Учебник Геометрия 9 класс Шлыков

в. в. Шлыков ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для 9 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения Допущено Министерством образования Республики Беларусь 3-е издание, исправленное Минск «Народная асвета» 2012 Правообладатель Народная асвета УДК 514(075.3=161.1) ББК 22.151я721 Ш69 Рецензенты: кафедра алгебры и методики преподавания математики учреждения образования «Витебский государственный университет имени П. М. Машерова» (кандидат педагогических наук, профессор Е. Е. Семенов); учитель математики высшей категории государственного учреждения образования «Средняя общеобразовательная школа № 153 г. Минска» А. И. Абрамович ISBN 978-985-03-1721-6 © Шлыков В. В., 2006 © Шлыков В. В., 2012, с изменениями © Оформление. УП «Народная асвета», 2012 Правообладатель Народная асвета ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1 Вписанные и описанные многоугольники § 1. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности .................................... 6 § 2. Центральные и вписанные углы .................. 23 § 3. Замечательные точки треугольника .............. 39 § 4. Вписанные и описанные треугольники............. 47 § 5. Вписанные и описанные четырехугольники......... 58 Глава 2 Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника § 1. Теорема синусов................................. 73 § 2. Теорема косинусов. Решение треугольников ...... 83 Глава 3 Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга § 1. Правильные многоугольники ...................... 97 § 2. Длина окружности. Радианная мера угла..........112 § 3. Площадь круга. Площадь сектора..................124 Глава 4 Задачи для повторения § 1. Треугольники и окружность ......................139 § 2. Четырехугольники и окружность ..................151 Ответы ..............................................158 Приложение ......................................... 163 Правообладатель Народная асвета Уважаемые друзья! Изложенный в данном учебном пособии материал относится к заключительной части курса геометрии, который традиционно называется планиметрией. В первой главе рассматриваются свойства вписанных и описанных углов. Ранее уже было рассмотрено понятие окружности и касательной к ней. Теперь эти понятия изучаются более детально, доказываются свойство и признак касательной к окружности, рассматривается вопрос о построении касательной к окружности с помощью циркуля и линейки. Здесь же изучаются свойства центральных и вписанных углов, доказываются теоремы о градусной мере вписанного угла, о свойстве отрезков пересекающихся хорд окружности, а также о свойстве отрезков секущей и касательной. Кроме того, в первой главе доказываются теоремы о точках пересечения биссектрис и высот треугольника. Далее излагаются свойства вписанных и описанных треугольников и четырехугольников. Во второй главе рассматриваются вопросы о соотношении между сторонами и углами произвольного треугольника, доказываются теоремы синусов и косинусов. Здесь на уровне задач рассматривается вопрос о нахождении элементов треугольника с помощью теоремы синусов и косинусов. В третьей главе излагаются вопросы о правильных многоугольниках, доказываются теоремы о вписанной и описанной окружностях, выводятся формулы для нахождения элементов правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружностей. Далее рассматриваются понятие длины окружности, формулы длины окружности и ее дуги, площади круга, сектора и сегмента. В конце главы приведены задачи для повторения. Система задач в учебном пособии обеспечивает организацию систематического повторения учебного материала. Рассматриваются задачи, способствующие развитию пространственных представлений, а предложенная в учебном пособии система графических моделей направлена на формирование графической культуры учащихся. Правообладатель Народная асвета Правообладатель Народная асвета Глава 1 ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ § 1. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности 1. Взаимное расположение прямой и окружности. Рассмотрим вопрос о взаимном расположении прямой и окружности. Ранее уже отмечалось, что возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности: 1) прямая имеет только две общие точки с окружностью; 2) прямая имеет только одну общую точку с окружностью; 3) прямая не имеет общих точек с окружностью. Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей. Взаимное расположение окружности га (О, R) с центром в точке О радиуса R и прямой l характеризуется соотношением между расстоянием d(O, l) от центра О окружности до прямой l и радиусом R окружности. Докажем это. 1) Прямая l имеет только две общие точки с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности, т. е. если d(O, l) < R ^рис. 1). Пусть прямая l не проходит через центр О окружности и расстояние d(O, l) = m, m < R. Обозначим OF (F e l) — перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой l, тогда OF = m. Пусть точки A и B лежат на прямой l так, что FA = FB = \JR2 - m2 . Докажем, что точки A и B принадлежат окружности. Действительно, так как по теореме Пифагора ОА = yjQF^ + FA^ =.Jm2 + (R2 - m2) = R и ОВ WOF27F’B2 = = = R, то OA = ОВ = R. Таким образом, точ- ки A и В — общие точки прямой и окружности. Докажем, что других общих точек прямая l и окружность га(О, R) не имеют. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 7 Предположим, что существует еще одна точка X — общая для окружности и прямой. Тогда центр окружности O равноудален от точек A, B, и X, а значит, он лежит на серединных перпендикулярах li и 12 к отрезкам AB и BX, т. е. O — точка перессечения серединных перпендикуляров li и l2. Но так как l^ 1.1 и l21-1, то l^ | l2. Получили противоречие. Значит, наше предположение не верно и других общих точек прямой и окружности нет. Если прямая l проходит через центр O окружности, т. е. d(O, l) = 0, то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра, лежащего на этой прямой. 2) Прямая l имеет только одну общую точку с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой l равно радиусу окружности, т. е. если d(O, l) = R. Пусть расстояние от центра окружности до прямой l равно радиусу окружности, а точка F — основание перпендикуляра, проведенного из центра окружности к прямой l (рис. 2). Тогда OF = R, а значит, точка F лежит на окружности. Других общих точек прямая и окружность не имеют. Действительно, для любой точки X прямой l, не совпадающей с точкой F, выполняется условие OX > OF, OF = R, так как наклонная OX больше перпендикуляра OF. Следовательно, точка X не лежит на окружности. 3) Прямая l не имеет общих точек с окружностью, если расстояние от центра O окружности до прямой l больше радиуса окружности, т. е. если d(O, l) > R. Пусть расстояние от центра O окружности до прямой l больше радиуса R. Обозначим буквой F основание перпендикуляра, проведенного из центра O окружности к прямой l (рис. 3). Тогда OF = d(O, l), d(O, l) > R. Правообладатель Народная асвета 8 Гла^ 1, § 1 Для любой точки X прямой выполняется условие OX > OF > R, следовательно, точка X не лежит на окружности. Таким образом, в случае d(O, l) > R прямая и окружность не имеют общих точек. 2. Касательная к окружности. Рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку. Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, имеет специальное название — касательная. Определение. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку. Единственная общая точка прямой и окружности называется точкой касания прямой и окружности. Если прямая l имеет единственную общую точку A с окружностью, то говорят, что прямая l касается окружности в точке A. Теорема 1 (о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания. Доказательство. 1) Пусть прямая l касается окружности ra(O, R) в точке A (рис. 4). Докажем, что 11. OA. 2) Предположим, что это не так. Тогда радиус OA является наклонной к прямой l. Перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой l, меньше наклонной OA, следовательно, расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. Значит, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию. Таким образом, прямая l перпендикулярна радиусу OA. Теорема доказана. Рассмотрим следствия из данной теоремы. Пусть через точку A проведены две прямые, касающиеся окружности ra(O, R) в точках C и B. Тогда отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенными из точки A (рис. 5). Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники Следствие 1. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Доказательство. 1) Пусть AB и AC — отрезки касательных, проведенные из точки A (рис. 5). Для доказательства равенства AB = AC рассмотрим треугольники ABO и ACO. 2) По свойству касательной Z 1 = 90° и Z 2 = 90°, т. е. треугольники ABO и ACO — прямоугольные. 3) АABO = АACO, так как AO — общая гипотенуза, а катеты OB и OC равны как радиусы окружности. Отсюда следует, что AB = AC. Следствие 1 доказано. Из равенства треугольников ABO и ACO вытекает также, что Z 3 = Z 4. Таким образом, получим еще одно следствие. Следствие 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Теперь докажем признак, который позволяет устанавливать, в каком случае прямая касается окружности. Оказывается, для этого достаточно установить, что прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности. Теорема 2 (признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности. Доказательство. 1) Пусть прямая l проходит через точку A окружности и перпендикулярна радиусу OA (рис. 6). Для доказательства того, что прямая l касается окружности, достаточно доказать, что она имеет с этой окружностью единственную общую точку. Правообладатель Народная асвета 9 10 Гла^ 1, § 1 2) Так как точка A лежит на окружности и прямая l проходит через точку A, то A — общая точка прямой l и окружности. 3) Других общих точек прямая l и окружность не имеют. Действительно, для любой точки X е l отрезок OX является наклонной, так как по условию OA1.1. Следовательно, OX > OA, т. е. точка X не принадлежит окружности. Таким образом, точка A — единственная общая точка прямой l и окружности, а, значит, прямая l — касательная к окружности. Теорема доказана. Задача 1. Через точку A, находящуюся от центра O окружности на расстоянии 10 см, проведены две касательные AB и AC, где B и С — точки касания. Вычислите пло- щадь Sa четырехугольника ABOC, если AB + AC = = 16 см ( рис. 7). Решение. 1) Площадь четырехугольника ABOC равна сумме площадей треугольников ABO и ACO. 2) По свойству касательной Z OBA = = Z OCA = 90°. Прямоугольные треугольники ABO и ACO равны по гипотенузе и катету (AO — общая, OB = OC). Значит, Saboc= 2Sabo = 2 • ,2OB • AB = OB • AB. 3) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Следовательно, AB = AC = 8 см. Теперь, применив теорему Пифагора, вычислим OB = \JAO^ - AB2 = = Vl02 - 82 = 6 (см). Таким образом, Saboc = OB • AB = 6 • 8 = 48 (см2). Ответ: Saboc = 48 см2. Задача 2. Точка F — середина основания BC равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что прямая BC является касательной к окружности ra(A, AF) (рис. 8, а, б). Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 11 Дано: AABC, AB = АС, F е BC, BF = FC, ш(А, AF). Доказать: ВС — касательная. Доказательство. 1) Прямая BC проходит через конец F радиуса окружности га (А, AF). Для доказательства того, что BC является касательной, достаточно доказать, что BC1. AF. 2) В равнобедренном треугольнике ABC отрезок AF — медиана, проведенная к его основанию. Следовательно, AF1BC. Таким образом, по признаку касательной прямая BC касается окружности ra(A, AF). Что и требовалось доказать. Задача 3. Точка A лежит вне окружности ra(O, R). Постройте прямую, которая касается окружности и проходит через точку A. Поиск решения. 1) Пусть прямая l, проходящая через точку A и касающаяся окружности ra(O, R), построена. Точка B — точка касания. Тогда по свойству касательной OB 1AB (рис. 9, а). Следовательно, для построения искомой касательной необходимо построить точку B на окружности ra(O, R) так, что OB 1AB. 2) Рассмотрим окружность га1, диаметром которой является отрезок AO, т. е. ra1(O1, O1A), где O1 е OA и OO1 = O1 A. Пусть B и C — точки пересечения окружностей ra(O, R) и ra1(O1, O1A) (рис. 9, б). Заметим, что Z 1 = Z 2 и Z 3 = Z 4, как углы при основании равнобедренных треугольников BO1O и BO1A соответственно. Так как Z 1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 = 180°, то Z 1 + Z 3 = Z 2 + Z 4 = 90°. Значит, Z OBA = 90°, т. е. OB 1AB. Аналогично доказывается, что OC 1 AC. Отсюда по признаку Правообладатель Народная асвета 12 Гла^ 1, § 1 касательной к окружности следует, что прямые AB и AC являются касательными. Теперь понятна последовательность необходимых построений. Построение. 1) Проводим отрезок OA, соединяющий центр О данной окружности и точку A (рис. 10, а). 2) Строим середину 01 отрезка OA: 01 = FE ^ OA. Точки F и E — точки пересечения окружностей ю2(0, г) и Юз(А, r), где г > 10A (рис. 10, б). F О, Е. А б) Рис. 10 в) 3) Строим окружность ю1(01, O^A) (рис. 10, в) и точки B, C — точки пересечения данной и построенной окружностей. 4) Прямые AB и AC — искомые касательные к данной окружности. Доказательство. По построению ZOBA = 90° и ZOCA = 90° (см. задачу № 251 учебного пособия «Геомет- Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 13 рия, 7»), т. е. AB ± OB и AC ± OB. Следовательно, по признаку касательной AB и AC — касательные. 3. Взаимное расположение двух окружностей. Рассмотрим вопрос о взаимном расположении двух окружностей в плоскости. Возможны следующие случаи взаимного расположения двух различных окружностей: 1) окружности не имеют общих точек (в этом случае говорят, что они не пересекаются (рис. 11 , а )); 2) окружности имеют две общие точки (в этом случае говорят, что окружности пересекаются (рис. 11, б)); Рис. 11 3) окружности имеют только одну общую точку, и одна из окружностей лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внутренним образом (рис. 12, а )); 4) окружности имеют только одну общую точку, и ни одна из окружностей не лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внешним образом (рис. 12, б)). а) б) Рис. 12 Правообладатель Народная асвета 14 Гла^ 1, § 1 Задача 1. Докажите, что если две окружности Ю1(0!, и a2(O2, R2) касаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, т. е. O1O2 = R1 + R2- а) б) Рис. 13 Доказательство. 1) Пусть окружности ю1(01, R1) и ю2(02, R2) касаются внешним образом в точке A (рис. 13, а). 2) Докажем, что точка A лежит на отрезке 0102. Допустим, что точка A не лежит на отрезке 0102. Заметим, что в случае внешнего касания точка A не может лежать на продолжении отрезка 0102. Пусть точка касания A не лежит на отрезке 0102 (рис. 13, б). Тогда 01A = R1 и 02A = R2. 3) Пусть F — точка, симметричная точке A относительно прямой 0102. Тогда 01F = 01A = R^ и 02F = 02A = R2, а значит, точка F принадлежит каждой окружности. Таким образом, окружности ю1(01, R1) и ю2(02, R2) имеют две общие точки A и F, что противоречит условию их касания. Следовательно, точка касания A лежит на отрезке 0102. 4) Докажем, что 0102 = R1 + R2. Точка A лежит на отрезке 0102, значит, 0102 = 01A + 02A = R1 + R2. Теорема доказана. Справедливо и обратное утверждение. Задача 2. Докажите, если расстояние между центрами двух окружностей, лежащих в плоскости, равно сумме их радиусов, то такие окружности касаются внешним образом. Доказательство. 1) Пусть даны две окружности ю1(01, R1) и ю2(02, R2) и известно, что 0102 = R1 + R2. Докажем, что окружности касаются внешним образом. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 15 2) На отрезке O1O2 рассмотрим точку A такую, что OiA = R^. Тогда O2A = O^O2 - OiA = (R^ + R2) - R^ = R2. Таким образом, точка A принадлежит каждой из данных окружностей. 3) Докажем, что окружности не имеют других общих точек. Действительно, на прямой OiO2 таких точек нет. Предположим, что существует точка X вне прямой OiO2, принадлежащая каждой окружности. Тогда O^X = R^ и O2X = R2. в треугольнике O^O2 X длина стороны OiO2 равна сумме длин сторон OiX и O2X, что невозможно. 4) Таким образом, предположение о существовании еще одной точки, принадлежащей окружностям rai(Oi, Ri) и ra2(O2, R2), приводит к противоречию. Следовательно, других общих точек, кроме точки A, не существует, т. е. окружности касаются. 5) Докажем, что окружности касаются внешним образом. Для любой точки F окружности ra2(O2, R2) выполняется условие O1F > |O1O2 - O2F = |R1 + R2 - R^ = R1. Таким образом, либо точка F лежит вне окружности ra1(O1, R1), когда O1F > R1, либо эта точка принадлежит обеим окружностям, если O1F = R1. Но в этом случае точка F есть точка A касания окружностей. Следовательно, окружность ra2(O2, R2) расположена вне части плоскости, ограниченной окружностью ra1(O1, R1). Аналогично можно доказать, что окружность ra1(O1, R1) расположена вне части плоскости, ограниченной окружностью ra2(O2, R2). Теперь доказано, что окружности ra1(O1, R1) и ra2(O2, R2) касаются внешним образом. Задача 3. Докажите, что две окружности касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов. Другими словами, если окружности ra1(O1, R1) и ra2(O2, R2) касаются внутренним образом, то O1O2 = |R1 - R2|. И наоборот, если выполняется равенство O1O2 = |R1 - R2|, то окружности касаются внутренним образом. Задача 4. Две окружности с центрами в точках O и K, радиусы которых равны 16 см и 9 см соответственно, касаются внешним образом в точке C. К окружностям проведена общая касательная AB, где точки A и B — точки касания. Правообладатель Народная асвета 16 Гла^ 1, § 1 Общая касательная, проведенная через точку C, пересекает касательную AB в точке T (рис. 14, а). Вычислите длину отрезка CT. а) Рис. 14 Решение. Для решения задачи воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны, а радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Учтем также, что окружности касаются внешним образом, а значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. 1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то TC = TA = TB, т. е. TC = 1AB. Значит, нам необходимо вычислить длину отрезка AB. 2) Так как окружности касаются внешним образом, то OK = OC + CK = 16 + 9 = 25 (см). 3) Рассмотрим четырехугольник ODBK. Пусть D е OA и BD I OK (рис. 14, б). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то Z BAD = 90°, т. е. треугольник BAD — прямоугольный. Следовательно, AB = s[dB2—DA2 . 4) Четырехугольник ODBK — параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны, значит, DB = OK = = 25 см. Кроме того, DA = OA - OD = OA - KB = 16 - 9 = 7 (см). Тогда AB = \IdB^ - DA2 = sj252 - 72 = 24 (см). Следовательно, TC = 1AB = 12 (см). Ответ: TC = 12 см. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 17 Вопросы к § 1 1. Перечислите все случаи взаимного расположения прямой и окружности. 2. При выполнении каких соотношений между радиусом окружности и расстоянием от ее центра до прямой эта прямая: а) пересекает окружность; б) имеет одну общую точку с окружностью; в) не пересекает окружность? 3. Какая прямая называется касательной к окружности? 4. Сформулируйте свойство касательной. 5. Сформулируйте признак касательной. 6. Каким свойством обладает радиус, проведенный в точку касания прямой и окружности? 7. Каким свойством обладают отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки? Задачи к § 1 1. Отрезок AB — диаметр окружности. Прямые li и 12 касаются окружности в точках A и B (рис. 15, а). Докажите, что прямые l1 и l2 параллельны. 2. Перпендикулярные прямые l1 и l2 пересекаются в точке A. Окружность с центром в точке O касается прямых l1 и l2 в точках B и C соответственно (рис. 15, б). Докажите, что четырехугольник ABOC — квадрат. Рис. 15 3. Прямая l касается в точке F окружности, центром которой является точка O. Точки A, B принадлежат прямой l, Правообладатель Народная асвета 18 Гла^ 1, § 1 и AF = FB (рис. 15, в). Точка D лежит на луче OF так, что OF = FD. Докажите, что четырехугольник OADB — ромб. 4. Точка S — центр окружности, радиус которой равен 4 см. Прямая l касается окружности в точке E. Точка A лежит на касательной так, что Z ESA = 60°. Вычислите расстояние от точки A до центра окружности. 5. Точка F — точка касания прямой l и окружности, центром которой является точка O. Точка D лежит на касательной так, что DO ■ OF = 2 : 1. Докажите, что градусная мера угла FOD равна 60°. 6. Точка F — точка касания прямой l и окружности, центром которой является точка O. Отрезок AO (A е l) пересекает окружность в точке T, а отрезок FT равен радиусу окружности. Вычислите длину отрезка AF, если FT = 2 см. 7. Окружность, центром которой является точка O, касается прямой l в точке A. Точка F лежит на прямой l и расположена от точек O и A на расстоянии 25 см и 24 см соответственно. Вычислите длины отрезков, на которые окружность делит отрезок OF. 8. Точка A и окружность радиуса 6 см лежат в плоскости, расстояние от точки А до центра окружности равно 12 см. Вычислите градусную меру угла между касательными к окружности, проведенными через точку A. 9. Отрезки AB и AC являются отрезками касательных к окружности, центром которой является точка O. Вычислите радиус окружности, если AO = 8 см, а Z BAC = 60°. 10. Точка D — точка касания прямой l и окружности, центром которой служит точка O. Точка C лежит на прямой l так, что площадь треугольника CDO равна 24 см2. Вычислите расстояние между точками O и C, если радиус окружности равен 6 см. 11. Точка O — центр окружности, радиус которой равен 5 см. Прямая l касается окружности в точке A. Точка B лежит на прямой l на расстоянии 13 см от центра окружности. Вычислите площадь треугольника OAB. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 19 12. Через точку A, лежащую вне окружности га(0, В), проведены прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Окружность пересекает отрезок OA в точке F и OF = FA (рис. 16, а). Докажите, что Z BOC = 120°. 13. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке F. Докажите, что окружность ra(C, CF) касается прямой BD (рис. 16, б). 1 с D / у ^^ ' б) Рис. 16 14. Прямая AF касается окружности, центром которой является точка O, в точке F. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Через точку D проведена прямая DT (T е OF), параллельная прямой AF. Вычислите длину отрезка AO, если радиус окружности равен 6 см, а расстояние от центра окружности до прямой DT равно 2 см (рис. 16, в). 15. Точка O — центр окружности, радиус которой равен 1 см. Прямые AB и AC — касательные к окружности, где B и C — точки касания. Вычислите градусную меру угла BAC, если длина отрезка касательной равна л/3 см. 16. Через точку A к окружности ra(O, В) проведены две касательные, градусная мера угла между которыми равна 60°. Найдите длину хорды, соединяющей точки касания. 17. Через точку A к окружности, центром которой является точка O, проведены две касательные AB и AC, где B и C — точки касания. Хорда BC пересекает отрезок OA в точке F. Вычислите радиус окружности, если длина хорды BC равна 8 см, а длина отрезка AF равна 16 см (рис. 17, а). Правообладатель Народная асвета 20 Гла^ 1, § 1 Рис. 17 18. Через точку A к окружности, центром которой является точка O, проведены две касательные. Вычислите расстояния от точки A до точек касания, если радиус окружности равен 5 см, а длина хорды, соединяющей точки касания, равна 8 см. 19. Через точку A к окружности проведены две касательные AB и AC, где B и C — точки касания. Через точку D этой окружности проведена еще одна касательная l, как показано на рисунке 17, б. Точки T и F — точки пересечения прямой l с касательными AB и AC соответственно. Найдите периметр треугольника ATF, если известно, что AB = а. 20. Точка A лежит вне окружности и удалена от ее центра на расстояние 13 см. Через точку A проведены две касательные. Расстояние между точками касания равно 12 см. Вычислите радиус окружности. 21. Через точку A к окружности, центром которой является точка O, проведены две касательные, градусная мера угла между которыми равна а. Найдите длину хорды, соединяющей точки касания, если OA = а. 22. Через точку проведены две касательные к окружности, градусная мера угла между которыми равна 2а. Расстояние от центра окружности до хорды, соединяющей точки касания, равно а. Найдите длины отрезков касательных. 23. Две окружности касаются внешним образом в точке A. Радиус одной окружности равен 2 см. Общая касательная к этим окружностям проходит через точку A и пересе- Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 21 кает другую их общую касательную в точке B. Вычислите радиус другой окружности, если длина отрезка AB равна 4 см. 24. К окружности, радиус которой равен R, проведены взаимно перпендикулярные касательные AC и А^. Точка F лежит между точками касания B и C на меньшей дуге окружности. Через точку F проведена касательная, которая пересекает прямые AC и AB в точках E и T соответственно. Найдите периметр треугольника A^T. 25. Две окружности касаются внешним образом в точке А и лежат по одну сторону от их общей касательной BC, где B и C — точки касания. Найдите площадь треугольника A^C, если AB = а, AC = b. 26. Окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Докажите, что отрезок их общей касательной, концами которого служат точки касания, равен 2\jRr. 27. Окружность радиуса R касается сторон угла, градусная мера которого равна 60°. Найдите радиус меньшей окружности, которая касается сторон угла и данной окружности. 28. Две окружности касаются внешним образом, а каждая из них касается сторон данного угла. Вычислите синус угла, сторонами которого являются биссектриса и сторона данного угла, если радиусы окружностей равны 2 см и 4 см. 29. Окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом и лежат по одну сторону от их общей касательной. Градусная мера угла между касательной и прямой, проходящей через центры окружностей, равна а. Найдите отношение R к r. 30. Две окружности касаются внешним образом в точке C. К окружностям проведена общая внешняя касательная AB, где A и B — точки касания. Общая касательная, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке T. Вычислите длину отрезка CT, если известно, что радиусы окружностей равны 9 см и 16 см. Правообладатель Народная асвета 22 Гла^ 1, § 1 31. В угол вписаны три окружности. Средняя окружность касается двух других окружностей, радиусы которых Ri и R2. Найдите радиус средней окружности. 32. Постройте окружность, которая проходит через данную точку A и касается данной прямой l в данной точке P, принадлежащей прямой l. 33. Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них в данной на ней точке F. 34. Постройте окружность, которая проходит через данную точку A и касается данной окружности в данной на ней точке F. 35. Постройте окружность, которая касается данной окружности с центром в данной точке O, в данной на ней точке T и данной прямой l, не пересекающей данную окружность. Правообладатель Народная асвета § 2. Центральные и вписанные углы 1. Центральные углы. Градусная мера дуги окружности. В данном параграфе изучим понятия центрального и вписанного углов. Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре этой окружности. А 1 1 V F а) б) Рис. 18 Например, на рисунке 18, а изображен центральный угол TOF, который меньше развернутого угла, а на рисунке 18, б — центральный угол SOD — больше развернутого угла. Любые две различные точки A и В окружности служат концами двух дуг. Для различия этих дуг на каждой из них отмечается некоторая промежуточная точка. Например, если на дугах отмечены точки F и T, то в этом случае дуги обозначаются •иATB и •иAFB и данная запись читается так: «дуга ATB и дуга AFB» (рис. 19, а). Если понятно, о какой из двух дуг идет речь, употребляется также обозначение иAB. Рис. 19 Правообладатель Народная асвета 24 Гла^ 1, § 2 Дуга AB окружности называется полуокружностью, если ее концы служат концами диаметра этой окружности. Например, на рисунке 19, б изображены полуокружности ALB и ACB. Пусть точки A и B не являются концами диаметра окружности с центром в точке O. Тогда лучи OA и OB служат сторонами двух центральных углов, один из которых меньше, а другой больше развернутого угла (рис. 20, а). а) Дуга AB окружности a(O, R) и центральный угол AOB, внутри которого лежит эта дуга, называются соответствующими. Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который меньше развернутого угла, то говорят, что эта дуга меньше полуокружности. Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который больше развернутого угла, то говорят, что дуга больше полуокружности. Например, на рисунке 20, а изображены дуга AFB, которая меньше полуокружности, и дуга ATB — больше полуокружности. Для сравнения дуг окружности вводится понятие градусной меры дуги окружности. Дадим определение градусной меры дуги окружности. Определение. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 25 Градусная мера дуги AB, как и сама дуга, обозначается ^ AB. Таким образом, если дуга А^ окружности меньше полуокружности, а ZAOB — соответствующий ей центральный угол, то •иAB = ZAOB (см. рис. 20, а). Если дуга AB является полуокружностью, то ее градусная мера равна 180° (рис. 20, б). Градусная мера дуги ATB, которая больше полуокружности и дополняет дугу AB, меньшую полуокружности, до окружности, равна 360° - ZAOB, где угол AOB соответствует дуге AB (рис. 20, в). Понятие градусной меры дуги позволяет определить понятие равенства дуг окружности. Две дуги одной и той же окружности называются равными, если равны их градусные меры,. Если градусная мера дуги AB равна 33°, то пишут иAB = = 33°. Читают: «Градусная мера дуги AB равна 33°», или кратко «Дуга AB равна 33°». Рассмотрим примеры. Пусть диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Окружность ra(C, CO) пересекает стороны BC и CD квадрата в точках F и L соответственно. Тогда иFOL = 90° , а градусная мера дуги FO, которая меньше полуокружности, равна 45°. Градусная мера дуги FLO, которая больше полуокружности, равна 360° - Z FCO = 360° -- 45° = 315° (рис. 21, а). Рассмотрим еще один пример. Пусть точка O — центр окружности, отрезок AB — хорда окружности, равная ее радиусу, а отрезок AC — диаметр окружности (рис. 21, б). б) Рис. 21 Правообладатель Народная асвета 26 Гла^ 1, § 2 Тогда градусная мера дуги AB, которая меньше полуокружности, равна 60°, так как треугольник AOB — равносторонний, а значит, градусная мера соответствующего ей центрального угла AOB равна 60°. Градусная мера дуги BC, которая меньше полуокружности, равна 120°, так как градусная мера соответствующего ей центрального угла BOC равна 120°. Можем вычислить градусную меру дуги BAC, которая больше полуокружности: ^ BAC = 360° - Z BOC = 360° - 120° = = 240°. 2. Вписанные углы. Рассмотрим понятие вписанного угла. Определение. Угол называется вписанным в окружность, если он меньше развернутого угла, вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Например, на рисунке 22, а изображен вписанный угол TOF. Если точки A, B и С лежат на окружности, то каждый из угов ABC, BCA, CAB является вписанным (рис. 22, б). Пусть Z TOF — вписанный угол, при этом T и F — точки пересечения его сторон с окружностью, а TF — дуга, которая лежит внутри этого вписанного угла. В этом случае говорят, что вписанный угол TOF опирается на дугу TF (см. рис. 22, а). Например, на рисунке 22, в изображены вписанные углы BAC, BOC и BFC, которые опираются на одну и ту же дугу BC. Теперь докажем теорему о вписанном угле. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 27 Теорема 1 (о вписанном угле). Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Доказательство. Пусть вписанный в окружность ю(0, R) угол ABC опирается на дугу AC. Докажем, что Z ABC = 1 ^ AC. Рассмотрим три возможных случая. Центр O окружности лежит: 1) на одной из сторон угла; 2) во внутренней области угла; 3) во внешней области угла. Первый случай. Центр O окружности лежит на одной из сторон угла ABC, например на стороне BC (рис. 23). 1) Дуга AC меньше полуокружности, следовательно, ^ AC = Z AOC. 2) Угол AOC — внешний угол равнобедренного треугольника AOB, значит, ZAOC = Z1 + Z2. 3) Так как углы при основании равнобедренного треугольника AOB равны, то Z 2 = 1ZAOC. и ZAOC = ^AC, то 4) Так как ZABC = Z2 = 1ZAOC 1 2 ZABC = 1 ^ AC. 2 Второй случай. Центр O окружности лежит во внутренней области угла. 1) Пусть D — точка пересечения луча BO и дуги AC (рис. 24). Тогда по доказанному в первом случае ZABD = 1 ^ AD и ZDBC = 1 ^ DC. 22 2) ZABC = Z ABD + Z DBC = 1 ^ AD + ’ 2 + 1 ^ DC = i(^AD + ^DC) = 1 ^ AC. 2 2 2 Таким образом, ZABC = 1 ^ AC. Третий случай. Центр O окружности лежит во внешней области угла ABC. 1) Пусть D — точка пересечения луча BO с окружностью (рис. 25). Тогда согласно доказанному в первом случае Правообладатель Народная асвета 28 Гла^ 1, § 2 ZABD = 1 ^ AD и AGED = 1 ^ CD. 2 2 2) ZABC = ZABD - ZCBD = = 1 ^ AD- 1 ^ CD = 1(^ AD -^ CD = 2 2 2^ ' =1 ^ AC. 2 Таким образом, ZABC = 1 ^ AC. Теорема доказана. Из данной теоремы получим следующие следствия. Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 26, а). Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 26, б). б) Рис. 26 Рассмотрим пример. Пусть хорда AB соединяет концы дуги AFB и равна радиусу окружности ra(O, R). Тогда градусная мера каждого из вписанных углов, опирающихся на дугу AFB, равна 30° (рис. 26, в). Действительно, градусная мера центрального угла AOB равна 60°, значит, 'и AFB = 60°. Каждый из указанных углов опирается на дугу AFB, следовательно, градусная мера каждого из них равна 1 и AFB = 30°. 2 Теорема 2 (об угле между хордой и касательной). Градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда, равна половине градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 29 Дан о: ш (O, R), AF — касательная, AB — хорда. Доказать: ZFAB = 1 ^ AB. 2 Доказательство. Первый случай. Пусть угол FA^ — острый (рис. 27, а). 1) Проведем диаметр AC. Тогда вписанный угол CBA опирается на полуокружность, значит, по следствию 2 он прямой, т. е. Z CBA = 90°. 2) Треугольник CBA — прямоугольный, следовательно, Z ACB = 90°-Z1. 3) Так как диаметр AC перпендикулярен касательной FA, то Z FAB = 90° - Z 1. Таким образом, Z FAB = ZACB. Так как вписанный угол ACB опирается на дугу AB, то ZACB = 1 ^ AB. 2 Следовательно, ZFAB = 1 ^ AB. Второй случай. Пусть угол FAB — тупой (рис. 27, б). Проведем диаметр CA. Тогда ZFAB = ZBAC + ZCAF = 1 ^ BC +1 ^ CA = 22 = !(^BC + ^CA) = 1 ^ BCA, но дуга BCA лежит внутри тупого угла FAB. Теорема доказана. 3. Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема 3 (об отрезках пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды. Правообладатель Народная асвета 30 Гла^ 1, § 2 Дано: AB, CD — хорды окружности, O = AB ^ CD (рис. 28, а). Доказать: AO•OB= = CO • OD. Доказательство. 1) Проведем хорды AC и BD (рис. 28, б). Рассмотрим треугольники AOC и DOB. 2) Заметим, что Z 1 = Z 2, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу CB. Кроме того, Z 3 = Z 4, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу AD. 3) Треугольник AOC подобен треугольнику DOB по первому признаку подобия треугольников, так как Z 1 = Z 2 и Z 3 = Z 4. 4) Из подобия треугольников AOC и DOB следует, что CO OB AO OD ' Значит, AO • OB = CO • OD. Теорема доказана. Пусть через точку S, лежащую вне окружности, проведена секущая, которая пересекает окружность в точках С и В, и SC < SB. Тогда отрезок SB называется отрезком секущей, а отрезок SC — ее внешней частью. Теорема 4 (об отрезках секущей и касательной). Если через точку, лежащую вне круга, ограниченного окружностью, провести к этой окружности касательную и секущую, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и ее внешней части. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 31 ''"'V Дан о: ш (O, R), SA — касательная, SB — секущая, SC — внешняя часть секущей (рис. 29, а). Доказать: SA^ = SB • SC. Рис. 29 б) Доказательство. 1) Проведем хорды AC и AB (рис. 29, б). 2) По теореме о вписанном угле ZABC = 1 ^ AC. Кроме того, в силу теоремы 2 имеем А SAC = 1 ^ AC. Значит, А ABC = А SAC. 2 3) Так как А ABC = А SAC и А 1 — общий угол треугольников ASB и CSA, то эти треугольники подобны. 4) Из подобия треугольников ASB и CSA следует, что вы- AS SB 2 полняется равенство -=---, или AS = SB • SC. ^ SC AS Теорема доказана. Из данной теоремы получим следствие. Следствие. Если через точку S, лежащую вне круга, ограниченного окружностью, проведены две секущие, пересекающие окружность соответственно в точках С-^, и C2, В2, то ЯВ^ • ЯС^ = ЯВ2 • ЯС2 (рис. 30, а). Рис. 30 Правообладатель Народная асвета 32 Гла^ 1, § 2 Задача 1. Через точку S проведена секущая, которая проходит через центр O окружности ra(O, R) и пересекает ее в точках C и B, SC : CB = 1 : 2. Найдите длину отрезка SA касательной (рис. 30, б). Решение. По теореме об отрезках секущей и касательной имеем SA2 = SC • SB. Так как SC : CB = 1 ■ 2, а CB = 2R, то SC = R и SB = SC + CB = 3R. Тогда SA^ = SC • SB = 3R • R = 3R2. Отсюда SA = rJs. Ответ: SA = R\[3. Задача 2. Радиус круга равен 7,5 см. Точка P лежит внутри круга на расстоянии 6,5 см от его центра O. Через точку P проведена хорда AB, длина которой равна 9 см. Вычислите длины отрезков, на которые точка P делит хорду AB. Дан о: ш (O, R), R = 7,5 см, P е AB, PO = 6,5 см, AB = 9 см. Найти: BP и AP. Решение. Воспользуемся теоремой об отрезках пересекающихся хорд. 1) Пусть C и D — точки пересечения прямой OP с границей круга (рис. 31, б). Тогда CO = OD = 7,5 см. 2) По теореме об отрезках пересекающихся хорд имеем AP • PB = CP • PD, или PB(9 - PB) = CP • PD. 3) Заметим, что CP = CO - PO = 7,5 - 6,5 = 1 (см). Кроме того, PD = PO + OD = 7,5 + 6,5 = 14 (см). Таким образом, (9 - PB) • PB = 14. Отсюда найдем: PB = 2 см или PB = 7 см. Следовательно, PB = 2 см и AP = 7 см или PB = 7 см и AP = = 2 см. Ответ: 2 см, 7 см. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 33 Вопросы к § 2 1. Какой угол называется центральным углом? 2. Что называется градусной мерой дуги окружности? 3. Какой угол называется вписанным в окружность? 4. Сформулируйте теорему о вписанном угле. 5. Верно ли, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны? 6. Чему равна градусная мера угла, опирающегося на диаметр окружности? 7. Чему равна градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда? 8. Сформулируйте теорему об отрезках пересекающихся хорд. 9. Сформулируйте теорему об отрезках секущей и касательной. Задачи к § 2 36. Хорда АВ равна радиусу окружности, центром которой является точка О, отрезок ВС — диаметр окружности (рис. 32, а). а) Вычислите градусную меру вписанного угла ABC; б) Чему равна градусная мера центрального угла AOC? 37. В круге, центром которого является точка O, проведен диаметр AB и перпендикулярный ему радиус OF (рис. 32, б). а) Вычислите градусную меру вписанного угла ACF. б) Докажите, что луч CF — биссектриса угла ACB. б) Рис. 32 В в) Правообладатель Народная асвета 34 Гла^ 1, § 2 38. Отрезок AB — диаметр окружности, а точки Си D лежат на окружности по одну сторону от прямой AB так, что градусные меры углов CBA и CBD равны 30° и 20° соответственно (рис. 32, в). Вычислите градусную меру угла DCB. 39. Хорда AB окружности ra(O, OF) равна ее радиусу. Отрезок CB — диаметр окружности, OF ± AB. Вычислите градусную меру вписанного угла FCB. 40. Отрезок AB — хорда окружности, центром которой является точка O, а радиус равен 10 см. Градусная мера центрального угла AOB равна 60°. Вычислите: а) длину хорды AB; б) расстояние от центра окружности до прямой AB. 41. Градусная мера дуги CD окружности, центром которой является точка O, равна 60°. Вычислите расстояние: а) от точки С до прямой DO, если радиус окружности равен 4 см; б) от точки С до точки, диаметрально противолежащей точке D. 42. Отрезок AC — диаметр окружности, центром которой является точка O. Прямая AF — касательная к окружности, отрезок AB — хорда окружности, равная ее радиусу, T = AF CB (рис. 33, а). а) Чему равна градусная мера меньшей дуги, концами которой являются точки A и B? б) Докажите, что BT ■ AT = 1 : 2. 43. Точки A, B, С и D лежат на окружности так, что градусная мера угла BAD равна 50° (рис. 33, б). а) Чему равна градусная мера дуги BCD? б) Вычислите градусную меру угла BCD. Рис. 33 Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 35 44. — диаметр окружности. Точки C и D лежат на окружности по одну сторону от прямой AB так, что градусная мера угла ABD равна 45°. Вычислите градусную меру угла DCB. 45. В окружности проведены две параллельные хорды CD и AB. Докажите, что градусные меры дуг, которые расположены между этими хордами, равны. 46. Хорды AB и AC окружности расположены так, что 'иAB = 124°, а градусная мера угла BAC равна 72°. Вычислите градусную меру дуги AC. 47. Отрезок AC — диаметр окружности радиуса R. Хорда BC равна радиусу окружности. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения прямой CB и касательной к окружности, проходящей через точку A. 48. Точка F окружности удалена от концов ее диаметра AB на расстояния 9 см и 12 см. Вычислите радиус данной окружности. 49. Расстояние от точки окружности до одного из концов ее диаметра равно 8 см, радиус окружности равен 5 см. Вычислите расстояние от данной точки до другого конца диаметра окружности. 50. Диаметром окружности является катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине C. Вычислите расстояние от точки C до точки D, в которой окружность пересекает гипотенузу, если известно, что BD = 4 см и AD = 9 см. 51. Длина перпендикуляра FD, проведенного из точки F окружности к ее диаметру AB, равна 24 см. Точка D делит диаметр AB в отношении 9 : 16. Вычислите радиус окружности. 52. Хорда AB перпендикулярна диаметру CD круга и проходит через середину T радиуса CO (рис. 34, а). Найдите периметр четырехугольника ACBD, если радиус окружности равен R. Правообладатель Народная асвета 36 Гла^ 1, § 2 53. Диаметр CD окружности перпендикулярен хорде AB и пересекает ее в точке F, которая является серединой радиуса OD (рис. 34, б). а) Найдите длину хорды А^, если радиус окружности равен R. б) Докажите, что треугольник ABC является равносторонним. Рис. 34 54. На стороне BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке D. Вычислите площадь треугольника ABC, если CD = 6 см и DB ■ DA = 4 ■ 9. 55. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке F, которая является серединой хорды AB. Вычислите длину хорды AB, если CD = 25 см и FC = 9 см. 56. Хорды AB и CD окружности проходят через точку O, которая является серединой хорды AB. Вычислите длину хорды AB, если CO = 9 см и CO ■ OD = 1 : 3. 57. Точка O — основание перпендикуляра, проведенного из точки F окружности к диаметру AB, AO = а, BO = b. Докажите, что FO = -Jab. 58. Точка F делит хорду AB окружности в отношении 1 : 3, считая от точки A, хорда CD пересекает хорду AB в точке F. Чему равна длина хорды AB, если CD = 40 см и DF = 10 см? 59. Точка O — основание перпендикуляра, проведенного из точки F окружности к ее диаметру AB. Вычислите радиус окружности, если BO = 8 см и FO = 12 см. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 37 60. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке O. Вычислите длины отрезков DO и OC, если AO = 4 см, BO = 6 см, а длина отрезка DO на 5 см больше длины отрезка CO. 61. Диаметр AB и хорда CD окружности перпендикулярны и пересекаются в точке O. Вычислите радиус окружности, если AO = 2 см, а длина хорды CD на 2 см меньше диаметра окружности. 62. Хорды AB и DC окружности пересекаются в точке O (рис. 35, а). Докажите, что Z1 = Z2 = —( AC + BD). 2 а) Рис. 35 63. Точки A, C, B и D лежат на окружности. Прямые AC и BD пересекаются в точке O (рис. 35, б). Докажите, что Z O = —(^CD -^AB). 64. Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Хорды AB и AC большей окружности пересекают меньшую окружность в точках O и F соответственно. Докажите, что AO ■ OB = AF ■ FC. 65. Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Отрезок AB — диаметр большей окружности. Хорда BK большей окружности касается меньшей окружности в точке C. Найдите градусную меру угла CAB, если Z CBA = а. 66. Прямая AB касается окружности в точке A. Точка C лежит на окружности так, что угол BAC является острым. Точка F лежит на дуге AC и во внутренней области острого Правообладатель Народная асвета 38 Гла^ 1, § 2 угла BAC так, что •иAF = ^FC. Найдите расстояние от точки F до касательной, если d(F, AC) = a. 67. Прямая SA касается окружности ra(O, R) в точке A. Луч SO пересекает окружность в точке B. Центр окружности расположен между точками S и B. Найдите расстояние от центра окружности до точки S, если SB = 3SA. 68. В треугольнике ABC AB = 2 см, BC = 4 см, CA = 3 см. Окружность, проходящая через вершины B и C, пересекает прямую AC в точке K, лежащей на луче CA, а прямую AB — в точке T. Известно, что AK = 1 см. Вычислите длины отрезков AT и KT. 69. Вершины треугольника ABC лежат на окружности и AB ■ BC = 2 ■ 3. Точка T делит дугу AC пополам, хорда BT пересекает сторону AC в точке F, а хорда DE проходит через точку F, DF = 8 см и FE = 12 см. Вычислите длину стороны AC. 70. Стороны SO и SF угла OSF пересекают окружность в точках A, B и C, D соответственно. Градусные меры дуг AC, CD, DB и BA в указанном порядке находятся в отношении 4 : 6 : 10 : 16. Вычислите градусную меру угла OSF. 71. Через точку S внутри окружности проведены две прямые l1 и l2, пересекающие окружность соответственно в точках C, D и A, B. Градусные меры дуг AC, CB, BD и DA в указанном порядке находятся в отношении 2 : 4 : 6 : 8. Вычислите градусные меры углов с вершиной S. Правообладатель Народная асвета § 3. Замечательные точки треугольника Ранее мы уже отмечали следующие свойства: медианы треугольника пересекаются в одной точке; биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; высоты треугольника, или прямые, их содержащие, пересекаются в одной точке. Теорема о свойстве медиан треугольника была доказана в восьмом классе. Сейчас докажем теоремы о свойствах биссектрис и высот треугольника. 1. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника. Предварительно докажем одно свойство биссектрисы угла. Теорема 1 (о свойстве биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла, который меньше развернутого, равноудалена от его сторон. Каждая точка указанного угла, равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Рис. 36 Доказательство. I. Докажем, что каждая точка биссектрисы угла, который меньше развернутого угла, равноудалена от его сторон. 1) Пусть луч OT — биссектриса угла AOB, т. е. Z 1 = Z 2, а F — произвольная точка биссектрисы OT. Проведем перпендикуляры FC и FD к прямым BO и AO соответственно и докажем, что FC = FD (рис. 36, а). 2) Рассмотрим прямоугольные треугольники OFD и OFC. Эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу (отрезок OF — общая гипотенуза, Z 1 = Z 2). Правообладатель Народная асвета 40 Гла^ 1, § 3 3) Из равенства треугольников OFD и OFC следует, что FC = FD. Что и требовалось доказать. II. Докажем, что если точка равноудалена от сторон угла, который меньше развернутого угла, то она лежит на его биссектрисе. 1) Пусть точка L равноудалена от сторон угла AOB, т. е. перпендикуляры LD и LC, проведенные к сторонам угла, равны. Докажем, что луч OL — биссектриса угла AOB (рис. 36, б). 2) Рассмотрим прямоугольные треугольники ODL и OCL. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету (отрезок OL — общая гипотенуза, LD = LC). 3) Из равенства треугольников ODL и OCL следует, что Z 1 = Z 2, т. е. луч OL — биссектриса угла AOB. Что и требовалось доказать. Теорема 2 (о точке пересечениия биссектрис). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. 1) Пусть отрезки AA1, BB1 и CC1 — биссектрисы треугольника ABC. Докажем, что они пересекаются в одной точке (рис. 37). Пусть O — точка пересечения биссектрис AA1 и BB1, отрезки OF, OT и OE — перпендикуляры, проведенные из точки O к прямым AB, BC и AC соответственно. 2) Так как луч AO является биссектрисой угла BAC, то по теореме о свойстве биссектрисы угла выполняется равенство OE = OF. Так как луч BO — биссектриса угла ABC, то OF = OT также по теореме о свойстве биссектрисы угла. Отсюда следует, что OE = OT. 3) Равенство OE = OT означает, что точка O равноудалена от сторон угла ACB. Следовательно, по теореме о свойстве биссектрисы угла получим, что точка O лежит на биссектрисе угла ACB. Иначе говоря, биссектриса CC1 проходит через точку O. Таким образом, все три биссектрисы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке O. Теорема доказана. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 41 2. Теорема о точке пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Ранее было введено понятие серединного перпендикуляра к отрезку и доказана теорема о серединном перпендикуляре: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. И обратно: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Воспользуемся этими свойствами для доказательства следующей теоремы. Теорема 3(о точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. Пусть l2 и l3 — серединные пер- пендикуляры к сторонам AB, BC и AC треугольника A^C соответственно (рис. 38). Докажем, что серединные перпендикуляры l^, l2 и l3 пересекаются в одной точке. 1) Пусть O — точка пересечения серединных перпендикуляров l1 и l2. Тогда по теореме о серединном перпендикуляре справедливы равенства OA = OB (так как прямая l1 — серединный перпендикуляр к отрезку AB) и OB = OC (так как прямая l2 — серединный перпендикуляр к отрезку BC). Отсюда следует, что OA = OC. 2) Равенство OA = OC означает, что точка O равноудалена от вершин A и C. Значит, по теореме о серединном перпендикуляре точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра l1, l2 и l3 пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Воспользуемся теоремой 3 для доказательства свойства высот треугольника. Теорема 4 (о точке пересечения прямых, на которых лежат высоты, треугольника). Прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Правообладатель Народная асвета 42 Гла^ 1, § 3 Рис. 39 Доказательство. 1) Пусть отрезки AA^, ЕЕ^ и 00^ — высоты произвольного треугольника АЕ0 (рис. 39). Докажем, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. 2) Проведем через вершины А, Е и 0 прямые, параллельные сторонам Е0, АО и АЕ соответственно. Пусть T, F и D — точки их пересечения. 3) Докажем, что точки А, Е и О являются соответственно серединами сторон TD, TF и FD треугольника TFD. Например, докажем, что точка О — середина стороны DF. Так как четырехугольник AЕ0D — параллелограмм, то АЕ = D0. Так как AЕF0 — параллелограмм, то АЕ = 0F. Таким образом, D0 = 0F. 4) Аналогично доказывается, что AT = АЕ и TЕ = ЕF. По условию АА1 ± ЕО, а по построению TD | ЕО, следовательно, АА1 ± TD. Аналогично ЕЕ1 ± TF и ОО1 1. DF. Значит, прямые АА1, ЕЕ1 и ОО1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника TFD. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис и точка пересечения прямых, содержащих высоты, треугольника, называются замечательными точками треугольника. Заметим, что если треугольник остроугольный, то пересекаются в одной точке сами его высоты, а если треугольник тупоугольный, то пересекаются в одной точке прямые, содержащие высоты. Вопросы к § 3 1. Каким свойством обладает биссектриса угла? 2. Верно ли, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке? 3. Каким свойством обладают серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника? Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 43 4. Сформулируйте теорему о свойстве прямых, содержащих высоты треугольника. 5. Верно ли, что точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от вершин треугольника? Задачи к § 3 72. Отрезок BF — биссектриса прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB. Длина перпендикуляра FD, проведенного к прямой А^, равна 4 см (рис. 40, а). Вычислите длину отрезка FC. Л /й F \ \ А J ч С б) Рис. 40 73. Отрезок AT — биссектриса прямоугольного треугольника А^С с прямым углом при вершине C. Отрезок TK — перпендикуляр, проведенный к гипотенузе AB. Вычислите длину отрезка BK, если AC = 7см и AB = 10 см. 74. Отрезок AF — биссектриса треугольника ABC. Высота FO треугольника ABF равна 2 см (рис. 40, б). Может ли высота FT треугольника AFC быть равной 2,5 см? 75. ABCD — прямоугольная трапеция, луч AF (F е BC) является биссектрисой угла BAD, отрезок FO — перпендикуляр, проведенный к прямой AB (рис. 40, в). Докажите, что отрезок OF равен высоте трапеции. 76. В треугольнике ABC с прямым углом при вершине C проведена биссектриса CF. Вычислите расстояния от точки F до прямых AC и BC, если CF = W2 см. Правообладатель Народная асвета 44 Гла^ 1, § 3 77. Отрезок AO — биссектриса прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине C. Вычислите площадь треугольника AOB, если CO = 3 см, AB = 12 см. 78. Биссектрисы BF и AT равнобедренного треугольника ABC, основанием которого является отрезок BC, пересекаются в точке O. Вычислите длину отрезка OT, если AB = 14 см, а площадь треугольника AOB равна 35 см2. 79. Биссектрисы AF и BK треугольника ABC пересекаются в точке O. Верно ли, что Z OCA = Z OCB? 80. В треугольнике ABC биссектрисы CF и AT пересекаются в точке O (рис. 41, а). Вычислите градусную меру угла ABO, если Z OAC = 31°, Z OCB = 22°. а) б) Рис. 41 81. Биссектриса BF угла ABD пересекает диагональ AC квадрата ABCD в точке S (рис. 41, б). Вычислите градусную меру угла SDB. 82. Основанием равнобедренного треугольника ABC является отрезок AC. Биссектриса AF и высота BT треугольника пересекаются в точке O (рис. 41, в). Вычислите градусную меру угла OCT, если ZABC = 40°. 83. Биссектрисы AF и BT углов при основании равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 42, а). Докажите, что прямая CO перпендикулярна основанию AB данного треугольника. 84. Серединный перпендикуляр l к стороне AB параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке F, которая Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 45 является ее серединой (рис. 42, б). Вычислите расстояние от вершины B до точки F, если BC = 18 см. 85. Серединный перпендикуляр l к боковой стороне равнобедренного треугольника ЛВС пересекает боковую сторону BC в точке O (рис. 42, в). Докажите, что периметр треугольника ЛОС равен сумме длин сторон ЛВ и ЛС. 86. Серединный перпендикуляр l к гипотенузе ЛВ прямоугольного треугольника ЛВС пересекает сторону ЛС в точке F так, что ЛF = 10 см. Вычислите периметр треугольника FBC, если ВС = 8 см. 87. На медиане BF треугольника ЛВС постройте точку, равноудаленную от вершин В и С. 88. Точки Л и В лежат по одну сторону от прямой l. Постройте равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок ЛВ, а вершина лежит на прямой l. 89. Постройте прямоугольный треугольник по катету a и сумме s другого катета и гипотенузы. 90. Высоты CF и ЛТ остроугольного треугольника ЛВС пересекаются в точке О. Докажите, что ZЛВО = ZЛСО. 91. Высоты AF и ВТ равнобедренного треугольника ЛВС (ЛС = ВС) пересекаются в точке О и E = СО ^ ЛВ (рис. 43, а). Докажите, что отрезок СЕ — медиана треугольника ЛВС. Правообладатель Народная асвета 46 Гла^ 1, § 3 Рис. 43 92. Высоты AF и CT остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 43, б). Известно, что AT ■ FC = 1 : 2. Вычислите длину отрезка OC, если AO = 4 см. 93. Высоты AF и CT остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Вычислите высоту треугольника AOC, проведенную из вершины O, если AO = BF = 8 см, OF = 6 см. Правообладатель Народная асвета § 4. Вписанные и описанные треугольники 1. Окружность, вписанная в треугольник. Рассмотрим понятие окружности, вписанной в треугольник. Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех сторон треугольника. В этом случае треугольник называется описанным около окружности. Например, на рисунке 44, а изображена окружность, вписанная в треугольник ABC. Окружность, которая изображена на рисунке 44, б не является вписанной в треугольник ABC, так как она не касается стороны BC. а) Рис. 44 Круг называется вписанным в треугольник, если его граница вписана в этот треугольник. Следующая теорема дает ответ на вопрос о существовании окружности, вписанной в треугольник. Теорема 1 (о существовании окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Доказательство. I. Докажем, что в треугольник можно вписать окружность. 1) Пусть O — точка пересечения биссектрис произвольного треугольника ABC (рис. 45). 2) Отрезки OK, OE и OT — перпендикуляры, проведенные из точки O к сторонам AB, BC и AC соответственно. Правообладатель Народная асвета 48 Гла^ 1, § 4 3) По теореме о биссектрисе угла точка O равноудалена от сторон треугольника, следовательно, OK = OE = OT. Таким образом, окружность с центром в точке O и радиусом, равным отрезку OK, проходит через точки K, E и T. 4) Стороны AB, BC и AC треугольника касаются этой окружности в точках K, E и T, так как они перпендикулярны радиусам OK, OE и OT соответственно. Следовательно, окружность с центром в точке O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC. Существование вписанной окружности доказано. II. Докажем, что такая окружность единственная. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из окружностей равноудален от сторон треугольника, а следовательно, совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника; ее радиус равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Таким образом, эти окружности совпадают. Теорема доказана. 2. Окружность, описанная около треугольника. Рассмотрим понятие окружности, описанной около треугольника. Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность. Например, на рисунке 46, а изображена окружность, которая является описанной около треугольника TFE. Окружность, которая изображена на рисунке 46, б, не является описанной около треугольника ABC, так как вершина C не лежит на окружности. Круг называется описанным около треугольника, если его граница описана около этого треугольника. Рис. 46 Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 49 Докажем теорему о существовании описанной около треугольника окружности. Теорема 2 (о существовании окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Доказательство. I. Докажем, что около треугольника можно описать окружность. 1) Пусть O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам произвольного треугольника ABC (рис. 47). 2) Так как точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов, то OA = OB = OC. Таким образом, окружность с центром в точке O и радиусом, равным отрезку OA, проходит через все вершины треугольника ABC, а значит, является описанной около этого треугольника. II. Докажем, что такая окружность единственная. Предположим, что около треугольника можно описать еще одну окружность. Тогда ее центр равноудален от вершин треугольника, а следовательно, совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; ее радиус равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Таким образом, окружности совпадают. Теорема доказана. Задача 1. Докажите, что радиус r вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле r = p - c, где p — полупериметр прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Дано: AABC, Z ACB = 90°, AB = c, r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр. Доказать: r = p - c. а) с \ в 5 Г А 48 б) Правообладатель Народная асвета 50 Гла^ 1, § 4 Доказательство. 1) Пусть K, T, F — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, AB и BC треугольника ABC, точка O — центр этой окружности (рис. 48, а, б). Четырехугольник CKOF — квадрат (т. к. Z OKC = Z KCF = = Z CFO = 90°, CK = CF), значит, CF = CK = OK = OF = r. 2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, следовательно, AT = AK = AC - r и BT = BF = BC - r. 3) Так как AT + BT = c, то (AC - r) + (BC - r) = c. Таким - AC + BC - c AC + BC + c - 2c AC + BC + c образом, r =-------- или r =-----------=------------ c = ^ 2 2 2 =p - c. Что и требовалось доказать. Задача 2. Докажите, что для произвольного треугольника ABC выполняется равенство —a— = 2 R, где а — длина sin A стороны, лежащей против угла A, R — радиус описанной окружности. Дано: А ABC, BC = а, R — радиус описанной окружности. Доказать: —^ = 2R. sin A Рис. 49 Доказательство. Пусть около треугольника ABC описана окружность. Проведем диаметр BF этой окружности. Возможны три случая. Первый случай. Углы A и F опираются на одну дугу (рис. 49, а). Тогда ZA = ZF. В прямоугольном треугольнике = 2R. BCF sin F = = —, а, значит, sin A = — или —— BF 2 2 R sin A Второй случай. Углы A и F опираются на дуги, дополняющие друг друга до окружности, т. е. Z A + Z F = 360° : 2 = 180° (рис. 49, б). Тогда Z F = 180° - Z A. В прямоугольном треуголь- Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 51 нике BCF sinF = = —. Но так как sin F = sin(180° - ZА) = BF 2R ^ ’ = sin А, то в этом случае также sin А = или —-— = 2R. 2R sin А Третий случай. Если треугольник BAC прямоугольный с прямым углом при вершине А, то формула верна, так как в этом случае sin А = 1 и сторона, лежащая против угла А, является диаметром окружности, т. е. - = 2R. Что и требовалось доказать. Вопросы к § 4 1. Какая окружность называется вписанной в треугольник? 2. Верно ли, что в любой треугольник можно вписать окружность? 3. Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник? 4. Какой треугольник называется описанным около окружности? 5. Какая окружность называется описанной около треугольника? 6. Какой треугольник называется вписанным в окружность? 7. Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника? 8. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, если известны длина стороны и градусная мера противолежащего ей угла треугольника? Задачи к § 4 94. Точка O — центр окружности, вписанной в равносторонний треугольник АВС, F = BO ^ АС (рис. 50, а). а) Верно ли, что Z OAF = 30°? б) Вычислите градусную меру угла BOA. в) Вычислите высоту треугольника ABC, если радиус вписанной в него окружности равен 2 см. 95. Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если длина его стороны равна W3 см. 96. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен ^/3 см. Вычислите периметр треугольника. Правообладатель Народная асвета 52 Гла^ 1, § 4 а) б) Рис. 50 в) 97. Точка O — центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, основанием которого является отрезок AB, F = AB ^ CO (рис. 50, б). Вычислите отношение CO ■ OF, если CF = 4 см и AB = 6 см. 98. Вычислите радиус окружности, вписанной в равно -бедренный треугольник, если длина его основания равна 10 см, а длина боковой стороны — 13 см. 99. Вычислите длину основания равнобедренного треугольника, если его периметр равен 32 см, а центр вписанной окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5 : 3, считая от вершины. 100. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C, касается сторон треугольника в точках F, T и K (рис. 50, в). Вычислите длину гипотенузы треугольника, если AK + TB = 10 см. 101. В прямоугольный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 2 см. Вычислите периметр треугольника, если длина его гипотенузы равна 13 см. 102. В прямоугольный треугольник ABC (ZACB = 90°) вписана окружность. Вычислите радиус этой окружности, если AC = ^/Э см и Z BAC = 60°. 103. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Вычислите расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной в этот треугольник окружности. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 53 104. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части, длины которых равны 6 см и 4 см. Вычислите радиус окружности. 105. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 5 см, а длина одного из катетов равна 12 см. Вычислите периметр треугольника. 106. Точка O — центр окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, отрезок BF — диаметр окружности, T = BF ^ AC (рис. 51, а). а) Докажите, что OT = TF. б) Верно ли, что ZAOT = 60°? в) Вычислите высоту треугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см. в) 107. Вычислите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если длина его стороны равна 10 см. 108. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен ^/3 см. Вычислите периметр этого треугольника. 109. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность (рис. 51, б). Вычислите радиус этой окружности, если AC = 8 см и BC = 6 см. 110. Вычислите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, если Z CBA = 30° и AC = 9 см. Правообладатель Народная асвета 54 Гла^ 1, § 4 111. ABCA^B^C^ — прямая призма (все боковые грани прямой призмы — прямоугольники), основанием которой служит прямоугольный треугольник ACB с прямым углом С (рис. 51, в). Вычислите диаметр окружности, описанной около треугольника CBBj_, если AB = 13 см, AC = 5 см и BB1 = 5 см. 112. Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 5 см, а длина одного из катетов равна 8 см. 113. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 10 см, а высота, проведенная из его вершины к основанию, равна 8 см. Вычислите радиус окружности, описанной около этого треугольника. 114. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен R, а длина его боковой стороны равна а. Найдите высоту треугольника, которая проведена к его основанию. 115. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 13 см, а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 7^ см. Вычислите площадь этого треугольника. 116. Около равнобедренного треугольника ABC, основанием которого является отрезок AC, описана окружность с центром в точке O, отрезок BF — диаметр окружности, T = BF ^ AC . Вычислите длину диаметра BF, если BC = 10 см, BT = 8 см. 117. Вычислите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если длина его основания равна 10 см, а длина боковой стороны — 13 см. 118. ABC — равнобедренный треугольник, основание которого — отрезок AC. Вычислите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если Z ABC = 120° и AB = 12 см. 119. Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника равна 30°, а его боковая сторона равна а. Докажите, что диаметр окружности, описанной около этого треугольника, равен 2а. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 55 120. Длина стороны равностороннего треугольника равна а. Докажите, что радиус r вписанной в этот треугольник о/з окружности можно найти по формуле r = 6 (рис. 52, а). 121. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен г. Докажите, что площадь этого треугольника можно найти по формуле S = ^/3 г2 (см. рис. 52, а). 122. Докажите, что площадь S произвольного треугольника можно найти по формуле S = rp, гдеp — полупериметр этого треугольника, r — радиус вписанной окружности (рис. 52, б). б) Рис. 52 123. Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен R, а градусная мера угла при его основании равна ф. Найдите площадь треугольника. 124. Основанием прямой треугольной призмы ABCA^B^Ci является равносторонний треугольник ABC. Вычислите площадь боковой грани призмы, если радиус окружности, вписанной в основание призмы, равен л/з см, а длина диагонали боковой грани равна 10 см. 125. В прямоугольный треугольник, градусная мера одного из углов которого равна 60°, вписана окружность, радиус которой равен ^/3 см. Вычислите площадь этого треугольника. 126. Вычислите периметр прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной и описанной окружностей равны соответственно 2 см и 5 см. Правообладатель Народная асвета 56 Гла^ 1, § 4 127. Периметр прямоугольного треугольника равен 90 см, а радиус вписанной в него окружности равен 4 см. Вычислите длины катетов этого треугольника. 128. Около окружности, радиус которой равен 5 см, описан прямоугольный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. Вычислите длину гипотенузы. 129. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 24 см, вписана окружность. Точка касания гипотенузы и окружности делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Вычислите длины сторон треугольника. 130. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ACB с прямым углом C. Вычислите длину диагонали грани AA1B1B, если длина одного из катетов треугольника ACB равна 3 см, радиус вписанной в него окружности равен 1 см, а площадь грани AA1B1B равна 60 см2. 131. Длины катетов прямоугольного треугольника равны a и b, а радиусы вписанной и описанной окружностей — r и R. Докажите, что a + b = 2(r + R). 132. В прямоугольный треугольник вписана окружность, точка касания которой делит гипотенузу на отрезки, длины которых m и n. Докажите, что площадь S треугольника можно найти по формуле S = mn. 133. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен г, а длина его гипотенузы равна с. Докажите, что площадь S треугольника можно найти по формуле S = r2 + rc. 134. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два прямоугольных треугольника. Докажите, что r + r1 + r2 = h, где r — радиус окружности, вписанной в данный треугольник; r1, r2— радиусы окружностей, вписанных в полученные треугольники; h — высота, проведенная к гипотенузе. 135. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Расстояние от центра окружности до вершины угла, проти- Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 57 волежащего основанию, равно 10 см, а длина боковой стороны равна 20 см. Вычислите радиус вписанной окружности. 136. В равнобедренном треугольнике градусная мера угла при основании равна 30°. Высота, проведенная к основанию, больше радиуса вписанной окружности на 2 см. Вычислите длину основания треугольника. 137. Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная к основанию, равна h, а радиус вписанной окружности равен г. 138. В окружность вписан равнобедренный треугольник, длина основания которого равна 10 см, а длина боковой стороны — 12 см. Через середину высоты, проведенной к основанию треугольника, проведена хорда, параллельная основанию. Вычислите длину хорды. 139. Около равнобедренного треугольника описана окружность радиуса 25 см. Расстояние от центра окружности до основания равно 7 см. Вычислите площадь треугольника. 140. В равнобедренный треугольник, длина боковой стороны которого равна 18 см, а длина основания — 12 см, вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная основанию. Вычислите длину отрезка касательной, который ограничен точками пересечения с боковыми сторонами. 141. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен R, а градусная мера одного из его острых углов равна а. Найдите радиус вписанной окружности. 142*. Отрезки BD и AE — высоты равнобедренного треугольника ABC с основанием AC. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и AEC, равны соответственно 10 см и 12 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. 143*. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе c и радиусу г вписанной окружности. 144*. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе c и медиане т, проведенной к катету. Правообладатель Народная асвета § 5. Вписанные и описанные четырехугольники 1. Окружность, вписанная в четырехугольник. Определим понятие окружности, вписанной в четырехугольник. Определение. Окружность называется вписанной в четырехугольник, если она касается всех сторон четырехугольника. В этом случае четырехугольник называется описанным около окружности. Например, на рисунке 53, а изображены квадрат ABCD и вписанная в него окружность. Окружность, изображенная на рисунке 53, б, не является вписанной в четырехугольник AFDC, так как она не касается его стороны DC. Заметим, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник, не являющийся квадратом, нельзя вписать окружность. Существует окружность, которая касается трех сторон такого прямоугольника, и не существует окружности, касающейся всех его четырех сторон (рис. 53, в). Круг называется вписанным в четырехугольник, если его граница вписана в четырехугольник. в) Следующая теорема характеризует свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность. Теорема 1 (о свойстве четырехугольника, в который можно вписать окружность). Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 59 Рис. 54 Доказательство. 1) Пусть в четырехугольник A^CD вписана окружность, которая касается его сторон в точках F, O, T и E (рис. 54). Докажем, что AB + CD = BC + AD. 2) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AF = AE = а, BF = BO = b, CO = CT = m, DT = DE = c. 3) Таким образом, AB+CD=(AF+FB)+ + (CT + DT) = a + b + c + m и BC + AD = (BO + OC) + (AE + ED) = = a + b + c + m. Отсюда следует, что AB + CD = BC + AD. Теорема доказана. Справедливо и обратное утверждение, которое отвечает на вопрос, при каком условии в четырехугольник можно вписать окружность. Теорема 2 (условие, при котором в четырехугольник можно вписать окружность). Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность. а) б) Рис. 55 Доказательство. 1) Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, в котором AB + CD = BC + AD. Докажем, что в этот четырехугольник можно вписать окружность. 2) Рассмотрим окружность, которая касается трех сторон: AB, BC и AD. Центр O этой окружности есть точка пересечения биссектрис углов CBA и BAD (рис. 55, а). 3) Докажем, что эта окружность вписана в четырехугольник, т. е. что она касается также и стороны CD. Предположим, Правообладатель Народная асвета 60 Гла^ 1, § 5 что это не так. Тогда либо сторона CD не пересекает окружность, либо является секущей. 4) Пусть сторона CD не пересекает окружность (рис. 55, б). Проведем касательную DF, где F е BC. Так как ABFD — описанный четырехугольник, то верно равенство AB + DF = = AD + BF. Кроме того, по условию AB + CD = BF + FC + AD. Отсюда следует, что AB + CD = AB + DF + FC или CD = DF + FC, что невозможно, так как в треугольнике DFC длина стороны CD должна быть меньше суммы длин двух других сторон. Аналогично приводит к противоречию и предположение о том, что сторона CD является секущей. 5) Таким образом, предположение о том, что сторона CD не касается рассматриваемой окружности, неверно. Следовательно, сторона CD касается этой окружности, и, значит, окружность вписана в четырехугольник ABCD. Теорема доказана. 2. Окружность, описанная около четырехугольника. Определим понятие окружности, описанной около четырехугольника. Определение. Окружность называется описанной около четырехугольника, если все его вершины лежат на окружности. В этом случае четырехугольник называется вписанным в окружность. Круг называется описанным около четырехугольника, если его граница описана около четырехугольника. Теперь рассмотрим свойство четырехугольника, вписанного в окружность. Теорема 3 (о свойстве четырехугольника, вписанного в окружность). Если около четырехугольника описана окружность, то суммы градусных мер его противолежащих углов равны 180°. Доказательство. 1) Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 56). Докажем, что ZA + Z C = 180° и Z B + Z D = 180°. 2) Так как углы A и C — вписанные, то ZA = 1 и BCD и ZC = 1 'U BAD. Значит, ZA + Z C = 1 и BCD + 1 и BAD = = i( и BCD + и BAD) = 1 • 360° = 180° Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 61 Так как сумма градусных мер углов четырехугольника ABCD равна 360° и ZA + ZC = 180°, то Z B + Z D = 180°. Теорема доказана. Справедливо и обратное утверждение, которое характеризует условие, при котором около четырехугольника можно описать окружность. Теорема 4 (условие, при котором около четырехугольника можно описать окружность). Если в четырехугольнике суммы градусных мер противолежащих углов равны 180°, то около такого четырехугольника можно описать окружность. Рис. 57 Доказательство. 1) Пусть в четырехугольнике ABCD выполняется равенство Z A + Z C = 180°. Докажем, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность (рис. 57, а). 2) Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABD, и докажем, что эта окружность проходит также через вершину C. Предположим, что окружность не проходит через вершину C. Тогда либо вершина C лежит вне круга, границей которого служит рассматриваемая окружность, либо внутри этого круга. 3) Пусть вершина C лежит вне круга (рис. 57, б). Обозначим буквами F и O точки пересечения сторон BC и DC с окружностью. Тогда ZC = !(^ DAB -^ FO). Следовательно, Z С < 1 ^ DAB. Так как угол A является вписанным, то ZA= = 1 ^BOD. Тогда Z A + Z C <^(^BOD + ^DAB) < ^60° = 180°. 2 2 2 Правообладатель Народная асвета 62 Гла^ 1, § 5 Это противоречит условию, значит, наше предположение неверно, т. е. окружность проходит через вершину С. Аналогично можно доказать, что вершина С не может лежать внутри круга. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что около любого прямоугольника можно описать окружность. Рассмотрим некоторые задачи, при решении которых используются доказанные теоремы. Задача 1. Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD, длина ее боковой стороны равна 10 см, а градусная мера одного из ее углов равна 60°. Вычислите площадь трапеции. Дано: ABCD — трапеция, AB = CD = 10 см, Z BAD = 60° (рис. 58, а). Вычислить: ^ ^ Rr» П . а) б) Рис. 58 Решение. Для нахождения площади трапеции воспользуемся фор- мулой S = a + b h, где a и b — длины ее оснований, h — вы- сота. 1) Пусть отрезок BF — высота трапеции. Тогда SABCD = = BC+AD , BF (рис. 58, б). 2) Так как в трапецию ABCD вписана окружность, то BC + AD = AB + CD. Но так как трапеция равнобедренная, то BC + AD = 2AB = 20 см. 3) В прямоугольном треугольнике AFB длина катета BF = AB sin 60° = 10 • = W3 (см). Теперь вычислим пло- щадь трапеции SABCD Ответ: 50/3 см2. BC + AD BF = 20 • W3 = 50/3 (см2). Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 63 Задача 2. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ является квадрат. Вычислите площадь боковой грани параллелепипеда, если диаметр окружности, описанной около основания параллелепипеда, равен W2 см, а боковое ребро в два раза больше стороны основания. Дано: ABCDAiBiCiDi — прямоугольный параллелепипед, DDi = 2AB, AD = DC, 2RABCn = 3[2 см. Рис. 59 ''ABCD Найти: площадь боковой грани. Решение. Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником. Так как основания параллелепипеда — квадраты, то боковые грани — равные прямоугольники. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон, следовательно, достаточно вычислить, например, длины отрезков DC и DD^, тогда площадь грани SDDqC = DC • DD^ (рис. 59, а). 1) Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру окружности, значит, AC = W2 см (рис. 59, б). 2) В равнобедренном прямоугольном треугольнике ADC имеем AC2 = 2DC2, 18 = 2DC2. Значит, DC = 3 см. 3) По условию боковое ребро параллелепипеда в два раза больше стороны основания. Значит, DD1 = 2DC = 6 см. 4) Теперь вычислим площадь боковой грани SDDqC = = DC • DD1 = 6 • 3 = 18 (см2). 1 Ответ: 18 см2. Вопросы к § 5 1. Какая окружность называется вписанной в четырехугольник? 2. Какой четырехугольник называется описанным около окружности? Правообладатель Народная асвета 64 Гла^ 1, § 5 3. Каким свойством обладают стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность? 4. Каким свойством должны обладать стороны четырехугольника, чтобы в него можно было вписать окружность? 5. Какая окружность называется описанной около четырехугольника? 6. Какой четырехугольник называется вписанным в окружность? 7. Каким свойством обладают углы четырехугольника, вписанного в окружность? 8. Какому условию должны удовлетворять углы четырехугольника, чтобы около него можно было описать окружность? Задачи к § 5 145. Квадрат ABCD описан около окружности, центром которой является точка O (рис. 60, а). Вычислите площадь треугольника COB, если радиус окружности равен 2 см. 146. Длина диагонали квадрата равна W2 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в квадрат. в) 147. Прямоугольная трапеция ABCD описана около окружности. Вычислите длину большей боковой стороны, если радиус окружности равен 4 см, а градусная мера острого угла трапеции равна 60° (рис. 60, б). 148. Окружность вписана в прямоугольную трапецию, градусная мера одного из углов которой равна 30°, а длина Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 65 большей боковой стороны равна 8 см. Вычислите периметр трапеции. 149. В прямоугольную трапецию ABCD, градусная мера острого угла которой равна 45°, вписана окружность, радиус которой равен 2 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник CDF, где отрезок CF — высота трапеции. 150. Площадь всех граней куба ABCDA^B^C^D^ равна 24 см2 (рис. 60, в). Вычислите радиус окружности, вписанной в грань куба. 151. Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD описана около окружности. Вычислите периметр трапеции, если AB = 5 см. 152. Около окружности описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 12 см. Вычислите длину боковой стороны трапеции. 153. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Вычислите длину средней линии трапеции, если длина боковой стороны трапеции равна 4 см. 154. Вычислите периметр трапеции, описанной около окружности, если длина ее средней линии равна 10 см. 155. Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен 40 см. Вычислите высоту трапеции, если градусная мера острого угла трапеции равна 30°. Т D а) б) Рис. 61 в) Правообладатель Народная асвета 66 Гла^ 1, § 5 156. Серединный перпендикуляр l к боковой стороне CD трапеции ABCD пересекает ее основание в точке F (рис. 61, а). Вычислите длину отрезка FD, если известно, что в равнобедренную трапецию ABCF с периметром 24 см можно вписать окружность. 157. Точка F лежит на стороне BC прямоугольника ABCD так, что в четырехугольник ABFD можно вписать окружность (рис. 61, б). Вычислите периметр трапеции ABFD, если AB = a и ZADF = а. 158. Длина бокового ребра прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 10 см. Основанием призмы служит равнобедренная трапеция ABCD, длина боковой стороны которой равна 2 см (рис. 61, в). Вычислите сумму площадей всех боковых граней призмы, если известно, что в трапецию ABCD можно вписать окружность. 159. Сумма длин двух противолежащих сторон описанного четырехугольника равна а. Найдите периметр четырехугольника. 160. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Найдите длину боковой стороны трапеции, если ее периметр равен т. 161. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом. 162. Около окружности описан ромб, длина стороны которого равна 5 см, а длина одной из диагоналей равна 8 см. Вычислите радиус окружности. 163. Диагональ ромба равна его стороне. Вычислите периметр ромба, если радиус вписанной в него окружности равен Vs см. 164. Около окружности описана равнобедренная трапеция, длина боковой стороны равна 6 см, а градусная мера угла при основании трапеции равна 150°. Вычислите площадь трапеции. 165. Около окружности радиуса 2 см описана равнобедренная трапеция, градусная мера острого угла которой равна 30°. Вычислите площадь трапеции. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 67 166. Около окружности радиуса 6 см описана трапеция. Вычислите площадь трапеции, если ее периметр равен 50 см. 167. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 8^[3 см2. Вычислите длину боковой стороны трапеции, если градусная мера одного из углов трапеции равна 60°. 168. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 8 см2, а градусная мера острого угла трапеции равна 30°. Вычислите радиус вписанной окружности. 169. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Центр O окружности лежит на стороне AD. Вычислите градусные меры углов BCD и BDC, если ZABC = 140°, ZADB = 20° (рис. 62, а). 170. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Сторона AD является диаметром этой окружности. Вычислите градусную меру угла CBD, если ZADC = 48°. ( 1 ) А В б) Рис. 62 в) 171. В окружность с центром в точке O вписан прямоугольник ABCD (рис. 62, б). а) Верно ли, что точка O является серединой диагонали AC? б) Вычислите периметр прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 2 см, а диагональ прямоугольника образует со стороной угол, градусная мера которого равна 30°. 172. Периметр прямоугольника равен 12 см, а длины его сторон относятся как 1 : 2. Вычислите радиус окружности, описанной около прямоугольника. Правообладатель Народная асвета 68 Гла^ 1, § 5 173. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA^BiCiDi является квадрат, площадь которого равна 49 см2 (рис. 62, в). Вычислите диаметр окружности, описанной около боковой грани параллелепипеда, если длина бокового ребра равна ^/^5 см. 174. Вычислите радиус окружности, описанной около прямоугольника, если его площадь равна 8 см2, а длина одной из сторон равна 2 см. 175. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм является прямоугольником . 176. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция является равнобедренной. 177. Окружность радиуса 4 см описана около трапеции ABCD, а ее центр лежит на основании AD трапеции. Вычислите длину диагонали трапеции, если ZADC = 60° (рис. 63, а). Рис. 63 178. Около трапеции, высота которой равна 4 см, описана окружность. Вычислите радиус окружности, если известно, что основание трапеции является диаметром окружности, а градусная мера одного из углов трапеции равна 120°. 179. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на одном из оснований трапеции. Вычислите периметр трапеции, если градусная мера одного из ее углов равна 60°, а радиус окружности равен 6 см. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 69 180. Основание трапеции ABCD является диаметром описанной около нее окружности. Серединный перпендикуляр l к боковой стороне AB пересекает окружность в точке F. Вычислите расстояние от вершины B до точки F, если Z A^C = 60°, а радиус окружности равен 2 см (рис. 63, б). 181. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции, если длина ее диагонали равна 12 см, а длина боковой стороны равна 9 см. 182. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне, градусная мера одного из ее углов равна 60°. Вычислите площадь трапеции, если радиус описанной около нее окружности равен 4 см. 183. Докажите, что площадь описанного четырехугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписан- a + b + c + d ной окружности: S = rp, где p = (рис. 64, а). Рис. 64 184. Докажите, что квадрат высоты равнобедренной трапеции ABCD, в которую можно вписать окружность, равен произведению длин оснований BC и AD трапеции: ft2 = ab, где BC = a и AD = b, h — ее высота (рис. 64, б). 185. Сумма длин двух противолежащих сторон описанного четырехугольника равна a, а радиус вписанной окружности равен b. Найдите площадь четырехугольника. Правообладатель Народная асвета 70 Гла^ 1, § 5 186. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если длина ее большего основания равна а, а градусная мера одного из углов равна 120°. 187. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки, длины которых равны p ид. Найдите площадь трапеции. 188. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки, длины которых равны а и b. Докажите, что радиус вписанной окружности можно найти по формуле r = \fab. 189. Прямоугольник, длины сторон которого равны 6 см и 8 см, разделен диагональю на два треугольника. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Вычислите расстояние между центрами окружностей. 190. Длины сторон AB и BC прямоугольника равны 12 см и 6 см соответственно. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются диагонали AC в точках K и T. Вычислите расстояние между точками K и T. 191. В ромб вписана окружность радиуса r. Найдите площадь ромба, если его большая диагональ в четыре раза больше радиуса вписанной окружности. 192. В ромб, градусная мера одного из углов которого равна 60°, вписана окружность. Расстояние между точками касания смежных сторон и окружности равно 2а. Найдите площадь ромба. 193. В квадрат вписана окружность. Другая окружность касается двух сторон квадрата и касается внешним образом вписанной в него окружности. Найдите радиус меньшей окружности, если длина стороны квадрата равна а. 194. Длины боковых сторон трапеции равны 3 см и 5 см. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5 : 11. Вычислите длины оснований трапеции. Правообладатель Народная асвета Вписанные и описанные многоугольники 71 195. Вычислите площадь трапеции по разности длин оснований, равной 14 см, и длинам непараллельных сторон, равных 13 см и 15 см, если известно, что в трапецию можно вписать окружность. 196. Около окружности описана трапеция, длины боковых сторон которой равны 13 см и 15 см, а площадь равна 168 см2. Вычислите длины оснований трапеции. 197. Около окружности описана равнобедренная трапеция, длина средней линии которой равна 5 см, а синус острого угла при основании 0,8. Вычислите площадь трапеции. 198. Высоты BF и CT остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке S. Верно ли, что около четырехугольника ATSF можно описать окружность? 199. Отрезки AF и BT — соответственно высота и медиана остроугольного равнобедренного треугольника ABC, основанием которого является отрезок AC, O = BT ^ AF. Докажите, что около четырехугольника TOFC можно описать окружность. 200*. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CK. Вычислите радиус окружности, описанной около четырехугольника AKEC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15 см, периметр треугольника BEK равен 9 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BEK, равен 1,8 см. Правообладатель Народная асвета СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ч Правообладатель Народная асвета Глава 2 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА § 1. Теорема синусов В этом параграфе докажем теорему синусов, которая позволяет находить длины неизвестных сторон треугольника, если известна длина одной стороны и градусные меры двух углов, а также вычислять градусные меры углов, если известны длины двух сторон и градусная мера угла, лежащего против одной из этих сторон. Предварительно докажем следующую теорему, которая позволяет находить площадь треугольника, если известны длины двух его сторон и градусная мера угла между ними. Данная теорема может быть применена при решении многих задач. Теорема 1(о нахождении площади треугольника через длины двух сторон и синус угла между ними). Площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон на синус угла между ними. б) Рис. 65 Доказательство. Пусть в треугольнике ABC известны градусная мера угла A и А^ = с, AC = b. Докажем, что площадь данного треугольника можно найти по формуле SABC = 1 cb sin А. Возможны три случая: 1) угол А — острый; 2) угол А — тупой; 3) угол А — прямой. 1) Пусть угол А — острый (рис. 65, а), а отрезок BF — высота треугольника. Тогда 8АВС = 1 bBF. Правообладатель Народная асвета 74 Глава 2, § 1 В прямоугольном треугольнике ABF длина катета BF = c sin A. Таким образом, SABC = 1 cb sin A. 2) Пусть угол A — тупой (рис. 65, б). SABC = 1 bBF. В прямоугольном треугольнике ABF длина катета BF = c sin а, где а = 180° - ZA. Так как sin а = sin (180°-ZA) = sin A, то S^^c = 1 cb sin A. Таким образом, в каждом из случаев 1) и 2) площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон на синус угла между ними. 3) Если ZA = 90°, то SABC = 1 cb sin 90° = 1 cb. Теорема доказана. Воспользуемся утверждением этой теоремы для доказательства теоремы синусов. Теорема 2 (теорема синусов). Длины сторон треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Доказательство. 1) Пусть ABC — произвольный треугольник, AB = c, BC = a, AC = b (рис. 66). Докажем, что —-— = —-— = —c—. sin A sin B sin C На основании предыдущей теоремы можем записать следующие равенства: SABC = 12cb sin A, SABC = 12ab sin C. SABC = 1 ac sin B и Рис. 66 2) Отсюда следует, что выполняются равенства: 1 cb sin A = 1 ac sin B (1) и 1 ac sin B = 1 ab sin C (2). 2 2 2 2 3) Из равенства (1) следует, что b sin A = a sin B. Отсюда (3). sin B sin A 4) Из равенства (2) следует, что c sin B = b sin C. Отсюда получим, что ’ (4). b sin C sin B Из равенств (3) и (4) следует, что a sin A Теорема доказана. Правообладатель Народная асвета sin B sin C Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 75 В силу результата задачи 2 § 4 первой главы выпол- = 2R, где R — радиус окружности, няется равенство sin A описанной около треугольника ABC. Учитывая это равенство и утверждение теоремы синусов, получим следствие: a sin A sin B sin C = 2 R. Так как площадь треугольника SABC = 1 cb sin A и sin A = = -a-, то отсюда следует, что SABC = abc. 2 R 4 R Полученная формула позволяет находить площадь треугольника, зная длины его сторон и радиус описанной окружности, или радиус окружности, описанной около треугольника, если известны длины сторон и площадь треугольника. Рассмотрим примеры решения некоторых задач. Задача 1. Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC, если длина его боковой стороны равна 10 см, а градусная мера угла при вершине основания равна 75°. В Л Дано: AABC, AB = BC = 10 см, Z BAC = 75° (рис. 67, а, б). Найти: SABC. В а) Рис. 67 б) Решение. Воспользуемся теоремой о нахождении площади треугольника через длины двух его сторон и синус угла между ними. 1) На основании теоремы 1 площадь треугольника можем 1 12 найти по формуле SABC = ^AB • BC sinB = — AB sinB. 2) Сумма градусных мер углов треугольника равна 180°, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, Z B = 180° - (Z A + Z C) = 180° - 2 • 75° = 30°. Правообладатель Народная асвета 76 Глава 2, § 1 3) Таким образом, = 1AB2 sinB = 1 • 100 • sin30° = 11 2 2 = 1.100 • 1 = 25 (см2). Ответ: 25 см2. Задача 2. В треугольнике ABC длина стороны AC равна 4 см, Z BAC = 60°, Z BCA = 70°. Вычислите длины сторон AB и BC (рис. 68). Решение. Для вычисления длин сторон воспользуемся теоремой синусов. 1) Пусть AB = x и BC = у. Тогда по теореме синусов x ^ = AC^. Отсюда получим x = sin C sin B AC sin C AC sin70° sin B sin B Сумма градусных мер углов треугольника равна 180°, следовательно, Z B = 180° - (60° + 70°) = 50°. По таблице значений тригонометрических функций (см. Приложение) найдем sin 70° « 0,9397, sin 50° « 0,7660. Таким образом, x 4 • 0,9397 0,7660 3,96. 2) Длину стороны BC также вычислим по теореме си- нусов у AC sin A 4 • 0,8660 _ 0,7660 Ответ: AB Отсюда найдем у = sin B 4,09 (см). 3,96 см; BC « 4,09 см. AC sin A sin B AC sin60° sin50° Задача 3. В треугольнике ABC градусная мера угла B равна 40°, а длины сторон BC и AC равны 8 см и 6 см соответственно. Вычислите градусные меры углов A, C и длину стороны AB. Решение. По теореме синусов выполняется равенство AC BC Отсюда следует, что sin A = BC sin B 8sin40° sin B sin A По таблице AC 6 значений тригонометрических функций (см. Приложение) • ino п /-юо /"! • 8 • 0,6428 наидем sin 40 г „„„„„—— л « 0,8570. 0,6428. Следовательно, sin A 6 Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 77 Этому значению синуса соответствуют два угла: Z« 59° и ZЛ2 « 121° (sin 59° = sin (180°- 121°) = sin 121°). 1) В случае ZЛ1 « 59° найдем Z С1 = 180° - Z B - ZЛ1 « 81°. Теперь найдем длину стороны ЛВ: ЛВ 6 • 0,9877 0,8570 sin Cl BC ЛВ = BC sin C1 5,85 (см). sin Л sin Л 2) Если ZЛ2 « 121°, то Z C2 = 180° - Z В - ZЛ2 « 19°. В этом случае ЛВ = BC sin C2 6sin19° 6 • 0,3256 6,62 (см). sin Л 0,8570 0,8570 Ответ: ZЛ « 59°, Z C « 81°, ЛВ « 5,85 см или ZЛ « 121°, Z C « 19°, ЛВ « 6,62 см. Вопросы к § 1 1. Каким образом можно вычислить площадь треугольника, если известны длины двух его сторон и градусная мера угла между этими сторонами? 2. Сформулируйте теорему синусов. 3. Можно ли вычислить длину стороны треугольника, если известны радиус окружности, описанной около треугольника, и градусная мера угла, противолежащего данной стороне? Задачи к § 1 201. Вычислите площадь треугольника ABC, если ЛВ = = ^/3 см, BC = 4 см, Z В = 60°. 202. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна 8 см, а градусная мера угла при основании равна 15°. Вычислите площадь треугольника. 203. В равнобедренном треугольнике градусная мера угла при основании равна а, а высота, проведенная к боковой стороне, равна h. Найдите площадь треугольника. 204. Вычислите площадь треугольника ABC, если ZЛ = 60°, а высоты, проведенные из вершин В и C, равны соответственно V3 см и ^/з см. Правообладатель Народная асвета 78 Глава 2, § 1 205. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна W3 см, а градусная мера угла при основании равна 22°30'. Верно ли, что площадь треугольника равна 1W2 см2? 206. Вычислите площадь треугольника A^C, если Z B = = 105°, Z C = 30°, а высота, проведенная из вершины B, равна 2 см. 207. Отрезок CF — биссектриса треугольника ABC, AC = b, BC = a. Воспользовавшись теоремой 1 данного параграфа, докажите, что AF '■ FB = b ■ a (рис. 69, а). Рис. 69 208. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD равна произведению длин a и b его смежных сторон на синус угла а между ними, т. е. SABCD = ab sin а (рис. 69, б). 209. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна половине произведения длин d1 и d2 его диагоналей на синус угла ф между ними, т. е. SABCD = 1 d1d2 sinф (рис. 69, в). 210. Длина стороны AC треугольника ABC равна 6 см. Вычислите длину стороны BC, если Z B = 60° и ZA = 45° (рис. 70, а). 211. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является треугольник ABC, у которого Z B = 45°, Z A = 30° и BC = 2 см. Вычислите длину диагонали грани CC1A1A, если AC = AA1 (рис. 70, б). Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 79 212. Длины сторон AB и BC треугольника ABC равны соответственно л/2 см и л/3 см. Вычислите градусную меру угла A, если Z C = 45°. 213. Точка F лежит на стороне AB прямоугольного треугольника ABC (Z BAC = 90°) так, что ZAFC = в и Z FCB = а. Найдите длину отрезка FB, если AC = а. 214. В треугольнике ABC длина стороны AB равна 6 см, Z B = 95°, ZA = 55°. Вычислите длины сторон BC и AC. 215. Отрезок AF — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, основанием которого является отрезок AC. Вычислите длину этой биссектрисы, если AC = 10 см, Z ABC = 100°. 216. Вычислите длину стороны AC треугольника ABC, если BC = 2\[3 см, ZA = 45° и Z C = 15°. 217. В треугольнике ABC длины сторон AB и BC равны соответственно 5 см и 6 см, а Z C = 25°. Вычислите градусную меру угла A, если известно, что этот угол острый. 218. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагональ АС расположена на биссектрисе угла A. Вычислите длину диагонали AC, если AC = CD, AD = 12 см, ZABC = 150°. 219. В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла A пересекает сторону BC в точке F. Вычислите длину отрезка AF, если Z BCD = 30° и DC = 6 см. 220. В параллелограмме ABCD Z A = а, CD = b. Точка F лежит на стороне AD так, что Z BFD '■ ZA = 2 : 1. Найдите длину отрезка BF. Правообладатель Народная асвета 80 Глава 2, § 1 221. В параллелограмме A^CD градусная мера угла A равна 60°. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке F. Вычислите площадь треугольника ABF, если BF = 5 см. 222. В равнобедренном треугольнике A^C с основанием AC градусная мера угла при вершине B равна а. Найдите длину биссектрисы CT этого треугольника, если AC = а. 223. Отрезок BF — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, основанием которого является отрезок BC. Найдите длину отрезка BF, если Z B = в, BC = т. 224. Диагональ BD прямоугольника ABCD образует со стороной AB угол, градусная мера которого равна 15°. Биссектриса угла A пересекает диагональ BD в точке F. Вычислите длину отрезка BF, если CD = 243 см. 225. В треугольнике ABC длина стороны AC равна а, ZA = а, Z B = р. Найдите площадь треугольника. 226. Градусная мера одного из углов треугольника равна 60°, а радиус описанной окружности равен W3 см. Вычислите длину стороны, лежащей против данного угла. 227. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если ZABC = 30° и AC = 6 см. 228. В треугольнике ABC градусные меры углов A и C равны соответственно 45° и 30°. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника, если высота, проведенная из вершины B, равна 4 см. 229. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = ^/3 см, ZA = 40° и Z C = 20°. 230. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 43 см. Вычислите длину стороны AC, если Z A = 40°, Z C = 80°. 231. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является треугольник ABC, у которого Z A = 80°, Z B = 40°, а радиус описанной около него окружности равен W3 см. Вычислите радиус окружности, описанной около грани AA1B1B, если площадь этой грани равна 60 см2 (рис. 71, а, б, в). Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 81 в) 232. Вычислите площадь параллелограмма ABCD, если его периметр равен 12 см, AB = 2 см и Z ABC = 30°. 233. Вычислите площадь прямоугольника, длина диагонали которого равна 4 см, а градусная мера угла между диагоналями равна 30°. 234. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если Z CAB = а, Z CAD = в и AC = т. 235. Вычислите площадь треугольника, длина одной стороны которого равна 4 см, а градусные меры прилежащих к ней углов равны 30° и 45°. 236. В треугольнике длины двух сторон равны 15 см и ^/3 см. Вычислите площадь треугольника, если высоты, проведенные к этим сторонам, пересекаются под углом, градусная мера которого равна 60°. 237. В остроугольном треугольнике ABC длины сторон AB и BC равны соответственно 10 см и 18 см. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если высота, проведенная из вершины B, равна 6 см. 238. Высота BD, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ABC, равна т, а ZABC = 30°. Через середину высоты BD проведена прямая, пересекающая боковые стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если Z BEF = 60°. Правообладатель Народная асвета 82 Глава 2, § 1 239. Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника A^C, равен 10 см. Отрезок BD — высота треугольника, AB = 10 см и AD = 6 см. Вычислите длину стороны BC. 240. Отрезок BF — медиана треугольника ABC, ZA^C = = 75°, Z CBF = 45°. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABF, если радиус окружности, описанной около треугольника CBF, равен 2\[2 см. 241. В треугольнике ABC градусные меры углов A и C равны соответственно а и у, отрезок AD — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ADC. 242. Найдите площадь равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если AD = а, ZBCA = ф и Z CDA = а. 243. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если Z B = в, ZA = а, а высота BF равна h. 244. Длина стороны BC треугольника ABC равна а, а ZA = а. Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите радиус окружности, проходящей через точки B, C и O. 245. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, у которого AB = BC = 15 см. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если сумма площадей боковых граней призмы равна 216 см2, а длина бокового ребра равна 4 см. 246. Окружность радиуса R проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите площадь треугольника ABC, если Z CAB = а и Z ABC = р. 247*. В равнобедренном треугольнике ABC длина основания AC равна а, отрезок CM — биссектриса треугольника, MK I AC, K е BC. Найдите площадь треугольника KBM, если Z BCA = а. Правообладатель Народная асвета § 2. Теорема косинусов. Решение треугольников 1. Теорема косинусов. В данном параграфе докажем теорему, которая связывает длины трех сторон треугольника и косинус одного из его углов. Эта теорема называется теоремой косинусов и формулируется следующим образом. Теорема 1 (теорема косинусов). Квадрат длины любой стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними. Доказательство. 1) Пусть отрезок CH — высота треугольника ABC, угол A — острый, АС = = b, СВ = а, АВ = с (рис. 72). 2) В прямоугольном треугольнике ACH найдем CH = b sin A, AH = b cos A, BH = = c - b cos A. 3) Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника CBH: CB^ = CH^ + + BH2, или a2 = (b sin A)2 + (c - b cos A)2. Отсюда получим a2 = b2 sin2 A + c2 - 2bc cos A + b2 cos2 A, или a2 = b2 + c2 - 2bc cos A, так как b2 sin2 A + b2 cos2 A = b2(sin2 A + + cos2 A) = b2 • 1 = b2. Нетрудно доказать, что формула верна и в случае, когда угол A — тупой. В этом случае проведите доказательство самостоятельно. Если угол A — прямой, то теорема косинусов представляет собой теорему Пифагора a2 = b2 + c2, так как в этом случае cos A = cos 90° = 0. Теорема доказана. Аналогично квадраты длин сторон b и c выражаются соответственно формулами b2 = a2 + c2 - 2ac cos B и c2 = a2 + b2 -- 2ab cos C. Задача 1. В треугольнике ABC AB = 5 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Докажите, что градусная мера угла, лежащего против стороны BC, равна 60°. Правообладатель Народная асвета 84 Глава 2, § 2 Доказательство. По теореме косинусов верно равенство BC^ = AB^ + AC^ -- 2AB • AC cos A. Следовательно, 49 = 25 + 64 - 2 • 5 • 8 cos A. Отсюда найдем cos A = 1. Значит, ZA = 60°. Что и требовалось доказать. Задача 2. В параллелограмме ABCD ZABC = 120°. Биссектриса угла B пересекает сторону AD параллелограмма в точке F, AF = 3 см и FD = 2 см. Вычислите длину отрезка BF и длину диагонали AC параллелограмма. Д ан о: ABCD — параллелограмм, Z ABC = 120°, BF — биссектриса, AF = 3 см, FD = 2 см (рис. 73, а, б). Найти: BF и AC. б) Решение. 1) Рассмотрим треугольник ABF. Так как BF — биссектриса угла ABC и ZABC = 120°, то ZABF = 60°. Сумма градусных мер углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, следовательно, Z BAF = 60°. Так как сумма градусных мер углов треугольника равна 180°, то Z AFB = 180° - 120° = 60°. Таким образом, в треугольнике ABF градусная мера каждого угла равна 60°, т. е. этот треугольник — равносторонний и BF = AF = AB = 3 см. 2) Для вычисления длины диагонали AC воспользуемся теоремой косинусов. В треугольнике ABC по теореме косинусов запишем AC2 = AB2 + BC^ - 2AB • BC cos 120°. Так как BC = AD = AF + FD = 5 см, то AC2 = 32 + 52 - 2 • 3 • 5 cos 120°. Так как cos 120° = -1, то отсюда найдем AC = 7 см. Ответ: BF = 3 см, AC = 7 см. Теорема косинусов позволяет доказать ряд утверждений, которые полезны при решении многих задач. Докажем некоторые из таких утверждений. Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 85 Задача 3. Докажите, что если а, & и с — длины сторон треугольника ABC, то длины его медиан та, т& и тс могут быть найдены по формулам та = —V2&2 + 2с2 - а2, т. = —л/2а2 + 2с2 - &2, тс = —л/2а2 + 2&2 - с2 . .;!/Пс= \ /2я^+2Ь^-с^! Ъ в) Доказательство. Докажем, например, первую формулу. Пусть отрезок AF — медиана треугольника ABC, AB = с, AC = Ъ, BC = а (рис. 74, а). Применим теорему косинусов для треугольника ABF, в котором AB = с, BF = — а, AF = та. Можем записать 2 2 т2 = с2 + ^ - 2с • а cos B. По теореме косинусов для тре- угольника ABC имеем cos B = лучим та = с2 + 2с • — 2ас ^ а а2 + с2 - Ъ2 4 2 ас -. Таким образом, по-. Отсюда следует, что та = —л/2Ъ2 + 2с2 - а2 . Доказательство двух других формул проведите самостоятельно (рис. 74, б, в). Заметим, что при доказательстве указанных формул можно воспользоваться следующей задачей. Задача 4. Пусть d-^ и d2 — длины диагоналей параллелограмма, а и Ъ — длины его сторон. Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон, т. е. d^2 + d| = 2(а2 + Ъ2). Правообладатель Народная асвета 86 Глава 2, § 2 Рис. 75 Доказательство. Пусть в параллелограмме ABCD AB = а, BC = b, Z BAD = а, AC = и BD = d2 (рис. 75). По теореме косинусов для треугольника ABD справедливо равенство d22 = = а2 + b2 - 2ab cos а (1). Для треугольника ABC по теореме косинусов d2 = а2 + b2 - 2ab cos (180° - а). Так как cos (180° - а) = -cos а, то df = = а2 + b2 + 2ab cos а (2). Сложив равенства (1) и (2) почленно, получим df + d| = 2(а2 + b2). Что и требовалось доказать. Задача 5. Докажите, что площадь любого треугольника можно найти по формуле S = sjp(p - а)(p - b)(p - c) (формула Герона), где а, b и c — длины сторон треугольника, а p =---^-- — его полупериметр (рис. 76). Доказательство. Пусть в треугольнике ABC AB = c, BC = а, AC = b. По теореме косинусов верно равенство: а2 = b2 + c2 - 2bc cos A. Отсюда S = \lp(p-a){p-b)ip-c) 2bc как (1). площадь треугольни- cos A = Так ка S = 1 bc sin A, то 2S = bc sin A или 2 4S Рис. 76 Учитывая равенства (1) и (2) и равенство sin2 A + cos2 A = 1, по- 4S = 2bc sin A. Отсюда sin A = (2). лучим 4— b2 + c2 - а2 , , = 1. Отсюда 16S2 = 4b2c2 - (b2 + c2 - а2)2. >2bW V 2bc / ' ^ Используя формулу разности квадратов двух выражений, преобразуем правую часть полученного равенства следующим образом: 4b2c2 - (b2 + c2 - а2)2 = (2bc + b2 + c2 - a2)(2bc - b2 - c2 + а2) = = ^(b + c)2 - а2 - (b - c)^ = = (b + c + a)(b + c - а)(а + b - c)(a - b + c) = = 2p(2p - 2a)(2p - 2c)(2p - 2b) = 16p(p - a)(p - b)(p - c). Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 87 Значит, следовательно, 16S2 = 16p(p - a)(p - b)(p - c), S = ^p(p - a)(p - b)(p - c). Что и требовалось доказать. Задача 6. В треугольнике ABC AB = c, BC = a и AC = b. Найдите радиус r полукруга, вписанного в данный треугольник, если центр O полукруга принадлежит стороне AB (рис. 77, а). Дано: А ABC, AB = c, BC = a, AC = b, O — центр вписанного полукруга. Найти: r. C A\ 4 \ A о в Рис. 77 б) Решение. 1) Пусть полукруг касается сторон AC и CB в точках K и E соответственно. Соединим центр O с точками K, C и E (рис. 77, б). 2) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит, отрезки OK и OE являются высотами треугольников AOC и BOC соответственно. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOC и BOC. Следовательно, SABC = 1 AC • OK + 1 BC • OE = 1 AC • r + 1 BC • r = ABC 2 2 2 2 = r (AC + BC) = r (a + b). Отсюда получим r = 2S 'ABC a + b 3) По формуле Герона SABC = yjp(p - a)(p - b)(p - c), где p = a + b + c 2 Таким образом, r = ^ ^ y[p(p—a)(p—Ъ){p—c). Ответ: 2 a + b yjp(p - a)(p - b)(p - c). Правообладатель Народная асвета r = 88 Глава 2, § 2 2. Решение треугольников. Решить треугольник — значит по трем его элементам найти другие его элементы. Приведем примеры задач на решение треугольника. Задача 7 (нахождение элементов треугольника по длинам двух сторон и градусной мере угла между ними). Известны длины a и b двух сторон BC и AC треугольника и градусная мера а угла между ними. Найдите неизвестные элементы треугольника (рис. 78). Решение. 1) В треугольнике ABC Z C = а, BC = a и AC = b. По теореме косинусов найдем AB = \1 а2 + b2 - 2ab cos а. 2) По теореме синусов запишем а = AB sin A sin а Отсюда найдем sin A = AB Ответ: c = \fc - (ZA + Z C). 3) Зная sin A, найдем градусную меру угла A, а затем найдем Z B = 180° -- (Z A + Z C). + b2 - 2ab cos а , sin A = -asinа, Z B = 180° - Задача (нахождение элементов треугольника по длине стороны и градусным мерам двух прилежащих к ней углов). Известны длина a стороны BC треугольника ABC и градусные меры у и в двух прилежащих к ней углов. Найдите неизвестные элементы треугольника. Правообладатель Народная асвета а sin а c Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 89 Решение. 1) В треугольнике ABC BC = a, ZB = в, Z C = у, тогда Z A = 180° - (в + y) (рис. 79, а). 2) По теореме синусов имеет место равенство —a— = -A^. . „ sin A sinR » Л a sin в Отсюда наидем AC =-----. sin A Отсюда 3) Аналогично по теореме синусов AB = a sin y sin A AB sin A sin y Ответ: ZA = 180° - (P + y), AC = a sinP AB = a sin y sin A sin A Задача 9 (нахождение элементов треугольника по длинам двух сторон и градусной мере угла, противолежащего одной из них). Известны длины a и b соответственно сторон BC и AC треугольника ABC и градусная мера а угла, противолежащего стороне BC. Найдите неизвестные элементы треугольника. 1) В треугольнике ABC BC = a, AC = b и ZA = а (рис. 79, б). Найдем синус угла B. По теореме синусов b найдем sin B = b sin а a sin B Отсюда . Если sin B < 1, то задача имеет реше- ние, если sin B > 1, то задача не имеет решения. Возможно, что задаче удовлетворяет два значения угла, т. е. задача имеет два решения. 2) Теперь можем найти Z C = 180° - (Z B + Z A). 3) Найдем длину стороны AB. По теореме синусов = a . Отсюда найдем AB = bsinC . sin C sin а sin а Ответ: sinB = b sin а , Z C = 180° - (Z B + ZA), AB = b sin C Задача 10 (нахождение градусных мер углов треугольника по длинам трех сторон). Известны длины a, b и c соответственно сторон BC, AC и AB треугольника ABC. Найдите неизвестные элементы треугольника. 1) В треугольнике ABC AB = c, BC = a, AC = b. По теореме косинусов найдем cos A = 2cb b ■ Л 2) Синус угла B найдем по теореме синусов: sinB = —, 3) Теперь найдем Z C = 180° - (ZA + Z B). a b sin A Ответ: cos A = - (ZA + ZB). 2cb sin B = ZC=180°- Правообладатель Народная асвета a a 90 Глава 2, § 2 Задачи к § 2 248. В треугольнике длины двух сторон равны 3 см и 8 см, а градусная мера угла между этими сторонами равна 120°. Вычислите длину третьей стороны треугольника. 249. Вычислите длину стороны треугольника, лежащей против угла, градусная мера которого 135°, а длины двух других сторон равны V2 см и 5 см. 250. В треугольнике ABC градусная мера угла B равна 60°, AB = 2 см, AC = ^/7 см. Вычислите длину стороны BC. 251. Длины двух сторон треугольника равны 6 см и 10 см, а градусная мера угла между этими сторонами равна 60°. Вычислите периметр треугольника. 252. Длины сторон треугольника равны 3 см, 5 см и 7 см. Вычислите градусную меру угла треугольника, противолежащего большей стороне. 253. Длина одной из сторон треугольника равна 13 см, две другие образуют угол, градусная мера которого равна 120°, а их длины относятся как 7 : 8. Вычислите длины этих сторон. 254. Вычислите длины диагоналей параллелограмма, если длины его сторон равны W2 см и 7 см, а градусная мера одного из его углов равна 135°. 255. Длина одной из сторон параллелограмма равна 2 см, а его площадь — 4 см2. Вычислите длину большей диагонали параллелограмма, если градусная мера одного из его углов равна 30°. 256. Градусная мера угла параллелограмма равна 150°, а длина одной из его сторон — ^/3 см. Вычислите площадь параллелограмма, если длина его большей диагонали равна \[33 см. 257. Длины сторон треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см. Вычислите высоту треугольника, проведенную к большей стороне. Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 91 258. Градусная мера угла параллелограмма равна 45°, а длины сторон — 17 см и 1\[2 см. Вычислите длину большей диагонали параллелограмма и его площадь. 259. Длины смежных сторон параллелограмма равны a и b, а градусная мера одного из его углов равна а. Найдите длины диагоналей параллелограмма. 260. Длины диагоналей параллелограмма равны d1 и d2, а градусная мера угла между диагоналями равна ф. Найдите длины сторон параллелограмма. 261. Градусная мера одного из углов параллелограмма равна 120°. Биссектриса этого угла делит сторону параллелограмма на отрезки, длины которых 15 см и 10 см, считая от вершины острого угла. Вычислите длину большей диагонали параллелограмма. 262. В равнобедренном треугольнике ABC градусная мера угла при вершине C равна 120°, а длина основания AB = = ^/15 см. Вычислите длину медианы AF. 263. В равнобедренном треугольнике ABC градусная мера угла при вершине B равна 120°, длина медианы AT равна 7 см. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. 264. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне BC. Вычислите длину другой диагонали параллелограмма, если Z BAD = 60° и BD = 4 см. 265. Градусная мера угла A параллелограмма ABCD равна 60°. Вычислите длину большей диагонали параллелограмма, если высота, проведенная к стороне AD, равна \/3 см и AD = 1 см. 266. Длины сторон треугольника равны 5 см, 7 см и 8 см. Вычислите градусную меру угла, лежащего против средней стороны треугольника, и радиус описанной около него окружности. 267. Периметр треугольника равен 15 см, а длина одной из его сторон равна 7 см. Вычислите градусную меру угла, Правообладатель Народная асвета 92 Глава 2, § 2 противолежащего данной стороне, если биссектриса треугольника делит ее в отношении 3 : 5. 268. В остроугольном треугольнике ABC длины сторон AB и BC равны соответственно л/3 см и 4 см. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника, если его площадь равна V3 см 2 269. Основанием прямой треугольной призмы ABCA^B^Ci является прямоугольный треугольник A^C, в котором Z C = 90°, ZA = 60°, а длина биссектрисы А^ равна 4 см. Вычислите площадь грани AA^B^B, если радиус описанной около этой грани окружности равен 4 см (рис. 80, а, б). ш 1 1 1 1 1 1 |'С А В б) Рис. 80 270. Вычислите площадь трапеции, если длины ее оснований равны 6 см и 7 см, а длины диагоналей равны 5 см и 12 см. 271. Градусная мера угла параллелограмма равна 60°, разность длин его смежных сторон равна 2 см, а длина большей диагонали равна 7 см. Вычислите длину меньшей диагонали и площадь параллелограмма. 272. Площадь параллелограмма, градусная мера угла которого 120°, равна 40/3 см2, а разность длин его смежных сторон равна 11 см. Вычислите длины диагоналей параллелограмма. 273. Решите треугольник ABC, если AB = л/3 см, Z A = 45°, Z B = 75°. Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 93 274. Найдите неизвестные элементы треугольника ABC, если BC = 3[2 см, AC = 1 см, Z C = 135°. 275. Решите треугольник ABC, если AB = 8\[2 см, BC = = 10 см и Z А = 45°. 276. Длина одной из сторон параллелограмма на 4 см больше длины другой. Вычислите периметр параллелограмма, если одна из его диагоналей образует со сторонами параллелограмма углы, градусные меры которых равны 30° и 45°. 277. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 2 : 3. Вычислите радиус окружности, если длина наименьшей стороны равна 8 см. 278. Длины сторон треугольника равны а, b и с, а длины его медиан, проведенных соответственно к этим сторонам, равны та, mb и mc. Докажите, что ml + mb2 + mC2 = 3(а2 + b2 + с2). 279. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD больше длины боковой стороны AB на 8 см, а высота, проведенная из вершины B к стороне AD, делит ее на отрезки, длины которых равны 8 см и 20 см. Вычислите длину большей диагонали параллелограмма. 280. Вычислите площадь параллелограмма, если длины его сторон равны 6 см и 4 см, а градусная мера угла между диагоналями равна 60°. 281. Вычислите длины диагоналей параллелограмма ABCD, если длины сторон AB и AD равны соответственно 13 см и 16 см, а длина медианы BF треугольника ABD равна 9 см. 282. В параллелограмме ABCD сторона AB равна диагонали BD. Около треугольника ABD описана окружность, которая делит большую диагональ параллелограмма на отрезки, длины которых равны 65 см и 16 см. Вычислите длины сторон параллелограмма. 283. Градусная мера острого угла параллелограмма равна а. Найдите площадь параллелограмма и длины его диаго- Правообладатель Народная асвета 94 Глава 2, § 2 налей, если m и n — расстояния от точки пересечения диагоналей до прямых, содержащих стороны параллелограмма. 284. Длины сторон треугольника равны 11 см, 12 см и 13 см. Вычислите длину медианы, проведенной к большей стороне. 285. Длина большей диагонали параллелограмма равна 14 см, а меньшая делится перпендикуляром, проведенным из вершины острого угла, на отрезки, длины которых равны 2 см и 6 см. Вычислите длины сторон параллелограмма. 286. Длины двух сторон треугольника равны 3 см и 5 см, а длина медианы, проведенной к третьей стороне, равна 3,5 см. Вычислите градусную меру угла треугольника между заданными сторонами. 287. В треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Вычислите длины сторон треугольника, если одна из них делится точкой касания на отрезки, длины которых равны 3 см и 4 см. 288*. Параллелограмм PTKE расположен так, что его вершины E и K лежат на стороне AC треугольника ABC, вершины P и T — на сторонах AB и BC соответственно, а диагонали параллельны сторонам. Вычислите длины сторон треугольника, если EK = 3 см, PE = 5 см, PK = 6 см. Вопросы ко второй главе 1. Площадь треугольника ABC равна 3 см2, а длины двух его сторон равны 2 см и 6 см. Верно ли, что градусная мера угла между данными сторонами равна 60°? 2. Верно ли, что синус угла треугольника ABC можно найти по формуле sin а = —, где S — площадь треугольни- ab ка, AB = с, AC = b, где а — градусная мера угла, лежащего против стороны BC = a? 3. Градусные меры двух углов треугольника равны а и р. Длина стороны, лежащей против угла а, равна m. Верно ли, что длина стороны, лежащей против угла р, равна m sinP ? Правообладатель Народная асвета sin а Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 95 4. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен R, а градусная мера одного из его углов равна ф. Верно ли, что длина стороны, лежащей против угла ф, равна 2R sin ф? 5. Градусная мера угла при вершине равнобедренного треугольника равна 120°, а длина боковой стороны равна а. Чему равен радиус окружности, описанной около данного треугольника? 6. Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника равна 15°, а радиус описанной окружности равен R. Найдите основание треугольника. 7. Чему равна площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали взаимно перпендикулярны и их длины равны m и п? 8. В равнобедренном треугольнике длина основания равна а, а длина боковой стороны равна р. Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне данного треугольника. 9. При каком условии площадь выпуклого четырехугольника равна 1 mn, где m и п угольника? длины диагоналей четырех- Правообладатель Народная асвета ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛ01ДАДЬ КРУГА Правообладатель Народная асвета Глава 3 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА § 1. Правильные многоугольники 1. Правильный многоугольник. В предыдущих классах уже были изучены свойства равностороннего треугольника и квадрата. Каждая из этих фигур обладает тем свойством, что у них все углы равны и все стороны равны. Указанные геометрические фигуры служат примерами правильных многоугольников, свойства которых и рассматриваются в данном параграфе. Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Рассмотрим пример. Пусть ABC — равносторонний треугольник. Разделим каждую его сторону на три равные части, как показано на рисунке 81, а. Каждый из треугольников ATS, KBF и DPC является равносторонним. Отсюда следует, что Z 1 = Z 2 =Z 3 = Z 4 = Z 5 = Z 6 = 180° - 60° = 120°. Кроме того, ST = TK = KF = FP = PD = DS. Таким образом, шестиугольник TKFPDS является правильным. Модель этого правильного многоугольника получится, если от листа бумаги, имеющего форму равностороннего треугольника, отрезать равные части, имеющие форму равносторонних и равных между собой треугольников, как показано на рисунке 81, б. Правообладатель Народная асвета 98 Глава 3, § 1 Если треугольник ABC является гранью тетраэдра BOAC (тетраэдр — треугольная пирамида, у которой все четыре грани — равные равносторонние треугольники), а каждая пара точек T, K; F, P и D, S делит соответственно ребра А^, BC и AC на три равные части, то TKFPDS — правильный шестиугольник, лежащий на грани ABC (рис. 81, в). Ранее, в § 1 главы 1 учебного пособия «Геометрия, 8», была доказана теорема о том, что сумма градусных мер углов любого выпуклого н-угольника равна 180°(н - 2). Из доказанной теоремы и определения правильного н-угольника следует, что градусную меру каждого его угла можно найти по 180°(н - 2) формуле ан = угольника а6 = 180°(6 - 2) Например, для правильного шести-= 120° (рис. 82, а), а для правиль- ного восьмиугольника а8 = 180 (8—2) = 135° (рис. 82, б). 8 Рис. 82 2. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Вы знаете, что около правильного треугольника и правильного четырехугольника можно описать окружность. Теперь изучим вопрос о существовании окружности, описанной около правильного многоугольника. Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. При этом многоугольник называется вписанным в окружность. Оказывается, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Докажем следующую теорему. Правообладатель Народная асвета н Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 99 Теорема 1 (об окружности, описанной около правильного многоугольника). Около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность. = OAn (рис. 83). Доказательство. I. Докажем существование окружности. 1) Пусть А^АаАз..^^^ _ ^А,, — правильный многоугольник. Докажем, что существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Пусть точка O — точка пересечения биссектрис углов А1 и А2. Соединим точку O отрезками со всеми вершинами многоугольника и докажем, что ОА1 = ОА2 = ... = ОА, 2) Так как ZА1 = ZА2, а ОА1 и ОА2 — биссектрисы, то Z 1 = Z 2, т. е. треугольник ОА1А2 — равнобедренный, а значит, ОА1 = ОА2. 3) Заметим, что треугольник ОА1А2 равен треугольнику ОА2А3 по двум сторонам и углу между ними (А1А2 = А2А3, сторона ОА2 — общая, Z 2 = Z 3). Из равенства этих треугольников следует, что ОА3 = ОА1. Так же можно доказать, что ОА4 = ОА2, ОА5 = ОА3 и т. д. 4) Таким образом, ОА1 = ОА2 = ... = ОА, _ 1 = ОАП, т. е. точка О равноудалена от вершин многоугольника. Следовательно, окружность га с центром в точке О и радиуса ОА1 является описанной около многоугольника. Из доказательства следует, что центром окружности, описанной около правильного многоугольника, является точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. II. Докажем, что описанная окружность единственная. Пусть существует еще одна окружность га1, которая описана около правильного многоугольника А1А2А3...АП _ 1АП. Тогда эта окружность является описанной, например, около треугольника А1А2А3. Но около треугольника А1А2А3 можно описать единственную окружность, значит, окружности га и га1 совпадают, т. е. около многоугольника А1А2А3...АП _ 1А, можно описать единственную окружность. Теорема доказана. Правообладатель Народная асвета 100 Глава 3, § 1 3. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Известно, что в любой правильный треугольник можно вписать окружность. Рассмотрим вопрос о существовании окружности, вписанной в правильный многоугольник. Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. При этом многоугольник называется описанным около окружности. Докажем, что в любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Теорема 2 (об окружности, вписанной в правильный многоугольник). В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность. ___ ^ I. Докажем существование окружности. 1) Пусть A1A2A3...An _ ^A^ — правильный многоугольник. Докажем, что существует точка, равноудаленная от прямых, содержащих стороны многоугольника (рис. 84). 2) Пусть точка О — центр описанной около многоугольника окружности. Теперь проведем высоты OF1, OF2, ..., OFn_ 1, OFn соответственно треугольников OA1A2, OA2A3, ^, OAnA1. Как было доказано в предыдущей теореме, эти треугольники равны между собой, следовательно, равны их высоты, т. е. OF1 = OF2 = ^ = = OFn. 3) Таким образом, окружность га с центром в точке O радиуса OF1 проходит через точки F1, F2, ^, Fn и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в правильный многоугольник A1A2A3...An _ 1An. Заметим также, что центр O вписанной в правильный многоугольник окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Подчеркнем, что для правильного многоугольника центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 101 II. Докажем, что вписанная окружность единственная. Предположим, что существует еще одна окружность вписанная в правильный многоугольник A1A2A3...An_ ^A^. Тогда центр этой окружности равноудален от сторон многоугольника, т. е. точка Oi лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, а значит, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. он равен OF^. Следовательно, окружности га и га^ совпадают. Теорема доказана. Центром правильного многоугольника называется центр его вписанной и описанной окружностей. 4. Выражение элементов д-угольника через радиус вписанной или описанной окружностей. Пусть S — площадь правильного n-угольника, an— длина его стороны, P — периметр, а г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. 1) Площадь S правильного п-угольника, описанного около окружности, можно найти, зная периметр P и радиус r вписанной окружности, по формуле S = — Pr. 2 Рис. 85 Соединим центр О правильного многоугольника с его вершинами (рис. 85, а). Тогда многоугольник разбивается на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна — anr. Следовательно, S = n • — anr = —(nan )г = — Pr. Что и требовалось доказать. Правообладатель Народная асвета 102 Глава 3, § 1 2) Длину стороны an правильного n-угольника можно найти, зная радиус r вписанной окружности, по формуле an = 2r . Соединим центр многоугольника с вершинами и А2 и проведем высоту OF равнобедренного треугольника OAjA^ (рис. 85, б). Так как многоугольник правильный, то Z A^OA^ = = 360°. В равнобедренном треугольнике OAjA^ высота OF, n ' проведенная к основанию, является биссектрисой, следо- 180° вательно, ZA^OF = n . Таким образом, an = A^Ag = 2A^F = = OF tg180! = 2r tg1808. nn Что и требовалось доказать. 1 180° Так как S = — Pr и an = 2rtg n , то площадь S = = nr2tg—80°. 2 n 3) Длину стороны an правильного n-угольника можно найти, зная радиус R описанной окружности, по формуле а) Рис. 86 Пусть OF — высота равнобедренного треугольника OA—A2 (рис. 86, а). Тогда ZA—OF = — ZA—OA2 = 180-. В прямоуголь- 180° 180° ном треугольнике A1FO A1F = OA1 = R . Таким образом, an = 2A1F = 2R sin 180° n ' Что и требовалось доказать. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 103 Для правильного треугольника (п = 3), квадрата (п = 4) и правильного шестиугольника (п = 6) получим соответственно формулы: а3 = rJ3; a4 = R/2; a6 = R. 4) Площадь S правильного n-угольника можно найти, зная радиус R описанной окружности, по формуле S = 1R2 n sin360^. 2 n Соединим вершины правильного п-угольника с его центром (рис 86, б). Тогда многоугольник разобьется на п равных треугольников. Следовательно, S = nSOAA = = п(^ 10A^ • OAg sin = п^ 1 R^sin-360^j = 1 R^nsin-3600. Что и требовалось доказать. 5) Радиус r вписанной окружности можно найти, зная 180° радиус R описанной окружности, по формуле r = Rcos---. В прямоугольном треугольнике OA^F r = OF = = R sin(90°-1800) = R cos1800 (см. рис. 86, а). ^ / п Что и требовалось доказать. 5. Построение правильных многоугольников. Вопрос о построении правильного треугольника уже рассматривался ранее. Покажем, каким образом можно с помощью циркуля и линейки построить правильный треугольник, вписанный в окружность. Задача 1. Постройте правильный треугольник, вписанный в данную окружность. Поиск решения. Пусть правильный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке 0. Проведем диаметр BF этой окружности, обозначим буквой T точку пересечения этого диаметра со стороной AC. Тогда положение точки T на отрезке OF характеризуется равенством 0T = TF; т. к. центр равностороннего треугольника есть точка пересечения медиан, то 0T = 10B = 1R. Кроме того, AC F BF. Теперь можем осуществить построение (рис. 87, а). Построение. 1) Проводим диаметр BF окружности и строим точку T — середину отрезка 0F (рис. 87, б). Правообладатель Народная асвета 104 Глава 3, § 1 б) Рис. 87 в) 2) Строим прямую l, которая проходит через точку T и перпендикулярна диаметру BF (рис. 87, б). 3) Отметим точки А и C пересечения прямой l с окружностью. 4) Строим отрезки ВА и BC (рис. 87, в). Треугольник АВС — искомый. Докажите самостоятельно, что построенный треугольник — правильный. Задача 2. Постройте правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку а. — ■( — б) Рис. 88 в) Поиск решения. Пусть ABCDFE — правильный шестиугольник, сторона которого равна а. Рассмотрим описанную около этого шестиугольника окружность. Известно, что радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, т. е. R=АВ = ВС = CD = DF = FE = ЕА = а Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 105 (рис. 88). Этим можем воспользоваться для построения шестиугольника. Построение. 1) Строим окружность га с центром O и радиуса а. 2) Выбираем на этой окружности произвольную точку A и строим окружность raj(A, а). Отметим точки B и E пересечения окружности raj с окружностью га (рис. 88, б). 3) Далее строим точку C, которая является одной из точек пересечения окружности га и окружности ra2(B, а). Аналогично строим точки D и F. Шестиугольник ABCDFE — искомый (рис. 88, в). Заметим, что результат задачи 1 позволяет построить правильный шестиугольник, если построен правильный треугольник. Вопросы к § 1 1. Какой многоугольник называется правильным? 2. Какая окружность называется описанной около многоугольника? 3. Верно ли, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность? 4. Какая окружность называется вписанной в многоугольник? 5. По какой формуле можно вычислить длину стороны правильного п-угольника, если известен радиус вписанной в него окружности? 6. По какой формуле можно вычислить длину стороны правильного п-угольника, если известен радиус описанной около него окружности? 7. По какой формуле можно вычислить площадь правильного п-угольника, если известен радиус описанной около него окружности? Задачи к § 1 289. Вычислите градусные меры углов правильного: а) пятиугольника; б) десятиугольника; в) двенадцатиугольника. 290. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если градусная мера его угла равна: а) 150°; б) 156°; в) 144°? Правообладатель Народная асвета 106 Глава 3, § 1 291. Площадь квадрата, описанного около окружности, равна 16 см2. Вычислите площадь квадрата, вписанного в окружность. 292. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 12 см. Вычислите: а) радиус данной окружности; б) радиус окружности, вписанной в квадрат; в) периметр квадрата, описанного около данной окружности. 293. Площадь квадрата, вписанного в окружность, равна 8 см2. Вычислите: а) радиус этой окружности; б) длину стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность; в) длину стороны квадрата, описанного около данной окружности. 294. Докажите, что отношение площади квадрата, вписанного в окружность, к площади квадрата, описанного около этой окружности, равно 1 : 2. 295. В окружность радиуса 12 см вписан правильный треугольник. Вычислите: а) высоту треугольника; б) расстояние от центра окружности до прямой, содержащей его сторону; в) длину стороны треугольника; г) радиус вписанной в этот треугольник окружности. 296. Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, равен 18^f3 см. Вычислите площадь квадрата, описанного около этой окружности. 297. Вычислите площадь правильного треугольника, описанного около окружности радиуса 4 см. 298. Прямые, проходящие через вершины правильного треугольника ABC и параллельные его противолежащим сторонам, пересекаются в точках A1, B1 и C1 (рис. 89, а). Докажите, что треугольник A1B1C1 — правильный. 299. Правильный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки F, T и D — точки пересечения лучей CO, AO и BO с окружностью соответственно (рис. 89, б). Докажите, что шестиугольник AFBTCD — правильный. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 107 в) 300. Точки F, T и K — точки, симметричные центру O равностороннего треугольника ABC относительно прямых AB, BC и AC соответственно. Докажите, что шестиугольник AFBTCK — правильный. 301. Отрезок AB — диаметр окружности, центром которой является точка O. Через середины P и K радиусов AO и BO проведены прямые и l2, которые пересекают окружность в точках F, T и D, C соответственно и перпендикулярны диаметру AB. Докажите, что шестиугольник FATCBD — правильный (рис. 89, в). 302. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в окружность, равна Wb см. Вычислите периметр правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность. 303. В окружность радиуса R вписан квадрат ABCD. Точки T и F — середины сторон AB и AD соответственно (рис. 90, а). Найдите площадь треугольника TCF. Правообладатель Народная асвета 108 Глава 3, § 1 304. В окружность с центром в точке O и радиуса R вписан правильный треугольник Л^О. Отрезки и TD — взаимно перпендикулярные диаметры окружности (рис. 90, б). Найдите площадь четырехугольника TBOD. 305. Точки T, F, K и P — соответственно середины сторон ЛВ, ВО, OD и DA квадрата ABOD (рис. 90, в). Вычислите площадь квадрата ABOD, если радиус окружности, вписанной в четырехугольник PTFK, равен 10 см. 306. Радиус окружности, описанной около правильного четырехугольника ABOD, равен R. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника ABOD. 307. Длина меньшей диагонали правильного шестиугольника равна 10 см. Вычислите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника. 308. Вычислите площадь правильного шестиугольника ABODEF, если площадь треугольника BOD равна 10 см2. 309. В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник ABODEF. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BDF. 310. Докажите, что площадь S правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R, можно найти по формуле S = 3^ R2. 311. Докажите, что площадь S правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса г, можно найти по формуле S = ^/3г2. 312. Точка O — центр правильного шестиугольника ABODEF. Докажите, что: а) треугольник BDF — правильный; б) четырехугольник ABOO — ромб. 313. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника ABODEF, равен R. Докажите, что четырехугольник AODF является прямоугольником. Найдите площадь прямоугольника AODF (рис. 91, а). Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 109 <Е Рис. 91 314. Докажите, что середины сторон правильного шестиугольника ABCDEF являются вершинами правильного шестиугольника PQRSTK (рис. 91, б). Найдите отношение периметра шестиугольника ABCDEF к периметру шестиугольника PQRSTK. 315. В окружность, центром которой является точка O, вписан квадрат ABCD. Прямые l1 и 12 проходят через центр квадрата, перпендикулярны противолежащим сторонам и пересекают окружность в точках F, P и T, K соответственно (рис. 91, в). Докажите, что восьмиугольник APBTCFDK является правильным. 316. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен P. Найдите периметр правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность. 317. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, на 3 см меньше периметра правильного четырехугольника, описанного около этой окружности. Вычислите радиус окружности. 318. Площадь правильного треугольника ABC равна V3 см2. Вычислите расстояние от центра O описанной около треугольника окружности до прямой, содержащей его сторону (рис. 92, а). 319. Радиус окружности, описанной около грани ABC тетраэдра ABCD, равен 6 см. Вычислите длину ломаной DACTO, где точка O — центр окружности, описанной около грани ABC, точка T — середина ребра BC (рис. 92, б). Правообладатель Народная асвета 110 Глава 3, § 1 а) ш ш __F в в) 320. Основанием прямой треугольной призмы ABCA^B^C^ является правильный треугольник A^C (рис. 92, в). Вычислите радиус окружности, описанной около основания призмы, если все ребра призмы равны между собой, а длина диагонали боковой грани призмы равна 3/2 см. 321. В окружность вписан правильный треугольник A^C. Постройте правильный шестиугольник, вписанный в окружность, для которого точки A, B и C служат вершинами. 322. Постройте: а) правильный четырехугольник, вписанный в окружность; б) правильный треугольник, описанный около окружности; в) правильный четырехугольник, описанный около окружности; г) правильный восьмиугольник, вписанный в окружность. 323. Найдите отношение площади правильного шестиугольника, описанного около окружности, к площади правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность. 324. Центры двух окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды, длина которой равна а. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если в одной окружности хорда служит стороной правильного вписанного треугольника, а в другой — стороной вписанного квадрата. 325. Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна S. Найдите площадь правильного четырехугольника, вписанного в эту окружность. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 111 326. С помощью циркуля и линейки постройте правильный треугольник по отрезку т, равному его высоте. 327. С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиугольник по отрезку а, равному его меньшей диагонали. 328*. Дан равносторонний треугольник ABC. С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник A^B^Ci так, что А^ е BC, В^ е AC, Ci е AB и стороны AiBi, B^Ci, C1A1 перпендикулярны сторонам AC, AB, BC соответственно. 329. В квадрате ABCD точки K, P, E и T — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что четырехугольник, ограниченный прямыми BT, PD, CK и AE, является квадратом. Найдите его площадь, если площадь квадрата ABCD равна S. 330. В квадрат ABCD, длина стороны которого равна а, вписана окружность. Окружность касается стороны CD в точке E. Найдите длину хорды, соединяющей точки, в которых окружность пересекается с прямой AE. 331. В квадрат, длина стороны которого равна а, вписана окружность. Найдите площадь квадрата, описанного около меньшей окружности, которая касается данной окружности и двух смежных сторон данного квадрата. 332*. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других сторон на отрезки, длины которых равны 2 см и 23 см. Вычислите радиус окружности. Правообладатель Народная асвета § 2. Длина окружности. Радианная мера угла 1. Понятие длины окружности. Рассмотрим вопрос о вычислении длины окружности. Пусть в окружность вписан правильный n-угольник. Если число n сторон правильного n-угольника, вписанного в окружность, неограниченно возрастает, то геометрическая фигура, образованная его сторонами, все меньше и меньше отличается от окружности (рис. 93, а, б, в). В вузовском курсе математического анализа устанавливается, что существует число, к которому стремятся периметры Pn правильных n-угольников, вписанных в окружность, при неограниченном возрастании числа их сторон. Это число называется длиной окружности. Таким образом, за длину окружности принимается число, к которому стремятся периметры вписанных в окружность правильных n-угольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Длина окружности зависит от ее радиуса, окружность большего радиуса имеет большую длину. Вместе с тем можно доказать, что отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное. 2. Теорема об отношении длины окружности к ее диаметру. Докажем теорему, которая характеризует отношение длины окружности к ее диаметру. T еор ема (об отношении длины окружности к ее диаметру). Отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное для всех окружностей. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 113 (Dl(Ob^i) о, V \/ «и -^1^^ Рис. 94 б) Дан о: ш (O, R), ®i(°i, Ri) окружности, C, — соответ- ственно длины этих окружностей. Доказать: C = _С^ 2 R 2 Я, . Доказательство. 1) Впишем в каждую из окружностей правильные п-уголь-ники. Пусть длины ап, а'п — стороны этих многоугольников, Рп, РП — соответственно их периметры (рис. 94, а, б). 2) Теперь воспользуемся формулой, которой выражается длина стороны правильного п-угольника через радиус описанной окружности. Учитывая эту формулу (глава 3, § 1, ПОЛ'"’ п. 3), можем записать равенства Рп = п • ап = п • 2Яsin^-n-РП = п • аП = п • 2Я1 sin и 180° п Следовательно, верно равенство Pl = 2^ (1) рп 2Ri ( ). 3) Это равенство верно при любом значении п. Будем неограниченно увеличивать число п, тогда периметр Рп первого многоугольника стремится к длине C первой окружности, а периметр РП^ второго многоугольника стремится к длине СП Р С второй окружности, т. е. стремится к —. С 2 Я С Сл 4) Таким образом, — =---. Отсюда следует, что — = ——. Сп 2 Яп 2 Я 2 Яп Значит, отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для всех окружностей. Теорема доказана. Число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, обозначается строчной греческой буквой п (читается «пи»). Доказано, что число п — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приближенное значение числа п с точностью до восьми знаков после запятой такое: п « 3,14159265. При решении задач Правообладатель Народная асвета 114 Глава 3, § 2 в школьной практике пользуются приближенным значением числа п с точностью до сотых: п « 3,14. 3. Длина окружности. Длина дуги окружности. Для нахождения формулы длины окружности воспользуемся равенством = п. Отсюда следует, что длину окружности радиуса R можно найти по формуле C = 2nR или по формуле C = nD, где D — диаметр окружности. Теперь выведем формулу для вычисления длины l дуги окружности, градусная мера которой равна а. Пусть данная дуга является дугой окружности радиуса R. Так как длина всей окружности равна 2nR, то длина дуги в 1° равна = llR. Так как градусная мера дуги равна а, то длина l этой дуги выражается: l = nRa. у к 180° Задача 1. Точки F, T и K — середины сторон равностороннего треугольника ABC. Найдите длину окружности, вписанной в треугольник FTK, если длина стороны треугольника ABC равна а. Дано: А ABC, AB = BC = CA = а, AF = FB, F е AB, BT = TC, T е BC, AK = KC, K е AC. Найти: длину окружности, вписанной в треугольник FTK. а) Рис. 95 б) Решение. Для нахождения длины окружности можем воспользоваться формулой C = 2nr, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник FTK. Для нахождения радиуса г воспользуемся тем, что треугольник FTK также является равносторонним. 1) Пусть точка O — центр окружности, вписанной в треугольник FTK, а E — точка касания окружности и стороны FT (рис. 95, а, б). Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 115 2) Треугольник FTK является равносторонним, так как FT = TK = KF = 1AB. Треугольник TEO — прямоугольный, Z ETO = 30° (OE 1. FT, так как отрезок OE — радиус, проведенный в точку касания, луч OT — биссектриса угла ETK). 3) В прямоугольном треугольнике TEO OE = ETtg30°. Так как OE = r и ET = 1 FT = a, то r = a . 2 ^ 4 3 12 Заметим, что радиус r можно найти и другим способом, воспользовавшись тем, что треугольник FTK подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1. Таким образом, длина окружности C = 2п ап 43 12 z43 Ответ: 6 Задача 2. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат. Вычислите длину окружности, описанной около боковой грани призмы, если длина окружности, описанной около основания призмы, равна 8п см, а боковое ребро в два раза больше стороны основания призмы. в) Решение. Длину C окружности можно найти по формуле C = 2nR, где R — радиус окружности. Данная призма является прямой, и ее основаниями служат квадраты, следовательно, все боковые грани — равные между собой прямоугольники. Диагональ грани DD1C1C равна диаметру описанной около него окружности, т. е. D1C = 2R (рис. 96, а, б, в). Правообладатель Народная асвета 116 Глава 3, § 2 1) По условию длина окружности, описанной около квадрата ABCD, равна 8п см. Диаметр окружности равен диагонали AC, таким образом, п • AC = 8п. Отсюда AC = 8 см. 2) Так как четырехугольник A^CD — квадрат, то AC = Dd2. Следовательно, DC = = W2 (см). V 2 2 3) По условию DD1 = 2DC = ^/2 см. В прямоугольном треугольнике D1DC D1C ^/DDITdC^ = WlO см. Диаметр окружности, описанной около грани DD1C1C, равен D1C, т. е. 2 R = WTo см. Теперь вычислим длину окружности, описанной около боковой грани DD1C1C: C = 2nR = 4 W10 см. Ответ: 4W!o см. 4. Радианная мера угла. Ранее была определена единица измерения углов — градус. Наряду с ней используется единица измерения углов, которая называется радианом. Углом в один радиан называется центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности. Радианная мера угла — это величина угла, выраженная в радианах. Установим связь между радианной и градусной мерой угла. Углу, градусная мера которого равна 180°, соответствует полуокружность, длина l которой равна nR, т. е. l = nR. Для нахождения радианной меры этого угла надо длину этой i дуги разделить на радиус, т. е. — = п. R Следовательно, радианная мера развернутого угла равна п, т. е. 180° = п рад. Таким образом, радианная мера угла в 1° равна , т. е. 1° рад. При записи используется со- кращенное обозначение радиана — «рад». Из равенства 180° = п рад следует, что градусная мера 180° 180° угла в 1 радиан равна ---, т. е. 1 рад =-. Приближенно I f' ггг, п п 1 радиан равен 57°. Из определения радиана следует, что длина l дуги окружности радиуса R, соответствующей центральному углу в х радиан, равна Rx. Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 117 Задача 3. Вычислите градусную меру угла 3 рад. Решение. Так как 1 рад = i80!, то 3 рад = 3 •1800 = -540° « 172°. П П П Задача 4. Вычислите радианную меру угла 30°. Решение. Так как 1° = —^ рад, то 30° = 30 • рад = — рад. При записи радианной меры угла обозначение рад можно опускать. Например, вместо 30° = — рад запишем 30° = —. 66 Задачи к § 2 333. Площадь квадрата равна 9 см2. Вычислите длину окружности, описанной около этого квадрата. 334. Длина окружности, описанной около квадрата, равна 16п см. Вычислите периметр квадрата. 335. Периметр квадрата равен 12 см. Вычислите длину окружности, описанной около четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон данного квадрата. 336. Площадь квадрата равна S. Найдите длину окружности, вписанной в данный квадрат. 337. Площадь правильного треугольника равна Vs см2. Вычислите длину окружности, описанной около этого треугольника. 338. Длина окружности, описанной около равностороннего треугольника, равна 2W3 см. Вычислите периметр этого треугольника. 339. Периметр правильного треугольника равен 18 см. Вычислите длину окружности, описанной около треугольника, вершинами которого служат середины сторон данного правильного треугольника. 340. Площадь равностороннего треугольника равна Wb см2. Вычислите длину окружности, вписанной в этот треугольник. 341. Площадь четырехугольника TFKP, вершинами которого служат середины сторон квадрата ABCD, равна S. Правообладатель Народная асвета 118 Глава 3, § 2 Найдите длину окружности, описанной около квадрата ABCD (рис. 97, а). Рис. 97 342. Точки T, F, K и E лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD. Вычислите длину окружности, вписанной в четырехугольник TFKE, если AB = 3 см и AE = TB = FC = KD = 1 см (рис. 97, б). 343. Длина окружности, описанной около прямоугольника, равна 20п см. Вычислите периметр прямоугольника, если его диагональ образует со стороной угол, градусная мера которого равна 30°. 344. Площадь прямоугольника ABCD равна 12 см2, а его периметр — 14 см. Вычислите длину окружности, описанной около треугольника ABC. 345. Отрезок BF — перпендикуляр, проведенный из вершины B прямоугольника ABCD к его диагонали AC. Вычислите длину окружности, описанной около прямоугольника, если BF = 6 см и AF = 4 см. 346. Вычислите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если его площадь равна 48 см2, а длина одного из катетов — 6 см. 347. Длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равна 26п см, а длина одного из его катетов равна 10 см. Вычислите площадь треугольника. 348. Вычислите длину окружности, вписанной в прямо -угольный треугольник, длины катетов которого равны 6 см и 8 см. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 119 349. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Вычислите длину окружности, вписанной в ромб, если его периметр равен 40 см. 350. Длина окружности, вписанной в ромб, равна 2 п V3 см. Вычислите площадь этого ромба, если его сторона равна диагонали. 351. Точки T, F, K и P — середины сторон AB, BC, CD и ромба ABCD соответственно. Найдите длину окружности, описанной около четырехугольника TFKP, если длина стороны ромба равна а. 352. Длина стороны основания равнобедренного треугольника равна 16 см, а градусная мера одного из его углов равна 150°. Вычислите длину окружности, описанной около этого треугольника. 353. Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника равна 75°, а длина его основания равна 10 см. Вычислите длину окружности, описанной около треугольника. 354. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равна 25п см. Вычислите синус угла при основании треугольника, если длина его боковой стороны равна 5 см. 355. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC, равна 25п см, отрезок BF — диаметр окружности. Вычислите длину хорды FC, если высота, проведенная к основанию AC, равна 16 см (рис. 98, а). б) Рис. 98 Правообладатель Народная асвета 120 Глава 3, § 2 356. Отрезок BC — диаметр окружности, центром которой является точка O. Прямая l касается окружности в точке C, A е l (рис. 98, б). Отрезок AB пересекает окружность в точке D так, что AD ■ DB = 1 : 3. Вычислите длину окружности, если CD = 3 см. 357. На стороне AB прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AC в точке D. Вычислите длину окружности, если BD = 24 см и BC = 30 см. 358. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Вычислите длину окружности, диаметром которой является медиана, проведенная к гипотенузе. 359. В окружность вписана трапеция, одно из оснований которой является диаметром окружности. Градусная мера угла трапеции равна 60°, а ее площадь равна 1^/3 см2. Вычислите длину окружности. 360. Длина стороны треугольника равна 18 см, а градусные меры прилежащих к ней углов равны 70° и 80°. Вычислите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность. 361. Длина стороны основания равнобедренного треугольника равна ^/3 см, а градусная мера угла при основании равна 30°. Вычислите длины дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около треугольника. 362. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является диаметром окружности. Вычислите длину дуги окружности, расположенной внутри треугольника, если градусная мера угла при основании треугольника равна 70°, а его высота, проведенная к основанию, равна 36 см. 363. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 75°. Высота, проведенная к основанию треугольника, является диаметром окружности. Вычислите длину этой высоты, если длина дуги окружности, расположенной внутри треугольника, равна 2п. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 121 364. Градусная мера одного из углов ромба равна 120°, а длина его меньшей диагонали равна W3 см. Диаметром окружности является половина большей диагонали ромба. Вычислите длину дуги этой окружности, расположенной внутри ромба. 365. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 12 см, а градусная мера его угла равна 30°. На меньшем катете как на диаметре построена окружность. Вычислите длину дуги окружности, расположенной внутри треугольника. 366. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является равносторонний треугольник ABC. Вычислите длину окружности, вписанной в треугольник ABB1, если AA1 = 4 см, а длина окружности, описанной около треугольника ABC, равна 2%\[3 см (рис. 99, а, б, в). \1^ г ЙС 1 7С б) Рис. 99 в) 367. Отрезок BF — перпендикуляр, проведенный из вершины B к диагонали AC прямоугольника ABCD. Вычислите длину окружности, описанной около прямоугольника, если AF ■■ FC = 1 : 3 и AB = 12 см. 368. Длина основания равнобедренного треугольника равна W3 см, а высота, проведенная к его основанию, в два раза меньше боковой стороны. Эта высота является диаметром окружности. Вычислите длину дуги окружности, расположенной внутри треугольника. Правообладатель Народная асвета 122 Глава 3, § 2 369. Отрезки BT и BF — высоты, проведенные из вершины тупого угла ромба ABCD к его сторонам. Вычислите длину окружности, описанной около треугольника ABC, если Z A^C = 120°, а расстояние между основаниями проведенных высот равно 6 см. 370. Длина одной из сторон треугольника на 2 см меньше длины другой. Вычислите длину окружности, вписанной в треугольник, если высота делит третью сторону на отрезки, длины которых равны 5 см и 9 см. 371. Диагональ равнобедренной трапеции, длина которой равна 20 см, перпендикулярна боковой стороне. Вычислите длину окружности, диаметром которой является средняя линия трапеции, если отношение длин боковой стороны и большего основания равно 3 : 5. 372. Окружность, центром которой является точка O, лежащая на гипотенузе AC прямоугольного треугольника, касается его сторон AB и BC в точках F и E соответственно. Вычислите длины окружностей, построенных на отрезках AO и CO как на диаметрах, если AB = 3 см и BC = 4 см. 373. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны 15 см и 20 см. Вычислите длину полуокружности. 374. В равносторонний треугольник вписана окружность. Окружность радиуса r касается этой окружности и двух сторон треугольника. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник. 375. Через точку S к окружности проведены прямые Z1 и l2, которые касаются окружности в точках A и B. Меньшая окружность касается данных прямых и данной окружности в точке F. Найдите длину меньшей окружности, если градусная мера дуги AFB равна 120°, а ее длина равна т. 376. Окружность вписана в равнобедренную трапецию, а ее боковая сторона точкой касания делится на отрезки, дли- Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 123 ны которых равны 4 см и 9 см. Вычислите длину окружности, вписанной в трапецию. 377. Вычислите градусную меру угла, радианная мера которого равна: а) 6,2; б) 2,5; в) ^; г) ; д) f; е) 3п; ж) 2п. 4 3 2 2 378. Вычислите радианную меру угла, градусная мера которого равна: а) 45°; б) 60°; в) 120°; г) 75°; д) 38°; е) 52°; ж) 18°. 379. Вычислите длину дуги окружности радиуса 6 см, если радианная мера центрального угла, соответствующего этой дуге, равна 3,4 рад. Правообладатель Народная асвета § 3. Площадь круга. Площадь сектора 1. Площадь круга. Рассмотрим вопрос о вычислении площади круга. Пусть в окружность, ограничивающую круг, вписан правильный n-угольник. Если число n сторон правильного n-угольника, вписанного в окружность, неограниченно возрастает, то многоугольник все меньше и меньше отличается от круга (рис. 100, а, б). Из результатов, дока-зывемых в вузовском курсе математического анализа, следует, что существует число, к которому стремятся площади Sn правильных n-угольников, вписанных в окружность, при неограниченном возрастании числа их сторон. Это число называется площадью круга. Таким образом, за площадь круга принимается число, к которому стремятся площади вписанных в окружность, ограничивающую этот круг, правильных п-угольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Теперь докажем следующую теорему. Теорема (о площади круга). Площадь S круга радиуса R можно вычислить по формуле S = пй2. 1) Пусть дан круг радиуса R и правильный п-угольник A1A2...An _ 1An, вписанный в окружность, которая ограничивает этот круг. На рисунке 100, в дано изображение для случая n = 6. Если Pn — периметр вписанного многоугольника, а rn — радиус вписанной в него окружности, то Sn — площадь этого многоугольника, которая находится по формуле Sn = = nSA1OA2 = ^ Pn • rn . Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 125 2) При неограниченном увеличении числа n сторон n-угольника радиус rn вписанной окружности стремится 180° к R. Действительно, так как rn = Rcos-----, то при неогра- n 180° ниченном увеличении числа сторон n число стремит- ся к нулю, а значит, cos 180° n стремится к единице, т. е. rn стремится к R. Кроме того, периметр Pn стремится к длине окружности, равной 2nR, а площадь Sn стремится к площади S круга. Таким образом, площадь круга S = 1 • 2nR • R = = nR2. 2 Теорема доказана. 2. Площадь сектора. Рассмотрим вопрос о вычислении площади части круга, которая называется сектором. Определение. Сектором называется часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга окружности, ограничивающая сектор, называется дугой сектора. Например, на рисунке 101, а изображены два сектора, дугами которых служат дуги ATB и AFB. На рисунке 101, б изображены круг, который касается всех сторон треугольника, и два сектора, ограниченные радиусами, проведенными в точки касания, и соответствующими дугами окружности. Выведем формулу для вычисления площади S сектора радиуса R, градусная мера дуги которого равна а. Площадь круга радиуса R равна nR2. Следовательно, площадь сектора, Правообладатель Народная асвета n 126 Глава 3, § 3 ограниченного дугой, градусная мера которой 1°, равна пД2 360 Значит, площадь сектора, ограниченного дугой, градусная мера которой равна а градусов, можно найти по формуле S = пд2 . а сект 360° • Например, если ABC — равносторонний треугольник, вписанный в круг радиуса R, а точка O — его центр, тогда площадь сектора, ограниченного радиусами OA, OB и дугой AFB, равна пД2 120° = пД2 (рис. 101, в). 360° 3 3. Площадь сегмента. Рассмотрим формулу для нахождения площади фигуры, которая называется сегментом. Определение. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги. Дуга окружности, ограничивающая сегмент, называется дугой сегмента, а ограничивающая его хорда называется основанием сегмента. На рисунке 102, а изображены два сегмента, ограниченные хордой AB и дугами AFB и ATB. Хорда AB является основанием для каждого из этих сегментов. На рисунке 102, б изображены сегменты, ограниченные стороной CD вписанного квадрата и соответствующими дугами окружности. Рис. 102 Выведем формулу для вычисления площади сегмента. Рассмотрим два случая: 1) градусная мера дуги сегмента меньше 180°; 2) градусная мера дуги сегмента больше 180°. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 127 1) Пусть градусная мера дуги AnB сегмента равна а (а < 180°) (рис. 103, а). Тогда площадь этого сегмента равна разности площади сектора, ограниченного этой дугой и радиусами OA, OB, и площади треугольника AOB, т. е. 5сегм = nR2 360° •а - S. 2) Пусть градусная мера дуги AmB равна а (а > 180°) (рис. 103, б). Тогда площадь этого сегмента равна сумме площади сектора, ограниченного этой дугой и радиусами OA, OB, и площади треугольника, т. е. S„ nR2 360° ■ а + S. Заметим, что площадь этого сегмента можно найти так же, как разность между площадью круга и площадью сегмента с тем же основанием и дугой, градусная мера которой равна 360° - а. Пусть равносторонний треугольник ABC вписан в круг радиуса R, а точка O — его центр (рис. 103, в). Тогда площадь меньшего сегмента, основанием которого служит сторона AB треугольника, равна nR2 - 1R2 sin120° = nR2 ^/3r2 . 3 2 3 4 ™r2 360° 120°-S AOB Задача 1. Диагональ BD равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне, а площадь круга, вписанного в треугольник ABD, равна 4п см2. Вычислите длину окружности, описанной около трапеции, если площадь треугольника ABD равна 24 см2 (рис. 104). Правообладатель Народная асвета 128 Глава 3, § 3 D Рис. 104 Решение. Длину C окружности, описанной около трапеции A^CD, можно найти по формуле C = 2%Е. По условию задачи окружность, описанная около трапеции, описана около прямоугольного треугольника ABD. Следовательно, основание AD трапеции является диаметром окружности, т. е. 2R=AD, а значит, C = п AD. 1) Пусть r — радиус круга, вписанного в треугольник ABD. Так как площадь этого круга равна 4п см2, то из уравнения пг2 = 4п найдем r = 2 см. 2) Площадь SABD прямоугольного треугольника ABD найдем по формуле Sakd = rp, где r — радиус вписанного круга, p — полупериметр треугольника ABD. По условию задачи = 24 см2, следовательно, из уравнения 24 = 2р получим p = 12 см. 3) Для нахождения длины отрезка AD воспользуемся формулой r = р - AD. Отсюда AD = р - r = 12 - 2 = 10 (см). 4) Теперь длина окружности C = 2nR = п AD = 10п см. Ответ: 10п см. Задача 2. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является равносторонний треугольник ABC. Вычислите длину окружности, описанной около боковой грани призмы, если площадь круга, вписанного в основание, равна 9п см2, а все ребра призмы равны между собой (рис. 105, а). А В, А б) Рис. 105 в) Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 129 Решение. По условию задачи каждая боковая грань призмы является квадратом. Длину окружности, описанной около квадрата AA^B^B, можно вычислить по формуле C = 2%Е = = пAB = п\[2аВ. Для нахождения длины стороны А^ можем воспользоваться тем, что по условию задачи известна площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник А^С (рис. 105, б). 1) Пусть точка O — центр круга, вписанного в равносторонний треугольник ABC, T = CO ^ AB, тогда AB = 2AT. 2) Так как площадь круга, вписанного в треугольник ABC, равна 9п см2, то из уравнения п OT2 = 9п найдем OT = = 3 см. 3) В прямоугольном треугольнике ATO Z TAO = 30°, следовательно, AT = OTctg 30° = 3/3 см, AB = 6\/3 см (рис. 105, в). 4) Теперь вычислим длину C окружности, описанной около грани AA1B1B: C = W2AB = 6Wo см. Ответ: 6W6 см. Задачи к § 3 380. Вычислите площадь круга, вписанного в квадрат, если длина стороны квадрата равна 8 см. 381. Площадь круга, вписанного в квадрат, равна 16п см2. Вычислите площадь квадрата. 382. Вычислите площадь круга, вписанного в квадрат, длина диагонали которого равна 4 см. 383. В круг вписан квадрат. Найдите отношение площади этого круга к площади круга, вписанного в данный квадрат. 384. Площадь квадрата равна 16 см2. Вычислите площадь части квадрата, лежащей вне вписанной в него окружности. 385. Точки T, K, F, E — соответственно середины сторон AB, BC, CD и AD квадрата ABCD, O = KE ^ TF Правообладатель Народная асвета 130 Глава 3, § 3 (рис. 106, а). Вычислите площадь круга, вписанного в квадрат TBKO, если площадь круга, вписанного в квадрат ABCD, равна 4п см2. б) Рис. 106 386. В равностороннем треугольнике ABC точки T, K и F — середины сторон AB, BC и AC соответственно (рис. 106, б). Вычислите площадь круга, вписанного в треугольник TKF, если длина окружности, вписанной в треугольник ABC, равна 18п см. 387. Вычислите площадь круга, ограниченного окружнос- тью, описанной около равностороннего треугольника, длина стороны которого равна см. 388. Вычислите площадь равностороннего треугольника, если площадь круга, вписанного в этот треугольник, равна п см2. 389. Найдите отношение площади круга, вписанного в равносторонний треугольник, к площади круга, описанного около этого треугольника. 390. Площадь равностороннего треугольника равна \/3 см2. Вычислите площадь части треугольника, лежащей вне вписанной в него окружности. 391. На высоте равностороннего треугольника, длина стороны которого равна 8\fs см, как на диаметре построен круг. Вычислите площадь сектора, ограниченного дугой окружности, которая лежит внутри треугольника. Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 131 392. Длина окружности, описанной около равностороннего треугольника, равна 16n см. Вычислите длину вписанной в этот треугольник окружности. 393. В равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 6 см, вписан круг. Вычислите площадь сектора, ограниченного меньшей дугой, концами которой служат точки касания круга со сторонами треугольника. 394. Диагональ BD ромба ABCD равна его стороне. Вычислите площадь круга, вписанного в треугольник BCD, если периметр ромба равен 24 см. 395. Градусная мера угла ромба равна 60°. Вычислите площадь круга, вписанного в этот ромб, если длина его меньшей диагонали равна 6 см. 396. Градусная мера одного из углов ромба равна 120°. Вычислите площадь ромба, если площадь круга, вписанного в него, равна 3п см2. 397. Точки T, F, K и P — середины сторон AB, BC, CD и DA ромба ABCD соответственно. Вычислите площадь круга, описанного около четырехугольника TFKP, если Z BCD = 60° и площадь ромба равна ^/3 см2. 398. Площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около прямоугольного треугольника, равна 100п см2, а длина одного из катетов треугольника — 8 см. Вычислите площадь этого треугольника. 399. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 6 см, а его площадь — 24 см2. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около этого прямоугольного треугольника. 400. Точка O — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, градусная мера угла B которого равна 30°. Серединный перпендикуляр l к гипотенузе пересекает катет BC в точке F. Вычислите площадь круга, диаметром которого является катет AC, если площадь круга, который ограничен описанной около треугольника BOF окружностью, равна п см2 (рис. 107, а). Правообладатель Народная асвета 132 Глава 3, § 3 8). А F в) 401. Точка F — середина стороны AC прямоугольного треугольника ABC, отрезок FO — перпендикуляр, проведенный к гипотенузе AB, AC = 4 см (рис. 107, б). Вычислите площадь треугольника ABC, если площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около четырехугольника CFOB, равна 13п см2. 402. Окружность, диаметром которой является сторона BC прямоугольного треугольника ACB, пересекает гипотенузу AB в точке F. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около треугольника AFC, если AF = 4 см, BF = 9 см (рис. 107, в). 403. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около прямоугольника, если периметр прямоугольника равен 34 см, а длина одной из его сторон на 7 см больше длины другой стороны. 404. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь 24 см2. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около этого прямоугольника. 405. Площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около прямоугольника ABCD, равна п см2. Расстояние от вершины B до прямой, содержащей диагональ AC, равно 6 см. Вычислите площадь прямоугольника. 406. На стороне AD прямоугольника ABCD как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагональ Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 133 BD в точке K так, что DK ■ KB = 1 : 3. Длина перпендикуляра, проведенного из точки A к диагонали BD, равна 6 см. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около прямоугольника. 407. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около равнобедренного треугольника, длина основания которого равна 8 см, а градусная мера угла при его основании равна 15°. 408. В равнобедренном треугольнике градусная мера угла при основании равна 30°, а высота, проведенная к основанию, равна 4 см. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около этого треугольника. 409. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около равнобедренного треугольника, если длина основания треугольника равна 8 см, а высота, проведенная к этому основанию, — 3 см. 410. Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника равна а, а высота, проведенная к основанию, — т. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около этого треугольника. 411. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, если длина его боковой стороны равна а, а градусная мера угла при его вершине — а. 412. Вычислите радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, в котором длины гипотенузы и катета равны 13 см и 5 см соответственно. 413. Вычислите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если градусная мера его угла равна 30°, а длина катета, лежащего против этого угла, равна 2 см. 414. Точка касания вписанного круга делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, длины которых равны 4 см и 6 см. Вычислите площадь круга, вписанного в этот треугольник. Правообладатель Народная асвета 134 Глава 3, § 3 415. Длина окружности, ограничивающей круг, равна 6n см. Градусная мера вписанного в окружность угла равна 20°. Вычислите площадь сектора, ограниченного дугой, на которую опирается вписанный угол, и радиусами, соединяющими концы этой дуги с центром круга. 416. Площадь круга равна 5п см2, а градусная мера угла, вписанного в окружность, ограничивающую этот круг, равна 36°. Вычислите площадь сектора, ограниченного дугой, на которую опирается вписанный угол, и радиусами соединяющими концы этой дуги с центром круга. 417. Длина боковой стороны равнобедренной трапеции равна 8 см, а градусная мера одного из углов — 120°. Вычислите площадь круга, вписанного в эту трапецию. 418. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если градусная мера одного из ее углов равна а, а длина средней линии равна т. 419. Градусная мера одного из углов равнобедренной трапеции равна 30°. Площадь круга, вписанного в эту трапецию, равна 4п см2. Вычислите длину средней линии трапеции. 420. Площадь равнобедренной трапеции, в которую вписан круг, равна 18 см2, а длина ее боковой стороны — 6 см. Вычислите площадь круга, вписанного в трапецию. 421. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, длины оснований которой равны a и b. 422. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около равнобедренной трапеции, длины оснований которой равны 2 см и 14 см, а длина боковой стороны — 10 см. 423. Площадь круга, описанного около грани тетраэдра, равна 4п см2. Вычислите площадь грани тетраэдра. 424. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Вычислите сумму площадей боковых граней призмы, если Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 135 площадь круга, описанного около основания призмы, равна 16n см2, а боковое ребро равно радиусу этого круга. 425. Длина стороны равностороннего треугольника ABC равна а. Точки T, F и E лежат на сторонах AB, BC и AC соответственно так, что AT ■ TB = 1 ■ 2, BF ■ FC = 1 ■ 2 и CE ■ EA = = 1 ■ 2. Докажите, что треугольник TFE — равносторонний, и найдите площадь круга, описанного около него. 426. Точки F, T, E и P лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD, BT = CE = DP = AF = 1АВ. 3 Докажите, что четырехугольник FTEP — квадрат, и найдите отношение площади круга, вписанного в него, к площади круга, вписанного в квадрат ABCD. 427. В прямоугольном треугольнике ABC высота CF, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, длины которых относятся как 4 : 1. Найдите отношение площади круга, вписанного в треугольник AFC, к площади круга, вписанного в треугольник BFC. 428. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около прямоугольного треугольника, градусная мера одного из углов которого равна 15°, а произведение длин катетов равно т. 429. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 3 см и 4 см соответственно. Вычислите площадь круга, который вписан в треугольник ABC. 430. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла, а ее центр лежит на гипотенузе. Вычислите площадь круга, ограниченного этой окружностью, если длины катетов равны 3 см и 4 см. 431. Градусная мера угла при вершине равнобедренного треугольника равна ф, а высота, проведенная к боковой стороне, равна h. Найдите площадь круга, описанного около треугольника. Правообладатель Народная асвета 136 Глава 3, § 3 432. Градусная мера угла при вершине C равнобедренного треугольника ABC равна 120°, а длина его боковой стороны равна а. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, проходящей через вершины A, B, и центр окружности, вписанной в треугольник ABC. 433. Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника равна а. Найдите отношение площади круга, описанного около этого треугольника, к площади вписанного круга. 434. Круг вписан в трапецию ABCD (А^ | BC). Найдите площадь круга, если известно, что точка касания делит боковую сторону на отрезки, длины которых равны тип. 435. Около окружности описана прямоугольная трапеция. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью, если длины оснований трапеции равны а и b. 436. В равнобедренную трапецию, длина меньшего основания которой равна 1 см, вписан круг, площадь которого равна п см2. Вычислите площадь трапеции. Вопросы к третьей главе 1. Верно ли, что многоугольник, у которого все стороны равны, является правильным? Приведите пример выпуклого многоугольника, стороны которого равны, но который не является правильным. 2. Верно ли, что два взаимно перпендикулярных диаметра окружности являются диагоналями правильного четырехугольника, вписанного в эту окружность? 3. Всегда ли около правильного многоугольника можно описать окружность? 4. Верно ли, что радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен длине стороны этого шестиугольника? 5. Верно ли, что длину стороны ап правильного п-уголь- ника можно найти по формуле ап = 2Rsin диус описанной окружности? 180° п , где R — ра- Правообладатель Народная асвета Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга 137 6. По какой формуле длина стороны правильного п-уголь-ника выражается через радиус вписанной окружности? 7. Площадь квадрата, вписанного в окружность, равна S. Чему равна длина окружности? 8. Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна S. Найдите площадь круга, ограниченного данной окружностью. 9. Найдите длину окружности, описанной около квадрата, равновеликого кругу радиуса R. 10. Найдите отношение длины окружности, вписанной в правильный шестиугольник, к длине окружности, описанной около него. Правообладатель Народная асвета 1 ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ Правообладатель Народная асвета Глава 4 ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ § 1. Треугольники и окружность 1. Прямоугольный треугольник и окружность. 437. Длина катета BC прямоугольного треугольника ACB равна 15 см, а его катет AC является диаметром окружности, которая пересекает гипотенузу в точке F, CF = 12 см. Вычислите радиус окружности. Дано: AABC, Z ACB = 90°, BC = 15 см, AC — диаметр, CF = 12 см. Найти: R. Рис. 108 Решение. Из условия следует, что радиус R равен половине катета AC. Заметим, что ZAFC = 90°, так как опирается на диаметр AC. Таким образом, отрезок CF — высота, проведенная к гипотенузе треугольника ACB, следовательно, CF2 = AF • FB (рис. 108, а, б). 1) В треугольнике CFB FB = -JbC^—CF2 = ^225 -144 = = 9 (см). 2) Воспользовавшись равенством CF2 = AF • FB, найдем AF = CF2 FB = 144 9 см. 3) Теперь AB = AF + FB = 144 + 9 = (см). 4) Квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу, следовательно, AC2 = AF • АВ и АС = .JAF • AB = 20 см. AC Таким образом, R = = 10 см. Ответ: 10 см. Правообладатель Народная асвета 140 Глава 4, § 1 438. Окружность, построенная на стороне AB прямоугольника ABCD как на диаметре, пересекает его диагональ BD в точке F. Вычислите площадь прямоугольника, если точка F делит диагональ на отрезки, длины которых равны 4 см и 9 см. 439. Длина одной из смежных сторон прямоугольника равна 15 см, а длина проекции другой стороны на диагональ прямоугольника равна 16 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в один из треугольников, на которые диагональ разбивает данный прямоугольник. 440. Основание трапеции является диаметром описанной около нее окружности. Вычислите площадь трапеции, если длины оснований трапеции равны 10 см и 26 см. 441. Длина средней линии трапеции равна 9 см, а ее площадь — 54 см2. Вычислите длины оснований трапеции, если одно из оснований является диаметром описанной около трапеции окружности. 442. В прямоугольной трапеции, высота которой h, на стороне, перпендикулярной основанию, как на диаметре построена окружность, которая касается противоположной стороны трапеции. Найдите произведение длин оснований трапеции. 443. Длина стороны AB параллелограмма ABCD равна 15 см. Сторона AD является диаметром окружности, описанной около треугольника ABD, которая пересекает сторону BC в точке T. Вычислите длину хорды BT, если длина ортогональной проекции диагонали BD на сторону AD равна 16 см. 444. Основание D перпендикуляра, проведенного из точки C окружности к ее диаметру AB, делит его на отрезки, длины которых равны 4 см и 9 см. Окружность, построенная на отрезке AD как на диаметре, пересекает хорду AC в точке F. Вычислите длину отрезка AF. 445. Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Меньшая окружность пересекает диаметр AB большей окружности в точке T. Касательная к меньшей окружности проходит через точку T и пересекает большую окружность в точке C. Вычислите радиус меньшей окружности, если Правообладатель Народная асвета Задачи для повторения 141 известно, что она пересекает хорду AC в точке F так, что CF ■ FA = 1 : 3 и расстояние от точки T до прямой AC равно 3 см. 446. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Окружность, построенная на отрезке AO как на диаметре, пересекает сторону в точке F, которая делит ее в отношении 1 : 3. Вычислите градусные меры углов ромба. 447. Окружность, проходящая через вершины тупых и одного из острых углов ромба, пересекает большую диагональ. Точка пересечения делит эту диагональ на части, длины которых равны 5 см и — см. Вычислите длину стороны ромба. 5 448. На основании AB равнобедренного треугольника ACB как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону CB в точке F так, что CF ■ FB = 3 : 1. Вычислите расстояние от точки F до прямой AB, если AB = 24 см. 449. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке C. Радиусы окружностей равны 2 см и 7 см. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку C, пересекается с другой общей касательной в точке D. Вычислите расстояние от центра меньшей окружности до точки D. 450. Длины хорд CA и CB окружности соответственно равны 3 см и 4 см, а диаметр CD параллелен хорде AB. Отрезок AF — перпендикуляр, проведенный к диаметру CD. Вычислите длины отрезков CF и FD. 451. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Расстояния от центра окружности до концов большей боковой стороны a и b. Найдите сумму длин оснований трапеции. 452. Окружность, вписанная в трапецию ABCD с основаниями AD и BC, касается боковых сторон AB и CD в точках F и T соответственно. Докажите, что AF • FB = CT • TD. 453. Прямая l пересекает окружность в точках A и B, а прямая AF касается окружности в точке A. Вычислите расстояние от точки C, диаметрально противолежащей точке B, до точки касания, если длина хорды AB равна 5 см, а градусная мера угла между прямой l и касательной равна 30°. Правообладатель Народная асвета 142 Глава 4, § 1 Дано: AF — касательная, Z BA^ = 30°, A^ = 5 см. Найти: AC. а) Рис. 109 б) Решение. По теореме об угле между хордой и касательной ZACB = Z BAF = 30°. Так как точки C и B диаметрально противоположные, то угол CA^ опирается на диаметр, а следовательно, он прямой, т. е. треугольник CAB — прямоугольный (рис. 109, а, б). Расстояние от точки C до точки касания A равно длине катета CA треугольника CAB. Так как ZACB = 30° и AB = 5 см, то CB = 2AB = 10 см. Тогда CA = s/cB^—AE2 = Vl00 - 25 = = Wb (см). Ответ: Wb см. 454. Отрезок BC — диаметр окружности, прямая касается этой окружности в точке A. Известно, что BA = 2 см и площадь треугольника ABC равна ^/3 см2. Вычислите градусную меру угла между прямой BA и касательной. 455. Касательные Z1 и l2 к окружности радиуса R проходят соответственно через концы A и B ее диаметра. Третья касательная к окружности пересекает касательные l1 и l2 соответственно в точках F и T. Докажите, что AF • BT = R2. 456. Около трапеции ABCD с основаниями BC и AD описана окружность, диаметром которой является основание AD. Найдите площадь трапеции, если длина ее диагонали равна а, а радиус окружности равен R. 457. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а радиус описанной окружности равен 5 см. Вычислите длины катетов треугольника. Правообладатель Народная асвета Задачи для повторения 143 458. В прямоугольный треугольник с длинами катетов 36 см и 48 см вписана окружность. Через центр окружности проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Вычислите длины средних отрезков сторон треугольника, отсекаемых проведенными прямыми. 459. В равнобедренном треугольнике A^C с основанием AC длина боковой стороны равна 6\[б см. Окружность, диаметром которой является сторона AB, пересекает сторону BC в точке F так, что BF ■ FC = 2 : 1. Вычислите длину основания треугольника. 460. В прямоугольный треугольник, длины катетов которого 3 см и 4 см, вписана окружность. К окружности проведена касательная, которая пересекает катеты и разбивает данный треугольник на четырехугольник и треугольник. Вычислите периметр получившегося треугольника. 461. Отрезок CD — перпендикуляр, проведенный к гипотенузе прямоугольного треугольника ABC. Отрезок CD является диаметром окружности, которая на катетах AC и BC отсекает хорды, длины которых a и b. Найдите площадь треугольника ABC. 2. Равнобедренный треугольник и окружность. 462. Вычислите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, если длина его основания AC равна 24 см, а высота BD, проведенная к основанию, равна 9 см. Дано: А ABC, AB = BC, BD 1 AC, D e AC, AC = 24 см, BD = 9 см. Найти: r. а) Рис. 110 б) Правообладатель Народная асвета 144 Глава 4, § 1 Решение. Для вычисления радиуса r вписанной окружности воспользуемся формулой S = rp, где S — площадь треугольника, о p — его полупериметр. Отсюда получим r = —. p 1) Площадь треугольника О = — AC • BD = — • 24 • 9 = = 108 (см2) (рис. 110, а, б). 2 2 2) В прямоугольном треугольнике ADB длина катета AD = 1AC = 12 (см), а длина гипотенузы AB = V BD2 + AD2 = = V81 + 144 = 15 (см). 3) Теперь полупериметр p = 2 AB + AC 30 + 24 = 27 (см). о 108 4) Таким образом, найдем r = — = = 4 (см). Ответ: 4 см. 463. В равнобедренный треугольник, длина боковой стороны которого равна 18 см, а длина основания — 12 см, вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная основанию. Вычислите длину отрезка касательной, расположенного внутри треугольника. 464. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса r. Окружность пересекает высоту, проведенную к основанию, в точке, которая делит эту высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины. Найдите площадь треугольника. 465. Длины боковой стороны и основания равнобедренного треугольника равны соответственно 5 см и 6 см. Вычислите расстояние между точкой пересечения высот треугольника и центром вписанной окружности. 466. В окружность вписан равнобедренный треугольник, в котором длины основания и боковой стороны равны соответственно 10 см и 12 см. Через середину высоты, проведенной к основанию треугольника, проведена хорда, параллельная основанию. Вычислите длину хорды. 467. Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписан в окружность. Касательная к окружности проходит через вершину B. Прямая, проходящая через точку A и пер- Правообладатель Народная асвета Задачи для повторения 145 пендикулярная прямой BC, пересекает касательную в точке E. Найдите длину отрезка BE, если прямая AE делит высоту BD на отрезки, длины которых равны m и п, считая от вершины B. 468. Длина основания равнобедренного треугольника равна W2 см, а длина медианы боковой стороны — 5 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник. 469. В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность. Прямая, параллельная стороне AB, касается окружности и пересекает сторону AC в точке M, MC = — AC. Вычислите радиус окружности, если периметр 5 треугольника ABC равен 20 см. 470. В равнобедренном треугольнике ABC высота, проведенная к основанию AC, равна h, радиус вписанной окружности равен г. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. 471. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, основанием которого является отрезок AC, касается боковой стороны BC в точке F. Найдите радиус вписанной окружности, если AC = a и BF = т. 472. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на стороне BC лежит точка D так, что BD ■ DC = 1 : 4. В каком отношении точка O пересечения отрезка AD и высоты BE делит высоту BE, считая от вершины B? Рис. 111 Дано: AABC, AB = BC, D е BC, BD ■■ DC = 1 : 4, BE 1 AC, E е AC, O = BE n AD. Найти: BO ■■ OE. Правообладатель Народная асвета 146 Глава 4, § 1 Решение. 1) Так как BD '■ DC = 1 : 4, то DC = 4BD (рис. 111, а, б). Проведем отрезок EF (F е BC), параллельный отрезку AD. 2) Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, то точка E — середина стороны AC. 3) По признаку средней линии отрезок EF — средняя линия треугольника ADC, значит, DF = FC = 1 DC = 2BD. 4) Так как OD | EF, то BO ■ OE = BD ■ DF = BD ■ (2BD) = = 1 ■■ 2. Ответ: BO ■ OE = 1 ■ 2. 473. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC и высотой AD выполняется условие AD ■ BC = \[3. Точка T лежит на стороне AB так, что AT ■ TB = 1 ■ 2. Вычислите градусную меру угла TCB. 474. Отрезок CP — высота, проведенная к основанию AB равнобедренного треугольника ABC, точка F лежит на стороне BC и BF ■ FC = 1 ■ 3. Отрезки CP и AF пересекаются в точке O. В каком отношении точка O делит отрезок AF, считая от вершины A? 475. Отрезок BK — высота, проведенная к стороне AD равнобедренного треугольника с основанием BD, M — точка пересечения высот AO и BK. Вычислите длину отрезка MD, если BK = 8 см и AK ■ KD = 1 '■ 2. 476. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены высота BF и медиана AM, точка O — середина высоты BF, а точка T лежит на стороне BC так, что отрезки OT и AM параллельны. Найдите отношение BT '■ TC. 477. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC высоты BF и AT пересекаются в точке S. Точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности, точка S — середина отрезка OF. Вычислите косинус угла ABC. 478. Градусная мера угла при вершине B равнобедренного треугольника ABC равна а. Найдите радиус окружности, Правообладатель Народная асвета Задачи для повторения 147 проходящей через вершины A, C и центр вписанной в данный треугольник окружности, если длина боковой стороны равна а. 479. В равнобедренный треугольник, длина основания которого равна 6 см, вписана окружность, и к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три меньших треугольника. Вычислите длину боковой стороны треугольника, если сумма периметров меньших треугольников равна 24 см. 480. Точка F лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC так, что AF '■ FC = 1 : 3. В треугольники ABF и FBC вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей со стороной BF, если AC = а. 481. Высота BF треугольника ABC является и биссектрисой этого треугольника. Вычислите длину окружности, диаметром которой является отрезок BF, если периметр треугольника ABC равен 40 см, а периметр треугольника ABF равен 25 см. 3. Произвольный треугольник и окружность. 482. Отрезки AF и CT — высоты остроугольного треугольника ABC. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BTF, если ZABC = 60° и AC = b. Дано: AABC — остроугольный, Z ABC = 60°, AC = b, AF Z BC, CT Z BA. Н айти: Rbtf. Рис. 112 б) Решение. Воспользуемся теоремой синусов и тем, что треугольник ABC подобен треугольнику BTF. Правообладатель Народная асвета 148 Глава 4, § 1 1) В треугольнике BTF по теореме синусов выполняется равенство TF = 2Rbtf . Следовательно, RBTF = TF = TF_ 2sin60° лУ3 sin60 (рис. 112, а, б). 2) Рассмотрим треугольники ABC и FTC. Эти треуголь- BF BT ники подобны. Действительно, ---= cos B и ----= cos B. BF BT BA BC Следовательно, = cos B, т. е. треугольники ABC и FTC подобны с коэффициентом подобия cos B = cos 60° = I. 3) Из подобия треугольников ABC и FTC следует, что TF = b . J3 = b = W3 ^/3 2 . ^/3 6 ' TF = b. Таким образом, RBTF Ответ: . 6 483. Отрезки AP и CT — высоты остроугольного треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна 18 см2, а длины отрезков TP и AC равны 2\[2 см и ^/2 см соответственно. Вычислите площадь треугольника BTP. 484. Отрезки AE и CK — высоты остроугольного треугольника ABC. Вычислите диаметр окружности, описанной около четырехугольника AKEC, если известно, что периметры треугольников ABC и BEK равны 15 см и 9 см соответственно, а радиус окружности, описанной около треугольника BEK, равен 1,8 см. 485. На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны AB и AC в точках F и T соответственно. Найдите площадь треугольника AFT, если площадь треугольника ABC равна S, а градусная мера угла BAC равна 30°. 486. Отрезок AB является диаметром круга, а точка C лежит вне этого круга. Отрезки AC и BD пересекают границу круга в точках D и F соответственно. Вычислите градусную меру угла CBD, если площадь треугольника ABC в четыре раза больше площади треугольника CDF. 487. Окружность вписана в треугольник, периметр которого равен 20 см. Отрезок касательной, проведенной к окружности, параллелен стороне и расположен между сторонами треугольника. Длина отрезка касательной равна 2,4 см. Правообладатель Народная асвета Задачи для повторения 149 Вычислите длину стороны, параллельной отрезку касательной. 488. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке F. Докажите, что AF = p - a, гдеp — полупериметр треугольника ABC, BC = a. 489. В параллелограмме ABCD длины сторон AB и BC равны 4 см и 10 см соответственно. В треугольники ABD и BCD вписаны окружности, касающиеся диагонали BD в точках F и T соответственно. Вычислите длину отрезка FT. 490. Периметр треугольника ABC равен 2p, сторона AC = b, Z ABC = в (0 < в < 90°). Вписанная в треугольник окружность касается стороны BC в точке K. Найдите площадь треугольника BOK, где точка O — центр вписанной окружности. 491. Биссектрисы BF и AT треугольника ABC пересекаются в точке O. Вычислите длину стороны AC, если AB = 24 см, AO ■■ OT = 3 : 2 и AF ■ FC = 6 : 7. 492. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Известно, что AB = с, BC = а, BD = lb, AD = c1, DC = a1. Докажите, что l'2 = ас - a-^^c-^ (рис. 113, а). Дано: AABC, Z ABD = Z DBC, AB = c, BC = a, BD = lb, AD = c1, DC = a1. Доказать: lb2 = ac - a1c1. Рис. 113 Доказательство. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть прямая BD пересекает окружность в точке F и DF = x (рис. 113, б). 1) По свойству отрезков пересекающихся хорд выполняется равенство lb • x = a^_ • c]_. Правообладатель Народная асвета 150 Глава 4, § 1 2) Треугольники A^D и FBC подобны, так как ZA^D = Z FBC по условию и Z BAC = Z BFC, поскольку являются вписанными в окружность и опираются на одну и ту же дугу. 3) Из подобия треугольников ABD и FBC следует, что = c r\ l2 a lb + x -. Отсюда lb = ac - lbx. 3) Таким образом, lb = ac - lbx = ac - a^c^. Что и требовалось доказать. 493. В треугольнике ABC длина биссектрисы BF равна 3^ см. Вычислите длины сторон AB и AC, если BC = 2 см и CF = 1 см. 494. Биссектриса AD треугольника ABC пересекает медиану CE в точке O. В каком отношении точка O делит биссектрису AD, считая от точки A, если BD ■ DC = 2 ■ 1? 495. Длина биссектрисы AD треугольника ABC равна т. Окружность, построенная на этой биссектрисе как на диаметре, делит соответственно стороны AB и AC в отношении 2 : 1 и 1 : 1, считая от вершины A. Найдите площадь треугольника ABC. 496. Окружность, центр которой лежит на стороне AC, касается сторон AB и BC треугольника ABC в точках F и T соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что точка T — середина стороны BC, отрезок BF в два раза больше отрезка FA, а радиус окружности равен R. Правообладатель Народная асвета § 2. Четырехугольники и окружность 1. Произвольный четырехугольник и окружность. 497. Точка C — середина дуги AB окружности меньшей полуокружности. Через точку C проведены хорды CD и CF, которые пересекают хорду AB в точках K и T соответственно. Докажите, что около четырехугольника DKTF можно описать окружность (рис. 114, а, б). Дано: ^ AC = ^ CB, CD и CF — хорды, K = AB ^ CD, T = AB ^ CF. Доказать: существование окружности, описанной около DKTF. Рис. 114 б) Решение. Достаточно доказать, что ZDKT + ZDFT = 180°. 1) ZDKT = !(^DFB + ^AnC) = 1 I^^DFB + 1 ^ ACB 2) Аналогично ZDFT = — ^ DAC = 1 DmA + 1 ^ ACB 3) Таким образом, ZDKT + ZDFT = 1 (yjDFB + 1 ^ ACB 22 + 1 DmA + 1 •и ACB^ = = 1 [uDFB + uDmA + и ACB^ = 180°. Что и требовалось доказать. 498. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D. Касательные к окружностям, проведенные через точки C и D, пересекаются в точке O. Докажите, что около четырехугольника ACOD можно описать окружность. Правообладатель Народная асвета 152 Глава 4, § 2 499. Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, а лучи AB и DC пересекаются в точке T. Вычислите градусные меры углов A^D и BDC, если ZAOD = 104°, ZATD = 28°. 500. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, а прямые AB и CD пересекаются в точке O. Вычислите градусную меру угла AOD, если градусная мера угла BDC равна 32°. 501. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке F, а ZABC = Z CDA = 90°. Вычислите градусные меры углов BAD и BCD, если ZAFD = = 80°, а градусная мера дуги CD равна 60°. 502. Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, а сторона AB — диаметр окружности, прямые AD и CB пересекаются в точке F. Вычислите градусную меру угла AFB, если сторона DC равна радиусу окружности. 503. Около окружности радиуса 6 см описан четырехугольник ABCD. Вычислите его площадь, если AB = 15 см, BC = 10 см, AD = 20 см. 504. В окружность вписан четырехугольник, градусные меры углов которого равны 120°, 90°, 60° и 90°. Вычислите радиус окружности, если площадь четырехугольника равна 2^3 см2, а его диагонали взаимно перпендикулярны. 505. В окружность радиуса 6 см вписан четырехугольник ABCD, диагонали AC и BD которого взаимно перпендикулярны. Точки E и F являются серединами отрезков AC и BD соответственно. Точка K пересечения диагоналей удалена от центра O окружности на расстояние 5 см. Вычислите площадь четырехугольника ABCD, если площадь четырехугольника OEKF равна 12 см2. 506. В окружность вписан четырехугольник, одна диагональ которого — диаметр окружности. Докажите, что ортогональные проекции противолежащих сторон четырехугольника на другую диагональ равны между собой. Правообладатель Народная асвета Задачи для повторения 153 507. В окружность вписан четырехугольник ABCD, сторона AB которого является диаметром окружности, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Вычислите длину отрезка AO, если BC = 12 см, CO = 9 см, SABC = 3SACD. 508. Диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD, пересекающиеся в точке O, разделяют его на треугольники, площади которых SAO^B = S1, SBOC = S2, SCOD = S3, SAOD = S4 ' Докажите, что верно равенство S1 • S3 = S2 • S4 (рис. 115, а). а) Рис. 115 б) Дано: ABCD — четырехугольник, AC ^ BD = O, SAOB = S1 , SBOC = S2 , SCOD = S3 , SAOD = S4 . Доказать: S1 • S3 = S2 • S4. Решение. 1) Пусть BK1 AC, K e AC и DF1 AC, F e AC (рис. 115, б). 2) Треугольники AOB и BOC имеют общую высоту BK, Si AO /14 следовательно, — =----- (1) 2 OC 3) Треугольники COD и AOD имеют общую высоту DF, S4 = AO_ S3 OC значит, (2). SS 4) Из равенств (1) и (2) следует, что = -^ S1 • S3 = S2 • S4. Что и требовалось доказать. 2 3 или 509. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если SB .BOC = S1, SAOD = S2 и OD = 4OB. 510. В выпуклом четырехугольнике ABCD площади треугольников ABD и ACD равны. Докажите, что прямые BC и AD параллельны. Правообладатель Народная асвета 154 Глава 4, § 2 511. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, а площади треугольников AOB и COD равны. Докажите, что прямые BC и А^ параллельны. 512. В треугольнике A^C через середину стороны AC — точку D — проходит прямая, которая пересекает сторону BC в точке O, а прямую AB — в точке F. Площади треугольников BFO и DOC равны. Докажите, что отрезок BD является средней линией треугольника AFC. 513. Диагонали четырехугольника ABCD, в который впи- сана окружность, пересекаются в точке O. Докажите, что выполняется равенство + R3 = R2 + R4, где R^, R2, R3, R4 — радиусы окружностей, описанных около треугольников AOB, BOC, COD и AOD соответственно. 514. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке O. Окружность, описанная около треугольника AOB, пересекает стороны BC и AD в точках F и T соответственно. Верно ли, что OF = a, если OT = a? 515. Докажите, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырехугольника. 2. Трапеция и окружность. 516. Диагонали AC и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны. Вычислите площадь трапеции, если длина диагонали AC равна 12 см, а длина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, равна 9 см. 517. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Чему равно отношение площадей треугольников AOB и BOC, если BC ■ AD = m ■ n? 518. Диагональ BD трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне AB. Вычислите длину основания AD, если Z ADB = Z BDC = 30° и периметр трапеции равен 30 см. Правообладатель Народная асвета Задачи для повторения 155 519. Длины оснований AD и BC трапеции ABCD равны соответственно тип. Найдите длину диагонали BD, если известно, что окружность, описанная около треугольника BCD, касается стороны AB трапеции в точке B. 520. Радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, равен R, а ее диагонали AC и BD делятся точкой их пересечения O в отношении 1 : 3, считая от меньшего основания BC. Найдите площадь трапеции, если боковая сторона AB видна из точки O под углом, градусная мера которого равна 60°. 521. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Длина большего основания трапеции равна а, а длина боковой стороны равна т. Найдите площадь трапеции. 522. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом, градусная мера которого равна а. 523. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S. Найдите длину средней линии трапеции, если градусная мера ее острого угла равна ф. 524. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Найдите длину диагонали трапеции, если длины ее оснований равны а и b. 525. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S, а боковая сторона трапеции в два раза больше ее высоты. Найдите площадь круга, вписанного в трапецию. 526. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 32 см2, а градусная мера одного из углов трапеции равна 30°. Вычислите длины сторон трапеции. 527. Около окружности описана прямоугольная трапеция, градусная мера острого угла которой равна а. Найдите высоту трапеции, если ее периметр равен P. Правообладатель Народная асвета 156 Глава 4, § 2 528. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а ее площадь равна S. Найдите высоту трапеции. 529. Высота равнобедренной трапеции равна 14 см, а длины оснований равны 16 см и 12 см. Вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около трапеции. 530. Вычислите площадь прямоугольной трапеции, если центр вписанной в нее окружности, находится на расстоянии 1 см и 2 см от концов боковой стороны. 531. Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 5 см, а площадь равна 12 см2. Вычислите высоту трапеции. 532. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна ^/3 см2. Вычислите длину боковой стороны трапеции, если градусная мера одного из ее углов равна 60°. 533. Длины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD равны 8 см и 10 см соответственно, а длина основания BC равна 2 см. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Вычислите площадь трапеции. 534. Длины оснований AD и BC трапеции ABCD равны со- ответственно a и b. Через точку F, принадлежащую стороне AB и делящую ее в отношении m '■ n, считая от точки A, проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая сторону CD в точке T. Докажите, что FT = an + ’bm (рис. 116, а). m + n Дано: ABCD — трапеция, AD = a, BC = b, F e AB, AF ■ FB = m ■ n, FT I AD,Te CD. Доказать: j-,™ an + bm rl =------. Рис. 116 б) Правообладатель Народная асвета Задачи для повторения 157 Решение. 1) Проведем отрезок CE, параллельный стороне AB, E е AD. Пусть O = CE ^ FT (рис. 116, б). 2) Так как AF ■ FB = m '■ n и FT | AD, то AF '■ FB = DT ■ TC = = m ■ n. Из условия CE | AB следует, что OT = FT - b. 3) Треугольник CTO подобен треугольнику CDE, следо- ——. Отсюда получим, что OT CT FT - b вательно, --= или --------- ED CD a - b отрезок FT = an + bm m + n Что и требовалось доказать. 535. Средняя линия трапеции, длина которой равна 10 см, делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 3 : 5. Вычислите длины оснований трапеции. 536. Длина средней линии равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна 5 см. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых, равно 7: 13. Вычислите высоту трапеции. 537. Длины оснований трапеции равны 1 см и 7 см. Вычислите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего ее на равновеликие части. 538. В трапеции ABCD длины оснований AD и BC равны 6 см и 4 см соответственно. На луче BC лежит точка F так, что прямая AF делит трапецию на две равновеликие фигуры. Вычислите длину отрезка CF. 539. Две окружности радиусов 6 см и 2 см касаются внешним образом. Вычислите расстояние от точки касания окружностей до их общей касательной. 540. Найдите длину средней линии равнобедренной трапеции, высота которой равна m, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом, градусная мера которого равна 120°. 541. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Вычислите длину отрезка этой прямой, расположенного между боковыми сторонами трапеции, если длины основания трапеции равны 2 см и 6 см. Правообладатель Народная асвета ОТВЕТЫ Глава 1 § 1 4. 8 см. 6. 2\[s см. 7. 7 см и 18 см. 8. 60°. 9. 4 см. 10. 10 см. 11. 30 см2. 14. 18 см. 15. 60°. 16. Ry[s. 17. Vl7 см. 18. -20 см и 20 см. 19. 2a. 3 3 О /То oi о • а ^ оо a cos а a cos а [ли ^13 см. 21. 2аsin—cos—. 22. 20. • 2 ^ .2 sin а sin а . 23. 8 см. 24. 2R. 25. ab. 27. R. 29. 1 + slnа. 30. 12 см. 31. Jr,R2 . 2 3 1 - sin а ^ 1 2 § 2 36. а) 60°; б) 120°. 37. а) 45°. 38. 40°. 39. 15°. 40. а) 10 см; б) Ws см. 41. а) Wa см; б) Wb см. 42. а) 60°. 4^. а) 100°; б) 130°. 44. 45°. 46. 92°. 47. 4R. 48. 7,5 см. 49. 6 см. 50. 6 см. 51. 25 см. 52. 2R(1 Ws). 53. а) Ws. 54. 39 см2. 55. 24 см. 56. 1^/3 см. 58. 40 см. 59. 13 см. 60. DO = 8 см; OC = 3 см. 61. 5 см. 65. 90 -а. 66. а. 67. . 68. AT = 1,5 см, KT = 2 см. 69. 20 см. 70. 30°. 2 4 § 3 72. 4 см. 73. 3 см. 74. Нет. 76. 4 см; 4 см. 77. 18 см2. 78. 5 см. 79. Да. 80. 37°. 81. 22°30'. 82. 35°. 84. 9 см. 86. 24 см. 92. 8 см. 93. 4,8 см. § 4 94. а) Да; б) 120°; в) 6 см. 95. 2 см. 96. 36 см. 97. 5 : 3. 98. см. 99. 12 см. 3 100. 10 см. 101. 30 см. 102. (3 -'Jz) см. 103. 3'j2 см. 104. 2 см. 105. 84 см. 106. б) Да; в) 9 см. 107. ^/3 см. 108. 18 см. 109. 5 см. 110. 9 см. 111. 13 см. 112. 24 см2. 113. 25 см. 114. —. 115. 60 см2. 116. 25 см. 117. 7— см. 4 2R 2 24 118. 12 см. 124. 48 см2. 125. 12(^3 + 3) см2. 126. 24 см. 127. 9 см; 40 см. 128. 25 см. 129. 6 см; 8 см; 10 см. 130. 13 см. 135. 6 см. 136. 2(3 + ^/3) см. 137. 2hr •Jh2 - 2hr 142. 15 см. 138. 13 см. 139. 768 см2. 140. 6 см. 141. R (cos а + sin а - 1). § 5 145. 4 см2. 146. 2 см. 147. 16'^ см. 14^. 24 см. 149. 2(2 ^\/2) см. 150. 1 см. 3 151. 20 см. 152. 3 см. 153. 4 см. 154. 40 см. 155. 5 см. 156. 6 см. 157. 2a(sin +1). 158. 80 см2. 159. 2а. 160. —. 162. 2,4 см. 163. 16 см. sin а 4 Правообладатель Народная асвета 3 Ответы 159 164. 18 см2. 165. 32 см2. 166. 150 см2. 167. 4 см. 168. 1 см. 169. Z BCD = 110°; Z BDC = 20°. 171. а) Да; б) 4(1 W3) см. 172. >/5 см. 173. 8 см. 174. -J5 см. 177. Wa см. 178. см. 179. 30 см. 180. ^2 W3 см. 181. 7,5 см. 182.1^/з см2. 185. ab. 186. . 187. 2(p + q)4pQ. 189. см. 190. 6 см. 191. 8Г ^. 192. 32^ ^. 193. a(3 - 242). 194. 1 см; 7 см. 195. 168 О О О \ ’ 3 2 2 196. 7 см; 21 см. 197. 20 см2. 198. Да. 200*. 2- см. 5 Глава 2 § 1 201. 6 см2. 202. 16 см2. 203. h2 , -. 204. Ws см2. 205. Нет. 4sina cos а 206. 2(1 Wb) см2. 210. We см. 211. 4 см. 212. 60° или 120°. 213. . „аsinа------. 214. BC « 9,83 см; AC « 11,95 см. 215. AF « 7,42 см. sinP • sin(P - а) 216. W2 см. 217. ZA « 30°. 218. « 6,21 см. 219. « 11,59 см. 220. b 2cosa 222. а2 sin а • sin(a + Р) 2sin Р -------. 223. m sin~,f. 224. W2 см. 225. 1°+ 3а^ sin— ^ "4 / 2 226. 12 см. 227. 6 см. 228. 4sf2 см. 229. 8 см. 230. 3 см. 231. 6,5 см. 2 • в • 232. 4 см2. 233. 4 см2. 234. m sinв sinа. 235. 4^/з -1) см2. 236. 67,5 см2. sin (а + в) 237. 15 см. 238. mcos25°. 239. 16 см. 240. 4 см. 241. sinY Wa 242. а2 sin2 а • ctg(а-ф). 243. 2_R2sin3 а • sin в 246. ------------г:—-. 247. h 2sinа • sin (а + в) -. 244. sin(а + y) -. 245. 12,5 см. О ' 2cos- sin(а + в) 8cos2 а(1 + 2cosа)2 § 2 248. V97 см. 249. л/37 см. 250. 3 см. 251. 2(8 WIo ) va2 см; 8 см. 254. 5 см; V109 см. 255. 2yj5 + 243 см см2. 257. см. 259. 13 /2 2 у а +b - 2abcosа; . 260. - 2^1 d2 cosф; ■1- 1 2 2 ^ d1 + d2 + 2d1d2 cos ф. ^/21 fyg.K .Fr о AA АП°. 7^!^ ’ 3 267. 120°. 268. л/7 см. 269. 1Wa см2. 270. 30 см2. 271. см; 15^^^ см. 262. n/55 см. 263. W7 см. 264. ^21 см. 265. 47 см. 266. 60°; см. 33 Правообладатель Народная асвета см2. a а2 sin2а 160 Ответы 272. V20T см; 19 см. 273. BC =-J2 см; AC « 1,93 см; Z C = 60°. 274.AB = 5 см; Z В « 8°; ZА « 37°. 275. Z С « 82°; Z В « 82°; АС = 14 см. 276. 8(^/2 + 3) см. 277. 8 см. 279. 39 см. 280. 1^V3 см2. 281. 11 см; 27 см. 282. 63 см; 36 см. 283. 4шп 2 4 т2 + п2 - 2mn cos а; —;-2— + n2 + 2mn cos a. 284. 9,5 см. 2 sin a sin a sin a 285. 7 см; 9 см. 286. 60°. 287. 7 см; 24 см; 25 см. 288. 9 см; 9 см; ^/2 см. см. 2 Глава 3 § 1 289. а) 108°; б) 144°; в) 150°. 290. в) 10. 291. 8 см2. 292. в) 1^/2 295. г) 6 см. 296. 36 см2. 297. 4^3 см2. 302. 24 см. 303. . 304. — Us + 2). 305. 800 см2. 306. . 307. T0/3 см. 308. 60 см2. 309. R. 313. bU/s. 314. 2 U3. 316. . 317. 1,5 см. 318. ^ см. 319. 3(Wa + 1) см. 320. ^/з см. 323. 4 : 3. 324. a(3 Ws ). 325. 4^S . 329. —. 330. 2^/5. 331. а2 (17 - 1^/2). 332. 17 см. 4 W3 § 2 333. 3п/2 см. 334. 32J2 см. 335. 3п см. 336. %yfs . 337. ^ _ 338. 9 см. 339. 2Wa см. 340. п см. 341. 2W—. 342. п/б см. 34^. 20(1 ^\/3) см. 344. 5п см. 345. 13п см. 346. 2\1т3-к см. 347. 120 см2. 34^. 4п см. 349. 5\[з-к см. 350. 8\Js см2. 351. ап. 352. 32п см. 353. 20п см. 354. 0,8. 355. 15 см. 356. 6п см. 357. 40п см. 358. 5п см. 359. 8п см. 360. 16п см; 14п см; 6п см. 361. -2п см; см; см. 362. 8п см. 3 3 3 363. 12 см. 364. 2п см. 365. 2п см. 366. 2п см. 367. 24п см. 368. см. 3 369. ^/2п см. 370. 8п см. 371. 16п см. 372. 15п см; п см. 373. 12п см. 77 374. 3г. 375. т. 376. 12п см. § 3 380. 16п см2. 381. 64 см2. 382. 2п см2. 383. 2 : 1. 384. 4(4 - п) см2. 385. п см2 386. ■8Tп см2. 387. 36п см2. 388. Ws см2. 389. 1 : 4. 390. см2 43 391. 12п см2. 392. 8п см. 393. п см2. 394. 3п см2. 395. 27п см2. 396. 8yJ3 см2 4 Правообладатель Народная асвета Ответы 161 397. 402. 407. 412. 417. 422. 427. 431. 435. 13п см2. 403. -----п см2. 404. 13п см2. 405. 78 см2. 406. 48п см2. 4 оос 2 2-2 /J 4 ^ ^ £3 А ^ ^ лл о2о п А -i -i па sin а 64п см2. 408. 64п см2. 409. -------п см2. 410. ------— 36 ,|..;„4, п см2. 398. 1^21 см2. 399. 25п см2. 400. см2. 401. Ыз см2 411. 4sin4 а 4(1 + sin — 2 см. 413. 2п(2 ^/3) см2. 414. 4п см2. 415. п см2. 416. п см' 12п см2. 418. 2 • 2 ^ пт sin а . 419. 8 см. 420. см2. 421. . 4 4 2 4 50п см2. 423. Wa см2. 424. 32^/2 +1) см2. 425. . 426. 5 : 9. 4 : 1. 428. -------—---------. 429. 25п см2. 430. 4 sin 15° cos 15° 64 22 п« о,.„2 225п 2 см2. л 2 ^ • 2 4cos —sin ф 2 см2. 4^2. 3па2. 4^3. (1 + cos а) 434. птп. 2г^2 паЬ (а + Ь)2 . 4^6. 5 см2. Глава 4 § 1 2 438. 78 см2. 439. 5 см. 440. 216 см2. 441. 5 см; 13 см. 442. . 443. 7 444. 449. см. 445. 3 см. 446. 60°; 120°; 60°; 120°. 447. 4 см. 448. W7 13 , , , V W2 см. 450. CF = 9 см, FD = ^ см. 451. ^ 5 (а + Ь)2 454. 459. 466. 471. 478. 486. 493. 30°. 456. 4 R2 -^4R2 - а2 . Та^гь2 . 453. Ws 457. 6 см; 8 см. 458. 9 см; 16 см; 25 см. 12 см. 460. 2 см. 461. (а2 + Ь2)2 . 463. 6 см. 464. 3rV3.465. 3 13 см. 467. а mjn(m + п) 2аЬ . 468. 2V^(3 ^/2) см. 470. (h - r) . ^ ^ ’ 2(h - 2r) т + ат 2 -------. 473. Z TCB = 30°. 474. 4 : 3. 475. 6 см. 476. 3 : 5. 477. 2. 2(а + т) 3 п а^12 2cos — . 480. а . 481. 5п см. 483. 2 см2. 484. 24 см. 485. 3S. 2cos — 4 5 4 2 1 2 в 30°. 4^7. 4 см или 6 см. 4^9. 6 см. 490. ^(p - Ь)2 t^^. 491. 18 см. AB = 3 см, AC = 2,5 см. 494. 3 : 1. 495. 7^ У35. 496. 7R 48 20 Правообладатель Народная асвета 4-4 2 4sin а cos а см см см 3 162 Ответы § 2 499. ZBDC = 38°, ZABD = 66°. 500. 26°. 501. ZBAD = 110°; ZBCD = 70°. 503. 180 см2. 504. W3 см. 505. 12/15 см 2. 507. 25 см. 509. + "5S'2. 514. Да. 516. 3б/5 см2. 518. 12 см. 519. 4mn. 520. W3r2 521. 522. ft2ctga. 523. 2 S sin Ф 524. a2 + 6ab + b2 . 525. . 526. 8 см; 8 см; (8 + Ws) см; (8 - Ws) см. 527. P sin a 2(1 + sin a) 528. 4S. 529. 100n см2. 530. 3,6 см2. 531. 3 см или 4 см. 532. 4 см. 533. 40 см2. 534. аП + . 535. 5 см, 15 см. 536. 4 см. 537. 5 см. m + n 538. 1,2 см. 539. 3 см. 540. . 541. 3 см. Правообладатель Народная асвета 7 Приложение Значения тригонометрических функций 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° cos 1 s 2 ■Д 2 1 2 0 1 2 2 V3 2 -1 sin 0 1 2 ^/2 2 Д 2 1 Д 2 Д 2 1 2 0 tg 0 1 1 Д — -1 1 0 ctg — V3 1 1 ^/3 0 1 ^/3 -1 — Значения тригонометрических функций для углов меньше 45° находят, пользуясь верхними наименованиями столбцов; значения тригонометрических функций для углов больше 45° находят, пользуясь нижними наименованиями столбцов. Гра- дусы sin cos tg ctg Гра- дусы 0 0,00000 1,00000 0,00000 — 90 1 0,01745 0,99985 0,01746 57,28996 89 2 0,03490 0,99939 0,03492 28,63625 88 3 0,05234 0,99863 0,05241 19,08114 87 4 0,06976 0,99756 0,06993 14,30067 86 5 0,08716 0,99619 0,08749 11,43005 85 6 0,10453 0,99452 0,10510 9,51436 84 7 0,12187 0,99255 0,12278 8,14435 83 8 0,13917 0,99027 0,14054 7,11537 82 9 0,15643 0,98769 0,15838 6,31375 81 10 0,17365 0,98481 0,17633 5,67128 80 11 0,19081 0,98163 0,19438 5,14455 79 12 0,20791 0,97815 0,21256 4,70463 78 Гра- дусы cos sin ctg tg Гра- дусы Правообладатель Народная асвета 164 Приложение Гра- дусы sin cos tg ctg Гра- дусы 13 0,22495 0,97437 0,23087 4,33148 77 14 0,24192 0,97030 0,24933 4,01078 76 15 0,25882 0,96593 0,26795 3,73205 75 16 0,27564 0,96126 0,28675 3,48741 74 17 0,29237 0,95630 0,30573 3,27085 73 18 0,30902 0,95106 0,32492 3,07768 72 19 0,32557 0,94552 0,34433 2,90421 71 20 0,34202 0,93969 0,36397 2,74748 70 21 0,35837 0,93358 0,38386 2,60509 69 22 0,37461 0,92718 0,40403 2,47509 68 23 0,39073 0,92050 0,42447 2,35585 67 24 0,40674 0,91355 0,44523 2,24604 66 25 0,42262 0,90631 0,46631 2,14451 65 26 0,43837 0,89879 0,48773 2,05030 64 27 0,45399 0,89101 0,50953 1,96261 63 28 0,46947 0,88295 0,53171 1,88073 62 29 0,48481 0,87462 0,55471 1,80405 61 30 0,50000 0,86603 0,57735 1,73205 60 31 0,51504 0,85717 0,60086 1,66428 59 32 0,52992 0,84805 0,62487 1,60033 58 33 0,54464 0,83867 0,64941 1,53987 57 34 0,55919 0,82904 0,67451 1,48256 56 35 0,57358 0,81915 0,70021 1,42815 55 36 0,58779 0,80902 0,72654 1,37638 54 37 0,60182 0,79864 0,75355 1,32704 53 Гра- дусы cos sin ctg tg Гра- дусы Правообладатель Народная асвета Приложение 165 Гра- дусы sin cos tg ctg Гра- дусы 38 0,61566 0,78801 0,78129 1,27994 52 39 0,62932 0,77715 0,80978 1,23490 51 40 0,64279 0,76604 0,83910 1,19175 50 41 0,65606 0,75471 0,86929 1,15037 49 42 0,66913 0,74314 0,90040 1,11061 48 43 0,68200 0,73135 0,93252 1,07237 47 44 0,69466 0,71934 0,96569 1,03553 46 45 0,70711 0,70711 1,00000 1,00000 45 Гра- дусы cos sin ctg tg Гра- дусы Правообладатель Народная асвета Учебное издание Шлыков Владимир Владимирович ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для 9 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения 3-е издание, исправленное Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Л. Н. Ясницкая. Художник обложки Е. В. Шлыков. Художественный редактор Е. П. Протасеня. Технический редактор Г. А. Дудко. Корректоры Д. Р. Лосик, В. С. Бабеня, Е. И. Даниленко, А. В. Алешко. Подписано в печать 07.03.2012. Формат 60 X 901/16. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 10,5 + 0,25 форз. Уч.-изд. л. 7,83 + 0,27 форз. Тираж 79 600 экз. Заказ . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. ЛИ № 02330/0494083 от 03.02.2009. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск. ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа». ЛП № 02330/0150496 от 11.03.2009. Ул. Корженевского, 20, 220024, Минск. Правообладатель Народная асвета (Название и номер школы) Учебный год Имя и фамилия ученика Состояние учебного пособия при получении Оценка ученику за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Правообладатель Народная асвета Шлыков, В. В. Ш69 Геометрия : учеб. пособие для 9-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / В. В. Шлыков. — 3-е изд., испр. — Минск : Нар. асвета, 2012. — 165 с. : ил. ISBN 978-985-03-1721-6. Предыдущие издания под названием «Геометрия, 10» вышли в 2006, 2007 гг. УДК 514(075.3=161.1) ББК 22.151я721 Правообладатель Народная асвета