Учебник Геометрия 9 класс Ершова Голобородько

ямойАВ Утвсрждоиис языком ______лекторов ОА ал С08ф SS шМал АВ^кАС и.)1и У)ка О — моко’юрни 'j-o^kii 15.ПО<а«)ОТИ СеЛВ, АС iCB = rn:n АС=—СВ кли п ос=—^ой+-^о5. т-*п т + п глеО — некоторая *гочка плоскости 8 А С В С— середина АВ АС=СВ или ОС=^(ОА+ОВ), гэеО — некоторая точка § 19‘. Векторный метод Иногда векторный метод используют в сочетании с метолом координат. В тя1сик случаях пр('л-ставленные векторные соотмошеиин целесообразно записывать в координат!loii форме. Рис. 13S. РАхюжение векторл е по векторам а пЬ [См. также с. 192J 19,2. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам в некоторых задачах целесообразно ныГ>ра'!’ь на плоскости нсколлйнеарныс век’!ч>ры к и Ь и »ы-разить через них друтне рпссматршшомыо век'горы,. Докажем сущоотвоваиие и единстиенность такого предстаклеийя. Теорема (о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам) Если о. и S — неколлинеарные векторы, то для любого вектора с существует разложение с=:т.а'* пЬ, где пг, л — некоторые числа, причем такое разложение единственно. Доказательство □ Пусть а ш Ь — данные векторы» с=ЛВ (рис. 135. а). Проведем через точки Л и В прямые, параллельные векторам а и Ь соответствеино. Поскатьзсу данные векторы аекол.1ивеарыы^ то зги прямые пересекаются в некоторой точке С» причем Ж+св=лв. Так как зго построению вект<^1ы ЛС н СВ катлнне&рны векторам а н Ь соответственно, то слтцестзтют числа тип, такие, что АС = та и СВ = п5. Следовательно, с = та + пЬ. Докажем от противного единственность такого разложения. Пусть существ>*ет рлхтожемие с = пиа~п-Ь, причем выпо.тняется хотя бы одно из условий т,=/п или п^^л. Предположим, например. что Приравнивая два разложения вектора с, имеем; та-^пЬ = fm-m,)a=fn,-n)fr . 191 § 19’. Векторный метод о Рмс. ГЛУ Л. ^ 1 н В прямоугольной системе координат особую роль играет разложение вектора по векторам (?, (1; 0) и ^j,(0; 1) — векторам единичной длины, со-направленньшм с осями коорди]1Пт (рис. 137). 'Гакие векторы называю!' 1соор0ияаш1шми вешпоралт^ или ортами. Коэффициенты ).'»а.ч.можения вектора о>>) векторам с, и равны 1соордниатам вектора а, Дсйетв7^таиьио, 14 ■()«:«,, а-йу - а, -04й^-11= йу,. Итак, . Иногда, в час'шос!*и п ф)Н7Ич.ески>! задамах, рнссма^'рнваю!" понятие проакцим вектора на ось Для поотрОенкя аекторной проекции вектора ЛВ на ось I через концы данного вектора проводят «ер пвндякуляры AAjlh BB^l (рнс. 138). Тогда век тор Л^В, является проеш(ией вектора АВ на ось / Скаллрной npoeKxpiew вектора АВ на ось / явля ется чнсло I» (ряс. 138,а), ндв чвсло если j4, Д ] I £ (рис. 138. б). Рж-138. П(жи'кции вехторм во (к:ь 19.3. Применение коллинеарности векторов СвоЗства я признаки коллявеарных векторов 5 X02S решения задач чаще всего вспользухггся в таких случаях: 1) для локазательсгва пара.!лельности прямых (лучей, отрезков) — в этом случае надо доказать, что векторы, лежащие на данных прямых, колли-кеарны, а эти прямые не имеют общих точек; 2) для доказательства принадлежности трех точек одной прямой — в этом случае пользуются те.м. что принадлежность точки С прямой ЛВ следует из коллинеарности векторов ЛВ и АС; 193 ГЛАВА V. Векторы на плоскости б Рис. 135. (Ок(Ж‘шит>) Рис13б Поскольку т.Фт, то а = — ----Ь, т. е. векторы _ _ m-m, а п Ь коллинеарны, что противо])ечнт услошно теоремы. Значит» раздоженне с^та-\ пЬ сдииданш-ное. 1И Иа практ?1ке длил ра«.иож«Н1^л ueat'j'opn Jio д**у)« неколливеарннм векторам можно иож).«1>аовать пт же правило параллелол’рамма. Д.»л wj'uro даншло векторы Ь я с откладывают от одной точкм (рис. 135, (У) и проводят чере» конец иокч'ора с Н1>я-мые, параллельные век'1‘орам а н Ь. Зодочо Точка пересечения отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон четырехугольника, совпадает с точкой пересечения его диогоналей. Докажите, что данный четырехугольник — параллелограмм. Решение Пусть диагонали четырехуголшима ABCD пересемок7та1 в точке О, точки М и N — середины сторон AD и ВС соответстзенно (р^лс. 136). Обозночим о ^ ОВ. Ь = бС Тогда = Поскольку Об*, а. 6а*,Ь. то Обзте, ОА~гЬ, следовательно. ОМ ^(бб-ОА| = •i(mo-*-nb), где тип — некоторые число. По условию задачи векторы ОМ и ON коллинеарны. следовательно, OM = kON , ьши —(ma*nb) = y(a>b) Отсюда (к-т)а =(к-п)Ь- Но поскольку векторы о и Ь неколлинеарны. равенство возможно только при условии к = m = п. Следовательно, ВС = В - о . Аб»к(Ь-а), т. е. векторьз ВС и АО коллинеарны, откуда ВС ЦАО. Аналогично можно доказать, что АВЦСО. Таким образом, АВСО — параллелограмм, 192 ГЛАВА V, Векторы на плоскости 3) для доказательстла того, ато нек(Г1’01)ая 'jxama делит данный отрезок в заданном отвошенни (в стности, является его серединой) — в этом случае используют соответствующие векторные равенства. Зодоча Докожите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции и середины ее оснований лежат на одной прямой. Решение Пусть в трапеции ASCD точки К и L — середины основоний ВС и АЬ соответственно, S — точка пересечения прямых АВ и CD (рис. 139). Докажем, что векторы 5 К и SL коллинеариы. Пусть и Тогда 5К«|-|а + 6). Поскольку ADIlBC, то ASAD*'»ASBC по двум углал^, следовательно, — S5 —вк. откуда 5А = ко, S5 = kb. Имеем SB SC SL = (зД + s6)~ (ка + кВ) = к • (5 + В) = ksK т.е. векторы SK и SC коллинеарны. Это озночает, что точки 5, К и L лежат на одной прямой. 19.4. Применение скалярного произведения векторов Скалярное ароиззеденне векторов целесообразно нспатьэовать в таких случаях: 1) для доказательства перпендикулярности прямых (лучсЁ? отрезке») — в этом случае достаточно показать, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю; 2) для нахождения длины отрезка — для этого вектор с, который изображается искомым отрезком, раскладывают по двум неколлинеариым 194 § 19*. векторный метод Л С Рис140 векторам а. и Ь (при этом |а|, |й| и z(aj>) до.; -I* ДО.ЯИСМЫ быть известны) и находят с =|с| ; 3) для нахождения величины угла — и атом случае векторы, которыми задан искомый или дан-из>1Й угол, раскладывают но двум неко.11Линт»1м вок'з'орам, длины или отношение длин которых из-jjecTHbj, и вычисляют косинус искомого угли, Задача Найдите угол /лезду 6оксш.ш сторонами |)(имю6сд" ремного треугольника, если мсдиан1д, проиедсицьхй к боковы/л сторонам, взаимно перпендикуляриьт. Реи1ение Пусть дон равнобедренный треугольник АВС с ос* новонием АС, АЕ и CD — медианы. АЕ1 CD (рис. 140), Пусть e = BD и 6 = ВЕ. Тогда Й5=а-2Ь, АЁ= Ь- 2о. Поскольку по условию AE-LCD, то АЁ П>=зО. т.е. (о-2Ь)(5-2а)=0. Учитывая, что !с.= .Ь и о Ь = [о' ibicosB. имеем: а Ь-2^-гЬ%4а ь = 0. 5а Ь-25*-2Ь‘ = 0. 5 а ' CCS3-4 = 0. cos В = 4- о Следовательно. Z3 *= 37®. От«г ^37" Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 657. ,1]д1аы иеколлинеарные векторы а и Б. Равны ли векторы За + 7& и 7fr + Зо; а 26 н 2Ь - о? Есть ли среди данных векторов коллингарные? 658. Назовите: а) координаты вектора а. если а=-3е,-г8е1; б) кооффиш1еаты т з п разложения а-те^ + пе^, если а(1; -2). 195 ГЛАВА V. Векторы на плоскости ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 659. Докажете векторным методом свойства средней линии трапеции. 660. Докажите векторным методом свойства средней линии трсугодь- ITHKII. ^ 661. Докп5Кнте векторнхлм методом, что диагонали ромба перпендикулярны., 662. Докажите векторным методом, что диагонали ирямоугол1>ииии раины. уровень Б 663. Докажите векторным методом, что сумма квадратов диазюналой |1а])пллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. 664. Дохсажите векторным методом, что если две медааны треугольника равны, то этот треуголъншс равнобедренный. 665. lin стороне AD и диагонали АС параллелшрамма ABCD отмечены соответственно точки Af и так, что A3f =—AD, АЛ’АС. Дстажите, 6 7 что точки М, .V н в лежат на одной прямой. 666. В прямоугольном треугодьЕике АВС (2! В =90") на катете ВС отме<1сна точка К так, что СК :КВ = 2 :1. Докажите, что се|>едяна медианы ВМ лежит на отрезке АК, Уровень В 667. В треугольнике АВС (рис. 141) АВ= ВС, BD — высота, DK .1 ВС, DM = МК. Докажите, что ВМ X АйГ. В Рис 141 668. Докажите, что середины оснований трапеции н точка пересечения ее диагоналей лежат на одной прямой. 196 § 19* Векторный метод 669. Отрезок BD — медиана треугольника ЛВС, ZZ)BC = 90®, BD^ =----ЛВ . Найдите угол ABD, 4 —^ 670. Найдите длину мелианы AM треугольника ЛВС. еслн АВ= 10, i4C=6. г ВАС = 60\ ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § 20 Теоретический материал основные геоме1’рические фигуры на плоскости; г\ 7 класс, § 1 у 7 класс, § 4 • параллельные прямые; • пдииаты н длину нек-тора АВ. 2. Дан1.1 векторы а(04 4) и Й(-3; -2). Найдите жп<тор e = 2a~h, 3. И П1)ямоугольнике ABCD ны1)азите нок'1'0))ы АС и BD через векторы я = АВ и Й = ВС. 4. Найдите значение л*, при котором векторы я(.т; 2) и 5(-3: 6): а) каллинеаргы; 6} першшшкулярыы. 5. В равносторознсм треугольнике АВС проведены меяганы АЛ/ и BN. Постройте векторы AB+j4C, АЛ/-ЛЛ*, —AN -—АС. 3 2 6. Определите вил четырехутольЕЕгмь ABCD. если .4(0: -2). В(0; 1), С(2: 2). Ш: 0). 1Q7 Итоги главы V итоговый ОБЗОР ГЛАВЫ V Векторы а = ЛВ Вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок. для которого указано, какой из его кондов является началом, а какой— концом. Координатами вектора с началом у^) и концом называют числа и a(a,;Oj.). Длина вектора a(aj;«j.) вычисляется лоформуле Иеиулевые jjeicj’opw называются конлинеарнылш, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы АВ и CD называются сокопровлемными (нли одинаково направленными}, если лучвАВ и CD сонанравлены. Векторы АВ я ЕР называются п-рот.и.во7и>ложгно на- ABUCD, AB^iEF правленяыми, если лучи ЛВ и EF противоположно направлены а Й Противоположны-мн векторалт называются два противоположено направлоииых ueici'opa oniwaKojjoW О длины Два вектора иазывазотся равными, если они совмещаются параллельным переносом. Саойслгва и признаки равных векторовг • Равные векторы сонаправл(Ч1ы и имеют равные длины. • Если векторы сонанравлены и имеют равные длины, то они равны. • От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. • Равные векторы имеют равные координаты, и наоборот: если у векторов соответствующие координаты равны, то эти векторы равны 198 Итоги главы V Действия с векторами ГЛАВА V. Векторы на плоскости Умножен^иевектора на число TfUi X li > о, то HOK'j'Op ha сд)шш))«»лея) (.11)окто1К)М а if «1 X Дга, С5СЛМ л <0, то вектор ka протявоположно направлен с вектором а ПроизведеиисАьвектори а{а^\ а^) начш> ло к (или произведоииом числа h па иок-тор а) называется исктор /.ч/ = (Л«,; ha^)'. 1ш к{а^; щ) = {Щ; ) | ha-1 = | /г. || а-1 Если а и й — колл1'Шса])ные нокторъ], то feyiij;eoTj}ye*r число /?, такое, что = li наоборот: ослш для ноиуловы.?; nexwpon й-и Ь вхлгюлилотся равенство /5ь=/г.«.»то вееторы а и к кол,линоа))ны. У колливсарвых векторов соствстствую* шве координаты пропорхцюаальяы, н наоборот; есдн у двух векторов соотвегству' к»щне координаты прО]юр1июнальны, то эти векторы кодлннсариы Скалярное произведение еежторое Скмгрныж произведением а Ь векторов а(о,; о,» н называется число а b = Oji\^aJ*^. Скалярное пронаведеане а-а называзот скалярным квадратом^ а =о, -i-aj'=;a . • Скалярное произведение векторов равно пронзве* декню На длин на косинус угла между ними: а & = 'а‘ [ft! cosj^fa.fr]. • Если а н & — ненулевые векторы, то cos Z(o^d) = У" f. аМ& ZBAC • Свойство и признак перпендикулярных вектО' ровг если а J.6, то а-6 = О, н наоборот: если для ненулевых векторов а я Ь выполняется равен* ство сд = 0, то аХб 200 Итоги главы V о о КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ V 1. AaiiTe опроделеиие вектора. 1Сак нзображяю']'ся пе]СТО])ы? 2. '1то такое длина вектора? Какой ueic'j’op называют пуловымУ 3. Какие век']'о]>ы называют еонаправленными; противонолоисно на-правлеииьши; коллинеарным и? 4. 71.айте определение равных векторов. 5. 1Снк оиред(*лить координаты вектора? Какова связь между ксюрди* яатдми равных векторов? 6. Данте определение суммы двух векторов. Опшннте слособы построения вскто]18-суммы. 7. Дайте определение разности двух векторов. Опишите способы nocvi'pooi t и я век']’0)>а-разпости. 8. Дайте опрсде.'1енио произ1Юдения вектора иа м]1Сло. (J(])opMy.nHpyjVj’o тео))ему о длило и направлении векто])а ha. 9. ДаЙ‘]'(! определение скаля1)ного произведения векторов. Кик определяется ушл между векторамнУ 10. Сформулируйте теорему о о]а!ляриом произведении во1сторов. Сформулируйте свойство н признак перпевдикулярных векторов. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V 673. Диагонали четырехутольннка ASCD пересекаются в точке О, причем OA-^OCtiOB-^OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм. 674. В прямоугольнике ABCD АВ-Ь см. ВС =15 см, О точка пересечения диагоналей. Найдите \ ав^АВ- DC-OD 675. Докажите, что в параллелограмме АВСЛ АС+ВЛ = 2ВС. 676. Докажите, что точки А(8; 0), В{4; 1), С(0; 2) лежат на одной прямой. Какая иа этих точек лежит между двумя другими? 677. Дай вектор а(1; -2). Найдите координаты вектора б, если а Ь 10. а векторы а в Б кодлинеарны. 678. Дппы векторы л(-1: -2) и Ь{—2; 1). ГСнкие углы образуют эти BCJcropia г вектором а 4- Б ? 679- В ромбе ABCD АВ-6 см. ZA=120®. Найдите скалярные произведения CB CD, АС АВ а AC BD, 201 ГЛАВА V. Векюры на плоскости 680. ()п1)1*дрпмн а и Ь осч’рым, прямым или тупым, если р|>|а.|, а векторы «-2/) и ачЛ периеидм-иу.чярпы. 681. Докижите векторное неравенство ^ киком с.<|уч«е имеет ))пнон(;тво? Задачи повышенной сложности 682. ДмII 11рои«вольш>п'5 треуголы-жк АВС. Докажите, что вок* тор , — rt-■ >1/i-I ■, ^.тт'Ж нащ>йв.мен вдоль Гш(ч:ок.тр)4оы угла-4. АН\ \Л0 202 683. Дпи правильный До1<:а>китс» чт сумма гг кек-торол с начллом II ueiiT|№ этого /г-угольннка и концами в eix) вершинах равна нул<л1ому нсктору, 684. Точка О — центр окружности, оиисанной около треугольника АВС, а ТОЧ1СП И удо1ии>творяет вехсторному равенству ОИ =ОА+ОВ+ЬС. }\ркпгкип\ что И — ортоцентр треугольника АВС. Сформулируйте U докажите обратное утверждение {формулу Гамилыпини). 685. Локпжите. что в треугатъннке АВС ортоцентр Н, центроид Л/ и центр описашюв окружности О лежат на одной прямой (лрялшд Эйлгра), iipH^ieM МИ = 20М. 686. Точки Л. Л я С \*ло5.тетэсф£кзт раветотву АС^'*-ВС^ = —АВ^. До- — — - 2 ь:джите. что АС - ВС—0. 687. Найдите углы ме;кнт ралнусахн окружности ОА. ОВ в ОС, если ОА + ОВ + ОГ=г6. 688. Докажите векторньгм методом, что сумма квадратов диагоналей трацецнн равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным про1тедрнием оснозанни. 689. Точки Л/. .V н К лежат на сторонах ЛВ. ВС н АС треугольника АВС сш»твстстн(М111о. Докажите, что прямые АЛ', ВК и СЛХ пересекаются н одной т<н1ке тогда и только тогда, когда AM BN СК = ВМ CN - АК (тгорлло */евы). 690. Докажите, что угач межд>* прямыми /, и заданными уравнениями а,д:^6|У + Cj = О и а,х-^б,р-г с, = 0 соответственно, определясггся НЗ ||к»рмуЛЫ COB^(/.,L)=- . л/^7^ Итоге*’ V ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА -пес ^ 3€<“ccv ' . Ma“rV*cTV*’ |г. до и.-?.). В геометриником и(.чма1с*-;5 НИИ, в том виде, в kotoi;>om т'О изложил Евклид, слежение и вычитание чисел сводилось к соответствующим операциям с отрезками, л умможе- j 1-1ие — к построению прямоугольника (.о сторонами, длишя которых равнялись множиюлям. В XIV—XVI в. геометрическая алгебра из-за ограниченности средств исследования почти не развивалась. Однако в 1587 г, фламандский ученый Симон Стевин (1548—1620), рассматривая сложение двух сил е работе «Начала статики», пришел к выводу, что для определения равнодействующей следует воспользоваться так называемым «параллелограммом сил» Для о6ознзче!5Пя ’ ип Стевин первым ввел отрезки со стрелками 3 ^j->v^TenbHO позднее, в 1803 г., французский Луи "'/з-‘СО "’"^—1555! paap^-f "*а.‘ ссии,- se*. ■ороз. -:о:Ли-.?= -'сследовс--,*- _ ----и-оз. Дальнейшее развитие векторною метода связано со становлением аналитич* - кой геометрии л теории геометрических преобразований. Вектор аВ стали рзссматрива’:; ‘’з> лзраллель-■ nepe^cic, который задан -:зчал- "ол точкой Л п ее образом В. Со зен менем со(- -.с'- :эуоший ■;ia дел математики тог; - ч' на.-еч и ‘?1'>ктооная алгебра* у I Евдокс I- - Симон Ст<>В1 А ГЛАВА V. Векторы на плоскости ТЕМАТИКА СООБЩЕНИЙ И РЕФЕРАТОВ К ГЛАВЕ V 1. Иоктораое произведение векторов. 2. И#*кторЕые определеяня геометрических преобразований на плоскости. 3. Радиус-вектор точки. Проекшея вектора яа ось н ее применение. 4. Применегие векторов в естественных науках. РЕКОМЕНДОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ 1- Лтанасян, Л. С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику В класса [Текст] / Л. С. Лтпнасяп, Б. Ф. Бутусов, С. Б. Кадомдеп, С. А- Шестаков, И. И. Юдина, — М. : Ви'гапресс, 2002. 2. ]3урда, М. I. Геометрхя. 8"0 класи: П1дручник для загальноосв1т. инвч. закл. [Тек:ст] / М. 1. Бурда, Л. М. Савчотсо. — К. : Осв1та, 1096. 3. (Сушнир И. А. Координа^'пый и пскторный методы решения задач (Текст] / И. А. KyiuHHji. — К. : Acjapra, 1996. 4. . К’ушнир, И. А. Вектор)1ые методы решения задач [Текст] / И. А. Кушннр. — К. : OOopir, 1994. 5. Математична хрестома-пя для Q—S клаезв. Т. 1 [Текст]. — К. : Рад, шк.,, 1968. — 320 с. 6. Математнчна хрестоматЬ! для старзни.х к.часш, Геометрзя. 2 I'JVkct] / уноряд. Л. В. 1?.оваш1.0)т, — К. : Рад. шк., 1969. — 383 с. 7. Понярнн. Я. П. Планиметрия, преобразования плоскости. Т. 1 [Текст] Я. П. Поварни. — М.: М1ШМО. 2004. 8. Прасолов, В. В. Залачп ш> планнметрнв. Ч. 1 [Текст] В. В. Прлсо* лов. — Нзл- 2-е. перераб. я доп. — ^L ; Наука : Гл. ред. фвз.-мат. лит„ 1^56- — 320 с. — (Б-ка мят. кружгса). 9. npacaics- В. В, Залечи по олдявметрни. Ч. 2 [Тосст] В. В- Прасоле©. — Изд. 2-е, перераб. п доп. — М. : Наука ; Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. — 320 с, — (Б-ка .мат. кружка). 10. Интернет-библиотека МЦНМО. https://ilib.mirrorO.inccme.ru/ 11, Сайт вилавництва «Ранок*, https://www.ranok.com.ua 204 6.5-■ За основу в геометрии принимается чистое созерцание пространства. Иммануил Кант, немецкий философ До атх пор предметом нашего рассмотрения были фнгуры одной пд1Н’когтн. В старших классах вы будете основательно изучать ctne-уеометрию раздел геометрии, в котором рассматриваются фнгуры II iipocTjwiHirrBe. Немало свойств геометрических фигур, известных вам из курса планиметрии, сохраняются также н в пространстве- Поэтому знаком* гтио го 1ггергч>М€трией поможет вам лучше обобщить нз>'чеиный мате* риал ку1*са планлметрни. К тому же, повторение курса 7—9 классов OvAt’Vi' молмииым назсшухге мтогрвой атестацда. <)'н-тид|‘Ш, что в иожшт об'ьоме миу'шть весь з<дас‘ сгореометрм» »п ]1С(:к’.()лп>к.о уроков швозмош-ю. Jloimwy носледахяп глава учебника 11)))1иииним.|)Ы1о о'1УиШей^51 от предыдущих — оиа п]>едста)1ляет собой (;лоео01>аш1ый сжаз?з>1Й обзор itypca геометрии 10—12 юшсооп, В ат()Г() 0().1п>ижнет)ю утв^ждеиий п этой главе будуз' ])ассыа'з’1>иватз»оя боа док.аза')’ольотл подробнхдх o6o(iHo»a>nd'i^, а отоШьт поилтш! будут пж)дмт]*сл нагллдш-)» без стро.т'их опреде*’^сххх^й. Увлека'зТ)льхп>зй гфострамотвенных фигур иелрешнно «аииич)-pecyci* нас и удивит неожиданным сочетанием нового с хоропю известным ведь этот мир является отражением мира, окружащего нас. § 20. Прямые и плоскости в пространстве Рис. 142. С Рис 143. IL4ocKor«, а Стереометрия г1мес‘ — тел Рис. 144. Пря.маяи лежит в плоскости п 20.1. Основные геометрические фигуры в пространстве Как известно, основными фигурами но пло' скости ЯВЛ1ЯЮТСЯ точка и прямая. В пр<п;транствс в ШАчеотве ocHOBMoii ф)й).у))эо )лниэдатрнвйеи*оя гшк1сттъ.. Пл.осхосу'ь в п):)о;и*/га-Илм' ется как неограничсшии!, пдсп.чьио п.чоская по-»0))хносх1> — наглядным ]7рнмом Moiy'j’ (;.муя^ить поверхности 0Сс))а (рнс. М2), стола, зеркала и *г. п. П» 1Л4еупках будем нзображат)> лихиь лао*п> плоскости в ВЙДе ПврНЛ.11СЛ0Г))ПМ,М» {)>ИС. 14'8). !li.llOCKOCTH обычно обозначаются малыми 1'реческими буквами а, р, 7 и т. д. Итак, оеновгиями фигурами в пространстве являются точка, прялсая и плоск9>стъ. Расширение перечня основных фигур требует введения новых аксиом н доказательства теорем пр11надлеж-ностн точек и прямых плоскости. В частности, какова бы нм была пяосккють, существуют тонки, принадлежащие этой плоскости. и тпочки, не принадлежащие ей. 'Гак. нл рис. 143 точки j\ п D принадлежат ллог’гослш Q* а точки В ж С не пршю^лвлшл плоскости а. Прннадлежвость точки Л плоскости и обоза.* чают такс .А ч- Еелн каячдая точка прямой а нрни.-^ плоскости а. то говорят, что прялсая а лежит б плоскости (X (и.пи принадлежат п.яоскости и.). При этом если две тонки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости (рис. 144). Принадлежность прямой а плоскости а обозначают так: аса. Отметим, что две прямые в пространстве называются параллельнылги, если она лежат в одной плоскости и не пересекаются. 207 ГЛАВА VI. Начальные сведения из стереометрии В Единственную плоскость можно провести: • через две пересекающиеся прямые (рие. а); • через две параллельные прямые (рис. 145, • через прямую и точку, не принадлежащую этой прямой (рис. 345, в)\ • через три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 145, г). В .тюбой плоскости д;1я точек, прямых, отрез-KOJJ, углов и т.п. выполняются ]КК1 аксйомы и теоремы ллйшшетрэйи. К’роме того, опрсделевял равонства н подобия, а также з'оометричоских преобр<кЮ1тхжй параллолвного’ аюрепооа) для фмгу)> в 1аростраш!У’)зо ююдятся '1'аз« же, к-ак и иа а (&оо'1‘»«т<’.ч*11уюз.дйо свойс'з’ва <5oxpaiwjK)'J4oj, Рис. 145. Фигуры • пространстве, определя-ЮИМ1С едяяствеялую пдоскостъ 20.2. Взаимное расположение прямой и плоскости в случае, когда две точки прямой лежат в данной плоскости, все остальные точю< прямой также лежат з-этой илоскости. Существуют еще два случая взаннногб расположения пряной и плоско-стн: пересеченне (пряная я плоскость имеют единственную общую точку) и параллельность (upHsuii я плоскость не нмеют общих точек). Таким обралш. прямая а /1е5-оскост75Ь Ц.Ш адролледьяъ1. д.^д аересакаюл!' ся, или прямая лажит я плоскости. Все случав ^таиынотх) ресположенгя прямой в плоскости представлены на рве. 146. 11арал.т&1ьао^гъ прямой а н щдоскости а обозвачают так: а < Прямпя лежит в плоскости Прямая пересекает плоскос-п. ^ у Прямая параллельна плоскости а / V / / а 7^ 6 в Рис 146. Пяйнмпое рвеположеши; прямой а плоскости в прострппстпе 208 § 20. Прямые и плоскости в пространстве Рис. 1^7. 11)>импл« идосногтя U Рассмотрим частный с.пучай пересечения прямой а с ПЛОСКОСТ1ЛО (/.. когда прямая а перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости (X и проходит через точку Л — точку пересечения прямой а и плоскости (Х (рис. 147). В атом случае )ч)лорят, что щишан а перптдшсулгЯрпи ияосшсти о: (пишу’!' так: а.1.(Л). Отрезок ВА прямой а, од]1мм из кшщол которого являоте51 ччучт шфепочония а. и а, шп*ьг waio'j' tiepjiendiiityjuipojUf проведешшМ' из точки В к ияостсжи- ttf а д.иину итого перпшдикуля1)а — расстолу11*^м. от точ.ш1 В до пяоскоепт (х. Заметим, что п])и постробнни перосекаюпр^Х" СЯ прямых и lI.iJOGKOC'i'CH мы СЧИ'1'ПеМ ПЛОСКОСУ'И непрозрачными, т. е. используем для изображения невиднггых частей аткх фигур штриховые линии. Так, на рис. 147 невидимой является часть прямой а. Рис 148. Прямые а и Ь ск рощи ва ющнеся 203. Взаимное расположение прямых в пространстве Как известно, две прямые ва шюскоств либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве возможен еше ojibh случай взаимного расположен вня прямых. Пусть прямая Ь лежит в плоскости ct, а гфЕмая а пересекает згу плоскость в точке ^4. ве ириналлежашен прямой Ь (рис. 148). Таким образом, прямые п н ^ не вмезот общих точек, но ве являются параллельными, поскольку не лежат в одной плоскости (т. е. невозможно провести п.ю* скость, которая содержала бы обе эти пря.чые). В этом ояучае прямые о и 6, которые не пересекаются й Ее лежат 3 одной плоскости, называются скрегиивающи.чися. Таким образом, две прямые в пространстее либо пересекаются, либо параллельны, либо скре-щиеающиеся. Все случаи взаимного расположения прямых в пространстве можно представс!ть в виде следующей схемы. 209 ГЛАВА VI. Начальные сведения из стереометрии 20.4. Взаимное расположение плоскостей Рис-149. Отрезок АВ расстоявшг между пвраллельиымн олосхостями а я р Рис. 150. 11лоск<н'ти а и Р пересекаются по пря.мой с PaccMO'i'piiM плоскости (Х и (5, не нмеющнс общих точек (рнс. 149). Такие плоскости иазышиот параллельными (пишуть так: а Ц р). Перпендикуляр, проведенный из любой точки одной из атих плоскостей к другой, является расстоянием между параллелшыми плоскостями. Рассэ50трим теперь cny'iafi. когда плоскостя а и р имеют общую точку С (рис. 150). Наглядное представление о таком расположенин плоскостей зсожно получить, если вместо плоскостей аир рассмотреть две страншш тетради или книги. Как видим, общая точка двух плоскостей не является единственной — плоскости и и \\ имеют оГ>п\ую прямую с, )соторая проходит 4ej)c:t точку С. Иначе говоря: плоскости, а и Р пересекаются по прямой е (обозначают так: а п р = г), Итак, еслк две равные плоскости имеют оби^ю точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Таким образом, две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются по прджой. 210 § 20. Прямые и плоскости в пространстве Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 691. Верно .та, что: а) любые три точки пространства лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки пространства лежат в одной плоскости? 692. Сколько плоскостей можно провести в пространстве: а) через пронзюяьную прямую; б) через прямую и точку, не лежащую ва этой примой; ») т параллашыше прлмыо; г) че)>ез две скрещннаюхдиеся П1)>1мые? 693. 0л1>сделите, лен<ит ли т})еуго.чышк ЛВС в л.чоекос!’» (х, если; а) вершины т))оуголышка лежат в п.тюскос']'и (х; б) сторона АВ лежит в плосжости а; 1з) медиана AD лежит в п.иоскости а; г) медиана AD и вершина С лежат в плосх<осл’И а. 694. Одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоскенти а. Мо>к<*т ли вторая прямая также лежать в данной плоскости? Почему? 695. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку; только две общие точки? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 696. Начертите плоскости а и Р, пересекающиеся по прямой с. а) Проведите прямую /, которая п^>есекает плоскости а и р, но не пересекает пряэсую с. Определите взаимное расположеяне прямых / не. б) Проведите npaM>40 а, которая лежит в плоскости а н пнрал* дельна прямой с. Как расположена прямая а относительно плоскости ^ 697. Начертите треугольник АВС и отметьте точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. а) Как расположена прязсая DA относительно плоскости треугольника АВС? б) Как расположены прямые DA и ВС? 211 ГЛАВА VI. Начальные сведения из стереометрии О ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 698. Точка А не принадлежит прямой а. Будут ли все прямые, проходящие через точку А и пересекающие прямую а, лежать в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 699. Прямые а н Ь пара.плельны. Будут лн все прямые, пересекающие обе дпнные прямые, лежать в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 700. Точки О общей точкой прймзлх Ь >5 с.-Оззч1^йот ли ?т>, что прятт cs, ^ к с яе^кдт к одной плоскости? Сделайте ))иоуш)М-. 701. Чс]>с» В и, С )1])охолят л»е разные плоскосл'И. Лежит .нм •j’OHKU С МП прямой ЛВ7 Отвел' o6oямые Ь и с ие пересюкаю’З'ся. 713. Лоз<аМ1:1т\ чч'О чорги точку вне данзюй п.чоскхк'тн прохщзп’ боль* ше одной прямой, псрпсыдакулярвой даввон плоскости. 714. Прямая а перпендикулярна плоскости а н равноудалсна от точек В II С, лежащих г этой плоскости, причем прямые а н ВС пересекаются. Найдите расстояние между точками В и С, если т«>чкп А прямой а удалена от этих точек на 13 см. а от плосяосггн а — на 12 см. 715. Отрезок АВ — перпендикуляр- проведенный из точки .4 к плоскости а, точки С и В лежат з плоскости о. Лежат ли точки В. С и /> ид одной прямой, если ЛС= 25 см, ЛВ = 17 см, АВ =15 см, CD = 28 см? 716. Прямые а л Ь пересекаютсн. а прямые бис паралледы1ы. Могут ли прямые дне быть параллельными; пересекаться; быть скрещивающимися? Сделайте рисунки. 717. Прямые АВ и CD снрешиваюшнеся. Докажите, что прямые АС и BD также скрепшваюшнеся. 718. Плоскости а и ^ параллельны. Д<жажите, что любая плоскость, не параллельная данным, пересекает их по параллельным прямым. —^ 719- Докажите, что параллельные плоскости отсекают на пересекающих нх параллельных пряных равные отрезки. Уровень В 720. Плоскости а н р пере<^каются по прямой АВ, а плоскости р и у — по прямой ВС. Лежит ли точка В на прямой АС? Сделайте рисунки. 213 ГЛАВА VI. Начальные сведения из стереометрии —^ 721. Плоскости аир пересекаются по прямой г. Плоскость у пересекает эти плоскости по прямым а и 6 соответственно. Докажите, что если 14) каждая из зтнх прямых параллельна прямой с. ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § 21 Теоретический материал прммоугольмый с ^ класс параллелепипед и его объем; • понятие площади; (й класс, § • площади миогоугольннЕОВ. 8 класс, § 16,17 Задачи 722. Найдите площадь пряэюугольного треугольника с гипотенузой 12 см II остръш углом 30^ 723. Площадь прямоугольн<^ трапепнв равна 24 от. Вольшее осяова-ние равно 8 сх. а меньшее осншаняе равно меньшей боковой стороне. Найдите острый угол тралгшг. § 21. Многогранники cor о призма — от греческого «призма» — ра«: (и'|Г4'»»ная Рис. tS2. Приз-ча /< 9 »#55' '1 1 / , ! t \] • J • 1 «1* t I ISSI*' Рис. 153 21,1. Понятие многогранника. Призма Среди пространственных фиг>'р, изучаемых в стереометрии, отдельную группу составляют гео-метрические тела. Наглядно геометрическое тело можно представить как часть пространства, огра-НЕчевную некоторой поверхностью. Рассмотрение геометрических тел начнем с ли4огогракккк-ов — те.п, i^oBcpxjwcTb которых Cimnnn из КОНОЧШМЧ) чиичп 1).ирс)!МЙХ MHOroyj'OJlb-нг^кок, т. е. млогоу1Ч).>п>вмк(>в с: их лнучреимимн O^mivrsmn (рж;. 151). Эти плосяше мно1Ч)уго.1п>лн-кш называются аршьят-и^ их. оторо" HBI — ребрами- ми-огограиишш-, а воршмны — оер-шшШ'Ми миогограншта. НплримС)), многогранник на рмс. 161 имеет 6 Г1:)ахзей, 9 ребер и 6 воршми. Рассмотрит твотчн'рпиник.» по1*<)]>хж)с*гь j ' 216 1) 2) 3) основания призмы равны и лежат в параллель-ных плоскостях: боковые ребра призмы параллельны и равны;, боковые грани призмы — параллелограммы. Приззса назызаетгл пряхой, если ее боковые ребра перпенднкуля))11Ы плоскостям основлпий (ряс. 154. а); в противном случае призма назылется паклотюй (])ис. 154,0). Омеплдпо. что Ооконые rj^aiiw прямой призмы - 1]))чмоуго.»и>пх4ки., а равна боковому ребру. П));(му)о и))изму, осшжаим-ямн которой лвлягот(;я ирмии.«ы1ые Miioroyi’O.tnair)* ни, дхазьшают щтшлшша при-змой. Боковые )‘))»дли правильной ирязмы • ирчмоуз'олышки. Среди всех призм и отдельный, вид выдр .чи)01’ те, основания )-;()торз>)х яв.ияются impibUjic лограммам14, — такие ирмзх^ы называют па раллелегшпадами. (]жс. 155). Все грани парал лелепипеда являются шфаллологрпммами* примем противолежащие грани ■ равные нараллелод'раммы лежаище в параллел1»ных плоскск'гТях. Параллелепшхед нязывлется прямоугольным если все етх> граззи — прямоугольники (рис. 156. о) Стороны основания и бокожю ребро прямоуголыквхд параллелепипеда, исходящие из одной точки называют его измерениями и о6озвачак1т со ответственно а. Ь и с. Белы все ребра пряь5оугол1.пого паралле1епппеда равны (т. о, все грани — квадраты) такой параллелепипед пазываето* кубом (рис. 15(i. б) Площадью боковой по«г/>д:мосши призмы (обо значается называк»т сум.му ш'ющадей всех ос б<жо вых граней, а плогцадью полной понерхгюсти (о6(К1на чается S_ . J — суммл' площшюй всех ее граней: = = ' к-^ощадь основания призмы Теорема (формула площади боковой поверхности прямой призмы) Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на длину бокового ребра: Лг* ма где Р — периметр основания призмы, Н — боковое р^ро § 21. Многогранники Пароллелепипсд ^ от гречегкого «парил-леломипедон» — на-рдЛЛОЛЫ1гИ1 ПЛ<>(К(>Г11.> Доказательство □ Пусть ffj, ...» — стороны осиовпния прямой призмы с боковым 1>ебром И, Поскольку ее боковые 1'рани — прямоугольники, то = ' а^Н +... + аД = («., I-н-... + «.„) • И = -"п. Ш I I Задача | | j НоЙдите площадь боковой поверхности правильной |Четырехугольной прмзмьх, диагональ которой рорна d (И обр1а5уёт О брковьх^ реброл^ ушл.сх, j I ’ ' ' i ‘ Решение ’ ' |Пустц ABCMjBjCjb, —1 данная npизA^al (рмсЛб7Х Вр = d — ее диагональ. Z ВВр - а. Найделч площодь боковой поверхности призмы. ' Из треугольника BBjD (^В = 90*‘, /^В, = а, B,D=d) BB, = doosa, BD = dsina. Поскольку ДОННОЙ призмо прав1^ьной, то ABCD — квадрат, т.е. из равнобедренного прямоугольного Л треугольника ABD AB=BDcos45'', АВ=.—dsino. Тогда P^ = 4AB = 24^d5ina, = ВВ,, 5^ =2v5d Sin а d cos а = Z\^9. MrmuvroKiK* ппрлмилы Апофекла г Рис. 160. ПрАкалкимя четырл1.11пл пирпмилп ее боковой поверхности равна сумме площадей п треугольников с общей вершиной Р боковых граней пирамиды. Перпендикуляр, проведенный ив вершины пирамидь! к плоскос:’1'м ое оеж)вш1ПЯ, лв.?1я<т‘<я 1шр1шиды. В '1»ст1юол‘и, ии])а- МИДа на рис. 158 Hwoo-i* высоу'у РОу к(>то),>ая по]>' Ж1нлик.уля;риа з1лосзс<)сл'и ЛВС, C.1I0B0 греческого н)К)исхождення* й сооружением ве.чнмее’3’вснных ззиралоид лросдн-вилмс1> древние ез’и^лтяне ()жс. 159). Пзфамида навалшеи-ся прааильшшу если основанием яв-влется нравилыппй мпогоуго.мы1ик, а основание высотз»! совпадао'г с uoh'i’jjom этого MHoroyi-ольннкя. На рис. 160 ивображепа ззравн.’зк-иоя четырежугольная пирамида РЛВС.1У, ее осиошг ние — квадрат ABCDy а осповапио ее высоты точка О — точка пересечения дня1чн1алей artii'o квадрата. Все боковые ребра правильной пирамиды раины. все боковые грани — равные гшнлобедремтпае трсугодьЕики. Высоту боковой грани правильной пирачклы. проведенную нз ее вершины, называют апофемой. Так. на рис. 160 отрезок P.\f — апофема празяльнон пирамиды РДВСП. Очевидно, что вса' апофемы праггльнон пирамиды равны. Теорема (формула площади боковой поверхности правильной пирамиды) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания на апофему: = i I. где — периметр основания пирамиды. I — апофема. Доказательство □ Пусть основанием правильной пирамиды является правильный п-угодьник со стороной а. Поско.тъку все боковые грани пн|№мнды равны 1 , и имеют площадь ->о/, то 2 218 § 21. Многогранно^ и = n-~al = — an t = ^P I, Ш •*"2 2 2 Площадь полно11 поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковой поверхности н основания: S Зодочо Найдите площадь боковой поверхности правиль* ной треугольной пирамиды с апо<ремой 4V3 СМ и плоским углом при вершине а. Рис, 161 Пусть РАВС — правильная треугольнап пиромида с реноваииел^ АВС (рие. 161). Paccмoтpмл^ 6oKouyf-o грань АРС и проведем, апофему РМ. По условию ■задачи Z АРС а, \Щ см. Поскольку треугольник АРС равнобедренный с основанием АС, то высота РМ является также его, медианой и биссектрисой. Тогда из треугольника АРМ «с (гМ = 90^ ^АРМ = ^. PM-An/I" см) имеем; AM = PMtgZAPM, АЛЛ 4^tg| 4л/3 tg j(cm). Поскольку АС = 2АМ, то АС = 2-4л/3 tg-^ = 8^3 tg-^ (см). Пойдем площадь боковой поверхности пирамиды: 5^=4 3 tg^ 4л.'3 =144tg^ (см^). Ответ 144 тд ” см- Рис. 162 21.3. Объемы призмы и пирамиды Вы уже знакомы с понятием площади как-числовой характеристики фиг%'ры на плоскости. Аналогичной характеристикой в пространстве является обьел — патожительвая величина, которая ставится в соответствие геометрическому телу. За еднннду измерения объемов принимают объем куба, ре^ю которого равно единице длины. Обычно объем обозначают буквой V* Представим себе, что .многограняик погр>'жак>г в сосуд с жидкостью (рис. 162). При 1ГГ0М уроиоиь жидкости в сосуде иодиимается. Объем жидкос/'и. T1Q fit ABA Vi. Начальные сведения из стереометрии вытесненной телом, можно измерить, причем он будет равен об'ьему многогранника. На основании такого наглядного представления рассмотрим об’Ы'мы призмы и пирамиды. Как известно из курса математики 5 класса, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его и.чмерений: V' = аЬс. По<;кол11ку аЬ плошадь основания параллелепипеда, то можно утве])ждать, что объем параллелепипеда равен пронзведенто плодндн его но вькюту. Оказываеа'ся, чую 'I’aK-fpi захсономерност)» оохра- АЛЯ любой гл))н:»мы. H'i’aK, объ(т яриалш. равен- ароашактшо пл-ощада аа отооштя па енсогщ/: Экспо)>имемта.иы1о можно усд'аношггь (а в cj'apuiwx классах ото будет докюнжо), чуч) ес.лп призма и ]1нрнмнда имеют равные ослона11ия и одинаковый высоты, то объем пирамиды втрое меньше объема призмы. Итак, объем пирамиды раееп трети произведения жлои^ади ее основания на высоту: V = —S. Н, Строгие обоснования только что приведенных формул представлены в курсе геометрии ст^пшх классов. Вопросы и задачи Ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 724. Определнте вил мвотоугольгика. который является основанием призмы, если данная пркзэга пмеет 8 гранен: 15 граней: п граней. 725. Сущегтвх'ет ли призэ^ которая имеет 9 реб^; 15 реб^: 10О ребер; 150 ребер? Определите завономе^ость. 726. Чем отличается; а) прямая четырехугольная призма от прямого параллелепипеда; б) правильная четырехугольная призма от прямоугольного параллелепипеда; в) прямой параллелепипед от прямоугольного; г) правильная четырехугольная призма от куба? 727. В кубе ABCDA^Bfi^D^ (рис. 16Э) определите взаимное расположение: а) прямых ВС и DD^; Л^В и С/),; A^C и В,О: б) плоскостей В|ВС и A^AD; Л^ЛС и B^BD. 728. Определите вид многоугольника, который является основанием пирамиды, если данная пирамида имеет 4 грани; И гранен: п граней. 220 § 21. Многогранники О 729. Существует ли пирамида, которая имеет 16 ребер; 25 ребер: 100 ребер; 101 ребро? Определите закономерность. 730. Точка О — основание высоты РО треугольной пирамиды РАВС. Является ли данная Ш!рамила правильной, если: а) точка О — д^тр окружности, снгасанной около треугольника АВСх б) т|)еугольник АВС равносторонний; в) точка О — деатр правильного треугольника АВС1 731. В пирамиде РАВС (рис. 164) определите взаимное расположение прямых: а) АС и РВг б) РА и ВС; в) АВ и РА, ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 732. Изобразите правильную четырехугольную призму АВСОА^В^С,/),. Проведите диагокалд граней ВД BCj и DC^. Определите вид многогранника BC.DC. 733. Изобразите гхразнльную треугольную пирамиду РАВС и проведите ее высоту РО. Соедините точку О с вершинами освоваявя А. В и С. Равны ли углы РОЛ, РОВ и РОС? ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 734. Найдите площадь: а) боковой поз^шюсти правильной шестиутольвой призмы со стороной осдс^анзя 6 см и боковым ребром о см: б) полной дозерхвости правильной четырехугольной призмы с площадью освованяя 36 см' н высотой 10 см; в) боковой позерхностя прямой призмы, освованием которой является прямоугольный треугольник с катетами 3 см и -1 см, « иаибо.чьшап бокопоя rj^aiib — квадрат. 221 гл Д^А VI Начальные сведения из стереометрии 735, Найдите площадь: а) боковой поверхности правильной треугатьнон призмы с площадью основания 4yiZ см^ и высотой 6 см; б) полной поверхности прямой призмы, основание которой — прямоугольник, а высота и диагонали боковых граней равны соответственно 8 см, 10 см и 17 см. 736. Плоищдь поверхности правильной треугольной призмы 1>линн 90 см*, а высота 5 см. Найдите площадь освовання призмы. —^ 737. Найдите площадь полной поверхности: л) п|швильной нетырех\толы1об призмы с высотой 10 см и пло* ададью боковой грани 80 Г>) и)).'л\»оуго.пыгого паралле.шт1П1еда о 3 см* 4 т и б ш* 738. Найдите пдощады а) полной гюверхйооти правильной троуголытой пх-»рамиды, всо робра ж)торой ртхш а; б) бок.овой зхОв^еркноС'ТИ правильной пятиугольной пмрамид1>х со стороной осшпаиия Й см и апофемой 4 см. —^ 739. Иайдио’е площадь: а) боковой под<гр»ос™ пр?шх-1льш)й троуголыюй ххирамиды с боковым ребром б см и апо^>омой4 см; б) полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды с площадью основания 25 см* и апофемой 8 см. 740. Боковое ребро правильной треу1Ч>.льной пирамиды равно 10 м, а площадь боковой поверхности 150 м*. Найдите угол между боковыми ребрами пирамиды. 741. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 108 см^, причем площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найдите сторону оснозавня и апофему. 742. Найдите объет: а) пряной призмы с площадью основания 24 сх^ н боковым ребром 5 см: б) прямого паралле.тепипеда. если стороны его основания равны 2ч‘2 см и 4 сз€. угол между ними 43% а высота параллелепипеда 8 сэк в) правк.тьной греугольной пирамиды со стороной основания 2 см и высотой бл.3 см. 743. Объем правильной четырехугольной пирамиды раней 36 см^. Найдите высоту пирамиды, если периметр ее ооюваиия рписн 24 см. 222 § 21. Многогранники 744. Пмпдптс*: а) иаМ(*1)пн1!л прямоугольного параллелепипеда, объем которш'о рлаии 12(> см'\ а площади двух граней V8 слг и 42 ем*^; 0) оСп.ем правильной четырехугольной пирамиды с диаго1шл).ю оожшаиия 472 СМ и боковым })ебром \/17 см. Уровень Б 745. Найдите площадь: а) боко1*ой поворхиоети прямой 11))изм.ы с Л1-лс<)'1‘ой ПО см, ocaioma-ином HO'i’0]>OH ТрО^Н'ОЛМ-ШК- С() C'i'OpOMMMM 5 см и Н см 34 уз'лом между зхшзй в) 1И).ии()Й i/0)tepxмостя правшгьжзйг: чел'злрсхуз'-ольной )1],)инмы (10 с.то):к)ж>й шнттш 4. т. » д»-агшза.«ыо О см. 746. Найдите и.чозцад*» полной поверхности п1>ямой треуз'олыки*^ п)>из’ мы. основанием которой является прямоугольный тре^тольннк с k.itc тами 6 см и В см, а диагональ наибольшей боковой п*снн раина 26 см. 747. Найдите площадь боковой поверхности: а) и]>аиилын>й шестиугольной пирамиды с боковым реб|>ом I стл и плоским углом при вершине 30*; б) правильной треугольной пирамиды с ^LтoшaдьaJ оепоиа* ння оТз см^ я боковым ребром 5 см. 748. 11за111ддь боковой позс^пеностя правальвои четырехугольной пи|м1' мнды равна S. Нлйд1пе площадь основания пирамиды, если ее дш»* - чн равна /. 749. Н;\.*д;4;у объем: i\) ::pHuoft призмы, основа таем котс^ё являет'-:; раанобед; • ■ я тр-шецня с освованзяз£П 4 см и 10 см и ‘к*трь*м углом t.V, л н.чнбольшая боковая грань — квадрат: б» г!5,лнильной тр^^: ггзльной Шфамиды зыго -'й 6 см и 6<ж< - гм ребром 10 ‘ м: в) куба, площадь полной поверхности которого равна 54 с.м . 750. Объ4>м правильной треугольной прнамы равен 54V3 см*, k\ высота 6 см. Найдите об*1,ем правильной треугольной пирамиды, 1чшо-ванне которой равно основанию прнзмы, а все ребра равны. —^ 751. Майлнте об'ьсм: а) 111([д)милы. ословлЕием которой является треугольник со сторонами 4 с.м, 13 < ч г 1-5 см. а высота пирамиды р£шнн uaiiCixib-iiiert высоте этоп) треугольника; б) прямоугольного параллелепипеда, площади Tf)ex rpaiieii которого равны 15 см^. 18 см- п 30 см'. /23 ГЛАВА VI. Начальные сведения из стереометрии Уровень В 752. Диагонали трех граней пряэ£оугольно1ч> параллелепипеда равны 10 см, 17 см и 3729 см. Нашште площадь патнон поверхности параллелепипеда. 753. Найдите площадь боковой поверхности правильной треуп>льной лри.'шы АВОА^В^С^, если площадь треуго.?1Ы1ина равна о озч) высота» проведенззая к. (1торош AQ^ см^ 7!54. Докаж-мтс» что всо грани трегугодьной пн]>а1\шды РЛВС 0) ^АВР = ^ВРС, ZAPB = ZCBP, гЛРС-=/.ВАР. 755. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды PAHCD с оспогшннем ABCD, боковое ребро которой равно т, а ZAK'*=60'’, 756. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, иаиболыння диз1Гональ которой ршша d и образует с боковым реб)эом угол ос, ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § 22 Теоретический материал • длина окружносл’и и площадь ** класс, 7 ^ круга; / С решение npaMoyiwjbHbix треугольников. (^8 класс, § 21 Задачи 757. Две взаимно перпендикулярные хорды окружности длиной 10 см и 24 см имеют обшш“* конец. Наишгте длину окружности. 758. В остроугольно.м треугольнике АВС /,А - о, ZC=7, ВН — высота, АИ - т. Найдите сторону АС. 224 § 22. Тела вращения 22.1. Цилиндр 1>мс. 165 Рис. 166. НрАЩОИИС прямо>тол||ннка вокр>т прямой, содержащей «го сторону* Отде.чы1ую Г1)уииу njK3C'i'pmiямоуголь-ника вокруг прямой, сод(фжащой одну из ei'o сторон (рис. 1бб). При вращении две стороны пря-моуго.т1ьпика описывают круги, а еще одна сторона — некоторую iiOBcpxKOCTi., Тело, образованное в результате такого вращения прямоугольника, лпаыпасгся 1^ижиндрож. Итак, цилиндр coctojt на двух кругов, uoTopi.ui лежат в разных плоскостях и совмещаются пп* раллельпым переносом (их называют оспоааяиям.и цилиндра, а радиус каждого из них — радиусом цилиндра), п всех -отрезкав, соединяющих соответствующие точки оснований. Отрезки, соединяющие соответствующие точки кругов оснований, называются обралующими циликЭро н образуют боковую поверхность цилиндра. Очевнлво, что основания цилиндра равны, а образующие параллельны н равны. Прямая, проходящая через центры оснований, является осью цилиндра. Висотой цилиндра называют расстояние между плоскостями его основанкн. На рис. 167 прямая ОО^ — ось цилиндра, отрезок ЛВ — образующая. Очевидно, что образующие и ось цилиндра перпендикулярны плоскостям его оснований, следовательно, .любая образующая, так же как и отрезок ОО,, равна высо1'с цилиндра. 225 ГЛАВА VI. Начальные сведения из стереометрии с с с с Цилиндр от грс^4е* ского -«килиидро» — кятдо, вращаю •Лу\Я Рис. 1()Й. 1’’ааиортк.|д бОКОЛОЙ nO)lft)>XWOO'J'M Рис 169. Врнщевне пря-иоугольного треугаяь-ника вокруг npinioit. содержащей его катет Рис. 170 'Ш Если боковую поверхность цилиндра разрезать по одной из образующих и развернуть на плоскости, получим развертку боковой поверхности цилиндра (рис. 168). Она представляет собой прямоугольник* одна из сторон которого равна высоте цилиндра, а другая — длине окружности основания. Итак, площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле 5^=2яЛЛ, где R — радиус цилиндра, Н — высота. Площадь полной поверхпост цилиндра является (;утмой площяди боковой пове)?хиосл‘Х4 и ило* щадей оснований: т. е. S 2пКИ + Х1.1Ш п= 2пДф + Я). 22.2. Конус Тело, образованное вращением плоского прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей один из его катетов, называется конусом (рис. 169). Поверхность конуса состоит из крут (основания KONj^ca), который описывает при вращении зггсюой катет, и некоторой поверхности, которую оннсызает гипотенуза. Эта поверхность является боковой поверхностью конуса и состоит из всех отрезков, которые соединяют точку, не лежащую 3 плоскости основания (вершину ?сонуса), с точ-каз£2 окружности основания. Каждый из этих отрезов является образующей конуса, а пряная, проходящая через вершину конуса н центр осяо-зания, — осью конуса. Отрезок осщ соединяющий тершину конуса с центром основания, перпешшку-.тярен плоскости основания. Этот отрезок является высотой конуса. На рис. 170 точка Р — вершина конуса, прямая РО — его ось, отрезок РО — высота конуса, отрезок РА — образующая. Очовилно, что все образующие конуса равны. § 22. Тела вращения 271/? Рис. 171. Pa;mej)TKa бокоиоЛ моаерхиости конус/1 Рис. 172. Врйщопис полукруга вокруг п])я* мой, с<»л(’|>жа1дсй дна-мотр core Сфера — от греческого «сфайра» — шар Если разрезать боковую поверхность конуса по образующей н развернуть ее на плоскоств, пол>’чнм ра^ертку боковой поверхности конуса (рис, 171). Она является круговым сектором крута, радиус которого равен об|зазующей конуса а длина дуги — длине оК1)ужт1ости основания. Тогда отношение площади otoi’o кругово1'0 сектора к м.по-щади круга радиуса / равно отношению длины дуги АЛ к длине окружности радиуса --------------- Отсюда следует, что площадь боковой поверх- поатш кокуса вычисляется по форльуле где R — радиус оснооания конуса, I — образующая. Пдоададь по,1шо)'4 hoikijjxhocti^ цнли!ид))а стся су>шон площади боковой пошфхности и площади основания: S , т. е. + или =хЯ(/ + Л). 22.3. Шар. Объемы тел вращения В результате вращения полукруга вокруг пря.мой, содержащей его диаметр (рис. 172), образуется шар. Шар является геоме'грнческнм местом точек пространства, удаленных от данной точки О {центра шара) на расстояние, не превосходящее Я {радиус шара). Поверхность шара называется сферой. Сферу нельзя развернуть на плоскости, поэтому для но.чу* чения формулы ее п.1юп;ади пользуются более с.иож* ными рассуждениями. Доказано, что площадь с(|а>ры в четыре раза больше площади круга того же радиуса, т.е. плохцадь сферы вычисляется по формуле где В — радиус сферы. Итак, цилиндр, ковус н шар являются основными телами врапденил. ^1тобы наглядно представить их объемы, можно 1Юспользовап*ся теми же рассуждениями, что и для мнoгf^гpaннш^oв. Однако можно рассуждать и по-другому — например, представить, что цилиндр — это стакан с идеально 777 ГЛАВА VI. Начальные сиедения из стереометрии Рмс 173. Нахождение объ4*моа* Рис. 174 тонкими стенками, который г<еобходимо заполнить жидкость». Объем этой жидко(^ти можно принять за объем дилиндра. Впишем в цилиндр правильную п-уголь-ную призму и опишем око.ио него правильную:) н.-угольиу» призму 173» л). и))И возрастазпви п ПЛОП.\адИ ОСиК^ВйЙИЙ этих U]>H»M 6уду')‘ слреммм'ься к площади ос1зования дилнпдрп, а объемы. при!)м — об'1»ему ).хилмидра. Учитыная, что высоты и])И»м и цилиндра раш11>1, имеем тгК^Я, где Л — радиус ^^итшдра, Н — высот а. Пользупсъ аналогичными ))ассужденмими д.)1я кощ’'са и правильных п-угольных пирамид (рис. 173. <5). имеем гдеЙ—радиус основания конуса^ Н — высота. Фсюмула объема шара является следствием более сложных расс>*ждеивл, поэтому приводим ее без наглядного объяснения: ^’тмрт ~ ~ где /? — радиус шара. 3 Задаче Найдите площадь боковой поверхности и объем конусе, образу^щоя которого равно I и составляет с высоту конуса угол cl Решение Пусть дсн конус с высотой РО (рис. 174). Из прямоугольного треугольника АРО (Z0 = 90®, ZAPO^^a. PA=iy AO = /sina. PO = IcostL По формуле площади бонозой поверхности кда<уса S^ = nR/=rt АО АР. S^-TiPsina. По формуле объема конуса V = -xR'H = ~n АО^-РО. 3 3 V ^ -znPsm^acosa. Л Ответ: Kf^sina, ^nPsirPacosa. 3 Н« лпииом рисунко гоомег])ические тела нзобраяссны без пунктирных линий (т. е. как 1ПН»з|М1Чные). 228 9 И. гелз вращения Вопросы и задачи Ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 759. 760. 761. о Верно ли, что: ц) образующая дялнндра больше его высоты: 6) образующая ковуса больше его высоты? Сущ€*ствует дн параллельный перенос, при котором: н) одно т осиоиаиий цилиндра нореходнт Д)}угое; б) одни из o6j>a«yiomK?{: конуса нс1}ехг>дм')‘ » другузо? Момсрт ли площадь бозфзюй понерхности конуса быть разню» пло- НРЗДИ ого (КШОВЙЗШН? 7612:.. З^здмуо одз^ого зщара равен дз^аметру другого. Во (;колы<о pm* гзло-щадз* нонозрхнос'ш зюрвого шара бо,ш>ше плозща;щ зюзшрхз^ос/т )1'3'ороз'о7 Bf) ок<».г1ько раз объем первого шара больше объема вч’ороз'о? 763. Цилнадр и конус имеют равные радиусы оснований и рашп.ш высоты. Какое из этих тел имеет больший об'ьем? Во сколько раз об'з.ем большего тела пр(шьгшае*3’ объем меньшего? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 764. Изоб]жзите цилиндр. Проведите диаме*гр АВ одпозч) из его oа, если отрезок, соединяющш! центр основания с точкой окрузк-ности другого основания, равен 25 см. 767. Найдите площпдь: а) п(длной поверхности цилиндра с радиусом 4 см и высотой 6 см; б) боковой поверхности цилиндра с площадью основания 25п см* и образующей 10 см. Найдите площад1|; а) боксжй поверхности пилиндра с радиусом 4 сэ«, еатн разверткой боковой поверхности цилиндра является квадрат; б) полной поверхности цштандра. образованного врашением квадрата с диагональю 3^2 см вокруг стороны. 229 -> 768. ГЛАВА VI. Начальные сведения из стереометрии "> 771. 773. -> 774. 769. Прямоугольный треугольник с гипотенузой б см и острым уг* Л1»м 30* вращается вокрчт большего катета. Найдите радиус основания и нысоту образованного конуса. 770. Найдите площадь: а) боковой поверхиосч'и конуса с образующей 13 см и bjbcotoh IJi ом; б) полной пово])хиоети конуса, об)^азую1дая которою равна К) см и соп-аиляет с высотой угол 30®. Найдите площадь полной поверхности конуса, площадь осиованил кото1)()го равна Оп см^‘, а в1>юота 4 см. П1. Найдите 1)лощадь сферы с радиусом 2 см. Найдите об'ьем: а) цилиндра, образованного В1)ащеиием прямоугольника со сторо* нами 3 см и 5 см вокруг бо.лыпей стороны; 0) конус.а с )«>1Сотой С> см и обз>авуюп.\е)Ч Ъ4ь см; в) шаря, площадь поверхности Ho't'opoi'o равна Звп см^. Найдите объем; а) цилиндра с пло1цадыо основания 16п см^ и высотой 5 см; б) конуса, образованного вращением равнобедренного прямоугольного треугольнзака с гипотенузой 3^/2 см вокруг катета; в) шара с радиусом 9 см. Уровень Б 775. Найдите площадь: а) боковой поверхности пвлвндра, если отрезок, соединяющий центр осаовавня с точкой окружности другого основаявя, равен а н образует с осью цилиндра угол а; б) иалиой поверхности цилиндра, образованного вращением пря* моуго.1ьника с диагональю 17 см н стороной 15 см вокруг данной стороны. 776. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если площадь ег(» <н^нования равна 9д см*, а середина образующей удалена от центра основания на 5 см. 777. Найдите площадь полной поверхности конуса, высота которого равна 20 см. а основание высоты уда.1ево от образующей на 12 см. 778. Плшшаь боковой поверхности конуса 32" or. Найдите площадь '>гж*иання конуса, если его образующая равна диаметру основания. 779. Найдите площадь полной поверхности конуса, в котором угол между образующей и высотой равен 30®, а расстояние от основания нысоты до середины образующей составляет 8 см. 780. Объем шара равен Збд см^. Найдите площадь сферы, ограничп-мающей данный шар. 230 § 22. Тела-вращения 781. Найдите объем: а) цнднидра с высотой Н, если хорда осповапия длиной Н сгя-гнвает дугу а; б) конуса с вершиной Р и диаметром ос1и»ваиия АВу если треу|’олышк РАВ прямоугольный и имеет площадь 9 ом^, -> 782. Найдите объем конуса» образующая кото1)01Ч> ]>аши1 10 см, а пло-]дад»> боковой поверхности равна площади боковой поверхности цилип-дри с диаметром б ом и образующей 12 см. Уровень В 783. П1)ямоугольинк, площадь которого равна S, вращается вокруг С1ч>-рош.ь Найди'ге плоищдь боковой поверхности обрааовапишю цилиндра. 784. 0б))азующая конуса составляет с его высотой угол а. Найдите 11Л<»1(адь основания конуса» если площадь его боковой поверхности равна Q. 785. Найдите объем оиливлра с плошалью основания Q и площадью боковой поверхности S. —^ 786. Образующая конуса равна диаметру его основаыия. Найдите площадь боковой поверхыоств конуса» если его высота равна Н, Задачи для подготовки к контрольной работе № 6 1. Прямые а и 6 пересекаются в точке О. Будут ли все прямые, которые пересекают обе данные прямые и не проходят через точку О, лежать в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 2. Дана правильная треугольная призма ЛВСА^В^С^ (рис. 175). Определите взаимное расположение прямых; а) ВВ^ и СС,; б) АС и ВВ,; в) BCj и АС у 3. Основанием прямого параллелепипеда явля-отгя параллелограмм со сторонами 8 см и 10 см и острым утлом 30^. Высота параллелешшела равна меньшей высоте этого параллелограаша. Найдите площадь Патной поверхности параллелепипеда. 4. Найдите объем правильной треугатьяой пирамиды с высотой 4 см и боковым ребром 5 см. 5. Площадь боковой поверхности пиливдра равна площади его основания. Найдите образующую пилиндра. если его диаметр равен 16 м. 6. Найдите объе.м конуса» если угол между его образующей и высотой равен а» а середина образующей удалена от оси на расстояние а. 231 Итоги главы VI итоговый ОБЗОР ГЛАВЫ VI Прямые и плоскости в пространстве Способы прпведекия плоскости е пространстве Взаимное расположение прямой^ и плоскости в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Итоги главы VI Взаимное расположение плоскостей в тьрострапстве Д»« пл()(5кооти тхщпмепъпы Две п JJ оскооти пересек а ются по прямой Многогранники п рнзиа Пйклоинпя Прямая Пирамида Параллелепипед Прямоугольный параллелепипед Правильная пирамида 233 ГЛАВА VI. Начальные сведения из стереометрии Ociioimbie формулы для пирамид и призм Пяощпдь биновой поверхности Площадь боковой поверхности прямой Приамы яравилыюйпиралшды *^Гми1 " ^\%vn ■ S =—Я -/ ^6|>н 2 * 0141 * где ^ ле])имг'1']) осноиаиия. где — перимеч'р осиопшжя., И “ бокозюй робро П1)ямой приазмы — апофема правил]>ной пи))1шмды ОбчП'АХ- принАхы Объем 7Шр(шидЫ‘ VrzLs -я, з'Де ».»01дпдь “ Л.ЗЮЩЙДЬ <)(Л1-ЮВШШЯ> Й — 1«>)оо'т»з);)и»мы Ш — BUOO’r^i ПИРЙМУДЬ) Тела вращения 234 Игоги таиы VI о КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ VI 1. Опишите пзинмиое расположение в пространстве двух прямых; П1)ямой и плоскости; двух плоскостей. 2. Опишите призму. Какая призма называется прямой; лранильноЙ? 3. Опишите параллелепипед. Какой параллелепипед лшплвается прямым; п1)ямоугодькым? 4. Запишите формулы площадей боковой и полной ]1ове]>хпо{;ч'ей мой п))иамы, 5. Опишите пирамиду. Какая пирамида назыхшетея дран»л)»Ж)йУ В, "Что такое апофема пра»илы«ой пх«рах«иды? 3auHn.u-)f'j'e формулу площади боковой поверхностн нравилькой пирамиды. 7. Запишите формулы объемов прямой призмы и пирамиды. 8. Опишите цилиндр к его элементы. 9. Запишите формулы площадей боковой и полной поверхностей цилиндра. 10. Опишите конус в mv элежвты. 11. Запишите фсфмулы площадей боковой и патвой поверхностей конуса. 12. Опишите шар в запишите фоЕНиулу площади сферы. 13. Запишите формулы объемов цилиндра, конуса, шара. I. Ьи«ча.= babie сведения и. г.>г5г;' ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА гтереометрия как раздел геометрии зарождалась и развивалась одновременно с планиметрией. Почти все утверлугения о параллельности и перпендикулярно-■тг:' рг»ямых и плоскостей б пространстве были известны в Дре-аией Греции, немало таких утверждений изложено t Началах Евклида. Свойава многогранников и тел вращения первыми см(:т(ома'|'ичес1си изложили древнегреческие математики. Кроме li;llжлидa, ,cлэдeтoeoбel■ll■lo выделить Архимеда, который в двух своих работах исследовал свойства тс?л ирагЦеиия. Одним из основателей теории конических поверхмопей считается древнегреческий геометр Anoj? -лонмй Г1е|;)к;|сий (ок. 262 — ок. 190 гг. до н.з.). В работе «Конические-? сечения» Аполлоний |:>ассматри1лает сечения поверхнопей, образованных враи^ением одной из двух пересекающихся прямых вокруг другой. Эта работа оказала влияние на развитие механики, оптики и аарономии. Важные исследования б облааи геометрии многогранников принадлежат всемирно известному укра-warPMaTV’Kv Геоог/ю Феодосьев:' v Вороно-’9u8j в чагпчости, исо'-едова' ' ipo6ne?/y .-■’/: ''.»7(C3HCTS5 сазнэ,?/; --МЦ МНОГО- са ’И ъс- --гче-торых учс'ограич;'- се .мелг-^ -иг-сть есте: ;';ревнем Египте. 3 ильной мере усозер-; методов объектов геометри ■ : ’ . >_:о6ствовали р20'''ы итапья^ :• о^о мате- <35а.пье?^ iS98—1647' который ,■ —1,; -vVr тег озз^^ые объемы, ныне iг-ииц.'г; <з=а.”=еои Но "гогая cospe-’ ;' .ГИЯ объемов. сс-=сва -ад на м-?~ода» мате- .иг.- а-.слиза, появ/тась зна-^ительно позднее. Р 1' .-''fe Агюялоиий • ^ ^ г. Ф. Вороной ^ 236 Итоги главы V( © ТЕМАТИКА СООБЩЕНИЙ И РЕФЕРАТОВ К ГЛАВЕ VI 1. Правильные и 1к»луправилькые многогранники. 2. Звездчатые многогранники. 3. Кристаллы как естественные многогранники. 4. Ориоитадин по)Ш))х)5ости. Лозта Мебиуса. РЕКОМЕНДОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ 1. Ма']'ома*1'ична хроел^оматАя д.чя,6—В )ошсА». Т. 1 ГГекстЬ “ К. : Рад. П1К., 1068, — 320 <:. 2. Математичиа х))(Н1ТоматАя д.ая стйршк^х: к^дасАв. 3'У^омет]:ня. Т. [Текст] / упоряд. JL В. Козавцова. — К. : Рад. шк., 1969. — 383 с. 3. Понарин, Я. П. Стереометрия, преобразования плоскости. Т, 2 [Текст] / Я. П. Поварни. — М. : МЩШО. 2004. 4. Прасолов, В. В. Задачи но стереометрии ^Текст] В. В. Прасолов, И. Ф. Шдрыгнм. — М. : Наука, Гл. ред. фнз-мат. лит., 1989. — 288 с, — (Б*ка мат. кружка). 5. Смирнова, И. М. В мире многогранников. — М.: Просвещенно. 1995. 6. Шас колье кая, М. П. Кристаллы. — М.: Наука, 1985. 7. Интернет-библиотека МЦНМО. https://iiib.miiTor0.niccme.ru/ 8. Сайт видавиицтва «Ранок^. https://www.iunok.com.ua ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7-9 КЛАССОВ 787. 'IViKw 7^ и О .чожй'Л‘ на отрйзг^^^ AD длиной 24 см. Ннйдмтй длину отроакп В(\ (10.ЧМ /1В=7 см, AC:CD = 2:1. 788. Оуммп углов, образовавшихся при поресвчолии двух П))я-мых, равш* 22(У’. Найдите угол между данными прямыми. 789. И ])ант)б()др(?)1*ном треугольнику ЛВС с основанием ЛС проведошл мединпы AN н (Ш. Докажите равенство треугольников: a)ANM и CMN; б) ABN и СВМ. 790. В ‘]'роуго.чы)ике АВС биссектриса внешнего угла при вершине В парал.чельна стороне ЛС. Докажите, чтоЛВ^ВС. 791. Докаиситс равенство треугачьников АВС и A^BjC,, если ВС = В,С,, /ГЛ = 80*. гв = /^в, = 55^ ZC.=45®. 792. В прямоугольном треугольнике ЛВС серединный перпендикуляр к 1*н110тснузс ВС пересекает катет АВ в точке М, Найдите острые углы треугольника, если ZAM'C = 50^ 793. В прямоугольном треугатьннке АВС с гипотенузой ВС проведена биссектриса СМ, Отрезок МК — высота треугатьника CAfB. Найдите острые утлы треугатьника АВС, ес.ти ZAMK = 140®. 794. Две стороны треугольника равны 5 см и 12 см. В каких пределах может изменяться хтнва третьей стороны, если угол между даяными стороаазся ryrtvrt? 795. Постройте треугатьник по стороне, прилежащему углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла. 796. Окружность касается сторон угла А в точках В и С. Биссектриса угла Л пересекает данную окружность в точках М и N. Докажите равенство треупхльников УТБУ н MCN. 797. На сторонах АО и ВС параллелограмма ABCD отмечены точки М и N соответственно, причем AM = CN=АВ. Докажите, что четырехугольник MBND - параллелограмм, и найдите его углы, если АА = 80®. 798. Диагонали равнобеяршной трапеони взаимно перпендикулярны. Докаж1гге, что середины сторон трапепни являются вершинами квадрата. 799. Основание равнобелреаиого треугатьника видно из центра описанной окружности под yглOiM 140®. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача? 238 _________Задачи на повторение курса геометрии 7—9 классов 800. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треутольии-ка, д<*.чит боковые стороны в отношении 3:5, считая от основания. Найдите длину отрезка прямой, заключенного пнут]Л1 Tpeyiwibiimca, если средняя линия, соединяющая середины боковых сторон, равна 8 н;м. 801. Писс.(жтриса прямоугольного треугольника д*‘лит гипотенузу на отрсйки длиной 100 см и 75 см. Найдите длины от1)езко», на которые гипотенузу высота т))еугольника. 802. Нмйди'1'w не])иметр к площадь троуз'ольнж^а со ото)Х)нами 8 ом ц И) ом и yjvioM между ними СО* 803. В ']‘реу14).?1ышк оо <№0]>онами 11 см, 25 (;м и 30 ш вписана окруж; НОСТ1». Найдите площадь дравилытого 1‘реугол1»ншид вписанного н ату ОК])УЖНОС'1‘Ь, 804. Лло11Д|дь параллелограмма равна 22 см^, а одна из его высот — 3 см. Майдиге меньшую диагональ параллелограмма, если сто острый угод РП1ШН 45®. 805. Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, |>а-вен 6 см, а разность оснований — 10 см. Найдите площадь трапощж. 806. Найдите площадь круга, в который вписав прямоугольный тре-угольник с катетами 18 см в 24 см. 807. В треугольнике ЛВС ЛС=6, ZЛ = a, ZB = p. Найдите высоту BD. 808. Треугатьннк ЛВС залгл ко<^двнатамя вершин .4(-б; 1). ШЗ: 0). С(4: 5). Найдите длину медяны, хфоведенной из вершины В. 809. Дана тежка Л(1; 2). Задайте: а) центральную симметрию, щш которой данная точка переходит в точку В(-5: 4h 6\ осевую симметрию, при которой данная точка переходит в точк\- С(-1: 2): а) параллельный перенос, при котсфом данная точка переходит в точку Х)(-4; -1); г) поворот около начала координат, при котором данная точка переход1гг в точку £{-2: 1); д) гомотетию с центром з начале координат, при которой данная точка переходит з точку ДЗ: 6). 810. Дан пираллслограмм ASCII. Найдите ACi-BD 2AD. 811. Найдите углы треугольника АВС, если АВ (-4: 3). ВС (7; 1). 239 Рис 176. Длина крнйоА ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Длина окружности и площадь круга Рассмотрим кривую линию L . соединяющую точки Л н В. Разобьем ее точками Л., .4, , на п частей и рассмотрим фигуру, состоящую нз отрезков ЛЛ,, ломаную (рис. 176). Назовем такую лома- ную вписанной в крив\чо L, Длиной кривой L называется предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной, когда количество звеньев неограниченно возрастот*, а их длина приближается к нулю. Такое же оз^редслензас тожт нрнмошп'ь и дли определез^изз длииз»! озсружносл'и. Лри »*ЗЧ)М .чом»-Wj: будет )MfHor'oyi'0^bWHK (pjKJ. 177). Од)*ах<о для j<-opj)e30]‘Tio()’j‘54 такозю оироделеиня нужно доказать, чч'о узсазанзидй п]>едел сунк-етлум'з'. Это дово.выю сложная 11))о5лема* которая резззпет-ш сз^^едс'з^вамн дру1.ч>зч> ^лзздшз-я матомач'Х'исн • ■ ма-тематячеокоз'о аззалнаа. JJoaTf>3\азом ‘. Рассмотрим погипедовательность перим(*т-ров вписанных в данную окружность правильных 2^лдюлышков. Докажем, что при неограниченном зозрастанни числа сторон к эти периметры будут хфкблкжатъся к некепч^юму пределу С. Тогда число С мы будем называть ххиной данной окружностн-Докажем сначала вспомогательное утверждение (лемму). Л « м м а (о периметрах выпуклых многоугольников) Если один выпуклый многоугольник содерхштся внутри другого выпуклого многоугольника, то периметр первого меньше периметра второго. Доказательство □ Из вершин внутреннего мног’п : • *ьникй лрозедем .тучи, которые перпендикулярны отвегствующим сторонам п пересекают стсфоны ___________________ внепшего многоугольника (рнс. ITS). Можно докоапть. что такое опредолоиио будот 1)ат10сильным ирсдыдущому. 240 Рмс. 17'/, ()Н])0ЛСЛ0НИ0 длины окружног.тн Рис Т78. К дохкзатедь-'*тку ЛГММЫ о П1*Р11Н1*Т-рлх ltbin>icnrx много-.гольямкок приложение 1. Длина окружности и площадь круга Рис. 181. К обосяованню формулы длины окруж* пости Тогда по неравенству треугольника AS < СЕ < сти (рис. 180). Итак, посдсэдозатаяыюсть 1шзрастает с увеличением к и ограничена сверху п^ижетрок квадрата, опксашюго около лпнной окружнпстн: 1алнза существует щюдел f!!, к которому стремит- ся с возрастанием т. е, длина окружности. Лзалоги^Еными рассуждениями можно показать, что периметры провнльшлх 2*-угольников, описанных около окружности, также стремятся к тому же С. Теперь несложно полупить формулу длины окружности. Докажем, что o'i'uoiuoHHe длины окружности к ее диамет])у являетси числом, постоянным для всех окружностей (обозппчастся л). Впишем в каждую из двух п1юизвольных окружностей радиусов /? и /?' правильные 2*^-уголь-иикн (рис. 181). 180" Тщтш Р^ -2^ 2 Явш-- ^ Г Я:=2*-2 Я'аЬ Р. 2Я Отсюда —= —г - Отсюда при пеогрд ничетном воз-Р^ 2Я pncraiiHB к имеем что и требовалось до- казать. Таким образом, С = лфа имеет площадь S. если существуют прость5е фигуры, которые содержатся в данной, и простые фН1'уры, которые содержат данную, площади которых сколь угодно мало отличаются от S. Расезяотрим пло)цадь круэ>а, основьпнлясь тх W'jroM. шреде.ио)5И1йч ч'j'o ллохцйдх^ правил ьиы х шшсашшх в дшизую охерувшость 2'''угольников (рхйо. Ш) э>авэ9ы •f ‘ - 2 1«‘- . 1<5так.> пт могрттттт «оа- 2 2* i‘ J |)астанив k имеем: .9^—>—СЯ=—2kR Я-кН^. 2 г Аналогично площади правильных 2*-угатьЕнков, описанных около данной окружности (рнс. 183), равны S^=2'-S,,^ = 2*-—Я CZ) = 1 __ 2 = - P^ R. UDE неограниченном возрастании к шве- 2 * -ч J ем: S;->-СЯ=-2.ТЯ Л = дЯ^. ^2 2 Итак, и при неограниченном возра- стании к хжозь угодно мало будут отличиться от ЧI^ ела kR^ , т, е, = kR^ по определению. Приложение 2 Параллельный перенос в декартовой системе координат Использование парпллельяозч) псрен(к;н в I'eo-часто свя.заио с декартовой системой координат. Докажем соотве^'ствующне ^юрмулы ипрал* дельного перенося в два этапа. Обоснуем сначала, что для любых точек Л и В существует параллельный перенос, который переводит точку А в точку В, и притом единственный, Очевзадно, что такой параллельный перенос f существует — в направлении луча АВ на расстояние АЗ. Докажем, что любой параллельный 242 приложение 2. Параллельный перенос в декартовой системе координат Рис. . к. оСхх'.яотппио .и0.11Ь))0)Ч) )Ki)>0l4O(^n A'ix- * а: у, -6) 1Чх,: \) О Рис 185. К докАзлгель- ri’uy il»)j)My.n 1Ш])а.’1.ч«.чь* imro jiopoiiooii перенос g, который переводит точку Л в точку В. совпадает с Л Пусть С — произвольная точка плоско1гги. Рассмотрим случаи, когда С ие лежит на прямой АВ (рис. 184). Пусть точка С' - образ точки С при параллельном переносе f\ а точка С" — образ точки С при параллельном переносе g. Поскольку ЛВ=СС\ а лучи АВ и СС' сона-пх^азлсны, то АВС'С — параллелш’рамм по определению. Итак, точка О — середина отрезка C/i -нвлястся серединой. orjHjaKa ЛС", Аинлошчт) до-казь-ичлом, что тонки О яв.«лет(1«. окред)«н<)й очрои- т. АО". Очхлот сл(!ду(''*'> нто п^чки (У и (У'сотш-дашт. Несложно т сонналонио-и в случае, когда О лежит на ц|)>лмой ЛВ (сделайте ото само-стоятклыш). Пошш.ньку точка О нрои.'шольная, на-ралле.ны))>ю переносы f и g сов)1ада);о')', что н требовалось доказать. Докажем 'j*encpb теорему о ;над«нии )j«pa.ii" дельного переноса форму-чамн в декартовой системе координат. Теорема (формулы параллельного переноса в прямоугольной системе координат) У прямоугольной декартовой системе координат параллельный перенос, который переводит точку (х;у) фигуры /’в точку (х';у ) фигуры F\ задается формулами: х' = х^а, у' = у-гЬ,где а и б — числа, одни и те же для всех точек фигуры F. В-цс, зелх Доказательство G Докажем сначала, что преобразование любой точки (х; у) в точку (г': и'). где х'~х-*-а, а Vi Ь — постокншле. язля^тгя napa.i-лельным переносом- Рассмотрнм произвольные точки А(х,:р.) S 3{x^z у,), переходящие в точки Л'(> ^ В\х, -^а; Ь) соответственно. Пусть точка В не ирдяаддежит прямой АА' (рис. 185). Тогда сере-дннъ; отрезков АВ‘ н ВА' имеют координаты I г ’ 2 )' ' ' оштдпют. ПРИЛОЖЕНИЯ Итак, меты1>ехугамьник ЛЛ'В'В — параллелограмм по признаку. По-атому лучи ЛА' и ВВ' соишлжвлены, а длишл отре;ш(зв АА' и ВВ' ргшны. Такой же шлвод .аегко обосновать и п случае, когда ^'очкп В аринадлеиси'1' прямой АА'. Поскольку, как доказало, параллельный перенос, пероиод>ш;ий 4V4ir«, = яв- ляется именно таким переносом, то параллельный перенос н прямоугольной дека)Т1'ош)й (;н(:'^'(!ме коо)>дш)ат кадается формулами .г'«лм«., у'-ул Ь, Тео*' )зема дсжаапш). Ш Заметим, что если заданы точка А(х; у) и точка А'(х'\ у'), в которую переходи’]' точка Л при паралл*ры. совмещаемые наложением. Но понятие на-ложенкя было введено наглядно, поэтому мы не рассматривали подробно его свойства. Прн изучении темы «Движение» 2€ы определили равные фигурь£ как фн1’уры, совмещаемые движением, т. е. щ>еобразова}{ием, которое сохраняет расстояния между точками. Можно установить, что любое движение на шю-скостн является наложением, и наоборот, наложение на плоскости является движением. Детализируем эти утверждения для треугольников. Теорама (о тождественности наложения и движения треугольников) Два треугольника совмещаются наложением тогда и только тогда, когда су** ществует движение, переводящее один из них в другой. Доказательство 1) Пусть с>’ществует движение /, переводящее треугольник АВС в т|>суголы1ик Л'В'С', в частности точк^- А ъ А\ В — в В\ С — в С'. Тогда 1ю свойствам движения отрезок АВ накладывается на отрезок А'В\ ВС — Н.1 АС - на Л O': след;овате.тьно. треугольник АВС накла- дывается на треугодъанк Л'В'Г'. 2) Пусть теперь треугоитьник АВС накладывается на треугатьник Л'В'С', 3 частности, соответствуюпше стороны и углы этих треугольников ралны. Докажем существование движения, переводящего треугольник АВС в треугольник А'В'С'. Рассмотрим симметрию относите,дьно прямой /, — серединного перпендикуляра к отрезку АА' (рис. 186). При таком движении треугольник АВС переходит в треугольник А,В,С,, причем точки Л, и А' совпадают. 744 приложение 3. Наложение, движение, подобие 106, К'. док«1ттгл»с'П)у чч^ор^що ']к»идосгно«н(юч‘« »аж)жеш«] п д»и>т1М.л тр(«ук»лыжк(»» ГОПОрЬ симметрии) fy_ 0'1*НОСИГ(;.иЫЮ прямой /у — 0(-!1)0ДИ*ПК»‘О 1Ш)?))ендии-у.чя)л» к. отрозку ВдЛ' (оачи о'о icoinw не (юзтадают). Тогда u'pe-уго.иьнни- .4,If,6’, перехода » т)?еуг()лышк ЛyBj^0y^y иричхш тонки Л^у и А' (юпнадпют» так же как и точки В,, и lf^ По cisoiicDjy д)*и>кеиия посшпьку » ре- »у.)|).тате поснедокателызого прим(!ншз*»я движений ^ и ^ 'ютка А Ш)].>ож)дт4т II Ау{А')^ а TOHita 13 — в Д,(В'), 'ш отрезок АН сонмон^аетс.н с Л'В*, По условию ZCAB=AC'A'B'=a, ZABC-ZA'B'C' = ^. Если точки С, и <У лежат по одну сторон?- от прямой Л'В', то из приведенных равенств углов следует совпадение лучей Д'О' и В'С' и ВуС^; следователь но. точки С, и С' тоже совладают. Поэтому треугольник AJ3C переходит в треугапьннк Л'В'С' при последовательном выпаткенин двн»:ений /, и . Если же Cj н С' дежах по разные стороны от пряхой А'В' - то при енм-метрни ^ относительно пряэ50й А'В' точка переходит в точку . совпадающую с С'. и далее доказательство будет аналогичным предыдущему. Теорема доказана. ■ В процессе доказательства второй части те<ч>«ы жы задали некоторое движение, переводящее треугатьник АВС в треугольник Л'В'С*. с помощью осевых симметрий. Такое движение является единственным. Те о р е U а (об однозначности задания хщижения) Если при некотором д^жении треугольник АВС переходит я треугольник Л'В'С', причем точка Л — в точку А', В — в S', С — в С', то для любой точки гшоосости ЛГ ее образ >/' при таком движении определяется однозначно. Доказательство Пусть существуют два разных движения f п g ^ которые переводят точку л — в л', в “ п В". с — и СЧр**с. 187. с. 2-1Г>). Пусть, Kj)OM0 Toi’o, некоторая точка М при даижеиим { переходит в точку , 7 Л г. ПРИЛОЖЕНИЯ а при лпижании ff — и точку причем точки Л/, и Af. не совпадают (ри«г. 188). Поскольку при движении сохраняются расстояния между точками, то = = CAf = C'A/,=C'Afjj, Таким образом, точки А\ В' и С' лежат на серединном перпендикуляре к отрезку Л/|Л/,, ЧТО противоречит тому, что А'В'С' — т1>еугольннк. •/— м. }Г И' м. (Г Рмс. 187 Рис. 188 1'5-1‘ак, Д1ШЖГП1ИЯ f и совпадают, что и тробоиалось AOKasa’j’b. ■ Аналогичного анализа требует и ситуация с подобными треугатьниками. Сначала, в восьмом классе, подоОньшн мы наавалн треугатьннки, в которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропор1ав<жальны. Но в девятом классе, при иэ>*ченнн подобия. 1сы опредслнлн, что две фигуры подобны, если они совз4ещаются преобразованием подобия. Покажем, что эти о11)х>яет*ния подобия для треугодьннков раввосильвы. 1) Ikuui треугольник АВС переходит в треугольник Л'Н'СУ прнвекотором преобразовании подобия f с коэффициентом А, то ZA-ZA\ = ZC~ А*В* В*С* А*С* = — = —— =х —— = Л, т. е. выполняются услсш21я первого определения. АН НС» АС A*R* А*С*' 2) Пусть наоборот /TA = ZA'. = ZC=:Zтчхльаик АДС, (А совпадает с А). Тогда АА,В,С, =АЛВС по трем сторонам. Итак, по доказанной тчюре* ме существует движение , совмещающее треугольник А,В,С, с треугольником A4VC', Но тогда последовательное выполненне f \\ g — преобразование подсгбпя, которое совмещает тре\тольник АВС с треугольником Л'В'С', что и требовалось доказать. Таким образом, определения равных (подобных) треугольников, которые нст|>ечалпсь при пзучеипи разных разделов геометрии, равносильны. 74fi Приложение 4. Таблица значений тригонометрических функций Градусы sin а ((Г ча<451 Ига <0‘<а<45^ ctea (0 сова (0Ча<45=) Градусы 0 0,000 0.000 — 1.000 90 1 0,017 0,017 57.290 1.000 89 2 0.035 0.035 28.636 0.999 88 3 0.052 0.052 19.081 0.999 67 4 0.070 0.070 14.301 0.998 86 5 0,087 0.087 11.430 0.996 85 6 О.ЮГ> 0,105 9.514 0,995 84 7 0,122 0,Ш В,144 0,Ш 83 Ь 0.139 0,141 7,115 0.990 82 9 0.156 0.158 6.314 0.988 81 10 о,гм 0.176 5.671 0,985 00 11 0,101 0.194 5.145 0,982 73 12 0,200 0,213 4,705 0.978 78 13 0,225 0,201 4.331 0,974 77 п {)Ш 0.249 4.G11 О.Г/0 76 15 0.259 0.268 3.732 0.966 75 15 0^76 0.287 3.487 0.961 74 17 0.292 0,306 3.271 0.956 73 16 0.309 0.335 3.078 0.951 72 19 0.326 0.344 2.904 0.946 71 20 0.342 0.364 2,747 0.940 70 21 0.358 0.384 2.605 0.934 69 22 0.375 0.404 2,4^ 0.927 68 23 0.391 0,424 2.356 0.921 67 24 0.407 0.445 2.246 0.914 66 25 0.423 0.466 2.145 0.906 65 26 0.438 0.488 2.050 0.899 64 27 0.454 0.510 1.963 0,891 63 28 0.469 0.532 1.881 0.883 62 1 29 0.485 0554 1.804 0.375 61 1 30 0.500 0.577 1.732 0.^ 60 31 0.515 0.601 1.664 0.857 59 1 32 0530 о.а^ 1600 0343 53 33 0 545 o.e174 и «-0.I7G; б) н -3^0^. 12. а) (),(>: 2 5 8 « = -2.4. ctK«=---; б) 1^а- , 12 )Г> »-1. 18. а) 6) . 20. н) (;<)»««; С) 1; 1 ^^512 1 н) . 21. п) б) -i—; ») 3. 22. 0.6 к -0»8. 23. -- л —28. кЬихя.-.,,,, Jiiircx 13 13 V0 I 'JS \/8 ,, /и. и.»ш 1. , ИНОШ:'1‘»а и ОСПОШ10ХЧ) ТРИГОИОМС'1‘РНМ(‘(:)<ОГО ГОЖД«С:'Г1»1. 30. а) 170'; 12(1“, 50“; 6) 170“, 50’*, 120“; в) 120®, 170®, 50“ 31. а) 0) в) 32. 3 см II 8\/з см. 33. 255 сл?^ или 68^Лз см*', 39. п) 7 см; 6) 18 см; 11) 19 см. 40. 31> см, 41. 136". 4.3. 9. 44. 5 см или >/41 см. 46. V см. 46. м) 1> см и 7Ю9 см; 6) 14 см и 2\/l29 см. 47. ^.^/2(1-юо.ча) и а^2(1-сон«) , И.ЛН, П|)М рмлстш Гк*:* tocih'-mm косннусон, 2«cos^ и 48. 2\ЛЗсм и 14 см. 49. п) Тупоу1Ч)ЛьныЙ; б) прммоугольаын; в) остроупольнын- 50. ^ , “ , —^ : ocipoyj'OJib- 0 7 35_ ный. 51. й) 38 см; б) К см н 14 см. 52. 8 см н 9 см. S3. 4>/7 см. 54. . 55. 19 см. 14 58. А см. Укамние. Докажите. чтоАВСК — равнсбсдреииая rpniicjui», и примените теорему ccciiHv'COB • г»>^»у»«т^вике .4СЛ 59. -см, 4',^см. 60. 45® в 135.67. 1 и . 3 68. ] I сы: 6) 30 69. а| 6 rM: 6» 45". 70. 30' нлн 150\ 71. 9 м. 72. .2. 74 8 ^ 75. Ж = 12 ы, АВ 6.21 м. ВС-8.78 ж. 76. 2v2. 77. . 6iii| +-Э ! sin) 78. ^ *.79.24 м. 8%3c3i.80.3Cr. 60.90= а.та 30'. 120.30.81. ,г.{3 * stsu * V inf) f sin(a*«-^) sma-fainp-f ain(a-^f0 83. 10.625 CM. 84. Ун^иаиие. Есям Н — ортоц-^тр треугольника АВС, то г^ЛНВ = 18СГ ZC. 85. 60 и 120“. 86. AD>DB. 92. 1-50% -ЗД1 см. -З.П см. 93. 90®. 5 см, bS см. 94. а) а = 10.V, Ь 7.32, с - 5.18: б) г= 30^, а = 7.71, е = 3,92. 95. а) с 19. и - Ы. 0-ЮГ; б) а = 13, 0 28% т 32®. 96. Не успегот. 97. а) т=7Г. 6 16.78, г-18.11; б) с= 13. а 23% 9 22 98. а) а = 22% 0 = 8% 7=1^: б) с 28=. 0 62", у-ЭО*. 99. ij 0 21 . у - З^’. с Н.69; б) у- 32=, а = 142®. а = 11.65 или у- Ы8=. а 26®. а - 8.24: а) решений нет. 100. а) а 13®, 0- ЮГ, у=60®: б) 0^ 30% у- 128% е- 12.62 нлн 0 1ГЯ1. у = 8*. с - 2,22. 101. а) а 4. а - 42®, 0 = 108". Ь = 5,70 или а = 4, а = 138“, 0 - 12", 5 1,23; б) у- 45". е 13. а Пг’. 0 23® яли у==1.35®, с = 22,56. а 32", 0- 1,Г. 102. . BAD 15Р, ZASD- 60*. .-_АХ?В 105% ЛВ = 4 см. ЛХ?*= 3.59 сх. BD^ 1.07 см. 103. а) ОстроугольныЛ: - . - , sSnO-rylvV-25ccosn б) тупо>тольный; а) tx гро>тольный или тупоугольный. 104. —•• .-с «sinaalny /»1п(0-а) asinccsinP \г 105. . - . 106. 107. --тг---г-. 108. 50 м, 109. *28 см. Укалаш/г. 248 Г81Л0 СО80 sin(p-a) Ответы и указанную Докажите, что диатналь т|>апеции 5гвляется биссектртюй у1*ла при большем <к>ио вании 110. К,26 •'м. Уксиаииг. Докажите, что лилгональ TpiineuHii является биг секгри(ой уг.ы при меньшем основании. 111. Если ч >Ь - одно решение; если а - ь. то при о - Ьяии/ - два решения, при o = bsina — одно jiememie. при решений вот. 112. я) а •= 10, 6 » 14.14, с = 19,32: 6) а = 20, « ^ = 27, у ТО" . 113. а) о - 16, Л - 19. г^- 5: б) а = 4у^ , 6 = 10, с=2У73.114. ЛВ~ +Ь^-2аЬсое(ч * |i) . во . ЛО- It,». 1,5. . 116. 30 см». П7. 96 .-«■ /) \ S'n4/з т^\ С>) 24 н) 36 ^^м^ 121>. и) 25 см^; б) Юч/й ») ты-'. 126. 8 ш. 127. 30^ и 1б0‘'. 128.12 м. 129. а) 84; б) 156; и) 81; г) 201.130. 720 of. 131. 12. 132. и) 3 т и 6,25 см; 6) 2 см н 12»5 (‘.м. 133. 3 и 32,5. 1.34. н) ; fi) . Ыиа 2sin(yvBin((x-i‘[0 135. р) 16\/3 см’’’: 6) 10 шН ») 26 см^ 136. й)-200 см*; CS) 6\/з<:м*. Ушшшш. ВмЙдито инм" бо.'1ыии5 у1*ол Т1к'у)ч>лышка. 137. 18 см. 138. 3 см и 3\/3 см, 140. а) 12 и 1,5: 0) 8 п 2: В) 15 и 3. 141. п) 8 н 10,625; 6) 16 н 21,25. 143. 6 см и 12,5 см. 144. 4 см и 8,125 см. 145. К1 cм^ Утяапш*. Проведите череп вершину тушн’о уг.им н])ямую, пара'ллед)П1ую дпп-Г0Ш1ЛП 'j'ljmicHJiji. 146. 48 см*. Укажите. Проведите чорон Hcimmny тупого угла н1»1мук>, парнлле.»ьлую боковой сп)роне трапеции. 147. 12 см> 600 /б5 см или 17 см. 160. 1C рсрпшмр ннибодьшего угла. 161. 24 см, 20 см, 20 см. 162. 21-ом. 163. 18. Ука:тииг. Три медианы треут’олыппса при пересг^тнин делят данный rpcyiTwib-ннк 1ы шесть рашкзвалвкмх треугольникоз. 164. 2. Укамшиг. Пусть R — рлднчт. omiraiiijDft окружноств. Вырааите через Л длины отрезков BS и CN в заиншитт TeftiJCMy когипусов в треугольниках ABN я ACN. 166. 27 см. 167. Указание. Пронрлнп' диАпжя.ть. нгходлшую аз общего конца стореш а н , н вы|шлите площади подученных rp^vroTMiiiKou. 168. Указечие. С помощью теоремы когннугов локяжите, чт»» ги- Hvr угла между сторонами а и п равен —^------------ -- - —. I/O. 2 см. ah ■*{'лм Л(' ■ гипотенуза треугольника, О — центр описанной окружности, то ZAOt' ^ 13Г(‘\ Воспользуйтесь методо.'й площадей 3 треуголыписо ЛОГ. 171. —.172. / - . * 4 о -CJ Укаяаииг. Проведите через вершину меньшего оснонииия прямую, параллельиун« бокопой стороне, и примените к полученному треугольнику Ti^peMy косинусов, х’читыпая, что cv'Mxifi квадратов боковых сторон трапошш равна п'+б*. Глава II. Правильные многоугольники 181. и) 4; Г») 5: в) 18. 182. а) б) в) 144’. 183. а) 12; б) 12. 186. а) I сы; б) 2 /2 сч: в» 9 CV. 187. г) Зч5 см‘; б) 4 см: в) 24 см. 189. Зч'.Ч с.ч. 190. 4 см. 191. 5ч :* см^ 194. it 6: б» Гч at 12. 195. Ж 50 см: б1 6 см. 198. п) 2к:1гм-; 6^ 48 см': at 16 сч. 199. at 8 ‘ м . б( 27\8 суг: в) 6 см и 3 см. 203. 3:4. 204. 2v2R^ . 205. 6 ti 10 206. .1» 6; r»t 5. 207. 4:3v3;6. 208. 9:8>/3;18. 209. «. Rv2 ч-2 . a.,=Rs2 чЗ . 211. 30 . 170 и 160% 212. 5 см и 2 см. 220. а) 12к см; 6) 2 см. 221. а) 12д гм: кВ б) XI гм; в) Шд гм. 222. а) 2л см; б) 8я см. 223. - 1.4 м. 224. - 12097 км. 225. я) - : ^ ЗлК 1 . Г.Л 226. 10- гм. 227. -6 см. 228. - 432 « ' 229. л) 144* см': б» 9т см . 10 ■ 2U9 Ответы и указаний 230. а) 1бп см^: б) -Юп см*’. 231. Ил. ол и 7л. 232. 26 см. 233. а) 27л; 6) 40п: и) бл. 234. , ^*^(Ю71 + 3\/и). 235. а) (т см; б) Юэт v.m\ ») 2ч/.3л см. 236. IMi см^ 237. а) 24Jt с;м; 0) ЬОя см. 238. а) 'S^f2n : б) Ьп. 239. а) (>п; б) 15л. 240. 2,5 м и > 40 ^ 241. ] м, 242. а) 025л см^: б) 27л см^. 243. а) 16л см^: б) Ол см**. 245. . 246, II) (4п-37з); б) —{я-2): в) —(2h-8n^3). 247. а) --(2л-3ч/а); ,\ 8 Л 12 4 3.2 12 б) ■|‘^(8п+8ч/з). 248. б) 6п. 249. 6) 12в. 250. 4л с«'. 251. ЮОп см’. 252. (2п+з7я) см’. 253. 19 см. 254. 30 см. 255. . 256. (2я t^8) см. 257. а) Ист (контрпример — р*>мб); б) да. 258. ' . 259. + • 260. 0,75/. 261. 262. Мот: его углы рав)п.1 ч(!рса 8 2 один. 264. 1.25ло. Уктиишс, Дтптя окружность onijcana около раунобедрешюго тр(?-уго.'пджка с ocmaimiiKHvi о и боконой сто))оной . 265. . Ука:?апие. Докажи'со, что гроу)’0.11)*1жки ЛММ, KBNy 1^(-К и ра1.пюс’юро.1шис. 266. (Зб7з-16,5л]см, 4,&|й-\/з)см. Укаштн^. иы'жс.ч)»тс площадь трапецмл ()^BC(>\, и вычтите па шю ПЛ01ШГДН двух* секго|к>». Глава III. Декартовы координаты на плоскости 276. л1 Д(-1: 5fc 61 М -3: I). 277. а) £(12: I): б) 1ХЪ: -191 273. м 0(6; 9); б) Л{-3; 2). 280. 10; б) v'82 ; в) 13. 281. п) -2 или 6; 6) 2. 282. 16. 285. а) Щ-ii -3); б) В(4; 3). 286. х 2. V= -1. 287. п) Ш; 0): б) D{4; 5). 288. Щ-Ь 1). 289. JV. 290. а) (3: 0); б) (0; -3). 291. ЛС. 292. 5. 293. 2J2.296. (2; б). (6; 4), (~б; 10). Указание. Данные точки вместе с хаждоП из нсхамых вершпн образуип’ параллелограмм. 298. (2: 5). 300. 10. Указание. Докпж11*ге. • “ -. м.:- гяу - а>ный- 301. р = 24.-^ = 2;. 303 Середнн* п?; V^-. 311 t ' 3U. 'Г • 2i - U^ = 9: --5г^=25: X - ( . 1>^ = 4. 313. <. !t - - 1> 1г = ■ . О. 314. Я1 (Й; 61. -6); 6> (-8; 1.8: 6). 315. (-4: 0), (О; 0), (О; 2>. 316. 10; 3), О»; U, -.Л;0) . 317. В, С, Е. 318. г 6: 6| у = 2\ в) х - Зу О. 319. X у ^0,В. 320! а) (7; Я); б) (-2;'0) п (0; -6): в) (2; 2) а (-2; -2). 321. (0; -3). 322. (3; 3). 323. я> (3: I). Я-4: б) (О; 5), Я^ I. 324. а) . 331. а) (-3; I) и (б; 4): б) (2; 1) и (2; -1). 332. (3; 6); (1; 4); (5; 4). 333. а) х^ + Су- П' 25; б) (х Я)* ^ (у ~ 2)* 8 или (X- Я)*+ (у-6)“ = 8. 334. (х-^-З)' ' j/* = 25 или (х- 5)*-» 25. 337. 2J2. 338. 12; 2х 3^*3 0, 340. 15 с.м, 20 см. 25 см. 347. а) 2х + 2у .’) (); 61 х + у = 0. 348. 2.г-у-1=0 и х42у~ 3=0. 352. а) 2х-у*5 = 0; 6) ■* */ б. 353. 4х - 4у ^ 5 = о. 354. а) y = v^x-j-l : б) у= — х - 1. 355. Зх-*- 4у - 25 О, Зх -1у + 25 - о. 356. х-Зу+7 0 или х-3у-13 = 0. 364. Окружность рплну-са 0,5Я, каслницанся данной окружиостн вяутреыиим обрнапм в точке Л, бон точки А. Укаааииг. Uu6ep}fTp гнсте.му коордикаг так. чт« 0(0; 0) — центр ллннт>и окр'жногт.т. .4(Я; 0) 365. Прямал ox-fry-** ^ 0, где а и & х*.;:ь: катехь г;367. .«) JX1: 2h 6) 17<0; 1). 368. П7: 3). 0(4: -2). 370. (0; 1) (0: 9ь 371. .it ix 2| * (у - 1)‘ - 2о. х = -3. х = 7: б)х= - 3 »1лн х 7.у = 1. 372. ( ■ 2) - - (у 2|' - 4. 373. т • у - 1 0. 375- х - Ту - 25 = 0- 376. (х * 3) (у - 5>* = 25. 377. vl3 . 378. (X - 3) + (у + 2)* 25. 380. к - . 381. С(2; 1). 250 Ответы и указания Глава IV. Геометрические преобразования 393. Л' 70'. . Л' *)()'. 394. ZA = ^С = 40% ZB= 100'. 398. (>()" и 120“ 399. гЛ . \) 40 , /:н /х: 1'И)-. 423. н) (8; 1): б) (0: 9): в) (-4; 6). 424. п) ( I; б) (-«; -/>). 427. и) (.4: Oj; б) ( 2; Ь): и) (8; 0). 428. «) (а; ~Ь); 0) (-«; Ь). 429. а) у~-х; б) у ^ .г: п) i/= л*. 431. i\) (.v t 4)' i -t 0/1 2fi; П) {.V t (i)i' I (j/-5)*’ = 25. 432. a) // = -2; 5) // .v 1. 435. ») (.v i i l (^/ а)^е25;П)д* 2.436.а)л:’' + (у^6^=4;6).г = 0.445.(-4;0).(4;и)Л4;-4).463.и)( I): 0) (Г>; A). 464. U 1ЛИ1|лт.м(яшн положидчг.иь»ой по.чуоси оси 0.v iin 4 «дишщы. 465. ») ( 8; У); б) (б; -1). 466. ») Пот; (>) д«. 467. х' = .г.-9> = б. 471. 4, //«=*/ i>. 472. i •<■(//■ С>)^= 86. 473. Л'(2; 1)» С'(5; 2). 475. Топка JKiix-.OK’ioiwa с«рсди»ль1)! Ж!р-псмдмку.чяро» к отроакам АЛ' и ВВ'. 476. По.чожнть псрпую мож’ту и juaiTp «tmun, а остц.аьпыс м(тсты симмотрпчко относительно центра сто.ча к ходам протшжика. 477. Врать столько же конфет, сколько вея.ч ш;рт>1» nr])Oj<, по на д11у1*ой K{jpo0KM (т. с. дс.иать ходы, симметричные ходам 1и?рж»‘о иг1нжа). 4 80. 766 (;м”. 488. а) 12 см: б) 18 см. 489. 0,Й5. 490. а) 5; 6) 16 см^ 491. 18 см^ 492. 820 493. 40 см*', 495. Точка нересечез1ия продолжений боконых tcropoai. 498. п).(»,(): б) 2, 499. а) (-1; 5); 6) (1; 4). 500. ПИЮ cм^ 501. 24 см^ 502. 48 cм^ 505. v2:2, 515. У/ашишс. Применна'о симметрию отиосительж) данной чч)чк.)и. 516. Указаи14Г. Прмжтите симметрию отЕосгтЬлыю прям4»й I. 517. yKa^jaauf. П|тмс нитс 110во|ют Ш1 90' около точки D. 518. 10 см. Примените нпрплжмьнын 1юрс.нос и Ш1П|и11и}сиии луча СЮ, ва 10 см. 519. Укамние Примените симм(гг)>ню от ноентедьни се|>«'днш1иго псршадикуяяра к третьей стороне. 520. Указание. Отобтжзнте меньшую окружши'.ть симметрично относительно любой ее точки А. Искомая прямая проходит чср<П1 точку А и точку перессчеккя образа жшьшей окружности с 5«)лыш’Л. 521. Указание. Примените поворот {жохо течки А за 90*’, при котором точ’сл I) переходит п T'l iKy Л. 522. Ука шние. UycrhASCD (ADliBC’} игк<*мчя Tjuuta.ia. lit nw, • j .-i; ".v ii.ni.Mi ;:* ;h и<м! лиагонали BD 3 направлении "учл .47* >•:< p<*' '.-го-Я:;!,* Fi* 523. .'1.:. 524. г'- л i/ и 3; D(2i 1). 527. а) Середина orp-^ i* > ОО,; !;■. ) ЛИ. в) npuH.*ч (п :и О О}, jvjr-T-.si 530. Опр^жн**» VI.. п^мот^тичная лакнок относительяо ее г кгс«ф<^ииин>г.. 533. II; ,'ч-‘..гге спхутгрнзо - Т'-Г: . 537. Пр НУ.?ЬНТ€ ГО-ХегтеТЕЮ •• Ui'H'l- V \ 538 V. 0.5. ТЛ/-. Глава V. Векторы на плоскости 552- .1* ■ 1; ■>. Л ( л, -п: в1 (О: 554. ii 25: ':i 5: 3. 555. --i 6) АВ I J J: О. 13. 556. i3: 2». (-2: 7). 557. {3: ■'). 558. ЛЮ; -2к 560 ; : ,2 ,б.% 561. 9 и 7. 562. л) ромб; б) пряжптольннк: в) трг*"> i-i'a. 56S. 9 ;l.ui 566. I; им Ы; 2). 567. Н или 8. 568. (3; 1). чТо . 569. Да. 570. Нет. 573. 90* 587. . » t: 1 и ' 2; 3j; 6) 1 *. Ц и (0: -10). 588- а) о; б) ajs : в) а: г) а-. •> . 589. 0 о м: б) , оч'З “> а ; г1 о. 592. .1) а ; 6) -6 ; в) д-а. 593. а) -о; б) 6 - и : в) а &. 594. nj ; 1, :i; 7 ; ni ■ !.>• 595. аЮ 1: 211 б) (3: 6!: з) l2: 41.596 'c-li:“> ь: v 597. ai^ 6: б» ,S; tO 2,о. 598. aj 13: 6) 10: з> 12. 601. \) c-'' : 'V, 602. a) a Ь;б) j ft. 604. at Нет: 5) да: э) ла. 608. r ' 2i/^ 0. 609. 90.619. . I 1 I У и б) или , 620. n) Ml; -6); б) -27). 623. ABU; 6). ВЛ/1-2: 3). 625. 4: нс 3 ,1 Ответы и указания 626. а) 2; б) 30. 627. а) 0; б) 1. 628. а) -8: б) -2; в) 18. 629. а) 90=: б) 631. 6. 632.а) с(4: ЗК |ё| = 5: б) сП$:-1$). |с|« 13V2. 633.-3. 636. АВ=0.о^-Ь. 637. Д/> = 0,б(д+‘5). CjE) = -0.5!c—&j. 639. 14; да. 640. 6. да. или -6. нет. 641. = ZB - 22'; ZC-98*. 642. ZA = ZC=45*. ZB = 90^. 644. -1, 645. -1. 649. ИМ ^=^ b- I - 1 3 ^ Л/Л = - («+б|. 650. MD=-b-o . 651. 60®. 652. 0. 653. ii) 2^10; l3 ^ 6) 1.5; a) J- . Укамниг. Нанянте скалярный квадрат искомого векто(и1. 654. 120'. 655. 18 см и 48 см. 656. 34 см; прямоугольник. 667. Указание. Найди* тг скалярное ароизведенке зезсторов BM=BD’t^DM и АХ~АС+СК . 669. ЗО". 670. 7. 671. 4 : 4 . 674, 8.5 сх. 676. Г. 677. 6(2: -4). 678. 45. 679. -18; 18: 0. 680. Тупон. 682. ytcasafiue. Воси<1.чьауй’гось_тем, чго векторы-слагпемьк* имекгг рпниые д.’жим и сошшранлеиьз с ncK'j’OpaMH АВ и АС соответстконп(». 683. У/га-/чи'л шятршяч» 1№])(М!ече)шя укавашшх пр«л»ых совгшдают. Глава VI, Начальные сведения из стереометрии 700. Ист. 701. Да. 703. 24 сн. 704. 24 см. 714. 10 см. 715. Да. 722. 18%/з см». 723. 1Г». 734. я) 180 гм»: б) 312 см*’; в) 60 см^. 735. а) 72 см^; б) 516 см*. 736. 9\^ см*. 737. а) 138 гм»; б) 94 см». 738. а) а\'з ; 61 20 см». 739. а) 36 см»; б) 105 см*. 740. 90". 741. 6 см. 6 см. 742. а) 120 сал»: б) 64 слг: з) б см*. 743. 3 см. 744. а) 3 см, 6 см п 7 см; б) 16 см». 745. а) 200 см-’: б) 144 см^. 746. 624 cм^ 747. а) 24 смЧ 6} 36 сз.*. 748. ^ . 749. я) 210 си^: б) 1WV3 гм»; п) 27 см». 750. 18^^ см». 751. я) 96 см*; б) 90 см*. 752. 516 см». 753. 676 см*. 755. ■ 756. ^^d*sin'a.cosa. 757. 2бя с.м. 758. m(l + tg'actg'T)* 766. 49к с.м*. 767. а) 80к см»; 6) 100к сх». 768. а) 64.^» см»; б) Збк см». 769. 3 см, Зч'З см. 770. л) 65я см ; б» 7TiH см». 771. 24я см». 772. саг. 773, а) 45к см*: б) 18л см*: в) 36л см*. 774. е| 80s см»: б1 9л гм»: в) 972з см». 775. а) 2лг»81пасо5о: б) 368л гм». 776. ббл см». 777. 600л см’. jtT/» 778. 16л см». 779. 192л см*. 780. 36л 781. в) --: б) 9л см*. 782. 96л см». 783. 2лВ. 4sin» а 784. <#»1па. 785- - . 786. -гЛ' - 2\г. 3 Задачи на повторение курса геометрии 7—9 классов 787. II см. 788. 40®. 792. 25\ 65®. 793. 40*. 50\ 794. Батъше 13 см. яо меньше 17 см. 797. 5о г 13*Гг. ^9. 70\ 55®. 55® ^тв 110 . 35®. ЗУ. 800. 10 см. 801. 112 гм н ti-i гм. 802. 3(> см, 8(W3 см*. 803. 12>/3 см*. 804. 5 см. 805. 156 см*. 806. 225п cм^ 807. н1н[^ 808. 5. 810. 0. 811. 46^ 46% 9(Г. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ /% Л6сц11<5(^п ТОМКИ 83 Апофомм пр»Ш1.'п.лой пирамиды 218 В Нокопак попо])Х1ШС!Т1. конуса 227 ----пирамиды 238 -----]jpiniwn>i 218 -----};м.мж1Д).м» 225 Иококыс j'pmin 1)и)>амидх.1 217 -----арнамы 215 J5oKoia»m po5j)a ниралзиды 217 -------арннмы 215 1$ Вектор 165 Высота конуса 226 — пирамиды 218 — призмы 215 — а^нлиндрл 226 Г Геометрическое преобразовавне 115 Гомотетия 141 д Движение 116 Декартовы координаты 83 Длина вектора 165 — окружности 63 К Коллинеарные векторы 166 Конус 226 Координатная ось S3 — плоскость 83 — четверть 84 Координатный вектор 193 Координаты вектора 168 — точки 83 Косинус угля от О® до 180” 8 Котангенс угла от 0^ до 180^ 8 Коэффициент гомоч'гтии И1 — подобия 140 Круговой сез’мен'!' 67 — сектор 66 Куб 236 М Метод BCKTOiJn з>1Й 189 “ коорди:на'1‘ 99 — иарйллел1>ц()го иеренооп 153 — з10во])ота 350 — симметрии 3-18 Миогограиишс- 235 Н Начало координат 83 Нулевой воктор 166 О Объем 219 — конуса 228 — пирамиды 220 — призмы 220 — цилиндра 228 — шара Орлнзата точки S3 ОсЕозаяие когуса 226 — пирамиды 217 Оенозания призмы 215 — хщлиндра 225 Ось абсцисс 83 — конуса 226 — ординат 83 — симметрии 123 фигуры 123 — цилиндра 225 П Параллелепипед 216 — прямой 216 — прямоугольный 216 253 Предметный указатель Пара-^лольные прямые в пространстве 207 Пара-тлрльный перенос 131 Перипиднкуляр иа точк»! к плоскости 209 Пи1)нммда 217 — и]»м1ш.ш>нал 218 Пжкосог.ть 207 Г1Л(НЦМД1* боковой ПОВ{)]>Х1ЮОТИ конуса 227 — — пирамиды 218 — — IЦ>и^^^9Ы 2.10 “ — цилиид])л 226 — круга 65 )м>.и)юй noBej)XMoc'j'n конуса 227 — — пирамиды 218 ^ — призмы 2Ш ^ — 1шлмнд1)а 226 — *и|)оры 227 Поворот 129 Подоблыг фигуры 140 Праяильпьгй многоугольник 53 Прсоб1)азованне подобии 140 Приама 215 — наклонная 216 правильная 216 — прямая 215 Проскипи вектора на ось 193 Протмпоиоложио штрпплспные некторы 166 — лупи 131 Проти иоположиые векто|ни 175 П]зямая, перлендикуляриая плоскости 209 Равные (секторы 166 — фиг>^ы 118 Радиус цилиндра 227 — шп|)а 227 Разность векторов 175 Ребра многогранника 215 Симметрия относитеиъно прямой (осевая) 128 — отпоентельио топки (дептрплытя) 121 — 1Ю])спо(:ная 132 — Ш1в01)(т1ая 130 Синус y.ivia (ГГ 0^ до 180'' 8 Скаля)>14оо ирошведен ме векч’оров 1Н2 Скалярлый квадрат в<м<тора 182 Скрещпшлощиеся прямьк* 209 Сояап]>аыле11ные векторы 166 — лучи 131 Стереометрия 206 Сумма нск1х>роз 173 Сфера 227 У Угловой коэффшшент прямой 100 Угат между векторами 182 — поворота 129 Умножепис вектора нн чиачо 180 Уравнение окружности 90, 91 — прямой 92 ц Центр попорота 129 — CHMMOTjmH 121 -----фигуры 121 — imi)>n 227 Центральный угол правильного асвого^гольннка 54 Цилиндр 225 Ш Шар 227 254 .........\Н) .......107 СОДЕРЖАНИЕ Клк польаивлтъся учебником .....................................3 ГЛАВА I. РЕШЕНИЕ ТРЕУ ГОЛЬНИКОВ .............................. .5 1. Тригонометрические функции уг юв т О' до 180' ......... . ' § 2. Т»‘орг*ма кос1!Я\хоз z ег • > , гвия . , , . ......... . . 1» i 3. Т* оромп скнусоз S ее • v ;и:твш1 -.....................- 20 i, 1. Решение треухо.тьнккои ............................ .... 2S ^ Ь. Примеиеш(е трягоЕОметричегк||х функций I. нахождению плопшдей .. . , ......................... 33 Ит -и и главы I .............................................. . -11^“ ГЛАВА II. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ........................... .61 $ (I. (Чиканная п сшнсазная окру'жности п^ииш.лыюго мжзгоуюаьниж^ ... 63 § 7. /tniiHA окружности н TuiouMtAb крут...................... Птогн главы II..................................................71 ГЛАВА Uh ДЕКАРТОВЫ ЖЮРДШОЛТЫ НА ГМЮОК-ООТИ.......................Ж g It. 11]>о(1Ч'«йцше вадй'ш в коордлимшх......................КЗ S 11. Уршпк^пия (ноджнос'гк и прямой ........................НО S 10*. КЗОТОМ )^сх)рд)|щат........................* .. Нч'оги г.1|/шь) Ш ................................... Г,ПАПА IV. П5(Ш).ОТ>ШЧЮКИ:Е ПРЮЗ^РЛКОВАНИИ ...................113 \ '\. Дшожезшо..............................................111> ^ .12г, й ppentui cHMMO'j'piDi ....................1й:1 й 13. Поиоро'!' и 1иградлелыоо1'4 mipoxioo ...................120 S 14, Подобж-: фигур ....................................г *.. МО ^ И>*. Метод )’еометрИ'Уеоких ирообрлапношай................. 148 Ит<1ги главы IV ...............................................15Й ГЛАВА V. ВЕКТОРЫ НА ЛЛОСКО(ГГИ ................................163 § 10. Начальные сзед^кя о иекторах ...........................165 § 17. Сложение и вычитание век’Л)р<т .........................173 § 18. Умножение вектора на число. Скалярное про»1зведенне векторов ................................................IHO 10 V Векторный метол ......... . ...................... ... 189 Итоги главы V ...................... ......................... 198 ГЛ Ла^\ VI. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ^Л^ЕОМЕГГРИИ...............206 ; 2<‘. Прямые а essocsoct» ' - . . ... ...... . . . ^ 21. Мч'-^*'гранннкЕ - - ■ ..... .................. - .ГС. • - Т“.^: spasiesss ....... ■ ......... ;г ; -W \1 ......................... .................... 3\ЛаЧИ на nOBTCg^EHHE -Г Р* Л ГЕогГЕТРШТ *-9 К-ТАСГ^-В. [РИЛоЖЕНИЯ 1Г п. -liJtf '/.v Е Д.ТЕНЛ OKp>:v:-. .' ■Гг!е 2. Пара.т.хь.'тън^ ’ коорлинаг . -Пр1' ' > 3. Нлложенне. г.гн; f! :♦ vii^f 4. Табднда .тз<>ч-н ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ .... с Kpjxa -.г.- т ...вой -Ь-уА ; -м№ -. ............ •М4 грнческих функций ^-.0 i _ 248 т'КЛМКТНЫЙ УКАЗАТЕ.11Ь ....................................й.'|« П1лручник внлянай за рахунок Kounia видавннцтва. Продаж лозволсяо Н а,в/Ч1 а: .»1 э> п й и д а п н w Ш^ЛЮВА. Алла Пепгр1тт^ гсхтвотдыю ладим Волод\1.т1}ювич, тчшшшвський о ле1штдр Фелиишил, (■уРШОВ CepeMi Володимирович. ГБ0МКТР1Я.9клас 111дру*111як длязагальмо<к’.в1тн1х павчадьпнх заклад1в (роеШськик Mowjio) Флххят^^ резазттор Г. Ю. Brnpitc. Реддктор /.Л. Морела. Т«хж1*ппкД редактор А Я. Т<л^р^охл^6. Коректор И. Я. Ярогна Шд1Шсааоавдрук730.0$.09.ФсФЭ1ат 70^90 16. Шшр офес7И11Й. Гарягтура ТЛИtmih. Друк офсеткг^Т>г. хрук. арк. 16.72. Обя.*вах арк. 22.09. ТОВ ВидАнкншэо «Рагок». С«1додгао ДК М3322 sia 26.11.2006. 61071 XajHdB. «уд. Шбаип^кпд. 27, к. 136. Адреса регзкд^ 61145 Харю», аул. Koaci«tita. 21а. Тед. (05T>TI9'4S-65. тел., фаю: (057)719-58-67. Идя дзепж; 61045 Xapida, а/е3355. У-гттдт!; оСПое^тапок.кЬаНппг.оа •епг*Л1аок.со*.вж Плдрузйоеаеоу друзаршПП «Тр^адат». ж. Xaptds.sya. Карпами, 19. Tas. 757'98'16.703 12'21. Заж. I |^]^ГОЩЭЛЩ1ШЗВ ndpii.v\eAorpaMM Треугольник S=ah ah. П РЯГ»5 0>ТОЛЬН1Ж S^ab Прямоугольный тре>толышк '1 ,ivi:4: s Кполрат Трапедия S=-Ь)(р-с) р = a-rb-^e 1^ Г I ...и ■■I ;' окружжоепъ Ошилмнып четырехупж\1^||к Бипошюлк четырех>та\ы1ик УгЛЫ 8 ОКруЖНОСТН AMMB=-CM'MD "J3 Ci>'= GA- СВ РЛ РИ= PC-}Ф И Ф /гИШ 3BtiM4;HB9 rpaxxmonerptrttcnax :|>укхц«1А нгкоюрых I а 30^ 45* ВО* и Ь 81пп^— cosa= — е с а . Ъ iga»— ct«a=— ^ а зша cosa tga ctga Т V2 2 г 1 2 v3 Т >5 3 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА ein*a-^cos*a=l tga = gin а cosa ctge = cosa sna