Учебник Геометрия 10 класс Шлыков

в. в. Шлыков пт L л Ф^Ш)' if Учебное пособие для 10 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения Допущено Министерством образования Республики Беларусь 3-е издание,пересмотренное и исправленное Минск «Народная асвета» 2013 Правообладатель Народная асвета УДК 514(075.3=161.1) ББК 22.151я721 Ш69 Рецензенты: кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики Белорусского государственного университета (кандидат физико-математических наук доцент Ю. Д. Чурбанов); методист высшей категории отдела общеобразовательных дисциплин государственного учреждения дополнительного образования взрослых «Витебский областной институт развития образования» Т. Т. Талькова; учитель математики высшей категории государственного учреждения образования «Миорская средняя школа № 1» И. А. Ханецкая Шлыков, В. В. Ш69 Геометрия : учеб. пособие для 10-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / В. В. Шлыков. — 3-е изд., пересмотр. и испр. — Минск : Нар. асве-та, 2013. — 160 с. : ил. ISBN 978-985-12-2167-3. Предыдущее издание вышло в 2008 г. под названием «Геометрия, 11». УДК 514(075.3=161.1) ББК 22.151я721 ISBN 978-985-12-2167-3 © Шлыков В. В., 2007 © Шлыков В. В., 2013, с изменениями © Оформление. УП «Народная асвета», 2013 Правообладатель Народная асвета ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1 Введение в стереометрию § 1. Многогранники и их изображения................. 6 § 2. Аксиомы стереометрии............................ 21 § 3. Следствия из аксиом............................. 34 § 4. Построение сечений многогранников плоскостью .. 40 Глава 2 Параллельность прямых и плоскостей § 1. Параллельные прямые в пространстве ............ 54 § 2. Параллельность прямой и плоскости.............. 65 § 3. Скрещивающиеся прямые .......................... 76 § 4. Угол между прямыми.............................. 85 § 5. Параллельность плоскостей....................... 93 Глава 3 Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей § 1. Перпендикулярность прямой и плоскости ..........108 § 2. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости.....................................123 § 3. Угол между прямой и плоскостью..................133 § 4. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей..138 Приложение...........................................150 Ответы...............................................157 Правообладатель Народная асвета Уважаемые друзья! Цель данного учебного пособия — помочь изучить раздел геометрии, который называется стереометрией. В предыдущих классах вы в основном изучали свойства плоских фигур, а теперь приступаете к изучению пространственных фигур. В процессе изучения стереометрии вы будете совершенствовать навыки логического мышления, развивать пространственные представления, умения мысленно моделировать новые геометрические фигуры и строить их графические изображения. Постигая стереометрию, вы будете знакомиться с новыми геометрическими понятиями и закономерностями, многие из которых на протяжении столетий применяются в производственной деятельности, используются в архитектуре и живописи. Полученные знания помогут вам понять, почему геометрические свойства вызывают неизменный интерес у художников и архитекторов. Например, теоретик искусства Раннего Возрождения итальянский ученый Леон Баттиста Альберти (1404—1472) подчеркивал значение геометрии в живописи, а французский архитектор ХХ столетия Ле Корбюзье (1887—1965) отмечал, что окружающий нас мир является миром геометрии и что своими художественными впечатлениями человек обязан именно геометрии. Произведения художников эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452—1519) и Альбрехта Дюрера (1471—1528), величественные сооружения архитекторов древности и современников убедительно свидетельствуют о том, что геометрия была и остается определяющей в вопросах гармонии и красоты. Для успешного изучения стереометрии по ходу изложения теоретического материала приведены решения задач, которые помогут вам закрепить теоретические знания, выработать навыки применения этих знаний на практике, предоставят возможность для получения консультаций по методам решения стереометрических задач. Пусть изучение стереометрии доставит вам удовольствие и убедит в правоте выдающегося французского математика и философа Блеза Паскаля (1623—1662), который считал, что «того, кто владеет геометрией, эта наука продвигает настолько далеко, что он оказывается вооруженным совершенно новой силой». Правообладатель Народная асвета Правообладатель Народная асвета Глава I ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ § 1. Многогранники и их изображения 1. Пространственные фигуры и их изображения. В предыдущих классах мы в основном изучали планиметрию — геометрию на плоскости. Теперь, зная свойства плоских геометрических фигур, приступаем к изучению стереометрии (греч. стереос — пространственный) — раздела геометрии, в котором исследуются свойства не только плоских, но и пространственных геометрических фигур, т. е. таких, не все точки которых лежат в одной плоскости: например, параллелепипед и пирамида (рис. 1, а); шар и цилиндр (рис. 1, б). а) б) Рис. 1 Представление о пространственных геометрических фигурах дают окружающие нас предметы, если принимать во внимание только их форму и размеры, не интересуясь всеми остальными свойствами: цветом, массой и т. д. Например, апельсин, капля воды в невесомости дают представление о шаре; спичечный коробок и многие жилые дома имеют форму параллелепипеда; усыпальницы египетских фараонов построены в форме пирамиды (рис. 1, в). Точки и прямые были основными фигурами в планиметрии. Наряду с ними в стереометрии в качестве основных рассматриваются и плоскости. Представление о части плоскости дает поверхность оконного стекла, гладкая поверхность письменного стола или мраморной плитки. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 7 В стереометрии, как и в планиметрии, используются общематематические понятия «принадлежать» или «лежать на», «множество», «число» и т. д. В пространстве имеется бесконечно много плоскостей, и на каждой из них справедливы аксиомы планиметрии и следствия из них. Поэтому в дальнейшем, рассматривая фигуры, лежащие в какой-либо плоскости, будем пользоваться всеми свойствами этих фигур и теоремами, доказанными в планиметрии. Кроме того, отметим, что признаки равенства и подобия треугольников, изученные в планиметрии, справедливы и для треугольников, лежащих в разных плоскостях. Рис. 2 В стереометрии большую роль играют пространственные представления, развитию которых способствуют различные изображения фигур. Доказательства теорем стереометрии и решения задач сопровождаются изображениями плоских и пространственных фигур на плоскости рисунка (в тетради или на доске). За изображение фигуры принимается фигура, подобная ее проекции на некоторую плоскость, и выбирается такое изображение, которое дает верное представление о форме фигуры, является удобным для изучения ее свойств. При этом некоторые невидимые части фигуры для большей наглядности изображаются штриховой линией (рис. 2, а, б, в). Перечислим простейшие правила построения изображений фигур. 1) За изображение отрезка принимается отрезок. Середина отрезка изображается серединой его изображения; Правообладатель Народная асвета 8 Гла^ 1, § 1 точка, делящая отрезок в отношении m ■ n, изображается точкой, делящей его изображение в отношении m '■ n. 2) Параллельные прямые (отрезки) изображаются параллельными прямыми (отрезками). 3) В качестве изображения любого треугольника можно принять произвольный треугольник. Из правил 2 и 3 следует, что за изображение квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма можно принять произвольный параллелограмм. В дальнейшем будем этим пользоваться, выполняя изображения фигур. 2. Многогранники. Ранее уже отмечалось, что одним из объектов изучения стереометрии являются пространственные фигуры, к которым относятся и многогранники. Дадим описание многогранников. Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости; сами многоугольники называются гранями, их стороны — ребрами многогранника, а их вершины — вершинами многогранника. Понятие геометрического тела и определение многогранника будут даны позже, а сейчас отметим, что наглядное представление о геометрическом теле дает часть пространства, которую занимает какое-либо физическое тело. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней — площадью (полной) поверхности. Представление о многогранниках дают кристаллы различных минералов, встречающихся в природе. Например, бриллиант представляет собой алмаз, ограненный должным образом, т. е. имеющий форму определенного многогранника. Другими примерами моделей многогранников с достаточной точностью служат книжные полки, шкафы, строящиеся дома и т. д. Как видим, в окружающем нас пространстве есть множество разнообразных предметов, имеющих форму многогранников. На рисунках 3, а, б, в и 4, а даны изображения некоторых многогранников. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию Рис. 3 А вот многоугольники, изображенные на рисунке 4, б, в, не ограничивают части пространства, а следовательно, не образуют поверхность одного многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Если это условие не выполняется, то многогранник называется невыпуклым. Выпуклые многогранники изображены на рисунках 3, а, б, в. Многогранник, изображенный на рисунке 4, а, невыпуклый. Дадим описание некоторых выпуклых многогранников. 3. Куб, параллелепипед. Куб — это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины — вершинами куба. На рисунке 5, а, б даны изображения куба. Изображение на рисунке 5, а является более наглядным. Правообладатель Народная асвета 9 10 Гла^ 1, § 1 Заметим, что шесть равных квадратов в пространстве могут быть расположены так, что они не будут гранями одного куба, например, как показано на рисунке 5, в. Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины — вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. а) «) Рис. 5 Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани — боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, — его боковыми ребрами. Прямой параллелепипед — это такой параллелепипед, у которого боковые грани — прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники. Представление о форме прямоугольного параллелепипеда дают спичечный коробок, строительный кирпич или каждая из моделей, которые получаются при распиливании на две части модели куба, сделанной из дерева, как показано на рисунке 6, а. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный. Основанием прямого параллелепипеда может служить параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Представление о прямом, но не Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 11 прямоугольном параллелепипеде дает, например, комната, в которой пол и потолок имеют форму ромба, не являющегося квадратом. Изображения параллелепипеда даны на рисунке 6, б, в. Если основаниями параллелепипеда служат параллелограммы ABCD и A^B^C^D^, то он обозначается ABCDA^B^C^D^. При этом на рисунке вершины параллелепипеда обозначены так, что отрезки A A^, BB^, CCi, DD^ являются его боковыми ребрами (рис. 6, в). б) Рис. 6 Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. На рисунке 7, а отмечены противолежащие вершины O и F параллелепипеда. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали. На рисунках 7, б изображены две диагонали параллелепипеда. Рис. 7 Правообладатель Народная асвета 12 Гла^ 1, § 1 4. Призма. Пирамида. Призма (n-угольная) — это многогранник, у которого две грани — равные н-угольники, а остальные п граней — параллелограммы. Равные н-уголь-ники называются основаниями, а параллелограммы — боковыми гранями призмы. Прямая призма — это такая призма, у которой боковые грани — прямоугольники. Представление о форме прямой призмы дают, например, модели, которые получаются в результате распиливания деревянного бруска, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, вдоль ребра, как показано на рисунке 8, а. При этом получаются две модели, одна из которых представляет собой модель прямой пятиугольной призмы, а другая — модель прямой треугольной призмы. б) Рис. 8 Правильная n-угольная призма — это призма, у которой все боковые грани — прямоугольники, а ее основания — правильные п-угольники. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается 5бок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается 5полн). Если основания призмы есть п-угольники A1A2^An и B1B2^Bn, то она обозначается A1A2^AnB1B2^Bn. На изображении призмы вершины обозначаются так, что отрезки A^B^, A2B2, ^, A^nBn являются ее боковыми ребрами. На рисунке 8, б изображена треугольная призма, а на рисунке 8, в — четырехугольная, основания которой — четырехугольники ABCD и A^B^C^D^, а ее боковые ребра — отрезки AA^, BB^, CCi, DDi. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 13 Пирамида (n-угольная) — это многогранник, у которого одна грань — какой-нибудь н-угольник, а остальные n граней — треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми. Пирамида, вершина которой — точка S, а основание — n-угольник A1A2^A^n, обозначается SA1A2^A^n. Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Ss^k). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн). Правильная п-угольная пирамида — это такая пирамида, основание которой — правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани — равные друг другу равнобедренные треугольники. Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани — равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды. Заметим, что не всякая правильная треугольная пирамида является тетраэдром. б) Рис. 9 На рисунке 9, а дано изображение правильной четырехугольной пирамиды SABCD. Пространственные фигуры, изображенные на рисунке 9, б, в, не являются пирамидами, Правообладатель Народная асвета 14 Гла^ 1, § 1 так как указанные треугольники и четырехугольник не ограничивают части пространства. В дальнейшем, если дано изображение какого-либо многогранника, иногда будем говорить, что дан многогранник. Вопросы и задачи к § 1 1. Какие фигуры в стереометрии являются основными? 2. Верно ли, что за изображение прямоугольного треугольника можно принять любой треугольник? 3. Верно ли, что за изображение равностороннего треугольника можно принять любой треугольник? 4. Дайте описание многогранника. 5. Какой многогранник является: а) кубом; б) параллелепипедом; в) призмой? 6. Верно ли, что прямая призма является правильной? Верно ли, что призма, основаниями которой служат правильные н-угольники, есть правильная призма? 7. Охарактеризуйте прямоугольный параллелепипед. 8. Что называется: а) площадью поверхности призмы; б) площадью боковой поверхности призмы? 9. Какой многогранник является пирамидой? 10. Верно ли, что пирамида, основание которой — правильный н-угольник, является правильной пирамидой? 11. В чем отличие тетраэдра от правильной треугольной пирамиды? 12. Что называется: а) площадью боковой поверхности пирамиды; б) площадью поверхности пирамиды? 13. Поясните, почему изображения фигур, данные на рисунке 10, а, б, в, можно принять за изображение: а) параллелепипеда; б) прямоугольного параллелепипеда; в) куба. 14. Верно ли, что любые две боковые грани правильной н-угольной призмы — равные прямоугольники? Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 15 15. Верно ли, что любые две боковые грани правильной н-угольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники? 16. На рисунке 11, а выделены треугольники, принадлежащие граням куба. Можно ли утверждать, что каждые два из них — равные треугольники? 17. На рисунке 11, б отрезок SF — медиана боковой грани SCB правильной треугольной пирамиды SABC. Почему отрезок SF является высотой треугольника CSB? 18. На рисунке 11, в точки T и F — середины ребер AD и AB правильной четырехугольной пирамиды SABCD. Объясните, почему отмеченные на гранях пирамиды треугольники SAT и SBF являются равными. Рис. 11 19. Радиус окружности, вписанной в одну из граней куба, равен 1 см. Вычислите площадь поверхности куба. Правообладатель Народная асвета 16 Гла^ 1, § 1 20. Площадь поверхности тетраэдра равна S. Найдите длину ребра данного тетраэдра. 21. Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат, длина диагонали которого равна ^/2 см. Вычислите длину диагонали боковой грани, если площадь боковой грани параллелепипеда равна 3 см2. 22. Изобразите в тетради правильную треугольную пирамиду и отметьте на этом изображении точку пересечения медиан какой-либо из ее граней. 23. Изобразите тетраэдр и отрезок, соединяющий точки пересечения медиан двух его граней. 24. ABCDA^B^C^D^ — куб, точки O и F — середины ребер DC и A^B^ соответственно, BC = 2 см. а) Докажите, что треугольник AOB равнобедренный. б) Вычислите площадь треугольника AA^F. в) Вычислите периметр треугольника OCC^ (рис. 12, а). 25. ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой, F — середина ребра AA1, CB1 = 242 см. Вычислите: а) длину ребра призмы; б) площадь основания призмы; в) радиус окружности, описанной около треугольника CAF (рис. 12, б). 26. ABCDA1B1C1D1 — куб. Длина пространственной ломаной A1D1DCB1A1 равна 4 см (рис. 12, в). Вычислите площадь поверхности данного куба. б) Рис. 12 Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 17 27. ABCDA^B^C^D^ — прямоугольный параллелепипед, основание которого — квадрат, длина стороны которого 3 см. Вычислите длину пространственной ломаной AD^B^CA, если длина бокового ребра параллелепипеда равна 4 см. 28. ABCAiB^Ci — прямая треугольная призма, основание которой — равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B (рис. 13, а). Вычислите площадь грани AA1C1C, если AB = 2 см и AA1 = 3 см. 29. ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма. Точки T и F — середины ребер A1B1 и BC соответственно (рис. 13, б). а) Верно ли, что радиус окружности, описанной около треугольника A1B1C1, равен — C1T? б) Докажите, что отрезок AF есть высота треугольника ABC. а) б) Рис. 13 30. DABC — тетраэдр (рис. 13, в). Точки T, O и F — середины ребер DC, DB и AB соответственно. Вычислите площадь поверхности тетраэдра, если известно, что длина пространственной ломаной, образованной отрезками CB, BF, FO, OT и TC, равна 9 см. 31. SABC — правильная треугольная пирамида, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания. Точки T, K, P и E — середины ребер SC, SB, BC и AC соответственно. Вычислите длину ломаной TKBPET, если сумма длин всех ребер пирамиды равна 18 см. 32. ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. Площадь основания призмы Правообладатель Народная асвета 18 Гла^ 1, § 1 равна Wb см2. Вычислите длину пространственной ломаной CABB^C (рис. 14, а, б). 33. Боковое ребро правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 в два раза больше стороны основания. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если длина ломаной, образованной отрезками AA1, A1C, CB1, B1B и BA, равна \[5 [\[5 + 2) см. 34. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания. Точки T, K, и E — середины ее ребер SB, SA и SD соответственно (рис. 15). Вычислите длину пространственной ломаной, образованной отрезками DC, CB, BT, TK, KE, и ED, если площадь основания пирамиды равна 16 см2. 35. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны между собой. Точки T и K — середины ребер SC и BC соответственно. Вычислите площадь основания пирамиды, если длина ломаной KTSDK равна (4 ^/б) см. а) ’i в С Q В, D А Рис. 16 б) Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 19 36. На рисунке 16, а, б изображены куб ABCDA^B^C^D^ и его развертка, точка F — середина ребра AB куба. Вычислите радиус окружности, вписанной в грань куба, если длина ломаной A1FDC1A1 равна [2\[ъ + 2\[2) см. 37. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, основание которого — квадрат. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 672 см2, а радиус окружности, вписанной в треугольник DD1C, равен 3 см. Вычислите длины ребер параллелепипеда. 38. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат. Длина диагонали боковой грани параллелепипеда равна 13 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник DAA1, равен 2 см. Вычислите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 39. TABCD — правильная четырехугольная пирамида, длина бокового ребра которой равна 8 см. Точка K — середина ребра TC. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если DK = 6 см. 40. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды TABCD равна см2, а длина боко- вого ребра — 4 см. Вычислите площадь основания ABCD пирамиды, если радиус окружности, вписанной в треугольник TDC, равен 15 см. 5 41. ABCA1B1C1 — прямая треугольная призма, основание которой — прямоугольный треугольник ABC. Длина бокового ребра призмы равна 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 2 см, а радиус описанной около него окружности — 5 см. 42. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Разность между периметрами треугольников BOC и ABO равна 8 см, а периметр основания призмы — 32 см. Вычислите длины диагоналей боковых граней призмы, если площадь ее боковой поверхности равна 160 см2. Правообладатель Народная асвета 20 Гла^ 1, § 1 43. Основание прямой призмы ABCDA^B^C^D^ — равнобедренная трапеция A^CD, в которую вписана окружность. Длина боковой стороны трапеции равна 6 см и образует с основанием трапеции угол, градусная мера которого 30°. Вычислите длину бокового ребра призмы, если площадь ее поверхности равна 84 см2. 44. На поверхности куба расположена полоска, ширина которой 1 см. Вычислите: а) площадь поверхности куба, если площадь полоски равна 44 см2 (рис. 17, а); б) объем куба, если площадь полоски равна 45 см2 (рис. 17, б). Рис. 17 45. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Точки T и F — середины ребер SA и SC соответственно. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь треугольника DTF равна ^/5 см2. 46. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина бокового ребра в два раза больше длины стороны основания. Вычислите радиус окружности, описанной около грани SCD, если площадь треугольника SAC равна 2/Т см2. Правообладатель Народная асвета р § 2. Аксиомы стереометрии В первом параграфе уже отмечалось, что в стереометрии основными фигурами являются точки, прямые и плоскости. Как и в планиметрии, точки обозначаются заглавными латинскими буквами А, В, С,..., а прямые — строчными латинскими буквами а, в, с, ... или двумя заглавными латинскими буквами АВ, СЕ и т. д., плоскости — строчными буквами греческого алфавита а, в, у и т. д. Если точка А лежит на прямой а (в плоскости а), то говорят, что прямая а (плоскость а) проходит через точку А, и пишут: А е а, (А е а). Если точка В не принадлежит прямой а (плоскости а), то говорят, что прямая а (плоскость а) не проходит через точку В, и записывают: В g а (В g а). Например, на рисунке 18, а, б изображены точки А и О, лежащие на прямой а, и точки В и M, которые не лежат в плоскости а, где а — плоскость, в которой лежит грань куба (рис. 18, а, б). Свойства геометрических фигур в пространстве устанавливаются путем логических рассуждений на основе некоторых утверждений (аксиом), которые принимаются без доказательств. Часть аксиом, используемых в стереометрии, известны уже из курса планиметрии. Здесь сформулируем только три Правообладатель Народная асвета 22 Гла^ 1, § 2 аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей, которые являются специфически пространственными. А 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, обозначают АВС или (АВС). Например, на рисунке 19, а, б изображена треугольная пирамида DABC. Плоскость а проходит через точки А, В и С; через точки С, В и D проходит плоскость СВD. На аксиоме A 1 основано устройство штативов некоторых измерительных приборов. Острия ножек штатива расположены в одной плоскости, поэтому измерительный прибор занимает устойчивое положение. А 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Если каждая точка прямой а лежит в плоскости в, то говорят, что прямая а лежит в плоскости в или плоскость в проходит через прямую а, и пишут а ^ в. На рисунке 20, а, б (АВСDA1B1C1D1 — куб) в — плоскость, проходящая через точки А, D и С. Прямая АD лежит в плоскости в, а прямые DB1 и CC1 в плоскости в не лежат. Плоскость DA1B1 не проходит через прямую AD. Если прямая а и плоскость а имеют только одну общую точку О, то говорят, что они пересекаются в точке О, и пишут: О = а П а. На рисунке 20, а, б изображена прямая CC1, которая пересекает плоскость в в точке С, а прямая DB1 — в точке D (D = в П DB1). Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 23 Рис. 20 А 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Если прямая а — общая прямая плоскости а и плоскости в, то говорят, что эти плоскости пересекаются по прямой а, и пишут: а = а П в. Например, на рисунке 21, а, б у — плоскость, проходящая через вершины А, D и С четырехугольной пирамиды TABCD. Прямая CD лежит в каждой из плоскостей у и TDC (точки Си D лежат в каждой из этих плоскостей, значит, по аксиоме А 2 прямая CD общая для плоскостей у и TDC), следовательно, указанные плоскости пересекаются по прямой CD т. е. CD = у П (TDC). Задача 1. ABCDA1B1C1D1 — куб. Точки Р и Т — середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно. Докажите, что прямая РТ лежит в плоскости А1В1С1. Правообладатель Народная асвета 24 Гла^ 1, § 2 Доказательство. 1) Так как B-^Ci <=■ и T е B-^Ci, то по аксиоме А 2 точка T е (A1B1C1). 2) Поскольку A1B1 ^ (A1B1C1) и P е A1B1, то P е (A1B1C1). 3) Таким образом, T е (A1B1C1) и P е (A1B1C1), следовательно, PT ^ (A1B1C1) (аксиома А 2) (рис. 22, а, б). Задача 2. Плоскости а и в пересекаются по прямой а, а прямая b, лежащая в плоскости а, пересекается с плоскостью в. Докажите, что прямые а и b пересекаются. Доказательство. Пусть прямая b и плоскость в пересекаются в точке Х (рис. 24, а, б). Так как прямая b лежит в плоскости а, то каждая ее точка, а следовательно, и точка Х лежит в этой плоскости. Таким образом, точка Х — общая точка плоскостей а и в. Плоскости а и в пересекаются по прямой а, поэтому на этой прямой лежат все общие точки плоскостей а и в (аксиома А 3), а значит, и точка Х лежит на прямой а. Таким образом, точка Х лежит на каждой прямой а и b, т. е. прямые a и b пересекаются в точке Х. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 25 Задача 3. Дан куб АВСВА^В^С^В^. Точки Т и О — середины отрезков В^В^ и С^В соответственно. Найдите длину отрезка ТО, если ребро куба а (рис. 24, а). Дано: АВСВА1В1С1В1 — куб, Т е В1В1, В^Т = ТВ^, О е ВО^, ВО = OCi, АВ = а. Найти: длину ТО. Рис. 24 Решение. 1) Точка Т есть точка пересечения диагоналей грани А^В^С^В^, т. е. середина отрезка А1С1. Следовательно, отрезок ТО — средняя линия треугольника А1С1В (рис. 24, б). 2) В треугольнике А1АВ (ZА1АВ = 90°, АВ = АА1 = а) длина гипотенузы А1В = yjAA^ + АВ^ = W2. 3) Отрезок ТО — средняя линия треугольника А1С1В. Следовательно, ТО = 1А1В = . Ответ: . 2 Задача 4. Найдите расстояние от вершины В куба АВСВА1В1С1В1 до точки пересечения диагоналей грани ВВ^С^С, если ребро куба равно а (рис. 25, а, б). Дано: АВСВА1В1С1В1 — куб, О = В1О П ВО^, АВ = а. Найти: длину ВО. Рис. 25 Правообладатель Народная асвета 26 Гла^ 1, § 2 Решение. 1) Треугольник ВВС^ — равносторонний, так как его стороны — диагонали равных квадратов: BD = ВС1 = DC1 = yjDC^ + CC2 = (рис. 25, б). 2) Точка О — середина отрезка DC1 (диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам), следовательно, отрезок ВО есть медиана треугольника BDC1. 3) Так как треугольник BDC1 равносторонний, то его медиана ВО является и высотой: ВО ^ DC1. 4) В треугольнике BDО[ZBОD = 90°, BD = а42 , DO = 1DC1 = ВО = = J2a2 - = а,I3 = . г- V 2 V 2 2 aj 6 длина катета Ответ 2 Вопросы и задачи к § 2 47. Всегда ли через три точки проходит единственная плоскость? 48. В пространстве даны четыре различные точки. Сколько плоскостей проходит через каждые три из этих точек? 49. Могут ли вершины замкнутой ломаной из трех звеньев не принадлежать ни одной плоскости? 50. Могут ли вершины замкнутой ломаной из четырех звеньев не принадлежать одной плоскости? 51. Верно ли, что прямая лежит в плоскости, если две ее точки лежат в этой плоскости? 52. Прямая l пересекает стороны треугольника FOK в двух точках. Верно ли, что прямая l лежит в плоскости FOK? 53. Окружность описана около треугольника ABC. Верно ли, что все точки окружности принадлежат плоскости ABC? 54. Окружность имеет с плоскостью две общие точки. Верно ли, что все точки окружности принадлежат этой плоскости? Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 27 55. Две плоскости имеют две общие точки. Верно ли, что эти плоскости имеют общую прямую? 56. На рисунке 26, а, б изображена треугольная пирамида ВЛВС, T е AD, F е DB, O е CB. а) Назовите прямые, на которых лежит точка F. б) Докажите, что прямая СТ лежит в плоскости ЛСВ. в) Верно ли, что прямая OF лежит в плоскости DBC? г) Назовите прямые, через которые проходит плоскость ЛВВ. 57. Дана треугольная пирамида DABC. Точка Т лежит на ребре DB, а точка Е — на продолжении ребра DC. Постройте: а) точку пересечения прямой ТЕ и плоскости ЛВС; б) прямую, по которой пересекаются плоскости ЛТЕ и ЛВС. 58. Треугольники ЛВС и ABD не лежат в одной плоскости (рис. 27). O е AB, T е CB, P = AC П OT. а) Назовите точку пересечения прямой РТ и плоскости ЛBD. б) По какой прямой пересекаются плоскости ТРD и ЛBD? в) Докажите, что прямая ТD лежит в плоскости СBD. г) Докажите, что точка O лежит в плоскости TPD. 59. Треугольник ЛВС и параллелограмм ЛBЕD лежат в разных плоскостях. Точка О лежит на стороне DE, а точка Р — на продолжении стороны ЛD. Постройте: а) точку пересечения прямой ОР с плоскостью ЛВС; б) прямую, по которой пересекаются плоскости ЛВС и СРО. 60. ТЛBСD — четырехугольная пирамида, K е AT, O е TC, E е TC (рис. 28). а) Назовите прямые, по которым пересека- Правообладатель Народная асвета 28 Гла^ 1, § 2 ются плоскости АВТ и ТВС, ТВЕ и TDC. б) Докажите, что прямая КО лежит в плоскости АТС. в) Верно ли, что прямая ЕК лежит в плоскости АТС? 61. Точки Т и К — середины ребер AD и DC пирамиды PABCD соответственно, основание которой есть четырехугольник ABCD. Постройте: а) точку пересечения прямой КТ и плоскости РВС; б) прямую, по которой пересекаются плоскости РТК и РВС. 62. На рисунке 29 изображены параллелограмм АВCD и треугольник ВТD, не лежащие в одной плоскости. а) Назовите точку пересечения прямой РО и плоскости ВDT. б) По какой прямой пересекаются плоскости ТРО и ВDТ? в) Верно ли, что прямая КХ лежит в плоскости ВDT? 63. Параллелограммы АВCD и АВЕВ не лежат в одной плоскости. Точки К и О — середины отрезков СВ и ВЕ соответственно. а) Постройте точку X = АК П (DCE). б) Постройте точку пересечения прямой EF и плоскости АОК. в) Докажите, что прямая КО лежит в плоскости СВЕ. 64. АВCDАlВlClDl — куб (рис. 30, а , б), O е B^Ci, P е CCi. а) Докажите, что прямая ОР лежит в плоскости В1ВС. б) Верно ли, что плоскости АВВ1 и АВС пересекаются по прямой АВ? в) Назовите точку пересечения прямой ОР и плоскости АВС. 65. Дан куб АВCDАlВlClDl. Точки Т и Е — середины ребер АВ и АВ соответственно. Постройте: а) точку пересечения прямой ТЕ и плоскости D1DC; б) прямую, по которой пересекаются плоскости ТЕС и DCC1. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 29 Рис. 30 Рис. 31 66. ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед, K е DD1, E = C1K П CD, O = B1K П BD (рис. 31). а) Назовите точку пересечения прямой B1K с плоскостью ADC. б) В какой точке прямая С^^Е пересекает плоскость ADD1? в) Верно ли, что плоскость B1C1K пересекает плоскость АВС по прямой ЕО? 67. ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Точки Е и K — середины ребер АА1 и AD соответственно. Постройте: а) точку пересечения прямой EK и плоскости B1A1D1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости EKB1 и B1A1D1. 68. ABCDA1B1C1D1 — куб, O е BB1, K е DD1, T е CC1, X = OT П B1C1, F = KT П D1C1 (рис. 32). а) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости OTK и B1C1D1. б) В какой точке прямая A1B1 пересекает плоскость OTK? в) Верно ли, что плоскости OTK и A1B1B пересекаются по прямой ОР? Рис. 33 Правообладатель Народная асвета 30 Гла^ 1, § 2 69. В кубе АВСВА^В^С^В^ точки Т, K и О — середины отрезков А^В^, В^С^ и ВС^ соответственно. Постройте: а) точку пересечения прямой КТ с плоскостью ВВ^С^; б) прямую, по которой пересекаются плоскости ТКО и ВВ^С^. 70. ЗА^СВ — четырехугольная пирамида, O е SC, T е 8В, E е SA, P = AC П OE, К = ВС П OT (рис. 33). а) Докажите, что прямая ЕО лежит в плоскости ЗАС. б) Назовите точку пересечения прямой ОК с плоскостью ЗАВ. в) Верно ли, что прямая ЕО пересекает плоскость АВС в точке Р? г) Докажите, что плоскости КОР и ЗАВ пересекаются по прямой ЕТ. 71. ЗАВСВ — правильная четырехугольная пирамида, диагонали основания которой АС и ВВ пересекаются в точке О. Точка Т — середина отрезка ОА, а точка Е лежит на прямой ОВ так, что ОВ = ВЕ. Постройте: а) точку пересечения прямой ТЕ с плоскостью ЗВС; б) прямую, по которой пересекаются плоскости ЗТЕ и SBC. 72. АВСВА1В1С1В1 — параллелепипед, К е В^В^, T = ВК П ВВ^ (рис. 34, а, б). а) Докажите, что прямая ТВ и плоскость В1В1С1 пересекаются в точке К. б) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости ТВС и ВВ^С^. в) Верно ли, что плоскости ВСТ и ВС^С пересекаются по прямой ТС? Рис. 35 73. Дан параллелепипед АВСВА^В^С^В^. Постройте: а) точку O пересечения плоскости АВ^С с прямой ВВ; б) точку пересечения прямой ВВ^ и прямой ВlO; в) прямую, по которой пересекаются плоскости АВ^С и ВСС^. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 31 74. АВСВА^В^С^В^ — куб, T е BB^, O = BD П AC, E = TO П ВВ^ (рис. 35). а) В какой точке прямая ТЕ пересекается с плоскостью А^^С? б) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости АТЕ и ВВВ^. в) Верно ли, что плоскости АА^В^ и АТЕ пересекаются по прямой АТ? 75. Точки Т и K — середины ребер B^Ci и С^С куба АВСВА^В^С^В^ соответственно. Постройте: а) точку Q, в которой пересекаются прямая ТК и плоскость А1В1В; б) прямую, по которой пересекаются плоскости BQT и В1С1В1. 76. Дана треугольная пирамида 8АВС. Докажите, что любая прямая, проходящая через вершину В и пересекающая прямую SC, лежит в плоскости SBC. 77. В пространстве даны три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через точку О и пересекающие прямую АВ, лежат в одной плоскости. 78. SАВC — треугольная пирамида. Докажите, что любая прямая, не проходящая через вершину S и пересекающая одновременно прямые SВ и SC, лежит в плоскости SCВ. 79. В пространстве даны три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку О и пересекающие одновременно прямые ОА и ОВ, лежат в одной плоскости. 80. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Прямая а проходит через точку С. Верно ли, что прямая а лежит в плоскости АВС? Приведите примеры. 81. Треугольник АВС лежит в плоскости а. Прямая а пересекает одновременно прямые АВ и ВС. Верно ли, что прямая а лежит в плоскости АВС? 82. Дана треугольная пирамида ТАВС. Точки О и Е — середины ребер ТС и ТВ соответственно. Докажите, что каждая точка прямой ОЕ лежит в плоскости ТСВ. 83. Все точки медианы АЕ треугольника АВС лежат в плоскости а. Верно ли, что плоскости АВС и а совпадают? 84. Вершины А, В и точка О пересечения медиан треугольника АВС лежат в плоскости а. Докажите, что треугольник АВС лежит в плоскости а. Правообладатель Народная асвета 32 Гла^ 1, § 2 85. Прямая а проходит через точку пересечения медиан треугольника АВС. Верно ли, что прямая а лежит в плоскости а? Приведите примеры. 86. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости а. Докажите, что две другие вершины параллелограмма лежат в этой плоскости. 87. SABC — треугольная пирамида. Точки P и T лежат в гранях SAC и SBC соответственно (рис. 36, а). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте точку пересечения прямой PT с плоскостью SAB. 88. SABCD — четырехугольная пирамида. Точка O — точка пересечения медиан грани SCD. Постройте точку пересечения прямой AO с плоскостью SBC. 89. SABCD — правильная четырехугольная пирамида (рис. 36, б). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте прямую, по которой пересекаются плоскости PQR и ABC. ч А \ \ у / / / в / в) Рис. 36 90. SABCD — четырехугольная пирамида. Точки R и Q лежат на боковых ребрах SA и SB соответственно. Точка P лежит на продолжении ребра BC так, что BC ■ CP = 2 : 1. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости PQR и SCD. 91. ABCA1B1C1 — треугольная призма (рис. 36, в). Перечертите рисунок в тетрадь. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости PQR и A1AC. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 33 92. Докажите, что любой треугольник, одна из сторон которого есть ребро куба, а противолежащая ей вершина — вершина куба, является прямоугольным. 93. Площадь грани куба ABCDA^B^C^D^ равна S. Найдите площадь поверхности четырехугольной пирамиды OA^B^C^D^, где точка O — точка пересечения диагоналей грани ABCD. 94. В правильной четырехугольной призме ABCDA^B^C^D^ длина стороны основания равна а. Найдите площадь поверхности призмы, если угол при вершине C^ треугольника BC^D равен а. 95. Длина ребра куба ABCDA^B^C^D^ равна 2 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник B^AD. 96. ABCA^B^Ci — правильная треугольная призма, длина бокового ребра которой равна 6 см, а стороны основания — 4 см. Вычислите площадь треугольника ACB^. 97. Точка T — середина ребра DD^ куба ABCDA^B^CiD-^. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника A^C^T, если длина ребра куба равна а. Правообладатель Народная асвета § 3. Следствия из аксиом Из курса планиметрии мы уже знаем, что утверждение, справедливость которого обосновывается путем логических рассуждений, называется теоремой, а само обоснование — доказательством. Докажем некоторые следствия из аксиом. Доказать теорему — значит путем рассуждений обосновать, что она следует из некоторых аксиом или ранее доказанных теорем. Очевидность не является критерием справедливости теорем, поэтому в процессе доказательств, обращаясь к рисункам, необходимо одновременно следить за правильностью рассуждений, чтобы быть уверенными в справедливости сделанных выводов. Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Дано: Точка A не принадлежит прямой b. Доказать: Существует единственная плоскость, проходящая через точку A и прямую b. Доказательство. I. Докажем, что такая плоскость существует. 1) Пусть точка А не лежит на прямой b (А g b). 2) Отметим на прямой b две точки Т и С. 3) Точки А, Т и С не лежат на одной прямой, следовательно, по аксиоме А 1 через эти точки проходит некоторая плоскость а (А еа, Т еа, С еа) (рис. 37). 4) Точки Т и С прямой b лежат в плоскости а, значит, по аксиоме А 2 плоскость а проходит через точку А и прямую b (А еа, b еа) (см. рис. 37). II. Докажем единственность этой плоскости. 1) Допустим, что существует еще одна плоскость в, проходящая через точку А и прямую b. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 35 2) Так как плоскость в проходит через прямую b, а точки Т и С лежат на прямой b, то плоскость в проходит через точки А, Т и С, не лежащие на одной прямой. 3) По аксиоме А 1 существует только одна плоскость, проходящая через точки А, Т и С, не лежащие на одной прямой. Следовательно, плоскость в совпадает с плоскостью а. Теорема доказана. Например, пусть ABCDA^B^C^D^ — параллелепипед (рис. 38, а, б). Через прямую AD и точку B проходит единственная плоскость Y, которая совпадает с плоскостью ABD, проходящей через точки A, B и D. Действительно, точки A и D лежат в плоскости ABD, следовательно, прямая AD лежит в этой плоскости (аксиома A 2). Плоскость ABD проходит через точку B и прямую AD, следовательно, она совпадает с плоскостью Y, так как по теореме 1 такая плоскость единственная. Через прямую AD и точку B^ проходит единственная плоскость ADBj_. Плоскости y и ADB^ пересекаются по прямой AD (см. рис. 38, а, б). а 7 л Рис. 38 Рис. 39 Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Доказательство. I. Докажем существование плоскости. 1) Пусть прямые а и b пересекаются в точке О (О = а П b), Е — некоторая точка на прямой b, не совпадающая с точкой О (рис. 39). 2) Тогда по теореме 1 существует плоскость а, проходящая через точку Е и прямую а (Е е а, а е а). Правообладатель Народная асвета 36 Гла^ 1, § 3 3) Точки О и Е прямой b лежат в плоскости а, следовательно, по аксиоме А 2 плоскость а проходит через прямую b. Таким образом, существует плоскость а, проходящая через прямые a и b. II. Докажем, что такая плоскость единственная. 1) Допустим, что существует еще одна плоскость в, проходящая через прямые а и b. 2) Точка Е лежит на прямой b, следовательно, плоскость в проходит через точку Е и прямую а. По теореме 1 через точку Е и прямую а проходит единственная плоскость, значит, плоскость в совпадает с плоскостью а . Теорема доказана. Например, пусть ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед (рис. 40, а, б). Через прямые AD и DC проходит единственная плоскость а , через прямые AB1 и B1C проходит единственная плоскость в. Плоскости а и в пересекаются по прямой АС (AC = а П в). В заключение подчеркнем, что в силу теорем 1 и 2 возможны еще два способа задания плоскости: а) существует единственная плоскость, проходящая через прямую и не принадлежащую ей точку; б) существует единственная плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 37 Вопросы и задачи к § 3 98. Верно ли, что через любые три точки проходит единственная плоскость? 99. Проиллюстрируйте на примерах геометрических фигур, что не всякие четыре точки лежат в одной плоскости. 100. Верно ли, что через прямую и точку, ей не принадлежащую, проходит единственная плоскость? 101. Даны две пересекающиеся прямые. Всякая ли третья прямая, имеющая с каждой из данных прямых одну общую точку, лежит с ними в одной плоскости? 102. DABC — треугольная пирамида, точки F и K лежат на ребре BC (рис. 41). Назовите плоскости, проходящие через прямую AD. А. Я \ \ ' rV-/ \ ' ' I / / - 'Л- D Рис. 42 Рис. 43 103. Верно ли, что через любую прямую и точку проходит единственная плоскость? 104. В пространстве даны прямая a и не лежащая на ней точка О. Докажите, что все прямые, проходящие через точку О и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости. 105. Прямые а, b и c попарно пересекаются и не имеют общей точки. Докажите, что они лежат в одной плоскости. 106. Точки A, B, C и F не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые AB и CF пересекаться? Дайте обоснование ответа. 107. Точки Т, Q и Е — середины боковых ребер тетраэдра DABC (рис. 42). Найдите длину медианы DK треугольника BCD, если периметр треугольника TQE равен 3 см. Правообладатель Народная асвета 38 Гла^ 1, § 3 108. Докажите, что если прямые АВ и CD лежат в одной плоскости, то и прямые АС и BD лежат в одной плоскости. 109. Две прямые а и b пересекаются в точке О. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку О и пересекающие каждую из данных прямых, лежат в одной плоскости. 110. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две стороны треугольника? 111. ABCDA-^B^CiD^ — куб (рис. 43). Длина отрезка TE равна 5 см. Вычислите длину ребра куба. 112. TABC — треугольная пирамида. Точка P лежит на ребре TB, а прямая l лежит в плоскости TAC. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой l с плоскостью TBC; б) прямую пересечения плоскости TBC с плоскостью, проходящей через прямую l и точку P (рис. 44). Рис. 45 113. ABCA^B^Ci — треугольная призма. Точка O лежит на продолжении ребра AA^, а прямая l — в плоскости ABC (рис. 45). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) точки пересечения прямой l с плоскостями A^B^B и AA^C; б) прямую пересечения плоскости A^B^C^ с плоскостью, проходящей через прямую l и точку O. 114. SABCD — правильная четырехугольная пирамида. Прямая l лежит в плоскости SBC, а точка P — на продолжении ребра SD (рис. 46). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой l с плоскостью основания; б) прямую пересечения плоскости основания с плоскостью, проходящей через прямую l и точку P. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 39 115. Точки P, T и K — середины ребер SC, AD и четырехугольной пирамиды SA^CD соответственно. Постройте прямую, по которой пересекается плоскость SA^ с плоскостью, проходящей через точку P и прямую TK. 116. DABC — треугольная пирамида, точка F принадлежит ребру AD и не совпадает с вершинами пирамиды, а точка O лежит на прямой DB так, что точка B лежит между точками D и O. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости ABC и FOC. 117. TABC — треугольная пирамида, точка P принадлежит ребру AC и не совпадает с вершинами пирамиды, а точка F лежит на прямой CB так, что точка B лежит между точками C и F. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости TAB и TPF. Правообладатель Народная асвета § 4. Построение сечений многогранников плоскостью Для решения задач по стереометрии часто необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Поясним, что понимается под сечением. Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба). Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости. Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки. Например, на рисунке 47, а, б изображен параллелепипед и секущая плоскость а . Сечением параллелепипеда этой плоскостью служит четырехугольник ABCD. Плоскость в, в которой лежит одна из граней параллелепипеда, секущей плоскостью для него не является. Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба), а точнее, его изображения можно построить Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 41 точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна, но выполнять построение необходимо с учетом аксиом и теорем стереометрии, а также правил изображения фигур. Подчеркнем, что в основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение: а) линии пересечения двух плоскостей; б) точки пересечения прямой и плоскости. а) Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости а и в (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей а и в. б) Для построения точки пересечения прямой l и плоскости а нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l^, по которой пересекаются плоскость а и любая плоскость, содержащая прямую l. Задача 1. На ребрах AD, DC и СВ треугольной пирамиды DABC даны точки Т, О и Е соответственно. Точка О не является серединой ребра DC (рис. 48, а, б, в). Постройте сечение пирамиды плоскостью ТОЕ. Решение. 1) Проводим отрезки ТО и ОЕ (см. рис. 48, а). (Отрезки ТО и ОЕ лежат в секущей плоскости и в гранях ACD и CBD соответственно, поэтому являются сторонами искомого сечения.) Л т/ а/ Al- А б) Рис. 48 в) Правообладатель Народная асвета 42 Гла^ 1, § 4 2) Находим точку Х^, в которой пересекаются прямые АС и ТО ■ Х^ = АС П ТО (см. рис. 48, б). (Прямые АС и ТО лежат в одной плоскости и не являются параллельными, следовательно, пересекаются в точке Х^.) 3) Отметим точку Х2 пересечения прямых Х^Е и АВ ■■ Х2 = Х^Е П АВ (см. рис. 48, в). (Х^ е (АВС) и Х1 е (ТОЕ), кроме того, Е е (АВС) и Е е (ТОЕ). Значит, эти плоскости пересекаются по прямой Х^Е. Прямые Х^Е и АВ лежат в одной плоскости АВС и не параллельны, следовательно, пересекаются в точке Х2.) 4) Проводим отрезок Х2Т (см. рис. 48, в). (Точка Х2 лежит в секущей плоскости ТОЕ и на ребре АВ. Следовательно, плоскость ТОЕ пересекает грани АСВ и АВВ по отрезкам ЕХ2 и Х2Т соответственно.) Четырехугольник ТОЕХ2 — искомое сечение. Задача 2. Точка Т — середина ребра ВВ тетраэдра В АВС (рис. 49, а, б). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, С и Т. Вычислите радиус окружности, вписанной в это сечение, если длина ребра данного тетраэдра равна 2 см. Рис. 49 Решение. I. Построим сечение. Точки Т и С лежат в каждой из плоскостей АТС и ВВС, следовательно, плоскость АТС пересекает плоскость ВВС по прямой ТС, а, значит, грань ВВС — по отрезку ТС. Аналогично получаем, что секущая плоскость АТС пересекает грань ABB по отрезку АТ, а каждую из граней АВС Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 43 и АВС — по отрезку АС. Таким образом, треугольник АТС — искомое сечение данного тетраэдра DABC (см. рис. 49, а, б). II. Вычислим радиус окружности. 1) Так как треугольники АТВ и СТВ равны (АВ = ВС = = 2 см, ZATB = Z CTB = 90°, ТВ — общая сторона), то АТ = ТС, т. е. треугольник АТС равнобедренный (рис. 49, в). 2) В прямоугольном треугольнике СТВ (ТВ = 1 см, ВС = 2 см, Z CTB = 90°) длина катета TC = ^JbC^ - TB^ = = Vs см. 3) Пусть точка Е — середина отрезка АС, точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АТС, а точка K — точка касания окружности и стороны ТС. В прямоугольном треугольнике ТЕС (Z TEC = 90°, так как медиана ТЕ, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике АТС является и высотой, СЕ = 1 см, ТС = л/3 см) длина катета TE = = 4tc2~-ce2 = 42 см. 4) Имеем ОЕ = ОК = г, ОТ = ТЕ - ОЕ = 42 - г, где r — радиус вписанной окружности. Треугольники ТЕС и ТКО подобны (Z ТЕС = Z ТКО = 90°, Z ЕТС = ZКТО), следовательно, ОТ ■ ТС = ОК ■ ЕС или ^/2 - г) ^/3 = г '■ 1. Отсюда найдем ра- ^/2 диус окружности: г = ^. Заметим, что радиус г можно найти, воспользовавшись формулой г = ^ATC Patc , где SATC и pATC — площадь и полупери- метр треугольника ATC соответственно. Вопросы и задачи к § 4 118. Какая плоскость называется секущей плоскостью многогранника? 119. Какая фигура называется сечением многогранника? 120. Поясните, как можно построить отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань многогранника. Правообладатель Народная асвета 44 Гла^ 1, § 4 121. Что необходимо построить для того, чтобы построить прямую, по которой пересекаются две плоскости? 122. Объясните, как строится точка пересечения прямой и данной плоскости. 123. На рисунке 50, а изображен куб АВСВА^В^С^В^, T е А^В^, O е СС^, K е ВВ^. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой TK с плоскостью грани AA^B^B; б) сечение куба плоскостью, проходящей через точки Т, K и О. 124. Изобразите куб АВСВА^В^С^В^. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В^, Т и О, где точки Т и О — середины ребер АВ и ВС соответственно. А т В1 А Я О к а) Рис. 50 125. АВСВА1В1С1В1 — куб. Треугольник КТЕ — сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, Т и Е — середины ребер АВ, ВВ^ и ВС соответственно (рис. 50, б). а) Верно ли, что треугольник КТЕ равносторонний? б) Вычислите площадь треугольника КТЕ, если длина ребра куба равна 1 см. 126. Изобразите куб АВСВА1В1С1В1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки А, В1, С, и вычислите площадь поверхности куба, если площадь построенного сечения равн^Уэ см2. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 45 127. На рисунке 51 изображена пирамида DABC, O е AD, E е DB, T е AC. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой OT с плоскостью DCB; б) точку пересечения прямой OE с плоскостью ABC; в) сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки Т, Е и О. D о/ Ai-- _ - - - -J>B 7^ z Рис. 51 128. Изобразите треугольную пирамиду ABCD. Постройте ее сечение плоскостью, проходящей через точки K, Е и Р, где точки K и Е — середины ребер AD и BD, а точка Р лежит на продолжении ребра ВС. 129. Дан тетраэдр DABC. Треугольник СОЕ — сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки С, О и Е, где точки О и Е — середины ребер AD и DB соответственно (рис. 52). а) Докажите, что треугольник СОЕ равнобедренный. б) Вычислите периметр треугольника СОЕ, если длина ребра тетраэдра равна 2/3 см. 130. Изобразите тетраэдр ABCD. Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середины ребер AD, AB, ЛС, и найдите площадь этого сечения, если длина ребра тетраэдра равна а. 131. На рисунке 53 изображен параллелепипед ABCDЛ1B1C1D1, T е A1B1, K е B1C1, O е DD1. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой TK с плоскостью грани AA1D1D; б) сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Т, K и О. Правообладатель Народная асвета 46 Гла^ 1, § 4 132. Изобразите параллелепипед АВСВА^В^С^В^. Постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Р и О — середины ребер ВВ^, А^ и ВС соответственно. 133. АВСВА^В^С^В^ — прямоугольный параллелепипед, А^ = ВС = 3 см и СС^ = 4 см. Треугольник ВВС^ — сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую ВВ и вершину С^ (рис. 54). а) Докажите, что треугольник ВВС^ равнобедренный. б) Вычислите высоту треугольника ВВС^, проведенную к стороне ВС^. 134. Изобразите прямоугольный параллелепипед АВСВА^В^С^В^. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую А^С1 и вершину В. Найдите площадь этого сечения, если известно, что радиус окружности, описанной около прямоугольника В^С^СВ, равен R и А^В^ = В^С^ = а. 135. Дан куб АВСВА^В^С^В^. Точки О и Е — середины ребер АВ и ВС соответственно. Треугольник ОЕВ^ — сечение куба плоскостью, проходящей через точки О, Е и В^ (рис. 55). а) Является ли треугольник ОЕВ^ равнобедренным? б) Найдите длину ребра куба, если периметр треугольника ОЕВ^ равен Р. 136. Изобразите куб АВСВА^В^С^В^. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую АС и точку Т, где точка Т — середина ребра ВВ^. Вычислите длину медианы ТО треугольника АТС, если АВ = 2 см. Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 47 137. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, длина каждого ребра которой равна 2 см. Треугольник А^С — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую АС и точку F — середину ребра SB (рис. 56). Вычислите высоту FO треугольника А^С. 138. Дана правильная четырехугольная пирамида SA^CD, все ребра которой равны между собой, точка K — середина бокового ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и прямую BD. Найдите площадь основания пирамиды, если площадь полученного сечения равна Q. 139. На рисунке 57 изображена четырехугольная пирамида SABCD, T е SB, E е SC, O е DC. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой TE с плоскостью основания пирамиды; б) сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки Т, О и Е. Рис. 58 140. Изобразите четырехугольную пирамиду SABCD. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер SA, AD и DC. 141. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Треугольник SBD — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и прямую BD (рис. 58). Найдите площадь боковой грани пирамиды, если радиус окружности, описанной около треугольника SBD, равен R. Правообладатель Народная асвета 48 Гла^ 1, § 4 142. TABCD — правильная четырехугольная пирамида. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину Т и прямую АС. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь треугольника АТС равна площади основания, а длина стороны основания равна а. 143. На рисунке 59 изображен куб ABCDA^B^C^D^, K е A^B^, T е B^C^, E е DD^. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) прямую, по которой пересекаются плоскость KTE и плоскость грани DD^C^C; б) сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, Т и Е. А А /А-: !■-А: А / >■■■.':у i:'-A '/ D Рис. 61 144. Изобразите куб ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер АА1, AD и СС1. 145. На рисунке 60 изображены куб и пирамида ABСD. Вычислите площадь поверхности пирамиды, если длина ребра куба равна 1 см. 146. ABСDA1B1С1D1 — прямоугольный параллелепипед, основание которого — квадрат, длина стороны которого а. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью АВ^^С. Найдите радиус окружности, описанной около боковой грани параллелепипеда, если площадь треугольника АВ^С равна S. 147. ABСDA1B1С1D1 — прямоугольный параллелепипед, основанием которого служит квадрат ABCD, AB = а. Треугольник В1АВ1 — сечение параллелепипеда плоскостью, Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 49 проходящей через вершину А и прямую E^D^. Найдите площадь боковой грани параллелепипеда, если угол А в треугольнике EiADi равен а (рис. 61). 148. На рисунке 62 изображен параллелепипед AECDA1E1C1D1. Точки K, O и T лежат на прямых А1Е1, Е1С1 и DD1 соответственно, как показано на рисунке. Перечертите рисунок в тетрадь и постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Т, K и О. 149. AECDA1E1C1D1 — куб (рис. 63). Четырехугольник АКТС — сечение куба плоскостью, проходящей через вершины А, С и точку О такую, что точка E1 — середина отрезка ОЕ. Докажите, что четырехугольник АКТС — равнобедренная трапеция, и вычислите длину ее средней линии, если длина ребра куба равна \/2 см. 150. Изобразите куб AEСDA1E1С1D1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую A1D и точку К такую, что точка С1 — середина отрезка D1K. Вычислите периметр построенного сечения, если длина ребра куба равна 1 см. 151. Изобразите тетраэдр AEСD и постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середины ребер DA, DE и DC. Вычислите площадь грани тетраэдра, если площадь построенного сечения равна 6 см2. Правообладатель Народная асвета 50 Гла^ 1, § 4 152. ABCDA^B^CiD-^ — куб. Точка T — середина ребра ЕЕ^, точка K лежит на ребре AA^ так, что AK '■ KA^ = 1 : 2, а точка P лежит в плоскости грани AECD (рис. 64). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой TK с плоскостью грани AECD; б) сечение куба плоскостью TKP. Рис. 65 Рис. 66 153. SAECD — четырехугольная пирамида. Точка T — середина ребра SA, точка K лежит на ребре SC так, что CK ■ CS = 1 : 4, а точка F лежит на продолжении диагонали ED основания так, что ED ■ DF = 2 : 1. Постройте сечение пирамиды плоскостью TKF. 154. AECA1E1C1 — треугольная призма. Точки P и T принадлежат ребрам ЕЕ1 и CC1 соответственно так, что EP ■ PE1 = 1 : 3, CT ■ TC1 = 3 : 1, а точка Q лежит в плоскости AEC (рис. 65). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой PT с плоскостью AEC; б) сечение призмы плоскостью PTQ. 155. SAEC — треугольная пирамида. Точки T и F — середины ребер SA и AC соответственно, а точка K — точка пересечения медиан грани SEC. Постройте сечение пирамиды плоскостью TKF. 156. SAEC — треугольная пирамида. Точка T лежит на ребре SA, точка K — на продолжении ребра AE, а точка E лежит в плоскости AEC (рис. 66). Перечертите рисунок в те- Правообладатель Народная асвета Введение в стереометрию 51 традь и постройте: а) точку пересечения прямой TK с плоскостью SBC; б) сечение пирамиды плоскостью TKE. 157. SABCD — четырехугольная пирамида. Точка T — середина ребра SB, а точки K и E лежат на продолжении ребра BC и SD соответственно так, что BC ■ CK = 3 : 1, SD ■ DE = 3 : 1. Постройте сечение пирамиды плоскостью TEK. 158. ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, длина стороны основания которой равна 8 см, а бокового ребра — 6 см. Вычислите площадь сечения, проходящего через сторону одного основания и противолежащую вершину другого основания. 159. В тетраэдре DABC точка O — середина ребра BC. Площадь сечения, проходящего через точки A, D и O, равна S. Найдите площадь поверхности данного тетраэдра. 160. ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. Найдите площадь сечения призмы плоскостью AB1C1, если площадь поверхности призмы равна S. 161. Найдите площадь поверхности правильной треугольной призмы, длина стороны основания которой равна а, а плоскость, проходящая через сторону одного основания и противолежащую вершину другого основания, делит площадь поверхности призмы в отношении 2 : 3. 162. Квадрат ABCD — основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если длина его бокового ребра равна а, а площадь сечения плоскостью BA1C1 равна S. 163. В правильной четырехугольной пирамиде TABCD площадь сечения пирамиды плоскостью TAC равна S. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если все ребра пирамиды равны между собой. 164. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, произведение длин диагоналей которого равно 48 см2, Правообладатель Народная асвета 52 Гла^ 1, § 4 12 равен — см. 5 а радиус вписанной в него окружности Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда, если длина диагонали боковой грани равна 13 см. 165. В правильной треугольной пирамиде длина стороны основания равна а, а длина бокового ребра — b. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через две вершины основания и середину бокового ребра. Правообладатель Народная асвета i: I ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ Р Правообладатель Народная асвета Глава 2 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ § 1. Параллельные прямые в пространстве Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b (AB и CD) параллельны, то пишут а I b (AB I CD). Например, если ABCDA^B^C^D^ есть параллелепипед (рис. 67, а, б), то прямые AB и CD, BB^ и CC^ параллельны. Рис. 67 Два отрезка (луча) называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Отрезок (луч) называется параллельным данной прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной. Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой. Доказательство. 1. Докажем существование прямой. Пусть дана прямая b и точка A, не лежащая на этой прямой. Тогда через них проходит единственная плоскость а (рис. 68, а, б). В этой плоскости, как известно из планиметрии, существует прямая l, проходящая через точку A и параллельная прямой b. Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 55 а) Рис. 68 б) 2. Докажем единственность прямой. Предположим, что существует еще одна прямая проходящая через точку A и параллельная прямой b. Тогда прямая li должна лежать в одной плоскости с точкой A и прямой b, т. е. в плоскости а. Из курса планиметрии известно, что в плоскости а через точку A проходит единственная прямая, параллельная прямой b. Значит, прямая l^ совпадает с прямой l. Теорема доказана. Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Доказательство. Пусть a и b — параллельные прямые и прямая a пересекает плоскость а в точке O. Докажем, что прямая b также пересекает плоскость а (рис. 69, а, б). Рассмотрим плоскость в, в которой лежат параллельные прямые a и b. Плоскости а и в имеют общую точку O, следовательно, они пересекаются по некоторой прямой l. Правообладатель Народная асвета 56 Глава 2, § 1 Прямая l лежит в плоскости в и пересекает прямую a в точке O, значит, она пересекает и прямую b, параллельную прямой а, в некоторой точке T. Так как прямая l лежит в плоскости а, то точка T есть общая точка прямой b и плоскости а. Прямая b не имеет с плоскостью а других точек, кроме точки T. Действительно, если бы прямая b имела еще одну общую точку с плоскостью а, то она лежала бы в плоскости а, а следовательно, была бы общей прямой плоскостей а и в, т. е. совпадала бы с прямой l, что противоречит параллельности прямых a и b. Таким образом, прямая b имеет с плоскостью а единственную общую точку T, т. е. пересекается с плоскостью а в точке T. Теорема доказана. Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Доказательство. Пусть а I с, b I с (рис. 70 а, б). Докажем, что а | b. Для этого необходимо доказать, что прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Пусть O — некоторая точка на прямой b. Обозначим буквой в плоскость, проходящую через прямую а и точку O. Докажем, что прямая b лежит в плоскости в. Допустим, что прямая b пересекает плоскость в, тогда по теореме 2 прямая с также пересекает плоскость в. Так как с | а, то и прямая а по теореме 2 пересекает плоскость в, а это противоречит тому, что прямая а лежит в плоскости в. Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 57 Прямые a и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые a и b, параллельные прямой с, что противоречит теореме 1. Теорема доказана. Например, пусть ABCDA^B^C^D^ — параллелепипед (рис. 71, а). Тогда прямые AD и B^C^ параллельны. Действительно, так как четырехугольник AA1D1D — параллелограмм, то AD I A1D1. Аналогично A1D1 | B1C1, так как A1B1C1D1 — параллелограмм. Тогда по признаку параллельности прямых AD I B1C1. Рис. 71 Задача. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат, длина стороны которого 1 см, а длина бокового ребра параллелепипеда равна 3 см. Точки P, T, O и K являются серединами отрезков AB, BB1, B1D и AD соответственно. Вычислите периметр четырехугольника PTOK (рис. 71, б, в). Решение. 1) В треугольнике B1BD отрезок TO есть средняя линия, следовательно, TO | BD, TO = 1BD. 2) В треугольнике ABD отрезок PK — средняя линия, значит, PK I BD, PK = 1BD. 3) Из 1) и 2) следует, что PK | TO, PK = TO, т. е. PTOK — параллелограмм. 4) Теперь вычислим периметр четырехугольника: PPTOK = = 2PT + 2PK = AB1 + BD, AB1 = = sflo (см), BD = Правообладатель Народная асвета 58 Глава 2, § 1 = \JaB^ + AD^ = V2 (см). Таким образом, Ррток = ''И0 + V2 = = \[2(\[ъ + 1) (см). Ответ. \[2(\[ъ + 1) см. Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. а) в) Доказательство. 1) Пусть ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Рассмотрим четырехугольник A1B1CD, диагонали которого A1C и В1С являются диагоналями данного параллелепипеда (рис. 72, а). Так как AA1B1B — параллелограмм, то АВ = А1В1, АВ | А1В1; так как четырехугольник ABCD — параллелограмм, то АВ = CD, АВ I CD. Следовательно, А1В1 = CD, А1В1 | CD, т. е. четырехугольник A1B1CD — параллелограмм. Поэтому его диагонали А1С и B1D пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам. 2) Рассмотрим четырехугольник B1C1DA. Он также является параллелограммом, так как В1С1 = AD и В1С1 | AD. Следовательно, его диагонали B1D и С-^А пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Серединой диагонали B1D является точка О, значит, диагонали А1С, B1D и С1А параллелепипеда пересекаются в точке о и делятся ею пополам (рис. 72, б). 3) Теперь рассмотрим четырехугольник A1D1CB. Этот четырехугольник является параллелограммом, так как ВС = A1D1, ВС I A1D1. Значит, его диагонали А1С и D1B, ко- Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 59 торые являются диагоналями параллелепипеда, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Серединой диагонали A^C является точка O, следовательно, и диагональ D^B параллелепипеда проходит через точку O и делится этой точкой пополам (рис. 72, в). Вопросы и задачи к § 1 166. Верно ли утверждение, что прямые в пространстве параллельны, если они не пересекаются? 167. Верно ли утверждение, что параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости? 168. Верно ли, что через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой? 169. Одна из параллельных прямых пересекает плоскость а. Как расположена вторая прямая относительно плоскости а? 170. Верно ли утверждение, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую из них? 171. Две прямые a и b параллельны третьей прямой. Что можно сказать о взаимном расположении прямых a и b? 172. Прямые a и b в пространстве параллельны между собой, а прямая c не пересекает прямую а. Верно ли утверждение, что прямые b и c параллельны? 173. Каким свойством обладает точка пересечения диагоналей параллелепипеда? 174. На рисунке 73 изображена треугольная пирамида SABC. Точки P и K — середины ребер SA и SB соответственно. Отрезок TE — средняя линия треугольника CPK. а) Поясните, почему прямые PK и AB параллельны. б) Верно ли, что прямые TE и AB параллельны? 175. ABCDA^B^CiD^ — куб, точки O и E — точки пересечения диагоналей его граней A^B^C^D^ и AA^D^D соответственно. Докажите, что прямые OE и TK параллельны, точки T и K — середины ребер CC^ и CD соответственно. Правообладатель Народная асвета 60 Глава 2, § 1 176. ABCA^B^C^ — правильная треугольная призма, длина каждого ребра которой равна 1 см. Диагонали граней AA^CiC и CC1B1B пересекаются в точках P и E соответственно (рис. 74). а) Верно ли, что PE | AB? б) Вычислите периметр четырехугольника PA1B1E. А^Е Рис. 75 177. Два треугольника ABC и A1B1C1 имеют общую среднюю линию FT, F = AB П A1B1, T = BC П B1C1. Пересекаются ли прямые AC и A1C1? 178. На рисунке 75 изображены два треугольника ABC и KBD, имеющие общую медиану BO. Точки T и P есть середины отрезков BC и BD соответственно, а точки Q и E — середины отрезков OK и OA соответственно. а) Докажите, что прямая PT параллельна прямой DC. б) Верно ли, что прямые TP и QE параллельны? 179. Два параллелограмма ABCD и ABTE не лежат в одной плоскости. Докажите, что четырехугольник CDTE — параллелограмм. 180. DABC — треугольная пирамида (рис. 76). Точки T, P, Q и E — середины ребер AD, BD, CB и CA соответственно. а) Докажите, что четырехугольник TPQE — параллелограмм. б) Вычислите периметр четырехугольника TPQE, если CD = 6 см, AB = 7 см. 181. ABCD — трапеция (BC | DA). Вершины A и B трапеции лежат в плоскости а, а две другие вершины не принадлежат плоскости а. Вычислите расстояние от точки A до точки пересечения прямой CD с плоскостью а, если AD = 16 см, AB = 9 см, BC = 12 см. Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 61 182. ABCDA^B^C^D^ — параллелепипед. Точка O лежит на продолжении ребра DC (рис. 77). Вычислите расстояние от точки D до точки пересечения прямой C^O с плоскостью AjAD, если СС^ = 8 см, ВС = 4 см, OC = 6 см. Рис. 76 Рис. 77 Рис. 78 183. Плоскость а и отрезок AB имеют одну общую точку A. Через точку B и середину C отрезка AB проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость а в точках Bi и Cl соответственно. Вычислите длину отрезка BBi, если СС1 = 10 см. 184. Через конец A отрезка AB проходит плоскость а. Через точку B и точку C этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках B1 и С1 соответственно. Вычислите длину отрезка CC1, если BB1 = 8 см и AC ■■ CB = 3 : 5 (рис. 78). 185. Отрезок AB не пересекает плоскость а. Точка C принадлежит отрезку AB. Через точки A, B, C проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой, и вычислите длину отрезка CC1, если AA1 = 9 см, BB1 = 5 см, AC ■■ BC = 1 : 3. 186. ABCDA1B1C1D1 — куб. Точка O лежит на ребре AA1 (рис. 79, а, б). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте точку пересечения прямой l, которая проходит через точку O и параллельна прямой B1C, с плоскостью D1C1C. 187. SABC — треугольная пирамида. Точка О лежит на ребре SA так, что SO ■ OA = 2 : 5. Через точку O проведена Правообладатель Народная асвета 62 Глава 2, § 1 прямая l, параллельная медиане SK грани SBC. Вычислите длину медианы SK, если длина отрезка прямой l, расположенного внутри пирамиды, равна 7 см. А А А 1 N 1 * 1 1 N b'<- \ • X у Pi D а) Рис. 79 188. Плоскость а проходит через вершины B и C треугольника ABC, а вершина A не лежит в плоскости а. Прямая a параллельна прямой AC и пересекает сторону AB в точке F так, что AF ■ FB = 2 : 3. а) Докажите, что прямая a пересекает плоскость а. б) Вычислите расстояние от точки F до точки пересечения прямой a с плоскостью а, если AC = 3 см. 189. В тетраэдре SABC точка P лежит на ребре AB так, что AP '■ PB = 1 : 3. Прямая a проходит через точку P, параллельна медиане AE боковой грани SAC и пересекает поверхность тетраэдра в точке T. Вычислите длину ребра тетраэдра, если PT = 4 см. 190. SABCD — тетраэдр. Через точку пересечения медиан грани ABC проведена прямая l, параллельная прямой AS. Найдите площадь треугольника BKS (точка K — середина ребра AS), если длина отрезка прямой l, расположенного внутри тетраэдра, равна a. 191. Параллелограмм ABCD и треугольник BTC не лежат в одной плоскости. Прямая a проходит через точку O, лежащую на прямой TC, и параллельна прямой BC. Докажите, что прямые AD и a параллельны. 192. SABCD — правильная четырехугольная пирамида. Точка O лежит на прямой SD. Прямая l проходит через точ- Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 63 ку O и параллельна прямой DC. Докажите, что прямые AB и a параллельны. 193. ABCDA^B^CiD^ — куб. Точка P лежит: а) на ребре BB^ (рис. 80, а); б) на ребре B^C^ (рис. 80, б). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте точку пересечения прямой l, проходящей через точку P и параллельной прямой B^D, с поверхностью куба. 194. SABC — тетраэдр, длина ребра которого а. Точка O — середина ребра SB. Постройте точку пересечения прямой l, проходящей через точку O и параллельной медиане BT грани ABC, с поверхностью тетраэдра. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного внутри тетраэдра. 195. ABCA^B^Ci — правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. Точка O — середина диагонали ACi грани AA^CiC. Постройте точку пересечения прямой l, проходящей через точку O и параллельной медиане C^^K грани A1B1C1, с гранью AA^^B^^B. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если длина отрезка прямой l, расположенного внутри призмы, равна 1 см (рис. 81). ^1 К В, Рис. 81 196. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Точка O — точка пересечения медиан грани ABC. Найдите длину расположенного внутри призмы отрезка прямой, проходящей через середину отрезка A1O и параллельной прямой CO, если площадь ее боковой поверхности равна S. Правообладатель Народная асвета 64 Глава 2, § 1 197. TABCD — правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания, а площадь боковой поверхности равна S. Найдите длину расположенного внутри пирамиды отрезка прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей основания и параллельной медиане TF грани TDC. 198. В правильной четырехугольной пирамиде TABCD все ребра равны между собой. Точка E — середина ребра TA. Через точку E проведена прямая l, параллельная прямой KP, где K и P — середины ребер TD и TC соответственно. Постройте точку F — точку пересечения прямой l с плоскостью TBC. Найдите площадь основания пирамиды, если площадь четырехугольника EFCD равна S. 199. SABCD — треугольная пирамида. Через точку пересечения медиан грани SBD проведена прямая, параллельная медиане BM грани SAB. Найдите длину отрезка этой прямой, лежащего внутри пирамиды, если BM = а. Правообладатель Народная асвета § 2. Параллельность прямой и плоскости 1. Параллельность прямой и плоскости. Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости: 1) прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости). Например, если DABC — треугольная пирамида, то прямая CB лежит в плоскости ABC (рис. 82, а); б) Рис. 82 В, Q А. А. в) 2) прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку). Например, прямая B^B пересекается с плоскостью грани ABCD параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ (рис. 82, б); 3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Например, если ABCDA^B^C^D^ — куб, то прямая A^D^ и плоскость, в которой лежит грань ABCD, не пересекаются (рис. 82, в). Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости а, то пишут а | а. Читают: «Прямая а параллельна плоскости а». Отрезок (луч) называется параллельным плоскости, если он лежит на прямой, параллельной данной плоскости. Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дает линия пересечения стены и потолка в комнате. Эта линия параллельна плоскости пола. Правообладатель Народная асвета 66 Глава 2, § 2 2. Признак параллельности прямой и плоскости. Докажем признак параллельности прямой и плоскости. Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Доказательство. Пусть прямая а не лежит в плоскости а, а прямая b лежит в этой плоскости и а | b. Докажем, что прямая а параллельна плоскости а (рис. 83, а, б). Предположим, что прямая а пересекает плоскость в некоторой точке X. Точка X лежит в плоскости а и в плоскости в, проходящей через параллельные прямые а и b. Следовательно, она лежит на прямой b, по которой пересекаются плоскости а и в, что противоречит условию теоремы (а | b). Таким образом, предположение неверно и прямая а не пересекает плоскость а. По условию она не лежит в плоскости а, значит, а | а. Теорема доказана. Например, на рисунке 84, а, б (ABCDA^B^C^D^ — параллелепипед) прямая A^B^ параллельна плоскости а, в которой лежит грань ABCD. Действительно, прямая A^B^ параллельна прямой AB, лежащей в плоскости а. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости A^B^ | а. Теорема 2. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 67 а) Рис. 84 Доказательство. Пусть плоскость а проходит через прямую а, параллельную плоскости в, а плоскости а и в пересекаются по прямой b. Докажем, что а | b. Прямые а и b лежат в одной плоскости а. Кроме того, они не пересекаются. Действительно, если бы прямые а и b пересекались в некоторой точке X, тогда бы прямая а пересекала плоскость в в точке X, что противоречит условию. Таким образом, прямые а и b параллельны (рис. 85, а, б). Рис. 85 Проиллюстрируем возможность применения теоремы при решении задач. Задача 1. Дан куб ABCDA^B^C^D^. Постройте сечение куба плоскостью а, проходящей через прямую AA-^ и точку T, которая принадлежит ребру BC. Правообладатель Народная асвета 68 Глава 2, § 2 Решение. 1) Плоскость а пересекает грань ABCD по отрезку AT (рис. 86, а, б). 2) Прямая AA1 параллельна прямой BB1, лежащей в плоскости грани BCC1B1, следовательно, плоскость а пересекает плоскость грани BCC1B1 по прямой l, параллельной прямой BB1. Отметим точку X = l П B1C1. 3) Плоскость а пересекает грани BCC1B1 и C1B1A1D1 по отрезкам XT и XA1 соответственно. Четырехугольник TXA1A — искомое сечение. Задача 2. Прямая a параллельна плоскости а. Точка O лежит в плоскости а. Докажите, что прямая, проходящая через точку O и параллельная прямой a, лежит в плоскости а. Доказательство. Пусть прямая b проходит через точку O и параллельна прямой а. Предположим, что прямая b не лежит в плоскости а, т. е. пересекает плоскость а в точке O. Тогда прямая a также пересекает плоскость а (гл. 2, § 1, теорема 4), что противоречит условию. Следовательно, прямая b лежит в плоскости а. Задача 3. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью а, проходящей через прямую B1C и точку O, лежащую на ребре AA1. Решение. 1) Плоскость а пересекает грани AA1B1B и BB1C1C по отрезкам OB1 и B1C соответственно (рис. 87, а). Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 69 f‘) Рис. 87 2) Четырехугольник A^B^CD является параллелограммом (т. к. A^B^ I DC, A^B^ = DC), следовательно, B^C | A^D. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая B^C параллельна плоскости, в которой лежит грань AA^D^D. 3) Секущая плоскость а пересекает плоскость грани AA^D^D по прямой l, проходящей через точку O и параллельной прямой B^C. Отметим точку X = l П AD (O е l, l I A^D) (рис. 87, б). 4) Плоскость а пересекает грани AA^D^D и ABCD по отрезкам XO и XC (рис. 87, в). Четырехугольник OB^CX — искомое сечение. Вопросы и задачи к § 2 200. Верно ли утверждение, что прямая, параллельная некоторой прямой, лежащей в плоскости, параллельна этой плоскости? 201. Верно ли утверждение, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости? 202. Верно ли утверждение, что две прямые, каждая из которых параллельна некоторой плоскости, параллельны между собой? 203. Прямая a параллельна плоскости р. Верно ли, что прямая a не пересекает любую прямую плоскости в? Правообладатель Народная асвета 70 Глава 2, § 2 204. Прямая l параллельна плоскости а. Верно ли утверждение, что в плоскости а существует прямая, параллельная прямой l? 205. Можно ли две пересекающиеся плоскости пересечь третьей плоскостью по двум параллельным прямым? 206. ABCAiB^Ci — прямая треугольная призма, точки T и F — середины ребер AiBi и CiBi соответственно (рис. 88, а). а) Верно ли, что прямая A1B1 параллельна плоскости ABC? б) Докажите, что прямая TF параллельна плоскости ABC. в) Назовите какую-либо плоскость, которой параллельна прямая CC1. А в % _ а) Рис. 88 207. DABC — треугольная пирамида, точка F — середина ребра DB. Каким образом должна быть расположена на ребре CB точка T, чтобы прямая FT была параллельна плоскости DCA? 208. ABCDA1B1C1D1 — куб. Точки P, O и E — середины отрезков AB1, A1C1 и C1D соответственно (рис. 88, б). а) Верно ли, что прямая PO параллельна плоскости, в которой лежит грань AA1D1D? б) Докажите, что прямая OE параллельна плоскости B1BC. 209. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки O и E — середины отрезков AB1 и AC соответственно. а) Докажите, что отрезок OE параллелен плоскости, в которой Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 71 лежит грань BCC^B^. б) Вычислите длину отрезка OE, если AD = 3 см, DDi = 4 см. 210. ABCA^B^C^ — прямая треугольная призма, точки O и F — середины отрезковAB^ и ACi соответственно (рис. 89, а). а) Верно ли, что прямая FO параллельна плоскости AlBlCl? б) Докажите, что прямая FO параллельна плоскости ABC. 211. ABCD — трапеция. Плоскость а проходит через вершины A, D и не проходит через вершину C. Точка O лежит в плоскости а (рис. 89, б). а) Докажите, что средняя линия PE трапеции параллельна плоскости а. б) Верно ли, что средняя линия KT треугольника BOC параллельна плоскости а? 212. Точка O не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости AOB. 213. Четырехугольник BlCOX — сечение параллелепипеда ABCDAlBlClDl плоскостью а, проходящей через прямую B]C и точку O е AD (рис. 90). а) Верно ли, что прямая B^C параллельна плоскости XOT? б) Докажите, что средняя линия PE треугольника XOT параллельна плоскости а. 214. SABC — правильная треугольная пирамида, длина бокового ребра которой равна 4 см, а основание есть треугольник, длина стороны которого равна 2 см. Вычислите периметр сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BC и среднюю линию треугольника SAB, которая параллельна прямой A.B. Правообладатель Народная асвета 72 Глава 2, § 2 215. ABCDA^B^C^D^ — куб. Вычислите площадь полной поверхности куба, если периметр треугольника TOE равен (2 W2) см, где точки T, O и E — середины отрезков AA^, A^B и A^D соответственно (рис. 91). S А Л Ь. D С Рис. 91 Рис. 92 216. Точка O не лежит в плоскости параллелограмма ABCD, а точка E — середина отрезка BO. Докажите, что плоскость AED пересекает прямую OC. 217. На рисунке 92 изображена четырехугольная пирамида, основание которой — трапеция ABCD (AB | CD). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку O е SD и прямую AB. Какая фигура получится в сечении? 218. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см, а длина бокового ребра — 26 см. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух противолежащих сторон основания и параллельной какому-либо боковому ребру. Вычислите площадь сечения. 219. На рисунке 93 изображена правильная треугольная пирамида SABC. Четырехугольник DOKT — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер AS, AC и параллельной прямой, на которой лежит медиана AF грани ABC. Вычислите длины отрезков OD и KT, если SB = 12 см. Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 73 220. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, длина каждого ребра которой равна а. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, середину ребра CD и параллельной диагонали AC основания. Найдите площадь этого сечения. 221. ABCA^B^Ci — правильная треугольная призма, каждое ребро которой равно а. Точки P и Q — середины ребер AA^ и BC соответственно (рис. 94). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P, Q и параллельной прямой AC. Найдите периметр этого сечения. 222. SABCD — четырехугольная пирамида, основанием которой служит трапеция ABCD (BC | AD). Точка O — середина ребра SA. Вычислите длину отрезка, по которому плоскость OBC пересекает грань SAD, если BC = 6 см, а длина средней линии трапеции равна 8 см. 223. DABC — тетраэдр. Точки T, K и E — середины ребер DB, DC и AC соответственно. Вычислите периметр сечения тетраэдра плоскостью TKE, если площадь грани тетраэдра равна 1^/3 см2. 224. В треугольной пирамиде ABCD точки O, K и T — середины ребер DB, DC и AC соответственно. Постройте точку P, в которой плоскость OKT пересекает ребро AB. Докажите, что отрезки KP и OT пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Правообладатель Народная асвета 74 Глава 2, § 2 225. SABCD — четырехугольная пирамида, основание которой — параллелограмм. Точки T, K и E — середины ребер AB, AD и SC соответственно. Постройте отрезок, по которому плоскость TKE пересекает диагональное сечение SBD пирамиды. 226. Основание четырехугольной пирамиды SABCD — трапеция ABCD (AD | BC). Точка E — середина ребра SD. Постройте точку T, в которой плоскость BCE пересекает прямую SA. Докажите, что отрезки TC и BE пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, если средняя линия трапеции ABCD равна — BC. 227. Основание пирамиды SABCD — трапеция ABCD (AD I BC). Точки K и E — середины диагоналей AC и BD основания, а точка O — середина ребра SB. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки O, K и E. Какая фигура получается в сечении? 228. В правильной треугольной пирамиде SABC точка O — центр основания ABC, а точка D делит ребро SC на отрезки SD = 5 см и DC = 10 см. Докажите, что прямая OD па- 3 3 раллельна плоскости ASB, и вычислите длину отрезка OD, если AB = 6 см. 229. ABCDA^B^CiD^ — куб. Точка F — середина ребра AD, а точка K лежит на диагонали куба B1D так, что B^K ■ B^D = 1 : 3. Докажите, что прямая OK параллельна плоскости грани AA1B1B, где точка O — точка пересечения отрезков AC и BF (рис. 95). 230. Через вершину прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость а параллельно гипотенузе AB. Биссектриса угла A пересекает плоскость а в точке O. Вычислите длину отрезка CO, если AB = 5 см, BC = 4 см. 231. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, точки E, T и K — середины ребер AD, SB и SC соответственно (рис. 96). Верно ли, что отрезки ET и DK равны и параллельны? Дайте обоснование ответа. Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 75 Рис. 97 232. ABCDA^B^CiD-^ — куб, точки T, K и E — середины отрезков BiB, BiA и B-^D соответственно. Вычислите площадь сечения пирамиды B^ABCD плоскостью TKE, если площадь поверхности куба равна 24 см2. 233. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через середины ребер AB, SC и параллельной ребру SB. Найдите периметр сечения, если длина ребра тетраэдра равна а. 234. В правильной треугольной призме ABClBlCl через вершины B!, Ci и точку D на ребре AAl (AD '■ DAl = 2 '■ 3) проведены прямые, пересекающие плоскость основания в точках T и E (рис. 97). Вычислите длину отрезка TE, если AB = 9 см. 235. В тетраэдре SABC точки T и K — середины ребер AB и SB. Вычислите длину отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через прямые ST и BK и параллельными прямой AC, если AB = 12 см. 236. В правильной треугольной пирамиде SABC точки E и D — середины ребер SA и SB соответственно. Через середину O отрезка CE проведена прямая, параллельная прямой AD и пересекающая поверхность пирамиды в точке T. Постройте точку T и вычислите длину отрезка OT, если CE = 8 см. Правообладатель Народная асвета § 3. Скрещивающиеся прямые 1. Скрещивающиеся прямые. Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые. Например, если ABCA^B^C^ — прямая треугольная призма (рис. 98, а, б), то прямые AA^ и CB не параллельны и не пересекаются. Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат. Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: 1) прямые пересекаются (имеют одну общую точку) (рис. 99, а); 2) прямые параллельны, (лежат в одной плоскости и не пересекаются) (рис. 99, б); 3) прямые скрещиваются (не существует плоскости, в которой они обе лежат) (рис. 99, в). 2. Признак скрещивающихся прямых. Докажем теорему, которая позволяет выяснить, являются ли две прямые скрещивающимися. Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 77 Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Доказательство. 1) Пусть прямая a лежит в плоскости а, а прямая b пересекает эту плоскость в точке O, не лежащей на прямой a (рис. 100, а, б). Докажем, что прямые a и b скрещивающиеся, т. е. не существует плоскости, в которой они обе лежат. 2) Предположим, что прямые a и b лежат в некоторой плоскости р. Тогда плоскость в проходит через прямую a и точку O, а следовательно, совпадает с плоскостью а (так как через прямую и не лежащую на ней точку проходит Правообладатель Народная асвета 78 Глава 2, § 3 единственная плоскость). Получили, что прямая b лежит в плоскости а, а это противоречит условию теоремы. Таким образом, наше предположение неверно, а значит, прямые a и b скрещивающиеся. Теорема доказана. Рассмотрим пример. Пусть ABCA^B^C^ — прямая треугольная призма. Тогда прямые А^^ и BC скрещивающиеся, так как прямая АВ^ пересекает плоскость ABC в точке А, не лежащей на прямой BC (рис. 101, а). а) Рис. 101 Задача 1. Точки T и K лежат на ребре CD, а точки O и E — на ребре AB треугольной пирамиды DABC (рис. 101, б). Докажите, что прямые TO и KE скрещивающиеся. Доказательство. Прямая TK пересекает плоскость ABC в точке C, не лежащей на прямой OE, следовательно, прямые TK и OE скрещивающиеся. Значит, точки T, K, E и O не лежат в одной плоскости. Отсюда следует, что прямые TO и KE не лежат в одной плоскости, т. е. являются скрещивающимися. Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой. Доказательство. 1. Доказательство существования плоскости. Пусть a и b — скрещивающиеся прямые (рис. 102 а, б). Докажем, что через прямую b проходит плоскость, параллельная прямой а. Через какую-либо точку O прямой b проведем прямую с, параллельную прямой а. Пусть а — Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 79 плоскость, проходящая через прямые b и с. Так как прямая a не лежит в плоскости а и параллельна прямой с, лежащей в этой плоскости, то прямая a параллельна плоскости а. а) Рис. 102 2. Доказательство единственности. Плоскость а — единственная плоскость, проходящая через прямую b и параллельная прямой а. Действительно, любая другая плоскость, проходящая через прямую b, пересекается с прямой с, а следовательно, пересекается и с параллельной ей прямой. Задача 2. Точка O — середина ребра SA треугольной пирамиды SABC. Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через прямую OC и параллельной прямой AB. Решение. Плоскость а проходит через точку O, принадлежащую плоскости SAB, и параллельна прямой AB ^ (SAB), следовательно, она пересекает плоскость SAB по прямой l, проходящей через точку O и параллельной прямой AB. Строим точку F = l П SB, где l I AB и O е l. Плоскость а пересекает грань SAB по отрезку OF, а грани SAC и SBC — по отрезкам OC и CF соответственно. Треугольник COF — сечение пирамиды SABC плоскостью а (выполните рисунок самостоятельно). Задача 3. Точки P, T и E принадлежат соответственно ребрам AB, SC и AS треугольной пирамиды SABC. Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через прямую PT и параллельной прямой EC. Правообладатель Народная асвета 80 Глава 2, § 3 Решение. 1) Плоскость а проходит через точку T и параллельна прямой EC, следовательно, она пересекает плоскость SAC по прямой, проходящей через точку T и параллельной прямой EC. Построим точку Х1 = l П SA (I | EC, T е Г). Тогда плоскость а пересекает грань SAC по отрезку TX1, а грань SAB — по отрезку X1P (рис. 103, а). 2) Строим точку Х2 = X1T П AC (точка Х2 лежит в секущей плоскости) (рис. 103, б). 3) Находим точку Х3 = X2P П BC. Секущая плоскость пересекает грани ABC и SBC по отрезкам X3P и X3T соответственно. Таким образом, четырехугольник X1PX3T — искомое сечение (рис. 103, в). Вопросы и задачи к § 3 237. Прямая l лежит в плоскости а, а прямая b пересекает плоскость а в точке A. Верно ли утверждение, что прямые l и b скрещивающиеся? 238. Точки A^, B и C принадлежат плоскости а и не лежат на одной прямой, точка D не принадлежит плоскости а. Сколько пар скрещивающихся прямых определяют данные точки? 239. Верно ли утверждение, что две прямые являются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях? 240. ABCA1B1C1 — прямая треугольная призма (рис. 104, а). а) Верно ли утверждение, что прямые AB и CB1 скрещиваю- Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 81 щиеся? б) Докажите, что прямые A^Ci и CB являются скрещивающимися. в) Назовите какую-либо прямую, которая является скрещивающейся для прямой BB^_. 241. ABCD — треугольная пирамида, точка F лежит на ребре BC, O е AD (рис. 104, б). а) Верно ли утверждение, что прямые AD и BC являются скрещивающимися? б) Докажите, что прямые DF и AC являются скрещивающимися. в) Приведите примеры прямых, которые являются скрещивающимися для прямой CO. 242. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед (рис. 104, в). а) Докажите, что прямые DC1 и CB1 скрещивающиеся. б) Верно ли, что прямые B1C и AD пересекаются? в) Являются ли прямые BC и DC1 скрещивающимися? Рис. 104 243. ABCA1B1C1 — прямая треугольная призма, точка O лежит на ребре CB. а) Верно ли, что прямые AB и C1O скрещивающиеся? б) Докажите, что прямые AC и C1O скрещивающиеся. 244. Прямоугольники ABCD и CDEK не лежат в одной плоскости, O е CK, X е CB и M е CD (рис. 105). а) Установите взаимное расположение прямых OX и ME. б) Пересекаются ли прямые CD и OX? в) Верно ли, что прямые OX и KE скрещивающиеся? 245. Точка O не лежит в плоскости параллелограмма ABCD, а точка T — середина отрезка OB. а) Докажите, что прямые OA и BD скрещивающиеся. б) Пересекаются Правообладатель Народная асвета 82 Глава 2, § 3 ли прямые TC и BD? в) Установите взаимное расположение прямых AO и TC. 246. На рисунке 106 изображен куб ABCDA^B^C^D^. а) Докажите, что прямые BA1 и AC скрещивающиеся. б) Верно ли, что прямые BC и DC1 пересекаются? в) Установите взаимное расположение прямых A1B и DC1. г) Охарактеризуйте взаимное расположение прямых A1B и D1C1. у:а::Ат.:А:Ар,:. \в. :: А "Л* ^ в Cl Рис. 106 Рис. 107 247. ABCDA1B1C1D1 — куб. а) Верно ли, что прямые DB и CD1 скрещивающиеся? б) Пересекаются ли прямые AC и DB1? в) Верно ли, что прямые DB1 и KT лежат в одной плоскости (точка K — середина ребра B1C1, а точка T — середина ребра DC)? 248. ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед (рис. 107). а) Верно ли, что прямые OA1 и TD параллельны? б) Пересекаются ли прямые BD1 и TD? в) Являются ли прямые OA1 и CC1, TD и CC1 скрещивающимися? 249. DABC — треугольная пирамида. Точки K, T и E — середины ребер AD, CB и DB соответственно. а) Выясните, как расположены прямые AD и CB. б) Верно ли, что прямые AE и KT пересекаются? в) Сколько пар скрещивающихся прямых определяют вершины пирамиды? 250. Прямые a и b параллельны, а прямая c пересекает прямую a и не пересекает прямую b. Докажите, что прямые b и c скрещивающиеся. Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 83 251. Плоскости а и в пересекаются по прямой т, а прямая a пересекает плоскости а и в соответственно в точках A и B, не лежащих на прямой т (рис. 108). Докажите, что прямые т и a скрещивающиеся. Рис. 108 252. Даны скрещивающиеся прямые a и b, точки A и B лежат на прямой а, точки C и D — на прямой b. Докажите, что прямые AC и BD скрещивающиеся. 253. Прямая т пересекает плоскость, в которой лежит параллелограмм ABCD, в точке A, O е т, T е т (рис. 109). а) Установите взаимное расположение прямых OC и DT. Дайте обоснование ответа. б) Докажите, что прямые AB и OC скрещивающиеся. в) Верно ли, что прямые TD и BC пересекаются? 254. Пересекающиеся прямые а и b лежат в плоскости а. Прямая c параллельна прямой а и не лежит в плоскости а. Докажите, что прямые b и c скрещивающиеся. 255. Прямая а пересекает плоскость ABC в точке C. Точки O и E лежат на прямой а, T е AB, K е AB (рис. 110). а) Верно ли, что прямые AC и OT пересекаются? б) Докажите, что прямые а и AB скрещивающиеся. в) Охарактеризуйте взаимное расположение прямых OT и EK. 256. Через вершину A треугольника ABC проведена прямая а, параллельная медиане CK этого треугольника, а через вершину B — прямая c, не лежащая в плоскости треугольника. Докажите, что прямые а и c скрещивающиеся. Правообладатель Народная асвета 84 Глава 2, § 3 257. ABCDA^B^CiD-^ — куб, O е BC (рис. 111). а) Докажите, что прямые C]O и AB скрещивающиеся. б) Верно ли, что прямые D^C и BB1 скрещиваются? в) Верно ли, что прямые D^C и C]O параллельны? Дайте обоснование ответа. Рис. 113 258. Точки T и K — середины ребер AC и SB треугольной пирамиды SABC соответственно. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую CK и параллельной прямой ST. 259. Точки T, O и P принадлежат ребрам BB1, CC1, AC треугольной призмы ABCA1B1C1 соответственно (рис. 112). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую PO и параллельной прямой CT. 260. В треугольной призме ABCA1B1C1 точки T, O, E и K — середины ребер C1C, CA^, CB и BB1 соответственно. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую TO и параллельной прямой EK. 261. В четырехугольной пирамиде SABCD точка T — середина ребра SB (рис. 113). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую TD и параллельной прямой AC. 262. В четырехугольной пирамиде SABCD точки Q и P — середины ребер SB и SC соответственно, а точка R — точка пересечения диагоналей AC и BD основания. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DQ и параллельной прямой PR. Правообладатель Народная асвета § 4. Угол между прямыми Т1 Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если пересекающиеся прямые образуют тупые и острые углы, то углом между этими прямыми называется тот, который не превосходит любой из трех остальных углов. Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен 90°. Угол а между двумя пересекающимися прямыми удовлетворяет условию: 0° < а < 90°. Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b — две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку О-^ в пространстве и проведем через нее прямые а^ и b^, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми а и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми а^ и b^ (рис. 114, а). Рис. 114 Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О1. Возьмем любую другую точку О2 и проведем через нее прямые а2 и b2, параллельные прямым а и b соответственно. Пусть угол между прямыми а1 и b1 равен а1, а угол между прямыми а2 и b2 равен а2. Если прямые а1, b1, а2, b2 лежат в одной плоскости, то по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых а1 = ф = а2 (рис. 114, б). Правообладатель Народная асвета 86 Глава 2, § 4 Пусть теперь прямые и Ъ^, пересекающиеся в точке О^, лежат в одной плоскости, а прямые а2 и Ъ2, пересекающиеся в точке О2, — в другой плоскости (рис. 114, в). Возьмем на прямых а1, Ъ1 и а2, Ъ2 точки А1, В1 и A2, B2 так, что- бы ZA1O1B1 = а1, а четырехугольники A1A2O2O1 и В1В2О2О1 были параллелограммами (O1A1 = O2A2, О1В1 = О2В2). Тогда четырехугольник A1B1B2A2 — параллелограмм (В1В2 = О1О2, В1В2 ^ O1O2, A1A2 = O1O2, A1A2 ^ O1O2, значит, В1В2 = A1A2, В1В2 I A1A2). Отсюда следует, что A1B1 = A2B2.Таким образом, треугольники A1O1B1 и A2O2B2 равны по трем сторонам. Из равенства этих треугольников следует, что а1 = а2. Из определения угла между скрещивающимися прямыми следует, что он не превосходит 90°. Угол между параллельными прямыми считается равным 0°. Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Если прямая а перпендикулярна прямой Ъ, то пишут а ± Ъ. Из определения следует, что перпендикулярные прямые могут пересекаться, а могут быть скрещивающимися. Для нахождения угла между двумя данными скрещивающимися прямыми а и Ъ можно взять на одной из них, например на прямой а, некоторую точку О и в плоскости, определяемой прямой Ъ и точкой О, провести через точку О прямую Ъ1, параллельную прямой Ъ. Тогда угол между прямыми а и Ъ1 равен углу между скрещивающимися прямыми а и Ъ (рис. 115, а). Рис. 115 Например, пусть на ребре ВВ треугольной пирамиды ВАВС взята точка T (рис. 115, б). Тогда угол между скре- Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 87 щивающимися прямыми BC и AT равен углу между прямой AT и прямой TF, которая проходит через точку T и параллельна прямой BC в плоскости BDC. Рассмотрим еще пример. Пусть в параллелепипеде ABCDA^B^CiD^ точка O — точка пересечения диагоналей грани A^B^CiD^, а точка F — точка пересечения диагоналей грани AA^^B^^B. Угол между скрещивающимися прямыми C^^D и OF равен углу между прямой OF и прямой OK, проходящей в плоскости C1DA1 через точку O и параллельной прямой C^^D (рис. 115, в). Задача 1. В треугольной пирамиде SABC точка D принадлежит ребру SC, а точка O лежит внутри треугольника ABC. Постройте угол между прямыми SO и BD. Решение. 1) Рассмотрим плоскость а, проходящую через прямую DB и точку O (рис. 116, а). 2) Сечением пирамиды плоскостью а является треугольник DXB (X = BO П AC). 3) В плоскости DXB через точку O проведем прямую OT, параллельную прямой DB. Тогда угол SOT искомый. Задача 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1AB = 1 см, AD = 2 см, AA1 = 1 см. Найдите угол между прямыми A1F и D1K, где точки F и K — середины ребер B1C1 и AD соответственно. Решение. I. Построение искомого угла. 1) Рассмотрим плоскость а, проходящую через прямую A1F и точку K (рис. 116, б). Правообладатель Народная асвета 88 Глава 2, § 4 2) Плоскость а проходит через прямую A^K, параллельную плоскости грани BB^C^C (так как A^K | B^O, где точка O — середина ребра BC), а следовательно, пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой B^O, т. е. по отрезку FC. 3) Сечение параллелепипеда плоскостью а есть четырехугольник KA^FC, который является параллелограммом (так как A^K = FC, A^K | FC). Следовательно, KC | A^F. Отсюда следует, что угол D-^KC искомый. II. Нахождение градусной меры угла. 1) Угол D^KC найдем из треугольника D^KC. 2) А KDD^ = А CDD^ (DK = DC, ZKDD1 = Z CDD1 = 90°, DD1 — общая сторона), A KDC = A CDD1 (DK = DD1, DC — общая сторона, Z KDC = Z CDD1 = 90°). Отсюда следует, что треугольник D1KC равносторонний. Значит, Z D1KC = 60°. Ответ: 60°. Задача 3. SABC — тетраэдр. Точки F и K — середины его ребер AB и AC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми SF и BK (рис. 117). Решение. 1) В плоскости SFC через точку O = BK П FC проведем прямую OD, параллельную прямой SF. Тогда угол DOK искомый. Соединим точку D с точкой K и найдем косинус угла DOK треугольника DOK. Для нахождения косинуса угла DOK вычислим длины сторон треугольника DOK и воспользуемся теоремой косинусов. Пусть длина ребра тетраэдра равна а, ZDOK = x (рис. 118, а, б). Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 89 2) В треугольнике DKC (CD = 2 CS = — a, CK = a , 2 Z KCD = 60°) DK^ = CK^ + CD^ - 2 • CK • CD cos 60°, DK^ = — + 2 2 4 + 4 a 2 ,2a^ a^1 DK‘2 13a 9 2 —, = 36 . 3) В треугольнике SFC OD | SF, OC = — FC, следователь- но , OD = 2 SF = —^^SA——FA— = 2 • = a. ’ 3 ^ 3 2 Vs 4) В треугольнике DOK (oD = a, OK = 1BK = 1 • = V -v 3 3 3 2 DK2 = OD2 + OK2 - 2 • OD • OK cos x, - 2 • cos x. Отсюда cos x = —. V3 6 6 13a 36 3a 36 О т в е т: —. 6 Вопросы и задачи к § 4 263. Какой угол называется углом между скрещивающимися прямыми? 264. Пусть a и b — скрещивающиеся прямые, а прямая b— параллельна прямой b. Верно ли утверждение, что угол между прямыми a и b равен углу между прямыми a и b1? 265. Угол между прямыми a и b равен 90°. Верно ли, что прямые a и b пересекаются? 266. Прямые a и b скрещивающиеся. Прямая l проходит через точку O е a, параллельна прямой b и образует с прямой a угол, равный р. Верно ли, что угол между прямыми a и b равен в? 267. DABC — тетраэдр, точки O и F — середины ребер AD и CD соответственно, отрезок TK — средняя линия треугольника ABC (рис. 119, а). а) Чему равен угол между прямыми OF и CB? б) Верно ли, что угол между прямыми OF и TK равен 60°? в) Чему равен угол между прямыми TF и DB? 268. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, точки O и T — середины ребер CC1и DD1 соответственно (рис. 119, б). а) Верно ли, что угол между прямыми AD Правообладатель Народная асвета 90 Глава 2, § 4 и TO равен 90°? б) Чему равен угол между прямыми и BC? 269. ABCDA^B^CiD-^ — куб (рис. 119, в). а) Верно ли, что угол между прямыми A1B и C1D равен 90°? б) Найдите угол между прямыми B1O и C1D. в) Верно ли, что угол между прямыми ACи C1D равен 45°? 270. ABCDA1B1C1D1 — куб, точка O — точка пересечения диагоналей грани DD1C1C. а) Найдите угол между прямыми A1O и AB1; б) Верно ли, что угол между прямыми A1O и KT (точки K и T — середины ребер AA1 и AD соответственно) равен 30°? 271. Два квадрата ABCD, BCKT и прямоугольный треугольник ABT (ZABT = 90°) расположены в пространстве так, как показано на рисунке 120. Точки P и O — середины отрезков AB и BC соответственно. а) Найдите угол между прямыми PO и DK. б) Верно ли, что угол между прямыми TC и DK равен 90°? в) Найдите угол между прямыми AT и KF, где точка F — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. 272. В пространстве даны квадрат ABCD и треугольники ABO (ZABO = 90°) и CBO (Z CBO = 90°), BC = BO. а) Верно ли, что прямые BO и DC взаимно перпендикулярны? б) Найдите угол между прямыми AC и KT, где K и T — середины от- Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 91 резков BO и BC соответственно. в) Чему равен угол между прямыми BD и OC? 273. ABCDA^B^CiD^ — куб. Точки K, F и T — середины ребер AB, D^Ci и B^B соответственно (рис. 121). а) Верно ли, что прямые A1T и DF взаимно перпендикулярны? б) Чему равен угол между прямыми AB и CC1? в) Вычислите косинус угла между прямыми A1K и B1F. 274. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 1 см, AA1 = 1 см, AD = 3 см. Точки F и K лежат на ребрах B1C1 и AD так, что B1F ■ B1C1 = 2 ■ 3, AK ■ AD = 1 ■ 3. Найдите угол между прямыми A1F и D1K. 275. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, длина каждого ребра которой равна а, точка F — середина ребра SC (рис. 122). а) Найдите угол между прямыми AB и SD. б) Перечертите рисунок в тетрадь. Постройте угол между прямыми DF и AC, найдите этот угол. 276. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина каждого ребра равна а. Точка K — середина ребра SA. Постройте угол между прямыми AD, CK и найдите его. 277. SABC — тетраэдр. Медианы грани ABC пересекаются в точке O. Точки P, E и D — середины ребер SC, SA и SB соответственно (рис. 123). а) Найдите угол между прямыми BC и PE. б) Перечертите рисунок в тетрадь. Постройте угол между прямыми BC и OD, найдите этот угол. Правообладатель Народная асвета 92 Глава 2, § 4 Рис. 124 278. В тетраэдре SABC точка O — точка пересечения медиан основания ABC, а точка D — середина ребра SB. Найдите угол между прямыми AC и OD. 279. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки F и T — середины ребер AD и CC1 соответственно, DK ■ DB1 = 2 ■ 3, O = AC П BF, K е B1D (рис. 124). а) Докажите, что прямые OK и D1T взаимно перпендикулярны. б) Найдите угол между прямыми OK и DC. в) Найдите угол между прямыми OK и A1D. Правообладатель Народная асвета § 5. Параллельность плоскостей 1. Признак параллельности плоскостей. В данном параграфе рассмотрим свойства параллельных плоскостей. Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Представление о параллельных плоскостях дают, например, пол и потолок комнаты, поверхности пола и стоящего на нем стола, противоположные стенки шкафов и др. Если две плоскости а и в параллельны, то пишут а | в и говорят: «Плоскость а параллельна плоскости в». Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство. Пусть даны две плоскости а и в. В плоскости а лежат пересекающиеся в точке O прямые a и b, а в плоскости в — прямые а^ и b^ такие, что а | а^ и b | b^ (рис. 125, а). Заметим, что каждая из прямых а и b параллельна плоскости в (а I в, b I в). Предположим, что плоскости а и в не параллельны. Пусть они пересекаются по прямой с. Тогда плоскость а проходит через прямую a, параллельную плоскости в, и пе- Правообладатель Народная асвета 94 Глава 2, § 5 ресекает плоскость в по прямой с, следовательно, прямая a параллельна прямой с (см. теорему 2, § 2). Аналогично плоскость а проходит через прямую b, параллельную плоскости в, и пересекает ее по прямой с, значит, прямая b параллельна прямой с. Таким образом, исходя из предположения, получили, что через точку O проходят две прямые a и b, параллельные прямой с. Но это противоречит теореме о том, что через точку O проходит единственная прямая, параллельная прямой с. Следовательно, наше предположение неверно и плоскости а и в параллельны. Теорема доказана. Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях. Доказательство. Докажем, например, что грани AA^B^B и DD^C^C параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ лежат в параллельных плоскостях. Так как ABCD — параллелограмм, то AB | CD. Четырехугольник AA^D^D — параллелограмм, следовательно, AA^ I DD^. Таким образом, две пересекающиеся прямые AB и AA^ плоскости, в которой лежит грань AA^B^B, соответственно параллельны прямым DC и DD^ плоскости, в которой лежит грань DD^C^C, следовательно, по признаку параллельности указанные плоскости параллельны (рис. 125, б). 2. Свойства параллельных плоскостей. Рассмотрим некоторые свойства параллельных плоскостей. Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой. Доказательство. Пусть а и в — параллельные плоскости, которые пересекает плоскость Y (рис. 126, а, б). Рассмотрим прямые а и b, по которым плоскость Y пересекает плоскости а и в соответственно. Докажем, что а | b. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости y и не пересекаются. Если бы пря- Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 95 мые а и b пересекались, то их общая точка принадлежала бы плоскостям а и в, чего быть не может, так как по условию они параллельны. Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, т. е. а | b. Задача 1. Точки P, T и E — соответственно середины ребер AA]_, и DD^ параллелепипеда ABCDA^B^C^D^. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки P, T и E. Какая фигура получится в сечении? Рис. 127 Решение. 1) Плоскость PTE пересекает грани AA1B1B и AA1D1D по отрезкам PT и PE соответственно (рис. 127, а). 2) Плоскость грани DD1C1C параллельна плоскости грани AA1B1B, следовательно, секущая плоскость PTE пересекает Правообладатель Народная асвета 96 Глава 2, § 5 плоскость грани DD^C^C по прямой, параллельной прямой PT. Строим точку X = l П D^Ci (l | DCi, E е l) (рис. 127, б). 3) Четырехугольник TPEX — искомое сечение. Так как PT I EX, PT = 1AB1 = 1DC1 = EK, то четырехугольник TPEX — параллелограмм (рис. 127, в). Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны. Доказательство. Пусть AB и CD — отрезки параллельных прямых a и b, расположенные между параллельными плоскостями а и в (рис. 128, а, б). Докажем, что AB = CD. Плоскость у, проходящая через параллельные прямые a и b, пересекает плоскости а и в по параллельным прямым AC и BD (теорема 2). Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм, так как в нем противолежащие стороны попарно параллельны. В параллелограмме противолежащие стороны равны, значит, AB = CD. Теорема доказана. Задача 2. Докажите, что если прямая l пересекает плоскость а, то она пересекает любую плоскость в, параллельную плоскости а. Проведите доказательство самостоятельно. Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 97 а) б) Рис. 129 I. Доказательство существования плоскости. 1) Пусть точка O не лежит в данной плоскости а. Рассмотрим в плоскости а какие-либо две пересекающиеся прямые а и b (рис. 129, а, б). 2) Проведем через точку O прямые а1 и b1, параллельные прямым а и b соответственно. 3) Рассмотрим плоскость в, проходящую через прямые а1 и b1. 4) Плоскость в — искомая, так как она проходит через точку O и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости а. II. Доказательство единственности плоскости. 1) Предположим, что существует другая плоскость в1, проходящая через точку O и параллельная плоскости а. 2) Пусть l — прямая, по которой плоскость в1 пересекает плоскость в. Проведем в плоскости в1 прямую b, пересекающую прямую l. 3) Прямая b пересекает плоскость в, поэтому она пересекает и параллельную ей плоскость а. Следовательно, плоскость в1, в которой лежит прямая b, пересекает плоскость а. Таким образом, наше предположение неверно и плоскость в единственная. Теорема доказана. Задача 3. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые a и b можно провести две параллельные плоскости а и в (а ^ а, b ^ в), и притом такая пара плоскостей единственная. Правообладатель Народная асвета 98 Глава 2, § 5 а) Рис. 130 Доказательство. Пусть a и b — скрещивающиеся прямые (рис. 130, а). Возьмем произвольные точки A е а, B е b и проведем через них прямые b1 I b, а1 | b1, A е b1, B е а1. Пары а, b1 и b, а1 пересекающихся прямых определяют плоскости а и в соответственно. Тогда согласно признаку параллельности плоскостей плоскости а и в параллельны. Докажем единственность существования такой пары плоскостей. Допустим, что существует еще пара плоскостей а1 и в1 таких, что а1 I в1, а ^ а1, b ^ в1. Через точку B и прямую а проведем плоскость у. Пусть эта плоскость пересекает плоскости в и в1 по прямым c и с1 соответственно. Так как B е b, b ^ в, b ^ в1, то прямые с и с1 проходят через точку B. Тогда по теореме 2 а | с, а | с1, а это противоречит тому, что через точку B вне данной прямой а можно провести единственную прямую, параллельную данной. Полученное противоречие говорит о том, что наше предположение неверное, а следовательно, существует единственная пара плоскостей а и в, удовлетворяющих условию задачи. Например, если ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед, тогда пара параллельных плоскостей, проходящих через скрещивающиеся прямые AC и B1D1, есть плоскости граней ABCD и A1B1C1D1 (рис. 130, б). Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 99 Вопросы и задачи к § 5 280. Можно ли признак параллельности двух плоскостей сформулировать так: две плоскости параллельны, если две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости? 281. Верно ли утверждение, что если через каждую из параллельных прямых провести плоскость, то эти плоскости параллельны? 282. Можно ли две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью по двум непараллельным прямым? 283. Можно ли две пересекающиеся плоскости пересечь третьей плоскостью по параллельным прямым? 284. Сколько можно провести через данную точку плоскостей, параллельных данной плоскости? 285. Параллельны ли между собой две плоскости, если они параллельны одной и той же прямой? 286. Точка A лежит в плоскости а, которая параллельна плоскости р. Докажите, что каждая прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости в, лежит в плоскости а. 287. Плоскости а и в параллельны, а прямая l параллельна плоскости а. Докажите, что прямая l либо параллельна плоскости в, либо лежит в плоскости в. 288. Две плоскости а и в параллельны плоскости у. Докажите, что плоскости а и в параллельны. 289. Точки T, K и E — середины ребер SA, AB и AC пирамиды SABC соответственно, отрезок DK — медиана треугольника TKE (рис. 131, а). а) Докажите, что прямая DK параллельна плоскости SBC. б) Верно ли, что прямая CP пересекает плоскость TKE? 290. ABCA1B1C1 — треугольная призма, точки O, F и K — середины ребер BB1, BC и BA соответственно, T е CB1 (рис. 131, б). а) Докажите, что плоскости ACB1 и OKF параллельны. б) Верно ли, что прямая AT параллельна плоскости OKF? Правообладатель Народная асвета 100 Глава 2, § 5 291. Пусть SABC — треугольная пирамида. Точка S является серединой отрезков AA^, BB^ и CC^. Докажите что плоскость A^B^C^ параллельна плоскости ABC. 292. Точка O не лежит в плоскости треугольника ABC, точки T, K и E — середины отрезков OA^, OB и OC соответственно. а) Докажите, что плоскости TKE и ABC параллельны. б) Вычислите площадь треугольника TKE, если площадь треугольника ABC равна 16 см2 (рис. 132). 293. ABCDA1B1C1D1 — четырехугольная призма. Докажите, что основания ABCD и A1B1C1D1 призмы лежат в параллельных плоскостях. 294. SABC — треугольная пирамида. Точки T, P принадлежат ребрам AC и SC соответственно, а точка K — грани SCB (рис. 133). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку O е SB и параллельной плоскости TPK. / ^ .5 \\о -^В с Рис. 133 Рис. 134 Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 101 295. SABC — тетраэдр. Точка T — середина ребра SC, а точка O — середина отрезка TC. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку O и параллельной плоскости ATB. Вычислите периметр этого сечения, если длина ребра тетраэдра равна 4 см. 296. Четырехугольник ACCiA^ — сечение параллелепипеда ABCDAiBiCiDi плоскостью ACCi (рис. 134). а) Верно ли, что четырехугольник ACC1A1 — параллелограмм? б) Перечертите изображение параллелепипеда в тетрадь и постройте сечение плоскостью, проходящей через точку O и параллельной плоскости ACC1. 297. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями AA1C1 и ADK, где точка K — середина ребра CC1. Постройте отрезок, по которому пересекаются эти сечения. 298. На рисунке 135 изображено сечение B1XDT параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точку B1 и параллельной плоскости AKC, где точка K — середина ребра BB1. а) Верно ли, что четырехугольник B1XDT — параллелограмм? б) Докажите, что прямые KO и B1D параллельные, где O = BD П AC. Рис. 135 299. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте его сечение плоскостью, проходящей через середину ребра DD1 и параллельной плоскости AKC, где точка K — середина ребра BB1. Постройте отрезок, по которому построенное сечение пересекает диагональное сечение BDD1B1. Правообладатель Народная асвета 102 Глава 2, § 5 300. Четырехугольник PTFK — сечение параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ плоскостью, проходящей через точку O и параллельной плоскости BDD^ (рис. 136). а) Объясните, почему прямые KF и PT параллельны. б) Верно ли, что прямые PK и TF параллельны? в) Почему прямая AA1 параллельна плоскости сечения? 301. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, основание которого есть квадрат, длина стороны которого 1 см, а длина бокового ребра 4 см. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра AA1 и параллельной плоскости ADC1. Вычислите его периметр. 302. Четырехугольник TKC1C — сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точку O и ребро CC1 (рис. 137). а) Верно ли, что прямая KT параллельна прямой CC1? б) Докажите, что прямая BB1 параллельна плоскости TKC1C. 303. Постройте изображение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и его сечение плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей грани ABCD и параллельной плоскости ADC1. Докажите, что прямая B1D параллельна плоскости сечения. 304. Четырехугольник BDOF — сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через прямую BD и середину O ребра D1C1 (рис. 138). Докажите, что прямые Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 103 BD и FO параллельны. б) Верно ли, что четырехугольник BDOF является трапецией? 305. ABCDA^B^C^D^ — прямая четырехугольная призма, основание которой — ромб, длина стороны которого 6 см, а один из углов 60°. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через меньшую диагональ B^D^ ромба и середину ребра AD. Вычислите площадь сечения, если длина бокового ребра призмы равна 10 см. 306. Четырехугольник BFD1O — сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через прямую BD1 и середину O ребра AA1 (рис. 139). а) Докажите, что четырехугольник BFD1O — параллелограмм. б) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку A и параллельной плоскости сечения BFD1O. 307. Все ребра прямой призмы ABCA1B1C1 равны между собой. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A, B и середину ребра CC1, равна S. 308. Треугольник TKO — сечение правильной треугольной пирамиды DABC плоскостью, проходящей через точку O (BO ■ OA = 1 : 2) и параллельной плоскости DBC (рис. 140). Докажите, что треугольники TKO и CDB подобны. Вычислите периметр треугольника TKO, если длина стороны основания пирамиды равна 3 см, а длина бокового ребра — 9 см. Правообладатель Народная асвета 104 Глава 2, § 5 309. В треугольной пирамиде DABC сечение, параллельное плоскости A^C, пересекает боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 3 (считая от вершины пирамиды). Найдите площадь сечения, если площадь треугольника ABC равна S. 310. В пирамиде DABC сечение, параллельное основанию, пересекает боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2 : 3 (считая от вершины пирамиды). Вычислите площадь сечения, если его площадь на 84 см2 меньше площади основания. 311. Четырехугольник OTEK — сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точку O (SO '■ OA = 2 : 3) и параллельной плоскости SCD (рис. 141). Вычислите периметр сечения, если CD = 30 см, SD = 25 см. 312. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, а градусная мера угла при вершине S грани DSC равна 60°. Через точку O, взятую на ребре AD, проведено сечение плоскостью, параллельной грани SDC. Вычислите периметр этого сечения, если длина его диагонали равна 7 см, а AO = 3 см. 313. TABC — правильная треугольная пирамида. Точки D и E — середины ребер AB и TA соответственно. Треугольники EKC и TDP — параллельные сечения, проходящие через CE и TD соответственно, K е A.B, P е CB. Найдите площадь треугольника TDP, если площадь треугольника EKC равна S (рис. 142). 314. SABC — правильная треугольная пирамида. Точки F, K и T — середины ребер SC, AC и AB соответственно. Площадь сечения плоскостью, проходящей через прямую AF и параллельной прямой BC, равна Q. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, T и параллельной прямой AF. 315. Боковое ребро четырехугольной пирамиды разделено на три равные части, и через точки деления проведены Правообладатель Народная асвета Параллельность прямых и плоскостей 105 плоскости, параллельные плоскости основания. Найдите площадь полученных сечений, если площадь основания равна S. 316. SA^C — треугольная пирамида. Точка O делит боковое ребро SA пирамиды в отношении 2 : 3 (считая от вершины S). Треугольник OFK — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку O и параллельной плоскости ABC, F е SB, K е SC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды SOFK, если площадь боковой поверхности пирамиды SABC равна Q. 'Г Рис. 141 Рис. 142 Рис. 143 317. Площадь сечения пирамиды плоскостью а, проходящей через точку на боковом ребре и параллельной основанию, равна 5 см2. В каком отношении плоскость а делит боковое ребро пирамиды, если площадь основания равна 45 см2. 318. Длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна а, а длина бокового ребра — b. Через точку, делящую боковое ребро в отношении 1 : 3 (считая от вершины пирамиды), проведено сечение, параллельное боковой грани. Найдите площадь этого сечения. 319. Точка O делит ребро A1^1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 в отношении 2 : 3 (A1O : OD1 = 3 : 2). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку O и параллельной плоскости A.B1C. Найдите Правообладатель Народная асвета 106 Глава 2, § 5 площадь этого сечения, если площадь треугольника AB-^C равна 50 см2. 320. В параллелепипеде ABCDA^B^CiD^ точки O, P и K лежат на ребрах B^Ci, DC и AA^ соответственно (рис. 143). Выполните изображение параллелепипеда в тетради и постройте его сечение плоскостью OPK. 321. Точки O, E и K — середины ребер AD, CC1 и A1B1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью OEK. Правообладатель Народная асвета ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Правообладатель Народная асвета Глава 3 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ § 1. Перпендикулярность прямой и плоскости 1. Прямая, перпендикулярная плоскости. В предыдущей главе было определено понятие перпендикулярности прямых в пространстве. Теперь рассмотрим понятие перпендикулярности прямой и плоскости. Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая а перпендикулярна плоскости а, то пишут а ± а. В этом случае говорят также, что плоскость а перпендикулярна прямой а. Представление о части прямой, перпендикулярной плоскости, дает прямая пересечения поверхностей стен комнаты по отношению к плоскости пола. Колонны здания расположены перпендикулярно по отношению к плоскости фундамента. В дальнейшем понадобится следующая теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей прямой. Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 109 Доказательство. Пусть а и b — параллельные прямые и а ± с. Докажем, что а ± b. Возьмем точку O на прямой b и через нее проведем прямую С]_, параллельную прямой с. Тогда угол между прямыми b и с равен углу между пересекающимися прямыми b и С]_. Так как b | a и с | с^, то угол между прямыми b и с^ равен углу между прямыми a и с, т. е. равен 90°. Отсюда следует, что b ± с (рис. 144, а, б). Теорема доказана. Теперь докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью плоскости. Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Доказательство. Пусть прямые a и a1 параллельны и прямая a перпендикулярна плоскости а. Докажем, что прямая а1 также перпендикулярна плоскости а. Рассмотрим произвольную прямую l в плоскости а (рис. 145, а, б). Так как а ± а, то а ± l. Из теоремы 1 следует, что а1 ± l. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости а, т. е. а1 ± а. Теорема доказана. а /а а) Рис. 145 Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны. Правообладатель Народная асвета 110 Гла^ 3, § 1 Доказательство. Пусть прямые a и b перпендикулярны плоскости а (рис. 146, а). Докажем, что прямые a и b параллельны. Допустим, что прямая b не параллельна прямой а. Через произвольную точку O прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а. По теореме 2 прямая b1 перпендикулярна плоскости а. Рассмотрим плоскость в, в которой лежат прямые b и b1. Пусть l — прямая, по которой пересекаются плоскости а и в (рис. 146, б). Тогда в плоскости в через точку О проходят две прямые b и b1, перпендикулярные прямой l. Но это невозможно, следовательно, наше предположение неверно и а | b. Теорема доказана. Для установления факта перпендикулярности прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность прямой только двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Это вытекает из следующей теоремы. 2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Доказательство. Пусть прямая а перпендикулярна прямым p ид, лежащим в плоскости а и пересекающимся в точке O. Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости а. Для этого нужно доказать, что прямая а перпендикулярна произвольной прямой l плоскости а. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 111 Рассмотрим первый случай, когда прямая a проходит через точку O. Проведем через точку O прямую l^, параллельную прямой l (если прямая l проходит через точку O, то в качестве l^ возьмем прямую l). Отметим на прямой a точки A и B так, чтобы точка O была серединой отрезка AB, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую прямые р, q и l соответственно в точках P, Q и L. Пусть для определенности точка Q лежит между точками P и L (рис. 147, а, б). Заметим, что AP = BP и AQ = BQ, так как АAOP = А BOP и АAOQ = А BOQ (указанные треугольники равны по двум катетам). Следовательно, АAPQ = А BPQ (так как AP = BP, AQ = BQ, PQ — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что Z APQ = Z BPQ. Треугольники APL и BPL равны (так как AP = BP, PL — общая сторона, а ZAPL = Z BPL), следовательно, AL = BL. Таким образом, треугольник ABL — равнобедренный, и его медиана OL является высотой, т. е. прямая l1 перпендикулярна прямой a. Так как прямая l1 параллельна прямой l, то по теореме 1 l А а. Прямая a перпендикулярна каждой прямой l плоскости а, значит, а А а. Если прямая а не проходит через точку O, тогда проведем через точку O прямую a1, параллельную прямой a. Тогда по теореме 1 а1 А р и а1 А q. Следовательно, по доказанному в первом случае а1 А а. Теперь по теореме 2 прямая а перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана. Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую Правообладатель Народная асвета 112 Гла^ 3, § 1 точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. Доказательство. I. Докажем существование плоскости. Пусть a — данная прямая, а точка O — произвольная точка пространства. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку O и перпендикулярная прямой a. 1) Рассмотрим плоскость а, проходящую через прямую a и точку O, и плоскость в, проходящую через прямую a (рис. 148, а, б). 2) В плоскости а через точку O проведем прямую Z1, перпендикулярную прямой а. Пусть точка E — точка пересечения прямых а и l1. 3) Через точку E в плоскости в проведем прямую l2, перпендикулярную прямой a. 4) Плоскость Y, проходящая через прямые l1 и l2, является искомой. Действительно, прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым l1 и l2 плоскости у, следовательно, она перпендикулярна плоскости у. II. Докажем единственность плоскости. Допустим, что через точку O проходит еще одна плоскость Y1, перпендикулярная прямой а. Пусть плоскость у1 пересекает плоскость а по прямой p1. Тогда а Е l1 и а Е p1. Следовательно, в плоскости а через точку O проходят две прямые l1 и p1, перпендикулярные прямой а. Как известно из планиметрии, этого быть не может. Таким образом, наше предположение неверно и плоскость Y единственная. Теорема доказана. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 113 Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. Доказательство. I. Докажем существование прямой. Пусть дана плоскость а и точка O — произвольная точка пространства. Докажем, что существует прямая, проходящая через точку O и перпендикулярная плоскости а (рис. 149, а, б). 1) Проведем в плоскости а некоторую прямую a и рассмотрим плоскость в, проходящую через точку O и перпендикулярную прямой а. 2) Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости а и в. 3) В плоскости в через точку O проведем прямую l, перпендикулярную прямой b. Прямая l — искомая прямая. Действительно, прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и b плоскости а (I ± b по построению и l ± а, так как в ^ а), следовательно, она перпендикулярна плоскости а (см. рис. 149, а, б). II. Докажем единственность плоскости. Предположим, что через точку O проходит еще одна прямая l1, перпендикулярная плоскости а. Тогда по теореме 3 прямые l и l1 параллельны, что невозможно, так как прямые l и l1 пересекаются в точке O. Таким образом, наше предположение неверно и через точку O проходит одна прямая, перпендикулярная плоскости а. Теорема доказана. Правообладатель Народная асвета 114 Гла^ 3, § 1 Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину. а) б) Рис. 150 в) Доказательство. Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед (все его грани прямоугольники). Докажем, что A1C^‘ = =AB2 + AD2 + AA2. Из условия следует, что AA1 ± AB и AA1 ± AD. Значит, по признаку перпендикулярности прямой плоскости прямая АА1 перпендикулярна плоскости, в которой лежит грань ABCD. Отсюда следует, что AA1 ± AC. В прямоугольном треугольнике A1AC по теореме Пифагора A1C2 = AC2 + AA^. Кроме того, AC2 = AB2 + AD2 (так как AC — диагональ прямоугольника ABCD). Следовательно, A1C2 = AB2 + AD2 + (рис. 150, а, б, в). Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Задача. Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то эта прямая перпендикулярна и другой плоскости. Доказательство. Пусть плоскости а и в параллельны, а прямая l ± а. Докажем, что l ± в. 1) Рассмотрим пересекающиеся прямые a и b в плоскости а. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 115 2) Через произвольную точку в плоскости в проведем прямые и Ъ^, параллельные прямым a и b соответственно. Эти прямые лежат в плоскости в (глава 2, § 2, задача 2). 3) Прямая l перпендикулярна прямым а и b (так как l ± а), следовательно, она перпендикулярна прямым а^ и Ъ^ (глава 3, § 1, теорема 1). 4) Таким образом, прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым а1 и Ъ1 плоскости в, следовательно, прямая l ± в. Вопросы и задачи к § 1 322. Верно ли утверждение, что прямая а, перпендикулярная прямой l, лежащей в плоскости в, перпендикулярна плоскости в? 323. Прямая l перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости а. Верно ли утверждение, что прямая l перпендикулярна плоскости а? 324. Как расположены между собой две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости? 325. Верно ли утверждение, что две прямые перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой? 326. Будут ли параллельны между собой две плоскости, перпендикулярные одной и той же плоскости? 327. Докажите, что две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой. 328. SABCD — четырехугольная пирамида, у которой боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания, точка E лежит на ребре DC. а) Докажите, что прямая KT перпендикулярна плоскости основания (точки K и T — середины отрезков BE и SE соответственно). б) Чему равен угол между прямыми KT и AD (рис. 151, а)? 329. ABCDA1B1C1D1 — прямой параллелепипед. Точка K — точка пересечения его диагоналей, а точка O — точка пересечения диагоналей основания (рис. 151, б). а) Верно ли, что прямая OK перпендикулярна плоскости ABC? Правообладатель Народная асвета 116 Гла^ 3, § 1 б) Докажите, что прямые OK и BC перпендикулярны. в) Найдите угол между прямыми CC^ и BD. 330. Отрезок MA перпендикулярен плоскости треугольника ABC, точка O — точка пересечения его медиан. На отрезке MK (точка K — середина отрезка BC) взята точка P такая, что MP ■ PK = 2 : 1. а) Чему равен угол между прямыми OP и BC? б) Верно ли, что прямые AB и PO перпендикулярны? Рис. 152 331. Отрезок OB перпендикулярен плоскости треугольника ABC, OK ■ KE = BP ■ PE (рис. 152). а) Докажите, что прямая PK перпендикулярна плоскости ABC. б) Верно ли, что прямые AT и PK перпендикулярны? в) Чему равен угол между прямыми AC и PK? 332. В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Прямая l проходит через точку пересечения медиан грани SAC и перпендикулярна основанию. Постройте точку пересечения прямой l с плоскостью основания. 333. SABC — треугольная пирамида, у которой боковое ребро SB перпендикулярно плоскости ABC. Прямая l проходит через точку O (O е ABC) и перпендикулярна плоскости основания (рис. 153). Перечертите рисунок в тетрадь и постройте точку пересечения прямой l с плоскостью SAC. 334. Плоскость ABC параллельна плоскости а. Через точки A, B и C проведены прямые, перпендикулярные плоско- Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 117 сти а и пересекающие ее в точках Л^, и Ci соответственно. Докажите, что треугольники ЛЕС и Л^Е^С^ равны. в D о/ / iili Рис. 154 335. Отрезок ЛЕ не имеет общих точек с плоскостью а. Через точки Л и Е проведены прямые, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Л1 и Е1 соответственно. Вычислите длину отрезка Л1Е1, если ЛЕ = 13 см, ЛЛ1 = 12 см и ЕЕ1 = 24 см. 336. Отрезок ЛЕ пересекает плоскость а в точке O. Прямые ЛЕ и ЕС, перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках D и С соответственно (рис. 154). а) Верно ли, что прямые ЛЕ и ЕС параллельны? б) Докажите, что точки D, O и С лежат на одной прямой, и вычислите длину отрезка ЛЕ, если ЛЕ = 12 см, ЕС = 4 см, ОС = 3 см. 337. На прямых a и b, перпендикулярных плоскости а и пересекающих ее в точках Л и Е, взяты соответственно точки С и D так, что СЛ = 9 см, ЕЕ = 15 см. Вычислите длину отрезка СЕ, если ЛЕ = 8 см. 338. ЛЕСЕЛ1Е1С1Е1 — прямоугольный параллелепипед. Точка О — середина ребра СС1, а точка M лежит на ребре ЛЛ1 так, что ЛМ ■ ЛЛ1 = 1 : 3. Вычислите длину отрезка MO, если длина диагонали параллелепипеда равна 13 см, а диагонали основания равны 5 см. 339. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед. Точки М и P принадлежат ребрам Е1С1 и BB1 (рис. 155). а) Докажите, что прямая ЕС перпендикулярна плоскости, в которой лежит грань ЛЛ1B1B. б) Верно ли, что прямая MP Правообладатель Народная асвета 118 Гла^ 3, § 1 перпендикулярна прямой AD? в) Найдите угол между прямыми B^C и DC. 340. SA^C — треугольная пирамида, у которой А^ ± SB, A^ ± BC, SB ± BC. а) Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости SAB. б) Верно ли, что медиана CK треугольника SBC перпендикулярна прямой AB? 341. SABC — правильная треугольная пирамида, точка K — середина ребра AC (рис. 156). а) Докажите, что прямая AC перпендикулярна плоскости SKB. б) Верно ли, что прямые AC и SB перпендикулярны? в) Найдите угол между прямой AC и прямой, на которой лежит медиана BT треугольника SKB. 342. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, диагонали основания которой пересекаются в точке O. а) Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости основания данной пирамиды. б) Чему равен угол между прямыми SO и CD? 343. Точка O — середина ребра CB тетраэдра SABC. Постройте сечение данного тетраэдра плоскостью, проходящей через точку O и параллельной прямым AC и SB. Найдите площадь этого сечения, если ребро тетраэдра равно а. 344. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, основание которого — квадрат. Точки P, Q, F и T являются серединами его ребер (рис. 157). а) Докажите, что прямая CT перпендикулярна плоскости сечения BB1PQ. б) Чему равен Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 119 угол между прямыми TC и BP? в) Верно ли, что прямая AF перпендикулярна плоскости сечения BB^PQ? 345. Точка P — середина ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^CiD^, основание которого — квадрат A^CD. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BD, если AD = а, AA^ = b. 346. ABCDA^B^C^D^ — прямоугольный параллелепипед, основание которого — квадрат ABCD. Точки P и Q — середины ребер DC и DA соответственно (рис. 158). а) Докажите, что плоскость сечения BDD1B1 перпендикулярна прямой AC. б) Почему прямая B1D перпендикулярна прямой AC? в) Верно ли, что прямая PQ перпендикулярна плоскости сечения BDD1B1? 347. Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, перпендикулярной ребру AB и проходящей через середину этого ребра. Вычислите площадь этого сечения, если AB = 4 см. 348. ABCD — тетраэдр, точки P, Q и E — середины его ребер (рис. 159). а) Докажите, что прямые PQ и AD перпендикулярны. б) Верно ли, что прямая EK (K принадлежит ребру AD) перпендикулярна прямой PQ? в) Найдите угол между прямыми AE и PQ. 349. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит прямоугольник ABCD. Вычислите длину его бокового ребра, если AB = 3 см, BC = 4 см и B1D = = 5/2 см. Правообладатель Народная асвета 120 Гла^ 3, § 1 350. В прямоугольном треугольнике A^C ZACB = 90°, AC = 3 см, BC = 4 см, CE — его медиана. Прямая CK перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника KCE, если CK = 6 см (рис. 160). 351. В треугольнике ABC отрезок BT является его высотой. Отрезок BF перпендикулярен прямым AB и BC. Найдите угол между прямыми FT и PK, где точки P и K — середины отрезков AB и BC соответственно. 352. Отрезок BK перпендикулярен плоскости треугольника ABC. Вычислите длину этого отрезка, если AK = 13 см, KC = 15 см, а BC - AB = 4 см. 353. Боковое ребро SB треугольной пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ее основания. Вычислите длину этого ребра, если AB = 9 см, BC = 16 см и SC ■ SA = 4 : 3. 354. Докажите, что если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. 355. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат ABCD. Точка K лежит на отрезке AC так, что AK ■ KC = 1 : 3. Вычислите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной прямой AC, если AD = 4 см, AC1 = = We см. 356. ABCDA1B1C1D1 — куб (рис. 161). а) Верно ли, что прямые BD1 и AC перпендикулярны? б) Докажите, что пря- Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 121 мые BD^ и AB^ перпендикулярны. в) Докажите, что прямая BDi перпендикулярна плоскости AB-^C. А D Рис. 161 Рис. 162 357. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, основанием которого служит квадрат ABCD. Вычислите площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды B1ABCD, если AB = 2 см, AC1 = 2\[б см. 358. В правильной треугольной пирамиде SABC боковые ребра взаимно перпендикулярны (SC ^ SA, SC ^ SB, SA ± SB). Через точку O, взятую на ребре AC, построено сечение пирамиды, перпендикулярное прямой SC. Вычислите длину бокового ребра пирамиды, если площадь сечения равна 32 см2, а SO = 10 см. 359. Боковое ребро SB четырехугольной пирамиды SABCD, основание которой — квадрат ABCD, перпендикулярно плоскости основания (рис. 162). а) Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости SBA. б) Верно ли, что прямые SC и CD перпендикулярны? в) Вычислите длину ребра SB, если площадь боковой поверхности пирамиды равна 27 см2, а CD = 3 см. 360. В прямоугольнике ABCD AB = 3 см, AD = 4 см. К плоскости прямоугольника проведены перпендикулярные отрезки BB1 и CC1 так, что отрезок B1C1 не пересекает плоскость, в которой лежит прямоугольник. Вычислите длину отрезка B1C1, если AC1 = V4T см, B1D = VT4 см. 361. SABC — правильная треугольная пирамида. Точка O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABC. Правообладатель Народная асвета 122 Гла^ 3, § 1 362. В правильной треугольной пирамиде SABC, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны, на ребре SB взята точка D так, что AD = 5 см. Проекция этого отрезка на плоскость основания параллельно прямой SC равна V26 см. Вычислите длину бокового ребра пирамиды. 363. В правильной треугольной пирамиде SA^C проведены два сечения: одно — через вершины A и B, перпендикулярное прямой SC, а другое — через вершину B и точку E, делящую ребро AC на отрезки A^ = 8 см и EC = 7 см, параллельное прямой SC. Вычислите длину отрезка, по которому пересекаются эти сечения, если SA = 12 см. 364. В правильной треугольной пирамиде SABC из вершины C и из точки D, делящей ребро AC на отрезки AD = 15 см и DC = 10 см, проведены перпендикуляры к грани SAB. Вычислите длину каждого перпендикуляра, если расстояние между их основаниями равно 6 см. 365. ABCDA1B1C1D1 — куб. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середину ребра BB1 и перпендикулярной прямой BD1. Найдите площадь этого сечения, если длина ребра куба равна а. 366. Через центр основания правильной треугольной пирамиды параллельно двум ее непересекающимся ребрам проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения, если длина бокового ребра пирамиды равна а, а стороны основания равны b. Правообладатель Народная асвета § 2. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости 1. Перпендикуляр и наклонная. Пусть точка А не лежит на плоскости а. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости а, и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью а (рис. 163, а). Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости а, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО — перпендикуляр к плоскости а, а М — произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости а, а точка М — основанием наклонной. Отрезок ОМ — ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость а. Например, если АВСА1В1С1 — прямая треугольная призма, то перпендикуляр, проведенный из точки В1 к плоскости ее основания АВС, есть ребро В1В, отрезок CB — проекция наклонной В1С на плоскость АВС (рис. 163, б). 2. Теорема о трех перпендикулярах. Докажем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач. Теорема 1 (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Правообладатель Народная асвета 124 Гла^ 3, § 2 Доказательство. Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости а, a — прямая, проведенная в плоскости а и перпендикулярная проекции ОМ (рис. 164, а, б). Докажем, что a ± AM. Прямая a перпендикулярна плоскости OAM, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и OM этой плоскости (а ± OM по условию, a ± AO, так как AO ^ а). Следовательно, прямая a перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости AOM, т. е. a ± AM. Теорема доказана. Теорема 2. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Доказательство. Пусть AO и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки A к плоскости а, прямая a лежит в плоскости а и перпендикулярна наклонной AM (см. рис. 164, а, б). Докажем, что прямая a перпендикулярна проекции OM. Прямая a перпендикулярна плоскости OAM, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и AM этой плоскости (a ± AM по условию, a ± OA, так как OA ± а). Отсюда следует, что прямая a перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости AOM, в частности a ± OM. Теорема доказана. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 125 Задача 1. ABCDA^B^C^D^ — куб, точка O — точка пересечения диагоналей грани A^B^C^D^, а F — середина ребра DD^. Докажите, что OF ± AD^. Дано: ABCDAiBiCiDi — куб, DF = FD^, O = AiCi n BiDi. Доказать: OF ± AD1. Доказательство. 1) A1D — проекция B1D на плоскость A^AD и A^^D ± AD1. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах B1D ± AD^. 2) OF I B1D (так как OF — средняя линия треугольника B1D1D), значит, OF ± AD1 (рис. 165, а, б). Теорема 3. Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то: 1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны; 2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше. Доказательство. Пусть AO — перпендикуляр к плоскости а, AB и AC — наклонные к этой плоскости (рис. 166, а). По условию AO F а, следовательно, AO F OB и AO F OC. Из прямоугольных треугольников AOB и AOC найдем AB = VAO2 + OB2, AC = = \IaO^ + OC2. Отсюда: 1) если OB = OC, то AB = AC; 2) если OB < OC, то AB < AC. Теорема доказана. Пусть AO и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки A к плоскости а (см. рис. 166, а). В прямоугольном треугольнике AOM сторона AO является Правообладатель Народная асвета 126 Гла^ 3, § 2 катетом, а сторона AM — гипотенузой, следовательно, AO < < А^. Таким образом, перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к данной плоскости. Значит, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости а наименьшим является расстояние до основания O перпендикуляра, проведенного из точки A к плоскости а. Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости. Расстояние от точки А до прямой l обозначается d (А, l) (читают: «Расстояние от точки А до прямой l»). а) б) Рис. 166 1 if, в) Пусть а и в — параллельные плоскости. Из любых точек А и Б плоскости а проведем к плоскости в перпендикуляры АА1 и ББ1 (рис. 166, б). Так как АА1 ± в и ББ1 ± в, то АА1 I ББ1. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны, следовательно, АА1 = ББ1. Отсюда следует, что все точки плоскости а находятся на одном и том же расстоянии от плоскости в. Аналогично, все точки плоскости в находятся на том же расстоянии от плоскости а. Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 127 Расстояние между параллельными плоскостями а и в обозначается d (а, в) (читают: «Расстояние между плоскостями а и в»)- Аналогично, каждая точка прямой, параллельной некоторой плоскости, находится на одном и том же расстоянии от этой плоскости. Определение. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. Расстояние между прямой l и параллельной ей плоскостью а обозначается d (l, а) (читают: «Расстояние между прямой l и плоскостью а»). Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит единственная плоскость, параллельная другой. Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми a и b обозначается d (a, b) (читают: «Расстояние между прямыми a и b»). Например, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат грани AA^B^B и DD^C^C, равно длине ребра AD, так как AD перпендикулярно каждой из указанных плоскостей. Расстояние от прямой A1D до параллельной ей плоскости BCCi равно длине ребра DC (рис. 166, в). У!\ \ l V У 1 ^ .(■■■rV Д ч . .4 ■ N У/ у. •*- > Д А, а) /У. / /1 \ N 1/ ; 1 . N 7 / 1 \ ч /IV ^ А ' 1 \ ^ R 1 V ч ч / ✓ ''- ' O'- б) Д 7 4 / / V V ' ' \/ A ч ч ч ч Ч ^ V 'V'W' " " O'- 7 в) Рис. 167 Задача 2. ABCDA1B1C1D1 — куб. Постройте основание перпендикуляра, проведенного из точки D1 к плоскости AB1C. Правообладатель Народная асвета 128 Гла^ 3, § 2 Решение. 1) Заметим, что A^B — проекция D^B на плоскость грани AA^B^B и AB1 А A1B, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах AB1 А D1B. Аналогично, DB — проекция D1B на плоскость грани ABCD и DB А AC, значит, AC ± D1B. Таким образом, прямая D1B перпендикулярна двум пересекающимся прямым B1A и AC плоскости AB1C, следовательно, прямая D1B перпендикулярна плоскости AB1C (рис. 167, а). 2) Так как D1B А (AB1C), то искомое основание перпендикуляра есть точка пересечения прямой D1B с плоскостью AB1C (см. рис. 167, а). 3) Строим точку O = AC П BD (рис. 167, б). 4) Точка X = D1B П B1O — искомое основание перпендикуляра (точка X лежит в плоскости AB1C, так как она лежит на прямой B1O (рис. 167, в)). Задача 3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние между прямыми AB1 и CD1, если длина ребра куба равна а. Решение. 1) Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую AB1 и параллельную прямой CD1. Такой плоскостью является плоскость а, в которой лежит грань AA1B1B (A1B ^ а, CD1 I A1B, следовательно, CD1 | а) ( рис. 168, а, б). 2) Расстояние между прямыми CD1 и AB1 есть расстояние от любой точки прямой CD1 до плоскости а. Отрезок D1A1 — перпендикуляр, проведенный из точки D1 к плоскости а (D1A1 А A1B1, D1A1 А AA1, значит, D1A1 А (AA1B1)), сле- Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 129 довательно, его длина a равна расстоянию между прямыми ЛЕ^ и CD^. Ответ: d (AB^, CD1) = a. Вопросы и задачи к § 2 367. Прямая a — ортогональная проекция прямой b на плоскость а, прямая l лежит в плоскости а и перпендикулярна прямой а. Верно ли утверждение, что прямая l перпендикулярна прямой b? 368. Прямая p лежит в плоскости в и перпендикулярна прямой b. Каково взаимное расположение прямой p и ортогональной проекции прямой b на плоскость в? 369. Точка P лежит на прямой l, проходящей через центр окружности и перпендикулярной плоскости, в которой эта окружность лежит. Точки Ли Е лежат на данной окружности. Верно ли, что отрезки PA и PB равны между собой? 370. Прямые а и b — скрещивающиеся. Плоскость а проходит через прямую b и параллельна прямой а, точка O — произвольная точка прямой а, OF — перпендикуляр, проведенный из точки O к плоскости а. Верно ли, что расстояние между прямыми a и b равно длине отрезка OF? 371. Из точки Л проведены к плоскости а перпендикуляр AO, длина которого равна 4 см, и наклонная AC = 7 см. Вычислите длину проекции наклонной AC на плоскость а. 372. Из одной и той же точки под углом ф друг к другу проведены перпендикуляр и наклонная, длина которой a. Найдите длину проекции наклонной. 373. Основанием прямой призмы ABCA^B^C^ служит прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C (рис. 169, а). а) Назовите проекцию отрезка CB^ на плоскость A^B^C^. б) Верно ли, что отрезок CB1 — ортогональная проекция отрезка ЛЕ1 на плоскость грани CC1B1B? 374. ABCDA1B1C1D1 — куб (рис. 169, б). а) Верно ли, что проекцией диагонали B1D на плоскость грани AA1D1D является отрезок A1D? б) Найдите длину проекции отрезка A1D на плоскость BDD1, если длина ребра куба равна а. 375. Отрезок SO — перпендикуляр, проведенный из точки S к плоскости, в которой лежит треугольник ABC. Известно, Правообладатель Народная асвета 130 Гла^ 3, § 2 что SA = SB = SC. Докажите, что точка O есть центр окружности, описанной около треугольника ABC. 376. В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, отрезок AF — высота треугольника ABC. Докажите, что SF есть высота треугольника SBC. 377. Прямая OB перпендикулярна плоскости квадрата ABCD. Найдите площадь треугольника OAD, если OB = 8 см, AB = 6 см. 378. Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды SABC равна 8 см. Вычислите расстояние от вершины S до плоскости основания ABC, если AB = 12 см. А К___ / ^ \ / \ / '-"1 ч Рис. 169 Рис. 170 379. ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, точки ^ и O — середины ребер A1B1 и A1C1 соответственно (рис. 170). а) Верно ли, что CO — проекция CB1 на плоскость грани AA1C1C? б) Вычислите площадь треугольника BC1K, если BC = 6 см, AA1 = \/l5 см. 380. Основание треугольной пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC, в котором ZACB = 90°, Z CAB = = 30. Вычислите высоту грани ASB, проведенной из вершины S, если длина бокового ребра SC, перпендикулярного плоскости основания, равна 4 см, а AC = 6 см. 381. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC (Z ACB = 90°) проведена прямая AO, перпендикулярная плоскости треугольника. Вычислите площадь треугольника BCO, если BC = 2 см, CO = ^/3 см. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 131 382. Из точки O проведен перпендикуляр OA к плоскости прямоугольника ABCD. Найдите расстояние от точки O до плоскости данного прямоугольника, если AD = b, DC = a, а площадь треугольника ODC равна S. 383. Основание треугольной пирамиды SABC — равнобедренный треугольник ABC, а боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Вычислите площадь грани SBC, если AB = AC = 10 см, BC = 12 см, AS = 24 см. 384. Боковое ребро SA четырехугольной пирамиды SABCD, основание которой — прямоугольник ABCD, перпендикулярно плоскости основания. Вычислите длину ребра SA, если SD = 12 см, SC = 18 см, SB = 14 см. 385. В равнобедренном треугольнике ABC AC = BC = 2 см, ZABC = 30°. Прямая OB перпендикулярна плоскости данного треугольника. Вычислите расстояние от точки O до прямой AC и расстояние от точки B до плоскости AOC, если OB = 1 см. 386. Через вершину A квадрата ABCD проведена прямая AO, перпендикулярная его плоскости. Вычислите расстояние от точки O до прямых DB, BC и DC, если OA = 16 см, AB = 8 см. 387. Основание треугольной пирамиды SABC — равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (ZACB = 90°). Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если AC = 4 см, SC = 2 см. 388. Катет прямоугольного треугольника ABC равен а, а угол, прилежащий к этому катету, равен а. Через вершину прямого угла C проведена прямая CD, перпендикулярная плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника DAB, если DC = b. 389. Прямая OS перпендикулярна плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажите, что расстояния от точки S до прямых, содержащих стороны ромба, равны, и найдите это расстояние, если SO = a\l2, AC = 2а, BD = a. 390. Основание четырехугольной пирамиды OABCD — ромб ABCD, у которого ZABC = 60°, AB = а. Боковое ребро OA Правообладатель Народная асвета 132 Гла^ 3, § 2 пирамиды перпендикулярно плоскости основания. Найдите длину ребра OA и расстояние от точки A до плоскости ODC, если площадь грани ODC равна S. 391. Через вершину B тупого угла параллелограмма ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная его плоскости. Вычислите длины сторон параллелограмма, если AM = см, MD = MC = 5 см, AC = ^22 см. 392. Из точки A к плоскости а проведены перпендикуляр AB и наклонные AC и AD, проекции которых образуют между собой прямой угол. Вычислите высоту CK треугольника ACD, если AB = 15 см, BC = 16 см, BD = 20 см. 393. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите расстояние между прямыми B1D и D1C, если длина ребра куба равна 2 см. 394. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а прямая MO перпендикулярна плоскости данного параллелограмма. Вычислите высоты параллелограмма, если длины его сторон равны 20 см и 50 см, а расстояния от точки M до прямых, содержащих стороны параллелограмма, равны 17 см и 25 см. 395. Плоскость а проходит через вершину A треугольника ABC и параллельна прямой BC. Отрезки BB1 и CC1 — перпендикуляры плоскости а. Вычислите площадь треугольника ABC, если AB1 = V2 см, AC1 = л/3 см, B1C1 = ^/5 см, а расстояние от прямой BC до плоскости а равно 3 см. 396. В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Вычислите высоту SD треугольника SAC, если AB = 10 см, BC = 17 см, AC = 21 см, SB = 15 см. 397. В равнобедренном треугольнике ABC основание AB = 6 см, а боковая сторона BC = 5 см. Отрезок OK перпендикулярен плоскости треугольника (где точка O — центр окружности, вписанной в данный треугольник). Вычислите высоту треугольника AKB, проведенную из вершины K, если OK = 2 см. 398. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = = 6 см, а высота BD = 9 см. Точка M равноудалена от всех вершин данного треугольника и находится на расстоянии 3 см от плоскости, в которой он лежит. Вычислите расстояние от точки M до вершины C треугольника. Правообладатель Народная асвета § 3. Угол между прямой и плоскостью 1. Ортогональная проекция прямой. Пусть в пространстве даны плоскость а и прямая а. Ортогональной проекцией прямой а на плоскость а называется проекция этой прямой на плоскость а в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости а. Например, если ABCDA^B^C^D^ — куб, тогда ортогональной проекцией прямой B^D на плоскость грани DCC^D^ является прямая DC]_, а ортогональная проекция этой прямой на плоскость основания ABCD куба есть прямая BD (рис. 171, а). Дадим определение угла между прямой и плоскостью, при этом воспользуемся понятием ортогональной проекции прямой на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее ортогональная проекция на эту плоскость есть точка пересечения этой прямой с плоскостью. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90°. 2. Угол между прямой и плоскостью. Рассмотрим понятие угла между прямой и плоскостью. Определение. Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Теорема. Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая об- Правообладатель Народная асвета 134 Гла^ 3, § 3 разует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости. Доказательство. Пусть прямая a пересекает плоскость а в точке O, а' — ортогональная проекция прямой а на плоскость а, b — произвольная прямая, лежащая в плоскости а, проходящая через точку O и не совпадающая с прямой а'. Обозначим буквой фо угол между прямыми а и а', а буквой ф — угол между прямыми а и b. Докажем, что ф0 < ф (рис. 171, б). Если прямые а и b не перпендикулярны, то из точки M е а проведем перпендикуляры MA и MB к прямым а' и b соответственно. Из прямоугольных треугольников MAO и MBO найдем sin ф0 = MA, sin ф = MB MO ' Так как MA < MB, то sin ф0< sin ф. Отсюда следует, что ф0 < ф (так как 0 < ф < 90°, а функция у = sin x на указанном промежутке является возрастающей). Если а А b, то ф = 90°, а, значит, ф > фо. Теорема доказана. Задача. Дан тетраэдр DABC. Найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью DBC. Решение. 1) Угол между прямой AB и плоскостью DBC равен углу между прямой AB и ортогональной проекцией этой прямой на плоскость DBC. 2) Для построения ортогональной проекции прямой AB на плоскость DBC достаточно построить основание перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой AB к плоскости DBC (например, из точки A). Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 135 3) Если точка O — основание перпендикуляра, проведенного из точки A к плоскости DBC, то OC = OB = OD (проекции равных соответственно наклонных AC, AB, AD). Следовательно, точка O равноудалена от вершин треугольника DBC, а такой точкой в равностороннем треугольнике DBC является точка пересечения медиан BK и DF. Таким образом, прямая BO — перпендикулярная проекция прямой AB на плоскость DBC (рис. 172, а, б). 4) Теперь найдем косинус угла между прямой AB и плоскостью DBC. Пусть ребро тетраэдра равно а. В прямоугольном треугольнике AOB (AB = а, ZAOB = 90°, BO = 2BK = = zK] cos ZABO = : a = ^. 31 AB 3 3 Ответ: —. 3 Задачи к § 3 399. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед (рис. 173, а). а) Верно ли, что прямая B1C есть ортогональная проекция прямой B1D на плоскость грани BCC1B1? б) Какая прямая является ортогональной проекцией прямой AC на плоскость грани DCC1D1? в) Почему угол между прямыми B1D и DC не равен углу между прямой B1D и плоскостью DCC1? 400. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали основания ABCD пересекаются в точке O (рис. 173, б). а) Назовите ортогональную проекцию прямой DC1 на плоскость диагонального сечения ACC1A1. б) Верно ли, что прямая AB1 является ортогональной проекцией прямой B1O на плоскость грани ABB1A1? А в, УТГ в я А а) Рис. 173 Правообладатель Народная асвета 136 Гла^ 3, § 3 401. Дан куб A^CDA^B^C^D^. а) Верно ли, что угол между прямой А^^ и плоскостью грани BCC^B^ равен 30°? б) Найдите синус угла между прямой B^D и плоскостью грани A^D^A^. 402. Отрезок AM является перпендикуляром к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Найдите синус угла ф между прямой MO и плоскостью MAB, если MA = AD. 403. Отрезок OB перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD, AB = 3 см, AD = 4 см. Вычислите расстояние от точки O до плоскости прямоугольника, если угол между прямой OD и плоскостью ABC равен 30°. 404. Основание четырехугольной пирамиды SABCD — квадрат ABCD, боковое ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания. Прямая SC образует с плоскостью SAB угол ф. Найдите косинус угла между прямой SC и плоскостью ABCD, если DC = a. 405. Точка T находится на расстоянии a от каждой из вершин квадрата ABCD. Найдите угол между прямой BT и плоскостью данного квадрата, если AD = a. 406. Отрезок BT перпендикулярен плоскости ромба ABCD, Z BAC = 60°. Найдите синус угла между прямой TD и плоскостью TBC, если угол между прямой TD и плоскостью, в которой лежит ромб, равен 45°. 407. Из точки O, находящейся на расстоянии a от плоскости а, проведены к этой плоскости наклонные OA и OB, каждая из которых образует с плоскостью а угол 30°. Проекции наклонных на плоскость образуют угол 120°. Найдите AB. 408. Основание треугольной пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC (ZABC = 90°), боковое ребро DB перпендикулярно плоскости ее основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если DB = a, а прямые DA и DC образуют с плоскостью основания углы 30° и 45° соответственно. 409. Основание треугольной пирамиды DABC — равнобедренный треугольник ABC (AB = CB), боковое ребро DB пира- Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 137 миды перпендикулярно плоскости ее основания. Вычислите радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, если AD = 11 см, AC = 10 см, а высота DK грани DAC образует с плоскостью основания угол 60°. 410. Боковое ребро SA четырехугольной пирамиды, основание которой — прямоугольник ABCD, перпендикулярно плоскости ее основания. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника SAC, если SB = 2 см, а боковые ребра SB и SD образуют с плоскостью основания углы 30° и 45° соответственно. 411. Из точки O к плоскости а проведены равные наклонные OA и OB, угол между которыми равен 60°, а угол между их проекциями на эту плоскость равен 90°. Вычислите углы между наклонными и плоскостью а. 412. Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные, образующие с этой плоскостью углы 45° и 60°. Вычислите длину каждой наклонной, если расстояние между основаниями наклонных равно 1 см, а угол между их проекциями на плоскость равен 30°. 413. В равнобедренном треугольнике ABC AC = CB = 1 см, Z BAC = 30°. Отрезок OC, длина которого равна V2 см, перпендикулярен плоскости ABC. Найдите угол между прямой OA и плоскостью OBC. 414. Из точки C к плоскости а проведены наклонные CA и CB, перпендикулярные между собой и образующие с плоскостью а углы 30° и 45° соответственно. Вычислите угол, образованный с плоскостью а перпендикуляром, проведенным из точки C к прямой AB. Правообладатель Народная асвета § 4. Двугранный угол. ^ Перпендикулярность плоскостей 1. Двугранный угол. Пусть прямая a лежит в плоскости, тогда можно указать две части этой плоскости, каждая из которых вместе с прямой a называется полуплоскостью. Прямая a называется граничной для каждой из полуплоскостей (рис. 174, а). Две полуплоскости с общей граничной прямой l, расположенные в пространстве, могут не лежать в одной плоскости (рис. 175, б). Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, общая граничная прямая l полуплоскостей называется ребром двугранного угла (см. рис. 174, б). Если грани двугранного угла лежат в одной плоскости, то он называется развернутым. 2. Линейный угол двугранного угла. Для измерения двугранного угла вводится понятие его линейного угла. Пусть точка O лежит на ребре l двугранного угла (рис. 175, а). В каждой грани проведем лучи OA и OB перпендикулярно ребру l. Угол AOB, сторонами которого служат лучи OA и OB, называется линейным углом данного двугранного угла. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 139 Определение. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру. Пусть AOB — линейный угол двугранного угла, ребро которого l (см. рис. 175, а). Так как OA А l, OB А l, то плоскость, в которой лежат лучи OA и OB, перпендикулярна прямой l. Таким образом, линейный угол двугранного угла — это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A1O1B1 двугранного угла, ребро которого l. Лучи OA и O1A1 лежат в одной грани и перпендикулярны ребру l, следовательно, OA I O1A1. Аналогично OB | O1B1 (рис. 175, б). Отложим на лучах OA и O1A1 равные отрезки OF и O1F1 соответственно, а на лучах OB и O1B1 равные отрезки OT и O1T1 соответственно. Так как OF = O1F1 и OF | O1F1, то четырехугольник OFF1O1 — параллелограмм. Поэтому OO1 = FF1, OO1 | FF1. Аналогично, OO1 = TT1 и OO1 | TT1. В результате FF1 = TT1 и FF1 I TT1, т. е. четырехугольник TFF1T — параллелограмм. Следовательно, TF = T1F1. Таким образом, треугольники OFT и O1F1T1 равны по трем сторонам, значит, Z FOT = Z F1O1T1, т. е. Z AOB = Z A1O1B1. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Правообладатель Народная асвета 140 Гла^ 3, § 4 Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). На рисунке 176, а, б изображены соответственно острый и тупой двугранные углы. В дальнейшем под двугранным углом будем понимать всегда тот, линейный угол ф которого удовлетворяет условию 0 < ф < 180°. Вместо «двугранный угол, градусная мера которого равна а» можно говорить «двугранный угол, равный а». Двугранный угол, ребро которого есть прямаяAB, а гранями являются полуплоскости а и в, обозначается а А^ в (или TABE, если на разных его гранях отмечены точки T и E). Рассмотрим примеры. Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед. Тогда Z ADD1 является линейным углом двугранного угла, ребро которого есть прямая DC, а его грани — полуплоскости, в которых лежат прямоугольники ABCD и DCC1D1 (так как AD Е DC и DD1 Z DC). Угол ADD1 — прямой, следовательно, указанный двугранный угол прямой (рис. 177, а). Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника. Пусть DABC — правильная треугольная пирамида, а точка O — середина отрезка AC. Угол DOB есть линейный угол двугранного угла DACB, ребро которого — прямая AC, а гранями являются полуплоскости, содержащие треугольники ABC и ACD (так как DO Е AC и BO Е AC) (рис. 177, б). Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 141 Cl А в, D В а) Рис. 177 3. Угол между плоскостями. Введем понятие угла между плоскостями. Определение. Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку. Заметим, что определение угла между плоскостями не зависит от выбора прямых a и b, проведенных в плоскостях и перпендикулярных их линии пересечения. Действительно, если в данных плоскостях провести какие-нибудь другие прямые а1 и b1 перпендикулярно их линии пересечения l через точку O1, то а | а1 и b | b1, а, следовательно, угол между прямыми a и b равен углу между прямыми a1 и b1 (рис. 178, а, б). а) б) Рис. 178 Правообладатель Народная асвета 142 Гла^ 3, § 4 Если плоскости параллельны, то угол между ними считается равным 0°. Угол между плоскостями а и в обозначается Z (а, в). Из определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями удовлетворяет условию 0° < Z (а, в) < 90°. Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Дано: прямая b лежит в плоскости в, b Z а (рис. 179, а, б). Доказать: в Z а. Доказательство. 1) Пусть точка O — точка пересечения прямой b с плоскостью а. Точка O — общая точка плоскостей а и в, следовательно, данные плоскости пересекаются по прямой l, проходящей через точку O. 2) В плоскости а через точку O проведем прямую а, перпендикулярную прямой l. 3) Прямые а и l лежат в плоскости а и по условию b Z а, следовательно, b Z а и b Z l. Таким образом, b ^ в, b Z l и а ^ а, а Z l, значит, Z (а, в) = ^ (а, b) = 90°, т. е. в ^ а. Теорема доказана. Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 143 Дано: в ± а, в П а = l, b с в, b ± l. Доказать: b ± а. Доказательство. 1) Обозначим буквой O точку пересечения прямой b с прямой l (рис. 180, а, б). 2) Проведем в плоскости а через точку O прямую a перпендикулярно прямой l. 3) Прямые a и b перпендикулярны прямой l, по которой пересекаются плоскости а и в. Следовательно, угол между прямыми a и b равен углу между плоскостями а и в, значит, равен 90°. 4) Таким образом, прямая b перпендикулярна пересекающимся прямым a и b плоскости а. Следовательно, b ± а. Теорема доказана. Задача 1. Докажите, что прямая, проведенная через точку одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой плоскости. б) Дано: а ± в, а П в = l, A е в, AA1 а а. Доказать: AA1 ^ в. Рис. 181 Правообладатель Народная асвета 144 Гла^ 3, § 4 Доказательство. Предположим, что прямая ЛЛ^ не лежит в плоскости в (рис. 181, а, б). Проведем в плоскости в прямую ЛЛц ^ l, а в плоскости а проведем ЕЛ^ ± l. Тогда ZЛЛ^Е есть линейный угол двугранного угла а1в. Так как а Z в, то Z ЛЛ^Е = 90°, т. е. ЛЛ0 Z ЕЛ0. Прямая ЛЛ0 перпендикулярна двум пересекающимся прямым l и ЕЛ0, лежащим в плоскости а, значит, ЛЛ0 Z а. Это противоречит существованию единственной прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости. Предположение, что прямая ЛЛ1 не лежит в плоскости в, неверное, а значит, прямая ЛЛ1 лежит в плоскости в. Задача 2. Основание прямой призмы ЛЕСЛ1Е1С1 — треугольник ЛЕС, в которомЛЕ = ЕС = 7 см, ЛС = 2 см. Через прямую ЛС проведена плоскость а под углом 30° к плоскости ЛЕС, пересекающая боковое ребро ЕЕ1 в точке D. Вычислите площадь полученного сечения (рис. 182, а, б). а) Дано: ЛЕСЛ1Е1С1 — прямая треугольная призма, ЛС ^ а, Z (а, ЛЕС) = 30°, ЛЕ = ЕС = 7 см, Рис. 182 ЛС = 2 см. Найти: S сечения. б) Решение. 1) В треугольнике ЛЕС сторона ЛС = 2 см. Для нахождения его площади необходимо найти высоту, проведенную к стороне ЛС (см. рис. 182, а, б). 2) ЕЕ Z (ЛЕС) (так как призма прямая, то ЕЕ Z ЛЕ и ЕЕ Z ЕС). Кроме того, СЕ = ЛЕ (наклонные, имеющие равные проекции СЕ и ЛЕ). 3) Пусть точка O — середина отрезка ЛС, тогда медиана ЕО — высота равнобедренного треугольника ЛЕС, а Z ЕОЕ = 30° (так как ЕО ZЛС и ЕО ZЛС). Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 145 4) В треугольнике BOC длина катета BO = \JbC^ - OC^ = = л/49 - 1 = V4b = Wb (см). 5) В треугольнике OBD (ZOBD = 90°, Z DOB = 30°, BO = = W3 см) длина гипотенузы OD = OB = V48 : — = 8 (см ). cos30° 2 6) Теперь найдем SadC = 1 AC ■ OD = 1 • 2 • 8 = 8 (см2). Ответ: 8 см2. Задача 3. Докажите, что площадь 5орт ортогональной проекции треугольника ABC на плоскость равна произведению его площади S на косинус угла ф между плоскостью треугольника и плоскостью проекции: 5орт = S cos ф. Задачи к § 4 415. ABCDA1B1C1D1 — куб (рис. 183). а) Верно ли, что Z BDB1 является линейным углом двугранного угла B1ADB? б) Докажите, что Z B1AB есть линейный угол двугранного угла B1ADB. в) Найдите градусную меру двугранного угла D1CBA. 416. DABC — правильная треугольная пирамида, точка O — середина ребра ВС. а) Верно ли, что ZACD является линейным углом двугранного угла ACBD? б) Докажите, что ZAOD есть линейный угол двугранного угла ACBD. 417. ABC — равнобедренный треугольник, AB = ВС. Отрезок OB перпендикулярен плоскости ABC, точка K — середина стороны AC (рис. 184). а) Являются ли углы OCB и OAB линейными углами двугранного угла OACB? б) Докажите, что Z OKB есть линейный угол двугранного угла OACB. 418. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ A1C образует с плоскостью основания угол 30°. Вычислите градусную меру двугранного угла A1CDA, если CD = 4 см, AD = 2^2 см. 419. Сторона ВС треугольника ABC лежит в плоскости а, отрезок AF — высота треугольника ABC. Точка O — основание перпендикуляра, проведенного из точки A к плоскости а. Докажите, что угол AFO — линейный угол двугранного угла ABCO (рис. 185). Правообладатель Народная асвета 146 Гла^ 3, § 4 Рис. 183 Рис. 184 Рис. 185 420. Катет BC прямоугольного треугольника ABC (ZA^C = 90°) лежит в плоскости а. Точка O — основание перпендикуляра, проведенного из вершины A к плоскости а. Двугранный угол ABCO равен 45°. Вычислите градусную меру угла между прямой AC и плоскостью а, если BC = 2 см, AO = 42 см. 421. В треугольной пирамиде DABC боковое ребро DB перпендикулярно плоскости основания, а грань ADC — прямоугольный треугольник (Z DCA = 90°). Вычислите площадь основания пирамиды, если угол между плоскостями ADC и ABC равен 30°, AC = 8 см, AD = 10 см. 422. Основание прямой призмы ABCA1B1C1 — равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (ZABC = 90°). Двугранный угол Cj_A.BC равен 60°. Вычислите площадь сечения призмы плоскостью ABC1, если AC = W2 см. 423. Длины катетов прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Вычислите расстояние от вершины прямого угла данного треугольника до плоскости, которая проходит через гипотенузу и образует угол 30° с плоскостью треугольника. 424. Прямая OB перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD, отрезок BK — высота данного параллелограмма (рис. 186). а) Верно ли, что угол OAB является линейным углом двугранного угла OADB? б) Докажите, что Z OKB является линейным углом двугранного угла OADB. 425. Дан двугранный угол а l р. В грани в из точки A проведен перпендикуляр AB к ребру l. Из этой же точки A проведен перпендикуляр AC к плоскости, содержащей грань а, Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 147 причем C е а. Докажите, что ZABC есть линейный угол данного двугранного угла. 426. Сторона AD ромба ABCD лежит в плоскости а, образующей с плоскостью ромба угол 60°. Вычислите длину стороны ромба, если Z ABD = 45°, а расстояние от вершины B ромба до плоскости а равно V3 см. 427. Вершина B ромба ABCD является основанием перпендикуляра, проведенного из точки O к плоскости, в которой лежит ромб. Вычислите расстояние от точки O до плоскости ABC, если угол BAD равен 45°, AB = 2 см, двугранный угол OADB равен 60°. 428. В ромбе ABCD сторона AB = 20 см, Z BAD = 45°, точка E — основание перпендикуляра, проведенного из вершины B к плоскости а, содержащей сторону AD. Вычислите расстояние от точки E до плоскости ABC, если двугранный угол BADE равен 60°. 429. Основание прямого параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ — параллелограмм ABCD, площадь которого 40 см2. Вычислите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ADB1, если известно, что она образует с плоскостью основания угол 60°. А А, /: А 7 Ч 1 / I в'/ - N / Рис. 186 Рис. 187 430. Основание треугольной пирамиды DABC — прямо- угольный треугольник ACB с прямым углом при вершине C, DA Z (ABC). Вычислите градусную меру двугранного угла ABCD и площадь грани DCB, если AC = BC = 1 см, DB = см. 431. Докажите, что плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей. Правообладатель Народная асвета 148 Гла^ 3, § 4 432. ABCDA^B^C^D^ — прямой параллелепипед, основание которого — ромб ABCD (рис. 187). а) Докажите, что плоскость, содержащая грань BCC1B1, перпендикулярна плоскости ABC. б) Верно ли, что плоскости BDD1 и A^AC взаимно перпендикулярны? в) Докажите, что плоскость BDD1 перпендикулярна плоскости основания. 433. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 боковая грань DD1C1C — квадрат. Докажите, что плоскости BCD1 и DC1B1 перпендикулярны. 434. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD — квадрат. Точка E делит отрезок AC в отношении 1 : 3, считая от вершины A. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку E и перпендикулярной плоскостям ABC и A1AC, если BC = 1 см, AC, = Тб см. Вычислите площадь этого сечения. 435. Плоскости а и в пересекаются по прямой l. Из точки O проведены перпендикуляры OA и OB к плоскостям а и в соответственно. Прямая l пересекает плоскость OAB в точке C. Докажите, что OC Е l. 436. TABCD — четырехугольная пирамида, основание которой — квадрат ABCD. Боковое ребро TB перпендикулярно плоскости основания, а точка O — середина ребра TC. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DO и перпендикулярной плоскости основания, если TB = BC = а. 437. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а их длины равны а. Найдите косинус угла, образованного плоскостью боковой грани с плоскостью основания. 438. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, точка F — середина бокового ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DF и перпендикулярной плоскости SBD. 439. Точки K и M — середины ребер SC и AC тетраэдра SABC соответственно. Найдите угол между плоскостями ABK и SBM. 440. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки T и K — середины ребер CC1 и DC соответственно. Найдите угол между плоскостями ATD и A1D1K. Правообладатель Народная асвета Перпендикулярность прямой и плоскости 149 441. Центр равностороннего треугольника ABC является основанием перпендикуляра, проведенного из точки D к плоскости этого треугольника. Найдите косинус угла между плоскостями ABC и ABD, если треугольник ABD равносторонний. 442. Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и BS = 1 см, BC = 2 см. На ребре SC взята точка O так, что CO ■ OS = 1 ■ 3. Постройте сечение пирамиды плоскостью ABO и найдите тангенс угла между плоскостью ABO и плоскостью основания пирамиды. 443. Вершина C треугольника ABC является ортогональной проекцией вершины D треугольникаABD. Докажите, что площадь треугольника ABC равна S cos ф, где S — площадь треугольника ABD, ф — угол между плоскостями ABD и ABC. 444. Точки A и B лежат на ребре двугранного угла, AC и BD — перпендикуляры к ребру, проведенные в разных его гранях. Найдите двугранный угол, если AB = 24 см, AC = 8 см, BD = 5 см и расстояние между точками C и D равно 25 см. 445. Точки A и B лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°. Отрезки AC и BD проведены в разных его гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Вычислите длину отрезка CD, если AB = AC = BD = 3 см. 446. Дан треугольник ABC, у которого AB = BC = 3 см, AC = 4 см. Сторона AB лежит в плоскости а, а проекции двух других сторон треугольника на эту плоскость относятся как 1 : 2. Найдите двугранный угол, образованный плоскостью а и плоскостью ABC. 447. Найдите двугранный угол, грани которого содержат две боковые грани правильной четырехугольной пирамиды, длина бокового ребра которой равно 3 см, а стороны основания — ^/э см. 448. Длина бокового ребра правильной треугольной призмы равна 3 см, а стороны основания — 2 см. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через боковое ребро призмы и перпендикулярной противолежащей грани, и вычислите расстояние от точки пересечения диагоналей этого сечения до вершины призмы, не лежащей в сечении. Правообладатель Народная асвета ПРИЛОЖЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФИГУР § 1. Параллельное проектирование Для изображения на плоскости (например, на листе бумаги) геометрических фигур, расположенных в пространстве, используется параллельное проектирование. Определяется оно следующим образом. Пусть а — некоторая плоскость, а l — некоторая прямая, пересекающая эту плоскость. Возьмем в пространстве произвольную точку X. Если точка X не лежит на прямой l, то проведем через точку X прямую, параллельную прямой l, и обозначим через X' точку пересечения этой прямой с плоскостью а. Если точка X лежит на прямой l, то обозначим через X' точку пересечения прямой l с плоскостью а. Точка X' называется проекцией точки X на плоскость а при проектировании параллельно прямой l (или параллельной проекцией точки X). Плоскость а называется плоскостью проекций, а о прямой l говорят, что она задает направление проецирования (рис. 188, а). Все прямые, параллельные прямой l, задают одно и то же направление проектирования, поэтому также называются проектирующими прямыми. Пусть F — плоская или пространственная фигура. Проекцией фигуры F на плоскость а при проектировании параллельно прямой l называется множество F' проекций Правообладатель Народная асвета Приложение 151 всех точек фигуры F. Например, если плоскость а параллельна основанию ABCD параллелепипеда ABCDA^B^CiD^, а прямая l параллельна прямой AA^, то проекцией параллелепипеда на плоскость а является параллелограмм TEOK (рис. 188, б). Заметим, что проекция заданной фигуры зависит от выбора плоскости проекций и проектирующей прямой. Сформулируем и докажем основные свойства параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой, задающей направление проектирования. Свойство 1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка — отрезок. Доказательство. Пусть b — некоторая прямая, непараллельная прямой l, которая задает направление проектирования. Не ограничивая общности, можем считать, что прямые b и l пересекаются. Через прямые b и l проходит единственная плоскость р. Она пересекает плоскость а по некоторой прямой b'. Эта прямая и является проекцией прямой b на плоскость а. Действительно, пусть точка X е b, а точка X' — ее проекция на плоскость а. Тогда проектирующая прямая XX' лежит в плоскости р. Плоскость в пересекает а по прямой b', следовательно, точка X' лежит на прямой b'. Кроме того, каждая точка прямой b' является проекцией некоторой точки прямой b. Таким образом, прямая b' — проекция прямой b (рис. 189, а, б). Правообладатель Народная асвета 152 Приложение Теперь нетрудно понять, что проекция отрезка есть отрезок. Свойство 2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают. Доказательство. Пусть даны две параллельные прямые b и c. Возможны два случая. 1) Некоторая проектирующая прямая a пересекает обе прямые b и с. В этом случае прямая а, а также все остальные проектирующие прямые, пересекающие прямые b и c, лежат в одной плоскости в, проходящей через параллельные прямые b и с. Но тогда по свойству 1 проекцией прямой b и прямой с будет прямая b', по которой пересекаются плоскости в и а (рис. 190, а). 2) Не существует проектирующих прямых, пересекающих прямые b и с одновременно. Пусть в1 — плоскость, в которой лежат все прямые, проектирующие точки прямой b на плоскость а, а в2 — плоскость, в которой лежат прямые, проектирующие точки прямой с на плоскость а. Плоскости в1 и в2 параллельны, следовательно, проекции b1 и с1 прямых b и с параллельны как линии пересечения параллельных плоскостей в1 и в2 с плоскостью а (рис. 190, б). Свойство 3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков. Правообладатель Народная асвета Приложение 153 Доказательство. 1) Пусть отрезки и CD лежат на одной прямой b, а прямая b' — проекция прямой b на плоскость а параллельно прямой l (рис. 191, а). Проекции Л1В1 и C1D1 отрезков Л^ и CD лежат на прямой b'. Проектирующие прямые ЛЛ1, ВВ1, CC1 и DD1 параллельны между собой и лежат в одной плоскости в (b' = в П а). Из планиметрии известно, что параллельные прямые ЛЛ1, ВВ1, CC1 и DD1 отсекают от двух прямых b и b' плоскости в пропорциональные отрезки, т. е. ЛВ ■■ CD = Л1В1 ■■ C1D^. Пусть отрезки ЛВ и CD лежат на параллельных прямых b и a (рис. 191, б). Проведем прямую AC и через точку В, параллельную ей прямую, которая пересекает прямую a в некоторой точке M. Четырехугольник ABMC — параллелограмм. Рассмотрим случай, когда его проекция на плоскость а есть параллелограмм A1B1M1C1. Тогда ЛВ = CM, А1В1 = C1M1. По доказанному CM '■ CD = C1M1 '■ C1D1. Таким образом, ЛВ '■ CD = А1В1 ■ C1D1. Если проекция параллелограмма ABMC есть отрезок (в случае, когда проекции прямых a и b совпадают), доказательство данного свойства еще проще. Следствие. Пр~и параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции. Правообладатель Народная асвета 154 Приложение § 2. Изображение фигур Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства параллельного проектирования применяются при выполнении рисунков (изображений фигур), иллюстрирующих теоремы и задачи стереометрии. Изображением фигуры F называется любая фигура, подобная проекции этой фигуры на некоторую плоскость. Выполняя изображения фигур, расположенных в пространстве, необходимо учитывать свойства, сохраняющиеся при параллельном проектировании, а в остальном изображение может быть произвольным. Важно только, чтобы изображения рассматриваемых фигур были наглядными и давали верное представление о них. При различном выборе плоскости проекций и направления проектирования получаются различные проекции данной фигуры, а значит, и различные ее изображения. Например, изображениями куба являются фигуры, данные на рисунке 192, а, б, в, г. а) б) «) г) Рис. 192 Изображение куба, данное на рисунке 192, а, не дает представления о кубе, наглядным является изображение, данное на рисунке 192, г. При построении изображений плоских фигур, расположенных в пространстве, предполагается, что плоскости рассматриваемых фигур не параллельны направлению проектирования. Правообладатель Народная асвета Приложение 155 1. В качестве изображения данного треугольника можно взять произвольный треугольник. с 1 /в т а) Действительно, пусть даны два треугольника ABC и A^BqCq (рис. 193, а, б). Обозначим плоскость а, проходящую через прямую AB, а A^T — треугольник в этой плоскости, подобный треугольнику A^BqCq. Тогда при проектировании на плоскость а параллельно прямой CT треугольник ABC проектируется на треугольник A^T так, что его проекция будет подобна треугольнику AqB0Cq. В частности, за изображение прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников можно принять любой треугольник. 2. В качестве изображения данного параллелограмма можно взять произвольный параллелограмм. В самом деле, проекциями равных параллельных отрезков являются равные параллельные отрезки, следовательно, изображением параллелограмма является параллелограмм. В частном случае за изображение прямоугольника, квадрата, ромба можно принять любой параллелограмм. 3. При изображении пространственных фигур пользуются тем фактом, что фигуру, состоящую из сторон и диагоналей любого выпуклого или невыпуклого четырехугольника, можно считать изображением треугольной пирамиды при определенном выборе направления проектирования и плоскости, на которую проектируется эта пирамида (рис. 193, в). Например, фигуры, изображенные на рисунке 194, а, б, в, являются изображениями треугольной пирамиды при соответствующем выборе направления проектирования. Правообладатель Народная асвета 156 Приложение Рис. 194 Для построения изображения параллелепипеда AqB0C0D0 a0 B0C0D0 можно воспользоваться тем, что точки A0, B0, D0, a0 являются вершинами треугольной пирамиды AqB0D0aQ. в качестве изображения этих вершин можно взять вершины произвольного четырехугольника ABDA1, т.е. три отрезка AB, AD и AA1 в плоскости изображения с общим концом А, никакие два из которых не лежат на одной прямой, можно принять за изображение ребер А0В0, A0D0 и AqА 0 параллелепипеда. Изображения остальных ребер параллелепипеда строятся с использованием свойств, которые сохраняются при параллельном проектировании (все грани параллелепипеда являются параллелограммами, следовательно, их изображения — параллелограммы). На рисунке 195, б, в даны различные изображения параллелепипеда Во Со Do А 0 BQ CQ D Q (рис. 195, а). ц А а) Со Со Рис. 195 Правообладатель Народная асвета ОТВЕТЫ Глава 1 § 1 2. Да. 3. Да. 14. Да. 15. Да. 16. Да. 19. 24 см2. 20. -щ-. 21. ТГо см. 26. 48(9 - W2) см2. 27. 2(5 + W2) см. 30. 9yfs см2. 49' ' ' ' 31. 7 см. 32. 4(3 + \[2) см. 33. 6 см2. 34. 20 см. 35. 4 см2. 38. 240 см2. 39. 2Wl5 см2. 40. 4 см2. 41. 192 см2. 42. 13 см, лДГ см. 43. 2 см. 44. а) 216 см2; б) 512 см3. 45. 6W3 см2. ла Wl5 46. _ см. 15 § 2 56. а) Например, DB, TF, CF, AF, OF; в) да; г) например, AD, DB, AB, AF, TB, TF. 58. а) Точка O; б) по прямой OD. 60. а) Плоскости ABT и TBC пересекаются по прямой BT, плоскости TBE и TDC пересекаются по прямой TC; в) да. 62. а) Точка F; б) по прямой FT; в) да. 66. а) Точка O; б) в точке K; в) да. 68. а) Прямая PX; б) в точке P; в) да. 93. + 1)s. cos а 94. 2a^ 1 + . 95. (1 W2 ^3) см. 96. Ssj3 см2. ^ § 3 98. Верно, если эти точки не лежат на одной прямой. 102. ACD, AKD, AFD, ABD. 107. л/3 см. 110. Не всегда. 111. W2 см. § 4 125. б) ^ см2. 126. 12 см2. 129. б) (б + 43) см. 8 130. S^!3. 133. 3^^41 см. 134. 8 R2 — а2 . 135. б) л/2 0У^—1) P 16 5 2 '9 136. 43 см. 137. 1 см. 138. 2/2Q. 141. 1 R\f3. 142. 3а2. 145. 2J3 см2. 146. ^2(4S2 + а4) 4 а 147. 2c 151. 24 см2. 158. 8421 см2. 149. ^/OS. 160. 161. SoVI. 162. 4aV7 150. (45 + |V2) см. n/7(6 ^J3)S 66 a4 + 4S2 — a2 . 163. ^/3S. 164. 288 см2. 165. 1 ^fb 4 2 + a2 Правообладатель Народная асвета 2sin— 158 Ответы Глава 2 § 1 176. б) (3 W2) см. 180. 13 см. 181. 36 см. 182. 8 см. 183. 20 см. 184. 3 см. 185. 8 см. 187. 9, 8 см. 188. 1, 8 см. 189. -32^ см. 190. 194. . 195. 16 см2. 196. ^. 197 'v/i5S2 198 16711S . 4 . . 33 ' § 2 209. б) 2,5 см. 214. 6 см. 215. 24 см2. 218. 180 см2. 219. OD = 6 см, KT = 9 см. 220. ^^К. 221. + 3). 222. 5 см. 223. 16 см. 228. 8 см. 230. 3 см. 232. 1 см2. 233. 2а. 234. 6 см. 3 235. 4 см. 236. 2 см. § 3 242. б) Нет; в) нет. 244. а) Прямые OX и ME скрещивающиеся; б) нет; в) да. 248. а) Нет; б) нет; в) прямые ОА1 и CC1 не являются скрещивающимися, прямые CC1 и TD скрещивающиеся. 253. а) Прямые OC и DT скрещивающиеся. § 4 269. а) Верно; б) 30°; в) нет. 270. а) 90°; б) верно. 271. а) 60°; б) нет; в) 30°. 272. а) Верно; б) 60°; в) 60°. 273. а) Верно; б) 90°; в) 3. 274. arccos4. 275. а) 60°; 55 б) arccos ^. 276. arccos 3^. 277. а) 60°; б) 60°. 278. 90°. ^/6 10 J J 279. б) arctg 2; в) :i^. 5 § 5 2^/I + 1) 295. 292. б) 4 см2 301. (2 W17) см. 305. 3л/4^ см 4 см. 296. а) Верно. 308. 14 см. 309. 16 310. 16 см2. 311. 72 см. 312. 19 см. 313. 4S. 314. 5Q. л л л 34^ 315. 1S, 4S. 316. — Q. 317. 1 : 2, считая от вершины ^ ’ 9 25 ^ ^ пирамиды. 318. 9^/4b2 - а2 64 . 319. 8 см2. Правообладатель Народная асвета S Ответы 159 Глава 3 § 1 335. 5 см. 336. б) 20 см. 337. 10 см или Wl0 см. 338. 429 см. 345. . 347. W2 см2. 349. 5 см. 350. 13 см. 2 4 351. 90°. 352. 12 см. 353. 12 см. 355. 1^2 см2. 357. 4(2 + 45) см2. 358. 14 см. 359. в) 4 см. 360. 5 см. 362. 4 см. 363. 12 см. 364. 12 см, 20 см. 365. a2^. 366. -аЪ. § 2 371. 433 см. 372. а sin ф. 374. а/б 377. 30 см2 378. 4 см. 379. б) 942 см2. 380. 5 см. 381. 243 см2. 382. см 4S2 - а2Ъ2 . 383. 48/10 см2. 384. 4 см. 385. 2 см, 3^ см. 386. d{O, DB) = 845 см, d(O, BC) = s45 см, d(O, DC) = 1^2 см. 2 388 Wb2 + а2з1п2 а 387. 4(2 We см. 2cos а 389. 1-J55 390. OA = ^16S2 - 3а4 2а , 48S2 - 9а4.391. 4 см, 6 см. 392. 20 см. 8 S 393. ^ см. 394. 16 см, 40 см. 395. ЗЗА см2. 396. 17 см. 32 397. 2,5 см. 398. V34 см. § 3 399. а) Да; б) DC. 400. а) CiO; б) нет. 401. а) Нет; б) -^. \13 402. ^. 403. см. 404. Wsin9. 405. 45°. 406. ^. 407. 3а. 408. ^2(1W3 + 47). 409. см. 410. ^ см. 411. 45°, 45°. 412. 2 см, 46 см. 413. 30°. 414. 60°. § 4 415. а) Нет; в) 45°. 416. а) Нет. 417. а) Нет. 418. 45°. 420. 30°. 421. 1W3 см2. 422. 16 см2. 423. 2,4 см. 424. а) Нет. 426. 2 см. 427. 46 см. 428. см. 429. 80 см2. 430. 60°, 1 см2. 434. 42 см2. 436. -а-^^. 437. ^. 439. 60°. 440. 90°. 441. 3. 8 3 3 442. !. 444. 60°. 445. 6 см. 446. 60°. 447. 120°. 448. 2 см. 6 Правообладатель Народная асвета а 5 (Название и номер учреждения образования) Учебный год Имя и фамилия учащегося Состояние учебного пособия при получении Оценка учащемуся за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Учебное издание Шлыков Владимир Владимирович ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для 10 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения 3-е издание, пересмотренное и исправленное Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Л. Н. Ясницкая. Художник обложки Е. В. Шлыков. Художественные редакторы Л. А. Дашкевич, А.-М. Железко. Техническое редактирование и компьютерная верстка И. И. Дубровской. Корректоры О. С. Козицкая, Е. И. Даниленко, Д. Р. Ло-сик, В. С. Бабеня, А. В. Алешко. Подписано в печать 03.06.2013. Формат 60 X 901/16. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 10 + 0,25 форз. Уч.-изд. л. 7,79 + 0,21 форз. Тираж 105 000 экз. Заказ . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. ЛИ № 02330/0494083 от 03.02.2009. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск. ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа». ЛП № 02330/0150496 от 11.03.2009. Ул. Корженевского, 20, 220024, Минск. Правообладатель Народная асвета