Учебник Геометрия 8 класс Мерзляк Полонский Якир

Алгоритм успеха ФГОС Москва Издательский центр «Вентана-Граф» 2013 ББК 22.151я72 М52 Учебник включён в федеральный перечень Мерзляк А.Г, М52 Геометрия : 8 класс ; учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М. : Вентана-Граф, 2013. — 208 с. : ил. ISBN 978-5-360-04382-9 Учебник предназначен для изучения геометрии в 8 классе общеобразовательных учреждений. В нём предусмотрена у ровневая дифференциация, позволяющая формировать у школьников познавательный ин герес к математике. Учебник входит в систему «Алгоритм успеха». Содержание учебника соответствует федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования (2010 г.). ББК 22.151я72 ISBN 978-5-360-04382-9 © Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., 2013 © Издательский центр <»Вснтана-Граф>', 201.^ От авторов Дорогие восьмиклассники! В этом учебном году вы продолжите изучение геометрии. Надеемся, что вы успели полюбить эту важную и красивую па)тсу. а следовательно, с интересом будете овладевать новыми знаниями. Хотелось бы верить, что этому будет способс твовать учебник, который вы держите в руках. Учебник разделён на четыре главы, каждая из которых состоит из параграфов. В параграфах изложен теоретический MaTcpMiui. Обращайа е особое внимание на текст, выделенный жирным шрифтом. Обычно изложение теоретического материала завершается примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из возможных образцов оформления решения. К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного решения. приступать к которым советуем лишь после усвоения теоретического материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности, так и сложные и высокой сложности. Свои знания можно проверить, выполняя задания в тестовой форме, помещённые в конце каждой главы. Каждый параграф завершается особой рубрикой, которую мы назвали «Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте». В ней собраны задачи, для решения которых нужны не специальные геометрические знания, а лишь здравый смысл, изобретательность и смекалка. Эти задачи полезны, они развивают «геометрическое зрение» и инту ицию. Если после выполнения домашних заданий останегся свободное время и вы захотите узнать больше, то рекомендуем обратиться к р)брике «Когда сделаны уроки». Материал, изложенный в ней, не простой. Но тем интереснее испытать спои силы! ДерзаЙ1с! Желаем успеха! Условные обозначения о\ ос V Простые задачи Задачи средней сложности Сложные задачи Задачи высокой сложности ? Ключевые задачи, результат которых можно использовать при решении других задач < Окончание доказательства теоремы или решения задачи 531 Задания, рекомендуемые для домашней работы 423 Задания для устной работы Глава 1. Четырёхугольники В ЭТОЙ главе рассматривается знакомая вам геометрическая фигура четырёхугольник. 6 курсе геометрии вы познакомитесь с отдельными видами четырехугольника: параллелограммом, прямоугольником, ромбом, квадратом, трапецией, изучите свойства этих фигур и узнаете о признаках, с помощью которых среди четырёхугольников можно распознать такие фигуры. Вы изучите свойства отрезка, соединяющего середины сторон треугольника, и убедитесь в том. что эти свойства могут служить ключом к решению целого ряда задач. Как измерить дугу окружности? Около какого четырёхугольника можно описать окружность? В какой четырёхугольник можно вписать окружность? Изучив материал этой главы, вы получите ответы и на эти вопросы. § 1, Четырёхугольник и его элементы На рисунке 1 отрезки АВ и ВС имеют только одну общун> точку В, которая является концом каждого из них. Такие отрезки называют соседними. На рисунке 2 каждые два отрезка являются соседними. Заметим, что отрезки АВ и CD на рисунке 3, д, б не являются соседними. Рассмотрим фигуру, состоящую из четырёх точек А, By С, D W четырёх отрезков АВу ВС^ CDy DAy таких, что никакие два соседгшх отрезка не лежат на одной прямой и никакие два несоседних отрезка не имеют общих точек (рис. 4). Фигура, образованная этими отрезками, ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 5 зелёным цветом. Эту часть плоскости имеете с отрезками АВ, ВС, CD и DA называют четырёхугольником. Точки А, В, С, D называют вершинами четырёхугольника, а отрезки АВ, ВС, CD, DA — сторонами четырёхугольника. На рисунке 6, а, б изображены фигуры, состоящие из четырёх отрезков АВ, ВС, CD, DA и части плоскости, которуто они ограничивают. Однако эти фигуры не являются четырёхугольниками. Объясните почему. Стороны четырёхугольника, являющиеся соседними отрезками, называют соседними сторонами четырёху! ольника Вершины, являющиеся концами одной стороны, называют соседними вершинами четырёхугольника. Стороны, не являющиеся соседними, называют противолежащими сторонами четырёхугольника. Несоседние вершины называют противолежащими вершинами четырёхугольника. На рисунке 7 изображён четырёхугольник, в котором, например, стороны MQ и M7V являются соседними, а стороны NP и MQ — противолежащими, вершины Q ]с\ Р — соседние, а вершины М w Р — противолежащие. Четырёхугольник называют и обозначают но его вершинам. Например, на рисунке 4 изображён четырехугольник ABCD, а на рисунке 7 — четырёхугольник MNPQ. При обозначении четырёхутольника буквы, стоящие рядом, соответствуют соседним вершинам четырёхугольника. Например, четырёхугольник, изображённый на рису нке 7, можно обозначить так: PQMN, либо MQPN, либо NPQM и т. д. Сумму длин всех сторон четырёхугольника называют периметром четырёхугольника. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырёхугольника. называют диагональю четырёхутольника. На рисунке 8. а, б отрезки АС и BD — диагонали чс1 ырёхутольника ABCD. Углы АВС, BCD, CDA, DAB (рис. 9) называют углами четырёхугольника ABCD, В этом четырёхугольнике все они меньше развёрнутого утла. Такой четырёхугольник называют выпуклым. Однако сущеч гвуюз' че- в тырёхугольники, в которых не все углы меньше развёрнутого. Например, на рисунке 10 угол В четырёхугольника ABCD больше развёрну10го. Такой четырёхугольник не является выпуклым. Подробнее с выпуклыми многоугольниками вы ознакомитесь в § 19. Углы АВС и ADC называют противолежащими углами четырёхугольника ABCD {см. рис. 9, 10). Также противолежащими являются углы BAD и BCD 6 Теорема 1.1 Сумма углов четырёхугольника равна 360^. Доказательство В четырёхугольнике проведём диагональ, которая разбивает его на два 'греугольника. Например, на рис)а1ке 11 это диагональ BD. Тогда сумма углов четырёхугольника ABCD равна сумме углов треугольников ABD и CBD. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то сумма )тлов четырёхугольника равна 360°. < б| Следствие В четырёхугольнике только один из углов может быть больше развёрнутого. Докажите это свойство самостоятельно. Q Задача 1. Докажите, что длина любой стороны четырёхугольника ^ меньше суммы длин трёх остальных его сторон. Решение. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD (рис. 12, а). Покажем, например, что АВ < AD + DC + СВ. Проведём диагональ АС. Применяя неравенство треугольника для сторон АВ и АС соответственно треугольников АВС и Л£>С, получаем неравенства; АВ < АС + СВ, АС < AD + DC Отсюда: АВ < АС + СВ < AD + DC + СВ, Следовательно, АВ < AD + DC + СВ, ◄ Задача 2. Постройте четырёхугольник по двум соседним сторонам и четырём углам, каждый из которых меньше развёрнутого. Решение. На рисунке 12, б изображён четырёхугольник ABCD, в котором известны длины сторон АВ и ВС, а также все его углы. В треугольнике АВС известны две стороны АВ и ВС и угол В между ними. Следовательно, этот треугольник можно построить Это построение позволяет получить отрезок АС и углы ВАС и ВСА, Отсюда, зная углы четырёхугольника при вершинах Л и С, можно получить углы DAC и DCA, Таким образом, в треугольнике ACD известны сторона и два прилежащих к ней )тла. Его тоже можно построить. Проведённый анализ показывает, как строить искомый четырёхугольник. 8 Строим треугольник по двум данным сторонам четырёхугольника и углу между ними. На рисунке 12, б это треугольник АВС, Далее строим треугольник ACD по полученной стороне АС и найденным углам DAC и DCA, Четырёхугольник ABCD — искомый. < 1. Объясните, какие отрезки называют соседними. 2- Объясните, какую фигуру называют четырёхугольником. 3. Какие стороны четырёхугольника называют соседними? Противолежащими? 4. Какие вершины четырёхугольника называют соседними? Противолежащими? 5. Как обозначают четырёхугольник? 6. Что называют периметром четырёхугольника? 7. Что называют диагональю четырёхугольника? 8. Какой четырёхугольник называют выпуклым? 9. Сформулируйте теорему о сумме углов четырёхугольника. Г Поа1<тические задания Начертите четырёхугольник, в котором: 1) три угла тупые; 2) два соседних угла — прямые, а два других не являются прямыми; 3) одна диагональ точкой пересечения диагоналей делится пополам, а другая не делится пополам; 4) диагонали перпендикулярны. Начертите произвольный четырёх)Тольник, обозначьте его вершины буквами М, К, Е, F. Укажите пары его соседних сторон, противоле-жau^иx сторон, противолежащих вершин. Запишите три каких-нибудь обозначения этого четырёхугольника. Начертите четырёхугольник, в котором: 1) три угла острые; 2) два противолежащих угла — прямые, а два других не являются прямыми; 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам. Упражнения Среди фигур, изображённых на рисунке 13, укажите четырёхугольники. 9 Рис. 13 6 г Д Ж Назовите четыре каких-нибудь обозначения четырёхугольника, изображённого на рисунке 14. Укажите: 1) вершины четырёхугольника; 2) его стороны; 3) пары соседних вершин; 4) пары противолежащих вершин; 5) пары соседних сторон; 6) пары противолежащих сторон. Среди четырёхугольников, изображённых на рисунке 15, укажите вы пуклые. 8. Найдите углы четырёхугольника, если они равны между собой. 9. В четырёхугольнике ABCD известно, что ZB = ХбО*", ZA = ZC = ZD, Найдите неизвестные углы четырёхугольника. 10. Один из углов четырёхугольника в 2 раза меньше второго угла, на 20*" меньше третьего и на 40® больше четвёртого. Найди ге углы чегырёх-угольника. 10 со \ 11. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3. 10 и 21. Является ли этот четырёхугольник выпуклым? 12. Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым? 13. Может ли у четырёхугольника быть: 1) три прямых угла и один острый, 2) три прямых угла и один тупой; 3) четыре прямых угла; 4) четыре острых угла, 5) два прямых и два лупых угла; 6) два прямых угла, один острый и один тупой? 14. Периметр четырёхугольника равен 63 см. Найдите его стороны, если 9 вторая сторона составляел - первой, третья — 50 % второй, а четвёр- 3 Tail — 150 % первой. 15. Найдите стороны четырёх)тольника, если одна из них на 2 см больше второй, на 6 см меньше третьей, в 3 раза меньше четвёртой, а периметр равен 64 см. 16. В че тырёхугольнике ABCD стороны АВ и ВС равны, а диагональ BD образует с этими сторонами равные углы. Докажите, что стороны CD и AD также равны. 17. Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, одна из его сторон равна 6 см. Чему равна противолежащая ей сторона четырёхугольника? 18. В четырёхугольнике MNKP известно, что MN = NK, МР = РК, ZM= 100°. Найдите угол К. 19. Б четырёхугольнике ABCD диагональ АС образует со сторонами АВ и AD равные углы и со сторонами СВ и CD также равные углы, АВ = 8 см, ВС - 10 см. Найдите периметр четырёхугольника ABCD. 20, В треугольнике АВС известно, что ZA = 44°, ZB = 56°. Биссектрисы АК и ВМ треугольника пересекаются в точке О. Найдите углы четырёхугольника: 1) МОКС\ 2) лове. 21- В треугольнике АВС известно, что ZA = 36°, ZB = 72°. Высоты АЕ и BF треугольника пересекаются в точке Н. Найдите утлы четырёхугольника: 1) СРНЕ\ 2) АСВН. 22, Найдите диагональ четырёхугольника, если его периметр равен 80 см, а периме1ры треугольников, на которые эта диагональ разбивает данный четырёхугольник, равны 36 см и 64 см. 23, Могут ли стороны четырёхугольника быть равными; 1) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 9 дм; 2) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 10 дм? 11 25. 24. В четырёхугольнике ABCD известно, что ZA - ZC = 90^ Докажите, что биссектрисы двух других углов четырёхугольника либо параллельны. либо лежат на одной прямой. Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырёхугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырёхугольника равны. 26. Постройте четырёхугольник по его сторонам и одному из углов. 27. Постройте четырёхугольник по трём сторонам и двум диагоналям. 28. Постройте четыр>ёхугольник по его сторонам и одной из диагона;1ей. 29. Постройте четырёхугольник ABCD по углам А w В, сторонам АВ и ВС и сумме сторон AD и CD. Готовимся к изучению новой темы 30. Прямая с пересекает каждую из прямых а п Ь (рис. 16). Укажите пары накрест лежащих и пары односторонних углов, образовавшихся при этом. Каково взаимное расположение прямых а и by если: 1) Z1 = Z4; 2) Z1 = 20% Z3 = 170^? 31. В четырёхугольнике ABCD (рис. 17) ZC = 110°, ZD ~ 70°. Докажите, что ВС II AD. 32- В четырёхугольнике ABCD известно, что ZZl = ZB = 90°, ZC = 100°. Являются ли параллельными прямые: 1) ВС и AD\ 2) АВ и CD? 33. На рисунке 18 AD = ВС, AADB = ZCBD Докажите, что АВ - CD и АВ II CD. 34. Отрезок ВК — биссектриса треугольника АВС Прямая DK параллельна стороне АВ и пересекает сторону ВС в точке D, ZBDK =116° Найдите ZBKD. Пов горите содержание пунктов 12, 13, 14 на с. 199-200. 12 Наблюдайте, рисуйте. ----- консгруируйте^Фантазир^йте 35. Белая плоскость произвольно забрызга!1а чёрной краской. Докажите, что на плоскости найдётся отрезок длиной 1 м, концы которого закрашены одним цветом. S 2. Параллелограмм. параллелограмма Определение Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны. На рисунке 19 изображён параллелограмм ABCD. По определению параллелограмма: ЛВ || CD, ВС || AD, Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма. Б Теорема 2.1 \ Противолежащие стороны параллелограмма равны. Доказательство На рисунке 19 изображён параллелограмм ABCD. Докажем, что AB=CDhBC = AD. Проведём диагональ АС. Докажем, что треугольники АВС и CD А равны (рис. 20). В этих треугольниках сторона АС — общая, углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС, углы S и 4 равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС {см. рис. 20). Следовательно, треугольники АВС и CDA равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда АВ = CD и ВС = AD. < Рис. 19 Рис. 20 В С В 1 С СП А D \ А D ■ — ■ 13 в Теорема 2.2 Противолежащие углы параллелограмма равны. Доказательство На рис7пке 19 изображён параллелограмм ABCD. Докажем, что ZA^ZCvi = ZD. При доказательстве предыдущей теоремы было установлено, что isABC - ACDA {см. рис. 20). Отсюда ZB = ZD. Из равенства углов I и 2 и равенства углов 3 и 4 следует, что Z1 + Z3 = Z2 + Z4. Следовательно, ZBAD^ ZBCD.< Si Следствие л V Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником. Докажите это свойство самостоятельно. в Теорема 2.3 Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Доказательство На рисунке 21 изображён параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажем, что АО = ОС и ВО = OD. Рассмотрим треугольники AOD и СОВ. Они равны. Действительно, Z1 и Z2, Z3 и Z4 равны как накрест лежащие при параллельных прямых АО и ВС и секущих АС и ВО соотвспственпо. По теореме 2.1 имеем; АО = = ВС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда АО - ОС, ВО = ОО. ◄ Рис. 21 в С А —1 { D & Определение Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противолежащую сторону. На рисунке 22 каждый из отрезков AF, QE, ВМ, СК, P7V является высотой параллелограмма АВСО. 14 ? Из курса геометрии 7 класса вы знаете, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от второй прямой. Поэтому QH и BM^PN^ СК. Говорят, что высоты ВМ, СК, P7Vпроведены к сторонам ВС и AD, а высоты AFy QE — к сторонам АВ и CD. Задача 1. Докажите, чю прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Решение. Через каждую вершину данного треугольника АВС прове* дём прям)10, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник (рис. 23). Из построения следует, что четырёхугольники АСуВС и АВСВу — параллелограммы. Отсюда АС у = ВС - АВу Следовательно, точка А является серединой отрезка BjC,. Так как прямые B,Cj и ВС парал,г1ельны, то высота АН треугольника АВС перпендик)^лярна отрезку В,Ср Следовательно, прямая АН ~ серединный перпендикуляр стороны В^Су треугольника АуВу(\. Аналогично можно доказать, что прямые, содержащие две другие высоты треугольника АВС, являются серединными перпендикулярами сторон С^Ау и А^Ву тре угольника АуВуСу 1'ак как серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке, то решение задачи завершено. < Задача 2. Биссектриса lynoro угла параллелограмма делит его сторону в отношении 2:1, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 60 см. 15 Решение. Пусть биссектриса тупого угла В параллелограмма ABCD (рис. 24) пересекает сторону AD в точке Л/. По условию AM: MD = 2:1. Углы АВМ и СВМ равны по условию. Углы СВМ и АМВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD Vi секущей ВМ. Тогда ZABM = ZAMB, Следовательно, треугольник ВАМ — равнобедренный, отсюда АВ = AM. Пусть MD - X см, тогда АВ - AM - 2х см, AD - Ъх см. Так как противолежащие стороны параллелограмма равны, то его периметр равен 2{АВ + AD). Учитывая, что периметр параллелограмма равен 60 см, пол)^-чаем; 2(2х -h Зх) = 60; дг= 6. Следовательно, АВ = 12 см, AD = 18 см. Ответ: 12 см, 18 см. щ 1. Какой четырёхугольник называют параллелограммом? 2. Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма? 3. Каким свойством обладают противолежащие углы параллелограмма? 4. Каким свойством обладают диагонали параллелограмма? 5. Что называют высотой параллелограмма? Г Практические задания 36- На рисунке 25 изображён параллелограмм ABCD. Сделайте такой рисунок в тетради. Проведите из точек В и М высоты параллелограмма к стороне AD, а из точки К — высоту к стороне АВ. 16 Упражнения 37. Две параллельные прямые пересекают три другие параллельные прямые. Сколько при этом образовалос ь параллелограммов? 38. На рисунке 26 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неправильно (длины отрезков даны в сантиметрах). 39. 40. 41. 42. ? 43. 44. Хватит ли 40 см проволоки, чтобы изготовить из неё параллелограмм со сторонами: 1) 14 см и 8 см; 2) 16 см и 4 см; 3) 12 см и 6 см? Периметр пара;1лелограмма равен 112 см. Найдите его стороны, если: 1) одна из них на 12 см меньше другой; 2) две его стороны относятся KiiK 5 : 9. Найдите стороны параллелограмма, если одна из них в 5 раз больше другой, а периметр параллелограмма равен 96 см. В параллелограмме ABCD известно, что АВ = 6 см, АС = 10 см, BD — 8 см, О — точка пересечения его диагоналей. Найдите периметр треугольника COD. Докажите, что сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна ШО”. В треугольнике АВС известно, что ZЛ = 35°. Через произвольную точку, принадлежащую стороне ВС, проведены две прямые, параллельные сторонам АВ и АС треугольника. Определите вид обра;ю-1гавшегося четырёхугольника и найдите все его yivibi. 2-748 17 о6^\ 45. Найдите углы параллелограмма ABCD (рис. 27), еаги Z.ABD = 68^ ZADB = АТ. 46. В параллелограмме ABCD диагональ АС образует со стороной АВ угол, равный 32“, /BCD - 56“. Найдите /CAD и /D. 47. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке Л/. Определите вид треугольника АВМ, 48- На^гдите углы параллелограмма, еоги: 1) сумма двух его углов равна 100“; 2) разность двух его углов равна 20“; 3) два его утла относятся как 3 : 7. 49. Найдите утлы параллелограмма, если один из них: 1) в 2 раза болг.ше другого; 2) на 24“ меньше другого. 50. Стороны параллелограмма равны б см и 10 см. Может ли одна из его диаг оналей быть равной 16 см? 51. Высота ВК параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрез ки ЛК и KD такие, что АК = 4 см, KD = 6 см. Найдите углы и пери* метр параллелограмма, если /АВК = 30“. 52. Один из углов параллелограмма равен 45“. Высота параллелограмма, проведённая из вершины чупого угла, равна 3 см и делит cxopoity параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма и углы, которые образует диагональ, соединяющая вершины тупых углов, со сторонами параллелограмма. 53. В парал;1елограмме ABCD извесч но, что /С = 30“, высота ВН, проведённая к стороне CZ>, равна 7 см, а периметр параллелограмма равен 46 см. Найдите стороны параллелограмма. 54. Даны параллелограмм ABCD и тре)тольник MKN. Могут ли одновременно выполи5ггься равенства /Л - /М, /В - /К, /С = /Nt 55. Докажите, что вершины В w D параллелограмма ABCD равноудалены от прямой АС. 56. Докажите, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого принадлежат прогиволежащим сторонам параллелограмма, делится этой точкой пополам. 57. Периметр параллелограмма ABCD равен 24 см, /АВС = 160“, диагональ АС образует со стороной AD угол 10“. Найдите стороны параллелограмма. 18 63. 64. 58- Диагональ BD параллеио1'рамма ABCD образует со стороной АВ угол 65", ZC- 50", АВ = 8 см. Найдите iiepuMeip парал-челограмма. 59- Найдите углы параллелограмма А BCD у если BD .1 АВ и BD = А В. 60. Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы 30'' и 90". Найдите стороны параллелограмма, если его перимезр равен 36 см. 61. Вне параллелограмма ABCD проведена прямая, параллельная его диагонали BD, которая пересекает прямые АВу ВСу CD и AD в точках Е Му F W К соответственно. Докажите, что МК ~ ЕЕ, 62. Параллельно диагонали АС параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая отр^^зки АВ и ВС в ючках Л/ и Л^, а прямые AD и CD в точках Р и К соответственно Докажите, что РМ = NK. Один из)ТЛОВ, образованных при пересечении бисс ектрисы угла nap^ui-лелограмма с сто стороной, равен 24". Найдите углы параллелограмма. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М. Найдите периметр данного параллелограмма, если АВ = 12 см, МС = 16 см. 65. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 3 : 5, считая от вершины ту^пого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 66 см. 66. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пересекает сторону CD в гочке К так* что отрезок СК в 5 раз больше отрезка KD. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 88 см. 67. В параллелограмме ABCD известно, что AD = 12 см, АВ = 3 см, биссектрисы углов В 1л С пересекают сторону AD ъ точках Е и F соответственно. Найдите о i резок EF. Угол м(‘жду высотс)й ВII параллелограмма ABCD и биссектрисой ВМ угла АВС равен 24". Найдите углы параллелограмма. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен гупому углу параллелограмма. 71. Угол между высотами парал^1сло1рамма, проведёнными из вершины тупого угла, равен 30". Найдите периметр параллелограмма, если его высс>ты равны 4 см и 6 см. 72. Высоты параллелограмма, проведённые из вершины острого угла, образуют угол 150", стороны параллелограмма равны 10 см и 18 см. Найдите высоты параллелограмма. 73. Через произвольн) Ю точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Докажите, что периметр образовавшегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника. 68. 69. ? ^ 70. 19 74- Через каждую вepши^^y треугольника АВС проведена прямая, параллельная противолежащей стороне. Сумма периметров всех образовавшихся параллелограммов равна 100 см. Найдите периметр треугольника АВС. 75- Постройте параллелограмм: 1) но двум сторонам и углу между ними; 2) по двум диагоналям и стороне; 3) по стороне, диагонали и углу между ними. 76. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по двум диагоналям и углу между ними. 77. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача? 78. Точка пересечения биссектрис двух соседних углов параллелограмма принадлежит его стороне. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма. 79. На стороне ВС параллелограмма ABCD существует такая точка Л/, что ВМ = MD = CD. Найдите углы параллелограмма, если AD = BD. 80. Постройте параллелограмм: 1) по стороне, проведённой к ней высоте и диагонали; 2) по двум диагоналям и высоте; 3) по острому углу и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам. 81. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и высоте; 2) по диагонали и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам. 82. 83. 84. Из вершины В параллелограмма ABCD опущен перпендикуляр BE на диагональ АС. Через точку А проведена прямая тп, перпендикулярная прямой ADy а через точку С — прямая и, перпендикулярная прямой CD. Докажите, что точка пересечения прямых тип принадлежит прямой BE. Постройте параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между диагоналями. На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD вне его построены равносторонние треугольники АВМ и ВСК. Докажите, что треугольник MKD — равносторонний. 20 85- Через точку, принадлежащую углу, проведите прямую так, ч гобы отрезок этой прямой, заключённый внутри угла, данной точкой делился пополам. 86. 87, 88. Упражнения для повторения --------- Отрезок АВ равен 24 см. Точка С принадлежит прямой АВ, причём ВС = ЪАС. Иа отрезке АВ отмечена точка D так, что ЛВ - ABD. Найдите отрезок CD. Сколько существует неравных между собой: 1) прямоугольных треугольников со стороной 5 см и углом 45**; 2) равнобедренных треугольников со стороной 6 см и углом 30"; 3) прямоугольных треугольников со стороной 7 см и углом 60“? Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD являются диаметрами окружности. Докажите, что АВ II CD. Наблюдайте, рисуйте. конструируйте. Фантазируйте 89. Можно ли квадрат размером 10 X 10 клеток разрезать на 25 фшур, которые состоят из четырёх клеток и имеют такой вид: I jj I? § 3. Признаки параллелограмма Определение параллелограмма позволяет среди четырехугольников pacno3iiaiiaTb параллелограммы. Этой же целх! служат следующие три теоремы, которые называют признаками параллелограмма. fit Теорема 3.1 (обратная теореме 2.1) Если в четырёхугольнике каждые две противолежащие стороны равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство На рисунке 28 изображён четырёхугольник ABCDy у которого АВ = CD и ВС = AD. Докажем, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Проведём диагональ АС. Треугольники АВС и CDA равны по третьему признаку 21 равенства треугольников. Отсюда Z1 = Z3 и Z2 = Z4. Углы 1 и Я являются накрест лежащими при прямых ВС и AD и секущей ЛС. Следовательно, ВС II AD. Аналогично из равенства Z2 = Z4 след)'ет, что АВ 1| CD. Таким образом, в четырёхугольнике ABCD каждые две прогиволежа-щие стороны параллельны, поэтому этот четырёхугольник — параллелограмм. < ^ Теорема 3.2 Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство Иа рисунке 29 изс>бражсн четырёхугольник ABCD^ в котором ВС = AD и ВС II AD. Докажем, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Проведём диаюн^иь АС. Б трс)10ль-пиках АВС и CDA имеем: ВС = AD по условию, углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при пар^шлельных прямых ВС и AD и секущс11 АС, а сторона АС — общая. Следовательно, треугольники ЛВС и CDA равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда АВ = CD. Значит, в четырёхугольнике ABCD каж-чыс две противолежащие стороны раины. Поэтому по теореме 3.1 че гырёхугольник ABCD — пар^шлелограмм. ◄ А & Теорема 3.3 (обратная теореме 2,3) Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство На рисунке 30 изображён четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О, причём АО = ОС и ВО - OD. Докажем, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Так как углы ВОС и DOA равны как вертикальные и АО = ОС, ВО = = OD, то треугольники ВОС и DOA равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда ВС = AD и Z1 = Z2. Углы 1 и 2 являются накрест лежащими при прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, ВС II AD. Рис. 30 22 Таким образом, в четырёхугольнике ABCD ц,ъс противолежащие стороны равны и параллельны. По теореме 3.2 четырёхугольник ABCD — параллелограмм. ◄ Вы знаете, что треугольник однозначно задаётся своими сторонами, т. е. задача построения треугольника по трём сторонам имеет единственное решение. Иначе обстоит дело с параллелограммом. На рисунке 31 изображены параллелограммы ABCD, A^B^Cfi^, стороны которых равны, т. е. АВ = А^В^ = и ВС = В^С^= В^С,у. Однако очевидно, что са- ми параллелофаммы не равны. Сказанное означает, что если четыре рейки скрепить так, чтобы образовался параллелограмм, то полученная конструкция нс будет жёсткой. Это свойство параллелограмма широко используется на практике. Благодаря подвижности параллелограмма лампу (рис. 32, а) можно устанавливать в удобное для работы положение, а раздвижную [зешётку (рис. 32, б) — отодвигать на нужное расстояние в дверном проёме. На рисунке 33 изображена схема механизма, являющегося частью паровой машины. При увеличении скорости вращения оси шары отдаляюгея Рис. 32 Рис. 33 Неподвижная вершина L Шар Шар > А 'ЗОИ®®* Заслонка Ось вращения 23 от неё, тем самым поднимая заслонку, которая регулирует количество пара. Механизм назван параллелограммом Уатта в честь изобретателя первой универсальной паровой машины. ? Рис. 34 "7'' Задача. Докажите, что если в четырёхугольнике каждые два противолежащих угла равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Решение. На рисунке 34 изображён четырёхугольник ABCD, у которого АА = ZC, /.В — Z,D. Докажем, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм. По теореме о сумме углов четырёхушльника ZA + /.В -I- ZC + ZZ) = 360“. Учитывая, что - ZC, Zi5 - ZZ), получим ZA + ZB ~ ZC + ZD — 180“. Поскольку углы Л и jB — односторонние углы при прямых AD и ВС и секущей АВ и их сумма равна 180“, то ВС II AD. Аналогично доказывают, что АВ II CD. Следовательно, четырёхугольник ABCD — параллелограмм. < 1. Какие признаки параллелограмма вы знаете? Сформулируйте их. 2. Среди свойств и признаков параллелограмма укажите взаимно обратные теоремы. 3. Какое свойство параллелограмма широко используется на практике? А о~\ Упражнения 90. 91. 92. Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из двух соседних сторон четырёхугольника, равна 180“, то этот четырёхугольник — параллел о г'рам м. Чсч-ырёхутольники ABCD и AMKD — параллелограммы (рис. 35). Докажите, что четырёх)тольник ВМКС— параллелограмм. Отрезок АО — медиана треугольника ABD, отрезок ВО — медиатш треугольника ЛБС (рис. 36). Докажите, что четырёхугольник ABCD — парал л ел ограм м. 24 93. На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки М а К так, что АМ = СК. Докажите, что четырехугольник MBKD — параллелограмм. 94. Две окружности имеют общий центр О (рис. 37). В одной из окружностей проведён диаметр ЛВ, в другой — диаметр CD. Докажите, что четырёхугольник ACBD — параллелограмм. 95. Точки Е 1л F — соответственно середины сторон ВС и AD пара;1лело-грамма ABCD. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллел(>-грамм. 96. На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD отложены равные отрезки АМ и СК. Докажите, что четырехугольник MBKD — параллелограмм. 97. На сторонах параллелограмма ABCD (рис. 38) отложены равные резки ЛМ, ВК, СЕ и DF. Докажите, что четырёхугольник MKEF — параллелограмм. ОО \ ? 98. В треугольнике АВС на продолжении медианы АМ за точку М отложили отрезок МК, равный отрезку АМ. Определите вид четырёхугольника АВКС 99. В четырёхугольнике ABCD известно, что АВ II CD, ZЛ = ZC. Докажите, что чегырехугольник ABCD — параллелограмм. 100. Биссектриса угла Л параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла С — сторону ЛD в точке К. Докажите, что четырёх^тольник АМСК — параллелограмм. 101. На рисунке 39 четырёхугольник ABCD — параллелограмм, /.ВСР - ZDAE. Докажите, что четырёхугольник АРСЕ — параллелограмм. 25 102. На рисунке 40 четырёхугольник ABCD — параллелограмм, /ВЕС = /DFA. Докажите, что четырёхугольник AECF ~ параллелограмм. 103. Из вершин В и D параллелограмма ABCD проведены перпендикуляры ВМ и DK к диагонали АС. Дока;китс, ч го четырёхугольник BKDM — параллелограмм. 104. Биссектрисы углов А н С параллелограмма ABCD пересекают его диагональ BD в точках Е н F соответственно. Докажите, что четырёхугольник AECF— параллелограмм. 105. Через середину О диагонали NP параллелограмма MNKP проведена прямая, пересекающая стороны MN и КР в точках А w В соответственно. Докажите, что четырёхугольник ANBP — параллелограмм. 106. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма CDEF проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны CD и EF в точках А v\ В соответственно, а другая — стороны DE и CF в точках М VI К соответственно. Докажи те, что четырёхугольник АМВК — 11араллелограм м. 107- Точки М, N, К и Р ~ середины стор<^н АВ, ВС, CD и AD параллелограмма ЛВС!) соответственно. Докажите, что четырёхугольник, вершинами когорого являются точки пересечения прямых AN, ВК, СР и DM, — параллелограмм. Упражнения для повторения 108. 109. Прямые, на которых лежат биссектрисы АК и ВМ треугольника АВС, пересекаются под углом 74“. Найдите /С. Угол, противолежащий осиованию равнобедренного треугольника, равен 120% а высота, проведённая к боковой стороне, равна 8 см. Найдите основание треугольника. \ Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 110- Учитель предложил ученику вырезать из листа картона размером 8X8 клеток восемь квадратов размером 2X2 клетки при условии не портить клетки, которые остались. Потом оказалось, что 1гужеп ещё один 1акой квадрат. Всегда ли можно вырезать его из остатков листа? 26 Когда сделаны уроки Необходимо и достаточно Из курса геометрии 7 класса вы узнали, что большинство теорем состоят из двух час тей: условия (то. что дано) и заключения (то, что требуется дока:шть). Если утверждение, выражающее условие, обозначить буквой Л, а утверждение, выражающее заключение. — буквой В, то формулировку т еоремы можно изобразить следующей схемой: если Л, то В. Например, теорему 2.3 можно сформулировать так: Л В если четырехугольник явля- ,то диагонали четырехугольника точкой ется параллелограммом пересечения делятся пополам Тогда теорему 3.3, обратную теореме 2.3, формулируют так: В А если диагона.ли четырёхугольника точкой , то четырёхугольник явля-пересечения делятся пополам ется параллелограммом 'larro в повседневной жизни в своих высказываниях мы пользуемся словами «необходимо», «достаточно». Приведём несколько примеров. • Для того чтобы уметь решать задачи, необходимо знать теоремы. • Если вы на математической олимпиаде правильно решили все предложенные задачи, то этого достаточно для юго, чтобы занять первое место. • Для того чтобы стрелок попал в мишень В (рис. 41), ему достаточно попасть в мишень Л, а для того, чтобы попасть в мишень Л, необходимо попаспэ в мишень Б. Употребление слов «необходимо» и «достаточно» тесно связано с теоремами. Рассмотрим теорему; А В если натуральное число кратно 10 »то это число кратно 5 27 Условие А является достаточным для заключения В. Вместе с тем делимость числа нацело на 5 (утверждение В) необходима для делимости числа нацело на 10 (утверждение А), Приведём ещё один пример. А если два угла являются вертикальными 1 f ТО в эти углы равны В этой теореме утверждение А является достаточным условием для утверждения В, т. е. для того, Ч1обы два угла были равны, достаточно^ чтобы они были вертикальными. В этой же теореме угверждение В является необходимым условием ДЛ51 утверждения Ау г. е. для того, чтобы дш угла были вертикальными, необходимо^ чтобы они были равны. Отметим, что утверждение В не является достаточным условием для утверждения А. Действительно, если два угла равны, то это совсем не означает, что они вертикальные. Итак, в любой теореме вида если Л, то В утверждение А являе1ся достаточным д;1Я утверждения jB, а у1верждение В — необходимым для yi Bep-ждения А. Если справедлива не только теорема если А, то В, но и обратная теорема если Bf то Л, то А является необходимым и достаточным условием для В^ г. В — необходимым и дос1“аточным условием для А. Например, теоремы 3.3 и 2.3 являются взаимно обратными. На языке «необходимо — достаточно» этот факт можно сформулировать так: для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагона^ш точкой пересечения делились пополам. Подчеркнем, что если в теореме есть слова «необходимо и достаточно». то она объединяет две теоремы: прямую и обратную (прямой теоремой может быть любая из двух теорем, тогда другая будет обратной). Следовательно, доказательство такой теоремы должно состоять из двух частей: доказательств прямой и обратной теорем. Теорему, объединяющую прямую и обратную теоремы, называют критерием. Иногда вместо «необходимо и достаточно» говорят «тогда и только тогда». Например, взаимно обратные теоремы 21 и 3.1 можно объединить в следующий критерий: 28 четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда каждые две его противолежащие стороны равны. Сформулир) йте самостоятельно теорему 2.2 и ключевую задачу из § 3 в виде теоремы критерия. ^ 4. Прямоугольник Параллелограмм — это четырёхугольник, однако очевидно, что не каждый четырёхугольник является параллелограммом. В этом случае говорят, что параллелограммы — это частный вид четырёхугольников. Схема, изображённая на рисунке 42, иллюсфирует этот факт. Существуют также частные виды параллелограммов. Одним из них является прямоугольник. & Определение Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые. На рисунке 43 изображён прямоугольник А В CD Из определения следует, что прям<)угольник обладает всеми свойствами параллелограмма: в npsiMoyzonbHUKe противолежащие стороны равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Однако прямоугольник имеет также свои особые свойства, которыми не обладает параллелограмм, отличный от прямоугольника. Так, из опрс деления след)^ет, что все углы прямоугольника равны. Ещё одно свойство прямоугольника выражает следующая теорема. в Теорема 4.1 Диагонали прямоугольника равны. Доказательство На рисунке 44 изображён прямоугольник ABCD. Докажем, что его диагонали АС и BD равны. 29 в прямо>толь>1ых треугольниках ABD и DCA катеты АВ и DC равны, а катет AD — общий. Поэтому треугольники ABD и DCA равны по двум катетам. Отсюда BD ~ АС. < Определение прямо) голышка даёт возможность среди параллелограммов распознавать прямоугольники. Этой же цели служат следующие две теоремы, которые называют признаками прямоугольника. & Теорема 4.2 Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник. Докажите эту теорему самостоятельно. & Теорема 4.3 \ Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. Г Доказательство На рисунке 45 изображён параллелограмм ABCD, диагонали АС и BD которого равны. Докажем, что параллело! рамм ABCD — прямоугольник. Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них АВ = CD, BD = АС, AD — общая сторона. Следовательно, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда /.BAD - /CDА. Эти углы являются односторонними при пара.длель-ных прямых АВ и DC и секущей AD. Следовательно, /BAD + /CDА = 180“. Тогда /BAD= /CDА = 90“. Поэтому по теореме 4.2 параллелограмм А В CD — прямоугольник. < 1. Какую фигуру называют прямоугольником? 2. Какими свойствами обладает прямоугольник? 3. Каким особым свойством обладают диагонали прямоугольника? 4- По каким признакам можно установить, что параллелограмм является прямоугольником? Рис. 45 В С X Ку D А оЛ. Практические задания 111. Начертите прямоугольник. Пользуясь только 71ипейкой, найдите точку, равноудешённую от его вершин. 30 Упражнения О 112. Докажите, что четырёхугольник, все углы которого прямые, яш1яется ^ прямоугольником. 113. Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 46) пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники ЛОВ и AOD равнобедренные. 114. Диагонали прямоугольника ABCD {см. рис. 46) пересекаются в точке О. ZABD = 64'’. Найдите ZCOD и ZAOD. 115. Диагонали прямоу1ч^льника ABCD {см. рис. 46) пересекаются в точке О, ZADB = 30“, BD = 10 см. Найдите перимегр треугольника АОВ. 116. Угол между диагоналями прямоугольника равен 60“, а меньшая CTopt>- Рис. 46 в г X D О V на прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника. 117. На диагонали АС прямоу1ольника ABCD отложены равные отрезки AM и СК (точка Л/лежит между точками А м К). Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллело1'рамм, отличный от прямоугольника. 118. На продолжении диагонали BD прямоугольника ABCD за точку В отметили точку £*, а на продолжении за точку D — точку F так, что BE = DF. Докажите, что чегырёхугольпик AECF — пapiUIлeлoгpaмм, отличный от прямоугольника. 119. Точка М— середина стороны ВС прямоугольника ABCD, МА I MD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника. 120. Периметр прямоугольника ABCD равен 30 см. Биссектрисы углов А и D пересекаются в точке Л/, принадлежащей стороне ВС. Найдите стороны прямоугольника. 121. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник ABCD построен так, что две его вершины А и D принадлежат гипотенузе, а две другие — катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если АВ : ВС = 3 5. 122. В 'греугольнике АВС известно, что ZC - 90“, АС = ВС = 6 см. Прямоугольник CMKN построен так, что точка М принадлежит катету АС, точка N — катет)' ВС, di точка К — гипотенузе АВ. Найдите периметр прямоугольника CMKN. 123. Докажите, что если диагогкити параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником. 31 ? 124. 125. 126. ❖Л. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотену'зе, равна её половине. Построте пр51моугольник: 1) по двум сторонам; 2) по диагонали и углу между диагональю и стороной. Постройте прямоугольник: 1) по стороне и диагонали; 2) по диагонали и углу между диагоналями. 127- Серединный перпендикуляр диагонали АС прямоугольника ABCD пересекает сторону ВС в точке Мтак, что ВМ: МС =12. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол. 128. В прямоугольнике ABCD известно, что аВСА : ^DCA = 1:5, АС = 18 см. Найдите расстояние от точки С до диагонали BD. 129. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма, у которого соседние стороны не равны, пересекаясь, образуют прямоугольник. 130. Постройте прямоугольник по стороне и углу между диагоналями, противолежащему данной стороне. 131. Постройте прямоугольник: 1) по диагонали и разности двух сторон; 2) по периметру и диагонали; 3) по периметру и углу между диагоналями Упражнения для повторения 132. 133. 134. В треугольнике АВС известно, что ZC = 48", отрезки АК и ВМ — его высоты. Найдите угол между прямыми АК и ВМ. На стороне АС треугольника АВС отметили точку D так, что ZA = ZCBD. Найдите угол АВС, если треугольники ABD и BCD ещё имеют равные углы. Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через точку С проведена прямая, которая параллельна прямой AD и пересекает прямую АВ в точке Е. Определите вид треугольника АСЕ. Наблюдайте^ рисуйте^ конструируйте. Фантазируйте 135- На плоскости отметили 1000 точек. Докажите, что существует прямая, относительно которой в каждой полуплоскости лежат по 500 точек. 32 ^ 5, Ромб Вы уже знаете, что прямоугольник — это частный вид параллелограмма. Познакомимся еще с одним видом параллелограмма — ромбом. & Определение Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны. На рисунке 47 изображён ромб ABCD. Из определения следует, что ромб обладает всеми свойствами параллело! рамма: в ромбе противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Однако ромб имеет и свои особые свойства. Теорема 5.1 Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Доказательство На рисунке 48 изображён ромб ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажем, что BD ± АС и ZABO = Z.CBO. Так как но определению ромба все его стороны равны, то треугольник АВС — равнобедренный {АВ - ВС). По свойству диагоналей параллелофамма АО = ОС. Тогда отрезок ВО является медианой треугольника АВС, а значит, и высотой и биссектрисой этого треугольника. Следовательно, BD Л АС и ZABO = = ZCBO, < Распознавать ромбы среди параллелограммов позволяет не только определение ромба, но и следующие две теоремы, которые называют признаками рс^мба. & Теорема 5.2 Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб. 33 3 — 748 в Теорема 5.3 Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб. Докажите эти теоремы самостоятельно. 1. Какую фигуру называют ромбом? 2. Какими свойствами обладает ромб? 3. Какими особыми свойствами обладают диагонали ромба? 4. По каким признакам можно установить, что параллелограмм является ромбом? Г OV Практические задания 136. Начертите ромб со стороной 5 см и углом 40® Проведите две высоты из вершины его острого угла и две высоты из вершины тупого угла. Упражнения --- Докажите, что если две соседние стороны параллелограмма равны, то он является ромбом. Докажию, чго четырсх)тольник, все стороны которого равны, является ромбом. 139. Диагональ АС ромба ABCD (рис. 49) образует со стороной AD уюл 42®. Найдите все углы ромба. 140. Б ромбе ABCD известно, что = 140®, а диагонали пересекаюгея в точке О. Найдите ут лы треугольника АОВ. 141. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Найдите углы ромба. 142. Найдите углы ромба, если его периметр равен 24 см. а высота равна 3 см. 143. Найдите периметр ромба ABCD, если Zy4 = 60®. BD = 9 см. 144. Угол D ромба ABCD в 8 раз больше угла CAD. Найдите Z.BAD. 145. Углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, относятся как 2 : 7. Найдите углы ромба. 146. Точки М v\ К — соответственно середины порой АВ и ВС ромба ABCD. Докажите, что MD = KD. 147. I очки £* и F — соответственно середины сторон ВС и CD ромба ABCD. Докажите, что ZEAC = ZFAC. 34 оо\ 148. Докажите, что высоты ромба равны. 149- Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторо ну ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Наедите углы и периметр ромба 150. Докажите, что диагональ ромба дели'г пополам угол между высотами ромба, проведёнными из той же вершины, что и диагональ. 151. На сторонах ЛВ и AD ромба ABCD отложены равные отрезки АЕ и соответственно. Докажите, что /.CEF — ZCFE, 152. Отрезок AM — биссектриса треугольника АВС. Через точку М проведены прямая, параллелыкш стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К, и прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке D. Докажите, что AM 1 DK. 153. Биссектрисы углов А w В параллелограмма ABCD пересекают его стороны ВС и AD в точках Fw Е соответственно. Определите вид четырёхугольника ABFE. 154. В треугольнике АВС проведён серединный 11ср11ендик)ляр его биссектрисы BD, который пересекает стороны АВ и ВС в точках К и Р соответственно. Определите вид четырёхугольника BKDP. 155- Постройте ромб: 1) по стороне и углу; 2) по дв)т^ диагоналям: 3) по высоте и углу. 156. Постройте ромб; 1) по стороне и диагоиа..1и; 2) по высоте и диагонали. 157. В прямоугольнике ABCD известно, что AD = 9 см, /.BDA = ЗС*. Па сторонах ВС W AD отметили соответственно точки М и К так, что образовался ромб АМСК. Найдите сторону этого ромба. 158- Постройте ромб по диагонали и углу ромба, вершина которого принадлежит этой диагонали. 159. Постройте ромб по диагонали и противолежащему ей углу ромба. 160. Постройте ромб; 1) по сумме диагоналей и углу между /1иагоиалыо и стороной; 2) по острому углу и разности диагоналей; 3) по острому углу и сумме стороны и высо гы, 4) по стороне и сумме диагон<и1ей; 5) по тупому углу и сумме диагон<1лей; 6) по стороне и разности диагоналей. 35 161. Даны точки М, N и К. Постройте ромб ABCD так, чтобы точка М была серединой стороны АВ, а точки N и К — основаниями высот, проведенных из вершины В к стороне ЛО и из вершины D к стороне ВС соответственно. Упражнения для повторения 162. 163. На сторонах угла с вершиной в точке А отложены равные отрезки АВ и АС. Через точки В v\ С проведены прямые, перпендикулярные сторонам АВ и АС соответственно, которые пересекаются в точке D. Докажите, что луч AD является биссектрисой угла ВАС. На продолжении стороны АС треугольника АВС за точку А отметили точку D так, что AD = АВ, а на продолжении .этой стороны за точку С — точку Е так, что СЕ = ВС. Найдите углы и периметр треугольника АВС, если DE = 18 см, ZBDA — 1Г/, ZBEC = 36**. “\ Наблюдайте, рисуйте, ----- конструируйте. Фантазируйте 164. На бумаге в клетку выбра;1и произвольно 100 клеток. Докажите, что среди них можно найти не мепсс 25 клеток, не имеющих общих точек. 6 6,Квадрат Определение Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны. Рис. 50 В Г J L А п г D На рисунке 50 изображён квауфат ABCD. Из определения следует, что квадрат — это ромб, у которого все углы равны. Значит, квадрат является частным видом и прямоугольника, и ромба. Э'го иллюстрирует схема, изображенная на рисунке 51. Поэтому квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Отсюда следует, что все углы квадрата прямые; диагонали квадрата равтл, перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. 1. Какую фигуру называют квадратом? 2. Какой ромб является квадратом? 3. Какими свойствами обладает квадрат? 36 Упражнения Докажите, что если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом. Докажите, что если две соседние стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом. 167. Диагональ BD квадрач'а ABCD равна 5 см. Какова длина диагонали АС? Чему равны углы треугольника АОВ, где точка О — точка пересечения диагоналей квадрата? 168- На стороне ВС квадрата ABCD (рис. 52) отметили точку К так, что /.АКВ — 74*’. Найдите ZCAK. 169. 170. На стороне ВС квадрата ABCD отметили точку К так, что АК = 2ВК. Найдите ZKAD. Верно ли утверждение; 1) любой квадрат является параллелограммом; 2) любой ромб является квадратом; 3) любой прямоугольник является квадратом; 4) любой квадрат является прямоугольником; 5) любой квадрат является ромбом; 6) еаш диагонали четырёхугольника равны, то он является прямоугольником; 7) если диагонали четырёхугольника перпендик)'лярны, то он является ромбом; 8) существует ромб, который является прямоугольником; 9) существует квадрат, который не является ромбом; 10) если диагонали четырёхугольника не перпендик)лярны, то он не является ромбом; 11) если диагонали параллелограмма не равны, то он не является прямоугольником; 37 оо V 12) если диагональ прямоугольника делит его угол пополам, то этот прямоугольник является ква^фатом? 171. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата. 172- В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавши11СЯ четырёхугольник является квадратом. 173. Точки М, К, N, Р являютс:я соотвс^гс i венно серединами сторон ЛВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD. Докажите, что четьфёх)ТОлы!ик MKNP— квадрат. 174. В треугольнике АВС известно, что ZC = W, АС = ВС = 14 см. Две стороны квадрата CDEF лежгп на катетах треугольника АВС, а вершина Е принадлежит гипотенузе АВ. Найдите периметр квадрата CDEF. 175. В квадраге ABCD отметили точку М так, что треугольник АМВ — равносторонний. Докажите, что треугольник CMD — равнобедренный. 176. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом. 177. Четырёхугольники ABCD, DEFM, MNKL, EPOS, SQTV- квадраты (рис. 53). Найдите сумму длин сторон квадратов, которые не лежат на прямой AV, если длина отрезка AV равна 16 см. 178. Постройте квадрат по его стороне. Рис. 53 В Л N ^ 0 S D ML £ F Р о V 179. 180. 181. *л. 182. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника, нс являющегося квадратом, являются вершинами квадрата. Вершины М и К равносюроннего треугольника АМК принадлежат сторонам ВС и CD квадрата ABCD. Докажите, что МК II BD. Даны точки М н К. Постройте квадрат ABCD так, чтобы точка М была серединой стороны АВ, а точка К — серединой стороны ВС. Через произвольную ючку, принадлежащую квадрату, проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две проти- 38 183. 184. 185. волсжащие стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны Постройте квадрат; 1) по сумме диагонали и стороны; 2) по разности диагонали и стороны. В квадрате ABCD отмечена точка О так. что ZOAD - ZODA = 15“. Докажите, что треугольник ВОС равносторонний. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отмечены точки М п Е так, что углы ВАМ и МАЕ равны. Докажите, что АЕ = ВМ + £)£’. Упражнения для повторения 186. На рисунке 54 АВ || CD, АВ = АЕ, CD = СЕ, Докажите, что BE 1 DE. 187- На рисунке 55 ЕЕ || AD, Bf = KF, CF— DF. Докажите, что EF || ВС. Наблюдайте, рисуйте. ---- конструируйте. Фантазируйте 188- Расположите на плоскости восемь точек так, чтобы на серединном перпендикуляре любого отрезка с концами в этих точках лежали ровно две из этих точек. S 7. Средняя линия треугольника в Определение Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рис)’нке 56 отрезки MN, NE, ЕМ — средние линии треугольника АВС. 39 & Теорема 7.1 Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. ? Доказательство Пусть MN — средняя линия треугольника АВС (рис. 57). Докажем, что MN^AC и MN = ^AC. На прямой МЛ^ отметим точку Е так, что MN = NE (см. рис. 57). Соединим точки Е и С. Поскольку точка является серединой отрезка ВС, то BN= NC. Кроме того, углы 1 и 2 равны как вертикальные. Следовательно, тре-утльники MBN и ECN равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда МВ = ЕС и Z3 =• Z4. Учитывая, что АМ= МВ, получим: ЕС = AM. Углы 3 и 4 являются накрест лежащими при прямых АВ и ЕС и секущей ВС. Тогда АВ |, ЕС. Таким образом, в чстырёх)тольнике АМЕС стороны AM и ЕС параллельны и равны. Следовате./1ьно, по теореме 3.2 четырёхугольник АМЕС является параллелограммом. Отсюда ME || АС, т. е. MN II АС. Также ME = АС. Так как MN — ^ ME, то MN = ~ АС < Задача. Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами пар;1ллелограмма. Решение. В четырёхугольнике ABCD точки М, N, Ки Р — середины сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно (риг, 58). Отрезок MN — средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии МЛ^Ц АС и MN = \ АС. 2 Отрезок РК “ средняя линия треугольника ADC. По свойству средней линии PKWACk рк = ^ас. 2 Так как MN || АС и РК || АС, то MN || РК. Из того, что MN — ^ ~ ноугучаем: MN - РК = ~ЛС. 40 г о Следовательно, в четырёхугольнике Л/Л7СР стороны MN и РК равны и параллельны, а значит, четырёхугольник MNKP— параллелограмм. ◄ 1. Что называют средней линией треугольника? 2. Сколько средних линий можно провести в треугольнике? 3. Какими свойствами обладает средняя линия треугольника? Упражнения 189. Является ли отрезок МК средней линией треугольника АВС (рис. 59)? 190. Является ли отрезок £F средней линией треугольника МКР (рис. 60)? 191. Отрезки DE и DF — средние линии треугольника АВС (рис. 61). Яв-ляегся ли отрезок jEF средней линией этого треугольника? нии этого треугольника. 193. Точки М W К — середины сторон АВ и АС треугольника АВС соответственно. Найдите периметр треугольника АВСу если периметр треугольника МАК равен 17 см. 194. Докажите, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника АВС у равен половине перимегра треугольника АВС. 195. Определите вид треугольника, в котором средние линии равны между собой. 196. Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника. 197. Точки Е и /'являются соответственно серединами сторон АВ и ВС треугольника Л5С. Найдите сторону ЛС, если она на 7 см больше отрезка ЕЕ. 198. Докажите, что средняя линия DE треугольника АВС (точки D \\ Е принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно) и его медиана ВМ точкой пересечения делятся пополам. 199. Докажите, что высота AM греугольника АВС перпендикулярна его средней линии, соединяющей середины сторон АВ и АС. 41 оо V 200- Найдите углы треугольника, две средние линии которого равны и перпендикулярны. 201- Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна б см. Найдите стороны данного треугольника, если его периметр равен 46 см. 202. Сумма диагоналей четырёхугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которш о являются серединами сторон данного четырёхугольника. 203. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его С1'ороны. 204. Вершинами четырёх)тольника являются середины сторон прямоугольника с диагональю 12 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны. 205. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит сто средняя линия. 206. На сторонах АВ п ВС треугольника АВС отмечены соответственно точки М и /С так, что AM = ЪВМ, СК = ЪВК. Док^шите, что МК II АС, и найдите М/С, если АС - 15 см. 207. Углы BAD и ВСЕ — внешние углы треугольника АВС. Из вершины В проведены перпендикуляры ВМ и ВК к биссектрисам углов BAD и ВСЕ соответственно. Найдите отрезок М/С, если периметр треугольника АВС равен 18 см. 208. Постройте треугольник по серединам трёх его сторон. 209. Постройте параллелограмм по серединам трёх его сторон. 210- Диагонали выпутоюго четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон АВ и AD проведены прямые, перпендикулярные соотвегственно сторонам DC и ВС. Докажите, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой АС. 211. Стороны АВ и CD выпуклого четырёхугольника ЛВС!) равны. Через середины диа! оналей АС и BD проведена прямая, которая пересекает стороны АВ и CD в точках М и соответственно. Докажите, что ZBMN= ZCNM. Упражнения для повторения 212. К окружности с центром О через точку С проведены касательные СА и СВ {А\\ В — точки касания). Отрезок AD — диаметр окружности. Докажите, что BD II СО. 42 213- Б треугольнике ЛВС известно, что АВ = ВС, Z.B = АК — биссектриса треугольника. Через точку К проведена прям;гя, параллельная АВ, которая перссекаег сторону АС в точке Л/. Найдите угол АКМ 214. Диагональ BD параллелограмма ABCD является его высотой и равна стороне ВС. Найдите сторону CD параллелограмма, если точка В удалена от прямой CD па 4 см Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 215. Пять точек принадлежат равностороннему треугольнику, сторона которого равна 1 см. Докажите, что из этих точек можно выбрать две, расстояние между которыми не более 0,5 см. & Определение S 8. Трапеция л V Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Каждьп! из четырёхугольников, изображённых на рисунке 62, является трапецией. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами (рис. 6^). В трапеции ABCD {ВС || AD) углы Л и D называют углами при основании AD, а углы В и С — углами при основании ВС. Определение Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из оснований, на прямую, содержа1цую другое основание. 43 На рисунке 64 каждый из отрезков ВМ^ EF, D/C, PQ является высотой трапеции ABCD. Длины этих отрезков равны расстоянию между параллельными прямыми ВС и AD, Поэтому ВМ = EF ~ DK = PQ. Рис. 64 ВЕС к Q п \ J . м / ' D Р Рис. 65 Рис. 66 В А D На рисунке 65 изображена трапеция ABCD, у которой боковые стороны АВ и CD равны. Такую трапецию называют равнобокой или равнобедренной. Если боковая сторона трапеции является её высотой, то такую трапецию называют прямоугольной (рис. 66). Трапеция — это частный вид четырёхугольника. Связь между четырёхугольниками и их частными видами показана на рисунке 67. Рис. 67 в Определение Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. На рисунке 68 отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD. & Теорема 8.1 Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство Пусть MN~ средняя линия трапеции ABCD (рис. 69). Докажем, что MNII AD и MN = I {AD -н ВС). 44 Проведём прямую BN и точку её пересечения с прямой AD обозна-чим буквой Е. Поскольку точка N— середина огрезка CD, то CN = ND. Кроме того, углы 1 и 2 равны как вертикальные, а углы 3 и 4 равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и ЛЕ и секущей CD, Следовательно, треугольники BCN и равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда ВС = DE и BN = NE. Тогда отрезок MN ~ средняя линия треугольника АВЕ. Из этого следует, что MN II АЕ, т. е. MN || AD, и MN = i АЕ, Имеем: MN = ^AE = ^(AD + DE) = ^{AD + BC). < Q Задача (свойства равнобокой трапеции). Докажите, что в равнобо-^ кой трапеции: 1) углы при каждом основании равны; 2) диагонали равны; 3) высота трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен полураз-ности оснований, а больший — полусумме оснований (средней линии трапеции). Решение. Рассмотрим равнобокую трапецию ABCD (АВ - CD). 1) Проведём высоты ВМ и СК (рис. 70). Так как АВ = CD и ВМ - СК, то прямоугольные треугольники АМВ и DKC равны по катету и гипотенузе. Тогда Z7i = ZD. Имеем: Z>1 = ZD, ZЛ + ^ЛВС^ 180% ZD + ZDCB = 180*", Следовательно, /ЛВС = = ZDCB. Рис. 70 i Л п 45 г 2) Рассмотрим треугольники ACD и DBA (рис. 71). Имеем: АВ = CD, AD — общая сторона, углы BAD и CDA равны как углы при основании равнобокой трапеции. Следовательно, треугольники ACD и DBA равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда АС = BD. 3) В четырёхуго.'1ьнике ВМКС {см. рис. 70) ВМ II СК, ВС II МК, ZBMK — прямой. Следовательно, этот четырёхугольник — прямоугольник. Отсюда МК — ВС. Из равенства треугольников АМВ и DKC следует, что AM = KD. Тогда AD -МК AD- ВС AM = 2 2 MD = AD-AM = AD- AD - ВС 2AD -AD + BC AD ВС 2 2 A 1. Какой четырёхугольник называют трапецией? 2. Какие стороны трапеции называют основаниями? Боковыми сторо нами? 3. Что называют высотой трапеции? 4. Какие существуют виды трапеций? 5. Какую трапецию называют равнобокой? 6. Какую трапецию называют прямоугольной? 7. Что называют средней линией трапеции? 8- Сформулируйте теорему о свойствах средней линии трапеции. 9. Сформулируйте свойства равнобокой трапеции. оА. Практические задания 216- Начертите по клеткам тетради трапецию: 1) равнобокую; 2) прямоугольную; 3) не являющуюся ни прямоугольной, ни равнобокой; 4) у которой один из >тлов при основании острый, а другой — тупой. 217- Перерисуйте в тетрадь рисунок 72, проведите высоты трапеции, одним из концов которых являются соответственно точки В, М, К и D. 46 о Упражнения 218. Найдите на рисунке 73 трапеции, укажите их основания и боковые стороны. 219. Является ли четырёхугольник ABCD, изображённый на рисунке 74, трапецией? В случае утвердительного отвега укажите основания и бо ковые стороны трапеции. 47 ? 220. Периметр равнобокой трапеции равен 52 см, основания — 13 см и 21 см. Найдите боковую сторону трапеции. 221. Периметр трапеции равен 49 см, боковые стороны — 5,6 см и 7.8 см. Найдите основания трапеции, если одно из них на 7,4 см больше другого. 222. Найдите углы А и С трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ZB= 132% ZD =24% 223- Найдите углы трапеции ABCD, прилежащие к боковой стороне АВ, если угол А меньше угла В па 38”. 224. Найдите углы трапеции ABCD, прилежащие к боковой стороне CD, если ZC : ZD = 8:7. 225. Один из углов равнобокой трапеции равен 46”. Найдите остальные её углы. 226. Найдите углы равнобокой трапеции, если разность её противолежащих углов равна 20”. 227. В равнобокой трапеции угол между боковой стороной и высотой, проведённой из вершины тупого угла, равен 23”. Найдите углы трапеции. 228. Могут ли у трапеции быть: 1) три прямых угла; 2) три острых угла; 3) два противолежащих угла тупыми; 4) два противолежащих угла прямыми; 5) два противолежащих угла равными? 229. Могут ли; 1) основания трапеции быть равными; 2) диагонали трапеции точкой пересечения делиться пополам? 230. Докажите, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то данная трапеция является равнобокой. 231- Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180”. Верно ли обратное утверждение; если сумма противолежащих углов трапеции равна 180”, то данная трапеция равнобокая? 232. Средняя линия равностороннего треугольника со стороной 6 см разбивает его па треугольник и четырёхугольник. Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр. 233. Высота равнобокой трапеции, проведённая из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите основания трапеции. 234. Один из углов равнобокой трапеции равен 60”. боковая сторона равна 18 см, а с)^мма оснований — 50 см. Найдите основания трапеции. 48 235. Основания прямоугольной трапеции равны 10 см и 24 см, а один из углов — 45''. Найдите меныцу'ю боковую сторохгу трапеции. 236, Основания прямоугольной трапеции равны 7 см и 15 см, а один из углов — 60°. Найдите больигу'Ю боковую сторону трапеции. 237- В трапеции ABCD известно, что АВ = CD, ZBAC = 20°. ZCAD — 50°. 11айдите углы АСВ и ACD. 238. Н трапеции ABCD известно, что ВС Ц AD, АВ 1 AD, ВС = CD, ZJiBD = 80°. Найдите углы фапеции 239. В трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 6 см Через вершину В проведена прямая, которая параллельна стороне CD и пересекает сторону в точке М. Найдите периметр трапеции, если пери метр треутльника АВМ равен 16 см. 240. Через вершину С трапеции ABCD проведена прямая, которая параллельна боковой стороне АВ и пересекает большее основание AD в точке Е Найдите углы трапеции, если ZD = 35°, ZDCE = 65° 241. Основания трапеции равны 9 см и 15 см. Чему равна её средняя линия? 242. Средняя линия трапеции равна 8 см, а одно из оснований — 5 см. Найдите второе основание трапеции. 243. Одно из оснований трапеции на 8 см больше другого, а средняя линия равна 17 см. Найдите основания трапеции. 244. Основания трапеции относятся как 3 ; 4, а средняя линия равна 14 см. Найдите основания трапеции. 245. Каждая из боковых с торон трапеции ABCD (рис. 75) разделена на четыре равные части: АЕ = ЕЕ = FK - КВ, DN = NM = МР = PC. Найдите отрезки EN, ЕМ и КР, если AD - 19 см, ВС =11 см. 246. Высо та нрямо)тсхльной трапеции, проведённая из вершины тучного угла, делит большее основание на отрезки длиной 7 см и 5 см, счита>1 от вершины прямого угла. Найдите среднюю линию трапеции. 247. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отре;5Ки, один из которых в 2 раза больше другого, считав! от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции. )OV__ ^ 248. Диагонали равнобокой трапеции ABCD {АВ - CD) пересекактя в точке О. Докажите, что АО = OD и ВО = ОС. 49 4-748 249. 250. 251. 253. 254. 255« 256. 257. 258. 259. 260. 261. Высота равнобокой трапеции равна Л, а боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом* 60°. Найдите диагональ трапеции. Основания равнобокой трапеции относятся как 2 : 5, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите стороны трапеции, если её перимегр равен 68 см. В трапеции ABCD известно, что ЛВ = CD, AD = 24 см, Z^DB — = ZCDB, а периметр равен 60 см. Найдите неизвестные стороны гра-пеции. Стороны трапеции равны а, а, ап 2а. Найдите углы трапеции. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD н является биссектрисой угла BAD, ZD = 60°, периметр трапеции равен 40 см. Найдите основания трапеции. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а менынее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции. При каком условии высота равнобокой трапеции равна полуразности оснований? Постройте равнобокую трапецию по основанию, боковой стороне и углу меж;ду ними. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и меньшей боковой стороне. Постройте равнобокую трапецию но основанию, боковой стороне и диагонали. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 6 см, большее основание — 10 см. Найдите среднюю линию трапеции, если один из её углов равен 60°. Диагональ равнобокой трапеции равна 14 см и образует с основанием угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции. Средняя линия трапеции ABCD разбивает её на две трапеции, средние линии которых равны 15 см и 19 см. Найдите основания трапеции ABCD. 262. Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то её высота равна средней линии трапеции. 263. Докажите, что если высота равнобокой трапеции равна её средней линии, то диагонали трапеции перпендикулярны. 264. Диагональ прямоугольной трапеции разбивает её на два треух ольни* ка, один из которых являетсл равносторонним со стороной а. Найдите среднюю линию зранеции. * Пус ть даны отр>€зок АВ и точка М вне прямой АВ такая, что ZAMB = а. В таком случае говорят, ^гго о трезок АВ виден из точки Л/ под углом а. 50 265. 266. 267, 268. 269. 270. «TV г 271. Диагональ равнобокой трапеции разбивае» её на два раипобсдрен-ных треугольника. Найдите углы трапеции. В трапеции ABCD {ВС || AD) известно, что АС L BD, ZCAD = 30**, BD = 8 см. Найдите среднюю линию трапеции. Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, принадлежит прямой, которая содержит её среднюю линию Постройте трапецию: 1) по основаниям и боковым сторонам; 2) по основанию, высоте и диагоналям; 3) по разности оснований, боковым сторонам и диагонали. Постройте раш1обок)'ю трапецию по основанию, высоте и боковой стороне. Постройте трапецию: 1) по основаниям и диагоналям; 2) по боковым сторонам, средней линии и высоте; 3) по основанию, прилежащему к нему углу и боковым сторонам; 4) по боковым сторонам, высоте и одной из диагоналей. Через вершину В параллелограмма ABCD проведена прямая, которая! не имеет с параллелограммом других общих точек. Вершины А и С удалены от этой прямой на расстояния а w h соответственно. Найдите расстояние от точки D до этой прямой. Готовимся к изучению новой темы 272, В окружности проведены диаметры АВ и CD. Доюшите, что АС = BD и АС II BD. 273. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда АС, Докажите, что Z.BOC = 2ZBAC. 274- Прямая АВ касается окружное! и с центром О в точке С, АС = ВС. Докажите, что ОА = ОБ. 275- Хорда АВ окружности с центром О перпендикулярна радиусу ОС и делит его пополам. Найдите: 1) ZAOB\ 2) ZACB. 276. Сколько общих точек имеют две окр)^ности с pa;^иycaми 6 см и 8 см, если расстояние между их центрами равно: 1) 15 см; 2) 14 см; 3) 10 см; 4) 2 см? Повторите содержание пунктов 19, 20, 21, 22 па с. 201-203. 51 Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 277. Многоугольник разбит диагоналями па треугольники, которые окрашены в чёрный и белый цвета так, что любые два треугольника, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Докажите, что количество черных треугольников не больше утроенного количества белых треугольников. ^ 9. Центральные и вписанные углы & Определение л Центральным углом окружности называют угол с вершиной в центре окружности. На рисунке 76 угол АОВ — центральный Стороны этого угла пересекают окружность в точках Л и В. Эти точки деля1 окружность на две дуги, выделенные на рисунке 76 разным цветом. Точки А и В называют концами дуги, и они принадлежат каждой из выделенных дуг. Каждую из этих дуг можно обозначить так; иАВ (читают: «дута АВ»). Однако по записи \jAB невозможно различить дуги на рисунке 76. Если на какой-нибудь из двух дуг отметить точку (на рисунке 77 это точка Л/), то понятно, что обозначение \^АМВ относится к «синей» дуге. Если на одной из двух дут АВ отмечена точка, то договоримся, что обозначение иАВ относится к дуге, которой эта точка не принадлежит (на рисунке 77 это «красная» дуга). Дуга АВ прииа;щежит цен гральному углу АОВ (рис. 77). В этом случае говорят, что центральный угол АОВ опирается на дугу АВ. Каждая дута окружности, как и вся окружность, имеет градусную меру. Градусную меру всей окружности считают равной . Если центральный угол MON опирается на дугу MN (рис 78), то градусную 52 меру дуги MN считают равной градусной мерс угла MON и записывают uMN= ZMON (читают: «градусная мера дуги M7V равна градусной мере угла MON»). Градусную меру дуги MEN (см. рис. 78) считают равной 360^ - ZMON. На рисунке 79 изображена окружность, в которой проведены два перпендикулярных диаметра ЛВ и CD, Тогда kjAMD = 90"*, uACD = = 360“ — 90“ = 270°, тольном треугольнике ABD Z2 + Z3 = 90“. Так как MN — касательная, то Z.DAM — ОС. Тогда Z1 -ь Z3 = 90". Получаем, что Z1 = Z2. Следовательно, ZMAB = ZBDA = Имеем; ZNAB = 180° - ZMAB = 180° - = 180° - | (360° - - <^АКВ) = 180° - 180° + -kjAKB = -kjAKB. < 2 2 Задача 2. Постройте касательную к данной окружноои, проходящую через дан1тую точку, лежащую вне окружности. Решение. На рисунке 88 изображены окружность с центром в точке О и точка Л/, лежащая вне этой окружности. Пусть X такая точка окружности, что прямая MX является касательной. Тогда угол МХО — прямой. Его можно рассматривать как вписанный в окружность с диаметром МО. Проведённый анализ показывает, как провести построение. Построим отрезок МО и разделим его пополам (рис. 89). Пусть точка /С — его середина. Построим окружность с центром в точке К радиуса КО-Отметим точки Е и F — точки пересечения построенной и данной окружностей. Тогда каждая из прямых ME и MF является искомой касательной. 55 Действительно, угол МЕО равен 90* как вписанный угол, опирающийся на диаметр МО. Отрезок ОЕ — радиус данной окружности. Тогда по признаку касательной прямая ME — искомая касательная. < А 1- Какой угол называют центральным углом окружности? 2. Как называют части окружности, на которые делят её две точки? 3. Каким символом обозначают дугу окружности? 4. В каком случае говорят, что центральный угол опирается на дугу? 5. Чему считают равной градусную меру окружности? 6. Как связаны градусные меры центрального угла окружности и дуги, на которую этот угол опирается? 7- Сколько дуг стягивает каждая хорда? Чему равна сумма их градусных мер? 8. Какой угол называют вписанным углом окружности? 9- В каком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу? 10. Чему равна градусная мера вписанного угла? 11. Каким свойством обладают вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу? 12. Какой вид имеет вписанный угол, опирающийся на диаметр? Упражнения 278. Чему равна гра/^усная мера цеп грального угла окружности, опирающегося на дугу, которая составляет; 1) ^ окр\жиости; 2) окруж- 10 1 2 пости; 3) i окр)жпости; 4) - окружности? 279. Найдите град)сные меры двух дуг окружности, на которые её делят две точки, если градусная мера одной из дуг на 80* больше градусной меры другой. 280. Найдите градусные меры Д1^ух дуг окружности, на которые её делят две точки, если градусные меры этих ;хуг относятс я как 7: И. 281. Найди'ге градусную меру дуги, которую описывает конец часовой стрелки: 1) за 2 ч; 2) за 5 ч; 3) аа 8 ч; i) за .30 мин; 5) за 12 ч. 282. Какие из углов, и.зображённых па рисунке 90, являются вписанными? На какую дугу опирается каждый из впис анных углов? 56 283. На рисунке 91 изображена окр)^иость с центром в точке О. Найдите: 1) ZBDC, если ABAC = 40”; 2) АВЕС, если АВОС=Ж\ 3) kjCE, если ACDE ~ 80”; 4) ADBA, если uDBA = 300”. 284. Найдите ошибки на рисунке 92. 285. Найдите вписанный угол, если гра;;усная мера Д)ти, на которую он опирается, равна: 1) 84”; 2) 110”; 3) 230”; 4) 340”. ? 286. На рисунке 93 kjAB = 74”, ААВС = 68”. Найдите иВС. 287. На рисунке 93 ^АВ = 64”, kjBC = 92”. Найдите ААВС. 288. Центральный угол АОС на 25” больше вписанного угла АВС, который опирается на дугу ЛС (рис. 94). Найдите ААОС и ААВС. 289- Концы хорды АВ делят окружность fia две дуги, градусные меры которых относятся как 3 ; 7. Под какими углами видна эта хорда из точек М ч К (рис. 95)? 290. Хорды АВ и CD равны (рис. 96). Докажите, что иАМВ = kjCND. 57 ? 291. 292. 293. 294. 295. ОО \_____ ^ 296. ^ 297. 7 298. Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие. Точки Л, В и С делят окружность на три дуги так, что \jAB ; vjBC : : иЛС = 1 : 2 ; 3. Найдите углы треугольника АВС, Вершины равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) делят описанную около него окр)жность на три дуги, причём иЛВ = 70“. Найдите углы треугольника АВС. Концы диаметров АС и BD окру'жности последовательно соединены так, что образовался четырёхугольник ABCD. 1) Определите вид четырёхугольника ABCD. 2) Найдите иЛВ, uSC, uCD и kjAD, если ZABD - 80“. Острый угол прямоугольного треугольника равен 32“. Найд11те градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и радиус э'10й окружности, если гипотенуза данного треугольника равна 12 см. Докажите, что если вписанный угол является прямым, то он опирается на диаметр. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М (рис. 97). Докажите, что ZAMC = ^ (иЛС + y^BD). Хорды АВ и CD окружности не пересекаются, а прямые АВ и CD пе- 299. ресекаются в точке М (рис. 98). Докажите, что Z.AMC = - (иЛС — - \jBD). Через точку Л, лежащую вне окружности с центром в точке О, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке В, а вторая проходит через её центр (рис. 99). Известно, что ^ник ABCD вписан в окружность (рис. 103). Докажем, что АА -ь ZC = 180" и /.В + ZZ) = 180". Так как углы Л и С япляютс51 вписанными в окружность, то /Л = ^uBCZ) и ZC = ~^DAB. Имеем: yjBCD + uDAB = 360". Тогда ZЛ +ZC= 180". Аналогично можно показать, что ZB -ь ZD ~ 180". < Вы знаете, что около любого треугольника можно описать окр)ж-ность. Однако не всякий четырёхугольник обладает таким свойством. Например, нельзя описать окружность около параллелограмма, отличного от прямоугольника. Распознать четырёхугольники, около которых можно описать окружность, помогает следующая теорема. 61 Si Теорема 10.2 (обратная теореме 10.1) Если в четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна 180°^ то около него можно описать окружность. Доказательство Рассмотрим четырёхугольник ABCDy в котором ZA + ZC = ISC'*. Докажем, что около него можно описать окружность Предположим, что около этого четырёхугольника нельзя описать окружность. Опишем окружность около треугольника ABD. По предположению точка С не принадлежит этой окружности. Тогда возможны два случая. 1) Точка С лежит вне описанной окружности треугольника ABD (рис. 104). Пусть сторона ВС пересекает окружность в точке Cj (см. рис. 104). Четырёхугольник — вписанный в окружность. Тогда по теореме 10.1 по лучаем, что ZA -ь ZBC^D = 180”. Но по условию ZA + ZC ~ 180”. Отсюда ZBC^D - ZC. Однако это ра-ueuciBO выполняться не может, так как по свойству внешнего угла треугольника ZBC^D = ZC ZCDCy Итак, точка С не может лежать вне окружности, описанной около треугольника ABD. 2) Точка С лежит внутри описанной окружности треугольника ABD |рис. 105). Рассуждая аналогично, можно показать, что точка С не может лежать внутри рассматриваемой окружности. Убедитесь в этом самостоятельно. Таким образом, предположив, что точка С не принадлежит окружности, описанной около треугольника ABD^ мы получили про тиворечие. < Теорему 10.2 можно рассматривать как признак принадлежности четырех точек одной окружности. Если четырёхугольник вписан в окружность, то существует точка, равноудалённая от всех его вершин (центр описанной окружности). Чтобы отмсл-ить эту точку, достаточно найти точку пересечения серединпых перпендикуляров двух соседних сторон четырёхугольника. Рис. 105 в Определение —\ Окружность называют вписанной в четырёхугольник, если она касается всех его сторон. 62 На рисунке 106 изображена окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD. В этом случае та1сже говорят, что четырехугольник описан около окружности. Gf Теорема 10.3 \ Если четырёхугольник является описанным около окружности, то суммы его противолежащих сторон равны. Доказательство Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (рис. 107). Докажем, что АВ -f- CD = ВС + AD. Точки Л/. N, Р, К — точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведённых к окружности через одну точку, равны, то АК = AM, ВМ = BN, CN = СР, DP = DK. Пусть АК=а, ВМ = Ь, CN= с. DP^d. Тогда АВ -ь CD = а + Ь -{■ с d, ВС + AD = Ь ^ с + а ¥ d. Следовательно, АВ + CD = ВС -ь AD. < Вы знаете, что в любой треугольник можно вписать окружность. Однако не всякий четырёхугольник обладает таким свойством. Например, нельзя вписать окружность в прямоугольник, отличный от квадрата. Распознать четырёхугольники, в которые можно вписать окружность, помогает следующая теорема. & Теорема 10.4 Если в выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Доказательство Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором АВ + CD - ВС + AD. Докажем, что в него можно вписать окружность. Пусть биссектрисы углов Aw В пересекают^ ся в точке О (рис. 108). Тогда точка О равноудалена от сторон АВ, ВС и AD. Следовательно, существует окружность с центром в точке О, которая касается трёх этих сторон. 63 Предположим, что эта окружность не касастс51 стороны CD. Тогда возможны два сл)чая. 1) Сторона CD не имеет обп1их точек с построенной окружностью. Проведём касательную C^D^ параллельно стороне CD (см. риг. 108). Четырёхугольник ABC^D.^ описан около окружности. Тогда по теореме 10.3 получаем, что АВ -i- C^D^ = ВС^ + AD^. (1) Однако по условию АВ -н CD = ВС + AD. (2 Вычтем из равенства (2) равенство (1): CD - C,D, = ВС - ВС, V AD - AD^ Отсюда CD - С,О, = С,С + 0,0; CD = С,С + D,D + С,О,. S'! © равенство противоречит утверждению, доказанному в ключевой зада^хе § 1. Итак, сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью. 2) Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью. Рассужда>1 аналогично, можно показать, что сторона CD m можег име'гь две общие точки с рассмагриваемой окружностью. Убедитесь в этом самостоятельно. Таким образом, предположив, чго построенная окружность не каса ется стороны CD, мы получили противоречие. < ? Ьхли четырехугольник описан около окружности, то существует точка, равноудалённая от всех его сгорон (центр вписанной окружности). Что бы отметить эту точку, достаточно найти точку пересечения биссектрис двух соседних углов выпутслого четырёхугольника. Задача (признак принадлежности четырёх точек одной окружности). Точки Л, М, М В таковы, что /-АМВ - AANB, причём тс^чки М и лежат в одной полуплоскости относительно пря мой АВ. Докажите, что точки Л, М. В лежат на одной окружности. Решение. Пусть ААМВ - Z.ANB = а. Около треугольника АМВ опишем окружность (рис. 109). Пусть С — произвольная точка окружности, не прииа;1лежащая дуге АМВ. Тогда четырёхугольник АСВМ — вписанный в окружность. Отсюда ZC = ISO”- а. Имеем: ZC -ь ZN = 180**. Тогда по теореме 10.2 вокруг четырёхугольника ACBN можно описать окружность. Так как около треугольника АВС 64 г о с можно описать только одну окружность, то этой окр)Жности принадлежат как точка Л/, так и точка N. 1. Какую окружность называют описанной около четырёхугольника? 2- В каком случае говорят, что четырёхугольник вписан в окружность? 3. Каким свойством обладают углы вписанного в окружность четырёх угольника? 4. При каком условии около четырёхугольника можно описать окружность? 5- Какую окружность называют вписанной в четырёхугольник? 6. В каком случае говорят, что четырёхугольник описан около окружности? 7. Каким свойством обладают стороны описанного около окружности четырёхугольника? 8. При каком условии в четырёхугольник можно вписать окружность? ^ Г' Практические задания 326. 327. 328. 329. Начертите прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см. Опишите около него окружность. Начертите произвольную равнобокую трапецию. Опишите около неё окружность. Начертите равнобокую трапецию с большим основанием б см, боковой стороной 4 см и углом 60"* Впишите в неё окружность. Начертите произвольный квадрат. Впишите в пего окружность и они шите около него окружность. Упражнения 330. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ЛВСО, если его углы А, В, С и D соо'гветственно равны: 1) 90% 90% 80% 100% 2) 90% 80% 90% 100% 3) 50% 70% 130% 1107 331. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если его углы А, В, С W D соответственно пропорциональны числам: 1) 3.8, 11, 6; 2) 4. 5. 4. 2? 332. Док21ЖИте, что можно описать окружность около: 1) любого прямоугольника; 2) любой равнобокой трапеции. 333. Какая точка является центром окружности, описанной около прямоугольника? 5-748 65 334. 335. 336. 337. 338. 339. 340. 341. 342. 343. оо V Можно ли описать окружность около ромба, не являющегося квадратом? В прямоугольнике ABCD известно, что ЛВ - 12 см, ZCAD = 30°. Найдите радиус окружности, описанной около данного прямоугольника. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник ABCD, если его стороны АВ, ВС, CD, AD соответственно пропорциона.льны чис лам; 1) 7. 8, 12, 11; 2) 7, 12. 8, 11? Сумма двух противолежащих сторон описанного около окружности четырехугольника равна 18 см. Найдите периметр данного чез ырёх-угольника. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 7 см. Чему равен пери метр данной трапеции, если в нес можно вписать окружность? В четырёхугольнике CDEF, в который можно вписать окружность, CD = б см, DE = 8 см, ЕЕ = 12 см Найдите сторону CF. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Какая точка 5шляется центром окружности, вписанной в ромб? Можно ли вписать окр\жность в параллелограмм, который не является ромбом? Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности? Один из углов ромба равен 60®, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данный ромб. 344. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом. 345. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб являсл'ся квадратом. 346. Сторона AD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности. описанной около него, ZABC = 108“, ABCD = 132°. Найдите углы BAD, ADC, CAD, BDA. Найдите утлы четырёхугольника MNKP, вписанного в окружность, если ZM/CP= 58°, ZMPN= М\ ZKMP= 16°. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагошшями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен 56° Найдите углы трапеции 349. Высоты ВМ и СК остроу1'ольн01о 7реугольника АВС пересекаютгл в точке //. Докажите, что *]Очки А, К, Н и М лежат на одной окружности. 350- В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит ббльпгую боков) ю сторону' на отрезки длиной 8 см и 50 см. Най- 347. 348. 66 о\ дите периметр данной трапеции, если радиус вписанной окружности равен 20 см 351- В прямоугольную трапецию вписана окружность Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите радиус вписанной окружности, если периметр трапеции равен 54 см. 352. Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меныпем)^ основанию Найдите углы трапеции. 353. Диагональ трапеции, вписанной в окружность, равна d. Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 120'*. Найдите среднюю линию трапеции. 354- Боковые стороны и меньшее основание равнобокой трапеции равны 6 см, а один из её углов равен 60“. Найдите радиус окружносги, описанной около данной трапеции. 355. Из произвольной точки М катета АС прямоугольного треугольника АВС опущен перпендикуляр МК на гипотенузу АВ. Докажите, что ZMKC = ZMBC. 356- Из произвольной точки О, которая принадлежит острому углу' А, но не принад/лежит его сторонам, опущены перпендикуляры ОВ и ОС на его стороны. Докажите, что ZOAB = ZOCB. 357- Биссектрисы ВК и СМ треугольника АВС пересекаются в точке О, ZA = 60“. Найдите ZCMK. 358. Биссектрисы МА и КВ треугольника MNK пересекаются в точке О, точки л, N, В и О лежат на одной окружности. Найдите ZN. 359- Вне прямоугольного треугольника АВС на его i ипотеиузс АВ построен квадрат ABFD. Докажите, что ZACO - ZOCB, где О — точка пересечения диагоналей квадрата. 360. Вершины А \\ В треугольника АВС с пря мым углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р (рис. 110). Докажите, что точка С при этом перемещается по отрезку. 361. Из произвольной точки Л/, принадлежащей углу с вершиной Л, но не принадлежащей его сторонам, проведены перпендикуляры МР и MQ к сторонам угла. Из точки Л проведён перпендикуляр АК к отрезку PQ. Докажите, что ZPAK = ZMAQ. Рис. 110 А с Р в 67 362. 363. В остроугольном треугольнике АВС отрезки СС^ и A4j — высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка проходит через середину стороны АС. На боковых сторонах трапеции, в которую можно вписать окруж ность, как па диаметрах построены две окружности. Докажите, что эти окружности имеют одну общую точку. Упражнения для повторения 364. 365. 366. Через середи1гу диагонали АС параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD. Эта прямая пересекает прямые АВ и CD в точках Мн К соответственно. Определите вид четырёхугольника АМСК. В треуг ольнике АВС отрезок AD — биссектриса. Через точку D проведена прямая, которая параллельна стороне АС и пересекает сторону АВ в точке Е. Через точку Е проведена прямая, которая параллельна стороне ВС и пересекаез’ сторону АС в точке F. Докажите, что АЕ = CF. Высота ВМ ромба ABCD, опущенная из вершины тупого угла на сторону AD, пересекает диагональ АС в точке К, ZBKC = 64“. Найдите ZABC. Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 367. Можно ли квадрат разрезать на тысячеугольник и 199 пятиугольников? 68 Задание № 1 в тестовой форме нПроверьте себя» 1. Каким из представленных способов можно обозначить четырёхугольник, изображенный на рисунке 111? А) MPQN В) NPMQ Б) QMNP Г) QNPM 2. Какие )тлы могут быть в четырёхугольнике? A) четыре т)пы\ угла Б) четыре острых угла B) два тупых и два прямых угла 3- В четырёхугольнике каждая сгорона равна одной и той же его диагонали. Чему равны углы четырёхугольника? А) 60\ 60“, 120% 120’’ Б) 90% 90% 90% 90” Б) 60% 120% 90% 90” Г) 150”. 30”. 150% 30” 4. Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону пополам. Чему равны стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см? А) 5 см, 10 см В) 7 см, 8 см Б) б см. 4 см Г) 3 см, 12 см 5. Четырёхугольник является параллелограммом, если A) у него имеются две ггары рапных сторон Б) у него имеются две пары равных углов B) каждая диагональ делит его на два равных треугольника Г) у пего три стороны равны 6. Какое из данных утверждений неверно? A) четырёхугольник, который одновременно является и ромбом, и прямоугольником, — квадрат Б) параллелограмм, у которого диагонали равны и перпендик)-лярпы, — квадрат B) параллелограмм, у которого все углы прямые, а диагонали равны, — квадрат Г) ромб, у которого диагонали равны, — квадрат 7. В треугольнике АВС точки М и N принадлежа!’ соответственно сторонам АВ и ВС. Отрезок MN является средней линией, если А) MN II АС Г>) MN = I ЛС В) MN= |ЛС, ZBNM=ZBAC Г) MN = I АС, ZBNM = ZBCA 69 8. Какое из приведённых свойств не может иметь трапеция? A) иротиволежанще углы равны Б) диагонали равны и перпендикулярны B) один из углов при большем осповаиии больше одного из углов при меньшем основании Г) средняя линия трапеции равна её высоте 9. Вписанные углы одной окружности равны, если они A) опираются на одну хорду Б) имеют общую вершину B) опираю1ся на одн)' д)ту' Г) имеют общую сторону 10, Около четырёхугольника CDEF описана окружность, ZCDF= 80“, ZDEC = $0\ Чему равен угол DCFt А) 5(Г Б) 110° В) 70° Г) 90° Итоги главы 1 Сумма углов четырёхугольника Сумма углов четырёхугольника равна 360". Параллелограмм Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны. Свойства параллелограмма • Противолежащие стороны параллелограмма равны. • Противолежащие углы параллелограмма равны. • Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Высота параллелограмма Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противолежащую сторону. 70 Признаки параллелограмма • Если в четырёхугольнике каждые две противолежащие стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. • Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. • Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Прямоугольник Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые. Особое свойство прямоугольника Диагонали прямоугольника равны. Признаки прямоугольника • Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник. • Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. Ромб Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны. Особое свойство ромба Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Признаки ромба • Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб. • Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб. Квадрат Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны. Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон. 71 Свойство средней линии треугольника Средняя линия треугольника, соединяющая серединь. двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Трапеция Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Высота трапеции Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из оснований, на прямую, содержащую другое основание. Средняя линия трапеции Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Свойство средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Центральный угол окружности Центральным углом окружности называют угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол окружности Вписанным углом окружности называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Градусная мера вписанного угла окружности Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Свойства вписанных углов • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. • Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), — прямой. Окружность, описанная около четырёхугольника Окружность называют описанной около четырёхугольника, если она проходит через все его вершины. 72 Свойство вписанного в окружность четырёхугольника Если четырёхугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180^. Признак четырёхугольника, около которого можно описать окружность Если в четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна 180то около него можно описать окружность. Окружность, вписанная в четырёхугольник Окружность называют вписанной в четырёхугольник, если она касается всех его сторон. Свойство описанного около окружности четырёхугольника Если четырёхугольник является описанным около окружности, то суммы его противолежащих сторон равны. Признак четырёхугольника, в который можно вписать окружность Если в выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. 73 Глава 2. Подобие треугольников Изучив материал этой главы, вы узнаете о свойствах отрезков. отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла. Вы научитесь находить среди треугольников те. которые имеют одинаковую форму, но разные размеры. Вы познакомитесь со свойством пересекающихся хорд и свойством касательной и секущей, проведённых к окружности через одну точку. Вы узнаете, какие треугольники называют подобными, и научитесь применять их свойства. ^11. Теорема Фалеса, Теорема о пропорциональных отрезках \ бЛ Теорема 11.1 v (теорема Фалеса) Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Доказательство Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что ОЛ^ - = А^^ - А.^^ = .... А^В^ II А.^В^ II А^В.^, А.^В^ 11 А^В^.До- кажем. что OBj = В^В,^ — B.fi^ = В^В^ = ... . Предположим, что ОВ^ ^ В^В.^. Пусть с:ерединой отрезка ОВ,^ является некоторая точка C^. Тогда отрезок А^С^ — средняя линия треугольника А,^ОВ,^. Отсюда А^С^ |! А.^В,^. Значит, через точку А^ проходят две прямые, параллельные прямой А^,^, что противоре чит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, ОВу = В^В^. Предположим, что В^В^ Ф серединой отрезка В^В^ является некоторая точка С^. Тогда отрезок А^С,^ — средняя линия 1рапеции А^^В^Ву Отсюда II А.^В^, Значит, через точку проходят две прямые, параллельные прямой А^Ву Мы приш;1и к противоречию. Следовательно. В,В.^ = B Ji^. 74 Аналогично доказывают, что и т. д. Фалес Милетский (ок. — ок. s>4/ до н. э.) Древнегреческий философ, учёный, купец и государственный деятель. Родом из Милета ~ порта в Малой Азии на побережье Зг ейского моря. Sj Определение \ Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. Если, например, ЛВ ~ 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка ЛВ к отрезку CD равно —. Записывают: Лё, = Ё т. е. 4 ^ ^ ^ 6 CD € CD S Если АВ А А CD СА , то говорят, что отрезки ЛВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Л^В^ и C^D^. Аналогично можно говорить о пропорциональности большего числа ,г ЛВ CD MN . „ отрезков. Например, если - - - = —= tj-Тг . то 1Ч)ворят, что отрезки ЛВ, CD, МА/пропорцно*1алы1ы соответственно отрезкам Л^В^, ^i^i» Й Теорема 11.2 ----- ---------- (теорема о пропорциональных отрезках) Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла. Доказательстао этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведём доказательп во для частного случая. 75 Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми АА^ и (рис. ИЗ). Докажем, что: 1) ОА _ АВ ОА, Л,В, ;2) ол ов ;3) ов АВ ОЛ, ОВ, ’ ОВ, Л,В, Докажем первое из этих равенств (остальные два доказываются аналогично). Пусть для отрезков ОЛ и ЛВ существует такой отрезок длх1Ной /, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: ОА = ml, ЛВ — п1у где тип — некоторые натуральные числа. Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно н<\ т и п равных отрезков, каждый из которых равен /. Через концы полученных отрезков проведём прямые, параллельные прямой ВВ, (рис. 114). По геореме Фалеса эти прямые делят отрезки ОЛ, и Л,В, соответственно на m и п равных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен /,. Тогда ОЛ, = т/,, Л,В, = nl^. ОА _тп1 _т ОЛ, т ^ ОА ОЛ ~ п1 ‘ ОА ОЛ, Имеем: ЛВ ЛВ п А, в, ni — —. Отсюда п АВ А,в, Тогда , ■ Почему же приведённые рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОЛ и ЛВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса. < Если рисунок 113 дополнить прямой ССр параллельной прямой ВВ, 76 Замечание. Теорема 11.2 остаётся справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые. в Теорема 11.3 Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 ; 1, считая от вершины треугольника. и Щ 2 п = Y . По теореме ‘1 -2 1 Доказательство На рисунке 116 медианы A4j и ББ, треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана СС, также проходит через точку М ВЫ _ AM СМ 2 Л/Б, МД МС, 1 ■ Проведём В^К || АА^ Так как АВ^ = Б, С, то по теореме Фалеса Л ./С = А С 2 = КС, т. е. Поскольку БЛ^ = Л,С, то ' ВМ БЛ| о пропорциональных отрезках —р - Moj i4j К Таким образом, медиана ЛЛр пересекая медиану ББр делит её в отношении 2:1, считая от вершины Б. Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана ССу также делит медиану ВВ^ в отношении 2:1, считая от верши-iibi Б (рис. 117). А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, ^гго эта точка делит медиану ББ^ в отношении 2 : 1. То, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы ЛЛ^ и СС^, доказывается аналогично. < На рисунке 118 изображён треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны ЛБ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC. 77 ^ Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника) Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. Доказательство Ыа рисунке 119 отрезок BD — биссектриса а тт DC треугольника ЛВС. Докажем, что “тб* =• Aij оСу Через точку С проведём прямую, пара^т-лельную прямой BD. Пусть проведённая прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накресг лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС\ углы 3 и 4 равны как cooTuei ственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ЛЕ. Поскольку BD — биссектриса т[^уголы1ика АВС, то Z4 = Z1. Отсюда Z2 = Z3. Тогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных от- резках AD DC ^ DC , Поскольку Bh = ВС, то АВ BE АВ ВС Задача. Разделите данный отрезок на три равных отрезка. Решение. Через конец А данного отрезка АВ проведём луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А у Затем отметим точки Л 2 ^ так, чтобы ЛЛJ = Л,Л2 = Л^Л^. Проведём отрезок A fi. Через точки Л, и Л2 проведём прямые, параллельные прямой А^В. Они пересекуг отрезок АВ в точках В^ и В^ соответственно. По теореме Фалеса АВ^ = В^В.^- В.^В. < А 1. Сформулируйте теорему Фалеса. 2. Что называют отношением двух отрезков? 3. В каком случае говорят, что отрезки ЛВ\л CD пропорциональны отрезкам Л^В, и CjDj? 4. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках. 5- Сформулируйте теорему о пересечении медиан треугольника. 6. Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника. 78 г о г о Практические задания 368. Начертите произвольный отрезок и разделите его на пять равных частей. 369. Начер ги ге произвольный отрезок и разделите его на семь равных частей. 370. Начертите произвольный отрезок АВ и постройте на нём точку С такую, что АС : СВ = 2:7. 371. Начертите произвольный отрезок CD и постройте па нём точку Е такую, что СЕ : ED =1:5. Упражнения 372. На рисунке 121 ОА^ = А^А.^ = А^Б^ II AJS^ || Л^В, || AJB^, OBj = 8 см. Найдите отрезки В^В^, ^1^4 373. Па рисунке 122 АВ = ВС, ЕЕ = 5 см. Найдите отрезок ED. 374- Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины соответственно равны 12 см и 18 см. Изменится ли это отношение, если длины данных отрезков выразить в дециметрах? в миллиметрах? 375. Пропорциональны ли отрезки ЛВ и CD соответственно отрезкам ЕЕ и МК, если: 1) ЛВ = 16 см, CD - б см, ЕЕ- 24 см, МК — 9 см; 2) ЛВ = 8 см, CD = 20 см, ЕЕ= 10 см, МК = 35 см? 376. Среди отрезков ЛВ, CD, ЕЕ, МК, PS выберите четыре отрезка так. чтобы два из них были пропорциональны двум другим отрезкам, если ЛВ = 3 см, CD = 16 см, ЕЕ~ 18 см, МК = 36 см, PS - б см. 377. На рисунке 123 BD || СЕ, АВ = 16 см, ВС = б см, ЛD = 8 см. Найдите отре;юк DE. 79 378. 379. 380. 381. 382. 383. 384. 385. 386. ~оо\ На рисунке 124 (| || А^В^, А^А,^ = 9 см, А^^ = 15 см, В^В^ ~ 6 см. Найдите отрезок На рисунке 125 DE II АС, BE = 10 см, от^ резок BD п дна раза больше отрезка AD. Найдите отрезок ВС. Прямая, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает его сюро-ну АВ в точке М, а сторону АС — в точке К, AM = 9 см, ВМ = б см, КС = 8 см. Найдите отрезок АК. Докажите, что средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне АС, делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину В с произвольной точкой стороны АС. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны равно 7 см. Найдите длину меньшей стороны прямоугольника. Высота равностороннего треугольника равна 12 см. На каком расстоянии от сторон треугольника находится точка пересечения его биссектрис? Медиана CD треугольника АВС равна 9 см. Найдите отрезки СО и OD, где О — точка пересечения медиан треугольника АВС. Отрезок BD является биссекгрисой треугольника АВС, АВ = 40 см, AD - 80 см. CD = 12 см. Найдите сторону ВС. Отрезок AM — биссеюгриса треугольника АВС, АВ = 48 см, АС = 32 см, ВМ = 18 см. Найдите сторону ВС. 387, Концы отрезка, не не|)есекающего данную прямую, удалены от этой прямой на 8 см и 14 см. Найдите расстояние от середины этого отрезка до данной прямой. Расстояние от середины хорды БС до диаметра АС равно 3 см, ZBAC = 30”. Найдите хорду АВ. Отрезок ВМ — высота ромба ABCD, проведённая к стороне AD, ZA = 45”, AM = 8 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны AD. 390. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, АС = 8 см, AD — медиана. BE — высота, BE = 12 см. Из точки D ои)тцен перпендикуляр DF на сторону АС. Найдите отрезок DF vi ZADF. 388. 389. 80 391. 392. 393. ср 394. ^ 395. 396. 397. 398. 399. 400. 401. 402. 403. 404. 405. Сторона АС треугольника АВС равна 24 см. сторона АВ разделена на четыре равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне АС. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику. Основания трапеции равны 16 см и 28 см. Одна из боковых сторон разделена на три равных отр>езка, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Навдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции. Сторона DE треугольника DEF разделена на три равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне DF. Найдите отрезки эзих прямых, принадлежащие треугольнику DEF, если DF- 15 см Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам. Средняя линия МК трапеции ABCD пересекает диагона;1ь АС в точке Е, ME = 4 см, ЕК = 6 см. Найдите основания трапеции. Диагонали трапеции пересекают её средшою линию МК в точках Е и F. Докажите, что ME = KF. Основания трапеции равны 12 см и 22 см. Найдите отрезки, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию. На рисунке 126 АЕ || BF || СМ li DK, АВ = 25 см, ВС = 20 см, CD = 35 см, ЕК = 48 см. Найдите отрезки EF, FM и МК. Через точку' D, отмеченную на стороне АС треугольника АВС, проведена прямая, которая параллельна стороне АВ и пересекает сторону ВС в точке £*, AD : DC —5:7, ВС = 36 см. Найдите отрезок BE. Точки М и /С — середины сторон АВ и AD параллелограмма ABCD соо'гветствепно. Докажите, что точка пересечения прямых ВК и DM нрии<1длежит диагонали АС. Дою1жите, что если две медианы треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный. В треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены медиана AM и выса та BIL Найдите В//, если AM = 45 см, /САМ = 30**. Даны отрезок АВ и точка О, не принадлежащая прямой АВ. Постройте треугольник, для коюрого отрезок АВ является стороной, а точка О — точкой пересечения медиан. Отрезок BD — биссектриса треугольника ЛВС, АВ - 28 см, ВС = 20 см. АС = 36 см. Найдите отрезки AD и CD. В треугольник ЛВС вписан ромб CDEFtbr, что угол С у них общий, а вершины D, Е н F ромба принадлежат соответственно сторо- 6 — 748 81 нам АС, ЛВ и ВС ipcyi ильника. Найдите стороны АС и ВС, если АЕ = 30 см, BE = 12 см. а периметр треугольника равен 105 см. 406. Стороны трс)тольника равны 39 см. 65 см и 80 см. Окружность, центр когорой принадлежит большей стороне треугольника, Kacaei-ся двух других сторон. На какие отрезки центр этой окружности делит сторону треугольника? 407. Точка D — середина осрювания АС равнобедренного треугольника АВС. На стороне АВ отметили точку М тлк, что AM : МВ = 2:7 В каком о1 ношении прямая BD делит отрезок СМ? 408. В равнобедренном треутльнике DEF провели высоту ЕС к его основанию и на боковой стороне CF отметили точку А. Отрезки ЕС и DA пересекаютс я в 1очке О. причём АО ; OD = 3 8. Найдите отношение ЕА :АЕ. 409. В равнобедренном треугольнике высоаа, проведённая к основанию, равна 42 см. а основание относится к боковой стороне как 6:11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный трсу10льник. 410. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведённую к основанию, в отношении 12:5. Найди ге сюнование треугольника. ? 411- На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка М так, что ВМ : МС = 3 : 10. В каком отношении отрезок ЛМ делит медиан) ВК треугольника АВС? 412. На стороне А В треугольника АВС отмечена точка М так, что AM : МВ = 4 : 3. В каком отношении медиана ВК 1) делит отрезок СМ; 2) делится отрезком СМ? 413. Докажите, что отрезок, соединяюикий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности. 414- Даны отрезю! а, Ь, с. Постройте отрезок х такой, что а : х — Ь : с. 415. ’'Терез точку О, принадлежащую данному угл>’, проведите отрезок, концы которого принадлежат сторонам данного угла и который делится точкой О: 1) пополам; 2) в отношении 2 ; 3. 416- Постройте треугольник: 1) по стороне и углам, которые эта сторона образует с медианами, проведёнными к двум другим сторонам; 2) по двум медианам и углу между ними; 3) по высоте и медиане, проведённым к одной стороне, и углу между этой стороной и медианой, проведенной к другой стороне; 4) по трём медианам. 417- Постройте треугольник: 1) по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам; 82 2) но высоте, проведсппой к одной из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам. ?418. На сторонах угла А отмечены точки Cj, так, что 4Й АС ' - ^ (рис. 127). Докажите, что В^С^ II с с |V^2 419- Биссектриса внешнего угла при иершипс В треугольника АВС пере секает луч АС в точке D. Докажите, что АВ : ВС = AD : CD. Упражнения для повторения 420. 421. Сторона квадрата ABCD равна а. На дуге АС окружности с центром By радиус которой равен сг, отмечена точка Е такая, что АВЕС = VS"". Найдизе oi резок Af. Диагона;1Ь трапеции перпендикулярна её основаниям, тупой угол, прилежащий к большему основанию, равен 120'’, боковая сторона, прилежащая к этом)' углу, — 12 см, а большее основание — 16 см. Найдите среднюю линию трапеции. Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 422. Равносторонний треугольник покрыт пятью меньшими равными ме-жд)’ собой равносторс^нними треугольниками. Докажите, что ;|дя покрытия достаточно и четырёх таких i рсугольников. ^ 12. Подобные треугольники На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника но геометрии. Вообще в повседневной жизни часто вст|)ечаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129), Рис. 127 Рис. 129 ф Щ 83 Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130). На рисунке 131 изображены треугольники АВС и /1,В,Ср у которых равны углы; ZA = ZAj, ZB = ZB,, ZC = ZC,. Стороны AB и A^B^ лежат против равных углов С и С,. Такие стороны называют соответственными. Соответственными закже являются стороны ВС и В,С,, СА и С^Ау в Определение V Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника. - 2. По оп- Например, на рисунке 132 изображены треугольники АВС и Л,В,С^ у которых ZA - ZAy ZB - ZB^ ZC = ZC, и /ijOj o,C, ЦЛ, рсделению эти треугольники подобны. Пишут: ДЛВС ^ АА^В^С^ (читают: «треугольник ЛВС подобен треугольнику Л,В^С,») ^1исло 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник ЛВС подобен треугольнику Л,В,С, с коэффициентом подобия, равным 2. Пишут: AABClAA^B^Cy Так как Л, В. В, С, С, Л, 1 ' * — * ' — гм = "■» 'ГО можно также сказать, что треуголь- СА 2 ЛВ ВС пик Л,В,С^ подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия Пи-шут: АЛ,В, С, со ДЛВС. 84 Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1. Если ЛЛБС АЛ и AAjBjCj ^ то АЛ5С ^ АЛ,^2^2* кажите это свойство самостоятельно. Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют дая доказательства других теорем. Лемма о подобных треугольниках Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный. Доказательство На рисунке 133 изображён треугольник ЛВС, отрезок Л jC| параллелен стороне ЛС. Докажем, что АЛВС w AЛ,i?CJ. Углы Л и Лр Си Cj равны как соот ветственные при параллельных прямых Л^С^ и АС и секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны. Покажем, что стороны В А п ВС пропорциональны соответственно сторонам ВА^ и ВС у гт ВЛ ВА. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что . .. ВЛ ВС щ-щ- в (у ^4 Проведём CjCg II АВ, Получаем = -т^ . По определению четырёх D А )тольник ЛЛJCJC2 — параллелограмм. Тогда ЛС2 = Л,Ср Отсюда - . ^ ^ ВЛ ВС ЛС Таким образом, доказано, что ВЛ. ВС. А.С. ? Следовательно, у треугольников АВС и А^ВС^ углы соответственно равны и соответственные сгороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны. ◄ Задача, Докажите, что отношение периметров подобных треуголь-F1HKOB равно коэффициенту подобия. 85 Решение. Пусть тре)тольник подобен треугольнику ЛВС с ко- .1 ^ / ДД АС, , а^крицнентом подобия к. Тогда = k. откуда Л,= k ЛВ, B,C, = kBC.A,C\=k^AC Обозначим — периметр треугольника Л,£|С,. Р — периметр треугольника Л J3С. Имеем; Р, =Л,Р, + +Л,С, =А ABi к ВС ^ к ЛС = к^ {АВ - ВС AQ = кР, т. с. = к, < С^1. Какие два треугольника называют подобными? 2. Как найти коэффициент подобия двух подобных треугольников? 3. Сформулируйте лемму о подобных треугольниках. оЛ Упражнения Рис. 134 423- На рисунке 134 изображены подобные треугольники АВС и DEF, равные углы ко'Юрых отмечены одинаковым количеством луг. Какие стороны этих трс)гольников пропорциональны? Запишите соответствующие равенства. 424. Подобны ли треугольники АВС и MNK, если ZA = 40®, /.В = 82% ZM = 40% ZK = 58% ЛВ = 2,4 см, ВС = 2,1 см, АС = 3.9 см, MN=^ 3,2 см, см, м/с =5.2 см? 425. И;»вестно, что ADEF ~ АМСР, причём стороне DF соответствует сторона МС и стороне DF соответствует сторона МР. МС ~ 12 см, МР = 8 см, EF = 4.5 см. Найдите пси.звестиые стороны данных треугольников. 426. Известно, что ААВС ^ АА^В^С^, причём ZA - ЛЛр ZB = zPp АВ = 6 см, ВС - 7 см, АС = 10 см, ЛJP, = 9 см. Най/^ите сторо иы В^С^ и А^Су 427. Найдите углы треугольника Л^В^Су если ААВС ^ АЛ^Р^С’,, причём стороне АВ соотвстс 1'вует ciopoHa ЛJP^ и (тороне ВС соответствует сторона В^Су ZA = 25**, ZB = ИТ. 428. Стороны МК и DP, КТ и EF — соотве гсгвенныс стороны подобных треугольников МКТ и DEF, МК = 18 см, КТ = 16 см, МТ = 28 см, МК : DE =4:5. Найдите стороны треугольника DEF. 86 429. На рисунке 1^5 ЛБ || CD. Найдите на этом рисунке подобные треуголышки. Запишите пропорции, которые начина-Ю'гся с отношения: 1) АЕ 2) CD 3) лв СЕ' ' ЛВ' ''' ЛЕ 430- Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке D, а сторону ВС — в точке Е. 1) Найдите BD, если АВ = 16 см. АС = 20 см, DE — 15 см. 2) Найдите AD, если АВ = 28 см, ВС - 63 см, BE = 27 см. 431. Н треугольнике АВС известно, что АВ = 6 см. Через точку М стороны АВ проведена прямая, которая параллельна стороне ВС и пере секает сторон) АС в точке К. Найдите неизвестные стороны треугольника АВС, если AM - 4 см, МК = 8 см. АК = 9 см. 432- Найдите высоту вышки (рис. 136), если расстояния от наблюдаатля до шеста и вышки соответственно равны 1,5 м и 39 м, высота шеста — 3 м, а рост наблюдателя — 1,8 м. 433. 434. 435. продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите СЕ, если DE = 40 см. ВС : AD = 4:5. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Л/. Найди1’е меньшее основание трапеции, если большее основание AD равно 42 см, АВ = 9 см, ВМ = 54 см Пользуясь определением подобных треугольников, докажи ге, что любые два равносторонних греугольника нодобьшь 436. Точки М и К — середины ctoj>oii CD и AD квадрата ABCD соотве'т гтвеиио. Пользуясь определением подобных треугольников, докажи те, что AMDK АВС£>. 87 437. Стороны треугольника относятся как 5:4:7. Найдите стороны подобного ему треугольника, у которого: 1) периметр равен 64 см; 2) меньшая сторона равна 24 см. 438. Стороны треугольника равны 15 см, 25 см и 35 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, у которого: 1) периметр равен 45 см; 2) разность наибольшей и наименьшей сторон равна 16 см. 439- На рисунке 137 изображены треугольник АВС и вписанный в него ромб BDEK. Найдите сторону ромба, если АВ = 10 см, ВС — 15 см. 440. На рисунке 138 изображены прямо-у1'0льный треугольник АВС {Z.B = 90“) и вписанный и него квадрат BMKN. Найдите CNy если ВМ = 6 см, АВ ~ 10 см. 441, Две окружности с центрами О, и и радиусами 8 см и 12 см соответственно имеют внешнее касание в точке А, Их общая внешняя касательная пересекает прямую OjOgB точке В. Найдите расстояния от точки В до центров данных окружностей. Рис. 138 А М К В 442. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Через середину высоты треугольника, опущенной на его основание, проведена прямот, параллельная боковой стороне. Найдите периметр тре)толь-ника, который з га прямая отсекает от данного. 443- В равнобедренный тре\гольник. основание которого равно 12 см, а боковая сторюна — 18 см, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания :ггой окружности с боковыми сторонами треугольника. 444. В греугольнике АВС известно, что АВ = ^ см, ВС = 12 см, /-АВС = 120°, BD — биссектриса. Найдите отрезок BD. Упражнения для повторения 445. Сторона ВС параллелограмма ABCD в 2 раза больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В параллелограмма пересекают прямую CD 88 в точках М ч К соответственно (рис. 139). Найдите стороны параллелограмма, если МК =18 см. 446, Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, угол AOD на 60° больше угла АОВ, АС = 24 см. Найдите периметр треугольника COD. 447. Окружность, центр которой принадлежит стороне АВ треугольника ЛВС, проходит через точку В, касается стороны АС в точке С и пересекает сторону АВ в точке D, причём AD : BD =1:2. Найдите углы: 1) треугольника АВС\ 2) треугольника BCD. Наблюдайте, рисуйте. конструируйте. Фантазируйте V 448. На плоскости отметили 25 точек так, что среди любых трёх из них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше единицы. Докажите, чго существует окружность единичного радиуса, которая содержит не менее 13 данных точек. S 13. Первый признак подобия треугольников Если для треугольников АВС и А^В.^С^ выполняются условия ZA = Z.D = ZZ>j, ZC = ZCp I p = р ^ ^ -, то по определению эти треуголь- ники подобны. Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников. о Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство Рассмотрим треугольники АВС и у которых /.А ZB = ZB,. Докажем, что ISABC со = ^Лр 89 Если АВ = А^В^у то треугольники АВС и А^ВуС^ равны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны. Пусть, например, АВ > АуВу Отложим на сгороне ВА отрезок ВА^, равный стороне В,Л,. Через точку А^ проведём прямую А^С^, пар1и1лель-1гую стороне АС (рис. 140). Углы А и ВА.^С^ - соответственные при параллельных прямых А^С^ и АС и секущей А4.^. Отсюда ZA = ZBA.^C^. Но ZЛ = ZЛ,. Получаем, что ZЛJ = ZBA,;yC^. Следовательно, треу10льники А.,ВС^ и А^ВуСу равны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треуго;1Ы1И-ках ДЛ^^ВС^ ^ LaBC. Следовательно, AЛ|JB,C^ ^ ДЛБС. < Задача 1. Средняя линия трапеции ABCD {ВС || AD) равна 24 см, а её диагонали пересекаются в точке О, АО : ОС =5:3. Найдите основания трапеции. Решение. Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и вое равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и сек)щей АС. Следовательно, треутольники AOD и СОВ подобшл по двум углам. Тогда AD АО 5 3 ВС СО Пусть ВС = Зд: см, тогда AD = 5х см. Так как средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС -i- AD = 48 см. Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6. Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см. Ответ: 18 см, 30 см. ◄ ? Задача 2 (свойство пересекающихся хорд). Докажи ге, ч то если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM МВ = DM МС. Решение. Рассмотрим треугольники ACM и DBM (рис. 142). Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы I и 2 равны как вписанные углы, опи- 90 рающиеся на одну и ту же дуг)’. Следовательно, треугольники ACM и DRM подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда лм мс DM МВ . Отсюда AM • МВ = DM • МС. ◄ О Задача 3 (свойство касательной и секущей). Докажите, что есчи че-^ рез то^гку А к окружности проведены касательная AM (М точка касания) и пряма51 (секущая), пересекающая окружность в точках В и С, то АМ-^ = = АС. АВ. Решение. Рассмотрим треугольники АМВ и ACM (рис. 143). У них угол А — общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключе вую задачу § 9) Z.AMB = ^иМВ. Угол МСВ — вписанный угол и опирается на Ayty МВ, поэтому ZMCB = ^uMB. Отсюда ZAMB = ZMCB. Следовательно. треугольники АМВ и ACM подобны по первом}* признаку подо- бия треугольников. Тогда ЛМ ^ АВ АС AM . Отсюда АМ^ = АС • АВ. < 1- Сформулируйте первый признак подобия треугольников. 2. Сформулируйте свойство пересекающихся хорд. 3. Сформулируйте свойство касательной и секущей, проведённых к окружности через одну точку. OV Упражнения 449. На рисунке 144 ZBAC = ZBED. Подобны ли треугольники АВС и EDB7 В случае утверди гельного ответа укажите пары соответственных сторон. 91 450. 451. На рисунке 145 DE ± Л В, ВС 1. AD. Укажите на этом рисунке все пары подобных треугольников. На рисунке 146 ZABC = ZBDC, Какие треугольники на этом рисунке подобны? Запишите равенство отношений их соответственных сторон. 452. Укажите пары подобных треугольников, изображённых на рисунке 147, найдите длину отрезка х (размеры даны в сантиметрах). 453. В треугольниках АВС и A^B^C^ известно. что ZA = Z^,, ZB = ZB,. АВ = 6 см. ВС = 8 см, ZjBj = 9 см. Л,С, = 18 см. Найдите неизвестные стороны данных треугольников. 454. На стороне CD параллелограмма ABCD (рис. 148) отмечена точка В, прямые BE и AD пересекаются в точке В, 92 о 455. 456. 457. ? 458. 459. 460. 461. 462. СЕ = 8 см, DE = 4 см, BE = 10 см, AD = 9 см. Найдите отрезки ЕЕ hFD. В трапеции ABCD {ВС || AD) известно, что AD ~ 20 см, ВС = 1.5 см. О — точка пересечения диагоналей, АО = 16 см. Найдите отрезок ОС- Диагонали трапеции А В CD с основаниями ВС vl AD пересекаются в точке О, ВО : OD = 3:7, ВС - 18 см. Найдите основание AD. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если среди углов одного из них есть угол, равный 38^ а среди углов другого — угол, равный 52'*? Докажите, что два равнобедренных треугольника подобны, если углы при их вершинах равны. Можно ли утверж;;ать, что два равнобедренных треугольника подобны, если у них есть: 1) по равному острому углу; 2) по прямому углу; 3) по равному тупому углу? Угол между боковой стороной и основанием одного равнобедренного треугольника равен углу между боковой стороной и основанием другого равнобедренного треугольника. Боковая сторона и основание первого треугольника равны 18 см и 10 см соответственно, а основание второго — 8 см. Найдите боковую сторону второго треугольника. Из вершины прямого угла треугольника опущена высота на гипотенузу. Сколько подобных треугольников образовалось при этом? Стороны параллелограмма равны 20 см и 14 см, высота, проведённая к большей стороне, равна 7 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к меньшей стороне. ? ? 463. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD диагонали пересекаются в точке О, ВО = 4 см. OD - 20 см, АС = 36 см. Найдите отрезки АО и ОС 464- Б трапеции ABCD {ВС || AD) известно, что AD = 18 см, ВС = 14 см, АС = 24 см. Найдите отрезки, на которые диагональ АС делится точкой пересечения диагоналей. 465. Докажите, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны. 466. Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соотвезственные стороны. 467- Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 28 см и 63 см, ААВС — ZACD. Найдите диагональ АС. 93 468. 469. 470. 471. На стороне АС треугольника АБС отметили точку D такую, что ZABD - ZC, АН = 20 см, DC = 28 см, АС = 40 см. Найдите неизвестные стороны треугольника ADD. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а больший ка-'гет — 16 см Найдите отрезки, на которые серединный перпендикуляр гипоте>гузы делит больший катет. Объясните с помощью рисунка 149, как можно найти ширину (ВМ) реки, исполы5)'я подобие треугольников. Изображение дерева, удалё11НОго на 60 м от объектива фотоаппарата, имеет на плёнке высогу 8 мм (рис. 150). Расстояние от объектива до изображения равно 40 мм. Какова высота д<^рева? Рис. 151 472. Найдите высоту дерева, если длина его тени равна 8,4 м, а длина тени от вертикального столба высотой 2 м в это же время суток равна 2,4 м (рис. 151). ________ __________ 473- Может ли прямая пересекать две стороны равнобе,арен кого треугольника, отсекать от него треугольник, ему подобный. и не быть параллельной третьей стороне? 474- Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, AM — б см, ВМ = 14 см, СМ =12 см. Найдите отрезок DM. 475- Хорды МК и NP окружности пересекаются в точке F, MF = 9 см, KF= 12 см, а отрезок NF ь 3 раза длиннее от{х;зка PF. Найдите хо[> ду NP. 476. Точка К делит хорду АС окружности пополам, а хорду DE— на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найди ге хорд\^ АС. ж .< — 94 ? 477. Точка Е делит хорду CD окружности на отрезки длиной 15 см и 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки Е ло центра окружности рашю 4 см. 478. Хорда МК окружности делится ючкой Р на дна отрезка длиной 8 см и 12 см. Найдите расстояние от точки Рдо центра окружности, если её радх^ус равен 11 см. 479. Через точк\ Л проведены к окружности касательная AM iM — точка касания) и секущая, которая! пересекает окружность в точках К и Р (точка К лежит между точками А и Р). Найдите /СР, если AM = 12 см, АР - 18 см. 480. Через точку Л, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается окр^окности в точке В, а другая пересекает окружность в точках С н D (точка С лежит между точками Л и D), АВ = 18 см, АС : CD = 4:5. Найдите отрезок AD. 481. Чсрс:з гочку л, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых пересекает окружность в точках В н С (точка В лежит между точками Л и С), а друг;ш — в точках D и Е (точка D лежит между точками Лир). 1) Докажите, что АВ • АС = AD ■ АЕ. 2) Найдите Л£, если АВ = 18 см, ВС = 12 см и AD : DE =5:7. 482. В окружиоелтх, радиус которой равен 8 см, проведена хорда АВ Па прямой АВ вне отрезка АВ отметили точку С тахсую. что АС : ВС =1:4 Найдите расстояние от точки С до центра окружности, если АВ = 9 см. 483. В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его соседние вершины принадлежат стороне ЛС, а две др>тис — сгоронам АВ и ВС t:ooT-встствеино. Найдите сторону квадрата, если АС = а, г высота, проведённая к стороне ЛС, равна И. 484. В треугольнике АВС известно, что ВС = 72 см, AD — высота. AD - 24 см. В данный треугольник вписан прямоугольник Л/Л7СРтак, что вершины М W Р принадлеж^хт стороне ВС, а вершинхл N w К — сторонам АВ и АС соответственно. Найдите стороны прямоугольника, если МР : MN =9:5. Упражнения для повторения 485. 486. Найдите утлы параллелограмма, если угол между его высотами, проведёнными из одной вершины, равен: I) 20°; 2) 130° Две окружности с центрами О, и радхтухы которых равны, пересекаются в точках А и В. Отрс:зок 0^0., пересекает данные окру'жпо-сти в точках С и D. Докажите, что четырёхугольник ACBD — ромб. 95 487. Один из углов прямо^тольной трапеции равен 135", средняя линия — 21 см, а основания относятся как 5 : 2. Найдите меньшую боковую сто рону трапеции. Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 488. Как два равных выпуклых четырёхугольника разрезать на части, из которых можно составить паралле;юграмм? Когда сделаны уроки Теорема Менелая Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда. В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трёх гочек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Мепелая Александрийского (1-П вв. н. э.). л Теорема Менелая На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены соответственно точки Cj и A^j а на продолжении стороны АС — точка Для того чтобы точки А,, В^у С, лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство АС, В\ С^В А,С СВ, В.А (*) Доказательство Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если то^ши В,, С, лежат на одной прямой, то выполняется равенство (*). Из вершин треугольника ЛВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую С|В, (рис. 152). Поскольку /LMC^A = ZNC^B, то треугольники АМС^ и BNC^ подобны по первому признаку подобия тре- .. АС, AM угольников. Отсюда С,В BN Из подобия треугольников BNA^ Г^ил ^^1 BN и СРА^ получаем, что Из подобия преугольников В^СР 96 СВ, CP CP' и B^AM следует равенство . Перемножив почленно левые и пра- „ ЛС, AM «А BN СВ, СР вые части пропорции _ = — АС, В А, СВ, AM BN CP , С,В'А,С В,А BN ' СР AM Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки С, лежат на одной прямой. Пусть прямая С^Ву пересекает cropoiry ВС треугольника АВС в некоторой точке А^ (рис. 153). Поскольку точки Ср Л^, В^ лежат на одной прямой, то ЛС, ВА, CR из доказанного выше можно записать: • 'тгА = 1 ■ Сопоставляя это с^в кр В^Л равенство с равенством (^), приходим к выводу, что = -j-~ , т. е. точки Лс, и Л^ делят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Ср^ пересекает сторезну ВС в точке Ау< Заметим, что теорема остаётся справедливой и тогда, когда точки Л ^ и Cj лежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154). Упражнения 1. Общие касательные к трем окружностям 11сресекаю'1х;я в точках А, В и С (рис. 155). Докажите. что эти точки коллинеарны. Указание. Примените теорему Менелая к треугольнику OjOgO^ и точкам А, В, С, которые лежат на продолжение его сторон. 7-748 97 Окружность с центром касается двух окружностей с центрами и в точках В и А соответственно (рис. 156). Докажите, что прямой АВ принадлежит точка С — точка пересечения общих касатель ных к окр^окностям с центрами и В точках А, В, С к окружности проведены касательные (рис. 157). Докажите, что точки М, Ми Р коллинеарны. Указание. Применяя теорему Менелая к треугольнику АВС, воспользуйтесь ключевой задачей 2 § 13. Прямая пересекас ! сюроны АВ, ВС и продолжение стороны АС треугольника АВС соответственно в точках D, Е, F. Докажите, что середины отрезков DC, АЕ, Вылежат на одной прямой (эту прям>ю называют прямой Гаусса). Указание. Приме!ште теорему Менелая к треугольнику, вершины которого являются серюдинами сторон треугольника АВС. Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) Выдающийся немецкий математик, астроном, физик, геодезист. В его творчестве органически сочетались исследования по теоретической и прикладной математике. Работы Гаусса оказали большое влияние на всё дальнейшее развитие алгебры, теории чисел, (еометрии, теории электричества и магнетизма. 98 Клавдий Птолемей (ок. 100 — ок. 178) Древнегреческий гиагематик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять их положение. Создал прообраз современной системы координат. Sd Теорема Птолемея Теорема Птолемея Произведение диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон. Доказательство На рисунке 158 изображён вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что ЛВ DC + ВС • AD = BD • АС. На диагонали АС отметим точку К так, что Z1 = Z2. Углы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подо- АВ ЛК бия треугольников. Отсюда , т. е. Рис. 158 (1) АВ DC= BD АК. Так как Z1 = Z2. то /LABD = ZKBC. Углы 5 и б равны как вписанные углы, опирающиеся па одну и ту же дугу. Поэтому АКВС AABD. Отсюда ВС ^ КС BD AD^ т. е. ВС AD = BD КС, (2) 99 Сложив равенства (1) и (2), получим: ABDC+BCAD = BDAK^BD- КС, т. е. AB DC + BC AD^BD (AK + KC) = BD AC < Упражнения 1. Пусть М — произвольная точка окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, Докажите, что один из отрезков МА, МВ, МС равен сумме двух других. 2. На окружности отмечены точки А, В, С, D так, что kjAB - kjBC = uCD. Докажите, что АС^ = АВ (BC-i-AD). 3. На рисунке 159 изображён вписанный в окружность семиугольник ABCDEFG, у которого все стороны равны. Докажи- S 14, Второй и третий признаки подобия треугольников в Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников; по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. АВ ВС в,с, = k Доказательство Рассмотрим греутольники АВС и А^В^С^, в которых и Z.B = ZBj, Докажем, что ЛЛ^С ^ АА^В^Су Если А = 1, то АВ = и ВС = В^Су а следовательно, треугольники АВС и равны по первому признаку равенства треугольников, т с. эти треугольники подобны. Пусть, например, А > 1. т. е. АВ > А^В^ и ВС > В^Су Па сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки А^ и С.^ так, что ВА^ — А^В^ и ВС., = В,С, (рис. 160). Тогда 100 Покажем, что || АС. Допустим, что это не так. Тогда на сторо- АЪ НС не ВС отметим точку М так)то, что Л^М Ц АС. Имеем: . Но А D ПГ' Т>П ИП ^*2 АВ ВС ВС. , тогда ВС _ ВС ВС„ ВМ „ . ______ о,, , т. е. ВС„ = ВМ. Следовательно, буквами М ВС^ oCg DM ^ и Cg обозначена одна и та же точка. Тогда Л^С2 II АС. По лемме о подобных треугольниках по;гучаем, что ААВС ^ АА^С^. Треугольники А^ВС^и А^В^С^ равны но первому признаку равенства треугольников. Отсюда ААВС ^ zL4,5jCj. < Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трём сторонам) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство СА Рассмотрим треугольники АВС и Л^В^Ср в которых = k. Докажем, что ААВС ^ АА.В.С.. АВ ВС А,в, В,С\ сл ................ ' Если А = 1, то треугольники АВС и А^В^С^ равны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны. Пусть, например, А > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Л^ и Cg такие, что ВА^ = 161). Тогда ЛВ ВС ~ 2Q ~ Отсюда получаем, что Л2С2 || АС (мы установили этот факт при доказательстве второго признака подобия треугольников). Следовательно, по лемме о подобных треугольниках получаем, что АЛВС АА^С,^у при- 101 Отсюда AjC^ — А^С^. Следовательно, треугольники А.^ВС,^ и А^В^С^ равны по третьему признаку равенства треугольников. С учётом того, что t^iABC^ ДЛ^С^, пол)'чаем: АЛЛС ^ ЛЛJB,C^. < Задача, Докажите, что отрезок, соединяющий основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный. Решение, На рисунке 162 отрезки ЛЛ^ и СС^ — высоты треугольника АВС, Докажем, что /SABC ^ АА^ВС^, В прямоугольных треугольниках АВА^ и СВС^ острый угол В — общий. Следовательно, треугольники АВА^ и СВС^ подобны по первом)' при- знаку подобия треугольников. Отсюда АВ ВА, АВ ВС - ' . 1 огда - . Угол В — ВС ВС^ БЛ, БС, общий для треугольников АВС и А^ВС^ Следовательно, треугольники ЛВС и А^ВС^ подобны но второму признаку подобия треугольников, м 1. Сформулируйте второй признак подобия треугольников. 2. Сформулируйте третий признак подобия треугольников. Упражнения 489. На одной стороне угла А отложены отрезки АВ и Л£), а на другой — отрезки АС и АЕ. Подобны ли треугольники АВС и ADE^ earn АВ - 4 см, AD = 20 см, АС - 10 см. АЕ = 8 см? 490. На сторонах АВ и АС треугольника АВС (рис. 168) отмегили соответственно точки D н Е так, что AD = у Л С, АЕ = ^АВ. Навдите отрезок DE, если ВС = 21 см. 491- В треугольнике АВС известно, что АВ = 21 см, АС = 42 см, ВС = 28 см (рис. 164). На продолжениях отрезков АВ и ВС за точку В отложены эо соответственно отрезки ВМ и ВК, ВМ = 8 см, ВК = 6 см. Найдите отрезок КМ 492. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О (рис. 165), АО = 24 см, ВО ~ 16 см, СО = 15 см, OD = 10 см, ZACO = 72“. Найдите ZBDO. 493. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки М и /С так, что СМ = 15 см, СК = 12 см. Найдите МК, если АС = 20 см, ВС = 25 см. АВ - 30 см. 494. Подобны ли треугольники АВС и Л,Б|С,. если; 1) АВ = 6 см, ВС - 10 см, АС = 14 см, А^В^ = 9 см, В^С^ - 15 см, Л ,С, = 21 см; 2) АВ = 1,3 см, ВС = 2,5 см, АС = 3,2 см, Л^Б, = 26 см, В^С^ = 50 см, Л^CJ =60 см? 495. Подобны ли два треуголън11ка, если сгороиы одного относятся как 3 ; 8 ; 9, а стороны другого равны 24 см, 9 см. 27 см? 496. В треугольниках АВС и А^В^С^ известно, что ZЛ = ZAy каждая из сторон АВ и АС составляет 0,6 сторон A^B^vi А^С^ соответственно. Найдиге стороны ВС и В^Су если их сумма равна 48 см. 497. В треугольниках DEFw MKN известно, что ZE ~ ZK, а каждая из сторон DE и ЕЕ в 2.5 раза больв1е сторон МК и KN соответственно. Найдите стороны DF MN, если их разность равна 30 см. 498. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили соответственно точки D и Е так, что AD : DB = АЕ : ЕС =3:5. Найдите DE, если ВС = 16 см. 499. Из деревянных палочек изготовили три подобных разносторонних треугольника. В каждом из них большую сторону покрасили в синий цвет, а меньшую — в жёлтый. Из синих палочек составили один треугольник, а из жёлтых — второй. Будут ли эти треугольники подобны? 500. 501. В треугольнике АВС известно, что АС = «, АВ = ВС = 5, AM и СК — биссектрисы треугольника. Найдите отрезок МК. В треугольнике АВС извесгно. что АВ = 8 см. ВС= 12 см. АС = 16 см. На стороне АС отметили точку D так. что CD = 9 см. Найдите отрезок BD. 103 =» \ Рис. 166 502- Из точки А проведены два луча AAf и AN. На лу'!е AAf отмечены точки // и В, а на луче AN — точки С и D так, что АН • АВ = АС • АН. Докажите, что точки //, Б, С и D лежат на одной окружности. 503. На медиане ВМ треугольника АВС отметили точку К так, что /.МКС - /ВСМ. Докажите, что /АКМ=/ВАМ. 504. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М, Известно, что AM ■ МВ -= СМ ■ MD. Докажите, что точки Л, В, С п D лежат на одной окружности. 505. На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку М и через неё провели хорды АВ и CD (рис. 166). Докажите, что /DAB = = /BCD. Упражнения для повторения 506. 507. 508. Перимез'р параллелограмма ABCD равен 46 см, /BAD = /ADB. Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника BCD равен 32 см. На диагонали BD квадрата ABCD отметили точку Е так, что DE = AD. Через точку Е проведена прямая, которая перпендикулярна прямой BD и пересекаег сторону АВ в точке F. Докажите, что AF=FE=BE. В трапеции ABCD известно, что /В - 90“. /С — 150“, ВС ~ 5 см. Найдите сторону CD, если высо'га трапеции, проведённая из пертины С, разбивает данную трапецию на треугольник и квадрат. Повторите содержание прнсга 7 на с, 197 и пункта 17 на с. 201- Наблюдайте. рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 509. На окружности отмегили 999 точек синим карандашом и одну точку красным карандашом. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, которые содержат красную точку, или тех, которые её не содержат? 104 Когда сделаны уроки Прямая Эйлера Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О. Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точк)' буквой J, Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называю!' ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М. Точки О,у, Н, М называют замечательными точками треугольника. Использование такого эмоционального эпитета вполне обоснованно. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике? Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника. Теорема В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой (прямой Эйлера). Доказательство Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно. Если данный треугольник АВС прямоугольный (ZC = 90”). то его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идёт речь в теореме, принадлежат медиане, проведённой к гипотенузе. Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника. в Лемма \ Если точка Н — ортоцентр треугольника АВС, ОЛ/, — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН - 20М^ (рис. 167). Доказательство Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи § 2; через каждую вершин)^ треугольника АВС прове- 105 дём прямую, параллельную прели вол ежащей стороне. Получим треугольник {см. рис. 1б7). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр II треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Для этой окружности угол В^НС^ является централь- ным, а угол ВуА^С^ — вписанным. Так как они опираются на одну и ту же /(у-гу, то ZB^HC^ = 2ZB^A^Cy Углы ВАС и В^А^С^ равны как противолежащие углы параллелограмма АВА^С, поэтому ZBOC = 2ZBAC = 2ZByAyCy = = ZB^HCy Поскольку В^С^ = 2ВС^ го равнобедренные треугольники В^НС^ и СОВ подобны с коэффициентом подобия, равным 2. Поскольку отрезки АН и ОМ у — соответственные высоты подобных треугольников, то АН = = 20Му Докажем теперь основную теорему. Поскольку точка М, — середина стороны ВС, то отрезок AM у — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков AM у и НО. Так как АН || ОМ у, то ZIIAM = ZOMyM. Кроме того, углы АМН и МуМО равны как вертикал1»ные. Следовательно, треугольники НАМ и ОМуМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда AM АН = 2- Значит, точка М делит медиану АМу в отноше- мМу оМу ----------------------------- НИИ 2:1, считая от вервншы А. Тогда точка М — центроид треугольника АВС. Рис, 167 Рис. 168 Доказательство для случая тупоугольного треушльника ана;югично. м Обратим внимание на то. что мы не только установили факт принад-лежносп'И точек О, М, II одной прямой, но п доказали равенство НМ = = 2Л/0, которое является ещё одним свойством замечате.?1ьных гочек треугольника. 106 Леонард Эйлер (1707-1783) Выдающийся математик, физик, механик, астроном Уроженец Швейцарии, приехал в Россию в 19 лет по приглашению Петербургской академии наук. Большую часть жизни провёл в России, здесь же создал большинство своих научных трудов. Сточки зрения математики XVIII век — это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не всегда согласованны, то Эйлер впервые соединил анализ, алгебру. тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру». Кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских языков. Свои математические исследования Эйлер широко применял для решения практических про блем механики, баллистики, картографии, кораблестроения. Двухтомная классическая монография «Универсальная арифметика» (которая издавалась также под названиями «Начала алгебры» и «Пол ный курс алгебры») была переведена на многие языки и переиздавалась около 30 раз (трижды — на русском языке). Все последующие учебники алгебры создавались под сильнейшим влиянием Эйлера. Эйлер воспитал первых российских математиков, ставших членами Петербургской академии наук. Упражнения Даны две точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой. Постройте треугольник, одна из сторон которого лежит па данной прямой, а центр описанной окртности и ортоцентр явля ются двумя данными точками. Постройте треугольник ЛВС по трём данным точкам: вершине Л, ор-тоцен'гру // и центру О описанной окружности. Биссектриса угла Л остроугольного треугольника ЛВС перпендику лярпа прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что ZA = 60^ Указание. Докажите, что НЛ - ОЛ. 107 Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя» 1- На рисунке 169 || А^^ Ц А ,В^у \А^ = - ДД^. Отсюда следует, что А) В) Л,Аз = В,Бз Б) В^В^ = 2ДЗз Г) А Д2 = ^2^3 2- Если медианы АА^ и ВВ^ треугольника АВС пересекаются в точке М, то какое из данных равенств является верным? A) AM: МВ^ = ВМ :МА^ Б) МЛ, = ^МВ B) МЛ, = 1лм 1 2 Г) МВ, = i вв, 3. На рисунке 170 Л,С, II АС. Тогда ВС АС АС Л) А, А В) ВС. А,с, Б) ВЛ, _ СВ АВ ВС, Г) АС _ ВА^ А,С, АВ 4. В треугольнике АВС известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС = 9 см. В каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису ВВ,, считая от вершины Б? Л) 2 : 3 Б) 2 : ] В) 4 : 3 Г) 3 : 4 5. Через точку М стороны ВС параллелограмма ABCD проведена прямая, параллельная стороне CD. Эта прямая пересекает отрезки BD и AD в точках К к F соответственно. Известно, что ВМ : FD =2:1. Чему равно отношение KD : ВЮ А) 2 : 1 Б) 1 : 2 В) 1 : 3 Г) 4 ; 1 6. В треугольнике АВС известно, что АВ = 14 см, ВС = 21 см. На стороне АВ на расстоянии 4 см от вершины Л отмечена точка D, через которую проведена прямая, параллельная стороне АС. Найдите отрезки, на которые эта прямая делит сторону ВС. А) 12 см, 9 см В) 15 см, 6 см Б) 18 см, 3 см Г) 14 см, 7 см 108 ч. 7- Отрезок MNy проведенный через точку пересечения диагоналей неравнобокой трапеции ABCD, параллелен её основаниям (рис. 171). Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке? А) 4 Б) 6 В) 3 Г) 5 8. Через вершины Л и С неравнобедренного треугольника АВС проведена окружность. которая пересекает стороны В А и ВС ъ точках Е vl D соответственно (рис. 172). 1Сакое из данных равеис7’в является верным? А) Б) ВС ВА BD BE ВС BD ВС ВА В) Г) DE BD АС BD ВС ВС DE АС 9. Хорда АВ пересекаег хорду CD в её середине и делится точкой пересечеЕ1ия на отрезки, равные 4 см и 25 см. Чему равна хорда CD? А) 10 см Б) 5 см В) 100 см Г) 20 см 10. В треугольнике АВС известно, что АВ = 10 см, ВС = 4 см, СА = 8 см. На стороне АС отмечена точка D такая, что AD = 6 см. Чему равен отрезок BD7 А) 5 см Б) 4 см В) 6 см Г) 7 см X Итоги главы 2 Теорема Фалеса Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Отношение двух отрезков Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. 109 Теорема о пропорциональных отрезках Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла. Свойство медиан треугольника Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Свойство биссектрисы треугольника Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. Подобные треугольники Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника. Лемма о подобных треугольниках Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный. Первый признак подобия треугольников; по двум углам Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Третий признак подобия треугольников; по трём сторонам Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 110 Глава 3. Решение прямоугольных треугольников В ЭТОЙ главе вы познакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы. ^ 15. Метрические соотношения в ПРЯМОУГОЛЬНОМ треугольнике На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ЛВС (ZЛCB = 90”). Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно па гипотенузу. Лемма Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Докажите лемму самостоятельно. в Теорема 15.1 Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Доказательство На рисунке 17,3 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника АВС {Z.ACB - 90”). Докажем, что; са^ = AD DB, ЛС^ = АВ . ЛО. ВС^ = = АВ DB. Так как ДСВТ) АЛСТ>. то Отсюда CD*^ = AD ■ DB. Так как АЛВС ^ АЛСО, то Отсюда АС^ = АВ AD. CD BD AD AC CD' АВ AD АС 111 Так как АЛ5С ^ АСБТ), то ВС АВ . Отсюда ВС^ - АВ ^ DB < BD ВС Гхли длины отрезков на рисунке 173 обозначить так: АС = Ь, ВС - а, АВ = с, CD = AD — DB = то доказанные соотношения принимают вид: - Ь^с Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Задача. Даны два отрезка, длины которых равны аи Ь (рис. 174). Постройте отрезок, длина которого равна 4аЬ. Решение. Рассмотрим треугольник А DC (ZADC = 90“), в котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: DB ~ \lAB ВС. От- сюда если АВ - а, ВС = Ь, то DB = Jab. Проведённый анализ показывает, как провести построение. На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, ^гго АВ = а, ВС - Ь. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведём прямую, перпендикулярную прямой АС {см. рис. 175). Пусть D — одна из точек пересечения прямой и окружносги. Докажем, что отрезок DB — искомый. Действительно, ZADC = 90“ как вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1 DB'^ = АВ ВС, т. е. DB = -Job. < 1. Какой формулой связаны высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, и проекции катетов на гипотенузу? 2. Какой формулой связаны катет, гипотенуза и проекция этого катета на гипотенузу? Рис. 175 D ~] >1 В jC о~\ Упражнения 510. Пайдиге высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 18 см. 511. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а сто проекция на ги-noTeifyay — 4 см. Найдите гипотенузу. 112 5о^ 512. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника. 513. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна 48 см. а проекция одного из катетов на гипотенузу — 36 см. Найдите стороны данного треугольника. 514. Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой высоты, а другой — на 4 см больше высоты. 515. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, провсдёшгую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см. 516. Перпендикуляр, опуще^шый из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 2 см и делит её на отрезки, относящиеся как I : 4. Найдите диагонали ромба. 517. Перпендикуляр, опутцениый из точки окружности на её диаметр, дс*-лит его на два оз резка, один из которых равен 4 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 10 см. 518. Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. 519. 520. 521, 522. 523. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит её большему основанию. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а проекция диагонали на большее основание — 16 см. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см. Найдите высоту равнобокой трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна 25 см‘^. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки д^1ииой 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции. В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на оту>езки длиной 3 см и 27 см. Найдите высозу трапеции. 524. Постройте отрезок длиной х, если х = , где а и Ь — длины дан- ных отрезков. 113 8 — 748 Упражнения для повторения 525. Периметр параллелограмма больше одной из сторон на 35 см и больше другой стороны на 28 см. Найдите стороны параллелограмма. 526. На сторонах АВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD отметили соответственно точки М, N, К W Е так, что четырёхугольник MNKE является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника MNKE, если диагональ квадрата ABCD равна 7 см. 527. В окружность вписана трапеция, диагональ которой делит угол при большем основании пополам. Найдше дуги, на которые делят окружность вершины трапеции, если один из её углов равен 74*’. Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 528. У вписанного в окружность многоугольника выбрали вершину и провели все диагонали, которым эта вершина принадлежит. Докажите, что среди образовавшихся треугольников не более чем один является остроугольным. S 16. Теорема Пифагора в Теорема 16.1 V (теорема Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство На рис)Т1ке 176 изображён прямоугольный треугольник АВС {ААСВ = ЭО"*). Докажем, что АВ^ = АС^ + ва. Проведём высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем: ЛС2 = AB ADn ВС- = АВ DB. Сложив почленно эти равенства, получим ЛГ2 + ВС^ ^AB AD^AB DB. Дгстее, АС^ + Ва = АВ {AD + DB). Ла + ЙС" = АВ'К < 114 Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а w Ь, а длина гипотенузы равна с, то теорем)^ Пифа1'ора можно выразить следующим равенством: с'2 = (2^ + Теорема Пифагора даё*1 возможность по дву'м сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону: с = у1а^-+ Ь~ ■ а = 4^^-. Ь = х/с^т^ Из равенства также следует, что и отсюда с > а и с ^ Л, г е гипотенуза больше любого из катетов. Другим способом этот факт бьы устанош1ен в курсе геометрии 7 класса. Пифагор (VI в. до н. э.) Вы изучили знаменитую теорему, киюрая носит имя видающегося древнегреческого учёного Пифагора. Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же её приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашёл доказательство этого утверждения. О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость. Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было таким сильным, что даже через столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира называли себя пифагорейцами. 1- Сформулируйте теорему Пифагора. 2_ Запишите теорему Пифагора, если катеты прямоугольного треугольника равны и а гипотенуза равна с. 3. Как по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону? 4. Какая из сторон прямоугольного треугольника является наибольшей? 115 г оЛ Упражнения 529. 530. 531. 532. 533. 534. 535. 536. 537. 538 539. 540. оо V Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: 1) .Я см и 4 см; 2) 6 см и 9 см. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотену:ш и второй катет соответственно равны: 1) 15 см и 12 см; 2) 7 см и yJlS см. Пусть а и Ь — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза. Найдите неизвест1гую сторону треугольника, если: 1) = 5 см. Ь = \2 см; 2) <3 = 1 см, с = 2 см; S) 6 = 3 см, с - ^/ЭД см. Стороны прямоугольника равны 9 см и 40 см. Чему равна его диагональ? Сторюна прямоугольника равна 7 см, а диагональ — 25 см. Найдите соседнюю к данной сторону прямоугольника. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29 см, а высота, проведённая к основанию, — 21 см. Чему равно основание треугольника? Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 35 см. а его основание — 24 см. Чему равна боковая сторона треугольника? В окружности, радиус которой равен 10 см. проведена хорда длиной 16 см. Найдите расс тояние от центра окружности до данной хорды. Найдите периметр ромба, диагонали которого равны 24 см и 32 см. Сторона ромба равна 26 см, а одна из диашналей — 48 см. Найдите другую диагональ ромба. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а второй катет на 7 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника. Гипотен)'за прямоугольного треугольника равна 26 см, а катсгы относятся как 5 : 12. Найдите катеты этого треугольника. 541. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника. 542- В треугольнике АВС известно, что ВС = 20 см. высота BD делит сторону АС на отрезки AD = 5 см и CD — 16 см. Найдите сторону АВ. 543. В треугольнике АВС известно, что АВ = 17 см, ВС = 9 см, ZC — тупой. высота AD равна 8 см. Найдите сторону АС, 544. Найди1'е высоту раппостс)роннего треугольника со стороной а. 545. Найдите диагональ квадрата со стороной а. 546. Найдите CTopoiiy равностороннего треугольника, высота которого равна h. 547. Найдите катеты прямоугольного равнобедренного треугольника, гипотенуза которого равна с. 116 548. Найдите дичину неизвестного отрезка х на рисунке 177 (размеры даны в сантиметрах). 549. 550. 551. 552. 553. 554. 555. 556. 557, Найдите длину неизвестного отрезка X на рисунке 178 (размеры даны в сантиметрах). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см. Она делит боковую сторону на два отрезка, один из которых, прилежащий к вершине равнобедренного треугольника, равен 6 см. Найдите основание треугольника. Высота равнобедренного треугольника, опущенная па боковую сторону, делит её на отрезки /щиной 4 см и 16 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание равнобедренного треугольника. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, 13 см. Найдите боков)то CTopoiry треугольника. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника. Основание равнобедренного треугольника на 2 см 6о;1Ыпе боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если высота, проведённая к основанию, равна 8 см. Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, проведённая к основанию, — 15 см. Найдите стороны треугольника. Стороны тупоутольного треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высолу треугольника, проведённую к меньшей стороне Стороны треугольника равны 36 см, 29 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к большей стороне. 117 558. Из ТОЧКИ к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 5 : 6, а проекции этих наклонных на прямую равны 7 см и 18 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой 559. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 15 см и 27 см. Сумма Д.1ИН 11роекций этих наклонных на прямую равна 24 см. Найдите проекцию каждой наклонной. 560. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный греуголь-ник, делит один из его катетов на отрезки 2 см и 6 см. Найдите стороны треугольника. 561. Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, если одна из диагошшей перпепдик)71ярна его стороне. 562. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. 563. Найдите периметр прямоугольного треуго.льника, если биссектриса ос I рого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см. 564. (Старинная арабская задача.) На противоположных берегах реки растут одна напротив другой две пальмы. Высота одной из них равна .30 локтей, другой — 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм — 50 локтей. На вершине каждой пальмы < идит птица. Вдруг обе птицы увидели рыбу, которая показалась на поверхности воды между пальмами. Они взлетели с пальм одновременно и, двигаясь с одинаковой скоростью, одновременно схватили рыбу. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? 565. Основания равнобоко!! трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой тупого утла трапеции Найдите эту диагональ. 566. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ. 567. В окружности по разные стороны от ее центра проведены две параллельные хорды ;у1ииой 16 см и 32 см. Расстояние между хордами равно 16 см. Найдите радиус окружности. 568. В окружносги по одну сторон)' от её центра проведены две параллельные хорды длиной 48 см и 24 см. Расстояние между хордами равно 12 см. Найди'ге ра^ц^ус окружности. 569. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре\ гольник, равен 12 см, а расстояние ог вершины равнобедренною греугольника до центра окружности — 20 см. Найдите периметр данного треугольника. 570- Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её большее основание на отрезки длиной 20 см и 25 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции. 118 571. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её меньшее основание на отрезки длиной б см и 3 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции. 572. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Навдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла. 573- Медианы AM и СК треугольника АВС перпендикулярны. Найдите стороны треугольника, если AM = 9 см и СК = 12 см. 574. В треуголы1ике АВС медианы ВМ и СК перпендикулярны и пересекаются в точке О. Найдите отрезок ЛО, если ВМ- 36 см и СК = 15 см. 575. (Задача Бхаскары*.) Над озером тихим, с полфута высотой Высится лотоса цветок. И ветер порывистый Отнёс его в сторону. Нет больше цве гка над водой. Нашёл его рыбак В двух фугах от места, где он рог. Итак, предлагаю вопрос: 1^ак глубока здесь озера вода?'* Готовимся н изучению новой темы 576. В '1реугольнике АВС известно, что ZC = 90”, АВ = 13 см, ВС = 5 см, АС =12 см. Найдите отношение: 1) катета, прилежащего к углу Л, и гипотенузы; 2) катета, противолежащего углу Л, и гипотенузы; 3) катета, прилежащего к углу В, и гипотенузы; 4) катета, прилежащего к углу В, и катета, противолежащего этому угл). 577. На одной стороне угла Л ш ме гили точки В, С и 7) так, что АВ - ВС - 5 см, CD = 10 см (рис. 179). Из точек В, С и D опущены перпендикуляры BE, CF и DM на другую cTopoity угла Л, причём АЕ = * Бхаскара (1114-1185) — индийский математик и астроном. 119 = 4 см. Найдите отношение катета, прилежащего к углу А, и гипоте-н)зы: 1) в треугольнике АЕВ; 3) в треугольнике AMD. 2) в треугольнике AFC\ Наблюдайте, рисуйте. — конструируйте. Фантазируйте 578- В ква/драте со стороной 1 м произвольным образом отметили 51 точку. Докажите, что среди этих точек существуют три, которые можно накрыть квадратом со сюроной 20 см. S 17. Тригонометрические Функции острого угла прямоугольного треугольника На рисунке 180 изображён прямоугольный треугольник АВС (ZC = 90”). Напомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу. Определение \ Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем: Для прямоугольного треугольника, изображёино10 на рисунке 181: а . а h sin а = —. sinp = -. с с Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС {ZC = 90”), в котором АС = ВС = а (рис. 182). 120 Имеем; АВ = = а^, зс По определению sin Л = , отсюда sin А = а Vi ,........... ^ ^ - . Видим, ЛВ aVi 2 ЧТО синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса 1 4/2 одинаково для всех значений а. Поскольку АА = 45° то sin 45° = . Эту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником. Вообще, если острый угол одного прямоугольного треуготтика равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны. Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника. Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение синуса этого угла можно вычислить один раз. выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°. Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла. Б ОпределениеV Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла А обозначают так; cos А (читают: косинус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (см. рис. 180) можно записать; л АС D ВС = cosB~. Отметим, что поскольку катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше /. Определение Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета и прилежащему. Тангенс угла А обозначают так; tg А (читают: «тангенс Л»). 121 Для острых углов л \л в прямоугольного треугольника АВС {см. рис. 180) можно записать: . А ^ jy АС ВС S9 Определение \ Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему. Котангенс угла А обозначают гак: ctg А (читают: «котангенс А>*). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС {см.. рис. 180) можно записать: . л ^АС . R „ ВС АС Для прямоугольного треугольника, изображённого на рисунке 181: cosa = -, cosP = -, tga = j^. tgP = ~. ctga = -, ctgP = ^. Как было установлено, синус острого угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла. Вообще, каждому острому углу а соответств)е'г единственное число, являющееся значением синуса (косинуса, тангенса, когангеиса) этого угла. Поэтому зависимость значения cnifyca (косинуса, тангенса, котан1енса) острого угла от величины эюго угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, ^ = sin а, ^ = cos а, ^ = tg а, ^ = ctg а — тригонометрические функции, аргу ментами которых являются острые углы С древних времён люди составляли таблицы приближённых значений тригонометрических функций с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций ;щя конкретного аргумента Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники. В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькуляюра. Тангенс и котангенс острош утла можно выразить через синус и косинус ЭТ01Ч) же угла. 1*ассмотрим прямоугольный треугольник {см. рис. 181). За- Ql ^ пишем: = "I = f ^ ^ ^ ^ ^ • Следовательно, cos а 0 0^ sma а о. ^ 122 ___siau . _ cosu tga =------, ciga = ^— cos a sin a Заметим, чю гаш енс и котангенс одного и того же острого угла явля ются в;?аим110 обратными числами, т. с. По теореме Пифагора dr + fo'*" = Обе ча<гги этого равенства разделим а с^\ 1^1 + 1^1 = 1. Учитывая, что sin а = ^, cos а = ^ , получим (sin а)^ + {cos а)^ = 1. Приня го записывать (sin а)^ = sin^ а, (cos а)^ = cos^ а. Отсюда а + cos‘^ а = I V rv — Эту формулу называю! иенииыым трИ1онометрическим тожде- ством. Отметим, что cos р = sin а = — , sin Р = cos а = - , tg Р = ctg а = —, ctgР = tgа = Так как Р - ЭО"* - а, то \l а cos (90*' - а) = sin а tg (90" - а) = ctg а sin (90" “ а) = cos а ctg (90" - а) = tg а 2 /л Мы уже знаем, что sin 45" = . Найдём теперь cos 45", tg 45* и ctg 45". cos 45° = sin (90° - 45°) = sin 45° = ^, V_2 tg45° = = 4- = 1. ctg 45° = —^ = ]. cos4a ^ го-4Г1 tg45' Найдём синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30" и 60". Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором ZC = 90", Zy4 = 30" (рис. 183). Пусть ВС — а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30". получаем, что ЛВ - 2а, Из теоремы Пифагора следует. что = ЛВ- - ВС^. Получаем АС- = Ааг — = Ъа^ АС = д>/3. Отсюда находим: 123 Q/Ч® ^ 1 QA® Sin 30 = — = -, cos 30 = —^ 2а 2 2^2 2 ’ а 1 . ctg 30' = 1 3---~- tgSO-Так как бО"* = 90“ — 30“, то получаем: sin 60° = cos 30° = ^, cos60° = sin 30° = = ^УЗ. V.i tg 60° = ctg 30° = S, cig 60° = ig 30° = ^ = V3 ^ Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30“. 45' и 60“ полезно запомнить. a = 30® a = 45® tt = 60® sin a 1 7i 2 2 2 cos a ^/i a 1 2 2 2 tga 75 3 1 75 ctga x/5 1 S 3 1. Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника? 2. Что называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника? 3- Что называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? 4. Что называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника? 5. От чего зависят синус, косинус, тангенс и котангенс угла? 6- Как связаны между собой tg а, sin а и cos а? 7. Как связаны между собой ctg а, sin а и cos а? 8. Как связаны между собой tg а и ctg а? 9. Как связаны между собой sin а и cos а? 10-Чему равен sin (90“ - а)? cos (90” - а)? tg (90“ - а)? ctg (90“ - а)? 11. Чему равен sin 45“? cos 45“? tg 45“? ctg 45“? 12-Чему равен sin 30“? cos 30”? tg 30”? ctg 30”? 13. Чему равен sin 60”? cos 60”? tg 60”? ctg 60”? 124 579. Практические задания Постройте угол: 1) тангенс которого равен — , 5 2) синус которого равен ^. 580. Постройте угол; 1) косинус которого равен 1 4 * 2) котангенс ко1чэрого равен - оЛ. Упражнения 581. 582. 583. 584. 585. 586. оА. 587. 588. 589. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 8 см и 10 см. Найдите: 1) сихгус угла» противолежащего меньшему катету; 2) косинус угла, прилежащего к большему катету; S) тангенс угла, противолежащего меньшему катету; 4) котангенс угла, прилежащего к большему катету. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см. Найдите: 1) тангенс угла, прилежащего к большему катету; 2) синус угла, противолежащего меньшему катету; 3) косинус угла, прилежащего к большему катету; 4) котангенс угла, противолежащего большему катету. Найдите значение выражения: 1) cos*^ 45* + tg'*-' 60*; 2) 2cos^ 60* - .sin^ 30“ + sin 60* ctg 60*. Найдите значение выражения: 1) cos2 30* - sin2 45*; 2) 3tg‘^ 30* + 4tg 45^ + cos 30* ctg 30*. В треугольнике ABC известно, что ZC = 90*, ВС = 77 см, АВ = 125 см. Найдите синусы острых углов треугольника. В треугольнике АВС известно, что ZC = 90*. ВС = 41 см, АС = 20 см Найдите косинусы острых углов треугольника. Найдите sin а, tg а и clg а, если cos а = ^. Найдите cos Р, tg Р и ctg Р. если sin Р = — • /5 Синус острого угла прямоугольного треут'ольника равен . Найдите 3 синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого тре* угольника. 590. 591. 592. 593. 594. ? 595. 596. 597. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию. Боковая сторона равнобедренного треутольника равна 17 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника. Найдите углы ромба, диагонали которого равны 4 см и 4\/3 см. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами, длины которых равны S см и 3 см. в трапеции ABCD известно, что АВ — CD = 9 см, ВС = 10 см, AD = 14 см. Найдите стгус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции. В трапеции ABCD известно, что ВС || AD. Z.A = ОО"", АВ = 4 см. ВС = 8 см, AD = 12 см. Найдите углы трапеции. Докажите, что тангенсы острых углов прямоугольного треугольника являются взаимно обратными числами. Докажите i ождество: 1) 1 + tg^a = cos^ а 2) 1 + ctg^ а = 1 sin^ а 598. Найдите значение выражения: 1) sin^ 18" -ь sin2 72“; 2) cos'* 3G" - shr" 54“. 599. Катеты прямоугольного 1реугольника равны 30 см и 40 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе. 600. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, BD и AM — высоты тре угольника, BD : AM — 3:1. Найдите cos С. 601. В треугольнике АВС известно, чго АВ - ВС, BD и СК — высоты треугольника, cos ^ = у • Найдите отношение СК : BD 602. Докажите, что углы АВС и DEF, изображённые на рисунке 184, равны. Упражнения для повторения 603. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, АВ = 6 см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки Л, й и М. 126 604. 605. Хорды ЛВ и ВС окружности перпендикулярны, а расстояние мсж^^у их серединами равно 12 см. Найдите радиус окр)^ности. В треугольнике ЛВС известно, что ВК— высота, AM — биссектриса, ВК - 26 см, АВ : АС =6:7. Из точки М опущен перпендикуляр MD на сторону АС. 11айдите отрезок MD. Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 606. Даны два круга, которые не имеют общих точек. Существует ли точка, которая не принадлежит пи одному из кругов, такая, что любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает хотя бы один из этих кругов? ^ 18. Решение прямоугольных треугольников На рисунке 185 изображён прямоугольный треугольник с острыми углами а и Р, катеты которого равны (3 и Л, а гипотенуза равна с. По определению синуса острого угла прямоугольного тре)ТОльника: sin а = ^, sin Р = ~ • Отсюда G = с sin а, Л = с sin р. Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету. По определению косинуса ociporo угла прямоугольного треугольника: cos а = - , cos Р = -. Отсюда Ь = с cos а, а = с cos Р. с с ^ Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету. По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольни-(I h ка; tgOL = ^6 Р “ “ - Отсюда а = Ь щ а, Ь = а tg Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету. По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника: cig ^ ^ “ f ■ Ь = а ctg а, а = Ь ctg р. 127 Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на котангенс угла^ прилежащего к первому катету. Ь Из равенств sin а = — и cos а = - получаем с = ^ с с sin а и с = cos а Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла; гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла. Решить прямоугольный треугольник — значит найти его стороны и углы по известным сторонам и углам. Задача 1. Решите прямоугольный треугольник по катету и остром)^ углу: й = 14 см, а = 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.) Решение. Имеем: Р = 90“ - а, Р - 90° - 38“ = Г>2“; Л = « ig р, Л = 14 tg 52“ - 14 . 1.28 == 17,9 (см); а ^ \4 14 с = г = «22.6 (см). sin а sin 38“ 0,62 Ответ: с « 22,6 см, Ь « 17.9 см. р = 52“. < Отметим, что эту задачу можно решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора. Задача 2. Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе: а = 26 см, с = 34 см. Решение. Имеем: sin а = —, sin а = — = 0.7647... . с 34 С помощью микрокалькулятора вычисляем угол а: tt « 50“. Тогда Р « 40°. 6 = с sin р. 6 = 34 sin 40“ - 34 ■ 0,643 = 21.862 « 21.9 (см). Ответ: Ь « 21,9 см, а « 50“, Р = 40“. < Задача 3, Высота AD треугольника ЛВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что BD - 2\/Зсм, CD = 8 см. Найдите стороны А в и АС, если Z5 = 60“. Решение. В треугольнике ADB (ZADB = 90"): AD = BD tg В. AD = 2S ig 60° = 2S S = = 6 (см); 128 лв = BD АВ = - 2ч/з : i = 4 Л (см). COS 60 2 cos В ’ В треугольнике ADC {ZADC = 90"*); AC = Va5^Td^, АС = /в^ + 8^ = 10 (см). Ответ; 4>/Зсм, 10 см. < Задача 4, Боковая сторона равнобедренного треугольника равна h, угол при основании равен а. Найдите радиус окружности» вписанной в треугольник. Решение, В треугольнике АВС (рис. 187) ЛВ = ВС - Ь, ZBAC = а. Проведём высоту BD. В треугольнике ADB {ZADB = 90") AD -= ЛВ cos ZBAD = Ь cos а. Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте BD и биссектрисе АО угла ВАС. Так как OD -L АС, то вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Следовательно, OD — радиус вписанной окружности. Поскольку АО — биссектриса угла BAD, то Z0AD = \ZBAD^^^. 2 2 В треугольнике ADO {ZADO = 90"); OD = AD tg ZOAD = b cos oug ^ . ct ^ Ответ; b cos a tg —. ◄ & 2 ’ 1. Как можно найти катет прямоугольного треугольника, если известны гипотенуза и угол, противолежащий этому катету? 2. Как можно найти катет прямоугольного треугольника, если известны гипотенуза и угол, прилежащий к этому катету? 3. Как можно найти катет прямоугольного треугольника, если известны второй катет и угол, противолежащий искомому катету? 4. Как можно найти катет прямоугольного треугольника, если известны второй катет и угол, прилежащий к искомому катету? 5. Как можно найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий этому катету угол? 6. Как можно найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий к этому катету угол? Рис. 187 А 3 й Л 0 ^ 9-748 129 г о Упражнения \ 607. В треугольнике ЛВС известно, что ZC = 90" Найдите: 1) 5С. если АВ =12 см, sin Л = —; 4 2) АС, если АВ = 21 см, cos А - 0,4; 3) АС, если ВС = 4 см, tg Л = 1,6, 4) АВ, если ВС = 14 см, cos 5 = “ ; 5) АВ, если АС = 3,2 см, sin В = 0,16; 6) ВС, если АС — 2,3 см, tg ^ ^ ■ 608. В треугольнике известно, что /.Е ~ 90°. Найдите: 1) DE, если DF= 18 см, cosD = ^ ; 2) DF, если ЕЕ - 3,5 см, cos F= 0,7; 3) ЕЕ, если DE = 2,4 см, tg D = ^. 609. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17 см, а синус одно- g го из острых ухлов равен —^ . Найдите катеты треугольника. 610. Гипотеххуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а косинус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты треугольника. 611. ГСатет прямоугольного чр>еугольника равен 48 см, а тангенс противо- лежащего угла равен 3~. Найдите второй катет и гипотенузу треугольника. 612 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12 см, а тангенс прилежащего угла — 0,75. Найдите вгорой катет и гипотенузу треугольника. 613. Решите прямоугольный треуго.льник: 1) но гипотенузе и острому углу: с = 28 см а = 48°; 2) но катету и острому углу: <7 = 56 см, Р = 74°; 3) по катету и гипотенузе: д = 5 см, с = 9 см, 4) по двум катетам: а = ^ см, Ь см. 614. Решите прямоугольный треутольпик: 1) по катету и острому углу: а = 34 см, а = 55°; 2) но гипотену:хе и острому углу: с = 16 см, р = 18°; 3) по катету и гипотенузе: Л = 12 см, с = 13 см; 4) по двум катетам: а — А см, Л = 14 см. 130 эо \ 615- Используя данные рисунка 188, найдите высоту дерева. 616- Какой длины должна быть пожарная лестница, чтобы по ней можно было подняться на крышу дома высотой 9 м, если ставить её под углом 70“ к поверхности земли? 617. Проехав от старта по прямолинейному y^iacTKy шоссе 300 м, велосипедист оказался в точке, расположенной на 11 м выше, чем точка старта. Найдите угол подъема шоссе на этом участке. 618. Под каким углом падает на землю солнечный луч, если вертикальный шест длиной 1,5 м огбрасывает тень длиной 0,7 м? 619. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120", а высота, проведенная к основанию, — З-ч/Зем. Найдите стороны треугольника. 620. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 12 см, а угол при основании — 45“. Найди ге высоту и боковую сторону трапеции. 621. Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна а. Найдите стороны параллелограмма, если один из его углов равен 30". 622. Сторона ромба равна а, а один из его углов — 60“. Найдите диагонали ромба. 623. Сечение траншеи имеет форму равнобокой трапеции (рис. 189). Найдите угол, который образуют стенки траншеи с её дном. 624. Ширина насыпи шоссейной дороги в нижней её части равна 80 м (рис. 190), высота насыпи — 5 м. а откосы наклонены к горизонту под углом 20". Найдите ширину насыпи в верхней её части. 131 625. Высота BD треугольника АВС делит сторону АС на отрезки AD и CD так, что AD — 12 см, CD = 4 см. Найдите сторону ВС, если ZЛ = SO”. 626. Высота /IFделит сторону ВС треугольника АВС на отрезки BF v\ CF. Найдите сторону АС, если CF = VlS см, ZB = 60”, а сторона АВ равна 18 см. 627. Из точки D, лежащей вне прямой и, проведены к этой прямой наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45*" и 60” соотвегствснно. Найдите проекцию наклонной DK на прямую п, если DB = 10\^см. 628. Из точки М, лежащей вне прямой /, проведены к этой прямой наклонные MNw МК, образующие с ней углы 30” и 45” соответсгвенно. Найдите наклонную МК, если проекция наклонной MTV па прямую / равна 4ч/3 СМ. 629- Угол при вершине равнобедренного треугольника равен р, высота, проведенная к боковой стороне, равна h. Найдите основание треугольника. 630. Высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна h, острый угол равен а. Найдите стороны треугольника. 631. Один из ка'1'етов прямоугольного треугольника равен а. Угол между вторым катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла, равен (р. Найдите неизвестные стороны треугольника и проведённую высоту. 632- Большая диагональ ромба равна d, а острый угол равен а. Найдите сторону и меньшую диагональ ромба. 633. Угол ромба равен а, радиус вписанной окружности равен г. Найдите сторону и диагонали ромба. 634. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол 30”. Найдите высоту трапеции, если ради)х окружности, описанной около трапеции, равен R, 635. Одна из сторон треугольника равна а, прилежащие к ней углы равны 45” и 60”. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне. 636. Основания трапеции равны 7 см и 15 см, а углы при большем основании — 30” и 60”. Найди ге высоту и диагонали трапеции. Упражнения для повторения 637. Периметр параллелограмма равен 48 см. Биссектриса тупого угла делит его сторону в отношении 2:1, считая от вершины острого угла. Може'г ли меньшая сторона параллелограмма быть равной 7 см? 132 638. 639. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, /.ВАС = 52"", Z.DBC — = 34°, ZADB = 17°. Найдите углы четырёхугольника Известно, что О — точка пересечения диагоналей АС и BD трапеции ABCD {ВС^ AD). Найдите отре.зки ВО и OD, если АО : ОС = = 7 : 6 и BD = 39 см. \ Наблюдайте, рисуйте. \------ конструируйте. Фантазируйте 640. Разрежьте ромб на четыре четырёхугольника так. чюбы каждый из них являлся вписанным в окружность и описанным около окружности. 133 Задание № 3 в тестовой форме ««Проверьте себя^ 1. Диаметр АВ окружности с центром О перпендик)'лярен хорде CD (рис 191). Какое из данных равенсгв неверно? А) ЛС^ = AM АВ В) AD^ = МВ АВ Б) СМ^=АМ ^ МВ Т) DM‘^ AM • МВ 2- Па каком рисунке длина отрезка х равна 2<з? В 3. Из теоремы Пифагора следует, что гипотенуза A) равна сутиме катетов Б) равна сумме квадратов катетов B) больше катета Г) рав1ш квадрату суммы катетов 4. Длина отрезка х на рисунке 192 (размеры дан1л в сантиметрах) равна А) 4 см Б) Я см В) 5 см Г) 3n/2 см 5- Биссектриса равностороннего треугольника со стороной а равна А) Ь) В) Г) 2 3 '3 '2 6. Радиус окружности, описашюй около квадра1-а со сгороной а, ранен usli А)| Б) В) Г) 2а 7. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, прове дёппая к гиг1отсн}зе. равна а. Тогда его кате г равен А) Ф Б) ау/2 В) 2а Г) f 8, Пусть а и Р — острые углы прямо) гольного неравнобедренного треугольника. 1Сакое из данных равенств верно? 134 Рис. 191 А) sin а • tg а = cos а г,» sin а Ь) cos а = tgp Рис. 192 Рис. 193 В) sin а • tg Р = sin Р Г) cos а • tg Р = sin р 9. Пусть а — острый угол прямоугольного треуголышка. Какое из данных ранснств не может выполняться? А) sin а = -8 Ь) sin а = В) sin а - Г) sin а = 10. Длина <)трезка х на рисунке 193 равна А) 2 а S1I1 а fl^/2 Ь) tg а В) ^cosa Г) 0^2 tg а Итоги главы 3 Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 135 Синус острого угла прямоугольного треугольника Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус острого угла прямоугольного треугольника Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему. Тригонометрические формулы tga = МП а ctga = cos а cos а sin а tg а • ctg а = I sin^ а + cos^ а = 1 — основное тригонометрическое тождество cos (90” - а) = sin а tg (90” - а) = ctg а sin (90” - а) = cos а ctg (90” - а) = ig а Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету. • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету. • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету. • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету. • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла. • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла. 136 Глава 4. Многоугольники. Плошадь многоугольника Изучив материал этой главы, вы узнаете формулу, с помощью которой можно найти сумму углов выпуклого многоугольника. Вы расширите свои представления о такой знакомой вам величине, как площадь. Вы научитесь находить площади параллелограмма, треугольника, трапеции. S 19, Многоугольники Рассмотрим фигуру, которая состоит из точек Лр Л^, Л^, Л^^ и отрезков ЛJЛ2, -^2^3, Л^_ ,Л^, ^rAi таких, что никакие два соседних отрез- ка не лежат па одной прямой и никакие два несоседиих отрезка не имеют общих точек (рис. 194). Фигура, образованная этими отрезками, ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 195 зелёным цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Л^Л2, ***• Агг «^^зывают многоугольником. Точки Лр Л2, Л3, Л^^ называют вершинами многоугольника, а указанные выше отрезки — сторонами многоугольника. Стороны, являющиеся соседними отрезками, называют соседними сторонами многоугольника Вершины, являющиеся концами одной стороны, называют соседними вершинами многоугольника. Две соседние стороны многоугольника образуют угол многоугольника. Например, на рисунке 196 а, р, у, 5 являются углами многоугольника, а ф не является углом этого многоугольника. Многоугольник называют по количеству его углов: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и т. д. Рис. 194 Рис. 195 Л2 ^3 / \ / / Рис. 196 137 Многоугольник обозначают по его вершинам. Например, па рисунке 197 изображён пятиугольник ABCDE. В обозначении многоугольника буквы, стоящие рядом, соответств)'Ют соседним вершинам. Например, пятиугольник, изображённый на рисунке 197, можно также обозначить следующим образом: CDEAB, EABCD и т. д. Периметром многоугольника называю г сумму длин всех его с торон. Отрезок, соединяющий несоседние вершины многоугольника, называют диагональю. Например, на рисунке 198 отрезок — диагональ шестиугольника ABCDEF На рисунке 199 изображён многоутольник. все углы которого меньше развёрнутого. Такой многоугольник называнл выпуклым. Из сказанного следует, что любой треугольник является выпуклым многоу1ольником. Заметим, что многоугольники, изображённые на рисунках 196-198, не яв.тя-ЮТСЯ выпуклым!!. Выпуклый мно1'оу1ч.)льник обла;сас'1 сакими свойствами: 1) выпуклый многоугольник расположен в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 200); 2) выпуклый многоугольник, отгишчный от треугольника, содержит любую свою диагональ (рис. 201). Рхли многоугольник не является выпутслым, то он такими свойствами не обладает {см. рис. 198, 202). ^ Теорема 19.1 \- Сумма углов выпуклого ?1-угольника равна 180'’(п - 2). Доказательство На рисунке 203 изображён выпуклый «-угольник ... Л^_ Докажем, что сумма всех его углов равна 180'’(п — 2). Проведём все его диагонали, выходящие из вершины Лр Диагонали разбивают данный многоуголь ник на {п — 2) треугольника. Сумма всех )тлов этих треугольников равна сумме углов « угольника. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180’', то искомая сумма равна 180“(« - 2). < Отметим, что эта теорема справедлива и для любого мношугольника, не являющегося выпуклым. & Определение \— Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Рис. 204 На рисунке 204 изображена окружность, описанная около многоугольника. В этом случае также говорят, что многоугольник вписан в окружносгь. Центр окружности, описанной около много угольника, точка О, равноудалён от всех его вершин. Следовательно, точка О прииа,/члежит серединным перпендикулярам всех сторон многоугольника, вписанного в окружность. Около многоугольника можно описать окружность, если существует точка, равноудалённая от всех его вершин. Следовательно, если серединные перпендикуляры всех сторон многоугольника пересекаются в одной точке, то около такого многоугольника можно описать окружность. & Определение \ Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. На рисунке 205 изображена окр\жность, вписанная в многоугольник. В этом случае также говорят, что многоугольник описан около окружности. 139 Центр окружнскти, вписанной в многоугольник, точка О, равноудалён от всех его сторон Следовательно, точка О принаудлежит Гжссектри-сам всех углов многоугольника, описанного около окружности. В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если существует точка, равноудалённая от всех его сторон. Следовательно, если биссед:-трисы всех углов выпуклого многоугольника пересекаются в одной точке, то в такой многоугольник можно вписать окружность. А 1- Объясните, какую фигуру называют многоугольником. 2. Что называют периметром многоугольника? 3, Что называют диагональю многоугольника? 4- Какой многоугольник называют выпуклым? 5. Как расположен выпуклый многоугольник относительно любой прямой, содержащей его сторону? 6. Чему равна сумма углов выпуклого w-угольника? 7. Какую окружность называют описанной около многоугольника? 8. Какая точка является центром окружности, описанной около многоугольника? 9. Какую окружность называют вписанной в многоугольник? 10, Какая точка является центром окружности, вписанной в многоугольник? Г о'\ Практические задания 641. Начертите и обозначьте произвольный выпуклый семиугольник, назовите все его вершины и стороны. Проведите из одной вершины все диагонали, назовите их. На сколько треугольников диагонали разбили семиугольник? 642. Начертите шестиугольник, каждый угол которого равен 120", а каждая сторона — 4 см. Опишите около этого шестиугольника окр)ж ность и впишите в него окружность. 643. Начертите пятиугольник, каждый угол которого равен lOS"", а каждая сторона — 3 см. Опишите около этого пятиугольника окружность и впишите в него окружность. 644- Начертите окружность произвольного радиуса, разделите её на 8 равных дуг. Используя точки деления, постройте восьмиугольник, вписанный в окружность. 645. Начертите окружность произвольного радиуса, разделите её на 12 равных дут. Используя точки деления, постройте двенадцатиуголь-ник, вписанный в окружность. 140 г о Упражнения ^оЛ- 646. Найдите стороны пятиугольника ABCDE, если ВС на 1 см больше ЛВ, CD на 2 см больше АВ, DE на 3 см больше АВ, АЕ на 4 см больше АВ, а периметр пятиугольника равен 100 см. 647. Найдите сумму yiviOB выпуклого; 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двадца! ичегырсхугольника. 648. Найдите сумму углов выпуклого: 1) девятиугольника; 2) шестнадцатиугольника. 649. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма утлов которого равна: 1) 1800^ 2) 720^ 3) 16007 650. Существует ли многоугольник, каждый угол которого раветг: 1) 150“; 2) 1007 Рис. 206 С yD Л Е 651. На плане земельного у'часгка, имеющего форму пятиугольника (рис. 206), указали такие величины углов: ZA - 116“. /.В = 98“, ZC= 124“, 102\ ZE= 130“. Верно ли были выполнены измерения? 652- Найдите углы вып)тслого шестиугольника, если они относятся как 3 : 3 : 4 : 4 : 5 : 5. 653. Найдите углы выпуклого семиугольника, если они относятся как 6:7:8:9;9;10:11. 654, Сколько диагоналей можно провести: 1) в девятиугольнике; 2) в двадцатиугольнике; 3) в п-угольнике? 655- В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найдите количество его сторон и сумму углов. 656. Докажите, что если все стороны многоуголыш1са. вписанного в окружность, равны, то и все его углы также равны. Докажите, что если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны. ? ^ 657. 658. Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а утлы, прилежащие к одной из сторон, — прямые. Найдите остальные углы пятиугольника. 659. Три угла выпуклого многоугольника равны по 100“, а остальные — по 120“. Определите вид многоугольника. 660- Докажите, что ес;ш углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон. 141 661. Докажите, чю если yi-лы выпуклого пяти)ТОльника равны, то он не имеет параллельных сторон. Упражнения для повторения 662. 663. 664. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите периметр трапеции. Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые к гипотенузе, равны соответственно 13 см и 12 см. На11дите периметр данного треугольника. Биссектриса утла А треугольника АВС (ZC = 90**) делит катет ВС на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точку Л. точку С и точку пересечения данной биссектрисы с катс*том ВС. Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 665. На окружносш. радиус которой равен 1, отмсгили 1000 точек. Докажите, что найдётся точка, принадлежащая данной окр}'жности. сумма расстояний от которой до отмеченных точек больше 1000. S 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника С такой величиной, как площа/щ, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: площадь квартиры, дачного у'частка, поля и т. п. Опыт подсказывает вам, что рав1тые земельные участки имеют равные площади, что площадь квартиры равна сумме площз/чей всех её поме-имений (комнат, кухни, коридора и т. д.). Вы знаете, что площади земельных y^iacTKOD измеряют в сотках (арах) и гектарах; площади регионо!» и государств — в квадратных киломе'г-рах; площадь квартиры — в квадратных метрах. На пракп'ических знаниях о площади основывается определение пло-IUa;^и многоугольника. & Определение Площадью многоугольника называют положительную величину, которая обладает следующими свойствами: 1) равные многоугольники имеют равные площади; 142 2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников; 3) за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, т. е. квадрат со стороной, равной единице измерения длины. Измерить площадь многоугольника — это значит сравнить его площадь с площадью единичного квадрата. В результате получают числовое значение площади данного миогоуголышка. Это число пока.1Ываег, во сколько раз площадь данного многоугольника отличается от площади единичного квадрата. Например, если клетку принять за единичный квадрат, то площадь многоугольника, изображённого на рисунке 207, будет равна 11 квадратным единицам (крагко записывают: 11 ед.^). Обычно для нахождения площади используют формулы, т. е. вычисляют площадь многоугольника по определённым его элементам (сторонам, диагоналям, высотам и т. д.). Некоторые из них вы уже знаете. Например, формулу S = аЬ, где S — площадь прямоугольника, awh — длины его соседних сторон, вы применяли неоднократно. Для до-!сазательства этой формулы понадобится следующая лемма. Рис. 207 1 & Лемма \ ^ 1 Площадь квадрата со стороной - ед. {п — натуральное число) равна ед.^. п Доказательство Рассмотрим единичный квадрат и разделим его на п~ равных квадратов со стороной — (рис. 208). ” Из определения площади мноюушльника (свойство 1) следует, что все эти квадраты имеют равные площади. По свойству 2 сумма площадей этих квадратов равна площади единичного квадрата, т. е. равна I ед.^. Поэтому площадь каждого маленького квадрата равна ~ ед.^. < 143 в Теорема 20.1 Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. На рисунке 209 изображён прямоугольник ABCD, дтины соседних сторон которого равны а и Ь: АВ = а, ВС = Ь. Докажем, что Ш10ща;^ь S прямоугольника вычисляется по формуле S = аЬ для случая, когда а и Ь ~ рациональные числа. Числа а и Ь можно представить в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями: Р и Я ^ ~ п' ^ ~ п' р, W — натуральные числа. Разделим сторону АВ на р равных частей, а сторону ВС — на q равных частей. Через точки деления проведём прямые, параллельные сторонам прямоуюльника. Тогда прямоуп)льник будет разделён на pq равных квадра- - 1 тов со сз оронои —. « I Согласно лемме площадь каждого ква;фата равна —. Из определения площади (свойство 2) следует, что площадь прямоугольника равна сумме площадей всех квадратов, т. е. .S* = + Дг + = Р9 ■ “V = ~ Ф^2 4 4 П п l>q слагаемых Рассмотрение слу^шя, когда хотя бы одно из чисел а или h яш1яется иррациональным, выходит .за рамки рассматриваемого курса. в Определение Многоугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими. \Л'л определения площади (свойство 1) следует, что все равные фигуры равновелики. Однако не все фигуры, имеющие равные площади, являются рав?1ыми. Например, на рисунке 210 изображены два многоугольника, каждый из которых составлен из семи единичных квадратов. Эти многоугольники равновелики, но не равны. 144 А 1. Что называют площадью многоугольника? 2- Что значит измерить площадь многоугольника? 3. Что показывает числовое значение площади? 4. Чему равна площадь квадрата со стороной — ед., где п — натуральное число? 5. Чему равна площадь прямоугольника? 6- Какие многоугольники называют равновеликими? 7. Можно ли утверждать, что если две фигуры равны, то они равновелики? 8. Можно ли утверждать, что если две фигуры равновелики, то они равны? Г О Упражнения 666. 667. 668. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них на 5 см больше другой, а площадь прямоугольника равна 36 см*'^. Площадь прямоугольника равна 270 см^. а его стороны о-гносятся как 5 ; 6, Чему равны стороны прямоугольника? Какие из прямоугольников, изображенных на рисунке 211, равновелики? 669. Квгуфаг со стороной 12 см и прямоугольник, одна из сторон которого равна 8 см, равновелики. Найдите перимсгтр данного прямоугольника. 670. Найдите перимегр квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 2 см и 32 см. 10 — 748 145 оо V 671. Достаточно ли 5 т гороха, чтобы засеять им поле, имеющее форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м, если на 1 га нужно высеять 260 кг гороха? 672. Длина стены равна б м, а высота — 3 м. Хватит ли пяти ящиков кафеля, чтобы облицевать им эту стену, если одна плитка имеет форму квадрата со стороной 15 см, а в один ящик помещается 160 плиток? 673. Расход эмалевой краски на однослойное покрытие составляет 180 г на 1 м^. Хватит ли 3 кг эмали, чтобы покрасить стещ длиной 6 м и высотой 3 м? 674. Давление некоторого газа в сосуде составляет 0,0015 H/м^. С какой силой давит этот газ на стенку сосуда прямоузольной формы размером 35 X 24 см? 675. Предел прочности стали некоторой марки равен 60 Н/мм^. При какой нагрузке разорвётся стержень, поперечное сечение которого является прямоугольником со сторонами 20 мм и 10 мм? 676. Диагональ прямоугольника равна d и образует с одной из сторон угол а. Найдите плоп^адь прямоугольника. 677 Сторона прямоугольника равна 15 см и образует с диагональю утл 30”. Найдите площа^хь прямоугольника. 678- Найдите отношение площадей двух квадратов, стороны которых относятся как: 1) 3 : 4; 2) 2 : -ч/б. 679. Как относятся стороны двух квадратов, если их площади относятся как: 1) 25 : 36; 2) 3 : 49? 680. Одна из сторон прямоугольника равна 28 см. Как изменится площадь прямоугольника, если соседнюю его сторону уменьшить на 5 см? 681. Как изменится площадь прямоугольника, если: 1) две его противолежащие стороны увеличить в 3 раза; 2) все его стороны увеличить в 3 раза; 3) две его противолежащие стороны увеличить в 6 раз, а две другие — уменьшить в 3 раза? 682. Как изменится площадь прямоугольника, если: 1) две его противолежащие стороны уменьшить в 4 раза, а две другие — в 2 раза: 2) две его противолежащие стороны увеличи1ь в 4 раза, а две другие — уменьшить в 4 раза? 683. На продолжении стороны AD за тсщку D параллелограмма ABCD отмечена точка М так, что AD = MD. Докажите, что параллелограмм ABCD и треугольник АВМ равновелики. 146 684. 685. Площадь квадрата ЛВС£) равна 10 см^ (рис 212). Чему равна площадь прямоугольника BMKD} Докажите, что если точка Е — середина отрезка АК (рис. 213), то треугольник AKD и прямоугольник ABCD равновелики. «TV больше площади квадрата, вписанного в эту окружность? 687- Площадь прямоутольного листа бу'маги, длины сторон которого выражаются целыми числами сантиметров, равна 12 см^. Сколько квадратов площадью 4 см^ можно вырезать из этого листа? 688. Площадь прямоугольного листа бумаги, длины сторон которого выражаются целыми числами сантиметров, равна 18 см^. Сколько квадратов со стороной 3 см можно вырезать из этого листа? 689- Биссею'риса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 2 : 7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см. 690. Биссектриса утла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1: 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см‘^. 691. 692. Постройте квадрат, площадь которого равна сут^ме площадей двух данных квадратов. Стороны прямоугольника равны а п Ь. Постройте квадрат, площадь которого равна площади данного прямоугольника. Упражнения для повторения 693. Серединный перпендикуляр диагонали BD параллелограмма ABCD пересекает стороны АВ и CD. Продолжения сторон AD и ВС он пересекает в точках М W К соответственно. Определите вид четырёхугольника MBKD. 147 694. 695. Продолжения бокоиых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке М. Найдите AM, если АВ = 6 см и ВС : AD = 3.4. Найдите расстояние от точки пересечения диагона;1ей ромба до его сп'ороны, если острый угол ромба равен 30*", а сторона — 8 см. Наблюдайте, рисуйте. конструируйте. Фантазируйте 696- Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что оставшиеся части также подобны? S 21- Площадь параллелограмма 6 Теорема 21.1 Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведённой к этой стороне. Рис. 214 В с / □ /vr AM ON \ Доказательство На рис)Т1ке 214 изображены параллелограмм ABCD, площадь которого рав на S, и его высота ВМ. Докажем, что S=BC ВМ, Проведем высо'гу CN. Легко доказать (сделайте это самостоятельно), что четырёхугольник MBCN — прямоугольник. Покажем, что он равновелик данному I шраллел ограм му. Площадь параллелограмма равна сумме 1Ыощадей треугольника АВМ и трапеции MBCD. Площа;№ прямоугольника равна сумме площадей трапеции MBCD и треугольника DCN. Однако прямоугольные треугольники АВМ и DCN равны по гипотенузе и острому углу (отрезки АВ и CD равны как противолежащие стороны параллелограмма, углы 1 и 2 равны как соответственные при параллельных прямых АВ и DC и секущей AD), Значит, эти треугольники равновелики. Отсюда следует, что параллелограмм ABCD и прямоугольник MBCN равновелики. По теореме 20.1 площадь прямоугольниюг равна произведению длин сторон ВМ и ВС. Тогда S = ВС • ВМ, где S — площадь параллелофам-ма ABCD. 148 Для зансршения доказательства надо рассмотреть случаи, когда осно ваиие М высоты БМ не будет прииа^глежать с'тороне AD (рис. 215) или совпадёт с вершиной D (рис. 216). И в этих случги!х параллелограмм ABCD и прямоугольник MBCN равновелики. Докажите этот факт самостоятельно. ◄ Если обозначить длины стороны параллелограмма и проведённой к ней высоты соответственно буквами а и к,то площадь S параллелограмма вычисляют по формуле S^ah 1. Чему равна площадь параллелограмма? 2. По какой формуле вычисляют площадь параллелограмма? о“Л Упражнения \. 697. 698. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 14 см, а проведённая к ней высота — 6 см. Вычислите площадь параллелограмма, изображённого на рис}ике 217 (размеры даны в сантиметрах). 149 699. Какие из параллелограммов, изображённых на рисунке 218, равновелики? 700. Площадь параллелограмма ABCD (рис. 219) равна S. Чему равна площадь закрашенной фигуры? 701. Площадь параллелограмма равна 17 см^, а одна из его сторон — 3,4 см, Найдите высоту парал71елограмма, проведённую к этой стороне. 150 702. 703. Площадь параллелограмма равна 40 см‘, а высоты равны 5 см и 4 см. Найдите стороны этого параллелограмма. Заполните таблицу, где а — длина стороны параллелограмма, h — длина высоты, проведённой к этой ггороне, 5 — площадь параллелограмма. а 6,2 см 16 дм h 7 см 0,9 м S 64 дм^ 5.4 м^ оо \. 705. 706. 707. 708. 709. 704. Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см, а одна из высот равна: 1) 6 см; 2) 12 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений в каждом случае имеет задача? Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 15 см и 25 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне. Найдите площадь пара-алелограмма. диагонали которого равны 26 см и 24 см, а одна из них перпепди1сулярна стороне параллелограмма. Диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из его сторон и образует угол W со второй стороной. Найдите площадь параллелограмма. Стороны параллелограмма равны а w Ь, его острый угол равен а. Найдите площадь параллелограмма. Угол меаду высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен б0“. Найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны 8 см и 12 см. 710. Стороны параллелограмма равны 14 см и 20 см, а угол между его высотами, проведёнными из вершины тупого угла, — 45’*. Найдите площадь параллелограмма. 711. Найдите площадь ромба, если его высота равна 6 см, а диагональ — 10 см. 712. Меньшая диагональ ромба равна а, а один из углов — 60**. Найдите площадь ромба. 713. Докажите, что высоты параллелограмма обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены. 714. Стороны параллелограмма равны 9 см и 12 см, а сумма двух его неравных высот равна 14 см. Найдите площадь параллелограмма. 715- Разность двух сторон параллелограмма равна 12 см, а проведённые к ним высоты равны 15 см и 10 см. Найдите площадь параллелограмма. 151 716. Докажите, что из всех параллелограммов со сторонами, равными а и Ъу наибольш)то площадь имеет прямоугольник. Упражнения для повторения 717. 718. 719. Б треугольнике ЛВС известно, что АС - 90°, АС = 7 см, ВС = 24 см, AM — биссектриса. Найдите сш^ус, косинус, тангенс и котангенс каждого из углов ВАС и АМС. В равнобедренном треугольнике ЛВС с основанием АС медианы ЛМ и СК пересекаются в точке О. Докажи1е, что rpcyi ольник ЛОС — равнобедренный, и найдите его боковые стороны, если AM = 21 см. На медиане AM треугольника АВС отмечена точка D так, что AD : DM - 1 г 3. Через точку D проведена прямая, параллельная c'i o-роне АС, В каком отношении эта прямая делит сторону ВСу считая от вершины С? Наблюдайте, рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 720. Докажите, что в выпуклом девятиутолх.нике найдутся две диагона^чи, угол между которыми меньше 7°. 22. Площадь треугольника Теорема 22.1 \ Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведённой к ней высоты. Доказательство На рисунке 220 изображены i реугольпик ЛЛС, площадь которого равна Sy и его высота ВМ. Докажем, что S = ВМ. Через вершины В н С треугольника проведём прямые, параллельные сторонам АС и АВ соответственно (рис. 220). Пусть эти прямые пересекаются в точке N. Четырёх* уго;1ьн11к ABNC — параллелограмм по определению. Треугольники АВС и NCB равны (докажите :>го самостоятельно). Следовачельно, равны и их площади. Тогда площадь чре- 152 угольника ЛВС равна половине площади параллелограмма ABNC. Высота ВМ треугольника ЛВС является также высотой параллелограмма ЛВМС. Отсюда S = i ЛС ■ ВМ. < Если воспользоваться обозначениями д^1я длин высот и ciopo!i треугольника то согласно доказанной теореме имеем; где S — площа^чь треугольника. Следствие \ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Докажи ге ату теорем)' самосгоя гельно. О Задача. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения ^ его диагона,1ей. Решение. На рисунке 221 изображён ромб ABCD, площа;1ь которого равна S. Его диагонали ЛС и BD пересекаются в точке О. Докажем, что ^ • BD. Поскольку диагонали ромба перпеадикулярны, то отрезки ЛО и СО являются высотами треугольников ВЛО и BCD соотвегственно. Можно записать: AO+^-BD CO = \bD(AO + + CO) = ^^BD АС.< C^i. Как найти площадь треугольника, если известны его сторона и высота, проведённая к ней? 2, Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известны его катеты? оЛ Упражнения 721. Сторона треугольника равна 12 см. а высо'га. проведённая к ней, 2,5 см. Найдите площадь треугольника. 153 722. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 10 см и 18 см. 723. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 222. равновелики? 724. Вычислите площадь треугольника, изображённого на рисунке 223, если длина стороны клетки равна единице длины. 726. Известно, что две стороны треугольника равны 24 см и 9 см, а высота, проведённая к большей из известных сторон, — 6 см. Найдите высоту треугольника, проведён^гую к меньшей из известных сторон. 727, Заполните таблицу, где а — длина стороны треугольника, h — длина высоты, проведённой к ней, S — площадь тре)толы!ика. а 2,4 СМ 9 дм h 4 см 5 м S 81 дм^ 65 м2 728, 729. 730, Найдите площа;;ь равнобедренного треугольника, основание которого равно 24 см, а боковая сторона — 13 см. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 61 см, а высота, проведённая к основанию, — 60 см. Найдите площадь треугольника. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а медиана, проведённая к гипотенузе, — 18,5 см. Найдите площадь треугольника. ооЛ. 731. 732. 733. 734. ? 735. 736. 737. 738. 739. 740. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 3 см и 27 см. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 8 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — б см. Найдите площадь треугольника. Высота BD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки AD и CD. Найдите площадь треугольника АВС, если BC-^J^cu, ZA = 3()^ CD = 5 см. Высота AM треугольника АВС делит его сторону ВС на отрезки ВМ и МС. Найдите площадь треугольника АВС, если ЛБ = 10^см, ЛС= 26 см, ZiJ = 45". Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна Ь, а угол при основании равен а. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна Л, а угол при вершине равен р. Найдите площадь треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна а. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотен)^ которого равна с. Найдите высочу прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если его катеты равны 10 см и 24 см. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь треугольника. 741. 742. ? ? 743. 744. 745. 746. 747. 748. 749. т 750. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 54 см, а высота, проведённая к основанию, — 9 см. Основание равнобедренного треугольника опносится к его высоте, опущенной на основание, как 8 : 3, боковая сторона треугольника равна 40 см. Найдите площадь треугольника. Докажите, чю площадь выпуклого четырёху10льника, диагонали которого перпендикулярны равна половине их произведения. Площадь ромба равна 120 см^, а его диагонали относятся как 5 : 12. Найдите периметр ромба. Найдите площадь ромба, сторона кот<5рого равна 25 см, а сумма диагоналей — 62 см. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 39 см, а разность диагоналей — 42 см. Даны прямая / и параллельный ей отрезок АВ, Док<1житг, что все треугольники АХВу где X — произвольная точка прямой /, равновелики. Докажите, что если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади данных треугольников относятся как их стороны, к которым проведены эти высоты. Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М так, что = = — Докажите, что = — . п 751. 752. 753. хвм п 754. 755. 756. ? ❖ ^ 757. В треугольнике проведены три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников. Через вершину В треугольника АВС проведите две прямые так. чтобы они разбили данный треугольник на три равновеликих треугольника. ^1срез вершину' параллелограмма проведите прямые так, чтобы они разбили данный параллелограмм на: 1) четыре равновеликих многоугольника; 2) мять равновеликих многоугольников. Через вершину ромба проведите две прямые так. чтобы они разбили данный ромб на три равновеликих многоугольника. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму. В треугольнике проведены три высоты. Докажите, что к наибольи1ей стороне треугольника проведена наименьшая высота. На стороне АС греугольнмка АВС отмечена точка М так, что = = —. Пусть X — произво..'1ьная внутренняя точка отрезка ВМ. Доюа-^АВХ жите, что = — . 156 758. 759. 760. 761. 762. 763. Точка касания вписанной окружности делит гипспенузу прямоугольного треугольника на отрезки, один из которых на 14 см больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота СМ. Площадь треугольника ACM равна 6 см^, а площадь тре угольника ВСМ — 54 см~. Найди гс стороны треугольника АВС. Найдите юющадь прямо)ТОльного треугольника, если биссектриса его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его Bbicoiy. проведённую к основанию, на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь данного треутолышка. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания дели'1 боковую сторону треугольника в отношении 9 ; 8, считая от вершины равнобедренного треутолышка. Найдите площадь треугольника, если ргушус вписанной окружности равен 16 см. 764. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС равностороннего треутльника АВС за точки В, Си А соответственно отмечены точки D, Ей Ftbk, что BD = СЕ = AF ~ 2АВ. Найдите площадь треугольника DEF, если площадь треутольника АВС равна 1 см^. 765. В треугольнике АВС отметили точку М iai<, что площади треугольников АМВ, ВМС и ЛМС равны. Докажите, что М — точка пересечения медиан треу1чэльника АВС. 766. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D. Проведите через эту точку прям)'ю так, чтобы она разбила данный треугольник на два равновеликих многоугольника. 767. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его с торон является постоянной для данно го треугольника. Упражнения для повторения 768. 769. В равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС) биссектриса угла А пересекае г сторону ВС в точке М. Найдите углы треугольника АВС, если ZAMB= 117^ В равнобокой трапеции основания равны 18 см и 12 см. Боковая сторона образует с основанием угол 30**. Найдите диагональ трапеции. 157 770. Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удалён от концов ее боковой стороны на 12 см и 16 см. Найдите периметр тра-пеции- Наблюдайте. рисуйте, конструируйте. Фантазируйте 771. На плоскости даны п точек {п > 3), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в данных точках, который не содержит ни одной из остальных {п — 3) точек. S 23. Площадь трапеции Q Теорема 23.1 \ Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты. Доказательство На рисунке 224 изображена трапеция ABCD {AD II БС), площадь которой равна S. Отрезок CN — высота этой трапеции. Докажем, что 5 - CN. Проведём диагональ ЛС и высоту AM трапеции Отрезки AM и CN являются высо тами треугольников АВС и ACD соответственно. Имеем: 5 = S н- = - ВС AM -t- - AD • CN = = ^ВС CN + -AD CN = UbC +AD) CN.^ 2 2 2 Если обозначить длины оснований трапеции и её высоты соответственно буквами а, h и h, то площадь 5 трапеции вычисляют по формуле S = ^-h 158 6j Следствие Г О Площадь трапеции равна произведению её средней линии и высоты. 1. Сформулируйте теорему о площади трапеции. 2. По какой формуле вычисляют площадь трапеции? Упражнения Рис. 225 772. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 7 см и 12 см, а высота — 6 см. 773. Найдите площадь трапеции, средняя линия которой равна 18 см, а высота — 9 см. 774. Площглъ трапеции равна 96 см^, а её высота — S см. Найдите основания трапеции, если они относятся как 3 : 5. 775. Площадь трапеции равна 45 см*^. одно из оснований — 8 см, а высота — 6 см. Найдите другое основание трапеции. 776. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 14 см и 16 см, а диагональ — 17 см. 777. Чему равна площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 9 см и 16 см, а большая боковая сторона — \/б5 см? 778. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 14 см и 32 см, а боковая сторона — 15 см. 779. На рисунке 225 изображено поперечное сечение траншеи, которое имеет форму трапеции. Вычислите площа;1ь этого поперечного сечения (размеры даны в метрах). 780. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 226 (размеры даны в сантиметрах). /77777 77777 Рис. 226 40 32 у<45“ ^°/б0‘ \ 60 48 а б 159 осГ\ 781, Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 227 (размеры даны п сантиметрах) . 782, В равнобокой а рапеции диагональ является биссек! рисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см Найдите гьющадь трапеции 783. Основания прямо)тольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции. 784- Точка пересечения биссектрис острых у1лов при основании трапс^-ции принадлежит другому основанию. На1щите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота — 15 см. 785. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота — 8 см. 786. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 20\/3 см и образует с основанием угол бО**. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность. 787. Основания равнобокой трапеции равны 32 см и 50 см. Чему равна площа,.Чь трапеции, если в неё можно вписать окружность? 788. Меньшая боковая сторона прямо)тольной трапеции равна 8 см, а острый угол — 45“. Нагщите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность. 789. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 28 см, а острый угол — 30". Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окр)жность. 790. Докажите, что прямая, кс)торая проходит через середину средней линии трапеции и пересекает её основания, разбивает данную трапс*-цию на два равновеликих многоугольника. 791. Постройте равновеликий данной трапеции: 1) параллелограмм, отличный от прямоугольника; 2) прямоугольник. 792. Постройте треугольник, равновеликий данно11 | рапеции. 793. 794, Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 24 см и 40 см, а диагональ перпендикулярна боковой сторон<\ Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, KOTopiiB равна 15 см. Найдите площа;щ трапеции, если ради)Т окружности. описанной около неё, равен 12.5 см. 160 795. 796. 797. 798. 799. 800. 801. Диагонали трапеции перпендик)лярпы, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции — 25 см. Найдите площадь трапеции. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно а. В равнобокую трапецию вписана окружность. Одна из её боковых сторон точкой касания делится на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площа^дь трапеции. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Большая из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции. Диагональ равнобокой трапеции делит Bucoiy, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 9 см. Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите плои1адь трапеции. В трапеции ABCD известно, что ВС || AD, точка М — середина стороны АВ. Найдите площадь треугольника CMD^ если площадь данной трапеции равна S. Упражнения для повторения 802. 803. 804. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, а треугольника ABD — 40 см. Найдите стороны параллелограмма, если AD = BD. Окружность, построенная на диагонали АС ромба ABCD как на диаметре, проходит через середину стороны АВ. Найдите углы ромба. На сторонах ЛД, ВС и АС треугольника АВС отметили соответственно точки М, к а D 'laK, что МК || АС, DK || АВ, ВК : КС =8:2. Найдите периметр четырёхугольника AMKD, если АС = 15 см, АВ = 25 см. Наблюдайте, рисуйте. конструируйте. Фантазируйте 805. Можно ли квадрат со стороной 1,5 см накрыть 'гремя квадратами со стороной I см? 11—748 161 Когда сделаны уроки Равносоставленные и равновеликие многоугольники Рх:ли некоторый многоугольник можно разрезать на части и составить из них другой многоугольник, то такие много)тольники называют рав-носоставленными. Например, если прямоугольник разрезать вдоль его диагонали (рис. 228), то получим два равных прямоугольных треугольника, из которых можно составить равнобедренный треугольник (рис. 229). Фигуры на рисунках 228 и 229 — равносоставленные. Очевидно, что равносостав^хенные многоугольники являю'х'ся равновеликими. Этот факт применяют при доказательстве теорем и репгении задач. Например, доказывая теорему 21-1, мы фактически разрезали параллелограмм на треугольник АВМ и трапецию MBCD^ из которых составили прямоугольник MBCN {см. рис. 215). Если треугольник разрезать вдоль средней линии, то из полученных тре)тольника и трапеции можно составить параллелограмм (рис. 230). Рис. 228 Рис. 229 Рис. 230 Рис. 231 \ / \ Легко установить (сделайте это самостоятельно), что закое разрезание треугольника приводит ещё к одному доказательству теоремы о площади треугольника (теорема 22.1). Этой же цели служит разрезание треугольника на части, из которых можно составить прямоугольник (рис. 231). Евклид в своей знаменитой книге «Начала» формулирует теорему Пифагора следующим образом: «Площадь квадрата, построенпого на гипотеьгузе, равна сумме плoп^a-дей квадратов, построенных на катетах». Если показать, что квадраты, построенные на катетах, разрезаются на части, из которых можно составить квадрат со стороной, равной гипотенузе, то этим будет доказана теорема Пифагора. 162 На рисунке 232 показан один из возможных способов такого разрезания. Квадраты, построенные на катетах, разрезаны на части, площади которых равны 5*2. Из этих частей составлен квадрат, построенный на гипотсну;»е. Из определения площади многоугольника следует, что равносоставлен-пые многоугольники являются равновеликими. Но совсем неочевидной является такая теорема. fit Теорема Любые два равновеликих многоугольника являются рав-носоставленными. Впервые этот факт доказал в 1832 г. венгерский математик Фаркаш Бойяи. Позднее немецкий математик П. Гервин нашёл другое доказательство. Поэтому эту теорему называют теоремой Бойяи — Гервина. Упражнения 1- Докажите, что трапеция является равносос-тавленной с параллелограммом, основание которого равно средней линии трапеции, а высота — высоте трапеции. 2- Докажите, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, опущенного на прямую, которая содержит эту сторону, из середины другой боковой стороны. 3- В четырёхугольнике ABCD углы АВС и ADC прямые, а стороны АВ и ВС равны (рис. 233). Известно, что ВН I AD и ВИ = 1. Найдите площадь чегырёхугольпи-ка ABCD. Теорема Чевы Па сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС отметим произвольные точки Л,, В^, С, (рис. 234). Каждый из отрезков ЛЛ^, ВВ,. ССу на- 163 зывают чевианой треугольника АВС. Такое название связано с именем итальянского инженера и математика Джованни Чевы (1648-17Я4), от^ крывшего удивительную теорему Если точки В^ и выбраны так, что чевианы являются биссек- трисами, либо медианами, либо высотами треугольника, то эти чевианы пересекаются в одной точке. Если три прямые пересекаются в одной точке, то их называют конкурентными. Теорема Чевы даёт критерий конкурентности произвольных трёх че- виан. в Теорема \ Для того чтобы чевианы А4,, ВВ^ и СС^ треугольника АВС пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство АС ВА 1 1 с,в A^C В^А (*) Доказательство Докажем сначала необходимое условие конкурентности: если чевианы ВВ^ и СС, пересекаются в одной точке, то выполняется равенство (*). Воспользовавшись результатом ключевой задачи 757, можно записать (рис. 235): _ ^АПС С, В _ ^АВР дс ^^1 _ ^впс в,л ’BDC ^АОС ^■'АВР Перемножив записанные равенства, получим равенство (*). Докажем теперь достаточное условие конкурентности: если выполняется равенство (*), то чевианы А4р ВВ^ и СС, пересекаются в одной точке. Пусть чевианы АА^ и ВВ, пересекаются в точке D, а чевиана, проходящая через верши1гу' С и точку D, пересекает сторону АВ в некоторой точке Cjj. Из доказанного выше можно записать: Л а ВЛ. СВ I С.В дс в^л I _ = I. Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, ч ю Л С. Л Со ^ АТ> ^ ^, т. е. точки С, и Со делят отрезок АВ в одном и том же отно- CjB QB 1в4 шении, а значит, эти точки совпадают. Следовательно, прямая CD пересекает cTopoiiy АБ п точке < Упражнения 1. Докажите, что: 1) медианы треугольника конкурентны; 2) биссектрисы треугольника конкурентны; 3) высоты остроугольного треугольника конкурентны. 2. Пусть jBj, С| — точки касания вписанной окру'жности соответственно со сторонами ВС, АС, АВ греугольника АВС. Докажите, что чевианы А4,, ВВ^ и СС, конкурентны. 3. Прямые АР, ВР и СР пересекают стороны треугольника АВС в точках Лр jBj и Cj соответственно. Докажите, что прямые, проходящие через середины сторон ВС, СА и АВ параллельно прямым АР, ВР и СР соответственно, конкурентны. Указание. Примените теорему Чевы к треугольнику, вершины которого являются серединами сторон треугольника ЛВС. 165 Задание № 4 в тестовой форме «Проверьте себя» 1. Сколько сторон в выпуклом ггугольнике. если сумма сто углов равна 1260*? Л) 7 Б) 9 В) 11 Г) 13 2. В выпуклом «-угольнике 14 диагоналей. Чему равна сумма его углов? А) 1000* Б) 800* В) 900* Г) 720* 3. Как изменится площадь прямоугольника, если каждую из его сторон уменьшить в 10 раз? Л) уменьшится в 100 раз В) уменьшится в 10 раз Б) уменьшится в 20 раз Г) уменьшится в 1000 раз 4. Площадь параллелограмма равна 80 см^, а одна из его сторон — 16 см. Какой длины может быть другая сторона параллелограмма? А) 2 см Б) 3 см В) 4 см Г) 6 см 5. На стороне ВС параллелограмма ABCD отмечена точка М так, что ВМ ; МС =1:3. Чему равна площадь треугольника АВМ, если площадь параллелограмма равна 4S? ^>1 Б)| Г) I 6. На рисунке 236 шющадь каждого из маленьких квадратов равна 4 см^'. Чему равна площадь большого квадрага? А) 16 см" В) .32 см^ Б) 20 см2 р) 40 с;м2 7. В окружность радиуса 1 см вписаны квадра'г и равносторонний треугольник. Чем>’ равно отношение площади треуго;1ЬНИка к площади квадрата? Рис. 236 А) 4 Ь) Зч/з В) Г) Зч/з 2 Зч/З 8 8. Точки 0^ и О.^ — центры равных касающихся окружностей (рис. 237), ВО^ ± 0^0.^, АВ = 10 см. Чему равна площадь треугольника АВО^^ А) 10 см2 ' В) 18 см2 Б)15см2 Г)20см2 166 9- Даны две точки А и В. Геометрическим местом точек X таких, что площади треугольников АХВ равны данному числу 5, является A) окружность с диаме1'ром АВ Б) серединный перпендикуляр отрезка АВ B) прямая, параллельная АВ Г) две прямые, параллельные АВ 10. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны и дел5гг её среднюю линию на три равные части. Чему равна площадь трапеции, если её большее основание равно 12 см? А) 50 см*-^ Б) 64 см^ В) 81 см*-^ Г) 144 см'^ Итоги главы 4 Сумма углов выпуклого п-угольника Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180'’(л - 2). Окружность, описанная около многоугольника Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Окружность, вписанная в многоугольника Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Площадь многоугольника Площадью многоугольника называют положительную величину, которая обладает следующими свойствами: 1) равные многоугольники имеют равные площади; 2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников; 3) за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, т. е. квадрат со стороной, равной единице измерения длины. 167 Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. Равновеликие многоугольники Многоугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими. Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведённой к этой стороне. Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведённой к ней высоты. Площадь прямоугольного треугольника Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Площадь трапеции • Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты. • Площадь трапеции равна произведению её средней линии и высоты. 168 Дружим с компьютером в 7 классе вы уже испо^1ьзовали компькпер при изучении 1'еомстрии. В 8 классе вы будете изучать более сложные геометрические фигуры, а значит, сможете расширить свои умения, освоив более совершенные инструменты графических пакетов. Напомним, ч jo. кроме заданий, приведённых в этом разделе, вы можете использовать разнообразные программы, созданные специально д;1я освоения школьного курса геометрии. Вот ссылки на некоторые из таких программ: https://www,pcmath.ru/?parent=l&page=l / https://obr.lc.ru/cataIog.jsp?top=3/ https://school4:ollcction.edu.ru/catalog/rubr/903077b7-0221-4823'b549-b236326d48d4/114760/?/ https://\vww.dgeometry.i4i/links/2d.hlml/ Список полезных программ далеко не исчерпывается приведёнными. Вы можете использовать глобальную сеть Интернет для поиска нужной вам информации. Задания «Дружим с компьютером» в этом разделе приведены задания, которые вы сможете выполнять с помощью компьютера по мере изучения соочветствующих тем. Большинство из них — задания на построения геометрических фигур, которые вы будете выполнять с помощью графического редактора. Кроме этого, вы можете решать задачи из рубрики «Практические задания» не только в тетради, но и с помощью компьютера. В 7 классе вы узнали, что в геометрии построения выполняют с помощью линейки и циркуля. Поэтому вам нужно найти среди инструментов графического редактора тс, которые выполняют функции линейки и циркуля. Четырёхугольник и его элементы 1. Постройте четырёхутольники, иллюстрирующие теоретические сведения этого параграфа. Параллелограмм. Свойства параллелограмма 2- Определите, какие свойства параллелограмма надо иснолшовать, чтобы правильно нарисовать его, и какие инструменты графического пакета надо для этого применить. Нарисуйте параллелограмм и постройте две его высоты, выходящие из одной вершины. Какой инструмент вы используете, чтобы провесч'и высоту к данной стороне? 169 Признаки параллелограмма 3. Представьте себе, что нарисован четырёхугольник. Каким образом вы можете проверить то, что он яшшется параллелограммом^ Какие инструменты графического пакета для этого можно исполыювать? Прямоугольник 4. Найдите в графическом редакторе средство, которое позволяет быстро строить прямоугольники. Ромб 5. Какое свойство ромба позволяет легко и правильно построить ромб? 6. Постройте два перпендикулярных пересекающихся отрезка. Представьте себе, что это диагонали четырёхугольника, и постройте этот четырёхугольник. Обязательно ли получится ромб? Каким условием надо дополнить это задание, чтобы полученный четырёхугольник оказался ромбом? Квадрат 7. Найдите в графическом редакторе средство, которое позволяет быстро строить квадраты. Средняя линия треугольника 8. Какой инс1‘румеи'г графического редактора вы будете использовать, чтобы найти середи1ту отрезка? 9. НарисузЧте произвольный четырёхугольник. Выполните построение, которое проиллюстрирует ключевую задачу § 7. Как вы проверите, что отрезки, соединяющие середины сторон данного четырёхугольника, образовали параллелограмм? Трапеция 10. Постройзе з рапсцию. Каки«: ино румснты графического редактора вы будете использовать, чтобы обеспечить параллельность сторон трапеции? чтобы построить равнобокую трапецию? чюбы построить прямоугольную трапецию? 170 Центральные и вписанные углы 11. Нарисуйте окружность и постройте несколько вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу. Пользуясь инструментами графического редактора, определите их величину. 12. Нарисуйте окр)^ность, пост{юйте центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Проверьте, как относятся величины этих углов. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника 13. Найдите оптимальный способ построения рисунков, на которых должны быть изображены окружность, вписанные в окружность и описанные около окружности четырёхугольники. Какое свойство касательной к окружности позволяет изобра:^ить описанный четырёхугольник? Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках 14. Постройте чертежи, иллюстрирующие теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках. Измерьте длины нужных отрезков и проверьте, выполняются ли для них утверждения этих теорем. Насколько точно можно измерить отрезки средствами графического редактора, которым вы пользуетесь? 15- Представьте себе, что в вашем графическом редакторе нет инстр)-мента, позволяющего сгрюить параллельные прямые. Каким геоме'грическим фактом можно воспользоваться, ч'гобы построить параллельные прямые? Подобные треугольники 16. Освойте инструменты графического редактора, которые позволяют изображать фигуры, имеющие одинаковую форму, но разные размеры. Пос грейте с помощью этих инструментов подобные треугольники. 17. Постройте графическую иллюстрацию к лемме о подобных треугольниках. Пользуясь указанными инструментами, покажите, ч го изображённые треугольники действительно подобны. Первый признак подобия треугольников 18. Постройте два отрезка различной длины. Представьте себе, что это соответственные стороны подобных треугольников. Постройте произ- 171 вольный треугольник, используя первый из этих отрезков в качестве сторо ны. Используя первый признак подобия треугольников, постройте подобный ему треугольник, используя второй отрезок в качестве стороны. Второй и третий признаки подобия треугольников 19- Придумайте самостоятельно задание, которое бы позволило с помощью компьютера продемонстрировать второй и третий признаки подобия треугольников. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике 20- Постройте прямоугольный треугольник и опустите высоту на гипотенузу. Убедитесь, что выполняется лемма § 15. Теорема Пифагора 21. Часто теорему Пифагора иллюстрируют, построив квадраты на сп'оронах прямоугольного треугольнике Многие поколения школьников называют этот рисунок Пифагоровы штаны и формулируют теорему в шутливой форме: «Пифагоровы iirraiibi на все стороны равны». Постройте этот рисунок. 22. Разрежьте на части квадраты, посгроенные на катетах. Из них можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. Для произвольного прямоугольного треугольника поиск 'гаких частей — задача непростая. А вот для равнобедренного прямоугольного треугольника найти закой способ разрезания довольно легко. Какие это части? 23. Постройте равнобедре1Шый прямоугольный треугольник. Постройте такой набор фихур, чтобы, перемещая их, можно было составить как квадрат, построенный на гипотенузе, так и фиг>'ру, состоящую из двух квадратов, построенных на катетах. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника 24. Освойте средства, позволяющие находить тригонометрические функции угла треугол1>пика с помощью калькулятора. Воспользуйтесь этими средствами при решении задач § 18. 172 Решение прямоугольных треугольников 25- При решении задач этого пункта используйте калькулятор для иы-числепий. Многоугольники 26. Сформ)’лируйте какой-либо набор свойств многоугольника (количество сторон, выпуклость, вписанный, описанный и т. п ). I [остройте многоугольник, обладающий этим набором свойств. Какие инструменты графического редахсгора надо использовать, чтобы обеспечи'хъ выполнение за данных свойств? Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника 27. Постройте квадрат и примите его за единичный. Скопируй ге его несколько раз. Из полученных единичных квадратов сложите несколько различных равновеликих прямоугольников. Площадь параллелограмма 28. Создайте набор фигур, с помощью которых можно проиллюстрировать доказательство теоремы о площади параллелограмма. Каким свойством площади многоугольника мы при этом пользуемся? 29. Данная теорема верпа независимо от того, какую из пар (сторона и опущенная на неё высота) выбрать для вычисления площади. Создайте набор фигур, с помощью которых можно проиллюстрировать это утверждение. Площадь треугольника 30- Создайте наборы фигур, с помощью которых можно проиллюстрировать доказательство утверждений теоретической части этого параграфа. Площадь трапеции 31. Постройте произвольную трапецию. Каким образом разрезать её на части, чтобы показать, что формула для вычисления площади трапеции является верной? 173 Проектная работа Эта рубрика адресована прежде всего тем, кто хочет научиться приобретать знания самостоятельно, творчески мыслить, формировать, выра-жагь и отстаивать свою точку зрения, выдвигать гипотезы, находить наиболее рациональные и несгандартные решения. Первым шагом, который может помочь в реализации этих целей, является участие в проекгной работе. Проект — это самостоятельное исследование по выбранной теме, которое может выполняться к'ак индивидуально, так и группой учащихся. Дадим несколько совегов по организации работы над проектом и оформлению результатов иссаедования. 1. При выборе темы необходимо учитывать сё актуальность, наличие источников информации в литературе и интернет-ресурсов. Здесь нажъю ваше желание проявить себя в качестве исследователя в работе именно над выбранной темой. 2. Работа начинается с составления предварительного плана, в котором отражаются замысел и этапы реализации задуманного. После знакомства с основными источниками информации с помощью руководителя про скта составляется окончательный план. 3. Важно чё'гко сформулировать цеди исследования. Они могут быть записаны в такой форме: изучить, описать, проан^итзировать, доказать, сравнить и т. п. 4. Работа завершается подведением итогов исследования, делаются выводы, намечаются перспективы дальнейшего изучения темы. 5. Примерный объём работы — 10 -15 страниц. Дополнительно может прилагаться иллюстративный материал. 6. Работа можег бы гь с^формлена в виде рсферача, доклада, компьютерной презентации. Ниже приводится рекомендуемый список тем, которые могут быть выбраны для проектной работы. 1. Фалес Милетский — великий геометр, строитель, астроном Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: 1. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. — М. ; Педагогика, 1989. 2. Энциклопедия /щя детей. Математика. — М. : ^\ванта+, 2003. Т. 11. 3. https://ru.wikipediaorg/ Фалес Милетский. А. hup://naturalhistor).narod.ru/Person/A_N/Fales_l .htm/ 174 2. Пифагор и его великая теорема Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: 1. Башмакова И., Лапин А. Пифагор // Квант. — 1986. — № 1. 2. Березин В. Теорема Пифагора // Квант. — 1972. — 3. 3. Волоишнов Л.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. — М. : Просвещение, 1993. 4. Воронин С., Кулагин А. О задаче Пифагора // Квант. — 1987. — № 1. 5. Гпейзер Г.Д По10ворим о теореме Пифагора // Математика (еженедельное приложение к газете «Первое сентября»). — 1996. — № 13. 6. Рубинов Р, Но следам теоремы Пифагора // Квант. — 1981. — № 11. 7. Халамайзер АЛ. Пифагор. — М. : Высшая школа, 1994. 8. Энциклопедия для детей. Математика. — М. : Аванта+, 2003. Т. 11. 9. htlp://ru.wikipediaorg/ Пифагор. 10. http:/7www.inoypifagor.narod.ru/ Пифагор и его теорема. И. http:/^ru.wikipediaorg/wiki/Teopeмa_Пифaгopa. 3. Аксиоматический метод в геометрии Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: 1. Успенский В,А. Что такое аксиоматический метод? — М. : Ижевск, 2001. 2. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. — М. ; Педагогика, 1989. 3. Энциклопедия для детей. Математика. — М. : Аванта+, 2003. Т. 11. 4. hup://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_phiIosophy/4127/ Аксиоматический мегод. 4. Геометрия на клетчатом листе Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: 1. Смирнов Л.Л., Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге. — М. : МЦНМО, 2009. 2. hltp:/^www.problems.ru/ Задачи из разных разделов математики. 3. https://www'.kvant.info/ Научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». 4. !ittp://school Ь, Окружности. вписанные в треугольники ABD и CBD^ касаются диагонали BD в точках М w К соответственно. Найдите отрезок МК. 810. Сколько разных параллелограммов можно составить из двух равных треугольников, если они; 1) разносторонние; 2) равнобедренные; 3) равносторонние? 811. Верно ли утверждение: 1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм: 2) если две стороны четырёхугольника параллельны и точка пересечения диагоналей равноудалена от этих сторон, то этот четырёхугольник — параллелограмм; 3) если две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие — равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм; 4) если биссектрисы двух противолежащих углов четырёхугольника периендику^гярны биссектрисе его третьего угла, то этот четырёхугольник — пара^тлелограмм; 5) если диагональ четырёхугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм; 6) если каждая диагональ четырёхугольника ра:5бивает его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм; 7) если каждые две противолежащие вершины четырёхугольника равноудалены от диагонали, соединяющей две другие вершины, то этот четырёхугольник — параллелограмм? 178 812. Верно ли рверждение: 1) если две стороны четырёхугольника параллельны, а одна из диаго налей разбипаег четырёхугольник на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — паргшлелограмм; 2) если две стороны четырёхугольника параллельны, а точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам, то этот четырёху1оль-ник — параллелограмм; 3) если две противолежащие стороны четырёху10льника равны и диагонали его равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм? 813. Периметр ромба равен 8 см, а его высота — 1 см. Найдите углы ромба. 814. Угол при веритпе В ромба ABCD равен 40'", точки М vl К — основания перпендикуляров, опущенных из вершины А на стороны ВС и CD соответственно. Найдите углы треугольника АМК. 815. Перпендикуляр, опущенный из вершины В прямоугольника ABCD на диагональ ЛС, делит угол АВС на два угла, величины которых относятся как 1 : 3. Найдите угол между проведённым перпендикуляром и диагональю BD. 816. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника образует с его большей стороной угол 60**. Отрезок этой прямой, принадлежащий прямоугольнику, равен 12 см. Найдите большую сторону прямоугольника. 817. На диагонали АС ромба ABCD отмечены точки М и К так, что AM - СК. Докажите, что ZABM = ZCBK. 818. Периметр ромба на 42 см больше стороны ромба. Найдите периметр ромба. 819- Верно ли утверждение; 1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёху10ль-ник — прямоугольник; 2) если диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырехугольник — квадрат; 3) если диагонали четырёхуголы 1111*3 перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат; 4) если диагонали четырёхугольника равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то эгог четырёхугольник — квадрат; 5) если три стороны четырёхугольника равны, а диагональ является биссектрисой одного из сто углов, то этот четырёхугольник — ромб? В случае утвердительного ответа обоснуйте его, в случае отрицательного — начертите четы|)ёхугольник, который является контрпримером. 179 820. 821. 822. 823. 824. 825. 826. 827. 828. Па сторонах ЛВ ВС и ЛС треугольника АВС отмечены чочки D, F и Е соотнстстиснио 'г*ак, что BD = BF = DI: - EF. Докажите, что точка F принадлежит биссектрисе >тла BDE. Расстояние от середины хорды АС окружности до диаметра АВ равно 4 см. Найдите хорд)^ ВС, если /.ВАС = 30** Постройте параллелог рамм по его вершине и серединам сторон, которым эта вершина не принадлежит. Боковая сторона АВ и меньшее основание ВС трапеции ABCD равны соответственно 16 см и 15 см. Какой иа отрезков пересекает бис-секч риса угла BAD — основание ВС или боковую сторону CD? Диагон.шь равнобокой трапеции равна большему о< нованию и образует с ним угол 40". Найдите углы трапеции. Угол между дв) мя секущими, проходящими через точку вне окружности, равен 35". Градусна>1 мера больвгей дуги окружности, расположенной между сторонами э того угла, равна lOu". Найдите гра;;усную меру меньшей дуги, находящейся между сторонами данного утла. Докажите, что если вершина угла лежит вне окружности, а угол опирается на диаметр окр\жиостм, то этот угол — острый. Докажите, что если вершина утла лежит В1гутри окружности, а угол опирается на диамеч’р окружности, то этот угол — туттой или развёрнутый Диагонали чс*^гырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны, /АСВ - 10", /BDC- 70". Найдите углы данного четырёхугольника. S 2. Подобие треугольников 830. 831. 829. Две параллельные прямые пересекаюч одну из сторон угла с вершиной М в точках Л и С, а другую — соответственно в точках В н D. Найдите отрезки МА н МС, если МВ BD = 2 : 3 и МА 4 МС - И см. Найдите отношение оснований трапеции, если её диагонали де.чят среднюю линию трапеции на три равные части. На медиане BD треугольника АВС отмечена ючка М так, что ВМ ; MD = 3:2. Прямая AM пересекает сторону ВС в точке Е. В ici-ком отношении чочка Е делит сторону ВС, считая от вершины В} 832. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает диаго наль BD и сч'орону ВС в гочках Е и Fcoo i ветственпо, BE; ED = 2:7. Найдите отношение BF: ЕС. 833- Медианы AD и ВМ треугольника АВС пересекаются в точке О. рез точку О проведена прямая, которая пара^члельпа г гороне АС и пересекает сторону ВС в точке К. Найдите BD, DK и КС, если ВС = 18 см. 180 834- Биссектриса BD треугольника ABC делит сторону АС па отрезки AD и DC, длины которых относят<я как 3 : 5. Найдите стороны АВ и ВС, если их сумма равна 56 см. 835. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, 2 составляет - высо1ы, проведённой к основанию треугольника. Най- дите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см. 836. С'юроны треугольника равны 2,5 см, 4,5 см и 6 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если его большак! сторона равна 24 см. 837. Б треугольник АВС вписан ромб ADEFтак, что угол А у них общий, а вершина Е прина;щежит стороне fiC. Найдите сторону ромба, если АВ = а, АС = Ь, 838- Периметр параллелограмма равен 72 см, а его высоты относотся как 5 : 7. Найдите с шроны параллелограмма. 839. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Проведите прямую, равноудалённую от этих точек. Сколько решений имеет задача? 840. Прямая МВ пересекает окружность в точках А v\ В (точка А лежит между точками Л/ и В), а прямая MD — в точках С и D (точка С лежит между точками М и D), причём АВ = МС, МА = 20 см. CD = 11 см. Найдите отрезок АВ. 841. Прямая АВ касается окружности в точке В. а прямая АС пересекает окружность в точках С м D ( точка D лежит между точками А и С). Найди те отрезок CD, если АВ - 6 см, АС - 9 см. 842. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, СМ = 4 см, DM = 6 см, AM па 2 см больше ВМ. Найдите хорду АВ. 843. На одной стороне угла с вершиной в точке А отмен или точки В и С, а на другой — точки D и Е, причём АВ = 10 см, АС = 18 см, AD : АЕ =5:9. Найдите отрезок СЕ, если BD — 20 см. S 3. Решение прямоугольных треугольников 844. Mt :диана прямоутольно1о треуто;гьника, проведённая к гипотенузе, равна 10 см, а расстояние между серединой гипотен)'зы и основанием высоты треугольника, проведённой к гипотенузе, равно 6 см. Найдите периме тр данною треугольника. 845- Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведённая к основанию, на б см меньше основания. Найдите основание треугольника. 846. Из точки К, лежащей вне прямой а, проведены к эюй прямой наклонные КА и КВ, которые образуют с ней утлы 45“ и 30” соответственно. Найдите проекцию наклонной КВ на пряму ю а, ес-ж КА = 8\/б см. 181 847- Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба. 848- Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершин)^ про'1'и пол ежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см. 849. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности. 850. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит диаметр на два отрезка, один из коаорых па 27 см больше другого. Найдите диаметр окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см. Q 4. Многоугольники. Площадь многоугольника 851- Площадь параллелограмма ABCD равна S. Найдите площадь закрашенной фшуры (рис. 238). 853. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна d. 854- Найдите площадь равностор<жнего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен R. 855- Катет прямоугольного треугольника равен 6, а противолежащий ему угол равен р. Найдиче гиющадь треугольника. 856. Острый угол прямоугольного треугольника равен ос, а гипотенуза равна с. Найдите площадь треугольника. 182 857. 858. 859. 860. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 15 см, а высота — яЛ см. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен 150\ Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами её острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 90 см. Площадь равнобокой трапеции равна 36лУ2 см’-^, а острый угол — 45“ Найдите высоту трапеции, если в неё можно вписать окружность. Решите кроссворд. 1 По горизонтали: 4. Древнегреческий учёный. 6- Один из видов параллелограмма. 9. Вспомогательная теорема. 10. Угол, вершиной которого является центр окружности- 12. Отношение катета, прилежащего к острому углу прямоугольного треугольника, к его гипотенузе. 13. Отрезок, соеди- 183 пяющий две точки окружности. 16. Сумма длим сторон многоугольника. 19. Сторона прямоугольного треугольника 20- Сторона прямоугольного треугольника, квадрат которой равен сумме ква^фатов двух других его сторон 21. Автор книги «Начала». 22. Сотая доля числа. 23. Древнегреческий фи^occк}г 24. Прямая, проходящая через точгсу окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку. По вертикали: 1. Вид четырёхугольника 2. Отношение катера, противолежащего OC I рому углу прямоугольного треугольника, к прилежащему катету 3. Угол, вершина которого ;1ежит на окружности, а сгороны пересекают окружность. 5- Одна из частей окружности, на которые её разбивают две точки. 7. Величина. 8. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторон)’. 11. Многоугольники, имеющие равные алощади. 14. Одна из частей круга, на которые его разбивают два радиуса. 15. Утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства. 17. Четырёхугольник, у которого две стороны паралле. 1ьны, а две другие не параллельны 18. Одна из декартовых координат точки. 19. Прямо)тольник, у которого все стороны равны 184 Ответы и указания к упражнениям 14. 18 СМ, 12 СМ, 6 СМ. 27 см 15. 10 см, 8 см, 16 см, 30 см. 20. I) 72*, 130'", 78*", SO*"; 2) 22*, 230*, 28*. 80*. 22. 10 см. 26. Указание. Постройте тре-уюльпик по двум соседним сторонам четырёх>тольника и известному углу между ними. Третья сторона этого треугольника biuihctcb диагональю искомого четырёх)! ельника 29. Указание. Постройте треугольник АВС по двум сторонам АВ и ВС и углу В межд\ ними В треугольнике ACD извео'-ны сторона АС, нри^гежащий угол CAD {/-CAD = /BAD - /ВАС) и сумма сторон AJ) и CD. Построение треугольника по стороне, прилежащему углу и сумме двух друтих его сторон рассматривалось в курсе геометрии 7 класса. 34. 32*. 47. Прямоугольный. 53. 9 см, 14 см 57. АВ = ВС = CD - AD = = 6 см. 58. .32 см- 59. 45*, 135*. 60. 6 см, 12 см. 64. 80 см. 65. 9 см, 24 см. 66. 20 см, 24 см. 67. 6 см. 68. 48*, 132*. 71. 40 см. 72. 5 см, 9 см. 74. 25 см. 77. 3. 78. 2 : 1. 79. 72*, 108*. 82. Указание. Искомая точка является точкой пересечения высот треугольника АВС. 84. Указание. Докажите, что b/AAD — IsDKC = AMBK. 85. Указание Постройте параллелограмм, одна вершина ко торого совпадает с вершиной данного утла, две др)тие вершины лежат на сторонах угла, а точка пересечения диагоналей параллелограмма совпадает с данной точкой. 86. 24 см или 14 см. 108. 32*. 109. 16 см. 119. 6 см, 12 см. 120. 5 см, 10 см. 121. 15 см, 25 см. 122. 12 см. 124. Ука:ш~ ние. Пусть СМ — медиана прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипогеиузе АБ (рис. 239). На продолжении отрезка СМ зг точ ку М отложите отрезок MD, равный СМ. Определите вид четырёхутольника ACBD и воспользуйтесь свойг1’вами четырёхутольникоп такого вида. 127- 30*, 60°. Указание. Покажите, что в прямоугольном треугольнике АВМ гипотенуза AM в 2 раза больше катета ВМ. 128. 4,5 см. 131. 1) Указание. Задача сводится к построению прямоугольного треугольпи1са по гипотенузе и pa3Hтольных тре>тольника, в каждом из которых один катет равен стороне квадрата, а гипотенузы яв^шются данными отрезками. Докажите равенство этих треугольников. 184. Указание. Постройте равносторонний треутольник ВО^С так, чтобы точка Oj принадлежала квадрату. Покажите, что ZO^AD = ZO^DA = 15". Отсюда следует, что точки О и совпадают. 185. Указание. На продолжении отрезка CD за точку D отметьте точку Л/, так, чтобы DA/j = ВМ. Докажите, что ZEAM^ = ZEM^A. 202, 28 см. 206. МК = 4 см. Указание. Проведите среднюю линию треугольника АВС. 207. 9 см. Указание. Рассмотрите тре)тольник, для которого отрезок МК является средней линией. 210. Указание. Пусть точки М, К а F — середины отрезков АВ, AD и АС соотвегствешю. Определите, каким прямым принадлежат высоты тре}тольника MKF 211. Указание. Пусть точки Е, F и К середины отрезков АС, ВС и BD соответственно. Докажите, что треугольник EFK равнобедренный. 213. 37". 214. 8 см. 234. 16 см, 34 см. 236. 16 см. 237. 50", 60". 239. 28 см. 247. 7.2 см. 10.8 см. 249. 2Л. 250. 8 см. 20 см, 20 см, 20 см. 251. 12 см, 12 см, 12 см. 252. 60", 120" 253. 8 см. 16 см. 254. 60", 120". 255, Если острый угол трапеции равен 45". 260. 7 см. Ч/7 261. 13 см, 21 см. 264. у . 265. 72", 108". 266. 8 см. Указание Проведите через вершину С прямую, параллельную прямой BD. Пусть Я — точка пере сечения проведённой прямой с прямой AD. Рассмотрите треуголь ник АСЕ. 267. Указание. 1'очка пересечения биссектрис является верши ной прямоугольного треугольника, гипотенузой ко горого является боковая с'торона трапеции. Рассмотрите медиану этого треугольника, проведённую к гипотенузе, и докажите, что она параллельна основаниям трапеции. 268- 1) Указание. Через одну' из вершин меньшего основания с помощью циркуля и линейки проведите прямую, параллельную боковой стороне тра пеции. Задача свелась к построению треугольника по трём сторонам; 186 2) Указание. Через одну из вершин меньшего основания проведите прямую, параллельную диагонали трапеции. За,^ача свелась к построению треугольника по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне. 271. а + Ь. Укамние. 11усть О точка пересечения диагоналей параллелограмма. Проведите перпендикуляры ЛМ, ОК и СЕ к прямой, проходящей через точку В, и покажите, что ОК = ^ ^ . 275. 1) 120*; 2) 120°. 297. Ука.шние. Проведите хорду^ ВС и воспользуй гссь тем, что ZAMC — внеипшй угол треугольника ВМС. 298. Указание. Проведите хорду ВС и воспользуйтесь тем, что Z.ABC — внешний угол треугольника ВМС. 299. 10°. 300. 40°. 40°. 100°. 301. 120°. 20°. 40° 306. 56°, 56°, 68°. 308. Указание. Постройте высоты треугольника АВС из вершин Л и В. 309. Указание. Через точки касания окружностей проведите их общую касательную. Воспользовавшись ключевой задачей § 9, докажите, что рассматриваемые хорды параллельны общей каса1ельной. 310. Указание. ZMBD = = ZMBC ZCBD - Z.MBA + /.ВАС - Z.BMD. 311. Искомое ГМТ — две дуги, изображённые на рисунке 242, за исключением точек Л и В. Указание. Проведите два луча АС и ВС так, что /ВАС = /ЛВС = 90° - ^ . Пусть эти лучи пересекаются в точке С. Очевщцю, что /АСВ = а. Опишите окружность около греутольника ЛВС’. Выполнив аналогичное построение в другой полуплоскости относительно прямой ЛВ, получите треугольник ЛВС,, около которого также опишиге окружность. Дуги АСВ и ЛС,В, за исключением точек Л и В, являются искомым ГМТ. 313. Указание. Воспользуйтесь результатами задачи 311. 314. Указание. Пус гь О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCDy точка М— середина сачфоны AD (рис. 243). Тогда ОМ = Треугольник AOD можно построить (см. за- 187 дач)' 313). 316. Искомое ГМТ выделено на рис. 244 синим цветом. 317- Указание, ZDCB = ZDAB = Z1 (рис. 245). Тогда ZOCD = Z1 + Z2. ZCOD = = Z1 (- ZACO. Однако ZACO = Z2 Следовательно, ZOCD - ZCOD. 318. Указание. Пус ть отреаки А4^ и СС^ пересекаются в точке М. Вычислите угол С^МВ^, воспользовавшись результа]ами задачи 297. 319. Указание. Постройте окружность с центром в точке и радиусом, равным разности радиусов дашплх окружностей. Проведите через точку каса гель-ную к построенной окружности. 320. Указание. Пусгь О — центр нписанно!! окружности 1 реую.'1ьника АВС, в котором известны угол В и сторона АС. Докажи те. что ZAOC ~ 90" + ^ ^В. В треугольнике АОС известны сто{)Она АС, угол АОС и выси га, проведённая! из вершины О (радиус вписанной окружносги). Далее см. задачу 312. — — 321- Указание, На рисунке 240 изображен треугольник АВС, в котором извесгны сторона АС, угол в и медиана, проведённая к сзороне ВС. Проведите среднюю линию MN треугольни ка АВС. 1'огда ZNMC = ZB. Постройте ГМ1’ точек X таких, что ZNXC = ZB. 322. 9 см, 10 см, 11 см. 323- Р^-\- Р^. 324. Прямоугольный или равнобедренный. 342. 90" 343. 6 см. 347- 88". 74", . 92". 106". 348. 62". 118". 350. 196 см, 351. 6 см. 352. 60". 120". 353. Указание. Докажите, ч го угол между диагональю и большим основанием трапеции равен 60". Далее воспользуйтесь к.лк>чевой задачей § 8. 354. 6 ем. Указание. Докажите, ч го центр окружности, описанной около трапеции, является серединой большего основания 355. Указание. Опишите окружность около четырёхугольника СМ КВ 357. 30". Указание. Докажите, что около четырёхугольника АМОК можно описать окружность, и воспользуйтесь тем, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 358. 60". Указание. Обо.значив ZA'= а. выразите через а угол АОВ. 359- Указание. Докажи'ге, что около четырёхугольника АСВО можно описать окружность. 360. Указание. Докажизе, что угол СРВ не изменяет свою величину'. 361. Указание. Воспользуйтесь тем, что в прямоугольных треугольниках АРК и AMQ острые утлы APQ и AMQ раины. 362. Указание. Точки Л. С, Л J и С, лежат на окружности с диаметром АС. Воспользу йтесь тем, что серединный 11српендикуля]я хорды проходит через центр окружности. 363- Указание. Докажите, что средняя линия данной трапеции равна сум ме радиутов построенных окружностей. 366. 128". 386. 30 см. 388. 12 см. 389- 4 см. 390. 6 см. 4ГТ. 392. 20 см, 24 см. 393. 5 cv, 10 см. 395. 8 см, 12 см, 397. 6 см, 5 см, 6 см. 398. 15 см, 12 см, 21 см. 399- 15 см. 402. 45 см. 188 404. 21 см, 15 см. 405. 45 см, 18 см. 406. 30 см, 50 см 407. 7 : 0. 408. 3 : 5. 409, 9 см. 410- 50 см. 411, 3 : 5. Укалшше. Проведите через точк)' К прямую, napjci;ieJibiiyio прямой ЛМ. 412. 1) 3 : 7. Указание, Через точку М проведите прямую, параллельн)'ю прямой ВК\ 2) 2 : 3. Указание. Проведите через точку К прямую. пар;1ллел1>ну1о прямой СМ. 413. Указание. Воспользуйтесь Tt'M, что средняя линия трапеции делит диагональ пополам. 415- 2) Указание. Пусть дан yi-ол ЛВС. Проверяйте прям)ю О/С, параллельную л)^чу ВС (точка К припад.1ежит стороне ЛВ). На луче КА отметьте точку' М 1ак)ю, что МК ; КВ = 2 ; 3. 416. 3) Ука^шние. Пое троите прямо-у1'о;1Ы1ый 1реугольник BDK, у кепорого катет BD равен данной высоте, а гипотенуза ВК — данной медиане. По данному' углу и утлу BKD нанди1е угол меаду двумя медианами 'треугольника; 4) Указание. Пусть ЛВС — искомый треугольник, медианы А4р ВВ, и СС, которого пересекаются в точке М. На луче MBj отметьте точку Втак, что МВ, = В,В Треугольник MCF можно построить по трём сторонам. 417. 2) Указание. Пусть АВС — искомый треутольник, медианы А4, и СС, которого пересекаются в го^1ке М. Треугольник АМС можно построить по двум сторонам и высоте, проведённой к тре тырй стороне. 419. Указание. Пров«‘дите через точку С прямую, параллельную прямой BD. Пу( гь п|>оведёипая прямая пересекает сл’О-poiry АВ в точке В. Докажите, что ВС = ВВ, и воспользутттесь теоремой о пропорциона^1ьных отрезках. 420. а. 421. 11 см. 432. 33 м. 439. 6 см. 440. 9 см. 441, 40 см, 60 см. 442. 36 см. 443. 8 см. 444. 4,8 см. Указание. Через вершину А проведите прям\ю, параллельную BD. 445. 6 см. 12 см. 446. 36 см. 447. 1) 30% 30% 120% 2) 30% 60% 90% 463. 6 см, 30 см. 464- 10.5 см, 13,5 см. 467. 42 см. 468. 10 см, 14 см. 469. 12,5 см, 3,5 см. 471. 12 м. 475. 24 см. 476. 16 см. 477. 16 см. 478. 5 см. Указание. Проведите через точку В диаметр окружности и воспользу йтесь ключевой задачей 1 § 13. 479. 10 см. 480. 27 см. 481. 2) 36 см. 482. 10 см. 483. — - 484. 27 см, а + h 15 см. 485. 1) 20% 160% 2) 50% 130% 487. 18 см. 496. 18 см, 30 см. 497. 50 см, ah 20 см. 498. 6 см. 500. , ал h зффициентом подобия . Указание. Докажите, что АКВМ A/IBC с ко-Ь а л Ь' 501. 6 см. Указание. Докажите, что АЛВС ^ двое. 502. Указание. Д^жажите, что ЛЛ//ё7 ^ AABD по второму признаку подобия треугольников. Отсюда ZACH = ZABD. 503. Указание. Докажите, что из подобия треугольников ВМС и СМК следу'ет подобие *1рел10льииков ЛВМ и КЛМ. 505. Указание. Пусть окру’жности nepircexa-ются п точках В и В. Для двух пар хорд АВ и ВВ. CD и EF примените ключевую .зада^гу 1 § 13. 506. 9 см, 14 см. 508. 10 см. 514. 15 см, 20 см. 515. 30 см, 24 см. 516. 2%/5см, 4n/5cm. 517. 14,5 см. 518. 62 см. 519, 12.5 см. 189 520. 12,8 см. 521. 2,5 см. 522. 196 см. Ука:шние. Докажите, что концы боковой стороны трапеции и центр вписанной окружности являютс51 вершинами прямоугольного треугольника. 523, 18 см. 525. 7 см, 14 см. 526. 14 см. 527. 74°, 74°. 74°, 138°. 542. 13 см. 543. 10 см. 544. 545. - 546. —. 2 547. . 548. а) \/б см; б) •Jb см; в) см 549. а) л/2 см; 6) 1 см. V2 550. 4л/5 см. 551. 4>Я0 СМ. 552. 4^/^3 СМ. 553. 4 75 СМ 554. 10 см, 10 см, 12 см. 555- 40 см, 25 см, 25 см. 556. 20 см. 557. 20 см. 558. 24 см. 559. 1,5 см, 22,5 см. 560. 8 см. 6 см. 10 см. 561. 6 см. 2n/73 см 562. 168 см. 563, 200 см 564. 20 Л01СТСЙ. 565. 8ч/Й) см Указание. Докажите, что боковая сторона трапеции равна её большему основанию. 566. 12\^ см. 567. 2у/б5 см. 568. nS см. 569, 128 см. Указание. Воспользуйтесь свойством биссектрисы угла треугольника и найдите отношение боковой стороны к половине основанхтя. 570. 162 см. 571. 54 см. 572. 8чЯ0 см. 573. 10 см, 2у[52 см, 2%/W см. 574. 26 см. 575. 3- cj)yia. 595. 45°, 135°. 598. 1) I; 2} 0. 599. 0,28; 7 1 0,96; —. 600. — . Указание. Из подобия треугольников АМС и BDC слсд\-24 6 АС ЛМ 1 6 W КС ет, что = — . 601. —. Указание Воспо льзуйтесь тем, что = ВС BD 3 7 АС ВТ) = . 602. Указание. Из точки F опустите перпендикуляр на отрезок ED. Найдите тангенсы углов Е и В. 603. 3 см. 604. 12 см. 605. 14 см 621. 2ау a^/3.622. а, ах/з. 625. 8 см. 626. 16 см. 627. 15 см 628. 4^^2 см. 629. — соь р 630. 633. h h sin а ' cos a 2r 2r sin a ’ . a sin- 631- а ф, — , а sin ф. 632. —~ cos^ ^ о Cf ^ 2 cos — 2г . 634. о. 2 635 . . 636. 2ч^3 см х/93 см. х/Г81 см. 638. ZA = 86°, ZB = 111°, ZC = 94°, ZD = 69°. n(w - 3) 639. 18 см, 21 см. 654. 3) . 655. 12 сторон. 1800“. 658. 150\ 60”, 150“. 659. Пял иугольник. 660, Указание. Пусть ABCDEF~ шести)тольник, каждый угол которого равен 120°. Если пронести секущую MN (рис. 247), то сумма углов пятиугольника ABMNF 6yjitr равной 540“. Рис. 247 Kf! ^ /> > 4-4 In * 190 Тогда сумма углов BMNw FNM равна 180“. 662. 80 см. 663. (26 + 10>Яз) СМ. 664. bS см. 674- 0,000126 Н. 675. 12 000 Н. 676. sin а cos а. 677. 7bS см'^. 686. Б 2 раза. 687. Ни одного, или два, или три. 688. Ни одного или два. 689. 504 см'^. 690. 30 см. 691. Укситние. Постройте прямоугольный треугольник, катеты которого равны сторонам данных квадратов. 692. Указание. Сторона искомого квадрата х = 4оЬ . 694. 24 см. 695. 2 см. 704. 1) Дна решения: 4 см и 9 см; 2) одно решение: 8 см. 705. 300 см^. 706. 120 см"'. 707. 108>/Зсм2. 708. аЬ sin а. 709. 64^/Зcм2. 710. 140ч/2 см2. 711. 37,5 см2. 712. . 714. 72 см2. 715, 350 ^мЗ. 719. 1 : 7. 732. ^ см2. 733. 1 \S см2. 734, 270 см2. 735_ „ cr>.s а. 736. (g ^ 737. 9^. 733. ^. 190 2 4 4 739. ^см. 740. 96 см2. 743^^ jQg 742. 76g см-. 744. 52 см. 745. 336 см^. 746. 1080 см^. 757. Указание, Учтите, что треугольники ЛВХ и ЛХМ имеют общую высоту. Это же свойсгво имеют и тртугольники СВХ и СХМ. 758. 120 см"". 759. 20 см. б7Го см, 2ч/Т0 см. 760. 1176 СМ-. 761. 9,6 см^. 762. см^. Ука^шние, Воспользовавшись свойством биссектрисы тре* угольника, найдите отношение боковой стороны и половины основания треугольника. 763. см^. 764. 19 см*^. Указание, Воспользуйтесь резуль- татами задач 750 и 757. 765. Указание. Проведите прямые ЛМ, ВМ w СМ и воспольз)Т^тесь результатами задачи 757. 766. Указание. Проведите медиану AM, Пусть TV — такая точка на стороне jBC, что AN II DM. Докажите, что прямая DN — искомая. 768. 78“, 78“, 24“. 769. 2л/^ см. 770. 80 см. 782. 108 ^/3 см^. 783. 195 см^. 784. 840 см^. 785. 132 см^. 786. бОО/З см^. 787. 1640 см2. 788. (32 + 32n/2 ) см2. 789. 294 см2. 793, 512 см2. 794 192 см2. 795. 336 см^. Указание. В данной трапеции ABCD {ВС II AD) через вершину С проведизе прямую CF, параллельную BD (точка F принадлежит AD), и рассмотрите треугольник ACF. 796. Зa2^/з . Указание. Докажите, что угол при большем основании трапеции равен б0“. 797. 156 см*^. Указание. Пуст1. О — центр окружности, вписанной в трапецию ABCD {ВС II AD). Докажите, что треугольник АОВ является прямоугольным, и найдите его высотуч проведённую из вершины О. 798. 588 см‘^. 799. 2187 см-. Указание. Докажите, что диагональ данной трапеции является биссектрисой угла при основании. Далее воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника. 800- 936 см^. 801. ^ . Указание. Проведите среднюю линию M/V трапеции. 5 191 Докажите, что высоты треугольников MCN и MND, проведённые из вef^ шин С и D, равны половине высоты трапеции. 802. 15 см, 10 см. 803. 60", 120" 804. S8 см. 806. 64 см или 74 см. 807. 10 см, 18 см. 808. 60". 809. а~ Ь. 811. 1) Нет; 2) да; S) нет; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) да. Указание, Докажите, что точкой пересечения диагонали делятся пополам. 812, 1) Да; 2) да; 3) нет. 813. 30", 150". 814. 40", 70", 70". 815.45". 816. 18 см 818. 56 см. 821. 16ч/з СМ. 823. CD 824. 70". 110". 825. .30". 828. 80". 100", 150", 30". 829. 4 см, 10 см. 830. 1 : % 831. 3 . 4. 832. 2 ; 5. 833. 9 см, 3 см. 6 см. 834. 21 см, 35 см. ah 835. 28 см, 28 см, 16 см. 837. 0^ Ь 838. 21 см 15 см 840. 25 см, 841. 5 см. 842. 10 см. 843. 36 см. 844. (l2%/5+20) см. 845. 18 см 846. 24 см 847. 4V29CM, 10СМ. 848. ^ см. 849. 2>/Ш СМ. 850. 45 см. 851. а^ ; 18 _ 2. 1 .2 б) — . 852. 256 CM‘f 853. - S. 854. 855. . 856. ^ sin а cos а. •^8 2 4 2 ig Р 857. 72л/3 СМ-. 858. 24 300 см~. 859. 6 см. 192 Ответы к заданиям в тестовой Форме «Проверьте себя» Номер задания 1 2 3 4 5 1 6 1 7 8 9 10 1 Б Г А А В В Г А В В 2 Б В В В Б В Г Б Г А 3 В Б В Б Г В Б В г Б 4 Б В А Г А г Г Б г В 13 — 748 193 Сведения из курса геометрии 7 класса Простейшие геометрические Фигуры и их свойства 1. Точки и прямые Основное свойство прямой. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. |/ Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися. |/ Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку. 2. Отрезок и его длина ✓ Точки А мВ прямой а (рис. 248) ограничивают часть прямой, которую вместе с точками А 1л В называют отрезком, а точки Л и J5 — концами этого от^ резка. ✓ Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением. ^ Равные отрезки имеют равные длины, и наоборот, если длины отрезков равны, то равны и сами отрезки. ✓ Основное свойство длины отрезка. Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков АС и СВ, т. е. АВ = АС СВ. ^ Расстоянием между точками Л и В называют длину отрезка АВ. 3. Луч. Угол ^ Точка О прямой АВ (рис. 249) разбивает прямую на дне части, каждую из которых вместе с точкой О называют лучом или пол)'прямой. Точку О называют началом луча. ✓ Два луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой, называю! дополнительными. 194 |/ Два луча ОА и ОВ, имеющие общее начало (рис. 250), разбивают плоскость на две части, каждую из которых вместе с лучами ОА и ОВ называют углом. Лучи ОА и ОВ называют сторонами угла, а точку о — вершиной угла. v' Угол, сторонами которого являются дополнительные лучи, называют развёрнутым. Два угла называют равными, если их можно совместить наложением. •/ Биссектрисой угла называю! луч с началом в его вершине, делящий этот угол па два равных угла. 4. Измерение углов Каждый угол имеет определённую величину (градусную меру). •/ Угол, градусная мера которого меньше 90“, называют острым. Угол, градусная мера которого равна 90“, называют прямым. Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым. •/ Равные углы имеют равные величины, и наоборот, если величины углов равны, то равны и сами углы. %/ Основное свойство величины угла. Если луч ОС делит угол АОВ на два угла АОС и СОВ (рис. 251), то Z АОВ = = ZAOC+ ZCOB. Рис. 251 1 > О В 5. Смежные и вертикальные углы |/ Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. ✓ Сумма смежных углов равна 180°. Два угла, отличных от развёрнутого, называют вертикальными, если стороны одного углг являются допол1£ительными лучами сторон другого. Вертикальные углы равны. 195 6. Перпендикулярные прямые. Серединный перпендикуляр |/ Две прямые называют перпендикулярными, если при их пересечении образовался прямой угол. Неперпеидикулярные прямые при пересечении образуют пару равных острых углов и пару равных тупых углов. Величину острого у1ла называют утлом между неперпендикулярными прямыми. ^ Если прямые перпендикулярны, то считают, что угол между ними равен 90*". ✓ Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Рис. 252 л а В •/ На рисунке 252 изображены прямая а и перпендикулярный ей отрезок АВ, конец В которого принадлежит прямой а. В таком случае говорят, что из точки Л на прямую а опущен перпендикуляр АВ. Точку В называют основанием перпендикуляра АВ. ^ Длину перпендикуляра АВ называют расстоянием от точки А до прямой а. Если точка А принадлежит прямой а, то считают, что расстояние от точки А до прямой а равно нулю. |/ Опустим из точки А на прямую а перпендикуляр АВ (рис. 253). Пусть X — произвольная точка прямой а, отличная от точки В. Отрезок АХ называют наклонной, проведённой из точки А к прямой а. %/ Через данную точку проходит только одна прямая, перпендикулярная данной. •/ Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка. ^ Каждая точка серединного перпендику;1яра отрезка равноудалена от концов этого отрезка. %/ Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка. 196 Треугольники 7. Треугольник и его элементы. Равные треугольники ✓ Три точки Ау в v[ Су не лежащие па одной прямой, соединены офезками (рис. 254). Образовавшаяся фигууза ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, By С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника. Треугольник называют и обозначают по его вершинам. |/ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы Aw С — углами, прилежащими к стороне АС. %/ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон %/ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой. Треу1*ольпик называют тупоугольным, если один из его углов тупой. «/ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами. •/ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. ✓ Два треугольника называю! равными, если их можно совместить наложением. •/Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. |/ li треушльнике против равных сторон лежат равные углы. •/ В треугольнике против равных углов лежал- равные стороны. •/ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит б6;1ыиая сторона. 197 8. Высота, медиана, биссектриса треугольника •/ Перпендикуляр, опущенный вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника. %/ Отрезок, соединяюи(ий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника. ^ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника. 9. Признаки равенства треугольников ^ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. ✓ Третий пршнак равенства треугольников: по трём сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 10. Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник ^ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным. */ Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника. Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон. ^ В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссеюгриса угла при вершине является медианой и высотой. 198 |/ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. ✓ В равностороннем треугольнике: 1) все углы равны; 2) биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают. 11. Признаки равнобедренного треугольника •/ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный. 1/ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника 12. Параллельные прямые %/ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются. Если прямые а и Ь параллельны, то пишут а ^ Ь (читаю!: «прямые а и Ь параллельны» или ^ прямая а параллельна прямой 6») %/ Основное свойство паршшелъных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, npoxiy дит только одна прямая, параллельная данной. •/ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. ✓ Если две прямые параллельны треты.;й прямой, то они параллельны. ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой. 13. Признаки параллельности двух прямых Если две прямые а и Ь пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 255). Прямую с называют секущей прямых а и Ь. Углы 3 и 6. 4 и 5 называют односторонними. Углы 3 и 5. 4 и 6 называют накрест лежащими. Углы 6и2, 5и1.3и7, 4и8 называют соответственными. 199 »/ Если накрест лежащие углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны. %/ Если сумма односторонних углов, образовавшихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180“, то прямые параллельны. •/ Если соогветственные углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны. 14. Свойства параллельных прямых %/ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то; 1) углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны; 2) углы, образующие пару соответственных углов, равны; 3) сумма углов, обра.зующих пару односторонних углов, равна 180". •/ Если прямая перпендик)лярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 15. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника %/ Сумма углов треугольника равна 180''. %/ Среди углов греугольника по крайней мере два }тла острые. ^ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника. •/ Внешний угол тре>тольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. %/ Внешний угол треугольника больше каждого из углов греугольника, не смежных с ним. 16. Признаки равенства прямоугольных треугольников ^ Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного upaMoyro^ibFioro треугольника соо гвегственно равны гипотен\зе и катспу другого, то такие л реутолышки равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам. Если катеты одного прямоугольнот треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. 200 ✓ Ири^так powu\:rn(Ui прям<ругмьных mjKyzOAbHUKoe по катету и прилежащему iX'mpOMy yz.ty Если l aiw и лри и^жасции ы нему острый yvxui ОЛИОП1 11|>ям<»утч>лшого трсутольиика сеютветегеенно рам1Ы катету и npitiOKamet^f)* к нему острому углу npyitn^o* ю такие 'ipeyfCVibHiiiat равны. ✓ Лри:^иак раоспсушш тгрямоу/о-уьиых тун^гоАьЮ4Коп по Kometny и пропшемежг2щему <Н'трому углу Если катет и противолсжащ>ш ему ост]>Г||и yuui одного прямо)то^мюго тре>тил14пска сскл нетггвеи* но [»авиы катету' и протидолежаи|ему ему ост)к»му )тду другого* то тя* кое 7реу1Ч>ды(ик1| )>авнм. ✓ Пршыак равенства пряиоу/а^ьиых треу/о.шшков по /ипотену te и 4мтрому углу, Если 1ттоп:1гуза и острый утог (uuii>cx> прямо* утолыюго *грс)тхАЛЫ1И1са cckitbctctbchho равны гип<яен)'зе и си*тр4)му )тлу друтош, то такие треутолышки равны 17. Смйстм пр<|тоуголвного трвуголвника ✓ В прямоугольном треугольнике гип01еиуза 6<; iMiie к«ггггд. ✓ KaiCT. лежаишм против ут^а в р>авсн nevtoemte птотснуш. ✓ Если катгг |ывеп гн>л<1вние nmoTeifyou, то угол, лежащий npemto ^го* го катета, равен 30* ОКВУЖНббТЫиШХГ 18. ГВСМЯТРМЧФСМО# IMCTO ТОНЯМ ✓ Геометрическим мепом точек (I М Г) нллымют миожеспю всех то* чек. об.п«иак>ишх с»пределсикым свойствам. ✓ Серединный псрпеид|гку*лкр 01*резка является геометрическим мс* стом точек, равпоу'даденных от концов этого отрг.тка ✓ Ьиссекгриса угла является |еомстрнчегким местом точек, которые 11р1Шад.1ежа1* углу и равноудалены от его сторон 18* Омружиость N мрут ш NX здеменгы ✓ Окружиемт ью iiaauBatut геомет^жчсскос место точек, paBHoypa'ieir них от знла>1НОй точ»о« Эту точку* iiaiui^iar iieirrposi окружмост. ✓ Любо11 треэс^к. с<чглиш1к>1дий точку* окружиос*п< с сс цсшуюм. назы* uaio'i радиксом окружностм. Ml ✓ Отрезок. cocAifiuoou(Mii дпс Touiai окружш>схи, iu:uiiiuiot xopAuii окружности. Хорду, 11|>оходяшую чере^ ueinp ркружиоаи. пжшпаил* диаметром. ✓ Дшметр окр)Ж14«м.ти 8 два |ша болыис сс (м*1И>'са. ✓ К|>}том называют 1чч)мет7>иче1ю>с место точек, рагггояннс от которых до аадажюй toHKit нс больше данного noлoжJпcлыloro числа. За* /^1иую тичк>* па:иаиают tteitT|>OM oKpyxoKiciii. л дшнос число |>ади)^ сом кр)та Если X про1аволь}(ая точка кр)та ралн)*са R с ucmTXJM О ToOXSR Окр)'Ж)и>сгк ограничивающая кр)т. ему прииаД'1сж»гг. ✓ Хс^>да II диаметр крута это хорда и Д1гаметр ок}|ужности. ограни чи-оаюшей К|>уг 20* Сеобстжа оиружмете ✓ Диаметр ок|^Ж1СОСП1. перпендикулярный хордс% делит эту хорд>* по- 11<М1ЛМ. ✓ Диаметр окружнос'ги. кторый делит хорлу. отличную от диамег|>а. пополам, перпенднхулярсп зюй хорде. 21* BasHBtHO# рвеположемм прямом м омружиосп. Квевтольнам м омружиостм ✓ Прямая и окружиосл* могут нс иметь общих 1т>чек. или нм<пь дне об* ЩИС точки. ILUI miCTb одну обш>то ючку. ✓ Прямую, имсюи^'ю € окружностью только оди) об|цчю точк)*. наэыва* ют касательной к 0кру'жи<1сти. ✓ Касателмим к окружности 11ерпснднк)лярна радиусу, пропед^нному в точку касания. ✓ Если прямая. нрох<»дящая через точку окружности, иернеиликулярил радиуху*. проведённому в зт>^ точку, ю эта прямая является касательной к данн<»й окружности, ✓ Если расоояние пт uein|>a окружноои до иекссгорой прямой равш» радиусу окружности, то эта прямая я|Ц1яется касательной к данной окружности ✓ Если через данную точку к окружное ш иронслены две касательные, то отрезки касательных, соелиняшщ|1С данную точку* с точками касания. равны. 202 22« Ошслнттт п шп$»слмнап о«рушностм тр^угмьимма ✓ OKjyfMioCfb na'ibiBaim описанной около треуголм1И151, если ою iipuxcvutT черед &СС вершины эт01х> треу'гачьника. На fHi<>*HKe 256 113ображена ok|)>9KH0Ctk» описапмаА около трсупхчышка. В этом ст'чае также юж)рят* что треугольник Mfiiicaii н oKp)^nocTb. ✓ Цс1пр описанной окружности *q>cyrtxQb' Ш1ка ралиоуда.чен oi' всех его вершин ✓ Около лкАич» тре>1<01Ы1ика можно onif сап» окр>'ж1к>с1ь. 1Дс1ггр сжружиости. oJmcamio»» окаю трсуголыт* ка. - точка пересеченик серелиншух перпендикуляров его cropt»»* ✓ Cepcaiiiufbie перпс)1Д11К)Ляры сторон 7реутх»лышка пересекаются в од* HOi'i точке. ✓ Окружность называк>т вткаинои в тре« уголышк, если oiki касается всех сп> сто рои 1(а p»fc>TfKe 257 1с«|б(Х1жепа ок(4ужность, ытисанная в треутолышк. В этом случае также it>Bopirr. что греуттольник описан OK40IO окружности. ✓ Центр вписанной окружности трсугодь' К41ка (>авн(7у*да,те11 от всех ес сп>рои ✓ В любой треугольтж можш1 вписать окружность. Цешр окруж1ичти, вт«сан)1ой в треугольник, эт4> точка ие{>сссчеиия его биссектрис. ✓ Биссектрисы тре>^голЫ1икл псргсскаются в одной точке. ✓ Радиуе окружности. вт1саннЫ( в прммо)толм1ыйтреугилы1ик. вьтис 1ЯГГСЛ по формуле г • • где г • pauufyc ц|1ис«шиой окружности, а lib ■ д’^ины катетов, с длина гипите1суаы. аоа Bi^KODNt ciopoitu тралсции 43 ВсрШННМ МЛОГОуТОЛЫ1И1С1 137 — соседнтт 137 — чсты|)схугольиика О — - И(хп>(оолсжаии1е 6 Нмсога парХ1лелг>1*]>нмм;1 Н — трапеции 43 Град>С(1М мера душ окружносш 52 Aitaroicttb многоугольника IS8 — чсты{м*Х)толы1ика 6 Луга окр)*ж)1ости 52 Неадрат 36 Косинус осгр<нп угла нрямоутолъ кого т}>сутольн11ка 121 Котангенс, утла 122 Коэффициент подоб1Ш М указатель П4рал.1СЛограмм 13 Периметр мношутлышка 138 чс1Ъ1рсху1ххпыгика б Плоишь MHorgyixuibHHKa 142 • ква,»1рз*га 143 — пара-тлелограмма I4U П|ШМоуп>льнн1а 144 — прямоугольного трсупктьни-ка 154 — цьчиоиии 159, 160 — трс)тх1лышка 15S ПолоОиме тре>1Г>лы1ики 81 Пехч) окружность 53 Проекция катет Ml Признаки параллелограмма 21, 22 • полобия треугольников 8У. 1(Н1. 101 — ромба S3, 34 прямоугольника 30 Прямоугольник 29 Лемма о подобюдх треугольниках 65 Ромб S3 Метрические соотиошения в пря* моутолын>м ipeyrouibNHKC 111 Многиутольиик 137 — аылуктый 138 М|1ого)тильиню1 равновеликие 145 Окр)Ж1юс1*ь. вписанная а много-утолкиик 139 — — в чепарску14»лы1ик 62 * описанная иксию м)к>1*о)тс1ЛЫ1ика 13!) — — - четырехугольника 61 Основания трапецин 43 Осношюе тригонометрическое тпж дсстьо 123 Отношение двух отукгэков 75 Сяойсгаа кзиирата 36 - пар4.1лелограмма 13. И - прямоутсхпьника 29 - ромба S3 утлое, ьшканных в окружность 53 Саойспю биссектрисы треутоль ника 7К - лиагошетей napaxTc.iorpOKtMa 14 лрямоугтальж1ка 29 ромба 33 - срслисн лин1Ш трапеции 44 - - • трсутильиика 40 Синус острою угла лрямоутлык^ го трсутеишиика 120 Средняя линия 'qianruHH 44 треугольника 39 204 Стороны много)та1ьника 1Я7 — соот»етстпсиныс 84 — сог^лпнс 137 “ чсггырсхутольника 6 — - прошва1сжащис б - соседние б С^^мма >тло11 выл^*кло1п п-угодьни кл 138 Тя1ИЧ!1К острого угла прямоуго.1ь* моги трсуголыгика 1S21 Тсо]>ема о nponopiuioiutibiihtx or резках 75 — Пиф;нч>ра t И <1>алсса 74 Трапеция 43 - нрямо>тольиая 44 - рапно^кая 44 Угол. т1исапигай п ок(|ужноС1*ь 53 - многоутолышка !37 - цс1гт)1а.«М1мй 52 чстырсхуголы1ика б Углы при основании транс кии 43 Условие лостаточиос 28 - нг«|бх1>л1!М1ч; 28 Чстыреху1‘Олы1ик б - мсвыиуклый 7 - выпуклый б Оглавление От авторов.......... Глам 1. Четырёхугольники § I '1етырёхугояьник и его акементы....... Паряллслограмм Свонггва иираллс-лограмма npitaituKit лд|>а.'1лсж>1}ки>(Ш Необходимо и достаточио Прямоутильник Ромб.......................... KtuvipaT...................... Средняя линия трс>толы<ика § 8. Трапеция.............. . § д. Цстра.чм1ыс н пшканмые углы . .............. Описанная и вшканиая ок|>ужн(КТИ четмрёхутолькика Задание М 1 в тестпооои ферме *П/ювер>>те себя* Hmo4ti главы 1 .............. §2 §3. И. §5- §е. §7. § Ш. 5 18 21 27 29 S3 36 39 43 52 Г>1 09 70 Глаеа 2. Подобие треугольников § II- Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отре-тках §12. Подобные Треугольники .......................... § 13. Первый признак под«Лия т^жуголышков........ Теорема Менелая............... Теорема Птолемея ............. § 14. Второй II трсгтпЧ при.лнаки подобия трс>1'олышкон Прямая Эйлера ............. Задание Лг 2 а mei moeou <}юрме *IIpoeept>me себя Итоги г.90вы 2................................ 74 83 89 96 99 100 105 108 109 Глава 3. Решение прямоугольных треугольникое § 15. М«'гричггмн' соотношения в прямоугольном треутолышке § 16. Теорема Пифагора . ...... § 17. Трнюнометрические функции острого угла нрямоуголысого треутояышка ......... § 18 Решение нрямоуго.чысых трсуто.тьннко» ............ Задгашг Ле ^ в тестовой форме */Пюверьте себя* ... Итоги главы 3....................... • • 111 114 120 127 134 1.ЧГ) 20« Главе 4. Миогоугольмммм. Площадь миогоугольинма § 19. М|ЮГ(1)талышк>г........................................... 137 § 20. Понятие Ш10щдд>1 мнагаутолы1ИК«1. Площадь прямо>толы1нка.................................... 142 § 21. Площадь параллед<и*рамма . . ........ 148 § 22- Площадь трс>го.1Ы1ика.......... 152 § 23. П.101цадь Tpanctuui....................................... 158 Ро4мос<}стспленные и раенопелите многор/олышхи . .. 162 Чееы ... ... 163 Задние М' 4 в тестоеои форме *^fIpoeef)bme себй^ .... 166 Ито/и главы 4 167 Др)*жим с компьютером .. . . .......................169 Проектная работа 174 Уиражмеимм для иоаторения курса геометрии 8 класса . 178 Опита и уьл:ш1ъ*м к утгражиенням 185 Ответы к задаиням а тестовой форме Ч1ромрьте себя- 193 Сведения из курса г*еометрин 7 кдэгсв .... 194 Алфавятно^едметный указатель......................204 Учгбтх tLfOmur Мерэдяк Аркадий Г^й\п>ръ^\пн Полонским Вигдчии Гм>|>жопим Якнр Mnxaiu Ссмсноы(Ч Геометрия вктс Учебник мц учащихс ш обецсобраэ4)язтег1Ы1ЫХ учровдсиий К R Хуложсоогнки!! рСАЛГТОр £ О Макст. янеи1нгг оф«*рм.усиие £ fi. Чсим> |*мс)’кки И. К. Влхьнши>и. И В. ПФ*лолпй Компькпсрмля шкрс^шл ОТ. О в Ло/towo 1*ехкичс< М1Й ре;Ш i <’р £ *1 У/>ггочл^ Коррскг^и (} Ч ЛУ|\о7/отжш« Ю.С. Борис4*нкл Подписано п ik'mik 10.01.13^ Формй! 7nv00/J5 rapmiTqia NrvrHo>kerMllfC Псчд'ПкСчрссхили Bywsao^r 1 ilr^i м. 13«0 ТИрм 3(Mi0 экх ^Kxi 74Ь ООО llAAP'ir/iUMifi центр «Всеггаю Грофн 12742^. Мпоевд. у.^Тиш1рнж*м1аш.д I.iTp 9 Tca./itw»Ki: И»>Г||ИГг74.МЬ21-56 к tnail' inlo^ vgf ш hllp' /VVww vgriu Oriiei^tiaHo щ ruviiiOM «упосту'пнт г кйчгггпом предосгакленио! и «рнипш-шьста н ОАО 'И wtT лккг> т>дигрйфмч1ч кот npr.n^wiiriHt Л раад4 Северл** 16.4(Ю2. г. ApxAKie.^uK, if|»H li НовТореа<кип. 32 £ пы||: такаг^Ор))р^ ги. hrip./^«n«>t.ipppA.?u Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике ь/ / ^ • вД. г Теорема Пифагора ь V г» А- + <7 Площади многоугольников Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника с • л Ь %кпа = •: snip = h оЧ Ь о в tosd * •*; cusp = -t * ft ciKa*J;ctjjp Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30*, 45* и 60* a - W u = 45' a 3 60* sma 1 4^5 5 2 у cosa v'S ] X Q Igu s/5 1 S.'s oga 1 /s