2 + sin2(p(Xj - + cos2(p(y, - Уз)^ +
+ Sin2(p(yi - У2>2 -I- (Zj - Z2>2 =
= 7(^1 - + (i/l - У2)^ + (2l - Zzf = \AB\.
Таким образом, при повороте вокруг оси расстояние между точками сохраняется. Значит, поворот пространства вокруг оси — движение, что и требовалось доказать. Т
Приведем другой способ доказательства этого утверждения. Пусть А и В — данные точки, А' = Rf (А) иВ' = R'f (В) — их образы при поворюте вокруг оси I на угол <р. Докажем, что длины отрезков АВ и А'В' равны.
Если отрезок АВ лежит в плоскости, перпендикулярной прямой /, то АВ = А'В' (из планиметрии).
Рассмотрим случай, когда прямые АВ и I скрещиваются и не перпендикулярны.
Проведем через точки Ан В плоскости соответственно аир, перпендикулярные оси вращения I. Обозначим: В = а п /, Н = = Р п Z (рис. 33).
Опустим из точки В перпендикуляр ВС на плоскость а.
В плоскости а рассмотрим поворот в плоскости р — поворот Л^. Пусть А' = Л;^(А), С' = Л|(С). В' = Л^(В).
Так как поворот плоскости есть движение, то получаем
(Л;^(А) = А', КЦС) = С') => АС = А'С'. Имеем
ВС 1 а, /1 а => вер
а1/, р±/ => а||р => ВН = СЕ. ВС = НЕ. ВС\\НЕ.
42
I
Глава 1
Преобразования пространства
Поэтому (учитывая, что В' = R'^{B), С = Щ-(С)) отрезки НВ и ЕС, равны и параллельны. Значит, отрезок В'С равен и параллелен отрезку НЕ.
Таким образом,
ВС = НЕ, ВС\\НЕ В'С = НС, В'С'\\НЕ
Следовательно, В'С _L а.
Тогда
В'С = ВС, В'С'ЦВС.
{АС = А'С, ВС = В'С, Z АСВ = Z А'С'В' = 90°) =>
=> Л АСВ = Л А'С'В' ^АВ= А'В',
что и требовалось доказать.
Случаи, когда прямые АВ и I лежат в одной плоскости, рассмотрите самостоятельно.
Так как поворот вокруг оси есть движение пространства, то при этом повороте всякая фигура отображается на равную ей фигуру.
ш
Замечание. Пусть Л и С — произвольные точки пространства такие, что полуплоскости а = (Л А) и р = = {I, С) образуют двугранный угол ср = Z (а, Р). Поворот Rf отображает точки А и С на такие точки соответственно А' и С, что ZAOA' = ф = Z СО^С, где О е I, е I, ОА ± I, ОА' ± I, OjC -L I, OjC' -L 1. Это означает, что при повороте Rf все полуплоскости, границей которых является ось вращения, поворачиваются вокруг этой оси на один и тот же угол ф в одном и том же направлении.
6.2. Свойства поворота вокруг ОСИ и осевой симметрии
При повороте вокруг оси I на угол ф / 180° ‘П, п е Z:
— неподвижной является лишь каждая точка оси вращения;
— единственной неподвижной прямой является ось поворота: на ней индуцируется тождественное преобразование;
— неподвижной является любая плоскость, перпендикулярная оси вращения: в каждой из этих плоскостей индуцируется поворот на угол ф вокруг точки ее пересечения с осью I. Других неподвижных плоскостей при повороте вокруг оси не существует.
43
§ 6. Поворот вокруг оси
Кроме того:
— поворот — движение первого рода (для доказательства достаточно рассмотреть уже знакомый нам тетраэдр ОАВС, у которого точки О и С лежат на оси вращения, а точки В и С — в плоскости, перпендикулярной оси);
— композиция двух поворотов вокруг одной и той же оси есть поворот вокруг этой же оси;
— преобразование, обратное повороту есть поворот
■ ЗАДАЧА (1.112). Даны две точки А и С. а) При каком повороте одна из них отображается на другую? б) При каком повороте каждая из них отображается на другую? в) Какую фигуру заполняют оси всех таких поворотов в каждом случае? Ответ поясните на рисунке.
Решение, а) Из планиметрии известно, что центры всех поворотов плоскости, при которых точка Л отображается на точку С, принадлежат серединному перпендикуляру отрезка АС.
Проведем через середину О отрезка АС плоскость а, перпендикулярную АС (рис. 34).
В этой плоскости лежат все прямые пространства, проходящие перпендикулярно отрезку АС через его середину точку О.
Пусть а — одна из таких прямых. Проведем через прямые АС и а плоскость р. Любая точка М прямой а является центром поворота плоскости р, при котором точка А отображается на точку С. Значит, прямая I, проведенная через точку М перпендикулярно плоскости р, лежит в плоскости а и является осью поворота пространства, при котором точка А отображается на точку С.
Из сказанного следует, что любая прямая плоскости а, перпендикулярная прямой а, является осью поворота пространства, при котором точка А отображается на точку С. Все оси таких поворотов образуют в плоскости а пучок прямых, параллельных прямой I, и заполняют эту плоскость.
Изменяя положение прямой а (вращая ее вокруг точки О), будем получать новые положения плоскости р и новые повороты, оси которых будут расположены в плоскости а и параллельны новому положению (направлению) прямой Рис. 34
I I Глава 1
Преобразования пространства
I _L (3; при любом из таких поворотов точка А отображается на
С. Каждый раз эти оси будут образовывать пучок параллельных прямых и заполнять одну и ту же плоскость а.
Таким образом, осью поворота, отображающего точку А на точку С, может быть любая прямая плоскости а, проходящей перпендикулярно отрезку АС через его середину О.
б) Рассмотрим прямую с, проходящую перпендикулярно отрезку АС через его середину О (см. рис. 34). Эта прямая лежит в плоскости а (АС _L а). Поворот вокруг прямой с на угол 180° отображает точки А и С одну на другую: = С и
R^°(C) = А. Все такие прямые образуют пучок с центром О и заполняют плоскость а.
Ответ; а) Повороты вокруг любой прямой плоскости а, проходящей перпендикулярно отрезку АС через его середину;
б) повороты на 180° вокруг любой прямой, проходящей перпендикулярно отрезку АС через его середину;
в) оси поворотов (всех) заполняют плоскость а.
Поворот вокруг оси I на угол ф = 180° называется осевой симметрией пространства и обо.значается Si- Ось вращения называется осью симметрии. Таким образом, Rj^ =
При осевой симметрии (повороте вокруг оси на угол 180°):
— неподвижной является каждая точка оси симметрии и других неподвижных точек не существует;
— неподвижной прямой является ось симметрии (на ней индуцируется тождественное преобразование) и любая прямая, пересекающая ось симметрии и ей перпендикулярная (на каждой из этих прямых индуцируется центральная симметрия относительно точки ее пересечения с осью симметрии);
— неподвижной является любая плоскость, перпендикулярная оси (в каждой такой плоскости индуцируется центральная симметрия относительно точки ее пересечения с осью симметрии);
45
§ 6. Поворот вокруг оси
— осевая симметрия — движение первого рода;
— преобразование, обратное осевой симметрии, есть эта же осевая симметрия, следовательно, композиция двух осевых симметрий относительно одной и той же оси есть тождественное преобразование.
Осевую симметрию можно изучать и вне связи с поворотом вокруг оси.
Пусть дана некоторая прямая I. Выберем любую точку Mil.
Определение. Точка М' пространства называется симметричной точке М относительно прямой I, если отрезок ММ' перпеццикулярен прямой I и делится этой прямой пополам. Каждая точка прямой I считается симметричной самой себе относительно этой прямой (рис. 35). Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка отображается на точку, симметричную ей относительно прямой I, называется осевой симметрией пространства относительно прямой I. Образом любой точки прямой I считается сама эта точка.
Прямая I называется осью симметрии.
Осевая симметрия пространства с осью I обозначается S,. Если точка М (фигура F) осевой симметрией S, отображается на точку М' (фигуру F'), то пишут: 5ДМ) = M'(S/(F) = F').
Если при симметрии относительно прямой I фигура F отображается на себя, то прямую L называют осью симметрии этой фигуры.
На плоскости у квадрата 4 оси симметрии (рис. 36), а в пространстве их 5 (прямая I, проходящая через центр квадрата перпендикулярно плоскости этого квадрата, также является его осью симметрии) (рис. 37). Прямая /п, проходящая через центры оснований куба (рис. 38), является осью симметрии куба.
Д, _________(
( I
t I
1 I
( I
/
в
Рис. 38
46
Глава 1
Прео6р>азования пространства
Докажите это и найдите другие оси симметрии куба.
Заметим, что осевую симметрию пространства можно задать осью симметрии или двумя парами соответствующих точек А, А' и С, С' таких, что четырехугольник АССА' — параллелограмм. (Подробнее об осевой симметрии вы, при желании, можете прочесть в дополнениях.)
■ ЗАДАЧА (1.107). Сколько осей симметрии имеет: а) правильный тетраэдр; б) правильная четырехугольная пирамида? Поясните ответ на рисунке.
Решение, а) Пусть точки Е и К — середины ребер соответственно АВ и PC правильного тетраэдра РАВС (рис. 39). Тогда Д РСЕ — равнобедренный (ЕС = ЕР, как медианы равных равносторонних треугольников АВС и АВР), поэтому ЕК L PC.
Аналогично, ААВК — равнобедренный (АК = ВК), откуда ЕК ± АВ. Таким образом, прямая I = ЕК является общим серединным перпендикуляром отрезков АВ и СР. Поэтому при симметрии относительно прямой I имеем ВДРС) = СР, S,(AB) = ВА, S,(A) = В, S,(C) = Р => ВДАС) = ВР, ВДА) = В; ВДР) = С ^ ВДАР) = ВС.
Это означает, что симметрия относительно прямой I вершины, ребра и грани тетраэдра РАВС отображает на вершины, ребра и грани этого же тетраэдра, т. е. данный тетраэдр при симметрии относительно прямой I отображается на себя. Следовательно, прямая I является осью симметрии тетраэдра РАВС.
Аналогично, осями симметрии тетраэдра РАВС являются еще две прямые, одна из которых проходит через середины ребер АР и ВС, другая — через середины ребер АС и ВР.
Таким образом, правильный тетраэдр имеет три оси симметрии.
6.3. Зеркальный поворот и винтовое движение
Зеркальный поворот — это композиция поворота на угол Ф вокруг оси а и симметрии В„ относительно плоскости а, перпендикулярной этой оси (рис. 40).
47
§ 6. Поворот вокруг оси
При зеркальном повороте на угол (р ф 180° чг, п е Z:
— единственной неподвижной точкой является точка пересечения плоскости а с осью поворота;
— неподвижной прямой является ось поворота и только она; на ней индуцируется центральная симметрия относительно точки пересечения оси вращения и плоскости симметрии;
— единственной неподвижной плоскостью является плоскость а; в ней индуцируется поворот на угол <р вокруг точки ее пересечения с осью вращения.
Заметим, что:
— зеркальный поворот — движение второго рода;
— движение, обратное зеркальному повороту, есть зеркальный поворот относительно той же плоскости симметрии и той же оси вращения на угол, противоположный данному. Свойства зеркального поворота при ф = 180° • л, п е Z рассмотрите самостоятельно.
Винтовое движение — это композиция поворота на угол Ф вокруг оси а и переноса на вектор р, который параллелен этой оси (рис. 41).
При винтовом движении (если угол ф ^ 180° • л, л е 2!):
— неподвижных точек нет;
— неподвижной прямой является ось поворота, и только она; на ней индуцируется параллельный перенос;
— неподвижных плоскостей нет.
Кроме того:
— винтовое движение — движение первого рода;
— композиция двух винтовых движений относительно одной и той же оси есть винтовое движение относительно той же оси. При этом угол поворота равен сумме углов поворотов, а вектор переноса — сумме векторов переносов;
48 I Глава 1
Преобразования пространства
преобразование, обратное винтовому движению, есть винтовое движение вокруг той же оси; при этом угол поворота и вектор переноса соответственно противоположны данным углу поворота и вектору переноса.
§ 7. Взаимосвязь различных движений пространства
7.1. Композиция двух симметрий относительно плоскости
В п. 5.4 мы уже говорили о соотношении композиции двух центральных симметрий и параллельного переноса.
Теперь исследуем вопрос о композиции двух симметрий относительно плоскостей аир.
Возможны следующие случаи взаимного расположения плоскостей симметрии а и Р:
1) плоскости аир пересекаются по некоторой прямой I:
а Г1 р = Z;
2) плоскости аир параллельны: а||Р;
3) плоскости аир совпадают: а = р.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1) а п р = Z, Z (а, р) = ф (рис. 42). Выберем любую точку М (М г а, М г Р) и проведем через нее плоскость у, перпендикулярную I', О — I глу.
Пусть М' = S„(M), М" = Sp(M'). Тогда MM'la, Zca^ MM'IZ; М'М"1 p.Zcp => М'М" LI.
Так как все прямые пространства, проходящие через точку М' перпендикулярно прямой I, лежат в одной плоскости, перпендикулярной I, то точки М, М', М" лежат в плоскости у. Имеем:
ОМ = ОМ' = ОМ", Z МОМ" = 2Z КОН = 2ф,
где К = ММ' п а, Я = М'М" п р. Значит, М" = Rf^M).
Таким образом, получили (5р°5„) (М) = М", Rf'i’(M) = М". На основании определения равенства двух преобразований приходим к выводу: SpOS„ = т. е. композиция двух симметрий относительно пересекающихся плоскостей, есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей на удвоенный угол между ними.
§ 7. Взаимосвязь различных движений прострзнства
1
49
В частности, если плоскости аир взаимно перпендикулярны (ф = 90°), то композиция Sp°S„ является осевой симметрией относительно прямой, по которой эти плоскости пересекаются: а J. р, а п р = / => Sp° S„ = S;.
2) а||р. Пусть М — любая точка пространства, SJ^M) = М', Sp(M') = ЛГ (рис. 43).
Так как ММ' 1. а, М'М" J. р, а||р, то точки М, М', М" лежат на одной прямой а, перпендикулярной плоскостям аир. При этом точки А = апаиВ = а±р являются серединами отрез-
ков соответственно ММ' и М'М", значит, ММ" = 2АВ. Следовательно, 2АВ{М) = М".
Таким образом, (Sp°S„)(M) = Sp(S„(M)) = Sp(M') = М", 2АВ(М) = М".
В силу произвольного выбора точки М и на основании определения равенства двух преобразований приходим к выводу: композиция двух симметрий относительно параллельных плоскостей есть параллельный перенос на вектор, который перпендикулярен этим плоскостям и имеет длину, равную удвоенному расстоянию между ними.
3) а = р. В п. 4.1 мы уже говорили, что в этом случае S^°S^ = = Е — тождественное преобразование (перенос на нулевой вектор).
Заметим, что справедливы обратные утверждения: поворот вокруг оси может быть разложен (неоднозначно) в композицию зеркальных отражений от плоскостей, пересека)ощихся по оси поворота под углом, равным половине угла поворота; аналогично, параллельный перенос может быть разложен
Рис. 43
50 I Глава 1
Преобразования пространства
{неоднозначно) в композицию зеркальных отражений от плоскостей, перпендикулярных вектору переноса, расстояние между которыми равно половине длины вектора переноса.
Разложение поворота и переноса в композицию двух плоскостных симметрий находит применение при решении разнообразных задач на построение, вычисление и доказательство.
ШШ Докажем, например, что любые два равных отрезка, лежащие на скрещивающихся прямых, можно совместить некоторым поворотом вокруг оси. (Полезно динамику доказательства проиллюстрировать на самостоятельно выполненном вами рисунке.)
Пусть два равных отрезка АВ и AjBj лежат на скрещивающихся прямых р и q. При симметрии относительно плоскости а серединных перпендикуляров отрезка AAj имеем: S„(A) = = Aj, Sg(B) = В', причем точка В' не совпадает с Bj (прямые АВ и AjBj скрещиваются). Затем рассмотрим симметрию относительно плоскости Р серединных перпендикуляров отрезка B'Bj. Так как AjB' = AjBj, то AAjB'Bj — равнобедренный и точка Aj лежит в плоскости р. Тогда Sp(Aj) = Sp(B') = Bj. Таким образом, (Sp°S„)(AB) = AjBj. Но плоскости а и р не параллельны (почему?), значит, композиция двух симметрий и Sp, отображающая отрезок АВ на равный ему отрезок AjBj, является поворотом вокруг прямой пересечения плоскостей а
и р. Утверждение доказано. ^
7.2. Виды движений пространства
Нами изучены четыре основных вида движений пространства:
— центральная симметрия;
— зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости);
— параллельный перенос;
— поворот вокруг оси (в частности, осевая симметрия).
Мы рассматривали также композиции некоторых двух из этих четырех основных видов движений пространства. В ряде случаев такой композицией оказывалось одно из тех же четырех основных движений. Например, композицией двух зеркальных симметрий является либо поворот вокруг оси, либо параллельный перенос.
51
§ 7. Взаимосвязь различных движений пространства
Вместе с тем, композицией некоторых двух из основных видов движений оказывалось новое движение пространства, не совпадающее ни с одним из основных его видов. Например:
— композицией зеркальной симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный плоскости симметрии, является скользящая симметрия;
— композицией зеркальной симметрии и поворота вокруг прямой, перпендикулярной плоскости симметрии, является зеркальный поворот;
— композицией поворота вокруг оси и переноса на вектор, параллельный оси поворота, является винтовое движение.
Таким образом, получили семь различных видов движений пространства.
Попробуйте начертить в тетради и заполнить следующую таблицу:
Виды движения Неподвижные точки Неподвижные прямые Неподвижные плоскости Ориентация
Центральная симметрия
Зеркальная симметрия
Параллельный перенос
Поворот вокруг оси
Скользящая симметрия
Зеркальный поворот
Винтовое движение
Возникает вопрос: существуют ли какие-либо другие, отличные от семи перечисленных, виды движений пространства?
<=> Напомним, что вопрос о существовании различных видов движений плоскости был решен французским математиком и
52 I Глава 1
Преобразования пространства
механиком Мишелем Шалем (1793—1880). Он доказал, что «Любое движение плоскости, сохраняющее ориентацию треугольника (движение первого рода), есть либо параллельный перенос, либо поворот (в частности, центральная симметрия). Любое движение плоскости, изменяющее ориентацию треугольника (движение второго рода), является осевой или скользящей симметрией». ^
Аналогичная теорема имеет место и в пространстве:
«Любое движение пространства, сохраняющее ориентацию тетраэдра (движение первого рода), есть либо параллельный перенос, либо поворот вокруг оси (в частности, осевая симметрия), либо винтовое движение. Любое движение пространства, изменяющее ориентацию тетраэдра (движение второго рода), представляет собой либо зеркальную симметрию, либо скользящую симметрию, либо зеркальный поворот (в частности, центральную симметрию — зеркальный поворот на угол 180°)».
Мы примем эту замечательную теорему без доказательства.
Заметим, что если движение § пространства отображает ортонормированный базис (г, у, k) на ортонормированный базис (г', у", k'), то декартова прямоугольная система координат Охуг, соответствующая базису (i, у, k), отображается движением g на декартову прямоугольную систему координат О'х'у'2', соответствующую базису (/', у", k'). Более того, если при этом движении образом любой точки М является точка М', то координаты точки М' в системе координат О'х'у'г' равны соответствующим координатам точки М в системе координат Охуг.
Справедливо обратное утверждение. Заданием в пространстве двух ортонормированных базисов (i, у, k) и (i', у”, к') (двух прямоугольных систем координат Охуг и О'х'у'г') однозначно определяется некоторое движение g пространства, если образом точки М с координатами х, у, г в системе координат Охуг считать точку М' с такими же координатами в системе координат О'х'у'г'. (Это утверждение легко доказывается в координатах с помощью формулы расстояния между двумя точками.)
Если теперь ввести обозначения: ОА = i, ОВ = у, ОС = к.
О'А' = i'. O'В' = O'С = к', то получаем два равных тетраэдра
ОАВС и О'А'В'С (свойства этих тетраэдров понятны из постро-
53
§ 7. Взаимосвязь различных движений пространства
ения). Назовем их базисными тетраэдрами. Тогда предыдущее утверждение можно сформулировать так: движение пространства может быть задано двумя равными базисными тетраэдрами О АВС и О'А'В'С или для любых двух равных базисных тетраэдров О АВС и О'А'В'С существует единственное движение, отображающее тетраэдр О А ВС на тетраэдр О'А'В'С.
Более того, не только заданием двух равных базисных тетраэдров определяется движение пространства. Движение пространства может быть определено двумя любыми равными тетраэдрами ОАВС и O^A^B-fi^, т. е. такими, что ОА = OjA^, ОВ = OjBi, ОС = OiCj, АС = AiCi. ВС = В^С^.
Принимая это во внимание, изложим идею доказательства того, что любое движение пространства можно представить в виде композиции не более четырех симметрий относительно плоскости. (Для наглядной иллюстрации каждого из этапов предстоящего рассуждения можно выполнить соответствующий рисунок.)
Пусть движение h задано двумя равными тетраэдрами ОАВС и OjAiBjCi, где тетраэдр OjAjBjCi — образ тетраэдра ОАВС при движении h.
Если а — плоскость серединных перпендикуляров отрезка OOj, то S„(0) = Oj. Пусть при этой симметрии; S„(A) = А', S„(B) = в'. S„(C) = С (если первоначально точки О и Oj совпадают, то преобразование симметрии не требуется).
Если теперь Р — плоскость серединных перпендикуляров отрезка АА^, то эта плоскость проходит через точку Oj (Л A'OiAj — равнобедренный, так как OjA' = О^А^ и Sp(Oj) = = Oj, Sp(A') = Aj). Пусть при этой симметрии: Sp(B') = В", Sp(C^ = = с" (если после симметрии S„ точки А' и Aj совпали, то преобразование симметрии Sp не требуется).
Далее, если у — плоскость серединных перпендикуляров отрезка B"Bi, то в ней лежат точки Oj AjB"Bj и OjB"Bi — равнобедренные), значит, S^Oj) S/Ai)=Ai,S^B") = B,.
Пусть S^C*') — С" (если после преобразования Sp точки В" и Bj совпали, то преобразование S^ не требуется).
Получили: композиция 5^°5р°5„ трех плоскостных симметрий отобразила А ОАВ на Л OjA^B^ (совместила треугольник ОАВ с треугольником OjAjBj). Если при этом точка С"
и Aj (треугольники
О,
54
I
Глава 1
Преобразования пространства
совместилась с точкой C^, то для совмещения тетраэдра ОАВС с тетраэдром OjAjBjCj мы обошлись не более чем тремя симметриями; если совмещения точки С"' с точкой Cj не произошло, то применим четвертую симметрию — симметрию относительно плоскости 5 = (OjAjBj), в результате чего точка С'" совместится с точкой Cj, а следовательно, и тетраэдр OjAjBjC'" — с тетраэдром О^А-^В^Су
Итак, композиция не более четырех плоскостных симметрий отобразила тетраэдр ОАВС на равный ему тетраэдр OjAjBjCj. Но движение h также отображает тетраэдр ОАВС на тетраэдр OjAjBjCj. На основании определения равенства двух преобразований приходим к выводу, который примем за теорему.
Теорема 5. Всякое движение пространства есть композиция не более четырех симметрий относительно плоскости.
Прокомментируем содержание этой теоремы следующим образом.
Пусть g — любое движение пространства. Если g — перенос или поворот вокруг оси (включая осевую симметрию), то ^ = = Sp°S„, где аир — соответственно пересекающиеся или параллельные плоскости; если g — центральная симметрия, то g = Sy° Sp° S^, где плоскости а, Р и у попарно взаимно перпендикулярны; если g — симметрия относительно плоскости а, то ^ = Sg°S^°Sp, где плоскости Р, у и 5 параллельны а; если g — зеркальный поворот, то ^ = S^° Sp° S„, где плоскости Р и у пересекаются по прямой, перпендикулярной плоскости а; если g — скользящая симметрия, то ^ = S^°Sp°S„, где плоскости р и у параллельны между собой, но перпендикулярны плоскости а; если g — винтовое движение, то ^ = Sg° Sp° S„, где
плоскости аир параллельны, а плоскости у и 5 пересекаются по прямой, перпендикулярной аир.
Таким образом, действительно, любое движение пространства можно разложить в композицию не более четырех симметрий относительно плоскости, и два равных тетраэдра можно совместить композицией не более чем двух из четырех основных движений пространства или одним из перечисленных выше семи движений. При этом любое движение первого рода представимо в виде композиции двух или четырех зеркальных симметрий, а движение второго рода есть либо зеркаль-
55
§8. Гомотетия и подобие пространства
ная симметрия, либо представимо в виде композиции трех зеркальных симметрий относительно трех плоскостей.
Попробуйте доказать, что для совмещения любых двух равных тетраэдров нельзя обойтись лишь композицией нескольких параллельных переносов и поворотов вокруг оси.
§ 8. Гомотетия и подобие пространства
8.1. Определение гомотетии пространства
Пусть О — данная точка пространства, к — данное число, к ^0. Зададим следующее отображение пространства на себя. Образом произвольной точки М пространства будем считать такую
точку М\ что ОМ' = ком (рис. 44).
Точка М имеет единственный образ — точку М'. Более того,
из равенства ОМ' = кОМ находим ОМ = \ ОМ'. Это означает,
к
что точка М' имеет единственный прообраз — точку М, которая
получается, если вектор ОМ' умножить на число . Следова-
к
тельно, мы имеем биективное (взаимно-однозначное) отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют гомотетией с центром О и коэффициентом к. Заметим, что точка О отображается сама на себя.
Определение. Гомотетией пространства с центром О и коэффициентом к ^ О называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М', что ОМ' = кОМ.
Гомотетию с центром О и коэффициентом к обозначают Н^. Если при этой гомотетии точка М отображается на точку М', то пишут Н^(М) = М' или М' = Н^(М) и говорят, что точка М' гомотетична точке М. Аналогично определяются гомотетичные фигуры.
При к = 1 гомотетия является тождественным преобразованием, а при к = —1 — центральной симметрией с центром в центре гомотетии. Рис. 44
56 I Глава 1
Преобразования пространства
Из равенства ОМ' = kOM находим ОМ = 1оМ', откуда сле-
к
дует, что точка М является образом точки М' при гомотетии
с центром О и коэффициентом 1. Это означает, что преобразо-
k
ванне, обратное гомотетии есть гомотетия с тем же
J 1
центром О и коэффициентом, равным = Н^.
Изучите взаимное расположение точек О, А и А' = Н^(А) при:
— /г < 0;
— о < А < 1;
— й = 1;
— * > 1.
Рассмотрим композицию двух гомотетий Я^‘ и с общим центром О и коэффициентами Aj и Ag (*i 0, ftg 0).
Пусть М — произвольная точка пространства. Тогда образом точки М при гомотетии является такая точка М', что
ОМ' = куОМ. При последующей гомотетии образом точки
М' является такая точка М", что ОМ" = к^ОМ' (рис. 45).
Имеем ОМ" = fegOM' = (Ag * ку)ОМ = (Aj • Ag)OM. Из этого равенства следует, что точка М отображается на точку М" при гомотетии с центром О и коэффициентом, равным ку • ftg, т. е.
Я^'*ЧМ) = М".
Таким образом, композицией двух гомотетий с общим центром О и коэффициентами ку и Ag является гомотетия
с центром О и коэффициентом ку • Ag: Я^' ° = Я^'*Ч
1 I 1к
В частности, Н^°= Hq = Hq = Е, т. е. композиция двух гомотетий с общим центром и взаимно обратными коэффициентами является тождественным преобразованием.
8.2. Формулы и свойства гомотетии пространства
Выведем формулы гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом А.
Пусть М(х; у; z) — произвольная точка пространства, М'(х'; у'; Z') — ее образ при гомотетии Я^ (рис. 46).
57
§8. Гомотетия и подобие пространства
По определению гомотетии ОМ' = kOM. Это векторное равенство в координатной форме равносильно системе равенств
X' = kx, у’ = ky, г’ = кг. (1)
Соотношения (1) называются формулами гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом к.
I Теорема 6. При гомотетии с коэффициентом к рас-I стояние между точками изменяется в |ft| раз.
Доказательство. Рассмотрим гомотетию Пусть
A(Xj; j/j; 2j), С(Х2; у2', — данные точки; А'(х[; у[; z'j).
С(х'2’, у'2‘, z'2) — их образы при гомотетии Н^.
На основании формул (1) имеем
(2)
x'l = кх^, у'^ = Аг/р г\ = kz-^-,
4 = У2 = ^2 = kz2-
Тогда для расстояний А'С и АС, учитывая (2), получаем \А'С\ = J(X2 - Xi)2 -I- (у2 - У\)^ + (22 - 2i)2 =
= Jk^({X2 - Xi )2 -I- {У2 - J/i)2 -I- (Z2 - 2j)2) =
= 1*1 • J{X2 - -f- (j/2 - Уг)^ + (22 - 2j)2 = |ft| . |ДС|.
Теорема доказана. Т
I Теорема 7. При гомотетии плоскость отображается на I параллельную ей или совпадающую с ней плоскость.
Доказательство. Прямоугольную систему координат Oxyz выберем так, чтобы ее начало О совпадало с центром гомоте-
58
1
Глава 1
Преобразования пространства
тии и рассмотрим плоскость а, заданную в этой системе координат уравнением
Ах + Ву + Сг + П = 0. (*)
Точка М{х; у; г), координаты х, у, г которой удовлетворяют уравнению (*) плоскости а, при гомотетии отображается на некоторую точку М' (х'; у'\ г') (рис. 47).
Согласно (1), х' = kx, у' = ку, г' = кг. Выразив из этих формул переменные х, у, г и подставив их значения в уравнение
(*), получим уравнение + В%- + С%- + D = 0. Преобразуем
к к к
его к виду
Ах'+ By'+ Сг'+ кО = 0. (**)
Уравнение (**), которому удовлетворяют координаты точки М', задает некоторую плоскость а'. Это означает, что образом плоскости при гомотетии является плоскость.
Перейдя к обычным обозначениям переменных (без штрихов), получаем следующее уравнение плоскости а':
Ах + By + Сг + кВ = 0.
Из уравнений плоскостей а и а' следует, что эти плоскости или параллельны (при В ^ 0), или совпадают (при В = 0), так как обе они имеют один и тот же нормальный вектор Я (А; В; С). Теорема доказана. Т
I Следствие 1. При гомотетии прямая отображается на I параллельную ей или совпадаюн^ую с ней прямую.
Доказательство. Пусть прямая а является пересечением двух плоскостей аир: а = а п р. При гомотетии плоскости а и р отображаются на некоторые плоскости а' и Р', причем а' па-
1
59
§8. Гомотетия и подобие пространства
раллельна а или совпадает с ней, р' и Р также параллельны или совпадают (рис. 48). Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов, то прямая а пересечения плоскостей аир отобразится на прямую пересечения плоскостей а' и Р'. Обозначим а' = а'п Р'. Учитывая взаимное расположение а' и а, а так же Р' и р получаем: прямая а' параллельна прямой а, либо с ней совпадает, что и требовалось доказать. ▼
Перечислим еще некоторые свойства гомотетии:
— при гомотетии величина плоского угла сохраняется;
— при гомотетии величина двугранного угла сохраняется;
— при гомотетии образом многогранного угла является равный ему многогранный угол;
— отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии;
— гомотетия с положительным коэффициентом не меняет ориентации тетраэдра (пространства), а с отрицательным коэффициентом — меняет.
Впоследствии мы узнаем, что отношение объемов гомотетичных фигур равно модулю куба коэффициента гомотетии.
■ ЗАДАЧА (1.123). РАВС — правильный тетраэдр. Постройте его образ при гомотетии: 1) с центром С и коэффициентом,
равным: а) 2; б) в) г) -1; 2) с центром в центре грани
АВС и коэффициентом, равным: а) 1; б) -1.
Решение. Предварительно рассмотрим следующий вопрос. Пусть при гомотетии Н ^ с центром О точка М отображается на точку М'. Н q{M) = М'. Тогда: 1) ОМ \\ОМ', т. е. точка О лежит между точками М' и М (рис. 49, а); 2) \ОМ'\ = А|ОМ|,
А
т. е. расстояние от точки М' до точки О в два раза меньше расстояния от точки М до точки О.
Принимая это во внимание, решим задачу 1 пункт в): центром гомотетии является вершина С данного тетраэд-
ра РАВС. Сначала строим точки А' = Н В' = Н с(В),
60
Глава 1
Прео6р>азования прюстранства
б)
Рис. 49
_1
Р' = Н q(P) (рис. 49, б), при этом заметим, что центр С гомоте-
тии отображается на себя: Н %(С) = (С), а отрезок АВ при этой гомотетии отображается на параллельный ему отрезок А'В',
причем А'В' = \аВ.
Для остальных ребер тетраэдра РАВС имеем:
Н = В'С, В'С = ^ВС, точка В' лежит на прямой ВС;
А
А ,
Н с(АС) = А’С, А'С = ^АС, точки А, А', С лежат на одной пря-мой;
.1 1
Я |(ЛР) = А'Р', А'Р' = Lap. A’P'W АР;
.1 ,
я J(BB) = В'Р', В'Р' = iBP, B'P’WBP;
.1 ,
Я q{CP) = СР', СР' = дСР, точка Р' лежит на прямой СР.
Так как точки А, В, С, Р не лежат в одной плоскости, то точки А', В' С, Р' также не лежат в одной плоскости. Соединив отрезками прямых попарно эти точки, получаем тетраэдр Р'А'В'С, который гомотетичен данному тетраэдру РАВС. При
гомотетии Я |:
1
Я I (тетраэдр РАВС) = тетраэдр РА'В'С.
Грани тетраэдра Р'А'В'С являются образами соответствующих граней тетраэдра РАВС:
61
§8. Гомотетия и подобие пространства
Я'^( А АВС) = А А'В'С, Я'^( А АВР) = А А'В’Р',
1 1
Я'|( А ВСР) = А В'СР', Я'5(А АСР) = А А'СР'.
При этом соответствующие грани данного и построенного тетраэдров лежат в параллельных плоскостях или в одной плоскости.
8.3. Подобие пространства.
Разложение подобия в композицию гомотетии и движения
Подобие с коэффициентом k обозначают символом Р^.
Определение. Подобием пространства с коэффициентом к (k > О) назьшается такое преобразование пространства, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в к раз, т. е. для любых двух точек А и В длина отрезка А'В' равна к'\АВ\, где Л ' = Р*(Л) и В' = Р*(В).
Подобие пространства называют также подобным преобразованием пространства или его преобразованием подобия.
Если при этом подобии фигура F отображается на фигуру F', то пишут P*(F) = F' и говорят, что фигура F' подобна фигуре F.
Можно убедиться, что преобразование подобия пространства существует.
В самом деле, любое движение пространства есть подобие с коэффициентом fe = 1; любая гомотетия пространства с коэффициентом к > О есть подобие с тем же коэффициентом; гомотетия с коэффициентом А < О есть подобие с коэффициентом |А|. Далее, композиция g°H'^ гомотетии с коэффициентом к и движения g является подобием с коэффициентом |А|, так как расстояния между точками, измененные в |А| раз при гомотетии, остаются таковыми при последующем движении.
Аналогично, композиция Hj^°g движения g и гомотетии Я^ также является подобием с коэффициентом |А|.
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 8. Подобие с коэффициентом к можно разложить в композицию движения и гомотетии с некоторым центром и тем же коэффициентом.
62 I Глава 1
Преобразования пространства
— данное подобие простран-
Доказательство. Пусть ства.
1
Рассмотрим гомотетию пространства с некоторым центром А и коэффициентом 1. Композиция подобия с коэффици-
к
ентом k и гомотетии с коэффициентом i не изменяет расстоя-
п
ния между точками, поэтому является движением пространства.
1
Композиция ° Н\ гомотетий с общим центром А и взаимно обратными коэффициентами ft и i является тождественным
к
1 1
преобразованием Е: Н\°Н\ = Е. Тогда полу’чаем Н^°Р^ = g,
1 1
g — движение <=> Р^) = H^°g •» Р^ =
<=> £ о Р^, = Я^ ° g о Р^ = Н\ о g, что и требовалось доказать. ▼
Так как подобие есть композиция движения и гомотетии, а гомотетия и движение отображают прямые, плоскости, отрезки, лучи соответственно на прямые, плоскости, отрезки, лучи, то при подобии прямые, плоскости, отрезки и лучи отображаются также на прямые, плоскости, отрезки и лучи соответственно.
Более того, при подобии сохраняется величина угла (плоского и двугранного), параллельные прямые (плоскости) отображаются на параллельные прямые (плоскости), перпендикулярные прямая и плоскость — на перпендикулярные прямую и плоскость.
Справедливость этих утверждений можно доказать, используя теорему 8. Проделайте это самостоятельно.
Из сказанного выше следует, при подобном преобразовании пространства образом любой фигуры является «похожая» на нее фигура, т. е. фигура, имеющая такую же форму, что и отображаемая (данная) фигура, но отличающаяся от данной лишь «своими размерами».
Рассмотрим вопрос о композиции двух подобий с коэффициентами ftj и ftg.
§8. гомотетия и подобие пространства
1
63
Пусть А и С — данные точки пространства. Если при подобии точки Ал С отображаются соответственно на точки А' и С', а при последующем подобии точки А' и С' на точки соответственно А" и С", то lA'C] = AxlACj, |А"С"| = k^A'C'\. Поэтому \А"С"\ = /sglA'C'l = ^ ‘ '*’• при компо-
зиции двух подобий с коэффициентами и Ag расстояние между точками изменяется в • *2 Р®з. Но подобие с коэффициентом ftj • *2 изменяет расстояние между точками также в fej • ^2 раз.
Из сказанного следует, что композиция двух подобий с коэффициентами fcj и ^2 подобие с коэффициентом fcx*^2-
^ik,° ^*2 ^
Далее найдем преобразование, обратное подобию Пусть это преобразование отображает точки А и С соответственно на точки А' и С'. Тогда \А'С'\ = k\AC\, откуда [АС] =
= llA'C'l. Из этого равенства следует, что точки А' и С' отобра-
к
жаются на точки соответственно А и С при подобии с коэффициентом 1, Но точки А' = (А) и С' = Р*(С) отображаются на
свои прообразы — точки Ал С — преобразованием, обратным подобию Pf^. Поэтому преобразованием, обратным подобию
Pj^, является подобие с коэффициентом 1:
Pi^ = Pi-
к
Заметим, что тождественное преобразование является подобием с коэффициентом к, равным 1. Это означает, что любая фигура подобна самой себе.
Таким образом, а) композиция двух подобий является подобием; б) преобразование, обратное подобию, есть подобие;
в) тождественное преобразование — подобие.
8.4. О подобии фигур в пространстве
Вопрос о подобии фигур в пространстве можно рассматривать с точки зрения преобразований подобия, введя следующее определение.
64
I
Глава 1
Преобразования пространства
Определение. Фигура Fj называется подобной фигуре F, если существует подобие пространства, отображающее фигуру F на фигуру Fj.
Если фигура Fj подобна фигуре F, то пишут: Fj сл F.
Рассмотрим свойства отношения подобия фигур.
1. Если фигура Fg подобна Fj, то существует подобие Pj,, которое фигуру Fj отображает на фигуру Fg. Тогда подобие Pj
к
С коэффициентом 1 фигуру Fg отображает на фигуру Fj. Те-
п
перь по определению подобных фигур фигура Fj подобна фигуре Fg.
Таким образом, получили
F2<^ Fi=> Fg.
В таком случае говорят, что отношение подобия фигур обладает свойством симметричности.
2. Пусть фигура F, подобна фигуре F (FjC^F), а фигура Fg подобна фигуре Fj (FgcoFj). Это означает, что существуют такие два подобия Рд, и Р^ , что Fj = Рд^ (F) и Fg = Рд^ (Fj). Тогда Pk,iPi) = Рк,(Рк,(Р)) = (Рк,°Рк)(Р) = К,к,(Р) = Р2’ т. е. композиция подобий и Р^^ фигуру F отображает на фигуру Fg. Но композиция двух подобий есть подобие. Следовательно, фигура Fg подобна фигуре F.
Таким образом, получаем
Fj со F, Fg 4J Fj => Fg со F.
В этом случае говорят, что отношение подобия фигур обладает свойством транзитивности.
3. Так как тождественное преобразование есть подобие с коэффициентом А = 1, то любая фигура подобна самой себе: F со F. В этом случае говорят, что отношение подобия фигур обладает свойством рефлексивности.
Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности отношения подобия фигур позволяют разбить множество всех фигур пространства на подмножества — попарно не-пересекающиеся классы подобных между собою фигур: каждый класс представляет собой множество всех подобных
65
§8. Гомотетия и подобие пространства
друг другу фигур пространства. При этом любая фигура пространства принадлежит одному и только одному из этих классов.
Например, множество всех кубов — один класс, множество всех правильных тетраэдров — другой класс подобных между собой фигур.
Замечательным является тот факт, что все фигуры одного и того же класса обладают одними и теми же геометрическими свойствами с точностью до подобия (имеют одинаковую форму, но отличаются размерами: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия; далее мы узнаем, что отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия).
Для изучения геометрических свойств фигур какого-либо класса достаточно изучить эти свойства произвольно выбранной (любой) фигуры этого класса: такими же свойствами (с точностью до подобия) обладают все фигуры этого класса.
3 Геометрия, 11 кл. Учебник
Глава
МНОГОГРАННИКИ
§ 9. Понятие многогранника
9.1. Геометрическое тело
Одним из основных объектов изучения стереометрии являются геометрические тела. К ним относятся уже известные нам тетраэдр, куб, параллелепипед, призма, цилиндр, конус и шар.
Наглядные представления позволяют обнаружить у любого геометрического тела его внутренние точки, т. е., на интуитивном уровне, такие точки, которые отделены от остальных точек пространства границей этого тела. Например, внутренность шара отделена от остальных точек пространства своей границей — сферой, а внутренность куба — также своей границей — шестью его гранями.
При этом следует заметить, что любые две внутренние точки, например, шара, могут быть соединены линией, целиком содержащейся внутри этого шара, т. е. линией, состоящей только из внутренних точек данного шара.
Ранее, при изучении различных разделов стереометрии 10 класса, мы использовали такие геометрические тела, как куб, правильный тетраэдр, параллелепипед, призму и др.
Вместе с тем, мы не вводили определения ни одной из этих фигур, а при изображении их пользовались лишь теми наглядными представлениями о них, которые приобрели в основной школе и из практики.
Теперь нам предстоит ввести определения каждой из упомянутых выше фигур. Но прежде введем ряд необходимых понятий.
§ 9. Понятие многогранника
1
67
Определение. Шаром с данным центром S и радиусом JfZ > О называется множество всех точек М пространства, расстояние от каждой из которых до центра S не превосходит R, т. е. MS < R (рис. 50).
Заметим, что множество всех точек М пространства, для каждой из которых выполняется условие MS = R, представляет собой сферу с центром S и радиусом R.
Аналогично определению выпуклой фигуры на плоскости введем понятие выпуклой фигуры в пространстве.
Определение. Фигура F называется выпуклой, если отрезок АВ с концами в любых двух точках А и В фигуры F целиком содержится в этой фигуре.
На рисунке 51, а изображена выпуклая фигура: любой отрезок, соединяющий две произвольные точки фигуры Fj, целиком содержится в этой фигуре. Один из таких отрезков — отрезок АВ — изображен на рисунке 51, а.
Фигура Fg (рис. 51, б) выпуклой не является (является невыпуклой), так как можно указать такие две точки А и В фигуры F2, что отрезок АВ целиком в этой фигуре не содержится: на отрезке АВ есть точки (это точки, лежащие между точками М и С), не принадлежащие фигуре Fg.
Фигура F называется связной, если любые две ее точки можно соединить линией, целиком лежащей в этой фигуре F.
При этом линия, соединяющая точки, может оказаться довольно сложной конфигурации.
Рис. 51
3’ Геометрия, 11 кл. Учебник
68
Глава 2
Многогранники
На рисунке 52, а изображена связная фигура F: любые точки А” и М этой фигуры соединены ломаной КАМ, целиком лежащей в фигуре F. Фигура F, изображенная на рисунке 52, б, является объединением фигур fj и ~ тетраэдров РАВС и PjAjBjCj, не имеющих общих точек. Если точка К принадлежит тетраэдру РАВС, а точка М — тетраэдру Р^А^В^С^, то соединить точки К VI М линией, целиком лежащей в фигуре F = = Fj U Eg* невозможно, так как эти точки принадлежат (по одной) непересекающимся тетраэдрам. Поэтому фигура F, состоящая из двух непересекающихся тетраэдров, является несвязной.
Фигуры, изображенные на рисунке 51, о, б, связны.
Теперь дадим определение внутренней точки фигуры.
Точка М фигуры F называется внутренней точкой этой фигуры, если найдется шар с центром в точке М, целиком содержащийся в фигуре F.
Можно, например, говорить о множестве всех внутренних точек куба ABCDAiBjCiDi с ребром 4 (рис. 53). Так как OOj = 4, то SO = SOj = 2. Шар с центром S и радиусом R <2 целиком содержится в данном кубе. Значит, S — внутренняя точка куба.
Если М — любая точка куба, не принадлежащая его граням, то найдем расстояния от точки М до всех шести плоскостей, в которых лежат грани куба. Пусть d — наименьшее из этих шести расстояний. Тогда шар с центром М и радиусом R < d целиком содержится в кубе. Поэтому точка М является внутренней точкой куба. Это означает, что любая точка куба, не принадлежащая его граням, является внутренней точкой этого куба.
В,
Рис. 52
§ 9. Понятие многогранника
69
Определение. Точка М пространства называется граничной точкой фигуры F, если любой шар с центром в точке М содержит как точки фигуры F, так и точки, не принадлежащие этой фигуре. Множество всех граничных точек фигуры F называется границей этой фигуры.
Точка Oj грани AjBjCjDj (рис. 54), точка К ребра CCj, вершина В куба являются граничными точками этого куба, так как любой шар с центром Oi(K, В) содержит как точки данного куба, так и не принадлежащие ему точки. Поэтому каждая вершина куба, каждая точка каждого ребра, каждая точка каждой его грани — граничные точки куба. Это означает, что границей куба является объединение всех шести его граней.
Границей же шара с центром О и радиусом R> О является сфера с центром О и радиусом R.
Таким образом, для любой связной фигуры могут существовать три вида точек: ее внутренние точки, ее граничные точки и еще точки, ей не принадлежащие (их называют внешними точками фигуры). Для несвязных фигур существуют еще изолированные точки.
Фигура F называется ограниченной, если найдется шар, целиком, содержащий эту фигуру.
Пусть РАВС — тетраэдр, О — его точка (рис. 55, а), т — наибольшее из расстояний ОА, ОВ, ОС, ОР от точки О до вершин тетраэдра. Тогда шар с центром О и радиусом R> т содержит целиком тетраэдр РАВС. Значит, тетраэдр — ограниченная фигура.
Фигура, представляющая собой объединение двух непересе-кающихся тетраэдров (рис. 55, б), также является ограниченной.
70
Гпава 2
Многогранники
Трехгранный угол SABC (рис. 55, в) — фигура неограниченная: неограниченны его ребра SA, SB. SC и грани ASB, BSC, CSA, поэтому не найдется шара, который бы содержал целиком эту фигуру (о трехгранных углах речь пойдет подробнее в § 13).
Таким образом, тетраэдр — связная ограниченная фигура; объединение двух непересекающихся тетраэдров — ограниченная, но несвязная фигура; объединение тетраэдра и любой его внешней точки есть ограниченная несвязная фигура с одной изолированной точкой; трехгранный угол — связная, но неограниченная фигура.
Связная фигура, все точки которой внутренние, называется пространственной областью.
Например, шар без ограничивающей его сферы является пространственной областью. Тетраэдр (куб) без его границы — пространственная область.
Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется геометрическим телом.
Границу тела называют его поверхностью и говорят, что поверхность тела ограничивает это тело.
Примерами геометрических тел могут служить фигуры, изображенные на рисунках 50, а; 51 а, б; 52, а; 53; 54. Не являются телами объединение двух тетраэдров (см. рис. 52, б) (эта фигура несвязна), трехгранный угол (неограниченная фигура).
Таким образом, геометрическое тело — это связная замкнутая фигура, т. е. фигура в пространстве, обладающая следующими свойствами: 1) у нее есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить линией, которая целиком состоит из внутренних точек; 2) фигура содержит свою границу, и эта граница совпадает с границей множества всех внутренних точек фигуры.
71
§ 9. Понятие многогранника
9.2. Многогранник и его элементы
Многогранник — геометрическое тело, граница (поверхность) которого есть объединение конечного числа многоугольников.
(Понятие многоугольника дано и изучено в планиметрии.)
Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.
Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной его грани, называется диагональю многогранника. Отрезок, соединяющий две не соседние вершины многогранника, лежащие в одной его грани, называется диагональю этой грани. Угол многоугольника, являющегося гранью многогранника, называется его плоским углом (при соответствующей вершине). Грани многогранника, имеющие общее ребро, называются соседними гранями. Двугранный угол, образованный плоскостями соседних граней многогранника и содержащий данный многогранник, называется двугранным углом многогранника при данном его ребре.
Например, отрезки СЕ, CD^ — диагонали граней; CAj, СЕ^ — диагонали многогранника; Z АРВ — плоский угол при вершине Р (рис. 56, а); плоскости граней АБР иАВСВ образуют двугранный угол при ребре AJB, а плоскости граней АВР, ВСР и ABCD — трехгранный угол при вершине В (рис. 56). Многогранник, изображенный на рисунке 56, а, диагоналей не имеет, а на рисунке 56, б — имеет 10 диагоналей.
D
а)
Рис. 56
72
Глава 2
Многогранники
а) б) в) г)
В=6, Р=9, Г=5 В=8, Р=12, Г=6 В=6, Р=10, Г=6 В=5, Р=9, Г=6
Рис. 57
Многогранники могут быть как выпуклыми (см. рис. 51, о; 53), так и невыпуклыми (см. рис. 51, б; 52, а).
В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем рассматривать только выпуклые многогранники.
Пусть М — выпуклый многогранник, у которого В — число вершин, Р — число ребер, Г — число граней.
Число В - Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника М.
На рисунке 57 изображены многогранники с различными значениями В, Р, Г, но для каждого из этих многогранников число В - Р + Г равно 2, т. е. В - Р + Г = 2. Значит, эйлерова характеристика каждого из них равна 2.
Это замечательное свойство, выражающее зависимость между числом вершин В, числом ребер Р и числом граней Г любого выпуклого многогранника, впервые было установлено французским философом, физиком и математиком Рене Декартом (1596—1620) и позднее (в 1752 г.) заново доказано великим математиком, физиком и астрономом Леонардом Эйлером (1707—1783), который родился в Швейцарии, а в 1727—1741 гг. и в 1766—1783 гг. работал в России, был членом Петербургской Академии наук.
Теорема 9 (теорема Декарта—Эйлера для выпуклого многогранника). Для любого выпуклого многогранника сумма числа вершин В и числа граней Г на две единицы больше числа его ребер Р, т. е. справедлива формула В — Р + Г = 2.
Примем эту теорему без доказательства.
73
§ 9. Понятие многогранника
9.3. Развертка
Из определения многогранника следует, что его поверхностью является фигура, составленная из конечного числа многоугольников, которые прикладываются друг к другу равными сторонами, и каждая сторона любого из этих многоугольников — граней многогранника — является общей для некоторых двух и только двух из них. Такую фигуру называют замкнутой многогранной поверхностью.
Иногда поверхность многогранника (замкнутую многогранную поверхность) также называют многогранником. Это делают и тогда, когда из бумаги или картона склеивают модели куба, пирамиды и других многогранников. Разумеется, из бумаги склеивают куб — не тело, а куб — многогранную поверхность.
Если модель многогранника, изготовленную из картона, разрезать по некоторым ребрам и развернуть на плоскости, то получим многоугольник, который называют разверткой данного многогранника (эту фигуру также называют разверткой поверхности данного многогранника).
Из разверток многогранников склеивают модели этих многогранников. На рисунке 58 изображены развертки правильного тетраэдра РАВС (см. рис. 58, а), куба ABCZMjBjCjD, (см. рис. 58, б), правильной четырехугольной пирамиды РАВ-CD (см. рис. 58, в).
Развертка многогранника — замкнутой многогранной поверхности — представляет собой объединение конечного
D,
р с с д С,
I I
А В
п р
п р
•^2 . —. Вг
т 1
D2 С2
а Я
с Сз
б)
Рис. 58
74
Глава 2
Многогранники
числа многоугольников, соответственно равных граням этого многогранника, вместе с указанием того, какие стороны и какие вершины многоугольников изображают одни и те же ребра и вершины данного многогранника, и поэтому соответственно должны склеиваться друг с другом. При этом склеивание двух отрезков (равных сторон многоугольников развертки) означает установление между их точками такого соответствия, при котором сохраняются расстояния (склеиваемые части отрезков имеют равные длины), и соответствующие точки отрезков (сторон многоугольников), склеивая, отождествляют (считают за одну точку развертки, а следовательно, за одну точку данного многогранника).
Многоугольники, составляющие развертку многогранника, называются гранями развертки, стороны этих многоугольников называются ребрами развертки, и склеиваемые стороны многоугольников считаются за одно ребро развертки. Вершины многоугольников называются вершинами развертки, и склеиваемые вершины многоугольников считаются за одну вершину развертки.
Отождествление (склеивание) вершин развертки происходит при отождествлении (склеивании) ее ребер, так как вершины являются концами этих ребер. Например, на рисунке 58, в вершины Pj, Pg, Р3, Р4 развертки правильной четырехугольной пирамиды PABCD отождествляются (склеиваются) в одну вершину Р модели этой пирамиды следующим образом: вершина Pj отождествляется с вершиной Р2 при склеивании ребер d, d; Pg отождествляется с Р3 при склеивании ребер а, а; аналогично Р3 отождествляется с Р4, а Р4 — с Р, при склеивании ребер соответственно в, в и с, с. Таким образом, все вершины Pj, Pg, Р3, Р4 развертки отождествляются и склеиваются в одну вершину Р пирамиды PABCD.
Иногда вершины некоторых многоугольников (граней) развертки отождествляются в одну вершину посредством последовательного склеивания нескольких сторон (ребер) других многоугольников (граней) развертки. Например, на рисунке 58, б вершины Cj и Cg отождествляются (получается вершина Cj куба) через последовательное склеивание сторон (ребер) р, р и I, I, а вершина Z)j куба получается при отождествлении вершин D] и Пд развертки посредством последовательного склеивания сторон (ребер) п, п; т, т и а, а.
75
§ 9. Понятие многогранника
Из сказанного следует, что, имея многогранник, мы всегда можем построить его развертку. На рисунке 59, а изображен многогранник PABCDQ (этот многогранник называется бипирамидой), а на рисунке 59, б — развертка этого многогранника.
Вместе с тем возникает вопрос: имея набор многоугольников и алгоритм (порядок) склеивания их сторон и вершин, получим ли мы замкнутый выпуклый многогранник в результате склеивания соответствующих сторон и вершин этих многоугольников?
Оказывается, что для того чтобы из развертки можно было склеить замкнутый выпуклый многогранник, необходимо выполнение следующих трех условий:
1. Условие замкнутости: каждая сторона каждого многоугольника развертки должна склеиваться еще с какой-либо стороной одного и только одного другого многоугольника (называемого смежным с первым многоугольником).
2. «Условие Эйлера»: если развертка состоит из Г граней, В вершин и Р ребер, то должно выполняться условие В — Р + Г = = 2. При этом Г — число многоугольников (граней) на развертке, В — число вершин многоугольников развертки, соответствующих различным вершинам многогранника, Р — число сторон многоугольников развертки, соответствующих различным ребрам многогранника.
а)
Рис. 59
76
Глава 2
Многогранники
3. Условие выпуклости: сумма внутренних углов многоугольников (граней) при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360°.
Следует заметить, что иногда данный на плоскости набор (объединение) многоугольников удовлетворяет всем трем необходимым требованиям (условиям Эйлера, замкнутости и выпуклости), предъявляемым к развертке, чтобы из нее можно было склеить выпуклый многогранник, но многогранник, тем не менее, из данной развертки получить (склеить) невозможно.
Например, на рисунке 60, а изображено объединение квадрата и четырех треугольников, два из которых — прямоугольные. Выполнимость условий Эйлера, замкнутости и выпуклости очевидна для данного объединения многоугольников, однако это объединение многоугольников не может быть разверткой какого-либо многогранника (пятигранника). Действительно, после склеивания вершин Pj и Pg (склеиваются стороны а и а) получаем (рис. 60, б): РА J. СВ, РА ± CD => РА ± (BCD). Кроме того, АВ _L СВ, значит, по теореме о трех перпендикулярах АВ -L РВ, т. е. Z АВР = 90°, и дальнейшее склеивание сторон & и Ь невозможно, так как Z АВР^ *■ 90° (см. рис. 60, а).
Но интересен тот факт, что если в том же объединении многоугольников (см. рис. 60, а) квадрат ABCD разбить его диаго-
р:
\ / \ /
I /
и
б)
77
§ 9. Понятие многогранника
налью BD на два треугольника ABD и BCD (рис. 61, а), после чего ♦ перегнуть* этот квадрат по диагонали BD, то получим шестигранную развертку некоторого выпуклого многогранника (шестигранника) (рис. 61, б), для которого треугольники ABD и BCD служат гранями, не лежащими в одной плоскости.
9.4. Свойства выпуклых многогранников
Выпуклые многогранники обладают рядом свойств.
1. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Доказательство. Пусть М — данный выпуклый многогранник, Q — одна (любая) из его граней, а — плоскость, содержащая грань Q (а — плоскость грани Q).
Методом от противного докажем, что многогранник М лежит по одну сторону от плоскости а.
Допустим, что многогранник М не лежит по одну сторону от плоскости о. Тогда найдутся такие две точки А и В этого многогранника, которые лежат по разные стороны от плоскости а (рис. 62). Соединяя точки А и В со всеми точками грани Q, мы получаем многогранник Mj (многогранник Мj состоит из
<5)
78
Гпава 2
Многогранники
двух пирамид с вершинами А и В и общим основанием Q. Эти пирамиды образованы отрезками АХ и ВХ, где X — любая точка грани Q).
Так как данный многогранник М выпуклый, то точки отрезков АХ и ВХ, а следовательно, все точки многогранника Mj являются внутренними точками многогранника М. Поэтому многогранник M■^ содержится в многограннике М: с М. Это, в свою очередь, означает, что внутренние точки многоугольника Q лежат внутри многогранника М^. Но так как Mj с М, то все точки многоугольника Q являются внутренними точками и данного многогранника М, что невозможно, так как многоугольник Q — грань данного многогранника М, а каждая точка грани многогранника М является его граничной точкой. Пришли к противоречию. Значит, допущение неверно, и многогранник М лежит по одну сторону от плоскости а, что и требовалось доказать. Т
Верно и обратное утверждение.
Если многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то он выпуклый.
Доказательство. Пусть многогранник М лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Допустим, что он не выпуклый. Тогда найдутся такие две точки А и В многогранника М, что на отрезке АВ есть точка X, не принадлежащая М (рис. 63). Так как А € М, X i М, а многогранник М лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то точки А и X разделены плоскостью, по крайней мере, одной из граней многогранника М. Обозначим эту плоскость а.
Разделенность точек А е М и X € М плоскостью а означает, что прямая АХ пересекает плоскость а в некоторой точке С отрезка АХ, и многогранник М целиком лежит в том полупространстве относительно плоскости а, которое содержит точку А. Это полупространство не содержит точку X, которая лежит
§ 9. Понятие многогранника
79
между точками А и В, значит, оно не должно содержать и точку В. Но, с другой стороны, точка В — точка многогранника М, поэтому (по условию теоремы) она должна лежать с точкой А в одном полупространстве относительно плоскости а. Пришли к противоречию, которое и доказывает утверждение о том, что многогранник М — выпуклый.
2. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.
Доказательство. Пусть Q — грань выпуклого многогранника М, а — плоскость этой грани (рис. 64). Так как многогранник М выпуклый, то он целиком расположен в одном полупространстве относительно плоскости а, и общие точки плоскости а и многогранника М образуют грань Q, т. е. пересечением многогранника М и плоскости а является многоугольник Q. Вследствие того, что пересечением двух выпуклых фигур является выпуклая фигура, приходим к выводу: грань Q многогранника М — выпуклый многоугольник, что и требовалось доказать. ▼
Теорема 10. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.
Доказательство. Пусть плоскость а проходит через внутреннюю точку А многогранника М. Пересечением выпуклых фигур М и а является некоторая выпуклая фигура Q = М п а (рис. 65), содержащая внутренние точки (А — внутренняя точка многогранника М, а следовательно, и внутренняя точка фигуры Q, лежащая в плоскости а).
80
Глашз2
Многогранники
М Граница многогранника М пред-
ставляет собой объединение конечного числа выпуклых многоугольников. Следовательно, пересечением секущей плоскости а с гранями многогранника является конечное число отрезков, образующих границу фигуры Q.
Таким образом, получаем, что пересечением выпуклого многогранника М и плоскости а является выпуклая фигура Q, границей которой является объединение конечного числа отрезков. Следовательно, Q — выпуклый многоугольник. Теорема доказана. Т
§ 10. Объемы многогранников
10.1. О понятии объема тела
Из курса планиметрии известно, что каждому многоугольнику М ставится в соответствие положительное число S(M), называемое площадью этого многоугольника. При этом выполняются условия: 1) равные многоугольники имеют равные площади; 2) если многоугольник является объединением некоторых многоугольников, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, то площадь данного многоугольника равна сумме площадей составляющих его многоугольников; 3) площадь единичного квадрата равна единице.
Для измерения площадей обычно используют квадрат, сторона которого равна единице длины е. Такой квадрат называется единичным, а его площадь, равную е^, принимают за единицу измерения площадей. Тогда площадь S любого многоугольника можно представить в виде S = se^, где s — численное значение площади при данной единице измерения.
С задачей вычисления объемов некоторых тел вы уже знакомились в предшествующем курсе геометрии. Теперь мы рассмотрим общую задачу о вычислении объемов геометрических тел, аналогичную задаче о вычислении площадей в планиметрии.
81
§10. Объемы многогранников
Будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. В качестве единицы измерения объемов принимают объем куба с ребром длины е {е — единица измерения длин отрезков), который обозначают е^. Тогда объем V любого многогранника выражается через эту единицу измерения в виде V = ve^, где v — численное значение объема при данной единице измерения.
Объем единичного куба с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см®. Аналогично определяются кубический дециметр (дм®), кубический метр (м®) и т. д.
При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и ее частей содержится в данном теле. Так как число, выражающее объем тела, зависит от выбранной единицы измерения, то единица измерения объемов (см®, дм® и т. д.) пишется после этого числа. Например, если единица измерения объемов — м®, а численное значение объема тела равно 24, то пишут V = 24 м®.
Таким образом, задача измерения объемов тел {в частности, многогранников) состоит в том, чтобы при выбранной единице измерения каждому телу Т (многограннику М) поставить в соответствие определенное положительное число V(T) (F(M)), называемое объемом тела Т (многогранника М), так, чтр выполняются следующие условия.
1) Объем куба Е, ребро которого равно единице измерения длин отрезков, равен единице и принимается за единицу измерения объемов: V(E) = 1.
2) Если тело Т является объединением нескольких тел, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов составляющих его тел (свойство аддитивности).
3) Равные тела имеют равные объемы (свойство инвариантности).
Из свойства 2 вытекает следующее свойство объемов: если тело с объемом Pj содержится в теле с объемом Pg» ™ ^ ^2-
Это свойство называется свойством монотонности объемов.
Определение. Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.
82
Глава 2
Многогранники
Два тела называют равносоставленными, если, определенным образом разбив одно из них на конечное число частей, можно (располагая эти части в некотором порядке) состешить из них второе тело.
Из свойств объемов следует, что равносоставленные тела равновелики. Обратное не всегда верно.
Точное обоснование формул для вычисления площадей многих фигур в планиметрии весьма сложно. Например, обоснование такого простого, казалось бы, факта, что площадь прямоугольника со сторонами а и Ь равна а'Ь, требует знаний, выходящих за рамки школьной программы. Еще большие трудности вызывает строгое обоснование вывода формул для вычисления объемов тел в стереометрии.
Однако вопрос о выводе формул для вычисления площадей плоских фигур и объемов тел в пространстве может быть решен, если принять без доказательства следующие утверждения:
— если при пересечении двух плоских фигур прямыми, параллельными одной и той же прямой, в сечениях этих фигур любой из прямых получаются равные между собой отрезки, то площади данных фигур равны;
— если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются равновеликие между собой фигуры, то объемы этих тел равны.
Эти утверждения обосновал замечательный итальянский математик Бонавентура Кавальера (1598—1647), по имени которого они носят название принципа Кавальери.
В нашем курсе мы будем выводить формулы объемов тел, основываясь на еще более сильном (и интуитивно понятном) утверждении:
— если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как т : п, то объемы данных тел относятся как т : п.
10.2. Объем прямоугольного параллелепипеда
Сначала найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания а, Ь и высотой 1.
Расположим единичный куб и данный параллелепипед так, чтобы их основания находились в одной плоскости, а сами
83
Рис. 66
многогранники были расположены по одну сторону от этой плоскости (рис. 66). Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований этих многогранников и пересекающая куб, пересекает также и прямоугольный параллелепипед, причем площади сечений, образованных при пересечении обоих многогранников, относятся как 1: (а • 6). Это означает, что их объемы также относятся как 1: (а • Ь). Следовательно, объем V прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1, о, Ь равен а• Ь, т. е. V = а‘Ь.
Теперь найдем объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, Ь, с. Для этого прямоугольный параллелепипед с измерениями 1, а, 6 и данный параллелепипед с измерениями а, Ъ, с расположим так, чтобы грань со сторонами 1 и а первого параллелепипеда и грань со сторонами с и а второго параллелепипеда лежали в одной плоскости, и оба параллелепипеда находились по одну сторону от этой плоскости (рис. 67). Тогда любая плоскость, параллельная данной плоскости оснований параллелепипедов и пересекающая первый параллелепипед, пересекает также и второй параллелепипед.
84
Глава 2
Многогранники
причем площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся как Это означает, что их объемы
с - а с
также относятся как 1 : с. А так как объем параллелепипеда с измерениями 1, а, Ь равен аЬ, то объем V прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, Ь, с находится из соотношения 1 : с = (а• ft): V"и равен а'Ь'С.
Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:
V — а’Ъ' с.
I Следствие. Объем прямоугольного параллелепипеда I равен произведению площади основания на высоту.
Для доказательства достаточно грань параллелепипеда с ребрами а и Ь принять за его основание, а ребро с — за высоту h (рис. 68). Тогда = а • Ь и
Так как у куба все ребра равны, то объем куба равен кубу длины его ребра а:
V = a^
§11. Призма
11.1. Определение призмы. Виды призм
Рассмотрим два равных выпуклых многоугольника ABCDE и AjSjCiDjEj, которые расположены в параллельных плоскостях а и Oj так, что BCllBjCi, CB||CiBi,
EA\\E^Ai (рис. 69).
§ 11. Призма
1
85
Проведем отрезки AAj, ВВ^, CCj, DDj, ЕЕ^. Тогда четырехугольники ABBjAj, BCCjBj, CBBjCj, DEE-^D^, EAA-^E^ — параллелограммы (почему?).
Многогранная поверхность ABCjDBAjBjCjBjB,, гранями которой являются данные многоугольники ABODE, AjBjCjDjBj и полученные параллелограммы, является замкнутой. Тело, которое ограничивает эта поверхность, называют призмой и обозначают ABCDEA^B^C^D^Ey Многоугольники ABODE и называют основаниями этой призмы, параллелограммы ABBjAj, ВССуВу, CBDjCj, ОЕЕуОу, ЕАА^Еу — боковыми гранями призмы, а отрезки ААу, BBj, СС^, DD^, £В, — ее боковыми ребрами.
Определение. Призмой называется многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани — параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.
Эти остальные грани называются боковыми гранями призмы, а их объединение — боковой поверхностью призмы. Стороны боковых граней, не лежащие в плоскостях оснований, называются боковыми ребрами призмы.
Объединение боковой поверхности призмы и двух ее оснований называется полной поверхностью призмы.
Призма называется п-угольной, если ее основание — простой л-угольник (рис. 70). Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой
а)
Рис. 70
86
I
Глава 2
Многогранники
призмой (см. рис. 70, а, г). В противном случае призма называется наклонной (см. рис. 70, б, в). Правильной призмой называется прямая призма, основание которой — правильный многоугольник (см. рис. 70, а).
Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не лежащие в одной грани, называется диагональю призмы. На рисунке 70, г отрезки BF^ и ADj — диагонали шестиугольной призмы ABCDEFA^BiCiDiEiF^.
У л-угольной призмы 2 • п вершин, 3 • п ребер, л -I- 2 граней и л(л - 3) диагоналей.
Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Высотой призмы называют также и длину этого перпендикуляра.
Так как боковые ребра прямой призмы перпендикулярны ее основаниям, то высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Плоскость, проходящая через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы этой плоскостью — ее диагональным сечением. На рисунке 70, б, г четырехугольники ACCjAi — диагональные сечения призм. Найдите на рисунке 70, б, в, г другие диагональные сечения призм.
Призма является выпуклым многогранником (см. рис. 70, а,
б. г), если ее основание — выпуклый многоугольник, и невыпуклым, если основание этой призмы — невыпуклый многоугольник (см. рис. 70, в).
Мы будем изучать, как правило, выпуклые призмы, поэтому слово «выпуклые» будем опускать.
■ ЗАДАЧА (2.027). Докажите, что если в правильной четырехугольной призме ABCjDAjSjCiDj диагонали B^D и BZ)j взаимно перпендикулярны, то диагонали AjC и BjZ) образуют угол в 60°.
Решение. Боковые ребра правильной призмы перпендикулярны основанию, поэтому BDDjBj — прямоугольник (рис. 71). У него диагонали B^D и BD^ взаимно перпендикулярны. Значит, BDD^B^ — квадрат, откуда BBj = BD.
Пусть BBj = BD = а. Тогда BjZ) = BjB =
= AjC = aj2.
87
§ 11. Призма
Ек:ли О — точка пересечения диагоналей призмы, то в квадрате BDD^B^ находим В^О = DyO = Далее, Л АВС: АС = а
и
^АВ = ^.
а
Таким образом, в Л АуОВу имеем АуО = ВjO = АВ = АуВу, откуда Л АуОВу — правильный, поэтому /.АуОВу = 60°. Это означает: Z {АуС\ ByD) = 60°, что и требовалось доказать.
■ ЗАДАЧА (2.034). В правильной треугольной призме со стороной основания а и высотой Н через сторону нижнего основания под углом (р к нему проведена плоскость. Найдите площадь сечения.
Решение. Пусть секущая плоскость а проходит через сторону ВС основания АВС правильной призмы АВСАуВуСу. В зависимости от величины угла ф эта плоскость может пересекать боковое ребро AAj (рис. 72) или не пересекать его (в этом случае плоскость а пересекает прямую, прозсодящую через ребро ААу (рис. 73).
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1. а (Л ААу = К, где К — точка ребра AAj (см. рис. 72). Пусть точка Е — середина стороны ВС. Тогда АЕ 1 ВС => КЕ Jl ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, ZAEK = ф.
Если секущая плоскость проходит через вершину Ау, то сечением призмы является равнобедренный (почему?) АВАуС и
ЛЛ АА. 9
tgф = —Значит, при условии tgф < = —- сечение
АЕ АЕ aj3
Рис. 72
88
Глава 2
Многогранники
призмы — равнобедренный Л ВСК {АК < AAj). Найдем площадь этого треугольника.
Так как А АВС — ортогональная проекция треугольника
век, то = 2Н
ЛАВС
cos ф 4 cos ф
2. tg ф > —В этом случае секущая плоскость а пересекает aj3
верхнее основание призмы по отрезку К^М^\\ВС (рис. 73). Сечением призмы является равнобедренная (почему?) трапеция BK^M^C. Обозначим = А^Е^пК^М^, где — серединаBjCj. Тогда Pj£ -LBC, поэтому ZAEP^ = ф. Проведем отрезки К^К, PjP, MjM параллельно AAj, где К е АВ, Р е АЕ. М б АС. Отсюда равнобедренная (почему?) трапеция ВКМС — ортогональная проекция сечения ВК^М^С на плоскость нижнего основания.
Значит, > ^вкме ^ ----g—~ ‘
Р^Р\\А^А. то Р,Р = AjA = Я.
Тогда
в Д PPj£ (Z Р = 90°): РЕ = Р^Е * cos ф = Я * ctg ф; вААСВ:АР=АЕ-РЕ = ±^ - Я-ctg ф = ~ ‘Р.
Из параллельностей КМ\\К^М^, К^М^ЦВС следует КМ\\ВС, поэтому Л АКМ сг) Д АВС. Следовательно, КМ: ВС = АР: АЕ,
откуда КМ = = Q(qV3 ~ 2Яctgф) _ За - 2Дн ctg ф
АЕ „ аТЗ 3 ■
2
Получаем:
За - 2jZH ctg ф
+ а
^вкме
> Я ctg ф =
(За - л/ЗЯ ctg ф) • Н ctg ф
Таким образом.
’вх,м,с
_ (За - ТЗЯ ctg ф) • Я ctg ф ^ Я(3а - JZH ctg ф)
3cos ф
3sin ф
Ответ: ; Я(3а - VзЯctg ф) ^
4 cos ф ’ 3 sin ф
§11. призма
89
с,
в с
D
а)
Рис. 75
Поверхность, образованная движением прямой в пространстве так, что эта прямая остается параллельной самой себе и пересекает данную плоскую ломаную линию, называется призматической поверхностью (рис. 74). Подвижная прямая называется образующей призматической поверхности, а данная ломаная — ее направляющей. Тело, ограниченное призматической поверхностью, называется призматическим телом. Образующие призматической поверхности, проходящие через вершины направляющей, называются ребрами призматической поверхности (призматического тела).
Часть призматического тела (рис. 75), заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими все его грани и ребра, представляет собой призму. Эта призма является прямой (см. рис. 75, а) или наклонной (см. рис. 75, б), если секущие плоскости соответственно перпендикулярны или не перпендикулярны боковым ребрам призматического тела.
11.2. Боковая и полная поверхности призмы
Сумма площадей всех боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности и обозначается Сумма площадей всех граней призмы называется площадью ее полной поверхности и обозначается
Так как основания призмы — равные многоугольники, а площади равных многоугольников равны, то S, где S — площадь основания призмы.
= ^бок + 25^^,
90
Гпзвз2
Многогранники
Докажем теоремы о площадях боковых поверхностей прямой и наклонной призм.
Теорема 11. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на боковое ребро.
Доказательство. Каждая боковая грань прямой призмы — прямоугольник (почему?), основанием которого является соответствующая сторона основания призмы, а высотой — боковое ребро h призмы (рис. 76).
Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех ее боковых граней — прямоугольников, т. е. сумме произведений длин сторон основания призмы на боковое ребро Л. Из рисунке 76 видно, что эта сумма произведений имеет вид АВ • Л -f- ВС • Л -1- CD • h -I- DE • Л -f- EA • h. Вынося общий множитель h за скобки, получим в скобках сумму длин сторон основания призмы, т. е. периметр Р основания:
h-(AB + BC + CD + DE + ЕА) = h'P.
Тогда = P'h. Теорема доказана. ▼
■ ЗАДАЧА (2.050). Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция ABCD, у которой АВ = CD =13 см, ВС = = 11 см, AD = 21 см. Площадь диагонального сечения призмы равна 180 см^. Найдите: а) площадь полной поверхности призмы; б) площадь сечения ABjCjZ) (рис. 77).
ВС+AD
Решение, а) =
высота трапеции ABCD {СН\ЕК, Е и К ний этой трапеции).
■ СЯ, где СЯ -середины основа-
91
§ 11. Призма
Так как трапеция ABCD равнобедренная, то DH =
AD-BC
= = 5. Тогда ACDHiZH = 90°): СЯ = JCD^ - DH^ =
А
= V169 - 25 = 12. Итак, S^„ =
11 + 21
•12 = 192.
ОСИ 2
Для вычисления найдем:
АЯ = AD - ЯЯ = 21 - 5 = 16
А АСН (Z Н = 90°): АС = = 7256 + 144 =20.
Поскольку данная призма прямая, то AAj ± (АВС), следовательно, четырехугольник ACCjAi — прямоугольник, а = = Р • CCj, где Р — периметр основания.
Так как д = 180 = АС • CCj, то СС^ = = 9. Поэтому
= (2АБ + AD -Ь ВС) • CCi = (2 • 13 + 21 -t- 11) • 9 = 522. Тогда «ПОЛИ = 5бок + 2S^„ = 522 + 2.192 = 906 (см^).
б) Из равенства А АВВ, = Л BCCj следует ABj = DC^ Значит, ABjCjD — равнобедренная трапеция. Если Е. К, — середины оснований трапеций ABCD и AB^C^D, то ЕК ZAD, Е^К ZAD и ZEKE^ = Ф — угол, образованный плоскостью сечения AB^CyD и плоскостью основания призмы. Причем трапеция ABCD является ортогональной проекцией трапеции
ABjCiB. Поэтому S^cD = ^ab,c,d ' cos ф, откуда = -3^ •
Находим cos ф.
Д EKE,: tg ф = — = ^ = - => cos ф = / ^ =
= 1(о<.<«).
Таким образом, Вдд с \ = 240 (см^).
Ответ; а) 906 см^; б) 240 см^.
Пусть теперь дана наклонная призма (рис. 78). Найдем площадь ее боковой поверхности.
Если плоскость а, проходящая через точку М бокового ребра AAj перпендикулярно этому ребру, пересекает каждое бо-
92
Глава 2
Многогранники
ковое ребро призмы, то многоугольник MNPK, полученный при пересечении данной призмы и плоскости а, называется перпендикулярным сечением этой призмы.
Площадь боковой поверхности данной призмы равна сумме площадей ее боковых граней — параллелограммов. Принимая боковые ребра призмы за основания этих параллелограммов, а соответствующие стороны перпендикулярного сечения — за их высоты, получим: = Ь • (fcj + /ig + Л3 + ... + Л„), где Ь —
длина бокового ребра призмы, а h^, /tg* ^3, Л„ — длины высот боковых граней, являющихся сторонами перпендикулярного сечения. Поэтому = Р„ерп.сеч * *»•
Если не существует плоскости, перпендикулярной боковым ребрам наклонной призмы и пересекающей каждое из них, то выберем точку М на продолжении ребра AAj и проведем через нее плоскость, перпендикулярную прямой ААу Пересечением этой плоскости и призматической поверхности, полученной при продолжении боковых ребер и граней данной призмы, является некоторый многоугольник, который назовем перпендикулярным сечением призматической поверхности (рис. 79). Стороны этого многоугольника также являются высотами боковых граней призмы, т. е. S*
'бок
= Р ‘Ь.
перп.сеч ’
Таким образом, нами доказана
Теорема 12. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призматической поверхности на боковое ребро.
93
§ 11. Призма
11.3. Объем призмы
Рассмотрим призму с площадью основания S и высотой h и прямоугольный параллелепипед также с площадью основания S и высотой А.
Расположим призму и параллелепипед так, чтобы их основания лежали в одной плоскости и оба многогранника находились по одну сторону от этой плоскости (рис. 80). Тогда каждая плоскость, параллельная плоскости оснований многогранников и пересекающая параллелепипед, пересекает также и призму. Причем площади сечений призмы и параллелепипеда, образованных при их пересечении с соответствующей секущей плоскостью, равны (относятся как 1 : 1). А это означает, что их объемы также относятся как 1:1, т. е. объемы призмы и параллелепипеда равны. Так как объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, то и объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е.
Таким образом, нб1ми доказана
Теорема 13. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
Покажем, что для наклонной призмы ее объем может быть найден еще и как произведение площади перпендикулярного сечения призматической поверхности, соответствующей дан-
94
Глава 2
Многогранники
НОЙ призме, на боковое ребро. Докажем это, применив свойства объемов.
Доказательство. Пусть дана наклонная призма ABCDA^Bfi^D^ (рис. 81). Проведем перпендикулярное сечение MPQR призматического тела, которое ограничено призматической поверхностью, полученной при продолжении боковых ребер и граней данной призмы, и рассмотрим параллельный перенос на вектор AAj. Этот перенос отображает многогранник MPQRABCD на равный ему (почему?) многогранник где = MMj = PPj = QQj = RR^.
Значит, эти многогранники равновелики и поэтому имеют равные объемы. А так как многогранник М^Р^Q^R^ABCD является их общей частью, то равновеликими являются также призма MPQRM^P^Q^R^ и данная призма ABCDAjBiCjDj, значит, объемы этих призм равны. Но объем V прямой (почему?) призмы MPQRM^P^Q^R^ равен произведению площади ее основания MPQR на высоту, которая равна ребру MMj, т. е. V = ММу Так как AAj = MMj и призмы ABCDAjBjCiBj
и MPQRM^P^QiR^ равновелики, то объем V данной призмы ABCDA^ByC^D^ равен произведению площади S/^pQp сечения MPQR и длины ребра AAj:
^ ^ ^mpqr'
Таким образом, нами доказана
Теорема 14. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призматического тела на боковое ребро.
95
§ 12. Параллелепипед
§ 12. Параллелепипед
12.1. Определение и свойства параллелепипеда
Определение. Призма, основание которой — параллелограмм, называется параллелепипедом (рис. 82).
У параллелепипеда шесть граней и четыре диагонали.
Из определения следует, что у параллелепипеда все шесть граней — параллелограммы.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими (противоположными).
Параллельные ребра параллелепипеда, не лежащие в одной грани, называются его противолежащими (противоположными) ребрами.
Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны свойствам параллелограмма.
Рассмотрим диагонали ACj и В,1) параллелепипеда ABCDA^ByC^Dy (рис. 83).
Так как грани ABCD и ВуСуСВ — параллелограммы, то равны и параллельны отрезки AD и ВС, а также отрезки ВС и BjCj. Тогда на основании свойства транзитивности отношений параллельности и равенства отрезки AD и BjCj равны и параллельны. Значит, четырехугольник AByCyD — параллелограмм. Диагонали АСу и ByD параллелепипеда являются диагоналями этого параллелограмма, поэтому в точке О их взаимного пересечения каждая из них делится пополам.
Аналогично доказывается, что диагонали АСу и BDy, а также диагонали АуС и ByD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. А так как отрезок имеет только одну середи-
Рис. 82
96
Глава 2
Многогранники
Рис. 83
ну, то все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам.
Тогда при центральной симметрии относительно точки О концы каждой из диагоналей параллелепипеда отображаются друг на друга, т. е. Zq(A) = = Cj, Zq{B) = Z)j, Zq(C) = Aj, Zq{D) = Bj, Zo(A,) = C. ZoiB,) = D, Zo(C,) = A. Zq(D^) = B. Это означает, что ребра параллелепипеда центральной симметрией относительно точки О отображаются на противолежащие им ребра, грани — на противолежащие им грани. А так как центральная симметрия — движение, при котором прямая и плоскость, не проходящие через центр симметрии, отображаются соответственно на параллельные прямую и плоскость, то как противоположные ребра, так и противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
Кроме того, любая внутренняя точка параллелепипеда при симметрии Sq отображается также на его внутреннюю точку. Следовательно, при центральной симметрии Zq параллелепипед ABCBAjBjCjBj отображается на себя.
Таким образом, параллелепипед обладает следующими свойствами:
диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;
точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии;
противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
Из сказанного выше следует, что любую грань параллелепипеда можно принять за его основание.
Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований (см. рис. 82, а), в противном случае параллелепипед называется наклонным (см. рис. 82, б, в).
Из определения следует, что все боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
Определение. Прямой параллелепипед, основание которого — прямоугольник, называется прямоугольным.
97
§12. Параллелепипед
Таким образом, все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники (рис. 84). Из сказанного следует, что у прямоугольного параллелепипеда:
а) ребра, сходящиеся в одной его вершине, попарно взаимно перпендикулярны;
б) любые две его грани либо параллельны, либо перпендикулярны;
в) каждое его ребро перпендикулярно тем граням, которые содержат лишь концы этого ребра.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной его вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
/— 7
в, 1 S N 1 N
' Ч 1 N N N
- _ я-''"'г У
в
Рис. 84
Теорема 15. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDAjBjCjDj (см. рис. 84) и найдем квадрат длины его диагонали AjC. '
В А AA^C(Z А = 90°): А,С2 = ЛС2-1-AAf; в Л ADC (ZD = 90°): АС^ = AD^ -f- DC^.
Учитывая, что DC = АВ, получаем: А^С^ = АВ^ + AD^ АА\. Теорема доказана. Т
а Замечание. Эта теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора.
У параллелепипеда есть еще одно метрическое свойство, похожее на свойство параллелограмма: «Сумма квадратов длин всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его ребер». Это свойство легко доказывается векторным методом.
Изображения прямого и прямоугольного параллелепипедов имеют один и тот же вид. При этом ошибочным является зрительное восприятие того, что сечение прямого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через противоположные сторо-
4 Геометрия, 11 кл. Учебник
98
Глава 2
Многогранники
ны его оснований, всегда — прямоугольник. На самом деле, если прямой параллелепипед не прямоугольный, то его сечением плоскостью, проходящей через противолежащие стороны оснований, является параллелограмм, но не прямоугольник.
Действительно, пусть ABCDAjBjCjDj — прямой (но не прямоугольный) параллелепипед, ABC^D^ — его сечение плоскостью, проходящей через противолежащие стороны АВ и CjDj оснований (рис. 85).
Так как АВ = CjjDj и AB||CjD,, то ABCjDj — параллелограмм. Докажем, что этот параллелограмм не может быть прямоугольником.
Предположим противное: пусть ABCjDj — прямоугольник. Тогда АВ J- ВСу (как смежные стороны прямоугольника), АВ L ВВ, (так как BjB ± (АВС)), поэтому АВ 1 (В^ВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) => АВ ± ВС => => ABCD — прямоугольник => ABCDA^B^C^D^ — прямоугольный параллелепипед. Пришли к противоречию с условием теоремы. Значит, предположение неверно, и четырехугольник ABCjDj — параллелограмм.
Аналогично, сечение BCD^A^ — параллелограмм, но не прямоугольник. Утверждение доказано.
■ ЗАДАЧА (2.090). В прямом параллелепипеде с основанием ABCD АВ = 29 см, AD = 36 см, BD = 25 см, AAj = 48 см. Найдите площадь сечения ABjCjX).
Дано. ABCBAjBjCjBj — прямой параллелепипед (рис. 86); АВ = 29 см, AD = 36 см, BD = 25 см, AAj = 48 см.
Найти: S^^c.D-
Решение. Имеем 29^ -f- 36^ ^ 25^ => АВ^ -ь AD^ ф BD^ => AABD — не прямоугольный => ABCD — параллелограмм.
D
§ 12. Параллелепипед
1
99
НО не прямоугольник. Это означает, что сечение ABjCjD — параллелограмм (докажите почему). Пусть С^Е — высота этого параллелограмма, тогда (по теореме о трех перпендикулярах) СЕ — высота основания ABCD.
Поэтому
^AB^C^D ' С^Е,
л СС^Е (Z С = 90°): С^Е = ^СС\ + С£2 ,
СЕ
_ ‘^ABCD
2S
AABD
AD
AD
(1)
(2)
(3)
Таким образом, находим:
Sabcd = = 2 745-(45- 25)*(45 - 29)-(45
Тогда из (3), (2) и (1) последовательно получаем СЕ =
= 36-52
36) = 720. 720
= 20; С^Е = V482 + 202 = 52;
Ответ: 1872 см2.
■ ЗАДАЧА (2.099). Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, «видны» из точки пересечения его диагоналей под углами а, Р и у. Докажите, что cos а + cos р -f- -f- cos у = 1.
Дано: ABCZMjjBjCjDi — прямоугольный параллелепипед (рис. 87); О = AjC п BD^; ZAOB = а; ZBOC = р; ZB^OB = у.
Доказать: cos а + cos Р + cos у = 1. Решение. Введем три некомпланарных
36
1872 (см2).
D,
7
«Z-.-fs s . V
7
В
Рис. 87
вектора: а = ОА, Ь = ОВ, с = ОС. Так как все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, то |а! = |5| = |с| = = р. Тогда
cos а = cos Z (ОА; ОВ) = cos Z (а; Ь) = ° * К = ;
\а\ • \Ь\ f
^ ^ Ь’С _Ь - с
cos р = cos Z(OB; ОС) = cos Z(6; с) = ^
cos у = cos Z (OB; OBj) = cos Z (&; OBj) =
• |C|
6-05^
ibi • Kl
6-OBi
4" PeoMcipiffl. 11 КЛ. Учебник
100
Глава 2
Многогранники
Имеем AQA^Bi'. ОВ^
OAj + AjBj,
AB = OB-OA = b-a.
Но OAi = -ОС = -с. AiBi
---^ _»“*-* “♦ ----------^ -»
Поэтому OBj = -а + & - с. Значит, Ь • OBj = Ь • (-а + 6 - с).
Тогда cos а + cosp + cos .у =
а ♦ Ь
^ Ь'с ^ b'(-d + b-c) _
= ^ ^ ^—f = ^ = 1, что и требовалось дока
р2 р2 р
зать.
■ ЗАДАЧА (2.105). Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из плоп^адей диагональных сечений равна 130 см^. Найдите: а) площадь второго диагонального сечения; б) площадь боковой поверхности параллелепипбда; в) площадь полной поверхности параллелепипеда; г) площади сечений параллелепипеда, проходящих через противолежащие стороны его верхнего и нижнего оснований.
Дано: ABCBAjBjCiBj — прямой параллелепипед (рис. 88); AD = 8 см, АВ = 15 см, ZBAD = 60°, = 130 см^.
Н а й т и. а) 5дсс,а,» ‘®бок» ^полн» ^bcoiAi*
Решение. ZBAD = 60°, значит, в параллелограмме ABCD диагонали АС и BD связаны неравенством BD < АС. Поэтому SbdDiBi ~ ^ требуется найти 5дсс,а,- АСС^А^ —
прямоугольник (почему?), то ~ • AAj.
Найдем длины отрезков АС и AAj.
AABD: BD^ = АВ^ + AD^ - 2АВ-AD cos А =
= 225 4- 64 - 2 • 15 • 8 • cos 60° = 169 ^BD= 13.
Л ABC: AC2 = AB2 + BC^ - 2AB • BC • cos В = 225 -f64-
- 2 • 15 • 8 • cos 120° = 409 => AC = 7409.
Далее,
Sbdd.b, = = 130 => BB, = 130 : BD = 130 : 13 = 10.
Тогда:
®) ^acc,a, “ • AAj = 10 7409;
6) = 2(AB -I- BC) - AAj = 460;
101
§ 12. Параллелепипед
в) ^полв ~ ^бок -
= AB*AD* sin 60° = бОл/З.
Таким образом, = 460 + 2 • 60 л/З =
= 20-(23 + бТЗ);
г) сечение ABC^D^ — параллелограмм
(почему?). Пусть D^F — высота этого параллелограмма. Тогда ^ ^
Найдем длину DjF.
Имеем:
D-^F ± АВ. D^D ± (АВС) => DF1. АВ (по теореме о трех перпендикулярах).
Поэтому DF = AD • sin 60° = 4 л/З ,
А F
Рис. 88
ADDif (Z£> = 90°): D^F = JDD\ + DF^ = VlOO + 48 = 2j^. Тогда
■S АВС.П, = 15 • 2 = 30 7^.
Аналогично, сечение BCD^A^ — парал.телеграмм. Если D^E — высота этого параллелограмма, то DE ± ВС. Поэтому Z DED^ = ф — угол между плоскостью сечения BCDjAj и плоскостью основания ABCD. Так как основание ABCD является ортогональной проекцией сечения BCD^A^, то Sbcd,a, ^ = 8^^ ; cos ф. Найдем cos ф.
ЛПЕС: nE = DC-sin60° = i^.
ДiD£Dl:tgф=^ = 10:l^ =1^ =>cosф=?^.
^ DE 2 9 743
Откуда 8bcd,a, = 6073 : ^ = 20743.
ej 40
Ответ: а) 10 7409 см^; б) 460 см^; в) 20 *(23 + б73) см^;
г) 30 7^ см2; 20 743 см2.
■ ЗАДАЧА (2.107). Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с меньшей боковой гранью угол а.
102
Глава 2
Многогранники
дите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Дано: ABCDA^B^C^D^ — прямоугольный параллелепипед; BDj = d; ZDBD^ = = Ф; Z D-^BCy = a (рис. 89).
Найти:
Решение. = + Sscc.b)-
Так как все боковые грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, то
'®АВВ,Л, 'S'BCC,B, ~ *^^1'
Найдем стороны основания и боковое ребро параллелепипеда. Вследствие того, что DD^ _L (ABC) и BjCj ± (ВСС^), имеем: в А BDD^ (Z BDDy = 90°): BD = d • cos ф, BBj = d • sin ф; в Л BCjBi (Z BCjBj = 90°): BCj = d * cos a, CjBj = d • sin a.
Тогда
A BCD (Z BCD = 90°): BC^ = BD^ - CD^ =
= d^ cos^ Ф —d^ sin^ a => BC = d Jcos^ 1з... А^.
Объединение всех граней многогранного угла является его границей. Точки многогранного угла, не принадлежащие его границе, образуют внутреннюю область многогранного угла.
Вследствие выпуклости многоугольника AjAgAg ... А„, многогранный угол PAjAg... А„ является выпуклой фигурой (внутренняя область этого угла расположена по одну сторону от плоскости каждой его грани).
В дальнейшем будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.
Каждые две грани многогранного угла, имеющие общее ребро, образуют двугранный угол. На рисунке 91 изображены линейные углы таких двугранных углов.
В зависимости от числа граней (ребер) многогранные углы могут быть трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.
Трехгранный угол обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 16. В трехгранвом угле величина каждого плоского угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.
Доказательство. Пусть угол АМС — наибольший из плоских углов трехгранного угла МАВС (рис. 92).
В грани АМС проведем такой луч МК, что Z AM К = ZAMB. Затем на лучах МВ, МК отложим равные отрезки соответственно MF, MD (MF = MD); через точки Dn F проведем произвольную плоскость, пересекающую ребра МА и МС соответ-
М
106
гпава 2
Многогранники
ственно в некоторых точках Р и Е. Тогда Л PMF = Д PMD (по двум сторонам и углу между ними), откуда PF = PD.
В Д PEF имеем РЕ < PF + FE или PD + DE < PF + FE. Но так как PF = PD, то получаем DE < EF. Сравнив А DEM и Д FEM, учитывая, что у них ME — общая сторона, MD = MF и DE ^ EFf приходим к выводу! ^FI\^E ^ /IDIS^E, Тогда ZFME > ZDME => ZFME + ZAMB > ZDME + ZAMB => => ZBMC + ZAMB > ZKMC + ZAMK => ZAMB + ZBMC > > ZAMC, что и требовалось доказать. ▼
Выпуклый многогранный угол обладает следующим свойством, которое выражает
Теорема. Сумма величин всех-плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360®.
Пусть — произвольный выпуклый многогран-
ный угол, заданный выпуклым многоугольником (рис. 93).
Рассмотрим п трехгранных углов с вершинами в точках А, (/ = 1, 2, ..., п). Для каждого из них запишем свойство трехгранного угла: ZA, < a,j -+- где ZA^ — величина внутреннего угла выпуклого многоугольника AjAg ... А„, а a,j и a.^2 — величины углов тех треугольников, которые имеют точку А, своей общей вершиной и лежат в гранях этого трехгранного угла, являющихся гранями данного многогранного угла. Суммируя все эти неравенства, получим: сумма 180®(п - 2) всех внутренних углов многоугольникаAjAg... А„ меньше 180°л - (Oj -f- 03 -I-... + а„), где (Oj -ь ttg + ... -ь а„) — сумма всех плоских углов при вершине М данного многогранного угла MAjAg ... А„, которые являются внутренними углами всех п треугольников, лежащих в его гранях, т. е. 180°(л - 2) < 180°л - (Oj + Og -ь ... -ь а„), откуда ttj ttg + ... + ct„ < 360°. Теорема доказана. ▼
13.2. Теорема косинусов и теорема синусов для трехгранного угла
Пусть дан трехгранный угол МАВС, в котором ZAMB = а, ZAMC = (3, ZBMC = ф — плоские углы (рис. 94); ф^^ — величина его двугранного угла В{АМ)С при ребре AM, противолежащем плоскому углу ф.
§ 13. Трехгранные и многогранные углы
107
М
м
Выберем на ребрах данного трехгранного угла точки В и С так, что МВ = МС = 1, и рассмотрим двугранный угол В(АМ)С с ребром AM.
Опустим из точек В и С перпендикуляры BBj и CCj на ребро AM. Тогда BBj = sin а, CCj = sin р, а BjCj = |cos а - cos р|. Используя пространственную теорему косинусов для двугранного угла В{АМ)С, получим:
ВС^ = ВВ\ + СС\ - 2BBi • СС, • cos + BjCf
или
ВС^ = sin^ а -t- sin^ р - 2sin а • sin р • cos срд^ + cos^ а +
+ cos^ р - 2cos а • cos р,
откуда
ВС^ = 2 - 2sin а • sin Р • cos фд^ - 2cos а • cos р. (*)
С другой стороны, в треугольнике ВМС по теореме косинусов имеем:
ВС2 = МВ2 4- МС2 - 2МВ • МС • cos ф = 2 - 2cos ф. (**)
Из (*) и (**) получаем:
cos ф = cos а • cos р -f- sin а • sin Р • cos фд,. (1)
Данное соотношение между плоскими углами а, р и ф трехгранного угла и величиной его двугранного угла фд^ при ребре, противолежащем плоскому углу ф, часто называют теоремой косинусов для трехгранного угла. Используя это соотношение, можно еще раз убедиться, что в трехгранном угле вели-
108 I Глава 2
Многогранники
чина каждого плоского угла меньше суммы величин двух других его плоских углов. Действительно,
cos ф = cos а • cos Р + sin а • sin р * cos фд^ >
> cos а • cos Р - sin а • sin Р = cos (а + Р), откуда ф < а + р.
Из теоремы косинусов для трехгранного угла (на основании соотношения (1)) имеем:
cos фдд =
_ cos ф - cos а • cos р
sin а • sin р
аналогично.
cos Рдз =
_ cos р - cos а • cos ф
sin а ■ sin ф
Путем несложных, но довольно громоздких, преобразований мы получим:
sin2 ф = 1 - fcos ф - cos а • cos р^^ ^
V sin а • sin р ^
_ 1 - cos* а — cos* р - cos* ф + 2cos о • cos Р • cos ф sin* а • sin* Р
Тогда
sin* фд, _ 1 - cos* а - cos* р - cos* ф -I- 2cos а • cos Р • cos ф sin* ф sin* а • sin* Р • sin* ф
Аналогично,
sin* Одв _ 1 - cos* а - cos* р - cos* ф + 2cos а • cos Р • cos ф
silica
sin* а • sin* р • sin* ф
Рдв _ 1 - cos* а - cos* р - cos* ф + 2cos а • cos р • cos ф
sin* р
sin* а • sin* р • sin* ф
Следовательно, для данного трехгранного угла отношение синуса двугранного угла к синусу противолежащего ему плоского угла есть величина постоянная, т. е.
sin фд. ^ sin Рд, ^ sin Од, sin ф sin ^ sin а
Это соотношение называют теоремой синусов для трехгранного угла.
109
§ 14. Пирамида
§ 14. Пирамида
14.1., Определение пирамиды и ее элементов
Определение. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 95, 96).
Многоугольник называется основанием пирамиды, остальные грани — боковыми гранями пирамиды, их общая вершина — вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами ее основания, называются боковыми ребрами пирамиды.
Пирамиду с основанием ABCDE и вершиной Р обозначают PABCDE.
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания, называется высотой пирамиды. Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды.
Пирамида называется п-угольной, если ее основанием является п-угольник.
На рисунке 96 изображена четырехугольная пирамида PABCD, у которой: четырехугольник ABCD — основание пирамиды; точка Р — вершина пирамиды; отрезки РА, РВ, PC, PD — боковые ребра пирамиды; отрезки АВ, ВС, CD, DA — стороны (ребра) основания пирамиды; отрезок РО — высота пирамиды; треугольники РАВ, РВС, PCD, PDA — боковые грани пирамиды.
У п-утольной пирамиды имеется (л -Н 1) вершин, 2п ребер и (п + 1) граней. Диагоналей пирамида не имеет. В пирамиде
Рис. 95
Рис. 96
110 I гпвва 2
Многогранники
различают плоские углы при ее вершине и двугранные углы при ее ребрах. Двугранным углом при ребре пирамиды называют содержащий пирамиду двугранный угол, образованный плоскостями граней, проходящими через данное ребро.
Треугольную пирамиду (рис. 97) называют также тетраэдром {«тетраэдр» по-гречески означает «четырехгранник»). Тетраэдр — это многогранник с наименьшим числом граней. Любая грань тетраэдра может быть принята за его основание; это отличает тетраэдр от всех остальных пирамид.
Любую пирамиду можно разбить на некоторое число тетраэдров, а любой выпуклый многогранник — на некоторое число пирамид. Для этого достаточно, например, взять любую точку внутри данного многогранника и соединить ее отрезками со всеми его вершинами. Такое разбиение часто используется при нахождении объемов многогранников.
14.2. Некоторые виды пирамид
Если все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Доказательство, а) Пусть РО — высота пирамиды PABCDEF, все ребра которой составляют с плоскостью основания угол ф (рис. 98). Тогда прямоугольные треугольники РОА, РОВ. РОС, POD, РОЕ и РОЕ, имея общий катет РО, равны между собой (по катету и острому углу ф). Из равенства этих треугольников следует: ОА = ОВ = ОС = OD = ОЕ = OF, т. е. вершины основания пирамиды равноудалены от основания О ее высоты РО. Это означает, что точка О — центр окружности, описанной около основания ABCDEF данной пирамиды.
б) Из ОА = ОВ - ОС - OD = ОЕ = OF следует^ что боковые ребра РА, РВ, PC, PD, РЕ, PF пирамиды равны, как наклонные, имеющие равные проекции, т. е. РА = РВ = = PC = PD = РЕ = PF. Что и требовалось доказать. ▼
Ill
§ 14. Пирамида
Вы самостоятельно можете доказать обратные утверждения.
1. Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около ее основания, то: а) все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые ребра пирамиды равны между собой.
2. Если все боковые ребра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью ее основания равные между собой углы.
Также имеет место следующее утверждение.
Если высота пирамиды пересекает ее основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в ее основание.
Доказательство. Пусть РО — высота пирамиды PABCDE, боковые грани которой образуют с плоскостью основания пирамиды двугранные углы, равные ф (рис. 99).
Проведем высоты РН^, PH2, РН^, РН^, РН^ боковых граней.
Тогда по теореме о трех перпендикулярах получаем ОН^ ± АВ, ОН2 -L ВС, ОН2 X CD, ОН^ X DE, ОН^ X ЕА, следовательно, ZOHjP = ZOH2P = ZOH2P = ZOH^P = ZOH^P = ф. Поэтому Д OHiP = Л ОН2Р = Л ОЯ3Р = Л ОН^Р = Д ОЯ5Р (как прямоугольные с общим катетом ОР и острым углом ф). Из равенства этих треугольников следует ОН^ = ОЯ2 = ОН^ = ОН^ = ОН^, т. е. точка О — основание высоты РО пирамиды — равноуда-
Рис. 98
Рис. 99
112 I Гпава 2
Многогранники
лена от всех сторон многоугольника ABCDE. Это означает, что точка О является центром окружности, вписанной в основание ABCZ)£ данной пирамиды. Теорема доказана. ▼
Самостоятельно докажите обратное утверждение.
Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.
Перечислим еще несколько часто встречающихся в задачах видов пирамид.
Пирамида, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани (рис. 100).
Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высотой такой пирамиды служит боковое ребро, общее для этих граней (рис. 101).
Пирамида, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней (рис. 102).
14.3. Правильная пирамида
Определение. Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого осв^ования.
Из определения следует алгоритм построения изображения правильных пирамид, что, в свою очередь, доказывает существование таких пирамид.
§ 14. Пирамида
113
в)
Рис. 103
Для построения изображения правильной пирамиды достаточно построить изображение соответствующего правильного многоугольника (основания пирамиды) и его центра. Затем из построенного центра провести перпендикуляр к плоскости многоугольника и выбрать на этом перпендикуляре (в качестве вершины пирамиды) любую точку, отличную от центра многоугольника. Соединив отрезками прямых эту точку со всеми вершинами многоугольника, получим изображение правильной пирамиды.
На рисунке 103, а, б, в построены изображения правильных пирамид: а) треугольной; б) четырехугольной; в) шестиугольной.
Правильные пирамиды обладают замечательным свойством.
В правильной пирамиде все боковые ребра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Рассмотрим правильную л-угольную . Пусть О — центр А \ РО — перпен-
Доказательство. пирамиду PAjAg ... А„ л-угольника AjAgAg ... дикуляр к плоскости основания пирамиды (рис. 104).
Так как центр правильного многоугольника является центром окружности, описанной около этого многоугольника, то
OAi = OAg
OAg =
ОА„ (как радиусы
описанной окружности). Тогда равны боковые ребра пирамиды, как наклонные
114 I Глава 2
Многогранники
К плоскости ее основания, имеющие равные проекции, т. е.
РА, = РА^ = РАз = ... = РА„.
Таким образом, имеем;
Мг=... = РА„ (к,
А2А3 = ... = А^, (как стороны правильного л-уголь-
РА, = PAg = ... = РА„ (как боковые ребра);
А,А2
ника).
Следовательно, треугольники PAjAg, PAgAg, ..., РА^, являются равнобедренными и по третьему признаку равенства треугольников равны между собой.
Это свойство правильной пирамиды можно доказать при помощи поворота пирамиды вокруг оси, содержащей ее высоту.
Так как точка О — центр правильного л-угольника AjAgAg ... А„, лежащего в основании правильной пирамиды PAjAg ... Ад, РО — перпендикуляр к плоскости ее основания, то при вращении данной пирамиды вокруг оси ОР на угол,
- (где k = 1, 2, 3, ..., л), происходит самосовме-
„ 360 равный ---
щение этой пирамиды: вершины основания пирамиды отображаются на его же вершины (основание совмещается с самим собой); вершина Р (как точка оси вращения) отображается на себя. Следовательно, боковые ребра пирамиды отображаются на боковые ребра, а боковые грани пирамиды — на ее боковые грани. А так как вращение вокруг прямой — движение, то все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, а грани являются равными равнобедренными (почему?) треугольниками. Утверждение доказано. ▼
Следствием доказанного выше является утверждение.
Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы.
Докажите это предложение самостоятельно.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная к ребру ее основания, называется апофемой пирамиды. На рисунке 104 отрезок PH — одна из апофем пирамиды.
Все апофемы правильной пирамиды равны вследствие равенства всех ее боковых граней.
Имеют место признаки правильной пирамиды: *
Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все ее боковые ребра равны; б) все ее боковые ребра образуют с плоскостью
115
§ 14. Пирамида
основания равные углы; в) все ее боковые грани равнобедренные треугольники.
Докажите это самостоятельно.
равные
■ ЗАДАЧА (2.244). Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и образует с боковой гранью угол а. Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани и пересекающая ее. Найдите площадь сечения.
Дано; PABCD — правильная пирамида (рис. 105); РО — высота пирамиды, РО = Л; Z OPF = а.
Найти;
Решение. Первый способ. Пусть EF — средняя линия основания пирамиды. Тогда AD ± EF, AD ± PF => AD J. (PEF) => (PEF) -L (ADP) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Поэтому прямая PF является ортогонЕшьной проекцией прямой РО на плоскость ADP. Значит, ZOPF — угол между высотой РО и боковой гранью ADP пирамиды: Z OPF = а.
Далее имеем: AD J. (PEF), BC\\AD ^ ВС ± (PEF) => прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости PEF. Поэтому если FL J. РЕ (в плоскости PEF), то ВС J. FL. Тогда FL ± ВС, FL -L РЕ => FL J. (ВСР) => (ADL) ± (ВСР) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей); при этом (ADL) г\ (ВСР) = = МК, MK^AD, так как плоскости ВСР и ADL проходят через параллельные прямые ВС и AD. Значит, сечение ADKM — трапеция, у которой FL — высота (почему?), откуда
Найдем AD, МК и FL. В AOPF (ZPOF OF = OP • tg а = OP h
AD + MK
= 90°):
Л • tg a;
FL.
PF =
^PE.
cos a cos a Поэтому EF = 2FO = 2Л • tg a = = BC.
В плоскости PEF получаем:
FL A. PE, PO Z => ZEFL = ZOPE = a.
РИС.-105
116 I Глава 2
Многогранники
Тогда в Л EFL: FL = EF • cos а = 2ft • tg а • cos а = 2ft sin а; в Д PLF (Z PLF = 90°, Z PFL = 90° - 2а):
ftcos 2а
PL = PF * sin (90° - 2а) = PF • cos 2а =
cos а
Так как МК || ВС, то Д МКР со Д ВСР, откуда
OL i ft • cos 2a 2h * LFi =
sin (90° - 2a) sin (90° + a)
2ft • sin a • cos 2a
LFcoB 2a cos a
cos a
Значит, MK = LFj = 2ft • tg a • cos 2a.
Второй способ. Пусть Mj, К^, Lj — ортогональные проекции на плоскость основания соответственно точек М, К, L (рис. 105, 106). Так как плоскости АСР, BDP и EFP перпендикулярны плоскости основания пирамиды, то ортогональными проекциями прямых PC, РВ и РЕ на эту плоскость являются соответственно прямые АС, BD и EF. Следовательно, € BD,
§14. Пирамида
117
нобедренная трапеция.
Таким образом, трапеция ADK^M^ — ортогональная проекция сечения ADKM.
^АРК.М, „
Это означает, что ^ . Найдем
^ADK^Mi’ диагонали квадрата вза-
имно перпендикулярны и M^Ky\\AD, то 01«1 = Ь^К^, OF = FD. Значит,
\М|
J V\^i Ф \
F
Рис. 106
^ ^AD + XiM, , 20F+20L,
*ADJf,Af, ~ -2---- ~ --------2----- ~
Тогда
FLj FL^• cos^ а -2
SiniTM ^4Л^ • sin** а • cos а. cos а cos а
Ответ; 4/1^ • sin^ а • cos а.
14.4. Площади боковой и полной поверхностей пирамиды
Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. В этой связи различают боковую и полную поверхности пирамиды, а также их площади.
Площадью боковой поверхности пирамиды (обозначают называется сумма площадей всех ее боковых граней: = 81 + 82 + ... + где Sj, 82, ..., — площади боковых
граней пирамиды.
Площадью полной поверхности пирамиды (обозначают 8пол„) называется сумма площадей всех ее граней, т. е. сумма площади основания пирамиды и площади ее боковой поверхности.
Из определения следует: = '®бок +
О площади боковой поверхности правильной пирамиды имеет место
Теорема 17. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.
118
I
Глава 2
Многогранники
Доказательство. Пусть РА jAg ••• А„ — правильная пирамида, а — длина ее апофемы (рис. 107).
Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, у которых основаниями являются стороны правильного л-угольника AjA2 ... А„, а высоты равны апофеме пирамиды, т. е. РЕ^ - P£g = Р^з = = Р-Е„ = а.
Тогда
^бок + ^ЛРА2Аз •••
= 1 А,А2 • РЕ, + 1А2А3 . Р£г + ... + ^А„А, • РЕ„ =
= 1 а • (А1А2 + А2А3 + ... +A^i) =\Р’а. где Р — периметр основания пирамиды. Теорема доказана. Т
Теорема 18. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ф, и высо-
та пересекает основание, то £р,
бок
_ ^осв
cos ф
Доказательство. Пусть РО — высота пирамиды PAjA2A3 ... А„, все боковые грани которой образуют с плоскостью основания углы, равные ф (рис. 108); PH,, PHg, ..., РРГ„ — высоты боковых граней. Тогда (по теореме о трех перпендику-
Рис. 107
Рис. 108
119
§ 14. Пирамида
лярах) OHilA^A^, OHglAgAs, ..., ОН„±А^у Значит, Z ОН^Р = Z ОН^Р = Z ОЯдР = ... = Z ОЯ„Р = ф.
Так как точка О является центром круга, вписанного в основание пирамиды (почему?), то эта точка лежит внутри л-угольника AjAgAg ... А„. Поэтому л-угольник AjAg ... А„ является объединением непересекающихся треугольников AjOAg, AgOAg, ..., A„OAj. Эти треугольники являются ортогональными проекциями на плоскость основания пирамиды ее соответствующих боковых граней. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника имеем:
■^ДЛ,0А2 ^ ^^\A^PA2 ’
^АА^ОАз ^ ^АА^РАз * Ф»
^ЛА„ОА, ~ “S'ДА„РА, ' Ф-
Сложив почленно эти равенства, получим • cos ф, от-
g
куда ^ . Теорема доказана. Т
cos ф
Так как все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы (пусть величина этих углов равна ф, см. рис. 107), то для площади боковой поверхности и площади основания правильной пирамиды также справедлива формула
^бок
cos ф
14.5. Свойства параллельных сечений пирамиды
Если плоскость а параллельна основанию пирамиды и пересекает ее, то в сечении пирамиды получается некоторый многоугольник (рис. 109).
Теорема 19. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
Доказательство. 1) Пусть сечением пирамиды PABCD плоскостью а, параллельной плоскости р ее основания, является четырехугольник A^BjC|Dj (см. рис. 109).
120
Глава 2
Многогранники
Проведем высоту РО данной пирамиды и обозначим Oj = РО п а.
Рассмотрим гомотетию Нр с центром Р, при которой плоскость основания данной пирамиды отображается на параллельную ей плоскость а (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).
Так как при гомотетии ее центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия Нр отображает основание ABCD пирамиды на ее параллельное сечение — многоугольник AyByC^Dy, при этом вершины А, В, С, D основания пирамиды — на вершины соответственно Aj, Bj, Cj, Dj, a точку О — на точку Oj (почему?).
Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:
PAi ^ PBi ^ PCi ^ PZ>i ^ PO^ ^ ^
Та ~ ТВ ~ Тс ~ То ~ То ~ ’
(*)
где k — коэффициент гомотетии Нр. Это означает, что параллельное сечение пирамиды делит ее ребра и высоту на пропорциональные части. А поскольку гомотетия является подобием, то многоугольник AjBjCjDj, являющийся параллельным сечением пирамиды, подобен ее основанию ABCD.
Вследствие того, что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии, а к = = РО^ : РО, где POj и РО — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от ее вершины, то
SA,Bfi,DrS^CD = k^ = PO\:PO'^. *
Теорема доказана. Т
Следствие. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает пирамиду? подобную данной.
121
§ 14. Пирамида
14.6. Усеченная пирамида
Плоскость а, параллельная основанию пирамиды PABCD и пересекающая ее, делит эту пирамиду на два многогранника: пирамиду PA^ByCyDy и многогранник ABCZMjEjCjDj (см. рис. 109).
Многогранник ABCnAjBjCiDi (рис. 110) называют усеченной пирамидой. Грани ABCD и AjEjCiDj, лежащие в параллельных плоскостях, называются соответственно нижним и верхним основаниями усеченной пирамиды, остгшьные грани — ее боковыми гранями. Так как нижнее и верхнее основания усеченной пирамиды гомотетичны (т. 19), то все ее боковые грани — трапеции.
Таким образом, усеченной пирамидой называется часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и параллельным ему сечением.
У п-угольной усеченной пирамиды 2п вершин, Зп ребер, п + 2 грани и п(п - 3) диагоналей.
Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усеченной пирамиды. На рисунке 110 отрезки OjO, В^К — высоты усеченной пирамиды.
Усеченная пирамида называется правильной, если она получена из правильной пирамиды (рис. 111).
Из теоремы 19 следует, что основания правильной усеченной пирамиды — подобные правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.
Высоты этих трапеций, соединяющие середины их оснований, называются апофемами усеченной пирамиды. Все ее апофемы равны между собой.
Отрезок OOj, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды, является ее высотой.
Рис.110
122 Глава 2
Многогранники
Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.
Для правильной усеченной пирамиды имеет место
Теорема 20. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему.
Для доказательства теоремы достаточно площадь одной из боковых граней пирамиды умножить на их число. В результа-
те получим формулу
Pi + Рг
•h, гдеРр — периметры
нижнего и верхнего оснований усеченной пирамиды, Л — ее апофема.
Проведите доказательство теоремы самостоятельно.
Полная поверхность усеченной пирамиды — это объединение ее оснований и боковой поверхности, поэтому для усеченной пирамиды
■^ПОЛН ~ ^бок -Si +
где S, и Sg — площади большего и меньшего оснований этой пирамиды.
Для усеченной пирамиды, у которой все двугранные углы при ребрах большего основания равны ф, справедливо: =
= —!---?. Для вывода этой формулы достаточно учесть сле-
COS (р ''
дующий факт: если Д и г — радиусы окружностей, вписанных соответственно в большее и меньшее основания данной пира-
миды, то Sj = 0,5 • Pj • Д, Sg* = 0,5 • Pg * г, cos ф = высота боковой грани этой пирамиды, j
Д
, где Л —
14.7. Объем пирамиды I
Лемма. Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.
Доказательство. Пусть пирамиды РАВС и P^A^B^C^ имеют высоты, равные Н, и равновеликие основания с площадью S; их объемы — соответственно V^ и Fg. Докажем, что Fj = Fg.
§ 14. Пирамида
123
Расположим пирамиды РАВС и P^A^BlC^ так, чтобы их основания лежали в одной плоскости, а сами пирамиды были расположены по одну сторону от этой плоскости (рис. 112). Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований и пересекающая первую пирамиду, пересекает и вторую, причем по теореме о параллельных сечениях пирамиды площади этих сечений равны. Следовательно, на основании принципа Кавальери равны и объемы этих пирамид. Лемма доказана. Т
Теорема 21. Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Доказательство. Пусть А^АВС — данная треугольная пирамида с вершиной Aj и основанием АВС (рис. 113). Дополним эту пирамиду до треугольной призмы ABCAjBjCj с тем же основанием, одним из боковых ребер которой является боковое ребро АА, данной пирамиды. Это означает, что высота призмы равна высоте данной пирамиды.
Призма ABCAjBjCj является объединением трех треугольных пирамид с общей вершиной AjiAjABC, AjBBjCj и AjBCCj. Основания BBjCj и BCCj пирамид AjBBjCj и AjBCCj равны, а высота у них общая. Значит, по лемме у этих пирамид равные объемы.
Будем считать точку В вершиной пирамиды А^ВВ^С^, а Л AjBjCj — ее основанием. Тогда эта пирамида равновелика пирамиде AjABC, так как у них общая высота, а основания АВС и AjBjCj равновелики (как основания призмы). Таким образом, призма ABCAjBjCj является объединен^1ем трех равновеликих пирамид, одной из которых является данная пирамида
124
Глава 2
Многогранники
АуАВС. Это означает, что объем V пирамиды AjABC составляет одну треть объема призмы ABCAjBjCj, т. е. К = 1• Н, где
О
Н — высота призмы. Но построенная призма и данная пирамида имеют общую высоту Н, следовательно, объем треугольной пирамиды вычисляется по формуле
где Н — высота пирамиды. Теорема доказана. Т
На рисунке 114 изображены треугольная призма ABCDfJf’ и составляющие ее три равновеликие треугольные пирамиды ABDF, ABCF и BDEF.
Для вычисления объема л-угольной пирамиды PAjVlg ... -А„ (рис. 115) разобьем ее основание ••• Диагоналями AjAg,
AjA4....AjA„ _ j на треугольники с общей верпхиной Aj. Тогда
данная пирамида разбивается в объединение пирамид PAjAgAg, PA,AgA4, ..., PAjA„ _ jA„ с общей вершиной Р и общей высотой, которая равна высоте данной пирамиды. Основаниями этих пирамид являются треугольники разбиения основания данной пирамиды. Это означает (свойство 2 объемов), что объем V пирамиды PAjAg.. А.„ равен сумме объемов Vj, Fg, .... V„ _ g треугольных пирамид соответственно PAjAgAg, РА^А^^,
...»- t^n-
Пусть высота пирамиды равна Н, площадь ее основания S, а площади треугольников разбиения этого основания равны Sj, Sg,..., S„ _ g. Это означает, что Sj -f- Sg -f-... -Н S„ _ g = S. Тогда получаем:
+ ... +
K= + Fg-b ...-b K„_g = |h(Si + Sg
1
-2)=gS'^-
Рис. 114
1
125
§ 14. Пирамида
Таким образом, объем любой пирамиды вычисляется по формуле
Н,
где — площадь основания, Н — высота пирамиды. Итак, доказана
Теорема 22. Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
14.8. Об объеме тетраэдра
У тетраэдра за основание можно принять любую его грань, на каждую из которых можно провести высоту тетраэдра из противоположной этой грани вершины. Поэтому для объема V одного и того же тетраэдра имеют место соотношения
V^=|Si-^ = ls2*/i2=iS3-
где h^{k = 1, 2, 3, 4) — площадь грани и длина опущенной на нее высоты. Эти соотношения часто используют при решении задач.
Заметим, что не в любом тетраэдре все четыре высоты пересекаются в одной точке (для сравнения — все три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке). Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим.
Интересен также тетраэдр (рис. 116, а), все грани которого равны. Такой тетраэдр называется равногранным. Его разверткой является остроугольный треугольник (рис. 116, б).
б)'
Рис.116
126
Гпава 2
Многогранники
Докажите самостоятельно, что в равногранном тетраэдре:
— скрещивающиеся ребра попарно равны;
— все высоты равны;
— сумма плоских углов трехгранного угла при каждой вершине тетраэдра равна 180°;
— двугранные углы при скрещивающихся ребрах тетраэдра равны.
Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр AjCjBD. Проведем через каждое его ребро плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведенные шесть плоскостей при пересечении образуют некоторый параллелепипед ABCDAjBjCjDj (рис. 117), параллельные грани A5CD и AjBjCjDj которого содержат скрещивающиеся ребра и BD данного тетраэдра. Тогда расстояние между основаниями ABCD полученного параллелепипеда равно его вы-
соте и равно расстоянию между скрещивающимися ребрами AjCj и BD данного тетраэдра.
Этот параллелепипед можно разбить на пять тетраэдров — данный тетраэдр A^C^BD и еще четыре тетраэдра: A^ABD; BBjAiCi; CyCBD\ DDyA^C^. Объем каждого из четырех последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания ABCD, т. е. шестой части объема V полученного параллелепипеда.
Таким образом.
= Ih
AjC,
^ABCD “ 3 ^ '
' BD • sin ф.
АС • BD • sin ф =
Рис.117
где ф — УГОЛ между диагоналями АС и BD параллелограмма ABCD. А так как ACIIAjCj, то величина угла между скрещивающимися диагоналями AjCj и BD тетраэдра AjCjBD также равна
ф.
Мы получили: объем тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся ребер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти ребра.
§ 14. Пирамида
127
Отметим еще несколько очевидных и менее очевидных свойств тетраэдров, связанных с их объемами.
1. Объемы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания.
2. Объемы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований.
3. Объемы тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы, относятся, как произведения длин ребер, образующих эти углы.
Используя рисунок 118, вы сможете легко доказать и третье утверждение.
14.9. Объем усеченной пирамиды
Теорема 23. Объем усеченной пирамиды, у которой площади оснований равны и S2, а высота — Н, вычисляется по формуле
Г=|Я(5, -(-7^2 +S2).
Доказательство. Пусть дана усеченная пирамида (рис. 119), у которой Sj > S2. а высота OOj = Н. Дополним эту пирамиду до полной пирамиды с вершиной Р. Объем V данной усеченной пирамиды равен разности объемов полной и дополнительной пирамид.
Если длина высоты POj дополнительной пирамиды равна х, то высота РО полной пирамиды равна Н + х.
Выразим X через Sp S2 и Н. По теореме 19 (о площадях параллельных сечений пирамиды) имеем
: $2 = (Н + xf: х^ => : J^2 = (Н + xf : х
=> X
^ HjS2
128 I Глава 2
Многогранники
Поэтому для объема V усеченной пирамиды находим Г= \S,(H + X)-\S2‘X^US,‘H + (S^-S2)-X)
(Si S2}H JS2 \_ 1
3^-1- + i(S,H+(7s; + js^wj^)
= Jh(Si + 7^2 +S2).
что И требовалось доказать. Т
§ 15. Правильные многогранники
15.1. Определение правильного многогранника
Определение. Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани — равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер;
4) все его двугранные углы равны.
Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани — равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником (проверьте это).
Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных многогранников?
15.2. Пять типов правильных многогранников
Рассмотрим произвольный правильный многогранник М, у которого В вершин, Р ребер и Г граней.'По теореме Эйлера для этого многогранника выполняется равенство
В-Р + Г=2. (1)
Пусть каждая грань данного многогранника содержит т ребер (сторон), и в каждой его вершине сходятся л ребер. Очевидно,
т > 3, п > S. (2)
Так как у многогранника В вершин, в каждой из которых сходятся п ребер, то получаем п • В ребер. Но любое ребро соединяет две вершины многогранника, поэтому в произведение
129
§ 15. Правильные многогранники
п • В каждое ребро войдет дважды. Значит, у многогранника п • В
М имеется
различных ребер. Тогда
=Р=>В=—.
(3)
2 п
Далее, в каждой грани многогранника М содержится т ре бер, а число граней равно Г. Так как каждое ребро принадле жит двум смежным граням, то число различных ребер много п% * г
гранника равно - ■ . Тогда
т ' Г = Р Г =
2 т
9Р 9Р
Из (1), (3), (4) получаем — - Р + _ =2, откуда
п т
1+1
п т
1 + 1>1
Р 2 2
(4)
(5)
Таким образом, имеем
-+->J I 1
п т 2>=>-т>3,п>з\ "
1>1-1
т 2
>1-1>1-1=1
п 2
1
3
1
6
3 6
3 < m < 6.
3 < га < 6;
Из неравенств 3< т<6иЗ< га<6 следует, что гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Причем в случаях /га = га = 4;
/га = 4, га = 5;/га = 5, га = 4;/га = га = 5 приходим к противоречию
с условием 1 + 1 > 1. Поэтому остаются возможными пять га /га 2
случаев: 1) /га = га = 3; 2) /га = 4, га = 3; 3) /га = 3, га = 4; 4) /га = 5, га = 3; 5) /га = 3, га = 5.
Рассмотрим каждый из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3).
1) /п = га = 3 (каждая грань многогранника — правильный треугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем
1 = 1 + 1 - 1
Р 3 3 2
Таким образом, получается правильный четырехгранник, у которого каждая грань — правильный треугольник. Это —
5 =>Р = 6;В=Н1
6 га
4;Г=?1
J71
3 Геометрия, 11 кл. Учебник
130
гпава 2
Многогранники
известный нам правильный тетраэдр (рис. 120) («тетраэдр» означает четырехгранник).
2) m = 4, д = 3 (каждая грань — квадрат, и в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем
1 1,11 1
_ Ы-1=_
Р 4 3 2 12
Р = 12; В = = 8; Г = = 6.
3 ’ 4
Получаем правильный шестигранник, у которого каждая грань — квадрат. Этот многогранник называется правильным гексаэдром и является кубом (рис. 121) («гексаэдр» — шестигранник), любой параллелепипед — гексаэдр.
3) m = 3, ге = 4 (каждая грань — правильный треугольник, в каждой вершине сходятся четыре рюбра). Имеем:
l = l+ l- l = i-=i.P=12;B = = 6; Г = = 8.
Р342 12 ’ 4 ’ 3
Получаем правильный восьмигранник, у которого каждая грань — правильный треугольник (рис. 122). Этот многогранник называется правильным октаэдром («октаэдр» — восьмигранник).
4) m = 5, п = 3 (каждая грань — правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем:
1 = 1 + 1-1 = J-=>P = 30;B = = 20; Г =
Р 5 3 2 30 ’ 3
2-30
= 12.
Получаем правильный двенадцатигранник, у которого каждая грань — правильный пятиугольник (рис. 123). Этот многогранник называется правильным додекаэдром («додекаэдр» — двенадцатигранник).
5) m = 3, ге = 5 (каждая грань — правильный треугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). Имеем
i = l-l-l-l=i-=5>P = 30;B = = 12; Г = ^ = 20.
Р 3 5 2 30 ’ 5 ’ 3
§15. Правильные многогранники
131
Получаем правильный двадцатигранник (рис. 124). Этот многогранник называется правильным икосаэдром («икосаэдр» — двадцатигранник).
Таким образом, мы получили следующую теорему.
Теорема 24. Существует пять различных (с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.
К этому заключению можно прийти несколько иначе.
Действительно, если грань правильного многогранника — правильный треугольник, и в одной вбршине сходятся k ребер, т. е. все плоские углы выпуклого /?-гранного угла равны 60°, то 60° • k < 360°. Следовательно, натуральное число k мо-
жет принимать значения: 3; 4; 5. При этом Г = На основании теоремы Эйлера имеем: В -f ® ^
B-k
,Р
В-Л
В-Л
= 2 или
3 2
В • (6 - А:) = 12. Тогда
при А = 3 получаем: В = 4, Г = 4, Р = 6 (правильный тетраэдр); при А = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр); при А = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр).
Если грань правильного многогранника — правильный четырехугольник, то 90° • А < 360°. Этому условию соответству-
В • ь
ет единственное натуральное число А = 3. Тогда: Г = —,
Р = ; В +
В-А
= 2 или В • (4 - А) = 8. Значит, В = 8,
Г = 6, Р = 12
5' Геометрия, 11 кл. Учебник
4 2
мы получаем куб (правильный гексаэдр).
132 I Глава 2
Многогр>анники
Если гранью правильного многогранника является правильный пятиугольник, то 108° • k < 360°. Этому условию со-
В*Л „ В*А
ответствует тоже только А = 3 и Г =
р= В' "5"’^ ~Т
Аналогич-
но предыдущим вычислениям получаем: В *(10 - 3ft) = 20 и В = 20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр).
Начиная с правильных шестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника, плоские углы становятся не меньше 120°, и уже для ft = 3 их сумма становится не менее 360°, что невозможно. Следовательно, существует всего пять видов правильных многогранников.
На рисунке 125 изображены развертки (в уменьшенном масштабе) каждого из пяти правильных многогранников.
Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.
Вид грани Плоский угол при вершине Вид МНОГО' гранного угла при вершине Сумма плоских углов при вершине в Р г Название многогран- ника
Правильный треугольник 60° З-гранный 180° 4 6 4 Правиль- ный тетраэдр
Правильный треугольник 60° 4-гранный 240° 6 12 8 Правиль- ный октаэдр
Правильный треугольник 60° 5-гранный 300° 12 30 20 Правиль- ный икосаэдр
Квадрат 90° 3-гранный 270° 8 12 6 Правиль- ный гексаэдр (куб)
Правильный пятиугольник 108° 3-гранный 324° 20 30 12 Правиль- ный додекаэдр
133
§ 15. Правильные многогранники
Правильный
тетраэдр
Правильный
октаэдр
Правильный
гексаэдр
Рис. 125
У каждого из правильных многогранников, помимо уже указанных свойств, нас чаще всего будут интересовать:
1. Величина его двугранного угла при ребре (при длине ребра а).
2. Площадь его полной поверхности (при длине ребра а).
3. Его объем (при длине ребра а).
4. Радиус описанной около него сферы (при длине ребра а).
5. Радиус вписанной в него сферы (при длине ребра а).
6. Радиус сферы, касающейся всех его ребер (при длине ребра а).
Наиболее просто решается вопрос о вычислении площади полной поверхности правильного многогранника; она равна Г • Sp, где Г — количество граней правильного многогранника, а Sp — площадь одной его грани.
— 1
Напомним, sin 18° = — , что дает нам возможность за-
писать в радикалах: ctg 36° = + 10.^ Учитывая это, со-
5
ставляем таблицы:
134 I Глава 2
Многогранники
а) для площади грани правильного многогранника
Вид грани Длина стороны Длина апофемы грани , Площадь грани
Правиль- ный треугольник а П с i 180° 0,5 • а • ctg = _ а • Vs 6 Ц -0,5-a-ctg60° = _а^'Л 4
Квадрат а 0,5а
Правильный пятиугольник а л к * 180° 0,5*a*ctg —— = 5 = |ctg 36° ^ -0,5-a-ctg 36° = _ + lOVs 4
б) для площади полной поверхности правильного многогранника
Вид многогранника Вид граней Количество граней Площадь полной поверхности
Правильный тетраэдр Правильный треугольник 4 =а2-V3 4
Правильный октаэдр Правильный треугольник 8 8- = 2а2- 73 4
Правильный икосаэдр Правильный треугольник 20 20- = 5а2- 73 4
Правильный гексаэдр (куб) Квадрат 6 6а2
Правильный додекаэдр Правильный пятиугольник 12 i,.a2V25 + loVB _ = 3a^j25 + 10 Vs
Теперь перейдем к вычислению величины двугранного угла Р правильного многогранника при его ребре. Для правильного тетраэдра и куба вы легко найдете величину этого угла.
В правильном додекаэдре все плоские углы его граней равны по 108°, поэтому, применив теорему косинусов для трех-
§15. Правильные многогранники
1
135
гранных углов к любому трехгранному углу данного додекаэдра при его вершине, получим: cos 108° = cos^ 108° -I--I- sin^ 108° • cos p, откуда
-1 + .7^
cos 108° ^ -sin 18° ^ 4 ^ _-l + Jb ^ _Jb
T’
cos p =
1 -I- cos 108° 1 - sin 18°
1 -
= K- arccos
-1 + 75 5-75
4
75
Ha изображенном правильном октаэдре ABCDMF (рис. 126) вы можете убедиться, что двугранный угол р при ребре октаэдра равен 2arctg 72: Р = 2arctg 72 .
Для нахождения величины двугранного угла ф при ребре правильного икосаэдра (рис. 127) можно рассмотреть трехгранный угол ABCD при вершине А: его плоские углы ВАС и CAD равны по 60°, а третий плоский угол BAD, против которого лежит двугранный угол B(AC)D = ф, равен 108° (BCDMF — прбшильный пятиугольник). По теореме косинусов для трехгранного угла ЛБСП имеем: cos 108° = cos^ 60° + sin^ 60° • cos ф.
Учитывая, что cos 108° = -sin 18° = ^ , получаем ^ =
4 4
1 3 zv/s
= + cos ф, откуда cos ф = -2^ . Таким образом, двугранный
4 4 3
угол ф при ребре правильного икосаэдра равен п - arccos ^ : ф =
О
= л - arccos
75
м
136 I Глава 2
Многогр>анники
Итак, получаем следующую таблицу величин двугранных углов при ребрах правильных многогранников.
Вид многогранника Величина двугранного угла при ребре
Правильный тетраэдр arccos i О
Правильный октаэдр 2arctg J2 = п - arccos 1 О
Правильный гексаэдр (куб) 90°
Правильный додекаэдр Л 71 — arccos ^ о
Правильный икосаэдр л к “ arccos ^
Прежде чем находить объем того или иного правильного многогранника, сначала проведем рассуждения о том, как можно найти объем правильных многогранников в общем виде.
Попытайтесь сначала доказать, что если через центр каж-. дой грани любого правильного многогранника провести прямую, перпендикулярную плоскости этой грани, то все проведенные прямые пересекутся в некоторой одной точке О, удаленной от всех граней данного многогранника на одно и то же расстояние, которое обозначим г. Точка О окажется центром сферы, вписанной в данный многогранник, а г — ее радиусом. Соединив полученную точку О со всеми вершинами данного многогранника, мы разобьем его на Г равных между собой пирамид (Г — число граней правильного многогранника): основаниями образованных пирамид служат грани данного правильного многогранника, а высоты пирамид равны г. Тогда объем данного многогранника равен сумме объемов всех этих пирамид. Так как многогранник правильный, то его объем V можно найти по формуле:
V- - Г’ S
2 ^полн.поверх*
(1)
Остается найти длину радиуса г. Для этого, соединив точку О с серединой К ребра многогранника, попробуйте убедиться, что наклонная КО к грани многогранника, содержащей ребро, составляет с плоскостью этой грани угол, равный половине ве-
§15. Правильные многогранники
1
137
личины р двугранного угла при этом ребре многогранника; проекция же наклонной КО на плоскость этой грани принадлежит ее апофеме и равна радиусу вписанной в нее окружности. Тогда
г= г.
впис.окр
с
грани
= ______
^ 2 в
' tg 2 ® 2
(2)
где р — полупериметр грани. Тогда из (1) и (2) получаем общую для всех правильных многогранников формулу вычисления их объемов:
V =
Г • • tg
* ‘-'грани 9
3 • р
(3)
Эта формула совершенно не нужна для нахождения объемов куба, правильных тетраэдра и октаэдра, но позволяет довольно легко находить объемы правильных икосаэдра и додекаэдра.
Вид многогранника Объем многогранника
Правильный тетраэдр а® 72 12
Правильный октаэдр а®72 3
Куб а®
Правильный икосаэдр 5а®(3 + Л) 12
Правильный додекаэдр а®(15 + 7Л)
4
Все эти таблицы и формулы приведены, естественно, не для запоминания. Нам кажется интересным сам процесс нахождения различных величин, связанных с правильными многогранниками.
В последствии мы найдем и радиус описанной около правильного многогранника сферы, и радиус сферы, касающейся всех его ребер.
О других замечательных свойствах правильных многогранников вы можете прочесть в наших «Дополнениях* и в различных книгах по стереометрии.
Глава
ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
§ 16. Фигуры вращения
16.1. Поверхность вращения
При вращении пространства вокруг оси I на угол ф = 360° любая точка Mel пространства описывает окружность, расположенную в плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно оси вращения I (см. рис. 32); центр окружности есть точка пересечения этой плоскости и прямой L
Пусть линия т расположена в одной из полуплоскостей плоскости р, образованных прямой I (рис. 128, а). При вращении линии т вокруг оси I на угол 360° каждая точка этой линии описывает окружность с центром на прямой Z; плоскость окружности перпендикулярна оси вращения I. Линия т при этом вращении опише" некоторую поверхность F, которую называют поверхностью вращения (рис. 128, б).
Поверхность, которая с каждой своей точкой содержит всю окружность, образованную при вращении этой
а)
Рис. 128
139
§ 16. Фигуры вращения
точки вокруг некоторой прямой I, называется поверхностью вращения. Прямая I при этом называется осью поверхности вращения.
На основании определения в сечении поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной ее оси, получается окружность (или точка), которая называется параллелью. Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, пересекает эту поверхность по линии, которая называется меридианом. Так как поворот вокруг прямой на угол 180° есть симметрия относительно этой прямой, то меридиан — плоская линия, симметричная относительно оси поверхности вращения.
Так как через каждую точку поверхности вращения (не лежащую на оси) можно провести лишь одну плоскость, перпендикулярную ее оси, и лишь одну плоскость, проходящую через эту ось, то через каждую точку поверхности вращения проходит только одна параллель и только один меридиан. В таком случае говорят, что параллели и меридианы образуют на поверхности вращения две системы линий кривизны (или образуют координатную сеть).
Поверхностью, образованной при вращении полуокружности вокруг прямой, содержащей ее диаметр, является сфера или сферическая поверхность (рис. 129, а, б).
Глобус — модель земного шара, дающая изображение всей земной поверхности, — является примером сферической поверхности. Через каждую точку поверхности глобуса Земли проходит одна параллель и один меридиан.
а)
Рис.129
140
Глава 3
Фигуры вращения
16.2. Тело вращения
Если отрезок ОМ перпендикулярен прямой IviOe I (рис. 130, а), то при вращении этого отрезка вокруг оси I образуется круг, лежащий в плоскости, перпендикулярной прямой Т, центр круга есть точка О.
Пусть в полуплоскости с границей I плоскости р расположена плоская фигура F (рис. 130, б). Тогда при вращении фигуры F вокруг прямой I образуется геометрическое тело, которое называют телом вращения (рис. 130, в).
Определение. Тело, образованное при вращении плоской ограниченной замкнутой фигуры вокруг прямой, лежащей в плоскости этой фигуры и не содержащей ее внутренних точек, называется телом вращения.
Прямая I называется осью тела вращения. Граница тела вращения называется его поверхностью; она образуется при вращении границы плоской фигуры (точки границы плоской фигуры, лежащие на оси вращения, являются внутренними точками тела вращения).
Сечение тела {поверхности) вращения плоскостью, перпендикулярной оси этого тела (этой поверхности), называется перпендикулярным сечением тела {поверхности) вращения.
Перпендикулярным сечением тела (поверхности) вращения может быть круг (окружность) с центром в точке пересечения секущей плоскости и оси этого тела (этой поверхно-
а)
141
§ 16. Фигуры вращения
а)
а) б)
Рис. 131
в)
Рис. 133
а) в)
Рис. 132
А 1
\
в
1
С
а)
б)
Рис. 134
Рис. 136
142
Гпавэ 3
Фигуры вращения
В
а)
Рис. 138
сти) ИЛИ точка, а может быть кольцо (рис. 133, 136), ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром на оси вращения.
На рисунках 131, а — 137, а изображены плоские фигуры, при вращении которых образуются соответствующие тела вращения (рис. 131, б — 137, б).
Сечение тела вращения плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением этого тела. Поскольку поворот вокруг прямой на угол 180° есть симметрия относительно этой прямой, то осевым сечением тела вращения является фигура, симметричная относительно его оси.
§ 17. Цилиндр
17.1. Определение цилиндра и его элементов
Определение. Тело, которое образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, называется цилиндром (рис. 138).
Круги, образованные вращением сторон прямоугольника, перпендикулярных оси вращения, называются основаниями цилиндра (верхним и нижним). Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то основаниями цилиндра являются равные круги.
143
§ 17. Цилиндр
а)
Поверхность, образованная вращением стороны прямоугольника, параллельной оси вращения, называется боковой поверхностью цилиндра, а ее площадь — площадью боковой поверхности цилиндра и обозначается Объединение боковой поверхности цилиндра и двух его оснований называется полной поверхностью цилиндра, а ее площадь обозначается
Таким образом.
*^бок 2®осн'
(1)
Высотой цилиндра называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания цилиндра к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра называют высотой цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный к их плоскостям, называется образующей цилиндра вращения. Отрезок оси вращения, заключенный внутри цилиндра, называется осью цилиндра.
ИЙ Образующие цилиндра вращения перпендикулярны плоскостям его оснований, а в основании цилиндра круг, поэтому такой цилиндр называется прямым круговым цилиндром (рис. 139, а).
Если основания прямого кругового цилиндра подвергнуть сжатию так, чтобы окружность основания преобразовалась в эллипс, то получим цилиндр, который называется эллиптическим цилиндром (рис. 139, б).
Так как окружность при параллельном проектировании изображается эллипсом, то изображения кругового и эллиптического цилиндров совпадают.
144
Главе 3
Фигуры вращения
-/
Цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований, называется наклонным цилиндром
(рис. 139, в). ШЙ
Нам предстоит изучать лишь прямой круговой цилиндр, поэтому слова «прямой круговой» опускаем.
Поверхность, образованную вращением прямой, параллельной оси вращения, называют цилиндрической поверхностью вращения (рис. 140).
Уравнение (г > 0) задает
цилиндрическую поверхность вращения с осью вращения Ог и радиусом основания г. Из этого уравнения следует, что цилиндрическая поверхность является поверхностью второго порядка. (Подробнее о поверхностях второго порядка можно прочитать в «Дополнениях» в конце этой книги.)
17.2. Свойства цилиндра
а) Сечения цилиндра плоскостью. Так как цилиндр является телом вращения, то любое его перпендикулярное сечение есть круг, а перпендикулярное сечение боковой поверхности цилиндра — окружность; центры этих окружностей и кругов — точки пересечения секущих плоскостей и оси цилиндра (рис. 141). Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна ей, то в сечении может получиться эллипс (рис. 142) или его некоторая часть (рис. 143, 144). Это следует из того, что параллельной проекцией окружности на плоскость, не
§ 17. Цилиндр
145
параллельную плоскости окружности, является эллипс. {Вспомните: наклонив цилиндрический стеклянный сосуд с водой, вы видите на поверхности воды эллипс или его часть.)
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, называется осевым, сечением цилиндра. Так как поворот пространства вокруг прямой на угол 180° является осевой симметрией относительно оси вращения, то ось прямого кругового цилиндра является его осью симметрии. Значит, осевым сечением цилиндра вращения является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и образующей цилиндра (рис. 145). При этом все осевые сечения цилиндра — равные между собой прямоугольники.
Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, называют равносторонним цилиндром (рис. 146).
Так как все образующие цилиндра равны и параллельны друг другу, то любое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть прямоугольник, высота которого равна образующей цилиндра (рис. 147).
Рис. 146
Рис. 147
Рис. 148
146
I
Гпава 3
Фигуры вращения
б) Изображение цилиндра. Чтобы построить изображение цилиндра, достаточно построить: 1) прямоугольник ABBjAj и его ось OOj (рис. 148); 2) два равных эллипса, центрами которых являются точки О и Oj и осями — отрезки АВ и AjBj. Выделив штрихами невидимые линии, получаем искомое изображение цилиндра.
в) Касательная плоскость к цилиндру.
Определение. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра перпендикулярно плоскости осевого сечения, проведенной через эту образующую, называется касательной плоскостью к цилиндру (рис. 149).
Говорят, что плоскость а касается цилиндра {цилиндрической поверхности) по образующей DD^, каждая точка образующей DDi является точкой касания плоскости а и данного цилиндра.
Через любую точку боковой поверхности цилиндра проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности цилиндра можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному цилиндру в этой точке.
17.3. Развертка и площадь поверхности цилиндра
Следует заметить, что развертка поверхности вращения — понятие в определенной мере интуитивное. К тому же, не для каждой поверхности тела вращения можно построить ее развертку. Иными словами, не каждую поверхность можно «раз-
Рис. 150
147
§17. Цилиндр
Рис. 151
вернуть» на плоскости. Например, не существует развертки сферы (см. раздел «Дифференциальная геометрия» в конце этой книги).
Развертку цилиндра мы также введем на интуитивном уровне.
Пусть R — радиус основания, Л — высота цилиндра.
Полная поверхность цилиндра состоит из его боковой поверхности и двух оснований — равных кругов. Если эту поверхность «разрезать» по образующей Z)Z)j (рис. 150) и по окружностям оснований, затем боковую поверхность развернуть на плоскости (рис. 151), то получим развертку полной поверхности цилиндра, состоящую из прямоугольника и двух равных кругов, касающихся противоположных сторон этого прямоугольника (рис. 152).
Попробуйте изготовить развертку цилиндра и склеить из нее цилиндр.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, у которого одна сторона равна длине окружности основания цилиндра, а другая сторона — высоте цилиндра:
^бок
2nRh.
Таким образом, доказана
Теорема 25. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.
Площадь круга радиусом R равна лД^, поэтому = nR^. Тогда для нахождения площади полной поверхность цилиндра справедливо:
«ПОЛИ = «бок + = 2nRh + 2лД2 = 2хД(Д + К).
148
Главе 3
Фигуры вращения
Следствие. Пусть цилиндр образовав вращением прямоугольника ABCD вокруг его высоты AD (рис. 153). Тогда
S^^ = 2itDC‘BC. (1)
Если EF — серединный перпендикуляр к образующей ВС, проведенный из точки F оси I цилиндра, то EF = CD. Учитывая, что ВС = AD, получаем: = 2nEF-AD, т. е. боковая по-
верхность цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра его образующей, проведенного из точки оси цилиндра.
Это следствие найдет свое применение в п. 19.7.
17.4. Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра
Нам предстоит решать задачи, в которых рассматриваются многогранники, вписанные в фигуры вращения и описанные около них.
Для правильного и наглядного изображения конфигураций из таких многогранников и фигур вращения необходимо верно изображать правильные многоугольники, вписанные в окружность (круг) или описанные около нее.
Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания призмы вписаны в основания цилиндра (рис. 154).
Цилиндр в этом случае называют описанным около призмы.
Боковые ребра призмы соединяют соответственные вершины ее оснований, вписанных в основания цилиндра. Эти вершины лежат на окружностях Ьсно-В ваний цилиндра. Образующие цилиндра соединяют соответственные точки окружностей его оснований и параллельны боковым ребрам призмы. Следовательно, боковые ребра вписавгаой в цилиндр призмы — образующие ци-Рис. 153 линдра.
D
149
§17. Цилиндр
Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если основания призмы описаны около оснований цилиндра.
Цилиндр при этом называют вписанным в призму (рис. 155).
Так как соответственные стороны оснований призмы параллельны друг другу и перпендикулярны радиусам оснований цилиндра, проведенным в точки касания, то плоскости боковых граней призмы являются касательными плоскостями к цилиндру: эти плоскости касаются поверхности цилиндра по образующим, соединяющим точки, в которых стороны оснований призмы касаются окружностей оснований цилиндра.
При изображении правильных призм, вписанных в цилиндр, следует руководствоваться алгоритмами построений изображений правильных многоугольников, вписанных в окружность.
Итак, для построения изображения правильной призмы, вписанной в цилиндр: 1) строим изображение цилиндра; 2) строим изображение правильного многоугольника, вписанного в верхнее основание цилиндра; 3) через вершины построенного вписанного многоугольника проводим образующие цилиндра; 4) в нижнем основании цилиндра последовательно соединяем концы этих образующих; 5) выделяем видимые и невидимые линии (отрезки) изображаемых фигур.
Рис. 154
150
Гпава 3
Фигуры вращения
На рисунке 156 изображены вписанные в цилиндр: призма, в основании которой прямоугольный треугольник (рис. 156, а); правильная четырехугольная призма (рис. 156, б); правильная треугольная призма (рис. 156, в); правильная шестиугольная призма (рис. 156, г).
■ ЗАДАЧА (3.029). Диагональ осевого сечения равностороннего
цилиндра равна а J2 . Найдите площади боковой и полной поверхностей правильной призмы, вписанной в этот цилиндр, если призма: а) треугольная; б) четырехугольная; в) шестиугольная.
Решение. Рассмотрим случай а). Пусть в равносторонний цилиндр вписана правильная призма ABCAjBjCj (рис. 157); CDDjCj — осевое сечение; OOj = Л — высота цилиндра; ОС = R — радиус основания цилиндра.
Так как цилиндр — равносторонний, то CDD^C^ — квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания. Тог-
Л.
CD,
да в квадрате CDDfi^ находим CD = —^ а =
•V «
Далее, А АВС — правильный, вписанный в основание, радиус которого R = ^ = g. Значит, сторона АВ и высота СЕ
А ь
этого треугольника равны: АВ = RJS = СЕ
R
V-
Откуда S„„ =
_ _ з7за2
16
бок
3S
АВВ,Л
ЗАВ • BBi
Рис.156
151
§17. Цилиндр
= 3-^ -а = Тогда S„
^бок ^^оси
3j3a^
+ 2
373а2 _ 1573а2
16
Ответ: а)
373а2 1573а2 2 ’ 8
■ ЗАДАЧА (3.032). В равносторонний цилиндр, высота которого равна а. вписана правильная призма. Найдите расстояние и угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра, если призма: а) треугольная; б) четырехугольная;
в) шестиугольная.
Решение. Рассмотрим случай б). Пусть ABCDAjBjCjDi — вписанная в цилиндр, правильная призма (рис. 158). Найдем расстояние и угол между осью OOj цилиндра и скрещивающейся с ней (почему?) диагональю боковой грани ABBjAj данной призмы.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.
Если Е — середина AD, то расстояние между скрещивающимися прямыми ABj и OOi равно расстоянию между плоскостью грани ABBjAj и параллельной ей (почему?) плоскостью сечения EFF^E^. Это расстояние равно длине отрезка ОК (где К — середина АВ), так как ОК ± (ABBj) и (ABBj)||(£EPj).
152
I
Гпава 3
Фигуры вращения
Поскольку данный цилиндр — равносторонний, то BDD^B^ — квадрат со стороной BD = BBj = а. Тогда АВ
^ = 4=-Зна-
л л
искомое расстояние между пря-
мит, ОК=АЕ = ^ = ^ мыми 00| и АВу
Обозначим Z(OOj; ABj) = ф, М = АВ^ пАуВ. Для нахождения угла ф проведем в грани АВВ^А^ прямую КК^ООу Тогда Ф = Z(OOi; ABi) = АВ^). Так как КК^\ООу ООу L (АВС),
то МК _L АВ. Поэтому Л АКМ — прямоугольный. В этом треугольнике АК = , КМ = ? . Значит, tg ф = ^ , отку-
4 2 лЛа 2
да ф = arctg
Л
Ответ: б) ^, arctg .
4 ы
Во многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел последовательности боковых поверхностей правильных вписанных в цилиндр (или описанных около цилиндра) л-угольных призм при п -t-oo.
Действительно, — Л • -^осн.призм» -^ОСН.призм
периметр основания призмы, h — ее высота. Для правильных вписанных в цилиндр призм h — постоянная величина, равная высоте цилиндра, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность (основание цилиндра), равен длине этой окружности. Таким
образом, мы вновь получаем: = 2nRh.
17.5. Объем цилиндра
Напомним принятое нами соглашение, основанное на принципе Кавальери.
«Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая плоскость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причем площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся как m : то и объемы этих тел относятся как т : п*.
153
Рис.159
Расположим цилиндр, имеющий высоту h и радиус основания R, и прямоугольный параллелепипед с ребрами Л, R, R так, чтобы их основания находились на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно h (рис. 159). Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая цилиндр, пересекает также прямоугольный параллелепипед, причем площади образованных при пересечении обоих тел сечений относятся как n'R^ : R^ = к : 1. Тогда и для объемов этих тел справедливо: V
(R^ •h) = n: 1, откуда
цил : ^^парал = Я : 1 ИЛИ
V =K'R?‘h.
Если цилиндр высотой л пересечь плоскостью, параллельной его оси, то цилиндр разобьется на два тела (рис. 160). Объемы этих тел относятся как площади сегментов, образовавшихся в основании цилиндра (докажите это на основании принципа Кавальери). Следовательно, объем каждого из этих тел может быть вычислен по формуле
^ = -5сепи*Л.
Любая плоскость, проведенная через середину оси цилиндра, разбивает этот цилиндр на два равновеликих тела (рис. 161), объем V каждого из которых равен половине объема
данного цилиндра, т. е. V = ^ л • • Л.
/и
154
Глава 3
Фигуры вращения
А
Рис.160
Попробуйте, исходя из этой формулы, доказать, что в таком случае объем каждой части цилиндра (см. рис. 161) может быть вычислен по формуле:
V= 1л •Д2-(а + &),
где аиЬ — длины отрезков, на которые образующая цилиндра делится секущей плоскостью.
§ 18. Конус
18.1. Определение конуса и его элементов
Определение. Тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет, называется прямым круговым конусом (рис. 162, 163).
Отрезок оси вращения, заключенный внутри конуса, называется осью конуса.
Круг, образованный при вращении второго катета, называется основанием конуса. Длина этого катета называется радиусом основания конуса или, короче, радиусом конуса. Вершина острого угла вращающегося треугольника, лежащая на оси вращения, называется вершиной конуса. На рисунках 162, б и 163 вершиной конуса является точка Р.
Высотой конуса называется отрезок, проведенный из вершины конуса перпендикулярно его основанию. Длину этого перпендикуляра также называют высотой конуса. Высота ко-
§ 18. Конус
155
нуса имеет своим основанием центр круга — основания конуса — и совпадает с осью конуса.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности его основания, называются образующими конуса. Все образующие конуса равны между собой (почему?).
Как и в случае с цилиндром, можно рассматривать конус в более широком, чем у нас, понимании, когда в основании конуса может быть, например, эллипс (эллиптический конус), парабола (параболический конус). Мы будем изучать только определенный выше прямой круговой конус (конус вращения), поэтому слова «прямой круговой» мы будем опускать.
Поверхность, полученная при вращении гипотенузы, называется боковой поверхностью конуса, а ее площадь — площадью боковой поверхности конуса и обозначается S^. Боковая поверхность конуса является объединением всех его образующих.
Объединение боковой поверхности конуса и его основания называется полной поверхностью конуса, а ее площадь называется площадью полной поверхности конуса, или, короче, площадью поверхности конуса и обозначается Из этого определения следует, что
^кон ^бок ^ося‘
Если вокруг данной прямой — оси — вращать пересекающую ее прямую, то при этом вращении образуется поверхность, которую называют круговой конической поверхностью или конической поверхностью вращения. Уравнение
2^
— -Ь - = о задает коническую поверхность вращения
156
Глава 3
Фигуры вращения
С ОСЬЮ вращения Oz (рис. 164). Из этого уравнения следует, что коническая поверхность является поверхностью второго порядка. (Подробнее о поверхностях второго порядка можно прочитать в «Дополнениях» — в конце этой книги.)
18.2. Сечения конуса
Определение. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением конуса.
Так как все образующие конуса равны, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр конуса. При этом все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники. На рисунке 165 осевым сечением конуса является треугольник АВР {АР = ВР). Угол АРВ называют углом при вершине осевого сечения конуса.
Конус, в осевом сечений которого правильный треугольник, называется равносторонним конусом.
Бели секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает конус, но не проходит через его ось, то в сечении конуса также получается равнобедренный треугольник (рис. 165: ADCP).
Так как конус — тело вращения, то любое сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси (т. е. параллельной основанию конуса), есть круг, а сечение боковой поверхности
§ 18. Конус
157
конуса такой плоскостью — окружность этого крута; центром круга (окружности) является точка пересечения оси конуса и секущей плоскости (рис. 166).
Если секущая плоскость не параллельна плоскости основания конуса и не пересекает основание, то сечением боковой поверхности конуса такой плоскостью является эллипс (рис. 167). Поэтому эллипс называют коническим сечением.
Ц) Если сечением цилиндрической поверхности плоскостью может быть либо окружность, либо эллипс, либо две параллельные прямые, то сечением конической поверхности плоскостью может быть либо окружность (секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности вращения и не проходит через ее вершину, рис. 168, а), либо эллипс (секущая плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности и пересекает все ее образующие, рис. 168, б), либо парабола (секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, рис. 168, в), либо гипербола (секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, рис. 168, г), либо пара пересекающихся прямых (секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности.
б) в)
Рис. 168
г)
д)
158
Глава 3
Фигуры вращения
рис. 168, д). Поэтому невырожденные кривые второго порядка — окружность, эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями или коротко — кониками.
О конических сечениях можно прочитать в очерках «Элементарная геометрия», «Про-
ективная геометрия» в конце этой книги.
■ ЗАДАЧА (3.047). Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу: а) в 60°; б) в 90°. Найдите площадь сечения.
Решение. Рассмотрим случай а). Пусть плоскость а пересекает поверхность конуса с вершиной Р по образующим РА и РВ (рис. 169); А АВР — искомое сечение. Найдем площадь этого сечения.
Хорда АВ окружности основания стягивает дугу в 60°, значит, Д АОВ — правильный и АВ — R.
Если точка С — середина стороны АВ, то PC — высота треугольника АВР. Поэтому 5дддр = i АВ • PC. Имеем: ОР = R (по
условию); в Д АОВ: ОС = ^ ; в Л ОСР: СР = JOC^ + ОР^ = = ^.ТогдаВд^р= |аВ-РС=^.
Ответ: а) ^.
18.3. Касательная плоскость к конусу
Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно осевому сечению, проведенному через эту образующую.
Говорят, что плоскость а касается конуса по образующей РА (рис. 170): каждая точка образующей РА является точкой касания плоскости а и данного конуса.
Через любую точку боковой поверхности конуса проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость.
§ 18. Конус
159
перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности конуса можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному конусу в этой точке.
18.4. Изображение конуса
Для изображения конуса достаточно построить: 1) эллипс, изображающий окружность основания конуса (рис. 171);
2) центр О этого эллипса; 3) отрезок ОР, изображающий высоту конуса; 4) касательные прямые РА и РВ из точки Р к эллипсу (их проводят с помощью линейки на глаз).
Для достижения наглядности изображения невидимые линии изображают штрихами.
Необходимо заметить, что отрезок АВ. соединяющий точки касания образующих и окружности основания конуса, ни в коем случае не является диаметром основания конуса, т. е. этот отрезок не содержит центра О эллипса. Следовательно, А АВР — не осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является Л АСР, где отрезок АС проходит через точку О, но образующая PC не является касательной к окружности основания.
18.5. Развертка и площадь поверхности конуса
Пусть I — длина образующей, R — радиус основания конуса с вершиной Р.
Поверхность конуса состоит из боковой поверхности конуса и его основания. Если эту поверхность разрезать по одной
160
Глава 3
Фигуры вращения
ИЗ образующих, например по образующей РА (рис. 172), и по окружности основания, затем боковую поверхность конуса развернуть на плоскости (рис. 173, а), то получим развертку поверхности конуса (рис. 173, б), состоящую из: а) кругового сектора, радиус которого равен образующей I конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса; б) круга, радиус которого равен радиусу R основания конуса. Угол сектора развертки боковой поверхности конуса называют углом развертки конуса; его численная величина равна отношению длины окружности основания конуса к его образующей (радиусу сектора развертки):
а =
2K-R
I
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через длину I его образующей и радиус R основания.
Площадь боковой поверхности — площадь кругового сектора радиуса I — вычисляется по формуле
5бок=на*Я
(1)
где а — величина угла (в радианах) сектора — развертки. 2т1 • R
Учитывая, что а = —,— , получаем:
^бок ~
(2)
§18. Конус
1
161
Таким образом, доказана
Теорема 26. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и основания, т. е.
= пШ +
(3)
Следствие. Пусть конус образован вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АС (рис. 174). Тогда = я • ВС • АВ. Если D — середина отрезка АВ, то АВ = 2AD, поэтому
S^, = 2nBC-AD.
Проведем DE ± АС (Е е 1 = АС). Из подобия прямоугольных треугольников ADE и АСВ (у них общий угол А) имеем
^ =>'BC-AD = DE-AC. (5)
АС .dC
(4)
В
Тогда соотношение (4) принимает вид
S^^ = {2ti>DE)>AC, (6)
т. е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведенного из точки на оси конуса к его образующей.
Это следствие будет использовано в п. 19.7.
18.6. Свойства параллельных сечений конуса
Теорема 27. Если конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, то:
1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
2) в сечении получается круг, подобный основанию;
3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
6 Геометрия, 11 кп. Учебник
162 I Глава 3
Фигуры вращения
Рис. 175
Доказательство. 1) Пусть конус с вершиной Р и основанием F пересечен плоскостью а, параллельной плоскости Р основания конуса и расположенной между Р и р (рис. 175).
Проведем высоту РО конуса, где О — центр круга F. Так как РО ± р, а II р, то а 1 РО. Значит, в сечении конуса плоскостью а получается круг с центром Oj = = а п РО. Обозначим этот круг
Pv
Рассмотрим гомотетию Нр с центром Р, при которой плоскость р основания данного конуса отображается на параллельную ей плоскость а (при гомотетии плоскость, не проходящая через'Центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).
Так как при гомотетии ее центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия Нр отображает основание F конуса на его параллельное сечение — круг Fj, при этом центр О основания отображается на центр Oj круга F^ (почему?). Кроме того, если РХ — произвольная образующая конуса, где X — точка окружности основания, то при гомотетии Нр точка X отображается на точку Xj = РХ п а. Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:
РХ РО
(*)
где k — коэффициент гомотетии Н),, т. е. параллельное сечение конуса делит его образующие и высоту на пропорциональные части. А поскольку гомотетия является подобием, то круг Fj, являющийся параллельным сечением конуса, подобен его основанию.
Вследствие того, что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии и ft = РО^. РО,
163
§ 18. Конус
где РО, и РО — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от ее вершины, то
kZ = PQ2 . PQ2,
Теорема доказана. Т
18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды
Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды.
Для построения изображения правильной пирамиды, вписанной в конус:
— строят изображение основания пирамиды — правильного многоугольника, вписанного в основание конуса;
— соединяют отрезками прямых вершину конуса с вершинами построенного многоугольника;
— выделяют видимые и невидимые (штрихами) линии изображаемых фигур.
На рисунках 176—179 изображены вписанные в конус: пирамида, в основании которой лежат:
прямоугольный треугольник (см. рис. 176); правильная треугольная (см. рис. 177); правильная четырехугольная (см. рис. 178); правильная шестиугольная (см. рис. 179) пирамиды.
Рис.176
Рис. 177
Рис. 178
Рис. 179
6* Геометрия. 11 кл. Учебник
164
Глава 3
Фигуры вращения
Определение. Пирамида называется описанной около конуса, если у них вершина общая, а основание пирамиды описано около основания конуса. В этом случае конус называют вписанным в пирамиду (рис. 180).
■ ЗАДАЧА (3.080). В равносторонний конус вписана правильная пирамида. Найдите отношение площадей боковых поверхностей пирамиды и конуса, если пирамида: а) треугольная; б) четырехугольная; в) шестиугольная.
Решение. Рассмотрим случай а). Пусть R — радиус основания равностороннего конуса, РАВС — правильная пирамида, вписанная в этот конус (рис. 181); ADPE — осевое сечение конуса, CF — медиана А АВС. Тогда в А АВС (правильный):
АВ = ВЛ, OF = дД;в ADPE (правильный): ОР = =
А А
==RJ3;bAOPF(ZFOP^90°):PF= JOF^ + ОР^ = 5^.
Так как CF — медиана А АВС, то PF — высота равнобедренного треугольника АВР. Поэтому S^j^p = ^AB’PF =
2 2 4
Обозначим: Sj — площадь боковой поверхности пирамиды, Sg — площадь боковой поверхности конуса. Тогда
Si = ЗДдддр = . «2 = яД • РА = лД • 2Д = 2лД2.
165
§ 18. Конус
Следовательно, Sj : Sg = ; 2nR^ = .
4 оя
Ответ: а)
з7^
8я '
Ш) Во многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности конуса принимают предел последовательности боковых поверхностей правильных вписанных в конус (или описанных около конуса) п-угольных пирамид при п +оо.
1
= - • а
:.пов.пирам £
’ ■^осн.пирам’ ^осн.пирам
Действительно, ^
периметр основания пирамиды, а — апофема боковой грани. Для правильных описанных около конуса пирамид апофема а — постоянная величина, равная образующей I конуса, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, описанных около окружности радиусом R основания конуса, равен 2nR — длине этой окружности. Таким образом, мы вновь получаем: = пшШ
18.8. Усеченный конус
Пусть дан конус с вершиной Р. Проведем плоскость а, параллельную плоскости основания конуса и пересекающую этот конус (рис. 182). Эта плоскость пересекает данный конус по кругу и разбивает его на два тела: одно из них является конусом, а другое (расположенное между плоскостью основания данного конуса и секущей плоскостью) называют усеченным, конусом. Таким образом, усеченный конус представляет собой часть полного конуса, заключенную между его основанием и параллельной ему плоскостью. Основание данного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью а, называются соответственно нижним и верхним основаниями усеченного конуса. Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усеченного конуса. {Часто за высоту усеченного конуса принимают отрезок, соединяющий центры его оснований.)
166
I
Глава 3
Фигуры вращения
Часть боковой поверхности данного конуса, ограничивающая усеченный конус, называется боковой поверхностью усеченного конуса, а отрезки образующих конуса, заключенные между основаниями усеченного конуса, называются образующими усеченного конуса. Так как все образующие данного конуса равны и равны все образующие отсеченного конуса, то равны все образующие усеченного конуса.
Построение изображения усеченного конуса следует начинать с изображения того конуса, из которого получился усеченный конус (рис. 183).
На рисунке 184 показана развертка усеченного конуса.
Из теоремы 27 следует, что основания усеченного конуса — подобные круги.
Определения усеченной пирамиды, вписанной в усеченный конус и описанной около него, аналогичны определениям пирамиды, вписанной в конус и описанной около него.
Заметим, что построение изображений усеченной пирамиды, вписанной в усеченный конус и описанной около него, следует начинать с изображений того конуса или той пирамиды, из которых получены соответственно усеченные конус и пирамида.
Полной поверхностью усеченного конуса называется объединение боковой поверхности этого конуса и двух его оснований. Иногда полную поверхность усеченного конуса называют его поверхностью, а ее площадь — площадью поверхности усеченного конуса. Эта площадь равна сумме площадей боковой поверхности и оснований усеченного конуса.
Усеченный конус может быть образован также вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны трапеции, перпендикулярной ее основанию.
На рисунке 185 изображен усеченный конус, образованный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны
§ 18. Конус
1
167
CD. При этом боковая поверхность усеченного конуса образована вращением боковой стороны АВ, а основания его — вращением оснований AD и ВС трапеции.
18.9. Поверхность усеченного конуса
Выразим площадь боковой поверхности усеченного конуса через длину I его образующей и радиусы Виг оснований (R > г).
Пусть Р — вершина конуса, из которого получен усеченный конус; О, — центры оснований усеченного конуса; АА^ = 1 — одна из образующих усеченного конуса (рис. 186).
Используя формулу (2) п. 18.5, получаем
SgoK ~ ^ TcR{PAi + AjA) -
- nr • PAj = яД • AjA -I- я(Д - г) • PAj.
Учитывая, что AjA = I, имеем
= пШ -t- л(Д - r)PAi. (7)
Выразим PAj через I, R и г. Так как OjAjIlOA и OOi — высота усеченного конуса, то прямоугольные треугольники РОА и POjAj подобны. Поэтому АО : AjOj =
= РА : PAj или R: г = (РА^ + AjA): PAj,откуда
R'PAi = riPAi + 1)=>(R- r)PA^ = rl^ PAj = Подставив это значение PAj в (7), получаем
Таким образом, доказана
г1
R-г
(8)
Теорема 28. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
Площадь полной поверхности усеченного конуса находится по формуле:
S = п • (R + г)• I + п • + п' г^.
168
Глава 3
Фигуры вращения
Следствие. Пусть усеченный конус образован вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг ее высоты AD (рис. 187). Тогда = я ( АВ + DC) • ВС. Если КЕ — средняя линия трапеции, то АВ -Ь DC = 2КЕ, поэтому
S^^ = 2ic-KE-BC. (9)
Проведем £F_LBC. Из подобия прямоугольных треугольни-
ков вен и EFK имеем
ВС: EF = BH: KE=>KE'BC = EF'BH. (10)
Тогда равенство (9) принимает вид
= {2п-EF)-BH, (11)
т. е. боковая поверхность усеченного конуса равна произведению его высоты на длину окружности, радиус которой равен серединному перпендикуляру, проведенному из точки оси конуса к его образующей.
18.10. Объем конуса и усеченного конуса
Найдем объем конуса, высота которого Л и радиус основания R. Для этого расположим этот конус и правильную четырехугольную пирамиду, высота которой Л и сторона основания R, так, чтобы их основания находились на одной и той же плоскости а, а вершины — также в одной и той же плоскости р, параллельной плоскости а и удаленной от нее на расстояние Л (рис. 188).
Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая конус, пересекает также пирамиду; причем площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся к площадям оснований этих тел, как квадраты их расстояний от вершин. А так как секущие плоскости для пирамиды и для конуса равноудалены от их вершин, то
“^сеч.кон _ ^сеч.пир
Тогда
■'сеч.КОН ___ ^осн.кон ________
'сеч.пир
'оси.пир
= л.
значит, для объемов этих
тел выполняется:
V.
пир
= Я
1 или
: 1• л = я : 1, откуда
О
' л.
169
§ 19. Шар и сфера
Самостоятельно рассмотрите усеченные конус и пирамиду, расположенные в соответствии с условиями принципа Ка-вальери. Тогда вы получите формулу вычисления объема усеченного конуса:
ус.КОН
1 л • л • + Г'R + г^).
Эту же формулу вы можете вывести, если используете идею подобия так же, как это сделано в случае с выводом формулы площади боковой поверхности усеченного конуса.
Используя принцип Кавальери, докажите, что объем каждого из тел, на которые конус разбивается его сечением плоскостью, проходящей через вершину (рис. 189), может быть
вычислен по формуле V = 1 • Л • где Л — высота конуса,
О
а — площадь соответствующего сегмента основания конуса.
§ 19. Шар и сфера
19.1. Определение шара, сферы и их элементов
С шаром и сферой мы уже знакомы. Напомним их определения.
Определение. Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем данного R {R > 0). Данная точка называется центром шара, а данное расстояние R — радиусом шара.
170
Главе 3
Фигуры вращения
Определение. Сферой называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, равном данному R. Данные точка и расстояние R называются соответственно центром и радиусом сферы.
На рисунке 190 изображен шар с центром О и радиусом R = OA.
Из определений шара и сферы следует, что шар с центром О и радиусом R является объединением двух множеств точек: 1) множества точек М пространства, для которых ОМ < R (они называются внутренними точками шара и образуют его внутренность); 2) множества всех М, для которых ОМ = R (эти точки являются граничными точками шара, а их объединение составляет границу шара, которая называется шаровой поверхностью и являетск сферой с центром О и радиусом R).
Радиусом шара называют также всякий, отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара (сферы). На рисунке 190 отрезки ОА, ОВ, ON, OS — радиусы шара; отрезки АВ, NS — диаметры шара; А и В — диаметрально противоположные точки шара. Из определения диаметра шара следует, что он равен удвоенному радиусу шара.
Покажем, что шар — тело вращения. Для этого рассмотрим полукруг F с центром О и радиусом R (рис. 191, а). При
Рис. 190
Рис. 191
§ 19. Шар и сфера
1
171
вращении полукруга F вокруг прямой, содержащей его диаметр NS, образуется некоторое тело (рис. 191, б). Так как вращение вокруг прямой — движение и точка О принадлежит оси I вращения, то каждая точка тела Fj удалена от точки О на расстояние, не большее R (движение сохраняет расстояния между точками). Это означает, что тело Fj есть шар с центром О и радиусом R. Кроме того, при вращении границы полукруга — полуокружности — вокруг прямой I образуется шаровая поверхность — сфера. Прямая, содержащая любой диаметр шара, может быть рассмотрена как ось вращения. Следовательно, сечением шара плоскостью, перпендикулярной его оси вращения I и пересекающей шар, является круг, а сечением сферы такой плоскостью — окружность этого круга; центр круга (окружности) есть точка пересечения секущей плоскости с осью I.
Плоскость, проходящая через центр шара (сферы), называется диаметральной плоскостью шара {сферы). Сечением шара диаметральной плоскостью является круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом, а его окружность — большой окружностью; большая окружность является пересечением сферы и ее диаметральной плоскости.
19.2. Изображение сферы
Рассмотрим сферу, диаметр NS которой проведен вертикально (рис. 192, а). Большая окружность, по которой сферу пересекает диаметральная плоскость, перпендикулярная диаметру (оси) NS, называется экватором, а точки N и S — полюсами сферы. Окружность, ограничивающая крут — изображение сферы, — называется абрисом или очерковой линией.
172 I Глава 3
Фигуры вращения
Типичная ошибка (I) при изображении сферы (рис. 192, б) в том, что, изображая ее экватор эллипсом, полюсы изображают расположенными на абрисе.
Для верного и наглядного изображения сферы вспомним, как в курсе черчения изображают фигуру на комплексном двухкартинном чертеже (эпюре) посредством ортогонального ее проектирования на две взаимно перпендикулярные плоскости, одну из которых называют фронтальной (обозначают V), а другую — профильной (обозначают W) плоскостями проекций.
Сферу расположим так, чтобы ее ось N'S' была параллельна профильной {W), но не параллельна фронтальной (F) плоскостям проекций. Тогда ортогональные проекции сферы на плоскости V и W имеют вид, изображенный на рисунке 193. На нем: равные круги — проекции сферы на плоскости V и W; отрезки AjBj и — профильные проекции соответственно
экватора и оси с(^ры; точки N, S — фронтальные проекции полюсов (строятся с помощью линий связи); А, В — фронтальные проекции концов диаметра экватора, параллельного фронтальной плоскости (строятся с помощью линий связи); CD — фронтальная проекция диаметра CD' сферы, перпендикулярного профильной плоскости; эллипс с осями АВ и CD — фронтальная проекция экватора. При таком расположении относительно плоскостей проекций сфера изображается так, как показано на рисунках 192, а; 193, а.
а Обратите внимание: полюсы N н S не лежат на абрисе, и экватор изображается эллипсом. При этом положение полюсов N н S и положение вершин А и В эллипса-экватора взаимосвязаны.
W
Рис.193
173
§ 19. Шар и сфера
а)
<5)
Рис. 194
S
в)
Действительно, из равенства AOBF = AENO (см. рис. 193, а) следует: ОБ = EN. BF = NO. Это означает: а) если изображены полюсы N и S сферы, то вершины А и В э.тлипса — изображения экватора определяются из равенств ОВ = ОА = NE, где Л^ВЦОВ; б) если изображен экватор (т. е. дана малая ось АВ эллипса-экватора), то положение полюсов N и8 определяется из равенств ON = OS = BF. где BF\OD.
На рисунке 194, а — верное и наглядное изображение сферы, на рисунке 194, б — изображение сферы верное (почему?), но не наглядное; на рисунке 194, в — неверное изображение (почему?).
■ ЗАДАЧА (3.106). Найдите в пространстве множество вершин всех прямых углов, опирающихся на данный отрезок АВ.
Решение. Если ZAMB = 90°, то точка М принадлежит окружности с диаметром АВ (рис. 195, а).
Проведем произвольную плоскость а, содержащую отрезок
АВ. В этой плоскости множество всех точек М, из которых от-
а)
б)
Рис. 195
174
Глава 3
Фигуры вращения
резок АВ виден под прямым углом, есть окружность, для которой отрезок АВ — диаметр. При вращении плоскости а вокруг прямой АВ окружность с диаметром АВ будет также вращаться вокруг своего диаметра, в результате чего образуется сфера (рис. 195, б), диаметром которой является отрезок
АВ. Таким образом, искомое множество вершин прямых углов, опирающихся на отрезок АВ, есть сфера с диаметром
АВ. Точки А и В сфере не принадлежат. (Почему?)
19.3. Уравнение сферы
Составим уравнение сферы с центром А (а; Ь; с) и радиусом R в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz.
Пусть М(дг; у, z) — любая точка этой сферы (рис. 196). Тогда МА = R или МА^ = Учитывая, что МА^ = (дг - а)^ + + (у - 6)^ + (г - с)^, получаем искомое уравнение сферы
(х - а)2 + (у - Ь)2 + (2- с)2 = Д2
Если начало системы координат совпадает с центром А сферы, то а = б = с = О, а сфера в такой системе координат имеет уравнение
+ у^ + z^ = R^.
Из полученных уравнении следует, что сфера — поверхность второго пор51дка.
Так как для любой точки М{х; у; z) шара с центром А(а; Ь; с) и радиусом R выполняется МА < R, то этот шар может быть задан неравенством
(х - а)2 + (у - Ь)2 -f- (г - с)2 ^ R2.
При этом для всех внутренних точек ^ г М шара выполняется условие МА^ < R^,
т. е. (jc - а)2 + (у - Ь)^ + (z - с)^ < R^, для точек М шаровой поверхности — условие
MA = R,
т. е. (х - а)^ + {у - Ь)^ + (г- с)^ = R^, для точек М вне шара — условие МА > R,
Рис. 196 т. е. (х - а)^ + (.У - bf + (z - с)^ > R^.
Л
175
§19. Шар и сфера
19.4. Пересечение шара и сферы с плоскостью
Рассмотрим подробнее вопрос о пересечении шара и сферы с плоскостью. Имеет место
Теорема 29 (о пересечении шара и сферы с плоскостью).
1) Бели расстояние от центра шара до данной плоскости меньше радиуса шара, то пересечением шара с плоскостью является круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, проведенного из центра шара на плоскость, или сам центр шара, если плоскость проходит через этот центр. Пересечением сферы с плоскостью является окружность указанного круга. Радиус г сечения в этом случае равен г =
= — d^, где R — радиус шара, ad — расстояние от
центра шара до плоскости сечения.
2) Если расстояние от центра шара до данной плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку.
3) Если расстояние от центра шара до данной плоскости больше радиуса, то плоскость не имеет с шаром общих точек.
Доказательство. Пусть О — центр шара, R — его радиус; а — данная плоскость, точка А — основание перпендикуляра, проведенного из центра О на плоскость а. Обозначим р(0; а) = = |0А| = d — расстояние от центра шара до плоскости а.
Рассмотрим каждый из случаев взаимного расположения шара и данной плоскости а.
1) р(0; а) = d < R и плоскость а не проходит через центр О шара (рис. 197). Докажем, что пересечение шара и плоскости
есть круг с центром А и радиусом г = . Для этого до-
статочно убедиться, что любая точка пересечения шара и плоскости а есть точка круга с центром А и радиусом г =
= л/Д2 - и, обратно, любая точка этого круга есть точка указанного пересечения.
Действительно, пусть М — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости а (рис. 197). В прямоугольном треугольнике АОМ по теореме Пифагора ОМ^ = ОА^ + АМ^, отку-
176 I Глава 3
Фигуры вращения
да AM = JOM^ - ОА^. Так как точка М принадлежит шару,
то ОМ < R, тогда ОМ^ - ОА^ < - сР, поэтому АЛ/ < Jr'^ - .
Это означает, что точка М сечения шара плоскостью а находится от точки А на расстоянии, не большем JR^ - , следо-
вательно, она принадлежит кругу с центром А и радиусом
Обратно, пусть М — произвольная точка плоскости а, принадлежащая кругу с центром А и радиусом г = Jr^ - . В пря-
моугольном треугольнике АОМ по теореме Пифагора ОМ^ = = ОА^ -I- АМ^. Так как AM < г, то ОМ^ < ОА^ + + R^ - -
= R^. откуда ОМ < R. Значит, точка М принадлежит данному шару. Учитывая, что точка М принадлежит и плоскости а, приходим к выводу: точка М принадлежит пересечению данного шара и плоскости а.
Если неравенства, которые использовались в предыдущем доказательстве, заменить равенствами, то, рассуждая аналогично, можно доказать, что при d < R пересечением сферы и плоскости
является окружность с центром А и радиусом г = JR^ - d^. Проделайте это самостоятельно.
Если плоскость а проходит через центр О шара, то d = О, значит, г = Д, т. е. сечением шара такой плоскостью является большой круг, а сечением сферы — большая окружность (рис. 197).
2) р(0; а) = d = ОА = R (рис. 198).
Так как ОА = р(0; а) = Д, то точка А, являющаяся основанием перпендикуляра из центра О шара на плоскость а, принадлежит шаровой поверхности, ограничивающей данный шар.
Пусть М — произвольная точка плоскости а, отличная от точки А (рис. 198). Тогда длины наклонной ОМ и перпендику-
\
§ 19. Шар и сфера
1
177
ляра ОА, проведенных из точки О к плоскости а, удовлетворяют неравенству ОМ > ОА = R. Значит, точка М не принадлежит шару. Следовательно, плоскость а имеет только одну общую точку с шаром — точку А
3) р(0; a) = OA = d > R (рис. 199). Для любой точки М плоскости а выполняется (почему?) ОМ ^ d> R. Это означает, что на плоскости а нет точек шара. Теорема доказана. Т
■ ЗАДАЧА (3.161). Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к нему плоскость. Радиус шара равен R. Найдите: а) площадь получившегося сечения; б) площади боковой и полной поверхностей конуса, основанием которого служит получившееся сечение шара, а вершиной — центр шара; в) площади боковой и полной поверхностей правильной треугольной пирамиды, вписанной в этот конус.
Решение, а) Пусть О — центр шара, OD — его радиус, С — середина радиуса OD; а — секущая плоскость, проходящая через точку С перпендикулярно OD.
Рассмотрим сечение шара диаметральной плоскостью, проходящей через его радиус OD. Этим сечением является большой круг с центром О и радиусом R (рис. 2(Ю); АВ — диаметр круга — сечения данного шара плоскостью а.
Так как АВ J_ OD и точка С — середина радиуса OD, то отрезок АВ равен стороне правильного треугольника, вписанного
в окружность радиуса R, значит, АВ = rJs, откуда АС = г =
р /о
= —^ , где г — радиус сечения шара плоскостью а. Тогда пло-
а
щадь этого сечения равна пп = —-—
Рис. 200
178 I Глава 3
Фигуры вращения
О
- iS
б) Найдем площадь поверхности конуса с вершиной О и радиусом основа-
нияг-?^.
Образующая ОЕ конуса (рис. 201) равна радиусу R данного шара. Поэтому площадь боковой поверхности этого конуса равна лг’R = л • • R = ,
а площадь его полной поверхности —
+ 5^ = :^лД2-(2-ь 7з).
2 4 4
в) Найдем площадь поверхности правильной треугольной пирамиды OEFK, вписанной в конус, радиус основания кото-
р /о
рого СК = г = —^ , боковое ребро ОЕ пирамиды равно радиусу Д данного шара (рис. 201).
Так как Л EFK — правильный, вписанный в окружность радиуса г = , то сторона этого треугольника равна rjz,
T.e.EF=-^. Тогда S^^fk = —-jg— •
Площадь боковой поверхности пирамиды равна =
О
= ^EF'OH, где ОН — апофема пирамиды. В прямоугольном
А
треугольнике OHF находим
ОН = 70Д2 - ЯД2 = Jr2 3 9 JlR^
Тогда д EF • ОН = —— — площадь боковой поверхности 2 16
пирамиды.
Следовательно, площадь полной поверхности пирамиды равна
Ответ: а) ; 6) +73); в) ; дЯ“(л/3 +77).
9 р2 _ Тб^
179
§ 19. Шар и сфера
19.5. Плоскость, касательная к сфере и шару
Из теоремы 29 следует, что плоскость может иметь со сферой (с шаром) только одну общую точку.
Определение. Плоскость, имеющая только одну общую точку со сферой (с шаром), называется касательной плоскостью к сфере (шару), а их единственная общая точка называется точкой касания (рис. 202).
Также говорят, что плоскость касается сферы (шара).
Любая прямая, лежащая в касательной плоскости к сфере и проходящая через точку их касания, называется касательной прямой к сфере; эта прямая имеет со сферой единственную общую точку — точку касания, и радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной прямой.
mi Заметим, что если прямая а касается сферы в точке М, то эта прямая касается в точке М той окружности большого круга, которая является сечением сферы и диаметральной плоскости, проходящей через прямую а.
Справедливо и обратное: если прямая о касается окружности большого круга сферы в точке М, то эта прямая касается в точке М самой сферы.
Более того, так как прямая а, касающаяся сферы в точке М, имеет со сферой лишь одну общую точку — точку М, то эта прямая касается любой окружности, по которой пересекаются данная сфера и любая (не только диаметральная) плоскость, проходящая черюз прямую а. А поскольку радиус, проведенный в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен касательной прямой, то центры всех этих окружностей — полученных сечений сферы — лежат в плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно касательной прямой а. При этом, если точка О — центр данной сферы радиуса R, точка А — центр окружности радиуса г, по которой пересекает сферу одна (любая) из плоскостей, проходящих через касательную в точке М прямую к данной сфере, ф — величина угла между этой секущей плоскостью и проходящей через точку М
180
1
Глава 3
Фигуры вращения
диаметральной плоскостью данной сферы, то справедливо равенство г = Д* cos <р (Л ОАМ — прямоугольный, так как отрезок ОА перпендикулярен секущей плоскости. (Почему?)). ш
Для плоскости, касательной к сфере, справедливы теоремы, аналогичные теоремам о прямой, касательной к окружности на плоскости.
Теорема 30. Если плоскость касается сферы, то она перпевцз[икулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство. Пусть дана сфера с центром О и радиусом R. Рассмотрим плоскость а, касающуюся данной сферы в точке А (см. рис. 202) и докажем, что ОА ±а.
Предположим, что радиус О А — не перпендикуляр, а наклонная к плоскости а. Значит, расстояние от центра сферы до плоскости а, равное длине перпендикуляра, проведенного из центра О на плоскость а, меньше радиуса. Тогда по теореме 29 плоскость а пересекает сферу по окружности. Но по условию теоремы плоскость а касается сферы и имеет с ней единственную общую точку А. Пришли к противоречию, которое и доказывает, что ОА ±а. Теорема доказана. Т Справедлива обратная
Теорема 31. Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она касается сферы.
Доказательство. Пусть плоскость а проходит через точку А сферы и перпендикулярна радиусу ОА (см. рис. 202). Значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу ОА. Тогда по теореме 29 плоскость а и сфера имеют единственную общую точку А, следовательно, плоскость а касается сферы (в точке А). Теорема доказана.Т
Так как сечение шара плоскостью есть круг, то можно доказать, что для шара выполняются следующие метрические соотношения:
— диаметр шара, делящий его хорду пополам, перпендикулярен этой хорде;
— отрезки всех касательных прямых, проведенных к шару из одной расположенной вне шара точки, равны между собой
181
§ 19. Шар и сфера
(они образуют поверхность конуса с вершиной в данной точке, а точки касания этих прямых — окружность основания этого конуса);
— произведение длин отрезков хорд шара, проходяпа(их через одну и ту же внутреннюю точку шара, есть величина постоянная (равная - а^, где R — радиус шара, а — расстояние от центра шара до данной точки);
— если из одной и той же точки вне шара проведены к нему секущая и касательная, то произведение длины отрезка всей секущей на длину отрезка ее внешней части равно квадрату длины отрезка касательной (и равно - R^, где R — радиус шара, а — расстояние от центра шара до данной точки).
19.6. Вписанные и описанные шары и сферы
Определение. Шар называется вписанным в цилиндр, если основания и каждая образующая цилиндра касаются шара (рис. 203).
Цилиндр в таком случае называется описанным около шара. В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда он равносторонний.
Определение. Шар называется описанным около цилиндра, если основания цилиндра служат сечениями шара (рис. 204).
Цилиндр при этом называют вписанным в шар. Около любого цилиндра можно описать шар. Центром шара служит се-
N
Рис. 203
182
Глава 3
Фигуры вращения
редина оси цилиндра, а радиус шара равен радиусу круга, описанного около осевого сечения цилиндра.
Определение. Шар называется описанным около конуса, если основание конуса — сечение шара, а вершина конуса принадлежит поверхности шара (рис. 205).
Конус при этом называют вписанным в шар.
Центр шара, описанного около конуса, совпадает с центром круга, описанного около осевого сечения конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.
Определение. Шар называется вписанным в конус, если основание и все образующие конуса касаются шара.
Конус при этом называют описанным около шара (рис. 206). Центр вписанного в конус шара совпадает с центром круга, вписанного в осевое сечение конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.
Определение. Шар называется вписанным в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
Многогранник в таком случае называют описанным около шара (рис. 207).
Не во всякий многогранник можно вписать шар. Например, вписать шар можно в любую треугольную или правильную пирамиду. А в прямую призму, в основании которой лежит прямоугольник, не являющийся квадратом, шар вписать нельзя.
Рис. 207
183
§ 19. Шар и сфера
При нахождении радиуса г вписанного в многогранник шара (если таковой сущ;ествует) удобно пользоваться соотношением
V = 1 . г-S многогр 3 полн.поверх*
Шар называется вписанным в двугранный угол, если он касается его граней. Центр вписанного в двугранный угол шара лежит на биссекторной плоскости этого двугранного угла. При этом для радиуса г шара, вписанного в двугранный угол, величины а этого угла и расстояния т от центра шара до
ребра двугранного угла справедлива формула: г = т-sin ^.
Этой формулой часто пользуются при решении задач.
Шар называется вписанным в многогранный угол, если он касается всех граней многогранного угла. При решении задач, в которых рассматриваются вписанные в многогранный угол шары, удобно пользоваться соотношением: г =
= т • sin g , где г — радиус шара, вписанного в многогранный
А
угол, т — расстояние от центра шара до ребра многогранного угла, а — величина двугранного угла при этом ребре.
Если все плоские углы 3-гранного угла равны по 60°, то расстояние от вершины угла до центра вписанного в этот угол шара радиусом г равно Зг; если все плоские углы 3-гранного угла прямые, то расстояние от вершины угла до центра вписанного
в этот угол шара радиусом г равно rjz. Эти соотношения часто используют при решении задач, в которых рассматриваются те или иные комбинации шаров с правильными тетраэдрами или прямоугольными параллелепипедами.
Определение, Шар называется описанным около многогранника, если все вершины многогранника принадлежат поверхности шара (рис. 208). Многогранник при этом называют вписанным в шар.
Не около всякого многогранника можно описать шар. Например, около любой правильной или любой треугольной пирамиды шар описать можно, а около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом, шар опи-
184
Глава 3
Фигуры вращения
сеть нельзя (около ромба нельзя описать окружность). Более того, нельзя описать шар около любой наклонной призмы.
Вообще, для того чтобы около многогранника можно было описать шар, необходимо, чтобы около любой его грани можно было описать круг. При этом центр описанного шара может лежать как внутри многогранника, так и вне его или на его поверхности (даже на ребре многогранника), и проектируется в центр описанного около любой грани круга. Кроме того, перпендикуляр, опущенный из центра описанного около многогранника шара на ребро многогранника, делит это ребро (как хорду шара) пополам.
Мы уже говорили о пирамидах, все ребра которых одинаково наклонены к основанию. Около таких пирамид всегда можно описать шар, центр которого лежит на луче, содержащем высоту пирамиды.
Высота h пирамиды, радиус описанного около основания пирамиды круга и радиус R описанного около этой пирамиды шара связаны соотношением;
(R - hf + R'i = r:^.
Приведем формулы для вычисления радиусов вписанных и описанных шаров для правильных многогранников с ребром а.
Вид Радиус вписанного Радиус описанного
многогранника шара шара
Правильный ajb аЛ
тетраэдр Т2"
Правильный ajb аЛ
октаэдр “6“ 2
Правильный 0,5а аЛ
гексаэдр (куб) 2
Правильный а(3 Л) аЛ{Ъ + Л)
икосаэдр 47з 4
Правильный аЛоЛ + 22 а(1 -1- Л)Л
додекаэдр 4*Л 4
185
§19. Шар и сфера
В задачах иногда еще рассматривают шары, касающиеся всех ребер данного многогранника. Для куба, например, такой
Jo
шар существует и его радиус равен , где а — ребро куба.
lb
19.7. Площади поверхностей шара и его частей
Часть шара, заключенная между секущей плоскостью и одной из двух частей его сферической поверхности, называется шаровым сегментом (рис. 209 и 211). Поверхность шарового сегмента называется сегментной поверхностью: она представляет собой часть шаровой поверхности, отсекаемую какой-нибудь плоскостью. Круг АВ, по которому плоскость пересекает шар, называется основанием шарового сегмента, а окружность этого круга — основанием сегментной поверхности. Отрезок ОС радиуса, перпендикулярного секущей плоскости, называется высотой шарового сегмента {сегментной поверхности).
Часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями, называется шаровым споем (см. рис. 209, 211). Поверхность шарового слоя называется шаровым поясом. Шаровой пояс — часть шаровой поверхности, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к плоскости другого, называется высотой шарового слоя {шарового пояса).
Сегментную поверхность и шаровой пояс можно рассматривать как поверхности вращения: в то время, как при вращении полуокружности CAA^D (см. рис. 209) вокруг диаметра CD образуется шаровая поверхность (сфера), при вращении дуги СА этой полуокружности вокруг того же диаметра образуется сегментная поверхность, а при вращении дуги AAj — шаровой пояс.
Тело, образованное при вращении кругового сектора с углом ф (<р < 180°) вокруг прямой, которая содержит диаметр круга, не имеющий с круговым сектором общих внутренних точек, называется шаровым сектором.
Из этого определения следует, что поверхность шарового сектора состоит из сегментной поверхности и боковой поверхности ко-
186
Гпава 3
Фигуры вращения
а)
в)
г)
Рис. 210
нуса (рис. 210, а, б) или из поверхности шарового пояса и боковых поверхностей двух конусов (рис. 210, в, г).
На рисунке 211 изображены различные элементы шара и сферы (шаровой сектор имеет простейший вид).
Рассмотрим вопрос о вычислении площадей сферы, сегментной поверхности, шарового пояса и шарового сектора.
а) Площадь сферы. Пусть ABCDEF — правильная ломаная линия, вписанная в данную полуокружность; а — длина ее апофемы (рис. 212). При вращении полуокружности вокруг ее диаметра AF образуется сфера, а при вращении ломаной ABCDEF вокруг этого же диаметра AF образуется некоторая поверхность Ф.
За площадь сферы, образованной вращением полуокружности вокруг ее диаметра, принимают предел, к которому стремится площадь поверхности Ф, образованной вращением вокруг того же диаметра правильной п-звенной ломаной линии, вписанной в полуокружность, при п -> +00 {число сторон неограниченно возрастает).
Поверхность Ф является объединением поверхностей, образованных вращением звеньев ломаной линии, вписанной в по-
187
§ 19. Шар и сфера
Шаровой
слой
Малая окружность
Сегментная
поверхнось
Шаровой
пояс
Шаровой
сегмент
Радиус
шара
Шаровой
сектор
Центр
шара
Диаметр^
““Р® Бо''льшая Полусфера окружность
Рис. 211
луокружность, вокруг ее диаметра. Этими поверхностями являются боковые поверхности либо конуса (для первого и последнего звеньев ломаной), либо цилиндра (для звеньев, параллельных оси вращения; их может и не быть), либо усеченного конуса (для всех остальных звеньев ломаной).
При вычислении площадей получившихся поверхностей воспользуемся следствиями из теорем 25, 26, 28. Площадь (i = 1, 2, ..., п) поверхности, образованной вращением любого звена, равна произведению 2я, расстояния от середины звена до центра сферы и длины лг, проекции этого звена на ось вращения, т. е. = 2л • • т^.
Так как ломаная — правильная, то все 6^ равны апофеме данной п-звенной ломаной, а 4- wig + Шд -f ... 4- т„ = 2Д и
Si 4- Sg 4- Sg 4-
+ S„ = 4n-a„*i?. Причем a„= >
где
jP„ — периметр данной ломаной. Поскольку ог-
Рп
раниченная переменная величина ^ при п —>
4-00 становится бесконечно малой, то при п —> 4-00 апофема а„ стремится к радиусу R полуокружности. Следовательно, предел площади поверхности Ф при п —> 4-00 равен 4nR • R = 4nR^. Этот предел и принимается за величину площади сферы радиуса R:
'^сферы 4nR .
Рис. 212
188
Глава 3
Фигур>ы вращения
б) Площади сегментной поверхности и шарового пояса. Если правильная ломаная вписана не в полуокружность, а в некоторую ее часть, например в дугу AD (см. рис. 212), при вращении которой образуется сегментная поверхность, то рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к выводу:
^сегм.поверх 2яДЛ,
где л — высота сферического сегмента.
Если же ломаная вписана в дугу BE (рис. 212), при вращении которой образуется шаровой пояс, то получим:
^шар.пояса 2яДЙ-,
где Л — высота шарового пояса.
Проделайте эти рассуждения самостоятельно,
в) Площадь поверхности шарового сектора может быть получена как сумма площадей поверхности сферического сегмента и боковой поверхности одного конуса (см. рис. 210, а, б) или как сумма площадей поверхности сферического слоя и боковых поверхностей двух конусов (см. рис. 210, в, г). Рассмотрим частный случай (см. рис. 210, а, б). Если Д — радиус сферы, Л — высота шарового сегмента, то площадь боковой поверхности конуса с вершиной в центре сферы, образующей
В и радиусом основания JZRh - (докажите это) равна
nRj2Rh - Л2, а площадь сегментной поверхности равна 2nRh. Значит, для площади шарового сектора справедлива формула
«шар. сект = яЛ(2Л + J2Rh - ).
■ ЗАДАЧА (3.418). Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник АВС, сторона которого
равна 4. Известно также, что AS = BS = лДЭ, а SC = 3. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды.
Решение. Решим эту задачу двумя методами.
Первый метод (геометрический). Пусть О — центр сферы, описанной около данной пирамиды; D — точка пересечения медиан правильного Л АВС; Е — середина отрезка АВ (рис. 213).
Центр О сферы равноудален от всех вершин Л АВС, поэтому принадлежит прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС.
§ 19. Шар и сфера
189
Рис. 213
Так как точка Е — середина отрезка
АВ. то SE1AB (AS = BS) и СЕ ±АВ (Д АВС — правильный). Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АВ JL (CSE), поэтому (CSE) ± (АВС)
(по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Это означает, что прямая OD, а следовательно, и точка О — центр сферы — лежат в плоскости CSE.
Точка D является центром окружности, описанной около Л АВС. (По этой окружности плоскость АВС пересекает сферу, описанную около данной пирамиды.) Если L — точка пересечения прямой СЕ и упомянутой окружности, то CL — ее диаметр. Найдем CL.
В правильном А АВС имеем: СЕ = — 2л/3; CD = | СЕ =
2 3
= 4=. Тогда CL = 2CD = А •
Л ^/з
Далее
Д BSE (ZBES = 90°): SE^ = SB^ -ВЕ^ = 19-4 = 15 (по теореме Пифагора);
Д SEC (по теореме косинусов):
cos С =
SC2 + £С2 -
2SC•ЕС А SLC (по теорюме косинусов):
9 + 12-15 ^ 1 . 2-3-2-УЗ 27з’
SZ,2 = sC2 + CL2-2SC-CL*cosC= ^ => SL =
Плоскость CSL проходит через центр О сферы, следовательно, пересекает сферу по большой окружности, которая описана около Д CSL. Значит, радиус R этой окружности равен радиусу сферы, описанной около данной пирамиды. Найдем R.
SL
В треугольнике CSL имеем
sin С
= 2Д. Так как в этом тре-
угольнике cos С = —-, то sin С 27з
7l - cos2 С = Тогда
R =
SL
2sin С
№
/67
11'
190
Глава 3
Фигуры вращения
Находим площадь Q сферы:
Q = AnR^ = 4л
67 268
■ л.
Рис. 214
11 11
Второй метод (координатный). Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало совпадало с вершиной А данной пирамиды, направление оси абсцисс — с направлением луча АС, ось аппликат была перпендикулярна плоскости основания АВС пирамиды (рис. 214).
В этой системе координат вершины основания пирамиды
имеют координаты: А(0; 0; 0), В(2; 2лУЗ ; 0), С(4; 0; 0).
Обозначив через х, у. г координаты вершины S пирамиды,
найдем их из условий: AS = BS = Jl9, CS = 3.
ИмеемАВ2 = x^ + y^ + z^= 19, BS^ = {х- 2)2 + (y- zjzf + =
= 19, CS2 = (jc - 4)2 -t-1/2 + z2 = 9.
Решая систему уравнений
j x^ — 19,
(X - 2f + (y - + z^ = 19,
(x - 4)2 -b 1/2 -t- z2 = 9,
13
73
находим: x=—,y=^,z = 4 4
7^
2
Таким образом, вершина S имеет следующие координаты:
Qfi3. 7з. Тзз^
4 ’ 4 ’ 2 )'
Пусть центр О сферы имеет координаты а, Ь, с. а ее радиус равен R. Так как сфера описана около пирамиды SABC, то 0А2 = ОВ2 = ОС2 = OS2 = Д2 Зто соотношение в координатном виде равносильно системе уравнений о2 -I- г>2 + р2 = R2,
(а - 2)2 + (Ь - 273 )2 + с2 = д2^
(о - 4)2 + Ь^ + С^ = Д2.
§ 19. Шар и сфера
1
191
Вычитая из первого уравнения четвертое, получаем а = 2, после
ь 2
чего, вычитая из первого уравнения второе, получаем о =
Л
После вычитания третьего уравнения системы из первого ее уравнения получаем:
Подставив в это уравнение вместо о и & найденные их значения, получаем с = -Д=. Отсюда: Д2 = а^ + Ь^ + с2 = 4 + | + Ш =
268
Тогда искомая площадь Q сферы равна: Q = 4пЯ^ - л. Ответ: л (кв. ед.).
19.8. Объем шара и его частей
Рассмотрим фигуру, образованную вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 2R вокруг прямой, проходящей через вершину прямого утла параллельно гипотенузе (рис. 215, о). Объем этой фигуры равен разности объема цилиндра с высотой 2R, радиусом основания R и удвоенного объема конуса высоты R, радиусом основания R:
Р = л-Д2.2Д-2-1я-Д2.д=
3 3
(*)
Рис.215
192
Глава 3
Фигуры вращения
Шар радиусом R (рис. 215, и образованную выше фигуру вращения расположим между двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно 2R. Шар при этом будет касаться каждой из данных плоскостей, а фигуру вращения расположим так, чтобы ее ось вращения была перпендикулярна этим плоскостям (см. рис. 215). (Плоскость, которая содержит верхнее основание целиндра и касается сферы в точке N, на рисунке не изображена.)
Будем пересекать наши фигуры плоскостями, параллельными данным плоскостям и удаленными от центра шара на расстояние х (О < д: < R).
При X = О площади сечений обеих фигур равны п' R^; при х = R площади сечений равны нулю. В остальных случаях
площадь сечения шара равна n‘{jR^ - х^)^ = n'{R^ - х^), а площадь сечения другой фигуры (ею является кольцо) равна л • - л • х^. Следовательно, площади равноудаленных от
центра шара сечений рассматриваемых фигур равны (относятся, как 1 : 1). Поэтому на основании принципа Кавальери равны и объемы этих тел. Тогда на основании (*):
4
шара
“ 55 • ТС
где Д — радиус шара.
Для получения объема шарового сегмента высоты Л рассмотрим предыдущую ситуацию для Д - Л < х < Д (при Л < Д) (рис. 215, 216). Применяя принцип Кавальери, получим: объем шарового сегмента равен разности объема цилиндра высотой h и радиусом основания Д и объема усеченного конуса высотой h и радиусами оснований Д и Д - Л, т. е.
К=л-Л-Д2- 1л-Л*(Д^ + Л-(Д-Л) + (Д-Л)2)= 1л-Л2-(ЗД-Л). 3 о
N
Рис. 216
§ 19. Шар и сфера
1
193
При h > R объем шарового сегмента можно найти как разность объема шара и объема шарового сегмента высоты 2R- h
(рис. 217): V = 5Л-ДЗ - ^ -л-(2Д - Л)2-(ЗД - (2Д - Л)) = = 1 л • h\ZR - А), т. е. получаем ту же самую формулу. Под-
О
ставляя в эту формулу h = R, получим V = 1 л • R^3R - R) =
О
2
= 5 л • R^, что соответствует объему полушара.
О
Мы показали, что в шаре радиуса R объем любого шарового сегмента высоты Л может быть вычислен по формуле:
шар. сегм
ИЛИ В другом виде
= |я-А2-(ЗД - А) = л.А2.(д- I).
шар. сегм у— g
Выведем теперь формулу для вычисления объема шарового сектора.
Сначала рассмотрим шаровой сектор, состоящий из шарового сегмента высоты А и конуса высоты (Д - А) с вершиной в центре шара радиусом Д (рис. 218). Для него имеем:
= Пегм + ^кон=д"-Л"*(ЗД-Л) +
+ 1л-(Д-А*Д2-(Д-А)2)= I - л«Д2-А. о о
Докажите самостоятельно, что и для других шаровых секторов (рис. 219, 220) их объем вычисляется по формуле:
V = ? л • Д2 • А
шар. сект g ^
шар. сект
7 Геометрия, 11 кп. Учебник
194
I
Глава 3
Фигуры вращения
Отметим, что объем шарового слоя с радиусами оснований и Г2 и высотой Н вычисляется по формуле
V = !^(3rf + Зг| + Я2).
■ ЗАДАЧА (3.457). Четыре шара радиусом R и четыре шара радиусом г расположены так, что каждый касается трех шаров одного радиуса и трех шаров другого радиуса. Найдите отношение объема шара радиусом R к объему шара радиусом г {R> г). Решение. Обозначим Vj, — объемы шаров с радиусами соответственно Д и г. Тогда = 5 лД®, V"2 = 5 лг®, значит, ^ = Г? ] .
ПустьЛ, В,С,Р — центры шаров радиусом Д; Ар Др Ср Pj — центры шаров радиусом г. Тогда:
1) АВ = ВС = СА = АР = BP = CP = 2R=> РАВС — правильный тетраэдр с ребрюм 2Д;
2) AjBi = BjCj = CjAi = А,Р, = BjPj = CiP, = 2r => P^A^B^C^ — правильный тетраэдр с ребром 2г.
Обозначим Ag, В,. С„ Р.
2» ^2’ ^ Z — центры граней тетраэдра РАВС
(рис. 221) и докажем, что все четыре высоты АА2, ВВ2, СС2 и РР2 пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 3 : 1, считая от вершины.
В самом деле, если М = АА2 гл РР2, то из подобия треугольников НАР и НР2А2 следует HP : НА2 = АР : А2Р2 = 3:1, тогда из подобия треугольников АРМ и А2Р2М следует, что
АР : А2Р2'
РМ :МРо=АМ
МА2 = 3 : 1, т. е. РМ = tpp^.
Аналогично доказывается, что высоты ВВ2 и СС2 делятся точкой М в отношении ВМ : МВ2 = СМ : МС2 = 3 : 1 и, таким образом, точки А2, В2, С2. Р2 равноудалены от точки М.
Далее, так как шар с центром Pj и радиусом г касается шаров с центрами А, В, С и радиусами Д, то PjA = PjB = PjC = ■= Д -I- г, т. е. точка Pj равноудалена от вершин А, В и С правильного тетраэдра РАВС. Так как (Д -f г) < 2Д, то Pj принадлежит высоте РР2 этого тетраэдра: Pj е PPg. Аналогично доказывается, что Aj е АА2, Bj € ВВ2, Cj G СС2.
Найдем дважды длину высоты РР2 тетраэдра РАВС: с одной стороны, как длину катета прямоугольного треугольника АРР2, с другой стороны, как сумму длин отрезков РМ, МР,
ИРР2-
195
§ 19. Шар и сфера
В правильном А АВС со стороной 2R имеем: APg = -АН =
3
_ 2 , 2д7з _ 2Дл/3 дрдд g прямоугольном Д APPg 5 РРг ~ S ^ 3
= 7лр2 _ API = /4Д2 _ = 2^
Найдем длину отрезка РР2 иначе. В прямоугольном Д APjPg имеем:
Р1Р2 = VAPf-AP| = J(P + г)2 - = ^(Д + г)2 - |Д2.
Аналогично можно убедиться, что AjAg = Р1Р2 ^ “ Р1Р2 ^
= ^(Д + г)2 - |д^. Тогда, учитывая, что МА2 = MBg = =
= MPg, приходим к выводу: MAj = MBj = MCj = MPj. Это означает, что точка М — общий центр правильных тетраэдров РАВС и и PPg = РМ + MPi + PjPg.
- - Л - -5/С
Рис. 221
7‘ Геометрия. 11 кл. Учебник
196 I Глаша 3
Фигуры вращения
Так как в правильном тетраэдре РАВС с ребром 2R для расстояния РМ от вершины Р до центра М этого тетраэдра вы-
то в правильном тет-
полняетсяРМ = ^•
4 4 3 Z
раэдре PjAjBiCj с ребром 2г для расстояния PjM от вершины
/X
Pj до его центра М выполняется PjM = .
Подставляя в равенство PPj = РМ + MPj + Р^Р^, найденные значения длин отрезков РР£, РМ, MPj и РхРг» получаем:
или после элементарных преобразований:
- бДг г2 = 0.
Разделив это уравнение на и введя новую переменную t =
т>
= —, получаем уравнение + 1 = 0, корнями которого яв-
г
ляются = 3 - 2л/2, fg = 3 2л/2. Так как tj < 0, то условию
задачи удовлетворяет лишь значение tg = 3 -1-2л/2. Это означает, что - = 3 -I- 2V2. Тогда J = (3 + 2j2f.
г Kg
Ответ: (3 + 2j2f.
ДОПОЛНЕНИЯ
1. О применении определенного интеграла для нахождения объемов тел вращения
1.1. Формула объема тела вращения
В п. 16.2 дано определение тела вращения.
Получим формулу для вычисления объема тела вращения, применяя интеграл, о котором вам рассказали в курсе «Алгебры и начал анализа».
Пусть f(x) — непрерывная на отрезке [а; 6] функция, не принимающая отрицательных значений; А. В — точки графика этой функции (рис. 222).
Рассмотрим криволинейную трапецию оАВЬ, ограниченную дугой графика функции у = f{x), отрезками аА, ЬВ и отрезком [а; 6] координатной оси Ох (см. рис. 222). При вращении этой трапеции вокруг оси Ох образуется тело вращения (рис. 223), которое обозначим Ф и поставим себе задачу: найти объем этого тела.
Через произвольную точку х = с (а < с < Ь) отрезка [а; 6] проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Сечением те-
198
1
Дополнения
ла Ф этой плоскостью является круг, радиус которого равен /(с), а площадь — nf^(c) (или точка (с; 0)).
Объем части тела Ф, заключенной между этой плоскостью и плоскостью X = а, изменяется при изменении х. Обозначим этот переменный объем Заметим, что F(x) = F(a) = 0 при X = а; при X = Ь имеем V(x) = V{b) = V — искомый объем тела вращения Ф.
Покажем, что функция V{x) имеет производную V'{x) и Г(х) = я/2(х).
Придадим абсциссе х приращение Ах > 0, тогда объем F(x) получает приращение AV{x) = V(x + Дх) - V{x). Пусть mw.M — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f{x) на промежутке [х; х + Дд:].'Цилиндр, радиус основания которого равен т, содержится в теле вращения объема AV{x), а цилиндр, радиус основания которого равен М, содержит тело объема ДF(x); образующие цилиндров параллельны оси Ох и имеют длину, равную Дх. Объемы этих цилиндров равны соответственно пт^‘ Ах и пМ^‘ Ах. На основании свойства 2 объемов (п. 10.1) получаем
пт^ ♦ Ах < Д^(х) < пМ^ • Дх,
откуда
пт
2<
тх)
Дх
< лМ2.
Рассуждения для случая Дх < 0 проводятся аналогично и дают тот же результат.
Рис. 223
1. о применении определенного интеграла
1
199
Пусть теперь Д х 0. Имеем lim т = lim М = f{x), тогда
Дх о Дх -♦ о
lim Twi^ < lim < lim пМ^
Дх Дж-»0
Д1 -►О
Дх -»0
ИЛИ
л/2(х) < lim„ < л/2(х).
Дх -
Значит, Jim^ —= пр{х). По определению производной
Дх -
функции lim —= V\x). Поэтому V\x) = nf^(x), следова-Дх-»0 Дх
тельно, И(х) — первообразная для пр{х).
Таким образом, переменный объем V{x) тела вращения представляет собой одну из первообразных для функции л/^(х) на отрезке [а; &]. Эта первообразная обладает тем свойством, что при X = а она обращается в нуль (И(а) = 0), а при х = 6 значение функции F(x) равно объему тела вращения Ф (V(b) = = V).
Если F(x) — также некоторая первообразная для функции nf\x), то F(x) = F{x) -f С, где С — произвольная постоянная. Так как V (а) = 0, то из равенства И(а) = F (а) -1- С = 0 находим С = -F(a). Значит, V(x) = F(x) - F(a). Тогда V(b) = F(b) - F(a). Ho И(&) = V — искомый объем тела вращения Ф. Таким образом, V = F(&) - F{a), где F{b) и F(a) — значения первообразной для функции TT.f\x) соответственно при х = Ь и х = а. Это означает, что
V и
V = I nf\x)dx = P(x)dx.
Вот почему объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у — f(x), х ^ а, х = Ъ, 2/ = о, вычисляется по формуле
V = njf
(x)dx.
■ ЗАДАЧА. Вычислите объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = , х = 0,
X = 2 и у = о (рис. 224).
200
Дополнения
Решение. Воспользуемся формулой V -ь
= л: J Hx)dx, для чего из уравнения у = Л~Х
находим = 2х. Тогда получаем
V = nj 2xdx = 2л •
пх‘
= 4л.
Ответ; 4л.
1.2. Объемы конуса, шара и его частей
Используя формулу V = л J f^{x)dx вычисления объема тела
а
вращения, получим формулы для вычисления объема каждого изз^ченного ранее тела вращения.
а) Объем конуса и усеченного конуса
Теорема 1 (об объеме полного конуса). Объем V конуса с высотой Н и радиусом основания R равен одной трети произведения площади основания на высоту:
V = 1лД2я.
S
Доказательство. Конус с высотой Н и радиусом основания R можно рассматривать как тело, образованное вращением вокруг оси Ох прямоугольного треугольника с верп1инами 0(0; 0), А(Н; 0) и В[Н; R) (рис. 225). Треугольник ЛОВ является частным случаем криволинейной трапеции, которая огра-
R
ничена графиком функции у=—х(0<х< Н), осью Ох и от-
ы
201
1. О применении определенного интеграла
резком прямой X = Н. Поэтому, используя формулу (*) п. 1, для объема V конуса получаем
Н
где — площадь основания конуса. Теорема доказана. Т
Теорема 2 (об объеме усеченного конуса). Обтлм усеченного конуса с высотой Н и радиусами оснований г и R равен сумме объемов трех конусов с высотой Н, радиусы оснований которых соответственно равны г, Д и :
V = Jx(r2 + R2 + гД)Я.
<3
Доказательство. Усеченный конус с высотой Н и радиусами оснований г и Д можно получить, вращая вокруг оси Ох прямоугольную трапецию ОАВС, где 0(0; 0), Л(0; г), В(Н; R), С(Н; О) (рис. 226).
Прямая АВ проходит через точки (О, г) и (Н, R), поэтому ее
R-г.
уравнение имеет вид у =
Я
X -I- г. Следовательно, трапеция
R ~ Г
ОАВС ограничена графиком функции у = х -I- г (О < х < Н),
н
осью Ох и отрезками прямых х = О и х = Я. Поэтому, используя формулу (*) из п. 1.1, для объема V усеченного конуса получаем
V=nj(^?^x + rj dx. (1)
а)
Рис.226
202
Дополнения
Для вычисления интеграла сделаем замену переменных
R-r
Н
х-\- г = t.
(2)
Тогда
R
Г Н
-dx = dt, откуда dx = —— dt. Новые пределы ин-
тегрирования (по переменной t) найдем посредством подстановки формулы (2): X = О => t = г; х = Н => t = R. Таким образом, для объема V усеченного конуса получаем
я - я
f Н
Д - г
t^dt
Н
^R-r
пН
3(Д - г)
•(ДЗ-гЗ)
= ^(r^ + R^ + rR),
О
что и требовалось доказать.
б) Объем шарового слоя
В прямоугольной декартовой системе координат Оху рассмотрим криволинейную трапецию оАВЬ, ограниченную дугой окружности = ДЗ, -Д rg), а высота Н (см. рис. 227, а). Тогда Н = Ь - а, г\ = - а^, г\ =
= Д2 _
Формулу (**) преобразуем к виду
V = (3i?2 - (&2 + aft + а2)) =
о
= ((Д2 _ ft2) + (Д2 _ aft) + (Д2 _ а2)).
о
Из системы равенств ф - а)2 = Н^. R^ - а^ = г\, R^ - = г|
после почленного сложения их левых и правых частей находим
R^-ab =
_ г2 + г| + Я2
Тогда
V = ((Д2 - ft2) + (Д2 _ aft) + (Д2 _ а2)) =
О
.’IE [4+ + 4)-ЧЕ ,3rf - зг| + №).
Таким образом, объем шарового слоя с радиусами оснований Г} и Tg и высотой Н вычисляется по формуле
F= !^(3rf+ Зг| + Я2).
^***)
в) Объем шара
При вращении полукруга х^ у^ — Д2 (расположенного в плоскости Оху, рис. 228, а) вокруг оси Ох образуется шар радиусом R (рис. 228, б). Из уравнения окружности х^ у^ = Д2 данного полукруга имеем y^ = R^ - х^. Тогда, полагая а = -R, b = R в формуле (*) п. 1.1, находим объем V шара радиусом Д:
^ |Д
= л J (Д2 - x^)dx = п (Д2д: - ^ I =
+ дз- ^лДЗ.
204
Дополнения
а)
Рис. 228
Таким образом, имеет место следующая теорема
Теорема 3 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле
V
г) Объем шарового сегмента
Если Ь = R (см. п. 1,6), то получаем криволинейную трапецию оАВ (рис. 229, а), при вращении которой вокруг оси Ох образуется шаровой сегмент (рис. 229, б).
Пусть высота шарового сегмента равна Н. тогда a = R- Н. Так как дуга АВ криволинейной трапеции оАВ является частью окружности (в плоскости Оху), то формулу объема
шарового сегмента получим по аналогии с выводом формулы для вычисления объема шара, учитывая при этом, что пределы а яЬ интегрирования равны: а = R - Н, Ь = R, т. е.
R
R- Н
Уш. сегм = " J ^ )
R-H
= - RHR - Я) + ) = kH^[r -
Таким образом, имеет место
Теорема 4 (об объеме шарового сегмента). Объем шарового сегмента, отсекаемого от шара радиусом R и имеющего высоту Я, вычисляется по формуле
205
1. О применвнт определенного интеграла
а)
Рис. 229
б)
Если в формуле (***) п. 1.2, б положить Tg = О, Tj = г, то получим формулу для вычисления объема шарового сегмента с радиусом основания г и высотой Н:
»^ш.сеги=^(Зг2 + Я2).
д) Объем шарового сектора
Шаровой сектор состоит из конуса с вершиной в центре шара и шарового сегмента, имеющего с конусом общее основание (рис. 230). Пусть R = ОА — радиус шара; АС = г — радиус основания шарового сегмента, NC = И — его высота; N — точка сферы (рис. 230).
Найдем объемы конуса и шарового сегмента, учитывая, что высота Л конуса равна ОС = ON - CN = R- Н.
Объем конуса равен 1 п -АС^ * ОС = i nr^(R - Н). Выразим
О О
через R и Н.
В прямоугольном треугольнике АОС находим = АС^ = ОА^ - ОС^ =
= R^ - (R - Я)2 = H(2R - Н). Значит,
J nH(2R - HXR - Я) =
О
= !^(2Д2-ЗДЯ-ЬЯ2).
206
Дополнения
Для объема шарового сегмента имеем:
ш. сегм (ЗАС^ + ^С2) = ^ (ЗЯ(2Д - Я) + Я2) =
= (ЗДЯ - Я2).
Тогда для объема шарового сектора получаем
сект = сегм = ^ (2^^ " 3RH + Я2) + (ЗДЯ - Н^) =
Таким образом, доказана
Теорема 5 (об обг>еме шарового сектора). Объем шарового сектора шара радиусом R вычисляется по формуле
сект
где Я — высота шарового сегмента, соответствующего данному шаровому сектору.
В курсе математического анализа, который вам предстоит изучать в высшей школе, будет дано строгое обоснование применения определенного интеграла не только для нахождения объемов тел, но и для нахождения площадей поверхностей и длин дуг линий.
Найдите самостоятельно:
1. Объем тела, которое получается при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой
У — прямыми X = 3, X = 12 и осью абсцисс. (Ответ: 4я.)
2. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin х и отрезком О < X < л оси абсцисс. (Ответ: 0,5л2.)
3. Объем тела, полученного при вращении кривой у = 0,25x2 вокруг оси Оу в пределах от I/ = 1 до у = 5. (Ответ: 48л.)
4. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми у = 2x2 и у = х^. (^Ответ: j
2. О симметриях правильных многограннихов
i
207
2. О симметриях правильных многогранников
2.1.0 самосовмещениях фигуры
Ранее были рассмотрены фигуры (куб, правильная пирамида и др.), имеющие центр (ось, плоскость) симметрии. Каждая из этих фигур при симметрии относительно точки (прямой, плоскости) отображается на себя. В таком случае говорят, что при данной симметрии фигура Ф самосовмещается (совмещается сама с собой), а преобразование симметрии при этом называют самосовмещением фигуры Ф.
Вместе с тем, кроме упомянутых симметрий, существуют другие виды движений, а также композиции таких движений, при которых происходят самосовмещения данной фигуры. Например, повороты на углы 90°, 180°, 270° и 360° вокруг прямой, проходящей через центры параллельных граней куба, являются самосовмещениями этого куба (рис. 231). Можно убедиться, что различные композиции этих поворотов также являются самосовмещениями данного куба.
Самосовмещениями правильной треугольной пирамиды (рис. 232) являются такие движения пространства, как, например, повороты на углы 120°, 240° и 360° вокруг прямой, содержащей высоту пирамиды, а также симметрия относительно плоскости, проходящей через эту высоту и боковое ребро. Композиции этих поворотов и плоскостной симметрии также являются самосовмещениями данной пирамиды.
Самосовмещениями правильного тетраэдра являются, например, такие движения пространства, как повороты на углы 120°, 240° и 360° вокруг прямой, содержащей высоту этого тетраэдра, а также повороты на угол 180° вокруг прямых, проходящих через середины его скрещивающихся ребер.
208
Дополнения
Можно убедиться, что композиция любых двух из этих движений также является самосовмещением правильного тетраэдра.
Для движений пространства, самосовмещающих данную фигуру Ф, имеет место
Теорема 1 (теорема о самосовмещениях фигуры).
1. Если два движения пространства являются самосов-мещениями фигуры Ф, то их композиция (в любом порядке) является также самосовмещением этой фигуры.
2. Если движение g является самосовмещением фигуры Ф, то обратное ему движение g~^ является также самосовмещением этой фигуры.
3. Тождественное преобразование Е пространства является самосовмещением любой фигуры.
Докажите эту теорему самостоятельно.
Как видно из приведенных выше примеров с кубом, правильной пирамидой и правильным тетраэдром, фигура Ф может иметь не единственное, а несколько самосовмещений. Множество всех самосовмещений фигуры Ф называют группой самосовмещений или группой симметрий этой фигуры.
mil Понятие группы было введено французским математиком Эваристом Галуа (1811—1832) и является одним из фундаментальных понятий современной математики, применяемых в алгебре, геометрии, физике и других науках.
Так что же собой представляет абстрактное понятие «группа*?
Предварительно рассмотрим следующий вопрос.
Пусть G — множество любых элементов (этим множеством может быть, например, множество Z всех целых чисел, множество Q всех рациональных чисел, множество R всех действительных чисел; а может быть и не числовое множество, например, множество всех преобразований плоскости или множество всех преобразований пространства). Если любым двум элементам аиЬ множества G ставится в соответствие по определенному правилу некоторый элемент с этого же множества G, то говорят, что на множестве G задана операция (точнее, бинарная операция: лат. binarius — двойной) или множество G замкнуто относительно этой операции.
209
2. О симметриях правильных многогранников
На числовых множествах такими операциями могут быть, например, операция сложения (которая обозначается символом «+», и тогда каждым двум числам а и Ь соответствует их сумма а + Ь) или операция умножения (которая обозначается символом ♦ • », и тогда каждым двум числам аиЬ соответствует их произведение а • Ь).
Если G — множество всех преобразований пространства, то на этом множестве нами в п. 2.3 была также определена операция — последовательное применение преобразований, которая обозначается символом «о». Согласно этой операции любым двум преобразованиям и пространства соответствует их композиция g2°§i' Иногда композицию g2°§i преобразований gj и ^2 называют произведением этих преобразований.
Бинарную операцию, которую вводят на множестве G, можно обозначать любым отвлеченным символом, например символом **». Согласно выше сказанному, символ принимает конкретный смысл: « + » — сложение чисел, « • » — умножение чисел, «о» — последовательное применение преобразований.
Теперь введем определение понятия группы.
Определение. Непустое множество G элементов а, i>, с, ..., на котором определена операция «*», называется группой (относительно этой операции), если для любых элементов а, Ь, с, ... множества G выполняются следующие условия:
1) а * (& * с) = (а * Ь) * с (т. е. операция «*» ассоциативна);
2) во множестве G существует такой элемент в, что для любого элемента а этого множества выполняется равенство: е*а = а*е = а {элемент е называют нейтральным элементом группы);
3) для любого элемента а множества G существует та-
кой элемент о“‘ этого же множества С, что справедливо равенство а * = a~^ * а = е (элемент назы-
вается обратным элементу а).
Если, кроме того, для любых двух элементов а и Ь множества G выполняется равенство а * Ъ — Ь * а (операция *** коммутативна), то группа G называется коммутативной (или абелевой).
210
Дополнения
Рассмотрим некоторые примеры.
1) Множество всех целых чисел является группой относительно операции сложения, так как: операция сложения целых чисел ассоциативна; роль нейтрального элемента группы играет число О, а роль обратного элемента для любого целого числа а играет число -а. Но множество Z не является группой относительно операции умножения, так как обратным
для любого целого числа а ^ 1 является число а
-1 =
не це-
лое, а следовательно, не принадлежащее множеству Z (не выполняется условие 3).
2) Множество Q всех рациональных чисел является группой относительно операции сложения (роль нейтрального элемента группы играет число 0), а множество Q всех рациональных чисел, отличных от нуля, является группой относительно операции умножения (роль нейтрального элемента группы играет число 1).
3) Множество всех векторов пространства является группой относительно операции сложения векторов (роль нейтрального элемента в группе играет нуль-вектор).
Все эти три группы являются абелевыми, так как операция сложения чисел и операция сложения векторов коммутативны.
4) Множество всех преобразований пространства является
группой, так как: определенная на этом множестве операция — композиция преобразований обладает свойством ассоциативности (см. п. 2.3); роль нейтрального элемента в группе преобразований играет тождественное преобразование Е (для любого преобразования g имеет место = E°g = g (см. п. 2.2)) и, наконец, для любого преобразования g существует обратное ему преобразование такое, чтоg°g~^ = = Е (см. п. 2.3).
5) Множество всех движений пространства является группой, так как композицией двух любых движений пространства является движение этого пространства, а преобразованием, обратным любому движению, является движение, и тождественное преобразование Е является движением, играющим роль нейтрального элемента этой группы.
6) Так как самосовмещения любой фигуры Ф происходят при движениях пространства и различных их композициях, причем композиция движений, а следовательно, и композиция самосовмещений данной фигуры обладает свойством ассо-
2. О симметриях правильных многогранников
1
211
циативности, то с учетом утверждения теоремы 1 приходим к выводу: множество Сф всех самосовмещений любой фигуры Ф является группой, которую называют группой симметрий
этой фигуры.
2.2. Об элементах симметрии правильного многогранника. Двойственные правильные многогранники
При сравнении самосовмещений правильного тетраэдра и правильной треугольной пирамиды можно обнаружить, что число различных самосовмещений правильного тетраэдра превосходит число самосовмещений правильной треугольной пирамиды, т. е. правильный тетраэдр «симметричнее» правильной треугольной пирамиды. Аналогично, если рассмотреть само-совмещения куба и любой правильной четырехугольной призмы, то обнаружится, что куб «симметричнее» правильной четырехугольной призмы. По-видимому, тем и объясняется тот факт, что правильные многогранники всегда привлекали к себе внимание людей своей «симметричностью», являясь «самыми симметричными» многогранниками из множества всех существующих многогранников.
Так как все самосовмещения любой фигуры образуют группу симметрий этой фигуры, то, естественно, представляет интерес, какие движения пространства образуют группу симметрий каждого из пяти правильных многогранников.
Прежде чем приступать к рассмотрению этого вопроса, введем необходимые в дальнейшем определения некоторых понятий.
Прямая, вокруг которой происходит поворот, самосовме-щающий фигуру Ф, называется осью поворотной симметрии фигуры Ф. Например, осью поворотной симметрии правильной треугольной пирамиды (см. рис. 229) является прямая, содержащая высоту пирамиды.
Если самосовмещением фигуры является зеркальный поворот, то ось поворота называется осью зеркально-поворотной симметрии. Например, прямая, проходящая через центры параллельных граней куба (см. рис. 228), является его осью зеркально-поворотных симметрий с углами поворотов 90°, 180°, 270°; плоскостью симметрии при этом служит плоскость, проходящая через центр куба перпендикулярно оси вращения.
212
Дополнения
Рис. 235
Рис. 236
Центр симметрии, плоскость симметрии и оба вида осей симметрии, имеющиеся у фигуры Ф, называются ее элементами симметрии. Каждому элементу симметрии фигуры соответствует определенное ее самосовмещение — элемент группы симметрии этой фигуры.
Далее заметим, что число вершин куба равно числу граней правильного октаэдра, а число вершин правильного октаэдра равно числу граней куба. Число ребер у этих многогранников одно и то же. Поэтому куб и правильный октаэдр называют двойственными многогранниками. Более того, центры граней куба служат вершинами правильного октаэдра (см. задачу 2.347) (рис. 233), а центры граней правильного октаэдра — вершинами куба (см. задачу 2.354) (рис. 234).
Аналогично можно убедиться, что двойственными являются правильный икосаэдр и правильный додекаэдр, при этом центры граней правильного икосаэдра служат вершинами правильного додекаэдра (рис. 235), а центры граней правильного додекаэдра — вершинами правильного икосаэдра (рис. 236).
Так как любое самосовмещение правильного многогранника является самосовмещением двойственного ему правильного многогранника (почему?), то группы симметрий двойственных правильных многогранников совпадают. Поэтому для изучения групп симметрий каждого из правильных многогранников достаточно рассмотреть группы симметрий правильного тетраэдра, куба и правильного икосаэдра.
2.3. Гоуппа симметрий правильного тетраэдра
Прямая, содержащая высоту ОР правильного тетраэдра РАВС (рис. 237), является осью поворотных симметрий этого тетраэдра с углами поворотов 120°, 240° (поворот на угол 360° явля-
2. О симметриях правильных многогранников
213
ется тождественным преобразованием). Правильный тетраэдр имеет 4 такие оси поворотных симметрий.
Прямая DE, проходящая через середины D и Е противоположных ребер СР и АВ правильного тетраэдра РАВС, перпендикулярна каждому из них. Поэтому прямая DE является также осью поворотной симметрии с углом поворота 180°. Правильный тетраэдр имеет 3 такие оси симметрии.
Плоскость, проходящая 'lepes ребро правильного тетраэдра и середину противоположного ребра, служит его плоскостью симметрии. Правильный тетраэдр имеет 6 таких плоскостей симметрии.
Исследуем вопрос о наличии у правильного тетраэдра оси зеркально-поворотной симметрии. В целях наглядности рассмотрим правильный тетраэдр Т = AB^CD^ вместе с кубом K = ABCDA^B^C^D^ (рис. 238).
Пусть а — прямая, проходящая через середины О и Oj противоположных ребер АС и B^D^ правильного тетраэдра Т; а — плоскость, проходящая через центр М тетраэдра Т (он совпадает с центром куба К) и перпендикулярная прямой а.
При композиции поворота на угол 90° вокруг прямой а и симметрии относительно плоскости а происходит самосовме-щение правильного тетраэдра Т. Самосовмещением тетраэдра Т является и композиция ° Это означает, что прямая а является осью зеркально-поворотных симметрий тетраэдра Т. Правильный тетраэдр имеет 3 такие оси зеркально-поворотных симметрий.
Таким образом, правильный тетраэдр имеет следующие элементы симметрии: 4 оси поворотных симметрий с углами поворота 120°, 240°; 3 оси поворотных симметрий с у г-
214
Дополнения
лами поворота 180°; 3 оси зеркально поворотных симметрий с углами поворотов 90°, 270°; 6 плоскостей симметрии. Учитывая тождественное преобразование, находим, что элементы симметрии правильного тетраэдра определяют 4*2 +3 -f-3*2-(-6-l-l = 24
его симметрии, т. е. группа симметрий правильного тетраэдра состоит из 24 различных самосовмещений. Это число равно удвоенному числу плоских углов тетраэдра.
2.4. Гоуппа симметрий куба
Найдем элементы симметрии куба {правильного гексаэдра).
Точка М пересечения диагоналей куба (рис. 239) является его центром и служит центром симметрии этого куба.
Куб имеет 3 плоскости симметрии, каждая из которых проходит через центр куба параллельно его граням, и 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через его противоположные ребра (рис. 239).
Прямая OOj, проходящая через центры О и Oj параллельных граней ABCD и AjBjCjDj куба (см. рис. 239), является осью поворотных симметрий с углами поворотов 90°, 180°, 270°. Так как у куба 3 пары параллельных граней, то он имеет 3 такие оси поворотных симметрий.
Прямая РК, проходящая через середины противоположных ребер куба (см. рис. 239), является осью поворотной симметрии с углом поворота 180°. Куб имеет 6 таких осей симметрии.
Так как треугольники A^BD и B^CD^ — правильные (почему?) (рис. 240) и диагональ ACj перпендикулярна плоскостям этих треугольников (почему?), то прямая АС, служит осью поворотных симметрий куба с углами поворотов 120°, 240°. Куб имеет 4 такие оси симметрии.
Рис. 240
2. О симметриях правильных многогранников
215
Рис. 241
Прямая OOj (см. рис. 239) является осью зеркально-поворотных симметрий с углами поворотов 90°, 270°, где плоскостью симметрии служит плоскость, проходящая через центр М куба перпендикулярно прямой OOj. Куб имеет 3 такие оси зеркально-поворотных симметрий.
Наконец, пересечением куба и плоскости, проходящей через его центр М перпендикулярно диагонали АС,, является правильный шестиугольник (докажите это, рис. 241). Композиции поворотов на углы 60° и 300° вокруг прямой АС, и симметрии относительно плоскости этого шестиугольника являются зеркальными поворотами куба. Поэтому прямая АС, служит осью зеркально-поворотных симметрий куба. Куб имеет 4 такие оси симметрии.
Таким образом, у куба имеются следующие элементы симметрии: 1 центр симметрии; 9 плоскостей симметрии; 3 оси поворотных симметрий, каждая из которых с углами поворотов 90°, 180°, 270°; 4 оси поворотных симметрий, каждая из которых с углами поворотов 120°, 240°; 6 осей поворотных симметрий с углом поворота 180°; 3 оси зеркаль-но поворотных симметрий {каждая с углами поворотов 90°, 270°); 4 оси зеркально-поворотных симметрий {каждая с углами поворотов 60°, 300°).
Учитывая тождественное преобразование, находим, что элементы симметрии куба определяют
l-f-9-l-3*3-l-4*2-t-6-l-3*2-f4*2-l-l = 48 его симметрий, т. е. группа симметрий куба состоит из 48 различных самосовмещений. Это число равно удвоенному числу плоских углов куба.
2.5. Гоуппа симметрий правильного икосаэдра
Попробуем перечислить все элементы симметрии правильного икосаэдра.
Можно убедиться, что правильный икосаэдр J имеет центр, который является его центром симметрии. Пусть О — центр симметрии правильного икосаэдра J (рис. 242). Это означает, что если точка М, — вершина икосаэдра J, то на прямой ОМ,
216
Дополнения
Рис. 242
лежит еще одна его вершина М[ — точка, симметричная вершине Mj относительно центра О.
Так как все грани правильного икосаэдра — равные правильные треугольники, то пирамида является правильной пятиугольной. Поэтому прямая МjO проходит через центр основания этой пирамиды и служит ее осью вращения, а следовательно, осью поворотных симметрий икосаэдра J с углами поворо-
2nk
тов (где А = 1; 2; 3; 4). Правильный икосаэдр имеет 6 5
таких осей поворотных симметрий. Каждая из них проходит через центр О симметрии икосаэдра и, следовательно, является осью зеркально-поворотных симметрий икосаэдра J с такими же углами поворотов.
Пусть Oj — центр правильного треугольника (рис. 242), являющегося гранью икосаэдра J. Тогда правильный треугольник М[М'^М'^, симметричный треугольнику относительно центра О, является также гранью икосаэдра J и имеет своим центром точку 0\ = Sq(Oi). Это означает, что прямая OjOj есть ось поворотных симметрий икосаэдра J с углами поворотов 120° и 240°. Правильный икосаэдр имеет 10 таких осей поворотных симметрий. Каждая из них проходит через центр симметрии О икосаэдра, поэтому является его осью зеркально-поворотных симметрий с такими же углами поворотов.
Кроме того, правильный икосаэдр имеет 15 осей поворотных симметрий с углом поворота 180°, каждая из которых проходит через середины двух его ребер, симметричных относительно центра О.
Плоскость, проходящая через центр О икосаэдра J перпендикулярно одной из его осей симметрии, является плоскостью симметрии этого икосаэдра. Правильный икосаэдр имеет 15 таких плоскостей симметрии.
Учитывая тождественное преобразование, находим, что элементы симметрии правильного икосаэдра определяют
1 -I-6*4 4-6-4 4- 10-2-Ь 10-2-I- 15 + 15-И = 120
217
3. О поверхностях второго порядка
его симметрий, т. е. группа симметрии правильного икосаэдра состоит из 120 самосовмещений. Это число равно удвоенному числу плоских углов правильного икосаэдра.
Так как правильный октаэдр двойственен кубу, а правильный додекаэдр — икосаэдру, то группа симметрий правильного октаэдра содержит 48 самосовмещений, а группа симметрий правильного додекаэдра — 120 самосовмещений. Число 120 вдвое больше числа плоских углов додекаэдра, а число АЪ вдвое больше числа плоских углов правильного октаэдра.
Оказывается, справедлива следующая теорема, которую примем без доказательства.
Теорема. Число элементов группы симметрий правильного многогранника равно удвоенному числу его плоских углов.
3. о поверхностях второго порядка
3.1. Поверхности вращения в координатах
Пусть f(x, у, г) = о — уравнение с переменными х, у, г; Ф — некоторая поверхность (на рис. 243 изображена часть этой поверхности). Из курса 10 класса известно, что уравнение f(x, у, z) = 0 называется уравнением поверхности Ф, если этому уравнению удовлетворяют координаты х, у, г любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты ни какой точки пространства, не принадлежащей поверхности Ф.
Если f{x, у, г) — многочлен, то его степень называют порядком поверхности Ф.
Мы знаем, например, что сфера с центром К(а; Ь\ с) и радиусом Д > о в декартовой прямоугольной системе координат Охуг задается уравнением
(х - а)2 -Г (у - Ь)2 + (г - с)2 = Д2.
Из этого уравнения следует, что сфера — поверхность второго порядка.
Заметим, что уравнение второго порядка может задавать «поверхность», состоящую из двух плоскостей. Например, уравнение ху у^ = 0
Рис.243
218
Дополнения
задает пару пересекающихся плоскостей, одна из которых имеет уравнение у = 0, другая — уравнение х + у = 0.
Если в пространстве некоторая линия у является пересечением двух поверхностей и Ф2 заданных уравнениями /j(x, у, z) = О и f2(x, у, z) = О, то координаты х, у, z любой точки М линии у удовлетворяют каждому из этих уравнений, т. е. удовлетворяют системе уравнений
fi(x, у, z) = О, f^ix, у, Z) = 0.
(1)
В этом случае говорят, что система уравнений (1) задает линию у.
Разрешив уравнения этой системы относительно х viy (если это возможно), получим систему уравнений
X = gi(z),
У = gziz).
(2)
равносильную системе (1), следовательно, задающую ту же самую линию у.
Если линию у вращать вокруг некоторой прямой т, то при этом вращении образуется некоторая поверхность Ф, которую называют поверхностью вращения, а прямую т — осью вращения или осью симметрии этой поверхности (вспомните сферическую и сегментную поверхности).
Для получения уравнения поверхности Ф достаточно выбрать на ней любую точку М(Х; Y; Z) и выразить в координатной
форме свойство, которым обладают только точки М(Х; Y; Z) е Ф; в результате получим уравнение относительно X, У, Z, которое и является искомым уравнением поверхности Ф.
Z) Составим уравнение поверхности Ф, которая образуется вращением вокруг оси Oz линии у, заданной системой уравнений (2). Для этого через произвольную точку М(Х; У; Z) еФ проведем плоскость, перпендикулярную оси Oz, т. е. плоскость z = Z (рис. 244). Эта
3. о поверхностях второго порядка
1
219
плоскость перюсекает поверхность Ф по окружности с центром К(0; 0; Z) на оси вращения Oz, а линию у — в некоторой точке Р(х; у, 2 = Z). Так как КМ = КР, то
Х2 + У2 = х2 + J/2. (3)
Учитывая, что г - Z, имеем для хиув системе (2):
gi(Z),
giiZ).
После подстановки этих значений хиув уравнение (3) получаем искомое уравнение поверхности Ф с осью вращения Oz в виде:
хг + у2 = gf(Z) + gl(Z). (4)
(Обратите внимание: правая часть уравнения (4) есть некоторая функция f переменной Z, т. е. /(Z) = g\{Z) + g\{Z).)
Справедливо обратное утверждение: любое уравнение + + = f (Z) задает поверхность вращения с осью Oz, так как
сечением этой поверхности плоскостью Z = а (а = const) является окружность с центром на оси Oz.
Из сказанного следует: чтобы получить уравнение поверхности, которая образуется вращением вокруг оси Ог линии, заданной системой уравнений (1), достаточно выразить х иу через г, после чего сложить квадраты левых и правых частей полученных равенств.
Аналогично получаются уравнения поверхностей, образованных вращением линии вокруг осей Ох и Оу.
3.2. Поверхности вращения второго порядка
Рассмотрим некоторые поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг своих осей симметрии.
а) Сфера
Пусть окружность радиусом R с центром в начале системы координат Oxyz, расположенная в плоскости Oyz (рис. 245, о), задана системой уравнений:
у2 + ^2 =
X = 0.
220
Дополнения
Рис. 245
Поверхностью, образованной вращением этой окружности вокруг оси Oz, является известная вам сфера {сферическая поверхность) (рис. 245, б).
Уравнение этой сферы
д-2 -J. у2 + j;2 = Д2
(5)
получим после сложения левых и правых частей равенств = д2 _ ^2 и = 0. Уравнение (5) называется каноническим {простейшим) уравнением сферы.
б) Эллипсоид вращения
Из планиметрии известно, что эллипсом называется множество всех точек М плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и F2 той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами (рис. 246, а).
Эллипс с центром в начале координат и осями симметрии
у 2 1/^
Ох и Оу задается каноническим уравнением: -,-1-^=1 (где
а и 6 — длины полуосей эллипса).
Пусть эллипс расположен в плоскости Oyz и задан системой уравнений:
+ — = 1
х = 0.
(6)
221
3. О поверхностях второго порядка
Рис. 246
Поверхность, образованная вращением эллипса вокруг его оси симметрии, называется эллипсоидом вращения.
Будем вращать эллипс, заданный системой уравнений (6), вокруг оси Ог. Чтобы получить уравнение образованного при этом эллипсоида вращения (рис. 246, б), из первого уравнения
системы (6) находим Тогда после сложения
этого уравнения и уравнения = О и последующего преобразования получаем искомое уравнение
_ -I- ^ -I- _ = 1 а2 а2 62
(6а)
которое называется каноническим уравнением эллипсоида вращения.
Из уравнения (6а) видно, что любая плоскость z = т (т < Ь), перпендикулярная оси вращения эллипсоида, пересекает его по окружности с центром (0; 0; т) на оси Oz и радиусом
R
в) Параболоид вращения
Из планиметрии известно, что параболой называется множество всех точек М плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой а. называемой директрисой (рис. 247, а) параболы.
Парабола с вершиной в начале системы координат Оху и осью симметрии Ох задается каноническим уравнением:
222
Дополнения
= 2рх, где р — расстояние между фокусом и директрисой. При 2р = 1 парабола имеет уравнение = х.
Поверхность, образованная вращением параболы вокруг ее оси симметрии, называется параболоидом вращения (рис. 247, б). Вершина параболы при этом называется вершиной параболоида вращения.
Парабола, расположенная в координатной плоскости Oyz и имеющая своей вершиной начало координат, а осью симметрии — координатную ось Ог, может быть задана в декартовой прямоугольной системе координат Охуг системой уравнений:
= г.
(7)
[х = 0.
Будем вращать эту параболу вокруг оси Ог. Уравнение
= 2 (7а)
образованного при этом параболоида вращения (рис. 247, б) получим после почленного сложения уравнений
= 2 и х^ = 0.
Уравнение (7а) называется каноническим уравнением параболоида вращения с осью вращения Ог. Из этого уравнения (7а) видно, что любая плоскость, перпендикулярная оси вращения (такая плоскость имеет уравнение г = т, т > 0), пересекает данный параболоид по окружности с центром (0; 0; т)
на оси Ог и радиусом R = Jm.
б)
Рис. 247
223
3. О поверхностях второго порядка
г) Гиперболоиды вращения
Из планиметрии известно, что гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Гипербола с действительной осью Ох и мнимой осью Оу (рис. 248, а) в системе координат Оху задается каноническим
уравнением: ^ =1.
Пусть гипербола расположена в координатной плоскости Oyz и задана системой уравнений:
( _ ^2 ^
< ’ (8)
1 х = 0.
Координатная ось Оу является действительной осью данной гиперболы, а координатная ось Ог — ее мнимой осью.
Если вращать данную 1’иперболу вокру!' ее действительной оси (оси Оу), то получим поверхность, состоящую из двух частей. Эти части называют полостями {или полами), а полученная при этом поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 248, б).
Найдем уравнение этой поверхности.
Из уравнений (8) имеем:
Ьс^ = 0.
Рис. 248
224
Дополнения
После элементарных преобразований получаем искомое уравнение
+ У
«2 /7 2
= 1
(8а)
а‘‘ с‘-
которое называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида вращения с осью Оу.
вокруг ее
Вращая ту же самую гиперболу i
\х = 0
мнимой оси (т. е. вокруг оси Ог), получим поверхность, которая называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 249, а). Рассуждениями, аналогичными предыдущим, получаем каноническое уравнение этого гиперболоида в виде
^ ^ = 1.
(86)
Любая плоскость г = т, перпендикулярная оси вращения однополостного гиперболоида (рис. 249, б), пересекает этот гиперболоид по окружности с центром (0; 0; т) на оси Oz и ради-
усом R
Из выражения для вычисления радиуса
окружности — сечения видно, что самым «узким» сечением нашего гиперболоида является окружность радиуса а. Эта окружность получается при пересечении данного гиперболоида
б)
Рис. 249
1
225
3. О поверхностях второго порядка
плоскостью Z = о и называется горловой окружностью (или горловиной) однополостного гиперболоида.
Если вращать вокруг оси Ог прямую
^ ! =0, а с
(8в)
[ X = а
(эта прямая лежит в плоскости ас = а и не параллельна оси Oz, (см. рис. 249, б), то при этом вращении образуется тот же од-нополостный гиперболоид.
В самом деле, из уравнений (8в) имеем:
|р2= ^ .fl2,
I = а^.
После почленного сложения уравнений этой системы и последующего преобразования полученного уравнения приходим к уравнению
= 1,
совпадающему с уравнением (86), следовательно, задающего тот же самый однополостный гиперболоид.
Но если вращать вокруг оси Ог прямую, заданную системой уравнений
И+?=о,
1 “ (8г)
1 ас = а
(эта прямая также лежит в плоскости ас = а и не параллельна оси Ог, см. рис. 249, б), то при этом вращении вновь образуется однополостный гиперболоид, заданный уравнением (86).
Поверхность, образованную движением прямой, называют линейчатой поверхностью, а прямые, целиком лежащие на этой поверхности, называют ее прямолинейными образующими.
Из сказанного следует, что однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью. При этом: множество всех прямых, образованное движением прямой (8в) представляет собой одну серию прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (86) («полуквадрику»), а множество всех прямых, образованное движением прямой (8г), — другую серию
8 Геометрия. 11 кл. Учебник
226
Дополнения
б)
Рис. 250
прямолинейных образующих этого гиперболоида (вторую «по-лу квадрику»).
Примечательным является тот факт, что любые две образующие разных серий однополостного гиперболоида пересекаются, а любые две его образующие одной серии скрещиваются (рис. 250).
д) Коническая поверхность вращения
Пусть кривая второго порядка состоит из двух пересекающихся в начале координат прямых, расположенных в плоскости Oyz (рис. 251, а), и задана системой уравнений
= 0,
(9)
1 д: = 0.
Если эту пару пересекающихся прямых вращать вокруг оси 02, то получим поверхнот-ь, которая состоит из двух частей, называемых полостями (или полами), а сама поверхность называется конической поверхностью вращения (рис. 251, б). Иногда эту поверхность в целях краткости называют просто конусом вращения.
Из определения конической поверхности следует, что она является линейчатой поверхностью.
Чтобы получить уравнение этой конической поверхности, находим:
( 2 2 = -5 •
Х2 = 0.
3. о поверхностях второго порядка
227
а)
Рис. 251
б)
После почленного сложения уравнений системы и последующего преобразования полученного уравнения приходим к уравнению:
‘*•2 jj2 у2
£, -ь у - L = о. (9а)
которое называется каноническим уравнением конической поверхности вращения с осью вращения Ог.
Если же вращать ту же пару прямых вокруг оси Оу (которая также является их осью симметрии), то получим вновь коническую поверхность вращения, но ее каноническое уравнение имеет другой вид, а именно:
? ^ Р
(96)
а
Обратите внимание! Правая часть канонического уравнения конической поверхности равна нулю, а знак «-» в левой части уравнения «указывает» на ось вращения этой поверхности.
е) Цилиндрическая поверхность вращения
Пусть кривая второго порядка состоит из двух параллельных прямых, лежащих в плоскости Оуг (рис. 252, а), и задана системой уравнений
у^-а^ = О,
X = 0.
(10)
8* Геометрия, 11 кл. Учебник
228
Дополнения
а)
Рис. 252
Если эту пару параллельных прямых вращать вокруг оси Ог (координатная ось Ог является осью симметрии прямых
у-а = 0. х = 0
то порядка
и
w + а = о,
х = 0 которые распадается кривая второ-
у2 - 0^2 = О,
^ = Q )» ТО получим поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью вращения (рис. 252, б). Иногда эту поверхность в целях краткости называют просто цилиндром вращения.
Из определения цилиндрической поверхности следует, что она является линейчатой поверхностью.
у2 = а2, *2 = 0
(10а)
После почленного сложения уравнений системы получаем искомое уравнение этой поверхности
х2 -»-
которое называется каноническим уравнением цилиндрической поверхности вращения с осью вращения Ог.
Если эту же пару параллельных прямых вращать вокруг оси Оу, то получим поверхность второго порядка, состоящую их двух параллельных плоскостей (рис. 253) (иногда говорят, распавшуюся на две параллельные плоскости). Их уравнение имеет вид
у2_а2 = 0. (11)
3. о поверхностях второго порядка
1
229
Уравнение (11) нельзя получить из уравнений (10) по правилу, установленному в п. 1, так как из этих уравнений у не выражается как функция г.
Цилиндрическую поверхность вращения с осью вращения Oz, заданную уравнением (10а), можно получить непрерывным движением прямой, параллельной оси Oz и пересекаю-
„ „ \х^ +
щей расположенную в плоскости Оху окружность <
Эта окружность называется направляющей цилиндрической поверхности.
Таким же образом можно получить другие цилиндрические поверхности. К ним относятся:
— эллиптический цилиндр, направляющей которого служит эллипс. Если образующие эллиптического цилиндра параллельны оси Oz, то его каноническое уравнение имеет вид:
^ ^ = 1
—5 ' т-я
¥
(12)
Изображение этого цилиндра совпадает с изображением цилиндра вращения (см. рис. 252, б);
— параболический цилиндр, направляющей которого служит парабола. Если образующие параболического цилиндра параллельны оси Oz, а парабола расположена в плоскости Оху (рис. 254), то такой цилиндр может быть задан уравнением:
х^ = у\
(13)
— гиперболический цилиндр, направляющей которого служит гипербола. Если образующие гиперболического цилиндра
230
1
Дополнения
параллельны оси Oz, а гипербола расположена в плоскости Оху (рис. 255), то он может быть задан уравнением:
- ^ = 1 а2 62
(14)
Мы получили только канонические {простейшие) уравнения каждой из рассмотренных выше поверхностей второго порядка. Такие уравнения имеют рассмотренные поверхности вследствие частного, наиболее «удобного», их расположения относительно системы координат Охуг. Но если, например, сфера радиусом R = 4 имеет своим центром не начало координат, а точку А(2; -3; -1), то эта сфера задается уравнением
(х - 2)2 + {у + 3)2 + (г + 1)2 = 16,
которое после раскрытия скобок приводится также к уравнению второго порядка
х^ + у^ + 2^ - 4х + 6у + 2г + 2 = 0.
В этом уравнении сферы число членов больше, чем в каноническом ее уравнении (5). Аналогично, каждая из рассмотренных выше поверхностей второго порядка — эллипсоид, параболоид, гиперболоиды, цилиндр и конус, будучи расположенной обш[им образом относительно системы координат Охуг, может быть задана общим уравнением второго порядка относительно переменных х, у, г. Поэтому вводится такое определение.
3. о поверхностях второго порядка
1
231
Поверхностью второго порядка называется множество всех точек М(х; у; г) пространства, координаты х, у, г которых удовлетворяют уравнению
ОцДГ^ + 022^2 + Оздг^ + 2а^2,ху + 2а^зХг + 2а2зуг + 2ui^x +
+ 2024У + 2а^г + 044 = 0.
Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка ^коз4р^^ициентыг ^22^ ^12* ^13^ ^23
одновременно не равны нулю). Так как поверхности второго порядка задаются квадратными уравнениями, то эти поверхности кратко называют квадриками.
3.3. Линии второго порядка как плоские сечения конической поверхности
Пусть дана коническая поверхность вращения с вершиной в точке S и осью вращения а. Из определения конической поверхности следует, что любая плоскость, проходящая через вершину S и ось а конической поверхности, пересекает эту поверхность по двум ее линейным образующим (рис. 256, а), т. е. по кривой второго порядка, распавшейся на две пересекающиеся прямые.
Мы рассмотрим вопрос о пересечении конической поверхности вращения и любой плоскости, не проходящей через вершину этой поверхности. Из опрюделения конической поверх-
а)
Рис. 256
232
Дополнения
ности вргицения следует, что любая плоскость, не проходящая через вершину S и перпендикулярная оси вращения а, пересекает эту коническую поверхность по окружности (рис. 256, б).
Далее мы рассмотрим три принципиально различных возможных расположения секущей плоскости а по отношению к конической поверхности вращения.
а) Плоскость а пересекает все линейные образующие конической поверхности и не перпендикулярна оси вращения а (рис. 257). Докажем, что полученная при этом в сечении конической поверхности кривая I является эллипсом.
Проведем через ось а плоскость, перпендикулярную секущей плоскости а; она пересекает поверхность по двум прямолинейным образующим. Будем считать полученные образующие лежащими в плоскости чертежа, а точки их пересечения с плоскостью а обозначим через ВиТ.
Впишем в угол, образованный этими образующими, две окружности, касающиеся прямой RT. Центры этих окружностей лежат на оси конической поверхности. Пусть одна из окружностей касается прямой RT в точке Fj и линейных образующих в точках Р и Q, а вторая касается прямой RT в точке Fg и линейных образующих — в точках Р' и Q'. При вращении этих окружностей вокруг оси конической поверхности образуются две сферы (I и II), вписанные в эту коническую поверхность (в одну ее полость). Сфера I касается конической поверхности по окружности PQ, а сфера II — по окружности P'Q', которые лежат в параллельных между собой и перпендикулярных оси вращения а плоскостях. Для обеих сфер плоскость а является общей касательной плоскостью с точками касания соответственно F, и Fg.
Рис.257
3. о поверхностях второго порядка
1
233
Проведем теперь через любую точку М линии I прямолинейную образующую SM конической поверхности, и точки пересечения этой образующей с окружностями PQ и P'Q' обозначим соответственно А и В. Далее соединим отрезками точку М с точками f J и f 2- Тогда:
\МА\ = |MFj| (как отрезки касательных прямых, проведенных из точки М к сфере I);
\МВ\ = IMF2I (как отрезки касательных прямых, проведенных из точки М к сфере II).
Получаем: iMFjl + iMfgl = \МА\ + \МВ\ = \АВ\.
Так как плоскости окружностей PQ и P'Q’ перпендикулярны оси вращения конической поверхности, то длина отрезка АВ постоянна для любой линейной образующей, т. е. не зависит от выбора точки М на кривой I. Это означает, что для любой точки М линии I сумма расстояний |MFj| и IMJF2I Д° Двух данных точек Р^ и F2 есть величина постоянная, откуда, в свою очередь, следует, что кривая I — эллипс, что и требовалось доказать. ▼
б) Рассмотрим теперь случай, когда плоскость а параллельна двум линейным образующим конической поверхности вращения.
В этом случае плоскость а пересекает обе полости конической поверхности (рис. 258), и в сечении получается линия I, состоящая, по-видимому, из двух ветвей. Интуитивно можно предположить, что этой линией окажется гипербола. Докажем, что это действительно так.
Как и в предыдущем случае, проведем через ось а плоскость, перпендикулярную секущей плоскости а; она пересекает поверхность по двум прямолинейным образующим. Будем считать полученные образующие лежащими в плоскости чертежа.
Впишем в различные полости конической поверхности две сферы (обозначим их опять I и II) так, чтобы они касались секущей плоскости а в некото-
рых точках и F2. Пусть Р и Q —
Рис. 258
234
1
Дополнения
ТОЧКИ касания сферы I с прямолинейными образующими, лежащими в плоскости чертежа, аР' и Q' — точки касания сферы II с этими образующими. Тогда сфера I касается конической поверхности по окружности PQ, а сфера II — по окружности P'Q', которые лежат в параллельных между собой и перпендикулярных оси вращения а плоскостях.
Проведем теперь через любую точку М линии I прямолинейную образующую SM конической поверхности, и точки пересечения этой образующей с окружностями PQ и P'Q' обозначим соответственно А и В. Соединив отрезками точку М с точками jPj и F2, имеем:
\МА\ — |MFj| (как отрезки касательных прямых, проведенных из точки М к сфере I);
\-МВ\ — iMFgl (как отрезки касательных прямых, проведенных из точки М к сфере II).
Получаем:
WMF^l - |MFJ = ||МВ| - \МА\\ = \АВ\.
Так как плоскости окружностей PQ и P'Q' перпендикулярны оси вращения конической поверхности, то длина отрезка АВ, расположенного на образующей конуса, постоянна для любой его образующей, т. е. не зависит от выбора точки М на линии I. Это означает, что для любой точки М линии I модуль разности расстояний |Mf2l и |MFj| до двух данных точек F^ и F2 есть величина постоянная, следовательно, кривая I — гипербола, что и требовалось доказать. Т
в) Рассмотрим третий случай, когда секущая плоскость а параллельна одной из образующих (обозначим ее SX) конической поверхности вращения (рис. 259). В этом случае плоскость а перпендикулярна плоскости, проходящей через образующую SX и ось а конуса, а линия I пересечения плоскости а и конической поверхности состоит из одной ветви, простирающейся в бесконечность. Покажем, что эта линия является параболой.
Впишем в коническую поверхность сферу, касающуюся плоскости а в некоторой точке F. Плоскость р окружности соприкосновения со этой сферы и конической поверхности перпендикулярна оси а конуса и пересекает плоскость а по прямой KL.
235
3. О поверхностях второго порядка
Проведем через любую точку М линии I образующую конической поверхности и обозначим через Р точку ее касания со сферой (точка Р лежит на окружности (о). Тогда |MF| = \МР\
(как отрезки касательных к сфере, проведенных из точки М). Далее проведем плоскость 5 через точку М параллельно плоскости р, в которой лежит окружность (О, и обозначим точки пересечения данной образующей SX с плоскостями
Р и 6 соответственной иВ (А = SX п со). Тогда |АВ| = \МР\ (как длины отрезков образующих конической поверхности, заключенных между плоскостями, перпендикулярными к оси этой поверхности). Плоскость, проходящая через образующую SX перпендикулярно плоскости а, пересекает эту плсюкость по прямой DE, параллельной АВ и перпендикулярной прямой KL. Причем |П£| = |АВ| (как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями). Если теперь провести в плоскости а перпендикуляр МС из точки М на прямую KL, то он будет параллелен и равен DE: \МС\ — |ПЕ|. Тогда получаем:
\МС\ = \DE\ = |АВ| = \МР\.
Учитывая, что \МЕ\ = |МР|, приходим к выводу: |MF| = \МС\. Из этого равенства следует, что точка М независимо от ее положения на линии I одинаково удалена от точки F и от прямой KL, следовательно, линия I является параболой, что и требовалось доказать. Т
На рисунке 260 изображены все возможные виды плоских сечений конической поверхности.
Таким образом, изученные вами в планиметрии кривые второго порядка являются различными плоскими сечениями ко-
236
Дополнения
а)
<0
в)
г)
д)
нической поверхности вращения, поэтому их называют коническими сечениями, а для краткости — просто кониками. При этом окружность, эллипс, гиперболу и параболу называют собственными или невырожденными коническими сечениями (невырожденными кониками). Они обладают многими интересными и красивыми свойствами, о которых вы узнаете в высшей школе.
4. О векторном произведении двух векторов
Предпошлем определению векторного произведения двух векторов ряд необходимых в дальнейшем понятий.
Три некомпланарных вектора будем называть упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из них является первым, какой — вторым и какой — третьим.
Записывая упорядоченную тройку векторюв, мы будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись аЬс означает, что первыми элементом тройки является вектор а, вторым — вектор Ь и третьим — вектор с. Таким обра-
4. О векторной произведении двух векторов
237
Рис. 261
зом, аЬс и Ьас — две различные упорядоченные тройки векторов.
В дальнейшем мы будем рассматривать только упорядоченные тройки векторов, поэтому слово «упорядоченная* будем опускать и говорить просто «тройка векторов*.
Определение. Тройка некомпланарных векторов аЬе называется правой, если выполнено одно из следующих трех условий;
1. Если после приведения всех трех векторов к общему началу кратчайший поворот от а к Ь мы видим из конца вектора с совершающимся против часовой стрелки (рис. 261, а).
2. Если, находясь внутри трехгранного угла, определяемого приведенными к общему началу векторами а, Ь, с, мы видим поворот от а к Ь и от него к с совершающимся против часовой стрелки (рис. 261, б).
3. Если, будучи приведенными к общему началу, векторы а.Ьис располагаются так, как могут быть расположены большой (а), указательный (6) и средний (с) пальцы правой руки (рис. 261, в).
Вы можете легко проверить эквивалентность условий один, два и три.
Если кратчайший поворот от а к упомянутый в условиях 1 и 2, мы видим из конца вектора с совершающимся по часовой стрелке (рис. 262, а, б), то тройка некомпланарных векторов аЬс называется левой", также тройка некомпланарных векторов аЬс называется левой, если, будучи приведенными к общему началу, векторы а,Ьис располагаются так, как мо-
238
Дополнения
в)
гут быть расположены большой (а), указательный (б) и средний (с) пальцы левой руки (рис. 262, в). Вы можете легко убедиться в эквивалентности всех трех определений левой тройки некомпланарных векторов.
Заметим, что для компланарных векторов понятие правой (левой) тройки смысла не имеет.
Бели две тройки векторов обе правые (обе левые), то говорят, что эти тройки имеют одинаковую ориентацию (тройки одной ориентации). Если же из двух троек векторов одна — правая, а другая — левая, то говорят, что эти тройки имеют противоположную ориентацию (тройки противоположной ориентации). Например, тройки векторов аЬс и Ьса имеют одинаковую ориентацию, а тройки сЬа и аЬс — тройки противоположной ориентации (убедитесь в этом с помоп^ью рисунка).
Из трех векторов а, Ь, с можно составить лишь следующие шесть троек: аЬс, Ьса, cab, Ъас, асЬ, сЬа. Вы можете убедиться, что если первые три тройки правые, то остальные три тройки левые.
Заметим, что тройка векторов г, k декартова прямоугольного базиса (ортонормированного репера) трехмерного векторного пространства является правой, если кратчайший поворот от i к j наблюдается из конца вектора k против часовой стрелки, и является левой, если кратчайший поворот от i к у наблюдается из конца вектора k по часовой стрелке. В нашем учебнике тройка векторов i, j, k предполагается правой.
Теперь введем определение векторного произведения двух векторов.
239
4. О векторном произведении двух векторов
Определение. Если ненулевые векторы а и Ь некол-линеарны, то векторным произведением вектора а на вектор Ь называется такой третий вектор с, обозначаемый символом а X Ь и определяемый следующими тремя условиями:
1) модуль вектора с равен произведению модулей векторов а и 6 на синус угла ф между ними, т. е.
|с| = |а X б| = |а| • |б| • sin ф; (*)
2) вектор с перпендикулярен каждому из векторов а и Ь;
3) вектор с направлен так, что тройка векторов аЬс является правой (рис. 263).
Если векторы а и Ь коллинеарны, то по определению их векторное произведение полагают равным О (нуль-вектору).
Свойства векторного произведения
1. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов а п Ь численно равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах 3 и Ь, как на сторонах (рис. 264).
Справедливость этого утверждения основана на том, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними, что, в свою очередь, следует непосредственно из условия (*): |с| = |а х Ь| = |а| • [fel sin ф в определении векторного произведения векторов аи Ь.
ахЬ
а)
б)
Рис. 263
240
Дополнения
Рис. 264
2. а У. Ь = -{Ь X а) (свойство антиперестановочности сомножителей).
Для доказательства этого свойства обозначим: р = а уЬ, q =
= Ь у а. Если а||б, тор = g = О и свойство доказано. Если векторы а и Ь неколлинеарны (рис. 265), то: 1) |р! = |д|; 2) векторы р = а уЬ ид = Ь у а коллинеарны, так как каждый из них перпендикулярен плоскости, определяемой векторами аиЬ, приведенными к общему началу. Тогда либо p = q, либо р = -q. Если бы имело место р = q. то обе тройки векторов аЬр и bap были бы правыми, что невозможно, так как эти тройки противоположной ориентации. Значит, остается р = -q, а это означает: а х 6 = -(6 х а), что и требовалось доказать. Т
3. (т • о) X 5 = m • (а X Ь) (сочетательное свойство относительно числового (скалярного) множителя).
Для доказательства этого свойства обозначим р = (/п • а) х б ид = т'(а у Ь) и рассмотрим случгп!.
а) Если векторы а иЬ коллинеарны, то вследствие коллинеарности векторов т'йиа, векторы т'ОиЬ также коллинеарны. Тогда на основани!^ определения векторного произведения имеем: (т • а) х Ь = О и /п • (о х &)= О, т. е. р = (т • а) х б = - т'(а уЬ) = д.
б) Если т =0, тот*а = 0и тогда р = (т*а)х& = 0х& = 0 (вектор О коллинеарен любому вектору). Обозначим а уЬ = с, тогда т*(а X &) = 0*с = 0. Опять получили: р = (т-а) у Ь = = m • (а X Ь) = $.
241
4. О векторном произведении двух векторов
Рис. 266
в) Если векторы аиЬ неколлинеарны и m О, то неколлине-арны и векторы т-анЬ. Обозначим: а = Z(а; &), р = Z{та; Ь). Тогда
|р| = |(/па)| • |Ь| sin р = |/п| • |а| *J&1 sin Р; |gl = |7п| • |а х &| =
= \т\• |aj* |Ь| ‘sin а.
Учитывая, что а = Р при т > О (рис. 266, а) и а + р = л при т <0 (рис. 266, <У), приходим к выводу, что sin р = sin а. Это означает, что и при m > О, и при m < О длины векторов рид равны.
Осталось доказать, что векторы рид коллинеарны и сонап-равлены.
Коллинеарность этих векторов следует из того, что если вектор д перпендикулярен плоскости, которой компланарны векторы а и & (рис. 266, в), то этот вектор перпендикулярен и плоскости, которой компланарны векторы та и Ь. так как та II а. Но этой плоскости перпендикулярен и вектор р. Значит, р\\д.
И, наконец, докажем, что^р tt д. Если m > О, то т*а ТТ а, значит, (а х Ь) tt (m*a) х &. А так как /п*(а х &) tt (ах Ь) при /га > О, то /п • (а X Ь) tt (/га • а) х Ь, т. е. р tt д. Если /га < О, то /га • а Па , значит, (а X 6) tt ^/га • а) X S. А так как /га • (а х 6) tt tt (о X S) при /га < о, то /га • (а X Ь) tt (/га * а) X Ь, т. е. р tt д.
Таким образом, и при /га > О, и при /га < О, имеем: |р| = I?! и р tt д. Это означает: р = д, т. е. (/га • а) х Ь = /га • (а х Ь), что и требовалось доказать. ▼
4. (а + Ь)хс = ахс-<-&хс (свойство распределительности векторного произведения относительно сложения векторов).
242
Дополнения
Прежде чем доказывать это свойство векторного произведения векторов, рассмотрим следующий интересный и полезный в дальнейшем геометрический факт.
Пусть неколлинеарные векторы а иЬ приведены к общему
началу О: ОА = а, О В = Ь, Z (а; 6) = ф; а — плоскость, проходящая через точку О перпендикулярно вектору Ь (рис. 267).
Спроектируем ортогонально вектор а на плоскость а и полученный вектор 3j повернем в плоскости а вокруг точки О на угол 90° так, чтобы этот поворот наблюдался из конца вектора Ь происходящим по часовой стрелке. Получим вектор Sg, для которого: а) logl = laj = |5| • sin ф; б) Og X о, 3g JL Ь; в) векторы а, Ь, 5g образуют правую тройку. Умножив, далее, вектор Cg на число, равное модулю вектора Ь, получим такой вектор З3, что logl = |ag|*|b| = |a|*|b|’sin ф. Так как, кроме того, Зд tt 3g, то ЗЬЗд — правая тройка векторов и Зд X 3, Зд X Ь. Это означает, что вектор Зд равен векторному произведению векторов 3 и Ь, т. е. Зд = 3 X Ь.
Докажем теперь свойство (3 + 6)хс = Зхс + Ьхс векторного
произведения векторов, для чего отложим векторы ОА = 3,
ОВ = Ь, ОС = с, ОР = р = а + Ь от точки О и ортогонально спроектируем их на плоскость 5, перпендикулярную вектору с. При этом параллелограмм ОАРВ проектируется в такой параллелограмм ОуА^Р^В^ (рис. 268), что для векторов
3j = OjAi, bj = OiBi, Pi = OiPi. являющихся ортогональными проекциями соответственно векторов 3, Ь, р, выполняется:
+ bi = Pi
и а,
|3|*sina, |bi| = |b|*sinp, IpJ = l^’siny.
где a = Z (3; c), p = Z (b; c), у = Z (p; c).
Далее рассмотрим такой поворот пространства вокруг прямой OiC на угол 90°, при котором индуцируемый в плоскости 5 поворот вокруг точки О наблюдается из точки С совершающимся по часовой стрелке. Этот поворот отображает паралле-
243
Рис. 268
лограмм OiAjPjBi на параллелограмм 0]А2Р2^2’ ® каждый из
векторов 6j, pj — на перпендикулярный ему и равный по
модулю соответственно вектор Cg, &2> Рг- Умножив каждый из
этих векторов на |с|, получим соответственно такие векторы
----» - ------» ^ ----->
Од = OjAg, 63 = О1В3. Р = OiPg, ЧТО!
1) IS3I = Icgl • |с| = loiI • |с| = (|а| • sin а) • |с| = |с| • |с| • sin а; аналогично, |Ьд| = |Ь| • |с| • sin Р; |pgl = |р| • |с| • sin у;
2) Сд J. а. Од ± с; Sg J. &, 63 I. с; Рд J. р, Рз J. с;
3) тройки векторов а с Сд, Ь с Ьд и р с правые.
Это означает, что Од = а х с, 6д = ft х с и рд = р х с = (а + ft) х с.
----> -----» ------»
Так как в параллелограмме OjAgPgBg OjPg = OjAg + О1В3, то получаем (a+&)xc = axc + ftxc, что и требовалось доказать. Т
5. Для любого вектора й справедливо 3x^ = 0, так как любой вектор коллинеарен сам с собой.
244
Дополнения
Выражение векторного произведения в декартовых координатах
Векторное произведение ахЬ двух векторов а и Ь есть вектор, координаты которого нужно уметь находить, если известны координаты векторов сомножителей аиЬ.
Предварительно найдем всевозможные векторные произведения базисных векторов i, j,k.
Из определения векторного произведения, учитывая, что векторы i, j, k попарно взаим-, но перпендикулярны (рис. 269) и являются _____J единичными, имеем:
Рис. 269
ix.j = k, jxk = i,kxi = j,
-* -» -* -* ■* -* j i = -k, i X ft =" -j. ft xy = -j.
Теперь наймем координаты векторного произведения а х 6 векторов а и Ь, заданных в декартовом прямоугольном базисе (i; у; ft) своими координатами: Bix^; у^; г^), i/gJ ?z) ^-^9 ® вид^разложения по базисным векторам i, у, ft: 5 = Xji -I- yj -I-+ 2jft, b = Xgi + l/g/ ^2^'
Принимая BO внимбшие свойства векторного произведения векторов, используя соотношения (**) и учитывая, что тройка базисных векторов i у ft является правой, находим:
ВуЬ = (x^i -f- yJ -f Zjft) X (jfgi + yJ + 2gft) = (XjXg) • (/ X i) +
+ (ЗС1У2) * (J + (XiZz) • (i X ft) + (i/jXg) *0x0 + (У1У2) * 0 X y) +
+ (Ух^г) • (} X ft) -I- (ZjXg) • (ft X i) -I- (ZiJ/g) • (ft X y) -I- (ZjZg) • (ft x ft) = = (XjXg) • 6 + (X1I/2) • * + (*i22> • (~b + (У1Х2) • (-*) + (У1У2)' 0 +
+ (Ух^а) • i + (2iXg) • у + (г^уг) * И) + (^x^j) • б - (y^Zj - ygZx) * i +
-I- (ZjXg - XjZj) • j + (Х1У2 “ ^2Ух) * *•
Таким образом, векторное произведение а хЬ = с векторов a(Xi, у^; Zj) и ^(Xg; yg; Zg) имеет координаты:
а X ft = c(i/iZg - ygZi; z^Xg - XjZg; x^y^ - Xgi/^).
H) Таблица составленная из четырех чисел а, b, с w. d,
называется квадратной матрицей второго порядка. Числа a,b,cvid называются элементами матрицы, при этом числа а и ft называются элементами первой строки, числа end —
245
4. О векторном произведении двух векторов
элементами второй строки; числа а и с — элементами первого столбца, числа bud — элементами второго столбца; числаaad — элементами главной диагонали определителя.
Определение. Число а * d - Ь * с называется определителем (или детерминантом) матрицы и обозна-
а Ь
чается так:
с d
Из определения видно, что определитель матрицы равен разности произведений чисел and главной диагонали и
а Ы
чисел бис второй диагонали определителя, т, е. - Ь‘с.
3 -4
с d\
= a'd -
Например,
1 -2
3*(-2)- 1-(-4) = -2.
Тогда координатами X = - г/2^1, У = Z =
= х^у2 - Х2У1 векторного произведения ахЬ = с(Х; Y; Z) векторов а(х^; у^; г,) и Ь(х2; Уг? Zg) являются определители второго порядка, составленные из координат векторов — сомножителей. Действительно,
У1
Уг ^2
У1
X = yjZg -
; У = Z1X2 - х^22
^ = Х1У2 - ЧУ1 =
Таким образом,
ахЬ = с
хг Уг
' У1 Zi Zj Xi ^1 У1 '
ч Уг ^2 ♦ 9 X2 Уг >
или в виде разложения по базису i '] к имеем:
ахЬ = с
У\ Zi Xi xy У1
с = Уг ^2 •i + Z2 Xz V + X2 У2
• к.
Ш ЗАДАЧА. Найдем, например, площадь параллелограмма, построенного на приведенн^ых к общему началу векторах a = 2i-f + 3j - 5к иЬ = i - 2] 4к, как на сторонах.
246
i
Дополнения
Решение. Так как площадь S параллелограмма, построенного на векторах а и 6, как на сторонах, равна модулю векторного произведения а хЬ, то найдем |а х &|. Имеем
ахЬ =
3 -5 -5 2 2 3
-2 4 • i + 4 1 •у + 1 -2
* = (3*4-(- 2)-(-5))*i +
+ ((-5) • 1 - 4 • 2) •; + (2 • (-2) - 1 • 3) • ft = 2i - 13/ - 7*.
откуда |а X b| = + (-13)^ + (-7)^ = J222 . Значит, искомая
площадь S параллелограмма равна V222 . US
В высшей школе вы подробнее познакомитесь с векторным произведением и его приложениями в естественных нау-Kajc. Кроме того вам расскажут и о смешанном произведении {аЬс) = (а хЬ)’С векторов а, Ь и с, его свойствах и приложениях.
Самостоятельно решите следуюнще задачи
1. Найдите площадь треугольника с вершинами А(1; 1; 1), В(2; 3; 4), С(4; 3; 2). (Ответ; .)
2. На векторах а(4; 6; 2) и &(-2; 2; 4) построен треугольник. Найдите его площадь и высоты. (Ответ: S = 18,75; ftj =
= *2= *3 = 572.)
3. Найдите площадь паралле.тограмма, построенного на векторах а + ЗЬ иЗа + Ь, если |а| = |б| = 1, Z (а; Ь) = 30°. (Ответ: 4.)
4. Дан треугольник АВС площади S. Докажите, что площадь треугольника, сторонами которого являются медианы
3 о
данного треугольника, равна - S.
4
5. О различных ветвях геометрии
Более 2000 лет под геометрией подразумевалась лишь евклидова геометрия. Затем обнаружили, что для описания физического, реального пространства с не меньшим успехом могут служить другие геометрии.
Классическое определение геометрии гласит, что геометрия (греческое, от слов (в латинском алфавите) ge — земля и те-trein — измерять) — это наука о пространстве, точнее — нау-
247
5. О различных ветвях геометрии
ка о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают действительные тела.
Однако современная геометрия многими своими ветвями выходит далеко за пределы такого ее определения. При этом развитие геометрии привело, в свою очередь, к развитию понятия о пространстве: пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами (и не только геометрами), и уже не может служить первичным понятием, на котором строится определение геометрии, а, напротив, в ходе развития современной математики становится понятием определяемым (например, векторное пространство, метрическое пространство, топологическое пространство, пространство всех многочленов степени не выше п).
В настоящее время различают геометрии: элементарную, аналитическую, дифференциальную, проективную, начертательную, алгебраическую, топологию и т. д. Кроме того, геометрия может быть евклидовой и неевклидовой. О некоторых из этих частей современной геометрии, которые мы будем называть ее ветвями, и пойдет наш дальнейший разговор.
В нашем учебнике не представляется необходимым изложение материала, изучаемого в различных ветвях геометрии. Мы дадим лишь краткий обзор развития и становления некоторых из названных ветвей геометрии и попробуем в доступном виде дать представление о том, что этими науками изучается. Со многими из них вы в той или иной форме встретитесь в высшей школе.
В 1872 г. в Эрлангенском университете (Германия) великий немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925) в своей лекции, вошедшей в историю развития математики под названием ♦Эрлангенская программа», высказал единый подход к определению той или иной геометрии (геометрической системы) с позиции группы преобразований: предметом любой геометрии является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся при преобразованиях определенного вида.
Итак, ветви геометрии.
5.1. Об элементарной геометрии
В разделе «Симметрии правильных многогранников» данного учебника говорится, что множество всех движений евклидова пространства образует группу — группу движений. Мы знаем.
248
Дополнения
ЧТО основным инвариантом движении является расстояние между точками: при любом движении любая фигура отображается на равную ей фигуру. Те свойства фигуры, которые сохраняются при движениях, называют евклидовыми свойствами этой фигуры. Иначе говоря, равные фигуры обладают одинаковыми евклидовыми свойствами.
Предметом элементарной («школьной») геометрии является изучение евклидовых свойств фигур, т. е. тех их свойств, которые сохраняются при различных движениях, а также тех свойств, которые сохраняются при подобных преобразованиях евклидова пространства. Эту геометрию и называют евклидовой или элементарной геометрией (хотя она весьма и весьма не элементарна!).
Евклидову (элементарную) геометрию можно определить и с аксиоматической точки зрения. Первым источником, содержащим изложение аксиоматического построения элементарной геометрии, являлись «Начала* древнегреческого математика Евклида (конец IV — начало III в. до н. э.), имя которого и носит элементарная геометрия. Полную же, независимую и непротиворечивую систему аксиом евклидовой геометрии изложил великий немецкий математик Давид Гильберт (1862— 1943) в своей книге «GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE* (Leipzig und Berlin, 1930); ее русский перевод — «ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ* вышел в свет в 1948 г. в Москве. Эта система аксиом изложена в разделе «Об аксиоматическом построении геометрии* в конце нашего учебника.
Существуют и другие аксиоматические построения евклидовой геометрии.
Но до аксиоматического построения элементарной геометрии (система аксиом Гильберта) и до групповой точки зрения (теория Клейна) на предмет геометрии (в том числе и на элементарную геометрию) происходило многовековое накопление геометрического материала.
Родиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и Египет. При этом развитие математических знаний арифметики и геометрии в странах древнего мира было вызвано нуждами земледелия, ремесел, строительства, торговли, мореплавания и военного дела.
Но в Древнем Египте геометрические познания оставались достоянием замкнутой касты жрецов. Зачатки геометрических знаний египтяне передали грекам.
5. О различных ветвях геометрии
249
Пифагор Самосский
(564—473 гг. до н. э.)
В период от VI до III в. до я. э. в Греции установилась элементарная геометрия — научная теория, созданная человечеством. Это важнейшее событие оказало огромное влияние на прогресс математики и всего точного естествознания. Появление геометрии в Греции можно отнести уже к концу VII в. до н. э. и связать с именем Фалеса Милетского (639—548 гг. до н. э.).
Известно, что Фалес в молодости много путешествовал по Египту, общался с египетскими жрецами и многому научился, в том числе и геометрии. Возвратившись на родину, Фалес поселился в Милете. Здесь он посвятил себя занятиям наукой, и, окруженный своими учениками, создал так называемую Ионийскую школу. Фалесу принадлежат первые доказательства утверждений о том, что: вертикальные углы равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Фалесу были известны некоторые из теорем о параллельных прямых (теорема Фалеса и др.). Греческий философ Прокл (ок. 410—485 гг. до н. э.) приписывает Фалесу теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника.
Наряду с накоплением геометрического материала, наиболее важным для Ионийской школы является изменение характера геометрических исследований. Ионийская школа, возглавляемая Фалесом, в условиях быстро развивающейся архитектуры, мореплавания, гражданской и военной техники, в условиях развертывающихся исследований в области астрономии, физики, механики, требовавших точных измерений, придала геометрии теоретический характер и сделала ее предметом исследования, в котором наряду с интуицией видную роль начинает играть и абстрактная логика.
Большое развитие элементарная геометрия получила в древнегреческой школе, основанной Пифагором Самосским (564—473 гг. до н. э.). В этой школе геометрия превращается в абстрактную науку: систематически исследуются все свойства изучаемых фигур, а не только те, которые были необходимы для практических целей; используются все следствия, вытекающие из теоремы Пифагора, в частности, свойства катетов прямоугольного треугольника и перпендикуляра, опу-
250
Дополнения
Платон
(422—347 гг. до н. э.)
щенного из вершины прямого угла на гипотенузу. Ученые пифагорейской школы установили, что диагональ квадрата со стороной, равной единице, не может быть выражена каким бы то ни было рациональным числом. Оказалось, что существуют «несоизмеримые отрезки*.
В дальнейшем абстрактно-логический характер развития элементарной геометрии наблюдается у Платона (422—
347 гг. до н. э.) и его ученика Аристотеля (384—322 гг. до н. э.), и в Александрийской школе находит свое завершение. Была создана наука, широкая по замыслу, богатая фактическим материа-лом и, несмотря на абстрактный характер, дающая ряд чрезвычайно важных практических применений. Более того, можно сказать, что именно в абстрактной структуре, которую получила геометрия в трудах греческих ученых с VI по III в. до н. э., и коренится возможность ее многообразного конкретного использования. В результате самое слово «геометрия* начинает терять свое первоначальное значение — измерение земли: уже Аристотель для измерения земли ввел новый термин — геодезия.
В Древней Греции еще в V в. до н. э. была известна следующая «делосская* легенда. Однажды на острове Делос возникла эпидемия чумы. Оракул возвестил жителям острова, что они избавятся от чумы, если вместо кубического жертвенника, посвященного Аполлону, построят новый кубический жертвенник, но по объему вдвое больший старого. Для решения этой задачи требовалось с помощью только циркуля и линейки построить (найти) ребро нового куба. Однако математики древности, естественно, не могли найти решения этой задачи, вошедшей в историю как задача об удвоении куба. Ее неразрешимость с помощью только циркуля и линейки была доказана значительно позднее.
Математики древности также не могли найти решения задачи о трисекции угла, в которой с помощью только циркуля и линейки требуется разделить на три равные части произвольный плоский угол. Неразрешимость этой задачи с помощью только циркуля и линейки была доказана также значительно позднее.
5. О различных ветвях геометрии
251
Евклид
(422—347 гг. до н. э.)
К неразрешимым относится и задача о квадратуре круга. Эта знаменитая задача была известна древним грекам и заключается в том, чтобы с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий данному кругу.
В трудах греческих ученых — Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита,
Аристотеля, Евдокса Книдского, Менех-ма и др. устанавливается и систематизируется накопленный фактический материал классической (элементарной) геометрии.
Уже около IV в. до н. э. начали появляться сочинения, цель которых состояла в систематизации накопленного к тому времени элементарно-геометрического материала. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они были забыты после появления замечательного пособия по геометрии — «Начала» Евклида (конец IV — начало III в. до н. э.), служившего в течение двух тысячелетий учебником, по которому обучались геометрии все: юные и взрослые. «Начала» Евкли-да — образец греческой научной геометрии — написаны в III в. до н. э. и состоят из 13 книг.
Евклид жил в Александрии в эпоху, когда там образовался наиболее крупный центр греческой научной мысли. Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему изложения материала, которой руководствовались при обучении элементарной геометрии в течение почти двух тысячелетий.
Изложение геометрии Евклид начинает с определения основных геометрических объектов (понятий): точка, прямая, плоскость. Затем он вводит аксиомы и постулаты — основные предложения, принимаемые без доказательства, после чего следуют теоремы плоской и пространственной геометрии (планиметрии и стереометрии), в которых формулируются различные свойства плоских и пространственных фигур (многоугольников, окружности и круга, прямых и плоскостей в пространстве, многогранников, сферы, конуса, цилиндра и др.). При этом каждая теорема доказывается на основании введенных ранее определений, аксиом (постулатов) и также ранее установленных и доказанных теорем. Эта форма логической
252
Дополнения
последовательности умозаключении позднее была названа дедуктивным методом изложения геометрии. Такой метод позволяет с полной достоверностью обнаруживать новые геометрические факты.
«Начала» Евклида до нашего времени (с некоторым уточнением основных понятий и аксиом) составляют основу элементарной («школьной*) евклидовой геометрии, как мы ее понимаем в настоящее время.
После «Начал» Евклида греческая математика получила дальнейшее развитие в работах величайшего математика и механика Архимеда (ок. 287—212 гг. до н. э.) и Аполлония (конец III — начало II в. до н. э.).
В сочинении «О шаре и цилиндре» Архимед впервые опубликовал полученные им следующие результаты: площадь поверхности шара равна четырехкратной площади его большого круга; объем цилиндра, описанного около шара, в 1,5 раза больше объема этого шара; площадь полной поверхности этого цилиндра также в 1,5 раза больше площади поверхности вписанного в него шара. Ученый очень гордился этими открытиями и, согласно завещанию, на могильной плите был изображен цилиндр с вписанным в него шаром, а в надписи на плите говорилось, что объемы этих тел относятся как 3:2.
Аполлоний глубоко исследовал конические сечения — кривые, которые представляют собой различные плоские сечения конической поверхности вращения.
Одним из основных положений элементарной геометрии является следующее: свойства геометрических фигур не зависят от их положения в пространстве. Геометрические свойства фигур, изучаемые в элементарной геометрии, не зависят также и от размеров этих фигур, так как все соотношения, например, между сторонами данного треугольника, будут сохраняться, если его подвергнуть подобному преобразованию. Поэтому мы можем сказать, что в элементарной геометрии или, точнее, в метрической геометрии, изучаются те свойства фигур, которые остаются неизменными при всех движениях этих фигур в пространстве, а также при всех подобных преобразованиях евклидова пространства. Именно такой вывод
5. О различных ветвях геометрии
1
253
О предмете элементарной геометрии и следует, исходя из «Эр-лангенской программы» Ф. Клейна.
«Начала» Евклида были основой и для замечательного школьного учебника «Геометрия» Андрея Петровича Киселева (1852—1940), служащего для обучения российских школьников с конца XIX в. и до наших дней.
Большой вклад в изучение элементарной геометрии в современной России внесли А. Д. Александров, Л. С. Атанасян, В. Г. Болтянский, А. Н. Колмогоров, А. В. Погорелов, 3. А. Скопец, И. М. Яглом и многие другие.
Особо мы хотим выделить учебники и задачники И. Ф. Ша-рыгина, отличающиеся красотой и самобытностью изложения материала и замечательными задачами.
5.2. Об аналитической геометрии
Аналитическая геометрия является той ветвью геометрии, в которой геометрические фигуры «изображаются» на основе метода координат средствами алгебры — алгебраическими уравнениями или неравенствами.
Метод построения геометрии у Евклида позже характеризовали словами «geometriam geometrice» — строить геометрию исключительно геометрическими средствами. Такой метод построения геометрии называется синтетическим, а геометрию, построенвсую синтетическим методом, называют синтетической геометрией.
Предметом геометрии является изучение свойств геометрических фигур. А геометрическая фигура может состоять из одной точки или нескольких точек, может представлять собой линию, поверхность или тело. Древние греки уже изучали окружность, эллипс, гиперболу и параболу как сечения конической поверхности вращения различными плоскостями (см. «Элементарная геометрия»). Теория конических сечений Аполлония Пергского (III в. до н. э.), предвосхитившая идеи аналитической геометрии, и поныне является одной из важнейших тем аналитической геометрии.
Но математики того периода не знали, что эти линии являются кривыми второго порядка: они и не могли этого знать, так как не было ни совершенной буквенной символики, ни метода координат. По той же причине, будучи знакомы со сферической, цилиндрической и конической поверхностями.
254
Дополнения
Рене Декарт
(1596-1650)
С такими поверхностями вращения, как эллипсоид, параболоид и гиперболоиды, они не могли знать, что все эти поверхности также являются поверхностями второго порядка.
Свойства этих кривых и поверхностей исследовались синтетическим методом.
Основным препятствием дальнейшего развития геометрии было отсутствие общих методов геометрического исследования.
К кривым и поверхностям математическая наука вернулась только в XVII в., заменив синтетический метод исследования их свойств на метод, основанный на применениях алгебры, метода анализа и метода координат, поэтому геометрию стали называть аналитической геометрией, хотя ее можно было бы назвать и координатной геометрией.
Отцами аналитической геометрии были французские ученые — философ, физик и математик Рене Декарт (1596— 1650) и математик Пьер де Ферма (1601—1665).
Рене Декарт происходил из знатного рода. Непоседливый по натуре, он поступил в армию, много путешествовал по Западной Европе, побывал в Италии, в то время прославившейся научными исследованиями Галилео Галилея (1564—1642) и его учеников.
В 1628 г. Декарт переехал в Голландию. Большой заслугой Декарта было введение в математику переменной величины, создание более удачной символики, установление тесной связи алгебры с геометрией.
В 1649 г. Декарт выехал в Швецию по приглашению шведской королевы Христины. В 1650 г. он заболел опасной формой воспаления легких и умер.
Пьер де Ферма родился в большом родовом имении на юге Франции, возле Тулузы. Детство он провел с родителями, а учиться поехал в Тулузу. Получив юридическое образование, он вскоре зачисляется советником Тулузского парламента. Ферма писал отличные стихи на французском, итальянском, латинском и испанском языках. Свободное от работы время Ферма заполнял чтением математических трудов, занятиями математикой: он был не просто любителем, он обладал выдаю-
5. О различных ветвях геометрии
255
Пьер де Ферма
(1601 — 1665)
щимся творческим даром, огромной силой мысли и образованностью, поэтому наиболее крупные математики-современники охотно с ним переписывались. Свои математические исследования Ферма излагал на отдельных листах или на полях математических книг, а также в переписке с друзьями. Всю свою жизнь он провел в Тулузе, где и скончался.
Пользуясь буквенной символикой, введенной французским ученым Франсуа Виетом (1540—1603), Декарт и Ферма одновременно и независимо друг от друга дали науке новый метод — метод координат, лежащий в основе созданной ими в XVII в. аналитической геометрии. Идеи, выдвинутые гениальными французскими математиками, привели к новому и широкому расцвету геометрической мысли. Эти идеи были изложены Ферма в сочинении «Введение в учение о геометрических местах на плоскости и в пространстве» (опубликовано в 1679 г., после смерти автора); взгляды Декарта изложены в небольшом его сочинении «Геометрия» (1637) в качестве приложения к сочинению «Рассуждение о методе».
И Ферма, и Декарт изучали труды Аполлония, но установленный ими метод, вошедший под названием аналитической геометрии, существенно отличается от приемов Аполлония. В аналитической геометрии исследование свойств геометрических фигур ведется с помощью уравнений и неравенств; в основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Декарту и Ферма принадлежит идея координации точек плоскости относительно произвольно выбранных координатных осей, т. е. предлагается метод, согласно которому становится возможным выразить в виде уравнений те соотношения, которыми обладают лишь точки, принадлежащие данной геометрической фигуре. При этом Ферма дал систематическую сводку уравнений важнейших кривых. Декарт же шире и глубже обосновывает идеи и значение метода координат. У Декарта речь идет только о координации точек плоскости (в «положительной» четверти). Первое систематическое изложение аналитической геометрии дал Л. Эйлер во втором томе своего «Введения в анализ бесконечных» (1748).
256
i
Дополнения
Сущность метода координат на плоскости состоит в том, что положение любой точки плоскости определяется пересечением двух семейств координатных линий и = const и о = const, образующих координатную сеть: через любую точку плоскости проходит одна и только одна координатная линия и = const и одна и только одна координатная линия v = const, причем каждая линия и = const пересекается с любой линией v — const только в одной точке. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек М евклидовой плоскости и множеством всех упорядоченных пар (х; у) действительных чисел х w. у, при этом говорят, что на плоскости задана система координат. Числа х и у, которые ставятся в соответствие точке М, называют ее координатами в данной системе координат и записывают: М(х; у). (Отображение множества всех точек евклидовой плоскости на множество всех упорядоченных пар действительных чисел называют действительной арифметизацией плоскости.)
В зависимости от целей и объектов исследования используют различные системы координат, посредством каждой из которых однозначно определяется положение любой точки на данной плоскости.
Если линии и = const и у = const — прямые, то координаты называют прямолинейными; если одна из линий семейств и = const и и = const или обе линии — кривые, то координаты называют криволинейными.
Простейшими прямолинейными координатами точки на плоскости являются известные вам ее декартовы прямоугольные координаты: координатные линии х = const и {/ = const взаимно перпендикулярны, единица измерения по осям координат Ох и Оу (нулевым кооординатным линиям) одна и та же. При этом уравнение f(x, у) = О, которому удовлетворяют координаты х и у любой точки М данной фигуры и не
5. О различных ветвях геометрии
1
257
удовлетворяют координаты любой точки, ей не принадлежащей, называют уравнением этой фигуры в данной системе координат.
Мы знаем, например, что эллипсом называется множество всех точек М плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек jFj и Fg той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами (рис. 270).
Если декартову прямоугольную систему координат Оху выбрать так, чтобы ось Ох проходила через Fj и Fg* ось Оу — через середину отрезка FjFj, и обозначить: FjFg = 2с, MFj + MFg = 2а, где М{х; у) — любая точка эллипса, то в этой системе коорди-
нат эллипс задается каноническим уравнением: ---1-^=1
(где а и б — длины полуосей эллипса).
По уравнению эллипса мы можем исследовать его свойства.
Аналогично, при специальным образом выбранной системе декартовых прямоугольных координат парабола (рис. 271) может быть задана уравнением = 2рх (где р — расстояние между фокусом и директрисой), а гипербола (рис. 272) —
у 2 1/^
уравнением — - ^ =1. (Об этом можно прочитать в разде-а‘ Ь‘
ле *0 поверхностях второго порядка» в конце нашего учебника.)
Если же оси координат Ох и Оу не перпендикулярны и единичные отрезки на них имеют различные длины, то такая система координат называется аффинной (или общей декартовой), а координаты точки — аффинными координатами.
Примером криволинейных координат точки на плоскости могут служить ее полярные координаты. Положение любой точки М плоскости можно определить расстоянием р от точки М до фиксированной точки О — полюса и величиной угла <р, на который нужно повернуть вокруг этого полюса полярную ось — один из лучей с началом О, выбранных в качестве начального, — до совмеп^ения ее с лучом ОМ
9 Геометрия, 11 кл. Учебник
258
Дополнения
Рис. 273
б)
(рис. 273, а). Упорядоченную пару чисел (р; ф) называют полярными координатами точки М и записывают: М(р; ф). Число р называют полярным радиусом точки М, а ф — полярным углом', при этом обычно рассматривают О < р <
О < ф < 2л.
Связь между полярными координатами точки М(р; ф) и ее декартовыми координатами (ж; у) выражается формулами: ж = р • cos ф; у = р • sin ф (рис. 273, б).
Полярные координаты часто используются в математике, физике, астрономии и других науках для изучения различных спиралей, кривых второго порядка (полюс помещают в фокусе кривой, а в качестве полярной оси можно принять ось симметрии кривой) и т. д.
Аналогично осуществляется арифметизация евклидова пространства путем установления взаимно-однозначного соответствия между множеством всех точек М евклидова пространства и множеством всех упорядоченных троек (х; у; г) действительных чисел X, у и г, которые называются координатами точки М; при этом если точка М имеет координаты (ж; у; г), то пишут: М{х; у; z).
Простейшими прямолинейными координатами точек в пространстве являются известные вам декартовы прямоугольные координаты, порождаемые заданием в пространстве декартовой прямоугольной системы координат Охуг: в данном случае координатными поверхностями х = const; у = const и Z = const являются три семейства плоскостей: каждое из семейств состоит из всех попарно параллельных плоскостей и каждая плоскость любого из этих семейств перпендикулярна любой плоскости двух других семейств, при этом каждые три плоскости, выбранные по одной из каждого семейства, пересекаются в единственной точке.
259
5. О различных ветвях геометрии
ПЛОСКОСТИ, выбранные по одной из каждого семейства, пересекаются в единственной точке.
О канонических уравнениях эллипсоида, параболоида, гиперболоидов, а также конической и цилиндрических поверхностях в декартовой прямоугольной системе координат речь идет в разделе «Поверхности второго порядка» в конце нашего учебника.
Если же оси координат Ох, Оу и Ог попарно взаимно не перпендикулярны и единичные отрезки на них имеют различные длины, то такая система координат Oxyz называется аффинной (или общей декартовой).
Примером не прямолинейных координат точки М в пространстве являются ее сферические координаты. Введем эти координаты и найдем их связь с декартовыми прямоугольными координатами.
Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и ОМ = R — расстояние от точки М до начала координат. Обозначим: 0 = Z MOZ — угол между радиус-вектором ОМ точки М и положительным направлением оси Oz (рис. 274), ф = ZXON — угол между положительным направлением оси Ох и лучом ON, где N — ортогональная проекция точки М на плоскость Оху. Тогда упорядоченную тройку чисел (R; 0; ф) называют сферическими координатами точки М. {Одной из координатных поверхностей, проходящих через точку М, является сфера с центром О и радиусом R, поэтому координаты точки М называются сферическими.)
Если точка М в декартовой прямоугольной системе Oxyz имеет координаты {х\ у; z), то связь между этими координатами точки М и ее сферическими координатами (R; 0; ф) выражается формулами:
X = R‘ sin 0 • cos ф, у = i?• sin 0 • sin ф, 2 = Д • cos 0.
Другим примером не прямолинейных координат точки М в пространстве являются ее цилиндрические координаты.
9* Геометрия, 11 кл. Учебник
260
Дополнения
V у
м
^ " Т - -
1 ' N
N
Рис. 275
ватной оси Ог. Тогда одной из координатных поверхностей {R = const), проходящих через точку М, является цилиндрическая поверхность вращения с осью Ог и радиуса R (поэтому координаты точки М называются цилиндрическими). Если при этом 0 — угол, который плоскость, проходящая через точку М и координатную ось Ог, образует с координатной плоскостью Охг, то цилиндрическими координатами точки М является упорядоченная тройка чисел (Д; 0; Z), где \Z\ — расстояние от точки М до плоскости Оху (рис. 275).
Связь между декартовыми координатами (дс; у, г) точки М и ее цилиндрическими координатами (R; в; Z) выражается формулами:
х = R'cos д; у = R'sin д; г = Z.
С открытием метода координат геометрия обогатилась мощным аппаратом алгебраического анализа, с применением которого стало возможным просто и быстро решать такие задачи, которые синтетическим методом или вообще не решались, или решались посредством громоздких и трудно выполняемых построений. Аналитический метод становится доминирующим методом решения сложных геометрических задач.
К примеру, совершенно не очевидное линейчатое строение однополостного гиперболоида легко доказано средствами аналитической геометрии в разделе ♦Поверхности второго порядка» в конце нашего учебника.
В последней четверти XIX в. аналитическая геометрия начала изучать теории геометрических преобразований и инвариантов. Эта геометрия имела большое значение для развития дифференциальной и проективной геометрий, аналитической механики и других разделов математики и физики. Она и в настоящее время необходима для изучения различных разделов математических и естественно-научных дисциплин. При этом получила значительное развитие многомерная аналитическая геометрия.
Развитие пространственной аналитической геометрии в
большой мере связано с именем великого математика, физика
261
5. О различных ветвях геометрии
И астронома Леонарда Эйлера (1707—1783), который был действительным членом Российской академии наук. Вопросам аналитической геометрии Эйлер посвятил второй том «Введения в анализ бесконечно малых» (1748), который по праву считается первым курсом аналитической геометрии в современном смысле.
Вольшой вклад в изучение аналитической геометрии в России внесли П. С. Александров, Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев, Н. С. Бахвалов, Б. Н. Делоне, Б. А. Дубровин, К. И. Дуничев, Н. В. Ефимов, А. М. Лопшиц, П. С. Моденов, Н. И. Мусхе-лишвили, С. П. Новиков, А. В. Погорелов, М. М. Постников, Д. А. Райков, А. Т. Фоменко и многие другие.
5.3. О дифференциальной геометрии
В элементарной геометрии синтетическим методом изучаются только такие кривые, как окружность, эллипс, парабола и гипербола, а из поверхностей — сфера, цилиндр и конус, эллипсоид, параболоид и гиперболоиды. При этом каждая кривая или поверхность изучается глобально, «в целом».
В аналитической геометрии упомянутые выше кривые и поверхности изучаются уже средствами алгебры и анализа по их уравнениям; причем эти кривые и поверхности вновь изучаются «в целом».
Дифференциальной геометрией называют ту ветвь геометрии, в которой изучаются любые плоские и пространственные кривые и поверхности методом математического анализа, с помопц>ю дифференциальных уравнений. Важнейшая же особенность дифференциальной геометрии состоит в том, что она, имея уравнение кривой или поверхности, изучает эту кривую «локально», «присматриваясь» (методом бесконечно малых) к сколь угодно малой части кривой или поверхности, т. е. изучает свойства кривых и поверхностей «в малом», в данной их точке и в сколь угодно малой ее окрестности.
Руководящая идея этих исследований заключалась в том, что относительно каждого явления в бесконечно малой области действуют упрощенные законы, которые, с одной стороны, значительно легче вскрываются, а с другой стороны, играют определяющее значение для исследуемого явления в целом. Такой метод изучения позволяет, например, определить направление кривой в данной ее точке направлением соответст-
262
Дополнения
вующеи касательной прямой, а длину малой дуги кривой — длиной отрезка касательной и т. д. Если же удается обнаружить некоторое дифференциально-геометрическое свойство кривой в ее любой точке, то делается обобщение для данной кривой. Аналогичным методом в дифференциальной геометрии пользуются и при изучении поверхностей.
В середине XVII в. математиков, физиков и астрономов интересовал вопрос о проведении касательной к любой известной в то время кривой. Вопрос о проведении касательной к кривой имеет важное значение не только в геометрии, но и в приложениях ее в механике — вдоль касательной всегда направлен вектор скорости движения материальной точки по криволинейной траектории. Вскоре родилось дифференциальное исчисление, а позднее вопрос о касательной к кривой стал «первым словом» новой области математики — дифференциальной геометрии.
В дальнейшем плоскую кривую мы будем представлять в виде «гладкой» линии. На интуитивном уровне, наглядно это означает, что в каждой точке М этой линии можно провести единственную касательную прямую, которая при движении точки вдоль кривой будет «вращаться», переходя из одного положения в другое без скачков: скачок может получиться при изломе линии.
Одним из основных понятий дифференциальной геометрии плоских кривых является понятие «кривизны линии» в данной точке М: под кривизной линии в точке М понимается величина, характеризующая степень искривления линии в этой точке или степень отклонения линии от прямой в некоторой окрестности точки М (говорят о пологой или крутой траектории движущейся точки). Кривизну линии в данной точке, обозначаемую обычно к, можно еще охарактеризовать как скорость изменения направления касательной в данной точке при движении этой точки по кривой (рис. 276). Величину, обратную кривизне, называют радиусом кривизны и обозначают р, т. е.
ft = 1. На наглядном уровне, грубо гово-Р
ря, р есть радиус окружности, «достаточно малая» дуга которой совпадает с «достаточно малой» дугой данной кривой
263
5. О различных ветвях геометрии
в окрестности данной точки А. Эта окружность как бы является предельным положением окружности, пересекающей данную кривую в точках В, А и С, при стремлении точек В и С по кривой к точке А.
Вдоль линии кривизна обычно изменяется. Постоянную кривизну имеет только окружность (если не считать прямую, кривизна которой равна нулю). Радиус кривизны окружности в каждой ее точке равен ее радиусу R, т. е. р = R, тогда для окружности в любой ее точке получаем: А = 4 • Значит, чем боль-
R
ше радиус окружности, тем меньше ее кривизна. Это действительно так: с увеличением радиуса окружности ее дуги становятся более пологими.
Кривая, не лежащая целиком в одной плоскости, называется пространственной кривой. Кривизну гладкой пространственной кривой в данной точке определяют, как и кривизну плоской кривой.
Пусть теперь В и С — две точки пространственной кривой т, расположенные по разные стороны от ее точки А, и а — плоскость, проходящая через точки А, В и С. Представим себе, что точки В и С неограниченно приближаются по кривой к точке А. При каждом изменении положений точек В иС будет менять свое положение по отношению к кривой и плоскость а. Соприкасающейся плоскостью к кривой в точке А называют плоскость, занимающую предельное положение переменной плоскости а при неограниченном приближении точек В и С к точке А. Таким образом, соприкасающаяся плоскость наиболее тесно примыкает к этой кривой в окрестности точки А: она имеет с кривой три общие, совпавшие точки (соприкасается кривой).
Соприкасающейся плоскостью плоской кривой является плоскость, в которой эта кривая расположена.
Кручение кривой (ае — каппа) является второй важной характеристикой пространственной кривой. На наглядном уровне можно сказать, что кручение кривой в точке М показывает, как быстро эта кривая «отходит» от соприкасающейся плоскости, проходящей через / - - jyf эту точку (рис. 277). (Кручение плоской кривой равно нулю в каждой ее точке.) Рис. 277
Т
264
Дополнения
Большой интерес для дифференциальной геометрии представляет изучение различных свойств поверхностей.
Эйлер, один из создателей аналитической геометрии, впервые применил понятие кривизны и к поверхностям, изложив соответствующие результаты в работе «О кривизне поверхности» (1767).
Мы знаем, что сферическая поверхность обладает тем свойством, что в каждой ее точке можно провести единственную касательную плоскость. В дифференциальной геометрии поверхности, обладающие таким свойством, называют гладкими поверхностями (таковыми являются, например, сфера, эллипсоид, параболоид вращения).
Искривление гладкой поверхности в какой-либо ее точке М можно рассматривать как степень ее отклонения от касательной плоскости в этой точке (рис. 278). Это отклонение может оказаться различным для различных направлений на поверхности.
Пусть Ф — гладкая поверхность, М — ее любая точка, а — плоскость, касательная к поверхности Ф в точке М (рис. 279). Нормалью к поверхности в точке М называется прямая т, проходящая через точку М перпендикулярно касательной плоскости а в этой точке. Нормальным сечением поверхности Ф в точке М называется линия пересечения поверхности Ф с плоскостью, проходящей через нормаль т к этой поверхности.
Прямая t называется касательной к поверхности Ф в точке М, если она касается нормального сечения поверхности в этой точке. Оказывается, что касательные прямые
5. О различных ветвях геометрии
265
КО всем нормальным сечениям поверхности Ф в точке М лежат в касательной плоскости а.
Будем вращать вокруг нормали проходящую через нее плоскость, в результате чего получим всевозможные нормальные сечения поверхности Ф в точке М. Любое из нормальных сечений является плоской кривой, характеризующейся своей кривизной в этой точке. Кривизна сечения считается положительной, если его вогнутость направлена в сторону ориентированной нормали, и отрицательной — в противном случае. Так на рисунке 280 кривизна линии МА положительна, а Линии МВ — отрицательна (эти кривые «загнуты» в разные-стороны).
Оказывается, в каждой точке поверхности одно из всех нормальных сечений имеет наименьшую кривизну и одно — наибольшую кривизну сечения называют главными
сечениями поверхности в точке М, направления касательных к этим сечениям — главными направлениями кривизны, а их кривизны и к^ — главными кривизнами поверхности в точке М. Эйлер установил, что главные направления кривизны поверхности в любой ее точке взаимно перпендикулярны, а кривизна любого нормального сечения выражается через главные кривизны формулой;
= fej • cos^ ф + feg • sin^ ф,
где ф — угол, образованный рассматриваемым нормальным сечением и сечением с кривизной Aj. (Приведенная формула называется формулой Эйлера о кривизнах.)
Новое направление исследованиям по теории поверхностей дал Карл Фридрих Гаусс (1777—1855). Своей работой «Общие исследования относительно кривых поверхностей» (1827) он положил начало новой, так называемой «внутренней геометрии» поверхностей.
Гаусс охарактеризовал кривизну поверхности в любой ее точке одним числом А = Aj * А2, равным произведению главных кривизн данной поверхности в этой точке. Это произведение называется полной или гауссовой кривизной поверхности в данной точке.
При этом, если Aj и Ag имеют одинаковые знаки, то полная кривизна А положительна, а точка поверхности называется
266
1
Дополнения
эллиптической. Это происходит тогда, когда главные сечения «загнуты» в одну сторону, и поверхность является выпуклой. Примером всюду выпуклой поверхности, но с различной в различных точках полной кривизной, может служить эллипсоид, а с постоянной полной кривизной — сфера.
Если же и ^2 имеют противоположные знаки, то полная кривизна k отрицательна, а точка поверхности называется гиперболической. Это происходит тогда, когда главные сечения «загнуты» в разные стороны и поверхность является седло-видной (рис. 280). Примером седловидной поверхности может служить гиперболический параболоид (рис. 281).
Если = о или ^2 о» то полная кривизна k равна нулю, а точка поверхности называется параболической; данная поверхность имеет вблизи этой точки цилиндрическую форму (рис. 282). Это происходит тогда, когда одно из главных сечений является прямой. Примером поверхности с гауссовой кривизной, равной нулю, может служить цилиндр, конус.
В разделах «Поверхности второго порядка» и «Аналитическая геометрия» мы вели разговор о линейчатых поверхностях, образованных движением прямой. В дифференциальной геометрии выделяют особый вид линейчатых поверхностей — развертывающиеся поверхности. Чтобы представить себе поверхность такого вида, остановимся на понятии изгибания поверхности.
Возьмем лист бумаги и изобразим на нем треугольник. Свернем этот лист бумаги в форме цилиндрической поверхности, а затем — в форме конической поверхности. В таком случае говорят, что мы деформируем плоский лист бумаги в цилиндрическую поверхность, а цилиндрическую поверхность —
Рис. 281
267
5. О различных ветвях геометрии
В коническую. Прямолинейный треугольник, построенный на плоском листе бумаги, при этой деформации превратится на цилиндрической (рис. 283) (и конической) поверхности в криволинейный треугольник, но длины соответственных сторон этих треугольников равны, т. е. длина отрезка (дуги) при рассматриваемой деформации сохраняется.
Изгибание поверхности — это такая ее деформация, при которой остается неизменной длина дуги любой линии, изображенной на этой поверхности.
Развертывающаяся поверхность — это такая линейчатая поверхность, которая может быть наложена на плоскость посредством изгибания. В дифференциальной геометрии доказывается, что поверхности нулевой гауссовой кривизны (к ним относятся цилиндр, конус) все налагаются на плоскость, т. е. все являются развертывающимися поверхностями (вспомните развертки конуса и цилиндра). Их геометрия подчиняется одним и тем же законам.
Свойство цилиндрической поверхности «развертываться на плоскости» может быть использовано при нахождении расстояний между точками, лежащими на цилиндрической поверхности, двигаясь по этой поверхности.
■ ЗАДАЧА. Дан цилиндр высотой 6 и радиусом основания 3. Отрезки АВ и являются параллельными диаметрами его оснований. Точка К лежит на дуге АВ основания и делит ее в отношении 1 : 2, считая от точки А (рис. 284). Найдите длину кратчайшего пути из точки К в точку В^ по поверхности цилиндра.
К
В
а)
б)
Рис. 283
Рис. 234
268
1
Дополнения
Решение. Развернем на плоскость боковую поверхность полуцилиндра, содержащего кратчайший «путь» из точки К в точку Bj. При этом дуга КВ^ кривой линии на поверхности цилиндра, являющаяся кратчайшим путем из точки К в точку Bj по поверхности цилиндра, «развернется» в отрезок КВ^ прямой линии на плоскости (см. рис. 281, б).
Так как АВ = Зл и АХ : КВ =1 : 2, то КВ = 2п. Тогда в прямоугольном треугольнике КВВ^ находим КВ у = JKB^ + BBf = = 74я2 + 36 =27я2 + 9.
Ответ: 2 + 9.
В противоположность цилиндрической поверхности «развертываться на плоскости», кусок эллиптической поверхности, например кусок сферы, имеющей положительную гауссову кривизну, никаким изгибанием нельзя наложить на плоскость; это свидетельствует о том, что геометрия евклидовой плоскости и сферическая геометрия «живут» по различным законам.
Гаусс доказал теорему о том, что при изгибании поверхности полная кривизна в каждой ее точке остается инвариантной (это утверждение Гаусс назвал «замечательной теоремой»).
Таким образом, при изгибании любой поверхности остаются инвариантными длины отрезков кривых на ней, площади ее фигур, полная кривизна в каждой ее точке. Все эти и другие свойства поверхности, не изменяющиеся при ее изгибании, были названы внутренними свойствами поверхности. Эти свойства связаны с самой структурой поверхности и не зависят от положения поверхности в пространстве.
Заметим, кстати, что именно изучая внутренние свойства поверхностей, Гаусс обнаружил определенные неудобства применения декартовых прямоугольных координат, и впервые широко применил и развил метод криволинейных координат.
Особое значение в геометрии имеют поверхности постоянной гауссовой кривизны или, короче, поверхности постоянной кривизны. Суть состоит в том, что произвольную замкнутую фигуру, изображенную на эллипсоиде, невозможно пере-
1
269
5. О различных ветвях геометрии
двинуть в другое на этом эллипсоиде место без складок и разрывов фигуры, так как эллипсоид не является поверхностью постоянной кривизны.
Но произвольную замкнутую фигуру, изображенную на сфере, являющейся поверхностью постоянной положительной кривизны, мы можем передвигать по этой сфере без какой-либо деформации.
Другой поверхностью постоянной, но отрицательной кривизны, является псевдосфера (рис. 285). Итальянский геометр Эудженио Бельтрами (1835—1900) первый заметил связь между внутренней геометрией поверхностей постоянной отрицательной кривизны и геометрией Лобачевского. В 1868 г. в своей статье «Опыт истолкования неевклидовой геометрии» Бельтрами вычислил линейный элемент плоскости Лобачевского и установил, что гауссова кривизна этой плоскости во
всех ее точках одинакова и равна » т. е. что эта кривизна
постоянна и отрицательна. Поверхности постоянной отрицательной кривизны Бельтрами назвал псевдосферами. Они бывают различных типов (рис. 285—287).
После краткого обзора понятий, которыми оперирует дифференциальная геометрия при изучении кривых и поверхностей, мы так же кратко остановимся на творческой деятельности основоположников этой ветви геометрии.
Начальные сведения по дифференциальной геометрии появились с возникновением анализа. Но самостоятельное зна-
Рис. 286
Рис. 287
270
Дополнения
чение эта ветвь геометрии начала приобретать лишь в середине-^VIII в. благодаря работам Эйлера. Именно Эйлер получил первые существенные результаты по теории поверхностей и, в частности, установил перпендикулярность двух главных нормальных сечений поверхности.
Работы Эйлера оказали большое влияние на дальнейшее развитие дифференциальной геометрии, главным образом, осуществляемое в школе геометрии, основанной в Меньере (Франция) Гаспаром Монжем (1746—1818), членом Парижской академии наук и одним из основателей начертательной геометрии.
Леонард Эйлер родился в 1707 г. в Швейцарии, но уже в двадцатилетием возрасте, в 1727 г., прибыл в Россию и начал работать в Петербургской Академии наук адъюнктом. В России Эйлер работал в 1727—1741 гг. и в 1766—1783 гг., с 1733 г. он был действительным членом Российской Академии наук.
Деятельность Эйлера в академии продолжалась 31 год. Жизнь его замечательна неустанным, поистине титаническим трудом. Он является автором около 900 работ. В 1753 г., вследствие переутомления, он теряет зрение в правом глазу и при этом замечает, «что теперь меньше будет отвлекаться от занятий математикой». Титанический труд «оставляет свой жестокий след»: в 1771 г. Эйлер полностью теряет зрение. Именно с этого времени до самой смерти (1783) он продиктовал почти половину всех своих работ.
Эйлер является создателем первой русской математической школы. Он приложил много усилий для разработки интегрального исчисления, вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии; им разрабатывались вопросы прикладной математики.
И нынешние студенты вузов постоянно встречаются с различными «методами Эйлера» и «формулами Эйлера».
Знаменитый французский математик конца XVIII в. и начала XIX в. Пьер Симон Лаплас говорил: «Читайте, читайте Эйлера, он учитель нас всех».
5. О различных ветвях геометрии
271
Гаспар Монж, «геометр и якобинец», родился в 1746 г. Он был сыном мелкого торговца и внуком крестьянина. Гаспар в юности проявил блестящие способности и начал свою творческую работу в области геометрии. В 22-летнем возрасте он стал профессором математики Военно-инженерной школы в Меньере.
Первая его работа по дифференциальной геометрии — «Мемуар о развертках, радиусах кривизны и...* (1785) была посвящена теории пространственных кривых. Важнейший труд Монжа «Приложение анализа к геометрии» (1807) представляет первое систематическое изложение теории поверхностей, где устанавливается взаимная связь между дифференциальными уравнениями и геометрическими кривыми и поверхностями. Следует отметить, что для исследования поверхностей Монж применяет не только аппарат аналитической и дифференциальной геометрий, а использует также конструктивные и графические методы образования этих поверхностей.
В период французской революции Монж был сенатором и морским министром. Когда наступил период реставрации монархии во Франции, Монж, как республиканец, был изгнан из Политехнической школы и Академии наук и лишен всех прав. Умер Монж в 1818 г.
Как уже говорилось выше, новое направление исследованиям по теории поверхностей дал Гаусс.
Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 г. в городе Брауншвейге в семье фонтанных дел мастера и садовника.
С двух лет Карл поражал окружающих своим умом, и по настоянию матери он в возрасте семи лет поступил в народную школу, где было обращено внимание на блестящие математические способности мальчика. Увлеченные математикой помощник учителя математики 17-летний
М. Ф. Бартельс (Бартельс Иоганн Мартин Христиан (в России Мартин Федорович)) и 10-летний Карл подружились.
272
Дополнения
И эта дружба продолжалась до смерти Бартельса в 1836 г. Старший друг ввел Гаусса в тайны алгебры и в значительной степени способствовал его математическому образованию.
Обратите внимание! Работая с 1808 г. в Казанском университете, теперь уже профессор, Бартельс у себя на дому занимался с юным Лобачевским! (См. очерк «Неевклидова геометрия Лобачевского» в конце этого учебника.) Удивительное переплетение судеб трех создателей неевклидовой геометрии: Лобачевского с Гауссом — через Бартельса, а Яноша Больяи с Гауссом — через своего отца — Фаркаша Больяи, который обучался в Геттингенском университете одновременно с Гауссом и обменивался с ним в письмах своими соображениями о «проблеме пятого постулата».
В 1788 г. Карл Гаусс поступает в гимназию, а в 1791 г. — в Карлово училище в Брауншвейге, в котором обучался 3 года. В это время он изучил ряд работ Ньютона, Эйлера, Лагранжа.
В 1795 г. Гаусс поступил в знаменитый Геттингенский университет, который он окончил в 1798 г., после чего стал доцентом в Брауншвейге. В 1799 г. Гаусс получил степень доктора за диссертацию, посвященную основной теореме алгебры.
В 30-летнем возрасте он получил кафедру математики и астрономии в Геттингенском университете и одновременно занял должность директора Геттингенской астрономической обсерватории. Все эти обязанности Гаусс исполнял в течение 48 лет, до своей смерти в 1855 г.
В 1827 г. была опубликована геометрическая работа Гаусса «Общие исследования относительно кривых поверхностей*. Эта работа Гаусса явилась ценнейшим вкладом в дифференциальную геометрию: в теории поверхностей Гаусса содержится понятие о полной кривизне и о ее инвариантности при изгибании поверхности.
В черновых записках Гаусса было обнаружено упоминание о поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны. (Впоследствии эту поверхность стали называть псевдосферой;
Э. Бельтрами показал, что на псевдосфере выполняется геометрия Лобачевского.) Эта записка и многие другие, найденные после смерти Гаусса в его архивах, свидетельствуют о том, что «короля математики» интересовали вопросы, связанные с «проблемой пятого постулата». Более того, он понимал, что если допустить, что сумма углов треугольника меньше 180°, то это приводит к построению геометрии, отличной от евклидовой, т. е.
5. О различных ветвях геометрии
273
Александр
Данилович
Александров
(1912-2000)
ОН понимал существование двух различных геометрий — евклидовой и неевклидовой. Но публично выступить в защиту существования неевклидовой геометрии он не решился. Почему? Однозначного ответа на этот вопрос никто не может дать и сегодня.
Гаусса по справедливости ставят в один ряд с выдающимися математиками мира: Архимедом, Ньютоном, Эйлером.
Огромный вклад в развитие и изучение дифференциальной геометрии в России внесли труды представителей Ленинградской геометрической школы, созданной академиком Российской Академии наук А. Д. Александровым.
Александр Данилович Александров (1912—1999) родился в с. Волынь Рязанской губернии. По окончании Ленинградского (ныне Санкт-Петербургского) университета работал там же. В 1952—1964 г. — ректор ЛГУ; член-корреспондент АН СССР (1946), академик АН СССР (1964). С 1964 г. — в Сибирском отделении АН СССР.
Основные достижения А. Д. Александрова относятся к геометрии, где он открыл методы изучения метрических свойств фигур, породившие новый объект исследования — нерегулярные метрические многообразия, более общие, нежели римановы пространства. Эти методы существенно расширили область геометрических исследований и привели, в работах А. Д. Александрова и созданной им школы, к решению ряда классических проблем теории поверхностей, а также нашли важные применения в теории дифференциальных уравнений и теории упругих оболочек. Александру Даниловичу принадлежат также исследования по основаниям теории относительности и философии.
А. Д. Александров — крупнейший геометр XX века. За большой вклад в развитие и изучение дифференциальной геометрии академик А. Д. Александров удостоин высоких правительственных наград и почетных званий. Он лауреат международной премии им. Н. И. Лобачевского, государственной премии СССР. Им написаны многочисленные монографии и учебники по геометрии для высшей школы, известные учебники для средних школ, выдержавшие большое количество изданий.
Александр Данилович скончался 27 июня 1999 года.
274
Дополнения
Алексей
Васильевич
Погорелое
(1919-2002)
Велик вклад, который внес в развитие и изучение дифференциальной геометрии в России ученик А. Д. Александрова академик Российской АН и АН Украины, педагог, ученый с мировой известностью Алексей Васильевич Погорелов (1919—2002).
Вся творческая деятельность А. П. По-горелова является ярким примером беззаветного служения большой науке и ее незыблемому фундаменту — Геометрии.
Вместе со своим учителем, академиком А. Д. Александровым, им было глубоко развито одно из ведущих направлений в теоретической и прикладной геометрии —
♦Геометрия в целом». Им также разработаны общая геометрическая теория дифференциальных уравнений в частных производных и геометрическая теория устойчивости тонких упругих оболочек.
А. П. Погореловым написаны многочисленные монографии, комплекты учебников по геометрии для высшей школы, известные учебники для средних школ, выдержавшие большое количество изданий в последнее двадцатилетие.
Алексей Васильевич скончался 17 декабря 2002 года.
Большой вклад в развитие и изучение дифференциальной геометрии в России внесли также Б. А. Дубровин, Н. В. Ефимов, В. Ф. Каган, Г. Ф. Лаптев, Б. Л. Лаптев, С. П. Новиков, А. П. Норден, Э. Г. Позняк, П. К. Рашевский, Б. А. Розен-фельд, С. П. Фиников, А. Т. Фоменко, П. А. Широков, Р. Н. 1Цербаков и многие другие.
5.4. О проективной геометрии
В природе тела имеют рельеф, у живописца же — плоскость холста или стены, и живописец должен на плоской поверхности показать тело рельефным. Художник достигает этой цели посредством перспективы.
Именно руководствуясь законами перспективы, гениальный итальянский художник и мыслитель Леонардо да Винчи (1452—1519) создавал в течение 1495—1497 гг. знаменитую фреску ♦Тайная вечеря». Леонардо сформулировал основные идеи перспективы, определил ее значение для практики живо-
5. О различных ветвях геометрии
275
писца, архитектора, инженера и оставил примеры гениального применения этих идей не только в «Тайной вечере».
«Мы знаем, что точка зрения помещается в глазу зрителя сюжета» — этой фразой начинается у Леонардо его теория перспективы. Представим себе, что между глазом и предметом установлена плоская прозрачная пластина. Каждый луч, направленный от видимой точки предмета к глазу, пересекает пластину в некоторой точке. Множество всех таких точек пересечения есть изображение данного предмета на пластине. Процесс получения этого изображения называют центральным проектированием, а полученное изображение предмета — его центральной проекцией. Такой «проекцией» в принципе и должно быть изображение на любой плоскости — холсте, бумаге или стене.
Вернемся к «Тайной вечере». Каждой видимой художнику точке помещения, где происходило изображенное событие, на картине соответствует определенная точка, а каждому отрезку прямой (край стола, стороны окон и т. д.) — также отрезок прямой. Однако при этом равные отрезки не всегда изображаются на картине равными же отрезками, изменяются и вели-
Леонардо да Винчи
(1452—1519)
276
Дополнения
ЧИНЫ некоторых углов. Наконец, самое важное: в комнате линии пересечения стен и потолка были параллельны, а на изображении соответствуюпще линии изображены пересекающимися в одной точке.
Однако потребовалось триста лет от первых шагов создания теории перспективы до того момента, когда эта теория оформилась в специальные науки — проективную и начертательную геометрии.
Первым, кто заложил основы начертательной и проективной геометрии, был выдающийся французский архитектор и математик Жирар Дезарг (1591—1661).
Жирар Дезарг родился в Лионе в семье нотариуса. Талантливый инженер, строитель фортификационных укреплений, архитектор, он основательно изучил теорию изображений и, в частности, перспективу. В своем знаменитом труде «Черновой набросок попытки разобраться в том, что получается при пересечении конуса плоскостью* (1639) и в других работах Дезарг выдвинул основные предложения проективной геометрии: он, рассматривая различные взаимные положения конической поверхности вращения и плоскости, пересекающей эту поверхность, объясняет, что центральной проекцией окружности на плоскость может быть либо окружность, либо эллипс, либо парабола, либо гипербола.
Кроме того, Дезарг впервые ввел понятия «бесконечно удаленной точки*, «бесконечно удаленной прямой* и «бесконечно удаленной плоскости*.
5. О различных ветвях геометрии
277
Как уже говорилось о перспективе при рассмотрении картины «Тайная вечеря», Леонардо да Винчи некоторые параллельные прямые изображает необычным для того времени образом — прямыми, имеющими точку пересечения. Дезарг в «Черновом наброске* предлагает считать эту точку пересечения изображением (проекцией) «бесконечно удаленной» точки, в которой «пересекаются* изображаемые параллельные прямые. На рисунке 288 точка Т' плоскости Р соответствует «бесконечно удаленной* точке Т плоскости а, в которой «пересекаются* параллельные прямые М^М и Р^Р.
Говоря современным языком, Дезарг «расширяет* евклидово пространство, дополняя его новыми элементами — «несобственными (бесконечно удаленными) точками* — так, что: а) каждая прямая евклидова пространства дополняется одной «несобственной точкой», при этом все параллельные между собой прямые пространства дополняются одной и той же «несобственной точкой»; б) каждая плоскость евклидова пространства дополняется одной «несобственной прямой» (т. е. все «несобственные точки* «расширенной* евклидовой плоскости образуют «несобственную прямую* этой плоскости), при этом все параллельные между собой плоскости евклидова прюстранства дополняются одной и той же «несобственной прямой*; в) все евклидово пространство дополняется одной «несобственной плоскостью*, которая представляет собой объединение «всех несобственных точек* расширенного пространства. Более того, Дезарг предлагает считать «несобствен-
278
Дополнения
ные точки» равноправными со всеми остальными точками пространства.
Дополненное «несобственными» элементами (точками, прямыми и плоскостью) евклидово пространство называют проективным пространством или евклидовым пространством, расширенным до проективного. Геометрия этого пространства носит название проективной геометрии. (Название «проективная» подчеркивает, что эта геометрия возникла при изучении операции проектирования.) А так как в проективном пространстве собственные и «несобственные» элементы равноправны, то и термины «собственный» и «несобственный» становятся ненужными, а поэтому в рассуждениях опускаются. Это приводит к тому, что в проективной геометрии отсутствует понятие «параллельный».
В проективном пространстве: две любые прямые либо пересекаются (лежат в одной плоскости), либо скрещиваются; две любые плоскости пересекаются; любая плоскость пересекается с любой не лежащей в ней прямой.
Заметим, что проективная прямая существенно отличается от евклидовой прямой: подобно окружности, проективная прямая является замкнутой линией; ни одна из точек проективной прямой не делит ее на два луча; две точки Аи В разбивают проективную прямую на два отрезка с концами в этих точках, один из которых содержит несобственную точку данной прямой; на проективной прямой (в силу ее замкнутости) понятие «лежать между» для трех точек А, В и С не имеет смысла.
Существенно отличается от евклидовой плоскости и проективная плоскость: две любые прямые проективной плоскости пересекаются; любая прямая проективной плоскости не делит ее на две полуплоскости; любые две прямые проективной плоскости делят ее лишь на две части.
В силу равноправия собственных и несобственных элементов в проективном пространстве, любую прямую проективной плоскости можно принять в качестве ее несобственной прямой. Пусть, например, прямая а является несобственной прямой проективной плоскости (рис. 289, а). Тогда прямые т и п, пересекающиеся в несобственной точке А & а, являются (с проективной точки зрения) параллельными прямыми. Более того, с проективной точки зрения четырехугольник ABCD —
279
5. О различных ветвях геометрии
Рис. 289
параллелограмм (рис. 289, б), так как пары АВ и CD, ВС vlAD его противоположных сторон параллельны: они пересекаются в несобственных точках М hN соответственно.
Дезарг сформулировал и доказал целый ряд теорем, которые являются фундаментальными теоремами проективной геометрии. Среди них прямая и обратная теоремы, носящие его имя.
Теорема Дезарга (теорема о перспективных треугольниках). Если три прямые АА^, ВВ^ и СС^, соединяющие соответственные вершины двух треугольников АВС и AjBjCj, проходят через одну точку, то три точки пересечения пар соответственных сторон АВ и А^В^, ВС и BjCj, АС и AjCj этих треугольников принадлежат одной прямой (рис. 290).
Точка S, через которую проходят три прямые АА^, ВВ^ и СС^, называется дезарговой точкой (или точкой Дезарга), а прямая р, на которой лежат точки пересечения пар соответственных сторон АВ и AjBj, ВС и BjC^, АС и A^Cj, называется дезарговой прямой.
Обратная теорема Дезарга. Если три точки пересечения пар соответственных сторон АВ и А^В^, ВС и BjC^, АС и AjCj треугольников АВС и А^В^С^ принадлежат одной прямой, то три прямые АА^, ВВ^ и СС^, соединяющие соответственные вершины этих треугольников, проходят через одну точку (рис. 290).
Обе теоремы справедливы как в случае, когда треугольники АВС и AjBiCi лежат в одной плоскости (рис. 290, а), так
280
Дополнения
И В случае, когда эти треугольники лежат в различных плоскостях (рис. 290, б): во втором случае точку S можно принять за вершину трехгранного угла с ребрами SA, SB и SC, тогда треугольники АВС и А^В^С^ — его плоские сечения, вершина S — дезаргова точка, а прямая пересечения плоскостей АВС и AjSjCj является дезарговой прямой. (Применение этих теорем мы видим, когда строим сечения многогранников методом следов.)
Дезарг ввел также простейшую величину, которая сохраняется при центральном проектировании и является таким же основным понятием (основным инвариантом) проективной геометрии, как расстояние между двумя точками в евклидовой геометрии. Этой величиной является сложное отношение четырех точек, лежащих на одной прямой, или просто сложное отношение четырех точек прямой.
Сложным (ангармоническим) отношением четырех кол-линеарных точек А, В, С и D называется число X = (АВ; CD) =
- ; |Х,| = ^ Точки А и В называются базисны-
(АВ\ D) ' ' СВ DB
ми, а точки С и D делящими. (Напомним, что в аналитической геометрии (АВ; С) > 0, если точка С лежит внутри отрезка АВ и (АВ; С) < о, если С лежит вне отрезка АВ (см. 10 класс п. 24.5). В проективной геометрии, для несобственной точки С (АВ; С) = -1.)
В частности, если (АВ; CD) = -1, то говорят: «пара точек А и В гармонически разделена парой точек С и D» или «точка
5. О различных ветвях геометрии
281
D гармонически сопряжена с точкой С относительно точек А и В», при
этом также говорят, что А, В, С и D — гармоническая четверка точек.
Дезарг так решает задачу о построении точки, которая образует гармоническую четверку с тремя данными точками 1,2,3, лежащими на прямой р. (Все точки и прямые занумерованы в порядке их появления.) Через точку 1 (рис. 291) проводятся две любые
прямые 4 и 5, а через точку 2 — любая прямая 6, затем находятся точки 7 и 8 ее пересечения с прямыми 5 и 4; затем через каждую из этих точек и точку 3 проводятся прямые 9 и 10, в результате чего получаются точки 11 и 12, через которые проводится прямая 13, пересекающая данную прямую р в точке 14. Дезарг доказал, что точка 14 гармонически сопряжена с точкой 2 относительно точек 1 и 3.
Оказывается, если точка С — середина отрезка А В, то точкой, гармонически сопряженной с С относительно точек А и В, является несобственная точка прямой АВ. {Повторите построения Дезарга для случая, когда точка 2 является серединой отрезка с концами в точках \ и Z, и вы увидите, что прямая 13 станет параллельной прямой р.)
Идеи Дезарга построения проективной геометрии были настолько новы и оригинальны, что большинство его современников оказалось не в состоянии их воспринять. Лишь через двести лет со времени издания «Чернового наброска*, в 1846 г., известный французский геометр и историк математики, член Парижской Академии наук Мишель Шаль (1793—1880) нашел копию этой брошюры. Только тогда Дезарга стали называть создателем новой геометрии, творцом проективной геометрии, великим геометром.
Одним из немногих современников, понимавших Дезарга, был великий французский математик, физик, философ и писатель XVII в. Блез Паскаль (1623—1662), которого также считают создателем и творцом проективной геометрии.
Блез Паскаль родился в Клермон-Ферране, в семье известного французского математика Этьена Паскаля. Через несколько лет семья Паскаля переехала в Париж. Уже в детские
282
Дополнения
ГОДЫ обнаружились необыкновенные способности Паскаля. Его отец на вопрос сына о том, что такое геометрия, ответил: «Геометрия есть наука, дающая средство правильно чертить фигуры и находить отношения, существующие между этими фигурами».
Паскаль шагнул вслед за Дезаргом вперед, и в 1640 г., в возрасте менее 17 лет, им было напечатано «Эссе о конических сечениях», автор которого укрывался за скромными инициалами Б. П.
Паскалю принадлежит открытие и доказательство одной из основных теорем проективной геометрии — знаменитой теоремы о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение.
Теорема Паскаля. Три пары противоположных сторон любого шестиугольника, вписанного в коническое сечение, пересекаются в точках, принадлежащих одной прямой (рис. 292). Эту прямую называют прямой Паскаля.
Блез Паскаль
(1623-1662)
Дальнейшее развитие, а по сути «второе рождение» проективной геометрии в начале XIX в., в виде самостоятельной ветви геометрии, связано с именем одного из крупнейших французских геометров XIX в. Жаном Виктором Понселе (1788—1867).
Жан Виктор Понселе родился в городе Метце. Уже ребенком он проявил большую самостоятельность. Учился он сначала в лицее г. Метца, в знаменитой Политехнической школе,
затем поступил в Военное Инженерное Училище, которое он окончил в 1811г. По окончании училища 17 июня 1812 г. Понселе получил приказ присоединиться к армии, которая направлялась на войну против России.
Был четырехдневный бой с 3 по 6 ноября 1812 г. при селе Красное Смоленской губернии, за блес-
5. О различных ветвях геометрии
283
тящую победу в котором фельдмаршал
М. И. Кутузов получил титул «Князя Смоленского», а половина наполеоновской армии попала в русский плен. Среди пленных — офицер инженерного корпуса Жан Виктор Понселе. Партия пленных, в которой находился Понселе, была отправлена в Саратов.
В плену он рюшил заняться любимым делом — наукой и из плена привез на родину записки по геометрии, ставшие основой для вышедшего в 1822 г. «Трактата о проективных свойствах фигур».
После пятнадцатимесячного пребывания в плену Понселе в 1814 г. вернулся во Францию, где с 1815 г. работал в арсенале Метца в качестве военного инженера, затем профессором Прикладной школы (1825—1835). В 1848—1850 гг. Понселе — директор Политехнической школы в Париже. Понселе скончался в 1867 г.
В 1822 г. вышла из печати книга Понселе «Трактат о проективных свойствах фигур», в которой Понселе впервые в научной геометрии назвал проективными те свойства геометрических фигур, которые сохраняются при центральном проектировании, и определил предмет проективной геометрии как науку, изучающую проективные свойства фигур, при этом в проективной геометрии две фигуры, обладающие одинаковыми проективными свойствами, стали считать неразличимыми {проективно эквивалентными). Теперь стали понятны мысли Дезарга о том, что с проективной точки зрения, окружность, эллипс, парабола, гипербола — одна и та же кривая.
Что же еще нового мы видим в проективной геометрии? Так как при центральном проектировании ни параллельность прямых, ни их перпендикулярность, ни длина отрезка, ни величина угла не сохраняются, то в проективной геометрии отсутствуют такие понятия, как прямоугольник, параллелограмм, квадрат или трапеция. Нет в проективной геометрии ни правильных треугольников, ни правильных тетраэдров, ни куба, ни прямоугольного параллелепипеда; отсутствуют в проективной геометрии как теорема Пифагора (в проективной геометрии нет прямоугольных треугольников), так и теорема о трех перпендикулярах и многие другие теоремы
284
Дополнения
относительно метрических свойств плоских и пространственных фигур.
Тогда возникает вопрос о том, что же содержательного «осталось в проективной геометрии» и есть ли необходимость в ее изучении.
Осталось! Более того, в этой новой «проективной» геометрии изучаются более глубокие и более общие, замечательные факты о свойствах плоских и пространственных фигур.
Осталось сложное отношение четырех точек — основной инвариант проективной геометрии; остались гармонические четверки точек, остались замечательные теорема Паскаля, теорема Дезарга и ей обратная теорема. Остались многие и появились новые, проективные теоремы. Очень важным при центральном проектировании является тот факт, что любые три точки, лежащие на одной прямой, проектируются в три точки, также лежащие на одной прямой.
Но есть другие, ничуть не менее интересные фигуры.
Познакомимся, например, с фигурой, которую называют полным четырехугольником.
Полным четырехугольником ABCD {или полным четы-рехвершинником) называют плоскую фигуру, состоящую из четырех точек А, В. С и D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых АВ, ВС, CD, DA, АС и BD, попарно соединяющих эти точки (рис. 293, а). Эти четыре точки Л, В, С и £) называют вершинами, а шесть прямых — сторонами полного четырехугольника. Стороны АВ и CD, ВС и DA, АС и BD, не имеющие общей вершины, называют противоположными. Точки пересечения пар противоположных сторон называют диагональными точками, а прямые, соединяющие диагональные точки, — диагоналями полного четырехугольника.
Любой полный четырехугольник является прюективной фигурой и обладает следующим проективным свойством. Пусть точки М = АВ г\ CD и N = ВС п AD — две диагональные точки полного четырехугольника ABCD (рис. 293, а). Тогда точки Р и Q пересечения диагонали MN со сторонами соответственно BD и АС, проходящими через третью диагональную точку Н = АС п BD, гармонически разделяют пару точек М и N,T. е. {MN\ PQ) = -1. {Сравните с рассуждениями Дезарга относительно гармонической четверки точек (см. рис. 291).)
285
5. О различных ветвях геометрии
Рис. 293
Если данный полный четырехугольник вместе со всеми его диагоналями и диагональными точками центрально проектировать на другую плоскость, то полученный при этом проектировании полный четырехугольник со всеми его диагоналями и диагональными точками обладает такими же свойствами гар-монизма, что и проектируемый.
Это — знаменательный факт, свидетельствующий о том, что полный четырехугольник является проективной фигурой.
Учитывая, что точкой, гармонически сопряженной точке Р — середине отрезка MN — относительно точек М и N, является несобственная точка Q прямой MN (Q = MN пАС), приходим к выводу: на евклидовой расширенной плоскости сторона АС полного четырехугольника ABCD параллельна прямой MN. А если при этом точка А является серединой отрезка ВМ, то точка С — середина отрезка BN. Тогда точка D становится точкой пересечения медиан AN, ВР и МС треугольника BMN (рис. 293, б). Иными словами, свойство медиан треугольника пересекаться в одной точке является следствием гармонического свойства полного четырехугольника. Это означает, что проективная геометрия изучает более общие свойства фигур по сравнению с евклидовой геометрией.
Очень велико значение Понселе в «наведении порядка в проективной геометрии». Выделив проективные свойства фигур в особый класс, Понселе обнаружил и новый метод, новый инструмент их изучения, порожденный внутренней структурой проективного пространства. Этот метод вошел в геометрию под названием «Принцип двойственности»: «Малый принцип двойственности» на проективной плоскости и «Большой принцип двойственности» в проективном пространстве.
286
Дополнения
Для того чтобы понять сущность малого ♦ Принципа двойственности», будем говорить, что прямая а и точка В инцидентны. если прямая а проходит через точку В или если точка В принадлежит прямой а.
Используя термин «инцидентность», получим два предложения:
Две любые точки инцидентны единственной прямой.
Две любые прямые инцидентны единственной точке.
В геометрии проективной плоскости оба эти утверждения верны; в их формулировках наблюдается «симметрия» относительно точек и прямых. Такие предложения называют двойственными предложениями.
А вот пример двойственных понятий в геометрии на проективной плоскости: множество всех прямых, инцидентных одной точке S, называется пучком прямых; точка S при этом называется центром пучка прямых. Множество всех точек, инцидентных одной прямой а, называется линейным рядом точек; прямая а при этом называется носителем линейного ряда точек. В формулировках этих понятий также наблюдается «симметрия» относительно точек и прямых: линейный ряд точек и плоский пучок прямых — двойственные понятия.
Оказывается, такая картина, когда всякому предложению относительно инцидентности точек и прямых на проективной плоскости соответствует двойственное ему предложение, наблюдается потому, что в проективной планиметрии имеет место малый принцип двойственности, согласно которому:
«Любому проективному предложению относительно точек и прямых на плоскости соответствует второе, двойственное предложение, которое может быть получено из первого заменой в нем слова «точка» словом «прямая» и слова «прямая» словом «точка». Оба взаимно двойственных предложения верны, если доказано одно из них».
Теперь можно видеть, что теорема Дезарга и обратная ей теорема — пример двойственных предложений.
В геометрии проективного пространства также условились говорить, что «плоскость а инцидентна точке А (прямой о)», если точка А (прямая а) лежит в плоскости а или если плоскость а проходит через точку А (через прямую а).
287
5. О различных ветвях геометрии
При таком соглашении в формулировках различных предложений проективной стереометрии также наблюдается «симметрия» относительно точек и плоскостей. Вот некоторые из них:
«любые три точки, не инцидентные одной прямой, инцидентны одной плоскости» и «любые три плоскости, не инцидентные одной прямой, инцидентны одной точке»;
«точка и не инцидентная ей прямая инцидентны единственной плоскости» и «плоскость и не инцидентная ей прямая инцидентны единственной точке».
Оказывается, «симметрия» такого рода наблюдается потому, что в проективной стереометрии имеет место большой принцип двойственности, согласно которому:
«Любому проективному предложению относительно точек, прямых и плоскостей пространства соответствует второе, двойственное предложение, которое может быть получено из первого заменой в нем слова «точка» словом «плоскость» и слова «плоскость» словом «точка». При этом слово «прямая» не подвергать замене. Оба взаимно двойственных предложения верны, если доказано одно из них».
Убедитесь, например, что гексаэдр двойствен октаэдру, додекаэдр — икосаэдру.
Большая заслуга Понселе заключается в том, что, объединив в особый класс проективные свойства фигур, он в то же время показал, что для изучения этих свойств можно применять особый, синтетический проективный метод исследования, который в этом случае оказывался удобнее и сильнее аналитического.
Идеи Понселе получили дальнейшее развитие в работах немецких геометров Якоба Штейнера (1796—1863), Карла Георга Христиана фон Штаудта (1798—1867).
Якоб Штейнер родился 18 марта 1796 г. в семье швейцарского крестьянина в маленьком городке Уцендорфе недалеко от Берна. Жизнь его ничем не отличалась от жизни его товарищей — плуг, серп, хлев. Позднее он сам говорил, что к девятнадцати годам он едва умел писать, а уж о «светском воспитании» и говорить не приходится.
Якоб выделялся повышенной любознательностью, умением довольно быстро считать в уме и еще желанием стать учителем. Это желание, возможно, так и осталось бы несбывшимся.
288
Дополнения
Якоб Штейнер
(1796-1863)
если бы Якоб не был принят в школу-интернат (г. Ивердон), которой руководил один из основателей развиваюпцего обучения выдающийся швейцарский педагог Иоган Генрих Песталоцци (1746—
1827).
За полтора года пребывания в этом заведении Штейнер догнал своих учителей и, почувствовав интерес к математике, поступил в университет.
Первые научные работы он опубликовал в 1826 г. Одновременно Штейнер работал над капитальным сочинением ♦Систематическое развитие зависимостей геометрических образов одного от другого с учетом работ древних и новых геометров...». Постепенно его научные труды получают всеобщее признание. Штейнер получает звание профессора. Кенигсбергский университет присваивает ему степень доктора философии. а с 1834 г. он — член Академии наук. Однако стремительный взлет малообразованного крестьянина к академическим высотам потребовал огромного напряжения сил и дорого обошелся Штейнеру: он тяжело заболел и в апреле 1863 г. скончался.
Из задуманных Штейнером пяти частей выше упомянутой книги он написал только одну, вышедшую в Берлине в 1832 г. и обеспечившую ему бессмертие. Штейнер является самым выдающимся представителем синтетической геометрии XIX в.
Попробуем вместе со Штейнером разобраться в ♦систематическом развитии зависимостей геометрических образов одного от другого». Начнем с самого простого — точек и прямых.
По малому принципу двойственности линейный ряд точек (множество всех точек, принадлежащих данной прямой р) двойствен пучку прямых с центром S, а по большому принципу двойственности — пучку плоскостей (множеству всех плоскостей пространства, проходящих через данную прямую, которая называется осью пучка плоскостей).
Штейнер называет линейный ряд точек, пучок прямых и пучок плоскостей основными формами первой ступени в геометрии проективного пространства. Примечательно, что лю-
289
5. О различных ветвях геометрии
бые две формы первой ступени взаимно двойственны и любая ' из форм первой ступени может быть перспективно отображена на любую другую ее форму, если считать соответственными инцидентные друг другу элементы этих форм.
Далее Штейнер вводит формы второй ступени. К ним относятся:
плоское поле точек и прямых — множество всех точек и всех прямых данной плоскости, которая называется носителем поля-,
связка прямых и плоскостей — множество всех прямых и всех плоскостей пространства, проходящих через данную точку, которая называется центром связки.
Нетрудно установить, что эти формы взаимно двойственны.
Основными формами третьей ступени являются пространство всех точек и пространство всех плоскостей.
Далее вводятся определения проективного преобразования прямой, плоскости и пространства.
Взаимно-однозначное отображение одного линейного ряда точек на другой, при котором сохраняется сложное отношение любых четырех соответствующих точек, называется проективным отображением; ряды при этом называют проективными.
В этом случае также говорят, что между линейными рядами установлено проективное соответствие.
И еще один вывод следует из наших рассуждений: проективное соответствие между двумя линейными рядами может быть задано тремя парами соответственных точек.
После распространения определения проективности двух рядов на пучки прямых (по малому принципу двойственности) и пучки плоскостей (по большому принципу двойственности) Штейнер доказал, что проективное соответствие между двумя образами первой ступени может быть определено заданием трех пар соответственных элементов. Это предложение известно как «основная теорема проективной геометрии».
Штейнер обосновывает проективный способ образования кривых второго порядка. Он доказал, что в проективной плоскости множество точек пересечения всех пар соответственных прямых двух проективных пучков представляет собой кривую 2-го порядка (рис. 294).
10 Геометрия, 11 кл. Учебник
290
Дополнения
Рис. 294
Проективным способом могут быть получены также плоские и пространственные кривые третьего, четвертого и более высокого порядка, о чем мы скажем позднее.
А пока вернемся к тому, что для нахождения введенного Дезаргом сложного отношения четырех точек прямой приходится измерять длины отрезков. Но длина-то отрезка прежде всего и изменяется при проектировании. Иначе говоря, главный инвариант проективной геометрии определяется через понятие, являющееся не проективным, а метрическим (евклидовым), из чего можно, на первый взгляд, сделать «интересное» заключение о том, что проективная геометрия является частным случаем геометрии Евклида. Но это не так! На самом деле, наоборот, евклидова геометрия является частным случаем проективной.
Доказал это немецкий геометр Карл Георг Христиан фон Штаудт — родовитый дворянин из Южной Германии, обучавшийся у крупнейшего немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Штаудт был малоизвестен современникам, не стремился к популярности, вполне удовлетворялся репутацией «традиционного профессора» (профессуру он получил в 37 лет в Эрлангенском университете, в котором работал до конца своей жизни).
В своих главных трудах «Геометрия положения» и «Материалы для геометрии положения», вышедших в 1847 г. и 1856—1860 гг., Штаудт показал, как можно чисто геометрически (без применения метрических понятий) построить проективную геометрию на основе гармонизма. Для этого он вводит определение.
5. О различных ветвях геометрии
291
Константин
Алексеевич
Андреев
(1848-1921)
«Если на прямой даны три точки 1,2,
3, то точка 4, найденная построением Дезарга—Штейнера (см. рис. 291) называется четвертой гармонической к точкам 1, 2, 3 и гармонически сопряженной с точкой 2 относительно точек 1 и 3». Обратите внимание: называется! Теперь не нужно ничего измерять, а просто, используя полный четырехугольник, построить по данным трем точкам некоторую определенную четвертую точку и назвать ее четвертой гармонической. При этом Штаудт доказал, что положение этой «четвертой гармонической* однозначно определено и не зависит от «выбора* четырехугольника. А коль скоро гармонизм определен проективным образом и однозначно, то его можно использовать для определения проективного соответствия линейных рядов {«Два ряда (пучка) называются проективными, если между ними установлено взаимно однозначное соответствие так, что любой гармонической четверке элементов одного соответствует гармоническая четверка другого»). Штаудт доказал, что это определение эквивалентно аналогичному определению Штейнера. Вот теперь и база проективной теории стала проективной и вся надстройка проективной геометрии сохраняется, что свидетельствует о «самодостаточности* проективной геометрии как науки о проективных свойствах проективных фигур.
Основная теорема проективной геометрии Штаудтом формулируется так:
«В проективном соответствии, установленном между точками одной и той же прямой, не может существовать более двух двойных точек, если это соответствие не является тождественным*.
(В такой формулировке эта теорема носит имя Штаудта.)
Заслуга Штаудта состоит в том, что в его работах четко зафиксирована независимость проективной геометрии от
292
Дополнения
измерений, что послужило более быстрому дальнейшему развитию проективной геометрии.
Теперь можно строить проективную геометрию в образах второй и третьей ступеней.
Отображение одной плоскости на другую называется коллинеацией, если любые три коллинеарные точки отображаются на три коллинеарные точки. В таком случае также говорят, что между плоскостями установлена (задана) коллинеация.
С помощью полного четырехугольника можно доказать, что при любой коллинеации между двумя плоскостями всякий линейный ряд (пучок прямых) одной плоскости отображается на проективный ему линейный ряд (пучок прямых) другой, поэтому говорят, что между плоскостями задана проективная коллинеация.
Интерес представляет проективное отображение плоскости на себя, которое называют проективным преобразованием плоскости. При этом имеют место следующие две основные теоремы.
«Существует единственное проективное преобразование плоскости, при котором невырожденный полный четырехугольник А BCD отображается на другой невырожденный полный четырехугольник А'В'CD’».
«Проективное преобразование плоскости не может иметь более трех двойных точек, если это преобразование не является тождественным».
Крупнейший немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925) изложил в 1872 г. свои взгляды на геометрию в знаменитой «Эрлангенской программе», согласно которой геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при преобразованиях, образующих группу.
Исходя из этой точки зрения на геометрию, стало возможным сказать, что проективная планиметрия представляет собой науку о проективных свойст-
5. О различных ветвях геометрии
293
вах плоских фигур, т. е. таких свойствах геометрических фигур, которые сохраняются при всех проективных преобразованиях проективной плоскости. Проективная стереометрия — наука о проективных свойствах пространственных фигур. (Не об этом ли (правда, не в такой форме) говорил Понселе еще в 1822 г.?)
Одним из первых русских ученых, занимавшихся вопросами проективной геометрии, был профессор МГУ Василий Яковлевич Цингер (1836—1907), читавший курс проективной геометрии в МГУ.
Следует, прежде всего, среди учеников-проективистов В. Я. Цингера назвать Константина Алексеевича Андреева (1848—1921), который приходит к выводу; проективное взаимно-двузначное соответствие двух пучков прямых порождает кривые третьего и четвертого порядка.
Глубокие и оригинальные работы в области проективной геометрии принадлежат ученику В. Я. Цингера профессору Московского университета Алексею Константиновичу Власову (1868—1922), который развивает теорию линейных систем конических сечений, решает задачу построения образов высших порядков в формах первой ступени и др.
Среди достойных преемников К. А. Андреева и А. К. Власова выделяется профессор МГУ Нил Александрович Глаголев -(1888—1945). Наиболее крупным результатом его работы является решение общей задачи проективного исчисления, начало которому было положено в работах Штейнера и Штаудта.
Большой вклад в изучение проективной геометрии в России внесли Н. А. Глаголев, А. А. Глаголев, Г. Б. Гуревич,
Д. Д. Мордухай-Болтовской, А. Н. Колмогоров, П. К. Рашевский, Б. А. Розен-фельд, 3. А. Скопец, Н. Ф. Четверухин и многие другие.
Во второй половине XX столетия интенсивное развитие проективная геометрия
294
Дополнения
получила в трудах ученых Ярославской геометрической школы, организатором и бессменным руководителем которой был доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой геометрии Ярославского педагогического института (ныне — университета) им. К. Д. Ушинского Залман А.тгерович Скопец (1917—1984), научные исследования которого посвящены вопросам как элементарной, так и проективной, начертательной, неевклидовой и алгебраической геометрий.
5.5. О неевклидовой геометрии Лобачевского
До начала XIX столетия не возникало сомнений в незыблемости геометрии Евклида и невозможности логического обоснования и построения другой геометрии, отличной от евклидовой. Но это ♦невозможное* сделал великий русский ученый, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792—1856). Он открыл новую геометрию, которая оказалась также логически безупречной и верной, как и геометрия Евклида.
Однако не следует думать, что если созданная Лобачевским геометрия является новой, то она во всем отличается от евклидовой геометрии. Это далеко не так.
Начальные сведения геометрии Евклида и геометрии Лобачевского во многом, естественно, совпадают. Для них одинаковы определения и аксиомы (исключая аксиому параллельности прямых), а также ряд теорем об углах и о треугольниках. Отличаться начинают эти геометрии одна от другой лишь тогда, когда неизбежным становится применение той или иной аксиомы параллельности. Дело в том, что аксиома параллельности Лобачевского радикально отличается от аксиомы параллельности Евклида.
Вот эти аксиомы в современной формулировке.
Аксиома параллельности Евклида. На плоскости, через точку, взятую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, которая не пересекает данную (т. е. параллельна ей).
Аксиома параллельности Лобачевского. На плоскости, через точку, взятую вне данной прямой, можно провести по крайней мере две прямые, которые не пересекают данную (т. е. параллельны ей).
295
5. О различных ветвях геометрии
Совокупность предложений геометрии, доказательства которых не опираются на аксиому параллельности прямых или на предложения, уже ранее доказанные с ее помощью, принято называть абсолютной геометрией. При этом совокупность предложений геометрии, доказательства которых опираются на аксиому параллельности Евклида или на предложения, уже ранее доказанные с ее помощью, называют геометрией Евклида {собственно евклидовой геометрией), а совокупность предложений геометрии, доказательства которых опираются на аксиому параллельности Лобачевского или на предложения, уже ранее доказанные с ее помощью, — геометрией Лобачевского (неевклидовой геометрией). Из сказанного видно, что все предложения абсолютной геометрии справедливы как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского.
После «Начал» Евклида, в которых сформулирована аксиома параллельности (она появилась в «Началах» под названием «Пятый постулат»), до создания геометрии Лобачевского (он назвал ее «воображаемой») прошло около 20 веков, в течение которых проблема пятого постулата волновала умы многих крупнейших математиков мира того времени.
Дело в том, что при анализе «Начал» обнаруживается, что
V постулат Евклида существенно отличается от остальных сложностью формулировки. Этот постулат Евклидом сформулирован так: «если при пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то эти прямые пересекаются и притом с той стороны, где эта сумма меньше 2d» (Символом d раньше обозначали величину прямого угла.)
В то же время V постулат находит довольно позднее свое применение: «Начала» разбиваются как бы на две независимые части — абсолютная геометрия («геометрия без V постулата») и собственно евклидова геометрия («геометрия с V постулатом»). В этой связи естественно возникают вопросы: нужен ли V постулат? Нельзя ли логически вывести его из остальных постулатов и аксиом? Иначе говоря, не зависит ли
V постулат от остальных постулатов и аксиом евклидовой геометрии?
Начавшиеся уже в эллинскую эпоху попытки вывести пятый постулат о параллельных прямых как логическое следст-
296
Дополнения
вие из остальных постулатов и аксиом евклидовой геометрии неизменно продолжались в средние и новые века. Весь смысл задачи заключался в том, чтобы доказать этот постулат, не вводя вместо него никаких других допущений.
Трудно указать выдающегося математика, начиная с Птолемея (II в.) и кончая автором классического курса элементарной геометрии Лежандром (1752—1833), который не прилагал бы усилий к тому, чтобы, по выражению Лобачевского, «заделать брешь теории параллельных*. Прокл (410—485), например, писал о пятом постулате: «Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это — теорема, вызываюи^ая много сомнений».
Ошибки ученых при доказательствах V постулата иногда заключались в погрешностях, которые допускали авторы, запутавшись в сложных построениях, чаще же всего в том, что вместо доказываемого постулата явно или косвенно вводился другой, равносильный ему постулат. Обычно эти доказательства проводились методом от противного: принимали положение, противное доказываемому, и старались путем логических рассуждений получить противоречие с уже установленными предложениями. Кроме того, авторы в ту пору еще не достаточно четко оперировали с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами, «свободно* пользуясь которыми можно доказать все, что угодно.
Одним из ученых, работавших над проблемой пятого постулата, был профессор Оксфордского университета Джон Валлис (1616—1703). Он считал бесспорным следующее положение: «для каждой фигуры всегда суш,ествует подобная ей фигура произвольной величины», и в 1663 г. на основании этой аксиомы изложил «доказательство* V постулата Евклида. На самом деле, аксиома Валлиса о существовании подобных фигур эквивалентна V постулату («забегая вперед* скажем, что в геометрии Лобачевского подобные треугольники не существуют).
Другим ученым, предвосхитившим неевклидову геометрию, был итальянский математик Джироламо Саккери (1667— 1733), преподававший грамматику в иезуитской коллегии в Милане. Здесь, под влиянием Джованни Чевы (1648—1734), Саккери стал серьезно заниматься математикой. Впоследствии он преподавал математику в университете г. Павии.
1
297
5. О различных ветвях геометрии
В 1773 г. Саккери опубликовал книгу под названием ♦Евклид, очищенный от всех пятен». В ней Саккери поставил перед собой задачу, в первую очередь, доказать V постулат, однако, он не сумел до конца пройти намеченный им путь. (Лобачевский, идя по этому пути, сумел открыть неевклидову геометрию.)
Саккери независимым способом доказывает, что сумма углов треугольника не может быть более 180°, если принять постулат о параллельных линиях, то эта сумма равна 180°; если его опровергнуть, то она должна быть меньше 180°. Исходя из допущения, что сумма углов треугольника меньше 180° («гипотеза острого угла»), Саккери доказывает, что две непересе-кающиеся'прямые, расположенные в одной плоскости, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую сторону, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны. Он доказывает, что (при гипотезе острого угла) перпендикуляр к одной стороне острого угла сначала пересекает вторую сторону, а потом, по мере удаления от вершины, перестает ее пересекать; что при этом существует предельный — первый не пересекающий перпендикуляр. Саккери заявляет: «Гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо противоречит природе прямой линии». Это заявление Саккери свидетельствует о его некомпетентности в обращении с бесконечно удаленными точками. И тем не менее, он заканчивает: «На этом я мог бы спокойно остановиться; но я не хочу отказаться от попытки доказать, что эта упорная гипотеза острого угла, которую я вырвал уже с корнем, противоречит самой себе...» Далее следуют выводы, совпадающие с первыми предложениями геометрии Лобачевского.
Заслуга Саккери состоит в том, что он первый со всей определенностью связал учение о параллельных линиях с вопросом о сумме углов треугольника: три гипотезы, которые при этом возникают, действительно ведут к трем возможным геометрическим системам, трем различным геометриям: геометрии Евклида, геометрии Лобачевского, геометрии Римана.
Бернхард Риман (1826—1866) — великий немецкий математик, последователь Лобачевского, в своей лекции «О гипо-
298
Дополнения
Бернхард Риман
(1826-1866)
тезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 г. в Геттингенском университете, включил в число аксиом предложение: «каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую», откуда следует, что в геометрии Римана вообще не существует параллельных прямых. Эта аксиома выполняется, например, в геометрии на сфере, где сумма углов сферического треугольника больше 180°. Заметим, что лекцию высоко оценил присутствовавший на ней Карл Гаусс, однако она осталась незамеченной в математическом
мире. Только после смерти Б. Римана текст лекции был обнаружен в его бумагах Р. Дедекиндом, опубликован в 1868 г. и произвел огромное впечатление на ученых-математиков всего мира.
О сферической геометрии вы можете прочитать очерк в конце этого учебника.
К числу предшественников Лобачевского следует отнести и члена Берлинской Академии наук — астронома, математика и философа Иоганна Генриха Ламберта (1728—1777), родившегося в Эльзасе, в г. Мюльгаузене, который состоял в Швейцарском союзе. В середине 60-х годов Ламберт занимался теорией параллельности и в середине XVIII в. опубликовал сочинение «Теория параллельных линий», в котором содержатся такие же выводы, как и у Саккери. Он даже делает заключение о том, что гипотеза острого угла имеет место «на какой-то мнимой сфере». (Это замечательное предвидение оправдалось примерно через сто лет.)
В заключение своих исследований в теории параллельных Ламберт приходит к твердому выводу о том, что все попытки доказать V постулат Евклида ни к чему не приведут.
XIX в. начинается замечательными исследованиями Адриена Мари Лежандра (1752—1833) по теории параллельных линий, выпустившего в свет «Начала геометрии», а затем обширную статью, помещенную в «Мемуарах Парижской академии», где он показывает, что теорема о сумме внутренних углов прямолинейного треугольника эквивалентна V постулату. К предшественникам Лобачевского относятся также
299
5. О различных ветвях геометрии
немецкий юрист и математик профессор Харьковского университета Ф. К. Швейкарт (1780—1857) и его племянник Ф. А. Тауринус (1794—1874). Швейкарт независимо от других пришел к убеждению, что кроме евклидовой геометрии может существовать еще и другая, которую он называет «астральной» геометрией и в которой сумма углов треугольника менее двух прямых углов, но своих выводов он не опубликовал.
Два тысячелетия бесплодных попыток доказать пятый постулат привели Н. И. Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, и поэтому его доказать нельзя.
Лобачевскйй обратился к методу доказательства от противного, допустив, что V постулат неверен. Из этого допущения последовали предложения, противоречащие многим теоремам классической геометрии и нашим представлениям о пространстве, которые сложились на основе многовекового опыта. Огромная заслуга Лобачевского заключается в его понимании, что эти противоречия коренятся не в том, что V постулат есть следствие остальных геометрических аксиом и не в том, что, отвергая его, мы впадаем в противоречие с этими аксиомами, а в том, что V постулат есть новое независимое допущение, не вытекающее из других постулатов и аксиом, и поэтому, не нарушая этих аксиом, мы можем его принять и можем его отвергнуть. Принимая его, Евклид создал свою классическую геометрию; отвергая его, Лобачевский создал свою «воображаемую геометрию», столь же строгую, логически безупречную и непротиворечивую, как и геометрия Евклида. Обе геометрии одинаково верны с логической точки зрения, и возникшие противоречия — результат различия двух различных геометрических систем.
Вернемся к вопросу о параллельных линиях и рассмотрим некоторые вопросы неевклидовой геометрии (планиметрии) Лобачевского.
Прежде всего напомним, что все предложения абсолютной геометрии справедливы в геометрии Лобачевского.
Плоскость, в которой выполняются все аксиомы абсолютной геометрии и аксиома параллельности Лобачевского, называется гиперболической плоскостью или плоскостью Лобачевского.
300
Дополнения
Пусть в данной гиперболической плоскости а точка С лежит вне данной прямой АВ. По аксиоме параллельности Лобачевского в плоскости а через точку С можно провести по крайней мере две прямые, которые не пересекают прямую АВ. Обозначим эти прямые СК и СР (рис. 295). Если прямые СК и СР не пересекают прямую АВ, то любая прямая СМ, проходящая между прямыми С К и СР в вертикальных углах К'СР и КСР', также не пересекает прямую АВ, т. е. на основании аксиомы параллельности Лобачевского через точку С в плоскости АВС проходит бесконечное множество прямых, непересекающих прямую А В.
С другой стороны, если X — любая точка прямой АВ, то прямая СХ пересекает прямую АВ в точке X, причем прямая СХ проходит уже в вертикальных углах КСР и К'СР'. Вращая прямую СХ вокруг точки С в направлении против часовой стрелки, мы будем получать прямые, пересекающие прямую АВ соответственно в точках Xj, Xg, ..., расположенных правее точки X (см. рис. 295).
Таким обра.зом, через точку С проходит бесконечно много прямых, пересекающих прямую АВ, и бесконечно много прямых, не пересекающих АВ. При этом, ♦ пересекающие» прямые лежат по одну сторону от «непересекающих», т. е. если CF и СН — «непересекающие» прямые, то ни одна прямая, лежащая между ними внутри угла FCH, не может быть «пересекающей» прямой и наоборот (см. рис. 295).
Такое разбиение всех прямых пучка с центром С означает, что должна существовать либо последняя «пересекающая» прямую АВ, либо первая «непересекающая» эту прямую. Но, как легко убедиться, последней «пересекающей» прямую АВ быть не может, значит, граничной прямой, отделяющей «пересекающие» прямую АВ от «непересекающих» ее, является первая «непересекающая». Эту граничную прямую Лобачевский и называет прямой, параллельной прямой АВ точке С.
Пусть этой прямой является прямая СУ (рис. 296). Тогда прямая CZ, симметричная СУ относительно перпендикуляра CL к данной прямой АВ, также параллельна прямой АВ точке С.
Таким образом, в гиперболической плоскости картина расположения прямых, проходящих через точку С, относи-
5. О различных ветвях геометрии
301
тельно прямой АВ, представляется в таком виде: через точку С прохрдят две прямые Y'Y и Z'Z, параллельные прямой АВ, расположенные симметрично относительно перпендикуляра CL к данной прямой АВ; прямые, расположенные внутри вертикальных углов Y'CZ и YCZ' не пересекают прямую АВ. Лобачевский называет эти прямые расходящимися с АВ: все остальные прямые пучка с центром С {они пересекают АВ) Лобачевский называет сходящимися с АВ.
В целях наглядности на рисунках будем указывать стрелкой направление прямой и при этом говорить, что направленная прямая Y'Y параллельна направленной прямой АВ, а направленная прямая Z'Z параллельна направленной прямой ВА (см, рис. 296).
Заметим, что прямая ЕЕ' (см. рис. 296), проходящая через точку С перпендикулярно прямой CL (CL ± АВ), принадлежит к числу прямых, расходящихся с АВ, т. е. в гиперболической плоскости две прямые, имеющие общий перпендикуляр расходятся. (В евклидовой плоскости две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны.)
Параллельные прямые как в евклидовой, так и в гиперболической плоскости обладают следующими свойствами: если AB\\CD, то CD\\AB; если АВЦСВ, CD\\KP, то АВ\\КР.
Николай Иванович Лобачевский ввел следующее понятие угла параллельности.
Пусть АК и АР — прямые, параллельные прямой ВС в точке А, AD — перпендикуляр к ВС (рис. 297). (Прямые АК и АР симметричны относительно АВ.)
В плоскости Лобачевского углом параллельности, соответствующим данной прямой ВС в данной точке А, вне ее лежащей, называется острый угол KAD
302
Дополнения
между перпендикуляром AD, опущенным из точки А на ВС, и прямой АК, параллельной данной прямой ВС.
Если длину перпендикуляра AD обозначить х, то где бы точка А ни была расположена относительно прямой ВС, находясь от нее на расстоянии х, величина угла параллельности не изменяется. Иначе говоря, угол параллельности в плоскости Лобачевского является инвариантом движения. Это, в свою очередь, означает, что с изменением расстояния х от точки А до прямой ВС угол параллельности меняет свою величину, т. е. угол параллельности является функцией расстояния х от точки А до прямой ВС. Эту функцию Лобачевский обозначает через Щд:): а = II(jc). {Евклидова геометрия характеризуется тем, что в ней угол а = П(х) всегда прямой, каков бы ни был отрезок AD.)
Лобачевский доказывает, что О < П(х) < ^ . При этом функ-
А
ция П(х) монотонно убывает с возрастанием аргумента х: lim П(х) = О, lim П(л:) = 5 , т. е. по мере удаления точки А от
ж ->оо ж ->0 j£
прямой ВС угол а = П(х) уменьшается от 90° до 0°. Более того, каков бы ни был острый угол а, всегда существует один и только один отрезок длиной х такой, что П(х) = а, т. е. функция П(х) обратима.
Здесь уместно заметить, что мы, вероятно, потому питаем большое доверие к евклидовой геометрии, что все доступные нам измерения происходят в таком незначительном уголке вселенной, что не представляется возможным обнаружить отличие евклидовой геометрии от наших ощущений. Поэтому не исключено, что вера в утверждение «сумма внутренних углов линейного треугольника равна 180°;» была обусловлена тем, что экспериментальной проверке этого утверждения подвергались треугольники достаточно малых размеров. Лобачевский вычислил сумму углов треугольника, вершинами которого служили Земля, Солнце и звезда Сириус, и получил угловой дефект (угловой недостаток до 180°) 0",000372. (Даже столь малое отличие суммы углов этого треугольника от 180° не поколебало убежденности Лобачевского в неевклидовости мирового пространства.)
Следствием аксиомы параллельности Лобачевского является рождение новой геометрии, которую называют гео мет-
303
5. О различных ветвях геометрии
А В
Рис. 298
Рис. 299
Рис. 300
рией Лобачевского или гиперболической геометрией. В этой геометрии имеется ряд предложений, совершенно отличающихся от соответствующих предложений геометрии Евклида.
Некоторые из утверждений планиметрии Лобачевского мы приведем в качестве примеров. Доказывать же здесь эти предложения нам he представляется возможным.
Вот некоторые из этих утверждений.
Точки ориентированной прямой CD, параллельной прямой АВ, неограниченно приближаются к АВ в сторону параллельности и неограниченно от нее удаляются в противоположную сторону. Это неограниченное приближение параллели CD к АВ выражают так: параллельные прямые в сторону параллельности асимптотически приближаются одна к другой (рис. 298) {по-видимому, именно асимптотическое приближение прямых друг к другу было не до конца понято Саккери при исследовании им гипотезы острого угла).
Прямая в гиперболической плоскости имеет две бесконечно удаленные точки. (В евклидовой плоскости прямая дополняется только одной бесконечно удаленной точкой.)
В гиперболической плоскости существует ряд «интересных» особенностей взаимного расположения параллельных прямых (параллелей).
Договоримся, что если две параллели имеют общую бесконечно удаленную точку В, то будем записывать АВ|| СВ. На рисунках направления параллельности будем указывать стрелками (рис. 299).
Фигуру, состоящую из двух лучей АВ, АС и прямой ВС, которой они параллельны в одну и в другую сторону (рис. 300) {конфигурация Лобачевского—Больяи), можно рассматривать как треугольник с одной конечной и двумя бесконечно удаленными вершинами.
В геометрии Лобачевского треугольник с двумя конечными и одной бесконечно удаленной вершинами иногда (рис. 301) называют двуугольником.
304
Дополнения
Рис. 301
Рис. 302
Теперь возьмем между параллелями АВ и СВ любую точку М и проведем через нее прямые МА и МС, параллельные тем же прямым, обращенным в противоположные стороны, т. е. направленным прямым ВА и ВС (рис. 302, а; МЛЦВА, МС II ВС). Пусть Z АМС = 2а. Тогда на биссектрисе угла АМС существует такая точка Н, удаленная от точки М на расстояние X, что П(лс:) = а. Прямая АС, проходящая через точку Н перпендикулярно МН, параллельна каждой из прямых МА и МС, значит, параллельна ВА и ВС. Таким образом мы получили треугольник АВС, все три стороны которого попарно параллельны (рис. 302, б).
В гиперболической плоскости две расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются одна от другой (рис. 303). Длина этого перпендикуляра принимается за расстояние между расходящимися прямыми.
Пусть АВ и СН — две расходящиеся прямые. Из середины М их общего перпендикуляра КР проведем прямые МВ\\КВ и МА\\КА, МН\\РН и МС\\РС (рис. 304) (такие прямые существуют, согласно обратимости функции Лобачевского П(х)). Тогда для каждого из углов АМС и ВМН существуют соответственно прямые АС и ВН, параллельные сторонам этих углов.
К
В
Н
IN
м
В
Н
Рис. 303
Рис. 304
305
5. О различных ветвях геометрии
Конфигурация, которую мы таким образом получили, представляет собой своеобразный четырехугольник АВНС, четыре вершины которого лежат в бесконечно удаленных точках прямых, являющихся его сторонами; стороны и диагонали этого четырехугольника параллельны между собой в направлениях, указанных стрелками. (О таком четырехугольнике упоминает Швейкарт в заметке, которую он послал Гауссу.)
Далее, сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского является переменной величиной — она меняется от треугольника к треугольнику, но всегда остается меньше 180°. Угловым дефектом треугольника АВС в плоскости Лобачевского (его обозначают 8^^^) называется разность между числом п и суммой величин всех трех его внутренних углов, т. е. ^Авс = (А + в + С), где А, В иС — величины соответствующих углов в радианном измерении.
В гиперболической плоскости площадь треугольника пропорциональна его угловому дефекту, т. е ~ ' ^авс ~
= А- В- С), где k — гиперболическая постоянная. 1^о
означает, например, что в гиперболической плоскости все треугольники, имеющие общее основание и одну и ту же сумму углов, равновелики.
В геометрии Лобачевского нет подобных треугольников,
т. е. все треугольники, имеющие соответственно равные углы, равны между собой.
Существуют треугольники, вокруг которых нельзя описать окружность и в которые нельзя вписать окружность. Дело в том, что в гиперболической плоскости серединные перпендикуляры к сторонам треугольника либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо все три перпендикулярны к одной прямой’, то же имеет место и относительно биссектрисы внутренних углов треугольника.
В гиперболической плоскости имеются три типа пучков прямых: пучок сходящихся прямых, пучок параллельных прямых, пучок расходяпщхся прямых — множество всех прямых плоскости, перпендикулярных одной прямой — базисной прямой пучка.
В евклидовой плоскости имеются только две линии постоянной кривизны — прямая и окружность.
306
Дополнения
Ь_
ь_
а)
Рис. 305
В ПЛОСКОСТИ Лобачевского, кроме прямой и окружности, линиями постоянной кривизны являются эквидистанта и предельная линия (ее еще называют орициклом).
Эквидистанта представляет собой множество всех точек гиперболической плоскости, равноудаленных от данной прямой а; она состоит из двух ветвей, расположенных по одной в разных полуплоскостях относительно данной прямой а, называемой базой эквидистанты (на рис. 305, а изображена одна ветвь эквидистанты). (В еклидовой плоскости такое множество точек представляет собой две параллельные прямые.) Прямую в гиперболической плоскости можно отнести к экви-дистантам, если расстояние от данной прямой — базы положить равным нулю.
Предельную линию можно представить как окружность бесконечно большого радиуса (рис. 305, б) {предельный переход от окружности конечного радиуса к окружности бесконечно большого радиуса выражен в названии этой линии).
Мы познакомились с некоторыми утверждениями планиметрии Лобачевского. Геометрию в плоскости Лобачевского (в гиперболической плоскости) называют гиперболической геометрией.
Не менее интересна геометрия в пространстве Лобачевского, т. е. в пространстве, в котором выполняется аксиома параллельности Лобачевского.
Заметим, что в евклидовом пространстве существуют два вида поверхностей постоянной кривизны — плоскость и сфера, которые допускают внутреннюю геометрию, основанную на движении без деформации: на первой имеет место евклидова геометрия, на второй — сферическая геометрия (см. «Эле-
307
5. О различных ветвях геометрии
менты сферической геометрии* в конце учебника). Кроме того, итальянский геометр Э. Бельтрами показал, что в евклидовом пространстве существуют поверхности, которые несут на себе планиметрию Лобачевского (см. «Дифференциальная геометрия* в конце учебника). Эти поверхности называют псевдосферами (рис. 306). Образно выражаясь, можно сказать, что на псевдосферическую поверхность навертывается гиперболическая плоскость, подобно тому, как на обыкновенную цилиндрическую поверхность навертывается евклидова плоскость. На рисунке 306, б можно видеть, что на «плоскости Лобачевского* (на псевдосфере) через точку А, не лежащую на «прямой* а, проходят две «прямые* Ь и с, не пересекающие «прямую* а. ”
Не менее интересная картина наблюдается в пространстве Лобачевского, в котором в гиперболической плоскости имеет место гиперболическая геометрия, а геометрия на сфере та же самая, что и в пространстве Евклида {сферическая геометрия).
Но в пространстве Лобачевского существуют и другие поверхности, которые допускают внутреннюю геометрию поверхности.
Если предельную линию вращать вокруг одной из своих осей, то получается поверхность, которую Лобачевский называет предельной поверхностью или орисферой (предельной сферой). Эту поверхность можно представить как сферу с бесконечно удаленным центром. Такая поверхность может
б)
Рис. 306
308
Дополнения
скользить по самой себе; на ней можно строить внутреннюю геометрию. Лобачевский доказал, что на предельной поверхности выполняется обычная двумерная геометрия Евклида. Не странно ли: отказ от евклидовой геометрии на двумерной плоскости в пространстве Лобачевского порождает евклидову же геометрию на другой двумерной поверхности? Носителем этой евклидовой геометрии в гиперболическом (неевклидовом) пространстве является предельная поверхность (ее называют еще орисферой).
Это восстановление евклидовой планиметрии в неевклидовом пространстве имеет чрезвычайно большое значение. Используя факт существования евклидовой геометрии на предельной поверхности, Лобачевский приходит к тригонометрии прямоугольных треугольников в гиперболической плоскости, расположение которой он строит в ♦воображаемой геометрии», как ее называет Лобачевский, аналитическую геометрию, дифференциальную геометрию, развивает дифференциальное и интегральное исчисление. Он развивает созданную им геометрию до такого уровня, которого достигла до него в течение последних трех столетий классическая, ♦употребляемая» геометрия. И чем дальше шло это развитие новой геометрии, не наталкиваясь ни на какие противоречия, тем тверже крепла уверенность Лобачевского в ее незыблемости. Лобачевским была создана совершенно новая наука, принесшая новые идеи и факты, свидетельствующие о гениальности ее творца. Прецедента этому история развития человеческого знания не имела.
Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде в семье небогатого чиновника. Вскоре, после смерти в 1797 г. отца, мать Лобачевского, Прасковья Ивановна Лобачевская, переехала в Казань. Ей удалось определить всех троих сыновей (Александра — 11 лет, Николая — 10 лет и Алексея — 7 лет) в Казанскую гимназию; Николай был зачислен в нее в 1802 г. В 1805 г. был открыт Казанский университет. Николай Лобачевский, получив под влиянием одного из лучших преподавателей Г. И. Карташевского глубокие знания по математике, поступил в Казанский университет
309
5. О различных ветвях геометрии
В 1807 г. С этого момента и до конца дней жизнь Лобачевского была тесно связана с Казанским университетом.
На первых порах после поступления в университет заниматься математикой было не у кого (Г. И. Карташевский уже не работал в университете), и Лобачевский начал заниматься медициной. Но уже в январе 1808 г., после приезда высокообразованного математика — профессора М. Ф. Бартельса, Лобачевский оставил медицину и целиком отдался занятиям математикой. Бартельс занимался с Лобачевским на дому, и нет сомнения, что глубиной и разносторонностью математического образования Лобачевский во многом обязан Бартельсу. Одновременно j3h довольно серьезно изучал также физику и астрономию.
В 1814 г. Лобачевский был произведен в адъюнкты (ныне — доценты) университета, в 1816 г. он становится профессором, а в 1820 г. — деканом физико-математического отделения. В 1827 г. Н. И. Лобачевский — ректор Казанского университета. Об уважении, которое он себе завоевал в качестве ректора университета, свидетельствует то, что он избирался на этот пост шесть раз и занимал его без перерыва около двадцати лет (с 1827 по 1846 г.).
В 1846 г. исполнилось 30 лет со времени назначения Лобачевского профессором. Совет университета ходатайствует об оставлении Лобачевского на посту ректора, но он от этой чести отказался и подал в отставку.
Однако Лобачевский был назначен в том же году помощником попечителя Казанского учебного округа и в этой должности пробыл до 1855 г.
Один из курсов, которые Лобачевский читал студентам университета в начале своей преподавательской деятельности, был посвящен изложению элементарной геометрии. По-види-мому, размышления, связанные с этим курсом, привлекли внимание Лобачевского к теории параллельных линий. Уже в 1823 г. Лобачевский понимал, что ни одно из предложенных доказательств пятого постулата не может быть признано удовлетворительным; тогда он еще не исключал возможности, что такое доказательство может быть найдено. Посвятив последующие годы размышлениям над этим вопросом, он приходит к полному решению проблемы, которую пытались разгадать в течение двух тысячелетий.
310
Дополнения
23 февраля 1826 г. Н. И. Лобачевский на заседании физико-математического факультета Казанского университета сделал доклад «Краткое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Это был, по выражению профессора А. П. Котельникова, день рождения неевклидовой геометрии. В 1829 г. Лобачевский опубликовал в «Казанском вестнике* статью «О началах геометрии», в которой продолжены исследования, изложенные в докладе «Краткое изложение...». Затем последовал ряд других его мемуаров, развивающих решение проблемы параллельных линий: «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с полной теорией паралле.яьных» (1835—1838), «Геометрические исследования по теории параллельных» (опубликованы впервые в 1840 г. в Берлине на немецком языке).
Однако новые идеи Лобачевского были настолько революционными и до того опередили свой век, что не могли быть поняты даже такими крупными математиками того времени, как академики М. В. Остроградский (1801—1861) и В. Я. Бу-няковский (1804—1889). Положительно оценил работы Лобачевского лишь профессор А. П. Котельников.
Новая геометрия не была признана современниками, напротив, она была встречена с полным равнодушием и даже с иронией. Неевклидову геометрию встретили враждебно, многие считали ее сплошной фантазией, а ее автора — чудаком и даже невеждой. В русской и немецкой печати появились статьи о работах Лобачевского, проникнутые издевательством и принесшие много горечи в жизнь гениального ученого.
Такое отношение к делу всей его жизни не могло не сказаться на здоровье Н. И. Лобачевского. Но одинокий Лобачевский не отказался от своих идей — он твердо был убежден в логической верности неевклидовой геометрии. Последнюю свою работу «Пангеометрия» (1855) он диктовал своим ученикам, будучи слепым. 24 февраля 1856 г. Н. И. Лобачевский скончался.
И в то же время, когда Лобачевский занимался созданием новой (неевклидовой) геометрии, выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс и гениальный венгерский мате-
5. О различных ветвях геометрии
311
Янош Больяи
(1802-1860)
матик Янош Больяи (Бойяи) (1802—
1860), совершенно независимо друг от друга и от идей Лобачевского, пришли к такой же неевклидовой геометрии, что и Лобачевский. Однако «Appendix»
Я. Больяи был издан лишь в 1832 г., через 3 года после выхода в свет статьи «О началах геометрии» Н. И. Лобачевского, а исследования Гаусса стали достоянием гласности лишь после его смерти, так как он не решился публично выступить в зап^иту новой геометрии. (Еще в 1818 г. Гаусс пришел к мысли о существовании наряду с евклидовой геометрией другой, неевклидовой геометрии. Но свои идеи опубликовать он побоялся: «...осы, вековое гнездо которых вы разрушаете, поднимутся над вашей головой...» — так он писал одному из молодых математиков, пытавшемуся публично выступить в пользу неевклидовой геометрии; к тому же, результаты своих исследований и Лобачевский, и Я. Больяи посылали для отзыва великому Гауссу, но ответов ни одному из них он не отправил, хотя и высоко оценивал работу каждого из них.)
Только в 60-х годах XIX столетия, когда была опубликована переписка Гаусса с его друзьями, ученые узнали, что Гаусс полностью разделял идеи Лобачевского и Больяи на неевклидову геометрию и сам пришел к тем же идеям. После известия о том, что Гаусс признал геометрию Лобачевского логически верной, «неевклидова геометрия» (названная так именно Гауссом) привлекла внимание математиков мира.
Противники неевклидовой геометрии были вынуждены окончательно признать право на ее существование после того, как Э. Бельтрами в 1868 г. нашел модель для планиметрии Лобачевского. Он показал, что существуют реальные тела, на поверхности которых выполняется планиметрия Лобачевского, что в евклидовом пространстве существуют объекты неевклидовой природы. А в 1870 г. модель геометрии Лобачевского была построена великим немецким математиком Феликсом Клейном. Существуют и другие модели-интерпретации геометрии Лобачевского.
312
Дополнения
Вениамин Федорович Каган
(1869-1953)
Открытие геометрии Лобачевского имело огромное значение как для развития геометрии {появились новые неевклидовы геометрии, в первую очередь, геометрия Римана), так и для развития других естественно-научных дисциплин, способствующих более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.
Значительный вклад в изучение и развитие геометрии Лобачевского в России внесли известные отечественные ученые в области геометрии Г. Б. Гуревич,
Н. В. Ефимов, В. Ф. Каган, Б. Л. Лаптев,
A. П. Норден, П. К. Рашевский, Б. А. Розенфельд, 3. А. Скопец, И. М. Яглом и многие другие.
Огромный вклад по разработке геометрического наследия Н. И. Лобачевского внес один из основателей отечественной научной геометрической школы, один из крупнейших специалистов в учении об обосновании геометрии, а также в области неевклидовой геометрии, профессор МГУ Вениамин Федорович Каган (1869—1953).
В своей книге «Очерки по геометрии* (М., 1963, с. 240)
B. Ф. Каган сказал: «В истории математики, в истории точного знания и философии Лобачевский всегда будет принадлежать к числу величайших основоположников наряду с Архимедом, Галилеем, Коперником и Ньютоном».
5.6. О сферической геометрии
Сферические прямые, отрезки, окружности
Сферическая геометрия, т. е. геометрия на сфере, имеет «небесное» происхождение: с геометрией на сфере люди столкнулись впервые в астрономии, при изучении видимой части «небесной* сферы, той небесной, воображаемой сферы, которая простирается над Землей и на которой нам представляются движения небесных тел.
Сферическая геометрия возникла в I в. н. э. после установления контакта между греческими и александрийскими геометрами и вавилонскими астрономами. Позже, с развитием
313
5. О различных ветвях геометрии
мореплавания и географии, сферическую геометрию стали применять и к поверхности земного шара. В настоящее время плоская' и сферическая геометрии широко применяются также в геодезии.
Что же изучает сферическая геометрия?
Роль точек в сферической геометрии играют любые точки сферы, роль прямых — большие окружности сферы.
Рассмотрим ряд аналогий и различий между плоской и сферической геометриями.
Любая большая окружность сферы является пересечением этой сферы и некоторой ее диаметральной плоскости. Так как через любые две точки сферы, не являющиеся ее диаметрально противоположными точками, можно провести единственную диаметральную плоскость, то через любые две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная большая окружность — прямая сферической геометрии (рис. 307). Однако если две точки сферы являются ее диаметрально противоположными точками, то через них можно провести бесконечное множество прямых сферической геометрии (рис. 308).
Более того, так как любые две диаметральные плоскости сферы пересекаются по прямой, содержащей центр сферы, то любые две большие окружности — прямые в сферической геометрии — пересекаются в двух точках, которые являются диаметрально противоположными точками сферы (рис. 309).
Так как плоскость делит пространство на два полупространства, а две пересекающиеся плоскости делят пространство на четыре области, то соответственно любая большая окружность делит сферу на две области — полусферы (см. рис. 307), а две большие окружности делят эту сферу на четыре области. На рисунке 309 изображены 4 области: АБВ,С.
314
Дополнения
ABBjCj, AjBBjC, А^ВВ^Су Наконец, так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на 8 областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на 8 областей (рис. 310).
В геометрии на сфере роль отрезка с концами в точках А и В играет меньшая из двух дуг проходящей через точки А и В большой окружности сферы (рис. 311). Длина этой дуги называется расстоянием на сфере {сферическим расстоянием) между точками А и В. Если точки А и В диаметрально противоположны, то отрезком АВ считается любая полуокружность большого круга с концами А и В. Обозначив длину дуги АВ символом дл. и АВ, приходим к выводу: для сферического расстояния между точками А и В на сфере радиуса R выполняется дл. и АВ < яД.
Если ф — величина центрального угла АОВ в радианах (рис. 311), с — численная величина длины дуги АВ, то
с = фД ^ яД.
Роль окружности в геометрии на сфере радиуса Д играет обычная окружность, но центрами ее считаются точки сферы — концы диаметра сферы, перпендикулярного плоскости этой окружности (рис. 312); радиусом сферической окружности является дуга большой окружности, проходящей через центр данной сферической окружности. Заметим, что у сферической окружности два центра, а ее длина изменяется в промежутке [0; 2лД].
Таким образом, сферическая геометрия существенно отличается от евклидовой планиметрии уже тем, что сфера ограничена, а плоскость не ограничена; расстояния на сфере не превосходят длины большой полуокружности; любая прямая в геометрии на сфере имеет длину, равную длине большой окружности; в сферической геометрии не существует параллельных прямых.
315
5. О различных ветвях геометрии
Сферические углы, двуугольники, треугольники
Пусть А — одна из точек пересечения двух больших окружностей й)^ и 0)2 сферы с центром О и радиусом R (рис. 313); у — касательная плоскость к сфере в точке А; а, Р — диаметральные плоскости сферы, содержащие окружности соответственно (0i и cOg (плоскости а, р и у на рис. 313 не изображены).
Так как ОА _L у, то прямые а и Ь, по которым плоскости аир соответственно пересекают плоскость у, перпендикулярны общему радиусу ОА окружностей coj и cog, поэтому являются касательными к этим окружностям в точке А.
Определение. Углом на сфере (сферическим углом) между большими окружностями называется угол между касательными к этим окружностям в точке их пересечения.
Вследствие перпендикулярностей а ± ОА, Ь JL ОА, приходим к выводу: величина угла между большими окружностями на сфере равна величине двугранного угла, грани которого содержат дуги этих окружностей.
В отличие от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются двуугольники. Двуугольником является часть сферы, ограниченная двумя большими полуокружностями с общими концами; эти общие концы являются диаметрально противоположными точками сферы и называются вершинами двуугольника (рис. 314).
Если величина угла двуугольника с вершинами А и Aj равна а радиан (а < л), то отношение площади S этого двууголь-
Рис.313
Рис. 314
316
1
Дополнения
ника к площади сферы радиуса R равно отношению а : 2л, т. е. S : 4лД^ = а : 2л, откуда
S = 2аД2. (1)
Возьмем на сфере радиуса R три точки А, В и С, не лежащие в одной плоскости с центром О сферы. Через каждую пару из этих точек проведем большую окружность и на каждой из них отметим наименьшую дугу, соединяющую точки А и В, В н С, С и А (рис. 315).
Отмеченные дуги ограничивают на сфере фигуру, которая называется сферическим треугольником АВС. Точки А, В и С называются вершинами сферического треугольника, иАВ, U ВС и uAC — его сторонами. Длины сторон сферического треугольника — сферические расстояния между его вершинами.
Пусть а, Ъ, с — длины сторон (в радианах) сферического треугольника АВС; а, р, у — величины его углов соответственно А, В и С. Разность (а -J- Э + у) — л называется избытком сферического треугольника и обозначается 5. Тогда площадь S сферического треугольника, расположенного на сфере радиуса R и имеющего углы а, р и у, вычисляется по формуле:
5 = (а-ьр-Ьу — ж)Д2 или S = 5Д^,
В сферическом треугольнике имеют место теорема косинусов и теорема синусов, аналогичные одноименным теоремам стереометрии о трехгранных углах.
Рассмотрим сферический треугольник АВС со сторонами а = дл. ^ ВС, Ь = дл. uAC, с = дл. kjAB, расположенный на сфере с центром О и радиусом R. Пусть а, р, у — радианные меры центральных углов соответственно ВОС, АОС, АОВ (рис. 316).
317
5.~6
различных ветвях геометрии
Тогда для сферы единичного радиуса имеет место соотношение
cos о = cos Ь • cos с + sin Ъ • sin с • cos А. (2)
Равенство (2) выражает сферическую теорему косинусов, которая обычно формулируется так: косинус одной стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними.
Соотнощэние (3) выражает сферическую теорему синусов, которую формулируют так: синусы сторон сферического треугольника относятся, как синусы противолежащих углов:
8ш а
sin Ь
sin с
sin А sin В sin С
(3)
ш
Замечание. В геометрии на сфере также выполняются теоремы о равенстве треугольников, о точках пересечения медиан и биссектрис треугольника и др. А все движения сферы, т. е. отображения сферы на себя, сохраняющие сферические расстояния между точками, порождаются движениями пространства, имеющими неподвижной точкой центр сферы.
5.7. О топологии
Топология — одна из самых молодых ветвей геометрии. Несмотря на большую геометрическую наглядность, лежащую в основе ее идей, топология является одним из самых абстрактных отделов современной математики. Основополагающей идеей в создании топологии является идея непрерывности.
Мы знаем, что евклидова геометрия изучает евклидовы свойства фигур, т. е. такие их свойства, которые сохраняются при всех движениях евклидова пространства. Фигуры, преобразующиеся одна в другую при движении, называют равными. Основным инвариантом движений является расстояние между любыми двумя точками.
Проективная геометрия изучает проективные свойства фигур, т. е. такие их свойства, которые сохраняются при проективных преобразованиях проективного пространства. Фигуры, преобразующиеся одна в другую при проективном преобразовании, называют проективно эквивалентными.
318
Дополнения
Основным инвариантом проективных преобразований является сложное отношение четырех коллинеарных точек.
Проективные свойства любой фигуры являются более общими и более прочными, чем ее евклидовы свойства: при проективных преобразованиях расстояние между точками не сохраняется, не сохраняется и простое отношение трех точек прямой. Иными словами, проективные преобразования сохраняют проективные свойства любой фигуры, но могут «разрушать» ее евклидовы свойства.
Оказалось, что существуют преобразования, «более сильные», чем проективные, т. е. преобразования, при которых проективные свойства фигур «разрушаются»: коллинеарные точки преобразуются в неколлинеарные точки, а следовательно, не сохраняется и сложное отношение четырех точек прямой. К таким преобразованиям относятся топологические или гомеоморфвые преобразования.
Под топологическим преобразованием понимают любую деформацию фигуры, при которой не происходило бы ни разрывов {сохранялось отношение бесконечной близости точек фигуры), ни склеиваний ее с самой собой {каждые две различные точки фигуры отображались бы в две различные точки ее образа при данной деформации). К таким деформациям относятся любой изгиб, сжатие, расширение, изменение размеров и формы фигуры при условии, что с данной фигурой не происходит склеиваний и разрывов. Свойства фигур, ко-торые сохраняются при топологических преобразованиях, называют топологическими свойствами этих фигур или топологическими инвариантами (от латинского слова invariant — неизменный). Предметом топологии является изучение топологических инвариантов геометрических фигур.
С математической точки зрения, топологическое (гомео-морфное) преобразование фигуры — такое ее преобразование, которое является взаимно однозначным и взаимно непрерывным. Это означает, что: а) две любые различные точки фигуры F отображаются в две различные точки ее образа — фигуры F'; б) если точка М данной фигуры F отображается в точку М' фигуры F', то любая точка X фигуры F бесконечно близкая к точке М, отображается в точку X' фигуры F', также бесконечно близкую к точке М'.
319
5. О различных ветвях геометрии
Если фигура F топологически отображается на фигуру F', то говорят, что эти фигуры топологически эквивалентны или гомеоморфны, т. е. с топологической точки зрения они не различимы.
На рисунке 317 окружность с помощью центрального проектирования из ее центра топологически отображается на треугольник и шестиугольник, а треугольник при этом же проектировании гомеоморфно отображается на шестиугольник. Это означает, что окружность гомеоморфна и треугольнику, и шестиугбльвику, гомеоморфными являются и треугольник с шестиугольником. Аналогично, сферу можно гомеоморфно отобразить на поверхность куба и поверхность тетраэдра (топологически «превратить» сферу в куб и тетраэдр), а вместе с тем и поверхность тетраэдра — на поверхность куба (топологически «превратить* тетраэдр в куб). Это означает, что сфера, поверхность куба и поверхность тетраэдра — го-меоморфные пространственные фигуры. Однако окружность с помощью гомеоморфной деформации нельзя «превратить* ни в линию, имеющую форму восьмерки (рис. 318) {склеивание двух точек в одну нарушает условие взаимной однозначности отображения), ни в отрезок {разрыв окружности нарушает условие взаимной непрерывности отображения). Поэтому окружность, «восьмерка* и отрезок попарно не гомеоморфны.
Фигуры, изображающие буквы русского алфавита Г, Л, М, П, С, гомеоморфны между собой; гомеоморфными между собой являются и «фигуры* Е, У, Т, Ч, Ш, Ц, Э, но ни одна из «фигур* второй группы не гомеоморфна ни одной из «фигур* первой группы; «фигура* О не гомеоморфна ни одной «фигуре*, изображающей другие буквы русского алфавита.
Осо^оооо
А в
Рис. 317
Рис. 318
320
Дополнения
Рис. 319
Наглядно гомеоморфизм двух фигур можно представить себе, например, следующим образом: предположим, что две фигуры «изготовлены» из прочного эластичного материала (пленки); если, допуская любые растяжения, искривления (кр>'чения) этих фигур без разрывов и без образования «складок» и «склеек», удается одну из этих фигур «наложить» на другую, то эти фигуры гомео-
морфны.
Следует заметить, что понятие гомеоморфного преобразования шире, чем понятие деформации. Например, если неде-формированную окружность разрезать в какой-то точке, затем полученную линию как-то «заузлить» (рис. 319) без соприкосновения и снова заклеить в точке разреза, то получится замкнутая линия, гомеоморфная данной окружности; однако с помощью одной лишь деформации (изгибания, сжатия, расширения) ни одну из них в другую преобразовать невозможно.
Чтобы установить, гомеоморфны ли две фигуры, пользуются топологическими инвариантами. Мы уже убедились, что такие понятия, как «прямолинейность», «непрямолиней-ность» («криволинейность»), «число вершин» замкнутой линии (число граней замкнутой поверхности), не являются топологическими инвариантами. Значение же топологических инвариантов состоит в следующем: две фигуры Fj и Fg гомеоморфны тогда и только тогда, когда они обладают одними и теми же топологическими инвариантами. Чаще всего топологические инварианты выражаются в числах. Мы рассмотрим некоторые наиболее простые из них.
Буква Ы — фигура, состоящая из двух «кусков», из двух не связанных между собой частей (компонент), а буква П — из одной компоненты (связная фигура). Число компонент фигуры является простейшим топологическим инвариантом, значит, буквы Ы и П не гомеоморфны.
Другим топологическим инвариантом фигуры является число разбивающих точек. Разбивающей точкой фигуры называют такую ее точку, удаление которой, вместе с достаточно малой ее окрестностью, разбивает связную фигуру на от-
321
5. О различных ветвях геометрии
дельные компоненты. (Под окрестностью точки на плоскости понимают внутренность любого круга с центром в данной точке.) Заметим, что понятие «неразбивающая точка* также является топологическим инвариантом фигуры.
На фигуре восьмерки (рис. 320, а, б) разбивающей является лишь точка М; окружность разбивающих точек не имеет; разбивающей точкой отрезка является любая его внутренняя точка. Мы вновь приходим к выводу: эти три фигуры не гомео-морфны.
Следующим топологическим инвариантом фигуры является индекс точки — число дуг фигуры, сходящихся в этой точке. (Дугой называют фигуру, гомеоморфную отрезку прямой.) На рисунке 321 изображена буква Ж: точка а имеет индекс 1, точка Ь — 2, точка с — 3, точка d — 4. С помощью понятия индекса точки легко доказать, что буквы Ю и Ф не гомеоморфны (с помощью понятия разбивающей точки и числа компонент негомеоморфность букв Ю и Ф установить невозможно).
К топологическим инвариантам относится понятие уни-курсальности фигуры: фигура, состоящая из конечного числа дуг, называется унику реальной, если ее можно «нарисовать одним росчерком*, т. е. пройти всю ее непрерывным движением, не проходя дважды одну и ту же дугу. Уникурсальность фигуры выражается через понятие индекса точки: оказывается, что фигура уникурсальна тогда и только тогда, когда она либо вовсе не содержит точек нечетного индекса, либо содержит ровно две такие точки.
Число измерений геометрической фигуры является топологическим инвариантом: нельзя топологически деформировать двумерный квадрат в трехмерный куб.
“> оо
С:«0
м _
сю
Рис. 320
Рис. 321
322
Дополнения
Заметим, что любая непрерывная линия — одномерна (положение любой ее точки может быть задано при помощи одного параметра), поверхность — двумерна, тело — трехмерно.
Обратимся к вопрюсу топологии поверхностей.
Важным топологическим инвариантом поверхностей являются понятия связности и эйлеровой характеристики.
(О понятии связности см. главу «Многогранники» в этой книге.)
Остановимся кратко на эйлеровой характеристике поверхности.
Мы знаем, что для любого выпуклого многогранника, имеющего В вершин, Г граней и Р ребер, справедлива формула: В - Р -I- Г = 2; число, равное В - Р -I- Г, называют эйлеровой характеристикой многогранника. Из сказанного следует, что эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна 2; доказано, что эйлерова характеристика выпуклого многогранника является его топологическим инвариантом.
Так как поверхность выпуклого многогранника гомеоморф-на сфере, то эйлерова характеристика сферы равна 2.
Существуют многогранники, поверхность которых не гомео-морфна сфере. Для таких многогранников теорема Декарта— Эйлера не выполняется. Например, на рисунке 322 изображен многогранник, поверхность которого не гомеоморфна сфере, а гомеоморфна тору — поверхности, образованной вращением окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей ее (рис. 322). Для этого многогранника В = 16, Р = 32, Г = 16, откуда В - Р Г = О, т. е. эйлерова характеристика этого многогранника равна нулю. Значит, и эйлерова характеристика тора равна О. Поэтому тор и сфера не гомеоморфны. Но тор гомеоморфен «гире» (рис. 323, 324).
Рис. 322
Рис. 323
5. О различных ветвях геометрии
323
Август Фердинанд Мебиус
(1790-1868)
Таким образом, эйлерова характеристика любой поверхности, гомеоморфной сфере, равна 2 и является ее топологическим инвариантом; аналогично, эйлерова характеристика любой поверхности, гомеоморфной тору, равна 0 и является ее топологическим инвариантом.
Существуют поверхности, не гоме-оморфные ни сфере, ни тору. Таковы, на-примбр, «сфера с ручками» и «крендель*
(см. рис. 324).
Чрезвычайный интерес представляет поверхность, названная листом Мебиуса.
Такое название получила эта поверхность в честь немецкого математика Августа Фердинанда Мебиуса (1790—1868), рассмотревшего эту поверхность и установившего, что она является односторонней.
Получается лист Мебиуса следующим образом. Длинная гибкая лента прямоугольной формы (рис. 325, а) один раз переворачивается (рис. 325, б), затем концы ее сближаются (рис. 325, в) и склеиваются. Полученная поверхность (рис. 325, г) и называется листом Мебиуса. Эта поверхность обладает рядом замечательных свойств. Отметим только два из них.
Лист Мебиуса является односторонней поверхностью. Это
означает следующее: если начать красить «одну сторону* листа, допустим, в зеленый цвет, то, перемещая кисть по листу в одном направлении, мы, не переходя через края листа, придем в исходную точку, закрасив «обе стороны листа*, т. е. закрасив весь лист одним зеленым цветом (рис. 326).
Рис. 324
324
Дополнения
Рис. 325
Далее, лист Мебиуса не распадется на две отдельные поверхности, если совершить его разрез по средней линии, параллельной краю (убедитесь в этом самостоятельно и сравните с разрезанной по средней линии цилиндрической поверхностью, которая при этом распадется на две отдельные поверхности).
В заключение отметим, что к создателям топологии относятся Л. Эйлер (1707—1783), А. Пуанкаре (1854—1912),
М. Фреше (1878—1973) и другие ученые. Как самостоятельная наука, топология существует немногим более века.
В XX в. важный вклад в развитие и изучение топологии внесли наши блестящие отечественные ученые П. С. Урысон (1898—1924), выдающиеся академики П. С. Александров (1896—1982), А. Н. Колмогоров (1903—1987), Л. С. Понтря-гин (1908—1988) и многие их ученики, среди которых А. В. Архангельский, М. Ф. Бокштейн, В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин, В. А. Ефремович, Л. В. Келдыш, С. П. Новиков, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, М. М. Постников, Е. Г. Скляренко, А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс и многие другие.
Павел Самуилович Урысон родился в 1898 г. в Одессе. Блестяще окончив в 1915 г. московскую частную гимназию, он в том же году поступил в МГУ на физико-математический факультет, предполагая стать физиком. Сначала юный Урысон проводил экспериментальные исследования о радиации рентгеновских трубок под руководством академика П. П. Лазарева,
5. О различных ветвях геометрии
325
в дальнейшем он увлекся математикой и по предложению академика Н. Н. Лузина становится его аспирантом.
Вследствие своего необычайно яркого математического таланта, кипучего темперамента, а также открытости и дружелюбия характера П. С. Урысон сразу попадает в самый центр сообщества молодых математиков, группировавшихся вокруг Н. Н. Лузина.
Павел Самуилович прекрасно владел всей математикой, и первые его работы относятся к интегральным уравнениям.
Наряду с рядом работ, касающихся различных разделов математического анализа, П. С. Урысон создал в отечественной математике новую область — топологию.
Вот что писал академик П. С. Александров во вступлении к книге Л. Нейман «Радость открытия» (1972): «Основное место П. С. Урысона в истории советской математики определяется тем, что именно он является создателем советской топологии... В области топологии работы советских ученых, и в первую очередь работы самого П. С. Урысона, не только достигли, но во многих случаях превзошли работы зарубежных ученых».
В самом начале своего творческого пути П. С. Урысон трагически погиб: находясь в заграничной командировке, утонул, купаясь в Атлантическом океане, у берегов Бретани.
Павел Сергеевич Александров родился в 1896 г. в семье врача в г. Богорюдске Московской области. Уже в 14 лет он нашел в математике свое призвание, но, кроме того, хорошо знал и любил поэзию, театр, музыку. В 1913 г. Александров поступает на математическое отделение МГУ и вскоре становится близким учеником основоположника отечественной школы теории функций, академика Н. Н. Лузина (1883—1950).
В 1921—1924 гг. П. С. Александров вместе с П. С. Урысоном создают основы топологии, они вносят фундаментальный
Павел Самуилович Урысон
(1898-1924)
326
Дополнения
вклад в теоретико-множественную топологию. С 1929 г. П. С. Александров — профессор МГУ, с 1932 г. он — президент Московского математического общества, а в 1953 г. П. С. Александров избирается действительным членом Академии наук СССР.
Павел Сергеевич — один из создателей отечественной топологической школы.
Его научная деятельность отмечена высокими государственными наградами, он — лауреат Государственной премии СССР. Обладая огромным личным обаянием, высочайшей разносторонней культурой, П. С. Александров притягивал к себе молодых талантливых людей.
Лев Семенович Понтрягин — ученик академика П. С. Александрова — родился в 1908 г. Вот как отзывался учитель о своем ученике; «Л. С. Понтрягин, уже ранее зарекомендовавший себя несколькими блестящими работами, ...выступает как ученый, создавший свое собственное направление в математике и являющийся в настоящее время, бесспорно, самым крупным (в международном масштабе) представителем так называемой топологической алгебры, то есть совокупности вопросов, пограничных между алгеброй и топологией».
Сложен был путь Л. С. Понтрягина в математику. В 14 лет вследствие несчастного случая он лишился зрения. Лишь благодаря огромной воле, мужеству и упорному труду он успешно окончил школу и поступил на механико-математический факультет Московского университета.
В эти трудные дни с ним рядом была его мать, вслух читавшая сыну учебники и научные статьи.
Топологическими проблемами Л. С. Понтрягин увлекся, посещая семинар П. С. Александрова, и в последствии посвятил им многие годы своей научной деятельности. В 1958 г. был издан его труд «Непрерывные группы», за который ему была присуждена Государственная пре-
327
5. О различных ветвях геометрии
мия. Эта книга сразу была издана за рубежом. Л. С. Понтрягину и его ученикам, В. Г. Болтянскому и М. М. Постникову принадлежит ряд важнейших результатов по топологии многообразий.
Сильная тренированная память позволяла Л. С. Понтрягину справляться с громоздкими формулами и выражениями, не прибегая к бумаге. Им опубликовано более 150 работ. В 1958 г. Льва Семеновича избирают действительным членом Академии наук СССР.
Научная работа Л. С. Понтрягина сочеталась с преподавательской деятельностью. Им написаны учебники по дифференциальным уравнениям, а специально для школьников — ряд книг из серии «Знакомство с высшей математикой*.
Плодотворная научная деятельность Л. С. Понтрягина отмечена высокими государственными премиями и наградами.
Андрей Николаевич Колмогоров родился 25 апреля 1903 г. в г. Тамбове. Мария Яковлевна Колмогорова умерла при рождении сына, и все заботы по его воспитанию взяла на себя ее родная сестра Вера Яковлевна Колмогорова, усыновившая его и действительно заменившая мать Андрею Николаевичу. И Андрей Николаевич отвечал своей «тетушке* (как он звал ее) глубокой любовью, как к своей матери, до самой ее смерти (1950). Отец Андрея Николаевича был агрономом с высшим специальным образованием.
Раннее детство Андрей Николаевич провел в родовом имении (под Ярославлем) своего деда по материнской линии. Вера Яковлевна старалась развить в ребенке с самых ранних лет любознательность, любовь к природе, наукам и чтению книг. «Радость математического «открытия* я познал рано, — писал Андрей Николаевич, — подметив в возрасте пяти лет закономерность: l = l,l-t-3 = 2^, 1Ч-3-(-5 = 3^, 1-1-3-(-5-1-7 = 42 и так далее*.
В 1910 г., когда мальчику исполнилось семь лет, Вера Яковлевна переехала с ним в Москву. Она определила его в частную гимназию Евгении Альбертовны Репман, где он познакомился с Аней Егоровой, ставшей впоследствии его женой (1932). Математику в гимназии преподавали замечательные.
328
Дополнения
творчески мыслящие педагоги. Вот одна из задач, которые маленький Андрей получал от своих учителей: «Какой многоугольник получится, если рассечь куб плоскостью, проходящей через его центр перпендикулярно главной диагонали?»
С 1920 г., после окончания гимназии, вся деятельность Андрея Николаевича неразрывно связана с Московским университетом. На первом курсе он посещает лекции Н. Н. Лузина по теории функций и А. К. Власова по проективной геометрии.
20—30 годы были счастливым временем для московских математиков: профессор МГУ, академик Николай Николаевич Лузин создал научную школу, являющуюся одной из самых великих в истории математики научных школ, которую выдающиеся ученые, сгруппировавшиеся вокруг ее создателя, называли «Лузитанией». Лузин читал курс комплексного переменного, и на его лекции собиралась почти вся Лузитания. Слушал .эти лекции и юный Колмогоров.
О своем первом вступлении в научное сообщество Андрей Николаевич вспоминал: «С курсом Лузина связано мое первое достижение, после которого на меня было обращено некоторое внимание». Вскоре он был приглашен в эту школу самим Н. Н. Лузиным. Так начался новый этап в жизни А. Н. Колмогорова; по окончании университета он имел около пятнадцати печатных научных работ по теории функций действительного переменного.
С 1922 по 1925 г. Колмогоров параллельно с занятиями в университете работает учителем математики и физики в По-тылихинской опытно-показательной школе Наркомпроса РСФСР. В школе он, кроме того, руководит кружком юных биологов.
В 1925 г. Колмогоров заканчивает Московский университет и становится аспирантом Н. Н. Лузина. Продолжая под руководством Лузина заниматься теорией функций действительного переменного, он начал совместно с еще одним учеником Н. Н. Лузина — А. Я. Хинчиным (1894—1959) — работать в области теории вероятностей, где впоследствии А, Н. Колмогоров стал общепризнанным мировым лидером.
Летом 1929 г. произопхло важное событие в жизни А. Н. Колмогорова — начало его дружбы с Павлом Сергеевичем Алек-
329
5. О различных ветвях геометрии
сандровым, уникальной дружбы двух выдающихся математиков XX столетия, продолжавшейся почти 54 года — до дня смерти П. С. Александрова в 1982 г.
В 1931 г. А. Н. Колмогоров становится профессором МГУ, где он заведует кафедрой теории вероятностей. В 1933 г. выходит в свет его знаменитая монография «Основные понятия теории вероятностей», и он постепенно приобретает признание в качестве главы теории вероятностей во всем мире.
К 30-м и ранним 40-м годам относятся достижения А. Н. Колмогорова в теориях случайных процессов, турбулентности, алгебраической топологии, каждое из которых выдвигает его на первый план мировой науки.
С 1933 по 1939 г. и с 1950 по 1953 г. А. Н. Колмогоров был директором научного Института математики и механики при МГУ. С 1954 по 1956 г. и с 1978 г. по день своей кончины в 1987 г. А. Н. Колмогоров был заведующим Отделом математики механико-математического факультета МГУ, а с 1954 по 1958 г. — деканом .этого факультета. С 1980 г. и до конца своей жизни А. Н. Колмогоров заведовал кафедрой математической логики МГУ.
В 1939 г. А. Н. Колмогорова избирают действительным членом Академии наук СССР. С этого времени он работает в Математическом институте им. Стеклова Академии наук СССР, где заведует отделом теории вероятностей, а с 1983 г. и до конца жизни — заведует отделом математической статистики и теории информации.
Во время Великой Отечественной войны А. Н. Колмогоров принял активное участие в разработке проблем, связанных с обороной Родины.
В 1953 г. А. Н. Колмогоров был избран почетным членом Московского математического общества, а в периоды 1964— 1966 г. и 1973—1985 г. он являлся его Президентом, руководил обзорной секцией и редактировал один из журналов, издаваемых обществом.
В нашем очерке невозможно хоть сколько-нибудь полно коснуться основных достижений А. Н. Колмогорова в силу самого величия тех разделов математики, в развитие которых он внес фундаментальный вклад. Назовем некоторые из них: метрическая теория функций, дескриптивная теория множеств, математическая логика, теория вероятностей, геометрия, слу-
330
Дополнения
А. Н. Колмогоров среди учащихся и преподавателей летней математической школы на Рубеком озере. 1968 г.
чайные прюцессы, математическая статистика, функциональный анализ, теория приближений, теоретико-множественная топологая, алгебраическая топология, дифференциальные уравнения, теория турбулентности, теория стрельбы, теория алгоритмов и автоматов, динамические системы, классическая механика, теория суперпозиций функций, теория информации, алгоритмическая теория вероятностей.
Немалая доля научных исследований Андрея Николаевича относится к области приложений в физике, биологии, геологии, океанологии, метеорологии, кристаллографии. Кроме того, ряд его трудов посвящен вопросам педагогики, методики, стиховедения, философии, истории, естествознания.
Всего список (пока еще неполный) трудов А. Н. Колмогорова насчитывает около 500 работ.
В различных беседах и выступлениях Андрей Николаевич многократно обращал внимание на необходимость и специфичность работы с математически одаренными детьми. Выделяя при этом три группы специфической математической одаренности — алгоритмическую, геометрическую и логическую, он говорил, что многие его открытия были вызваны к жизни неожиданно возникшей геометрической картинкой. Андрей Николаевич был одним из крупнейших аналитиков и логиков своего времени, но своей геометрической интуицией он всегда гордился и считал, что способность к образному геометрическому мышлению можно и нужно развивать на задачах, подобных выше приведенной задаче о сечении куба.
В 1963 г. А. Н. Колмогоров выступает одним из инициаторов создания школы-интерната при МГУ (которая получила название «колмогоровской») и сам ведет там преподавание. До последних дней своей жизни Андрей Николаевич был занят делами интерната и заботами отечественной школы, отдавая им много сил и энергии. В 1966 г. А. Н. Колмогорова избирают действительным членом Академии педагогических наук СССР.
331
5. о различных ветвях геометрии
Андрея Николаевича Колмогорова нередко называли человеком Возрождения. Ему были присущи научная честность и объективность, скромность, отзывчивость, забота об учениках и готовность оказать им помощь. Он обладал чрезвычайным стремлением к самосовершенствованию, к созиданию себя как личности, гармонически развитой духовно и телесно (физически). Телесная (физическая) культура для него была такой же неотъемлемой частью внутреннего мира, как музыка и поэзия, как архитектура, живопись и другие виды искусств. Он был в замечательной физической форме, совершая трудные горные походы, преодолевая на лыжах по 40—50 километров. При этом Андрей Николаевич был увлечен интернатом при МГУ, реформой математического образования страны, организацией летних математических школ, музыкальных вечеров для юношества, чтением лекций для школьников и учителей, написанием и подготовкой к изданию учебников и учебных пособий.
А. Н. Колмогоров велик не только как математик, он — Великий Ученый в самом широком смысле этого слова. Среди учеников А. Н. Колмогорова академики В. И. Арнольд, И. М. Гельфанд, А. И. Мальцев, М. Д. Миллионщиков, С. М. Никольский, А. М. Обухов, Ю. В. Прохоров.
Многие университеты, академии и общества мира избрали А. Н. Колмогорова в число своих сочленов. Он был лауреатом многих международных и отечественных премий и удостоен многих самых высоких наград Родины.
А. Н. Колмогоров — наше национальное достояние.
Список использованной литературы
1. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. —
М.: Наука, 1982.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе: IX—X кл. — М.: Просвещение, 1983.
3. Игнациус Г. Ветви геометрии. — М.: Знание, 1963.
4. Каган В. Ф. Очерки по геометрии. — М.: МГУ, 1963.
5. Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия. — М.: Гостехиздат, 1955.
6. Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии. — М.: Наука, 1991.
7. Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. М.: Наука, 1988.
8. Левитин К. Е. Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984.
332
Дополнения
9. Силин А. В., Шмакова Н. А. Открываем неевклидову геометрию. — М.: Просвещение, 1988.
10. Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. От проективной геометрии — к неевклидовой. — М.: Просвещение, 1979.
6. Об аксиоматическом построении геометрии
Научная теория о свойствах фигур, расположенных в евклидовом пространстве, строится логР1ческим (дедуктивным) методом на основе системы аксиом.
Суть аксиоматического метода построения геометрии состоит в следующем. Вводятся основные (неопределяемые) понятия — «фигуры» и формулируются основные положения (аксиомы), в которых выражены основные отношения между основными понятиями. Далее, используя основные понятия и основные отношения между ними, определяются новые понятия-фигуры, формулируются и доказываются новые предложения — теоремы — о свойствах введенных понятий. При этом доказательства теорем проводятся строго логическим путем на основе аксиом и ранее доказанных теорем. Таким образом, получается геометрическая система предложений, связанных целой сетью логических зависимостей.
К системе аксиом предъявляются следующие требования. Она должна быть:
1) непротиворечивой, т. е. чтобы из этой системы аксиом невозможно было получить логическим путем два взаимно исключающих друг друга предложения — некоторое утверждение и его отрицание;
2) независимой, т. е. чтобы ни одна из аксиом данной системы не являлась логическим следствием других ее аксиом;
3) полной, т. е. чтобы с помощью аксиом только этой системы, не добавляя новых аксиом, можно было доказать (или опровергнуть) строго логическим путем любое предложение о свойствах фигур данной геометрии.
Идея дедуктивного метода построения геометрии восходит еще к древнегреческому философу, ученику Сократа (469— 399 гг. до н. э.), Платону (422—347 гг. до н. э.). К действительным же родоначальникам научной теории логического вывода относят ученика Платона, древнегреческого мыслителя Аристотеля (384—322 гг. до н. э.).
333
6. Об аксиоматическом построении геометрии
Применительно к геометрии идеи Аристотеля были реализованы древнегреческим математиком Евклидом (III в. до н. э.) в его трактате по геометрии «Начала*. В течение 2000 лет это творение Евклида служило единственным руководством, по которому обучали геометрии; от него шли и все замыслы дальнейшего, более совершенного обоснования геометрии.
А система аксиом Евклида нуждалась в усовершенствовании: система сформулированных им аксиом (постулатов) была неполной, поэтому нередко доказательства «грешили» обращением к наглядности.
Кропотливый труд многих поколений математиков мира позволил создать научный, аксиоматический метод построения геометрии. Великая роль в этом принадлежит крупнейшим немецким математикам Феликсу Клейну (1849—1925) и Давиду Гильберту (1862—1943).
В 1899 г. появились в издании «Основания геометрии» («Grundlagen der Geometrie*) Гильберта, где он сконструировал аксиоматику геометрии так, что логическая структура геометрии стала совершенно прозрачной.
6.1. О построении трехмерной евклидовой геометрии по Гильберту
В геометрической системе Гильберта рассматриваются основные объекты трех родов: «точки», «прямые» и «плоскости», а также основные отношения между ними: «принадлежит», «между», «конгруэнтный», «параллельный», «непрерывный». Для этих объектов и отношений между ними не дается никаких прямых определений, но, вместе с тем, можно сказать, что они характеризуются посредством системы аксиом.
Под «точками», «прямыми» и «плоскостями» и под отношениями «принадлежит», «между», «конгруэнтный», «параллельный», «непрерывный» можно понимать все, что угодно, лишь бы они удовлетворяли следующей системе основных положений — аксиом, разделенных на пять групп.
334
Дополнения
Первая группа аксиом: аксиомы принадлежности
Аксиомы этой группы устанавливают отношение принадлежности между точками, прямыми и плоскостями и утверждают следующее.
Ij. Для любых двух точек А и В существует прямая а, проходящая через каждую из этих точек.
Ig. Для любых двух точек А и В существует не более одной прямой, проходящей через каждую из этих точек.
Ig. На прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
14. Для любых трех точек А, В и С. не лежащих на одной прямой, существует плоскость а, проходящая через каждую из этих точек. Для любой плоскости всегда существует принадлежащая ей точка.
15. Для любых трех точек А, В и С. не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через каждую из этих точек.
Ig. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости а, то всякая точка прямой а лежит в плоскости а.
Ц. Если две плоскости аир имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.
Ig. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Аксиомы 1}_з можно назвать плоскостными аксиомами, а аксиомы l4_g — пространственными аксиомами этой группы.
Вторая группа аксиом: аксиомы порядка
Аксиомы этой группы определяют понятие «между» и делают возможным установить порядок точек на прямой, плоскости и в пространстве. Они утверждают следующее.
IIj. Если точка В лежит между точкой А и точкой С. то А, В, С суть три различные точки, и В лежит между С и А.
Пд. Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере одна точка В такая, что точка С лежит между А и В.
Пд. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
6. Об аксиоматическом построении геометрии
1
335
II4 (аксиома Паша). Пусть А, В, С — три различные точки, не лежащие на одной прямой, и а — прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А, В, С; если при этом прямая а проходит через одну из точек отрезка АВ, то она должна пройти через одну из точек отрезка АС или через одну из точек отрезка ВС.
Третья группа аксиом: аксиомы конгруэнтности
Эти аксиомы определяют понятие конгруэнтности и тем самым понятие движения. Отрезки находятся в некотором соотношении друг с другом; для обозначения этого соотношения служат слова «конгруэнтный» или «равный».
IIIj. Если А и В суть две точки на прямой а и А' — точка на той же прямой или на другой прямой а', то всегда можно найти точку В', лежащую по данную от точки А' сторону прямой а', и притом такую, что отрезок АВ конгруэнтен, иначе говоря, равен отрезку А'В'.
Конгруэнтность отрезка АВ отрезку А'В' обозначается следующим образом:
АВ = А'В'.
Эта аксиома дает возможность откладывать отрезки, равные данным.
Illg. Если отрезок А'В' и отрезок А"В" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то отрезок А'В' конгруэнтен также и отрезку А"В", короче говоря, если два отрезка конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны также друг другу.
III3. Пусть АВ и ВС суть два отрезка прямой а, не имеющие ни одной общей точки, и пусть, далее, А'В' и В'С суть два отрезка той же прямой или другой прямой а', также не имеющие ни одной общей точки’, если при этом АВ = А'В' и ВС S В'С, то и ACsA'C.
Эта аксиома дает возможность складывать отрезки.
Определение. Пусть а — произвольная плоскость, а h н к — какие-то ее два луча, различные, исходя-пще из одной и той же точки О и принадлежапще различным прямым. Систему двух лучей h, к называем углом и обозначаем ее так: Z к) или Z (к; к). Лучи к, к называются сторонами угла, а точка О — вершиной угла.
336
Дополнения
Углы находятся в определенном соотношении один к другому, для обозначения которого служат слова «конгруэнтен» или «равен».
1114. Пусть дан Z{h; k) в плоскости а и прямая а' в плоскости а', а также вполне определенная по отношению прямой а' сторона плоскости а'. Пусть h' обозначает луч прямой а’, исходящий из точки О': в таком случае в плоскости а' существует один и только один луч к', обладающий следующим свойством: Z(h; к) конгруэнтен, иначе говоря, равен Z{h'; к'), и вместе с тем все внутренние точки Z{h'\ к') находятся в плоскости а', по данную сторону от прямой а'. Конгруэнтность угла Z{h; к) углу Z{h'; к') обозначают так: Z{h; к) = Z(h'\ к'). Каждый угол конгруэнтен самому себе, т. е. всегда Z (Л; к) = Z (Л; к).
1115. Если для двух треугольников АВС и А'В'С имеют место конгруэнтности АВ = А'В', АС = А'С, Z ВАС = Z В'А'С, то имеет место также и конгруэнтность ZABC = ZA'B'C.
Аксиомы IIIi_3 называют линейными аксиомами группы III, а аксиомы IIl4_5 — плоскостными аксиомами этой группы.
Четвертая группа аксиом; аксиома о параллельных
Аксиома о параллельных;
IV (Аксиома Евклида). Пусть а — произвольная прямая, а А — точка, лежащая вне ее-, в таком случае в плоскости, определяемой прямой а и точкой А, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямую а.
Эту прямую назовем прямой, параллельной прямой а, проходящей через точку А.
Пятая группа аксиом: аксиома непрерывности
Пятая группа аксиом у Гильберта состоит из двух аксиом непрерывности: аксиомы Архимеда и аксиомы полноты. Вместо них можно ввести эквивалентную им аксиому Дедекинда.
V (Аксиома Дедекинда). Если все точки отрезка АВ, включая и его концы, распределены на два класса так, что: 1) каждая точка отрезка принадлежит одному и только одному из этих классов, точка А принадлежит первому классу, а точка В — второму классу; 2) каждая точка первого класса, отличная от А, лежит между А и любой точ-
337
6. Об аксиоматическом построении геометрии
кой второго класса, то на отрезке АВ существует одна и только одна такая точка С, что всякая точка, лежащая между А и С, принадлежит первому классу, а всякая точка, лежащая между С и В, принадлежит второму классу. Сама точка С принадлежит либо первому, либо второму классу.
На основании системы аксиом Гильберта и было осуществлено дедуктивное построение геометрии трехмерного евклидова пространства.
6.2. Об обосновании трехмерной евклидовой геометрии по Вейлю
Существует другое, точечно-векторное аксиоматическое построение геометрии трехмерного евклидова пространства, основоположником которого является немецкий математик Герман Вейль (1885—1955).
В системе аксиом Вейля основными являются понятия «точка» и «вектор». При этом предполагается непротиворечивой теория действительного числа.
На множестве всех «векторов», обозначаемых а, Ь, с, ..., и множестве всех «точек», обозначаемых А, В, С, ..., вводятся основные отношения — операции.
I. Операци!^ сложения векторов, при которой любым двум векторам й иЬ однозначно сопоставляется некоторый вектор, который называется их суммой и обозначается через И + Ь.
Операция сложения векторов удовлетворяет следующим аксиомам (свойства суммы векторов).
Ij. Для любых векторов а и Ъ справедливо равенство
а + Ь = Ь + а (сложение коммутативно).
Ig. Для любых векторов а, Ь, с справедливо равенство а + (Ь + с) = (а+ Ь) + с (сложение ассоциативно).
Ig. Существует такой вектор О (нулевой вектор), что
для любого вектора а справедливо равенство а -I- О = О -f- а.
I4. Для любого вектора Ь существует противоположный
вектор -Ь, обладающий следующим свойством: Ь + (~Ь) = 0.
II. Операция умножения вектора на действительное число, при которой любому вектору а и любому действительному числу k однозначно сопоставляется некоторый вектор, который называется произведением вектора а на число k и обозначается через кй.
338
±
Дополнения
Операция умножения вектора на число удовлетворяет следующим аксиомам, справедливым для любых чисел к, I и любых векторов а к Ь.
IIJ. {к -I- 1)й = ка + 1а.^
Ilg. к{а -¥Ь) = ка -I- кЬ.
113. кЦа) = {kl)a.
114. 1 • а = d.
Аксиомы IIj и Ilg выражают дистрибутивные (распределительные) свойства операции умножения вектора на число, аксиома II3 — ассоциативное (сочетательное) свойство.
III. Операция скалярного умножения векторов, при которой любым двум векторам а и Ь однозначно сопоставляется некоторое число, называемое их скалярным произведением и обозначаемое а*Ь или аЬ.
Операция скалярного умножения векторов удовлетворяет следующим аксиомам, справедливым для любого числа к € R и любых векторов а. Ь и е.
IIIj. d • ft = 6 • d для любых векторов аи Ь.
Illg. (ка) ‘ Ь = к(а • Ь) для любых векторов а, Ь и числа к е R.
1113. d’(b + с) = а-Ь + d‘c для любых векторов d,b и с.
1114. d • d > О для любого а ^0.
IV. Отношение принадлежности упорядоченной пары точек и вектора, при котором любой упорядоченной паре точек А
и В ставится в соответствие единственный вектор с = АВ.
Отношение принадлежности упорядоченной пары точек и вектора удовлетворяет следующим аксиомам, справедливым
для любых точек А, В, С,... и любых векторов d, b, с.
IVj. Для любого вектора d и любой точки В существует
единственная точка С такая, что ВС = d (m. е. от любой точки можно отложить единственный вектор, равный данному. Эту аксиому называют аксиомой откладывания вектора от точки).
IV2. Если AM = АК, то М = К.
IV3 (правило трех точек). Для любых трех точек А, В, С
справедливо равенство АВ + ВС = АС.
Кроме того, во множестве векторов выполняются следующие аксиомы размерности.
339
6. Об аксиоматическом построении геометрии
Vj. Существует по крайней мере одна тройка векторов а, Ь, с такая, что ни один из них не выражается через два
других, т, е. соотношение k'a + т'Ь + п'с = 0 выполняется тогда и только тогда, когда k = т = п = 0.
Множества всех векторов и точек с введенными в них отношениями I—IV, удовлетворяющими аксиомам Ij—I^, IIj—II4, IIIj—III4, IVj—IV3, Vj, называются трехмерным евклидовым пространством и обозначаются £3.
Упорядоченная тройка векторов а, Ь, с, для которых выполняется аксиома V^, называется базисом трехмерного евклидова пространства.
Vg. Если тройка векторов а, Ь, с образует базис пространства £3, то для любого четвертого вектора р этого пространства существует единственная тройка чисел х, у, г, такая, что выполняется равенство ха уЬ -i- гс = р, т. е. всякий вектор пространства можно единственным образом разложить в данном базисе.
V3. В пространстве существует по крайней мере одна точка, т. е. пространство не является пустым.
На основе системы аксиом Вейля можно построить ту же самую евклидову геометрию, что и на основании системы аксиом Гильберта.
Заметим, что при построении евклидовой геометрии «по Гильберту» понятия «прямая* и «плоскость» являются основными понятиями, в то время как при построении евклидовой геометрии «по Вейлю» эти понятия определяются.
Определение. Пусть А — любая точка, р — любой ненулевой вектор. Множество всех точек М, для кото-
рых AM = kp, k е R, называется прямой, проходящей через точку А и имеющей р своим базисным вектором; эта прямая обозначается через (А; р). Точка А при этом называется начальной точкой прямой (А; р).
Определение. Пусть А — любая точка, р, q — два любых неколл и неарных вектора. Множество всех то-
чек М, для которых AM = kp mq, k, те R, называется плоскостью, проходящей через точку А и имеющей пару р, q своим базисом; эта плоскость обозначается через (А; р; q). Точка А при этом называется начальной точкой плоскости (А; р; q).
340
Дополнения
Пользуясь введенными определениями прямой и плоскости, доказывается, что: на прямой (плоскости) имеется бесконечно много точек; через две точки можно провести лишь одну прямую, а через три точки, не лежащие на одной прямой, — лишь одну плоскость; на плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую данную прямую.
Далее последовательно вводятся определения различных плоских и пространственных фигур и дедуктивным методом изучаются их геометрические свойства.
Большой вклад в вопросы развития и изучения дедуктивного метода построения евклидовой и неевклидовой геометрий на основании различных систем аксиом в России внесли А. Д. Александров, Л. С. Атанасян, В. Г. Болтянский, В. Ф. Каган, А. Н. Колмогоров, А. В. Погорелов, 3. А. Скопец, И. М. Яг-лом и многие другие.
Те из вас, кто посвятит себя в дальнейшем изучению вопросов оснований геометрии, будут самым подробным образом изучать приведенные выше и другие системы аксиом. В нашем же учебнике мы ни коим образом не ставим себе целью дать «строгое» аксиоматическое построение евклидовой стереометрии.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Список основных теорем, изучаемых в 11 классе
Теорема 1. Композиция двух движений пространства есть движение.
Теорема 2. Движение пространства отображает:
а) отрезок на равный ему отрезок;
б) прямую на прямую;
в) луч на луч;
г) треугольник на равный ему треугольник;
д) плоскость на плоскость;
е) полуплоскость на полуплоскость;
ж) тетраэдр на равный ему тетраэдр;
з) полупространство на полупространство.
Теорема 3. При центральной симметрии пространства;
1. а) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя;
б) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;
2. а) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя;
б) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.
Теорема 4. Поворот вокруг оси есть движение.
Теорема 5. Всякое движение пространства есть композиция не более четырех симметрий относительно плоскости. Теорема 6. При гомотетии с коэффициентом k расстояние между точками изменяется в |А(| раз.
Теорема 7. При гомотетии плоскость отображается на параллельную ей или совпадающую с ней плоскость.
342
Дополнения
Теорема 8. Подобие с коэффициентом k можно разложить в композицию движения и гомотетии с некоторым центром и тем же коэффициентом.
Теорема 9 {теорема Декарта—Эйлера для выпуклого многогранника). Для любого выпуклого многогранника сумма числа вершин В и числа граней Г на две единицы больше числа его рюбер Р, т. е. справедлива формула В - Р + Г = 2.
Теорема 10. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.
Теорема 11. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на боковое ребрю.
Теорема 12. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призматической поверхности на боковое ребро.
Теорема 13. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
Теорема 14. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призматической поверхности на боковое ребро.
Теорема 15. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.
Теорема 16. В трехгранном угле величина каждого плоского угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.
Теорема 17. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.
Теорема 18. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ф, и высота пересекает ос-
С
нование, то =
cos ф
Теорема 19. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
343
Список основных теорем, изучаемых в 11 классе
Теорема 20. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему.
Теорема 21. Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Теорема 22. Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Теорема 23. Объем усеченной пирамиды, у которой площади оснований равны Sj и Sg, а высота — Н, вычисляется по
формуле
Г=1я(51 + Тад +«2)-
Теорема 24. Существует пять различных (с точностью до подобия) правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.
Теорема 25. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.
Теорема 26. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Теорема 27. Если конус перюсечен плоскостью, параллельной основанию, то:
1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
2) в сечении получается круг, подобный основанию;
3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
Теорема 28. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
Теорема 29 (о пересечении шара и сферы с плоскостью).
1) Если расстояние от центра шара до данной плоскости меньше радиуса шара, то пересечением шара с плоскостью является круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, проведенного из центра шара на плоскость, или сам центр шара, если плоскость проходит через этот центр. Пересечением сферы с плоскостью является окружность указанного круга. Радиус г сечения в этом случае
344
Дополнения
равен г = JR^ - , гдеR — радиус шара, ad — расстояние
от центра шара до плоскости сечения.
2) Если расстояние от центра шара до данной плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку.
3) Если расстояние от центра шара до данной плоскости больше радиуса, то плоскость не имеет с шаром общих точек.
Теорема 30. Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Теорема 31, Если плоскость проходит черюз точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она касается сферы.
Приложение 2
345
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Формулы планиметрии Треугольник
Содержание
формулы
Формула
Символы
(обозначения)
Периметр (Р)
Р = а + Ь + с
а + Ь + с Р=---5--
а,Ь,с — длины сторон;
р — полупериметр
Сумма
внутренних
углов
А + В + С= 180°
А, В, С — величины углов
Теорема
косинусов
Теорема
синусов
Радиус
описанной
окружности
(Д)
д2 = ^2 _ 26CCOS А;
62 = д2 + с2 - 2accos В; с® = д2 -Н &2 — 2а6соа С;
62 -I- с2 - д2
а, 6, с — длины сторон;
А, В, С — величины углов
cos А =
26с
sin А sin В sin С
2Д‘
sin А sin В sin С
Площадь (S)
Формула
Герона
S=ia6sinC=iocsinB =
= g 6с sin А;
S = pr; abc
S =
4R
S = JpiP - a){p - b)(p - c)
a,b,c — длины сторон;
*a> f^b^ К — длины высот;
А, В, С — величины углов;
р — полупериметр; г — радиус вписанной окружности;
R — радиус описанной окружности
346
Дополнения
Окончание
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Связь между медианой и сторонами „2 2Ь^ + 2с^-а^ т!= ^ a, by С — длины сторон; Шд — длина медианы к стороне а; т,п — длины отрезков, на которые биссектриса угла С делит сторону с; Лд, hfj. Ад — длины высот; г — радиус вписанной окружности
Свойство биссектрисы внутреннего угла т _ а п Ь
Связь между высотами и радиусом вписанной окружности l+i+i=l Лд л» л, г
Отношение площадей треугольников АВС и AjBjCj, имеющих равные углы с вершинами Л и Aj ^Авс _ АВ • АС ^АВС ” площади треугольников АВС и AjBiCi
^А,В,С, -^1^1
Прямоугольный треугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Сумма острых углов А -t- В = 90° АуВ — величины острых углов
Теорема Пифагора а,Ь — длины катетов; С — длина гипотенузы; Ад — длина высоты; flj, Aj — длины проек-ций катетов на гипоте-нузу; г — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности
Метрические соотношения Л| = aj*fei; = с*aj, i)2 = C'fej
Зависимость между сторонами, радиусами вписанной и описанной окружностей D_ с. __a + Ь - с, 2 ’ а + b - Ja^ + 2 R + r=^(a + b)
Площадь (S) S-'ab
Приложение 2
347
Правильный треугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = 3а а — длина стороны
Величина угла А = В = С = 60° А, В, С — величины углов
Зависимость между высотой и стороной 2 h — длина высоты; а — длина стороны; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности
Зависимость между стороной, радиусами вписанной и описанной окружностей а — R-JS; R = 2г; _ Ол/З, ^ _ О-Уз “3“’ ~6~
Выражение площади (S) через: сторону, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности S-—• о зв^Л. 4 ’ 5 = Зг2-Уз а — длина стороны; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности
Четырехугольник
Содержание форму>1ы Формула Символы (обозначения)
Сумма углов А-1-В-1-С-1-В = 360° А, B,C,D — вели-чины углов; Л, С и В, D — величины пар противоположных углов
Свойство сумм величин противоположных углов вписанного четырехугольника А + С = В + D= 180°
Свойство сумм длин противоположных сторон описанного четырехугольника а + с = Ь + d а, cnb,d — длины пар противоположных сторон; т, п — длины ди-агоналей
Теорема Птолемея тп = ас + bd
348
Дополнения
Окончание
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь (S) S = 1 mnsin <р; S=pr т, п — длины диагоналей; Ф — величина угла между ними; р — полупериметр; г — радиус вписанной окружности
Параллелограмм
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = 2(0 + Ь) а,Ь — длины сторон; т,п — длины диагоналей; Лд, Aj, — длины высот; В — величина угла между сторонами; т,п — длины диагоналей; Ф — величина угла между диагоналями
Соотношение между квадратами длин сторон и диагоналей т} + — 2(0^ + Ь^)
Площадь (S) S = a‘h^ = b‘h^; S = ofcsin В; S = i mnsin ф
Свойства углов Л + В + С + 1) = 360°; А = С; В = D; А + В = В + С= 180° А, B,C,D — величины углов
Прямоугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = 2(0 + Ь) а,Ь — длины сторон; d — длина диагонали; Ф — величина угла между диагоналями
Площадь (S) S — аЬ; А = 1 d^sin ф
Приложение 2
349
Ромб
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр Р = Аа а — длина стороны; h — длина высоты; т,п — длины диагоналей
Площадь (S) S = ah', 5=1 тп
Квадрат
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Углы А = В = С = £> = 90° Л, Б, с, D — величины углов
Связь между длиной стороны и радиусом описанной окружности a = Rj2',R~ ^ а — длина стороны; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписан-ной окружности
Связь между длиной стороны и радиусом вписанной окружности г = |;а = 2г
Площадь (S) S = ahS = 2Д2
Трапеция
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Свойство средней линии “-‘■Г т — длина средней линии; а,Ь — длины осно-ваний; h — длина высоты
Площадь (S) S = m • А
350
Дополнения
Правильный многоугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Сумма внутренних углов (Z) Z = (n-2)-180° n — число сторон; A — величина угла; а„ — длина стороны; г — радиус вписан-НОЙ окружности; R — радиус описанной окружности
Угол ^ _ 180->(л - 2) п
Связь между длиной стороны и радиусом вписанной окружности a„ = 2rtgl8®°: г= 2tg п
Связь между длиной стороны и радиусом вписанной окружности а„ = 2R sin ; Оз = ДТЗ; a^ = Rj2; a^ = R
Площадь (S) S = 1 arn; 2 n а — длина стороны; п — число сторон; г — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности
Окружность и круг
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Длина окружности (С) С = 2nR R — радиус окруж-ности; п — градусная мера дуги; Ф — радианная мера дуги; d — диаметр; Ь — основание сегмента; h — высота сегмента
Длина дуги (1) f tiRfi - I n
Площадь круга (S) S = лД2; s = 4
Площадь сектора (S) e _ nR^n 360
Площадь сегмента (S) О kR^ti ^ q , 360
351
Приложение 2
Тригонометрические тождества sin^ а tg а =
sin^ а + cos^ а = 1; sin а .
ctga =
cos а cos а.
sin (-а) = -sin а; cos (-а) = cos а; tg (-а) = -tg а; ctg (-а) = -ctg а;
tg а *ctg а = 1; 1 + tg^ а = ^
“5— ’ cos^ а
sin а
1 4* ctg2 а == —
■я— :
а
cos (а - Р) = cos а cos р + sin а sin р, cos (а 4- р) = cos а cos Р - sin а sin р, sin (а 4* Р) = sin а cos Р + sin р cos а, sin (а - Р) = sin а cos р - sin р cos а.
tg(g + P)= ;
^ 1 - tg а • tg (3 ’
tg (а - р)
tg а • tg р tg а - tg р
1 + tg а • tg р ’ sin 2а = 2sin а cos а; cos 2а = cos^ а - sin^ а;
1 + cos 2а _ ^„,2 1 - cos 2« ^ tg 2а = °
003“ а;
1 - tg2 а ’
о п - а + Р а — Р sin а + sin р = 2 sin —g-t. cos •
sin а - sin р = 2 cos “ ^ Р sin cos a + cos P = 2 cos ° ^ P cos
A
cos a - cos p = -2sin ° P sin
2 ’
a-p. 2 ’
a-p. 2 ’ a-p.
tga + tgp= ;
COS a • cos p
tga-tgp= sin(«-P)
cos a • cos p
Формулы приведения
Функция Аргумент
90° +a 90°-a 270° +о 270°-a
sin X cos a COS a -COS a -COS a
cos X -sin a sin a sin a -sin a
352
Дополнения
Окончание
Функция Аргумент
90° +а 90°-а 270°+а 270°-а
tgx -ctg а ctg а -ctg а ctg а
ctgx -tga tga -tga tga
Функция Аргумент
180°+a 180°-a 360°+a 360°-a
sin X -sin a sin a sin a -sin a
cos X -COS a -cos a cos a cos a
tgx tga -tga tga -tga
ctg X ctg a -ctg a ctg a -ctg a
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Функция Величина угла
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
sin X 0 1 2 Л 2 Л 2 1 0 -1 0
cos X 1 Л 2 Л 2 1 2 0 -1 0 1
tgx 0 Л 3 1 73 — 0 — 0
ctg X — Л 1 Л 3 0 — 0 —
353
Приложение 3
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Формулы стереометрии Векторы и координаты
Содержание
формулы
Формула
Символы
(обозначения)
Правило
треуголь-
ника
АВ+ ВС = АС
А, В, С — произвольные точки
Правило
паралле-
лограмма
■ОА + ОБ - ОС
ОАСВ — параллелограмм
Правило
много-
угольника
------>
-> ---------»
■'^1-^2 "*■ •''^2^3 + ••• + -^п - 1-^п ” ■'^1-^п
■Aj, Аз» •••»Ад _ J, Ад — произвольные точки
Правило
параллеле-
пипеда
ОА + ОВ + ОС ~ OCj
ОА, ОВ, ОС — ребра параллелепипеда;
OCi — диагональ параллелепипеда
Формула
вычитания
ОВ-ОА = АВ
А, В, О — произвольные точки
Признак коллинеарности двух ненулевых векторов
b = k'a
|a.S| = |a|.|&l
k — число, отличное от нуля, а ^Ь,Ь ^0
Признак компланарности трех векторов
р = ха + уЬ
X, у — числа
Середина
отрезка
ОМ = Ь(ОА -Ь ОВ)
М — середина отрезка АВ;
О — произвольная точка
354
Дополнения
Продолжение
Содержание
формулы
Формула
Символы
(обозначения)
Точка пересечения медиан {центроид)
ОМ = 1 {ОА + ОВ + ОС)
О
М — центроид
треугольника
АВС;
О — произвольная точка
Скалярное произведение векторов
= |a|*|fe|cos(а; Ь)
а,Ь — ненулевые векторы
Сложение и вычитание векторов в координатах
а ± 6 (х, ± х^; Ух ± у^; z, ±22)
d(Xi; j/j;2,);
b(x2\ y^, Z2)
Умножение вектора на число
ka{kx; ky; kz)
k — число; a(x; у; г)
Скалярное
произведе-
ние
d-b = Х1Х2 + У1У2 + 2x22
Косинус угла между векторами
cos ф ^
*1*2 + (У1Уг + *1*2)
7*? + yf + • 7*1 + + *1
а{хх’. Ух', 2х); Ь{Х2, У2, 22);
Ф — величина угла между векторами
Длина вектора
|d| = 7*^ + у^ +
а(х; у; z)
Расстояние между точками АтлВ
АВ =
= 7(Xj - *|)2 -I- (1/2 - !/l)* + (22 -
А(х,; Ух', 2х);
в(*2; У2> ^2)
Уравнение
плоскости
А(х - Хо) -I- В(у - Уо) + С(2 - Zo) = О
а(А; В; С) -вектору перпендикулярный плоскости;
л^о(^о: i'oJ *2^0) — точка, принадлежащая плоскости
Приложение 3
355
Продолжение
Содержание
формулы
Формула
Символы
(обозначения)
Общее
уравнение
плоскости
Ах + By + Cz + D = О
М{х\ у, г) — произвольная точка плоскости
Косинус угла между двумя плоскостями
cos <р =
Условие перпендикулярности двух плоскостей
Условие параллельности двух плоскостей
[^1-^2 ^1^2!
ЩТЩТЩТщТЩТЩ
'll = = £*
л. Во Со
<р — величина угла между этими плоскостями;
AjX -t- Bjj/ ^ Cj2 +
-I- Oj = О ИА2Х + + В^у + +
+ X>2 = О — плоскости
Расстояние от точки до плоскости (d)
^ ^ \Ахр + Вуо + Czq + Р|
7а2 + в^ + с^
Уо' ^о)
точка;
Ах + By + Сг + + D = О — плоскость
г — радиус-вектор произвольной точки прямой; Го — радиус-вектор данной точки прямой; р — направ-
Парамет- г Го+ kpi ляющий вектор
рические 1 X = Xq + fcOj, прямой;
уравнения k — параметр;
прямой 1 2 = 2о + Лаз Щ(Хо, уо; 2о) — данная точка прямой; М(х; у, г) — произвольная точка прямой; Р(®1> ®2» направляющий вектор прямой
356
Дополнения
Окончание
Содержание
формулы
Формула
Символы
(обозначения)
Уравнения прямой по двум ее точкам
Косинус угла между двумя прямыми
Условие перпендикулярности двух прямых
Условие параллельности двух прямых
*1 ^ у-Ух _
cos ф =
1^1 Уг - Ух
|а,(>| + + ОзЬз!
Jaf+af+al • ^Ь\ + Ь1 + Щ
уу\Zj),
у2’ ^2^
данные точки; Pl(®l» ^2>
РгС^*!* ^>2» ^з) — направляющие векторы прямых;
Ф — величина угла между ними
Ol&l + 02^2 ®3^3 ~ ®
Ь,
*2 _ “3
Синус угла между прямой и плоскостью
Условие параллельности прямой и плоскости
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
sin ф =
|АО| -ь Воз + Саз|
jW+W + W^J^+al + al
AOj + ВО2 + СОд = О
А ^ В ^ С
<>2 Л3
Ах + Ву + Сг + + D-0-плоскость; р(а^; 02> ^3) — направляющий вектор прямой;
Ф — величина угла между прямой и плоскостью
Приложение 3
357
Многогранники
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь поверхности куба (S) S = 6a2 а — длина ребра куба
Площадь боковой поверхности прямой призмы Р — периметр основания; h — высота (длина бокового ребра)
Площадь боковой поверхности наклонной призмы («бок) «6oK = ^*i Р — периметр перпендикулярного сечения; 1 — длина бокового ребра
Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда («бок) Р — периметр основания; 1 — длина бокового ребра
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды («бок) «бок=|^'в с = ® cos <р Р — периметр основания; а — апофема; Q — площадь основания; Ф — величина двугранного угла при стороне основания
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды (S^J ^бок 2 ” Р, Pj — периметры оснований; А — апофема
Объем куба (V^ V = a^ а — длина ребра куба
Объем прямоугольного параллелепипеда (К) V=abc а,Ь,с — измерения параллелепипеда
358
Дополнения
Окончание
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Объем призмы (параллелепипеда) (V) V = Q-l Soea — площадь основания; Л — высота; Q — площадь перпендикулярного сечения; 1 — длина бокового ребра
Объем пирамиды (V) ^осв ~ площадь основания; Л — высота
Объем усеченной пирамиды (V) +02) Qi, Q2 — площади оснований; Л — высота
Отношение объемов тетраэдров ABCD и AjBjCjOj, имеющих равные трехгранные углы с вершинами А и А, ^ABCD _ ^А,В,С,В, AB-AC-AD А|£| • A|Ci • AjDj ^ABCD ** объемы тетраэдров ABCD и AiB,Ci£>i
Фигуры вращения
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь боковой поверхности цилиндра (5б<,а) «бок = 2лД-Л R — радиус основания; Л — высота
Площадь полной поверхности ци-линдра «полн = 2яД(А-НД) R — радиус основания; Л — высота
Приложение 3
359
Продолжение
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь боковой поверхности конуса («бок) «бок ~ R — радиус основания; 1 — длина образующей
Площадь полной поверхности конуса («полн) R — радиус основания; 1 — длина образующей
Площадь боковой поверхности усеченного конуса «бок = "((Я + '■) Rt Г — радиусы оснований; 1 — длина образующей
Площадь сферы (S) S = 4тсД2 R — радиус сферы
Площадь сегментной поверхности (S) S = 2лД-Я R — радиус сферы; Н — высота сегментной поверхности
Площадь шарового пояса(S) S = 2лД-Я R — радиус шара; Я — высота шарового пояса
Площадь поверхности шарового сектора (S) S = TiR-(2h + + j2Rh - R — радиус шара; А — высота шарового сегмента
Объем цилиндра (V) V=nR^-H R — радиус основания; Я — высота
Объем конуса (V) V= ^nR^’H R — радиус основания; Я — высота
Объем усеченного конуса(V) V= lnH(r^ + Rr + Д2) R, г — радиусы оснований; Я — высота
360 I Глава 1
Дополнения
Окончание
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Объем шара (V) V=inR^; F= Ind^ 3 6 R — радиус шара; d — диаметр шара
Объем шарового слоя (V0 V=^{3r^+3r^ + + Н^) r^, г2 — радиусы оснований шарового слоя; Н — высота
Объем шарового сегмента (V0 F= !I^(3r2-t-Я2) R — радиус шара; Н — высота; г — радиус основания шарового сегмента
Объем шарового сектора (V) F= R — радиус шара; Н — высота
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Апофема
— правильной пирамиды 114
— правильной усеченной пирамиды 121
Большая окружность сферы 187
Большой круг шара 171,176 Вершина
— конуса 154
— многогранника 71
— многогранного угла 104
— пирамиды 109,111
— призмы 71
— трехгранного угла 104 Взаимное расположение сферы
и плоскости 175 Виды
— движений 50
— отображений 17
— параллелепипедов 96
— пирамид 109, 110, 112
— правильных многогранников 128
— призм 84
Винтовое движение 38, 47 Внутренняя точка фигуры 66, 68
Высота
— параллелепипеда 100
— пирамиды 110
— призмы 86
— тетраэдра 125
— усеченного конуса 165
— усеченной пирамиды 121
— цилиндра 143
— шарового сегмента 185
— шарового слоя 185 Грань
— многогранника 71
— параллелепипеда 95
— пирамиды 109
— призмы 85
Гомотетия в пространстве 55 Движения в пространстве 17
— в координатах 32, 35
— первого и второго рода 22, 23, 33, 36,52
Диагональ многогранника 71 Диаметр
— основания цилиндра 145
— сферы 187
— шара 170 Единица объема 81 Изображение
— конуса 159
— цилиндра 146
— сферы 171
— шара 171 Кавальери принцип 82 Касательная плоскость к конусу 158
------цилиндру 146
------сфере 179
------шару 179
Конус 154 Композиция
— движений 14
— преобразований 12
— симметрий 14, 38, 48 Куб 102
Лист Мебиуса 323 Многогранник
— выпуклый 67, 77
— правильный 128 Многогранный угол 104, 106 Образ точки 5, 8
— фигуры 6, 9 Образующая 89
362
Предметный указатель
— конуса 155
— усеченного конуса 166
— цилиндра 143,148 Объем
— конуса 168, 200
— куба 34, 37, 84, 137
— параллелепипеда 82, 84,103
— правильных многогранников 136
— пирамиды 123, 125
— призмы 93
— тела вращения 197, 199
— тетраэдра 126
— усеченного конуса 169, 201
— усеченной пирамиды 127
— цилиндра 153
— шара 191, 204 Октаэдр 130 Описанный
— конус 182
— цилиндр 181
— шар 182 Ориентация 22, 238 Осевое сечение 4
— конуса 156, 158
— цилиндра 142,145
— шарового сегмента 192
— шарового сектора 192 Основание
— конуса 154
— параллелепипеда 95
— пирамиды 109
— призмы 85
— усеченного конуса 165
— усеченной пирамиды 121
— цилиндра 142 Ось
— конуса 154
— симметрии фигуры 45, 211
— цилиндра 143 Отображения пространства 5, 7 Паращлелепипед
— наклонный 96
—^[рямой 96
— прямоугольный 96 Параллельный перенос 33, 49 Пирамида
— вписанная в конус 163
— описанная около конуса 164
— правильная 112, 114 Плоский угол трехгранного угла 105
Площадь боковой поверхности
— конуса 155,160
— пирамиды 117
— призмы 89
— усеченного конуса 167
— усеченной пирамиды 122
— цилиндра 143,147 Площадь полной поверхности
— выпуклого тела 62
— вычисление 82
— единица 82
— конуса 155,161
— куба 100
— параллелепипеда 100
— пирамиды 117
— призмы 89
— сферы 186
— тела вращения 186
— тетраэдра 134
— усеченного конуса 166
— усеченной пирамиды 122
— цилиндра 143,147
— шара 186 Поверхность
— коническая 155, 227
— цилиндрическая 144, 228
— тела вращения 138, 140, 218 Поворот
— вокруг оси 38, 40, 42, 49
— зеркальный 38, 46 Подобие 61 Правильный
— многогранник 128, 131
— гексаэдр 130
363
Предметный указатель
— додекаэдр 130
— икосаэдр 131
— октг1эдр 130
— тетраэдр 130 Преобразование
— обратное 11
— пространства 8, 10, 15 Призма
— вписанная в цилиндр 148
— наклонная 86
— описанная около цилиндра 149
— описанная около шара 182
— правильная 86
— прямая 85 Принцип Кавальери 82 Прообраз 5, 8 Радиус
— основания конуса 154
— основания цилиндра 144
— сферы 170
— шара 169
Равенство фигур в пространстве 23
Развертка боковой поверхности
— конуса 160
— многогранника 73
— усеченного конуса 166
— цилиндра 146 Развертка полной поверхности
— конуса 160
— многогранника 73
— усеченного конуса 166
— цилиндра 146 Ребро
— многогранника 71
— пирамиды 109
— трехгранного угла 104 Свойства
— движений пространства 16
— диагоналей параллелепипеда 97
— диагонали прямоугольного параллелепипеда 97
— объемов тел 82
— плоских углов трехгранного угла 105
Сечения
— конические 157, 235
— конуса 156, 161
— многогранника 92
— цилиндра 144
— сферы 171
— шара 171 Симметрия
— осевая 42, 44, 139
— относительно плоскости 29
— скользящая 33, 37
— центральная 10, 25 Сфера 170
— вписанная в многогранник 182
— описанная около многогранника 183
Тело вращения 140
— геометрическое 70 Тетраэдр 110, 131
— ортоцентрический 125 Трехгранного угла
— определение 70, 104
— теорема косинусов 107, 317
— теорема синусов 108, 317 Уравнение
— поверхности 218, 230
— сферы 174, 220
Центр симметрии параллелепипеда 96
----сферы 12
----фигуры 12, 212
----шара 12
Цилиндр 142 Шаля теорема 52 Шар 67, 69, 169 Шар, вписанный в двугранный угол 183
------конус 182
-------многогранник 182
------многогранный угол 183
364
1
Предметный указатель
------пирамиду 18
-------тетраэдр 182, 184
------цилиндр 181
Шар, описанный около многогранника 183
------тетраэдра 182, 184
------усеченного конуса 182
----— цилиндра 181
Шаровой
— пояс 185,187
— сегмент 185,187
— сектор 185,187
— слой 185,187 Элементы
— конуса 154
— многогранника 71
— пирамиды 109
— призмы 85
— цилиндра 142
— шара 169
— шарового сегмента 185,187
— шарового сектора 185, 187
— шарового слоя 185,187 Эйлера теорема 72
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................. 3
Глава 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Отображения пространства............................. 5
§ 2. Преобразования пространства.......................... 8
2.1. Определение преобразования. Центральная
симметрия пространства.................................... 8
2.2. Обратное преобразование............................. 11
2.3. Композиция преобразований........................... 12
§ 3. Движения пространства. Общие свойства движений ... 14
3.1. Определение движения. Композиция движений........... 14
3.2. Общие свойства движений............................. 16
3.3. О движениях первого и второго рода в пространстве .... 22
3.4. О равенстве фигур в пространстве.................... 23
3.5. Свойства центральной симметрии пространства......... 25
§ 4. Симметрия относительно плоскости.................... 29
4.1. Определение симметрии относительно плоскости.... 29
4.2. Симметрия относительно плоскости в координатной
форме.................................................... 31
4.3. Симметрия относительно плоскости — движение
пространства............................................. 32
4.4. Свойства симметрии относительно плоскости........... 32
§ 5. Параллельный перенос. Скользящая симметрия...... 33
5.1. Определение параллельного переноса.................. 33
5.2. Параллельный перенос в координатах'................. 34
5.3. Свойства параллельного переноса..................... 35
5.4. Скользящая симметрия................................ 37
§ в. Поворот вокруг оси. Осевая симметрия.
Зеркальный поворот. Винтовое движение.................... 38
6.1. Определение поворота вокруг оси..................... 38
6.2. Свойства поворота вокруг оси и осевой симметрии. 42
6.3. Зеркальный поворот и винтовое движение.............. 46
§ 7. Взаимосвязь различных движений пространства..... 48
7.1. Композиция двух симметрий относительно плоскости . . 48
7.2. Виды движений пространства.......................... 50
§ 8. Гомотетия и подобие пространства................... 55
8.1. Определение гомотетии пространства.................. 55
8.2. Формулы и свойства гомотетии пространства........... 56
366 I
Оглавление
8.3. Подобие пространства. Разложение подобия
в композицию гомотетии и движения................... 61
8.4. О подобии фигур в прюстранстве.................. 63
Глава 2. МНОГОГРАННИКИ
§ 9. Понятие многогранника........................... 66
9.1. Геометрическое тело............................. 66
9.2. Многогранник и его элементы..................... 71
9.3. Развертка....................................... 73
9.4. Свойства выпуклых многогранников................ 77
§ 10. Объемы многогранников.......................... 80
10.1.0 понятии объема тела........................... 80
10.2. Объем прямоугольного параллелепипеда........... 82
§ 11. Призма......................................... 84
11.1. Определение призмы. Виды призм................. 84
11.2. Боковая и полная поверхности призмы............ 89
11.3. Объем призмы................................... 93
§ 12. Параллелепипед................................. 95
12.1. Определение и свойства параллелепипеда......... 95
12.2. Объем параллелепипеда......................... 103
§ 13. Трехгранные и многопшнные углы................ 104
13.1. Понятие о многогранном угле. Трехгранный угол. 104
13.2. Теорема косинусов и теорема синусов для
трехгранного угла................................... 106
§ 14. Пирамида...................................... 109
14.1. Определение пирамиды и ее элементов........... 109
14.2. Некоторые виды пирамид........................ 110
14.3. Правильная пирамида........................... 112
14.4. Площади боковой и полной поверхностей пирамиды.. . 117
14.5. Свойства параллельных сечений пирамиды........ 119
14.6. Усеченная пирамида............................ 121
14.7. Объем пирамиды................................ 122
14.8. Об объеме тетраэдра........................... 125
14.9. Объем усеченной пирамиды...................... 127
§ 15. Правильные многогранники...................... 128
15.1. Определение правильного многогранника......... 128
15.2. Пять типов правильных многогранников.......... 128
Глава 3. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
§ 16. Фигуры вращения............................... 139
16.1. Поверхность вращения.......................... 139
16.2. Тело вращения................................. 140
§ 17. Цилиндр....................................... 142
I 367
ПРИЛОЖЕНИЕ 3_____________________________________________
17.1. Определение цилиндра и его элементов.......... 142
17.2. Свойства цилиндра.............................. 144
17.3. Развертка и площадь поверхности цилиндра...... 146
17.4. Призмы, вписанные в цилиндр и описанные
около цилиндра....................................... 148
17.5. Объем цилиндра................................. 152
§ 18. Конус.......................................... 154
18.1. Определение конуса и его элементов............. 154
18.2. Сечения конуса................................. 156
18.3. Касательная плоскость к конусу................. 158
18.4. Изображение конуса............................. 159
18.5. Развертка и площадь поверхности конуса......... 159
18.6. Свойства параллельных сечений конуса........... 161
18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса
пирамиды............................................. 163
18.8. Усеченный конус................................ 165
18.9. Поверхность‘‘усеченного конуса................. 167
18.10. Объем конуса и усеченного конуса............. 168
§ 19. Шар и сфера................................... 169
19.1. Определение шара, сферы и их элементов......... 169
19.2. Изображение сферы.............................. 171
19.3. Уравнение сферы .'............................. 174
19.4. Пересечение шара и сферы с плоскостью.......... 175
19.5. Плоскость, касательная к сфере и шару.......... 179
19.6. Вписанные и описанные шары и сферы............. 181
19.7. Площади поверхностей шара и его частей......... 185
19.8. Объем шара и его частей........................ 191
ДОПОЛНЕНИЯ
1. О применении определецного интеграла для нахождения
объемов тел вращения ................................ 197
1.1. Формула объема тела вращения.................... 197
1.2. Объемы конуса, шара и его частей............... 200
2. О симметриях правильных многогранников............ 207
2.1.0 самосовмещениях фигуры......................... 207
2.2. Об элементах симметрии правильного многогранника.
Двойственные правильные многогранники................ 211
2.3. Группа симметрий правильного тетраэдра.......... 212
2.4. Группа симметрий куба........................... 214
2.5. Группа симметрий правильного икосаэдра.......... 215
3. О поверхностях второго порядка.................... 217
3.1. Поверхности вращения в координатах.............. 217
3.2. Поверхности вращения второго порядка............ 219
368 I Глава 1
Оглавление
3.3. Линии второго порядка как плоские сечения
конической поверхности.............................. 231
4. О векторном произведении двух векторов........... 236
5. О различных ветвях геометрии..................... 246
5.1. Об элементарной геометрии...................... 247
5.2. Об аналитической геометрии..................... 253
5.3. О дифференциальной геометрии................... 261
5.4. О проективной геометрии........................ 274
5.5. О неевклидовой геометрии Лобачевского.......... 294
5.6. О сферической геометрии........................ 312
5.7. О топологии.................................... 317
6. Об аксиоматическом построеиин геометрии.......... 332
6.1. О построении трехмерной евклидовой геометрии
по Гильберту........................................ 333
6.2. Об обосновании трехмерной евклидовой геометрии
по Вейлю............................................ 337
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Список основных теорем, изучаемых в 11 классе.... 341
2. Формулы планиметрии.............................. 345
3. Формулы стереометрии............................. 353
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ................................... 361
. Затем в новом окне сверху справа - СТРЕЛКА ВНИЗ 
. Для чтения - просто листай колесиком страницы вверх и вниз.