Учебник Геометрия 8 класс Ершова Голобородько

А. П. €ршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. €ршов Геометр1я 8 • загальноосв1тня програма • допроф1льна п1дготовка • поглиблене вивчення 0^ANOK A. П. Сршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. Сршов Геометр1я 8 о со Пщручник для загальноосв1тн1х навчальних заклад1в Рекомендовано MiHicrepcTBOM осв1ти i науки, молод! та спорту УкраТни 4-те видання • загальноосвиня програма • допроф1льна п1дготовка • поглиблене вивчення Харк1в ВИДАВНИЦТВО РАНОК УДК 371.388:514.11 ББК 22.151.0+я72 680 Подручник виданий за рахунок коштiв видавництва. Продаж дозволено Рекомендовано М1н1стерством осв1ти i науки Украхни (наказ Мiнiстерства освiти i науки Украхни вiд 19.03.2008 р. № 205) Рецензенти: G. П. Нелiн, канд. пед. наук, зав. кафедри тестових технологiй та монiторингу якостi освiти Харкiвського нацiонального педагогiчного унiверситету iM. Г. С. Сковороди; О. М. Роганiн, учитель математики вищо! категорil Пiсочинського колегiуму Харкiвськоl райради Харкiвськоl областi, учитель-методист; I. С. Маркова, учитель математики вищо! категорil гiмназil № 46 iм. М. В. Ломоносова м. Харкова, учитель-методист; головний редактор науково-методичного журналу «Математика в школах Украхни» Видано за лiцензieю ТОВ Видавництво «Ранок» Сршова А. П. 680 Геометрiя. 8 клас: Пiдруч. для загальноосвiт. навч. закл. / А. П. бршова, В. В. Го-лобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. 6ршов. — 4-те вид. — Х.: Веста, 2011. — 256 с.; iл. ISBN 978-966-08-3575-7 Пiдручник мiстить обов’язковий обсяг навчального матерiалу, необхiднi теоретичнi вiдомостi й поняття, велику кiлькiсть задач, якi полегшують роботу вчителiв та учнiв. Наприкiнцi кожного роздiлу пiдбиваються пiдсумки, якi надано у виглядi зручних таблиць. Для закрiплення теоретичного матерiалу запропоновано низку практичних завдань — вiд простих до бiльш складних. Пiдручник розрахований на учнiв 8 класiв, учителiв та методистiв. УДК 371.388:514.11 ББК 22.151.0+я72 Навчальне видання бРШОВА Алла Hempieua ГОЛОБОРОДЬКО Вадим Володимирович КРИЖАНОВСЬКИЙ Олександр Фeлiксович СРШОВ Сepгiй Володимирович ГЕОМЕТР1Я. 8 клас Подручник для загальноосвiтнiх навчальних закладiв 4-те видання Код Т3273У. Редактор Г. Ю. Вепргк. Технiчний редактор С. Я. Захарченко. Коректор Н. В. Красна Пiдписано до друку 16.06.2011. Формат 70 х90/16. Папiр офсетний. Гарнiтура Шкiльна. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 18,72. Обл.-вид. арк. 21,53. ТОВ «Веста». Свiдоцтво ДК № 3323 вiд 26.11.2008. 61064 Харкiв, вул. Бакунiна, 8а. Для листiв: 61045 Харкiв, а/с 3355. E-mail: [email protected] Тел. (057) 719-48-65, тел./факс (057) 719-58-67. З питань реалiзацil: (057) 712-91-44, 712-90-87. E-mail: [email protected] «Книга поштою»: (057) 717-74-55, (067) 546-53-73. E-mail: [email protected] www.ranok.com.ua ISBN 978-966-08-3575-7 © © © А. П. бршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. бршов, 2008 А. П. бршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. бршов, випр., 2009 Н. В. Алимова, iл., 2008 ТОВ Видавництво «Ранок», 2011 © ДОРОГИЕ ДРУЗЬЯ! В мире геометрии вы уже не ощущаете себя чужими: в седьмом классе вы познакомились со многими выдающимися событиями в истории ее развития, начали осваивать ее язык и овладевать ее законами. Но геометрию неспроста считают удивительной — вечно нова и непредсказуема, она открывает свои бесценные сокровища лишь тому, кто проникся ее духом и стремится не останавливаться на достигнутом. В школьном курсе геометрии можно условно выделить несколько направлений. На начальном этапе преобладает «геометрия доказательств» — вы впервые встретились с понятием доказательства, овладели его методами и логикой, научились получать из одних утверждений другие, обосновывать свои выводы. Последняя часть прошлогоднего курса была посвящена «геометрии построений» — это направление объединяет элементы доказательства и правила построения простейших фигур с помощью циркуля и линейки. В течение этого учебного года основное место будет отведено «геометрии вычислений». Многие теоремы, которые вы будете изучать, содержат формулы, позволяющие получать новые числовые характеристики геометрических фигур. Важнейшей из этих теорем является знаменитая теорема Пифагора, встреча с которой ждет вас именно в восьмом классе. Однако изучение геометрии не сводится к одним вычислениям. С помощью этого учебника вы исследуете новые геометрические фигуры, углубите свои знания в области логики, приобретете опыт решения задач оригинальными методами, узнаете о жизни и достижениях выдающихся ученых прошлого. Надеемся, что каждый шаг на пути познания прибавит вам уверенности в собственных силах и приблизит к новым горизонтам науки. 3 Как пользоваться учебником В учебнике четыре главы, каждая из которых состоит из параграфов, а параграфы — из пунктов. В тексте содержится как теоретический материал, так и примеры решения задач. Важнейшие понятия и факты выделены полужирным шрифтом. Упражнения и задачи, представленные в учебнике, делятся на несколько групп. Устные упражнения помогут вам понять, насколько успешно вы усвоили теоретический материал. Эти упражнения не обязательно выполнять «в уме» — для их решения вы можете использовать чертежи, провести необходимые рассуждения в черновике. После устных можно переходить к графическим упражнениям, которые выполняются в тетради или на компьютере. Дальше идут письменные упражнения. Сначала проверьте свои знания, выполняя задачи уровня А. Более сложными являются задачи уровня Б. И наконец, если вы хорошо усвоили материал и хотите проявить свои творческие способности, вас ждут задачи уровня В. Стрелочки рядом с номерами упражнений означают, что эти упражнения предназначены для выполнения дома. После каждого параграфа в рубрике «Повторение» указано, какие именно понятия и факты следует вспомнить для успешного изучения следующего материала (рядом, в частности, указаны соответствующие параграфы в учебнике: Ершова А. П. Геометрия. 7 класс: Проб. учеб. / А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижанов-ский.— Харьков: Веста: Издательство «Ранок».— 2007.— 224 с.: ил.), а также приводятся соответствующие задачи для повторения, которые подготовят вас к восприятию новой темы. В конце каждой главы даны задачи для подготовки к контрольным работам и контрольные вопросы, которые помогут вам лучше подготовиться к тематическому оцениванию. Дополнительные задачи к главам откроют вам новые грани геометрии, помогут обобщить изученный материал и ощутить красоту нестандартного мышления. Итоговые обзоры в конце каждой главы служат своеобразным геометрическим компасом и помогут ориентироваться в изученном материале. Приложения, приведенные в конце учебника, углубят ваши знания по отдельным изученным темам, а исторические справки к главам познакомят с некоторыми интересными фактами из истории развития геометрии и с деятельностью выдающихся ученых-геометров. В конце учебника также приведены ответы и указания к большинству задач. В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу. Давид Гильберт, немецкий математик Изучая геометрию в седьмом классе, вы познакомились с основными свойствами треугольников. Курс геометрии восьмого класса начинается с рассмотрения более сложных фигур — четырехугольников. Но это не означает, что уже изученную и, наверное, немного забытую за лето тему «Треугольники» не следует вспоминать. Наоборот, этот материал нужно повторить еще до того, как вы придете на первый урок геометрии в восьмом классе. Ведь именно свойства треугольников являются тем ключом, который открывает дверь в мир геометрии. Отдельные виды четырехугольников уже известны вам из курса математики 5—6 классов. Наиболее внимательные и наблюдательные могли заметить, что особое место среди четырехугольников занимают те, у которых имеются параллельные стороны. Именно поэтому уже в ближайшее время пригодятся свойства и признаки параллельных прямых, доказанные в седьмом классе; этот материал также следует повторить. Среди теорем, которые будут рассматриваться в этой главе, особая роль отводится теореме Фалеса — одной из древнейших теорем геометрии. С ее помощью мы продолжим открывать новые секреты геометрических фигур. § 1. Четырехугольник и его элементы Рис. 1. Четырехугольник ABCD 1.1. Определение четырехугольника С четырехугольником вы уже знакомились на уроках математики. Дадим строгое определение этой фигуры. определение Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (сторон четырехугольника). При этом никакие три его вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются. На рисунке 1 изображен четырехугольник с вершинами A, B, C и D и сторонами AB, BC, CD и AD. Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одной стороной; вершины, которые не являются соседними, называют противолежащими вершинами. Аналогично стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, являются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общих точек,— противолежащими сторонами. На рисунке 1 стороны AB и CD — соседние для стороны BC, а сторона AD — противолежащая стороне BC; вершины B и D — соседние с вершиной A, а вершина C — противолежащая вершине A. Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рисунке 1 можно обозначить ABCD, BCDA или CBAD, но нельзя обозначать ABDC или BDCA. 7 ГЛАВА I. Четырехугольники R Рис. 2. Отрезки PS и RT — диагонали четырехугольника PRST Рис. 3. Выпуклый (а) и невыпуклый (б) четырехугольники определение Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины. В четырехугольнике PRST (рис. 2) диагоналями являются отрезки PS и RT. Следует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника. определение Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой P: Р^^с^ = AB + BC + CD + AD. 1.2. Выпуклые четырехугольники. Сумма углов четырехугольника Любой четырехугольник ограничивает конечную часть плоскости, которую называют внутренней областью этого четырехугольника (на рис. 3, а, б она закрашена). На рисунке 3 изображены два четырехугольника и проведены прямые, на которых лежат стороны этих четырехугольников. В четырехугольнике ABCD эти прямые не проходят через внутреннюю область — такой четырехугольник является выпуклым (рис. 3, а). В четырехугольнике EFKM прямые EM и KM проходят через внутреннюю область — этот четырехугольник является невыпуклым (рис. 3, б). определение Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. Действительно, четырехугольник ABCD на рисунке 3, а лежит по одну сторону от любой из прямых AB, BC, CD или AD. В школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только 8 S § 1. Четырехугольник и его элементы г Рис. 4. Сумма углов четырехугольника равна сумме углов двух треугольников выпуклые четырехугольники (другие случаи будут оговорены отдельно). определение углом (внутренним углом) выпуклого четырехугольника ABDC при вершине A называется угол BAD. Угол, смежный с внутренним углом четырехугольника при данной вершине, называют внешним углом четырехугольника при данной вершине. Углы, вершины которых являются соседними, называют соседними углами, а углы, вершины которых являются противолежащими,— противолежащими углами четырехугольника. теорема (о сумме углов четырехугольника) Сумма углов четырехугольника равна 360°. Доказательство1 □ В данном четырехугольнике ABCD проведем диагональ, которая делит его на два треугольника (рис. 4). Поскольку ZBAD = Z1 + Z2, Z BCD = Z 3 + Z 4 , сумма углов четырехугольника ABCD равна сумме всех углов треугольников ABC и ADC, то есть равна 360°. Теорема доказана. ■ 1'"^ —к Задача Углы четы| )ех уго льн 1ик о A BC D,( :ос 1 едние с у глС 5М C, ров ны а про ти юг еж( 1щи |Й 1 Уг ол 1 в 1 два 1 раза 5от 1ЬШ е у глс C (сМ. рис . 1 . Н аи дит е у TОJ ^ \ \ 1 C, если Z B = 6С °. Решение Уг лам и, с осе дни ми с уг ло/ л C, явл ЯЮ' ся углЫ B ]и D а у гло м, г фОт иво ле> <ощ им к C; - уг ол A. тт1 1 ' 1 По условию ЗСД( гчи] Z B = ZD = 60°. Поскольку = 360°- 2 • 60° = 240°. суМмО углов четь ре^уг олЬни <а 1 1 /40 1 равна 360°, тр ZA + ZC Если градусная мера угла C ро внО x, то град ,усная мера угла A по условию равна 2x. О^ сю да ил 1ее м: x + 2х = 240; 3х = 240; x = 80. Следовательно, ZC = 80 )°. Отв 1 ет: 80°. 1 1 Отметим, что данная теорема и ее доказательство справедливы также и для невыпуклых четырехугольников (см. задачу 29). ГЛАВА I. Четырехугольники Вопросы и задачи Ф устные упражнения 1. Сколько соседних вершин имеет вершина четырехугольника? Сколько противолежащих? Назовите соседние и противолежащие вершины для вершины B четырехугольника ABCD. 2. Сколько соседних сторон имеет сторона четырехугольника? Сколько противолежащих? Назовите соседние и противолежащие стороны для стороны AD четырехугольника ABCD. 3. Отрезок, соединяющий две вершины четырехугольника, не является его диагональю. Могут ли данные вершины быть противолежащими? 4. Вершинами четырехугольника являются точки K, L, M, N. а) Известно, что KM и ML — стороны четырехугольника. Назовите его диагонали. б) Известно, что KL — диагональ четырехугольника. Назовите вершины, соседние с вершиной K. в) Данный четырехугольник можно назвать KMLN. Можно ли назвать его MLKN ? 5. Существует ли четырехугольник ABCD, в котором AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 21 см? Ответ обоснуйте. 6. Могут ли все углы выпуклого четырехугольника быть острыми; тупыми; прямыми? 7. Может ли выпуклый четырехугольник иметь три острых угла; три тупых угла; два прямых угла; три прямых угла и один непрямой? 8. Могут ли углы треугольника равняться трем углам четырехугольника? Ответ обоснуйте. 10 § 1. Четырехугольник и его элементы ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 9. Начертите выпуклый четырехугольник с вершинами A, B, C и D. а) Дайте название полученному четырехугольнику и проведите его диагонали. б) Измерьте три угла четырехугольника. Пользуясь соответствующей теоремой, найдите градусную меру четвертого угла. Проверьте полученный результат измерением. 10. Проведите две параллельные прямые. Обозначьте на одной из них точки A и D, а на другой — точки B и C так, чтобы при последовательном соединении этих точек образовался четырехугольник ABCD. а) Является ли построенный четырехугольник выпуклым? Почему? б) Измерьте внешние углы четырехугольника ABCD (по одному при каждой вершине) и вычислите их сумму. О письменные упражнения уровень А 11. Найдите периметр четырехугольника, если его наименьшая сторона равна 5 см, а каждая следующая сторона на 2 см больше предыдущей. 12. Периметр четырехугольника равен 20 см. Найдите стороны четырехугольника, если одна из них составляет 40 % периметра, а три другие равны. 13. Два угла четырехугольника равны 80° и 100°, а два других угла имеют равные градусные меры. Найдите наибольший угол четырехугольника. 14. Найдите углы четырехугольника ABCD, если Z A = ZB, Z C = Z D, а сумма углов A и B равна 160°. 15. Если три угла четырехугольника являются тупыми, то четвертый угол — острый. Докажите. 16. Если сумма трех углов четырехугольника равна 270°, то две стороны четырехугольника перпендикулярны. Докажите. 11 ГЛАВА I. Четырехугольники Уровень Б 17. Определите, может ли четырехугольник ABCD быть выпуклым, если: а) точки A и D лежат по разные стороны от прямой BC; б) прямая AB пересекает прямую CD; в) прямая AB пересекает отрезок CD. Выполните рисунки. 18. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 3 дм, а одна сторона меньше каждой из трех других на 2 см, 3 см и 5 см соответственно. 19. Стороны четырехугольника относятся как 3 : 4 : 5 : 6. Найдите периметр четырехугольника, если сумма его наибольшей и наименьшей сторон равна 18 см. 20. Найдите углы четырехугольника, если один из них вдвое меньше второго, на 20° меньше третьего и на 40° меньше четвертого. 21. Найдите наименьший угол четырехугольника, если суммы его углов, взятых по три, равны 240°, 260° и 280°. 22. Если один из углов выпуклого четырехугольника — острый, то в этом четырехугольнике обязательно есть тупой угол. Докажите. 23. Один из углов выпуклого четырехугольника равен сумме двух других углов. Докажите, что данный угол является тупым. уровень В 24. Периметры четырехугольников ABCD и ABCD1 равны. Может ли один из этих четырехугольников быть выпуклым, а другой — невыпуклым? Ответ подтвердите рисунком. 25. Периметр четырехугольника ABCD равен 23 дм. Найдите длину диагонали AC, если периметр треугольника ABC равен 15 дм, а периметр треугольника ADC равен 22 дм. 26. В четырехугольнике три угла равны, а четвертый угол меньше их суммы на 240°. Найдите углы четырехугольника. 27. Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. 28. Докажите, что любой отрезок с концами на сторонах выпуклого четырехугольника лежит во внутренней области этого четырехугольника. 12 § 1. Четырехугольник и его элементы 29. В невыпуклом четырехугольнике ABCD градусной мерой угла при вершине B считают градусную меру а угла ABC, если хотя бы одна из внутренних точек отрезков CD или AD лежит во внутренней области угла ABC (рис. 5, а), или (360°-а), если ни одна внутренняя точка отрезков CD и AD не лежит во внутренней области угла ABC (рис. 5, б). Докажите, что сумма углов невыпуклого четырехугольника равна 360°. D рис. 5 0 повторение перед изучением § 2 теоретический материал • треугольник и его элементы^7 класс, § 7, 8, 10 • признаки равенства треугольников; • свойства и признаки параллельных прямых. задачи1 30. Известно, что АKMN = АNPK (рис. 6). а) Докажите, что MK у NP. б) Найдите угол P, если Z M = 65°. 31. На рисунке 6 MK = PN, Z MKN = Z PNK. а) Докажите, что MN У KP. б) Найдите MN, если KP = 14 см. N Р 1 Напомним, что запись А ABC = А A1B1C1 означает равенство соответствующих сторон и углов, то есть AB = А1B1, BC = B1C1, AC = A^C^, ZA =ZAj, ZB =ZB1, ZC =ZC1. 13 а ГЛАВА I. Четырехугольники § 2. Параллелограмм и его свойства (О (О (О (О 2.1. определение параллелограмма Параллелограмм — от греческих слов «параллелос» — идущий рядом, параллельный, и «грамма» — линия В А С D рис. 7. Параллелограмм ABCD Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми (рис. 7). В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм. определение Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны. На рисунке 7 изображен параллелограмм ABCD ,в котором AB У CD, AD У BC. \ Задача \ Н( а р ису нке 8 А KLM = aMnK . Д Док аж1 1те чт о ч ет I- У' г т 1 1 рехугольник KL/ N 1 Т 1 параллело г Т 1 грамм. \J Р еше :ни е 1, KL Л и MN K А у Из равенства треугольников следует / гп гп равенство угл ов: 1 = Z2 и Z3 = Z4 . У глЫ 1 и 2 Т 1 являь 1 1 1 отся внутрен 1ни ми на <ре ст леж <ащ 1 1 ими при пр я- мЫх KL и Л N и се кущей K Л. Аналогичн( 3 у1г- рис. 8 лЫ 3 и 4 явля ют ся вну Г“ГП тренними нс 1 трест 1 1 т лежащими 1 при пря'мых L Л и KN П 1 гтг и 'секущей KM . П 1 1 1 о признаку 1 г ^1 \ параллельное ги пря мы х имеем: KL у MN и lM у kN. сЛедОвательн о, в ЧетырехуГол ьнике K lMN пр°- 1 1 1 тиволежащ \ 1 1 г ;ие сторонь! \ 1 1 попарно п 1 шраллел 1 ьны, т. е. KLMN 1 1 1 1 — параллелс 1 1 1 1 1 1 1 1 )грамм по определению. 14 § 2. Параллелограмм и его свойства б Рис. 9. Высоты параллелограмма Как и в треугольнике, в параллелограмме можно провести высоты (рис. 9). Определение Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, которая содержит противолежащую сторону. Очевидно, что к одной стороне параллелограмма можно провести бесконечно много высот (рис. 9, а),— все они будут равны как расстояния между параллельными прямыми, а из одной вершины параллелограмма можно провести две высоты к разным сторонам (рис. 9, б). Часто, говоря «высота параллелограмма», имеют в виду ее длину. б рис. 10. Свойства параллелограмма 2.2. Свойства параллелограмма Непосредственно из определения параллелограмма следует, что любые два его соседних угла являются внутренними односторонними при параллельных прямых, которые содержат противолежащие стороны. Это означает, что сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180°. Докажем еще несколько важных свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма. теорема (свойства параллелограмма) В параллелограмме: 1) противолежащие стороны равны; 2) противолежащие углы равны; 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам. Свойства 1 и 2 иллюстрирует рисунок 10, а, а свойство 3 — рисунок 10, б. Доказател ьство □ Проведем в параллелограмме ABCD диагональ AC (рис. 11) и рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них сторона AC — общая, 15 а ГЛАВА I. Четырехугольники А‘ С 'D Рис. 11. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника В А С D Рис. 12. При пересечении диагоналей параллелограмма образуются равные треугольники Z1 = Z 3 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC, Z 2 = Z 4 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Следовательно, А ABC = А CDA по второму признаку равенства треугольников. Отсюда, в частности, следует, что AB = CD, AD = BC и ZB = ZD. А поскольку Z1+ Z2 = Z3 + Z4, то Z BAD = Z BCD . Следовательно, свойства 1 и 2 доказаны. Для доказательства свойства 3 проведем в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O (рис. 12). Рассмотрим треугольники AOD и COB. У них AD = BC по доказанному, Z1 = Z 3 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC, Z 2 = Z 4 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, А AOD = А COB по второму признаку. Отсюда следует, что AO = CO и BO = DO, т. е. точка O является серединой каждой из диагоналей AC и BD. Теорема доказана полностью. ■ \ Задача L С> мм а дву х угл ов параллело1 ра/ лм« р авн а 20С )°. \ Н( айд ите у ■ль ; п ара ллелограмм ю. 1 1 Решение П уст ь д ан па зал ле 1 1 лограмм A ia ). Поскольку сумма двух со седни х угл ов пс ра. т- 1 1 лелограмм 1 1 \а |равна 180 ° 1 , то |даНные уп 1Ы I мо- гУ т B + -П г 1 1 1 1 1 1 1 1 быть только противолежащим и. П усть Z ZD = 200°. Тогда по с вой [: 1 1ству 1 угл ов пс I 1ра. л- 1 1 1 \ лелограмма ZB = ZD = 200° :2 = l00° 1 1 сумма все — х тл ов парал ле ло1 ра/ ммс 1 р авн а 36С )°, 1 по 1 ?этс 1 шу Z A = Z C = (36 0° - 2 00° ): 2 = 80°. От ве* 1 ■: 80° 1 и 100°. 1 16 § 2. Параллелограмм и его свойства Л Задача \ 1 В по ро. зле ло ■ро мм е AB CD б| 1сс ект рис :о угл о A 1 1 де [ 1 1 г .лит сторону BC п ополо м. Ноид1 ите 1 1 периме тр \J 1 1 1 1 параллелограмм о, 1 если AB =6 ^м. Р еш( ;ни е в ^ 1 с П уст ь в по рол ле лоГромме ABCD рис сев трв и- i ^ / са у ■ло A 1 пересе гп коет сто рон !у BC в 1 Г точке “ / /? 1 B E = EC (р ис 13'). Зометим, что ^ 1= Z2 ) 1 :, посв <ол ь- 1 J E би^се ктр 1 1 исо угло B AD , о Z 1= Z3 1 кок 1 |± ри г 1 внут зен ни нок 1 рест 1 ле 1 жощ — цие 1 1ри г ор( 1лл ел ь- 5—" 1 ных пр чм^х At > и Bc и 1 1 секущей A E. От сюДо ■ Z2 = Z3 1 , т — . е. по ) при 1но ку ровнобед Фе ннс го тре' уг|ол эни ко тр еуг олЬник AB E ров нобеДрев 1нЫИ осн овс 1ИИ ем AE :, зноч ит, BE = AB =6 см. По у сло- вию BE = :С, т. е П = 12 см. 1 Сл( где вотелЬно! по- скол эку пр оти волежощ ие стороны порол ле лов ро/ м- м« 1 р овн ы, то P MB CD ■ = 2 • (6 +12) = 36 (см). _О1В ет: 36 с м. Вопросы и задачи ф устные УПРАЖНЕНИЯ 32. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Назовите: а) сторону, параллельную стороне BC; б) сторону, равную стороне CD; в) угол, равный углу A. 33. Верно ли, что любой параллелограмм имеет: а) два угла, сумма которых равна 180°; б) два острых и два тупых угла? 34. В параллелограмме ABCD ZB < ZC. Сравните углы A и D. 35. В параллелограмме ABCD AB + CD > AD + BC. Сравните стороны BC и CD. 17 ГЛАВА I. Четырехугольники 36. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (см. рис. 12). Назовите: а) отрезок, который является медианой треугольника ACD; б) треугольник, медианой которого является отрезок AO. ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 37. Проведите две параллельные прямые. Обозначьте на одной из них точки A и D и проведите через эти точки две другие параллельные прямые, которые пересекают вторую прямую в точках B и C соответственно. а) Объясните, почему четырехугольник ABCD является параллелограммом. б) Измерьте угол A параллелограмма ABCD. Используя свойства параллелограмма, найдите градусные меры других его углов. Проверьте полученные результаты измерениями. в) Проведите диагональ AC и обозначьте ее середину — точку O. С помощью линейки проверьте, принадлежит ли эта точка отрезку BD. 38. Начертите треугольник ABD. Проведите через вершины B и D прямые, параллельные сторонам AD и AB соответственно. Обозначьте точку пересечения этих прямых буквой С. а) Объясните, почему четырехугольник ABCD является параллелограммом. б) Проведите две высоты параллелограмма из вершины B. Равны ли они? в) Измерьте стороны AD и AB и найдите периметр параллелограмма. Каким свойством параллелограмма вы воспользовались? письменные упражнения уровень А 39. Начертите в тетради треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противолежащей стороне. Сколько параллелограммов образовалось на рисунке? Сколько общих вершин имеют любые два из образовавшихся параллелограммов? 18 § 2. Параллелограмм и его свойства 40. Три параллельные прямые пересекаются с двумя другими параллельными прямыми. Сколько параллелограммов образовалось? 41. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если сторона AD 2 равна 12 см и составляет — стороны AB. 3 42. Периметр параллелограмма равен 24 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна из них на 2 см больше другой; б) одна из них в три раза меньше другой; в) сумма трех его сторон равна 17 см. 43. Найдите углы параллелограмма, если: а) один из них равен 110°; б) один из них на 70° меньше другого; в) сумма двух его углов равна 90°; г) диагональ образует с его сторонами углы 30° и 45°. 44. Найдите углы параллелограмма, если: а) один из них является прямым; б) градусные меры двух его углов относятся как 2 : 7; в) разность двух его углов равна 40°; г) сумма трех его углов равна 330°. 45. Точка пересечения диагоналей параллелограмма удалена от двух его вершин на 5 см и 8 см. Найдите длины диагоналей параллелограмма. 46. В четырехугольнике ABCD AB У CD, Z ADB = ZCBD. Докажите по определению, что ABCD — параллелограмм. 47. В четырехугольнике VXYZ VX У YZ, Z V + Z X = 180°. Докажите по определению, что VXYZ — параллелограмм. уровень Б 48. На плоскости даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, тремя вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача? 49. Сколько различных параллелограммов можно образовать из двух равных разносторонних треугольников, прикладывая их друг к другу? 50. Периметр параллелограмма ABCD равен 14 дм, а периметр треугольника ABC — 10 дм. Найдите длину диагонали AC. 19 ГЛАВА I. Четырехугольники 51. Сумма трех сторон параллелограмма равна 15 м, а сумма трех других его сторон — 18 м. Найдите периметр параллелограмма. 52. Найдите углы параллелограмма, если: а) биссектриса одного из его углов пересекает сторону под углом 35°; б) высота параллелограмма образует с одной из его сторон угол 42°. 53. Найдите углы параллелограмма, если: а) все его стороны равны, а диагональ образует со стороной угол 25°; б) высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит данный угол в отношении 1 : 3. 54. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD делит сторону BC в отношении 1 : 4, начиная от точки B. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 15 см. 55. Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 5 см и 6 см. Найдите периметр параллелограмма. Сколько решений имеет задача? 56 (опорная). Любой отрезок с концами на противолежащих сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам. Докажите. 57. Из вершин тупых углов B и D параллелограмма ABCD проведены перпендикуляры BA1 и DC1 к сторонам AD и BC соответственно. Докажите, що четырехугольник A1BC1D — параллелограмм. 58. По данным рисунка 14 докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. В N С уровень В 59. Через точку, принадлежащую стороне равностороннего треугольника, проведены прямые, параллельные двум другим его сторонам. Определите периметр образовавшегося параллелограмма, если периметр треугольника равен 18 см. 20 § 2. Параллелограмм и его свойства 60. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D делят сторону BC на отрезки длиной 5 см, 3 см и 5 см. Найдите периметр параллелограмма. Сколько решений имеет задача? 61. Найдите углы параллелограмма, если его диагональ перпендикулярна одной из сторон и равна половине другой стороны. 62. Найдите углы параллелограмма, который делится диагональю на два равнобедренных прямоугольных треугольника (рассмотрите два случая). 63 (опорная). Биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой. Докажите. 64 (опорная). Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине. Докажите. 65. Если диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника, то такой четырехугольник является параллелограммом. Верно ли такое утверждение? Ответ обоснуйте. 66. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то все его стороны равны. Докажите. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. 0 повторение перед изучением § 3 теоретический материал • признаки равенства треугольников; ^7 класс, § 8, 10, 1^ • свойства и признаки параллельных прямых; • понятие о свойствах и признаках. ^7 класс, § 14, 15 задачи 67. Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон равнобедренного треугольника, параллельна его основанию. 68. В четырехугольнике ABCD AB = CD. Какие соотношения необходимо добавить к условию, чтобы по данным задачи доказать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм? Выскажите предположение. 21 ГЛАВА I. Четырехугольники § 3. Признаки параллелограмма 3.1. теоремы о признаках параллелограмма Для того чтобы использовать свойства параллелограмма, во многих случаях необходимо сначала убедиться, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом. Это можно доказать либо по определению (см. задачу в п. 2.1), либо по признакам — условиям, гарантирующим, что данный четырехугольник — параллелограмм. Докажем признаки параллелограмма, которые чаще всего применяются на практике. теорема (признаки параллелограмма) 1) Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 2) Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 3) Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.________________ В А С 'D рис. 15. Если в четырехугольнике ABCD AD У BC и AD = BC, то ABCD — параллелограмм Доказател ьство □ 1) Пусть в четырехугольнике ABCD AD У BC и AD = BC (рис. 15). Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA. Они имеют общую сторону AC, AD = BC по условию, Z1 = Z 2 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC .Следовательно, А ABC = А CDA по первому признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство углов 3 и 4. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Тогда по признаку параллельности прямых AB У CD . Таким образом, в четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны, откуда следует, что ABCD — параллелограмм по определению. 22 § 3. Признаки параллелограмма В А С 'D Рис. 16. Если в четырехугольнике ABCD AB = CD и AD = BC , то ABCD — параллелограмм В А С D Рис. 17. Если в четырехугольнике ABCD AO = CO и BO = DO , то ABCD — параллелограмм 2) Пусть в четырехугольнике ABCD AB = CD и AD = BC (рис. 16). Снова проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA. В этом случае они равны по третьему признаку: сторона AC — общая, AB = CD и AD = BC по условию. Из равенства треугольников следует равенство углов 1 и 2, которые являются внутренними накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей AC. По признаку параллельности прямых AD У BC. Следовательно, в четырехугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны и равны, и по только что доказанному признаку 1 ABCD — параллелограмм. 3) Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, AO = CO и BO = DO (рис. 17). Рассмотрим треугольники AOB и COD .Эти треугольники равны по первому признаку: Z1 = Z 2 как вертикальные, а AO = CO и BO = DO по условию. Следовательно, равны и соответствующие стороны и углы этих треугольников: AB = CD и Z3 = Z4. Тогда AB У CD, и ABCD — параллелограмм по признаку 1. \ Задача В пар ал. лел огр ам ме ABCD точки N и 1 N ■ - с( гре дин ы 1 стррон AB и CD со отв етс тве ннс (р ис. 18) . Докажите, чт 1 о V чет ыре ху ■ол ьни 1К NB ND 1 ■ - пар алз 1 1ел 1 огр 1 ам м. Р ;ш( ;ни е L С ют ^ г <уголЬник N \BN JD. N B Рассл зим четы :ре 1ьн Стороны м 7 и N D 1 1 параллез г ы, 1 1 т. к. леж зт на Г“1 прямых с о- Г де рж ащ их ^ \ 1 противолеж 1 <ащие ст орс зны 1111 параллело- 2 а/ к грамма AE ii' L II А B = ND как] половины ) Ри с. 1 i 1 1 равных стс рон A B и ( D па зал 1 1 лелогра/ 1 А лма A BC D. Таким збр|азом, в |чел ыр 1 1 ехугольн ике 1 BN D д ве 1 1 1 1 1 стороны паралл ел 1 ьнь I и р 1 авны. след овс 1те. льн о, —1—1—1—1—1—1—г четырехугольник N BN D — парал 1 1 1 лелограмм. 23 ГЛАВА I. Четырехугольники Попробуйте самостоятельно найти другие способы решения этой задачи, основанные на применении других признаков и определения параллелограмма. 3.2*. Необходимые и достаточные условия 1 Каждый из признаков параллелограмма указывает на определенную особенность, наличия которой в четырехугольнике достаточно для того, чтобы утверждать, что он является параллелограммом. Вообще в математике признаки иначе называют достаточными условиями. Например, перпендикулярность двух прямых третьей — достаточное условие параллельности данных двух прямых. В отличие от признаков, свойства параллелограмма указывают на ту особенность, которую обязательно имеет любой параллелограмм. Свойства иначе называют необходимыми условиями. Поясним такое название примером: равенство двух углов необходимо для того, чтобы углы были вертикальными, ведь если этого равенства нет, вертикальными такие углы быть не могут. В случае верности теоремы «Если А, то В» утверждение А является достаточным условием для утверждения В, а утверждение В — необходимым условием для утверждения А. Схематически это можно представить так: Если А, то В А — достаточное условие для В В — необходимое условие для А Таким образом, необходимые условия (свойства) параллелограмма следуют из того, что данный четырехугольник — параллелограмм; из достаточных условий (признаков) следует то, что данный четырехугольник — параллелограмм. Здесь и далее звездочкой отмечен материал, изучение которого не является обязательным. 24 § 3. Признаки параллелограмма Сравнивая свойства и признаки параллелограмма, нетрудно заметить, что одно и то же условие (например, попарное равенство противолежащих сторон) является и свойством, и признаком параллелограмма. В таком случае говорят, что условие является необходимым и достаточным. Необходимое и достаточное условие иначе называют критерием. Например, равенство двух углов треугольника — критерий равнобедренного треугольника. Немало примеров необходимых и достаточных условий можно найти в других науках и в повседневной жизни. Все мы знаем, что воздух — необходимое условие для жизни человека, но не достаточное (человеку для жизни нужно еще много чего, среди прочего — пища). Выигрыш в лотерею — достаточное условие для материального обогащения человека, но оно не является необходимым — ведь улучшить свое финансовое положение можно и другим способом. Попробуйте самостоятельно найти несколько примеров необходимых и достаточных условий. Вопросы и задачи Ф устные УПРАЖНЕНИЯ 69. Диагонали четырехугольника DEFK пересекаются в точке O, причем DO = OF, EO = OK. Назовите параллельные стороны четырехугольника и объясните, почему они параллельны. 70. В четырехугольнике KLMN KL У MN и KL = MN .Назовите равные углы четырехугольника и объясните, почему они равны. 71. В четырехугольнике PRSQ PR = SQ, PQ = RS. Найдите сумму углов R и S. 72. В четырехугольнике ABCD AB У CD. Какое соотношение между сторонами четырехугольника необходимо добавить к условию задачи, чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм? Приведите все возможные варианты ответа. 25 ГЛАВА I. Четырехугольники 73. В четырехугольнике ABCD ZA = 30°, ZC = 50°. Может ли данный четырехугольник быть параллелограммом? Какая особенность параллелограмма (свойство или признак) используется для решения этой задачи? 74. Поставьте вместо точек слова «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно», чтобы полученное утверждение было верным: а) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, ^, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам; б) для того чтобы два угла были смежными, ^, чтобы их сумма была равна 180°; в) для того чтобы прямые AB и CD были параллельными, ^, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом. графические упражнения 75. Проведите две параллельные прямые. Отложите на одной из них отрезок AD, а на другой прямой — отрезок BC, равный AD, так, чтобы отрезки AB и CD не пересекались. Постройте отрезки AB и CD. а) Объясните, почему четырехугольник ABCD является параллелограммом. б) Отметьте точку M так, чтобы четырехугольник ABMC был параллелограммом. Лежат ли точки M, C и D на одной прямой? 76. Начертите треугольник ABC и проведите его медиану BO. На луче BO постройте отрезок OD, равный BO. Соедините точку D с точками A и С. а) Объясните, почему четырехугольник ABCD является параллелограммом. б) Отметьте точку M так, чтобы четырехугольник ABDM был параллелограммом. Лежат ли точки M, C и D на одной прямой? 26 § 3. Признаки параллелограмма ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 77. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Является ли данный четырехугольник параллелограммом, если AO = 4 см, OC = 40 мм, BD = 1,2 дм, OD = 6 см? Ответ обоснуйте. 78. По данным рисунка 19 докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. В С В С рис. 19 79. По данным рисунка 20 докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. А AOB = А COD а рис. 20 80. В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны. Найдите периметр четырехугольника, если AB = CD = 9 см, AD = 4 см. 81. В четырехугольнике ABCD AB = CD, AD = BC. Найдите углы четырехугольника, если угол A втрое больше угла B. 82. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точки B1 и D1 — середины отрезков BO и DO соответственно. Докажите, что четырехугольник AB1CD1 — параллелограмм. 27 б ГЛАВА I. Четырехугольники —^ 83. Докажите, что отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон параллелограмма, делит данный параллелограмм на два четырехугольника, которые также являются параллелограммами. Уровень Б 84. В техническом черчении для построения параллельных прямых используют механическую рейсшину (рис. 21). Объясните принцип ее действия. 85. Объясните, почему ось CD, на которой укреплена лампа (рис. 22), всегда остается вертикальной. Б< A Q D рис. 21 рис. 22 86. По данным рисунка 23 докажите, что четырехугольник ABCD параллелограмм. В С AECF — параллелограмм б рис. 23 28 § 3. Признаки параллелограмма 87. По данным рисунка 24 докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. AECF — параллелограмм б Рис. 24 88. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов B и D пересекают диагональ AC в точках E и F соответственно. Докажите, что четырехугольник BEDF — параллелограмм. —^ 89. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что середины отрезков AO, BO, CO и DO являются вершинами другого параллелограмма. уровень В 90. По данным рисунка 25 докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. KLMN — параллелограмм а KLMN — параллелограмм б рис. 25 29 а ГЛАВА I. Четырехугольники 91. По данным рисунка 26 докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. М AECF — параллелограмм а KLMN — параллелограмм б Рис. 26 92 (опорная). Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажите. 93. Внутри данного угла A отмечена точка O. Постройте отрезок с концами на сторонах угла, серединой которого является точка O. 94. Точка M находится внутри угла A, вершина которого недоступна (рис. 27). Постройте луч с началом в точке M, направленный на точку A. 0 повторение перед изучением § 4 теоретический материал • равнобедренный треугольник; • прямоугольный треугольник. задачи 95. Высоты треугольника ABC, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке O, причем AO = BO. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. 96. Прямоугольные треугольники ABC и DCB имеют общий катет BC, а гипотенузы AC и BD параллельны. Докажите, что А ABC = А DCB. 30 § 4. Виды параллелограммов В с А Рис. 28. Прямоугольник ABCD D А С D Рис. 29. Если ABCD — прямоугольник, то AC = BD 4.1. Прямоугольник Определение Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. На рисунке 28 изображен прямоугольник ABCD. Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он имеет все свойства параллелограмма: противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны, противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т. д. Однако прямоугольник имеет некоторые особые свойства. Докажем одно из них. теорема (свойство прямоугольника) Диагонали прямоугольника равны. Доказател ьство □ Пусть дан прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD (рис. 29). Треугольники BAD и CDA прямоугольные и равны по двум катетам (AD — общий, AB = CD как противолежащие стороны прямоугольника). Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников, т. е. AC = BD, что и требовалось доказать. ■ Имеет место и обратное утверждение (признак прямоугольника): если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите это утверждение самостоятельно. Таким образом, можно утверждать, что равенство диагоналей параллелограмма — необходимое и достаточное условие (критерий) прямоугольника. 31 ГЛАВА I. Четырехугольники \ 1 1—1—1—1—1— Опорная задача \ 1 Ес ли в се Уг лы г 1 1 г п четырехугольни ка п )ЯМ ые то 1 \ 1 этот че ты )ех угс >лы г ник - - пряМоУго льник Д 1ок а- Ж1 1те Реше :ни е П уст > в че ты рех угс льнике , ABC D ZA = ZB = ZC =Z = ZC = 9о° (см. рис. 28). Уг лы A и B 1 1 являют ся вн УтР ен( (им 1 1и одн< 1 1 осторонни 1Ми 1 при г 1 рямы) < A D и B C и сек ущ ей AB . П 1 1 оскольку 1 1 г сумма этих 1 углов с^ста в- ля ет 18 0°, то по 1 1 признаку л паралле 1 ^ль нос'ти 1 1 прямых A D У BC А нал ог1 ичн 1 1 1 1 о доказываем парар 1ле ——1— льность ст оРо ж AB и CD. след ова тельн( р, по опреДеле- Н1 1Ю па (алЛеЛог рам L 1 (ма1 A 1 BC D 1 ТаралУ (елогр 1 амм. А по ско льКу Е се углы это го параллелограмма прЯ- 1 ые. то aBcd LJ - пряМоуГол ьник по определе ниЮ. в Рис. 30. Ромб ABCD 4.2. ромб определение ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. На рисунке 30 изображен ромб ABCD. Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми дополнительными свойствами, которые мы сейчас докажем. теорема (свойства ромба) Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. Эти свойства ромба иллюстрируются рисунком 31. Доказател ьство □ Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O (рис. 32). Поскольку стороны ромба равны, то треугольник ABC равнобедрен- 32 § 4. Виды параллелограммов (О(О(О(О Ромб — от греческого «ромбос» — бубен (в древние времена этот ударный музыкальный инструмент имел форму ромба) ный с основанием AC, а по свойству диагоналей параллелограмма точка O — середина AC. Следовательно, отрезок BO — медиана равнобедренного треугольника, которая одновременно является его высотой и биссектрисой. Это означает, что BD ± AC, т. е. диагонали ромба перпендикулярны, и Z ABD = Z CBD, т. е. BD — биссектриса угла ABC. Аналогично доказываем, что диагонали ромба являются биссектрисами и других его углов. Теорема доказана. ■ В D Рис. 31. Свойства ромба >С Рис. 32. К доказательству \ “ТГТ 1 1 1 1 Опорная задача Ес ли в се сто >р° ны четырехуголь НИ1 :а РаЕ 1НЫ го к эт от че ты )ех уго ль ' ^ик 1 ром б. Док :аж ите Решение чев ид нс, чт о в ' lетырехуjгсJ |ьн ике ice ст •ор о- ны КотОрс 1го равн1 I, псПар|нс ро внымИ ; чвл'яют- 1 1 ся и ПрсТиВ слежаЩие Cтсрс^ ы. След сватeЛьнс, по признаку параллелCграмMа такой 1 четырех- угольник — г lаралЛелCгf амм, а 1 ю опр |еделению ромба ПаралЛел ограм'м, у кот оро )го вс е :то ы равны, является _Lj lLj 1 1 рсMбсм. Решая задачи, помещенные в конце этого параграфа, вы докажете другие признаки прямоугольника и ромба. 33 ГЛАВА I. Четырехугольники Рис. 33. Квадрат (О (О (О (О Квадрат — от латинского «квадро» — четыре 4.3. Квадрат На рисунке 33 изображен еще один вид параллелограмма — квадрат. определение Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Иначе можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, который является ромбом. Действительно, поскольку квадрат является прямоугольником и ромбом и, конечно же, произвольным параллелограммом, то: 1) все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны; 2) все углы квадрата прямые; 3) диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и делятся точкой пересечения пополам. 4.4*. Связь между отдельными видами параллелограммов. равносильные утверждения Исходя из определений произвольного параллелограмма и его отдельных видов, мы можем схематически отобразить связь между ними (рис. 34). Параллелограммы ^ Прямо- /Квад^Ромбы^ \угольникД^рат^ рис. 34. Диаграмма «Виды параллелограммов» На схеме представлены множества параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Такой способ наглядного представления множеств называют 34 § 4. Виды параллелограммов диаграммами Эйлера — Венна. Диаграмма Эйлера — Венна для параллелограммов демонстрирует, что множества прямоугольников и ромбов являются частями (подмножествами) множества параллелограммов, а множество квадратов — общей частью (пересечением) множеств прямоугольников и ромбов. Диаграммы Эйлера — Венна часто используют для подтверждения или проверки правильности логических рассуждений. Подытоживая материал этого параграфа, обратим также внимание на то, что возможно и другое определение квадрата: квадратом называется ромб с прямыми углами. В самом деле, оба приведенных определения описывают одну и ту же фигуру. Такие определения называют равносильными. Вообще два утверждения называются равносильными, если они или оба выполняются, или оба не выполняются. Например, равносильными являются утверждения «В треугольнике две стороны равны» и «В треугольнике два угла равны», ведь оба они верны, если рассматривается равнобедренный треугольник, и оба ложны, если речь идет о разностороннем треугольнике. Равносильность двух утверждений также означает, что любое из них является необходимым и достаточным условием для другого. В самом деле, рассмотрим равносильные утверждения «Диагонали параллелограмма равны» и «Параллелограмм имеет прямые углы». Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником, т. е. имеет прямые углы, и наоборот: параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, т. е. имеет равные диагонали. На этом примере легко проследить логические шаги перехода от признаков фигуры к ее определению и далее — к свойствам. Такой переход довольно часто приходится выполнять в процессе решения задач. 35 ГЛАВА I. Четырехугольники ф Вопросы и задачи устные упражнения 97. Назовите виды параллелограммов, в которых: а) все углы равны; б) все стороны равны; в) диагонали равны; г) диагонали перпендикулярны. 98. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O (см. рис. 31). Назовите: а) биссектрису треугольника ABD; б) высоту треугольника ABC; в) медиану треугольника BCD. 99. В прямоугольнике ABCD AB = 8 см, BC = 5 см. Найдите: а) расстояние от точки C до стороны AD; б) расстояние между прямыми AB и CD. 100. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Назовите все равные треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей. Определите их вид. 101. Может ли диагональ прямоугольника быть равной его стороне? Может ли диагональ ромба быть равной его стороне? 102. Может ли прямоугольник быть ромбом? В каком случае? 103. Приведите контрпримеры, опровергающие приведенные неверные утверждения: а) четырехугольник, который имеет два прямых угла,— прямоугольник; б) четырехугольник с перпендикулярными диагоналями — ромб; в) четырехугольник с равными диагоналями — прямоугольник; г) четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны,— квадрат. 36 § 4. Виды параллелограммов Ф ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 104. Начертите две перпендикулярные прямые, которые пересекаются в точке O. На одной из прямых отложите по разные стороны от точки O равные отрезки OA и OC, а на второй прямой — равные отрезки OB и OD. Соедините точки A, B, C и D. а) Измерьте стороны четырехугольника ABCD и определите его вид. б) Измерьте угол A четырехугольника ABCD. Используя свойства этого четырехугольника, найдите градусные меры других его углов. Проверьте полученные результаты измерением. в) Измерьте углы ADB и CDB. Выделите цветом все пары равных углов между диагоналями и сторонами четырехугольника. 105. Начертите прямоугольный треугольник ABD с гипотенузой BD. Проведите через вершины B и D прямые, параллельные сторонам AD и AB соответственно. Обозначьте точку C — точку пересечения этих прямых. а) Измерьте стороны четырехугольника ABCD и определите его вид. б) Проведите диагональ AC. Измерьте и сравните длины диагоналей четырехугольника. в) Обозначьте на прямых BC и AD точки Cj и Dj так, чтобы четырехугольник ABCJDJ был квадратом. письменные упражнения уровень А 106. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если AC = 15 см, а периметр треугольника ABC равен 36 см. 107. Найдите стороны прямоугольника, периметр которого равен 36 см, а одна сторона в два раза больше другой. 108. В прямоугольнике ABCD ZBAC = 65°. Найдите угол между диагоналями прямоугольника. 109. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 80°. Найдите углы, на которые диагональ делит угол прямоугольника. 110. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, причем Z COD = 60°, CD = 8 см. Найдите длину диагонали. 37 ГЛАВА I. Четырехугольники 111. Найдите углы ромба, если: а) один из них на 120° больше другого; б) одна из его диагоналей равна стороне. —^ 112. Найдите углы ромба, если: а) сумма двух из них равна 220°; б) диагональ образует с одной из его сторон угол 25°. 113. Периметр квадрата равен 40 м. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до его стороны. 114. Расстояние между противолежащими сторонами квадрата равно 5 см. Найдите периметр квадрата. 115 (опорная). Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите. —^ 116 (опорная). Если в параллелограмме соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом. Докажите. уровень Б 117. Точка пересечения диагоналей прямоугольника удалена от двух его сторон на 3 см и 4 см. Найдите периметр прямоугольника. 118. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону длиной 12 см пополам. Найдите периметр прямоугольника. 119. Из точки окружности проведены две перпендикулярные хорды, удаленные от центра окружности на 3 см и 5 см. Найдите длины этих хорд. 120. Найдите углы ромба, если: а) углы, образованные его стороной с диагоналями, относятся как 1 : 4; б) высота ромба в два раза меньше его стороны. —^ 121. Найдите углы ромба, если: а) высота, проведенная из вершины тупого угла, отсекает от ромба равнобедренный треугольник; б) высота, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. 122. Из вершины угла ромба, который равен 120°, проведена диагональ длиной 6 см. Найдите периметр ромба. —^ 123. Диагональ квадрата равна 18 м, а его сторона является диагональю другого квадрата. Найдите периметр второго квадрата. 38 § 4. Виды параллелограммов 124. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах (рис. 35). Найдите гипотенузу треугольника, если сторона квадрата равна 2 см. 125. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что прямой угол является общим для обеих фигур (рис. 36). Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен 4 см. 126 (опорная). Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Докажите. 127 (опорная). Если диагональ параллелограмма лежит на биссектрисе его угла, то этот параллелограмм — ромб. Докажите. 128. Отрезки AC и BD — диаметры окружности. Докажите, что ABCD — прямоугольник. рис. 36 уровень В 129. Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника делит его сторону в отношении 2 : 1. Найдите углы, на которые диагональ делит угол прямоугольника. 130. Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника пересекает его сторону под углом, равным углу между диагоналями. Найдите этот угол. 131. Докажите, что все высоты ромба равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. 132. Из точки пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что основания этих перпендикуляров являются вершинами прямоугольника. 133. Если диагонали четырехугольника лежат на биссектрисах его углов, то этот четырехугольник — ромб. Докажите. 134. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма, не являющегося ромбом, при пересечении образуют прямоугольник. 135. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника, не являющегося квадратом, при пересечении образуют квадрат. 39 ГЛАВА I. Четырехугольники 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § 5 Теоретический материал равнобедренный треугольник; прямоугольный треугольник; задачи на построение. (7 класс, § 11, 17, 2^ задачи 136. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны AB и BC в точках D и E соответственно. а) Докажите, что AE = CD. б) Найдите углы четырехугольника ADEC, если ZB = 80°. 137. В четырехугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны, а стороны AB и CD равны. Обязательно ли данный четырехугольник является параллелограммом? Приведите контрпример. задачи для подготовки к контрольной работе № 1 1. Высота параллелограмма делит тупой угол на два угла, разность которых равна 20°. Найдите углы параллелограмма. 2. Сумма двух сторон параллелограмма равна 48 см, а периметр — 88 см. Найдите стороны параллелограмма. 3. По данным рисунка докажите, что ABCD — параллелограмм. 4. Биссектриса угла параллелограмма при пересечении с его стороной образует углы, градусные меры которых относятся как 1 : 3. Определите вид параллелограмма. 5. Докажите, что ромб является квадратом, если его диагонали образуют со стороной равные углы. 6. Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых равна меньшей стороне пря- С D N моугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника. 40 § 5. Трапеция lO (О (О (О Трапеция — от греческого «трапе-зос» — маленький стол. Однокоренным является слово «трапеза» В С А D Рис. 37. Трапеция ABCD 5.1. Определение трапеции Как известно, любой параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Рассмотрим теперь четырехугольник, который имеет только одну пару параллельных сторон. Определение Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. На рисунке 37 в трапеции ABCD стороны AD и BC являются основаниями, а AB и CD — боковыми сторонами. Углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых, на которых лежат основания трапеции. По теореме о свойстве параллельных прямых из этого следует, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. На рисунке 37 ZA + ZB = ZC + ZD = 180°. определение Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание. Очевидно, что в трапеции можно провести бесконечно много высот (рис. 38),— все они равны как расстояния между параллельными прямыми. Чаще всего в процессе решения задач высоты проводят из вершин углов при меньшем основании трапеции. 41 ГЛАВА I. Четырехугольники Рис. 39. Прямоугольная трапеция В С рис. 40. Равнобедренная трапеция ABCD 5.2. Частные случаи трапеций Как среди треугольников и параллелограммов, так и среди трапеций выделяются отдельные виды, обладающие дополнительными свойствами. определение Прямоугольной трапецией называется трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. На рисунке 39 изображена прямоугольная трапеция. У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции. определение равнобедренной трапецией называется трапеция, в которой боковые стороны равны. На рисунке 40 изображена равнобедренная трапеция ABCD с боковыми сторонами AB и CD. Иногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой или равнобочной. У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Докажем это в следующей теореме. теорема (свойство равнобедренной трапеции) В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Доказател ьство □ Пусть ABCD — данная трапеция, AD У BC, AB = CD. Перед началом доказательства заметим, что этой теоремой утверждается равенство углов при каждом из двух оснований трапеции, т. е. необходимо доказать, что ZA = ZD и ZB = ZC. 42 §5.Трапеция В С А В, С, D Рис. 41. Высоты, проведенные из вершин тупых углов, отсекают от равнобедренной трапеции равные треугольники Проведем высоты BBj и CCj из вершин тупых углов и рассмотрим прямоугольные треугольники ABBj и DCC-^ (рис. 41). У них AB = CD как боковые стороны равнобедренной трапеции, BB1 = CC1 как расстояния между параллельными прямыми AD и BC. Следовательно, А ABB1 = А DCC1 по гипотенузе и катету. Отсюда следует, что ZA = ZD. Углы трапеции B и C также равны, поскольку они дополняют равные углы А и D до 180°. Теорема доказана. ■ Имеет место также обратное утверждение (признак равнобедренной трапеции): если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной. Докажите этот факт самостоятельно. \ Задача \ М гнь ше сно ва1 ше ра внобедре нно ш •ра пец ии ра в- i 1 —г^п———1—1 но боковой сторс эне , а 1 1 1 1 диагональ перпенди — кул 1яр) на бс ко юй ст 1 орс эне Н ай, щите угл1 1 )1 т 1 рап 1ец ии. Решение П уст ь д ана рс >вн обе дренн ая тра пе щи$ A BC D, 3 к о- С торой Ad IBC : Ab^ =B C= CD , BD L A B (ри с. 42). /' <] \ 7 / к тт По услов ию зада чи тр еу ■ольн1 1к BC D ро вн о- А бедренНый : [основ ан1 ^еМ BD , т •. е. Z1 = Z 2; V с 1 vzrn 1 1 другой Cторо^ ны, Z 1 = Z3 как 1 вн утр ен ние н о- рис. 4 2 кР ест л еж( 1— ищие пр1 А Г 1ар щллелЬнь IX прямых AD ) и BC и секу1 щей BD1 П Тус ть •р адусная м 1 е- ро 1 равна X, то •да в жнЬй трап еции ZA = ZD = 2x, ZB = = ZC = X+ L Поско ль^ <у сум- ма у •ло|в, прилежащ ш> к бо ковой 1 сторо не, со ста в- ляет 1 180°, имеем 1 1 1 : 2 X + X + 90 = 180; 3х = 90 X =3 0. Сл 1ед ова тел |ьн о, ZA =Z fD = 60°, ZB = ZC 20 ° Отве •: 6 0° и 12С )°. 43 ГЛАВА I. Четырехугольники 5.3*. Построение параллелограммов и трапеций Задачи на построение параллелограммов и трапеций часто решают методом вспомогательного треугольника. Напомним, что для этого необходимо выделить в искомой фигуре треугольник, который можно построить по имеющимся данным. Построив его, получаем две или три вершины искомого четырехугольника, а остальные Задача \ П ост рой 1те гс рс 1ле ло гра мм Г( о 1 вум л 1 иа ■он сля м к и уп 1у ме) жду н! ими 1. Решг :ни е П уст э d Г и ( данные диа гон ал и г арс длл ел о- грамма, а — Г уг ол ме жду н им и. Анализ в С Пусть г арс 1лл ело ггр 1мл A iBC D го стр оен (р ис. 43). Треугольник AOB можно гс эст роить го двум 1 ст о- 1 1 1 1 1 1 ронам и углу между 1 1 ними \ AO = _di , Bo d 2 \/ 2 ' рис . 4 1 3 J AO B = а ) Тс ки м обр азе м, м1 I гол уч им ве рш ин1 I A и B иСкомоГо паррлл 1ел|ограм[ма.] вершин ы C и 1 мо> 1 <но 1 г олу чи ть, «у дво ив» ■ о т- 1 1—; резки A O и BO. Построе ни г 1. Разделим отр езк :и d 1 и d2 OB го гол 1ам . 2. П осТроим 1 1 треуголь ник A 1 1 го двум \ с •ор она м и 1 углу ме жду Г~Т ними 1. 3. Н 1 лучах AO и BO о гло жи м о чре )зк1 и O г A O и O D = BO. 4. П ос лед овате) тьн РС ов! ин им то нки В, с. D и A. 44 §5.Трапеция Доказательство Четырех уго Хльни! A BC D — па рал L 1 ше 1 ло( ра/ лм, п о- сколЬку по построе> 1ию э е 1 го диагонали AC и 1 B D точкой 1 пер есечения деля тся пс )полаМ. В э 1 1 1 том п 1 а- раллелограмМе ZAOB Га (по пос :тр оен ию 0, ■ d AC = • 2 = d.. BD; Г • 2 :12. 2 2 Г Исследс |ва ние Задача им 1 еет| е/ ^ин ств ен1 юе ре ше ние ; г ри лю хбь IX значениЯх —1—1—1— d,, d2 и а .1 —1— В некоторых случаях для построения вспомогательного треугольника на рисунке-эскизе необходимо провести дополнительные линии. \ Задача ) П ост хой те тра апе ци1 О То четыр' ем сто |ро нам ,. У Решение VJ П уст ь a 1 и b ( а < b) — осно1 ан ия исн аом ой тр с- . 1 пеции, 1 c и d — е е бок овые 1 сторон |ы. Анализ Пусть и ско ма) тр ап еци я t \BC поа :тра бен а ( рис 44 0. F ( 1 ПроВедем 1 через 1 верш ину ' C : фямуО CE 1 параJ л- 7 лельнуЮ abI т огда aBce ■ 1 1ар блб 1ел огf 1 шмм Г 1 1 1 по опредеJ лен 1 1 1 ию, след ювате льн о, CE = A B = С. Кр о- / - к. —1—1— ме того, AE = BC = а, 1 1 следоватеJ льн о, ED Г b- д. “А а Вспомо •ат ельный тре 1 уголь ник E CD м \ож :но п б- Р ис. 44 строить 1 1 1 по трем 1 d оронам. Посл е э того для 1 по- лучения верш ин A и B н шд 1 1 о отложи 1ть 1 1 на лу- че DE и ^а лу че с началом 1 1 1 в 1 Гоч ке C 1 пс 1 ра. п- лельном DE, от эез ки дл ино й а. 1 1 1 Построение 1. Построим от эез ок b- а. 2. Пост роим тра ^уг< рль ниа E CD п о т бем 1 с тор она м jlc; = С ,1 C D = d, ED = b - а). 45 ГЛАВА I. Четырехугольники 3. П 1 1 остроим лУч, 1 пр юх одЯщи 1И че дез 1 1 точку C и параЛле ;ль ный DE. При эт( дм ПС стр оеннь [И л уч и луч DE д ол> <нь [ л еже ть по од ну сто ро ну от прямой C D. 4. Нр [лу' че DE ' от то чк^ от лож (им 1 о дтр е- зок EA = с 1, н а луч е : н ача ло м C — отЕ дез( ок CB = а. 5. Соединим то чки A и B. Д< жазателЬстЕ о По п ос •роению BC у AD, BC =A E= а сл едо два ел ь- но, A BC E I Пар' 1лл елогр ам/ л П о 1 чри зна ку. Отсю, да AB = CE = c. Кроме то ■о, AD = а + b - а = b, CD = с. СЛедОватеЛьнО, AB CD — ис ком \ая тр апе щи я. Исследс )ваниё 1 1 Зада ча им ееТ е ди1 Чст1 зен ное р гш ени е, есд ли чи с- ла b 1 - a , c и с у дов ле' во эяк ?т нер аве нс ву тр е- угол! >ниКа. Вопросы и задачи ф устные упражнения 138. Могут ли основания трапеции быть равными? Почему? 139. Могут ли быть равными: а) соседние углы трапеции; б) противолежащие углы трапеции? 140. Обязательно ли углы трапеции, прилежащие к большему основанию, должны быть острыми? Приведите примеры. 141. Может ли равнобедренная трапеция быть прямоугольной? 142. Может ли высота трапеции быть больше боковой стороны; быть равной боковой стороне? 46 §5.Трапеция 143. Диагонали трапеции ABCD (AD У BC) пересекаются в точке O. а) Может ли треугольник AOD быть равным треугольнику BOC ? б) Может ли треугольник AOB быть равным треугольнику DOC ? 144. Может ли точка пересечения диагоналей трапеции быть серединой каждой из них; одной из них? О ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 145. Начертите параллелограмм ABCD и проведите в нем высоту CH так, чтобы получилась трапеция ABCH. а) Определите вид трапеции ABCH. б) Является ли высотой трапеции любая высота параллелограмма? Приведите контрпример. 146. Начертите равнобедренный треугольник AMD с основанием AD. Отметьте на стороне AM точку B и проведите через нее прямую, параллельную AD. Отметьте точку C — точку пересечения этой прямой со стороной MD. а) Определите вид трапеции ABCD. б) Проведите диагонали трапеции. Измерьте и сравните их длины. письменные упражнения уровень А 147. Найдите неизвестные углы: а) трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если ZA = 40°, Z D = 50°; б) равнобедренной трапеции, один из углов которой равен 58°; в) прямоугольной трапеции, наибольший угол которой в три раза больше наименьшего угла. 148. Найдите неизвестные углы: а) равнобедренной трапеции, в которой высота, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол 22°; б) прямоугольной трапеции, которую диагональ, проведенная из вершины тупого угла, делит на два равнобедренных прямоугольных треугольника. 47 ГЛАВА I. Четырехугольники 149. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 6 см и 30 см. Найдите меньшее основание трапеции. 150. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 10 см. Найдите большее основание трапеции, если высота, проведенная из вершины тупого угла, делит ее на отрезки, один из которых равен 3 см. 151. Докажите, что сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180°. уровень Б 152. Найдите углы: а) равнобедренной трапеции, если разность двух ее противолежащих углов равна 80°; б) прямоугольной трапеции, в которой диагональ является биссектрисой тупого угла и образует с меньшей боковой стороной угол 35°. 153. Найдите углы: а) прямоугольной трапеции, если отношение наибольшего и наименьшего из них равно 3 : 2; б) равнобедренной трапеции, меньшее основание которой равно боковой стороне и вдвое меньше большего основания. 154. В трапеции ABCD через вершину B про- в ведена прямая BK, параллельная стороне CD (рис. 45). а) Докажите, что KBCD — параллелограмм. ^ б) Найдите периметр трапеции, если BC = 4 см, РдABK = И см. С К рис. 45 D —^ 155. В равнобедренной трапеции середина большего основания соединена с вершинами меньшего основания. При этом образовались три равносторонних треугольника. Найдите: а) углы трапеции; б) периметр трапеции, если периметр одного треугольника равен 12 м. 48 §5.Трапеция 156. Диагональ равнобедренной трапеции делит пополам ее острый угол, равный 60°. Найдите периметр трапеции, если ее меньшее основание равно 15 см. 157. Диагональ равнобедренной трапеции делит пополам ее тупой угол. Найдите периметр трапеции, если ее основания равны 5 см и 10 см. 158. Докажите, что биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны. 159. Постройте: а) параллелограмм по двум сторонам и диагонали; б) ромб по стороне и диагонали; в) равнобедренную трапецию по большему основанию, боковой стороне и острому углу. —^ 160. Постройте: а) ромб по углу и диагонали, противолежащей этому углу; б) прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями; в) прямоугольную трапецию по меньшему основанию, большей боковой стороне и большей диагонали. Уровень В 161. Диагональ делит равнобедренную трапецию на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции. 162. Длины боковых сторон трапеции равны 2а, а длины оснований — 7а и 9a. Найдите углы трапеции. 163 (опорная). Диагонали равнобедренной трапеции равны, и наоборот: если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная. Докажите. —^ 164 (опорная). Диагонали равнобедренной трапеции образуют с ее основанием равные углы, и наоборот: если диагонали трапеции образуют с ее основанием равные углы, то трапеция равнобедренная. Докажите. 165. Постройте: а) параллелограмм по стороне, диагонали и углу, противолежащему этой диагонали; б) ромб по высоте и диагонали; в) трапецию по основаниям и диагоналям. 49 ГЛАВА I. Четырехугольники —^ 166. Постройте: а) прямоугольник по диагонали и периметру; б) ромб по высоте и острому углу; в) равнобедренную трапецию по разности оснований, боковой стороне и диагонали. 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § 6 Теоретический материал • признаки параллельных прямых; • свойства параллельных прямых. задачи 167. Точки D, E и F — середины сторон AB, BC и AC равностороннего треугольника ABC соответственно. Докажите, что четырехугольник ADEF — ромб. Назовите другие ромбы, тремя вершинами которых являются точки D, E и F. 168. Отрезки AD и CE — равные высоты треугольника ABC. Докажите, что треугольник DBE равнобедренный. § 6. Теорема Фалеса. Средние линии треугольника и трапеции рис. 46. Теорема Фалеса рис. 47. К доказательству теоремы Фалеса 6.1. теорема Фалеса Для дальнейшего изучения свойств трапеции докажем важную теорему. теорема (Фал(;са) Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне. Доказательство □ Пусть Aj, A2, A3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон данного угла, а В^, B2, B3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если AjA2 = A2A3, то BjB2 = В2 В3 (рис. 46). Проведем через точку B2 прямую CD, параллельную A^A3 (рис. 47). Четырехугольники А2AjCB2 и А3А2B2D — параллелограммы по определению. Тогда Aj^2 = CB2, A2A3 = B2D, а поскольку AjA2 = A2A3, то CB2 = B2D. Рассмотрим треугольники B1B2C и B3B2D. У них CB2 = B2D по доказанному, = Z 2 как вертикальные, а Z 3 = Z4 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А1B1 и А3B3 и секущей CD .Следовательно, А B1B2C =А B3B2D по второму признаку, откуда B1B2 = B2B3. Теорема доказана. ■ 51 ГЛАВА I. Четырехугольники Заметим, что в условии данной теоремы вместо сторон угла можно рассматривать две произвольные прямые, поэтому теорема Фалеса может формулироваться и следующим образом: параллельные прямые, которые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой. \ Задаче 1 езок н \ Ра зде .ли те да1 1ны й отр ш n зав нм х ч аст ей. к 1 Решение Г Ре ши м зад ,ач у д 1ля n 3 , т . е. ра зде ли м да1 1нь ;й 1 1 отрезок л| ^ на три .рс вн ые час :ти (рис. 48 ). ■'2 у Для это 5 го 1 г ^ проведем из то чки A 1 ^ про изв ол >нь [й ^1 л|ч, не до 1полн1 1 ^тельн ми к 1 лУ чУ A I I I ?, и отложим 1 1 1 1 1 1 А трезки A Cl, CiC г ,С3 Проведем 2 •'i' ■^2 прямую C и паралле льн ые ей фямм е через рис. 48. Деление отрезка на равные части —1 1—/ точки C и C2 . По 1 т еор еме фалесе эти пр; I шь 1е делят о трезо! A B на три р|авнме| части. Аналогично Мож 1 1 1 1 но раз делить про изв|олЬнь й отр е- зок на любое коли 1 1 1 1 1 чество равных 1 1 LJ 1 частей. I I В С б рис. 49. Средняя линия треугольника 6.2. Средняя линия треугольника Теорема Фалеса помогает исследовать еще одну важную линию в треугольнике. определение Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 49, а отрезок DE — средняя линия треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три средние линии (рис. 49, б). 52 § 6. Теорема Фалеса. Средние линии треугольника и трапеции Рис. 50. К доказательству свойства средней линии треугольника теорема (свойство средней линии треугольника) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Доказател ьство □ Пусть DE — средняя линия треугольника ABC (рис. 50). Докажем сначала, что DE У AC. Проведем через точку D прямую, параллельную AC. По теореме Фалеса она пересечет отрезок BC в его середине, т. е. будет содержать отрезок DE. Следовательно, DE У AC. Проведем теперь среднюю линию EF. По только что доказанному она будет параллельна стороне AB. Четырехугольник ADEF с попарно параллельными сторонами по определению является параллелограммом, откуда DE = AF. А поскольку точка F — середина AC, то DE = - AC. 2 Теорема доказана. ■ \ ОПор ная зада —г;—'—'—'—»—'—' 1ча ' (теорема Варин ьона) \ Се -ре дины сторон четырехугольника 1 яе ля от :я ве ‘ри 1ин ам и 1 пар ал пелограмм< а. Д Цок аж1 1те г > с Решение / \ П уст 3 т оч^ ;и K, L, M, N — се ред ин ы сто рон ч г- 1 ч S Ш 1 1 тырехуг 1 ольни ка AE !CD (F )ис 51). Проведем диа- , / г '' ч гональ BD. Отр езки KN и ML — 1 1 средние 1 ли- 'J нИи тр« BD и со 1 1 ответстве —1— гнно. гугол! никоВ A C ED по 1 :войству \ 1 средней л ин ии 1 еугол 1 ьника 1 они 1 рон четырехугольника ABCD — вершины параллелограмма параллельны стрроне т. е. ПаралЛеЛьны и раВНы -Н—\—Ц—f ' '—^— по признаку ник KLMN —I—I—I— —Н между i—^ параллелограмма па|ралле|лограмм1 собой. Тогда 1^^—h четырехуголь 53 ГЛАВА I. Четырехугольники В С А D Рис. 52. Средняя линия трапеции В С рис. 53. К доказательству свойства средней линии трапеции 6.3. Средняя линия трапеции определение Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. На рисунке 52 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD. теорема (свойство средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказател ьство □ Пусть EF — средняя линия трапеции ABCD с основаниями А^ и BC (рис. 53). Проведем прямую BF и отметим точку G — точку пересечения прямых BF и AD. Рассмотрим треугольники BFC и GFD. У них FC = FD, поскольку F — середина CD, Z1 = Z 2 как вертикальные, а Z 3 = Z 4 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей CD. Следовательно, А BFC = А GFD по второму признаку, откуда BF = FG. Тогда по определению EF — средняя линия треугольника ABG. По свойству средней линии треугольника EF У AG, поэтому EF У AD и EF У BC. Кроме того, из доказанного равенства треугольников следует, что BC = DG, откуда AG = AD + DG = AD + BC. По свойству средней линии треугольника EF = — AG = — (AD + BC). 2 2 Теорема доказана. ■ Задача боковую сторону трапецЦи Через точки, -Р—f на три -Z— -t- делящие прямые парал- равные части, проведены трапеции. Найдите дли- лельные основаниям Н—^—I—h ± н—f 1—h внутри ны ртрезкрв [этих прямых, заключенных 5 м. ____I___ трапеции, |если ее основания равны: 2 м 54 и § б.Теорема Фалеса. Средние линии треугольника и трапеции Решение В 2 С \ Пусть в трапеции .ABCD__AD у BC, 1- теореме AA1 = A1A2 = Ag B ФалеСа ПаралЛеЛьнЫе | пря -п (рИс- 54). По г точки Ag, о|т- мые, t которые, проходят Через на боковой Стороне -ь A секают i—^ ки, т. е CD равные отрез--г , -Ч—^^ Тогда по определению д DD1 = D1D2 = DC "Н—1——I—I——t—1——t—I— линия трапеции | AAgPjP, | А^р^ рй(Г5Г A.Di средняя линй^ трапеции A1BCD1. Пусть A1D1 = средняя I 1 L I A2D, = у м.1 По свойству x м, 1 I I I линии трапеции имеем систему: X = средней у= у + 5 X + 2 2х - у = 5, Гх= 4, 2у - X = 2; [у = 3.- Ответ м 4 м. Вопросы и задачи ф устные упражнения 169. Отрезок DE — средняя линия треугольника ABC (см. рис. 49, а). а) Определите вид четырехугольника ADEC. б) Назовите медиану треугольника, исходящую из вершины A. 170. Может ли средняя линия треугольника быть перпендикулярной его стороне; двум его сторонам? 171. Могут ли средние линии треугольника быть равными 3 см, 4 см и 10 см? Почему? 172. В треугольнике ABC проведена средняя линия DE, параллельная стороне AC.B каком отношении прямая DE делит медиану BM; высоту BH ? 173. Середины оснований трапеции соединены отрезком. Является ли он средней линией трапеции? 174. Может ли средняя линия трапеции быть меньше обоих ее оснований; равной одному из оснований? 55 4 и X 5 2 и ГЛАВА I. Четырехугольники 175. Может ли средняя линия трапеции проходить через точку пересечения диагоналей? Почему? графические упражнения 176. Начертите треугольник ABC. Отметьте на стороне AB точки Aj, А2 и А3 так, чтобы они делили отрезок AB на четыре равные части. Проведите через эти точки прямые, параллельные стороне AC, и обозначьте точки их пересечения со стороной BC буквами Cj, C2 и C3 соответственно. а) Измерьте и сравните длины отрезков, на которые точки Cj, C2 и C3 делят сторону BC. б) Выделите красным цветом среднюю линию треугольника ABC. в) Выделите синим цветом среднюю линию трапеции AA2C2C. 177. Начертите треугольник ABC .Отметьте точки D, E и F — середины сторон AB, BC и AC соответственно. Соедините отмеченные точки. а) Определите вид четырехугольника ADEF. б) Определите вид четырехугольника ADEC. в) Назовите все треугольники, которые равны треугольнику DEF. Запишите соответствующие равенства. письменные упражнения уровень А 178. По данным рисунка 55 найдите х, если a У b. рис. 55 —^ 179. Через середину D стороны AB треугольника ABC проведена прямая, которая параллельна AC и пересекает сторону BC в точке E. Найдите BC, если BE = 8 см. 56 § 6. Теорема Фалеса. Средние линии треугольника и трапеции 180. Стороны треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. —^ 181. Средняя линия равностороннего треугольника равна 3,5 см. Найдите периметр треугольника. 182. Докажите, что средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника. 183. Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию с боковыми сторонами 3 м и 4 м и меньшим основанием 5 м. Найдите периметр треугольника. 184. Диагонали четырехугольника равны 18 см и 22 см. Найдите периметр параллелограмма, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. 185. Найдите: а) среднюю линию трапеции с основаниями 8 см и 12 см; б) основания трапеции, в которой диагональ делит среднюю линию на отрезки длиной 3 см и 4 см. —^ 186. Найдите: а) среднюю линию равнобедренной трапеции с боковой стороной 5 см и периметром 26 см; б) основания трапеции, если одно из них больше другого на 6 см, а средняя линия трапеции равна 5 см. 187. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. 188. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. уровень Б 189. Прямая, которая параллельна основанию равнобедренного треугольника и проходит через середину боковой стороны, отсекает от данного треугольника трапецию. Найдите ее периметр, если периметр данного треугольника равен 26 см, а основание относится к боковой стороне как 5 : 4. 190. Средние линии треугольника относятся как 4 : 5 : 6. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 60 см. 191. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию. 57 ГЛАВА I. Четырехугольники —^ 192. Докажите, что середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба. 193. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон? -> 194. Как разрезать треугольник на две части так, чтобы из них можно было составить параллелограмм? 195. Прямоугольная трапеция делится диагональю на равносторонний треугольник со стороной a и прямоугольный треугольник. Найдите среднюю линию трапеции. 196. Концы диаметра окружности удалены от касательной к этой окружности на 14 см и 20 см. Найдите диаметр окружности. —^ 197. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой l и удалены от нее на 7 см и 11 см соответственно. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой l. 198. Боковую сторону равнобедренного треугольника разделили на четыре равные части. Через точки деления проведены прямые, параллельные основанию треугольника. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, если его основание равно 12 см. уровень В 199. Точки M и N — середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и CN делят диагональ BD на три равные части. 200. Разделите данный отрезок в отношении 3 : 2. 201. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен их полуразности. Решите задачу 197 при условии, что точки A и B лежат по разные стороны от прямой l. 202. Середина боковой стороны равнобедренной трапеции с основаниями a и b (a < b) соединена с основанием ее высоты (рис. 56). Докажите, что: а) HD = ^-0.; R Г б) AH = MN = a + Ь 58 2 § 6. Теорема Фалеса. Средние линии треугольника и трапеции В —^ 203. В равнобедренной трапеции диагональ длиной 4 см образует с основанием угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции. 204. а) В треугольнике ABC каждая из боковых сторон AB и BC разделена на m равных частей (рис. 57). Докажите, что отрезки, соединяющие соответствующие точки деления, параллельны между собой и параллельны стороне AC. б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для трапеции. в) Сформулируйте утверждение, обратное теореме Фалеса, и опровергните его с помощью контрпримера. С 0 повторение перед изучением § 7 теоретический материал ^ класс, п. 16.3, 23.1 • внешний угол треугольника; • окружность; • окружность, описанная около треугольника; • геометрическое место точек. задачи 205. Через вершину равностороннего треугольника, вписанного в окружность, проведена прямая, параллельная его стороне. Докажите, что эта прямая является касательной к окружности. 206. Внешний угол равнобедренного треугольника равен 80°. Найдите углы треугольника. ГЛАВА I. Четырехугольники § 7. Вписанные углы 360°-а рис. 58. Углы на плоскости 7.1. градусная мера дуги В седьмом классе изучение свойств треугольников завершалось рассмотрением описанной и вписанной окружностей. Но перед тем как рассмотреть описанную и вписанную окружности для четырехугольника, нам необходимо остановиться на дополнительных свойствах углов. До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала 180°. Расширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость. На рисунке 58 угол (ab) делит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны а и (360°-а). Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности. определение Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности. На рисунке 59, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности O пересекают данную окружность в точках A и B. При этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка L, рис. 59, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка M, рис. 59, б). Для того чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами OA и OB мы рассматриваем как центральный, мы будем указывать 60 § 7. Вписанные углы Рис. 59. Центральный угол и дуга окружности В дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т. е. содержится внутри него). На рисунке 59, а центральному углу AOB, обозначенному дужкой, соответствует дуга ALB, а на рисунке 59, б — дуга AMB. В случае, когда лучи OA и OB дополнительные, соответствующая дуга ANB является полуокружностью (рис. 59, в). Определение Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: UALB (или иAB). Например, на рисунке 59, в иANB = 180°,т. е. градусная мера полуокружности составляет 180°. Очевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет 360°. Концы хорды AB делят окружность на две дуги — ALB и AMB (рис. 59, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой AB. 7.2. Вписанный угол определение Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. На рисунке 60 изображен вписанный угол ABC. Его вершина B лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках A и C. Дуга AC (на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол ABC опирается на дугу AC. теорема (о вписанном угле) рис. 60. Вписанный угол ABC Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 61 ГЛАВА I. Четырехугольники В Рис. 61. Измерение вписанного угла ABC Доказательство □ Пусть в окружности с центром O вписанный угол ABC опирается на дугу AC. Докажем, что ZABC = — U AC. Рассмотрим три случая 2 расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 61). 1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла (рис. 61, а). В этом случае центральный угол AOC является внешним углом при вершине О равнобедренного треугольника AOB. По теореме о внешнем угле треугольника Z AOC = Z1 + Z 2. А поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника, то Z AOC = 2Z ABC, т. е. Z ABC = - Z AOC = - u AC. 22 2) Пусть центр окружности лежит внутри угла ABC (рис. 61, б). Луч BO делит угол ABC на два угла. По только что доказанному Z ABD ^ —u AD, ZDBC ^!^uDC, следова- 22 тельно, ZABC = — (uAD + uDC) = — uAC. В ^ ' 2 3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 60, в), ZABC =1 (uDC-uAD) = -1 u AC. Теорема доказана. ■ Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 62 б § 7. Вписанные углы \ 1 Задача \ 1 Найдите угол Е DC, если ZBCA = 50° (р ис. 62 0. Решение 1 Д ля то ■о чт обь I н Л аити угол B DC н( еоб хо* дил ю Ч vzn наит1 и гра/ 1 ^уснук 1 1 э меру д дуги Ес 1 1 1 1 1 на которую он ч 1 о^ир 1 ает|ся. Но неПосреДстВен но —1 1 1 1 1— по данным за- ч ' дачи мы можем \ найти 1 1 только градус 1 ну к меру дуги аЪ—' 1 ' ' 1 1 АЕ, на которую опи фа етс я угол B CA —1—1— : из те- А ч у' орем ы о вПиСанНом 1 1 1 ■ле и AB = 2ZBCA =1 D0°. за-1 1 метиМ, 1 1 что Дуг1 1 . AB и B вм( гсте с ос 1 авляют 1 1 рис. 62 пОлуокр ужность, т. и/ iB - uBC =1^0°, следова- те ЛьНо, uBC = 18 1 ю° -100° = 8 0° .1 Тс ?гда По 1 1 тео рем \е о вп иса ннс т угл е ZBDC = - и BC = 40°. 2 ОтЕ ет: 40 )°. Рис. 63. Вписанные углы, опирающиеся на дугу AB , равны 7.3. Следствия теоремы о вписанном угле По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий. Следствие 1 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рисунке 63 равна половине дуги AB. Следствие 2 Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность. Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна 180°, то угол ABC, который опирается на полуокружность, равен 90° 63 ГЛАВА I. Четырехугольники С Рис. 64. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой С С рис. 65. Прямоугольный треугольник ABC вписан в окружность (рис. 64). Обоснование обратного утверждения проведите самостоятельно. Следствие 3 Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Первое из приведенных утверждений вытекает из следствия 2. Если в треугольнике ABC угол ABC прямой (рис. 65, а), то дуга AC, на которую опирается этот угол, является полуокружностью. Тогда гипотенуза AC — диаметр описанной окружности, т. е. середина гипотенузы — центр окружности. Утверждение о длине медианы следует из равенства радиусов: BO = AO = CO = - AC. 2 Отметим еще один интересный факт: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника с общей боковой стороной. Из этого, в частности, следует, что углы, на которые медиана делит прямой угол, равны острым углам треугольника (рис. 65, б). В качестве примера применения следствий теоремы о вписанном угле приведем другое решение задачи, которую мы рассмотрели в п. 7.2. 1 f Задача \ 1 - , Н( алд ите уг ол В[ )С, 1 если ZE CA = 5 о0° (с/ м. оис 62 ’-)■ и d[ У \ Реше ени е йо I П РОЕ ед ем хорду A В (р ис. 66 0. По ско оль ку вг и- \ саннЫй Уг ол ABC ог ирс 1ет( :я на го 1 луокрУжн ость, А\ 1 1 то по сл едс твию 2 AB С = 90 ° Зн ачит, тре- рис . 66 уГолЬни к I \В( « 1 . пря/ моу гол 1ЬН 1 ыЛ I ВС A = 50 °л1 огда 64 § 7. Вписанные углы BD ZBAC = 40°. По сл ед( :тв1 ию 1 угг ы BAC и C 1 1 1 1 1 равны, посколью ' о 5с оН1 и о пи Т 1 раютс5 1 н с д УгУ В C. Сл 1едЬвс тел |ьн о, /В DC =/ BA C= 40 ° О тве т: 40° Вопросы и задачи Ф устные УПРАЖНЕНИЯ 207. Определите, является ли вписанный угол ABC острым, прямым или тупым, если: а) дуга ABC меньше полуокружности; б) дуга ABC больше полуокружности; в) дуга ABC равна полуокружности. 208. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности (см. рис. 61, а). Может ли данный угол быть тупым; прямым? 209. Трое футболистов пробивают штрафные удары по воротам из точек A, B и C, которые лежат на окружности (рис. 67). У кого из них угол обстрела ворот наибольший? q 210. Могут ли два вписанных угла быть равными, если они не опираются на одну дугу? 211. Могут ли вписанные углы ABC и AB1C не быть равными? Приведите пример. 212. Может ли: а) угол, стороны которого пересекают окружность в концах диаметра, быть острым; б) угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность в концах диаметра, быть острым? 213. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Может ли высота, проведенная к ней, быть равной 6? Ответ обоснуйте. 65 ГЛАВА I. Четырехугольники ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 214. Начертите окружность с центром в точке O и отметьте на ней точки A, B и C. а) Выделите двумя цветами два угла, образованные лучами OA и OC. б) Каким цветом выделен угол, который в два раза больше угла ABC ? в) Отметьте на окружности точку D так, чтобы вписанные углы ABC и ADC были равны. 215. Начертите окружность с центром O и проведите ее диаметр AB. а) Отметьте на окружности точку C и измерьте угол ACB. Объясните полученный результат. б) Начертите и выделите красным цветом центральный угол, который в два раза больше угла ABC. О письменные упражнения уровень А 216. В окружности построен центральный угол. Найдите градусные меры дуг, которые образовались, если: а) одна из них больше другой на 120°; б) они относятся как 2 : 7. —^ 217. Найдите градусную меру дуги, которая составляет: а) четверть окружности; б) треть окружности; в) — окружности. 18 218. По данным рисунка 68 найдите градусную меру x (точка O — центр окружности). рис. 68 66 § 7. Вписанные углы 219. По данным рисунка 69 найдите градусную меру x (точка O — центр окружности). Рис. 69 220. На окружности отмечены точки A, B, C и D. Найдите угол ABC, если Z ADC = а. Сколько решений имеет задача? -> 221. На окружности отмечены точки A, B и C, причем хорда AC равна радиусу окружности. Найдите угол ABC. Сколько решений имеет задача? 222. Треугольник ABC вписан в окружность, центр которой лежит на отрезке AB. Найдите: а) угол B, если ZA = 65 °; б) медиану, проведенную из вершины C, если AB = 12 см. —^ 223. Отрезок AC — диаметр окружности с центром O, а точка B лежит на этой окружности. Найдите: а) угол между хордами BA и BC; б) отрезок AC, если BO = 5 см. 224. Докажите, что биссектриса вписанного угла делит пополам дугу, на которую он опирается. уровень Б 225. По данным рисунка 70 найдите угол x (точка O — центр окружности). рис. 70 67 а ГЛАВА I. Четырехугольники 226. По данным рисунка 71 найдите угол x (точка O — центр окружности). Рис. 71 227. Хорда AC делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 11 : 7. Найдите угол ABC, если точка B лежит на большей дуге. 228. Найдите углы вписанного треугольника, если его вершины делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 4 : 5. 229. Сторона равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, стягивает дугу 100°. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача? 230 (опорная). Угол между хордой и касательной к окружности, проведенной через конец хорды, измеряется половиной дуги, лежащей внутри этого угла. Докажите. 231 (опорная). а) Дуги окружности, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. Докажите. б) Если две дуги окружности равны, то равны и хорды, стягивающие их. Докажите. Пользуясь рисунком, сформулируйте и докажите обратное утверждение. 232. Хорда окружности стягивает угол 100°. Найдите угол между касательными, проведенными через концы этой хорды. 233. На окружности обозначены точки A, B и C, причем AC — диаметр окружности, Z BCA = 60°, BC = 4 см. Найдите радиус окружности. 234. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если его медиана, проведенная к гипотенузе, равна 9 см и образует с гипотенузой угол 60°. 68 а § 7. Вписанные углы Уровень В 235 (опорная). Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника, а центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника,— вне треугольника. Докажите. 236 (опорная). Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сторонами этого угла, а другая — между их продолжениями. Докажите. 237 (опорная). Угол между двумя секущими, которые пересекаются вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами. Докажите. 238. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе. 239. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной из вершины этого угла. 240. Найдите геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через концы отрезка AB. 241. Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок AB видно под заданным углом а. 242. Точка A лежит вне данной окружности с центром в точке O. Постройте касательную к данной окружности, проходящую через точку A . 0 повторение перед изучением § 8 теоретический материал • описанная и вписанная окружности; • свойство отрезков касательных; • теорема о биссектрисе угла. задачи 243. В равнобедренный треугольник с углом при основании 40° вписана окружность. Найдите угол между радиусами, проведенными в точки касания окружности с боковыми сторонами треугольника. 244. Найдите периметр равнобедренного треугольника, если точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 9 см, начиная от основания. 69 ГЛАВА I. Четырехугольники § 8. Вписанные и описанные четырехугольники рис. 72. Четырехугольник ABCD вписан в окружность 8.1. Вписанные четырехугольники определение Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Четырехугольник ABCD на рисунке 72 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника. Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника. теорема (о вписанном четырехугольнике) 1) Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180° (свойство вписанного четырехугольника). 2) Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (признак вписанного четырехугольника). Доказател ьство □ 1) Свойство. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 72). По теореме о вписанном угле ZA = — 'uBCD, ZC = — 'uDAB. 2 2 Следовательно, Z A + Z C = — {yBCD + uDAB) = 1 2 ^ —• 360° = 180°. Аналогично доказываем, что 2 Z B + Z D = 180°. 2)* Признак. Пусть в четырехугольнике ABCD Z B + Z D = 180°. Опишем окружность 70 § 8. Вписанные и описанные четырехугольники Рис. 73. К доказательству от противного признака вписанного четырехугольника рис. 74. Прямоугольник, вписанный в окружность рис. 75. Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность около треугольника ABC и докажем от противного, что вершина D не может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка D лежит внутри окружности, а точка E — точка пересечения луча AD с дугой AC (рис. 73). Тогда четырехугольник ABCE — вписанный. По условию Z B + ZD = 180°, а по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника Z B + ZE = 180 °, т. е. Z D = ZE. Но угол D четырехугольника ABCD — внешний угол треугольника CDE, и по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла E. Следовательно, мы пришли к противоречию, т. е. точка D не может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка D не может лежать вне окружности. Тогда точка D лежит на окружности, т. е. около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Теорема доказана. ■ Следствие 1 около любого прямоугольника можно описать окружность. Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником. Прямоугольник, вписанный в окружность, изображен на рисунке 74. Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника (см. задачу 255). Следствие 2 около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, изображена на рисунке 75. Примеры решения задач о вписанных четырехугольниках представлены в п. 8.4. 71 ГЛАВА I. Четырехугольники Рис. 76. Четырехугольник ABCD описан около окружности 8.2. описанные четырехугольники определение Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Четырехугольник ABCD на рисунке 76 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник. Оказывается, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак. теорема (об описанном четырехугольнике) 1) В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны (свойство описанного четырехугольника). 2) Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырехугольника). Доказател ьство □ 1) Свойство. Пусть стороны четырехугольника ABCD касаются вписанной окружности в точках K, L, M и N (рис. 76). По свойству отрезков касательных AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. С учетом обозначений на рисунке AB + CD = a + b + c + d = AD + BC. 2)* Признак. Пусть в четырехугольнике ABCD с наименьшей стороной AB AB + CD = = AD + BC. Поскольку по теореме о биссектрисе угла точка O (точка пересечения биссектрис углов A и B) равноудалена от сторон AB, BC и AD, то можно построить окружность с центром O, которая касается этих трех сторон (рис. 77, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны CD. 72 § 8. Вписанные и описанные четырехугольники С С б рис. 77. К доказательству признака описанного четырехугольника рис. 78. Ромб, описанный около окружности AD - AD^ = CD - CDj, DDj = CD - CDj, что противоречит неравен- Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 77, б). Проведем через точку C касательную к окружности, которая пересекает сторону AD в точке D^. Тогда по свойству описанного четырехугольника ABCD-^ BC + ADj = AB + CD^. Но по условию BC + AD = AB + CD. Вычитая из второго равенства первое, имеем: ' " ' " т. е ству треугольника для треугольника CD-^D. Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD ,т. е. четырехугольник ABCD описанный. Теорема доказана. ■ Замечание. Напомним, что в данной теореме рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Следствие В любой ромб можно вписать окружность. Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом. Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 78. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба (см. задачу 265, а). О За дач а В р авн обе ;др 5NN ую тр< зпе ци! э с бс ков ой 1 сторо ной 6 см вп исс на окр уж нос ть. На й- дит е с ре/ INK Ж ли нию э т рап еци 1и. >еш ен ие Пу сть A BCD ) ■ - / дн ная ра вн( обе дренная тра пе ция с ос нов ан1 иям и AD и В C. По] с во^ст вУ оПиСанНоГо че 1 гырех уГо )ЛЬ 1 ника A В + , CD = AD + BC 12 с м. Средняя ли> 1ия 1 1 1 1 трапеции рав на AD + B C т. е. равнс 1 6 см. JIL 2 О! ве' ■: 6 с м. 73 а ГЛАВА I. Четырехугольники (О (О (О (О Софизм — от греческого «софизма» — выдумка, уловка, головоломка В 8.3*. геометрические софизмы Многим из вас, наверное, известна древнегреческая история об Ахиллесе, который никак не может догнать черепаху. История математики знает немало примеров того, как ложные утверждения и ошибочные результаты выдавались за истинные, а их опровержение давало толчок настоящим математическим открытиям. Но даже ошибки и неудачи могут принести пользу математикам. Эти ошибки остались в учебниках и пособиях в виде софизмов — заведомо ложных утверждений, доказательства которых на первый взгляд кажутся правильными, но на самом деле таковыми не являются. Поиск и анализ ошибок, содержащихся в этих доказательствах, часто позволяют определить причины ошибок в решении других задач. Поэтому в процессе изучения геометрии софизмы иногда даже более поучительны и полезны, чем «безошибочные» задачи и доказательства. Рассмотрим пример геометрического софизма, связанного с четырехугольниками, вписанными в окружность. Окружность имеет два центра. « Доказательство » Обозначим на сторонах произвольного угла B точки А и С и проведем через эти точки перпендикуляры к сторонам ВА и ВС соответственно (рис. 79). Эти перпендикуляры должны пересекаться (ведь если бы они были параллельны, то параллельными были бы и стороны данного угла — обоснуйте это самостоятельно). Обозначим точку D — точку пересечения перпендикуляров. Через точки А, D и С, не лежащие на одной прямой, проведем окружность (это 74 § 8. Вписанные и описанные четырехугольники можно сделать, поскольку окружность, описанная около треугольника ADC, существует и является единственной). Обозначим точки E и F — точки пересечения этой окружности со сторонами угла B. Прямые углы EAD и FCD являются вписанными в окружность. Значит, по следствию теоремы о вписанных углах, отрезки DE и DF являются диаметрами окружности, которые имеют общий конец D, но не совпадают. Тогда их середины и 02 являются двумя разными центрами одной окружности, т. е. окружность имеет два центра. Ошибка этого «доказательства» заключается в неправильности построений на рисунке 79. В четырехугольнике ABCD ZA+ZC=ZB+ZD= = 180°, т. е. он вписан в окружность. Это означает, что в ходе построений окружность, проведенная через точки A, D и C, обязательно пройдет через точку B. В таком случае отрезки DE и DF совпадут с отрезком DB, середина которого и является единственным центром построенной окружности. Среди задач к этому и следующим параграфам вы найдете и другие примеры геометрических софизмов и сможете самостоятельно потренироваться в их опровержении. Надеемся, что опыт, который вы при этом приобретете, поможет в дальнейшем избежать подобных ошибок при решении задач. 8.4*. Четырехугольник и окружность в задачах. метод вспомогательной окружности При решении задач об окружностях и четырехугольниках иногда следует использовать специальные подходы. Один из них заключается в рассмотрении вписанного треугольника, 75 ГЛАВА I. Четырехугольники вершины которого являются вершинами данного \ Задача \ Н( сйд ите ; п ери ме тр равнобедрен но А т рап ец| ш, ди с- к \ го 1 1 1 наль которс ГТГТ 1 1 1 )й перпендикулярна рок !овоИ сто роне и образует с осно! еанием угол 3,0°, если радиус о( ру> кно сти , о 1 пис ань 1 1 ной около тр ап еци 1 и, рав ен 8 с м. Решение П уст ^ан с е пи 1 сан ная трапец ия A BCD, AD У B C t 1 BD1 AB, ZADB = 30 ° (рис. 80). -му 3( \ нс 'СтЬ, опиСаНная около |трапе1 1ии, опи санС также 1 1 1 4К ) и 1 1 1 1 1 п ' ' \ ' ? 1 А BD, значит, L 1 1 ее центром! я в ляется 1 1 1 1 1 1 середина гипо генузь A D. Тогда A D = 2R = 16 см.1 В 1 1 треуголь нике ABD AB = 8 см и< -8 кс к катет, 1 1 * отиво. 1 лежащий уг лу 3С )°. По скольку в 1 пр 1 чмоуго шьном треуГольни 1 1 г ' 1 1 1 ке A BD A= 6°°, т° Уг лы при большем основании т 1 1 рапец ии рае ены 60°. Z|ADB = ZCBD как внутренние н акр ест лежащие при па раллельных ill прял ыХ A D и B C и секу- щей BD . Следов'ате 1 1 1 пьно, в тре /го. льн ике B CD дВа УгЛс рае ны1 т. ! 1. он являетс 1 1 я рсвньбедренн ым с рсно- 1 вс ни ем откуда BC = CD = AB = 8 см ог, да Pa BCD = 16 + 8 + 8 + 8 = 40 (см). ЭТЕ ет: 40 ) с м. Особенно интересным и нестандартным является применение окружности (как описанной, так и вписанной) при решении задач, в условиях которых окружность вообще не упоминается. 4 4 \ 1 ь J Зад ача \\ Е И: ! т очк и D, леж <аи ей 1 на 1 катеч е BC п рям оу ■ол ь- V N Р ного треу ■ольника A BC 1 , п роВед ен пе 1 1 фпендику- С D 1 ляр DE к гипотенузе AB (р ис 8 1). До ка) жит е, Ри :. 8 1 что ZDCE = ZDAE. 76 § 8. Вписанные и описанные четырехугольники Решение В четырехугольнике —^f—h- ACDE ZACD + ZAED = 180 I I I I г описать о,крУжнрсть. значит, В около него можно j..1._ I ■ этои_ окружности будут опирраться на 1—h вписанные i-углы одну и ту же дуг ——1_^_1 ст[вию теоремы р вписанном угле ^D^E = ^DaE DCE DA E у, и по след- Метод решения задач с помощью дополнительного построения описанной или вписанной окружности называют методом вспомогательной окружности. Вопросы и задачи ф устные упражнения 245. В какой прямоугольник можно вписать окружность? Около какого ромба можно описать окружность? 246. Можно ли описать окружность около четырехугольника, у которого только один прямой угол; только два прямых угла? 247. Можно ли описать окружность около прямоугольной трапеции? В С 248. Трапеция ABCD (AD У BC) описана около окружности (рис. 82). Как построить точку M, чтобы треугольник AMD был описан около той же окружности? 249. В трапеции три стороны равны. Можно ли в такую трапецию вписать окружность? Можно ли около такой трапеции описать окружность? графические упражнения 250. Начертите окружность с центром в точке O и отметьте на ней точки A , B, C и D так, чтобы при их последовательном соединении образовался вписанный четырехугольник ABCD. Измерьте углы A и B этого четырехугольника. Используя свойства вписанного четырехугольника, вычислите градусные меры углов C и D. Проверьте полученные результаты измерением. 77 и ГЛАВА I. Четырехугольники О 251. Начертите окружность с центром в точке O и проведите к ней четыре касательные так, чтобы при их попарном пересечении образовался описанный четырехугольник ABCD. Измерьте длины сторон AB, BC и CD этого четырехугольника. Используя свойства описанного четырехугольника, вычислите длину стороны AD. Проверьте полученный результат измерением. письменные упражнения уровень А 252. Определите, можно ли описать окружность около четырехугольника ABCD, если углы A, B, C и D равны соответственно: а) 90°, 90°, 20°, 160°; б) 5°, 120°, 175°, 60°. 253. Найдите неизвестные углы: а) вписанного четырехугольника, если два его угла равны 46° и 125°; б) вписанной трапеции, если один из ее углов равен 80°; в) вписанного четырехугольника, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. 254. Найдите неизвестные углы: а) вписанного четырехугольника ABCD, если углы A и C равны, а угол D равен 50°; б) вписанной трапеции, если сумма двух из них равна 230°. 255 (опорная). Центр окружности, описанной около прямоугольника, является точкой пересечения его диагоналей. Докажите. 256. Из точки C, лежащей внутри острого угла A, проведены перпендикуляры CB и CD к сторонам угла. Докажите, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность. 257. В выпуклом четырехугольнике ABCD Z A + Z C = Z B + Z D. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность. 258. Найдите периметр: а) описанного четырехугольника, три последовательные стороны которого равны 7 см, 9 см и 8 см; б) описанной трапеции, боковые стороны которой равны 3 см и 11 см. 78 § 8. Вписанные и описанные четырехугольники —^ 259. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Найдите: а) боковую сторону трапеции, если ее средняя линия равна 7 см; б) среднюю линию трапеции, если ее периметр равен 16 см. 260. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 3 см. Найдите периметр квадрата. уровень Б 261. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр которой лежит на стороне AD. Найдите углы четырехугольника, если ZACB = 20°, Z DBC = 10°. 262. Найдите углы трапеции, если центр окружности, описанной около нее, лежит на большем основании, а угол между диагоналями равен 70°. 263. В треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке D. Докажите, что точки A1, B, C1, D лежат на одной окружности. 264. Если биссектрисы углов четырехугольника, пересекаясь, образуют четырехугольник, то около образованного четырехугольника можно описать окружность. Докажите. 265 (опорная). а) Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей, а радиус окружности равен половине высоты ромба. Докажите. б) Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты. Докажите. 266. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC (точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC ). Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. 267. Стороны четырехугольника равны 4 м, 9 м, 8 м и 5 м. Назовите пары противолежащих сторон этого четырехугольника, если в него можно вписать окружность. 268. Диагональ ромба, исходящая из вершины угла 60°, равна 24 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. 269. Найдите среднюю линию прямоугольной трапеции, в которой большая боковая сторона равна 10 см, а радиус вписанной окружности равен 3 см. 79 ГЛАВА I. Четырехугольники 270. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, делит данный треугольник на трапецию и треугольник с периметром 24 см. Основание данного треугольника равно 12 см. Докажите, что в полученную трапецию можно вписать окружность. 271. Из точки A, лежащей вне окружности с центром в точке O, проведены касательные AB и AC к этой окружности (B и C — точки касания). Докажите, что в четырехугольник ABOC можно вписать окружность. уровень В 272 (опорная). Если трапеция ABCD (AD у BC) описана около окружности с центром в точке O, то: а) точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции; б) треугольники AOB и COD прямоугольные. Докажите. 273. Если сторону четырехугольника, соединяющую две его вершины, видно из двух других вершин под равными углами, то около этого четырехугольника можно описать окружность. Докажите. 274. Из вершины тупого угла ромба ABCD проведены высоты BM и BN, причем отрезок MN вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба. 275. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построен квадрат ABDE, диагонали которого пересекаются в точке K. Найдите угол ACK. 276. Найдите ошибку в «доказательстве» геометрического софизма: внешний угол треугольника равен внутреннему углу, не смежному с ним. Рас :см отр им чс гты; ^Доказательство » ' ' I I в котором = 180 рехугОльник D, которая пересече^т с и F. Соединив точки вписанный Г Г-Д- (рис. 8'з)ГЧерез точки A, B и C ZB + ZD = , - 1—^—г проведем о^ружнрсть, гороны AD и CD в некоторых точках E ^^I E и C, прлучим четырехугольник ABCE, д—Г L четырехугольника ZB -|—т тельно, в данную окружность. - - '^"+Ze = 18^. I, '|zp = ZeI. э то T-r СГ'-\--^^^------г По, свойству вписанного Но пр условию I ZB + ZD = 180 означает, что Г-г угол |CEA, “I г следова- m—I I I которыи| является внешним треугольника, углом треугольника СрЕ, равен внутреннему [углу CD Е этого т. е. внешний угол треугольника] равен внутреннему углу, не смежному с i-ним. 80 § 8. Вписанные и описанные четырехугольники 277. Найдите ошибку в «доказательстве» геометрического софизма: в окружности хорда, которая не проходит через центр, равна диаметру. ^Доказательство '» ПУ сть A и ;иа ме гр окр уж ности 1 с центром в т оч <е O (ри с. 84) . ПроВеДем 1 1 1 1 через точку - A 1 произ вольную хс >р- / \ ду AC ' и о 5о: нач 1им ее с ередину — точку dI Пров ед ем с 1 чер ез тоЧки B и D хорду BE и с оед —1— 1иним 1 1 С точки E и С. г ■--О г AD DE углы \ \ С В треугольниках B и C при вершине D равны ь\ / как вертикалы н^е, ZB AD = ZCED как вписанные углы, ОП1 фающиеся на о дну и ту же дугу BC, а AD = CD рис. 84 по 1 1 по^строе нию э. Сле доВателЬно,| эт и •реуго|льник 1 и равны 1 по стороне и двУм угЛаМ, < 1 откуда A B = EC, т. е. 1 диам 1 етр о фу жно рси ав( ен Хор де! кото рая не п —— эоХодит через -це нтр окружн( эсти. 278. Постройте ромб по диагонали и радиусу вписанной окружности. 279. Постройте равнобедренную трапецию по боковой стороне и радиусу вписанной окружности. 0 повторение перед изучением § 9 теоретический материал ^7 класс, • медиана, биссектриса и высота треугольника; • описанная и вписанная окружности для треугольника. задачи 280. Один из углов треугольника равен 60°. Под каким ресекаются биссектрисы двух других его углов? 281. Один из углов треугольника равен 60°. Под каким ресекаются высоты, проведенные к сторонам этого угла? углом пе-углом пе- ГЛАВА I. Четырехугольники § 9*. Замечательные точки треугольника 9.1. точка пересечения медиан В седьмом классе в ходе изучения вписанной и описанной окружностей треугольника рассматривались две его замечательные точки — точка пересечения биссектрис (иначе ее называют инцентром треугольника) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Рассмотрим еще две замечательные точки треугольника. теорема (о точке пересечения медиан треугольника) В медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника. рис. 85. Медианы треугольника пересекаются в одной точке Доказател ьство □ Пусть в треугольнике ABC проведены медианы А^, BF и CE (рис. 85). Докажем, что они пересекаются в некоторой точке O, причем АО: OD = BO: OF = CO: OE = 2:1. Пусть О — точка пересечения медиан AD и CE, точки K и M — середины отрезков АО и СО соответственно. Отрезок ED — средняя линия треугольника ABC, и по свойству средней линии треугольника ED У АС, ED = — АС. Кроме 2 того, KM — средняя линия треугольника АОС, и по тому же свойству KM У АС, KM = — АС. 2 Значит, в четырехугольнике KEDM две стороны параллельны и равны. Таким образом, KEDM — 82 § 9. Замечательные точки треугольника Рис. 86. Точка пересечения медиан — центр масс треугольника параллелограмм, и его диагонали KD и EM точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AK = KO = OD, CM = MO = OE, т. е. точка O делит медианы AD и CE в отношении 2 : 1. Аналогично доказываем, что и третья медиана BF точкой пересечения с каждой из медиан AD и CE делится в отношении 2 : 1. А поскольку такая точка деления для каждой из медиан единственная, то, следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке. ■ Точку пересечения медиан треугольника иначе называют центроидом или центром масс треугольника. В уместности такого названия вы можете убедиться, проведя эксперимент: вырежьте из картона треугольник произвольной формы, проведите в нем медианы и попробуйте удержать его в равновесии, положив на иглу или острый карандаш в точке пересечения медиан (рис. 86). \ Задача \ Ес ли в тр еуг олэ ни <е 1 две м ед ион ы ро1 ны , т о с эн , ро вне збе дре нн ый. Д< око жи е. Р ;ш( ;ни е р П уст э Е т эеу ■о/ ьн1 1ке A BC м еди юн AD и C E / \ 1 1 1 1 1 1 1 ровны и пересекоются в то' чке O (ррис 8' 7). \ ,Г1 1 ГП 1 1 Рассмотрим треугольники A Oe и CO D. Поскс жь ку Е то чко O у делит 1 1 каждую и: р 1вн ых м 1 едион A D / J/ \ и CE : 1 1 : в отне 1 :)ше ни и 1 ■ ■ 1^ то AO = :о1 E O= DO L / \ Кр ом е т'ого, ^ ■a0 ^Е^ = Z COD кок ве эти —I— кольнЕ ые. Зно- Л у 1 чит, AAOE = AC OD п о п ерв ом у п ри 1 зно ку. От :ю, до о — 1 след ует что AE = CD. ри( . 8 7 Но по ( —1— эпреде ше ниь О 1 лед ио) эт1. 1 IL5 тре зки - п о- ловины 1 1 сторон A \в и CB1. след овотельн о, . AB =C B, т. е. тре тольник ABC ровнобедреннЫй. 83 ГЛАВА I. Четырехугольники С В, Рис. 88. Высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке 9.2. Точка пересечения высот Теорема (о точке пересечения высот треугольника) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказател ьство □ Пусть AD, BF и CE — высоты тре угольника ABC (рис. 88). Проведя через верши ны треугольника прямые, параллельные противо лежащим сторонам, получим треугольник AjBjCj стороны которого перпендикулярны высотам тре угольника ABC. По построению четырехуголь и ники CjBCA откуда CjA = BC Bj ABC — параллелограммы, и BC = ABJ. Следовательно, точка A — середина отрезка BJCJ. Аналогично доказываем, что B — середина AJCJ и C — середина AJBJ. Таким образом, высоты AD, BF и CE лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника AJBJCJ, которые пересекаются в одной точке по следствию теоремы об окружности, описанной около треугольника. ■ Точку пересечения высот (или их продолжений) иначе называют ортоцентром треугольника. Таким образом, замечательными точками треугольника являются: • точка пересечения биссектрис — центр окружности, вписанной в треугольник; • точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр окружности, описанной около треугольника; • точка пересечения медиан — делит каждую из медиан в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника; • точка пересечения высот (или их продолжений). 84 § 9. Замечательные точки треугольника Вопросы и задачи Ф устные УПРАЖНЕНИЯ 282. Какие из замечательных точек треугольника могут лежать вне треугольника? 283. Может ли ортоцентр треугольника совпадать с его вершиной? 284. Как расположены замечательные точки в равностороннем треугольнике? графические упражнения 285. Начертите треугольник ABC, проведите его медианы AD и CE. Обозначьте точку O — точку их пересечения. а) Измерьте длины отрезков AO, OD и CO. Используя теорему о точке пересечения медиан треугольника, вычислите приближенно длину отрезка OE. Проверьте полученный результат измерением. б) Проведите луч BO и обозначьте точку F, в которой он пересекает сторону AC. В каком отношении эта точка делит сторону AC ? 286. Начертите треугольник ABC, проведите его высоты AD и CE. Обозначьте точку O — точку пересечения этих высот (или их продолжений). Проведите луч BO. Под каким углом он пересекает прямую AC ? Почему? письменные упражнения уровень А 287. Докажите, что в равнобедренном треугольнике все четыре замечательные точки лежат на одной прямой. Какая это прямая? 288 . В треугольнике точка пересечения медиан совпадает с ортоцентром. Докажите, что данный треугольник равносторонний. 289. Точка пересечения медиан треугольника делит одну из медиан на отрезки, разность которых составляет 3 см. Найдите длину этой медианы. 85 ГЛАВА I. Четырехугольники Уровень Б 290. Точка H — ортоцентр треугольника ABC. Докажите, что точка A — ортоцентр треугольника HBC. 291. Точки D, E, F — середины сторон треугольника ABC. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника DEF совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC. —^ 292. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA лежат на диагонали BD и делят ее на три равные части. уровень В 293. Расстояние от центра окружности, описанной около равнобедренного треугольника, до его основания равно 3 см, а радиус этой окружности равен 6 см. Найдите длины отрезков, на которые точка пересечения медиан делит медиану, проведенную к основанию. 294. Постройте треугольник по трем медианам. —^ 295. Центр окружности, описанной около треугольника, является ортоцентром треугольника, образованного средними линиями данного треугольника. Докажите. 0 повторение перед изучением § 10 теоретический материал • пропорции; равенство треугольников; теорема Фалеса. задачи 296. В прямоугольном треугольнике ABC (Z B = 90°) через середину катета AB проведена прямая, параллельная медиане BM. Найдите длины отрезков, на которые эта прямая делит гипотенузу, если BM = 6 см. x +1 25 297. Найдите x из пропорции: а) 5,4: x = 2,7:7,2; б) -= — 144 60 86 § 9. Замечательные точки треугольника Задачи для подготовки к контрольной работе № 2 1. В равнобедренной трапеции противолежащие углы относятся как 2 : 7. Найдите углы трапеции. 2. По данному рисунку найдите ЛЕ^, если BjCj У B2C2, AC^ = CjC2, AB = 12 см. 3. Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник, периметр которого равен 17 см. Найдите периметры данного треугольника и треугольника, образованного его средними линиями. 4. В равнобедренной трапеции с углом 45° отрезки, соединяющие середину большего основания с вершинами тупых углов, перпендикулярны боковым сторонам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее меньшее основание равно 4 см. 5. По данным рисунка найдите угол х. 6. В равнобедренную трапецию вписана окружность, которая делит боковую сторону на отрезки в отношении 9 : 16. Найдите длины этих отрезков, если средняя линия трапеции равна 50 см. 87 Итоги главы I итоговый ОБЗОР ГЛАВЫ I ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК Выпуклый четырехугольник невыпуклый четырехугольник Теорема о сумме углов четырехугольника Сумма углов четырехугольника равна 360°: а + Р + у + 5 = 360° параллелограмм Свойства параллелограмма Противолежащие стороны параллелограмма равны Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны Признаки параллелограмма Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм 88 Итоги главы I Противолежащие углы параллелограмма равны Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм ВИДЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны Свойство прямоугольника Признак прямоугольника Диагонали прямоугольника равны Если все углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником 89 ГЛАВА I. Четырехугольники Свойства ромба Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам Признак ромба Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник является ромбом Свойства квадрата Все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны Все углы квадрата прямые Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и точкой пересечения делятся пополам трапеция Основание Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям 90 Итоги главы I Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны Свойство равнобедренной трапеции В равнобедренной трапеции углы при основании равны Признак равнобедренной трапеции Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция равнобедренная Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне средние линии треугольника и трапеции Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции Свойство средней линии треугольника Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны Свойство средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме 91 ГЛАВА I. Четырехугольники углы В окружности Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается Следствия теоремы о вписанном угле Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы 92 Итоги главы I ВПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности Свойство вписанного четырехугольника Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180° ZA+ZC= =ZB+ZD= = 180° Признак вписанного четырехугольника Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником Около любого прямоугольника можно описать окружность Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная Около равнобедренной трапеции можно описать окружность описанные четырехугольники Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности 93 ГЛАВА I. Четырехугольники Свойство описанного четырехугольника В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом a + c = b + d Признак описанного четырехугольника Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность В любой ромб можно вписать окружность замечательные точки треугольника Точка пересечения медиан (центр масс) Точка пересечения высот или их продолжений (ортоцентр) Точка пересечения биссектрис (инцентр) — центр вписанной окружности Точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности Теорема о точке пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника Теорема о точке пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке 94 Итоги главы I Q контрольные вопросы к главе i 1. Начертите выпуклый четырехугольник ABCD. Назовите его стороны и диагонали. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов выпуклого четырехугольника. 2. Дайте определение параллелограмма. Сформулируйте и докажите свойства параллелограмма. 3. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма. 4. Дайте определение прямоугольника. Сформулируйте и докажите свойства прямоугольника. 5. Дайте определение ромба. Сформулируйте и докажите свойства ромба. 6. Дайте определение квадрата. Назовите свойства квадрата. 7. Дайте определение трапеции. Назовите виды трапеций, которые вам известны. Какими свойствами они обладают? 8. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса. 9. Дайте определение средней линии треугольника. Сформулируйте и докажите свойство средней линии треугольника. 10. Дайте определение средней линии трапеции. Сформулируйте и докажите свойство средней линии трапеции. 11. Дайте определение центрального угла в окружности. Какова связь между градусной мерой дуги окружности и градусной мерой соответствующего центрального угла? 12. Дайте определение вписанного угла. Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 13. Сформулируйте следствия теоремы о вписанном угле. 14. Дайте определение четырехугольника, вписанного в окружность. Сформулируйте и докажите свойство вписанного четырехугольника. Сформулируйте признак вписанного четырехугольника. 15. Дайте определение четырехугольника, описанного около окружности. Сформулируйте и докажите свойство описанного четырехугольника. Сформулируйте признак описанного четырехугольника. 95 ГЛАВА I. Четырехугольники О дополнительные задачи к глАве i 298. Если в выпуклом четырехугольнике не все углы равны, то хотя бы один из них острый. Докажите. 299. Найдите углы параллелограмма, если один из них равен сумме двух других. Может ли такой параллелограмм быть ромбом; квадратом? 300. Диагональ квадрата ABCD равна 7 см. Прямая, проходящая через точку A перпендикулярно диагонали AC, пересекает прямые BC и CD в точках E и F. Найдите EF. 301. Найдите углы треугольника, если две его средние линии перпендикулярны и равны. 302. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам. 303. Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 12 см, а тупой угол трапеции в три раза больше острого. Найдите высоту трапеции. 304. Прямая, проходящая через вершину тупого угла трапеции, делит ее на ромб и равносторонний треугольник. Найдите среднюю линию трапеции, если ее периметр равен 60 см. 305. В треугольнике ABC высота BH делит сторону AC на отрезки AH = 2 см, HC = 6 см. Отрезок AM — медиана треугольника ABC, отрезок MD — высота треугольника AMC. Найдите отрезки AD и DC. 306. Дана трапеция, которая является вписанной в окружность и описанной около окружности. Найдите: а) углы трапеции, если сумма трех из них равна 300°; б) стороны трапеции, если ее периметр равен 16 см. 307. По рисунку 89 докажите: а) свойство средней линии трапеции ABCD (AD У BC); б) если в четырехугольнике ABCD в С отрезок, соединяющий середины сторон AB и CD, равен полусумме сторон AD и BC , то ABCD — трапеция или парал- в лелограмм. 96 Итоги главы I 308. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то ее высота равна полусумме оснований. Докажите. Задачи повышенной сложности 309. Прямая проходит через вершину B параллелограмма ABCD. Вершины A и C удалены от этой прямой на расстояния a и c соответственно. Найдите расстояние от точки D до данной прямой. Рассмотрите два случая. 310. Точки M и N — середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что точка пересечения прямых BN и DM лежит на диагонали AC. 311. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и AD проведены прямые, перпендикулярные противолежащим сторонам CD и BC соответственно. Докажите, что точка пересечения этих прямых принадлежит прямой AC. 312. Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на ее средней линии. 313. Через точку плоскости проведены три прямые так, что угол между любыми двумя из них равен 60°. Докажите, что основания перпендикуляров, проведенных из любой точки плоскости к этим прямым, являются вершинами равностороннего треугольника. 314. Отрезки AB и AC — отрезки касательных к окружности, проведенных из точки A . Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC , лежит на данной окружности. 315. Найдите углы равнобедренной трапеции, в которой боковая сторона равна меньшему основанию, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. 316. Даны остроугольный треугольник ABC и точка M такая, что BM ± AB , CM ± AC. Докажите, что точка M лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. 317. Если сумма углов при основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. а) Докажите данное утверждение. б) Сформулируйте и докажите обратное утверждение. 97 Историческая справка Большая часть теоретических положений, связанных с четырехугольником, была известна еще в Древней Греции. Например, параллелограмм упоминается в работах Евклида под названием «параллельно-линейная площадь». Основные свойства четырехугольников были установлены на практике и только со временем доказаны теоретически. Одним из творцов идеи геометрического доказательства по праву признан древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 гг. до н. э.). Его считали первым среди прославленных «семи мудрецов» Эллады. Механик и астроном, философ и общественный деятель, Фалес значительно обогатил науку своего времени. Именно он познакомил греков с достижениями египтян в геометрии и астрономии. По свидетельству историка Геродота, Фалес предсказал затмение Солнца, которое произошло 28 мая 585 г. до н. э. Он дал первые представления об электричестве и магнетизме. Достижения Фалеса в геометрии не ограничиваются теоремой, названной его именем. Считается, что Фалес открыл теорему о вертикальных углах, доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, первым описал окружность около прямоугольного треугольника и обосновал, что угол, который опирается на полуокружность, прямой. Фалесу приписывают и доказательство второго признака равенства треугольников, на основании которого он создал дальномер для определения расстояния до кораблей на море. Фалес Милетский В молодые годы Фалес побывал в Египте. Согласно легенде, он удивил египетских жрецов, измерив высоту пирамиды Хеопса с помощью подобия треугольников (о подобии треугольников - в следующей главе). Изучая замечательные точки треугольника, нельзя не вспомнить имена еще нескольких ученых. Теорему о пересечении высот треугольника доказал в XV в. немецкий математик Региомонтан (1436-1476) - в его честь эту теорему иногда называют задачей Региомонтана. Выдающийся немецкий ученый Леонард Эйлер (1707-1783), который установил связь между замечательными точками треугольника, является уникальной исторической фигурой. Геометрия и механика, оптика и баллистика, астрономия и теория музыки, математическая физика и судостроение - вот далеко не полный перечень тех областей науки, которые он обогатил своими открытиями. Перу Эйлера принадлежит более 800 научных работ, причем, по статистическим подсчетам, он делал в среднем одно изобретение в неделю! Человек чрезвычайной широты интересов, Эйлер был академиком Берлинской, Петербургской и многих других академий наук, он существенным образом повлиял на развитие мировой науки. Недаром французский математик Пьер Лаплас, рассуждая об ученых своего поколения, утверждал, что Эйлер - «учитель всех нас». Леонард Эйлер М. В. Остроградский Среди украинских математиков весомый вклад в исследование свойств четырехугольников внес Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Этот выдающийся ученый, профессор Харьковского университета, получил мировое признание благодаря работам по математической физике, математическому анализу, аналитической механике. Талантливый педагог и методист, Остроградский создал «Учебник по элементарной геометрии», который, в частности, содержал ряд интересных и сложных задач на построение вписанных и описанных четырехугольников и вычисление их площадей. ГЛАВА I. Четырехугольники ТЕМАТИКА СООБЩЕНИИ И РЕФЕРАТОВ К главе I 1. Дельтоид и его свойства. 2. Построение выпуклых четырехугольников. 3. Фалес Милетский и древнегреческая наука. 4. Леонард Эйлер — уникальная фигура мировой науки. 5. Геометрические места точек, связанные с окружностью. 6. Точки Эйлера. Окружность девяти точек. Теорема Фейербаха. 7. Дополнительные сведения о вписанных и описанных четырехугольниках. Теорема Симпсона. 8. Особые виды треугольников (ортоцентрический, педальный, разностный, треугольник Наполеона). рекомендованные источники информации 1. Никулин, А. В. Геометрия на плоскости (Планиметрия) : Учеб. пособие [Текст] / А. В. Никулин, А. Г. Кукуш, Ю. С. Татаренко; под ред. Ю. С. Та-таренко. — Мн. : ООО «Попурри», 1996. — 592 с. 2. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1 [Текст] / В. В. Прасолов. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 320 с. — (Б-ка мат. кружка). 3. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 2 [Текст] / В. В. Прасолов. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Наука : Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. — 320 с. — (Б-ка мат. кружка). 4. Бевз, В. Г. Геометрiя чотирикутника [Текст] / В. Г. Бевз. — Х. : Вид. група «Основа», 2003. — 80 с. — (Б-ка журн. «Математика в школах Укра!ни»). 5. Бевз, В. Г. Геометрiя кiл [Текст] / В. Г. Бевз. — Х. : Вид. група «Основа», 2004. — 112 с. — (Б-ка журн. «Математика в школах Укра!ни»). 6. Бевз, В. Г. Геометрiя трикутника. 7—11 класи : Навч. посiб. — К. : Генеза, 2005. — 120 с. 7. Глейзер, Г. И. История математики в школе. VII—^УШ классы: Пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер. — М. : Просвещение, 1982. — 240 с. 8. Кушнiр, I. А. Повернення втрачено! геометрii [Текст] / I. А. Кушнiр. — К. : Факт, 2000. — 280 с. — (Серiя «Математичнi обрii Укра!ни»). 9. Математична хрестоматiя для 6—8 класiв. Т. 1 [Текст]. — К. : Рад. шк., 1968. — 320 с. 10. Математична хрестоматiя для старших класiв. Геометрiя. Т. 2 [Текст] / упоряд. Л. В. Кованцова. — К. : Рад. шк., 1969. — 383 с. 11. Интернет-библиотека МЦНМО. https://ilib.mirror0.mccme.ru/ глав^л Tin^siliUKii! 11Жв1мЕвшФаВо|Е § 10. Подобные треугольники § 11. Признаки подобия треугольников § 12. Подобие прямоугольных треугольников § 13. теорема Пифагора _____и ее следствия § 14. Применение подобия треугольников Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении^ Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень. Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам. В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору. § 10. Подобные треугольники 10.1. обобщенная теорема Фалеса Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений. отношением отрезков длиной a и b называется частное их длин, т. е. a число —. ъ Иначе говоря, отношение — показывает, сколько раз отрезок Ъ и его ъ части укладываются в отрезке —. Действительно, если отрезок Ъ принять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка —. /-Ч '' '' Т 7 Отрезки длиной a и c пропорциональны отрезкам длиной Ъ и а,если — . ъ а Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам дли- 8 12 ной 10 см и 15 см, поскольку — = — = 0,8. 10 15 Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла. теорема (о пропорциональных отрезках) Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сто- AB AB, a c ронах этого угла пропорциональные отрезки: = ^, или — = —. BC B1C1 ъ а .С/ А с рис. 90. Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90. Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы. Отношение показывает, сколько раз от- BC резок BC укладывается в отрезке AB, а от- ношение AB. B1C1 сколько раз отрезок B1C1 103 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора укладывается в отрезке AB^. Теорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков AB и ABj. Действительно, прямые, параллельные BBJ, «переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок AB «переходит» в отрезок ABJ, десятая часть отрезка AB — в десятую часть отрезка ABJ и т. д. Поэтому если отрезок BC укладывается в отрезке AB n раз, то отрезок BJCJ укладывается в отрезке ABJ также n раз. Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1. Замечание. a c Поскольку — ^ —, то Ъ d ac —+1 ^—+1. d a + Ъ c + d т. е. и следствие дан- AC AC, Ъ d Ъ d ной теоремы можно записать в виде -----= —^. AB AB1 На такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках. У 1 Задача у 1 Д< ань [ о гре зки а, b, с. построй те отр езо ж x = bc 1 Р ешение а П ост ро1 им пр ои !Во 1 1 льньй неро зве рн уть й уго )Л O и от. ложим на одной его] стрроне отрез|ки O, A = а и и AB = b, а на дру ■ой сТор( оне — отрезок OC = с п \ (Е ис. 91). Про вед ем прямую AC] и пр 1 яму ю, котор оя с ^ X \1 пара ллельна 1 1 AC , п зоходит через то1 1ку B и пере- Ри с. 91 се кает другук 1 с •орону угла в трч^ е D.T То теореМе OA ( OC откуда 'Т AB :d ' 1 C D = AB ■ и/ b ■ c Сл еде во ел ьно >, о тре ;зо к C :d — ( OA а ис 1 :коу 1 мый. 1 104 § 10. Подобные треугольники А А, В С В, с, Рис. 92. Подобные треугольники Заметим, что в задаче величина x является четвертым членом пропорции a: b = c: x. Поэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком. 10.2.определение подобных треугольников Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. определение Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. На рисунке 92 изображены подобные треугольники ABC и A^B^Cj. Подобие этих треугольников кратко обозначают так: А ABC AjBjCj. В этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если А ABC ^А A^B^C^, то А A = А А^, ZB = АB^, АC = АC^, AB BC AC = k. AiBi BiCi AiCi Число k, равное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия. 105 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1. Опорная задача \ О- но ше ние г еРи ■метре |в [поДобны х ■ гре' уго льн ик ов к 1 ро вн( 0 к :оэ( фф ици 1 1ен тУ подобия Д оке 1 жи те. Р ешение Пусть А ABC ^ А A1 B1C1 1 1 с коэс РФ ици 1ен гол 1 г од о- 1 1 , AB BC AC бия к . Это означает, что = = = к , т. е. A.B. B.C. AiCi A B = kA Bi, BC = kBjC'T^C =к A1C Р Имеем р 1^ Л D , I^D Г. lJ ' A С kPA к ШС 1 1 'AiCi l,B,C, =к BC , A гА. B,C, '1^ B1C1 ' A 11 A BC Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т. п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно. Вопросы и задачи Ф устные УПРАЖНЕНИЯ 318. Известно, что А ABC KMN. Назовите соответственно равные углы этих треугольников. 319. Треугольник ABC и треугольник с вершинами D, E, F подоб- AB BC AC л л ны, причем ---=----=----. Закончите запись А ABC ~А^ . EF FD ED 320. Являются ли равными любые два подобных треугольника? Подобны ли любые два равных треугольника? Назовите соответствующий коэффициент подобия. 321. Могут ли быть подобными прямоугольный и тупоугольный треугольники? 322. Два треугольника подобны с коэффициентом 0,25. Во сколько раз стороны одного треугольника больше соответствующих сторон другого? 106 § 10. Подобные треугольники ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 323. Начертите треугольник ABC. Отметьте на стороне AB точку D так, чтобы AD: DB = 2:1. Проведите через точку D прямую, параллельную стороне AC, и обозначьте точку E — точку пересечения этой прямой со стороной BC. Измерьте отрезок BE и вычислите длину отрезка EC по теореме о пропорциональных отрезках. Проверьте полученный результат измерением. 324. Начертите треугольник ABC и проведите в нем среднюю линию DE, параллельную AC. Назовите подобные треугольники, которые образовались на рисунке. письменные упражнения уровень А 325. Определите, являются ли отрезки длиной a и b пропорциональными отрезкам c и d, если: а) a = 8 см, b = 24 см, c = 4 см, d = 12 см; б) a = 9 см, b = 14 см, c = 7 см, d = 18 см. 326. На рисунке 93 А ABC A1B1C1. По данным рисунка найдите х и у. 327. На рисунке 94 А ABC ~А A1B1C1. По данным рисунка найдите х и у. С, 328. Прямая KM параллельна стороне AC треугольника ABC (рис. 95). Найдите отрезок MC, если: а) AK = 2 см, KB = 6 см, BM = 9 см; б) AK: KB = 2:3, BC = 10 см. В 107 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора —^ 329. Прямая KM параллельна стороне AC треугольника ABC (рис. 95). Найдите отрезок AB, если AK = 6 см, BM: MC = 4:3. 330. Известно, что А ABC DEF .Найдите: а) угол C, если ZA = 45°, ZE = 110°; б) угол F, если Z B = 80°, Z A = ZC. 331. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если в подобном ему треугольнике разность наибольшего и наименьшего углов равна 70°. 332. Стороны треугольника равны 2,5 см, 4 см и 5 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если: а) его периметр равен 46 см; б) его наименьшая сторона равна наибольшей стороне данного треугольника. 333. Стороны треугольника равны 16 см, 12 см и 10 см. Найдите периметр треугольника, подобного данному, если его наибольшая сторона равна 8 см. 334. Докажите по определению, что любые два равносторонних треугольника подобны. 335. Докажите от противного, что тупоугольный и равносторонний треугольники не могут быть подобными. В С уровень Б 336. Прямая MN параллельна основаниям трапеции ABCD (рис. 96). Найдите: а) сторону CD, если AM: AB = 4:5, CN = 3 см; б) сторону AB, если AM: ND = 3:2, CN = 2 см, AM = 9 см. —^ 337. Прямая MN параллельна основаниям трапеции ABCD (рис. 96). Найдите сторону AB, если AM - MB = 1 см, CN: CD = 3:7. 338. По данным рисунка 97 найдите х, если a У b. рис. 97 108 § 10. Подобные треугольники 339. Известно, что А ABC DEF, причем Z D = 70°, Z B = 55°. Докажите, что AB = AC. —^ 340. Известно, что А ABC ~А ^М^, причем Z A + Z M = 90° .Докажите, что AB — наибольшая сторона треугольника ABC. 341. Докажите, что треугольник с вершинами в серединах сторон данного треугольника подобен данному. Чему равен коэффициент подобия? 342. В треугольнике ABC точки D и E — середины сторон AB и BC соответственно. Докажите, что А ABC ^А DBE, и найдите коэффициент подобия. уровень в 343. Каждый из двух неравных, но подобных треугольников имеет стороны длиной 12 см и 18 см. Найдите неизвестные стороны этих треугольников. —^ 344. Треугольники со сторонами а, b, c и b, c, d подобны. Докажите, что коэффициент подобия не может быть равным 2. 345. Найдите ошибку в «доказательстве» геометрического софизма: отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны. —z;—I—I—I—I—г «Доказательство» “ —I I I—г параллельных Пусть AB CD - отрезки '—I—Г крторые пересекают стороны углд С (рис. 98). По ~ореме~о~пропорциональных "отрезках ~ АС СС прямых, ВС DC те или" АС • DC = ВС • СС. Умножим обе части этого равенства на отличную нуля разность АВ - CD : АС • DC-(АВ - CD) = ВС • СС-(АВ - CD), О АС • DC • АВ - АС • DC • CD = ВС • CC • АВ - ВС • CC • CD. ~\—rz праври т-г, 1—^^^-г ^ Перенесем первый а А Т член второй член левой С • ^С Т части части в равенства в левую правую часть:, • АВ - ВС • CC • АВ = АС • DC • CD - ВС • CC • C -ВС cQ) • АВ = • DQ - ВС CdT D, или В А. рис. 98 часть С равенства, части Разделив обе = CDт. |е. отрезки параллельных прямых, заключенные между Т последнего равенства на I I т тп—Т-1—г- выражение в скобках, получим 1—^^—I—Г угла, равны. Т сторонами 109 и ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора 346. Диагональ AC делит трапецию ABCD (AD У BC) на два подобных треугольника ABC и ACD .Найдите AC, если BC = 4 см, AD = 9 см. —^ 347. Диагональ AC трапеции ABCD (AD У BC) равна стороне CD и делит трапецию на два подобных треугольника ABC и ACD. Найдите периметр трапеции, если AB = 9 см, CD = 12 см. 0 повторение перед изучением § и теоретический материал признаки равенства треугольников; трапеция. задачи 348. Через вершину треугольника проведена прямая, которая делит данный треугольник на два равных треугольника. Определите вид данного треугольника. Может ли такая прямая разделить треугольник на два неравных, но подобных треугольника? Выскажите предположение. 349. Диаметр AC пересекает хорду BD в точке K, делящей хорду пополам. Докажите равенство треугольников ABC и ADC. Могут ли хорды AB и CD быть параллельными, если точка K не является центром окружности? § 11. Признаки подобия треугольников 11.1. Подобие треугольников по двум углам Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников. теорема (признак подобия треугольников по двум углам) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. В В А А С С, рис. 99. К доказательству подобия треугольников по двум углам Доказател ьство □ Пусть даны треугольники ABC и AjBjCj, в которых ZA = ZA^, ZB = ZB^ (рис. 99). Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Z C = Z Cj. Отложим на луче AB отрезок AB2, равный AjBj, и проведем прямую B2C2, параллельную BC. Тогда ZABC = ZAB2C2 как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому АAB2C2 = АA^B^Cj по второму признаку, откуда AC2 = A^Cj. По теореме о про- AB AC порциональных отрезках --=----, следова- ABA^ AB2 AC2 тельно, ---=----. Аналогично доказываем, что AB BC AC . Таким образом, по определению A.B. B.C. подобных треугольников А ABC ~А A^B^Cj. Теорема доказана. ■ 111 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора У 1 Задача \ 1 То >чк 1ер гсе че1 шя —1—1—1— диагрнапе И гра пе1 1ии д ел1 ит 1 1 одну из них на о •резки дПиноИ 4 см 1 ^ 1 7 см. Мень шее осне вание| трапеци и р авн о 8 1 5 с/ м. Наи ди те 1 сР 1 ед^ 1 ню^ о . 1ин ио тр )апеции. 2 Решени е / П уст ь в 1 ра пец ии A BC D (A D У BC ' диа го нал и / \ пере 1 \ секаются 1 1 в точке O, BC = 8 с м ( рис. 100). РаЬ- /у 1 \ 1 смотрим треу гоп 1 тьники A OC > и C OB . В| ни 1 1 1Х углы А Л 1 1 1 при вершине O 1 1 равны кс к 1 1 !ертик СП1 ные, ZC AD - ис 10 0 ZB CA 1 как вн 1 1 утренние н акр 1 ест п 1еж ащ ие пр |и пс Фа пл епЬны х пр ям — ых A D и BC и с 1 еку- щ ей AC. т Гогда А AO D ^ А CO B по де ум уг 1 ла м. BC BO ОТсю да следует, что AD DO . П0ск0пь^ 1 1 <у по у 7сл о- вию BC :< AD , то BO < УГ ол B, 1 они под обны. И i этого :ледуе ^т, что 1 со- о^ве! ств ;ующи 1е катет! 1 I и Гип оте нуз !ы эт их тр е- А -‘С УГОлЬниКОЕ п эог 1 1 1 орЦиональны, т. е B A. _ B A рис . 1' 0 B C. B Ра ссл \от эим \ т •еп ерь эеу ■од ьн1 1ки A 1BC и AB C \/ 1 1 ' 1 Jr Д У [них также общий у тол B , а 1 по, тольк о ч гп то док аза н- ному 1 1 гг ■{ 1 стороны, прилегающ ие этому угл лу, 1 1 пропор- г цион зль^ны Следовательно, А A1 BC1 го А ABC по двум 1 1 1 ^ 1 1 пропорциональным 1 г сторонам и уг лу 1 межд у н ими. 120 § 12. Подобие прямоугольных треугольников С А‘ Ь D а С В рис. 111. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике 12.2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий. Отрезок x называется средним пропорциональным I ax 2 I между отрезками a и о, если — = —, т. е. x = ab. x b В прямоугольном треугольнике ABC с катетами BC = a и AC = b и гипотенузой AB = c проведем высоту CD и обозначим ее hc (рис. 111). Отрезки AD и DB, на которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов a и b на гипотенузу c обозначают ac и bc соответственно. теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) в прямоугольном треугольнике: 1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: hc" = ac ■ bc; 2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: а2 = c ■ a,, и b2 = c ■ bc; 3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: , ab h„ =--. 121 c ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора Доказател ьство □ По признаку подобия прямоугольных треугольников АACD ABC (у этих треуголь- ников общий острый угол A), ACBD ^А ABC (у этих треугольников общий острый угол C ) и АACD ^ACBD (острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника ABC). Из подобия треугольников CBD и ACD име- BD CD ac hc 7 2 г ем: ---=----, или — ^^-, откуда hc = ac ■ bc. CD AD hc bc c c c Из подобия треугольников CBD и ABC BD BC ac a 2 имеем: ---=----, или — ^ —, откуда a = c ■ ac. BC AB a c c Аналогично из подобия треугольников ACD и ABC получаем b2 = c ■ bc. И наконец, из подобия треугольников ACD CD = BC AC AB и ABC имеем: или hc a — , откуда bc ab h„ =—. Теорема доказана. ■ В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольни- > Задача \ 1 Н( зйд ите ; г ер| 1ме тР 1 прямоуг оль но ■о тре Уго )ЛЬ ник а, \ 1 1 1 1 1 1 1 1 в котором катет рав ен 15 см, а ( его пр оек щи я н а г и- п 1 по 1 ?те нУзУ р авн а } с м. / у Решени е л/ 1 7 Уст •ь Е тР еУ —1—1— гольник 1 1 е ABC Z C = 90 о D 5 CD 1 AB, AC = 15 см, AD = 9 с м (рис|. 11 2), Из ме т- Рис . 1' 2 риче|скОго сОотно'шения е 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 треугольник AB C 122 c § 12. Подобие прямоугольных треугольников —I—I-----------^------------------------------- ■ получаем:. AC2.= AB• ЛЬ.,_т.е 152 = 9AB,-откуда. _AB = 25 см,_тогда_йВ B - AD = 16 . см._ Из_Соот^ ношения BC2 = Ab • BD имеем: BC2 =25• 16 = ^00, откуда BC = -20. (см)._Следовательно, PABC = 15 + 20 + +25 = 60 (см)._ Ответ: 60 см. вопросы и задачи ф устные упражнения 386. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если: а) они имеют общий угол; б) они имеют общий острый угол; в) один из них имеет угол 20°, а другой — угол 70°; г) один из них имеет угол 50°, а катет другого вдвое меньше гипотенузы? 387. Может ли высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, быть меньше каждой из проекций катетов на гипотенузу; быть равной проекции катета на гипотенузу? 388. Отрезки ac и bc — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу. Сравните: а) a и b, если ac < bc; б) ac и bc, если a > b. 389. Могут ли быть подобными неравные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой; с общим катетом? 390. Для построения четвертого пропорционального отрезка x = c ученик предложил построить прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c и провести в нем высоту hc, равную х. Другой ученик утверждает, что этот способ ошибочный. Кто из учеников прав? 123 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 391. Начертите прямоугольный треугольник и проведите его высоту из вершины прямого угла. Выделите цветом проекции катетов на гипотенузу и измерьте их длины. Используя метрические соотношения, вычислите приближенно: а) длину проведенной высоты; б) длины катетов. Проверьте полученные результаты измерением. 392. Начертите прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Обозначьте на катете AC точку M и проведите к гипотенузе перпендикуляр MN. Из точки N проведите к катету AC перпендикуляр NK. Назовите три треугольника, подобные треугольнику ABC, и запишите их подобие. письменные упражнения 1 уровень А 393. На рисунке 113 найдите подобные треугольники и докажите их подобие. В В С С ABCD — параллелограмм б _____________ рис. 113 Все задачи параграфов 12—14 могут быть решены без использования формулы корней квадратного уравнения. Соответствующие задачи, которые решаются с помощью квадратных уравнений, представлены в конце главы, в рубрике «Дополнительные задачи». 124 § 12. Подобие прямоугольных треугольников -> 394. На рисунке 114 найдите подобные треугольники и докажите их подобие. ABCD — прямоугольник а б рис. 114 395. Сформулируйте и докажите признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам. 396. Наблюдатель, который находится в точке A , видит конец жерди B и верхнюю точку башни D, причем точки A, B и D расположены на одной прямой (рис. 115). Определите высоту башни, если BC = 4 м, AC = 6 м, AE = 90 м. 397. Высота дерева равна 9,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,8 м, равна 2,7 м. Найдите длину тени дерева. 398. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) проведена высота CD (см. рис. 111). Найдите: а) CD, если AD = 4 см, DB = 25 см; б) AC и BC, если AB = 50 см, AD = 18 см. 399. Найдите периметр прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки длиной 4,5 см и 8 см. 400. Докажите, что отношение соответствующих высот подобных треугольников равно коэффициенту подобия. С рис. 115 125 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора Уровень Б с 401. В прямоугольный треугольник вписан в квадрат (рис. 116). а) Найдите на рисунке 116 подобные треугольники и докажите их подобие. б) Найдите сторону квадрата, если BK = 9 см, MC = 4 см. 402. Две окружности с радиусами 4 см и 6 см касаются внешним образом. Их общая касательная, которая не проходит через точку ка- рис сания окружностей, пересекает линию центров в точке A. Найдите расстояния от точки A до центров окружностей. —^ 403. Отрезки BK и BM — высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершины угла B к сторонам AD и CD соответственно. Найдите BK, если BM = 4 см, AD: CD = 2:3. 404. Докажите, что проекции катетов на гипотенузу прямоугольного 2 ac a треугольника относятся как квадраты катетов: — ^ . bc b -> 405. По данным рисунка 111 выразите ac и bc через а, b и с. 406. Высота прямоугольного треугольника равна 24 см и делит гипотенузу в отношении 9 : 16. Найдите катеты треугольника. —^ 407. Точка C делит диаметр окружности AB на отрезки AC = 10 см и CB = 8 см. Отрезок CD — перпендикуляр к AB. Определите расположение точки D относительно данной окружности, если CD = 9 см. 408. Перпендикуляр, проведенный из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной 2,25 см и 4 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к боковой стороне. —^ 409. Точка касания окружности, вписанной в ромб, делит сторону ромба на отрезки длиной 20 см и 5 см. Найдите высоту ромба. 126 § 12. Подобие прямоугольных треугольников 0 уровень в 410. Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону в отношении 1 : 7. В каком отношении эта высота делит диагональ параллелограмма? 411 . В параллелограмме ABCD перпендикуляр AK, проведенный к диагонали BD, пересекает сторону BC в точке M. Найдите BM: MC, если BK: KD = 3:7. Изменится ли ответ, если K — произвольная точка отрезка BD ? 412. Отрезки AM и AN — высоты параллелограмма ABCD, про- веденные к сторонам BC и CD соответственно. Докажите, что А MAN ABC. 413. Сформулируйте и докажите признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. повторение перед изучением § 13 теоретический материал • прямоугольный треугольник; • соотношения между сторонами треугольника. задачи 414. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу в отношении 1 : 4. Во сколько раз эта высота меньше гипотенузы? 415. Острый угол прямоугольного треугольника равен 36°. Найдите углы, под которыми катеты видны из центра описанной окружности. ^ 7 класс, §17, 18 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора § 13. Теорема Пифагора и ее следствия ъ/ h /ь / с С □ а с рис. 117. К доказательству теоремы Пифагора 13.1. теорема Пифагора Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора. теорема (Пифагора) в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с" = а" + Ь". Доказател ьство □ Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c (рис. 117) а2 = c■ ac, b2 = c■ bc. Складывая эти равенства почленно, имеем: а2 + b2 = c ■ ac + c ■ bc = c ■(ac + bc ) = c2. Теорема доказана. ■ Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3. Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии. 128 с § 13. Теорема Пифагора и ее следствия С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если a = 5, b = 12, то с = л152 +122 =у125 +144 = 13. Если с = 17, b = 15, то a W172 -152 ^(17 +15)(17 -15) = = у1 32• 2 ^64 = 8. Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений. \ 1 Задача V 1 Ст орс энь Е тр еу ■ол ьни ка 1 * 1 о равны 13 см л, 20 :м и 2 1 с м. * \ Найдите вЫсОту тре уго лы 1 ник 1 а, про 1 вед 1 1ен ную D к на и- бс ль шей с — тор оне ■ в Реше ЕНИ е з/ Пуст ь BH — вы сот а т зеугольн икс A BC, в кот оро 'м ■ ] В= 13 а м, BC = 2 0 см, AC = 21 см (рис- 118). / 1 1 п 1 ПСск оль >ку AC на ибо льшая сторона тре уголь ника, А X Н 21 -X тс точка H I I Гг еж ит на этой 1 стороне (докаЖип в это |_| Рис . 1' 8 само стояте льно). П )ил кем д. лину отрезка A LH раВ- нсй , I x с м, тогда HC = ( i1 - X) см. По теорем( г Пифа- гора из пр: 1мо уголь ног о т реу гол |ьника A BH имеем: 1 A В" - A н2Т^.ё" ВН ]2 = 13 X2, а и з г зям оу ■ол ь- ного I тР еу| ол эника BC H имее _1 м: BH 2= BC CH 2 ■т-е-] ?н2 Ю2 21 - х) -. 1 1ри раЕ ни вая дв ш выр аж е- ни 1Я для ВН , г олуча ем 16 9 - X2 = 4 od -( 21 - X) ; 16 9 - X2 = 4 dd — 4 141 + 42X — X ; 42x = = 2 ю; x = 5. Таким образом, AH = 5 см. Тогда из треугольника ABH го те оре ме П| /1ф( 1го эа и/ \ее м: ВН = у1 13 2 — 52 = 1 2 ^см От jeij 12 с 1 м. 129 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора А С А, В 13.2. Теорема, обратная теореме Пифагора Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника. теорема (обратная теореме Пифагора) С Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если AC^ + BC^ = AB^, то ZC = 90°. В, Доказател ьство □ Пусть в б (рис. 119, а) AC^ + BC^ = рис. 119. К доказательству теоремы, обратной теореме Пифагора треугольнике ABC Докажем, что угол C прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1B1C1 с прямым углом C1, в котором A1C1 = AC, B1C1 = BC (рис. 119, б). По теореме Пифагора A1B12 = A1C12 + B1C12, а с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников A1B12 = AC2 + BC2 = AB2, т. е. A1B1 = AB. Тогда A A1B1C1 = A ABC по трем сторонам, откуда Z C = Z C1 = 90° ■ Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: 32 + 42 = 52. Об этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел а, b, c, для которых выполняется равенство а2 + b2 = c2, принято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443). рис. 120. Египетский треугольник 130 а § 13. Теорема Пифагора и ее следствия А В С Рис. 121. Перпендикуляр и наклонная (О (О (О (О Проекция — от латинского «про-ектио» — бросок вперед в рис. 122. Свойства наклонных 13.3. Перпендикуляр и наклонная Пусть точка A не лежит на прямой a, AB — перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку A с точкой прямой a и не совпадающий с перпендикуляром, називают наклонной к прямой а. На рисунке 121 отрезок AC — наклонная к прямой а, точка C — основание наклонной. При этом отрезок BC прямой а, ограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной AC на данную прямую. Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой. Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций. Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. тогда: 1) любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а); 2) равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б); 3) б(эльшая наклонная имеет бсэльшую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет бсэльшую проекцию (рис. 122, в). Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника. 131 а ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора Вопросы и задачи Ф устные УПРАЖНЕНИЯ 416. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника вдвое больше квадрата катета. Чему равны острые углы треугольника? 417. Какова градусная мера наибольшего угла треугольника со сторонами 6, 8 и 10? Почему? 418. Стороны параллелограмма равны 3 см и 4 см, а диагональ — 5 см. Определите вид параллелограмма. 419. В треугольнике ABC ZA = 90°. Назовите: а) наклонную к прямой AB, проведенную из точки C; б) проекцию наклонной BC на прямую AC. 420. Отрезки а1 и а2 — проекции наклонных l1 и l2, проведенных из одной точки к одной прямой. Сравните: а) l1 и l2, если а1 < a2; б) а1 и a2, если l1 = l2. 421. Две наклонные к одной прямой имеют равные проекции. Обязательно ли эти наклонные равны? 422. Сколько равных наклонных к данной прямой можно провести из точки, которая не лежит на этой прямой? графические упражнения 423. Начертите прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Вычислите по теореме Пифагора длину его гипотенузы. Проверьте полученный результат измерением. 424. Постройте треугольник со сторонами 2,5 см, 6 см и 6,5 см. Измерьте наибольший угол треугольника. Обоснуйте полученный результат с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора. письменные упражнения уровень А 425. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c найдите: а) с, если a = 7, b = 24; б) b, если a ^\/l7, c = 9; в) a, если b = 3л1з , с = 6. 132 § 13. Теорема Пифагора и ее следствия 426. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная. Найдите длину: а) наклонной, если ее проекция равна 9 см, а перпендикуляр имеет длину 40 см; б) перпендикуляра, если наклонная и ее проекция равны соответственно 29 см и 20 см. 427. В прямоугольнике найдите: а) диагональ, если стороны равны 10 см и 24 см; б) периметр, если диагональ равна 10 см, а одна из сторон — 6 см. 428 . В равнобедренном прямоугольном треугольнике найдите: а) гипотенузу, если катет равен: 4 см; 2j2 см; a см; б) катет, если гипотенуза равна: 10 см; -\/2 см; c см. 429. В квадрате найдите: а) диагональ, если сторона равна a; б) сторону, если диагональ равна d. 430. Определите, является ли прямоугольным треугольник со сторонами: а) 4, 5, 6; б) 5, 12, 13; в) 2, ^/7 , л/Тэ ; г) 6, 8, ^/Io. —^ 431. Стороны треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см. Какой угол образует с наименьшей стороной биссектриса наибольшего угла? 432. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см. Найдите периметр треугольника, если его биссектриса, проведенная к основанию, равна 6 см. —^ 433. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к основанию. 434. Диагонали параллелограмма равны 16 см и 30 см, а сторона — 17 см. Докажите, что данный параллелограмм является ромбом. 435. Найдите периметр ромба с диагоналями 10 м и м. уровень Б 436. Две стороны прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите длину третьей стороны. Сколько решений имеет задача? 133 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора 437. В прямоугольном треугольнике найдите неизвестные стороны, если: а) катеты относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 45 см; б) высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу имеет длину 16 см. 438. В прямоугольном треугольнике найдите неизвестные стороны, если: а) катет и гипотенуза относятся как 12 : 13, а второй катет равен 10 см; б) проекции катетов на гипотенузу равны 18 см и 32 см. 439. В равностороннем треугольнике найдите: а) высоту, если сторона равна: 6 см; 2^13 см; a см; б) сторону, если высота равна: 1 см; 3^/3 см; h см. 440. Найдите высоту ромба, если она делит сторону на отрезки длиной 6 см и 4 см, начиная от вершины острого угла. 441. Высота равнобедренного треугольника делит боковую сторону на отрезки длиной 1 см и 12 см, начиная от основания. Найдите основание треугольника. 442. Стороны треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см. Найдите медиану и высоту, проведенные к наибольшей стороне. 443. Если m и n — натуральные числа, то числа 2mn, m2 -n2 и m2 + n2 составляют пифагорову тройку. Докажите. 444. Основания равнобедренной трапеции равны 8 см и 18 см, а высота — 12 см. Найдите периметр трапеции. Можно ли вписать в нее окружность? 445. Основания прямоугольной трапеции равны 21 см и 28 см, а большая боковая сторона — 25 см. Найдите периметр трапеции. Можно ли вписать в нее окружность? 446. Из точки к прямой проведены перпендикуляр длиной 8 см и две наклонные с длинами 10 см и 17 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача? 447. Найдите высоту, проведенную к наибольшей стороне треугольника со сторонами: а) 15, 41 и 52; б) 10, 17 и 21. 448. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и две наклонные, разность длин которых составляет 8 см. Найдите длину перпендикуляра, если проекции наклонных равны 8 см и 20 см. 134 § 13. Теорема Пифагора и ее следствия 0 449. Точка окружности удалена от концов диаметра на 15 см и 20 см. Найдите расстояние от данной точки до диаметра. 450. На окружности отмечены точки А, В и С так, что АВ = 9 см, ВС = 40 см, АС = 41 см. Найдите радиус окружности. уровень в 451. Две окружности с радиусами 4 см и 9 см касаются внешним образом. Найдите расстояние между точками касания данных окружностей с их общей внешней касательной. 452. Две окружности касаются внешним образом. Расстояния от точки касания A этих окружностей до точек B и C касания данных окружностей с их общей внешней касательной равны соответственно 5 см и 12 см. Найдите BC. 453. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 1 м и л/3 м. Найдите среднюю линию трапеции. 454. Медиана и высота, проведенные к гипотенузе прямоугольного треугольника, равны соответственно 25 см и 24 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник. 455. Докажите, что квадрат высоты равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен произведению ее оснований. 456. Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то суммы квадратов длин его противолежащих сторон равны. Докажите. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. повторение перед изучением § 14 теоретический материал • касательная к окружности; ^ 7 класс, § 20, 22' • геометрическое место точек. задачи 457. На катете AB прямоугольного треугольника ABC (ZA = 90°) отмечена точка K. Отрезок KM — перпендикуляр к гипотенузе BC, причем KM = AK. Докажите, что CK — биссектриса треугольника ABC. 458. В остроугольном треугольнике ABC AB > BC, BD — высота треугольника. Сравните длины отрезков AD и DC. Изменится ли ответ, если BD — биссектриса треугольника? Выскажите предположение. 135 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора § 14. Применение подобия треугольников 14.1. свойство биссектрисы треугольника в сектрисы треугольника В С рис. 124. К доказательству свойства биссектрисы треугольника теорема (свойство биссектрисы треугольника) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. По данным рисунка 123 это означает, что а1 a b' Доказател ьство □ Пусть BD — биссектриса треугольни- . AD AB ка ABC .Докажем, что ----=----. DC BC В случае, если AB = BC, утверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса BD является одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда AB ^ BC. Проведем перпендикуляры AE и CF к прямой BD (рис. 124). Прямоугольные треугольники ADE и CDF подобны, поскольку их острые углы при вершине D равны как вертикальные. тт й AE AD Из подобия этих треугольников имеем: -=----. CF DC С другой стороны, прямоугольные треугольники ABE и CBF также подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине B. Отсюда AB AE ^ следует, что --=----. Сравнивая это равенство BC CF 136 § 14. Применение подобия треугольников AD AB с предыдущим, получаем --=---, что и требо- DC BC валось доказать. ■ \ \ Зад ача к 1 Н( зйд ите ; Г ер1 1ме тр 1 прямоуг эль но ■о тра уго )ль ник а, если ег о б 1 иссект ри 1 са дел ит ги пот ену зу на отр )ез^ <и 1 дл 1ИН ой 15 см \ и 20 см. Реш( ;ни е в П уст ь BD б исс :ектриса пр ям оуг ол1 >но го тр г- / угольни ка AB f с —1—1—П гипотрну ЗоЙ ‘ AC, A D = 15 см, / т \ DC = 20 с м ри 25 . т То свойс тву -1ссект 1 рис Ч тоеуг ол ьника AI ) AB , т е. AB:BC= 15 :20 = 3: 4. DC BC рис . 12 ;5 Тогда если AB = 3х см, то BC = 4х см, и по те о- реме Пифагора имеем: 73 х)2 + (4х)2 = 35 2 . 2 5X2 22 5; x = 7. Сг 1ед0ва тег ьнс B= :21 см \, Е C = 28 с/ ^, 1 ^С = 3 5 с м, тогда PA BC ' = 84 см. Отв ет: 84 с м. D рис. 126. К доказательству пропорциональности отрезков хорд 14.2*. метрические соотношения в окружности теорема (о пропорциональности отрезков хорд) Произведения отрезков пересекающихся хорд равны. По данным рисунка 126 это означает, что AM ■ BM = CM ■ DM. 137 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора В Рис. 127. К доказательству пропорциональности отрезков секущей и касательной Р рис. 128. Пропорциональность отрезков секущих Доказател ьство □ Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M. Проведем хорды AC и BD. Треугольники ACM и DBM подобны по двум углам: ZC = ZB как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине M равны как вертикальные. Из по- AM CM добия треугольников следует, что т. е. AM ■ BM = CM ■ DM. ■ DM BM теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной) Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки. По данным рисунка 127 это означает, что CB ■ CA = CD2. Доказательство □ Пусть из точки C к окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках A и B, и касательная CD (D — точка касания). Проведем хорды AD и BD. Треугольники BCD и DCA подобны по двум углам: у них общий угол C, а углы CBD и CDA измеряются половиной дуги AD (см. опорную задачу № 230). Следовательно, CB CD из подобия треугольников получаем: -=----, CD CA т. е. CB■ CA = CD2. ■ следствие Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно. По данным рисунка 128 это означает, что PA ■ PB = PC ■ PD. 138 § 14. Применение подобия треугольников 14.3*. метод подобия Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников. 1 Задача \ 1 Ди 1аг< энс ли че ты эех угольника A \ВС D пер ес< ;ка етс :я и в т — оч( !в О, А Ю ВС ) = С0| ■ DO. До( !СЖ ите , Ч' о ВС A D. 1 t Решение с N П Фе пиш Jел д снн юе 1 1 1 равенство в зид е пре по эци и В( ) DO Элементь 1 tn I этой пре терции яв^ля) 1 ется / Co .со ) отв AO етс [III твующими 1 1 сторонами треугольн ников .вОс_ 1 вер^ двум нЦ-” _и I I I DOA (рис. I п кальные, .129). По( то1 эти т :кольку Z BOC = Z DOA как 1 ( 1 реугольники подобны по ч \1 ти D 1 1 1 пропорцио нал ьн> ьм 1 \ сторонам и 1 |АГл глы 1 у меж ду р ис. 12 9 1 г ми, поэтом у / С BO = ZADO-! Но у I сВо и adO внутренНие нс кре ст 1 1 1 1 7 лежащие при прямых с :в и AD 1 и Секущей BDI след 1 1 овательнЬ, по пр1 1знс пку пс рал 1- лель^осТи прямых ВС У AD.' Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой. Задача \ П ост пой 1те тр гуг ол! ни 1 1 1 к по дву м у гл( 1м и 5ис сек т- \ ри 1се, пров еде нн^ ой из вершины 1 [ трет ьег о у глс . Р гше :ни е Ау нал из Обратим \ Е 1 ни мс1 ние 1 3 о, ^т два анн ны> fjL лС (пусть 'они 1 1' 1 1 1 р свны a и в) опре деляют Фор- му искомого 1 1 1 1 тр( :уголь ни1 Е3, а длина данной бис^ Illy сектрисы (пу сть она равна zlL его разм \еры. 139 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора ( При 1 этом 1 1 искомый 1 1 треугольник буде ^ ГГ1 г подобен / лЮбс зму тр 1 1 1 еугольнику с 1 углами а и р. Отсюда У 1 1^1 следует г п 1 пп план постро< ;ни я: 1 строи м сна чал за про- \ ^ к 1 1 извольн >1Й 1 Г 1 \ треугольник d уг — 1— лами а и 3, пе 1 зово- D А В 1 J дим в н,ем биссектр ису и, по льзуяс ь юд обием трр- р 'ис г 13 0 1 уг ол1 1 ни ков 1 ст рои 1м иск ом лй тр( 1 еуг оль — ник (р ис. 13( э). т Тос троен ие 1. Построим тре ;угс зль ник A C, Е к ото ро, л . /д = ( ^! - -B1 = р 1 1 1 2. Построим биссеКтр ису )ен у! ла C.I 1 1 1 1 3. Отложим 1 111 Еа гострс V. ной б иссркт рис :е отр 23С к ( D = l. 4. Провед ем 1 1 1 F через точку L Грямук 3, гаралл 1 зельн^ 'Ю A1 81. Пу сть A и B — 1 1 1 точки |ее ге 1 1 1 ресечения со сто рон г ^ нам 1 1 и угла C. Греугc ль ник A BC ис :ко мы И. Доказател 1ьсТво тт 1 1 1 Поскольку г о го :тр зен ию A ,8 1 A. B., то Z A= ZA, , -■ ZB = ZB. кс к соо т- Е 1 етс 1 тве нные угл 1Ы гр1 1 и пара 1лл ел1 1 )ны?х зря мыХ. Зна чит, в тр еуг оль >ни ке AB C ( CD — биссе ктр исс и C D = l г ю 1 пос 1 тро )ен ию! ^ A = : а, Z B= Р. Исс лед ювание Задача иМее 1 1 т е дин ст1 !ен ное ре ше ни< ; п зи усл юв ии а+ -р < 18 Ю° и ни од ног о, если ( 1 1 1+р ^ 180°. Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана. 1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры. 2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой. 3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру. Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2. 140 § 14. Применение подобия треугольников Вопросы и задачи Ф устные упражнения 459. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону в отношении 1 : 2. Могут ли углы, прилежащие к этой стороне, быть равными? Почему? 460. Может ли биссектриса равнобедренного треугольника делить боковую сторону в отношении 2 : 1, начиная от основания? Какой теореме это противоречит? Ф графические упражнения 461. Начертите треугольник ABC и проведите его биссектрису BD. Измерьте отрезки AB, AD и DC. С помощью свойства биссектрисы треугольника вычислите длину стороны BC. Проверьте полученный результат измерением. —^ 462. Постройте треугольник ABC со сторонами AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Обозначьте на стороне BC точку D так, чтобы BD = 3 см. Соедините точки A и D. Измерьте углы BAD и CAD. Обоснуйте полученный результат. т письменные упражнения уровень а 463. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Найдите: а) AB, если BC = 8 см, AD = 3 см, DC = 2 см; б) AD и DC, если AB = 9 см, BC = 6 см, AC = 10 см. 464. Биссектриса равнобедренного треугольника делит боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 4 см, начиная от основания треугольника. Найдите основание треугольника. —^ 465. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Найдите стороны треугольника, если AD = 8 см, DC = 12 см, а периметр треугольника равен 45 см. 466. Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, разность которых составляет 5 см. Найдите стороны треугольника, если отношение катетов равно 3 : 4. 141 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора 467. Биссектриса прямоугольного треугольника делит его катет на отрезки длиной 4 см и 5 см. Найдите периметр треугольника. уровень Б 468. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки длиной 16,5 см и 27,5 см. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит боковую сторону треугольника. 469. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к основанию как 5 : 6. Биссектриса угла при основании делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки, разность которых составляет 4 см. Найдите периметр треугольника. 470. При пересечении двух хорд одна из них делится на отрезки длиной 6 см и 16 см, а вторая — в отношении 3 : 2. Найдите длину второй хорды. 471. При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки длиной 3 см и 4 см, а диаметр — в отношении 1 : 3. Найдите радиус окружности. 472. Секущая, проведенная из точки A, пересекает окружность в точках B и C, причем AB = 4 см, BC = 5 см. Найдите длину отрезка касательной, проведенной к окружности из точки A . 473. Из точки вне окружности, удаленной от центра окружности на 39 см, проведена касательная к окружности. Найдите радиус окружности, если отрезок касательной равен 36 см. уровень в 474. Катет прямоугольного треугольника равен 18 см. Точка на этом катете удалена от гипотенузы и другого катета на 8 см. Найдите периметр треугольника. 475. Точка на катете прямоугольного треугольника равноудалена от второго катета и гипотенузы. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к гипотенузе треугольника, делит ее на отрезки 3 см и 12 см. Найдите периметр треугольника. 476. В треугольнике ABC для высоты CD и отрезков AD и BD, на которые она делит сторону АВ, имеет место соотношение CD2 = = AD ■ BD. Докажите, что угол ACB прямой. —^ 477. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к стороне BC проведена высота AD. Докажите, что 2DC ■ BC = AC2. 142 § 14. Применение подобия треугольников 478. Постройте треугольник: а) по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла; б) по углу, биссектрисе этого угла и отношению сторон, которые образуют данный угол. 479. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины меньшего из них. 0 повторение перед изучением § 15 теоретический материал определение треугольника; сумма углов треугольника; четырехугольник и его элементы^ 8 класс, ^ § 1 задачи 480. Докажите, что периметр параллелограмма больше суммы длин его диагоналей. 481. Два угла треугольника равны 10° и 70°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины третьего угла. задачи для подготовки к контрольной работе № 3 1. По рисунку докажите подобие треугольников ABE и ПСЕ, если AB У CD. 2. Периметр прямоугольника равен 34 см, а одна из сторон 5 см. Найдите диагональ прямоугольника. 3. Стороны треугольника пропорциональны числам 21, 20 и 29. Докажите, что данный треугольник прямоугольный. 4. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и две наклонные длиной 17 см и 10 см. Проекции наклонных относятся как 2 : 5. Найдите длину перпендикуляра. 5. В прямоугольном треугольнике биссектриса делит гипотенузу на отрезки 15 см и 20 см. На какие отрезки делит гипотенузу высота треугольника? 6. В окружности проведены две равные пересекающиеся хорды. Докажите, что отрезки первой хорды соответственно равны отрезкам второй хорды. А В Итоги главы II итоговый ОБЗОР главы II ТЕОРЕМА О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: a c b d подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны признаки подобия треугольников Признак подобия треугольников по двум углам Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны Признак подобия треугольников по трем сторонам Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие тре-^^ ^ ^ ^ угольники подобны 144 Итоги главы II ПРИЗНАК ПОДОБИЯ прямоугольных треугольников Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны метрические соотношения в прямоугольном треугольнике Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: hf = ac ■ bc Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его о 2 проекцией на гипотенузу: a = c ■ ac и b2 = c ■ bc Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, делен, ab ному на гипотенузу: hc = — c теорема Пифагора и ее следствия теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: 2 2 , 1^2 c = a + b теорема, обратная теореме Пифагора Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если АС2 + BC2 = АВ2,то ZC = 90° 145 ГЛАВА II. Подобие треугольников. Теорема Пифагора ПЕРПЕндикуляр и наклонная Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда: • любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую Проекция наклонной равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию свойство Биссектрисы треугольника Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: ь. b 146 a a Итоги главы II мЕТРИчЕскиЕ соотношения в окружности Произведения отрезков пересекающихся хорд равны: AM ■ BM = CM ■ DM Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: CB ■ CA = CD^ Р D Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно: PA ■ PB = PC ■ PD 147 ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора е о контрольные вопросы к главе ii 1. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках. 2. Дайте определение подобных треугольников. 3. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам. 4. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. 5. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам. 6. Сформулируйте признаки подобия прямоугольных треугольников. 7. Сформулируйте и докажите метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 8. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 9. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора. 10. Сформулируйте свойства перпендикуляра и наклонных, проведенных из одной точки к прямой. 11. Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника. дополнительные задачи к главе ii 482. Катет прямоугольного треугольника равен 6, а проекция другого катета на гипотенузу равна 5. Найдите гипотенузу треугольника. 483. Периметр прямоугольника равен 46 см, а диагональ — 17 см. Найдите стороны прямоугольника. 484. Найдите стороны равнобедренного треугольника с периметром 16 см, если медиана, проведенная к основанию, равна 4 см. 485. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см. Найдите катеты треугольника, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. 486. Периметр треугольника равен 27 см. Вычислите его стороны, если биссектриса делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 5 см. 148 Итоги главы II 487. Периметр равнобедренной трапеции равен 1 м, а разность оснований составляет 14 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию. 488. Катет прямоугольного треугольника равен 32 см. Точка, лежащая на этом катете, удалена от концов гипотенузы на 25 см. Найдите периметр треугольника. 489. Прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c подобен прямоугольному треугольнику с катетами а1 и b1 и гипотенузой Cj. Докажите, что aa1 + bb1 = cc1. 490. Пользуясь рисунками 131, а, б, докажите теорему о точке пересечения медиан треугольника еще двумя способами. В Рис. 131 491. На рисунке 132 отрезок BD — биссектриса треугольника ABC, CM У BD. Пользуясь этим рисунком и теоремой о пропорциональных отрезках, докажите свойство биссектрисы треугольника. 492. На рисунке 133 CM — биссектриса внешнего угла треугольника ABC, BD У CM. Пользуясь этим рисунком и теоремой о пропорциональных отрезках, докажите, что AM: BM = AC: BC. М Рис. 132 В м Рис. 133 149 б а РОЗД1Л 11. Подiбнiсть трикутникiв. Теорема Пiфагора Задачi пiдвищеноl складностi 494. У трикутнику АВС на сторонах ВС i АС позначено точки А^ i вiдповiдно. Вiдрiзки АА^ i ВВ^ перетинаються в точцi О. Знайд1ть: а) АО : А^О, якщо АВ^ : В^С = 2 : 1, ВА^ = А^С; б) ВА1 : А1С, якщо АО : ОА1 = 4 : 1, АВ1 : В1С = 2 : 1; в) ВА1 : А1С i АВ1 : В1С, якщо АО : ОА1 = 4:1, ВО : ОВ1 = 7 : 8. 495. У трикутнику ABC медiана AM дiлить висоту BH у вiдношеннi 3 : 1, починаючи вiд вершини B. У якому вiдношеннi дана висота дiлить дану медiану? 496. Основи трапецк1 дорiвнюють 6 см i 12 см. Середини кож-но! з основ сполученi з кiнцями iншоi основи. Знайдiть вiдстань мiж точками перетину проведених вiдрiзкiв. 497. Дано рiвнобедрений трикутник з основою 6 м i бiчною стороною 9 м. Вiдрiзки яко! довжини треба вiдкласти вiд вершини на бiчних сторонах, щоб при сполученнi !х кiнцiв отримати трикутник iз периметром 16 м, подiбний до даного? 498. Основи трапецii дорiвнюють a i b (a < b). Через точку перетину продовжень бiчних сторiн проведено пряму, паралельну основам. Знайдiть довжину вiдрiзка цiei прямо!, що мiститься мiж продовженнями дiагоналей. 499. Основа рiвнобедреного трикутника дорiвнюe 36 см, а бiчна сторона — 54 см. До бiчних сторiн проведено висоти. Знайдiть довжину вiдрiзка, кiнцями якого е основи цих висот. 500. Доведiть, що квадрат найменшо! медiани прямокутного трикутника в 5 разiв менший за суму квадратiв двох iнших медiан. 501. Три кола з радiусами 1, 2 i 3 дотикаються одне до одного зовнi. Знайдiть радiус кола, яке проходить через центри цих кiл, i радiус кола, яке проходить через точки !х дотику. 502. Усерединi прямокутника ABCD позначено точку M, причо-му MA = a , MB = b , MC = c. Знайдiть MD . 503. Знайдiть геометричне мiсце точок, сума квадратiв вiдстаней вiд яких до даних точок A i B стала, коли ця множина мiстить точки А i В. 150 Итоги главы I 502. Внутри прямоугольника ABCD обозначена точка M, причем MA = а, MB = b, MC = с. Найдите MD. 503. Найдите геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до данных точек A и B постоянна. 504 (теорема Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон: d ' = ас + bd (рис. 134). Докажите. 505 (опорная). Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением боковых сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит основание: 1с^ = ab - mn (рис. 135). Докажите. рис. 135 Историческая справка Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев Евклид равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков. Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней. Пифагор Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию. ГЛАВА 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора ТЕМАТИКА СООБЩЕНИИ И РЕФЕРАТОВ к главе 11 1. Пифагор Самосский — ученый, философ, общественный деятель. 2. Архимед и его достижения в геометрии. Задачи об арбелосе. 3. Пропорциональные отрезки в трапеции. 4. Теоремы Чеви и Менелая и их следствия. 5. «Золотое сечение» в архитектуре и искусстве. 6. Прикладное применение подобия треугольников. Пропорциональный циркуль. рекомендованные источники информации 1. Литцман, В. Теорема Пифагора [Текст] / В. Литцман ; под ред. И. М. Яг-лома ; пер. с нем. В. С. Бермана. — 3-е изд. — М. : Физматгиз, 1960. — 114 с. 2. Никулин, А. В. Геометрия на плоскости (Планиметрия) : Учеб. пособие [Текст] / А. В. Никулин, А. Г. Кукуш, Ю. С. Татаренко ; под ред. Ю. С. Татаренко. — Мн. : ООО «Попурри», 1996. — 592 с. 3. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1 [Текст] / В. В. Прасолов. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 320 с. — (Б-ка мат. кружка). 4. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 2 [Текст] / В. В. Прасолов. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 240 с. — (Б-ка мат. кружка). 5. Шарыгин, И. Ф. Геометрия. 7—9 классы : От учебной задачи к творческой: Учеб. пособие [Текст] / И. Ф. Шарыгин. — М. : Дрофа, 1997. — (Задачники «Дрофы»). 6. Бевз, В. Г. Геометрiя кiл [Текст] / В. Г. Бевз. — Х. : Вид. група «Основа», 2004. — 112 с. — (Б-ка журн. «Математика в школах Укра!ни»). 7. Бевз, В. Г. Геометрiя трикутника. 7—11 класи : Навч. посiбник [Текст] / В. Г. Бевз. — К. : 1"енеза, 2005. — 120 с. 8. Бiлецький, Ю. О. Фiгури на пiску [Текст] / Ю. О. Бiлецький, Г. Б. Фi-лiпповський. — Х. : Вид. група «Основа», 2003. — 96 с. — (Б-ка журн. «Математика в школах Укра!ни»). 9. Еленьский, Щ. По следам Пифагора [Текст] / Щ. Еленьский. — М. : Детгиз, 1961. 10. Кушн1р, I. А. Повернення втрачено! геометрИ [Текст] / I. А. Куш-нiр. — К. : Факт, 2000. — 280 с. — (Серiя «Математичнi обрii Укра!ни»). 11. Математична хрестоматiя для 6—8 класiв. Т. 1 [Текст]. — К. : Рад. шк., 1968. — 320 с. 12. Интернет-библиотека МЦНМО. https://ilib.mirror0.mccme.ru/ ч rj P.? Рлава1я111 BHOSiiiOiiiUiUi е1щВ1|1|шв HioiiiUKOI >■'V- V § 15. Многоугольник и его элементы § 16. Площадь многоугольника. Площади прямоугольника и параллелограмма § 17. Площади треугольника и трапеции § 18. Применение площадей Математика, отделяя линию от площади и площадь от тела, утверждает, что реально только тело, а линия и площадь — абстракции. Александр Герцен, русский писатель До настоящего времени в теоремах и задачах рассматривались лишь числовые характеристики отдельных элементов геометрических фигур — длины сторон, градусные меры углов и т. п. В отличие от них площадь характеризует фигуру в целом, т. е. зависит как от ее формы, так и от размеров. В повседневной жизни человек имеет дело с площадями каждый день — измеряет жилые помещения и приусадебные участки, лесные массивы и сельскохозяйственные угодья и т. д. Вычислением площадей вы занимались и на уроках математики в младших классах. Тем не менее, дать строгое с научной точки зрения определение площади не так просто, и соответствующая математическая теория была создана значительно позже многих известных теорем. В этой главе мы обобщим сведения о многоугольниках и их площадях. Благодаря этому ваш математический багаж пополнится немалым количеством новых формул, которые необходимо знать и уметь применять. В этой связи дадим вам совет: усвоить какую-либо формулу значительно проще, если понять и запомнить способ ее получения. Более того, откроем вам маленькую профессиональную тайну: иногда даже профессиональные математики не запоминают формулы, а выводят их в уме в случае необходимости. Будет очень здорово, если такую математическую эрудицию удастся приобрести и вам. § 15. Многоугольник и его элементы А, А А, а В D б Рис. 136. Многоугольники 15.1. определение многоугольника Рассмотрим фигуру, которая состоит из отрезков AjA2 , A2A3 , _, An1An , AnAj. Отрезки расположены так, что никакие два соседних отрезки (то есть те, которые имеют общий конец), не лежат на одной прямой, а несоседние отрезки не имеют общих точек (рис. 136, а). Такую фигуру называют многоугольником. Точки А1, А2, ^, An называют вершинами многоугольника, а отрезки А1 А2 , А2А3 , _, An1An , AnA1 — сторонами многоугольника. В зависимости от количества вершин многоугольник называют треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т. д. Многоугольник, который имеет n вершин (а следовательно, n сторон), называют n-угольником. Многоугольник обозначают по его вершинам. При этом буквы, которые стоят в названии многоугольника рядом, должны обозначать вершины, которые принадлежат одной стороне (соседние вершины). Например, пятиугольник на рисунке 136, б можно обозначить ABCDE или DCBAE, но нельзя обозначать ABDEC. определение Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон. диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Например, на рисунке 136, б отрезки AC и AD являются диагоналями пятиугольника ABCDE, выходящими из вершины A. Периметр 157 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников Рис. 137. Выпуклый (а) и невыпуклый (б) многоугольники £ В„ рис. 138. Внутренний и внешние углы многоугольника рис. 139. Вписанный (а) и описанный (б) многоугольники этого многоугольника вычисляется по формуле Pabcde = AB + BC + CD + DE + A E. Любой многоугольник делит плоскость на две части. Одна из них (на рисунке 136, а она закрашена) является внутренней областью многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, называют плоским многоугольником, или, в некоторых случаях, просто многоугольником. определение Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, которая содержит его сторону. На рисунке 137, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 137, б — невыпуклый. Далее мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники. Рассмотрим выпуклый многоугольник BjB2...Bn (рис. 138). Углы BjBgBjj, B2B3B4, _, Bn-1BnB1 , BnB1B2 (на рисунке они закрашены) называют углами (внутренними углами) многоугольника B1B2...Bn . В частности, угол данного многоугольника при вершине В1 на рисунке обозначен одной дужкой. Углы, смежные с данным внутренним углом, являются внешними углами многоугольника B1B2...Bn при вершине В1 (на рисунке они обозначены двумя дужками). Любой внутренний угол выпуклого многоугольника меньше 180°. определение Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. На рис. 139, а изображен вписанный многоугольник, а на рис. 139, б — описанный. 158 а а § 15. Многоугольник и его элементы ■^3 А, А. А А Рис. 140. К доказательству теоремы о сумме углов выпуклого п-уголь-ника 15.2. сумма углов выпуклого многоугольника Как известно, сумма углов треугольника равна 180°, а сумма углов четырехугольника — 360°. Нетрудно предположить, что сумма углов выпуклого многоугольника должна зависеть от количества его сторон. Эта зависимость выражается следующей теоремой. теорема (о сумме углов выпуклого п-угольника) сумма углов выпуклого п-угольника равна 180°(п - 2). Доказател ьство □ Пусть дан Aj A2...An (рис. 140). произвольную точку шинами A1, A2, A3, ся п треугольников. выпуклый п -угольник Обозначим внутри него O и соединим ее с вер., An. При этом образует-Обратим внимание на то, что сумма углов данного многоугольника равна сумме всех углов этих треугольников, кроме углов при вершине O. Поскольку сумма углов AjOA^, A20A3, ..., AnOA1 составляет 360°, то искомая сумма углов многоугольника равна 180°-п-360°, т. е. 180°(п-2). ■ \ Задача Д оке жи те, чт о сум ме{ в1 1 нешни тл ов вы пук :ло го п -уГолЬни ке, взЯть 1 сх по од ном ^у пр1 1 К ежд ,оИ ве р- ш ин< 1 евне 360°. Ре шение " 1 ‘ нике п П оск ол аКУ вн гш) ний ут ол мн ого угс )ль о о )пр еде ле нию а я 5ля етс я с ме: жнь 1м с 1 Г соотвртс 1 1 1 1 твующим внутр 1 Г—1 \ енним углом, то сумме этих 1 1 двух углов 1 ревне 180°. Т акИм обр азом, сумма 1 1 1 т всех [внутренних ^““1 1 и внешних угл ов |равна 18 D°- п .ч 1 тобы 1 1 получи П 1 ть сум \му г ш внеш 1 них у глов, вы чте 1 м из это f:: 1 1 1 и суммы сумм лу вну тре 1 .нних 1 1 углов: 180°- n -1 80 >(п -т 3б0°. 159 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников Вопросы и задачи ф устные упражнения 506. Сколько диагоналей исходит из одной вершины семиугольника? 507. Может ли диагональ шестиугольника делить его: а) на два треугольника; б) на два четырехугольника; в) на треугольник и пятиугольник? 508. Диагональ отсекает от пятиугольника четырехугольник. Какой вид имеет оставшаяся часть? 509. Может ли выпуклый пятиугольник иметь четыре острых угла; четыре прямых угла; четыре тупых угла? 510. Могут ли четыре угла выпуклого пятиугольника быть равными соответственно четырем углам выпуклого четырехугольника? графические упражнения 511. Начертите выпуклый пятиугольник. а) Проведите все диагонали пятиугольника. Сколько диагоналей исходит из одной вершины? б) Какая фигура образовалась при попарном пересечении диагоналей? в) Измерьте углы пятиугольника и вычислите их сумму. Проверьте полученный результат, используя соответствующую теорему. 512. Начертите выпуклый шестиугольник. а) Проведите красным цветом диагональ, которая делит данный шестиугольник на два четырехугольника. Сколько существует таких диагоналей? б) Проведите синим цветом диагональ, которая делит данный шестиугольник на треугольник и пятиугольник. Установите зависимость между количеством углов выпуклого многоугольника и суммарным количеством углов многоугольников, на которые он делится диагональю. 160 § 15. Многоугольник и его элементы Ф письменные упражнения Уровень А 513. Найдите суму углов выпуклого: а) шестиугольника; б) двенадцатиугольника. 514. Определите количество сторон выпуклого многоугольника, сумма углов которого равна: а) 540°; б) 900°; в) 1260°. —^ 515. Все углы выпуклого восьмиугольника равны. Найдите их градусную меру. 516. Два угла выпуклого пятиугольника прямые, а остальные три равны. Найдите их градусную меру. 517. Каждый из пяти углов выпуклого шестиугольника равен 120°. Докажите, что в этом шестиугольнике все углы равны. уровень Б 518. Определите, существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) 1620°; б) 1350°; в) 1980°. В случае утвердительного ответа укажите количество его сторон. 519. Диагональ делит выпуклый многоугольник на пятиугольник и четырехугольник. Определите вид данного многоугольника и найдите сумму его углов. 520. Каждый из трех углов выпуклого многоугольника равен 80°, а каждый из оставшихся — 160°. Определите количество сторон многоугольника. 521. Определите количество сторон выпуклого многоугольника, каждый угол которого равен: а) 60°; б) 108°; в) 120°. —^ 522. Все углы выпуклого многоугольника прямые. Докажите, что он является прямоугольником. уровень в 523. Определите количество диагоналей п-угольника. 524. Докажите, что выпуклый многоугольник не может иметь больше трех острых углов. 161 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников 525. В равностороннем пятиугольнике углы при одной стороне прямые. Найдите остальные углы. 526 (опорная). Длина любой стороны многоугольника меньше суммы длин остальных сторон. Докажите. 527. Периметр выпуклого многоугольника равен 20 см. Может ли его диагональ быть равной 10 см? Ответ обоснуйте. 0 повторение перед изучением § 16 теоретический материал площади прямоугольника и квадрата; параллелограмм и его виды. задачи 528. Через середину стороны AB параллелограмма ABCD проведена прямая, перпендикулярная прямой BC. Докажите равенство треугольников, образованных этой прямой, отрезками стороны AB и прямыми BC и AD. 529. Докажите, что сумма высот параллелограмма меньше его периметра. § 16. Площадь многоугольника. Площади прямоугольника и параллелограмма 16.1. Понятие площади многоугольника Понятие площади хорошо известно нам из повседневного опыта: мы измеряем площадь спортивной площадки или садового участка, рассчитываем по площади количество обоев или коврового покрытия для ремонта комнаты и т. д. Попробуем придать представлениям о площади определенную математическую строгость. Условимся, что под площадью многоугольника мы будеем понимать площадь его внутренней области. Как и в случае измерения длин отрезков, измерение площадей основывается на сравнении данной фигуры с фигурой, площадь которой принята за единицу измерения. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков. Например, если за единицу измерения отрезков приняты 1 мм, 1 см или 1 м, то за единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной 1 мм, 1 см или 1 м. Площадь такого квадрата называется квадратным миллиметром (мм2), квадратным сантиметром (см2) или квадратным метром (м2) соответственно. Из курса математики известны и другие единицы площади: ар (площадь квадрата со стороной 10 м), гектар (площадь квадрата со стороной 100 м) и др. При выбранной единице измерения площадь каждого многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, 163 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников Рис. 141. Измерение площади с помощью палетки сколько раз единица измерения площади и ее части укладываются в данном многоугольнике. Обычно площадь обозначается буквой S. Для определения приближенного значения площади можно использовать палетку — прозрачную пленку с квадратной сеткой (рис. 141). Наложив палетку на фигуру, площадь этой фигуры определяют обычным подсчетом количества единичных квадратов, которые вместились в данной фигуре. Однако на практике применять такой способ неудобно. Поэтому для определения площади многоугольника обычно измеряют лишь некоторые связанные с ним отрезки, а потом вычисляют площадь по соответствующим формулам. Вывод этих формул основывается на свойствах площадей, которые мы рассмотрим ниже. Прежде всего заметим, что когда два многоугольника равны, то единица измерения площади и ее части укладываются в каждом из них одинаковое количество раз, т. е. имеет место следующее свойство. рис. 142. Площадь многоугольника равна сумме площадей его частей 1. Равные многоугольники имеют равные площади. Далее, пусть многоугольник состоит из нескольких частей — других многоугольников, которые не имеют общих внутренних точек (рис. 142). Если эти части имеют площади S1, S2, S3, то площадь всего многоугольника равна их сумме: S = Sj + S2 + S3. В этом заключается второе свойство площадей. 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Третье свойство площадей связано с единицей их измерения. 164 § 16.Площадь многоугольника. Площади прямоугольника и параллелограмма д Рис. 143. Равносоставленные многоугольники 3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади. Три приведенных свойства называют аксиомами площадей. Итак, площадь многоугольника — это положительная величина, численное значение которой удовлетворяет аксиомам площадей. Из этого, в частности, следует, что каждый многоугольник имеет некоторую площадь, которая однозначно определяется в заданных единицах измерения. определение Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади. Очевидно, что по первой аксиоме площадей любые два равных многоугольника равновеликие. Однако не любые два равновеликих многоугольника равны. Если рассмотреть два равных прямоугольных треугольника (рис. 143, а), то, прикладывая их равными сторонами друг к другу, можно получить равнобедренный треугольник (рис. 143, б), параллелограмм (рис. 143, в), прямоугольник (рис. 143, г) или четырехугольник с попарно равными соседними сторонами — дельтоид (рис. 143, д). Все эти фигуры равносоставленные, т. е. составлены из одних и тех же многоугольников. По второй аксиоме площадей все образованные таким способом фигуры имеют равные площади. Следовательно, любые равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Интересно, что имеет место и обратное утверждение (теорема Бойяи — Гервина): два равновеликих многоугольника являются равносоставленными (приводим этот факт без доказательства). 165 а в г ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников а а б Рис. 144. К обоснованию формулы площади прямоугольника 16.2. Площадь прямоугольника Самой простой фигурой с точки зрения вычисления площади является прямоугольник. теорема (формула площади прямоугольника) Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон: S = ab, где a и b — стороны прямоугольника. Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы. Сначала необходимо рассмотреть прямоугольник со сторонами 1 и а. Поскольку в отрезке a единица измерения длины укладывается a раз, то в этом прямоугольнике единица измерения площади (единичный квадрат) будет укладываться также а раз (рис. 144, а), т. е. площадь этого прямоугольника равна a. В общем случае для прямоугольника со сторонами а и b рассуждаем так: поскольку в отрезке b единица измерения длины укладывается b раз, то прямоугольник со сторонами 1 и а будет укладываться в данном прямоугольнике также b раз (рис. 144, б). Тогда единица измерения площади укладывается в данном прямоугольнике ab раз, т. е. площадь прямоугольника равна ab. Полное доказательство этой теоремы приводится в Приложении 1. следствие (формула площади квадрата) Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S = a2, где a — сторона квадрата. 166 1 Ь а § 16.Площадь многоугольника. Площади прямоугольника и параллелограмма В С ^ Н D F В С А‘ D{H) В С Рис. 145. К доказательству формулы площади параллелограмма 16.3. Площадь параллелограмма С помощью формулы площади прямоугольника можно доказать формулу площади произвольного параллелограмма. теорема (формула площади параллелограмма) Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S = ah , a' где a — сторона параллелограмма, ha — проведенная к ней высота.__________________ Доказател ьство □ Пусть ABCD — данный параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 145, а). Проведем его высоты BH и CF и докажем, что SABCD = AD ■ BH. Четырехугольник ABCF является прямоугольной трапецией, площадь которой можно вычислить двумя способами — как сумму площадей параллелограмма ABCD и треугольника DCF или как сумму площадей прямоугольника HBCF и треугольника ABH : SaBCF = SABCD + SDCF = SHBCF + SABH . Треугольники ABH и DCF равны по гипотенузе и катету (AB = DC как противолежащие стороны параллелограмма, BH = CF как расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Тогда площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCF также равны, т. е. SabCd = BC■ BH = AD■ BH. Случаи, когда точка H не является внутренней точкой отрезка AD \ 1 Задача \ 1 ПЛоЩад ь пар злл 1ел огр ам ма ра вна 36 с м2, а дл и- \ 1 —1— ны его 1 1 выСоТ — 3 см и 4 см. Нс 1ИД ите п ери ме тр паралле 1 лограМм а. 167 а б ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников 1 1 Решение / П уст > д сн пар ал. лел Г 1 1 1 П ограмм с п Л01 ЩД ью S = 3 6 с W2 h ь /Ъ- и г т высотами 1 = 3 см и h ь 4 см (ри 1с. 146). 1 а - / П оскольку то S , т . е.. а = 3 а а и ++b t h а ри к. 14( . 36 Зй -Л2 L (см), b = S т. е. bi = 36: 4 9 (см \)._ ' h ь Сл 1ед овс тел |ьн о, пер им етр пс 1ра лле ;ЛО гра мм а Р ав( гн (1 2 + 9)- 2 = 42 (с м). ЭТЕ ет: 42 с м. Решая приведенную задачу, можно заметить интересную закономерность: чем больше сторона параллелограмма, тем меньше проведенная к ней высота. К обоснованию этого факта мы вернемся в § 18. Вопросы и задачи устные упражнения 530. Площади двух многоугольников равны. Означает ли это, что сами многоугольники также равны? 531. Два прямоугольника имеют равные периметры. Являются ли они равновеликими? 532. Через середины двух противолежащих сторон параллелограмма проведена прямая. В каком отношении она делит площадь параллелограмма? 533. Определите, какие из данных утверждений верны: а) если диагонали двух квадратов равны, то эти квадраты равновеликие; б) два равновеликих прямоугольника равны; в) два равновеликих квадрата равны. 534. Сторона квадрата равна меньшей стороне прямоугольника. У какой из этих фигур площадь больше? 168 § 16.Площадь многоугольника. Площади прямоугольника и параллелограмма О ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 535. Начертите параллелограмм, который не является прямоугольником. а) Проведите из вершины тупого угла меньшую высоту параллелограмма. Измерьте эту высоту и сторону, к которой она проведена, и вычислите площадь параллелограмма. б) Разрежьте параллелограмм по высоте. Какие фигуры вы получили? в) Приложите полученные фигуры друг к другу так, чтобы образовался прямоугольник. Равна ли площадь этого прямоугольника площади параллелограмма? 536. На бумаге в клеточку начертите параллелограмм. а) Подсчитайте приблизительное количество клеток, которые содержатся внутри параллелограмма. Вычислите площадь одной клетки и найдите приближенное значение площади параллелограмма. б) Проведите необходимые измерения и вычислите площадь параллелограмма по соответствующей формуле. Сравните полученные результаты. письменные упражнения уровень А 537. Начертите прямоугольник ABCD и постройте параллелограмм ABjCjD, равновеликий данному прямоугольнику. 538. Вырежьте из бумаги два равных равнобедренных треугольника и составьте из них: а) ромб; б) параллелограмм, отличный от ромба. Сравните площади составленных фигур. 539. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если: а) AB = 9 см, BC = 4 см; б) AB: BC = 5:7, PABCD = 48 см; в) AD = 12 см, AC = 13 см. 540. Стороны прямоугольника равны 9 см и 25 см. Найдите периметр квадрата, равновеликого данному прямоугольнику. 169 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников 541. Диагональ квадрата равна 1^2 м. Найдите площадь квадрата. —^ 542. Площадь квадрата равна 32 см2. Найдите его периметр. 543. Площадь прямоугольника равна 128 см2. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них в два раза больше другой. 544 . В параллелограмме со стороной а, проведенной к ней высотой ha и площадью S найдите: а) S, если а = 10 см, ha = 6 см; б) а, если S = 48 см2, ha = 4 см; в) ha, если S = 120 см2, а = 24 см. —^ 545. Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если другая его сторона равна 17 см. 546. Стороны параллелограмма равны 12 см и 16 см. Найдите его высоты, если площадь параллелограмма равна 96 см2. —^ 547. Сторона параллелограмма и проведенная к ней высота равны соответственно 16 см и 9 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого данному параллелограмму. уровень Б 548. Часть стены, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,25 м на 1,8 м, необходимо покрыть кафелем. Сколько плиток для этого понадобится, если плитка имеет форму квадрата со стороной 15 см? 549. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 4 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача? 550. Стороны прямоугольника относятся как 5 : 12. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 26 см. 551. Найдите площадь параллелограмма, если: а) его периметр равен 42 см, а длины высот — 6 см и 8 см; б) его сторона равна 5 см, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит другую сторону на отрезки длиной 4 см и 6 см; в) его стороны равны 8 см и 10 см, а острый угол — 30°. 170 § 16.Площадь многоугольника. Площади прямоугольника и параллелограмма —^ 552. Найдите площадь параллелограмма, если: а) его диагональ перпендикулярна стороне, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит другую сторону на отрезки длиной 4 см и 9 см; б) его стороны равны W2 см и 8 см, а острый угол — 45°. 553. Площадь и периметр ромба равны соответственно 24 см2 и 24 см. Найдите высоту ромба. 554. Диагонали ромба равны 16 см и 30 см. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба. 555. Высота ромба с тупым углом 150° равна 5 см. Найдите площадь ромба. 556. На диагонали квадрата как на стороне построен другой квадрат. Докажите, что его площадь в два раза больше площади данного квадрата. —^ 557. Точка, лежащая на диагонали квадрата, удалена от двух его сторон на 180 см и 2,2 м. Найдите площадь квадрата. уровень в 558. Стороны параллелограмма равны 12 см и 16 см, а одна из высот — 15 см. Найдите площадь параллелограмма. 559. Высоты параллелограмма равны 12 см и 16 см, а угол между ними — 30°. Найдите площадь параллелограмма. 560. Найдите ошибку в «доказательстве» геометрического софизма: 64 см2= 65 см2. —Z—1—1—1—1—1— «Доказательство» Ра: ре кел 1 КЕ 5ад зат со ст эр( оно CTq “П ГЩ ^ 1 и 8 см так, как пока: ан о н 3 р ису нке 14 7, с 1. Т [ер е- 1 1 1 1 1 ставив полученнь г п 1е Части в д 1 ругом порядке (рис. 147 б), полу 1 1 1 чим прямоу 1^1 ■оль- 1 1 1 1 1 1 ник со сторонами 13 см и 5 см! К| ;адрат ^ 1 и [прямоугс ЗЛЬЕ ник 1 г П 1 равносоставлен- 1 нье, 11 т. е. должны; быть равн 1 1 овеликими. но о 1 чевидно. 1 что п г “1 1 1 1 1 лощадь квадрата ра вна _6 4 см2!, а 1 г площад т ь г ря/ моу гол 1ьн ика ГП 6! 5 с :м2, т. е. 64 см2 65 см \2. 1 3 гЧ.. Л 5 D 8 Е 3 5 Ь \ -X 5 \ 3 В а ри с. 47 б 171 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников 561. Диагональ ромба делит его высоту на отрезки длиной 13 см и 5 см. Найдите площадь ромба. 562. Найдите площадь ромба, если его высота и меньшая диагональ равны соответственно 12 см и 13 см. 0 повторение перед изучением § 17 теоретический материал • расстояние между параллельными прямыми; • трапеция. задачи 563. В равнобедренной трапеции биссектриса тупого угла параллельна боковой стороне. Найдите углы трапеции. На какие многоугольники данная биссектриса делит трапецию? 564. В параллелограмме ABCD диагональ BD является высотой, ZA = 45°, AD = 4 см. Найдите площади треугольников ABC и BCD. § 17. Площади треугольника и трапеции 17.1. Площадь треугольника теорема (формула площади треугольника) В А D Н ^ рис. 148. К доказательству формулы площади треугольника Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S = — a ■ ha, 2 где a — сторона треугольника, ha — проведенная к ней высота. Доказател ьство □ Пусть BH — высота треугольника ABC (рис. 148). Докажем, что SABC = AC ■ BH. Проведем через вершины B и C прямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения D. Таким образом, мы «достроили» треугольник ABC до параллелограмма ABDC, в котором отрезок BH также является высотой, проведенной к стороне AC. По формуле площади параллелограмма SABDC = AC ■ BH .Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (у них сторона BC общая, AB = DC и AC = DB как противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника ABC составляет половину площади параллелограмма ABDC, т. е. SABC = 1SABDC = 1 AC ■ BH , что и требовалось доказать. ■ 173 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = - ab, 2 где a и b — катеты прямоугольного треугольника. Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом. рис. 149. К вычислению площади ромба следствие 2 Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S = - d,d2, 2 1 2 где d-^ и d2 — диагонали ромба. Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами — d-, и — d2 (рис. 149). Используя следствие 1, 2 1 2 2 имеем: S = 4 • — •—d, •—d2 = — d1d2. 2 2 1 2 2 2 1 2 следствие 3 Площадь равностороннего треугольника со стороной a вычисляется по формуле S= а%/з Обоснуйте это следствие самостоятельно. 174 4 § 17. Площади треугольника и трапеции 1 1—1—1—1—1— Опорная задача \ М еди 1ан 1 . \ет ит тР г т 1 г П еугольник на дв( ав» юв ел1 1- \ 1 ких 1 1 1 треугольник а. докажите. и Решение L П уст ь B M — i лед иа 1 1 1 на треугольн ик 3 A BC (р ис. 150). / Провед( 1 1 Ьи II' высоту BH треугольника AB C. Это Т °|т- / \ резок явля ется одновременно высс зто й т зеугот 1ьни- / Г С ка ABM, проведенной к стороне AM л, и высотой треугольника MBC, проведенной к стс зроне M 'ис . 1! ;о Учитывая равенство отрезков AM и M C, им« ;ел S - 1 AM • BH - 1 MC• BH - S. BM 1 ^ . '-'MBC' Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот. Докажите эти утверждения самостоятельно. 17.2. Площадь трапеции Часто для вычисления площади некоторого многоугольника его разбивают на несколько треугольников и находят искомую площадь как сумму площадей этих треугольников. Именно такой подход можно применить для вывода формулы площади трапеции. теорема (формула площади трапеции) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: a + b S = 2 • h, где a и b — основания трапеции, h — высота трапеции. 175 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников Н в “П С А F D Рис. 151. К доказательству формулы площади трапеции Доказател ьство □ Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC и высотой h. Диагональ AC делит ее на два треугольника ABC и ACD (рис. 151). Проведем высоты этих треугольников AH и CF. Обе они являются высотами трапеции, т. е. равны h. Имеем: SABCD = SACD + SABC = ~ ■AD ' h + ~ BC ' h = AD + B^ , a + b , • h =---h. 2 2 Теорема доказана. ■ следствие Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. 17.3*. решение задач на вычисление площадей Решение задач на вычисление площадей многоугольников чаще всего сводится к поиску величин отдельных элементов рассматриваемых фигур и дальнейшему применению соответствующих формул площадей. Во многих задачах наряду с сугубо геометрическими приемами решения (дополнительные построения, применение равенства фигур и т. п.) используются и методы алгебры (составление уравнений или систем уравнений на основе метрических соотношений между элементами фигуры). В ходе решения особое внимание следует уделить тому, однозначно ли данные задачи определяют взаимное расположение элементов фигуры. 176 § 17. Площади треугольника и трапеции V Задача \ Н( зИд ите ; п. лощ дад ь т заТеции, в 1 :от( эро и о >дн о и з о с- к новаНий р звно 24 см, высс эта 12 с м, а бок овы 1е и 1 ст орд знь . - 13 с м и 1 20 см. 1 1 Решени е П уст ь B H и CF — 1 1 высоты дан но1. л т зап 2Щ 1и, пр о- ведеНнь е 1 13 кон цов основан ия BC к другому о зсно- ванию. Пусть BC = 24см, BH = F = 12 см. Про- 1 1 ще Всег ^1 1 о дос троит > трапец A BC D |так, ч тобы 1 точки H и F лежали! нП основан 1 1 1 1 1 1 1 ии ad. Но этот 1 1 1 вариант — тол 1ько один из 1 1 1 во )3M°Ж^ ых , ведь BJ сло- вии зад ач1 1 н 2 говори тся о том, |_^ пр1 та дл« [жа-т ли точки H и F отрезку ad .Поскол эку из точки , ле- жащеи 1 не да ннои пря 1 1 ^ 1 мой, моЖно i_Lj 1 пр ов2 ;ст1 1 к этой 1 прямОй дв е равнее накл юнные з 1 1 аданноИ дл ины, 1 то каждую из боковых 1 1 1 1 сторо н • •рапеции м ожно построить двум я способами: A В = A 1B = 13 см, 1 ' CD = CDj = 20 см. /ч 1 1 1 1 Следовательно I I 1 1 ), Д анную траг2 цию по условию за, 1 1 II :;ачи можно п ост ро1 ить ч« ты рьм \я разными спос :об ами (рис! 152, 1 Mi 1 1 L а- г). R г По построению четырех угольн ик H BCI ■ я вл 1ет ся см / прямоугольником, с зткуда HF = BC = 24 J / Ра ссмотрим четь [ре случая. П п 1 1) Для трапеции A BC D (рис. 152, а): из ГP2^ тол |ьн1 1ка АВ H А Я F 1 ) по теореме Пи Фаг°р,а имеем 1 A H =5 с м, ан а- а логично из треугольника DCF имеем DF =1 6 :м; J 3 С то где A D = A. H+ HF + FD = 45 см, \ \ S BCD 24 + 45 ■ 12 = 414 (см2). 1 \ \ 2) Л ля 2 тр апе ши и A 1f ?cd 1 1 i (рис. .52 , б ): из_ им тр е- п\ 1 \ 1 1 1 угольни кп A.BH Г о тео )реме ! ПиФ агора г' 1 леем F— 1 ) A = 5 ‘ 1 1 п см, аналогичнс гг г 1 1 J из/греугольника t CF имеем D 16 1 1 1 см; тогда Ait )=HF+F D - A1 H= 35 1 см, ри к. 152 !. См. та кж е 24 + 3 5 (см с. 178 SaBCD = 2 ■1 2 = 35 4 ). 177 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников ~п~~'--1--1--1— Для трапеции aBcD (риС. |l52, в): ^ —.Г I I- из тр^ С Н ^ F ~Н Н 3) УГ ольника ABH по 4 теореме Пифдгора AH = 5 см аналогично из треугольника ем D,F = 16 см; 24 +13 тогда 2 • 12 = 222 4) Для трапеции угольника A1BH по AD, = AH + (см2) A BCD, HF - D рис. теореме fM- ,F = 13 см, 152, г): D,CF Пифагора A1H = 5 |см, аналогично из треугольника емЬ^Р = 16 см; то'гда A1D1 т. е- точки H, А1, В1 “I I I I г указанном порядке. F D1F = HF - A1H - —I—I—I—I— расположены на имеем + име- из тре- имеем D1CF име- = 3 см, h. прямри рис. 152. Окончание 24+3 Abcd • 12 = 162 (см2) Ответ: 414 см2, или 354 —I—I—I—I—J—I—I— см., или 222 см2, или ---U---1---1—1----uL-l--- 162 см2. —I—I— Рассмотренная задача наглядно демонстрирует одну из причин, по которым в процессе решения геометрической задачи может возникать многовариантность. Но даже если такая ситуация не возникает, взаимное расположение элементов фигур нуждается в обосновании. \ Задача \ О( :но 5ан ия гра пец ии 1 inTi равны 10 см , и 35 см . а бок овк Ее |\ 1 1 стороны 1 15 см и 20 см. НаИДите п ПС1 1 1 1 1 ;адь трапеции. В 10 С 15/ \20 J п \ X Н 10 F 25-х рис. 153 Прежде всего заметим, что решение данной задачи фактически сводится к нахождению высоты трапеции. Итак, пусть дана трапеция ABCD, AD У BC, AB = 15 см, BC = 10 см, CD = 20 см, AD = 35 см. Естественно было бы провести, как в предыдущей задаче, высоты BH и CF (рис. 153) и составить уравнение на основании теоремы Пифагора, примененной к треугольникам ABH и DCF : 152 - X2 = 202 - (25 - х)2. Такое решение 178 в в г 2 § 17. Площади треугольника и трапеции позволит получить правильный ответ, но не будет полным, ведь принадлежность точек H и F отрезку AD нужно обосновать. Попробуем избежать необходимости такого обоснования, применив для решения другое дополнительное построение. 1 П ъ / О п 1 и А / / 1 ГГ к и рис . 1 54 Решение Чер 23 1 1 1 вершину C пря шу C — / П роведем параллельну|Ю ~п^ построению 1—^^—h'-параллелограмм, то ABCE i см, Стороны —h4— F I...I' I следователь-—^^^^ треугольни- CE = AB = 15 но, ED = 3 5 - см, AE = BC = = 25 10 10 ка ECD (см). пропорциональны числам 3 4J 5,1 следо п—^—I—Ч—НЧ—^—НЧ— вательно, по теореме, обратной -Н—^—h4— I I I П—h он является ----- теореме ПИфагора, прямоугольным с гипотенузой ED -По -формуле- I ab , , h = — находим c -высоту- этого - -тре— угольника, которая одновременно является и вы^- сртои трапрции' К~= 15^20 25- = 12(см’ . Следовательно, S = 10 + 35 12 = 270 (см2) Ответ: 270 см2. --1--1--1--1--1- Как видим, этот способ намного более рационален, в частности, с точки зрения вычислений. Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой используется дополнительное построение. \ Задача Д иаг энс ли тр апе щи 1 1 и равны 30 см 1 и 4С 1 с, л и п е- ^ 1 1 1 1 ресекаются 1^Т под 1 1 прямым угл ом. НаИ; рит 1 1 1 е площадь ~1 1 1 трапеции. Попробуем решить эту задачу чисто геометрическими методами. Основная сложность 179 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников заключается в том, что данные отрезки не являются сторонами одного треугольника. Попробуем «исправить» эту ситуацию. ^ ' 1 Решение П уст ь / 1сн с т ра пец ия A BCt ), в к ото про й AD у B C / Ac 1 BD ', A iC: = 3 ^ см, BD = 40 1 см. ПрОЕ еде ;м че эез 1 верш ину ’ C п 1 прямую э CF, пс ра п- 1 1 1 лельную д иаГон 1ли B D (ри с. 155). Оче видно, что . / \" 1 \ 1 1 1 1 по построению угол ‘ ACF будет прямым, т. е. тре- J/ / ' ^ , уголЬни|к A iCF прям \оу гол ьный 11^ с гипотенузой А D t ■ /Ч 1 С дру 3 гой 1 с ор 1 онь I, t )BC F 1 1ар 1 алл пел огр ам 1 м, 1 ог да рис. 155 D F= BC , C F = BD = 40 1 см. О брс ти м вн им зни е на ■ ■о, ч о тр еу -от ьнп и- ки 1 ABC и D »CF равно|ве. пикие 1 1 , поскольку DF = BC в 1 ьсс 1 'ты ^_п роведенные к этим] сторо- нс м, явл 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1яются высотами трапеции . Т 1 пким образом, ,BCD = SACD + SABC = SACD + ^bCF = SACF , т. е! искомая 1 1 1 1 ПJ юи ^адЬ Трапец 1ии равн а площе 1ди] треуГольни- ка A CF,i котор ая, в свою оч ередь, равна полупр о- изве/ 1 л^ихлиу с>г о -1 :ате >тов: ' = 30 ■ 40 = 600 (см2). 2 Ответ: 600 1 1 1 сл 1 Вопросы и задачи ф устные упражнения 565. Площадь треугольника ABC равна S. Чему равна площадь параллелограмма ABCD, три вершины которого совпадают с вершинами данного треугольника? 566. По какой формуле целесообразно вычислять площадь прямоугольного треугольника, если известны: а) длины гипотенузы и проведенной к ней высоты; б) длины двух катетов? 180 § 17. Площади треугольника и трапеции 567. Два равновеликих треугольника имеют равные высоты. Означает ли это, что основания данных треугольников также равны? 568. Две равновеликие трапеции имеют равные высоты. Означает ли это, что основания данных трапеций также соответственно равны? 569. Может ли диагональ трапеции делить ее на два равновеликих треугольника? Ответ обоснуйте. графические упражнения 570. Начертите остроугольный треугольник и проведите в нем высоту. Выполните необходимые измерения и вычислите: а) площадь данного треугольника; б) площади треугольников, на которые данный треугольник делится высотой. 571. Начертите трапецию и проведите в ней диагональ. Выполните необходимые измерения и вычислите: а) площадь данной трапеции; б) площади треугольников, на которые данная трапеция делится диагональю. письменные упражнения уровень а 572. По данным рисунка 156 найдите площадь треугольника ABC. А В С В б рис. 156 С 181 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников 573. Найдите площадь: а) равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см; б) треугольника ABC, в котором AB = 17 см, а высота BH делит сторону AC на отрезки AH = 8 см и HC = 2 см. —^ 574. Найдите площадь: а) прямоугольного треугольника с гипотенузой 20 см и катетом 12 см; б) остроугольного треугольника ABC с высотой AH = 4 см, если BH = 2 см, ZC = 45°. 575. Площадь треугольника равна 150 см2. Найдите периметр треугольника, если его высоты равны 15 см, 12 см и 20 см. 576. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его площадь равна 20 см2, а высота, проведенная из вершины прямого угла,— 4 см. 577. На рисунке 157, а дан единичный квадрат. Найдите площадь заштрихованной фигуры. 578. На рисунке 157, б дан единичный квадрат. Найдите площадь заштрихованной фигуры. рис. 157 579. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 8 м и 20 м. 580. Найдите диагонали ромба, если одна из них в два раза больше другой, а площадь ромба равна 64 см2. 581. Точка D — середина высоты BH треугольника ABC. Докажите, что площадь треугольника ADC составляет половину площади треугольника ABC. 582. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOB и AOD равновеликие. 182 § 17. Площади треугольника и трапеции 583. Найдите площадь трапеции, если: а) ее основания равны 4 см и 10 см, а высота — 6 см; б) высота трапеции и ее средняя линия равны 8 см. 584. Основания равнобедренной трапеции равны 8 см и 16 см, а острые углы — 45°. Найдите площадь трапеции. 585. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 10 см, а бо льшая боковая сторона — 5 см. Найдите площадь трапеции. уровень Б 586. Найдите площадь: а) треугольника ABC с высотой BH, если AB = 13 см, BC = 15 см, BH = 12 см, а точка H лежит на отрезке AC; б) прямоугольного треугольника, гипотенуза которого делится высотой на отрезки длиной 9 см и 4 см; в) равностороннего треугольника с высотой 2^J3 см. —^ 587. Найдите площадь: а) равнобедренного треугольника с периметром 16 см и высотой 4 см, проведенной к основанию; б) прямоугольного треугольника с гипотенузой 20 см и отношением катетов 3 : 4. 588. Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите площадь треугольника. 589. Площадь закрашенного треугольника равна S (рис. 158). По данным рисунка выразите через S площадь заштрихованной фигуры. —^ 590. Площадь закрашенного треугольника равна S (рис. 159). По данным рисунка выразите через S площадь заштрихованной фигуры. 591. Площадь ромба равна 24 см2, а одна из его диагоналей — 8 см. Найдите периметр ромба. 592. Найдите площадь ромба с периметром 24 см и тупым углом 150°. 593. Докажите, что медианы треугольника, пересекаясь, делят данный треугольник на шесть равновеликих треугольников. 183 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников 594. Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC. Докажите, что все треугольники с основанием BC и вершиной на данной прямой равновеликие. 595. Докажите, что диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника. 596. Найдите площадь: а) равнобедренной трапеции с основаниями 15 см и 39 см, в которой диагональ перпендикулярна боковой стороне; б) прямоугольной трапеции с боковыми сторонами 12 см и 13 см, диагональ которой является биссектрисой острого угла. 597. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 14 см и 50 см и диагональю 40 см. уровень в 598. Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции. 599. Постройте параллелограмм, равновеликий данному треугольнику. 600. Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей. Докажите. 601. Через вершину A параллелограмма ABCD проведите две прямые, которые делят параллелограмм на три равновеликие части. 602. В треугольнике ABC медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Определите, какую часть площади треугольника ABC составляет: а) площадь треугольника AOC; б) площадь четырехугольника BA1OC1. 603. По данным рисунка 160 найдите площадь: а) заштрихованной фигуры (рис. 160, а), если ABCD — параллелограмм; б) треугольника ABC (рис. 160, б). В С В С рис. 160 184 б § 17. Площади треугольника и трапеции 604. Найдите площадь равнобедренной трапеции с боковой стороной 10 см, описанной около окружности с радиусом 4 см. 605. Боковые стороны и высота трапеции равны соответственно 25 см, 30 см и 24 см. Найдите площадь трапеции, если биссектрисы ее тупых углов пересекаются на большем основании. 0 повторение перед изучением § 18 теоретический материал ^8 класс, § 6, п. 6.2 средняя линия треугольника; подобие треугольников. 8 класс, § 10, задачи 606. Точки D, E, F — середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC соответственно. Пользуясь равенством треугольников, докажите, что площадь треугольника DBE составляет треть площади трапеции ADEC. 607. В трапеции ABCD основания BC и AD равны 2 см и 8 см соответственно. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Найдите отношения: , CO а) —; AC йч OD BD в) отрезков, на которые точка O делит высоту трапеции; г) площадей треугольников BOC и AOD (выскажите предположение). ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников § 18. Применение площадей рис. 161. К доказательству теоремы об отношении площадей подобных треугольников 18.1. отношение площадей подобных треугольников теорема (об отношении площадей подобных треугольников) отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказател ьство □ Пусть А ABC AjBjCj с коэффициен- том k, т. е. SABC _ _ k^ AB Ai Bi BC B1C1 AC AiCi = k. Докажем, что Проведем в данных треугольниках высоты BH и BjHj (рис. 161). Прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1 подобны, поскольку ZA = ZA1. Это означает, что ---=-----= k, т. е. B1H1 A1B1 BH = kB1H1. Учитывая, что AC = kA1C1, имеем: S, S A1B1C1 = 0,5 AC ■ BH = 0,5 ■ kA1C1 ■ kB1H1 = 0,5 A1C1 ■ B1H1 0,5 A1C1 ■ B1H1 k■ .Задача. .Средняя]_линИя_отсекает_от_ данного..|_треугЬльника _ . . I I I I .треугольник . с . площадью. данного _треуголЬника., Ai .8. см: Решение I I ^___средняя параллельная. = 8 см2. Треу I I Найдите . площадь линия Т стороне ;у_Гольни ки дРбны [по двум] сторонам |и |углу Между ними, ABC и треугольна AC (рис. A BC, 162),. по- 186 § 18. Применение площадей —1 пр 1ич ем —AB B C ! AC Тог да по д ок >за н- A B нс >И тес зре ме SABC р 1 = 4, т. е < ABC 4< A BCi , о‘ ■ку, ;а SAiBCi| SABC = 4 ■ 8 = 3 2 (см2). О )ТВ1 :т: 32 см \ L 1 7 / Jb L / ^ис 16 ^3 18.2. Метод площадей Понятия площади и формулы ее вычисления могут применяться даже в тех задачах, в условиях которых площадь не упоминается. Рассмотрим такой пример. Задача Ст ор( знь ; п зрс лл ело 1 П 1 зграмма рав ны см \ и 12 ! с параллелограмма, проведенная , . 1—h. стороне равна 3 НайДите вЫс^у, +—t -меньшей см + стрррне проведенную Решение Н--1-h пдраллелогрдмм Пусть дан со сторонами I . I I = 16 см и = 12 см, к кдторым проведены вы- соты h = 3 см и найти ()ис\ 163)! длину крторой необходимо гло формуле I площади паралле- а"Т лрграмма S = а ■ ha = b ■ hb, откуда Таким образом, h = = 46-^ = 4 (см). Ответ: 4 см. При решении этой задачи площадь параллелограмма вычислялась двумя разными способами. Поскольку площадь многоугольника независимо от способа ее вычисления определяется однозначно, то полученные выражения приравнивались, благодаря чему удалось связать известные величины 187 к а h b' а b b ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников с искомой. Такой метод, основанный на использовании площади как вспомогательной величины, называется методом вспомогательной площади или просто методом площадей. Заметим, что из формул площади параллелограмма S = a ■ ha = b ■ hb и площади треугольника S = — a ■ ha = — b ■ hb = — c ■ hc следует важное 2 a 2 b 2 c утверждение: в параллелограмме (треугольнике) большей является высота, проведенная к меньшей стороне, меньшей — высота, проведенная к большей стороне. Метод площадей используется как в задачах на вычисление, так и для доказательства утверж- \ Задача \ мм а р асс тоя ний о т точки, взят 1 L* 1 ой вну ари 1 р( авн ост о- V ронн :го тре уго льник 1, До его сторон не зав исит от вЬ- 1 1 бс ра то' 1ки и раЕ на 1 1 1 высоте треу гол ьн1 1ка Д< ока жит е. Решение ■> П уст Ь| то' ка J 1 1ежит п внут эи ра вне зст оро нн 3- J / к го 1 1 1 треугольни 1ка AB( ч с :о сторо1 юй' с , M \Ь, M E л \\ и M : 1 1 — рас сто ян1 gL 1 L данной 1 точки до ст орс зн / л > к тр еу| ол 1 ьника (рис. 1б4). С оединиМ то|чку M . с ве р- 1 \с Т 1 шина ми треуг 1 олЬника. ПлощадЬ треугол — ьни ка AB C ■ А F 1 Ра 1 вне X С' 1 1 1 С 1 1 1 умме площадей треугол 1 1ьнико в ‘ AM B, BM C рис 16 14 и AM ^C,jв 1 1 1 еотормх с этр езк и Л ЛЬ, ME : и MF - я зля ют ся вь 1СО таМи. 1 ИМее/ м: 1 2 a ■ h = 1 a 2 ■ M D + - с ■M E+ 1 — ( с ■ M Р . 1 2 2 = 1 a (MD + ME + ЛР 2 О •сюда D + M E+ MF = h 1, ■ . е. су мм а тас см ттр и- ва ем ьх тсстоя ний 1 )авна вь со" е тре ;уп оль ни <а и не зависит 1от 1 1 ^ выбора точки 1 3 1 1 M. 188 § 18. Применение площадей Рис. 165. «Пифагоровы штаны» а а Рис. 166. К доказательству теоремы Пифагора с помощью площадей (см. также с. 190) 18.3*. Другие доказательства теоремы Пифагора Исторически появление и доказательство теоремы Пифагора связаны с вычислением площадей. Поэтому в классической формулировке этой теоремы речь идет не о квадратах сторон прямоугольного треугольника, а о площадях соответствующих фигур: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Рисунок 165, который наглядно воплощает эту формулировку, стал своеобразным символом геометрии и среди гимназистов позапрошлого столетия получил название «пифагоровы штаны». Шутливый стишок про «пифагоровы штаны» школьники запоминали на всю жизнь. Докажем теорему Пифагора с помощью площадей. Доказательство □ Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (рис. 166, а). Достроим его до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке 166, б. Площадь этого квадрата равна (а + b) . Построенный квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников площадью — ab и четырехугольни- 2 ка со сторонами длиной c, который является квадратом (докажите это самостоятельно). Итак, имеем: . S = (а + b)2 = 4 • — ab + c2; 2 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2, т. е. a2 + b2 = c2. Теорема доказана. ■ 189 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников На рисунках 166, в, г показаны другие способы доказательства теоремы Пифагора с помощью площадей. В трактатах индийского математика XII ст. Бхаскари один из них сопровождался только одним словом: «Смотри!». В целом сегодня известно более 150 разных способов доказательства этой знаменитой теоремы. Но каждый из вас может изобрести и свой собственный способ. Ь S X X S \s S \ с2 = 4 ■—ab + (b - a)^ 4S + a2 + b2 = 4S + c2 Рис. 166. Окончание Вопросы и задачи Ф устные упражнения 608. Определите, как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону: а) увеличить в 4 раза; б) уменьшить в 3 раза; в) уменьшить в n раз. 609. Определите, как надо изменить каждую сторону треугольника, чтобы его площадь: а) уменьшилась в 25 раз; б) увеличилась в 49 раз; в) увеличилась в n2 раз. 610. Отношение площадей двух треугольников равно 4. Означает ли это, что данные треугольники подобны с коэффициентом 2? 611. В треугольнике со сторонами а, b и с к этим сторонам проведены высоты ha, и соответственно. Сравните: а) стороны треугольника, если ha < h^ < hc; б) высоты треугольника, если с < а < b; в) стороны а и с , если а < b, > hc. 190 в г § 18. Применение площадей ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 612. Начертите прямоугольный треугольник и проведите в нем среднюю линию, параллельную одному из катетов. а) Измерьте катеты данного треугольника и вычислите его площадь. б) Пользуясь теоремой о площадях подобных треугольников, вычислите площадь треугольника, отсекаемого от данного средней линией. в) Вычислите площадь треугольника, отсекаемого от данного средней линией, измерив его гипотенузу и высоту. Сравните полученные результаты. 613. Начертите произвольный треугольник и проведите его высоты. Измерьте стороны и высоты треугольника и вычислите его площадь тремя способами. Сравните полученные результаты. письменные упражнения уровень А 614. Известно, что А ABC A^B^Cj, причем AB = 3. Найдите: а) SABC , если SA,B,C, = 9 см2; б) ^A.B.C, , если SABC = 9 см2. 615. Стороны равносторонних треугольников равны 2 см и 6 см. Найдите отношение их площадей. 616. Известно, что А ABC ~А A^B^C^. Найдите: а) сторону AjBj, если SABC = 24 см2, Sa^c = 6 см2, AB = 8 см; б) площадь треугольника ABC, если BC = 2 см, B^C^ = 6 см, SA,B,C, = j8 см2. 617. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите площадь треугольника, образованного средними линиями данного треугольника. —^ 618. Найдите площадь треугольника, если треугольник, образованный средними линиями данного треугольника, имеет площадь 5 см2. 619. Высоты треугольника равны 21 см, 28 см и 60 см. Найдите периметр треугольника, если его наибольшая сторона равна 1 м. 191 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников 620. Две стороны треугольника равны 12 см и 18 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из них, если высота, проведенная к большей стороне, равна 4 см. 621. Высоты параллелограмма равны 6 см и 4 см, а меньшая сторона — 8 см. Найдите периметр параллелограмма. 622. Пользуясь методом площадей, докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны. 623. Докажите методом площадей, что треугольник с равными высотами является равносторонним. уровень Б 624. Два треугольника подобны с коэффициентом 3, причем площадь одного из них на 24 см2 больше площади другого. Найдите площади этих треугольников. 625. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Периметр первого треугольника равен 54 м. Найдите периметр второго треугольника. 626. Соответствующие стороны двух подобных треугольников относятся как 2 : 3. Площадь второго треугольника равна 81 см2. Найдите площадь первого треугольника. 627. На плане земельный участок имеет форму треугольника с площадью 2,5 см2. Найдите площадь участка, если масштаб плана 1 : 1000. 628. Периметр параллелограмма равен 56 см. Найдите стороны параллелограмма, если его высоты равны 6 см и 8 см. 629. Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Пользуясь методом площадей, найдите высоту ромба. 630. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если они относятся как 3 : 4, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. 631. Докажите методом площадей, что параллелограмм с равными высотами является ромбом. 632. Докажите методом площадей метрическое соотношение в пря- ab моугольном треугольнике: =—. c уровень в 633. Прямая, параллельная стороне треугольника, делит его на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит две другие стороны треугольника? 192 § 18. Применение площадей 634. Постройте прямую, параллельную стороне треугольника, которая делит площадь треугольника в отношении 9 : 16. 635. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам: ь 111 a: b: c = —: —: —. ha hb hc 636. Сумма расстояний от точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон не зависит от выбора точки. Докажите. ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ § 19 теоретический материал _________ • прямоугольный треугольник; С 7 клаcс^ § 17 • подобие прямоугольных треугольников^ § 12^ задачи 637. В прямоугольном треугольнике ABC Z A = 30 °, BM — медиана, проведенная к гипотенузе. Докажите, что треугольник MBC равносторонний. 638. Найдите углы равнобедренного треугольника, в котором боковая сторона равна 12,6 см, а медиана, проведенная к основанию,— 6,3 см. задачи для подготовки к контрольной работе № 4 1. Определите количество сторон выпуклого многоугольника, сумма углов которого равна 1080°. 2. Площадь квадрата равна 144 см2. Найдите площадь прямоугольника, ширина которого меньше стороны квадрата на 2 см, а длина больше стороны квадрата в два раза. 3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона относится к основанию как 5 : 6. Найдите площадь треугольника, если высота, проведенная к основанию, равна 8 см. 4. Найдите углы ромба, если его высота равна 5 см, а площадь — 50 см2. 5. Высоты данного параллелограмма равны 15 см и 18 см. Найдите высоты равновеликого параллелограмма, стороны которого в три раза больше соответствующих сторон данного параллелограмма. 6. Докажите, что площадь трапеции с боковой стороной c и радиусом вписанной окружности r вычисляется по формуле S = 2cr. 193 Итоги главы И! итоговый ОБЗОР главы 11! многоугольник Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону Сумма углов многоугольника Сумма углов выпуклого «-угольника равна 180°(« - 2). Сумма внешних углов выпуклого «-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. Z1+ Z 2 +... + Z « = 180°(« - 2) Вписанный многоугольник Z1+ Z 2 +... + Z « = 360° описанный многоугольник Многоугольник называется вписан- Многоугольник называется описанным в окружность, если все его ным около окружности, если все вершины лежат на этой окружности его стороны касаются этой окружности 194 Итоги главы III площАди многоугольников Аксиомы площадей 1. Равные многоугольники имеют равные площади. 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади фигура формула площади Прямоугольник S = ab, где a и b — стороны прямоугольника Квадрат где a S = a2, сторона квадрата Параллелограмм S = aha, где a — сторона параллелограмма, h — проведенная к ней высота 195 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников фигура Треугольник формула площади S = — a ■ ha, 2 a где a — сторона треугольника, ha — проведенная к ней высота Прямоугольный треугольник S = - ab, 2 где a и b — катеты прямоугольного треугольника Равносторонний треугольник S= aS/s 4 где a — сторона треугольника Ромб п S = — djd2, где dj и d2 — диагонали ромба Трапеция а h S = ■ h, где a и b — основания трапеции, h — высота трапеции Теорема об отношении площадей подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия 196 Итоги главы III е о контрольные вопросы к главе mi 1. Дайте определение многоугольника. Какой многоугольник называется выпуклым? 2. Дайте определение описанного многоугольника; вписанного многоугольника. 3. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов выпуклого многоугольника. 4. Назовите аксиомы площадей. По каким формулам вычисляются площади прямоугольника и квадрата? 5. Докажите формулу площади параллелограмма. 6. Докажите формулу площади треугольника. Запишите формулы площадей прямоугольного треугольника; равностороннего треугольника; ромба. 7. Докажите формулу площади трапеции. 8. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников. дополнительные задачи к главе iii 639. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными сторонами наибольшую площадь имеет прямоугольник. 640. Параллелограмм и треугольник равновеликие и имеют общую сторону. Сравните их высоты, проведенные к этой стороне. 641. Через вершину треугольника проведите две прямые, которые делят треугольник на три равновеликие части. 642. Пользуясь рисунком 167, докажите методом площадей свойство биссектрисы треугольника. 643. Основания трапеции относятся как 2 : 3, а ее площадь равна 50 см2. Найдите площади: а) двух треугольников, на которые данная трапеция делится диагональю; б) четырех треугольников, на которые данная трапеция делится диагоналями. Рис. 167 197 ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников 644 (опорная). Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых равновеликие, а площади двух других относятся как квадраты оснований. Докажите. 645. Если диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, причем SAOB = SCOD, то ABCD — параллелограмм или трапеция. Докажите. 646. Две стороны треугольника равны 25 см и 40 см, а высота, проведенная к третьей стороне, равна 24 см. Найдите площадь треугольника. Сколько решений имеет задача? 647. Дан треугольник ABC. Постройте: а) равнобедренный треугольник с основанием AB, равновеликий треугольнику ABC; б) прямоугольный треугольник с гипотенузой AB, равновеликий треугольнику ABC. В каком случае это сделать невозможно? 648. Разрежьте трапецию на три части, из которых можно составить прямоугольник. задачи повышенной сложности 649. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20. Докажите, что данный треугольник прямоугольный. 650. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу. 651. Отрезки BB1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC, в котором ZA = a.Найдите площадь треугольника AB1C1, если площадь треугольника ABC равна S. 652. Вычислите площадь треугольника по двум взаимно перпендикулярным медианам ma и mb. 653. Докажите, что: а) площадь описанной прямоугольной трапеции равна произведению ее оснований; б) высота описанной равнобедренной трапеции является средним пропорциональным ее оснований. 198 Итоги главы III 654. Докажите, що для треугольника со сторонами а, b и c и пло- ^ ab + bc + ac щадью о выполняется неравенство о < 6 655. Стороны треугольника DEF равны медианам треугольника ABC .Докажите, что °DEF = —. 0ABC 4 656. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Найдите площадь трапеции, если SBOC = S^, о = S ''’add ‘“’2 • 657. Докажите, что площадь трапеции ABCD равна произведению боковой стороны AB на перпендикуляр, проведенный из середины M другой боковой стороны CD к прямой AB. 658. Внутри треугольника ABC выбрана точка M так, что треугольники AMB, BMC и AMC равновеликие. Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Историческая справка Вычисление площадей многоугольников — первая среди тех практических задач, благодаря которым появилась геометрия как наука. Но не всегда представление об измерении площадей было таким, как сегодня. Например, древние египтяне при вычислении площади любого треугольника брали половину произведения двух его сторон. Так же пять столетий назад измеряли площадь треугольника и в Древней Руси. Чтобы найти площадь четырехугольника, который не является квадратом, в Вавилоне использовали формулу произведения полусумм его противолежащих сторон. В Средние века для вычисления площади треугольника со стороной и проведенной к ней высотой, которые выражаются целым числом п, г- „ п (п + 1) брали сумму членов натурального ряда от 1 до п, т. е. число —--------. —-Л- . Т i ^ Архимед Кстати, в то время знали и правильную формулу площади этого треугольника —. Ее обосновал средневе-_ 2 _ ковыи математик Герберт, который в Х ст. даже занимал какое-то время престол Римского Папы под именем Сильвестра 11. Древние вавилоняне еще четыре тысячи лет назад умели правильно вычислять площадь квадрата, прямоугольника, трапеции. Немало формул площадей и объемов, с которыми вы познакомитесь в старших классах, открыл знаменитый греческий ученый Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.). И это все при том, что в те древние времена не было даже алгебраической символики! - Сегодня, благодаря значительно более широкому применению алгебры в геометрии, мы имеем возможность дать куда более простые и понятные решения многих задач, чем это было возможно в те далекие времена. ГЛАВА Ill. Многоугольники. Площади многоугольников ТЕМАТИКА СООБЩЕНИИ И РЕФЕРАТОВ к главе III 1. Как измеряли в древние времена? (Из истории измерения площадей.) 2. Способы доказательства теоремы Пифагора. 3. Деление площадей и преобразование равновеликих фигур. 4. Метод площадей в геометрических доказательствах и задачах. 5. Площади и равносоставленные фигуры в математических головоломках. рекомендованные источники информации 1. Болтянский, В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры : Популярные лекции по математике [Текст]. — М. : ГИТТЛ, 1956. 2. Гарднер, М. Математические головоломки и развлечения [Текст] / М. Гарднер ; пер. с англ. Ю. А. Данилова. — М. : Оникс, 1994. 3. Глейзер, Г. И. История математики в школе. VII—^УШ классы : Пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер. — М. : Просвещение, 1982. — 240 с. 4. Литцман, В. Теорема Пифагора [Текст] / В. Литцман ; под ред. И. М. Яглома ; пер. с нем. В. С. Бермана. — 3-е изд. — М. : Физматгиз, 1960. — 114 с. 5. Перельман, Я. И. Занимательная геометрия [Текст] / Я. И. Перельман ; под ред. Б. А. Корденского. — М. : Физматгиз, 1959. — 302 с. 6. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1 [Текст] / В. В. Прасолов. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 320 с. — (Б-ка мат. кружка). 7. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 2 [Текст] / В. В. Прасолов. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 240 с. — (Б-ка мат. кружка). 8. Шарыгин, И. Ф. Геометрия. 9—11 классы : От учебной задачи к творческой: Учеб. пособие [Текст] / И. Ф. Шарыгин. — М. : Дрофа, 1996. — (Задачники «Дрофы»). 9. Кушнiр, I. А. Повернення втрачено! геометрii [Текст] / I. А. Кушнiр. — К. : Факт, 2000. — 280 с. — (Серiя «Математичнi обрii Укра!ни»). 10. Математична хрестоматiя для старших класiв. Геометрiя. Т. 2 [Текст] / упоряд. Л. В. Кованцова. — К. : Рад. шк., 1969. — 383 с. 11. Математична хрестоматiя для 6—8 класiв. Т. 1 [Текст]. — К. : Рад. шк., 1968. — 320 с. 12. Интернет-библиотека МЦНМО. https://ilib.mirror0.mccme.ru/ Глаеан1Ш ffiliSSiiiBUBi § 19. Тригонометрические функции острого угла § 20. вычисление значений тригонометрических функций § 21. решение прямоугольных треугольников :--с Занятие геометрией незаметно приводит человеческий разум к открытиям. Дени Дидро, французский философ Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций. Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе. § 19. Тригонометрические функции острого угла Рис. 168. К определениям тригонометрических функций угла a (О (О (О (О синус — латинский перевод арабского слова «джайб» — пазуха, вырез ткани. Это слово, в свою очередь, происходит от индийского «джива» - тетива лука, хорда. Именно так синус называли в древнеиндийских математических трактатах 19.1. синус, косинус и тангенс Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения. Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом a (рис. 168). определение синусом острого угла a прямоугольного треугольника (обозначается sin a ) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: a sin a = —. c косинусом острого угла a прямоугольного треугольника (обозначается cos a ) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: b cos a ^ —. c тангенсом острого угла a прямоугольного треугольника (обозначается tga) называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg a^. b 205 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников (О (О (О (О косинус — от латинского «комплимента-ри синус» — дополнительный синус. тангенс — в переводе с латинского «касательный» В рис. 169. Значения тригонометрических функций угла A зависят только от величины угла А Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла a прямоугольного треугольника (обозначается ctga), который равен отношению прилегающего катета к противолежащему: , b ctg a ^ —. a Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы. Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники ABC и AjBjCj имеют равные острые углы A и Aj (рис. 169). Эти AB BC треугольники подобны, отсюда Ai Bi , или, BiCi BC _ B1C1 по основному свойству пропорции, AB A1B1 Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов A и A1 соответственно. Имеем: BC sin A _ BjCj . . 1 1 _ sin A, AB A1B1 т. е. синус угла A не зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла. Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов A и A1 равны, то Z A _Z A1. Иначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол. 206 § 19. Тригонометрические функции острого угла Л Задача \ 1 Н( айд ит< ; с ин 'с, ко 1^ синус и та нге нс на им ень ше о * , 1 Уг ла ег1 ипе тск ого 1 г 1 ) треугол ьн> 1ка VJ Решение R П уст ь в тре уго ть ниКе ABC ZC = 90 °, АЕ _ 5, B C 3, AC = 4 (рис . 170) . ПосКольку в| тр еуг ол 3- 5 ни 1ке наим ен зшИи 1 уг°л 1 ле 1 ЖИ1 • против] наим \ень- 1 Г шей ст|оронь С, то угол А — наим'ен! >ши й уго )л 4^ 1 тР еу| ол зни ка A BC. П о С зпр еде ;ле ниь О sin А_ BC / c 1 ■ч A 3 А C 4 А| ; т. е. sinA U 5 = 0, 6; со; :А А / B т. е c o; А 5 0, 3; ■ р 'ис 0 B 3 +( А A / т. е +( )А 4 0,7 5. О тве 0 1 8; 0,7 5. 19.2. Тригонометрические тождества Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла. теорема (основное тригонометрическое тождество) для любого острого угла a sin2 a + cos2 a = 1. Доказател ьство □ По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем: • 2 2 sin a + cos a = 2 a + \c ) \c ) По теореме Пифагора числитель этой дроби равен c2, т. е. sin2 a + cos2 a = 1. ■ 207 2 ,2 a + b c ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников Следствие для любого острого угла1 a sin a = \J 1 - cos2 a , cos a sin a . Докажем еще несколько тригонометрических тождеств. Непосредственно из определений синуса sin a a b a c a и косинуса имеем: т. е. tg a = - — ^ =--^ —= tg a, cos a c c c b b cos a Аналогично доказывается, что ctg a = cos a sin a Отсюда следует, что tg a- ctg a = 1. \ Задача Н( аид ите к оси нус и 1^ 1 тангенс О( :тр< эго уг ла пр ям о- к Уг ОЛ1 >но ГО тре уго лы 1 1 шка, син ус кот оро то ра вен 0, 8. Решение П уст ь Д ля ( 1ст РоГо 1 у глс 1 a sin a = 0, 3. 1с 5ГД а cos >a = V1 - sin2 a т. е. cos a г = 1 - 0,82 = ^0,36 = 0,6 П сск ОЛ1 .ку tg a = Sin a ^ тс t g a ri i! сс a ' '' О тве т: 0,6 4 ! 1 Напоминаем, что по определению тригонометрические функции острого угла являются положительными числами. 208 sin a § 19. Тригонометрические функции острого угла Вопросы и задачи ф устные УПРАЖНЕНИЯ 659. По рисунку 171 определите, какая тригонометрическая функция угла K выражается дробью: ^ , KN MN , MN а)----; б) ---; в) -------. KM KN KM 660. В прямоугольном треугольнике KMN (рис. 171) KN > MN. Какой из острых углов треугольника имеет больший синус; больший косинус; больший тангенс? 661. Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равным 0,99; -у/2- 2? 662. Может ли произведение синуса и косинуса одного угла быть равным единице? А произведение тангенса и котангенса? 663. Может ли тангенс острого угла прямоугольного треугольника быть равным 42; 0,01; 100? графические упражнения 664. Начертите острый угол. Обозначьте на одной стороне угла две точки и проведите из них перпендикуляры к другой стороне угла. а) Измерьте стороны образовавшихся прямоугольных треугольников и вычислите двумя способами синус построенного угла. Сравните полученные результаты. б) Вычислите косинус построенного угла двумя способами — по определению и по основному тригонометрическому тождеству. Сравните полученные результаты. 665. Начертите острый угол. Отметьте на разных сторонах угла две точки и проведите из них перпендикуляры к другой стороне угла. а) Измерьте стороны прямоугольных треугольников, которые образовались, и вычислите двумя способами синус и косинус построенного угла. Сравните полученные результаты. б) Вычислите тангенс построенного угла двумя способами — по определению и по соответствующему тригонометрическому тождеству. Сравните полученные результаты. 209 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников О Письменные уПражнения уровень а 666. Начертите с помощью транспортира прямоугольный треугольник с острым углом 40°. Измерьте его стороны и вычислите синус, косинус и тангенс этого угла. 667. Постройте прямоугольный треугольник ABC, в котором: 5 а) tg A = —; 6 б) sin A = — 3 668. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Вычислите синус, косинус и тангенс наименьшего угла треугольника. 669. Определите, могут ли синус и косинус одного угла соответственно быть равными: 1 л/э 1 3 а) — и -----; 2 2 670. Найдите: б) — и —. 3 4 12 а) sin a, если cos a = —; 13 б) cos a, если sin a = —; 2 15 в) tg a, если sin a = —. 17 —^ 671. Найдите tg a, если: а) sin a^ —; 5 б) cos a^ —. 3 672. Упростите выражение: а) 1 - cos2 a; б) tg a-cos a; в) 1 + sin2 a + cos2 a. 673. Упростите выражение: а) 1 -sin2 a; б) tg a sin a в) sin a cos a cos a 210 § 19. Тригонометрические функции острого угла Уровень Б 674. Постройте угол 75°. С помощью дополнительных построений и измерений найдите синус, косинус, тангенс и котангенс этого угла. 675. Постройте острый угол a, если: ч • 5 а) sin a^ —; 8 йч 3 б) cos a = — 4 —^ 676. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 5 см, а длина основания — 24 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника. 677. Определите, могут ли тангенс и котангенс одного угла быть соответственно равными: а) 0,4 и 2,5; б) 1,1 и 0,9; в) л/б + 2 и л/б -2. 678 (опорная). Докажите, что 1 + tg2a = - 1 и 1 + ctg2a = - 1 cos a sin a 679. Найдите значения тригонометрических функций острого угла A, если: а) sin A 2 б) cos A = 0,28; в) tgA = 2. —^ 680. Найдите: а) ctga, если sina = 0,5; б) tg a, если cos a =---. 2 681. Упростите выражение: , (1 - sin a)(1 + sin a) а)----------------; sin a в) tg a ctg a- cos2 a. —^ 682. Упростите выражение: б) cos a- cos a sin2 a; , L/Ua L/v а)--------; ctg a в) cos2 a + tg2 a cos2 a. б) sin a cos a ctg a + sin2 a; 211 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников Уровень в 683. Докажите, что для любого острого угла A tg A > sin A. 684. Докажите, что для любого острого угла A cos A < ctg A. 685. Упростите выражение: а) в) sin a cos a- cos a 1 + tg2 a б) tg2 a(1 - sin a)(1 + sin a); 1 + ctg a 686. Упростите выражение: а) (sin a + cos a)2 + (sin a- cos a)2; 1 б) -cos a ctg a; tg a ctg a 2 в) ^-----tg2 a. © повторение перед изучением § 20 теоретический материал • неравенство треугольника; • теорема Пифагора. задачи 687. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Найдите боковую сторону треугольника, если медиана, проведенная к основанию, меньше этой стороны на 8 см. 688. Катет прямоугольного треугольника равен 5 см, а медиана, проведенная к другому катету, равна 13 см. Найдите площадь данного треугольника. 212 sin a cos a § 20. Вычисление значений тригонометрических функций В рис. 172. К доказательству формул дополнения 20.1. формулы дополнения Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника. теорема (формулы дополнения) для любого острого угла a sin (90° - a) = cos a, cos (90° - a) = sin a. Доказател ьство □ Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB (рис. 172). Если Z A = a, ZB = 90°-a. Выразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим: sin B = AC AB BC cos A = AC AB BC т. е. sin(90°-a) = cos a, т. е. cos(90°-a) = sin a. sin A =--, cos B = AB AB Теорема доказана. ■ следствие для любого острого угла a tg(90°-a) = ctga, ctg(90°-a) = tga. Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до 90°. Аналогично объясняется и название «котангенс». 213 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников Рис. 173. К вычислению тригонометрических функций угла 30° 20.2. значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60° Вычислим значения тригонометрических функций угла 30°. Для этого в равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведем высоту BD, которая является также биссектрисой и медианой (рис. 173). В треугольнике ABD ZD = 90°, Z B = 30°, AB = a, AD = —, 2 и по теореме Пифагора BD = —-. Имеем: 2 . AD a 1 sm30° = ^ —: a = — ; AB 2 2 cos30" = : a AB 2 2 tg30° = AD a 1 sfs BD ^2 Vb 3 ’ BD ^Js ctg30° = a^a Wb. AD 2 2 С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла 60°: /3 sin60° = sin(90°-30°) = cos30° =-- ; 2 cos60° = cos(90° -30°) = sin30° = — ; 2 tg60° = tg(90°-30°) = ctg30° = ^Is ; /3 ctg 60° = ctg (90° -30°) = tg30° = . 3 Для вычисления значений тригонометрических функций угла 45° рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC 214 в § 20. Вычисление значений тригонометрических функций с катетами AC = BC = a (рис. 174). По теореме Пифагора AB = W2. Имеем: BC a 1 >/2 sin45° = cos45° = рис. 174. К вычислению тригонометрических функций угла 45° AB а42 42 2 ’ AC = a = 1 =42 ; AB ^/2 42 2 ’ . .со BC a tg45° =---^ —= 1; AC a . .со AC a ctg45° =--^ —= 1. BC a Представим значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60° в виде таблицы. функция угол a 30° 45° 60° sin a 1 2 2 2 cos a V2 1 2 2 2 tg a 3 1 43 ctg a 43 1 3 Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3). 215 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников вопросы и задачи Ф устные упражнения 689. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB sinB = a. Чему равен косинус угла A? 690. Могут ли синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника быть равными? В каком случае? 691. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB tg A > tg B. Может ли один из этих тангенсов быть равным единице? 692. Углы a ив — острые углы прямоугольного треугольника. Найдите произведение tg a- tg в. графические упражнения 693. Начертите прямоугольный треугольник. а) Измерьте катет и гипотенузу треугольника и вычислите их отношение. б) Выделите красным цветом угол, синус которого найден, и синим цветом — угол, косинус которого найден. 694. Начертите равносторонний треугольник и проведите его высоту. Сделайте необходимые измерения и вычислите значения тригонометрических функций углов 30° и 60°. Сравните полученные результаты с табличными. О письменные упражнения уровень А 695. Найдите острый угол х, если: а) sinх = cos36°; б) cosх = sin82^ в) tgх = '13; г) cosх = sinх. 696. Найдите острый угол х, если: а) cosх = sin50°; б) sinх = 0,5; в) tg х = 1. 216 § 20. Вычисление значений тригонометрических функций 697. Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите sin 80°, sin 32°, cos 18°, cos 54°, tg 65°, tg 10°. 698. Вычислите: а) sin30° + tg45°; б) cos30°• tg60°; в) \/2sin45°-cos60°. —^ 699. Вычислите: а) -v/3cos30°-cos60°; б) cos45° sin45°; в) sin60° tg30°. 700. Углы A и B — острые углы прямоугольного треугольника. Найдите: а) sin B и cos B, если cos A = 0,6; б) cos A и tg A, если sin B = 0,5. 701. Найдите: а) cos a и sin a, если sin(90° -a) = 0,8; б) tg(90°-a), если sina^^. 2 уровень Б 702. Найдите острый угол x, если: а) tgx = ctg22°; б) cos(90°-x) = 0,5. 703. Найдите острый угол x, если: а) ctgx = tg14°; б) tgx = ctgx. 704. Углы A и B — острые углы прямоугольного треугольника. Найдите: а) tg A, если sin B = ^^; V5 б) sin B, если ctg A ^s/3; в) sin2 A + sin2 B. —^ 705. Найдите: а) sin a, cos a и tg a, если tg(90°-a) = —; 3 б) cos2 a + cos2(90° -a). 706. Сумма косинусов острых углов прямоугольного треугольника равна b. Найдите сумму синусов этих углов. 217 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников Уровень в 707 (опорная). При возрастании острого угла синус и тангенс этого угла возрастают, а косинус и котангенс убывают. Докажите. —^ 708. Сравните: а) sin 23° и cos 65°; б) tg 36° и ctg 64°. 709. Вычислите значение выражения tg15° tg30° tg45° tg60°• tg75° . 710. Докажите, что tg1°• tg2°•...• tg88° tg89° = 1 . 0 повторение перед изучением § 21 теоретический материал • прямоугольный треугольник; • тригонометрические функции острого угла. ^ 7 класс, § 19 задачи 711. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, равна 6 см. Найдите площадь треугольника, если угол при его основании равен 75°. 712. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, наименьшая высота которого равна а. § 21. Решение прямоугольных треугольников В рис. 175. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 21.1. нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острыми углами a и в (рис. 175). Зная градусную меру угла a и длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы. искомая сторона способ нахождения формула Противолежащий катет Катет, противолежащий углу a, равен: • произведению гипотенузы на sin a; • произведению прилежащего катета на tg a a = c sin a a = b tg a Прилежащий катет Катет, прилежащий к углу a, равен: • произведению гипотенузы на cos a; • отношению противолежащего катета к tg a b=ccosa b = a tg a Гипотенуза Гипотенуза равна: • отношению противолежащего катета к sin a; • отношению прилежащего катета к cos a a c = sin a b c = cos a 219 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и ctg a (соответствующие правила и формулы получите самостоятельно). Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану. 1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно). 2. Выразить из этой формулы искомую сторону. 3. Провести необходимые вычисления. \ Задача \ В пр; 1МС угс )ЛЬ ном тр |~ 1 1 )еугсльнике с 1 ип сте ну: сИ 12 м \ 1 нс идите 1 катет , п рит 1 ГЛ7 тежсщии к угл у 60°. J р—" Решени е V с П уст э в пР ямс зуг оль нсМ треугсл ЬН! ике (с/ л. р ис унс к) и a = 6 0°, c = 1 2 м нСйд 1ем катеТ b|. п N cos a 1 С- е. ' с 1 ь А' 1 юскольку =^f, b= cc osa [Рис. 175] . b = 12 cos60° = 6 (м). Ответ: 6 м. 21.2. Примеры решения прямоугольных треугольников Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач 220 § 21. Решение прямоугольных треугольников на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц. \ \ За |да ча 1 И Ре ши те пр! 1МС )угс )ЛЬ ныи треу гол |ьн ик по ги по •ен у- ■> зе c = 1 0 и 1 о стр 1 1 1 ому углу a = ( >0° (с м. рисунок). ч к Решени е ~а П эсн ол ьКу с> мм а cст|рых угл ов пр ЯМ( руг оль но о треугольни ка равна 90°, то в = 90°- 50 = 40° / Поскольку sin a = —, то а = c sin a, с ь А c iin50”. 10 •( b cos a ^ —, т [Рис. 175] . т. е. а= 10 3,706^ 7:06. 1 П эск оЛ1 .ку о b=ccosс t, c . 1. ( b= 10 cos OU“ » 10 • 0,043 = 0 ,43 \ \ За |да ча 2 ^ 1 Ре ши те пря мо уго льн ыИ 1 треуг ол! ни к п о к 1ге ту а= 6 -> \J и ос гро му уг пу в= 22 ° (см. ри сун ок. Решени е П оск ол ьку с> мм а cстjрых угл ов пр ямс руг рл1 но о и "ч треуголЬни ка равна 90' то a= = 90°- 22 °= 68° п ч к. Поскольку cosВ а , то c = а / ь А 6c cos в [Ри с. 175 т. ( J. c= 6 = 0, 47 2 2 0,927 Поск ол! >ку ' tq в = b то b =а tq 3, а т. е. 1 b= 6tq22°» 6 • 0,404 » 2,42 . 221 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников С 1 \ 1 За да ча 3 . 1 Ре ши те пр 1МС 1 к )угс )ЛЬ L П ныи треу гол |ьн ик по ги по тен у- 3 \J зе| c = 1: i 1 ате ту а = 5 |(сМ. рисуно к). Р ешение -Г По теореме ' Тифсгорс b = л1 с2 - а2 , а т. е. э = V132 - 52 =1 2. П ( х\ с 1 ' ь ' А П оск ОЛ1 .ку si n a = - о sin a = и 0,3 85 о ку, да [Рис. 175] . a » 23°. П ЭСКОЛ1 жу сУ мм а ост ры тл ов пр ЯМ( эуг оль но о тР еу| ол эни ка рс1 ;на 9С )°, го р» 90°- 23° = 67°. \ задача 4 \ Ре ши те пр ям оуг ол! 1^ зныи тре угс эль ни! ! Г о кат етс м V I а =8 и b = 1 5 (см. рису| юк). J J Реше :ние h -г По теореме ' Тифагора с = а2 + b 2 / а т. е. c= 82 + 52 = 17. П / с » ь А П оси ол ьку t g a -, то t9 a= »0 ,5 33, о‘ ■ку, да [Рис. 175] a » 28°. П эскол1 жу с> мм а ост ры /гл ов пр ям( эуг оль но о треуголЬни ка раВна 9С°, то в» 90° - 28 > = 62° На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций. 222 § 21. Решение прямоугольных треугольников 21.3. Прикладные задачи Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах. \ Задача \ Н( аид ите ; в )1СС >ту да 1^ нного пред/ мет а ( рис . 1 76) в Реш( ;ние Н( а о пре деJ пен но/ м Р 1 1 1 асс.тоянии о т д анн ог( а п ред ме та m выберем точку ‘ A и измерим угол П оск ол >ку nF 1 1 аямоугольно ш тр 1 еуг ол1 .ни ке AE \С 1 7ГТ V и t( A: B' го BC = AC taA Е A ' ' А ля оп аед 1елени 1Я высот 1 ы 1 пре дм ета н еобхо, аил ю Ri ис. 176 приб авить к BC высоту AD пр ибора, с пЬмо- 1 щью 1 кото рог о 1 1 измерялся уго )Л. 1 1 1 Следовательно, BE = AC tg< A + AD. \ \ Зад ача \ \ Н( ась пь ш осс 2Й( оИ дороги им \ее т аир ин у 60 м W в аерХне и Час ти и 68 м в ни жнеи. НаИд ите. высо ту “П 1 насыпи, ес :ли уг лы 1 н( акл она 1 X о тко со1 i к го 1 ри: 1 юн ту ра внь I 6 0°. Реш( ;ни е ? г< Ра сс/ мот ри м раЕ бед аре нную тр ап ец| 1Ю ABC D / \, (р ис. 177), 5 к cтрроИ A ,D BC, A D= 68 м, BC = 60 1 м. / V ZD = 60 >. 1 Тро вед аем в1 лсо 1— ты B H и CF. По^ 1 щ / / ///, Г7 vVv п скольку BC HF и A H = FL (^ док аж1 1те это с ам о- г ' стрятел! >но), то AH = F D= = (6 8 - 60 ): 2 = м). Рис. 17 7 В треугольнике a BH 1 . H =9 0°, ZA = 60° A / H= 4 м. Поскольку ta A = BH то BH = AH ta A ., . AH т. е. BH = 4tg60° = ^/3 » 6,93 (м). ОТЕ ет: /V 6,93 м. 223 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников Вопросы и задачи Ф К устные упражнения 713. Можно ли решить прямоугольный треугольник по двум сторонам; по двум углам? 714. В прямоугольном треугольнике KMN (рис. 178) известны катет MN и угол K. Выразите через них второй катет и гипотенузу треугольника. 715. Пользуясь рисунком 178, определите, какие из данных утверждений верны: а) KN = MN б) MK = KN sin a; в) KN = MNtga; г) MN = KM ctga рис. 178 графические упражнения 716. Начертите прямоугольный треугольник и измерьте в нем гипотенузу и острый угол. Решите данный треугольник. Проверьте полученные результаты измерением. 717. Начертите прямоугольный треугольник и измерьте его катеты. Решите данный треугольник. Проверьте полученные результаты измерением. письменные упражнения уровень А 718. В прямоугольном треугольнике катет длиной 7 см является прилежащим к углу 60°. Найдите гипотенузу треугольника. 719. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а синус одного из углов равен 0,6. Найдите катеты треугольника. 224 sin a § 21. Решение прямоугольных треугольников -> 720. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 8 см, а один из катетов — W2 см. Найдите острые углы треугольника. 721. Решите прямоугольный треугольник1 по гипотенузе и острому углу: а) c = 8, a = 30°; б) c = 10, a = 42°. 722. Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: а) a = 2, в = 45°; б) a = 4, a = 18°. 723. Решите прямоугольный треугольник, если: а) c = 12, a = 28°; б) a = 8, в = 40°. 724. Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету: а) c = W2, a = 9; б) c = 25, a = 24. 725. Решите прямоугольный треугольник по двум катетам: а) a = Wb, b = 6; б) a = 9, b = 40. 726. Решите прямоугольный треугольник, если: а) a = 6, c = 10; б) a = 5, b ^\/ГТ. 727. Отрезок BD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе. Докажите, что AD tg A = DC tg C. 728. Отрезок BD — высота прямоугольного треугольника ABC, BD проведенная к гипотенузе. Докажите, что sin A = AC cos A. уровень Б 729. Диагональ прямоугольника равна 10, а угол между диагоналями — 40°. Найдите стороны прямоугольника. 730. Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен —, а высота, проведенная к основанию,— 16 см. Найдите осно- 17 вание треугольника. 731. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите углы ромба. В задачах 721—726 используются обозначения рисунка 175. 225 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников 732. Отрезок BD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе. Решите треугольник ABC, если: а) BD = Wb, ZDBC = 60°; б) AD = 9, ZC = 10°. 733. Отрезок BD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе. Решите треугольник ABC, если BD = 3, DC = 4. 734. Основания прямоугольной трапеции равны 8 и 12, а тупой угол — 110°. Найдите боковые стороны трапеции. 735. В равнобедренной трапеции угол при основании равен 135°, меньшее основание и боковая сторона равны соответственно 8 и 10. Найдите среднюю линию трапеции. 736. Тень от столба высотой 11 м равна 4,4 м. Выразите в градусах высоту Солнца над горизонтом. 737. Найдите угол подъема горного шоссе, если на расстоянии 400 м высота подъема равна 28 м. уровень в 738. Решите прямоугольный треугольник по сумме катетов m и острому углу a. 739. Решите прямоугольный треугольник по разности острых углов ф и гипотенузе c. 740. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу в отношении 1 : 3. Найдите острые углы треугольника. 741. На рисунке 179 показан способ измерения высоты предмета, основание которого недоступно. Найдите эту высоту, если AB = d, ZCAD = a, ZCBD = p. C 742. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40. Найдите угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе. 226 § 21. Решение прямоугольных треугольников Задачи для подготовки к контрольной работе № 4 42 1. Найдите sin A и tg A, если cos A =-. 2 2. Упростите выражение cos a (1 - sin a)(1 + sin a) 3. Вычислите 2sin60° + 4cos60°-ctg30°- 2tg45°. 4. В прямоугольном треугольнике против угла 60° лежит катет длиной 18 см. Найдите второй катет и гипотенузу треугольника. 5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 74 см, а синус одного из углов 2^. Найдите периметр треугольника. 37 6. Большая боковая сторона описанной прямоугольной трапеции равна c, а острый угол равен а. Докажите, что средняя линия c(1 + sin a) трапеции равна ^-------^. Итоги главы IV итоговый ОБЗОР главы IV ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА прямоугольного треугольника синус Синусом острого угла a называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: a sin a = — c Косинус Косинусом острого угла a называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: b cos a = — c тангенс Тангенсом острого угла a называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg a = — b Котангенс Котангенсом острого угла a называется отношение прилежащего катета к противолежащему: , b ctg a = — a sin a+cos a = 1 tg a-ctg a = 1 b b тригонометрические тождества sin a Формулы дополнения sin(90° -a) = cos a cos(90° -a) = sin a tg(90° -a) = ctg a sin a ctg(90° -a) = tg a tg a = - ctg a = cos a cos a значения тригонометрических функций некоторых углов a 30° 45° 60° sin a 1 2 2 2 cos a 1 2 2 2 tg a 1 ^/3 3 ctg a 1 3 228 Итоги главы IV РЕШЕНИЕ прямоугольных ТРЕУГОЛЬНИКОВ Задача Известны гипотенуза и острый угол Известны гипотенуза и катет Известны два катета в Известны катет и острый угол в в условие Дано: АВ = с, Z A = a, Z C = 90°. Найти: Z B, АС, ВС. Дано: ВС = a, Z A = a, Z C = 90°. Найти: Z B, AB, AC. Дано: ВС = a, Z B = e, Z C = 90°. Найти: Z A, AC, AB. Дано: ВС = a, АВ = с, Z C = 90°. Найти: AC, ZA, ZB. Дано: ВС = a, AC = b, Z C = 90°. Найти: АВ, ZA, ^B. схема решения 1. ZB = 90°-a 2. AC = c cos a 3. BC = c sin a 1. Z B = 90° -a 2. AB = a sin a 3. AC = a tg a 1. ZA = 90°-e 2. AB = - a cos P 3. AC = a tge 1. AC = л1 c2 - a2 a 2. sin A = — c 3. ZB = 90°-Z A 1. AB = у1 a2 + b2 2. tg A = — b 3. ZB = 90°-ZA 229 ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников е контрольные вопросы к главе iv 1. Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. 2. Докажите основное тригонометрическое тождество. 3. Докажите формулы дополнения. 4. Назовите значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°. 5. Опишите решения прямоугольного треугольника: а) по гипотенузе и острому углу; б) по катету и острому углу; в) по гипотенузе и катету; г) по двум катетам. О дополнительные задачи к главе iv 743. Стороны параллелограмма равны W2 см и 8 см, а острый угол — 45°. Найдите высоты и площадь параллелограмма. 744. Радиус окружности, вписанной в ромб с острым углом а, равен r. Найдите сторону и площадь ромба. 745. Сторона треугольника равна 10, а прилежащие к ней углы — 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. 746. Если два прямоугольных треугольника имеют равные гипотенузы, то синусы их острых углов пропорциональны противолежащим катетам, а косинусы острых углов — прилежащим катетам. Докажите. 747. Биссектриса, проведенная из вершины острого угла a прямоугольного треугольника, равна l. Найдите гипотенузу треугольника. 748. На эскалаторе Киевского метрополитена ширина ступеньки равна 40 см, высота — 30 см. Определите угол наклона эскалатора. 230 Итоги главы IV 749. На расстоянии 700 м от точки отрыва самолета от земли расположены деревья высотой 24 м. Под каким углом должен подниматься самолет, чтобы не задеть деревьев? Задачи повышенной сложности 750. Докажите, что катеты прямоугольного треугольника и высота, 111 проведенная к гипотенузе, связаны соотношением — =-+-. hC2 751. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен а. Найдите тангенс угла между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне. 752. В треугольнике ABC AB = BC, а высота AE в два раза меньше высоты BD. Найдите косинус угла при основании треугольника. 753. Две окружности, расстояние между центрами которых равно d, касаются внешним образом. Найдите радиусы этих окружностей, если угол между их общими внешними касательными равен 2а. 754. Найдите sin75°. Историческая справка Птолемей Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (11 в. н. э.), где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии. В Древней Греции вместо синуса угла a рассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу 2a. Действительно, если радиус окружности равен единице, то sin a измеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н. э. Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика Х в. Абу-аль-Вефы. Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом региомонтан. региомонтан Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических функций иногда рассматриваются еще две: 1 ^ секанс sec a = V cos a ) 1 ^ и косеканс cosec a = . V sin a ) ГЛАВА IV. Решение прямоугольных треугольников ТЕМАТИКА сообщении и РЕФЕРАТОВ к ГЛАВЕ IV 1. Из истории развития тригонометрии. 2. Тригонометрические тождества в треугольнике. 3. Геометрические неравенства, связанные с тригонометрией. 4. Применение тригонометрических функций при решении прикладных задач. РЕКОМЕНДОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ 1. Глейзер, Г. И. История математики в школе. VII—^УШ классы : Пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер. — М. : Просвещение, 1982. — 240 с. 2. Мерзляк, А. Г. Тригонометрия : Задачник к школьному курсу [Текст] / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир. — М. : АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998. 3. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1 [Текст] / В. В. Прасолов. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Наука : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 320 с. — (Б-ка мат. кружка). 4. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 2 [Текст] / В. В. Прасолов. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 240 с. — (Б-ка мат. кружка). 5. Сивашинский, И. Х. Неравенства в задачах [Текст] / И. Х. Сивашин-ский. — М.: Наука, 1967. 6. Шарыгин, И. Ф. Геометрия. 9—11 классы : От учебной задачи к творческой : Учеб. пособие [Текст] / И. Ф. Шарыгин. — М.: Дрофа, — 1996. — (Задачники «Дрофы»). 7. Шклярский, Д. О. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум [Текст] / Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. — М. : Наука, 1970. 8. Кушнiр, I. А. Повернення втрачено! геометрг1 [Текст] / I. А. Куш-н1р. — К . : Факт, 2000. — 280 с. — (Сер1я «Математичн1 обрИ Укра!ни»). 9. Математична хрестомат1я для старших клас1в. Геометр1я. Т. 2 [Текст] / упоряд. Л. В. Кованцова. — К. : Рад. шк., 1969. — 383 с. 10. Математична хрестомат1я для 6—8 клас1в. Т. 1 [Текст]. — К. : Рад. шк., 1968. — 320 с. 11. 1нтернет-б1бл1отека МЦНМО. https://ilib.mirror0.mccme.ru/ приложения Приложение 1. Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие. В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем. теорема (обобщенная теорема фалеса) Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки. Доказательство □ По данным рисунка 180 докажем три формулы: .. AC _ AC1 1) _ : AB AB1 3) BC _ B.CK CD CD, 2) _ ^Bk BC B1C1 рис. 180. Обобщенная теорема Фалеса Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок AC можно разделить на n равных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой B, причем на отрезке AB будут лежать m точек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные CCj, по теореме Фалеса получим деление отрезков AC1 и AB1 ^ AC n AC, соответственно на n и m равных отрезков. Следовательно, --_ — — 1 AB AB что и требовалось доказать. Если описанное деление отрезка AC невозможно, то докажем фор- AC AC1 AB1 мулу 1 от противного. Пусть ----Ф—, т. е. AB Ф AC ■- AB AB AC Рассмотрим случай, когда AB > AC самостоятельно). AB1 AC (другой случай рассмотрите 235 m Приложения Отложим на отрезке AB отрезок AB AP = AC----^ < A^B (рис. 181). ACi Разобьем отрезок AC на такое количество равных отрезков ^, чтобы одна из точек деления X попала на отрезок PB. Проведем через точки де- Рис. 181. К доказатель-ления прямые, параллельные CCj. Пусть прямая, ству обобщенн°й те°ремы проходящая через точку X, пересекает луч AC1 Фалеса в точке Y. Тогда по доказанному AX AY AC AC . Учитывая, что в этой AP AB AB пропорции AX > AP и AY < AB-., имеем: ------<—^, т. е. AP < AC---^. 1 AC AC^ AC^ Это неравенство противоречит выбору длины отрезка AP. Следовательно, формула 1 доказана полностью. Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180, a + b + x c + d + y по формуле 1 имеем a+x c+y и Разделив в каждом x y a + x c + y ac из этих равенств числитель на знаменатель, получим: 1 +— = 1 +—, a c b d b d x y т. е. —; 1 +---= 1 +--, т. е. -=---. x y a+x c+y a +x c+y Отсюда —:----- x a + x y c + y a a + x c c + y a c ^ т. е.------=--------, или — = —. Таким b x d y b d образом, доказано, что — = — и — = —, т. е. формулы 2 и 3 выполняются. x y b d Теорема доказана полностью. ■ Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник 3 X 5, который делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис. 182. 3 X 5 кв. ед. Таким способом легко найти площадь Прямоугольник 3x 5 1 Длина каждого из этих отрезков может быть равна, например, — PB. 2 236 d c Приложения прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее. Теорема (формула площади прямоугольника) Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон: S = ab, где a и b — стороны прямоугольника. Доказательство □ Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений. Пусть прямоугольники ABCD и AB^C-^D имеют общую сторону AD (рис. 183, а). В С В В, с' с I L К D Q R ии Р т с а М N D а б рис. 183. К доказательству формулы площади прямоугольника Разобьем сторону AB на n равных частей. Пусть на отрезке AB1 лежит m точек деления, причем точка деления В2 имеет номер m, а точ- m m +1 ка B3 — номер m +1. Тогда AB2 < AB1 < AB3, откуда —AB < AB1 <-----------AB, n n m . AB, , m +1 т. е. —<—- <- m ^ ABj m1 ^---1-. n AB n n AB n n Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные AD.Они разделят прямоугольник ABCD на n равных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник AB2C2D содержится внутри прямоугольника AB1C1D, а прямоугольник AB3C3D содержит прямоугольник AB1C1D. 231 Приложения Следовательно, SaB2C2D ^ SAB1C1D ^ SAB3C3D‘ Имеем- — ■ S < S < ■ S m < S^aB‘c‘d < m +1 .rxiviccivi. ‘“’aBC^ ^ ‘“’AB.C,^ ^ ‘^ABCDI ^ ^ re n n S^ n m ^ Sab nS ^ m 1 < — . AB, S Сравнивая выражения для —^ и —1-1—, убеждаемся, что оба эти от- AB S mm 1 ношения расположены между — и \—, т. е. отличаются не больше чем n n n на — (n — натуральное число). Докажем от противного, что эти отношения n равны. Действительно, если это не так, т. е. S AB. S AB = 5 > 0, то найдется такое натуральное число 1 n, что —<5, т. е. 5 = n AB. S AB <-<5. По- n лученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений. Рассмотрим теперь прямоугольники AB—D со сторонами a и b, KLMN со сторонами b и 1 и квадрат PQRT со стороной 1 (рис. 183, б). Тогда по доказанному S b Sab—^ a S 1 S 1 ^PQR^ ^KLMN Поскольку SPQRRT = 1 кв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем S^B—d = ab. Теорема доказана. ■ 1 Выберем n > -5-, например n = +1, где — целая часть дроби —. 5 238 nn S А^. — D Приложения Приложение 2. Золотое сечение С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка AB точкой C, AC CB , ю.ч тт при котором ---=---- (рис. 184). Пусть длина отрез- CB AB ка AB равна а, а длина отрезка CB равна х. Тогда А а-х С х2 + ах - а2 = 0, х V а У +--+1 = 0. Отсю- а Рис. 184. Деление отрезка AB в крайнем и среднем отношении а - х х ----^ —, т. е. х а х -1 ±л/5 х „ да — =--------. Поскольку —> 0, то геометрический а 2 а смысл имеет только значение ---------~ 0,6. Значит, 2 если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой ф. Кроме того, часто рассматривают л/б +1 и отношение _ 1 а ф=—=—= 1,6. Заметим, что Ф — первая буква ф х 2 имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света). В эпоху Возрождения (XV—^ХУП вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе 239 Приложения золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно ф). Итак, дадим определение золотому сечению. Определение Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении ф (или Ф). Построить золотое сечение отрезка заданной длины a с помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить a и — 2 и провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185. По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной прямоугольный треугольник с катетами a A E A B AB2 = AE ■ AD. Тогда -= . Поскольку по по- AB AD строению AB = 2OD = ED = a, то AE = AD - AB X Qa-xB Рис. 185. Построение золотого сечения отрезка AD - AB AB и AB AD = ф по определению золотого сечения. Следовательно, AE AC ---=----= ф. Убедиться в правильности построения можно также с помо- AB AB щью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.) С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения ф и Ф. Рассмотрим некоторые из них. Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами 36°, 72°, 72° (рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике ABC ZA = ZC = 72°, ZB = 36°, AK — биссектриса. Тогда Z KAC = 36°, Z AKC = 72°, A ABC CAK по двум углам. Следователь-AB AC AC AC = Ф, т. е. треугольник ABC — золотой. но AC KC BC - BK AB - AC И наоборот: если в равнобедренном треугольнике A1B1C1 AB A1C1 C1Bi- = Ф, A1C1 то такой треугольник подобен треугольнику ABC,т. е. имеет углы 36°, 72°, 72° 240 Приложения Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами 36°, 36°, 108° (рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует. В Рис. 186. Золотые треугольники Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т. е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны). В правильном пятиугольнике: 1) диагональ относится к стороне в золотом сечении; 2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении; 3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю. Согласно обозначениям рисунка 187 это означаем CE е^ ^ 45+1 ^ ет, что ---=----=-----= Ф =------. Для доказатель- CD CN ем 2 ства этих свойств достаточно заметить, что в пра- 360° вильном пятиугольнике все углы равны = 108° 5 Рис. 187. Правильный пятиугольник следовательно, треугольники CDE, CMD, MDN являются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно. Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии). 241 Приложения Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром O (рис. 188, в). Полученный прямоугольник ABCD — золотой (убедитесь в этом самостоятельно). а б Рис. 188. Построение золотого прямоугольника Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем a = Ф, ъ тогда а - Ъ = ЪФ - Ъ = Ъ (Ф -1) = Ъф. Неограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов. Рис. 189. Построение золотой спирали Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, 242 а Приложения рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики. Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение ф приближенно может быть выражено дробя- 2 3 5 8 ми —, —, —, —, ^, где 2, 3, 5, 8, 13, ^— так называемые числа 3 5 8 13 Фибоначчи1. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами ф и Ф: 1) ф = - 1 + - 1 + - 2) Ф ^ 1+^ 1+^f1 W..7 . Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития. 1 Числа Фибоначчи — это натуральные числа ряда 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ^, в котором каждое следующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. 243 1 1 1 Приложения Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций Г радусы sin a 0° J a J 45° tg a 0° J a J 45° ctg a 0° J a J 45° cos a 0° J a J 45° Г радусы 0 0,000 0,000 — 1,000 90 1 0,017 0,017 57,290 1,000 89 2 0,035 0,035 28,636 0,999 88 3 0,052 0,052 19,081 0,999 87 4 0,070 0,070 14,301 0,998 86 5 0,087 0,087 11,430 0,996 85 6 0,105 0,105 9,514 0,995 84 7 0,122 0,123 8,144 0,993 83 8 0,139 0,141 7,115 0,990 82 9 0,156 0,158 6,314 0,988 81 10 0,174 0,176 5,671 0,985 80 11 0,191 0,194 5,145 0,982 79 12 0,208 0,213 4,705 0,978 78 13 0,225 0,231 4,331 0,974 77 14 0,242 0,249 4,011 0,970 76 15 0,259 0,268 3,732 0,966 75 16 0,276 0,287 3,487 0,961 74 17 0,292 0,306 3,271 0,956 73 18 0,309 0,335 3,078 0,951 72 19 0,326 0,344 2,904 0,946 71 20 0,342 0,364 2,747 0,940 70 21 0,358 0,384 2,605 0,934 69 22 0,375 0,404 2,475 0,927 68 23 0,391 0,424 2,356 0,921 67 24 0,407 0,445 2,246 0,914 66 25 0,423 0,466 2,145 0,906 65 26 0,438 0,488 2,050 0,899 64 27 0,454 0,510 1,963 0,891 63 28 0,469 0,532 1,881 0,883 62 29 0,485 0,554 1,804 0,875 61 Градусы cos a 45° J a J 90° ctg a 45° J a J 90° tg a 45° J a J 90° sin a 45° J a J 90° Г радусы 244 Приложения Продолжение таблицы Г радусы sin a 0° J a J 45° tg a 0° J a J 45° ctg a 0° J a J 45° cos a 0° J a J 45° Г радусы 30 0,500 0,577 1,732 0,866 60 31 0,515 0,601 1,664 0,857 59 32 0,530 0,625 1,600 0,848 58 33 0,545 0,649 1,540 0,839 57 34 0,559 0,675 1,483 0,829 56 35 0,574 0,700 1,428 0,819 55 36 0,588 0,727 1,376 0,809 54 37 0,602 0,754 1,327 0,799 53 38 0,616 0,781 1,280 0,788 52 39 0,629 0,810 1,235 0,777 51 40 0,643 0,839 1,192 0,766 50 41 0,656 0,869 1,150 0,755 49 42 0,669 0,900 1,111 0,743 48 43 0,682 0,933 1,072 0,731 47 44 0,695 0,966 1,036 0,719 46 45 0,707 1,000 1,000 0,707 45 Градусы cos a 45° J a J 90° ctg a 45° J a J 90° tg a 45° J a J 90° sin a 45° J a J 90° Г радусы Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше. Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от 0° до 45°, в правом — от 45° до 90°). Между этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций: 1- й — синусы углов от 0° до 45° (или косинусы углов от 45° до 90°); 2- й — тангенсы углов от 0° до 45° (или котангенсы углов от 45° до 90°); 3- й — котангенсы углов от 0° до 45° (или тангенсы углов от 45° до 90°); 4- й — косинусы углов от 0° до 45° (или синусы углов от 45° до 90°). Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим sin 25°. Поскольку 0° J 25° J 45°, найдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу 25° в ней соответствует число 0,423. Следовательно, sin 25° - 0,423. 245 Приложения 2) Определим sin 72°. Поскольку 45° J 72° J 90°, найдем в крайнем правом столбце значение 72 и рассмотрим соответствующую строку четвертого столбца значений. Углу 72° в нем соответствует число 0,951. Следовательно, sin 72° - 0,951. 3) Определим угол, синус которого равен 0,839. Для этого в первом или четвертом столбце значений найдем число 0,839. Оно содержится в четвертом столбце, т. е. искомый угол больше 45° и меньше 90°. В соответствующей строке правого столбца значений находим число 57. Следовательно, искомый угол приблизительно равен 57°. 4) Определим cos 14°. Поскольку 0° J 14° J 45°, найдем в крайнем левом столбце значений 14 и рассмотрим соответствующую строку четвертого столбца значений. Углу 14° в нем соответствует число 0,970. Следовательно, cos 14° - 0,970. 5) Определим угол, тангенс которого равен 0,7. Для этого во втором или третьем столбце значений найдем число 0,700. Оно находится во втором столбце, т. е. искомый угол меньше 45°. В соответствующей строке левого столбца значений находим число 35. Следовательно, искомый угол приблизительно равен 35°. С большей точностью значения тригонометрических функций можно определять по «Четырехзначным математическим таблицам» В. М. Брадиса или с помощью калькулятора. Ответы и указания ответы и УКАЗАНИЯ Глава I. Четырехугольники 11. 32 см. 12. 8 см, 4 см, 4 см, 4 см. 13. 100°. 14. 80°, 80°, 100°, 100°. 17. а) Нет; б) да; в) нет. 18. 5 см, 7 см, 8 см, 10 см. 19. 36 см. 20. 60°, 120°, 80°, 100°. 21. 60°. 25. 7 дм. 26. 100°, 100°, 100°, 60°. 41. 60 см. 42. а) 5 см и 7 см; б) 3 см и 9 см; в) 5 см и 7 см. 43. а) 110° и 70°; б) 55° и 125°; в) 45° и 135°; г) 75° и 105°. 44. а) Все по 90°; б) 40° и 140°; в) 70° и 110°; г) 30° и 150°. 45. 10 см и 16 см. 48. Три. 49. Три. 50. 3 дм. 51. 22 м. 52. а) 70° и 110°; б) 48° и 132°. 53. а) 50° и 130°; б) 60° и 120°. 54. 54 см. 55. 32 см или 34 см. 59. 12 см. 60. 42 см или 36 см. 61. 30° и 150°. 62. 45° и 135° или все по 90°. 65. Нет. 80. 26 см. 81. 45° и 135°. 92. Ука- зание. Воспользуйтесь равенством 2а + 2в = 360°, где a ив — соседние углы четырехугольника. 93. Указание. На луче AO постройте отрезок OC = AO и проведите через точку C прямые, параллельные сторонам угла. 94. Указание. Проведите прямые MB и MC, параллельные сторонам угла (B и C — точки пересечения этих прямых со сторонами). Луч MA пройдет через середину отрезка BC. 106. 42 см. 107. 6 см, 12 см. 108. 50°. 109. 40°, 50°. 110. 16 см. 111. а) 30°, 150°; б) 60°, 120°. 112. а) 70°, 110°; б) 50°, 130°. 113. 5 м. 114. 20 см. 117. 28 см. 118. 36 см. 119. 6 см, 10 см. 120. а) 36°, 144°; б) 30°, 150°. 121. а) 45°, 135°; б) 60°, 120°. 122. 24 см. 123. 36 м. 124. 6 см. 125. 8 см. 129. 30°, 60°. 130. 60°. 131. Указание. Докажите отдельно равенство высот, проведенных к противолежащим сторонам, и высот, проведенных к соседним сторонам. 136. б) 50°, 130°. 143. а) Нет; б) да. 144. Нет; нет. 147. а) ZC = 130 °, ZB = 140 °; б) 58°, 122°, 122°; в) 90°, 90°, 135°, 45°. 148. а) 68° и 112°; б) 90°, 90°, 135°, 45°. 149. 24 см. 150. 16 см. 152. а) 50° и 130°; б) 90°, 90°, 110°, 70°. 153. а) 90°, 90°, 108°, 72°; б) 60° и 120°. 154. б) 19 см. 155. а) 60° и 120°; б) 20 м. 156. 75 см. 157. 35 см. 161. 72° и 108°. 162. 60° и 120°. 178. а) 4; б) 8. 179. 16 см. 180. 6 см, 8 см и 10 см. 181. 21 см. 183. 24 см. 184. 40 см. 185. а) 10 см; б) 6 см и 8 см. 186. а) 8 см; б) 2 см и 8 см. 189. 23 см. 190. 16 см, 20 см и 24 см. 193. Соединить середины сторон отрезками и провести через вершины полученного треугольника прямые, параллельные его сторонам. 194. Линия разреза является средней линией треугольника. 195. 0,75а . 196. 34 см. 197. 9 см. 198. 9 см, 6 см, 3 см. 247 Ответы и указания 201. 2 см. 202. Указание. Докажите, что AMNH — параллелограмм. 203. 2 см. 206. 40°, 40° и 100°. 213. Нет. Высота не больше медианы, проведенной к гипотенузе. 216. а) 120°, 240°; б) 80°, 280°. 217. а) 90°; б) 120°; в) 100°. 218. а) 70°; б) 40°; в) 210°. 219. а) 40°; б) 50°; в) 150°. 220. a или 180°-а. 221. 30° или 150°. 222. а) 25°; б) 6 см. 223. а) 90°; б) 10 см. 225. а) 55°; б) 120°. 226. а) 120°; б) 55°. 227. 70°. 228. 45°, 60°, 75°. 229. 50°, 50°, 80° или 50°, 65°, 65°. 232. 80°. 233. 4 см. 234. 9 см. 240. Окружность с диаметром AB без точек A и B. 241. Рис. 190. 242. Указание. Точка касания принадлежит окружности диаметром AO. 243. 80°. 244. 50 см. 248. Продолжить боковые стороны до пересечения. 249. Нет; да. 252. а) Нет; б) да. 253. а) 134°, 55°; б) 100°, 80°, 100°; в) все по 90°. 254. а) 90°, 130°, 90°; б) 115° и 65°. 258. а) 30 см; б) 28 см. 259. а) 7 см; б) 4 см. 260. 24 см. 261. 70°, 100°, 110°, 80°. 262. 55° и 125°. 267. 4 м и 9 м, 8 м и 5 м. 268. 6 см. 269. 8 см. 274. 30 и 150 . Указание. Опишите окружность около четырехугольника BMDN. 275. 45°. Указание. Опишите окружность около четырехугольника ACBK. 276. Указание. Опровержение аналогично примеру, представленному в п. 8.3. 277. Указание. Треугольники ADB и CDE не равны, поскольку признака равенства треугольников по стороне и двум углам не существует. 280. 60°. 281. 60°. 289. 9 см. 293. 6 см и 3 см или 2 см и 1 см. 294. Указание. На рисунке 191 треугольник ABC искомый, треугольник AOD вспомогательный, AOCD — параллелограмм. 296. 3 см и 9 см. 297. а) 14,4; б) 59. 299. 60° и 120°. 300. 14 см. 301. 90°, 45°, 45°. 303. 4 см. 304. 18 см. 305. 5 см и 3 см. 306. а) 60°, 120°; б) 2 см, 6 см, 4 см, 4 см. 307. б) Указание. Проведите через точку M средние линии треугольников ABC и ACD ; докажите по неравенству треугольника, что точки E, F и M лежат на одной прямой. 309. a + c или |a - c|. 310. Указание. Медианы треугольника BCD пересекаются в одной точке. 311. Указание. Высоты треугольника В 248 Ответы и указания с вершинами в серединах отрезков AB, AC и AD пересекаются в одной точке. 312. Указание. Данные биссектрисы при пересечении образуют прямоугольный треугольник, в котором отрезок средней линии является медианой. 313. Указание. Докажите, что вершины искомого треугольника и точка пересечения данных прямых лежат на одной окружности. 314. Указание. Воспользуйтесь опорной задачей об угле между касательной и хордой (§ 7, № 230). 315. 60° и 120°. 316. Указание. Докажите, что четырехугольник ABMC вписанный. Глава 11. Подобие треугольников. Теорема Пифагора 325. а) Да; б) нет. 326. 6; 12. 327. 15; 9. 328. а) 3 см; б) 4 см. 329. 14 см. 330. а) 25°; б) 50°. 331. 20°, 70°. 332. а) 10 см, 16 см, 20 см; б) 5 см, 8 см, 10 см. 333. 19 см. 336. а) 15 см; б) 12 см. 337. 7 см. 338. а) 16; б) 3. 343. 8 см и 27 см. 345. Указание. На последнем шаге доказательства выполнено деление на нуль. 346. 6 см. 347. 46 см. 348. Равнобедренный. 349. Нет. 360. 120 м. 361. б) 6 см. 362. б) 12 см. 364. 10 см. 365. 4 см, 4 см, 2 см. 370. 24 см. 371. 6 см и 14 см. 373. Нет; да. 378. . 379. а + b m + n 382. 36°, 72°, 72° или 36°, 36°, 108°. 384. 35° и 55°. 390. Второй. Тре- угольник со сторонами а, b, c может не быть прямоугольным или не существовать вообще. 396. 60 м. 397. 13,8 м. 398. а) 10 см; б) 30 см и 40 см. 2 ,2 ^ , b 399. 30 см. 401. б) 6 см. 402. 20 см и 30 см. 403. 6 см. 405. ас = —, bc = —. c c 406. 30 см и 40 см. 407. Лежит вне окружности. 408. 6 см. 409. 20 см. 410. 1 : 8 или 7 : 8. 411. 3 : 4. 413. Указание. Воспользуйтесь дополнительным построением, которое применяется для доказательства соответствующего признака равенства прямоугольных треугольников. 414. В 2,5 раза. 415. 72°, 108°. 426. а) 41 см; б) 21 см. 427. а) 26 см; б) 28 см. 431. 45°. 432. 36 см. 433. 12 см. 435. 24 м. 436. 10 см или ^/7 см. 437. а) 27 см и 36 см; б) 15 см, 20 см, 25 см. 438. а) 24 см и 26 см; б) 30 см, 40 см, 50 см. 440. 8 см. 441. -v/26 см. 442. 12,5 см и 12 см. 444. 52 см; да. 445. 98 см; да. 446. 9 см или 21 см. 447. а) 9; б) 8. 448. 15 см. 449. 12 см. 450. 20,5 см. Указание. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. 451. 12 см. 452. 13 см. Указание. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. 453. 1 м. Указание. Проведите через вершину трапеции прямую, параллельную диагонали. 249 Ответы и указания 454. 10 см. 456. Указание. Для доказательства обратного утверждения проведите из двух противолежащих вершин четырехугольника перпендикуляры к диагонали и докажите, что их основания совпадают. 463. а) 12 см; б) 6 см и 4 см. 464. 3 см. 465. 10 см, 15 см, 20 см. 466. 21 см, 28 см, 35 см. 467. 36 см. 468. 25 см и 30 см. 469. 64 см. 470. 20 см. 471. 4 см. 472. 6 см. 473. 15 см. 474. 72 см. Указание. Докажите, что данная точка лежит на биссектрисе треугольника. 475. 36 см. Указание. Докажите, что данная точка лежит на биссектрисе треугольника. 476. Указание. Докажите подобие треугольников ACD и CBD. 477. Указание. Проведите высоту ВН и докажите подобие треугольников CAD и CBH. 481. 30°. 482. 9. 483. 8 см и 15 см. 484. 5 см, 5 см, 6 см. 485. 15 см и 20 см. 486. 8 см, 9 см, 10 см. 487. 12 см. 488. 96 см. 494. а) 4 : 1; б) 1 : 1; в) 1 : 2; 4 : 3. 496. 4 см. 497. 6 м и 6 м. 498. . 499. 28 см. Указание. Докажите подобие прямоугольных b - а треугольников, которые отсекаются от данного треугольника высотами. 501. 2,5 и 1. Указание. Центры данных окружностей являются вершинами прямоугольного треугольника. 502. Va2 + с2 - b2 . Указание. Проведите через точку M прямые, параллельные сторонам прямоугольника. 503. Окружность диаметром AB. 504. Решение. В четырехугольнике ABCD AB = а , BC = b , CD = с , AD = d , BD = d1 , AC = d2 (рис. 192). Построим треугольник ABE, подобный треугольнику DBC (Z1 = Z 2 по построению, Z 3 = Z 4 как вписанные углы, опираюш;иеся на одну дугу), из подобия имеем: —^ = -^, т. е. d1 • AE = ac . Аналогично из подобия треугольников CBE и AE DBA c имеем d. CE d dj • AE + dj • CE = ac + bd , т. е. dj • CE = bd . Сложим полученные равенства: т. е. dj • d2 = ac + bd , что и требовалось доказать. С рис. 193 250 Ответы и указания 505. Решение. Проведем в треугольнике ABC биссектрису CL и обозначим BC = a , AC = b, BL = m , AL = n , CL = lc (рис. 193). Опишем окружность около данного треугольника и продолжим биссектрису CL до пересечения с окружностью в точке D. По теореме о пропорциональности хорд имеем BL ■ AL = CL ■ DL или m ■ n = lc ■ (CD - lc). Из подобия треугольников BCL и DCA (Z1 = Z 2 по определению биссектрисы, Z 3 = Z 4 как вписанные , BC CD a CD углы, опирающиеся на одну дугу) имеем: -------=--- или — =-----, CL AC lc b т. е. CD = — . Подставим это значение в равенство m ■ n = la (CD - la): m ■ n = lc ■ l ^ b ^ ab l l \ li у или ll, = ab - mn, что и требовалось доказать. Глава Ill. Многоугольники. Площади многоугольников 513. а) 720°; б) 1800°. 514. а) 5; б) 7; в) 9. 515. 135°. 516. 120°. 518. а) 11; б) нет; в) 13. 519. Семиугольник; 900°. 520. 6. 521. а) 3; б) 5; в) 6. 523. n(n 3) . 525. 150°, 60°, 150°. 526. Указание. Воспользуйтесь нера-2 венством треугольника. 527. Нет. Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 539. а) 36 см2; б) 140 см2; в) 60 см2. 540. 60 см. 541. 144 м2. 542. 1^2 см. 543. 8 см и 16 см. 544. а) 60 см2; б) 12 см; в) 5 см. 545. 120 см2. 546. 8 см и 6 см. 547. 12 см. 548. 180. 549. 21 см2 или 28 см2. 550. 240 см2. 551. а) 72 см2; б) 30 см2; в) 40 см2. 552. а) 78 см2; б) 32 см2. 553. 4 см. 554.120 см2. 555. 50 см2. 557. 16 м2. Указание. Докажите, что сумма данных расстояний равна стороне квадрата. 558. 180 см2. 559. 384 см2. Указание. Данный угол равен острому углу параллелограмма. 560. Указание. Рассмотрите отношения катетов прямоугольных треугольников ABE и DCE и докажите, что эти треугольники не являются подобными, т. е. точка C не лежит на прямой BE . 561. 351 см2. 562. 202,8 см2. 563. 60° и 120°; параллелограмм и равносторонний треугольник. 564. 8 см2. 572. а) 20; б) 24; в) W3. 573. а) 60 см2; б) 75 см2. 574. а) 96 см2; б) 12 см2. 575. 60 см. 576. 10 см. 577. 1 - a . 578. 2. 579. 80 м2. 2 580. 8 см и 16 см. 583. а) 42 см2; б) 64 см2. 584. 48 см2. 585. 24 см2. 586. а) 84 см2; б) 39 см2; в) W3 см2. 587. а) 12 см2; б) 96 см2. 251 Ответы и указания 588. 294 см2. 589. 2S. 590. S. 591. 20 см. 592. 18 см2. 596. а) 486 см2; б) 186 см2. 597. 768 см2. 601. Указание. Искомые прямые делят стороны BC и CD в отношении 1 : 2, начиная от вершины C. 602. а) —; б) —. 3 3 603. а) S, + S2 + S3 + S4; б) 7S . 604. 80 см2. 605. 1020 см2. 607. а) 1 : 5; б) 4 : 5; в) 1 : 4. 614. а) 81 см2; б) 1 см2. 615. —. 616. а) 4 см; б) 2 см2. 9 617. 6 см2. 618. 20 см2. 619. 210 см. 620. 6 см. 621. 40 см. 624. 27 см2 и 3 см2. 625. 108 м. 626. 36 см2. 627. 250 м2. 628. 12 см и 16 см. 629. 24 см. 630. 15 см и 20 см. 633. 1: ^/2 -1). 634. Искомая прямая делит стороны треугольника в отношении 3 : 2 или 4 : 1, начиная от вершины, противолежащей параллельной ей стороне. 638. 30°, 30°, 120°. 640. Высота треугольника в два раза больше. 643. а) 20 см2, 30 см2; б) 8 см2, 12 см2, 18 см2, 12 см2. 646. 468 см2 или 300 см2. 647. б) Если высота, проведенная к AB, больше — AB. 648. Указание. Разрезы должны проходить через 2 середины боковых сторон перпендикулярно к основаниям. 649. Указание. Примените метод площадей и обратную теорему Пифагора. 651. Scos2 a. Указание. Докажите, что треугольники ABC и AB1C1 подобны с коэф- 2 фициентом cos a. 652. —mamb. 654. Указание. Площадь треугольника 3 a b 2 не превышает половины произведения двух его сторон. 656. WST). Указание. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны yls~s2. 657. Указание. Докажите, что SA = - S. Глава IV. решение прямоугольных треугольников 8 15 ^ ^ ^/з , 1^ ^ >/5 668. —, —, —. 670. а) —; б) —; в) —. 671. а) —; б) —. 17 17 15 13 2 8 ^3 2 672. а) sin2 a ; б) sin a ; в) 2. 673. а) cos2 a; б) ---; в) tg a. cos a i— 676. —, ^^ , —, 2,4. 679. а) cos A =—,tg A ^/3,ctg A = —^; 13 13 12 2 3 24 7 2 1 1 б) sin A = 0,96, tg A =—, ctg A = —; в) sin A =—j=^, cos A = —j=^, ctg A = —. 7 24 ^j5 ^5 2 680. а) n/B; б) 1. 681. а) ctg2 a; б) cos3 a; в) sin2 a . 682. а) sin a ; 252 Ответы и указания б) 1; в) 1. 685. а) tg a; б) sin2 a; в) tg2 a. 686. а) 2; б) sin a; в) 1. 687. 16 см. 688. 60 см2. 695. а) 54°; б) 8°; в) 60°; г) 45°. 696. а) 40°; б) 30°; в) 45°. 698. а) 1,5; б) 1,5; в) 0,5. 699. а) 1; б) 0,5; в) 0,5. 700. а) 0,6 и 0,8; б) 0,5 и л/э . 701. а) 0,8 и 0,6; б) 1. 702. а) 68°; б) 30°. 703. а) 76°; б) 45°. 704. а) 2; б) —; в) 1. 705. а) 3 1 2 ^/l^ ’ л/хс" 3; б) 1. 706. b. 709. 1. 711. 36 см2. 712. а2. 718. 14 см. 719. 12 см и 16 см. 720. 45°, 45°. 721. а) в = 60°, а = 4, b = Wb ; б) р = 48°, а - 6,69, b - 7,43.722. а) a = 45°, b = 2, с = ; б) р = 72°, с -12,94 , b -12,31. 723. а) р = 62°, а - 5,63 , b -10,6; б) a = 50°, с -10,44, b - 6,71. 724. а) b = 9, a = р = 45°; б) b = 7, a-74°, р-16°. 725. а) с = 12, a = 60°, р = 30°; б) с = 41, a-13°, р-77°. 726. а) b = 8, a-37 °, р-53°; б) с = 6, a-56°, р-34°. 729. - 9,40 и - 3,42. 730. 60 см. 731. - 45° и - 135°. 732. а) AB = 8, BC = ^/3 , AC = 16, ZA = 60°, ZC = 30°; б) BC - 293,94, AB - 51,83, AC - 298,48, Z A = 80°. 733. AB = 3,75, BC = 5, AC = 6,25, Z A - 53°, ZC - 37°. 734. - 10,99 11,70. 735. 8 + . 736. - 68°. 737. - 4°. 738. a =- 1 + ctg a b= 1 + tg a -, р = 90° -a. Указание. Выразите две стороны треугольника че- с =-- sin a + cos a рез третью сторону и угол a. 739. a = 45°-—, р = 45°+—, а = с sin 22 b = с sin 45°+— Ф 45°-— 2 . 740. 30° и 60°. 741. d V 2 У W2 см, 32 см2. 744 2r 4r . 742. - 16°. 743. 4 см, ctg a - ctg р Указание. Проведите высоту h и воспользуйтесь тем, что h = 2r . 745. 5/2-1), 10-1). Указание. l cos- Проведите высоту к данной стороне и составьте уравнение. 747. 748. - 37°. 749. Не меньше 2°. 751. 1 + а 752. — . Указание. Докажи-4 11 те подобие треугольников ACE и BCD . 753. —d(1 + sin a), —d(1 - sin a). ^/2 (1 Ws) ^ ^ 754. . Указание. Постройте треугольник с углами 75°, 45° 4 и 60° и проведите его наименьшую высоту. 253 m m и m sin a sin a a 2 cos a ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ А Аксиомы площадей 164—165 Б Боковые стороны трапеции 41, 42 В Вершины — ломаной 157 — многоугольника 157 Внутренняя область четырехугольника 8 -----многоугольника 158 Высота — параллелограмма 15 — трапеции 41, 90 Г Градусная мера дуги окружности 61 Д Диагональ — многоугольника 157 — четырехугольника 8 Инцентр 82 И К Квадрат 34, 89 Косинус острого угла прямоугольного треугольника 205 Котангенс острого угла прямоугольного треугольника 206 М Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике 121 Многоугольник 157 — вписанный в окружность 158 — выпуклый 158 — описанный около окружности 158 — плоский 158 Наклонная 131 Н О Ортоцентр 84 Основания трапеции 41 Основное тригонометрическое тождество 207 Отношение отрезков 103 Отношение площадей подобных фигур 103 П Параллелограмм 14, 88 Площадь — квадрата 166 — многоугольника 165 — параллелограмма 167 — прямоугольника 166 — трапеции 175 — треугольника 173 Подобные треугольники 105 Признак — подобия треугольников --------по двум углам 111 — — — по двум сторонам и углу между ними 112 ------- по трем сторонам 114 — прямоугольника 31 — равнобедренной трапеции 43 Признаки — параллелограмма 22 254 — подобия прямоугольных треугольников 120 Проекция наклонной 131 Пропорциональность — отрезков секущей и касательной 138 — отрезков хорд 137 Пропорциональные отрезки 103 Прямоугольник 31, 89 Р Равновеликие фигуры 165 Решение треугольников 220 Ромб 32 С Свойство — биссектрисы треугольника 136 — прямоугольника 31 — равнобедренной трапеции 42 — средней линии трапеции 54 — средней линии треугольника 52 — параллелограмма 15 — перпендикуляра, наклонных и проекций 131 — ромба 32 Средняя линия — — трапеции 54 — — треугольника 52 Синус острого угла прямоугольного треугольника 205 Соседние — вершины четырехугольника 7 — углы четырехугольника 9 Стороны — многоугольника 157 — четырехугольника 7 Сумма углов -----выпуклого п-угольника 159 — — четырехугольника 9 Т Тангенс острого угла прямоугольного треугольника 205 Теорема — Пифагора 128 — Фалеса 51 — обратная теореме Пифагора 130 Точка пересечения — — биссектрис треугольника 82 — — высот треугольника 84 — — медиан треугольника 82 Трапеция 41 — прямоугольная 42 — равнобедренная 42 У Угол — внешний выпуклого многоугольника 158 — внутренний выпуклого многоугольника 158 — внутренний выпуклого четырехугольника 9 — вписанный 61 — центральный 60 Условие — необходимое 24 — достаточное 24 — необходимое и достаточное 24 Ф Формулы дополнения 213 Ц Центроид 83 Ч Четырехугольник 7 — вписанный в окружность 70 — описанный около окружности 72 — выпуклый 8 255 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие....................................................3 Глава I. Четырехугольники......................................5 § 1. Четырехугольник и его элементы.......................7 § 2. Параллелограмм и его свойства.......................14 § 3. Признаки параллелограмма............................22 § 4. Виды параллелограммов...............................31 § 5. Трапеция............................................41 § 6. Теорема Фалеса. Средние линии треугольника и трапеции . . . 51 § 7. Вписанные углы......................................60 § 8. Вписанные и описанные четырехугольники..............70 § 9*. Замечательные точки треугольника...................82 Итоги главы I............................................88 Глава II. Подобие треугольников. Теорема Пифагора............101 § 10. Подобные треугольники.............................103 § 11. Признаки подобия треугольников....................111 § 12. Подобие прямоугольных треугольников...............120 § 13. Теорема Пифагора и ее следствия...................128 § 14. Применение подобия треугольников .......... 136 Итоги главы II ........................................ 144 Глава III. Многоугольники. Площади многоугольников...........155 § 15. Многоугольник и его элементы......................157 § 16. Площадь многоугольника. Площади прямоугольника и параллелограмма..................................163 § 17. Площади треугольника и трапеции...................173 § 18. Применение площадей...............................186 Итоги главы III.........................................194 Глава IV. Решение прямоугольных треугольников............... 203 § 19. Тригонометрические функции острого угла.......... 205 § 20. Вычисление значений тригонометрических функций .. 213 § 21. Решение прямоугольных треугольников...............219 Итоги главы IV..........................................228 Приложения...................................................235 Ответы и указания............................................247 Предметный указатель.........................................254 0-RA№K Видання e частиною навчально-методичного комплекту «Геометр1я-8> • П1ДРУЧНИК «ГЕ0МЕТР1Я. 8 КЛАС» • 361рник самост1йних i контрольних ро61т • Зошит для тематичного та п1дсумкового оц1нювання • Конспекти Bcix урок1в: методичн! рекомендацм для вчителя Гёометр!я81^ Геометр1я8^ КОНСПЕКТИ BCIX УРОК1В методичн! рекомендац1|ДАЯ вчитег ЗОШИТ ДЛЯ ТЕМАТИЧНОГО ТА ШДСУМКОВОГО ОЦ1НЮВАННЯ ОСОБЛИВОСТ1 ВИДАННЯ • багатор1внева побудова навчального матер1алу • тематичне узагальнення i систематизац1я • авторська система усних, граф1чних та письмових вправ • додатков! зм1стов! л1нм: • вивчення основ лопки • методика розв'язування задач • комплексна повторения, п1дготовка до засвосння нових тем • розвиток творчих зд16ностей учн1в • доступн1сть викладання, зручн1сть користування ГНдручник створено саме для Вас!