Наглядная геометрия Рабочая тетрадь 4 Смирнов Смирнова Ященко часть 4

НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ А. СМИРНОВ. И. М. СМИРНОВА. И. В. ВЩЕНКО Е РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ МНОГОГРАННИКИ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ ОБЪЁМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОаИ .'I В.А. СМИРНОВ И.М. СМИРНОВА И.В. ЯЩЕНКО НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь № 4 Многогранники Правильные многогранники Объём и площадь поверхности Издание соответствует новому Федеральному государственному общеобразовательному стандарту Москва Издательство МЦНМО 2012 УДК 514.11 ББК 22.151.0 С50 Смирнов В. А., Смирнова И. М., Ященко И. В. С50 Наглядная геометрия. Рабочая тетрадь №4. — М.: МЦНМО, 2012. —88 с. ISBN 978-5-94057-934-2 ISBN 978-5-94057-998-4 (Тетрадь №4) Рабочие тетради «Наглядная геометрия* предназначены для учащихся средней школы. Они позволяют начать изучение геометрии в 5—6 классах, ликвидировать пробелы в знаниях по геометрии в 7—8 классах, а в старших — подготовиться к 1’ИА и ЕГЭ. Задачи, включенные в рабочие тетради, носят исследовательский характер и не требуют знания специальных ||)ормул и теорем. Они имеют ра.зличный уровень трудности, от простых до олимпиадных. и направлены на выявление математических способностей, развитие геометрических представлений и конструктивных умений учащихся. Издание соответствует новому Федеральному государственному общеобразовательному стандарту. ББК 22.151.0 Владимир Алексеевич Смирнов Ирина Михаиловна Смирнова Иван Валериевич Ященко НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь №4 Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83 Подписано в печать 11.03.2012 г. Формат 70xl00Vl6- Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л. 5,5. Тираж 3000. Заказ Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО «Принт Сервис Групп* Москва, 2-й Лихачёвский пер., д. 7. Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине ♦Математическая книга». Большой Власьевский пер., д. И. Тел. (499)241-72-85. E-mail; biblioC^^mccme.ru ISBN 978-5-94057-934-2 ISBN 978-5-94057-998-4 (Тетрадь №4) О Смирнов В. А., Смирнова И. М., Ященко И. В., 2012. © МЦНМО, 2012. Рабочая тетрадь №4 Я ПРЕДИСЛОВИЕ Одной из основных причин, оказывающих негативное влияние на результаты обучения геометрии в школе, является недостаточное внимание к развитию геометрических представлений и конструктивных умений учащихся. Начинать развивать геометрические представления в 10-11-х классах уже поздно. Это нужно делать значительно раньше, как минимум с 5-6-х классов. Именно в этом возрасте развитие происходит наиболее интенсивно, что позволяет существенно повысить его эффективность, заложить основы дальнейшего изучения систематического курса геометрии. Предлагаемая тетрадь входит в комплект из четырёх рабочих тетрадей. Тетрадь № 1 содержит следующие пункты: 1. Отрезки и прямые. 2. Углы. 3. Геометрические места точек. Тетрадь № 2 содержит следующие пункты: 1. Многоугольники и ломаные. 2. Симметрия. 3. Кривые как траектории движения точек. Тетрадь № 3 содержит следующие пункты: 1. Паркеты. 2. Площадь. 3. Разрезание. Тетрадь № 4 содержит следующие пункты: 1. Многогранники. 2. Правильные многогранники. 3. Объём и площадь поверхности. Работая тетрадь М 4 Задачи, включенные в рабочие тетради, носят исследовательский характер и не требуют знания специаль-' ных формул и теорем. Они имеют различный уровень трудности, от простых до олимпиадных, и направлены на выявление математических способностей, развитие геометрических представлений и конструктивных умений учащихся. Каждый найдет среди них задачи посильного для себя уровня трудности. Их можно использовать при изучении геометрии в 5-6-х, 7-9-х и 10-11-х классах. Решение предлагаемых задач поможет развить геометрические представления, выработать необходимые конструктивные навыки, практические умения по построению геометрических фигур, подготовиться к экзаменам и участию в олимпиадах по математике. Все задачи сопровождаются рисунками, которые можно использовать для дополнительных построений и вычислений. В задачах на клетчатой бумаге стороны клеток предполагаются равными единице. В конце пособия приведены ответы ко всем предложенным задачам. Рабочая тетрадь №4 Н 1. Многогранники Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника. Их стороны и вершины называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называютсядиагоналя-ми многогранника. Многогранник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок. На рисунках приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников. 6 Рабочая тетрадь № 4 Кубом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов. Обычно куб изображается так, как показано на рисунках. А именно, рисуется квадратАВБ^А^, изображающий одну из граней куба, и равный ему квадрат jDCCjDj, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадрата АВВ^А^. Соответствующие вершины этих квадратов соединяются отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра куба, проводятся пунктиром. На рисунке мы смотрим на куб: а) сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева. Рабочая тетрадь М 4 Н Hi i^^H ^^Hi^H 7 1. Изобразите куб аналогично данному на рисунке. 8 Рабочая тетрадь № 4 2. На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. 3. На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Рабочая тетрадь № 4 9 4. На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. 1 i 1 ; 1 . . . 1 1 . ; 1 : 1 i '■ ■ : i : \ \ Л • ч 5. На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. 1.......1- 10 Рабочая тетрадь J\/« 4 Прямоугольным параллелепипедом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести прямоугольников. Обычно параллелепипед изображается так, как показано на рисунках. А именно, рисуется прямоугольник АББ,А,, изображающий одну из его граней, и равный ему прямоугольник DCC^D^, стороны которого параллельны соответствующим сторонам прямоугольника АВВ^Ау Соответствующие вершины этих прямоугольников соединяются отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра прямоугольного параллелепипеда, проводятся пунктиром. На рисунке мы смотрим на параллелепипед: а) сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева. Cl 5, В Рабочая тетрадь М 4 11 6. Изобразите прямоугольный параллелепипед аналогично данному на рисунке. 12 Рабочая тетрадь № 4 1. На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. 1 I ! ! ’ I ; - : : : i ; -- ✓ ■ ✓ ✓ .. . X X 8. На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Рабочая тетрадь № 4 13 9. На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. 10. На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. 1 ; ! i : : ! i : ; : ; i : ; : ' : : i ■■ ■■; ; V ■■ : i ! " • • : ; 1 . : ; : i i ! 1 1 ! ! ! ! i : ; ; ; ; • 1 : ; 1 ; ! : 1 : i i ! ; • I = : 1 • 1 14 Рабочая тетрадь № 4 Прямой призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и прямоугольников, называемых боковыми гранями призмы. Стороны боковых граней называются боковыми ребрами призмы. Обычно для изображения прямоугольной призмы рисуются два равных многоугольника, изображающие ее основания, соответствующие стороны которых параллельны. Соответствующие вершины этих многоугольников соединяются отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра прямоугольного параллелепипеда, проводятся пунктиром. На рисунке а) изображена треугольная призма, на рисунке б) - шестиугольная. б) Рабочая тетрадь № 4 15 11. Изобразите треугольную призму аналогично данной на рисунке. 16 Рабочая тетрадь М 4 12. Изобразите шестиугольную призму аналогично данной на рисунке. Рабочая тетрадь № 4 17 13. Изобразите пятиугольную призму аналогично данной на рисунке. Рабочая тетрадь JV° 4 14. На рисунке изображены три ребра треугольной призмы. Изобразите всю призму. I 1 i 1 1. 1 1 1 У t > у ; 15. На рисунке изображены три ребра треугольной призмы. Изобразите всю призму. Рабочая тетрадь № 4 19 16. На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму. 17. На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму. 20 Рабочая тетрадь № 4 18. Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет: а) треугольная призма; б) четырехугольная призма; в) пятиугольная призма; г) шестиугольная призма? Ответ, а) В = . Р = , г = б)В = , Р = , г = в)В = , Р = , г = г)В = , Р = , г = 19. Может ли призма иметь: а) 20 вершин; б) 25 вершин; в) 20 ребер; г) 30 ребер; д) 10 граней: е) 15 граней? Ответ, а)___________________ б) __________________ в) __________________ г) __________________ Д)___________________ е)___________________ Рабочая тетрадь М 4 21 Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Стороны боковых граней называются боковыми ребрами пирамиды. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Обычно для изображения пирамиды рисуется многоугольник, изображающий ее основание. Затем вершины этого многоугольника соединяются отрезками с некоторой точкой, изображающей вершину пирамиды. Отрезки, изображающие невидимые ребра пирамиды, проводятся пунктиром. На рисунке а) изображена четырехугольная пирамида, на рисунке б) - шестиугольная. а) 22 Рабочая тетрадь М 4 20. Изобразите четырехугольную пирамиду аналогично данной на рисунке. Рабочая тетрадь М 4 23 21. Изобразите шестиугольную пирамиду аналогично данной на рисунке. 24 Рабочая тетрадь М 4 22. Изобразите пятиугольную пирамиду аналогично данной на рисунке. Рабочая тетрадь Л® 4 25 23. На рисунке изображены три ребра четырехугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. • (...........1 / / / ■ / /. i- / ■■ / I ! - / -!■ .. . У . 24. На рисунке изображены три ребра четырехугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. 26 I ff- Рабочая тетрадь JV5 4 25. На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. 26. На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Рабочая тетрадь № 4 ШШ 27 27. Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет: а) треугольная пирамида; б) четырехугольная пирамида; в) пятиугольная пирамида; г) шестиугольная пирамида? Ответ, а) В = , Р = , г = б)В = , Р = , г = в)В = , Р = , г = г)В = , Р = , г = 28. Может ли пирамида иметь: а) 10 вершин; б) 15 вершин; в) 10 ребер; г) 15 ребер; д) 10 граней: е) 15 граней? Ответ, а)_____________________ б) ____________________ в) ____________________ г) ____________________ Д)_____________________ е)_____________________ 28 Рабочая тетрадь № 4 Если поверхность многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть ее на плоскость так, чтобы все многоугольники, входящие в эту поверхность, лежали в данной плоскости, то полученная фигура на плоскости называется разверткой многогранника. Например, на рисунке изображены развертки куба и треугольной пирамиды. Для изготовления модели многогранника из плотной бумаги, картона или другого материала достаточно изготовить его развертку и затем склеить соответствующие ребра. Для удобства склейки развертку многогранника изготавливают с клапанами, по которым и производится склейка. Рабочая тетрадь №4 Hi 29. Укажите развертки куба. 29 а) б) в) г) д) е) ж) з) Ответ. 30 Рабочая тетрадь JV® 4 30. Укажите развертки треугольной призмы. А__________Л а) б) в) Рабочая тетрадь М 4 ШЛ ИННН 31 31. Укажите развертки треугольной пирамиды. Ответ. 32 Рабочая тетрадь № 4 32. Укажите развертки четырехугольной пирамиды. Ответ. Рабочая тетрадь JV^ 4 33 2. Правильные многогранники На рисунке изображены правильные многогранники. Их гранями являются равные правильные многоугольники, и в вершинах каждого многогранника сходится одинаковое число гоаней. Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых. Пифагор и его ученики считали, что все состоит из атомов, имеюш;их форму правильных многогранников. В частности, атомы огня имеют форму тетраэдра (его гранями являются четыре правильных треугольника, рисунок а); земли - гексаэдра (куб - многогранник, гранями которого являются шесть квадратов, рисунок б); воздуха - октаэдра (его гранями являются восемь правильных треугольников, рисунок в); воды -икосаэдра (его гранями являются двадцать правильных треугольников, рисунок г); вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра (его гранями являются двенадцать правильных пятиугольников, рисунок д). 34 Рабочая тетрадь № 4 Названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. В переводе с греческого: «Тетра» - четыре; «Гекса» - шесть; «Окто» - восемь; «Икоси» -двадцать, «Додека» - двенадцать. «Эдра» - грань. Модели правильных многогранников можно изготовлять с помощью конструктора, состоящего из многоугольников, сделанных из плотного материала с отгибающимися клапанами и резиновых колечек -основной крепежной детали конструктора. Подбирая соответствующим образом многоугольники в качестве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками, можно получать модели различных правильных многогранников. Для того чтобы колечки лучше держались и не мешали друг другу, уголки многоугольников в конструкторе можно немного обрезать, как показано на рисунке. Рабочая тетрадь № 4 HHI 35 1. Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет: а) тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр? б) Ответ, а) В = , Р = , г = б)В = , Р = , г = в)В = , Р = , г = г)В = , Р = . г = Д)В = , Р = , Г = 36 Рабочая тетрадь № 4 2. Изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке. Рабочая тетрадь Л/" 4 37 3. Изобразите октаэдр аналогично данному на рисунке. 38 Рабочая тетрадь М 4 4. Изобразите икосаэдр аналогично данному на рисунке. Рабочая тетрадь № 4 39 5. Изобразите додекаэдр аналогично данному на рисунке. 40 Рабочая тетрадь № 4 6. На рисунке изображен многогранник, состоящий из семи кубов. Является ли он правильным? Сколько у него вершин (В), ребер (Р), граней (Г)? Ответ. В = , Р = , Г = 7. На рисунке изображен многогранник - звезда Кеплера, составленный из двух тетраэдров. Какой многогранник является общей частью этих тетраэдров? Ответ. Рабочая тетрадь М 4 41 8. Отметьте на рисунке центры граней куба. Вершинами какого многогранника они являются? Ответ, 9. Вершинами какого многогранника являются центры граней тетраэдра? Ответ. 42 Рабочая тетрадь № 4 10. Вершинами какого многогранника являются центры граней октаэдра? Ответ. 11. Вершинами какого многогранника являются центры граней икосаэдра? Ответ. Рабочая тетрадь № 4 43 12. Вершинами какого многогранника являются центры граней додекаэдра? Ответ. 13. Отметьте на рисунке середины ребер тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Ответ. 44 Рабочая тетрадь J\ls 4 14. Изобразите многогранник, вершинами которого являются середины ребер куба. Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ. В = , Р = , Г = 15. Изобразите многогранник, вершинами которого являются середины ребер октаэдра. Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ. В = , Р = , Г = Рабочая тетрадь № 4 45 16. Изобразите видимые ребра многогранника, вершинами которого являются середины ребер икосаэдра. Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ. В = , Р = , Г = 17. Изобразите видимые ребра многогранника, вершинами которого являются середины ребер додекаэдра. Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ. В = , Р = , Г = 46 Q Рабочая тетрадь М 4 18. Укажите развертки октаэдра. а) г) Ответ. Рабочая тетрадь № 4 19. Является ли фигура, изображенная на рисунке, разверткой икосаэдра? Ответ. 20. Является ли фигура, изображенная на рисунке, разверткой додекаэдра? Ответ. 48 Рабочая тетрадь М 4 21. Окраска граней многогранника называется правильной, если соседние грани имеют разные цвета. Какое минимальное число красок потребуется для правильной окраски граней: а) тетраэдра; б) куба; в) октаэдра; г) икосаэдра; д) додекаэдра? Ответ, а) в)_______ г). б) д). Рабочая тетрадь № 4 49 22. Многогранник, изображенный на рисунке, получен отсечением углов тетраэдра. Сколько у него вершин, ребер и граней? Ответ. 23. Многогранник, изображенный на рисунке, получен отсечением углов куба. Сколько у него вершин, ребер и граней? Ответ. 50 Рабочая тетрадь № 4 24. Многогранник, изображенный на рисунке, получен отсечением углов октаэдра. Сколько у него вершин, ребер и граней? Ответ. 25. Многогранник, изображенный на рисунке, получен отсечением углов икосаэдра. Сколько у него вершин, ребер и граней? Ответ. Рабочая тетрадь М 4 51 26. Многогранник, изображенный на рисунке, получен отсечением углов додекаэдра. Сколько у него вершин, ребер и граней? Ответ. 27. Многогранник, изображенный на рисунке, называется пятиугольной антипризмой. Ее основаниями являются пятиугольники, а боковыми гранями - треугольники. Сколько у нее вершин, ребер и граней? Ответ. 52 Рабочая тетрадь № 4 28. Гранями многогранника, изображенного на рисунке, являются шесть квадратов и правильные треугольники. Сколько у него вершин, ребер и граней? Ответ. 29. Гранями многогранника, изображенного на рисунке, являются правильные треугольники и двенадцать правильных пятиугольников. Сколько у него вершин, ребер и граней? Ответ. Рабочая тетрадь 4 ‘т\ 53 30. Гранями многогранника, изображенного на рисунке, являются шесть квадратов и правильные треугольники. Сколько у него вершин, ребер и граней? Ответ. 31. Гранями многогранника, изображенного на рисунке, являются квадраты и восемь правильных треугольников. Сколько у него вершин, ребер и граней? Ответ. 54 Рабочая тетрадь № 4 32. Укажите номер многогранника, развертка которого изображена на рисунке. Ответ. Рабочая тетрадь 4 т\ 55 33. Укажите номер многогранника, развертка которого изображена на рисунке. Ответ. 56 Рабочая тетрадь № 4 34. Укажите номер многогранника, развертка которого изображена на рисунке. 1) 4) 5) Ответ. Рабочая тетрадь М 4 57 35. Укажите номер многогранника, развертка которого изображена на рисунке. Ответ. 58 Рабочая тетрадь № 4 36. Укажите номер многогранника, развертка которого изображена на рисунке. Ответ. Рабочая тетрадь М 4 В1НН 59 37. Сколько тетраэдров изображено на рисунке? Ответ. 38. Сколько кубов изображено на рисунке? Ответ. 60 Рабочая тетрадь М 4 39. Сколько октаэдров изображено на рисунке? Ответ. 40. Соединение каких двух многогранников изображено на рисунке? Ответ. Рабочая тетрадь № 4 fliil 61 41. Соединение каких двух многогранников изображено на рисунке? Ответ, 42. Соединение каких двух многогранников изображено на рисунке? Ответ. 62 3. Объем и п. П( Рабочая тетрадь № 4 хности Объем пространственной фигуры характеризует величину части пространства, которую занимает эта фигура. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т.е. если ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равный, & и с, то его объема выражается формулой V = а - Ъ • с. Cl Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т.е. если площадь основания равна S, а высота равна/г, то объемУ призмы выражается формулой V = S • h. Рабочая тетрадь № 4 63 Если фигура разрезана на несколько частей, то ее объем равен сумме объемов этих частей. 1. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра увеличить в 3 раза? Ответ. 2. Во сколько раз уменьшится объем прямоугольного параллелепипеда, если все его ребра уменьшить в 2 раза? Ответ. 64 Рабочая тетрадь М 4 3. Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько граммов весит игрушечный кирпич из того же материала, все размеры которого в четыре раза меньше? Ответ. 4. Сколько коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 30x40x50 (см) можно поместить в кузов машины размерами 2x3x1, 5 (м)? Ответ. 5. Сколько досок длиной 3, 5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 30 см X 40 см? Ответ. Рабочая тетрадь № 4 65 6. Какова должна быть площадь кабинета высотой 3, 5 м для класса в 28 человек, если на каждого ученика нужно 7, 5 ]у? воздуха? Ответ. 7. Найдите объем детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). Ответ. 66 Рабочая тетрадь № 4 8. Найдите объем детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 см Ответ. 9. Найдите объем детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 3 см Ответ. Рабочая тетрадь М 4 67 10. Найдите объем детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). Ответ. 11. Найдите объем детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 см 1 см Ответ. 68 Рабочая тетрадь М 4 12. Найдите объем детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 см 2 см Ответ. 13. Найдите объем детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 см 1 см Ответ. Рабочая тетрадь № 4 69 14. Найдите объем детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 см Ответ. 15. В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см. Найдите объем оставшейся части. Ответ. 70 Рабочая тетрадь М 4 16. Найдите объем общей части (пересечения) двух единичных кубов, вершина одного из которых расположена в центре другого, как показано на рисунке. Ответ. 17. Найдите объем фигуры, составленной из двух единичных кубов, две вершины одного из которых расположены в центрах граней другого. Ответ. Рабочая тетрадь № 4 71 18. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 3. Каким должно быть третье ребро, выходящее из той же вершины, чтобы объем этого параллелепипеда равнялся 30? Ответ. 19. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем. Ответ. 72 Рабочая тетрадь № 4 20. Ребра прямоугольного параллелепипеда ABCD AjBjCjDj, выходящие из одной вершины, равны 5, 4, 3. Найдите объем треугольной призмы АВСА,В^С,. Cl Ответ. 21. Найдите объем пирамиды SABCD, основанием которой является грань единичного куба, а вершиной -центр этого куба. Ответ. Рабочая тетрадь № 4 73 22. Основанием аквариума является прямоугольник со сторонами 40 см и 50 см. Уровень воды в нем находится на высоте 80 см. Эту воду перелили в другой аквариум, основанием которого является прямоугольник со сторонами 80 см и 100 см. На какой высоте будет находиться уровень воды? Ответ. 23. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDAjBjCjD,, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 5, 4, 3. Cl Ответ. 74 Рабочая тетрадь № 4 24. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его ребра увеличить в 3 раза? Ответ. 25. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если все его ребра уменьшить в 2 раза? . _ . . _ Ответ. Рабочая тетрадь № 4 75 26. Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 Ответ. 27. Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 см Ответ. 76 Рабочая тетрадь М 4 28. Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 3 см Ответ. 29. Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). Ответ. Рабочая тетрадь № 4 77 30. Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1см 1 см Ответ. 31. Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 см 2 см Ответ. 78 Рабочая тетрадь № 4 32. Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 см 1 см Ответ. 33. Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке (все углы - прямые). 1 см Ответ. Рабочая тетрадь № 4 79 34. В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см. Найдите площадь поверхности оставшейся части. Ответ. 35. Объем куба равен 27. Найдите его площадь поверхности. Ответ. 80 Рабочая тетрадь М 4 36. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2. Каким должно быть третье ребро, выходящее из той же вершины, чтобы площадь поверхности этого параллелепипеда равнялась 40? Ответ. 37. Найдите площадь поверхности многогранника, составленного из двух единичных кубов, вершина одного из которых расположена в центре другого, как показано на рисунке. Ответ. Рабочая тетрадь М 4 81 38. Найдите площадь поверхности многогранника, составленного из двух единичных кубов, две вершины одного из которых расположены в центрах граней другого. Ответ. 82 ■ 1 ■ ^ Рабочая тетрадь № 4 ОТВЕТЫ 1.МыщчМ|;Мц1Ш Рабочая тетрадь № 4 9 14 16 10 15 = 1 83 17 .. „I. -J 18. а)В= 6, Р= 9, Г = 5; б) В = 8, Р= 12, Г= 6; в)В= 10, Р= 15, Г=7;г)В= 12, Р= 18, Г= 8. 19. а) Да; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) да. 84 23 24 Рабочая тетрадь М 4 25 i I 27. а)В= 4, Р= 6, Г = 4;б)В = 5, Р= 8, Г= 5; в)В= 6, Р= 10, Г = 6; г) В = 7, Р= 12, Г = 7. 28. а) Да; б) да; в) да; г) нет; д) да; е) да. 29. в), д), ж). 30. а), б), в), д), ж). 31. а), б), в), д). 32. а), б), г), е). 2. Правильные многогранники 1. а) В = 4, Р = 6, Г = 4; б) В = 8, Р = 12, Г = 6; в) В = 6, Р = 12, Г = 8; г) В = 12, Р = 30, Г = 20; д)В = 20, Р = 30, Г=12. 6. Нет, В = 32, Р = 60, Г = 30. 7. Октаэдр. Рабочая тетрадь № 4 8. Октаэдра 85 9. Тетраэдра 10. Куба 11. Додекаэдра 12. Икосаэдра 13. Октаэдра 86 Рабочая тетрадь М 4 14. В=12, Р = 24, Г= 14.15. В= 12, Р = 24, Г=14. 16. В = 30, Р = 60, Г = 32.17. В = 30, Р = 60, Г = 32. 18. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. в). В= В= в= в= в= в= в= в= в= 1. 3. 2. 5. 4. 5. 3. 19. Да. 20. Да. 21. а) 4; б) 3; в) 2; г) 3; д) 4. 12, Р=18, Г=8. 24, Р=36, Г=14. 24, Р=36, Г=14. 60, Р=90, Г=32. 60, Р=90, Г=32. 10, Р=20, Г=12. 12, Р=24, Г=14. 30, Р=60, Г=32. 24, Р=60, Г=3831. В=24, Р=48, Г=26. Рабочая тетрадь № 4 87 39. 3. 40. Куба и октаэдра. 41. Икосаэдров. 42. Икосаэдра и додекаэдра. 3. Объем и площад|Ъоверхности 1.27. 16. 1/8. 31.34 см2. 2.8. 17. 1, 75. 32. 22 см2. 3. 62, 5 г. 18. 5. 33. 26 см2. 4. 150. 19.8. 34. 288 см2. 5. 90. 20. 30. 35. 54. 6. 60 21. 1/6. 36.4. 7.6. 22. 20 см. 37.10, 5. 8. 12 см^. 23. 94. 38. 9, 5. 9. 40 см'*. 24.9. 10.12 см'*. 25.4. 11.10 см'*. 26. 22. 12. 10 см'*. 27. 38. 13. 5 см\ 28. 92 см'*. 14. 6 см'*. 29. 48 см^. 15. 160 см^. 30. 34 см^. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ................................ 3 1. Многогранники .......................... 5 2. Правильные многогранники............... 33 3. Объем и площадь поверхности ........... 62 Ответы 1. Многогранники ......................... 82 2. Правильные многогранники............... 84 3. Объем и площадь поверхности ........... 87