Учебник Геометрия 7-9 класс Козлова Рубин Гусев

Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» С.А. Козлова, А.Г. Рубин, В.А. Гусев Геометрия 7—9 классы Москва 2015 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я721 К59 Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» Совет координаторов предметн^гх линий Образовательной система: «Школа 2100» - лауреат премии Правительства РФ в области образования за теоретическую разработку основ образовательной системы нового поколения и её практическую реализацию в учебниках На учебник получены положительные заключения по результатам научной экспертизы (заключение РАН от 14.10.2011 № 10106-5215/818), педагогической экспертизы (заключение РАН от 24.01.2014 № 000364) и общественной экспертизы (заключение НП «Лига образования» от 30.01.2014 № 171) Руководитель издательской программы -чл.-корр. РАО, доктор пед. наук, проф. Р.Н. Бунеев Козлова, С. А. К59 Геометрия. 7—9 кл. : учеб. для организаций, осуществляющих образовательную деятельность / С. А. Козлова, А. Г. Рубин, В.А. Гусев. - М. : Баласс, 2015. - 320 с. (Образовательная система «Школа 2100»). ISBN 978-5-85939-918-5 Учебник «Геометрия» для 7-9 классов соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования. Является продолжением непрерывного курса математики и составной частью комплекта учебников развивающей Образовательной системы «Школа 2100». Может использоваться как учебное пособие. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я721 С Данный учебник в целом и ник акая его часть не могут быть скопированы без разрешения владельца авторских прав 3 ISBN 978-5-85939-918-5 © Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А., 2013 © ООО «Баласс», 2013 КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНИКОМ Дорогие ребята! Вы начинаете учиться в 7-м классе. Все предыдущие шесть лет вашего обучения в школе, начиная с 1-го класса, вы изучали математику. В 7-м классе вы продолжите изучение этой замечательной и очень важной науки, но теперь у вас будет два разных математических учебных предмета: алгебра и геометрия. С их отдельными фрагментами вы уже знакомы и знаете, что геометрия изучает геометрические фигуры и их свойства, а алгебра - буквенные выражения, уравнения, неравенства. Теперь вы займётесь всеми этими вопросами более полно и обстоятельно. А так как учебных математических предметов будет два, то обучение математике, начиная с седьмого класса, будет проходить по отдельным учебникам - алгебры и геометрии, на отдельных уроках, а ваша работа по каждому из этих предметов будет оцениваться отдельными отметками. Перед вами учебник геометрии для 7-9 классов Образовательной системы «Школа 2100». Так же, как и другие учебники этой системы, он поможет вам в развитии умений (действий), которые необходимы в жизни. Напоминаем, что эти умения, или действия (они называются универсальными), развиваются через специальные задания, обозначенные в учебнике кружками и фоном условных знаков разного цвета. Каждый цвет соответствует определённой группе умений: J f I организовывать свои действия: ставить цель, планировать работу, —^ действовать по плану, оценивать результат; # f 1 работать с информацией: самостоятельно находить, осмысливать и использовать её; общаться и взаимодействовать с другими людьми, владеть устной и письменной речью, понимать других, договариваться, сотрудничать; □ ш так обозначены задания, где нужно применить разные группы умений, мы называем их жизненными задачами и проектами. Зачем мы будем учиться? Изучая геометрию, вы научитесь работать с разнообразными геометрическими фигурами, узнаете многие их свойства и признаки, сможете узнавать их среди окружающих вас предметов, вычислять характеризующие их величины: длины, углы, площади, объёмы и др., строить многие из 3 них с помощью циркуля и линейки, а также моделировать с их помощью некоторые реальные ситуации. Это поможет вам стать увереннее в себе, добиться успехов при решении возникающих в жизни задач, так как при этом очень часто придётся иметь дело с геометрическими фигурами. Задания на развитие предметных умений в учебнике обозначены серым цветом. Как мы будем учиться? Для успешного изучения геометрии и овладения универсальными умениями на уроках открытия нового знания используется проблемный диалог (образовательная технология). Приведённый в учебнике теоретический материал обозначен так: Открываем новые знания Основной теоретический материал, который необходимо знать каждому ученику, выделен слева на полях книги сплошной оранжевой чертой. Именно этот материал составляет основу курса. Дополнительный теоретический материал (не выделенный оранжевой чертой на полях) предназначен для более глубокого изучения геометрии, её практического применения в науке и технике. Этот материал способствует вашему математическому развитию. Кроме этого, в учебнике есть целые параграфы, адресованные только желающим, - на их изучение учебное время программой курса геометрии не отводится. Номера таких параграфов отмечены звёздочкой, и в их начале помещено изображение совы. Приводимые исторические сведения помогут вам понять, как зарождалась и развивалась геометрия, какие события сопутствовали некоторым открытиям в геометрии. Развиваем умения Так обозначены задания на применение знаний. Они даны на трёх уровнях сложности. 0 Необходимый уровень. Эти задания должны уметь выполнять все учащиеся. Они помогут вам определить, усвоены ли основные понятия и факты, умеете ли вы применять их к решению стандартных задач. ® Повышенный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые хотят углубить свои знания. Они требуют более серьёзного усвоения учебного материала, для их решения, наряду с известными приёмами и идеями, может понадобиться выдвижение некоторой новой идеи. 4 м Максимальный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые хотят научиться решать более сложные, нестандартные задачи. Работа над ними может потребовать значительных усилий, изобретательности и настойчивости. При этом ни на одном из уровней выполнение всех заданий, предложенных в учебнике, не является обязательным! Ученики под руководством педагога выбирают задания в соответствии со своими возможностями и потребностями. Среди заданий необходимого уровня мы дополнительно выделяем следующие две группы заданий и отмечаем их особыми знаками: Этим знаком обозначается группа задач и вопросов, которые учат делать выводы, т.е. получать следствия из условия задачи. С помощью этих заданий вы можете проверить, усвоен ли вами основной теоретический материал. Уметь справляться с такими заданиями должен каждый ученик. Этим знаком отмечены задания для самоконтроля, в них нужно не только получить следствие из условия задачи, но и выяснить причину появления этого следствия. Примерно к половине всех заданий в конце учебника приводятся ответы. Ориентироваться в учебнике вам помогут условные обозначения [ Вопросы, которые помогают понять тему, сделать вывод. I I Обратите особое внимание! tt [Е □ □ Это нужно запомнить. Дополнительные сведения. ^ Работа в группе (паре). ^ Задания с использованием информационных технологий. Самостоятельная исследовательская работа. Жизненные задачи и проекты Помимо обычных учебных заданий разного уровня сложности, в учебник включены жизненные задачи и проекты. Ими можно заниматься в свободное от уроков время в группах или индивидуально. Что такое жизненная задача? Жизненная задача - это модель реальной ситуации, для разрешения которой необходим набор математических знаний, к этому моменту вам уже 5 в основном известных. При этом жизненная задача отличается от привычных всем школьных учебных задач. Это отличие прежде всего заключается в том, что для её решения вам может понадобиться дополнительная информация, которую придётся добывать самим, причём какая именно информация нужна, вы должны решать сами и самостоятельно искать источники этой информации. В случае затруднений вы можете обратиться к старшим товарищам, учителю или другим взрослым. В условии жизненной задачи также могут содержаться избыточные данные. Ведь в жизни чаще всего так и бывает: когда пытаешься разобраться в ситуации и анализируешь, что тебе о ней известно, то далеко не вся эта информация пригодится, значительная её часть, как постепенно выясняется в ходе анализа, не имеет отношения к делу. Кроме того, для решения жизненной задачи будут необходимы знания не только из области математики, но и других изучаемых вами областей (как это и происходит в реальной жизни). Таким образом, систематическое решение жизненных задач даст вам возможность не только углубиться в математику, увидеть взаимосвязь математики и других областей знаний, но и совершенствоваться в умении самостоятельно работать с информацией. Жизненные задачи, как принято в учебниках Образовательной системы «Школа 2100», оформлены следующим образом: СИТУАЦИЯ. Условия, в которых возникла проблема. ВАША РОЛЬ. Человек, в роли которого вы должны себя представить, решая проблему. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Более подробная характеристика ситуации. ЗАДАНИЕ. Что нужно сделать или что нужно получить в итоге. Что такое проект? Это любое самостоятельное дело, которое предполагает: 1) оригинальный замысел (цель); 2) выполнение работы за определённый отрезок времени; 3) конкретный результат, представленный в итоге (мероприятие, решение проблемы, результат самостоятельных исследований и др.). Проектная деятельность помогает научиться работать в команде, распределять роли таким образом, чтобы наиболее эффективно использовать сильные стороны каждого, участвовать в мозговых штурмах и других формах коллективной интеллектуальной деятельности, представлять результаты своего труда в форме доклада, презентации, инсценировки и т.д. Предполагается, что проекты будут выполняться в свободное от уроков время. Они не являются обязательными. Структура учебника Учебник разбит на разделы, разделы - на главы, а каждая глава - на параграфы. Каждый параграф обозначается двумя числами: число слева от точки - номер главы, а число справа от точки - номер параграфа в этой 6 главе. В каждой главе рассматривается своя тема, а в каждом параграфе -отдельные вопросы этой темы. В конце книги помещены приложения, которые помогут вам быстрее найти нужную информацию: указатель аксиом, указатель теорем, указатель определений и тематический указатель. Кроме перечисленных выше обозначений, вы встретите на страницах книги и другие знаки, смысл и предназначение которых сейчас будут объяснены. Некоторые утверждения в геометрии принимают без доказательства, их называют аксиомами. Аксиомы выделяются вот так: Аксиома п Буква n обозначает порядковый номер аксиомы в учебнике. Когда мы даём изучаемому в учебнике понятию точное определение, мы выделяем его вот так: Определение п Буква n обозначает порядковый номер определения в учебнике. Определения, которые должен знать каждый учащийся, выделены в указателе определений жирным шрифтом. В тех случаях, когда мы формулируем и доказываем теорему, она выделяется вот так: Теорема п Буква n обозначает порядковый номер теоремы в учебнике. Каждое доказательство теоремы мы начинаем словом «Доказательством. Все шаги доказательства нумеруются и для каждого шага указывается, на какие из предыдущих шагов он опирается (или на какие из изученных ранее аксиом, теорем, определений, свойств). В конце доказательства ставится знак ■, который означает, что доказательство проведено полностью. Обязательные для изучения теоремы в указателе теорем выделены жирным шриф том. Работая по нашему учебнику, вы не только узнаете много нового, не только научитесь решать большое количество разнообразных геометрических задач, но и приобретёте важнейшее умение - учиться самостоятельно: • ставить учебную цель; • планировать своё движение к цели и действовать по плану; • оценивать результаты своего труда. 7 РАЗДЕЛ 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ Подобные представления об этих вещах весьма полезны, поскольку ничто не является для нас более наглядным, чем фигура, ибо её можно осязать и видеть. Рене Декарт (французский философ и математик, 1596-1650) Глава 1 ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ Великая, божественная, точная, мудрая прямая - мудрейшая из линий. Евгений Иванович Замятин (русский писатель, 1884-1937) Открываем новые знания § 1.1 ПОНЯТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ В курсе геометрии мы будем изучать свойства различных геометрических фигур, которые в геометрии принято определять, то есть раскрывать смысл определяемого понятия. Тем не менее начнём с рассмотрения фигур, которые в геометрии не определяются, их называют основными. К ним относятся точка, прямая, плоскость, пространство. Основным неопределяемым понятием является также расстояние от одной точки до другой. Все геометрические фигуры состоят из точек. Точки обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: A, B, C, D, K, M и т.д. Пусть нам даны две точки А и В (рис. 1.1а). Проведём через точки A и B прямую (рис. 1.1б). У нас появляется ещё одно важное понятие гео- Рис. 1.1 9 метрии — прямая, которая также состоит из точек. Изобразить прямую целиком невозможно, мы лишь условно изображаем её часть. Некоторые начальные утверждения в геометрии принимают без доказательства. Их называют аксиомами. Слово «аксиома» означает истину, принятую в рассматриваемой теории без доказательства. Первой такой аксиомой является аксиома прямой. Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d, т, п, р и т.д. или двумя заглавными буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую на рис. 1.1б мы обозначаем AB. Точки, прямые, плоскости, а также все остальные геометрические фигуры находятся в пространстве. На рис. 1.2 изображены различные фигуры, расположенные в пространстве. Рис. 1.2 Часто фигуры располагаются на плоскости (рис. 1.3), их называют плоскими. E B D Рис. 1.3 Плоскости обозначаются строчными греческими буквами: а, в, у и т.д. На рис. 1.4 плоскости обозначены буквами аир. Изображают плоскости либо в виде параллелограмма (рис. 1.4а), либо в виде произвольной области (рис. 1.4б). 10 С понятием плоскости связаны ещё две аксиомы — аксиома плоскости и аксиома прямой и плоскости. Аксиома 2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. Аксиома 3. Прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости. Ясно, что если прямая и плоскость имеют более двух общих точек, то прямая тем более лежит в этой плоскости. Дадим очень важное определение геометрической фигуры. Определение 1. Любое множество точек называется геометрической фигурой. На всех рисунках в этом разделе изображены геометрические фигуры. I I I Часть любой геометрической фигуры также является геометрической фигу-1 " I рой. § 1.2 ОТРЕЗКИ И ИХ ДЛИНЫ Пусть нам даны две точки А и В (рис. 1.5а). Согласно аксиоме прямой (А.1), через две любые точки можно провести единственную прямую. На рис. 1.5б через точки А и В проходит прямая АВ. На этой прямой жирно выделена её часть, ограниченная двумя точками А и В. Такая часть прямой называется отрезком. Точки А и В, ограничивающие отрезок, называются его концами. На рис. 1.5б изображён отрезок с концами в точках А и В. Рис. 1.5 11 Отрезки обозначаются двумя буквами, характеризующими концы отрезка: АВ, CD, МК и т.д. Каждому отрезку соответствует его длина. Длиной отрезка называют расстояние между двумя точками, являющимися концами этого отрезка. В предыдущем параграфе мы сказали, что расстояние между двумя точками является неопределяемым понятием курса геометрии. Расстояние между точками А и В мы будем обозначать АВ. Запись «АВ = 10 см» читается так: расстояние между точками А и В равно 10 см. Сформулируем ещё одну аксиому геометрии — аксиому расстояния. Аксиома 4. Для любых двух точек А и В пространства однозначно определено некоторое неотрицательное число АВ, называемое расстоянием между ними и обладающее следующими свойствами: 1) АВ = ВА; 2) АВ = 0 тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают; 3) АС < АВ + ВС, причём равенство достигается в том и только в том случае, когда точка В лежит на отрезке АС. Вы уже знакомы со свойствами различных чисел: натуральных, целых, рациональных, действительных. Вам встречались также и различные величины: площади, объёмы, скорости, промежутки времени, массы и т.д. Длины отрезков и расстояния между двумя точками являются величинами, а число, о котором говорится в аксиоме 4, — это числовое значение такой величины. Процесс нахождения длин отрезков называется измерением отрезков. Измерить отрезок — значит сравнить его длину с длиной некоторого отрезка, принятого за единицу измерения. Стандартной международной единицей измерения длин выбран метр. Эталон метра в виде специального металлического бруска хранится в Международном бюро мер и весов во Франции. Если за единицу измерения принят метр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается метр. Так, если в отрезке АВ метр укладывается 5 раз, то говорят, что длина отрезка равна 5 метрам, или кратко 5 м. Может оказаться, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке — получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части (обычно на 10 равных частей) и определяют, сколько раз эта новая часть укладывается в остатке и т.д. Этот процесс может завершиться на некотором шаге, тогда длина отрезка выражается целым числом или конечной десятичной дробью. Но этот процесс может и не завершиться ни на каком шаге, тогда длина отрезка выражается бесконечной десятичной дробью. В любом случае длина отрезка выражается положительным действительным числом. 12 B C Рис. 1.6 1 метр содержит 100 сантиметров, 1 сантиметр — 10 миллиметров. На рис. 1.6а отрезок АВ точкой С разбит на две части — два отрезка АС и СВ. На основании аксиомы расстояния длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ: АВ = АС + СВ. Отметив на прямой три различные точки, вы увидите, что одна из них лежит между двумя другими. Например, на рис. 1.6б точка N лежит между точками Ми К. Среди геометрических понятий, выбранных за основные, нет понятия «лежать между». Его можно определить, пользуясь понятиями «расстояние» и «точка». Из рис. 1.6б видно, что расстояние МК равно сумме расстояний MN и NK. Это выполняется всегда, если точка N лежит между точками М и К. Дадим следующее определение. Определение 2. Точка Х лежит между точками А и В, если эти точки различны и АХ + ХВ = АВ. Рассматривая рис. 1.6б и 1.6в, естественно предположить, что: 1) если три различные точки лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими (рис. 1.6б); 2) если три точки не лежат на одной прямой, то ни одна из них не может лежать между двумя другими. Это можно сформулировать короче: три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими. С помощью этого утверждения мы докажем ещё одно свойство расстояния, называемое неравенством треугольника. \ I I Для любых трёх точек, не лежащих на одной прямой, расстояние АС меньше Li_J суммы расстояний АВ и ВС. 1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой (дано). 2. АС < АВ + ВС (требуется доказать). 13 3. По пункту 3 аксиомы 4 имеем АС < АВ + ВС. Последнее значит, что верно либо неравенство 4. АС < АВ + ВС, либо равенство 5. АС = АВ + ВС. Равенство 5 выполняться не может, поскольку из него следует, что точка В лежит на одной прямой с точками А и С, а это противоречит условию. Значит, верно неравенство 4: АС < АВ + ВС. Нам в дальнейшем часто придётся рассматривать равенство отрезков. Определение 3. Отрезки равны, если равны их длины. Таким образом, все отрезки одинаковой длины равны. Существует общий подход к определению равенства любых фигур: наложение одной фигуры на другую. Согласно этому подходу отрезки равны, если их можно совместить наложением друг на друга. Итак, у нас есть два определения равенства отрезков. Можно доказать, что эти определения равносильны. Это значит, что если у отрезков равны длины, то эти отрезки можно совместить наложением друг на друга, и наоборот, если два отрезка можно совместить наложением друг на друга, то длины этих отрезков равны. Развиваем умения К § 1.1 н 2 |~1 • Пусть нам дана прямая. Сколько точек содержит эта прямая? • Посмотрите на рис. 1.7 и ответьте на следу ю щие вопро сы: а) Через какие из отмеченных точек про хо дят пря мые а, b и с? б) Какие из отмеченных точек лежат на пря мой b? в) Какие из отмеченных точек не лежат на прямой с? Рис. 1.7 14 3 • Нам дана плоскость а. Сколько точек она содержит? 4 • Прямая лежит на плоскости. Что можно сказать о точках этой пря- мой? Сколь ко то чек пря мой со дер жит дан ная пло с кость? н tr 6 • Даны две точки. Можно ли через них провести прямую? Сколько можно провести прямых? Почему? Даны прямая и точка. Как они могут быть расположены относительно друг друга? Как могут быть расположены относительно друг друга прямая и две точки? |~т] Через любые ли три точки можно провести плоскость? Обязательно ли эта плоскость единственная? Почему у штативов фотоаппаратов, геодезических приборов по три опорные ножки? Почему стол, имеющий четыре ножки, не всегда устой чив? Что нужно знать о прямой а, чтобы утверждать, что она лежит в пло-с ко сти а? ^ Дана прямая l. Сколько плоскостей в пространстве содержат эту прямую l? 9 н 13 Есть одна точка. Проведите через эту точку прямую. Сколько можно провести прямых через данную точку/ 12 Есть три точки. Как они могут быть распо-ло же ны? Сколь ко че рез них мож но про ве с ти прямых? По че му? Перечертите рис. 1.8 в тетрадь. С помощью линей ки про ве ди те все пря мые, прохо дя щие через пары этих точек. Сколько прямых вам удалось провести? Рис. 1.8 п Могут ли 6 прямых пересекаться в 8 точках? На прямой дано 10 точек. На сколько непересекающихся частей эти точки делят прямую? 15 м 16 шш Вы познакомились с понятием плоскости. Мы пока мало что знаем о геометрии, о её методах, о свойствах геометрических фигур, но уже можем начать проводить первые математические исследования: наблюдать, делать выводы, рассматривать различные случаи. Вот первое задание: На сколько частей могут разбивать пространство две плоскости? три плоскости? К § 1.2 Н 1Т| • Даны прямая а и на ней три точки (рис. 1.9). а) Сколько отрезков получилось на прямой? б) Назовите концы получившихся отрез ков. в) Какими свойствами обладают получившиеся отрезки? Рис' • На рис. 1.10 изображены две фигуры. Сколько отрезков вы видите на рис. 1.10а, 1.10б? (Имеются в виду отрезки, соединяющие выделенные точ ки.) 18 Рис. 1.10 н 19 1Г • Даны два отрезка. Как они могут быть расположены относительно друг друга? Сколько у них может быть общих точек? 2о1 • Даны отрезок и прямая. Каково может быть их взаимное расположение? 21 • Даны отрезок и плоскость. Каково может быть их взаимное располо-же ние? 16 н 22 23 Расстояние между двумя точками, измеренное в сантиметрах, равно 12. Чему будет равно это расстояние, если за единицу измерения длины принять миллиметр? В каждом из следующих равенств вставьте пропущенные числа: а) 2 м = ... см = ... мм; б) ... м = ... см =1 мм; в) ... м = 50 см = ... мм. Точка В лежит на прямой между точками А и С. АВ = 2, АС = 5. Найдите расстояние ВС. 25 Даны две (три) различные точки. Сколько отрезков с концами в этих точках может получиться? Изобразите все возможные случаи. На рис. 1.11 изображены 3, 4 и 5 точек. Соедините эти точки отрезками. Сколь ко от рез ков вы по лу чи ли? 24 26 Рис. 1.11 п 27 Расстояние АВ, измеренное в сантиметрах, на 15 больше, чем пятикратное расстояние АВ, измеренное в дециметрах. Чему равно расстояние АВ в дециметрах? 28 На прямой нужно получить 3 отрезка. Сколько для этого следует отметить точек на данной прямой? Решите задачу для случаев, когда мы хотим получить 4, 5, 6 отрезков. м 29| а) На прямой дано 5 точек. Сколько при этом имеется отрезков с концами в этих точках? б) На прямой дано n точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках? Ответьте на этот вопрос сначала для n = 6; 7; 8, а затем для произвольного п. Расставьте на плоскости 6 точек таким образом, что если соединить первую точку со второй, вторую с третьей и т.д., а шестую вновь с первой, то каждый из шести отрезков ровно один раз пересекается с ка ким-ли бо дру гим от рез ком. 30 17 Глава 2 УГЛЫ Наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии. Давид Гильберт (немецкий математик, 1862-1943) Открываем новые знания § 2.1 УГЛЫ НА ПЛОСКОСТИ На рис. 2.1 изображена прямая а, на ней отмечена точка В. Часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих на данной прямой по одну сторону от данной точки, называется лучом. Таким образом, точка В определила на прямой а два луча. Точка В называется началом каждого из этих лучей. Лучи обозначаются латинскими строчными буквами — а, b, m, n и т.д. На рис. 2.2а луч обозначен буквой l. Луч можно обозначать и двумя заглавными буквами, одна из которых, записываемая первой, обозначает начало луча, а вторая — какую-либо точку на луче (например, луч ВС на рис. 2.2б). Рассмотрим важный случай расположения двух лучей — два луча имеют общее начало. Рис. 2.1 Рис. 2.2 18 Два луча с общим началом, дополняющие друг друга до прямой, называются дополнительными. На рис. 2.3 лучи ВА и ВС — дополнительные. На рис. 2.4 лучи ОА и ОС имеют общее начало — точку О и разбивают плоскость на две части, они выделены цветом. Рис. 2.3 Определение 4. Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости. Точка, из которой выходят ограничивающие угол лучи, называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла (рис. 2.4). Слово «угол» иногда заменяют знаком «Z». При изображении угла чертят только выходящие из вершины начальные уча ст ки его сто рон, а ту часть пло с ко сти, которую хотят указать, обозначают дужкой (рис. 2.5). Углы можно обозначать и с помощью букв. Угол обозначается одной заглавной буквой, поставленной у вершины угла, например Z О, или тремя буквами, из которых одна (в обозначении угла она записывается на втором месте) ставится при вершине угла, а две другие — у каких-нибудь точек сторон, например Z АОВ (рис. 2.5). Рис. 2.4 A О Рис. 2.5 B Определение 5. Развёрнутым углом называется угол, сторонами которого являются дополнительные лучи одной прямой. Развёрнутый угол АОВ изображён на рис. 2.6. Мы уже говорили о том, что два луча с общим началом задают два угла, например, как на рис. 2.4. Возникает вопрос: Всегда ли следует рассматривать два образовавшихся угла или можно научиться выделять тот, который нам нужен? Посмотрим на рис. 2.7, на котором цветом выделены два угла. Чем они отличаются друг от друга? О Рис. 2.6 19 а) Рис. 2.7 б) В геометрии есть такие понятия, как выпуклые и невыпуклые фигуры. Эти понятия помогут нам выделить нужный для рассмотрения угол. Определение 6. Фигура называется выпуклой, если любые две её точки можно соединить отрезком, принадлежащим этой фигуре. Ещё раз рассмотрим углы, изображённые на рис. 2.7. Отметим две точки, принадлежащие углам (рис. 2.8а и 2.8б), и соединим их отрезками. Мы видим, что на рис. 2.8а все точки отрезка принадлежат углу, а на рис. 2.8б не все. На рис. 2.8а изображён выпуклый угол, на рис. 2.8б — невыпуклый. I I I Договоримся, что, если в учебнике написано «угол», значит, мы рассматри-1 " I ваем тот угол, который является выпуклым. Если же в какой-нибудь ситуации потребуется рассматривать невыпуклый угол, то об этом будет сказано особо. Измерение углов основано на сравнении углов с углом, величина которого принята за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — величину угла, равного 1/180 части развёрнутого угла. Градус обозначается знаком « ° ». Величина угла, равного 1/60 части градуса, называется минутой и обозначается знаком « ' », 1/60 часть минуты называется секундой и обозначается знаком « ” ». Например, угол в 60 градусов 32 минуты и 17 секунд записывается так: 60°32'17”. В результате измерения угла находят величину угла. Величина угла обозначается или так же, как сам угол, или буквой греческого алфавита. Запись a = 90° читается так: «величина угла a равна 90°» или кратко: «угол a равен 90°». Запись ААОВ= 20° читается так: «величина угла АОВ равна 20°» или кратко: «угол АОВ равен 20° ». I I I Каждый угол имеет определённую величину, 1 " I большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Величина угла равна сумме величин углов, на которые он разбивается любым лучом, выходящим из вершины угла и лежащим внутри этого угла. Рис. 2.9 20 а) б) Рис. 2.10 в) Например, на рис. 2.9 луч ОВ проходит между сторонами угла АОС, угол АОС равен сумме углов АОВ и ВОС: ААОС = ААОВ + АВОС. В зависимости от величины угла различают углы трёх видов: острые, прямые и тупые (рис. 2.10). Определение 7. Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90°, называется тупым углом. D Для измерения величин углов на уроках * С геометрии применяется инструмент, который называется транспортир. На рис. 2.11 показано, как с помощью транспортира можно измерять величины углов. С помощью транспортира можно также отложить угол от данного луча. Введём теперь понятие равенства углов. Как и при определении равенства отрезков, рас смо т рим два оп ре де ле ния ра вен ст ва углов, которые равносильны между собой. Чаще всего применяется определение равенства углов через их величины. Рис. 2.11 Определение 8. Углы равны, если равны их величины. На рис. 2.12 изображены два угла АВС и DЕM, величины которых равны, а значит, по определению 8, эти углы равны. Равенство углов обозначается так: Z АВС = А DЕМ. Ещё один подход к понятию равенства углов связан с понятием на ло-жения одной фигуры на другую. A D. Б‘ C E Рис. 2.12 21 M Определение 9. Углы называются равными, если их можно совместить наложением друг на друга. Используя понятие равенства углов, можно дать определение биссектрисы угла. A Определение 10. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит угол пополам. На рис. 2.13 луч ОМ — биссектриса угла АОВ, при этом Z АОМ = А ВОМ. Рис. 2.13 Нам часто придётся откладывать угол, равный данному. I I I От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только 1 " I один угол, равный данному. § 2.2 СМЕЖНЫЕ УГЛЫ Рассмотрим три луча с общим началом О, лежащие в одной плоскости: ОА., ОВ и ОС (рис. 2.14). Лучи ОА и ОС — дополнительные, луч ОВ лежит меж ду ни ми. Углы АОВ и ВОС называются смежными углами. Рис. 2.14 Определение 11. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. Глядя на рис. 2.14, можно предположить, что сумма смежных углов равна 180°. Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180° Доказательство 1. ААОВ и АВОС — смежные (дано) (рис. 2.14). 2. ^АОВ + АВОС = 180° (требуется доказать). Воспользуемся определением смежных углов. 3. Лучи ОА и ОС — дополнительные (1, определение смежных углов). 4. Угол АОС — развёрнутый (3, определение развёрнутого угла). 5. ^АОС = 180° (4, свойство измерения углов). 6. ^АОВ + АВОС = ААОС (1, свойство измерения углов). 22 7(2)1. ^АОВ + АВОС = 180° (5, 6). ■ Из этой теоремы можно сделать следующие выводы — следствия, которые вы докажете самостоятельно: Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже рав ны. Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол. Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, — тупой; угол, смежный с ту пым уг лом, — ос т рый. Во всех рассмотренных выше случаях мы имели дело со смежными углами на плоскости, од на ко смеж ные уг лы ис поль зу ют ся и при изучении фигур в пространстве. На рис. 2.15 прямая CD пересекает плоскость а в точке О, прямая AB лежит в плоскости а и тоже проходит через точку О. Укажите смежные углы на рис. 2.15. § 2.3 ЧТО ТАКОЕ ТРЁХГРАННЫЙ УГОЛ Рассмотрим три луча а, b и c с общим началом — точкой O (рис. 2.16а). Три данных луча не обязательно лежат в одной плоскости. На рис. 2.16б лучи b и c лежат в плоскости т, а луч а не лежит в этой плоско сти. Лучи а, b и c попарно задают три выделенных дугами угла а, в и у (рис. 2.16в). а) в) Мы будем рассматривать фигуру, состоящую из трёх указанных выше углов и части пространства, ограниченной этими плоскими углами. Эту пространственную фигуру называют трёхгранным углом (рис. 2.17). 1 В учебнике нумеруются все шаги проводимого доказательства. Запись 7(2) означает, что это седьмой шаг доказательства, который доказывает п. 2. 23 т т B Рис. 2.17 Лучи a, b и c называются рёбрами трёхгранного угла, а углы ZAOC, ZAOB, ZBOC, ограничивающие трёхгранный угол, — его гранями. Эти углы-грани образуют поверхность трёхгранного угла. Точка O называется вершиной трёхгранного угла. Трёхгранный угол можно обозначить так: OABC. Трёхгранные углы часто встречаются в различных фигурах и в окружающем нас мире. Посмотрев на торец дома, мы видим четыре трёхгранных угла (рис. 2.18). Ответим на такой вопрос: Какие значения могут принимать величины плоских углов трёхгранного угла? Могут ли все они быть прямыми? острыми? тупыми? Выполним следующее задание. Задание Возьмите лист бумаги, отметьте на нём точку P и проведите четыре луча так, что ZAPB = 60°, ZCPB = 40°, ZCPA1 = 50° (рис. 2.19а). Мы получили развёртку поверхности трёхгранного угла. Возьмите ножницы и вы режь те Z APA1 (на ри сун ке пре ду с мо т рена до пол ни тель ная поло с ка для скле и ва ния). Согнём полученную развёртку по лучам PB и PC и склеим с помощью полоски углы APB и CPA1. Мы получим модель поверхности трёхгранного угла (рис. 2.196). А A C B б) Рис. 2.19 24 Ответьте на следующие вопросы: 1. Как соотносятся самый большой плоский угол и сумма других плоских углов? 2. Можно ли получить указанным способом трёхгранный угол, если ZAPS = 120°, ZBPC = 30°, ZCPA1 = 80°? Размышляя над поставленными вопросами, вы придёте к формулировке ос нов но го свой ст ва пло с ких уг лов трёх гран но го уг ла: [ I I В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плос-LiJ ких углов. Это теорема геометрии, но доказать её мы пока не сможем. Можно попытаться построить трёхгранный угол, плоские углы которого заданы в вопросе 2. Вы убедитесь, что такой трёхгранный угол построить не воз мож но. § 2.4 МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Конструируя трёхгранный угол, мы взяли три луча с общим началом. Конечно, лучей можно взять больше — 4, 5, 6, ^, п. Повторяя всё то, что мы делали с тремя лучами, мы можем получить так называемые многогранные углы, некоторые из них показаны на рис. 2.20. Пятигранный угол угол угол Рис. 2.20 Заметим, что многогранный угол с п гранями можно изобразить только условно, и это изображение практически ничем не будет отличаться от изображений, приведённых на рис. 2.20. При изучении свойств многогранных углов с п гранями важны рассуждения, а не чертёж. Изучив внимательно все многогранные углы на рис. 2.20, мы можем за клю чить, что у каждого из мно го гран ных уг лов оди на ко вое чис ло рёбер и граней: • у четырёхгранного угла — 4 ребра, 4 грани и одна вершина; • у пятигранного угла — 5 рёбер, 5 граней и одна вершина; • у шестигранного угла — 6 рёбер, 6 граней и одна вершина и т.д. 25 Многогранные углы бывают выпуклыми и невыпуклыми. Представьте себе, что мы взяли четыре луча с общим началом, как на рис. 2.21. В этом случае мы получили невыпуклый многогранный угол. Опираясь на приведённые изображения многогранных углов, можно сформулировать определение выпуклого многогранного угла. Определение 12. Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой плоскости, содержащей его грань. Другими словами, выпуклый многогранный угол всегда можно положить любой его гранью на некоторую плоскость. Вы видите, что в случае, изображённом на рис. 2.21, для некоторых граней так посту пить не уда ст ся. Мы уже давали определение выпуклым фигурам, причём другим способом. В дальнейшем мы сумеем до ка зать, что эти оп ре де ле ния равносильны. I I I Отметим, что если в дальнейшем мы говорим «мно-L"_J гогранный угол», то мы имеем в виду, что он выпуклый. Если рассматриваемый многогранный угол невыпуклый, об этом будет сказано специально. Развиваем умения К § 2.1 Н U |~1 # На рис. 2.22 изображены два луча с общим началом. Какие фигуры на плоскости вы видите? 2 • Сколько углов, равных 60°, можно отложить от дан- ного луча? 3 • На рис. 2.23 изображены три угла. Какой из них острый? тупой? прямой? Рис. 2.22 а) б) Рис. 2.23 в) 26 K a) б) в) г) д) Рис. 2.24 е) Как надо расположить два луча, чтобы образовался угол? Сколько при этом образуется углов? Сколько из них выпуклых? На рис. 2.24 изображены различные углы. Какие из этих углов развёрнутые? Какие из них меньше развёрнутых? Какие углы больше раз вёр ну тых? н 1Г 6 • На рис. 2.25 ОР — биссектриса угла КОМ, а ОМ — биссектриса угла РОА. Будет ли угол КОР равен углу АОМ? Объясните свой ответ. B О C н |~т] Сколько минут содержит угол, равный: а) 4°; б) 10°; в) 10°10'; г) 2°20"? Сколько секунд содержит угол, равный: а) 1°; б) 10°; в) 10°10'; г) 2°20"? Рис. 2.26 ZBQC = 40°. Чему 10 M B 11 Рис. 2.27 12 13 14 На рис. 2.26 ZAQC = 120° равен угол АОВ? На рис. 2.27 изображена биссектриса ОМ угла АОВ. ААОМ = 20°. Чему равна величина угла АОВ? На рис. 2.28 изображены два луча ОА и ОС с общим началом. Заштрихуйте угол АОС. Нарисуйте: а) два угла с общей вершиной; б) два угла с общей стороной; в) два угла, стороны которых лежат на двух данных прямых; г) два угла так, чтобы стороны одного пересекали стороны другого; д) углы АВС и АВВ; е) углы АВС и ВСМ; ж) углы КМО, ОМВ и ВМК. С помощью транспортира отложите углы величиной 35° и 45° от данного луча. Выполните действия над величинами углов: б) 4 г) 3 а) 25°36'24" + 36°24'40 в) 48°48'48" - 24°36'36' б) 48°26' + 28°36'34'' д) 5 18°36'18"; е) 144°5'21" : 3. 84°36'; Рис. 2.28 27 9 I5I Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного: а) 30°; б) 52°; в) 172°? п 16 Докажите, что луч, дополнительный к биссектрисе угла, образует с его сторонами равные углы. м 17 Нарисуйте угол с вершиной А. Из точки А внутри угла проведите: а) два луча; б) три луча. Сколько углов вы теперь видите на каждом рисунке? (Речь идёт только о выпуклых углах.) К § 2.2 н C K M Рис. 2.29 Рис. 2.30 18 • На рис. 2.29 угол COB выделен цветом. Назовите угол, смежный с этим углом. 19 # На рис. 2.30 на прямой AB отмечена точка О, из которой проведены два луча OM и OK. Назовите пары смежных углов, кото рые вы ви ди те на этом ри сун ке. н 1Г 20 21 22 23 Можно ли углы ABC и CBD (рис. 2.31) назвать смеж ны ми? О двух углах известно, что сумма их равна 180°. Можно ли утверждать, что эти углы смежные? Верны ли такие утверждения: а) если два угла смежные, то один из них острый, а другой тупой; б) если один из двух углов острый, а другой тупой, то они смежные? Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы? C 28 н 24 Най- 25 Угол а, смежный с углом в, равен 30° дите угол р. Поставьте необходимые обозначения и выпишите углы, смежные с углом, который выделен цветом на рис. 2.32. Какими свойствами обладают найденные смежные углы? 2б| Нарисуйте луч. Нарисуйте ещё два луча так, чтобы вместе с данным они образовали смежные углы. 45° 90°, 15°30', 82°2'. 28 27 Найдите углы, смежные с углами 30 Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше другого; б) их разность равна 50°; в) один в 5 раз меньше другого; г) они равны; д) их величины относятся как 2:3. Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 29 100°? 30 Докажите, что если смежные углы равны, то они прямые. п О 31 Являются ли два угла смежными, если: а) их объ е ди не ни ем яв ля ет ся по лу пло с кость; б) их пе ре се че ни ем яв ля ет ся луч; в) их объ е ди не ни ем яв ля ет ся по лу пло с кость, а пе ре се че ни ем луч? Сделайте соответствующие рисунки. м с 32 Найдите величину угла между биссектрисами смежных углов. К § 2.3-2.4 Рис. 2.33 О Н 33 D 34 • На рис. 2.33 изображён трёхгранный угол. Назовите вершину этого угла и его рёбра. Сколько рёбер и граней имеет трёх гран ный угол? • На рис. 2.34 изображён четырёхгранный угол ОАВСВ. Назовите вершину этого угла, его рёбра и грани Сколь ко пло с ких уг лов име ет этот угол? 29 3sl • Сколько лучей с общим началом вы видите на рис. 2.33 и рис. 2.34? 3б| • На рис. 2.35 изображён куб ABCDA1B1C1D1. Сколько у него трёхгранных углов? Какие величины имеют плоские углы этих трёхгранных углов? B н tr C Ci 37 Рис. 2.35 38 39 # Какие фигуры можно получить при пересечении трёхгранного угла и плоскости? Из плотной бумаги или картона вырежьте углы 50°, 60°, 90°, 120°, 140°, 150°. Попытайтесь изготовить из них модель поверхности трёхгран но го угла с тремя пло с ки ми угла ми. Сфор му ли руй те вы во ды: в каких слу ча ях из трёх пло с ких уг лов нель зя соста вить по верх ность трёх гран но го уг ла? Могут ли все плоские углы трёхгранного угла быть прямыми? Изо-б ра зи те та кой трёх гран ный угол. По ст рой те се че ние это го трёх гранного угла плоскостью, не проходящей через его вершину и пересекаю щей все его рёб ра. Ка кая фи гу ра по лу чит ся в се че нии? п 40 41 Докажите, что если сумма плоских углов трёхгранного угла равна 180°, то все они острые. Как долж ны быть рас по ло же ны два трёх гран ных уг ла, что бы в пе ресечении они давали: а) только одну точку; б) луч; в) плоский угол; г) трёх гран ный угол; д) не ко то рый мно го гран ник? м 42 Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами а, b и с, исходящими из одной точки, углы а, в и у. Докажите, что а + в + Y меньше 180°. шшш UMJ LAJ IZJ Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Определение длины диагонали прямоугольного параллелепипеда. ВАША РОЛЬ. Каменщик. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. В вашем распоряжении имеется три одинаковых кирпича и метровая линейка с миллиметровыми делениями. ЗАДАНИЕ: а) Определите длину диагонали кирпича с точностью до 1 мм. б) Сможете ли вы выполнить задание, если у вас имеется только два кирпича? только один кирпич? 30 Глава 3 ТРЕУГОЛЬНИКИ, МНОГОУГОЛЬНИКИ, МНОГОГРАННИКИ Глядя на мир, нельзя не удивляться. Козьма Петрович Прутков (коллективный псевдоним, под которым в 1850-1860-е гг. выступали поэты А.К. Толстой и братья Жемчужниковы) Открываем новые знания § 3.1 ТРЕУГОЛЬНИК. свойства его сторон и углов В 5-6 классах вы уже довольно подробно изучали треугольник и свойства его элементов. Вспомним определение треугольника. Определение 13. Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки, а также части плоскости, ограниченной этими отрезками. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. Часть плоскости, ограниченную сторонами треугольника, называют внутренней областью треугольника. Треугольник обозначается его вершинами. На рис. 3.1 изображён треугольник АВС: А,В,С— его вершины, а отрезки АВ, ВС, АС — его стороны. Вме с то сло ва «тре уголь ник» упо треб ля ет ся сим вол «А». Запись AРМK читается: «треугольник РМK». B A C Рис. 3.1 31 В зависимости от соотношений между длинами сторон треугольника выделяют равнобедренные и равносторонние треугольники. B Определение 14. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием равнобедренного треугольника. На рис. 3.2 в треугольнике АВС АВ = ВС, значит, по определению 14, треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС. Определение 15. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним, или правильным. Рис. 3.2 B Рис. 3.3 На рис. 3.3 изображён равносторонний треугольник А^С, все его стороны имеют одинаковую длину: АВ = ВС = АС. Есть ещё одно понятие, связанное с длинами сторон треугольников, — периметр треугольника. Так называют сумму длин его сторон. Определение 16. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника, называется медианой треугольника. На рис. 3.4 вершина В треугольника АВС соединена с серединой D стороны АС, а значит, отрезок BD является медианой треугольника АВС. Перейдём к изучению свойств треугольников, связанных с величинами его углов. Пусть нам дан треугольник АВС (рис. 3.5а). Рассмотрим вершину А и два луча АВ и АС. Эти лучи с общим началом, как известно, задают два угла. Тот из углов, внутри которого лежит сам треугольник АВС, на зы ва-ется внутренним углом треугольника (рис. 3.5б). B B C A а) С Рис. 3.5 б) 32 B C B Рис. 3.7 C Определение 17. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне. На рис. 3.6 отрезок AD является частью биссектрисы угла A треугольника ABC и соединяет вершину A треугольника с точкой D на противолежащей стороне. Значит, он является биссектрисой треугольника АВС. Определение 18. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. У треугольника АВС (рис. 3.7) угол А прямой, а значит, этот треугольник прямоугольный. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (рис. 3.7). Пусть нам дан треугольник АВС (рис. 3.8а). У него есть три внутренних угла, на рисунке они обозначены дужками. Продлим две стороны треугольника, как показано на рис. 3.8б. Мы увидим, что у каждого внутреннего угла треугольника есть два смежных с ним угла. На рис. 3.8б у угла BCA треугольника ABC есть два смежных с ним угла: ZВCD и ZACK, их называют внешними углами треугольника. B а) B Рис. 3.8 33 б) Определение 19. Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. Обычно принято рассматривать один из внешних углов при данной вершине треугольника. § 3.2 МНОГОУГОЛЬНИКИ На рис. 3.9 изображены несколько точек А^, А2, А3, А4, А5, которые последовательно соединены отрезками А^^2> А^3, А3А4, А^А5. в результате получилась геометрическая фигура А^^^3А^А5, которая называется ломаной. Определение 20. Ломаной называется фигура, которая образована отрезками, такими, что конец первого является началом второго, конец второго — началом третьего и т.д., причём соседние отрезки не лежат на одной прямой. Рис. 3.9 Отрезки, из которых состоит ломаная, называются её звеньями. Точки А^ и А.п называются соответственно началом и концом ломаной. Рассмотрим различные ломаные. Если начало и конец ломаной совпадают, то она называется замкнутой (рис. 3.10), в противном случае ломаная является не за мк ну той (рис. 3.9). Ломаная иногда может пересекать сама себя, т.е. не сосед ние по по ряд ку зве нья ло ма ной могут иметь общие точки. В этом случае ломаная называется самопересекающейся, или непростой (рис. 3.11). Если таких самопересечений нет, то ломаная называется про стой. Мы знаем, что у каждого отрезка есть длина, а так как ломаная состоит из отрезков, то и у неё есть длина — сумма длин её звеньев. Мы уже неоднократно говорили о многоугольниках: треугольниках, четырёхугольниках, пятиугольниках и т.д. (рис. 3.12). Рис. 3.11 Рис. 3.12 34 Понятие многоугольника тесно связано с понятием простой замкнутой ломаной. Начертим на плоскости (на листе бумаги) простую замкнутую ломаную L с произвольным числом звеньев. На рис. 3.13 это пятизвенная ломаная. Эта ломаная разбивает плоскость на две части — внешнюю и внутреннюю (рис. 3.14). Определение 21. Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею частью плоскости, называется многоугольником. Ломаная L (рис. 3.14) называется границей мно- В гоугольника, а её внутренняя область — внутренней областью многоугольника. Звенья называются сторонами многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника. Иногда, говоря о стороне много уголь ни ка, име ют в ви ду и её дли ну. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется его диагональю. На рис. 3.15 отрезок АD является одной из диагоналей мно го уголь ни ка ABCDE. В геометрии различают выпуклые и невыпуклые многоугольники. На рис. 3.16 изображены два пятиугольника. C Чем отличаются друг от друга эти многоугольники? Мы уже давали определение выпуклой фигуры, но сейчас поступим несколько иначе. Проведём прямую а, содержащую сторону ВС, в обоих многоугольниках (рис. 3.17). В первом случае (рис. 3.17а) весь многоугольник лежит по одну сторону от этой прямой. Во втором случае (рис. 3.17б) это не так: его части находятся в обеих полуплоскостях, задаваемых прямой а. B B D Рис. 3.16 E Рис. 3.17 D 35 Определение 22. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. На рис. 3.17а мы видим выпуклый многоугольник АВСВЕ, а на рис. 3.17б — невыпуклый. Можно доказать, что для многоугольника новое определение выпуклости равносильно прежнему. Для того чтобы вырезать выпуклый многоугольник из бумаги, лист можно разрезать от края до края: вдоль прямых, содержащих стороны мно го уголь ни ка. I I I Если в тексте написано «многоугольник», договоримся считать, что он вы-LiJ пуклый. В случае рассмотрения невыпуклого многоугольника об этом будет специально сказано. Отметим, что выпуклый многоугольник содержит все свои диагонали, а невыпуклый не содержит некоторые из них. Многоугольник, имеющий ровно n сторон (а значит, n углов), принято называть n-угольником. § 3.3 УГЛЫ МНОГОУГОЛЬНИКОВ. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ I Пусть нам дан многоугольник ABCD. Рассмотрим вершину А и два луча АВ и AD, выходящие из вершины А и содержащие стороны АВ и AD данного многоугольника (рис. 3.18). ABAD, внутри которого лежит сам многоугольник ABCD, называется его внутренним углом (рис. 3.18). Для краткости внутренним углом много- q угольника иногда называют и величину этого уг ла. Докажем теорему о свойствах внутренних углов многоугольников1. Теорема 2. У любого многоугольника каждый внутренний угол меньше 180° Доказательство 1. ABCDE — выпуклый многоугольник АА — его внутренний угол. 2. AA < 180° (требуется доказать). (дано) (рис. 3.19а) 1 По нашей договорённости, если в тексте написано «многоугольник», значит, речь идёт о выпуклом многоугольнике. 36 3. ABCDE — выпуклый многоугольник, а значит, лежит по одну сторону от прямой МВ, содержащей его сторону АВ (рис. 3.19б) (1, определение выпуклого мно го уголь ни ка). 4. Z A — внутренний угол многоугольника ABCDE, он тоже лежит по одну сторону от прямой МВ (рис. 3.19б) (1, 3). 5. Z ВАМ = 180° (1, 3, определение развёрнутого угла). 6(2). Z A составляет часть АВАМ, а значит, он меньше 180° (1, 4, 5). Так как угол А мы выбирали произвольно, то теорема доказана полностью. ■ Используя понятие угла многоугольника, дадим определения прямоугольника и квадрата. Определение 23. Если все четыре угла четырёхугольника прямые, то четырёхугольник называется прямоугольником. На рис. 3.20 изображён прямоугольник AECD. У него ZA = АВ = АС = AD = 90°. Определение 24. Если все четыре угла четырёхугольника прямые и все его стороны равны, то четырёхугольник называется квадратом. B B A Рис. 3.20 C C D B На рис. 3.21 изображён квадрат ASCD. У него АА = АВ = АС = AD = 90° и АВ = ВС = CD = = DA. В заключение этого раздела рассмотрим наиболее красивые многоугольники — правильные. A C D Рис. 3.21 Определение 25. Многоугольник, у которого все стороны и все углы равны, называется правильным. 37 На рис. 3.22 изображены правильные треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник. Пока мы не умеем строить эти фигуры, но изучать некоторые их свойства, зная определение, уже можем. § 3.4 ЗНАКОМСТВО С МНОГОГРАННИКАМИ Мы уже много раз встречались с такими фигурами, как куб (рис. 3.23) и прямоугольный параллелепипед (рис. 3.24). Это примеры фигур, которые называются многогранниками. Что такое многогранник? Как его можно определить? Какими простейшими свойствами он обладает? В геометрии многогранником называют геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Каждый многогранник имеет поверхность и внутреннюю область. Например, поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратов — его граней. Все точки куба, не лежащие на его поверхности, образуют его внутреннюю область. Из рис. 3.24 видно, что поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямо-уголь ни ков. Можно назвать такие свойства куба и прямоугольного параллелепипеда: • Поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратов, а поверхность прямоугольного параллелепипеда — из шести прямоугольников. Перечисленные многоугольники называются гранями соответственно куба и прямоугольного параллелепипеда. • Грани куба и прямоугольного параллелепипеда попарно пересекаются по 12 отрезкам, которые называются их рёбрами. • Куб и прямоугольный параллелепипед имеют восемь вершин, в каждой из которых сходятся по три ребра этих мно го гран ни ков. В курсе геометрии мы будем рассматривать много других многогранников. Заметим, что бывают многогранники, имеющие 8 вершин, но не являющиеся кубом или прямоугольным параллелепипедом (рис. 3.25). Рис. 3.24 пирамида Многогранник с восемью вершинами Рис. 3.25 38 Бывают и более сложные и красивые многогранники (рис. 3.26). Если разрезать поверхность многогранника по некоторым рёбрам, то иногда её удаётся развернуть в некоторую плоскую фигуру. Эта плоская фигура называется развёрткой поверхности многогранника. Часто для краткости говорят также развёртка многогранника. На рис. 3.27 показано получение развёртки поверхности прямоугольного параллелепипеда. А из имеющейся выкройки (развёртки) можно склеить поверхность многогранника. На рис. 3.28 изображена развёртка куба и склеенная из неё поверхность куба. Рис. 3.28 Развиваем умения К § 3.1 Н U |~1 # Сколько вершин, сторон и углов имеет треугольник? • Назовите боковые стороны и основание равнобедренного треугольника АВС (рис. 3.29). н 1Г Является ли равносторонний треугольник равнобедренным? Обоснуйте свой ответ. B Рис. 3.29 39 3 4 • Может ли точка лежать вне треугольника и вне каждого из его углов? н 14 Сколько треугольников изображено на рис. З.ЗОа-З.ЗОг? а) б) в) г) Рис. 3.30 6 Сторона АВ треугольника АВС равна 5 см, сторона ВС вдвое больше стороны АВ, а сторона АС на 2 см меньше стороны ВС. Найдите периметр треугольника. |~т] В равнобедренном треугольнике ABC основание в 2 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите длины сторон треуголь-ни ка. п 8 Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 13 см. Найдите длины его сто ро н, ес ли ос но ва ние мень ше бо ко вой сто ро ны на 2 см. 9 • Сколько треугольников изображено на рис. 3.31а-3.31в? 10 Можно ли тремя прямыми разбить треугольник: а) на 5 треугольников; б) на 6 треугольников; в) на 8 треугольников? м 11 Мож но ли рас по ло жить на пло с ко сти не сколь ко тре уголь ни ков так, чтобы две вершины каждого из них лежали на сторонах (но не в вершинах) других треугольников? 40 12 Можно ли из шести спичек составить фигуру, состоящую из четырёх равносторонних треугольников со стороной, равной длине спички? 13 Рассмотрите различные случаи взаимного расположения треугольника и пря мой. К § 3.2-3.3 Н 14 15 16 17 18 19 • На рис. 3.32 изображена ломаная A1A2AgA4A5. Какими свойствами обладает эта фигура? • На рис. 3.33 изображён многоугольник ABCDEF. а) Сколько сторон и вершин у этого многоуголь-ни ка? б) Сколько внутренних углов имеет этот многоуголь ник? • На рис. 3.34 изображён правильный пятиугольник. Какими свойствами обладают стороны и углы это го мно го уголь ни ка? • На рис. 3.35 изображены две ломаные А1А2АэА4. Какими общими свойствами обладают эти фигуры? Чем они отличаются друг от друга? • На рис. 3.36 изображены две ломаные А1А2А3А4А^6. а) Сколь ко вер шин и зве нь ев име ют эти ло ма-ные? б) Какими общими свойствами обладают эти фигуры? в) Чем эти фигуры отличаются друг от друга? Сколько диагоналей имеет: а) четырёхугольник; б) пятиугольник; в) шестиугольник? Рис. 3.32 A B C A2 A2 Аз Рис. 3.35 Рис. 3.36 41 н tr 20 Что надо знать о сторонах и углах многоугольника, чтобы утверждать, что он правильный? а) в) г) 21 22 Рис. 3.37 Какие из фигур, изображённых на рис. 3.37, являются выпуклыми ше-с ти уголь ни ка ми? Существует ли многоугольник, число диагоналей которого: а) равно числу его сторон; б) больше числа его сторон? н 23 24 Сторона правильного пятиугольника равна 2 см. Чему равен периметр этого пятиугольника? Начертите выпуклый и невыпуклый многоугольники. Объясните, чем они отличаются друг от дру- < га. ^ На сколько треугольников разбивается пятиуголь- * ' ник диагоналями, проведёнными из одной его вершины? Соедините отрезками все точки на рис. 3.38 так, чтобы в результате получился многоугольник. 26 Рис. 3.38 п 27 28 Постройте четырёхугольник, имеющий два прямых угла, но не являю щий ся пря мо уголь ни ком. Постройте четырёхугольник с равными диагоналями, но не являющийся пря мо уголь ни ком. 42 м 29 Сколько треугольников изображено на рис. 3.39а—3.39в? а) б) Рис. 3.39 в) 30 Сколько диагоналей имеет многоугольник с 103 сторонами; с n сторонами? К § 3.4 Н U B C A D ✓ Ci 31 • Посмотрите на рис. 3.40 и ответьте на вопросы: а) Сколько вершин имеет куб? б) Сколько рёбер имеет куб? в) Сколько рёбер куба сходится в одной верши не? г) Какими многоугольниками являются грани ку ба? • Сколько квадратов входит в развёртку куба? • Сколько многоугольников входит в развёртку прямоугольного парал ле ле пи пе да? Ai Di Рис. 3.40 32 33 Н 1Г 34 • Существуют ли многогранники, гранями которых являются 6 квадратов? • Существует ли многогранник, который имеет: а) 14 рёбер; б) 15 рёбер? 3б| • На рис. 3.40 изображён куб ABCDA1B1C1D1. Могут ли вершины куба задавать отрезки, отличные от рёбер куба? Назовите эти отрезки. 35 43 37| Какому кубику соответствует развёртка, изображённая на рис. 3.41? 38| На рис. 3.42 изображены игральный кубик и три развёртки поверхности игральных кубиков. Какие из них могут быть развёртками поверхности именно этого кубика? • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • а) • • • • б) • • • в) Рис. 3.42 п 39| Нарисуйте многогранник, у которого 7 вершин. 40 41 Попробуйте нарисовать многогранник, у которого: а) 6 рёбер; б) 8 рёбер; в) 7 рёбер. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вершину А соедините с другими вершинами куба. Сколько отрезков вы получили? 42 Внутри куба ABCDA1B1C1D1 взята точка О и соединена со всеми вершинами куба. Сколько отрезков получилось? 4з| На модели куба покажите ломаные, вершины которых являются некоторыми из вершин куба, у которых: а) все зве нья ле жат в од ной пло с ко сти; б) не все звенья лежат в одной плоскости. 44 м На гранях картонного куба провели три диагонали (рис. 3.43). Развёртывая поверхность этого куба, можно получить развёртку А или развёртку В, на которых недостаёт одной диагонали. Проведите эту ди а го наль. В многограннике известно число вершин, причём к каждой вершине подходит одно и то же известное число рёбер. Можно ли по этим данным узнать, сколько у него: а) плоских углов; б) рёбер; в) граней? 45 Проект «Различные развёртки куба» Изготовьте из плотного картона как можно больше различных развёрток куба с ребром 10 см (развёртки считаются различными, если их нельзя наложить друг на друга так, чтобы они совпали). Сколько различных развёрток у вас получилось? Докажите, что это число наибольшее. шшш Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Изготовление чертежей многогранников. ВАША РОЛЬ. Чертёжник. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Вам нужно изобразить многогранник таким образом, чтобы у него было как можно больше видимых: а) вершин; б) рёбер; в) граней. ЗАДАНИЕ: а) Существует ли такой многогранник, у которого более 100 вершин и который можно изобразить таким образом, чтобы все вершины были видимыми? б) Существует ли такой многогранник, у которого более 100 рёбер и который можно изобразить таким образом, чтобы все рёбра были видимыми? в) Существует ли такой многогранник, который можно изобразить таким образом, чтобы все его грани были видимыми? 45 Глава 4 ПИРАМИДЫ Открываем новые знания § 4.1 ПОНЯТИЕ ПИРАМИДЫ. ВИДЫ ПИРАМИД В главе 2 мы познакомились с трёхгранными и многогранными углами. Пусть нам даны трёхгранный, четырёхгранный и пятигранный углы (рис. 4.1). Рис. 4.1 Пересечём эти многогранные углы плоскостями, не проходящими через вер ши ны уг лов и пе ре се ка ю щи ми все их бо ко вые рёб ра (рис. 4.2). 46 5 C D Рис. 4.3 D C В пересечении мы получим различные многоугольники: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник. Части пространства, ограниченные поверхностями многогранных углов и многоугольниками, полученными в сечении их плоскостью, называются пирамидами. Мы получили треугольную, четырёхугольную и пятиугольную пирамиды (рис. 4.3). Вершина соответствующего многогранного угла называется вершиной пирамиды, а многоугольник, полученный в сечении, — основанием пирамиды. Вершины многоугольника в основании пирамиды тоже называют вершинами пирамиды. Рассмотрим сначала свойства треугольной пирамиды. На рис. 4.3а изображена треугольная пирамида SABC с вершиной в точке S. Боковыми гранями пирамиды являются треугольники SАВ, SВС, SСА. Грань АВС яв ля ет ся ос но ва ни ем тре у голь ной пи ра миды. Рёбрами пирамиды являются отрезки SA, SB, SC, AB, BC, CA. Отрезки SA, SB, SC называются боковыми рёбрами пирамиды. Вы видите, что в каждой вершине треугольной пирамиды сходятся три ребра. Среди треугольных пирамид выделяют правильные треугольные пирамиды. У правильной треугольной пирамиды (рис. 4.4) в основании лежит правильный тре у голь ник, а все её бо ко вые гра ни представляют собой равные равнобедренные тре у голь ни ки. Пирамиды могут быть четырёхугольными, пятиугольными, шестиугольными, ..., п-угольными (п > 3). Вид пирамиды определяет многоугольник, который лежит в её В основании. Рис, 4,5 Рис. 4.4 5 D 47 На рис. 4.3 изображены несколько пирамид, основаниями которых являются различные многоугольники. В предыдущих разделах мы рассматривали выпуклые и невыпуклые многоугольники и многогранные углы. Точно так же различают выпуклые и невыпуклые пирамиды. Любая треугольная пирамида выпуклая (рис. 4.3). А вот другие пирамиды могут быть невыпуклыми. На рис. 4.5 изображена невыпуклая четырёхугольная пирамида SABCD. I I I Если мы пишем (или говорим) «пирамида», то имеем в виду выпуклую пира-1 " I миду. Если нужно будет рассмотреть невыпуклую пирамиду, то об этом будет сказано особо. § 4.2 РАЗВЕРТКИ поверхностей ПИРАМИД Посмотрите на треугольную пирамиду (рис. 4.6). Если мы разрежем её по верх ность по не сколь ким рёб рам и раз ло жим на по верх но с ти сто ла, то получим развёртку поверхности треугольной пирамиды (рис. 4.7). Представим себе модель поверхности четырёхугольной пирамиды, изготовленную из гибкого нерастяжимого материала (бумага, картон и т.д.) (рис. 4.8а). Эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть на плоскости. Мы получим различные многоугольники, которые являются развёртками поверхности данной пирамиды. На рис. 4.8б-4.8г изображены три различные развёртки такой пирамиды. Посмотрите внимательно на эти развёртки. Из готовой развёртки можно склеить модель многогранника. На рис. 4.9 изображена развёртка, из которой можно изготовить модель треугольной пирамиды. Для удобства склеивания на рисунке предусмотрены специальные до пол ни тель ные по лос ки. 48 § 4.3* ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ Правильные многогранники — это особый вид многогранников. Их гранями являются равные между собой правильные многоугольники, а все многогранные углы равны. Математики древности уделяли много внимания изучению этих многогранников. Платон (427-347 гг. до н.э.) связывал с ними устройство нашей Вселенной. Правильных многогранников всего пять (рис. 4.10). Их иногда называют пять Платоновых тел. Тетраэдр Куб (гексаэдр) Октаэдр б) в) Рис. 4.10 Икосаэдр г) На рис. 4.11 видно, что плоскость можно покрыть равными квадратами так, чтобы к каждой вершине прилегали четыре квадрата. Представим себе многогранник, со всех сторон ограниченный квадратами. У каждой его вершины сходятся только три равных квадрата. Используя шесть таких квадратов, мы получим куб, который ещё называют гексаэдром, в переводе с греческого — шестигранник (рис. 4.10б). Додекаэдр д) 49 Можно покрывать плоскость и равными равносторонними треугольниками так, чтобы к каждой вершине прилегали шесть треугольников (рис. 4.12). Если мы попытаемся объединить эти треугольники так, чтобы к каждой вершине прилегали три пра виль ных тре уголь ни ка, мы по лу чим пра виль ный многогранник, называемый тетраэдром, т.е. четырёхгранником (рис. 4.10а). В случае, если в одной вершине сходится 4 равных правильных треугольника, мы получаем правильный многогранник октаэдр, состоящий из восьми граней — правильных треугольников (рис. 4.10в). Если в вершине сходятся 5 равных правильных треугольников, мы получаем правильный многогранник, который называется икосаэдр, т.е. двадцатигранник. Он состоит из двадцати граней — правильных треугольников (рис. 4.10г). Если все грани многогранника являются равными правильными пятиугольниками, в одной вершине их может сходиться три. Соответствующий правильный многогранник называется додекаэдром, т.е. двенадцатигранником (рис. 4.10д), он состоит из двенадцати правильных пятиугольников. Правильный многогранник не может иметь граней с шестью, семью и бо лее уг ла ми. § 4.4* ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Познакомимся с одной из великих теорем геометрии — теоремой Эйлера. Леонард Эйлер (1707-1783) — гений XVIII века, академик Санкт-Петербургской академии наук, один из величайших математиков мира. Ему принадлежит огромное количество научных работ (более 850) в са мых раз ных об ла с тях ма те ма ти ки, механики и астрономии. Теорема Эйлера, рассматриваемая в этом параграфе, и ряд других работ учёного легли в основу топологии — одной из ветвей современной геометрической науки. Обо зна чим чис ло гра ней мно го гран ни ка буквой Г, число вершин — буквой В, число рёбер — буквой Р. Оказывается, эти три числа для любого простого многогранника (простой многогранник не имеет внутренних дыр) связаны одним и тем же Леонард Эйлер 50 соотношением: В + Г - Р = 2. Например, у куба: В = 8, Г = 6, Р = 12. Тогда 8 + 6 - 12 = 2. Проверьте выполнение этого правила для каждого правильного многогранника. Теорема 3 (теорема Эйлера). У любого простого многогранника сумма числа граней и вершин на 2 больше числа рёбер. Развиваем умения К § 4.1 Н |~1 • Сколько рёбер и граней имеет: а) треугольная пирамида; б) четырёхугольная пирамида; в) пятиугольная пирамида; г) девятиугольная пирамида? а • Дана треугольная пирамида. Сколько она имеет трёхгранных углов? |~з] • Сколько трёхгранных углов имеет четырёхугольная пирамида? пятиугольная? я-угольная? н 1Г 4 • Существует ли пирамида, у которой: а) 4 ребра; б) 6 рёбер; в) 11 рёбер; г) 30 рёбер? • Какими фигурами могут являться сечения треугольной пирамиды? н |~6| Начертите треугольную и четырёхугольную пирамиды. |~т] На модели треугольной пирамиды выполните необходимые измерения и вы чис ли те сум му длин всех рё бер пи ра ми ды. 8 На модели правильной четырёхугольной пирамиды выполните необходимые измерения и вычислите сумму длин всех рёбер пирамиды. п 9 Возьмите в руки каркасную модель четырёхугольной пирамиды. Какие пло с кие фи гу ры мо гут по лу чить ся в се че нии этой пирамиды не ко то рой пло с ко стью? Выполните соответствующие ри сун ки. 51 м шш 10 11 Можно ли разрезать куб плоскостью на две части так, чтобы одна из частей была четырёхугольной пирамидой? Можно ли из 8 спичек сложить фигуру, состоящую из квадрата и четы рёх тре у голь ни ков? К § 4.2 Н U 12 • Из скольких треугольников, равных соответствующим граням треугольной пирамиды, состоит развёртка её поверхности? н tr 13 • Могут ли развёртку поверхности треугольной пирамиды составлять неравные между собой фигуры? н 14 Начертите развёртку поверхности треугольной пирамиды, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а все боковые рёбра имеют одинаковую длину. Изготовьте из этой развёртки модель поверхности пирамиды. 15| Начертите развёртку поверхности четырёхугольной пирамиды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые рёбра имеют одинаковую длину. Изготовьте из этой развёртки модель поверхности пирамиды. а) б) Рис. 4.13 C Рис. 4.14 52 п 16 17 На рис. 4.13 изображены развёртки поверхностей двух многогранников. Какая из них является развёрткой поверхности пирамиды? Развёртка по верх но с ти ка кой пи ра ми ды мо жет со дер жать квадрат? Развёрткой поверхности какого многогранника является вторая фигура? Ка кие от резки сов ме с тят ся при скле и ва нии поверхности пирамиды из развёртки, изображённой на рис. 4.14? Какая пирамида при этом получится? 18 Раз вёрт ка поверхности ка ко го изображена на рис. 4.15? мно го гран ни ка м Y9I Длина каждого ребра четырёхугольной пирамиды равна а. Изобразите кратчайший путь (по по верх но с ти пи ра ми ды) меж ду цен т ра ми двух боковых граней: а) смежных; б) не смежных. 20 Известно, что развёрткой поверхности тетраэдра является параллелограмм. Что вы можете сказать о сторонах и углах этого параллелограмма? Проект «Правильные многогранники» Изготовьте из плотного картона развёртки всех пяти правильных многогранников, а затем склейте правильные многогранники. 53 РАЗДЕЛ 2 ИЗОМЕТРИИ И РАВЕНСТВО ФИГУР Симметрия, как бы широко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек в течение веков пытался объяснить порядок, красоту и совершенство. Герман Вейль (немецкий математик, 1885-1955) \ Л I t if и у. / i / I Jr / ' ^ /> \^ч // J > ' » о ] / t ' / t f О! ' ; У ■ щм Глава 5 ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ Без рассмотрения порядка невозможно никакое понимание математики. Бертран Рассел (английский философ и математик, 1872-1970) шш Открываем новые знания § 5.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КРУГЛЫХ ФИГУР Рассмотрим одну из замечательных геометрических фигур — окружность. На рис. 5.1 изображена окружность, радиус которой 1 см. Она состоит из всех точек плоскости, находящихся от центра О на расстоянии 1 см. Определение 26. Множество всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоянии от данной точки этой плоскости, называется окружностью. Данная точка называется центром окружности. Расстояние от любой точки окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом окружности называется также от ре зок, со еди ня ю щий центр ок руж но-сти с любой её точкой. Радиус окружности обычно обозначается буквой г. На рис. 5.1 r = ОА = 1 см. 55 Если продлить радиус окружности за точку О до пересечения с окружностью, мы получим отрезок, называемый диаметром окружности. На рис. 5.2 отрезок АВ — диаметр окружности. Окружность с центром в точке О и радиусом r обозначают так: окр. (О, r). Запись читаем: «окружность с центром О и радиусом г». Есть ещё одно понятие, связанное с окружностью, — хорда. Определение 27. Хордой окружности называется отрезок, концы которого лежат на данной окружности. Можно сказать также: отрезок, соединяющий любые две точки окружности. На рис. 5.3 мы видим хорды АВ, АС, AD окружности. Об ра ти те вни ма ние на то, что ди а метр ок руж но с ти АВ на рис. 5.2 также является хордой окружности. Таким образом, диаметр — это хорда окружности, проходящая через её центр. Из определения окружности следует, что это плоская фигура. В пространстве есть похожая фигура — сфера. Сфера определяется в пространстве аналогично тому, как ок руж ность определяется на пло с ко сти. Определение 28. Сферой называется множество всех точек пространства, удалённых от данной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние — её радиусом. Радиус сферы будем обозначать буквой R. Сферу с центром в точке О и радиусом R можно обозначить: сфера (О, R). На рис. 5.4 изображена сфера с центром в точке О и радиусом R. Фигура, ограниченная окружностью, называется кругом. Он состоит из точек окр. (О, r) и всех точек пло с ко сти, ле жа щих вну т ри ок руж но с ти. Точ ки ок-руж но с ти на хо дят ся от цен т ра О на рас сто я нии, рав ном r, а точ ки, рас по ло жен ные вну т ри кру га, — на расстоянии, меньшем r. Радиус и диаметр круга определяются и обозначаются так же, как радиус и диаметр окружности. На рис. 5.5 изображён круг с центром О и радиусом r. Фигура, ограниченная сферой, называется шаром. Таким образом, шар с центром в точке О и радиусом R есть множество всех точек Х в пространстве, для которых ОХ < R (рис. 5.6). 56 а) а а п б) в; Рис. 5.7 Рис. 5.6 В этой главе мы будем решать задачи на построение. Для решения таких задач широко используются условия взаимного расположения прямой и окружности и двух окружностей. Начнём с изучения случаев взаимного расположения прямой и окружности. Так как построения выполняются обычно на части плоскости (скажем, листе бумаги), то мы вначале будем рассматривать расположение прямой и окружности в случае, если они лежат в одной плоскости. Пусть нам даны две фигуры: прямая а и окр. (О, r). Возможны следующие случаи расположения прямой и окружности: а) прямая и окружность не имеют общих точек (рис. 5.7а); б) прямая и окружность имеют только одну общую точку, тогда говорят, что прямая касается окружности (такая прямая называется касательной к окружности) (рис. 5.7б); в) прямая пересекает окружность в двух точках (такая прямая называется секущей окружности) (рис. 5.7в). Рассмотрим случаи взаимного расположения двух окружностей: окр. (О1, Г1) и окр. (О2, Г2). Рис. 5.8 57 а) Две окружности не имеют общих точек (рис. 5.8а, 5.8б); б) две окружности имеют только одну общую точку, говорят, что окружности касаются в этой точке (рис. 5.8в, 5.8г); в) две окружности имеют две общие точки (рис. 5.8д). Все рас смо т рен ные слу чаи вза им но го рас по ло же ния пря мой и ок руж но-сти и двух окружностей могут быть описаны с помощью понятий расстояние от точки до прямой и расстояние между окружностями. Но в нашем кур се мы огра ни чим ся на гляд ным опи са нием этих слу ча ев рас по ло же ния. § 5.2 ОСНОВНЫЕ ЧЕРТЕЖНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ Основными инструментами, с помощью которых выполняют построение фигур, являются линейка и циркуль. С помощью линейки можно построить (в виде отрезка) следующие фигуры: а) часть про из воль ной пря мой; б) часть пря мой, про хо дя щей че рез дан ную точ ку; в) часть пря мой, про хо дя щей че рез две дан ные точ ки. С помощью циркуля можно: а) построить окружность данного радиуса с центром в данной точке; б) от ло жить дан ный от ре зок на дан ной пря мой от дан ной точ ки. Полное решение задач на построение состоит из четырёх этапов. Этап 1. Анализ. Не имея плана решения задачи, невозможно выполнить даже самое простое построение. Первый этап, определяющий такой план, назы ва ют ана ли зом. На этом этапе мы рассуждаем так: Пусть задача решена и мы построили нужную нам фигуру. Попытаемся найти какие-нибудь соотношения между элементами этой фигуры и данными в условии величинами. Возможно, эти соотношения позволят свести рассматриваемую задачу к уже известным нам задачам на построение. Какова будет последовательность выполнения построений? Этап 2. Построение. Этот этап подробно описывает все шаги выполняемого построения. Этап 3. Доказательство. На этом этапе происходит доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи. Этап 4. Исследование. Этот этап предусматривает ответы на следующие вопросы: Имеет ли задача решение? Если да, то сколько решений мож но по лу чить? Нель зя ли по лу чить ещё ка кую-ни будь фи гу ру с указан ны ми в ус ло вии свой ст ва ми? На практике некоторые этапы решения иногда опускаются или о них го во рится очень крат ко. 58 I Решим одну из самых простых задач на построение. Задача 1 Построить отрезок, равный данному отрезку и отложенный на данной прямой от данной на ней точки. A B О О K О K K1 K а) б) в) г) Рис. 5.9 Решение Нам дан отрезок AB, прямая а и на ней точка O (рис. 5.9а). Анализ. Предположим, что задача решена и мы на прямой а от точки O отложили отрезок OK, равный данному отрезку АВ (рис. 5.9б). Так как OK = AB, то точка К лежит на окружности с центром О и радиусом, равным АВ. Построение. 1. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке O и ради у сом AB (рис. 5.9в). 2. Окружность пересечёт прямую а в точках К и К1 (рис. 5.9в). 3. Получим нужные нам отрезки OK = АВ и OK1 = АВ (рис. 5.9г). Доказательство. Равенство полученных отрезков следует из определения ок руж но с ти и свойств из ме ре ния отрез ков. Исследование. Можно построить два отрезка, равных данному: отрезки OK и OK1. Замечание. В пункте 1 можно построить не всю окружность, достаточно построить только дуги этой окружности и рассмотреть точки их пересечения с интересующими нас объектами, как показано на рис. 5.9г. § 5.3 ПОНЯТИЕ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ В предыдущих разделах мы дали определение равенства отрезков и углов. Ответим на такой вопрос: ^ Как узнать, равны ли два треугольника? Начнём с определения равенства треугольников. 59 а а Определение 29. Два треугольника называются равными, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны. а) Ъ б) Равенство фигур в геометрии обозначают знаком « = ». Запись AABC = = AA1B1C1 читается так: «треугольник ABC равен треугольнику A1B1C1». На основании определения 29, если в треугольниках АВС и ZA = ZA^, АВ = AC = ZC1, а также AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1, то AABC = AA1B1C1. Из определения 29 непосредственно следует, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны. Чтобы установить равенство треугольников, вовсе не обязательно устанавливать равенство всех пар соответствующих сторон и углов. Оказывается, достаточно установить равенство лишь некоторых из них. Теоремы, с помощью которых можно установить равенство треугольников, называются признаками равенства треугольников. Формулировки и доказательства этих признаков тесно связаны с задачами на построение треугольников. Рас смо т рим воз мож но с ти по ст ро е ния тре у голь ни ка, ес ли нам из ве ст ны одна, две или три его стороны. Пусть дана одна сторона треугольника — отрезок a. На плоскости можно построить сколько угодно треугольников со стороной a, не равных между собой (рис. 5.10а). Если даны две стороны треугольника — отрезки a и b, мы также можем на плоскости построить сколько угодно не равных между собой треугольников со сторонами a и b (рис. 5.10б). Построим теперь треугольник по трём сторонам. При построении будем использовать циркуль и линейку. Решение задачи проведём по всем пра ви лам, опи сан ным вы ше. Задача 2 Построить треугольник по трём сторонам a, b, c. Решение На рис. 5.11а нам даны три стороны треугольника — отрезки a, b, c. Анализ. Пусть треугольник ABC построен: CB = a, AC = b, AB = c (рис. 5.11б). Рис. 5.10 60 а) Рис. 5.11 C б) B Понятно, что для решения задачи можно на произвольной прямой отложить отрезок AB длиной с. Мы получим две вершины А и Б искомого треугольника. Так как длина стороны АС равна b, то точка C лежит на окружности окр. (А, b). По аналогичной причине точка С лежит на окружности окр. (Б, а). Таким образом, точка С — общая точка этих окружностей. Построение. 1. Проведём произвольную прямую p и отметим на ней точку A (рис. 5.12а). 2. Отложим на прямой p от точки А отрезок AB, равный данному отрезку c (рис. 5.12б). 3. Построим окружность с центром в точке A и радиусом b (рис. 5.12в). 4. Построим окружность с центром в точке B и радиусом a (рис. 5.12г). 5. По ст ро ен ные ок руж но с ти могут пе ре се ка ть ся в точ ках C и C1 (рис. 5.12г). A в) P P A B а) б) г) Рис. 5.12 д) 61 а c c I 6. Соединим точки С и отрезками с точками А и Б. Треугольники ABC и ABCi (рис. 5.12д) — искомые. Доказательство. Действительно, мы построили треугольники со сторонами а, b, c. Доказать равенство AABC и AABC1 мы пока не можем. Попробуйте самостоятельно найти условие существования решения задачи. При нашем решении мы сразу построили два искомых треугольника. Можно было бы выбрать другие две точки А и B на расстоянии с. При каждом таком выборе мы могли бы построить ещё по два треугольника с заданными сторонами. Все эти треугольники равны между собой. В геометрии говорят, что решение задачи 2 с точностью до равенства единственное. Сформулируем признак равенства треугольников по трём сторонам. Теорема 4. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Пользуясь решением задачи 2 и Т.4, решим ещё две задачи на построение. Задача 3 Построить угол, равный данному, одна из сторон которого совпадает с дан ным лу чом. Решение Дан угол А и луч OC (рис. 5.13а). Нужно построить угол с заданной стороной OC, равный данному углу. Анализ. Предположим, что задача решена и мы построили ZO, равный ZA (рис. 5.13б). Как это можно сделать с помощью циркуля и линейки? Мы знаем, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Если нам удастся построить равные треугольники, один с углом А, а другой с углом О, причём эти углы будут лежать про- а) б) Рис. 5.13 62 тив равных сторон, то тем самым угол О будет равен углу А, то есть будет являться искомым. Построение. 1. Нам дан угол А и луч ОС (рис. 5.14а). 2. Построим окружности произвольного радиуса r с центрами в точках А и O. Обозначим точки пересечения этих окружностей со сторонами угла A — K и Ми с лучом OC — D (рис. 5.14б). 3. Поставим одну ножку циркуля в точку М, а другую — в точку К (говорят также «установим размах циркуля, равный отрезку МК»). Построим окружность с центром D и радиусом MK. Обозначим точки пересе че ния ок руж но с тей с цен т ра ми в точ ках O и D — B и B1 (рис. 5.14в). 4. Проведём лучи OB и OB1. Углы BOD и DOB1 — искомые (рис. 5.14г). в) О а) C B О B, г) Рис. 5.14 д) Доказательство. 1. Соединим точки B и D, B1 и D (рис. 5.14д). 2. Мы получили два треугольника DOB и DOB 1, которые равны (1-й и 2-й этапы построения, признак равенства треугольников — Т.4). 3. Сравнив эти треугольники с AMAK на рис. 5.14б, мы видим, что по Т.4 все эти треугольники равны. Значит, ZA = ZBOD = ZDOB1, так как они лежат в равных треугольниках против равных сторон МК, BD и B1D соответственно. 63 Исследование. Можно построить два угла, равных данному, одна из сторон которых совпадает с данным лучом. Задача 4 Построить биссектрису данного угла. Решение Нам дан угол A (рис. 5.15а). Нужно построить биссектрису этого угла. B A а) C б) C Рис. 5.15 Анализ. Предположим, что мы построили биссектрису AD угла A (рис. 5.15б). Как её построить с помощью циркуля и линейки? Ясно, что Z1 должен быть равен Z2. Значит, было бы хорошо построить два равных треугольника, у которых углы 1 и 2 соответственно равны. Построение. 1. Нам дан угол А (рис. 5.16а). 2. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в точке А. Пусть Ми K — точки её пересечения со сторонами угла (рис. 5.16б). Мы получили две стороны нужных нам треугольников. 3. Из точек Ми K тем же радиусом r проводим окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от A (рис. 5.16в). Мы получили ещё две стороны MD и KD нужных для построения биссектрисы треугольников. 4. Проведём луч AD. AD — общая сторона построенных треугольников и искомая биссектриса угла A (рис. 5.16г). Доказательство. Мы получили два треугольника AMD и AKD. Они рав ны по при зна ку ра вен ст ва тре у голь ни ков по трём сто ро нам (обо-с нуй те это са мо сто я тель но). Из ра вен ст ва этих тре у голь ни ков сле ду ет равенство углов MAD и KAD, так как они лежат в равных треугольниках против равных сторон. Исследование. Задача имеет единственное решение. 64 а) б) § 5.4 ДРУГИЕ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Используя результаты, полученные в предыдущем параграфе, решим следующие задачи на построение и сформулируем ещё несколько признаков равен ст ва тре у голь ни ков. Задача 5 Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. b A а) б) Рис. 5.17 65 c Решение Нам даны две стороны b, c и угол между ними (рис. 5.17а). Требуется построить треугольник со сторонами b и c и с заданным углом А между ними. Ai X Ai а) b C б) X Анализ. Предположим, что задача решена и треугольник ABC построен (рис. 5.17б). Как можно построить этот треугольник с помощью циркуля и линейки? На луче АО от точки А отложим сторону b. От луча АО откладываем угол, равный данному углу А. На луче АК от точки А откладываем сторону с. Соединим точки Б и С. Построение. 1. Проведём произвольный луч A1X (рис. 5.18а). 2. На луче A1X отложим отрезок A1C длины b (рис. 5.18б). 3. Построим угол A1, равный углу A (рис. 5.18в). 4. На луче A1Y отложим отрезок A1B длины c (рис. 5.18г). 5. Проведём отрезок BC. Треугольник A1BC — искомый (рис. 5.18г). Доказательство и исследование для этой задачи проведите самостоя- тель но. Выбирая разные положения луча A1X и выполняя каждый раз построение, мы получим бесконечное множество треугольников, имеющих две заданные стороны и угол между ними. Все эти треугольники равны между собой. Говорят, что задача 5 имеет с точностью до равенства единственное решение. Мы можем сформулировать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Теорема 5. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 66 Задача 6 Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Решение этой задачи не представляет особых трудностей. Решите её самостоятельно. В результате решения этой задачи можно сформулировать признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. Теорема 6. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В заключение параграфа сделаем одно важное замечание. Договоримся, что если мы записали равенство треугольников, скажем, в виде AAВС = = AMNK, то предполагается, что соответственными друг другу (а значит, равными) являются углы, обозначенные первыми буквами (т.е. АА = АМ), вторыми буквами (т.е. AB = AN), третьими буквами (т.е. АС = АК). Тогда соответственными (а значит, равными) будут стороны: AB = MN, AC = MK, BC = NK. Развиваем умения К § 5.1 Н U |~1 • Заполните пропуски: множество всех точек находящихся на данном положительном расстоянии от данной точки, называется.... • Заполните пропуски: хордой окружности называется ..., концы которого принадлежат ... . н 1Г • а) Принадлежит ли окружности её центр? б) Принадлежит ли кругу его центр? Диаметр сферы равен 3 см. Определите, внутри или вне сферы распо-ло же на точ ка А, если она: а) удалена от центра на 2,85 см; б) удалена от точки В, принадлежащей сфере, на 4 см; в) удалена от центра сферы на ^2 см. Верны ли следующие утверждения? а) Две ок руж но с ти мо гут пе ре се кать ся ров но в трёх точках. б) Пря мая мо жет иметь с ок руж но с тью ров но од ну об щую точ ку. в) Две сфе ры мо гут пе ре се кать ся ров но в од ной точ ке. г) Две сфе ры мо гут пе ре се кать ся по ок руж но с ти. н Радиус окружности равен 5 cм. Чему равен диаметр окружности? 67 3 4 5 6 |~т] Радиус шара равен 10 см. Чему равен диаметр шара? |~8| Постройте на листе бумаги окружность c радиусом 3 см. Можно ли найти на этой окружности такие точки М и N, для которых: а) MN = 2 см; б) MN = 3 см; в) MN = 6 см; г) MN = 7 см? Отметьте на выполненном рисунке эти точки. Нарисуйте окружность. а) Отметьте на ней точку. Сколько можно провести через неё диаметров? А хорд? Какая из этих хорд будет, по-вашему, наибольшей? А наименьшей? б) Теперь отметьте точку внутри на ри со ван ной окружности. Сколь ко мож но про ве с ти че рез неё ди а ме т-ров? Сколько хорд? Нарисуйте окружность. а) Какую фигуру образуют середины всех её радиусов? б) Пусть А — её центр, а В — точка на окружности. Какую фигуру образуют все точки Х, такие, что АХ = 2АВ? 11 Каково взаимное расположение двух окружностей, если расстояние между их центрами равно 4 см, а радиусы соответственно равны: а) 1 см и 3 см; б) 3 см и 5 см; в) 2 см и 1 см; г) 3 см и 7 см; д) 1 см и 4 см; е) 4 см и 4 см? I2I Постройте две окружности, каждая из которых проходит через центр другой. Сколько общих точек имеют эти окружности? Чему равно расстояние между их центрами? 10 П 13 14 Постройте точки, находящиеся на расстоянии а от данной точки А и на расстоянии Ь от другой данной точки В. При каком условии задача: а) имеет решение; б) не имеет решения? Прямая а пересекает окр. (О, г) в точках А и В. Какую фигуру образует множество всех точек Х этой прямой, для которых: а) ОХ = г; б) ОХ < г; в) ОХ < г; г) ОХ > г; д) ОХ > г; е) ОХ ^ г? I5I Дана окр. (О, г). Какую фигуру образует множество всех таких точек X плоскости, в которой лежит данная окружность, для которых: а) ОХ < г; б) ОХ > г; в) ОХ > г; г) 0 < ОХ < г? м 16 На окружности отмечены 10 точек (рис. 5.19). За один ход иг ра ю щий про во дит от ре зок с кон ца ми в ка ких-либо двух из этих точек, но так, чтобы он не пересекал ранее проведённых отрезков. Играют двое, поочерёдно делая ходы. Тот, кто не может сделать ход, 68 17 считается проигравшим. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или второй играющий? Расстояние от пункта А до пункта В равно 20 км, а от пункта В до пункта С — 12 км. Каким может быть расстояние от пункта А до пункта С? Для случаев, когда это расстояние принимает наибольшее или наименьшее из возможных значений, сделайте рисунок, приняв расстояние в 1 км за 1 см. Можно ли четыре одинаковых мяча расположить так, чтобы каждый касался трёх остальных? К § 5.2-5.3 18 н 19 • Какие фигуры можно построить с помощью: а) линейки; б) циркуля? E F 20 Рис. 5.20 21 22 Даны два равных треугольника ABC и A1B1C1. а) AB = 5 см, ZA = 90°. Чему равна сто ро на А1В1? Чему равен угол А1? б) АВ = 2 см, ВС = 4 см, СА = 8 см. Найдите стороны треугольника А1В1С1. в) АА = 34°, АВ = 56°. Найдите углы А1 и В1 треугольника А1В1С1. г) АА1 = 76°, А1В1 = 10 см, С1А1 = 5 см. Найдите АА, АВ, СА. Дано, что AABE = ADCF (рис. 5.20). Заполните пропуски в записях: а) АА = AD, АВ = ... , АЕ = ... ; б) АВ = ... , АЕ = ... , BE = ... . • С помощью какого инструмента можно на прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному? н 1Г 23 • Какие вы можете предложить способы, чтобы выяснить, что два тре- уголь ни ка рав ны? 24| Верны ли следующие утверждения? а) Треугольник, равный равнобедренному треугольнику, является рав но бе д рен ным. б) Треугольник, равный остроугольному треугольнику, является тупо уголь ным. в) Существуют два равных треугольника, один из которых является пря мо уголь ным, а дру гой — ту по уголь ным. г) В пра виль ной пи ра ми де од на грань может быть ос т ро уголь ным тре у голь ником, дру гая — ту по уголь ным. 69 B О B Рис. 5.22 н 26 27 25 Дано: АВ = ВС, AD = DC (рис. 5.21). Докажите, что AABD = ACBD. Постройте ARST, у которого RS = 5 см, RT = 3 см и ZR= 35°. На рис. 5.22 изображена треугольная пирамида ОАВС. Ребро ОА равно ребру ОС, ребро АВ равно ребру СВ. Докажите, что грани АОВ и СОВ равны. Постройте А АВС, у которого АВ = 4 см, АА = 45° и АВ = 60°. Если пост ро ить не сколь ко тре у голь ни ков АВС с теми же данными, как они будут соотноситься между собой? 28 п 29 30 31 32 О Постройте ААВС, у которого АА = 40°, АС = 6 см и СВ = 4 см. Затем постройте ADEF, у которого AD = 40°, DF = 6 см и FE = 4 см. Обязательно ли ААВС и ADEF рав ны? В пирамиде ОАВС (рис. 5.23) АВ = ОС, А1 = А2. Докажите, что грани ОСА и ВАС равны. Даны два равных треугольника АВС и А1В1С1. На сто ро нах АВ и А1В1 от ме че ны точки Р ш так, что AP=AiPi- Докажите, что ААРС = АА1Р1С1. Дано: ВС =AD, А1 = А2 (рис. 5.24). Докажите, что ААВС = AСDA. 33| Дано: AD — биссектриса угла ВАС, АВ =АС (рис. 5.25). Докажите, что AAВD = AACD. 70 B C B C mm M 34 35 36 37 38 39 Пользуясь одной лишь линейкой, постройте треугольник, все стороны которого имеют разную длину (не равны между собой). Затем постройте вто рой тре уголь ник, рав ный пер во му, и опи ши те ша ги, ко то рые вы сделали. Сколько существует способов построения второго треугольника? Сколькими из шести элементов первого треугольника вы воспользовались для построения второго? Какое наименьшее число попарно равных элементов нужно взять, чтобы гарантировать равенство этих тре уголь ни ков? У треугольников АВС и А-^В-^С-^ ZA=ZA^, АС=А1С1 и АВ + ВС = = А^В^ + В^С^. Докажите, что треугольники АВС и А^В^С^ равны. У треугольников АВС и А^В^С^ ZА=ZА1, АС=А1С1 и АВ-ВС = = А^В^ - В^С^. Докажите, что треугольники АВС и А^В^С^ равны. Отрезки AB и A-^B-^ имеют общую середину О. Докажите, что: а) отрезки AA^ и BB^, A^B и AB^ равны; б) се ре ди ны от рез ков A1A и B1B лежат на одной прямой с точкой О. С помощью циркуля и линейки разделите угол величиной 135° на три равные части. С помощью циркуля и линейки разделите угол величиной 19° на 19 равных частей. м Исследовательский проект «Построение угла, содержащего целое количество градусов» При каких целых n (0 < n < 90) можно построить угол величиной п° с помощью циркуля и линейки? Замечание. Это сложное задание. Для начала найдите хотя бы несколько таких углов. В ходе дальнейшего изучения геометрии возвращайтесь к этому проекту. 71 Глава 6 ИЗОМЕТРИИ Нам нравится смотреть на проявления симметрии в природе, на идеально симметричные сферы планет или Солнца, на симметричные кристаллы, на снежинки, наконец, на цветы, которые почти симметричны. Ричард Фейнман (американский физик-теоретик, 1918-1988) Открываем новые знания § 6.1 ПОВОРОТ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ На рис. 6.1 изображён поворот плоского Буратино на углы 110° и 50° вокруг некоторой точки O. Мы видим, что при повороте Буратино переходит из одного положения на плоскости в другое. Мы будем рассматривать повороты фигур на данной плоскости. На рис. 6.2 изображён поворот AABC на угол 50° по часовой стрелке вокруг данной точки O. При этом AABC перешёл в AA1B1C1. Мы видим, что AA1B1C1 равен AABC. 72 Угол поворота у, то есть угол, на который мы поворачивали фигуру, всегда заключается в интервале от 0° до 180°: 0° < у < 180°. При повороте на 0° все точки фигуры остаются на месте. Такой поворот на 0° только один. На плоскости взята фигура и точка О. Сколько существует на данной плоскости поворотов данной фигуры вокруг данного центра O на угол 50°? Таких поворотов два: по часовой стрелке и против часовой стрелки. При повороте фигуры на данный угол каждой её точке по некоторому правилу ставится в соответствие некоторая другая (а возможно, и та же самая) точка плоскости, причём единственная. Правило, с помощью которого каждой точке плоскости ставится в соответствие единственная, вполне определённая точка этой плоскости, называется геометрическим преобразованием плоскости, или просто преобразованием. Поворот является частным случаем геометрического преобразования плоскости. Позже мы рассмотрим также другие геометрические преобразо ва ния. Определение 30. Поворотом плоской фигуры Ф вокруг точки О на данный угол а (0° < а < 180°) в данном направлении называется такое преобразование, при котором каждой точке X фигуры Ф сопоставляется такая точка Х1, что: а) ОХ = ОХ1; б) ZХ1ОХ = а; в) луч ОХ1 откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол а — углом поворота. На рис. 6.3 фигура Ф1 получена при по во ро те фи гу ры Ф во круг точ ки 0 на угол а по ча со вой стрел ке. Мы видим, что точки А, В, С и D фигуры Ф перешли соответственно в точ ки А1, B1, C1 и D1 фи гу ры Ф1. При этом ОА = ОА1, ОВ = ОВ1, ОC = ОC1, ОD = ОD1, ZАOА1 = ZВОВ1 = ZСOC1 = = ZDОD1 = а. 1 I I Поворот фигуры вокруг данной точ-1 " I ки на данный угол рассматривается только на плоскости. 73 Для пространства мы в старших классах изучим преобразование, которое называется вращение фигуры вокруг оси. § 6.2 ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. ИЗОМЕТРИЯ Есть такие понятия, которые пронизывают всю нашу жизнь. Одним из них является симметрия, что в переводе с греческого означает «соразмерность». Под словом «симметрия» мы подразумеваем совпадение, согласованность размеров. Для людей симметрия прежде всего означает правильность форм — человеческого тела, тел других живых существ, растений (рис. 6.4). Рис. 6.4 Рис. 6.5 Вокруг нас много красивых симметричных архитектурных сооружений (зданий). На рис. 6.5 изображён храм Геры в Пестуме (Италия), построенный во второй четверти V века до нашей эры. В повседневной жизни мы встречаем различные симметричные детали и инструменты (рис. 6.6). На рис. 6.7 изображены два Буратино, симметричных друг другу относительно центра (точки О). Мы видим, что они состоят из симметричных точек: кончики носов, концы мизинцев и т.д. Буратино на рис. 6.7 не являются плоскими, мы будем говорить о симметрии фигур, расположенных в пространстве. 74 Дадим определение точек, симметричных друг другу относительно центра симметрии. Определение 31. Две точки А и А^ в пространстве называются симметричными друг другу относительно точки О, если точка О — середина отрезка АА^. Точка О называется центром симметрии точек А и А^. Точка О считается симметричной самой себе. Рис. 6.8 Научимся строить точки, симметричные друг другу относительно данного центра симметрии. На рис. 6.8а нам даны точка А и центр симметрии — точка О. Для построения точки, симметричной точке А относительно точки О, нужно выполнить следующие построения: 1. Через точки О и А провести прямую ОА (рис. 6.8б). 2. От точки О на луче, дополнительном к лучу ОА, отложить отрезок ОА1, равный отрезку АО (рис. 6.8в). В результате этих построений мы получим точку А1, симметричную точ ке А от но си тель но цен т ра О. Если выбран центр симметрии, то с помощью этого правила можно для каждой точки пространства построить симметричную ей точку относительно э то го цен т ра. Можно дать такое определение центральной симметрии. Определение 32. Центральной симметрией с центром в точке О называется такое преобразование, при котором каждая точка пространства переходит в симметричную ей относительно точки О точку. Точка О называется центром симметрии. 75 Фигура, в которую при центральной симметрии переходит данная фигура, называется фигурой, симметричной данной относительно центра симметрии. На рис. 6.9 изображены два куба, симметричных друг другу относительно точки О. Центральную симметрию с центром О иногда обозначают Zo. Сравнивая понятия поворота и центральной симметрии, можно сделать вывод о том, что центральная симметрия на плоскости есть поворот на 180°. При знакомстве с поворотами и центральной симметрией мы видим, что при этих преобразованиях: • сохраняются формы и размеры фигур; • сохраняются расстояния между парами соответствующих точек. Это понимается следующим образом. Если точке А сопоставляется (соответствует) точка А1, а точке В — точка В1, то АВ = А1В1. Определение 33. Геометрические преобразования, сохраняющие расстояния между парами соответствующих точек, называются изометриями. Позднее мы введём понятие равенства фигур и сможем доказать, что при изометрии фигура переходит в равную ей фигуру. Докажем теорему. Теорема 7. Поворот фигуры Ф на плоскости вокруг центра О на угол a является изометрией. Доказательство 1. Фи гу ра Ф пе ре хо дит в фи гу ру Ф1 при по во ро те во круг точ ки О на угол а (дано) (рис. 6.10). 2. Поворот вокруг точки О на угол а яв ля ет ся изо ме т ри ей (тре бу ет ся дока зать). Прежде всего нам нужно уточнить, что означает пункт 2. Пусть X и Y — точки фигуры Ф, а X1 и Y1 — со от вет ст вую щие точки фи гу ры Ф1, в которые точки X и Y перешли при данном повороте (рис. 6.10). Пункт 2 означает: нам нужно доказать, что XY = X1Y1. 3. XY = X1Y1 (требуется доказать) (рис. 6.10). 76 Для доказательства этого равенства достаточно доказать равенство двух треугольников XYO и Х^У^О, у которых XY и X^Y^ являются соответственными сторонами. 4. ОХ = ОХ^, ОУ = OYi (1, определение поворота). 5. ZXOX1 = ZYOY1 = а (1, определение поворота). 6. ZXOY = ZX1OY1 (1, 5, свойство измерения углов). 7. AXOY = AX1OY1 (4, 6, признак равенства треугольников по двум сто ро нам и уг лу меж ду ни ми). 8(3). XY = X1Y1 (7). 9(2). Поворот вокруг точки на угол a есть изометрия (1, 3, определение изометрии). ■ Так как центральная симметрия на плоскости является частным случаем поворота, то верна теорема: Теорема 8. Центральная симметрия на плоскости является изометрией. § 6.3 ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ФИГУРЫ И ИХ СВОЙСТВА В предыдущем разделе мы рассматривали различные фигуры, симметричные друг дру гу от но си тель но не ко то ро го цен т ра. Од на ко возможен случай, когда фигура, симметричная данной фигуре относительно некоторого центра, совпадает с данной фигурой. Такая фигура называется центрально-симметричной. Говорят также, что такая фигура имеет центр симметрии. Центрально-симметричными фигурами являются, например, окружность, сфера, квадрат, куб (рис. 6.11). Докажем, что окружность имеет центр симметрии. 1. Построим окружность с центром О и возьмём на ней произвольную точку А (рис. 6.12а). 2. Где лежит точка, симметричная точке А относительно центра О? 3. По ст ро им точ ку А1, сим ме т рич ную точ ке А от но си тель но цен т ра О. 4. Точка А перейдёт в некоторую точку А1 (рис. 6.12б) (1, 3). 5. Центральная симметрия — изометрия, а значит, ОА = ОА1 (1, 3, 4, свойство центральной симметрии). 77 Рис. 6.12 6. По определению окружности точки А и принадлежат ей (рис. 6.12б) (1, 5, определение окружности). 7(2). Таким образом, точка, симметричная точке данной окружности, принадлежит этой же окружности. ■ Мы доказали теорему. Теорема 9. Окружность симметрична относительно своего центра. Попробуйте самостоятельно доказать, что сфера имеет центр симметрии. Развиваем умения К § 6.1 н и На рис. 6.13 изображён поворот треугольника АБС на угол 50° вокруг точки О по часовой стрелке. Ответьте на следующие во про сы: а) В какую точку при этом повороте переходят: вершина А треугольника АБС, вершина Б, вершина С? б) В какой отрезок переходят при этом по во ро те: сто ро на АБ треу голь ни ка АБС, сто ро на БС, сто ро на СА? в) В ка кую фи гу ру при по во ро те пе ре ходят: угол АБС, угол БСА., угол САБ? г) В ка кую фи гу ру при по во ро те пе ре хо дит тре у голь ник АБС? д) Назовите расстояния, которые сохраняются при данном повороте. е) Какая точка при данном повороте остаётся на месте? 78 н ir Есть ли у поворота: а) точки, переходящие в себя; б) прямые, переходящие в себя? Однозначно ли высказывание: «Поворот выполнен вокруг центра О на угол 45°»? Какие возможны повороты вокруг точки О на этот угол? н Даны две концентрические, т.е. с общим центром, окружности: окр. (О, г1) и окр. (О, Г2). С помощью лучей с началом в точке О задайте преобразование одной окружности на другую. Сохраняет ли это преобразование расстояния между парами соответствующих точек? В ка кую фи гу ру пе ре хо дит пря мая при по во ро те на не ко то рый угол вокруг точ ки О? В какую фигуру переходит окружность (круг) при повороте вокруг точки А на угол 25°? Отдельно рассмотрите случай, когда центр поворота — точка А — совпадает с центром окружности (круга). О а) б) О О в(. Н 0 R7 « 'il:? Рис. 6.14 |~т] На рис. 6.14 изображены различные фигуры, состоящие из одинаковых по лу кру гов. В каж дом ли слу чае существует по во рот, при ко то ром данные фигуры переходят сами в себя? Если да, то какой именно? Постройте фигуру, в которую перейдёт прямой угол при повороте вокруг вершины угла на угол 45° против часовой стрелки. Заштрихуйте объединение и пересечение данного угла и построенной фигуры. Нарисуйте отрезок АВ. Постройте фигуру, в которую перейдёт этот отрезок при повороте: а) вокруг точки А на угол 120° по часовой стрелке; б) вокруг точки В на угол 60° против часовой стрелки; в) вокруг се ре ди ны от рез ка на угол 45° по ча со вой стрел ке. п 10 Нарисуйте квадрат ABCD. Постройте фигуру, в которую перейдёт этот квадрат при повороте по часовой стрелке: а) вокруг точки А на угол 135°; б) вокруг точки В на угол 90°; в) вокруг точки С на угол 45°; г) во круг точ ки D на угол 30°; д) во круг цен т ра ква д ра та на угол 45°. Для случаев в), г), д) найдите объединение исходного квадрата и получен ной фигуры. 79 2 3 4 5 6 м шш Сколько существует поворотов, переводящих: а) точку в точку; б) окружность в равную ей окружность; в) отрезок в отрезок? Проект «Изготовление снежинок из бумаги» Почти все снежинки, встречающиеся в природе, при повороте на 60° вокруг некоторой точки переходят в себя. Придумайте, как вырезать из листа бумаги фигуры, переходящие сами в себя при повороте на 60°. Вырежьте несколько снежинок. Проведите конкурс на самую красивую снежинку. К § 6.2-6.3 Н V2l • На рис. 6.15 изображены два симметричных друг другу относительно некоторой точки куба. Ответьте на следующие вопросы: а) Назовите точку, которая является центром симметрии. б) В какие точки перейдут при этой симметрии вершины куба АВСВА1В1С1В1? в) Какие точки симметричны вершинам А'1 и В\ куба А'В'С'В'А'1В'1С'1В'1? г) На зо ви те несколько пар равных от рез ков на этом ри сун ке. д) На зо ви те несколько пар равных фи гу р на этом ри сун ке. 1з| • Приведите примеры фигур, имеющих центр симметрии. 14 # Какие расстояния сохраняются при изометрии? н tr • Какая точка при центральной симметрии переходит сама в себя? # Какие прямые при центральной симметрии переходят в себя? 80 18 17| • Как найти центр симметрии, если центральная симметрия задана парой соответствующих точек А и А1? В какую фигуру при центральной симметрии с центром В переходит угол АВС? В ка кую фи гу ру пе ре хо дит ок руж ность при сим ме т рии от но си тель но её центра? Какие из фигур на рис. 6.16 имеют центр симметрии? При повороте на какой угол эти фигуры переходят в себя? 19 20 21 • Имеет ли центр симметрии: а) отрезок; б) прямая; в) луч; г) куб; д) шар; е) треугольная пирамида? н 22 Постройте отрезок, симметричный отрезку АВ относительно данного центра О. Что можно сказать об этих отрезках? 23 Постройте прямую, симметричную данной прямой АВ относительно дан но го цен т ра О (точка О принадлежит прямой АВ). п 24| Дана окружность с центром в точке О и радиусом г. В какую фигуру пе рей дёт эта окружность при сим ме т рии: а) от но си тель но точ ки О; б) относительно точки М, принадлежащей окружности; в) относительно середины отрезка ОМ? 25 Существуют ли фигуры, имеющие несколько центров симметрии? м 2б| Постройте треугольник, центрально-симметричный равностороннему тре-у голь ни ку от но си тель но его цен т ра. Пусть сто ро на дан но го тре у голь ни ка равна 1. Вычислите периметр объединения и пересечения исходного и по лу чен но го тре у голь ни ков. 81 27| Нарисуйте тетраэдр. Постройте фигуру, в которую перейдёт этот тетраэдр в результате центральной симметрии. Рассмотрите различные случаи расположения центра симметрии. 28 Известно, что наименьший угол поворота, при котором фигура перехо- — целое. дит в себя, равен n°. Докажите, что число 360 n шт м 29I Даны три параллельные прямые. Постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на этих прямых (на каждой прямой по одной вершине). 30| Докажите, что при любой изометрии прямая переходит в прямую, а отрезок переходит в отрезок. 31 Докажите, что при любой изометрии угол переходит в равный ему угол. шшшш Проект «Изготовление центрально-симметричных фигур из бумаги» Придумайте, как вырезать из листа бумаги центрально-симметричные фигуры. Вырежьте несколько фигур, которые кажутся вам особенно красивыми. Проведите конкурс на самую красивую фигуру. 82 РАЗДЕЛ 3 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ тк к п п к нв ашйЯИ1 Как прекрасно почувствовать целостность комплекса явлений, которые при непосредственном восприятии Ю казались разрозненными. Альберт Эйнштейн (немецкий физик-теоретик, 1879-1955) Глава 7 ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ Открываем новые знания § 7.1 ПОНЯТИЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ В этой главе мы познакомимся подробнее с основными случаями взаимного расположения прямых. Начнём с изучения некоторых свойств пересекающихся прямых. На рис. 7.1 изображены две прямые а и Ь, которые имеют только одну общую точку. Определение 34. Если две прямые имеют только одну общую точку, то они называются пересекающимися. Две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости. Попробуйте доказать этот факт самостоя-тель но. На рис. 7.2 мы продлили в обе стороны все рёбра куба и получили 12 прямых. Обратите внимание на то, что в каждой вершине пересекаются три такие прямые. 84 На рис. 7.3 изображены две пересекающиеся в точке О прямые АВ и CD. При пересечении этих прямых образуются различные углы. У углов 1 и 3 и углов 2 и 4 стороны являются дополнительными лучами. Эти углы называются вертикальными углами. C Определение 35. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла. A 1 D / 1 , У] A1 Х"" D1 Рис. 7.2 Ci На рис. 7.3 мы видим две пары вертикальных углов: Z1 и Z3, Z2 и Z4. Если мы измерим величины вертикальных углов, то придём к следующему выводу: вертикальные углы равны. Теорема 10. Вертикальные углы равны. A D C B Рис. 7.3 Доказательство На рис. 7.3 изображены две пары вертикальных углов. Докажем, например, что Z1 = Z3. 1. Z1 и Z3 — вертикальные (дано) (рис. 7.3). 2. Z1 = Z3 (тре бу ет ся до ка зать). Из п. 1 можно получить такие следствия: 3. Лучи ОА и ОВ, ОС и OD — дополнительные (1, определение вертикальных углов). 4. Z1 и Z2, Z2 и Z3 — смежные углы (3, определение смежных углов). 5. Z1 + Z2 = 180° и Z2 + Z3 = 180° (4, свойство смежных углов). Для доказательства п. 2 можно воспользоваться равенствами в п. 5 доказательства. 6. Z1 + Z2 = Z2 + Z3 (5). В равенство 6 входит один и тот же угол: Z2. Вычтем его из обеих час тей ра вен ст ва. 7(2). Z1 = Z3 (6). ■ Используя свойства вертикальных углов, можно доказать теорему о свойствах внешних углов треугольника: Теорема 11. Внешний угол треугольника больше любого его внутреннего угла, не смежного с ним. Доказательство 1. AABC, ABCD — его внешний угол (дано) (рис. 7.4а). 2. ABCD > AB (требуется доказать). 85 Для доказательства п. 2 нужно применить уже имеющиеся знания, но нужна и нестандартная идея, которая видна из рис. 7.4б. B A B M а) б) Рис. 7.4 3. Построим точку О — середину стороны ВС и построим на продолжении отрезка АО отрезок ОМ, равный АО (построение) (рис. 7.4б). Рассмотрим ААБО и АМСО и докажем их равенство. 4. АО = МО, ВО = СО (3). 5. АБОА = АСОМ (3, теорема о равенстве вертикальных углов). 6. ААБО = АМСО (4, 5, признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). 7. ^АВС = АМСО (6, определение равных треугольников). 8. АМСО — часть внешнего угла ВСВ. 9(2). ABCD > АБ (8). ■ § 7.2 КОНУС. РАЗВЕРТКА КОНУСА Рис. 7.6 На рис. 7.5 изображена очень распространённая геометрическая фигура — конус. Форму конуса имеют различные сосуды, крыши башен крепостей и замков (рис. 7.6). 86 , A О а) Пусть нам дана окружность с центром в точке О и радиусом r и точка А, не принадлежащая плоскости этой окружности (рис. 7.7а). Проведём прямые через точку А и каждую точку данной окружности (рис. 7.7б). Мы получим поверхность, которую называют круговой конической поверхностью (рис. 7.7в). Окружность с центром в точке О и радиусом r называется направляющей конической поверхности. Пересечём коническую поверхность плоскостью а, содержащей указанную выше данную окружность с центром в точке О (рис. 7.8а). Фигура, ограниченная кругом с центром в точке О и частью конической поверхности, называется конусом (рис. 7.8б). Круг с центром О называется основанием конуса, отрезок АВ и другие от рез ки, из ко то рых построена боковая по ве рх ность ко ну са, на зы ва ют ся образующими конуса. Точка А называется вершиной конуса (рис. 7.8б). Если основание конуса лежит в горизонтальной плоскости и к вершине конуса подвесить отвес, то в случае, когда этот отвес попадёт в центр основания, мы получим прямой круговой конус (рис. 7.9а). Бы- A B а) Рис. 7.8 б) а) б) Рис. 7.9 87 C вают и наклонные конусы (рис. 7.9б), но в школьном курсе мы такие конусы не рассматриваем. Если поверхность прямого кругового конуса разрезать по окружности основания, а затем боковую поверхность конуса разрезать по какой-нибудь образующей, например по отрезку АВ, и развернуть её на плоскости, то получится развёртка поверхности конуса (рис. 7.10). Развиваем умения К § 7.1 н |~1 • Прямые а и Ь пересекаются. Сколько у них общих точек? а # Дана четырёхугольная пирамида SABCD. Сколько прямых, содержащих рёбра пирамиды, можно назвать? Сколько таких прямых пересекается в каждой вершине пирамиды? # Сколько различных углов, меньших 180°, обра зу ет ся при пе ре сечении двух пря мых? Какими свойствами обладают эти углы? # Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рис. 7.11? 3 Н 1Т 5 • Сколько прямых, содержащих рёбра треугольной пирамиды, пересе- каются в каждой вершине такой пирамиды? 6 • В какую фигуру перейдут две пересекающиеся в точке О прямые а и Ь при центральной симметрии с центром О? |~т] • Могут ли при пересечении двух прямых образоваться равные углы? Как они называются? Сколько таких углов? 8 • Могут ли вертикальные углы быть: а) прямыми; б) тупыми; в) один ос трым, а вто рой ту пым? 9 • Верно ли утверждение, что если два угла равны, то они вертикаль- ные? Про ил лю с т ри руй те от вет ри сун ком. 88 н 10 Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы? 11 Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если: а) один из них на 20° больше другого; б) один из них составляет половину другого; в) сумма величин двух из них равна 100°. 12 Отметьте четыре точки А, В, С и D так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой. Проведите все прямые, проходящие через эти точки. 1з| Докажите, что если один из четырёх углов, об- ра зо ван ных дву мя пересе ка ю щи ми ся пря мы ми, имеет величину 90°, то величины трёх остальных углов также равны 90°. 14 На рис. 7.12 три прямые пересекаются в точке О. Найдите сумму углов Z1 + Z2 + Z3. 15 На рис. 7.13 ZAOB = 50°, ZFOE = 70°. Найдите углы AOC, BOD, COE и COD. 16 Прямая АВ пересекает прямую АС в точке А, прямую ВС — в точке В. Принадлежит ли точка С пря мой АВ? 17| Дана прямая а. Отметьте такие точки А, В и С, чтобы прямые АВ и а пересекались в точке С, лежащей между точками А и В. Рис. 7.12 п 18 Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. м шт 19 20 На какое наибольшее количество частей может разбиваться плоскость тремя прямыми? На рис. 7.14 четыре прямые разбивают плоскость на одиннадцать областей: четырёхугольник (1), два треугольника (2, 3), три угла (4, 5, 6), четыре «бесконечных треугольника» — области, ограниченные отрезком и двумя лучами (7, 8, 9, 10), и «бесконечный четырёхугольник» — область, ограниченную двумя отрезками и двумя лучами (11). Так 89 ли разбивают плоскость любые четыре прямые, если среди них нет параллельных прямых и трёх прямых, проходящих через одну точку? К § 7.2 н B 21 На рис. 7.15 изображён прямой круговой конус с вершиной в точке В. а) Какая фигура является основанием кону са? б) Ка кие от рез ки яв ля ют ся об ра зу ю щи ми ко ну са? н 1Т C 22 # Может ли образующая конуса равняться радиусу окружности основания? Обоснуйте свой ответ. 23 # Из каких фигур состоит развёртка конуса? 24| • Как определить центр основания прямого кругового конуса, если он не отмечен на рисунке? 2s| • Есть ли у конуса центр симметрии? н O 26 На рис. 7.16 изображён прямой круговой конус. Прямая, проходящая через вершину конуса (точку О) и центр основания (точку С), называется осью конуса. Сечение ОАВ назвают осевым сече-ни ем ко ну са. От веть те на во про сы: а) Какой фигурой в данном случае может быть осевое сечение конуса? б) Какой фигурой является это сечение, если ОА = АВ? в) Чему равен радиус основания конуса, если ААОВ — равносторонний со стороной а? Проект «Изготовление конуса из бумаги» Изготовьте сначала развёртку конуса. Для этого вырежьте из бумаги круг и часть круга бсзльшего радиуса. Если в процессе приклеивания их друг к другу окажется, что часть круга слишком велика, отрежьте лишнее. Проведите конкурс на лучший изготовленный конус. 90 Глава 81 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ Если отойти от привычного представления о симметрии как свойстве, непременно связанном с нашим внешним обликом, то можно найти немало фигур, симметричных в том или ином отношении. Александр Соломонович Компанеец (русский физик, 1914-1974) Открываем новые знания § 8.1 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ При пересечении двух прямых есть очень важный случай: прямые, пересекаясь, образуют прямые углы (рис. 8.1). Определение 36. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается специальным знаком «±». Запись «а±Ь» читается: «прямая а перпендикулярна прямой Ь», или «прямые а и b перпендикулярны». Кроме понятия перпендикулярности прямых, в геометрии используют понятие перпендикуляра к прямой. Говорят: «провести перпендикуляр к прямой, проходящий через данную точку», или «опустить перпендикуляр из точки на прямую». Дадим определение этому понятию. Рис. 8.1 91 Определение 37. Перпендикуляром, проведённым из точки А к прямой а, называется отрезок прямой, перпендикулярной к прямой а, с концами в точках А и B, где А — точка, из которой проводится перпендикуляр, В — точка пересечения прямой а с перпендикулярной ей прямой АВ. На рис. 8.2 прямая АВ перпендикулярна к прямой а, отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а. Точка В называется основанием перпендикуляра АВ. Иногда перпендикуляром к прямой а называют также прямую, перпендикулярную к прямой а. Это можно делать только в таких ситуациях, где не возникает недоразумений. Рис. 8.2 § 8.2 ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ О Рис. 8.3 Нам нужно научиться строить перпендикулярные пря мые или пер пен ди ку ляр к пря мой. Точка О, через которую проводят перпендикуляр к данной прямой а, может быть расположена по-раз-но му: а) точка О лежит на данной прямой а (рис. 8.3); б) точка О не лежит на данной прямой а (рис. 8.4). Начнём с построений перпендикулярных прямых с помощью инструментов, которыми пользуются на прак ти ке. Есть широко известный способ проведения перпендикуляра к прямой с использованием угольника и линейки. С помощью этих инструментов мож но про ве с ти пер пен ди ку ляр че рез точ ку О, ле жа щую на пря мой а (рис. 8.5а) или не лежащую на ней (рис. 8.5б). Рис. 8.4 О -Ж а б) 92 Ответим на такой вопрос: Есть ли разница в построении перпендикуляра к данной прямой с помощью угольника и линейки на плоскости (на листе бумаги или на доске) и в пространстве? Пусть точка О лежит на прямой а (рис. 8.6). Представьте себе, что мы прикладываем к прямой а угольник. В пространстве угольник может «крутиться вокруг прямой» как угодно и занимать бесчисленное множество различных положений (рис. 8.6). Таким образом, I I I В пространстве через точку, принадлежащую данной прямой, мы можем про-Li_J вести сколько угодно перпендикуляров к этой прямой, проходящих через эту точку. Если точка О не лежит на прямой a (рис. 8.4), то через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и в ней можно построить пер пен ди ку ляр к данной пря мой. Построим перпендикулярные прямые при помощи циркуля и линейки. Это построение проводится в некоторой плоскости. Задача 1 Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной пря мой a. Решение Первый случай. Дана прямая а и точка О на ней (рис. 8.7а). Анализ. Предположим, что мы построили прямую l, перпендикулярную прямой а (рис. 8.7б). Как её построить с помощью циркуля и линейки? Идея решения (построения) состоит в построении равных треугольников AOB и AOC, у которых углы AOB и AOC смежные и равные, а значит, прямые (рис. 8.7в). О а) Рис. 8.7 Построение. 1. Нам дана прямая a и точка O, O е a (дано) (рис. 8.8а). 93 Рис. 8.8 2. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке O. Она пересекает прямую a в двух точках Б и С (рис. 8.8б). Мы получили по две вершины нужных нам треугольников: Б и O, С и O. 3. Из точек Б и С, как из центров, проводим окружности с радиусом БС. Пусть А — точка их пересечения (рис. 8.8в). Мы получили третью вершину нужных нам треугольников — А. 4. Искомая прямая проходит через точки О и А, ОА1а. Доказательство. Нам нужно доказать равенство треугольников АОВ и АОС. 1. АО — общая сторона треугольников AOB и AOC. 2. ВО = СО (п. 2 построения, определение окружности). 3. АВ = AC (п. 3 построения, определение окружности). 4. ААОВ = ААОС (1, 2, 3, признак равенства треугольников по трём сторонам). 5. ZAOB = ZAOC = 90° (4, свойство смежных углов). 6. AOLBC (5, определение перпендикулярных прямых). ■ Рис. 8.9 Второй случай. Дана прямая а и точка О, не принадлежащая прямой a (рис. 8.9а). Анализ. Предположим, что задача решена и перпендикуляр ОВ построен (рис. 8.9б). Как это можно сделать с помощью циркуля и линейки? Как и в пер вом слу чае, нам нуж но по ст ро ить два рав ных тре у голь ника OBA и OBC (рис. 8.9в). 94 Рис. 8.10 Построение. 1. Нам даны прямая a и точка O, Ой а (рис. 8.10а). Мы уже знаем, что прямая и не принадлежащая этой прямой точка определяют некоторую плоскость, в ней мы и будем выполнять построения. Для получения вершин А и С нужных нам треугольников выполним сле ду ю щее по ст ро е ние. 2. Из точки O проведём окружность, пересекающую прямую a в точках A и C (рис. 8.10б). Для построения других вершин искомых треугольников: 3. Проведём две окружности с центрами в точках A и C и радиусом АО. Они пересекаются в точках O и 01 (рис. 8.10в). 4. Соединим точки 0 и 01. 001±a. Доказательство проведите самостоятельно. ■ Теперь докажем, что такой перпендикуляр можно построить только один. Теорема 12 (о единственности перпендикуляра). Из любой точки, лежащей вне прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Доказательство 1. Нам даны прямая а, точка А, Ай а, AD1 a (дано) (рис. 8.11а). 2. Из точки А можно провести единственный перпендикуляр к прямой а (тре бу ет ся до ка зать). 3. Предположим, что через точку А можно провести к прямой а ещё один перпендикуляр АВ, то есть АВ 1 a (предположение) (рис. 8.11б). 4. Проведём луч DC, дополнительный к лучу DA, и, отложив на нём DC = DA, проведём отрезок СВ. Мы получили AАВD и ACBD (построение) (рис. 8.11б). 5. У этих треугольников ВD — общая сторона, AD = DС (по построению), ААВВ = ZBDC = 90°. Значит, AАВD = ACBD (равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними, Т.5). 6. Из равенства этих треугольников следует, что ZАВD = ZDBC. Так как по предположению АВ 1 a, то угол АВD — прямой, тогда равный ему угол DBC также прямой. 95 A D а) б) Рис. 8.11 7. Получили, что угол АВС — развёрнутый, то есть лучи ВА и ВС составляют прямую. В таком случае через две точки А и С проходят две различные прямые, что противоречит аксиоме прямой (определение развёрнутого угла, аксиома прямой А.1). 8(2). Наше предположение о том, что из точки А к прямой а можно провести два перпендикуляра, неверно. Из точки А можно провести единственный перпендикуляр к прямой а (что и требовалось доказать). ■ § 8.3 ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА Пер пен ди ку ляр но с ть пря мых ис поль зу ет ся при изу че нии свойств тре угольников. Катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны . На рис. 8.12 изображён прямоугольный треугольник АВС. Угол С — прямой, катеты АС и ВС перпендикулярны: АС А ВС. Введём понятие высоты произвольного треугольника. A C B Рис. 8.12 Определение 38. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника. На рис. 8.13 изображены два треугольника, у которых проведены высоты из вершин В. Обратите внимание на то, что основание высоты — точка D — может лежать как на стороне АС треугольника (рис. 8.13а), так и на про дол же нии сто ро ны АС (рис. 8.13б). Сколько высот можно провести в каждом треугольнике? Как они располо-же ны? 96 а B B а) б) Рис. 8.13 Если треугольник остроугольный, все основания высот принадлежат сторонам треугольника (рис. 8.14а). У тупоугольного треугольника основания двух высот попадают на продолжения сторон (рис. 8.14б). Попробуйте провести в треугольнике все три его высоты. Вы увидите, что высоты или их продолжения пересекаются в одной точке О (рис. 8.14а). Эта точка называется ортоцентром треугольника. B B а) C Рис. 8.14 Имеет место следующий важный геометрический факт, который мы сможем доказать позднее: []] Три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. § 8.4 ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ Рассмотрим фигуры, симметричные друг другу относительно некоторой прямой — оси. Изобразим на листе бумаги какую-нибудь фигуру (кляксу), а вне её проведём произвольную прямую l (рис. 8.15а). Не давая краске высохнуть, перегнём лист бумаги по прямой l так, чтобы одна часть листа наложилась на другую. На второй половине листа (полуплоскости) получил- 97 % % -Ч I Рис. 8.15 ся отпечаток нашей кляксы (рис. 8.15б). Мы получили фигуру, симметричную данной относительно прямой l. Об этих двух фигурах говорят также, что они симметричны друг другу относительно данной прямой l. Прямая, относительно которой данные фигуры симметричны, называется их осью симметрии. На рис. 8.16 изображены два Буратино, симметричные друг другу относи тель но оси l. Они словно пляшут, отвернувшись друг от друга. Рис. 8.16 Рис. 8.17 В наших примерах каждой точке одной фигуры ставится в соответствие точ ка сим ме т рич ной ей другой фи гу ры. Определение 39. Точки А и А1 называются симметричными относительно некоторой прямой р, если эта прямая р перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину. Прямая p называется осью симметрии точек А и А1. Каждая точка оси симметрии считается симметричной самой себе. Изобразим в пространстве несколько пар точек, симметричных друг другу относительно оси l. На рис. 8.17 изображены две пары таких точек. 98 Глядя на рис. 8.17, трудно ответить на вопрос, лежат точки А, А1, Б и Б1 в одной плоскости или нет. Две пары симметричных друг другу относительно оси точек могут не лежать в одной плоскости (рис. 8.18). Используя понятие точек, симметричных относительно оси, дадим определение ещё одному геометрическому преобразованию — осевой симметрии. Определение 40. Осевой симметрией с осью l называется такое преобразование, при котором каждая точка переходит в симметричную ей относительно оси l точку. Осевая симметрия с осью l иногда обозначается Sl. Запись Sl(X) = X1 читается: «точка Х1 симметрична точке Х относительно прямой I», или «точка Х при осевой симметрии с осью l перешла в точку Х1». Верна теорема: I Теорема 13. Осевая симметрия является изометрией. Эту теорему мы пока доказать не сможем. Сформулируем свойства осевой симметрии: I I I 1. Осевая симметрия является геометрическим преобразованием. LiJ 2. Осевая симметрия является изометрией. 3. Осевая симметрия переводит фигуру в равную ей фигуру. В дальнейшем нам понадобится такой факт: Теорема 14. Если две прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярны, то при симметрии относительно одной из них вторая прямая переходит сама в себя. Доказательство 1. Прямые а и Ь перпендикулярны. (дано) 2. Симметрия относительно прямой b.J (рис. 8.19а) 3. Прямая а при симметрии относительно прямой Ь переходит сама в себя (требуется доказать). Из теоремы 13 следует, что при осевой симметрии угол переходит в равный ему угол. Рис. 8.19 99 б) Рис. 8.20 Рассмотрим любой из углов, образованных при пересечении прямых а и b, например угол со сторонами а1 и b1. Этот угол по условию равен 90° (рис. 8.19б). 4. В результате симметрии относительно прямой b этот угол перейдёт в равный ему угол. Но при этом луч b1 перейдёт сам в себя. Значит, луч а1 перейдёт в луч а2 (1, 2, Т.13). 5(3). Прямая а при симметрии относительно прямой b переходит сама в себя (4). ■ Существуют фигуры, имеющие ось симметрии, т.е. фигуры, симметричные сами себе относительно некоторой оси как на плоскости (рис. 8.20), так и в пространстве (рис. 8.21). Осью симметрии обладают некоторые буквы русского алфавита. Буквы М, П, Т, Ш имеют только вертикальную ось симметрии, а буквы З, К, С, Э — только горизонтальную. У букв Ж, Н, О, Ф, Х целых две оси симметрии — вертикальная и горизонтальная. Иногда буква О набирается таким шрифтом, что у неё бесконечное количество осей симметрии. Некоторый вид симметрии можно обнаружить в прочтении слов. Слова ШАЛАШ, КАЗАК читаются одинаково как справа налево, так и слева направо. Слово ПОТОП не толь ко оди на ко во чи та ет ся с обе их сто рон, но и име ет вертикальную ось симметрии. Можно придумать целые фразы, одинаково читающиеся в двух направлениях (если не считать пробелы между словами). Например: ИСКАТЬ ТАКСИ, АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА, ЦЕНИТ НЕГРА АРГЕНТИНЕЦ, ЛЁША НА ПОЛКЕ КЛОПА НАШЁЛ. Такие слова и фразы называются палиндромами. Свойства осевой симметрии часто используются при решении задач. Рис. 8.21 100 Задача 2 Измерить расстояние между точками А и Б, разделёнными зданием (рис. 8.22а). Решение этой задачи сводится к построению точек А1 и Б1, симметричных точкам А и Б относительно некоторой выбранной оси l (рис. 8.22б). Объясните, почему длина отрезка А1Б1 даёт ответ на вопрос задачи. ОСИ СИММЕТРИИ ОТРЕЗКА. СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ § 8.5 Перейдём к изучению свойств фигур, имеющих ось (оси) симметрии. Рас смо т рим оси сим ме т рии от рез ка. Каждый отрезок на плоскости имеет две оси симметрии. Одна из них — прямая, содержащая этот отрезок (рис. 8.23а), а другая — серединный перпендикуляр к отрезку (рис. 8.23б). Определение 41. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проведённая через середину этого отрезка перпендикулярно ему. На рис. 8.23б прямая p проходит через середину отрезка АВ — точку К. АВ ±р, а значит, p — серединный перпендикуляр к отрезку АБ. Рис. 8.23 101 Прямая p на рис. 8.23б является осью симметрии отрезка АВ, так как при симметрии относительно прямой p каждая точка отрезка АВ перейдёт в точку этого отрезка. Сколько серединных перпендикуляров может иметь отрезок АВ? Какую фигуру образуют все серединные перпендикуляры, проведённые к отрезку? Выше мы дали ответ на этот вопрос для отрезка на плоскости — серединный перпендикуляр один (рис. 8.23б). В пространстве серединных перпендикуляров у отрезка бесконечно много (рис. 8.24а). Все серединные перпендикуляры к отрезку в пространстве образуют плоскость (рис. 8.24б). А А Рис. 8.24 Серединный перпендикуляр к отрезку обладает некоторыми важными свойствами. Рассмотрим два из них. А. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру к этому отрезку. Доказательство 1. Отрезок АВ (дан) (рис. 8.25а). 2. На прямой АВ имеется единственная точка О, равноудалённая от точек А и В, — середина отрезка АВ (рис. 8.25б). Эта точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АВ (1). Рис. 8.25 3. Рассмотрим точку X, равноудалённую от концов отрезка АВ и отличную от О: ХА = ХВ (дано) (рис. 8.25в). 4. Требуется доказать, что точка Х принадлежит серединному перпен-ди ку ля ру. 102 5. Проведём прямую ХО и докажем, что ХО — серединный перпендикуляр к отрезку АВ (построение) (рис. 8.25г). Мы получили два треугольника ХАО и ХВО. Если мы докажем их равенство, то ХО будет искомым серединным перпендикуляром. 6. АО = ОВ, ХА = ХВ (1, 2, 3, 5). 7. ААОХ = АВОХ (6, признак равенства треугольников по трём сторонам). 8. АХОА = АХОВ (7). 9(4). Прямая ОХ — ось симметрии точек А и В, то есть OX — серединный перпендикуляр к отрезку АВ (рис. 8.25г) (4). ■ Сформулируем обратное утверждение: Б. Если точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку, то она равноудалена от его концов. Проведите доказательство самостоятельно. Оба предложения А и Б можно сформулировать в виде теоремы. Теорема 15. Множество всех точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. § 8.6 ОСИ СИММЕТРИИ НЕКОТОРЫХ КРУГЛЫХ ФИГУР Мы уже до ка зали те о ре му о том, что ок руж ность сим ме т рич на от но си-тельно своего центра. Докажем ещё одно замечательное свойство окружности. Теорема 16. Окружность симметрична относительно любой прямой, содержащей диаметр окружности. Доказательство 1. Ок руж ность с цен т ром в точ ке О. (дано) } (рис. 8.26) 2. Прямая а содержит диаметр ок руж но с ти. 3. Пря мая а — ось сим ме т рии ок руж но с ти (требу ет ся до ка зать). 4. Рассмотрим (выполним) осевую симметрию дан ной ок руж но с ти от но си тель но пря мой а. 5. При вы пол нен ной сим ме т рии центр ок руж но-сти перейдёт в себя (1, 2, 4, свойства осевой симме-т рии). Рис. 8.26 103 6. Осевая симметрия является изометрией, то есть сохраняет расстояния между парами соответствующих точек. Значит, при этой симметрии любая точка окружности переходит в точку этой же окружности (1, 4, свойства осевой симметрии, определение окружности). 7(3). При осевой симметрии с осью а окружность переходит в себя, то есть она симметрична относительно прямой а (4, 5, 6). ■ Докажем ещё одно свойство окружности. Теорема 17. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Доказательство 1. Окр. (О, г), АВ — хорда окружности. (дано) 2. Диаметр окружности MN перпендикулярен хорде AB. J (рис. 8.27) 3. АК = КВ (требуется доказать). 4. Рассмотрим осевую симметрию данной фигуры относительно оси MN. 5. При осе вой сим ме т рии от но си тель но пря мой MN точ ка, сим ме т рич ная точ ке А, лежит на перпендикуляре к прямой MN, проходящем через А (1, 2, 4, определение осевой симметрии). 6. Точка, симметричная точке А, лежит на данной окружности (1, 2, 4, свойство осевой симметрии). 7. Точ кой, сим ме т рич ной точ ке А, бу дет толь ко точ ка В (2, 4, 5, 6). 8(3). Диаметр MN делит хорду АВ пополам. АК = ВК (7, определение симметричных точек). ■ Рис. 8.27 Будут ли сфера и шар симметричны относительно любой прямой, проходящей через их центр? Ответ на этот вопрос положительный. Проверьте это самостоятельно. § 8.7 ОСИ СИММЕТРИИ УГЛА И РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Мы уже встречались с понятием биссектрисы угла и говорили о том, что биссектриса угла является его осью симметрии. Теперь мы докажем этот факт. Теорема 18. Прямая, содержащая биссектрису угла, является осью симметрии этого угла. 104 Доказательство 1. ААВС и BM — его биссектриса (дано) (рис. 8.28). 2. Прямая р, содержащая биссектрису ВМ угла ABC, — ось симметрии угла АВС (требуется доказать). 3. ZABM = АСВМ (1). 4. Рассмотрим осевую симметрию всей фигуры на рис. 8.28 относительно прямой р. 5. При этой симметрии луч ВМ переходит в себя, а угол АВМ — в угол со стороной ВМ, ле жа щий в дру гой по лу пло с ко с ти от но си тельно пря мой р и равный углу АВМ (1, 2, 3, свойства осе вой сим ме т рии). 6. В полуплоскости с границей ВМ существует един ст вен ный угол со сто ро ной BM, рав ный данному углу ABM (1, 3, свойства откладывания уг лов). 7. Луч ВА при выполненной симметрии переходит в луч ВС, а луч ВС — в луч ВА (1, 5). 8(2). Угол ABC при выполненной осевой симметрии переходит в себя (4, 5, 6, 7). ■ Мы много раз говорили о свойствах равнобедренного треугольника. Теперь мы можем несколько углубить наши знания. Сформулируем и докажем теорему, являющуюся следствием теоремы об оси симметрии уг ла. Рис. 8.28 Теорема 19. Прямая, содержащая биссектрису угла при вершине равнобедренного треугольника, является осью симметрии этого треугольника. Доказательство 1. ААВС — равнобедренный, АС — его основание. (дано) 2. ВМ — биссектриса угла при J (рис. 8.29) вершине В треугольника АВС. 3. Прямая ВМ является осью симметрии ААВС (требуется доказать). 4. Вы пол ним осе вую сим ме т рию ААВС от но си-тель но пря мой BM. 5. При этой симметрии луч ВМ перейдёт в себя, а лучи ВС и ВА — друг в друга (1, 2, 4, Т.18). 6. AB = BC (1). 7. Точка A перейдёт в точку C, а точка C — в точку A (1, 2, 4, 5, 6, свойства осевой симметрии). C 105 8. Точка B останется на месте (4, определение осевой симметрии). 9. При симметрии относительно оси BM равнобедренный треугольник ABC переходит в себя (7, 8, свойство осевой симметрии). 10(3). Прямая ВМ является осью симметрии ААВС (9). ■ С помощью теоремы 19 мы можем доказать ещё одно очень важное свой ство рав но бед рен но го тре уголь ни ка. Теорема 20. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является также его медианой и высотой. Доказательство 1. AABC — равнобедренный. 4 (дано) 2. BD — биссектриса угла треугольника ABC. J (рис. 8.30) 3. BD является медианой и высотой ААВС (требуется доказать). 4. Рассмотрим осевую симметрию ААВС относительно оси BD. 5. Точки А и С симметричны друг другу относительно оси BD (1, 2, 4, Т.19). 6. Точка D перейдёт сама в себя (4, определение осе вой сим ме т рии). 7. AD = CD (5, 6, свойство осевой симметрии). 8(3). BD — медиана AABC (1, 2, 7). 9. ZBDA = ZBDC (1, 2, 6, свойства осевой симметрии). 10. ZBDA = ZBDC = 90° (9, свойство смежных углов). 11(3). BD — высота AABC (1, 2, 10). ■ Теорема 20 может быть сформулирована и так: I I I Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, яв-Li_J ляется его биссектрисой и высотой. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, является его биссектрисой и медианой. После изучения понятия равенства треугольников мы сделали вывод о том, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны (и наоборот). Теперь мы можем доказать ещё два соотношения между сторонами и углами треугольника. C I Теорема 21. В треугольнике против большей стороны лежит бс>льший угол. 106 C C A B A ' D B a) б) Рис. 8.31 Доказательство 1. ААВС. ^(дано) 2. Сторона АВ больше стороны АС. J (рис. 8.31) 3. Угол С больше угла В (требуется доказать). Мы воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника, поэтому построим такой треугольник: 4. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный отрезку АС (построение) (рис. 8.31б). 5. AACD — равнобедренный (1, 4, определение равнобедренного тре-уголь ни ка). 6. Z1 = Z2 (5, свойства равнобедренного треугольника). 7. Z1 составляет часть ZC, а значит, ZC > Z1 (1, 6). 8. Z2 — внешний угол ABCD (1, 4, определение внешнего угла тре-уголь ни ка). 9. Z2 > ZB (8, свойства внешнего угла треугольника — Т.11). 10(3). ZC > ZB (1, 6, 7, 9). ■ Верна и такая теорема: Теорема 22. В треугольнике против бсольшего угла лежит бс)льшая сторона. Докажите эту теорему самостоятельно. В заключение этого параграфа докажем ещё одну важную теорему: Теорема 23 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Доказательство 1. А АВС (дано) (рис. 8.32а). 2. АВ < ВС + СА (требуется доказать). Сравним отрезок с суммой двух других отрезков, не лежащих на одной прямой. Отложим на луче, дополнительном к лучу СА, от точки С отрезок CD, равный ВС. Тогда мы будем сравнивать отрезок АВ с отрезком АD, равным сумме отрезков АС и ВС. 107 B B а) б) Рис. 8.32 3. Отложим отрезок CD, равный ВС (построение) (рис. 8.326). 4. АВСВ — равнобедренный, Z1 = Z2 (3, свойства равнобедренного треугольника). 5. Z2 составляет часть ZABD, значит, Z2 < ZABD, и поэтому Z1 < ZABD. Применим к AABD теорему 22. 6(2). АВ < A D = ВС + АС (3, 4, свойство сторон и углов треугольника). И § 8.8 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК Вспомним свойство серединного перпендикуляра к отрезку, которое сформулировано в теореме 15: множество всех точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку, т.е. серединный перпендикуляр — это множество всех точек плоскости, обладающих определённым свойством. Фигура, которая состоит из всех точек плоскости или пространства, обладающих определённым свойством, называется геометрическим местом то чек. Например, окружность можно определить как геометрическое место точек пло с ко сти, рав но уда лён ных от дан ной точ ки, а сфе ру — как ге о ме т риче с кое ме с то то чек про ст ран ст ва, рав но уда лён ных от дан ной точ ки. Серединный перпендикуляр к отрезку можно также определить как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от концов этого отрез ка. Геометрические места точек широко используются при решении задач, например задач на построение. Пусть для решения задачи на построение нам нужно найти точку X, удов ле тво ря ю щую двум ус ло ви ям. Ге о ме т ри че с кое ме с то то чек, удов ле творя ю щих пер во му ус ло вию, есть не ко то рая фи гу ра F1, а ге о ме т ри че с кое мес то то чек, удов ле тво ря ю щих вто ро му ус ло вию, есть не ко то рая фи гу ра F2. Искомая точка Х принадлежит F1 и F2, то есть является точкой их пересе че ния. 108 Рассмотрим применение метода геометрических мест точек на конкретном примере. Задача 3 На плоскости даны три точки: А, B, С. Построить точку X, которая одинаково удалена от точек А и Б и находится на данном расстоянии от точки C. Решение 1. Нам даны три точки A, B, С (рис. 8.33а). 2. Искомая точка X удовлетворяет двум условиям: а) она одинаково удалена от точек А и B; б) она находится на данном расстоянии от точки С. 3. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть серединный перпендикуляр к отрезку АБ (построение) (рис. 8.33б) (1, Т.15). 4. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С (построение) (рис. 8.33в) (1, определение окружности). 5(2). Искомая точка Х лежит на пересечении этих геометрических мест. В данном случае искомых точек две: Х1 и X2 (1, 3, 4, определение геометрического места точек). ■ Ис сле дуй те са мо сто я тель но ус ло вия су ще ст во ва ния раз лич ных ре ше ний дан ной за да чи. Рис. 8.33 § 8.9 ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ На рис. 8.34 прямая АО перпендикулярна прямой р, а прямая АБ пере се ка ет пря мую р и не пер пен ди ку ляр на пря мой р. Определение 42. Прямая, пересекающая прямую р и не перпендикулярная ей, называется наклонной к прямой р. На рис. 8.34 прямая АБ является наклонной. 109 Отрезок АВ тоже называют наклонной, проведённой из точки А к прямой р. Введём понятие проекции точки на прямую. Точка О, лежащая на прямой р, называется проекцией точки А на прямую p, если ОА Аp (рис. 8.34). Отрезок ОВ будет называться проекцией наклонной АВ на прямую р. Теорема 24. Расстояние от точки до её проекции на прямую меньше расстояния от этой точки до любой другой точки данной прямой. Рис. 8.34 (дано) /(рис. 8.35а) Доказательство 1. ОА А а, О — проекция точки А на прямую a. 2. АВ — наклонная к прямой a. 3. АО < АВ (требуется доказать). Воспользуемся свойствами осевой симметрии. 4. Построим точку A1, симметричную точке А относительно прямой a (постро е ние) (рис. 8.35б). 5. Так как В е a, то точка В при осевой симметрии перейдёт сама в себя (4, свой ст во осе вой сим ме т рии). 6. Используя неравенство треугольника, имеем: AB + BA1 > AA1 (1, 2, 4, 5, неравенство треугольника - Т.23). 7. Осевая симметрия является изометрией, и, значит, AB = A1B и AO = А10 (4, 5, свойства осевой симметрии). 8. AA1 < 2АВ (6, 7). 9. Неравенство из п. 8 можно переписать в виде 2АО < 2АВ (6,7). 10(3). АО < АВ (9). ■ Рис. 8.35 110 § 8.10 КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Свойства перпендикуляра и наклонной широко используются при изучении свойств касательной к окружности. Понятие касательной к окружности мы рассматриваем для случая, когда окружность и прямая лежат в одной плоскости. Определение 43. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а общая точка прямой и окружности — точкой касания. На рис. 8.36 прямая АВ является касательной к ок руж но с ти. Докажем некоторые свойства касательной к ок руж но с ти. Теорема 25. 1) Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности. 2) Если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу этой окружности, проведённому в точку касания. Рис. 8.36 Доказательство Докажем первую часть теоремы. 1. Окр. (О, ОА). ^(дано) 2. АВ ± ОА, АВ проходит через /(рис. 8.37а) конец радиуса — точку А. 3. АВ — касательная к окр. (О, ОА) (требуется доказать). Пункт 3 означает, что у прямой АВ и окружности должна быть только одна общая точка. 4. Рассмотрим точку М на прямой АВ, отличную от точ ки А (пост ро е ние) (рис. 8.37б). 5. ОМ > ОА, где ОА — радиус окружности (4, Т.24). g 6. Точка М не принадлежит окр. (О, ОА) (5). 7. Прямая ОА имеет с окр. (О, ОА) только одну общую точку А (6). 8(3). АВ — касательная к окр. (О, ОА) (7). ■ 111 Вторую часть теоремы докажите самостоятельно. При этом можно воспользоваться широко применяемым в математике методом доказательства от противного. Этот метод доказательства состоит в следующем. Например, нам нужно доказать какую-то теорему. Мы формулируем сначала предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путём рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к вы во ду, который про ти во ре чит ли бо ус ло вию те о ре мы, ли бо од ной из аксиом геометрии, либо доказанной ранее теореме. На этом основании мы заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно ут верж де ние те о ре мы. Развиваем умения К § 8.1-8.3 Н U и На рис. 8.38 рёбра куба бесконечно продлены в обе стороны. Сколько взаимно перпен-ди ку ляр ных пря мых, со дер жа щих рё б ра куба, пересекается в каждой вершине куба? Сколько высот имеет каждый треугольник? На рис. 8.39 изображён треугольник АВС и его высота СМ. Какую величину имеют углы 1 и 2? н 1Г 0 в Даны прямая и точка, принадлежащая этой пря мой. Сколь ко пря мых, пер пен дику ляр ных дан ной пря мой, мож но про ве с ти через данную точку? Даны прямая и точка, не принадлежащая этой пря мой. Сколь ко пря мых, пер пен дику ляр ных дан ной пря мой, мож но про ве с ти через данную точку? Даны прямая a и точка В. Через точку В про ве де ны две пря мые, пе ре се ка ю щие прямую a. Могут ли эти прямые быть перпен-ди ку ляр ны ми пря мой a? Мо гут ли каждые две пря мые, на ко то рых ле жат бо ко вые рё бра тре угольной пирамиды, быть перпендикулярными? Могут ли все основания высот треугольника располагаться: а) на сто ро нах тре у гольни ка; б) на про дол же ни ях сто рон? C 112 4 5 6 8 п 10 11 Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС. Постройте высоту этого треугольника, проходящую через вершину В. На рис. 8.40 изображена треугольная пирамида 8АВС. Проведите по одной высоте в каждой грани пирамиды. Сколько всего высот име ют грани этой пи ра ми ды? По ст рой те вы со ты тре у голь ни ков: а) ос т-роугольного; б) прямоугольного; в) тупоугольного. м 12 К § 8.4 S Рис. 8.40 B Возьмите точку М внутри равностороннего тре уголь ни ка и опу с ти те пер пен ди ку ля ры МР, MQ и MR на его стороны (рис. 8.41). Докажите, что сумма этих отрезков не за-ви сит от вы бо ра точ ки М и рав на высоте тре у голь ни ка. R Рис. 8.41 н 13 На рис. 8.42 изображены два симметричных относительно оси l четырёхугольника. а) В какие точки перейдут при этой симметрии точки А, В, С, О? б) Какие точки перейдут сами в себя? в) В какие отрезки перейдут при этой симметрии отрезки АС и ОВ? г) В какую фигуру перейдёт четырёхугольник ОАВС? Ai 113 9 14 • На рис. 8.43 изображены 3 пары точек, симметричных друг другу относительно оси р. а) Назовите симметричные друг другу точки. б) Какие расстояния на этом рисунке равны между собой? в) Какие прямые на этом рисунке взаимно пер-пен ди ку ляр ны? г) Обязательно ли точки А, А1 и B, В1 будут лежать в одной плоскости? A C V. О О. B p Ai ^>Ci О Bi О2 1 Рис. 8.43 н 1Г 15 • Сколько осей симметрии имеют: а) луч; б) отрезок; в) прямая; г) пло-с кость? н 16 Постройте точку, симметричную данной точке А относительно данной прямой l. I7I Даны две точки. Постройте прямую, относительно которой они симметричны. 18 Постройте фигуру, симметричную данному отрезку АВ относительно данной прямой l. Рассмотрите различные случаи взаимного расположения дан но го о трез ка и пря мой. I9I Постройте фигуру, симметричную данному квадрату АВСВ относительно данной оси а. п 2о1 Внутри угла АОВ в 40 дана точка М. Точки М1 и М2 симметричны М относительно сторон угла. Найдите величину угла М1ОМ2. 2I] Даны отрезок АВ и две точки С и D, такие, что СА = СВ и DA = DB. Докажите, что точки А и В симметричны относительно прямой CD. 22I Во внутренней области прямого угла BOD взята точка Х и построены точки Х1 и Х2, симметричные точке Х относительно сторон данного угла. Докажите, что точки О, Х1 и Х2 лежат на одной прямой. м 23 24 Точ ки А и В лежат по разные стороны от прямой l. Найдите на ней такую точку М, чтобы биссектриса угла АМВ лежала на прямой l. Докажите, что если две точки одной прямой симметричны двум точкам дру гой пря мой от но си тель но не ко то рой оси, то и все точ ки пер вой прямой симметричны точкам второй прямой относительно этой оси. 114 м жш 25 На плоскости нарисованы три равных отрезка. Сколько осей симметрии может иметь объединение этих отрезков? Какие центры и оси симметрии имеет куб? 26 27 Какие оси симметрии имеет тетраэдр? Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Теоретический вывод закона отражения света. ВАША РОЛЬ. Физик-теоретик. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Принцип, сформулированный в XVII веке великим французским учёным Пьером Ферм^, гласит: световой луч распространяется таким образом, чтобы преодолеть путь из одной точки в другую за наименьшее время. ЗАДАНИЕ. По одну сторону от зеркала в однородной среде находятся точки А и В. Луч света прошёл из точки А в точку В, отразившись от зеркала в точке С (рис. 8.44). Основываясь на принципе Ферма, определите связь между углами АСМ (угол падения) и BCN (угол отражения). К § 3.5-8.6 Н 28 29 Прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Каким свойством обладают точки, принадлежащие этому середин-но му пер пен ди ку ля ру? На рис. 8.45а изображены два перпендикуляр ных диаметра ок руж но с ти. а) Назовите оси симметрии окружности на этом ри сун ке. б) Назовите равные отрезки на этом рисунке. н 1Г 30 • Дан отрезок АВ. Сколько серединных пер- пенди ку ля ров мож но про ве с ти к дан но му отрезку? Почему? 31 • Как могут располагаться серединные перпен- дикуляры, проведённые к двум отрезкам? 32 • Даны отрезок АВ и точка М вне его. Можно ли через точку М про ве с ти се ре дин ный пер-пен ди ку ляр к от рез ку АВ? Рис. 8.45 115 34 3з1 На рис. 8.45б изображена окр. (О, r). Какие центры и оси симметрии есть у этой окружности? Ответьте на следующие вопросы: а) Сколь ко осей сим ме т рии дан ной ок руж но с ти про хо дит че рез данную точ ку? б) Сколько осей симметрии может иметь объединение двух окружно-с тей? н 36 35 Даны точки А и Б. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку АБ. Дан отрезок CD. Постройте множество точек, равноудалённых от концов отрезка CD. На рис. 8.46 изображена сфера радиуса R с центром в точ ке О. Какие центры и оси симметрии есть у этой сфе ры? 37 Рис. 8.46 п 38| Две окружности имеют общий центр. АБ — хорда окружности меньшего радиуса, С и D — точки пересечения прямой АБ с окружностью большего радиуса. Докажите, что БС = AD. 39I Постройте хорду данной окружности при условии, что серединой хорды является данная точка, расположенная внутри окружности. 4о| Фигура Ф является объединением двух окружностей. Докажите, что: а) если фигура Ф имеет бесконечно много осей симметрии, то центры этих окружностей совпадают; б) если фигура Ф имеет только две оси симметрии, то радиусы этих окружностей равны. 41 Докажите, что диаметр окружности, который делит пополам хорду, не проходящую через центр окружности, перпендикулярен этой хорде. м 42 Докажите, что две хорды окружности, пересекающиеся в точке, отличной от центра окружности, не могут делиться в точке пересечения пополам. Центр окружности, пересекающей стороны данного угла, лежит на биссектрисе этого угла (рис. 8.47). Докажите равенство отрезков DA и МС, БА и БС. 43 116 К § 8.7 Н U 44| • Сколько осей симметрии имеет угол? н 1Г 45 • Имеют ли оси симметрии: а) разносторонний треугольник; б) равно- бедренный треугольник; в) равносторонний треугольник? Если да, то сколько? 46 • В каком треугольнике: а) высота совпадает с медианой; б) медиана совпадает с биссектрисой; в) биссектриса совпадает с высотой? н 49 47I Постройте угол, осью симметрии которого является данная прямая а. 48 Постройте равносторонний треугольник, осью симметрии которого является данная прямая. Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, отсекает от него треугольник, периметр которого равен 18 см. Вычислите дли ну вы со ты, ес ли пе ри метр дан но го рав но бе д рен но го тре у голь ни ка равен: а) 24 см; б) 30 см; в) 20 см. Постройте равнобедренный треугольник: а) по основанию а и боковой стороне b; б) по боковой стороне Ъ и высоте h, проведённой к основанию; в) по основанию а и высоте h, проведённой к основанию. 50 п E 52 51 Докажите, что разносторонний треугольник не име ет осей сим ме трии. Докажите равенство: а) медиан; б) биссектрис; в) высот равнобедренного треугольника, проведённых к его боковым сторонам. Дано: АВ = ВС, ZBAD = ZBCE (рис. 8.48). Докажите, что ABDE — равнобедренный. 53 I м 54 Как воспользоваться шарнирным механизмом со звеньями равной длины (рис. 8.49) для построения: а) бис се к три сы дан но го уг ла; б) се ре ди ны дан но го отрезка; в) центра данной окружности? Рис. 8.49 117 5sl Равнобедренные треугольники АВС и ABD имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка АВ. 56 Через внутреннюю точку данного угла проведите прямую, отсекающую от сторон этого угла равные отрезки. К § 8.9-8.10 Н Рис. 8.51 57 • На рис. 8.50 изображено несколько прямых. Назовите перпендикуляры и наклонные, проведённые к прямой МК. • На рис. 8.51 из точки Р к прямой m проведены три прямые, из них РК А т. Назовите на рисунке перпендикуляр и наклонные, проведённые из точки Р к прямой т. Какой из отрезков PD, PK и PC имеет наименьшую длину? 58 н 1Г B C 59| • На рис. 8.52 изображён куб ABCDA1B1C1D1. Укажите все прямые, перпендикулярные рёбрам куба, проходящие через точку А. Можно ли про ве с ти та кие пря мые че рез точ ку А, чтобы они являлись наклонными: а) к ребру A1D1; б) к ребру A1B1? 6о1 • Можно ли утверждать, что если все точки прямой, за ис клю че ни ем од ной, яв ля ют ся внешними относительно окружности, то прямая — касательная к окружности? 61 • На рис. 8.53 прямая АВ касается окр. (О, ОА) в точ ке А. Назовите пер пен ди ку ляр ные пря мые на этом ри сун ке. 62I Даны прямая a и точка В, не принадлежащая этой прямой. Проведите из точки В к прямой a перпендикуляр ВА и две наклонные ВС и ВD. Ответьте на вопросы: Ci Рис. 8.52 Рис. 8.53 118 а) Как могут быть расположены перпендикуляр и наклонные по отношению друг к другу? б) Какой из отрезков ВА, ВС и BD имеет наименьшую длину и почему? в) Сколько пар смежных углов образовалось? г) Назовите получившиеся прямые углы. п 63 64 Пусть АК — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а. АС и АВ — наклонные, проведённые из точки А к прямой а. Докажите, что: а) если КС < КВ, то АС < АВ; б) если КС = КВ, то АС =АВ. Прямая а касается окружности с центром О и радиусом г. Найдите рас сто я ние от точ ки О до прямой а, ес ли ди а метр ок руж но с ти ра вен 10 см. Постройте окружность данного радиуса г, которая касается данной прямой а в данной на ней точке М. Постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку этой окружности. 67| Докажите, что если отрезки АВ и АВ1 являются касательными к окр. (О, г), В и В1 — точки касания, то АВ=АВ1. 65 66 м 69 68 Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой. Две окружности касаются внешним образом в точке А. На одной окружности взята точка В, а на другой - точка С так, что прямая ВС является касательной к каждой из окружностей. Докажите, что угол ВАС — прямой. Дана дуга окружности. Постройте центр этой окружности. 70 Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Наилучший обзор объекта. ВАША РОЛЬ. Экскурсовод. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. На некотором расстоянии от прямолинейного участка шоссе находится дворец, подъезд к которому сейчас невозможен. ЗАДАНИЕ. Из какой точки шоссе лучше всего организовать обзор дворца? Перерисуйте рис. 8.54 в тетрадь и укажите эту точку. Глава 91 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ...Я решил опубликовать работу по теории параллельных, как только приведу в порядок свои материалы... Цель пока не достигнута, но я сделал такое удивительное открытие, что почти подавлен им... Я создал новую вселенную из точек. Янош Больяи (венгерский математик, 1802-1860) Открываем новые знания § 9.1 ПОНЯТИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Начнём с определения параллельных прямых. Определение 44. Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Параллельность прямых обозначается знаком «У». Запись «а У Ь» читается так: «прямая а параллельна прямой Ь», или «прямые а и Ь параллельны». На рис. 9.1 изображены две параллельные прямые. Каждая из них бесконечна, а на рисунке мы можем изобразить только отрезки этих прямых. Лежащие на параллельных прямых отрезки и лучи также будем называть параллельными. В повседневной жизни нам часто встречаются параллельные прямые (вернее, их отрезки). Так, например, на рисунке к данной главе изображены g ^ 120 рельсы железнодорожного полотна, которые укладывают параллельно друг другу. Параллельными бывают части строительных конструкций (рис. 9.2). Пять параллельных отрезков составляют нотный стан (рис. 9.3). Если внимательно прочитать определение параллельных прямых, то станет ясно, что если есть две параллельные прямые, значит, существует плоскость, их содержащая. Многие геометрические фигуры, с которыми мы уже познакомились, содержат параллельные элементы. Например, у квадрата (рис. 9.4а) и прямоугольника (рис. 9.4б) противоположные стороны параллельны. Параллельными являются некоторые рёбра куба (рис. 9.4в) и прямоугольного параллелепипеда (рис. 9.4г). Рис. 9.2 Рис. 9.3 а) б) в) Рис. 9.4 К настоящему моменту мы рассмотрели два случая взаимного расположения двух прямых: пересекающиеся и параллельные прямые. г) Есть ли другие случаи расположения двух прямых? На рис. 9.5 вы видите часто встречающееся расположение двух шоссейных дорог, которое подсказывает нам ещё один случай расположения двух прямых: прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости. Такие прямые в геометрии называют скрещивающимися прямыми. На рис. 9.6 изображён один из способов построения скрещивающихся прямых: одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту пло- Рис. 9.5 ь Рис. 9.6 121 1 1 скость в точке, не лежащей на первой прямой. На рис. 9.6 мы видим две скрещивающиеся прямые: а и Ь. Свойства скрещивающихся прямых мы будем отдельно изучать в старших классах. § 9.2 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ В § 6.2 мы изучали свойства центральной симметрии. Ответим на такой вопрос: В какую фигуру переходит данная прямая а при центральной симметрии относительно точки О? Для ответа на этот вопрос рассмотрим два случая: 1. Точка О принадлежит прямой а. 2. Точка О не принадлежит прямой а. Случай 1. Прямая а перейдёт в себя (обоснуйте этот вывод самостоятельно). Случай 2. Для этого случая нужно выполнить построения. На рис. 9.7а-9.7г необходимые построения уже проведены (расскажите о том, что вы видите). Рис. 9.7 I I I В результате построений мы убедились в том, что j " 1 при центральной симметрии прямая а перешла в прямую Ь. Докажем теорему, которая является первым признаком параллельности пря мых. I Теорема 26. Если две различные прямые на плоскости симметричны относительно некоторого центра, то они параллельны. Доказательство 1. Прямые а и Ь центрально-симметричны относительно точки О (дано) (рис. 9.8а). 2. а У Ь (требуется доказать). 122 Рис. 9.8 Воспользуемся методом доказательства от противного. 3. Предположим, что прямые а и Ь не параллельны. Так как они различны, то это значит, что они имеют единственную общую точку С (предположение) (рис. 9.8б). Эта точка С не может совпадать с центром симметрии О, так как тогда прямые а и Ь переходили бы каждая в себя, а не друг в друга. Прямые а и Ь имеют центр симметрии — точку О, а значит, и у точки С есть симметричная ей точка С1 (рис. 9.8в). 4. Точка С1 симметрична точке С при центральной симметрии с центром О. С и С1 различны, так как точка С не совпадает с точкой О (1, 3). 5. Точка С принадлежит прямым а и Ь (3). 6. Точка С1 принадлежит прямым а и Ь (4). 7. Две различные прямые а и Ь имеют две общие точки — С и С1 (5, 6). 8. Пункт 7 противоречит аксиоме прямой (А.1). Следовательно, предположение 3 неверно. 9(2). Прямые а и Ь параллельны (3, 7, 8). ■ Теорема 26 позволяет решить следующую задачу на построение. Задача Через точку, не принадлежащую данной прямой, провести прямую, параллельную данной прямой. Решение 1. Пусть дана прямая р и точка А, А g р (дано) (рис. 9.9а). Вспомним Т.26 и построим прямую, центрально-симметричную прямой р и про хо дя щую че рез точ ку А. Преж де все го нам нуж но по ст ро ить центр симметрии. Рис. 9.9 123 Определения центральной симметрии и центрально-симметричных точек подсказывают нам необходимое построение. 2. Возьмём произвольную точку С на прямой р, соединим её с точкой А и найдём середину отрезка СА — точку О (построение) (рис. 9.9б). Как построить прямую, параллельную прямой р, зная, что точки А и С центрально-симметричны относительно точки О? 3. Построим ещё одну пару центрально-симметричных точек относительно центра симметрии — точки О, одна из которых принадлежит прямой р. Пусть это будут точки В и Bi (построение) (рис. 9.9в). 4. Точки А и Bi определяют прямую АВ1 (рис. 9.9г) (1, 3, А.1). 5. Прямые СВ и АВ1 — центрально-симметричны (2, 3). 6. СВ У АВ1 (5, Т.26). 7. АВ1 параллельна прямой р (6). ■ § 9.3 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В этом параграфе мы рассмотрим, как связаны между собой перпендикулярность и параллельность прямых. Рассмотрим случай, когда все прямые лежат в одной плоскости. Теорема 27. Если две различные прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то эти прямые параллельны. Доказательство 1. а ±р, b Lр, а и Ь различны (дано) (рис. 9.10а). 2. а У Ь (требуется доказать). Воспользуемся методом доказательства от противного. 3. Пред по ло жим, что пря мые (рис. 9.10б). 4. Через точку М проходят два перпендикуляра к прямой р (1, 3). 5. Пункт 4 про ти во ре чит Т.14 о един ст вен но с ти пер пен ди ку ля ра. Значит, предположение 3 неверно. 6(2). Прямые а и Ь параллельны (1, 3, 5). ■ Та ким об ра зом, мы сфор му ли ро-вали и доказали ещё один признак параллельности прямых. а и Ь пе ре се ка ют ся в точ ке М Рис. 9.10 124 После доказательства теоремы 27 ответим на такой вопрос: Верна ли теорема 27 для любого расположения указанных прямых в пространстве? В условии теоремы мы имеем два перпендикуляра а и b, проведённые к прямой р. Представьте себе, что перпендикулярные прямые а и р лежат в плоскости а, а прямая b пересекает плоскость а (рис. 9.11). Тогда прямые а и b являются скрещивающимися и не параллельны между собой. На рис. 9.12 показано, как с помощью уголь-ни ка и ли ней ки мож но про ве с ти че рез дан ную точку М прямую b, параллельную данной прямой а. Как вы думаете, что является теоретической основой для такого способа построения прямой, параллельной данной? Основой для такого построения является уже доказанная нами теорема 27. Рис. 9.12 § 9.4 АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ. ПОСТРОЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ Используя свойства центральной симметрии, мы уже получили способ построения параллельных прямых и выяснили, что через любую точку, ле жа щую вне дан ной пря мой, мож но про ве с ти хо тя бы од ну пря мую, па-рал лель ную дан ной. Мы уже упоминали о великом научном труде Евклида. В III веке до нашей эры в Александрии появилась его книга «Начала». В основу изложения геометрии в этой книге была положена система первоначальных утверждений — аксиом, которые не доказывались. Все остальные утверждения — теоремы — выводились из них строго логически. Среди аксиом выделялась аксиома параллельных. В нашем курсе это аксиома 5, она формулируется так: Аксиома 5 (аксиома параллельных). Через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной данной. Ещё раз напомним, что одну прямую, параллельную данной, провести можно, мы уже доказали это (задача на с. 123—124). Из аксиомы парал- 125 лельных следует, что такая прямая — единственная. Применяя аксиому 5, можно доказать много разных свойств параллельных прямых. Все теоремы в этом параграфе мы будем формулировать и доказывать для фигур, расположенных в одной плоскости, а затем рассматривать соответствующие ситуации в пространстве. Теорема 28. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются. Доказательство 1. Прямая а перпендикулярна прямой с, а прямая Ь — наклонная к прямой с (дано) (рис. 9.13а). 2. а и Ь — пересекающиеся прямые (требуется доказать). Применим метод доказательства от противного. Что является «противным» для утверждения о пересечении прямых? Мы находимся в плоскости, и поэтому «противным» будет утверждение об их па рал лель ности. 3. Пред по ло жим, что пря мые а и Ь па рал лель ны (пред по ло же ние). Что бы по лу чить про ти во ре чие, вос поль зу ем ся свой ст вом пер пен ди ку- ляр но с ти пря мых. 4. Проведём через точку В прямую р, перпендикулярную прямой с (пост ро е ние) (рис. 9.13б). Мы по лу чи ли: 5. а 1 с и р L с (1, 4). 6. а У р (5, Т.27). 7. а У р и а У Ь (3, 6). 8. П. 7 противоречит аксиоме параллельных, значит, предположение 3 неверно (3, 7). 9(2). Прямые а и Ь пересекаются (3, 8). ■ Эту теорему мы доказали для случая, когда все прямые лежат в одной пло с ко сти. В про ст ран ст ве это ут верж де ние мо жет ока зать ся не вер ным. Посмотрите на рис. 9.14 и объясните, почему в этом случае условие теоремы выполняется, а заключение - нет. Рис. 9.13 Рис. 9.14 126 Рис. 9.15 Докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой, для прямых, лежащих в одной плоскости. Теорема 29. Если различные прямые а и b параллельны прямой с, то прямые а и b параллельны. Доказательство 1. а У с, b У с (дано) (рис. 9.15а). 2. а У b (требуется доказать). Воспользуемся методом доказательства от противного. 3. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке Р (предположение) (рис. 9.15б). 4. Через точку Р будут проходить две прямые а и b, параллельные прямой с (1, 3). 5. Пункт 4 противоречит аксиоме параллельных, и, следовательно, наше предположение 3 неверно (3, А.5). 6(2). а У b (3, 5). ■ Доказанное свойство параллельных прямых можно продемонстрировать на при ме ре нот но го ста на (рис. 9.3). Мы доказали эту теорему для случая, когда прямые а, b и с лежат в одной плоскости. Будет ли верна эта теорема для произвольного расположения указанных прямых в пространстве? 127 Да, будет. На рис. 9.16 изображено расположение прямых а, Ъ и с в пространстве, когда параллельные прямые а и с лежат в плоскости а, а параллельные прямые Ъ и с лежат в плоскости в, т. е. а У с и Ъ У с. Теорема утверждает, что а У Ъ, т.е. эти прямые лежат в некоторой плоскости Y и не пересекаются. Доказательство этого факта будет дано в старших классах. § 9.5 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ I Пусть на плоскости даны две прямые АВ и CD, и прямая l пересекает прямые АВ и CD в точках М и К (рис. 9.17). Прямая МК по отношению к прямым АВ и CD называется секущей. Пары углов, которые образуются при пересечении прямых АВ и CD секущей МК, имеют специальные названия. Если точки В и С лежат в разных полуплоскостях относительно прямой МК, то углы ВМК и СКМ называются внутренними накрест лежащими (рис. 9.18а). Ес ли точ ки В и D ле жат в од ной по лу пло с ко с ти от но си тель но прямой МК, то углы ВМК и DКМ называются внутренними односторонними (рис. 9.18б). При пе ре се че нии пря мых а и Ъ се ку щей с об ра зу ет ся во семь уг лов, на рис. 9.19 они обозначены цифрами. Внутренними накрест лежащими углами являются углы 3 и 5, 4 и 6, а внутренними односторонними — углы 4 и 5, 3 и 6. Кроме этого, имеются ещё пары углов, называемых соответственными. Это углы 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например углы 3 и 5, являются смежными для внутренних накрест лежащих углов другой пары — углов 4 и 6 (рис. 9.19). Поэтому: I I I Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние 1 " I накрест лежащие углы другой пары тоже равны. Объясните этот вывод. I Рис. 9.17 Рис. 9.18 Рис. 9.19 128 Пары внутренних накрест лежащих углов и внутренних односторонних, например углы 3 и 5 и 4 и 5, имеют один общий угол 5, а два других угла — смежные 3 и 4. Поэтому: т Если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. I I I Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то внутренние на-Li_J крест лежащие углы равны. Объясните эти выводы. Для каждой пары соответственных углов один из этих углов и угол, вертикальный с другим, образуют пару внутренних накрест лежащих углов, например, для пары соответственных углов 1 и 5 угол 5 и угол 3 (вертикальный с углом 1) являются внутренними накрест лежащими. Поэтому: [ I I Если равны соответственные углы, то равны и связанные с ними внутренние i " I накрест лежащие углы. I I I Если равны внутренние накрест лежащие углы, то равны и связанные с ними 1 " I соответственные углы. § 9.6 ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Ответим на такой вопрос: ^ Что нужно знать о двух прямых, чтобы утверждать, что они параллельны? Ответ на поставленный вопрос будет признаком параллельности прямых. У нас уже есть два признака параллельности прямых — теоремы 26 и 27. Сформулируем и докажем ещё два наиболее часто используемых признака параллельности прямых. Теорема 30. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство 1. Прямые а иЪ пересечены прямой АБ. "4 (дано) 2. Z1 и Z2 — внутренние накрест лежащие, Z1 = Z2. J (рис. 9.20а) 3. а У Ъ (требуется доказать). Воспользуемся методом доказательства от противного. 129 а) б) Рис. 9.20 4. Предположим, что прямые а и b пересекаются в точке С (предположение) (рис. 9.20б). 5. Мы получили АЛВС (на рисунке он выделен цветом) (4). 6. Z1 — внешний угол этого треугольника (4, 5). 7. Z1 > Z2 (6, теорема о свойстве внешнего угла треугольника — Т.11). 8. П. 7 противоречит условию 2 данной теоремы, следовательно, предположение 4 неверно. 9(3). а У b (8). ■ I Теорема 31. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Доказательство теоремы 31 вытекает из теоремы 30: можно доказать, что сумма внутренних односторонних углов равна 180° в том и только в том случае, если внутренние накрест лежащие углы равны. Докажите это утверждение самостоятельно. § 9.7 свойства параллельных прямых и секущей Рассмотрим случай, когда две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Такая прямая называется секущей. Теорема 32. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. Теорема 33. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Докажем теорему 32. Доказательство 1. Прямые а и b параллельны. "4 (дано) 2. Прямая с — секущая. J (рис. 9.21а) 130 Рис. 9.21 3. Z3 и Z5 — внутренние накрест лежащие углы. 4. Z3 = Z5 (требуется доказать). Воспользуемся методом доказательства от противного. 5. Допустим, что Z3 Ф Z5 (предположение). 6. Проведём прямую а1, проходящую через точку А, и такую, что Za = Z5 (построение) (рис. 9.21б). 7. По теореме 30 мы получаем, что а1 У Ь (1, 2, 7, Т.30). 8. Так как а и а1 различны, то существуют две прямые, проходящие через точку А и параллельные прямой Ь (1, 2, 7). 9. П. 8 противоречит аксиоме параллельных (А.5), значит, предположение 5 неверно (5, 8). 10(4). Z3 = Z5 (9). ■ Теорему 33 докажите самостоятельно. § 9.8 ТЕОРЕМА О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА В курсе геометрии особое место занимает следующая теорема: Теорема 34. Сумма внутренних углов треугольника равна 180° Доказательство 1. ААВС — данный треугольник, Z1, Z2, Z3 — его внутренние углы (дано) (рис. 9.22а). B а) Рис. 9.22 131 б) I 2. Z1 + Z2 + Z3 = 180° (требуется доказать). Выполним дополнительное построение. 3. Проведём через вершину В прямую, параллельную прямой АС (построение) (рис. 9.22б). 4. Z4 + Z2 + Z5 = 180° (1, 3, определение развёрнутого угла). 5. Z1 = Z4 (1, 3, свойство углов при пересечении параллельных прямых секущей). 6. Z5 = Z3 (1, 3, свойство углов при пересечении параллельных прямых секущей). 7(2). Z1 + Z2 + Z3 = 180° (4, 5, 6). ■ Из этой теоремы можно получить различные следствия. [ I I Следствие. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Докажите это следствие самостоятельно. Ис поль зуя те о ре му о сум ме уг лов тре у голь ни ка и при зна ки ра вен ст ва произвольных треугольников, можно сформулировать и доказать признаки равенства прямоугольных треугольников. Теорема 35 (признак равенства по двум катетам). Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 36 (признак равенства по катету и прилежащему острому углу). Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 37 (признак равенства по гипотенузе и острому углу). Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Ещё один признак равенства прямоугольных треугольников не следует непосредственно из признаков равенства произвольных треугольников. Он рассмотрен в задании 40 на с. 142. 132 § 9.9 СВОЙСТВА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И МНОГОУГОЛЬНИКОВ Используя теорему 34 о сумме углов треугольника, можно доказать много различных геометрических фактов. Докажем некоторые свойства внешних углов треугольника. Теорема 38. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. . } (дано) (рис. 9.23) Доказательство 1. Треугольник ABC; Z1, Z2, Z3 — внутренние углы треугольника 2. Z4 — внешний угол. 3. Z4 = Z1 + Z2 (требуется доказать). Мы знаем: 4. Z1 + Z2 + Z3 = 180° (1, теорема о сумме углов треугольника). 5. Z4 + Z3 = 180° (1, 2, определение внешнего угла). 6. Z1 + Z2 = 180° — Z3 (4). 7. Z4 = 180° — Z3 (5). 8(3). Z1 + Z2 = Z4 (6, 7). ■ Проведём такой практический опыт. Представим себе линейку, скользящую по сторонам треугольника (рис. 9.24). Возле каждой вершины линейка поворачивается на угол, равный внешнему углу треугольника, а после полного обхода вокруг треуголь-ни ка (на при мер, про тив ча со вой стрел ки) ли ней ка воз вра ща ет ся на прежнее место, сделав один полный оборот — на 360° (рис. 9.25). Итак: I I I Сумма внешних углов треугольника равна 360° (берётся по одному внешне-1 " I му углу для каждой вершины треугольника). Докажите этот факт, используя свойства внутренних и внешних углов тре уголь ни ка. Теперь докажем теорему о сумме внутренних углов я-угольника. B Рис. 9.23 Рис. 9.24 133 I Теорема 39. Сумма внутренних углов выпуклого я-угольника равна (п - 2) • 180°. B C B Доказательство 1. Нам дан п-угольник. На рис. 9.26 изображён пятиугольник ABCDE. 2. Требуется доказать, что сумма внутренних углов любого я-угольника равна 180° "(я-2). Нам уже известны некоторые свойства углов треугольника, поэтому попытаемся свести рассмотрение углов я-угольника к рассмотрению углов треугольни- С ков. Как это можно сделать? Многоугольник можно раз бить на тре у голь ни ки, например, так, как по ка за-но на рис. 9.27. 3. Возьмём произвольную внутреннюю точку О многоугольника и соединим её с вершинами (построение) (рис. 9.27). 4. В результате я-угольник разбился на я треугольников (построение) (рис. 9.27). 5. Сумма всех углов я треугольников равна я • 180° (4, Т.34). Как по лу чить из об щей сум мы уг лов тре у голь ни ков сум му вну т рен них углов я-угольника? Нужно вычесть из неё 360° — сумму углов треугольников при вершине О. 6(2). Таким образом, сумма внутренних углов я-угольника равна Рис. 9.27 я 180° - 360° = (я - 2) • 180° (4, 5). § 9.10* НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ bg№i Огромную роль в систематизации геомет-к£||2 рических знаний сыграл древнегреческий учё-Н^Н ный Аристотель (384-322 до н.э.), создавший [^^£1 теорию дедукции, т.е. логического вывода. По схеме Аристотеля всякая дедуктивная наука должна начинаться установлением основных понятий, не под ле жа щих оп ре де ле нию, и ак си ом — ос нов ных истин, не подлежащих доказательству. Всё остальное долж но по лу чать ся стро гим ло ги че с ким вы во дом из этих исходных предпосылок. Применительно к геометрии этот замысел был в известной мере выполнен Евклидом, создавшим свой величайший труд «Начала» — первый в истории свод геометрических знаний в 13 книгах. Аристотель 134 Евклид Евклид (около 365-300 до н.э.) работал в Александрии и возглавлял основанный в то время крупнейший научный центр древности — Александрийский музей. В «Началах» Евклида перед первой книгой помещены постулаты — требования геометрического характера, которые нужно принять, чтобы на их основе делать все дальнейшие выводы. Этих постулатов у Евклида пять: «Нужно потребовать: I. чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию; II. чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограничен но; III. чтобы из любого центра можно было описать окружность любым ради-у сом; IV. чтобы все прямые углы были равны между собой; V. что бы ес ли при пе ре се че нии двух пря мых тре ть ей сум ма вну трен них од но-сторонних углов оказалась меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном их продолжении пересекались бы, и притом с той стороны, с которой эта сумма мень ше двух пря мых». Далее сформулированы 23 определения. Например, первое определение гласит: «Точка есть то, что не имеет частей». В течение двух тысяч лет математики, относясь к «Началам» Евклида с большим уважением, подвергали их критике, указывали на те или иные недостатки и рекомендовали способы «очищения Евклида от пятен». Прежде всего критика относилась к пятому постулату, значительно более слож но му, чем все ос таль ные. Особая роль пятого постулата, его сложность и недостаточная наглядность привели к тому, что математики позднейших времён стали пытаться доказать его как теорему. Некоторые учёные старались вывести этот постулат из остальных постулатов и аксиом Евклида, не добавляя к ним новых утверждений. Другие же заменяли его иной аксиомой, которую они считали более простой и наглядной. Многие попытки доказательства проводились методом доказательства от противного, т.е. предполагалось, что пятый постулат неверен, и из этого делался ряд выводов. Если бы при этом удалось прийти к противоречию, то пятый постулат был бы доказан. Наиболее далеко по этому пути продвинулись итальянский священник Джироламо Саккери (1667-1733) и швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777). Однако ни Саккери, ни Ламберт не допускали мысли о том, что, кроме геометрии Евклида, возможна другая непротиворечивая геометрия. Примерно в одно время три разных человека, три математика в разных странах мира пришли так или иначе к одной идее — созданию новой, 135 Карл Фридрих Гаусс неевклидовой геометрии. Это были Карл Фридрих Гаусс, Янош БсОльяи и Николай Иванович Лобачевский. Немецкий учёный Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), которого называли королём математики, занимался теорией параллельных более тридцати лет, но высказывал твёрдое убеждение в правомерности неевклидовой геометрии лишь в частных письмах. Считается, что Гаусс сделал это открытие в 1824 году, но так и не объявил о нём официально. Венгерский математик Янош Больяи (1802-1860) пришёл к идее неевклидовой геометрии в 1825 году, в 1832 году он опубликовал данные о своём открытии. Больяи был гусарским офицером, одним из знаменитых дуэлянтов, прекрасно играл на скрипке. Гусарское самолюбие плохо отразилось на его математической деятельности. Получив от Гаусса положительную оценку своего открытия в новой геометрии, он решил, что Гаусс присвоил себе его результаты. В последние годы жиз ни со зна ние Яно ша Бо ль яи по му ти лось, он уже не мог заниматься математикой. Русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) отличался от своих коллег силой воли, смелостью и упорством. Ему не было и тридцати лет, ког да он сфор му ли ро вал свои ре зуль та ты и вскоре их опубликовал. Результаты, полученные Лобачевским, не были признаны в то время. Его относили к разряду учёных, проводивших «сумасшедшие исследования по сумасшедшей геометрии». Мировое признание работы Лобачевского получили уже после смерти автора. Ло ба чев ский со че тал свою на уч ную де я тель ность с многогранной организаторской и просветительской ра-бо той. В те че ние 18 лет он был рек то ром Ка зан ско го уни вер си те та. Геометрия, которую мы изучаем в школе, — это евклидова геометрия. Постепенно возникали многочисленные вопросы: Янош Больяи Николай Иванович Лобачевский Верно ли, что пространство, в котором мы живём, устроено именно так? Евклидово ли оно? Выполняются ли в нашем реальном пространстве аксиомы Евклида? А как же иначе? Ведь аксиомы так очевидны: «через две точки проходит только одна прямая», «каждая прямая бесконечна в обе стороны» и т.д. Казалось бы, всё очевидно и иначе быть не может. 136 Однако Н.И. Лобачевский построил геометрию, в которой все аксиомы Евклида выполняются, кроме одной — аксиомы параллельных. Наши представления о реальном мире могут подвергаться сомнению и изменению. Пока люди не узнали, что Земля имеет форму шара, они считали, что вертикали строго параллельны, а оказалось, что они пересекаются в центре Земли. Спутникам Магеллана казалось, что если они будут каждый день делать записи в судовом журнале, то, вернувшись из кругосветного плавания, они не ошибутся в счёте дней. И всё же оказалось, что один день «пропал». Сейчас мы предполагаем и даже знаем, что наше пространство устроено сложнее, чем думал Евклид. Как же можно изучать пространство, отличное от «употребительного», как говорил Лобачевский? С этой проблемой великолепно справился сам Лобачевский, построив свою геометрию. Что же такое геометрия Лобачевского? Рис. 9.28 Сам Лобачевский называл свою геометрию воображаемой. Реальный смысл и логическая не-про ти во ре чи вость её вы те ка ют из про стой мо де ли, придуманной немецким математиком Ф. Клейном. Кратко опишем эту модель. За «плоскость» принимается внутренняя часть какого-либо круга (рис. 9.28), за «точки» — точки этой внутренней части, за «прямые» — хорды (конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренняя часть круга). За «изометрии» принимаются преобразования круга, переводящие круг в себя, а хорды — в хорды. Соответственно равными называются фигуры, переводимые друг в друга та ки ми пре об ра зо ва ни ями. Всякая теорема геометрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида, и, наоборот, всякая теорема Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского. Поэтому если в геометрии Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие имеется и в геометрии Евклида. То, что аксиома параллельных не выполняется в этой мо дели, вид но не по сред ст вен но: на рис. 9.29 через точку С, не лежащую на «прямой» (т.е. на хорде) АВ, проходит бесконечно много «прямых» (хорд), не пересекающих АВ. Мы лишь по зна ко ми лись с не ко то ры ми ос нов-ными положениями геометрии Лобачевского. Если вам показалось это интересным, вы можете узнать о ней больше. Рис. 9.29 137 Развиваем умения К § 9.1-9.4 Н B C И Перечислите все рёбра куба (рис. 9.30), для которых содержащая их прямая: а) параллельна прямой BE; б) имеет с прямой BE одну общую точку. Пе ре чис ли те пря мые, ко то рые про ходят через две вершины куба, отличные от М и С, и пересекаются с прямой МС (рис. 9.30). Назовите различные случаи взаимного рас по ло же ния двух пря мых на пло с ко сти. A E Z F M N Рис. 9.30 4 Каким свойством обладают центрально-симметричные прямые? Н tr 5 6 8 Что нужно знать о прямых а и Ь, чтобы утверждать, что они параллель ны? Могут ли две различные центрально-симметричные прямые иметь общую точ ку? |~т] Имеет ли центр симметрии фигура, являющаяся: а) объединением двух параллельных прямых; б) объединением трёх прямых, две из которых параллельны; в) объединением двух пересекающихся прямых? Если имеет, то сколько? Можно ли провести прямую, параллельную каждой из пересекающихся прямых а и Ь? Прямые а и Ь касаются окружности в диаметрально противоположных точках М и Т. Каково взаимное расположение этих прямых? Какие прямые при осевой симметрии с осью l переходят в параллельные им прямые? В пространстве дан угол. Будут ли лежать в одной плоскости все прямые: а) пе ре се ка ю щие сто ро ны это го уг ла в двух раз лич ных точ ках; б) проходящие через вершину угла; в) пересекающие одну из сторон угла и параллельные другой стороне; г) пересекающие одну из сторон и не име ю щие об щих то чек с дру гой сто ро ной? Может ли прямая быть параллельна: а) только одному ребру куба; б) только двум рёбрам; в) только трём рёбрам? 9 10 11 12 138 2 3 н 13 Постройте прямую: а) симметричную данной прямой а относительно данного центра О (О g а); б) параллельную данной прямой а и проходящую через данную точку. ^ Даны треугольник АВС и точка М. Постройте прямые, проходящие через точку М и параллельные прямым АВ, ВС и АС. п 15 Даны четыре параллельные прямые, из которых никакие три не лежат в одной плоскости. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит две из этих прямых? Докажите, что середина отрезка с концами на двух параллельных прямых является серединой проходящего через неё другого отрезка с концами на тех же прямых. Докажите, что прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами пер пен ди ку ля рны. 16 17 м шт 18 19 Докажите, что если на плоскости какая-либо прямая перпендикулярна од ной из двух пе ре се ка ю щих ся пря мых, то она не пер пен ди ку ляр на дру гой. На сколько частей могут делить плоскость 4 различные прямые? Каждый слу чай изо б ра зи те на ри сун ке. К § 9.S-9.7 н 20 21 При пересечении двух параллельных прямых секущей сколько образуется пар: а) внутренних накрест лежащих углов; б) внутренних односторонних углов? На рис. 9.31 прямые АВ и CD пересечены прямой МК. а) Какие точки на этом рисунке лежат по одну сто ро ну (в од ной по лу пло с ко с ти) от но си тель но прямой МК? б) Какие точки лежат в разных полупло-с ко с тях от но си тель но пря мой МК? в) Назовите углы, образовавшиеся при пересечении этих прямых. Рис. 9.31 139 Н tr 22 23 24 На рис. 9.32 две прямые АВ и CD пересечены прямой PM. Что можно сказать о расположении прямых АВ и CD? Лежат ли прямые АВ, CD и PM в од ной пло с ко сти? Мо гут ли вну т рен ние на крест ле жа щие уг лы, по лученные при пересечении двух параллельных прямых третьей, быть: а) оба острыми; б) оба тупыми; в) один острым, а другой тупым? На рис. 9.33 Z1 = Z2. Что можно сказать о прямых а и с нуй те свой ответ. Рис. 9.32 Ъ? Обо- Рис. 9.33 Рис. 9.34 п 26 2s| Прямые а и Ъ параллельны, прямая с пересекает их (рис. 9.34). Докажите, что: а) Z1 = Z3; б) Z1 = Z8; в) Z6 = Z7; г) Z3 = Z5; д) Z4 = Z6; е) Z7 = Z2; ж) Z5 = Z8; з) Z2 = Z4; и) Z2 + Z8 = 180°; к) Z7 + Z1 = 180°. С помощью двух одинаковых чертёжных угольников параллельные прямые можно проводить, как показано на рис. 9.35. Обоснуйте пост ро е ние. м 27 На рис. 9.36 указаны величины некоторых углов. Оп ре де ли те величины остальных углов. 140 К § 9.3-9.9 Н 28 Может ли у треугольника быть: а) два тупых угла; б) два прямых угла? н 1Г 29| • Ответьте на вопросы: а) Мо гут ли все вну т рен ние уг лы че ты рё ху голь ни ка быть ос т ры ми? б) Мо гут ли все вну т рен ние уг лы че ты рё ху голь ни ка быть ту пы ми? в) Какое наибольшее число тупых углов может иметь четырёхугольник? н В треугольнике АВС = 30°, ZB = 45°. Чему равен АС? В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) АА = 60°. Чему равен АВ? з2 Дан треугольник АВС. Ответьте на вопросы: а) Сколько прямых, параллельных основанию треугольника — отрезку АС, можно провести через точку В? Почему? б) Сколько пар равных углов образовалось при вер ши не В тре у голь ни ка АВС на рис. 9.37? Назовите эти углы. в) На рис. 9.37 А7 = 70°, А8 = 30°, 33 Рис. 9.37 BD || AC. Найдите величины углов 1, 2 и 3. Через вершины треугольника АВС проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Найдите углы треугольника, образованно- го эти ми пря мы ми, ес ли АА = 25°, АВ = 68°. п 35 34I Дано: MN || KL (рис. 9.38). Докажите, что ^ABC = ANAB + ABCL. Докажите, что если у равнобедренного тре у голь ни ка угол при вер ши не, про ти во ле жа-щей основанию, у голь ник рав но сто рон ний вер ши не, ра вен 60°, то такой тре- Рис. 9.38 141 м з6 Докажите, что любые две биссектрисы треугольника пересекаются. Докажите, что любые две медианы треугольника пересекаются. 37 38| Докажите: а) что не существует треугольника, сумма любых двух углов которого меньше 120°; б) что у треугольника, каждый из углов кото-ро го мень ше сум мы двух дру гих, все уг лы ос т рые. 39| Докажите, что треугольник нельзя разбить на два равных треугольника пря мой, ко то рая про хо дит че рез его вер ши ну и не пер пен ди ку ляр на про ти во ле жа щей сто ро не. 40| Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Изготовление уголкового отражателя. ВАША РОЛЬ. Конструктор. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Требуется изготовить уголковый отражатель из двух зеркал, обладающий таким свойством, чтобы любой луч света, отразившись от его сторон, двигался по прямой, параллельной начальной (рис. 9.39). ЗАДАНИЕ. Возможно ли изготовить такой отражатель? Если да, то какой надо взять угол между зеркалами? 142 Глава 10 ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, РОМБ, ТРАПЕЦИЯ Хоть я и не особенно забочусь о славе, однако параллелограммом горжусь больше, чем каким-либо другим изобретением, сделанным мною. Джеймс Уатт (английский изобретатель, 1736-1819) Открываем новые знания § 10.1 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ Начнём изучение одного из наиболее важных видов четырёхугольников, имеющих параллельные стороны, — параллелограмма. Определение 45. Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. На рис. 10.1 у четырёхугольника АВСД AB У DC и BC У AD, а значит, он является параллелограммом. Можно сформулировать следующие свойства параллелограмма: В С [!] Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Сумма внутренних углов параллелограмма ^ равна 360°. D Рис. 10.1 143 а) Рис. 10.2 I || Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. окажите эти свойства самостоятельно. Если сконструировать модель параллелограмма на шарнирах, то, меняя величины углов, можно получить различные параллелограммы с теми же длинами сторон (рис. 10.2а). Поэтому о параллелограмме говорят, что это фигура «подвижная», а не «жёсткая», как треугольник. Свойство подвижности параллелограмма часто используется на практике. Так, шарнирный параллелограмм применяется, например, для проведения параллельных прямых на различных расстояниях друг от друга. На рис. 10.2б изображена лампа. Такую лампу можно придвигать к освещаемому предмету или отодвигать от него благодаря шарнирному устройству, состоящему из параллело-грам мов. В начале этой главы помещён рисунок шарнирного механизма выдающегося английского изобретателя Джеймса Уатта. Этот механизм был предложен Дж. Уаттом в 1774 году, когда он решал такую проблему: как связать поршень с точ кой ма хо во го ко ле са, что бы вра ще ние коле са сообщало поршню прямолинейное движение1. Шарнирными механизмами в своё время много и пло до твор но за ни мал ся выдающийся рус ский учёный, математик и механик Пафнутий Львович Чебышёв (1821-1894). Им был предложен шарнирный механизм для вос про из ве де ния дви же ния не ко то рой точ ки ме ха-низма по прямой линии. Этот параллелограмм Чебышё-ва применяется в приборах для получения прямолинейного движения точки без направляющих. П.Л. Чебы-шёв соб ст вен но руч но из го то вил мно же ст во са мых раз- 1 Подробнее об этом механизме можно прочитать в статье В.В. Вавилова «Шарнирные механизмы. Кривые Уатта» (Квант. 1977. № 1). { --------' , V j;i ■ -jf-' Ч- |Д • I Дж. Уатт П.Л. Чебышёв 144 нообразных механизмов: лодку с гребным аппаратом, шагающего человека (стопоходящую машину) и другие замечательные вещи. § 10.2 ЦЕНТР СИММЕТРИИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Зададим себе такой вопрос: Имеет ли параллелограмм центр симметрии? Мы докажем следующую теорему: Теорема 40. Середина диагонали параллелограмма является центром симметрии этого параллелограмма. } (дано) (рис. 10.3) B C A D Рис. 10.3 Доказательство 1. ABCD — параллелограмм. 2. Точка О - середина диагонали АС параллелограмма ABCD. 3. О — центр симметрии параллелограмма ABCD (требуется доказать). Нам нужно доказать, что параллелограмм при симметрии с центром О переходит в себя. 4. Выполним центральную симметрию па-рал ле ло грам ма ABCD с центром О. 5. Вершина А параллелограмма ABCD при этой сим ме т рии пе ре хо дит в точ ку С (2, 4, определение центральной сим-ме т рии). 6. При симметрии с центром О прямая АВ переходит в параллельную ей прямую, проходящую через точку С, т.е. в прямую CD (4, Т.26 о параллельности центрально-сим мет рич ных прямых). 7. Прямая СВ при этой симметрии переходит в прямую AD (4, свойство цен т раль ной сим ме т рии). 8. При симметрии с центром О прямые АВ и BC переходят соответственно в прямые CD и AD. Точка В — точка пересечения прямых АВ и BC, по это му она при этой сим ме т рии пере хо дит в точ ку пе ре се че ния прямых CD и АВ, т.е. в точку D (6, 7). 9. Итак, при симметрии с центром О вершины А, В, С и D переходят соответственно в вершины С, D, А и В (8). 10(3). Параллелограмм ABCD при симметрии с центром О переходит в себя, следовательно, середина диагонали параллелограмма (точка О) является центром его симметрии. ■ 145 Поскольку центральная симметрия является изометрией, из Т.40 можно получить такие следствия — свойства параллелограмма: Следствие 1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны. Следствие 2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны. Следствие 3. Диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения по по лам. Докажите следствия 1 и 2 самостоятельно. Следствие 3 мы сейчас докажем. Доказательство 1. ABCD — параллелограмм. 2. АС и BD — диагонали параллелограмма ABCD, точка О — точка пересечения диагоналей. 3. АО = СО, ВО = DO (требуется доказать). В С 4. По теореме 40 центр симметрии параллелограмма лежит на его диагонали. Значит, центр симметрии параллелограмма ABCD лежит и на диагонали АС, и на диагонали BD, т.е. является точкой пересечения диагоналей — точкой О (Т.40). 5. Точки А и С, В и D симметричны относительно центра симметрии — точки О (1, 2, Т.40). J 6(3). АО = СО, ВО = DO (4, свойства центральной симметрии). ■ } (дано) (рис. 10.4) B § 10.3 ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Теперь мы докажем некоторые признаки параллелограмма, т.е. ответим на вопрос: Что нужно знать о четырёхугольнике, чтобы утверждать, что он является параллелограммом? Ответом на этот вопрос могут быть следующие теоремы. Теорема 41. Четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны. Доказательство 1. ABCD — четырёхугольник. "4 (дано) 2. AB = CD, AD = BC. } (рис. 10.5а) 3. ABCD — параллелограмм (требуется доказать). 146 B C B C B C A a) D б) D Рис. 10.5 Для доказательства п. 3 нужно доказать параллельность противолежащих сторон четырёхугольника ABCD. Для этого можно воспользоваться теоремой 30 — признаком параллельности прямых. 4. Проведём диагональ AC четырёхугольника ABCD и получим два треугольника — ABC и CDA (построение) (рис. 10.5б). 5. АС — общая сторона этих треугольников (4). 6. ААВС = ACDA (2, 5, признак равенства треугольников по трём сто-ро нам). 7. Z1 = Z2, Z3 = Z4 (6). Пары углов в п. 7 являются внутренними накрест лежащими при пересечении секущей двух прямых. Значит, можно использовать признак параллельности двух прямых — Т.30. 8. AB У CD и AD У BC (7, Т.30). 9(3). ABCD — параллелограмм (8, определение параллелограмма). ■ I Теорема 42. Четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали, пересекаясь, делятся пополам. } (дано) (рис. 10.6) Доказательство 1. ABCD — четырёхугольник. 2. AC и BD — диагонали четырёхугольника, которые пересекаются в точке О. AO = CO и BO = DO. 3. ABCD — параллелограмм (требуется доказать). В доказательстве будем использовать Т.41. 4. Рассмотрим две пары треугольников: АОВ и COD, ВОС и AOD (1, 2). 5. ZAOB= ZCOD, ZBOC = Z AOD (2, Т.10 о равенстве вертикальных углов). 6. ДАОВ = ACOD, АВОС = ADOA (2, 5, признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). 7. АВ = CD, AD = BC (6). 8(3). ABCD — параллелограмм (6, Т.41). ■ Теорема 43. Четырёхугольник является параллелограммом, если две его противоположные стороны равны и параллельны. Докажите эту теорему самостоятельно, воспользовавшись Т.41. 147 § 10.4* ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ Многие теоремы в нашем курсе сформулированы в виде условных предложений вида: «Если то ...» (или их легко можно так сформулировать). Например, следствие 3 из теоремы 40 можно сформулировать так: «Если четырёхугольник является параллелограммом, то его диагонали, пересекаясь, делятся пополам». (1) Первая часть теоремы, высказанной в виде условного предложения (от слова «если» до слова «то»), выражает условие теоремы, а вторая часть (после слова «то») — заключение теоремы. В условии говорится о том, что дано, а в заключении — о том, что требуется доказать. Для теоремы (1), сформулированной в виде условного предложения, нетрудно сформулировать обратное предложение. Для этого условие и заключение данной теоремы следует поменять местами. Полученные при этом предложения называются взаимно обратными, или взаимно обратны ми теоремами. Обратное предложение формулируется так: «Если диагонали четырёхугольника, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом». (2) Приведём несколько примеров прямых и обратных предложений: 1. Если углы вертикальные, то они равны. 2. Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противоположные стороны попарно равны. 3. Если четырёхугольник ABCD является параллелограммом, то AB = CD. 4. Если четырёхугольник является параллелограммом, то две его противоположные стороны равны и параллельны. 11. Eсли углы равны, то они являются вертикальными. 21. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 31. Если для четырёхугольника ABCD выполняется равенство AB = CD, то этот четырёхугольник является параллелограммом. 41. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. 148 Если верно некоторое предложение, то это не значит, что верно и предложение, обратное ему. Например, предложение 1 верно, а обратное ему предложение 11 неверно. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно при ве с ти при ме ры. Предложение 1^ неверно потому, что существуют равные углы, которые не являются вертикальными (рис. 10.7). Предложение 31 неверно, поскольку существует четырёхугольник ABCD, удовлетворяющий условию, но не являющийся параллелограммом (рис. 10.8). Предложения, обратные предложениям 2 и 4, вер ны. Ес ли вер ны не ко то рая те о ре ма и те о ре ма, об ратная ей, то для краткости их часто формулируют в виде одного предложения, соединяя условие и заключение словами «тогда и только тогда». На при мер, пред ло же ния 2 и 21 мож но сфор му ли-ровать так: Четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его противоположные стороны попарно равны. B C A D Рис. 10.8 § 10.5 ТЕОРЕМА ФАЛЕСА. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Теорема, которую мы сейчас рассмотрим, носит имя одного из величайших мыслителей Древней Греции, ро до на чаль ни ка ан тич ной фи ло со фии и на уки, ос но-вателя Милетской школы Фалеса Милетского (625547 до н.э.). Фалесу Милетскому принадлежит ряд открытий в различных областях науки. Фалес Милетский Теорема 44 (теорема Фалеса). Пусть через точки А, В, С, D, расположенные на одной стороне угла, проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону этого угла в точках А1, В1, С1, D1 соответственно. Тогда если равны отрезки АВ и CD, то равны и отрезки А1В1 и C1D1. 149 а) б) Рис. 10.9 } (дано) (рис. 10.9а) Доказательство 1. Точки А, В, С, D расположены на стороне угла О. 2. АА1 У BB1 У СС1 У DD1. 3. АВ = CD. 4. А1В1 = C1D1 (требуется доказать). Для доказательства п. 4 можно построить фигуры, в которых отрезки А1В1 и C1D1 были бы равными сторонами. 5. Проведём через точки А и C прямые, параллельные другой стороне угла О (построение) (рис. 10.9б). 6. Получились два четырёхугольника АВ2В^^1 и CD2D1C1 (1, 5). 7. Четырёхугольники АВ2В1А1 и CD2D1C1 — параллелограммы (1, 2, 5, 6, определение параллелограмма). 8. АВ2 = А1В1 и CD2 = C1D1 (7, свойство параллелограмма). Для доказательства теоремы нам достаточно доказать равенство отрезков АВ2 и CD2. Для этого можно рассмотреть треугольники АВВ2 и CDD2 (рис. 10.9б). 9. АВ = CD согласно условию теоремы; ААВВ2 = ACDD2 как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных ВВ1 и DD1 прямой BD; точно так же каждый из углов ВАВ2 и DCD2 оказывается равным данному углу с вершиной О, а значит, ААВВ2 = ACDD2. 10(4). А1В1 = C1D1 (3, 9, определение равных треугольников). ■ Используя теорему Фалеса, мы можем легко разделить любой отрезок на произвольное количество равных отрезков. Задача Разделить данный отрезок ОА на пять равных отрезков. Решение 1. Отрезок ОА (дан) (рис. 10.10а). 150 Рис. 10.10 2. Требуется разделить отрезок ОА на пять равных частей. Воспользуемся теоремой Фалеса. 3. Проведём через точку О луч ОМ и отложим на нём последовательно пять равных отрезков: ОВ1 = В1В2 = ... = В4В5 (построение) (рис. 10.10б). 4. Проведём прямую АВ5 и прямые, параллельные прямой АВ5, проходящие через точки В1, В2, В3 и В4 (построение) (рис. 10.10в). 5(2). Эти прямые разделят отрезок ОА на пять равных отрезков (1, 2, 3, Т.44). ■ Используя свойства параллелограмма и теорему Фалеса, рассмотрим свойства средней линии треугольника. Определение 46. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. B На рис. 10.11 изображён ААВС, у которого АМ = МВ и CN = NB. Отрезок MN — средняя линия ААВС. Докажем теорему. Теорема 45. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне, а её длина равна половине длины третьей стороны. Рис. 10.11 . } (дано) (рис. 10.12а) Доказательство 1. АВС — треугольник. 2. DЕ — средняя линия треугольника 3. DE У AC. "I , ,, 1 >(требуется доказать) 4. DE = ^ AC. J Из данных теоремы можно сделать вывод: 5. АD = DE и СЕ = ЕВ (1, 2, определение средней линии треугольника). Воспользуемся методом доказательства от противного. 151 а) Рис. 10.12 B / \Ei^ B А/ г C A C A ^Е C б) в) 6. Предположим, что DE не параллельна АС. Проведём через точку D прямую DE^, параллельную стороне АС треугольника АБС (построение) (рис. 10.12б). 7. Проведённая прямая разделит отрезок БС пополам, т.е. пройдёт через точку Е (5, 6, теорема Фалеса). 8. Проведённая прямая DE1 совпадёт с прямой DE, так как каждая из них проходит через точки D и E, а через две различные точки проходит единственная прямая. 9(3). DE У AC (2, 6, 8). Докажем истинность п. 4. 10. Проведём EF У AB (построение) (рис. 10.12в). 11. Прямая EF разделит отрезок АС пополам: AF = FС = ^ АС (10, теорема Фалеса). 12. ADEF - параллелограмм (3, 10, определение параллелограмма). 13. DE = АЕ (12). 14(4). DE = 22 AC (13). ■ В за клю че ние это го параграфа по ка жем ещё од но при ме не ние свойств параллельных прямых и теоремы Фалеса — для доказательства теоремы о пересечении медиан треугольника. Теорема 46. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. } (дано) (рис. 10.13а) Доказательство 1. АВС — треугольник. 2. АD и ВЕ — две его медианы. 3. О — точка пересечения медиан АD и ВЕ. Замечание. Тот факт, что две медианы треугольника пересекаются в одной точке, также нуждается в доказательстве. Проведите его самостоятельно. Можно предложить такую стратегию доказательства. 152 B а) B б) Рис. 10.13 B C в) 4. Отрезок CN, проходящий через вершину С этого треугольника и точку О, будет также медианой, т. е. AN = NB (требуется доказать) (рис. 10.13б). Используем идеи, заложенные в теореме Фалеса, для этого выполним не ко то рые до пол ни тель ные по ст ро е ния. 5. Через точку Е проведём EF ^ AD (построение) (рис. 10.13в). 6. CF = FD (5, теорема Фалеса). 7. Разделим отрезок BD пополам: DK = KB (построение) (рис. 10.13в). 8. BK = KD = DF = FC как половины равных отрезков CD и BD (1, 5, 6, 7). 9. Через точку К проведём KS У AD (построение) (рис. 10.13в). 10. BS = SO = OE (4, 8, 9, теорема Фалеса). 11. Через точки S и Е проведём SP У ON и EQ У ON (построение) (рис. 10.13в) (10). 12. BP = PN = NQ (10, 11, теорема Фалеса). 13. NQ = QA (2, 11, теорема Фалеса). 14. BP = PN = NQ = QA (12, 13). 15. BP + PN = BN, NQ + QA = NA (14). 16. BN = NA (14, 15). 17(2). NC — медиана треугольника АВС (16, определение медианы). Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. ■ 1 Кроме того, на рис. 10.13в мы видим, что отрезок ОЕ составляет - BE. 3 Аналогично можно доказать, что отрезок ON составляет - CN и отрезок 13 OD составляет - AD. 3 Следовательно, I I I Точка пересечения медиан в треугольнике отделяет от каждой медианы тре-1 " I тью часть, считая от соответствующей стороны. 153 § 10.6 РОМБ Ранее мы дали определение прямоугольника и квадрата. Теперь мы можем дать другие определения этих четырёхугольников, используя понятие параллелограмма. Определение 47. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Определение 48. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Определим новый для нас четырёхугольник — ромб. Определение 49. Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом. На рис. 10.14 изображён ромб ABCD, у которого AB = 5C = CD = DA. B Как вы думаете, какой из известных вам четырёх-уголь ни ков яв ля ется ром бом? C Ответ прост — это квадрат. Так как ромб является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма. Пере чис ли те их. Кроме того, у ромба есть и другие свойства. Прежде всего ответим на вопрос: Есть ли у ромба центры и оси симметрии? Ромб — параллелограмм, значит, у него есть центр симметрии. На вторую часть вопроса даёт ответ теорема. I Теорема 47. Прямая, содержащая диагональ ромба, является его осью симметрии. Доказательство 1. ABCD — ромб, АВ = ВС = CD = DA. 2. АС и BD — диагонали ромба. 3. l1 и I2 — прямые, на которых лежат диагонали ромба. 4. l1 и I2 — оси симметрии ромба (требуется доказать). } (дано) (рис. 10.15) 154 Докажем, что — ось симметрии ромба (для I2 доказательство аналогично). Прямая является осью симметрии ромба, если при симметрии относительно этой прямой ромб перейдёт в себя. 5. Выполним осевую симметрию ромба ABCD относительно оси l^. 6. Вершины ромба А и С перейдут в себя (5, свой ст во осе вой сим ме т рии). 7. Так как СВ = CD, то по Т.15 точка С лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD. А поскольку прямая АС проходит через середину О отрезка BD, то она и является этим серединным перпендикуляром, т.е. АС 1 BD. 8. Так как ВО = OD (свойство диагоналей параллелограмма), то вершины В и D перейдут друг в друга (1, 5, Т.15). 9. Таким образом, вершины ромба ABCD при осевой симметрии с осью l1 перейдут: А^А, B ^ D, С^С, D^B (знак «^» обозначает «перейдёт») (6, 8). 10(3). Ромб ABCD перейдёт в себя, и l1 — его ось симметрии (5, 9). ■ Диагонали ромба обладают двумя важными свойствами: I I I 1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 1 " j 2. Диагонали ромба делят его углы пополам. Свойство 1 доказано в пункте 7 теоремы 47. Свойство 2 докажите само сто я тель но. § 10.7 ТРАПЕЦИЯ Познакомимся с ещё одним видом четырёхугольников — трапецией. Определение 50. Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие непараллельны, называется трапецией. На рис. 10.16 изображена трапеция A^CD. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рис. 10.16 отрезки ВС и AD являются основаниями трапеции ABCD, АВ и CD — боковыми сторонами. Определение 51. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной. / B C л A D Рис. 10.16 155 У трапеции KLMN на рис. 10.17 угол К — прямой, поэтому трапеция KLMN — прямоугольная. Определение 52. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. L M K N Иногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой. У трапеции EFGH на рис. 10.18 EF = GH, значит, трапеция EFGH — равнобедренная. Докажем теорему. Рис. 10.17 Теорема 48. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Рис. 10.18 (дано) (рис. 10.19а) В A Доказательство 1. ABCD — равнобедренная трапеция, т.е. BC У AD, АВ = CD. J 2. ABAD = ACDA (требуется доказать). Вспомним, что углы при основании равны в рав нобе д рен ном тре у голь ни ке. 3. Проведём дополнительное построение, чтобы по лу чить рав но бе д рен ный тре у голь ник. 4. Проведём отрезок ВЕ параллельно стороне CD (построение) (рис. 10.19б). 5. BCDE — параллелограмм (1, 4, определение параллелограмма). 6. BE = CD (5, следствие 1 из Т.40). 7. АВ = ВЕ (1, 6). 8. Треугольник АВЕ — равнобедренный (7, определение равнобедренного треугольника). 9. АВАЕ = АВЕА (8, свойство углов при основании равнобедренного треугольника). 10. ABEA = ACDA (4, свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных секущей). 11(2). ABAD = ACDA (9, 10). ■ C а) D B C A E б) Рис. 10.19 D Определение 53. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. На рис. 10.20а точки М и E — середины боковых сторон трапеции. Значит, ME — средняя линия трапеции ABCD. Докажем теорему. 156 Теорема 49. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований трапеции. Доказательство 1. ABCD — трапеция. (дано) 2. ME — средняя линия трапеции ABCD. j (рис. 10.20а) 3. МЕ У AD. (требуется доказать). 4. ME = AD + BC 2 . } Докажем п. 3. На основании данных теоремы имеем: 5. AD У BC (1). 6. AM = MB, СЕ = ED (2). 7. Проведём через середину М стороны АВ трапеции прямую МК, па-рал лель ную ос но ва ни ям AD и ВС (по ст ро е ние) (рис. 10.20б). Если прямая МК совпадает с прямой МЕ, то теорема доказана. 8. Прямая МК пройдёт через середину отрезка CD, т.е. через точку Е (2, 7, теорема Фалеса). 9. Прямая МЕ совпадает с прямой МК, так как каждая из них проходит через точки М и Е, а через две различные точки проходит единственная прямая (7, 8). 10(3). ME параллельна основаниям трапеции (9). Докажем п. 4. Воспользуемся свойствами средней линии треугольника. 11. Проведём диагональ BD и обозначим точку её пересечения со средней линией через Р (построение) (рис. 10.20в). 12. Точка Р — середина отрезка BD (11, теорема Фалеса). 13. Отрезки РМ и РЕ — средние линии треугольников ABD и BCD (6, 12). 14. РЕ = 72 BC, РМ = 72 AD (13, свойства средней линии треугольника). 15(4). ME = MP + PE = - AD + - BC = - (AD + BC) (12). ■ 157 Развиваем умения К § 10.1-10.3 Н U и B C На рис. 10.21 изображён параллелограмм ABCD. Сколько у параллелограмма: а) вершин; б) сторон; в) углов; г) диагоналей? На какие фигуры разбивает параллелограмм его ди а го наль? н tr B C A D Рис. 10.22 3 # На рис. 10.22 изображён четырёхугольник. Является ли он параллелограммом? Обоснуйте свой ответ. 4 • Может ли диагональ параллелограмма равнять- ся его сто ро не? 5 • Диагональ параллелограмма разбивает его на два треугольника. Что можно сказать о периметрах этих треугольников? И • Всегда ли одна диагональ параллелограмма больше другой? |~т] • Верны ли следующие утверждения: а) четырёхугольник является параллелограммом, если две противоположные стороны его параллельны; б) четырёхугольник является параллелограммом, если его стороны попарно параллельны? н 10 В параллелограмме ABCD AB = 5 см, BC = 7 см. Найдите стороны CD, AD и периметр параллелограмма. Выразите сторону параллелограмма b через его периметр Р и другую сторону а. Периметр параллелограмма равен 60 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна из сторон параллелограмма равна 13 см; б) одна сторона параллелограмма на 4 см больше другой стороны; в) одна сторона параллелограмма в 3 раза меньше другой стороны; г) разность двух сторон параллелограмма равна 7 см; д) стороны относятся как 1 : 3. 158 2 8 9 12 13 l1 Могут ли все углы параллелограмма быть: а) острыми; б) тупыми; в) прямыми? Может ли только один угол параллелограмма быть прямым? Один из углов параллелограмма равен 55°. Найдите его остальные углы. Найдите все углы параллелограмма, если: а) разность двух углов параллелограмма равна 44°; б) один угол параллелограмма в 4 раза больше другого угла; в) углы параллелограмма относятся как 2 : 3. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы в 30° и 50°. Найдите все углы этого параллелограмма. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла В, пересекающая 14 15 16 сторону CD в точке К. ААЕС = 60 . Найдите величины углов CKB и DKB. В параллелограмме ABCD отмечены точки: М — на стороне ВС и К — на стороне AD, причём МК || АВ. Докажите, что АВМК — параллелограмм. п 17| Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что её отрезок, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. 18 Диагональ параллелограмма делит его на два треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 4 см. Найдите периметр этого параллелограмма. Сколько решений имеет задача? Покажите их на чертеже. 19 В параллелограмме ABCD биссектриса АМ угла BAD отсекает ААВМ, АВАМ = 25°. Найдите все углы параллелограмма. 20 Дан параллелограмм ABCD (рис. 10.23). На его сторонах AB и CD взяты такие точки М и N, что DM = BN. Обязательно ли четырёхугольник MDNB является параллелограммом? На продолжениях противоположных сторон параллелограмма ABCD от ло же ны рав ные от рез ки AN и CM и про ве де ны от рез ки DM и NB (рис. 10.24). Докажите, что полученный четырёхугольник NBMD является параллелограммом. „ С 21 Рис. 10.23 M D L C A K B Рис. 10.25 159 22l Дан параллелограмм ABCD (рис. 10.25). AK = CL. Докажите, что точки А, К, С, L являются вершинами параллелограмма. м 23 24 25 26 Три параллельные прямые пересечены тремя параллельными прямыми. Сколько при этом получилось параллелограммов? Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трёх заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их. Сколько разных параллелограммов можно получить из двух равных треугольников, прикладывая их друг к другу различным образом? Можно ли параллелограмм разрезать на: а) 4 равных параллелограмма; б) 5 равных параллелограммов; в) 4 равных треугольника; г) 6 равных тре у голь ни ков? К § 10.5 Н 27 28 29 30 31 32 B Ф В AABC МК — средняя линия (рис. 10.26). Назовите равные отрезки на этом рисунке. н tr # На рис. 10.27 изображён угол О и две параллельные прямые А1В1 и А2В2. ОА1 = А^А2. Есть ли на этом рисунке другие пары равных отрез ков? Рис. 10.26 н Разделите данный отрезок: а) на три равных от рез ка; б) на че ты ре рав ных от рез ка. Одна из сторон треугольника разделена на шесть равных отрезков. Как разделить две другие стороны этого треугольника: а) на два равных отрезка; б) на три рав ных от рез ка? Най ди те пе ри метр тре у голь ни ка, вер ши нами ко то ро го являются середины сторон данного треугольника, имеющего периметр Р. Длины диагоналей четырёхугольника равны тип. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника. Вычислите его периметр, если т = 3 дм, п = 8 см. 33 Постройте треугольник, если заданы середины его сторон. 160 C E D B Рис. 10.29 Рис. 10.30 п 34I Внутри угла АВС дана точка D. Проведите через точку D прямую так, чтобы отрезок её, отсекаемый сторонами угла: а) делился в точке D пополам; б) делился в точке D в отношении 1 : 2. 35 На рис. 10.28 DE У AB, EF У AC и D — середина отрезка АС. Докажите, что ACDE = AEFB. 3б| Используя свойства средней линии треугольника, найдите расстояние между двумя недоступными точками А и В. 37| Найдите расстояние до недоступной точки, используя свойство средней ли нии тре у голь ни ка. м 40 38 Даны угол АОВ и точка М вне его. Проведите через точку М прямую, пересекающую стороны угла АОВ в точках С и ^ так, чтобы отрезок МК делился точкой С пополам. 39I Даны две произвольные прямые. На первой из них взяты точки А1, В1, C1, D1, а на второй - точки А2, В2, C2, D2 так, что прямые А^А2, В1В2, C1C2, D1D2 параллельны между собой. Докажите, что если А1В1 = C1D1, то А2В2 = C2D2. На рис. 10.29 ED У ВС, ED = BC и точки Р, Q, R являются серединами соответствующих отрезков. Докажите, что отрезок PR делится пополам отрезком QD. Каждая из сторон треугольника АВС разделена на три равных отрезка, и точки деления соединены отрезками (рис. 10.30). Найдите периметр образовавшейся на этом рисунке звёздочки (выделенной цветом), если периметр треугольника АВС равен Р. Докажите, что вершины треугольника находятся на равном расстоянии от пря мой, на ко то рой ле жит сред няя линия этого тре у голь ника. 41 42 161 шшшш Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Нахождение центра масс системы из трёх точек. ВАША РОЛЬ. Механик-теоретик. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. В вершинах треугольника находятся одинаковые точечные массы. Требуется определить центр масс такой системы. ЗАДАНИЕ: а) Где находится центр масс системы из двух точек, если массы этих точек одинаковы? б) Где находится центр масс системы из двух точек, если массы этих точек равны т1 и m2 (m1 Ф m2)? в) Где находится центр масс системы из трёх точек - вершин треугольника, если массы этих точек одинаковы? г) Какая имеется связь между этой задачей и теоремой 46 о точке пересечения медиан треугольника и следствием из неё? К § 10.6 Н B C 43 • На рис. 10.31 изображён ромб ABCD. Назовите: а) его равные стороны; б) его равные углы; в) его диагонали; г) его центр симмет- ^ рии; д) его оси симметрии. D Рис. 10.31 Н 1Г 44I # Может ли длина стороны ромба равняться половине длины его диагонали? 45I • Существует ли точка, равноудалённая: а) от всех вершин ромба; б) от всех сто рон ром ба? 4б| • Приведите примеры, опровергающие высказывания: а) если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то этот че ты рё ху голь ник яв ля ет ся ром бом; б) если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны и равны, то этот четырёхугольник является ромбом. 47I • Как проверить, является ли вырезанный из картона четырёхугольник ром бом? н 48] Сторона ромба равна 2 см. Найдите периметр этого ромба. 49I Вычислите периметр ромба, один из углов которого равен 60°, а длина меньшей диагонали равна 8 см. 162 51 52 53 54 B C B B C Рис. 10.34 50 Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. с его диагоналями, относятся Углы, образуемые стороной ромба как 4:5. Найдите углы ромба. Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом. Постройте ромб: а) по стороне и диагонали; б) по диагоналям; в) по стороне и углу; г) по диагонали и углу. Сторона ромба АВСД (рис. 10.32) равна 2 см, ZD= 120°. а) Найдите расстояния AM, MD, BD. б) Докажите, что AMBN равносторонний. п 55 Постройте ромб, если заданы точка пересечения его диагоналей и две со сед ние вер ши ны. Постройте ромб, если заданы точка пересечения его диагоналей и сере-ди ны двух смеж ных сто рон. 56 м 57I Постройте ромб по сумме диагоналей и одному из углов. 58 59 В равнобедренном треугольнике АВС отмечены середины боковых сторон М и К и их проекции на основание М1 и К1 (рис. 10.33). Через отмеченные точки проведены две прямые МК1 и КМ 1. Покажите, как из полученных частей 1, 2, 3 и 4 можно сложить ромб. В ромбе ABCD угол А равен 60°. Докажите, что если один из углов треугольника BMN (рис. 10.34) равен 60°, то остальные тоже равняются 60°. 163 м шш 6о1 Из одинаковых дощечек, имеющих форму ромба, выкладывают паркет (рис. 10.35), начиная от центра зала (точка О). Возможно ли продолжить дальнейшую укладку паркета такими же дощечками? Если возможно, то укажите углы ромбов и наметьте варианты дальнейшей укладки. К § 10.7 Н B C 61 62 63 • На рис. 10.36 изображена трапеция ABCD. Укажите параллельные и непараллельные стороны трапеции. • На сколько треугольников делит трапецию её диагональ? • На рис. 10.37 изображена трапеция ABCD. MN — её средняя линия. Укажите на рисунке равные отрезки. A D Рис. 10.36 B C н 1Г 64| • Какие фигуры на рис. 10.38 являются трапециями? а) б) в) Рис. 10.38 г) д) 65 • В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD (рис. 10.39). а) Укажите на этом рисунке равные углы. б) На сколь ко тре у голь ни ков раз би ва ют трапецию её диагонали? 66| • Может ли в равнобедренной трапеции быть три рав ных сто ро ны? A B C 164 B A E C B C D Рис. 10.40 B C A D Рис. 10.42 H 67 ABCD — трапеция с основаниями ВС и AD. ВС = 4 см, AD = 8 см. Найдите длину средней линии трапеции. [68 Чему равна сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции? 69 Чему равна сумма всех углов трапеции? [70 Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ZA = 36°, ZC = 117°. [71 В трапеции ABCD проведена биссектриса угла А. Какую из сторон трапеции пересекает эта биссектриса? Рассмотрите все возможные случаи. 70 На рис. 10.40 изображена трапеция ABCD. АЕ является биссектрисой угла А. Укажите на рисунке равные между собой углы. п 74 75 73 На рис. 10.41 изображена трапеция ABCD и её диагональ BD. Как построить отрезок, равный сумме оснований трапеции? В трапеции ABCD сторона АВ равна стороне ВС. Докажите, что диагональ АС является биссектрисой угла А. Периметр равнобедренной трапеции равен 28 см, большее основание равно 10 см. Диагональ трапеции делит её острый угол пополам. Найдите длину меньшего основания трапеции. EF — средняя линия трапеции ABCD, в которой ZA = 70°, ZD = 80°. Найдите величины углов BEF и СFE. На рис. 10.42 изображена трапеция ABCD. Постройте отрезок, равный разности большего и меньшего оснований. 76 77 М 78 79 Докажите, что сумма боковых сторон трапеции больше разности её ос-но ва ний. Докажите, что сумма диагоналей трапеции больше суммы её оснований. 165 80 81 82 83 Докажите, что если биссектрисы углов при одном основании трапеции пересекаются в точке, лежащей на другом основании, то второе основание трапеции равно сумме длин боковых сторон трапеции. Чему равен угол между биссектрисами двух углов, прилежащих к боковой стороне трапеции? Докажите, что если углы при основании трапеции равны, то трапеция яв ля ет ся рав но бе д рен ной. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны. 85 84 Докажите, что если диагонали трапеции равны, то трапеция является равнобедренной. Докажите, что середина диагонали трапеции принадлежит средней линии трапеции. Докажите, что диагонали трапеции делят её среднюю линию на три отрезка, крайние из которых равны между собой и каждый из них равен половине меньшего основания, а средний равен полуразности оснований. В равнобедренной трапеции ABCD с основанием AD=a и BC=b (a>b) 86 87 88 проведена высота BE. Докажите, что AE = ; ED = . Боковая сторона трапеции с основаниями а и b (a>b) разделена на три равные части и через полученные точки проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите длины отрезков этих прямых, заключённых внутри трапеции. шшш Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Восстановление квадрата по одной известной точке на каждой из его сторон. ВАША РОЛЬ. Археолог. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Из древней рукописи известно, что из одинаковых круглых плиток, расположенных одна рядом с другой в один ряд, в дворцовом саду был выложен контур квадрата. При раскопках было обнаружено по одной плитке от каждой стороны квадрата. ЗАДАНИЕ. Восстановите расположение квадрата. 166 Глава 11 ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМЫ Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир. Иоганн Вольфганг Гёте (немецкий писатель, мыслитель и естествоиспытатель, 1749-1832) Открываем новые знания § 11.1 ЗНАКОМСТВО С ПЛОЩАДЯМИ ФИГУР Вам наверняка уже приходилось измерять площади — площадь пола в комнате или площадь садового участка. Что же математики понимают под площадью? Как её измеряют? Прежде всего следует понять, площади каких фигур мы будем находить. В школьном курсе геометрии мы будем в первую очередь вычислять площади простых фигур — фигур, которые можно разбить на конечное число треугольников. Главным примером простой фигуры является выпуклый многоугольник (рис. 11.1). Площадь фигуры мы будем обозначать буквой S. Запись Sf читается так: «площадь фигуры F». Площадь многоугольника — это величина, которая удовлетворяет следующим свойствам: 1. Всякий многоугольник F имеет площадь Sf. Площадь является величиной, численное значение которой положительно, т.е. Sf > 0 для любого многоугольника F. 167 F Площадь фигуры зависит только от её размеров и формы и не зависит от места расположения фигуры в пространстве. Мы сформулируем это свойство так: 2. Если две фигуры равны, то равны и их площади. Чтобы сформулировать следующее свойство площади, рассмотрим фигуру F, которая является объединением двух фигур F1 и F2, причём эти фигуры пересекаются по конечному числу отрезков и точек. На рис. 11.2 фигура F является объединением двух треугольников F1 и F2. Тогда SF = SF + SF . 2 F F1 f2 Сформулируем соответствующее свойство площади так: 3. Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей частей фигуры. I I I Измерить площадь фигуры — это значит сравнить её с площадью некото-1 " I рой фигуры, принятой за единицу измерения площади. Возникает вопрос: ^ Что следует принять за единицу измерения площади? Ответ на этот вопрос формулируется как ещё одно важное свойство измерения площади: 4. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины. Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей площади является 1 мм2 (квадратный миллиметр); при единице длины 1 см единицей измерения площади является 1 см2 (квадратный сантиметр). Если за еди ни цу из ме ре ния дли ны берётся 1 м, то ей со от вет ст ву ет еди ни ца площади 1 м2 (квадратный метр). Пло щадь многоугольника S можно выразить через единицу измерения площади c помощью некоторого положительного числа, скажем, S = 15 см2. Нанесём квадратную сетку на прозрачную бу ма гу и на ло жим её на фи гу ру F (рис. 11.3). Площадь фигуры будет не меньше, чем количество квадратиков сетки, лежащих целиком внутри фигуры, и не больше, чем количество клеток, имеющих с фигурой общие точки. Такая сетка называется палеткой. 3 168 Можно доказать, что из рассмотренных выше свойств 1-4 следует, что площадь квадрата со стороной a равна a2: S = a2 ’^квадр. “ • Разумеется, здесь имеется в виду, что единица измерения длины и единица измерения площади согласованы, как сказано выше в свойстве 4. Скажем, если сторона квадрата равна a см, то площадь этого квадрата равна a2 см2. Определение 54. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь. С равновеликими фигурами мы будем часто встречаться при решении задач. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА. § 11.2 ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУБА _______И ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА_________ Выведем формулу для нахождения площади прямоугольника. Теорема 50. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон: Sпр = a • b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Доказательство 1. Дан прямоугольник со сторонами a и b (рис. 11.4а). 2. Sпр. = ab (требуется доказать). Эту формулу мы выведем, пользуясь основными свойствами площадей. Удобно было бы связать данный прямоугольник с некоторыми квадратами. Это можно сделать, например, как показано на рис. 11.4б. 3. Построим на двух смежных сторонах данного прямоугольника по квадрату, а затем построим большой квадрат (построение) (рис. 11.4б). 4. Обозначим площадь интересующего нас прямоугольника Sпр . Используя свойства площади, мы получим: 5. a2 + 25пр + b2 = (a + b)2 (1, 4, свойства площади). Ъ ■q Ъ ^пр. аЪ а) 3 с 3 Г с ^пр. г ^пр. □ С с а ъ б) Рис. 11.4 169 а а Ъ а а а Ъ Ъ 6. a2 + 25пр + b2 = a2 + 2ab + b2 7(2). Snp. = ab (6). ■ (5). B C Проведём диагональ АС прямоугольника ABCD (рис. 11.5). Мы легко можем доказать, что она разбивает этот прямоугольник на два равных треугольника АВС и CDA (докажите это самостоятельно). После этого нетрудно доказать такую те о ре му: D Теорема 51. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов: ^пр. треуг. = — a ■ b, где a и b — катеты треугольника (рис. 11.6). Докажите эту теорему самостоятельно. Мы уже довольно много знаем о кубе и прямоугольном параллелепипеде. Их гранями являются квадраты и прямоугольники, площади которых мы умеем на хо дить. Различают боковую поверхность этих многогранников и их полную поверхность. Рассмотрим куб с ребром а (рис. 11.7). I I I Площадь боковой поверхности куба равна 4а2; ^б.п. куба = 4а2. j I j Площадь полной поверхности куба равна 6а2; ^п.п. куба = 6а‘2' Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с рёбрами а, b, c (рис. 11.8), у него а и b — стороны основания. b Рис. 11.6 Рис. 11.7 I I I Площадь боковой поверхности прямо-i " I угольного параллелепипеда равна сумме площадей его четырёх боковых граней: ^б.п. пр. парал.“ 2ac + 2bc = 2c(a + b). I I I Площадь полной поверхности прямо-i " I угольного параллелепипеда равна площади его боковой поверхности, сложенной с удвоенной площадью основания параллелепипеда: Рис. 11.8 S. п.п. пр. парал = 2c(a + b) + 2ab = 2ac + 2bc + 2ab = 2(ac + bc + ab). 170 а а c § 11.3 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Понятие площади и формулы вычисления площадей квадрата и прямоугольника дают нам возможность доказать одну из самых великих теорем геометрии — теорему Пифагора. Теорема 52. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов: с2 = а2 + Ь2. Доказательство 1. Дан прямоугольный треугольник с катетами а и Ь и гипотенузой с (дано) (рис. 11.9а). 2. с2 = а2 + Ь2 (требуется доказать). 3. Выполним построения, показанные на рис. 11.9б. 4. Мы получили квадрат со стороной а + Ь (1, 3). Используя формулы нахождения площадей квадрата и свойства площади, можно сделать следующие выводы. 5. Площадь большого квадрата равна (а + Ь)2 (1, 3, 4, формула площади квадрата). 6. Площадь большого квадрата равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников с катетами а и Ь и площади квадрата со стороной с (1, 3, свойства измерения площадей). 7. Площадь каждого прямоугольного треугольника равна 72 аЬ (1, Т.51). 8. = 4 ■ 2 аЬ + с2 = 2аЬ + с2 (6, 7, форму-:вадрата). 9. (а + Ь)2 = 2аЬ + с2 (5, 8). Жвадр. ’ 2 л а площади квадрата). Пифагор а) б) Рис. 11.9 10(2). а2 + Ь2 = с2 (9). ■ Мы привели одно из многих существующих доказательств теоремы Пифагора. Предложим несколько построений, позволяющих получить другие способы доказательства этой теоремы. На катетах прямоугольного треугольника можно построить квадраты, обращённые «внутрь треугольника», а на гипотенузе — квадрат, обращён- 171 b a b a a b а) Рис. 11.10 ный «наружу» (рис. 11.10а). Найдите равновеликие фигуры и обозначьте их одинаковыми буквами или цифрами. Осталось только увидеть равенство нужных для доказательства площадей. Можно также построить квадраты на катетах «внешним» образом и найти равновеликие фигуры (рис. 11.10б). § 11.4 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Докажем теорему, которая даёт нам формулу площади произвольного треугольника. Мы будем пользоваться понятием высоты треугольника, введённым ранее. Высоту, проведённую, например, к стороне с треугольника, мы будем обозначать hc. Теорема 53. Площадь треугольника равна половине произведения стороны и проведённой к ней высоты: ^треуг. 2 c ' hc ' где c сторона треугольника, hc — его высота. Доказательство 1. Треугольник АВС со сторонами а, b, c и высотой hc (дано) (рис. 11.11). 2. SАвc = ^ c ■ hc (требуется доказать). Воз мож ны три слу чая рас по ло же ния точки D — основания высоты ААВС. Случай 1. Точка D совпадает с одним из концов основания с, например с точкой А (рис. 11.12а). C B 172 C C C hr A(D) c a) A- hc /ci -1 c2 ^ D B c б) Рис. 11.12 в) 1. Высота hc совпадает со стороной СА. 2. Треугольник АВС прямоугольный, его катеты - отрезки CA = hc и ВА = с. 3. Sabc = 22 с ■ hc (1, 2, Т.51). Случай 2. Точка D лежит на основании с (рис. 11.126). 1. Высота CD разбивает треугольник АВС на два прямоугольных треугольника ACD и BCD с катетами с1 и С2 и общим катетом hc (1, определение прямоугольного треугольника). 2. Площади этих треугольников вычисляются по формулам: sacd = 2 h sbcd = 2 с2 ■ hc (1, Т.51). с1 '‘'с "^BCD 2 ''2 “'С 3. Sabc = Sacd + Sbcd (2, свойство площадей). 4. Sabc = 2) (с1 + С2) ■ hc = 22 с ■ hc (2, 3). Случай 3. Точка D лежит вне основания с (рис. 11.12в). 1. Прямоугольный треугольник ACD разбивается отрезком СВ на треугольник АСВ и прямоугольный треугольник BDC (1, определение прямо-уголь но го тре у голь ни ка). 2. Sacd = Sacb + Sbdc (1, свойство площадей). 3. SACB = SACD - SBDC (2). I 4. SACD = 2 c1 5. sacb = 22 c ■ ■ hc; S hc (4). BDC = 2 c2 ■ hc и с = с2 с1 (3, Т.51). Теорема 53 доказана для всех трёх случаев. ■ Выведем формулу для вычисления площади треугольника через его стороны. Эта формула носит имя древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в. н.э.). 173 Теорема 54. Площадь треугольника равна STpeyr. = ylp(p-a)ip-b)ip-c), где а, b, с — стороны треугольника, р — его полупериметр. B b а) Доказательство 1. ААВС, АВ = с, ВС = а, АС = b. ^ (дано) 2. p = (a + b + c)/2 — полупериметр ААВС. J (рис.11.13а) 3. 5треур = у1р(Р~0’)(Р~^)(Р~^) (требуется доказать). Рассмотрим доказательство для остроугольного треугольника. Остальные случаи рассмат-ри-ваются аналогично. Для получения формулы Герона воспользуемся Т.51, а для этого сначала найдём высоту ААВС. А 4. Проведём BD А АС, BD = (построение) (рис. 11.136). 5. AABD и ABDC — прямоугольные (4). В Нам нужно найти высоту hb- Обратим внимание на то, что BD — общий катет двух прямоугольных треугольников: AABD и ABDC. Значит, можно дважды применить теорему Пифагора для того, чтобы найти два других катета этих прямоугольных треугольников. 6. CD = X (обозначение). б) 7. DA = b - X (1, 6). Рис. 11.13 8. Из AABD имеем: hb2 = c2 - (b - х)2 (1, 4, 7, теорема Пифагора). 9. Из ABDC имеем: hb2 = а2 - х2 (1, 4, 5, теорема Пифагора). 10. а2 - х2 = с2 - (b - х)2 (8, 9). 11. х = а^+Ь^-с^ 2Ъ (9). C C 174 12. hJ^a^- ( 2 . гЛ 2 ^2 a л-Ъ -С 2b (8, 10). f „2 , , 2 ..гЛ f „2 , , 2 ^2^\ 13. hb^ = a+- a +b —c 2b a-- a +b —c 2b 2ab + a^+b^-c^ 2ab-a^-b^+ c^ _{a + bf-c^ c^-(a-b) 2b 2b 2b 2b = —2 ■(a+fe-c)(a+b + c)(c-a + fe)(c + a-fe) (11). 4b^ Заметим, что a + b + c = 2p, a + b-c = 2p- 2c, c + a- b = 2p- 2b, c - a + b = 2p - 2a, и получим: 14‘ V=^-2.p(2p-2c)(2i7-2b)(2p-2a) = 4^(p-c)(jj-fe)(p-a) (2, 12)-4o 0 15- Ч = -л1р(,Р-а){р-Ь)(.р-с) (13). 0 = - • bhb = - • b ■ - ^^^^^^^>-b)(.p-c) = 16(3). ^треуг. 2 bhb 2 " b = ^lp{p — a){p — b)(,p- c) (15, формула площади треугольника). § 11.5 ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Выведем формулу площади параллелограмма. Для этого сначала определим высоту параллелограмма. B C П_ А Bi D а) B C А Рис. 11.14 175 D B2 б) Определение 55. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Высотой параллелограмма называется также и длина этого перпендикуляра. На рис. 11.14 изображены высоты параллелограмма ABCD — ВБ1 (рис. 11.14а) и ВВ2 (рис. 11.14б). Часто для краткости говорят, что высота параллелограмма проведена к его стороне, а не к прямой, содержащей эту сторону. Высоту параллелограмма, проведённую к стороне а, обозначают йа. Теорема 55. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведённой к ней высоты: ^парал. “ а ■ ha’ где а — сторона параллелограмма, ha — высота параллелограмма, проведённая к стороне а. Доказательство 1. ABCD — параллелограмм, AD = BC = а, (дано) . J ВК = ha — высота параллелограмма ABCD. 2. Sabcd = а • ha (требуется доказать). (рис. 11.15а) B C M B C ha A K D a) A Рис. 11.15 a D N 6) Найти площадь параллелограмма ABCD можно, воспользовавшись формулой площади треугольника. Чтобы получить треугольники, можно провести одну из диагоналей параллелограмма ABCD. 3. Проведём диагональ АС параллелограмма ABCD и высоты АМ и CN (построение) (рис. 11.15б). 4. Sabcd = Sabc + Sacd (4, свойство площадей). 5. Sabc = ^ а ' ha, Sacd = ^ а ' ha (4, Т.51). 6(2). Sa^bcd = 22 a • ha + 22 a • ha = a ' ha (4, 5). ■ 176 a h a a § 11.6 ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ И ПРОИЗВОЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА Выведем формулу для нахождения площади ещё одного четырёхугольника — трапеции. Для этого нам понадобится понятие высоты трапеции. Сначала заметим, что если один конец отрезка лежит на одной из двух параллельных прямых, а другой конец — на другой прямой, причём отрезок перпендикулярен одной из прямых, то он перпендикулярен и другой прямой. Такой отрезок называется общим перпендикуляром параллельных прямых. Определение 56. Высотой трапеции называется общий перпендикуляр к её основаниям (или прямым, содержащим её основания). Высотой называется также длина этого перпендикуляра. На рис. 11.16 изображена трапеция ABCD. ВЕ — высота трапеции ABCD. Теорема 56. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты: a + b ^трап. 2 где а и b — основания трапеции, h — высота. • h. Доказательство 1. ABCD — трапеция, ВС = а, AD = b, ~\ (дано) 2. S СM = h — высота трапеции. a + b ’■ } (рис. 11.17а) ^АBCD 2 • h (требуется до ка зать). Мы можем воспользоваться формулой площади треугольника. Для этого целесообразно провести одну из диагоналей трапеции. B C B а C Рис. 11.16 КВа C h A b M D 6) 177 3. Проведём диагональ трапеции АС и высоту АК (построение) (рис. 11.176). 4. Мы получили два треугольника АВС и ACD с основаниями а и Ь и высотой h (1, 3). 5. SABC = a ' h’ SACD = Ь • h (4, Т.51). 6(2). = Sj^Q + Sj^Qj) = ^ (a + Ъ) • h (5, свойство площадей). ■ В заключение рассмотрим вопрос о возможности вычисления площади произвольного многоугольника. Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, можно разбить его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек, и найти сумму их площадей. Та кое раз би е ние мно го уголь ни ка мож но осу ще ст вить, проведя, например, диагонали из одной его вершины (рис. 11.18). В некоторых случаях удобно пользоваться другим разбиением (рис. 11.19). Рис. 11.19 § 11.7 ЗНАКОМСТВО С ОБЪЁМАМИ ФИГУР Одной из самых распространённых величин, характеризующих фигуру (геометрическое тело) в пространстве, является объём. Для измерения объёмов существуют свои приёмы. Например, объём не боль шой де та ли мож но из ме рить с по мо щью мен зур ки с де ле ни я ми, а объём ведра легко определить, наливая в него воду кружкой известного объ ёма. Но объ ём ком на ты или до мен ной пе чи по доб ным об ра зом из мерить невозможно. Их вычисляют, используя определённые приёмы. Сначала, так же, как и при вычислении площадей, мы должны понять, для каких фигур мы будем вычислять объёмы. Для начала научимся на хо дить объ ё мы мно го гран ни ков. Сфор му ли ру ем некоторые общие свойства объёмов. Как и площадь плоских фигур, объём является величиной, для которой выполняется ряд свойств: I I I 1. Каждый многогранник имеет определённый объём, выраженный положи-1 " I тельным числом. [ I I 2. Равные многогранники имеют равные объёмы. I I I 3. Если многогранник разбит на несколько частей, то его объём равен сум-1 " I ме объёмов всех этих частей. 178 I I I 4. Единицей измерения объёма будем считать объём куба с длиной ребра 1 " j е, где е — единица измерения длины. Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей объёма является 1 мм3 (кубический миллиметр); при единице длины 1 см единицей объёма является 1 см3 (кубический сантиметр). Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица объёма 1 м3 (кубический метр). 5. Объём куба со стороной а равен о3 ^куба = а3, где а — ребро куба. Выведем формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Пусть нам дан прямоугольный параллелепипед с измерениями: длина — а (см), ширина — b (см), высота — с (см). Рассмотрим сначала случай, когда a, b и с — целые числа. Тогда площадь основания будет равна а • b (см2). Значит, на основании прямоугольного параллелепипеда уложатся в один слой а • Ъ кубов с ребром 1 см (рис. 11.20). Всего таких слоёв в параллелепипеде будет с, поэтому его объём будет равен а • b • с (см3). Обозначив площадь основания через S, получим ещё одну формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда: V = S^c. Можно доказать, что полученные формулы справедливы, когда a, b, с — произвольные положительные действительные числа. Итак: Рис. 11.20 Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: V = a • b • c, V пр. парал. auicy где а, b и c — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда. 179 Развиваем умения К § 11.1-11.3 Н 1Г 3 5 |~1 Как изменится площадь квадрата, если его сторона: а) удвоится; б) утроится; в) станет вдвое меньше? Как изменится площадь прямоугольника, если: а) обе его стороны удвоятся; б) обе стороны уменьшатся в 3 раза; в) одна сторона увеличится в 4 раза, а другая уменьшится в 4 раза; г) одна сторона увеличится в 6 раз, а другая уменьшится в 3 раза? Во сколько раз площадь полной поверхности куба больше площади его грани? Как изменится площадь полной поверхности куба, если все рёбра куба увеличить в одно и то же число раз? Если разрезать куб на два равных прямоугольных параллелепипеда, будут ли равны площади поверхностей этих параллелепипедов? н 6 8 Найдите площадь прямоугольника со сторонами a и h, если: а) a = 17, h = 12; б) а =1 ^ h = 5 f; в) a = 3, h = 5; г) a = 10, h = 15. 34 3 |~т] Вычислите площадь квадрата со стороной а, если: а) а = 24; б) а = 3 __; в) а = 7; г) а = 46. Найдите площадь полной поверхности куба, если его ребро равно: а) 1 см; б) 10 см; в) 100 см; г) 1 м. Дан прямоугольный параллелепипед, в его основании лежит прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см, высота параллелепипеда равна 2 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей этого параллеле пи пе да. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 9 м и 12 м; б) 12 см и 16 см; в) 3а и 4а. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов — 12 см. Найдите другой катет. Вычислите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 144 см2; б) 169 м2; в) 400 мм2. Вычислите периметр квадрата, площадь которого равна 25 м2. 10 11 12 Квадрат и прямоугольник имеют равные площади. Чему равна сторона квадрата, если прямоугольник имеет размеры 25 см х 16 см? 180 B F C B K L C Рис. 11.22 Рис. 11.23 16 17 15 Сколько рулонов обоев потребуется для оклейки комнаты 6мх5мх 3 м, если длина рулона 7 м, ширина — 0,5 м? Считаем, что на обрезки уйдёт запас обоев, равный площади окон и двери. Докажите, что если два прямоугольника имеют по равной стороне, то их площади относятся как их другие стороны. Вычислите длину ребра куба, если его полная поверхность равна: а) 150 см2; б) 600 см2; в) 216 см2; г) 864 см2. Вы чис ли те пло щадь пол ной по верх но с ти ку ба, если пло щадь его бо ко-вой по верх но с ти рав на: а) 100 см2; б) 64 см2; в) 324 см2; г) 576 см2. Сколько потребуется белил для окраски с обеих сторон бака (без крышки), имеющего форму куба с ребром, равным 100 см, если на окраску 1 м2 требуется 0,25 кг белил? 18 19 П 20 21 22 23 На рис. 11.21 изображены два квадрата. Вершина одного квадрата совпадает с центром другого. Найдите площадь заштрихованного четырёхугольника, если длины сторон обоих квадратов равны а. Можно ли куб с ребром 1 см разбить на кубики так, чтобы суммарная площадь поверхности этих кубиков была больше 1 м2? Докажите, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Докажите, что из всех равновеликих прямоугольников наименьший периметр имеет квадрат. м 24 а) E, F, К и L — середины сторон квадрата ABCD (рис. 11.22). Сравните площадь четырёхугольника MNOP с площадью квадрата ABCD. б) ABCD — квадрат (рис. 11.23). E, F, K, L, M, N, O, P — точки, делящие каждую сторону квадрата на три равные части. Сравните площадь четырёхугольника QRST с площадью квадрата ABCD. 181 2s| Постройте квадрат, площадь которого в 2 раза больше площади данного квадрата. Докажите теорему Пифагора с помощью чертежей 11.10а и 11.10б на с. 172. 26 шшшш Проект «Различные доказательства теоремы Пифагора» Найдите в любых доступных вам источниках или придумайте сами как можно больше различных доказательств теоремы Пифагора (известно, что их имеется больше сотни). Единственное требование: эти доказательства должны быть вам понятны, и вы должны суметь их выполнить самостоятельно. Проведите математический праздник «Теорема Пифагора». К § 11.4 Н tr 27I • Сколько равных высот имеет: а) произвольный треугольник, не являющийся равнобедренным; б) равнобедренный треугольник, не яв ля ю щий ся рав но сто рон ним; в) рав но сторонний треугольник? # Можно ли площадь прямоугольного тре-у-гольника вычислить по формуле площади произвольного тре у голь ни ка? • Укажите равновеликие треугольники на рис. 11.24. 28 29 Н 30 31 Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 7 см; б) 1,2 дм и 35 дм. Площадь треугольника 48 см2. Вычислите высоту треугольника, проведённую к стороне, рав ной 32 см. 321 Постройте три разных треугольника, имеющих одинаковую площадь. Обоснуйте свой вывод. Выведите формулу для вычисления площади равнобедренного прямоугольного треугольника по его гипотенузе с. 33 Рис. 11.24 182 34| Дан треугольник ABC (рис. 11.25); А = 90°, СА = 3, АВ = 4, AD ± СВ. Найдите: а) площадь треугольника ABC; б) отношение площадей треугольников ABD и ACD; в) длину отрезка AD. ^ В треугольнике высоты, проведённые к сторонам а и Ь, равны и hj^. а) Докажите, что а : Ъ = : h^. б) Докажите, что если в треугольнике а < Ъ, то hf, < йд. A 4 36 Найдите зависимость между площадью S данного треугольника и площадью S1 треугольника, отсечённого от него любой из средних линий. C D Рис. 11.25 п 37| Вычислите площади фигур, изображённых на риc. 11.26. б) 39 38 Существует ли треугольник, высоты которого равны: а) 5 см, 4 см, 3 см; б) 1 см, 1 см, 3 см; в) 5 см, 10 см, 12 см? Через вершину треугольника проведите прямую, разбивающую его: а) на два равновеликих треугольника; б) на два треугольника, площади ко то рых от но сят ся как 2 : 3. Че рез вер ши ну тре у голь ни ка про ве ди те две пря мые, раз би ва ю щие его на три рав но ве ли ких тре у голь ни ка. 40 м 41 Постройте равнобедренный треугольник, равновеликий данному тре-у голь ни ку, так, что бы ос но ва ние по ст ро ен но го тре у голь ни ка бы ло равно од ной из сто рон дан но го треу голь ни ка. 183 42| Через точку Е, расположенную внутри угла ВАС, проведите прямую так, чтобы она отсекала от угла ВАС треугольник наименьшей площади. 4з| Каждая сторона треугольника разделена на три равных отрезка, и точки деления соединены с вершинами (рис. 11.27). Найдите отношение площадей данного треугольника и закрашенного. B Рис. 11.27 К § 11.5 Н 1Г 44 • Укажите равновеликие параллелограммы на рис. 11.28. н 45| В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 10 см, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12 см. Найдите площадь параллелограмма ABCD. 46 47 Постройте три разных параллелограмма, имеющих одинаковую площадь. Обоснуйте свой вывод. Площадь параллелограмма равна 24 см . Вычислите расстояние между его противоположными сторонами, равными 6 см. В параллелограмме, площадь которого равна 41 см , стороны равны 5 см и 10 см. Вычислите высоты параллелограмма. 49| Стороны параллелограмма равны 6 см и 4 см. Одна из высот равна 5 см. Найдите другую высоту. Сколько решений имеет задача? По ст рой те па рал ле ло грамм, пло щадь ко то ро го 10 см2, а сто ро ны рав ны 5 см и 3 см. 48 50 Рис. 11.28 184 51 Дан параллелограмм ABCD; АВ = 12 см, АС = 16 см. Вершина D удалена от диагонали АС на 4 см. Вычислите расстояние от точки D до прямой АВ. 52 Диагонали ромба равны 8 см и 14 см. Найдите площадь ромба. п 53 Через вершину ромба проведите две прямые, делящие ромб на три равновеликие ча с ти. Площадь параллелограмма равна 24 см . Точка пересечения его диагоналей удалена от прямых, на которых лежат стороны, на 2 см и 3 см. Вычислите периметр этого параллелограмма. 54 м 55 Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда каждая из его диагоналей делит его площадь пополам. 56 Через данную точку проведите прямую, рассекающую данный параллелограмм на две равновеликие части. К § 11.6 н 1Г 57 58 # Можно ли по формуле площади трапеции вычислить: а) площадь прямоугольника; б) площадь параллелограмма? # Можно ли площади треугольника и трапеции вычис- лить по формуле S = ch, где с — средняя линия, а h — высота треугольника или трапеции соответственно? , _________________________________________________ а) 60° 60 Н 59 Вычислите площадь трапеции, основания которой 12 см и 16 см, а высота 15 см. 60 Вычислите площадь трапеции, большее основание которой 38 см, высота 14 см, а проекции боковых сторон на основание равны высоте трапеции. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 3,6 дм и 6 дм. Вычислите площадь этой трапеции. По данным на рис. 11.29 размерам (в миллиметрах) постройте трапеции и найдите их площади, проведя необходимые из ме ре ния. 45 ^90° 30' б) 61 62 Ч^0°30°\^ в) Рис. 11.29 185 45°5 45°°'Х^ 75 б) Рис. 11.30 а) 50 Г У" \ \ 70 б) Рис. 11.31 п 63 По размерам, проставленным на рис. 11.30, вычислите площади трапеций. 64| Площади многоугольников, изображённых на рис. 11.31, равны соответственно: а) 12 110 мм2; б) 3 375 мм2. Вычислите размер х в обоих случаях. м 6s| У равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, а высота равна h. Найдите площадь трапеции. 6б| Дана трапеция ABCD; АВ || CD, M принадлежит отрезку АВ, AM = MB, Р принадлежит отрезку MD, DP = РМ, Q принадлежит отрезку МС, CQ = MQ. Докажите, что треугольники APD и BQC равновелики. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, опущенный на неё из середины другой боковой стороны. 67 К § 11.7 Н U 68 # Какие единицы объёма вы знаете? н tr 69| Как изменится объём куба, если его ребро: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 3 раза; в) уменьшить на 50% ? 7о1 На сколько кубических сантиметров увеличится объём куба, если его ребро, равное 1 м, увеличить на 1 см? 186 н 71 72 73 Высота прямоугольного параллелепипеда равна 7, а его основание имеет стороны 4 и 5. Найдите его объём. Металлический бак размером 30 см х 30 см х 30 см, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, наполнен водой. Сколько литров воды он содержит? Объём куба равен 27 см3. Чему равно ребро куба? 75 74I Объём прямоугольного параллелепипеда 270 дм3. У параллелепипеда есть три измерения: а, Ь и с; а = 5 дм, b : с = 2 : 3. Найдите эти измерения. Сколько стальных болванок размерами 420 мм х 240 мм х 90 мм можно перевезти в кузове автомашины грузоподъёмностью 3 т (удельный вес стали — 7,8 г/см3)? Кирпич имеет размеры 250 мм х 120 мм х 65 мм. Сколько штук кирпича можно погрузить на трёхтонную автомашину (удельный вес кирпича — 1,6 г/см3)? 77I Цех для поднятия и перенесения тяжестей имеет тали (систему блоков) грузоподъёмностью 2 т. Можно ли этими талями поднять чугунную болванку в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющую размеры 820 мм х 210 мм х 120 мм (удельный вес чугуна — 7,3 г/см3)? 76 П 78 У двух прямоугольных параллелепипедов равновелики основания и равновелики сечения, проведённые через диагонали оснований и боковые рёбра. Обязательно ли равны объёмы этих параллелепипедов? шшт Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Определение объёма камня неправильной формы. ВАША РОЛЬ. Геолог. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Группа геологов нашла образец ценной породы -камень неправильной формы. Геологи находятся на берегу озера, и в их распоряжении имеется большая железная бочка (в которую камень помещается целиком), несколько вёдер неизвестного объёма, а также бутылка объёмом 1 л. ЗАДАНИЕ. Определите объём камня с точностью до 1 л. 187 РАЗДЕЛ 4 ВЕКТОРЫ Иван Андреевич Крылов (русский писатель, баснописец, 1769-1844) Глава 12 параллельный перенос Математик, так же как художник или поэт, создаёт узоры. Годфри Харолд Харди (английский математик, 1877-1947) Открываем новые знания § 12.1 ЧТО ТАКОЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В 7-м классе мы изучали различные виды изометрий: поворот фигуры вокруг точки на некоторый угол, центральную и осевую симметрии. В этой главе мы познакомимся с ещё одним видом изометрии — параллельным переносом. Что же такое параллельный перенос? Ai В русском языке есть синоним этого термина — сдвиг. Лежащее на столе яблоко пере-дви ну ли по не ко то рой пря мой, не из ме няя его формы и размеров и не вращая его, — это и есть сдвиг. Примером сдвига может служить, например, движение автомобиля или поезда по прямолинейному участку дороги. На рис. 12.1 изображён сдвиг некоторой фигуры F. При этом сдвиге она перешла в фигуру F1. Точка А фигуры F перешла в точку А1 фигуры F1, точка В перешла в точку В1, точка С — в точку С1. Для удобства Рис. 12.1 189 Рис. 12.2 процесс перехода точек показан отрезками со стрелками. В дальнейшем мы будем называть их направленными отрезками. На рис. 12.1 направленные отрезки АА1, ВВ1 и СС1 имеют одинаковое направление и АА1 = ВВ1 = СС1. Два направленных отрезка, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они принадлежат двум параллельным прямым и лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два направленных отрезка называются противоположно направленными, если они принадлежат двум параллельным прямым и лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. На рис. 12.2а направленные отрезки АВ и CD одинаково направлены, направленные отрезки АВ и MN, CD и MN противоположно направлены. Два направленных отрезка, лежащие на одной прямой, являются сонаправленными, если существует направленный отрезок, сонаправленный каждому из них, и противоположно направленными, если такого отрезка не существует. На рис. 12.2б направленные отрезки ОВ и ОС одинаково направлены, направленные отрезки ОА и ОВ, ОА и ОС противоположно направлены. Так как направленный отрезок является частью луча с тем же началом, мож но го во рить о со на прав лен ных и про ти во по лож но на прав лен ных лу чах. Можно дать такое определение параллельного переноса. Определение 57. Преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в одном направлении (по сонаправленным лучам) на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом. Параллельный перенос в направлении луча АС на расстояние АС обозначают: Тас. Запись Тас(Х) = Х1 читается так: «параллельный перенос Т пе ре во дит точ ку Х в точку Х1». Если при параллельном переносе точка А перешла в точку В, то можно сказать, что этот параллельный перенос задан направленным отрезком АВ. Имея направленный отрезок АВ, мы можем построить образ любой точки при этом параллельном переносе. 190 § 12.2 СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА Докажем важное свойство параллельного переноса. Теорема 57. Параллельный перенос является изометрией. Доказательство 1. Дан параллельный перенос Т^х^, переводящий точки Х и Y в точки и Y1 (рис. 12.3а). 1 2. Требуется доказать, что этот параллельный перенос является изометрией. 3. Для доказательства п. 2 нужно доказать, что XY = X1Y1 (требуется доказать). Сначала рассмотрим случай, когда точки X, Y и Х1, Y1 не лежат на одной прямой. Из п. 1 по определению параллельного переноса имеем: 4. Лучи ХХ1 и YY1 сонаправлены, ХХ1 || YY1 и ХХ1 = YY1 (1, определение параллельного переноса). Отметим, что на рис. 12.3а не проведены отрезки XY и X1Y1. Если мы их проведём, то получим четырёхугольник XYY1X1. Мы получим требуемое, если докажем, что XYY1X1 — параллелограмм. 5. Соединим точки Х и Y, Х1 и Y1 (построение) (рис. 12.3б). 6. Получим четырёхугольник XYY1X1 (5). 7. XYY1X1 — параллелограмм (4, 6, признак параллелограмма — Т.43). 8. XY = X1Y1 (7, свойство параллелограмма). 9(2). Параллельный перенос является изометрией. ■ Рассмотрите самостоятельно случай, когда точки Х, Y и Х1, Y1 лежат на одной прямой. Из данной теоремы следует: [I] При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. X Y X, а) X Y Рис. 12.3 191 X, 1 б) I I I При параллельном переносе сохраняются расстояния между соответству-LiJ ющими точками. Параллельный перенос переводит фигуры в равные им фигуры. § 12.3* ОРНАМЕНТЫ, БОРДЮРЫ, ПАРКЕТЫ На рис. 12.4 изображена картина, которая при параллельном переносе переходит в себя (укажите самостоятельно направление этого переноса и расстояние, на которое он осуществляется). В том случае, когда равные фигуры заполняют всю плоскость, говорят, что на плоскости задан орнамент. Орнаментами покрывали стены и в древности (например, на рисунке к главе на с. 189 изображён древнеегипетский орнамент), и в наше время — оклеивая, например, стены обоями. Оригинальные орнаменты созданы известным голландским художником Морисом Эшером (рис. 12.5 и 12.6). Рис. 12.4 Рис. 12.5 Рис. 12.6 192 •VMiii -^«•-J*^—,ij»ir ЭИ.^ТЭМВ*ШРЧ»Ч§*«ИМ "5SiS- —|- Рис. 12.7 Если равные фигуры заполняют полосу между параллельными прямыми, заполненная ими полоса называется бордюром. Простейший пример бордюра дают обои (точнее, кусок обоев, который мыслится как бесконечно продолженный в обе стороны). Решётки оград парков и набережных, узоры карнизов и тканей также являются примерами бордюров (рис. 12.7). Ранее мы познакомились с паркетами, т.е. покрытиями плоскости правильными многоугольниками. На рис. 12.8 приведены примеры паркетов. Видно, что при некоторых параллельных переносах они переходят в себя. а) б) в) Рис. 12.8 г) 193 Развиваем умения К § 12.1-12.2 Н |~1 • На рис. 12.9 АА^В^С^ получен из АЛВС параллельным переносом Тлл1. а) В какие точки переходят точки Л, В, С? б) Какие расстояния сохраняются при этом преобразовании? в) Что можно сказать о АЛ1В1С1 и АЛВС? • Параллельный перенос переводит точки Л и В в точки Л1 и В1. Какими свойствами обладают: а) отрезки ЛЛ1 и ВВ1; б) лучи ЛЛ1 и ВВ1? Cl Рис. 12.9 н 1Г B C На рис. 12.10 изображён параллелограмм ABCD. Существует ли параллельный перенос, переводящий: а) отрезок ЛВ в отрезок DC; б) отрезок AD в отрезок ВС? Дан ку6 ABCDA1B1C1D1. Существует ли параллель ный пе ре нос, пе ре во дя щий: а) ос но ва ние ABCD в основание A1B1C1D1; б) ребро AA1 в дру гие рё б ра; в) бо ко вые гра ни в дру гие бо ко-вые гра ни? Объясните, могут ли два куба, изображённые на рис. 12.11, быть получены друг из друга с помощью параллельного переноса. A D Рис. 12.10 н 6 Пусть да ны точ ки Л, Л1 и В. По ст рой те точ ку В1, в ко то рую пе ре хо дит точка В при параллельном переносе, переводящем точку Л в точку Л1. |~т] Даны отрезок ЛВ и точка К. Выполните параллельный перенос отрезка ЛВ так, чтобы его середина переместилась в точку К. Постройте фигуру, в которую переходит данный треугольник ЛВС при параллельном переносе, переводящем точку Л в точку С. По ст рой те фи гу ру, в ко то рую пе ре хо дит дан ный па рал ле ло грамм ABCD при параллельном переносе, переводящем точку Л в точку С. 8 9 194 3 4 5 10 Дано: AB = AiB^. Перейдёт ли отрезок АВ в отрезок AiB^ при параллельном переносе, переводящем точку А в точку A]? Рассмотрите все возможные случаи расположения отрезков АВ и A1B1. 11 М — точка на ребре АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Выполните параллельный перенос куба, переводящий точку А в точку М. Что представляет собой пересечение куба и фигуры, полученной при переносе? 12 Даны два равных треугольника АВС и А1В1С1. Всегда ли можно с помощью параллельного переноса перевести ААВС в АА1В1С1? Какие изометрии могут перевести один треугольник в другой равный ему треугольник? м 13 14 Даны две пересекающиеся прямые а и b (рис. 12.12). Постройте отрезок с концами на этих прямых, равный и параллельный АВ. Даны угол и прямая l. Постройте отрезок АВ данной длины а так, чтобы он был параллелен прямой l и чтобы его концы принадлежали сторонам угла. h Рис. 12.12 М! I 1^1 Жизненная' задача СИТУАЦИЯ. Нахождение кратчайшего маршрута. ВАША РОЛЬ. Проектировщик. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Населённые пункты A и В находятся на противоположных берегах канала с прямолинейными параллельными берегами. ЗАДАНИЕ. В каком месте следует строить мост КР, перпендикулярный берегам канала, что бы путь АКРВ меж ду пунк та ми А и В был кратчайшим (рис. 12.13)? B Рис. 12.13 шшт Проект «Конструирование орнаментов и бордюров» Разработайте свой оригинальный орнамент или бордюр. Проведите конкурсы на лучший орнамент и лучший бордюр. 195 Глава 13 ВЕКТОРЫ И ОПЕРАЦИИ С НИМИ На самом деле векторы и переносы - это одно и то же, хотя их и называют по-разному... Герман Вейль (немецкий математик, 1885-1955) Открываем новые знания § 13.1 ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР Вектор — это очень важное понятие, которое широко используется в математике и физике. Понятие вектора тесно связано с изучением всевозможных величин. Некоторые величины в математике и физике, например такие, как расстояние, площадь, объём, температура, работа, масса и др., характеризуются в процессе их измерения только соответствующим числом. Такие величины в математике называют скалярными. Значения скалярных величин могут быть однозначно отмечены на координатной прямой или шкале. Кроме указанных величин, есть и другие, например перемещение, скорость, ускорение, сила и др., для характеристики которых необходимо знать не только числовое значение величины, но и направление. Такие 196 величины относятся к векторным величинам, которые характеризуются как численным значением, так и направлением. На рисунке к главе изображён подъёмный кран, движущийся по рельсам. Кран переместился из одного положения в другое. Это параллельный перенос крана. В физике этот процесс называется поступательным движением тела. Подъёмный кран Ф за некоторый промежуток времени сместился вправо на расстояние 40 м. Это означает, что все его точки сместились вправо на 40 м. На рисунке это показано направленными отрезками. Используя язык геометрии, пример с поступательным движением крана можно записать так: фигура Ф при параллельном переносе в направлении луча ^А1 на расстояние ^А1 перешла в фигуру Ф1 (второе положение крана), при этом точка А перешла в точку A1, точка В перешла в точку Bi и т.д. В математике и физике направленные отрезки, изображаемые на рассматриваемом рисунке, называют векторами. С помощью направленных отрезков удобно изо-б ра жать раз лич ные век тор ные ве ли чи ны: си лу, ско рость, ус ко ре ние и т.д. Итак, Направленный отрезок называется вектором. Рис. 13.1 На чер те же на прав ле ние век то ра от ме ча ет ся стрелкой (рис. 13.1). Первый по этому направлению конец отрезка называется началом вектора (или точкой приложения), второй — концом вектора. Век тор за пи сы ва ет ся обо зна че ни я ми его на ча ла и конца слева направо, а сверху ставится чёрточка: АВ. Иногда векторы обозначают просто малыми буквами и над буквами тоже ставят черту: a. На рис. 13.2 изображены три вектора: AB, СD, a. Рис. 13.2 § 13.2 КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ О направленных отрезках мы будем говорить так же, как об обычных от рез ках. На прав лен ные от рез ки мо гут ле жать на од ной пря мой, не лежать на одной прямой, лежать в одной плоскости, не лежать в одной 197 плоскости и т.д. Направленные отрезки могут быть взаимно перпендикулярны или параллельны. Определение 58. Два вектора называют коллинеарными, если изображающие их направленные отрезки параллельны или лежат на одной прямой. Рис. 13.3 На рис. 13.3 векторы а, Ъ и c — кол-линеарны, а векторы а и d — не коллине ар ны. Два коллинеарных вектора могут быть одинаково направленными (для краткости говорят также сонаправленными) или противоположно направленными. Так, на рис. 13.3 векторы a и c сонаправленные, а векторы a и Ь противоположно направленные. Если у коллинеарных векторов, лежащих на параллельных прямых, соединить отрезком начала и соединить отрезком концы, то для сонаправленных векторов эти отрезки не будут пересекаться, а для противоположно направленных векторов — будут. Наряду с понятием коллинеарности векторов существует понятие компланарности векторов. Определение 59. Три вектора называют компланарными, если изображающие их направленные отрезки лежат в параллельных плоскостях или в одной плоскости. I На рис. 13.4а векторы а, Ь и c — компланарны, так как они лежат в одной плоскости. Если три вектора отложить от общего начала, то в случае компланарности они окажутся лежащими в одной плоскости, а в случае некомпланарности — не лежащими в одной плоскости. Векторы т, n и d на рис. 13.4б — не компланарны, так как они отложены от общего начала и в одной плоскости не лежат. 198 § 13.3 РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ На рисунке к главе 13 (с. 196) мы видим, что все три направленных отрезка имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Введём определение равных векторов. Определение 60. Вектор АВ равен вектору CD, если длины отрезков АВ и CD равны и эти векторы одинаково направлены (сонаправлены). Равенство векторов АВ и CD записывают так: АВ = CD. Эта запись означает следующее: 1) векторы АВ и CD сонаправлены; 2) длины отрезков АВ и CD равны (рис. 13.5). Определение 61. Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ. Рис. 13.5 I Иногда длину вектора называют также модулем, или абсолютной величиной вектора. Для модуля вектора употребляется тот же знак, что и для модуля числа. Запись | а | = 5 читается так: «длина (или модуль) вектора а равна 5». Рис. 13.6 Как же на практике изображают с помощью векторов ту или иную векторную величину? Этот процесс называют откладыванием вектора от точки. Посмотрим на рис. 13.6. На нём изображён движущийся подъёмный кран. Теперь нас будет интересовать не перемещение крана, а скорость, с которой движется кран. Пусть кран движется со скоростью 3 м/с. Обозначим эту скорость вектором v. Направление вектора v совпадает с направлением движения крана. Выбрав масштаб, изобразим эту скорость соответствующим направленным отрезком. Такой вектор мож но от ло жить от лю бой точ ки кра на. На рис. 13.7 от точки А отложен вектор АВ, равный вектору а. Равные между собой векторы принято считать одним и тем же вектором, отложенным от различных точек. Рис. 13.7 199 I Введём понятие нулевого вектора. Определение 62. Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой сверху: 0. Из определения 62 следует, что длина нулевого вектора равна нулю, а направления он не имеет. Нулевой вектор иногда называют также нуль-вектором. Изображается нулевой вектор любой точкой, которая рассматривается как начало и конец этого вектора. Принято считать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору. § 13.4 СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ Рис. 13.8 Рис. 13.9 Рис. 13.10 Познакомимся с первой операцией над векторами — сложением векторов. Пусть нам даны два вектора а и Ь (рис. 13.8). Для того чтобы сложить эти векторы, нужно вектор Ь отложить от конца вектора а (рис. 13.9). Вектор c (рис. 13.10), начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь, называется суммой векторов и обозначается а + Ь. Можно заметить, что АВ + ВС = АС. Мы ввели первое правило сложения векторов — правило треугольника, которое для векторов АВ и ВС (рис. 13.10) можно записать так: АВ + ВС = АС. Возникает во прос: Eсли тело одновременно участвует в двух перемещениях, как найти сумму соответствующих векторов? Для ответа на поставленный вопрос вернёмся к примеру с краном: пусть, двигаясь горизонтально со скоростью v = 3 м/с, кран поднимает ящик со скоростью v1 = 1 м/с. 200 Рис. 13.11 Рис. 13.12 I На рис. 13.11 изображены в масштабе скорость движения ящика относительно крана и1, направленная вертикально вверх, и скорость движения крана V, направление которой совпадает с направлением движения крана. Суммой векторов v и v1 является вектор и, который изображает скорость ящика относительно неподвижной системы отсчёта: и = v + v1. Как осуществляется это сложение векторов? Пусть нам даны векторы а и Ъ, которые неколлинеарны, т. е. не лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 13.12а). Отложим эти векторы от некоторой точки А, т. е. АВ = а и AD = Ъ (рис. 13.12б). Тогда суммарный вектор изобразится диагональю AC параллелограмма ABCD, построенного на векторах АВ = а, AD = Ъ, АВ + AD = AC. Это правило параллелограмма для сложения двух векторов: \ I I Если два вектора неколлинеарны, то их сумма изображается диагональю 1 " j построенного на них (как на сторонах) параллелограмма. Можно доказать, что сумма двух векторов, найденная по правилу треугольника, равна сумме этих векторов, найденной по правилу параллелограмма. Это будет сделано ниже при доказательстве теоремы 58. § 13.5 свойства операции сложения векторов на плоскости Нам предстоит выяснить, какими свойствами обладает операция сло-же ния век то ров. Покажем, что опе ра ция сло же ния век то ров име ет те же свойства, что и операция сложения чисел. В этом параграфе мы будем го во рить о свой ст вах сло же ния век то ров, ле жа щих в од ной пло с ко сти. Теорема 58. Для любых векторов а и Ъ выполняется переместительный закон (коммутативность сложения векторов): а + Ъ = Ъ + а. 201 Доказательство При доказательстве этой теоремы мы будем применять правило треугольника для cуммы векторов. 1. Даны векторы а и b. 2. а + b = b + а (требуется доказать). Возможны два случая расположения двух векторов: а) векторы а и b неколлинеарны; б) векторы а и b коллинеарны. Рассмотрим случай а) (рис. 13.13а). 3. Отложим от произвольной точки А векторы АВ = а и AD = b и построим на них параллелограмм ABCD (построение) (рис. 13.13б). Используя понятие равенства векторов, получим: 4. BC = b, DC = а (1, 2, определение равенства векторов) (рис. 13.13б). 5. Из ААВС: AC = АВ + BC = сложения векторов). 6. Из AADC: AC = AD + DC = сложения векторов). 7(2). а + b = b + а (5, 6). ■ Доказательство для случая б), когда векторы а и b коллинеарны, проведите самостоятельно. Заметим, что в процессе доказательства нами установлена равносильность правила треугольника и правила параллелограмма для суммы двух векторов (см. рис. 13.13б). Рис. 13.13 а + b (1, 4, правило треугольника для b + а (1, 4, правило треугольника для Теорема 59. Для любых векторов а, b и с выполняется сочетательный закон (ассоциативность сложения векторов): (а + b) + с = а + (b + с). До ка за тель ст во Докажем теорему сначала для случая, когда среди векторов нет колли-неарных. Будем применять правило треугольника для суммы векторов. Рис. 13.14 202 1. а, b и с — попарно неколлинеарные векторы (дано) (рис. 13.14а). 2. (а + b) + с = а + (b + с) (требуется доказать). 3. Отложим от точки А вектор AB = а, затем от точки В — вектор BC = b и от точки С — вектор CD = с (построение) (рис. 13.14б). 4. Построим векторы AC, BD и AD (построение) (рис. 13.14в). 5. АВ + BC = а + b = AC и BC + CD = b + с = BD (1, 3, 4, правило тре уголь ни ка). 6. AD = AC + CD = (AB + BC) + CD = (а + b) + с (5, правило тре-у голь ни ка). 7. AD = АВ + BD = АВ + (BC + CD) = а + (b + с) (5, правило тре-у голь ни ка ). 8(2). (а + b) + с = а + (b + с) (4, 5). ■ Этот закон выполняется и для случая, когда среди векторов есть два коллинеарных или все три вектора коллинеарны (проверьте это самостоя-тель но). Из сочетательного и переместительного законов следует, что, складывая любое количество векторов, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые. Чтобы сложить несколько векторов, например векторы а, b, с, d, лежащие в одной плоскости (рис. 13.15а), удобно построить векторную ломаную (рис. 13.15б). Вектор AE, соединяющий начало ломаной и её конец, и является суммой рассматриваемых векторов. 1 /■ Рис. 13.15 Если ломаная получилась замкнутой, то сумма векторов равна нуль-вектору (рис. 13.15в), т. е. m + n + k + e = 0. От ме тим важ ное свой ст во нуль-век то ра: j 1 j Для любого вектора а выполняется равенство а + 0 = а. Докажите это свойство самостоятельно. 203 § 13.6* ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ Мы уже говорили о сложении трёх и более векторов, лежащих в одной плоскости. Пусть нам даны три вектора а, b и с, не лежащие в одной плоскости (некомпланарные). Возникает вопрос: Как сложить эти векторы? Какое правило для этого можно применить? Ai 1 а) B в) 1. Пусть нам даны три некомпланарных вектора а, b и c (рис. 13.16a). Выполним следующие построения. 2. Отложим от произвольной точки О векторы ОА = а, ОВ = Ьи ОС = с (построение) (рис. 13.16б). 3. Построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были его рёбрами (построение) (рис. 13.16в). 4. а + c = ОА1 (2, 3, правило параллелограмма). 5. A1D1 = b (2, 3, определение равенства векторов). 6. (а + с) + b = ОD1 (3, 4, 5, правило параллелограмма). Таким образом, I I I Сумма трёх некомпланарных векторов изображается диагональю параллеле-Li_J пипеда, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки, как на рёбрах (рис. 13.16в). 204 § 13.7 РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ Введём операцию вычитания двух векторов. Эта операция вводится так же, как и для чисел. Определение 63. Разностью векторов a и b называется такой вектор с, что Ъ + с = а. Разность векторов а и Ъ обозначается так же, как и для чисел: а - Ъ. Введём понятие противоположного вектора. Определение 64. Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и имеют одинаковую длину. Докажите самостоятельно, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору. На рис. 13.17 изображены два противоположных друг другу вектора а и Ъ, а + Ъ = 0. Нуль-век тор счи та ет ся про ти во по лож ным са мо му се бе. Вектор, противоположный вектору а, обозначается - а (читается: «минус вектор а»). а + (-а) = 0. Вектором, противоположным вектору АВ, является вектор В^, так как ВА = -АВ. Рис. 13.17 Как построить разность двух данных векторов а и Ъ? Рис. 13.18 1. Пусть нам даны два неколлинеарных вектора а и Ъ (дано) (рис. 13.18а). 2. Построим разность векторов а и Ъ. 3. Отложим от произвольной точки А векторы а и Ъ: АВ= а и AD =Ъ (построение) (рис. 13.18б). 4. Ъ + с = а, значит, с = а - Ъ. 205 Вектор DB будет разностью векторов AB и AD, т.е. DB =AB - AD = а-b (4, определение разности векторов)(рис. 13.18в). Построение разности двух коллинеарных векторов выполните самостоятельно. II I I Равенство АВ- AD = DB можно назвать правилом нахождения разности I " 1 двух векторов. § 13.8 ОПЕРАЦИЯ УМНОЖЕНИЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО И ЕЕ СВОЙСТВА Введём ещё одну операцию над векторами — умножение вектора на число. После определения операции сложения векторов естественно может воз ник нуть по треб ность в сло же нии двух, трёх или бо лее оди на ко вых векторов: а+а, а+а+а, а+а + а+ аит. д. Такие суммы, как и в алгебре, удобно записывать в виде 2а, 3а, 4а и т. д. Описанный процесс подсказывает определение операции умножения вектора на число. Определение 65. Произведением ненулевого вектора а на число х (х ^ 0) называется такой вектор ха, который: 1) имеет длину | х | • | а |; 2) сонаправлен с вектором а, если х > 0, и направлен противоположно вектору а, если х < 0. Если а = 0 или х = 0, то вектор ха = 0. Операция умножения вектора на число обладает следующими свой-ст ва ми, до ка за тель ст во ко то рых не по сред ст вен но вы те ка ет из оп ре де ле-ния этой операции. Свойство 1. 1 • а = а. Свойство 2. (-1) • а = -а. Свойство 3. Если ха = 0, то либо х = 0, либо а = 0. Свойство 4. Если ха = хЬ и х ^ 0, то а = Ь. Свойство 5. Если ха = уаи а^ 0, то х = у. Докажите эти свойства самостоятельно. Есть ещё два бо лее слож ных свой ст ва опе ра ций над век то ра ми, ко то рые отно сят ся уже одновременно к двум опе ра ци ям над век то ра ми: сло же ни ю и умножению вектора на число. Это два распределительных (или дистрибутивных) закона: Свойство 6. (х + у) •а = ха + уа. 206 Свойство 7. х(а + Ъ) = ха + хЬ. Изучите формулировки этих законов и ответьте на вопрос: О каких векторах в этих законах идёт речь? Как они расположены в пространстве? Оба эти свойства относятся к плоскости, так как выполняющиеся в них действия производятся с векторами, параллельными одной плоскости (или лежащими в одной плоскости). Более того, свойство 6 касается лишь векторов, параллельных одной пря мой (или ле жа щих на од ной пря мой). § 13.9 ПРИЗНАК КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ Векторы часто помогают изучать свойства геометрических фигур. Например, нам нужно доказать, что прямые а и Ъ параллельны (рис. 13.19а). Как доказать параллельность прямых с помощью векторов? Рассмотрим векторы а и Ъ, лежащие соответственно на прямых а и Ъ (рис. 13.19б). Если мы докажем, что векторы а и Ъ кол-линеарны, то по определению коллинеарности векторов получим, что прямые а и Ъ параллель ны. Рис. 13.19 Теорема 60 (о коллинеарности векторов). Вектор Ъ коллинеарен ненулевому вектору а тогда и только тогда, когда Ъ = ха для некоторого числа х. Другими словами, вектор коллинеарен ненулевому вектору тогда и только тогда, когда он равен произведению этого ненулевого вектора на некоторое число. Доказательство А. 1. Пусть векторы а и Ъ коллинеарны, а ^ 0 (дано). 2. Найдём такое число х, при котором выполняется равенство Ъ = ха. 3. Если Ъ ^ 0, то рассмотрим отношение длин векторов Ъ и а. Пусть | Ъ | : | а | = k или | Ъ | = k | а |. 4. Если векторы а и Ъ сонаправленные, то - Ы- Ъ а (т.е. х = k) (1, 3, определение умножения вектора на число). а 207 5. Если векторы а и b противоположно направлены, то - 1^1- b =^4a (т.е. х = -k) (1, 3, определение умно-г1 жения вектора на число). 6. Если же b = 0 , то х = 0. Б. 1. Пусть при некотором х выполняется равенство b = xa (дано). 2. Векторы а и b коллинеарны (1, определение умножения вектора на число). ■ Из теоремы Т.60 можно получить следствие: Рис. 13.20 Е I I Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число. То есть точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда АХ = kАВ. На рис. 13.20а изображён случай, когда k >0, на рис. 13.20б — k < 0. § 13.10 РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ Для того чтобы понять смысл названия данного параграфа, рассмотрим несколь ко при ме ров. 1. Самолёт идёт на посадку. Его перемещение (s) состоит из двух составляющих: вертикальной (sвер ) и горизонтальной (sГQр ). Первая показывает снижение самолёта, вторая — смещение над землёй за время снижения (рис. 13.21). Истинное его движение происходит в направ- ^вер. + s гор. лении вектора s , т.е. s = s (правило треугольника). 2. Груз лежит или движется по наклонной поверхности. Сила тяжести (вектор ОР) разлагается на две состав-ля ю щие: та, что на прав ле на по пер пен ди ку ля ру к поверх но с ти (сила дав ле ния на неё), и та, что на прав ле на вдоль поверхности (скатывающая сила) (рис. 13.22). То есть ОР = ON + OF (правило параллелограмма). В этих примерах происходит так называемое разложение вектора на составляющие. Рис. 13.21 Рис. 13.22 208 Рис. 13.23 Докажем теорему о единственности разложения вектора по двум не-коллинеарным векторам. Теорема 61. Пусть а и b — два неколлинеарных вектора, лежащих в некоторой плоскости. Тогда для любого вектора d, лежащего в этой плоскости, существует единственная пара чисел х и y, такая, что d = ха + yb. Доказательство 1. Пусть нам даны два неколлинеарных вектора а и b и произвольный вектор d (рис. 13.23а). 2. Существует единственная пара чисел х и y, такая, что d = ха + yb (требуется доказать). 3. Если вектор d коллинеарен одному из векторов а или b, скажем d || а, то по Т.60 d = ха, и, взяв y = 0, получим d = ха + 0b. 4. Если d ^ а и d ^ b, то отложим векторы а, b и d от точки А (построение) (рис. 13.23б). 5. Построим параллелограмм ABCD с диагональю АВ и сторонами на прямых, на которых лежат векторы а и b (построение) (рис. 13.23в) (1, 2). 6. AВ = AC + AD (1, 5, правило параллелограмма для сложения векторов). 7. AC = ха (5, Т. 60) (рис. 13.23в). 8. AD = yb (5, Т. 60) (рис. 13.23в). 9. AВ = d = ха + yb (6, 7, 8). Мы доказали существование разложения вектора d. Теперь докажем един ст вен ность та ко го раз ло же ния. 10. Пусть существует ещё одна пара чисел х1 и y1, таких, что d = х1а + y1b (предположение). 11. ха + yb = х1а + y1b (2, 10). 12. (х - х1) а = (у - y1) b (11, свойства операций над векторами). 13. Если теперь, скажем, х — х1 ^ 0, то а = ——• b, тогда по Т.60 а || b, что противоречит условию. 14. Таким образом, х - х1 = 0, откуда х = х1, у = y1. ■ 209 § 13.11* ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Применение векторов в геометрии основано на том, что различные случаи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве могут быть сформулированы на «векторном языке». Решим с использованием векторов несколько геометрических задач. Щ Задача 1 Доказать, что если М — середина отрезка АВ и О — произвольная точ- 1 ка, то выполняется равенство: ОМ = ^ (ОА + ОВ). Решение 1. АВ — отрезок, точка М — его середина 2. О — произвольная точка. 1 .7ТГ ■ } 3. ОМ = 2 (ОА + ОВ) (требуется доказать). На рис. 13.24а не изображены никакие век-то ры. 4. Введём обозначение векторов (рис. 13.246). 5. АМ = МВ (1, 4, определение равных векторов 0.60). Запишем некоторые векторные равенства, что бы по лу чить тре бу е мое. 6. АМ = ОМ - ОА (1, 2, 4, правило вычитания векторов). 7. МВ = ОВ - ОМ (1, 2, 4, правило вычитания векторов). 8. ОМ - ОА = ОВ - ОМ (5, 6, 7). 9(3). ОМ = 2 (ОА + ОВ) (8). I Задача 2 (дано) (рис. 13.24а) A M О • а) A Рис. 13.24 B B Доказать, что если М — точка пересечения медиан треугольника АВС и О — про из воль ная точ ка про ст ран ст ва, то вы пол ня ет ся ра вен ст во: ОМ = 3 (ОА + ОВ + ОС). Решение 1. Треугольник АВС. 2. М — точка пересечения медиан ААВС 3. О — произвольная точка пространства : } (дано) (рис. 13.25а) 210 B О C а) Рис. 13.25 C б) • C в) 4. ОМ = — (ОА + ОВ + ОС) (рис. 13.256) (требуется доказать). 3 Вспомним свойство медиан треугольника и используем результат предыдущей задачи. 5. Рассмотрим медиану СС1 ААВС (рис. 13.25в). 1 6. МС1 = 3 СС1 (1, 2, 5, Т.46). 7. ОС1 - ОМ = МС1 = - (ОС1 - ОС) (6, правило нахождения разности 3 век то ров). 1 7=;т^ 1 7=;тт 8. ОМ = ОС1 - 3 ОС1 + 3 ОС = 3 ОС1 + з ОС (7). 9. ОС1 = - (ОА + ОВ) (2, 3, 5, задача 1). 2 1 .ттх 1 ^ 1 .7=ЛГ , ТТо , 10(4). ОМ = 3 • 2 (ОА + ОВ) + 3 ОС = 3 (ОА + ОВ + ОС) (8, 9). Задача 3 Как удержать в равновесии (на одном месте) лодку, на которую действуют течение реки и ветер, дующий от берега (рис. 13.26)? Решение Эта задача относится к так называемым прикладным задачам, которые сначала нужно «перевести на математический язык». 1. На лодку действуют две силы: F1 — сила ветра и ^2 — сила, обусловленная течением реки. 2. Ветер дует от берега, а это значит, что F1 ± F2 (рис. 13.26). 3. Что значит «лодка находится в равновесии»? Это значит, что лодка неподвижна. — Течение 4. Для того чтобы лодка была ^ F, неподвижна, к ней должна быть ' приложена уравновешивающая сила Fу, равная равнодействующей силе F, но направленная в противоположную сторону. Такой силой, например, может быть сила упру- jg 26 S CD СО « Р. « 1 а F2 211 гости каната, прикреплённого одним концом к носу лодки, а другим концом — к берегу. 5. Найдём равнодействующую сил ¥]_ и F2 — силу F. Для этого воспользуемся правилом параллелограмма. Диагональ параллелограмма даёт величину и направление равнодействующей F (рис. 13.26). Если сила, с которой текущая вода действует на лодку, равна 150 Н, а сила давления ветра равна 100 Н, то равнодействующая F этих двух взаимно перпендикулярных сил может быть вычислена по теореме Пифагора: \f\ = Vl004l50^ = 180 Н. Лодка может быть удержана канатом, способным выдержать натяжение не менее 180 Н. Развиваем умения К § 13.1-13.3 н |~1 • Сколько различных векторов изображено на рис. 13.27? |~2] • На рис. 13.28 изображён куб ABCDA1B1C1D1. а) Назовите векторы, равные вектору АВ. б) Назовите векторы, равные вектору DD1. в) Назовите векторы, равные вектору АС. н 1f Сколько различных векторов задаёт: а) множество точек {A, В}; б) множество точек {А,В,С}; в) множество вершин равностороннего треугольника; г) множество вершин параллелограмма; д) множество вершин треугольной пирамиды? Известно, что АВ = CD. Можно ли на основании этого утверждать, что |АВ| = |Ш|? В С Ci Рис. 13.27 Рис. 13.28 212 3 4 6 5 Известно, что |АЕ\ = \СВ\ и \ СВ\п0. Можно ли на основании этого утверждать, что АВ = СВ? На рис. 13.29 изображена треугольная пирамида SABC. Могут ли точки S, A, В и С задавать равные векторы? Существует ли пирамида, вершины которой задают равные векторы? |~т] Могут ли быть не равными друг другу два вектора, изо б ра жа е мые на прав лен ны ми от рез ка ми рав ной длины, расположенными на одной прямой? S C Рис. 13.29 н 9 8 Середины двух отрезков АВ и СВ совпадают. Введите векторные обозначения и выпишите возможные век тор ные ра вен ст ва. Точки М и К — середины рёбер АВ и ВС куба. Отложите от точки К вектор, равный вектору АМ. Дана равнобедренная трапеция. Выпишите коллинеарные векторы, определяемые вершинами трапеции. 10 П l1 Векторы АВ и А1В1 равны. Докажите, что если точки А, В, А1 и В1 не лежат на одной прямой, то четырёхугольник АВВ1А1 — параллелограмм. м 12 Даны два параллелограмма АВСВ и А1ВС1В. Докажите, что АА1 = С1С. 13 Дан треугольник АВС, ВМ — медиана этого треугольника, MN = BM. Докажите, что АВ = NC . К § 13.4-13.5 н и. 14 Какой вектор является суммой векторов а и b на рис. 13.30? 15 Какой вектор является суммой векторов АВ и АС на рис. 13.31? 16 Какой вектор является суммой векторов а, b и с на рис. 13.32? н 1Г 17 Может ли длина суммы двух векторов одинаковой длины быть: а) меньше длины каждого вектора; б) равна длине каждого вектора; в) больше длины каждого вектора; г) больше суммы длин векторов; д) равна сумме длин век то ров? 213 Рис. 13.30 Рис. 13.31 Рис. 13.32 18 19 При каком условии из трёх векторов можно образовать замкнутую ломаную? Сложите два вектора по правилу параллелограмма. При каком условии сумма векторов направлена по биссектрисе угла параллелограмма? н 20 На тело действуют две взаимно перпендикулярные силы F1 и F2. | F1 | = 8,5 Н, | F2 | = 3,6 Н. Найдите абсолютную величину равнодействующей этих сил. 21 Найдите сумму следующих векторов: а) AB + BC + CD; б) MN + NP + PQ + QT ; в) AB + MN + DC + CA + PQ + NM; г) FK + MQ + KP + AM + QK + PF; д) KM + DF + AC + FK + CD + PA + MP. п 22I Даны векторы а, b и d. Постройте вектор с, такой, чтобы a + b + c = d. 23 В треугольнике ABC проведены медианы АМ и BN. Докажите, что АМ - BN = 1,5 ■ АБ. м 24 Дан треугольник ABC. Докажите, что если М — точка пересечения его медиан, то MA + МВ + MC = 0. 214 Рис. 13.33 Рис. 13.34 Рис. 13.35 К § 13.7 Н 25 26 На рис. 13.33 изображён вектор АВ. Укажите вектор, противоположный вектору АВ. На рис. 13.34 изображены векторы ОА и ОВ. Укажите вектор, равный ОА - ОВ. н 1Г 27| • Какой из векторов на рис. 13.35 равен разности двух других? 28 Известно, что m + n = d. Какой из этих векторов можно назвать разностью двух других? 29| Как расположены векторы а и Ь, если векторы а + Ь и а - Ь коллине-ар ны? 30 Может ли выполняться равенство |СА + CB | = |СА - CB |? н 31 Даны векторы АВ и CD. Найдите сумму вектора АВ и вектора, противоположного вектору CD. Даны векторы АВ и CD. Найдите разность вектора CD и вектора, противоположного вектору АВ. 32 33 Упростите выражения: а) OP - EP + KD - BD; б) АD + MP + EK - EP - MD. п 34| Сравните числа | а + Ь | и | а | + | Ь |, если: а) а и Ь сонаправлены; б) а и Ь неколлинеарны. Чему равна длина |а + Ь|, если а и Ь противоположно на прав ле ны? 215 3sl Для любых четырёх точек А, В, С, D докажите справедливость следующих равенств: а) AC + BD = AD + BC; б) АВ + BC = AD + DC. Изобразите эти соотношения на рисунке. м 36 37 Даны параллелограмм ABCD и точка О. Выразите вектор OD через векторы ОА = т, ОВ = п, ОС = р. Докажите, что если точки О, А, В не принадлежат одной прямой и ОС = ОА - ОВ, то четырёхугольник ОВАС — параллелограмм. К § 13.8 Н U 38 # Даны два ненулевых вектора а и 3а. Что можно сказать о направлениях этих векторов? Как связаны длины этих векторов? Н 1Т 39 • Даны ненулевые векторы а и ka. При каких значениях k эти векторы: а) сонаправлены; б) противоположно направлены? н 40| Выполнив необходимые измерения, выразите вектор MN (рис. 13.36) через векторы а и b. 41 Докажите, что в параллелограмме ABCD выполняется равенство АС + ВС = 2B€. 42I Точка Р — середина стороны AD параллелограмма ABCD. Выразите вектор PC через векторы АB и AD. п 43I В параллелограмме ABCD точки М и N — соответственно середины сторон CD и AD. Выразите вектор MN через векторы CB = а и DC = b. Рис. 13.36 216 В треугольнике АВС СМ — медиана и СВ = а, СА= b. Выразите вектор CM через векторы а и b. м 45 Точки А1, В1, С1 — середины сторон треугольника АВС, Q — произвольная точка плоскости. Докажите, что QA1 + QB1 + QC1 = QA + QB + QC. 46 В треугольнике АВС точка D взята на стороне АС так, что AC : DC = m : n. Выразите векторы ВА и ВС через АС = а и BD = b. 47I В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка М — середина стороны AD, а точка N — середина стороны ВС. Докажите, что MN = ^ (AB + DC). м ми 48 Дана прямая АВ и точка О вне её. а) Докажите, что точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда ОХ = t • ОА + 2 • ОВ, где t + 2 = 1. б) Докажите, что точка Х лежит на отрезке АВ тогда и только тогда, когда числа t и 2 из пункта а) неотрицательны. в) Докажите, что точка Х лежит на луче АВ, но вне отрезка АВ тогда и только тогда, когда число t из пункта а) отрицательно. г) При каком условии точка Х лежит на луче ВА, но вне отрезка АВ? д) При каком условии точка Х совпадает с точкой А? с точкой В? Ml ЫИ\ Ш\ Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Последовательное выполнение двух осевых симметрий на плоскости относительно разных прямых. ВАША РОЛЬ. Эксперт в области геометрии. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Восьмиклассник Вася представил рукопись, в которой утверждает, что открыл новый вид изометрии на плоскости. Он предлагает взять любые две прямые и выполнить осевую симметрию сначала относительно первой прямой, а затем относительно второй. ЗАДАНИЕ. Установите, является ли предложенная Васей изометрия одной из изученных вами ранее или не является. Зависит ли ответ на поставленный вопрос от того, какие прямые выбраны? 217 РАЗДЕЛ 5 ПОДОБИЕ И ГОМОТЕТИЯ Эти пропорции, если они будут правильно поняты, могут быть использованы живописцами, скульпторами, работающими по дереву и камню, золотых дел мастерами, литейщиками металла, горшечниками, которые лепят из глины, и всеми, кому приходится делать изображения. Альбрехт Дюрер (немецкий живописец и график, 1471-1528) Глава 14 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Формой я называю суть бытия каждой вещи и её первую сущность... Аристотель (древнегреческий философ и учёный, 384-322 до н.э.) Открываем новые знания § 14.1 ПОНЯТИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В геометрии и в окружающем нас мире встречаются фигуры, которые имеют одинаковые формы, но разные размеры. Мыльный пузырь и футбольный мяч, небольшая модель ледохода и сам корабль, фотоснимки разных размеров (рис. 14.1). Такие фигуры называются подобными. Для обозначения подобия фигур используется знак ~. На рис. 14.2 изображены две подобные фигуры F1 и F2. Запись F1 ~ F2 читается: «фигура F^ подобна фигуре ^2». а) б) Рис. 14.1 219 Рис. 14.2 На рис. 14.3 изображены два чертёжных прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30°. Стороны второго треугольника в два раза меньше сторон первого: АВ АС ВС • ^ • A^Ci Такие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называют сходственными или соответственными. Рис. 14.3 Определение 66. Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого, а сходственные стороны пропорциональны. Подобие треугольников записывается так: ААВС ~ АА1В1С1. Аналогично тому, как это принято для записи равенства треугольников (с. 67, самый конец § 5.4), при записи подобия треугольников считают, что соответственными друг другу (а значит, равными) являются углы, обозначенные первыми буквами (у нас ZA = ZA1), вторыми буквами (ZB = ZB1), третьими буквами (ZC = ZC1). Тогда соответственными (а значит, пропорциональными) будут стороны: AB и A1B1, AC и А1С1, BC и В1С1. Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия. Коэффициентом подобия треугольников АВС и А1В1С1 на рис. 14.3 будет число 2 (берётся отношение стороны треугольника, указанного первым, к сходственной стороне треугольника, указанного вторым). Отметим два важных вывода, связанных с подобными треугольниками: 220 I I I Если треугольники равны, то они подобны LiJ с коэффициентом подобия, равным 1. [ I I Если два треугольника подобны третьему i " I треугольнику, то они подобны между собой. Самостоятельно обоснуйте эти выводы. Понятие подобия треугольников и других фигур широко используется при создании планов зданий или при изображении на картах участков земной поверхности (рис. 14.4). План или карта могут изображать реальный объект в разных масштабах. Масштаб — это коэффициент подобия карты или плана и реального объекта. Например, если масштаб карты 1 : 1 000 000, это метру изображения соответствует 1 000 000 см, стояния. Рис. 14.4 значит, что одному санти-или 10 км, ре аль но го рас- § 14.2 первый признак ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Чтобы узнать, подобны ли два данных треугольника, требуется по определению проверить, равны ли соответствующие углы и пропорциональны ли сходственные стороны. Кроме этого, существуют другие, более простые спо со бы ус та нов ле ния по до бия двух тре у голь ни ков. Пусть нам дан треугольник АВС. Как, выполнив некоторые построения, получить треугольник, подобный данному? Теорема 62 (лемма о подобии треугольников). Прямая, пересекающая две стороны треугольника и проведённая параллельно третьей стороне, отсекает треугольник, подобный данному. Доказательство 1. ААВС. (дано) 2. DE || AC. J (рис. 14.5а) 3. ADBE ~ ААВС (требуется доказать). Для доказательства подобия треугольников согласно определению 66 мы долж ны до ка зать ра вен ст во со от вет ст ву ю щих уг лов и про пор ци о наль ность сход ст вен ных сто рон этих треугольников. 221 B B B B a) 6) в) Рис. 14.5 4. Введём обозначение углов треугольников (рис. 14.5б). 5. Z3 — общий угол ADBE и ААВС (1, 2, 4) (рис. 14.5б). 6. Z4 = Z1 (2, 4, свойство углов при пересечении параллельных прямых секущей). 7. Z5 = Z2 (2, 4, свойство углов при пересечении параллельных прямых се ку щей). Для доказательства пропорциональности сходственных сторон применим векторный метод доказательства. 8. Введём векторные обозначения (рис. 14.5в). 9. Векторы DB и AB коллинеарны (8, определение коллинеарных векторов). DB 10. Существует такое положительное число х, что DB = x -AB и --= x (9, свойство коллинеарных векторов — Т.60). AB 11. Векторы BE и ВС коллинеарны, значит, существует такое положи- __ ___ BE тельное число у, что BE = y-BC и ---= у (1, 2, свойство коллинеарных BC век то ров). Из наглядных соображений можно предположить, что х = у. 12. х = у (требуется доказать). Воспользуемся методом доказательства от противного. 13. Предположим, что х п у (предположение). 14. Умножив вектор BC на х, получим BE1 = х • BC (рис. 14.5г) (1, 12). 15. DE1 = DB + BE1 = x • AB + x • BC = x • (AB + BC) = x • AC, т. е. DE1 = x • AC (1, 14). 16. DE1 I | AC (15, свойство коллинеарных векторов). Посмотрим на рис. 14.5г. 17. DE 11 AC и DE1 | | AC (2, 16). Пункт 17 противоречит аксиоме параллельности прямых А. 5, значит, пред по ло же ние 13 не вер но. 12. Доказано, что х = у. 222 18. DE^ совпадает с DE и DE = x • АС (11, 17). 19. DB = x • AB, BE = x • ВС и DE = x • АС, значит, DB BE DE (10 18) ---=----=------= x (10, 11, 18). AB BC AC 20(3). ADBE ~ AABC (5, 6, 7, 19, определение подобных треугольников). ■ Теорема 62 позволяет легко построить треугольник, подобный данному. Для этого достаточно провести прямую, пересекающую две стороны треугольника, параллельно третьей стороне. Сформулируем и докажем признаки подобия двух треугольников. Теорема 63 (первый признак подобия — по двум углам). Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Доказательство 1. AABC и AA1B1C1. (дано) 2. АА = АА]_, AB = ZB1. J (рис. 14.6) 3. AABC ~ AA1B1C1 (требуется доказать). B Б, C C, Для доказательства воспользуемся определением 66 и докажем, что у тре у голь ни ков ABC и A1B1C1 углы равны и сходственные стороны пропорциональны. 4. АС = АС1 (1, 2, теорема о сумме углов треугольника). Если, скажем, AB = A1B1, то треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, а значит, подобны. 5. Если, скажем, A1B1 < AB, то отложим от вершины В на стороне АВ треугольника АВС отрезок ВМ, равный отрезку А1В1 (построение) (рис. 14.7). 6. Через точку М проведём прямую МN || АС (построение) (рис. 14.7). 7. AMNВ ~ AAСB (рис. 14.7) (1, 6, Т.62). Если мы докажем, что AMNВ = AA1С1B1, то тогда AABC и AA1B1C1 будут подобны. 223 B C B, Cl Рис. 14.7 8. AB = AB^ (1). 9. МВ = А1В1 (5). 10. ABMN = AA (6, свойства равенства углов при пересечении параллельных прямых секущей). 11. ^ = ^1 (2). 12. ABMN = ^1 (10, 11). 13. AMNB = AA1B1C1 (8, 9, 12, признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам). 14(3). AABC ~ AA1B1C1 (7, 13, свойство подобных фигур). ■ Из теоремы 63 можно получить следующие следствия: j I j 1. Равносторонние треугольники подобны. 2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании. 3. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу. 4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны. Докажите эти следствия самостоятельно. Т.63 и следствия из неё часто применяются при решении задач. Задача 1 Определить расстояние от точки А до точки В, находящейся в недоступном месте, например на островке, окружённом водой (рис. 14.8а). Решение 1. Даны точки А и В (недоступная). 2. Требуется найти расстояние АВ. Чтобы воспользоваться для решения задачи теоремой 63, можно мысленно по ст ро ить тре у голь ник АВС, од ной из сто рон ко то ро го бу дет от ре зок АВ, а затем рассмотреть АА1В1С1, подобный ААВС, в котором можно выполнить все необходимые измерения. 224 а) б) Рис. 14.8 в) 3. Отложим на местности отрезок АС и измерим его. Пусть его длина равна 150 м (рис. 14.8б). 4. Измерим с помощью астролябии углы ВАС и ВСА. Пусть они равны 62°, 54°. 5. На листе бумаги построим треугольник А1В1С1 с углами в 62° и 54° (рис. 14.8в). 6. Этот треугольник будет подобен треугольнику АВС (1, 3, 4, первый признак подобия треугольников — Т.63). 7. На чертеже измерим отрезки А1С1 и А1В1. У нас А1С1 = 15 мм, А1Б1 = 12 мм. 8. Так как —trL = —, то АВ -АВ АС Задача 2 ACA^Bi ACi = 150м 12мм 150 12 15мм 15 м = 120м. Определить высоту предмета, например дерева (рис. 14.9). Решение 1. Имеется дерево — отрезок А^С^ (рис. 14.9). 2. Требуется найти высоту дерева — длину отрезка А1С1. Воспользуемся теоремой 63. 3. По ста вим по от ве су на го ри зон таль ной площад ке на не ко тором рас сто я нии от ос но-вания дерева шест с вращающейся планкой (на рис. 14.9 он также изображён отдельно). 4. Планку установим по направлению на вершину дерева, как это показано на рис. 14.9. 5. Отметим на поверхности земли точку В, являющуюся точкой пересечения прямой АА^ с горизонтальной площадкой. Рис. 14.9 А, -4ty B C ' Ci 225 6. Прямоугольные треугольники А^С^В и АСВ подобны, так как они имеют по равному острому углу В (следствие 3 из Т.63). 7. Измерив расстояния С^В и СВ и найдя их отношение, мы найдём коэффициент подобия этих треугольников. Например, если расстояние С^В = 18 м, а СВ = 1,5 м, то коэффициент подобия треугольников будет 18 12 равен ---= 12. 1,5 8(2). Если длина катета АС равна, например, 1,8 м, то высота дерева равна 1,8 . 12 = 21,6 м (6, 7, свойство подобных фигур). § 14.3 ДРУГИЕ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Докажем ещё два признака подобия треугольников. Теорема 64 (второй признак подобия — по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними). Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны. Доказательство 1. AABC и AA1B1C1. AB BC 2. AB = AB 1. } (дано) (рис. 14.10) A1B1 B1C1’ 3. AABC ~ AA1B1C1 (требуется доказать). AB BC Если A1B1 B1C1 между ними, а значит, подобны. = 1, то треугольники равны по двум сторонам и углу B A Рис. 14.10 226 B^ B 4. Если, скажем, AB BC > 1, то отложим на стороне АВ треуголь- AiBi B1C1 ника АВС от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А1В1 (построение) (рис.14.11). 5. Через точку М проведём прямую MN\\АС (построение) (рис. 14.11). 6. AMBN ~ ААВС (5, Т.62). Итак, мы знаем, что AMBN ~ ААВС. Если мы докажем, что AMBN = = AA1B1C1, то теорема будет доказана. 7. Докажем, что AMВN = AA1B1C1. 8. AB = AB1 (1, 2). 9. МВ = А1В1 (1, 4). AB BC 10. AB = (1, 5, свойство подобных треугольников). MB NB 11. Рассмотрим пропорции AB BC AB BC и ____^ , а также равен- A1B1 B1C1 MB NB ство А1В1 = МВ (2, 10). В этих двух про пор ци ях име ет ся по три оди на ко во рас по ло жен ных равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т. е. В1С1 = NВ (про верьте это свой ст во про пор ций са мо сто я тель но). 12. AMВN = AA1B1C1 (8, 9, 11, признак равенства треугольников по трём сторонам). 13(3). Так как AMВN = AA1B1C1, то, следовательно, AABC ~ AA1B1C1 (7, 12, свойство подобных фигур). ■ Из теоремы 64 можно получить следующее следствие: I I I Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропор-\ " J циональны катетам другого. 227 Теорема 65 (третий признак подобия — по пропорциональности трёх сторон). Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника. Докажите этот признак подобия треугольников самостоятельно. § 14.4 СВОЙСТВА ПОДОБНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ C B A Определение подобных многоугольников похоже на определение подобных треугольников. Если углы многоугольников соответственно равны, а стороны од но го мно го уголь ни ка про пор ци о наль ны сто ро нам другого многоугольника, то такие многоугольники называют подобными. На рис. 14.12 изображены два подобных пятиугольника АВСВЕ и A1B1C1D1E1. У этих пятиугольников ^А = ^А1, AB = ZB1, АС = ZC1, AD = AD1, АЕ = АЕ1, а также AB _ BC _ CD _ DE _ EA _ k A1B1 _ B1C1 _ C1D1 _ D1E1 _ E1A1 _ ’ где k — коэффициент подобия. Рассмотрим некоторые свойства подобных многоугольников. B D E D 1 Ai E1 Рис. 14.12 Теорема 66. Отношение периметров подобных многоугольников равно отношению их соответственных сторон (коэффициенту подобия). Докажите эту теорему самостоятельно. Нетрудно заметить, что квадраты всегда подобны (обоснуйте этот вывод). Пусть даны два квадрата со сторонами а1 и а2 и а2 = kа1. Площа- ^2 ди этих квадратов будут равны соответственно В1 _ af и S2 _ a^ _ k a 1 ’ тогда S2 Si _ k‘. Докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников. Теорема 67. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. 228 и 2 a a 1 1 Доказательство 1. АА^Б^С^ ~ ААВС; k — коэффициент подобия (дано) (рис. 14.13а). 2. Б1 : S = k2, где S1 — площадь АА1В1С1, S — площадь ААВС, k — коэффициент подобия данных треугольников (требуется доказать). Нам нужно найти отношения площадей подобных треугольников, а в формулу площади треугольника входит его высота. На рис. 14.13а высоты тре у голь ни ков не проведены. 3. Проведём в данных треугольниках высоты BD и B1D1 (построение) (рис. 14.13б). Мы получим две пары прямоугольных треугольников. Нам лучше выразить стороны и высоту одного треугольника через стороны и высоту другого. Для этого докажем подобие полученных прямоугольных треугольников. Рассмотрим AA1B1D1 и AABD. 4. АА1 = АА, AB1D1A1 = ABDA = 90° (1, 3). 5. AA1B1D1 ~ AABD (4, первый признак подобия треугольников — Т.63). 6. B1D1 : BD = А1В1 : АВ = k (1, 5). 7. B1D1 = kBD (6). 8. А1С1 : АС = А1В1 : АВ = k (1). 9. А1С1 = kAC (8). 10. S1 = - А1С1 • B1D1 = - kAC • kBD = k2 • ^ AC • BD = k2 S (7, 9, Т.53). 11(2). S1 : S = k2 (10). ■ Мож но до ка зать спра вед ли вость это го свой ст ва и для много у гольников. Теорема 68. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия. Докажите эту теорему самостоятельно, ра з бив дан ные мно го уголь ни ки на тре у голь ни ки и воспользовавшись Т.67. а) A B C Ai B c, б) A B D C Рис. 14.13 229 B^ D, C^ Развиваем умения К § 14.1 Н |~1 • Даны два подобных треугольника АВС и MKD. Какими свойствами обладают: а) их углы; б) их стороны? н tr ~2| • Подобны ли два любых равных треугольника? ~3| • Равны ли два любых подобных треугольника? н C 9 У Стороны одного (меньшего) треугольника равны 4 дм, 3,6 дм и 2,5 дм. Вычислите длины сторон другого треугольника, подобного данному, если коэффициент подобия этих треугольников равен 1,6. На рис. 14.14 ААВС ~ ADEF, длины некоторых сторон указаны. Найдите x и у. В подобных треугольниках АВС и А1В1С1 стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 20, 18 и 15 см. Сторона А1С1 треугольника А1В1С1 равна 10 см. Чему равны стороны А1В1 и В1С1? F D x E Рис. 14.14 п |~т] Стороны данного треугольника равны 12,6 м, 16,5 м и 18 м. Найдите сто ро ны тре у голь ни ка, по доб но го дан но му, ес ли его мень шая сто ро на равна большей стороне данного треугольника. 8 Докажите, что два треугольника, подобные одному и тому же третьему треугольнику, подобны. К § 14.2-14.3 Н 10 11 12 • Подобны ли треугольники АВС и КРТ, если в них АА = 50°, АВ = 60°, АР = 60°, АТ = 70°? Острый угол одного прямоугольного треугольника равен 30°, а другого — 60°. По доб ны ли эти тре у голь ни ки? По доб ны ли рав но бе д рен ные тре у голь ни ки, ес ли они име ют по од но му равному тупому углу? По доб ны ли рав но бе дрен ные треу голь ни ки, если: а) они име ют по прямому углу; б) один из острых углов первого треугольника равен одному из ос трых углов вто ро го треу голь ни ка? 230 4 5 6 9 н 13 Постройте произвольный треугольник и проведите прямую, параллельную одной из его сторон, так, чтобы коэффициент подобия отсечённого и данного треугольников был равен: а) -; б) -; в) 2 3 4 14 15 16 17 В прямоугольном треугольнике опущена высота на гипотенузу. Сколько пар подобных треугольников образовалось на этом чертеже? Сколько пар подобных треугольников изображено на рис. 14.15 (КР| |ST||AC)? В тре у голь ни ке про ве де ны все сред ние ли нии. Сколько образовалось: а) треугольников, подобных данному; б) пар подобных треугольников? Найдите подобные треугольники на рис. 14.16а — 14.16г и объясните, почему они подобны. B T C R C B F В2 D E А В А В, C П 18 На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD = 8 см и AF = 10 см. Будут ли подобны треугольники ACD и ABF? Обоснуйте свой ответ. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сто рон рав но от но ше нию двух сход ст вен ных: а) вы сот; б) бис се к т-рис; в) ме ди ан. 19 м 20 Между пунктами А и В находится болото. Чтобы найти расстояние между точками А и В, вне болота отметили произвольную точку С и провели необходимые измерения. Выяснилось, что АС = 600 м, ВС = 400 м и AABC = 62°. Начертите план в масштабе 1 : 10 000 и найдите по нему рас сто я ние меж ду пунк та ми А и В. На рис. 14.17 показано, как можно разными способами определить ши ри ну ре ки АВ, по ст ро ив на ме ст но с ти подоб ные тре у голь ни ки. Для 21 231 а) б) Рис. 14.17 в) каждого способа определите, какие построения выполнены, как с их помощью найти ширину реки. Выполните необходимые измерения и вычислите ширину реки (масштаб рисунков 1 : 1 000). Докажите, что любой остроугольный или тупоугольный треугольник, не име ю щий рав ных сто рон, нель зя рас сечь пря мой, про хо дя щей че рез вер ши ну, на два по доб ных тре у голь ни ка. К § 14.4 22 Н 1Г 23 24 25 • Даны два подобных многоугольника. Как найти их коэффициент подобия? • Объясните, почему: а) все равные многоугольники подобны; б) все квадраты подобны. Как изменится площадь многоугольника, если каждая из его сторон: а) увеличится в n раз; б) уменьшится в k раз? н 2б| Найдите отношение площадей двух квадратов, если отношение сторон этих квадратов равно: а) 1 : 2; б) 2 : 3; в) : л/Э; г) 1 : 1,5; д) k : l. 27I Как относятся стороны двух квадратов, если отношение площадей этих квадратов равно: а) 4 : 9; б) 3 : 4; в) 0,5 : 2; г) p : t? 28] Как разбить подобные многоугольники на одина ко вое чис ло по доб ных тре у голь ни ков на рис. 14.18? Возможны ли различные способы раз би е ни я по доб ных мно го уголь ни ков на одина ко вое чис ло со от вет ст вен но по доб ных тре -угольников? Приведите пример. C E Рис. 14.18 232 29 30 Постройте два подобных прямоугольника с коэффициентом подобия, равным: а) 1,5; б) Меньшие стороны двух подобных многоугольников равны 35 см и 21 см, а разность их периметров — 40 см. Определите периметр каждого многоугольника. a B п D Рис. 14.19 C 31 32 33 Периметр параллелограмма равен 24 мм. На продолжениях его диагоналей от вершин отложены отрезки, равные соответствующим диагоналям. Вы-чис ли те пе ри метр че ты рё ху голь ни ка, вер ши на ми ко то ро го слу жат ко неч ные точ ки от ло жен ных отрез ков. В треугольник АВС вписан квадрат (рис. 14.19). Определите площадь квадрата, если АС = а и BD = h. Произведите вычисления для случаев: а) а = 5 см, h = 12 см; б) а = 4,5 см, h = 9 см; в) а = 15 дм, h = 3 м. Земельный участок, прилегающий к пойме реки, на плане изображён в виде многоугольника в масштабе 1 : 10 000 (рис. 14.20). Выполните необходимые измерения и вычислите: а) длину границы участка; б) площадь участка; в) валовой сбор зерна со всего участка, если средняя урожайность пшеницы составляет 45 ц с 1 га. м 34 35 Постройте квадрат, площадь которого равна: а) четвёртой части площади данного квадрата; б) половине площади данного квадрата. Постройте треугольник, подобный данному, площадь которого равна: а) половине площади данного треугольника; б) четвёртой части площади данного треугольника. 3б| Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции делит каждую из них на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих оснований. Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Определение высоты одиноко стоящего дерева. ВАША РОЛЬ. Путешественник. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. В солнечный день вы оказались рядом с одиноко стоящей пальмой, высоту которой вам необходимо определить. В вашем распоряжении имеется шест и рулетка. ЗАДАНИЕ. Определите высоту пальмы. 233 Глава 15 ГОМОТЕТИЯ Боги, известно, всегда подобное сводят с подобным. Гомер (древнегреческий поэт, предположительно VIII в. до н.э.) Открываем новые знания § 15.1 ПОНЯТИЕ ГОМОТЕТИИ Как можно построить фигуру, подобную данной? Например, нам нужно построить треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия k = 2. 1. Пусть нам дан треугольник АВС, выберем некоторую точку О, лежащую вне данного треугольника (рис. 15.1а). B О а) C в) 234 2. Построим лучи ОВ, ОА и ОС, получим векторы ОА, ОВ и ОС (рис. 15.1б). 3. Построим векторы ОА1 = 2 ОА, ОВ1 = 2 ОВ, ОС1 = 2 ОС (рис. 15.1в). 4. Треугольники АВС и А1В1С1 будут подобными (это мы докажем позднее). В результате этих построений мы выполнили геометрическое преобразование, которое называют гомотетией. При этом мы использовали операцию умножения вектора на число. Всё вышесказанное приводит нас к следующему определению гомотетии. Определение 67. Гомотетией с центром О и коэффициентом k п 0 называется геометрическое преобразование, при котором каждая точка Х переходит в точку Х1, такую, что ОХ1 = k ОХ. Если при гомотетии с центром О и коэффициентом k фигура Ф1 пере хо дит в фи гу ру Ф2, то при гомотетии с центром О и ко эф фи ци ен том kk фигура Ф2 переходит в фигуру Ф1. Такие фигуры Ф1 и Ф2 называют Если k = 1, то при гомотетии фигура перейдёт в себя. Если k > 0, то соответственные точки гомотетичных фигур располагаются по одну сторону от центра гомотетии. На рис. 15.2 k = 2, ОХ1 = 2 . ОХ. Если k < 0, то соответственные точки гомотетичных фигур располагаются по разные стороны от центра гомотетии. На рис. 15.3 k = -2, ОХ1 = -2 . ОХ. Если k = -1, то при гомотетии фигура перейдёт в фигуру, симметричную данной фигуре относительно центра О (рис. 15.4). 235 D Ci El Рис. 15.4 § 15.2 СВОЙСТВА ГОМОТЕТИИ Рассмотрим основные свойства гомотетии. 1. Пусть нам дана гомотетия с центром О и коэффициентом k. 2. Возьмём две произвольные точки Х и Y. Посмотрим, в какие точки перейдут они при гомотетии с центром О и коэффициентом k (рис. 15.5а). 3. ОХ1 = k ОХ, OY1 = k OY (1, 2, определение гомотетии) (рис. 15.5б). 4. Найдём разность векторов OY и ОХ. XY = OY - ОХ (4, определение разности векторов) (рис. 15.5в). 5. Найдём вектор X1Y1. XY = ОУ1 - ОХ1 = k GY - k ОХ = k (GY - ОХ) = k XY (3, 4, свойство разности векторов) (рис. 15.5в). Таким образом, мы доказали следующее свойство гомотетии: Теорема 69. Если при гомотетии с центром О и коэффициентом k точки X и Y переходят в точки Х1 и Y1, то Х1Y1 = k XY. Из этой теоремы можно получить следствия — свойства гомотетии: При го мо те тии с центром О и ко эф фи ци ен том k: j I j 1) расстояния между соответствующими точками умножаются на | k |; Y О X а) 1 Y в) 236 1 j I j 2) любой треугольник АВС переходит в подобный ему треугольник A^B^Cf; I I I 3) отрезок АВ переходит в отрезок А^В^, параллельный АВ и такой, что LlJ А1В1 = | k | ■ АВ. § 15.3* ГОМОТЕТИИ И ИЗОМЕТРИИ В различных разделах учебника мы много говорили об изометриях, которые являются геометрическими преобразованиями, сохраняющими расстояния между парами соответствующих точек. В предыдущем параграфе мы ввели понятие гомотетии с коэффициентом k, которая при I k I ^ 1 не сохраняет расстояний между соответствующими точками, а изменяет эти расстояния в одно и то же число раз. В геометрии есть понятие более общее, чем гомотетия, — преобразование подобия. Определение 68. Геометрическое преобразование, при котором расстояние между соответствующими точками изменяется в одно и то же число раз, называется преобразованием подобия. Если сравнить это определение со свойствами гомотетии, можно сделать вывод о том, что гомотетия является преобразованием подобия. Подобные треугольники не всегда гомотетичны. На рис. 15.6а изображены два треугольника АВС и А1В1С1, которые подобны друг другу, но они очевидно не гомотетичны (например, потому, что А1С1 ^ АС). Как с помощью различных геометрических преобразований можно перевести треугольник АВС в подобный ему треугольник А^В^С^? B A C Bl A Cl а) Рис. 15.6 237 б) 1. Пусть даны два подобных треугольника А^В^С^ и АВС с коэффициентом подобия k (дано) (рис. 15.6а). 2. Выполним гомотетию с центром О и коэффициентом подобия k и построим АА2В2С2, гомотетичный ААВС (построение) (рис. 15.6б). 3. А1В1 = k АВ, В1С1 = k ВС, C1A1 = k CA, где k — коэффициент подобия данных треугольников (1, определение подобных треугольников). 4. А2В2 = kАВ, В2С2 = k ВС, C2A2 = k CA (1, свойство гомотетии). 5. АА1В1С1 = АА2В2С2 (3, 4, Т.4 — признак равенства треугольников по трём сторонам). Обобщим всё то, что мы имеем: а) АА1В1С1 ~ ААВС (дано). б) АА2В2С2 гомотетичен ААВС (построение). в) АА2В2С2 ~ ААВС (свойство гомотетии). г) АА2В2С2 = АА1В1С1 (доказано). Из утверждений а) — г) следует: I I I Если есть два подобных треугольника, то существует третий треугольник, ко-1 " I торый равен первому и гомотетичен второму. В параграфе 6.2 мы говорили о том, что при изометрии фигура переходит в равную ей фигуру. Можно доказать, что равные фигуры могут быть совмещены друг с другом при помощи изометрии или последовательного вы пол не ния не сколь ких изо ме т рий. Попробуйте самостоятельно найти такие изометрии, с помощью которых АА1В1С1 можно перевести в АА2В2С2 (рис. 15.6б). 238 Развиваем умения К § 15.1-15.3 Н |~1 • На рис. 15.7 куб ABCDA^B^C^D^ перешёл в куб ABC'D.A1B1C' 1D1 при гомотетии с центром В1 и коэффициентом гомотетии k. а) В какие точки перешли при этой гомотетии точки А, В, С, D, А1, В1, С1, D1? б) Отношение каких отрезков на этом рисунке равно k? в) В какие прямые перешли при этой гомотетии прямые АВ, АС, АА1, ВВ1? н 1Г 4 2 • В какую фигуру перейдёт при гомотетии: а) угол; б) параллелограмм; в) тра пе ция? • Сколько существует центров гомотетии, которая переводит один круг в другой (оба круга лежат в одной плоскости)? • На каждом из рис. 15.8а—15.8г изображена пара фигур. а) Гомотетичны ли изображённые фигуры? б) Где находится центр гомотетии в каждом случае, когда фигуры гомотетичны? в) Как определить коэффициент гомотетии в каждом случае, когда фигуры гомотетичны? г) Имеется ли у каких-нибудь пар гомотетичных фигур на рис. 15.8 более одного центра гомотетии? D.---------.С D \I7 B в) б) г) Рис. 15.8 239 5 • Как можно задать гомотетию? 6 • Можно ли найти центр гомотетии, если известны: а) только одна пара соответствующих точек; б) две пары соответствующих точек? |~т] • Можно ли построить треугольник, подобный данному, но не гомотетичный ему? 8 • Сохраняется ли при гомотетии параллельность прямых? н 10 Постройте треугольник, гомотетичный данному треугольнику АВС с коэффициентом гомотетии k, равным: 2; -1; -2. В качестве центра гомотетии возьмите: а) одну из вершин треугольника; б) середину одной из сто рон тре у голь ни ка; в) точ ку пе ре се че ния ме ди ан тре у голь ни ка; г) точ ку, лежа щую вне тре у голь ни ка. Постройте фигуру, гомотетичную квадрату, приняв за центр гомотетии центр квадрата. Может ли при различных центрах гомотетии получиться один и тот же квадрат? п 11 Даны два параллельных отрезка АВ и А1В1. При каком условии суще-ст ву ет го мо те тия, пе ре во дя щая точ ку А в точку А1 и точку В в точку В1? 12 Треугольник А1В1С1 гомотетичен треугольнику АВС. Докажите, что медианы, биссектрисы и высоты треугольника А1В1С1 гомотетичны соответствующим медианам, биссектрисам и высотам треугольника АВС. м 13 14 Даны два квадрата. Постройте третий квадрат, равный одному из данных квадратов и гомотетичный другому. Даны угол и лежащая внутри этого угла точка М. а) По ст рой те окр уж ность, про хо дя щую че рез дан ную точ ку и ка са -ющуюся сторон угла. б) Проведите через точку М прямую так, чтобы отрезок её с концами А и В на сторонах угла делился точкой М в данном отношении. 240 9 РАЗДЕЛ 6 СИНУС И КОСИНУС. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ [я Высшее назначение математики состоит в том, чтобы на-r#lfi ходить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает. Норберт Винер (американский учёный, 1894-1964) Глава 16 СИНУС И КОСИНУС Открываем новые знания § 16.1 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ И ДУГИ ОКРУЖНОСТИ Представьте себе, что на плоскости вершина некоторого угла АОВ совпадает с центром окружности — точкой О (рис. 16.1). Определение 69. Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. A На рис. 16.1 центральный угол АОВ отмечен дужкой и выделен цветом. Введём ещё одно важное понятие — дуга окружности. Определение 70. Пересечение окружности и её центрального угла называется дугой окружности. На рис. 16.2 пересечением окружности с центром О и её центрального угла АОВ является дуга CD. Для обозначения дуги используется знак «^». Пишут: «^CD». A 242 Центральные углы измеряются так же, как обычные углы. А как измеряются дуги окружности? Для измерения дуг окружности вводятся, например, их угловые величины. Определение 71. Угловой величиной дуги окружности называется величина соответствующего центрального угла. Угловую величину дуги обозначают тем же знаком, что и саму дугу, например '^СВ=40°. Согласно определению 71, можно записать: ^AB=ZAOB (рис. 16.3). Определение 72. Пересечение круга и его центрального угла называется сектором круга. На рис. 16.3 пересечением круга с центром в точке О и центрального угла АОВ является сектор АОВ. § 16.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА И КОСИНУСА Введём на плоскости прямоугольную систему координат xOy1 и рассмотрим окр. (О, 1) (рис. 16.4). В дальнейшем эту окружность будем называть единичной окружностью. Выполним поворот луча Ох вокруг точки О на угол а, считая, как принято в математике, что повороты на положительный угол выполняются против часовой стрелки, а повороты на отрицательный угол — по часовой стрелке. Точку пересечения луча, полученного после выполнения поворота, с единичной окружностью обозначим Ра (рис. 16.5). На рис. 16.5 изображены также точки Ро°, Р90о, Р-90о, Р130о, Р180о. Заметим, что точки, полученные после поворота луча Ох на различные углы, могут совпадать. Скажем, точка Р-180° совпадает с точкой Р180°, точка Р27о° совпадает с точкой Р-90°. Из рис. 16.5 видно, что точка Ро° имеет координаты (1, 0), точка Р900 имеет координаты (0, 1). / Н-----► • 1 x -1 Рис. 16.4 Р P о / £90° р ^•ч а x \ Р-90° Рис. 16.5 1 С прямоугольной системой координат вы уже знакомы из курса алгебры. 243 У 1 1 0 У Точка Ра имеет две координаты: абсциссу ха и ординату уа (рис. 16.6). Значения этих координат имеют в математике названия: косинус угла а и синус угла а. Определение 73. Ордината точки Ра, принадлежащей единичной окружности, называется синусом угла д._________________________________ Синус угла а обозначается sin а. Исходя из определения синуса, можно найти синусы некоторых углов: sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0, sin 270° = -1, sin (-90°) = -1, sin (-180°) = 0. x sin g может принимать значения только от -1 до 1 (рис. 16.6). Определение 74. Абсцисса точки Рд, принадлежащей единичной окружности, называется косинусом угла д. Косинус угла а обозначается cos а. Ис хо дя из оп ре де ле ния ко си ну са, мож но най ти ко си ну сы некоторых углов: cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = -1, cos 270° = 0, cos (-90°) = 0, cos (-180°) = -1. т cos g может принимать значения только от -1 до 1 (рис. 16.6). Нахождение синуса и косинуса для большинства углов весьма непросто, поэтому обычно находят их приближённые значения, используя для этого калькулятор или специальные математические таблицы. Калькулятор позволяет находить приближённые значения синуса и косинуса любого угла а, а для угла а в пределах 0° < а < 90° можно воспользоваться, например, «Четырёхзначными математическими таблицами» В.М. Брадиса. Рассмотрим примеры нахождения значений синуса и косинуса углов, используя несколько строк указанных таблиц. Синусы А 0' 6' 12' 18' 24' 30' 36' 42' 48' 54' 60' 1' 2' 3' 70° 0,9374 9403 9409 9415 9521 9426 9432 9438 9444 9449 0,9455 19° 1 2 3 71° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18° 1 2 3 72° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17° 1 2 3 73° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16° 1 2 3 74° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 9659 15° 1 2 3 60' 54' 48' 42' 36' 30' 24' 18' 12' 6' 0' A 1' 2' 3' Косинусы 244 Например, нужно найти значение sin 70°36'. Находим число градусов в крайнем левом столбце таблицы, число минут — в верхней части таблицы. На пересечении соответствующих строки и столбца находим искомое число: sin 70°36'= 0,9432. Это приближённое значение синуса с точностью до четвёртого знака после запятой. Найдем cos 16°12'. Число градусов ищем в правой стороне таблицы (в столбце А), число минут — в нижней части таблицы. На пересе че нии со от вет ст ву ю щих стро ки и столб ца на хо дим ис комое чис ло: cos 16°12'= 0,9603. По этим же таблицам можно решать задачи, обратные рассмотренным: по данным значениям синуса и косинуса неизвестного острого угла находить приближённо этот угол, т.е. его величину. § 16.3 СИНУС И КОСИНУС ОСТРЫХ УГЛОВ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ, АО = а (рис. 16.7а). 2. Поместим треугольник АОВ в систему координат (рис. 16.7б). 3. Проведём единичную окружность с центром в точке О (рис. 16.7в). 4. Координатами точки А1 (рис. 16.7в) являются sin а и cos а. 5. АОАВ ~ АОА1В1 (4, признак подобия прямоугольных треугольников). AB BO AO 6. 7. A1B1 AB B1O1 _ AO sin a 1 A1O1 (5, определение подобных треугольников). BO _ AO cos a 1 т.е. т.е. AB _ AO sin a > (4, 6). BO _ AO cos a AB 8. sin a_ (7). AO y A B x в) 245 BO 9. cosa =--- (7). AO Мы получили формулы для нахождения синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Их можно сформулировать так: I I I Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению проти-i " I волежащего катета к гипотенузе. B C Рис. 16.8 I I I Косинус острого угла прямоугольного треугольника 1 " I равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами а и Ь и гипотенузой с (рис. 16.8). Вышесказанное можно записать следующим образом: 1. sin ^A = - . с 2. cos AA = - . с I Отсюда получаем: I I I Катет прямоугольного треугольника равен гипотену-1 " I зе, умноженной на косинус прилежащего к этому катету угла. I I I Катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе, умноженной на синус LiJ противолежащего к этому катету угла. I I I Гипотенуза прямоугольного треугольника равна катету, делённому на синус 1 " I угла, противолежащего к этому катету. [ I I Гипотенуза прямоугольного треугольника равна катету, делённому на косинус 1 " I угла, прилежащего к этому катету. Если использовать формулы нахождения синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника, можно получить основное тригонометрическое тождество: Теорема 70. Синус и косинус одного и того же острого угла связаны между собой основным тригонометрическим тождеством: sin2 —A + cos2 —A = 1. Доказательство 1. ААВС — прямоугольный (дано) (рис. 16.8). 2. sin2 AA + cos2 AA = 1 (требуется доказать). Из прямоугольного треугольника АВС имеем: 3. sin —A =--,cos —A =--- (1, синус и косинус острого угла прямо- AB AB угольного треугольника). 246 I 2 2 I BC 4. sin2 —A + cos2 —A = AC BC^ + AC^ (1, 3). AB) Ё AB) AB2 5. ВС2 + AC2 = AB2 (1, теорема Пифагора). 6. sin2 LA + cos2 LA = 1 (4, 5). ■ Можно доказать, что sin2 a + cos2 a = 1 для любого угла a. § 16.4 ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС Введём ещё два важных математических понятия — тангенс и котангенс угла. Определение 75. Тангенсом угла a называется отношение sin a к cos a. Тангенс угла a обозначается tg a. sin a tg a = cos a \ I I Тангенс острого угла a прямоугольного треугольника 1 " I равен отношению противолежащего катета к прилежащему (рис. 16.9): tg a = sin a aba Рис. 16.9 cos a c c b Определение 76. Котангенсом угла a называется отношение cos a к sin a. Котангенс угла a обозначается сtg a. I I I Котангенс острого угла a прямоугольного треугольника равен отношению Li_J прилежащего катета к противолежащему (рис. 16.9): , cos a b a b сtg a =----^ ^ ^ —. sin a c c a Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1: tg a ■ сtg a = 1. Действительно: . . sin a cos a tg a ■ сtg a =-------= 1 cos a sin a Синус, косинус, тангенс и котангенс угла называют в математике тригонометрическими функциями этого угла. 247 + а Развиваем умения К § 16.1 н |~1 • На окружности с центром О заданы точки А и Б (рис. 16.10). Сколько дуг, хорд и центральных углов задают точки А и Б? 2 Найдите угловую величину: а) полуокружности; б) четверти окружности. н 1Г 3 • Сколько дуг, хорд и центральных углов задают: а) три точки окруж-но с ти; б) че ты ре точ ки ок руж но с ти? н Найдите отношение угловых величин дуг, на которые окружность рассекается сторонами центрального угла в 60°. Центральные углы АОС и DOB равны (рис. 16.11). Какие ещё центральные углы данной окружности равны? Точка О на рис. 16.12 является центром окружности и АБ = ОС. Найдите угловые величины дуг АБ, АС, АСБ. A- / О / Рис. 16.10 / .— —..А А Cf л /---^ B О \ / v._ _.А Рис. 16.12 м |~т] Хорду АБ разделили на три равные части точками С и D (риc. 16.13). Через эти точки провели перпендикуляры к хорде, разделившие дугу АБ на три части. Проверьте, равны ли эти части. Получатся ли равные дуги, если хорду разделить на равные части и через точки деления провести радиусы? К § 16.2-16.3 ^ _ F /■ / \ А C 9 О D B Рис. 16.13 н Какие координаты имеют точки единичной окружности: а) Рд0°; б) P180°; в) P-90°; г) P-180°; д) P360°; е) P-270°? 248 4 8 н ir ^ • Может ли абсцисса или ордината точки единичной окружности иметь значение 1,5? 10 • Может ли синус (косинус) угла иметь значение: а) V2; б) -а/2? н 11 Чему равны синус и косинус следующих углов: 0°, 90° -90°, 180°, -180°, 270°, -270°? 12 Постройте угол а, -180° < а < 180°, для которого: а) sina = 0; 4 в) sina = - |; 5 5 д) Sina = -б; 3 б) sina = i^; г) sina = -1; е) sina = -2. 13 Постройте угол а, -180° < а < 180° для которого: а) cosa = -1; , 4 ч 11 в) cosa = - |; 5 д) cosa = 12; 3 б) cosa = j^; г) cosa = 0; е) cosa = -2. 14 Найдите синус и косинус углов 30°, 45°, 60°, -30°, -45°, -60°. 15 Вычислите значение cos а, если дано значение sin а: а) sina = 0,6, 0° < а < 90°; в) sina = 0,8, 0° < а < 90°; б) sina = 0,96, 90° < а < 180°; г) sina = |, 90° < а < 180° 3 16 Вычислите значение sin а, если дано значение cos а: а) cosa = I;, 0° < а < 90°; 3 б) cosa = -0,5, 90° < а < 180°; в) cosa = 0,6, 0° < а < 90°; г) cosa = - I, 90° < а < 180°. 3 п 17| Докажите, что sin (90° - а) = cos а и cos (90° - а) = sin а. К § 16.4 Н Чему равен тангенс угла 0°? Чему равен котангенс угла 90°? н 1Г 20 21 • Приведите примеры углов, тангенс которых не существует. • Приведите примеры углов, котангенс которых не существует. 249 н 22I Найдите значения тангенса и котангенса углов: а) 30°; б) 45° г) -30°; д) -45°; в) 60°; е) -60°. Докажите, что tg (90° - а) = ctg а. Докажите, что тангенсы острых углов прямоугольного треугольника взаимно обратны, т.е. их произведение равно 1. 2s| Имеется прямоугольный ААВС. Найдите tg A, если: 23 24 5 3 а) cos A = q^; б) cos A = 0,6; в) sin A = —; г) sin A = 0,8. 13 5 2б| Вычислите значения тригонометрических функций углов А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС. 27I Постройте прямоугольный треугольник АВС, измерьте его стороны и вычислите значения: а) sin A; б) cos A; в) tg A. Изменятся ли найденные значения тригонометрических функций, если все стороны треугольника АВС: а) увеличить в n раз; б) уменьшить в k раз? Обоснуйте свой от вет. 281 Стороны прямоугольника равны 7 см и 12 см. Вычислите тангенсы углов, образованных диагональю прямоугольника и его сторонами. 29| Из точки А, находящейся на расстоянии 3 см от прямой MN, проведена к этой прямой наклонная АВ = 5 см. Вычислите тангенс и котангенс образовавшегося острого угла В. 3о1 Из точки А, находящейся на расстоянии 4,5 см от прямой MN, проведена к этой прямой наклонная АВ. Вычислите tg В, если известно, что проекция наклонной на прямую MN равна 3,6 см. 31 Постройте при помощи транспортира углы в 20°, 40°, 50°, 80° и найдите синус, косинус и тангенс каждого из построенных углов, полнив необходимые измерения. вы- ^3] Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Построение маршрута, удовлетворяющего заданным условиям. ВАША РОЛЬ. Исследователь неизвестных планет. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Ваш планетоход находится на ровной поверхности планеты внутри прямоугольной полосы шириной 10 км и длиной, значительно превышающей ширину, излучение которой не позволяет обнаружить вас со спутника. Как только вы окажетесь за пределами полосы, будете мгновенно обнаружены и получите сообщение об этом. Вы не знаете ни вашего положения внутри полосы, ни направления её сторон. Заряда батареи планетохода хватит, чтобы проехать 23,1 км. ЗАДАНИЕ. Как вам нужно двигаться, чтобы вас гарантированно обнаружили со спутника? 250 Глава 17 МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ Идеи всплывают всегда, когда на них стоит печать математической красоты. Жюль Анри Пуанкаре (французский математик, физик и философ, 1854—1912) Открываем новые знания § 17.1 РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ Нахождение неизвестных элементов треугольника по его известным элементам называется решением треугольника. Решим одну из таких задач. Задача В прямоугольном треугольнике АВС дано: а, Ъ (рис. 17.1) Найти: АЛ, АВ, с. Решение 1. AABC — прямоугольный. (дано) 2. а VI Ь — катеты ААВС. J (рис. 17.1) 3. Найти /Л, АВ и с. Воспользуемся формулой, которая связывает С а В ка те ты пря мо уголь но го тре у голь ни ка и тан генс острого угла прямоугольного треугольника. 4. tg AA = г- (1, 2, определение тангенса угла). Зная числовые значения а и Ь, величину угла А можно найти из таблиц. A b а Рис. 17.1 251 5. = 90° - (4, теорема о сумме углов треугольника). a 6. с = - (1, 5, свойства синуса угла). sin —A Докажем теорему косинусов: Теорема 71. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Доказательство Угол А треугольника АВС может быть острым, тупым или прямым (рис. 17.2). Рассмотрим доказательство для случая, когда угол А острый (рис. 17.2а). С С С A c а) c б) в) Рис. 17.2 1. AABC, AA — острый (дано) (рис. 17.2а). 2. a2 = b2 + с2 - 2bc cos AA (требуется доказать). Дальнейшие рассуждения проведём для рис. 17.3а. Рассуждения для рис. 17.3б проведите самостоятельно. 3. Проведём CD А АВ (построение) (рис. 17.3). 4. Из прямоугольных треугольников AСD и BCD получим: b 2 = hc2 + bc2 a2 = hc2 + aC ) (1, 3, теорема Пифагора). 5. Выразим ас2 через bC и с: ас2 = (с - bC)2 = с2 - 2сЬс + bC2 (1, 3). 6. Подставив выражения hC2 из первого равенства п. 4 и ас2 из равенства п. 5 во второе ра вен ст во п. 4, по лу чим: a2 = b2 - bC2 + с2 - 2сЬс + bC2 = b2+ с2 - 2сЬс (4, 5). C а) B C D 252 Вспомним определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. 7. В АЛОВ: cosZA — — , или bc = b cos АА (4, свойство косинуса угла пря-^ моугольного треугольника). 8(2). а2 = b2 + c2 - 2bc cosAЛ (6, 7). ■ Проведите самостоятельно доказательство теоремы косинусов для случаев, когда угол А тупой или прямой (рис. 17.2б и 17.2в). Теорема косинусов может быть записана и для двух других сторон треугольника АВС: b2 = а2 + с2 - 2ac cosAB; c2 = b2 + a2 - 2ba cosAC. Формула a2 = b2 + c2 - 2bc cosAA позволяет вычислить длину одной из сто рон тре у голь ни ка по дан ным дли нам двух дру гих сто рон и ве ли чи не угла, лежащего против неизвестной стороны. Те о ре ма ко си ну сов поз во ля ет так же по дан ным дли нам сто рон тре-уголь ни ка вы чис лить ве ли чи ны его уг лов: cos ZA : Ъ^+с^-а^ 2Ъс Аналогично можно получить формулы для cos AB и cos AC. § 17.2 ЕЩЁ ОДНА ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА Выведем ещё одну формулу для нахождения площади треугольника, такую, которая использует понятие синуса угла. Теорема 72. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Доказательство Так как в искомую формулу входит угол треугольника а, то возможны различные случаи: угол а может быть острым, тупым, прямым. Проведём доказательство для случая, когда угол а — острый (рис. 17.4а). 1. АЛВО, ^Л — острый (дано) (рис. 17.4а). 2. S = 72 bc sin а (требуется доказать). 3. Построим высоту СВ треугольника АВС (построение) (рис. 17.4б). 4. Выразим hc через сторону b и синус угла а: hc = b sin а (1, 3, свойство синуса угла прямоугольного треугольника). 253 C C A c a) B A D c б) B Рис. 17.4 чим: 5. Подставляя в формулу ^ вместо hc выражение из п.4, полу- S = bc sin а (формула нахождения площади треугольника). ■ Проверьте самостоятельно справедливость этой формулы для других видов угла А. § 17.3 ТЕОРЕМА СИНУСОВ Есть ещё одна теорема, которая позволяет находить элементы треугольника, — теорема синусов. Теорема 73. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Доказательство 1. Треугольник АВС со сторонами а, b, с и углами а, в, у (дано) (рис. 17.5). a b c 2. --- (требуется доказать). sin a sin р sin g Воспользуемся теоремой 72. S = -2 bc sina = -2 ac sinp = ^ ab siny. 3. bc sina = ac sinp и ас sinp = ab siny (1, T.72). 4. b sina = a sinp и с sinp = b siny (3). 5. Синус каждого из углов а, p, у не равен нулю, тогда a b b ! B sin a sin р a 6(2). sin р sin g b c (4). sin a sin р sin g (5). C Рис. 17.5 254 Позже, в разделе 7, будет установлен геометрический смысл каждого из - „ „ a b c равных между собой отношений ------; ----; ---- . sin a sinb sin g Теорема синусов позволяет по двум данным сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам), вычислять остальные элементы треугольника. Рассмотрим задачу, при решении которой используется теорема синусов. Задача Мы движемся в вагоне поезда из точки А в точку С. Находясь в точке А, мы видим объект В под углом а к направлению движения вагона (рис. 17.6). Угол а — это угол между направлением дви же ния по ез да и на прав ле ни ем на объ ект В, в навигации этот угол называется курсовым углом. Оказавшись через некоторое время в точке С, мы видим объект В уже под углом р. Нуж но най ти рас сто я ние от точ ки А до объ-ек та В. Рис. 17.6 Решение 1. В результате наблюдений мы получили треугольник АВС с углом А, равным а, и внешним углом в (рис. 17.6) (дано). 2. АВСА будет равен 180° - в (1, свойство смежных углов). 3. Третий угол: АВ = 180° - а - (180° - в) = 180° - а - 180° + в = в -а (1, 2, теорема о сумме углов треугольника). Угол Y = AABC = в - а называют параллаксом. Отрезок АС называют базисом. Измерим его. 4. Расстояние от точки А до точки В можно найти по теореме синусов: AB AC sin g sin(180°-b) откуда AB = AC sin(180° -b) sin(b-a) 255 Развиваем умения К § 17.1 Н tr |~1 • Будет ли верна теорема косинусов в случае, если угол, заключённый между двумя данными сторонами, прямой? 2 По формуле а2 = Ъ2 + с2 - 2bc cos а исследуйте, как будет изменяться сторона а при возрастании угла а от 0° до 180° при постоянных значениях Ъ и с. н В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С дано: а, с. Найдите: АА^, AB, Ъ. 4 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С дано: а, АА. Найдите: АВ, Ъ, с. 5 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С дано: а, АВ. Найдите: ^А^, Ъ, с. 6 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С дано: с, ^А. Найдите: АВ, а, Ъ. |~т] Вычислите неизвестную сторону треугольника АВС по следующим данным: а) а =7, Ъ = 10, АС = 56°29'; б) а = 2, с = 3, АВ = 123°17'; в) Ъ = 0,4, с = 1,2, ^ = 23°28'. Вычислите длины диагоналей параллелограмма, если длины его сторон равны 12 дм и 15 дм, а один из углов равен 52°. Вычислите наибольший из углов треугольника АВС, если даны три его стороны: а) а = 3, Ъ = 4, с = 6; б) а = 40, Ъ = 13, с = 37. п ^ Две силы Р и Q, такие, что |Р| = 100 Н и |Q| = 200 Н приложены к материальной точке под углом а = 50° друг к другу. Определите величину равнодействующей силы R и углы, которые она составляет с силами Р и Q. м 11 В параллелограмме АВСВ АВАВ = 60 , АВ = а, ВС = Ъ. Докажите, что АС2 . ВВ2 = а4 + Ъ4. 256 3 12 Три равных квадрата расположены так, как показано на рис. 17.7. Вычислите сумму величин углов CBD и CAD. К § 17.2 Рис. 17.7 н 1Г 13 Пользуясь формулой S = -2 ab sing, исследуйте, как будет изменяться площадь треугольника АВС при возрастании у от 0° до 180° (а и b постоянны). При каком значении у площадь треугольника АВС будет наибольшей? н ^ Вычислите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 10 м, а угол при вершине равен 75°20'. 15 Вычислите площадь треугольника АВС, если: а) а = 125 м, b = 160 м, у = 52°; б) b = 20 cм, c = 35 cм, а = 79°06'. 16 Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними. п 17 Вычислите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 4 см, а угол между диагоналями равен 30°. Вычислите площадь ромба: а) по его стороне а = 7,5 см и острому углу а = 22°10'; б) по его диагонали m = 4,5 см и углу а = 150°, лежащему против этой диагонали. 18 м 19 Даны два треугольника, а — угол одного из треугольников, в — угол другого треугольника, а + в = 180°. Докажите, что площади этих треугольников относятся как произведения сторон, прилежащих к этим углам. ° Выразите пло- 20 Один из углов прямоугольного треугольника равен 15 щадь этого треугольника через его гипотенузу с. К § 17.3 н 21 Вычислите длины всех сторон и величины всех углов треугольника по сле ду ю щим дан ным: 257 а) а = 109, б) с = 16, в) а = 20, г) а = 37, ZE = 33°24', = 143°03', b = 13, b = 59, ZC = 66°59'; ZB = 22°37'; ^ = 67°23'; ZC = 23°20'. 22 23 В треугольнике KFM KM = 6 см, FK = 5 см, ZM = 24 . Найдите угол F, если известно, что этот угол острый. Вычислите длины сторон АВ и ВС треугольника АВС, если: а) АС = 5 см, ^ = 45°, ZB = 30°; б) АС = 1 см, ^ = 100°, ZC = 50°. п 24 25 Докажите теорему синусов для прямоугольного треугольника. Чему будет равно каждое из полученных отношений в случае прямоугольного тре у голь ни ка? Один из углов равнобедренного треугольника равен 120°. Найдите от-но ше ние сто рон это го тре у голь ни ка. м 2б| Докажите, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, длины которых обратно пропорциональны синусам прилежащих к ней углов. 27| Одна из диагоналей параллелограмма равна т. Углы параллелограмма делятся этой диагональю на части, величины которых аир. Вычислите дли ны сто рон па рал ле ло грам ма. шшш Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Определение расстояния на местности до недоступной точки. ВАША РОЛЬ. Геодезист. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Требуется определить расстояние на земной поверхности от точки А до точки В на другом берегу реки. ЗАДАНИЕ. Чтобы найти расстояние от точки А до точки В на другом берегу реки, выбрали точку С на расстоянии 50 м от точки А (рис. 17.8). Измерили углы А и С: ZA. = 65°, ZC = 80°. Найдите расстояние АВ. В РАЗДЕЛ 7 ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ—! BSBLWCJtiH Со времён греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство». Николя Бурбаки (псевдоним, под которым группа французских математиков, начиная с 1939 года, на протяжении нескольких десятилетий предпринимала попытки изложить различные математические теории с позиций формального аксиоматического метода) Глава 18 свойства и признаки вписанных И ОПИСАННЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ В задачах по элементарной геометрии приходится пользоваться очень остроумными, подчас тонкими приёмами, и тот, кто в своей молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет. Эмиль Борель (французский математик, 1871-1956) Открываем новые знания § 18.1 ВПИСАННЫЕ УГЛЫ Введём ещё один вид углов, связанных с окружностью, — вписанные углы. Определение 77. Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают её, называется вписанным углом. На рис. 18.1 угол АВС — вписанный. Его вершина В принадлежит окружности, стороны ВА и ВС пересекают окружность. В этом случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу АС окружности. B Рис. 18.1 Теорема 74. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. 260 B B B a) 6) Рис. 18.2 в) Доказательство Рассмотрим возможные случаи расположения центра окружности относительно вписанного в неё угла. Случай 1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 18.2а). Случай 2. Центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 18.2б). Случай 3. Центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 18.2в). Докажем теорему для первого случая. 1. ААВС — вписанный угол. (дано) 2. Центр окружности О лежит на стороне АВ j (рис. 18.2а) вписанного угла. 3. ААВС = 2 АС (требуется доказать). B Мы умеем измерять центральные углы окружности (на рис. 18.2а они не изображены), построим такие углы. 4. Проведём отрезок ОС и получим центральный угол AAOC (построение) (рис. 18.3). 5. AAOC является внешним углом треугольника ВОС, а значит, ААОС = = AOBC + AOCB (1, 2, свойство внешнего угла треугольника — Т.38). 6. АОВС — равнобедренный, AOBC = AOCB (1, 4, определение окружности, свойство углов при основании равнобедренного тре у голь ни ка). 7. Z AOC = 2 AOBC = 2 AABC, AABC = AAOC (5, 6). 8. AAOC = ^АС (4, определение 71). 9(3). ААВС = 72 ^АС (7, 8). ■ Докажем теорему для второго случая (рис. 18.2б). Воспользуемся результатами доказательства для первого случая. 261 B B N Рис. 18.5 10. Проведём луч BD, проходящий через центр окружности, и представим данный угол АВС в виде объединения двух углов — ABD и DBC (построение) (рис. 18.4). 11. AABC = AABD + ADBC (10, свойство измерения углов). 12. Сторона BD углов ABD и DBC проходит через центр окружности (10). 13. AABD = 72 ^AD, ADBC = ^DC (10, 11, 12, Т.74, случай 1). 14. ААВС = 72 ^AD + -2 ^DC = = 72 (^AD + -DC) = ^ ^AC (11, 13). ■ Доказательство теоремы для третьего случая проведите самостоятельно. Из теоремы 74 можно получить важные следствия. I I I Следствие 1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, пря-i " I мой. На рис. 18.5 угол В вписан в окружность и опирается на диаметр AC окружности. ZB = 90°. I I I Следствие 2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, рав-1 " I ны между собой. Все углы, отмеченные дужкой на рис. 18.6, вписаны в окружность и опираются на дугу AC, а значит, равны между собой. Докажите эти следствия самостоятельно. 262 § 18.2 ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Определение 78. Если вершины треугольника лежат на окружности, то этот треугольник называется вписанным в окружность, а окружность — описанной около этого треугольника. На рис. 18.7 треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Теорема 75. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центром такой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. B Доказательство 1. ААВС (дан) (рис. 18.8а). 2. Нам надо найти (построить) центр окружности, описанной около треугольника АВС. Центр окружности, описанной около треугольника, — точка, которая одинаково удалена от вершин треугольника. Нужно найти точку О, такую, что ОА = ОВ = ОС = R. Вспомним свойство серединного перпендикуляра к отрезку: его точки равноудалены от концов отрезка (Т.15). Это свойство серединного перпендикуляра подсказывает нам ход доказательства теоремы. 3. Построим серединный перпендикуляр l1 к стороне АВ треугольника АВС (построение) (рис. 18.8б). 4. Центр искомой окружности должен лежать на этом перпендикуляре (3, Т.15). Точки этого серединного перпендикуляра одинаково удалены только от двух вер шин тре у голь ни ка АВС: А и В. 5. По ст ро им се ре дин ный пер пен ди ку ляр l2 к сто ро не АС тре у голь ни ка АВС (по ст ро е ние) (рис. 18.8в). C 263 6. Точки прямой I2 одинаково удалены от точек А и С (1, 5, Т.15). 7. Серединные перпендикуляры l1 и I2 пересекаются в точке О (рис. 18.8в) (3, 5). Замечание. Утверждение п. 7. нуждается в отдельном доказательстве. Проведите это доказательство самостоятельно. 8(2). Точка О равноудалена от всех вершин треугольника и, значит, является центром описанной окружности (рис. 18.8г) (3, 5, 6, определение описанной окружности). ■ Таким образом, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Рассмотрим свойства треугольников, описанных около окружности. Определение 79. Треугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот треугольник. На рис. 18.9 АЛВС описан около окружности с центром в точке О. B Теорема 76. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центром такой окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника. .. С Доказательство 1. Треугольник ЛВС (дан) (рис. 18.10). 2. Най ти центр ок руж но с ти, впи сан ной в тре у голь ник ЛВС (тре бу ет ся по ст ро ить). Центр О окружности, вписанной в данный треугольник ЛВС, должен быть равноудалён от всех его сторон. Следует вспомнить, что биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудалённых от его сторон. 3. Проведём биссектрису l1 угла Л (построение) (рис. 18.11a). B B B Рис. 18.10 а) C Рис. 18.11 264 4. Проведём биссектрису I2 угла C (построение) (рис. 18.11а). 5. Биссектрисы l1 и I2 пересекутся в точке О (1, 3, 4). Замечание. Тот факт, что биссектрисы l1 и I2 пересекутся, следует доказать отдельно (проведите это доказательство самостоятельно). 6. Точки биссектрисы l1 одинаково удалены от сторон АВ и АС, а точки биссектрисы I2 одинаково удалены от сторон СА и СВ (3, 4, свойство биссектрисы угла) (рис. 18.11б). 7. Точка О одинаково удалена от сторон АВ, АС и ВС (рис. 18.11б) (5, 6). Замечание. Можно отдельно доказать, что луч ВО является биссектрисой угла В. 8(2). Точка О — центр искомой вписанной окружности (7, определение вписанной окружности) (рис. 18.11б). ■ § 18.3 ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ Определения вписанных и описанных четырёхугольников можно дать аналогично определениям вписанных и описанных треугольников. Ответим на такой вопрос: Всякий ли четырёхугольник можно вписать в окружность? При каких условиях можно четырёхугольник вписать в окружность? Из опыта мы знаем, что есть четырёхугольники, которые можно вписать в окружность. Например, квадрат всегда можно вписать в окружность (рис. 18.12). А вот ромб, не являющийся квадратом, вписать в окружность нельзя (рис. 18.13). Эти выводы опираются лишь на наши на-блю де ния. Сформулируем и докажем свойства вписанных в окружность четырёхугольников. 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность (дано) (рис. 18.14). B C B Рис. 18.13 Рис. 18.14 265 Вспомним понятие вписанного угла и правила нахождения его величины. 2. = 22 ^BCD, ZC = -2 ^DAB (1, T.74). 3. Найдём сумму углов А и С: АА + АС = -2 ^BCD + 72 '^DAB = ^ (^BCD + ^DAB) (1, 2, свойства измерения дуг ок руж но с ти). 4. Объединение дуг BCD и DAB есть окружность, т.е. ^А + AC = 72 . 360° = 180° (1, определение дуг окружности). 5. Сумма величин углов А и С равна угловой величине полуокружности (4, свойства измерения вписанных углов). Таким образом, мы доказали следующее свойство: I Теорема 77. Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Оказывается, что верно и обратное утверждение. Сформулируем и докажем признак того, что четырёхугольник можно вписать в окружность. Доказательство 1. Нам дан четырёхугольник ABCD, у которого сумма углов Б и D равна 180°: АБ + AD = 180° (дано) (рис. 18.15а). 2. Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность (требуется доказать). Есть такая окружность или нет, мы пока не знаем, но всегда можно провести окружность через любые три точки, являющиеся вершинами треугольника (Т.75). 3. Проведём через вершины А, В и С четырёхугольника ABCD окружность (построение) (рис. 18.15б) (1, Т.75). Для доказательства теоремы нужно доказать, что четвёртая вершина четырёхугольника (точка D) лежит на этой окружности, т.е. не может лежать внутри этой окружности или вне её. 4. Предположим, что точка D лежит внутри окружности (предположение) (рис. 18.15б). 5. Продолжим сторону AD до пересечения с окружностью в точке К и соединим точку К с точкой С (построение) (рис. 18.15в). 6. Получим четырёхугольник АВСК, вписанный в окружность (5, опре-де ле ние впи сан но го че ты рё ху голь ни ка). 7. АВ + AADC = 180° (1), ZB + ZK = 180° (6, Т.77). 8. ^DC = АК (7). 9. AADC — внешний угол ACDK (4, 6, определение внешнего угла). Выполнение п. 8 и п. 9 вместе невозможно, так как внешний угол треугольника KDC не может быть равен его внутреннему не смежному с ним углу. Значит, предположение п. 4 неверно: точка D не может лежать вну-т ри по ст ро ен ной ок руж но с ти. Аналогично доказывается, что вершина D не может лежать вне этой окружности (рис. 18.15г). 10(2). Итак, вершина D не может лежать ни внутри окружности, ни вне её. Следовательно, точка D должна лежать только на этой окружности и D совпадает с К. ■ Рассмотрим четырёхугольник, описанный около окружности. Во всякий ли четырёхугольник можно вписать окружность? Верно, например, что во всякий квадрат можно вписать окружность (рис. 18.16), а в «длинную» равнобедренную трапецию (рис. 18.17) вписать окружность не удастся. Докажем свойство сторон описанного четырёхугольника: Теорема 79. Суммы противолежащих сторон описанного около окружности четырёхугольника равны. Доказательство 1. ABCD — четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О (дан) (рис. 18.18). 2. АВ + CD = AD + ВС (требуется доказать). 3. Стороны четырёхугольника ABCD касаются окружности соответственно в точках М, Р, Q, N (1, определение описанного четырёхугольника) (рис. 18.18). 267 B C Рис. 18.16 B C A D Рис. 18.17 B C 4. АМ = AN, BM = BP, CQ = CP, DQ = DN (3, свойство касательных к окружности). 5(2). Сложив эти равенства почленно, получим: АВ + CD = AD + ВС. ■ Поскольку сумма АВ + CD + AD + ВС представляет собой периметр четырёхугольника ABCD, то доказанную теорему можно сформулировать и так: «Сумма каждой пары противолежащих сторон описанного четырёхугольника равна его полупериметру». Оказывается, верно и утверждение, обратное теореме 79. Теорема 80. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность. Докажите этот признак самостоятельно. 268 Развиваем умения К § 18.1 Н II |~1 • На рис. 18.19 изображено несколько примеров взаимного расположения окружности и углов. Назовите на рисунке: а) вписанные углы; б) вершины и стороны вписанных углов. > На рис. 18.20 назовите: а) дугу, на которую опирается угол АВС, угол ВСА, угол CAD; б) угол, который опирается на дугу ВС, на дугу BCD. н 1Г 3 • Углы АМС и АТС вписаны в одну и ту же окружность. На какие дуги опираются эти углы? н 4 5 6 Окружность разделена тремя точками на дуги, длины которых относятся как числа 2, 3 и 4, и точки деления соединены отрезками. Найдите уг лы по лу чен но го тре у гольни ка. Данная хорда видна из некоторой точки окружности под углом 41°15'. Найдите угловые величины дуг, на которые данная хорда делит ок-руж ность. Точки А, В, С и D, взятые последовательно, принадлежат окружности, ^AD = 68°, ^BC = 140°, ^DC = 50°. Найдите: a) чАВ; б) ABDC и ABAC; в) AABD; г) ААВС; д) ABCA. |~т] Окружность разделена точками А, В, С, D и Е на пять равных дуг: ^AB = ^BC = ^CD = ^dE = ^ea. Найдите величины вписанных в эту окружность углов ВАС, BAD, ВАЕ, САЕ и DAE. Центральный угол на 35° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите величину каждого из этих углов. 8 A R 269 п 9 Хорда делит окружность на две дуги, отношение величин которых равно 4 : 5. Под каким углом видна эта хорда из точек окружности? Рассмотрите точки, принадлежащие обеим дугам. м 10 а) Докажите теорему: «Величина угла, образованного двумя секущими окружности, пересекающимися в точке, лежащей внутри окружности, равна полусумме величин дуг, высекаемых этим углом и углом, ему вер ти каль ным». б) Докажите теорему: «Величина угла с вершиной вне окружности и сторонами, пересекающими окружность, равна полуразности величин высекаемых этим углом дуг». а) Дана окружность с проведённым диаметром и точка, лежащая внутри окружности, но не на диаметре. С помощью одной только линейки1 проведите через данную точку прямую, перпендикулярную диаметру. б) Решите предыдущую задачу, если точка лежит вне окружности. 11 шт м 12 Две касательные к окружности образуют угол 72°. Какую величину имеет каждая из высекаемых ими дуг? Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Построение прямого угла на земной поверхности. ВАША РОЛЬ. Турист. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Во время похода по безлюдной местности туристам нужно разметить на ровном участке земной поверхности прямоугольную площадку, для чего нужно построить прямой угол. В вашем распоряжении имеются длинная верёвка и несколько колышков для палатки. ЗАДАНИЕ. Постройте на земной поверхности прямой угол, пользуясь только перечисленными предметами. 1 Напоминаем, что линейка, используемая в задачах на построение, не имеет делений. Это инструмент, позволяющий провести прямую через любые две точки. 270 К § 18.2 Н 13 • В окр. (О, г) вписан треугольник ABC. Что можно сказать о верши- нах, сторонах и углах треугольника ABC? 14 • Около окр. (О, г) описан треугольник ABC. Назовите свойства его вершин, сторон и углов. н 1Г 15 Пусть нам дан треугольник, вписанный в окружность. Что можно сказать о центре окружности, описанной около этого треугольника? н 16 Постройте треугольник со сторонами 5 см, 6 см и 7 см и опишите около него окружность. Измерьте радиус этой окружности. I7I Вычислите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если его катеты равны 20 см и 20 см. п 18 В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 см и 16 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности. I9I Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, высота которого: a) й = 1 см; б) h = 2,5 см. 20 Дан остроугольный треугольник ABC; О — центр описанной около него окружности; AD ± ВС. Докажите, что ABAD = AOAC. 21 Впишите в данную окружность треугольник, подобный данному. м 22 Докажите, что площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. 23 Докажите, что радиус R окружности, описанной около треугольника, может быть вычислен по формулам: . аЬ ^ аЬс . „ а 2К 4S 2 sin А 24 Докажите, что сумма диаметров вписанной в прямоугольный треугольник и описанной около него окружностей равна сумме его катетов. 271 К § 18.3 Н U 2Sl • В окр. (О, г) вписан четырёхугольник ABCD. Что можно сказать о вершинах, сторонах и углах этого четырёхугольника? 2б| • Около окр. (О, г) описан четырёхугольник ABCD. Назовите свойства его вершин, сторон и углов. н 27 tr Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, углы которого соответственно равны: а) 90°, 90°, 60°, 120°; б) 70°, 130°, 110°, 50°; в) 45°, 75°, 135°, 105°? 28 В каком случае около окружности можно описать четырёхугольник? п 29 30 31 32 На рис. 18.21 АВ = CD. Докажите, что четырёхугольник ADBC — равнобедренная трапеция. Квадрат ABCD на рис. 18.22 вписан в окружность, Р — любая точка дуги АВ, отличная от А и В. Докажите, что лучи PC и PD делят AAPB на три равные ча с ти. Докажите истинность следующих утверждений. а) Любая трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. б) Любой параллелограмм, вписанный в окружность, яв ля ет ся пря мо уголь ни ком. в) Лю бой ромб, впи сан ный в ок руж ность, яв ля-ется квадратом. Постройте квадрат, описанный около данной ок-руж но с ти. Рис. 18.21 D C Рис. 18.22 33 Постройте квадрат по радиусу описанной около него окружности. м 34 35 Углы описанного около окружности четырёхугольника, взятые по порядку, относятся как числа 1, 2, 3 и 2. Вычислите углы, под которыми видна каждая его сторона из центра вписанной в него окружности. Радиус вписанной в трапецию окружности равен г. Точка касания делит боковую сторону трапеции на отрезки длиной а и b. Докажите, что г2 = ab. 272 36 37 38 39 40 41 В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN. Докажите, что треугольник AMN подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия |cos A|. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN. Найдите радиусы описанных окружностей для треугольников BMN и CMN, если BC = 10 cм. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK, ВМ и CN. Докажите, что они являются биссектрисами треугольника KMN. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке К. Докажите, что КА • КВ = КС • KD. Из точки К, лежащей вне окружности, проведены два луча, один из которых пересекает окружность в точках А и В, а второй — в точках C и D (рис. 18.23). Докажите, что КА• КВ = КС• KD. Замечание. Прямые АВ и CD на рис. 18.23 называются секущими для окружности. Доказываемое утверждение часто формулируется так: произведения отрезков каждой из секущих, проведённых к окружности из одной точки, равны (все отрезки отмеряются от одной и той же точки). Из точки К, лежащей вне окружности, проведены два луча, один из которых пересекает окружность в точках А и В, а второй касается окружности в точке Е (рис. 18.24). Докажите, что КЕ2 = КА • КВ. Другая формулировка: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезков секущей (все отрезки отмеряются от одной и той же точки). Жизненная задача ситуация. Определение расстояния до линии горизонта. ВАША роль. Любознательный путешественник. ОПИСАНИЕ ситуации. Человек ростом 1 м 85 см стоит на плоской степной равнине. задание. а) Определите расстояние до видимой человеку линии горизонта. б) Тот же вопрос, но при условии, что человек поднимется на геодезическую вышку высотой 10 м. 273 Глава 19 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ Вкусив от сладкого плода математики хоть раз, ... мы не хотим от неё оторваться... Аристотель (древнегреческий философ и учёный, 384-322 до н.э.) Открываем новые знания ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ДЛЯ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ § 19.1 Рассмотрим возможности вписать правильный многоугольник в окружность и описать окружность около него. Пусть нам дана окружность. Разделим её на n (n > 2) равных дуг. Это можно сделать, построив последовательно центральные углы, величина каждого из ко-360° торых равна ---- . n На рис. 19.1 мы разделили окружность на 8 равных дуг. Соединим последовательно точки деления хордами. При повороте вокруг центра окружности на угол 360° й a =_____ построенный многоугольник переходит n в себя. Значит, все стороны полученного многоугольника и все его углы равны. Мы получили правильный мно го уголь ник, впи сан ный в ок руж ность. Поступим иначе. Разделим окружность на n равных дуг (n > 2). На рис. 19.2 мы разделили окружность на Рис. 19.1 274 6 равных дуг. Через точки деления проведём касательные к этой окружности (рис. 19.2). Образованный при этом многоугольник (его вершинами служат точки пересечения касательных, проведённых через соседние точки деления) будет правильным многоугольником, описанным около окружности. Докажем две теоремы. Теорема 81. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность. Доказательство 1. ABCD...L — правильный многоугольник (дан) (рис. 19.3а). Рис. 19.3 2. Око ло пра виль но го мно го уголь ни ка мож но опи сать ок руж ность (требу ет ся до ка зать). Для доказательства теоремы нам понадобятся биссектрисы углов пра-виль но го мно го уголь ни ка. 3. Построим биссектрисы двух соседних углов А и В данного многоуголь ни ка (по ст ро е ние) (рис. 19.3б). 4. Биссектрисы углов А и В пересекутся, так как Z1 + Z2 < 180° (1, 3). 5. Точку О пересечения этих биссектрис соединим отрезками с остальными вершинами данного многоугольника (построение) (рис. 19.3в). 6. Так как углы А и В равны, то равны и их половины: Z1 = Z2 (1, 5). 7. Треугольник АОВ — равнобедренный, ОА = ОВ (6, определение равно бе д рен но го тре у голь ни ка). Нам нужно доказать, что точка О находится на одинаковом расстоянии от всех вер шин мно го уголь ни ка. Рассмотрим АОСВ и АОАВ. 8. Отрезок ОВ — их общая сторона, АВ = ВС, Z2 = A3 (1, 5). 9. АОСВ = АОАВ (5, 8, признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). 10. ОА = ОС (9). 11. ОА = ОВ = ОС (7, 10). 275 12. Рассматривая равные треугольники АОВ и СОВ, СОВ и COD и т.д., приходим к выводу: ОА = ОВ = ОС = ... = OL (11). 13(2). Все вершины данного многоугольника лежат на окружности с центром О (12). ■ Докажем, что во всякий правильный многоугольник можно вписать ок-руж ность. I Теорема 82. Во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность. Доказательство 1. ABCD...M — правильный многоугольник (дан) (рис. 19.4а). 2. В правильный многоугольник можно вписать окружность (требуется доказать). В Т.81 мы доказали, что около правильного многоугольника можно описать ок руж ность. 3. Построим окружность с центром О, описанную около многоугольника ABCD...M (построение) (рис. 19.4б). 4. Проведём через центр О окружности, описанной около правильного многоугольника ABCD...M, перпендикуляры к его сторонам. Обозначим их основания через А1, В1, С1, ..., М1 (построение) (рис. 19.4в). 360° 5. При повороте вокруг центра О на угол a = n мно го уголь ник ABCD...M и окр. (О, г) перейдут в себя (объясните почему). Поэтому точка А1 перейдёт в точку В1, точка В1 — в точку С1 и т.д. Точка М1 перейдёт в точку А1 (1, 3, 4, определение поворота). 6. ОА1 = ОВ1 = ОС1 = ... = ОМ1 (5, свойства поворота). 7. Точки А1, В1, С1, ..., М1 лежат на одной окружности с центром О (6, оп ре де ле ние ок руж но с ти). C В< \ A D Л а) б) в) Рис. 19.4 276 г) 8 (2). По построению ОА^ А АВ, ОВ^ А ВС, ... . Значит, любая сторона данного многоугольника касается данной окружности (рис. 19.4г). ■ Общий центр окружностей, описанной около правильного многоугольника и вписанной в правильный многоугольник, называется центром правильного многоугольника. Отрезок ОА1 (рис. 19.4г) перпендикуляра, проведённого из центра правильного многоугольника к его стороне, называется апофемой правильного многоугольника (апофема является радиусом вписанной окружности). § 19.2* ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Можно ли построить правильные семиугольники, двадцатиугольники, двухсотугольники и т.д.? Какие правильные многоугольники можно построить, а какие — нет? Мы уже говорили, что для построения правильного я-угольника нужно разделить окружность на я равных частей. Но в геометрии построения вы пол ня ют ся с по мо щью цир ку ля и ли ней ки, и ес ли по ст ро ить что-либо с помощью этих инструментов нельзя, то считается, что построение невоз-мож но. Учёных древности очень интересовала проблема построения правильных многоугольников, предпринималось много попыток её решения. Но основной результат был получен только в 1801 году великим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855). Используя алгебраические методы, Гаусс доказал, что правильный много уголь ник мож но по ст ро ить с по мо щью цир куля и линейки, если я (число сторон) выражается следующей формулой: я = 2m . р1 . р2 . рз . ••• . р;, где m — неотрицательное целое число, р1, р2, рз, •••, р; — простые числа вида 22 + 1 (k — неотрицательное целое число). Например, число 5 имеет такой вид, а число 7 не имеет. Проверьте даль ше воз мож ность пост ро е ния пра виль ных я-уголь ни ков для раз лич ных я. К.Ф. Гаусс занимался решением этой проблемы для я = 17. Учёный так ценил этот свой результат, что завещал на своём надгробии изобразить правильный 17-угольник. Карл Фридрих Гаусс 277 § 19.3 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СТОРОНЫ, ПЕРИМЕТРА И ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА Найдём формулу для вычисления сторон правильного многоугольника через радиус описанной около него окружности. 1. Пусть АВ — сторона правильного я-угольника, вписанного в окружность радиуса R (рис. 19.5а). 2. Нам нужно найти формулу для вычисления АВ через радиус описанной около правильного многоугольника окружности. Чтобы получить нужную нам формулу, полезно рассмотреть АЛОЕ и провести в нём высоту (рис. 19.5б). 3. Построим АЛОЕ и проведём в нём высоту OD (построение) (рис. 19.5б). 360 4. ZAOB- (1, определение вписанного правильного многоугольника). 5. ААОВ — равнобедренный (1, определение равнобедренного треугольника). 6. В прямоугольном треугольнике AOD имеем: 360° 180° (1, 3, 4, свой ст ва рав но бе д рен но го тре- п угольника). ZAOD = -ZAOB = -~ 2 2 п 7. AD = AOsinAO.D = .Rsin 8. АВ = 2 AD (1, 2, 4). 180" (5, оп ре де ле ние си ну са ос т рого уг ла пря мо уголь но го тре у голь ни ка). 9. AB = 2R ■ sin 180" n (7, 8). Сторону правильного я-угольника принято обозначать через ая. Поэтому выведенную формулу можно записать так: 180"- П Од=2Д • sin Мы доказали теорему. а) Рис. 19.5 278 б) Теорема 83. Сторона an правильного n-угольника выражается через радиус описанной около него окружности следующей формулой: I , где R — радиус описанной окружности. Из теоремы 83 можно вывести следствия: Следствие 1. ag = R. 180° 1 Если n = 6, то Ofi=2.R-siii-= 2.Rsin30° = 2.R-—=.R . ^6 2 Следствие 2. a4 = R V2. 180° л/2 г~ Если n = 4, то a4=2.R sin---= 2.Rsin45°= 2.R-=.Rv2. ^ 4 2 Следствие 3. a3 = R V3. 180° /4 I— Если n = 3, то ao=2.Rsiii---= 2.Rsin60°=2.R--=.Rv3. ‘‘3 2 Следствие 4. Периметр Pn правильного n-угольника, вписанного в ок- 180° ружность радиуса R, выражается формулой P^ = n-2Rsin--. Докажите это следствие самостоятельно. Следствие 5. Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных около них окружностей. 1. Пусть P1 и P2 — периметры правильных n-угольников, вписанных в окружности радиусов R1 и R2 соответственно. 180^ 180^ 2. = ra-2.Bjsin-, Р, = n-2.R^sin-. п п 3. ■ Р2 Щ, Используя всё вышесказанное, можно найти площадь правильного n-угольника через радиус вписанной в него окружности. Теорема 84. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности: где Р — периметр многоугольника, r — радиус вписанной в него окружности. Доказательство 1. Правильный многоугольник, в него вписана окружность с центром О и радиусом r (дано) (рис. 19.6а). 279 S = -Pr, 2. S = ^Pr, где Р — периметр многоугольника, r — радиус вписанной в него окружности (требуется доказать). Используем метод доказательства теоремы 83 и разобьём я-угольник на треугольники. 3. Разобьём правильный я-угольник на я треугольников, соединяя отрезками вершины я-уголь-ника c центром вписанной окружности (рис. 19.6б). Эти треугольники равны. (Обоснуйте этот вывод отдельно.) 4. Площадь каждого из треугольников равна 1 2^яг, где ая — сторона правильного я-угольника, r — радиус вписанной окружности (1, формула площади треугольника). а) б) Рис. 19.6 5. Площадь S многоугольника равна ^аягя (4, свойства площади). 6. аяя = Р (1, определение периметра многоугольника). 7(2). S = -Pr (5, 6). ■ Можно находить площадь правильного многоугольника по формуле „ 1 о . 360° S = —ra.R^sin-- , 2 п где R — радиус описанной около правильного многоугольника окружности. Проверьте справедливость этой формулы самостоятельно. § 19.4 ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ Свойства вписанных и описанных правильных многоугольников подводят нас к важному для курса геометрии понятию длины окружности. Пред ста вим се бе пра виль ный я-уголь ник, впи сан ный в ок руж ность. Мы умеем находить периметр такого многоугольника. Будем увеличивать число его сторон, например, используя их удвоение, и каждый раз будем измерять периметры получившихся многоугольников. Ясно, что последовательность получившихся периметров будет приближаться к некоторому чис лу, ко то рое и называется дли ной ок руж но с ти. Точное определение длины окружности можно дать, используя теорию пределов, которую вы будете изучать лишь в старших классах. Поэтому 280 всё сказанное в этом параграфе о длине окружности имеет ознакомительный характер. Вы знаете, что любые две окружности подобны друг другу с коэффициентом подобия, равным отношению их диаметров. В том же отношении находятся и длины окружностей. Обозначим длину окружности через С. Для длин С1 и С2 двух окружностей с диаметрами d1 и ^2 имеем: С1 : C2 — d1 : d2 или Q _ ^2 Значит, длины окружностей пропорциональны их диаметрам. Следовательно, мы можем записать это в таком виде: C = P. Греческой буквой p принято обозначать отношение длины окружности к диаметру. Это иррациональное число; оно приблизительно равно 3,1415926535^ Итак, С — pd. Через радиус длина окружности выражается формулой: С — 2pr. Длина дуги в п° вычисляется по формуле: , 2рг рт 1 =---п = так как длина дуги в 1° равна 360 1 360 180 длины окружности. В заключение этого раздела покажем на довольно простом примере, почему число p находится между числами 3 и 4. 1. Пусть радиус окружности r = ^ . Тогда С = P. 2. Периметр шестиугольника на рис. 19.7 равен •6 = 3. Он меньше длины окружности. 3. Периметр квадрата на том же рисунке равен • 2 ■ 4 = 4. Он больше длины окружности. 4. Значит, 3 < P < 4. 281 § 19.5 ПЛОЩАДЬ КРУГА Рассмотрим проблему нахождения площади круга. Как и в случае с длиной окружности, воспользуемся свойствами вписанных и описанных правильных много уголь ни ков. Для нахождения площади круга рассмотрим пра виль ные мно го уголь ни ки, впи сан ные в со от вет-ствующую окружность (рис. 19.8). При увеличении числа сторон такие многоугольники занимают всё большую и большую часть круга, и при достаточно большом количестве сторон нам будет казаться на чертеже, что они сливаются с кругом. Поэтому площадью круга считают число, к которому стремятся площади вписанных правильных многоуголь ни ков при неограниченном уве ли че нии чис ла их сто рон. Как и в случае с длиной окружности, для точного вывода формулы площади круга необходимы знания теории пределов. Поэтому всё сказанное ниже также имеет предварительный характер. Известно, что отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. Любые два круга подобны. Коэффициент подобия двух кругов равен отношению их диаметров или радиусов. Следовательно, площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. Обозначим площадь круга через S. Отношение площадей S1 и S2 двух кругов, писывается так: радиусы которых г1 и Г2, за- S1 : S2 = r12 : r2 2 или S1 _ S Итак: j I j Площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов. Коэффициент пропорциональности, как и в случае с длиной окружности, равен числу р. Таким образом: -^ = л или S = р r 2. Через диаметр площадь круга выражается формулой: pd 282 2 В древности, когда о числе p ещё не было известно, существовали другие способы вычисления площади круга. Приведём один из вариантов рассуждений то го вре ме ни. На рис. 19.9 изображены круг и два квадрата ABCD и EFKM. Радиус круга равен г, поэтому длина стороны квадрата ABCD равна 2г, а его площадь равна 4г2. Площадь треугольника EOF вдвое меньше площади квадрата AEOF, поэтому площадь квадрата EFKM вдвое меньше площади квадрата ABCD, то есть равна 2г2. Площадь круга S больше площади квадрата EFKM, но меньше площади квадрата ABCD: 2г2 < S < 4г2. Рис. 19.9 Развиваем умения К § 19.1 Н |~1 Вычислите для правильного п-угольника (п = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12): а) величину каждого внутреннего угла; б) величину каждого внешнего угла. Найдите число сторон правильного многоугольника, если: 1) его внутренний угол равен: а) 135°; б) 150°; в) 140°; 2) его внешний угол равен: а) 36°; б) 24°; в) 60°. Докажите, что центральный угол правильного многоугольника, опирающийся на его сторону, равен его внешнему углу. п 4 Постройте правильный п-угольник по данной стороне (п = 6, 8). Впишите в данную окружность правильный п-угольник (п = 3, 4, 6, 8, 12). Опишите около данной окружности правильный п-угольник (п = 3, 4, 6, 8). 6 м 0 7 \ При какой изометрии переходит в себя: а) правильный пятиугольник; б) правильный шестиугольник? 8 Сколько осей симметрии имеет правильный п-угольник? Как они расположены? 283 9 Сколько существует поворотов, переводящих в себя правильный я-угольник? 10 Каждый ли правильный многоугольник имеет центр симметрии? К § 19.3 Н 11 Выразите радиус окружности, описанной около правильного я-угольни-ка, через сторону ая этого многоугольника, если: а) я = 3; б) я= 4; в) я = 6. I2I В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Вычислите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 1з| Вычислите площадь правильного я-угольника, вписанного в окружность радиуса R = 8 см, если: а) я = 3; б) я = 4; в) я = 6. ^ Вычислите площадь правильного я-угольника, описанного около окружности радиуса г = 4 см, если: а) я = 3; б) я = 4; в) я = 6. I5I Стороны двух правильных одноимённых многоугольников равны а и b. а) Как относятся периметры этих многоугольников? б) Как относятся площади этих многоугольников? п 16 В окружность вписаны и около неё описаны правильные я-угольники. Для я = 3, 4, 6 вычислите отношение: а) их периметров; б) их площадей. I7I Из заготовки цилиндрической формы выточен болт с квадратной головкой наибольших размеров. Каково расстояние между противоположными гранями этой головки, если диаметр заготовки равен: а) 20 мм; б) 8 мм? lei Из заготовки, имеющей форму правильной шестиугольной призмы, изготовлен цилиндр наибольшего диаметра. Вычислите диаметр цилиндра, если расстояние между противоположными боковыми рёбрами заготовки равно: а) 16 мм; б) 12 мм. м 191 Через середины двух смежных сторон квадрата, вписанного в окружность радиуса R, проведена хорда. Какова длина этой хорды, если: a) R = 2 см; б) R = 3 см? 284 К § 19.4 Н 20 Чему приблизительно равна длина окружности, радиус которой равен 1? Дайте ответ с точностью до: а) целых; б) десятых; в) сотых; г) тысячных. н 1Г 21 Как изменится длина окружности, если: а) её радиус увеличится в n раз; б) радиус уменьшится в n раз? н 22 Вычислите длину окружности, если её радиус равен: а) 12,5 см; б) 6 дм. 23 Вычислите радиус окружности, длина которой равна: а) 78,5 см; б) 12,42 дм. 24| Какой радиус имеет окружность, длина которой равна п? 25 26 27 28 29 30 Земля вращается вокруг Солнца по почти круговой орбите. Расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 140 млн км. Найдите длину пу ти, ко то рый Зем ля де ла ет еже год но, вра ща ясь во круг Солн ца. Круглый бассейн диаметром 10,5 м обнесён оградой в форме квадрата. Общая длина ограды вдвое больше длины окружности бассейна. Какую длину имеет одна сторона этой квадратной ограды? Чтобы найти диаметр дерева, измерили его обхват (длину окружности). Най ди те ди а метр де ре ва, ес ли его об хват ра вен: а) 2 м; б) 1,5 м. Колесо тепловоза делает 6 оборотов в секунду. Диаметр колеса равен 120 см. Найдите скорость движения тепловоза. Постройте окружность, длина которой равна: а) 12 см; б) 18 см (пост ро е ние про во дит ся при бли жён но). Радиус основания конуса равен 4 см. Найдите длину окружности основа ния ко ну са. п 31 Радиусы трёх окружностей равны 1 м, 10м и 10 000 м. Радиус каждой окружности увеличили на 1 м, и новые радиусы стали равны соответственно 2 м, 11 м и 10 001 м. На сколько при этом увеличилась длина каждой окружности? з2 Чтобы поднять из колодца ведро воды, вал должен сделать 18 оборотов. Вы чис ли те глу би ну ко лод ца, ес ли ди аметр ва ла ра вен 20 см. 285 _м 33| Постройте окружность, длина которой равна: а) сумме длин двух данных окружностей; б) разности их длин. К § 19.5 н 1Г 34I Как изменится площадь круга и длина его окружности, если: а) диаметр уменьшить в 4 раза; б) радиус увеличить в 3 раза? н 35 Вычислите площадь круга, диаметр которого равен: а) 4 см; б) 10 м. 3б| Выразите площадь круга через длину его окружности. 37| Чему равна площадь круга, если длина окружности равна: а) 4; б) 2л; в)10л? 381 Вычислите площадь сечения провода, если его диаметр равен: а) 3 мм; б) 0,2 мм. 39I Вычислите площадь поперечного сечения дерева, если его обхват (длина окружности) равен: а) 88 см; б) 4 дм. 4о| Радиус основания конуса равен 2 см. Найдите площадь основания кону са. Окружность арены в цирке имеет длину 40,8 м. Найдите площадь арены. 41 п 42I В Древнем Египте площадь круга считалась равной площади квадрата, сторона которого равна 99 диаметра этого круга. Каким значением числа л пользовались египетские математики? Постройте круг (построение приближённое), площадь которого равна: а) сумме площадей двух данных кругов; б) их разности. По ст рой те ок руж ность, ко то рая де ли ла бы дан ный круг на две рав но великие фигуры: кольцо и круг. 43 44 м 45 Докажите, что сумма площадей двух фиолетовых луночек (рис. 19.10) равна площади пря мо уголь но го тре уголь ни ка. 286 4б| Докажите, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, как на диаметрах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе. м Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Определение расстояния до эпицентра землетрясения. ВАША РОЛЬ. Сейсмолог. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. При мощных землетрясениях поверхностная сейсмическая волна от подземного толчка может, постепенно затухая, несколько раз обогнуть земной шар. Сейсмограф на сейсмической станции в момент = 11 ч 15 мин 35 с по местному времени зарегистрировал возмущение от сильного подземного толчка, в момент t£ = 13 ч 16 мин 15 с — второе, более слабое возмущение, а в момент t3 = 14 ч 27 мин 04 с — третье, ещё более слабое возмущение от того же толчка. ЗАДАНИЕ. Считая, что сейсмическая волна распространяется вдоль поверхности Земли по всем направлениям с одинаковой скоростью, найдите величину этой скорости, а также расстояние вдоль поверхности Земли от эпицентра землетрясения до сейсмической станции. 1 Предлагалась на заочном туре олимпиады «Ломоносов» по геологии в 2011 г. 287 1 ОТВЕТЫ ГЛАВА 1 К § 1.1 1. Прямая содержит бесконечно много точек. 2. а) Прямая а проходит через точки А, К и В; прямая Ь — через точки А, М и С, прямая с — через точки С, D и В; б) на прямой Ь лежат точки С, М и А; в) на прямой с не лежат точки М, А и К. 3. Плоскость а содержит бесконечно много точек. 4. Точки прямой принадлежат плоскости. Плоскость содержит бесконечное количество точек данной прямой. 5. Можно, и только одну. 6. Точка может лежать на прямой и не лежать на ней. 7. Плоскость задают три точки, не лежащие на одной прямой. 9. Две точки прямой a должны принадлежать плоскости а. 10. Бесконечное множество. 11. Через данную точку можно провести бесчисленное множество прямых. 13. 6 прямых. 15. На 11 частей. 16. Две пло с ко сти мо гут раз би вать пространство на 3 или 4 части (области). Три плоскости могут разбивать пространство на 4, 6, 7, 8 частей (областей). К § 1.2 17. а) 3 отрезка. 18. На рис. 1.11а — 3 отрезка, на рис. 1.11б — 6 отрезков. 19. Два от рез ка мо гут иметь од ну общую точку, не иметь общих точек или иметь бесконечное множество общих точек (пересекаться по отрезку). 20. Прежде всего следует выделить два случая: а) отрезок и прямая лежат в одной плоскости; б) отрезок и прямая лежат в разных плоскостях. 21. а) Отрезок может принадлежать плоскости; б) отрезок и плоскость могут иметь только одну общую точку; в) отрезок и плоскость могут не иметь общих точек. 22. 120 мм. 24. ВС = 3. 26. а) 3 отрезка; б) 6 отрезков; в) 10 отрез ков. 27. АВ = 30 см = 3 дм. 28. Чтобы на прямой получить 3 отрез ка, на ней нуж но от ме тить 3 точ ки. ГЛАВА 2 К § 2.1 1. Два луча АВ и АС с общим началом — точкой А и две области — внутренняя и внешняя. 2. От данного луча можно отложить два угла, равных 60°, в две разные полуплоскости. 3. Острый — а), прямой — б) и тупой — в). Острый угол имеет величину меньше 90°, прямой угол равен 90°, тупой угол имеет величину больше 90°. 4. Чтобы образовался угол, два луча должны иметь общее начало. При этом образуются два различных угла. 5. Развёрнутые углы изображены на рисунках в) и е). Углы на рисунках а) и б) меньше развёрнутого, на рисунках г) и д) — больше развёрнутого. 288 6. Будет. 7. а) 4° = 240'; б) 10° = 600'; в) 10°10' = 610'; г) 2°20'' = 120 - . 8. а) 1° = 3 600''; б) 10° = 36 000''; в) 10°10' = 36 600''; г) 2°20'' = 7 220''. 9. 80°. 10. 40°. 14. а) 62°1'4''; б) 77°2'34''; в) 24°12'12''; г) 253°48'; д) 93°1'30''; е) 48°1'47''. 15. а) 15°; б) 26°; в) 86°. К § 2.2 18. ZCOA. 19. ZKOA и ZKOB; ZMOA и ZMOB. 20. Нельзя. 21. Нельзя. 22. а) Неверно (оба угла могут быть прямыми); б) неверно. 23. Да, равны. 24. b = 150°. 27. 150°, 135°, 90°, 164°30', 97°58'. 28. а) 67°30', 112°30'; б) 65°, 115°; в) 30°, 150°; г) 90°, 90°; д) 72°, 108°. 29. 130°. 31. а) Нет; б) нет; в) да. 32. 90°. К § 2.3-2.4 33. Вершина трёхгранного угла — точка О; рёбра — ОА, ОВ и ОС. Трёхгранный угол имеет три ребра и три грани. 34. Вершина угла — точка О. Рёбра угла — ОА, ОВ, ОС и OD. Грани угла — АОВ, ВОС, СОВ и AOD. Четырёхгранный угол имеет четыре ребра, четыре грани, четыре плоских угла. 35. На рис. 2.33 три луча имеют общее начало — точку О, на рис. 2.34 — четыре луча. 36. 8 трёхгранных углов, плоские углы которых прямые. 39. Могут, в сечении получится треугольник. ГЛАВА 3 К § 3.1 1. Всего по три: 3 вершины, 3 стороны, 3 угла. 2. Основание — АС, боковые стороны — АВ и ВС. 3. Является. 5. На рис. 3.30а изображено 3 треугольника, на рис. 3.30б — 5 треугольников, на рис. 3.30в — 8 треугольников, на рис. 3.30г — 8 треугольников. 6. ВС = 10 см, АС = 8 см, Р = 23 см. 7. АВ = ВС = 20 см, АС = 10 см. 8. АВ = ВС = 5 см, АС = 3 см. 9. а) 27 тре у голь ни ков; б) 32 тре у голь-ни ка; в) 27 тре у голь ни ков. 11. Для не пе ре се ка ю щих ся тре у голь-ни ков от вет по ло жи тель ный. 12. Можно. В пространстве — тетраэдр. К § 3.2-3.3 14. Ломаная А1А^А^А^А5 имеет 4 звена. Точка А1 — начало лома- ной, точка А5 — конец ломаной. Ломаная А1А2А3А4А5 незамкнутая, её соседние звенья не лежат на одной прямой. 15. а) Многоугольник имеет 6 сторон и 6 вершин; б) многоугольник имеет 6 внутренних углов. 16. Стороны многоугольника равны между собой, углы многоугольника равны между собой. 17. Ломаные отличаются тем, что одна из них незамкнутая, а вторая — замкнутая. 18. в) Первая ломаная не имеет самопересечений, она простая. Вторая ломаная имеет самопересечения, она не является простой. 19. а) Че ты рё ху голь ник име ет 2 ди а го-нали; б) пятиугольник — 5 диаго- 289 налей; в) шестиугольник — 9 диагоналей. 20. Стороны многоугольника равны между собой, углы многоугольника равны между собой. 21. Выпуклыми являются фигуры, изображённые на рис. 3.37а и 3.37в. 22. а) Существует; б) существует, число сто рон такого много уголь ни ка должно быть больше 5. 23. 10 см. 25. На 3 треугольника. 29. а) 30 треугольников; б) 32 треугольника; в) 68 треугольников. 30. Многоугольник со 103 сторонами имеет 5150 диагоналей. Многоугольник с n сторонами имеет n(n - 3) 2 диагонали. К § 3.4 31. а) Куб имеет 8 вершин; б) куб имеет 12 рёбер; в) в одной вершине куба сходятся три ребра; г) гранями куба являются равные квадраты. 32. 6 квадратов. 33. 6 многоугольников. 34. Куб. 35. Существуют. 36. Могут. 37. Кубику с номером 6. 38. б) и в). 41. 7 отрезков. 42. 8 отрезков. ГЛАВА 4 К § 4.1 1. а) Треугольная пирамида имеет 4 грани и 6 рёбер; б) четырёхугольная пи ра ми да име ет 5 гра ней и 8 рё бер; в) пя ти уголь ная пи ра ми да име ет 6 граней и 10 рёбер; г) девятиугольная пирамида имеет 10 граней и 18 рёбер. 2. 4 трёхгранных угла. 3. В четырёхугольной пирамиде 4 трёхгранных угла, в пятиугольной — 5; в n-угольной пирамиде — n. 4. а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 5. Треугольник, четырёхугольник. 10. Нельзя. 11. Нужно сложить из спичек каркас четырёху голь ной пи ра ми ды. К § 4.2 12. Из 4 треугольников. 13. Могут. 16. Первая развёртка является раз-вёрт кой четырёху голь ной пи ра миды; вторая — развёрткой прямоугольного параллелепипеда. 17. АВ и ВС, DC и DE, FE и FA. Получится тетраэдр. 18. Раз вёрт ка поверхности пра виль ной четырёху голь ной пи ра ми ды. ГЛАВА 5 К § 5.1 3. а) Не принадлежит; б) принадлежит. 4. а) Лежит вне сферы; б) лежит вне сферы; в) лежит внутри сферы. 5. а) Неверно; б) верно; в) верно; г) верно. 6. 10 см. 7. 20 см. 8. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 10. а) Окружность; б) окружность. 11. а) Ок руж но с ти име ют од ну об щую точку, т.е. касаются; б) окружности имеют две общие точки, т.е. пе ре се ка ют ся; в) ок руж но с ти не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; г) окружности касаются; д) окружности пересекаются; е) окружности пересекаются, причём каждая окружность проходит через центр второй окружности. 13. Задача имеет решение, если эти окружности пересекаются или касаются (внутренним 290 или внешним образом), т.е. когда \а — Ъ\ < AB < a + b. 16. При правильной игре всегда выигрывает тот, кто делает первый ход. Задача сводится к разбиению 10-угольника на треугольники. Можно поступить иначе: первый игрок соединяет две противоположные точки, а затем на каждый ход противника отвечает симметричным. 18. Можно. К § 5.2-5.3 20. а)А1В1 = 5 см, ZA1 = 90°; б) А1В1 = 2 см, В1С1 = 4 см, С1А1 = 8 см; в) ZA1 = 34°, ZB1 = 56°; г) ZA1 = 76°, АВ = 10 см, СА = 5 см. 23. Основной способ — воспользоваться определением 29. 24. а) Верно; б) неверно; в) неверно; г) вер но. ГЛАВА 6 К § 6.1 1. а) Точка А перейдёт в точку А1, точ ка В — в точку В1, точ ка С — в точку С1; б) стороны АВ, ВС и СА перейдут в стороны А1В1, В1С1 и С1А1; в) ААВС, АВСА и АСАВ перейдут соответственно в равные им АА1В1С1, АВ1С1А1 и АС1А1В1; г) тре у голь ник АВС перейдёт в равный ему тре уголь ник А1В1С1; д) сохранят ся дли ны сто рон тре у голь ни ков. Кроме того, будут соответственно равны расстояния от центра поворота до соответствующих вершин треугольников; е) на месте останется центр поворота. 2. Точкой, переходящей в себя, всегда яв ля ет ся центр по во ро та. При произвольном повороте нет переходящих в себя прямых. При повороте на 180° прямая переходит в себя, если центр поворота принадлежит этой прямой. 3. По во рот мо жет быть вы пол нен в двух про ти во по лож ных на прав ле ни-ях: по часовой стрелке и против ча-со вой стрел ки. 4. Это преобразование не сохраняет рас сто я ний меж ду со от вет ст ву ю щи-ми точ ка ми. 5. Прямая перейдёт в прямую. 6. Окружность (круг) переходит в окружность (круг). Нужно построить точку, в которую перейдёт центр ок руж но с ти, и про ве с ти ок руж ность данного радиуса. Если центр окружности совпадает с центром поворота, окружность (круг) переходит сама в себя при любом угле поворота. К § 6.2-6.3 13. Окружность, сфера, куб, квадрат. 14. При изометрии сохраняются расстояния между соответствующими точками. 15. Центр симметрии. 16. Прямые, проходящие через центр симметрии. 17. Середина отрезка АА1. 19. Сама в себя. 21. а) Имеет; б) имеет; в) не имеет; г) имеет; д) имеет; е) не имеет. 25. Существуют. ГЛАВА 7 К § 7.1 1. Од на. 2. 8 прямых. В вершине пирамиды — 4 пря мые, в вер ши нах ос но ва ний — 3 пря мые. 3. 4 угла, эти углы попарно равны. 4. 2 пары вертикальных углов и 4 пары смеж ных. 5. В каждой вершине треугольной пирамиды пересекаются три прямые, со- дер жа щие её рёбра. 6. Сами в себя. 7. При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов. 291 8. а) Могут; б) могут; в) не могут. 9. Неверно. 10. 30°, 150°, 150°. 11. а) Один из углов равен 80°; б) один из углов равен 120°; в) один из углов равен 50°. 14. 180°. 15. ААОС= 120°, ZBOD= 130°, ZCOE = 110°, ZCOD = 60°. 16. Не принадлежит. 19. На 4, 6, 7 частей. К § 7.2 21. а) Круг с центром О и радиусом ОС; б) ВА и ВС. 22. Не может. 23. Из круга и кругового сектора. 25. Нет. 26. а) Равнобедренным треугольником; б) равносторонним треугольником; , а в) радиус основания равен ^. ГЛАВА 8 К § 8.1-8.3 1. 3 прямые. 2. 3 высоты. 3. Углы 1 и 2 — прямые. 4. На плоскости — одну, в простран-ст ве — бес ко неч но мно го. 5. Только одну. 6. Нужно рассмотреть различные случаи расположения прямой а и точки В. 7. Могут. 8. а) Могут; б) не могут. 10. 12 высот. К § 8.4 13. а) Точки А, В, С, О перейдут соответственно в точки А1, В1, С1, О1; б) точки оси l перейдут сами в себя; в) отрезки АС и ОВ перейдут соответственно в отрезки А1С1 и О1В1; г) четырёхугольник ОАВС перейдёт в равный ему четырёхугольник О1А1В1С1. 14. а) А и А1, В и В1, С и С1; б) АС = А1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1, АО = ОА!, ВО = ОВ1, СО = ОС1, СО1 = О1С1, ВО2 = О2Bl, АО1 = ОlAl, АО2 = О2Al, СО2 = О2С1, ВО1 = О1В1; в) АА1 и р, ВВ1 и р, СС1 и р. 15. а) Одну ось симметрии; б) в плоскости, в которой лежит отрезок, — две оси симметрии; в пространстве — бесконечно много; в) бесконечное множество осей симметрии; г) бесконечное множество осей симметрии. 20. 80°. 23. Постройте точку В1, симметричную точке В относительно прямой l, и проведите прямую АВ 1. Задача может не иметь решения. К § 8.5-8.6 28. Точки, принадлежащие серединному перпендикуляру, оди на ко во удалены от концов отрезка АВ. 29. а) АЛ! ВВ б) АО = ВО = А1О = В1О, ЛЛ1 = ВВ!. 30. На плоскости, в которой лежит отрезок, — один серединный перпендикуляр, в пространстве — бесконечно много. 31. Это зависит от взаимного располо-же ния от рез ков. 32. Не всегда. 33. Ок руж ность име ет центр сим -ме т рии в точ ке О. Осью сим ме т-рии ок руж но с ти яв ля ется лю бая прямая, которая проходит через центр окружности и лежит с ней в одной плоскости. Осью симметрии окружности будет также прямая, проходящая через её центр и перпендикулярная плоскости окружности. 34. а) Нужно рассмотреть случай, когда данная точка совпадает с центром ок руж но с ти и ког да не сов падает с ним; б) нужно рассмотреть случаи, когда окружности располо-же ны про из воль но и ког да они являются концентрическими. Следу- 292 и ет также рассмотреть случаи, когда радиусы окружностей равны. 37. Центр симметрии — точка О. Оси симметрии — прямые, проходящие через центр сферы. К § 8.7 44. Одну. 45. а) Не имеет; б) одну; в) три (в плоскости чертежа). 46. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой. 49. а) 6 см; б) 3 см; в) 8 см. К § 8.9-8.10 57. Прямые АС и BD перпендикулярны прямой МК; прямые АМ, AD, ВС и В К — наклонные. 58. РК — перпендикуляр к прямой т, РК имеет наименьшую длину. 60. Да, если все рассматриваемые фигуры лежат в одной плоскости. 61. ВА и АО. 64. 5 см. ГЛАВА 9 К § 9.1-9.4 I. а) AM, DN, CF; б) АВ и ВС, МЕ и EF. 3. Прямые на плоскости бывают пересекающимися и параллельными. 4. Центрально-симметричные прямые параллельны между собой. 5. Нужно знать, что они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости. 6. Нет. 7. а) Да; б) не всегда; в) да. 8. Нет. 9. Эти прямые параллельны. 10. Прямые, параллельные оси l. II. а) Будут; б) нет; в) будут; г) нет. 12. а) Нет; б) нет; в) нет. 15. 6. К § 9.5-9.7 20. а) Две пары; б) две пары. 21. а) А и С, В и D; б) A и В, А и D, С и В, С и D. 22. Эти прямые могут лежать в одной плоскости, а могут не лежать. 23. а) Могут; б) могут; в) не могут. 24. Прямые а и Ь параллельны. К § 9.8-9.9 28. а) Не может; б) не может. 29. а) Нет; б) нет; в) может быть не более трёх тупых углов. 30. АС = 105°. 31. АВ = 30°. 32. а) Можно провести только одну прямую, параллельную АС; б) мы получим 3 пары равных вертикальных углов; в) А1 = 70°, А2 = 80°, А3 = 30°. 33. 25°, 87°, 68°. ГЛАВА 10 К § 10.1-10.3 1. У параллелограмма 4 вершины, 4 стороны, 4 внутренних угла, 2 диагонали. 2. На 2 треугольника. 3. Четырёхугольник не является параллелограммом . 4. Может. 5. Периметры треугольников равны. 6. В прямоугольнике диагонали равны. 7. а) Нет; б) да. 8. CD = 5 см, AD = 7 см, P = 24 см. p - 2a 9. Ь = - 2 10. а) 13 см и 17 см; б) 13 см и 17 см; в) 7,5 см и 22,5 см; г) 11,5 см и 18,5 см; д) 7,5 см и 22,5 см. 11. а) Не могут; б) не могут; в) могут. Только один угол параллелограмма прямым быть не может. 12. 55°, 125°, 125°. 13. а) 112°, 68°, 112°, 68°; б) 36°, 144°, 36°, 144°; в) 72°, 108°, 72°, 108°. 293 14. 80°, 80°, 100°, 100°. 15. 30°. 18. Периметр может быть равен 10 см, 12 см или 14 см. 19. 50°, 50°, 130°, 130°. 23. 9 параллелограммов. 24. 3 параллелограмма. К § 10.5 27. АМ = ВМ, ВК = СК. 28. ОВ1 = В1В2. 31. I- 32. m + n. 41. P. К § 10.6 43. а) Все стороны равны; б) противоположные углы равны; в) диагонали AC и BD; г) центр симметрии — точка пересечения диагоналей; д) оси симметрии — прямые, которым принадлежат диагонали ромба. 44. Нет. 45. а) Нет, если ромб — не квадрат; б) да. 48. 8. 49. 32 см. 50. 60°, 60°, 120°, 120°. 51. 80°, 80°, 100°, 100°. 54. а) АМ = 1 см, MD = 1 см, BD = 2 см. К § 10.7 61. ВС и AD параллельны, АВ и CD не параллельны. 62. На 2 треугольника. 63. АМ = МВ, DN = NC. 64. Трапецией является фигура г). 66. Может. 67. 6 см. 68. 180°. 69. 360°. 70. См. задачу 68. 72. АВАЕ = AEAD, ABEA = AEAD. 75. 6 см. 76. ABEF = 70°, ACFE = 80°. 81. 90°. 87. Л2. ГЛАВА 11 К § 11.1-11.3 1. а) Увеличится в 4 раза; б) увеличится в 9 раз; в) уменьшится в 4 раза. 2. а) Увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 9 раз; в) не изменится; г) увеличится в 2 раза. 3. В 6 раз. 4. Увеличится в число раз в квадрате. 5. Будут. 6. а) 204; б) 7 -; в) 15; г) 150. 3 24 7. а) 576; б) 12^5 ; в) 49; г) 2 116. 8. а) 6 см2; б) 600 см2; в) 60 000 см2; г) 6 м2. 9. 24 см2 и 40 см2. 10. в) 5а. 11. 5 см. 12. а) 12 см; б) 13 м; в) 20 мм. 13. 20 м. 14. 20 см. 17. а) а = 5 см; б) а = 10 см; в) а = 6 см; г) а = 12 см. 18. Воспользуйтесь формулами: ^ б. п. куба = 4а2 и S = 6 а 2. S п. п. куба = 6а . 24. а) Четырёхугольник MNOP является квадратом, площадь которого равна — площади квадрата ABCD; 5 б) Четырёхугольник QRST является квадратом, площадь которого 2 равна 9 площади квадрата ABCD. К § 11.4 27. а) Три разные высоты; б) две разные высоты; в) три одинаковые высоты. 28. Можно. 30. а) 14 см2; б) 21 дм2. 31. 3 см. 34. а) 6; б) 16/9; в) 12/5. 37. а) 2 080; б) 1 250. 38. а) Да; б) да; в) нет. 294 2. К § 11.5 45. 120 см2. 47. 4 см. 48. 8,2 см и 4,1 см. 49. 10/3 см. Одно решение. 52. 56 см2. 54. 20 см. К § 11.6 57. Можно. 58. Можно. 59. 210 см2. 60. 336 см2. 61. 10,8 дм2. 62. а) = 712,8 мм2; б) = 664,7 мм в) = 326,8 мм2. К § 11.7 69. а) Увеличится в 8 раз; б) уменьшится в 27 раз; в) уменьшится в 8 раз. 70. На 30 301 см3. 71. 140 см3. 72. 27 л. 73. 3 см. 74. 6 дм и 9 дм. 75. 42 болванки. 76. 961 шт. кирпича. 77. Да, можно поднять не более 13 таких болванок. 78. Не обязательно. ГЛАВА 12 К § 12.1-12.2 1. а) Точки А, В и С перейдут соответственно в точки А1, В1 и С1; б) сохранятся расстояния между соответствующими точками, в частности АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1; в) ААВС = АА1В1С1. 2. а) АА1 = ВВ1; б) лучи АА1 и ВВ1 сонаправленные. 3. а) Существует; б) существует. 4. а) Существует; б) существует; в) существует. 5. Могут. 12. Не всегда. ГЛАВА 13 К § 13.1-13.3 1. а) 6; б) 4; в) 3. 2. а) АВ = DC = А1В1 = D1C1; б) DD1 = АА1 = bb1 = CC1; в) АС = А1С1. 4. Можно. 5. Нель зя. 6. Вер ши ны тре у голь ной пи ра ми ды не мо гут за да вать рав ные век то ры. 7. Могут. К § J3.4-13.5 14. АС. 15. ZD. 16. аЗ. 18. Их сумма должна быть нулевым вектором. 20. Воспользуйтесь теоремой Пифагора. 21. а) AD; б) МТ; в) DB + PQ; г) АК; д) 0. К §J3.7 25. Ва. 26. Ва. 27. АС - АВ. 28. n = d - m или m = d - n. 29. Векторы а и b должны быть кол-линеарны. 30. Может. 33. а) OE + кВ; б) АК. К § 13.8 38. Направления векторов совпадают, а отношение их длин равно 3. 39. Если fe > 0, то векторы сонаправлены, если k < 0, то они противоположно направлены. 42. - AD + АВ. 44. 22 (а + b). ГЛАВА 14 К § 14.1 1. а) Углы этих треугольников равны; б) отношения сходственных сторон равны. 295 2. Да, коэффициент подобия равен 1. 3. Не обязательно. Равны, если коэффициент подобия равен 1. 4. Нужно длину сторон меньшего треугольника умножить на 1,6. 5. X = 5,25, у = 7,5. 2 6. Коэффициент подобия равен -. 3 К § 14.2-14.3 9. Подобны. 10. Подобны. 11. Подобны. 12. а) Подобны; б) не всегда. 14. 3 пары подобных треугольников. 15. 9 пар подобных треугольников. 16. а) 4 треугольника, подобных данному; б) 10 пар подобных треугольников. 18. Будут. К § 14.4 23. Нужно найти отношение длин его соответственных сторон. 25. а) Увеличится в п2 раз; б) уменьшится в k2 раз. 26. а) 1 : 4; б) 4 : 9; в) 2 : 3; г) 1 : 2,25; д) k2 : l2. 27. а) 2 : 3; б) V3 : 2; в) -; г) Vp : -Ц. 30. 60 см и 100 см. 31. 72 см. 32. ah . а) 3 600/289 см2 » 12,5 см2; a + h б) 9 см2; в) 100 дм2. ГЛАВА 15 К § 15.1-15.3 1. а) Точка А перейдёт в точку А', В — в В', С — в С', D — в D', А1 — в А'1, В1 — в В'1, С1 — в С'1, D1 — в D'1; б) например, отношение всех рёбер кубов ABCDA1B1C1D1 и A'B'C'D'A'1B'1C'1D'1 равно k; в) прямая АВ перейдёт в прямую АВ', АС — в А'С', АА1 — в А'А' 1, ВВ1 — в В'В' 1. 2. а) В угол; б) в параллелограмм; в) в трапецию. 3. Если центры кругов не совпадают, а радиусы одинаковы, то один. Если центры кругов не совпадают, а радиусы различны, то два. Если центры кругов совпадают, а радиусы различны, то один. 6. а) Нельзя; б) можно. 7. Можно. 8. Сохраняется. ГЛАВА 16 К § 16.1 1. Две дуги, одну хорду, два центральных угла. 2. а) 180°; б) 90°. 4. 1 : 5. 5. Например, АВОС и ADOA. 6. ^АВ = 60°, ^АС = 120°, ^АСВ = 300°. К § 16.2-16.3 8. а) (0; 1); б) (-1; 0); в) (0; -1); г) (-1; 0); д) (1; 0); е) (0; 1). 9. Нет. 10. а) Нет; б) нет. 11. sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin (-90°) = -1, cos (-90°) = 0, sin 180° = 0, cos 180° = -1, sin (-180°) = 0, cos (-180°) = -1, sin 270° = -1, cos 270° = 0, sin (-270°) = 1, cos (-270°) = 0. 14. sin 30° = 22, cos 30° = , . .,,0 л2 .,,0 sin 45 = --, cos 45 = --, ■ £.,-,0 1 sin 60 = --, cos 60 = -. 2 2 Для нахождения синусов и косинусов отрицательных углов можно использовать формулы sin (-а) = = -sina и cos (-а) = cosa. 15. а) 0,8; б) -0,28; в) 0,6; г) -2 . 296 2 -Jo л/о 16. а) 2 » 0,943; б) ; в) 0,8; г) » 0,745. К § 16.4 18. 0. 19. 0. 20. Например, 90°. 21. Например, 0°. 22. а) tg 30° = ^, ctg 30° = ^3; б) tg 45° = 1, ctg 45° = 1; V3; 3 ; д) tg (-45°) = -1, ctg (-45°) = -1; в) tg 60° = V3, ctg 60° = г) tg (-30°) = - ^, ctg (-30°) = - V3; 5°) e) tg (-60°) = - V3, ctg (-60°) = - --. 25. Воcпользуйтecь тем, что tg a= a. . 9 , 9 cos a и sin2 a + cos2 a = 1. 28. nycTb аир — углы, которые образуют диагонали прямоугольника 7 c его cторонами. Тогда tg а = —f и tg Р = —2 7 ■ 29. tg а = - и ctg а = -, где а — раc-43 cматриваeмый оcтрый угол. ГЛАВА 17 К § 17.1 1. Будет. 2. Будет увeличиватьcя■ 7. а) с и 8,45; б) b ~ 4,42; в) а и 0,75. 9. а) и 117°17'; б) и 93°42. 15°57'; 34°03'. 10. и 275 Н; К § 17.2 13. При возраcтании угла у от 0° до 90° площадь треугольника возраc-тает. При дальнейшем возраcтании угла Y от 90° до 180° площадь треугольника убывает. Наибольшее значение площади при у = 90°. 14. 48,4 м^. 15. а) и 7 880 м2; б) и 344 cм2■ 18. а) и 21,2 cм2; б) и 2,7 cм2■ К § 17.3 21. а) b и 61, с и 102, = 79°37'; б) a и 39, b и 25, АС = 14°20'; в) с и 21, АВ = 36°52', АС = 75°45', г) с и 29, ^ = 14°23', АВ = 114°17'. 22. 29°23'. 24. Каждое из отношений равно длине гипотенузы. 25. V3 : 1 : 1. m sin a m sin b 27. —------— и ---------— sln(a + b) sln(a + b) 28. 86 м. ГЛАВА 18 К § 18.1 1. а) АВАС. 2. а) ААВС опираeтcя на дугу ADC, АВСА — на дугу АВ, АСАВ — на дугу ВС; б) на дугу ВС опираeтcя АВАС, на дугу ВСВ — АВАВ. 8. 70° и 35°. 9. 80° или 100°. 11. 108°, 252°. К § 18.2 13. Вершины А, В и С треугольника АВС принадлежат окружноcти■ Стороны АВ, ВС и АС являютcя хордами окружноcти■ Углы А, В и С треугольника АВС являютcя углами, впиcанными в окружноcть■ 15. Центр окружноcти, опиcанной около треугольника, — точка пeрece-чения ceрeдинных перпендикуляров к cторонам треугольника. 17. 10V2 cм. 18. 4 cм. 19. h/3. 297 К § 18.3 25. Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, стороны четырёхугольника являются хордами ок руж но с ти, уг лы четырёхугольника являются вписанными в ок руж ность. 26. Главным свойством сторон являет ся то, что сум мы про ти во по ложных сторон этого четырёхугольника равны. 27. а) Нет; б) да; в) да. 37. 5 см, 5 см. Указание: докажите, что точки В, С, М, N лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок ВС. ГЛАВА 19 К § 19.1 1. а) Внутренние углы: 60° (для n = 3), 90° (для n = 4), 108° (для n = 5), 120° (для n = 6), 135° (для n = 8), 144° (для n = 10), 150° (для n = 12); б) внешние углы соответственно: 120°, 90°, 72°, 60°, 45°, 36°, 30°. 2. 1) а) 8; б) 12; в) 9; 2) а) 10; б) 15; в) 6. 8. n осей симметрии. 9. n поворотов, включая тождественный. 10. Центры симметрии имеют правильные многоугольники с чётным числом сторон. К § 19.3 аз % 11. 3 ; 2 ; а6. 12. 3л/6 см » 7,3 см. 13. а) 48л/3 см2 » 83,14 см2; б) 128 см2; в) 96л/3 см2 » 166,28 см2. 15. - —. b ’ b2 _ ,1 V2 „ 1 1 3 16. а) 2, 2 , 2 ; б) 4, 2, 4. 17. а) 10л/2 мм » 14,1 мм; б) 4л/2 мм » 5,7 мм. 18. а) 8л/3 мм » 13,8 мм; б) 6л/3 мм » 10,4 мм. 19. Дл/3 см; а) 2л/3 см » 3,46 см; б) 3л/3 см » 5,20 см. К § 19.4 20. а) 6; б) 6,3; в) 6,28; г) 6,283. 21. а) Уве ли чит ся в n раз; б) уменьшится в n раз. 22. а) » 78,54 см; б) » 37,70 дм. 23. а) » 12,49 см; б) » 1,98 дм. 24. !■ 25. 280п млн км. 28. Колесо в секунду проходит 720п см. 30. 8п см. 32. 360п см. К § 19.5 34. а) Площадь уменьшится в 16 раз, длина окружности — в 4 раза; б) площадь увеличится в 9 раз, длина окружности — в 3 раза. 35. а) 4п см2 » 12,57 см2; б) 25п м2 » 78,54 м2. л|2 36. ^ . 4п 37. а) П; б) п; в) 25п. 38. а) — мм2=7,1мм2; 4 б) —^ мм^ = 0,03 мм^ . 100 39. а) ; 71 б) — см^ = 127см^. л 40. 4п см2. 41. 416,16 ^2 „132,47 м2. 42. — «3,16. 81 298 УКАЗАТЕЛЬ АКСИОМ А.1 (аксиома прямой). А.2 (аксиома плоскости). А.3 (аксиома прямой и плоскости). А.4 (аксиома расстояния). А.5 (аксиома параллельных). Через любые две точки можно провести мую, и только одну. пря- Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. Прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости. Для любых двух точек А и В пространства однозначно определено некоторое неотрицательное число АВ, называемое расстоянием между ними и обладающее следующими свойствами: 1) АВ = ВА; 2) АВ = 0 тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают; 3) АС < АВ + ВС, причём равенство достигается в том и только в том случае, когда точка В лежит на отрезке АС. 10 11 11 12 Через любую точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной данной. 125 299 УКАЗАТЕЛЬ ТЕОРЕМ Сумма смежных углов равна 180^. Т2 О У любого многоугольника каждый внутренний угол меньше 180 . Т.3 (теорема Эйлера). У любого простого многогранника сумма числа граней и вершин на 2 больше числа рёбер. Т.4 Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Т.5 Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Т.6 Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Т.7 Поворот фигуры Ф на плоскости вокруг центра О на угол a является изо-ме т ри ей. Т.8 Центральная симметрия на плоскости является изометрией. Т.9 Окружность симметрична относительно своего центра. Т.10 Вертикальные углы равны. Т.11 Внешний угол треугольника больше любого его внутреннего угла, не смежного с ним. Т.12 (о единственности перпендикуляра). Из любой точки, лежащей вне прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Т.13 Осевая симметрия является изометрией. Т.14 Если две прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярны, то при симметрии относительно одной из них вторая прямая переходит сама в себя. Т.15 Множество всех точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Т.16 Окружность симметрична относительно любой прямой, содержащей диаметр окружности. Т.17 Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Т.18 Прямая, содержащая биссектрису угла, является осью симметрии этого угла. Т.19 Прямая, содержащая биссектрису угла при вершине равнобедренного треугольника, является осью симметрии этого треугольника. 22 36 51 62 66 67 76 77 78 85 85 95 99 99 103 103 104 104 105 300 Т.20 Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является также его медианой и высотой. 106 Т.21 В треугольнике против бсзльшей стороны лежит бсзльший угол. 106 Т.22 В треугольнике против бсзльшего угла лежит бсзльшая сторона. 107 Т.23 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. 107 Т.24 Расстояние от точки до её проекции на прямую меньше расстояния от этой точки до любой другой точки данной прямой. 110 Т.25 1) Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности. 2) Если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу этой окружности, проведённому в точку касания. 111 Т.26 Если две различные прямые на плоскости симметричны относительно некоторого центра, то они параллельны. 122 Т.27 Если две различные прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то эти прямые параллельны. 124 Т.28 Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются. 126 Т.29 Если различные прямые а и 6 параллельны прямой с, то прямые а и 6 параллельны. 127 Т.30 Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 129 Т.31 Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. 130 Т.32 Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. 130 Т.33 Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. 130 Т.34 Сумма внутренних углов треугольника равна 180^. 131 Т.35 (признак равенства по двум катетам). Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. 132 Т.36 (признак равенства по катету и прилежащему острому углу). Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 132 Т.37 (признак равенства по гипотенузе и острому углу). Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 132 301 Т.38 Т.39 Т.40 Т.41 Т.42 Т.43 Т.44 Т.45 Т.46 Т.47 Т.48 Т.49 Т.50 Т.51 Т.52 Т.53 Т.54 Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Сумма внутренних углов выпуклого ге-угольника равна (n - 2) • 180°. Середина диагонали параллелограмма является центром симметрии этого параллелограмма. Четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны. Четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали, пересекаясь, делятся пополам. Четырёхугольник является параллелограммом, если две его противоположные стороны равны и параллельны. (теорема Фалеса). Пусть через точки A, B, C, D, расположенные на одной стороне угла, проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону этого угла в точках A1, B1, C1, D1 соответственно. Тогда если равны отрезки AB и CD, то равны и отрезки A1B1 и C1D1. Сред няя ли ния тре у голь ни ка па рал лель на тре ть ей его сто ро не, а её дли на равна половине длины третьей стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Прямая, содержащая диагональ ромба, является его осью симметрии. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований трапеции. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон: Snp = a ■ b, где а и b — стороны данного прямоугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин 1 его катетов: = - a ■ b, где a и b катеты треугольника. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов: с2 = а2 + b2. Площадь треугольника равна половине произведения стороны и проведённой к ней высоты: с ■ Л^, где с — сторона треугольника, hc — его высота. Площадь треугольника равна 5треуг. = ..Jp (p - а) (p - b)(p - с), где а, b, с — стороны треугольника, р — его полупериметр. Т.55 Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведённой к ней высоты: S. парал. = а • ha, где а — сторона параллелограмма, ha высота параллелограмма, проведённая к стороне а. 133 134 145 146 147 147 149 151 152 154 156 157 169 170 171 172 174 176 302 Т.56 Т.57 Т.58 Т.59 Т.60 Т.61 Т.62 Т.63 Т.64 Т.65 Т.66 Т.67 Т.68 Т.69 Т.70 Т.71 Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты: a + b S, трап. 2 -• h, где а и b — основания трапеции, h — высота. 177 Параллельный перенос является изометрией. 191 Для любых векторов а и b выполняется переместительный закон (коммутативность сложения векторов): а + b = b + а. 201 Для любых векторов а, b и с выполняется сочетательный закон (ассоциативность сложения векторов): (а + b) + с = а + (b + с). 202 (о коллинеарности векторов). Вектор b коллинеарен ненулевому вектору а тогда и только тогда, когда b = ха для некоторого числа х. 207 Пусть а и b — два неколлинеарных вектора, лежащих в некоторой плоскости. Тогда для любого вектора d, лежащего в этой плоскости, существует единственная пара чисел х и у, такая, что d = ха + yb. 209 (лемма о подобии треугольников). Прямая, пересекающая две стороны треугольника и проведённая параллельно третьей стороне, отсекает треугольник, подобный данному. 221 (первый признак подобия — по двум углам). Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. 223 (второй признак подобия — по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними). Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны. 226 (третий признак подобия — по пропорциональности трёх сторон). Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника. 228 Отношение периметров подобных многоугольников равно отношению их соответственных сторон (коэффициенту подобия). 228 Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. 228 Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффи-ци ен та подо бия. 229 Если при гомотетии с центром О и коэффициентом k точки X и Y переходят в точки Х1 и Y1, то X1Y1 = k XY. 236 Синус и косинус одного и того же острого угла связаны между собой основным тригонометрическим тождеством: sin2 XA + cos2 XA = 1. 246 Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 252 303 Т.72 Т.73 Т.74 Т.75 Т.76 Т.77 Т.78 Т.79 Т.80 Т.81 Т.82 Т.83 Т.84 Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центром такой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центром такой окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника. Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Если сумма двух противоположных углов четырёхугольника равна 18^^, то около этого четырёхугольника можно описать окружность. Суммы противолежащих сторон описанного около окружности четырёхугольника равны. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в этот че ты рё ху голь ник мож но впи сать ок руж ность. Око ло вся ко го пра виль но го мно гоуголь ни ка мож но опи сать ок руж ность. Во вся кий пра виль ный мно гоуголь ник мож но впи сать ок руж ность. Сторона an правильного n-угольника выражается через радиус описанной около него окружности следующей формулой: ■>о а„ = 2R ■ sin 180^■ п , где R — радиус описанной окружности. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности: S = 2|Pr, где Р — периметр многоугольника, r — радиус вписанной в него окружности. 253 254 260 263 264 266 266 267 268 275 276 279 279 304 УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ О.1 Любое множество точек называется геометрической фигурой. 11 О.2 Точка Х лежит между точками А и В, если эти точки различны и АХ + ХВ = АВ. 13 О.3 Отрезки равны, если равны их длины. 14 О.4 Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости. 19 О.5 Развёрнутым углом называется угол, сторонами которого являются нительные лучи одной прямой. до пол- 19 О.6 Фигура называется выпуклой, если любые две её точки можно соединить отрезком, принадлежащим этой фигуре. 20 О.7 Угол, равный 90^, называется прямым углом. Угол, меньший 90^, называется острым углом. Угол, больший 90°, называется тупым углом. 21 О.8 Углы равны, если равны их величины. 21 О.9 Углы называются равными, если их можно совместить наложением друга. друг на 22 О.10 Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит угол пополам. 22 О.11 Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а стороны этих углов являются дополнительными лучами. дру гие 22 О.12 Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну от каждой плоскости, содержащей его грань. сто ро ну 26 О.13 Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на од ной пря мой, трёх от рез ков, по пар но со еди ня ю щих эти точ ки, а также части плоскости, ограниченной этими отрезками. 31 305 О.14 Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием равнобедренного треугольника. 32 О.15 Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним, или правильным. 32 О.16 Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника, называется медианой треугольника. 32 О.17 Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей сто ро не. 33 О.18 Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. 33 О.19 Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. 34 О.20 Ломаной называется фигура, которая образована отрезками, такими, что конец первого является началом второго, конец второго — началом третьего и т.д., причём соседние отрезки не лежат на одной прямой. 34 О.21 Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею частью плоскости, называется многоугольником. 35 О.22 Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. 36 О.23 Если все четыре угла четырёхугольника прямые, то четырёхугольник называется прямоугольником. 37 О.24 Если все четыре угла четырёхугольника прямые и все его стороны равны, то четырёхугольник называется квадратом. 37 О.25 Многоугольник, у которого все стороны и все углы равны, называется правильным. 37 О.26 Множество всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоянии от данной точки этой плоскости, называется окружностью. 55 О.27 Хордой окружности называется отрезок, концы которого лежат на данной окружности. Можно сказать также: отрезок, соединяющий любые две точки окружности. 56 306 О.28 Сферой называется множество всех точек пространства, удалённых от данной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние — её радиусом. 56 О.29 Два треугольника называются равными, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны. 60 О.30 Поворотом плоской фигуры Ф вокруг точки О на данный угол a (0° < a < 180°) в данном направлении называется такое преобразование, при котором каждой точке X фигуры Ф сопоставляется такая точка Х^, что: а) ОХ = ОХ1; б) ZX^OX = а; в) луч ОХ^ откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол a — углом поворота. 73 О.31 Две точки А и в пространстве называются симметричными относительно точки О, если точка О — середина отрезка АА^. Точка О называется центром симметрии точек А и А^. Точка О считается симметричной самой себе. 75 О.32 Центральной симметрией с центром в точке О называется такое преобразование, при котором каждая точка пространства переходит в симметричную ей относительно точки О точку. Точка О называется центром симметрии. 75 О.33 Геометрические преобразования, сохраняющие расстояния между парами соответствующих точек, называются изометриями. 76 О.34 Если две прямые имеют только одну общую точку, то они называются пересекающимися. 84 О.35 Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла. 85 О.36 Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. 91 О.37 Перпендикуляром, проведённым из точки А к прямой а, называется отрезок прямой, перпендикулярной к прямой а, с концами в точках А и B, где А — точка, из которой проводится перпендикуляр, В — точка пересечения прямой а с перпендикулярной ей прямой АВ. 92 О.38 Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника. 96 307 О.39 Точки А и А^ называются симметричными относительно некоторой прямой р, если эта прямая р перпендикулярна отрезку АА^ и проходит через его середину. Прямая p называется осью симметрии точек А и А^. Каждая точка оси симметрии считается симметричной самой себе. 98 О.40 Осевой симметрией с осью l называется такое преобразование, при котором каждая точка переходит в симметричную ей относительно оси l точку. 99 О.41 Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проведённая через середину этого отрезка перпендикулярно ему. 101 О.42 Прямая, пересекающая прямую р и не перпендикулярная ей, называется наклонной к прямой р. 109 О.43 Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а общая точка прямой и окружности—точкой ка-са ния. 111 О.44 Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. 120 О.45 Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых. 143 О.46 Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. 151 О.47 Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. 154 О.48 Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. 154 О.49 Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом. 154 О.50 Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие непараллельны, называется трапецией. 155 О.51 Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной. 155 О.52 Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. 156 О.53 Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. 156 О.54 Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь. 169 308 О.55 Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. 175 О.56 Высотой трапеции называется общий перпендикуляр к её основаниям (или прямым, содержащим её основания). 177 О.57 Преобразование, при котором каждая точка фигуры Ф переходит в одном направлении (по сонаправленным лучам) на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом. 190 О.58 Два вектора называют коллинеарными, если изображающие их направленные отрезки параллельны или лежат на одной прямой. 198 О.59 Три вектора называют компланарными, если изображающие их направленные отрезки лежат в параллельных плоскостях или в одной плоскости. 198 О.60 Вектор АВ равен вектору CD, если длины отрезков АВ и CD равны и эти векторы одинаково направлены (сонаправлены). 199 О.61 Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ. 199 О.62 Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым. 200 О.63 Разностью векторов а и b называется такой вектор с, что b + с = а. 205 О.64 Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и имеют одинаковую длину. 205 О.65 Произведением ненулевого вектора а на число х (х ^ 0) называется такой вектор ха, который: 1) имеет длину | х | • | а |; 2) сонаправлен с вектором а, если х > 0, и направлен противоположно вектору а, если х < 0. 206 О.66 Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого, а сход ст вен ные сто ро ны про пор ци о-наль ны. 220 О.67 Гомотетией с центром О и коэффициентом k п 0 называется геометрическое преобразование, при котором каждая точка Х переходит в точку Х1, такую, что ОХ1 = k ОХ. 235 309 О.68 Геометрическое преобразование, при котором расстояние между соответствующими точками изменяется водно и то же число раз, называется преобразованием подобия. 237 О.69 Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. 242 О.70 Пересечение окружности и её центрального угла называется дугой окружности. 242 О.71 Угловой величиной дуги окружности называется величина соответствующего центрального угла. 243 О.72 Пересечение круга и его центрального угла называется сектором круга. 243 О.73 Ордината точки принадлежащей единичной окружности, называется синусом угла а. 244 О.74 Абсцисса точки Ра, принадлежащей единичной окружности, называется косинусом угла а. 244 О.75 Тангенсом угла а называется отношение sin а к cos а. 247 О.76 Котангенсом угла а называется отношение cos а к sin а. 247 О.77 Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают её, называется вписанным углом. 260 О.78 Если вершины треугольника лежат на окружности, то этот треугольник называется вписанным в окружность, а окружность — описанной около этого треугольника. 263 О.79 Треугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот треугольник. 264 310 ТЕМАТИЧЕСКИМ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная величина вектора 199 Аксиома 10 параллельных 125 плоскости 11 прямой 10 прямой и плоскости 11 расстояния 12 Апофема правильного многоугольника 277 Базис 255 Биссектриса треугольника 33 Биссектриса угла 22 Боковая грань пирамиды 47 Бордюр 193 Вектор 197 Векторная величина 197 Величина дуги окружности 243 угла 20 Вертикальные углы 85 Вершина конуса 87 многоугольника 35 пирамиды 47 треугольника 31 трёхгранного угла 24 угла 19 Взаимное расположение двух окружностей 57 Взаимное расположение прямой и окружности 57 Взаимное расположение прямых 84 Взаимно обратные теоремы 148 Внешний угол треугольника 34 Внутренние накрест лежащие углы 128 Внутренние односторонние углы 128 Внутренний угол многоугольника 36 Внутренний угол треугольника 32 Внутренняя область многоугольника 35 треугольника 31 Вписанный в окружность треугольник 263 Вписанный угол 260 Выпуклый многогранный угол 26 Высота параллелограмма 175 Высота трапеции 177 треугольника 96 Гексаэдр 49 Геометрическая фигура 11 Геометрическое место точек 108 Геометрическое преобразование 73 Гипотенуза 33 Гомотетия 235 Граница многоугольника 35 Грань многогранника 38 трёхгранного угла 24 Диагональ многоугольника 35 Диаметр круга 56 окружности 56 311 вектора 199 ломаной 34 окружности 280 отрезка 12 Додекаэдр 50 Дополнительные лучи 19 Дуга окружности 242 Единица измерения 12 Единичная окружность 243 Заключение теоремы 148 Звено ломаной 34 Изометрия 76 Икосаэдр 50 Касательная к окружности 57, 111 Катет 33 Квадрат 37, 154 Коллинеарные векторы 198 Компланарные векторы 198 Конец ломаной 34 отрезка 11 Конус 86 Косинус угла 244 Котангенс угла 247 Коэффициент подобия 220 Круг 56 Круговая коническая поверхность 87 Куб 49 Курсовой угол 255 Линейка 58 Ломаная 34 замкнутая 34 незамкнутая 34 простая 34 самопересекающаяся 34 Луч 18 Масштаб 221 Медиана треугольника 32 Метод доказательства от противного 112 Минута 20 Многогранник 38 правильный 49 Многоугольник 35 выпуклый 36 невыпуклый 36 правильный 37 Модель поверхности трёхгранного угла 24 Модуль вектора 199 Наклонная к прямой 98 Наложение одной фигуры на другую 14 Направленный отрезок 190 Начало ломаной 34 Начало луча 18 Невыпуклый многогранный угол 26 Непростая ломаная 34 Нулевой вектор 200 Образующая конуса 87 Объём 178 Окружность 55 Октаэдр 50 Описанный около окружности треугольник 264 Орнамент 192 Ортоцентр треугольника 97 Осевая симметрия 99 312 Основание высоты треугольника конуса перпендикуляра пирамиды Основные свойства гомотетии 96 87 92 47 236, 237 Откладывание вектора от точки 199 Отрезок 11 Палетка 168 Параллакс 255 Параллелограмм 143 Параллельные прямые 120 Параллельный перенос 189 Паркет 193 Пересекающиеся прямые 84 Периметр треугольника 32 Перпендикуляр к прямой 91 Перпендикулярные прямые 91 Пирамида 47 ге-угольная выпуклая невыпуклая треугольная четырёхугольная пятиугольная Платоновы тела Плоскость 47 48 48 47 47 47 49 9 Площадь 167 круга 282 параллелограмма 175 произвольного треугольника 172 трапеции 177 Поверхность трёхгранного угла 24 Поворот фигуры вокруг точки 73 Подобные треугольники 220 Подобные фигуры 219 Правило параллелограмма для сложения двух векторов 201 Правило треугольника для сложения двух векторов 200 Правильная треугольная пирамида 47 Преобразование подобия 237 Признаки параллельности прямых 129, 130 Признаки равенства прямоугольных треугольников 132, 142 Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними 66 по стороне и двум прилежащим к ней углам 67 по трём сторонам 62 Признаки подобия треугольников 223, 226, 228 Проекция точки на прямую 110 Произведение вектора на число 206 Пространство 9 Противоположные векторы 205 Прямая 9 Прямой круговой конус 87 Прямоугольник 37, 154 Равенство отрезков 14 Равенство углов 21 Равновеликие фигуры 169 Равные векторы 199 Равные отрезки 14 Равные треугольники 60 Равные углы 21 313 Радиус круга 56 окружности 55 Развёртка поверхности конуса 87 поверхности многогранника 39 поверхности треугольной пирамиды 48 поверхности трёхгранного угла 24 Разность векторов 206 Расстояние между двумя точками 9, 12 Ребро пирамиды 47 трёхгранного угла 24 Решение прямоугольного треугольника 251 Ромб 154 Свойства вписанных в окружность четырёхугольников 265 Сектор круга 243 Секунда 20 Секущая двух прямых 128 окружности 57 Серединный перпендикуляр к отрезку 101 Симметрия относительно прямой (осевая) 98, 99 относительно точки (центральная) 75 Синус угла 244 Скалярная величина 196 Скрещивающиеся прямые 121 Сложение векторов 200 Смежные углы 22 Соотношения между сторонами и углами треугольника 106, 107 Средняя линия трапеции 156 треугольника 151 Сторона многоугольника 30 треугольника 31 угла 19 Сумма векторов 200 Сфера 56 Тангенс угла 247 Теорема косинусов 252 Теорема о свойстве внешнего угла треугольника 85 Теорема о сумме внутренних углов треугольника 131 Теорема Пифагора 171 Теорема синусов 254 Теорема Эйлера 50 Тетраэдр 50 Топология 50 Точка 9 Точки, симметричные относительно прямой 98 Точки, симметричные относительно центра симметрии 75 Трапеция 155 прямоугольная 155 равнобедренная 156 Треугольник 31 прямоугольный 33 равнобедренный 32 равносторонний 32 314 Угол 19 многогранный 25 острый 21 прямой 21 развёрнутый 19 трёхгранный 23 тупой 21 Умножение вектора на число 206 Условие теоремы 148 Фигуры выпуклые 20 имеющие ось симметрии 100 не вы пук лые 20 основные 9 плоские 10 симметричные друг другу относительно центра симметрии 76 симметричные друг другу относительно оси 98 центрально-симметричные 77 Хорда окружности 56 Центр окружности 55 правильного многоугольника 277 Центральная симметрия 75 Центральный угол 242 Циркуль 58 Число п 281 Шар 56 315 СОДЕРЖАНИЕ! Как работать с учебником ...................................... 3 Раздел 1. Геометрические фигуры Глава 1. Основные геометрические фигуры 1.1. Понятие геометрической фигуры ......................... 9 1.2. Отрезки и их длины .................................... 11 Глава 2. Углы 2.1. Углы на плоскости...................................... 18 2.2. Смежные углы .......................................... 22 2.3. Что такое трёхгранный угол ............................ 23 2.4. Многогранные углы ..................................... 25 Глава 3. Треугольники, многоугольники, многогранники 3.1. Треугольник. Свойства его сторон и углов .............. 31 3.2. Многоугольники......................................... 34 3.3. Углы многоугольников. Правильные многоугольники........ 36 3.4. Знакомство с многогранниками........................... 38 Глава 4. Пирамиды 4.1. Понятие пирамиды. Виды пирамид ........................ 46 4.2. Развёртки поверхностей пирамид ........................ 48 4.3. Общее представление о правильных многогранниках ....... 49 4.4. Теорема Эйлера ........................................ 50 Раздел 2. Изометрии и равенство фигур Глава 5. Задачи на построение 5.1. Определения и некоторые свойства круглых фигур ........ 55 5.2. Основные чертёжные инструменты и решение задач на построение .............................................. 58 5.3. Понятие равенства треугольников. Первый признак равенства треугольников..................................... 59 5.4. Другие признаки равенства треугольников................ 65 Глава 6. Изометрии 6.1. Поворот. Геометрические преобразования................. 72 6.2. Центральная симметрия. Изометрия ...................... 74 6.3. Центрально-симметричные фигуры и их свойства .......... 77 Раздел 3. Взаимное расположение прямых Глава 7. Пересекающиеся прямые 7.1. Понятие пересекающихся прямых. Вертикальные углы....... 84 7.2. Конус. Развёртка конуса................................ 86 316 Глава 8. Перпендикулярные прямые 8.1. Перпендикулярность прямых............................... 91 8.2. Построение перпендикулярных прямых...................... 92 8.3. Высота треугольника..................................... 96 8.4. Осевая симметрия и её применение........................ 97 8.5. Оси симметрии отрезка. Серединный перпендикуляр к отрезку................................................... 101 8.6. Оси симметрии некоторых круглых фигур.................. 103 8.7. Оси симметрии угла и равнобедренного треугольника...... 104 8.8. Геометрические места точек ............................ 108 8.9. Перпендикуляр и наклонная.............................. 109 8.10. Касательная к окружности.............................. 111 Глава 9. Параллельные прямые 9.1. Понятие параллельности прямых.......................... 120 9.2. Параллельность прямых и центральная симметрия.......... 122 9.3. Параллельность и перпендикулярность прямых............. 124 9.4. Аксиома параллельных. Построение параллельных прямых ........................................ 125 9.5. Пересечение двух прямых секущей........................ 128 9.6. Признаки параллельности прямых......................... 129 9.7. Свойства параллельных прямых и секущей................. 130 9.8. Теорема о сумме углов треугольника..................... 131 9.9. Свойства углов треугольников и многоугольников......... 133 9.10. Неевклидова геометрия................................. 134 Глава 10. Параллелограмм, ромб, трапеция 10.1. Параллелограммы....................................... 143 10.2. Центр симметрии параллелограмма....................... 145 10.3. Признаки параллелограмма.............................. 146 10.4. Обратные теоремы...................................... 148 10.5. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника............ 149 10.6. Ромб.................................................. 154 10.7. Трапеция ............................................. 155 Глава 11. Площади и объёмы 11.1. Знакомство с площадями фигур.......................... 167 11.2. Площадь прямоугольника. Площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда ...................... 169 11.3. Теорема Пифагора ..................................... 171 11.4. Площадь треугольника.................................. 172 11.5. Площадь параллелограмма .............................. 175 11.6. Площадь трапеции и произвольного многоугольника....... 177 11.7. Знакомство с объёмами фигур........................... 178 317 Раздел 4. Векторы Глава 12. Параллельный перенос 12.1. Что такое параллельный перенос........................ 189 12.2. Свойства параллельного переноса....................... 191 12.3. Орнаменты, бордюры, паркеты .......................... 192 Глава 13. Векторы и операции с ними 13.1. Что такое вектор...................................... 196 13.2. Коллинеарные и компланарные векторы................... 197 13.3. Равенство векторов ................................... 199 13.4. Сложение векторов..................................... 200 13.5. Свойства операции сложения векторов на плоскости...... 201 13.6. Правило параллелепипеда для сложения векторов......... 204 13.7. Разность векторов..................................... 205 13.8. Операция умножения вектора на число и её свойства..... 206 13.9. Признак коллинеарности векторов....................... 207 13.10. Разложение вектора на составляющие................... 208 13.11. Применение векторов для решения задач................ 210 Раздел 5. Подобие и гомотетия Глава 14. Подобие треугольников 14.1. Понятие подобных треугольников........................ 219 14.2. Первый признак подобия треугольников.................. 221 14.3. Другие признаки подобия треугольников................. 226 14.4. Свойства подобных многоугольников..................... 228 Глава 15. Гомотетия 15.1. Понятие гомотетии..................................... 234 15.2. Свойства гомотетии.................................... 236 15.3. Гомотетии и изометрии................................. 237 Раздел 6. Синус и косинус. Метрические соотношения в треугольнике Глава 16. Синус и косинус 16.1. Центральные углы и дуги окружности.................... 242 16.2. Определение синуса и косинуса......................... 243 16.3. Синус и косинус острых углов в прямоугольном треугольнике.................................245 16.4. Тангенс и котангенс....................................247 Глава 17. Метрические соотношения в треугольнике 17.1. Решение треугольников. Теорема косинусов.............. 251 17.2. Ещё одна формула для вычисления площади треугольника................................................ 253 17.3. Теорема синусов....................................... 254 318 Раздел 7. Вписанные и описанные многоугольники Глава 18. Свойства и признаки вписанных и описанных многоугольников 18.1. Вписанные углы....................................... 260 18.2. Вписанные и описанные треугольники................... 263 18.3. Вписанные и описанные четырёхугольники............... 265 Глава 19. Правильные многоугольники 19.1. Вписанные и описанные окружности для правильных многоугольников............................. 274 19.2. Построение правильных многоугольников................ 277 19.3. Формулы для вычисления стороны, периметра и площади правильного многоугольника....................... 278 19.4. Длина окружности..................................... 280 19.5. Площадь круга ....................................... 282 Ответы.........................................................288 Указатель аксиом.............................................. 299 Указатель теорем ............................................. 300 Указатель определений......................................... 305 Тематический указатель ....................................... 311 319 Козлова Светлана Александровна, Рубин Александр Григорьевич Гусев Валерий Александрович ГЕОМЕТРИЯ 7-9 классы Подписано в печать 26.05.15. Формат 70х90/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Объём 20 п.л. Тираж 4 000 экз. Заказ № Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 - литература учебная Издательство «Баласс». 109147 Москва, Марксистская ул., д. 5, стр. 1 Почтовый адрес: 111123 Москва, а/я 2, «Баласс» Телефоны для справок: (495) 368-70-54, 672-23-12, 672-23-34 https://www.school2100.ru E-mail: [email protected] Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство “Высшая школа”» 214020 Смоленск, ул. Смольянинова, 1