Учебник Геометрия 8 класс Апостолова

г. в. АПОСТОЛОВА г. в. АПОСТОЛОВА feoMeTpim Двухуровневый учебник для общеобразовательных учебных заведений Рекомендовано Министерством образования и науки Украины Перевод с украинского КИЕВ «ГЕНЕЗА» 2008 ББК 22.15La7Zl А76 но Министерством образования и науки Украины (ятеьмо МОН Украины М 1.4/18-679 от 27.03.08 г.) Издано за счет государственных средств. Продажа запрещена Перевод Г. S. Апостоловой Ответственные за подготовку к изданию: Прокопенко Н. С. - главный специалист МОН Украины; Потапова Ж. В. - методист высшей категории Института инновационных технологий и содержания образования Рецензенты; Ясинский В. В. — директор Института доуниверситетской подготовки и профессиональной ориентации НТУУ «КПИ*, доктор физ.-мат. наук, профессор, заслуженный работник народного образования Украины; Грищенко В. А. - старший научный сотрудник Института математики НАН Украины, канд. физ.-мат. наук; Барышникова О. И. - учитель-методист лицея «Подол» г. Киева Составители заданий: Вашуленко О. П„ Карликова Е. А. Апостолова, Г.В. А76 Геометрия : 8 : двухуровн. учеб, для общеобразоват. учебн. завед. / Пер. с укр. Г. В. Апостолова. - К. ; Генеза, 2008. -272 с. : ил. ISBN 978-966-504-862-6. Учебник соответствует как программе общеобразовательных средних учебных заведений, так и классов с углубленным изучением математикр - является двухуровневым. Отличается: многоуровневой дифференциацией теоретического и дидактического материала; выделением опорных фактов и опорных задач, обобщающих схем; наличием исторической информации; заданиями логического характера; обширностью дидактического материала. Может быть использован: в общеобразовательных классах и классах с углубленным изучением математики; для организации внеклассных занятий и самостоятельной учебной деятельности учащихся. Главная цель: предоставить широкий спектр возможностей и учителю, и учащемуся независимо от типа учебного заведения и места его располо'жей'ия. ББК 22.151я721 ISBN 978-966-504-862-6 (рус.) ISBN 978-966-504-798-8 (укр.) ©Апостолова Г. В., 2008 ©Издательство «Генеза», оригинал-макет, 2008 Автор Галина Вадимовна Апостолова -профессор Киевского областного института последипломной подготовки педагогических кадров, кандидат физико-математических наук, учитель-методист. Я благодарна всем своим ученикам за совместный поиск и открытия, за то, что вместе радовались и удивлялись красоте и гармоничности математической модели мира. В этом учебнике есть частичка от встречи с каждым из вас. Уважаемый ученик! Возможно, на фоне удивительных достижений науки и техники, с которыми вы встречаетесь на каждом шагу, геометрия, предлагаемая для изучения в школе, может показаться каким-то несовременным предметом, совсем ненужным в наше время человеку, в жизнь которого вошли компьютеры, мобильные телефоны, цифровые технологии. Действительно, за последние тысячелетия человечество стало намного умнее. Но стал ли умнее каждый отдельный человек? Сегодня мы знаем намного больше своих предков, потому что «стоим на их плечах». Развитие человечества - это, в первую очередь, развитие человеческой мысли. Геометрия является своеобразным зеркалом человеческого разума, уникальной сокровищницей, которая сохраняет наивысшие достижения человечества, жемчужины мысли, создававшиеся на протяжении более чем двух тысячелетий самыми мудрыми его представителями. Овладеть этими сокровищами - это значит не только научиться логично и последовательно мыслить, но еще и получить в подарок возможность наслаждаться от самого процесса мышления, способности самостоятельно совершать открытия. В. Фукс (известный немецкий математик XX в.) сказал: «Геометрия — это широкий роскошный пейзаж, открытый всем тем, кому мышление доставляет настоящую радость». Учебник предоставляет вам широкие возможности в использовании сокровищницы Геометрии. Желаю радости работы с этим учебником. Автор Информация для учащихся Перед началом работы с учебником внимательно прочитайте тстц/пление, в котором обобщается то, что вы уже изучали ранее. Обратите внимание на форзацы - на них представлены опорные факты геометрии за курс 7-го класса. Домашнюю работу лучше начинать с выполнения практических работ, которые предлагаются после каждого параграфа. Это поможет вам «ощутить» геометрию, понять и запомнить выученное. На поля учебника вынесено главную (опорную) информацию, а в конце учебника предлагаются обобщающие опорные конспекты. Пользуйтесь ими во время подготовки к уроку и при решении задач. Обязательный (минимальный) объем информации обозначен цветной вертикальной чертой. Задания подразделяются на четыре уровня сложности: задания с нуликом возле номера - наиболее простые, задания без обозначений возле номера - несколько сложнее, задания со звездочкой - требуют более глубоких размышлений, задания с двумя звездочками - наиболее сложные, для их выполнения нужны творческие усилия. Задания «Для повторения* и «Готовимся к тематической аттестации» помогут вам повторить изученное, подготовиться к итоговой аттестации. Кроме того, в конце учебника предлагаются задания в тестовой форме «Проверь себя». Их цель - определить уровень ваших умений и знаний, помочь вам адаптироваться к будущим тестированиям. «Ответы и советы» помогут вам убедиться в правильности выполнения заданий, а иногда и подскажут путь решения. Задания рубрики «Для любознательных», параграфы с такой же пиктограммой и последний раздел «Любопытные приложения» предназначены для более широкого и глубокого знакомства с геометрией, чем это требуется программой общеобразовательной школы. В конце учебника вас ожидает Словарик новых терминов и незнакомых слов (со ссылкой на страницы, где они встречаются). Пиктограммы в учебнике означают: определение; -тео- рема; следствие; i - материал для ознакомления; до- полнительный материал. Не ждите указаний зшителя, работайте самостоятельно - учебник предоставляет вам такую возможность. Помните, что готовиться к внешнему тестированию, к вступительным экзаменам в ВУЗ по определенным темам надо тогда, когда эти темы изучаются. Тот, кто учится самостоятельно, достигнет в семь раз больше того, кому все разъясняется. Артур Гитерман (поэт) Информация для учителей и родителей Обычно в учебнике объем учебного материала четко ограничен - все, что в нем содержится, учитель должен отработать с классом. Поэтому и создаются учебники для общеобразовательных школ и для классов с углубленным изучением математики. Главная цель этого учебника — предоставить возможность (независимо от названия и месторасположения учебного заведения): ученику - узнать хочет ли и может ли он знать больше минимальных требований программы, подготовиться к вступительным экзаменам (тестированию), а, возможно, и олимпиадам; учителю - осуществить дифференцированный подход в работе, естественным образом продолжить изучение геометрии на внеклассных занятиях, направить самостоятельную работу определенных учащихся. Этот учебник двухуровневый - по нему можно работать как по общеобразовательной программе (ОП), так и в классах с углубленным изучением математики (МК). Можно сказать, что он «многоуровневый» - по объему и спектру представленного дидактического и теоретического материала. Учебник дает возможность одним учащимся плавно идти вверх, другим -спуститься и залатать индивидуальные «прорехи». Теоретический материал подразделяется на: • параграфы, обязательные для изучения по программе общеобразовательной школы, основной материал (минимум по госстандарту) обозначен цветной вертикальной чертой; • параграфы для ознакомления (необязательные для оценивания по ОП); • параграфы, необязательные для изучения (по ОП); • информацию рубрики «Для любознательных», которая дополняет параграфы исторической и математической информацией; • информацию раздела «Любопытные приложения» - для МК, кружковой и индивидуальной внеклассной работы, подготовки к олимпиадам, подготовки реферативных работ и работ в системе МАН (содержит списки рекомендованной литературы). Дидактический материал подразделяется на: • практические работы (приведенные после каждого параграфа): задачи четырех уровней сложности; задания первых трех уровней с цветными номерами рекомендованы для домашней работы; • задания рубрики «Для любознательных»: дополнительные задачи повышенной сложности и не только по программному материалу; • задания раздела «Любопытные приложения»: задачи повышенной сложности по представленным темам; • задания для повторения расположены после разделов и в конце учебника (в тестовой форме); • «Готовимся к тематической аттестации» - ориентировочные задания аттестации по темам (для ОП). Не следует стремиться решить все предложенные задачи. Обширность дидактического материала предоставляет возможность (без привлечения дополнительных сборников) реализовать дифференцированный подход в работе с классом. Заметим, что использование пособия «Геометрия в опорных схемах и рисунках. Рабочая тетрадь ученика 8 класса» позволит учащимся не носить учебник в школу (работать по нему только дома), облегчит усвоение, повторение и обобщение учебного материала. Этот учебник вариативный, предлагает «возможности», а вот насколько они будут реализованы - это уже зависит лично от Вас. РАДОСТИ ПОИСКА и УСПЕХОВ! Автор Память — страж всему и сокровищница всего. Цицерон элемы под иным углом зрения - это требует творческого воображения и дает большие преимущества. Альберт Эйнштейн Вступая в геометрию 8-го класса, предлагаем сначала остановиться и I оглянуться на то, что было раньше, — на «пейзаж» 7-го класса. Ощутите | его логичность и цельность, красоту маленьких сюжетов опорных задач. Это поможет вам овладеть новыми просторами геометрии в 8-м классе. Телом, фигурой или формой называют предметы, когда интересуются только лишь их числовыми характеристиками (размером, площадью, объемом, размещением...). без определения ± Понятие об основных геометрических фигурах (точка, отрезок, луч, прямая, плоскость) Геометрия как математическая наука изучает свойства тел, фигур окружающего мира в наиболее абстрактной форме, т. е. независимо от их конкретного смысла. Это дает возможность использовать дедуктивный метод - цепочку переходов от утверждения-условия к утверждению-выводу. (Напомним, что утверждением называется предложение, о котором можно сказать «да» или «нет», т. е. оно может быть или истинным или ложным.) Геометрия - это не просто собрание определенных фактов и размышлений, а строгая, целостная, эстетическая в своей логичности наука. Ее структуру можно представить так. - Принимаем-------без доказательства _ I обобщение Определения других фигур Аксиомы евклидовой геометрии Доказательства утверждений о свойствах геометрических фигур, отличные от аксиом Аксиомы евклидовой геометрии не являются свободным творением Евклида, а получены человечеством в процессе многовекового опыта. Их формулировка очень важна, т. к. она является краеугольным камнем построения геометрии. Так, русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) усомнился в одной из аксиом Евклида (аксиоме об единственности прямой, параллельной данной, которая проходит через заданную точку вне данной прямой) и получил совсем другую геометрию, которая, как оказалось, описывает свойства фигур, размеры которых превышают размеры Земли. Мы с вами продолжаем изучать плоские фигуры по Евклиду (планиметрию). Вспомним АКСИОМЫ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ (планиметрии). Геометрия - это математическая наука о пространственных формах, которая опирается на дедуктивный метод -цепочку логичных переходов (шагов) от утверждения-условия к утверждению-выводу. единственная I. Какая б ни была прямая, существуют точки, которые принадлежат этой прямой, и точки, которые не принадлежат ей. Через любые две точки можно провести прямую и при том только одну. одна •—Т из трех/ II. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. С В АВ=^АС + СВ III. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается какой-либо точкой. IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. полуплоскости 'lA АА= Ll +Z2 V. Каждый угол имеет определенную меру, которая больше нуля. Мера угла равна сумме мер углов, на которые он разбивается каким-либо лучом, лежащим внутри этого угла (с началом в вершине угла). Градусная мера развернутого угла равняется 180®. один VI. На любой прямой от заданной точки в заданном направлении можно отложить отрезок заданной длины и при том только один. один Vn. От любой полупрямой в заданной полуплоскости можно отложить заданный угол с вершиной в начале этой полупрямой и при том только один. о_ ’С существует равный VIII. Какой бы ни был треугольник, существует треугольник, равный данному в заданном размещении относительно заданной прямой. А -ф— одна 6||а IX. Через точку, что не лежит на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Структура геометрии: })ocsoBBue понятия; 2) аксиомы; 3) определение других фигур, доказательство свойств фигур, которые отличаются от аксиом. Логический шаг доказательства: 1. Исходное утверждение (несколько утверждений); 2. «Тогда»; 3. Утверждение-вывод. Лжтзыаается раосужлеявш (дпгаютелыггвом). I Вы имеете определенный опыт работы с геометри-I ческими понятиями и фактами, понимаете, что все гео-^ метрические свойства фигур формулируются в виде I утверждений. Для дальнейшего изучения геометрии ' полезно обобщ,ить виды математических утверждений, I с которыми вы встречались (и будете работать далее). ^ ОПРЕДЕЛЕНИЕ - это утверждение, в котором разъ-I ясняется (через уже известные понятия), какие именно I объекты или свойства попадают под это название. J Вспомните, например, определение треугольника, ' смежных углов, равенства двух углов и т. д. АКСИОМА - утверждение, которое принимается без доказательства (говорят еш;е - постулат). Мы с вами уже обсуждали значение этих утверждений в построении геометрии и повторили их формулировку по Евклиду. Мы не можем просто так, по собственному желанию, взять и добавить к перечню этих аксиом еще какое-то утверждение. Все утверждения о свойствах геометрических фигур, которые отличаются от аксиом, мы должны доказывать. ТЕОРЕМА - утверждение, истинность которого определяется после логического рассуждения — доказательства. Из опыта изучения геометрии в 7-м классе вы можете привести примеры таких утверждений и их доказательств. Теорема состоит из двух утверждений: утверждение-условие и утверждение-вывод. Теорему всегда можно записать в виде: Геометрия Евклида опирается на аксиомы, которые были им сформулированы. (Греция, V в. до н.э.) Определение - название (с разъяснением, что именно так ается). :я без «ЕСЛИ» - «утверждение-условие* - «ТО» ждение-вывод*. «утвер- I Например, теорему о свойствах вертикальных углов «Вертикальные углы равны» можно сформулировать так: «ЕСЛИ два угла являются вертикальными, ТО они равны». Попробуйте сформулировать в таком виде теоремы: «Сума смежных углов равна 180°»; «Биссектрисы смежных углов перпендикулярны». I СЛЕДСТВИЕ - утверждение, которое является не-I посредственным выводом из аксиомы или теоремы. Можно ли следствие назвать теоремой? Да, так как мы должны это утверждение доказывать. Но при этом такое доказательство опирается на теорему или аксиому, следствием которой ее называют, и это доказательство, как правило, содержит небольшре количество логических шагов. ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ДАННОЙ - такая теорема, в которой условием является вывод, а выводом - условие заданной (прямой) теоремы. Например, обратными друг другу будут теоремы: Если внутренние разносторонние углы равны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то внутренние разносторонние углы равны. Если одну из этих теорем рассматривать как прямую, то другая будет обратной. Важно помнить, если доказана прямая теорема, то правильность обратной теоремы нельзя считать само собой разумеющейся! Утверждение, обратное к истинному, не всегда будет истинным. (У курицы две ноги, но если у кого-то две ноги, то он не обязательно является курицей.) Приведем пример, когда обратное математическое утверждение не выполняется: I Доказательство I опирается на аксиомы и утверждения, ^ доказанные ранее I (состоит из логичес-I ких шагов). I I Следствие - непо-I средственный вы- I ♦ I I вод из теоремы или аксиомы. Если два угла являются вертикальными, то они равны. Если два угла равны, то они являются вертикальными. ПРИЗНАК - теорема, в которой утверждается, что определенные условия обеспечивают принадлежность фигуры (фигур) конкретному множеству, которое было определено ранее. Как пример, сформулируйте признаки равнобедренного треугольника, признаки параллельности двух прямых. СВОЙСТВО - теорема, в которой утверждается, что принадлежность фигуры (фигур) определенному множеству обеспечивает выполнение конкретных условий. Как пример, сформулируйте свойства равнобедренного треугольника, свойства смежных углов. Подчеркнем, что не всегда признаки и свойства фигуры являются взаимно обратными утверждениями (например, признаки и свойства вертикальных углов, смежных углов). Прежде чем начать дальнейшее углубление в мир Геометрии и решение ее задач, обобщим уже имеющийся у вас опыт и сформулируем, что означает «решить геометрическую задачу» и как лучше записать ее решение. Решение геометрической задачи, как правило, предусматривает такие этапы. 1. Выполнить рисунок к тексту условия. 2. Сделать на рисунке определенные обозначения. 3. Записать сокращенное условие задачи через введенные обозначения. 4. Сформулировать и кратко записать утверждение, которое требуется доказать, или то, что нужно найти по условию задачи. 5. Обозначить то, что запись условия задачи окончена. Обычно проводят горизонтальную черту или пишут слово «Решение» («Доказательство»). Прямая и обратная теоремы - меняют-I ся местами условие J и вывод. I * ОБРАТНАЯ ТЕОРЕ-» МА ТРЕБУЕТ ДО-I КАЗАТЕЛЬСТВА! I I I I Множество - совокупность объектов, ^ которые мы пред-I ставляем как еди-I ное целое. Например: множе-t ство усатых, множе-I ство треугольников. I I Признак - теорема, I выводом которой есть принадлеж- ность фигуры опре-I деленному множе-I ству (определение которому дано было ранее). Свойство теорема, • выводом которой I есть выполнение I определенных ус- ловий, если фигура J принадлежит конк-I ретному множеству. Если вы хотите научиться плавать, то смело ступайте в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! Д. Пойя Доказательство от противного: 1) четко сформулировать утверждение, что именно нужно доказать; 2) сформулировать утверждение, противоположное к (1); 3) предположить, что (2) выполняется; 4) прийти к логическому противоречию; 5) вывод: (2) - ложно и выполняется (1). Напомним ' обозначение: ^ - «не совпадает», знак отрицания тождествен- ного равенства.3 6. Записать логические шаги решения (доказательства): • необходимо доказывать те утверждения (соотношения ), которые используются в решении и которые не совпадают с утверждениями условия или аксиомами и теоремами; • логический шаг имеет структуру: исходное утверждение; «тогда» (=»); утверждение-вывод; • исходными утверждениями логического шага могут быть: утверждения условия задачи, аксиомы, теоремы и утверждения, доказанные в предыдуш,их логических шагах. 7. Записать ответ или «что и требовалось доказать» («Ч. т. д.»). Замечание. Рисунок не является основанием для выводов. Просматривая изученное в 7-м классе, нельзя обойти способ доказательства «от противного». Английский математик Г. Харди (1877-1947) сказал: «Доказательство от противного, так любимое Евклидом, это чуть ли не самое утонченное оружие математики». Вспомним, каких именно логических шагов-размышлений требует его применение. Шаг 1: проанализировать утверждение, которое нужно доказать, и сформулировать противоположное утверждение. Шаг 2: предположить, что сформулированное противоположное утверждение является правильным. Шаг 3: опираясь на это предположение, логическими (дедуктивными ) размышлениями прийти к абсурдному выводу. Шаг 4; сказать, что предположение отбрасывается как ложное и принимается то утверждение, которое нужно было доказать. Как пример рассмотрим доказательство методом от противного известной вам теоремы: «Через заданную точку на данной прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную к данной». Дано: точку А на прямой а . Доказать: существует АйГ± а иАК -единственная. Доказательство То, что искомая прямая существует, можно показать построением (опорная задача). То, что такая прямая единственная, - докажем от противного. 1) Пусть существует АС ± а и АС ^АК. 2) АС ± а и АК ± а, тогда ZKAB = Z САВ = 90°, чего быть не может по аксиоме об откладывании углов. Тогда АХ - единственная. Ч. т. д. К с. А пП в а у / / Обсудим еще такой метод доказательства, кгос контрпример. Этим методом легко доказать ложность утверждения - достаточно привести один пример, когда утверждение не выполняется (контрпример). Будет ли правильным утверждение: «Все треугольники - остроугольные»? Это утверждение ложно, так как мы можем построить, например, прямоугольный треугольник, а он не остроугольный. ВАЖНОЕ замечание. Пример (даже очень много примеров), когда утверждение выполняется, не является его доказательством. Пожалуйста, не забывайте об этом, решая задачи или формулируя выводы, выполнив практическую работу. Вспомним такое важное понятие, как геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих определенному условию. Чтобы утверждать, что некая фигура является определенным ГМТ, нужно доказать два взаимно обратных утверждения. 1. Доказать, что ВСЕ точки фигуры удовлетворяют этому условию (свойство фигуры). 2. Доказать обратное: ВСЕ точки, удовлетворяющие данному условию, лежат на этой фигуре (признак фигуры). Заметим, последнее означает, что вне фигуры нет точек, удовлетворяющих заданному условию. Математики говорят про указанную выше пару доказательств - доказательства необходимого и достаточного условий: • свойство - необходимое условие; • признак - достаточное условие. Как уже говорилось выше, если какое-то утверждение является правильным, это еще не значит, что выполняется и обратное ему утверждение. Важно, рассматривая фигуру как определенное ГМТ, не забывать о доказательстве ее соответствующего признака. Например, утверждение, что биссектриса угла — ГМТ внутри угла, равноудаленных от его сторон, означает: 1) если точка лежит на биссектрисе угла - она удалена от его сторон (необходимое условие); 2) если какая-то точка внутри угла равноудалена от его сторон, то эта точка принадлежит биссектрисе угла (достаточное условие). Утверждение, что серединный перпендикуляр к отрезку - ГМТ, равноудаленных от концов отрезка, означает: \) любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов (необходимое условие); 2) если какая-то точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка (достаточное условие). Чтобы установить ложность утверждения, достаточно привести один контрпример. Очень много примеров того, что утверждение выполняется, не является его доказательством! Геометрическое место точек (ГМТ) - это совокупность (множество) ВСЕХ точек, удовлетворяющих определенному условию. Доказать, что некая фигура является определенным ГМТ, означает доказать: 1) необходимость -свойство фигуры; 2) достаточность -признак фигуры. Повторить основные опорные факты и определения за курс 7-го класса вам помогут рисунки-схемы на форзацах и странице 253 учебника, а также ВОПРОСЫ. 1. Как обозначаются точки, прямые, лучи, отрезки, углы, треугольники? 2. Какая фигура называется углом; треугольником? 3. Какие отрезки (углы, треугольники) называются равными? Приведите пример равных треугольников и запишите соотношение для их соответственных сторон (углов). 4. Сформулируйте признаки равенства: треугольников; прямоугольных треугольников. 5. Какой угол называется: развернутым; прямым; острым; неострым; тупым? 6. Какие углы называются смежными? Сформулируйте основные свойства смежных углов. Что можно сказать о биссектрисах смежных углов? 7. Какие углы называются вертикальными? Сформулируйте основные свойства вертикальных углов. Как расположены биссектрисы вертикальных углов? 8. Какие прямые называются параллельными? Как называются углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей - секущей? Сформулируйте основные свойства параллельных прямых. 9. Сформулируйте признаки параллельности двух прямых. 10. Что такое перпендикуляр, проведенный через данную точку к данной прямой? Сколько таких перпендикуляров можно провести? Почему? (Рассмотрите два случая расположения данной точки относительно заданной прямой). 11. Что называется расстоянием между: двумя точками, точкой и прямой, двумя параллельными прямыми? 12. Сформулируйте определение внутренних и внешних углов треугольника. Какие свойства этих углов вы знаете? 13. Что такое биссектриса (медиана, высота) треугольника? Начертите эти отрезки для остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников. Какие свойства биссектрис (медиан, высот) треугольника вы знаете? 14. Какая градусная мера углов: образованных биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной его вершине; равностороннего треугольника; равнобедренного прямоугольного треугольника? Какое свойство прямоугольного треугольника с углом 30° вы знаете? 15. Какие треугольники называются равнобедренными? Сформулируйте свойства (признаки) равнобедренного треугольника. 16. Что такое геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих определенному условию? Каким ГМТ является: биссектриса угла; серединный перпендикуляр к отрезку; окружность? Что такое ГМТ удаленных от заданной прямой на заданное расстояние? Какие еще ГМТ вы знаете? 17. Каким может быть размещение: прямой и окружности; двух окружностей? Каким условиям (для радиусов окружностей) они соответствуют? 18. Какие свойства хорд окружности (касательной к окружности) вы знаете? 19. Сколько окружностей можно вписать в данный угол? А в заданный треугольник? Почему? 20. Сколько окружностей можно описать вокруг данного треугольника? Почему? 21. Что такое центр вписанной (описанной) окружности треугольника и где он расположен? Почему? 22. Что означает «решить задачу на построение»? Какие опорные задачи на построение вы знаете? Вступительная работа окончена. Пришло время раскрывать учебник и с его помощью тайны мудрой красавицы Геометрии. ИЗМЕРЕНИЕ УТЛО СВЯЗАННЫХ С ОКРУЖНОСТЬЮ в этой главе мы с вами продолжим изучать свойства окружности, рассмотрим: • углы с вершиной в центре окружности; • углы с вершиной на окружности; • углы с вершиной внутри круга; • углы с вершиной вне круга. § X. Расширение понятия угла В 7-м классе мы рассматривали свойства углов, не | превышающих развернутый угол. Для дальнейшего изу- j чения геометрии нужно расширить понятие угла. Возьмем произвольный луч лис одной стороны от не- ^ го с вершиной в начале этого луча отложим Z{an) = а, а I с другой Z(bra) = Р (рис. 1.1). Тогда Z(ba) - сумма углов t Z(an) и Z{bn). Мерой этого угла будет сумма мер углов а | и р. Может получиться так, что градусная мера суммы уг-лов, меньших развернутого, будет больше 180° (рис. 1.2). * I прямой ,угол раалетштяш угол угол угол Соответствующую часть плоскости тоже будем называть углом. Градусная мера такого угла больше развернутого угла. При нахождении сумы углов может получиться так, что после сложения нескольких углов, например пяти углов на рисунке 1.3, сторона ОА первого угла совпадет * со стороной ОА последнего угла. Фигурой, которая I соответствует сумме этих углов, будет вся плоскость, I расположенная вокруг общей вершины углов О. I Такая фигура называется полным углом. Полный I угол состоит из двух развернутых углов, поэтому его градусной мерой будет сумма мер этих углов, т.е. 360°. Практическая работа 1 1. На листе бумаги проведите 2 луча с начетом в общей точке. Сколько углов получилось? Раскрасьте каждый из них в разные цвета. 2. На отдельном листе бумаги проведите 3 луча с началом в общей точке. Пронумеруйте их, как показано на рисунке 1.4. 3. А теперь вырежте полученные три угла и с помощью транспортира определите их градусную меру. 4. С помощью полученных шаблонов углов изобразите на бумаге сумму углов: а) 1 и 2; б) 3 и 1. Определите градусную меру этих углов. 5. С помощью полученных шаблонов углов изобразите на бумаге сумму двух углов, один из которых равен наименьшему из углов 1, 2, 3. Определите градусную меру изображенных углов. 6. Повторите рисунок пункта 2 и обозначьте изображенные лучи как ОА, ОВ и ОС. На сколько углов эти лучи разделили плоскость? 7. Согласно последнему рисунку дополните выражение в левой части равенства ZAOB + ... = 360°, чтобы оно было правильным. Для любознательных Наверняка у вас уже возник вопрос, бывают ли углы, градусная мера которых превышает полный угол? Да, такие углы существуют! Вы позже, в старших классах будете их изучать в разделе математики, который называется ^Тригонометрия^). В тригонометрии угол рассматривается как фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. При этом хотя бы один из таких лучей свободно вращается вокруг тгжой точки, «как стрелка часов». Градусная мера угла в тригонометрии учитывает количество полных оборотов, совершенных одним лучом относительно другого. Например, на рисунке градусной мерой такого угла будет 360° -Ь 180° + 45° = 585°. Попытайтесь в таком понимании меры угла самостоятельно рюшить следующую задачу. На сколько градусов повернется большая стрелка часов за: а) 2 ч; 6) 4 ч; в) 12 ч 45 мин? Задание 1 1°. Используя транспортир, определите градусные меры углов, изображенных на рисунке 1.5. Рис. 1.5 2”. Найдите градусную меру угла между стрелками ОС и ОС2 на рисунке 1.6. 3“. Допишите равенство в соответствии с рисунком 1.7: а) ZAOB + ZBOC = Z... ; б) ZBOC + ZCOD + ZDOA = Z... ; в) ZDOA + ZAOB + ZBOC + ZCOD = ... . Рис. 1.6 4. Определите градусную меру угла между стрелками ОС и ОС^, изображенными на рисунке: а) 1.8; б) 1.9. Рис. 1.8 Рис. 1.9 Для любознательных Маленькая Катя вышла на прогулку между 8 и 9 часами утра в тот момент, когда часовая и минутная стрелки часов совпали. Она вернулась домой между 2 и 3 часами после полудня, когда часовая и минутная стрелки оказались на одной прямой. Сколько времени гуляла Катя? По рисунку 1.10 вычислите градусную меру угла МОР, если ОР - биссектриса угла МОК. 1*. 8. 9* Р Рис. 1.10 Рис. 1.11 На прямой АВ отметили точку О. Найдите градусные меры углов с вершиной в точке О. На рисунке 1.11 MF1NF, HF -L GF. Докажите, что Z1 + Z2 = 180°. Лучи ОТ, OR и ОМ делят полный угол на три части. Найдите градусные меры образованных углов, если: а) ZROM = 100°, ZROT - ZTOM = = 20°; б) ZROM = ZZROT, Z ТОМ = 2ZROT; в) ZROM: ZROT: ZТОМ = = 1:7:4. На сколько градусов поворачивается маленькая стрелка часов: а) за 12 ч; б) за 4 ч; в) за 2 ч 30 мин? 10**. Найдите градусную меру угла между стрелками часов, когда они показывают: а) 2 ч 15 мин; б) 1 ч 12 мин; в) 7 ч 18 мин. 11**. С помощью ножниц из прямоугольного листа бумаги (который можно складывать) получите угол: а) 270°; б) 315°. 12**. Постройте (с помощью циркуля и линейки без делений) угол, градусная мера которого: а) 135°; б) 285°. 13**. Постройте биссектрису угла, который больше развернутого. 14**. Постройте биссектрису полного угла. Замечание. Утверждение, доказанное нами в 7-м классе, о свойстве биссектрисы угла как геометрического места точек внутри угла, равноудаленных от его сторон, теперь, после расширения понятия угла, нужно уточнить так. Биссектриса угла, меньше развернутого, является геометрическим местом точек внутри угла, равноудаленных от сторон этого угла. Для любознательных 1. Через данную точку внутри заданного круга проведите хорду, которая делится этой точкой пополам. 2. Постройте окружность данного радиуса, которая касается данной прямой в заданной точке. 3. Дано две параллельные прямые и секущая. Постройте окружность, которая касается всех трех данных прямых. 4. После ремонта часы Оксаны шли правильно, но рассеянный мастер установил в часах две стрелки одинаковой длины. Сколько раз в течение суток Оксана могла видеть на своих часах каждую из приведенных ниже картинок? § 2. Центральный угол. Градусная мера дуги окружности Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности. Часть окружности, которая при этом расположена внутри центрального угла, называют дугой окружности, соответствующей данному центральному углу. Часть центрального угла, ограниченная соответствующей ему дугой окружности, называется сектором. Например, на рисунке 1.12 вы видите два центральных утл&АОВ, один из которых меньше развернутого, а второй - больше. Им соответствуют две дуги с концами в точках А и В: одна - меньше полуокружности (рис. 1.12-а), а другая - больше (рис. 1.12-6). Чтобы различать эти дуги, на каждой из них можно поставить точки, напримерМиК (рис. 1.12), и записать указанные дуги так: ^АМВ и ^АКВ. Тогда соответствующие этим АКВО (рис. 1.12'б). К Замечание. Если один из центральных углов развернутый, то второй тоже - развернутый. Две соответствующие им дуги будут полуокружностями, а два сектора - полукругами. Градусной мерой дуги окружности называется гра-дусная мера соответствующего ей центрального угла. Мера дуги окружности не зависит от радиуса окружности, так как от нее не зависит мера центрального угла. Какой бы не был радиус окружности, полный I центральный угол равен 360°. Тогда дуга всей окружно- | сти имеет меру 360°. градусная мера: ^АКВ = а; wA/VB =360°-а. Для любознательных 1. Петя должен был разделить окружность на две равные дуги. Он начертил окружность на листе бумаги и пошел ужинать. Пока его не было, мышка выгрызла кусочек рисунка с центром окружности. Может ли теперь Петя разделить эту окружность на две равные части? 2. Найдите геометрическое место точек середин всех хорд заданной длины данной окружности, меньших диаметра окружности. Рис. 1.13 АВ = О ч^АВ = CD wCD Теорема. В одной окружности равные дуги стягиваются равными хордами. На рисунке 1.13 дуги АВ и CD -равны. Докажем равенство хорд АВ и CD. Доказательство По условию = ^CD, тогда Z1 = Z2. ОА == ОВ ОС = OD (как радиусы окружности). Тогда ААОВ = ACOD (по первому признаку) и wAB = ^CD. Теорема доказана. Теорема (обратная). В одной окружности равные хорды стягивают равные дуги. На рисунке 1.14 хорды АВ и CD -равны. Докажем равенство дуг АВ и CD. Доказательство По условию АВ = CD и ОА = ОВ = = ОС = OD (как радиусы окружности). Тогда ААОВ = ACOD (по третьему признаку) vlZ1= Z2, т. е. ^-АВ = wCD. Рис .1.14 Теорема доказана. Замечание. Теоремы, доказанные нами для одной окружности, будут правильными и в случае равных й окружностей. Практическая работа 2 1. Начертите окружность и обозначьте на ней две точки. Разным цветом наведите дуги, на которые делится окружность этими точками. Соедините центр окружности с заданными вами точками. Измерьте образовавшиеся углы. Обозначьте дуги и соответствующие им центральные углы. Определите градусные меры образовавшихся дуг. Разными цветами закрасьте секторы, соответствующие этим дугам, и назовите их. 2. 4. 5. 6. Для любознательных Всемирно известный украинский математик Василий Петрович Ермаков (1845-1922), профессор Киевского университета, член-корреспондент Петербургской академии наук, родился в селе Терюха Гомельской области. Он известен не только трудами по высшей математике, но и своими задачами, в том числе и геометрическими. Попробуйте решить одну из них. Дано две равных окружности, которые не имеют общих точек. На двух их внутренних касательных произвольным образом отметили по одной точке Е и Fj. Из этих точек к каждой окружности провели еще по одной касательной. Пусть новые касательные, проведенные к одной окружности из точек F и F,, пересекаются в точке А, а к другой - в точке В. Докажите, что: 1) прямая АВ - параллельна прямой, соединяющей центры окружностей; 2) прямая, проходящая через середины отрезков и АВ, проходит и через середину отрезка, соединяющего центры данных окружностей. Задание 2 1°. Какие из углов, изображенных на рисунке 1.15, - центральные (О -центр окружности)? 3° 4. Рис. 1.15 * 2°. По рисунку 1.16 найдите градусную меру дуги АКМ. А Рис. 1.16 С помощью только циркуля и линейки начертите дугу, градусная мера которой равна: а) 180°; б) 360°. Как изменится градусная мера дуги окружности, соответствующей центральному углу 67°, если радиус окружности: а) увеличится на 5 см; б) уменьшится в 2 раза? 5. Постройте сектор, градусная мера дуги которого равна: а) 85°; б) 125°; в) 245°. 6. На сколько градусов отличаются меры двух дуг окружности, если разность градусных мер соответствующих им центральных углов равна: а) 4°; б) 120°? 7. Начертите окружность с центром О и обозначьте на ней точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы: а) ZAOB = 90°; б) ZAOB = 60°; в) ZAOB = 180°; г) ZAOB = 120°. 8°. Найдите градусные меры дуг окружности, на которые ее делит диаметр этой окружности. 9. Можно ли тремя точками разделить окружность на дуги, градусные меры которых: а) 132°, 183°, 48°; б) 56°, 204°, 100°; в) 244°, 90°, 16°? 10. На сколько секторов нужно разрезать круг, чтобы дуги, ограничивающие эти секторы, имели одинаковую градусную меру: а) 60°; б) 10°? Будут ли равны хорды, стягивающие эти дуги? Ответ обоснуйте. 11*. В окружности провели два диаметра АВ и CD. Докажите, что АП = СВ. 12*. Хорды АВ и РК (рис. 1.17) равны. Докажите равенство хорд АК и РВ. 13. Радиус окружности с центром О равен 16 см. Найдите хорду АВ, если: а) ZAOB = 180°; б) ZAOB = 60°; в) ZAOB = 300°. 14*. Треугольник АВС вписан в окружность. СторонаАВ - диаметр окружности, а точка С делит дугу АСВ пополам. Найдите углы треугольника АВС. 15*. Сторона АВ треугольника АВС - диаметр окружности, а стороны АС и СВ пересекают окружность в точках КиР соответственно. Найдите углы треугольника АВС, если точки КиР делят дугу АВ на три равные части. 16*. Разделите с помощью циркуля окружность на: а) 6 равных частей; б) 3 равные части. 17. Постройте треугольник по радиусу описанной вокруг него окружности и двум его сторонам. 18. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность делится точками К и L, если ZFOG = 90°, KL = FG, точка О - центр окружности (рис. 1.18). 19. Точки А и В делят окружность на две дуги. Найдите градусные меры этих дуг, если их разность равняется 160°. 20. Точки А, В и С делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 1:2:3. Найдите градусные меры этих дуг. 21. Хорда окружности равна 12 см и стягивает дугу градусной меры 60°. Найдите диаметр окружности. 22. Хорда окружности стягивает дугу градусной меры 60°. Найдите длину хорды, если диаметр окружности равен 14 см. 23*. Серединный перпендикуляр к хорде АВ пересекает окружность в точках Р и М. Найдите градусные меры дуг ВР, АР, AM и МВ, если отрезок АВ из центра окружности виден под углом 120°. 24**. Хорды АВ, ВС и АС видны из центра окружности под углами, градусные меры которых относятся как 2:5:5. Могут ли точки А и С лежать в одной полуплоскости относительно прямой ОВ? Найдите градусные меры дуг, которые стягиваются этими хордами. 25**. Точки М и К лежат по одну сторону от диаметра АВ. Найдите градусные меры дуг, на которые делится окружность точками А, В, М и К, если центральный угол АОМ на 20° больше угла МОК, а последний вдвое меньше угла КОВ. (Рассмотрите все возможные случаи.) 26**. Точки М и К лежат по одну сторону от диаметра АВ. Найдите градусные меры дуг, на которые делится окружность точками А, В, М и К, если центральный угол АОМ в 3 раза больше угла МОК, но в 2 раза меньше угла КОВ. (Рассмотрите все возможные случаи.) 27**. Точки Р и М лежат по разные стороны от диаметра СВ. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность делится точками С, Р, В и М, если центральный угол ВОМ в 2 раза меньше угла СОМ, а градусные меры дуг мер и МВР относятся как 4:5. 28**. Через точку окружности проведены хорда и касательная. Найдите угол между ними, если хорда стягивает дугу 40°. 29**. Через точку окружности проведены хорда и касательная. Найдите градусные меры дуг, которые стягивает хорда, если угол между хордой и касательной равен 23°. Для любознательных 1. Две вершины В и И квадрата АВСВ лежат на окружности, центром которой является точка А. Серединный перпендикуляр к отрезку ВС пересекает данную окружность в точке М. Найдите градусную меру угла АМС. 2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Точки С и D этих окружностей являются диаметрально противоположными точке А. Докажите, что точки D, С и В лежат на одной прямой. § 3* Вписанный угол Вписанным углом называется угол (меньше 180°), вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают эту окружность. На рисунке 1.19 ZABC - вписанный. Он опирается на дугу АС, которая лежит между его сторонами. Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Эту теорему понимаем так: градусная мера вписанного угла рглна половине градусной меры центрального угла, который опирается на ту же дугу, что и вписанный угол. Рис. 1.19 Рис. 1.20 Доказательство Возможны три случая. Центр окружности О лежит на стороне вписанного угла АВС (рис. 1.20). Проведем радиус ОА - получим равнобедренный треугольник АОВ (ОА и ОВ - радиусы), в котором ZA = ZB. Для этого треугольника угол АОС - внешний, тогда он равен сумме двух внутренних углов, несмежных с ним, т. е. ZAOC = 2ZB. Тогда ZB = —ZAOC = — ^'АС, и утвержде- 2 2 с ние теоремы выполняется. I (^Центр окружности О лежит внутри вписанного щуглаАВС (рис. 1.21). " Диаметр ВК делит этот вписанный угол на два угла, каждый из которых измеряется половиной соответствующего ему центрального угла (см. случай 1): ZABC=Zl-l-Z2=-Z3-\--Z4=-(Z3-^Z4) = -ZAOC, 2 2 2 2 и утверждение теоремы выполняется. Для любознательных Окружность 7i пересекает диаметр АВ окружности уг в точке С, АС < 0,5 АВ. Общая касательная к заданным окружностям касается У2 в точке D. Докажите, что CD LAB. I @ Центр окружности О лежит вне вписанного угла I АВС (рис. 1.22). Проведем диаметр ВК. Каждый из образовавшихся вписанных углов 1 W. 2 измеряется половиной соответствующего центрального угла (см. случай 1). Тогда: ZCj = ZC, = ... ^1=^2 ZABC =Z1-Z2=-Z3--Z4, 2 2 ZABC =-(Z3-Z4)^- ZAOC, 2 2 и утверждение теоремы выполняется. Теорема доказана. Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Каждый из этих углов измеряется половиной одной и той же дуги (рис. 1.23). Следствие 2. В одной окружности (равных окружностях) вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, и наоборот — равные вписанные углы опираются на равные дуги. Каждый из этих углов измеряется половиной дуги, градусные меры которых одинаковы (рис. 1.24). Для любознательных 1. В окружность вписали «звездочку» (рис. А). Найдите сумму углов 1,2,3, 4 тя. 5. Изменится ли значение суммы углов звездочки, если она будет семиугольной? 2. На листе бумаги нарисовали «звездочку» (рис. Б). Найдите сумму углов 1, 2, 3,4ж5. Следствие 3. Любой угол, опирающийся на диаметр, прямой. Такой угол измеряется половиной меры полуокружности 180° : 2 = 90° (рис. 1.25). Следствие 4. Любой прямой вписанный угол опирается на диаметр. Градусная мера соответствующего центрального угла АОВ (рис. 1.25) равна: 90°- 2 = 180°. Тогда точки А, О и В лежат на одной прямой, АВ - диаметр. В Следствие 5. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипотенузы. Гипотенуза такого треугольника стягивает дугу градусной меры 180°, т. е. полуокружность (рис. 1.26). Следствие 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине этой гипотенузы. Медиана гипотенузы является радиусом описанной вокруг треугольника окружности, а гипотенуза -диаметром этой окружности (мал. 1.26). AC = 2R Ь ^АВС = 90° ^С = 90° О Обе, ТПс = ^ = К Для любознательных Напомним: софизм - это умышленно ошибочное рассуждение, создающее видимость правильного. Разгадайте софизм: любая окружность имеет два центра. Пусть секущие FB и PC пересекаются в точке А (рис. А). Проведем в точках В и С перпендикуляры к прямым АВ и АС. Они пересекут окружность в точках К и М соответственно. Углы FBK и РСМ - прямые, тогда хорды FK и РМ - диаметры, а середины этих хорд - несовпадающие центры данной окружности. Утверждение доказано?! Для тех, кто считает, что точки КиМ должны совпадать, т.к. углы FBK и РСМ - прямые, предлагаем соответствующее «доказательство* на рисунке Б. В AD = 2R aCAO = z.BAK I Опорная задача I Докажите, что в окружности сумма вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду с вершинами по разные стороны от нее, равна 180°. Дано: М 6 ^АРВ; К е ^AFB. Доказать: ZAMB + ZAKB = 180°. Напомним обозначение: 6 - «принадлежит»; = - «совпадает» или «тождественное равенство»; в* обозначим». 1) ZAMB ZAKB=2 1 2 ^AFB, ^АРВ (как вписанные); 1 2) ZAMB + ZAKB = - (wAFB + + wAPB) = i • 360° = 180°. Ч. т. д. Опорная задача Докажите, если для треугольника АВС точка О — центр описанной окружности, а АК — высота, то КО АС = = КВАК. Дано: АК1СВ; ОА = R. Доказать: ZOAC = ZBAK. 1) АО S 2Д ZDCA = 90°; 2) ^АМС ZCDA = ZCBA 4 ZB; 3) АСОА и t\KBA: ZOAC = 90° - ZO = ^ ZBAK. Ч. т. д. Мы рассмотрели случай расположения центра описанной окружности О внутри треугольника АВС. Другие случаи расположения центра описанной окружности рассмотрите самостоятельно. Практическая работа 3 1. Начертите окружность, обозначьте ее центр и отметьте две точки на окружности. Цветным карандашом наведите одну из дуг окружности, ограниченную отмеченными точками. 2. Начертите центргшьный угол, отвечающий указанной вами дуге. С помощью транспортира измерьте градусную меру этого угла. 3. Начертите вписанный угол, опирающийся на эту самую дугу. Начертите еще несколько вписанных углов, опирающихся на эту дугу. С помощью транспортира измерьте их градусные меры и сравните с градусной мерой центрального угла. Сделайте вывод и запишите его. 4. Рассмотрите другую дугу окружности, наведите ее другим цветом и выполните для нее задания п. 2-3. 5. Сравните градусные меры двух дуг. Сделайте вывод и запишите его. 6. Сравните градусные меры вписанных углов, опирающихся на эти две дуги. Сформулируйте вывод и запишите его. 7. Найдите сумму центральных углов, которые соответствуют вашим дугам, и сумму двух вписанных углов, опирающихся на них. Сравните их. Задание 3 1°. Какие углы ЛОВ на рисунке 1.27 являются вписанными? О 2”. Точка О - центр окружности. Найдите градусную меру угла а по рисунку 1.28. 3”. Вычислите градусную меру угла, вписанного в окружность, если соответствующий ему центральный угол равен: а) 48°; б) 143°; в) 180°; г) 322°; д) р. 4°. Вычислите градусную меру центрального угла окружности, если соответствующий ему вписанный угол равен: а) 13°; б) 90°; в) 128°; г) 87°; д) а. 5“. Найдите градусную меру вписанного угла АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 24°; б) 57°; в) 90°; г) 126°; д) 180°. 6. Найдите углы треугольника KMS по рисунку 1.29, если КМ = MS, О -центр окружности, ZKOS = 242°. 7. По рисунку 1.30 найдите градусную меру углаАОС, если центры окружностей на рисунках 1.30-а и 1.30-6 - точки О и В соответственно. Рис. 1.29 8 Точка М окружности и ее центр О лежат по разные стороны от хорды АВ. Найдите: а)утолАМВ, еслиZAOB = 132°; б)уголАОВ, еслиZAMB = 118°. 9*. Точка О - центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Найдите угол АВС, если ZAOC = 120°. Сколько решений имеет задача? Для любознательных Окружность Yj (центр Oi) проходит через центр О2 окружности У2 (Вг Bi). Из точки С окружности Yi провели касательные к окружности Уг» которые пересекают yj в точках А и В. Докажите, что АВ ± Oj02. 10. Хорды АВ, ВС и АС видны из центра окружности под углами соответственно: а) 110°, 120° и 130°; б*) 150°, 40° и 110°. Определите углы треугольника АВС. 11. Существует ли треугольник, стороны которого видны из центра описанной вокруг него окружности под углами 30°, 60° и 80°? Ответ обоснуйте. 12°. По рисунку 1.31 найдите х. Рис. 1.31 13. Хорда делит окружность на дуги, меры которых относятся как 5 : 7. Определите градусные меры вписанных углов, опирающихся на эту хорду. 14. Точка О - центр окружности (рис. 1.32), ZBAC = 74°, ZACB = 54°. Найдите: ZAOB, ZAOC, ZBOC. 15*. Точки А, В, и С делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:7:6. Найдите углы треугольника АВС. 16. По рисунку 1.33 найдите ZSFT, если точка О - центр окружности. 17. Точка О ~ центр окружности, ZACB = 40° (рис. 1.34). Найдите угол ADB. В Рис. 1.34 18*. Точки В и П лежат на окружности с одной стороны хорды АС, ZABC = 45°. Найдите угол ADC. 19*. Точки К и L лежат на окружности по разные стороны хорды MN, ZMKN = §7°. Найдите угол MLN. 20*. На окружности отметили точки: А, В, С, К. Хорды АВ и ВС взаимно перпендикулярны. Найдите углы АОС и АЙГС. 21*. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на хорду АВ. Найдите угол АОВ. (Рассмотрите два возможных случая.) Для любознательных 1. За столом сидят 5 мальчиков и 6 девочек, а на столе стоит тарелка с булочками. Каждая девочка дала по одной булочке каждому знакомому мальчику. Потом кг1ждый мальчик дал по одной булочке каждой незнакомой девочке. После этого тарелка оказалась пустой. Сколько булочек лежало на тарелке? 2. I - центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что центр окружности, проходящей через точки А, В, I, лежит на прямой CI. 3. Вычислите углы равнобедренного треугольника, в котором центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно основания треугольника. 22. По рисунку 1.35 найдите угол MKL, если ZABC = 35°, а точка О - центр окружности. 23. Точка О - центр окружности, ZSMP = 20° (рис. 1.36). Найдите угол SPQ. 24*. На рисунке 1.37 точка О - центр окружности, ZUST = 25°, UT = TR. Найдите угол UTR. Рис. 1.35 Q Рис. 1.37 25*. 26*. 27*. 28*. 29*. 30*. 31*. 32*. 33**. 34**. 35**. Хорда АВ стягивает дугу 115°, а хорда АС - дугу 43°. Найдите угол ВАС. (Рассмотрите два случая.) Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 20°. Под каким углом видно каждый его катет из центра описанной окружности? На окружности последовательно размещены точки А, К, Р и В. Хорда АВ -диаметр, а ZKPA = 32°. Найдите: а) ZKPB; б) ZKAB. Продолжение высоты СН прямоугольного треугольника АВС {ZC - прямой) делит дугу АВ описанной вокруг этого треугольника окружности на дуги, одна из которых на 40° меньше другой. Найдите острые углы треугольника АВС. а) Докажите, что градусные меры дуг окружности, которые расположены между двумя параллельными хордами, равны, б) Будут ли равными дуги окружности, заключенные между хордой и параллельной этой хорде касательной? в) Будут ли равными дуги, заключенные между двумя параллельными касательными к окружности? Хорды АВ и СК равны и параллельны, а хорды АЙГ и СВ пересекаются. Докажите, что АЙГ и СВ - диаметры. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС. На окружности между точками АиВ, ВиС, СиА расположены соответственно точки М, В, Н. Найдите сумму углов АМВ, ВРС и СНА. В окружность вписан треугольник АВС. На окружности между точками А и В, В и С, С и А расположены соответственно точки К, LviT. Найдите сумму углов АЙГВ, BLC и СТА. I и О - центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС. Найдите градусную меру угла С, если ZAIB = ZOAB. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из его боковых сторон - диаметр полуокружности, которая делится двумя другими сторонами данного треугольника на три части. Найдите градусные меры этих частей. Хорда АВ равна радиусу окружности, а точка С расположена вне данной окружности. При этом отрезки АС и СВ пересекают большую дугу окружности в точкгис К иН соответственно, и делят эту дугу в отношении 7:1:7, Найдите угол АС В. Для любознательных 1. Сколько решений имеет задача: постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведенной из прямого угла? 2. Постройте равнобедренный треугольник по радиусу вписанной окружности и высоте, проведенной к основанию этого треугольника. 3. К двум окружностям, касающимся друг друга внешним образом в точке К, провели общую касательную (К^ и ~ точки касания). Найдите градусную меру угла К^КК^. 36*. 37**. 38**. 39**. 40**. 41*. 42*. 43*. 44*. 45*. 46** 47**. 48**. 49**. Вокруг треугольника АВС описана окружность с центром О. Найдите угол между стороной АС и диаметром этой окружности, проведенным через точку А, если: а) Z АВС = 40°; б) Z АВС = 140°. В треугольнике АВС точка О - центр описанной окружности, а отрезок AH’ -высота. Докажите, что ZOAH = \ZABC - ZBCA\. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А провели секущую, которая пересекает окружности в точках К и М. Докажите, что мера угла КВМ - величина постоянная для любой секущей, проходящей через точку А. Через точки А и В пересечения двух окружностей провели параллельные прямые, которые пересекают одну окружность в точках и N^, & вторую - в точках Mg и JVg. Докажите, что Две окружности пересекаются в точках А и В. Продолжение хорд АС и BD первой окружности пересекают вторую окружность в точках Е и Р. Докажите, что CD и ЕР параллельны. Отложите (с помощью циркуля и линейки без делений) от заданной точки на окружности дугу, на которую будет опираться вписанный угол заданной градусной меры: а) 60°; б) 45°; в) 30°; г) а. Постройте касательную к окружности в заданной на ней точке и хорду, которая проходит через точку касания и отсекает дугу градусной меры 45°. Постройте геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом. Постройте прямоугольный треугольник по его высоте и медиане, проведенными к гипотенузе. Постройте прямоугольный треугольник по точкам: пересечения его высот, середине гипотенузы и основе высоты, проведенной к гипотенузе. Постройте равнобедренный треугольник по радиусу описанной окружности и: а) основанию; б) высоте, проведенной к основанию. Постройте геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под заданным углом. Постройте треугольник по радиусу описанной окружности, стороне и: а) медиане, проведенной к этой стороне; б) высоте, опущенной на эту сторону. Постройте две окружности одинакового радиуса, при пересечении которых от каждой из них отсекается дуга заданной градусной меры: а) 60°; б) 45°; в) 30°. Для любознательных Разгадайте софизм: через две разные точки можно провести две разные прямые. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС (см. рис.) как на диаметрах построим полуокружности, которые пересекутся в точке D. Соединим эту точку с точками А и С. Тогда ZADB = ZCDB = 90°, как вписанные, опирающиеся на диаметр. Поэтому точки А, П и С лежат на одной прямой. А это означает, что через точки А и С провели две разные прямые?! Первоапрельская шутка математика с сыном. - Ты с самого утра ждет, что я тебя разыграю? - Да, с самого утра. - А я тебя не разыграл? -Да. - А ты с самого утра ждал розыгрыша? - Ждал! - Вот я тебя и разыграл! § 4:. Измерение углов, образованных хордами, секущими и касательными Теорема 1. Угол с вершиной внутри окружности | измеряется полусуммой градусных мер дуг, на ко- . торые опираются этот угол и вертикальный ему. Пусть дан угол с вершиной В ^ внутри окружности, стороны кото- ® рого пересекают окружность в точ- I ках А и С, а стороны вертикального § ему угла пересекают окружность в точкахА^иС^(рис. 1.38). Докажем, I что ZABC = — (wAC -Н Рис. 1.38 Доказательство Угол АВС - внешний угол треугольника А^ВС, а углы AAjC и CjCAj - вписанные. Тогда 1 1 ZABC = ZAAfi -Ь ACjCAj = -^АС+ что и требовалось доказать. Террема 2. Угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны пересекают окружность, измеряется полуразностью градусных мер двух дуг, расположенных внутри угла. Пусть стороны угла с вершиной В пересекают окружность в точках А, Aj и С, Cj соответственно (рис. 1.39). Нужно доказать, что ZABC = ^(wAjCj - wAC). Доказательство Угол 1 - внешний угол треугольника ABCj, при этом углы 1 и 2 - вписанные. Тогда Z1 = ZABC -Ь Z2, ZABC = Z1 - Z2 Теорема доказана. iwA,C, -2 ^ ^ 2 ЛС. ан- Р 2 I I Для любознательных 1. В окружности провели две взаимно перпендикулярные хорды АВ и CD. Докажите, что: а) сумма градусных мер дуг АС и CD равна 180°; б) прямая, проходящая через точку пересечения хорд перпендикулярно к СВ, делит отрезок AD пополам. 2. В треугольнике АВС угол В равен 60°, биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке I. Докажите, что ID ~ IE. к к 2 Теорема 3. Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной чере^ точку касания, измеряется половиной градусной меры дуги, которая лежит внутри этого угла. К В Пусть даны: окружность, ее касательная АВ и хорда ВС (рис. 1.40). Нужно доказать, что ZABC = -wBC. 2 Доказательство Соединим точки В и С с центром окружности О. 1) В - точка касания, ОВ - радиус окружности. Тогда ZABO = 90°. 2) ОВ и ОС - радиусы окружности. Тогда Z2 = Z3 = = (180°-Z1): 2. I 3) ZABC = ZABO - Z2 = 90° - (180° - Z1): 2 = -Z1. Теорема доказана. ^ р I Следствие 1. Угол между касательной и секу-^ I щей окружности, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью градусных мер дуг, расположенных внутри этого угла между секущей и касательной. Согласно теореме: Z2 = Z1 = а : 2 (рис. 1.41). Внешний угол треугольника АйГВ Z3 = ^ : 2 = Z2 + х. Тогда искомый угол X = Z3 - Z2 = (Р - а) *. 2. К А С Следствие 2. Угол между касательными, проведенными из одной точки к окружности, измеряется полуразностью градусных мер образовавшихся дуг. Согласно теореме: Z1 = а : 2, Z2 = ^ : 2 (рис. 1.42). Угол 2 - внешний угол треугольника КуАК^. Тогда Z2^Zl+x и X = Z2 - Zi = (р - а): 2. Для любознательных Задача талантливого итальянского самоучки, математика и изобретателя Никколо Тартальи (1500-1557). Задан отрезок АВ. Постройте с помощью линейки без делений и данного раствора циркуля, большего АВ, равносторонний треугольник со стороной АВ. Практическая работа 4 1. Начертите окружность. Обозначьте ее центр и отметьте две точки на ней. 2. Через одну из двух отмеченных на окружности точек проведите касательную к окружности (вспомните опорную задачу № 8, стр. 253). 3. Соедините отмеченные точки хордой. 4. Цветным карандашом наведите одну из образовавшихся дуг окружности; начертите вписанный угол, который опирается на эту дугу. Другим цветом закрасьте угол между хордой и касательной, внутри которого расположена отмеченная дуга. 5. Измерьте транспортиром градусную меру вписанного угла и закрашенного угла между касательной и хордой. Если градусные меры этих углов совпали - вы выполнили практическую работу правильно. Почему? 6*.Составьте план практической работы, целью которой будет экспериментальное подтверждение формулы вычисления меры угла между пересекающимися хордами окружности. 7*.Составьте план практической работы, целью которой будет экспериментальное подтверждение формулы вычисления меры угла между двумя секущими, пересекающимися вне окружности. Задание 4 1. На окружности последовательно обозначили точки А, Б, С и £>. Секущие АВ и CD пересекаются в точке Р вне окружности. Найдите угол АРБ, если: а) разность градусных мер дуг АБ и ВС равна 90°; б) разность градусных мер дуг АБ и ВС равна 240°; в) wBC = 20°, ^БА = 130°. 2. На окружности последовательно обозначили точки А, Б, С и Б. Известно, что wAB : ^ВС : wCB : ^DA = 3 : 2 : 3 : 4. Секущие АБ и CD пересекаются в точке Р. Найдите угол АРБ. 3. На окружности последовательно обозначили точки А, B,CuD. Известно, что wAB : wBC : ^СБ : ^БА = 1 : 2 : 3 : 4. Хорды АС и ББ пересекаются в точке Р. Найдите угол APD. 4. На окружности последовательно обозначили точки А, В, С и Б. Хорды АС и ББ пересекаются в точке Р. Найдите wAB, если ^СБ = 30°, а ZAPD = 86°. 5. Через одну точку окружности провели хорду и касательную. Найдите угол между ними, если хорда стягивает дугу меры 40°. Для любознательных Опорная задача. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника. Решение: 1) ZA = ZBKC (опираются на общую wBC, см. рис.). 2) ZKHC = ZA как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами. 3) ZKHC = ZA = ZBKC, следовательно АКСН - равнобедренный, а СН^ - его высота и медиана. Тогда точки Н и К - симметричны относительно АС. 4) Согласно аксиомам об откладывании углов и отрезков, существует только одна точка, симметричная данной относительно заданной прямой. Тогда точка К — искомая. Ч. т. д. Случаи прямоугольного и тупоугольного треугольников рассмотрите самостоятельно. Решите самостоятельно такие задачи. 1. Постройте треугольник по положению его вершины, ортоцентра и центра описанной окружности вокруг этого треугольника. 2. Постройте треугольник АБС по положению его вершины А, ортоцентра Н и середины стороны ВС. 6. 7. 8. 9*. 10*. 11*. 12*. 13*. 14*. 15**. 16**. 17**. 18**. В окружности провели хорду АВ и касательную к окружности в точке А. Угол между касательной и хордой равен 60°. Найдите центральный угол, который опирается на хорду АВ. В окружности провели хорду АВ, равную радиусу этой окружности. Найдите угол между хордой АВ и касательной к этой окружности в точке А. В окружности провели хорды АВ и ВС. Известно, что wAB : к^ВС = 9:4 и ВС J.AC. Найдите угол АВС. В окружности провели две равные хорды АВ и ВС. Докажите, что прямая АС параллельна касательной к окружности в точке В. На окружности отмечены точки А, В и С. Известно, что wAB : ZAOB = 2а, АВ = а, и (i) выполняется. 2) x-iALB : ZAOB = 2а - центральный, ZAKB - вписанный —> ZAKB = а, и (2) выполняется для ^АКВ. 3) wAK” В симметрична '^АКВ относительно АВ. Тогда ^АК В = ^АКВ, и (2) выполняется и для ^АБ В. Ч. т. д. Самостоятельно рассмотрите случай, когда заданный угол тупой. Для любознательных 1. Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую так, чтобы ее часть, расположенная внутри окружностей, была заданной длины. 2. Через точку М внутри заданной окружности проведите хорду АВ так, чтобы точка М делила ее на отрезки, разность длин которых равна длине заданного отрезка п. 3. Постройте треугольник по радиусам вписанной в него и описанной вокруг него окружностей и стороне. 4. Постройте треугольник по радиусу описанной окружности, стороне и сумме двух других сторон. 5. Постройте треугольник по точкам N-^, N2, N^, симметричным ортоцентру искомого треугольника относительно его сторон. 6. С помощью только линейки проведите из заданной точки перпендикуляр к диаметру заданной окружности. Задание 5 1. Докажите, если точки Б и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD и Z.ACD = Z.ABD, то точки А, Б, С, D принадлежат одной окружности. 2. Докажите, если точки Б и С лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АБ и Z.ABD + /.ACD = 180°, то точки А, Б, С, D принадлежат одной окружности. 3*. Пусть AAj и ББ^ - высоты остроугольного треугольника АВС. Докажите, что Z.CA^B^ = Z.CAB. 4*. Точки К я Р - основания высот, проведенных к двум сторюнам остроугольного треугольника, а М - середина третьей его стороны. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку КР проходит через точку М. 5*. Точка С движется по дуге окружности, которую стягивает хорда АБ. Найдите траекторию инцентра треугольника АБС. 6*. Постройте точку, из которой заданные отреаки АБ и ВС видны под заданными углами аир соответственно. 7*. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной к заданной стороне. 8*. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведенной к заданной стороне. 9**. Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной к одной из сторон. 10**. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и радиусу вписанной окружности. 11**. Найдите геометрическое место точек, из которых заданную окружность видно под углом 60°. 12**. Найдите геометрическое место точек, из которых касательные, проведенные к данной окружности, имеют заданную длину. Для любознательных Древнегреческий ученый Архимед (III в. до н. э.) всемирно известен своими техническими открытиями. Но не менее важны и его математические исследования, в том числе и в геометрии окружностей. Особенно много теорем об окружности он сформулировал и доказал в книге «Книга лемм»*. Вот одна из них. Лемма Архимеда. Если из точки А провели касательные АК^ иАК^к окружности диаметра ВС, а хорды СК^ и BJf g пересекаются в точке Р, то АР ± ВС. Доказательство 1) Пусть '-^ВК^ = 2а, а '-'СК^ = 2р. Тогда ZM^K^B = а, ZM^K^C = р (как углы между касательными и хордами, проведенными в точку касания); ZK^AK^ = = (180° + 2а + 2Р - (180° - 2а - 2Р)): 2 = 2а + 2р (как угол между касательными, проведенными из одной точки). 2) ZK^PK^ = ZBPC = 180° - а - р, АК^ = АК^. Окружность с центром А и радиусом АйГ^ = АК^ проходит через точку Р (ZK^PK^ будет вписанным, а ZK^AK^ - центральным). Тогда AiTj = АР (как радиусы). 3) AfiTj = АБ, тогда ZAK^P = ZAPK^ и ZEPC = ZAPK^ = ZAK^P = (180° -- 90° - а) = 90° - а. 4) Из АЕРС: ZPEC = 180° - а - (90° - а) = 90°. Ч. т. д. *3амечание. Леммой математики называют небольшую вспомогательную теорему, которую обычно рассматривают перед доказательством основной теоремы. WA = WI = WC Oe WM Трактаты Архимеда «Книга о кругах, которые касаются», «О шаре и цилиндре», «О телах вращения», «Об измерении круга» и др. имели большое значение для развития математики. § G. Свойство точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной вокруг него окружностью Теорема. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника (при определенной его вершине) с описанной вокруг этого треугольника окруж-ностью равноудалена от инцентра треугольника и двух других его вершин. Пусть продолжение биссектрисы 1^ треугольника АВС пересекает окружность, описанную вокруг этого треугольника, в точке W (рис. 1.45). Нужно доказать, что WI==WA = WC. Доказательство 1) Углы 1 и 3 - вписанные и опираются на общую дугу AW. Тогда Z1 = Z3 = ^ZB. 2) Углы 2 и4 - вписанные и опираются на общую дугу CW. 1 Тогда Z2 = Z4 = ^ZB. 1 ^ 3) Z4 = -ZB = Z3, тогда WA = WC. ^ 1 4) / - инцентр, тогда ZIAC = Z5 = —ZA. 5) Угол AfW - внешний угол треугольника А/В. Тогда 1 1 ZAJW ==Z1 +Z5= -ZB -Ь -ZA = ZIAW. Отсюда WI = WA = WC. Теорема доказана. “771 Следствие 1. Перпендикуляр, проведенный из ^ I точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной вокруг него окружностью к стороне треугольника, которую пересекает эта биссектриса, проходит через центр описанной окружности. Треугольник AWC - равнобедренный (рис. 1.45), и его высота WM является и серединным перпендикуляром к отрезку АС. Для любознательных Архимед был великим геометром древнего мира (см. стр. 35). Попробуйте (за предложенным рисунком) доказать такую лемму Архимеда. Если из точки А провести к окружности две касательные АК^ и АК^ и секущую, пересекающую окружность в точках С и Б, а из точки — хорду KgM 11АВ, то прямая М делит хорду ВС пополам. Больше узнать об геометрических исследованиях Архимеда можно в главе VI, стр. 212. \ш Следствие 2. В неравнобедренном треугольнике I биссектриса всегда расположена между его высо- | той и медианой, проведенными из одной вершины. . Отрезок BW, содержащий биссектрису треугольника 1^, пе- ресекает его сторону АС в точке I L (рис. 1.46). Проекциями концов этого отрезка на прямую АС будут точки: Н (основание высо- Метод вспомогательной окружности - решение задач с использованием свойств построения окружности. BvlW лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Тогда точка L будет внутренней точкой отрезка НМ. Замечание. Обратите внимание, что утверждение о взаимном расположении высоты, медианы и биссектрисы треугольника, которые проведены из одной вершины, мы осуществили с помощью дополнительного построения окружности. Такой метод называют методом вспомогательной окружности. Задание 6 1. Отрезки АН и АК - высота и биссектриса треугольника АВС соответственно, а О - центр окружности, описанной вокруг этого треугольника. Докажите, что АК - биссектриса угла ОАН. 2. Пусть W^, Wi,, - точки пересечения продолжения биссектрис равнобедренного треугольника АВС {АВ = ВС) с описанной вокруг этого треугольника окружностью. Докажите, что AWa = CW^. 3. Докажите, что центр окружности, проходящей через две вершины треугольника, и его инцентр принадлежат окружности, описанной вокруг данного треугольника. 4. Пусть W^, W/,, - точки пересечения продолжения биссектрис остро- угольного треугольника АВС с описанной вокруг этого треугольника окружностью. Докажите, что: а) равенство AW^ = BW^ = CW^ ~ признак того, что треугольник АВС - правильный; б) инцентр треугольника АВС является ортоцентром треугольника W^W^W^; в) АЖд = BW^ = CW^, > 5. Высота, биссектриса и медиана треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол треугольника при этой вершине на четыре равные части. Найдите углы данного треугольника. 6. Высота и медиана треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол треугольника при этой вершине на три равные части. Найдите углы данного треугольника. 7. Постройте треугольник АВС по положению его трех точек: вершины А, середины стороны ВС и точке пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС. 8. Постройте треугольник по его высоте, биссектрисе и медиане, проведенными из одной вершины искомого треугольника. 9. Постройте треугольник по точкам пересечения его биссектрис с описанной вокруг этого треугольника окружностью. Для любознательных Воспользовавшись методом вспомогательной окружности, решите задачу. Через некоторую точку плоскости провели три прямые так, что угол между любыми двумя из них равен 60°. Докажите, что основания перпендикуляров, проведенных из произвольной точки плоскости к этим прямым, являются вершинами равностороннего треугольника. 2". 3°. 4“. 5«. 6". 7. 8". 9”. 10. 11” Задания для повторения главы I 1”. Чему равна градусная мера полного угла? Дайте определение центрального угла. Зависит ли градусная мера центрального угла от радиуса окружности? В каких пределах изменяется градусная мера центрального угла? Как определяют градусную меру дуги окружности? Сформулируйте; а) теорему о дугах, которые стягивают равные хорды; б) теорему, обратную предыдущей. Справедливы ли эти теоремы в случае разных окружностей с одинаковыми радиусами? Докажите теоремы п. 6. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте теорему о мере вписанного угла. Докажите теорему п. 9. Сформулируйте следствия теоремы п. 9. 12*. Как найти градусную меру угла между: а) касательной и хордой, проведенной через точку касания; б) двумя пересекающимися хордами окружности; в) двумя секущими одной окружности; г) секущей и касательной одной окружности; д) двумя касательными к одной окружности? Хорда делит окружность на две дуги так, что градусная мера одной в 4 раза больше градусной меры другой дуги. Найдите: а) градусные меры обеих дуг; б) градусные меры вписанных углов, опирающихся на эти дуги. В окружность вписали равносторонний треугольник. Под каким углом из центра окружности видно: а) сторону этого треугольника; б*) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника? Точки А, В, С делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 1:2:3. Найдите: а) углы треугольника АВС; б*) на какие части делит большую дугу окружности продолжение соответствующей высоты треугольника. Найдите угол: а) ВКС по рисунку 1.47; б) AOD по рисунку 1.48; в) САК по рисунку 1.49; г) АКЕ по рисунку 1.50; д) GFT по рисунку 1.51. 13. 14. 15 16*. Для любознательных Опорная задача о двух касающихся окружностях. К двум касающимся окружностям провели общую внешнюю и общую внутреннюю касательные. Докажите, что: а) внутренняя касательная делит отрезок внещней касательной (ограниченный точками касания) пополам; б) угол, образованный хордами окружностей с концами в точках касания, — прямой; в) угол, образованный отрезками, соединяющими центры окружностей с точкой пересечения касательных, — прямой. Дано: К^К^ и СК - общие касательные к ух и Доказать: а) К^С = СК^, б) ZO1CO2 = 90°; в) ZK^KK^ = 90°. 1) Х]С и СК - касательные к ух; К2С и СК - касательные к У2. Тогда К^С^ СК = СК2 и (а) доказано. 2) АК^КК2 ■■ KiC =^СК = СК2 -э ZK1KK2 = 90° (см. форзац 1) и (б) доказано. 3) Точки С, Pj, Oj лежат на щзямой (т. к. CPj и OiPj- сер. пер. к К1К2), СО^ -биссектриса угла КуСК. Аналогично: СО2 - биссектриса угла К2СК. Тогда ZO1CO2 = 90° как угол между биссектрисами смежных углов, и (в) доказано. в в 17*. 18* 19*. 20. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если его основание видно из центра описанной вокруг этого треугольника окружности под углом 40°? а) Точки касания Aw. В двух касательных к окружности делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 2:3. Найдите углы треугольника АВС, где С - точка пересечения касательных. б) Угол между касательными, проведенными к окружности, в 2 раза больше угла между радиусами, проведенными в точки касания. Найдите угол между касательными. в) Из точки М к окружности провели две касательных МА и МВ (А и В -точки касания). Отрезок, соединяющий центр окружности и точку М, пересекает окружность в точке К. Угол АМВ в 2 раза меньше угла АЙГВ. Найдите угол АМВ. г) Угол между касательными к окружности в 2 раза больше вписанного угла, который опирается на дугу, ограниченную точками касания. Найдите угол между касательными. а) Хорды АВ и СК пересекаются в точке Р, при этом АР = PC. Докажите, что ВР = РК. 6) Равные хорды АВ и CD пересекаются в точке Р (рис. 1.52). Докажите, что PC = РА. Докажите, что: а*) на рисунке 1.53 /LAPC = Z.BPD\ б**) на рисунке 1.54АВ1ВС. 21*. Постройте касательную к заданной окружности параллельно заданной прямой. Готовимся к тематической аттестации № 1 Вариант I 1. Точки А и В делят окружность на две дуги, одна из которых на 210° больше другой. Найдите: (1 б.) а) градусные меры этих дуг; (1 б.) б) угол, под которым хорду АВ видно из центра окружности; (1 б.) в) меры вписанных углов, опирающихся на хорду АВ; (2 б.) г) углы треугольника АВС, где СА и СВ - касательные. 2. (3 б.) Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°, а его боковая сторона является диаметром полуокружности. Найдите градусные меры дуг, на которые две другие стороны треугольника делят эту полуокружность. 3. (4 6.) Хорды АВ и CD равны. Концы этих хорд соединили отрезками прямых - новыми хордами. Докажите, что одна из пар этих хорд, АС и BD или ВС nAD, - параллельны. Вариант II 1. Точки А Vi В делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 2:3. Найдите: (1 б.) а) градусные меры этих дуг; (1 б.) б) угол, под которым хорду АВ видно из центра окружности; (1 б.) в) меры вписанных углов, опирающихся на хорду АВ; (2 б.) г) углы треугольника АВС, где СА и СВ - касательные. 2. (3 б.) Хорда АВ делит окружность на две дуги. На одной из них отметили точки С и В так, что углы САВ и ABD равны. Докажите, что хорды АВ и CD параллельны. 3. (4 б.) Диаметр окружности АВ перпендикулярен к хорде CD. Точка М окружности не совпадает ни с точкой С, ни с точкой D. Докажите, что лучи МА и МВ ~ биссектрисы углов, образованных при пересечении прямых МС и MD. Для любознательных Аполлоний Пергский (прим. 262-190 гг. до н. э.), автор многих математических работ, был младше Архимеда лет на 25. Из его 8 книг о теории кривых до нас дошли первые четыре в греческом оригинале, пятая, шестая и седьмая - в арабском переводе, восьмая восстановлена по рассказам о ней. Именно в последней Аполлоний Пергский рассматривал задачи на построение окружности: «Дано три фигуры, каждая из которых либо точка, либо прямая, либо окружность. ПосгЛройте окружность, которая проходит через каждую из заданных точек, касается каждой из заданных прямых и каждой из заданных окружностей». Решите несколько таких задач. 1. Постройте окружность, которая проходит через три заданные точки. 2. Постройте окружность, которая касается трех заданных попарно непараллельных прямых. (Сколько решений имеет задача?) 3. Постройте окружность, которая касается двух данных параллельных прямых и проходит через заданную точку между ними. 4. Постройте окружность, которая касается двух данных параллельных прямых и данной окружности. 5. Постройте окружность, которая касается двух данных концентрических окружностей и проходит через заданную точку на одной из них. 6. Постройте окружность, которая касается двух данных концентрических окружностей и проходит через заданную точку между ними. МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДЬ плоской ФИГУРЫ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ в этой главе мы вспомним общие свойства многоугольников и остановимся на изучении четырехугольников, в том числе и уже знакомых вам: параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции. Каждый из них имеет ряд интересных и важных свойств. Из всех этих свойств мы будем изучать только некоторые — именно те, что необходимы для дальнейшего изучения геометрии. Вы познакомитесь с понятием площади плоской геометрической фигуры. Пусть вас не удивляет слово «познакомитесь». Вы решали задачи на вычисление площади геометрических фигур еще в младшей школе и, казалось бы, знаете, что такое площадь. Но так ли это в действительности? Попробуйте ответить на вопрос: «Что такое площадь?» и вы поймете, что это не так уж и просто. § 7. Многоугольники и их свойства С понятиями ломаная и многоугольник вы уже знакомы. Напомним, что: • Многоугольником называется внутренняя часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной не пересекающей саму себя. • Звенья такой ломаной называются сторонами многоугольника, а вершины ломаной - вершинами многоугольника. • Периметр многоугольника - сумма длин всех его сторон. • Диагонали многоугольника - отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника (например, АС на рис. 2.1). { Если число сторон I лмогоугольника известно, то i «много» —» «число»: I пятиугольник, I стоугольник... I выпуклый Описанный многоугольник Угол многоугольника (его еще называют внутренним) - угол с вершиной в вершине многоугольника, стороны его содержат две соседние (смежные) стороны многоугольника, а сам угол содержит многоугольник (рис. 2.2). Внешний угол многоугольника - угол, смежный углу многоугольника (рис. 2.3). Многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми (см. поле). У выпуклого многоугольника нет ни одного угла, превышающего 180°. Мы будем изучать свойства именно выпуклых многоугольников. Правильным называют многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Одноименными называют многоугольники с одинаковым числом вершин. Вписанным в окружность называют многоугольник, у которого все вершины лежат на окружности. Описанным вокруг окружности называют многоугольник, все стороны которого касаются окружности. Рис. 2.2 Рис. 2.3 Вписанный многоугольник СВОЙСТВА МНОГОУГОЛЬНИКОВ Свойство 1. Любая сторона многоугольника мень- j ше суммы всех его других сторон. Это свойство непосредственно следует из уже знакомого вам утверждения, что кратчайший путь между | двумя точками - по прямой. Докажем это. Ш Теорема. Длина отрезка прямой, соединяющего две точки, меньше длины любой ломаной с концами в этих точках. Доказательство 1) Отметим на плоскости точку В, не принадлежащую заданной прямой MN, и соединим точки М и А ломаной MBN (рис. 2.4). Для треугольника MBN выполняется неравенство МВ + BN> MN, и для ломаной из двух звеньев утверждение теоремы доказано. 2) Обозначим на плоскости точку С, не принадлежащую прямым ВМ, BN и MN (рис. 2.5). Соединив ее с точками М И.М, получим ломаную MBCN. в м N Рис. 2.4 рис. 2.5 с \ \ \ 1 : ^ 1 ! .D — ( а» 1 * < ai + ... + * + а;+1 + .. + а„ I Из неравенства д,ля сторон треугольника BCN имеем: МВ + (ВС + CN) > МВ + BN > MN, и утверждение теоремы выполняется для трех звеньев. 3) Последовательно увеличивая число вершин ломаной (рис. 2.6) - аналогично предыдущему, получим правильность утверждения теоремы для ломаной с любым количеством звеньев, соединяющей точки М viN. Свойство 2 Теорема. Сумма градусных мер углов выпуклого многоугольника, который имеет п вершин, равна 180°(н-2). Доказательство Соединим одну из вершин данного многоугольника со всеми другими его вершинами (рис. 2.7) -получим (п - 3) диагоналей, которые делят многоугольник на (га - 2) треугольников. Сумма углов многоугольника равна сумме углов этих треугольников, т. е. 180°(га - 2). Теорема доказана. Свойство 3 Следствие. Сумма градусных мервнешних углов многоугольника (по одному при каждой из вершин) равна 360°. Сумма градусных мер внутреннего и внешнего углов многоугольника при одной вершине равна 180° (как сумма смежных углов). Всего таких пар будет га (рис. 2.8). Тогда сумма градусных мер внешних углов многоугольника равна: га • 180° -- 180° (га - 2) = 2 180° = 360°. Рис. 2.7 ;р> А ^«1 “2 а, + 02 + = 180° (га Pi +Р2 + -" + Рп== = 360’ Aj... вписанный Серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке О. Aj... А„- описанный Свойство 4. Многоугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры ко всем его сторонам пересекаются в одной точке. Эта точка — центр окружности (рис. 2.9). Это свойство следует из того факта, что серединный перпендикуляр к отрезку - геометрическое место точек, равноудаленных от е. все точки, равноудаленные от лежат на его серединном перпендикуляре. И наоборот, каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.) концов отрезка концов отрезка, (Т. Биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке О. I Рис. 2.10 Свойство 5. Многоугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке. Эта точка — центр окружности (рис. 2.10). Это свойство следует из того факта, что биссектриса угла -геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого * угла. (Т. е. все точки угла, равноудаленные от его сторон, i лежат на биссектрисе угла. И наоборот, каждая точка } биссектрисы угла равноудалена от его сторон.) Практическая работа 5 1. Начертите выпуклый пятиугольник; обозначьте его вершины; сравните длину каждой из его сторон с суммой длин других сторон. Запишите соответствующие неравенства. 2. Начертите невыпуклый пятиугольник; обозначьте его вершины; сравните длину каждой из его сторон с суммой длин других сторон. Запишите соответствующие неравенства. 3. Начертите произвольный многоугольник, число вершин которого больше 5, и обозначьте его вершины; сравните длину каждой из его сторон с суммой длин других сторон. Запишите соответствующие неравенства. 4. Запишите вывод. Практическая работа 6 1. Начертите выпуклые л-угольники для п — 5;6; 7; 8. Для любознательных 1. Даны два правильных треугольника. Разрежьте их на наименьшее число частей так, чтобы из них можно было сложить шестиугольник. 2. Даны четыре равных правильных шестиугольника. Разрежьте их на наименьшее число частей так, чтобы из них можно было сложить правильный шестиугольник. 2. Выполните соответствующие измерения и заполните таблицу. Число вершин 5 6 7 8 Сумма градусных мер внутренних углов Сумма градусных мер внешних углов (по одному при каждой вершине) 3. Проверьте правильность выполненных измерений и расчетов с помощью формул для суммы внутренних и суммы внешних углов выпуклого многоугольника. 4*.Начертите невыпуклые четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник. Выполните соответствующие измерения и заполните таблицу. Число вершин 4 5 6 Сумма градусных мер внутренних углов • Сумма градусных мер внешних углов (по одному при каждой вершине) Какой вывод вы можете сделать? Практическая работа 7 Заполните таблицу значений меры внутреннего и внешнего углов правильного п-угольника. Число вершин 3 4 5 6 8 12 п Внутренний угол Внешний угол Практическая работа 8* 1. Начертите выпуклый пятиугольник. 2. Проведите все диагонали, которые выходят из одной вершины, запишите их число. Потом проведите все диагонали пятиугольника и посчитайте их. Во сколько раз последнее число отличается от предыдущего? Начертите выпуклые шестиугольник, семиугольник и восьмиугольник. Для каждого из них выполните задание п. 2. Заполните соответствующую таблицу. Какой вывод можно сделать? 3. 4. Для любознательных 1. Петя сложил стандартный лист бумаги 5 раз, каждый раз - по оси симметрии образовавшегося прямоугольника. Потом он вырезал внутри последнего прямоугольника дырку и развернул бумагу. Сколько дырок он увидел? 2. Существует ли пятиугольная звезда с таким свойством: вокруг любого из ее окрашенных четырехугольников (см. рис.) можно описать окружность? 3. Докажите: если стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF равны по 1, то радиус окружности, описанной вокруг одного из треугольников АСЕ и BED, не превышает 1. Совет. Воспользуйтесь методом от противного. 4. Семиугольник Ах... вписан в окружность. При этом центр этой окружности расположен внутри семиугольника. Докажите, что сумма углов при вершинах Aj, A3 и А5 меньше 450°. 4. 6. 7. 8. 9. Задание 7 1°. Найдите сумму углов выпуклого: а) девятиугольника; б) двенадцатиугольника; в) двадцатиугольника. 2®. Сколько вершин имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна: а) 1620°; б) 720°? 3®. Сколько вершин имеет многоугольник, каждый угол которого равен: а) 135°; б) 140°? Попробуйте начертить: а) пятиугольник, имеющий четыре острых угла; б) шестиугольник, имеющий пять острых углов. Верно ли утверждение, что среди углов выпуклого четырехугольника найдется хоть один прямой или тупой угол? Многоугольник имеет четыре острых угла. Докажите, что он невыпуклый. Какое наибольшее число; а) острых углов; б) прямых углов может иметь выпуклый многоугольник? Могут ли все углы многоугольника быть тупыми? Может ли выпуклый многоугольник иметь; а) наибольший угол в 107°; б) каждый угол по 165°? 10. Все стороны выпуклого пятиугольника равны между собой. Два угла, прилежащие к одной его стороне, - прямые. Найдите градусные меры остальных углов. 11*. Докажите, что в выпуклом пятиугольнике найдутся два угла, прилежащие к одной его стороне, сумма градусных мер которых превышает 180°. Сколько вершин имеет выпуклый многоугольник, у которого: а) три угла по 80°, а все остальные по 150°; б) три угла прямые, а остальные по 150°; в) каждый угол не превышает 120°; г) три угла по 113°, а остальные равны между собой и их градусная мера - целое число? На каждой стороне выпуклого многоугольника взяли по одной точке и последовательно их соединили. Докажите, что периметр образованного многоугольника меньше периметра данного многоугольника. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого пятиугольника больше его периметра. 15**. Докажите, что большая диагональ выпуклого четырехугольника больше хотя бы одной из его сторон. 16**. Внутри выпуклого многоугольника лежит отрезок MN. Докажите, что длина отрезка MN не превышает наибольшую сторону или наибольшую диагональ многоугольника. 17**. Докажите, что в выпуклом шестиугольнике с равными углами: а) стороны попарно параллельны; б) разности противолежащих сторон равны между собой. 18**. Докажите, что в выпуклом пятиугольнике с равными углами нет параллельных сторон. 12*. 13*. 14*. Для любознательных 1. Квадратный лист бумаги разрезали на 6 частей, каждая из которых имеет форму выпуклого многоугольника. Пять из этих частей потерялись, а та, что осталась, имеет форму правильного восьмиугольника. Можно ли по этой части восстановить размеры исходного квадрата? 2. «Крестики-нулики-3» - игра в «крестики-нулики», в которой выигрывает тот, кто первым поставит 3 свои знака (нулик или крестик) на одной прямой. На бумаге в клеточку нарисуйте многоугольник (с наименьшим числом клеточек) такой, чтобы, играя на нем в «крестики-нулики-3», тот, кто начинает игру, всегда выигрывал. Укажите «стратегию» этого игрока. § S. Понятие площади и ее основные свойства Так что же такое «площадь»? Здравый смысл подсказывает, что это понятие можно ввести не только для плоских геометрических фигур, а и для пространственных, например, таких как цилиндр или сфера. Но в этом параграфе мы будем рассматривать только плоские геометрические фигуры. Площадь — это число, которое ставится в соответ-ствие ограниченной со всех сторон плоской фигуре и имеет следующие свойства: 1) площадь фигуры — число неотрицательное; 2) площади равных фигур — равны; 3) если фигуру разделили на части, то площадь фигуры равна сумме площадей этих частей; 4) за единицу площади принимается площадь квадрата со стороной, равной единице измерения; единица площади равна единице измерения в квадрате (кв. ед.). Например, площадь квадрата со стороной 1 м равна одному квадратному метру (1 м^); площадь квадрата со стороной 1 локоть равна одному локтю в квадрате. Понятно, что из этих свойств следует: 1) если фигура содержит другую фигуру, то площадь первой не меньше площади второй фигуры; 2) площадь квадрата со стороной п единиц измерения (п > О) равна кв. ед. Заметим, что квадрат, сторона которого равна п единиц измерения, - не единственная фигура, которая имеет площадь кв. ед. Например, из приведенных свойств площади следует, что площадь прямоугольного треугольника АВС (рис. 2.11) тоже равна кв. ед. Фигуры, которые имеют равные площади, называются равновеликими. Рис. 2.11 т: JI 1 ед. 1 ед. 8=1ед? ^2 Sj = S2 равновеликие Практическая работа 9 1. Начертите на бумаге и вырежьте два равных прямоугольных треугольника. С помощью этих треугольников-шаблонов начертите: равнобедренный треугольник, прямоугольник, параллелограмм. Сравните площади полученных фигур. Как называются эти фигуры? 2. Перерисуйте в тетрадь фигуры рисунка 2.12 в масштабе 4 : 1 (4 клеточки тетрадного листа соответствуют 1 клеточке рисунка 2.12). Сравните площади этих фигур. 3. Перерисуйте в тетрадь фигуры рисунка 2.13. Найдите их площади. 1см 1см ППЧ П Пюм 1 см Рис. 2.12 Рис. 2.13 Задание 8 1”. Найдите площади фигур F^, F2, F^, F4, изображенных на рисунке 2.14, если площадь фигуры F равна 1. 2”. Восстановите запись: а) 1 см^ = ... мм^, 200 дм^ = ... м^, 1га =100...; б) 40 000 см^ = ... м^, 13 дм^ = ... см^, 4... = 400см^. 3". Сколько квадратов с периметром 100 см содержится в 1 м^? 4”. Есть ли среди прямоугольников с площадью 32 см^ такой, который можно разрезать на два одинаковых квадрата? Какие размеры такого прямоугольника? 5“. Как разрезать прямоугольный треугольник на две равновеликие части? 6. Как разрезать прямоугольник, изображенный на рисунке 2.15, на три неравные равновеликие части? Предложите несколько способов разрезания. ^■1 Рис. 2.14 Рис. 2.15 7. 8 На рисунке 2.16: АВ || CD, ВС \\AD, точки D,C иМ лежат на одной прямой, DC = СМ. Докажите, что Sj^gcD = ^amd- На стороне AD четырехугольника ABCD построили треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N. При этом точка М - середина отрезка А£. Докажите, что "" ^ade- 9*. Площадь квадрата равна Q. Каждую его вершину соединили отрезком с серединой одной из сторон квадрата (см. рис. 2.17). Установите форму четырехугольника, ограниченного проведенными отрезками, и найдите его площадь. ^ Рис. 2.17 10*. Разрежьте два равных квадрата на части так, чтобы из них можно было сложить квадрат. 11**. Разделите квадрат на 3 части так, чтобы из них можно было сложить тупоугольный треугольник. 12**. Прямоугольник 4x9 разделите на две равные части, из которых можно сложить квадрат. Для любознательных Знак S или S, которым традиционно обозначают площадь или поверхность фигуры, - первая буква латинского слова superficies - «поверхность». Вычисление площади фигуры еще называют квадратурой. Этот термин происходит от латинского quadratura, что означает «придать квадратную форму». У древних египтян квадратура определенной фигуры сводилась к построению равновеликого квадрата. ! 89 . Площадь прямоугольника Докажем основную теорему этой главы. Теорема (о площади прямоугольника). Если стороны прямоугольника равны а и Ь, то его площадь равна произведению аЬ, Т. е. для площади прямоугольника выполняется известное вам равенство S = аЬ, где а иЬ - длины сторон этого прямоугольника, измеренные в одинаковых единицах длины. Доказательство Возможны три случая: аиЬ- натуральные числа; а и Ь - рациональные числа; аиЬ- иррациональные числа. СЛУЧАЙ 1: а и Ь - натуральные числа. Тогда прямоугольник можно разделить на а ■ Ь единичных квадратов (рис. 2.18). Площадь прямоугольника равна сумме площадей этих квадратов, т. е. S = а • Ь, и утверждение теоремы выполняется. Ь \<---------------------►! Рис. 2.18 СЛУЧАЙ 2 : аиЬ - рациональные числа. В этом случае числа а и Ь можно представить в виде дробей, в числителе и знаменателе которых стоят натуральные числа. Пусть число п - общий знаменатель этих дробей, тогда: * ь 1 ^ ч a = — = k— (ед. изм.) п п и Ъ- т п т — (ед. изм.), п где к, т,п- натуральные числа. I Ьед. а ед. S — а Ь ед.^ а, Ъ - произвольные положительные числа Мнение, что способность к математике встречается реже, чем способность к другим наукам, - это только иллюзия, которую породили те, кто берется за математику непоследовательно и небрежно. И.Ф. Гербарт Для любознательных Если многоугольник разрезать на части и из них сложить, без зазоров и наложения частей, новый многоугольник (см. № 11-12, стр. 48), то такие многоугольники называют равносоставленными (см. стр. 55). Понятно, что эти многоугольники будут равновеликими. 1. Прямоугольник со сторонами 10 см и 12 см разрежьте на части так, чтобы из них можно было сложить квадрат. 2. Два квадрата размерами 3 х 3 и 1 х 1 разрежьте на части так, чтобы из них можно было сложить один квадрат. 3. Решите предыдущую задачу для двух произвольных квадратов. 4. Дан квадрат размером 7x7. Разрежте его на пять частей так, чтобы из них можно было сложить три квадрата размерами 2х2,3х3и6х6. Сделайте это несколькими способами. Идеал математики -создать вычисление, облегчающее рассуждения в любой сфере мышления. А.Н. Уайтхерд Тогда сторону прямоугольника, длина которой равна а, и - 1 можно разделить на к равных частей по — ед. изм.; а сто- п рону Ъ - па. т равных частей по — ед. изм. (рис. 2.19). п Всего имеем k ■ т квадратов. Площадь прямоугольника равна сумме площадей этих квадратов: Г1"| S = ftm - \п) k т п п = аЪ- Утверждение теоремы выполняется. т п Рис. 2.19 1 л СЛУЧАЙ 3: а и Ь - иррациональные числа. В этом случае числа а и Ь можно подать в виде бесконечных десятичных дробей. Округлим каждое из них с избытком и недостатком, оставив при этом одинаковое число знаков после запятой: а2 < а < а^ и Ъ2<Ъ <Ъ^. Числа Oi, П2, bi, ^2 “ рациональные. Тогда площади прямоугольников с длинами сторон Hi, и 02, &2 равны Si = a^ bi и 82 = Ог'^2 соответственно (случай 2). Для любознательных Во времена Паскаля (XVI в.) математику чаще всего называли геометрией. Как-то 12-летний Блез Паскаль спросил у отца, Этьена Паскаля, что такое «геометрия». Этьен Паскгшь, не придавая своим словам особого значения, сказгш, что геометрия - это такая себе теория, изучающая способы начертания фигур и указывающая на соотношения между их элементами. Через некоторое время отец увидел, что сын сосредоточенно размышляет над сложенными из палочек треугольниками. Как оказалось, Блез как раз заканчивал доказательство открытого им интересного факта: в любом треугольнике сумма всех трех углов составляет два прямых угла. Тогда Этьен открыл шкаф с книгами и дал Блезу «Начала» Евклида. 13-летний Блез одолел ее как захватывающий роман. Вскоре Блеза Паскаля допустили к участию в заседаниях Парижского научного общества (позже на базе этого общества была создана Парижская академия наук). Понятно, что прямоугольник с длинами сторон Hj и I bi содержит прямоугольник с длинами сторон а и Ь, а | последний содержит прямоугольник с длинами сторон • й2 и Ь2 (рис. 2.20). Тогда для площадей этих прямоугольников выполняются неравенства S2£P, если АВ = 10 см, CD = 8 см, FE ~ 24 см, AF = 10 см, BG = 8 см. G Н В С D Рис. 2.25 Ьд 15*. В прямоугольнике ABCD точка Е ~ точка пересечения биссектрис углов АяО. Найдите площадь фигуры ABCDE, если АВ =12 см, ВС = 20 см. 16*. Найдите площадь квадрата; а) описанного вокруг окружности радиуса г; б) вписанного в окружность радиуса R. 17. Сколько нужно кафельных плиток прямоугольной формы со сторонами 20 см и 30 см, чтобы обложить часть стены, имеющую размеры 3 х 2,5 м? 18. Два участка земли оградили заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м, а другой -форму квадрата. Площадь какого из участков больше и на сколько? 19. Пшеничное поле имеет форму прямоугольника со сторонами 450 м и 250 м. Ширина хедера комбайна равна 4,6 м. Какую площадь поля скосит комбайн за 5 «кругов» («круг» - 1 обход комбайном всех сторон прямоугольного поля)? 20*. Ось симметрии диагонали прямоугольника делит его сторону на две части; 13 см и 12 см. Найдите площадь прямоугольника. 21*. Вычислите площадь прямоугольника, периметр которого равен 70 см, а диагональ - 27 см. 22*. Найдите площадь прямоугольника, периметр которого равен 64 см, а радиус описанной окружности - 12 см. 23*. Периметр квадрата (в метрах) и его площадь (в квадратных метрах) записываются одинаковыми числами. Найдите площадь квадрата. 24*. Дано три параллельных прямых, средняя из которых удалена от крайних на расстояния а и 6. Найдите площадь квадрата, три вершины которого лежат на этих прямых. 25**, Найдите отношение площадей частей, на которые прямоугольник разделяется биссектрисой его угла, если; а) стороны прямоугольника относятся как 3 ; 4; б) перпендикуляр, опущенный из вершины угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 9 ; 16. 26**. Даны три параллельных прямых, средняя из которых удалена от крайних на расстояния а и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого лежат на этих прямых. 27**. Диагонали трапеции ABCD (АВ || CD) пересекаются в точке О. Площади треугольников АОВ и COD равны соответственно Sj и .§2. Найдите площадь трапеции. Для любознательных Не всегда представления об измерении геометрических величин было таким, как теперь. Не всегда правила вычисления площадей давали истинные результаты. Например, площадь треугольника вычисляли как произведение основания и половины боковой стороны. Так делали древние вавилоняне и египтяне (1500-2500 лет тому назад). Сравнительно недавно (400-500 лет тому назад) так вычисляли площадь треугольника и на Руси. Площадь четырехугольника неправильной формы вавилоняне вычисляли как произведение полусумм противолежащих сторон. В средние века, чтобы вычислить площадь треугольника, основание и высота которого были равны целому числу п, находили сумму членов натурального ряда чисел от 1 до п. Т. е. площадь считали n(ra-t-l) 2 равной -. Откуда произошел такой способ вычисления площади указанного треугольника, вы видите на рисунке. 54 §10. Общие сведения о четырехугольнике Напомним: - четырехугольником называется многоугольник, имеющий четыре вершины (и четыре стороны); - четырехугольник может быть выпуклым (рис. 2.26) или невыпуклым (рис. 2.27); - диагонали четырехугольника - отрезки, соединяющие две несмежные его вершины (на рисунках 2.26 и 2.21 - отрезки АС, BD). невыпуклый ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК выпуклый Рис. 2.26 Рис. 2.27 «В прямоугольном тре- ..,2 _2 I l2 Cl о ». Далее мы будем изучать свойства выпуклых четы- | рехугольников. . Для любознательных Равносоставленные многоугольники (см. стр. 49) являются равновеликими. Этим пользовались еще в древности для доказательства математических утверждений, в том числе и теоремы Пифагора: угольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с" Существует много доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника, разрезаются так, чтобы каждой из частей квадрата, построенного на гипотенузе, соответствовала часть одного из квадратов, построенных на катетах. Например, в книге «Венок знаний» индийского математика Бхаскара (1114-1185) приводится «доказательство» теоремы Пифагора в виде чертежа с подписью «Смотри!» (рис. А и В). Попробуйте восстановить доказательства теоремы Пифагора, предложенные Бхаскара, на этих рисунках. Следует подчеркнуть, что такие рассуждения нельзя считать доказательством, если мы не докажем равенства во всех парах соответствующих частей. Как правило, в таких задачах это сделать несложно, но при большом количестве разрезаний такое доказательство требует немало времени. $5 Свойство 1. Любая из сторон четырехугольника меньше сумы трех его других сторон. Правильность этого утверждения следует из свойства многоугольника: любая сторона многоугольника меньше суммы всех его других сторон (см. стр. 42). Свойство 2 Теорема. Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°. Доказательство Диагонали четырехугольника делят его на два треугольника. Например, на рисунке 2.28 диагональ АС делит четырехугольник ABCD на треугольники АВС nACD. Тогда сумма внутренних углов четырехугольника равна сумме р 9 9й углов этих треугольников, т. е. 180°-2 = 360°. Теорема доказана. Следствие 1. Не существует четырехугольника, у которого все углы острые или все углы тупые. Утверждение легко доказывается от противного. 1) Пусть существует четырехугольник, у которого градусная мера каждого из углов больше 90°. Тогда сумма всех углов этого четырехугольника больше, I чем 90" • 4, т. е. не равна 360°, что противоречит теореме. { Следовательно, не существует четырехугольника, у ко-I торого все углы тупые. 2) Пусть существует четырехугольник, у которого гра-* дусная мера каждого из углов меньше 90°. Тогда сумма i всех углов этого четырехугольника меньше, чем 90" • 4, I т. е. не равна 360°, что противоречит теореме. Следова-j тельно, не существует четырехугольника, у которого I все углы острые. Для любознательных 1. Орехи разложили в виде квадрата (рис. А). Покажите, что их можцо разместить в виде двух равносторонних треугольников со сторонами, равными: стороне квадрата и на единицу меньше стороны квадрата. О О О О О д о ® оо о £> оо о о о о о о о о о о 2. в прямоугольнике ABCZ) (рис. Б) точка М - середина стороны ВС, точка N - середина стороны CD, Р - точка пересечения отрезков DM и BN. Докажите, что /LMAN = ZBPM. 56 (7 Следствие 2. Сумма внешних углов четырехугольника (по одному при каждой вершине) равна 360°. Сумма внешних углов четырехугольника - это сумма смежных углов этого четырехугольника (рис. 2.29): (180° - ZJ) -Ь (180° - Z2)+(180° - Z3)+ + (180° - Z4) = 180° • 4 - (Z1 -Ь Z2 + Рис. 2.29 +Z3 + Z4) = 180° • 4 - 360° = 360°. ВИДЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ Среди множества выпуклых четырехугольников выделяют такие виды четырехугольников. ТРАПЕЦИЯ - четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны (рис. 2.30). ПАРАЛЛЕЛОГРАММ - четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны (рис. 2.31). РОМБ - параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 2.32). ПРЯМОУГОЛЬНИК - параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 2.33). КВАДРАТ - прямоугольник, у которого все стороны ■ равны (рис. 2.34). ai-f-02+ ссз-Ьщ=360 В,____________С А D параллелограмм - - - - - □ L □ Г D □ С □ Г Рис. 2.33 Рис. 2.34 D квадрат Для любознательных В отличие от треугольника, который три заданных отрезка формирует единственно возможным образом, контур четырехугольника не является жесткой «конструкцией». Представьте себе четыре планки, которые соединили с помощью шарниров (см. рис.). Форма такой фигуры изменяется, если «потянуть», например, за вершину А. 57 ш Практическая работа 11 1. Поставьте на листе бумаги 4 точки так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой. 2. Соедините эти точки отрезками так, чтобы получился четырехугольник. Какой четырехугольник вы получили - выпуклый или невыпуклый? 3. Измерьте длины сторон полученного четырехугольника. Сравните д.тину наибольшей из его сторон с суммой длин других трех сторон. Сформулируйте вывод (сославшись на соответствующую теорему). 4. Начертите выпуклый четырехугольник. Обозначьте его вершины; проведите в нем диагонали и назовите их. 5. Измерьте транспортиром углы выпуклого четырехугольника и вычислите сумму градусных мер его углов. Сделайте вывод. 6. Начертите невыпуклый четырехугольник. Измерьте транспортиром углы этого четырехугольника и вычислите сумму их градусных мер. Сделайте вывод. Задание 10 1®. Какие фигуры на рисунке 2.35: а) не являются четырехугольниками; б) являются выпуклыми четырехугольниками? 2". Среди четырехугольников на рисунке 2.35 найдите; трапецию; параллелограмм; ромб. 3“. Существует ли четырехугольник с длинами сторон: а) 2 см, 2 см, 3 см и 6 см; б) 1 см, 3 см, 5 см и 9 см; в) 5 см, 17 см, 3 см и 7 см? Почему? 4. Найдите стороны четырехугольника, если: а) его периметр равен 6 см, а одна из сторон больше других трех соответственно на 3 мм, 4 мм, 5 мм; б) его периметр равен 66 см, а одна из сторон больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей, а четвертая - в 3 раза больше второй. 5*. Сделайте схематический рисунок четырехугольника, у которого: а) три стороны равны; б) две противолежащие стороны равны; в) все стороны равны. 6“. Существует ли четырехугольник, углы которого составляют: а) 45°, 65°, 87°, 32°; б) 123°, 98°, 111°, 156°? б) В D в) AB\\DC, AD\\BC г) AB=DC^AD^BC Рис. 2.35 58 7. 8. 9*. Существует ли четырехугольник, у которого: а) три угла прямые, а четвертый - острый; б) один из углов равен сумме трех других? Какое в четырехугольнике может быть наибольшее количество углов: а) острых; б) тупых; в) прямых? Может ли выпуклый четырехугольник иметь угол, больше развернутого? 10**. В выпуклом четырехугольнике три острые угла равны между собой. В каких пределах может изменяться градусная мера: а) каждого из них; б) четвертого угла? 11“. Все углы четырехугольника равны между собой. Найдите их. 12”. Найдите углы четырехугольника ABCD (рис. 2.36). 13”. 14. Найдите углы четырехугольника KLMN, если о них известно, что: а) ZK ZL, ZN, ZK ^2ZN; б) градусные меры углов пропорциональны числам 1, 2, 4, 5. Найдите углы четырехугольника FGHL, если о них известно, что: а) ZF = 70°, угол G в 1,5 раза больше угла F, а угол L - на 85° меньше угла Н; б) ZF = 90°, а угол G в 2 раза больше угла Н, градусная мера которого составляет 70 % от градусной меры угла F. 15**. В четырехугольникеAiSCi)ZA^ ZB = 100°, ZABD = 50°, ZCAD = 60°. Найдите углы АСН, BCD и CDA. 16**. Найдите угол а (рис. 2.37). Для любознательных 1. Двое по очереди ломают шоколадку размером 6x8. За один ход можно сделать прямолинейный разлом любого из уже образовавшихся кусочков (вдоль углубления). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков выиграет: первый или второй? Почему? 2. Решите предыдущую задачу в случае исходного размера шоколадки 5x5. 3. Игра в шахматы часто заканчивается «в ничью». Может ли окончиться «в ничью» игра «в поддавки»? 4. От квадрата отрезали прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна стороне квадрата. Докажите, что сумма углов, под которыми видно из трех оставшихся вершин квадрата отрезок, по которому провели разрез, равна 90°. 59 17*. Могут ли биссектрисы двух смежных углов четырехугольника быть параллельными? 18*. Сделайте схематический рисунок четырехугольника, у которого: а) биссектрисы противолежащих углов параллельны; б) биссектрисы двух противолежащих углов лежат на одной прямой. 19**. Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов четырехугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла -равны. 20*. Сделайте схематический рисунок четырехугольника, у которого: а) прямые, которым принадлежат противоположные стороны, - параллельны; б) прямые, которым принадлежат противоположные стороны, - перпендикулярны; в) каждая из диагоналей больше любой из его сторон; г) каждая из диагоналей меньше любой из его сторон. 21*. Докажите, что: а) длина отрезка, соединяющего две точки на противоположных сторонах выпуклого четырехугольника, меньше периметра этого четырехугольника; б) в выпуклом четырехугольнике диагональ меньше его полупериметра. 22*. Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь такого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей. 23**. Докажите, что: а) сумма отрезков, которые соединяют середины противолежащих сторон выпуклого четырехугольника, меньше его периметра; б) в выпуклом четырехугольнике сумма диагоналей больше суммы двух его противоположных сторон; в) сумма диагоналей выпуклого четырехугольника больше его полупериметра и меньше периметра. 24**. Диагональ АС делит вторую диагональ четырехугольника ABCD на две равные части. Докажите: если АВ > AD, то ВС < DC. 25**. Два противолежащих угла выпуклого четырехугольника - тупые. Докажите, что диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше второй диагонали. 26**. Постройте четырехугольник по: а) сторонам и одной из диагоналей; б) сторонам и одному из углов. 27**. Постройте четырехугольник ABCD по углам Aw. В, сторонам АВ и AD, сумме сторон ВС и CD. Для любознательных 1. В четырехугольнике провели диагонали. Какое наибольшее число прямых углов может быть на соответствующем рисунке? 2. Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме двух из остального множества его диагоналей? 3. В выпуклом четырехугольнике МРКН: ZM + ZP = 180°, ZMKH = ZKMP. На сторонах МН и РК отметили точки А и В так, что РВ = РА. Отрезок АВ проходит через точку пересечения диагоналей заданного четырехугольника. Докажите, что HP ± АВ. 4. Восстановите квадрат ABCD по; а) его центру и двум точкам на параллельных сторонах (эти две точки не лежат на одной прямой с центром квадрата); б) вершине А и двум точкам на сторонах квадрата, которые не содержат вершину А; в) четырем точкам - по одной на каждой стороне квадрата. 5. На рисунке: площадь наибольшего квадрата равна 16 кв. ед., а наименьшего - 4 кв. ед. Найдите площадь цветного квадрата. В §11 . Вписанные и описанные четырехугольники ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК I Напомним, четырехугольник называют вписанным f I в окружность, если все его вершины лежат на окружности (рис. 2.38). Эту окружность называют описанной вокруг данного четырехугольника. Центр такой * окружности — точка пересечения I серединных перпендикуляров ко ( I I (см. стр. 44, свойство 4). Рис. 2.38 утверждение (см. § 7). Если середин- ные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам четырехугольника, пересекаются в одной точке, то вокруг него можно описать окружность. Теорема 1. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°. I Рис. 2.39 ♦ I 1) ZA = jDAB как вписанные. I лежат на окружности (рис. 2.39). Докажем, что ZA + ZC = ZB + ZD = | = 180°. Доказательство .DCB-, ZC = -2 ^ г псв-н wiMB)= I 2) Сума всех внутренних углов четырехугольника рав на 360°. Тогда ZB + ZD = 360° - (ZA + ZC) = 360° - 180° = i = 180°. I Теорема доказана. zA+^C = 180° zB+ziD= 180° Тогда ZA + ZC = - (> 2 360° = 180° I I Для любознательных Арабский математик Хасан Ибн Гайтем (XI в.) предложил такой способ определения того, что вокруг четырехугольника можно описать окружность, используя только циркуль. Одним и тем же раствором циркуля с центрами в противоположных вершинах А и С четырехугольника ABCD провести дуги. Обозначить точки пересечения этих дуг со сторонами четырех- угольника и продолжения одной из них так, как показано на рисунке. Если |ХЛГ| = |РГ|, то четырехугольник А BCD — вписанный; если приведенное равенство не выполняется — то вокруг ABCD нельзя описать окружность. Обоснуйте или опровергните метод Хасана Ибн Гайтема. ABCD — вписанный ABCD- прямоугольник ABCD—вписанный Теорема 2 (обратная к теореме 1). Если сумма! двух противолежащих углов четырехугольника! равна 180°, то вокруг него можно описать окружность. Пусть сумма углов А и С четырехугольника ABCD равна 180°. Проведем окружность у через точки А, В ш D. Нужно доказать, что вершина С лежит на этой окружности. Доказательство Проведем его от противного. Пусть С й у (рис. 2.40) и прямая DC пересекает окружность в точке К. По теореме 1 ZA -Ь ZK = 180° = ZA -Н ZC. Тогда ZK = ZC. При этом для треугольника ВС К один из этих углов - внутренний, а другой - внешний, т. е. такое равенство невозможно. Теорема доказана. С KMNQ - описанный четырехугольник Следствие. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность. ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК Напомним: четырехугольник называют описанным вокруг окружности, если все его стороны касаются окружности (рис. 2.41). Т. е. окружность вписывают в четырехугольник. Центр такой окружности — точка пересечения биссектрис всех внутренних углов четырехугольника (см. стр. 44, свойство 5). Правильным будет и обратное утверждение (см. § 7): если биссектрисы всех углов четырехугольника пересекаются в одной точке, то в него можно вписать окружность. Для любознательных На море 7 островов, которые соединены мостами так, как показано на рисунке. На какой остров следует доставить путешественников (катером или вертолетом), чтобы они могли обойти все острова и притом пройти по каждому из мостов, их соединяющих, только один раз? С какого острова нужно будет забрать туристов? 62 ш Теорема 3. Суммы противолежащих сторон че- I тырехугольника, описанного вокруг окружности, | равны. I Пусть в четырехугольник ABCD * вписана окружность. Докажем, что ^ AB + CD = BC+AD. Доказательство Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Обозначим длины соответствующих отрезков как х, y,zvLt (рис. 2.42). Тогда АВ + CD = = (х + у) + {2 + t) = {х + t) +{у + z) = = AD + BC. ш Теорема доказана. I Теорема 4 (обратная к теореме 3). Если в вьшук- . лом четырехугольнике суммы противолежащих ' сторон равны, то в него можно вписать окружность. ^ Пусть для четырехугольника АВСП выполняется I соотношение АВ + CD = ВС + AD. Докажем, что в | этот четырехугольник можно вписать окружность, j Доказательство I Проведем его от противного. Пусть окружность касается трех сторон данного четырехугольника и не касается его четвертой стороны CD (рис. 2.43). 1) Из точки С проведем к этой окружности касательную, которая пересечет прямую AD в точке Р. Согласно прямой теореме получим, что АВ + СР = ВС -Ь АР. * 2) АВ + СВ = BC+ADnAB + СР = ВС + АР. Отнимем I от первого равенства второе (или наоборот). Тогда § |СВ - СР| = |АВ - А_Р|, т. е. |СВ - СР| = РВ, что противоречит неравенству для сторон треугольника СВР. Вывод: точки Р и В совпадают. Теорема доказана. Следствие.В ромб всегда можно вписать окружность. ABCD -описанный BC+AD^AB+CD ш Для любознательных Говорят, что Магомет чертил, не отрывая руки, меггический знак, изображающий два полумесяца (см. рис.). Попробуйте сделать это и вы. 63 t Опорная задача I Площадь описанного четырехугольника равна про-I изведению его полупериметра на радиус вписанной в I него окружности. Дано: Ki, К2, К^, К4 - точки касания. Доказать: S ^ рг. SaBCD —Р ’’ рй (а + 6 + c + d); 2 S г = — Р 1) S — ^ :\COD + ^ADOA- 2) Ki, К2, Kg, K4 - точки касания, тогда OK^ LAB, OKg 1 ВС, OKg ± CD, ОК4 1 AD ш OKi = OK2 = OK3 = = OK4 = г. — cr + — dr = — r (a+ b + c + d) = pr. 2 2 2 i Ч. T. Д. Практическая работа 12 1. Начертите окружность. Отметьте на окружности 4 точки и соедините их (последовательно) отрезками. 2. Измерьте транспортиром углы полученного четырехугольника и вычислите суммы градусных мер его противолежащих углов. Сравните их и сделайте вывод. 3. Начертите окружность. Используя угольник и линейку, проведите касательные к этой окружности так, чтобы образовался описанный четырехугольник. 4. Измерьте стороны полученного четырехугольника. Вычислите суммы противоположных его сторон. Сделайте вывод. Практическая работа 13 1. Используя циркуль, транспортир, угольник и линейку, изобразите четырехугольник, вписанный в окружность, у которого: а) два угла, прилегающие к одной стороне, равны; б) два противолежащих угла равны; в) две противолежащие стороны параллельны; г) противолежащие стороны равны. 2. Используя циркуль, транспортир, угольник и линейку, изобразите четырехугольник, описанный вокруг окружности, у которого: а) два угла, прилегающие к одной стороне, равны; б) две противолежащие стороны равны; в) диагонали образуют с одной из сторон равные углы; г) диагонали образуют с двумя противолежащими сторонами прямые углы. Задание 11 1". По рисункам 2.44 - 2.46 найдите углы четырехугольников. 64 2“. Можно ли описать окружность вокруг четырехугольника, если его углы, расположенные последовательно, равны: а) 72°, 105°, 108°, 75°; б) 138°, 44°, 52°, 126°; в) 56°, 112°, 124°, 82°? 3. Можно ли описать окружность вокруг произвольного: а) прямоугольника; б) квадрата? 4. АС и BD - диаметры одной окружности. Докажите, что ABCZ) - прямоугольник. 5. У четырехугольника ABCD ZABD = ZACD. Можно ли его вписать в окружность? 6°. По рисункам 2.47 и 2.48 найдите неизвестные стороны четырехугольников. KN=KL Рис. 2.48 7”. Сумма двух противолежащих сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника. 8. Можно ли вписать окружность в прюизвольный: а) прямоугольник; б) квадрат; в) ромб? 9. Длины трех сторон АВ, ВС и CD описанного четырехугольника ABCD, периметр которого равен 96 см, относятся как 1:2:3. Найдите длины всех сторон этого четырехугольника. Для любознательных Сказка от Реймонда М. Смалиана «Принцесса или тигр» В некотором королевстве правил король-логик. Как-то он захватил в плен много принцев, принцесс и тигров и решил устроить следующие соревнования. 1. Первый день. Король сообщил пленному принцу, что в каждой из двух комнат находятся или тигр, или принцесса, а может быть и так, что в обеих комнатах разместили по одному тигру, или наоборот - по принцессе. «Что же мне делать, если в обеих комнатах тигры?» - спросил принц. -«Считай, что не повезло!» - ответил король. «А если там по принцессе?» -поинтересовался принц. - «Считай, что повезло, - сказал король и добгшил: -Главное, читай таблички на дверях этих двух комнат. На какой-то из них правда, а на другой — ложь». На дверях комнат висели таблички с надписями: I. В этой комнате принцесса, а в другой - тигр. II. В одной из этих комнат принцесса', и, кроме того, в одной из этих комнат сидит тигр. Какую из дверей вы бы открыли, если бы были на месте принца? 2. Второй день. Для следующего пленного король подготовил такие надписи на дверях: I. Хотя бы в одной из этих комнат нахо- II. Тигр сидит в другой ком- дится принцесса. нате. При этом король объявил: или оба утверждения правильные, или оба — ложные. Какую из комнат выбрать принцу? liSs 10”. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, длины последовательно расположенных сторон которого равны; а) 7 см, 3 см, 5 см, 9 см; б) 12 дм, 10 дм, 8 дм, 7 дм; в) 3 м, 20 м, 5 м, 7 м? 11. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, длины последовательно расположенных сторон которого относятся как: а) 1 : 2 : 5 : 4; б) 2 : 7 : 5 : 1; в) 3 : 5 : 4 : 2; г) 12 : 4 : 3 : 2? 12*. Длины сторон описанного четырехугольника равны 2 см, 1 см, 3 см и 4 см, а радиус вписанной окружности - 1,3 см. Найдите площадь этого четырехугольника. 13*. Точка О - центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. Найдите площадь этого четырехугольника, если: а) его периметр равен 10 см, а радиус вписанной окружности - 2 см; б) площади треугольников АВО и С DO равны 14 см^ и 12 см^. 14. Докажите для вписанного четырехугольника ABCJD: а) ZABD = ZACD; б) ZCAD = ZCBD-, в) ZfiCA = ZBDA; г) ZBAC = ZBDC. 15*. Каким должен быть четырехугольник, чтобы углы между биссектрисами внутреннего и внешнего его углов с общей вершиной были одинаковыми для всех вершин четырехугольника? Какая градусная мера таких углов? 16*. Докажите, что биссектрисы углов трапеции при пересечении образуют четырехугольник, вокруг которого можно описать окружность. 17**. Докажите, что угол А вписанного четырехугольника ABCD равен его внешнему углу при вершине С. 18**. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Биссектрисы углов А и С пересекают окружность в точках В и В. Докажите, что прямая ЕР проходит через центр заданной окружности. 19**. Докажите, что биссектриса угла вписанного четырехугольника при определенной вершине пересекает биссектрису внешнего угла при противоположной вершине в точке, лежащей на описанной вокруг этого четырехугольника окружности. 20**. Докажите, что биссектрисы внешних углов любого выпуклого четырехугольника ограничивают четырехугольник, в который можно вписать окружность. 21**. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Продолжения сторон АВ и CD пересекаются в точке М, а сторон AD и ВС - в точке Р. Докажите, что биссектрисы углов AMD и CPD взаимно перпендикулярны. 22**. Диагонали АС и ВН вписанного четырехугольника АВСН взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке М. Докажите, что: а) прямая, проведенная через точку М и середину стороны АП, перпендикулярна ВС; б) середины сторон АН, ВС и основания перпендикуляров, проведенных из точки М к этим сторонам, лежат на одной окружности. 23**. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром О, - взаимно перпендикулярны. Докажите, что; а) из отрезков АВ, CD и диаметра окружности можно построить прямоугольный треугольник; б) прямая, проведенная из точки пересечения диагоналей перпендикулярно к ВС, делит AD пополам; в) расстояние от точки О до АВ равно половине CD. 24**. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром О, - взаимно перпендикулярны. Через точки А, B,CuD провели касательные к данной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник тоже является вписанным. 25**. Докажите, если для вписанного четырехугольника ABCD выполняется равенство CD = AD + ВС, то точка пересечения биссектрис углов А и В лежит на стороне CD. (Совет. Отложите на ВС отрезок DK = AD.) § 12. Параллелограмм I Напомним, что параллелограмм ■- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны. В М Р Е С / г c / Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный к стороне параллелограмма (или ее продолжению) из точки, лежащей на противоположной его стороне. На рисунке 2.49 - это отрезки ВК, MN, PD, ЕН и CF. расстояние между парал- А К N D Н F Рис. 2.49 Длина такого отрезка лельными сторонами параллелограмма. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА KDi Теорема. В любом параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Докажем, что у параллелограмма A6CZ) (рис. 2.50) Z1 = Z3; Z2 = = Z4; Z1 + Z2 == Z2 + Z3 = Z3 + Z4 = Z4-tZl = 180°. Доказательство 1) ВС IIAD, АВ и CD - секущие, тогда Z1 -Ь Z2 = 180° и Z3 + Z4 = = 180° (как внутренние односторонние). 2) АВ II CD, AD и ВС - секущие, тогда Z2 -Ь Z3 = 180° и Z4 Z1 = 180° (как внутренние односторонние). 3) Zl+Z2= 180° = Z2 -Ь Z3 и Z2 -Ь Z3 = 180° = Z3 + Z4, тогда Z1 =Z3 и Z2 = Z4. Ч. т. д. ®Ш Теорема. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Пусть ABCZ) - параллелограмм (рис. 2.51). Докажем, что AABD = ACDB. В С а) б) А D Рис. 2.51 Доказательство 1) Z1 = Z2 как внутренние разносторонние при AD II ВС и секущей BD. 2) Z3 = Z4 как внутренние разносторонние при АВ II DC и секущей BD. 3) BD - общая сторона треугольников АВН и CDB. Тогда эти треугольники равны (по второму признаку равенства). Ч. т. д. СВОЙСТВА: В C г A D ABCD параллело- грамм =Z3\ /l2 =z.4; а1 +^2=180°; гЯ+А4 = 1Ж-, Zl+Z4 = 180°; Z2 -t- Z3 = 180°. A D ABCD - параллелограмм \} AABD = ACDB; AABC^ACDA. СВОЙСТВА; I® ^ II С /. / А " D ABCD - параллелограмм: AB = CD;AD=BC A D AO^OC; BO = OD a D S = aha^bhb «Д = „a • ha Рис. 2.52 Следствие. Противолежащие стороны параллелограмма равны. Теорема. Диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам. Диагонали параллелограмма ABCD (рис. 2.52) пересекаются в точке О. Докажем, что ВО = OD и АО = ОС. Доказательство 1) Zi = Z2 как внутренние разносторонние при AD||BC и секущей АС. 2) Z3 = Z4 как внутренние разносторонние при ВС| IAD и секущей BD. 3) AD = ВС как противолежащие стороны параллелограмма. Тогда, по второму признаку равенства треугольников, AAOD = АСОВ. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны: АО = ОС, ВО = OD. Теорема доказана. Теорема. Площадь параллелограмма равна S = aha, где а — длина его стороны, ha ~ длина высоты, проведенной к этой стороне. Доказательство В параллелограмме ABCD (рис. 2.53): АВ = DC - как противолежащие стороны, В К = CN -как расстояние между параллельными прямыми. Тогда прямоугольные треугольники АВК и DCN равны (по гипотенузе и катету), и площадь параллелограмма ABCZ) равна площади прямоугольника KBCN: S = ВС ■ ВК = aha-Теорема доказана. В а С А к D N К D Рис. 2.53 I Следствие. Из последней теоремы и свойства 2 ^ I следует уже известная вам формула для площади треугольника: S = , где а - длина стороны треуголь- длина его высоты, проведенной к этой стороне. Доказательство Достроим треугольник АВС до параллелограммаАВСХ> (рис. 2.54). Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника (свойство 2). Тогда S^c = ~ ^ABCD: 2 = (а • Л^): 2. Отметим, что в случае, когда высота Лд расположена вне треугольника {DKna рис .2.54 для ABCD), доказательство будет аналогичным (рассматриваем параллелограмм CBAD; ABCD = А DAB). ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Теорема 1. Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то такой четырехугольник — параллелограмм. В четырехугольнике ABCD (рис. 2.55) АВ = CD и AD = ВС. Докажем, что ABCD - параллелограмм. Доказательство 1) АВ = CD, AD = ВС по условию; BD - общая сторона треугольников АВ£) и CDB. Тогда AABD = ACDB (по третьему признаку). Отсюда Z1 = Z2 и Z3 = Z4 (как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон). 2) Z1 = Z2 - внутренние разносторонние углы при прямых СВ, AD и секущей BD. Тогда ВС \ | AD. 3) Z3 ^ Z4 - внутренние разносторонние углы при прямых АВ, CD и секущей BD. Тогда АВ || CD. 4) ВС IIAD и АВ II CD, т. е. ABCD - параллелограмм. Теорема доказана. Рис. 2.55 Теорема 2. Если две противолежащие стороны четырехугольника равны и параллельны, то такой четырехугольник — параллелограмм. В четырехугольнике ABCD (рис. 2.56) ВС =AD и ВС\\AD. Докажем, что АВСВ - параллелограмм. Доказательство 1) Z1 = Z2 - как внутренние разносторонние углы при ВС \ \ AD и секущей BD; ВС = AD по условию; BD ~ общая сторона треугольников ABD и CDB. Тогда AABD = ACDB (по первому признаку) и Z3 = Z4 (как углы равных треугольников, лежащие против равных сторон). 2) Z3 = Z4 - внутренние разносторонние углы при прямых АВ, CD и секущей BD. Тогда АВ || CD. 3) ВС 11AD и АВ 11 CD, т. е. ABCD - параллелограмм. Теорема доказана. Рис. 2.56 ПРИЗНАКИ В „ С /, / А ' D AB = CD BC=AD ABCD ~ параллелограмм I ABCD - параллело-I грамм I I I BC=AD ВС II AD Для любознательных Квадрат разделили на прямоугольники так, что ни одна из точек квадрата не является вершиной четырех прямоугольников. Докажите, что число точек квадрата, которые совпадают с вершинами прямоугольников, четное. ПРИЗНАК В________с АО = ОС BO = OD ABCD - параллелограмм А D ABCD-параллелограмм ii 1а1а Рис. 2.57 Теорема 3. Если диагонали четырехугольника точкой их пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм. Q Q В четырехугольнике ABCD ди- агонали АС, и BD делятся точкой их пересечения О пополам (рис. 2.57). Докажем, что ABCD - параллелограмм . Доказательство 1) В треугольниках ОВС и ODA’. ОВ = OD,AO = ОС по условию; Z1 = = Z2 как вертикальные. Тогда AAOD = АСОВ (по первому признаку равенства) и ВС = AD, Z3 = Z4. 2) Z3 = Z4 - внутренние разносторонние углы при пересечении прямых ВС и AD секущей BD. Тогда ВС 11AD. 3) В четырехугольнике ABCD: ВС = AD и ВС || AD, тогда ABCD - параллелограмм по доказанному ранее признаку. Теорема доказана. Опорная задача 1 Биссектрисы углов параллелограмма ограничивают прямоугольник. Дано: ABCD - параллелограмм, АК = 1^; ВР = 1„: СМ = 1г-, DN н с» Доказать: KNMP - прямоугольник. 1) ABCD - параллелограмм ZA + +ZB = 180°. г) АК = АВАК = ZA; 2; ВР = ZABK = ZB : 2. 3) В ААВК: ZAKB = 180° - (ZA : 2 + ZB : 2) = 180° -- (ZA -Ь ZB) : 2 = 180° - 90° = 90°. 4) ZPKN = ZAKB как вертикальные, тогда ZPKN = 90°. 5) Аналогично: ZKNM = ZNMP = ZMPK = 90°. ЧГт. д. Могут ли в рассмотренной выше задаче точки К, N, М, Р совпадать? При каком условии? Для любознательных 1. Обычно козы съедают все, до чего могут дотянуться. Если привязать козу веревкой длиной 10 м к некоторому колышку, то она съест всю траву в круге радиуса 10 м. А если привязать козу иначе, например, натянуть проволоку между двумя колышками и за проволоку зацепить веревку (второй конец которой привязан к ошейнику козы) так, чтобы эта веревка скользила вдоль проволоки? Какую форму в этом случае будет иметь участок луга, на котором коза съест траву? (Учтите: коза умеет прыгать через проволоку!) 2. Попробуйте «ограничить» козу параллелограммом. (Другими словами: пользуясь только колышками и веревками сделайте так, чтобы коза могла есть траву только внутри заданного вами параллелограмма.) 3. Как «ограничить* козу полукругом, привязав к ее ошейнику не больше двух веревок? Опорная задача 2 } Постройте треугольник по трем его медианам. ( Дано: отрезки к, п, р. t Построить: ААВС, у которого: (1) т„ = к; (2) т^ = п; (3) т, =р. В Анализ Точка М пересечения медиан треугольника (центроид) делит эти медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Если продолжить т^ медиану т^яа отрезок MiK — toAMi = MjC, MMj = О = М^К и АМСК - параллелограмм. План построения к п р 1) к, п,р-^-, к п р 2к 2п 2р 2) 2--,2.-, 2-^-^hAMK{AM = —,MK^—,AK^-fy, 3) [МЩ MMi= М^К (Ml е КМУ, 4) [AMi] —> М^С = AMi (продолжением); 5) [МЛГ] SM= МК (продолжением); А АВС - искомый. Доказательство « г, 2к 2п 2р Имеелшо построению: (AM = —, МК = —, АК = —), О о о MMi= MiK, AMi= MjC, мк= вм. Доказать: (i) - (3). 1) По построению выполняется: ВМ^ = т,,; 2) MMj= MiK,AMi= MiC-^AMCK - параллелограмм 3 ’ иМС^АК 3) ВМ = МК 2п мк-^ MMi = Miif БМх S wift 4) М - центроид 2 AM = g * СМ-|р Ч. т. д. М - центроид, 2л л И (2) выполняется; АМз S Отд, АМз = к, СМ2 = т^, СМ2 ~ р, и (1), (3) выполняются. АМСК- параллелограмм. Шд, mj,, тлд II Строим АВС: (1) /гад^тд:3, ть-^ть:3, Пг: 3 a\\b, ABllCD, AK\\DM I § 13. О некоторых свойствах площади треугольника, параллелограмма и опорные факты, из них вытекающие I В этом параграфе рассмотрим несколько опорных I фактов, связанных с понятием площади, которые часто используют при решении задач. * Отметим, что иногда понятие площади помогает ре-I шать задачи, в формулировке которых отсутствует упо-I минание о площади. Тогда говорят о методе плоЩадей в геометрии. I Опорная задача 1 Параллелограммы, имеющие по две равные сторо- I) ^ABCD^^AKMD ны, которые лежат на общих параллельных прямых, -равновелики. Ь В I I I I I I I I Дано: ABCD, - параллелограммы: I . i I (АО) = (ЛА); (BC) = (BiC,); \AD\ = \A,D,\. Доказать: Обозначим: (AD) s (AxDx) - а, (ВС) = (BiCj) - Ь. ’ Длины сторон AD и заданных параллелограммов * равны, а высоты, проведенные к этим сторонам, явля-J ются расстоянием между параллельными прямыми а I и Ъ. Тогда: ' d (а; Ь) = lAiDj • d (а; Ь) = I Ч. т. д. I Опорная задача 2 { Площади треугольников, имеющих равные высоты, I относятся как длины сторон треугольников, к которым , проведены эти высоты. I АО. c'Ai щ Cl' S:Si=a:ai ♦ Дано: d (В; ЛС) = d (В^; A^Ci) = h. ^ Доказать: S : Si =АС :AiCi. • 1 1 \S= -h-AC,Si = -h 'AiCi, тогда S : Si = AC : AjCj. ^ Ч. T. Д. Замечание. Из последней задачи следует: - медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника; - если треугольники имеют общую (или равную) сторону и их вершины лежат на параллельной этой стороне прямой, то такие треугольники равновелики. Опорная задача 3 Высоты параллелограмма обратно пропорциональны длинам сторон, к которым они проведены. д fy Дано: АВ 11 CD, А£> II ВС, Ад ± а, В-----------С Доказать: hf,: ha = а :Ь. ABCD - параллелограмм. Его площадь S = aha = &А^, откуда и следует искомое утверждение. Опорная задача 4 Для любого треугольника: S = рг; 'Z = ~ + -г + К к к где а, Ъ, с - длины его сторон; S - площадь; р - полу-периметр; г - радиус вписанной окружности. Дано: Ki, К^, - точки касания. 1111 Доказать: S =рг; 7 = “ + ~ , ^ К К К 3)S.|ar+i(,r+2 1) S — Вдов Ввос + ВсОА» 2) К^, К2, Kg - точки касания, тогда OKi 1 АС, OKg 1АВ, OKg 1 ВС и ОК^ = ОК2 = OKg = г; сг = ~ г (а Ь с) = рг; 1 р а Ь с 1 11 4)-= -=—+—Н--. Учтем, чтоВ = - ah=--bhi, = -chc г S 2S 2S 2S 2 “ 2 " 2 " 1 а Ъ имеем: —=----+— г оЛ„ bh^ Ч. т. д. ch h fu h ACIIBB3 II S — Si — S2 — S3 A a D ABCD - параллелограмм Л»,:йд=а: b SABc = rp i=I + i + l r ha h К Для любознательных 1. В треугольник вписали полуокружность радиуса R с центром на одной из его сторон, которая касается двух других сторон треугольника, длины которых равны аъЪ. Найдите площадь этого треугольника. 2. Точка М расположена внутри равностороннего треугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки М до сторон треугольника не зависит от ее положения. 3. Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) расположена точка М. Докажите, что площади треугольников АВМ и СВМ равны тогда и только тогда, когда М принадлежит медиане ВК этого треугольника. 4. Решите предыдущую задачу для произвольного треугольника. 4 в I Опорная задана 5 Площадь треугольника равна S. Найдите площади треугольников, на которые делят данный треугольник его медианы. Q Дано: 5двс = AN s Ша, ВК s m*, CP s m,. Найти: Si, S2, S3, S4, Sg, S3. 1) B_AAS£: BK = ~ ^kba ~ S I 2) M - центроид -> BM: MK = 2:1; 3) AAMB и AAMK: BM: MK =2:1; высота, проведенная к BM и MK, - общая. Тогда = 2Se; Sg = - : 3; 4) А ABM: PM - медиана и Sg = S4 = 2Se: 2 = -S.-gS, ^ Аналогично: S3 = S2 = Sj = ^ S. ” 1 gS. Ответ: Sj = S2 = S3 S,-S,-S3 Замечание. Использованный нами в задаче 4 jwe-mo^ площадей применялся математиками и в древние времена. Так, итальянский ученый Джованни Чева (1648-1734) доказал с помощью этого метода очень по-I лезную теорему, известную сегодня как теорема Чевы. I С доказательством этой теоремы и следствиями из нее * вы можете ознакомиться в приложении 4 главы VI. Практическая работа 14 1. Проведите две пересекающиеся прямые тип. Через точку, не лежащую на этих прямых, проведите две прямые, параллельные прямым тип. Какой четырехугольник вы получили? 2. Измерьте углы полученного четырехугольника. Сравните градусные меры противолежащих углов. Найдите суммы градусных мер углов, прилежащих к одной стороне. Сформулируйте вывод. 3. Проведите диагонали вашего четырехугольника. Измерьте и сравните отрезки диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения. Практическая работа 15 1. Начертите произвольный треугольник АВС. На его стороне ВС отметьте точку G. Через эту точку параллельно двум сторонам треугольника проведите прямые, пересекающие отрезки АВ и АС в точках F и D соответственно. Определите вид четырехугольника AFGI). 2. Начертите равнобедренный треугольник KLM с основанием KL. Через точки К и L проведите прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Точку их пересечения обозначьте D. Какой фигурой является четырехугольник KMLD7 Для любознательных Попробуйте доказать методом площадей, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и при этом делятся в отношении 2:1, считая от вершины. (Совет. Докажите сначала лемму: медиана АЯ треугольника АВС — геометрическое место точек М, для которых треугольники АВМ и ACM равновелики.) 3. Начертите произвольный прямоугольный треугольник АВС. Через вершины А и В его острых углов проведите прямые, параллельные катетам. Точку их пересечения обозначьте D. Какой фигурой является четырехугольник ACBD1 4. Начертите произвольный треугольник FGH. На пхюдолжении FG (за точку G) отложите отрезок GB = FG, а на продолжении GH (за точку G) -отрезок GD = GH. Определите вид четырехугольника DBHF. Практическая работа 16 1. Начертите произвольный треугольник АВС. С помощью циркуля и линейки проведите через точку С прямую п Ц АВ. Отметьте на прямой п несколько точек Cj, С2 ... и соедините их с точками А и В. Из точек С, С^, С2... с помощью угольника и линейки опустите перпендикуляры СН, CjHi, С2Н2... на прямую АВ. 2. Измерьте длины отрезков АВиС-^Н^, С2-Н2... Вычислите площади треугольников АВС, ABCj, АВС2 ... Сформулируйте вывод. 3. Проведите две параллельные прямые п 11 т. Постройте несколько параллелограммов с общей стороной на прямой п и противоположными ей сторонами на прямой т. Проведите соответствующие измерения и вычислите площади этих параллелограммов. Сформулируйте вывод. Задание 12 1°. Есть ли на рисунке 2.58 параллелограммы? М N Рис. 2.58 2“. По рисунку 2.59 определите углы параллелограмма ABCZ). а) б) в) 3®. Найдите углы параллелограмма KLMN, если: а) ZK = 84°; б) ZK - ZL = = 55°; в) ZK + ZM=^ 142°; г) ZK = 2ZL. V 4. Найдите углы параллелограмма, если; а) один из его углов в 3 раза меньше другого; б) сумма двух из его углов равна 130°; в) один из его углов на 40° меньше другого; г) градусные меры двух из его углов относятся как 2 : 3; д) один из его углов составляет 20 % другого. 5. Существует ли параллелограмм, у которого: а) все углы острые; б) только один из углов острый; в) три угла имеют равные градусные меры? 6. Докажите, если вокруг параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм - прямоугольник. 7*. Найдите углы параллелограмма, если большбш его диагональ образует со сторонами углы, градусные меры которых; а) в 3 раза меньше тупого угла; б) 16° i 37°; в) а и р. 8*. На рисунке 2.60 изображены параллелограммы. Найдите угол х. 9*. Найдите углы параллелограмма, если: а) биссектриса его угла пересекает противоположную углу сторону под углом 50°; б) биссектриса его угла пересекает противоположную углу сторону под углом, равным одному из углов параллелограмма. 10*. Найдите углы параллелограмма, если: а) угол между двумя его высотгши, проведенными из одной вершины, равен 50°; б) высота, проведенная из одной вершины, образует с прилегающей к этой вершине стороной угол 50°. 11. Может ли параллелограмм иметь: а) три равные стороны; б) только три равные стороны? Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см. Может ли его большая диагональ равняться 10 см? ^ По рисунку 2.61 найдите стороны параллелограмма АВСП, если его периметр равен 24 см. 12. 13. в) Рис. 2.61 Для любознательных Внутри произвольного треугольника АВС отметили точку. Докажите, что сумма трех отношений расстояний от этой точки до сторон треугольника соответствующим высотам треугольника (проведенным к соответствующим сторонам) равна 1. 14. 15. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) длины сторон относятся как 5 ; 7; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в 2 раза больше другой. Найдите по рисунку 2.62 периметр параллелограмма. 16*. 17. а) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см. Из произвольной точки основания треугольника провели прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр образованного треугольника. В параллелограмме АВСП (рис. 2.QZ)AD = 12 см; Z1 = Z2; Z3 = Z4. Найдите дину отрезка EF, если: а) АВ = 3,5 см (рис. 2.63-а); б) АВ = 8 см (рис. 2.63-6), В Е Е Рис. 2.63 18*. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки длиной 4 см и 6 см. Рассмотрите два случая. 19®. Обозначили: сторону параллелограмма - а; высоту, проведенную к этой стороне, - Л; площадь параллелограмма - S. Найдите: а) S, если а = 12 см, Л = 8 см; б) а, если S = 34 см^, й = 8,5 см; в) а, если S = 162 см^, й = 0,3 м. 20®. Диагональ параллелограмма равна 11 см и перпендикулярна к его стороне, которая равна 12 см. Вычислите площадь параллелограмма. 21. Две стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма. 22. Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 4 см и 6 см. Найдите площадь параллелограмма. 23. Площадь параллелограмма ргшна 72 см^, а длины его высот - 6 см и 8 см. Найдите периметр параллелограмма. 24*. Периметр параллелограмма равен 48 см, его площадь - 56 см^, а одна из высот - 4 см. Найдите стороны параллелограмма и вторую высоту. 25*. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если его высоты относятся как 5 : 7. 26**. В параллелограмме ABCD стороны АВ и AD равны 3,5 см и 12 см соответственно; АЕ и DF - биссектрисы его углов; Р — точка пересечения прямых АВ и DF; Т - точка пересечения прямых DF и АЕ (рис. 2.64). Длина отрезка DP равна 10 см. Найдите: а) длину отрезка РТ; б) периметр треугольника ADP; в) длину отрезка EF. Р 27**. 28*. 29*. 30**. 31**. 32**. 33**. 34**. 35. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см. Найдите; а) отрезки, на которые биссектриса угла параллелограмма делит большую сторону; б) отрезок между точками пересечения биссектрис углов параллелограмма, прилегающих к большей стороне, с противолежащей его стороной; в) отрезок между точками пересечения биссектрис углов параллелограмма, прилегающих к меньшей стороне, с прямой, содержащей противоположную его сторону. Докажите, что биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой. Докажите, что биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны. Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагонали которого параллельны сторонам параллелограмма и равны разности двух его неравных сторон. Докажите, что биссектрисы внещних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник. Что можно сказать про диагонали этого прямоугольника? Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCZ) пересекаются в точке Е. Угол между ЕС и BD равен 80°, а ZBDC = 60°. Найдите углы параллелограмма. Высота ВР пересекает биссектрису угла А параллелограмма ABCD в точке £. Найдите углы параллелограмма, если: а) ZBEA =110°; б) угол между биссектрисой угла А и стороной АВ равен углу между высотой ВР и этой же стороной. Две высоты параллелограмма пересекают его диагональ под углами 57° и 72°. Найдите углы параллелограмма. По рисунку 2.65 докажите, что АВСВ - параллелограмм. С А В Рис. 2.65 36. ABCD - параллелограмм; ВН = DF; СЕ что EFGH - параллелограмм. В Н С ' AG (рис. 2.66). Докажите, 37*. На сторонах АВ, ВС, CD и DA параллелограмма АВСН отметили соответственно точкиК,Р,МиЕтак, что:&)АК = ВР = СМ = DE; б)АК =АЕ= = СР = СМ. Докажите, что четырехугольник КРМЕ - параллелограмм. 38*. Четырехугольник ABCD - параллелограмм. Докажите, что MBND -параллелограмм, если: а) AM = CN; 6)AN = CM (рис. 2.67). 39**. На продолжении сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма АВСВ отметили соответственно точки К, Р, М и Е так, что: л)АК = ВР = СМ = = DE; б)АК =АЕ = СР = СМ. Докажите, что четырехугольник КРМЕ -параллелограмм. 40*. На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили соответственно точки К и М так, что ZAKB = ZCMD. Докажите, что четырехугольник KBMD - параллелограмм. 41*. В каждой из двух концентрических окружностей провели диаметры АС и BD соответственно. Докажите, что ABCD - параллелограмм. 42*. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма провели прямую. Докажите, что ее отрезок, ограниченный сторонами параллелограмма, делится точкой О пополам. 43*. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки внутри параллелограмма до его сторон - величина постоянная для данного параллелограмма. 44**. Как определить построением точку пересечения диагоналей параллелограмма, если его вершины недоступны? 45*. Постройте параллелограмм по: а) двум смежным сторонам и углу между ними; б) двум диагоналям и углу между ними; в) двум неравным сторонам и диагонали. 46**. Постройте параллелограмм по: а) высоте и сторонам; б) высоте и диагоналям; в) углу, высоте и периметру; г) углу, высоте и разности двух сторон; д) углу, противолежащей этому углу диагонали и высоте. Для любознательных 1. Каждую грань кубика поделили на 4 квадрата и каждый квадрат раскрасили в один из трех цветов: синий, желтый или красный так, что квадраты, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько при этом образовалось синих, желтых и красных квадратов? 2. Какая из приведенных двухцветных разверток превращается (сгибанием) в куб, каждое ребро которого проходит по одноцветной области? а) б) в) г) Д) Теорема Фалеса а II Ь II с KiKz^KzKa 1} EiE^—E^E^ AM‘-MB s BN-NC §14. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, i пересекающие стороны угла, отсекают на одной! его стороне два равных отрезка, то они отсекают щ два равных между собой отрезка и на второй сто- Щ роне угла. | Пусть параллельные прямые^ пересекают стороны угла Z(a; &) в 1 точках Ki, К2, К3 и Ех, Е^, Eg соот- М ветственно (рис. 2.68) и КхК2 = I = K2Kg. Докажем, что E^Eg =E2Eg. Щ Доказательство 1 1) Проведем через Кх и К3Щ прямые, параллельные стороне а J Рис 2 68 угла. Получим два параллело-1 трамтлйКхЕхЕзМиМЕзЕзКз. j 2) ЛГхМЦа и ЛТэЛ" II о, тогда II ЛГзЛГ. | S)KxK2 = К2К3, ZMKxKg = ZNK3K2 (как разносторон-1 ние углы при КхМ Ц K3N и секущей Ь), ZMKgKx = ZNKgKз(к&к вертикальные). Тогда = ANK2K3 (по второму признаку равенства) и КхМ = NK3. 4) КхМ = NK3, KxExEgM и NE2E3K3 - параллело-граммы. Тогда ExEg = КхМ = NK3 = EgEg. Теорема доказана. Следствие 1. Прямая, проходящая через середину одной из сторон треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону этого треугольника пополам. Пусть в треугольнике АВС АК = КВ и КЕ\\АС (рис. 2.69). Т. е. на стороне АВ угла АВС отложили АК = КВ и провели КЕ || АС. Тогда, по теореме Фалеса, BE = ЕС. Утверждение доказано. ш Для любознательных Древнегреческий ученый Фалес Милетский (VI в. до н. э.) - первый из «семи мудрецов», которые, по сути, были не только учеными, но еще и государственными деятелями, законодателями и моралистами. Им приписывают высказывания, подобные известному «познай самого себя». Фалеса Милетского считают творцом идеи математического доказательства. Про это рассказывают математики, которые жили позже Фалеса на 300 и более лет. Через них мы знакомимся с информацией о Фалесе, его математических и других достижениях. Геродот рассказывал, что Фалес предсказал солнечное затмение 585 года до н. э. Памфила, писательница эпохи Нерона (римский император I в.), по словам Диогена, утверждала, что Фалес первым описал окружность вокруг прямоугольного треугольника и что в честь этого события он принес в жертву быка. ш Следствие 2. Если на одной стороне угла отложили равные между собой отрезки и через концы этих отрезков провели параллельные прямые, то они отсекают на другой стороне угла равные между собой отрезки. Например, если на одной стороне угла отметить точки Ki, К2, ... так, чтобы образовались равные отрезки (рис. 2.70), и через эти точки провести паргшлельные между собой прямые, то на другой стороне угла получим точки Е2, ..., которые тоже будут концами равных отрезков. Заметим, что согласно теореме равные отрезки не обязательно откладывать от вершины угла. ^ I Следствие 3. Если равные отрезки отложены на ^ I прямой, пересекающей другую прямую, и точка пересечения принадлежит одному из отрезков, то параллельные прямые, проведенные через концы заданных отрезков, отсекают на другой прямой равные между собой отрезки. Пусть прямые а и Ь пересекаются в точке О. 1) Пусть на прямой а отложены два отрезка KiK^ = К^К^, точка О лежит на отрезке (рис. 2.71). Через точки Ki,K2Vi К2 проведем параллельные прямые, которые пересекут прямую Ъ в точках £2 и £3 соответственно. Докажем, что EiE^ = £г-^з-Через точку Е^ проведем вспомогательную прямую с II а. Образовались параллелограммы Е1К1К2М2 и МгК’г^'зМз. Тогда Е1М2 = К1К2 = К2К2 ~ Мг^з» и по теореме Фалеса Е1Е2 = Е2Е2. 2) Если теперь на стороне ОК^ угла Е^ОК^ отложить равные К2К2 отрезки = •■., провести парал- лельные £з£з прямые, то на прямой Ь (согласно следствию 2) получим равные отрезки. Утверждение доказано. У1 = О У2=- ■ Уп Ух ti = У2=' I а IIЬ IfLZ MIcil = ЛГ2 = У1=У2 = Для любознательных Рассмотрите случай, когда равные отрезки откладывают на одной из двух параллельных прямых и через концы этих отрезков проводят параллельные прямые. Можно ли тогда теорему Фалеса сформулировать так: если две любые несовпадающие прямые пересекаются параллельными прямыми и на одной из них при этом образуются равные отрезки, то и на другой из заданных прямых образуются равные между собой отрезки? 'Л ■v'i Теорема, обратная теореме Фалеса f Xl У1 - Х2 = У2= ■ О п-\а I I Теорема (обратная теореме Фалеса). Если прямые отсекают на одной стороне угла равные между собой отрезки и на другой стороне угла равные между собой отрезки, то такие прямые параллельны. На сторонах ВА и ВС угла АВС отложили отрезки: ВЕ^ = и ВКл = КлКо (рис. 2.72). Докажем, чгоЕ^К^\\Е2К2. Доказательство Проведем его от противного. Пусть BEi = Е1Е2 и BKi = К1К2, а EiK^)KE2K2. Через точку JEj проведем прямую, параллельную Е2К2, которая пересекает ВС в точке М. 1) Пусть ВМ < ВК^. Обозначим разность длин этих отрезков через t, а длину отрезков ВК^ и КiK2 ~ как а. По теореме Фалеса ВМ = МК2, т. е. а - t = а + t, чего быть не может (если t ^ 0). 2) Пусть ВМ > ВК^. Аналогично предыдущему случаю придем к противоречию {а + t = а - t). Теорема доказана. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух сторон этого треугольника. Докажем следующие свойства средней линии треугольника. Теорема. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника, которую она не пересекает, и равна ее половине. Пусть МК - средняя линия треугольника АВС (рис. 2.73). Докажем (1) МК 11 АС; (2) МК = ^ АС. Доказательство 1) На сторонах угла АВС расположены отрезки ВМ = МА и ВК = = КС. Тогда, по обратной теореме Фалеса, МК\\АС, и(1) доказано. 2) МК II АС по доказанному. Проведем KD \ | ВА. Тогда AMKD - параллелограмм и AM = DK,MK = AD. 3) KD11 ВА, ВС - секущая. Тогда ZB = ZDKC (как соответствующие) . 4) ВК = КС, МВ ==АМ=DK, ZB = ZDKC. Тогда АМВК= = ADKC (по первому признаку равенства) и МК = DC. 5) АП = МК = DC. Тогда МК = | АС. Теорема доказана. ^ Опорная задача 1 Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. д ^ Дано: АК = КВ; ВМ = МС; CE=ED; DT Доказать: КМЕТ -грамм. ТА. параллело- Доказательство Проведем диагональ АС. у 1) КМ - средняя линия в А АВС, й 1 тогда КМ =-АС, КМ 11 АС. ^ 1 2) ТЕ - средняя линия в AADC, тогда ТЕ = - АС, ТЕ | АС. 3) КМ II АС, ТЕ II АС ^ КМ || ТЕ. ^ 4) КМ = ^ АС = ТЕ, КМ I ТЕ КМЕТ - параллелограмм. Ч. т. д. Замечание. Такой параллелограмм называют параллелограммом Варинъйона. Опорная задача 2 Разделите заданный отрезок на заданное количество равных частей. Дано: [АВ]. Построить: отрезок х =АВ : п. План построения 1) Проведем [АК) под произвольным углом к [АВ). 2) Произвольным раствором циркуля отложим на [АК) отрезки: АК, = К,К^ = К,К, = ... = К,.,К,,. 3) Проведем (К„В). 4) Через точки К,, К^, К^, ..., К„-1 проведем прямые, параллельные (В'дВ). Эти прямые отсекают на [АВ] отрезки искомой длины. Доказательство По построению: АК, = К,К^ = "" ••• = К„.,К,,;К,Е, \\К,Е^ К„В. Тогда по теореме Фалеса АЕ, ч. т. д. КМЕТ- параллелограмм Варинъйона под произвольным (1) углом произвольные равные отрезки (4) - параллельные прямые Для любознательных Решить следующую задачу вам помогут теорема Фалеса и рисунок. В треугольнике АВС высота АН, равна медиане ВМг- Найдите угол СВМг. iL Практическая работа 17 1. Начертите произвольный острый угол. 2. На одной из сторон угла циркулем отложите последовательно несколько равных между собой отрезков. 3. С помощью угольника и линейки (рис. 2.74) через концы этих отрезков проведите параллельные прямые так, чтобы они пересекли другую сторону вашего угла. 4. С помощью циркуля сравните между собой длины отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на другой стороне угла. Сформулируйте вывод. Практическая работа 18 1. Начертите произвольный тупой угол с вершиной в точке О. 2. На одной из его сторон отложите последовательно три равных отрезка длиной 2 см каждый. Обозначьте полученные точки как А, В, Си Р. 3. На другой стороне угла отложите последовательно три равных отрезка длиной 3 см каждый. Обозначьте полученные точки как А^, В^, CjH Pj. Проведите прямые ААх, ВВ^, CCj. С помощью линейки и угольника убедитесь, что эти прямые параллельны. 5. Сформулируйте вывод. 4. Практическая работа 19 1. Начертите произвольный треугольник АВС. Найдите с помощью циркуля и линейки середины сторон АВ и ВС. Обозначьте их как М и К и соедините отрезком. 2. Сравните с помощью циркуля отрезки АС и МК. Сделайте вывод. 3. Постройте произвольный прямоугольник АВСВ. Середины его сторон обозначьте как М, N, Р hQ. Измерьте длины сторон и меры углов четырехугольника MNPQ. Какой фигурой он является? 4. Постройте произвольный ромб ABCD. Середины его сторон обозначьте как М, N, PviQ. Измерьте длины сторон и меры углов четырехугольника MNPQ. Какой фигурой он является? В каком случае он будет квадратом? Для любознательных В параллелограмме АВСВ через точку пересечения его диагоналей О провели прямую, которая пересекает отрезки ВС и АВ в точках М и N соответственно. Найдите угол MBN, если ВО = ON. Задание 13 1“. На рисунке 2.75 прямые, пересекающие угол А, параллельны между собой. Найдите х. б) а см X см 2°. На рисунке 2.76 AF || BG || СН Ц DL. Найдите длины отрезков ОА, CD, СА, AD. 3”. На рисунке 2.77 две параллельные прямые а и Ь пересечены параллельными прямыми к, I и т так, что АВ = ВС. Докажите, что AjBi = ВС. Рис. 2.76 4". Непараллельные прямые а и Ь в точках А, В, С и Aj, В^, Cj соответственно пересечены параллельными прямыми к, Iwm. Докажите, что AjBj = = 2BiCi, если АВ = 2ВС. 5. Данный отрезок разделите (построением): а) на 5 равных частей; б*) на две равные части так, чтобы одна из них была в 2 раза больше другой; в**) на два отрезка, длины которых относятся как 2 : 3. Для любознательных 1. Постройте параллелограмм ABCD, если задано прямую BD и основания высот, проведенных из его вершины В. 2. Постройте параллелограмм ABCD по положению его вершин А и В и расстояниям от данной точки М до вершин С и Z). 3. Через точку на диагонали АС параллелограмма ABCD провели прямые, параллельные его сторонам. Данный параллелограмм разделен указанными прямыми на четыре параллелограмма. Два из них пересекают диагональ АС. Докажите, что два других - равновелики. 4. Точки Ml, М2, М3 - середины сторон ВС, АС и АВ неравнобедренного треугольника АВС (соответственно). Найдите угол С треугольника АВС, если центр окружности, описанной вокруг треугольника М1М2М3, принадлежит биссектрисе этого угла. 5. Каждая из диагоналей четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что этот четырехугольник - параллелограмм. 6*. На рисунке 2.78; LFGH - параллелограмм, FC = CG, LD = DH. Докажите, что LA = АВ = BG. 7”. На рисунке 2.79: АК = KB,AL = LC, ВС = 16 см. Найдите длину отрезка ATL. G 8®. 10. 11. 12. 13. 14* Рис. 2.79 Стороны треугольника равны 4 см, 6 см, 3 см. Найдите длины средних линий этого треугольника. Какой вид имеет треугольник, у которого: а) две средние линии равны между собой; б) три средние линии равны между собой; в) две средние линии взаимно перпендикулярны? Найдите отношение периметров данного треугольника и треугольника с вершинами в серединах его сторон. В четырехугольнике АВСЛ точки К, L, М и N - середины сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно. Докажите, что середины отрезков КМ и LN совпадают. В треугольнике QRP середины сторон QR и RP обозначили как S и Т соответственно (рис. 2.80). Найдите периметр четырехугольника QSTP, если QR = 8 см, RP = 16 см, QP = 12 см. Сумма диагоналей четырехугольника равна 12 см. Найдите периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон заданного четырехугольника. В треугольнике АВС: СС^, ВВ^, АА^ - медианы; AjAa || BBi, BjBg || СС^, CjCa II AAj(рис. 2.81). Докажите, что ВМ^ = М(,М = MBj, AAfj, = = = MAi, СМ„ = МдМ = MCi. Для любознательных 1. Вершина С треугольника АВС не поместилась на рисунке. Как построить прямую СМ, где М - середина стороны АВ? 2. Mj и М2 - середины сторон ВС и АС треугольника АВС, основание высоты, проведенной к третьей его стороне. Докажите, что отрезок М1М2 принадлежит биссектрисе угла СМ^Н^. 3. В треугольнике АВС точки; М2 - середина стороны СВ, Н - ортоцентр треугольника, и В2 середины отрезков СН и АН соответственно. Докажите, что М2В1 J- Е1Е2. 4. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике середины диагоналей и точка пересечения прямых, соединяющих середины противолежащих сторон, лежат на одной прямой. 15**. Докажите следующий признак равнобедренного треугольника: если две медианы треугольника равны, то такой треугольник — равнобедренный. Попытайтесь найти другие признаки равнобедренного треугольника, отличные от изученных в 7 классе, и доказать их. 16*. В треугольнике АВС; М^, М2 и М3 - середины сторон АВ, ВС, СА соответственно; Hi, Н2 и - основания высот, проведенные к этим сторонам. Докажите, что: а) М1М2 = HiM^; б) М1Н2 + М0М3 = АВ; в) Я1М2 » Я3М2 = М1М3. 17*. Точки А и В находятся на расстояниях 6 см и 24 см от прямой п соответственно. Найдите расстояние между серединой отрезка АВ и прямой п, если точки А и В расположены относительно прямой п: а) в одной полуплоскости; б) в разных полуплоскостях. 18*. Докажите, что средняя линия треугольника меньше полусуммы сторон, которые она пересекает, но больше их полуразности. 19*. Докажите, что средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий точку на стороне треугольника, которой параллельна средняя линия, с противолежащей вершиной треугольника. 20**. Из одной точки к прямой проводят наклонные. Найдите геометрическое место точек - середин этих наклонных. 21**. Высота равностороннего треугольника равна 6 см. Найдите проекцию данной высоты на другую высоту этого треугольника. 22?* .UqotjqIkq ТЩГОДЪйЖ НО его; а'^ щл медианам и углу между ними; б) стороне и медианам двух других сторон; в) медиане одной из сторон и высотам, проведенным к двум другим сторонам; г) положению трех точек - середин двух сторон и основанию высоты, проведенной к третьей стороне; д) положению трех точек - середин двух сторон и основанию высоты, проведенной к третьей сторюне. 23**. Постройте равнобедренный треугольник по: а) двум его неравным высотам; б) высоте, проведенной к основанию, и медиане боковой стороны. 24**. Постройте прямоугольный треугольник по: а) гипотенузе и медиане одного из катетов; б) положению трех точек - вершине прямого угла и проекций середин катетов на гипотенузу. 25**. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике середины диагоналей и середины двух противолежащих сторон являются вершинами параллелограмма. Для любознательных Стомахион Архимеда. Говорят, что эту игру придумал Архимед. «Стомахион» в переводе с греческого означает «то, что вызывает злость». Попробуйте свои силы в этой игре, и вы убедитесь, что такое название дано ей не зря. Игра полна неожиданностей, развивает внимание, образное мышление и изобретательность, тренирует восприятие линий и форм. Стомахион -патриарх среди игр-головоломок. Эта игра выдержала 2000-летнее испытание временем и не устарела, как не устарели теоремы и законы Архимеда. Прямоугольник, стороны которого относятся как 1:2, разрезали на 14 частей (рис. А). Составьте из этих частей силуэт курицы, ветряную мельницу, петуха (рис. Б). Кусочки прямоугольника можно выкладывать на стол любой стороной. При этом (согласно указаниям Архимеда) прилегание этих кусочков без зазоров друг к другу не обязательно, но обязательно при формировании картинки использование всех четырнадцати элементов стомахиона. 2 / 7/5 4 СВОЙСТВА: ABCD- ABCD - параллелограмм и zA=90“ и ABCD - прямоугольник § 15. Особые виды параллелограммов — прямоугольник, ромб, квадрат СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНИКА Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, т. е.у него: - противолежащие стороны равны, - диагонали в точке пересечения делятся пополам', - диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника. Добавим к этому перечню еще одно, уже известное вам, утверждение. Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его неравных сторон. Докажем еще два свойства прямоугольника. Теорема 1. Диагонали прямоугольника равны. На рисунке 2.82 АС и BD - диагонали прямоугольника ABCD. Докажем, что АС = BD. Доказательство В прямоугольных треугольниках ABD и ПСА катет А_Ь - общий, а катеты АВ и CD - равны. Тогда AABD = ADCA иАС== BD. Теорема доказана. 1 Рис. 2.82 ш Следствие. Диагонали прямоугольника делят его на четыре равнобедренных треугольника. Теорема 2. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность, центром этой окружности будет точка пересечения диагоналей прямоугольника. Доказательство этого свойства проведите самостоятельно. (Вернитесь на стр. 62 и используйте утверждение предыдущей теоремы.) ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Теорема 3. Параллелограмм, у которого один угол прямой, — прямоугольник. На рисунке 2.83 у параллелограмма ZA = 90°. Докажем, что ABCD - прямоугольник. Доказательство ABCD - параллелограмм, тогда ZC = ZA = 90°; ZB = 180° -ZA= 180° - 90° = 90°; ZD = ZB = 90° и ABCD - прямоугольник. Рис. 2.83 Теорема доказана. Теорема 4. Параллелограмм, диагонали которого равны, — прямоугольник. Пусть ABCD - параллелограмм, у которого АС = BD (рис. 2.84). Докажем, что ABCD - прямоугольник. Доказательство 1) АС = BD по условию, АВ — CD по свойству параллелограмма, AD - общая. Тогда AABD = ADCA и ZA = ZD. 2) По свойству параллелограмма ZA + ZD = 180°. Тогда ZA = ZD = 180° : 2 = 90° (по предыдущей теореме) и ABCD - прямоугольник. „ ПРИЗНАКИ; ^ В С Рис. 2.84 Теорема доказана. ш Теорема 5. Параллелограмм, вокруг которого можно описать окружность, — прямоугольник Доказательство этого признака проведите самостоятельно. (Совет. См. стр. 61.) СВОЙСТВА РОМВА Ромб имеет все свойства параллелограмма, т. е. у него: - противолежащие углы равны; - сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°; - диагонали в точке пересечения делятся пополам; - площадь равна произведению длин стороны и высоты. Докажем еще два свойства ромба. ш Теорема 6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов I этого ромба. ^ Q ABCD - ромб (рис. 2.85). Дока- жем, что: BD LAC, АС = Ij^, АС = l^,; DB = 1д‘, DB = Доказательство ABCD - ромб, тогда АВ = ВС, АО = ОС. В равнобедренном треугольнике АВС медиана ВО является высотой и биссектрисой. Тогда BD ± АС и DB = Ig. Аналогично получим: DB s АС = Z^; АС s Zg. Теорема доказана. ш Теорема 7. В любой ромб можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте ромба. Доказательство этой теоремы проведите самостоятельно. (Совет. См. стр. 63.) I А D I ABCD-параллело-J грамм и АС = BD ABCD - прямоугольник I ABCD-параллело-I грамм . и ABCD-вписанный li I ABCD-прямоуголь-’ ник I СВОЙСТВА: ABCD-ромб ii В_________С ПРИЗНАКИ: В_______С ABCD - параллелограмм и АВ =AD О ABCD-ромб А D ABCD - параллелограмм иAC1BD \} ABCD-ромб ABCD - параллелограмм и BD = lg ABCD-ромб ♦ I ПРИЗНАКИ РОМБА Теорема 8. Параллелограмм, у которого две соседние стороны равны, — ромб. Докажите эту теорему самостоятельно. Теорема 9. Параллелограмм, у которого диагонали пересекаются под прямым углом, — ромб. д Q Пустьу параллелограммаАВСТ) (рис. 2.86) АС ± BD. Докажем, что ABCD - ромб, Доказательство АО = ОС (по свойству паралле-- лограмма) и ВО LAC (по условию). Тогда треугольник АВС - равно-Рис. 2.86 бедренный, т.е. АВ = ВС и по преды- дущему признаку ABCD - ромб. Теорема доказана. Теорема 10. Параллелограмм, диагональ которого является биссектрисой его угла, - ромб. Доказательство, аналогичное доказательству ’теоремы 6, проведите самостоятельно. Теорема 11. Параллелограмм, в который можно вписать окружность, — ромб. Доказательство этого признака проведите самостоятельно. (Совет. См. стр. 63.) СВОЙСТВА КВАДРАТА Квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом. Поэтому он имеет все свойства и прямоугольника, и ромба: - диагонали в точке пересечения делятся пополам; - диагонали пересекаются под прямым углом; - диагонали являются биссектрисами углов квадрата; - площадь равна произведению длин двух его сторон; - вокруг квадрата всегда можно описать окружность. ПРИЗНАКИ КВАДРАТА Легко доказать, что квадратом является: - прямоугольник, диагонали которого пересекаются под прямым углом; - прямоугольник, диагональ которого является биссектрисой его угла; - ромб, один угол которого прямой; - ромб, диагонали которого равны. Предлагаем доказать эти признаки самостоятельно. Попытайтесь сформулировать и доказать еще несколько признаков квадрата. Для любознательных Периметр квадрата равен 4 см. Найдите на плоскости квадрата все точки, сумма расстояний от которых до прямых, содержащих стороны квадрата, равна 6 м. шИ 3. Практическая работа 20 1. Проведите две взаимно перпендикулярные прямые тип. 2. Через точку, не пpинaдлeжaп^yю тип, проведите прямые, параллельные прямым тип. Измерьте углы образовавшегося четырехугольника. Определите вид этого четырехугольника. В полученном четырехугольнике проведите диагонали. Измерьте длины этих диагоналей и частей, на которые они делятся точкой их пересечения. Сформулируйте вывод. 4*.Начертите две прямые, пересекаюпдиеся в точке О. На каждом из образовавшихся лучей, с началом в точке О, отложите четыре равных отрезка: ОА = ОС = ОВ = OD. Соедините точки А, В, С, D отрезками так, чтобы получился четырехугольник. Какой четырехугольник вы получили? Практическая работа 21 1. Начертите две прямые а и Ь, пересекающиеся в точке А. На каждой из этих прямых отложите от точки А по одному отрезку равной длины: AB=AD. 2. Через точки Ви D проведите прямые тип, параллельные прямым о и Ь. Точку пересечения прямых тип обозначьте как С. Измерьте стороны полученного четырехугольника АВСН. Сделайте вывод. 3. Проведите в четырехугольнике АВСН диагонали и измерьте угол между ними. Запишите вывод. Практическая работа 22 1. Проведите две взаимно перпендикулярные прямые тип, пересекающиеся в точке О. На каждой из прямых m и п на одинаковом расстоянии от точки О отметьте по одной точке: К и D. Через точки К и D проведите прямые а и Ъ, параллельные прямым т и п. Точку пересечения прямых аиЬ обозначьте как С. Измерьте стороны и углы четырехугольника OKCD. Сделайте вывод. В четырехугольнике OKCD проведите диагонали. Измерьте длины диагоналей и частей, на которые они делятся точкой их пересечения. Сформулируйте вывод. 2. 3. Для любознательных Опираясь на теорему Фалеса, легко доказать, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1 (считая от вершины). ДаногАЕ = ЕС; BD = DC; BE n AD = М; CM кВ ^ N. Доказать: AN = BN; BM : ME = 2:1. Через К - середину отрезка BD - проведем KS || AD, а затем: ЕЕ\\AD, SP Ц CN, EQ Ц CN (см. рис.). 1) АЕ = ЕС, ЕЕ Had DB = вс = J (угол DAC). 2) BK = KD = DE, KS\\AD\\EE. Тогда BS = SM = = ME (угол ВВС) и ВМ : МВ = 2 : 1. 3) BS = SM = ME, SP\\CNIIBQ. ТогдаBP = PN = = NQ (угол ABE). 4) AB = EC, EQ\\NC^AQ = QN (угол ВАС). 5) AQ==QN = NP = PB^AN = NB. Ч. T. Д. Задание 14 1“. На рисунке 2.87 изображены четырехугольники. Являются ли они прямоугольниками? Почему? В_________________С М___________________F Н ~Л х; К D ■ К Е N а) б) в) Рис. 2.87 2”. На рисунке 2.88 четырехугольники АВСН, KLMN, RTFG - прямоугольники. Найдите углы х, у, г. С D G Рис. 2.88 3°. На рисунке 2.89 четырехугольник ABCD - прямоугольник. Найдите угол DOC. Рис. 2.90 4. 5. В прямоугольнике диагональ образует с большей стороной угол, равный 28°. Найдите угол между диагоналями, лежащий против большей стороны прямоугольника. Угол между диагоналями прямоугольника равен 72°. Какой угол образует диагональ: а) с меньшей стороной; б) с большей стороной? 6*. Существует ли такой прямоугольник, у которого тупой угол между диагоналями на 30° больще, чем угол между диагональю и большей стороной этого прямоугольника? 7*. Из вершины прямоугольника провели перпендикуляр к его диагонали. Этот перпендикуляр делит прямой угол в отношении 3:1. Найдите угол между этим перпендикуляром и второй диагональю. 8”. По рисунку 2.90 найдите периметр прямоугольника PBRK. Для любознательных У Марины 16 карточек: 4 синих (с), 4 красных (к), 4 зеленых (з) и 4 желтых (ж). Она хочет разложить их в квадрате (см. рис.) так, чтобы в каждом столбике и в каждой строке оказались карточки разных цветов. Сколько вариантов цвета карточки существует для клеточки, обозначенной вопросительным знаком? с к с 3 ж 9®. Найдите периметр прямоугольника, если: а) длина одной стороны 2 см, а другой - в 3 раза больше; б) длина одной стороны 2 см, а диагональ образует с другой стороной угол 45°. 10°. Периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них на 6 см больше другой. 11. Периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите стороны прямоугольника, если: а) одна из них на 4 см короче другой; б) одна сторона в 3 раза длиннее другой; в) две его стороны относятся как 2 : 3; г) расстояние между серединами противоположных сторон равно 10 см. 12. Найдите периметр прямоугольника, если: а) точка пересечения его диагоналей удалена от его сторон на 4 см и на 9 см; б) меньшая сторона прямоугольника 4 см, а биссектриса одного из углов делит противолежащую сторону на два равных отрезка. 13*. Точка пересечения диагоналей прямоугольника расположена на 5 см ближе к его большей стороне, чем к меньшей. Найдите стороны этого прямоугольника, если его периметр равен 44 см. 14. Пусть а иЬ - смежные стороны прямоугольника, а S - его площадь. Вычислите; а) S, если а = 8,7 см, Ь = 3,5 см; б) Ь, если а = 24 см, S = 340,8 см^; в) а, если Ь == 4,7 см, S = 27,73 см^. 15. Вычислите стороны прямоугольника, если они относятся как 4 : 9, а его площадь равна 144 см^. 16*. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольного участка, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза? 17. Докажите, что любой параллелограмм, вписанный в окружность, является прямоугольником. 18. Докажите, что диагонали вписанного в окружность прямоугольника -диаметры этой окружности. 19. Докажите, что четырехугольник является прямоугольником, если: а) у него все углы прямые; б) два противолежащих угла прямые и две противолежащие стороны равны; в) две противолежащие стороны равны и перпендикулярны третьей стороне; г) два противолежащих угла прямые и диагональ, соединяющая вершины этих углов, образует с двумя противолежащими сторонами равные углы. 20*. В прямоугольнике ABCD на его диагоналях от каждой из вершин отложили равные отрезки AM = BN = СК = DL. Докажите, что четырехугольник MNKL - прямоугольник. 21*. Докажите, что: а) биссектрисы углов прямоугольника при пересечении образуют квадрат; б) биссектрисы внешних углов прямоугольника при пересечении образуют квадрат. 22*. Докажите, что перпендикуляры, опущенные на диагонали прямоугольника из его вершин, равны. 23*. Через середину диагонали КМ прямоугольника KLMN провели перпендикулярную к этой диагонали прямую, которая пересекает стороны KL и MN в точках А и В соответственно. Найдите длину стороны KL, если АВ = ВМ = 6 см. 24*. Через середину диагонали прямоугольника провели перпендикулярную к ней прямую, которая пересекает большую сторону под углом 60°. Отрезок этой прямой, расположенный внутри прямоугольника, равен 10 см. Найдите большую сторону прямоугольника. 25**. Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника делит его сторону на отрезки, один из которых в 2 раза длиннее другого. Найдите градусные меры углов, на которые диагональ делит угол прямоугольника. 26**. Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника делит его сторону на отрезки, один из которых равен меньшей стороне прямоугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника. 27**. На стороне ВС прямоугольника ABCD отметили такую точку К, что ZAKB = ZAKD. Найдите градусные меры этих углов, если AD = 2АВ. 28. 29*. Постройте прямоугольник по: а) двум неравным сторонам; б) стороне и диагонали; в) диагоналям и углу между ними; г) стороне и радиусу описанной окружности; д) стороне и сумме диагоналей. Прямоугольный участок так зарос травой, что свободными остались только одна из его сторюн и вершина противоположного этой стороне угла. Как найти на этом участке точку, равноудаленную от всех его вершин? 30**. Постройте прямоугольник по его диагонали и сумме двух неравных сторон. 31®. На рисунке 2.91 изображены четырехугольники. Являются ли они ромбами? Почему? Рис. 2.91 32®. По рисунку 2.92 найдите углы ромбов. а) 33® 34. 35*. 36*. М Рис. 2.92 Найдите углы ромба, если: а) угол, образованный диагональю ромба с одной из его сторон, равен 30®; б) угол между одной из его диагоналей и стороной равен 7 5°. Найдите углы, образованные диагоналями ромба и его сторонами, если: а) один из углов ромба 45°; б) одна из диагоналей равна стороне ромба. Найдите углы ромба, если: а) угол между двумя его высотами, проведенными из тупого угла, равен 70°; б) градусные меры углов, образованных диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4 : 5. По рисунку 2.93 найдите углы ромба АВСП. 37®. Найдите периметр ромба, если: а) длина его стороны на 6 см меньше его периметра; б) одна из его диагоналей равна 5 см и образует со стороной ромба угол 60°. 38. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите углы ромба и его периметр, если меньшая его диагональ равна 10 см. 39. Найдите площадь ромба, если: а) его высота равна 2 см, а периметр -16 см; б) его диагонали равны 10 см и 12 см. 40. Как изменится площадь ромба, если и его высоту, и его сторону уменьшить в 4 раза? 41. Вычислите площадь ромба, если: а) его сторона равна 10 см, а один из углов 150°; б) радиус вписанной в ромб окружности равен 5 см, а один из углов 30°. 42*. Квадрат и ромб, который не является квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур. 43*. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 50 см и 18 см. 44. Докажите, что высоты ромба, проведенные к соседним его сторонам, равны. 45*. Докажите следующий признак ромба. Параллелограмм, у которого высоты (проведенные из одной вершины) равны, является ромбом. Предложите еще несколько признаков ромба, отличающихся от приведенных в учебнике, и докажите их. 46. Докажите, что: а) четырехугольник с вершинами в серединах сторон ромба - прямоугольник; б) четырехугольник с вершинами в серединах сторон прямоугольника - ромб. 47. На сторонах ромба от двух его противоположных вершин отложили равные отрезки. Докажите, что концы этих отрезков (не совпадающие с вершинами ромба) являются вершинами прямоугольника. 48*. Из точки пересечения диагоналей ромба опущены перпендикуляры к сторонам ромба. Докажите, что основания этих перпендикуляров -вершины прямоугольника. 49*. Диагонали ромба относятся как 4 : 3. Найдите их длины, если площадь ромба равна 600 см^. 50*. Докаясите, что любой вписанный в окружность ромб является квадратом. 51*. Постройте ромб по: а) стороне и углу; б) стороне и диагонали; в) двум диагоналям. 52**. Постройте ромб по: а) радиусу вписанной в него окружности и стороне; б) диагонали и высоте; в) высоте и углу. 53**. В заданный треугольник впишите ромб так, чтобы он имел с треугольником общий угол, а противолежащая вершина ромба лежала на стороне треугольника. 54”. Докажите, что все четырехугольники на рисунке 2.94 - квадраты. 55. Найдите периметры квадратов, изображенных на рисунке 2.95. К М б) т 6 см R Рис. 2.95 56". Диагональ квадрата делит его на два треугольника. Определите вид этих треугольников. 57. Диагональ квадрата равна 8 см. Найдите его площадь. 58. Периметр квадрата равен 36 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до его сторон. 59*. Докажите, что середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата. 60*. На сторонах квадрата ABCD последовательно отложили равные отрезки AM, ВР, СК и DE. Докажите, что ZPME = ZPKE. 61*. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписали квадрат, две вершины которого лежат на катетах, а одна из сторон - на гипотенузе. Найдите периметр квадрата, если длина гипотенузы 9 см. 62*. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписали квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а противоположная вершина лежит на гипотенузе. Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен а. 63*. Диагональ квадрата равна 5 см. Его сторона является диагональю второго квадрата. Найдите периметр второго квадрата. 64. На сторонах квадрата от двух противоположных его вершин отложили четыре равные отрезка. Докажите, что концы этих отрезков (не совпадающие с вершинами квадрата) являются вершинами прямоугольника. Найдите периметр этого прямоугольника, если диагональ квадрата равна 5 см. 65*. Из одной точки окружности провели две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра этой окружности на 2 см и 3 см. Найдите длины этих хорд. 66*. На сторонах АВ, ВС, CD и DA квадрата ABCD отметили соответственно точки К, Р, М и Е так, что: а) АК = ВР = СМ = DE; б) точки К, Р, М VI Е делят стороны квадрата в одном и том же отношении (при обходе квадрата по часовой стрелке). Докажите, что четырехугольник КРМЕ - квадрат. 67*. На продолжении сторон АВ, ВС, CD и DA квадрата ABCD отметили соответственно точки К, Р, М ж Е так, что AJiC = ВР = СМ = DE. Докажите, что четырехугольник КРМЕ - квадрат. 68*. Через точку пересечения диагоналей квадрата прювели две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами другого квадрата. 69**. Постройте квадрат по: а) его центру и двум точкам на противоположных сторонах; б) сумме стороны и диагонали. Для любознательных 1. Длина одной стороны прямоугольника - а целых единиц длины, а второй - Ь. Через концы единичных отрезков провели прямые, параллельные соответствующим сторонам прямоугольника. Получилось, что данный прямоугольник разделен на аЬ единичных квадратов. А сколько всего образовалось квадратов? 2. АН - высота остроугольного ААВС, О - центр квадрата, построенного на отрезке АВ вне треугольника, К - центр квадрата, построенного на отрезке АС в одной полуплоскости с точкой В (см. рис.). Лежат ли точки К, Н жОж& одной прямой? 3. Постройте ромб ABCD по положению вершин А, В и расстоянию от заданной точки М до середины отрезка ВС. 4. Вне ромба ABCD построили правильный треугольник АМВ. Найдите градусную меру угла CMD. 5. Решите предыдущую задачу в случае расположения точки М внутри ромба. § 16 . Трапеция Две стороны трапеции параллельны по определению. Эти стороны называют основаниями трапеции, а две остальные - боковыми сторонами трапеции. Например, на рисунке 2.96-а у трапеции ABCD ВС \\AD, т. е. ВС VIAD - ее основания, а АВ и CD - боковые стороны. В.------------------.С м____Д а) А б) К D Рис. 2.96 Равнобокой или равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны (рис. 2.96-6). Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой прямой. Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный к ее основанию из точки другого основания. Длина высоты трапеции - расстояние между ее параллельными сторонами. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. I СВОЙСТВА ТРАПЕЦИИ 1. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной ее боковой стороне, равна 180°. Справедливость этого зггверждения следует непосредственно из свойства параллельных прямых. Теорема. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, равна полусумме этих оснований и делит диагонали трапеции пополам. 2. На рисунке 2.97 отрезок МК -средняя линия трапеции ABCD, основания ВС и AD которой обозначены как а VI Ъ соответственно. Докажем, что: {1)МК Ц а, МК Ц Ь; (2) МК = (а + Ь): 2; (3)АР = PC. Доказательство Л Ъ Рис. 2.97 1) На сторонах угла, образованного прямыми АВ и CD, отложены отрезки AM = МВ и DK = КС. Тогда (по обратной теореме Фалеса) а \ I МК 11 Ь и (1) доказано. 2) Рассмотрим AACD: МК )| Ъ, DK = КС. Тогда (по теореме Фалеса) АР = PC, т. е. средняя линия делит диагональ трапеции пополам - (3) доказано. 3) М, Р и К - середины отрезков АВ, АС и CD, т. е. МР и РК - средние линии треугольников ВАС и АСВ. Тогда МК = МР + РК- „а + ^ (а -Ь Ь) и (2) доказано. Теорема доказана. Трапеция 2 основание^ ВС HAD основание D В С ВС \\AD равнобокая или равнобедренная прямоугольная В а С СВОЙСТВА: В С ABCD - трапеция и /H-z2=180°=z3-t-z4 I Ml т == R а с ABCD - трапеция S = h^^ СВОЙСТВА РАВНОБОКОЙ ТРАПЕЦИИ; А D =zC zA+zC= 180" zB + zD = 180° АС = BD, ВО = ОС, АО = OD В С ВС \\AD AB = CD (1 ш 3. \птт\ Теорема. Площадь трапеции равна произведению высоты и средней линии трапеции. Обозначим расстояние между основаниями AD и ВС трапеции ABCD как h (рис. 2.98). Докажем, что площадь трапеции S равна ^ AD + BC h-------. 2 Доказательство Диагональ АС делит трапецию на два треугольника АВС и АСО. Высотами этих треугольников, проведенными к сторонам ВС и AD, будет расстояние между параллельными прямыми ВС и AD. Тогда: ^ ^ ^ h{AD + BC) = h-^^^^ i ^=2 h•ВС + — h AD-- 2 2 ' ' 2 Теорема доказана. СВОЙСТВА РАВНОБОКОЙ ТРАПЕЦИИ Теорема. В равнобокой трапеции: (1) углы, прилежащие к одному основанию, равны; • (2) сумма противолежащих углов 180°; • (3) диагонали равны; • (4) отрезки диагоналей, соединяющие точку их пересечения с концами одного основания, равны; • (5) вокруг равнобокой трапеции всегда можно описать окружность. У равнобокой трапеции АВСП: AD и ВС - основания, АВ = CD. Докажем для нее утверждения (1) - (5). в^---~^с А К А Рис. 2.99 Рис. 2.100 Рис. 2.101 ABCD - вписанная Доказательство Из вершин В и С трапеции проведем высоты ВК и СМ (рис. 2.99). * 1) АВК = DCM (по катету и гипотенузе). Тогда I ZA = /.D. Учитывая свойство углов трапеции, ^ ZB = 180° - ZA = 180° - ZD = ZC и (1) доказано. 2) По свойству трапеции ZA + ZB = 180°, по доказанному ZA = ZD. Тогда ZD + ZB = 180° и (2) доказано. * 3) По доказанному ZD + ZB = 180°, тогда четырех-I угольникАВСП-вписанный (рис. 2.100) и (5) доказано. I 4) Проведем диагонали АС и BD трапеции ABCD (рис. 2.101). По первому признаку AABD = ADCA * {ZA = ZD, АВ = CD, AD - общая). Тогда АС = BD и ут- * верждение (3) доказано. I 5) AABD = ADCA, тогда ZBDA = ZCAD и треугольник AOD - равнобедренный, т. e. АО — OD; учитывая (3), получим: ОС = АС - АО = BD - OD = ОВ. Утверждение (4) доказано. Теорема доказана. I » I » I ПРИЗНАКИ равнобокой трапеции Теорема. Если для трапеции выполняется какое-то из утверждений: • углы, прилежащие к одному основанию, равны; • сумма противолежащих углов 180°; • диагонали равны; • отрезки диагоналей, соединяющие точку их пересечения с концами одного основания, равны; • трапеция - вписана в окружность, то такая трапеция равнобокая. Доказательство этой теоремы проведите самостоятельно, используя рисунки 2.99-2.101. Опорная задача 1 В равнобокой трапеции высота, проведенная из * конца меньшего основания, делит большее осно- | вание на отрезки, равные полуразности и полу сумме оснований. Дано: ВС \ \ AD, ВС = а, AD = AB = CD,BK1AD. Доказать: АК = {Ь - а): 2, КВ = (а + Ъ): 2. Ъ, I Проведем СМ LAD. 1) ВК L AD, СМ L AD. Тогда | КВСМ - прямоугольник и КМ = ВС = а. 2) ААВК = ADCM (по гипотенузе и катету). Тогда: АК = MD = {b-a):2,KD = КМ + MD = а -Ь (б - а): 2 = I = (а + Ь) : 2. Ч. т. д. Опорная задача 2 В трапеции с основаниями аиЬ(а<Ь) диагонали де- | ^ а, Ь—а а , ляг среднюю линию на отрезки, равные —; - --! g * * ^^ Дано: АК = КВ, СМ = MD, ВС = а, AD = b. К* \М Доказать: КР = ТМ = а : 2, РТ = {Ь-а): 2. 1) В треугольниках ВАС и BDC | а * отрезки КР и ТМ - средние линии. Тогда КР = L = ТМ. | ^ а ”1” & 2) КМ - средняя линия трапеции. Тогда КМ =----, I а+Ь а Ь-~ ^ РТ=-------2 ■ - = — 2 2 2 Ч. т. д. ПРИЗНАКИ: В а С I А Ъ D а II & и Z.A =/-D ABCD -равнобокая В а С А Ъ D а II ft и zA +Z.C = 180° I ABCD -равнобокая В а С I I I I А Ъ D а\\ЬнАС = ВВ (I ABCD -равнобокая I а II & И ABCD - вписан-нная II ABCD -равнобокая * I В а I I А'^К____ Ь BKIAD АК = (Ь-а): 2 KD = (Ь+а): 2 I ABCD равнобокая ABCD - трапеция и В В___С D А D ZAOB = 90° Опорная задача 3 Биссектриса угла трапеции отсекает от основания трапеции (или ее продолжения) отрезок, равный боковой стороне трапеции, прилежащей к указанному углу. Дано: ВС || AD, Z1 = Z2. Доказать: ВК =АВ. 1) ВС IIAD Z2 = Z3 (как внутренние разносторонние при секущей АЙГ); 2) Z1=Z2 = Z3 -^АВ = ВК. Ч. т. д. Опорная задача 4 Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной в нее окружности. Дано: ВС \ \ AD, ABCD - описанная. Доказать: h = 2г. 1) М и К- точки касания, О - центр вписанной окружности -> ОМ = г, ОК = г, ОМ LAD, OK L ВС; 2) ВС II AD, (OK) 1 ВС (ОК) 1AD. 3) (ОМ) LAD и (ОК) LAD. Из одной точки к прямой можно провести только один перпендикуляр. Тогда (ОК) = (ОМ) и ОК + LOM^KM^h = 2r. Ч. т. д. Опорная задача 5 Из центра вписанной в трапецию окружности боковая сторона видна под прямым углом. К с Дано: ВС 11AD, ABCD - описанная. Доказать: ZAOB = 90°. 1) ABCD - описанная ~^АО = 1^, ВО = 1^ 1 1 и Z/ = Z2 = - ZA, Z3 = Z4= - ZB; 2) ABCD - трапеция -> ZA + ZB = 180°; 1 3) ААОВ: Z5 = 180° - (Z1 + Z3) = 180° - - (ZA + ZB) = = 180°- 180°: 2 = 90°. Ч. т. д. Следующие опорные задачи предлаггпотся для са- | ABCD - трапеция ’мостоятельного решения. Опорная задача 6. В равнобокой трапеции отрезок, соединяющий середины ее оснований, является высотой трапеции. Правильным есть и обратное утверждение. Опорная задача 7, Если диагонали равнобокой трапеции пересекаются под прямым углом, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен ее средней линии. Правильным есть и обратное утверждение. Опорная задача 8. Если прямые, которым принад-* лежат боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен полуразности этих оснований. Правильным есть и обратное утверждение. • Практическая работа 23 1. Постройте произвольный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. Параллельно его стороне ВС проведите прямую, пересекающую другие стороны треугольника. Точки пересечения обозначьте буквами КиЬ так, чтобы образовалась трапеция CKLB. Какого вида эта трапеция? Из концов верхнего основания проведите высоты трапеции. Сделайте вывод. 2. Постройте произвольный равнобедренный треугольник и проведите прямую, пересекающую треугольник, параллельно его основанию. Как называется образовавшийся четырехугольник? Почему? Измерьте длины боковых сторон и градусные меры углов четырехугольника. Проведите в нем диагонали и измерьте их длину. Сделайте вывод. Задание 15 1°. Углы при одном из оснований трапеции равны 68° и 74°. Найдите градусные меры остальных углов трапеции. 2°. Один из углов трапеции равен 57°. Найдите все остальные углы трапеции, если: а) трапеция равнобокая; б) трапеция прямоугольная. 3. Углы при одной боковой стороне трапеции ABCD (АВ || CD, АВ < CD) относятся как 1: 2, а при другой боковой стороне - как 1: 3. Найдите углы трапеции, если: а) к большему основанию прилегают острые углы; б) к большему основанию прилегают острый и тупой углы. 4. Трапеция вписана в окружность. Найдите ее углы, если один из них равен 54°. 5. Существует ли трапеция с углами: а) 136°, 34°, 60°, 130°; б) 136°, 44°, 92°, 88°? 6. Могут ли градусные меры углов трапеции быть пропорциональны числам: а) 6, 3,4, 2; б) 8, 7, 13, 12? 7. Найдите углы трапеции ABCD по рисунку 2.102. 8*. 9*. 10*. 11* 12*. 13*. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции. Высота равнобокой трапеции в 2 раза меньше ее боковой стороны. Найдите углы трапеции. Верхнее основание прямоугольной трапеции равно ее меньшей боковой стороне и в 2 раза меньше второго основания. Найдите угол между большей боковой стороной и меньшей диагональю трапеции. Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 10 см и 4 см, а один из углов равен 135°. В прямоугольной трапеции один из углов 120°, а длина оснований -4 см и 8 см. Найдите длину меньшей диагонали. Какой фигурой на рисунке 2.103 является четырехугольник KLMN, если: а) АК = KN, AL = LM; б) АК = 2KN, AL = 2LM7 Вычислите его периметр, если АЛГ = 10 см, AM = 12 см, MN = 8 см. 14". 15. 16. 17. 18*. 19*. 20. 21*. Найдите длину средней линии трапеции, если ее основания равны: а) 2 см и 6 см; б) 12 см и 18 см. Найдите неизвестное основание трапеции, если: а) средняя линия трапеции ргшна 5 см, а одно из ее оснований - 2 см; б) одно из оснований трапеции равно 4 см, а средняя линия на 1 см меньше этого основания; в) одно из оснований трапеции равно 4 см, а средняя линия на 1 см меньше неизвестного основания. Найдите основания трапеции, если: а) основания трапеции относятся как 1: 3, а средняя линия равна 10 см; б) основания трапеции относятся как 3 : 5, а их разность равна 4 см. Основания трапеции равны 10 см и 4 см. Найдите длины отрезков, на которые средняя линия делится диагоналями трапеции. Периметр описанной трапеции равен 28 см, а отрезок средней линии трапеции, расположенный между ее диагоналями, равен 3 см. Найдите основания трапеции. Найдите отношение оснований трапеции, если диагонали делят ее среднюю линию на: а) три равных отрезка; б) в отношении 2:1:2. Основания трапеции равны 2 см и 8 см. Каждую из боковых сторон трапеции поделили на п равных частей и соответствующие точки соединили непересекающимися отрезками. Найдите длины этих отрезков, если: а*) га = 4; б**) га = 3. Найдите периметр равнобокой трапеции, если один из ее углов равен 60°, а основания равны 15 см и 49 см. Для любознательных Крышки столов для детского садика имеют форму равнобокой трапеции. Благодаря этому из них можно составить круг (рис. А). Если же каждый второй стол повернуть на 180°, то образуется сплошной (прямой) ряд (рис. В). Определите, будут ли в последнем случае параллельными крайние (свободные) края крышек столов. 22. 23*. 24. 25*. 26*. 27*. 28**, 29** 30**, 31**, 32**, .33**, 34**, 35**. 36**, 37**, Боковая сторона описанной равнобокой трапеции равна 7 см. Найдите: а) периметр трапеции; б) длину средней линии трапеции. Средняя линия вписанной трапеции равна 6 м. Найдите периметр трапеции и длины ее боковых сторон, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность. Длины сторон трапеции равны 2 см, 2 см, 2 см и 4 см. Найдите радиус описанной вокруг нее окружности. В равнобокой трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона - 24 см, а сумма оснований 44 см. Найдите основания трапеции. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 4 см. Найдите высоту трапеции, если известно, что диагонали ее взаимно перпендикулярны. Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 16 см. Найдите ее площадь, если: а) меньшая диагональ трапеции является биссектрисой ее прямого угла; б) большая диагональ трапеции является биссектрисой ее прямого угла. Тупой угол прямоугольной трапеции равен 120°, а меньшгш диагональ и большая боковая сторона - 12 см. Н£1Йдите среднюю линию трапеции. Средняя линия равнобокой трапеции равна 5 см, а отрезок средней линии, ограниченный диагоналями, - 3 см. Найдите площадь трапеции, если: а) прямые, содержахцие боковые стороны трапеции пересекаются под прямым углом; б) диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 5 см, а отрезок, соединяющий середины ее оснований, - 3 см. Углы при большем основании равны 30° и 60°. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции. Докажите, что в равнобокой трапеции середины оснований и диагоналей являются вершинами ромба, периметр которого равен сумме боковых сторон этой трапеции. Сумма углов при большем основании трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом. Высота трапеции равна ее средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая. Докажите, что биссектрисы двух углов трапеции, прилежащих к одной ее боковой, пересекаются на средней линии этой трапеции. В заданную трапецию можно вписать окружность. Докажите, что окружности, построенные на боковых сторонах этой трапеции как на диаметрах, касаются друг друга. Одна из боковых сторон трапеции равна сумме оснований. Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на второй боковой стороне трапеции. Постройте трапецию по: а) четырем ее сторонам; б) ее основаниям, высоте и диагонали; в) ее основаниям, боковой стороне и диагонали; г) трем сторонам и диагонали; д) высоте, боковым сторонам и диагонали; е) высоте, средней линии и диагонали. Для любознательных Как из прямоугольника вырезать ромб наибольшей площади? Решите несколько задач известного украинского математика MJB. Остроградского (1801-1862). 1. В данную окружность впишите треугольник, каждая сторона которого (или их продолжение) проходит через одну из заданных трех точек. 2. В данную окружность впишите треугольник, две стороны которого проходят через заданные дветочки, а третья сторона параллельна заданной прямой. 3. В данную окружность впишите четырехугольник, каждая сторюна которю-го (или их продолжение) проходит через одну из четырех заданных точек. Задания для повторения главы II 1”. Какая фигура называется многоугольником (четырехугольником)? Какие отрезки называются его диагоналями? Чему равна сумма углов многоугольника (четырехугольника)? 2“. Изобразите выпуклый и невыпуклый многоугольники. Какое свойство для длин сторон многоугольников вы знаете? Какой многоугольник называется вписанным? Чему равна сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника? Какой многоугольник называется описанным? Чему равна сумма противолежащих сторон описанного четырехугольника? Что вы знаете о центре окружности, описанной (вписанной) в многоугольник? Вокруг какого многоугольника можно описать окружность? В какой многоугольник можно вписать окружность? Какой четырехугольник называется трапецией (параллелограммом, прямоугольником, ромбом, квадратом)? Какой отрезок называют высотой трапеции (параллелограмма, ромба)? Сформулируйте свойства параллелограмма (прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции) и докажите их. Сформулируйте признаки параллелограмма (прямоугольника, ромба, квадрата) и докажите их. Дайте определение ргшнобедренной трапеции. Сформулируйте и докажите ее свойства. Сформулируйте и докажите признаки равнобедренной трапеции. 11**. Придумайте и докажите, отличающиеся от предложенных в учебнике, признаки параллелограмма (прямоугольника, ромба, квадрата, равнобокой трапеции). Сформулируйте теорему Фалеса и следствия из нее. Сформулируйте обратную теорему Фалеса. Правда ли, что среди углов выпуклого четырехугольника всегда найдется хотя бы один неострый угол? Три угла четырехугольника равны 28°, 62°, 70°. Может ли он быть выпуклым? 15*. Три угла выпуклого четырехугольника острые. Докажите, что среди них есть хотя бы один угол больше 60°. 16**. В четырехугольнике АВСП: Z.A = АВ = 100°, Z.ABD = 40°, Z.CAD = 60°. Найдите угол ACD. Существует ли четырехугольник, длины сторон которого равны 1 см, 2 см, 3 см и 6 см? Можно ли вписать в окружность четырехугольник, стороны которого (при последовательном рассмотрении) равны: а) 5 см, 6 см, 7 см и 8 см; б) 11 см, 7 см, 6 см и 10 см? а) Можно ли вписать в окружность четырехугольник, стороны которого (при последовательном рассмотрении) относятся как 3 : 4 : 5 : 6? б) Стороны описанного четырехугольника (взятые последовательно) относятся как 3 ; 4 ; m ; 6. Найдите т. 3°. 5“. 6. 7". 8. 9. 10. 12. 13. 14. 17, 18, 19*. Для любознательных 1. Даны три точки А, В иС - вершины равнобокой трапеции (рис. А). Постройте трапецию. Замечание. Задача настолько проста, что вы, наверное, не стали ее решать. Интересно, а поду-' Мали ли вы о том, что задача имеет три решения? 2. Даны три точки Di, Х>2 и Пд (рис. Б) - вершины трех равнобоких трапеций. Известно, что другие три вершины этих трапеций (А, В и С) общие. Постройте эти трапеции. Сколько решений имеет задача? 20. Докажите, что на рисунке 2.104 изображены параллелограммы. 21. Докажите, что на рисунке 2.105 изображены ромбы. в) Рис. 2.105 22. Докажите, что на рисунке 2.106 изображены прямоугольники. М_ В □ п г D а) " б) Рис. 2.106 23. Можно ли утверждать, что на рисунке 2.107 изображены параллелограммы? G В б) Рис. 2.107 Для любознательных Сгибанием бумаги выделите из прямоугольного треугольника квадрат так, чтобы один из его углов совмещался с прямым утлом данного треугольника, а вершина противолежащего угла квадрата лежала на гипотенузе треугольника. 24. 25. 26. 27. 29. 30. Найдите углы параллелограмма, если: а) один его угол равен 27°; б) градусные меры двух его углов относятся как 2:3. Найдите углы параллелограмма, если угол между его высотами, проведенными иа одной вершины, равен 40°. Биссектриса угла параллелограмма пересекает его противоположную сторону под углом 37°. Найдите углы параллелограмма. Найдите стороны параллелограмма, периметр которого равняется 28 см, если: а) одна сторона больше другой на 4 см; б) одна сторона в 2,5 раза длиннее другой; в) стороны относятся как 2 : 3. 28*. В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и В, пересекающиеся в точке F. Докажите, что треугольник ABF прямоугольный. Периметр треугольника, образованного средними линиями треугольника АВС, равен 12 см. Найдите периметр треугольника АВС. Найдите: а) высоту ромба со стороной 10 см и тупым углом 150°; б) площадь прямоугольника, если биссектрисы двух его углов, прилегающих к одной стороне, делят противоположную ей сторону на отрезки 3 см, 5 см и 3 см; в) диагонали четырехугольника, образованного биссектрисами углов прямоугольника со сторонами 3 см и 6 см. 31*.Периметр параллелограмма равен 48 см. Биссектриса одного из его углов делит параллелограмм на две фигуры, разница периметров которых равна 6 см. Найдите стороны параллелограмма. 32. Два угла трапеции равны: а) 74° и 74°; б) 45° и 120°. Найдите остальные углы. Найдите углы трапеции, если: а) трапеция прямоугольная, а один ее угол равен 100°; б) трапеция равнобокая, а один ее угол равен 45°. В прямоугольной трапеции АВСВ (рис. 2.108) диагональАС 1 СОяАС = " CD. Найдите ZBCD. 35*. В трапеции АВСВ (рис. 2.109) АВ = ВС = CD и АС 1 CD. Найдите ZB и ZD. 33 34. Рис. 2.109 36*. Боковые стороны трапеции равны меньшему ее основанию, а угол между диагональю и основанием равен 30°. Найдите углы трапеции. Для любозвательных 1. Через точку, заданную внутри острого угла, проведите прямую так, чтобы ее отрезок, расположенный внутри данного угла, делился заданной точкой пополам. 2. Внутри острого угла дано две точки М и Р. Постройте на сторонах угла точки А и В так, чтобы периметр четырехугольника с вершинами в точках М, Р,АпВ был наименьшим. 3. Диагонали вписанного четырехугольника взаимно перпендикулярны. Из точки их пересечения провели перпендикуляры ко всем сторонам четырехугольника. Докажите, что основания этих перпендикуляров и середины сторон четырехугольника лежат на одной окружности. 4. Докажите: если отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон выпуклого четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон, то такой четырехугольник является или параллелограммом, или трапецией. 37. 38. 39*. Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной вокруг окружности, равна 2 см. Найдите периметр трапеции. В трапецииASCZ)(рис. 2.110) AM^MB^CN=NDnBKlAD,AK-=^cu, DA = 7 см. Найдите MN. В трапеции ABCD (рис. 2.111) AAf ==MB = CN = ND, ZBAC = ZCAD, MK = 3 ДМ, KN = 5 ДМ. Найдите периметр трапеции. 40*. Боковую сторону трапеции разделили на равные отрезки ВМ = МР = = PR = ДА; притом; MN Ц PQ Ц RS || АН; ВС = 15 см; АН = 23 см (рис. 2. 112). НайдитеЛ/7/, PQuRS. 41*. Средняя линия описанной трапеции делится ее диагоналями на три равные отрезка длиной 1,5 см каждый. Найдите основания и периметр трапеции. В равнобокой трапеции Авен провели диагонали АС и ВН. Докажите, что ZABD — ZACD. Диагонали равнобокой трапеции делят ее на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равны. Средняя линия МЛГ трапеции ABCD пересекает диагональ АС в точке Р, а диагональ ВН - в точке Q. Докажите, что МР = NQ. 45**. Постройте четырехугольник АВСД по углам А и В, сторонам АВ и AJT и сумме двух его других сторон. 46**. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равноудалена от всех его сторон. Определите вид четырехугольника. 42*. 43*. 44*. Для любознательных Через точку внутри квадрата провели прямые, параллельные его сторонам и диагоналям (см. рис.). Докажите, что сумма площадей незакрашенных частей квадрата равна сумме площадей закрашенных его частей. В переводе с латинского языка «квадрат» означает «четырехугольный». Готовимся к тематической аттестации № 2 Вариант I Найдите все его осталь- 1. (2 б.) Один из углов параллелограмма равен 57° ные углы. 2. (2 б.) Одна из сторон прямоугольника на 4 см меньше другой. Найдите площадь этого прямоугольника, если его периметр равен 16см. 3. (2 б.) Боковая сторона равнобокой трапеции равна 3 см, а ее средняя линия - 5 см. Найдите периметр трапеции. 4. (3 б.) Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см и 6 см, а градусные меры двух его углов относятся как 1 : 5. 5. (3 б.) В прямоугольной трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а ее длина в два раза больше меньшего основания. Найдите углы трапеции. Вариант II 1. (2 б.) Два угла трапеции равны 32° и 116°. Найдите ее остальные углы. 2. (2 б.) Периметр квадрата равен 28 см. Найдите его площадь. 3. (2 б.) Средняя линия равностороннего треугольника равна 45 мм. Найдите периметр этого треугольника. 4. (3 б.) Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 4 см и 6 см, а один из углов - 135°. 5. (3 б.) В параллелограмме ABCD ZB = 120°. Биссектриса угла ABD делит сторону AD на две равные части. Найдите периметр параллелограмма, если BD = 5 см. Для любознательных 1. Диагонали трапеции ABCD (ВС Ц AD) пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АВО и CDO - равновеликие. 2. В равнобокой трапеции провели диагонали и высоты из вершин верхнего основания (рис. А). Докажите, что сумма площадей незакрашенных частей трапеции равна сумме площадей закрашенных ее частей. 3. В трапеции ABCD: ВС || AD, ВС = а, AD = Ь (рис. Б). На каком расстоянии от AD нужно провести прямую КМ, параллельную основаниям трапеции, чтобы сумма площадей треугольников AKL и LMC была наименьшей (L -точка пересечения КМ и АС)? 4. Из середины одной боковой стороны трапеции к другой ее боковой стороне провели перпендикуляр (рис. В). Докажите, что площадь трапеции равна произведению этого перпендикуляра на длину боковой стороны, к которой провели перпендикуляр. В Всемирно известный гений Альберт Эйнштейн, которого в детстве учителя считали тупоголовым, но настойчивым ребенком, сумел в своей теории относительности объединить геометрию, оптику, механику и электромагнетизм. §17 . Пропорциональные отрезки Рассмотрим две пары чисел а, Ь и с, d. Говорят, что эти пары пропорциональны, если их отношения равны, а с т. е. имеет место равенство — . Само это равенство Ь d называют пропорцией. Пропорции использовали еще в древние и средние века. Определенные типы задач и сегодня решают с помощью пропорций. Пропорции и пропорциональность использовали и используют не только в математике, но и еще, напри- I мер, в химии, архитектуре, искусстве и т. д. | ^ Пропорция^ N ✓ ж' "ч. а - d = bc а ■ d = с а =- с ■ Ь Для любознательных Слово «пропорция» происходит от латинского proportio, что означает «соразмерность, определенное отношение частей между собой». Теория подобия основывается на теореме о пропорциональных отрезках -обобщенной теореме Фалеса Теорема (обобщенная теорема Фалеса, или теорема о пропорциональных отрезках). Параллель-; ные прямые, пересекающие угол, отсекают на его s сторонах пропорциональные отрезки. Пусть параллельные прямые пересекают одну сторону угла А в точках В и С, а вторую - в точках Вх и Cj (рис. 3.1). Докажем, что Доказательство Воспользуемся методом от противного. Пусть (ВС : АВ) (BiCj: АВД. СЛУЧАЙ 1. Пусть (ВС : АВ) < (В^С^: АВ^). Отметим на стороне АС угла А точку М так, чтобы ВМ:АВ = BjCj: ABj (рис. 3.2). К<-К. пм ах II аз II аз | У1 У2 Уп 1) Разделим отрезок АВ на равные части так, чтобы длина одной такой части а была меньше СМ (рис. 3.3). 2) На луче ВМ (от точки В) будем откладывать отрезок а, пока конец К такого отрезка не окажется на отрезке СМ (рис. 3.3). Отрезок АйГ содержит целое число п отрезков а. Обозначим их правые концы как Кх, {К^^В,К,^К). 3) Через точки Кх, ..., К„ проведем прямые, параллельные ВВх. Эти прямые пересекут вторую сторону угла в точках Ех, ..., Е„ (рис. 3.3). По теореме Фалеса АВ] = В1В2 = — = В„ _1-Е„ = Ь. 4) Отрезок АВ содержит т отрезков а, а отрезок ABj -тотрезков Ь: АВ = т • а,АВх ~ т - Ь; ВКп = (п - т) • а, ВхЕ,^ = {п- т)-Ъ. 5) Тогда; АВ п-т В,Е X п т АВ, но ВК <- В,Е. АВ АВ АВх АВ^ . Пришли к противоречию. СЛУЧАЙ 2. {ВС : АВ) > {В^С^: АВ^). В этом случае изменим обозначение точек: В на Bi и С на Cl - получим случай 1. Вывод: наше предположение было ложным, и утверждение теоремы выполняется. С Следствие 1. Параллельные прямые, пересекающие угол, отсекают от него треугольники. Стороны этих треугольников, содержащие данный угол, пропорциональны. На рисунке 3.4 КР || АС. По теореме: АК СР КВ РВ' Прибавим к обеим частям этого равенства по 1. Тогда: АК+КВ СР+РВ КВ РВ , т. е. АВ КВ СВ ВР' С Следствие 2. Если даны угол и прямая I (не параллельная сторонам угла), то любые две прямые, пересекающие этот угол параллельно I, отсекают на его сторонах отрезки, отношение которых постоянно (для данного угла и данной прямой I). Например, на рисунке 3.5 проведенные прямые пересекают угол параллельно I. Ъ а Ь cad Согласно теореме —=—= а. dj &1 т. е. а. Ьг КВ АВ ВР ВС ах III II 02 II I II i>2 = const Ух У2 Для любознательных До XVI в. пропорции записывались словами (полностью или сокращенно). Делались попытки ввести специальные обозначения для пропорций. Например, в рукописи XII в., найденной в Индии, пропорция 10 : (163/60) = 4 : (163/150) записана так, как показано на рисунке А. В средние века математики исламских стран, которые писали на арабском языке справа налево, использовали для записи пропорций три точки. Например, пропорцию 7 : 12 = 84 : 144 они записывали так, как показано на рисунке Б. 10 163 4 163 1 60 1 150 144 .-.84 .-.12 .-.7 111 Известный древнегреческий математик Фалес (VI в. до н. э.) прославился как человек, который привнес логику в геометрию, введя в нее доказательство. Если раньше геометры удовлетворялись ответом на вопрос «как», то Фалес ставил вопрос «почему». а : Ь = с : X Четвертый пропорциональный Теорема (обратная к обобщенной теореме Фалеса). Если на сторонах угла (от его вершины) отложить пропорциональные отрезки и через их концы провести прямые, то эти прямые будут параллельны между собой. На сторонах угла А (рис. 3.6) отложены отрезки, длины которых удовлетворяют соотношению ВС <=>---= АВ AR АВ -- =-------- ВС ~ ^ АВ^ ДС1 АВ АС АВ^ ACi Докажем, что ВВ^ || CCj. Доказательство Воспользуемся методом от противного. Пусть BBj CCj. Через точку В проведем прямую, параллельную CCj, которая пересекает сторону угла АС j в точке В^ ^ В^. 1) ВВ„ 11СС. 2) AB, AC, АВ АС AB, AC, АВ АС AB, AC, тогда АВ = ABj, чего быть не может. ( Предположение ложно, тогда ВВ, || CCj. Теорема доказана. Отрезок х называется четвертым пропорциональным трех данных отрезков а,Ь и с, если выполняется соотношение а :Ь = с : х. Следствие. Докажите самостоятельно такое следствие обобщенной теоремы Фалеса. Если задано две прямые, которые пересекаются параллельными прямыми, то на заданных прямых отсекаются пропорциональные отрезки. ш Рассмотрите случаи: заданные прямые не параллельны (рис. 3.7-а); заданные прямые параллельны (рис. 3.7-6); заданные прямые пересекаются, и точка их пересечения лежит между параллельными прямыми (рис. 3.7-в). Опорная задача 1 ПОСТРОЕНИЕ ЧЕТВЕРТОГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ОТРЕЗКА По данным отрезкам а, Ь, с построить отрезок х, сЬ длина которого равняется х = —. а Дано: а,Ьис. „ со Построить: х = —. а План построения 1) ZFAE - произвольный. 2) На [АЕ) откладываем АР = Ь. 3) На [АЕ) откладываем АХ = а, КМ = с. 4) Строим MD 11КР; х = PD ~ искомый. Доказательство Имеем по построению: АК = а; КМ = с; АР = Ь; MD \\КР. Тогда по обобщенной теореме Фалеса: сЪ а :Ь = с : X и х = —. тт я Ч. т. д. Опорная задача 2 Точка К делит медиану AM треугольника АВС пополам. В каком отношении прямая ВК делит сторону АС? Дано: ВМ = МС, АК = КМ. Найти: АР : PC. Проведем MF || ВР. 1) Рассмотрим ZMAC: ЛК-КМ = KP\\MF ^ (по теореме Фалеса). 2) Рассмотрим ZACB: BP\\MF I Имеем*. АР = PF = FC. Тогда АР : PC = 1 *. 2. Ответ: АР : PC =1:2. ЧЕТВЕРТЫЙ ПРОПОРЦИО- НАЛЬНЫЙ: сЬ X = Z.A — произвольный Для любознательных Точка А лежит на окружности, МК - хорда этой окружности. Найдите на заданной окружности такую точку X, чтобы хорда МК делила хорду AJC пополам. Решить эту задачу двумя способами вам помогут рисунки А и Б соответственно. Практическая работа 24 1. Начертите острый угол с вершиной в точке А. 2. На одной из сторон угла отложите от его вершины последовательно отрезки: АВ = 2 см, ВС = 4 см. 3. С помощью угольника и линейки (см. практическую работу 17) через концы отрезков проведите параллельные прямые так, чтобы они пересекали вторую сторону угла в точках Bj и Cj. 4. Измерьте линейкой отрезки ABj, ACj, BjCj, BBj, СС^. АВ АД ВД ас’ ад “сд ' 5. Сравните отношения: а) вывод. б) и . Сформулируйте АД ДД Задание 16 1®. Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 18 см и 24 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в дециметрах? 2®. Найдите х из пропорции: а) 75 7 3 б) X 2 2 0,6х-1,1;0,5; г) 4- : 0,2х = 1,3:0,3. 3 1 : 2. 3®. Точка М делит отрезок АВ на два таких отрезка, что AM : МВ Найдите AM : АВ и МВ : АВ. 4. Точки CviD делят отрезок АВ на три таких отрезка, что АС : CD : DB = = 2:3:1. Найдите: а) AD : ВВ; б) CD : ВВ; в) СВ : АС; г) АВ : СВ. 5®. Параллельные прямые kvil пересекают стороны угла BOBj (рис. 3.8). Найдите длину отрезка ОА], если АО = 4 см, АВ = 6 см, AjBj = 8 см. 6®. По рисунку 3.9 найдите отношения: а) ОА : АВ; б) ОА : ОВ; в) ОВ : АВ, если прямые, пересекающие стороны угла, параллельны. Рис. 3.8 Рис. 3.9 7®. Стороны угла А пересекли параллельными прямыми а и Ь (рис. 3.10). Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 8 см, ED = 6 см, АВ = 4 см. 8. На рисунке 3.11 AF Ц BG Ц СН. Найдите отношения отрезков; а) OF -.FG -. GH; б) OF : FH; в) OG : GH. С \а Рис. 3.10 9. Прямые т, п, р параллельны между собой (рис. 3.12). Найдите длины отрезков КМ и PC, если AM = 2 см, AN = 3 см, NP = ВК = 6 см. 10. По рисунку 3.13 найдите х. 11*. Прямые тип пересекают параллельные прямые (рис. 3.14). Найдите длины отрезков BjCi и C^D^, если АВ : ВС : CD = 3:6:5. 12**. Найдите длину отрезка DE (рис. 3.15), если: а)АВ = 2 см, BD = 1 см, ВС — = 1 см; б) AS = б см, BD = 4 см, DE - ВС = 2 см. (Совет. Через точку С проведите вспомогательную прямую, параллельную AD.) Рис. 3.14 Рис. 3.15 13**. 14**. 15**. 16**. 17**. 18**. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили соответственно точки МиР так, что AM : АВ = 3:4 и АР : АС = 3:4. Найдите длину отрезка МР, если ВС = 10 см. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили соответственно точки М и iV так, что ВМ: ВА = BN : ВС = 1:3. Точки В и В делят сторону АС на три равные части (АВ = DE = ЕС). Докажите, что МВ = NE. Точка М делит медиану AAj треугольника АВС так, что MAi = 2АМ. В каком отношении прямая ВМ делит сторону АС этого треугольника? Прямая BBj делит сторону АС треугольника АВС в отношении 1 : 3, считая от вершины С. В каком отношении она делит медиану ААх? Медиана ВМ делит высоту АН треугольника АВС в отношении 3:1, считая от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану? По заданным отрезкам а, Ь, с, d, е постройте отрезки: а) : 5; б) аЬс: de. Для любознательных 1. Дана прямая I и три точки, которые не лежат на ней и на одной прямой. Проведите (построением) через заданные точки параллельные между собой прямые, отсекающие на прямой I равные отрезки. 2. Постройте параллелограмм АВСВ по положению трех его точек - по середине стороны АВ и серединам высот, проведенным из вершины В. 3. Вершина А треугольника АВС перемещается так, что длина медианы СК не изменяется. Какую линию при этом описывает вершинаА? 115 в если: =zAi; z5 zC =zCi и ВС _ AC _AB_f, JBjCj i4.iCi Соответственные: AB и AiBi, AC и AjCi, BC и BjCi; A и Aj, В и Bj, C и Cj. §18 « Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если | у них равны углы, а против равных углов лежат | пропорциональные стороны. В подобных треугольниках называют: • соответственными углами - равные углы; • соответственными вершинами - вершины равных | углов; • соответственными сторонами - стороны, лежащие против равных углов. В Подобие треугольников приня- то обозначать знаком . Например, на рисунке 3.16 AAjBjCj ААВС. Соответственные углы этих треугольников равны: ZA = ZAj, ZB = ZBj, ZC = ZCj; соответственными вершинами являются вершины: А и Aj, В и Bj, С и Ср соответственные стороны Рис. 3.16 этих треугольников пропорциональны: AjBj _ BjCj _ Cj Aj CA' Обозначим отношение соответственных сторон этих треугольников через k. Его называют коэффициентом подобия треугольника относительно треуголь- HHKaABC.Torfla:AiBi=fe-AB, BiCi=ft BC, C|Ai = fe CA. Мы только что сформулировали определение подобных треугольников. А то, что такие треугольники существуют, утверждается в следующей теореме - основной теореме в геометрии подобных треугольников. I Для любознательных Лемма Архимеда (см. стр. 34, 35) «о перпендикулярах на секущую» Окружность и перпендикуляры, проведенные из концов диаметра на секущую, отсекают на ней равные отрезки. Доказательство Возможны два случая: диаметр и секущая пересекаются внутри окружности (рис. А); секущая пересекает продолжение диаметра (рис. Б). СЛУЧАЙ 1. Пусть диаметр АВ и секущая CD пересекаются внутри окружности (с центром О) в точке К (рис. А). 1) ОТ 1CD,AKL CD, ВМ1 CD. Тогда СТ = TD. 2) Ай: II ОТ II МВнКТ :ТМ= АО: ОВ (см. стр. 81); АО = ОВ как радиусы —> КТ = ТМ. 3) CK = CT-KT^TD-TM = MD. СЛУЧАЙ 2. В этом случае (рис. Б) равенство С К = PD доказывается аналогично. Убедитесь в этом самостоятельно. 6® ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Теорема(осковноя теорема подобия треугольников). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от этого угла подобные треугольники. На рисунке 3.17 угол А пересекают параллельные прямые: ВС 1! BjCj. Докажем, что углы треугольников АВС и ABjCi равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Доказательство 1) Равенство углов следует из свойства параллельных прямых. 2) ВС II JBiCi, тогда по следствию из обобщенной теоремы Фалеса: ABj: АВ == ACj: АС. 3) Через точку В проведем ВК || ACi (рис. 3.17). Тогда ВС = KCi как стороны параллелограмма СВКС^. 4) Угол AB^Ci пересекают параллельные прямые ВК и АСх. Тогда B]Ci : КС^ = АВ^ : АВ и, учитывая, что КСх = ВС, получим, что: B^Ci: ВС = АВх :AB=ACi :АС (см. п. (2)). Теорема доказана. Практическая работа 25 Вырежьте из бумаги четыре равных треугольника. Один из них оставьте без изменения, а от остгшьных отрежьте части, которые отсекаются прямыми, параллельными каждой из трех сторон треугольника (рис. 3.18). а\Ь и ДАВСсоДАВ,С I'-'l 1. 2. Сравните углы трех полученных треугольников с углами первого треугольника. Сделайте вывод. Измерьте длины сторон двух из этих треугольников. Сравните отношения длин их соответственных сторон. Сделайте вывод. Для любознательных 1. Одна из диагоналей четырехугольника является диаметром окружности, описанной вокруг этого четырехугольника. Докажите, что проекции противолежащих сторон этого четырехугольника на его вторую диагональ, не являющуюся диаметром окружности, равны между собой. 2. Вокруг треугольника описана окружность. Докажите, что проекция диаметра, перпендикулярного к одной из сторон треугольника на вторую сторону этого треугольника, равна третьей его стороне. 3. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны ВС треугольника в точке К. Вневписанная окружность (см. «Словарик» и стр. 255) касается стороны ВС этого треугольника в точке Т. Докажите, что СТ = ВК. Задание 17 1“. Подобны ли треугольники АВС и EDF, если ZA = 106°, ZB = 34°, ZE = 106°, ZF = 40°, АС = 4,4 см, АВ^ 5,2 см, ВС = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см? 2°. На рисунке 3.19 LABC AAjBiCi, AjBj: АВ =1:2. Найдите х, у, г. 3". На рисунке 3.20 IZFGH AFiG^Hi. Найдите х, у. 4. Треугольники KLM и - подобны. KL = 6 см, I-iMj = 21 см, = = 24 см, KiLi: KL = 3:1. Найдите стороны треугольника KLM. 5°. Стороны угла О пересекают параллельные прямые аиЬ (рис. 3.21). Найдите стороны треугольника АОВ, если ОА = 4 см, OAj = 6 см, OBj = 8 см, A^Bi = 5 см. 6. Прямые GH и KL параллельны (рис. 3.22). Сторона GH треугольника FGH равна 18 см. Найдите сторону KL треугольника FKL, если: a)FG : FK = 2 :3;6)FG:GK = 2:3. 7. Стороны одного треугольника равны 2 см, 4 см и 5 см, а наименьшая средняя линия подобного ему треугольника равна 3 см. Найдите стороны второго треугольника. 8. На рисунке 3.23 найдите подобные треугольники и пары соответственных сторон. 9. В треугольник BKL вписан ромб ABCD (рис. 3.24). Докажите подобие треугольников: a)AKD и BKL; б) CDL и BKL. lie 10. На рисунке 3.25 треугольники KLN и - подобны, га: й: / = 6: 7:8, йг - rti = 4 см. Найдите йц щ, 1^. 11. На рисунке 3.26 треугольники АВС и AiBiCj - подобны, с : а : й = 6 : 7; 8, х + у-Юа. Найдитех, у, г. Рис. 3.25 12. На рисунке 3.27 MN || GH. Найдите FG. 13. На рисунке 3.28 OS || LM. Найдите LM, ОМ. Рис. 3.26 Я М Рис. 3.27 Рис. 3.28 14*. Дано треугольник АВС. Точка М лежит на отрезке АВ, точка N лежит на отрезке ВС. MN Ц АС, BN = 3 см, МА = 3 см, NC == 2 см, АС = 10 см. Найдите MN и МВ. 15*. Прямые АВ \\ DC \\KL, FK : FD : FA-1 : 4 : 5, АВ ^ 30 см, FC = 40 см, FK = 10 см (рис. 3.29). Найдите периметр четырехугольника KLCD. 16*. Сколько пар подобных треугольников на рисунке 3.30, если AL || DRI 17*. Точки К п М лежат на сторонах АВ и АС треугольника АВС соответственно. Прямые КМ и ВС параллельны. Докажите, что медиана, проведенная к стороне ВС треугольника АВС, делит отрезок КМ пополам. I ПРИЗНАК AB AiB; AC AjCi u A ABC CO AAiBiCi A C Ai Cl /.A = z.Ai; zC = ^Ci _ AABC CO AAjBiCi a:! A Bo В B2 В Ai Рис. 3.31 Cl § 19. Признаки подобия треугольников ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Теорема 1. Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, а стороны треугольников, образующие этот угол, пропорциональны, то такие треугольники подобны. Рассмотрим два треугольника АВС и AjBjCj (рис. 3.31), . . А,В, А,С, в которых углы при вершинах А и А, равны, —. АВ АС Докажем, что треугольники АВС и AjBjCj подобны. Доказательство 1) От точки А на сторонах АВ и АС треугольника АВС отложим отрезки АВз = AjBj и АС^ = AjCj соответственно. Тогда AABfi^ = АА^В^С^ (по первому признаку равенства). 2) = .^1^1 = '^1^1 ^ тогда по обратной теореме АВ АВ АС АС ’ к обобщенной теореме Фалеса Bfi^. II 3) BgCg II ВС, тогда по основной теореме подобия треугольников А АВС CV) AABgCg = AAjBjCj. Теорема доказана. ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Теорема 2. Если два угла одного треугольника равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны. Рассмотрим два треугольника АВС и AjBjCj (рис. 3.32), в которых ZA — ZAj и ZB = ZBj. Докажем, что треугольники АВС и подобны. Доказательство 1) От точки А на сторонах АВ и АС треугольника АВС отложим отрезки ABg = AjBj и АС^ = AjCj соответственно. Тогда AABfi^ -= AAjBjCj (по первому признаку равенства). 2) ZB = ZBj = ZBg, тогда Bfi^ || ВС (углы B^viB- соответственные при прямых BgCg, ВС и секущей АВ). 3) BgCg II ВС, тогда по основной теореме подобия треугольников ААВС со AABgCg = AAjBjCj. Теорема доказана. А,В,С, 2^ А Cl Ва BAi Bi Рис. 3.32 ТРЕТИЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ | Теорема 2. Если три стороны одного треуголь- ^ ника пропорциональны трем сторонам второго I треугольника, то такие треугольники подобны. | Рассмотрим треугольники АВС и AiBiCj (мал. 3.33), | в которых А А k. АВ ВС АС Докажем, что эти треугольники подобны. Доказательство Заданное отношение сторон тре- I угольников обозначено через к. | 1) От точки А на сторонах АВ | и АС треугольника АВС отложим отрезки АВ2 = AiBi ИАС2 = AiCj соответственно. Тогда AAB/J^ А АВС ♦ (по первому признаку подобия) В2 В Рис. 3.33 2) AABgCj OJ ААВС, тогда I III ПРИЗНАК В ■SgCg _ ABg _ АдВд ВС АВ АВ = й. ВА. I I Тогда треугольники ABfi^ и A^B^Ci равны (по трем | сторонам). 4) ДАВС AABfi^ = ЛА1В1С1. Теорема доказана. Замечание. Полезно обратить внимание на то, что способ доказательства всех трех признаков подобия t треугольников одинаков: откладываем на сторонах угла | большего треугольника от1>езки, равные двум соответствующим сторонам меньшего треугольника; получаем вспомогательный треугольник, подобный большему, и доказываем его равенство меньшему треугольнику. АВ АгВГ АС AjCr ВС BiCi и ♦ AABC^AAiB-fii I Для любознательных 1. Дано: прямую I и точки А, В, С, лежащие на другой прямой ([AS] ^ [SC]). Постройте параллельные прямые, которые проходят через эти точки и на прямой I отсекают отрезки: а) сумма которых равна заданному отрезку Ь; б) разность которых равна заданному отрезку Ь. 2. Через точку Р медианы CCj треугольника АВС и его вершины В и А провели прямые до пересечения с противоположными сторонами треугольника в точках Ai и В^. Докажите, что: а) AjSj и АВ - параллельны; б) прямая CCj делит отрезок AjSj пополам. 3. Через точку Р продолжения медианы СС^ треугольника АВС и его вершины В и А провели прямые до пересечения с продолжением противоположных сторон треугольника в точках Aj и Sj. Докажите, что: a)AiSi и АВ - параллельны; б) прямая CCi делит отрезок AjSj пополам. 4. Прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой пересечения прямых АВ и СВ, делит сторону АВ пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону ВС. Практическая работа 26 1. Постройте два равных угла В и Bj. 2. На сторонах углов В и Bj отложите отрезки ВА, ВС и В^А^, В^Су соответственно так, чтобы BjAi = 1,5 ВА, BjCi = 1,5 ВС. 3. Соедините точки А и С, Aj и Cj. Измерьте отрезки АС и AjCj и углы ВАС и BiAjCi- Сделайте вывод. Задание 18 ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1®. Подобны ли треугольники на рисунке 3.34? Почему? В 2®. На рисунке 3.35 найдите подобные треугольники. Объясните свой выбор. Для любознательных 1. Докажите подобие пхюизвольного треугольника и треугольника, образованного прямыми, проходящими через вершины данного треугольника параллельно его сторонам. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных вокруг этих треугольников, и расположение центров этих окружностей. 2. Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник и треугольник с вершинами в серединах сторон первого. Как расположены центры этих окружностей? 3. Прямая СЕ пересекает сторону АВ треугольника АВС в точке М и делит медиану АК этого треугольника пополам в точке Е. Найдите отношение площадей треугольников СЕК и СМВ. 4. Докажите, что в остроугольном треугольнике точка пересечения высот является центром окружности, вписанной в треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника. 3”. Дано: ZO = ZM, =2,5; АЯ = 12 см (рис. 3.36). ON OK Найдите длину отрезка KN. 4. У двух равнобедренных треугольников углы при вершинах равны. Боковая сторона и основание одного из них равны 56 см и 30 см. Основание второго треугольника равно 45 см. Найдите остальные стороны этого треугольника. 5*. По рисунку 3.37 найдите LM, если -=---=2. РК ОК М К N М Рис. 3.36 6*. На рисунке 3.38 найдите подобные треугольники и докажите их подобие. К Рис. 3.38 7. Подобны ли треугольники АНМ и АВС на рисунке 3.39? Почему? 8. Дано, что AKON со АСОВ (рис. 3.40). Докажите, что KN Ц ВС. 9*. Диагонали четырехугольника АВСЛ пересекаются в точке О. Известно, что АО ВО СО DO Докажите, чю ABCD - трапеция или параллелограмм. Для любознательных 1. Обязательно ли два треугольника равны, если равны их две стороны? 2. Восстановите параллелограмм по одной из его сторон, высоте, проведенной к этой стороне, и углу между диагоналями. ш 10*. Дан параллелограмм MOKN (рис. 3.41). Докажите, что ISOFH LKFN. 11*. У параллелограмма MOKN точка F лежит на стороне ОК и OF : FK = = 1:3 (рис. 3.41). Найдите: а) ОН : НМ; б) ОН : ОМ. 12**. В треугольнике АВС провели медиану AM (рис. 3.42). Z1 = Z2, Z3 = Z4. Докажите, что AALD ААВС. М О Рис. 3.41 13**. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Площадь треугольника CDO равна среднему пропорциональному площадей треугольников БОС и АО£). Докажите, что ABCD - трапеция или параллелограмм. Практическая работа 27 1. Начертите два острых угла (обозначьте их а, р) и два отрезка АВ и AjBj так, чтобы АВ = 2AjBj. 2. Постройте два треугольника АВС и AjBjCj по двум углам (ZA = ZA^ = а; ZB = ZBj = Р) и стороне (АВ и AjBj), смотрите рисунок 3.43. 1 1; А В Рис. 3.43 3. Измерьте отрезки АС, AjCj, ВС и B^Cj. АС ВС 4. Вычислите —Сделайте вывод. АС ВС в, Для любознательных Разгадайте софизм: часть отрезка равна самому отрезку. Пересечем произвольную прямую в точках А и В прямыми а и 6, перпендикулярными к этой прямой (см. рис.). Проведем прямую ED, которая пересечет: прямую о в точке Е, отрезок АВ в точке С, прямую Ь в точке D. 1) ACBD ~ АСАЕ. Тогда BD : АЕ ^ СВ : АС, BD : АЕ = (АВ-АС) :АС. 2) FHII АВ по построению. Тогда ACBD AFHD. Отсюда: BD :HD = ВС : FH, BD :HD = (AB- СА): FH. 3) Из полученных соотношений находим BD: BD = {АЕ • (АВ - АСУ) : АС = (HD • (АВ - СА)) : FH; AE-FH-АВ-АЕ • FH-AC^AC • HD -АВ -АС^ • HD. 4) Прибавим к обеим частям последнего равенства разность АЕ • FH -АС -- HD • АВ • АС, приведем подобные слагаемые и вынесем за скобки общий множитель: АВ (АЕ • FH - АС • HD) — АС (АЕ • FH - АС - HD). Получаем: АВ = АС?1 Е Ь В н 0 Задание 19 ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1®. Подобны ли треугольники на рисунке 3.44? Для подобных треугольников н£1Йдите соответственные стороны. Е Рис. 3.44 2®. Докажите, что треугольники АВС и AjBjCj - подобны (рис. 3.45). В б) Рис. 3.45 3. Найдите пары подобных треугольников и запишите пропорциональность соответственных сторон (рис. 3.46). 4. На рисунке 3.47 ABCD - параллелограмм. Докажите, что ABEF ru ADLK. 5. На рисунке 3.48 найдите четыре пары подобных треугольников. Е 6*. Точки AviB удалены от прямой i на 2 см и 6 см. Точка М лежит на отрезке АВ и AM : МВ = 2:3. Найдите расстояние от точки М до прямой I, если; а) I пересекает АВ; б) I не пересекает АВ. На рисунке 3.49 MN L ВС, NC Ц АВ. Докажите, что ААВС ^ AMCN. ABCD - параллелограмм, МР || NQ (рис. 3.50). Докажите, что AAPM^ACNQ. Точки М VI N лежат соответственно на сторонах АВ и AD параллелограмма АВСН, при этом AM : МВ = 1:2 и AJV : ND = 3:2. Отрезки DM и CN пересекаются в точке К. Найдите отношение DK : КМ. 10**. На рисунке3.51А£> = 1>С,В£ = £С. Докажите, что CCi - медиана в ААВС. 7. 8*. 9**. 11. В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АН и ВР. Докажите подобие треугольников ВСР и АСН. 12**. В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АЯ и ВР. Докажите подобие треугольников НРС и АВС. 13*. Точка М - середина стороны ВС параллелограмма ABCZ). Найдите, в каком отношении: а) AM делит диагональ ВО; б) BD делит AM. 14*. Точка Р лежит на диагонали BD параллелограмма ABCD, ВР : PD = = 1 : 4. В каком отношении прямая АР делит сторону ВС? 15**. Две окружности касаются внешним образом. Прямая, проходящая через точку касания, образует в окружностях хорды, длины которых относятся как 13:5. Найдите радиусы этих окружностей, если расстояние между их центрами равно 36 см. Практическая работа 28 1. Постройте треугольники АВС и AjBjCj по трем сторонам так, чтобы АВ = 2,5 AiBi, ВС = 2,5 ВА, АС = 2,5 AjCj. 2. Измерьте углы треугольников АВС и AjBjCj. Сделайте вывод. Задание 20 ТРЕТИЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1”. Докажите подобие треугольников MNO и ВСА (рис. 3.52 и 3.53). ш 2“. На рисунке 3.54 найдите пары подобных треугольников. С F Рис. 3.54 3. 4. 5. Подобны ли треугольники KLM и ОРШ Для подобных треугольников найдите коэффициент подобия: а) KL = 3,1 см, LM = 2,8 см, КМ = 5,4 см, ОР = 4,65 см, PR = 8,1 см, OR = 4,2 см; б) KL = 3,78 м, LM = 5,04 м, КМ == 7,4 м, ОР = 2,4 м, PR = 1,8 м, OR = 3,5 м. Стороны треугольников пропорциональны числам 3, 4, 6. Найдите длины сторон подобного треугольника, если наименьшая его сторона равна 18 см. Подобны ли треугольники АВС и A^BjCj, если: а) АВ : ВС :АС = 4:5:8, aAjBi = 20 см, BjCj = 25 см, AiCj = 40 см. б) АВ : ВС : АС = 2 : 3 : 4, аА^В^ = 5 м, BjCi = 7,5 м, AjCj = 12 м. 6**. Докажите подобие треугольников А^В^С^ и АВС, если АВ : А^В^ = = АС: AjCi =АМ: AjMi, TueA^Mi и AM - медианы этих треугольников. 7*. Докажите подобие треугольников, образованных: а) средними линиями подобных треугольников; б) из медиан подобных треугольников. 8**. На рисунке 3.55 АВ = ВС = CD = AD, BE = т, DF = га. Найдите АВ. 9**.ABCD - ромб, BL = 66 мм, ВК = 33 мм (рис. 3.56). Найдите х. Е Рис. 3.56 Для любознательных 1. Постройте треугольник по двум углам и сумме радиусов вписанной и описанной окружностей. Совет: постройте два произвольных подобных треугольника (по двум углам), постройте в них центры вписанной и описанной окружностей и найдите радиусы этих окружностей. У вас будут два соответственных отрезка - суммы радиусов вписанной и описанной окружностей двух подобных треугольников. Сравните отношение длин этих отрезков с отношением длин соответственных сторон двух ваших треугольников. Как вы думаете, зачем был дан этот совет? 2. Из точки вне окружности проведите секуш;ую так, чтобы окружность делила ее пополам. 127 I § 20 . Признаки подобия прямоугольных треугольников Опираясь на признаки подобия треугольников, можно сразу сформулировать два признака подобия прямоугольных треугольников. (^Если катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. @ Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. Третий признак подобия прямоугольных треугольников требует отдельного доказательства. @|(77г| Теорема. Если гипотенуза и катет одного C_£i прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. Пусть АВС и AiBiCi - треугольники, у которых углы С и Cl - В2 В Cl Рис. 3.57 •1 щ прямые и ABi. С1В1 (рис. 3.57). АВ СВ Докажем, что эти треугольники подобны. Доказательство Обозначим заданное отношение сторон треугольников через k. 1) От вершины С на сторонах СВ и СА треугольника АВС отложим отрезки СВг = CiBi и CAg = CjAi соответственно. Тогда АА2В2С OJ ААВС (по первому признаку подобия). 2) АА2В2С ААВС, тогда ABi А^ СВ, С,В, 3) АВ СВ т. е. А2Б2 ^AiBi. СВ = ft. ♦ АВ АВ Тогда ДА2В2С = ЛА1В1С1 (по гипотенузе и катету). 4) Л АВС ~ ДА2В2С = ДА1В1С1. Теорема доказана. Для любознательных 1. На сторонах АВ и АС остроугольного треугольника АВС отмечены соответственно точки D и Е так, что DE параллельна прямой, проведенной через основания двух высот задгшного треугольника. Найдите длину отрезка BD, если AD = 6 см, АЕ — 5 см, ЕС = 7 см. 2. Докажите, что для остроугольного треугольника АВС (Н - ортоцентр этого треугольника, R - радиус описанной окружности, а В - его площадь) выполняется соотношение: ВС • АН -Ь АС • ВН +АВ ■ СН = 4S. Практическая работа 29 1. Начертите прямоугольный треугольник. Из произвольной точки гипотенузы проведите перпендикуляры к его катетам. Измерьте длины сторон полученных треугольников и сравните их с длинами сторон заданного вами треугольника. Сделайте вывод. 2. Начертите прямоугольный треугольник. Из произвольной точки одного из катетов проведите перпендикуляр к его гипотенузе. Измерьте длины сторон полученных треугольников и сравните их с длинами сторон заданного вами треугольника. Сделайте вывод. Задание 21 2". На рисунке 3.59 найдите подобные треугольники. Рис. 3.59 Для любознательных Известный швейцарский математик Якоб Штейнер (1796-1863) 14 лет преподавал математику в школе. Он много времени уделял одаренным ученикам, составлял для них интересные геометрические задачи. Штейнер утверждал, что именно геометрия углубляет и оттачивает мышление. Попробуйте решить одну из его задач. Дана окружность и прямая, которая проходит через центр этой окружности. При помощи только линейки проведите из данной точки перпендикуляр к заданной прямой, если точка расположена: а) вне окружности; б) внутри окружности; в) на окружности. 3. 4. 5. 6. В прямоугольном треугольнике провели высоту из вершины прямого угла. Сколько подобных треугольников образовалось на рисунке? Разрежьте прямоугольный треугольник на три подобных треугольника. Разрежьте прямоугольник на четыре подобных треугольника. По рисунку 3.60 найдите OL. 2 см О 4 см N а) Рис. 3.60 7*. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла провели высоту СН. Найдите: а) СН, ВС и АС, если НА = 25 см, ВН = 16 см; б) ВН, ВА и ВС, если АС = 12 м, НА = 6 м; в) НА,АВиАС, если ВС = 8 мм, ВН = 4 мм. 8**. Докажите, что квадраты катетов относятся как их проекции на гипотенузу. 9**. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 5 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведенная с вершины прямого угла, делит гипотенузу. 10**. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:2. Высота, опуш;енная на гипотенузу, равна 12 см. Найдите длину медианы, проведенной к гипотенузе. 11*. Высота прямоугольного треугольника, проведенная с вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше второго. Найдите гипотенузу этого треугольника, если его катеты относятся как 6:5. 12*. В прямоугольном треугольнике со сторонами 5 см, 12 см и 13 см с середины большего катета опущен перпендикуляр на гипотенузу. Найдите стороны образовавшегося треугольника. 13**. В параллелограмме АВСП: FN1AD, АВ = 2 см, BF = 5 см, ВС = 9 см (рис. 3.61). Найдите ВК. HP 2 14*. В параллелограмме AMHR: Найдите AM иАВ. ‘ AMHR = 45 дм. НО 3 (рис. 3.62). Для любознательных Умеете ли вы мыслить логически? (Решите без карандаша и бумаги.) 1. Вдоль улицы расположено 100 домов. Мастера попросили изготовить все номера домов, от 1 до 100. Подсчитайте, сколько цифр «9» ему надо изготовить. 2. Предположим, что и у вас, и у меня одинаковая сумма денег. Сколько денег я должен вам дать, чтобы у вас было на 10 грн. больше, чем у меня? 3. В шкафу лежит несколько пар синих и красных носков. Известно, что минимальное количество носков, которое надо взять из шкафа (с закрытыми глазами), чтобы из них гарантированно можно было составить хотя бы одну пару носков одного цвета, совпадает с минимальным количеством носков, которые надо взять из шкафа (с закрытыми глазами), чтобы из них гарантированно можно было составить разноцветную пару. Сколько пар носков в шкафу? 15*. У ромба ABCD на рисунке 3.63: ОН 1AD, АН = 24 см, HD = 6 см. Найдите отношение АС и BD. Рис. 3.61 Рис. 3.62 Рис. 3.63 16. По рисунку 3.64 найдите AD. 17*. АМОК - трапеция, AM = OK, АО L OK, АН = 8 см, НО = 4 см (рис. 3.65). Найдите МОиАК. 18*. На рисунке 3.66 ABCD - трапеция, BD ± ВС, AD =12 см, LC = 4 см. Найдите АВ и CD. а 19**. Докажите, что длина диаметра окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равна среднему пропорциональному длин ее оснований. 20**. Постройте два отрезка, квадраты длин которых относятся как 3:2. Для любознательных Американский профессор Реймонд М. Смаллиан предлагает задачи, в которых персонажи некой страны делятся на такие группы: рыцари - всегда говорят правду; лжецы - всегда лгут; оборотни - иногда говорят правду, а иногда лгут. 1. Вы встретили трех жителей этой страны: А, В и С. Известно, что среди них есть только один оборотень. Беседуя с вами, они сказали следующее. А: Я - оборотень. В: Я - оборотень. С : Среди нас не более чем один рыцарь. Проведите полную классификгщию А, В и С. 2. На этот раз А и В заявили следующее. А: Хотя бы один из нас врет. В: С - рыцарь. Известно, что только один из них оборотень. Кто? 3. Предположим, что некая девушка мечтает выйти замуж только за богатого рыцаря. Как богатому рыцарю только одной фразой убедить девушку в том, что он является и богатым, и рыцарем? 2) S,= k^S I I СВОЙСТВА AAiB,Ci~ AABC 5 1) Pi = kp kha = km^ In. = fil„ T BCE соответственные линейные елементы -пропорциональны I I § 21 . Свойства подобных треугольников (I) Отношение периметров двух подобных треугольников равно их коэффициенту подобия. Действительно, еслиЛ АВС AAjBiCi, то длину каждой из сторон одного треугольника можно записать как произведение длины соответственной стороны другого треугольника на коэффициент подобия треугольников. Отсюда и получаем указанное свойство подобных треугольников. Теорема. Отношение высот подобных треугольников, проведенных к соответственным сторонам, равно коэффициенту подобия этих треугольников. Пусть ААВС ^ AAiBiCi,AD ± СВ hAiHiXCiBi (рис. 3.67). „ AD СВ Нужно доказать, что --=—— • AiDi CjBj Доказательство 1) ААВС ~ AAiBjCi, тогда ZC = ZCi. 2) ZD = ZDi = 90° и ZC = ZC„ В Cl Di Bi Рис. 3.67 тогда треугольники CAD и C^AiD^ подобны 3) ACAD ~ ACiAiX>i, тогда Теорема доказана. AD CA CB A,D, C,A, C,B, C Следствие. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их коэффициента подобия. По теореме = к, где к - коеффициент подо- AiA С,В, бия треугольников. Тогда отношение площадей треугольников АВС и А^В^С^ равно 1______________(1 -AD 2 СВ V' -AiDi ■ CiBj к‘ к = к Соответственные элементы подобных треугольников пропорциональны, и их отношение равно коэффициенту подобия этих треугольников. Несложно доказать (сделайте это самостоятельно), что в подобных треугольниках не только отношение высот к соответственным сторонам, но и отношения биссектрис соответственных углов, медиан соответственных сторон, радиусов вписанных окружностей, радиусов описанных окружностей являются постоянной величиной, равной коэффициенту подобия этих треугольников. Замечание. В 9-м классе мы докажем, что произвольные соответственные элементы подобных треугольников пропорциональны. Практическая работа 30 1. Начертите остроугольный треугольник АВС. Постройте его биссектрису BL, высоты АН, ВК и медиану СМ. Измерьте их длины. 2. Постройте треугольник подобный треугольнику АВС. Как вы это сделали? По какому признаку ваши треугольники подобны? Найдите коэффициент подобия этих треугольников. 3. Постройте в треугольнике AiBjCi биссектрису В^Ь^, высоты AjIIj, BjKj и медиану C^Mi. Измерьте их длины. 4. Найдите отношения соответственных биссектрис, высот, медиан (рассмотренных ранее) треугольников АВС и AiBiCi. Сравните полученные отношения с коэффициентом подобия этих треугольников. Сделайте вывод. 5. Вычислите плохцади треугольников АВС и AiB^Ci, найдите их отношение. Сделайте вывод. 6*. Начертите два подобных тупоугольных треугольника. Проведите в этих треугольниках соответственные высоты и выполните работу, аналогичную пп. 2, 5. Практическая работа 31 1. Начертите треугольник АВС. Определите положение центров его вписанной и описанной окружностей. Как вы это сделали? 2. Постройте треугольник AjBiCi, подобный треугольнику АВС. По какому признаку ваши треугольники подобны? Найдите коэффициент подобия этих треугольников. 3. Определите положение центров вписанной и описанной окружностей треугольников АВС и AiB^Ci. 4. Найдите длины радиусов вписанных и описанных окружностей треугольников. Как вы это сделали? 5. Вычислите отношение радиусов соответственных окружностей треугольников и сравните их значение с коэффициентом подобия этих треугольников. Для любознательных 1. Четыре одинаковых игральных кубика расположены так, как показано на рисунке А. Сколько точек на нижней грани нижнего кубика? 2. Каждую грань кубика разделили на четыре квадрата и каждый квадрат покрасили в один из трех цветов: синий, желтый и красный так, что квадраты с обш;ей стороной окрашены в разные цвета. Сколько при этом образовалось синих, желтых и красных квадратов? 3. Можно ли разместить на шахматной доске (размер одной клеточки 1 х 1) 31 косточку домино (размером 1x2) так, чтобы они не перекрывались и осталось только две свободные клеточки в двух противоположных углах доски (см. рис. Б)? 4. Фигура, изображенная на рисунке В, состоит из трех равных квадратов. Разрежьте эту фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат с квадратным отверстием внутри него. 5. На стол положили несколько одинаковых прямоугольных листов бумаги. Оказалось, что верхний лист закрывает больше половины каждого из остальных листов. Можно ли тогда воткнуть иголку так, чтобы она проколола все листы, лежащие на столе? В Практическая работа 32 1. Начертите треугольник АВС. Проведите в нем средние линии. 2. Постройте треугольник А^В^С^, стороны которого равны средним линиям треугольника АВС. Определите, подобны ли треугольники АВС и AjBiCi? Как вы это сделали? Если ваши треугольники подобны, определите их коэффициент подобия. Проведите через вершины треугольника АВС прямые, параллельные сторонам этого треугольника. Точки пересечения прямых обозначьте какАг, Вг, Cg. Определите, подобны ли треугольники АВС и А2В2С2? Как вы это сделали? Если ваши треугольники подобны, определите их коэффициент подобия. Определите, подобны ли треугольники А^В^С^ и А2В2С2? Как вы это сделали? Если ваши треугольники подобны, определите их коэффициент подобия. Найдите длины радиусов окружностей, описанных вокруг полученных треугольников, вычислите их отношения. Сравните значения этих отношений с соответствующими коэффициентами подобия. Задание 22 1®. Треугольники АВС и AjBiCi подобны. Стороны АВ и AjBi соответственно равны 2,4 м и 72 см. Найдите отношение периметров треугольников. 2®. Стороны треугольника равны 12 см, 18 см и 20 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 20 см. Треугольники SRT и З^В^Т^ на рисунке 3.68 подобны, с:а:Ь = 6:7:8, периметр треугольника равен 42 см. Найдите а^, Ci, bi. На рисунке 3.69 ABCD - квадрат, FH = 5 см, ТО = 3 см. Найдите ВС. 3. 4. 5. 6 7. 3. 4* Рис. 3.68 Рис. 3.69 5*. В трапеции ABCD через точку пересечения ее диагоналей Е провели высоту MN. В каком отношении точка Е делит высоту MN, если основания трапеции равны 7,1 см и 13,49 см? 6®. Площади двух подобных треугольников равны 75 см^ и 375 см^. Одна из сторон второго треугольника равна 9 см. Найдите соответственную сторону первого треугольника. 7®. АВ и FG - соответственные стороны подобных треугольников АВС и FGH. АВ = 3 см, FG = 9 см. Найдите площадь треугольника АВС, если высота HN треугольника FGH равна 4,5 см. Стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно равны 3 см и 4 см. Как относятся площади треугольников, на которые: а) медиана стороны ВС делит треугольник АВС; б**) биссектриса угла А делит этот треугольник? 8 Для любознательных 1, Какие треугольники можно разрезать на два подобных между собой треугольника? 2. Постройте треугольник по двум углам и сумме всех его медиан. 9*. По рисунку 3.70 найдите отношение площадей треугольников АБС viANM. В Рис. 3.70 10. Треугольники АВС и AjBjCi подобны, а их соответственные стороны относятся как 3:4. Площадь треугольника АВС больше площади треугольника AiBjCj на 14 см^. Найдите площади треугольников. 11**. Через середину стороны ВС (точку М) параллелограмма АВСЛ, площадь которого равна 1 см^, и его вершину А провели прямую, пересекающую диагональ BD в точке О. Найдите площадь четырехугольника OMCD. 12**. На сторонах АВ и AD параллелограмма АВСП отметили точки М nN так, что прямые MCviNC делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD = о. 13**. Прямые, параллельные стороне треугольника, делят другую его сторону на три равные части. Найдите площадь треугольника. 14**. Точки К та. М лежат на сторонах АВ и ВС треугольника АВС, АК: КВ = = 3:2, ВМ : МС = 3:1. Через точку В провели прямую I, параллельную АС. Прямая КМ пресекает I в точке Р, а АС - в точке N. Найдите ВР и CN, если АС = а. 15**. На стороне ВС треугольника АВС отметили точку D так, что BD: АВ = = DC : АС. Докажите, что AD - биссектриса треугольника АВС. 16**. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и ее основаниями, равны Sj и Sa. Найдите площадь тргшеции. 17**. Через точку внутри треугольника провели три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых - треугольники площадью Sj, Вг, Sg. Найдите площадь данного треугольника. Для любознательных Продолжение сказки «Принцесса или тигр* (см. стр. 65). 1. На третий день король объявил, что утверждения на табличках или оба истинные, или оба ложные. Надписи были такими. I. Или в этой комнате сидит тигр, или принцесса в другой комнате II. Принцесса в другой комнате Двери какой комнаты должен открыть пленный принц? 2. День четвертый. «До сих пор все принцы выкручивались! - сказал король. - Но сегодня я придумал нечто чрезвычайно интересное. Если в комнате I спрятана принцесса, то утверждение на дверях этой комнаты будет истинным, а если тигр, то - ложным. А вот с комнатой II все будет наоборот: утверждение на ее дверях ложное, если в ней сидит принцесса, и истинное, если там спрятан тигр». Объявив это очередному принцу, король указал на новые надписи на дверях комнат. I. в обеих комнатах находятся II. в обеих комнатах находятся принцессы принцессы Какую из комнат вы посоветуете выбрать принцу? _ 22 . Практические задачи на применение подобия Рис. 3.71 Почти все дети пользуются свойством подобия, когда перерисовывают картинку с увеличением (рис. 3.71). Пропорциональностью сторон подобных треугольников пользуются в физике, астрономии, мореплавании, архитектуре, картографии и др. Измерительные работы на местности Пропорциональность сторон подобных треугольников для измерения недоступного расстояния, наверное, первым применил Фалес Милетский (прим. 624-548 гг. до н. э.), когда измерил высоту египетской пирамиды по длине своей собственной тени. И сегодня мы, опираясь на свойство подобия, можем определять недоступные расстояния. Например, чтобы определить высоту дерева или пирамиды, не обязательно лезть на них с рулеткой. Действительно, если тень от дерева (неизвестной высоты П) равна Н t hT t пользоваться колышком с планкой, которая поворачивается (рис. 3.73). (Планка помогает зафиксировать направление луча ВК, под которым из В видно К.) Из подобия треугольников АВС иАКМ получаем: Н ВС AM и Н=ВС AM АС АС Например, если на рисунке 3.73 длина колышка ВС = 1 м, расстояние АС = 3,2 м, а AM = 6,4 м, то искомая высота П = 1 • 6,4 : 3,2 м ~ 2 м. Если вы знаете свой рост Л, то определить высоту столба или дерева можно, воспользовавшись зеркалом (рис. 3.74). Известно, что при отражении луча света угол падения 2 равен углу отражения 1. Поэтому треуголь- Н DK DK ники АСВ и ЛГРВ подобны, и —=--. Тогда Н ~h--. h AD AD Такое измерение не будет очень точным. (Почему - I попробуйте выяснить сами, воспользовавшись рисун- | ком 3.74.) . Рис. 3.74 I ® Геометрия - это I искусство хорошо I измерять. I П. Раме, XVI в. Теперь мы можем найти и расстояние до недоступной точки в (рис. 3.75). Для этого на местности отметим отрезок АС и измерим углы ВСА и ВАС. На листе бумаги построим треугольник AiB^C^, у которого Z.A = А,, ZC = С,. Имеем: „ АВ АС . ^ . АД -,АВ=АС АС, АА Afi, Для упрощения рассчетов удобно строить треугольник AjEiC, в масштабе 1 : 1000. АС Тогда АВ ‘ " -А,В, Af, • 1000, т. е., измерив длину | Рис. 3.76 отрезка AiBj в миллиметрах, мы сразу получим длину расстояния АВ в метрах. Воспользовавшись свойством подобия треугольников, можно измерить глубину пруда, если в нем растет камыш. Стебель камыша АО (рис. 3.76) отклоним вдоль поверхности воды на / см и измерим расстояние от конца стебля С до поверхности воды {СК = Л) и длину проекции отрезка DC стебля, который остался над водой, на поверхность воды {DK = Ь). Прямоугольные треугольники DBO и DKC подобны. ^ ОВ BD ОВ I Тогдй. — > • СК DK h Ъ Ih Отсюда искомая глубина пруда ОВ равна —. Ъ Пропорциональный циркуль На подобии треугольников основано использование пропорционального (делительного) циркуля, с помощью которого можно быстро разделить заданный небольшой отрезок на несколько равных частей. I Ни одна наука, су-I ществующая для того, чтобы облегчить или украсить i жизнь, без геомет-I рии не могла бы не только разви-* ваться и усовершен-I ствоваться, но даже I и появиться. I Феофан Прокопович, ’ XVIII в. I Геометрия - владычица поисков разума. М. В. Ломоносов, XVIII в. Среди равных разумов - при других равных условиях -преимущество имеет тот, кто знает геометрию. Блез Паскаль, XVII в. Этот прибор состоит из двух одинаковых ножек (рис. 3.77) ABi иВА^ с заостренными концами. Вдоль ножек сделаны прорези, по которым можно перемещать винт и закреплять его в том или ином месте ножек. Ножки можно раздвигать или В сближать вращением вокруг винта. Рис. 3.77 Допустим, что нужно разделить отрезок АВ на три равные части. Для этого закрепим винт в такой точке О, чтобы расстояние АО было в три раза больше расстояния ОВ^ (это легко сделать при помощи меток, нанесенных вдоль прорези). Затем установим раствор циркуля так, как показано на рисунке 3.77. Тогда из подобия треугольников АОВ иА^ОВ^ получим: AiBi: АВ = OBi: ОА = 1:3. Осталось повернуть циркуль и трижды отложить на АВ отрезок Поперечный масштаб Мы пользуемся свойствами подобия, когда определяем расстояния на местности по карте, учитывая ее масштаб. Для более точных измерений расстояний по карте или плану используют способ, который называется поперечным масштабом. Стороны квадрата AOifD (рис. 3.78-а) содержат 10 отрезков, принятых за единицу измерения (например, длиной 0,5 см). Через точки деления на стороне AD проводят прямые, параллельные противоположной стороне квадрата. Каждую точку деления на стороне DK соединяют с точками деления стороны АО со смещением на одно деление (рис. 3.78-а). В треугольнике ЕКО отрезки, параллельные ЕО, образуют 9 треугольников, подобных треугольнику ЕКО (рис. 3.78-6). Понятно, что длины отрезков BiOj, Е2Р2, ..., В9О9 равны соответственно 1 : 10, 2 : 10, ..., 9 : 10 длины отрезка ЕО, т. е. единицы измерения. Теперь с помощью циркуля или прозрачной бумаги с соответствующими метками можно измерять расстояния на карте или плане с точностью до 0,1 единицы измерения (у нас - до 0,05 см). а) А Е О б) Рис. 3.78 Е О с §23 . Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора Теорема. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен заданному прямоугольному треугольнику. ^ Рассмотрим прямоугольный тре- угольник АВС, у которого угол С -прямой, CD - высота (рис. 3.79). Нужно доказать: (i) AADC ^ ААСВ; (2) ACDB~ ААСВ; (3) AADC~ ACDB. Доказательство Рис. 3.79 1) В прямоугольных треугольни- ках ADC иАСВ угол А - общий, тогда AADC '^ААСВ. Утверждение (1) доказано. 2) В прямоугольных треугольниках CDB пАСВ угол В - общий, тогда ACDB ААСВ. Утверждение (2) доказано. 3) В прямоугольных треугольниках дев и ADC: ZB = = 90° - Z.A = Zi. (Аналогично: Z.2 = ZA.) 4) В прямоугольных треугольниках ADC и CDB Z1 = = ZB, тогда AADC ACDB. Утверждение (3) доказано. ! Теор>ема доказана. Следствие 1. В прямоугольном треугольнике выполняются соотношения: (1)Ь^ = Ъ^с; (2) е? = = а^с; (3) л/ = Ое&с» где а^иЪ^ — проекции катетов а и Ь на гипотенузу с (рис. 3.80). ^ Эти соотношения формулируют еще и так: • высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, - среднее пропорциональное (среднее геометрическое) проекций катетов на гипотенузу; • катет прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное (среднее геометрическое ) гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. ъ/ К \ etc AADC^ААСВ ACDB'^ ААСВ AADC'^ACDB h = • br a= Voc•c b= ■ c fr среднее геометрическое, или среднее пропорциональное Для любознательных Вспомните практическую работу № 30 (стр. 133) и решите такие задачи. 1. Будет ли подобным данному треугольник, построенный из его медиан? 2. Две высоты треугольника АВС равны л и /га. Длины двух сторон треугольника, подобного треугольнику АВС, тоже равны га и /га. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь подобного ему треугольника равна S. 3. Постройте треугольник по трем его высотам. (Не забудьте доказать, что построенный вами треугольник - искомый.) Геометрия имеет два сокровища: одно из них - Пифагорова теорема, а второе -деление отрезка в среднем и крайнем отношениях... Первое из них можно сравнить с мерой золота, а второе похоже на драгоценный камень. I Все три соотношения следуют непосредственно из I подобия треугольников, указанных в теореме. I 1) Треугольники ADC и АСВ подобны. Тогда напротив их равных углов лежат пропорциональные стороны: с Ъ Отсюда получаем соотношение (1). 2) Треугольники CDB и АСВ подобны. Тогда напротив их равных углов лежат пропорциональные стороны: а а. И. Кеплер, XVI-XVII вв. Теорема Пифагора а В с а Отсюда ползщаем соотношение (2). 3) Треугольники ADC и CDB подобны. Тогда напротив их ргшных углов лежат пропорциональные стороны: К К С С h а С е Отсюда получаем соотношение (3). Q I Следствие 2. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА. В прямо- угольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: -I- Ь^. Из предыдущего следует: + = ОрС -f Ь^с = (0(. -f Ь(.) с = с^. Замечание. Мы доказали знаменитую ТЕОРЕМУ ПИФАГОРА! Вы, нгшерное, удивлены, что доказательство теоремы, которую доказывали разные геометры различными способами на протяжении двух тысячелетий, теоремы, которую считают памятником культуры человечества, заняло у нас в учебнике лишь строку. Проблемы, которые возникали у древних геометров при доказательстве этой теоремы, объясняются отсутствием у них алгебраического гшпарата. Они четко понимали отношение отрезков, но произведение отрезков для них не имело геометрического смысла. Переход от равенства отношений к равенству произведений (основное свойство пропорции) - то, что сегодня делает каждый школьник, был невозможен для древних геометхюв. Теорему Пифагора они формулировали как равенство площадей (см. стр. 54, 55, 211). Для любознательных 1. В прямоугольном треугольнике провели высоту к его гипотенузе. В два треугольника, на которые эта высота разделила заданный треугольник, вписали окружности радиусов и rg. Найдите радиус окружности, вписан^ ной в дгшный прямоугольный треугольник. 2. Числа hi, Лг и Лз - длины высот треугольника. Докажите, что если выпол- няется равенство (fti: + (^i: Аз)^ = 1, то этот треугольник прямозпюльный. 3. Докажите обобщенную теорему Пифагора. Если в прямоугольном треугольнике АВС {Z.C = 90°) провести высоту CD, то для трех произвольных соответственных элементов треугольников АВС, ACD и CBD (I,., 1„ и выполняется равенство 1^ = 11 + 1\. .'V Теорема (обратная теореме Пифагора). Если в треугольнике со сторонами а, Ь я с выполняется равенство то этот треугольник прямо- угольный и прямой угол расположен напротив стороны с. Доказательство Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а VI Ъ. По теореме Пифагора квадрат его гипотенузы равен + Ь^, т. е. гипотенуза этого треугольника равна с. По третьему признаку равенства треугольников этот прямоугольный треугольник равен заданному условием теоремы. Тогда соответственный угол заданного треугольника - прямой. Теорема доказана. Следствие 1. Треугольник с длинами сторон в 3, 4 и 5 единиц измерения — прямоугольный. (Его называют египетским.) с а) а Замечание. Единицы измерения могут быть любыми! Следствие 2. Треугольники с длинами сторон, пропорциональными тройкам чисел {3; 4; 5}, {5; 12; 13}, {8; 15; 17}, {7; 24; 25}..., - прямоугольные. (Как продолжить этот ряд, см. стр. 204.) ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ Опорная задача 1 Даны два отрезка аиЬ. Постройте отрезки: а) x=yja^+b^; б) x = \Ja^- . Решение Построения основаны на теореме Пифагора: а) л: - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и Ь; б) л: - катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и вторым катетом Ь. X б) с2 = о2 + б2 zC = 90° египетский Для любознательных Диаметр окружности АВ равен 1. На нем отложили отрезок АС, длина которого равна а < 1, и провели хорду AZ) длины Ь. Через точку С провели перпендикулярную к АВ прямую, пересекающую AD в точке Е, а из точки D - перпендикуляр DF к АВ. Оказалось, что АЕ = AF. Докажите, что численно а = Ъ^. СТРОИМ: x=4ab СТРОИМ л:: х^=^а* + Ь* (1) (2) X =Va- k (3) Опорная задача 2 Построение среднего геометрического двух заданных отрезков. Даны два отрезка а и Ь. Постройте отрезок x=\fab. Анализ Высота прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу. Значит, надо построить прямоугольный треугольник с гипотенузой а + fe. План построения 1) а,Ъ ^ отрезок a-hb; 2) а + Ь —> отрезок (а + Ь): 2; 3) окружность радиуса Д = (а + ft): 2; проводим диаметр АВ; 4) на АВ отложим АН = а; 5) прямую п LAB в точке Н, п пересекает окружность в точке С. Отрезок СН - искомый. Доказательство Имеем по построению: Д = (а + ft): 2, АВ = 2Д, АН = а, CHLAB. Доказать: СН = л/аЬ. 1) АВ = 2Д ZACB = 90°; 2) АВ = 2Д, Д = (а + ft): 2, АН = а —> НВ = (а + ft) - а = ft; 3) ДАСВ (ZC = 90°): СН1АВ,АН = а,НВ = Ь-^СН= 4аЬ. Ч. т, д. Опорная задача 3 /^^Даны два отрезка а и Ь. Постройте отрезок х, такой, чтобы х^— VаV ft* . ____ ь\ 2 h -т) а х=а Г ^ План построения ft2 l)a;ft—>f = — (см. опорную задачу построения четвер-а того пропорционального на стр. 113); 2) а; t к = y[aF+^; 3) а; к х = у[а^. Доказательство проведите самостоятельно. Для любознательных 1. Дан отрезок, длина которого равна 1. Постройте отрезки длиной >/2, Л и -Jl. Укажите способ построения отрезка Vn . 2. Даны отрезки а, Ь, с, d. Постройте двумя способами отрезок х: а) х=у1а^-Ь^; 6)x=yja!‘-2b^; в) x=^abcd; г)х=^а*-\-ЗЬ*. Задание 23 1”. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 6 см и 8 см; б) 4 см и 7 см; в) 5а и 12а. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны: а) 15 см и 9 см; б) 8 см и 4 см; в) с и а. Найдите: а") диагонали прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см; б“) сторону ромба с диагоналями 4 м и 3 м; в”) высоту равностороннего треугольника со стороной 12 см; г“) диагональ квадрата со стороной 6 см; д*) высоту треугольника со сторонами 10 см, 13 см и 13 см. Основание равнобедренного треугольника равно 60 см, а высота, опущенная на боковую сторону, - 72 см. Найдите периметр треугольника. Найдите высоту и радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника, если его сторона равна а. Большая диагональ и большая основа прямоугольной трапеции соответственно равны 13 см и 12 см. Найдите высоту трапеции. Найдите высоту трапеции со сторонами 10 см, 10 см, 10 см и 26 см. В ромб, диагональ которого делит его на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом ^/з м. Найдите сторону ромба. Найдите неизвестный элемент прямоугольного треугольника по ри- 2». 3“ 4» 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16**, 17*. 18*. Рис. 3.81 Найдите высоту, опущенную на гипотенузу треугольника с катетами 5 см и 12 см. Высота прямоугольного треугольника равна Зл/З см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 6 см больше второго. Найдите катеты треугольника. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 м, а высота, проведенная к ней, - 9,6 м. Найдите катеты. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если: а) один из катетов равен 4 см, а проекция второго катета на гипотенузу - 1,8 см; б) один из катетов равен 15 см, а проекция второго на гипотенузу равна 16 см. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 12 см и образует с одним катетом угол вдвое меньше, чем с другим. Найдите катеты треугольника. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 8 см. Один из углов трапеции равен 120°. Найдите диагонали трапеции. Основание высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, удалено от катетов на 3 см и 4 см. Найдите длину гипотенузы. В равнобедренную трапецию вписана окружность с радиусом 2 см. Найдите стороны трапеции, если ее площадь равна 20 см^. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. 19*. Найдите высоту трапеции с основаниями 4 дм и 14 дм и боковыми сторонами 6 дм и 8 дм. 20**. В прямоугольном треугольнике высота и медиана, прюведенные из вершины прямого угла, относятся как 40:41. Найдите отношение его катетов. 21*. Медианы, проведенные к катетам, равны а иЬ. Найдите гипотенузу. 22**. Медиана, проведенная к гипотенузе треугольника, равна среднему пропорциональному его катетов. Найдите углы треугольника. 23*. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности между суммой катетов и гипотенузы. 24*. Найдите катеты прямоугольного треугольника, длины которых относятся как 20 : 21, а разность между радиусом описанной и вписанной окружностей 17 см. 25*. Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен 5 см, а площадь треугольника - 24 см^. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 26*. Концы большей боковой стороны прямоугольной трапеции удалены от центра вписанной в нее окружности на 15 см и 20 см. Найдите периметр трапеции. 27**. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности удален от одной из его вершин на 6 см. Найдите периметр трапеции, если точка касания окружности делит боковую сторону трапеции в отношении 9:16. 28**. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла провели медиану СМ и высоту СН. Найдите гипотенузу, если СМ : СН = 5 : 4, а МН = 3 см. 29**. Две окружности с радиусами Виг касаются внешним образом в точке А. К ним проведена общая внешняя касательная, которая касается окружностей в точках В и С. Найдите: а) ВС; б) расстояние от точки А до прямой ВС. 30**. Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 см и 15 см, а общая хорда равна 24 см. Найдите расстояние между центрами окружностей. 31**. Диагон£1ли трапеции равны 4 см и 3 см, а отрезок, который соединяет середины оснований, - 2,5 см. Найдите площадь трапеции. 32**. Диагонали вписанного четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что полусумма квадратов его сторон равна квадрату диаметра окружности. 33**. В треугольнике АВС катет АС = 1 см, ВС = 7 см. В треугольнике ВМН (рис. 3.82) ВН = 4 см, НМ = 3 см. Найдите угол АВМ. 34**. На рисунке 3.83 изображен прямоугольник, который разбит на 6 равных квадратов. Найдите угол АВС. 35**. В прямоугольном треугольнике (рис. 3.84) катет АС в три раза длиннее катета АВ. Точки К и М делят катет АС на три равные части. Докажите, что сумма углов АКВ, АМВ и АСВ равна 90°. ,36**. Пользуясь утверждением задачи 32, докажите, что на рисунке 3.85 углы AFB и GDC равны. Рис. 3.82 Рис. 3.83 Рис. 3.84 Рис. 3.85 Г'/- ш 24 . Метод подобия и метрические соотношения в окружности. Свойства биссектрисы треугольника Теорема 1. Если через точку внутри окружности проведены хорды, то произведение отрезков каждой из хорд, на которые она делится заданной точкой, — величина постоянная для данной окружности. Через точку Р внутри окружности, изображенной на рисунке 3.86, проведены хорды АВ и CD. Докажем, что СР • PD =АР • РВ. Доказательство 1) ZCPA = ZBPD (как вертикальные), ZACD = ZABD (как вписанные, опирающиеся на одну дугу AD). Тогда ААСР ~ ADBP. 2) Треугольники АСР и DBP -подобны, тогда их соответственные стороны пропорцио- СР АР РВ PD Рис. 3.86 нальны: Тогда СР • PD =АР - РВ. Теорема доказана. Метод подобия -использование подобия треугольников, образованных дополнительными построениями. С Следствие. Если через точку внутри окружности провести диаметр и хорду, то квадрат расстояния от этой точки до центра окружности t^ = R^ - т-п (R - радиус окружности, тип- отрезки хорды, на которые ее делит данная точка - рис. на поле.) По теореме: (R + t) (R- t) = тп, = R^- тп. ш Теорема 2. Если из точки вне окружности к ней провели касательную и секущую, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной. К А На рисунке 3.87 АВ - секущая, АК - касательная. Докажем, что АВ -АС=АК^. Доказательство 1) ZKBC = ^КС : 2 (как вписанный); ZAKC = у->КС : 2 (как угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, см. стр. 30). Тогда ZKBC = ZAKC. 2) Рассмотрим АВКА и АКСА: ZA - общий, ZKBC = = ZAKC. Тогда эти треугольники подобны. 3) АВКА АКСА, тогда их соответственные стороны АС _АК пропорциональны: Отсюда АВ - АС =АК^ Рис. 3.87 АК Теорема доказана. АВ т- п = к-1 -t т - п Pi ■ Cl - P2 • C2 X = y= ac a + b be a + b что p k Следствие. Для секущих окружности, прове-^ I денных из одной точки, произведение секущей на ее внешнюю часть — величина постоянная для заданной окружности. Теорема 3. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В треугольнике АВС (рис. 3.88) CL - биссектриса угла С. Докажем, BL BC IA АС Доказательство Проведем ВК1CL и AN ± CL. 1) Углы BLK и NLA равны (как вертикальные), тогда прямоугольные треугольники BKL и ANL подобны и —= —(л: ~ВЬ, у -LA). К У 2) Углы BCL и NCA равны (по условию), тогда прямо- Л. а, угольные треугольники ВС К и ACiV подобны и —=—. ж ft, а „ 3) Теорема доказана. У К ъ ^ I Следствие 1. Биссектриса угла С треугольника ^ I АВС делит его сторону с на отрезки, длины которых равны: ас х=- У=- а+Ь Ьс — прилежащии к стороне а; — прилежащий к стороне Ъ (рис. 3.89). а+6 По теореме для треугольника АВС выполняется; ас Ьс X а -----Тогда ^=- . с-х о а+о и у=с-х= а+Ь Для любознательных 1. В треугольнике АВС; ALj - биссектриса, I - инцентр. Сравните отрезки AI и IL^. 2. Докажите, если все биссектрисы треугольника точкой пересечения делятся в одинаковом отношении, то этот треугольник равносторонний. 3. Вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны ВС в точке К. Докажите, что отрезок АйГ больше диаметра этой окружности. 4. Докажите, что высота треугольника больше диаметра вписанной в этот треугольник окружности. 5. Постройте прямоугольный треугольник по его гипотенузе, если известно, что его инцентр делит биссектрису прямого угла в отношении 2:1. ш Следствие 2. В треугольнике АВС инцентр I делит биссектрису CL^ в отношении CI : IL^ = = (а + Ь): с (рис. 3.89). По теореме из ACBL^ (рис. 3.89) получаем: CI а ас а+Ь IL. а -= —= а: X а+Ь Ш Теорема 4. Биссектриса CN^ внешнего угла треугольника АВС отсекает на луче [BN^) отрезки BNc и AN с, соответственно пропорциональные сторонам ВС и АС (рис. 3.90). Докажите самостоятельно, что BN^ : AN^ = ВС : АС. (Рассмотрите отношение площадей треугольников NfiA и NfiB, учитывая, что точка равноудалена от прямых АС и ВС, т. к. принадлежит биссектрисе угла, образованного ими.) р I Следствие. Геометрическое место точек С, ДЛЯ ^ I которых ВС : АС = k (постоянная fe ^ 1, А, В — фиксированные точки), — окружность с центром 1^^ на прямой АВ. Эта окружность называется окружностью Аполлония в честь Аполлония Пергского (см. с. 40). Достаточность следует непосредственно из теоремы 4. Точки Nc и L(. не изменяют положения для произвольной точки С, которая удовлетворяет отношению. При этом ZNfiL^ = 90° (как угол между биссектрисами смежных углов), т. е. точка С принадлежит окружности с диаметром ЛТД/^- Необходимость: для произвольной точки С окружности с диаметром выполняется равенство ВС : АС = к. Предлагаем доказать это (от противного) самостоятельно. Теоремаб (формула Лагранжа). Квадрат биссектрисы треугольника равен разности произведения . сторон, которые образуют соответствующий угол, и произведения частей, на которые она делит ^ третью сторону треугольника. Применим метод вспомогательной окружности. Опишем вокруг 1\АВС окружность и продолжим биссектрису CL угла С до пересечения с ним в точке W (рис. 3.91). Пользуясь обозначениями, указанными на рисунке 3.91, докажем: I/ = аЬ - ху. ILc AI IL„ c + b а Lr В AM АС AU Окружность Аполлония - ГМТ, для которых ВС : АС = const ^ 1, где А и В -фиксированные точки. Центр О е (АВ). Формула Лагранжа Q = ЪС- ХаУа 1с =аЪ- ХсУс lb =ас- хьУь Теорема Птолемея di-d2=^bt + ac Вдохновение нужно в поэзии, как и в геометрии. А. С. Пушкин W Рис. 3.91 Доказательство 1) Углы СВА и CWA опираются на одну дугу СА, тогда они равны. 2) ZBCL = ZWCA, ZCBL = ZCWA, тогда IsCBL ^ /S.CWA и а I 3) 1^^ + 1^2 = аЪ. По свойству хорд окружности (см. стр. 145) l^z = ху. Теорема доказана. Теорема 6 (теорема Птолемея). В любом вписанном в окружность четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных его сторон. Во вписанном четырехугольнике ABCD (рис. 3.92) проведем диагонали АС, BD и докажем, что АС • BD = ^AB-DC+AD-BC. Доказательство Отложим от DC угол CDM, равный углу ADB (М е АС). 1) ZABD = ZACD (wAD - общая), ZADB = ZCDM. СМ а Тогда I\ADB со hCDM и с DB 2) ZDAC = ZDBC i^DC - общая), ZADM АМ_ Ъ DB' ZBDC. Тогда AADM со ABDC и 3)АС = СМ+АМ= ac+kb DB , АС • BD = ас + kb. Ч. т. д. Опорная задача 1 Л?^На стороне АС треугольника АВС взяли точку М, а на стороне ВС - точку К так, что AM : МС = 2:3, ВК: КС = 3:4. В каком отношении АК делит отрезок ВМ? Дано: AM : МС = 2:3, ВК-.СК = 3:4. Найти: ВО : ОМ. Проведем через точку В прямую АС, п глАК = Р. 1)АМ : МС = 2 : 3, АМ = -АС; 5 2) АВКР со АСКА (по двум углам), тогда ВР АС ВК 3 „„3 = = — и ВР=-АС’, КС 4 4 3) АВРО со АМОА, тогда Ответ: 15:8. ВО _ВР _ 4^^ _ 15 ОМ AM 2 АС Опорная задача 2 ’ На стороне АВ треугольника АВС отметили точку М, а на стороне ВС — точку так, что СК : КВ = = 2 : 3, а точка пересечения отрезков АК и СМ делит СМ в отношении 5:2, считая от вершины. В каком отношении точка М делит сторону АВ? Дано: СК:КВ==2:3; СР:РМ = 5:2. Найти: AM: МВ. 2:5,5 = 4:11. Проведем MF || АК. 1) СК :КВ^2 : 3, СК= 2х, КВ = Зх. 2) ZMCB (РК II МРУ. СК : KF = = CP:PM = 5:2;CK=bt,KF = 2t. 3) CK==2x = 5t->x = 2,5tnFB = 3x--2^ = 3•2,5^-2^ = 5,5f. 4\ZABC(MF\\AK): AM : MB = KF: FB Ответ: 4:11. Задание 24 1. Найдите на рисунке 3.93 подобные треугольники. Ответ обоснуйте. Из точки А к окружности проведена секущая АВ и касательная АС (рис. 3.94). Какие из полученных треугольников подобные? Ответ обоснуйте. На рисунке 3.95 найдите подобные треугольники. Полезно помнить: при поиске отношения отрезков в треугольнике могут оказать помощь прямые, параллельные рассматриваемым отрезкам. 2. Рис. 3.94 Рис. 3.95 4. 5. Две хорды окружности пересекаются. Отрезки одной хорды равны 24 см и 14 см. Один из отрезков другой хорды равен 28 см. Найдите длину этой хорды. Из точки окружности провели перпендикуляр на диаметр. Найдите длину перпендикуляра, если отрезки диаметра равны 12 см и 3 см. Для любознательных 1. В окружности с радиусом R провели две взаимно перпендикулярные хорды АВ и СР. Докажите, что АС^ ВР^ = 4R^. 2, На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Докажите, что отрезки касательных, проведенных из точки пересечения диагоналей трапеции к указанным окружностям, равны между собой. 3. На продолжении хорды KL окружности с центром О взяли точку А, из которой к нему проведены две касательные АР и AQ; М - середина отрезка PQ. Докажите, что ZMKO = ZMLO. 4, Постройте окружность, которая проходит через две данные точки и касается: а) заданной окружности; б) заданной прямой (это задачи Аполлония Пергского, см. стр. 40). 6. Диагонгши АС и BD вписанного четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке М. AM = 3 дм, ВМ = 4 дм, СМ = 6 дм. Найдите MD и площадь четырехугольника АВСJD. 7*. В окружность радиуса г вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты, проведенной к основанию, и основания равна диаметру. Найдите указанную высоту. 8*. Диагональ АС вписанного четырехугольника ABCD - биссектриса угла BAD. Найдите ВС, если BD делит АС на отрезки 16 см и 4 см. 9*. Точка М лежит внутри окружности радиуса R и удгшена от его центра на расстояние d. Хорда АВ проходит через точку М. Найдите произведение AM • ВМ. 10*. Точка Р удалена от центра окружности на 7 см. Радиус окружности равен 11 см. Через точку Р проведена хорда длиной 18 см. Найдите отрезки, на которые точка Р делит хорду. 11**. Точка М лежит вне окружности радиуса R и удалена от его центра на расстояние d. Через точки А, В окружности и точку М проведена секущая. Найдите произведение AM • ВМ. 12*. Из внешней точки окружности проведена секущая длиной 12 см и касательная, которая составляет — внутреннего отрезка секущей. Найдите „ 3 длину касательной. 13*. Из точки А проведены две секущие, которые пересекают окружности: одна в точках В и С, другая - в В и В. Известно, что АВ = 7 см, ВС = 7 см, AD = 10 см. Найдите DE. 14*. Касательная к окружности равна 20 см, а самая большая секущая, проведенная из той же точки, равна 50 см. Найдите радиус окружности. 15**. В квадрат АВСВ со стороной 2 ^/5 см вписана окружность, которая касается стороны CD в точке Е. Найдите хорду, которая принадлежит прямой АЕ. 16**. Две окружности пересекаются в точках А и В. Хорды АС и AD проведены в окружностях так, что хорда одной окружности касается другой окружности. Найдите АВ, если СВ = а, BD = Ь. 17**. Докажите, что прямая, которая проходит через точки пересечения двух окружностей, делит пополам их общую касательную. 18*. В треугольнике биссектриса угла с длинами 9 см и 6 см разделила третью сторону на два отрезка, один из которых - 6 см. Найдите: а) длину третьей стороны; б) длину биссектрисы. 19*. Хорды АВ и CD пересекаются в точке М. Биссектриса угла BMD пересекает хорду BD в точке К. Найдите отрезки ВК и KD, если BD = 3 см, а площади треугольников ВСМ и AMD относятся как 1; 4. Для любознательных Головоломки Реймонда М. Смаллиана. 1. Человек смотрит на портрет. Его спрашивают: «Чей портрет вы рассматриваете?». Человек отвечает: «В семье я рос один - как перст один. Но все же отец того, кто на портрете, - сын моего отца!». О чьем портрете идет разговор? (Внимание! Ответ, что на портрете изображен тот же человек, который на него смотрит, - неправильный.) 2. Допустим, что в первой задаче человек, который рассматривал портрет, дал такой ответ: «В семье я рос один - как перст один. Но сын того, кто на портрете, - сын моего отца!» О чьем портрете шел разговор? 3. О населении некоторого города известно: 1) Среди его жителей нет двух людей с одинаковым количеством волосков на голове. 2) Ни у одного жителя этого города не растет на голове ровно 518 волосков. 3) Жителей в этом городе больше, чем волосков у любого из них. Каким может быть наибольшее число жителей этого города? 20**. Катеты треугольника равны 15 см и 20 см. Из вершины прямого угла провели биссектрису и высоту. На какие отрюзки разделилась гипотенуза? 21*. Найдите длину биссектрисы прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 6 см, проведенной из вершины прямого угла. 22**. Докажите, что если две биссектрисы внутренних углов треугольника равны, то он равнобедренный. 23**.' Докажите, если для некоторой точки Е на стороне ВС треугольника АВС имеет место равенство BE : СЕ = АВ : АС, то АЕ - биссектриса треугольника. 24**. Точка М лежит на стороне AJ5 треугольника АВС (АВ: АС = 3 :1) и делит ее в отношении AM : МВ = 7 : 2. В каком отношении отрезок СМ делит биссектрису АР этого треугольника? 25**. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 3:2. Найдите периммр этого треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4V5 мм. 26**. Точки К, Р и М, Н принадлежат сторонам АВ и АС треугольника АВС соответственно. Прямые КМ, PH и ВС параллельны. Из вершины угла А проведена биссектриса. Докажите, что она делит отрезки КМ и PH в одинаковом отношении. 27**. В прямоугольном треугольнике биссектриса делит гипотенузу в отношении 7 : 9, В каком отношении делит гипотенузу высота? 28**. В прямоугольном треугольнике АВС с катетом ВС = 6 см и гипотенузой АВ = 10 см проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине В, которые пересекают соответственно катет и его продолжение в точках DvlE. Найдите длину DE. 29**. Точки Aj и Bi принадлежат соответственно сторонам ОА и ОВ угла АОВ (градусная мера угла АОВ не равна 180°), и выполняется равенство ОА • OAi = ОВ • OBj. Докажите, что точки А, Aj, В, В^ принадлежат одной окружности. 30**. В треугольнике АВС с длинами сторон а, Ь и с провели биссектрису АК. Найдите длину отрезка биссектрисы, заключенного между вершиной А и точкой пересечения его биссектрис. 31**. Точка М лежит на продолжении хорды АВ. Докажите, что если для некоторой точки окружности С выполняется равенство МС^ = МА • МВ, то МС - касательная к окружности. Для любознательных 1. Докажите лемму Архимеда (см. стр. 36, 116, 212, 214) о перпендикулярных прямых. Если две хорды окружности взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения на отрезки а и Ь, с и d соответственно, то сумма квадратов этих отрезков равна квадрату диаметра окружности. Сколько способов доказательства вы можете предложить? 2. В окружности с радиусом R провели две хорды, которые пересекаются в точке М под прямым углом. Найдите сумму квадратов хорд, если расстояние от точки М до центра окружности равно п. 3. Докажите, что если два отрезкаАВ и CD делятся точкой пересечения К так, чтоАйГ • КВ = СК • KD, то через точки А, B,CviD можно провести окружность. 4. В центре квадратного пирога лежит изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по прямой, которая пересекает две его соседние стороны в точках, которые не являются вершинами квадрата; от остатка пирога можно аналогичным образом отрезать следующий кусок и т. д. Можно ли получить треугольный кусок пирога с изюминкой? §25 , Метод подобия в опорных задачах трапеции I Опорная задача 1 I Докажите, что точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины ее оснований лежат на одной прямой. Дано: ВС \\AD; BN = NC; KN r\AD = M. Доказать: AM = MD. три точки лежат на одной прямой 1) ZAKM и ZMKD: ВС || AD, тогда LBKN ~ 1\АКМ и /ШЛГС ~ ШКВ. Отсюда; BN KN NC ,BN AM КМ MD NC~^AM = MD. Ч. т. д. Опорная задача 2 Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции и середины ее оснований лежат на одной прямой. Дано: ВС Ц AD; BN = NC; NOf\AD = M. Доказать: AM = MD. I 3) аналогично: ANOC ^ АМОА; * 4) ANBO ~ AMDO и ANOC ~ АМОА BN NC АМ’ д- 1) ВС IIAD, BD - секущая —> ZNBO = = ZODM; 2) ZNBO = ZODM; ZNOB = ZDOM (вертикальные) AN ВО " AMDO; BN NO NC ■ MD ОМ AM |5) MD Ч. т. BN = NC -^АМ = MD. Для любознательных 1. Диаметр окружности радиуса R разделен точками на 4 равные части. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до указанных точек деления (включая и концы диаметра) является величиной постоянной для данной окружности. 2. Диаметр окружности радиуса R разделили на п равных частей. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до указанных точек деления (включая и концы диаметра) является величиной постоянной для данной окружности. 3. Две окружности радиусов Cj и г2 касаются друг друга внешним образом. Найдите длину их общей касательной и радиус окружности, касательной к ней и к данным окружностям. 4. Три окружности попарно касаются друг друга в точках А, В, С {А - точка касания первых двух окружностей). Докажите, что точки пересечения прямых АВ и АС с третьей окружностью и центр третьей окружности лежат на одной прямой. Опорная задача 3 J Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции, | точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины ее оснований лежат на одной прямой. Дано: BC\\AD;BN = NC; AM = MD. Доказать: {К; N; О; М) е п. М D Обозначим прямую KN через п. 1) {К; N} е п ^ {К; N; М) е п - по опорной задаче 1; 2) {К\ N) е. п {N; О; М} е п - по опорной задаче 2. Тогда {К; N; О; М} е га. Ч. т. д. Опорная задача 4 I Прямая, параллельная основаниям трапеции, делит ее | боковую сторону в отношении т : га, считая от меньше- | го основания. Найдите длину отрезка этой прямой, . заключенного между боковыми сторонами трапеции, ' если длины ее оснований равны апЬ (а <Ь). ^ Дано: EF || ВС || AD; BC = a;AD = b; J BE : ЕА = т: п. Найти: EF. = ту, CD т 3) CF k=-п+т 4) ACNF ~ ACKD ■ 1) Z(AB; CD): EF || BC\\AD-^ BE : ЕА = CF : FD = т : п; » 2) СК \\АВ по построению, ВС Ц AD | ~^BC = EN = AK = a,KD = b~a; | (п+т)у, EF IIAD ACNF ~ ACKD с j 5) EF = EN + NF= а+ NF:KD^k и NF=KD (b-a)m an+bm m n+m n + m n+m Ч. T. Д. четыре точки лежат на одной прямой х = - и ап -Ь Ьт т + п Для любознательных Вашему вниманию предлагаются задачи на построение Якоба Штейнера (см. стр. 129), которые он предлагал студентам Берлинского университета во время своих лекций. В этих задачах построение надо провести только с помощью линейки без делений. Попробуйте решить эти задачи и вы. Но не забудьте доказать, что вы построили именно ту фигуру, которая требовалась по условию задачи. 1. На прямой заданы три точки А, В, С, при этом В делит отрезок АС пополам. Через произвольную точку K{Ki (АС)) проведите прямую, параллельную (АС). 2. Даны два параллельных отрезка. Разделите один из них пополам. 3. Даны две параллельные прямые. Проведите через данную точку, не лежащую на этих прямых, третью прямую, параллельную данным. 4. Даны: вспомогательная окружность, произвольная прямая АВ и точка, не принадлежащая (А_В). Проведите через заданную точку прямую, параллельную (АВ). J х\\а КМ= а + Ь t в любой трапеции * Опорная задача 5 Точка пересечения диагоналей трапеции делит каждую из этих диагоналей на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Дано: ABCD - трапеция, ВС = а; AD = b. Доказать: ВО : OD = СО : ОА = а :Ь. l^BOC ADOA (по двум углам), тогда BO:OD^CO:OA = a:b. Ч. т. д. Опорная задача 6 Отрезок, параллельный основаниям трапеции, с концами на ее боковых сторонах, проходит через точку пересечения диагоналей этой трапеции. Докажите, что: а) этот отрезок делит боковые стороны трапеции на отрезки, пропорциональные прилежащим основаниям; б) этот отрезок точкой пересечения диагоналей делится пополам; в) длина этого отрезка равна отношению удвоенного произведения оснований трапеции к сумме этих оснований. Дано: MN || ВС || AD; BC = a-,AD^b. Доказать: (/) ВМ : MA = CN:ND = а:Ь. (2) МО = ON. - 2о6 D (3)MiV = ——. а+Ь 1) MNII ВС IIAD, тогда по обобщенной теореме Фалеса и опорной задаче 5: ВМ : МА = CN : ND = ВО : OD = = а :Ьи (i) доказано. 2) MNII ВС, тогда ДАВС ~ ААМО, ADBC ^ ADON. 3) ЛАВС ~ ДАМО: I АВВС ~ ADON: и(2)доказано. 4) MN МО AM а ON а АВ ND ____ CD а+Ь а+Ь Ь МО ON = аЬ а+Ь аЬ а+Ь = МО 2аЬ 2МО = —и (3) доказано. а+Ь Для любознательных Через вершину В трапеции ABCD (ВС || AD, ВС < AD) провели прямую ВКII CD (К е АС). Докажите, что треугольники АВС и KCD - равновеликие. 2. 3. 4. Задание 25 1. Основы трапеции равны а я Ь (а < Ь). Найдите отношение, в котором диагонали этой трапеции делят отрезок с концами в серединах ее оснований. Основы трапеции равны 3 см и 6 см. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного боковыми сторонами трапеции. В равнобедренной трапеции длины оснований равны 4 см и 6 см. Найдите длину отрезка с концами в точках касания к боковым сторонам окружности, которая вписана в эту трапецию. Одна из диагонгшей трапеции делится их точкой пересечения на отрезки 2 см и 4 см. Меньшее из оснований трапеции равно 4 см. Найдите большее основание трапеции. Непараллельные стороны трапеции продолжили до их пересечения и через полученную точку пхювели прямую, параллельную основаниям трапеции. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного продолжениями диагоналей трапеции, если длины ее оснований равны аиЬ(а <Ь). Площадь трапеции равна 27 м^, основания - 8 м и 16 м. Найдите площади треугольников, на которые трапецию делят ее диагонали. В трапеции ABCD (AD || ВС) точки М иЫ- середины оснований, прямая MN образует равные углы с прямыми АВ и CD. Докажите, что эта трапеция равнобедренная. Длины оснований трапеции относятся как 2:5. Параллельно основаниям трапеции провели прямую, которая делит ее боковую сторону в отношении 1:2. Найдите отношения площадей двух частей трапеции, на которые указанная прямая разделила трапецию. Основания трапеции равны 2 см и 4 см. Нгшдите длину отрезка, параллельного основаниям, который делит данную трапецию на две равновеликие части. 10. Параллельно основаниям трапеции проведите прямую так, чтобы ее отрезок, который находится внутри трапеции, делился ее диагоналями на три равные части. 6. 7. 8 9. Для любознательных О поездке известного французского энциклопедиста Дидро в Россию по приглашению Екатерины II рассказывают следующее. Дидро был атеистом, не скрывал своих убеждений и настоятельно их пропагандировал. Императрица считала его высказывания любопытными, но один из ее вельмож посоветовал остановить атеистические выступления Дидро. Найти способ, как предупредить резкие высказывания Дидро, попросили знаменитого математика Леонарда Эйлера. Леонард Эйлер, гений, который открыл человечеству новое направление математики, был человеком глубоко религиозным и имел неплохое чувство юмора. Эйлер известил Дидро, что ему удалось найти доказательство существования Бога и с этим доказательством он с удовольствием ознакомит Дидро в присутствии всего императорского двора. Дидро согласился на дискуссию. И вот на следующий день самые уважаемые вельможи по приглашению Екатерины II собрались за огромным столом. Эйлер, пользуясь тем, что Дидро совсем не знал математики, поднялся и, глядя в глаза своему оппоненту, загробным голосом произнес: «А в квадрате минус В в квадрате равно А минус В, умноженное на А плюс В. Отсюда следует, что Бог существует. Вы согласны?» Зазвучал общий смех, а Дидро растерялся. Тут же он попросил императрицу позволить ему вернуться во Францию. Задания для повторения главы III 1. Сформулируйте обобщенную теорему Фалеса. 2. Сформулируйте обратную теорему Фалеса. 3®. Какие треугольники называются подобными? 4®. Сформулируйте основную теорему подобия треугольников. 5®. Сформулируйте признаки подобия треугольников. 6. Докажите основную теорему подобия. 7®. Сформулируйте признаки подобия прямоугольных треугольников. 8®. Сформулируйте свойства подобных треугольников. 9. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника. 10. Сформулируйте следствия из теоремы о высоте прямоугольного треугольника. Какое из них называется теоремой Пифагора? 11®. Треугольникии- подобны. RT = 8 см, = 16 см, = 18 см, R^F^ = 20 см. Найдите TF и RF. 12. Треугольники АВС и AjBjC - подобны (рис. 3.96). Периметр треугольника А^В^С^ равен 105 см. Найдите х, у, г. 13. По рисунку 3.97 найдите периметр треугольника FKL. Рис. 3.96 Рис. 3.97 14®. На рисунке 3.98 найдите подобные треугольники. Вычислите неизвестные стороны треугольников. Рис. 3.98 р\4,5 см У 1 /10,5 см 15. На рисунке 3.99 -АК ХАВ, АЕ X АС. Докажите, что 1\АКЕ ААВС. 16. ABCD - трапеция (рис. 3.100). Докажите, что ААВС ADCA. 17. На рисунке 3.101 ABCjD-параллелограмм. 1) Докажите, что AABN'^ACBF. 2) Найдите отношения A;V : FC и AD : АВ, если BN : BF = 2:3. 18. По рисунку 3.102 найдите длину отрезка АВ. 19”. Найдите неизвестные элементы прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°) на рисунке 3.103. Б б) г) е) з) и) й) Рис. 3.103 20®. Найдите длину отрезка АР по рисунку 3.104. 21. Треугольник АВС прямоугольный (рис. 3.105), ZC = 90°. Найдите х. 22. Периметр прямоугольника равен 56 см. Одна из его сторон равна 16 см. Вычислите длину диагоналей прямоугольника. 23*. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки 4 см и 5 см. Найдите стороны треугольника. 24*. Проекции катетов прямоугольного треугольника на его гипотенузу равны 2 см и 4 см. Найдите длины сторон этого треугольника. 25*. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а медиана боковой стороны - 19,5 см. Найдите длины боковых сторон треугольника. 26*. Найдите радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а один из катетов - 10 см. 27*. Окружность, центр которой лежит на основании равнобедренного треугольника, касается боковых сторон этого треугольника. Найдите радиус данной окружности, если длина основания треугольника равна 8 см, а высота, проведенная к основанию, - 3 см. 28*. Найдите площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной а (все вершины квадрата лежат на сторонах треугольника). 29*.В середине круга, радиус которого равен 15 см, отметили точку М на расстоянии 13 см от центра. Через точку М провели хорду длиной 18 см. Найдите длины отрезков, на которые точка М делит эту хорду. 30*. Из точки вне заданной окружности провели к ней секущую и касательную. Расстояние от точки А до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью - 32 см. Найдите радиус окружности, если секущая удалена от его центра на 5 см. 31*.Из точки вне окружности провели к ней касательную и секущую. Длина касательной на 8 см больше внутреннего отрезка секущей и на 20 см меньше внешнего. Найдите длину касательной. 32*. 33* 34**. 35**. 36**. 37**. 38**. 39**. 40**. 41**. 42**. 43**. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона равны между собой. Найдите длину средней линии трапеции, если длины боковых сторон равны 2 см и 4 см. Найдите длину диагоналей и боковой стороны равнобокой трапеции с основаниями 20 см и 12 см, если центр описанной вокруг этой трапеции окружности лежит на одном из ее оснований. Хорда окружности равна 10 см. Через один ее конец провели касательную к окружности, а через другой - секущую, параллельную касательной. Найдите радиус окружности, если длина внутреннего отрезка секущей равна 12 см. В прямоугольном треугольнике провели биссектрису острого угла. Отрезок, который соединяет основание этой биссектрисы с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найдите углы треугольника. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, провели касательную, параллельную основанию треугольника. Найдите длину отрезка касательной, который находится внутри треугольника. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны тип. Докажите, что площадь заданного прямоугольного треугольника равна тп. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а сумма квадратов биссектрис острых углов равна т^. Найдите расстояние между концами биссектрис, принадлежащих катетам. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность, центр которой лежит на гипотенузе и делит ее на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите радиус этой полуокружности и площадь треугольника. На каждой медиане треугольника взята точка, которая делит медиану в отношении 3:1, если считать от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих точках меньше площади заданного треугольника? Точки касания вписанной в трапецию окружности делят одну боковую сторону на отрезки 9 см и 16 см, а другую - в отношении 4 : 9. Найдите основания трапеции. Площадь равнобокой трапеции, описанной вокруг окружности, равна 8 см^. Определите периметр трапеции, если угол при ее основании равен 30°. В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса R. Одно из оснований трапеции меньше ее высоты в два раза. Найдите площадь трапеции. Готовимся к тематической аттестации № 3 Вариант I 1. (26.) Треугольники АВС и AiBjCi подобны. АВ = 8 см, ВС = 10 см, АС = 4 см. Найдите периметр треугольника AiBjCi, если AjBi = 11,2 см. 2. (1 б.) Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 5 см. 3. (2 б.) Диагональ прямоугольника больше одной из его сторон на 1 см. Найдите эту диагональ, если периметр прямоугольника равен 34 см. 4. (3 б.) Найдите боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 14 см и 18 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. 5. (4 б.) Точки касания вписанной в равнобедренную трапецию окружности делят боковую сторону на отрезки 3 см и 12 см. Найдите площадь трапеции. Вариант II 1. (2 б.) Треугольники АВС и AjBjCj подобны. AjBj = 3 см, BjCj = 5 см, AjCj = 7 см. Найдите периметр треугольника АВС, если ВС = 13 см. ш. 2. (1 б.) Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и другой катет соответственно равны 9 см и 5 см. 3. (2 б.) Диагональ прямоугольника больше одной из его сторон на 4 м. Найдите эту диагональ, если периметр прямоугольника равен 28 м. 4. (3 б.) Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 5 см и 13 см, а диагонгьли перпендикулярны боковым сторонам. 5. (4 б.) Средняя линия описанной равнобокой трапеции равна 20 см. Расстояние от центра вписанной в нее окружности до вершины меньшего основания равно 10 см. Найдите радиус этой окружности. Для любознательных 1. В треугольнике АВС со сторонами а, Ъ, с через точку пересечения биссектрис I проведены прямые, параллельные сторонам этого треугольника. Найдите длины отрезков этих прямых, которые отсекаются сторонами треугольника. 2. Биссектриса AL пересекает вписанную в треугольник АВС окружность в точках К VIР (считая от вершины А). Какой из отрезков длиннее; АК или PL1 3. Биссектрисы Air и ВР треугольника АВС пересекаются в точке I и делятся ею в отношении А/; IK = 3 ; 2 и В/: /Р = 5 : 3. Найдите отношение сторон треугольника АВС. 4. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки 8 см и 10 см. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной в него окружности делит эту биссектрису в отношении 3:2, считая от вершины треугольника. 5. В равнобедренном треугольнике АВС высота АК вдвое меньше его биссектрисы CL. Найдите углы треугольника АВС. 6. В треугольнике АВС через середину Mj стороны ВС и инцентр I провели прямую, которая пересекает высоту AHj в точке Е. Докажите, что отрезок АЕ равен радиусу окружности, вписанной в треугольник АВС. 7. Докажите, что для произвольного треугольника АВС выполняется соотношение AI • IW = 2Rr, где В и г - радиусы описанной и вписанной окружностей, точка I - инцентр треугольника, aW- точка пересечения окружности, описанной вокруг треугольника АВС, с прямой А/. 8. На стороне ВС квадрата АВСВ отметили точку К. Биссектриса угла АВВ пересекает сторону АВ в точке М. Докажите, что DK = КС + AM. 9. На стороне ВС правильного треугольника АВС отметили точку В и на отрезке СВ, как на стороне, построили равносторонний треугольник CDE (вне треугольника АВС). Точки К и М - середины отрезков АВ и BE соответственно. Докажите, что треугольник СКМ - правильный. 10. Впишите в данную окружность два равных треугольника с взаимно перпендикулярными сторонами. 11. Внутри угла АВС отметили точку М. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла в точке М и двумя другими вершинами на сторонах угла АВС. 12. Прямая I касается окружности, описанной вокруг треугольника АВС, в точке А. На сторонах АВ и АС отметили точки В и £ так, что АВ = 6 см, ЕС = 7 см, АЕ = 5 см, DE || I. Найдите длину ВВ. 13. Через точку М, которая отмечена на продолжении диагонали трапеции, и середину каждого из ее оснований провели две прямые, которые пересекают боковые стороны трапеции в точках Н и К. Докажите, что отрезок НК параллелен основаниям трапеции. 14. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили точки М и Р соответственно. Каждая из этих точек делит соответствуюш;ую сторону в отношении 1 : 2008, если считать от вершины А. В каком отношении точка пересечения отрезков СМ и ВР делит каждый из этих отрезков? 15. Докажите, что в произвольном треугольнике АВС выполняется неравенство А/ + BI + С1> 6г, где I - инцентр треугольника, а г - радиус окружности, вписанной в этот треугольник. ; ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКШ* ^ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Вы уже зааете, что нз разшшвтл и шщв&яя треутшышвковг пеаоллоуя теорему Пифагора, можно onpez^ejum расстояния тяшщ тоннами без ие-посредствевшнч» их нзвс^еюга. Ilfате«жш<«ее|Цкя ви^са вдадевг и таюош щшемаяфк, когда яо дорше янеоторых отрезке» ощ^/те^ятт ши^ угявл ш используют их для вычисления длин иеизвесттЕых отрежсои. Чтробы овладеть этими приемами, надо научиться пользоаатьеа Т|М|гош)метричй<я«ми функциями. К знакомству с некоторыми нз якх и прягд1шает эта глава. §26. Соответствие между отношением сторон и мерой острого угла в прямоугольном треугольнике Обозначим на одной из сторон | перпендикуляры на другую сторо- ных треугольника АВС и ABjCj. Эти прямоугольные треугольники подобны, т. к. у них острый лп лп угол А - общий. То АВ АВ, т. е. отношение катета, прилежащего к углу А, к гипо- * тенузе в этих треугольниках совпадает. Оно не зависит I от места расположения точек В, на стороне угла. А вот | если изменить меру угла, то изменится и соответствую- | щее отношение катета к гипотенузе в таких треуголь-никах (рис. 4.2). Таким образом, рассмотренное нами * от меры угла АВ ВС I А^В ВС^ зависит только Еще Евклид в своих «Начетах» использовал обозначения вершин и сторон прямоугольного треугольника соответственно как А, В, С и а, Ь, с (при этом С - вершина прямого угла, с -гипотенуза). а sina= — t противолежахций катет гипотенуза Ь cosa=- t ! прилежащим катет гипотенуза а tga = - противолежащии катет прилежащий катет ^ Ь ctga= — I а прилежащий катет противолежащий катет отношение сторон прямоугольного треугольника зависит только от меры угла А. Аналогично можно рассмотреть и другие отношения сторон в подобных прямоугольных треугольниках. Каждой мере острого угла соответствует определенное отношение сторон в прямоугольном треугольнике. Тогда их можно определить один раз для какого-то прямоугольного треугольника, а потом использовать для рассчетов в других прямоугольных треугольниках, имеющих такой же острый угол. Рис. 4.3 Принято называть и обозначать эти отношения так. Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для рисунка 4.3: sinA = —. с Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cosA=-. с Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету: tgA=-. о Котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету: ctgA=-. а Такие отношения назвали тригонометрическими функциями, вычислили их значения для острых углов (с шагом меньшим 1°) и составили таблицы тригонометрических функций. Первая таблица синусов была создана еще в Древней Греции во II в. до н. э. Сегодня определить значение тригонометрической функции угла или найти градусную меру угла по значению его тригонометрической функции можно не только пользуясь таблицами тригонометрических функций, но и с помощью калькуляторов и компьютеров. 0° < а < 90° О < sin а < 1 О < cos а < 1 Еще в V в. индийские математики пользовались тригонометрией для вычислений неизвестных элементов треугольника. Сегодня тригонометрия используется не только для решения треугольников, а еще дает возможность, например, изучать электромагнитные волны. На теории распространения этих волн основывается работа многих приборов, которыми мы пользуемся каждый день, в частности радио, телевизоров, телефонов и т. д. Важное замечание. Синус и косинус угла не могут быть больше единицы, поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше его катета. Практическая работа 33 1. На листе бумаги начертите острый угол а. Вырежьте шаблон этого угла (рис. 4.4). С помощью изготовленного шаблона и угольника начертите в тетради несколько подобных прямоугольных треугольников (рис. 4.5). 3. Измерьте стороны треугольников и найдите sin а, cos а, tg а и ctg а для каждого из треугольников. 4. Сравните значения sin а, cos а, tg а и ctg а для каждого из треугольников. Сделайте выводы. Для любознательных Тригонометрия как раздел элементарной математики, изучающий использование тригонометрических функций для решения треугольников, получила свое название от греческих слов •«тригон» - треугольник и «метрео» -меряю, измеряю. Первые тригонометрические таблицы составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Они содержали значения синусов углов от 0“ до 90° через каждую четверть градуса. Эти таблицы до нас не дошли. Первые тригонометрические таблицы, которые дошли до нас, помещены в произведении «Альмагес» александрийского ученого Клавдия Птолемея (II в.). Задание 26 1“. По рисунку 4.6 найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла F прямоугольного треугольника FGH с прямым углом G. б) I см 3°. 4*’. 5. 6. Найдите синус угла А треугольника АВС с прямым углом С, если а) ВС = 4,5 см, АВ = 15 см; б) ВС = 5,4 см, АВ = 18 см; в) ВС = 6 см, АВ = 19 см; г) ВС = 2,52 см, АВ = 8,4 см. Найдите косинус угла А треугольника АВС с прямым углом С, если: а)АС = 10,32 мм, АВ = 17,2 мм; б)АС = 10,32 см, АВ = 17,2 см; в)АС = = 10 см, АВ = 17 см; г) АС = 6,192 м, АВ = 10,32 м. Найдите тангенс и котангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если а) ВС = 4,3 см, АС = 10,75 см; б) ВС = 21,5 дм, АС = = 53,75 дм; в) ВС = 10,75 м, АС = 4,3 м. В треугольнике АВС угол С прямой. Найдите: а) АС, если АВ = 4 см, cos А = 0,4; б) ВС, если АС = 24 мм, tgA = 0,5; в) АВ, если АС = 9 мм, 3 sin В = —; г) АС, если ВС = 2 м, ctg В = 4. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 3 см и 5 см. Найдите: а) синус острого угла, который лежит напротив большего катета; б) косинус острого угла, прилежащего к меньшему катету; в) тангенс острого угла, который лежит напротив большего катета. 7. В прямоугольном треугольнике катеты равны 8 см и 15 см. Найдите: а) тангенс острого угла, который лежит напротив большего катета; б) косинус острого угла, прилежащего к меньшему катету; в) синус острого угла, прилежащего к большему катету. 8. Существует ли угол: а) синус которого равен: 0,5; 0,004; 1,5; б) косинус которого равен: 5,009; 0,4; 0,007; в) тангенс которого равен: 0,9; 5,2; 23; г) котангенс которого равен: 9; 0,52; 2,3? 9. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой. Найдите отношение катетов АС и ВС, если: а) tgA = 3; б) ctg А = 1,5. 10. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой. Найдите отношение катета ВС к гипотенузе АВ, если: а) 2sin А = 1; б) 3cos В = 1. 11*. В прямоугольном треугольнике АВС (ZC = 90°) выполняется равенство 2sin А = 3sinB. Сравните катеты. 12*. В прямоугольном треугольнике АВС (ZC = 90°) выполняется равенство 3sin А = 4sinB. Найдите отношение катета АС к катету СВ. 13**. Найдите гипотенузу АВ треугольника АВС, если: а) катет АС = 6 см и 3sinA = 4sinB; б) катет АС = 16 см и 3cos А = 4cosB. §27. Построение угла по его тригонометрическим функциям. Изменение значения тригонометрических функций на интервале [0°; 90°] Рассмотрим построение угла по значению его тригонометрических функций на конкретных примерах. 3 Пример 1. Построить угол, синус которого равен —. о Используя произвольный раствор циркуля I, построим два отрезка а = Ы тл с = Ы. Если теперь построить прямоугольный треугольник по катету а и гипотенузе с (рис. 4.7), то угол, противолежащий катету а, будет искомым. Почему? 2 Пример 2. Построить угол, косинус которого равен —• О Используя произвольный раствор циркуля I, построим два отрезка Ъ — 21тз.с = Ш. Если теперь построить прямоугольный треугольник по катету Ъ и гипотенузе с (рис. 4.8), то угол, прилежащий к катету Ъ, будет искомым. Почему? 1, 1 1 \ а = Ы Ъ = 21 1 Г Y Рис. 4.7 Рис. 4.8 I I Пример 3. Построить угол, тангенс которого равен | I I I I I I I ♦ I 5 4 Используя произвольный раствор циркуля I, построим два отрезка а = 51иЬ = 4:1. Если теперь построить прямоугольный треугольник по катетам а и Ь (рис. 4.9), то угол, противолежащий катету а, будет искомым. Почему? Пример 4. Построить угол, котангенс которого 4 равен —. Используя произвольный раствор циркуля I, построим два отрезка а — 41иЬ = 71. Если теперь построить прямоугольный треугольник по катетам о и Ь (рис. 4.10), то угол, противолежащий катету Ъ, будет искомым. Почему? Знаменитый древнегреческий астроном Клавдий Птолемей (II в.) составил таблицу значений тригонометрических функций и использовал ее для расчета траекторий движения небесных тел. Его труд «Математическое построение» содержал математическую модель движения небесных тел - известную геоцентрическую модель Вселенной Птолемея (центр Вселенной -Земля, а звезды и планеты вращаются вокруг нее). I Математическую мысль породила потребность разума построить модель окружающего мира. Р. Том Рис. 4.9 Рис. 4.10 Рассмотрим теперь четверть единичной окружнос- 0 < а < 90°; при аТ sin аТ отоОЗо 1; ♦ при аТ cos ai от 1 до 0. йаО"-» Ж» t а) Из точки В этой дуги проведем перпендикуляры ВС и BD к радиусам OBq и OBj соответственно (рис. 4.11-а). Угол между единичными радиусами ОВ и OBq обозначим через а. Тогда cos а = ОС : 1 = ОС и sin а = OD : 1 = = OD, т. е. значения cos а и sin а ЧИСЛЕННО равны проекциям точки В на граничные радиусы OBq и OBi соответственно. Представим себе, что точка В движется по нашей дуге от положения Во до положения В^ (рис. 4.11-6). С увеличением угла уменьшается горизонтальная проекция ОС и увеличивается вертикальная проекция OD. Тогда с увеличением угла а от 0° до 90° значение cos а уменьшается, а sin а - увеличивается. Если угол а очень маленький, то О В почти совпадает с OBq. Тогда значение длины горизонтальной проекции ОС, а значит и cos а, мгию отличается от 1, а значения вертикальной проекции OD и sin а - близки к 0. Если угол а принимает значения, мало отличающиеся от 90°, то ОВ почти совпадает с ОВ^. Тогда значение длины вертикальной проекции OD, а значит и sin а, мало отличается от 1, а значения горизонтальной проекции ОС и cos а - близки к 0. Хотя при значениях а = 0° и а = 90° соответствующий прямоугольный треугольник не существует, понятно, почему считают, что при а = 0° sin 0° = 0, cos 0° = 1, а при а = 90°, наоборот, sin 90° = 1, cos 90° = 0. При увеличении угла от 0° до 90° синус этого угла I увеличивается от 0 до 1, а косинус этого угла — умень-I шается от 1 до 0. Практическая работа 34 1. 2. Постройте полуокружность с диаметром АС. На этой полуокружности отметьте точки ВшР, соедините их с. концами диаметра. Будут ли треугольники АВС и АРС прямоугольными? Почему? Измерьте длины сторон этих треугольников и вычислите синусы и косинусы углов ВАС и РАС. Сравните: а) углы ВАС и РАС', б) значения синусов этих углов. Сформулируйте вывод. Сравните значения косинусов этих углов. Сформулируйте вывод. Практическая работа 35 1. Постройте прямой угол О. На одной из его сторон обозначьте точки В и С, а на другой - точку А. Соедините точки В и С с точкой А. 2. Измерьте катеты этих треугольников и посчитайте для углов ВАО и САО значения тангенсов и котангенсов. 3. Сравните: а) углы ВАО и САО; б) значения их тангенсов. Сделайте вывод. 4. Сравните значения котангенсов этих углов. Сделайте вывод. Практическая работа 36* 1. Постройте окружность радиусом ЕТ. Используя транспортир, поделите ее на 6 равных дуг и соедините точки раздела с концами диаметра. Прямоугольны ли образованные треугольники? Почему? 2. Измерьте стороны каждого из образованных треугольников и вычислите (с точностью до сотых) синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов с вершинами в точке Т. Заполните таблицу значений тригонометрических функций углов от 15° до 75°. 15° 30° 45° 60° 75° sirToT^ cos а tga ctg а Задание 27 2 1 1. Постройте угол а, если его синус равен: а)б)—; в) 0,3. 3 5 3 3 2. Постройте угол а, если его косинус равен: а) б) —; в) 0,5. 5 4 4 3. Постройте угол а, если его тангенс равен: а) 2; б) 0,9; в) —. 7 3 4. Постройте угол а, если его котангенс равен: а)—; 6)3; в) 0,4. 5 5**. В прямоугольном треугольнике АВС (ZC = 90°) 3sin А= 4sinB. Постройте треугольник, подобный треугольнику АВС. 6*. Сравните: а) sin 12° и sin 34°; б) sin 56° и sin 1°; в) cos 8,9° и cos 89°; г) cos 90° и cos 0,9°; д) sin 0° и cos 0°; е) sin 90° и cos 90°; ж) sin 0° и cos 90°; з) sin 90° и cos 0°. 7**. Сравните: а) tg 32° и tg 64°; б) tg 76° и tg 81°; в) ctg 9,3° и ctg 33°; г) ctg 40° и ctg 49°. „ 2 3 8*. Сравните острые углы аир, если: а) sin а > sin В; б) sin а = —, sin В = —; 3 4 3 2 в) sin а = 0,63, sin р = 0,63; г) cos а = -, cos В = -; д) cosa = 0,5, cos В = 0,3; 11 7 5 е) cos а = —, cos В = —. 2 2 „г 8 б 9**. Сравните острые углы а и (3, если: а) tg а < tg р; б) tg а = —, tg р = — ; 3 2 в) tg а = 3,4, tg р = 3,4; г) ctg а < ctg Р; д) ctg а = 1,4, ctg р =0,7; е) ctg а = 1, ctg Р = 1. 1 §28 . Соотношение между тригонометрическими функциями дополняющих углов Дo^^oлняющuя^u называются углы, которые в сум-ме составляют 90° (дополняют друг друга до 90°). Такими углами являются, например, острые углы любого прямоугольного треугольника. В треугольнике АВС (рис. 4.12) углы А и В - дополняющие: ZA + ZB = 90°. Обозначим угол А через а, тогда ZB = 90° - а. Запишем тригоно- i метрические функции углов А и В: а + Р = 90° ♦ V ' дополняющие I ♦ sin а = cos (90° “ а) | cos а = sin (90° “ а) | tg а = ctg (90° — а) | ctg а = tg (90° — а) } 1) sin а = ^ = cos В = cos (90° а) - синус данного угла равен косинусу дополняющего угла; 2) cos а = - = sin B=sin (90° - а) - косинус данного с угла равен синусу дополняющего угла; 3) tg а = —=ctg В=ctg (90° - а) - тангенс данного угла равен котангенсу дополняющего угла; , 4) ctg а = —=tgB=tg (90° - а) - котангенс данного I а . угла равен тангенсу дополняющего угла. Задание 28 1”. Углы а и Р - острые углы прямоугольного треугольника. Найдите значения: 5 а) sin а, если cos р = —; б) cos а, если sin Р = 0,8; в) tg а, если ctg Р = 0,7. 13 2. Упростите выражение: а) 2sin (90° - а) - cos а; б) cos (90° -«)-(- sin а; в) tg (90° - Р) + 3ctg р; г) ctg (90° - р) - tg р. 3. Упростите выражение: а) 2sin (90° - Р) - sin Р -I- cos Р -f cos (90° - Р); б) cos (90° - а) -Ь cos а -I- sin а - sin (90° - а); в) tg (90° - Р) -I- 3ctg (90° - а) -ь 2(tg а + tg Р). 4*. Для двух острых углов а и Р выполняется равенство: а) sin ( 90° - Р) = sin (90° - а); б) cos ( 90° - Р) = sin а; в) tg ( 90° - Р) = ctg а; г) ctg ( 90° - р) = tg а. Равны ли углы а и Р? 5*. Найдите сумму двух острых углов а и р, для которых выполняется равенство: а) sin (90° - Р) = sin а; б) cos р = sin а; в) tg ( 90° - Р) = tg а; г) ctg р = tg а. 6*. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если для двух его острых углов а и Р выполняется равенство: а) cos Р = sin (90° - ос); б) tg сх = = ctg(90°-p). 7**. В треугольнике АВС углы а и Р - острые. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный, если: а) cos р = sin а; б) ctg а = tg р. Для любознательных Знаки для обозначения тригонометрических функций sin, cos и tg ввел Леонард Эйлер (в 1748 г. - sin и cos; в 1753 г. - tg). §29. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла I Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС со сто- ♦ ронами а,Ь,су1 острым углом А, меру которого обозначим | как а (рис. 4.13). Запишем значения тригонометрических | функций этого угла через длины сторон треугольника АВС: ^ I (Т) Разделим числитель и знаменатель | последних двух дробей на с: ^ а _а:с Ъ _Ъ:с I Ь Ь:с’ а а:с I Из последнего получаем соотношения: ( а Ъ ^ а ^ Ъ sina =—, cosa =-, tga=—, ctg a=—. c c b a tga- sm a , C08 a ^ ctga=-^----; tga-ctg a*=l. венство на с , получим: \2 т.е. (sin а)* + (со8 а)*«=1. 1сли разделить равенство + Ь^ на Ь^, получим: tg« = ctg о sma cos а __ cos а sin а tga - ctg а = i cosa sma @По теореме Пифагора = c^. Разделив это pa- ^ I I I Последнее равенство - это тригонометрический эк- ^ бивалент теоремы Пифагора, его еще называют основ- ^ ным тригонометрическим тождеством. I На этом соотношении базируется вся тригонометрия. | Можно сказать, что истоком тригонометрии является | теорема Пифагора. sin^a-t- cos'* а= Vb +1 = 1 ^ или (tga)“+l= (сова) 2 * I tg“a + l=— cos а Если разделить равенство а^ + Ь^ с^ на а^, получим: 1+ \а. , или (ctg а)* +1 ---------т. \^aj (sina)'^ I I ctg^a + l = I sin^ a Для любознательных 1. В окружности провели диаметр и перпендикулярную к нему хорду. Докажите, что один из отрезков, на которые хорда делит диаметр, будет больше половины хорды, а второй - меньше. 2. Параллелограмм, один из острых углов которого равен а, описан вокруг окружности радиуса г. Найдите площадь этого параллелограмма. При каком значении угла а эта площадь будет наименьшей? А наибольшей? Задание 29 3 1 1. Вычислите значение sin а, tg а и ctg а, если: а) cos а = —; б) cos а = —; 1 12 4 ® ^ в) cos а = 0,8; г) cos а = —; д) cos а = — • е) cos а = —. 2 13 5 g 2. Вычислите значение cos а, tg а и ctg а, если: а) sin а = 0,8; б) sin а = — ; 1 8 1 3 B)sina = -; г)sin а = —; A)sina = -; e)sina = —. 4 17 2 5 „ _ 3 5 3*. Вычислите значение ctg а, cos а и sin а, если: а) tg а = - ; б) tg а = — ; 4 12 8 в) tg а = 1; г) tg а = — ; д) tg а = 2. 15 12 4*. Вычислите значение tg а, sin а и cos а, если: а) ctg а = 1; б) ctg а = - 3 8 ^ в) ctg а = -; г) ctg а = —; д) ctg а = 3. 4 15 5*. Упростите выражение: а) 1 - cos^ а; б) 1 - (cos^ а + sin^ а); в) (1 - sin а) х X (1 + sin а); г) (tg^ а + 1) cos^ а. 6*. Упростите выражение а) cos а - cos а sin^ а; б) ctg^ а - cos^ а ctg^ а; в) cos^ а + tg^ а cos^ а; г) ^ 1 2 ; д) (sin а + cos а) - 2sin а • cos а. sin^ а tg^ а 7**. Упростите выражение: а) 1 - tg^ аcos^а; б) 1 - ctg^ а(1 - cos а)(1 + cos а); в) 1 - (sin а ~ cos a)(sin а + cos а); г) sin^ а + ctg^ а sin^ а. С 8**. Упростите выражение: а) 1 1 +. 1 Vsin^a cos^a ^ 1 tga - tga б) (tga + ctg а) - в) (sin a+cos af- 1 cos* a sin* a ' (1+tg a) - (1 - tg a) Для любознательных Найдите значение тригонометрических функций угла АВС по рисунку: §30. Значения тригонометрических функций некоторых углов Найдем значение тригонометрических функций для углов градусной меры: 30°, 45° и 60°. 1. Для угла меры 45°. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, катеты которого равны а (рис. 4.14). Градусные меры его острых углов одинаковые и составляют 45°. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы этого треугольника - 2а^. Тогда sin 45° = cos 45°= -=—^=—, atg45° = ctg45°= -=1. с aV2 2 а 2. Для углов меры 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с острым углом А, градусной меры 30° (рис. 4.15). Его второй острый угол является дополняющим, равен 60°. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы: с а = -. 2 Второй катет найдем по теореме Пифагора: сТз b = Jc^- - а 1 1 Тогда: sin 30° = cos 60° С ^ idi • «по ОПО ^ sm60 =cos 30 =- =----:с=—; с 2 2 tg 30° = ctg 60° = —=^; tg 60° = ctg 30° = л/з^ Для дальнейшего важно запомнить полученные значения тригонометрических функций. sin 45° = cos 45° = tg 45° = ctg 45° ^ 2 1 sin 30° = cos 60° = sin 60° = cos 30° = tg 30° = ctg 60° = tg 60° = ctg 30° = 1 2 S 2 Для любознательных 1. На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты. Их вершины соединили так, как показано на рисунке А. Докажите, что закрашенные треугольники являются равновеликими. 2. Треугольник на рисунке Б - правильный. Найдите отношение радиусов изображенных на этом рисунке окружностей. Б I Составим таблицу значений тригонометрических I функций для углов в 30°, 45° и 60°. I Функция Угол 30° 45° 60° * а iv ^ у» ч ( ' ; ; 1 Ч- 2 Косинус 2 2 1 ' " 2 Тангенс 1 1 S Котангенс 1 1 sin 18'= V5-1 Замечание. • Главное - запомнить первую строку таблицы (см. «правило» на полях). • Вторую строку легко записать как значения тригонометрических функций дополняющих углов (числа первого и последнего столбиков меняются местами, а во втором столбике - повторяются). • Чтобы получить значения тангенсов - делим числа первой строки на соответствующие числа второй строки. • Чтобы получить значения котангенсов - записываем числа, обратные соответствующим значениям предыдущей строки (строки тангенсов). Значение синуса 18° Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС i (АВ = ВС) с углом при основании 72° (рис. 4.16). 1) Проведем биссектрису АЙГ угла А. Тогда: ZKAC = ZBAK = 72° : 2 = 36° = ZB; ZAKC = 180° - 72° - 36° = 72° = ZC. 2) Примем длину стороны АВ за 1 и обозначим длину i отрезка ВК как х (рис. 4.16). Из равнобедренных треугольников КАС (Z.AKC = ZC) и АКВ {ZBAK — ZB) по- ^ лучим: АС = АК = ВК = х. «0,31 В Рис. 4.16 Рис. 4.17 3) АК - биссектриса треугольника АВС, тогда X 1-х X Получаем квадратное уравнение для х: х^ + х - 1 = 0. л/б —1 Отсюда д:=----- (т. к. д: > 0). 4) Проведем высоту BD (рис. 4.17). В равнобедренном треугольнике АВС она будет и биссектрисой, и ме- дианой. Тогда ZABD = 18°, AD = DC ~ и (из прямо- В «Альмагесе» Пто-J лемея (II в.), содер-I жащем тригономет- рические таблицы, угольного треугольника ADB) получим: sin 18° = -:1=^^^^ «0,3090. 2 4 впервые встречают-I ся знаки для обозна-I чения минут ("') и секунд ("). Знак гра- I дуса (°) появился I позднее - в XVI в. Задание 30 1°. По рисунку 4.18 найдите л:. Рис. 4.18 2. Нгшдите значение выражения: а) 2cos 60° -1- cos 30°; 6)5sin30°-ctg45°; в) 3tg 45° • tg 60°; г) 12sin 60° • cos 60°. 3*. Найдите значение выражения: a) tg 60° + 2cos 30°; 6) cos 30° • ctg 30° - - ctg 45°; b) 3cos 60° • tg45° • tg60°; r)tg60° • sin 60° - ctg 60° • cos 30°. 4*. Найдите значение выражения; a) 2tg^ 60° + 4 cos^ 30°; 6) cos 30° • ctg^ 30° - - ctg 45°; b) 3cos^ 60° • tg 45° • tg^ 60°; r) tg^ 60° • sin 60° - ctg^ 60° x X sin 30°. 5*. Диагональ параллелограмма равна -v/З см и перпендикулярна к его стороне. Найдите стороны параллелограмма, если один из его углов равен 60°. Для любознательных В квадрате АВСП со стороной 6 см точки К и М лежат на отрезке, который соединяет середины противоположных сторон этого квадрата (см. рис.). Если соединить точки К и М с вершинами В и D так, как показано на рисунке, квадрат разделится на три части. При какой длине отрезка КМ эти три части будут равновеликими? а-tarn» §31 . Решение прямоугольных треугольников Обозначим вершины и стороны произвольного прямоугольного треугольника так, как показано на рисунке 4.19. По определению тригонометрических функций: sinA= — = cosB; cosA= - = sinB; с с tg А = —=ctg В; ctg А = — = tg В. b а Тогда: а = с sin А = с cos В = Ь tg А = Ъ ctg В; Ь = с sin В = с cos А = а tgB = а ctg А; а а Ъ Ь с = или или sin А cosB sin В cos А Таким образом, в прямоугольном треугольнике: • катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла косинус прилежащего угла; • катет равен второму катету, умноженному на тангенс противолежащего угла - котангенс прилежащего угла; • гипотенуза равна катету, деленному на - синус противолежащего угла - косинус прилежащего угла. Полученные соотношения вместе с теоремой Пифагора дают возможность решать прямоугольные треугольники, т. е. по определенным элементам треугольника находить все иные его элементы. Замечание. При решении прямоугольных треугольников не забывайте о египетских треугольниках, стороны которых относятся как 3:4:5. Для любознательных 1. В угол градусной меры 2а вписали окружность радиуса R. К этой окружности провели касательную, перпендикулярную к биссектрисе угла. Найдите периметр образовавшегося треугольника. 2. К двум окружностям, касающимся друг друга внешним образом, провели две общие касательные, которые пересекаются под углом а. Радиус большей окружности равен R. Найдите радиус меньшей окружности. Пример 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а синус одного из острых углов равен ^ (рис. 4.20). Найдите длины катетов треугольника. ^ 4 Дано: Z.C = 90°; sin А = —; с = 15 см. 15 см Найти: аяЬ. 1)а с sin А = 15 • — = 12 (см); 5 2) с = 3 • 5; а = 3 • 4, тогда ААВС -египетский и Ь = 3 • 3 = 9 (см). Ответ: 12 см и 9 см. Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 см и 1 см (рис. 4.21). Найдите его гипотенузу и тангенсы острых углов. Дано: ZC = 90°; а = 1 см; Ь = 2 см. Найти: с; tg А; tg В. С а=1 В Рис. 4.21 1) ZC = 90°; а = 1 см; Ь = 2 см —> -^c = Vo^ + ^=V5 (см); 2) tgA = ^ = i;tgB = ;^ = 2. Ь 2 tgA Ответ: гипотенуза равна ^/5 см; тангенсы острых углов, лежащих 1 напротив катетов длины 1 см и 2 см, равны ~ и 2 соответственно. Пример 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 м, а градусная мера одного из острых углов равна 70°36' (рис. 4.22). Найдите противолежащий данному углу катет. Дано: с = 10 м; ZA = 70°36'. Найти: а. 1) а = с sin А = 10 sin 70°36'; 2) для вычисления значения sin 70°36' воспользуемся фрагментом таблицы синусов из «Четырехзначных математических таблиц» В.М. Брадиса. Греки ценили ясность, порядок и точность. И в геометрии они, как правило, основывали свои построения на том же идеале красоты и гармонии, которого так строго придерживались в изобразительном искусстве. Ф. Кимпан Геометр всегда будет художником, который формирует окончательный образ строения. Н. Жуковский Для любознательных 1. Расстояние между центрами двух окружностей, касающихся друг друга внутренним образом, равно d. Касательная, проведенная из центра большей окружности к меньшей окружности, образует с линией центров угол а. Найдите радиус большей окружности. 2. Хорда длины а проведена из конца диаметра окружности и образует с этим диаметром угол а. Через второй конец хорды провели касательнзчо к данной окружности и продолжили диаметр до пересечения с этой касательной. Найдите длину отрезка касательной от точки касания до указанной точки пересечения. Синусы А 0' 6' 12' 18' 24' 30' 36' 42' 48' 54' 60' Г 2' 3' 70° 0,9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9144 9449 0,9455 19° 1 2 3 71° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18° 1 2 3 72° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9553 9563 17° 1 2 3 73° 9563 9568 9573 9578 9583 9538 9593 9593 9603 9608 9613 16' 1 2 2 74° 9313 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 9659 15' 1 2 2 60' 54' 48' 42' 36' 30' 24' 18' 12' 6' 0' А V 2' 3' Косинусы Находим по таблице sin а: 1) число градусов в левом столбике; 2) число минут в верхней строке; 3) искомое число -на пересечении. Находим по таблице cos а: 1) число градусов в правом столбике; 2) число минут в нижней строке; 3) искомое число -на пересечении. Поправки для синусов: - в верхней строке; - при а "f sin а Т • Поправки для косинусов: - в нижней строке; - при а 'f cos а 4.. Находим число градусов в крайнем левом столбике таблицы, число минут - в верхней строке таблицы. На пересечении соответствующих строки и столбика получаем искомое число sin 70°36' = 0,9432. 3) а = 10 • 0,9432 - 9,432 (м). Ответ: -9,432 м. Пример 4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 100 м, а один из его острых углов имеет градусную меру 70°37' (рис. 4.23). Найдите катет, противолежащий этому углу. Дано: с = 100 м; ZA = 70°37'. Найти: а. 1) а = с sin 70°37'. Для определения значения sin 70°37' воспользуемся приведенным выше фрагментом таблицы В. Брадиса. • Найдем по этой таблице значение синуса угла, ближайшего к данному: sin 70°36' = 0,9432 (см. пример 3). • Учтем, что мера нашего угла на Г больше 70°36'. В столбиках поправок (правая сторона таблицы) находим поправку для 1': 0,0001. Т. к. при увеличении угла от 0° до 90° синус его увеличивается, то: sin 70°37' = 0,9432 -I- 0,0001 = 0,9433. 2) а = с sin 70°ЗГ - 100 • 0,9433 « 94,33 = 94,3 (м). Ответ: -94,33 м. Для любознательных 1. В прямоугольный треугольник с острым углом а вписана окружность радиуса г. С центром в вершине этого угла проведена окружность, которая касается к катету, противолежащему данному углу. Найдите длину отрезка, отсекаемого последней окружностью от гипотенузы треугольника. 2. Большее основание трапеции является диаметром описанной вокруг этой трапеции окружности радиуса R. Один из острых углов трапеции равен а. Найдите площадь трапеции. 3. В равнобедренный треугольник с углом а при основании вписали окружность и соединили точки касания. Периметр образовавшегося треугольника равен т. Найдите периметр заданного треугольника. Пример 5. В прямоугольном треугольнике острый I угол равен 18°50', а прилежащий к нему катет имеет длину 10 м. Найдите гипотенузу. Q Дано: Ь = 10 м; ZA = 18°50'. Найти: с. 1) с = Ь : cos 18°50'. Для определения значения cos 18°50' воспользуемся приведенным ранее фрагментом таблицы В. Брадиса. • Найдем по этой таблице значение косинуса угла, ближайшего к заданному, т. е. 18°48'. Ищем число градусов в крайнем правом столбике таблицы, число минут -- в нижней строке таблицы. На пересечении соответствующих строки и столбика получаем искомое число: cos 18°48' = 0,9466. • Учтем, что мера нашего угла на 2'больше 18°48'. В столбиках поправок находим поправку для 2': 0,0002. Т.к. при увеличении угла от 0° до 90° косинус его уменьшается, то: cos 18°50' = 0,9466 - 0,0002 = 0,9464. 2) с = 10 : 0,9464 = 10,57 = 10,6 (м). Ответ: -10,6 м. Замечание. Ответ к последнему примеру был округлен - оставлены три значащие цифры. И это было сделано не случайно. Ми делили точное число 10 на приближенное число 0,9464. Напомним, что при делении и умножении вычисления проводят до наибольшего числа правильных значащих цифр. В приближенном числе последняя цифра - сомнительная. Тогда приближенное число 0,9464 имеет три правильных значащих цифры, и результат надо было округлить именно до трех знача- щих цифр. ПРАВИЛА РАБОТЫ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ Приближенные вычисления выполняем: - сложение и вычитание - до наименьшего правильного разряда; - умножение и деление — до наибольшего числа правильных значащих цифр; - в процессе вычисления сохраняем на один разряд (значащую цифру) больше, чем это требуется для записи результата. Например: 1) если а = 2,3628 и.Ъ~ 17,25 (а и б - приближенные), то а + б - 2,36 + 17,25 = 19,61 - 19,6; 2) если а ~ 2,3628 и б == 17,25 (а - приближенное, б -точное), то а -I- б = 2,3628 + 17,25 = 19,6128 ~ 19,612; 3) если а ~ 0,128359 и б = 2,41 (а и б - приближенные), то а • б = 0,128 • 2,41 = 0,308 = 0,31; 4) если а ~ 0,128359 и б = 2,41 (а - приближенное, б -точное), то а • б « 0,128359 • 2,41 = 0,309345 « 0,30934. а ~ точное число: а = 3,741 / правильные а - приближенное число: а ^^741 правильные сомнительная Приближенные вычисления проводим: до наименьшего из правильных разрядов; X до наибольшего числа правильных значащих цифр. I в процессе вычисления сохраняем на один разряд (значащую цифру) больше, чем это требуется для записи результата. 1 Задание 31 1°. По рисунку 4.25 найдите х. 10 см X см. 6)tga = 2; X см 8 см г) sin а = 0,4; X см е) ctg а = 1,5. Рис. 4.25 2®. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника АВС (ZC = = 90°), если: „ г- а) АС = 3 см, ZA = 45°; б) ВС = 5 см, sin А = —; в) АС = 8 см, tg В = v3; 3 г) АВ = 12 см, ZB = 30°; д)ВС = 6 см, cos В = —; е) АВ = 8 см, tg В = 1. 3 3. В параллелограмме диагональ, равная 45 см, перпендикулярна к стороне. Найдите стороны параллелограмма, если котангенс его острого угла равен 1,6. 4®. Могут ли быть длинами сторон одного прямоугольного треугольника тройки чисел: а) 9; 12; 15; б) 3,75; 5; 6,25? Как называются такие треугольники? 5®. Найдите гипотенузу и синусы острых углов прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 6 см й 8 см; б) 4 см и 7 см. 6®. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и другой катет соответственно равны: а) 15 см и 9 см; б) 8 см и 4 см. 7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см. Один из его катетов на 9 см меньше гипотенузы. Найти косинус меньшего острого угла. 8. По двум данным элементам прямоугольного треугольника КМР (ZP = 90°) найдите его остальные стороны и углы: а) МК = 10 см, ZM = 48°; б) МР = 5 см, ZM = 54°; в)1ГР= 11 см, ZM = 71°; г)КМ= 15 см, МР = 6см; д) МР = 9 см, ЙГР = 12 см. 9. Большая диагональ и большее основание прямоугольной трапеции равны соответственно 13 см и 12 см. Найдите длину меньшой боковой стороны трапеции. Для любознательных 1. В сектор окружности с радиусом R и центральным острым углом а вписали окружность. Найдите ее радиус. 2. В сегмент окружности вписан квадрат, две вершины которого лежат на дуге сегмента и делят ее на три равные части. Найдите градусную меру дуги сегмента. 3. Докажите геометрически, что: а) ctg 30° -Ь tg 15° = 2; б) tg 15° = 4sin215°. (Совет. Рассмотрите равнобедренный треугольник с углом 30° при вершине и единичной боковой стороной. Проведите в этом треугольнике высоты к основанию и одной из боковых сторон и обозначьте проекцию одной боковой стороны на другую через л:.) 10. Вычислите длину высоты равностороннего треугольника, сторона которого равна 12 см. 11. Сторона квадрата равна 6 см. Найдите длину его диагонали. 12*. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника. 13. В треугольнике АВС ZB = 90°, BD LAC, АВ = 16 см, ВС = 12 см. Найдите длину отрезка AD и тангенс угла ВВС. 14*. Найдите длину высоты и радиусов вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника со стороной а. 15. В равнобедренном треугольнике АВС стороны АВ == ВС = 7 см, АС = 6 см. Найдите длину высоты АВ и тангенс угла при основании. 16*. Найдите тригонометрические функции угла, который образуют диагональ прямоугольника с большей его стороной, если стороны прямоугольника равны 6 см и 4 см. 17**. Периметр прямоугольника равен 56 см, а одна из его сторон - 16 см. Найдите синус угла между диагоналями. 18*. Из одной точки к прямой проведены две наклонные длиной по 3 см каждая. Угол между наклонными - 120°. Найдите расстояние между основаниями этих наклонных. 19*. Расстояние от точки В к прямой а равно 5 см. Из точки В к прямой а провели наклонную. Найдите длину наклонной, если она образует с прямой угол: а) 30°; б) 60°; в) 45°; г) а. 20*. Из точки А к прямой т провели две наклонные. Длина одной из них равна 15 см, а ее проекция - 12 см. Найдите длину другой наклонной, если она образует с прямой угол 45°. 21**. Из точки А, которая находиться на расстоянии 10 см от прямой, проведены две наклонные АВ и АС, длины которых 26 см и 20 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Докажите, что Л АВС - тупоугольный. 22**. Стороны треугольника АВС равны 9 см, 11 см, 12 см. Найдите проекции двух меньших сторон на большую сторону. 23**. Две окружности с равными радиусами и центрами в точках О и Oi пересекаются в точках А и В. Одна сторона треугольника AOOj равна 13 см, вторая - 6 см. Найдите расстояние между центрами окружностей. (Рассмотрите два случая.) 24**. Две окружности с разными радиусами и центрами в точках О и Oj пересекаются в точках А и В. Из центра одной окружности, радиус которой решен V2, хорду АВ видно под прямым углом, а из центра другой окружности - под углом 120°. Найдите радиус второй окружности и расстояние между центрами окружностей. (Рассмотрите два случая.) Для любознательных Если воспользоваться четвертью окружности радиуса 1, то можно собственными глазами увидеть не только отрезки, длины которых численно равны значениям синуса и косинуса определенных углов (как мы это делали в § 27), а и тангенса, котангенса. Допустим, имеем четверть окружности, ограниченную единичными радиусами ОА и ОВ. Проведем перпендикулярные к концам этих радиусов прямые тга и п (см. рис.) Эти прямые и будут осями: тангенсов (т) и котангенсов (п). Действительно, пусть ZKOB = а. Тогда ZAMO.= а (т. к. AM II ОВ). Из треугольников РОВ иАОМ получим: tg а = РВ : R = РВ и ctg а = AM : R = AM. п ctga\ м ^ А р 1 кх^ г Ь£ О 1 В т я=- АВ ctgA-ctgB В §32 , Практические задачи с применением тригонометрии Для измерения углов на местности используют специальный прибор, называемый астролябией (рис. на поле). Вы уже знакомы с различными практическими задачами, решение которых опиралось на подобие треугольников (§ 22). Тригонометрические функции предоставляют возможность решать такие задачи более совершенными методами и с большей точностью. Рассмотрим несколько примеров. Теперь мы можем вычислить высоту предмета Я и в том случае, если к нему нельзя подойти (рис. 4.26). Рассмотрим два прямоугольных треугольника АОС и ВОС. Допустим, что мы измеряли углы А и В и они равны ZA = 42°, ZB = 47°. Тогда АО = Я ctg А, ВО = Н ctg В. АВ Отсюда АВ = Я(ctg А - ctg В) и Я=------. Рас- ctgA-ctgB стояние АВ можно измерить непосредственно. Пусть, например, АВ = 12,00 м. Получаем: ctgA- ctgB= ctg42°- ctg47° = 1,1106-0,9325 = 0,1781; Я = 12,00 : 0,1781 = 12,00 : 0,178 = 67,38 = 67,4 (м). Чтобы окончательно определить высоту «скалы», не забудьте к полученному результату добавить высоту прибора, с помощ;ью которого вы измеряли углы А и В. Определим расстояние между пунктами Pi и Pg, разделенными препятствием, например рекой (рис. 4.27). Для этого надо построить перпендикуляр CPj к прямой Р1Р2, а затем измерить угол PiCPg и расстояние Р^С. Пусть ZC = 44°, а PjC = 120 м. Тогда искомое расстояние Р1Р2 = PjC • tg С = 120,0 . tg 44° = 120,0 • 0,9657 = = 115,8 = 116 (м). Рис. 4.26 Для любознательных Докажите: если длины сторон прямоугольного треугольника - целые числа, то хотя бы одно из них четно и хотя бы одно из них делится на 3. Задание 32 1°. Найдите синус угла подъема лестницы, если каждый метр ее длины соответствует подъему на 0,75 м. 2°. По рисунку 4.28 найдите х. Рис. 4.28 3®. По рисунку 4.29 найдите расстояние от точки В к недоступной точке А. 4®. На прямолинейной части пути подъема есть пункты А и В, расстояние между которыми равно 470 м. Пункт В находится на 8 м выше, чем пункт А. Найдите синус угла подъема пути на промежутке АВ. 5*. Идущий человек почти не замечает подъема, если высота подъема меньше — пройденного пути. Чему равен синус угла этого подъема? 25 о®. Высота Солнца 48°. Длина тени телебашни равна 76 м. Найдите высоту телебашни. 7®. Угол подъема пути равен 15°30'. На какую высоту поднимется пешеход, если он пройдет 200 м? За 800 м от места подъема самолета прямо по курсу растут деревья, высота которых до 20 м. Под каким углом должен взлететь самолет, чтобы не задеть вершины деревьев? 9. По рисунку 4.30 найдите высоту дерева. 8. 355Г-Г-.'^_ ,1,2 м 15 м Рис. 4.30 10. 11". 12. 13". 14. 15". 16*. 17*. Под каким углом видно телеграфный столб высотой 8 м, который находится на расстоянии 230 м от наблюдателя (ростом наблюдателя можно пренебречь)? Найдите ширину реки, если верхний край башни высотой 14 м, которая находится на ее берегу, видно с другого берега под углом 24° к горизонту. С крыши дома, высота которого 12,8 м, крыша другого дома, высотой 10 м, видна под углом 32°. Найдите ширину улицы, если дома расположены напротив друг друга по разные стороны улицы. По рисунку 4.31 найдите расстояние от парашютиста до земли. Самолет приближается к аэропорту на высоте 7000 м. Пилот имеет указания снижаться под углом 6°. На каком расстоянии от взлетной полосы он должен начать снижаться? Лестница, длина которой 12,5 м, приставлена к стене так, что расстояние от нижнего края лестницы до стены равно 3,5 м. На каком расстоянии от земли находится верхний край лестницы? Высоты двух вертикальных столбов равны 5 м и 12,5 м, расстояние между ними - 10 м. Найдите расстояние между верхушками столбов. К вертикальному столбу прикреплено два троса так, как показано на рисунке 4.32. Найдите длину большего троса. 40°Л 1500 м Рис. 4.31 Рис. 4.32 18**. Эскалатор метрополитена состоит из 170 ступеней от вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступеньки эскалатора - 40 см, высота -20 см. Подсчитайте: а) глубину станции; б) угол наклона эскалатора. 19**. Найдите длину газопровода ABCDE, схема которого показана на рисунке 4.33. 20**. Вычислите радиус меньшей окружности в конструкции рамы окна, внешняя часть которой имеет форму полукруга радиуса R (рис. 4.34). *-1 2R Рис. 4.34 21**. Докажите, что отрезок, который соединяет вершину прямого угла прямоугольного треугольника с центром квадрата, построенного на гипотенузе: а) делит прямой угол пополам; б) равен сумме катетов, 2 ' умноженной на. Задания для повторения главы IV 2“, 3. 1®. Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Зависит ли синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла от расположения и размеров прямоугольного треугольника? Докажите, что синус острого угла не зависит от размеров и расположения прямоугольного треугольника. 4®. Запишите соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла. 5*. Как изменяются значения синуса и косинуса углов от 0° до 90°? 6®. Запишите соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла. 7. Составьте таблицу значений тригонометрических функций углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. 8®. Найдите синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых углов в прямоугольном треугольнике со сторонами: а) 24 м, 18 м, 30 м; б) 17 см, 15 см, 8 см; в) 1 мм, 3 мм, \/l0 мм. 9**. Сравните острые углы а и р, если: а) sm а = -, sin Р = -; 2 3 2 „2 в) cos а = cos Р = —; 7 5 б) sin а = 0,21, sin р = 0,33; г) cos а = 0,7, cos Р = 0,3. 10. Найдите значение выражения: а) 2sin 30°--JScos 30°; б) sin 60°cos 30° + ctg 45°; в) tg 45° • cos 60°; г) 2sin 60° - tg 60°. 11. Постройте острый угол a, если: a) tg a = 3; 6) sin a = ■ 3 2 12*. Найдите sin a и tg a, если: a) cos a = —; 6) cos a = —; в) ctg a = 2,4. 5 3 3 1 20 13*. Найдите cos a и ctg a, если: a) sin a = - ; 6) sin a = - ; в) tg a = —. 5 3 21 14. Упростите выражение: (sin a + cos a)^ - 2sin a cos a. 15. Найдите длины неизвестных сторон прямоугольного треугольника, в котором: а) катет длиной 7 см лежит против угла 30°; б) катет длиной 10 см лежит против угла 45°; в) длина гипотенузы равна 12 см, а один из острых углов равен 60°. 16*. Треугольник АВС прямоугольный (рис. 4.35), ZC = 90°. Найдите х. Рис. 4.35 •W' 17. 18*. 19*. 20*. Вычислите площадь квадрата, диагональ которого равна 6 см. Найдите высоту ромба, диагонали которого равны 140 см и 48 см. Найдите площадь и периметр параллелограмма MNKL, у которого высоты МН и МР соответственно равны 2 см и 3 см, а ZHMN = 45°. Боковая сторона равнобокой _ трапеции равна 2 см. Найдите высоту трапеции, если: а) угол между высотой трапеции и боковой стороной равен 30°; б) один из углов трапеции равен 150°. 21**. По рисунку 4.36 найдите высоту башни. Расчеты проведите с точностью до 4 значащих цифр. 22**. В остроугольном треугольнике ТтТаПТТТТТПТТТТТЩН 40У- 90 м Рис. 4.36 АВС отрезки AHj, ВН^ и СЯд - высоты. Найдите длину высоты AHj, если площадь треугольника AfiT^Hg равна S, = а, Z А = а. Готовимся к тематической аттестации .№ 4 Вариант I 1. (1 б.) Найдите синус угла А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 4,2 см, АВ = 12 см. 2. (1 б.) Найдите значение синуса углаА прямоугольного треугольникаАВС {ZC = 90°), если cos В = —. 3 3. (1 б.) Найдите катет АС прямоугольного треугольника АВС, если его ги- потенуза АВ = 13 см, а ZA = 45°. 3 4. (2 6.) Постройте угол а, если его синус равен —. 4 5. (3 б.) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 10 см, а катет АС = 5 см. Найдите периметр и острые углы треугольника. 6. (4 б.) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше одного из катетов на 1 см, а второй катет равен 9 см. Найдите тангенс острого угла, лежащего против меньшего катета. Вариант II 1. (1 б.) Найдите косинус углаА прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, если АС = 13,92 м, АВ = 24 м. 2. (16.) Найдите значение косинуса угла В прямоугольного треугольни- 2 ка АВС(АС = 90°), если sin А = -. 5 3. (1 б.) Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника АВС, если его катет АС = 14 см, а ZB = 45°. 5 4. (2 б.) Постройте угол а, если его тангенс равен —. 4 5. (3 б.) В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 3 см. Найдите острые углы и периметр этого треугольника. 6. (4 б.) Продолжения боковых сторон трапеции ABCD (ВС || AD) пересекаются под прямым углом. Найдите АВ, если Z BAD = 60°, ВС = 8 см, AD = 12 см. ВЕКТОР КАК НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК В этой главе вы познакеашгееь е велтцнамя, кото1ше, кроме чкедо-вого зва.чеш1я, характеризуются еще я яаиравлени^ в npocTpeHctBe« -векторакт, Вжгоры шврсжо нслользуются в физике и матежщтяке* оеО'< беяво в геометрия. Глубже эту тему вы будете изучать в & илаЬсе, яо предварительное знакомство с понятием вектора и действиями сложения и вычитания векторов, умножения выстора на число позволят вам применять эти знания при изучении физики, что, в свою очераа;ь, облегчит в дальнейшем работу над этой темой в математике. §33 . Понятие вектора I Много физических величин, таких как сила, переме- } щение материальной точки, скорость, ускорение и т. д., | характеризуются не только числовыми значениями, но и направлением в пространстве. Такие величины назы- • ваются векторными величинами, или векторами. I А Заметим, что величины, характеризующиеся только | начало своим числовым значением, такие как длина, площадь, | масса, температура и т. д., называются скалярными величинами. ^ В математике вектором, называется направлен- I ВЕКТОР - направленный отрезок ныи отрезок. На рисунке 5.1 изображены векторы А§ и п. В конец Рис. 5.1 185 \а\=АВ Модуль вектора Нулевой вектор О не имеет направления: А А = В • 1^1 = 0 В I Вектор отличается от отрезка АВ тем, что точки All В, ограничивающие вектор АЁ, теперь имеют разный смысл: точка А - начало вектора, В - его конец. Две точки плоскости А и В задают один отрезок АВ s ВА, но два разных вектора АЁ и ВА. Длины этих векторов одинаковые, а направления - противоположные. Такие векторы называются противоположными и записывают это так: АЁ = - ВА. Модулем вектора называется его длина. Модулем вектора АЁ будет длина отрезка АВ (рис. 5.2), обозначают его как [АВ]. Модуль вектора тГ обозначают как |тГ|. Нулевым вектором называется вектор, модуль которого равен нулю (его начало и конец совпадают). Его обозначают как Такой вектор не имеет направления. Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Например, все векторы, изображенные на рисуи-1^ ^3, - коллинеарны. Записывают это так: а II Ь; с \\ т... \п\ Рис. 5.2 Для любознательных Графическое моделирование часто помогает найти решение задачи. Такой прием еще называют использованием графов. Точки, отвечающие определенным объектам, называют вершинами графа (см. также стр. 187, 191, 193), а отрезки, их соединяющие, - ребрами графа. Решим задачу. В первенстве по настольному теннису 6 участников: А, Б, В,Г,Д и О. Соревнования проводятся по круговой системе: каждые 2 участника играют друг с другом 1 раз. Некоторые игры уже проведены: А играл с Б, Г и О; Б -сАи Г; В - с Г, Д и О; Г - с А, В и Б; Д - с В; О - с А и В. Сколько игр уже проведено и сколько осталось провести? Решение Участников турнира будем изображать точками. Если два участника провели игру, - соединим соответствующие точки отрезками. Тогда получим граф с 6 вершинами и 7 ребрами (рис. А). Число проведенных игр - это число ребер, их 7. Чтобы найти число оставшихся игр, опять нарисуем граф с теми же вершинами, ребрами которого будут отрезки, соединяющие двух неигравших участников. Этот граф (рис. Б) легко построить, глядя на предыдущий (рис. А). У второго графа 8 ребер - осталось провести 8 игр. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору. Ненулевые коллинеарные векторы могут быть или одинаково направленными (5.4), или противоположно направленными (рис. 5.5). Коллинеарные векторы, лежащие на параллельных прямых, будут одинаково направленными, если они расположены в одной полуплоскости относительно | прямой, проходящей через начала этих векторов (рис. 5.4-6), и противоположно направленными, если - в разных (рис. 5.5-6). (Соответствующие обозначения см. на рис. 5.4, 5.5.) I У г Т —> т а) б) Рис. 5.4 а) ftUni I I I б) Рис. 5.5 Два ненулевые коллинеарные векторы называ- * ются равными, если равны их модули и они оди- I наково направлены. Например, на рисунке 5.6 векторы АВ и СД равны: | I АВ = CD а) 'D I Рис. 5.6 Из определения равенства векторов следуют свойства | равных векторов: 1. Любой вектор равен сам себе: а =7i. 2. Если а = Ь и Ь= с, то а = с. I I Для любознательных 1. Жители пяти домов поссорились друг с другом, и чтобы не встречаться возле колодцев, решили разделить их так, чтобы хозяин каждого дома ходил к своему колодцу своей тропинкой. Удастся ли им это сделать (рис. А)? 2. В пяти корзинах лежат яблоки пяти разных сортов (рис. Б). Яблоки первого сорта лежат в корзинах Г и Д; второго - в корзинах А, Б и Г; в корзинах А, Б и В - пятого сорта. Кроме того, в корзине В есть яблоки и четвертого сорта, а в корзине Д -третьего. Надо пронумеровать корзины так, чтобы в корзине № 1 было хотя бы одно яблоко первого сорта, в корзине № 2 - второго и т. д. а = СВОЙСТВА: 1) а 2) S и Ь = с а = с I Практическая работа 37 1. Отметьте на листе бумаги три точки А, Вт С, которые не лежат на одной прямой. Начертите все векторы, которые определены сторонами треугольника АВС. Запишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора. 2. Отметьте на листе бумаги три точки А, В и С, которые лежат на одной прямой. Начертите все векторы, которые определены отрезками с концами в точках А, В и С. Запишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого из них. 3. Начертите два неколлинеарных вектора а и F. Изобразите несколько векторов: а) одинаково направленных с вектором а; б) одинаково направленных с вектором F; в) противоположно направленных с вектором а; г) противоположно направленных с вектором S. 4. Начертите два вектора, которые: а) имеют равные длины и неколлинеар-ные; б) имеют равные длины и одинаково направлены; в) имеют равные длины и противоположно направлены. Запишите, какие из изображенных вами векторов: а) равные; б) противоположные. Практическая работа 38 1. Начертите векторы А Б, СРиЕК так, чтобы: а)АВ, СРиЕК были колли-неарные и |АБ| = 2см, 1СР|= 1 см, \КЕ\ = 3,5см; б)АВ и СР были колли-неарные, АБ и КЕ не были коллинеарные и |АБ [ = 1 см, |СР | = 2,5 см, \КЕ\ = 3 см. 2. С помощью соответствующего масштаба начертите вектор, который изображает: а) перемещение туриста из пункта А на 5 км на юг; б) перемещение туриста из пункта А на 10 км на восток; в) перемещение туриста из пункта А на 5л[2 км в юго-западном направлении. 3. С помощью соответствующего масштаба начертите вектор, который изображает полет самолета сначала на 200 км на восток (из пункта А в пункт Б), а потом на 300 км на юг (из пункта В в пункт С). Начертите вектор, который изображает перемещение самолета из начальной точки А в конечную точку С. Практическая работа 39 1. Постройте параллелограмм АБСБ и трапецию QWRF. Запишите все пары коллинеарных векторов, определенных сторонами: а) параллелограмма ABCD; б) трапеции QWRF. 2. Постройте параллелогра^ КМРЕ и обозначьте точку О пересечения его диагоналей. Пускай К= а, КР = п, МО = сГ, КО = с. Выпишите все векторы с началом или концом в точках К, М, Р, ЕлО, которые равны: а) вектору щ б) вектору тГ; в) вектору d; г) вектору "с! 3. Постройте ненулевой вектор 'а' и обозначьте три точки А, В л С. Отложите вектор сГ от точек А, В л С. 4. Постройте прямоугольник ABCD со сторонами АБ = 3 см, ВС = 4 см. Обозначьте середину стороны АБ через М. Найдите длины векторов: а) А Б, ВС, DC, МС, МА-, б) СВ, ВА, CD, AD, MD, MB. Для любознательных 1. На карте указано положение трех маяков: А, Б и С. С корабля маяки А и Б видны под углом а, а маяки Б и С - под углом р. Найдите на карте местоположение корабля. 2. Два маяка А и Б, обозначенные на карте, видны с корабля под углом а. После того как корабль прошел некое расстояние прямолинейным курсом, те же самые маяки стали видны с корабля под углом р. Найдите на карте местоположение корабля, если с помощью инструментов, которые есть на этом корабле, длина пройденного пути и его направление установлены. 188 §34 . Действия над векторами УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Для любого ненулевого вектора ~а и произвольного числа к произведением Ж-к = к - ^называется вектор Ь, одинаково направленный с Ж, если к> О, и противоположно напршленный с ^ если к < О, модуль которого |Ь*| = I fe I • |а |. При к = 0 получаем О. На рисунке 5.7 представлено несколько векторов -произведений вектора ^на число. При А = О получили нулевой вектор, т. е. точку. При к = 1 получили Ж, т. е. вектор, равный данному. При к = -1 получили вектор -Ж, равный по модулю вектору Ж, но противоположно направленный. (Например, АВ=-ВА.) Любой вектор Т, коллинеарный вектору Ж, можно представить как ^=к • Ж. Действительно, если векторы ЖиЬ одинаково направлены, то они отличаются только длиной: |Т | : |^| = А и Ь = k • Ж. Если же векторы а ш Ъ противоположно направлены, то аналогично предыдущем^рассматриваем векторы -Жи Т. Тогда получим, что Ъ = к ■ а, но /г < 0. Правильным будет и обратное утверждение: если Ь = — к-Ж, то векторы Ъ и Ж- коллинеарные. Доказательство этого утверждения проведите самостоятельно. у^(-Кк<0) л К а ~п ^ АВ^-ВА СВОЙСТВА к ■ (Р^) = (?1 • Р)^ Для любознательных Мирон Онуфриевич Зарицкий родился 21 мая 1889 г. в селе Могильница Тернопольской области в семье священника. После окончания сельской школы он поступил в Тернопольскую гимназию. Гимназист Мирон много читал (но только то, что его интересовало) и по уровню знаний значительно опережал сверстников, а иногда и учителей. Из-за этого часто происходили недоразумения и конфликты. После одного из таких споров гимназиста Зарицкого исключили из 5 класса. Вернувшись в село, он продолжил учебу самостоятельно и через год поступил в 7 класс классической гимназии в Перемышле. Но недоразумения продолжались и здесь. Некоторые преподаватели даже не видели смысла допускать его к выпускным экзаменам. А он сдал все экзамены на «отлично». Зарицкий успешно продолжил обучение в Венском университете и в 1907 г. вернулся на Украину. В условиях австро-венгерской монархии работу во Львовском университете он получил только лишь в 1939 г., а до этого Зарицкий работал учителем в гимназиях Коломыи и Тернополя (см. стр. 217). 189 m = a + oH-c + a По правилу многоугольника: с= а + 6 По правилам треугольника: ~а о а + (-^ = ^ 2а а+а =2? I параллелограмма АВ + ВС + СК=АК I СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ Понятие равенства векторов дает возможность отложить вектор, равный данному, от произвольной точки плоскости. Пусть у нас есть ненулевые векторы о^, а. 3’ -п’ Отложим от произвольной точки плоскости вектор =flj, потом от точки - вектор =а^ит, д. (рис. 5.8). Наконец, отложим от точки А^ вектор ^п-^п+1 ^ “п* Соединим точки А^и А^^^. Вектор будем называть суммой заданных векторов: А^^^ = + И.. «1 + а^ + . t Такой способ определения суммы векторов называется способом (или правилом) многоугольника. Сумму двух векторов находят или по правилу треугольника, или по правилу параллелограмма (рис. 5.9). Правило треугольника - это правило многоугольни1ш для двух слагаемых-векторов. Чтобы найти вектор Ь, по правилу многоугольника, надо от произвольной точки А отложить вектор АЁ = ^^отом от точки В отложить ВС = ~В. Тогда 'а ■+■ Ь. (Получился треугольник АВС и AS-\-BC=aS. Обратите внимание, что буква, обозначающая конец одного вектора-слагаемого, повторилась как начало второго и «исчезла».) То же самое можно сформулировать так. Проявило треугольника. Чтб&ы Sai™ вёКТбр Д 4-Ь, Н9Д0! • разместить векторы, равные aw. Ь, так, чтобы начало ^совпало с концом о*; • начале^ (^ +Т) будет начало щ а концом (а -ьТ) -конец Ъ. Чтобы найти сумму двух векторов а и Ь по правилу параллелограмма, проведем через точки С и А треугольника АВС (рис. 5.9) прямые, параллельньге АВ и ВС, получим падаллелограмм ABCD. Тогда AS = Ь, а искомый вектор АС совпадает с диагональю параллелограмма АВС£). Правило параллелограмма. Чтобы найти вектор ~а-^ Ь, надо: • разместить векторы, равные Ж и Ь, так, чтобы их начала совпгши; • через концы векторов провести параллельные им прямые; ^ • началом (а -нТ) будет общее начало сГ wb, концом (а -ьТ) - противоположная вершина образовавшегося параллелограмма. РАЗНОСТЬ ДВУХ ВЕКТОРОВ Из определения суммы векторов следуют свойства сложения векторов, указанные на поле. Последнее из них означает, что мы можем нгшти разность двух векторов. Действительно, чтобы найти разность векторов ^ и V, надо к вектору ~а прибавить вектор {-V). На рисунке 5.10-а мы нашли 0"+ (-Т) по правилу параллелограмма . Сформулируем теперь правило треугольника. Для этого через вершину В параллелограмма ABCD (рис. 5.10-а) проведем прямую, параллельную АС, до пересечения с прямой А_^. Получим пapaJшeлoгpaмм АСВК. Тогда: А& = CS = Т, Аб=КЁ = ~а- Ъ - искомый вектор, который можно определить из треугольника КАВ. Правил(цпреугольника (рис. 5.10-6). Чтобы найти вектор а - Ь, надо: • разместить векторы, равные а"и jT, так, чтобы их начала coвпaлиJ^ • началом а - Ь будет конец Ь , а концом Ж- Ь - конец o’. _'С I СВОЙСТВА: I 1. а_+ bjb а; ^ I 2. |_а-1- Ь|_< |^|-1-|Т|; . 3. а^+^аД=0;^ ’ 4. а -b==a-i-(-b). По правилу треугольника: а) I I I I I I I I I I ^ По правилу I параллелограмма: I t I I Для любознательных Количество ребер графа (см. также стр. 186, 187, 193), которые выходят из данной вершины, называют ее степенью. Например, на рисунке изображен граф, у которого вершина А имеет степень 3, вершины В, К иТ- степени 2, вершина С - степень 1. Вершины графа, имеющие нечетную степень, называют нечетными, а те, что имеют четную степень, - четными. На рисунке вершины А и С - нечетные, а вершины В,КиТ- четные. 1. Нарисуйте граф, который имеет: а) три вершины и два ребра; б) четыре вершины и четыре ребра; в) четыре вершины и шесть ребер. Определите степени его вершин. 2. Докажите очень важную теорему. Количество нечетных вершин любого графа — число четное. (Совет. Воспользуйтесь тем, что сумма нечетных чисел будет четным числом только тогда, когда количество слагаемых - четно.) 3. В классе 30 учеников. Возможно ли, чтобы 9 из них имели по 3 друга (в этом классе), 11 - по 4, а 10 - по 5 друзей? (Совет. Представьте, что это возможно, и определите четность соответствующих вершин графа из 30 вершин. Сколько нечетных вершин вы получили? Не забудьте о теореме 2!) 4. На теплоходе 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы 4 телефона имели соединения с 3-мя другими, 8 - с 6-ю другими, а 3 -с 5-ю другими телефонами? 5. Может ли в королевстве, в котором из каждого города выходит по 3 дороги, быть ровно 100 дорог? Практическая работа 40 1. Начертите ненулевой вектор АВ и постройте векторы О \АВ, 1 АВ, 2. 4. 5. -1 • АВ, (1: jAB|) АВ. Измерьте длину вектора (1:\АВ\) -АВ и убедитесь, что она равна 1. Начертите два одинаково направленных вектора ^ и Ь. С помощью масштабной линейки найдите |а| и Постройте вектор (|б|: |а|) • ~а и убедитесь в том, что он равен вектору Ь. Начертите два противоположно направленных вектора с”и ^так, чтобы |с| = 2 см, |р| = 4 см. Постройте вектор (- \р\: |с|) • ? и убедитесь, что он равен вектору р. Начертите три ненулевых вектора щ б и "с. С помощью циркуля и линейки постройте векторы: а) -Т, -"с; б) 2~а,^"В, ^5 'с\ в) измерьте длины векторов ^и 2 а и убедитесь в том, что 2 а = 2| а |. Начертите ненулевой вектор ш Постройте вектор За". Постройте век- торы; -а, 1,5а, 2а, 6а. Укажите, как направлен каждый из полученных векторов относительно вектора ~р, и выразите их длины через |р|. Практическая работа 41 1. Начертите попарно коллинеарные векторы 7и b,~cvi d. Постройте суммы ~а+ Ъ, с*+ ~S,~a+ Ь +~S. Начертите неколлинеарные векторы щ ^и ёТ По правилу многоугольника постройте вектор 'а+ Начертите два неколлинеарных вектора ~а тя. Ж, начала которых не совпадают: а) обозначьте произвольную точку А и по правилу треугольника постройте сумму Ж+ Ь =АС; б) обозначьте другую точку М и по правилу параллелограмма постройте сумму Ж + б = МР', в) с помощью инструментов для черчения убедитесь, что АС = МР. 4. Начертите неколлинеарные векторы щ б и сТ С помощью циркуля и линейки постройте векторы: &) Ж + Ъ, Ъ + Ж, Ж+(Ь + с*), {Ж+ ^ + Ж, б) убедитесь, что вектор а -I- ( б -I- равен вектору (Ж+ ь) + ж. Практическая работа 42 1. Нач^тит^ва :тенулевых вектора Жп Ь. Докажите (построением), что |а + б|<|а| + |б|. 2. Начертите два ненулевых вектора тя п. С помощью циркуля и линейки постройте векторы: et)7n-7i; б) ~п- т. Какие векторы вы получили? 3. Начертите два ненулевых вектора Ж к ~у. Постройте векторы: &)1с + 2'у\ б) 0,5 Ж, в) 33с; г) - 2^+ Зс; д) - pi*- Зе; е) 0 • р*- 23с; ж) 1,5р*- 0 • ЗсЗ 4*. Постройте произвольный параллелограмм ABCD. Обозначьте про-извольную точку на этом же листе бумаги через X. Постройте векторы ХА -Ь ХС и ХВ + XD. Убедитесь, что полученные векторы равны. Изменится ли результат, если изменить положение точки X? Ответ обоснуйте. 2. 3. Для любознательных 1. Лодка переправляется через реку перпендикулярно к ее берегам за 30 минут. Ширина реки 3 км, а скорость течения 2,1 км/час. Найдите собственную скорость лодки и угол между направлением течения и направлением собственной скорости лодки. (Совет. Найдите тригонометрическую функцию искомого угла и воспользуйтесь единичной окружностью и транспортиром.) 2. Из какой точки земного шара должен вылететь самолет, чтобы после того как он пролетел 100 км вдоль меридиана на юг, потом 100 км вдоль параллели на восток, потом 100 км вдоль меридиана на север, снова оказаться в начальной точке? 192 §35 . Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Если 'avi^- два неколлинеарные векторы, то любой третий вектор F(в этой же плоскости) можно представить в виде F= Ха-\- где А, и р - пара чисел. Т. е. на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Для доказательства этого утверждения через начало А и конец С заданного вектора Т’проведем прямые, параллельные векторам ~avi Ъ (рис. 5.11). Мы получили параллелограмм АВС Л. Векторы АВ^ и ~а - коллинеарны. Тогда АВ = Ха. Аналогично АЛ = \ib. По правилу параллелограмма Г=^=АВ+АЛ = А а + р &, что и требовалось доказать. Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам. аЦ[Ъ с = Ха + рЬ, где {А; р} - единственная пара чисел Мы доказали, что существует искомая пара чисел А, и р. Докажем (от противного), что она единственно возможная. Пусть супдествует другад пара чисел А.^ ^Pj таких, что ~с = Х^~а +Д11Ь. Тогда: А.^ а + р^Т = + р Ь, (А,^ - А.) а = = (р - Pi) Ь. _ _ Векторы а ТА Ъ неколлинеарны по условию. Тогда | последнее равенств возможно, только если векторы (A-J - А.) ^ и (р - Pj) "Ь- нулевые, т. е. при Aj = А, и Pj = р, * что противоречит предположению. Тогда пара чисел А I и р - единственная. { Для любознательных Задача. На некотором острове 15 поселений, каждое из которых соединено дорогами не менее чем с 7-ю другими. Докажите, что на этом острове из любого поселения можно добраться дорогами до любого другого поселения (можно при этом проходить через поселения). Решение Пусть существуют два поселения такие, что из одного невозможно добраться дорогами до второго. Соответствующий граф представлен на рисунке - имеем не меньше 16-ти поселений. Предположение ошибочно.Ч. т. д. Благодаря этой задаче мы познакомились с классификацией графов на связанные и несвязанные (про графы см. стр. 186,187,191). Если, двигаясь вдоль ребер графа, можно из произвольной его вершины попасть в любую другую его вершину, то такой граф называется связанным. Згиметим, что замкнутый путь вдоль ребер графа, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, называется циклом. Практическая работа 43 1. Начертите три неколлинеарных вектора ^ Ь и 7! С помощью инструментов для черчения разложите вектор с по векторам а и Ь. Измерьте длины полученных векторов, определите соответствующие коэффициенты и запишите вектор с через векторы аи Ь. 2. Начертите два ненулевых вектора тип, которые лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых. Начертите третий вектор р. Разложите (построением) вектор р по векторам т и п. Определите соответствующие коэффициенты и запишите вектор р через векторы тип. 3. Постройте произвольный треугольник АВС и проведите его медиану AM. Разложите (построением) вектор AM по векторам AS и АС. Запишите соответствующее выражение. Задания для повторения главы V 1°. Приведите примеры векторных и скалярных величин. 2*. Что математики называют вектором и чем их определение вектора отличается от понятия вектора в физике? 3. Какие векторы называют коллинеарными? 4®. Что такое модуль вектора? 5. Всегда ли верно такое утверждение: «Если модули двух векторов равны, то эти векторы равны»? Приведите примеры. 6®. Чем отличаются противоположно направленные векторы? Приведите пример. 7®. Приведите пример: а) одинаково направленных векторов; б) противоположно направленных векторов; в) равных векторов. 8. Сформулируйте определение равенства двух векторов. 9**. Что такое нулевой вектор? Как построить вектор ему коллинеарный? 10®. Приведите пример умножения одного и того же вектора на число: а) 2; б) -2. Будут ли равны модули этих векторов? А сами векторы? 11®. Приведите примеры двух коллинеарных: а) одинаково направленных векторов; б) противоположно направленных векторов. 12®. Приведите примеры разности двух коллинеарных; а) одинаково направленных векторов; б) противоположно направленных векторов. 13. Приведите примеры; а) сложения двух неколлинеарных векторов; б) вычитания двух неколлинеарных векторов. 14. Дан параллелограмм_Я^МЙР. Найдите: а) разность векторов КМ и PH; б) сумму векторов КМ и HP. ^ 15. Дан четырехугольник ABCS. Найдите сумму векторов АВ, ВС, CD и DA. 16*. Найдите сумму векторов АВ, КМ, РА, МР и ВК. 17*. Дан_ параллелограмм ^ СМЕТ. Разложите вектор СЕ по векторам; а) СМ и СТ; б) МС и ТС; в) МС и СТ. 18**. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Разложите по векторам АВ и CD векторы: а)_ОА; б) ОС; в) BD; г) ОВ. 19*. На^исунке 5.12-а заданы векторы^и ^Пост1ЮЙте векторы: а) а + Ъ; б) а-V; в) а + 0,5 Ь; г) 0,5 а; д) ^57+ 0,5 К _ _ _ 20**. На рисунке 5.12-6 заданы векторы аи Ъ. Найдите векторы: с, I, т, 7Г, к. А D а) У т/ / i А/ б) w\ 1Б0ПЫТНЫЕ 'ИЛОЖЕНИЯ «Школьная говметрня» яааяется яудесаьннн^цтгеяом для форюфо-вааст а1огачвсжш» «м»еае;<омп1%лоья!^ тукл - не что нвое, как велякая игра лв озарОдйягеяНьач ф0с»6акатнчоекмм праваииинг которые выработал» «Еде древаняе гроюг« Я{ш эток^Ввкляд и его предше* ствОшшкя (как ii йвслед<жателя) ^чиТаяя,'ЧтО жр* «равида йолвесшо отравгают шковоморвости w^pyBCaicH^erojMdspi^ . . Игра о»а зашла так далеко, что ее иолмдо сравШть, ваверяовг только с шахматалдо!. Эта чудасяая ш^ааововько|мдро0лаеьчТосегодш1яохвас- Ваяем |Н1ьфШШ> |щя TNt> т« уалжкея «якоА шерай, црацлагаютеа аако- тс^рив v Wy-^'si ^ , Приложение 1 Точки и окружность Эйлера, прямая Эйлера | Леонард Эйлер (1707-1783) был не только одним из | величайших математиков в истории человечества, но и, | на удивление, разносторонне одаренным ученым. В гео-метрии много понятий носят имя Эйлера. Предлагаем * вашему вниманию свойства треугольника, найденные I Леонардом Эйлером и названных в его честь. | Точками Эйлера называют середины отрезков высот . треугольника, ограниченных ортоцентром и вершинами * треугольника ...В огромном саду геометрии каждый I может подобрать Прямая, проходяш;ая через ортоцентр треугольника | букет. и центр окружности, описанной вокруг этого треуголь- | ника, называется прямой Эйлера. Окружность, проходяш;ая через основания высот * треугольника, основания его медиан и точки Эйлера, I называется окружностью девяти точек, или окруж- | ностью Эйлера. Давид Гильберт Математика - это то, с помощью чего люди руководят природой и собой. А.Н. Колмогоров Точки Эйлера А А ^^3 мф H2L В Щ Ml с Окружность Эйлера, или окружность Фейербаха (окружность I девяти точек) ^ Отметим, что окружность Эйлера (окружность девяти точек) иногда еще называют окружностью Фейербаха - ь честь немецкого математика Карла Фейербаха (1800-1834), открывшего ее независимо от Эйлера. Договоримся далее обозначать в треугольнике АВС: Mj, Mg и Mj - середины сторон ВС, АВ и АС соответственно; Н^, Н^- основания высот, проведенных к этим сторонам; iJj, точки Эйлера на вы- сотах АН.. СН„ и ВН„: 1 1 Н, М и I - ортоцентр, центроид Рис .6.1 и инцентр треугольника; О и i? - центр описанной окружности у вокруг треугольника и ее радиус; Уд, OgViRg- окружность девяти точек треугольника, ее центр и радиус. Теорема 1. Основания высот треугольника, середины его сторон и точки Эйлера лежат на одной окружности. Надо доказать, что М^, М^, Мд, Н^, Н^, Н^, Е^, iJg и Е^ лежат на одной окружности Уд (рис. 6.1). Доказательство 1) MjMg = ^ с, MjMg II с (как средняя линия в ДАВС); = п с (как медиана гипотенузы в t\AH^B). А Тогда - равнобокая трапеция и вокруг нее можно описать окружность. Аналогично можно описать окружности и вокруг равнобоких трапеций и Все три окружности проходят через точки Mj, Mg и Mg, следовательно, они совпадают (через три точки можно провести только одну окружность). Обозначим ее как Уд. Мы доказали, что точки М^, Mg, Mg, Н^, Н^, лежат на окружности Уд. 2) Докажем, что Ур проходит через точки Е^, Е^ и Е^. MgBg II АН, MgMg II ВС (как средние линии в ААВН и ABAC), тогда90°. Аналогично, ZBgMjMg= 90°. Следовательно, четырехугольник BgMgMgMj - вписанный. Тогда окружность Уд, проходящая через точки Mj, Mg и Mg, проходит и через точку £д. Аналогично точки Е^ и Е^ лежат на окружности, проходящей через М^, Mg и Мд, то есть на Уд. Теорема доказана. Гипотеза - научное предположение, которое требует проверки и теоретического обоснования, чтобы утверждение можно было назвать истинным. Инсайт (буквально - озарение) - неожиданное понимание сути проблемы. Теорема 2. Центр окружности Эйлера лежит на середине отрезка, который соединяет ортоцентр треугольника с центром описанной вокруг него окружности. Надо доказать, что: е ОН; НОд = ОдО(рис. 6.2). Доказательство Центр Од окружности Уд - точка пересечения серединных перпендикуляров к хордам Н^М^ и этой окружности (см. рис. на поле). Серединный перпендикуляр к 1 |о В ь h Ml с Рис. 6.2 отрезку параллелен ВН„ и ОМ,, тогда (по теореме Фалеса) он делит пополам отре- I зок он. Аналогично серединный перпендикуляр к отрезку Н^М^ проходит через середину ОН. Следовательно, Од - середина отрезка ОН. Теорема доказана. Следствие 1. Расстояние между вершиной треугольника и его ортоцентром в два раза больше расстояния между центром описанной вокруг треугольника окружности и стороной, противолежащей данной вершине. (Т. е. АН = 20М^.) Действительно: по теореме НОд = ОдО; Efig ■■ как радиусы Уд; ZEjOgH = ZMfigO - как вертикальные Тогда AEfigH = AMfigO (по первому пр.) и Е^Н — ОМу По определению точки Эйлера: АН = 2Е^Н — 20Му О.М, ш Следствие 2. Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности вокруг треугольника. (Т. е. R = 2Rg.) ABj = АЯ: 2 = ОМ, (следствие 2), АЕ, || ОМ, (АН, 1 ВС и ОМ, -L ВС). Тогда Е,АОМ, - параллелограмм и АО = = Е,М,. Учитывая, что АО = R, а. ОдЕ, = Rg = ОдМ,, полу- чаем искомое соотношение R — 2i?„ (ОН)-прямая Эйлера Од ВОН НОд = ОдО Rg=^R Интуиция - способность переходить к интеллектуальному результату (как гипотезе) несознательно, ощущение «безусловной правильности» определенного подхода к решению («не знаю почему... но уверен, что... попытаемся доказать»). Первое в Восточной Европе высшее учебное заведение - Киево-Могилянская коллегия - было создано в 1632 г. (с 1701 г. - Киево-Могилянская академия). До 1817 г. это была общеобразовательная высшая школа, отличающаяся структурой от западноевропейских университетов тех времен. В ней было шесть классов с годичным сроком обучения и один - двухгодичный (иногда -трехгодичный). Киево-Могилянская академия была создана более чем за 20 лет до присоединения Украины к России и за 55 лет до того, как начало работать в России (в Москве) аналогичное учебное заведение (Эллино-греческая академия, позже - Славяно-латинская академия). Киево-Могилянская академия стала популярной. В ней учились студенты из разных стран Европы (даже Греции) и арабского Востока. в Hi Ml Me (OH) f \ центроид прямая Эйлера ОМ, = J АН Геометрия - прообраз красоты мира. И. Кеплер I Теорема 3. В произвольном треугольнике точка пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой — прямой Эйлера. Пусть прямая ОН пересекает медиану AMj в точке М (рис. 6.3). Докажем, что М - центроид треугольника АВС . Доказательство 1) Стороны треугольника MjMgMg параллельны сторонам треугольника АВС (как средние линии), тогда А АС В с коэффициентом подобия —. 2 2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС - это высоты треугольника а точка их пересечения О - ортоцентр треугольника MjMgMg. Тогда OMj =—АН. (Сравните с доказательством 2 этого факта на стр. 197 и попробуйте доказать его иначе.) 3) ZAMH = ZM^MO (как вертикальные); ZHAM = = OMJM, т. к. АН II OMj. Тогда А АМН ^ ДМ^МО с коэффициентом подобия i (т. к. OMj = —АН). 2 2 4) Из последнего утверждения получаем, что AM : MMj= 2 : 1 и точка М (по аксиоме откладывания отрезков) действительно является центроидом треугольника АВС. Теорема доказана. Рассмотрим пример решения задачи с точками Эйлера без использования свойств окружности Эйлера. Пример 1. Докажите, что в остроугольном треугольнике АВС отрезки Е^Е^, М^М^ и Н^М^ равны. Доказательство 1) В ААНС отрезок Е^Е^ - средняя линия, тогда Е^Е^ = АС : 2 (рис. 6.4). 2) В прямоугольном треугольнике АН^С отрезок Н^М^ - медиана гипотенузы, тотд,аН^М^—АВ: 2. 3) В ААВС отрезок М^М^ ~ средняя линия, тогда М^М^ = АС : 2. Получили: АВ : 2 = Е^Е^ = = MjM^ = Я1М3. Ч. т. д. А теперь попробуйте самостоятельно решить такие задачи. 1. Докажите для произвольного остроугольного треугольника: а) ZMgEjBg = ZM^M^E^; б) = £2-^2 “ EgM^. ‘1 ф\Мз />Лг ~1 - ^ В Hi Ml Рис. 6.4 2. Докажите, что отрезки М^Е^, и имеют общую середину. 3. Докажите, что расстояние от ортоцентра до любой из вершин треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны треугольника (тремя способами). Известно, что АВ = СН, найдите угол АСВ. Докажите, что в прямоугольном треугольнике Од совпадает с серединой медианы, проведенной к гипотенузе. Докажите, что: в) М^Е^ = М^Е^ = М^Е^ = R; б) Z.AE^H^ = ZBE^H^; в) угол между прямыми НдМ2 и углу между прямыми 4. 5. 6 7. и Н^Е^. 8. 9. Задана окружность, точка А на ней и точка Н внутри окружности. Найдите на окружности такие точки В и С, чтобы точка Н была точкой пересечения высот треугольника АВС. Постройте треугольник, если известны положение одной из его вершин, середины противоположной стороны и точки пересечения высот. Докажите, что радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен радиусу окружности, которая проходит через две вершины этого треугольника и его ортоцентр. 10. Докажите равенство треугольников по стороне, высоте, проведенной к этой стороне, и радиусу окружностей Эйлера этих треугольников. 11. Восстановите прямоугольный треугольник по положению двух его точек - центра окружности Эйлера и середины гипотенузы. Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Бевз Г.П. Геометр1я шл. - Харк1в: Основа, 2004. - 112 с. 2. Никулин А.В., Кукуш А.Г., Титаренко Ю.С. Геометрия на плоскости (Планиметрия). - Минск: ООО «Попурри», 1996. - 592 с. 3. Зеттель С.И. Новая геометрия треугольника. - М.: Просвещение, 1962. -152 с. 4. Кушшр IA. Трикутник i тетраедр у задачах. - К.: Рад. шк., 1991. -208 с. 5. Куштр IA. Повернення втрачено! геометри. - К.: Факт, 2000. - 280 с. Феофан Прокопович (1681-1736) - один из выдающихся преподавателей Киево-Могилянской академии. В списке украинских математиков-мето-дистов, которые оставили заметный след в истории науки, имя Феофана Прокоповича хронологически занимает первое место. Феофан Прокопович родился в Киеве и был назван Елеазаром. Отец и мать его умерли очень рано, сироту взял на попечение его дядя, Феофан Прокопович, который славился образованностью и красноречием. В конце своей деятельности он был избран ректором Киево-Могилянской коллегии, однако доживал жизнь в Киево-Печерской лавре и умер, когда племяннику было 11 лет. В 1697 г. Елеазар блестяще закончил философское отделение коллегиума, продолжил образование в Польше, пешком добрался до Рима, где учился в коллегии Св. Афанасия для славян-католиков. После окончания учебы в Риме (есть данные, что после защиты работы магистра он получил докторскую степень) на протяжении трех лет побывал во многих европейских странах и в 1704 г. вернулся в Киев, где стал преподавателем Киево-Могилянской академии. Во время крещения в православие получил (по собственному желанию) имя своего дяди. В 1707 г. он стал префектом (то есть проректором) Киевской академии, а позже (1711) - ее ректором. Он принимал участие в создании Петербургской академии наук. - орто-центрический (для ААВС) Z1 = ZB Z2 = ZC Z3 = ZA I Приложение 2 ( О некоторых видах треугольников ^ Вы умеете различать треугольники по соотношени-♦ ям длин их сторон (правильные, равнобедренные, рав-I носторонние), по значениям углов (остроугольные, I прямоугольные, тупоугольные). Однако геометры выделяют не только такие виды треугольников. I I ОРТОЦЕНТРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК Ортоцентрическим называется треугольник, вершинами которого являются основания высот заданного треугольника. Опорная задача Отрезки АН^, ВН^ и СН^ — высоты треугольника АВС. Докажите, что ZAH^H^ = ZB; (рис. 6.5). Дано: АН ^ 1 СВ; ВН^ 1АС; СН^ 1АВ Доказать: Z1 = ZB; Z2 = ZC. I I ZAH^H^ = ZC 1) ZCHH^ = ZB как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами; 2) ZAH^H = 90° = ZAHgH, тогда четырехугольник AH^HHg - вписанный; Z1 = ZAHH^ = ZCHH^ = ZB. 3) UAHg. Аналогично можно доказать, что Z2 = ZC. Самостоятельно докажите такие свойства ортоцент-рического треугольника. 1. Высоты остроугольного трезч’ольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника. 2. Углы ортоцентрического треугольника, построенного в треугольнике АВС, равны 180° - 2ZA, 180° -- 2ZB, 180° - 2ZC. 3. В остроугольном треугольнике точка пересечения высот являются центром окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются основания высот данного треугольника. А что будет в случае тупоугольного треугольника? 4. Вершины А, В и С треугольника АВС являются ортоцентрами треугольников НВС, НАС и НАВ соответственно. 5. Окружности, описанные вокруг четырех треугольников с вершинами в точках А, В, С, Н, имеют равные радиусы. Можно ли, опираясь на эти свойства, восстановить t треугольник по данным трем точкам Н^, Н^, Н^ - осно-I ваниям его высот? Рис. 6.6 педальный треугольник Пускай произвольная точка X находится всередине нетупоугольного треугольника АВС, а проекции точки X соответственно на стороны а, Ь, с этого треугольника (рис. 6.6). Треугольник с вершинами в точках Х_, называется педальным. Рассмотрим несколько свойств педальных треугольников. Теорема 1. Если точка X совпадает с ортоцентром треугольника XJC^X^, то она является центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Доказательство 1) X - ортоцентр треугольника Х„, Х^, Х^ - проекции точки X на стороны треугольника АВС (рис. 6.7). Тогда X^X^, || АВ, Х,Х^ II ВС, ХД, II АС и четырехугольники АХ^Х^Х^, ВХ^Х^Х^, СХ^Х^ - параллелограммы. 2) ВХ^Х,Х^, СХ,ХД„ - параллелограммы, тогда СХд = Х^Х^ = ХдВ и XX^ - серединный перпендикуляр к отрезку СВ. Аналогично ХХ^ и XX^ - серединные перпендикуляры к АВ и АС. 3) X - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника АВС, тогда X - центр окружности, описанной вокруг этого треугольника. Ч. т. д. I Рис. 6.7 I ^ = HxiX2Xs Х= Олдс В моральном плане математика учит нас строго относиться к тому, что утверждается как истина, что выдвигается как аргумент или высказывается как доказательство. Математика требует ясности понятий и утверждений, не терпит ни тумана, ни бездоказательных заявлений. , „ , а А.Д. Александров Остроградский Михаил Васильевич (1801-1862) родился в селе Пашенная (сейчас - Пашеновка) на Полтавш;ине в.семье мелкого помещика. В 1817 г. поступил на физико-математический факультет Харьковского университета. Первый год учился плохо и оставил университет, но через год вернулся и в 1820 г. закончил учебу, блестяще сдав все экзамены. Однако из-за реакционных преподавателей, обвинявших Михаила Васильевича в антирелигиозных настроениях, он не получил документ об окончании университета. В 1822 г. М.В. Остроградский выехал в Париж, где совершенствовал свое математическое образование. Вернувшись в 1828 г. на родину, он поселился в Петербурге. М.В. Остроградский остЕшил большое научное наследие в самых разных областях математики. Он лично был знаком с Лапласом, Фурье, Коши и другими знаменитыми математиками того времени. Характеризуя научный вклад М.В. Остроградского, Н.Е. Жуковский говорил; «В произведениях Остроградского нас привлекает об-пщость анализа, главная мысль их так широка, как просторы его родных полей». 20i в Xsl XiXzXa X^Habc Д Ml М2 М2 “ серединный Теорема 2. Если точка X совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник Х^Х^Х^, то она является ортоцентром треугольника АВС. Пусть X - инцентр треугольника Надо дока- зать, что точки А, X, Хд лежат на одной прямой; точки В, X, X;, лежат на одной прямой; точки С, X, Х^ лежат на одной прямой. Доказательство 1) Опишем вокруг четырехугольников XXJBX^, XXfiX^, XJXAX^ окружности у^, у^, у^ соответственно (рис. 6.8). XX^XJC = ZXX^X^ - обозначим их а. 2) В окружностях у^и у^: Zi = а (опираются на XX,) и Z2 = а (опираются на ^ХХ^), т. е. XI = Z2. Аналогично получим равенства: Z3 = Х4, Z5 = Z6. 3) В треугольнике АВС; 2Z1 + 2Z3 Ч- 2Z6 = 180°. Тогда Z Л- Z6 -f Z3 = 180°: 2 = 90°. 4) ZAXX, + ZXjXX„ = (90° - Z3) -f (90° - XI) + (90° -- Z3) = 3 ■ 90° - (Z3 + XI+X6) = 2 ‘ 90° = 180°. Тогда точки A, X, Хд лежат на одной прямой. Аналогично точки В, X, X, лежат на одной прямой; точки С, X, Х^ лежат на одной прямой. Теорема доказана. Докажите самостоятельно. 1. Если точка X совпадает с центром окружности, описанной вокруг треугольника Х^Х,Х^, то она - центр окружности, вписанной в треугольник АВС. 2. Если точка X совпадает с центроидом треугольника Х^Х,Х^, то выполняется соотношение: XX^: XX,: XX = а:Ь:с. 3. Если в прямоугольном треугольнике АВС (ZC = 90°) точка X совпадает с центроидом треугольника Х^Х,Х^, то точки С, X, Х^ лежат на одной прямой. СЕРЕДИННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Серединным треугольником данного треугольника называют треугольник, вершинами которого являются середины сторон заданного треугольника. (См. пп. 1-2 доказательства теоремы 3 на стр. 198.) h„ Докажите самостоятельно такие свойства середин- | ного треугольника. 1. Серединный треугольник подобен заданному треугольнику с коэффициентом подобия 1/2. 2. Серединный и заданный треугольники имеют общий центроид (точку пересечения медиан). 3. Центр описанной окружности треугольника является ортоцентром его серединного треугольника. 4. Треугольник - серединный для треуголь- ника АВС. Тогда АЛ = 2HqM^, где Н и Н^- ортоцентры треугольников АВС и соответственно, а - середина стороны СВ. | РАЗНОСТНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК I Треугольник, длины сторон которого образуют ариф- t метическую прогрессию, называется разностным. | Замечание (для тех, кто еще не учил прогрессий в | курсе алгебры). Арифметической прогрессией называ- . ется последовательность (последовательно пронумерованные числа), в которой каждый следующий член по- * следовательности отличается от предыдущего на одно и | то же число (разность прогрессии). | Если в таком треугольнике длины сторон удовлетво- | ряют неравенству Ь<а<с, то а-Ь = с- а- разность * арифметической прогрессии {а, Ь, с}, т. е. 2а = с + Ь. ^ I Докажите самостоятельно несколько свойств разностного треугольника. 1. В разностном треугольнике АВС (Ь < а < с): а) полупериметрр = За : 2; б) радиус вписанной окружности г = —. | 2. Чтобы треугольник АВС был разностным, необхо- I димо и достаточно, чтобы АГ = IW^, где I - инцентр тре- { угольника, а 1У - точка пересечения биссектрисы углаА | с описанной вокруг этого треугольника окружностью. 3. Чтобы треугольник АВС был разностным, необхо димо и достаточно, чтобы = LJ, где I - инцентр Разностный треугольник I а-Ь=с~а Лучший способ выучить что-либо -I открыть это самому. I Д. Пойя треугольника; - основание биссектрисы угла А; | точка пересечения биссектрисы угла А с описанной | вокруг этого треугольника окружностью. Вороной Георгий Феодосиевич (1868-1908) принадлежит к когорте наиболее известных украинских математиков прошлого. За свою короткую жизнь он успел напечатать всего лишь шесть больших трудов и шесть небольших заметок. Но все его труды, наполненные новыми и глубокими идеями, имели большое влияние на развитие математической науки в области теории чисел. Родом Г. Вороной из села Журавка на Полтавщине. Окончил Георгий Феодосиевич Петербургский университет, работал профессором Варшавского университета и Варшавского политехнического института. По завещанию был похоронен в родном селе. Целочисленный треугольник {п, т,к}е N Пифагоров треугольник {дс, у,г}е N z.C = 90° Основной пифагоров треугольник: х,у,г- взаимно простые ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Целочисленным называется треугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами. Таких треугольников бесконечное множество. Все тройки натуральных чисел, которые удовлетворяют условию неравенства для сторон треугольника, могут быть длинами сторон целочисленного треугольника. Е1сли целочисленный треугольник является прямоугольным, то его называют пифагоровым треугольником. Например, пифагоровыми являются египетские треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 единицам измерения. Необходимым и достаточным условием того, чтобы целочисленный треугольник с длинами сторон х, у, z был пифагоровым, является выполнение соотношения х^ -¥у^ = г^. Это вытекает непосредственно из теоремы Пифагора и обратной к ней. Понятно, если тройка чисел {х, у, z} удовлетворяет указанному уравнению, то удовлетворяет его и каждая тройка {^д:, ty, tz}, где t - произвольное натуральное число. Пифагоров треугольник называется основным, если длины его сторон {д:, у, z} - взаимно простые числа (то есть не имеют общих множителей). Пифагор нашел, что тройки чисел {2п -I- 1; 2п^ -I- N, удовлетворяют уравне-то есть оп- х^ + у^ -f 2га; 2га^ -Ь 2га 4- 1}, где га нию (2га -Ь If -t- (2га^ + 2nf = (2га^ + 2п + l)^ ределяют пифагоров треугольник. Платон нашел другое тождество, с помощью которого также можно найти числа, удовлетворяющие условию существования пифагорова треугольника: (2nf -Ь (га^ - 1)2 = (га2 + 1)2. Заметим, что последнее соотношение не содержит «египетской» тройки {3, 4, 5}. Оба тождества не дают всех решений уравнения 2^. Позже было найдено тождество (2abf + (а2 - &2)2 = (^2 + которое дает возможность найти все решения такого уравнения. Пользуясь приведенными тождествами, самостоятельно найдите несколько троек чисел, определяющих длины сторон основных пифагоровых треугольников. Вычислите их площадь, диаметры вписанной и описанной окружностей и составьте соответствующую таблицу. Рассмотрим свойства основного пифагорова треугольника. 1. Длина одного из катетов всегда число нечетное, а другого - четное. Длина гипотенузы - всегда нечетное число. Справедливость этого утверждения вытекает непосредственно из того, что длины сторон треугольника взаимно простые числа, при условии существования I I такого треугольника + у^. Последнее можно I представить в виде: = (х + у}^ - 2ху или у^ = ~ х^. ♦ Доведите доказательство до конца самостоятельно (рассмотрите случаи, когда х является числом четным и нечетным). Следующие свойства докажите самостоятельно. 2. Один из катетов делится на четыре. 3. Один из катетов делится на три (Совет. Предположите противоположное, что х = ЗА -I-1 или х = Зт - 1.) 4. Одно из чисел {х, у, z} делится на 5. 5. Произведение длин катетов делится на 12. 6. Произведение длин всех сторон делится на 60. 7. Диаметр описанной окружности - число натуральное. 8. Радиус вписанной окружности - число натуральное. Рассмотрим задачу Брахмагупты (индийский математик VI в.) на использование пифагоровых треугольников. Задача Брахмагупты. Приведите пример вписанного четырехугольника, длинами сторон которого являются разные натуральные числа, чтобы при этом длины диагоналей, площадь и радиус описанной вокруг этого четырехугольника окружности были целыми числами. Решение Выберем два произвольных пифагоровых треугольника, например со сторонами Зл, 4л, 5л. Обозначим катеты этих треугольников как Oj, и а^, соответственно, а гипотенузы - Cj и с^. Отложим отрезок I, длина которого равна единице измерения, и построим как четвертое пропорциональное (см. стр. 113) отрезки: I I I I X = а^а^: I, у Z = Ь^а.^ :1, t = а^Ъ^: I. На двух перпендикулярных прямых от точки их пересечения К отложим отрезки X, у, Z, t (рис. 6.9). Длины диагоналей АВ и CD четырехугольника ACBD являются целыми числами (по построению), и площадь этого четырехугольника выражаются целым числом (т. к. АВ ± CD). Имеем, что АК • КВ = СК • KD и вокруг четырехугольника ACBD можно описать окружность (см. задачу № 30 на стр. 151). Тогда по лемме Архимеда о перпендикулярных хор- /г, \ у / \ \ S \ ч\ в’ / / / ( < Рис. 6.9 дах (стр. 151) выполняется соотношение: 4Д2 = х^ + у^ + Z^‘ = а^^(а/+5/) + 5 + = (aa,Y + {Ъ,Ъ,У + /(а/+б/)=(а,^+6/К<.: Отсюда: 4i?^ = с, и R ‘+К). 2. Если Cj и Cg - нечетные числа, то увеличим четырех- угольник в два раза. Тогда длина радиуса R будет целым числом. Задача решена. У народов, которые владеют геометрией, даже самые простые вещи имеют какую-то особую красоту. Ф. Прокопович I I I I I I I СВОЙСТВА ОСНОВНОГО ПИФАГОРОВА ТРЕУГОЛЬНИКА: {х, у - катеты, Z - гипотенуза): 1) X : 2 или у : 2; 2) X : 4 или у ; 4; 3) X : 3 или у : 3; 4) X : 5 или у : 5 или Z : 5; 5) X • у : 12; 6) X ■ у ■ г: 60; 7) 2R 6 п; 8) ге п. I ib,af + (a,bf = * ♦ I Известно, что На- | полеон Бонапарт увлекался математикой, больше все- I I ТРЕУГОЛЬНИКИ НАПОЛЕОНА И ОКРУЖНОСТИ ТОРРИЧЕЛЛИ Если на сторонах треугольника построить правиль- го - геометрией. Го- | треугольники, то получим конфигурацию из четы- ворят, что как-то , Наполеон, который * тогда еще не был I рех треугольников, которую называют треугольниками Наполеона. Окружности, описанные вокруг построенных пра- правителем Фран- | вильных треугольников, называют окружностями Тор-ции, спорил с изве- ^ ричелли. стными математи- Считают, что именно Наполеон Бонапарт (француз-* ский император) изучал эту конфигурацию, первым i сформулировал и доказал утверждение, известное как f теорема Наполеона: «Если на сторонах произвольно-I го треугольника извне его построены равносторонние . треугольники, то их вершины являются вершинами равностороннего треугольника». Доказательство Пусть ACjAB, AAjCB и ABjAC-правильные (рис. 6.10); окружности Yj, Y2 и Уз описаны вокруг этих треугольников (соответственно). Докажем, что у^, и Уд пересекаются в одной точке - точке Торричелли.) Обозначим точку пересечения окружностей, описанных вокруг Лапласом. Во вре мя одной из дискуссий Лаплас прервал Наполеона словами; «Меньше всего | мы желаем, чтоб вы, генерал, учили * нас геометрии!» | В дальнейшем Лаплас стал главным военным министром Наполеона. Хотя Наполеон занимался геометрией (в частности, известен его способ деления окружное- I треугольников АВ.С и СА.В, как М. Тогда ZAMC = 180° - * - 60° = ZBMC. Отсюда ZAMB = 360° - 2 • 120° = 120°, и I точка М лежит на окружности, описанной вокруг ААВС^. I Прямые О,Од и OjOg перпендикулярны к общим хор- . дам AM и ВМ окружностей у,, Уд и у^ соответственно. * Тогда ZO, + ZAMB = 180° и AOj = 180° - ZAMB = 60°. ^ Аналогично ZOg = ZO3 = 60° и А OjOgOg - правильный. I Теорема Наполеона доказана. части с помощью только циркуля), многие специалисты не верят в то, что он мог доказать теорему, названную его именем. Мы строили правильные треугольники извне заданного треугольника на его сторонах. Их еще назывгпот внешними треугольниками Наполеона для заданного треугольника. По аналогии, если правильные треугольники строят на сторонах треугольника внутрь его, то их называют внутренними треугольниками Наполеона для заданного треугольника. Докажите самостоятельно, что треугольник с вершинами в центрах внутренних треугольников Наполеона также является правильным. Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Бевз Г.П. Геометр1я трикутника. - К.; Генеза, 2005. - 120 с. 2. Зеттель С.И. Новая геометрия треугольника. - М.: Просвещение, 1962. 3. Коксетер Г.С. М., Грейтцер СЛ. Новые встречи с геометрией. - М.: Наука, 1978. - 224 с. 4. Никулин А.В., Кукуш А.Г., Титаренко Ю.С. Геометрия на плоскости (Планиметрия). - Минск: ООО «Попурри», 1996. - 592 с. 5. Кушшр 1Л. Повернення втраченох геометрГх. - К.: Факт, 2000. - 280 с. 6. Куштр IA. Трикутник i тетраедр у задачах. - К.: Рад. шк., 1991. - 208 с. Приложение 3 Параллельные отрезки в трапеции. Соотношение между средними величинами Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD = Ь и ВС = а (а < Ь). 0Мы знаем, что ДЛИНА СРЕДНЕЙ ЛИНИИ трапеции равна (а -I- Ь)/2, то есть является средним арифметическим длин ее оснований. Она делит боковые стороны трапеции пополам. 0Из опорных задач трапеции (§ 25) знаем, что: • отрезок, параллельный основаниям а иЬ трапеции, концы которого лежат на боковых сторонах этой трапеции и делят эти стороны в отношении т : п (считая от . ап+Ът основания а), равен---; т + п • отрезок, параллельный основаниям а иЬ трапеции, концы которого принадлежат боковым сторонам трапеции, ПРОХОДЯЩИЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ „ 2ai> ДИАГОНАЛЕЙ трапеции, равен-----и делит боковые а + Ь стороны в отношении а : Ь (пропорционально прилежащим основаниям). 2 Последнее выражение можно записать в виде х = —— --1- Такое соотношение между числами а и Ь а Ь называют средним гармоническим чисел а mb. Теперь рассмотрим отрезок РЕ, параллельный основаниям трапеции а и Ь, ДЕЛЯЩИЙ ее на ДВЕ ПОДОБНЫЕ ТРАПЕЦИИ РВСЕ и APED (все углы - попарно равны, а соответственные стороны - пропорциональны) (рис. 6.11). Тогда ~^—,РЕ^ = аЬиРЕ = РЕ ВС — \аЬ. Такое выражение называют средним геометрическим чисел аиЬ. Найдем, в каком отношении этот отрезок делит боковые стороны трапеции. Имеем: ап+Ьт т+п а + Ъ т т п —=yfab, а+Ь~ = 4^( — + 1 -н! п V га /га., г-г. /—г /га у/аЬ-а л/а(%/Ь-л/а) Va —(b-Vab)=Vab-a, —=-------==-=—=—=- = -=. га га b-yjab v&(v&-v«) v& Таким образом, РЕ делит боковые стороны трапеции т а а в отношении ——<1. п \Ь Ь А Ъ а+Ь X = --- 2 / среднее арифметическое D D I X = 1 1 —I— а Ь среднее гармоническое х\\аи Ff^F2 X = yfab среднее геометрическое X j| а и Si = ^2 среднее квадратическое Тогда этот отрезок находится выше средней линии, но ниже точки пересечения диагоналей трапеции. ^Найдем длину отрезка LK, параллельного основаниям а и 6 трапеции с концами на боковых сторонах трапеции, ДЕЛЯЩЕГО ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ ПОПОЛАМ (рис. 6.12). Проведем в трапеции высоту BE; LK делит ее на отрезки ВР и РЕ, которые являются высотами fej и ftg трапеций LBCK и ALKD соответственно. Обозначим искомый отрезок LK через х, площадь трапеций LBCK, ALKD и ABCD ~ S^, и S соответственно. Тогда: S, = -(JC + a)h„ S^ = -(x + b)h^, S = i(a + Ь) (Aj + ЛД. 2 2 2 Получим систему уравнений: l(x -Ь o)ftj = (x -t- b)/i2, I 2(x + a)hj = (a + b) (hj + hj. Найдем из первого уравнения системы Ь^и подставим во второе. Получим (а + ЬЩ (2х + а + Ь) х + Ь Отсюда: 2(х + а)(д: -Ь &) = (а -I- Ь)(2х + а + Ь), 2х^ = + Ь^, 2{х + а)\ = X = аЧГ Последнее выражение называют средним квадра-I тическим чисел аиЬ. I СК Не трудно найти отношение , в котором отрезок LK I » делит боковые стороны трапеции, и убедиться, что это I отношение будет больше, чем 1. (Сделайте это самосто-I ятельно.) Тогда отрезок LK будет располагаться в тра-J пеции ниже средней линии. Давно замечено, что геометрия - это чудесная логика. А таки действительно: когда определения ясны, когда постулаты неоспоримы, когда свойства фигур вытекают из четкого наблюдения с помощью четкой цепочки последовательных рассуждений, а объекты все время находятся в поле зрения, -то таким путем формируется привычка думать точно, последовательно и методично; эта привычка усиливает и оттачивает ум и становится нужной во время поисков истины в других областях. Беркли В конце XIX - начале XX в. формальная логика опиралась на естественный язык, поэтому ее еще называли традиционной логикой. Позже в логику были введены специальные обозначения - символы, и ее назвали математической, или символической (современной), логикой. Мы рассмотрим четыре отрезка, проведенные в трапеции параллельно основаниям, длины которых равны: среднему арифметическому ее оснований (MN), среднему гармоническому ее оснований (TV), среднему геометрическому ее оснований (РЕ) и среднему квадратическому ее оснований (LK). При этом мы выяснили. В что TV< РЕ < MN < LK(рис. 6.13). В случае, когда а — Ь, все отрезки совпадают и будут равны между собой. Мы доказали геометрически для положительных чисел а и Ь: г^+Ь^ 1 1 —-Ь” а Ь а + Ь То есть: • среднее квадратическое двух положительных чисел больше либо равно их среднему арифметическому; • среднее арифметическое двух положительных чисел больше либо равно их среднему геометрическому (среднему пропорциональному); • среднее геометрическое двух положительных чисел больше либо равно их среднему гармоническому. • каждое из этих соотношений будет равенством только при а = Ь. Отрезок, параллельный основаниям трапеции с концами на боковых сторонах Средняя линия трапеции Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей Отрезок, делящий трапецию на две подобные трапеции Отрезок, делящий площадь трапеции на две равновеликие части Длина соответственного отрезка в зависимости от длины оснований трапеции а и Ь a+i» 2аЪ а + Ь 1 1 —+ -а Ъ 4аЬ V 2 Название соответствующего среднего среднее арифметическое среднее гармоническое среднее геометрическое среднее квадратическое аг->гЪ а+Ь ----^ - '->4аЬ> 1 1 - + -а Ъ > 4аЬ а +Ь^ а + Ь 4аЬ > 1 1 —+ " а Ъ Равенство достигается только при а = Ь. I Ое TV ВСЕР ~ PEDA; MN ~ средняя линия; ч = ч “'’lbck ^alkd 209 Среднее квадратическое > среднее арифметическое > среднее геометрическое > среднее гармоническое П П неравенство Коши (для неотрицательных чисел) Средним арифметическим нескольких чисел а^, называется результат деления суммы этих чисел на их количество: л= (^2 ^3 + • • • + АЕд п Среднее гармоническое С„ положительных чисел а^, Og, Од,вычисляется по такой формуле: п С = 111 — + — + — + .. + - «1 о. а. Средним геометрическим положительных чисел Oj, Од, Од, а„ называется корень п-ой степени из произведения этих чисел: G„ = ^a^ a^-a^ Средним квадратическим S„ чисел а^, а^, а 3’ называется квадратный корень из среднего арифметического квадратов данных чисел: а1ЧадЧазЧ...-ьа„" п Указанные средние величины связаны уже известными нам соотношениями: C МВ). Из точки К, середины дуги АМВ, проведем КН ± AM (рис. 6.16). Надо доказать, что АН = НМ+ МВ. Доказательство 1) = '^КВ, тогда хорды КА и КВ - равны. 2) Вписанные углы КАМ и КВМ равны (опираются на одну дугу КМ). 3) Отложим на AM отрезок АЕ = МВ (см. рис. 6.16). Треугольники КАЕ и КВМ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда КЕ = КМ. 4) 1\ЕКМ - равнобедренный, КН LEM. Тогда £77 =НМ. 5) АН =АЕ + ЕН = НМ 4- МВ. Теорема доказана. Пользуясь рисунками 6.17 и 6.18, докажите самостоятельно теорему Архимеда способами Беруни. Теорема Архимеда А ^АК^^КВ КН1АМ U I АН^НМ+МВ I В своих занятиях геометрией Архимед много внимания уделял изучению свойств фигуры, носяш;ей название арбелос, или скорняжный нож. Это название фигура получила за то, что похожа на нож, использовавшийся скорняками для обработки шкур. Если взять на прямой три последовательные точки А, В, С и построить три полукруга с диаметрами АВ, ВС и АС, то часть плоскости, которую ограничивают эти полуокружности, и есть арбелос (рис. на поле). Из большого количества свойств этой фигуры мы рассмотрим только одно. Проведем в арбелосе через точку В прямую, перпендикулярную АС, и обозначим точку ее пересечения с большим полукругом как D. Тогда две окружности, вписанные в полученные криволинейные треугольники, имеют одинаковые радиусы. Трактаты Архимеда «Книга о кругах, которые касаются», «О шаре и цилиндре», «О телах вращения», «Об измерении круга» и др. имели большое значение для развития математики. 213 I М I i i f PmL — точки касания Yi и у u KE — Если бы в матема тике не было красоты, то, наверное, не было бы и самой ^ математики. Ина- | че какая тогда сила » притягивала бы к * этой нелегкой науке t крупнейших гениев } человечества? , I М. Чайковский < Рис. 6.19 Сохранилось доказательство самого Архимеда этого свойства арбелоса. Доказательство Архимеда опиралось на такую лемму. Лемма Архимеда. Пусть прямая пересекает данную окружность в точках К и М. Рассмотрим окружность, касающуюся к данной окружности в точке Р и к прямой КМ — в точке L. Тогда прямая PL проходит через середину одной из двух дуг КМ, на которые данную окружность делит данная прямая КМ. Доказательство Пускай прямая PL пересекает большую окружность в точке Е (рис. 6.19). По лемме, обратной .демме Архимеда о параллельных диаметрах, радиусы O^L и ОЕ -параллельны. Но L - точка касания меньшей окружности к прямой КМ, тогда OjL ± КМ. Отсюда ОЕ ± КМ и точка Е - середина дуги КМ. В других случаях расположения окружностей доказательство будет аналогичным. Рассмотрите их самостоятельно. Рассмотрим теперь доказательство указанного ранее свойства арбелоса, предложенное Архимедом. На рисунке 6.20 окружность касается прямой BD в точке L, большей полуокружности - в точке Р, а меньшей - в точке F. Докажем, что радиус этой окружности равен радиусу окружности, вписанной в другой криволинейный треугольник BDC. Доказательство 1) По доказанной лемме прямая PL проходит через точку С, а прямая FL - через точку А. 2) Проведем в окружности, которую вписали, диаметр LN. Тогда угол NPL - прямой. Угол АРС тоже прямой (опирается на диаметр АС). Тогда точки А, N, Р лежат на одной прямой. 3) Углы NFL nAFB ~ прямые (опираются на диаметры NL и АВ). Тогда точки N, F, В лежат на одной прямой. 4) Рассмотрим треугольник ALC. Его высотами являются отрезки LB, АР и CG (ZG = 90°, поскольку АС -диаметр), а ортоцентром точка Н - точка пересечения прямых, содержащих эти высоты. 5) По лемме, обратной лемме о параллельных диаметрах, NL II АВ. Тогда AHNL ~ Д ЯАВ hNL:AB = NH :АН. 6) ВА1AG и CG1AG, тогда BN\\CGnNH:AH = BC:AC. 214 7) ТогдаNL:AB = BC:ACh NL^ ABBC AC 2^1-^2 Г1+Г2 Понятно, что диаметр другой вписанной окружности будет тот же самый. Так доказывал эту лемму Архимед две тысячи лет тому назад, А как может решить ее современный ученик, интересующийся геометрией? (Попробуйте доказать эту теорему самостоятельно другим способом.) Рассмотрим две формулы для равнобедренного треугольника, открытие которых также приписывают Архимеду. Формула Архимеда (I). Квадрат длины боковой стороны равнобедренного треугольника равен сумме квадрата длины отрезка, соединяющего вершину этого треугольника с точкой его основания, и произведению длин отрезков, на которые указанная точка делит основание треугольника. л в равнобедренном треугольни- ке АВС (АС = АВ = Ь): АК - высота (обозначим как Л), точка Р е [СВ], АР ~ t, СР = т, РВ = п (рис. 6.21). Надо доказать, что = t^ + т • п. Доказательство 1) Из треугольника АС^Г {ZK = = 90°) получим: г {т+п' 2) Из треугольника АйГР (ZK t’‘=h^ + У 2 90°): ' т-п ' 3) Отнимем от первого уравнения второе: т + п т-п = тп. , 2 ) У 2 Ч. т. д. Продемонстрируем, как эта формула может облегчить решение задач. Пример 1. Докажем с помощью этой формулы теорему о пересекающихся хордах окружности, которую мы доказали в § 24, опираясь на свойства подобных треугольников. Математика - это большая выдумка без обмана! Мистер Доджсон Формула Архимеда АС=АВ=Ь h±CB + т- п Математик Чарльз Людовик Доджсон (1832-1898), профессор Оксфордского университета, всемирно известен как детский писатель Льюис Кэрролл. Когда в 1932 году праздновали столетний юбилей писателя Льюиса Кэрролла, рукопись его книги «Алиса в Стране Чудес» была продана за 30 тысяч фунтов стерлингов золотом. На то время это была наибольшая сумма, когда-либо уплаченная за книгу. Математика -поэзия логики идей. А. Эйнштейн I I I I 4 I I I I это I I ш Теорема. Если через точку, взятую внутри окружности, провести хорды, то произведение отрезков хорды, на которые она делится данной точкой, является постоянной величиной для данной окружности. Хорды АВ и CD пересекаются в точке К и делятся ею на отрезки а, Ь и то, л соответственно (рис. 6.22). Надо доказать, что а-Ъ^тп-п. Доказательство Соединим концы хорд с центром окружности О. Тогда получим два равнобедренных треугольника COD и АОВ, точка К принадле- т-п = Рис. 6.22 жит их основаниям. По формуле Архимеда: Н = ОК^ = - а • Ь. Отсюда а • Ъ = т • п. Формула Эйлера ш Теорема доказана. Пример 2. Докажем форлгулу Эйлера о расстоянии I между центрами вписанной и описанной окружностей I треугольника. Существует множество доказательств этой формулы, однако наипростейшее и кратчайшее из них опирается на доказанную выше формулу Архимеда. Теорема. Расстояние между точкой О — центром описанной окружности и точкой I — центром вписанной в этот треугольник окружности можно вы- Доказательство Пусть биссектриса угла А треугольника АВС пересекает окружность, описанную вокруг него, в точке W (рис. 6.23). 1) Из равнобедренного треуголь- ника WOA (по формуле Архимеда) ОР = - WI • IA. Осталось дока- зать, что WI • IA = 2Rr. 2) По теореме, которую мы до- ZCOW : 2 = ZA : 2): I OI-.^R’‘-2Rr I WC „ . А —— =i?sin— 2 и WI = WC = 2R sin- I Из AAIK (ZK ■■ % 2 90°):IA- sm- Из П. 2 и П. 3 получим, что WI Теорема доказана. IA = WC-IA = 2 Rr. I 226 Следующие два примера предлагаются для самосто- I ятельного доказательства. f Пример 3. Докажите, что произвольная точка хорды | окружности делит ее на отрезки, произведение которых J » равно разности квадрата радиуса окружности и квадрата расстояния от этой точки до центра окружности. I Пример 4. Докажите, что в равнобокой трапеции { квадрат диагонали равен сумме произведения ее осно- | ваний и квадрата боковой стороны. (Совет. Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную ее диагонали.) I Формула Архимеда (II). В равнобедренном треуголь- I нике квадрат основания равен удвоенному произведе- | нию боковой стороны и проекции основания на боко- | I Формула Архимеда В равнобедренном треугольнике АВС (АС = АВ) проведем высоту С К (рис. ^ 6.24). Надо доказать, что а^ = 2Ъ - а^. f Доказательство I Продолжим сторону АВ на отрезок | AD=AB. 1) ZDAC = 2ZB (как внешний угол треугольника АВС). 2) ZCDA = ZDCA = (180° - 2ZB): 2 = = 90° - ZB. Отсюда ZDCB = 90 3) Из DCB (ZC = 90°, СК = h,): а" = ВВ • а, = 2Ь • а Что и требовалось доказать. Примеры использования этой формулы предлагаем | доказать самостоятельно. Пример 5. Основание равнобедренного треугольника относится к его боковой стороне как 4 : 3. В каком ^ отношении делит боковую сторону этого треугольника I его высота? | Пример 6. Высоты равнобедренного треугольника, I •. I -у АС=АВ = Ь CKZAB а ^ = 2Ьаь I проведенные к его основанию и боковой стороне, равны , 10 см и 12 см соответственно. Найдите длину основания. Пример 7. Докажите геометрически, что: ♦ а) ctg 30° + ctg 75° = 2; б) tg 15° = 4 sin" 15°. I В мае 1989 г. украинское математическое общество праздновало столетний юбилей выдающегося украинского математика профессора Львовского государственного университета Мирона Онуфриевича Зарицкого (см. стр. 189) -одного из основателей украинской математической культуры. «Кого не привлекает ни красота, ни искусство, кто живет убогой духовной жизнью - тот ничего не даст и математике. Поэзия не отличается от математики высшим полетом воображения, а математик отличается от поэта только тем, что все и везде понимает... Но как и в искусстве, так и в математике только произведения, отличающиеся красотой, переживают столетия и воспитывают поколения», - говорил Мирон Зарицкий. Теорема Менелая В С^В А,С SjA Менелай Александрийский (I-I1 в.) в книжке «Сфе-рика» дал систематическое изложение сферической геометрии - первой геометрической системы, отличающейся от Евклидовой. Приведем одну из теорем, сформулированных и доказанных Менелаем, которая и сегодня широко используется во время решения геометрических задач и носит его имя. Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках и А^ соответственно, а продолжение стороны АС — в точке Б,, то выполняется соотношение ACi ВА^ СВ, = 1. С,В А,С В,А Доказательство Из вершин треугольника АВС ____, проведем к заданной прямой С ^ перпендикуляры АА^, ВВ^, СС^ и обозначим их как h,, Л3 соответственно (рис. 6.25). Имеем три пары подобных прямоугольных треугольников (признак подобия по острому углу): Рис. 6.25 1) ААА^С, ABBqCj - 2) ABqBA, ДСоСД -н 3) АА\В, ~ ACCoBj-АС, ВА, СВ, h,_AC, С,В ВА, Л, СВ, К В,А К ААА К К \ =1. ■"''™ С.В АС ДА Теорема доказана. Легко можно доказать и обратную теорему. Будущий академик, профессор Киевского и Московского университетов, выдающийся математик и физик-теоретик Николай Николаевич Боголюбов (1909-1992) в 1922 г. вместе с матерью переехал в Киев. И именно здесь в свои 13 лет привлек к себе внимание академиков Д.А. Граве и Н.М. Крылова. В 1924 г. Боголюбов написал первую научную работу. 15-летним юношей его без диплома о высшем образовании специальным решением Революционного научного комитета УССР приняли в аспирантуру Академии наук Украины. А началось все, наверное, из-за проблем с арифметикой. Учитель гимназии, куда поступил Боголюбов, счел необходимым сообщить родителям: «Математиком ваш сын не станет, это ясно. - И, подумав, добавил: - Но характер его дает основание надеяться, что он все же найдет свое призвание». До 14 лет Н.Н. Боголюбов самостоятельно выучил всю элементарную математику, основы высшей математики и математический анализ. Николай Николаевич владел, кроме украинского и русского языков, еще и польским, английским, испанским, итальянским, немецким и французским. «Го, что нравится, легко запоминается» - так говорил Боголюбов. 1, Теорема (обратная теореме Менелая). Если точки Cj и Aj на сторонах АВ и ВС треугольника АВС и точка В^ на продолжении стороны АС расположены так, что выполняется соотношение ACi ВА^ СВ^ С^В А,С В^А то эти точки лежат на одной прямой (рис. 6.26). Доказательство Пусть точка В^ г (AjCj). Обозначим точку пересечения прямых AjCj и АС через Т. По теореме Менелая выполняется соотношение: ACj BAj СТ Теорема, обратная теореме Менелая I CjB AjC ТА = 1. По условию . ACj BAi CBi С^В А^С В^А Тогда ГА СТ АС В,А ^ АС + СТ _ АС + СВ^ СВ, СТ СТ + 1 = АС СВ, +1> АС СТ СВ, АС С,В Отсюда и СВ, = СТ, что противоречит допущению. Теорема доказана. В начале IV в. в Александрии работал прекрасный знаток античной математики Папп, автор интересной книги «Математическое собрание*, в которой он сформулировал и доказал ряд важных теорем геометрии. Опираясь на теорему Менелая, можно легко доказать одну из них, известную сегодня как теорема Паппа. Теорема Паппа. Если А,С,Е — три точки на одной прямой, а В, F, D — на другой и если (АВ), (CD), (EF) пересекают соответственно (DE), (FA), (ВС), то три точки их пересечения L, М, N лежат на одной прямой. I ш Доказательство Чтобы не рассматривать все возможные варианты, ограничимся случаем, когда (АВ), (CD), (EF) образуют треугольник UVW (рис. 6.27). Применяя к пяти тройкам чисел {D, L, Е}, {А, М, F}, {В, N, С}, {А, С, Е}, {В, F, D} теорему Менелая, получим: 1) VL WD UE LW DU EV , VA WM UF AW ми FA АС, ВА, СВ, I I I I I I I I I I I С,В А,С В,А Лб(СД) I I Теорема Паппа А^ В F D N £ (LM) М ...Принципы геометрии - это принципы всей математики. О. Хайям, XII в. Теорема Симпсона {Р, Т, К} - на прямой прямая Симпсона Г' 3) VB WC UN , —=1; 4) VA WC UE BW си NV VB 5) AW си EV WD UF . = 1; BW DU FV Если почленно перемножить первые три равенства и разделить полученное произведение на два оставшихся, то после соответствуюп^их сокраш;ений получим: VL WM UN ' NV' = 1. LW ми Тогда, по обратной теореме Менелая, три точки L, М, N лежат на одной прямой. Теорема доказана. Эта теорема - одна из основных в проективной геометрии. Опираясь на теорему Менелая и свойства вписанных углов, можно доказать еще одно интересное утверждение - теорему Симпсона (Роберт Симпсон - шотландский математик, XVIII в.). Теорема Симпсона. Если из произвольной точки окружности, описанной вокруг треугольника, провести перпендикуляры на прямые, содержащие стороны треугольника, то основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Эту прямую называют прямой Симпсона. Пусть из точки X окружности, описанной вокруг треугольника АВС, на прямые АВ, ВС и СА провели перпендикуляры ХР, ХК и XT соответственно (рис. 6.28). Докажем, что точки Р, Т и К лежат на одной прямой. Доказательство 1) иХС: Z САХ = Z СВХ = а. 2) и АХ: ZABX = ZACX^^. 3) Четырехугольник АВХС - вписанный. Тогда ZBAX + ZBCX = 180°, ZBAX = 180° - ZBCX = = ZXCK^y. 4) Из прямоугольных треугольников, катетами которых являются перпендикуляры ХР, ХК и XT, следует: АР = АХ cos у, РВ = ХВ cos (3, ВК = ХВ cos а, КС = = ХС cos у, СТ = ХС cos Р, ТА = АХ cos а. Рис. 6.28 Тогда АР СТ ВК = 1, и, согласно обратной теореме РВ ТА КС Менелая, точки Р,ТшК лежат на одной прямой. Ч. т. д. Для тех, кто интересуется решением геометрических задач, предлагается очень полезная теорема, которую сформулировал и доказал итальянский математик Джованни Чева (1648-1734). Теорема Чевы. ПустьX,YuZ — точки на сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС соответственно (рис. 6.29). Чтобы чевианы АХ, BY, CZ пересекались в одной точке, необходимо и достаточно: ВХ CY AZ ХС YA ZB 1) Докажем необходимость: если АХ, BY uCZnepe- Л. секаются в одной точке Р, то ВХ CY AZ = 1. ХС YA ZB В треугольнике (рис. 6.29): ВХ: ХС = ~ ^АВХ • ^АХС ~ ^РВХ • ^РХС ~ (^АВХ ~ ) = (^Ахс ~ ^рхс)- Тогда ВХ:ХС = "^САР* И AZ: ZB ВСР ‘ ^-'АВР ^САР • ^ВСР’ Если перемножить три полученных равенства, получим: ВХ CY AZ S; ВСР S, САР о с ‘-'авр ‘^вср =1. I ВХ CY AZ ХС YA ZB _ Ч. т. д. 2)Докажем достаточность: если = ХС YA ZB то АХ, BY и CZ пересекаются в одной точке Р. Пусть АХ П ВУ = Р i CZ. Проведем через точку Р че-виану CZj, Zj ^ Z, Тогда, согласно доказанному выше: ВХ CYAZ^ ВХ CY AZ AZ^ AZ ZB" = 1=-----------И- XC YA Z^B XC YA ZB Z^B T. e. Z^ = Z, что противоречит условию. Теорема доказана. ~TTi Следствиями из теоремы Чевы являются изве-^ I стные теоремы (докажите это самостоятельно): 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 3. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. 4. Прямые, которые проходят через вершины треугольника и делят его периметр пополам, пересекаются в одной точке. 5. Прямые, которые соединяют точки касания вписанной в треугольник окружности с противолежаш;ими вершинами треугольника, пересекаются в одной точке. 6. Прямые, которые соединяют точки касания вне-вписанных окружностей (см. стр. 230, 254) к сторонам треугольника и противоположные вершины этого треугольника, пересекаются в одной точке. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на его противолежащей стороне, называется чевианой I Теорема Чевы А В X ВХ CY AZ XCYA ZB = 1 АХ, BYhCZ чевианы гп I французским математиком Жергонном в 1818 г. была } доказана такая теорема. I \птт\ Теорема Жергонна. Если чевианы AD, BE, CF I 1 треугольника АВС пересекаются в точке О (рис. 6.30), то: * AD BE CF ' OF , АО ВО СО _ ' CF AD BE CF Доказательство Площади треугольников АОС и АВС относятся как их соответствующие высоты, а последние относятся как ОЕ к BE (если из О и В провести перпендикуляры к АС -получим подобные треугольники). Тогда АО ВО СО ad'^be^cf" I = 2 I Аналогично OD S и АОВ I I AD S, BE OF ’ CF' '~’АВС ’-'АВС Если сложить полученные равенства, получим: S, ОЕ OD OF S,™ BE AD CF~~SZ JZ Z S, = 1. ...Утром 9 марта 1942 года на глубину 1,5 м похоронили в вечную мерзлоту тело узника Михаила Кравчука - известного украинского математика, академика, учителя легендарного конструктора Сергея Королева. Так окончил земной путь один из выдающихся математиков XX столетия. Родился Михаил Кравчук в селе Човницы на Волыни. Его отец работал землемером, а мать свободно владела несколькими европейскими языками и учила своих детей немецкому, французскому и польскому. Но главным языком в семье был украинский. Потому неслучайно академик Кравчук первым разработал в Украине проект алгебраической и геометрической терминологии. Под его руководством в 20-е годы сотрудники Института украинского научного языка составили математический словарь в трех томах. А студенты Михаила Филипповича еще долго после его ареста вспоминали красоту мысли и языка, царившие на его лекциях. Михаил Кравчук успел до ареста написать 180 научных работ (10 из них - монографии в разных областях математики). 9 марта 1930 года в Харькове начался судебный процесс над организацией «Общество освобождения Украины». Это было началом разгрома украинской интеллигенции. Дата процесса была выбрана неслучайно -9 марта - день рождения Тараса Шевченко. Михаилу Кравчуку, всемирно известному ученому, друзьями которого были уважаемые люди - ученые, поэты, литературоведы, - предложили выступить на этом процессе с обвинениями. Он отказался ... Началась травля академика: в газетах печатались разгромные статьи, такие как «Академик Кравчук рекламирует врагов», а самому Кравчуку угрожали уничтожить семью, если он не согласится взять на себя преступления, которых не совершал (см. далее стр. 223). Первое утверждение теоремы доказано. Докажем вторую часть теоремы. Из равенств АО AD-OD ^ ОД. ВО AD~ AD ~ ad’BE 1- ОЕ be’ получим: АО ВО СО ^ +---+ — = 3- AD BE CF OD ОЕ OF AD'^ ВЕ'^ CF CF CF = 3-1-2. Второе утверждение теоремы доказано. Теорема доказана. Замечание. Теорема Жергонна выполняется и в случае, когда точка О лежит на стороне треугольника. Тогда третье слагаемое превратится в ноль, и получим: ОС ^ ОА_^ АС^ СА ’ что эквивалентно равенству СО+АО Люди ошибаются именно потому, что им не хватает логики. Г. Лейбниц АС АС Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Бевз Г.П. Геометр1я трикутника. - К.: Генеза, 2005. - 120 с. 2. Бевз Г.П. Геометр1я к1л. - Харк1в: Основа, 2004. - 112 с. 3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. - М.: Наука, 1991. - Ч. 1. - 240 с. 4. Коксетер Г.С. М„ Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. - М.: Наука, 1973. - 224 с. 5. Шарыгин И.Ф. Геометрия. - М.: Дрофа, 2001. - 368 с. 6. Билецкий Юрий, Филипповский Григорий. Чертежи на песке. В мирю геометрии Архимеда. - К.: Факт, 2000. - 100 с. 7. Филипповский Г.Б. Школьная геометрия в миниатюрах. - К.: ГРОТ, 2002. - 240 с. 8. КонфоровичАГ. Визначш математичю задач!. - К.: Рад. шк., 1981. - 189 с. В 1938 г. «за антисоветскую националистическую деятельность на научнопедагогическом фронте» М.Ф. Кравчук (см. стр. 222) был осужден как «враг народа» на 20 лет заключения и 5 лет ссылки. В 60-градусный мороз академик с больным сердцем должен был выполнять дневную норму на рудниках Колымы - полторы тонны руды. По свидетельству бывшего узника, жившего в бараке рядом с академиком, в минуты отдыха каторжник Кравчук писал какие-то формулы на кусочках бумаги и каждый вечер сдавал свои записи начальнику концлагеря - только при таком условии ему позволяли заниматься математикой. Из лагеря Михаилу Филипповичу удалось передать записку академику А.М. Люльке, где он сообпдал о сделанном им важном математическом открытии, к которому, по словам академика, он шел всю свою жизнь. К сожалению, потомки не смогли найти в архивах колымских лагерей записи Михаила Кравчука - все они были уничтожены, так же как и их автор. ^ а > b VZA >ZBV С b/'\a Ac В a < с + b a> \ с - b\ hla=:^h с-|; (3) а < |(т(, + mj; 224 ... 1 2 1 12 1 (4) -а <-/nj, +-m„ и _a<-m,+-/n„. Доказательство 1) Удвоим медиану (рис. 6.31-а) - получим параллелограмм ABCD, тогда CD = с. Запишем неравенство для сторон треугольника АВС: Ь + О 2т^, (1) доказано. 2) Из неравенства для сторон треугольника АВМ^ а (рис. 6.31-а) получаем: > с - —, и (2) доказано. А 3) Рассмотрим треугольник СМ В, где М - центроид в ААВС (рис. 6.31-6). Для сторон треугольника СМВ, учитывая свойство медиан треугольника АВС, выполняется неравенство: 2 а < СМ + МВ = -(rrif, +т^), и (3) доказано. 3 4) Аналогично предыдущему из треугольников ВММу и СММ^ получим утверждение (4). Опорная задача 2 В треугольнике большей стороне соответствует большая высота и наоборот. Решение Проведем в треугольнике АВС высоты и Л^,. Площадь этого треугольника равна S = —а\ = — 6Л;,- 2 2 Тогда — = —. Ч. т. д. Ъ h. Рассмотрим теперь примеры решения задач на доказательство неравенств с использованием приведенных опорных фактов. Пример 1, Докажите, что в произвольном прямоугольном треугольнике куб гипотенузы больше суммы кубов его катетов. Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, Ь и гипотенузой с. Тогда с > а п с > Ь. Умножим эти неравенства на и соответственно и сложим. Полу- Ь + с т. <----- “ 2 т. > с — “ 2 а <+ ГПс) 12 1 —а < —т^ + —т„ 2 3 3 “ 12 1 —а < —т. + —т„ 2 3 “ 3 “ < Аь чим; с(а^ + Ь^) > а® + 6®. Учитывая, что по теореме Пифагора (а^ + Ь^) = с^, получаем с® > а® + Ь®. Ч. т. д. Пример 2. Докажите, что для медиан произвольного треугольника АВС выполняются неравенствар<т^ + т^ + т^<2р, гдер - полупе-риметр данного треугольника. Решение 1) Запишем утверждение (4) опорной задачи 1 для сторон а, Ь и с треугольника АВС: 12 1 1. 2 1 12 1 — а<—тпг,+ — т„, —Ъ<—т.+ 2 3 3 2 3 3 -с <-т.+-т,. ь 2 3 “ 3 Сложив эти неравенства, получим: р < + т^, и левая часть неравенства условия доказана. 2) Запишем утверждение (1) опорной задачи 1 для медиан треугольника АВС: Ь + с а + с Ь + а а 2 2 2 После сложения этих неравенств получим: т^ + + т^< 2р, и пра- вая часть неравенства условия доказана. Пример 3. Докажите, что для сторон прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°) справедливо неравенство а + Ь < с + h^. Решение По теореме Пифагора а® -Ь Ь® = с®. А из выражений для площади этого треугольника: 4S = 2аЬ = 2ch^. Тогда (а + bf = а® + Ь® + 2аЬ = с® -Ь 2сЛ, = (с + hf - Л® < (с + hf. Отсюда а + Ь < с + h^. Что и требовалось доказать. Пример 4. Докажите, что для сторон а, ft и с треугольника АВС справедливо неравенство: аЪс > (Ь + с - а) {а + с - Ь) {а + Ь - с). Решение Запишем очевидные неравенства: - {Ъ ~ с)®, - (а - с)®, с® > с® - (& - а)®. Обе части этих неравенств неотрицательны (т. к. выполняются неравенства для разности сторон этого треугольника). Тогда записанные неравенства можно перемножить: а®&®с® > (а - & + с)(а + Ь - с){Ь - а + с)(Ь + а - с){с - Ь + а)(с + Ь - а), > (а + с - Ъ)\а + Ь- с)®(& + с - af, аЬс > |а + с - б| • ja + Ь - cj • |Ь + с - aj. Учитывая неравенства для суммы сторон треугольника, все выражения под знаками модуля неотрицательны, - искомое утверждение выполняется. Пример 5. В треугольнике АВС а > Ь > с. Какую из этих сторон видно под большим углом из центра: а) описанной окружности; б) вписанной окружности? Решение 1) В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. По условию а> Ь> с, тогда Z.A > ZB > ZC. 2) Из центра О окружности, описанной вокруг данного треугольника, стороны этого треугольника видны под углами: ZBOC = 2ZA, ZAOC = 2ZB, ZAOB = 2ZC, т. к. они являются центральными углами этой окружности. Наибольшим из них будет угол ВОС, которому соответствует вписанный угол Л. 3) Из центра вписанной окружности I стороны треугольника видны /А /R /О под углами: ZB/C = 90° + —, ZA/C = 90° -1- —, ZATB = —, (см. опор- 2 2 2 ную задачу на стр. 255). Наибольший из них угол В1С. Ответ: из центров описанной и вписанной окружностей под наибольшим углом видно наибольшую сторону. Пример 6. Докажите, если а,Ь, с - стороны треугольника АВС, то суш;ествует треугольник, длины сторон которого равны Vfl, л/ь, Vc. Решение Пусть а - наибольшая из сторон треугольника АВС. Тогда (>/& + Vc)^ = ==Ь + с + >Ь + с> а = (-s/a) Отсюда Jb + у[с > 4а, и искомый тре- угольник существует. Пример 7. Докажите, что для радиусов вписанного г и описанного R окружностей прямоугольного треугольника и площади В этого треугольника выполняется соотношение R + r> Решение Как известно, для прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°) „ с а+Ь-с о 1 ь 2 2 2 Воспользуемся неравенством для среднего арифметического и среднего геометрического (см. стр. 209): R + r- а + Ъ > 4аЬ = 4^, ч. т. д. Замечание. Неравенство, в котором сравнивается среднее арифметическое со средним геометрическим неотрицательных чисел, называют неравенством Коши. Это неравенство справедливо не только для двух чисел. Для п неотрицательных чисел, согласно неравенству Коши, вы- о,-1-а,-н...-1-а_ I------- полняется соотношение -------------- > ща^ • Og • • • о„, при этом pa- rt венство достигается только в случае, когда все п чисел между собой равны. Пример 8. Докажите, что для высот треугольника АВС выполняется соотношение h^- 9r. Тогда 9r< h + h. + h 0. Отсюда В> 2г{'!.к. Что и требовалось доказать. Решите самостоятельно задачи 1. Докажите, что длина медианы треугольника меньше суммы двух других медиан и больше их разности. 2. В треугольнике АВС: а > 6 > с. Докажите, что градусные меры углов треугольника лежат в пределах: 60° < А <180°, 0 < В < 90°, 0 < С < 60°. 3. Если а,Ь,с~ стороны треугольника, а) — — -н > з- Ь с а б)+ с^> ЗаЬс; в)а + Ь + с< 2{аЬ + ас + Ъс). (Совет. Не забывайте про неравенство Коши.) 4. В треугольнике АВС: а>Ь> с. Какую из этих сторон видно из ортоцентра треугольника под наибольшим углом, если этот треугольник: а) остроугольный; б) тупоугольный? ^ 5. Докажите, если в треугольнике АВС: а) <—, то угол А - тупой; 2 а б) /Пд > —, то угол А - острый. <2 6. Докажите, что в прямоугольном треугольнике АВС (ZC = 90°; а с г - радиус вписанной окружности); а) г < —; б) а Ч- б < Ч- в) 2 ^ г) с < а ч- б < с42. 7. Докажите, что из отрезков а Ч- т^, б Ч- и с Ч- т^, где а,Ь,с- стороны, а тПд, т^, - медианы треугольника АВС, можно построить треуголь- ник. 8. На окружности, описанной вокруг правильного треугольника АВС, отметили произвольным образом точку М. Можно ли составить треугольник из отрезков МА, МВ и МС? 9. Докажите, что для медиан т^, т^, т^, треугольника АВС выполняется неравенство т„ б с 9 4‘ 10. Будут ли правильными утверждения, обратные утверждениям задачи 6? Кроме того, решите задачи на геометрические неравенства, предлагаемые в Заданиях: 4 (№ 13, № 14), 6 (№ 4-в), 10 (№ 10, № 20-в, № 20-г, № 21, № 23 -№ 25); 13 (№ 18), 14 (№ 42); а также в рубрике «Для любознательных» на стр. 60 (№ 1, № 2), стр. 146 (№ 3, № 4), стр. 160 (№ 2, № 15), стр. 169 (№ 1, № 2). Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Сивашинский HJC. Неравенства в задачах. - М.: Наука, 1987. - 304 с. 2. Билецкий Юрий, Филипповский Григорий. Чертежи на песке. В мире геометрии Архимеда. - К.: Факт, 2000. - 100 с. 3. Прасолов ВВ. Задачи по планиметрии. - М.: Наука, 1991. - Ч. 2. - 288 с. 4. Коксетер Г.С. М„ Грейтцер СЛ. Новые встречи с геометрией. - М.; Наука, 1973. - 224 с. 5. Филипповский Г.Б. Школьная геометрия в миниатюрах. - К.: ГРОТ, 2002. - 240 с. 6. Куштр 1Л. Повернення втрачено! геометрИ. - К.: Факт, 2000. - 280 с. 7. Сарана ОЛ., Ястський В.В. Конкурсн! задач! п!двищено1 складност! з математики. К.: НТУУ «КШ», 2005. - 260 с. в А ABC точка I -инцентр - равноудалена от [АВ], [ВС], [АС]. Вневписанная окружность касается а и продолжения Ь и с. АК^ =АК^=р; Inla- равноудаленыот [ВС] и (АВ), (АС) I Приложение 6 ( Вневписанная окружность треугольника I и ее свойства I Как известно, три биссектрисы треугольника пере-I секаются в одной точке - инцентре треугольника. Эта I точка равноудалена от сторон треугольника и явля-* ется центром окружности, вписанной в данный тре-^ угольник. Отметим, что с инцентром связано много ин-I тересных свойств треугольника (см., например, стр. 255, I 257) и потому его считают одной из «замечательных» I точек треугольника. А если искать точку, равноудаленную от прямых, которые содержат стороны треугольника! Воспользуемся главным свойством биссектрисы угла -тем, что она является ГМТ, равноудаленных от сторон угла. Понятно, что инцентр треугольника удовлетворяет этому условию. Но, кроме того, мы получим еще три точки - точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника. На рисунке 6.32 они обозначены как 7^, и Через эти точки проходят и продолжения биссектрис треугольника АВС (рис. 6.32) 1^, 1^^ и 1^ соответственно. Докажем это. Рассмотрим точку 1^ - точку пересечения биссектрис внешних углов треугольника АВС при вершинах В и С. По свойству биссектрисы угла: d(I,;AC) = d(I,iCB) AiT по\ AIT Am ^ d(7„;CB) = d(7„; АВ) Тогда /д принадлежит биссектрисе угла САВ, т. е. продолжению 1^. Аналогично доказывается, что и принадлежат продолжениям (j, и 1^. Мы доказали, что точка 1^ - равноудалена от стороны а треугольника АВС и продолжения его сторон Ь и с. Тогда 1^ - центр окружности, которая касается стороны а и продолжения сторон Ъ, с этого треугольника. Такую окружность называют вневписанвой окружностью треугольника АВС. Каждый треугольник имеет три вневписанных окружности с центрами в точках !„■. -fb и 7 . Ь с Рассмотрим СВОЙСТВА вневписанной окружности. 1. Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания его вневписанной окружности сторон этого угла равно полупериметру тре- I угольника. I На рисунке 6.33 вневпи-санная окружность касается стороны а треугольника АВС в ® точке К и продолжения сто- I I К^С = КС. рон с и & в точках и iiTg. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки: АК^=АК2, ВК^ = ВК, Периметр треугольника АВС равен: 2р=АВ + ВС+АС = АВ -Ь (ВК + КС) +АС = = АВ -Ь (ВК^ + К^С)+АС = АК^+АК^. Учитывая, что АК^ = АК2, получаем искомое утверждение. 2. Радиус вневписанной окружности треугольника АВС, касающейся его стороны а, равен В: (р — а), где В — I площадь треугольника АВС, р — его полупериметр. | На рисунке 6.33 искомый радиус вневписанной ок- | ружности обозначен как Площадь четырехугольника АВ/дС равна сумме пло- * щадей АВ/д и АС/^, а с другой стороны - сумме площа- I дей А АВС и В/дС. Тогда ^сГд+^ЬГд =В + ^аГд, Гд(с + Ь-а) = 2В. Учитывая, что {с + Ь - а) = 2(р - а), получим В 3. Радиус вневписанной окружности треугольника АВС, касающейся его стороны а, можно вычислить по формулам: I а) р-а ; B)r„=(p-b)ctg- где г — радиус окружности, вписанной в треугольник АВС; р — его полупериметр. Искомую формулу (а) получаем непосредственно из свойства 2, подставив вместо В выражение В = рг. Для доказательства (б) рассмотрим прямоугольный треугольник AI^K.^ (рис. 6.33). По ранее доказанному AfiCj =р,1а^ А1^. Тогда = A^Titg- = ^ А -ptg-. Для доказательства (в) рассмотрим прямоугольный треугольник CIJC^ (рис. 6.33): К^С = К^А -Ь=р-Ь, р-а гр р-а ptg- = (p-b)ctg- Формула Герона ^ААВС~ = .Jpip-a)(p-b)(p-c) (см.стр. 232) ♦ I ^K^IaC = 90° - ZK^Ch = 90° - 180°-ZC 2 C ZC 2 ’ = K2C■ ctgiZKzlaC) = (p-b) ctg-. Ч. T. Д. 4. Для треугольника IJJc отрезки I^A, IjC являются высотами, a инцентр I треугольника ABC — ортоцентром. Это утверждение (рис. 6.32) следует из свойства смежных углов: биссектрисы смежных углов образуют угол, равный 180° : 2 = 90°, т. е. взаимно перпендикулярны. С помощью рассмотренных свойств вневписанной окружности легко доказать формулу Герона для вычисления площади треугольника АВС: I---------------- S = yjpip - а){р - Ь)(р - с). Доказательство По доказанному ранее: г. = —^— = (р - 6) • ctg—. р-а 2 S с Знаем, что (опорные задачи № 1-2 на стр. 257): г = — = (р- c)tg—. Р 2 ---------------- Тогда г ■ = (р - Ь){р -c),S = yjp(p - а)(р - &)(р - с). Ч. т. д. Следующие свойства вневписанной окружности треугольника АВС докажите самостоятельно. Для их записи используем обозначения (для ДАВС): В и г - радиусы вписанной и описанной окружностей; р - полупериметр; S - площадь треугольника АВС; - точка пересечения продолжения бис- сектрисы (д треугольника АВС с окружностью, описанной вокруг этого треугольника; О - центр описанной окружности. 5- + + = + г. 6. = Sp. „1111 7. - = — + — + —. 8.IW^ = WJ^. 9.0ll = I^ + 2ВГц (формула Эйлера для вневписанной окружности). 10. Треугольник АВС - ортоцентрический для треугольника Vc • АВС 11. Углы треугольника laliJc равны 90°-, 90°-, 90°-. 2 2 2 12. Центроид треугольника IJb^c принадлежит прямой OI. 13. Треугольники и подобны с коэффициентом по- добия 2. Больше узнать по этой теме можно из литературы: 1. Куштр 1Л. Трикутник i тетраедр у задачах. - К.: Рад. шк., 1991. -208 с. 2. Бевз Г.П. Геометр1я трикутника. - К.: Генеза, 2005. - 120 с. Приложение 7 * Кролики, клетки и принцип Дирихле в геометрии Наверное, вы уже слышали о принципе Дирихле. Чаще всего при первом знакомстве этот принцип объясняют так. Если в п клетках разместили п + 1 кроликов, то хотя бы в одной клетке находится не менее двух кроликов. Такой, вроде бы очевидный, принцип дает возможность решать непростые задачи, в том числе и геометрические. Главное при использовании этого принципа разобраться, какие объекты будут играть роль кроликов, а какие - клеток. Пример 1. В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600 000 иголок. Докажите, что в этом лесу найдется хотя бы две елки с одинаковым количеством иголок. Доказательство Имеем миллион «кроликов»-елок и только 600001 «клетку» с номерами от 0 до 600 000. Каждую елку надо поместить в клетку с номером, соответствующим ее числу иголок. Если рассадить «кроликов» по одному - получим 600 001 пару «кролик»-«клетка». Остальных «кроликов» придется рассаживать по уже занятым «клеткам». Но если два «кролика»-елки окажутся в одной «клетке» - это означает, что они имеют одинаковое количество иголок. Утверждение доказано. Иногда удобно использовать обобщенный принцип Дирихле. Если в п клетках разместили kn -t-1 кроликов, то хотя бы в одной клетке находится не менее k + 1 кроликов. Таким образом, мы одного кролика заменили на группу из k кроликов. Пример 2. В магазин привезли 25 ящиков конфет трех сортов (в каждом ящике - конфеты только одного сорта). Докажите, что среди них есть хотя бы 9 ящиков конфет одного сорта. Доказательство 25 ящиков-«кроликов» разместим по трем «клеткам»-сортам: 25 = 3 • 8 -Ь 1. Тогда по обобщенному принципу Дирихле в одной из « клеток »-сортов должно оказаться хотя бы 8 -I- 1 = 9 ящиков-«кроликов». Утверждение доказано. п - клеток и -t-1 - кроликов _____И______ хотя бы в одной клетке - 2 кролика ■ п ~ клеток fen + 1 - кроликов И хотя бы в одной клетке -k + 1 кроликов Если математику считают гимнастикой для ума, то элементы нестандартной математики можно считать эмоциональной его зарядкой, которая просто необходима разуму. Ю.Ю.Барничка (украинский советский математик) 'йшгШ Понятно, что при оформлении решения задачи, ссылаясь на принцип Дирихле, не присваивают объектам названия: «кролики» и «клетки». Сформулируем принцип Дирихле, заменив «клетки» на множество А, а «кроликов» на множество В. Если каждому элементу множества А (из п элементов) ставится в соответствие элемент множества В (из т элементов) и при этом п<т, то хотя бы одному элементу из А соответствует не менее двух элементов из В. Рассмотрим несколько примеров применения принципа Дирихле при решении геометрических задач. Пример 3. В квадрате со стороной 1 м произвольно отметили 51 разную точку. Докажите, что какие-то 3 из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см. Решение Разделим данный квадрат на квадраты со стороной 20 см, получим 5 X 5 = 25 таких квадратов. Число 51 = 25 ‘ 2 + 1. Тогда, по принципу Дирихле, в одном из этих квадратов окажется 2 -I-1 = 3 точки. Утверждение доказано. Пример 4. В квадрат со стороной 10 см «бросили» 101 точку (никакие 3 из них не лежат на одной прямой). Докажите, что среди них есть три точки, образующие треугольник, площадь которого не превышает 1 см^. Решение Разобьем квадрат на 50 прямоугольников со сторонами 1 х 2 см. По принципу Дирихле (101 = 2 • 50 -Ь 1) хотя бы в один из них попадет не менее 3-х точек. Эти точки образуют треугольник, площадь которого не превышает половины площади прямоугольника, содержащего указанные точки. Утверждение доказано. Пример 5. Какое наибольшее число точек можно разместить в квадрате 1 х 1 см так, чтобы расстояние между любыми двумя из них не превышало 0,5 см? («В квадрате» означает «внутри квадрата или на его сторонах».) Решение Разделим квадрат на 9 равных квадратов со стороной 1/3 см (рис. 6.34). Если в этих квадратах поместить 10 точек, то, по принципу Дирихле, хотя бы 2 из них попадут в один квадрат. Расстояние между такими точками не превышает диагонали квадрата, длина которой ^/2 1 — <-. 3 2 Таким образом, 10 точек разместить согласно условию задачи невозможно. Разместим 9 точек так, как показано на рисунке 6.35. Расстояние между двумя соседними точками равно 0,5 см. Таким образом, мы показали, что 9 точек можно разместить согласно условию задачи, а 10 - невозможно. Рис. 6.35 Ответ: 9 точек. 1см Рис. 6.34 Пример 6. Докажите, что в каждом девятиугольнике существует пара диагоналей, угол между которыми меньше 7°. Решение Всего в девятиугольнике (9 • 6): 2 = 27 диагоналей (из каждой вершины можно провести 6 диагоналей, при этом каждая диагональ соединяет 2 вершины). Проведем через произвольную точку плоскости параллельно диагоналям девятиугольника 27 прямых. Эти прямые разобьют полный угол (360°) на 54 части. Тогда по принципу Дирихле (7° • 54 = 368° > 360°) среди образовавшихся углов существует угол меньше 7°. Утверждение доказано. Пример 7. На плоскости отметили 6 точек, каждые 3 из которых не лежат на одной прямой. Каждые 2 точки соединили отрезками красного или синего цвета. Докажите, что найдется треугольник с вершинами в данных точках, все стороны которого одного цвета. Решение Обозначим заданные точки какЛ^, А^, А^, А^, А^, Ag. Из каждой точки исходит 5 отрезков 2-х цветов. По принципу Дирихле среди этих отрезков хотя бы 3 одного цвета. Пусть для точки Aj это будут отрезки AjAg, AjAg и AjA^ красного цвета. Рассмотрим отрезки AgAg, А^А^ и AgA^. Тогда возможны два случая. 1) Среди этих отрезков есть красный, например AgAg. Тогда есть треугольник, все стороны которого красные, у нас это треугольник AjAgAg. 2) Среди указанных отрезков нет отрезка красного цвета. Тогда они образуют треугольник AgAgA^, стороны которого синие. Утверждение доказано. Решите самостоятельно такие задачи 1. Шесть учеников съели 7 конфет. Докажите, что хотя бы один из них съел 2 конфеты, если известно, что конфеты на части не делили. 2. Можно ли вывезти 50 камней, масса которых 370 кг, 372 кг, ..., 466 кг и 468 кг, на семи трехтонных грузовых машинах? 3. Каждую сторону квадрата разделили на 8 равных частей и провели через них прямые, параллельные сторонам квадрата. Наименьший из образовавшихся квадратов назовем клеточкой. Какое наибольшее число клеточек можно закрасить, чтобы в любом «уголке» (состоящем из трех клеточек рис. 6.36) хотя бы одна клеточка оставалась незакрашенной? Совет. Примите 1/8 длины стороны квадрата за единицу измерения и разделите заданный квадрат на квадраты 2x2. Эти квадраты будут вашими «клетками» для «кроликов» - цветных маленьких клеточек. 4. Какое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга? Рис. 6.36 1 м 0,5 см 7. 8. 9. 5. Какое наибольшее количество пауков может жить на паутине, изображенной на рисунке 6.37, если паук терпит соседа на расстоянии не меньшем 1,1 м? 6. Внутри правильного треугольника со стороной 1 м поставили 5 точек. Докажите, что расстояние между какими-то двумя из них меньше 0,5 м. Совет. Проведите в заданном треугольнике средние линии и рассмотрите 4 образовавшихся треугольника. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками. На плоскости задано 7 прямых. Докажите, что какие-то две из них образуют угол меньше 27°. На плоскости задано 17 точек, каждые три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две точки соединены отрезками или красного, или синего, или зеленого цвета. Докажите, что найдется треугольник с вершинами в этих точках, все стороны которого одного цвета. 10. На отрезке длины 1 закрасили несколько отрезков так, чтобы расстояние между двумя цветными точками не равнялось 0,1. Докажите, что сумма длин всех закрашенных отрезков не превышает 0,5. Совет. Разделите отрезок на 10 равных частей и спроектируйте их на параллельную ему прямую. При этом две цветные точки не могут проектироваться в одну. 11. На плоскости дано 25 точек, при этом среди произвольных трех из них найдутся две на расстоянии меньше 1 м. Док£1жите, что суш;ест-вует круг радиуса 1 м, который содержит не менее 13 данных точек. Совет. Рассмотрите два круга с радиусами, равными 1 м, и центрами в данных точках, расстояние между которыми не меньше 1 м. Больше по этой теме можно узнать из литературы: 1. Генкин СЛ., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки, - Киров: «АСА», 1994. - 272 с. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. - М.: Наука, 1991. - Ч. 2. - 240 с. Сарана О Л. Математичн! ол1мп1ади: проста i складне поруч. - К.: «А.С.К.», 2004. -344 с. Федак I.B. Готуемося до ол1мп1ади з математики. - Кам’янець-Под1л.; Абетка, 2006. - 420 с. 2. 3. Люди, усвоившие великие принципы математики, имеют на один орган чувств больше, чем простые смертные. Ч. Дарвин ПРОВЕРЬ СЕБЯ. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ Недостаточно иметь хороший ум. Главное - уметь его использовать. Рене Декарт Эти задания, оформленные в виде тестов, дадут вам возможность быстро получить информацию о том, действительно ли вы усвоили программу по геометрии (для общеобразовательных учебных заведений) по определенной теме, и подготовиться к аттестационной работе. Правильность выполнения заданий вам поможет определить таблица ответов, приведенная в разделе «Ответы и советы». ПОВТОРЕНИЕ МАТЕРИАЛА ЗА 7 КЛАСС В заданиях 1-9 надо из предложенных ответов выбрать ОДИН, который, по вашему мнению, является правильным. 1. Укажите, сколько из приведенных ниже утверждений являются правильными. 1) Точкой, по определению, является круг очень маленького радиуса. 2) Аксиомы планиметрии - это математические утверждения, которые доказал Евклид. 3) Если два луча имеют общее начало, то они ограничивают развернутый угол. 4) Через две точки можно провести множество лучей, но только одну прямую. 5) Если два луча принадлежат одной прямой, то они ограничивают развернутый угол. А Б В Г д Четыре Три Два Один Другой ответ 2. Найдите среди приведенных утверждений теорему. A) Точка не имеет ни длины, ни ширины, ее форму невозможно определить. Б) Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки. B) Два треугольника равны, если их можно совместить наложением. Г) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Д) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести всего одну прямую, перпендикулярную к данной. 3. На прямой последовательно расположены точки: А, В, С и М. Расстояние между серединами отрезков АВ и ВС равно 5 см, а между серединами отрезков ВС и СМ - 6 см. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и СМ. А Б В Г д Невозможно определить 22 см 16 см 11 см Другой ответ 4. Прямой угол разделен на три части, градусные меры которых относятся как 2:3: 4. Найдите градусные меры этих частей. А Б В Г д 40°, 60°, 80° 10°, 15°, 20° 20°, 30°, 40° 18°, 27°, 55° 10°, 30°, 40° 5. На рисунке Т-1 изображены пересекающиеся прямые. Найдите сумму углов Z.1 + Z2. А Б В г д 15° 30° 60° 180° 300° 6. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в пять раз больше другого. Найдите градусные меры всех полученных углов. А Б В Г Д 30° и 150° 100° и 20° 30°, 30°, 150° 100°, 20°, 100°, 20° 30°, 150°, 30°, 150° 7. Прямые PQ и RS параллельны (рис. Т-2). Сумма каких углов равна 180“? Р lA Q А Б в Г Д 4/3 A5-bZ7 Z3 + Z6 Z1 -1Z5 Z1 +Z7 ZB-bZ2 8. Точка Р принадлежит данной прямой. Из ^/7 ^ нее, как из центра окружности, провели дугу, пересекающую указанную прямую в точке М. Рис. Т-2 Потом из точки М, как из центра окружности, провели дугу такого же радиуса до пересечения с первой дугой в точке Е. Найдите градусную меру угла РЕМ. А Б В г д 30° 45° 60° 75° 90° М 9. Треугольники АВС и MQP равны, ВС = PQ (рис. Т-3). Найдите угол QGC. А Б В г Д 20° 40° 60° 80° 100° В задании 10 сформируйте соответствующие пары из выражений левого и правого столбиков так, чтобы (вместе с условием) образовались правильные утверждения. 10. Точки Oj и Og - центры двух окружностей с радиусами = 7 см и Т?2 = 5 см соответственно. А) OjOg = 12 м 1) Тогда эти окружности пересекаются. Б) OjOg = 22 см 2) Тогда эти окружности касбпотся внешне. В) OjOg = 4 см 3) Тогда эти окружности касаются внутренне. Г) OjOg = 0 см 4) Тогда эти окружности не имеют общих точек, и одна расположена внутри другой. Д) OjOg = 2 см 5) Тогда соответствующие окружностям круги не имеют общих точек. Е) = 1 см 6) Тогда окружности - концентрические. к заданиям 11-16 запишите только ответ. 11. На рисунке Т-4 ZPOR = 110°, ZQOC= = 90°, ZPOC = 140°. Найдите угол QOR. 12. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ =АС) угол, внешний углу А, равен 60°. Найдите градусную меру наибольшего из углов треугольника АВС. 13. Укажите, как надо провести прямую, чтобы она разделила треугольник АВС (рис. Т-5) на два равных треугольника. 14. Угол при вершине А треугольника АВС равен 60°. Под каким углом пересекаются биссектрисы углов В и С данного треугольника? 15. В прямоугольник вписаны две равные окружности, длины радиусов которых по 5 см. Каждая из этих окружностей касается трех сторон прямоугольника и другой из данных окружностей. Найдите площадь прямоугольника. 16. Прямые AD и ВС пересекаются в точке М и касаются окружности в точках А и В (рис. Т-6). Известно, что AM = MD, ВМ = МС, хорду АВ видно из точки М под углом 20°. Найдите градусную меру угла MCD. К ГЛАВЕ I В заданиях 1-2 выберите правильные, по вашему мнению, утверждения. Их МОЖЕТ БЫТЬ НЕСКОЛЬКО. 1. Какие из утверждений являются истинными? A) Центральньш углом называется угол с вершиной внутри окружности. Б) Вписанным углом называется угол с вершиной на окружности. B) Полный угол - развернутый угол. Г) Центральным углом называется угол с верпшной в центре окружности. Д) Вписанным углом называется угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают эту окружность. 2. Какие из этих утверждений являются истинными? A) Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей вписанного угла. Б) Мера дуги окружности зависит от радиуса окружности. B) В одной окружности равные дуги стягиваются равными хордами. Г) В разных окружностях равные дуги стягиваются равными хордами. Д) Вписанный угол вдвое меньше соответствующего ему центрального угла. В заданиях 3-7 надо выбрать из предложенных ответов ОДИН, который, по вашему мнению, является правильным. 3. Можно ли тремя точками разделить окружность на дуги, градусные меры которых 156°, 104°, 101°? А Б В Г д Да Нет Не всегда При определенном значении радиуса окружности Другой ответ 4. Радиус окружности с центром О равен 5 см. Найдите длину хорды АВ, если ZAOB = 300°. А Б В Г д 5 см 10 см Невозможно определить Другой ответ 15 см 5. В окружность с радиусом Д = 10 см вписан угол АСВ равный 30° Найдите длину хорды АВ. А Б В Г д 2,5 см 5 см 10 см Невозможно определить Другой ответ 20° 6. Найдите по рисунку Т-7 градусную меру угла BAD (О - центр окружности). А Б В Г д 60° 40° 80° 70° Другой ответ 7. Найдите по рисунку Т-8 сумму градусных мер углов BOD и BMD (О - центр окружности). А Б В Г д 320° 180° 120° 90° 220° В заданиях 8-10 требуется записать только ответ. 8, Три точки А, В и С делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:5. Найдите наибольший угол треугольника АВС. 9. Через концы хорды окружности провели две касательные к этой окружности. Найдите угол между касательными, если хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна 60°. 10. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если его основание видно из центра описанной окружности под углом 60°? К ГЛАВЕ II В заданиях 1-2 выберите правильные, по вашему мнению, утверждения. Их МОЖЕТ БЫТЬ НЕСКОЛЬКО. 1. Какие из утверждений являются правильными? A) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны. Б) Вокруг произвольного параллелограмма можно описать окружность. B) У параллелограмма все углы могут быть острыми. Г) Существует параллелограмм, у которого всего один угол тупой. Д) Три угла параллелограмма могзгг быть равными. 2. Какие из этих утверждений являются истинными? A) Если у параллелограмма диагонали равны, то он - прямоугольник. Б) Прямоугольник, вписанный в окружность, - квадрат. B) Если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Г) Если у ромба диагонали пересекаются под прямым углом, то это квадрат. Д) Если в трапецию можно вписать окружность, то она равнобедренная. Е) Четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны, -параллелограмм. в задании 3 сформируйте соответствующие пары из выражений левого и правого столбиков так, чтобы образовались правильные утверждения, 3. Составьте правильные утверждения. А) В четырехугольнике противоположные стороны равны. 1) Тогда в него можно вписать окружность. Б) В четырехугольнике все стороны равны. 2) Тогда он является квадратом. В) У параллелограмма диагонали равны и являются биссектрисами его углов. 3) Тогда он является параллелограммом. Г) Суммы противоположных сторон четырехугольника равны. 4) Тогда вокруг него можно описать окружность. Д) Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°. 5) Тогда он является ромбом. В заданиях 4-18 надо выбрать из предложенных ответов ОДИН, который, по вашему мнению, является правильным. 4. Укажите, вокруг какого из четырехугольников можно описать окружность, если известно отношение градусных мер их внутренних углов, взятых последовательно (для каждого из четырехугольников). А Б В Г д 1 : 7 : 4 : 3 3:8:4:5 2: 7:4:1 3:4:5:4 1:5:4:3 5. Укажите, в какой из четырехугольников можно вписать окружность, если известно отношение длин их последовательных сторон (для каждого из четырехугольников). А Б В Г д 1: 5 : 4 :3 3 : 2 : 7 : 5 2 : 5 : 4 :1 1: 4 : 5 : 4 1 : 5 : 4 : 2 D 6. ABCD - трапеция (рис. Т-9). Известно, что есть трапеция КОМЕ, которая равна трапеции ABCD. Углы К и Е трапеции КОМЕ равны по 70°. Какое из следу-ющих утверждений является правильным? A) КО=ЛБ. Б) Угол О - прямой. B) Все стороны трапеций имеют одинаковую длину. Г) Периметр трапеции КОМЕ в три раза больше периметра трапеции ABCJ5. Д) Обе трапеции равнобедренные. 7. Диагонали трапеции АВСП (ВС || AD) пересекаются в точке О. Какое из следующих утверждений является правильным? Рис. Т-9 А В В Г Д BCОС с о ^АВС ^DBC О > с *^АВС ^DBC 8. Какое количество признаков ромба содержится среди приведенных ниже утверждений? 1) Параллелограмм, в который можно вписать окружность. 2) Четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны. 3) Четырехугольник, у которого все стороны равны. 4) Параллелограмм, у которого все высоты равны. 5) Четырехугольник, у которого диагонали являются биссектрисами его углов. 6) Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника. А Б В Г Д Пять Два Четыре Три Другой ответ 9. Биссектриса одного из углов параллелограмма пересекает его противоположную сторону под углом 30°. Найдите больший из углов параллелограмма. А Б В Г д 30° 120° 150° 90° Другой ответ 10. Один из углов ромба равен 140°. Какой угол образует со стороной ромба его диагональ, проведенная из вершины острого угла? А Б В Г Д 40° 70° 90° 10° 20° 70 м 11. Вокруг бассейна прямоугольной формы сделана дорожка для прогулок так, как показано на рисунке Т-10. Найдите площадь этой дорожки. Рис. Т-10 А Б В Г д 100 м" 161 м" Другой ответ 710 м' 1610 м' 12. Противоположные углы равнобедренной трапеции могут быть равны: А Б В Г Д 155° и 35° 60° и 30° 60° и 90° 160° и 30° 155°и 25° 13. Точки М, Р,НиТ- середины сторон трапеции. Определите вид четырехугольника МРНТ. А Б В Г д Параллелограмм Равнобедренная трапеция Ромб Прямоугольник Квадрат 14. Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на три равные части. Найдите отношение оснований этой трапеции. А Б В Г д 1: 3 2 : 3 1 : 1 1 : 2 Другой ответ 15. В равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого равны 4 см, вписан квадрат, который имеет общий угол с треугольником. Найдите периметр этого квадрата. Ж В —В— Г д 4 см 6 см 8 см 16 см Другой ответ 16. в равносторонний треугольник вписан ромб, который имеет общий угол с треугольником. Найдите периметр треугольника, если периметр ромба равен а. А Б В Г Д 2а 3 —а 3 —а а Другой ответ 2 4 17. Диагонали равнобокой трапеции пересекаются под прямым углом и равны по 12 см. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон трапеции. А Б В Г д 144 см^ 16 см^ 72 см^ Не возможно определить 36 см^ 18. Найдите площадь параллелограмма, вписанного в окружность радиуса 6 дм, если одна из вершин параллелограмма удалена от его диагонали на 3 дм. А Б В Г д 3,6 м^ 36 дм^ 18 дм^ 36 дм Другой ответ Рис. Т-11 В заданиях 19-25 требуется записать только ответ. 19. Найдите площадь описанного вокруг окружности четырехугольника, длины сторон которого равны 20 см, 10 см, 30 см и 40 см, а радиус вписанной окружности - 13 см. Ответ запишите в квадратных метрах. 20. Фигура на рисунке Т-11 состоит из пяти равных квадратов. Ее площадь равна 245 см^. Найдите периметр этой фигуры. 21. В квадрате провели диагонали и последовательно соединили середины его сторон. Площадь наименьшего из образованных треугольников равна 1 см^. Найдите стороны данного квадрата. 22. Точку О, в которой пересекаются диагонали ромба АВСП, соединили с точкой М - серединой стороны ВС. Площадь треугольника ВОМ равна 2 см^. Найдите площадь ромба. 23. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего из ее оснований, делит большее основание в отношении 2 : 3. Найдите отношение средней линии этой трапеции к ее большему основанию. 24. Найдите площадь описанной равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна 7 дм, а радиус вписанной в нее окружности - 5 дм. 25. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 5 м, а большая боковая сторона - 18 м. Найдите площадь трапеции. К ГЛАВЕ III Выберите правильные, по вашему мнению, утверждения. Их МОЖЕТ БЫТЬ НЕСКОЛЬКО. 1. Какие из следующих утверждений истинные? А) Параллельные прямые, пересекающие угол, отсекают на его сторонах равные отрезки. Б) Параллельные прямые, пересекающие угол, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. В) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Г) Прямая, пересекающая треугольник, отсекает от него треугольник, подобный данному. Д) Отношение всех соответственных линейных элементов подобных треугольников равно их коэффициенту подобия. В задании 2 сформируйте пары из выражений левого и правого столбиков так, чтобы образовались правильные утверждения. 2. Составьте правильные утверждения. А) Подобные треугольники - треугольники, у которых все углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. 1) Это свойство подобных треугольников. Б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. 2) Это признак подобия треугольников. В) Подобными являются два треугольника, у которых все стороны пропорциональны. Г) Подобными являются треугольники, у которых два угла равны. 3) Это определение подобия треугольников. Д) Подобными являются два треугольника, у которых две стороны пропорциональны, а углы, образованные этими сторонами, - равны. В заданиях 3-9 надо выбрать из предлагаемых ответов ОДИН, который, по вашему мнению, является правильным. 3. Сколько пар подобных треугольников среди изображенных на рисунке Т-12? Рис. Т-12 А Б В Г д Четыре Пять Три Восемь Другой ответ 4. Основания трапеции относятся как 2 : 5. В каком отношении делит диагонали трапеции точка их пересечения? А Б В Г д 1 : 5и2 : 5 2 : Зи 1 : 4 2:3и2:3 2 : 5и2 : 5 Другой ответ 5. Периметр треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника АВС равен 6 м. Найдите периметр треугольника АВС. А Б В Г д 24 м 12 м 3 м 6 м Другой ответ 6. Треугольники со сторонами а, Ь, с и Ъ, с, d подобны. Коэффициент подобия этих треугольников может быть равен: А Б В Г д 1,6 0,6 2 Любому числу Другой ответ 7. В треугольниках АВС и A^B^C■^ углы А и Aj равны, произведения АВ • AjBj и АС • AjCj равны. Подобны ли эти треугольники? А Б В Г д Не всегда Нет Да Невозможно определить Да, если АВ = АС 8. В прямоугольный треугольник АВС вписан квадрат KMNC со стороной 2 см (точка К принадлежит катету АС). Найдите произведение длин отрезков АК и NB. А Б В Г д Невозможно определить 16 4 8 Другой ответ 9. В окружности провели две хорды, которые пересекаются. Точка их пересечения делит одну из хорд на отрезки 2 м и 6 м, а вторую - в отношении 1:3. Найдите длину второй хорды. А Б В Г д 6 м 8 м 4 м Определить невозможно Другой ответ В заданиях 10-15 требуется записать только ответ. 10. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, удален от катетов этого треугольника на 3 см и 5 см. Найдите катеты треугольника. 11. В угол А вписаны две окружности с центрами Oj и О^. Точки касания окружностей одной из сторон угла обозначены как Mj и соответственно. Плош;ади треугольников АО^М^ и АОфЛ^ относятся как 1:4. Нгшдите отношение радиусов заданных окружностей. 12. Средняя линия трапеции больше меньшего из оснований этой трапеции на 2 дм. Найдите разницу оснований трапеций. 13. В равнобедренном треугольнике боковая сторона относится к основанию как 5 : 3. В каком отношении делит высоту треугольника, проведенную к его основанию, биссектриса угла при основании? 14. Основания трапеции равны 6 см и 15 см. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный его основаниям, делит боковые стороны этой трапеции в отношении 2:3. Найдите длину данного отрезка. 15. Длины оснований трапеции 2а и 8а. Середины каждого из оснований соединили с концами другого основания. Проведенные отрезки пересекаются в точках М я N. Найдите расстояние между этими точками. К ГЛАВЕ IV В задании 1 сформируйте из выражений правого и левого столбиков правильные равенства. 1. В треугольнике АВС против углов А, В, С расположены стороны а, Ь, с (ZC = 90°). Тогда A) sinA = 1) 6 : с. Б) cosA = 2)Ъ : а. B) tgA= 3)1. Г) ctgA = 4) а : с. Д) sin^A cos^A = 5) о : Ь. В задании 2 выберите правильные, по вашему мнению, утверждения. Их МОЖЕТ БЫТЬ НЕСКОЛЬКО. 2. Какие из следующих утверждений правильные? A) Косинус угла зависит только от градусной меры угла. Б) Синус угла зависит от размеров треугольника. B) Тангенс угла зависит от размещения треугольника на плоскости. Г) Синус угла не зависит от размеров треугольника и размещения его на плоскости. Д) Синус угла зависит только от градусной меры угла. 3. Заполните таблицу. a = 30° a = 45° a = 60° 1) sina 2)сова 3)tga 4) ctga 5) tga • ctga 6) sin^a -t- cos^a В заданиях 4-5 заполните пустые клетки таблицы так, чтобы образовались правильные утверждения. 4. При увеличении угла а от 0° до 90° значения тригонометрических функций изменяются так: 1) sina от до 2)сова от до 3) tga от до 4) ctga от до 5. Заполните пустые клетки таблицы. 1) Синус данного угла равен дополняющего угла 2) Косинус данного угла равен дополняющего угла 3) Тангенс данного угла равен дополняющего угла 4) Котангенс данного угла равен дополняющего угла 5) tg^a + 1 равно 6) ctg^a -Ь 1 равно В заданиях 6-10 требуется записать только ответ. 6. Найдите периметр прямоугольного треугольника по его гипотенузе с и острому углу а. 7. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а косинус при- лежащего к нему угла равен —. Найдите проекцию этого катета на гипотенузу. ^ 8. Катет прямоугольного треугольника равен 2 см, а синус противолежащего угла равен —. Найдите длину второго катета. 2 9. Проекции катетов прямоугольного треугольника на его гипотенузу равны 4 дм и 9 дм. Найдите катеты этого треугольника. 10. В прямоугольный треугольник с катетами 6 м и 8 м вписана окружность. Найдите расстояние от центра окружности до высоты треугольника, проведенной к его гипотенузе. СЛОВАРИК Аксиома - утверждение, принимаемое без доказательства (стр. 7, 8). Арбелос - фигура, похожая на скорняжный нож, изучению свойств которой много внимания уделял Архимед (стр. 213). Архимеда - леммы, - сформулированные Архимедом и известные под таким названием (стр. 36, 116,151, 212, 214); - теорема - теорема о свойстве вписанной ломаной из двух звеньев, которую открыл и доказал Архимед (стр. 213); - формулы - соотношения для отрезков в равнобедренном треугольнике, открытие которых приписывают Архимеду (стр. 215, 217). Астролябия - прибор, с помощью которого измеряют углы на местности (стр. 180). Базовый треугольник - треугольник, который умеем строить по заданным элементам из множества сторон и углов треугольника (перечень базовых треугольников - перечень опорных задач на построение треугольника) (стр. 253). Вариньйона параллелограмм - параллелограмм, который образуется при последовательном соединении середин сторон произвольного выпуклого четырехугольника (стр. 82). Вектор - направленный отрезок (стр. 185); - коллинеарные — векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых; подразделяются на противоположно направленные и одинаково направленные (стр. 186); - модуль вектора АВ - длина отрезка АВ (стр. 186); - нулевой вектор - вектор, начало и конец которого совпадают, его длина равна нулю (стр. 186); - противоположные векторы - векторы, длины которых равны, а направления противоположны (стр. 187); - равные векторы - одинаково направленные векторы равной длины (стр. 187); -разложение вектора по двум некол-линеарным векторам (базисным) -представление данного вектора в виде суммы двух векторов коллинеарных базисным (стр. 193); - разность двух векторов - сумма первого вектора и вектора, противоположного второму (стр. 191); - сумма двух векторов - вектор, образованный из этих векторов по правилу треугольника или параллелограмма (стр. 190); - умножение вектора на число -правило образования вектора, кол-линеарного данному (стр. 189). Вневписанная окружность - окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон (стр. 230, 255, 257). Геометрическое место точек (ГМТ) - совокупность (множество) всех точек, удовлетворяющих определенному условию (стр. 11). J Градус - мера угла, составляющая —— 360 часть развернутого угла (7 класс). Градусная мера дуги окружности - градусная мера соответствующего центрального угла (стр. 17). Градусная мера угла - мера угла, измеренного в градусах, минутах, секундах (7 класс). Граф - графическое моделирование задачи (стр. 186); - вершины графа — точки, обозначающие определенные объекты (стр. 186); - ребра графа - отрезки, соединяющие вершины графа (стр. 186). Диагонали многоугольника - отрезки, соединяющие две его несоседние вершины (стр. 41). Дирихле принцип - принцип, по которому при размещении п + 1 кроликов по п клеткам хотя бы в одной клетке находится не меньше двух кроликов (стр. 233). Доказательство - логическое размышление, определяющее истинность определенного утверждения (стр. 8). Доказательство от противного - способ доказательства, при котором делается предположение, противоположное тому, которое нужно доказать, и опираясь на него приходят к логическому противоречию (стр. 10). Достаточное условие - признак определенного множества фигур (стр. 11). Дуга окружности - часть окружности, ограниченная двумя точками этой окружности (стр. 17). Евклида теорема - теорема о соотношении площадей подобных фигур, построенных на сторонах прямоугольного треугольника (стр. 211). Египетский треугольник - прямоугольный треугольник, длины сторон которого относятся как 3:4:5 (стр. 141). Жерговна теорема - теорема о соотношении между длинами отрезков че-виан, на которые они делятся общей точкой своего пересечения внутри треугольника (стр. 222). Замечательные точки треугольника - его ортоцентр, центроид, инцентр и центр описанной вокруг этого треугольника окружности (стр. 255). Инцентр треугольника - точка пересечения его биссектрис (стр. 255, 257). Касательная к окружности - прямая, имеющая одну общую точку с окружностью (7 класс). Касающиеся окружности - окружности, имеющие одну общую точку (возможно внутреннее и внешнее касание) (7 класс). Контрпример - пример того, что определенное утверждение не выполняется (стр. 11). Концентрические окружности - окружности, имеющие общий центр и разные радиусы (7 класс). Лагранжа формула - формула для квадрата длины биссектрисы треугольника (стр. 147). Лемма - вспомогательная теорема (стр. 35, 212). Логический шаг - умозаключение, состоящее из утверждения-условия и утверждения-вывода, между которыми можно вставить «тогда» (стр. 8). Менелая теорема - теорема о свойствах точек пересечения прямой с двумя сторонами треугольника и продолжением третьей (стр. 218). Мера дуги окружности - мера центрального угла, опирающегося на эту дугу (стр. 17). Метод - вспомогательной окружности использование при решении задачи дополнительного построения окружности (стр. 37); - площадей - использование площади некоторой фигуры как вспомогательного элемента (стр. 74); - подобия - использование подобия треугольников, образованных дополнительными построениями (стр. 145). Минута - мера угла, составляющая 1 /60 часть градуса (7 класс). Многоугольник(и) - часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, которая не пересекает сама себя (стр. 41); - вписанный - все вершины принадлежат окружности (стр. 42, 44); - выпуклый - ни одна из его сторон при неограниченном продолжении не пересекает этот многоугольник (стр. 42); - правильный - у которого все стороны и все углы равны (стр. 42); ' - одноименные - с одинаковым числом вершин (стр. 42); - описанный - все стороны касаются окружности (стр. 42, 44). Наклонная, проведенная из данной точки к данной прямой, - отрезок, соединяющий данную точку вне прямой с точкой на прямой и не перпендикулярный к ней (стр. 224). Наполеона треугольники - конфигурация из трех правильных треугольников, построенных на сторонах некоторого треугольника (стр. 206). Обратная теорема - теорема, в которой условием является вывод, а выводом -условие заданной (прямой) теоремы (стр. 8). Окружности Торричелли - окружности, описанные вокруг треугольников Наполеона (стр. 206). Окружность - вписанная в многоугольник - касается всех сторон многоугольника (стр. 62); - описанная вокруг многоугольника -проходящая через все его вершины (стр. 61). Определение - утверждение, в котором разъясняется, какие именно объекты или свойства относят к данному названию (стр. 8). Ортоцентр треугольника - точка пересечения его высот (стр. 255). Ортоцентрический треугольник - треугольник, вершинами которого являются основания высот заданного треугольника (стр. 200). Основная теорема подобия треугольников - теорема о треугольниках, отсекаемых от угла параллельными прямыми (стр. 117). Паппа теорема - теорема о свойствах двух троек точек на двух пересекающихся прямых (стр. 219). Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны (стр. 57); - высота параллелограмма - расстояние между его параллельными сторонами (стр. 67). Педальный треугольник - треугольник с вершинами в основаниях перпендикуляров, проведенных из внутренней точки остроугольного треугольника к его сторонам (стр. 201). Пифагора теорема - теорема о сумме квадратов катетов прямоугольного треугольника (стр. 140). Пифагоровы треугольники - прямоугольные целочисленные треугольники (стр. 204). Площадь - число, ставящееся в соответствие фигуре и имеющее определенные свойства (стр. 47). Правила работы с приближенными числами - правила арифметических действий с приближенными числами (стр. 177). Пропорциональный (делительный) циркуль - прибор, с помощью которого можно разделить отрезок на несколько равных отрезков (стр. 137). Признак - теорема, утверждающая, что выполнение определенных условий обеспечивает принадлежность фигуры (фигур) определенному ранее множеству (стр. 9). Проекция наклонной на прямую - отрезок заданной прямой, ограниченный основанием наклонной и проекцией другого конца наклонной на прямую (7 класс). Пропорция - равенство двух отношений (стр. 109). Подобные треугольники - треугольники с равными углами и соответственно прю-порциональными сторюнами (стр. 116); - коэффициент подобия - отношение соответственных сторон или других соответственных линейных элементов подобных треугольников (стр. 116); - соответственные вершины подобных треугольников - вершины их равных углов (стр. 116); - соответственные углы подобных треугольников - их равные углы (стр. 116); - соответственные стороны подобных треугольников - их сторюны, лежащие против равных углов (стр. 116). Поперечный масштаб - определенный способ измерения расстояния между точками с помощью карты или плана (стр. 138). Птолемея теорема - теорема о сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника (стр. 148). Равновеликие фигуры - фигуры, имеющие равные площади (стр. 47). Равносоставленные многоугольники - два многоугольника, один из которых сложен из всех частей другого, полученных его разрезанием (стр. 49). Разностный треугольник - треугольник, длины сторон которого образуют арифметическую прогрессию (стр. 203). Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны (стр. 57). Свойство - теорема, утверждающая, что принадлежность фигуры (фигур) определенному ранее множеству обеспечивает выполнение определенных условий (соотношений) (стр. 9). Сегмент - часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, стягивающей эту дугу (стр. 33). Секунда - мера угла, составляющая 1/60 часть минуты (7 класс). Сектор - часть центрального угла, ограниченная соответствующей ему дугой окружности (стр. 17). Серединный треугольник - треугольник с вершинами в серединах сторон заданного треугольника (стр. 202). Симпсона прямая - прямая, проходящая через проекции произвольной точки окружности, описанной вокруг треугольника, на прямые, содержащие его стороны (стр. 220). Следствие - утверждение, являющееся непосредственным выводом из теоремы или аксиомы (стр. 8). Софизм - умышленно ошибочное умозаключение (стр. 23, 28, 124). Среднее гармоническое чисел а и Ь - (стр. 207, 209, 210). а Ъ Среднее геометрическое (среднее про-порциональное) чисел а и Ь - 'Jab (стр. 139, 142, 207, 209, 210). Среднее квадратическое чисел а нЬ- „2 , 1,2 и +0 V (стр. 208-210). Средняя линия треугольника - отрезок, соединяющий середины двух его сторон (стр. 82). Теорема - известное математическое утверждение, справедливость которого доказана определенным логи- ческим умозаключением (доказательством) (стр. 8). Трапеция - четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - не параллельны (стр. 57); - боковые стороны трапеции - ее непараллельные стороны (стр. 97); - высота трапеции - расстояние между ее основаниями (стр. 97); - основания трапеции - ее параллельные стороны (стр. 97); - равнобокая трапеция - трапеция, боковые стороны которой равны (стр. 97); - средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (стр. 97). Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе (стр. 162); - котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему катету (стр. 162); - синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе (стр. 162); - тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему катету (стр. 162). Угол - вписанный в окружность - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (стр. 21); - дополняющие углы - два угла, сумма градусных мер которых равна 90° (стр. 168); - многоугольника внешний - угол, смежный его внутреннему углу (стр. 42); - многоугольника (внутренний) - угол, образованный смежными сторонами многоугольника, который содержит данный многоугольник (стр. 42); - полный - угол, градусная мера которого равна 360° (стр. 14); - центральный - угол с вершиной в центре окружности (стр. 17). Утверждение - высказывание, которое является или истинным, или ложным (стр. 6). Фалеса теорема - теорема об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми в случае, когда на одной его стороне образовались равные отрезки (стр. 80). Фалеса обобщенная теорема - теорема о пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла (стр. 110). Центроид (центр тяжести) треугольника - точка пересечения его медиан (стр. 91, 255). Целочисленный треугольник - длины сторон которого - натургшьные числа (стр. 204). Чевы теорема - теорема об условии пересечения трех чевиан треугольника в одной точке (стр. 221). Чевиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на его противолежащей стороне (стр. 221). Четвертый пропорциональный отрезок для трех заданных отрезков а, 6 и с - отрезок JC, для которого а : о = с : х (стр. 112). Эйлера - окружность (или окружность Фейербаха, или окружность 9-ти точек) - окружность, проходящая через основания высот треугольника, медиан треугольника и его точки Эйлера (стр. 196); - точки - середины отрезков высот треугольника, ограниченных его вершинами и ортоцентром (стр. 195); - прямая - прямая, проходящая через ортоцентр треугольника и центр окружности, описанной вокруг этого треугольника (стр. 195); - формула - формула для определения расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника через радиусы этих окружностей (стр. 216). Опорные задачи на построение (8 класс) ГМТ, из которых данный отрезок а виден под заданным уголом а -сегмент, вмещающий заданный угол базовый Деление заданного отрезка АВ на заданное количество равных частей (3) - параллельные ZAvik-произвольные Построение четвертого пропорционального отрезка а, Ь, с х = с Ъ лак ZA- произвольный © а,Ъ-^х = 4а^ ->гЬ^ .... . • а,Ь-> х = уа^ - \ 1 а, Ь ^ X = ^аЬ 1 1 ■ • а-> х = aV2 а, Ь ААВС ^ (ZC=90”, СВ^а, АС=Ь) X а, Ь ZABC %1)а,Ъ (Е=Ч^) 1 1 : / X ■ / "•■ 1 :W) о } 1 1 : (3) 1 1 ■ 1 < 1 ААВС (ZC=90", АС=СВ=а) 0 Af By Cl —V X 1 1 ■ А, В, d —> X 1 ■ • [АВ], М^Х, АХ + ХВ- 1 • \AX-XB\- 1 i для которых наименыиая дЛяХеа 1 ■ наибольшая для Хеа 1 1 АХ‘-ХВ^=ААР-МВ‘ М А 10) ГМТ / -Hi. в Замечательные точки треугольника ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МЕДИАН ВМ ЦЕНТРОИД-центр тяжести ААВС Ф — единичные массы Вм ~ центр тяжести [АС] М - центр тяжести [ВВд^] ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СЕРЕДИННЫХ В ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ- центр описанной окружности равноудалена от вершин треугольника ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ ШЯШШ А N Bfj ОРТОЦЕНТР-центр 'ч j описанной окружности ч , вокруг лAiBjCi ' ч ^ ААЦАС ВАН-ВС ^BAi=AC =CiS AAllAB BBfj-серединный перпендикуляр к [CjAi] АВАуС- гшраллелограмм АСуВС- параллелограмм ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БИССЕКТРИС- ■ „ I центр вписанной окружности ИНЦЕНТР -равноудалена от сторон треугольника S АС/В= 180°-^-^ = 180°- I Z Z 2 I 1 г.ло 180 —ZA . ZA , = 180 ---------=90 +-у- Ч. т. д. ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БИССЕКТРИСЫ ВНУТРЕННЕГО УГЛА С БИССЕКТРИСАМИ ВНЕШНИХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА I центр вневписанной окружности (см. стр. 230, 254) ОлС — Ivnjr а ^ КСК, ^ ^ UaB = iKBKy Д OoA = ljy 1равноудалены от стороны ВС прямых АВ,АС Опорные задачи трапеции ас ABCD-трапеция Ц EFlAD \ ABCD ~ трапеция мЩап I MO^-ON „„ т^Ш W4-B -да ^KiKK2^90r (см. стр. 38) 11 ■ (см. стр. 154) ABCD- трапеция, АК=КВ KMLCD li S-^KM ф d(K;KiK2) = KD = KDWOiKiWOzKzu 0]КуК202-трапеция',\ i i OiKi = rj, O2K2 = Г2; J OiK = ri К02=Г2 ;Sj^c+^^= t S =Ф SxcD — ^SuS = 2Sxcd Г1Г2+Г2 Г1 2Г1Г2 ; П + '-г Г1 + Г2 ; .....©T©”' ABCD - описанная трапеция j Ji ABCD - трапеция BN = NC AM^MD • К лкт-^шмв АР BN = NCPD BN m nc^’ap ^,NiChM)mn (cm. стр. 152-153) : 1) ZAOB COD = 90°; OKI AB. OMICD; | ;2)ДАОВиДС01): KB AK = r^ = CM MD ОТВЕТЫ И СОВЕТЫ ГЛАВА I Задание 1 2.90”. 3. а) ZAOC; б) ZBOA; в) 360°. 4. а) 290°; б) 240°. 5.141°. 6.180°, 180°, 360°. 8. а) 100°, 120°, 140°; б) 60°, 180°, 120°; в) 30°, 120°, 210°. 9. а) На 360°; б) на 120°; в) на 75°. 10. а) 22,5°; б) 36°; в) 111°. 12. Совет. Используйте то, что а) 135° = 180° - 45° или 135° = 90° + 45°; б) 285° = 270“+ 15° = 180° + 90° + 30°: 2. Задание 2 2. а) 225°; б) 189°. 6. а) На 4°; б) на 120°. 9. а) Нет; б) да; в) нет. 13. а) 32 см; б) 16 см; в) 16 см. 14. 45°, 45°, 90°. 15. 60°, 60°, 60°. 18. 90° и 270°. 19.100° и 260°. 20.60°, 120° и 180°. 21.24 см. 22. 7 см. 23. 60°, 60°, 120° и 120°. 24. Нет. 60°, 150°, 150°. 25. 40°, 60° и 80° или 20°, 80° и 80°. 26. 18°, 54° и 108° или 22,5°, 45° и 112,5°. 27. 40°, 60°, 120° и 140°. 28. 20°. 29. 46°, 314°. Задание 3 2. а) 55°; б) 110°; в) 90°; г) 96°. 3. а) 24°; б) 71,5°; в) 90°; г) 161°; д) 0,5р. 4. а) 26°; б) 180°; в) 256°; г) 174°; д) 2а. 5. а) 12°; б) 28,5°; в) 45°; г) 63°; д) 90°. 6.29°30', 29°30' и 121°. 7. а) 130°; б) 116,5°. 8. а) 114°; б) 124°; 236°. 9. 60° или 120°. 10. а) 55°, 60° и 65°; б) 20°, 55° и 105°. 11. Нет. 12. а) 105°; б) 120°; в) 80°; г) 34°. 13. а) 105° и 75°. 14.104°, 108° и 148°. 15.24°, 72° и 84°. 16.130°. 17.40°. 18. 45°. 19. 93°. 20. 180° и 90°. 21. 60° или 140°. 22. 35°. 23. 110°. 24. 130°. 25. 36° или 101°. 26. 50° и 40°. 27. а) 122°; б) 58°. 28. 35° и 55°. 31. 360°. 32.360°. 33.180". 34. 40°, 40°, 100°. 36. а) 50°; б) 50°. 38. Совет. Рассмотрите углы треугольника MBN и возможные размещения точек М, N и А. 40. По теореме о мере вписанных углов: ZPEB + ZBCD = ZPAD и ZAEB + ZACB = = ZAPB + ZADB. Откуда: ZPEC + ZECD = ZPEB + ZAEB + ZACB + ZBCD = = ZPAD + ZAPD + ZADP = 180". Задан'ие 4 1. а) 45°; б) 120°; в) 55°. 2. 30°. 3.108°. 4.158°. 5. 20°. 6.120°. 7. 30°. 8. 50°. 10.18°. 11.45°. 12.а)120°и240°;б)180°-у и 180° + у. 17.Совет. Докажите, что ZOAB = ZOBA= ZOBC. 18. Совет. Докажите, что PN - медиана прямоугольного треугольника АРМ. Задание 5 3. Постройте окружность с диаметром АВ. Точками пересечения окружности со сторонами АС и ВС будут точки Aj и В^ (почему?). Углы В^АВ и BjAiH опираются на одну хорду, тогда их сумма равна 180° и ZBiA^C ~ ZB^AB. Аналогично докажите, что ZA^Bfi = ZABC. 4. Совет. Используйте такое же дополнительное построение, что и в предыдущей задаче; вспомните свойства серединного перпендикуляра к хорде. 5. С инцентра треугольника его сторону видно под углом на 90° больше половины угла треугольника, противолежащего этой стороне (почему?). Поэтому искомым ГМТ будет дуга окружности, которая стягивается хордой АВ. 9. Пусть надо построить треугольник по двум углам, а и р и медиане т. Постройте отрезок АР = 2т, середину его обозначьте как К. Постройте ГМТ, из которых отрезок AjK" видно под углом р, а КР - под углом а (в одной полуплоскости относительно АР). Точку пересечения этих ГМТ обозначьте как В. Отрезок ВК надо продолжить на КС — ВК. Треугольник АВС -искомый. Докажите это. 10. Совет. См. задачу 5. 11. Окружность, концентрическая данной с радиусом вдвое большим заданной. Докажите это. 12. Проведите в данной окружности радиус ОА и касательную к окружности АК заданной длины. Искомое ГМТ - окружность, радиусом равным ОК. Докажите это. концентрическая заданной, с Задание 6 1. Совет. Опишите вокруг треугольника АВС окружность и продлите биссектрису АК к пересечению с окружностью в точке Wj^. 4. в) По неравенству треугольника (рис. 1): AI + 1C > АС; CI + IB > ВС; AI + IB > АВ. Учитывая, что: Wgl = W^A = WgC; WjJ = W^B = W^C и WqI = W(A = WcB, получим: 2IWc = AWc + BWc > AB; 2IW^ = BWj, + CW^, > BC; 2IWg CWg -H AWg > AC. Если сложить все неравенства, получим: 2AI + 2/W^ + 2BI + 2IWg + -t- 2CI + 2IWc > 2P, T. e. -b BWg + CWc > P. 5. Используйте совет к задаче 1. 7. Совет. Сначала постройте точку (пересечение биссектрисы угла А с описанной окружностью), а потом постройте диаметр описанной окружности, проходящий через точку W^. 8. Используйте совет к задаче 7. Задания для повторения главы I 13. а) 72“ и 288"; б) 36" и 144". 14. а) 120"; б) 120". 15. а) 30", 60" и 90"; б) 120" и 60". 16. а) 110"; б) 80"; в) 59"; г) 35"; д) 130". 17. 10", 10", 160" или 20", 80", 80”. 18. а) 36", 72" и 72"; б) 120"; в) 36"; г) 90". 20. а)Совет. Рассмотрите углы АВС и ABD. Готовимся к тематической аттестации № 1 Вариант 1.1. а) 75" и 285"; б) 75"; в) 37,5" и 142,5"; г) 37,5"; 37,5" и 105". 2. 56", 56" и 68". 3. Рассмотрите возможные расположения точек С и Z) на окружности относительно хорды АВ и вспомните свойство вписанных углов, опирающихся на равные дуги. Вариант II. 1. а) 144" и 216"; б) 144"; в) 72" и 108"; г) 72"; 72" и 36". 2. Рассмотрите возможные расположения точек С и П на дуге АВ и вспомните свойство вписанных углов, опирающихся на равные дуги. 3. Рассмотрите возможные расположения точки М окружности относительно хорды CD и вспомните: свойство диаметра, перпендикулярного хорде; свойство биссектрисы смежных углов. ГЛАВА II Задание 7 1. а) 1260". 2. а) 11. 3. а) 8. 7. а) 3; б) 4. 9. а) Да; б) да. 10. 150", 60", 150", 90", 90". 12. а) 11; б) 6; в) 6; 5; 4; 3; г) 6.14. Совет. Запищите пять неравенств для треугольников АВР, ВТС, ... (рис. 2) и сложите их. 15. Совет. Воспользуйтесь тем, что в произвольном треугольнике со сторонами а, Ь, с и углами А, В, С (соответственно), неравенства a MN (почему?). Затем сравните и отрезки, соединя- ющие с вершинами многоугольника, являющимися концами стороны, которой принадлежит М^. 17. а) Продлите ВС и DE до пересечения в точке К (рис. 3). ZBKE^ 60", ZKBE ZBEK = 120", тогда ZCBE = ZBEF, (учитывая, что все углы шестиугольника ABCDBP по 120"); б) Совет. Продлите ВС, DE, AF до пересечения в точках К, М, N. Треугольник KMN - равносторонний. Рис. 2 N Рис. 3 Задание 8 5. Совет. Проведите медиану гипотенузы. 8. Совет. Проведите перпендикуляр ЕР к стороне ВС. 9. Квадрат площади —. 5 Задание 9 6.15 см и 4 см. 7.100 см^. 8. 396 см. 9. 56,25 см^. 11. 432 см^ или 864 см^. 12. 48 см. 15.140 см^. 16. а) 4г^; б) —. 17.125 с половинками или 130 целых. 18. Площадь квадрата на 900 м^ больше. 19. 31 778,8 м^. 20.125 см^. 21.248 см^. 22.1760 см^ 23. 16 м^ 24.2 см^ 25. а) 5 : 3; б) 5 : 3. 26. (о^ + Ь^) см^ Задание 10 4. а) 1,8 см, 1,5 см, 1,4 см, 1,3 см; б) 15 см, 7 см, 23 см, 21 см. 8. а) 3; б) 3; в) 4. 10. а) (60"; 180"); б) (0"; 90"). 11. 90". 13. а) 60", 60", 120", 120"; б) 30", 60", 120", 150". 14. а) 70", 105", 135", 50"; б) 90", 126", 63", 81". 15. 60", 100", 60". 16. а) 83"; б) 165"; в) 92". 21. Совет, а) Отрезок, соединяющий две точки на противоположных сторонах четырехугольника, - общая сторона четырехугольников, на которые он разбивает заданный четырехугольник. Запишите неравенства для сторон образованных четырехугольников и сделайте вывод, б) Диагональ четырехугольника - общая сторона двух треугольников, на которые она разбивает четырехугольник. Запишите неравенства для сторон обоих треугольников и сделайте вывод. 22. Совет. Рассмотрите два треугольника, на которые четырехугольник делится диагональю, найдите их площадь. 23. Совет, а) Используйте утверждение задачи 21 а); б) рассмотрите два треугольника, стороны которых принадлежат диагоналям и двум противолежащим сторонам; в) воспользуйтесь утверждениями задач 21 б) и 23 б). 24. Пусть точка М - точка пересечения диагоналей АС и BD. В треугольниках АМВиАМО сторонаАМ - общая, DM = МВ иАВ >AD. Тогда ZAMB > ZAMD и ZCMD > ZBMC. ОтсюдаВС < DC. 25. Совет. Постройте окружность на диагонали, которая проходит через в вершины острых углов, как на диаметре. Задание 11 2. а) Да; б) нет; в) нет. 3. а) Да; б) да. 5. Да. 9. 12 см, 24 см, 36 см и 24 см. 10..а) Да; б) нет; в) нет. 11. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 12.6,5 см^. 13. а) 10 см^; б)52см2. 17.Совет. Докажите, что v^£B-Ь wBP = wPZ)-1-wjD£. 18. Совет. Используйте утверждения задачи 17. 21. Совет, а) Вспомните свойство медианы прямоугольного треугольника; б) используйте утверждения задачи 21 а). 22. Совет, а) Через вершину С проведите прямую, параллельную BD, точку ее пересечения с окружностью обозначьте Е. Докажите, что BE = CD, и рассмотрите треугольник АВЕ. Wi, Задание 12 З.а) 84", 96", 84", 96"; б) 62,5", 117,5", 62,5", 117,5"; в) 71", 109", 71", 109"; г) 60", 120", 60", 120". 4. а) 45", 135", 45", 135"; б) 65", 125", 65", 125"; в) 70", 110", 70", 110"; г) 72", 108", 72", 108"; д) 30", 150", 30", 150". 5. а) Нет; б) нет; в) нет. 7. а) 72", 108", 72", 108"; б) 53", 127", 53", 127"; в) а + Р, 180" - а - р, а + р, 180" - а - р. 8. а) 20"; б) 65". 9. а) 100", 80", 100", 80"; б) 60", 120", 60", 120". 10. а) 50", 130", 50", 130"; б) 40", 140", 40", 140". И. Нет. 12. Нет. 13. а) 6 см; б) 4,5 см, 7,5 см; в) 4 см, 8 см; г) 3 см, 9 см, 3 см, 9 см. 14. а) 10 см, 14 см, 10 см, 14 см; б) 8,5 см, 15,5 см, 8,5 см, 15,5 см; в) 8 см, 16 см, 8 см, 16 см. 15. а) 16 см; б) 20 см; в) 18 см. 16.20 см. 18. 28 см или 32 см. 19. а) 96 см^; б) 4 см; в) 5,4 см. 20.132 см2. 21.40 см2. 22.48 см2. 23.42 см. 24. Стороны - 14 см и 10 см; высота - 5,6 см. 25. 10 см и 14 см. 26. а) 5 см; б) 34 см; в) 5 см. 27. а) 8 см и 2 см; б) 6 см; в) 12 см. 32. 40" и 140" или 80" и 100". 33. а) 40" и 140"; б) 60" и 120". 34.51" и 129" или 15" и 165". 44.Совет. Постройте две прямые, каждая из которых параллельна двум параллельным сторонам параллелограмма и равноудалена от них. Точка пересечения этих прямых и есть точкой пересечения диагоналей. Докажите это. Задание 13 1. а) 4 см; б) х = а. 2.4 см, 4 см, 8 см, 12 см. 7.8 см. 8. 2 см, 3 см и 1.5 см. 9. а) Равнобедренный; б) равносторонний; в) прямоугольный. 10.2:1. 12.30 см. 13.12 м. 16. Совет. Используйте свойство медианы гипотенузы в прямо\толь-ном треугольнике. 17. а) 15 см; б) 9 см. 20. Прямая, параллельная заданной прямой и равноудаленная от заданной точки и прямой. 21.3 см. 22. а) и б). С о-вет. Построение следует из свойства медиан треугольника; в). Совет. Постройте окружность, диаметром AM которой есть медиана. Постройте хше хорды МК и MN, которые равны половинам высот, так, чтобы К и N принадлежали разным полуокружностям. Продлите хорду КМ на отрезок НМ = Л Через точку Н проведите прямую, перпендикулярную КН, до nep)ece4rEjt i ■ прямой AiV в точке С. Точку пересечения СМ с АК обозначьте как В. Д калите, что треугольник ASC - искомый; д). Совет. См. задачу 20. 25. Совет Дт* доказательства используйте теорему о средней линии треугольника. Задание 14 2. а) 70", 70" и 20"; б) 45". 135" и 45"; в) 10", 80" и 20". 3.50". 4.124". - а т4‘ б) 36". 7.45". 8. а) 4 см; б) 52 см. 9. а) 16 см; б) 8 см. 10.6 см, 12 см, 6 см г 1 _ и- 11. а) 10 см, 14 см, 10 см и 14 см: б) 6 см. 18 см, 6 см и 18 см; г) 10 см, 14 с ч ' ■ и 14 см. 12. а) 52 см; б) 24 см. Cl. 6 см и 16 см. 15. 8 см и 18 см. 16. Не . • 23.9см. 24. 15 см. 25. 30" и 60". Подсказка на рис. 4. 26. 45". Пот ; - ^ - л на рис. 5. 27. 75". Подказка на рис. 6. 32. а) 80", 100", 80", 100"; б) 60‘ . 60", 120";в)70", 110". 70", 110". :34.а)22,5"и67,5";б)30"и60". З5.а)' .. 70", 110"; б) 80", 100", 80". 100*. ,36. а) 80", 100", 80", 100"; б) 60", 120". ' : Д ' 37. а) 8 см; б) 20 см. 39. а) 8 см-: б) 60 см^. 41. а) 50 см^; б) 200 см^. 4- щ 49. 40 см и 30 см. 53. Совет. Исдачьзч'нте, что диагональ ромба - бг.т ^ са треугольника. 62. 2а. &1. 10 см. 65. 4 см и 6 см. В К Рас. о Задание 15 1. 112” и 106”. 2. а) 57”, 123”, 123”; б) 123”, 90”, 90”. 3. а) 60”, 120”, 45”, 135”; б) 120”, 60”, 45”, 135”. 4. 54”, 54”, 126”, 126”. 5. а) Не существует; б) существует. 6. а) Не могут; б) могут. 7. а) 68”, 112”, 118”, 72”; б) 90”, 90”, 135”, 45”; в) 120”, 60”, 60”, 120”. 8. 60”, 120”, 120”, 60”. 9. 30”, 150”, 150”, 30”. 10. 90”. 11. 3 см. 12.8 см. 13. Трапеция, а) 23 см; б) 36 см. Совет. Учтите что или KL, или MN - средняя линия треугольника. 14. а) 4 см; б) 15 см. 15. а) 8 см; б) 2 см; в) 4 см. 16. а) 5 см и 15 см; б) 6 см и 10 см. 17. 2 см, 3 см и 2 см. 18. 4см и 10 см. 19. а) 1: 2; б) 2 ; 3. 20. а) 3,5 см, 5 см, 6,5 см; б) 4 см и 6 см. 21.132 см. 22. а) 28 см; б) 7 см. 23. 24 м, 6 м и 6 м. 24. 2 см. 25. 10 см и 34 см. 26. 7 см. 27. а) 96 см^; б) 192 см^. 29. а) 15 см^; б) 25 см^. 30. 2 см, 8 см, 3 см. 35. Совет. Проведите через середину меньшего основания две прямые, параллельные боковым сторонам, и рассмотрите треугольник, ограниченный этими прямыми и большим основанием. 33. Пусть ВС и AD - основания трапеции, диагонали АС и BD, которой перпендикулярны между собой, середины оснований - точки К и М. По опорной задаче 6 (стр. 101) отрезок КМ равен средней линии трапеции. Тогда КМ - высота трапеции (докажите это). Тогда по опорной задаче 5 (стр. 100) трапеция -равнобокая. 34. Подсказка на рис. 7. 35. Совет. Воспользуйтесь утверждением предыдущей задачи и учтите, что трапеция описанная. 36. Пусть сторона АВ = ВС +AD. Продлите биссектрису угла А до пересечения с прямой ВС в точке Е. Пусть О - точка пересечения А£ и CD. Треугольники ECO VI ADO - равны (докажите это). Треугольник ЕВА равнобедренный, тогда его медиана основания - биссектриса. Попробуйте провести доказательство другим способом, проведите для этого среднюю линию трапеции. Задания для повторения главы II 13. Да. 14. Нет. 16. 40”. 17. Нет. 18. а) Нет; б) да. 19. а) Нет; б) 7. 24. а) 27”, 153”, 27”, 153”; б) 72”, 108”, 72”, 108”. 25. 40”, 140”, 40”, 140”. 26. 74”, 106”, 74”, 106”. 27. а) 5 см, 9 см, 5 см, 9 см; б) 4 см, 10 см, 4 см, 10 см; в) 5,6 см, 8,4 см, 5,6 см, 8,4 см. 29. 24 см. 30. а) 5 см; б) 88 см^ или 33 см^; в) квадрат с диагональю 3 см. 31. 10,5 см, 13,5 см, 10,5 см, 13,5 см. 32. а) 106”, 106”; б) 60”, 135”. 33. а) 100”, 90”, 90”, 80"; б) 45”, 45”, 135”, 135”. 34.135”. 35.120” и 60”. 36. 60", 60”, 120”, 120”. 37.8 см. 38.4 см. 39.28 см. 40.17 см, 19 см, 21 см. 41. 3 см, 6 см и 18 см. Готовимся к тематической аттестации № 2 Вариант I. 1. 57”, 123”, 57”, 123”. 2. 12 см^. 120” и 60”. Вариант II. 1.158” и 64”. 2. 49 см^. 3. 16 см. 4. 24 см' 3. 27 см. 4. 10 см2. . 5. 90”, 90”, 5. 20 см. ГЛАВА III Задание 16 3. 1 : 3 и 2 : 3. 5. см. 6. а) 3 : 4; б) 3 : 7; в) 7 : 4. 7. 3 см. 8. а) 5 : 4 : 7; б) 5 : 11; в) 9 : 7. 9. 4 см и 9 см. 10. 6 см. 11. а) 12 см и 10 см; б) 18 см и 15 см. 12. а) 1,5 см; б) 5 см. 13. 7,5 см. 14. Совет. Найдите отношение MN ; АС и докажите, что MN 11 АС. 15.1 : 4. Совет. Через точкуА^ проведите прямую, параллельную ВМ. 16. 6: 1. 17.1 : 1.Совет. Через точку пересечения высоты и медианы поведите прямую, параллельную стороне ВС. Задание 17 2.1,5 см, 2 см, 2,5 см. 3. 7 см, 16 см. 4.6 см, 7 см и 8 см. 5.4 см, 3—см, 5—см. 3 3 6. а) 27 см; б) 45 см. 7. 6 см, 12 см, 15 см. 10. 24 см, 28 см, 32 см. 11. 30 м, 35 м, 40 м. 12. 12 см. 13. 6,25 см, 0,75 см. 14. 6 см, 4,5 см. 15. 90 см. Задание 18 3. 4,8 см. 4. 84 см и 84 см. 5. 11 см. 10. По теореме Фалеса НО : ОМ = = HF : FN, углы FNK и OHF равны (почему?), NK = ОМ (почему?). Тогда треугольники OHF и KNF подобны по первому признаку. 11. 1 : 4 и 1 : 3. 12. Продлите медиану AM на отрезок МО = МВ. Тогда Z.MBO = ZBOM = ZBML, поэтому AL : АВ = AM : АО. Аналогично доказываем, что AD : АС = AM : АО. Отсюда: AL : АВ = AD : АС. Тогда треугольники подобны по первому признаку. 13. Совет. Сначала докажите, что площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как стороны, на которые эта высота опущена. Задание 19 6. а) 1,2 см; б) 3,6 см. 9. 6 : 11. 10. Проведем EEi liCCill DDi (рис. 8). ED - средняя линия => ED II ВА=> => EF = Е^С^ = ВЕ^ и FD = C^D^ = D^A. Из подобия треугольников DOF и BOCj, треугольников EFO и ACjO (докажите это подобие) получим: ^ __________ 1 ^ . 1 ^—1 . ^—1 . —, (BCj)^ = {AC^f => BCj = ACj (рис. 8). 13. a) 1 : 2; б) 2 : 1. 14. 1 : 3. 15. 10 см и 26 см. Задание 20 3. а) Да, ft = —; б) нет. 4.18 см, 24 см, 36 см. 5. а) Да; б) нет. 8. \1тп. 9. 22 см. 3 Задание 21 6. а) 6 см; б) 30 см. 7. а) 20 см; 4^/4Tcм и 5>/41см; б) 18 м, 24 м и 12л/4м; в) 12 мм, 16 мм и 8\/з мм. 8. ft : а = : ft (из подобия треугольников ВСА и САН) ft (рис. 9), — = — (из подобия треугольников САВ и ВСН), CL йл h Oj 7 4 — см, 2— см, 6 см. 13. 3,75 см. 14. 9 дм и 13,5 дм. 13 13 15. 2 : 1. 16. 12,5 см. 17. 6 см и 10 см. 18. 36 см и 40 см. 10 Задание 22 1. —. 2. 4,8 см, 7,2 см и 8 см. 3. 12 см, 14 см и 16 см. 4. 1,875 см. 5. 19 : 10. О 6. 1,8n/5 см. 7. 2,25 см^. 8. а) 3 ; 4; б) 1 : 1. 9. а) 4 : 1; б) 9 : 4. 10. 32 см^ и 18 см^. 11. Проведите диагональ АС. BD и AM - медианы треугольника АВС, тогда — 8лг^= 1(см^). Площадь четырехугольника равнаi (см^). 6 6 2 12 2 12 12 т 12. -а. 13.3S. 14.—;—. 15. Совет. Проведите биссектрису AL и докажите, 3 7 7 что точка L = D. 16. + • Пусть ABCD - трапеция (ВС | AD), ее диагонали пересекаются в точке К, 8вкс = Si,S^^b= S2. ^ВКС " ADKA ВК : DK = = СК: АК = , тогда Sдc^fд = и (докажите это). Отсюда ^Ажо = S, + S2 + 2yjB^B2 = (1/^ + -у/^) . 17. Каждый из образованных треугольников подобен данному с коэффициентами подобия: yj^: ^fs, yj^:^,y[s^:yfs, где S - искомая площадь. Площади образовавшихся параллелограммов 2yl^,2yJ^,2yJ^; тогда B = B,+B^+B2 + 2yJ^2+2yJ^ + Задание 23 1. а) 10 см; б) >/^см; в) 13а. 2. а) 12 см; б) 4>/Зсм; в) л/с^-а^. 3. а) 13 см; б) 5 см; в) 6>/Зсм; г) 6>/2см; д) 12 см. 4.216 см. 5. 6.5 см. 7.6 см. 2 3 6 о 8.4 м. 9. а) 6,4 см; б) 5 см; в) 6 см; г) 4 см. 10.4—см. 11.6 м и 6-Тз м. 12.12 см и 13 16 см. 13. а) 5 см; б) 25 см. 14.12 см и 12л/з см. 15.4л/3 см и 2^IV9 см. 16. Ю-^ см. / 2 , l2 17.5 см, 2 см, 5 см и 8 см. 18.11,2 см. 19.4,8 см. 20.4 : 5. 21. 2J . 22.15", 75", 90". Совет. Используйте, что произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы и высоты (к гипотенузе). Отсюда высота равна половине медианы. 24. 40 см и 42 см. 25. 2 см. 26. 98 см. 28.10 см. 29. а) 'JRt; б) . 30.11 см или 21 см. 31.6 см^. Совет. Докажите, Д-1-r что диагонали взгшмно перпендикулярны, а для этого постройте четырехугольник, вершинами которого будут середины сторон трапеции. 32. Подсказка на рис. 10. 33. 45". 34. 45". 35. 90". Совет. Используйте результат задачи 34. W Ш Йй Задание 24 4. 40 см. о. 6 см. 6. 4,5 дм, 42,75 см^. 7.— см. 8. 4-\/5 см 5 или 4^/5 см. 9. - d^. 10. 6 см и 12 см. 11. - Р^. 12.6 см. 13. 0,2 ем. 14. 21 см. 15. 4 см. 18. а) 10 см; б) ~JWcm. 19. 1 см и 2 см. 20. 9 см, 5—см, 10—см. 21. 2,4>/2. 7 7 22. По свойству биссектрисы треугольника (рис. 11) —^ oc, = V2+ V2(1)h <»a«^=Vi + + (2). По теореме Лагранжа: а(с, + Сг) - 5i52 “ + ^2) “ ^ “ - Ьф2 - abi - ab-i + е,С2 = 0. Подставим (1) и (2) в последнее равенство: 5,С2 + + Ь2С2 + ас2 - 5i&2 ~ b^i - сф2 “ 0&2 + С1С2 = о <=> (С2 - + 5i + Cj) = о <=> С2 = Ь2- Это дает возможность доказать, что /LACB = ZABC. 24. 14 : 1. 25. 100 мм. 27.49:81.28.15 см. Задание 25 2аЬ 1. а : 5.2.4 см. 3.4,8 см. 4.8 см. 5.-. 6.3 см^, 6 см^, 6 см^ и 12 см^. 8. 5 :16 Ь-а или 4 : 3. 9.^Яo. Совет. См. приложение 3. 10. Боковую сторону прямая делит в отношении 2а : Ь, гдеаиЬ-длины меньшего и большего оснований трапеции. Задания для повторения главы III 11.9 см и 10 см. 12. 30 см, 40 см и 35 см. 13. 24,7 см. 18. а) 20 см; б) 3-J2 см. 20. а) 6 см; б) 4— см. 21. а) 4>/Йсм, б) 5 см; в) 5 см. 22. 20 см. 23. 9 см, 12 см и 3 15 см. 24. 2\/з см и 2л/б см. 25. 3^/4^ см. 26. 7,25 см. 27.2,4 см. 28. 3(7-4л/3)а^. 29.4 см и 14 см. 30.13 см. 31.12 см. 32.3\/3см. 33.8>/5см и 4>/5см. 34.6,25 см. 35.30", 60” и 90". 36.3 см. 38. 39.12 см, 294 см^ 40.64. 41.17 см и 34 см или 27 см и 24 см. 42.16 см. 43. 5Д . Готовимся к тематической аттестации № 3 Вариант I. 1.30,8 см. 2. V61 см. 3.13 см. 4.6 см. 5.180 см^. Вариант II. 1. 39 см. 2. Vl06 см. 3.10 м. 4.6 см. 5. 5>/з см. ГЛАВА IV Задание 26 n/2 л/2 1.а) 3, в)^, ^,1, 1. 2.а)0,3; в) ==0,32.3.а)0,6; в) ^0,59. 1U Хи о ^ А 4. а) tg А = 0,4, ctg А = 2,5, tg В = 2,5, ctg В = 0,4. 5. а) 1,6 см; б) 12 мм; в) 12 мм; 4 8лУз9 8лУв9 1 г) 0,5 м. 6. а) 0,8; б) 0,6; в) - . 7. а) 1,875; б) в) . 9. а) -; б) 1,5. О оУ оУ о Ю.а) И-а)ВС>АС.Совет. Используя данное равенство, сравните си- нусы углов А и В. 13. а) 10 см. Совет. Из данного равенства найдите тангенс угла А и вычислите катет СВ. Задание 27 1,2,3,4. Совет. Воспользуйтесь решением примеров 1-4 (стр. 165). 9. а) а < Р; б) а > Р; в) а = р; г) а > р; д) а < Р; е) а = р. Задание 28 5 1. а) —; б) 0,8; в) 0,7. 2. а) cos а; б) 2sin а; в) 4ctg р; г) 0. 3. а) 3cos Р; б) 2sin а; 1о в) ctg Р + 5tg а + 2 tg р. 4. а) Да; в) да. 5. а) 90"; б) 90". 7. С о в е т. Воспользуйтесь равенствами 1-4 (стр. 168). Задание 29 5. а) sin^a; б) 0; в) cos^a; г) 1. 6. а) cos® а; б) cos® а; в) 1; г) 1. 7. а) cos® а; б) sin®a; в) 2cos®a; г) 1. 8. а) 4; б) 0; в) 0,5cos®a. Задание 30 2. а) 2,5; б) 1,5; в) Зл/З; г) Зл/3.3. а) 2^; б) 0,5; в) 1,5>/3; г) 1. 4. а) 9; б) 3,5; в) 2,25; г) 4—. 5. 1 см, 2 см, 1 см, 2 см. 3 Задание 31 1. а) 3 см; б) 20 см; в) 8 см; г) 20 см; д) 6,25 см; е) 9 см. 2. а) Зл/2 см, 3 см; 8-^3 б) 7,5 см = 6,87 см; в) —— см, —-— см; г) 6 см, \/з см; д) 18 см, 12л/2см; О О е) 32^2 см, 32\/2 см. 3. 72 см, 9>/89 см. 7. 12 см, 3 см, см. 9. 5 см. 10. 6л/з см. 17 13. 12,8 см; 0,75. 18. Зл/З см. 20. 9>/2 см. 21. ^24+10>/з|см или ^24-10л/з|см. 13 23 „ V5 „ _ 22. —,— .24. Радиус окружности — см; расстояние между центрами-0,5 см 3 3 2 или 1,5 см. Задание 32 1. 0,75. 2. м ~ 3,87 м. 3. - —- м ~ 322,58 м. 4. ~ 0,02. 5. 0,04. cos25° cos52° 6. 76 tg 48" м ~ 84,40 м. 7. 200 sin 15"30' м ~ 53,45 м. 8. Под углом, тангенс которого равен 0,025 (~ 1,43"). 9. (1,2 + 15 tg 35") м ~ 11,70 м. 10. Под углом, Q тангенс которого равен--(~ 1,99"). 11.14 tg 24" м ~ 6,23 м. 12. 2,8 ctg 32" м ~ ~ 4,48 м. 13. 1500tg 40" м ~ 1258,65 м. 14. 7000tg 6" м ~ 735,73 м. 15. 12 м. 16. 12,5 м. 17. 15 м. 18. а) ~ 26,57"; б) 34 м. 19. ~ 806,8 м. Совет. От расстояния АЕ отнять расстояние BD и прибавить расстояние ВС и CJD. 1 „ 20. В- Ч*’!' ' и fc-i ' Задания для повторения главы IV 10. а) -0,5; б) 1,75; в) 0,5; г) 0.12. а) ^ и ^; б) ^ и ^; в)— и —. 13. а) i и -; 5 3 3 2 13 12 5 3 б)^^ ИлУз; ®) • 1'^- !• ** б) 10л/2см и 10 см; в) 6 см и 3 20 ЯП 6^/3 см. 16. а) 8 см; б) 4 м; в) 5 дм. 17.18 см^. 18. 19. 6>/2см^ и 10у/2 см. 20. а) 'Уз см; б) 1 см. Готовимся к тематической аттестации № 4 Вариант I. 1. 0,35. 2. 3. 6,5л/2 см. 5. (15+5%/3) см; 30” и 60”. 6. —. 3 40 ВариантII. 1. 0,58. 2.——. 3. 14\/2 см. 5. (3+3\/2)см; 45” и 45”. 6. 2 см. 5 ПРОВЕРЬ СЕБЯ К повторению материала за 7 класс I. Г. 2. Д. 3. Г. 4. В. 5. В. 6. Д. 7. Б. 8. В. 9. Г. 10. А-2, Б-5, В-1, Г-6, Д-3, Е-4. II. 60". 12. ZA = 120°. 13. AjS: = Л„. 14.150°. 15. 200 см^ 16. 80". К главе I 1. Г, Д. 2. В, Д. 3. Б. 4. А. 5. В. 6. Г. 7. Д. 8. 90". 9. 120”. 10. 30”, 75”, 75” или 150°, 15”, 15”. К главе II 1. Б, Д. 2. А, В. 3. А-3, Б-5, В-2, Г-4, Д-1. 4. Г. 5. В. 6. А. 7. Б. 8. В. 9. Б. 10. Д. 11. Г. 12. Д. 13. А. 14. Г. 15. В. 16. Б. 17. Д. 18. Б. 19. 0,13 м1 20. 84 см. 21. 4 см. 22.16 см^ 23. 3 : 5. 24. 70 дм^ 25.140 м^ К главе III 1. Б, Д. 2. А-3, Б-1, В-2, Г-2, Д-2. 3. А. 4. Г. 5. Б. 6. А. 7. В. 8. В. 9. Б. Ю.бсми 10 см. 11.1 : 2. 12. 4 дм. 13.10 : 3. 14. 9,6 см. 15.1,6а. К главе IV 1. А-4, Б-1, В-5, Г-2, Д-3. 2. А, Г, Д. 3. См. стр. 169,171. 4.1) Увеличивается от о до 1; 2) уменьшается от 1 до 0; 3) увеличивается от 0 до о»; 4) уменьшается от оо до 0. 5. 1)... косинусу...; 2)... синусу...; 3)... котангенсу...; 4)... тангенсу...; 5) 1/cos^a; 6) 1/sin^a. 6. с - (1 -t- sin а-t- cos а). 7.3 см. 8. ЗлУЗм. 9. 2^/^Здм и Зл/ГЗдм. 10.1,6 м. СОДЕРЖАНИЕ Уважаемый ученик!............................................3 Информация для учащихся......................................4 Информация для учителей и родителей..........................5 Вступление ................................................. 6 Глава I. ИЗМЕРЕНИБ УГЛОВ, СВЯЗАННЫХ С ОКРУЖНОСТЬЮ § 1. Расширение понятия угла................................13 § 2. Центральный угол. Градусная мера дуги окружности.......17 § 3. Вписанный угол ........................................21 § 4. Измерение углов, образованных хордеши, секущими и касательными.................................29 § 5. Сегмент, вмещающий данный угол ........................33 § 6. Свойство точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной вокруг него окружностью........36 Задания для повторения главы I..........................38 Готовимся к тематической аттестации № 1................40 Глава II. МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ § 7. Многоугольники и их свойства.............................41 § 8. Понятие площади и ее основные свойства...................47 § 9. Площадь прямоугольника...................................49 § 10. Общие сведения о четырехугольнике.......................55 §11. Вписанные и описанные четырехугольники ..................61 §12. Параллелограмм ..........................................67 § 13. О некоторых свойствах площади треугольника, параллелограмма и опорные факты, из них вытекающие........................72 § 14. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника..............80 §15. Особые виды параллелограммов - прямоугольник, ромб, квадрат ............................................88 § 16. Трапеция................................................97 Задания для повторения главы II..........................104 Готовимся к тематической аттестации М2...................108 Глава III. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ §17. Пропорциональные отрезки................................109 §18. Подобие треугольников ..................................116 §19. Признаки подобия треугольников..........................120 § 20. Признаки подобия прямоугольных треугольников...........128 §21. Свойства подобных треугольников.........................132 § 22. Практические задачи на применение подобия..............136 § 23. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.........................................139 270 § 24. Метод подобия и метрические соотношения в окружности. Свойства биссектрисы треугольника........................145 § 25. Метод подобия в опорных задачах трапеции................152 Задания для повторения главы III.........................156 Готовимся к к тематической аттестации № 3 ...............159 Глава IV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ § 26. Соответствие между отношением сторон и мерой острого угла в прямоугольном треугольнике ...........................161 § 27. Построение угла по его тригонометрическим функциям. Изменение значения тригонометрических функций на интервале [0“; 90°]..................................165 § 28. Соотношение между тригонометрическими функциями дополняющих углов.......................................168 § 29. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла............................................169 § 30. Значения тригонометрических функций некоторых углов...171 § 31. Решение прямоугольных треугольников.................. 174 § 32. Практические задачи с применением тригонометрии ......180 Задания для повторения главы IV....................... 183 Готовимся к тематической аттестации Л? 4 . ..............184 Глава V. ВЕКТОР КАК НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК § 33. Понятие вектора ........................, .’. .‘.. 185 § 34. Действия над векторами....................|. . г i. 189 § 35. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам . .... . .. 193 Задания для повторения главы V..............». ..................; 194 Глава VI. ЛЮБОПЫТНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Точки и окружность Эйлера, прямая Эйлера .195 Приложение 2. О некоторых видах треугольников...........200 Приложение 3. Параллельные отрезки в трапеции. Соотношение между средними величинами .....207 Приложение 4. Знаменитые теоремы древности..............211 Приложение 5. Доказываем геометрические неравенства ....224 Приложение 6. Вневписанная окружность треугольника и ее свойства..............................230 Приложение 7. Кролики, клетки и принцип Дирихле в геометрии................................233 Проверь себя. Упражнения для повторения в тестовой форме . . . .237 СЛОВАРИК ...............................................248 Опорные задачи на построение (7 класс)..................253 Опорные задачи на построение (8 класс)..................254 Замечательные точки треугольника........................255 Опорные факты окружности ...............................256 Опорные задачи окружности ..............................257 Опорные факты трапеции..................................258 Опорные задачи трапеции.................................259 ОТВЕТЫ И СОВЕТЫ.........................................260 271 Навчальневидання АПОСТОЛОВА Галина Вадим1вна Упорядкування завдань Вашуленко О. П., Карликово! О. А. ГЕОМЕТР1Я Двор1вневий тдручник для 8 класу загальноосв1тн1х навчальних заклад1в Рекомендовано MimcmepcmeoM oceimu i науки Украши В j^aao за рахунок державних кошт1в. Продаж заборонено Переклад з украшсько! Редактори Н. Дашко, О. Мовчан Обкладинка i макет П. Машкова Художне оформления Ю. Ястськт Техшчн! малюнки В. Марущинця Техтчний редактор В. Олшник Коректори I. Бареток, А. Кравченко Комп’ютерна верстка К. ШалигтсИ Здано на виробництво i надписано до друку 10.09.2008 р. Формат 70x100 Vle. Пашр офсетний. Друк офсетний. Гарттура Шкшьна. Умовн. друк. арк. 22,1 + 0,32 форз. Умовн. фарбо-вадб. 88,2. Обл.-вид. арк. 21,83 + 0,49 форз. Наклад 62 550 прим. Вид. № 910. Зам. №8230. Видавництво «Генеза*, 04212, м. Кшв, вул. Тимошенка, 2-л. Свадоцтво про внесения суб’екта видавничо! справи до Державного реестру видавц1в сер1я ДК №“ 25 вад 31.03.2000 р. Ваддруковано з готових позитив1в на ДП «Державна картограф1чна фабрика* KOMEIJI#KT ^П»ометр|1Я-8>^ создан в соответствии с новой программой для 12-летней школы с учетом современных тенденций развития школьного образования. Он состоит из данного учебника, рабочей тетради, тетради для тематической аттестации и книги для учителя. / ДЭМЦ&ГО ЧС^||лечсг» для: - общеобразовательных учебных заведений, - классов с углубленным изучением математики, ~ - проведения внеклассных занятий, - самообразования учеников. А А' А" ISBN 978-966-504-862-6 9 789665 048626 >