнения (3) уравнение (4), получаем у — uXq — kx — kxQ, откуда у = kx — kXO + UXq. (5) Для того чтобы найти точки пересечения прямой (5) и параболы у — ах^, необходимо решить уравнение ах^ = kx — kxo + oXq, или ах^ — kx + kxQ — axQ — 0. (6) Уравнение (6) является квадратным относительно х, поэтому оно имеет не более двух решений, т. е. любая прямая пересекает параболу не более чем в двух точках. Но, согласно данному определению касательной, она будет иметь с параболой лишь одну общую точку. В этом случае уравнение (6) будет иметь равные корни, т. е. его дискриминант будет равен нулю: D = k^ — 4a{kxo - ах^ — 0, или k^ - AakxQ -f- Au^Xq = (k — 2axo)^ = 0, откуда k = 2axQ. Теперь осталось только подставить найденное значение k в уравнение (5): о 9 9 у = kx — kxQ + axQ = 2axQX — 2axQXQ -f axQ = 2uxqx — ax^. Уравнение у = 2aXQX — axQ (7) 2 ax и является уравнением касательной к параболе у в точке М{хо\ах^). Найдём координаты точки пересечения касательной (7) 2 с осью Ох\ 2ахпх — ах^ = 0, х = = — . ° 2ахо 2 46 Глава I. Планиметрия Полученный результат означает, что касательная к параболе делит отрезок Oxq пополам. Из равенства прямоугольных треугольников КОМ и МММ\ {ON = NM\, ZONK = ZMNM\) сразу же следует, что KN — NM, т. е. отрезок касательной к параболе от точки касания до точки пересечения с осью Оу делится осью Ох пополам. Опираясь на равенство ON = NMi, легко построить касательную к параболе у = ах^ в точке М{хо;ах^) при помощи циркуля и линейки. В самом деле, опустим из точки М перпендикуляр ММ\ на ось Ох и разделим отрезок ОМ\ пополам. Проведя через середину N отрезка ОМ\ и точку М прямую, получим касательную MN к параболе у = ах^ в точке М {xq; cXq). 23 Оптическое свойство параболы. Из курса физики известно, что угол падения светового луча равен углу его отражения. Если луч света падает на непрозрачную кривую, то угол, образуемый падающим лучом и касательной в точке падения, равен углу, образуемому отражённым лучом и той же касательной. Так, на рис. 47 луч, выходящий из точки Р, и луч, отражённый от кривой К в точке М, образуют равные углы с касательной EN к кривой К в точке М: ZPME = ZLMN. Оказывается, что любая парабола обладает удивительным оптическим свойством: если поместить в фокус F этой параболы источник света, то все отражённые лучи будут параллельны оси параболы, т. е. оси Оу. Действительно, пусть F^O; ^ ^ — фокус параболы у = ах^, М[хо]ах^) —точка, лежащая на этой параболе, М — проекция точки М на ось Ох, k(^xq-,—-^^—точка пересечения прямой ММ\ с директрисой У — параболы, — середина отрезка ОМ\ (рис. 48). Тогда углы NMK и РМЕ равны как вертикальные и для доказательства равенства ZFMN = ZPME достаточно показать, что ZFMN = ZKMN. Рассмотрим прямоугольные треугольники FON и KM\N. Эти треугольники равны по катету и острому углу (ON — NM\, ZFNO = ZKNM\), и поэтому FN = NK. Таким образом, MN — медиана треугольника FMK, но MF = МК по определению параболы, так как F — § 10. Парабола, эллипс, гипербола 47 фокус, а прямая у = —-----директриса параболы у — ах^. 4а Но тогда MN — медиана равнобедренного треугольника FMK и, значит, MN совпадает с биссектрисой этого треугольника, т. е. Z.FMN = /.KMN, что и требовалось доказать. Оптическое свойство параболы применяется в параболических отражателях для прожекторов и автомобильных фар. 24 Эллипс. Уравнение эллипса. Определение 7. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек Fi, и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами F\ и F2- Обозначим расстояние F\F2 между фокусами через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2а. Введём систему координат так, чтобы фокусы F\ к F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка F\F2 (рис. 49). Фокусы Fi и F2 в этой системе координат имеют координаты i^i(-c;0) и F2(c;0). Пусть точка М{х\у) принадлежит 48 Глава I. Планиметрия эллипсу. Тогда MFi + MF2 = 2а или \/(х + с)2 + + \/{х - с)2 + = 2а, откуда (8) (9) \/(х + с)2 + 1/2 = 2а - \/(л: - с)^ + у^. Возведём обе части уравнения (9) в квадрат: (х + cf + y^ = — 4д2 _ 4а\/{х — с)^ + у^ + {х-с)^+у^, или после упрощений: а\/(х — с)2 + 1/^ = а^-сх. (10) Возведя в квадрат обе части соотношения (10), получим а^((лг с)^ I у^) = а'^ 2а^сл: I с^х^. После приведения подобных слагаемых в последнем соотношении приходим к уравнению {а^—с^)х^+а^у^ = а^(а^—с^). или + Х- = 1. (И) Обозначим — с^. Тогда уравнение (4) примет вид: + у! 1. (12) а‘ 62 Уравнение (12) называется каноническим уравнением эллипса. При помощи канонического уравнения легко найти координаты точек пересечения эллипса с осями координат (рис. 50): А (-а; 0), В (0; Ь), С (а; 0), D (0; -Ь). Эти точки называют вершинами эллипса, а отрезки АС = = 2а и BD = 25 — его осями. Отрезок ОС — а называется боль-Щ шой полуосью эллипса, а отрезок 50 ОВ = 5 — его малой полуосью. От- резки MF\ и MF2, соединяющие точку М эллипса с его фокусами jFj и F2, называют фокальными радиусами. Эллипс подобно параболе также обладает любопытным оптическим свойством: если поместить в один из фокусов точечный источник света, то все отражённые лучи соберутся во втором фокусе. 25 Гипербола. Уравнение гиперболы. Определение 8. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных § 10. Парабола, эллипс, гипербола 49 точек jPi и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами и F2- Обозначим абсолютную величину разности расстояний от точки, лежащей на гиперболе, до её фокусов через 2а, а расстояние F1F2 между фокусами — через 2с. Заметим, что из определения гиперболы следует, что 2а < 2с, откуда а < с. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 51. Тогда, если точка М(х;у) лежит на гиперболе, то = 2а, или у/(х + с)^ + у^ — \/(х — с)^ + у^ —2а. После преобразований, аналогичных применявшимся при выводе уравнения эллипса, придём к уравнению 1, _ {/* а2 62 где = с^ - а^. Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Сама гипербола изображена на рис. 52. Прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы при удалении их в бесконечность, называются асимптотами. Они имеют уравнения у — ±-х. Греческое слово «асимптота» в переводе означает «несовпадаю- «несливающиися», щий». Гипербола, асимптоты которой взаимно перпендикулярны, называется равносторонней. В частности, равносторонней является обычная «школьная» гипербола у = -(рис. 53). 50 Глава I. Планиметрия Эта гипербола имеет «неканоническое» уравнение потому, что за оси координат приняты её асимптоты. Каноническое уравнение равносторонней гиперболы характеризуется тем. что а — Ь, т. е. ^ = 1 или X 2 _ „2 уравнение х — у“ = а равносторонней гиперболы. = а^. Таким образом, и есть каноническое уравнение 26 Уравнение касательной к гиперболе. Выведем уравнение касательной в частном случае равносторонней гиперболы у = - (рис. 54). Прямая имеет с гиперболой ровно одну общую точку либо тогда, когда эта прямая является касательной к гиперболе, либо тогда, когда эта прямая параллельна одной из асимптот гиперболы. Отсюда следует, что прямая, имеющая ровно одну общую точку с гиперболой и не параллельная ни одной из её асимптот, касается этой гиперболы. Пусть прямая ах+Ьу+с = 0 не параллельна асимптотам гиперболы «/ = р т. е. осям координат. Тогда уравнение этой прямой можно записать в виде у — hx Ь, где k ф 0. Если эта прямая проходит через точку М (хо; —), то — ДГо Xq — kxo -Ь Ь. После вычитания этого уравнения из уравнения у = kx + Ь получим у— = k(x — хо), или у = — + k(x — хо). Пусть Xq Xq прямая р = — -t- k(x — Хо) и гипербола t/ = - имеют Xq X ровно одну общую точку. Тогда — + k(x — хо) = откуда ■Хо X kx^ ^fexo ~ —1 = 0и дискриминант D этого уравнения равен нулю: D = ^kx “ + 4k = A^Xq - 2k + ^ + 4k — - k^x^ + 2k + ^ = (kxo + — 0. Xn \ -*^0 / § 10. Парабола, эллипс, гипербола 51 Из последнего равенства находим kxg + т. е. k = — После подстановки найденного значения k — в уравнение у 1 !/ -^(х- хо) + — ^ ~^х + — + — ^ ^ ХО Хо + Хо Хо -I- k(x — Хо) получаем Хо Уравнение у = ^ Ч- — и является уравнением касатель- ■v? ной к гиперболе у = - в точке М\ (xq; —). X Хо Найдём абсциссу точки пересечения касательной с осью 1 р Ох: о = —, откуда х = 2хп. х^ Хо Полученное равенство означает, что точка касания делит пополам отрезок касательной, заключённый между осями координат. Выведем ещё одно интересное свойство гиперболы у = секущая, проходящая через точки М\ ^xi; иМг^хг; гиперболы У = ^ пересекает ось Ох в точке с абсциссой х\ + Хо (рис. 55). Уравнение прямой, проходящей через точки A(xi;j/i) и В{х2\уг) имеет вид: ^ ~ Поэтому уравне- Уг - У\ хг - XI 52 Глава I. Планиметрия ние прямой М1М2, проведённой через точки и Мг^лсг; будет выглядеть так; л_ XI XI J_ хг XI Хг - XI ИЛИ, после упрощений, х\Х2У + х - х\ —Х2 = 0. Из последнего уравнения при г/ = О получаем л: — лгх — ха = О, откуда X = XI + Х2, что и требовалось доказать. § 11. Неразрешимость классических задач НА ПОСТРОЕНИЕ Тремя самыми знаменитыми задачами древности считаются классические задачи на построение: квадратура круга, удвоение куба и трисекция угла. Каждое из этих построений должно выполняться при помощи циркуля и линейки без делений. Такие ограничения были общепринятыми в Древней Греции вероятно потому, что при помощи этих инструментов можно проводить прямые и окружности — самые совершенные линии с точки зрения древних. Судьба этих трёх знаменитых задач была драматичной: ни одна из них не была решена, причём, как выяснилось значительно позднее, в XIX веке, ни одну из этих задач и нельзя решить, используя в качестве чертёжных инструментов лишь циркуль и линейку. Попробуем выяснить хотя бы в самых общих чертах природу этой неразрешимости. Все построения с помощью циркуля и линейки сводятся к следующим элементарным построениям: проведению прямой через две данные точки, нахождению точки пересечения двух прямых, прямой и окружности или двух окружностей. Алгебраически каждая из этих элементарных задач сводится к решению алгебраического уравнения не выше второй степени. Другими словами, можно сказать, что с помощью циркуля и линейки можно построить отрезки, длины которых выражаются через длины данных отрезков с помощью Основные теоремы планиметрии 53 сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Если обозначать через а длину ребра исходного куба, а через X — длину ребра удвоенного куба, то придём к уравнению = 2а^. Задача трисекции угла сводится к решению уравнения Зх—4л:^ = а, где а — синус данного угла, ах — синус искомого угла. Итак обе эти задачи сводятся к решению кубических уравнений, корни которых в общем случае не являются квадратичными иррациональностями. Поэтому обе эти задачи неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Впервые это строго доказал французский математик П. Ванцель в 1837 г. Задача о квадратуре круга радиуса г сводится к построению отрезка длины ^ (кг^ = х = г\/ж), но, как показал в 1882 г. немецкий учёный К. Линдеман, число к трансцен-дентно, т. е. не является корнем никакого алгебраического уравнения вида а„х"-ba„_ix"~* Н---haiX-1-ао = О с целыми коэффициентами и, следовательно, не может быть построено при помощи циркуля и линейки. Основные теоремы планиметрии Признаки равенства треугольников 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Свойства равнобедренного треугольника 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. 54 Глава I. Планиметрия Признаки равнобедренного треугольника 1. Если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный. 2. Если высота одновременно является медианой, то треугольник равнобедренный. 3. Если медиана одновременно является биссектрисой, то треугольник равнобедренный. 4. Если биссектриса одновременно является высотой, то треугольник равнобедренный. Теоремы об углах треугольника 1. Сумма углов треугольника равна 180°. 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Средняя линия треугольника Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Признаки подобия треугольников Два треугольника подобны, если: 1) два угла одного треугольника равны двум углам другого; 2) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны; 3) три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого. Свойства медиан, биссектрис и высот треугольника 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершин. 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 3. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (основное свойство биссектрисы). 4. Бысоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Основные теоремы планиметрии 55 Признаки параллельности двух прямых 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Теорема Фалеса Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Теорема о пропорциональных отрезках Если стороны угла пересекаются двумя параллельными прямыми, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам на его другой стороне. Свойства параллелограмма 1. Противоположные стороны параллелограмма равны. 2. В параллелограмме противоположные углы равны. 3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Признаки параллелограмма 1. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 3. Если диагонали четырёхугольника делятся в точке пересечения пополам, то этот четырёхугольник—параллелограмм. Свойства прямоугольника и ромба 1. Диагонали прямоугольника равны. 2. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу. 3. Каждая диагональ ромба делит соответствующие углы ромба пополам. 56 Глава I. Планиметрия Признаки прямоугольника и ромба 1. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. 3. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом. Углы в окружности 1. Величина вписанного в окружность угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, либо равны, либо дают в сумме 180°. Хорды, секущие и касательные 1. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит её пополам. 2. Равные дуги стягиваются равными хордами. 3. Дуги окружности, заключённые между двумя параллельными хордами, равны между собой. 4. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. 5. Если точка Р расположена внутри круга радиуса R на расстоянии d от его центра, АВ — одна из его хорд, проходящая через Р, то произведение АР ■ РВ есть величина постоянная (т. е. не зависит от выбора хорды), причём АР ■ РВ = (теорема о произведении хорд). 6. Если точка Р расположена вне круга радиуса R на расстоянии d от его центра и одна из прямых, проходящих через Р, пересекает окружность в точках А и В, то произведение АР ■ РВ («секущей на её внешнюю часть») есть величина постоянная (т. е. не зависит от выбора прямой), причём АР ■ РВ = d^ — R^. Этой же константе равен и квадрат отрезка касательной РК, проведённой из точки Р к данной окружности и касающейся её в точке К (теорема о касательной и секущей). Основные теоремы планиметрии 57 Окружность, вписанная в треугольник Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения его биссектрис. Окружность, описанная около треугольника Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения трёх серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Окружность, вписанная в четырёхугольник В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является выпуклым и суммы противоположных сторон равны. В этом случае биссектрисы углов четырёхугольника пересекаются в центре окружности. Окружность, описанная около четырёхугольника Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий: 1. Четырёхугольник—выпуклый и /.AMD — /ACD. 2. Сумма двух противоположных углов четырёхугольника равна 180°. Центр окружности при этом совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника. Основные формулы планиметрии 1. Произвольный треугольник Обозначения: а, Ь, с — стороны; а, (3, у—величины противолежащих им углов; р — полупериметр; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведённая к стороне а (или её продолжению); т^, /д — соответственно медиана и биссектриса, проведённые к стороне а; х, у — отрезки, на которые биссектриса делит противолежащую сторону. 58 Глава I. Планиметрия 8Ш а = 2R (теорема синусов), sm у ]Ьс с< 2 _ 26^ + 2с^ - — 2Ьс cos а (теорема косинусов), т I = cos ll = bc- ху S — - aha, S = - aft sin у, 2 2 S = \/р(р — а)(р - Ь){р - с) (формула Герона), аЬс S = рг, Д = 4S 2. Прямоугольный треугольник Обозначения: а, Ь — катеты, с — гипотенуза. (теорема Пифагора), а = с sin а, Ъ = с cos а, S = -ab — -chc, R—-\ г 2 2 2 3. Равносторонний треугольник а + Ь — с a^^/l Д = av^ Г = ач/З 4 ' 3 6 4. Параллелограмм Обозначения: а и б —смежные стороны, а — угол между ними, ha — высота, проведённая к стороне а. S = aha — о^Ь sin а. 5. Ромб о S = aha = а sin а. 6. Трапеция Обозначения: а и 6 — основания, Л — высота. S = 2 7. Окружность Длина дуги окружности радиуса Д равна аД, где а — радианная мера центрального угла, соответствующего этой дуге. Длина всей окружности радиуса Д равна 2дД. Основные теоремы планиметрии 59 8. Круг Площадь сектора с углом, радианная мера которого а, равна - 2) прямых пересекаются и все точки их попарных пересечений различны, то все эти прямые лежат в одной плоскости. 20. Совпадает ли плоскость, в которой лежит трапеция, с плоскостью, проходящей через: а) середины её боковых сторон; б) середины всех сторон трапеции; в) диагонали трапеции; г) вписанную окружность, когда эта окружность существует? 74 Глава II. Параллельные прямые и плоскости 21. Могут ли три различные плоскости пересекаться только: а) в одной точке; б) в двух точках; в) по двум пересекающимся прямым? 22. Докажите, что существуют две прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости. §13. Взаимное расположение двух прямых в ПРОСТРАНСТВЕ Великая, божественная, точная, мудрая прямая — мудрейшая ия линий. . . Е. Замятин. Мы 38 Для любых двух прямых в пространстве есть только две возможности: либо они принадлежат одной плоскости, либо не принадлежат. Рассмотрим первую из этих возможностей. 39 Параллельные прямые. Если две прямые в про- странстве принадлежат одной плоскости, то они либо пересекаются, либо не пересекаются, т. е. параллельны в этой плоскости. В этом последнем случае прямые называются параллельными. С\ Определение 12. Две прямые в простран- Di ( стве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Обозначение: 1\ к- куб Рис. 67 Рассмотрим куб ABCDA\B\CiD\. (рис. 67). Тогда, например, прямые АВ и CiZ>i, AAi и СС\, ВС и A\D\, АС и А\С\ параллельны. 40 Используя аксиомы стереометрии, нетрудно показать, что плоскость, в которой лежат две данные параллельные прямые, единственная. Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. О Если прямые 1\ к к параллельны, то по определению они принадлежат некоторой плоскости а. § 13. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 75 Покажем единственность такой плоскости. Выберем две различные точки А и В на прямой li (напоминаем, что прямая состоит из бесконечного множества точек) и произвольную точку С на прямой 1г (рис. 68). Всякая плоскость, содержащая прямые ^l и 1г, содержит также точки А, В и С, а такая плоскость в силу аксиомы 1 единственная и, значит, совпадает с плоскостью а. • 41 Из следствий 2 и 3 вытекает более общий вывод. Следствие 4. Две прямые в пространстве, которые параллельны или пересекаются, лежат в одной плоскости. 42 Рассмотрим теперь вторую возможность расположения двух прямых в пространстве. Определение 13. Две прямые в пространстве, не принадлежащие одной плоскости, называются скрещивающимися. Два отрезка, принадлежащие скрещивающимся прямым, также называются скрещивающимися. 43 Прежде всего надо выяснить, существуют ли скрещивающиеся прямые. Положительный ответ на этот вопрос даёт следующая теорема, которая называется признаком скрещивающихся прямых. Теорема 14. Если одна из двух прямых пересекает плоскость, содержащую другую прямую, в точке, не принадлежащей этой второй прямой, то эти прямые скрещиваются. О Пусть прямая Z и не лежащая на ней точка М принадлежит плоскости а (рис. 69), а прямая т пересекает эту плоскость в точке М. Покажем, что прямые 1шт скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости. 76 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Действительно, в противном случае существовала бы плоскость /3, содержащая прямые I и т. Так как плоскость /3 содержит прямую I и точку М, то в силу следствия 1 она должна совпадать с плоскостью а. Но этого не может быть, так как плоскость /3 проходит через прямую т, не лежащую в плоскости а. Полученное противоречие опровергает наше предположение о существовании плоскости /3, содержащей прямые I и т. Таким образом, прямые I и т скрещиваются. • 44 Приведём несколько примеров скрещивающихся прямых в пространстве. Рассмотрим куб ABCDAiB\CiD\ (рис. 70). Тогда в силу доказанного выше признака прямые SiCi и DC скрещиваются. Аналогично скрещивающимися являются также прямые B\Ci и АВ, BiCi и AAi и т. д. 45 Изучим подробнее свойства параллельных прямых в пространстве. Как известно, на плоскости через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой (аксиома о параллельных). Аналогичное утверждение имеет место и в пространстве, только здесь оно уже будет доказываться. Теорема 15. Через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой. О Пусть I — данная прямая в пространстве и М — точка вне этой пря- / М мой. В силу следствия 1 существует единственная плоскость а (рис. 71), проходящая через прямую I и точку М. В плоскости а существует единственная прямая li, проходящая через Рис. 71 точку М и параллельная прямой I. Таким образом, мы доказали существование прямой в пространстве, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой. Покажем единственность такой прямой. § 13. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 77 Предположим, что в пространстве есть ещё одна прямая I2, проходящая через точку М и параллельная прямой I. Тогда в силу следствия 3 существует единственная плоскость /3, содержащая параллельные прямые I и I2. Но так как плоскость j3 содержит прямую I и точку М, она, согласно следствию 1, должна совпасть с плоскостью а. Отсюда следует, что прямые и I2 лежат в одной плоскости с прямой I и, значит, совпадают в силу аксиомы о параллельных. Единственность доказана. • 4в I Теорема 16. Пусть через каждую из двух параллель- ных прямых проведена плоскость, не содержащая другую прямую. Тогда, если эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых. О Пусть параллельные прямые а и Ь лежат соответственно в плоскостях а и /3, пересекающихся по прямой I (рис. 72). Проведём через прямые а и Ь плоскость у, которая единственна в силу следствия 3. Плоскости а и у не совпадают (в противном случае Ь С а, что противоречит условию теоремы) и пересекаются по прямой а. Поскольку Ь С г и ft II а, то прямая Ь не пересекает плоскость а, а значит, и прямую I этой плоскости. Итак, прямые Ь и I лежат в одной плоскости (в плоскости jS) и не пересекаются, т. е. параллельны. Аналогично показывается, что прямые а и I также параллельны. # 47 Свойство транзитивности параллельных прямых. Теорема 17. Если две различные прямые в пространстве параллельны третьей, то они параллельны между собой. О Пусть а, 6 и с — три прямые в пространстве, причём а || с и Ь II с. Покажем, что а || Ь. В случае, когда все три прямые принадлежат одной плоскости, утверждение теоремы превращается в известное свойство параллельных прямых на плоскости. 78 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Рис. 73 Предположим, что прямые а, Ь и с не лежат в одной плоскости. Проведём через параллельные а и с ^ у Ь плоскость а, а через параллельные д/ прямые Ь и с — плоскость /3 (рис. 73). В силу предположения плоскости а и /3 не совпадают, поэтому на прямой Ь можно выбрать некоторую точку М, не принадлежащую плоскости а. Пусть у — плоскость, проходящая через прямую а и точку М. Плоскости у и /3 не совпадают и имеют по крайней мере одну общую точку М, а значит, по аксиоме 3 пересекаются по некоторой прямой Ь\. Покажем, что прямые Ь и Ь\ совпадают. В самом деле, пересекающиеся по прямой bi плоскости /3 и у проведены соответственно через параллельные прямые с и а, поэтому II с в силу теоремы 16. Получается, что через точку М пространства проведены две прямые 6 и fej, параллельные прямой с, а по теореме 15 это означает их совпадение: Ь — Ь\. Таким образом, плоскости (3 и у, проведённые соответственно через параллельные прямые с и а, пересекаются по прямой Ь. Снова применяя теорему 16, получим: а || 6. • Говорят, что некоторое свойство (отношение) транзи-тивно, если из того, что этим свойством обладают пара а,Ь и пара Ь,с, следует, что им же обладает и пара а, с. Например, отношение порядка < (меньше) на парах действительных чисел транзитивно, а, скажем, отношение «дружить» на парах людей — не всегда (вопреки народной мудрости «друг моего друга — мой друг»). Доказанная только что теорема говорит о том, что отношение параллельности транзитивно для прямых в пространстве. 48 Из только что доказанной теоремы видно, что множество всех попарно параллельных прямых в пространстве, называемое связкой прямых, можно однозначно определить с помощью любой прямой этого множества. § 13. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 79 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Дайте определение параллельных прямых в пространстве. 2. Верно ли, что две прямые параллельны, если они не пересекаются? 3. Какие прямые называют скрещивающимися? Приведите примеры. 4. Сформулируйте и докажите признак скрещивающихся прямых. 5. Могут ли скрещиваться две прямые, параллельные третьей прямой? УПРАЖНЕНИЯ 1. На примере тетраэдра ABCD (сделайте рисунок самостоятельно) укажите пары скрещивающихся прямых. 2. Верен ли признак транзитивности для скрещивающихся прямых, т. е. верно ли, что прямые а и 6 скрещиваются, если попарно скрещиваются прямые а, с и Ь, с? 3. Верно ли, что если прямая с скрещивается с одной из двух данных параллельных прямых, то она скрещивается и с другой? 4. Какое множество точек в пространстве заполняют все прямые, пересекающие сразу две данные параллельные прямые? 5. По каждой из двух скрещивающихся нитей ползут два муравья. Могут ли все четыре муравья оказаться в одной плоскости? 6. Можно ли провести плоскость через всякую: а) двузвенную, б) трёхзвенную ломаную линию? 7. Пусть через каждую из двух скрещивающихся прямых а и Ь проведена плоскость. Тогда, если эти плоскости пересекаются по прямой с, то может ли прямая с быть параллельной: а) прямой а; б) прямым а и Ь? 8. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? 9. Могут ли быть параллельны прямые, полученные при пересечении двух пересекающихся плоскостей третьей плоскостью? 10. Прямая а пересекает плоскость а. Может ли в плоскости а лежать прямая, параллельная прямой а? 80 Глава II. Параллельные прямые и плоскости 11. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные пересекающиеся прямые и не проходящие через точку их пересечения, лежат в одной плоскости. 12. Три точки лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти три точки лежат на одной прямой. 13. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и CD скрещиваются. ® 14. Столяр с помощью двух нитей проверяет, будет ли устойчиво стоять на полу стол, имеющий четыре ножки. Как нужно натянуть нити? 15. Даны точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и плоскость а, не содержащая ни одну из этих точек. Пусть А\, В\, С\ —точки пересечения прямых ВС, АС, АВ с плоскостью а соответственно. Докажите, что точки А\, В\, С\ лежат на одной прямой. 16. Как могут быть расположены прямая а и плоскость а, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в плоскости а, скрещиваются? 17. Докажите, что лежат в одной плоскости: а) все параллельные прямые, пересекающие данную прямую; б) все прямые, пересекающие данную окружность в двух точках. 18. Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения. 19. На рис. 74 три попарно пересекающиеся прямые а, Ь, с пересекают плоскость а в точках А, В, С соответственно. Правильно ли выполнен рисунок? 20. Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух плоскостей, пересекает и другую. 21. Найдите ошибки (если они имеются) в изображении сечений куба плоскостью на рис. 75. 22. Правильно ли на рис. 76 нарисованы сечения тетраэдра (треугольной пирамиды) плоскостью? § 13. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 81 D D Рис. 76 Dx Cl ^1/ •L s / 1 s. 23. Дан куб ABCDAiBiCiDi (рис. 77). Пересекаются ли прямые AiBi и DiB на чертеже? Пересекаются ли эти прямые в пространстве? Дайте ответы на эти же вопросы для прямых BDi и А}С, АС и D\C\, ACi и А\С. 24. Найдите прямые пересечения плоскостей (рис. 77): а) АСС\А\ и BDD\B\; б) ACCiAi и BCD\A\\ в) А\ВС\ и AJ)C\Bi. 25. Дан куб ABCDAiBiC\Di (рис. 77). Пересекаются ли (в пространстве) прямые АС\ и D\B1 26. Найдите самый короткий путь по поверхности куба из вершины А в вершину Ci (рис. 77). 82 Глава II. Параллельные прямые и плоскости 27* (Геофак МГУ). Дан куб ABCDA\B\C\D\ с ребром, длина которого равна 4. На середине ребра ВС взята точка М, а на ребре AiDj на расстоянии 1 от вершины Ai взята точка N. Найдите длину кратчайшего пути между точками М и N по поверхности куба. 28. Рассматриваются всевозможные прямые, каждая из которых проходит через вершины куба. Можно ли из этих прямых выбрать а) три, б) четыре, в) пять таким образом, чтобы никакие две из них не лежали в одной плоскости? 29. Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника (т.е. четырёхугольника, вершины которого не лежат в одной плоскости) являются вершинами параллелограмма. 30. Пусть М, N, К, L — середины соответственно рёбер АВ, CD, AD, ВС тетраэдра ABCD. Докажите, что отрезки MN и KL перпендикулярны тогда и только тогда, когда АС = BD. 31. Докажите, что сумма квадратов двух противоположных рёбер тетраэдра вдвое больше суммы квадратов двух отрезков, соединяющих середины остальных двух пар противоположных рёбер. 32. Отрезок, соединяющий середины пар скрещивающихся (противоположных) рёбер тетраэдра называют бимедианой тетраэдра. Докажите, что все три бимедианы произвольного тетраэдра пересекаются в некоторой точке G, причём каждая бимедиана делится этой точкой пополам. ® 33. * Медианой тетраэдра назовем отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан {центроидом) противолежащей грани. Докажите, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в точке G (см. упр. 32), причём делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершин тетраэдра. ® § 14. Взаимное расположение прямой и плоскости 83 §14. Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности ПРЯМОЙ и плоскости Предположение плоскости есть, как известно, совершенно идеальное построение, потому что в действительности плоскости не суш,ествует. А. Потебня. Лекции по теории словесности 49 Взаимное расположение прямой и плоскости. В силу аксиомы 2 прямая I, проведённая через две произвольные точки А и В плоскости а (рис. 78), целиком лежит в этой плоскости. Таким образом, прямая может лежать в плоскости. Нам известен и другой случай взаимного расположения прямой и плоскости: прямая пересекает плоскость, т.е. имеет с ней общую точку. В самом деле, прямая I, проходящая через произвольную точку А данной плоскости а (рис. 79) и какую-либо точку В вне этой плоскости, имеет с плоскостью а только одну общую точку. Покажем теперь, что возможен ещё и третий случай: прямая не имеет общих точек с плоскостью. Для этого выберем какую-либо прямую I в данной плоскости а (рис. 80). Вне плоскости возьмём произвольную точку А. В силу следствия 1 через прямую I и точку А проходит единственная плоскость; обозначим её |3. Через точку А в плоскости jS проведём прямую I', параллельную прямой I. Плоскости а и р пересекаются по 84 Глава II. Параллельные прямые и плоскости прямой I, поэтому прямая I', расположенная в плоскости /3 и не пересекающаяся с прямой I, не имеет общих точек с плоскостью а. 50 Таким образом, существует лишь три различные возможности взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: 1) прямая пересекает плоскость, т. е. имеет с ней одну общую точку; 2) прямая лежит в плоскости; 3) прямая не имеет общих точек с плоскостью. 51 Определение 14. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней общих точек. Обозначение: I а. Выясним необходимые и достаточные условия параллельности прямой и плоскости. 52 Теорема 18 (признак параллельности прямой и плоскости). Прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости. О Пусть прямая I параллельна прямой а в плоскости а. Предположим, что прямая I пересекает плоскость а в точке А. Поскольку I || а, то точка А не принадлежит прямой а. Тогда по признаку скрещивающихся прямых (теорема 14) прямые I и а скрещиваются. Это противоречит условию I II а. Значит, прямая I не может пересекать плоскость а и, следовательно, она параллельна плоскости. # 53 Для доказательства теоремы, обратной к теореме 18, нам понадобится ещё один важный факт. Теорема 19. Если одна из двух пересекающихся плоскостей проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой. О Пусть плоскость а пересекается с плоскостью ji по прямой I (рис. 81) и проходит через прямую а, параллельную j3. § 14. Взаимное расположение прямой и плоскости 85 Так как по условию а || /3 и / С /3, то это означает, что прямые а и Z не пересекаются. Отсюда и из того, что обе прямые лежат в плоскости а, следует их параллельность. # 54 Следующая теорема, являясь обратной к теореме 18, даёт необходимое условие параллельности прямой и плоскости. Теорема 20. Прямая, параллельная данной плоскости, параллельна по крайней мере одной прямой этой плоскости. О Пусть прямая I параллельна плоскости а (рис. 82). Выбрав произвольную точку Л € а, проведём через прямую I и эту точку плоскость /3. Прямая а, являющаяся линией пересечения плоскостей а и /3, будет параллельна прямой I в силу теоремы 19. Таким образом, мы нашли в плоскости а прямую, параллельную прямой I. • Рис. 82 55 Теоремы 18 и 20, выражающие необходимые и доста- точные условия параллельности прямой и плоскости, можно объединить в одну: Теорема 21, Для того чтобы прямая, не лежащая в данной плоскости, была параллельна ей, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была параллельна некоторой прямой, лежащей в данной плоскости. Сформулированные условия параллельности прямой и плоскости позволяют получить несколько интересных и полезных следствий. 56 Следствие 5. Если одна из двух параллельных прямых, не лежащих в данной плоскости, параллельна ей, то и вторая прямая параллельна этой плоскости. О Пусть прямая 1\, параллельная прямой I2, параллельна также и плоскости а. В силу теоремы 20 прямая 1\ параллельна некоторой прямой а плоскости а. Из свойства транзитивности параллельных прямых (теорема 17) вытекает: 86 Глава II. Параллельные прямые и плоскости /г II а. А по признаку параллельности прямой и плоскости это и значит, что I2 || а. • 57 Следствие 6. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость. О Действительно, предположив противное, т. е. что плоскость параллельна второй прямой, в силу предыдущего следствия придём к выводу, что она параллельна и первой прямой. А это противоречит условию. • 58 Следствие 7. Прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плоскостей, параллельна и линии их пересечения. О Пусть прямая I параллельна пересекающимся плоскостям а и /3 (рис. 83), т — линия пересечения этих плоскостей. В силу теоремы 20 прямая I параллельна прямым а и Ь, лежащим соответственно в плоскостях а и jS. Из свойства транзитивности параллельных прямых вытекает, что прямые о и Ь также параллельны. Таким образом, через параллельные прямые а и Ь проходят плоскости а и /3, пересекающиеся по прямой т. В силу теоремы 16 это означает, что m Ц а и m || Ь. Применяя ещё раз свойство транзитивности, получим окончательно: / II т. # ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Перечислите все возможные случаи расположения прямой и плоскости. 2. Прямая а скрещивается с некоторой прямой Ь, лежащей в плоскости а. Может ли прямая а быть параллельной плоскости а? § 14. Взаимное расположение прямой и плоскости 87 3. Следует ли из того, что прямая параллельна плоскости, то, что она параллельна каждой прямой этой плоскости? 4. Сколько прямых, параллельных данной плоскости, можно провести через точку, не лежащую в этой плоскости? 5. Может ли прямая быть параллельной сразу двум пересекающимся плоскостям? УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть прямая а пересекает плоскость а. Верно ли, что в плоскости а найдётся прямая, параллельная прямой а? 2. Какие из вариантов а—в приведённых ниже утверждений, верны? Если одна из двух а) параллельных, б) пересекающихся, в) скрещивающихся прямых пересекает данную плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость. 3. Пусть прямые а и Ь параллельны плоскости а. Следует ли отсюда, что а || Ы 4. Верно ли, что через точку А, не принадлежащую данной плоскости а, можно провести единственную прямую, параллельную плоскости а? 5. Пусть плоскости а и /3 пересекаются, прямая а лежит в плоскости а, а прямая Ь — в плоскости /3. Могут ли прямые а и Ь: а) пересекаться, б) лежать в одной плоскости, в) быть параллельными, г) скрещиваться? 6. Плоскость Y пересекает две данные пересекающиеся плоскости а и /3 соответственно по прямым а и Ь. Могут ли прямые а и Ь: а) пересекаться, б) быть параллельными, в) скрещиваться? 7. Пусть EF — средняя линия трапеции ABCD с основаниями АВ и CD. Следует ли из параллельности прямых АВ и CD данной плоскости а, что прямая EF параллельна этой плоскости? 8. Плоскости а, р VI у попарно пересекаются, но не имеют общих для всех трёх плоскостей точек. Существуют ли 88 Глава II. Параллельные прямые и плоскости в пространстве прямые, параллельные всем трем плоскостям? 9. Как вы думаете, какое множество точек в пространстве заполняют все прямые, параллельные данной плоскости а и проходящие через точку А? 10. Через одну из двух скрещивающихся прямых провести плоскость, параллельную другой прямой. ® 11. Проведите через точку М пространства плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым а и Ь. 12. Постройте прямую, скрещивающуюся с каждой из двух данных: а) пересекающихся; б) скрещивающихся прямых. 13. Докажите, что: а) если плоскость пересекает прямую, содержащую одно из оснований трапеции, то она пересекает и прямую, содержащую другое основание; б) если плоскость пересекает данную параболу в двух различных точках, то она пересекает и ось параболы. 14. Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли, что: а) прямая Ь, параллельная прямой а, параллельна плоскости а; б) прямая Ь, параллельная плоскости а, параллельна прямой а? 15. Постройте прямую, проходящую через заданную точку и параллельную двум данным пересекающимся плоскостям. 16. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку. 17. Приведите пример: а) трёх таких прямых, которые нельзя пересечь никакой четвёртой прямой; б) трёх плоскостей таких, что любая прямая пространства пересекает хотя бы одну из них. 18. Дана четырёхугольная пирамида ABCDM, в основании которой лежит трапеция ABCD {АВ || CD). Постройте прямые пересечения граней; а) ADM и ВСМ; б) АВМ и CDM. § 14. Взаимное расположение прямой и плоскости 89 19. Постройте плоскость, пересекающую данный тетраэдр по параллелограмму. 20. Дан тетраэдр ABCD и точки К, М, Р, лежащие на рёбрах AD, BD, CD соответственно. Постройте прямую пересечения плоскостей КМР и АВС. Далее нам встретятся несколько задач, в которых требуется построить сечение многогранника (точнее — изображение сечения на изображении многогранника; более подробно об этом поговорим в § 16 и далее в 11 классе) некоторой плоскостью. Договоримся линию пересечения секущей плоскости с гранью многогранника называть следом сечения. Построить сечение — фактически означает построить все его следы. При этом разрешённые действия таковы: а) имеем право провести прямую через две данные точки; б) имеем право отметить точку пересечения двух данных прямых (разумеется, если таковая имеется); в) можно также провести через данную точку прямую, параллельную данной прямой. К примеру, категорически воспрещается «строить» точку пересечения данной прямой и данной плоскости «просто так», не прибегая к каким-либо дополнительным соображениям. Вообще же, главное, к чему нужно стремиться, строя сечение — это искать пары точек, которые одновременно принадлежали бы какой-либо грани и секущей плоскости, ведь тогда прямая, проходящая через эти точки, обязательно будет содержать след сечения, являясь линией пересечения грани многогранника и секущей плоскости. 21. Дан куб ABCDA\B\C\Di. Найдите сечение этого куба плоскостью, проходящей через вершины В, D\, А\. 22. Найдите сечение куба ABCDA\B\C\D\ плоскостью, проходящей через вершины В, D\ куба и середину М ребра АА]. 23. На рёбрах BD и CD тетраэдра ABCD выбраны точки Р и К, а на продолжении ребра AD — точка М (рис. 84). Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью РКМ. 90 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Di м Cl Рис. 86 АР DQ 24. Найдите сечение куба ABCDAiBiC\Di плоскостью D\PL (рис. 85), где точки Р к L — середины сторон АВ и ВС соответственно. 25. Постройте сечение куба ABCDAiBiCiDi плоскостью, проходящей через вершину А, точку М ребра CiD\ и точку Р, лежащую на продолжении ребра DC (рис. 86). 26. * Точки Р, Q, R расположены соответственно на рёбрах ВА, AD, DC тетраэдра ABCD, причём известно, что f)D q, — = г. Требуется построить сече- нс ние тетраэдра плоскостью PQR, и определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро ВС. ® 27. * Точки Р, Q, R расположены, соответственно, на рёб- рах ЕА, ЕВ, ЕС четырёхугольной пирамиды EABCD, в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Из- вестно, что — = р, -- = д, — = г. Требуется построить ЕР EQ ЕР сечение пирамиды плоскостью PQR и определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро ED. ® 28. В кубе АВСDA\B\C\D\ отмечены центры нижней и верх- ней граней — точки О и Oi соответственно. Точка Р лежит на отрезке OOi. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку Р и параллельной прямым BD и АС\. ® 29. Постройте сечение куба ABCDA\B\C\D\ плоскостью, проходящей через точки А\, С\ и параллельной прямой BD\. ® § 15. Взаимное расположение двух плоскостей 91 § 15. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей Откуда эта чудодейственная мощь анализа в математике? Дело в том, что ум здесь действует в полном подчинении данному правилу. П. Чаадаев. Философические письма 59 Взаимное расположение двух плоскостей. Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей. Один случай нам уже известен. Две различные плоскости, имеющие общие точки, пересекаются по прямой (аксиома 3). Покажем, что возможен ещё и такой случай взаимного расположения двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек. О Для этого через произвольную точку данной плоскости <х проведём пересекающиеся прямые а\ и аг (рис. 87). Через произвольную точку В вне плоскости а проведём прямые Ь\ и ^2» параллельные соответственно прямым а\ и U2- Пересекающиеся прямые bi и bz определяют в силу следствия 2 единственную содержащую их плоскость j3. Докажем, что плоскости а и /3 не имеют общих точек. Предположим противное, т. е. плоскости а и /3 имеют общие точки. Так как а ^ j8, то это значит, что обе плоскости пересекаются по некоторой прямой I. Из теоремы 16 и условия а\ || следует параллельность прямых а\ и I. Аналогично I || az- Но в силу свойства транзитивности параллельных прямых это значило бы, что ai II 02. 92 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Приходим к противоречию. Таким образом, плоскости а и /3 не имеют общих точек. Ф 60 I Итак, существуют два случая взаимного расположе- ния двух плоскостей: 1) плоскости пересекаются, т. е. имеют общую прямую; 2) плоскости не имеют общих точек. Определение 15. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Обозначение: а || Д. 61 I Заметим, что плоскость а параллельна плоскости j3, если любая прямая, лежащая в плоскости а, параллельна плоскости j3. В самом деле, пусть а / j3. Если предположить, что плоскости имеют по крайней мере одну общую точку, то прямые плоскости а, проходящие через эту точку и не лежащие в плоскости /3, будут пересекать плоскость j3, что противоречит условию. Таким образом, плоскости не имеют общих точек и, стало быть, параллельны. 62 Оказывается, для того чтобы установить параллельность двух плоскостей, достаточно убедиться в том, что лишь две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости. Теорема 22 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. О Доказательство было проведено выше в п. 59. Действительно, если пересекающиеся прямые а\ и аг плоскости а параллельны плоскости /3, то в силу теоремы 20 эти прямые будут параллельны соответственно некоторым прямым Ь\ и &2 плоскости ^3. А это в силу п. 59 влечёт за собой параллельность плоскостей а и /3. Ф 63 Как известно (теорема 15), через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную отой прямой. Аналогичное утверждение справедливо и для плоскостей. § 15. Взаимное расположение двух плоскостей 93 Теорема 23. Через точку в пространстве, не лежащую в данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную этой плоскости. О Пусть заданы плоскость а и точка В вне её. Покажем, что через точку В можно провести единственную плоскость /3, параллельную плоскости а. Существование такой плоскости было дшсазано в п. 59. Докажем единственность плоскости /3. Предположим противное, т. е. что через точку В проходит плоскость jSi, параллельная плоскости а и не совпадающая с плоскостью /3 (рис. 88). Плоскости /3 и /Зь имея по крайней мере одну общую точку В, пересекутся по некоторой прямой I. Так как плоскости а и /3 (а также а и /3i) не имеют общих точек, то любая прямая а в плоскости а будет параллельна плоскостям /3 и jSi. В силу следствия 7 это означает, что а II I. Тогда через произвольную точку А плоскости а будет проходить бесконечно много прямых, параллельных прямой I, что противоречит теореме 15. Таким образом, наше предположение неверно и, значит, единственность плоскости j3 доказана. • 64 Только что построенная плоскость /3, проходящая через точку В, не пересекается с плоскостью а, поэтому любая прямая этой плоскости, проходящая через точку В, паргшлельна плоскости а. Покажем, что верно и обратное, т. е. всякая прямая Ь, параллельная плоскости а и проходящая через точку В, лежит в плоскости j0. Действительно, пусть В G Ь и Ь || а. Тогда по теореме 20 прямая Ь параллельна некоторой прямой а плоскости а. Плоскости а и (3 не пересекаются, поэтому а II jS. В силу следствия 5 это значит, что и & || /3. Учитывая, 94 Глава II. Параллельные прямые и плоскости что прямая Ь и плоскость j6 имеют по крайней мере одну общую точку (точку В), получим 6 С /3, что и требовалось. Заметив ещё, что все прямые плоскости (3, проходящие через точку В, «заметают» всю плоскость /3, получим в итоге: Следствие 8. Прямые, проходящие через точку вне данной плоскости и параллельные ей, заполняют плоскость, проходящую через эту точку и параллельную данной плоскости. Теорема 24. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые, по которым пересекаются эти плоскости, параллельны. О Пусть плоскость у пересекает параллельные плоскости аир соответственно по прямым а и Ь (рис. 89). Так как плоскости а и Р не пересекаются, то не пересекаются и лежащие в них прямые а и Ь. Кроме того, прямые а и Ь лежат в одной плоскости — плоскости у. Таким образом, прямые а и Ь не пересекаются и лежат в одной плоскости, т. е. параллельны. • Теперь мы можем дать определение параллелепипеда. Определение 16. Параллелепипедом называется шестигранник, противоположные грани которого лежат в попарно параллельных плоскостях. (Более точное определение будет дано в 11 классе.) Из теоремы 24 сразу же вытекает, что все грани параллелепипеда являются параллелограммами. 65 Используя аргументы, приведённые в п. 53, получим следующее полезное утверждение. Следствие 9. Прямая, параллельная одной из двух данных параллельных плоскостей, параллельна и другой плоскости. \ 66 I Следующее свойство параллельных плоскостей называется свойством транзитивности и является аналогом соответствующего свойства параллельных прямых (теорема 17). § 15. Взаимное расположение двух плоскостей 95 Теорема 25. Если две различные плоскости в пространстве параллельны третьей, то они параллельны между собой. О Пусть плоскости а и j8 параллельны плоскости у. Покажем, что а || /3. Выберем для этого две произвольные пересекающиеся прямые ai и аз плоскости а (рис. 90). Так как а || у, то а\ || у, аз || у. Отсюда и в силу теоремы 20 следует, что в плоскости у существуют прямые Cl и сз, соответственно параллельные прямым ai и аз. Так как J0 II у, то и Cl II /3, Сз II /3. Отсюда, по следствию 5, имеем: ai Ц /3, аз || ]3. Таким образом, две пересекающиеся прямые плоскости а параллельны плоскости /3, т. е. в силу признака параллельности плоскостей <х\\р. • 67 Следующие две теоремы определяют некоторые свойства прямых и плоскостей, пересекающих две данные параллельные плоскости. Теорема 26. Любая прямая или плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую плоскость. О Пусть плоскости а и /3 параллельны, а прямая I (соответственно плоскость у) пересекает одну из них, например а. Докажем, что она пересекает и вторую плоскость. Предположим, что прямая I (соответственно плоскость у) не пересекает плоскость /3, т. е. параллельна ей. Тогда в силу следствия 9 (соответственно теоремы 25) прямая I (соответственно плоскость у) будет параллельна и плоскости а, что противоречит условию. Значит, наше предположение неверно и прямая I (соответственно плоскость у) пересекает плоскость р. • Теорема 27. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны. 96 Глава П. Параллельные прямые и плоскости О Проведём через параллельные прямые Cl и С2, пересекающие плоскости а VI плоскость у (рис. 91). В соответствии с теоремой 24 она пересечёт плоскости а и j3 по параллельным прямым I и т. Точки пересечения этих прямых с параллельными прямыми Cl и С2 являются вершинами параллелограмма A\B\BzA2‘ Таким образом, AiBi = А2В2, что и требо- валось доказать. 68 I Признак параллельности плоскостей позволяет ука- зать способ размещения двух данных скрещивающихся прямых в параллельных плоскостях. Следствие 10. Через две скрещивающиеся прямые можно провести соответственно две параллельные плоскости. О Через произвольную точку одной из двух данных скрещивающихся прямых — прямой а — проведём прямую Ь', параллельную прямой Ь (рис. 92). Аналогично через произвольную точку прямой 6 проведём прямую а', параллельную прямой а. Через пересекающиеся прямые а, Ь' и Ь, а' проведём соответственно плоскости а и j3. Прямые а и а', а также Ь' и Ь параллельны, поэтому в силу признака параллельности прямой и плоскости а || j3, Ь' || /3. Отсюда по признаку параллельности плоскостей а || /3. • Нетрудно показать, что параллельные плоскости, содержащие две данные скрещивающиеся прямые, определяются единственным образом. § 15. Взаимное расположение двух плоскостей 97 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Сколько различных плоскостей, параллельных данной плоскости, можно провести в пространстве? 2. Верно ли, что всякая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости? 3. Параллельны ли две данные плоскости, если третья плоскость пересекает их по параллельным прямым? 4. Две пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по двум прямым. Будут ли эти прямые параллельными? УПРАЖНЕНИЯ 1. Через всякую ли а) точку, б) прямую в пространстве, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную этой плоскости? 2. Вспомните признак параллельности плоскостей. Является ли требование пересечения прямых в этом признаке существенным, т. е. верно ли, что если две прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны? 3. Верно ли, что произвольная плоскость пересекает хотя бы одну из двух данных пересекающихся прямых? 4. Верно ли, что плоскость, пересекающая одну из двух скрещивающихся прямых, пересечёт и вторую прямую? 5. Пусть плоскости а и /3 параллельны прямой с. Следует ли отсюда, что плоскости а и j3 параллельны? 6. Покажите, что противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях. 7. Сколько плоскостей, параллельных данной плоскости а, можно провести через данную прямую а, если а || а? 8. Можно ли провести плоскость у, параллельную двум данным пересекающимся плоскостям а и jS? 9. Могут ли быть равны отрезки непараллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями? 10. Всегда ли парабола, пересекающая одну из параллельных плоскостей, пересекает и вторую? 11. Прямые а vib пересекают две параллельные плоскости Х\ и Y2- Длины отрезков этих прямых, заключённые между 4-1175 98 Глава II. Параллельные прямые и плоскости плоскостями 71 и 72> равны. Являются ли прямые а и Ь параллельными? 12. Какое множество точек в пространстве образуют все плоскости, проходящие через данную прямую и пересекающие параллельную этой прямой плоскость? 13. Может ли в сечении куба плоскостью получиться а) правильный треугольник; б) правильный пятиугольник? 14. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Докажите, что сечение куба плоскостью, проходящей через середины рёбер АА\, АВ и ВС, является правильным шестиугольником. ® 15. Какие правильные многоугольники могут получиться в сечении куба плоскостью? 16. Какую форму имеет сечение куба плоскостью, проходящей через а) ребро; б) диагональ грани; в) диагональ куба? 17. В основании четырёхугольной пирамиды ABCDM лежит параллелограмм (рис. 93). Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD основания и параллельной ребру AM. 18. Дана четырёхугольная пирамида ABCDM, основанием которой является трапеция ABCD, точка Е лежит на ребре ВМ. Найдите сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку Е и параллельной прямым AM и ВС. Установите форму полученного сечения. ® 19. Постройте сечение пирамиды ABCDM плоскостью, проходящей через точки D к К к параллельной ребру МС (рис. 94). § 15. Взаимное расположение двух плоскостей 99 £>1 20. Постройте сечение куба ABCDA\B\C\D\ плоскостью АКМ, где точка К принадлежит ребру ВС, а точка М — грани DCC\D\ (рис. 95). 21. Дан куб ABCDA\B\C\D\, точка Р лежит на диагонали BD грани ABCD, причём ВР = - BD, а точка М совпа- 3 дает с серединой диагонали BD\ куба. Установите форму сечения куба плоскостью АМР. 22. В кубе ABCDA\B\CiD\ на ребре ВВ\ взята точка К, а точка М принадлежит грани DCC\D\ (рис. 96). Найдите сечение куба плоскостью АКМ. 23. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость а в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через А, также в вершинах параллелограмма. 24. Верно ли утверждение предыдущего упражнения, если рассматриваемые в нём четыре прямые не проходят через одну точку? 25. Площадь поверхности некоторого тетраэдра равна S. Найдите площадь поверхности тетраэдра с вершинами в центроидах граней данного тетраэдра. © 26. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает четыре параллельные прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная данным прямым, также пересекает эти прямые в вершинах некоторого параллелограмма. 27. Найдите геометрическое место середин всех отрезков с концами на двух данных параллельных плоскостях. 100 Глава II. Параллельные прямые и плоскости 28*Найдите геометрическое место середин всех отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых. ® 29. Даны две параллельные плоскости. Рассматриваются все возможные отрезки с концами на этих плоскостях. Найдите геометрическое место точек, делящих эти отрезки в отношении т : п. 30. Найдите геометрическое место точек, делящих отрезки с концами на двух данных скрещивающихся прямых в отношении т : п. 31. Прямые а и Ь пересекают три параллельные плоскости а, jS и у в точках Ai, Bi, Ci, Az, Bz, Cz соответственно (рис. 97). Докажите, что -- BiCi В2С2 32. Диагональ и сторона плоского многоугольника параллельны плоскости а. Верно ли, что плоскость многоугольника параллельна плоскости а, если многоугольник имеет: а) 4 стороны; б) 5 сторон; в) п сторон (п > 5)? число прямых нужно расположить ^У lAi I f 1 Ibi U2 iFt 7 Рис. 97 33. Какое минимально в пространстве для того, чтобы любая плоскость пересекала хотя бы одну из них? 34. Докажите, что две параллельные плоскости, в которые можно поместить две данные скрещивающиеся прямые, определяются однозначно. 35. Через какие точки пространства можно провести плоскость, пересекающую каждую из двух данных скрещивающихся прямых? 36. Постройте прямую, пересекающую каждую из трёх данных попарно скрещивающихся прямых. 37* Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Для каких точек М пространства прямая пересечения плоскостей АВМ и CDM параллельна либо прямой АВ, либо прямой CD7 38. Постройте: а) четыре попарно скрещивающиеся прямые; *б) п (п > 2) попарно скрещивающихся прямых; *в) плоскость, пересекающую четыре данные попарно скрещивающиеся прямые. § 16. Параллельное проектироввние 101 § 16. Параллельное проектирование. Изображение фигур в стереометрии Какая ночь! Зашел я в хату. Весь лес лучами озарен И, как по кованому злату. Тенями ночи зачервлён. К. Случевский О, первых листьев красота. Омытых в солнечных лучах, С новорождённою их тенью! Ф. Тютчев. Первый лист 69 I Параллельная проекция. В отличие от плоских. пространственные фигуры невозможно точно изобразить на листе бумаги. Тем не менее, с помощью плоских чертежей удаётся получить более или менее наглядное представление о рассматриваемых в стереометрии фигурах. Для этого используются специальные методы плоского изображения этих фигур. Одним из наиболее удобных является метод параллельного проектирования (проецирования), с которым мы сейчас познакомимся. Пусть нам нужно изобразить (спроектировать) пространственную фигуру Ф на некоторой плоскости а (рис. 98) Эту плоскость назовем плоскостью проекции. Зафиксируем также какую-нибудь прямую /, пересекающую плоскость а. Эту прямую мы будем называть проектирующей прямой. Теперь через произвольную точку А фигуры Ф проведём прямую I', параллельную прямой I. В силу следствия 6 она пересечёт плоскость а в некоторой точке А\. Точку Ai назовем проекцией (или изображением) точки А на плоскость а при параллельном проектировании вдоль прямой I. Точно так же находим проекции всех остальных точек фигуры Ф. 102 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Определение 17. Параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость вдоль прямой I называется множество Ф' проекций всех точек фигуры Ф при этом параллельном проектировании. В дальнейшем будем говорить просто проекция фигуры Ф. 70 Изображение пространственной фигуры. Наглядное представление о параллельной проекции какого-либо реального тела можно получить, рассматривая тень, которую оно отбрасывает на плоскую поверхность (стены, пол, землю, ...) в солнечный день. Солнечные лучи, вдоль которых происходит проектирование, вследствие огромной удалённости Солнца можно считать практически параллельными. Особенно наглядным это сравнение проекции с тенью будет в случае, когда в качестве рассматриваемого объекта мы выберем проволочную модель одной из известных нам пространственных фигур: пирамиды, куба, призмы и т. д. (рис. 99). Таким образом, проекция пространственной фигуры (или оригинала) на плоскость представляет собой что-то вроде «плоской тени» этой фигуры. Эта аналогия и положена в основу плоского изображения пространственных фигур. Определение 18. Изображением пространственной фигуры в стереометрии называется любая фигура, подобная проекции этой фигуры на некоторую плоскость. Для того чтобы изображение данной фигуры было понятным и удобным для проведения дополнительных построений § 16. Параллельное проектирование 103 И исследований, используются ещё некоторые специфические чертежные приёмы, о которых будет сказано ниже. В целях более точного построения изображения пространственных фигур необходимо подробнее изучить свойства параллельного проектирования. Прежде всего необходимо помнить, что одни свойства фигур при параллельном проектировании сохраняются, а другие — нет. Поэтому параллельная проекция пространственной фигуры на плоскость даёт, вообще говоря, лишь частичный, неполный отпечаток свойств этой фигуры. Следующее утверждение вытекает непосредственно из определения параллельной проекции. Следствие 11. 1. Все точки данной фигуры, лежащие на одной прямой, параллельной проектирующей прямой, проектируются в одну точку; 2. Любая точка плоскости проекции проектируется сама в себя. Утверждение 1 следствия практически означает, что при параллельном проектировании фигуры Ф вдоль прямой / вся фигура как бы сплющивается в этом направлении (так окружность на рис. 100, расположенная в плоскости j3, параллельной проектирующей прямой I, проектируется в отрезок АБ). Поэтому проекция пространственной фигуры представляет собой нечто вроде её «рентгеновского снимка». 71 Свойства параллельной проекции. Переходим к изучению менее очевидных свойств параллельного проектирования. 104 Глава II. Параллельные прямые и плоскости В дальнейшем будем всегда считать (если не оговорено противное), что проектируемые прямые и отрезки не параллельны проектирующей прямой, (иначе, в силу следствия 11, они проектируются в точки, что не представляет интереса). Теорема 28 (о свойствах параллельной проекции). 1. Проекция прямой — прямая линия, проекция отрезка — отрезок. 2. Проекции параллельных прямых (или отрезков) параллельны. 3. Отношение длин двух отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин их проекций. О 1. Пусть прямая а проектируется на плоскость а, I — проектирующая прямая (рис. 101). Если а С а, то утверждение очевидно в силу пункта 2 следствия 11. Предположим, что прямая а не лежит в плоскости а. Выберем произвольную точку А G а, не лежащую в плоскости а. Через прямую а и точку Ai, являющуюся проекцией точки А, проведём плоскость /3. Пусть прямая а\ — линия пересечения плоскостей а и /3. Покажем, что эта прямая является проекцией прямой а. В самом деле, любая прямая, пересекающая прямую а и параллельная проектирующей прямой I, параллельна и прямой AAi, а значит, находится в плоскости /3. Отсюда следует, что любая такая прямая пересекает прямую а\, т. е. проекцией любой точки М £ а является некоторая точка М\ е аь Точно так же всякая точка N\ 6 а\ является проекцией некоторой точки N € а. Таким образом, прямая а\ является проекцией прямой а. § 16. Параллельное проектирование 105 Аналогично доказывается утверждение относительно отрезков. 2. Пусть параллельные прямые & и с проектируются на плоскость а (рис. 102). Через произвольные точки В и С на этих прямых проведём соответственно прямые Ь' и с', параллельные проектирующей прямой I. Тогда проведённые соответственно через пересекающиеся прямые Ь, Ъ' и с, с' плоскости будут параллельны в силу признака параллельности плоскостей. Доказываемое утверждение вытекает теперь из теоремы 24 о пересечении двух параллельных плоскостей третьей. 3. Предположим сначала, что данные отрезки АВ и CD лежат на одной прямой а (рис. 103, а). В этом случае их проекции AiSi и C\D\ лежат на прямой ai, которая вместе с прямой а принадлежит плоскости /3. Так как прямые AAi, ВВ\, СС\ и DD\ параллельны между собой, то нужное нам утверждение вытекает из соответствующей теоремы о пропорциональных отрезках на плоскости. Пусть теперь отрезки АВ и CD лежат на параллельных прямых а и & (рис. 103,6). Прямые а и Ь параллельны и, следовательно, лежат в некоторой плоскости /3. Проведём в этой плоскости через точку В прямую, параллельную прямой АС. Пусть эта прямая пересечёт прямую Ь в некоторой точке Е. Проекцией полученного параллелограмма АВЕС на плоскость а в силу п. 2 будет либо параллелограмм, либо отрезок (когда I II (5). Рассмотрим первый случай, т.е. когд&А'В'Е'С — параллелограмм (второй, более простой случай, рассмотрите самостоятельно). Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому АВ = СЕ и А'В' = С'Е'. Отсюда ~ = —. CD CD 106 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Поскольку отрезки СЕ и CD лежат на одной прямой, то СЕ С'Е^ по только что доказанному — = ------. Из последних трёх CD CD' АВ А'В' А равенств вытекает, что — =-----. • CD CD' Определение 19. Простым отношением трёх точек А, В, С, лежащих на одной прямой, называют направленное отношение : если векторы сонаправлены, получаем от- ношение длин со знаком «плюс», в противном случае — со знаком «минус». Из теоремы 28 вытекает Следствие 12. Параллельное проектирование сохраняет простое отношение трёх точек. § 16. Параллельное проектирование 107 72 Изображение плоских фигур. Вернёмся к изображению фигур в стереометрии. Сначала рассмотрим изображения плоских фигур. Как мы уже знаем из теоремы 28 прямые (отрезки) изображаются в стереометрии прямыми (отрезками). Кроме того, при изображении сохраняется параллельность прямых и пропорциональность длин параллельных отрезков. Тем не менее, некоторые характеристики плоских фигур при параллельном проектировании не сохраняются. Так, вообще говоря, не сохраняются при параллельном проектировании длины отрезков. Например, длины отрезков АВ, АВ' и АВ" на рис. 104 различны, хотя все эти отрезки имеют одну и ту же проекцию— отрезок А\В\. Точно так же можно показать на примерах, что в общем случае при параллельном проектировании не сохраняются величины углов и площади фигур. Отсюда становится понятным следующее утверждение, доказательство которого мы не приводим: проекцией данного треугольника на плоскость, при соответствующем расположении проектирующей прямой, может быть с точностью до подобия любой треугольник этой плоскости. Вспоминая определение изображения пространственной фигуры, приходим к следующему важному выводу: Изображением данного треугольника в пространстве может быть любой треугольник в плоскости проекции. В частности, равносторонние или прямоугольные треугольники в пространстве можно изображать на плоскости в виде треугольников любой формы, в том числе равносторонних. Заметим, однако, что медианы треугольника изображаются медианами треугольника-изображения (см. упр. 13). 73 В силу теоремы 28 и исходя из того, что величины углов и длины отрезков, вообще говоря, не еохраняются при параллельном проектировании, получаем 108 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Следствие 13. 1. Изображением параллелограмма в пространстве является параллелограмм, величины углов и длины сторон которого можно выбрать произвольно. 2. Изображением трапеции в пространстве является произвольная трапеция с тем же отношением оснований. При этом, если какая-то пара сторон {основания) параллелограмма {трапеции) параллельна проектирующей прямой, изображение параллелограмма {трапеции) вырождается в отрезок. 74 Отметим без доказательства, что изображением окружности в пространстве является эллипс (рис. 105). Эллипсом называют геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (называемых фокусами) равна постоянному числу (не меньшему, чем расстояние между фокусами): PF\ + PF2 = const. Эллипс можно начертить, привязав кусок веревки концами к двум гвоздикам, вбитым в плоскость, а затем натянув веревку на карандаш. При движении карандаш будет вычерчивать эллипс. Если фокусы совпадают, то эллипс, как говорят, вырождается в окружность. Если же указанная выше константа равна расстоянию между фокусами, то эллипс вырождается в отрезок. 75 Изображение пространственных фигур. Изученные нами свойства параллельного проектирования и способы изображения плоских фигур в стереометрии помогут нам получать наглядные изображения пространственных фигур. При этом, как и в черчении, условимся непересекающиеся пространственные линии на рисунке изображать также непе-ресекающимися, хотя в проекции эти линии могут пересечься. Для этого линия, более близкая к плоскости чертежа, изображается штриховой линией (это, как правило, относится к невидимым для наблюдателя линиям; см. рис. 106, а) или прерывается в точке условного пересечения на чертеже (рис. 106,6). § 16. Параллельное проектирование 109 Рис. 106 76 I Изображение тетраэдра. С изображением большин- ства фигур, изучаемых в стереометрии, мы уже сталкивались ранее. Более подробно эти фигуры будут изучаться в 11 классе. Поясним здесь способ изображения тетраэдра, т. е. треугольной пирамиды. Рассматривая проекцию проволочной модели тетраэдра и учитывая, что проекциями четырёх его вершин будут четыре точки, а проекциями шести рёбер будут шесть отрезков, соединяющих эти четыре точки (рис. 107), придём к выводу о том, что проекцией тетраэдра будет четырёхугольник (возможно, невыпуклый) вместе с двумя его диагоналями. Теперь уже понятным становится следующее утверждение, доказательство которого мы опускаем: Изображением данного тетраэдра может быть произвольный {не обязательно выпуклый) четырёхугольник в плоскости проекции вместе с его диагоналями. При этом невидимые (задние) рёбра тетраэдра изображаются обычно пунктирной линией (рис. 108). Рис. 108 110 Глава II. Параллельные прямые и плоскости ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Параллельной проекцией фигуры в пространстве является точка. Какой может быть эта фигура? 2. Могут ли непараллельные прямые проектироваться на параллельные прямые? 3. В каком случае неверно утверждение: «Проекции параллельных прямых параллельны»? 4. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться: а) трапеция; б) квадрат? 5. Дан перечень фигур: а) точка, б) прямая, в) отрезок, г) луч, д) угол, е) плоскость. Какие фигуры могут получиться при проектировании каждой из данных фигур? При выборе ответов пользуйтесь этим же перечнем. 6. Что называется простым отношением трёх точек? УПРАЖНЕНИЯ 1. Приведите примеры нескольких фигур в пространстве, проектирующихся в: а) прямую; б) отрезок, в) точку. 2. Какие фигуры можно получить, проектируя на плоскость: а) две параллельные; б) две пересекающиеся; в) две скрещивающиеся прямые? 3. Пусть плоскости а и Р параллельны. Верно ли, что длины проекций данного отрезка на эти плоскости будут равны? 4. Могут ли быть равными длины проекций данного отрезка на две пересекающиеся плоскости (проектирующая прямая для обеих проекций одна и та же)? 5. Даны три различные точки. Сколько точек может получиться на плоскости проекций при проектировании данных точек? 6. Как должны быть расположены две прямые в пространстве, чтобы их проекцией являлись: а) прямая и точка на прямой; б) прямая и точка, не лежащая на этой прямой? 7. Верно ли, что проекцией средней линии трапеции ABCD будет средняя линия трапеции A'B'C'D', являющейся проекцией трапеции ABCD? 8. Можно ли указать проектирующую прямую Ь такую, что при соответствующем проектировании тетраэдра ABCD на плоскость АВС его изображением будет треугольник? §16. Параллельное проектирование 111 9. Всегда ли проекцией ромба (если он не проектируется в отрезок) будет ромб? 10. Покажите на примерах, что при параллельном проектировании, вообще говоря, не сохраняются: а) величины углов, б) площади фигур, 11. Постройте изображение (параллельную проекцию) правильного шестиугольника. 12. Докажите, что изображением центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричная фигура. 13. На данном изображении треугольника постройте изображение медиан этого треугольника. ® 14. Даны скрещивающиеся прямые а и Ь. Проведите плоскость Y так, чтобы при любом выборе проектирующей прямой параллельные проекции прямых а и 6 на плоскость у пересекались. 15. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь и плоскость проекций у. Проведите проектирующую прямую I так, чтобы параллельные проекции прямых а и 6 на плоскость у были параллельны. Всегда ли имеет решение эта задача? 16. Докажите, что параллельной проекцией данного угла величины (р {0 < ср < 180°) может быть угол любой величины cpi (0 < (р\ < 180°). 17. Треугольник А\В\С\ является изображением треугольника АВС. Верно ли, что: а) высоты треугольника AiB\Ci являются изображениями высот треугольника АВС; б) биссектрисы треугольника А\В\С\ являются изображениями биссектрис треугольника АВС7 18. Постройте на изображении ромба изображение его высоты, если острый угол ромба равен 45°. 19. Дано изображение куба (рис. 109). Какими (остроугольными, прямоугольными или тупоугольными) являются треугольники АВС, ABD и АВС\ на изображении и в оригинале? 20. В прямоугольном треугольнике АВС угол САВ равен 30°. На данном изображении A\B\Ci треугольника АВС 112 Глава II. Параллельные прямые и плоскости постройте изображение биссектрисы BL треугольника АВС (рис. 110, а, б). 21. Дано изображение AiBiCiDi равнобокой трапеции ABCD (АВ || CD), углы при основании которой равны 45°. Постройте изображение центра окружности, описанной около трапеции ABCD. 22. * В трапецию ABCD {АВ || CD) можно вписать окружность, а углы при основании этой трапеции равны 90° и 60°. На изображении AiBiC\Di трапеции ABCD постройте изображение центра вписанной окружности этой трапеции. § 17* Центральное проектирование Из всех заслуживающих изучения первопричин и действующих начал природы восторг зрителя вызывает главным образом Свет, а из достопримечательностей Математики разум исследователя в несравненно большей степени, чем всё остальное, возвышает непреложность её доказательств. Поэтому из всех выработанных людьми курсов и систем обучения особое предпочтение надлежит отдавать теории перспективы. Все проблемы Перспективы можно прояснить при помощи пяти терминов Математики: точка, линия, угол, поверхность и тело. Леонардо да Винчи 77 Центральная проекция. Параллельное проектирование — не единственный способ изображения пространственной фигуры на плоскости. Довольно часто используется также центральное проектирование, пришедшее в математику из живописи. Художники, в стремлении добиться оптимального эффекта, применяют этот метод уже более 600 лет. §17. Центральное проектирование 113 Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость а (плоскость центральной проекции или плоскость перспективы) и отметим какую-нибудь точку О, не лежащую в этой плоскости (называемую центром проекции или центром перспективы, рис. 111). Образом (изображением) произвольной точки А пространства при центральной проекции с центром в точке О назовем точку Ai пересечения прямой ОА с плоскостью Of. Определение 20. Центральной проекцией с центром в точке О фигуры Ф на плоскость а называется множество Ф' центральных проекций всех точек фигуры Ф. При таком подходе, правда, не совсем ясно, куда переходят точки, расположенные в плоскости /3, параллельной плоскости а и проходящей через точку О (согласно теореме 23, такая плоскость всегда существует). Попробуем разобраться с этим в следующем пункте. 78 Проективная плоскость. Проективное пространство. Бесконечно удалённые элементы. Рассмотрим какую-нибудь обычную плоскость и предположим, что каждая связка параллельных прямых этой плоскости содержит общую, бесконечно удалённую, точку (разным связкам отвечают различные бесконечно удалённые точки), т. е. пополним плоскость некими элементами, которые назовем «бесконечно удалённые точки». Тем, кому доводилось странствовать по длинным и прямым дорогам либо же совершать железнодорожные путешествия, это допущение не должно показаться слишком уж абсурдным. Вот как описывал в своих дневниках суть этого феномена Леонардо да Винчи: «Когда вам случится проходить по вспаханному полю, взгляните на борозды... и вы увидите, будто каждая пара борозд сближается, а их дальние концы смыкаются». Мы будем везде предполагать далее, что все бесконечно удалённые точки образуют бесконечно удалённую прямую. 114 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Плоскость, пополненная бесконечно удалённой прямой, называется проективной, а область математики, изучающая её свойства — проективной геометрией. Основателем её принято считать Жана Виктора Понселе, сочинившего в 1813-14 гг.^^ свой знаменитый «Трактат о проективных свойствах фигур» — хотя многое было известно и в древности. Как и на обычной, на проективной плоскости через две точки проходит ровно одна прямая, но, в отличие от обычной, любые две прямые пересекаются (возможно, в бесконечно удалённой точке). Это обстоятельство лежит в основе замечательного принципа двойственности проективной геометрии, который в упрощённом виде можно сформулировать примерно так: Если имеется некое верное на проективной плоскости утверждение, то после замены в нём предложений вида точки, лежащие на прямой, предложениями вида прямые, пересекающиеся в одной точке, и обратно — снова получим справедливое утверждение. Укажем одно любопытное свойство бесконечно удалённой точки. Как известно, отрезок АВ в данном отношении А, где г ■, можно разделить двумя способами — внутренним А = СВ и внешним, за исключением случая А = 1. Внешним образом разделить пополам отрезок на обычной плоскости не удаётся. Но давайте рассмотрим точку С расположенную на прямой АВ правее точки В, или левее точки А (рис. 112). С А В Рис. 112 Поскольку и АС ВС АС ВС АВ ВС 4- АВ АВ — 1 -Ь — для «правого» случая. ВС АВ ВС = 1---------для левого, то, удаляя точку С ВС' ВС ВС всё равно в какую сторону (влево ли, вправо — идём к одной ’*в Саратове (будучи лсйтспантом наполеоновской гвардии, Понселе ока-згшея в плену). Вот уж действительно, «как причудливо тасуется колода карт»__ §17. Центральное проектирование 115 И ТОЙ же бесконечно удалённой точке — в этой ситуации прямая ведёт себя подобно окружности), будем получать значения, всё более близкие к единице. Поэтому представляется разумным положить В(АВ)оо т. е. бесконечно удалённая точка прямой, содержащей отрезок АВ, делит его пополам внешним образом. (Эту точку мы обозначили символом (АВ)^). Как видим, на проективной плоскости любой (конечный) отрезок можно разделить внутренним и внешним образом в отношении А уже для любого положительного А, без исключений. Вообще, многие теоремы «обычной» планиметрии, в особенности те из них, которые требуют дополнительных формулировок из-за тут и там возникающей параллельности, при проективном подходе упрощаются. К примеру, теорема Чевы (см. раздел «Основные теоремы планиметрии») на проективной плоскости выглядит так: Пусть в треугольнике АВС точки Ai, Si, Ci расположены на сторонах ВС, СА,АВ соответственно или же ровно две находятся на продолжении сторон, а одна — на стороне. Тогда прямые АА\, ВВ\, СС\ пересекаются в одной точке в том и только том случае, если выполняется равенство: BAi CBi ACj ___ CAi ABi BCi (Случай параллельности просто соответствует бесконечно удалённой точке пересечения). Перейти от проективной плоскости к проективному пространству— дело нехитрое. Нужно только ввести в рассмотрение ещё и бесконечно удалённую плоскость. Определение 21. Проективным пространством мы назовем обычное пространство, пополненное бесконечно удалёнными точками, прямыми и плоскостью, таким образом, что: 1. Всякая плоскость пополняется до проективной. 2. Любая связка параллельных прямых пересекается в бесконечно удалённой точке. 3. Любая связка параллельных плоскостей пересекается по бесконечно удалённой прямой. 116 Глава II. Параллельные прямые и плоскости 4. Все бесконечно удалённые прямые «заметают» бесконечно удалённую плоскость. Наконец, мы можем ответить на вопрос, куда же переходит при центральной проекции точка, расположенная в плоскости, проходящей через центр проекции и параллельной её плоскости — она переходит в бесконечно удалённую точку, соответствующую направлению прямой, соединяющей центр с данной точкой. Обе плоскости параллельны, т. е. пересекаются по бесконечно удалённой прямой; ей-то и принадлежит образ нашей точки. А куда переходит бесконечно удалённая точка пространства? И на этот вопрос ответить несложно. Выберем из связки параллельных прямых, задающих такую точку, какую-нибудь одну и затем проведём через центр проекции прямую, ей параллельную (что возможно по теореме 15). Точка пересечения этой прямой с плоскостью перспективы и будет искомой. В заключение этого пункта отметим, что если взглянуть теперь на параллельное проектирование с более высокой (точнее — бесконечно удалённой) точки зрения, окажется, что параллельная проекция есть частный случай центральной. В самом деле, сравнив определения 17 и 20, приходим к выводу, что параллельная проекция на данную плоскость вдоль некоторой прямой I является центральной проекцией из бесконечно удалённой точки, порождённой связкой прямых, параллельных прямой I. 79 Свойства центральной проекции. Точно так же, как и параллельное, центральное проектирование не сохраняет (вообще говоря) длйны и углы. Однако, являясь в сравнении с параллельной проекцией преобразованием более общим, оно ещё и нарушает параллельность и меняет простое отношение трёх точек — т. е. отношение, в котором точка, лежащая на прямой, содержащей данный отрезок, делит этот отрезок. Оно может поменять даже порядок расположения трёх точек на прямой. Но одно общее свойство у этих проекций всё же имеется — центральное проектирование также переводит (с некоторыми поправками на бесконечность) прямые в прямые. А именно, справедлива Теорема 29 (о свойствах центральной проекции). Пусть а — плоскость проекции, О ф а — её центр, ц /3— плоскость. §17. Центральное проектирование 117 параллельная а и содержащая точку О. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Если прямая проходит через центр проекции, то ее центральная проекция есть точка, причем если при этом прямая лежит в плоскости /3 — бесконечно удаленная точка плоскостей а и ^ {которые, в проективном смысле, пересекаются по бесконечно удаленной прямой). 2. Если прямая лежит в плоскости ^и не проходит через О, то ее образом является бесконечно удаленная прямая плоскостей х и f3. 3. Если прямая параллельна обеим плоскостям {т. е. параллельна плоскости айне лежит в плоскости /3), то ее образ есть параллельная ей прямая (с проективной точки зрения, пересекающая исходную в бесконечно удаленной точке). 4. Если прямая пересекает плоскость /3 в точке Т, не совпадающей с точкой О, то ее образом является прямая, параллельная прямой ОТ {иначе говоря, пересекающая ОТ в бесконечно удаленной точке). О Утверждения 1 и 2 очевидны, докажем 3 и 4 (рис. 113). 3. Проведём плоскость у через центр проекции и данную прямую (по следствию 1, это всегда возможно). Согласно теореме 24, плоскость у пересечёт параллельные плоскости а и по параллельным прямым. Очевидно, что исходная прямая будет им параллельна. 4. Проведём плоскость у через центр проекции и данную прямую (по следствию 1, это всегда возможно). Согласно теореме 24, плоскость у пересечёт параллельные плоскости а и jS по параллельным прямым, одна из 118 Глава II. Параллельные прямые и плоскости которых и будет искомой проекцией, а вторая будет проходить через точку Т, принадлежащую и у, и /3. • 80 I Изображение треугольника. При центральной про- екции треугольник, с проективной точки зрения, всегда переходит в треугольник. Но, поскольку его стороны могут содержать точки, переходящие в бесконечно удалённые, на обычной плоскости возможен ряд вариантов. Ниже мы рассмотрим некоторые из них, считая вершины исходного треугольника конечными точками. (И всюду далее в этом параграфе вершины многоугольника мы считаем конечными точками, если не оговорено противное). 1. Стороны треугольника AJBC не содержат точек плоскости /3. Тогда проекцией треугольника будет треугольник (рис. 114). 2. Треугольник АВС пересекается с плоскостью /3 по одной из вершин, например А, и прямая, содержащая противолежащую сторону ВС, пересекает /3 в точке А' (рис. 115), не совпадающей с центром О. Тогда проекцией треугольника будет область, ограниченная отрезком BiCi (проекция отрезка ВС) и двумя лучами, выходящими из его концов и параллельными прямой ОА'. (Мы воспользовались теоремой 29, п. 4). 3. Треугольник АВС пересекается с плоскостью /3 по одной из сторон, например ВС, причём прямая, содержащая эту сторону, не проходит через центр проекции (рис. 116). В этом случае проекцией треугольника будет область, ограниченная двумя лучами с общей вершиной §17. Центральное проектирование 119 Ai — проекцией точки А. Сами лучи, в силу той же теоремы 29, п. 4, параллельны прямым ОВ и ОС соответственно. 4. Треугольник АВС пересекается с плоскостью /3 по отрезку В'С' с концами на сторонах ВА и СА соответственно, причём прямая, содержащая этот отрезок, не проходит через центр проекции. Здесь проекцией треугольника будет объединение двух непересекающихся (а в проективном смысле пересекающихся — по бесконечно удалённой прямой плоскостей а и j3!) областей, содержащихся в области, ограниченной парой пересекающихся прямых, соответственно параллельных прямым ОВ'и ОС' (рис. 117). 81 Изображение четырёхугольника. При центральной проекции четырёхугольник, с проективной точки зрения, всегда переходит в четырёхугольник. Предлагаем самостоятельно разобраться в том, какие здесь возникают чертежи при переводе с проективного языка на обычный. Мы же в этом разделе сосредоточим своё внимание на одном замечательном свойстве. Теорема 30. Подходящим центральным проектированием любой плоский четырёхугольник можно перевести в квадрат. О Ограничимся случаем, когда точки пересечения прямых, возникающих в процессе доказательства, конечны. (Разнообразные «параллельные» варианты истолкуйте самостоятельно.) Рис. 118 Итак, имеем произвольный четырёхугольник ABCD, расположенный в некоторой плоскости а. Начнём с того, что отметим точки пересечения противоположных сторон исходного четырёхугольника ABCD: точку Е пересечения прямых АВ и CD, точку F пересечения прямых AD и ВС. Получили прямую EF. Далее отметим точки пересечения диагоналей четырёхугольника с этой прямой (рис. 118): Р = (BD) П (EF), Q = (АС) П (EF). Затем через прямую EF проведём какую-нибудь плоскость к, отличную от плоскости а, и в плоскости к построим § 17. Центральное проектирование 121 две полуокружности на отрезках EF и PQ как на диаметрах (расположенные в одной полуплоскости относительно прямой EF). Наконец, пусть О — точка пересечения полуокружностей, а Л1—любая плоскость, параллельная плоскости к. Искомая проекция есть проекция с центром в О на плоскость К\. в самом деле, если четырёхугольник AiBiCiDi — проективный образ исходного четырёхугольника, то, согласно теореме 29, п. 4 — прямые A\D\ и В\С\ параллельны прямой OF. Следовательно, по свойству транзитивности (теорема 17), прямая Л1Л1 параллельна прямой jBiCi. Точно так же, (AiBi) || {D\C\) Ц {ОЕ) и {D\B\) || (ОР), (AiCi) II (OQ). Поэтому, во-первых, A\B\C\D\ — параллелограмм, во-вторых — прямоугольник, так как /LA\DiC\ = /.FOE (как углы, образованные соответственно параллельными прямыми) и равен 90° (как угол, опирающийся на диаметр). В третьих же, и последних, A\B\C\D\ — квадрат, поскольку угол между его диагоналями — прямой: /В\0\С\ — /POQ (как углы, образованные соответственно параллельными прямыми) = 90° (как угол, опирающийся на диаметр). 9 82 Двойное (сложное) отношение четырёх точек. Гармоническая четвёрка. Как уже было отмечено выше (см. п. 79), центральное проектирование, в отличие от параллельного, не сохраняет простого отношения трёх точек, т. е. утверждение теоремы 28, п. 3, в случае центральной проекции не выполняется. Но, оказывается, центральное проектирование сохраняет двойное {сложное) отношение четырёх точек прямой. Определение 22. Рассмотрим точки А, В, С и D, лежащие на некоторой прямой I. Их двойным (сложным) отношением А? аЬ называется выражение {AB.CD) = двух соответствующих частным точек. вЬ вЬ простых отношений являющееся трёх Значки векторов указывают на то, что отношения направленные, т. е. берутся со знаком: если векторы в отношении 122 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Oi сонаправлены, ставим знак «плюс», если противоположно направлены — «минус». Теорема 31. Центральная проекция сохраняет сложное отношение четырёх точек, т. е. если точки А, В, С и D, лежащие на некоторой прямой I, переходят при центральной проекции в точки А\, В\, С\, D\, лежащие на прямой I', то (AB,CD) = {A\B\,C\D\). О Рассмотрим случай, когда точки расположены, как на рис. 119, и среди них нет бесконечно удалённой (самостоятельно разберите случай, когда, например, D — бесконечно удалённая точка прямой I, нарисовав соответствующую картинку). АС . AD _ АС ■ BD _ Saoc • Shod BD Имеем: (AB,CD) ^ ^ ^ ВС BD AD ■ ВС Saod ■ Sboc поскольку все четыре треугольника имеют общую высоту, проведённую из общей вершины О, а площадь треугольника есть половина произведения высоты на основание. С другой стороны, площадь треугольника есть половина произведения сторон на синус угла между ними, поэтому цепочку равенств можно продолжить: (АВ, CD) = _ {АО ■ СО ■ sin (о; -I- ]3) ■ ВО ■ DO ■ sin (j3 -Ь у)) _ {АО ■ DO ■ sin {а + (3 + y) ■ ВО ■ СО ■ sin j3) _ sin (g -ь j3) ■ sin (j8 + y) sin (a -f /3 -t- r) sin/3 Точно так же показывается, что (л,в„с,р.) = . Sin (а -Ь р -Ь Y) р § 17. Центральное проектирование 123 Очевидно, это отношение не зависит от того, на какой прямой лежат наши точки, т. е. {AB,CD)^{AiBi,CiDi). • Некоторые четвёрки точек заслужили почётное право именоваться гармоническими. Определение 23. Четвёрка точек А, В, С и D, лежащие на некоторой прямой /, называется гармонической, если (АВ,СВ) = -1. Исходя из определения двойного отношения, несложно заключить, что мы имеем дело с гармонической четвёркой тогда и только тогда, когда точки С и В делят отрезок АВ в одинаковых отношениях внутренним и внешним образом (или, соответственно, наоборот — внешним и внутренним). Именно гармоническая четвёрка лежит в основе следующего «фокуса»: Зафиксируем на прямой точки А, В к С. Затем проделаем цепочку «линейных» (в прямом смысле слова: осуществляемых одной лишь линейкой) построений, содержащих, на первый взгляд, много произвола (рис. 120). а) Выберем любую точку Р, не лежащую на прямой АВ (первый «произвол»). б) Проведём прямую PC. в) На этой прямой выберем любую точку Q (ещё один, пусть меньший, но всё равно «произвол»). г) Проведём прямую РВ. д) Проведём прямую РА. е) Отметим точку R пересечения прямых РВ и AQ. 124 Глава II. Параллельные прямые и плоскости ж) Отметим точку Т пересечения прямых РА и BQ. з) Отметим точку D пересечения прямых ТВ и АВ. Оказывается, на выходе всегда будем получать одну и ту же точку Z), вне зависимости от выбора точек Р и Q. Докажем это утверждение, а для этого воспользуемся теоремой Чевы и Менелая, применять которые будем к треугольнику АВР, точке Q и прямой ТВ. АТ _ PR ВС рт br' ас АТ PR BR АС _ АР ВС ВР' (AB,CD) = -1. Если же мы выберем точку С на середине отрезка АВ, то возникает параллельность (а где параллельность, там и бесконечно удалённые точка, рис. 121). Согласно п. 78, четвёртой гармонической точкой тогда будет бесконечно удалённая точка прямой АВ, а пересечение прямых ТВ и АВ в этой точке в переводе на «обычный» язык означает просто параллельность этих прямых. (И «обычное» доказательство параллельности состояло бы в применении теоремы Чевы, из которой бы следовало, что По теореме Чевы, По теореме Менелая, Из этих равенств 1. РТ BR АР следует, что т. е. АТ BR 1 => — = И далее используется теорема. АТ PR _ ВС РТ BR АС РТ PR обратная теореме о пропорциональных отрезках.) Итак, мы научились строить четвёртую гармоническую к данным трём точкам, причём одной только линейкой. §17. Центральное проектирование 125 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Что такое проективная плоскость? 2. Что такое проективное пространство? 3. Какие общие свойства имеют параллельное и центральное проектирования? 4. Какие различные свойства имеют параллельное и центральное проектирования? 5. В чём смысл утверждения «Параллельная проекция есть частный случай центральной»? 6. Куда при центральной проекции переходят точки, лежащие в плоскости, проходящей через центр проекции и параллельной плоскости перспективы? 7. Куда при центральной проекции переходят бесконечно удалённые точки? Бесконечно удалённые прямые? УПРАЖНЕНИЯ 1. Куда может переходить отрезок при центральной проекции на обычную плоскость? Рассмотрите также случай, когда один из концов отрезка (либо оба сразу) — бесконечно удалённая точка. Аналогичные вопросы для треугольника и четырёхугольника. 2. Докажите теорему 30 для параллелограмма. 3. Докажите теорему 30 для трапеции. 4. Докажите теорему 30 для четырёхугольника с непараллельными сторонами в случае, когда одна из его диагоналей параллельна прямой, соединяющей точки пересечения противоположных сторон. 5. Пусть (AB,CD) — Л. Докажите, что: a) (AB,CD) = (BA,DC) = (CD,AB) = (DC, BA) = A; 6) (AB,DC) = \; Л b) (AC,BD) = a - 1 (считаем, что точки расположены в порядке A-B-C-D); г) (AD,BC) = 1 (считаем, что точки расположены в порядке A-B-C-D). 6. Биссектрисы плоских углов при вершине D произвольного тетраэдра ABCD пересекают рёбра ВС, СА и АВ в точках А\, В\, С\ соответственно. Докажите, что прямые AAi, ВВ\, CCi пересекаются в одной точке. ® 126 Глава II. Параллельные прямые и плоскости 7. {Пространственная теорема Дезарга). Треугольники АВС и AiBiCi лежат в разных плоскостях, а прямые, содержащие соответственные стороны треугольников, попарно пересекаются в точках Р, Q, R соответственно (например, точка Р — это точка пересечения прямых ВС и В\С\ и т. д.). Докажите, что эти точки лежат на одной прямой. ® 8. {Плоская теорема Дезарга). Треугольники АВС и А\В\С\ лежат в одной плоскости (обычной) и прямые AAi, BBi, CCi пересекаются в некоторой точке О (иначе говоря, перспективны с перспектором в этой точке). Прямые, содержащие соответственные стороны треугольников, попарно пересекаются в точках Р, Q, R соответственно (например, Р является точкой пересечения прямых ВС и BiCi и т. д.). Воспользовавшись пространственной теоремой Дезарга и центральной проекцией, докажите, что эти точки лежат на одной прямой. ® 9. Докажите полную теорему Дезарга на обычной плоскости: Треугольники АВС и AiBiCi лежат в одной плоскости (обычной), а прямые AAi, ВВ\, СС\ пересекаются в одной точке или параллельны. Рассмотрим три пары прямых, содержащих соответственные стороны треугольников. Тогда, а) если все три пары пересекаются в точках Р, Q, R соответственно, то точки Р, Q, R лежат на одной прямой; б) если какие-либо две пары пересекаются в точках Р, Q, а третья пара прямых параллельна, то прямая PQ параллельна этой третьей паре прямых; в) если две пары попарно параллельны, то и третья пара соответствующих прямых параллельна друг другу. Сформулируйте полную теорему Дезарга на проективной плоскости. 10. Сформулируйте утверждение, обратное плоской теореме Дезарга, и утверждение, проективно двойственное к теореме Дезарга. Сравните их. Какие выводы можно сделать? 11. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной в точке S лежит квадрат, а боковые рёбра равны Основные аксиомы, определения и теоремы главы II 127 (такая пирамида называется правильной четырёхугольной). Известно, что в сечении этой пирамиды получился правильный пятиугольник. Найдите отношение стороны основания к стороне этого пятиугольника. ® Основные аксиомы, определения и теоремы ГЛАВЫ II Аксиомы 11.1. (Аксиома плоскости). R пространстве существуют различные плоскости. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. 11.2. (Аксиома прямой и плоскости). Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости. П.З. (Аксиома пересечения плоскостей). Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение— общая прямая. Определения II. 1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. II.2. Две прямые в пространстве, не принадлежащие одной плоскости, называются скрещивающимися. П.З. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней общих точек. 11.4. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. 11.5. Параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость вдоль прямой I называется множество Ф' проекций всех точек фигуры Ф при этом параллельном проектировании. П.6. Центральной проекцией фигуры Ф с центром в точке О на плоскость называется множество Ф' проекций всех точек фигуры Ф при этом центральном проектировании. 128 Глава II. Параллельные прямые и плоскости Теоремы II. 1. Две параллельные или пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. II.2. Пусть через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Тогда если эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых. П.З. Если две прямые в пространстве параллельны третьей, то они параллельны между собой. 11.4. Если одна из двух пересекающихся плоскостей проходит через прямую, параллельную другой плоекоети, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой. 11.5. Для того чтобы прямая, не лежащая в данной плоскости, была параллельна ей, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости. 11.6. Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 11.7. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые, по которым пересекаются эти плоскости, параллельны. 11.8. Если две плоскости в пространстве параллельны третьей, то они параллельны между собой. 11.9. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны. 11.10. Свойства параллельной проекции: а) проекция прямой — прямая линия, проекция отрезка — отрезок; б) проекции параллельных прямых (или отрезков) — параллельны; в) отношение длин двух отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин их проекций; г) сохраняется простое отношение трёх точек. 11.11. Свойства центральной проекции: а) проекция прямой — прямая линия; б) сохраняется сложное (двойное) отношение четырёх точек. Основные аксиомы, определения и теоремы главы II 129 Пора отдохнуть в Египте времен царя Птолемея I (305-283 до н. э.) было два вида дорог: одни для обычного люда и другие, более короткие и удобные, — для царя и его курьеров. Решив как-то изучить геометрию. Птолемей обнаружил, что это не такое простое дело. Тогда он призвал к себе Евклида и спросил, нет ли более легкого пути для её изучения. — В геометрии нет царских путей! — гордо ответил Евклид. Математику, физику, химику и филологу предложили одну и ту же задачу: измерить высоту башни с помощью барометра. Первым за дело взялся химик. Он измерил давление на крыше башни и у её подножия, после чего выяснил, что её высота от О до 100 метров. Физик сбросил барометр с крыши, засек время падения и вычислил, что высота башни от 70 до 80 метров. Математик поставил барометр на землю, измерил его высоту, длину тени, а также длину тени башни, посчитал тангенс угла, после чего выяснил, что высота башни от 74 до 75 метров. Филолог же продал барометр, на вырученные деньги напоил сторожа, и тот рассказал ему, что высота башни ровно 74 метра 63 сантиметра. На уроке геометрии учитель спрашивает ученика: — Можешь ли ты дать определение точки? — Запросто. Точка — это прямая линия, если смотреть ей прямо в торец. (Цит. по книге; С. Н. Федин, «Математики тоже шутят». — М., 2009) 5-1175 Глава III ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ в раздельной чёткости лучей И в чадной слитности видений Всегда над нами — власть вещей С её триадой измерений. И. Анненский. Поэту § 18. Понятие вектора в пространстве. Линейные операции над векторами и СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Не следует придавать значения тому факту, что алгебра и геометрия по видимости различны. Алгебраические факты, есть факты геометрические, которые доказаны. Омар Хайям 83 Понятие вектора в пространстве и существенная часть операций над такими векторами без изменений переносятся из курса планиметрии. Определение 24. Вектором в пространстве называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается А^. Определение 25. Вектор, начало и конец которого совпадают (т. е. соответствующий направленный отрезок вырождается в точку), называется нулевым вектором и обозначается 0. По определению нулевой вектор не имеет направления. Определение 26. Длиной (или модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Обозначение: \хё\. Длина нулевого вектора равна нулю: |‘^| = 0. § 18. Понятие вектора в пространстве 131 84 Определение 27. Два ненулевых вектора называются равными, если они имеют равные длины, параллельны и направлены в одну сторону. Параллельными (коллинеарными) мы называем пару векторов, лежащих на параллельных прямых или на одной прямой. Обозначение: а = Ь . Рис. 122 Так, векторы А4.1, BB\ и DD\ на рис. 122, изображающем куб, равны. Точно так же = А^и и т. д. Любые два нулевых вектора считаются равными между собой. От любой точки пространства можно отложить единственный вектор, равный данному. Доказательство этого утверждения проведите самостоятельно, вспомнив доказательство соответствующего факта для векторов на плоскости. Следующее утверждение также докажите самостоятельно. Два вектора в пространстве, равные третье му, равны между собой. Совокупность всех векторов, равных друг другу, принято называть свободным вектором и обозначать строчными буквами латинского алфавита. Далее мы будем, в основном, работать именно со свободными векторами и, употребляя для краткости, термин «вектор», подразумевать на самом деле под этим «свободный вектор». При этом нужно уметь доказывать, что результат того или иного определения (той или иной теоремы) не зависит от выбора представителя соответствующей совокупности, определяющей свободный вектор. Пример такого доказательства приведён в п. 94. В остальных случаях мы рекомендуем провести необходимые рассуждения самостоятельно (они практически не отличаются друг от друга). 85 Сумма двух векторов. Так же, как и в планиметрии, с помощью правил треугольника и параллелограмма определяется сумма двух векторов. 132 Глава III. Векторы и координаты в пространстве Рис. 123 Напомним правило треугольника. Определение 28. Суммой двух произ- вольных векторов а и о называется та-—^ КОЙ вектор с, начало которого совпадает —^ с началом вектора а, а конец — с концом —^ —у вектора 6i, равного о и отложенного от конца вектора а (рис. 123). —У —У —У Обозначение: с = а о. 86 I Свойства операции сложения векторов. Операция сложения векторов в пространстве обладает теми же свойствами, что и на плоскости. Алгебраические свойства этой операции отражены в следующей теореме, доказательство которой аналогично соответствующей планиметрической теореме и легко проводится с помощью рисунков 124, а и б. Рис. 124 Теорема 32. 1. Для любого вектора а в пространстве справедливы равенства ^ a-\-Q = Q + a = a. 2. Переместительный (коммутативный) закон сложения. Для любых двух векторов а и Ь в пространстве справедливо равенство —^ ^ а 4- о = о + а . § 18. Понятие вектора в пространстве 133 3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения. —^ ^ Для любых трех векторов adduce простран-стве справедливо равенство (а -\-^) + ~с = ^ + + ^с). 87 Сумма нескольких векторов. В силу сочетательного закона сложения можно не указывать последовательность, « -^ ^ Т-Г в которой складываются три вектора а, 6 и с . Поэтому любое из выражений (а + Ь)+ с и а +{Ь + с) называют суммой трёх векторов и обозначают —^ ^ а + о + с . Точно так же, не указывая последовательности сложения векторов, можно рассматривать сумму произвольного числа —У —^ ^ векторов аг + 02 +--h а„ (п > 3). Для сложения трёх и большего числа векторов можно воспользоваться правилом многоугольника (точнее, пространственного многоугольника), являющегося обобщением правила треугольника: —>■ —> —^ -У Для того чтобы найти сумму а — а\ + а2 + ■ ■ ■ + Un —^ ^ ^ л векторов а\, 02,...,(п ^ а), надо сначала от произвольной точки А пространства отложить вектор —У АА\, равный а\, затем от точки А\ отложить вектор Л1А2 = 02 о ог. д.; вектор а = ААп, соединяющий начало первого и конец последнего вектора и будет искомым. Обозначение: Oi -Ь 02 + + 0.П Л z; а*- Й=1 88 Определение 29. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными. —^ Вектор, противоположный вектору о , обозначается Таким образом, по определению о. о + (— о) = О . Вектором, противоположным вектору Ai, является, оче-вХ . Таким образом, ВА = -аХ. видно, вектор 134 Глава III. Векторы и координаты в пространстве Рис. 126 Как и в планиметрии, нетрудно показать, что для любого —^ ^ ^ вектора а противоположный вектор — а существует и единствен. 89 Разность двух векторюв. С помощью понятия противоположного вектора определяется операция вычитания векторов в пространстве. Определение 30. Разностью векторов ^ и ^ называется вектор с такой, что сумма векторов о и с равна вектору ^ а , т. е. а = о -Ь с . Обозначение: с = а — Ь . Как и в планиметрии, показывается, что разность векторов а и Ь равна сумме вектора а и вектора (— 6 ) (рис. 125): —У —)■ а — fe = a+(-6) Если векторы ^ - аВ и ^ = АЙ , отложенные от одной точки, достроить до параллелограмма ABCD (рис. 126), то одна его направленная диагональ аВ совпадает с суммой —^ ^ векторов а VI Ь (правило параллелограмма), а другая направленная диагональ вВ — с разностью векторов ~а тл~В. 90 I Коллинеарные векторы. Как и раньше, определя- ются оператщя умножения вектора на число и коллинеарность векторов. § 18. Понятие вектора в пространстве 135 Определение 31. Векторы а и Ь, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллине-арными. Обозначение: ^ || . Коллинеарные и сонаправленные векторы ~а и ^ будем обозначать а tt Ь, а противоположно направленные — "а Нулевой вектор будем считать коллинеарным любому век- —^ II тору: а II О. 91 I Произведение вектора на число. -> Определение 32. Произведением ненулевого вектора а на число р Ф О называется коллинеарный ему вектор длиной |/?| • I а |, сонаправленный а , если р > О, и противоположно направленный, если р < 0. Обозначение: р~а . Таким образом: 1) рс^ tt если р > 0 (рис. 127,а) ^ У ' ■ у ^ и ра tt > если р < 0 (рис. 127,6); 2) |ра | = |р| • | а |. р > о Р < о По определению р • 0 Рис. 127 Z о • а = о для любых р и а . 92 Свойства операции умножения вектора на число. Доказательство следующей теоремы, описывающей свойства операции умножения вектора на чиело, аналогично доказательству соответствующей планиметрической теоремы. 136 Глава III. Векторы и координаты в пространстве Теорема 33. 1. Для любого вектора а в пространстве справедливы равенства л ^ t л\ ^ ^ 1а = а , (—1) ■ а = — а . 2. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения на число. Для любых чисел р, q и вектора а справедливо равенство р(д а ) = {pq) а . 3. Распределительный (дистрибутивный) закон относительно векторного множителя или первый распределительный закон. Для любых чисел р, q и вектора а справедливо равенство ^ (p + q)a — ра +qa. 4. Распределительный (дистрибутивный) закон относительно числового множителя или второй распределительный закон. Для любых векторов а , Ь и числа р справедливо равенство р{а + Ъ)=ра +рЬ. 93 Как и в планиметрии, формулируется и доказывается признак коллинеарности векторов в пространстве. Теорема 34 (признак коллинеарности векторов). Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них был произведением другого на некоторое число. Следствие 14. Ненулевой вектор а коллинеарен ненулевому вектору Ь тогда и только тогда, когда существует такое числор ф О, что Ь — ра. Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору. 94 Угол между векторами. Так как любые два вектора в пространстве можно отложить от одной точки, то их можно считать принадлежащими одной плоскости. В силу этого мы без изменений определяем для векторов в пространстве § 18. Понятие векторе в пространстве 137 операции сложения, вычитания и умножения векторов на число, называемые линейными операциями. Аналогично можно определить понятия угла между двумя векторами и скалярного произведения двух векторов. Определение 33. Углом между двумя ненулевыми векторами ~а = о1 о% в пространстве, отложенными от одной точки, называется угол АОВ. Определение 34. Углом между произвольными ненулевыми векторами а и о называется угол между равными им векторами, отложенными от одной точки. Обозначение: (^,^). О Покажем, что угол между двумя данными векторами а и Ь определён однозначно, т. е. не зависит от выбора точки, от которой откладываются равные им векторы. Для о1 OiAi = а, этого достаточно доказать, что если — OiBi — , то (01,0^) = ZAOB = (Oia1,Oib1) = ZAiOiBi- Пусть точка Oi не принадлежит плоскости АОВ, т. е. плоскости АОВ и AiO\Bx различны. Поскольку равные векторы параллельны, то они лежат в одной плоскости. Тогда четы-рёхуголыццси 00\А\А и 00\В\В являются параллелограммами (ОА II 0\А\, ОА = |оЙ.| = |OiAi|. = OiA'i, рис. 128), откуда AAi || 00\, ВВ\ || 00\, т. е. AAi || ВВ\ (см. п. 47) и AAi = 00\ = ВВ\. Итак, четырёхугольник АВВ\А\ — 138 Глава III. Векторы и координаты в пространстве параллелограмм, АВ = AiBi и треугольники АОВ и AiOiBi равны по трём сторонам, но тогда и ZAOB — ZAiOiBi, что и требовалось. Случай, когда плоскости АОВ и A\0\Bi совпадают, рассмотрите самостоятельно. • Отметим, что из данного определения вытекает, что угол между двумя векторами заключён в пределах от 0° до 180° включительно. 95 Скалярное произведение векторов. Определение 35. Скалярным произведением двух ненулевых векторов в пространстве называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: ^ ^ или . Таким образом, ^ ^ = 1^1 • 1^1 cos где Ц) — (а По определению полагаем ^ ^ ^ ^ = 0 для любого вектора а в пространстве. Скалярным квадратом вектора а называется число а ■ а . Обозначение: а Очевидно, а ^ = I а I • I а I cos0° = | а |^. 96 Свойства скалярного умножения. Важнейшие свой- ства операции скалярного умножения отражены в теореме 35. Теорема 35. 1. Переместительность (коммутативность). Для любых векторов а и Ь в пространстве справедливо равенство а ■ Ь = Ь • а. 2. Сочетательность (ассоциативность) относительно числового множителя. Для любых векторов а и Ь в пространстве и числа р справедливо равенство (ра) Ь = р{ а Ь). § 18. Понятие вектора в пространстве 139 3. Распределительность (дистрибутивность). —^ ^ Для любых трех векторов а , о и с в простран-стве справедливо равенство а(Ь с) = а • о а с . о Утверждения 1 и 2 доказать легко (сделайте это самостоятельно). Для доказательства утверждения 3 потребуются три вспомогательных свойства. I. Для любых двух векторов а и Ь справедливо соотно- шение /—^ —^2 л—^ “7^ (а-Ьб1 = а -ь2а-6 + 6 1^2 Действительно, по теореме косинусов, (рис. 129) а Ь —>• 2 2 -> -> - а -ь ь -2 а Ь —> 2 2 -> -Г> = а -f ь -Ь2 а 6 cos (^180°- it cos \ a , о a, о “^9 " '7' "7^9 a 2 a ' b b II. Для любых двух векторов а и b справедливо соотно- шение > —>• а - 2а ■ Ь -\- Ь Для доказательства этого свойства достаточно восполь- it зоваться предыдущим, заменив Ь на — о . III. Для любых двух векторов а и Ь справедливо соотношение [a-^ty = 2a^ + 2-^^-[a-ty. 140 Глава III. Векторы и координаты в пространстве Здесь для доказательства просто сложим равенства, полученные в двух предыдущих пунктах. Пользуясь этими тремя свойствами скалярного произведения, докажем теперь распределительное свойство скалярного произведения, а именно подсчитаем двумя способами, чему равен скалярный квадрат суммы трёх векторов. С одной стороны, дважды применив п. I, имеем: (a-fft-fcj = (a-t-(6 + c)l = —>2 „—^ /"7^ —^ — + 2а ( & -Ь с —^2 Т^2 ^ —^2 = а ~\-2aib-\-cj-{~b 2 Ь ‘ с с С другой стороны, согласно пп. III, I и II: + ■+ с + Ь^\ + —^9 ~^9 —^9 л—^ ^ л—^ ^ = а^+Ь^+с^ + 2а-Ь + 2Ь ■ с + 2 с а . Приравняв, наконец, правые части обеих цепочек равенств и произведя приведение подобных, получим доказательство распределительного закона. • 97 Перпендикулярные векторы. Определение 36. Два ненулевых вектора в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Обозначение: ~а . Признак перпендикулярности векторов имеет место и в пространстве. Доказательство то же, что и в планиметрии. Теорема 36 (признак перпендикулярности векторов). Ненулевые векторы а и Ь в пространстве перпендикулярны § 18. Понятие вектора в пространстве 141 тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Заметим, что не все операции над векторами в пространстве дословно повторяют соответствующие операции над векторами на плоскости. Есть и свои, не имеющие аналогов в планиметрии, операции и понятия. С одной из таких операций — векторным умножением векторов — мы познакомимся в гл.IV. 98 Сформулированные выше признаки коллинеарности и перпендикулярности векторов весьма часто используются при решении геометрических задач векторным способом (см. п. 100). Приведём ещё несколько полезных утверждений относительно векторов, применяющихся при решении многих задач в геометрии. Следствие 15. ТриточкиА, В иС пространства лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда векторы и АС коллинеарны. М Доказательство этого факта очевидно. Следствие 16. Пусть А и В — две точки прямой I, О — произвольная точка пространства. Тогда точка М лежит на прямой I {рис. 130) в том и только в том случае, когда существует такое число р, что ой = ра6 -Ь (1 - р) О Действительно, указанное равенство можно записать оЙ = роХ + о^-рЫ, откуда, преобразовывая, получим ой -ой = р{оХ - О^), т. е, ВЙ = рвХ. Но в силу следствия 15 полученное равенство выполняется тогда и только тогда, когда точки А, В и М лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать. • 142 Глава III. Векторы и координаты в пространстве 99* Пусть точка С лежит на отрезке АВ. Говорят, что точка С делит данный отрезок в отношении т : п, если АС _ т СВ п В случае, когда точка С лежит на прямой АВ, но вне отрезка АВ, и — = —, говорят, что точка С делит отре- СВ Ft зок АВ в отношении — (т : п), т. е. отношение считается отрицательным. Точка С делит данный отрезок АВ в отношении т : п тогда и только тогда, когда для любой точки D пространства справедливо равенство d1 + т + п т + п Эта формула остаётся справедливой и в случае отрицательного отношения. О Доказываемое соотношение эквивалентно следующему: 1----^ 1 = т т-\- п Ш, т + п J ИЛИ — dA -- (вА — dA), откуда А^ — ———аА. 171 + п т + п Но последнее равенство равносильно тому, что точка С делит т А отрезок АВ в данном отношении п 100* Рассмотрим на конкретных примерах, как векторное исчисление используется при решении геометрических задач. Задача 15. Докажите, что если векторы аА и ci>,At и ш, определяемые тетраэдром ABCD, попарно перпендикулярны, то и векторы аЬ и также перпендикулярны. Д Пусть М — произвольная точка пространства. Обозначим мА = ~а, мА = t, = ~с, = 'Й. Тогда имеет место равенство - ~а)(Й. - ~с) + (с — ~a)(t - ^) -f (^ - ~а)Сс — ^) = О, в справедливости которого легко убедиться, раскрыв скобки. Поскольку ~Й — ~а = М% — мА = МВ + АЛ^ = аА, -~с = ci>, ~с -~а = А^, ^ = dA, ^ -~а = а5, ~с - ^ = В^, то полученное равенство эквивалентно следую-аА с^ + а^ Ш+аЬ В^ = 0. § 18. Понятие вектора в пространстве 143 По условию и признаку перпендикулярности имеем ■ сВ = = О, откуда AD ■ = О, т. е. лВ _L В^, что и требовалось доказать. А Задача 16. Пусть М — точка пересечения медиан треугольника АВС, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что __, __, __V —> ом = рОА + Ш + ОС). В частности (когда О = М), лЙ-1-М^-ЬМ^= Д Пусть AAi — медиана треугольника АВС (рис. 131). Точка М пересечения медиан треугольника делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. Отсюда AM = = -AAi. 3 Выразим теперь вектор АЛ^ через векторы oi и О^. Для этого заметим сначала, что 2AAi — А^ + А^ (для доказательства этого равенства достаточно достроить треугольник АВС до параллелограмма), откуда AAi = - (А^ -Ь.^). 2 Далее, аЙ = О^ — оА, А^ = О^ — оХ, поэтому A4i — = i [^(О^ - оХ) + (О^ - Q^)j = I (оХ+0^-2оХ). Поскольку AjX - - AAi, имеем АЛ^ = - (оХ + О^ — 2оХ). 3 3 Осталось заметить, что Ол1 = оХ -t- AjX, откуда OlX = = дХ + ^ (оХ + ой - 2оХ) = - {ок + Ш + ой). А 144 Глава III. Векторы и координаты в пространстве ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Могут ли векторы, лежащие на скрещивающихся прямых, быть коллинеарными? 2. Приведите примеры трёх векторов; а) лежащих на одной прямой; б) лежащих в одной плоскости; в) не лежащих в одной плоскости. 3. Могут ли быть коллинеарными векторы, лежащие на противоположных рёбрах тетраэдра? 4. Дан куб ABCDAiB\C\Di. Найдите угол между векторами: а) и CCi; б) и в) аЙ и Вс\. 5. Ребро куба ABCDA\B\C\D\ равно 1. Вычислите скалярное произведение векторов: а) AD и В\С\-, б) А^ и Dd\\ в) В^> и AlCi; г) в6 и BiDi. УПРАЖНЕНИЯ 1. Всегда ли верно, что если векторы А^ и сВ равны, то ACDB — параллелограмм? л Ti* —^ 2. Какому условию должны удовлетворять векторы а , о —^ и с пространства, чтобы из них можно было образовать треугольник? 3. Из некоторой точки О пространства выходят три луча. Докажите, что сумма косинусов всех углов между парами лучей не меньше — -. —> с 4. Пусть векторы а, Ь vi с пространства попарно не коллинеарны. Докажите, что: а) 1^ -Ь "^1 < I а I -Ь |"^|, б) |'a-|-'?-f-'?|<|'a|-(-|'?|-t-|'?|. 5. Каким условиям должны удовлетворять векторы а, Ь и с пространства, чтобы а) — |"а 1^; б) а + Ь ->• а Ь; § 18. Понятие вектора в пространстве 145 в) |а + 5| = |о-5|; г) |а + & | = |а| + |6|; д) = ~а~с — ~^~с; ,-7>, а + Ь е)|а + Ь + с| = 6. Пусть а ± Ь , Ь ± с . Верно ли, что а ± с ? 7. Используя формулу из задачи 16 в п. 100, докажите, что диагональ АС\ параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ проходит через точки пересечения медиан треугольников A\BD, D\CBi и делится этими точками на три равных отрезка. 8. Докажите, что векторы а, Ь и с параллельны одной плоскости, если: а) один из этих векторов нулевой; б) два из этих векторов коллинеарны; в) существуют такие числа р и q, что с = ра + q о . 9. Докажите правило параллелепипеда сложения трёх векторов в пространстве: направленная диагональ параллелепипеда, построенного на трёх данных попарно неколли-неарных векторах, как на рёбрах, является суммой этих векторов. 10. *Пусть векторы ei, в2 а ез не параллельны одной плоско- сти. Докажите, что для любого вектора а в пространстве существуют числа xi, Х2 и хз такие, что а = Xiei -f -Ь Х2в2 + хзез. 11. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников АВС и AjBiCi совпадают, то прямые АА\, ВВ\ и CCi параллельны некоторой плоскости. 12. Дан куб ABCDA\B\C\Di (рис. 132). Постройте векторы: а) +Аа\; б) Ас\ - Ав{; в)а5 + сЙ; г) ^^1 + ^В^1. 2 2 13. Постройте сечение куба ABCDA^BiCiDi (рис. 132) плоскостью, содержащей векторы ADi и ^{А^+аЙ). 146 Глава III. Векторы и координаты в пространстве D 14. В тетраэдре ABCD (рис. 133) даны векторы ^ = а, = ~с , являющиеся его направленными рёбрами, точки М и N — середины рёбер АВ и ВС, точки К и L — середины отрезков AN и DM. Выразите через векторы ~а , и а) А^, В^, с1; б) DM и аЙ; в) KL. 15. Дан тетраэдр ABCD (рис. 134). Точки М и N являются серединами рёбер АВ и CD соответственно. Докажите, что М^ = - (аЬ + В^). 2 16. Центроидом треугольника АВС называется такая точка G, что Докажите, что центроид треугольника АВС совпадает с точкой пересечения медиан этого треугольника. 17. Центроидом тетраэдра ABCD называется такая точка G, что + + + Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней (см. упр. 16), пересекаются в одной точке, которая совпадает с центроидом тетраэдра и делит эти отрезки в отношении 3 : 1, считая от вершин тетраэдра. (В гл. II, § 13 эта задача (упр. 33) была решена без использования векторного метода.) 18. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке, совпадающей с центроидом этого тетраэдра (см. упр. 17) и делятся ею пополам. (В гл. II, § 13 эта задача (упр. 32) была решена без использования векторного метода.) § 18. Понятие вектора в пространстве 147 19. Дан тетраэдр ABCD, О — произвольная точка пространства. Докажите, что точка G является центроидом тетраэдра ABCD (см. упр. 17) тогда и только тогда, когда справедливо равенство о6 = ^{о1 + о^ + о^ + оЬ). 4 20. Даны тетраэдры ABCD и A\B\C\D\. Докажите, что AAi ВВ\ -|- CCi "Ь DD\ где G nG\ — центроиды данных тетраэдров (см. упр. 17). 21. Дан куб ABCDA\BiC\Di (рис. 135), ребро которого равно а. Найдите следующие скалярные произведения векторов: а) (аЙ + ^) (dd"i - D^y, б) 5ct ВЙ; в) (В^ -Ь сВ -Ь DDx) • (аЁ - i ^). 4GGi, Di. В, В Рис. 135 Cl 22. Найдите длину вектора а = хе\+уez+ze^, если векторы —^ —V —У ^1» ^2* ^3 единичной длины попарно перпендикулярны. £) 23. В тетраэдре ABCD прямые DA\, DB\, DC\ являются биссектрисами плоских углов BDC, CDA, ADB соответственно (рис. 136). Докажите, что если биссектрисы DA\ и DB\ взаимно перпендикулярны, то тогда биссектрисы CiJD и A\D, C\D и B\D также взаимно перпендикулярны. 24. В тетраэдре ABCD проведены биссектрисы DAi, DB\, DC\ плоских углов BDC, CDA, ADB соответственно. Докажите, что углы между этими биссектрисами, взятыми попарно, либо все острые, либо все прямые, либо все тупые. 25. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. Докажите, что SA?' -\- SC^ = = SB2 ч- SI)2. 148 Глава III. Векторы и координаты в пространстве 26. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, SA = SC = 5, SB = 1. Может ли одна из сторон прямоугольника ABCD равняться 8? 27. В тетраэдре ABCD сумма углов ZADC и ZBDC равна 180°. Докажите, что тогда ребро DC перпендикулярно биссектрисе DC\ плоского угла ADB (рис. 137). 28. Докажите, что для любых четырёх точек пространства А, В, С, D справедливо следующее равенство + ^ А^ + с1 вВ = 0. 29. Используя равенство из предыдущего упражнения, докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. 30. Из некоторой точки О пространства выходят п лучей {п ^ 3). Докажите, что сумма косинусов всех углов между п 2' парами лучей не меньше § 19. Компланарность. Базис и координаты в пространстве Высь, ширь, глубь. Лишь три координаты. Мимо них где путь? Засов закрыт. С Пифагором слушай сфер сонаты. Атомам дли счёт, как Демокрит. В. Брюсов. Мир N измерений 101 Как известно, для сложения двух неколлинеар- ных векторов, помимо правила треугольника, часто удобнее применять правило параллелограмма (рис. 138). Существуют пространственные аналоги понятия коллинеарности и правила параллелограмма — понятие компланарности и правила параллелепипеда, при- а меняемые уже к трём векторам. Рис. 138 § 19. Компланарность. Базис и координаты в пространстве 149 102 I Компланарные векторы. Будем говорить, что дан- ный вектор принадлежит данной плоскости, если все точки соответствующего направленного отрезка принадлежат этой плоскости. Ясно, что если концы данного вектора принадлежат какой-либо плоскости, то и сам вектор принадлежит этой плоскости. Определение 37. Три (или более) вектора называются компланарными, если, будучи отложенными от одной точки, они принадлежат одной плоскости. Сразу из определения компланарности векторов получаем следующее простое следствие: если хотя бы один из трёх векторов коллинеарен другому или нулевой, то эти векторы компланарны. Также из определения вытекает, что каждый из компланарных векторов принадлежит прямой, параллельной указанной плоскости (или лежащей в ней); в этом случае говорят, что вектор параллелен плоскости. Таким образом, мы получаем эквивалентное определение компланарности: данные векторы называются компланарными, если все они параллельны какой-то одной плоскости. 103 Некомпланарные векторы. Три ненулевых вектора в пространстве могут быть как компланарными, так и некомпланарными. Существование трёх некомпланарных векторов видно из рис. 139. Действительно, точка А\ не лежит в плоскости а, содержащей векторы ~а — аЙ и ^ — аЙ, откуда следует, что и вектор с — AAi не принадлежит этой плоскости. Таким образом, векторы а , Ь и с не компланарны. Di Cl 150 Глава III. Векторы и координаты в пространстве I 104 I Правило параллелепипеда. Для сложения трёх некомпланарных векторов служит правило параллелепипеда. А именно: для того чтобы сло-D жить три некомпланарных вектора а , о и с, отложим их от произвольной точки о пространства. Затем на отрезках ОА, ОВ и ОС, где ~а = о2., = oi w.~c = О^, как на рёбрах, построим параллелепипед (рис. 140). Тогда направленная диагональ ^ oi> этого параллелепипеда Рис. 140 будет суммой векторов оЙ и Но ой — оХ -Ь = а -Ь й , - ~с , откуда окончательно — ~а + Й + ~с . Таким образом, направленная диагональ параллелепипеда, построенного на трёх данных некомпланарных векторах как на рёбрах, является суммой этих трёх векторов. В этом и состоит правило параллелепипеда. 105 Базис плоскости. Любые два неколлинеарных вектора ei и ёг, принадлежащие данной плоскости, образуют —У —^ базис этой плоскости, а выражение х\е\ + X2ez, где xi, Х2 — некоторые числа, называется линейной комбинацией базисных векторов е\ и «2. Как известно из планиметрии, произвольный вектор а плоскости однозначно представляется в виде линейной комбинации двух данных базисных векторов е\ тл. е2'. —>• —^ —>■ а - xie\ + Х2в2^ в этом случае коэффициенты Х\ и Х2 при базисных ^ —>■ векторах ei и ег называются координатами вектора а в базисе {ei,e^, а про вектор а говорят, что он разложен по векторам е\ и ег- Итак, базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов, по которым раскладывается любой вектор этой плоскости. Этот факт и имеют в виду, говоря, что плоскость обладает двумя измерениями или двумерна. § 19. Компланарность. Базис и координаты в пространстве 151 Заметим, что можно доказать и обратное к сформулированному выше утверждение, называемое признаком компланарности (см. п. 102) трёх векторов; если один из трёх данных векторов в пространстве можно разложить по двум другим, то эти три вектора компланарны. 106 Базис пространства. Принципиальным отличием пространства от плоскости является наличие у него трёх измерений. Определение 38. Тройка из любых трёх некомпланарных —У —У —^ векторов б1, б2 и ез называется базисом пространства. —^ ^ ^ Векторы Cl, в2 и Сз называются при этом базисными векторами. Определение 39. Говорят, что вектор ^ разложен по трём —^ —у —у некомпланарным векторам е\, ез и ез, если его можно —у —^ ^ ^ представить в виде а = x\ei Ч- хзез + хзез, где xi, хз, лгз — некоторые числа. Говорят также, что вектор а является линейной комбина-—^ ^ ^ циеи векторов е\, в2 и 107 I Разложение вектора по базису. Трёхмерность про- странства и означает, что любой вектор пространства является линейной комбинацией любых трёх базисных векторов. Докажем соответствующую теорему. Теорема 37. Любой вектор ~а пространства однозначно представляется в виде линейной комбинации трёх базис- —> —> —У ных векторов е\, в2 и е^: —> —у —у —)■ а = x\ei -f Хзез -f- хзез. О Если вектор ^ компланарен с какими-либо двумя из базисных векторов, например, с векторами е\ и ез, то, в силу п. 105, ^ а —^ ^ х\е\ ч- хзез для некоторых xi, хз, откуда а = xiCi Ч хзСз Ч 0 • ез т. е. вектор а — линейная комбинация базисных векторов. 152 Глава III. Векторы и координаты в пространстве Пусть теперь вектор а не компланарен ни с какими двумя из базисных векторов. Покажем, что и в этом случае его можно представить в виде линейной комбинации этих векторов. Для этого отложим все четыре вектора от произвольной точки О пространства (рис. 141). —^ ^ ^ Через векторы е\, €2 и точку О проведём плоскость а. Аналогично проведём плоскости /3 (векторы ei и ез) и 7 (векторы ез и ез). Через конец вектора а = oi) — точку D — проведём плоскости, соответственно параллельные плоскостям а, /3 и у. Отрезок OD в получившемся параллелепипеде является диагональю и значит, по правилу параллелепипеда а = ^o^) = oX + Шл^o^. Но векторы оХ, оХ, 6^ коллинеарны соответственно базисным векторам ei, ez и ез, откуда в силу следствия 14 (см. п. 93) найдутся числа х\, xz и хз соответственно такие, что оА = JCiei, оХ = xzel, = xzet. —у —^ ^ ^ ^ Таким образом, а = ххвх + Х2€2 + лгз^з, т. е. вектор а — линейная комбинация базисных векторов. Докажем теперь, что коэффициенты jci, xz и хз в разложении вектора а по базисным векторам определяется однозначно. Предположим противное, т. е. что существуют —^ другие коэффициентыв разложении вектора а по векторам ei, ez я ез: а = уlei + yz^z + Уг^г- Вычитая это равенство из предыдущего, получим: ^ = (лп - У\)е[ + (Х2 - уг)ег + (хз - г/з)ёз-Пусть, например, xiT^yi, r.e.xi-yi^O. Тогда из полученного равенства имеем = Х2^2 ^ Х\ -у\ Х\ -у\ ^3, § 19. Компланарность. Базис и координаты в пространстве 153 т.е. В этом случае вектор et — линейная комбинация векторов б2 и ез. Но в силу признака компланарности это означало бы компланарность векторов ei, ег и e$, что противоречит определению базиса. Итак, наше предположение неверно, а значит, разложение вектора а по данным базисным векторам определяется однозначно. • 108 Координаты вектора. Определение 40. Коэффициенты х\, Х2 и в разложении данного вектора ^ по базисным векторам ei, в2, «з называются координатами вектора в этом базисе. Обозначение : t = (xi;X2,X3). ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Какие векторы называются компланарными? Приведите примеры компланарных векторов. 2. Приведите пример трёх не компланарных векторов. 3. Что называется базисом пространства? Приведите пример какого-либо базиса в пространстве. 4. Что такое координаты вектора? УПРАЖНЕНИЯ 1. Векторы ~а ,~с образуют базис в пространстве. Будут ли базисом векторы а\ = р а , bi = qb, с\ = г с , где каждое из чисел р, q, г отлично от нуля? 2. Найдите координаты нулевого вектора в произвольном базисе. 3. Всегда ли компланарны три вектора: а) лежащие на параллельных прямых; б) лежащие на пересекающихся в одной точке прямых; в) лежащие в параллельных плоскостях; г) перпендикулярные данному вектору? 4. В параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ на диагонали АС выбрана точка Р, а на диагонали DA\ точка Q, так что PQ II BD\. Найдите отношение ® 154 Глава III. Векторы и координаты в пространстве 5. В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi рассмотрим векторы ~х =А^, ^ —Хё, ~z — АА*\ как базисные. Постройте векторы с координатами: а)(1;1;1); б) (0; 1; 1); в)(-1;1;1); Д) I' 2'^ 6. На тело действуют три силы, изображаемые некомпланарными векторами. Докажите, что равнодействующая этих сил отлична от нуля. 7. Дан куб ABCDA\B\CiDi. Являются ли компланарными векторы: а) А^, B\d\ и D^\ б) А\Ь, Св\ и BjCi; в) Xt, Ас\ и DDii г) аВ, В^г иХс[7 8. Докажите, что для того чтобы три вектора а , Ь , с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали числа р, q, г, одновременно не равные нулю такие. что ра + qb + г с = 0. 9. Докажите, что если векторы а и Ь имеют координаты ^ ^ —У — а = (xi-,yi;zi) и Ь = (лгг; 1/2; 22) в базисе |ei, в2, ез}, то: а) а ± 6 = (лг1 ± ЛГ2; у\ ± У2\ z\ ± 22); б) ра = (pxi',pyi\p2i) для любого числа р; *в) (а = х-[Х2 + У1У2 + Z1Z2, если \ei\ - \в2\ - 1ез| - 1 и векторы €i, 62, ез попарно перпендикулярны. 10. Дан правильный тетраэдр ABCD (т. е. тетраэдр, у которого все рёбра равны; рис. 142). Обозначим через М, К, N, L середины рёбер АВ, ВС, CD, DA соответственно. Докажите, что а) векторы М1^, kL и ш> компланарны; б) векторы и к1 перпендикулярны. 11. Дан куб ABCDA\B\C\D\, точки М и N являются серединами рёбер CiDi и CCi соответственно (рис. 143^. Примем за базис векторы а = Хё, ^ = а5, 7 = A4i. Разложите по базису { а , Ь , с } следующие векторы: а) Ав[\ б) Хс[; в) г) ХЙ; д) ЖЙг, е) Л^. § 19. Компланарность. Базис и координаты в пространстве 155 М Cl 12. Докажите, что любые четыре вектора пространства а, Ь , с линейно зависимы, т. е. существуют числа р, q, г, t, не равные нулю одновременно, такие, что —У —> —^ —f ра q о 4-гс -Ь^а = 0. 13. Докажите, что если векторы ~а и перпендикулярны, > -^1 > -^1 то|а + о| = |а — о|. 14. Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\ (рис. 144). Докажите, что диагональ ACi этого параллелепипеда делится плоскостями A\BD и CB\D\ на три равные части. 15. Рёбра тетраэдра ABCD продолжены за вершину D (рис. 145). Докажите, что биссектрисы углов, смежных плоским углам тетраэдра при вершине D, лежат в одной плоскости. 16. Дан тетраэдр ABCD (рис. 145). Докажите, что биссектрисы плоских углов ADB, ВВС и биссектриса плоского угла, смежного с углом CDA, лежат в одной плоскости. 17. Докажите, что если треугольники АВС и А\В\С\ лежат в равличных плоскостях, то три прямые, проведённые 156 Глава III. Векторы и координаты в пространстве соответственно через середины трёх пар отрезков ABi и AiB, ВС\ и В\С, CAi и АС\ параллельны некоторой плоскости. (Предполагается, что эти середины — три различные точки.) 18. Пусть М и N — середины рёбер АВ и CD тетраэдра ABCD. Докажите, что векторы м^, аЬ и Bt компланарны. 19. Даны два параллелограмма ABCD и AiBiCiDi, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что векторы BBi, CCi --->• и DDi компланарны. 20. * Найдите расстояние между серединами двух противо- положных рёбер тетраэдра, если известны длины всех шести рёбер. 21. * Докажите, что векторы аЙ и ей перпендикулярны тогда и только тогда, когда АС^ + BD^ = AD^ -Ь ВС^. ® § 20. Прямоугольные координаты в ПРОСТРАНСТВЕ я вынул ось координат И вбил в пространство словно гвоздь. Когда придёт случайный гость — Повесит шляпу или трость. В. Друк. Коммутатор Метод координат в пространстве по сути не отличается от метода координат на плоскости. Основное отличие состоит в введении третьей координаты и соответственно третьей координатной оси, третьего координатного вектора. Рассмотрим этот метод подробнее. 109 I Угол между прямыми. Любые две пересекающи- еся прямые в пространстве принадлежат одной плоскости (рис. 146). Поэтому углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве естественно назвать угол между этими прямыми в плоскости, их содержащей. В частности, две пересекающиеся прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними — прямой. Рис. 146 § 20. Прямоугольные координаты в пространстве 157 Напомним, что углом между пересекающимися прямыми считается наименьший угол из двух углов, образующихся при их пересечении, т.е. острый угол, если только эти прямые не перпендикулярны. Определение 41. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им пересекающимися прямыми. Покажем, что это определение не зависит от выбора точки, через которую провели прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым. Пусть прямые аиЪ пересекаются в точке О, а, соответственно, параллельные им прямые а\ и bi — в точке Oi (рис. 147). Отложим от точки О векторы а к Ь, лежащие соответственно на прямых а и Ь так, чтобы угол между этими векторами совпадал с углом между прямыми а и Ь (т. е. —У —^ угол между векторами а и Ь был бы острым), а от точки Oi — векторы ai и Ь\, равные соответственно а и 6 . Тогда из п. 94 следует, что (а,~^) = (oi,^), т.е. углы между прямыми а и Ь и а\ и bi равны. Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми определён однозначно и поэтому можно говорить об угле между произвольными прямыми в пространстве. Например, в кубе ABCDAiBiCiDi ребро AAi перпендикулярно не только рёбрам АВ, AD, А\В\, A\D\, но также и рёбрам DC, ВС, D\C\, В\С\ (рис. 148). 110 I Прямоугольная система коор- динат. Введём теперь систему координат в пространстве. Через произвольную точку О пространства проведем 158 Глава III. Векторы и координаты в пространстве Рис. 149 ,^2 три взаимно перпендикулярные прямые (рис. 149). Для наглядности их можно представлять прямыми, содержащими ^ три сходящихся в одной вершине ребра У куба или прямоугольного параллелепипеда (например, прямые, содержащие линии пересечения двух стен и пола комнаты). На каждой из этих прямых зададим координаты так, чтобы точка О была точкой отсчёта. Эти прямые с заданными на них координатами будем называть осями координат, а точку О началом координат. Одну из осей координат будем называть осью абсцисс или осью Ох (координата на этой оси обозначается через д:), другую — осью ординат или осью Оу (координата у), третью — осью аппликат или осьюОг (координата z). Плоскости, проходящие через любые две из осей координат, назовем координатными плоскостями. Будем обозначать их так: плоскость ху (эта плоскость проходит через оси Ох и Оу), плоскость Х2 и плоскость yz. Обозначим через i , j 1л k единичные векторы (т. е. векторы с длиной, равной единице), отложенные от точки О соответственно на осях Ох, Оу nOz и задающие на них положительное направление. Эти векторы будем называть координатными. Положительное направление на координатных осях будем, как и в планиметрии, обозначать стрелками. 111 Заметим, что попарно перпендикулярные координатные векторы i , j , k некомпланарны и поэтому обра- зуют базис. Базисные векторы i , у , д вместе с началом координат точкой О, от которой они отложены, образуют прямоугольную систему координат в пространстве. Обозначение: Oxyz или О i j k . Введённую систему координат иногда называют также декартовой прямоугольной системой координат по имени Рене Декарта (1596-1650), французского философа и математика, заложившего основы координатного метода в геометрии. 112 Коордднаты X, у, z произвольного вектора ^ в базисе { / , / , /г} будем называть соответственно абсциссой. § 20. Прямоугольные координаты в пространстве 159 ординатой и аппликатой вектора а в данной системе координат. Таким образом, запись а у, z) или а = (д:; у\г) означает, что вектор а можно представить следующим образом "т^ а = X I + у J + Z к . Вектор Ол1, где М — произвольная точка пространства, а О — начало координат, называется радиус-вектором точки М в данной системе координат. 113 Введённая прямоугольная система координат позволяет однозначно определить координаты произвольной точки пространства. Координатами произвольной точки М пространства в данной системе координат называются координаты её радиус-вектора. Обозначение: M(x\y;z). На рис. 150 изображена точка М с координатами (1; —2;3). 114 I В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что за- дана некоторая прямоугольная система координат, в которой и будут вестись все вычисления. Для того чтобы найти в пространстве точку М с заданными координатами {xo]yo,zo), достаточно построить её —)• радиус-вектор ОМ с теми же координатами, т. е. вектор Ол1 = хо~1 -Ь уоУ^ + ZQ~^. Но этот вектор находится по правилу параллелепипеда сложением трёх векторов оХ = = хо~1, ОВ = уоХ и = zq^, отложенных от начала координат соответственно на осях Ох, Оу и Oz (рис. 151). Проведённое построение точки М по её заданным координатам показывает, с учётом предыдущего, что каждой 160 Глава III. Векторы и координаты в пространстве точке пространства однозначно соответствует упорядоченная тройка чисел — её координат, и обратно — каждой упорядоченной тройке чисел соответствует однозначно определённая точка пространства с такими координатами. Этот вывод в математике формулируют следующим образом: между упорядоченными тройками чисел и точками пространства метод координат устанавливает взаимно однозначное соответствие. 115 Введённая прямоугольная система координат в про- странстве позволяет сводить действия над векторами к соответствующим операциям над их координатами. В силу этого многие геометрические задачи сводятся к хорошо известным и легко решаемым алгебраическим задачам. В этом заключается преимущество координатного метода в геометрии. Соответствующая область математики, рещающая геометрические задачи аналитическими методами, называется аналитической геометрией. Как и в планиметрии, получаем простые и удобные формулы для координатной записи действий над векторами в пространстве. При этом получающиеся «пространственные» формулы отличаются от полученных ранее для векторов на плоскости лишь добавлением третьей координаты. Доказательства же формул для записи линейных операций и скалярного умножения векторов полностью аналогичны «планиметрическим», и поэтому мы их не приводим (проведите доказательства самостоятельно, опираясь на пройденный материал). Теорема 38. Пусть в прямоугольной системе координат —^ ^ Oxyz заданы своими координатами векторы а и Ь , т. е. —^ ^ а = (xi;j/i;2i), Ь = (Х2\У2\ 22). Тогда: 1. Координаты суммы (разности) векторов а и Ь получаются сложением (вычитанием) соответствующих координат этих векторов: ~а ±'t = {XI ± Х2\у\ ± У2\ 21 ± Z2). 2. Координаты произведения вектора ^ на числор получаются умножением координат этого вектора на это число: ра =(pxi\pyx\pzi). § 20. Прямоугольные координаты в пространстве 161 3. Скалярное произведение векторов ^ и 1^ равно сумме произведений их одноимённых координат: —> а ■ Ь = xiX2 + У1У2 + ZiZ2. lie I Из п. 2 теоремы 38 и признака коллинеарности векто- ров вытекает Следствие 17. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Из п. 3 теоремы 38 и признака перпендикулярности векторов в пространстве получаем Следствие 18. Векторы ~а = {xwywzi) и~^ = (хг; У2\ 22) перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполняется равенство: X\X2 + y\y2 + Z\Z2 = 0. I 117 I Для координат произвольного вектора простран- ства, заданного координатами своего начала A(x\\y\\z\) и конца В(Х2\У2] 22) получаем, как и в планиметрии. Следствие 19. Координаты произвольного вектора пространства получаются вычитанием из координат его конца соответствующих координат его начала: аЙ^(Х2- Xi; 1/2 - y\\Z2 - zi). О По условию ^ = Xi”?-fi/i7^-b2i^, = X2~t+y2y + Z2^, откуда, с учётом теоремы 38, ^ = (Х2 - xi)T -f (у2 - У1)У -t- (22 = (Х2 - хг;у2 - yi; 22 - 21), что и требовалось доказать. Zi)k 118 I Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Как и ранее, получаем формулы для длины вектора и расстояния между двумя точками. Следствие 20. 1. Длина вектора а = (х; у, 2) находится по формуле 1^1 = \/х^ + 1/2 -ь 6-1175 162 Глава III. Векторы и координаты в пространстве 2. Расстояние между двумя точками A{x\-,yi-,z\) и В{Х2\ У2', 22) пространства находится по формуле \АВ\ = \/(Х2 - Xl)^ + {У2 - г/1)2 + (22 - 2i)2. О 1. По определению скалярного произведения модуль вектора равен корню из его скалярного квадрата: |“>1 ,1~^2 |а I = V ® ’ откуда, с учётом п. 3 теоремы 38, получаем требуемое равенство , I а I = \/лг2 4 2. Длина отрезка АВ равна длине вектора А^, координаты которого в силу следствия 19 равны (Х2- Х1\У2- y\\Z2- Zi). Но по только что доказанному п. 1 1-^1 = у/{Х2 - х{)^ + {У2 - I/l)2 -1- (22 - 2i)2, откуда и получаем требуемое равенство. • I 119 I Следствие 21. Косинус угла ср между двумя ненулевыми векторами а = {x\,y\,z\) и Ь = (x2,y2',Z2) находится по формуле cos Ф = —+ + ^Jx\ + i/f + г\^х\ -I- -1- 2| О Формула легко вытекает из определения скалярного произведения векторов, а также из п. 3 теоремы 38 и следствия 20. # Поскольку косинус любого числа по модулю не превосходит единицу, а произвольную тройку чисел можно считать координатами вектора в некоторой прямоугольной системе координат, из полученной формулы следует, что для любых двух троек чисел (xi,i/i,2i) и (хг, 1/2,22) справедливо \XlX2 + У1У2 -Ь 2122I . , неравенство — ■ ■■■ ^ 1, причем равен- Vxf+yf4^ V^|Tyi+i| ство достигается тогда и только тогда, когда векторы, соответствующие тройкам чисел, коллинеарны, т. е. одна тройка получается из другой умножением на некоторое число. § 20. Прямоугольные координаты в пространстве 163 Это неравенство, в свой черед, помогает решать многие задачи, в которых, на первый взгляд, ни о каких векторах речь не идёт. Но ключом к решению является именно рассмотрение некоторых векторов, которые нужно «увидеть». Задача 17. Числа х, у, z таковы, что 9х^ + 16у^ + 144д2 = 169. Найдите максимум выражения 6х - 4у + 24z. —^ ^ Л Рассмотрим два вектора и = (Зх,4у; 12z) и и = (2; —I; 2). Тогда длина первого вектора, из условия. и = 13, а вто- рого — = 3. И из приведённого выше неравенства получаем оценку Qx — 4у + 24z ^ 39, причём равенство возможно лишь в случае — = = — = А > 0. То есть нетрудно опре- делить, при каких значениях х, у, z получится максимальное значение 39; предлагаем проделать это самостоятельно. А 120* Уравнения прямой в пространстве. Выведенные выше формулы позволяют получить формулы для уравнения прямых в пространстве, сводящие задачи о взаимном положении прямых в пространстве к известным задачам о разрешимости систем уравнений. —^ Определение 42. Назовем произвольный ненулевой вектор а , параллельный данной прямой I в пространстве, направляющим вектором этой прямой. Очевидно, положение любой прямой в пространстве однозначно определяется заданием какого-либо её направляющего вектора и фиксированной точки этой прямой. Пусть а = {т;п,р) — некоторый направляющий вектор данной прямой I, а Мо(хо] уо\ zq) — какая-нибудь её точка. Произвольная точка M(x\y\z) пространства принадлежит прямой I в том и только том случае, когда векторы Мол1 = {х — XQ\y — yo\z - 2о) и а = {т\п\р) коллинеарны, т. е., в силу следствия 17, X - Хр _ у- Уо _ 2- Zp т М € I п р Полученная система равенств называется каноническими уравнениями прямой в пространстве. При этом, если какая- либо из координат направляющего вектора а прямой I равна 164 Глава III. Векторы и координаты в пространстве -i нулю, то в силу коллинеарности векторов а и MqM соответствующая координата вектора Мол1 также равна нулю. Например, если /п = О, то и л: — лго = О, т. е. х = xq. В этом случае канонические уравнения принимают вид следующей системы уравнений: Г л: = хо, \ У-УО — 2-Zq I я р Иногда уравнениям прямой в пространстве придают другой вид. А именно, если каждое из трёх равных между собой выражений в канонических уравнениях прямой обозначить независимым параметром t, то получим систему трёх уравнений, также однозначно описывающих данную прямую X - Хо т t, -^ = t, п г — го t. Преобразуя, приходим к системе трёх уравнений, называемых параметрическими уравнениями прямой в пространстве X = Хо -f mt, У = Уо + nt, 2 = 20+ pt. Если две прямые заданы своими уравнениями, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между ними. Действительно, пусть X — а _ X — Ь _ X — с X — ai _ х — Ь\ _ х — ci т п р ' т\ п\ р\ — уравнения этих прямых. Тогда угол щ между направляю-—^ щими векторами 1{т\п\р) и h(mi\n\\p\) либо равен углу (р между этими прямыми, либо дополняет его до 180°, но тт\ Ч- пп\ -Ь рр\ COS fpo s/m^ + п^ +p^y/ml + n^+Pi Поскольку cos (p = I cos (po\, TO \mm.i + nni -I- ppi\ cos fp + p^yjm^ + n\ + p'l § 20. Прямоугольные координаты в пространстве 165 121* Уравнения прямой, проходящей через две данные точки, в заключение, как и в планиметрии, выведем уравнения прямой I в пространстве, проходящей через две данные точки Mi(xi;yi\2i) и г/2; 22). Для этого достаточно заметить, что вектор М1М2 = (Х2 - х\\у2 — у\\22 - z{) является направляющим для этой прямой, после чего воспользоваться каноническими уравнениями прямой (в качестве точки Мо(хо; 1/о; 2о) можно выбрать, например, точку M\{x\\y\\z\). Тогда в случае Xi ф Х2, у\ ф J/2. z\ Ф 22 получаем следующие уравнения прямой I, называемые уравнениями прямой, проходящей через две данные точки: х\ хг - XI У-У\ У2-У1 2 — 21 22 - 21 Случай, когда одна или две соответствующие координаты точек Ml и М2 совпадают, разберите самостоятельно. 122 Столь же просто, как и уравнения прямой в пространстве, получается уравнение плоскости. Оно будет выведено в следующей главе. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Как найти координаты вектора в пространстве, если известны координаты его начала и конца? 2. Существует ли вектор в пространстве, перпендикулярный всем трём базисным векторам? 3. Как выводится формула для нахождения длины вектора в пространстве, заданного своими координатами? 4. Найдите угол между двумя векторами в пространстве, если известны их координаты. 5. Как найти угол между двумя прямыми в пространстве, если известны координаты направляющих векторов этих прямых? 6. Какие уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве? 7. Какие уравнения называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве? 166 Глава III. Векторы и координаты в пространстве УПРАЖНЕНИЯ 1. Даны векторы а = (1;—2;3), Ь — (-1;3;0), с — ~ (—1;2; 1). Найдите скалярные произведения: а) (2а — ЗЬ + c) f & + ^ с б) I ^ 1 ->• в) ( а + i • с 2. Докажите, что треугольник АВС: а) равнобедренный, если даны А(2; 1; 5), В(—1; 0; 3), С(5; -1; 4); б) прямоугольный, если даны А(4;-1;5), В(б;2;4), С(3;4;4). 3. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, если длины его рёбер равны а, 6 и с. 4. Найдите длину диагонали произвольного параллелепипеда, если длины рёбер, выходящих из одной вершины, равны а, б и с, а углы между этими рёбрами равны а, /3 и Y (рис, 152). Cl 5. Докажите, что диагональ грани куба перпендикулярна любой скрещивающейся с ней диагонали куба. 6. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ лежит квадрат ABCD со стороной а, а боковое ребро АА\ = 2а. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через диагональ BD\ и середину ребра СС\. 7. Известно, что диагонали AiB и BiC смежных граней прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBiCiD\ составляют углы а и j3 со сторонами АВ и ВС основания этого § 20. Прямоугольные координаты в пространстве 167 параллелепипеда (рис. 153). Найдите угол между этими диагоналями. 8. В тетраэдре АВС£) плоские углы при вершине D прямые. Докажите, что углы между биссектрисами DAi, DB\ и DC\ этих углов, взятыми попарно, равны 60° (рис. 154). 9. Докажите, что одна из вершин куба и центры трёх граней куба, проходящих через эту вершину, являются вершинами правильного тетраэдра. 10. В параллелепипеде ABCDAiB\C\D\ плоские углы при вершине А равны (рис. 155). Из точки А проведены биссектрисы соответствующих С\ плоских углов, которые пересекают диагонали граней параллелепипеда А\В, BD и DA\ в точках Е\, Е2 и Ez соответственно. Докажите, что если тетраэдр AEiE^Ez — правильный, то параллелепипед ABCDAiB\C\D\ — куб. 11. В тетраэдре ABCD угол между двумя противоположными рёбрами АВ и CD равен (р. Докажите, что COSW=^"^BC^-AC^-B^ 2АВ DC 12. Определите, являются ли параллельными следующие прямые: а) X — l + 2t, у =: 1—t, 2 = t 1л X —3 — 2t, у = t, 2 = —t; б) x = 2-t,y=l + 2t,z = ln =у + 5= 168 Глава III. Векторы и координаты в пространстве в) их= -2t, у =1-Ы, Z = -3 + 3t. 2 5-3 13. Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки А и В: а) А(1;1;2), Б(-1;2;3); б) А(-1:3;4), Б(2; 1;-3); в) А(0; 1;-1), В(1; 1;2). 14. Даны координаты вершин куба ABCDA\BiCiDi: А(0;0;0), В(1;0;0), С(1:1;0), Б(0;1;0), Ai(0;0;l), Bl(l;0;l), Ci(l;l;l), Z)i(0; 1; 1). Составьте уравнения прямых, содержащих его а) ребра, б) диагонали граней, в) диагонали. 15. Найдите углы между прямыми: а) ^ ~ ^ = У + 2 _ г-3 х + 2 _ у + 1 _ г - 2. ^ 2 3 -1 -1 2 3 ’ x=l + f, ( X = 2 — t, Щ { у = 1 - t, и I у = 3t, Z = 2t \ z — —\ + t. Основные определения и теоремы главы III Определения 111.1. Вектором в пространстве называется направленный отрезок. 111.2. Два ненулевых вектора называются равными, если они имеют равные длины, параллельны и направлены в одну сторону. 111.3. Векторы а и Ь , расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. 111.4. Углом между произвольными ненулевыми векторами а и о называется угол между равными им векторами, отложенными от одной точки. 111.5. Скалярным произведение двух ненулевых векторов в пространстве называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. 111.6. Три (или более) вектора называются компланарными, если, будучи отложенными от одной точки, они принадлежат одной плоскости. 111.7. Тройка из любых трёх некомпланарных векторов е\, б2 и ез называется базисом пространства. Основные определения и теоремы главы III 169 111.8. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им пересекающимися прямыми. 111.9. Координатами произвольной точки М пространства в данной системе координат называются координаты её радиус-вектора. Теоремы —у —у III. 1. Ненулевые векторы а и Ь в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. 111.2. Три точки А, в и с пространства лежат на одной прямой в том и только том случае, когда векторы аА и А^ коллинеарны. 111.3. Любой вектор а пространства однозначно представляется в виде линейной комбинации трёх базисных —У —у —у векторов е\, €2 и е^: —у —у —у —у а = x\ei -f Х2€2 + хз^з. 111.4. В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов a(xi-,yi-,2i) и Ь (х2-, 1/2,22) равно сумме произведений их одноимённых координат: а • Ь ^ Х1Х2 + У1У2 + 2\Z2. 111.5. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. 111.6. Векторы а = {х\\у\-,2\) тл Ъ = (Х2,У2',22) перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Х1Х2 + У1У2 + 2122 = 0. 111.7. В прямоугольной системе координат длина вектора а — (jc; у; 2) находится по формуле I а I = \/х'^ -\гу^ + 2^. III.8. В прямоугольной системе координат косинус угла (f между двумя ненулевыми векторами а = ix\\yi\2i) 170 Глава III. Векторы и координаты в пространстве И Ь — (лгг; {/г; ^г) находится по формуле XlX2 + !/ip2+2i2z COS f = V^f+ifT5fv/5|+y|TI| Пора отдохнуть Однажды один из учеников Евклида спросил его: «А какая мне будет практическая польза от изучения геометрии?>> В ответ Евклид позвал раба и, указывая на ученика, сказал: «Дай ему монету — он ищет выгоду, а не знаний!» Как-то раз знаменитый французский математик и просветитель Жан Даламбер (1717-1783) обучал математике одного крайне бестолкового, но очень знатного ученика. После нескольких безуспешных попыток растолковать неучу доказательство простой теоремы, Даламбер в отчаянии воскликнул: — Даю вам честное слово, месье, что эта теорема верна! Ученик расстроено ответил: — Почему же вы мне сразу так не сказали? Ведь вы — дворянин и я — дворянин; так что вашего слова для меня вполне достаточно. Один философ испытал сильнейшее потрясение, узнав от Бертрана Рассела, что из ложного утверждения следует любое утверждение. Он спросил: — Вы всерьёз считаете, что из утверждения «два плюс два — пять» следует, что вы — Папа Римский? Рассел ответил утвердительно. — И вы можете доказать это? — продолжал сомневаться философ. — Конечно! — последовал уверенный ответ, и Рассел тотчас же предложил такое доказательство. 1) Предположим, что 2 + 2=5. 2) Вычтем из обеих частей по два: 2=3. 3) Переставим левую и правую части: 3=2. 4) Вычтем из обеих частей по единице: 2=1. Папа Римский и я — нас двое. Так как 2=1, то Папа Римский и я — одно лицо. Следовательно, я — Папа Римский. (Цит. по книге: С. Н. Федин, «Математики тоже шутят». — М., 2009) Глава IV ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ А дальше к Северу, где океан полярный Гудит всю ночь и перпендикулярный Над головою поднимает лед. Н. Заболоцкий. Север §21. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Симметрия относительно плоскости Со времен греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство». . „ , „ Н. Бурбаки. Теория множеств 123 В ЭТОЙ главе мы переходим к изучению ещё одной важной темы — перпендикулярности прямых и плоскостей, которая вместе с изученной ранее параллельностью прямых и плоскостей лежит в основе применений стереометрии в строительстве, архитектуре и других технических областях человеческой деятельности. Напоминаем (см. п. 83), что две пересекающиеся прямые пространства называются перпендикулярными, если они перпендикулярны в той единственной плоскости, которая их содержит. Как мы уже знаем из курса планиметрии, через любую точку М данной прямой I, принадлежащей плоскости а, можно провести единственную прямую, перпендикулярную I (рис. 156). 172 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей В пространстве же дело обстоит иначе. Рассмотрим произвольную точку М ' / данной прямой I в пространстве (рис. 157). Мы уже выяснили (см. п. 35), что через любую прямую пространства (и, стало быть, через прямую /) проходит бесконечно много различных плоскостей. В каждой из плоскостей, содержащих Z, мы можем провести перпендикулярную к I прямую, проходящую через точку М. В дальнейшем (см. п. 128) мы покалссм, что все эти перпендикулярные к I прямые «заметают» плоскость, в которой любая прямая, проходящая через точку М, будет также перпендикулярна прямой I. Рис. 157 124 I Прямая, перпендикулярная плоскости. Теперь по- нятным становится Определение 43. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она пересекает плоскость и перпендикулярна любой пересекающей её прямой этой плоскости. Обозначение: I L а. Если прямая I перпендикулярна плоскости а, то говорят также, что прямая I и плоскость а взаимно перпендикулярны. Итак, по определению, если прямая I, перпендикулярная плоскости а, пересекает её в некоторой точке О (рис. 158), то она перпендикулярна любой прямой плоскости а, проходящей через точку О. Из определения угла между двумя скрещивающимися прямыми (см. п. 109) и определения прямой, перпендикулярной плоскости, следует, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой (не обязательно пересекающей её) прямой этой плоскости. Рис. 158 125 Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для того чтобы проверить перпендикулярность данной прямой и плоскости, вовсе не нужно убеждаться в перпендику- §21. Перпендикулярность прямой и плоскости 173 лярности этой прямой ко всем прямым плоскости, пересекающим её. Для этого, как показывает следующая теорема, достаточно установить перпендикулярность этой прямой лишь двум произвольным пересекающимся прямым плоскости. Теорема 39 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. О Пусть прямая I пересекает плоскость а в точке О (рис. 159) и перпендикулярна двум прямым а\ и Ь\ плоскости. Тогда она перпендикулярна и прямым а и Ь плоскости а, проходящим через точку О и, соответственно, параллельным прямым а\ и bi. Покажем, что Z J. а, т. е. что Z _L с, где с — произвольная прямая плоскости, проходящая через точку О. Если с = а или с = 6, то утверждение очевидно. Предположим, что с ф а V. с Ф Ъ. Отложим на прямой I точки L\ и Еч такие, что OL\ = ОЬч. Проведём также произвольную прямую на плоскости а, пересекающую прямые а, Ь н с соответственно в трёх различных точках А, В и С. Прямоугольные треугольники AL\0 и АЬчО равны по двум катетам, откуда Ь\А = ЬчА. Аналогично получим LiB = ЬчВ. Отсюда следует, что треугольники ABLi и АВЬч равны по трём сторонам. Следовательно, ZL^AC = ZL2AC. Таким образом, АЬ\АС = АЬчАС по двум сторонам (LjA = L2A, а сторона АС — общая) и углу между ними, поэтому LiC = ЬчС. Итак, треугольник Ь\СЬч — равнобед- 174 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей ренный и СО — медиана в нём. Но в равнобедренном треугольнике медиана является и высотой, т. е. Z J. с. • Другое, более простое, хотя и менее интересное с геометрической точки зрения доказательство, использующее понятие вектора, будет приведено в упр. 8, разобранном в конце параграфа. Вообще, для закрепления темы «Векторы в пространстве» мы рекомендуем вам пытаться передоказывать теоремы этой главы с помощью векторов (в большинстве случаев это не очень сложно сделать). Признак перпендикулярности прямой и плоскости находит многочисленные применения: при установке вертикальных балок, столбов и т. д. Заметим также, что из признака перпендикулярности вытекает тот факт, что каждая коор-/ ^ Л динатная ось прямоугольной системы координат в пространстве перпендикулярна плоскости, содержащей две другие оси (рис. 160). Рис. 160 126 Теперь мы можем, наконец, вернуться к вопросу о множестве точек всех прямых, перпендикулярных данной прямой и проходящих через данную точку пространства. Сначала докажем одну полезную теорему. Теорема 40. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. 0 Существование. Пусть сначала точка А принадлежит заданной прямой I пространства. Проведём через точку А две произвольные прямые тип, перпендикулярные I (рис, 161). Плоскость Of, проходящая через прямые типи будет искомой, так как 1 L т и 11. п, откуда I L а. Если же точка А не лежит на прямой I, то проведём сначала через произвольную точку В прямой I плоскость /3, перпендикулярную этой прямой (рис. 162), а затем плоскость а, проходящую через точку А и параллельную плоскости (см. теорему 23, п. 63). Плоскость of будет искомой. Действительно, проведём плоскость у через § 21. Перпендикулярность прямой и плоскости 175 произвольную прямую аса, пересекающую I, и саму прямую I. Тогда в силу теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (теорема 24, п. 38) прямые а и Ь, где Ь — линия пересечения плоскостей /3 и у, будут параллельны. Но / -L /3, т. е. / ± 6, откуда с учётом предыдущего следует, что и / J- а. Поскольку прямая а С а была взята произвольно, то Z ± а. Единственность. Предположим сначала, что А ^ I. Пусть через точку А проходят две различные плоскости аир, перпендикулярные прямой I (рис. 163). Через прямую I и точку А проведём плоскость у, которая пересечёт плоскости а и /3 соответственно по прямым а и Ь. Поскольку А ^ I, то прямые а и Ь различны (убедитесь в этом самостоятельно). Далее, так как 1±аи1±р, то11аи1±Ь. Таким образом, в плоскости у мы нашли два различных перпендикуляра, проведённых из точки А к прямой I. Этого не может быть, поэтому наше предположение неверно и, значит, а = р. Пусть А е I. Снова предположим, что через точку А проходят две различные плоскости аир, перпендикулярные прямой I (рис. 164). Проведём через прямую I произвольную плоскость у, не содержащую линию пересечения плоскостей а и /3. Пусть она пересечёт плоскости аир соответственно по прямым а и Ь, проходящим через точку А. По предположению I ± а и I ± р, поэтому I А а и I ± Ь, откуда следует, что в плоскости у существуют две различные пересекающиеся прямые, перпендикулярные прямой I. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно, т. е. а = /3. • 176 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 127 Фактически, при доказательстве существования в предыдущей теореме мы установили следующий важный факт; Следствие 22. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости. 128 Следствие 23. Прямые, проходящие через фиксиро- ванную точку прямой и перпендикулярные ей, лежат в плоскости, перпендикулярной этой прямой. О Пусть плоскость а проходит через точку А прямой I и перпендикулярна ей. Любые две прямые, перпендикулярные I и проходящие через точку А, принадлежат плоскости, которая в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 39) перпендикулярна I и, значит, по теореме 40 совпадает с а. Таким образом, любая прямая, перпендикулярная I и проходящая через точку А, лежит в плоскости а. Ф 129 Следующая теорема даёт положительный ответ на вопрос о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через данную точку на этой плоскости и вне её. Теорема 41. Через любую точку в пространстве проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. О Существование. Пусть сначала точка А принадлежит плоскости а (рис. 165). Проведём через точку А произвольную прямую а С а. В силу теоремы 40 существует плоскость /3, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через Ь линию пересечения плоскостей а и [5. Теперь в плоскости j3 проведём через точку А прямую I, перпендикулярную прямой Ь. Прямая I — искомая. Действительно, а _L /3, откуда I ± а; кроме того, по построению I _L Ь. Отсюда, по признаку перпендикулярности, I ± а. Если же точка А расположена вне данной плоскости а, то проведём через эту точку плоскость (3, параллельную §21. Перпендикулярность прямой и плоскости 177 Рис. 167 плоскости а (рис. 166). По доказанному существует прямая I, проходящая через точку А и перпендикулярная плоскости jS. Но, в силу следствия 22, она будет перпендикулярна и плоскости а, т. е. будет искомой. Единственность. Предположим сначала, что через точку А проходят две различные прямые 1\ и /г, перпендикулярные плоскости а (рис. 166, а, ??). Проведём через пересекающиеся прямые 1\ и Iz плоскость /3, пересекающую плоскость а по некоторой прямой а. Тогда в плоскости /3 через точку А будут проходить две прямые, перпендикулярные прямой а. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и, стало быть, 1\ = Iz- Таким образом, прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная плоскости а, единственна. • Теперь можно ввести два новых важных понятия — высота пирамиды и правильная п-угольная пирамида (рис. 168). 178 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Рассмотрим л-угольную пирамиду SA1А2 ... А„. Проведём через вершину А пирамиды прямую I, перпендикулярную её основанию А1А2 .. • А„. Пусть О — точка пересечения прямой I с плоскостью основания. Отрезок SO называется высотой пирамиды, а точка О — основанием высоты. Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный л-угольник, причём основание высоты пирамиды совпадает с центром этого многоугольника. 130 Симметрия относительно плоскости. Используя перпендикулярность прямой и плоскости, введём важное понятие симметрии относительно плоскости, точно описывающее хорошо известное нам из практики зеркальное отражение. Пусть зафиксирована некоторая плоскость а. Через произвольную точку М пространства проведём прямую I, перпендикулярную плоскости а (рис. 169). Пусть прямая I пересекает плоскость а в точке О. Отметим на I точку М', симметричную относительно точки О, т. е. такую, что точка О — середина отрезка ММ'. В случае, если М € а, естественно положить: М' = М. Точка М', построенная таким образом, называется симметричной точке М относительно плоскости а. Обозначение: Sa{M) = М'. Ясно, что если точка М' симметрична точке М относительно плоскости, то и точка М симметрична точке М' относительно а. Поэтому говорят также, что точки М и М' являются симметричными (или симметричны) относительно плоскости а. Плоскость а при этом называется плоскостью симметрии. По определению каждая точка плоскости симметрии симметрична сама себе. Симметрию относительно плоскости можно определить несколько по-иному: точки М и М' симметричны относительно плоскости а, если отрезок ММ' перпендикулярен этой плоскости (т. е. {ММ') ± а) и делится ею пополам. § 21. Перпендикулярность прямой и плоскости 179 В 131 Симметричные фигуры. Теперь понятно, как определить симметричные фигуры относительно данной плоскости. Определение 44. Две пространственные фигуры Ф и Ф' называются симметричными относительно плоскости а, если каждая точка фигуры Ф симметрична соответствующей точке фигуры Ф' и каждая точка фигуры Ф' симметрична соответствующей точке фигуры Ф. Если все точки данной фигуры Ф симметрично отразить относительно плоскости симметрии, то получится фигура Ф', симметричная фигуре Ф. (Поэтому фигуру Ф', симметричную фигуре Ф, можно определить короче, как геометрическое место точек, симметричных точкам фигуры Ф.) Так, отрезки АВ и А'В' на рис. 170 симметричны относительно плоско- Рис. 170 сти а. 132 Заметим, что симметрия относительно плоскости сохраняет расстояние между точками фигуры, т. е. если М и N — произвольные точки данной фигуры, а М' и N' соответственно симметричные им относительно плоскости а точки (Sa(M) = М', Sa(N) = N'), то длины отрезков MN и M'N' равны (несложное доказательство этого утверждения проведите самостоятельно, см. упр. 6 в конце параграфа). Отметим также, что симметрия относительно плоскости является преобразованием пространства; подробнее о преобразованиях пространства вы узнаете в следующем классе. 133 Уравнение плоскости. В заключение параграфа, используя понятие прямой, перпендикулярной к плоскости, получим уравнение плоскости. Определение 45. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости (т. е. лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости), называется нормальным вектором этой плоскости. Очевидно, что все нормальные векторы данной плоскости коллинеарны между собой. 180 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Как мы уже знаем, через любую точку в пространстве можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой (теорема 40), а значит — и данному вектору. Поэтому координатами любой точки Мо(хо\ уо] 2о) плоскости и какого-либо её нормального вектора п = (А; В; С) эта плоскость определяется однозначно. Этих шести координат вполне достаточно, чтобы составить уравнение плоскости. В самом деле, произвольная точка М(х\у;г) принадлежит плоскости а тогда и только тогда, когда векторы MqA^ и п перпендикулярны. Отсюда, по признаку перпендикулярности векторов, получаем: М € ос -<=^> MqM • п = 0. Записав последнее равенство в координатной форме, получим окончательно уравнение А(х - лго) + В(у - уо) + C(z - zo) = 0. Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку Мо(л:о; i/oi 2о) перпендикулярно данному вектору п — {А\В,С). Таким образом, точка M(x;y;z) пространства принадлежит указанной плоскости в том и только в том случае, когда её координаты удовлетворяют полученному уравнению. Уравнение А(х - л:о) + В{у - Уо) -Ь C(z - zq) = О после раскрытия скобок и приведения подобных членов запишется в виде Ах By Cz D = О, где свободный член уравнения обозначен через D = -Ахо - Вуо - CzQ. Это уравнение называется общим (или нормальным) уравнением плоскости. Заметим, что коэффициенты А, В и С при неизвестных в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости и поэтому не равны нулю одновременно. Общее уравнение плоскости — линейное (первой степени) относительно переменных х, у, z. §21. Перпендикулярность прямой и плоскости 181 Таким образом, любая плоскость в пространстве задаётся линейным уравнением с тремя переменными. Можно показать, что и обратно, всякое линейное уравнение с тремя переменными, т. е. уравнение вида Ах + By + Cz + D = О, где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля, определяет некоторую плоскость. При этом коэффициенты А, В и С являются соответствующими координатами одного из нормальных векторов этой плоскости. Отметим также, что общее уравнение плоскости является пространственным аналогом общего уравнения прямой на плоскости (линейного уравнения с двумя переменными): Ах + By -h С = 0. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости? 2. Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости. 3. Какие фигуры называются симметричными относительно некоторой плоскости? Приведите примеры таких фигур. УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите, что через любую точку данной прямой в пространстве можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных ей. 2. Докажите, что две стороны треугольника не могут лежать на прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости. 3. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудалённых от: а) двух данных точек; б) трёх данных точек, не лежащих на одной прямой. 4. Дан куб ABCDA\B\CiDi. Установите, является ли прямая BD перпендикулярной к плоскости ACCiAi. 5. Можно ли провести: а) прямую, перпендикулярную одновременно данной плоскости и пересекающей эту плоскость прямой; б) прямую, перпендикулярную двум пересекающимся плоскостям? 182 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 6. Докажите, что при симметричном отражении относительно плоскости: а) равные отрезки переходят в равные; б) параллельные прямые переходят в параллельные; в) прямая, перпевдикулярная плоскости проекции, переходит сама в себя. 7. Как по данному уравнению плоскости найти координаты нормального вектора на этой плоскости? 8. Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости с помощью векторов. ® 9. Докажите, что диагональ ACi куба ABCDAiBiCiDi перпендикулярна плоскости A\BD. ® 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiB\C\D\ диагональ BD\ перпендикулярна плоскости АВ\С. Докажите, что этот параллелепипед является кубом. Дан тетраэдр ABCD (рис. 171), плоские углы которого при вершине D прямые (такой тетраэдр называется прямоугольным). Докажите, что если основание Н высоты DH тетраэдра совпадает с центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника АВС, то боковые рёбра тетраэдра ABCD равны. 12. Докажите, что если все диагонали параллелепипеда равны, то этот параллелепипед прямоугольный. 13. Все диагонали параллелепипеда равны, а одна из них, выходящая из некоторой вершины параллелепипеда, перпендикулярна плоскости, которая содержит концы трёх рёбер, выходящих из этой же вершины. Докажите, что данный параллелепипед является кубом. 14. * Дан параллелепипед ABCDAiB\CiDi. Пусть точка М совпадает с точкой пересечения диагонали АС\ с плоскостью A\BD, а точки М\, Мг, М3 — с центрами граней АВВ\А\, ABCD, ADD\A\ соответственно. Укажите, какие условия (или наборы условий) из приведённых ниже являются достаточными для того, чтобы данный параллелепипед был кубом: а) все диагонали параллелепипеда равны; б) точка М равноудалена от вершин А\, В, D; §21. Перпендикулярность прямой и плоскости 183 в) тетраэдр АМ1М2М3 является правильным; г) диагональ АС\ перпендикулярна плоскости A\BD‘, д) точка М равноудалена от прямых А\В, BD, DA\. 15. Точка Р лежит на ребре AD, а точка Q — на ребре АВ правильной треугольной пирамиды ABCD. (Внимание! Не путайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр. Правильный тетраэдр — треугольная пирамида, у которой все рёбра равны — является и правильной треугольной пирамидой — т. е., пирамидой, у которой в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра равны между собой, но не обязательно стороне основания. Не всякая правильная треугольная пирамида будет одновременно и правильным тетраэдром.) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку Р и перпендикулярной прямой CQ. ® 16. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с ос- нованием ABCD, причём её боковые грани — остроугольные треугольники. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярной ребру SB. ® 17. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середину одной из его диагоналей и перпендикулярной этой диагонали. 18. *Дан параллелепипед ABCDA\BiCiDi. Точки М, N, К, L, Р, R являются серединами рёбер АА\, A\D\, D\C\, С\С, СВ, ВА соответственно. Докажите, что эти точки лежат в одной плоскости и, таким образом, являются вершинами плоского шестиугольника MNKLPR. Верно ли, что если шестиугольник MNKLPR правильный и диагональ BiD перпендикулярна плоскости этого шестиугольника, то параллелепипед ABCDA\BiC\D\ является кубом? 19. В правильной треугольной пирамиде через сторону основания и середину противоположного бокового ребра проведена плоскость, которая оказалась перпендикулярной этому ребру. Найдите высоту пирамиды, если сторона основания равна а. 20. * Высота треугольной пирамиды ABCD, опущенная из вершины D, проходит через точку пересечения высот треугольника АВС. Кроме того, известно, что DB = Ъ, 184 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей DC = с, ZBDC = 90°. Найдите отношение площадей граней ADB и ADC. 21. (Мат. ф-т МПГУ). В прямоугольном параллелепипеде АВ = ВС = а, АА\ = Ъ. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину А и перпендикулярного диагонали BD\. 22. Точка Р равноудалена от вершин А и С\ куба ABCDA\B\C\D\ и середин его рёбер AAi и ВВ\. Найдите длину отрезка РА, если ребро куба равно а. §22. Перпендикуляр и наклонная. Угол МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоскостью Скалы встали перпендикулярно к плоскости залива... Н. Рубцов. Утро перед экзаменом 134 Перпендикуляр и наклонная. Введённое в предыдущем параграфе понятие перпендикулярности прямой и плоскости позволяет ввести новые полезные понятия. Прежде всего это понятие перпендикуляра, наклонной и проекции. Проведём через произвольную точку А, не принадлежащую данной плоскости а, прямую h, перпендикулярную этой плоскости. Пусть прямая Л и плоскость а пересекаются в точке Н (рис. 172). перпендикуляр проекция наклонной Определение 46. Отрезок АН называется перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость а. Конец перпендикуляра к данной плоскости, принадлежащий этой плоскости — точка Н — называется основанием перпендикуляра. § 22. Перпендикуляр и наклонная 185 Определение 47. Длина перпендикуляра АН к плоскости а называется расстоянием от точки А до плоскости а. Определение 48. Любой отрезок АВ, отличный от перпендикуляра к плоскости, с одним концом в точке А и с другим концом на данной плоскости, называется наклонной, проведённой из точки А к плоскости а. Конец наклонной, принадлежащий данной плоскости — точка В — называется основанием наклонной. Отрезок ВН, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из точки А к данной плоскости, называется проекцией наклонной на эту плоскость. В дальнейшем мы убедимся в обоснованности таких терминов, как проекция наклонной (см. § 25) и расстояние от точки до плоскости (см. пп. 142-143). 135 Расстояние от точки до плоскости в координатах. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Справедливо следующее утверждение: Пусть в некоторой прямоугольной системе координат уравнение плоскости а имеет вид Ах By + Cz -\- D = О, а точка М имеет координаты (хо,уо,2о). Тогда расстояние от точки М до плоскости а вычисляется по формуле: |Адго -1- Вуо -Ь Сго -Ь D\ р{М,а) Выведем её: О Пусть точка Mi — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость а, и координаты этой точки {x\,y\,z\). Согласно следствию 20, нужно найти |MMii = \/(xi - xof + (yi - yof + (zi - zof. Так как вектор n — (A, В, С) перпендикулярен плоскости а (см. п. 133), то он коллинеарен вектору MMi = (xi - хо,у1 - yo,zi — zo). (Теорема о том, что если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны, геометрически будет доказана в следующем параграфе (см. теорему 45). Попробуйте пока доказать её самостоятельно с помощью векторов). Поэтому найдётся такое число Л, что ММ\ = Хп (по теореме 34). 186 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Расписав это равенство в координатах и подставив в выражение для длины, получим: |MMi| = )/(xi - xof + (i/i - i/of + (21 - zof = = 1A| \/A2 + B2 + c2. Для того чтобы определить значение А, умножим каждое из равенств — дго = АЛ, у\ — уо — ХВ, Z\ — Zq = АС на А, В, С соответственно и сложим их. С учётом того, что Mi G а, т, е. Axi + Ву\ -Ь Cz\ -Ь Z) = О, окончательно получим, что А = — ^ ^ ^ завершает доказательство. • Посмотрим, как «работает» только что выведенная формула, разобрав решение следующей задачи. Задача 18. В прямоугольном параллелепипеде ABCOAiBiCiOi точка Р — середина ребра CCi. Известно, что АВ = а, AD = Ь, АА\ = с. Найдите расстояние от точки А до плоскости, проходящей через точки В, А\, Р. Ох Д Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 173. Понятно, что в этой системе координат А — (0,0,0), В — (а, 0,0), Ai = (0,0, с), Р = 1^0, ft. Теперь нужно написать уравнение плоскости, проходящей через точки В, Ai, Р. Далее приводится общее правило действия в этой ситуации. Для того чтобы найти уравнение плоскости Ах -I- By -\--h Cz D = о, проходящей через три данные точки (не лежащие на одной прямой), нужно подставить координаты этих точек в уравнение плоскости, в качестве D взять любое ненулевое число (так как уравнение плоскости определено с точностью до умножения на ненулевую константу), а затем решить полученную линейную систему из трёх уравнений с тремя неизвестными А, В, С. В случае £) = 0 подстановкой координат точек в уравнение плоскости сразу получаем нужную систему уравнений. § 22. Перпендикуляр и наклонная 187 1 И получим В нашем случае положим, например, D совсем простую систему: оА +1 = 0, сС + 1 = 0, oA + 6B + |C + l = 0, из которой найдём А = — ^,В = —,С = — - . а 2Ь с И теперь, воспользовавшись формулой для расстояния, имеем; 1 _ 2аЬс ^ ри,ВЛгР) = 3 + — 2 4fc2 \J 4Ь^с^ + + 4Ь^а^ 136 Свойства перпендикуляра и наклонных. Свойства перпендикуляра и наклонных, проведённых из данной точки к плоскости, сформулированные в следующей теореме, ничем не отличаются от соответствующих свойств перпендикуляра и наклонной к прямой, изученных нами в курсе планиметрии. Теорема 42 (о свойствах перпендикуляра и наклонных). Пусть из одной и той же точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и какие-либо наклонные. Тогда: 1. Длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной. 2. Длины двух наклонных равны в том и только том случае, когда равны длины их проекций. 3. Большим по длине наклонным соответствуют и большие по длине проекции. Обратно, большие по длине проекции соответствуют большим по длине наклонным. О Пусть а — длина наклонной AS, проведённой из точки А к плоскости а (рис. 174), Ъ — длина её проекции ВН, h — длина перпендикуляра АН к плоскости. 1. В прямоугольном треугольнике АВН наклонная АВ является гипотенузой, а перпендикуляр АН к плоскости — 188 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей катетом, поэтому, АВ = а > АН = h, что доказывает п. 1 теоремы. 2. Если ai — длина другой наклонной АС, Ь\ — длина её проекции, то в силу теоремы Пифагора а\ = \jb\ + Л2, а = \Zft2 + Отсюда имеем: ai = а \Jb\-\- - \/ь2 + <=Ф Ь\ - Ь. 3. Аналогично Oi > а > а/&2 + /г2 > jj что и доказывает оба утверждения п. 3 теоремы. • 137 I Теорема о трёх перпендикулярах. Теорема, кото- рую мы сейчас рассмотрим, весьма часто используется в стереометрии в доказательствах других теорем, при решении задач и т. п. Теорема 43 (о трёх перпендикулярах). Для того чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной к этой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной. О Необходимость. Пусть прямая Ь плоскости а перпендикулярна наклонной АВ к этой плоскости. Покажем, что эта прямая перпендикулярна и её проекции, т. е. что Ь -L ВН (рис. 175). В самом деле, поскольку АН Jl а, то АН ± Ь (см. п. 124), т. е. Ы.АН и Ъ LAB. Таким образом, прямая Ь перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АВН и по теореме 39 перпендикулярна самой этой плоскости, откуда следует, что Ь X ВН. Достаточность. Пусть Ь ± ВН. Так как Ь X АН и 6 X ВН, то 5 X АВН и поэтому Ь X АВ. # Отметим, что доказанное утверждение называется теоремой о трёх перпендикулярах, ибо в ней действительно упоминаются три перпендикуляра: АН (к плоскости а), АВ и НВ (к прямой Ь). § 22. Перпендикуляр и наклонная 189 138 В доказательстве теоремы 43 показано, что прямая Ь перпендикулярна плоскости /3 треугольника АВН (рис. 175). Таким образом, для того чтобы провести через точку В перпендикуляр к плоскости треугольника АВН, достаточно провести через эту точку прямую в плоскости а, перпендикулярную отрезку ВН. Как мы уже знаем, можно провести лишь единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости и проходящую через данную точку. Поэтому существует лишь единственная прямая Ь плоскости а, перпендикулярная наклонной АВ и проходящая через её основание. 139 Угол между прямой и плоскостью. Пусть теперь заданы некоторая плоскость а и пересекающая её и не перпендикулярная ей прямая I (рис. 176). Рассмотрим параллельную проекцию этой прямой, выбрав в качестве проецирующей прямой какую-либо прямую Л, перпендикулярную плоскости а (подробнее свойства таких «ортогональных» проекций мы изучим в § 25). Как известно, проекцией прямой I будет некоторая прямая I' плоскости а, которую мы так и будем называть — проекция прямой I. Очевидно, что обе прямые I и I' пересекаются в точке О — точке пересечения прямой I и плоскости а. В этом случае определён угол между прямой Z и её проекцией на эту плоскость. Определение 49. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на плоскость, если этот угол определён. Обозначение: (Z;a). Если Z J_ а, то в этом случае проекция прямой вырождается в точку. Естественно при этом положить; (Z; а) = 90°. Если же / II а (в частности, I С а), то полагают (/; а) = 0°. 140 В случае, когда прямая I пересекает данную плос- кость а и не перпендикулярна ей, справедлива 190 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Теорема 44. Угол между прямой и плоскостью является наименьшим среди всех углов, которые эта прямая образует с пересекаюш,ими её прямыми плоскости. О Пусть прямая I пересекает плоскость а в некоторой точке О (рис. 177). Выбрав на этой прямой произвольную точку А, отличную от О, опустим из неё перпендикуляр АН на плоскость а. По определению Z.AOH = (I, а). Обозначим этот угол через щ. Пусть а — произвольная прямая плоскости а, проходящая через точку О и отличная от прямой ОН — проекции прямой I. Отметим на прямой а точку В так, чтобы угол АО В (обозначим его (^) был острым и ОВ = ОН. Покажем, что <р > (ро- В самом деле, в треугольниках АОН и АОВ две стороны соответственно равны, а для третьих сторон в силу свойств наклонных и проекций выполнено неравенство: АВ > АН. Применяя теорему косинусов к обоим треугольникам, получим АВ^ = АО^ + ОВ^ - 2АО ■ ОВ cos (р > > АН^ = АО^ + ОЯ^ - 2АО ■ ОН cos <ро, откуда cos (ро > cos (р. С учётом того, что углы (р и (ро — острые, это и означает, что (р > (ро- • 141 I Угол между прямой и плоскостью в координатах. Справедливо следующее утверждение: Пусть в некоторой прямоугольной системе координат уравнение плоскости а имеет вид Ах By -f- Cz “1“ Я = О, а направляющий вектор I прямой I имеет координаты (а,Ь,с). Тогда угол (р ~ (1,а) между данными прямой и плоскостью может быть вычислен с помощью формулы \аА Ч- ЬВ -I- сС\ sm (р v/a2 + ь^ + с^. v/A2 + В^ + С^ § 22. Перпендикуляр и наклонная 191 Л Воспользуемся рисунком 177. Если аЙ — нормальный вектор к плоскости, а аЗ — направляющий вектор прямой I, то,очевидно,cos Z (аЙ,а6'^ = cos (90° - ZAOH) = sin ZAOH. Поскольку вектор п = (А, В, С) перпендикулярен плоско- сти а (см. п. 133), получим, что sin <р = l»i |4'-и осталось п ■ / только применить формулу, приведённую в п. 119. Модуль в числителе появился из-за того, что нужно учитывать два (возможно противоположных) направления нормального вектора. А Проиллюстрируем это на решении задачи. Задача 19. Пусть в прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi задана точка Р — середина ребра CCi. Известно, что АВ = а, AD = Ь, АА\ = с. Найдите угол между прямой АС\ и плоскостью, проходящей через точки B,Ai,P. А Введём ту же систему координат, что и в задаче 18 из п. 135. Понятно, что координаты направляющего вектора I — АС\ — (а, 6, с). Уравнение плоскости, проходящей через точки В,А\,Р, уже было получено при решении задачи 18 из п. 135, и мы можем сразу выписать координаты нормального вектора: '1 1 , а ’ 2Ь' с п = (А,В,С) = Подставив координаты в формулу, найдём sin (р — а ■ —Ь а i+c-l 2Ь^ с ЗаЬс \JЧ- 142* Расстояние от точки до фигуры. Введённое в на- чале параграфа понятие расстояния от точки до плоскости является частным случаем более общего понятия расстояния от точки до фигуры. 192 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Рис. 179 Пусть точка М пространства (рис. 178) не принадлежит данной фигуре Ф. Точка А фигуры Ф называется ближайшей к точке М, если для любой точки X фигуры Ф имеет место неравенство \АМ\ ^ \ХМ\. Ближайших к точке М точек данной фигуры Ф может быть много, что хорошо видно из примеров, приведённых на рис. 179, а, б (здесь фигурой Ф является сфера, а точкой М — центр этой сферы). В этом случае, очевидно, все расстояния от точки М до ближайших точек фигуры Ф равны между собой. Ближайшей к М точки фигуры Ф может и не существовать, как показывает пример на рис. 180: множество Ф здесь — интервал (0,1) на оси Ох, а точка М — точка с координатой 1 на этой оси. о 1 |iimiiiiiniiimiiimiiiimniinii| ф м Рис. 180 Такого рода фигуры в дальнейшем мы рассматривать не будем. 143*1 Определение 50. Расстоянием от точки М до данной фигуры Ф называется расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки фигуры Ф. Так как длина перпендикуляра к плоскости меньше длины любой наклонной, то ясно, что ближайшей к данной точке Н § 22. Перпендикуляр и наклонная 193 точкой плоскости а, не содержащей М, будет основание перпендикуляра, опущенного из точки М на эту плоскость. Расстоянием же от точки М до плоскости а будет длина этого перпендикуляра, что оправдывает определение расстояния от точки до плоскости, введённое в п. 134. Приведём другие примеры. Расстоянием от центра шара до его поверхности будет его радиус. Расстояние от точки в пространстве до некоторой прямой будет равно длине перпендикуляра, опущенного ио ОТОЙ ТОЧ1СИ па прямую в плоскости, содержащей эти прямую и точку. Как находится расстояние от произвольной точки М пространства до шара, видно из рисунка 181. Для внутренней точки шара ситуация аналогична. Понятие расстояния между точкой и фигурой является в свою очередь частным случаем понятия расстояния между фигурами и часто применяется на практике: при нахождении расстояния от искусственного спутника (размерами которого можно пренебречь) до Земли, расстояния от наблюдателя до другого берега реки и т. д. Рис. 181 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Сколько перпендикуляров к плоскости можно провести из данной точки вне этой плоскости? 2. Сформулируйте и докажите теорему о трёх перпендикулярах. О каких трёх перпендикулярах идёт речь в теореме? 3. Через основание наклонной к плоскости проведите в этой плоскости прямую, перпендикулярную наклонной. 4. Как определяется угол между прямой и плоскостью? 5. Что называется расстоянием от точки до плоскости? УПРАЖНЕНИЯ 1. Известно, что на плоскости существуют только две наклонные к прямой равной длины, проведённые из одной точки. Верно ли это утверждение для наклонных к плоскости, проведённых из одной точки? 7-П75 194 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 2. Используя теорему о трёх перпендикулярах, докажите, что в сечении куба плоскостью нельзя получить прямоугольный треугольник. 3. Для любой ли прямой, пересекающей данную плоскость, можно найти пересекающую её прямую этой плоскости такую, что угол между этими прямыми меньше 90°? 4. Докажите, что концы данного отрезка находятся на одинаковом расстоянии от любой плоскости, проходящей через его середину. 5. Найдите следующие геометрические места точек: а) оснований наклонных одинаковой длины, проведённых из данной точки к данной плоскости; б) точек, удалённых на данное расстояние от данной плоскости. 6. Найдите множество точек в пространстве, равноудалённых от: а) вершин вписанного в круг многоугольника; б) сторон описанного около круга многоугольника. 7. Докажите, что если в пирамиде все рёбра наклонены под одним и тем же углом к основанию, то около основания можно описать окружность, причём высота пирамиды падает в её центр. ® 8. Дана пирамида ABCDM, в основании которой лежит трапеция ABCD. Могут ли быть равными: а) все боковые рёбра этой пирамиды; б) все высоты боковых граней, опущенные из вершины М? Ответ обосновать. 9. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки пространства на прямые, лежащие в заданной плоскости и пересекающиеся в одной точке. 10. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки А, не лежащей на прямой ВС, на плоскости, проходящие через эту прямую. 11. * Прямая образует равные углы с тремя попарно непа- раллельными прямыми, лежащими в одной плоскости. Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости. 12. Докажите, что скрещивающиеся рёбра правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны. ® § 22. Перпендикуляр и наклонная 195 13. Докажите, что в правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно несмежной с ним диагонали основания. ® 14. Ортоцентрический тетраэдр. Аналогом треугольника в пространстве является тетраэдр. Поэтому неудивительно, что тетраэдр «наследует» многие свойства треугольника. Например, как мы уже выяснили, медианы тетраэдра также пересекаются в одной точке — правда, делятся они этой точкой уже в отношении 3 : 1, что и не удивительно — размерность ведь на единицу выросла. Но как далеко простираются аналогии? Мы знаем, что в любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке. Естественный аналог высоты в тетраэдре — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную грань. Возникает вопрос: верно ли, что в произвольном тетраэдре его высоты пересекаются в одной точке? Оказывается, ответ отрицательный — т. е. геометрия пространства, к счастью (а для кого-то, возможно, и к сожалению), устроена всё же не так уж и просто — одними аналогиями здесь не обойтись. В связи с только что сказанным — вопрос: Приведите пример тетраэдра, в котором высоты не пересекаются в одной точке. Тем не менее, класс тетраэдров, в которых высоты всё же пересекаются в одной точке, достаточно широк (он включает в себя, к примеру, все правильные треугольные пирамиды — как станет ясно из дальнейшего) и заслуживает отдельного внимания. Определение 51. Тетраэдр, в котором высоты пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим. Существует много условий, равносильных этому определению. Перечислим некоторые из них. 1. Хотя бы одна из высот падает в ортоцентр (точку пересечения высот) грани. 2. Все высоты падают в ортоцентры соответствующих граней. 3. Противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны. 196 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 4. Суммы квадратов длин противоположных рёбер равны. 5. Бимедианы тетраэдра равны (напомним, бимедиана — отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер). 6. Перпендикуляры к граням тетраэдра, восстановленные в их центроидах (точках пересечения медиан) пересекаются в одной точке. Попробуйте доказать как можно больше из приведённых выше свойств. ® 15. Тетраэдр AJBCD называется прямоугольным, если плоские углы при вершине D этого тетраэдра равны 90°. Докажите, что основание Н высоты DH прямоугольного тетраэдра ABCD совпадает с точкой пересечения высот треугольника АВС. 16. (Мехмат МГУ). В треугольной пирамиде ABCD высота, проведённая из вершины D, проходит через точку пересечения высот треугольника АВС. Рёбра DB и DC перпендикулярны, причём DB = b,DC = с. Найдите отношение площадей @ Sdac 17. Докажите, что если Si, S2, S3 — площади боковых граней прямоугольного тетраэдра, примыкающих к вершине, при которой все плоские углы прямые, а S — площадь его основания, то Sj -1- S| 4- S| = S^. 18. В правильном тетраэдре ABCD точка Р совпадает с серединой высоты, опущенной из вершины D. Докажите, что тетраэдр АВСР прямоугольный. 19. По закону отражения падающий и отражённый лучи расположены в одной плоскости с перпендикуляром к плоскости зеркала, восстановленным из точки падения, и образуют с ним равные углы. Докажите, что падающий и отражённый лучи образуют равные углы и с плоскостью зеркала. 20. В пространстве дана прямоугольная система координат OXYZ. Луч I, пересекающий плоскость XOY, зеркально отражается от неё и переходит в луч li. Докажите, что если направляющий вектор прямой I имеет координаты (т; п;р), то направляющий вектор прямой li будет иметь координаты (т: п; —р). § 22. Перпендикуляр и наклонная 197 21. Прямоугольный тетраэдр ABCD имеет прозрачное основание АВС и зеркальные боковые грани. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание АВС под произвольным углом к нему, выйдет, отразившись от граней тетраэдра, в противоположном направлении. 22. Докажите, что если прямая а параллельна плоскости а, то кратчайшее расстояние от этой прямой до всех непараллельных ей прямых плоскости а одно и то же. 23. Дан куб ABCDA\B\C\D\ с ребром а. Найдите расстояние от точки В\ до плоскости A\BD. 24. Из некоторой точки на плоскость опущен перпендикуляр и проведены две наклонные, которые составляют с перпендикуляром углы по 45°, а между собой — угол 60°. Найдите угол между проекциями этих наклонных. 25. (СГУ). Найдите плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды, если этот угол равен углу между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. 26. Угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S равен 60°. Через точку А проведена плоскость, перпендикулярная биссектрисе угла S треугольника BSC. В каком отношении линия пересечения этой плоскости с плоскостью BSC делит площадь грани BSC7 27. (НГУ). Точка М — середина ребра AD единичного куба ABCDA\BiC\D\. Через середину отрезка В\М перпендикулярно к нему проводится плоскость а. Найдите расстояние от центра куба до плоскости а. 28. (СГУ). В сечении прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием плоскостью получается ромб с острым углом 60°. Под каким углом пересекают плоскость сечения боковые рёбра параллелепипеда? 29* Объясните геометрический смысл расстояния от точки до полуплоскости, рассмотрев различные положения точки. © 198 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей §23. Связь МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМОЙ и плоскости Ни один честный и здравомыслящий человек не может усомниться в истинности главных свойств параллельных в том виде, как они были изложены в «Началах» Евклида две тысячи лет назад... Уильям Р. Гамильтон Примеры параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей. Окружающие нас объекты дают нам немало примеров, иллюстрирующих связь между понятиями параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Так, вертикально стоящие (т. е. перпендикулярные горизонтальной поверхности) столбы кажутся нам параллельными. Точно так же, поставив новый столб, параллельный другому, вертикально стоящему, мы увидим, что он тоже будет вертикален. Эти и подобные им факты являются реальным отражением общих утверждений — стереометрических теорем, изучением которых мы и займёмся. 144 145 Параллельность двух перпендикуляров к одной плоскости. Вспомним сначала, какие утверждения, связывающие понятия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, имели место в планиметрии: два перпендикуляра к одной прямой параллельны; прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой, и т. д. Нетрудно показать, что в стереометрии (когда рассматриваемые прямые уже не обязательно лежат в одной плоскости) не все эти утверждения справедливы. Так, например, два перпендикуляра к одной прямой могут быть не параллельны (рис. 182). Однако если рассматривать перпендикуляры не к прямой, а к плоскости, то соответствующее утверждение будет верным. А именно: имеет место следующая теорема, которую можно рассматривать как ещё один признак параллельности прямых в пространстве. Рис. 182 § 23. Связь между параллельностью прямых и плоскостей... 199 Теорема 45 (о параллельности двух перпендикуляров к плоскости). Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. О Пусть прямые 1\ и /г. перпендикулярные плоскости а, пересекают её соответственно в точках 0\ и О2 (рис. 183). Проведём через точку О2 прямую I, параллельную прямой li. Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что прямые I и I2 совпадают. Для этого через точку О2 в плоскости а проведём прямую а, перпендикулярную прямой О1О2. Выбрав на прямой 1\ произвольную отличную от точки Oi точку А, проведём наклонную АО2. Так как отрезок О1О2 является проекцией этой наклонной и перпендикулярен прямой а, то, по теореме о трёх перпендикулярах, АО2 -i- а. Таким образом, прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости /3, проходящей через параллельные прямые 1\ VL I, а значит, и перпендикулярна этой плоскости. Отсюда следует, что I L а. Кроме того, 1\ перпендикулярна прямой О1О2 и / II ^1, т. е. I перпендикулярна прямой 0i02- Отсюда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости I ± а. (Попутно мы доказали и утверждение теоремы 46, сформулированной ниже). Но, как мы уже знаем (см. теорему 41), через точку О2 можно провести лишь единственную прямую, перпендикулярную плоскости а. Это и означает, что прямые 1\ и I2 совпадают, т. е. I2 || /ь • Заметим также, что данное утверждение сразу же следует из того, что любые два нормальных вектора плоскости кол-линеарны (см. с. 179-180). 146 I Доказывая предыдущую теорему, мы заодно доказали и следующую теорему, которую иногда называют обратной к теореме 45. TeopeMia 46 (обратная теореме 45). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна данной плоскости. 200 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей то и другая плоскости. прямая также перпендикулярна этой Другое доказательство теоремы 46, использующее понятие вектора, приведено в качестве упр. 4 в конце параграфа. 147 I Если обе предыдущие теоремы были так или иначе связаны с вопросом о параллельности двух перпендикуляров к плоскости, то теперь мы рассмотрим в некотором роде двойственную задачу о перпендикуляре к двум параллельным плоскостям. Одно из относящихся сюда утверждений, следствие 22, было доказано в § 21. Сформулируем это утверждение в более удобной форме. Теорема 47. Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна данной прямой, то и другая плоскость также перпендикулярна этой прямой. 148 I Признак параллельности плоскостей. Теорема 47 является обратной следующей теореме, которую можно рассматривать как ещё один признак параллельности плоскостей (ср. с теоремой 45). Теорема 48. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны. О Пусть прямая I, перпендикулярная плоскостям а\ и «2» пересекает их соответственно в точках 0\ и О2 (рис. 184). Проведём через прямую I две произвольные пересекающиеся плоскости Yi и 72- Пусть они пересекают плоскости ai и «2 соответственно по пересекающимся прямым а\, 02 и &1, &2- Прямые ai и bi принадлежат соответственно плоскостям ofi и «2 и по условию перпендикулярны прямой I. Кроме того, прямые а^, Ь\ и I принадлежат плоскости 71 и, значит, Oi II Ь\. Аналогично показывается, что 02 || &2- Таким образом, две пересекающиеся прямые плоскости а\ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости «2. откуда по признаку параллельности плоскостей (теорема 22) следует, что а\ || «2- • 149 I Докажем ещё одну теорему, связывающую понятия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. § 23. Связь между параллельностью прямых и плоскостей... 201 Теорема 49. Прямая и плоскость, перпендикулярные данной прямой, параллельны. О Пусть прямая I пересекает данные прямую Ь и плоскость а и перпендикулярна им (рис. 185). Проведём через пересекающиеся прямые Ь и I плоскость /3, которая пересечёт плоскость а по некоторой прямой а. Так как Z ± а, то / ± а. Кроме того, так как I 1 Ь и прямые а, Ь и I лежат в одной плоскости, то а || Ь. Но, по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 18), это и означает, что 5 || ог. # 150 I Теорема 50. Все точки прямой, параллельной плос- кости, находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости. В О Пусть А и В — две произвольные I А точки прямой I, параллельной данной плоскости а (рис. 186). Опустим из этих точек соответственно перпендикуляры АС и BD на плоскость а. Достаточно показать, что АС — BD. Действительно, в силу теоремы 45 прямые АС и BD параллельны Р"®- 1®® и поэтому принадлежат одной плоскости — плоскости /3. Плоскости а и /3 пересекаются по прямой CD, параллельной прямой АВ в соответствии с теоремой 19. 202 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Таким образом, в четырёхугольнике ABCD получаем АС II BD и АВ II CD, т. е. ABCD — параллелограмм (точнее, прямоугольник). Отсюда следует, что АС — BD. • I 151 I Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью. Если прямая параллельна плоскости, то расстояние от произвольной точки этой прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и плоскостью. В силу предыдущей теоремы это расстояние не зависит от выбора точки на прямой. 152 Теорема 51. Все точки данной плоскости находятся на одинаковом расстоянии от параллельной ей плоскости. О Достаточно показать, что равны длины перпендикуляров А\В\ и А2В2, опущенных из двух произвольных точек Ai и А2 данной плоскости а на параллельную ей плоскость (3 (рис. 187). В самом деле, прямые А\В\ и А2В2 параллельны в силу теоремы 45, а в силу теоремы 27 отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны. Отсюда А\В\ = А2В2, что и требовалось доказать. # 153 Расстояние между параллельными плоскостями. Так как точки любой из двух параллельных плоскостей равноудалены от другой плоскости, то естественно назвать расстояние от произвольной точки одной из этих плоскостей до другой плоскости расстоянием между данными плоскостями. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, перпендикулярных одной плоскости. 2. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна данной плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. 3. Сформулируйте и докажите теорему о двух плоскостях, перпендикулярных одной прямой. § 23. Связь между параллельностью прямых и плоскостей... 203 4. Докажите, что если одна из двух перпендикулярных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая прямая параллельна этой плоскости. УПРАЖНЕНИЯ 1. Приведите пример утверждения, верного для прямых на плоскости, но неверного для прямых, рассматриваемых в пространстве. Можете ли вы привести другие подобные примеры? 2. Могут ли: а) две пересекающиеся плоскости быть перпендикулярными одной прямой; б) две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными одной плоскости; в) существовать две плоскости, одна из которых перпендикулярна, а другая параллельна данной прямой? 3. Докажите, что две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда параллельны перпендикуляры к этим плоскостям. 4. Докажите при помощи векторов, что если из двух па- раллельных прямых одна перпендикулярна плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна этой плоскости. ® 5. Докажите с использованием векторов следующие теоремы: а) о двух перпендикулярах к плоскости; б) о перпендикуляре к двум параллельным плоскостям. 6. Расстояние между параллельными плоскостями равно а. Отрезок длины Ь упирается своими концами в обе плоскости. Докажите, что проекции отрезка на обе плоскости равны, и найдите длину проекции. 7. Отрезок длиной 13 см пересекает плоскость. Найдите длину отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на плоскость, если длины перпендикуляров равны 7 см и 5 см. 8. Концы балки удалены от земли на расстоянии 2 м и 4 м. Найдите расстояние до земли от середины балки. 9. Дан куб ABCDAiBiCiDi. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середину М ребра АВ и перпендикулярной прямой А\В. 204 Глава IV. Перпендикулярность прямых я плоскостей 10. Найдите расстояние от центра грани CCiBiB куба ABCDAiBiCiDi до плоскости A\BD, если известно, что ребро куба равно а. 11. Диагональ АС\ параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ равна d и образует с плоскостью B\CD\ угол, равный 30°, точка М совпадает с серединой отрезка А\С\. Найдите расстояние от точки М до плоскости A\BD. 12. Вершины А, В и С треугольника АВС находятся на расстоянии 3 см, 7 см и 5 см соответственно от плоскости а и расположены по одну сторону от этой плоскости. На каком расстоянии от плоскости а находится центроид этого треугольника? 13. а) вершины А, В и С треугольника АВС находятся на расстояниях а, Ь и с от плоскости а и расположены по одну сторону от этой плоскости. Докажите, что расстояние от центроида этого треугольника до плоскости а равно ^ а+Ь+с, 3 *б) как следует изменить формулировку п. (а), если вершины исходного треугольника могут быть расположены как по одну, так и по другую сторону плоскости а? 14. Существуют ли в пространстве четыре попарно перпендикулярные скрещивающиеся прямые? § 24. Двугранный угол. Угол МЕЖДУ плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей Геометрия есть познание всего сущего. Платон 154 Двугранный угол. Угол на плоскости определяется двумя лучами, исходящими из одной точки. Простейший из углов, изучаемых в стереометрии — двугранный угол — является пространственным аналогом угла на плоскости. Определение 52. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, имеющими общую граничную прямую (рис. 188). Эти полуплоскости называются гранями, а их общая прямая — ребром двугранного угла. § 24. Двугранный угол 205 Иногда двугранным углом называют и часть пространства, ограниченную гранями двугранного угла. Заметим, что грани двугранного угла разбивают пространство на две части. Мы будем рассматривать лишь выпуклую часть. (Напомним, что множество называют выпуклым, если все отрезки с концами в точках, принадлежащих множеству, также ему принадлежат.) Наглядное представление о двугранных углах дают окружающие нас предметы: раскрытая книга, две пересекающиеся стены комнаты, двускатные крыши домов и т. д. Двугранный угол обозначают в соответствии с обозначениями его граней и ребра. Например, двугранный угол на рис. 188 обозначается так: аф или Z{1), или Z(a,/3). 155 Линейный угол двугранного угла. Для измерения двугранных углов пользуются следующим построением. Через произвольную точку ребра I данного двугранного угла проводят плоскость, перпендикулярную I. При пересечении этой плоскости с гранями двугранного угла образуется угол, называемый линейным углом двугранного угла (рис. 189). 1 V 1 X Of ,3 Рис. 189 Рис. 190 Очевидно, что данному двугранному углу соответствует бесконечное множество линейных углов (например, углы АО В и А'О'В' на рис. 190). Но все эти углы равны между собой как углы с сонаправленными сторонами (так, на рис. 190 лучи ОВ и О'В', принадлежащие грани (5, перпендикулярны 206 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей прямой I и, следовательно, сонаправлены: аналогично показывается, что лучи ОА и О'А' также сонаправлены). Поэтому естественно измерять двугранный угол с помощью любого его линейного угла. Определение 53. Величиной двугранного угла называется величина любого его линейного угла. Двугранный угол называется острым, прямым или тупым, если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой. Итак, согласно определению, двугранный угол изменяется в пределах от 0° до 180°. Два данных двугранных угла называются равными, если равны их величины. Нетрудно показать, что равные двугранные углы можно совместить друг с другом так, что они совпадут. 156 Биссекторная полуплоскость. Полуплоскость, проходящая через ребро двугранного угла и биссектрису его линейного угла, называется биссекторной (рис. 191). Легко можно убедиться в том, что биссекторная полуплоскость разбивает двугранный угол на два одинаковых и является геометрическим местом точек, расположенных внутри двугранного угла и равноудалённых от его сторон. При этом, если величина двугранного угла равна у, то биссекторная полуплоскость образует с его сторонами углы | (см. упр. 3). 157 I Угол между двумя плоскостями. Любые две пересе- кающиеся плоскости образуют четыре двугранных (рис. 192), § 24. Двугранный угол 207 образующие две пары равных двугранных углов. Величина наименьшего из этих двугранных углов называется углом между данными плоскостями. Обозначение: (а,/3). Таким образом, угол между данными пересекающимися плоскостями а и /3 можно найти следующим образом (рис. 193): через произвольную точку О линии пересечения этих плоскостей — прямой I — провести плоскость у, перпендикулярную I. Пусть прямые а и Ь — линии пересечения плоскости Y соответственно с плоскостями а и (3. Тогда угол между пересекающимися прямыми а и Ь и будет углом между плоскостями а и j3: (а,Ь) = (а,/3). Из определения следует, что угол между плоскостями не превосходит 90°. 158 Угол между двумя плоскостями в координатах. Справедливо следующее утверждение: Пусть в некоторой прямоугольной системе координат уравнение плоскости «1 имеет вид А\х + В\у -1- C\z -Ь Di = 0, а плоскости «2 — вид Агх + ВгУ + С22 + D2 = 0. Тогда угол (р = (ai, «2) между данными плоскостями может быть вычислен с помощью формулы [A\Az + В1В2 -Ь C1C2I_ COS (р \/А^ + B'j + С'^ ■ \/А| + В^ + С1 208 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Д Обратите внимание на то, что угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям (см. упр. 8). Поскольку вектор п i = (Ai,Bi,Ci) перпендикулярен плоскости £Zi, а вектор П2 — (А2,В2,С2) перпендикулярен плоско- |р,.й)| сти «2 (см. п. 133), получим, что cos(p — -- 1-4Г'' Осталось Л1 • Л2 ТОЛЬКО применить формулу, приведённую в п. 119. Модуль в числителе появился из-ая того, что нужно учитывать два (возможно, противоположных) направления нормального вектора. А Задача 20. Дан правильный треугольник АВС со стороной а. К плоскости этого треугольника восстановили перпендикуляры в его вершинах и отметили на них точки Ai, С\ (расположенные по одну сторону от плоскости треугольника), так что AAi = - ,ВВ\ = a,CCi — Найдите угол между плоскостями АВС и AiB\C\. Л Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 194,а. Понятно, что в этой системе координат уравнением плоскости АВС будет 2 = о, т. е. п\ = (0,0,1). Кроме того, а v/3 О, 0,^i 2 Bi = (a,0,a), Cl = v/3 а, - a 2 ' 2 2 поскольку, например, C„ = a cos 30° = — a (рис. 194,6). 2 Теперь нужно написать уравнение плоскости АiBiCi. Положим Z) = 1 и, подставив координаты точек в уравнение плоскости, получим простую систему: |С + 1 = 0, clA -|- пС Ч- 1 — о, %A + a^B + alc + l из которой найдём, что А 7^2- (1,\/3,-2) в = 0, а ’ — — т. е. а § 24. Двугранный угол 209 Рис. 194 И теперь, воспользовавшись формулой нахождения угла между плоскостями, имеем: |-2| COS (р — Ещё заметим, что с самого начала решения мы могли положить а = 1, так как из соображений подобия ясно, что угол между плоскостями в этой задаче не зависит от длины стороны правильного треугольника. А 159 Перпендикулярные плоскости. Определение 54. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними — прямой. Обозначение: а J. /3. Очевидно, что если две плоскости перпендикулярны, то все четыре двугранных угла, образованные этими плоскостями, — прямые. I 160 I Признак перпендикулярности плоскостей. Рассмотрим условия перпендикулярности двух плоскостей. Теорема 52 (признак перпендикулярности двух плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую. 210 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. О Пусть плоскость /3 проходит через прямую Ь, перпендикулярную плоскости а и пересекающую её в точке О (рис. 195). По определению прямая Ь перпендикулярна любой прямой плоскости а, пересекающей её. Поэтому Ь ± I, где I — линия пересечения плоскостей а и /3. Если теперь провести в плоскости а прямую а, проходящую через точку О и перпендикулярную прямой I, то снова получим Ь ± а. Таким образом, прямые а и Ь, принадлежащие плоскости, перпендикулярной ребру I двугранного угла, образованного плоскостями а и /3, взаимно перпендикулярны. Но это и означает, что (а,]3) = 90°, т. е. плоскости а и J3 перпендикулярны. # 161 I Достаточное условие перпендикулярности двух плос- костей, сформулированное в признаке перпендикулярности двух плоскостей, является и необходимым, что подтверждается следующей теоремой. Теорема 53. Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, проведённая в одной плоскости перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей, перпендикулярна другой плоскости. О Пусть взаимно перпендикулярные плоскости а и /3 пересекаются по прямой I (рис. 196). Через произвольную точку О прямой проведём прямую Ь в плоскости /3 и прямую а в плоскости а, перпендикулярные прямой I. Так как а ± [5, то угол между прямыми а и Ь также прямой. §24. Двугранный угол 211 Таким образом, Ь ± а и Ь ± I, что в соответствии с признаком перпендикулярности прямой и плоскости означает Ь L а. Ф 162 Следствие 24. Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна каждой из этих плоскостей. О Доказательство вытекает из признака перпендикулярности двух плоскостей. # 163 Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Дадим определение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых и расстояния между скрещивающимися прямыми. Пусть а и Ь — две скрещивающиеся прямые. Отрезок АВ прямой I, перпендикулярной обеим скрещивающимся прямым, с концами на этих прямых называется общим перпендикуляром данных скрещивающихся прямых (рис. 197). Длина этого перпендикуляра называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. 164 I Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых. Покажем, что общий перпендикуляр скрещивающихся прямых существует и единствен. Проведём через скрещивающиеся прямые а и Ь параллельные плоскости а и /3 (рис. 198), а через прямую а — плоскость у, перпендикулярную плоскости /3. Плоскость у пересечёт прямую Ь в точке Б. Опустим из точки В перпендикуляр ВА к прямой а. Тогда по теореме 53 прямая ВА перпендикулярна плоскости а, а, следовательно, и параллельной ей плоскости /3, поэтому ВА 1 Ь. 212 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Таким образом, прямая ВА является общим перпендикуляром прямых а и Ь. Эта прямая определяется однозначно, так как плоскость у пересекает прямую Ь в единственной точке Б, а из данной точки в данной плоскости на данную прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Заметим также, что длина перпендикуляра ВА равна расстоянию между плоскостями а и /3, поэтому, для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, достаточно определить расстояние между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Задача 21. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба с ребром а. Д Рассмотрим плоскости BDA\ и CBiD^ (рис. 199). Они параллельны по признаку параллельности плоскостей, так как пары прямых DA\, СВ\ и BD, B\D\ соответственно параллельны (и будут параллельны не только в кубе, но даже и в произвольном параллелепипеде). Кроме того, диагональ ACi перпендикулярна этим плоскостям. Действительно, по теореме о трёх перпендикулярах, ACi _L BD (проекция на плоскость ABCD) и АС\ J. A\D (проекция на AA\D\D) — и тогда АС\ ± A\BD по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Поскольку плоскости параллельны, также АСх ± CBxD. Наконец, вспомним (упр. 14 из § 19), что указанные плоскости делят диагональ параллелепипеда на три равные части, а диагональ куба равна d = ч/За^ = о\/3. Стало быть. р{ВАх,СВх) = РР\^ а Уз’ где Р W. Р\ — точки пересечения диагонали АСх с плоскостями BDA\ и CBxDx соответственно. Приведём здесь не связанное с векторами доказательство того, что в наклонном параллелепипеде плоскости BDAx и CBxDx делят его диагональ ACi на три равные части. В самом деле, плоскость BDAx пересекает плоскость АА\СхС по прямой А]0 (где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, а значит, их середина). Аналогично, плоскость CBxDx пересекает плоскость ААхС\С по прямой СОх (где Ох — точка пересечения диагоналей параллелограмма AxBxCxDx, а значит, их середина). § 24. Двугранный угол 213 Di Наконец, рассмотрим параллелограмм AAiCiC. Треугольник АА\0 совпадает с треугольником С\СО\ (по двум сторонам и углу), следовательно, AiOCOi — параллелограмм, и потому ОА\ II 0\С. Значит, отрезок ОР — средняя линия треугольника АСР\, а 0\Pi — средняя линия треугольника С\А\Р (рис. 201). И потому АР = PPi — С\Р\. А Однако строить параллельные плоскости не всегда удобно в задачах на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Довольно часто помогает следующее утверждение. Пусть и ^2 — скрещивающиеся прямые, причём 1\ перпендикулярна плоскости а и пересекает её в точке О, а 1'2 — проекция I2 на ос (рис. 202). Тогда расстояние между 1\ и 1‘2 равно длине перпендикуляра, опущенного из точки О на проекцию /2- p(h,h) = OH. 214 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Di Действительно, с заданной парой скрещивающихся прямых всегда можно связать некоторый прямоугольный параллелепипед, такой, что одна прямая совпадает с ребром параллелепипеда, перпендикулярным боковой грани и лежащим в плоскости нижнего основания, а вторая располагается в плоскости верхнего основания (рис. 203). Тогда проекцией второй прямой на боковую грань будет ребро BiCi, проекцией первой — точка В, и искомое расстояние равно длине ребра ВВ\ — расстоянию между параллельными основаниями параллелепипеда, содержащими скрещивающиеся прямые. Покажем, как действует этот метод, разобрав такую задачу. Задача 22. ABCD — правильный тетраэдр с ребром а, Dq — середина ребра ВС, а Со — середина ребра АВ. Найдите расстояние между прямыми ССо и DDq (рис. 204). Л Пусть Z>i — основание высоты, опущенной из вершины D, и, значит — центр правильного треугольника АВС. Из точки Со восстановим перпендикуляр h' к плоскости основания, т.е. проведём через эту точку прямую, параллельную DD\. Затем рассмотрим плоскость а, проходящую через этот перпендикуляр и ребро АВ. Очевидно, что эта плоскость будет перпендикулярна прямой ССо, поскольку ССо -L ^413, ССо J- h'. Ясно также, что при ортогональной проекции на плоскость а Dq переходит в точку — середину отрезка CqB, а точка D переходит в такую точку D' на перпендикуляре h', что CqD' = DDi = h. § 24. Двугрешный угол 215 Согласно только что сформулированному утверждению, искомое расстояние есть высота CqH в прямоугольном треугольнике D'qCqD'. Катеты этого прямоугольного треугольника легко находятся: CoD'o = I, CoD' = DDi = h = yJcD^ - CD\ = ^ = y/|a (мы воспользовались тем, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной а, равен v3 а также применили теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику DD\C). Искомое расстояние определим теперь, двумя различными способами вычислив площадь треугольника DqCqD'. С одной стороны, Sa = - CqD' ■ CqD'q = - ./? • ^, с другой 2 2 V 3 4 стороны, Sa = - CqH ■ D'D'q. Но D'D'q = ^CqD'^ + CqD'^ = 3 16 V 3 4 Приравняв теперь оба выражения, получим ответ: p(CCo,DDo) = СоН = 216 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 165 Расстояние между скрещивающимися прямыми в координатах. Если в некоторой прямоугольной системе координат известны координаты направляющих векторов —У —У скрещивающихся прямых 1\ и I2, а также координаты точек Ai € h, А2 € I2, то расстояние между этими прямыми можно найти, действуя следующим образом (рис. 205): Пусть N1N2 — общий перпендикуляр. Тогда по правилу многоугольника, N\Ai + А1А2 + A2N2 + N2N1 = 0 => N\N2 = -Ь А1А2 + A2N2. Но из коллинеарности соответствующих векторов следует существование таких чисел р, q, что N\A\ — р • h, A2N2 = 9 • /2» т. е. N1N2 = pli + А\А2 + q 12- Но N1N2 -L h , N1N2 -L ^2. поэтому возникают два нулевых скалярных произведения: {NiN2,h) = 0, (NiN2,h) = 0- Подставим в последние два равенства выражение для N1N3 и преобразуем скалярные произведения. Тогда для определения р, q получаем линейную систему из двух уравнений с двумя неизвестными: ^/1, /2) = [li,A2A-^-, p[l\, + 9 {l2^2^ = {iz^A2A^. Bee скалярные произведения здесь вычисляются как сумма произведений соответствующих координат (см. теорему 38). Вычислив значения р, о, найдём и координаты N\N2, ведь > ^ -—-> -А N1N2 = р1\ + А1А2 + qh‘ А зная координаты вектора, по формуле, приведённой в следствии 21, найдём и его длину. Посмотрим, как эта теория действует на практике. Задача 23. В кубе ABCDA\B\C\D\ с ребром длиною а точка Р является серединой ребра ВВ\. Найдите расстояние между прямыми АВ\ и СР. Л Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А, как показано на рис. 206. Тогда, очевидно, 1\ = § 24. Двугранный угол 217 = Ав\ = (а, О, а), J2 = ^ - а, О - а, | - 0^ = ^0, -а, и A2Ai — cA — (—a, —а, 0). Имеем 1 +?( 'tut) = {h .АзаЛ, { м ' V— уР[h,h )+Я [км) = (/2,A2AiJ, ( 2а^р + -~а\ \2p+\q^-l 4 ^ 2 ^ Последняя система легко решается, 7 10 и мы находим р = —, Q = — • Значит, 9 9 -)■ N1N2 — N1A1 +A\A2+A2N2 = = - ^(а,0,а)+(а,а,0) + + 10 . 2 ^ 1 ^ 2 = -а, — - Оу---- *9 9 9 Рис. 206 И, окончательно. N1N2 а у/2^ + 1^ + (-2)^ _ а 9 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Как определяется угол между двумя пересекающимися плоскостями? 2. Дайте определение перпендикулярности плоскостей. 3. Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности двух плоскостей. 4. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии перпендикулярности двух плоскостей. УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите с помощью векторов, что значение угла между плоскостями не зависит от выбора точки, указанной в определении этого угла. 218 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 2. Докажите независимость угла между плоскостями аир от выбора точки на линии I их пересечения, используя следующее построение: из двух произвольных точек А\ и А2 на прямой I проведите к ней равные по длине перпендикуляры AiB\ и А2В2 в плоскости а, после чего из точек В\ и Вз опустите перпендикуляры В\С\ и В2С2 на плоскость (5 и рассмотрите полученные прямоугольные треугольники А\В\С\ и А2В2С2. 3. Докажите, что биссекторная полуплоскость разбивает двугранный угол на два одинаковых и является геометрическим местом точек, расположенных внутри двугран ного угла и равноудалённых от его сторон. При этом, если величина двугранного угла равна (р, то биссекторная полуплоскость образует с его сторонами углы 4. Как через данную точку пространства провести три попарно перпендикулярные плоскости? 5. Через данную точку проведите плоскость, перпендикулярную данной плоскости, 6. Постройте: а) плоскость, проходящую через данную прямую и перпендикулярную данной плоскости; б) плоскость, пересекающую под данным углом данную плоскость. 7. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости. 8. Докажите, что угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям. 9. Всегда ли верно, что: а) две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны; б) прямая и плоскость параллельны, если они перпендикулярны другой плоскости? 10. Докажите, что все прямые, перпендикулярные данной плоскости и пересекающие данную прямую этой плоскости, заполняют плоскость, перпендикулярную данной. 11. Концы балки закреплены на стене и потолке, причём расстояния от концов балки до линии пересечения потолка и стены соответственно равны 30 см и 40 см. Найдите § 24. Двугранный угол 219 длину балки, если длина её проекции на линию пересечения потолка и стены равна 120 см. 12. Докажите, что прямая пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости, перпендикулярна этой плоскости. 13. Найдите угол между гранями правильного тетраэдра. 14. Найдите угол между боковой гранью и основанием правильной четырёхугольной пирамиды, если известно, что площадь боковой грани этой пирамиды в два раза меньше площади основания. (Пирамида называется правильной, если в основании её лежит правильный многоугольник, а основание высоты пира.миды совпадает с центром этого многоугольника). 15. а) докажите, что если в некоторой пирамиде двугранные углы при основании равны, то в основание можно вписать окружность, причём высота падает в её центр; *б) как изменится формулировка предыдущего утверждения, если фразу «двугранные углы при основании равны» заменить фразой «плоскости боковых граней образуют с плоскостью основания одинаковые углы»? *в) в треугольной пирамиде ABCD заданы рёбра а = ВС = — Ь, Ь — СА — с = АВ — 1 тл высота h — DDi = = 1. Известно, что плоскости боковых граней образуют с основанием АВС один и тот же угол. Какие значения он может принимать?® 16. Дан куб ABCDA\B\CiD\ (рис. 207). Найдите угол между плоскостями: а) ACCiAi и DBB\Di, б) ABC\D\ и ABCD, в) BCiD и ABCD, г) ABCiDi и BCiD. 17. Найдите расстояние между противоположными рёбрами правильного тетраэдра, ребро которого равно а. В прямоугольном тетраэдре ABCD и AD В = Z.ADC = ZBDC = 90°) известны длины боковых рёбер: AD — а, BD = а, CD = с. Найдите расстояние между каждыми двумя противоположными рёбрами этого тетра.эдра. С, 18 D В Рис. 207 220 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 19. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба, ребро которого равно а. Мы уже разобрали это упражнение (см. задачу 21 в п. 164), построив параллельные плоскости, проходящие через указанные прямые. Теперь решите её методом проектирования и методом координат. 20. Постройте общий перпендикуляр скрещивающихся диагоналей смежных граней куба. 21. Дан куб с ребром а. Постройте общий перпендикуляр диагонали куба и скрещивающейся с ней диагонали грани куба и найдите расстояние между этими прямыми. 22. В параллелепипеде ABCDAiBiC\D\ диагональ ACi длины d наклонена к плоскости BDAi под углом 45°. Найдите расстояние между прямыми А\В и В\С. 23. * Дан куб ABCDA\B\C\D\, ребро которого равно а. Най- дите расстояние между прямыми BD и DiP, где Р — середина ребра CD, и постройте общий перпендикуляр этих прямых. ® 24. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ лежит квадрат со стороной а, длины боковых рёбер равны 2а. Найдите расстояние между прямыми АС и D\B. 25. Дана правильная четырёхугольная пирамида ABCDM с вершиной М, в которой высота равна стороне основания. Найдите расстояние между прямыми АВ и СМ и постройте общий перпендикуляр этих прямых. 26. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите угол наклона боковой грани к основанию. 27. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам. Определите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна а, а высота пирамиды равна Н. 28. Найдите плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды, если: а) двугранный угол при основании равен а; б) двугранный угол при боковом ребре равен а. § 24. Двугранный угол 221 29. Через вершину С основания правильной треугольной пирамиды SABC проведена плоскость перпендикулярно боковому ребру S>1. Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол, косинус которого равен Определите 3 косинус угла между боковыми гранями пирамиды. 30. В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а. Найдите двугранный угол при боковом ребре. 31. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды. 32. (СГУ). Через диагональ АС квадрата, лежащего в основании прямого параллелепипеда, и вершину другого основания параллелепипеда проведена плоскость так, что в сечении получился треугольник АВ\С с углом при вершине Bi в два раза большим, чем угол между плоскостью сечения и основанием параллелепипеда. Найдите угол ABiC. 33. Через диагональ куба с ребром а проведена плоскость так, что полученное сечение имеет наименьшую сумму квадратов сторон. Найдите угол между плоскостью сечения и основанием куба, а также площадь сечения. 34. (МПГУ). Основанием пирамиды SABC служит прямоугольный треугольник ASC с прямым углом В и углом А, равным а. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите угол между плоскостями SAC и SBC. 35. (МИЭМ). Правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания, равной а, и двугранным углом при основании, равным 2а, пересечена плоскостью, делящей пополам двугранный угол при основании. Найдите площадь сечения. 36. (МПГУ). Дан куб ABCDA\BiCiDi. Найдите угол между плоскостью DD\C\ и плоскостью, проведённой через АС и середину ребра Ai£>i. 37. * (МИЭМ). Одна из сторон равностороннего треугольника образует с некоторой плоскостью д угол а, а другая — с той же плоскостью угол /3. Найдите угол между плоскостью треугольника и плоскостью к. <*> 222 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 38. * (МФТИ). На сторонах ВС и AD правильной четы- рёхугольной пирамиды SABCD (S — вершина) взяты точки Р и Q. Сечения пирамиды SABCD двумя взаимно перпендикулярными плоскостями а и /3, проходящими через прямую PQ, — трапеции с равными основаниями. Грань SAB образует угол - с пересекающей её плос- 4 костью сечения, а угол между гранями SAB и ABCD равен arctg2. Найдите площади сечений пирамиды плоскостями а и /3, если PQ = 13. 39. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна а, а плоский угол при вершине S равен а. Определите расстояние между скрещивающимися рёбрами этой пирамиды. 40. (НГУ). Дан куб с основанием ABCD и боковыми рёбрами AAi, ВВ\, СС\ и DD\. Длины всех рёбер куба равны единице. Точки М и N — середины CD и CCi соответственно. Найдите расстояние между прямыми AN и ВМ. 41. * (Мехмат МГУ). На прямой р в пространстве последова- тельно расположены точки А, В и С такие, что АВ = 27 и ВС = 18. Найдите расстояние между прямыми р к q, если расстояния от точек А, В и С до прямой q равны 17, 10 и 8 соответственно. 42. Через диагональ куба с ребром а проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения, если известно, что она имеет наименьшее возможное значение. 43. * Дан куб ABCDAiBiCiDi с ребром а. Прямая I проходит через вершину D\ и центр грани ВСС\В\. Найдите длину наименьшего отрезка, середина которого находится на прямой I, а концы — в плоскостях ABCD и ВСС\В\. § 25. Ортогональное проектирование 223 § 25. Ортогональное проектирование с ранних лет человек рисует на ... «плоскостях», чтобы дать впечатление о пространстве, глубине и объеме. .. М. Эшер 166 Ортогональная проекция. В главе II этого пособия мы изучили свойства параллельного проектирования. Наиболее важным частным случаем параллельного проектирования является ортогональное проектирование, т. е. проектирование вдоль прямой, перпендикулярной плоскости проекции. Таким образом, ортогональной проекцией (или просто проекцией) точки М на заданную плоскость а — плоскость проекции — называется основание Mq перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость а (рис. 208). Далее иногда для краткости будем говорить «проекция» вместо «ортогональная проекция» . Рис. 208 Определение 55. Ортогональной проекцией какой-либо фигуры на плоскость а называется фигура на этой плоскости, образованная проекциями всех точек исходной фигуры. I 167 I Свойства ортогональной проекции. Поскольку ортогональное проектирование является частным случаем параллельного, то для него сохраняются все свойства параллельного проектирования. Напомним эти свойства, предполагая, что рассматриваемые в них отрезки и прямые не перпендикулярны плоскости проекции (доказательства этих утверждений приведены в § 16): 1. Проекцией фигуры, лежащей на плоскости проекции, является сама эта фигура. 2. Проекцией прямой (отрезка) является прямая (отрезок). 3. Проекцией параллельных прямых (отрезков) являются параллельные прямые (отрезки). 4. Отношение длин параллельных отрезков равно отношению длин их проекций. 224 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 168 Площадь ортогональной проекции. Выясним, как связана площадь ортогональной проекции плоской фигуры с площадью самой фигуры. Теорема 54. Площадь ортогональной проекции треугольника равна площади этого треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью проекции: Snp = S cos (f>. О Возможны два случая: а) по крайней мере одна из сторон проектируемого треугольника АВС параллельна плоскости проекции; б) ни одна из сторон треугольника АВС не параллельна плоскости проекции. В случае (а) можно считать, что плоскость проекции проходит через сторону ВС треугольника АВС (рис. 209, а). Тогда проекцией треугольника АВС на плоскость а будет треугольник А\ВС. Проведём в треугольнике А\ВС высоту A\D и соединим точки А и Z). По теореме о трёх перпендикулярах AD 1 ВС, так как A\D 1 ВС по построению. Таким образом, угол ADAi является линейным углом двугранного угла между плоскостями АВС и AiBC. Из прямоугольного треугольника ADA\\ AD\ = = AD cos (р, поэтому S„p = S^^bc — - ВС ■ AD cos (p = S^\ABC cos

Таким образом, окончательный ответ запишется в виде: S = ,0° < < 45°, cos fp sm fp ,45° ^ < 90°. В граничном случае (рис. 212), когда ср = 45° (сечение проходит через ребро CiDi), обе формулы дают правильный ответ. А Теорема о площади ортогональной проекции позволяет во многих задачах быстро находить угол между плоскостями. Задача 25. ABCDA\B\C\D\ — правильная усечённая четырёхугольная пирамида (полученная из правильной четырёхугольной пирамиды EABCD отсечением «верхушки» плоскостью А] В] CiZl], параллельной основанию). Известно, что пло- §25. Ортогональное проектирование 227 щадь сечения, проходящего через противоположные рёбра оснований АВ и CiDi, равна Si, а площадь сечения, проходящего через противоположные диагонали оснований АС и AiCi, равна S2. Найдите угол между плоскостями сечений (рис. 213). Л Очевидно, что сечениями являются две равнобокие трапеции. Пусть (р — искомый угол. Ортогонально спроектируем первое сечение на плоскость второго. Ясно, что точки А и Cl останутся на месте, но В —> О (середину диагонали АС) поскольку ВО J. АС (диагонали квадрата) и ВО 1 OOi (высота пирамиды перпендикулярна плоскостям оснований). Из тех же соображений, D\ —> О1 (середину диагонали AiCi, рис. 214). Однако в любой трапеции ACCiAi (АС || AiCi), не обязательно равнобокой, площадь четырёхугольника AOCiOi составляет ровно половину её площади, если О, Oi — середины соответствующих оснований. И в самом деле, AOCiOi—также трапеция с той же высотой Л, что и у исходной трапеции. Поэтому SaoCiOi = |(AO-bOiCi)/i = I -l-AiCi)/ij = | cos а! = cos а, cos /3' = = — cos j3, cos у = - cos у. Система теперь будет содержать два равенства с «минусами» : SbcDi = Sa ■ cos а, ScDiA — -Sb ■ COS/3, -Sad,в = -Sc- cos y, SbcDi — - COS a, -ScDiA — Sb ■ cos/3, -SaDiB - Sc ■ cos y. Сложив, опять же получим S = За cos а -f Sb cos /3 4- Sc cos y. Трёх тупых двугранных углов быть не может (см. замечание к решению упр. 15,6 из § 24). Если бы среди двугранных углов были прямые, то высота пирамиды падала на сторону основания или её продолжение, и все проделанные нами рассуждения остаются в силе. А Только что полученный результат позволяет привести красивое и короткое доказательство свойства прямоугольного тетраэдра (уже сформулированное нами в упр. 17, § 22, иногда называемое пространственной теоремой Пифагора). Задача 27 (прямоугольный тетраэдр). Пусть имеется некоторый прямоугольный тетраэдр ABCD, в котором плоские углы при вершине D — прямые. Введём следующие обозначения для площадей граней, двугранных углов при основании АВС 9-1175 230 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей и углов, образованных боковыми рёбрами с основанием: Sa = Sbcd, ol = (BCD^C), o' = (AD^C\ Sb = Sacd, P = {ACD^C), Sc = Sabd, Y = (ABD^C), / = (CD^C) и S = Sabc- Тогда справедливы утверждения: 1. Прямоугольный тетраэдр является ортоцентрическим (см. упр. 12, и 14 из § 22). 2. В основании прямоугольного тетраэдра ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D лежит остроугольный треугольник АВС. 3. (пространственная теорема Пифагора). 4. cos^ а + cos^ /3 + cos^ 7=1- 5. sin^ o' + sin^ /3' + sin^ / = 1 Л 1. в прямоугольном тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно перпендикулярны, поскольку, например, AD ± BD, AD 1 CD (условие)^ AD L BDC (признак перпендикулярности прямой и плоскости)=> AD 1 ВС и т. д. Значит, согласно упр. 14 из § 22, тетраэдр ортоцентрический и его высота DD\ падает в ортоцентр (точку пересечения высот) основания АВС. 2. По следствию из теоремы косинусов, вид угла А в произвольном треугольнике АВС определяется знаком выражения ВС^ -f — АВ^\ если оно больше нуля, то угол будет острым, в случае равенства нулю — прямым, и тупым, если выражение отрицательно. Но в случае прямоугольного тетраэдра, трижды применив теорему Пифагора, получим: ВС^ -f СА^ - АВ^ = = (DC^+DB^)+{DC^ + DA^)-{DA^ + DB^) = 2DC^ > 0. Значит, угол А — острый. Аналогично доказывается, что и два других угла при основании также являются острыми. 3. Согласно задаче 26, S = За cos а+Зв cos ^+3с cos у. Кроме того, из только что разобранных пп. 1 и 2 следует, что § 25. Ортогональное проектирование 231 D все двугранные углы при основании прямоугольного тетраэдра являются острыми, т. е. совпадают с соответствующими углами между плоскостями. Рассмотрим теперь ортогональные проекции основания на боковые грани (вот неожиданный ход и ключевая идея доказательства, рис. 218). Поскольку боковые рёбра перпендикулярны соответствующим боковым граням, то всякий раз основание будет переходить в соответствующую грань; к примеру, при проекции на ВВС получаем АВС ABD. Теорема о площади ортогональной проекции даёт такие равенства: (cos а — cos(3 — - --Sc s ■ cos Y = Итак, S — Sa cos a + Sb cos ^ + Sc cos + ^ + = sl + s% + S^. 4. Используя результаты предыдущего пункта, имеем: cos^ а + cos^ j3 + cos^ = %^ + ^ + % = l- 5. Согласно n. 1, высота DD\ падает в ортоцентр ABC, и потому AZ>i 1 ВС. Значит, если Da — точка пересечения АВ\, ВС, то, по теореме о трёх перпендикулярах, DDa -L ВС, и тогда а = /.DDaA. Наконец, ZADDa = 90° (так как AD ± ВВС) => cf' = 90° - а. 232 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Отсюда sin а' — cos а и осталось только воспользоваться предыдущим пунктом. А 169 Площадь параллельной проекции. Из формулы для площади проекции фигуры при ортогональном проектировании следует, что при ортогональном проектировании площадь проекции фигуры не превосходит площади самой фигуры. Легко видеть, что при параллельном (не ортогональном) проектировании это свойство не сохраняется. В самом деле, пусть плоскость проекции а проходит через сторону АВ треугольника АВС (рис. 219). Тогда, если направление проектирования становится почти параллельным плоскости а (т. е. угол между этим направлением и плоскостью а сколь угодно мал), то площадь проекции треугольника АВС на плоскость а становится сколь угодно большой, в жизни такая ситуация встречается при заходе солнца, когда тени резко удлиняются. Это явление поэтически описал Ф. Тютчев: Песок сыпучий по колени... Мы едем — поздно — меркнет день, И сосен, по дороге, тени Уже в одну слилися тень. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Дайте определение ортогональной проекции точки. 2. Что называется ортогональной проекцией фигуры? 3. Сформулируйте основные свойства ортогональной проекции. УПРАЖНЕНИЯ 1. Верно ли, что ортогональной проекцией прямоугольного треугольника является прямоугольный треугольник? 2. Может ли площадь проектируемой фигуры быть больше площади параллельной проекции этой фигуры? Меньше этой площади? 3. Как зависит площадь ортогональной проекции фигуры от площади самой этой фигуры? § 25. Ортогональное проектирование 233 4. В каком случае площадь фигуры равна площади ортогональной проекции этой фигуры? 5. Приведите пример фигуры в пространстве, ортогональными проекциями которой на две взаимно перпендикулярные плоскости являются круги одинакового радиуса. 6. * Известно, что ортогональной проекцией некоторого тела при ортогональном проектировании на две различные плоскости являются круги. Докажите, что радиусы обоих кругов совпадают. ® 7. Отрезок длины I находится на прямой, образующей с некоторой плоскостью угол <р. Найдите длину ортогональной проекции данного отрезка на эту плоскость. 8. Найдите угол между гранями правильного тетраэдра. (Это — упр. 13 из § 24. Теперь решите его с помощью задачи 26, разобранной в этом параграфе). 9. Дан правильный треугольник АВС со стороной а. К плоскости этого треугольника восстановили перпендикуляры в его вершинах и отметили на них точки Ai, Bi, Сi (расположенные по одну сторону от плоскости треугольника), а DD _ „ /О/-, — ^ а. Найдите угол так что AAi = - ,BBi ~ а,СС\ — между плоскостями АВС и А\В\С\. (Это — задача 20 из п. 158. Решите её теперь геометрически, с помощью теоремы о площади ортогональной проекции.) 10. Пусть имеется некоторый прямоугольный тетраэдр ABCD, в котором плоские углы при вершине D — прямые. Известно, что Р — площадь его боковой грани, а Q — площадь основания АВС. Найдите площадь ортогональной проекции этой грани на основание. 11. (Физфак МГУ). В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине D — прямые. DH — высота тетраэдра, причём известно отношение площадей: = k. Найдите Sbhc Sbdc 10 и 4 см. Плоскость ромба проекции угол 60°. Найдите 12. Диагонали ромба равны составляет с плоскостью площадь проекции ромба. 13. Найдите ортогональную проекцию ромба, одна из диагоналей которого перпендикулярна плоскости проекции. 14. Чему равен угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции, если площадь проекции этого тре- 234 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей угольника: а) в два раза меньше площади самого треугольника; б) равна площади треугольника? 15. Найдите зависимость между площадями вертикальной и горизонтальной проекций плоской фигуры, если её плоскость составляет с горизонтальной плоскостью угол (р^90°. 16. * а) Может ли треугольник переходить в равный ему при параллельном проектировании, если плоскость проекции не параллельна плоскости треугольника? б) Может ли площадь параллельной проекции треугольника равняться площади самого треугольника, если плоскость проекции не параллельна плоскости треугольника и оба треугольника различны? 17. Треугольник А\В\С\ является ортогональной проекцией треугольника АВС, причём отрезки AAi, BBi, CCi равны соответственно высотам А1А2, В1В2, С1С2 треугольника AiBiCi. Докажите, что треугольники AiBiC, А1ВС1, АВ1С1 равновелики. 18. Изобразите в горизонтальной и вертикальной проекциях: а) цилиндр с просверленным вдоль оси отверстием; б) шар со сквозным цилиндрическим отверстием. —У —^ 19. Пусть вектор а\ является проекцией вектора а на плоскость а. Докажите, что: а) вектор а — ai перпендикулярен плоскости а; б) плоскость, содержащая векторы а — ai и а -|-ai, перпендикулярна плоскости а. 20. Докажите, что если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции, а другая не перпендикулярна этой плоскости, то ортогональная проекция прямого угла также является прямым углом. 21. Докажите, что если плоскость /3 пересекается с плоскостью а по прямой I и прямая Ь перпендикулярна плоскости /3, то проекция Ь\ прямой Ь на плоскость а перпендикулярна прямой /. 22. Докажите, что при ортогональном проектировании: а) равновеликие треугольники, лежащие в одной плоскости, имеют равновеликие проекции; б) равные треугольники, лежащие в одной плоскости, не обязательно переходят в равные треугольники; §25. Ортогональное проектирование 235 в) тупой (острый) угол не обязательно переходит в тупой (острый) угол. 23. Найдите ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали. 24. Найдите площадь ортогональной проекции куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали, если известно, что ребро куба равно а. 25. * Ортогональная проекция параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную его диагонали, является правильным шестиугольником. Верно ли, что этот параллелепипед обязан быть кубом? 26. * Докажите, что площадь ортогональной проекции куба с ребром 1 на любую плоскость равна длине проекции куба на прямую, перпендикулярную этой плоскости. 27. * Прямая, проходящая через одну из вершин куба, обра- зует с рёбрами, исходящими из той же вершины, углы а, Р и у соответственно. Докажите, что cos а-f cosj3-1-cos у ^ ^ уД. 28. * Докажите, что площадь ортогональной проекции куба на плоскость максимальна в случае, когда плоскость проекции перпендикулярна одной из диагоналей куба. 29. Проекцией квадрата со стороной а на некоторую плоскость является ромб со стороной Ь и острым углом а. Найдите угол между плоскостями квадрата и ромба. 30. * Прямоугольные проекции плоского четырёхугольника на две взаимно перпендикулярные плоскости являются квадратами со сторонами 1. Найдите периметр четырёхугольника, если известно, что одна из его сторон имеет длину У|. 31. * Прямоугольные проекции треугольника АВС на две вза- имно перпендикулярные плоскости являются правильными треугольниками со сторонами, равными 1. Медиана AD треугольника АВС равна Найдите ВС. 32. Докажите, что проекцией правильного тетраэдра на плоскость, параллельную двум его скрещивающимся рёбрам, является квадрат. Верно ли обратное? 33. Основание АС и вершина В равнобедренного треугольника находятся на различных гранях прямого двугранного угла с ребром /. Точки А и В равноудалены от I на 236 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей расстояние а, а проекция точки С на ребро I равноудалена от проекций А и В на I. Найдите расстояние от точки С до I, если АВ образует с I угол, равный 60°. 34. * Двугранный угол между плоскостями Р и Q равен а. В плоскости Р лежит правильный треугольник со стороной 1. Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон этого треугольника на плоскость Q не зависит от его расположения в плоскости Р. 35. *Докажите, что сумма квадратов длин проекций рёбер единичного куба на плоскость не зависит от взаимного расположения куба и плоскости и равна 8. 36. * Двугранный угол между плоскостями Р и Q равен а. В плоскости Р лежит квадрат со стороной 1. Докажите, что периметр проекции этого квадрата на плоскость Q наибольший, когда диагональ квадрата параллельна плоскости Q. 37. * Докажите, что проекция правильного тетраэдра на плос- кость будет иметь наибольшую площадь, когда эта плоскость параллельна двум скрещивающимся рёбрам тетраэдра. 38. * Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом а. Пусть площадь проекции пирамиды на некоторую плоскость /3 имеет наибольшее значение. Найдите величину этой площади. 39. * Проведём через каждую пару скрещивающихся рёбер произвольного тетраэдра параллельные плоскости. Докажите, что если проекция тетраэдра на одну из этих плоскостей является прямоугольником, то проекции тетраэдра на остальные плоскости также будут прямоугольниками. 40. * Докажите, что если проекция тетраэдра на плоскость, параллельную какой-либо паре его скрещивающихся рёбер, является прямоугольником, то три общих перпендикуляра каждой пары скрещивающихся рёбер тетраэдра пересекаются в одной точке. § 26. Векторное лроизведение векторов 237 § 26* Векторное произведение векторов Испокон века математика черпала мощные импульсы, из тесных взаимоотношений, существующих между проблемами и методами анализа и наглядными представлениями физики. Р. Курант 170 I Момент силы. Как уже отмечалось в гл. II, боль- шинство операции над векторами в пространстве аналогичны соответствующим операциям над векторами на плоскости. Однако существует важная операция над векторами в пространстве, которая не имеет аналогов для векторов на плоскости. Эта операция называется векторным произведением. Понятие векторного произведения тесно связано с физическим понятием момента силы, аналогично тому, как понятие скалярного произведения векторов тесно связано с физическим понятием работы. Пусть твёрдое тело имеет единственную неподвижную точку О, а сила приложена к точке А этого тела. Тогда действие силы на тело характеризуется величиной л1, которая называется моментом силы относительно точки О и изображается вектором = oi, перпендикулярным плоскости, содержащей векторы ~г = о1 и 1^ (рис. 220, а). Модуль вектора М равен произведению 1^|Л, где h — плечо силы ^ (т. е. h — расстояние от точки О до прямой, содержащей вектор силы ^). Из данного определения следует, что модуль вектора М равен площади параллелограмма, построенного на векторах ~г и 1^ как на сторонах: Вектор, перпендикулярный плоскости, может иметь два противоположных направления. Направление момента М силы ^ определяется по так называемому «правилу винта» или «буравчиьса». Это правило состоит в следующем: если вектор ^ отложить от точки О и поворачивать затем вектор 7^ до вектора в направлении угла, меньшего 180°, то винт (буравчик), заворачиваемый в ту же сторону, будет двигаться 238 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей Рис. 220 В направлении вектора л1. В этом случае говорят также, что векторы 7^, ^ и Л? образуют правую тройку. Вектор л1, удовлетворяющий перечисленным выше условиям, называется векторным произведением векторов 7uf. \ 171 I Векторное произведение векторов. Дадим теперь следующее строгое определение. Определение 56. Векторным произведением вектора ^ на неколлинеарный ему вектор Ь называется такой вектор с —^ ^ ^ ^ ^ {обозначение: с = а х Ь или с = [ а, & ]), который удовлетворяет следующим трём условиям (рис. 220,6): 1. Длина вектора с численно равна площади паралле-лограмма, построенного на векторах а и о как на сторонах, т. е. |^| = |^| • |^| • sin(^, Ь ). 2. Вектор с перпендикулярен плоскости, содержащей векторы а и о , т.е. с±аи с ± о . —^ —У 3. Векторы а, Ь и с , приведенные к общему началу, образуют в указанном порядке правую тройку, т. е. lt поворот от вектора а к вектору о на наименьший угол до совмещения направления векторов виден из —у конца вектора с происходящим против движения часовой стрелки. —^ ~Т7 у —^ "7^ Если векторы awn коллинеарны (в частности, а = 0 или Ь = о), то полагают а х Ь = 0. § 26. Векторное произведение векторов 239 I 172 I Ориентация. Заметим, что базисные векторы i, j, k прямоугольной системы координат Охуг, изображённые на рис. 221, образуют правую тройку; при этом, очевидно, что k — I X ] . Поэтому иногда говорят, что векторы а, Ьис— ахо имеют ориентацию, совпадающую с ориентацией пространства, задаваемой базисными векторами I , J , k. Если вектор к на рис. 221 заменить на — ft, то, если наблюдать из конца —^ ЭТОГО вектора, вращение на наименьшим угол от вектора i к i (в данном случае этот угол равен 90°) будет происходить по часовой стрелке. Такая тройка векторов называется левой тройкой. В дальнейшем будем рассматривать только правые базисные тройки векторов. В общем случае ориен- it тация, задаваемая векторами а, о и с противоположна “ —> it ориентации, задаваемой векторами — а , о и с : если первая тройка векторов — правая, то вторая — левая, и обратно. То же верно и для троек а, о, с иЬ, а, с. Итак, ориентация произвольной тройки не компланарных векторов меняется на противоположную, если какой-либо её вектор заменить на противоположный ему вектор или поменять местами любые два из трёх данных векторов. 173 В заключение отметим следующее важное свойство векторного произведения, вытекающее непосредственно из it определения: векторное произведение векторов а и о равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда векторы а и о коллинеарны (сюда, разумеется, включается случай, когда а = о или 6 = 0). ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Как определяется момент силы в физике? 2. Как определяется векторное произведение двух неколли-неарных векторов? Верно ли, что если векторы а и 6 неколлинеарны, то а х 6 ^ 0 ? 240 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 3. Чему равно векторное произведение двух коллинеарных векторов? 4. Как определить ориентацию заданной тройки некомпланарных векторов? 5. Чему равно векторное произведение противоположных —^ векторов а и — а с 6. в каком случае модуль векторного произведения двух векторов равен модулю каждого из них? УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите, что если точку приложения силы переместить вдоль прямой действия силы, то момент силы не изменится. 2. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда = С1. —У —^ 3. Докажите, что для любых векторов а и Ь в простран-стве справедливо неравенство |ах о|$|а||о|, причем —У —У равенство достигается тогда и только тогда, когда а _L о . 4. При каких условиях момент силы относительно точки равен нулю? 5. Используя непосредственно определение векторного произведения, найдите векторы а) I X / ; б) у X I т) 2~j х31^; д) 7 X (7 + ^); в) i X k; е) (2^ — 3~^) X 6~1 . —^ ^ 6. Выясните, является ли тройка векторов а, о и с левой или правой, если: а) a-i+],b-k,c = j; б) а = ]+ к, о = I — J , с = к; в) а = к , О = 3 J , с = —2 I . 7. Докажите, что: а) при перестановке двух векторов из трёх ориентация тройки меняется на противоположную; б) при циклической (круговой) перестановке трёх векторов ориентация тройки не меняется. 8. Докажите, что для любых трёх векторов а, Ь и с , удовлетворяющих условию а + Ь + с = О , справедливы равенства ахЬ = Ьхс = сха. § 27. Свойства векторного произведения. 241 9. Векторы а и Ь направлены по диагоналям двух смежных граней куба, выходящим из одной вершины, причём их длины равны длинам этих диагоналей. Докажите, что вектор а X Ь параллелен одной из диагоналей куба. 10. Докажите, что векторы а, Ь и с компланарны тогда и ТОЛЬКО тогда, когда векторы а х о и а х с (или о х с) коллинеарны. 11. Докажите, что для любых векторов а и Ь имеет место равенство ахЬ= — оха. 12. Докажите, что для любых векторов а и Ь в пространстве и для любого числа А справедливы равенства . —У —У —У . —у . —у —у А а X Ь = а хАЬ =А{ а х Ь). §27* Свойства векторного произведения и ЕГО КООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ я решил отказаться от чисто абстрактной геометрии, т. е. от рассмотрения вопросов, служащих лишь для упражнения ума, чтобы заняться геометрией иного рода, предмет которой составляет объяснение явлений природы. Рене Декарт 174 I Свойства векторного произведения. Изучим основ- ные свойства векторного произведения. Теорема 56. 1. (Антипереместительный закон.) Для любых векторов а и Ь в пространстве справедливо равенство а X Ь = —{Ь X а),т.е. при перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак. 2. (Сочетательный закон относительно числового множи- —^ “Г^ теля.) Для любых векторов а и о в пространстве и для любого числа А имеют место равенства Аа X Ь а X А1) aCu т. е. числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения. 242 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 3. (Распределительный закон.) Для любых векторов а и Ь в пространстве справедливы равенства (а + Ь)хс = ах с + Ь —^ ^ ^ ах(Ь + с)=ахЬ + ах X с О Модули векторов а х Ь и Ь х а равны, поскольку модуль каждого из них равен площ; —^ построенного на векторах ^ и дуль каждого из них равен площади параллелограмма, . 1^оме_^того, оба вектора а х Ь и Ь х а перпен- а X Ь дикулярны плоскости, содержащей —У —у векторы а и Ь (рис. 222), а направления этих векторов противоположны, так как противоположны ориентации троек а, о w. а х Ъ -> -> -4 и Ь, а и а X Ь (см. замечание в конце п. 172 и упр. 7 предыдущего параграфа). Поэтому векторы ^ 4 4 а X о и о X а противоположны, —У —у —у —^ т.е. ахЬ^-Ьха. 2. Модули векторов Ха х Ь и Х( а х Ь) одинаковы, так как равны произведению |Л| на площадь параллело- 4 грамма, построенного на векторах а и о , а направления этих векторов совпадают (рис. 223,а: А > О, рис. 223,6: А < 0). Рис. 223 § 27. Свойства векторного произведения... 243 3. Доказательство приведено в упр. 1-3 данного параграфа. # Доказанные свойства позволяют производить алгебраические операции с использованием векторного произведения и упрощать выражения, содержащие векторные произведения. I 175 I Векторное произведение в координатах. Рассмотрим теперь задачу вычисления векторного произведения двух it векторов а и о по их координатам в прямоугольной системе координат О i j k: ~а = (xi; г/i; 2i), = {хг\yz\гг)- Теорема 57. Векторное произведение двух векторов ^ ^ixwywzi) и ^ ^{Х2]у2;гг) выражается следующей формулой: ——> —> —У а X Ь = (yiZ2 - г\у2) i - {xiZ2 - Z1X2) j -Ь (лпрг - У1Х2) k . О Так как по условию а = х\ i + у1 ]+ z\k , о = Х2 i + У2 J + Z2k , то, используя свойства 2 и 3 векторного произведения, получим —^ —У —у —у —у —у —у —у а X Ь ={x\i + у\ j -1 z\k) X {Х2 i + У2 j +Z2k) — = x^) + Х1У2С1 X -h X1Z2C1 х~Й)+ + У\хг(7 X Т) -f X 7^) -h y\Z2it x^)+ -I- Z\X2(t X Y) Ziy2{t X У) -b Z\Z2{t Х~Й). Ho ИЗ определения векторного произведения следует, что —^ "it X 1 = J X J = k X k = 0, -ff ■■ k, ] X i — - -k, J X k —> -r> —1 -r> - i . k X 1 = J, 1 X k ■■ ] , поэтому —у “г^ а X Ь =Х1У2к -X1X2J -y\X2k +y\Z2 I +Z1X2J -Z\y2 I ■■ = {y\Z2 - г\У2)^ - (xiZ2 - ZiX2)~] + (Xll/2 ~ У1Х2) k . 244 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей i у к XI У1 21 Х2 У2 22 Рис. 224 i j к i j \ X X / Xl У\ 2i Xi Уу / X X \ Xz'^ У2^ ^X2 ^У2 - - +- + 4- Рис. 225 Координаты векторного произведения можно воспроизвести, руководствуясь следующим простым правилом (проверьте его справедливость). Составим сначала таблицу 3 х 3, в первую строку которой впишем базисные вектора, во вторую — координаты первого вектора, а в третью — второго (рис. 224). Затем добавим к построенной таблице её первые два столбца, приставив их справа. Наконец, рассмотрим тройки произведений, со знаком «плюс» или «минус», как показано на рис. 225. 176* Площадь треугольника. Полученные формулы поз-воляют наити модуль вектора а х о , если известны коор-динаты векторов а и о , т. е. наити площадь S параллело- грамма, построенного на векторах а и о как на сторонах. —^ Площадь треугольника, построенного на векторах а и о , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т. е. 5д = ^ 1^ X ^|. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Сформулируйте теорему об основных свойствах векторного произведения. Докажите свойства 1 и 2 из этой теоремы. 2. Существует ли такие векторы а и Ь , что it it а X Ь = Ь X а Поясните свой ответ. 3. Какие свойства векторного произведения аналогичны соответствующим свойствам скалярного произведения? В чём заключается различие этих свойств? § 27. Свойства векторного произведения... 245 4. Используя непосредственно определение векторного про-изведения, найдите: ixjyjxk,kxj, i х i , j х i ^ i X k, k X j . 5. Сформулируйте и докажите теорему о записи векторного произведения в координатах. 6. Выразите площадь параллелограмма и треугольника, по-строенных на а и о , через координаты этих векторов. УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите, что если ортогонально спроектировать век- тор а на плоскость, перпендикулярную вектору о, —^ полученный вектор ai повернуть в этой плоскости на прямой угол так, чтобы поворот из конца вектора Ь был виден происходящим по часовой стрелке, а затем умножить повернутый вектор аз на | о |, то получим вектор аз, равный векторному произведению векторов а -г> И О : аз = а X Ь . ® 2. Докажите распределительный закон векторного произведения. ® 3. Докажите, что ах(о-|-с)=ахо-Ьахс. ® 4. Найдите момент и величину момента силы f = (2;0; 1), приложенной к точке А(—1;6;6), относительно точки Oi(-l;3; 1). 5. Упростите выражение: а) (а-|-Ь)х а-|-(2Ь - с)х с — 2(Ь х с); б) -Ь ^ X (^ — 2^ + ~с); в) (а X + (а ■ 6. Даны векторы а =(1;—2;5), Ь = (3;0;—1). Найдите: а) ^ х~Й\ б) 2{а ■ 2Га) X {^ + 2м)-, г) (2^ х 1~а)\ Д) а X 6 в) (6 7. Найдите а) площадь параллелограмма, построенного на векторах 7 = (2;1;-2), t = (3;2;6); б) площадь треугольника с вершинами А = (7; 3; 4), Б = (1;0;6), С = (4;5;-2). 246 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей 8. Докажите, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма. 9. Боковые стороны трапеции задаются векторами ~с , меньшее основание — вектором Ь. Докажите, что площадь трапеции выражается формулой 1 с X ft I -t- С X 10. Каждой грани произвольного тетраэдра поставлен в соответствие вектор, модуль которого равен площади этой грани, а сам вектор перпендикулярен ей и направлен вне тетраэдра. Докажите, что сумма всех четырёх векторов равна нулевому вектору. 11. Верно ли, что а = Ь , если а)ахс = &хс для некоторого с Ф о, б) ахс = Ьхс для любого с ? 12. Площади двух смежных граней параллелепипеда равны Si и S2, а площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через общее ребро этих граней — S. Докажите, что = S^ -Ь S| -Ь 2S\S2Cos(p, где <р — двугранный угол между гранями с площадями Si и S2. 13. Докажите, что если в параллелепипеде площади двух смежных граней равны площади проходящего через общее ребро этих граней диагонального сечения параллелепипеда, то угол между этими гранями равен 120°. Основные определения и теоремы главы IV Определения IV. 1. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она пересекает плоскость и перпендикулярна любой пересекающей её прямой этой плоскости. IV.2. Уравнение Ах -Ь By + Cz + d = 0 называется общим уравнением плоскости. IV.3. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. IV.4. Расстоянием от точки М до данной фигуры F называется расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки фигуры F. Основные определения и теоремы главы IV 247 IV.5. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. IV.6. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра этих прямых. IV.2. IV.3. Теоремы IV. 1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах. Для того чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной к этой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной. IV.4. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. IV.5. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны. IV.6. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. IV.7. Площадь ортогональной проекции многоугольника равна площади этого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: Snp = S cos (р. произведение векторов —> а (xr,yi;zi) IV.8. Векторное и Ь ~ (х2,У2',22) выражается следующей формулой: а X Ь - (yiZ2-Ziy2) i -(X\Z2-ZiX2) j +(х\у2-у\Х2) k . 248 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей -> IV.9. Площадь треугольника, построенного на векторах а и Ь как на сторонах, равна i | а х fe |. Пора отдохнуть На вступительном экзамене по математике абитуриент рассказывает аксиому о параллельных: — Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну прямую, параллельную данной, если проводить её ровно. — Ровно?! — экзаменатор потрясён. — Откуда вы это взяли? — Из школьного учебника, — невозмутимо отвечает абитуриент. — Хотите, я вам покажу? Через минуту приносит книжку и показывает нужное место: «Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную этой данной... » Известный французский физик и математик Андре Мари Ампер (1775-1836 ) был невероятно рассеян. Однажды, выходя из своего дома, он мелом написал на двери: «Господа! Хозяина нет дома, приходите вечером». Вскоре Ампер вернулся обратно, но, увидев на двери эту надпись, снова ушел. Домой он пришёл поздно вечером. Многие математики верят, что пересечение двух плоских шуток даёт одну тонкую. (Цит. по книге: С. Н. Федин, «Математики тоже шутят». — М., 2009) Глава V МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ и обозначены углом теодолита восход луны и солнечный закат. Н. Заболоцкий. Седов § 28. Трёхгранные углы Грани верхней части бриллианта, отражая лучи света, сверкают так называемым алмазным блеском. Грани нижней части при полном внутреннем отражении лучей кажутся как бы посеребрёнными и отливают металлическим блеском. Л. Васильев, 3. Белых. Алмазы, их свойства и применение 177 Определение 57. Трёхгранным углом называется выпуклая фигура, образованная тремя плоскими углами: ASB, BSC и CSA (рис. 226). Эти углы называются гранями трёхгранного угла SABC, а их стороны SA, SB и SC — рёбрами этого угла. Общая вершина S плоских углов называется вершиной трёхгранного угла SABC, Двугранные углы между гранями трёхгранного угла называются двугранными углами трёхгранного угла. Величины плоских углов трёхгранного угла будем обозначать буквами а, /3, у, а величины его двугранных углов — буквами А, В, С. Теорема 58. Любой плоский угол произвольного трёхгранного угла больше разности двух других плоских углов. О Обозначим через С некоторую точку ребра SC трёхгранного угла SABC. Пусть, для определённости, Z.ASB > /.ASC (рис. 227). Выберем в плоскости грани ASB точку Ci так, что SC\ = SC и /.ASC\ = Z.ASC. Предположим, что плоскость, проходящая через точки С и Сь пересекает рёбра AS и BS в точках А VI В соответственно. (Обратите внимание на то, что «основание» АВС трёхгранного угла не было жёстко закреплено, т. е. его вершины можно двигать вдоль соответствующих рёбер. Именно потому и существует точка N, удовлетво- 10-1175 250 Глава V. Многогранные углы ряющая указанным выше условиям.) Тогда AASCi = AASC (по двум сторонам и углу между ними), откуда следует, что ACi = АС и CiB ^АВ- ACi =АВ - АС < ВС. Рассмотрим теперь треугольники CiSB и BSC. У этих треугольников CS = CiS, сторона BS — общая и Сф < ВС, поэтому Z.BSC > Z.BSC\ = Z.ASB — ZASC. Два других неравенства доказываются аналогично. • Следствие 25. Любой плоский угол произвольного трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов. Теорема 59. Сумма всех плоских углов трёхгранного угла меньше 360°. О Продолжим ребро AS трёхгранного угла SABC за вершину S (рис. 228). В полученном трёхгранном угле SA\BC имеем ZBSC < ZBSAi Ч- ZAiSC, но ZBSAi = 180° - ZBSA, AAiSC = 180° - ZASC, откуда ZBSC < 360° - ZBSA - ZASC или ZBSC + ZSSA -b Z.ASC < 360°. • Можно показать, что углы а, jS, у, одновременно удовлетворяющие условиям, сформулированным в теоремах 58 и 59, однозначно определяют некоторый трёхгранный угол с соответствующими плоскими углами. Разберём одну задачу с использованием доказанных неравенств. Задача 28. Равногранный тетраэдр. Известно, что в некотором тетраэдре противоположные скрещивающиеся рёбра §28. Трёхгранные углы 251 попарно равны друг другу. Докажите, что его гранями являются одинаковые остроугольные треугольники. (Такие тетраэдры называют равногранными. В частности, равногранными тетраэдрами будут являться все правильные треугольные пирамиды; обратное неверно.) Д Грани являются равными треугольниками, поскольку равны друг другу по трём сторонам. Пусть каждый из этих треугольников имеет углы а, (5, у. Они же являются плоскими углами при вершине любого из четырёх трёхгранных углов, соответствующих данному тетраэдру. По следствию 25, aa-i-0fCOsa^ cosA + cosBcosC ф sin В sin C Теорема 64 (теорема синусов для трёхгранного угла). Пусть плоские углы трёхгранного угла равны а. jS, у, а противоположные им двугранные углы — А, В, С. Тогда ^ = ^ = 5^. sin А sin В sin С О Проведём перпендикуляр АН из точки А на ребре SA к плоскости SBC, а также перпендикуляры АР и AQ к прямым SB и SC соответственно. При этом основания высот могут оказаться как внутри, так и вне трёхгранного угла. Ограничимся исследованием случая, когда все высоты попадают внутрь (остальные возможности рассмотрите самостоятельно). 256 Глава V. Многогранные углы По теореме о трёх перпендикулярах, HP 1 SB и HQ -L SC, ZB = ZAPH,ZC = ZAQH (рис. 232). Тогда из прямоугольных треугольников АНР, AHQ получим: АН = АР sin В = AQ sin С. Прямоугольные треугольники APS, AQS, в свой черед, дают равенства АР ~ AS sin/3, AQ = = 4S.4in у. Отсюда, наконец, sin j3 sin V следует, что —^ sin В sin С Точно так же доказывается равенство отношений ещё для какой-нибудь «пары пар» синусов. Ф Задача 31. Ранее мы разбирали задачу (упр. 37, § 24), решение которой основывалось на следующем утверждении: Теорема 65 (о трёх синусах). Пусть две плоскости д, 8i пересекаются по прямой I, прямая а расположена в плоскости 8 и образует с линией пересечения угол (а,1) — в, а с плоскостью 5i — (a,5i) = ф- Угол между плоскостями (3, ^i) = ср. Тогда справедливо равенство: sin ^ = sin б • sin (р. Покажем, что эта теорема является простым следствием теоремы 64. О Действительно, рассмотрим какую-нибудь точку Р £ а и её проекцию Р\ на плоскость 3i, а также точку Н — основание перпендикуляра, опущенного из Р на линию пересечения I. Точку пересечения прямых а, I обозначим буквой А (рис. 233). Тогда ZPAH = (^) = в, ZPAPi = (^Х) = ф, ZPHPx = [8, Й1) = <р (последнее равенство следует из теоремы о трёх перпендикулярах и определения угла между плоскостями). Теперь рассмотрим трёхгранный угол APHPi с вершиной в А. Угол при ребре АН — это (р, а при ребре ABi — Рис. 233 § 28. Трёхгранные углы 257 прямой {PPi — перпендикуляр к грани АНР\). Таким образом, в стандартных для трёхгранного угла обозначениях, ZB = (р, Z.C = 90°, j3 = ^, у == 0, и по теореме синусов, sin /3 _ sin Y ^ sin ф sin В sin С sin б ^ => sin ф — sin в ■ sin Ф. sin 90° ^ ^ ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Дайте определение трёхгранного угла. 2. Что называется вершиной и рёбрами трёхгранного угла? 3. Какие углы называются гранями трёхгранного угла? 4. Что можно сказать про величины плоских углов трёхгранного угла? УПРАЖНЕНИЯ 1. Могут ли плоские углы трёхгранного угла быть равны: а) 120°, 75°, 40°; б) 90°, 60°, 40°; в) 130°, 110°, 145°. 2. Докажите, что если сумма плоских углов трёхгранного угла равна 180°, то все эти углы — острые. 3. Можно ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получить: а) трапецию; б) прямоугольник; в) квадрат; г) параллелограмм, отличный от прямоугольника? 4. Докажите, что не суш;ествует плоскости, перпендикулярной всем трём граням трёхгранного угла. 5. Рассмотрим три плоскости, каждая из которых содержит ребро и биссектрису противоположного плоского угла при вершине данного трёхгранного угла. Докажите, что эти плоскости имеют общую прямую (так называемую медиану трёхгранного угла). ® 6. Могут ли двугранные углы трёхгранного угла быть равны: а) 70°, 60°, 80°; б) 30°, 45°, 100°; в) 120°, 150°, 60° ? 7. Докажите, что если двугранные углы трёхгранного угла равны, то каждый из них больше 60°. 8. Докажите, что если плоские углы трёхгранного угла равны, то равны и его двугранные углы. 9. Плоские углы трёхгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На общем ребре двух равных плоских углов отложен отрезок SA длины а. Найдите: а) длину проекции SA на плоскость третьей грани; б) угол, который образует ребро SA с плоскостью третьей грани. 258 Глава V. Многогранные углы 10. Трёхгранный угол называется прямым, если все его плоские углы прямые. Докажите, что все двугранные углы прямого трёхгранного угла также являются прямыми. 11. На рёбрах прямого трёхгранного угла взяты точки А, В и С. Докажите, что проекция вершины этого угла на плоскость АВС совпадает с точкой пересечения высот треугольника АВС. 12. Известно, что ни одно из рёбер трёхгранного угла не перпендикулярно противоположной грани. Рассмотрим три плоскости, каждая из которых проходит через ребро тетря.эдря перпендикулярно противоположной гряни. Докажите, что эти плоскости имеют общую прямую. 13. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от сторон трёхгранного угла, 14. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от плоскостей всех трёх граней трёхгранного угла и лежащих внутри этого угла. 15* Докажите, что если двугранные углы трёхгранного угла равны, то равны и его плоские углы. 16. Докажите, что если три плоских угла одного трёхгранного угла соответственно равны трём плоским углам другого трёхгранного угла, то такие трёхгранные углы равны. 17. Докажите, что если три двугранных угла одного трёхгранного угла соответственно равны трём двугранным углам другого трёхгранного угла, такие трёхгранные углы равны. 18. Постройте плоскость, пересекающую данный трёхгранный угол и образующую с его рёбрами равные углы. 19. Проведите плоскость, пересекающую данный трёхгранный угол, так, чтобы она образовала с его гранями равные двугранные углы. 20. Сумма плоских углов трёхгранного угла равна 180°. Докажите, что сумма косинусов его двугранных углов равна 1. 21. В трёхгранном угле два двугранных угла равны по 135°, их общий плоский угол — прямой. Найдите третий двугранный угол. 22. Все три плоских угла данного трёхгранного угла являются острыми. Один из них равен а, двугранные углы, прилежащие к этому плоскому углу, равны В и С. Найдите два других плоских угла. §29. Многогранные углы 259 § 29. Многогранные углы Совокупность алмазного блеска верхних граней и металлического нижних создаёт неповторимое общее сверкание бриллиантов. Л. Васильев, 3. Белых. Алмазы, их свойства и применение 180 Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами: AiSA2,A.2SA3,. . .A„SAi (рис. 234). Эти углы называются гранями многогранного угла SAiA2...A„, а их стороны SAi, SA2, SA„—рёбрами этого угла. Общая вершина S плоских углов называется вершиной многогранного угла SAiAz . ■ - Ап. Двугранные углы между гранями многогранного угла называются двугранными углами многогранного угла. Многогранный угол называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости любой своей грани. В дальнейшем мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы. Многогранный угол называется правильным, если: а) все его плоские углы равны; б) все его двугранные углы равны. Для многогранных углов также верны утверждения, аналогичные утверждениям следствия 25 и теоремы 59 для трёхгранных углов. Мы приведём их здесь без доказательства. 1. Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных плоских углов. 2. Сумма всех плоских углов многогранного угла меньше 360°. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Дайте определение многогранного угла. 2. Что называется вершиной и рёбрами многогранного угла? 3. Какой многогранный угол называется: а) выпуклым; б) правильным? 260 Глава V. Многогранные углы 4. Что можно сказать про величины плоских углов многогранного угла? УПРАЖНЕНИЯ 1. Могут ли плоские углы многогранного угла быть равны: а) 50°, 40°, 130°, 150°; б) 35°, 75°, 80°, 45°, 125°; в) 70°, 40°, 80° ? 2. Докажите, что если сумма плоских углов многогранного угла равна 180°, то все эти плоские углы острые. 3. Докажите, что каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных плоских углов, опираясь на аналогичное утверждение для трёхгранного угла (следствие 25). 4. Докажите, что сумма двугранных углов п-гранного угла больше (п - 2) ■ 180°. 5. Докажите, что двугранные углы правильного п-гранного угла больше 180°. 6. Докажите, что не существует плоскости, перпендикулярной всем граням п-гранного угла (п > 3). 7. Постройте плоскость, пересекающую данный выпуклый четырёхгранный угол по параллелограмму. 8* Известно, что если плоские углы трёхгранного угла равны, то этот трёхгранный угол правильный (упр. 8, § 28). Верно ли это утверждение для п-гранного угла при п > 3? 9.* Известно, что если двугранные углы трёхгранного угла равны, то этот трёхгранный угол правильный. Верно ли это утверждение для п-гранного угла при п > 3? 10. Четыре луча с общим началом попарно ограничивают шесть углов, равных а. Найдите величины этих углов. Основные определения и теоремы главы V Определения V.I. Трёхгранным углом называется выпуклая фигура, образованная тремя плоскими углами с общей вершиной. Эти углы называются гранями трёхгранного угла, а их стороны — рёбрами. Общая вершина плоских углов на- Основные определения и теоремы главы V 261 зывается вершиной трёхгранного угла, а двугранные углы между гранями — двугранными углами трёхгранного угла. V.2. Пусть SABC — некоторый трёхгранный угол. Отметим какую-нибудь точку Si внутри него и опустим из неё перпендикуляры на грани SBC, SCA, SAB соответственно. Основания этих перпендикуляров обозначим буквами Ai, Bi, Cl. Построенный таким образом новый трёхгранный угол SiAiBiCi называют полярным данному трёхгранному углу SABC. V.3. Многогранным углом называется фигура, образованная п плоскими углами (п ^ 4) с общей вершиной. Если многогранный угол лежит целиком по одну сторону от плоскости любой своей грани, то он называется выпуклым. Мы рассматриваем только выпуклые многогранные углы. V.4. Многогранный угол называется правильным, если все его плоские углы равны и все его двугранные углы равны. Теоремы V.I. Любой плоский угол произвольного трёхгранного угла больше разности двух других плоских углов. V.2. Сумма всех плоских углов трёхгранного угла меньше 360°. V.3. Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных плоских углов. V.4. Сумма всех плоских углов многогранного угла меньше 360°. V.5. {Первая теорема косинусов для трёхгранного угла.) Пусть плоские углы трёхгранного угла равны а, (3, у, а противоположные им двугранные углы — А, В, С. Тогда cosA = cos «-cos/3 cos у sin /3 sin у V.6. Трёхгранный угол полярен своему полярному углу, причём если обозначить плоские и двугранные углы трёхгранного угла буквами а, ji, у. А, В, С, а соответствующие им углы полярного угла — буквами «ь jSi, у\, А\, 262 Глава V. Многогранные углы В\, С\, то выполняются равенства: А + а\ - B+j3i - C + Yi -- a+Ai - /З+Bi = y+Ci - 180°. V.7. {Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла.) Пусть плоские углы трёхгранного угла равны а, j3, у, а противоположные им двугранные углы—А, В, С. Тогда cos а — cos А + cos Б cos С sin В sin С V.8. (Теорема синусов для трёхгранного угла.) Пусть плоские углы трёхгранного угла равны а, j3, у, а противоположные им двугранные углы — А, В, С. Тогда sin (X _ sinff _ sin у sin А sin В sin С V.9. (Теорема о трёх синусах.) Пусть две плоскости 8, 5i пересекаются по прямой I, прямая а расположена в плоскости <5 и образует с линией пересечения (а, I) = 9, а с плоскостью — (a,8i) = ф. Угол между плоскостями (5, 5i) = (р. Тогда справедливо равенство: sin ф = sin О ■ sin (р. Пора отдохнуть Дровосек пришёл к математику и просит у него рубль взаймы. При этом он обещает через месяц вернуть два рубля, а в залог оставляет свой топор. Математик даёт дровосеку рубль, а когда тот собирается уходить, говорит: — Постой, я кое-что придумал. Тебе ведь будет трудно возвращать через месяц сразу два рубля. Так может, ты лучше вернёшь половину долга сейчас? После долгих раздумий дровосек соглашается, отдаёт рубль математику и идёт домой. — Странно! — думает он по дороге. — Денег у меня по-прежнему нет, топора тоже, да ещё один рубль я остался должен. И что самое главное, все правильно! (Цит. по книге: С. Н. Федин, «Математики тоже шутят». — М., 2009) РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ ЗАДАЧ §12 2. Из шести спичек сложите четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине спички. Л На плоскости это сделать невозможно. Но в пространстве, по счастью, существует фигура, наверняка вам хорошо знакомая: правильный тетраэдр — треугольная пирамида, у которой все рёбра равны (рис. 235). Осталось только собрать из спичек каркас правильного тетраэдра. А 4. В правильном треугольнике АВС на сторонах АС и АВ выбраны соответственно точки X и У (отличные от вершин, а в остальном — совершенно произвольно, рис. 236). Докажите, что из отрезков ВХ, СУ и ХУ всегда можно составить треугольник. Л Эту задачу, не имеющую, на первый взгляд, к стереометрии никакого отношения, тем не менее, быстрее всего можно решить, выйдя в пространство. В самом деле, дополним треугольник АВС до правильного тетраэдра ABCD. Тогда треугольник DXY — искомый, поскольку DY = СУ, DX = ВХ как соответственные отрезки в равных треугольниках (рис. 237). Мы предъявили треугольник, существование которого надо было доказать, «в натуральном виде». А D 264 Решения избранных задач Рис. 238 5. Предложите практический способ непосредственного (без вычислений) измерения диагонали кирпича. Кирпич ломать не разрешается! А Как известно, кирпичи чаще всего встречаются на стройках в больших количествах. Чтобы измерить диагональ, нам хватит всего лишь трёх (более или менее одинаковых) — см. рис. 238. А §13 13. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и CD скрещиваются. Л Предположим, что прямые АВ и CD не являются скрещивающимися, тогда они либо параллельны, либо пересекаются и в обоих случаях точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, что противоречит условию задачи. А 32. Отрезок, соединяющий середины пар скрещивающихся (противоположных) рёбер тетраэдра называют бимедианой тетраэдра. Докажите, что все три бимедианы произвольного тетраэдра пересекаются в некоторой точке G, причём каждая бимедиана делится этой точкой пополам. А Согласно упр. 29, четырёхугольники KMLN и MQNP (вершины которых — середины соответствующих рёбер тетраэдра) являются параллелограммами с общей диагональю MN (рис. 239). Вспомним теперь, что диагонали любого параллелограмма своею точкой пересечения делятся пополам. Наше утверждение доказано. А 33. Медианой тетраэдра назовем отрезок, соединяющий вер- шину тетраэдра с точкой пересечения медиан {центроидом) противолежащей грани. Докажите, что все четыре медианы тетра.эдра пересекаются в точке G (см. упр. 32), причём делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершин тетраэдра. Решения избранных задач 265 D D В В Рис. 239 Рис. 240 Д Рассмотрим треугольник CLD (рис. 240). Проведём прямую DG и отметим точку её пересечения с медианой CL треугольника АВС. Проведём также отрезок KR, параллельный DG. Так как К — середина CD, то, согласно теореме Фалеса, CR — G^R. Кроме того, G — середина KL, потому, опять же из теоремы Фалеса, RG4 = LG^. CGa 2 Значит, CR = RGd — LGd => —“ = -. а это и означает, что точка Gh — LGd 1 точка пересечения медиан треугольника АВС. Далее, рассмотрев прямую, проходящую через G^ параллельно LK, и проведя аналогичные , DG 3 рассуждения, убедитесь самостоятельно в том, что -= -. GdG 1 Понятно, что и для трёх других медиан проходят те же самые рассуждения. А § 14 10. Через одну из двух скрещивающихся прямых провести плоскость, параллельную другой прямой. Л Пусть прямые а и Ь скрещиваются (рис. 241). Возьмём на прямой а точку А и проведём через неё прямую by, параллельную Ь. Рис. 241 Тогда плоскость ос, в которой лежат прямые а и fej, параллельна прямой Ь по признаку параллельности прямой и плоскости. А 22. Найдите сечение куба ABCDAiB\C\Di плоскостью, проходящей через вершины В, Dj куба и середину М ребра AAi. Л Пусть ребро куба равно а, тогда прямая DiM пересекает прямую DA в точке К такой, что DK = 2а (рис. 242). Проведем через точки К и В прямую КВ, которая пересечет прямую DC в точке L. Так как 266 Решения избранных задач Di Cl К А = АВ = а, то ZAKB = 45° и прямоугольный треугольник KDL является равнобедренным; поэтому DL = DK = 2а, откуда следует, что прямая D\L пересекает ребро СС\ в точке N, являющейся его серединой. Из равенства прямоугольных треугольников AiMD\, АВМ, CNB, CiDiN выводим равенство отрезков D\M, МВ, BN, ND\. Таким образом, искомым сечением является ромб MBND\. А 26. Точки Р, Q, R расположены соответственно на рёбрах ВА, AD, DZ> AQ dr DC тетраэдра ABCD, причём известно, что — = р, — = а, — = г. АР DQ RC Требуется построить сечение тетраэдра плоскостью PQR и определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро ВС. А Прежде всего, проведём два следа: QR и QP. Рассмотрим далее два случая, в зависимости от расположения прямых QR и АС. а) Прямые QR и АС параллельны. Тогда, в силу теоремы 18, прямая QR параллельна плоскости АВС (рис. 243, а). В силу же теоремы 19 секущая плоскость будет пересекать плоскость основания по прямой, параллельной QR. Из транзитивности отношения параллельности для D D М Решения избранных задач 267 Е СТ АР желании ответ можно записать в виде прямых в пространстве (теорема 17) теперь следует, что след сечения на грани АВС — отрезок РТ, параллельный АС. Из теоремы о пропорциональных отрезках вытекает, что ВТ ВР AQ CR ^ . — = — = р. Понятно также, что —^ = — => or = 1 и при DQ DR ВТ СТ б) Прямые QR и АС не параллельны. Тогда отметим точку М пересечения этих прямых (рис. 243,6). Эта точка, очевидно, принадлежит и секущей плоскости, и плоскости нижнего основания. Тем же свойством обладает и точка Р. Поэтому прямая МР содержит след РТ. Теперь вычислим отношения. Быстрее всего это можно сделать, дважды воспользовавшись теоремой Менелая. Первый раз применим её к треугольнику ADC и прямой, содержащей точки Q, R, М: ^ ^ . СМ = ^ ^ DQ TR AM СМ ' Второй раз — к треугольнику АВС и прямой, проходящей через Р, Т, М: — ■----• — = 1 => par = — . АР СМ ВТ СТ Вот и всё. А 27, Точки Р, Q, R расположены, соответственно, на рёбрах ЕА, ЕВ, ЕС четырёхугольной пирамиды EABCD, в основании которой лежит ЛТУГЛТ, АР ВО CR параллелограмм ABCD. Известно, что — = р, —^ = п, — = г. ЕР EQ ER Требуется построить сечение пирамиды плоскостью PQR и определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро ED (рис. 244). Л Построим сначала сечение — метод его построения не зависит от вида четырёхугольника, лежащего в основании. Следы PQ и QR строятся сразу (рис. 245). 268 Решения избранных задач Отметим, далее, точку О — точку пересечения диагоналей основания и заметим, что прямая ЕО есть линия пересечения плоскостей АЕС и BED. Поэтому можно отметить точку К пересечения прямой РЛ (принадлежит сечению, но не является следом) и ЕО (построение происходило в плоскости АЕС). В плоскости же BED прямая QK принадлежит сечению, а стало быть, сечению также принадлежит и точка Т пересечения этой прямой с ребром ED. Наконец, проводим следы РТ и RT — сечение построено. Отметим, что в случае произвольного четырёхугольника вычис-DT лить отношение — (которое в дальнейшем обозначим буквой ^) по ЕТ начальным данным не представляется возможным. Для этого нужно знать ещё, в каком отношении диагонали основания делятся точкой их пересечения. Но по условию в основании лежит параллелограмм, поэтому оба отношения известны и равны 1:1. ок Рассмотрим треугольник АБС и найдём---. Для этого проведём че- ЕК рез точки С и О прямые, параллельные PR (рис. 246), и воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках. Тогда имеем: АХ = ХУ, YP ЕР CR ER г. АР ЕР р и, кроме того. Но ХУ _ р-г ЕР 2 ОК _ ХР ЕК ЕР‘ ХР ^ XY + YP = + г и ХУ = ЕР ЕР ЕР 2 ^ ОХ ^ р + г ЕК 2 Рассмотрев затем треугольник BED, найдём точно так же, что ОК ^ 2±i ЕК 2 Окончательно получаем простое соотношение р + г = q + t, откуда DT . — = t= p + r-q. ЕТ Из полученной формулы вытекает, что при некоторых начальных р, q, г отношение t может принимать и отрицательные значения. Посмотрите на рис. 247 и разберитесь в этой ситуации. А 28. В кубе ABCDA\B\C\Di отмечены центры нижней и верхней граней — точки О и Oi соответственно. Точка Р лежит на отрезке OOi (рис. 248). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку Р и параллельной прямым BD и АС\. Л В плоскостях АА\С\С и BDD\B\ проведём через точку Р прямые, параллельные прямым ACi и BD соответственно (рис. 249). Рассуждая точно так же, как и при решении упр. 26 (случай а), легко показать, что эти прямые лежат в секущей плоскости. Решения избранных задач 269 N Cl Рис. 248 Cl Т Таким образом, мы получили отрезки ST и QB, принадлежащие сечению. Далее строим следы ВТ и QT, а также точку М пересечения прямых ВТ и ВС. Эта точка принадлежит сечению и плоскости нижней грани, равно как и точка S. Проводим, наконец, прямую MS и строим ещё три следа. А 270 Решения избранных задач Рис. 250 29. Постройте сечение куба ABCDAiBiCiDi плоскостью, проходящей через точки А], С\ и параллельной прямой BDi (рис. 250). А Разумеется, сечение несложно построить, действуя так же, как и при решении предыдущего упражнения. В качестве вспомогательной плоскости следует выбрать плоскость BDD\B\. Посмотрите на рис. 251 и самостоятельно обоснуйте построение. Мы же приведём сейчас другое решение, основанное на приёме, который иногда используется в стереометрических задачах — запомните его! Именно, присоединим к исходному кубу ещё один, точно такой же — по общей грани ВСС\В\ (рис. 252). Четырёхугольник BDiC\B2 — параллелограмм (D\Ci = ВВг, D,Ci ||SB2)^SZ)i ЦВ2С1. В силу теоремы 18 прямая В2С1 принадлежит секущей плоскости. Осталось провести прямую В2А1 и отметить точку М её пересечения с ребром ВВ]. А Решения избранных задач 271 §15 14. Дан куб ABCDAjBiCiDj. Докажите, что сечение куба плоскостью, проходящей через середины рёбер AAj, АВ и ВС, является правильным шестиугольником. Л Обозначим середины рёбер AAj, АВ и ВС через М, N и К соответственно (рис. 253), а длину ребра куба через а. Прямая NK пересекает продолжение ребра DA в точке Е такой, что АЕ = ВК = а/2 (AEAN = ANBK), поэтому, продолжив ЕМ до пересечения с ребром AiD\ в точке Т, получим, что А\Т = ЕА = а/2, т. е. сечение проходит через середину Т ребра A\D\. Учитывая, что плоскость сечения пересекает параллельные грани по параллельным прямым, получим, что ТР II NK, но NK || АС, как средняя линия треугольника АВС, а АС || A\Ci, откуда ТР || AiCi, т. е. Р — середина ребра DiC\. Аналогично можно убедиться и в том, что L — середина ребра СС\. Итак, все стороны шестиугольника MNKLPT равны a\f2/2 (каждая из его сторон равна гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами а/2), а все углы равны 120° (например, I.TMN = 180° — /1EMN = 180° - 60° = 120°, поскольку треугольник EMN правильный). А 18. Дана четырёхугольная пирамида ABCDM, основанием которой является трапеция ABCD, точка Е лежит на ребре ВМ. Найдите сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку Е и параллельной прямым AM и ВС. Установите форму полученного сечения. Д Плоскости АВМ и ВСМ проходят через прямые AM и ВС, параллельные плоскости сечения, и поэтому пересекают её по прямым ЕК и EN, параллельным AM и ВС соответственно. Аналогично, плоскость сечения проходит через EN, но EN || ВС, откуда получаем ещё один след КР, где КР || ВС. Итак, для построения сечения достаточно провести через точку Е прямые ЕК || AM и EN || ВС, а через точку К — прямую КР II ВС. Полученный четырёхугольник EKPN 272 Решения избранных задач является трапецией (NE || РК). На рис. 254 точка Р лежит на DC, но она может лежать также и на AD (рис. 255). В последнем случае проведём через точку Р прямую PL параллельно AM и последовательно соединим точки Е, К, Р, L, N. Окончательно получим, что в сечении может получиться либо трапеция, либо пятиугольник. А 25. Площадь поверхности некоторого тетраэдра равна S. Найдите площадь поверхности тетраэдра с вершинами в центроидах граней данного тетраэдра. А Пусть PQ — средняя линия треугольника АВС, а Bj, Cj —центроиды граней ACD и ABD соответственно (рис. 256). По теореме о средней линии, PQ II CB.PQ = i СВ. По свойству медиан, = Р£х — По 2 PBi QCi 1 теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, BiCi || PQ. Следовательно, треугольник DPQ подобен (по двум углам) треуголь- 2 2 нику DB\C\ с коэффициентом подобия -. Поэтому В]С] = - PQ = 3 3 = - • i ВС = - ВС. Кроме того, в силу теоремы 4, BiCi || ВС. 3 2 3 Из аналогичных соображений, ВхА\ || ВА (Ai — центроид BCD), и В\А\ = - ВА. Стало быть, треугольник AiBiCj подобен треугольнику 3 АВС с коэффициентом подобия i. Площади подобных фигур относятся, 3 как коэффициент подобия в квадрате, и потому ^ Sabc- Такие же равенства получаем для остальных пар граней. Окончательно, площадь поверхности тетраэдра с вершинами в центроидах о S граней данного тетраэдра в девять раз меньше, т. е. Si = —. 9 Заметим ещё, что в силу теоремы 22 соответствующие грани обоих тетраэдров попарно параллельны. То есть, на самом деле тетраэдры Решения избранных задач 273 подобны друг другу (т. е. соответствующие грани параллельны, а отношение соответствующих рёбер постоянно и в нашем случае равно А О 28. Найдите геометрическое место середин всех отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых. Л Начнём с того, что проведём через скрещивающиеся прямые параллельные плоскости а и /3 (согласно следствию 10, это всегда можно сделать, причём единственным образом, см. рис. 257). Затем рассмотрим какой-нибудь отрезок PQ с концами на скрещивающихся прямых, и отметим точку О — его середину. Наконец, через точку О проведём плоскость у, параллельную, к примеру, плоскости а. По теореме 23 такая плоскость существует, причём только одна. (И по теореме 25 она также будет параллельна и плоскости /3). Докажем теперь, что плоскость у и есть искомое геометрическое место точек (ГМТ). Как и всякая задача на ГМТ, наша будет состоять из двух частей: а) нужно показать, что середина любого отрезка с концами на скрещивающихся прямых лежит в плоскости у; б) нужно показать, что любая точка плоскости у есть середина некоторого отрезка с концами на скрещивающихся прямых. Ограничимся доказательством п. а (приведённые ниже рассуждения несложно обратить и доказать с их помощью п. б — проделайте это самостоятельно). Итак, рассмотрим произвольный отрезок P\Q\ с концами на скрещивающихся прямых и пересекающий плоскость у в точке Oi. Покажем, что Oi — середина этого отрезка. Проведём прямую POi, пересекающую плоскость /3 в некоторой точке R (не лежащей на прямой Ь, иначе бы скрещивающиеся прямые а и h оказались лежащими в плоскости пересекающихся прямых PR и T^iQi). Очевидно, что прямые OOi и QR—параллельны (как лежащие в плоскости треугольника PQR, но также и в параллельных плос- 274 Решения избранных задач костях у и /3 соответственно). Поскольку О — середина PQ, то OOi — средняя линия треугольника PQR, т. е. Oi — середина отрезка PR. Заметим теперь, что прямая QiR параллельна прямой а (так как обе прямые лежат в плоскости пересекающихся прямых PR и PiQi, а также и в параллельных плоскостях /3 и а соответственно). Поскольку накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых третьей равны, то треугольник POiPi подобен треугольнику HOiQi с коэф- РОл фициентом подобия к = —= 1, т. е. треугольники равны! Отсюда ЛО1 заключаем, что PiOi = Q1O1. А § 16 13. На данном изображении треугольника постройте изображение медиан этого треугольника. Л Пусть треугольник AiBiCi является изображением треугольника АВС (рис. 258). Так как медианы делят пополам стороны треугольника и при параллельном проектировании отношение отрезков одной прямой сохраняется, то изображениями медиан АА' , ВВ', СС' треугольника АВС являются медианы А1А2, В1В2, С1С2 треугольника AiBiCi. А § 17 6. Биссектрисы плоских углов при вершине D произвольного тетраэдра ABCD пересекают рёбра ВС, СА и АВ в точках Aj, Bj, С\ соответственно. Докажите, что прямые A4i, BBj, CCj пересекаются в одной точке. Л Приведём два решения этой задачи. а) (формально-алгебраическое) Воспользуемся теоремой Чевы и основным свойством биссектрисы: В Ах СВх ACi _ BD CD AD _ ^ CAi ABi BCi CD AD BD Доказательство это вполне приемлемое, но геометрии в нём мало — скорее преобладают знания некоторых теорем и умение применять их в нужном месте и в нужное время (умение, весьма полезное при сдаче экзаменов). Однако настоящим любителям геометрии наверняка пришлось бы более по вкусу другое решение. (И пока вы не решите одну-другую сложную задачу подобным образом — т. е. геометрически — красота элементарной геометрии ускользает от вас.) Решения избранных задач 275 б) (геометрическое) «Улучшим» исходный тетраэдр, отложив на его рёбрах, исходящих из вершины D, отрезки равной длины: DA' = DB' = DC' (рис. 259). Имеем три равнобедренных треугольника DB'A', DC'A', DC'в', в которых исходные биссектрисы совпадают с медианами. Обозначим точки пересечения биссектрис со сторонами треугольника А'В'С' буквами А", В", С" соответственно. Тогда прямые А'А", В'В", С'С" пересекаются в одной точке, как медианы треугольника А'В'С'. Заметим теперь, что при центральной проекции из точки D на плоскость АВС прямые А'А", В'В", С'С" переходят в прямые АА], ВВь CCi соответственно. А значит, точка пересечения первой тройки прямых переходит в точку пересечения второй тройки. А 7. [Пространственная теорема Дезарга.) Треугольники АВС и A]BiCi лежат в разных плоскостях, а прямые, содержащие соответственные стороны треугольников, попарно пересекаются в точках Р, Q, R соответственно (например, точка Р — это точка пересечения прямых ВС и BiC] и т. д.). Докажите, что эти точки лежат на одной прямой. Л Решение очевидно, поскольку в силу аксиомы 3, различные плоскости пересекаются по прямой, а в силу аксиомы 2, прямые, содержащие стороны треугольников, лежат в соответствующих плоскостях (рис. 260), а значит, точки их пересечения принадлежат общей прямой этих плоскостей. Понятно, что эта теорема будет справедлива и в случае проективного пространства (обе аксиомы выполняются и там), когда мы считаем параллельные прямые пересекающимися в бесконечно удалённой точке. 276 Решения избранных задач Рис. 261 Посмотрите на рис. 261,а и 261,6. Каждый чертёж соответствует одному из случаев параллельности и иллюстрирует перевод с проективного языка на обычный. А 8. (Плоская теорема Дезарга). Треугольники АВС и AiBiCi лежат в одной плоскости (обычной) и прямые AAi, BBi, CCi пересекаются в некоторой точке О (иначе говоря, перспективны с перспек-тором в этой точке). Прямые, содержащие соответственные стороны треугольников, попарно пересекаются в точках Р, Q, R соответственно (например, Р является точкой пересечения прямых ВС и fiiCi и т. д.). Воспользовгшшись пространственной теоремой Дезарга и центральной проекцией, докажите, что эти точки лежат на одной прямой. Д Рассмотрим точку S, расположенную вне плоскости треугольников, и выберем точку Во на прямой SB. Имеем плоскость /3, проходящую через прямые SB и BBi (рис. 262). Отметим в этой плоскости точку в которой пересекаются прямые ОВо и SBi* Решения избранных задач 277 Обратим теперь внимание на треугольники АСБо и AiCj52. Как следует из условия, каждая пара соответствующих сторон лежит в одной плоскости (например, прямые СБо и С1Б2 лежат в плоскости прямых ОБ2, OCi). Значит, соответствующие стороны этих треугольников либо пересекаются, либо параллельны. Допустим, что они попарно пересекаются. В силу пространственной теоремы Дезарга, эти точки (обозначим их Р', Q', я! соответственно) лежат на одной прямой. Однако проекция с центром в S отображает треугольник АБоС на треугольник АБС, а треугольник А1Б2С1—на треугольник А1Б1С1. Поэтому точки Р', Q', Fd, лежащие на одной прямой, переходят в точки Р, Q, R, также лежащие на одной прямой. Поскольку теорема Дезарга справедлива в проективном пространстве, доказательство проходит и в случае параллельности какой-либо пары соответствующих сторон треугольников АСБо и А1С1Б2. Не боясь громких слов, можно сказать, что доказанная нами плоская теорема Дезарга — краеугольный камень проективной геометрии на плоскости. А 11. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной в точке Б лежит квадрат, а боковые рёбра равны (такая пирамида называется правильной четырёхугольной). Известно, что в сечении этой пирамиды получился правильный пятиугольник. Найдите отношение стороны основания к стороне этого пятиугольника'^ (рис. 263). Л Наверное, задача допускает стандартное, но достаточно скучное решение путём составления всевозможных алгебраических систем. Но есть и превосходное геометрическое. Пятиугольник ABMND является центральной проекцией с центром в вершине S правильного пятиугольника в сечении на плоскость основания пирамиды (рис. 264). Теперь нетрудно заметить, что при этой же проекции точка Q пересечения прямых SC, LM и PN переходит Автор этой задачи и приведённого ниже решения — И. И. Богданов. 278 Решения избранных задач в точку С (эти три прямые пересекаются в одной точке, поскольку прямая LM лежит в плоскости SBC, PN — в плоскости SDC, и прямая SC является линией пересечения плоскостей SBC и SDC). Очевидно также, что точка N переходит в себя, а точка Р — в точку D. Точка R пересечения прямых LK и PN, лежащая на прямой, параллельной CD и проходящей через точку S, переходит в бесконечно удалённую точку прямой CD (поскольку плоскости SAB и SDC пересекаются по прямой, содержащей точку S и бесконечно удалённую точку прямой CD — в силу параллельности прямых АВ и CD). Итак, имеем проективное соответствие: Q —>■ С, iV, Р —> D, Д —> (CD)^. Согласно теореме 31, должно сохраняться сложное отношение четырёх точек: DC D(DN)^ (PN,QR)={DN,C(DN)^) NC N(DN)^ Последнее отношение в этом равенстве равно единице (см. п. 78), - Nc' FM FK FM ЕК поэтому {PN,QR) Но (PN, QR) = (FE, МК) —. Из тех же соображений, NC МС (рис. 265). Как ЕМ ЕК ЕМ FK известно, каждое из отношений в правой части равно числу Фидия DC __ф2___ 3 + \/5 NC 2 Поскольку MN = \/2МС, имеем = 3_+_у^^ ^ Ф Поэтому 2 МС MN v/2 МС 2s/2 § 18 3. Из некоторой точки О пространства выходят три луча. Докажите, что сумма косинусов всех 3 2 углов между парами лучей не меньше Л Рассмотрим единичные векторы еа, еь, вс с общим началом в точке О, направленные вдоль лучей. Введём обозначения: а = Z.BOC, ,5 = /.СОА, у = /АОВ (рис. 266). О Рис. 266 Решения избранных задач 279 Тогда О ^ ( во + е(, + €с ) = = 3 + 2 (cos а + cos /3 + cos у) —^2 —^2 —^2 л—^ ^ л—^ ^ л—^ ^ ~h ~h + 2ва • • €с + 2бс * — (cos а + cos /3 + cos т) ^ ~ ~ • § 19 4. В параллелепипеде ABCZJ^iBiCiDi на диагонали АС выбрана точка Р, а на диагонали DAi точка Q, так что PQ || B£>i. Найдите отношение -1^^. IBBlI Д Введём базисные векторы ~х = А^, у = аЬ, ~г = Aa| и разложим векторы по базисным векторам, т. е. найдём их координаты (рис. 267). Имеем: аР + р^ + ^ = а^=~у Di — по правилу пространственного многоугольника (с. 133). Но аР = рХё = р(1с и Qp — яА\Ь — q по теореме 34. Значит, ^=~У -р{х + ~y')-q {у + = = -рл: + (1-р-9)'р Л-уР. X В Рис. 267 Кроме того, очевидно, что BD\ = —У ^ = —Х+1/ + 2 И, так как по условию векторы BDi коллинеарны, найдётся число г такое, что Р^ — rBD\ (найдя это число, мы и решим задачу). Но, поскольку разложение по базису однозначно, приравняв соответствующие коэффициенты при базисных векторах, получим систему: -Р = -г, \-p-q = r, q^r, откуда без труда находим, что г = 1. 3 При решении этой задачи мы ещё воспользовались тем, что если вектор умножается на число, то его координаты в каком-либо базисе 280 Решения избранных задач также умножаются на это число — факт довольно очевидный, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения —см. упр. 9,6). А 8. Докажите, что для того чтобы три вектора 7 были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали числа р, q, г, одновременно не равные нулю и такие, что > —> —► —+ ра -h q о + ГС = 0. д —у —у —г 1Л а) Пусть векторы а, & и с компланарны, тогда возможны два случая: —> —> 1) векторы а VL о коллинеарны; —у —у 2) векторы а и Ь неколлине^ны; В первом случае а = kb. Поэтому а — kb =1-а + —У —у —^ —у + (—k) ■ б + о • с = о . в этом равенстве коэффициент при а , равный 1, отличен от нуля. Во втором случае неколлинеарные векторы а и Ь можно принять за базис плоскости, в которой лежат векторы а, Ь -у и с , отложенные от одной точки. —У —^ ^ ^ ^ —У —^ Тогда с = р а + q о , откуда ра q Ь + (—1) • с = 0 , где —у коэффициент при с отличен от нуля, б) Пусть pa+qb+rc = 0 и пусть, например, г ^ 0. Тогда ~с = j ^ 2^ "б = ^ где 01 = 1^- 2 j -И) —^ ^ Векторы с, О] и О), очевидно, компланарны, а так как векторы fli и 01 коллинеарны векторам а и о соответственно, ТО компланарны и векторы а, Ь и с . А 21. Докажите, что векторы хё и перпендикулярны тогда и только тогда, когда АС^ + BD^ = AD^ + ВС^. Д Это утверждение является немедленным следствием более общего: Для любых четырёх точек А, В, С, D выполняется равенство: —)• г>1 ь. 2А^ сЬ = AD^ + ВС^ - А& - BD^. В самом деле. 2АЙ ci> = 2лё (aJ^ - = 2АЙ ■ аЬ - 2A^A^. Применив теорему косинусов к треугольнику BAD, получим, что 2АЙ аЬ = АВ^ + AD^ - BD^. Решения избранных задач 281 Применив её же к треугольнику ВАС, имеем 2а2 • = = АВ^+АС^-ВС^. Остаётся только из первого равенства вычесть второе и воспользоваться тем, что аЙ аЗ-А^ ^ = (АЬ-Ад)=АЙ ci = 0. §21 8. Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости с помощью векторов. Л Пусть прямая а перпендикулярна пересекающимся прямым а и с плоскости а. Покажем, что в этом случае прямая а перпендикулярна любой прямой плоскости а. В самом деле, поскольку прямые Ь и с пересекаются, то направляющие векторы о и с этих прямых можно принять за базис плоскости ос и тогда направляющий вектор произвольной прямой плоскости ос можно представить в виде линейной комбинации векторов Ь и ~с:^ = -I- г^. Найдём скалярное произведение векторов а и а ■ а = а(дЪ + г с) = д а ■ Ъ -|-га • с =0, так как а ■ о = а ■ с = 0в силу перпендикулярности вектора а векторам Ь и с. Но это означает, что направляющие векторы прямых а и d, а, следовательно, и сами прямые and а и ~Й. перпендикулярны 9. Докажите, что диагональ ACi куба ABCDAiBiCiDi перпендикулярна плоскости A\BD (рис. 268). Л Рассмотрим плоскость ACCiAi диагонального сечения куба и покажем, что прямая BD перпендикулярна этой плоскости. Для этого достаточно доказать, что BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ACCiAi. Действительно, BD 1 АС, так как диагонали квадрата ABCD перпендикулярны, и BD 1 С] С, поскольку С\С перпендикулярна плоскости ABCD и, следовательно, лежащей в этой плоскости прямой BD. Итак, BD перпендикулярна плоскости ACCiAi, а значит, и диагонали ACi, т. е. ACi J- BD. Аналогично доказывается, что ACj 1 AjB, т. е. АС\ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AiBD, откуда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что ACi перпендикулярна плоскости AiBD. А 11.1175 282 Решения избранных задач D D Рис. 270 15. Точка Р лежит на ребре AD, а точка Q — на ребре АВ правильной треугольной пирамиды ABCD. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку Р и перпендикулярной прямой CQ. Д Согласно теореме 40, такая плоскость существует и причём только одна. Пусть DD\—высота пирамиды. Проведём прямую РР\, параллельную высоте. Точка Pi пересечения этой прямой с основанием лежит на медиане основания ADi. Поскольку высота DD\ перпендикулярна плоскости основания, прямая PPi также будет перпендикулярна этой плоскости. (Докажите этот факт самостоятельно при помощи векторов. Геометрическое доказательство будет рассмотрено чуть позже; см. теорему 46.) Из точки Pi опустим перпендикуляр на прямую CQ. Теперь возможны два случая: а) Перпендикуляр пересекает сторону АВ основания (рис. 269). Обозначим точки пересечения перпендикуляра со сторонами АС и АВ буквами R и Т соответственно. Тогда искомым сечением будет треугольник PRT. Действительно, построенная плоскость будет перпендикулярна прямой CQ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 39) — так как PPi ± CQ и ВТ ± CQ. б) Перпендикуляр пересекает сторону ВС основания (рис. 270). Обозначим точки пересечения перпендикуляра со сторонами АС и ВС буквами R и Т соответственно. В этом случае сечением является четырёхугольник RPNT, изображённый на рисунке. (Мы продолжили прямые RT и АВ до пересечения в точке М, принадлежащей секущей плоскости и плоскости ADB, а затем провели прямую МР до пересечения с ребром DB в точке N.) А Решения избранных задач 283 16. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD, причём её боковые грани — остроугольные треугольники. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярной ребру SB. ^ Л Опустим из точки А перпендикуляр АР на ребро SB (по условию, треугольник ASB остроугольный, поэтому точка Р лежит на отрезке SB, а не на его продолжении, рис. 271). Поскольку треугольники ASB и BSC равны, то СР ± SB. Треугольник АРС тогда и будет искомым сечением, так как содержит две прямые (АР, СР), перпендикулярные SB. Заметим ещё, что при построении сечений, разумеется, в каждой отдельной плоскости разрешаются все построения, осуществимые там при помощи линейки и циркуля. В частности, построение перпендикуляра из данной точки к данной прямой — допустимое. А Рис. 271 §22 7. Докажите, что если в пирамиде все рёбра наклонены под одним и тем же углом к основанию, то около основания можно описать окружность, причём высота пирамиды падает в её центр. Д Пусть дана п-угольная пирамида SAiA2-..An, боковые рёбра которой образуют с основанием А\А2- -Ап один и тот же угол (р Проведём высоту SO пирамиды и рассмотрим п прямоугольных треугольников вида SOAi (один из которых изображён на рисунке). Все они будут равны друг другу (по углу и катету). Значит, ОА\ = OAz = ... = ОАп, т. е. точка О равноудалена от вершин основания (рис. 272) и, значит, совпадает с центром описанной около основания окружности. Заметим ещё, что равенство углов можно было поменять на равенство боковых рёбер — эти условия эквивалентны. А 12. Докажите, что скрещивающиеся рёбра правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны. А В правильной треугольной пирамиде ABCD проведём высоту DD\. Тогда прямая ADi, расположенная в плоскости основания АВС, является проекцией наклонной AD (рис. 273). 284 Решения избранных задач D Рис. 274 Кроме того, £>1 — центр правильного треугольника АВС (см. определение правильной пирамиды в конце п. 129), следовательно, ADi ± ВС. Тогда из теоремы о трёх перпендикулярах (теорема 43) вытекает, что AD 1 ВС. Для полной ясности представим исполнителей главных действующих лиц только что разыгранной сцены: плоскость: АВС; наклонная к плоскости: AD; проекция наклонной: ADi; прямая в плоскости: ВС. Аналогично доказывается перпендикулярность и двух других пар скрещивающихся рёбер. А 13. Докажите, что в правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно несмежной с ним диагонали основания. Д В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD проведём высоту SO. Тогда диагональ основания BD, расположенная в плоскости основания ABCD, является проекцией бокового ребра SB (рис. 274). Однако BD 1 АС, как диагонали квадрата. И тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, SB 1 АС. А 14. Ортоцентрический тетраэдр. Тетраэдр, в котором высоты пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим. Существует много условий, равносильных этому определению. Перечислим некоторые из них. 1. Хотя бы одна из высот падает в ортоцентр (точку пересечения высот) грани. 2. Все высоты падают в ортоцентры соответствующих граней. 3. Противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны. 4. Суммы квадратов длин противоположных рёбер равны. 5. Бимедианы тетраэдра равны (напомним, бимедиана — отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер). 6. Перпендикуляры к граням тетраэдра, восстановленные в их центроидах (точках пересечения медиан) пересекаются в одной точке. Решения избранных задач 285 D Рис. 275 Попробуйте доказать как можно больше из приведённых выше свойств. Но сначала приведите пример тетраэдра, в котором высоты не пересекаются в одной точке. Л Рассмотрим какой-нибудь треугольник АВС с углом при вершине В не равным 90°, затем из этой вершины восстановим перпендикуляр к плоскости АВС и выберем на перпендикуляре произвольную точку D. Тетраэдр ABCD доставляет нам искомый пример (рис. 275). Действительно, DB — высота к грани АВС, поэтому, если бы высоты пересекались в одной точке, то эта точка обязана была бы лежать на прямой DB. Значит, высота, опущенная из вершины С на плоскость ABD должна совпадать с отрезком СВ (из одной точки можно опустить только один перпендикуляр на прямую), следовательно, СВ LAB. Получили противоречие с выбором угла В. А Далее остановимся на доказательствах некоторых из перечисленных утверждений (1-6). Само определение будем обозначать цифрой 0. А (0) ^ (2) Рассмотрим две высоты CCi и DD\, пересекающиеся в точке Н (рис. 276). СН = CCi L ADB =Ф- СН L АВ — прямой в плоскости АВС. CDi — проекция наклонной СН на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах, CD\ X АВ, т. е. CD\ — высота основания АВС. Аналогично доказывается, что и DC\ — высота основания ADB. Рассмотрев ещё две высоты тетраэдра, проходящие через ту же саму точку Н и повторив предыдущие рассуждения, приходим к (2). А Л (1) ^ (3) (рис. 277) Пусть, для определённости, DDi — высота тетраэдра, причём точка Di — ортоцентр треугольника АВС. Тогда высота ADi, перпендикулярная ребру ВС — проекция ребра AD на плоскость АВС. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах, AD L ВС. D D Рис. 276 286 Решения избранных задач D D Рис. 278 Рис. 279 Точно так же, рассмотрев две другие высоты, установим перпендикулярность ещё двух пар рёбер. А А (3) => (2) Здесь рассуждаем так же, как и в предыдущем пункте, с тем небольшим отличием, что ранее мы из перпендикулярности проекции выводили перпендикулярность наклонной, а теперь выводим обратное. Понятно, что рассуждения не зависят от выбора грани тетраэдра, проекции на которую рассматриваются. А А (3) (4) См. § 19, упр. 21. А А (3) (5) (рис. 278). Рассмотрим два параллелограмма с вершинами в серединах рёбер, стороны которых параллельны соответствующим рёбрам тетраэдра. Бимедианы являются диагоналями этих параллелограммов. Если противоположные рёбра перпендикулярны, то параллелограммы «превращаются» в прямоугольники. Диагонали прямоугольника равны, и оба прямоугольника имеют общую диагональ. Значит, равны и общие диагонали. Обратно, из равенства диагоналей заключаем, что параллелограммы являются прямоугольниками, откуда вытекает перпендикулярность соответствующих рёбер. А А (0)«-(6) Этот тетраэдр рассматривался в § 15, упр. 25. Там было установлено, что он подобен исходному, причём его грани соответственно параллельны граням исходного тетраэдра. А отсюда следует, что перпендикуляры к граням исходного тетраэдра, восстановленные в центроидах, в подобном тетраэдре (с вершинами в центроидах) будут высотами. Понятно, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда высоты в любом подобном ему тетраэдре пересекаются в одной точке (рис. 279). А Решения избранных задач 287 16. (Мехмат МГУ.) В треугольной пирамиде ABCD высота, проведённая из вершины D, проходит через точку пересечения высот треугольника АВС. Рёбра DB и DC перпендикулярны, причём ^DAB DB — Ь, DC = с. Найдите отношение площадей Sdac Д Из условия и из свойств 1 и 3 ортоцентрического тетраэдра следует, что противоположные рёбра пирамиды ABCD перпендикулярны. Значит, АВ ± CD. Кроме того, по условию, BD ± CD. Поэтому, в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости, CD 1 ABD ^ CZ> 1 АП => Sadc = \dC АП = |с • АП. Совершенно аналогично, Sadb — ~ АП. Тогда ^РАВ ^РАС 29. Объясните геометрический смысл расстояния от точки до полуплоскости, рассмотрев различные положения точки. А Пусть полуплоскость а ограничена прямой а. Выберем на этой прямой произвольную точку Т и восстановим в ней перпендикуляр Ь ко всей плоскости а. Теперь проведём плоскость /3 через прямые а и Ь. Ясно, что если точка Р находится «правее» плоскости jS, то искомое расстояние от неё до полуплоскости а есть просто длина перпендикуляра РР\ (рис. 280). Если же точка М расположена «левее» плоскости j3, то опустим из этой точки перпендикуляр на прямую а. Его длина ММ\ и будет искомым расстоянием. Действительно, пусть Мг — произвольная точка полуплоскости, отличная от Ml и не лежащая на прямой а (если Мг € а, то, очевидно, ММ\ < ММ2). Восстановим в полуплоскости перпендикуляр с в точке М\, а плоскость, проходящую через прямые ММ\ и с обозначим буквой у. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, а 1 у. Далее из точки Мг проведём прямую, параллельную прямой а. Пусть N — точка её пересечения с прямой с. Треугольник МЛГМг тогда является прямоугольным, следовательно, ММг > МЛ^(гипотенуза больше катета). Но MN > ММ\, так как, очевидно, ZMMiN > 90° и, значит, является наибольшим углом треугольника MM\N. А в треугольнике против наибольшего угла лежит и наибольшая сторона. А 288 Решения избрзнных задач §23 4. Докажите при помощи векторов, что если из двух параллельных прямых одна перпендикулярна плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна этой плоскости. А Пусть прямые а и Ь параллельны, причём прямая а перпендикулярна плоскости а. Обозначим направляющие векторы прямых а —^ ^ ^ И Ь через а и Ь соответственно. Тогда вектор а перпендикулярен любому вектору, параллельному плоскости а. Возьмём в плоскости а —^ ^ -Ш-Г —^ ^ ^ ^ неколлинеарные векторы с\ и сг. Поскольку а _L ci и а I. С2, то а Cl = а • С2 = О, но о к - а , так как векторы а и Ь коллинеарны, откуда Ь ■ с\ = Ь • С2 = О, т. е. Ь 1 ci и Ь 1 сг, поэтому прямая перпендикулярна плоскости а по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. А §24 15. а) Докажите, что если в некоторой пирамиде двугранные углы при основании равны, то в основание можно вписать окружность, причём высота падает в её центр; *б) Как изменится формулировка предыдущего утверждения, если фразу «двугранные углы при основании равны» заменить фразой «плоскости боковых граней образуют с плоскостью основания одинаковые углы»? *в) В треугольной пирамиде ABCD заданы рёбра а = ВС = 5, Ь = СА = 6, с = АВ = 7 и высота h = DDi = 1. Известно, что плоскости боковых граней образуют с основанием АВС один и тот же угол. Какие значения он может принимать? ^ Л а) Итак, пусть дана п-угольная пи- рамида ЗАхАг - Ап, причём двугранные углы при основании AiAz - An равны (р (рис. 281). Проведём высоту SO пирамиды и рассмотрим п прямоугольных треугольников вида SOHi, где Hi — основание высоты, опущенной из вершины на соответствующее ребро основания (один из которых изображён на рисунке). OHi — проекция соответствующей высоты на основание, и по теореме о трёх перпендикулярах, OHi ± AiAi+i, i < п(ОНп 1. AnAi) — поэтому все углы вида /SHiO есть двугранные углы при основании, и, в силу условия, равны друг другу и равны гр. (Заметим, что из условия следует также, что все двугранные углы будут острыми, так как не Решения избранных задач 289 Рис. 282 существует пирамиды, у которой все двугранные углы при основании одновременно или прямые или тупые.) Тогда прямоугольные треугольники ZSHiO будут друг другу равны (по углу и катету). Значит, ОН\ = ОН2 = ... = ОНп — т. е. точка О равноудалена от сторон основания. б) Утверждение в этом случае будет выглядеть так: Существует окружность, касающаяся некоторых сторон основания и касающаяся продолжения некоторых сторон, причём высота пирамиды падает в её центр. Например, в случае треугольной пирамиды получаем следующее: Если в треугольной пирамиде плоскости боковых граней образуют с плоскостью основания одинаковые углы, то высота пирамиды либо падает в центр вписанной в основание окружности, либо в центр одной из трёх вневписанных в основание окружностей (напомним, что вневписанной в треугольник окружностью называют окружность, касающуюся одной стороны треугольника и продолжения двух её сторон — центр вневписанной окружности находится на пересечении одной внутренней и двух внешних биссектрис углов треугольника — одна из трёх вневписанных в треугольник окружностей изображена на рис. 282,а). Как видим на рис. 282,6, здесь двугранный угол при ребре ВС тупой, и он дополняет два других острых двугранных угла при основании до 180°. Однако углы при основании, как углы между плоскостями, равны друг другу. Опять же возникают три одинаковых прямоугольных треугольника и высота падает в центр соответствующей вневписанной окружности. Очевидно, что если в треугольной пирамиде ABCD с основанием АВС двугранный угол с ребром, проходящим через сторону основания, тупой, то высота DD\ падает в ту полуплоскость, ограниченную ребром, которая не содержит третьей вершины треугольника АВС, если же этот угол острый, то ситуация обратная. 290 Решения избранных задач Рис. 283 Отсюда следует, что если, например, угол при ребре ВС тупой, а два другие — острые, то высота пирамиды падает в область, ограниченную отрезком ВС и продолжениями двух других сторон, как показано на рис. 283 (это и есть пересечение трёх соответствующих полуплоскостей). Если же тупыми будут двугранные углы при рёбрах АВ и АС, а угол при ребре ВС — острый, то получим область, ограниченную продолжениями прямых ВА, СА за точку Л (рис. 284). Трёх тупых (или прямых) двугранных углов при основании быть не может, поскольку в этом случае три соответствующие полуплоскости пересекаются по пустому множеству. Более того, если все три угла при основании равны (как углы между плоскостями), то среди них может быть лишь один тупой двугранный угол, ведь если бы их было два, то должны были быть равны между собой три перпендикуляра ha. Ль, he (рис. 285). Но это невозможно, поскольку точка Dy должна лежать на пересечении соответствующих биссектрис, которые на самом деле не пересекаются. в) Согласно п. б, возможны четыре случая: высота DDi падает или в центр вписанной окружности, или в центр одной из вневписанных. 5-Ьб + 7 Найдём Бдзе по формуле Герона. Так как р р - Ь = 3, р - с = 2, то 9,р-а = 4, S = \/р{р - а)(р - Ь)(р - с) = 6v/6. Кроме того, помимо известной формулы S = р ■ г, справедливы и аналогичные формулы для радиусов вневписанных окружностей: 8-(р-а)га=(р-Ь)гь = (р-с)Гс (проверьте!). Решения избранных задач 291 £>1 Рис. 286 ^ 2\/2 3\/3 Отсюда следует, что г = —Га = —V v/3 \/2 Г/, = 2\/б, Гс = 3\/б. Поскольку тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равняется отношению высоты пирамиды к соответствующему радиусу вписанной/вневписанной окружности, имеем один из четырёх вариантов: v/3 tgqi: 1 1 2V/2' 23. Дан куб ABCDAiB\C\D\, ребро которого равно а. Найдите расстояние между прямыми BD и D\P, где Р — середина ребра CD, и постройте общий перпендикуляр этих прямых. Л Фактически расстояние было уже найдено при решении задачи 23 из п. 165. Найдём теперь искомое расстояние геометрически. Для этого «удвоим» исходный куб (рис. 286). Найдём расстояние методом проекций. Понятно, что плоскость A\CiCzA2 перпендикулярна прямой BD, так как АС J. BD (как диагонали квадрата) и AiAz 1 BD (боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания). Ясно также, что прямая D\P при проекции на эту плоскость перейдёт в прямую О1С2 (l?i 0\, С2 Сг), причём точка Т пересечения О1С2 с плоскостью ABCD является серединой 292 Решения избранных задач отрезка О1С2. Расстояние будет равно высоте ОВ прямоугольного треугольника OjOT, в котором OOi = а, ^l0l0l + 02Cl 4а2+^ За 2У2’ ОТ= v'0ir2-0i02 = -fl2= 8 2v/2 Искомое расстояние определим теперь, двумя различными способами вычислив площадь треугольника 0\0Т. С одной стороны, 5д = 5д = -OR OiT = 1 . 2 2 2У2 получим ответ: с другой- : -OOl ■ ОТ = i 2 2 2ч/2 ОД. Приравняв теперь оба выражения. p(BD,DiP) = OR= 2. 3 Наконец, построим перпендикуляр к этим прямым. Очевидно, что параллельными плоскостями, содержащими скрещивающиеся прямые, будут плоскости BDQ2P2 и BiDiCz (Q2. Рг — середины соответствующих рёбер), так как BD || B\Di, а BQ2 || В1С2 как средняя линия треугольника ВхВгСг- Кроме того, ОД 1 B1D1C2 (OR 1 С2О1 по построению и C2D1 ± ОД по теореме о трёх перпендикулярах). Проведём через точку Д прямую, параллельную BD (и параллельную средней линии QP треугольника ВВС) до пересечения с прямой В\С2 в какой-то точке М. В заключение опустим из М перпендикуляр на BD (или, что то же самое, проведём параллель к прямой ОД) и отметим основание перпендикуляра — точку N. Отрезок MN и есть искомый. А 37. (МИЭМ). Одна из сторон равностороннего треугольника образует с некоторой плоскостью л угол а, а другая — с той же плоскостью — угол [3. Найдите угол между плоскостью треугольника и плоскостью л. Л Решение этой задачи основано на применении так называемой теоремы о трёх синусах. Сформулируем и докажем эту теорему. Теорема (о трёх синусах). Пусть две плоскости д, 5i пересекаются по прямой I, прямая а расположена в плоскости 5 и образует Решения изфанных задач 293 с линией пересечения угол = в, а с плоскостью 6i образует = (р. Угол между плоскостями ^5, = ц>. Тогда справедливо равенство-, sin (|/ = sin 0 • sin (J3 (рис. 287). А Доказательство несложно. Рассмотрим какую-нибудь точку Р ^ а и её проекцию Pi на плоскость 5i, а также точку Н — основание перпендикуляра, опущенного из Р на линию пересечения I. Точку пересечения прямых а, I обозначим буквой А. Тогда ZPAH = (a,lj = 9, ZPAPi = (^а, 5i) = ф, ZPHPi = (8, 5i) = 9 (последнее равенство следует из теоремы о трёх перпендикулярах и определения угла между плоскостями). Из прямоугольных треугольников PH А, РР\, РР\А, РР\Н имеем, соответственно: PA sinO— PH, РА -sin ф = РР\ и РЯ • sin = PPi. Приравняв левые части последних двух равенств, подставив в новое равенство значение PH из первого равенства и сократив на РА, получим требуемое соотношение: sin = sin б • sin f. И поскольку синусы углов, дополняющих друг друга до развёрнутого, равны, ясно, что соотношение осталось бы справедливым, если бы мы вместо угла между плоскостями рассмотрели линейную величину соответствующего двугранного угла. А Вернёмся теперь к задаче. Пусть стороны треугольника пересекают плоскость п в точках Bi, С]. Пусть, дгшее, ZABiCi = 9i и ZACiBi = 02 (рис. 288). По условию, ^ABi, = а, = /3. Обозначим искомый угол . АВС, буквой (р. 294 Решения избранных задач Дважды применив теорему о трёх синусах (к прямым ABi, ACi соответственно), придём к системе: sin а = sin ij) • sin , sin /3 = sin (j3 • sin 02- Ho sin 02 = sin (120° —01) = — cos0i + -sin0i. Подставив во второе 2 2 • д sin at уравнение системы равенство sin c>i =-------, получим, что sin <р ■ /9 \/3 . д 1 . а 2 sin В — sin at smp = — sin cocos 01 + - sin а => cos 0i =-^—=— . 2 2 VSsintp Таким образом, мы пришли к равносильной системе ■ а sin а вш UI =-----, sin (р А 2 sin/3 —sin а cos Wi =-----р-------. \/3sin(jp Возведя обе части в квадрат и сложив полученные равенства, получим: 1 • 2д , 2д 3sin^a + sin^a + 4sin^i3 - 4sina • sinjS ^ 1 = sm 01 + cos 01 = -----------------------^ =?■ 3sin (p 1 2 / sin^ g + sin^ /3 - sin a ■ sin /3 3 §25 6. Известно, что ортогональной проекцией некоторого тела при ортогональном проектировании на две различные плоскости являются круги. Докажите, что радиусы обоих кругов совпадают. Л Обозначим плоскости буквами а и /3. Если плоскости параллельны, то утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда они пересекаются по некоторой прямой I. Ортогональное проектирование данного тела на прямую I можно представить как композицию (последовательное выполнение) двух ортогональных проектирований: сначала на любую плоскость у, содержащую прямую I, а потом — на саму прямую I. Это следует из теоремы о трёх перпендикулярах. (Фактически это и есть сама теорема о трёх перпендикулярах, см. рис. 289.) Кроме того, ортогональная проекция круга на любую прямую, расположенную в его плоскости представляет собой отрезок, равный Решения избранных задач 295 Рис. 290 по длине диаметру круга (рис. 290). Отсюда и вытекает утверждение задачи. А §27 1. Докажите, что если ортогонально спроектировать вектор ~а на плоскость, перпендикулярную вектору о, полученный вектор а\ повернуть в этой плоскости на прямой угол так, чтобы поворот из конца вектора Ь был виден происходящим по часовой стрелке, а затем умножить повернутый вектор аг на | о |, то получим вектор аз, равный векторному произведению векторов а и о : = а х о . А В с£1Мом деле, вектор аз перпендикуля- рен плоскости, содержащей векторы а и о (рис. 291), поскольку Ь 1 а и, следовательно, —У —у —у —у о ± аз, а векторы аз и ai перпендикулярны по построению. По условию векторы Ь, ai и аз, а значит, и векторы Ь, а , аз образуют левую тройку, но тогда тройка векторов а, Ь, аз является правой. С другой стороны, [o^l = 1^11^1 = |^||at|, но I b I равен основанию, а |ai| —высоте параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Таким образом, |аз| равен площади параллелограмма, постро- -> енного на векторах аир, откуда следует, что —У—У~^ А аз = а X О . ш 296 Решения избранных задач 2. Докажите распределительный закон векторного произведения. А Отложим векторы ~а и ^ от точки О, а вектор ^ —от конца А вектора ^ (рис. 292), тогда 0Ё = ^ Спроектируем треугольник ОАВ на плоскость а, проходящую через точку О, перпендикулярно вектору с , и повернём полученную проекцию OAiBi в плоскости а вокруг точки О на угол 90° так, чтобы из конца вектора с этот поворот был виден происходящим по часовой стрелке. Обозначим треугольник, полученный в результате поворота, через ОА2В2 и умножим векторы, являющиеся сторонами этого треугольника, на | с |. Тогда треугольник ОА3В3 подобен треугольнику ОАгВг- Используя результат предыдущего упражнения, можно записать ОА3 = а X с , А3В3 = Ь X с, ОВ3 = (а + Ь)х с но ОВ3 = ОА3 +Л3В3, поэтому (а о) X с = а X с -\- о х с . Г% ТТ -^ ^ ^ ^ ^ о. Докажите, что а х(Ь + с) = а х о + а х с . А На основании свойства 1 векторного произведения имеем: ^ X (^ + ^) = -(^ + ^) X ^. Согласно распределительному закону, доказанному в упр. 2, (Ь + с)ха = Ьха + сха, поэтому ~а X = —(^ -\-~с) х~а — -4^-4 -> ->-4—4-4 = — Ьха — сха^ахЬ-\-ахс. Решения избранных задач 297 §28 5. Рассмотрим три плоскости, каждая из которых содержит ребро и биссектрису противоположного плоского угла при вершине данного трёхгранного угла. Докажите, что эти плоскости имеют общую прямую (так называемую медиану трёхгранного угла). Д Отложим на рёбрах трёхгранного угла равные отрезки SA, SB, SC. Тогда получим три равнобедренных треугольника с общей вершиной S (рис. 293). В равнобедренном треугольнике соответствующая биссектриса совпадает с медианой, откуда следует, что прямые AAq, BBq, CCq пересекаются в точке G — центроиде треугольника АВС. Поэтому указанные плоскости имеют общую прямую SG. А Рис. 293 Пора отдохнуть Философу, физику и математику требуется решить такую задачу: прыгнуть с вышки в бассейн диаметром 1 метр. Ну, философ сосредоточился, вспомнил Сократа и Гегеля и, понадеявшись на удачу, прыгнул. И... не попал. Физик измерил скорость и направление ветра, высоту вышки, всё рассчитал, прыгнул и ... попал. Математик построил модель, написал программу, получил траекторию полёта, долго что-то вычислял, потом разбежался, прыгнул и ... улетел вверх. В знаке ошибся. История пятого постулата вдохновила известного французского карикатуриста Жана Эффеля на смешной и глубокий сюжет: он нарисовал Господа Бога, который даёт урок геометрии юному Адаму. Бог стоит перед доской, на доске изображены два отрезка параллельных прямых, и Бог объясняет: «Вот две параллельные прямые. Они пересекаются только в бесконечности. Доказать этого нельзя, но я сам видел». (Цит. по книге; С. Н. Федин, «Математики тоже шутят». — М., 2009) ОТВЕТЫ § 12 3. 12 спичек, из которых можно собрать каркас куба § 13 27. v/6l § 19 20. Пусть длины рёбер тетраэдра ABCD равны АВ = с, ВС=а, СА — Ь, AD = a\, BD = b\, CD = c\, а точки М к N — середины рёбер АВ и CD. Тогда MN= 1 yJa^+b^ + a^+b^-c^-Cy §20 1. а) -46,5, б) -491, в) 2,75. 3. Va^+b^ + c^. ______________3______________________ 4. y/a^ + b^+c^-i- 2ab cos у + 2ac cos /3+ 2bc cos a. 6. a^\/3. 7. arccos(sin asin/3). 12. a) да, 6) нет, в) да. 1 ^ --------- 15. а) arccos ( —~ ), б) arccos V2/14 \\/66 §21 19. а при а>Ь §22 20. -. 21. — Vb^ + 2a^ при а<5 и Vb^+2a^-(2а^-Ь^) 2Ь 2а^ 22. as/l4 23 о\/3 3 28. arcsin 24. 90°. 25. 2 arcsin 26. 69; 100. 27. 12 §23 7. ,5 см. 8. .Зм. 10. а V3 11. —. 12. .5 см. 13. б) Нужно ряссмот- 3 6 реть расстояния а, Ь, с с определённым знаком: «плюс», если соот- Ответы 299 ветствующая вершина расположена по одну сторону плоскости, и «минус» — если по другую. Тогда искомое расстояние будет равно [?+А±£1. §24 11. 130 см. 13. arccos в) arctg\/2 и 55°, г) arccos 70,5°. 14. 60°. 16. а) 90°, б) 45°, ^ W 35°. 17. а^. 18. d] = —, 3 2 V2 . 19. а^. 22. d^. 23. -. 24. 25. 2а _ . _________ . ______ . \/а^+с^ 3 6 3 \/3 26. arctg>/2. 27. 28. а) 2arctg(cos а), б) 2 arccos 16 i-----У \/2sin(a/2)/ 29. -. 30. д—arccos(cos^а). 31. 2\/3. 32. 2arcsin ( ——У 33. arcsin,/-; а^ —. 34. arctg ^\/2ctgay 69^. 39. а cos -2 V 2 35. 40. 4а^ cos^ а (2 cos 2а+1)^ 2 ■/41* 41. 8. 36. arctg^. 38. 23^, 2 2 42. а^^. 43. —. 2 n/5 §25 7. l' = I cos й 8. cos и = i, а = arccos i « 70,53° 9. 45® 10. — 3 3 Q 11. %/fe 12. lOcM^. 14. a) 60°, 6)0°. 15. S2 = Sjtg^, где Si, S2 — площади соответственно горизонтальной и вертикальной проекций фигуры площади S. 24. а^\/3. 29. arccos 31. 33. а—. 38. а^ — при 0 < а < arccos-, ^ при У 2 2 4 3 6 cos а arccos - <а< -. 3 2 §26 5. а) 1^, б) в) , г) б1^, д) i , е) 12у -i-lSA, §27 4. Й=3't + 107-6t,\Й\ = ^/Ш. 5. а) ^ X а, б) 34-36 х^4-2^ х~с +~с х^, в) а^Ь^. 300 Ответы 6. а) 2 t +16 j -6k , б) -4, в) —8 i —64 ; +24А , г) —28 i -224 j +84Л , д) 2^/n. 7. a) 5v/l7, 6) 24,5. §28 9. a) 6) 45°. 21. 120°. \/2 22. arctg ( smorcosecB_\ ^ f sin 0(cosecC \ VctgC+ctgBcosa/ VctgB+ctgCcosa/ §29 10. 180°—arccos что примерно соответствует углу, величиной 109°28'. 3 Пора отдохнуть Шерлок Холмс и Ватсон отправились в путешествие на воздушном шаре и заблудились. Тогда они снизились и спросили случайного прохожего: — Сэр, вы не подскажете нам, где мы находимся? Тот немного подумал и ответил: — На воздушном шаре. — Да-а, — заметил Холмс, обращаясь к Ватсону, — я уверен, что этот человек — математик. — Я как всегда потрясён вашей проницательностью, Холмс, — поразился Ватсон. — Но как вы пришли к такому выводу? — Это элементарно, Ватсон. Я пришёл к такому заключению по трём причинам. Во-первых, прежде чем дать ответ, этот человек подумал. Во-вторых, дал ответ совершенно правильный. И, в-третьих, совершенно бесполезный. (Цит. по книге: С. Н. Федин, «Математики тоже шутят». — М., 2009) ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ПЛАНИМЕТРИИ Основные элементы треугольника и их ОБОЗНАЧЕНИЯ 1. ДАВС; 2. а = ВС, Ь = АС, с — АВ; 3. ZA = а, ZB = 13, ZC = у; а + Ь + с 4. полупериметр; 5. г — радиус вписанной в треугольник АВС окружности; 6. Га, гь, Гс — радиусы вневписанных в треугольник АВС окружностей, касающихся соответственно сторон а,Ь w. с (и продолжений двух других соответствующих сторон); 1. R — радиус описанной около треугольника АВС окружности; 8. ha, hf), he — высоты, опущенные соответственно на стороны а, Ь -а. с (или их продолжения); 9. Ша, гпь, гпе — медианы, проведённые соответственно из верщин А, Б и С; 10. 1а, 1ьг 1с — биссектрисы соответственно, углов а, у. 11. Ха = ВА\, у а = СА\, где А\ — основание биссектрисы 1а (аналогично вводятся обозначения х^, уь и Хс, УсУ, 12. S — площадь треугольника АВС. Основные метрические соотношения в ТРЕУГОЛЬНИКЕ Прямоугольный треугольник АВС; а,Ь — катеты, с гипотенуза. 1. -I- = теорема Пифагора; 2. а = с sin а = с cos[3, Ь = с sin /3 = с cos а; 302 Основные формулы планиметрии 3. Л = -: центр описанной около прямоугольного треугольника окружности есть середина гипотенузы; 4. г=^±^;га = ^^,г, = ^ ■а + с ^ _ а-Ь& + с _ "7--- * ' ^---^----- 5. S = - аЬ = - chc. 2 2 рд. Произвольный треугольник АВС. 1. Теорема о сумме углов треугольника: а + j3 + у — 180°. 2. Полная теорема синусов: —^ ^ — 2R. sin а sin р sin у 3. Теорема косинусов: — 2Ьс ■ cos а — а^. 4. Основное свойство биссектрисы: ^ = ~. Уа Ь 5. Формула Стюарта. Если некоторая точка А\ лежит на стороне ВС треугольника АВС и известны длины его сторон и отрезки ВА\ = р и СА\ = д, то АА\ — _ дс^ + рЬ^ а л „ п 2fe^ -f" 2^7^_q2 6. Формула длины медианы: =------------. 4 7. Тождество параллелограмма. В любом параллелограмме сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов длин всех его сторон. 8. Первая формула длины биссектрисы: l\ = bc — ХаУа- 9. Вторая формула длины биссектрисы: /д = • cos -. Ь + с 2 10. Теорема об отрезках касательных для вписанной окружности. Если Ai,Bi,Ci — точки, в которых вписанная окружность касается соответственно сторон а, Ь, с треугольника АВС, то АВ\ — АС\ = р — а, ВА\ = ВС\ = р — Ь, СВ\ = CAi = р — с. 11. Теорема об отрезках касательных для вневписанной окружности. Если А2,В2,С2 — точки, в которых вписанная окружность касается соответственно стороны атреугольника АВС и продолжений его сторон Ь и с, то АВ2 — АС2 — р, ВА2 = ВС2 = р — с, СВг = САг = р — Ь. 12. Основная формула площади: S = - а • Лд. Основные формулы планиметрии 303 13. S — - Ьс ■ sin а. 2 14. S=—. 4R 15. S — рг. 16. S = (р - а)Га. 17. Формула Герона: S = \/р(р — а){р — Ь)(р — с). Параллелограмм, ромб, трапеция 1. Обозначения: а и Ъ — смежные стороны, а — угол между ними, ha — высота, проведённая к стороне а. S = aha = absin а. 2. Обозначения: а — сторона, а — угол. S = aha = a^sin а. 3. Обозначения: а и Ь — основания, h — высота. S _ а + & h. Окружность, круг 1. Длина дуги окружности радиуса R равна aR, где а — ра-дианная мера центрального угла, соответствующего этой дуге. Длина всей окружности радиуса R равна 2kR. 2. Площадь сектора с углом, радианная мера которого а, равна i aR^, где R — радиус круга. Площадь всего круга 2 радиуса R равна kR^. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсцисса вектора 158 аксиомы стереометрии 65 антипереместительный закон векторного произведения векторов 241 аппликата вектора 159 Базис 151 боковые рёбра пирамиды 62 Вектор 130 вектор нулевой 130 вектор противоположный данному 133 векторное произведение векторов 238 вершина пирамиды 62 вершины многогранника 62 вписанные и описанные многоугольники 22 вписанные и описанные четырёхугольники 23 высота пирамиды 178 вычисление длины вектора по его координатам 162 вычисление угла, образованного касательной и хордой 20 вычисление углов с вершиной вне круга 19 вычисление углов с вершиной внутри круга 19 вычитание векторов 134 Геометрическое место точек (ГМТ) 37 геометрическое преобразование 24 гипербола 48 гомотетия 34 грань двугранного угла 204 грань многогранника 62 Движение 24 двугранный угол 204 двугранный угол, величина 206 диагональ многогранника 62 длина вектора 130 длины биссектрисы вторая формула 11 длины биссектрисы первая формула 11 Задача Фаньяно 27 задача Ферма—Торричелли— Штейнера 28 задача о сумасшедшем пирате 31 золотое сечение 13 Предметный указатель 305 Изображение плоских фигур 106 изображение пространственных фигур 102, 108 изогональное сопряжение 17 изотомическое сопряжение 17 Каноническое уравнение гиперболы 49 каноническое уравнение эллипса 48 квадратура круга 52 коллинеарность векторов 134 компланарность векторов 149 композиция (произведение) преобразований 29 конус 62 координатные векторы 158 координатные плоскости 158 координаты вектора 153 координаты точки 159 куб 62 Линейный угол двугранного угла 205 Многогранник 62 Наклонная, проведённой из точки к плоскости 185 направляющий вектор прямой 163 начало координат 158 неразрешимость классических задач на построение 52 нормальный вектор плоскости 179 Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых 211 оптическое свойство параболы 46 оптическое свойство эллипса 48 ордината вектора 159 ортоцентр 16 осевая симметрия 25 оси координат 158 основание наклонной 185 основание перпендикуляра 184 основание пирамиды 62 основная формула площади 12 основное свойство биссектрисы 9 основные ГМТ 37 основные элементы треугольника 6 откладывание вектора от точки 131 Парабола 42 параллелепипед 94 параллелепипед прямоугольный 62 параллельная проекция точки 101 параллельная проекция фигуры 102 параллельность плоскостей 92 параллельность прямой и плоскости 84 параллельность прямых 74 параллельный перенос 25 переместительный закон скалярного произведения векторов 138 306 Предметный указатель переместительный закон сложения векторов 132 пересекающиеся плоскости 67 перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости 184 перпендикулярность векторов 140 перпендикулярность плоскостей 209 перпендикулярность прямой и плоскости 172 перпендикулярность прямых 156 пирамида 62 пирамида правильная 178 плоскость 65 поворот 25 полная теорема синусов 7 правило многоугольника 133 правило параллелепипеда 150 правило параллелограмма 131 правило треугольника 131 преобразование тождественное 31 призма 62 признак параллельности двух плоскостей 92 признак параллельности прямой и плоскости 84 признак перпендикулярности двух векторов 140 признак перпендикулярности двух плоскостей 209 признак перпендикулярности прямой и плоскости 173 признак скрещивающихся прямых 75 проективное пространство 115 проектирование ортогональное 223 проектирование параллельное 101 проекция наклонной на плоскость 185 проекция фигуры на плоскость 223 пространственная фигура 61 противоположно направленные векторы 133 прямая 64 прямая Эйлера 36 прямоугольная система координат в пространстве 157, 158 Равенство векторов 131 разложение вектора по базису 151 разложение по трём некомпланарным векторам 151 разность векторов 134 распределительные законы произведения вектора на число 136 распределительный закон векторного умножения векторов 242 распределительный закон скалярного умножения векторов 139 расстояние между двумя параллельными плоскостями 202 расстояние между двумя точками 161, 162 расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью 202 Предметный указатель 307 расстояние между скрещивающимися прямыми 211 расстояние от точки до плоскости 185 ребро двугранного угла 204 ребро многогранника 62 решение задач с помощью ГМТ 40 решение задач с помощью движения 24 решение задач с помощью композиции движений 29 решение задач с помощью подобия 33 Свойства гомотетии 34 свойство гиперболы 51 сечение фигуры 67 симметрия относительно плоскости 178 скалярное произведение векторов 138 скалярный квадрат вектора 138 скрещивающиеся прямые 75 сложение векторов 131 сонаправленные векторы 135 сочетательный закон скалярного произведения векторов 138 сочетательный закон сложения векторов 133 сочетательный закон умножения вектора на число 136 теорема Пифагора 7 теорема Чевы 14 теорема Чевы в форме синусов 15 теорема косинусов 8 теорема о касательной и секущей 21 теорема о композиции поворотов с разными центрами 30 теорема о произведении отрезков хорд 21 теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма 22 теорема о сумме углов треугольника 7 теорема об отрезках касательных для вневписанной окружности 11 теорема об отрезках касательных для вписанной окружности 11 тетраэдр 62 тетраэдр правильный 63 тождество параллелограмма 10 точка 64 точка Жергонна 16 точка Нагеля 16 точки, симметричные относительно плоскости (прямой,точки) 178 треугольники Наполеона 32 трисекция угла 52 Теорема Менелая 18 теорема Менелая в форме синусов 19 Угол между векторами 136, 162 угол между плоскостями 207 308 Предметный указатель угол между прямой и плоскостью 189 угол между скре щиваюпдимися прямыми 157 угол многогранный 259 угол трёхгранный 249 удвоение куба 52 умножение вектора на число 135 уравнение касательной к гиперболе 50 уравнение касательной к параболе 44 уравнение параболы 42 уравнение плоскости 180 уравнения прямой канонические 163 уравнения прямой параметрические 164 уравнения прямой, проходящей через две данные точки 165 Фигуры симметричные 178 фокальные радиусы эллипса 48 фокусы гиперболы 49 фокусы эллипса 47 формула Герона 13 формула Стюарта 10 формула длины медианы 10 Центральная симметрия 25 центроид 16 центр вписанной окружности 16 центры вневписанных окружностей 16 цилиндр 62 Число Фидия 13 Шар 62 Эллипс 47 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................ 3 Глава I. Планиметрия................................... 6 § 1. Метрические соотношения в треугольнике. Решение треугольников................................. 6 § 2. Теорема Чевы................................ 14 § 3. Теорема Менелая............................. 18 §4. Вычисление углов............................. 19 § 5. Теоремы о произведении отрезков хорд и о касательной и секущей ............................... 21 §6. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма.............................. 22 § 7. Вписанные и описанные многоугольники........ 22 §8. Решение задач с помощью геометрических преобразований ....................................... 24 §9. Геометрические места точек (ГМТ)............. 37 § 10. Парабола, эллипс, гипербола................ 42 § 11. Неразрешимость классических задач на построение 52 Основные теоремы планиметрии..................... 53 Глава И. Параллельные прямые и плоскости.............. 61 § 12. Введение в стереометрию. Основные теоремы и аксиомы ............................................ 61 § 13. Взаимное расположение двух прямых в пространстве ............................................. 74 § 14. Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости............ 83 310 Оглавление § 15. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей.................... 91 § 16. Параллельное проектирование. Изображение фигур в стереометрии............................... 101 § 17. Центральное проектирование................. 112 Основные аксиомы, определения и теоремы главы II.... 127 Глава III. Векторы и координаты в пространстве........ 130 § 18. Понятие вектора в пространстве. Линейные операции над векторами и скалярное произведение векторов..................................... 130 § 19. Компланарность. Базис и координаты в пространстве ............................................. 148 § 20. Прямоугольные координаты в пространстве.... 156 Основные определения и теоремы главы III......... 168 Глава IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве............................... 171 §21. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Симметрия относительно плоскости........................ 171 § 22. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью................................. 184 §23. Связь между параллельностью прямых и плоскостей и перпендикулярностью прямой и плоскости 198 §24. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей................... 204 § 25. Ортогональное проектирование............... 223 § 26. Векторное произведение векторов............ 237 § 27. Свойства векторного произведения и его координатная запись........................................ 241 Основные определения и теоремы главы IV.......... 246 Глава V. Многогранные углы............................ 249 §28. Трёхгранные углы............................ 249 § 29. Многогранные углы.......................... 259 Основные определения и теоремы главы V........... 260 Оглавление 311 Решения избранных задач......................... 263 Ответы.......................................... 298 Основные формулы планиметрии.................... 301 Прюдметный указатель............................ 304 Учебное издание Гусев Валерий Александрович Куланин Евгений Дмитриевич Мякишев Алексей Геннадьевич Федин Сергей Николаевич ГЕОМЕТРИЯ. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Учебник для 10 класса Ведущий редактор И. А. Маховая Методист О. С. Медведева Художественный редактор Н. А. Новак Технический редактор Е. В. Денюкова Корректор Н. Н. Ектова Оригинал-макет подготовлен О. Г. Лапко в пакете Подписано в печать 19.03.10. Формат 60 x 90/16. Уел. печ. л. 19,5. Тираж 3000 экз. Заказ 1175. Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний» 125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499)157-5272 e-mail: [email protected], https://www.Lbz.ru Отпечатано в производственной фирме «Полиграфист» 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3 Валерий Александрович Гусев — профессор, заведующий кафедрой теории и методики обучения математике МПГУ, доктор педагогических наук, член Международной академии наук педагогического образования и член Академии информатизации образования. В.А. Гусев подготовил более 100 кандидатов и докторов наук. Автор более 250 работ по геометрии и методике ее преподавания. Евгений Дмитриевич Куланин — профессор кафедры прикладной математики факультета информационных технологий Московского городского психолого-педагогического университета, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник. Автор и соавтор многих популярных учебных пособий, справочников и задачников по элементарной и высшей математике. Алексей Геннадьевич Мякишев — учитель высшей категории, лауреат гранта Москвы в сфере образования-2008, почетный работник образования г. Москвы, преподаватель математики Московского химического лицея (ГОУ № 1303). Автор многочисленных работ в области элементарной геометрии, опубликованных как в России, так и за рубежом. Сергей Николаевич Федин — кандидат физико-математических наук, член Союза литераторов России, заместитель главного редактора журналов «Математика в школе» и «Математика для школьников». Соавтор нескольких учебников по геометрии, а также популярных задачников по элементарной и высшей математике. ISBN 978-5-94774-928-1