Наглядная геометрия Рабочая тетрадь 3 Смирнов Смирнова Ященко часть 3

А. СМИРНОВ. И. М. СМИРНОВА. И. В. НЩЕННО РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПАРКЕТЫ ПЛОЩАДЬ РАЗРЕЗАНИЕ 4цддт..утт„,т.,уд,^------Г~тп В.А. СМИРНОВ И.М. СМИРНОВА И.В. ЯЩЕНКО НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь № 3 Паркеты Площадь Разрезание Издание соответствует новому Федеральному государственному общеобразовательному стандарту Москва Издательство МЦНМО 2012 УДК 514.11 ББК 22.151.0 С50 Смирнов В. А., Смирнова И. М., Ящеыко И. В. С50 Наглядная геометрия. Рабочая тетрадь №3. — М.: МЦНМО, 2012. —88 с. ISBN 978-5-94057-934-2 ISBN 978-5-94057-997-7 (Тетрадь №3) Рабочие тетради «Наглядная геометрия» предназначеиы для уча-1ЦИХСЯ средней школы. Они по,тволяют начать изучение 1'еометрии в 5—6 классах, ликвидировать пробелы в знаниях по i-еометрии в 7—8 классах, а в старших — подготовиться к ГИА и ЕГЭ. Задачи, включенные в рабочие тетради, носят исследовательский характер и нс требуют знания снециальных формул и теорем. Они имеют различный уровень трудности, от простых до олимпиадных, и направлены на выявление мате.чатических способностей, развитие геометрических представлений и конструктивных умений учащихся. Издание соответствует новому Федеральному государственному общеобразовательному стандарту. ББК 22.151.0 Владимир Алексеевич Смирнов Ирина Михайловна Смирнова Иван Валериевич Ященко НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь №3 Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83 Подписано в печать 11.03.2012 г. Формат 70xl00Vl6. Бумага офсетная. Печать офсетная. Поч.л. 5,5. Тираж 3000. Заказ Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО «Принт Сервис Групп? Москва, 2-й Лихачёвский пер., д. 7. Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине ♦ Математическая книга*. Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499)241-72-85. E-mail: biblio(®mccme.ru ISBN 978-5-94057-934-2 ISBN 978-5-94057-997-7 (Тетрадь №3) © Смирнов В. А., Смирнова И.М., Ященко И. В., 2012. © МЦНМО, 2012. Рабочая тетрадь М3 Ш Н ПРЕДИСЛОВИЕ Одной из основных причин, оказывающих негативное влияние на результаты обучения геометрии в школе, является недостаточное внимание к развитию геометрических представлений и конструктивных умений учащихся. Начинать развивать геометрические представления в 10-11-х классах уже поздно. Это нужно делать значительно раньше, как минимум с 5-6-х классов. Именно в этом возрасте развитие происходит наиболее интенсивно, что позволяет существенно повысить его эффективность, заложить основы дальнейшего изучения систематического курса геометрии. Предлагаемая тетрадь входит в комплект из четырёх рабочих тетрадей. Тетрадь № 1 содержит следующие пункты: 1. Отрезки и прямые. 2. Углы. 3. Геометрические места точек. Тетрадь № 2 содержит следующие пункты: 1. Многоугольники и ломаные. 2. Симметрия. 3. Кривые как траектории движения точек. Тетрадь № 3 содержит следующие пункты: 1. Паркеты. 2. Площадь. 3. Разрезание. Тетрадь № 4 содержит следующие пункты: 1. Многогранники. 2. Правильные многогранники. 3. Объём и площадь поверхности. Рабочая тетрадь М 3 Задачи, включенные в рабочие тетради, носят исследовательский характер и не требуют знания специальных формул и теорем. Они имеют различный уровень трудности, от простых до олимпиадных, и направлены на выявление математических способностей, развитие геометрических представлений и конструктивных умений учащихся. Каждый найдет среди них задачи посильного для себя уровня трудности. Их можно использовать при изучении геометрии в 5-6-х, 7-9-х и 10-11 -X классах. Решение предлагаемых задач поможет развить геометрические представления, выработать необходимые конструктивные навыки, практические умения по построению геометрических фигур, подготовиться к экзаменам и участию в олимпиадах по математике. Все задачи сопровождаются рисунками, которые можно использовать для дополнительных построений и вычислений. В задачах на клетчатой бумаге стороны клеток предполагаются равными единице. В конце пособия приведены ответы ко всем предложенным задачам. Рабочая тетрадь N° 3 1. Па—еты Паркетом на плоскости называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом. Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости: а) квадратами; б) правильными треугольниками; в) правильными шестиугольниками. а) б) в) 6 Рабочая тетрадь JV? 3 На рисунках представлены фрагменты правильных паркетов, составленных из правильных многоугольников с разным числом сторон. A/WW л/\ллл/ Рабочая тетрадь № 3 Ш И Примерами более сложных паркетов из многоугольников являются мозаики Р. Пенроуза. 8 Рабочая тетрадь М 3 1. Изобразите паркет, составленный из треугольников, равных данному. Раскрасьте треугольники в два цвета так, чтобы соседние треугольники были окрашены разными цветами. Рабочая тетрадь № 3 9 2. Изобразите паркет, составленный из треугольников, равных данному. Раскрасьте треугольники в два цвета так, чтобы соседние треугольники были окраше- 10 Рабочая тетрадь № 3 3. Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Рабочая тетрадь М 3 11 4. Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. 12 Рабочая тетрадь № 3 5. Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Рабочая тетрадь N> 3 13 6. Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. 14 Рабочая тетрадь Л® 3 7. Изобразите паркет, составленный из птестиугольни-ков, равных данному. Раскрасьте шестиугольники в три цвета так, чтобы соседние шестиугольники были окрашены разными цветами. Рабочая тетрадь № 3 15 8. Изобразите паркет, составленный из шестиугольников, равных данному. Раскрасьте шестиугольники в три цвета так, чтобы соседние шестиугольники были окрашены разными цветами. 16 Рабочая тетрадь М 3 9. Продолжите составление паркета из квадратов и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два квадрата и три треугольника. Раскрасьте квадраты одним цветом, а треугольники -другим. ; : 1 t i ...... 1 : i Рабочая тетрадь М 3 17 10. Продолжите составление паркета из шестиугольников и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два шестиугольника и два треугольника. Раскрасьте шестиугольники одним цветом, а треугольники - другим. 18 Рабочая тетрадь JV? 3 11. Продолжите составление паркета из шестиугольников, квадратов и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходились шестиугольник, два квадрата и треугольник. Раскрасьте шестиугольники и треугольники одним цветом, а квадраты - другим. Рабочая тетрадь М 3 19 12. Продолжите составление паркета из восьмиугольников и квадратов, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два восьмиугольника и один квадрат. Раскрасьте восьмиугольники одним цветом, а квадраты - другим. 1 1 1 » 1 1 1 I 1 t 1 • I 1 1 1 1 1 1 t 4 1 1 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t i 1 1 • 1 t t 1 4 1 1 1 1 1 ( 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 • 1 1 1 4 • 1 1 1 4 1 4 1 t 4 1 « 1 1 1 1 4 1 j 1 1 1 t 1 1 4 • 4 1 4 1 1 1 1 1 i » 1 • 4 1 1 1 i 1 1 i t 1 1 1 20 Рабочая тетрадь № 3 13. Продолжите составление паркета из двенадцатиугольников и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два двенадцатиугольника и один треугольник. Раскрасьте двенадцатиугольники одним цветом, а треугольники - другим. Рабочая тетрадь Л5 3 21 14. Продолжите составление паркета из двенадцатиугольников, шестиугольников и квадратов, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходились двенадцатиугольник, шестиугольник и квадрат. Раскрасьте двенадцатиугольники одним цветом, шестиугольники - другим, а квадраты - третьим. r-r-f™ r-4-4....f- Г"Г*4----\" I ! : : I 4.444.|.f4. j.— [-■f-hf'-hffi „i-.i-i-U-i-i-l-l-l......I_____i- i—4-4—i— 4--4-4-4--i-i4--4--4......!....i...i-4-4-4-4-4-4-4-4-4- .4-4—|.4.4...i._|_^—i._..........;..|.|.|.4...i..4..4..4...|... 22 Рабочая тетрадь М 3 15. Составьте паркет из многоугольников, равных данному. Раскрасьте паркет в два цвета так, чтобы соседние многоугольники были окрашены в разные цвета. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 « 1 1 ! i 1 { 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 Т 1 f t t t « 1 ■ 1 1 г i 1 t { t 1 1 Рабочая тетрадь М 3 23 16. Составьте паркет из многоугольников, равных данному. Раскрасьте паркет в два цвета так, чтобы соседние многоугольники были окрашены в разные цвета. 24 Рабочая тетрадь № 3 1. Найдите площадь фигуры. Ответ. 2. Найдите площадь фигуры. Ответ. Рабочая тетрадь М3 3. Укажите равновеликие фигуры. '--i ! Г—Г 1 \'фт. Е « a^v* « ■ а * 4 * i i i' ; |б)| i ' • : ■i'liy-.;- > w. i .,* ' ■ I • ••< ? i ; : « '» • .J. I'i.,- * »: ; r : 5 ■ •>■}■'• в): 4...... . X • Д) 25 Ответ. 4. Найдите площадь четырехугольника. Ответ. 26 Рабочая тетрадь № 3 5. Найдите площадь четырехугольника. Ответ. 6. Найдите площадь фигуры. Ответ. Рабочая тетрадь № 3 27 7. Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке, все углы которого прямые. Ответ. 8. Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке, все утлы которого прямые. Ответ. 28 Рабочая тетрадь № 3 9. Найдите площадь фигуры, составленной из двух единичных квадратов, вершина одного из которых расположена в центре другого, как показано на рисунке. Ответ. 10. Прямоугольник со сторонами 2 и 4 повернут вокруг точки О пересечения его диагоналей на угол 90°. Найдите площадь общей части исходного прямоугольника и повернутого. Ответ. Рабочая тетрадь М3 Н Н 11. Найдите площадь четырехугольника. 29 Ответ. 12. Укажите равновеликие фигуры. Ответ. 30 Рабочая тетрадь М 3 13. Найдите площадь треугольника. Ответ. 14. Найдите площадь треугольника. Ответ. Рабочая тетрадь № 3 ЯН 15. Найдите площадь треугольника. 31 Ответ. 16. Найдите площадь треугольника. Ответ. 32 ^^^шшттт Рабочая тетрадь М 3 17. Найдите площадь треугольника. Ответ. 18. Найдите площадь треугольника. Ответ. Рабочая тетрадь № 3 В Н 19. Найдите площадь треугольника. 33 Ответ. 20. Найдите площадь треугольника. Ответ. 34 Рабочая тетрадь № 3 21. Найдите площадь треугольника. Ответ. 22. Укажите равновеликие треугольники. Рабочая тетрадь № 3 Н Я 23. Найдите площадь четырехугольника. 35 Ответ. 24. Найдите площадь четырехугольника. Ответ. 36 Рабочая тетрадь М 3 25. Найдите площадь четырехугольника. Ответ. 26. Найдите площадь четырехугольника. Ответ. Рабочая тетрадь М3 ШШЛШ 27. Найдите площадь четырехугольника. 37 Ответ. 28. Найдите площадь четырехугольника. Ответ. 38 Рабочая тетрадь М 3 29. Найдите площадь четырехугольника. Ответ. 30. Найдите площадь четырехугольника. Ответ. Рабочая тетрадь М3 В Н 31. Найдите площадь пятиугольника. 39 Ответ. 32. Найдите площадь пятиугольника. Ответ. 40 Рабочая тетрадь М 3 33. Найдите площадь шестиугольника. Ответ. 34. Найдите площадь восьмиугольника. Ответ. Рабочая тетрадь № 3 41 35. Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (О, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2). Найдите его площадь. Ответ. 36. Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (1, 1), (4, 1), (4, 3), (1, 3). Найдите его площадь. Ответ. 42 I Рабочая тетрадь М 3 37. Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (О, 0), (2, 0), (3, 3), (1, 3). Найдите его площадь. Ответ. 38. Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (3, 1), (4, 4), (1, 3). Найдите его площадь. Ответ. Рабочая тетрадь № 3 43 39. Изобразите треугольник, вершины которого имеют координаты (-1, 0), (3, 0), (3, 3). Найдите его площадь. Ответ. 40. Изобразите треугольник, вершины которого имеют координаты (0, -2), (4, 0), (0, 3). Найдите его площадь. Ответ. 44 1 ^ Рабочая тетрадь № 3 41. Изобразите треугольник, вершины которого имеют координаты (3, 3), (1, 4), (-1, 1). Найдите его площадь. Ответ. 42. Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (О, 0), (4, 0), (3, 3), (0, 3). Найдите его площадь. Ответ. Рабочая тетрадь Л1° 3 45 43. Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (1, -1), (1, 0), (-2, 2), (-2, -2). Найдите его площадь. Ответ. 44. Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 1), (0, 3), (-3, 0), (-1, 0). Найдите его площадь. Ответ. 46 Рабочая тетрадь № 3 45. Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (О, 0), (4, 0), (3, 2), (1, 3). Найдите его площадь. Ответ. 46. Изобразите четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (4, 1), (3, 3), (1, 4). Найдите его площадь. У 4 Н---1---1—^ -3 -2 -1 О ......'-1- -2 —3 1 2 3 4 JC Ответ. Рабочая тетрадь М° 3 47 3. Разщезание 1. Проведите какую-нибудь прямую, делящую треугольник на две равные части. 2. Проведите какую-нибудь прямую, делящую треугольник на две равные части. 48 Рабочая тетрадь М 3 3. Проведите какую-нибудь прямую, делящую прямоугольник на две равные части. .fj ■ ! Г 4. Проведите какую-нибудь прямую, делящую четырехугольник на две равные части. Рабочая тетрадь № 3 49 5. Через точку А проведите прямую, делящую прямоугольник на две равные части. • J * • » > ш ’ * ' ' I ■ ■ ■ " . 1 1 * % « ■ • 1 i > \ \ 6. Через точку А проведите прямую, делящую четырехугольник на две равные части. 50 Рабочая тетрадь № 3 7. Через точку А проведите прямую, делящую шестиугольник на две равные части. 8. Через точку А проведите прямую, делящую восьмиугольник на две равные части. Рабочая тетрадь № 3 51 9. Через вершину С проведите прямую, делящую треугольник АВС на две части равной площади. 10. Через вершину С проведите прямую, делящую треугольник АВС на две части равной площади. 52 Рабочая тетрадь № 3 11. Проведите прямую, разрезав по которой четырехугольник, из полученных частей можно сложить прямоугольник. 12. Проведите прямую, разрезав по которой четырехугольник, из полученных частей можно сложить прямоугольник. Рабочая тетрадь № 3 53 13. Проведите прямую, разрезав по которой четырехугольник, из полученных частей можно сложить прямоугольник. 14. Проведите прямую, разрезав по которой треугольник, из полученных частей можно сложить прямоугольник. 54 Рабочая тетрадь № 3 15. Проведите прямую, разрезав по которой треугольник, из полученных частей можно сложить прямоугольник. 16. Проведите прямую, разрезав по которой прямоугольник, из полученных частей можно сложить треугольник. Рабочая тетрадь М 3 55 17. Проведите прямую, разрезав по которой четырехугольник, из полученных частей можно сложить треугольник. 18. Четырехугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить треугольник. 56 Рабочая тетрадь Л/° 3 19. Проведите две прямые, разрезав по которым треугольник, из полученных частей можно сложить прямоугольник. 20. Четырехугольник разрежьте на три части, из которых можно сложить прямоугольник. Рабочая тетрадь М 3 57 21. Четырехугольник разрежьте на четыре равных четырехугольника. 22. Шестиугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить четырехугольник. 58 Рабочая тетрадь № 3 23. Шестиугольник разрежьте на три части, из которых можно сложить прямоугольник. 24. Шестиугольник разрежьте на четыре равные части. Рабочая тетрадь М3 Я Я1Н1Н ННЯ1 59 25. Многоугольник разрежьте на четыре равные части. 26. Многоугольник разрежьте на четыре равные части. Рабочая тетрадь № 3 27. Прямоугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат. 28. Многоугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат. Рабочая тетрадь № 3 61 29. Многоугольник разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат. 30. Многоугольник разрежьте на несколько частей, из которых можно сложить квадрат. 1 • < i « t t 1 1 1 1 • 1 i 1 1 « < a • 1 1 1 ( 1 • > • « 1 « • 1 « t « t 1 « 1 • • 1 • 1 • 1 I ... » t ■ 1 . t : -0 1 ^ . « 1 ■ ; r- . K: t t - ♦ ••• 1% : : : • ' • • « ' « 1 ♦ * ♦ . » 1 г • * f 1 . < 1 * ' * 1 1 » < > • * » 1 t « 1 » 1 > « 1 t I * 1 t • t t 1 a « 1 1 1 t • • 1 • 1 ■ a ( 1 1 » • » 1 • 1 * • • • 62 Рабочая тетрадь № 3 31. Разрежьте прямоугольник на две равные части так, чтобы в каждой из них была звездочка. * •к . 32. Разрежьте прямоугольник на две равные части так, чтобы в каждой из них была звездочка. к к Рабочая тетрадь М 3 63 ОТВЕТЫ 1. Паркеты 1. / t f ( “7П / П lA A /\ / i \ I ^ \ i\ 1_ 1 / f \ i \ ] \ / ГТ / ,\ / ( \ f 1 \ \ м ' 1 \ /1 / < f \ \ / _ \ / 1 \ i \ / \ / \ \ \ / _ \ \ / \ \ ^ ^ \ i \ / Д г— Л \ \ 1 r l\ \ ' AJ L-1 Lj / V! 1 ^ V i 1 : /i j N 64 Рабочая тетрадь № 3 Рабочая тетрадь М 3 3. 65 66 4. Рабочая тетрадь № 3 Рабочая тетрадь № 3 67 68 6. Рабочая тетрадь № 3 Рабочая тетрадь № 3 69 7. Г к 70 8. Рабочая тетрадь М 3 Рабочая тетрадь JV« 3 71 72 Рабочая тетрадь № 3 Рабочая тетрадь М 3 73 74 12. Рабочая тетрадь 3 Рабочая тетрадь М ,‘i 13. 75 76 Рабочая тетрадь № 3 14. Рабочая тетрадь М 3 15. 77 Ч*..... п 78 16. Рабочая тетрадь № 3 Рабочая тетрадь М 3 79 -' |П'(< .V 1 1. 20. 2. 12. 3. а) ид); в) иг) 4. 8. 5. 6. 6. 10. 7. 5. 8. 5. 9. 1,75. 10. 4. 11. 8. 12. а), д), в) и е); г), и) и з). 13. 6. 14. 8. 15. 6. 16. 6. 17. 5. 18. 7,5. 19. 7,5. 20. 7. 21. 2,5. 22. а), г), е) ж) и з); б) и д). 23. 10,5. 24. 9. 25. 10,5. 26. 7,5. 27.4,5. 28. 8. 29. 7,5. 30. 6. 31. 10. 32. 6. 33. 12. 34. 28. 35. 4. у 4- 3 2 1-. о -1 -2 -3 4 X 36. 6. 80 37.6. Рабочая тетрадь № 3 43. 7,5. 38. 8. 40. 10. 44.4. Т-ГТ Рабочая тетрадь № 3 45. 7,5. 46. 9. 81 3. Раз] г. Ч; • * : 4. 82 5. 6. Рабочая тетрадь № 3 7. 8. 9. 11. в 10. 12. Рабочая тетрадь М 3 13. 83 14. 15. 16. 18. 19. 20. 84 21. Рабочая тетрадь № 3 22. 23. I i .. .. у— p t • 26. ...J ■*.......... ] i T' : T...\ \ ■ ; t » -L 28. Рабочая тетрадь М 3 29. 31. 30. 85 4''. 1 TTW -—г—■; J ■г—г i : * ; * 5 * t * ; ii. Г ^ 1 -" ♦ ; • . i !' J'-'- ! : ; • . ' . -п СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ............................ 3 1. Паркеты ............................. 4 2. Площадь............................. 24 3. Разрезание.......................... 47 Ответы 1. Паркеты ............................ 63 2. Площадь............................. 79 3. Разрезание.......................... 81