Геометрия Учебник 8 класс Истер

,B} A.C. Истер ГЕОМЕТРИЯ м J \ м^л ^1 ^ к УДК 514(075.3) ББК 22.151я721 1-89 Рекомендовано Министерством образования и науки Украины (Приказ Министерства образования и науки Украины от 10.05.2016 № 491) Выдано за счет государственных средств. Продажа запрещена Переведено по изданию: Геометрiя : пiдруч. для 8 кл. загальноосвiт. навч. закладiв / О.С. 1с-тер. — Ки1в : Генеза, 2016. — 216 с. ISBN 978-966-11-0701-3. Эксперты, которые осуществили экспертизу учебника при проведении конкурсного отбора проектов учебников для учеников 8 класса общеобразовательных учебных заведений и пришли к выводу о целесообразности предоставления учебнику грифа «Рекомендовано Министерством образования и науки Украины»: Дунай С.М., учитель специализированной общеобразовательной средней школы № 1 с углубленным изучением иностранных языков г. Чернигова; Тесленко О.В., методист методического центра Управления образования администрации Коминтерновского района Харьковского городского совета; Чорный В.З., заведующий кафедры математики и методики ее обучения Тернопольского национального педагогического университета имени Владимира Гнатюка, кандидат физико-математических наук, доцент. Истер А.С. 1-89 Геометрия : учебн. для 8 кл. общеобразоват. учебн. завед. / А.С. Истер. — Киев : Генеза, 2016. — 216 с. ISBN 978-966-11-0750-1. Учебник соответствует новой программе по математике, содержит достаточное количество дифференцированных упражнений и прикладных задач, упражнений для повторения, заданий для подготовки к тематическому оцениванию, в т. ч. в тестовой форме, материал для повторения курса геометрии 7 класса, задачи повышенной сложности, предметный указатель, ответы к большинству упражнений, а для самых любознательных - подборку нестандартных задач и дополнительный материал. УДК 514(075.3) ББК 22.151я721 ISBN 978-966-11-0750-1 (рус.) ISBN 978-966-11-0701-3 (укр.) © Истер А.С., 2016 © Издательство «Генеза», оригинал-макет, 2016 Уважаемые учащиеся! В этом учебном году вы продолжите изучать геометрию, а учебник, который вы держите в руках, поможет вам в этом. Изучая теоретический материал, обратите внимание на текст, напечатанный жирным шрифтом. Его надо запомнить. В учебнике вы увидите условные обозначения: - определения, важные геометрические утверждения (аксиомы, теоремы, свойства); - вопросы к изученному теоретическому материалу; - окончание доказательства теоремы или задачи; - «ключевая» задача, выводы которой используются при решении других задач; А - упражнения для повторения; ®- рубрика «Решите и подготовьтесь к изучению нового материала»; - упражнения повышенной сложности; ^jSt-рубрика «Интересные задачки для неленивых» и дополнительный материал. Черным цветом обозначены номера упражнений для работы в классе, а синим - для работы дома. Все упражнения распределены согласно уровням учебных достижений и выделены так, что: с отметка MJ начинаются упражнения начального уровня; с отметка начинаются упражнения среднего уровня; с отметка начинаются упражнения достаточного уровня; с отметка начинаются упражнения высокого уровня. Проверить свои знания и подготовиться к тематическому оцениванию можно, выполнив задания «Домашней самостоятельной работы», представленные в тестовой форме, и «Задания для проверки знаний». После каждой главы идут упражнения для ее повторения, а в конце учебника - «Задания для проверки знаний за курс геометрии 8 класса» и «Задачи повышенной сложности». Занятия 3 геометрией будут еще интереснее, если решать упражнения из рубрики «Интересные задачки для неленивых». Вспомнить и повторить ранее изученный материал вам помогут «Сведения из курса геометрии 7 класса» и «Упражнения на повторение курса геометрии 7 класса», размещенные в конце учебника. Автор старался представить теоретический материал учебника простым, доступным языком и проиллюстрировать большим количеством задач. После изучения теоретического материала в школе его обязательно нужно проработать дома. Учебник содержит много упражнений, большинство из которых вы рассмотрите на уроках и во время выполнения домашнего задания, остальные упражнения рекомендуем решить самостоятельно. В конце учебника в приложении «Готовимся к ВНО» представлена подборка геометрических задач, которые в разные годы предлагались абитуриентам на внешнем независимом оценивании по математике. Для их решения достаточно знаний геометрии 8-го класса. Решив эти задачи, вы сделаете еще один шаг в успешной подготовке к будущим испытаниям, ожидающим вас при поступлении в выбранный ВУЗ. Интересные факты из истории развития геометрии как науки вы найдете в рубрике «А еще раньше...». 4 Уважаемые учителя! Предлагаемый учебник содержит большое количество упражнений; упражнения большинства параграфов поданы «с запасом». Поэтому выбирайте их для использования на уроках и в качестве домашних заданий в зависимости от поставленной цели, уровня подготовки учащихся, степени индивидуализации и дифференциации обучения. Упражнения, которые не рассматривались на уроке, можно использовать на дополнительных, факультативных или индивидуальных занятиях. Дополнительные упражнения в «Заданиях для проверки знаний» предназначены для учащихся, которые справились с основными заданиями раньше других. Правильное их решение учитель может оценить отдельно. Упражнения для повторения разделов и задачи из приложения «Готовимся к ВНО» можно предложить учащимся, например, во время обобщающих уроков по теме или повторения и систематизации учебного материала в конце учебного года. Организовать повторение курса геометрии 7 класса в начале учебного года и вспомнить соответствующий теоретический материал можно, предложив учащимся решить «Упражнения на повторение курса геометрии 7 класса» и прочитать соответствующие теоретические сведения, размещенные в конце учебника. Уважаемые родители! Если ваш ребенок пропустит один или несколько уроков в школе, нужно предложить ему самостоятельно проработать этот материал по учебнику дома. Сначала желательно, чтобы он прочитал теоретический материал, изложенный простым, доступным языком и проиллюстрированный значительным количеством задач. После этого - нужно решить задачи и упражнения из рассмотренного параграфа, которые ему по силам. При изучении ребенком курса геометрии 8 класса вы можете предлагать ему дополнительно решать дома упражнения, которые не рассматривались на уроке. Это будет способствовать наилучшему усвоению учебного материала. Каждая тема заканчивается тематическим оцениванием. Перед его проведением предложите ребенку решить задания «Домашней самостоятельной работы», представленные в тестовой форме, и «Задания для проверки знаний». Это поможет вспомнить основные типы задач и качественно подготовиться к тематическому оцениванию. В конце учебника «Задачи повышенной сложности» помогут вашему ребенку углубить знания по геометрии и подготовиться к математическим соревнованиям. 5 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ В этой главе вы: • вспомните понятия прямоугольника и квадрата; • узнаете о параллелограмме и его свойствах, трапеции; центральных и вписанных углах; вписанных и описанных четырехугольниках; средней линии треугольника и средней линии трапеции; теореме Фалеса; • научитесь определять вид четырехугольника и обосновывать это, применять изученные определения и теоремы к решению задач. 1Л1 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК, ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ. . СУММА УГЛОВ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА Четырехугольником называют фигуру, состоящую из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Никакие три из этих точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны иметь никаких других общих точек, кроме данных. Любой четырехугольник ограничивает некоторую часть плоскости, являющуюся внутренней областью четырехугольника. На рисунке 1 изображен четырехугольник ABCD. Точки A, B, C, D называют вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки AB, BC, CD и DA - сторонами четырехугольника. Вершины четырехугольника, являющиеся концами его стороны, называют соседними, несоседние вершины называют противолежащими. На рисунке 1 вершины A и B - соседние, A и C - противолежащие. Стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, называют соседними, а не имеющие общей вершины - противолежащими. На рис. 1 стороны AB и BC - соседние, AB и CD - противолежащие. В 6 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Сумму длин всех сторон четырехугольника называют его периметром. Периметр обозначают буквой P. Например, периметр четырехугольника ABCD можно обозначить как P^^qd’ PABCD ~ AB + BC + CD + DA. N Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называют диагоналями четырехугольника. На рисунке 2 отрезки KM и LN - диагонали четырехугольника KLMN. Каждый четырехугольник имеет две диагонали. Углами четырехугольника ABCD называют углы DAB, ABC, BCD и CDA (рис. 1). Углы четырехугольника называют противолежащими, если их вершины - противолежащие вершины четырехугольника, и соседними, если их вершины - соседние вершины четырехугольника. На рисунке 1 углы A и C - противолежащие, A и B - соседние. Один из углов четырехугольника может быть больше развернутого угла. Например, на рисунке 3 в четырехугольнике ABCD угол A больше развернутого. Такой четырехугольник называют невыпуклым. Если все углы четырехугольника меньше 180°, его называют выпуклым. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются (рис. 2), а невыпуклого не пересекаются (рис. 4). В В ^ Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Теорема (о сумме углов четырехугольника). Сумма углов четырехугольника равна 360°. Доказательство. Пусть ABCD - некоторый четырехугольник. Проведем в нем диагональ AC (рис. 5). Тогда ZA = = Z1 + Z2, ZC = Z3 + Z4. Учитывая, что Z2 + ZB + Z3 = 180° (как сумма углов {ABC), Z1 + ZD + Z4 = 180° (как сумма углов AADC), будем иметь: ZA + ZB + ZC + ZD = Z1 + Z2 + + ZB + Z3 + Z4 + ZD = (Z2 + ZB + Z3) + (Z1 + ZD + Z4) = = 180° + 180° = 360°. А 7 Глава 1 Задача. Найдите углы четырехугольника, если их градусные меры относятся как 3 : 10 : 4 : 1. Выпуклым или невыпуклым является этот четырехугольник? Решение. Пусть углы четырехугольника равны 3x, 10x, 4x и x. Имеем уравнение 3x + 10x + 4x + x = 360, откуда x = 20. Следовательно, углы четырехугольника равны 3 • 20° = 60°, 10 • 20° = 200°, 4 • 20° = 80° и 20°. Так как один из углов четырехугольника больше 180°, то этот четырехугольник - невыпуклый. Ответ. 60°, 200°, 80°, 20°; невыпуклый. 1. Какую фигуру называют четырехугольником? 2. Что называют вершинами четырехугольника, сторонами четырехугольника? 3. Какие вершины четырехугольника называют соседними, а какие - противолежащими? 4. Что называют диагоналями четырехугольника? 5. Какие стороны четырехугольника называют соседними, а какие - противолежащими? 6. Что называют периметром четырехугольника? 7. Что называют углами четырехугольника? 8. Какие углы четырехугольника называют противолежащими, а какие - соседними? 9. Какой четырехугольник называют невыпуклым, а какой - выпуклым? 10. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов четырехугольника. т Начальный уровень 1. (Устно.) Какие из фигур (рис. 6-9) являются четырехугольниками? Назовите выпуклые и невыпуклые четырехугольники. G N Рис. 6 Рис. 7 А D Рис. 8 Назовите пары противолежащих сторон четырехугольника EGPR (рис. 9), пары соседних сторон, пары соседних вершин, пары противолежащих вершин. 2 8 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 3. Начертите четырехугольник KLMN. Назовите пары его противолежащих сторон, соседних сторон, противолежащих вершин, соседних вершин. Проведите диагонали этого четырехугольника. 4. Начертите выпуклый четырехугольник ABCD и невыпуклый PMLK. Проведите диагональ в каждом из них. 5. Существует ли четырехугольник с углами: 1) 80°, 90°, 100° и 110°; 2) 150°, 60°, 70° и 80°? 6. Могут ли углы четырехугольника равняться: 1) 120°, 80°, 90° и 70°; 2) 130°, 110°, 80° и 50°? т Средний уровень Щ 7. Найдите четвертый угол четырехугольника, если три его угла равны: 1) 150°, 110° и 80°; 2) 80°, 60° и 30°. Выпуклым или невыпуклым является этот четырехугольник? 8. Найдите четвертый угол четырехугольника, если три его угла равны: 1) 20°, 70° и 80°; 2) 120°, 50° и 40°. Выпуклым или невыпуклым является этот четырехугольник? 9. Найдите периметр четырехугольника, стороны которого равны 32 мм, 2,5 см, 0,4 дм и 0,07 м. 10. Найдите периметр четырехугольника, стороны которого равны 0,08 м, 0,7 дм, 6,3 см и 54 мм. 11. Могут ли все углы четырехугольника быть: 1) острыми; 2) прямыми; 3) тупыми? 12. Один из углов четырехугольника равен 120°, а остальные - равны между собой. Найдите неизвестные углы четырехугольника. 13. Периметр четырехугольника равен 60 см, а одна из его сторон 24 см. Найдите неизвестные стороны четырехугольника, если они равны между собой. 14. В четырехугольнике ABCD (рис. 10) BC = CD и ZACB = ZACD. Докажите, что ZB = ZD. 15. В четырехугольнике ABCD (рис. 11) Z BAC = Z ACD, Z BCA = Z CAD. Докажите, что AB = CD. D Рис. 10 В 9 Глава 1 т Достаточный уровень 16 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Найдите стороны четырехугольника, если они пропорциональны числам 4, 5, 8 и 9, а периметр четырехугольника равен 65 см. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 4, 5, 7 и 8. Найдите неизвестные углы четырехугольника, один из углов которого равен 90°, второй и третий относятся как 7 : 5, а четвертый равен полусумме второго и третьего. Найдите неизвестные стороны четырехугольника, периметр которого равен 54 см, одна из сторон 18 см, вторая и третья относятся как 7 : 3, а четвертая равна полуразности второй и третьей. Докажите, что в каждом четырехугольнике есть угол, не больше чем 90°. Докажите, что в каждом четырехугольнике есть угол, не меньше чем 90°. Может ли угол четырехугольника быть больше суммы остальных его углов? Высокий уровень Постройте четырехугольник со сторонами 6 см, 6 см, 3 см, 4 см и углом 50° между равными сторонами. Сколько решений имеет задача? 24. Постройте четырехугольник со сторонами 5 см, 5 см, 4 см, 3 см и углом 70° между равными сторонами. Сколько решений имеет задача? 25. Выпуклый четырехугольник называют дельтоидом, если он имеет две пары равных соседних сторон (рис. 12). Докажите, что: 1) диагональ BD делит пополам как угол B, так и угол D; 2) диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны. 26. Периметр четырехугольника ABCD равен 29 см, периметр треугольника ADB - 20 см, а треугольника CDB - 21 см. Найдите длину диагонали BD. Рис. 12 10 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Упражнения для повторения I 27. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 70°. Найдите остальные семь углов. 28. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 70°. Сколько решений имеет задача? 29. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°, а сумма меньшего катета и медианы, проведенной к гипотенузе, - 10 см. Найдите гипотенузу этого треугольника. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 30. Прямая AB является секущей для прямых KL и MN (рис. 13). Запишите все пары внутренних односторонних углов, внутренних накрест лежащих углов и соответственных углов. 31. Каково взаимное расположение прямых a и b (рис. 14), если: 1) Z2 + Z4 = 180°; 2) Z1 > Z4; 3) Z3 = 120°; Z4 = 121°; 4) Z2 = 60°; Z4 = 119°; 5) Z1 = А4 = 122°; 6) A3 = Z4? 32. 1) Докажите, что А ABC = {CDA (рис. 15), если AB = CD и ABAC = AACD. 2) Докажите, что BC = AD и ABCA = ACAD. 3) Параллельны ли прямые BC и AD? Интересные задачки для неленивых 33. (Всеукраинская математическая олимпиада, 1964 г.) Найдите наибольшее значение п, при котором на плоскости можно разместить п точек так, чтобы каждые три из них были вершинами прямоугольного треугольника. 11 Глава 1 Ш2. ПАРАЛЛЕЛОГРА ММ, ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. На рисунке 16 изображен параллелограмм ABCD, у которого AB || CD, AD || BC. Рассмотрим свойства параллелограмма. 1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°. Действительно, углы A и B параллелограмма ABCD (рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых AD и BC и секущей AB. Поэтому ZA + ZB = 180°. Аналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма. А Рис. 16 2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Так как ZA + ZB = 180°, то ZA < 180°, ZB < 180°. Аналогично Z C < 180°, Z D < 180°. Поэтому параллелограмм - выпуклый четырехугольник. А 3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны. Q Доказательство. Диагональ AC разбивает параллелограмм ABCD на два треугольника ABC и ADC (рис. 17). AC -их общая сторона, Z CAD = ZACB и Z CAB = Z ACD (как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых AD и BC, AB и CD и секущей AC). Тогда А ABC = А CDA (по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, AB = CD, BC = AD и ZB = ZD (как соответственные элементы равных треугольников). Так как Z BAC + Z CAD = Z BCA + Z DCA, то Z BAD = Z BCD. А 4. Периметр параллелограмма PABCD = 2(АВ + ВС). 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 12 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Доказательство. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD (рис. 18). AD = BC (как противолежащие стороны параллелограмма), Z CAD = ZACB, Z BDA = Z DBC (как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых AD и BC и секущих AC и BD соответственно). Следовательно, А AOD = А COB (по стороне и двум прилежащим углам). Тогда AO = OC, BO = OD (как соответственные стороны равных треугольников). А Задача 1. Дано: ABCD параллелограмм, AK - биссектриса угла A, BK = 5 см, KC = 3 см (рис. 19). Найдите: PABCD. Решение. 1) BC = BK + KC = 5 + 3 = 8 (см); 2) Z KAD = Z BKA (как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых AD и BC и секущей AK); 3) Z KAD = Z KAB (по условию), тогда Z BKA = Z KAB. Тогда А ABK - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), AB = BK = 5 (см); 4) PABCD = 2(AB + BC) = 2(5 + 8) = 26 (см). Ответ. 26 см. Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону. На рисунке 20 MN - высота параллелограмма, MN 1 AD, MN 1 BC. Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 BF и BT - высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам AD и CD. М г N Рис. 20 13 Глава 1 Рассмотрим признаки параллелограмма. Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом. Доказательство. 1) Пусть в четырехугольнике ABCD AD = BC и AD || BC (рис. 22). Проведем диагональ AC. Рассмотрим А CAD и АACB. Z CAD = Z BCA (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). AC - общая сторона, AD = BC (по условию). Следовательно, А CAD = АACB (по двум сторонам и углу между ними). Тогда ZACD = Z CAB (как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущей AC. Поэтому AB || CD (по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому ABCD -параллелограмм. 2) Пусть в четырехугольнике ABCD AD = BC и AB = CD (рис. 22). Проведем диагональ AC. Тогда АCAD = АACB (по трем сторонам). Поэтому ZACD = ZCAB, и следовательно, AB || CD (по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что AD || BC. Следовательно, ABCD - параллелограмм. 3) Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и AO = OC, BO = OD (рис. 23). ZAOD = Z COB (как вертикальные). Поэтому А AOD = А COB (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда AD = BC. Аналогично доказываем, что AB = CD. Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что ABCD - параллелограмм. 4) Пусть в параллелограмме ABCD ZA = Z C, Z B = Z D (рис. 16). Так как ZA + ZB + ZC + ZD = 360°, то ZA + + Z B + Z A + Z B = 360°, т. е. 2(Z A + Z B) = 360°; откуда ZA + ZB = 180°. Но ZA и ZB - внутренние накрест лежащие углы для прямых AD и BC и секущей AB. Поэтому AD || BC 14 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ (по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что AB || CD. Следовательно, ABCD - параллелограмм. А Задача 2. В четырехугольнике ABCD, ^D = BC, Z CAD = ZACB. Докажите, что ABCD - параллелограмм. Доказательство. Пусть ABCD - данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим ACAD и AACB. AC - их общая сторона, AD = BC, Z CAD = ZACB (по условию). Тогда, A CAD = A ACB (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, AB = CD. Но тогда в четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом. А г?’» □ О некоторых видах четырехугольников (квад раты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики. Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»). В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащ,ие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам. Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе. Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида. Термин «диагональ» - греческого происхождения; «диа» означает «через», а «гониос» - «угол», что можно понимать как отрезок, соединяющий вершины углов. Следует отметить, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, соединяющего противолежащие вершины четырехугольника, в частности прямоугольника, употреблял другой термин - «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои рассуждения основывали на вписанных в окружность прямоугольниках. В Средние века для названия упомянутого отрезка использовали оба термина. Лишь в XVIII в. термин «диагональ» стал общепринятым. □ 1. Какую фигуру называют параллелограммом? 2. Сформулируйте и докажите свойства параллелограмма. 3. Что называют высотой параллелограмма? 4. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма. 15 Глава 1 т Начальн ыи уровень 34. Среди четырехугольников на рисунках 24-29 укажите параллелограммы. Рис. 24 Рис. 28 Рис. 29 35. Начертите параллелограмм ABCD, у которого угол D тупой. 36. Начертите параллелограмм KLMN, у которого угол K острый. 37. (Устно.) Одна из сторон параллелограмма равна 5 см. Какова длина противолежащей ей стороны? 38. Один из углов параллелограмма равна 70°. Найдите остальные его углы. 39. Найдите углы параллелограмма, если один из них равен 100°. т Средний уровень 40. Найдите периметр параллелограмма, у которого одна сторона равна 12 см, а вторая - на 3 см больше. 41. Найдите периметр параллелограмма, у которого одна сторона равна 18 см, а вторая - вдвое меньше. 42. Найдите все углы параллелограмма, если: 1) сумма двух из них равна 120°; 2) один з них на 20° больше, чем другой; 3) один из них втрое меньше, чем другой; 4) два из них относятся как 2 : 3. 43. Найдите все углы параллелограмма, если: 1) сумма двух из них равна 200°; 2) один з них на 40° меньше, чем другой; 3) один из них вдвое больше, чем другой; 4) градусные меры двух из них относятся как 4 : 5. 44. В параллелограмме ABCD ZBAD = 80°, ZACD = 50°. Найдите ZACB и Z ABC. 45. В параллелограмме ABCD Z BAC = 35°, ZBCA = 40°. Найдите углы параллелограмма. 16 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 46. (Устно.) Какие ошибки допущены в изображении параллелограмма на рисунках 30-32? Рис. 30 47. Периметр параллелограмма равен 40 см. Найдите его стороны, если: 1) одна из них на 4 см больше, чем другая; 2) они относятся как 3 : 7. 48. Периметр параллелограмма равен 36 дм. Найдите его стороны, если: 1) одна из них на 2 дм меньше, чем другая; 2) одна из них в 5 раз больше, чем другая. 49. O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Найдите диагональ AC, если BD = 20 см, AB = 15 см, а периметр треугольника AOB равен 32 см. 50. В четырехугольнике ABCD (рис. 33) Z1 = Z 2, Z 3 = Z 4. Докажите, что ABCD - параллелограмм. {ABC = {CDA (рис. 33). Докажите, что ABCD - параллелограмм. Постройте параллелограмм по двум сторонам и углу между ними. В 51. 52. 53. т 54. 55. 56. 57. 58. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диагонали. Достаточный уровень Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сторону под углом 48°. Найдите углы параллелограмма. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BM = 5 см и MC = 7 см. Найдите периметр параллелограмма. В параллелограмме ABCD AB = 4 см, BC = 12 см. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке P. Найдите BP и PC. Постройте параллелограмм по стороне и диагоналям. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними. 17 Глава 1 В 59. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD (рис. 34) отмечены точки M и K так, что ZABM = ZCDK. Докажите, что BMDK - параллелограмм. 60. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD (рис. 34) отмечены точки M и K так, что AM = KC. Докажите, что BMDK - параллелограмм. 61. Докажите, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны. 62. В параллелограмме острый угол равен 60°. Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону на отрезки 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла. Найдите периметр параллелограмма. 63. В параллелограмме ABCD AB = 6 см, Z B = 120°. Высота BK делит сторону AD на два равных отрезка. Найдите периметр параллелограмма. 64. В параллелограмме ABCD из вершины острого угла A проведены высоты AL и AK. Z LAK = 140°. Найдите угол C параллелограмма. 65. В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла B проведены высоты BM и BN. Z MBN = 70°. Найдите угол D параллелограмма. Высокий уровень 66. Биссектриса угла B параллелограмма ABCD делит сторону AD на два отрезка AK и KD так, что AK - KD = 1 см. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40 см. 67. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD делит сторону BC на два отрезка BK и KC так, что BK : KC = 3 : 7. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 78 см. 68. Два угла параллелограмма относятся как 5 : 7. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины его: 1) тупого угла; 2) острого угла. 69. Один из углов параллелограмма на 12° больше другого. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины его: 1) острого угла; 2) тупого угла. 18 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ '|VJ 70. Докажите, что три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника). Доказательство. 1) Пусть AHBH2, CH3 - высоты остроугольного треугольника ABC (рис. 35). Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим треугольник A1B1C1. Четырехугольник ABA1C - параллелограмм (по построению). Поэтому BA1 = AC. Аналогично ACBC1 - параллелограмм и C1B = AC. Следовательно, C1B = BA1, точка B -середина A1C1. Так как Bh2 Т AC и AC || A1C1, то BH2 Т A1C1. Поэтому BH2 принадлежит серединному перпендикуляру к стороне A1C1 треугольника A1B1C1. Аналогично AH1 и CH3 принадлежат серединным перпендикулярам к двум другим сторонам этого треугольника. Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, AH1, BH2 и CH3 пересекаются в одной точке. 2) Если А ABC - прямоугольный, например Z C = 90°, очевидно, что три высоты пересекаются в точке C. 3) Если А ABC - тупоугольный, то продолжения трех высот треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство аналогично доказательству в п. 1. А Упражнения для повторения 71. Найдите второй острый угол прямоугольного треугольника, если первый равен: 1) 20°; 2) 65°. 72. Две стороны треугольника равны 7,2 см и 2,5 см. Какому наибольшему целому числу сантиметров может равняться третья сторона? 73. Внешний угол треугольника в 2 раза больше одного из внутренних углов, не смежного с ним. Докажите, что треугольник является равнобедренным. 74. Можно ли построить четырехугольник со сторонами 6 см, 6 см, 4 см и 2 см и углом 60° между равными сторонами? 19 5 Глава 1 Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 75. Найдите периметр и площадь прямоугольника, стороны которого равны: 1) 5 см и 7 см; 2) 2 дм и 14 см. Интересн ые задачки для неленивых 76. Выдающиеся украинцы. Впишите по горизонтали фамилии выдающихся украинцев (при необходимости используйте дополнительную литературу и Интернет) и получите в выделенном столбце имя древнегреческого философа, математика, религиозного и политического деятеля. 1. Выдающийся украинский ученый в области процессов сварки, доктор технических наук, Герой Украины. 2. Украинский политик, публицист, литературный критик, возглавлявший национально-демократическое движение конца 1980 - начала 1990-х годов, Герой Украины. 3. Украинский писатель, поэт, публицист, переводчик, ученый, общественный и политический деятель (1856-1916). 4. Выдающийся украинский врач мирового уровня, ученый в отраслях медицины, биокибернетики; его именем назван Институт сердечно-сосудистой хирургии, который он возглавлял в течение двадцати лет. 5. Политический деятель и публицист, организатор украинской науки; Председатель Центрального Совета Украинской Народной Республики. 6. Величайший украинский поэт, писатель, художник, общественный и политический деятель, фольклорист, этнограф. 7. Украинский просветитель-гуманист, философ, поэт, педагог. 20 1 2 3 4 5 6 7 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ тз. ПРЯМОУГОЛЬНИК И ЕГО СВОЙСТВА Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 36). Так как прямоугольник является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма. 1. В прямоугольнике противолежащие стороны равны. 2. Периметр прямоугольника PABcD = 2(AB + BC). 3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. Кроме этих, прямоугольник имеет еще свойства. 11 4. Диагонали прямоугольника равны. Рис. 36 D Доказательство. Пусть дан прямоугольник ABCD (рис. 37). {ACD = {DBA (по двум катетам). Поэтому AC = BD. А 5. Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от всех его вершин. Так как AC = BD, а AO = OC, BO = OD (рис. 37), то, очевидно, что AO = BO = OC = OD. Задача 1. Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 2 : 3. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. Решение. 1) Пусть ZADO : ZODC = 2 : 3 (рис. 37). Обозначим ZADO = 2x, ZODC = 3x. Получим уравнение: 2x + 3x = 90°, откуда x = 18°. Следовательно, ZADO = 2 • 18° = 36°; ZODC = 3 • 18° = 54°. 2) Найдем Z COD - угол между диагоналями данного прямоугольника. {OCD - равнобедренный (так как DO = OC), поэтому Z OCD = Z ODC = 54°. В A OCD: COD = 180° - 2 • 54° = 72°. Ответ. 72°. 21 Глава 1 Рассмотрим признаки прямоугольника. Теорема (признаки прямоугольника). Если у параллелограмма: 1) все углы равны, или 2) один угол прямой, или 3) диагонали равны, — то параллелограмм является прямоугольником. Доказательство. 1) Так как все углы параллелограмма равны, а их сумма - 360°, то каждый из них равен 360° : 4 = 90°. А значит параллелограмм является прямоугольником. 2) Пусть угол A параллелограмма ABCD - прямой (рис. 36). Тогда ZC = ZA = 90°, ZB = ZD = 180° - ZA = 180° - 90° = = 90°. Следовательно, все углы параллелограмма прямые, а значит он является прямоугольником. 3) Пусть у параллелограмма ABCD диагонали AC и BD равны (рис. 37). AD - общая сторона треугольников ABD и DCA. Следовательно АABD = А DCA (по трем сторонам), откуда ZBAD = ZCDA. Но ZABC = ZADC, ZBCD = ZBAD. Получаем, что у параллелограмма все углы равны, а значит он является прямоугольником (по п. 1 этой теоремы). А Задача 2. В окружности с центром O проведены диаметры AC и BD. Определите вид четырехугольника ABCD. Решение. 1) Рассмотрим рис. 38. Так как AO = OC, BO = OD (как радиусы), то, по признаку параллелограмма, ABCD - параллелограмм. 2) Так как AC = BD (как диаметры), то, по признаку прямоугольника, получаем, что параллелограмм ABCD -прямоугольник. Ответ. Прямоугольник. 1. Какую фигуру называют прямоугольником? 2. Сформулируйте и докажите свойства прямоугольника. 3. Сформулируйте и докажите признаки прямоугольника. т Начальный уровень 77. На каких из рисунков 39-43 изображен прямоугольник? 78. В прямоугольнике ABCD диагональ AC равна 5 см. Какова длина диагонали BD? 22 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Рис. 39 Рис. 40 Рис. 41 Рис. 42 Рис. 43 79. Стороны прямоугольника равны 4 см и 7 см. Найдите его периметр. 80. Найдите периметр прямоугольника, стороны которого равны 2 см и 5 см. 81. Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны. Верно ли обратное утверждение? Приведите пример. т 82. 83. 84. I 87. 88. Средний уровень Сторона BC прямоугольника ABCD равна 8 см, а диагональ BD - 12 см. Найдите периметр треугольника BOC, если O - точка пересечения диагоналей прямоугольника. Точка O - точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. AC = 12 см, периметр треугольника AOB равен 16 см. Найдите сторону AB. (Устно.) Что можно сказать про вид параллелограмма, если: 1) ни один из его углов не является острым; 2) ни один из его углов не является тупым; 3) у него три равных между собой угла? 85. Докажите, что если у четырехугольника три угла прямые, то он - прямоугольник. 86. Докажите, что если у четырехугольника все углы равны, то он - прямоугольник. Периметр прямоугольника равен 40 см. Найдите его стороны, если известно, что: 1) одна из них на 2 см больше другой; 2) стороны относятся как 2 : 3. Периметр прямоугольника равен 50 см. Найдите его стороны, если известно, что: 1) одна из них на 5 см меньше другой; 2) стороны относятся как 4 : 1. 23 Глава 1 89. 90. 91. 92. т 94 Рис. 44 95. 96. 97. 98. 99. (Устно.) На рисунке 44 изображен прямоугольник ABCD. Найдите все углы, которые между собой равны. Найдите по рисунку 44: 1) Z 3, если Z 8 = 52°; 2) Z 2, если Z10 = 40°. Найдите по рисунку 44: 1) Z 5, если Z 2 = 37°; 2) Z12, если Z 3 = 30°. Диагональ делит угол прямоугольника на два угла, один из которых на 20° больше, чем другой. Найдите эти углы. Достаточный уровень 93. Докажите, что около прямоугольника можно описать окружность. Найдите угол между меньшей стороной и диагональю прямоугольника, если он: 1) на 15° меньше угла между диагоналями, лежащего против меньшей стороны; 2) на 50° меньше угла между диагоналями, лежащего против большей стороны. Найдите угол между большей стороной и диагональю прямоугольника, если он: 1) на 90° меньше угла между диагоналями, лежащего против большей стороны; 2) на 40° меньше угла между диагоналями, лежащего против меньшей стороны. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, E - середина AB, Z CAB = 70°. Найдите ZDOE. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. OP - биссектриса треугольника AOB, Z DOP = 130°. Найдите Z CAB. В параллелограмме ABCD с острым углом A диагонали пересекаются в точке O. На отрезках AO и OC отмечены точки M и N так, что OM = OB, ON = OD. Докажите, что BMDN -прямоугольник. Точки В и D принадлежат окружности с центром О, AC - диаметр окружности, AD = BC (рис. 45). Докажите, что ABCD - прямоугольник. 24 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 100. Перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей прямоугольника к двум его соседним сторонам, равны 4 см и 9 см. Найдите периметр прямоугольника. 101. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его большая сторона равна 20 см. 102. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 8 дм. Высокий уровень 103. На рисунке 46 ABCD - прямоугольник, BK ± AC, ZACD = 60°. 1) OK = а. Найдите DB и AB; 2) AC = т. Найдите AK и CD. 104. На рисунке 46 ABCD - прямоугольник, BK Z AC, ZACD = 60°, рис 46 AB = b. Найдите BD и OK. 105. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC = 35 см вписан прямоугольник KLMN так, что точки K и L лежат на гипотенузе треугольника, а точки M и N - на катетах. KL : KN = 3 : 2. Найдите периметр прямоугольника. 106. В равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 20 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол, а вершина, противолежащая этому углу, лежит на гипотенузе. Найдите периметр прямоугольника. Упражнения для повторения 107. Из вершины тупого угла B параллелограмма ABCD проведена высота BK. Найдите углы параллелограмма, если BK = 0,5AB. 108. 1) Градусная мера одного из углов треугольника равна среднему арифметическому градусных мер двух других углов треугольника. Найдите этот угол. 2) Градусная мера одного из углов четырехугольника равна среднему арифметическому трех других углов четырехугольника. Найдите этот угол. 109. Через точку P, принадлежащую внутренней области угла ABC, проведите прямую так, чтобы ее отрезок, лежащий между сторонами угла, делился точкой Р пополам. 25 Глава 1 Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 110. Дано: AB = BC = CD = DA (рис. 47). Доказать: ZA = ZC, ZB = ZD. Интересн ые задачки для неленивых 111. Можно ли разрезать квадрат размером 6 X 6 на прямоугольники размером 1 х 4? т4. РОМБ И ЕГО СВОЙСТВА С Рис. 47 Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48). Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма. 1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°. 2. У ромба противолежащие углы равны. 3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. 4. Периметр ромба PABcd = 4AB. Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство. 5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. В Рис. 49 Доказательство. Пусть AC и BD - диагонали ромба ABCD (рис. 49), O - точка их пересечения. Поскольку AB = AD и DO = OB, то AO - медиана равнобедренного треугольника ABD, проведенная к основанию BD. Поэтому AO является также высотой и биссектрисой треугольника ABD. Следовательно, AC 1 BD и Z DAO = Z BAO. 26 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Аналогично можно доказать, что диагональ AC делит пополам угол DCB, а диагональ BD делит пополам углы ABC и ADC. А Задача 1. Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба. Решение. Пусть BD - диагональ ромба ABCD, а BK - его высота (рис. 50), ZKBD = 28°. 1) В АBKD ZBDK = 90° - 28° = 62°. 2) Так как BD делит угол ADC пополам, то ZADC = = 2 • 62° = 124°. 3) Тогда ZABC = ZADC = 124°; ZA = ZC = 180° - 124° = 56°. Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°. Рассмотрим признаки ромба. Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом. Доказательство. 1) Пусть ABCD - параллелограмм (рис. 48). Так как AB = AD (по условию) и AB = CD, AD = BC (по свойству параллелограмма), то AB = AD = BC = CD. Следовательно, ABCD - ромб. 2) Пусть AC Z BD (рис. 49). Поскольку OB = OD (по свойству параллелограмма), то АAOB = АAOD (по двум катетам). Следовательно, AB = AD. По п. 1 этой теоремы ABCD - ромб. 3) Диагональ BD делит пополам угол D параллелограмма ABCD (рис. 49), то есть ZADB = ZBDC. Так как AB || DC, BD - секущая, то ZABD = ZBDC (как внутренние накрест лежащие). Следовательно, ZADB = ZABD. Поэтому по признаку равнобедренного треугольника АABD - равнобедренный и AD = AB. По п. 1 этой теоремы ABCD - ромб. А 27 Глава 1 Задача 2. Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник - ромб. Доказательство. Пусть AB = BC = CD = DA (рис. 48). 1) Так как противолежащие стороны четырехугольника ABCD попарно равны, то ABCD - параллелограмм по признаку параллелограмма. 2) У параллелограмма ABCD соседние стороны равны. Поэтому ABCD - ромб (по признаку ромба). А Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити. В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал. 1. Какую фигуру называют ромбом? 2. Сформулируйте и докажите свойства ромба. 3. Сформулируйте и докажите признаки ромба. т Начальный уровень 112. (Устно.) Какие из четырехугольников на рисунках 51-55 являются ромбами? Рис. 51 Рис. 52 Рис. 53 Рис. 54 113. Начертите ромб ABCD, у которого угол B тупой. 114. Начертите ромб ABCD, у которого угол A острый. 115. Периметр ромба равен 28 см. Найдите его сторону. 116. Сторона ромба равна 5 дм. Найдите его периметр. 117. Острый угол ромба равен 50°. Какой угол образует диагональ, проведенная из этого угла, со стороной ромба? 118. Тупой угол ромба равен 110°. Какой угол образует диагональ, проведенная из этого угла, со стороной ромба? 28 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ его стороной угол 60°. его стороной угол 20°. Найдите тупой угол ромба. 120. Диагональ ромба образует Найдите острый угол ромба. т Средний уровень 121. В ромбе ABCD угол A равен 36°. Найдите углы треугольника AOB, где O - точка пересечения диагоналей ромба. 122. O - точка пересечения диагоналей ромба ABCD, AB = 118°. Найдите углы треугольника BOC. 123. Сумма длин трех сторон ромба равна 15 см. Найдите его периметр. 124. Сумма длин двух сторон ромба равна 18 см. Найдите периметр ромба. 125. ABCD - ромб, Z 2 = 66° (рис. Найдите Z1. 126. ABCD - ромб, Z1 = 58° (рис. Найдите Z 2. 127. ABCD - ромб, Z1 = 55° (рис. Найдите Z 3. 128. ABCD - ромб, Z 3 = 50° (рис. 56). Найдите Z1. 129. В ромбе ABCD AB = BD. Найдите углы ромба. 130. (Устно.) Какие общие свойства имеют ромб и параллелограмм? 131. Найдите углы ромба, если: 1) сумма двух его углов равна 80°; 2) один из них на 20° больше другого. 132. Найдите углы ромба, если: 1) сумма двух его углов равна 210°; 2) один из них на 50° меньше другого. 133. (Устно.) Верно ли утверждение: 1) если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом; 2) если в четырехугольнике диагонали не взаимно перпендикулярны, то он не может быть ромбом; 3) существует ромб, являющийся прямоугольником; 4) ни один прямоугольник не является ромбом? 29 Глава 1 т Достаточный уровень 134. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна 10°. 135. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как 2 : 3. 136. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по диагоналям. 137. Постройте ромб по стороне и углу. 138. В ромбе ABCD из вершины тупого угла B проведены высоты BM и BN. Докажите, что BM = BN. 139. В ромбе ABCD из вершин тупых углов проведены высоты BK и DL. Докажите, что BK = DL. 140. Высоты, проведенные из вершины острого угла ромба, образуют между собой угол 110°. Найдите углы ромба. 141. Высоты, проведенные из вершины тупого угла ромба, образуют между собой угол 50°. Найдите углы ромба. Высокий уровень 142. Диагональ ромба, проведенная из вершины тупого угла, образует с высотой, проведенной из этой же вершины, угол 30°. Меньшая диагональ ромба равна a см. Найдите: 1) углы ромба; 2) периметр ромба. 143. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите: 1) углы ромба; 2) периметр ромба, если его меньшая диагональ равна b см. 144. На диагонали AC ромба ABCD отметили точки M и N так, что AM = CN. Докажите, что четырехугольник DMBN является ромбом (рассмотрите два случая расположения точек M и N). 145. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. 146. В равносторонний треугольник ABC вписан ромб AMNK так, что треугольник и ромб имеют общий угол A, а точка N лежит на стороне BC. Найдите периметр треугольника, если периметр ромба равен 40 см. 30 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Упражнения для повторения I 147. Стороны параллелограмма относятся как 5 : 2. Найдите периметр параллелограмма, если разность этих сторон равна 15 см. 148. Один из углов треугольника равен сумме двух других. Найдите наибольшую сторону этого треугольника, если медиана, проведенная к ней, равна 5 см. 149. Периметр треугольника равен 2р см. Может ли одна из его сторон равняться: 1) (р - 1) см; 2) p см; 3) (р + 1) см? 150. В четырехугольнике ABCD биссектриса угла A пересекает биссектрисы углов B и D под прямым углом. Определите вид четырехугольника ABCD. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 151. Найдите периметр и площадь квадрата, сторона которого равна: 1) 5 см; 2) 2,1 дм; 3^ м; 4) 1— дм. 4 2 Интересные задачки для неленивых 152. (Киевская городская олимпиада, 1987 г.) Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны BC в точке K. Докажите, что отрезок AK длиннее диаметра окружности. Г КВАДРАТ 5 . И ЕГО СВОЙСТВА Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны. На рисунке 57 изображен квадрат ABCD. Так как прямоугольник является параллелограммом, то квадрат - параллелограмм, у которого все стороны равны, то есть он является ромбом. Таким образом, квадрат имеет свойства и прямоугольника, и ромба. Сформулируем свойства квадрата. 1. Все углы квадрата прямые. 2. Периметр квадрата PABcd = 4AB. 3. Диагонали квадрата равны (рис. 58). 31 Глава 1 4. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (рис. 58). 5. Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть образуют углы по 45° со сторонами квадрата (рис. 58). 6. Точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин: AO = BO = CO = DO. Рис. 57 D Рис. 59 Задача 1. Точки K и M принадлежат соответственно диагоналям BD и AC квадрата ABCD, причем = — АС, 4 ВК - —BD. Докажите, что АADM = АBAK (рис. 59). 4 Доказательство. 1) Z MAD = Z ABK = 45° (по свойству квадрата), AD = AB (как стороны квадрата). 2) Так как AC = BD (по свойству диагоналей квадрата) и AM = ^АС, ВК = ^BD, то AM = BK. 4 4 3) Тогда АADM = А BAK (по двум сторонам и углу между ними). А Рассмотрим признаки квадрата. Теорема (признаки квадрата). 1) Если у прямоугольника диагонали взаимно перпендикулярны, то он является квадратом. 2) Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом. Доказательство. 1) Данный прямоугольник является параллелограммом, а параллелограмм со взаимно перпендикулярными диагоналями - ромбом. Следовательно, у данного прямоугольника все стороны равны, поэтому он является квадратом. 2) Данный ромб является параллелограммом, а параллелограмм с равными диагоналями - прямоугольником. Следовательно, у данного ромба все углы прямые, поэтому он является квадратом. А 32 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Задача 2. Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны и все углы равны, то этот четырехугольник - квадрат. Доказательство. 1) Так как в четырехугольнике все углы равны, то, по признаку прямоугольника, он является прямоугольником. 2) Так как в прямоугольнике все стороны равны, то он является квадратом. А Термин «квадрат» происходит от латинского quadratum (quadrate -сделать четырехугольным). Известный историк математики Д. Д. Мордухай-Болтовский (18761952) писал: «Первым четырехугольником, с которым познакомилась геометрия, был квадрат». 1. Какую фигуру называют квадратом? 2. Сформулируйте свойства квадрата. 3. Сформулируйте и докажите признаки квадрата. Начальный уровень 153. Периметр квадрата равен 20 см. Найдите его сторону. 154. Сторона квадрата равна 7 дм. Найдите его периметр. 155. (Устно.) На рисунке 58 изображен квадрат ABCD. Найдите на этом рисунке равные отрезки. 156. Если четырехугольник является квадратом, то его диагонали равны и взаимно перпендикулярны. Верно ли обратное утверждение? Приведите пример. т Средний уровень 157. Точка пересечения диагоналей квадрата удалена от одной из его вершин на 2 см. Найдите сумму длин диагоналей этого квадрата. 158. Сумма длин диагоналей квадрата равна 32 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его вершин. 159. Сумма длин двух сторон квадрата равна 10 см. Найдите периметр квадрата. 160. Сумма длин трех сторон квадрата равна 18 дм. Найдите периметр квадрата. 33 Глава 1 161. (Устно.) Какие общие свойства у квадрата и ромба? 162. (Устно.) Какие общие свойства у квадрата и прямоугольника? 163. Разность периметра квадрата и его стороны равна 18 см. Найдите сторону квадрата и его периметр. 164. Соседние стороны прямоугольника равны. Докажите, что он является квадратом. 165. Один из углов ромба - прямой. Докажите, что этот ромб является квадратом. 166. (Устно.) Верно ли утверждение: 1) каждый квадрат является прямоугольником; 2) существует квадрат, который не является ромбом; 3) каждый ромб является квадратом; 4) каждый квадрат является ромбом; 5) любой прямоугольник является квадратом; 6) отношение периметра квадрата к его стороне является одинаковым для всех квадратов? 167. ABCD - квадрат, EF ± BD (рис. 60). Найдите ZBFE. 168. ABCD - квадрат, ZBOC = 70° (рис. 61). Найдите Z OKA. D Рис. 61 т Достаточный уровень 169. Постройте квадрат: 1) по его периметру; 2) по его диагонали. 170. Постройте квадрат по сумме его диагоналей. 171. Точка пересечения диагоналей квадрата удалена от его стороны на 3 см. Найдите периметр квадрата. 172. Периметр квадрата равен 32 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до его сторон. 34 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 173. ABCD - квадрат, AE = FC (рис. 62). Докажите, что BEDF - ромб. 174. ABCD - квадрат, AE = AF = CG = CH (рис. 63). Докажите, что EFGH - прямоугольник. В Рис. 62 175. Из точки A к окружности с центром O проведены две взаимно перпендикулярные касательные AB и AC, B и C - точки касания. Докажите, что ABOC - квадрат. Высокий уровень 176. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°) вписан квадрат CMNK так, что прямой угол у них общий, а точка N принадлежит стороне AB. Катет треугольника равен b см. Найдите периметр квадрата. 177. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°) вписан квадрат KMNL так, что точки K и M лежат на гипотенузе треугольника, а точки L и N - на катетах AC и BC соответственно. Периметр квадрата равен 12 см. Найдите гипотенузу треугольника. 178. Вне квадрата на его сторонах построены равносторонние треугольники. Докажите, что вершины треугольников, не являющиеся вершинами данного квадрата, являются вершинами другого квадрата. Упражнения для повторения ^ 179. В ромбе ABCD диагональ образует с его стороной угол 30°. Найдите углы ромба. 180. Найдите углы четырехугольника ABCD, у которого ZA : Z B : Z C : Z D = 1 : 3 : 4 : 10. Выпуклым или невыпуклым является этот четырехугольник? 35 Глава 1 181. Биссектриса угла B прямоугольника ABCD делит сторону AD на отрезки AK и KD так, что AK : KD = 3 : 5. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 110 см. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 182. 1) Начертите четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие - непараллельны. 2) Какое наибольшее количество острых углов может быть в таком четырехугольнике? Интересные задачки для неленивых 183. В 12 часов часовая и минутная стрелки совпадают. Через какое наименьшее количество минут стрелки опять совпадут? Домашняя самостоятельная работа № 1 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. 1. Укажите отрезок, являющийся диагональю четырехугольника ABCD. А. AB; Б. BD; В. BC; Г. AD. 2. Найдите тупой угол параллелограмма, если острый его угол равен 35°. А. 125°; Б. 135°; В. 145°; Г. 155°. 3. Найдите сторону квадрата, если его периметр равен 36 см. А. 4 см; Б. 6 см; В. 9 см; Г. 12 см. 4. Периметр прямоугольника равен 24 см, а одна из его сторон на 2 см больше другой. Найдите длину меньшей стороны прямоугольника. А. 5 см; Б. 6 см; В. 7 см; 5. ABCD - ромб, AA = 50° (рис. 64). Найдите /ABD. А. 55°; Б. 75°; В. 50°; Г. 65°. 6. Укажите правильное утверждение: А. если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то он является ромбом; Б. отношение периметра ромба к его стороне одинаково для всех ромбов; 36 Г. 8 см В Рис. 64 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ В. если диагонали четырехугольника равны, то он - прямоугольник; Г. отношение периметра прямоугольника, не являющегося квадратом, к его наибольшей стороне одинаково для всех прямоугольников. 7. Найдите наибольший угол четырехугольника, градусные меры углов которого пропорциональны числам 2, 3, 5 и 8. А. 120°; Б. 130°; В. 150 °; Г. 160 °. 8. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, образуют между собой угол 30°. Найдите тупой угол параллелограмма. А. 120°; Б. 130°; В. 150°; Г. 160 °. 9. Найдите острый угол ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна 40°. А. 25°; Б. 30°; В. 50°; Г. 60°. 10. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD делит сторону AB на отрезки AK и KB так, что AK : KB = 1 : 3. Найдите AB, если периметр параллелограмма равен 60 см. А. 26 см; Б. 24 см; В. 20 см; Г. 15 см. 11. Из вершины тупого угла A ромба ABCD проведена высота AK. ZCAK = 30°, AC = 6 см. Найдите периметр ромба. А. 18 см; Б. 24 см; В. 30 см; Г. 36 см. 12. В А ABC (ZC = 90°, AC = BC) вписан квадрат KLMN так, что K G AB; L е AB; M е CB; N е AC. Найдите периметр квадрата, если AB = 12 см. А. 24 см; Б. 20 см; В. 12 см; Г. 16 см. Задания для проверки знаний к § 1-5 1. Начертите четырехугольник MNPL и проведите в нем диагонали. 2. Найдите углы параллелограмма, если один из них равен 80°. 3. Найдите периметр квадрата, если его сторона равна 7 см. 4. Периметр прямоугольника равен рис 65 18 см. Найдите его стороны, если одна из них на 1 см больше, чем другая. 5. ABCD - ромб. ZABD = 50°. Найдите углы ромба. 6. На рисунке 65 ZABD = ZBDC, AB = DC. Докажите, что ABCD - параллелограмм. 37 Глава 1 7. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 4, 6. Какой это четырехугольник -выпуклый или невыпуклый? 8. Высоты, проведенные из вершины острого угла ромба, образуют между собой угол 120°. Найдите углы ромба. 9. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону BC на отрезки BK и KC так, что BK : KC = 4 : 3. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 88 см. Дополнительные задания 10. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC = 23 см вписан прямоугольник KLMN так, что точки K и L принадлежат гипотенузе треугольника, а точки M и N - катетам. Сторона KL прямоугольника на 2 см больше стороны LM. Найдите периметр прямоугольника. 11. Из вершины тупого угла В ромба ABCD проведена высота ВМ, Z DBM = 30°. Периметр ромба равен 40 см. Найдите меньшую диагональ ромба. 6. ТРАПЕЦИЯ Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. На рисунке 66 изображена трапеция ABCD. Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а не параллельные - боковыми сторонами. На рисунке 66 AD и BC - основания трапе-Рис. 66 ции, AB и CD - ее боковые стороны. Рассмотрим некоторые свойства трапеции. 1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Так как AD || BC, то ZA + Z B = 180° (как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично Z C + ZD = 180°. А 2. Трапеция является выпуклым четырехугольником. Поскольку ZA + ZB = 180°, то ZA < 180°, ZB < 180°. Аналогично Z C < 180°, ZD < 180°. Следовательно, трапеция - выпуклый четырехугольник. А 38 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание. Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 BK - высота трапеции ABCD. Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 - прямоугольная трапеция ABCD (ZA = 90°). Очевидно, что ZB = 90°, АВ является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой. Рис. 67 D Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 - равнобокая трапеция ABCD. Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции. 1. В равнобокой трапеции углы при основании равны. Доказательство. 1) Пусть в трапеции ABCD AB = CD. Проведем высоты трапеции BK и CM из вершин ее тупых углов В и С (рис. 70). Получили прямоугольник BKMC. Поэтому BK = CM. D D 2) {ABK = {DCM (по катету и гипотенузе). Поэтому Z BAD = Z CDA. 3) Также ZABK = Z DCM. Но Z KBC = Z MCB = 90°, поэто-муZ ABC = Z ABK + 90° и Z DCB = Z DCM + 90°. Следовательно, ZABC = ZDCB. A 39 Глава 1 2. Диагонали равнобокой трапеции равны. Доказательство. Рассмотрим рисунок 71. Z BAD = Z CDA (как углы при основании равнобокой трапеции), ^ = DC, ^D - общая сторона треугольников ABD и DCA. Поэтому А^BD = А DCA (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, AC = BD. А Задача. О - точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и BC (рис. 71). Докажите, что AO = OD, ВО = OC. Доказательство. АABD = АDCA (доказано выше). Поэтому Z ODA = Z OAD. По признаку равнобедренного треугольника АAOD - равнобедренный. Поэтому AO = OD. Поскольку AC = BD и AO = OD, то OC = BO (так как OC = AC - AO, ВО = BD - OD). А Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая. Доказательство. 1) Пусть в трапеции ABCD углы при большем основании AD равны (рис. 70), то есть Z BAD = Z CDA. Проведем высоты BK и CM, они равны. 2) Тогда А BAK = А CDM (по катету и противолежащему углу). Следовательно, AB = DC. Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать. А S’у Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» - однокоренные). В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом. Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие - не параллельны. □ 1. Какую фигуру называют трапецией? 2. Что называют основаниями трапеции, боковыми сторонами трапеции? 40 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 3. Сформулируйте свойства трапеции. 4. Что такое высота трапеции? 5. Какую трапецию называют прямоугольной, а какую - равнобокой? 6. Сформулируйте и докажите свойства равнобокой трапеции. 7. Сформулируйте и докажите признак равнобокой трапеции. ш Начальный уровень 184. На каких из рисунков 72-76 изображена трапеция? Рис. 74 Рис. 75 Рис. 76 185. Начертите трапецию PKML (PK || ML). Укажите основания трапеции, боковые стороны трапеции. 186. Начертите трапецию DMFK (DM || FK). Укажите основания трапеции, боковые стороны трапеции. 187. Начертите прямоугольную трапецию ABCD, у которой Z A = Z B = 90°. 188. Начертите равнобокую трапецию ABCD (AB = CD). 189. Два угла трапеции равны 20° и 100°. Найдите два других ее угла. 190. Два угла трапеции равны 110° и 40°. Найдите два других ее угла. т Средний уровень 191. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 10 см, а периметр - 28 см. Найдите боковую сторону трапеции. 192. Основания равнобокой трапеции равны 7 см и 5 см, а боковая сторона - 3 см. Найдите периметр трапеции. 193. Существует ли трапеция, у которой два противолежащих угла: 1) острые; 2) прямые; 3) тупые? В случае положительного ответа начертите такую трапецию. 41 Глава 1 194. Существует ли трапеция, у которой: 1) основания равны; 2) три стороны равны? В случае положительного ответа начертите такую трапецию. 195. Существует ли трапеция, у которой: 1) три угла прямые; 2) два противолежащих угла равны? В случае положительного ответа начертите такую трапецию. 196. Стороны AD и BC - основания трапеции ABCD. Докажите, что Z CA^ = Z ACB. 197. Могут ли углы трапеции, взятые последовательно, относиться как: 1) 2 : 3 : 4 : 1; 2) 2 : 3 : 5 : 2? 198. Могут ли углы трапеции, взятые последовательно, относиться как: 1) 3 : 1 : 2 : 2; 2) 3 : 1 : 2 : 4? 199. В трапеции, не являющейся равнобокой, два угла равны 40° и 140°. Можно ли найти два других ее угла? 200. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины острого угла, образует с боковой стороной угол 38°. Найдите углы трапеции. 201. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол 56°. Найдите углы трапеции. 202. В трапеции ABCD AB - большее основание. Прямые BC и AD пересекаются в точке Е. ZECD = 40°, ZBEA = 70°. Найдите углы трапеции. 203. В трапеции ABCD BC - меньшее основание. На отрезке AD выбрали точку Е так, что BE || CD; ZABE = 60°, Z BEA = 40°. Найдите углы трапеции. 204. В прямоугольной трапеции острый угол вдвое меньше тупого. Найдите углы трапеции. 205. В прямоугольной трапеции тупой угол на 40° больше, чем острый. Найдите углы трапеции. 206. В равнобокой трапеции боковая сторона вдвое больше высоты. Найдите углы трапеции. Достаточный уровень 207. В трапеции ABCD ZA + ZС = 180°. Определите вид трапеции. 208. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°. Большая боковая сторона равна большему основанию и равна 16 см. Найдите меньшее основание. 42 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 209. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона равна меньшему основанию и равна 18 см. Найдите большее основание. 210. В равнобокой трапеции диагональ равна большему основанию и образует с ним угол 40°. Найдите углы трапеции. 211. В равнобокой трапеции боковая сторона равна меньшему основанию, а диагональ образует с этим основанием угол 20°. Найдите углы трапеции. |ЙД 212. Диагональ АС трапеции ABCD делит угол А пополам. Докажите, что боковая сторона АВ равна основанию ВС. 213. О - точка пересечения биссектрис углов А и В трапеции A^CD (AD || BC). Докажите, что ZAOB = 90°. '|^-Д 214. BK и CM - высоты равнобокой трапеции ABCD, проведенные из вершин ее тупых углов, AD = а, BC = b. Докажите, что АК = MD = ^^; AM = KD = . а а 215. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание трапеции на отрезки 2 см и 7 см. Найдите основания трапеции. Высокий уровень 216. (Признак равнобокой трапеции). Если в трапеции диагонали равны, то она - равнобокая. Докажите. 217. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции. 218. В равнобокой трапеции ABCD AD - большее основание. AD = CD, ZBAC = 18°. Найдите углы трапеции. 219. Основания равнобокой трапеции равны а и b, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что а + Ь высота трапеции равна . а 220. В прямоугольной трапеции острый угол и угол между меньшей диагональю и меньшим основанием равны по 60°. Найдите отношение оснований трапеции. 221. В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, а тупой угол втрое больше, чем острый. Найдите отношение оснований. 43 Глава 1 222. Постройте трапецию по основаниям а и b (а > Ь) и боковым сторонам c и d. Упражнения для повторения 223. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 75°. Найдите внешний угол при вершине треугольника. 224. Тупой угол ромба равен 120°, а его меньшая диагональ - 5 см. Найдите периметр ромба. 225. Докажите, что параллелограмм, у которого все высоты равны, является ромбом. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 226. Начертите окружность, радиус которой 3 см. Проведите в ней диаметр и хорду. 227. Точка O - центр окружности (рис. 77). Найдите: 1) ZCOB, если ZCAO = 50°; 2) ZCAO, если ZCOB = 110°. 228. Точка O - центр окружности, а точка M - точка касания прямой a с окружностью (рис. 78). Найдите: 1) ZNMB, если ZMON = 140°; 2) ZMON, если ZBMN = 65°. Интересные задачки для неленивых 229. Четыре магазина некоего предпринимателя расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где ему следует разместить товарный склад, чтобы сумма расстояний от склада до всех магазинов была наименьшей? 44 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ mv. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ Центральным углом называют угол с вершиной в центре окружности. На рисунке 79 ZAOB - центральный угол, стороны которого пересекают окружность в точках А и В. Точки А и В разбивают окружность на две дуги. Часть окружности, лежащую внутри угла, называют дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Если центральный угол меньше развернутого, то соответствующая ему дуга меньше полуокружности (на рисунке 79 она выделена цветом). Если центральный угол больше развернутого, то соответствующая ему дуга больше полуокружности. Развернутому углу соответствует дуга, являющаяся полуокружностью. Дугу обозначают символов —, который записывают перед названием дуги или над ним. Чтобы уточнить, о какой именно из двух дуг, на которые центральный угол разделил окружность, идет речь, на каждой из них отмечают произвольную точку, отличную от концов дуги. Например, М и N (рис. 79). Тогда эти дуги можно записать так^ ^АМВ (или AMB) и ^ANB (или ANB). Если понятно, о какой именно дуге идет речь, то для ее обозначения достаточно указать лишь концы дуги, например АВ (или ^AB). Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусной мерой дуги окружности называют градусную меру соответствующего ей центрального угла. Например, если Z AOB = 70°, то АМВ = 70° (рис. 79). Очевидно, что градусная мера дуги, являющаяся полуокружностью, равна 180°, а дуги, являющейся окружностью, - 360°. На рисунке 79: аИВ = 360° - 70° = 290°. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. На рисунке 80 стороны вписанного угла АВС пересекают окружность в точках А и С. Говорят, что этот угол опирается на дугу АМС. 45 Глава 1 Очевидно, что точки пересечения сторон вписанного угла с окружностью делят ее на две дуги. Той, на которую опирается вписанный угол, будет дуга, не содержащая его вершину. Например, на рисунке 80 стороны вписанного угла АВС делят окружность на две дуги: АВС и АМС. Так как АМС не содержит вершины угла (точки В), то является дугой, на которую опирается вписанный угол АВС. Эта дуга выделена цветом. Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Доказательство. Пусть ZABC является вписанным в окружность с центром О и опирается на дугу АМС (рис. 80). Докажем, что ^^^С = ^ АМС. Рассмотрим три возможных а положения центра окружности относительно вписанного угла. 1) Пусть центр окружности - точка О - принадлежит одной из сторон угла, например ВС (рис. 81). Центральный угол АОС является внешним углом треугольника АОВ. Тогда, по свойству внешнего угла, ZАОС = ZАВО + Z ОАВ. Но АAOB - равнобедренный (АО = ОВ как радиусы), поэтому ZАВО = ZОАВ. Следовательно, ZАОС = 2ZАВО, то есть ZАВС = ZАВО = ^АОС. Но ZАОС = АМС. Таким образом^ = -|-АОС. 2) Пусть центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 82). Проведем луч ВО, пересекающий окружность в точке L. Тогда ZАВС = ZABL + ZLBC ^^L ^^LC = \{АВ + LC) = 1 ___ 2 ^ ^ = -АМС. 2 3) Пусть центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 83). Тогда ZАВС = ZABL - Z CBL ^ АВ - \LC = 2 А = \(А1 - lC) = j^MC. А в 46 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 84). Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 85). Рис. 85 Задача 1. Докажите, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг окружности, одна из которых лежит между сторонами угла, а вторая - между их продолжениями. Доказательство. Рассмотрим ZAFC с вершиной внутри круга (рис. 86). Докажем, что ZAFC = ^(AC+BD). ZAFC - внешний угол треугольника BCF, поэтому: ZAFC = ZFBC + Z= +BD). А В Рис. 86 Задача 2. Докажите, что угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг окружности, лежащих между его сторонами. Доказательство. Рассмотрим ZBFD, вершина которого лежит вне круга, а FB и FD - секущие (рис. 87). Докажем, что ZDFB = ^(BD-^). Z BAD - внешний угол треугольника ADF, поэтому: ZDAB = ZADC + ZDFB; то есть = ^^ + ZDFB. 2 2 Поэтому ^ = ^(BD -ЛС). А 2 2 2 47 Глава 1 □ Доказательство теоремы о вписанном угле встречается в «Началах» Евклида. Но еще раньше этот факт, как предположение, впервые высказал Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.). О том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, было известно вавилонянам 4000 лет тому назад, а первое доказательство этого факта приписывают Фалесу Милетскому. □ 1. Какой угол называют центральным? 2. Что называют градусной мерой дуги окружности? 3. Какой угол называют вписанным? 4. Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. т Начальный уровень 230. (Устно.) Какие из углов на рисунке 88 являются вписанными в окружность? 231. Определите градусную меру угла, вписанного в окружность, если соответствующий ему центральный угол равен: 1) 70°; 2) 190°. 232. Определите градусную меру центрального угла, если градусная мера соответствующего ему вписанного угла равна: 1) 20°; 2) 100°. 233. Точки А и В принадлежат окружности и лежат по одну сторону от хорды CD. Найдите Z CAD, если Z CBD = 55°. т Средний уровень 234. Точки A и B принадлежат окружности и лежат по разные стороны от хорды MN. Докажите, что Z MAN + Z MBN = 180°. 235. Точки M и N принадлежат окружности и лежат по разные стороны от хорды АВ. Найдите ZАМВ, если ZANB = 70°. 236. Точка Р окружности и ее центр О лежат по разные стороны от хорды CD. Найдите ZCOD, если Z CPD = 126°. 237. Точка А окружности и ее центр О лежат по разные стороны от хорды LK. Найдите ZLAK, если Z LOK = 128°. 48 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 238. Хорда разбивает окружность на две дуги в отношении 1 : 2. Найдите градусные меры вписанных углов, опирающихся на эти дуги. т Достаточный уровень 239. Хорда АВ равна радиусу окружности. Точка С окружности и ее центр лежат по одну сторону от хорды АВ. Найдите ZАСВ. 240. Хорды AD и BC пересекаются в точке F. ZABC = 20°, Z BCD = 80°. Найдите градусную меру угла AFB. 241. Хорды AB и CD пересекаются в точке M. ZABC = 35°, ZBAD = 55°. Докажите, что хорды AB и CD взаимно перпендикулярны. 242. О - центр окружности, ZMBA = 50° (рис. 89). Найдите х. IP Высокий уровень 243. Докажите, что угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания (рис. 90), равен половине дуги, лежащей между сторонами угла, то есть zcab^-Ша. 2 244. Равнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. ZAOB = 80°. Найдите углы треугольника ABC. Сколько решений имеет задача? 245. Равнобедренный треугольник MNK вписан в окружность с центром в точке О. ZMOK = 100°. Найдите углы треугольника MNK. Сколько решений имеет задача? 246. Найдите геометрическое место вершин прямоугольных треугольников с общей гипотенузой. 49 Глава 1 Упражнения для повторения 247. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона вдвое больше меньшей. Найдите углы трапеции. 248. Стороны параллелограмма равны a и b (a > b). Найдите отрезки, на которые биссектриса острого угла делит его большую сторону. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 249. Из точки А к окружности проведены две касательные, В и С - точки касания (рис. 91). Найдите длины отрезков АВ и АС касательных, если их сумма равна 16 см. Интересные задачки для неленивых 250. В каждой клетке прямоугольной доски размером 2017 X 2019 клеток сидит жук. По сигналу все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется свободная клетка? 8. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕ ТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Четырехугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Окружность при этом называют описанной около четырехугольника (рис. 92). Теорема 1 (свойство углов вписанного четырехугольника). Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°. 50 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Доказательство. Пусть в окружность с центром О вписан четырехугольник ABCD (рис. 92). Тогда /.А — —DCB, J '-' 2 АС = —DAB (по теореме о вписанном угле). Поэтому ^^ ^ ^^ ^ ^^СВ + DAB) - — • 360° = 180°. Тогда 2 2 ZB + ZD = 360° - 180° = 180°. А Следствие 1. Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобокая. Доказательство. Пусть трапеция ABCD вписана в окружность, AD || CB (рис. 93). Тогда ZA + ZC = 180°. Но в трапеции ZD + ZC = 180°. Поэтому ZA = ZD. Следовательно, ABCD -равнобокая трапеция (по признаку равнобокой трапеции). А Как известно из курса геометрии 7 класса, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольников это не так. Теорема 2 (признак вписанного четырехугольника). Если в четырехугольнике сумма двух противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность. Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD ZA + ZC = 180°. Проведем через точки А, В и C окружность. Докажем (методом от противного), что вершина D четырехугольника также будет лежать на этой окружности. 1) Допустим, что вершина D лежит внутри круга (рис. 94). Продолжим CD до пересечения с окружностью в точке М. Тогда Z В + Z D = 180° (по условию) и Z М + Z В = 180° (по свойству углов вписанного четырехугольника). Тогда Z D = Z M. Но ZADC - внешний, а ZAMC - не смежный с ним внутренний угол треугольника ADM. Поэтому ZADC должен быть больше, чем ZAMC. Глава 1 Пришли к противоречию, значит, наше предположение ошибочно, и точка D не может лежать внутри круга. 2) Аналогично можно доказать, что вершина D не может лежать вне круга. 3) Следовательно, точка D лежит на окружности, ограничивающей круг (рис. 92), а значит около четырехугольника ABCD можно описать окружность. А Следствие 1. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Следствие 2. Около равнобокой трапеции можно описать окружность. Заметим, что, как и в треугольнике, центром описанной около четырехугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, поскольку она равноудалена от всех его вершин. Например, в прямоугольнике такой точкой является точка пересечения диагоналей. Четырехугольник называют описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности. Окружность при этом называют вписанной в четырехугольник (рис. 95). Теорема 3 (свойство сторон описанного четырехугольника). В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны. Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD - описанный, P, L, K, T - точки касания (рис. 96). По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, AP = AT = a, BP = BL = b, CK = CL = c, DK = DT = d. На рисунке 96 равные отрезки обозначены одинаковым цветом. Тогда AD + BC = AT + TD + BL + LC = a + d + b + c; 52 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ AB + CD = AP + PB + CK + KD = a + b + c + d. Следовательно, AD + BC = AB + CD. A Как известно из курса геометрии 7 класса, в любой треугольник можно вписать окружность. Для четырехугольников это не так. Теорема 4 (признак описанного четырехугольника). Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Доказательство этой теоремы является достаточно громоздким, поэтому его не приводим. Следствие. В любой ромб можно вписать окружность. Как и в треугольнике, центром окружности, вписанной в четырехугольник, является точка пересечения биссектрис его углов. Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то центр вписанной в ромб окружности - точка пересечения диагоналей. 1. Какой четырехугольник называют вписанным в окружность? 2. Сформулируйте и докажите свойство углов вписанного четырехугольника. 3. Сформулируйте следствие из этого свойства. 4. Сформулируйте признак вписанного четырехугольника и следствия из него. 5. Какой четырехугольник называют описанным около окружности? 6. Сформулируйте и докажите свойство сторон описанного четырехугольника. 7. Сформулируйте признак описанного четырехугольника и следствие из него. Начальный уровень 251. На каких из рисунков 97-100 изображен вписанный четырехугольник, а на каких - описанный? Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99 Рис. 100 53 Глава 1 252. Можно ли вокруг четырехугольника ABCD описать окружность, если: 1) ZA = 30°; ZC = 150°; 2) ZB = 90°; ZD = 80°? 253. Может ли четырехугольник MNKL быть вписанным в окружность, если: 1) ZM = 20°; ZK = 150°; 2) ZN = 90°; ZL = 90°? т Средний уровень 254. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, стороны которого в порядке следования относятся как: 1) 5 : 3 : 4 : 7; 2) 3 : 2 : 4 : 5? 255. Может ли быть описанным четырехугольник, стороны которого в порядке следования относятся как: 1) 7 : 3 : 2 : 6; 2) 5 : 4 : 3 : 6? 256. Найдите углы A и B вписанного в окружность четырехугольника ABCD, если ZC = 132°; ZD = 29°. 257. Найдите углы C и D вписанного в окружность четырехугольника ABCD, если ZA = 138°; ZB = 49°. Достаточный уровень 258. В равнобокую трапецию, периметр которой равен 16 см, вписана окружность. Найдите боковую сторону трапеции. 259. Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна 5 дм. Найдите периметр трапеции. 260. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH1 и BH2, которые пересекаются в точке H. Докажите, что вокруг четырехугольника CH1HH2 можно описать окружность, диаметром которой будет отрезок CH. 261. Точка M лежит на стороне AB остроугольного треугольника ABC. MP и MK - перпендикуляры к сторонам AC и BC соответственно. Докажите, что около четырехугольника MPCK можно описать окружность, диаметром которой будет отрезок CM. Высокий уровень 262. Трапеция вписана в окружность радиуса R так, что диаметр окружности совпадает с ее большим основанием. Найдите периметр трапеции, если ее меньшее основание равно боковой стороне. 54 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Упражнения для повторения I 263. AB - основание равнобедренного треугольника A^C, I - центр вписанной окружности. ZAIB = а (а > 90°). Найдите углы треугольника ABC. 264. ^B - основание равнобедренного треугольника ABC, O - центр описанной окружности. ZAOB = а (а < 180°). Найдите углы треугольника ABC. Сколько случаев следует рассмотреть? Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 265. Прямая EK параллельна стороне AB треугольника ABC, E е AC, K е BC. Докажите, что ZCKE = ZCBA, ZCEK = ZCAB. Интересные задачки для неленивых 266. Постройте общую внешнюю касательную к двум непересекающимся окружностям разных радиусов. 9 ТЕОРЕМА ФАЛЕСА Теорема Фалеса. Если параллельн^те прямоте, пере-гекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равн^хе }трезки, то они отсекают равн^те отрезки и на другой его стороне. Доказательство. Пусть параллельные прямые A1B1, AgBg, A3B3 пересекают стороны угла с вершиной O (рис. 101), при этом A1A2 = A2A3. Докажем, что B1B2 = B2B3. 1) Проведем через точки A1 и A2 прямые A1M и A2N, параллельные прямой OB3. A1A2 = A2A3 (по условию), ZA2A1M = ZA3A2N (как соответственные углы при параллельных прямых A1M и A2N), ZA1A2M = ZA2A3N (как соответственные углы при параллельных прямых A2M и A3N). Поэтому AA1A2M = {A2A3N (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а значит, A1M = A2N (как соответственные стороны равных треугольников). 2) Четырехугольник A1MB2B1 - параллелограмм (по построению). Поэтому A1M = B1B2. Аналогично A2NB3B2 -параллелограмм, поэтому A2N = B2B3. О 55 Глава 1 Таким образом, A^M = A2N, A^M = A2N = B2B3, следова- тельно B^B^ = B2B3, что и требовалось доказать. А Следствие. Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой. С помощью линейки без делений по теореме Фалеса возможно разделить отрезок на любое количество равных частей. Задача. Разделите отрезок AB на 6 равных частей. Решение. 1) Пусть AB - данный отрезок (рис. 102). Проведем произвольный луч AC и отложим на нем циркулем последовательно 6 отрезков: AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C5 = C5C6. 2) Через точки C6 и B проведем прямую. 3) Через точки С1, С2, С3, С4, С5 с помощью угольника и линейки проведем прямые, параллельные прямой BC6. Тогда по теореме Фалеса эти прямые разделят отрезок AB на 6 равных частей: A.D1 = D1D2 = D2D3 = D3D4 = D4D5 = D5B. А □ Фалес Милетский - древнегреческий математик и астроном. По давней традиции его считают одним из так называемых семи мудрецов света, ведь он был одним из самых выдающихся математиков своего времени. В молодые годы любознательный юноша отправился путешествовать по Египту с целью познакомиться с египетской культурой и получить естественнонаучные знания. Будучи способным и одаренным, 56 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Фалес не только быстро изучил то, что в то время уже было известно египетским ученым, но и сделал ряд собственных научных открытий. Он самостоятельно определил высоту египетских пирамид по длине их тени, чем очень удивил египетского фараона Амазиса, а вернувшись на родину, создал в Милети философскую школу. По мнению историков Фалес был первым, кто познакомил греков с геометрией и стал первым греческим астрономом. Он предсказал солнечное затмение, произошедшее 28 мая 585 года до н. э. На гробнице Фалеса высечена надпись: «Насколько мала эта гробница, настолько велика слава этого царя астрономов в области звезд». Фалес Милетский (ок. 625-548 до н. э.) Сформулируйте и докажите теорему Фалеса. Начальный уровень 267. (Устно.) На рисунке 103 || A2B2 || A3B3, A1A2 = 3 см, A2A3 = 3 см, B1B2 = 5 см. Найдите B2B3. 268. На рисунке 103 A1B1 || A2B2 || A3B3, B1B2 = B2B3, A2A3 = = 7 см. Найдите A1A2. 269. На рисунке 104 M1N1 || M2N2, OM1 = M1M2, ON1 = 4 см. Найдите ON2. 270. На рисунке 104 M1N1 || M2N2, ON1 = 6 см, N1N2 = 6 см, OM1 = 3,5 см. Найдите Om2. 1^ Средний уровень 271.1 Разделите данный отрезок на 5 равных частей. 272. Разделите данный отрезок на 7 равных частей. 1 Задачи 271-274 необходимо решить с помощью линейки без делений. 57 Глава 1 т Достаточный уровень 273. Разделите данный отрезок на две части в отношении 2 : 5. 274. Разделите данный отрезок на две части в отношении 3 : 2. 275. На рисунке 103 A^A2 = A2A3, || A2B2 || A3B3. A1A2 : B1B2 = 3 : 5, B2B3 - A2A3 = 8 см. Найдите A1A2, A2A3, B1B2, B2B3. 276. На рисунке 104 ON1 = N1N2, M1N1 || M2N2, ON1 : OM1 = = 7 : 4, N1N2 + M1M2 = 33 см. Найдите ON2 и OM2. Высокий уровень 277. M и N - соответственно середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Отрезки MD и BN пересекают диагональ AC в точках L и K соответственно. Докажите, что AL = LK = KC. 278. Точки E, F и G делят медиану AD треугольника ABC на четыре равные части (AE = EF = FG = GD). Докажите, что прямая CG делит сторону AB в отношении 3 : 2, считая от вершины A. 279. Точки M и N делят медиану AD треугольника ABC на три равные части (AM = MN = ND). Докажите, что прямая BN содержит медиану треугольника. 280. Точка K - середина медианы AD треугольника ABC. Отрезок BK пересекает сторону AC в точке M. Найдите AM : MC. -Л- Упражнения для повторения 1^ 281. Постройте отрезок АВ длиной 5 см и геометрическое место точек, равноудаленных от его концов. 282. Из точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, удаленные от центра на 5 см и 7 см. Найдите длины этих хорд. Интересные задачки для неленивых 283. (Всеукраинская математическая олимпиада, 1976 г.) Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка P так, что AAPB = ZACB + 60°, ZBPC = ZBAC + 60°, ZCPA = ZCBA + 60°. Докажите, что основания перпендикуляров, проведенных из точки P к сторонам треугольника ABC, являются вершинами равностороннего треугольника. 58 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ mio. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЕЕ СВОЙСТВА Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 105 KL - средняя линия треугольника ABC. Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Доказательство. Пусть KL - средняя линия треугольника ABC (рис. 105). Докажем, что KL || AB и KL = ^АВ. А 1) Проведем через точку L прямую, параллельную AB. По теореме Фалеса она пересекает сторону AC в ее середине, то есть в точке K. Следовательно, эта прямая содержит среднюю линию KL. Поэтому KL || AB. 2) Проведем через точку L прямую, параллельную AC, которая пересекает AB в точке M. Тогда AM = MB (по теореме Фалеса). Четырехугольник AKLM - параллелограмм. KL = AM (по свойству параллелограмма), н^ = \'^. Поэтому = ^АВ. А Задача. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника. Доказательство. ПустьABCD - данный четырехугольник, а точки K, L, M, N - середины его сторон (рис. 106). KL - средняя линия треугольника ABC, поэтому KL || AC и KL - АС. Аналогично MN || AC, MN = ^АС. 59 Глава 1 Таким образом, KL || MN, KL = MN. Тогда KLMN - параллелограмм (по признаку параллелограмма). KN - средняя линия треугольника ABD. Поэтому KN || BD. Следовательно, KFOP - также параллелограмм, откуда: Z NKL = Z BOA. А Рассмотрим свойство медиан треугольника. Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника. Доказательство. Пусть M - точка пересечения медиан AK и CN треугольника ABC (рис. 107). 1) Построим четырехугольник LDTK, где D - середина AM, T - середина BM. 2) DT - средняя линия треугольника ABM, поэтому DT || AB и - —АВ. 2 3) KL - средняя линия треугольника ABC, поэтому KL || AB и KL = —АВ. 2 4) Следовательно, DT || KL и DT = KL. Значит, DTKL - параллелограмм (по признаку параллелограмма). 5) M - точка пересечения диагоналей TL и DK параллелограмма DTKL, поэтому MT = ML, DM = MK. Но MT = BT, DM = AD. Тогда BT = TM = ML и AD = DM = MK. Следовательно, точка M делит каждую из медиан AK и BL в отношении 2 : 1, считая от вершин A и B соответственно. 6) Точка пересечения медиан AK и CN должна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка - точка M, которая в таком отношении делит медиану AK, то медиана CN также проходит через эту точку. 7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника. А Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника. 1. Что называют средней линией треугольника? 2. Сформулируйте и докажите свойство средней линии треугольника. 3. Сформулируйте свойство медиан треугольника. 60 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Ш Начальный уровень 284. (Устно.) Какие отрезки на рисун- ке 108 являются средними линиями треугольника ABC, если = MB, BK = KC, AL = LC? 285. Начертите произвольный тупоугольный треугольник MNK и его наибольшую среднюю линию. 286. Начертите равнобедренный треугольник ABC и его среднюю линию, концы которой принадлежат боковым сторонам. 287. KL - средняя линия треугольника ABC (рис. 105). 1) AB = 14 см. Найдите KL; 2) KL = 6 дм. Найдите AB. 288. KL - средняя линия треугольника ABC (рис. 105). 1) AB = 20 см. Найдите KL; 2) KL = 7 дм. Найдите A.B. L Рис. 108 т Средний уровень 289. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон равнобедренного треугольника, равен 5 см. Найдите основание треугольника. 290. Основание равнобедренного треугольника равно 18 дм. Найдите длину отрезка, соединяющего середины боковых сторон треугольника. 291. Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 7 см, 8 см и 10 см. 292. Стороны треугольника равны 12 дм, 16 дм и 18 дм. Найдите периметр треугольника, сторонами которого являются средние линии данного треугольника. 293. Дано: ED - средняя линия треугольника ABC, E е AC, D е BC. Доказать: Z CED = Z CAB. 294. (Устно.) Определите вид треугольника, если: 1) две его средние линии равны между собой; 2) три его средние линии равны между собой. 295. Периметр треугольника равен 24 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника. 61 Глава 1 296. Периметр треугольника, вершины которого - середины сторон данного треугольника, равен 18 см. Найдите периметр данного треугольника. т Достаточный уровень 297. Стороны треугольника относятся как 4 : 3 : 5. Найдите его стороны, если периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 60 см. 298. Периметр треугольника равен 80 см. Стороны треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, относятся как 4 : 9 : 7. Найдите стороны данного треугольника. 299. Сторона треугольника равна 10 см, а одна из средних линий - 6 см. Найдите остальные стороны треугольника, если одна из них в 1,5 раза больше другой. Сколько случаев следует рассмотреть? 300. E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD. Найдите периметр четырехугольника EFGH, если AC = 16 см, BD = 10 см. 301. Диагональ прямоугольника равна 10 см. Чему равен периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника? 302. O - точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Точки M и K - середины сторон AD и DC соответственно. Докажите, что MK ± OD. 303. AK - медиана равнобедренного треугольника ABC с основанием BC. Точки P и F - середины сторон AB и AC соответственно. Докажите, что PF ± AK. 304. Докажите, что если два треугольника равны, то равны и треугольники, вершинами которых являются середины сторон данных треугольников. Высокий уровень 305. Точка M - середина катета AC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (ZC = 90°). Расстояние от точки M до гипотенузы равно a см. Найдите гипотенузу. 306. Точка K - середина катета BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB = 20 см. Найдите расстояние от точки K до гипотенузы. 307. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. 62 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 308. M - точка пересечения медиан равнобедренного треугольника ABC (AB = AC). Известно, что AM = 8 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны до основания треугольника. 309. Середина боковой стороны равнобедренного треугольника KLM (KL = KM) удалена от основания треугольника на 9 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до вершины K. - Упражнения для повторения 310. В треугольнике ABC ZA = 40°, ZB = 80°, O - центр описанной окружности. Найдите ZAOB, Z BOC, Z COA. 311. Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 30°, а другая диагональ равна 7 см. Найдите периметр ромба. 312. В равнобокой трапеции основания равны a и b (a > b), а острый угол - 60°. Найдите: 1) боковую сторону трапеции; 2) периметр трапеции; 3) условие, при котором в трапецию можно вписать окружность. Интересн ые задачки для неленивых 313. Существует ли треугольник, две биссектрисы которого взаимно перпендикулярны? 'I '\ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ, 11. ЕЕ СВОЙСТВА Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Рассмотрим свойство средней линии трапеции. Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство. Пусть ABCD - данная трапеция, EF - ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что EF || AD, EF || BC и EF^ AD + BC. 63 Глава 1 М 1) Проведем луч BF до его пересечения с лучом AD. Пусть M - точка их пересечения. Тогда ZBCF = ZMDF (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AM и секущей CD), Z CFB = ZDFM (как вертикальные), CF = FD (по условию). Следовательно, АCFB = АDFM (по стороне и двум прилежащим углам), откуда BF = FM, BC = DM (как соответственные стороны равных треугольников). 2) Поскольку BF = FM, то EF - средняя линия треугольника ABM. Тогда, по свойству средней линии треугольника, EF || AM, а значит, EF || AD. Но так как AD || BC, то EF || BC. 3) Кроме того, EF = = AD+DM AD+BC А 2 2 Задача 1. Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований. Доказательство. Пусть EF - средняя линия трапеции ABCD, M - точка пересечения AC и EF, N - точка пересечения BD и EF (рис. 110). Пусть AD = а, BC = b. Докажем, что MN = ^. 2 1) Так как EF || AD, EF || BC и AE = BE, то, по теореме Фалеса, M -середина AC, N - середина BD. Поэтому EM - средняя линия треугольника ABC, NF - средняя линия треугольника DBC. ВС _ ДГ1, _ ВС _ ^ 22’ 22. 2) EF - средняя линия трапеции, г, т, С1 Ь поэтому EF - Тогда ЕМ 3) MN = EF -(ЕМ + NF) = а + Ь А +А ,2 2 А Задача 2. В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции - 48 см. 64 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Решение. Пусть ABCD - данная трапеция, EF - ее средняя линия, BC : AD = 3 : 7, Z CAD = ZBAC (рис. 111). 1) Обозначим BC = 3x, AD = 7x. Тогда EF = AD+BC 7x + 3x Юл: = 5 л: (см). D 2) Z CAD = Z BAC (по условию). Z CAD = Z BCA (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). Поэтому Z BCA = Z BAC. Следовательно, А BAC - равнобедренный, у которого AB = BC (по признаку равнобедренного треугольника). Но AB = CD (по условию), значит, AB = BC = CD = 3x (см). 3) Учитывая, что PABCD = 48 см, получим уравнение: 7х + 3х + 3х + 3х = 48, откуда x = 3 (см). 4) Тогда EF = 5 • 3 = 15 (см). Ответ. 15 см. То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.). О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.). □ 1. Что называют средней линией трапеции? 2. Сформулируйте и докажите свойство средней линии трапеции. т Начальный уровень 314. (Устно.) На каких из рисунков 112-115 отрезок EF является средней линией трапеции? . F Рис. 113 Е Рис. 114 Рис. 115 65 Глава 1 315. Основания трапеции равны 8 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции. 316. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 7 см и 11 см. т Средний уровень 317. Найдите основание трапеции, если ее другое основание равно 9 см, а средняя линия - 7 см. 318. Одно из оснований трапеции равно 5 см, а средняя линия - 10 см. Найдите другое основание трапеции. 319. Одно из оснований трапеции равно 8 см, а другое - вдвое больше. Найдите расстояние между серединами боковых сторон трапеции. 320. Средняя линия трапеции равна 30 см. Найдите основания трапеции, если: 1) одно из них на 8 см больше другого; 2) одно из них в 4 раза меньше другого; 3) они относятся как 3 : 2. 321. Средняя линия трапеции равна 16 см. Найдите основания трапеции, если: 1) одно из них на 2 см меньше другого; 2) одно из них втрое больше другого; 3) их отношение равно 3 : 5. 322. K - точка пересечения диагонали BD трапеции ABCD с ее средней линией MN. Докажите, что BK = KD. 323. Боковые стороны трапеции равны 7 см и 9 см, а ее средняя линия - 10 см. Найдите периметр трапеции. 324. Боковые стороны трапеции равны 10 см и 12 см, а ее периметр - 52 см. Найдите среднюю линию трапеции. т Достаточный уровень 325. Может ли средняя линия трапеции: 1) равняться одному из оснований; 2) быть меньше меньшего основания; 3) быть больше большего основания; 4) быть вдвое меньше большего основания? 326. EF - средняя линия трапеции ABCD, пересекающая диагональ BD в точке N. EN = 5 см, NF = 3 см. Найдите основания трапеции. 66 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 327. MN - средняя линия трапеции ABCD, пересекающая диагональ AC в точке K. Найдите MK и KN, если основания трапеции равны 18 см и 12 см. 328. В трапеции ABCD AD = 30 см, BC = 12 см - основания, а точки E и T - середины AB и AE соответственно. Через E и T проведены прямые, параллельные AD. Найдите отрезки этих прямых, содержащиеся между боковыми сторонами трапеции. 329. В трапеции ABCD M - середина боковой стороны AB, N -середина MB. Через точки M и N параллельно BC проведены прямые, пересекающие CD в точках K и L соответственно. MK = 12 см, NL = 8 см. Найдите основания трапеции. 330. В равнобокой трапеции ABCD перпендикуляр, проведенный из вершины B к большему основанию AD, делит его на отрезки 3 см и 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 331. Из вершины B тупого угла равнобокой трапеции ABCD к основанию AD проведена высота BK. Найдите среднюю линию трапеции, если AK = 4 см, BC = 6 см. 332. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой l. Расстояние до нее от точки A равно 7 см, а от точки M, являющейся серединой AB, - 5 см. Найдите расстояние от точки B до прямой l. 333. По одну сторону от прямой a на расстоянии 10 см и 16 см от нее отметили точки M и N. Найдите расстояние от середины отрезка MN до прямой а. Высокий уровень 334. Основания трапеции равны 6 см и 14 см. Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на три части. Найдите длину каждой из этих частей. 335. Диагонали делят среднюю линию трапеции на три части, длины которых 7 см, 8 см и 7 см. Найдите основания трапеции. 336. В трапеции ABCD (AD || BC) ZA = 90°, ZC = 135°, AB = 6 см. Найдите среднюю линию трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне. 337. Диагональ равнобокой трапеции делит ее тупой угол пополам, а среднюю линию - на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр трапеции. 338. Диагональ равнобокой трапеции делит ее острый угол пополам, а среднюю линию - на отрезки 3 см и 7 см. Найдите периметр трапеции. 67 Глава 1 -jj^ Упражнения для повторения ^ 339. Найдите углы M и N четырехугольника MNKL, вписанного в окружность, если ZK = 37°, ZL = 119°. 340. Окружность вписана в равнобокую трапецию. Найдите периметр трапеции, если ее боковая сторона равна a см. 341. В прямоугольной трапеции тупой угол равен 120°, большее основание - 14 см, а большая боковая сторона - 8 см. Найдите меньшее основание трапеции. Интересные задачки для неленивых 342. Все стенки и дно картонной коробки без крышки имеют форму квадрата со стороной а. Разрежьте развертку коробки двумя разрезами так, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат, площадь которого равна 5а2. Домашняя самостоятельная работа № 2 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. Рис. 116 1. На рисунке 116 изображена трапеция. Укажите ее основания. A. KN и ML; Б. KL и MN; B. KN и MN; Г. ML и MN. 2. Найдите градусную меру центрального угла, если градусная мера соответствующего ему вписанного угла равна 40°. А. 40°; Б. 20°; В. 80°; Г. 30°. 3. На рисунке 117 M1N1 || M2N2, ON^ = N1N2; OM2 = 16 см. Найдите M1M2. A. 4 см; Б. 8 см; B. 6 см; Г. найти невозможно. 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. А A = 20°, AB = 100 °. Найдите углы C и D этого четырехугольника. A. АС = 80°; AD = 160°; Б. АС = 150°; AD = 80°; B. АС = 20°; AD = 100°; Г. АС = 160°; AD = 80°. 5. Основание равнобедренного треугольника равно 4 см, а боковая сторона - 10 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого - середины сторон данного треугольника. А. 11 см; Б. 12 см; В. 14 см; Г. 16 см. 68 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 6. Средняя линия трапеции равна 20 см, а ее основания относятся как 2 : 3. Найдите длину меньшего основания. А. 16 см; Б. 24 см; В. 18 см; Г. 8 см. 7. Хорды MN и KL пересекаются в точке A; ZMKL = 30°; ZKLN = 70°. Найдите ZKAM. А. 30°; Б. 70°; В. 80°; Г. 100°. 8. Окружность вписана в равнобокую трапецию, боковая сторона которой равна 10 см. Найдите периметр трапеции. А. 50 см; Б. 20 см; В. 30 см; Г. 40 см. 9. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°, а большая боковая сторона и меньшее основание - по 18 см. Найдите большее основание трапеции. А. 36 см; Б. 24 см; В. 27 см; Г. 30 см. 10. Диагональ равнобокой трапеции делит ее острый угол пополам, а среднюю линию - на отрезки 4 см и 5 см. Найдите периметр трапеции. А. 32 см; Б. 34 см; В. 36 см; Г. 38 см. 11. Точка N - середина медианы AD треугольника ABC. BN пересекает AC в точке F. Найдите AF, если AC = 18 см. А. 6 см; Б. 9 см; В. 3 см; Г. 2 см. 12. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 36 см. Найдите расстояние от середины катета до гипотенузы. А. 12 см; Б. 6 см; В. 18 см; Г. 9 см. Задания для проверки знаний к § 6-11 Щ 1. Начертите трапецию MKPF (MK || PF). Укажите ее основания и боковые стороны. Найдите градусную меру вписанного угла, если соответствующий ему центральный угол равен 70°. На рисунке 118 A1B1 || A2B2, OB1 = B1B2, OA1 = 2 см. Найдите OA2. 4. Найдите углы A и B четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если ZC = 140°, ZD = 70°. 5. Стороны треугольника равны 10 см, 12 см и 16 см. Найдите периметр треугольника, сторонами которого являются средние линии данного треугольника. 2. 3. 69 Глава 1 6. Средняя линия трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если одно из них на 4 см больше другого. W 7. Окружность вписана в равнобокую трапецию, периметр которой 20 см. Найдите боковую сторону трапеции. 8. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°, а большая боковая сторона и большое основание равны по 12 см. Найдите меньшее основание трапеции. 9. Диагональ равнобокой трапеции делит ее тупой угол пополам, а среднюю линию - на отрезки 9 см и 7 см. Найдите периметр трапеции. Дополнительные задания 10. Точки K, L, M делят медиану BD треугольника ABC на четыре равные части (BK = KL = LM = MD). AM пересекает BC в точке F. Найдите CF : FB. 11. Точка D - середина катета BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (Z C = 90°). Расстояние от точки D до гипотенузы треугольника на 15 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу треугольника. Упражнения для повторения главы 1 К § 1 343. Начертите четырехугольник AMCN. Запишите вершины, стороны и углы этого четырехугольника. 344. Могут ли в четырехугольнике три угла быть прямыми, а четвертый: 1) острым; 2) тупым? 345. Два угла четырехугольника равны 40° и 80°, а два других между собой равны. Найдите неизвестные углы четырехугольника. 346. Запишите все возможные варианты обозначения четырехугольника ABCD. 347. Один из углов четырехугольника на 10° меньше второго, на 50° меньше третьего и вдвое меньше четвертого. Найдите углы четырехугольника. 348. Все стороны четырехугольника равны. Докажите, что сумма любых двух соседних углов этого четырехугольника равна 180°. 70 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ К § 2 349. Начертите параллелограмм KMTL, у которого угол K - тупой. Проведите диагонали параллелограмма и обозначьте их точку пересечения через O. Укажите на рисунке пары равных отрезков. 350. На рисунке 119 ABCD - параллелограмм, Z1 = 105°. Найдите Z 2. 351. В четырехугольнике ABCD ZA + ZB = 180°, ZB + Z C = 180°. Докажите, что четырехугольник ABCD -параллелограмм. 352. На рисунке 120 AD = BC, Z1 = Z 2. Докажите, что ABCD - параллелограмм. 354 355 356 358 359 353. Прямые a и b пересекаются. Постройте параллелограмм так, чтобы его диагонали лежали на этих прямых. . Дан параллелограмм ABCD и треугольник ENM. Возможно ли, чтобы одновременно выполнялись равенства ZA = Z E, Z B = Z N, Z C = Z M? . В параллелограмме ABCD точка M - середина AD, N -середина BC. Докажите, что отрезки AN и BM точкой пересечения делятся пополам. . Дано три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько параллелограммов с вершинами в этих точках можно построить? 357. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине. . Докажите, что биссектрисы противолежащих углов параллелограмма или параллельны, или совпадают. . Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен 30°. Найдите эти высоты, если стороны параллелограмма равны 8 см и 20 см. 71 Глава 1 360. Постройте параллелограмм по двум непараллельным сторонам и высоте, проведенной к одной из них. К § 3 361. Начертите прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см и найдите его периметр. 362. В четырехугольнике точка пересечения диагоналей делит диагонали на четыре равных отрезка. Определите вид четырехугольника. 363. Биссектриса угла A прямоугольника ABCD пересекает продолжение стороны DC в точке N. Найдите ZAND. 364. Постройте прямоугольник по: 1) стороне и диагонали; 2) диагонали и углу, который она образует с одной из сторон; 3) диагонали и углу между диагоналями. 365. Биссектриса угла A прямоугольника ABCD пересекает сторону CD в точке M. Найдите периметр прямоугольника, если DM = 5 см, MC = 2 см. 366. Точка пересечения диагоналей прямоугольника находится от меньшей стороны на 2 см дальше, чем от большей. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 56 см. 367. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла прямоугольника к диагонали, делит ее в отношении 1 : 3. Найдите меньшую сторону прямоугольника, если диагональ равна a см. 368. Биссектрисы углов A и D прямоугольника ABCD пересекают его сторону BC в точках L и K соответственно. BL = 7 см, LK = 2 см. Найдите периметр прямоугольника ABCD. Сколько случаев следует рассмотреть? К § 4 369. Начертите ромб MKLN с тупым углом M и проведите в нем высоты MA и MB. 370. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O, Z BAO = 25°. Найдите углы ромба. 371. Найдите углы ромба, если отношение двух из них равно 2 : 3. 72 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 372. В ромбе ABCD из вершины острого угла A проведены высоты AM и AN. Докажите, что AM = AN. 373. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, а его периметр равен m см. Найдите стороны параллелограмма. 374. Угол между продолжением высоты ромба, проведенной из вершины острого угла, и продолжением диагонали, которая соединяет вершины тупых углов, равен 40°. Найдите углы ромба. 375. Высота ромба равна 10 см, а его периметр - 80 см. Найдите: 1) углы ромба; 2) угол между высотой, проведенной из вершины тупого угла ромба, и его меньшей диагональю. Постройте ромб по диагонали и высоте. На сторонах прямоугольника вне его построены равносторонние треугольники. Докажите, что вершины треугольников являются вершинами ромба. 376. 377. К § 5 378. Начертите квадрат, сторона которого равна 3 см. Найдите периметр квадрата. 379. Разность между периметром квадрата и суммой трех его сторон равна 8 см. Найдите сторону квадрата и его периметр. 380. В данную окружность, положение центра которой известно, впишите квадрат. 381. Диагональ прямоугольника делит его угол пополам. Является ли прямоугольник квадратом? ^ 382. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD отметили точки A1, B1, C1, D1 так, что AA1 = BB1 = CC1 = DD1. Определите вид четырехугольника AiBiCiDi. 383. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит по одной его вершине, а стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника, если диагональ квадрата равна d см. К § 6 384. Начертите прямоугольную трапецию NMLK и равнобокую DCFH. Назовите основания трапеций и их боковые стороны. 73 Глава 1 385. Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой 8 см и 5 см, а боковые стороны равны меньшему основанию. 386. В равнобокой трапеции один из углов на 20° больше другого. Найдите углы трапеции. 387. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона вдвое больше высоты. Найдите углы трапеции. 388. Найдите углы равнобокой трапеции, если противолежащие ее углы относятся как 4 : 5. 389. В трапеции ABCD с большим основанием AD через точку K - середину CD - провели прямую BK, которая пересекает прямую AD в точке M. Докажите, что АBKC = АMKD. 390. Высота прямоугольной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол 30° и делит пополам большее основание. Найдите большее основание трапеции, если большая боковая сторона равна m см. 391. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а ее основания равны 10 см и 6 см. Найдите периметр трапеции. 392. ABCD - прямоугольная трапеция, ZD = Z C = 90°, AD -большее основание, ZBDC = 45°, ZABD = 90°, AD = 10 см. Найдите BC и CD. 393. В равнобокой трапеции меньшее основание равно 5 см, боковая сторона - 3 см, а угол между боковой стороной и большим основанием равен 60°. Найдите периметр трапеции. 394. В равнобокой трапеции диагональ равна большему основанию, а боковая сторона - меньшему. Найдите углы трапеции. 395. Постройте трапецию по ее основаниям и диагоналям. 396. В трапеции ABCD BC - меньшее основание. Через точку C проведена прямая, параллельная AB и пересекающая AD в точке E. Найдите периметр треугольника ECD, если периметр трапеции равен 56 см, а BC = 10 см. к § 7 397. На рисунке 121 точка O окружности. 1) Z1 = 40°. Найдите Z 2. 2) Z 2 = 25°. Найдите Z1. центр 74 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 398. На рисунке 121 точка O - центр окружности. Найдите Z 2, если: 1) Z1 - Z2 = 15°; 2) Z1 + Z2 = 54°. 399. Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите ZBOC, если ZA = а. 400. В окружность вписан угол ABC, равный 30°. Найдите длину хорды AC, если радиус окружности равен 2 см. 401. Продолжение биссектрисы угла A треугольника ABC пересекает окружность, описанную около треугольника, в точке K. Докажите, что BK = CK. 402. Окружность разделена четырьмя точками на части, которые относятся как 1 : 2 : 3 : 4, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного четырехугольника. 403. Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок MN видно под заданным углом а. К § 8 404. Можно ли вписать окружность в четырехугольник ABCD, если: 1) AB = 5 см, BC = 3 см, CD = 4 см, DA = 6 см; 2) AB = 3 дм, BC = 7 дм, CD = 8 дм, DA = 10 дм? 405. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого в порядке следования относятся как: 1) 2 : 7 : 10 : 5; 2) 3 : 5 : 8 : 4? 406. ABCD - четырехугольник, описанный около окружности, AB = 3 см, BC = 9 см, CD = 10 см. Найдите AD. ^ 407. В четырехугольнике ABCD Z ABC = 100°, Z ADC = 80°, ZBDC = 30°. Найдите ZBAC. 408. Три угла четырехугольника, вписанного в окружность, относятся в порядке следования как 3 : 4 : 6. Найдите углы четырехугольника. 409. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем AC - ее диаметр. Точка O - точка пересечения диагоналей. Найдите ZAOD, если ZBAC = 30°, Z CAD = 58°. 410. Острый угол прямоугольной трапеции, описанной около окружности, в 5 раз меньше тупого. Найдите периметр трапеции, если ее меньшая боковая сторона равна a см. 75 Глава 1 К § 9 411. На рисунке 122 прямые A^B^, A2B2 и A3B3 - параллельны, A^A^ = A2A3. Найдите на этом рисунке и другие пары равных отрезков. 412. Разделите данный отрезок на 9 равных частей, используя линейку без делений. 413. Разделите данный отрезок на 3 части, длины которых относятся как 3 : 1 : 2, используя линейку без делений. 414. Точка K делит медиану AN треугольника ABC в отношении 2 : 1, считая от точки A. Докажите, что прямая CK делит сторону AB пополам. 416 418 419 420 422 К § 10 415. Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, равен 5 см. Найдите третью сторону треугольника. . Начертите прямоугольный треугольник ABC (Z C = 90°) и проведите в нем наибольшую среднюю линию. 417. EF - средняя линия треугольника ABC (E g AC, F g BC). CE = 3 см, CF = 5 см, EF = 7 см. Найдите периметр треугольника ABC. . Одна из средних линий равностороннего треугольника равна 2 см. Найдите периметр треугольника. . Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7 см, а периметр - 20 см. Найдите среднюю линию, концы которой принадлежат боковым сторонам. . Точки D, Е, F - соответственно середины сторон AB, BC и CA треугольника ABC. Докажите, что четырехугольник DEFA - параллелограмм. 421. Сторона треугольника равна 12 см. Найдите две другие стороны треугольника, если одна из его средних линий равна 5 см, а периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 18 см. . В треугольнике проведены средние линии. Периметры параллелограммов, которые образовались при этом, равны 22 см, 24 см и 26 см. Найдите периметр данного треугольника и треугольника, образованного его средними линиями. 76 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 423. Постройте треугольник по трем точкам - серединам его сторон. 424. Последовательно соединили середины сторон квадрата, диагональ которого равна d см. Определите вид четырехугольника, который при этом образовался, и вычислите его периметр. 427 429 430 432 433 К § 11 425. Начертите трапецию ABCD и проведите в ней среднюю линию EF. Измерьте основания трапеции и вычислите длину ее средней линии. 426. Сумма боковых сторон трапеции равна 17 см, а средняя линия - 8 см. Найдите периметр трапеции. . Разность оснований трапеции равна 2 см, а средняя линия - 14 см. Найдите основания трапеции. 428. Основания трапеции равны 20 см и 12 см. Боковая сторона трапеции разделена на 4 равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, содержащиеся между сторонами трапеции. . Найдите основания трапеции, средняя линия которой 18 см и делится диагональю на отрезки, один из которых вдвое больше другого. . Средняя линия трапеции втрое больше меньшего основания и на 12 см меньше большего основания. Найдите основания трапеции. 431. Средняя линия трапеции диагоналями делится на отрезки, отношение которых равно 2 : 3 : 2. Найдите отношение оснований трапеции. . Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равна средней линии. . В равнобокой трапеции большее основание равно a см, боковая сторона - c см, а острый угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции. 77 Тл0/§0/ ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В этой главе вы: • узнаете о подобных треугольниках и их свойствах; о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и их свойстве; о свойстве биссектрисы треугольника; • научитесь обосновывать подобие треугольников, использовать обобщенную теорему Фалеса и подобие треугольников для решения задач. 'I П ОБОБЩЕННАЯ 1 2 . ТЕОРЕМА ФАЛ ТЕОРЕМА ФАЛЕСА Напомним, что отношением отрезков AB и CD называют отношение их длин, то есть АВ CD' Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональные отрезкам AiBi и CiDi, есёи АВ _ CD ЛА CiA ■ Например, если AB = 6 см; CD = 8 см; A^B^ = 3 см; C^D^ = 4 см, то ^ , действительно — = — = 2. AiBi CiDj 3 4 Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка AB, CD и MN пропорциональны трем отрезкам A^B^, C^D^ и M^N^, если АВ ^ CD ^ MN А^В^ QA MjATi ' Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках)' Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Доказательство. Пусть параллельные прямые BC и B^C^ пересекают стороны угла A (рис. 123). Докажем, что АВ АС BBi CCi 78 Bi ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков AC и 00^ являются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины h, который можно отложить целое число раз и на отрезке AC, и на отрезке CC1. Пусть AC = а, CC1 = b, a и b - рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: АС - CCi = Поэтому ^ Имеем: AC = ph, СС, = qh. п п п 1 2) Разделим отрезок AC на p равных частей длины h, а отрезок CC1 - на q равных частей длины h. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой BC (рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок AB1 на (р + q) равных отрезков длины h1, причем AB будет состоять из р таких отрезков, а BB1 - из q таких отрезков. Имеем: AB = ph1, BB1 = qh1. AB 3) Найдем отношение рК и Следовательно, АВ ^____ BBi qh^ AB q АС и АС CCi . АС CCi Будем иметь: ph qh Р_ q ВВ^ CCi А Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему. Следствие 1. АВ ^ АС С(\ Следствие 2. АВ АС ABi ACi Доказательство. Поскольку АВ АС ВВ^ С(\ -, то ■ - BBi CCi ’ " АВ АС Прибавим к обеим частям этого равенства по единице: ВВ CCi АВ -н BBi АС -н CCi 1 -I—= 1-1—т^, то есть -----^—. Учитывая, что АВ АС АВ АС AB + BB1 = AB1, AC + CC1 = AC1, будем иметь: ABi ACi Откуда AB AC AB AC ABi ACi А 79 Глава 2 Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них. Ъс Задача. Дано отрезки а, b, c. Постройте отрезок х = —. а Решение. Поскольку х — Ьс Ь X а с то — = — и — = —. а асах Для построения отрезка x можно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1. 1) Строим неразвернутый угол с вершиной O (рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок OB = b, а на другой - отрезки OA = а и AC = с. 2) Проведем прямую AB. Через точку С параллельно AB проведем прямую, точку пересечения которой со стороной OB угла обозначим через D, то есть CD || AB. 3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем: откуда Следовательно, BD = х. о BD а Построенный отрезок х называют четвертым пропорциональным отрезков а, b и с, так как для этих отрезков верно равенство: а : b = с : х. □ Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности. Гробница Менеса Пирамиды в Гизе 80 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел. В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. - 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении. Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому. □ 1. Что называют отношением отрезков? 2. Сформулируйте обобщенную теорему Фалеса. 3. При каком условии отрезок x является четвертым пропорциональным отрезков а, b и с? Начальный уровень 434. (Устно.) На рисунке 125 AB || CD. Какие из равенств верны: 1) .04 = ^0 . 1 ОВ BD' 3) АС ОВ ОА BD 2) АС _ ОВ , 1 QA “ OD’ 4) ? ’ BD АС 435. На рисунке 125 AB || CD, OA = 2, AC = 3, BD = 6. Найдите OB. 436. На рисунке 125 AB || CD, OB = 6, BD = 9, OA = 4. Найдите AC. 1^ Средний уровень 437. Параллельные прямые AB, CD и EF пересекают стороны угла O (рис. 126). AC = 6 см, CE = 2 см, bD = 5 см. Найдите BF. 438. Параллельные прямые AB, CD и EF пересекают стороны угла O (рис. 126), BD = 4 см, DF = 2 см, CE = 3 см. Найдите AE. 81 Глава 2 439. Параллельные прямые А^, CD и EF пересекают стороны угла с вершиной O (рис. 126). OA = 3 см, AC = 4 см, BD = 5 см, DF = 2 см. Найдите CE и OB. 440. Параллельные прямые AB, CD и EF пересекают стороны угла с вершиной O (рис. 126). OB = 5, BD = 7, AC = 4, CE = 3. Найдите OA и DF. т Достаточ ныи уровень 441. Дано отрезки а, b, c. Постройте отрезок х - с 442. Дано отрезки l, n, m. Постройте отрезок х = тп I ' 443. На рисунке 125 AB || CD, OA = 4, AC = 6. Найдите отрезки OB и BD, если oD = 15. 444. На рисунке 125 AB || CD, OB = 5, BD = 7. Найдите отрезки OA и AC, если AC - OA = 1. Высокий уровень 445. На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что AM : MB = 1 : 3. В каком отношении отрезок CM делит медиану AP треугольника АВС? 446. AD - медиана треугольника ABC, точка M лежит на стороне AC, отрезок BM делит AD в отношении 5 : 3, начиная от точки A. Найдите AM : MC. Упражнения для повторения 447. Диагональ четырехугольника равна 5 см, а периметры треугольников, на которые она разбивает четырехугольник, равны 12 см и 14 см. Найдите периметр четырехугольника. 448. Тупой угол прямоугольной трапеции равен 120°, а меньшая диагональ трапеции равна большей боковой стороне. Найдите отношение средней линии трапеции к большей боковой стороне. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 449. А ABC = {MKL. Заполните пропуски: 1) ZA = ...; 2) ZB = ...; 3) ZC = ...; 4) MK = ...; 5) ML = ...; 6) KL = ... . 82 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 450. Стороны одного треугольника вдвое больше соответствующих сторон другого треугольника. Во сколько раз периметр первого треугольника больше периметра второго? Известно, что ZА = ZА 1’ 451. Дано А АВС и ZВ = ZBi- Можно ли утверждать, что 1) Z С = Z С1; 2) А АВС = А А1В1С1? Ш Интересные задачки для неленивых 452. Дан квадрат АВСВ. Сколько существует в плоскости этого квадрата точек K таких, что каждый из треугольников АВК, ВСК, CDK и АВК - равнобедренный? 1 3 ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого. Это значит, что если треугольники АВС и А1В1С1 подобны (рис. 127), то Z А =Z А1, Z В = Z В1, Z С = Z С1 и АВ _ ВС _ АС В Рис. 127 83 Глава 2 Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно k. Число k называют коэффициентом подобия треугольника ABC к треугольнику или коэффициентом подобия треугольников ABC и A^B^C^. Подобие треугольников принято обозначать символом v. В нашем случае А ABC v д A^B^C^. Заметим, что из со-АВ _ ВС _ АС отношения AjBi AjCi следует соотношение AB : BC : AC = A^B^ BiCi : AiCi. Задача 1. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников. Доказательство. Пусть AABC V АA,B,C, и = -4^ = k. А^В^ BiQ AiQ Тогда AB = kA1B1, BC = kB1C1, AC = kA1C1. AB + BC + AC kA^B^-\-kB^Ci + kA^C^ Имеем: ^ABC p Aj Bi -h Bi Cj -h Aj Cj Aj Bi "t"B^ Cl ~^Ai C^ k(AiBi + B^Ci + A^Ci) Aj By -H Bi Cl -H Ai Cl = й = AB ABi 4 Задача 2. Стороны треугольника ABC относятся как : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника A1B1C1 равна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника. Решение. Так как по условию AB : BC : AC = 4 : 7 : 9 и А ABC V АA1B1C1, то A1B1 : B1C1 : A1C1 = 4 : 7 : 9. Обозначим A1B1 = 4x, B1C1 = 7x, A1C1 = 9x. По условию 9x = 27, тогда x = 3 (см). Имеем: A1B1 = 4 • 3 = 12 (см), B1C1 = 7 • 3 = 21 (см). Ответ. 12 см, 21 см. Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров. Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая 84 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров. Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры - суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны». □ 1. Приведите примеры предметов одинаковой формы из окружающей среды. 2. Какие треугольники называют подобными? 3. Что такое коэффициент подобия? Начальный уровень 453. (Устно.) {ABC v {MNK. Заполните пропуски: 1) ZA = Z...; 2) ZB = Z...; 3) ZC = Z... . A R 454. {ABC V {KLM, ------= 2. Заполните пропуски: 1) АС KM 2) KL ВС LM 455. {MLF V {PNK. Составьте все возможные пропорции для сторон треугольников. т Средний уровень 456. Дано: {MNL v {ABC, ZM = 40°, ZB = 80°. Найти: неизвестные углы обоих треугольников. 457. Дано: {ABC v {dEF, ZA = 30°, ZF = 90°. Найти: неизвестные углы обоих треугольников. 458. Дано: {ABC v {A1B1C1, AB = 8 см, A1B1 = 2 см. Найти: 1) А,С, 2) В,С, АС ВС 459. Дано: {ABC v {A1B1C1, AB = 10, BC = 8, CA = 6, A1B1 = 5. Найти: B1C1, C1A1. 460. Дано: {KLM v {K1L1M1, KL = 12, KM = 9, LM = 21, K1L1 = 4. Найти: K1M1, L1M1. 85 Глава 2 т Достаточный уровень 461. Стороны треугольника относятся как 7 : 8 : 9. Найдите неизвестные стороны подобного ему треугольника, у которого: 1) меньшая сторона равна 21 см; 2) большая сторона на 5 см больше средней; 3) периметр равен 48 см. 462. Стороны треугольника относятся как 5 : 6 : 9. Найдите неизвестные стороны подобного ему треугольника, у которого: 1) большая сторона равна 18 см; 2) меньшая сторона на 3 см меньше средней; 3) периметр равен 100 см. 463. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны. Высокий уровень 464. Отношение периметров подобных 2 : 3, а сумма их наибольших сторон стороны каждого из треугольников, из них относятся как 2 : 3 : 4. 465. Отношение периметров подобных 4 : 3, а сумма их наименьших сторон стороны каждого из треугольников, из них относятся как 3 : 4 : 5. треугольников равно равна 20 см. Найдите если стороны одного треугольников равно равна 21 см. Найдите если стороны одного Упражнения для повторения I 466. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите все пары равных треугольников, которые при этом образовались. 467. Докажите, что точка пересечения биссектрис прилежащих к боковой стороне углов трапеции принадлежит средней линии трапеции. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала А 468. На рисунке 128 прямая KL параллельна стороне BC разностороннего треугольника ABC. Найдите на этом рисунке все равные между собой углы. 86 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Интересные задачки для неленивых 469. Точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и AC треугольника ABC. Может ли точка пересечения отрезков BL и KC делить каждый из них пополам? И ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ . ТРЕУГОЛЬНИКОВ Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков. Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем. Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник. В Доказательство. Пусть прямая B^C^ пересекает стороны AB и AC треугольника ABC соответственно в точках В^ и C^ (рис. 129). Докажем, что А ABC v {AB^C^. 1) ZA - общий для обоих треугольников, Z B = Z Bi (как соответственные углы при параллельных прямых BC и B1C1 и секущей AB), Z C = Z C1 (аналогично, но для секущей AC). Следовательно, три угла треугольника ABC равны трем углам треугольника AB1C1. 2) По следствию 2 из обобщенной ^ АВ АС теоремы Фалеса имеем: ~ 3) Докажем, что ABi ACi ВС АВ Рис. 129 Через BjCj ABj точку B1 проведем прямую, параллельную AC и пересекающую BC в точке M. Так как B1MCC1 - параллелограмм, то B1C1 = MC. По обобщенной теореме Фалеса: Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим: ВМ 4-1 = ■ВА вм + мс BBi -Ь ABi МС ABi МС Но MC = B1C1. Следовательно, АВ, ВС МС АВ АВ, ВС АВ В,С, АВ, 87 Глава 2 4) Окончательно имеем: ZA = ZA, ZB = ZZ C = Z и AB BC AC ABi BjCj ACj , а значит, A ABC v {AB^C^. A Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и АВ АС A1B1C1, у которых ZA = Z A1 и (рис. 130). Aj^B^ Aj^Ci Докажем, что A ABC v A A1B1C1. 1) Отложим на стороне AB треугольника ABC отрезок AB2 = A1B1 и проведем через B2 прямую, параллельную BC (рис. 131). Тогда A ABC v AAB2C2 (по лемме). В В Ai Рис. 130 Рис. 131 2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса АВ АС АВ, АВ AB, АС AC, 3) АС^ ■ АС ■ АС, АС Но AB2 = A1B1 (по построению). Поэтому По условию АВ АС АВ, AiQ следовательно, АС, Так как откуда A1C1 = AC2. ZA = ZA 1 AB2 = A1B1 и AC2 = A1C1, то A AB2C2 = A A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними). 4) Но A ABC V AAB2C2, следовательно, A ABC v A A1B1C1. A Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого. Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны. 88 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны. Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и у которых ZA = ZA^, ZB = ZB^ (рис. 130). 1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: А^BC v {AB2C2. 2) ZAB2C2 = ZB, но ZB = ZB1. Поэтому ZAB2C2 = ZB1. 3) Тогда АAB2C2 = АA1B1C1 (по стороне и двум прилежащим углам). 4) Следовательно, А ABC v А A1B1C1. А Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны. Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны. Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны. Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны. Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ АС ВС (рис. 130). А^В^ AjCj BjCj 1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: АABC v АAB2C2. 2) Тогда АВ АВ ^ АВ, АС ВС АС ВС в, с. , но AB2 = A1B1, поэтому Учитывая, что АВ АС ВС AjSj ACj BjCj ’ Ai В^ АС, В, С, имеем: AC2 = A1C1, B2C2 = B1C1. 3) Тогда АAB2C2 = АA1B1C1 (по трем сторонам). 4) Следовательно, АABC v АA1B1C1. А Задача 1. Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3 : 5 : 6. Подобны ли эти треугольники? 89 Глава 2 Решение. Обозначим стороны второго треугольника о к тт 9 15 18 3 через Эх, 5х и 6х. Но --= = = —, значит, треуголь- Зх 5х 6х X ники подобны (по трем сторонам). Ответ. Да. Задача 2. Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, - 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне. Решение. Пусть ABCD - параллелограмм (рис. 1Э2). = 15 см, AB = 10 см, BM = 8 см - высота параллелограмма. Проведем DN - вторую высоту параллелограмма. В_____________С АABM V {ADN (как прямоугольные общим острым углом). Тогда с ВМ то есть 10 15 8 М D Рис. 1Э2 АВ _ _ AD DN" """" 15 DN" 10 • DN = 8 • 15, DN = 12 (см). Ответ. 12 см. откуда Сформулируйте и докажите признаки подобия треугольников и их следствия. т Начальный уровень 470. (Устно.) При каких условиях два треугольника подобны: 1) у треугольников есть общий угол; 2) два угла одного треугольника равны двум углам другого; 3) две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого? 471. При каких условиях AABC v ADEF: 1) ZA = Z D; 2) ZA = 30°, ZB = 40°, ZD = 30°, ZE = 40°; 3) AB = 2DE, BC = 2EF; 4) ZA = 40°, ZB = 70°, ZD = 40°, ZE = 90°? 472. При каких условиях AABC v AMNK: 1) AB = MN = 20 см, BC = NK = 10 см; 2) ZA = Z M; A^ = A^; MN MK 3) ZA = 100°, ZB = 30°, ZM = 70°, ZN = 20°; 4) ZC = ZK, CB = 5, CA = 2, KN = 10, KM = 4? 90 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 473. Докажите, что AABC v AA^B^C^, если: 1) AB = 2, BC = 3, AC = 4, A^B^ = 4, B^C^ = 6, A^C^ = 8; 2) ZA = 20°, ZA1 = 20°, AB = 3, AC = 5, A1B1 = 9, A1C1 = 15; 3) ZA = 30°, ZB = 40°, ZB1 = 40°, ZC1 = 110°. 474. Докажите, что AMNK v AM1N1K1, если: 1) ZM = ZM1, MN = 5, MK = 6, M1N1 = 10, M1K1 = 12; 2) ZM = 90°, ZN = 50°, Z K1 = 40°, ZN1 = 50°; 3) MN = 3, NK = 4, MK = 5, M1N1 = 6, N1K1 = 8, M1K1 = 10. m Средний уровень 475. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, AC || BD. Докажите, что AAOC v ABOD. 476. Прямые MN и KL пересекаются в точке O, Z MLO = Z NKO. Докажите, что AMOL v ANOK. 477. На сторонах AB и AC треугольника ABC соответственно отмечены точки P и L так, чт^ — АВ, AL = —AC. 3 3 Докажите, что AAPL v AABC. 478. На сторонах KL и KN треугольника KLN соответственно 2 2 отмечены точки A и B так, что КА — —KL, КВ — —KN. 3 3 Докажите, что AKAB v AKLN. 479. Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если: 1) AB : BC : CA = 3 : 4 : 6, A1B1 = 6, B1C1 = 8, C1A1 = 11; 2) ZA = 30°, ZB = 60°, ZA1 : ZB1 : ZC1 = 1 : 2 : 3? 480. Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если: 1) AB : BC : CA = 4 : 3 : 7, A1B1 = 8, B1C1 = 6, C1A1 = 14; 2) ZA : ZB : ZC = 2 : 3 : 4, ZA1 = 20°, ZB1 = 50? 481. На рисунках 133-135 найдите подобные треугольники и докажите их подобие. N К Рис. 133 Рис. 135 91 Глава 2 482. На рисунках 136-138 найдите подобные треугольники и докажите их подобие. В К Рис. 136 Рис. 137 Рис. 138 483. O - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AB || CD). Докажите, что {AOB v {COD. 484. O - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD, у которой AB || CD. AB = 10 см, CD = 5 см, OD = 4 см. Найдите OB. 485. O - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AB || CD), которая делит диагональ BD на отрезки DO = 3 см и OB = 9 см. Найдите AB, если DC = 2 см. 486. В треугольнике ABC (Z C = 90°) на катете AC и гипотенузе 3 3 AB отметили точки M и N так, что AM = —АС, AN = —АВ. 4 4 Докажите, что АAMN - прямоугольный. 487. На катете BC и гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отметили точки P и F так, что ВР = —ВС, 1 1 ^ BF = Докажите, что PF = 488. Угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника. Периметр первого треугольника - 36 см. Найдите его стороны, если у второго треугольника боковая сторона относится к основанию как 5 : 2. 489. Даны два равнобедренных треугольника. Угол при вершине одного из них равен углу при вершине другого. Периметр первого треугольника - 30 см. Найдите его стороны, если у второго треугольника основание относится к боковой стороне как 1 : 2. т Достаточный уровень 490. На рисунках 139-141 ABCD - параллелограмм. Найдите на этих рисунках все пары подобных треугольников и докажите их подобие. 92 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 491. На рисунке 142 ABCD - трапеция, ZЛ^О = ZACD Найдите подобные треугольники на этом рисунке и дока жите, что CA2 = BC ■ AD. 492. Углы одного треугольника относятся как 2 : 3 : 4, а один из углов другого треугольника на 20° больше второго и на 20° меньше третьего. Подобны ли эти треугольники? 493. Углы одного треугольника относятся как 1 : 3 : 2, а другой треугольник является прямоугольным и острых углов равен половине второго треугольники? D один из его Подобны ли эти 494. В параллелограмме ABCD точки E, F, M и N лежат на ЕВ DAf сторонах AB, BC, CD и DA соответственно. ----=-----. BF DN Докажите, что Z BFE = Z DNM. 495. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, Докажите, что Z BCO = Z ADO. 496. Диагонали трапеции ABCD (AD || BC) пересекаются в точке O, BO = 4 см, DO = 7 см. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 22 см. 497. Диагонали трапеции ABCD (AD || BC) пересекаются в точке O, AD = 11 см, BC = 5 см. Найдите отрезки BO и OD, если их разность равна 3 см. 498. В треугольнике ABC AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 18 см. На стороне AC отложен отрезок CK = 6 см, на стороне BC - отрезок CP = 4 см. 1) Подобны ли треугольники ABC и KPC? 2) Параллельны ли прямые AB и KP? 3) Найдите длину отрезка PK. 93 Глава 2 499. Прямая MN параллельна стороне треугольника A^C, M G AC, N е BC. AB = 10 см, MN = 4 см, MA = 2 см. Найдите длину стороны AC. 500. Прямая KL параллельна стороне BC треугольника ABC, K е AB, L е AC. KB = 6 см, BC = 12 см, KL = 9 см. Найдите длину стороны AB. 501. На рисунке 143 найдите подобные треугольники и докажите их подобие. 502. На рисунке 144 найдите подобные треугольники и докажите их подобие. А 9 Z) 16 Рис. 143 Высокий уровень 503. Дано два равнобедренных треугольника. Угол при вершине одного из них равен углу при вершине другого. Периметр первого треугольника равен 90 см. Найдите его стороны, если стороны второго треугольника относятся как 4 : 7. Сколько случаев следует рассмотреть? 504. Дано два равнобедренных треугольника. Угол при основании одного из них равен углу при основании другого. Стороны одного треугольника относятся как 5 : 8, а периметр второго равен 126 см. Найдите стороны второго треугольника. Сколько случаев следует рассмотреть? 505. {ABC V AA1B1C1, CD и C1D1 - биссектрисы данных треугольников. Докажите, что AADC v AA1D1C1. 506. AABC V AA1B1C1, AM и A1M1 - медианы данных треугольников. Докажите, что AAMC v AA1M1C1. 507. На стороне BC треугольника ABC отметили точку F так, что Z BAF = Z C, BF = 4 см, AB = 6 см. Найдите BC. 508. На стороне AC треугольника ABC отметили точку K так, что ZABK = Z C. Найдите KC, если AB = 2 см, AK = 1 см. 509. В прямоугольный треугольник ABC с катетами a см и b см и прямым углом A вписан квадрат AKLM, K е AB, L е BC, M е AC. Найдите сторону квадрата. 94 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 510. Периметр параллелограмма равен 24 см, а его высоты относятся как 5 : 3. Найдите стороны параллелограмма. 511. Периметр параллелограмма равен 30 см, а его высоты -4 см и 8 см. Найдите стороны параллелограмма. 512. В треугольник ABC вписан ромб AKFP так, что угол A у них общий, P е AB, F е BC, K е AC. Найдите сторону ромба, если CK = 4 см, PB = 9 см. 513. В равнобедренный треугольник, основание которого равно 6 см, а боковая сторона - 10 см, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания окружности к боковым сторонам. Упражнения для повторения 514. Найдите углы треугольника, если три его средние линии равны. ^ 515. В равнобокой трапеции ABCD (AD || BC) точки E, F, K -середины AD, BC и AB соответственно. Докажите, что KE = KF. 516. Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна a см. Из точки, взятой на основании треугольника, проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Вычислите периметр образовавшегося параллелограмма. 517. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника, не являющегося квадратом, пересекаясь, образуют квадрат. Интересные задачки для неленивых 518. Могут ли биссектриса и медиана, выходящие из вершины прямого угла треугольника, образовывать равнобедренный треугольник? Если да, то найдите меньший из острых углов прямоугольного треугольника. 'I Г СРЕДНИЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ 15. В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику. Доказательство. Пусть ABC - прямоугольный треугольник (ZC = 90°), CD - высота треугольника (рис. 145). Докажем, что {ABC v {ACD, {ABC v {CBD и {AcD v {CbD. 95 Глава 2 1) У прямоугольных треугольников ABC и ACD угол A - общий. Поэтому AABC V {ACD (по острому углу). 2) Аналогично AABC v {CBD (Z B -общий, ZBCA = ZBDC = 90°). Откуда Z A = Z BCD. 3) У треугольников ACD (Z D = 90°) и CBD (Z D = 90°) Z A = Z BCD. Поэтому {ACD V ACBD (по острому углу). А Отрезок AD называют проекцией катета AC на гипотенузу AB, а отрезок BD - проекцией катета BC на гипотенузу AB. Отрезок к называют средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков m и п, если к2 = m ■ n. Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Доказательство. Рассмотрим рисунок 145. 1) AACD V ACBD (по лемме). Поэтому или CD2 = AD ■ BD. 2) AABC V AACD (по лемме). Поэтому или AC2 = AB ■ AD. AABC V ACBD (по лемме). Поэтому или BC2 = AB ■ BD. А AB AC AC AD ’ BC BD AB BC ’ Задача 1. CD - высота прямоугольного треугольника ABC _ Д BD _ ВС^ с прямым углом с. Докажите, что —г=г -- АП АС Доказательство. Рассмотрим рисунок 145. Так как AC2 = AB ■ AD, т^ , а так как BC2 = AB ■ AD, то AD АВ = . Поэтому откуда . BD AD BD ’ AD АС^ Задача 2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника. 96 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Решение. Рассмотрим рисунок 145, где AD = 9 см, DB = 16 см. 1) AB = AD + DB = 9 + 16 = 25 (см). 2) AC2 = ^В ■ AD, то есть AC2 = 25 • 9 = 225. Так как 152 = 225, то AC = 15 (см). 3) BC2 = AB ■ BD, BC2 = 25 ■ 16 = 400. Так как 202 = 400, то BC = 20 (см). 4) PABC = 25 + 15 + 20 = 60 (см). Ответ. 60 см. При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел. 1. Сформулируйте и докажите лемму из этого параграфа. 2. Какой отрезок называют средним пропорциональным двух отрезков? 3. Сформулируйте и докажите теорему о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Начальный уровень 519. (Устно.) На рисунке 146 NK - высота прямоугольного треугольника PNM (Z N = 90°). Назовите: 1) проекцию катета NM на гипотенузу; 2) проекцию катета NP на гипотенузу. 520. (Устно.) NK - высота прямоугольного треугольника PNM (рис. 146). Какие из равенств верны: 1) NK = PK ■ KM; 2) NM2 = KM ■ PM; 3) PN = PK ■ KM; 4) PK ■ KM = NK2? 521. NK - высота прямоугольного треугольника PNM с прямым углом N (рис. 146). Заполните пропуски: 1) NK2 = ...; 2) NM2 = ...; 3) PK ■ PM = ...; 4) PK ■ KM = ... . 522. Найдите среднее пропорциональное отрезков, длины которых: 1) 2 см и 8 см; 2) 27 дм и 3 дм. 523. Найдите среднее пропорциональное отрезков, длины которых: 1) 16 дм и 1 дм; 2) 4 см и 9 см. 97 Глава 2 т Средний уровень 524. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 см и 25 см. 525. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки 2 см и 8 см. 526. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его проекция на гипотенузу равна 4 см, а гипотенуза - 16 см. 527. Найдите катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза треугольника равна 25 см, а проекция катета на гипотенузу - 9 см. 528. Катет прямоугольного треугольника равен 18 см, а его проекция на гипотенузу - 9 см. Найдите гипотенузу треугольника. 529. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а гипотенуза - 9 см. Найдите проекцию этого катета на гипотенузу. 530. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 8 см и 4,5 см. Найдите катеты треугольника. 531. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 50 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу - 18 см. Найдите катеты треугольника. Достаточный уровень 532. Перпендикуляр, проведенный из середины основания равнобедренного треугольника к его боковой стороне, делит ее на отрезки 1 см и 8 см, считая от вершины угла при основании. Найдите периметр треугольника. 533. Перпендикуляр, проведенный из середины основания равнобедренного треугольника к его боковой стороне, делит ее на отрезки 6 см и 2 см, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника. 534. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки в отношении 9 : 16. Найдите катеты треугольника, если его высота равна 24 см. 98 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 535. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, один из которых равен 16 см, а другой относится к высоте как 3 : 4. Найдите высоту треугольника. 536. Окружность, вписанная в ромб, точкой касания делит его сторону на отрезки 1 см и 4 см. Найдите радиус окружности. Высокий уровень 537. Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 10 см и 8 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. 538. Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 13 см и 5 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. 539. Окружность, вписанная в трапецию, точкой касания делит ее боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите высоту трапеции. 540. Окружность, вписанная в трапецию, точкой касания делит одну боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 8 см, а другую - на отрезки, один из которых равен 4 см. Найдите периметр трапеции. -,Ж- Упражнения для повторения 541. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника образует со стороной треугольника угол 18°. Найдите углы треугольника. 542. О треугольниках ABC и KLM известно, что Z A + Z B = = Z K + Z L, Z B + Z C = Z L + Z M. Подобны ли эти треугольники? 543. В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Докажите, что тупой угол трапеции равен тупому углу между диагоналями. Интересные задачки для неленивых 544. (Олимпиада Нью-Йорка, 1976 г.) Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O, а на отрезках OB и OC отмечены точки B1 и C1 так, = Z AC1B = 90°. Докажите, что AB1 = AC1. что Z AB1C = 99 Глава 2 rni6. свойство биссектрисы ТРЕУГОЛЬНИКА Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В Доказательство. Пусть AL - биссектриса треугольника ABC (рис. 147). Докажем, что 1) Проведем через точку C прямую, параллельную AB, и продлим биссектрису AL до пересечения с этой прямой в точке K. Тогда Z LKC = Z BAL (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CK и секущей AK). 2) { AKC - равнобедренный (так как Z bAl = Z LAC и Z BAL = Z LKC, то Z KAC = ZAKC), а значит, AC = KC. 3) Z BLA = Z CLK (как вертикальные), поэтому { ABL V {KCL (по двум углам). AB _ BL CL ' AB _ BL LC' AB _ BL __________________^ _ AC LC. Следовательно, КС Но KC = AC, таким образом---=----. A АС тт At 1~1 R Ti Л R Из пропорции =-----можно получить и такую:------- * ^ LC BL АС Задача 1. В треугольнике ABC AB = 8 см, AC = 4 см, BC = 9 см, AL - биссектриса треугольника. Найдите BL и LC. Решение. Рассмотрим А ABC (рис. 147). Пусть BL = x см, АВ ^ ^ АС LC , имеем урав- тогда LC = BC - BL = (9 - x) см. Так как нение: — = —-— , откуда x = 6 (см). 4 9-х Следовательно, BL = 6 см, LC = 9 - 6 = 3 (см). Ответ. 6 см, 3 см. Задача 2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник. Решение. Пусть в треугольнике ABC AB = BC, BK -медиана (рис. 148). 100 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Тогда BK является также высотой и биссектрисой. Поскольку точка I - центр вписанной окружности - является точкой пересечения биссектрис треугольника, то I е BK, IK - радиус окружности. Учитывая, что AB : AC = 3 : 2, обозначим ^ = 3x, AC = 2x. Так как K - середина AC, то АК = ^ = — = х. 2 2 AI - биссектриса треугольника ABK, АВ _ BI IK' поэтому АК Пусть IK = г. Тогда BI = 24 - г. Имеем: r = 6 см. Ответ. 6 см. Зх 24-г , откуда Сформулируйте и докажите теорему о свойстве биссектрисы треугольника. Начальный уровень 1) 3) 2) ВС _ СР. ) АВ АР; В 545. BP - биссектриса треугольника ABC (рис. 149). Какие из равенств являются пропорциями: АВ ^ ВС АР; АР СР ВА, ВС 4) АВ ВС ? АР PC Рис. 149 546. BP - биссектриса треугольника ABC (рис. 149). AP : PC = 1 : 2, AB = 4 см. Найдите BC. 547. BP - биссектриса треугольника ABC (рис. AB : BC = 1 : 2, AP = 7 см. Найдите PC. 149). т Средний уровень 548. BD - биссектриса треугольника ABC, AD = 3 см, DC = = 9 см. Найдите отношение сторон АВ ВС' 549. MA - биссектриса треугольника MNL, ML = 4 см, MN = = 16 см. Найдите отношение отрезков ^ . AN 101 Глава 2 550. MD - биссектриса треугольника KMP, KM = 8 см, MP = = 6 см. Меньший из отрезков, на которые биссектриса MD делит сторону KP, равен 3 см. Найдите KP. 551. В треугольнике ABC AB = 6 см, BC = 12 см. Больший из отрезков, на которые биссектриса BK делит сторону AC, равен 6 см. Найдите AC. т Достаточный уровень 552. AL - биссектриса треугольника ABC, AB = 15 см, AC = 12 см, BC = 18 см. Найдите BL и LC. 553. Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, разность которых равна 1 см. Найдите периметр треугольника, если две его другие стороны равны 8 см и 6 см. 554. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых тот, что ближе к основанию, равен 12 см. Найдите периметр треугольника. 555. В равнобедренном треугольнике основание меньше боковой стороны на 9 см, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, отношение которых равно 2 : 5. Найдите периметр треугольника. Высокий уровень 556. В треугольнике, стороны которого равны 15 см, 21 см и 24 см, проведена полуокружность, центр которой лежит на большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон. Какова длина отрезков, на которые центр полуокружности делит большую сторону? 557. В треугольник ABC вписан ромб CKLM так, что угол C у них общий, K е AC, L е AB, M е BC. Найдите длины отрезков AL и LB, если AC = 18 см, BC = 12 см, AB = 20 см. Упражнения для повторения ^ 558. Может ли диагональ AC трапеции ABCD делить пополам как угол A, так и угол C? ^ 559. В треугольнике ABC проведена высота CH, причем CH2 = AH ■ BH и точка H принадлежит стороне AB. Докажите, что в треугольнике ABC угол C - прямой. 102 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Интересные задачки для неленивых 560. 1) Решите задачу и узнаете фамилию выдающегося украинца - ученого в отрасли ракетостроения и космонавтики, конструктора первых искусственных спутников Земли и космических кораблей. Найдите углы A и B параллелограмма ABCD, если ^ Z A Z B ZA на 20° больше ZB Л Р Z A втрое меньше Z B К в Z A : Z B = 7 : 5 Ё О 45° 75° 80° 75° 100° 105° 135° 2) Поинтересуйтесь (используя разные источники информации) биографией и достижениями нашего выдающегося земляка. ИЯ 1 V ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ !/. К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач. 1. Пропорциональность отрезков хорд. Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды AB и CD пересекаются в точке S, то AS-BS = CS- DS. Доказательство. Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке S (рис. 150). Рассмотрим ASAD и ASCB, у которых Z ASD = Z CSB (как вертикальные), Z DAB = Z DCB (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Тогда A SAD v {SCB (по двум углам), AS DS а значит^ = -^, откуда AS ■ BS = CS ■ DS. А Следствие. Если O — центр окружности, R — ее радиус, АВ — хорда, S е АВ, то • BS = — а^, где а = SO. 103 Глава 2 Доказательство. Проведем через точку S диаметр MN (рис. 151). Тогда AS ■ BS = MS ■ NS, AS ■ BS = (R + a)(R - a), AS ■ BS = R2 - a2. Окончательно имеем: AS ■ BS = MS ■ NS = R2 - a2. A Рис. 152 '|VJ Задача 1. AL - биссектриса треугольника ABC. Докажите формулу биссектрисы: AL2 = Ab ■ AC - BL ■ CL. Доказательство. Опишем около треугольника ABC окружность и продлим AL до пересечения с окружностью в точке T (рис. 152). 1) ZABC = ZATC (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AC), Z BAL = Z CAL (по условию). Поэтому {ABL V {ATC (по двум углам). 2) Имеем^ = ^4^’ откуда AL ■ AT = AB ■ AC; AL ■ (AL + LT) = AB ■ AC; AL2 + AL ■ LT = AB ■ AC. Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд: AL ■ LT = BL ■ CL. 3) Следовательно, AL2 + BL ■ CL = AB ■ AC, то есть AL2 = AB ■ AC - BL ■ CL. A 2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной. Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки S, лежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках A и B, и касательную SC, где С — точка касания, то SC2 = SA ■ SB. Доказательство. Рассмотрим рис. 153. ZABC = -^АС (как вписанный угол), Z SCA = ^АС (задача 243, с. 49), то а есть Z SCA = ZABC. Поэтому А CSA v {BSC (по двум углам), значит^ = ^^. Откуда SC2 = SA ■ SB. A SB sc 104 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Рис. 154 Следствие 1. Если из точки S провести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках A и B, а другая — в точках М и Л^, то SA ■ SB = SM ■ SN. Так как по теореме каждое из произведений SA ■ SB и SM ■ SN равно SC2, то следствие очевидно. Следствие 2. Если O — центр окружности, R — ее радиус, SC — касательная, С — точка касания, то = а^ — R^, где а = SO. Доказательство. Проведем из точки S через центр окружности O секущую (рис. 154), M и N - точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме: SC2 = SM ■ SN, но SM = a - R, SN = a + R, поэтому SC2 = SA ■ SB = a2 - R2. A 3. Измерительные работы на местности. Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели M1N1 (рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь MN с планкой, которая вращается вокруг точки N. Направим планку на верхнюю точку N1 ели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку A, в которой планка упирается в поверхность земли. Рассмотрим АANM (ZM = 90°) и АAN1M1 (ZM1 = 90°). ZA у них общий, поэтому АANM v АAN1M1 (по острому углу). Тогда MN AM AMi , откуда M^Ni = MN-AMi AM Если, например, MN = 2 м, AM = 3,2 м, AM1 = 7,2 м, то 2-72 M,N, =-^ = 4,5 (м). 105 Глава 2 4. Задачи на построение. Задача 2. Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла. Решение. На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку. Рис. 156 М Рис. 157 1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник A1B1C, у которого углы А1 и В1 равны данным (рис. 157). 2) Проводим медиану CM1 треугольника A1CB1 и откладываем на прямой CM1 отрезок CM, равный данному. 3) Через точку M проводим прямую, параллельную А1В1. Она пересекает стороны угла C в некоторых точках А и В (рис. 157). 4) Так как АВ || А1В1, то Z А = Z А1, ZB = Z В1. Значит, два угла треугольника ABC равны данным. Докажем, что M - середина АВ. .А. lit {A1CM1 V {ACM (по двум углам). Поэтому i _ i i CM CMi AM B,M, {B1CM V {BCM (по двум углам). Поэтому Получаем, что —= _________, то ест^ ^ = . Но АМ ВМ В,М, ВМ A1M1 = B1M1 (по построению), поэтому АМ ВМ = 1 и АЫ = BM. Следовательно, CM - медиана треугольника ABC и треугольник ABC - искомый. А 01. Сформулируйте теорему о пропорциональности отрезков хорд и следствие из нее. 2. Сформулируйте теорему о пропорциональности отрезков секущей и касательной и следствия из нее. 106 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Ш Начальный уровень 561. (Устно.) T - точка пересечения хорд AB и CD (рис. 158). Какие из равенств верны: 1) AT ■ TC = BT ■ TD; 2) AT ■ TB = CT ■ TD; 3) AT ■ DT = CT ■ BT; 4) CT ■ DT = AT ■ BT? Рис. 158 Рис. 159 562. (Устно.) TA - отрезок касательной к окружности. Две секущие пересекают окружность в точках B и C, M и N соответственно (рис. 159). Какие из равенств верны: 1) TA2 = TB ■ BC; 2) TA2 = TM • TN; 3) TB • TC = TM • MN; 4) TM • TN = TB • TC? Средний уровень 563. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке P, AP = 9, PB = 2, DP = 4. Найдите CP. 564. Хорды MN и KL окружности пересекаются в точке A, KA = 6, AL = 3, MA = 4. Найдите AN. 565. SA - отрезок касательной к окружности, A - точка касания. Секущая, проходящая через точку S, пересекает окружность в точках B и C, SA = 6 см, SB = 4 см. Найдите SC и BC. 566. MP - отрезок касательной к окружности, P - точка касания. Секущая, проходящая через точку M, пересекает окружность в точках B и C. MP = 4 см, MC = 8 см. Найдите MB и BC. 567. Хорды AB и CD пересекаются в точке T. Найдите длину хорды CD, если AB = 16 см, AT = 2 см, CT = 1 см. 568. Хорда CD, длина которой 13 см, пересекает хорду MN в точке A. CA = 4 см, MA = 2 см. Найдите длину хорды MN. 107 Глава 2 569. Секущая, проходящая через точку S, пересекает окружность в точках A и B, а другая секущая, проходящая через точки S и центр окружности O, - в точках C и D (рис. 160). SA = 4 см, SB = 16 см, SC = 2 см. Найдите радиус окружности. 570. Секущая, проходящая через точку S, пересекает окружность в точках A и B, а вторая секущая, проходящая через точки S и центр окружности O, - в точках С и D (рис. 160). SA = 4 см, SB = 9 см, SC = 3 см. Найдите диаметр окружности. 571. Для нахождения высоты фонарного столба B1C1 использовали жердь BC длиной 1,5 м (рис. 161). AB = 1 м, AB1 = 6 м. Найдите высоту фонарного столба B1C1. S Рис. 160 572. Дворник, измеряя высоту фонарного столба B1C1, использовал жердь BC с планкой AC (рис. 161). Найдите длину использованной жерди BC, если высота фонарного столба составила 8 м и AB1 = 10 м, AB = 2,5 м. 573. Чтобы найти на местности расстояние от точки A к недоступной точке C, выбрали точку B, а потом на бумаге построили треугольник A1B1C1 так, что ZA = ZA 1’ Z B = Z B1 (рис. 162). Найдите AC, если AB = 30 м, A1B1 = 5 см, A1C1 = 7 см. w Достаточный уровень 574. Хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E. AE : BE = 1 : 3, CD = 20 см, DE = 5 см. Найдите AB. 575. Через точку M, находящуюся внутри круга, проведены две хорды AB и CD. Найдите AB, если AM = MB, CM = 16 см, DM : MC = 1 : 4. 576. На рисунке 163 AB - касательная к окружности с центром O, AB = 3 см, AO = 5 см. Найдите диаметр окружности. 577. На рисунке 163 AB - касательная к окружности с центром O, AB = 8 см, AO = 10 см. Найдите радиус окружности. 108 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В А Рис. 162 578. Диаметр AB окружности перпендикулярен хорде CD. AB и CD пересекаются в точке M. AM = 2 см, CM = 4 см. Найдите радиус окружности. 579. Диаметр MN и хорда AB окружности - взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P. PB = 12 см, NP = 18 см. Найдите диаметр окружности. Высокий уровень 580. Перпендикуляр, проведенный из точки окружности к ее радиусу, равен 24 см и делит радиус в отношении 5 : 8, считая от центра. Найдите радиус окружности. 581. Найдите биссектрису AL треугольника ABC, если AC = 15 см, AB = 12 см, BC = 18 см. 582. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла. 583. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла. 584. Постройте треугольник ABC по данному углу C, отношению сторон AC : CB = 3 : 2 и медиане CM. Л- Упражнения для повторения 585. PL - биссектриса треугольника PMN, PN = 6 см, PM = 10 см. Больший из двух отрезков, на которые биссектриса PL разделила сторону MN, равен 5 см. Найдите меньший из этих отрезков. 586. Стороны треугольника относятся как 3:4:6. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 52 см. 109 Глава 2 0 587. Основания равнобокой трапеции равны a см и b см (а > b). Найдите квадрат высоты трапеции, если ее боковая сторона перпендикулярна диагонали. Интересные задачки для неленивых 588. На продолжении наибольшей стороны AC треугольника ABC отложен отрезок CM = BC. Может ли угол ABM быть: 1) острым; 2) прямым? Домашняя самостоятельная работа № 3 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. 1. Дано: AB || CD (рис. 164), OA = 3 см, OB = 4 см, BD = 12 см. Найдите AC. A. 8 см; Б. 9 см; B. 10 см; Г. 16 см. 2. AABC V ADEF; AB : DE = 2 : 3. Найдите отношение EF : BC. A. 5 : 2; Б. 3 : 5; B. 2 : 3; Г. 3 : 2. 3. Укажите условия, при которых AABC v AA1B1C1. А. ZA = ZA1 = 30°; Б. ZA = ZA1; ZB = 40° В. ZB = ZB1; ZC = 47°; Г. ZA = ZA1; ZB = 150° ; ZB1 = 50°; ZC1 = 47°; ZC1 = 150 °. 4. На рисунке 165 ABC - разносторонний треугольник, ZD = ZB. Укажите верное утверждение. A. A ABC V A ADL; Б. A ABC V A ALD B. AABC V ADAL Г. A ABC V ADLA. 5. CL - биссектриса треугольника ABC. AC = 6 см; BC = 9 см. Больший из отрезков, на которые биссектриса CL делит сторону AB, равен 3 см. Найдите AB. А. 7,5 см; Б. 6 см; В. 5 см; Г. 6,5 см. 110 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 6. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу - 8 см. Найдите гипотенузу треугольника. А. 15 см; Б. 18 см; В. 16 см; Г. 24 см. 7. Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Найдите наименьшую сторону подобного ему треугольника, если сумма его средней по величине и наибольшей сторон равна 72 см. А. 18 см; Б. 27 см; В. 30 -77 см; Г. 24 см. 8. ABCD - трапеция, AB и CD - ее основания, O - точка пересечения диагоналей. AB - CD = 4 см; AO = 8 см; OC = = 6 см. Найдите AB. А. 12 см; Б. 16 см; В. 14 см; Г. 18 см. 9. Прямая KL параллельна стороне BC треугольника ABC, K G AB, L е AC (рис. 166). BC = 9 см; KL = 6 см; KB = 4 см. Найдите L длину стороны AB. A. 12 см; B. 16 см; Б. 8 см; Г. 10 см. Рис. 166 10. Периметр параллелограмма равен 30 см, а его высоты -4 см и 6 см. Найдите большую сторону параллелограмма. А. 6 см; Б. 8 см; В. 9 см; Г. 12 см. 11. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне. Высота трапеции равна 6 см и делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен 3 см. Найдите меньшее основание трапеции. А. 6 см; Б. 8 см; В. 9 см; Г. 12 см. 12. В треугольнике, стороны которого равны 8 см, 12 см и 15 см, проведена полуокружность так, что центр ее лежит на большей стороне треугольника, и она касается двух других сторон треугольника. На какие отрезки центр полуокружности делит большую сторону треугольника? A. 6 см и 9 см; Б. 8 см и 7 см; B. 7,5 см и 7,5 см; Г. 5 см и 10 см. Задания для проверки знаний к § 12-17 1. А ABC V {LMN, АВ 3. Найдите отношение АС LM LN 2. Докажите, что А ABC v А A1B1C1, если AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см, A1B1 = 6 см, B1C1 = 8 см, A1C1 = 10 см. 111 Глава 2 Рис. 168 3. Дано: KL || MN (рис. 167), OL = 3 см, LN = 6 см, OK = 2 см. Найдите KM. 4. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его проекция на гипотенузу равна 4 см, а гипотенуза - 25 см. 5. AL - биссектриса треугольника ABC, AB = 8 см, AC = 10 см. Меньший из отрезков, на которые биссектриса AL делит сторону BC, равен 4 см. Найдите BC. 6. На рисунке 168 найдите подобные треугольники и докажи- те их подобие. 7. Стороны треугольника относятся как 5 : 6 : 7. Найдите неизвестные стороны подобного ему треугольника, у которого сумма большей и меньшей сторон равна 24 см. 8. O - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AB || CD), AO = 6 см, OC = 4 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 20 см. 9. Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Дополнительные задания 10. В двух равнобедренных треугольниках углы при вершине равны. Периметр одного из треугольников равен 56 см. Найдите его стороны, если две стороны второго треугольника относятся как 2 : 3. 11. На стороне AC треугольника ABC отметили точку K так, что ZABK = Z С, AB = 8 см, AK = 4 см. Найдите KC. 112 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ * Упражнения для повторения главы 2 К § 12 589. На рисунке 169 MN || KL. 1) OM : ON = 2 : 3. Найдите MK : NL. 2) OL : ON = 7 : 5. Найдите OK : OM. 590. Параллельные прямые MN и KL пересекают стороны угла с вершиной O (рис. 169). OM = 4, NL = 9, ON = MK. Найдите длину отрезка ON. В 591. Даны отрезки a и b. Постройте отрезок ^ = -^. о 592. На рисунке 170 AE : EC = 2 : 1, BD : DC = 3 : 2. Найдите BK : KE. К § 13 593. А ABC V {KLM. Заполните пустые ячейки: АВ 2) ^ □’ 2^ □. 1) АС 594. А ABC V А A1B1C1, AB = 8 см, BC = 6 см, A1B1 = 12 см, A1C1 = 18 см. Найдите неизвестные стороны обоих треугольников. 595. Стороны треугольника относятся как 2 : 5 : 6. Найдите периметр подобного ему треугольника, у которого: 1) средняя по длине сторона равна 20 см; 2) сумма большей и меньшей сторон равна 40 см. 596. В треугольнике проведена средняя линия. Подобен ли образовавшийся треугольник данному треугольнику? 113 Глава 2 К § 14 597. При каких условиях два треугольника подобны: 1) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого; 2) три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого; 3) три угла одного треугольника равны трем углам другого? 598. На катете AC и гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечены точки P и L так, что ZAPL = 90°. Докажите, что АAPL v дACB. 599. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, OB = 3 OA, OC = 3 OD. Докажите, что АAOD v д BOC. 600. Диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении 2 : 3. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите большее основание трапеции. 601. У треугольников KLM и K1L1M1 Z K = Z K1, а стороны треугольника KLM, образующие угол K, в 2,5 раза больше сторон, образующих угол K1. Найдите LM, если L1M1 = 4 см. 602. ABCD - трапеция, AD || BC, ZBAC = ZADC. 1) Найдите подобные треугольники и докажите их подобие. 2) Докажите, что AC2 = AD ■ BC. 603. На сторонах AC и BC треугольника ABC отметили точки M и N такие, что AC ■ CM = BC ■ CN. Найдите подобные треугольники и докажите их подобие. 604. На стороне AC треугольника ABC выбрана точка K так, что Z BKC = ZABC, причем ZBKC - тупой. Найдите BC, если AK = 16 см, CK = 9 см. 605. В треугольнике ABC через точку N, принадлежащую стороне BC, проведены прямые, пересекающие стороны AB и AC соответственно в точках M и K и параллельные AC и AB. Докажите, что MN ■ NK = BM ■ CK. 606. А ABC V А A1B1C1, точки I и I1 - точки пересечения биссектрис данных треугольников. Докажите, что А AIB V А A1I1B1. 607. В треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN, у которого KN = 16 см, LK = 10 см, причем K g AC, N е AC, M е BC, L е AB. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B, если AC = 24 см. 114 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 608. BD и AE - высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что DC ■ AC = EC ■ BC. К § 15 609. Начертите прямоугольный треугольник KLM (Z K = 90°) и проведите в нем высоту KP. Какие отрезки являются проекциями катетов KL и KM на гипотенузу? 610. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 1 см и 8 см. Найдите меньший катет треугольника. 611. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна 24 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу - 18 см. Найдите проекцию второго катета на гипотенузу и катеты треугольника. 612. BM - биссектриса равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Из точки M к стороне BC проведен перпендикуляр MK. Найдите BM и периметр треугольника, если kC = 9 см, MK = 12 см. 613. Перпендикуляр, проведенный из вершины угла прямоугольника к диагонали, делит ее на отрезки, длины которых относятся как 9 : 16. Найдите периметр прямоугольника, если длина перпендикуляра 12 см. 614. Окружность, вписанная в ромб, точкой касания делит сторону ромба на отрезки 3,6 см и 6,4 см. Найдите диагонали ромба. 615. В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Высота трапеции равна 6 см, а средняя линия - 9 см. Найдите основания трапеции. шение К § 16 616. BM - биссектриса треугольника ABC. Найдите отно- АМ ес АВ 1 ----, если--= —. МС ВС 3 617. BD - биссектриса треугольника ABC. Найдите сторону AB, если AD : DC = 3 : 5, BC = 20 см. 618. Одна из сторон параллелограмма на 9 см больше другой. Биссектриса угла параллелограмма делит диагональ параллелограмма на отрезки 4 см и 10 см. Найдите периметр параллелограмма. 115 Глава 2 619. Периметр прямоугольника равен 60 см. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки, отношение которых равно 7 : 8. Найдите стороны прямоугольника. 620. Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC. Сравните углы ACD и BCD, если AC = 6 см, BC = 8 см, = 3 см, DB = 7 см. 621. В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности в 5 раз меньше высоты, проведенной к основанию треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 90 см. К § 17 622. S - точка пересечения хорд AB и CD. AS = 4, SB = 1. Чему равно произведение CS ■ DS? 623. Секущие a и b выходят из точки M, лежащей вне окружности. Секущая a пересекает окружность в точках A и B, а секущая b - в точках C и D. Известно, что MA ■ MB = 28, MC = 4. Найдите MD и CD. 624. Из точки A к окружности проведены касательная AM и секущая AP (рис. 171). Найдите длины отрезков AK и PK, если AM = 8 см, AP = 16 см. 625. Из точки A к окружности проведены касательная AM и секущая AP (рис. 171). AM = 10 см, AP : AK = 4 : 1. Найдите AK, AP и KP. 626. Продолжение медианы AM равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) пересекает окружность, описанную около треугольника, в точке P. AM = 6 см, BC = 8 см. Найдите A.P. 627. Из вершины В треугольника ABC проведена биссектриса BL. Известно, что BL = 5 см, AL = 4 см, LC = 5 см. Найдите AB и BC. 628. Постройте треугольник ABC по данному углу отношению сторон AC : AB = 4 : 3 и биссектрисе A.L. Рис. 171 A, 116 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Гранд геометрии XX-ro века В начале 80-х годов XX-го века Американское математическое общество издавало серию книг под общим названием «Выдающиеся математики ХХ-го века». Том с монографией харьковского ученого Алексея Васильевича Погорелова «Проблема Монжа-Ампера» вышел под номером 4. В краткой аннотации на суперобложке тома автор был назван «грандом геометрии ХХ-го века». Именно так оценили вклад нашего соотечественника в развитие геометрии - одной из древнейших наук на Земле. Алексей Погорелов родился 3 марта 1919 года в маленьком городе Короча Курской губернии (Россия). В 1929 году семья Погореловых переезжает в Харьков. Родители маленького Алеши работали на строительстве Харьковского тракторного завода, а затем и на самом заводе. Семья долгое время жила в крошечной, отгороженной от соседей клетушке барака. Кроватей на всех членов семьи не хватало, и отцу приходилось специально работать в ночную смену, чтобы Алеша и его сестра могли нормально выспаться. Несмотря на такие условия жизни, в школе Алексей хорошо успевал по всем предметам, но больше всего интересовался математикой. Впоследствии на одном из его юбилеев друзья детства вспоминали, что он еще тогда заработал в среде одноклассников прозвище Паскаль. С 1935 года в Киеве стали ежегодно проводить математическую олимпиаду1, а в 1937 году одним из ее победителей стал харьковский десятиклассник Алексей Погорелов. Талантливого юношу заметили и пригласили учиться на физико-математический факультет ХГУ (в настоящее время - Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина). О незаурядности студента Погорелова свидетельствует, например, то, что в 1943-1944 гг., во время Второй мировой войны, его направили в Военно-воздушную академию им. Жуковского - один из элитных военно-учебных и научных центров СССР. После стажировки в действующей армии и окончания академии в 1945 году Погорелова направляют на конструкторскую работу в знаменитый Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ) в Москве. Одновременно он учится заочно в аспирантуре Математического института МГУ. Именно в эти годы окончательно сформировался редкий сплав классического 1 О становлении и развитии украинского математического олим-пиадного движения можно прочитать в учебнике «Алгебра. 7 клас» (автор - А.С. Истер, издательство «Генеза»). 117 Глава 2 математика, изучающего абстрактные проблемы геометрии, и инженера-конструктора, имеющего дело с конкретной техникой. В 1947 году Погорелов начинает преподавательскую деятельность в Харьковском университете. В 1950 году ему было присвоено звание профессора. В течение следующих двадцати лет его деятельность отмечалась многими государственными и международными премиями, он был избран членом-корреспондентом, а затем и действительным членом Академии наук УССР, а в 1976 году он становится академиком АН СССР. В 1960 году в Харькове организуется Физико-технический институт низких температур (ФТИНТ) и Погорелов возглавил отдел геометрии в его математическом отделении. Здесь он проработал 40 лет и создал в механике и геометрии новое направление - геометрическую теорию устойчивости тонких упругих оболочек, заниматься которой начал еще выдающийся российский математик, академик А.Д. Александров, которого сам Погорелов, кстати, считал своим учителем. Проведенные в ФТИНТе сложные технические исследования полностью подтвердили теорию Погорелова. Инженерный талант этого классического математика ярко проявился в успешном сотрудничестве с машиностроителями при создании уникальных криотурбогенераторов со сверхпроводящей обмоткой и внедрении при этом двух авторских свидетельств. А сколько оригинальных технических идей Погорелова так и не получили официального признания, поскольку это требовало немалых хлопот и усилий, не связанных с творчеством! Среди них - безынерционная спиннинговая катушка, необычный плуг, двигатель внутреннего сгорания принципиально новой схемы. Но главным делом его жизни, бесспорно, была чистая математика, геометрия. Целую библиотеку - около 40 монографий, переведенных на многие языки мира, оставил после себя Алексей Васильевич. Есть среди них те, которые будут понятны лишь узкому кругу специалистов, а есть и учебники геометрии, написанные для десятков тысяч студентов-матема-тиков. Но самым известным и значимым для классической математики стал его учебник геометрии для средней общеобразовательной школы, изданный впервые в 1972 году, по которому в течение почти 30-ти лет учились десятки миллионов школьников СССР, и еще несколько лет - украинские школьники после обретения Украиной независимости. Умер Алексей Васильевич Погорелов в декабре 2002 года. Нашему выдающемуся соотечественнику удалось решить задачи, которые были сформулированы известнейшими математиками XIX-го и начала XX-го века: Коши, Дарб^, Гильбертом, Вейлем, Минковским, Кон-Фессетом и Бернштейном. 118 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В этой главе вы: • вспомните основные свойства прямоугольных треугольников; • познакомитесь с теоремой Пифагора; понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; свойствами наклонных и их проекций; • научитесь находить соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треуголь нике, решать прямоугольные треугольники. Ш18. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника. Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них. Доказательство. Пусть ABC -данный прямоугольный треугольник, у которого Z C = 90° (рис. 172). Докажем, что AB2 = AC2 + BC2. D Рис. 172 1) Проведем высоту CD. 2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем: AC2 = AB ■ AD и BC2 = AB ■ BD. 3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что AD + BD = AB, получим: AC2 + BC2 = AB ■ AD + AB ■ BD = AB ■ (AD + BD) = = AB ■ AB = AB2. 4) Следовательно, AB2 = AC2 + BC2. А 119 Глава 3 А а Рис. 173 Если в треугольнике ABC (Z C = 90°) обозначить BC = а, AC = b, AB = c (рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой: с2 = а2 + Ь2. Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема: Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу. Решение. Пусть а = 7 см, b = 24 см, тогда с - -\1а^ +Ь^ - = + 24^ = ^/625 = 25 (см). Ответ. 25 см. Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов - 15 см. Найдите второй катет. Решение. Пусть а = 15 см, c = 17 см, тогда Ь — л1с^ — — = -15^ = V(17-15)(17 + 15) = ^2^2 = ^/64 = 8 (см). Ответ. 8 см. а Рис. 174 Задача 3. Найдите диагональ квадрата, сторона которого равна а. Решение. Рассмотрим квадрат ABCD, у которого AB = AD = а (рис. 174). Тогда BD = + AD^ = + а2 = = ал/2. Ответ. a-j2. Задача 4. Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной а. Рис. 175 120 Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной а, BK - его медиана (рис. 175). Так как BK - медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Из АABK: ^ = 90°, AB = а, АК а 2‘ Тогда = л - 13а^ а4з Ответ Задача 5. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона - 13 см. Найдите высоту трапеции. Решение. Пусть ABCD - данная трапеция, AD || BC, ^D = 22 см, BC = 12 см, AB = CD = 13 см (рис. 176). 1) Проведем высоты BK и CM. 2) АABK = А DCM (по катету и гипотенузе), поэтому AD - КМ AD-BC 22 - AK = MD = 12 Рис. 176 = 5 (см). 2 2 2 3) Из АABK по теореме Пифагора имеем: ВК = у1АВ^ - АК^ = V132 - 52 = 12 (см). Ответ. 12 см. Задача 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника. Решение. Пусть а = 8 см и b = x см - катеты треугольника, тогда c = (x + 2) см - его гипотенуза. Так как по теореме Пифагора с2 = а2 + b2, получим уравнение: (х + 2)2 = 82 + x2, откуда x = 15 (см). Следовательно, неизвестный катет равен 15 см. Ответ. 15 см. Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора. Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника АВС справедливо равенство АВ^ = АС^ + ВС^, то угол C этого треугольника — прямой. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC AB2 = AC2 + BC2. Докажем, что Z C = 90° (рис. 177). Рассмотрим АA1B1C1, у которого ZC1 = 90°, A1C1 = AC, B1C1 = BC. Тогда по теореме Пифагора A-^Sf = Afi^ + BjC^, а следовательно, Ai-Bf = АС^ -I- ВС^. 121 Глава 3 Но AC2 + BC2 = AB2 no условию, поэтому = AB^, то есть A^B^ = AB. Таким образом, A ABC = A A^B^C^ (по трем сторонам), откуда Z C = Z C^ = 90°. A Так как 52 = 32 + 42, то треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам. Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, - пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п. Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон. Задача 7. Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9? Решение. 1) Так как 102 = 62 + 82 (100 = 100), то треугольник является прямоугольным. 2) Так как 92 ^ 52 + 72 (81 ^ 74), то треугольник не является прямоугольным. Ответ. 1) Да; 2) нет. ^^^^.^}Че~раньше..Т1и’ Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между кате- 122 Пифагор (ок. 580500 до н. э.) РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ тами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае. Считается, что Пифагор - первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором. Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами». Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым. 1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 2. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора. 3. Какой треугольник называют египетским? 4. Какие тройки чисел и треугольники называют пифагоровыми? 123 Глава 3 т Начальный уровень 629. (Устно.) АMKL - прямоугольный, ZM = 90° (рис. 178). Какие из равенств верны: 1) KM2 = ML2 - KL2; 2) KL2 = ML2 + KM2; 3) ML2 = KL2 + KM2; 4) KM2 = KL2 - ML2 5) KL2 = ML2 - KM2 Рис. 178 6) ML2 = KL2 - KM2? 630. А EFP - прямоугольный, Z P = 90°. Заполните пропуски: 1) EF2 = ...2 + ...2; 2) EP2 = ...2 - ...2. 631. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: 1) 6 см и 8 см; 2) 12 см и 35 см. 632. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: 1) 5 см и 12 см; 2) 8 см и 15 см. 633. Найдите неизвестный катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны: 1) 17 см и 8 см; 2) 26 см и 10 см. 634. Найдите неизвестный катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны: 1) 25 см и 7 см; 2) 41 см и 40 см. т Средний уровень 635. Две большие стороны прямоугольного треугольника равны 7 см и 5 см. Найдите его наименьшую сторону. 636. Две меньшие стороны прямоугольного треугольника равны 2 см и 3 см. Найдите его наибольшую сторону. 637. Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. Найдите его диагональ. 638. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из его сторон - 12 см. Найдите другую сторону прямоугольника. 639. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведенная к основанию, - 12 см. Найдите основание треугольника. 124 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 640. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а высота, проведенная к основанию, - 15 см. Найдите боковую сторону треугольника. 641. Диагонали ромба равны 24 см и 70 см. Найдите его сторону. 642. Сторона ромба равна 13 см, а одна из его диагоналей -10 см. Найдите вторую диагональ ромба. 643. Диагональ квадрата равна з42 см. Найдите его сторону. 644. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 8 см. Найдите длину медианы, проведенной к большему катету. 645. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 9 см. Найдите длину медианы, проведенной к меньшему катету. 646. Из точки A к окружности с центром O проведена касательная, B - точка касания. Найдите длину отрезка AO, если OB = 2 см, AB = 7 см. 647. Из точки M к окружности с центром O проведена касательная, P - точка касания. Найдите длину отрезка PM, если OP = 3 см, OM = 6 см. 648. Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 15; 20; 25; 2) 4; 5; 6? 649. Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 5; 6; 9; 2) 16; 30; 34? 650. В окружности, радиус которой равен 13 см, проведена хорда длиной 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды. 651. В окружности проведена хорда длиной 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от ее центра до хорды равно 6 см. Достаточный уровень 652. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и 6 см. Найдите третью сторону (рассмотрите все случаи). 653. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и 2 см. Найдите третью сторону (рассмотрите все случаи). 654. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 7 : 24, а гипотенуза равна 50 см. Найдите периметр треугольника. 655. Катет относится к гипотенузе как 8 : 17. Найдите периметр треугольника, если второй катет равен 30 см. 125 Глава 3 656. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунках 179182. 657. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунках 183 и 184. Рис. 180 Рис. 181 10 Рис. 182 л: 15 Рис. 183 Рис. 184 658. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см, а другой на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника. 659. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 5 см, а гипотенуза на 1 см больше другого катета. Найдите периметр треугольника. 660. В треугольнике ABC ZA - тупой, BC = 39 см, AB = 17 см. BK - высота треугольника, BK = 15 см. Найдите AC. 661. BK - высота треугольника ABC, у которого AC - тупой. AB = 20 см, BC = 13 см, CK = 5 см. Найдите AC. 662. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, равна 5 см и делит ее на два отрезка так, что прилежащий к вершине равнобедренного треугольника отрезок равен 12 см. Найдите основание треугольника. 126 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 663. Высота BE равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AC на отрезки AE = 24 см и EC = 1 см. Найдите основание треугольника. Высокий уровень 664. Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 8 см и 10 см и одна из них перпендикулярна стороне. 665. Радиус окружности, описанной около тупоугольного равнобедренного треугольника, равен 37 см, а его основание - 70 см. Найдите боковую сторону треугольника. 666. Высота равнобедренного остроугольного треугольника, проведенная к основанию, равна 18 см, а радиус окружности, описанной около него, - 13 см. Найдите боковую сторону треугольника. 667. Постройте отрезок, длина которого равна лЯз см. 668. Постройте отрезок, длина которого равна ^/^0 см. 669. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 10 см и 26 см. Найдите периметр треугольника. 670. Биссектриса прямого угла треугольника делит гипотенузу на отрезки, которые равны 15 см и 20 см. Найдите периметр треугольника. 671. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит катет на отрезки 2 см и 10 см. Найдите периметр треугольника. 672. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см. Найдите среднюю линию трапеции. 673. Равнобокая трапеция с основаниями a и b описана около окружности. Докажите, что ее высота равн^ ^i?T. 674. Отношение боковой стороны к основанию равнобедренного треугольника равно 5 : 8, а разность отрезков, на которые биссектриса угла при основании делит высоту, проведенную к основанию, равна 3 см. Найдите периметр треугольника. 675. Боковая сторона равнобедренного треугольника на 5 см меньше основания. Отрезки, на которые биссектриса угла при основании делит высоту, проведенную к основанию, относятся как 5 : 3. Найдите периметр треугольника. 127 Глава 3 Упражнения для повторения 1^ 676. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°. Найдите медиану этого треугольника, проведенную к гипотенузе, если сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. 677. Окружность радиуса 3 см вписана в ромб. Один из отрезков, на которые точка касания делит сторону ромба, равен 9 см. Найдите периметр ромба. 678. Трапеция вписана в окружность так, что диаметр окружности является ее большим основанием, а отношение оснований равно 2 : 1. Найдите углы трапеции. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 679. Проведите прямую т. Отметьте точку A на расстоянии 2 см и точку B на расстоянии 3 см от прямой т. 680. Проведите прямую a и отметьте не принадлежащую ей точку B. 1) Проведите перпендикуляр BK к прямой а. 2) Проведите отрезок BM, где M - некоторая точка прямой а. 3) Сравните длины отрезков BK и BM. 681. Проведите параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. Интересные задачки для неленивых 682. Можно ли отметить на плоскости 6 точек так, чтобы любые три из них были вершинами равнобедренного треугольника? 19. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ, ИХ СВОЙСТВА Пусть AH - перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой а (рис. 185). Точку H называют основанием перпендикуляра AH. Пусть K - произвольная точка прямой а, отличающаяся от H. Отрезок AK называют наклонной, проведенной из точки A к прямой а, а точку K - основанием наклонной. Отрезок HK называют проекцией наклонной AK на прямую а. Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной. 128 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой. Действительно, в прямоугольном треугольнике AHK AH -катет, AK - гипотенуза (рис. 185). Поэтому AH < AK. 2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции. Пусть из точки A к прямой a проведены наклонные AK и AM (AK = AM) и перпендикуляр AH (рис. 186). Тогда АAHK = {AHM (по катету и гипотенузе), поэтому HK = HM. А Верно и обратное утверждение. 3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные. А AHK = А AHM (по двум катетам), поэтому AK = AM (рис. 186). 4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция. Пусть AK и AL - наклонные, HK > HL (рис. 187). Тогда AK2 = AH2 + HK2 (из А AHK), AL2 = AH2 + HL2 (из АAHL). Но HK > HL, поэтому AK2 > AL2, следовательно, AK > AL. Свойство справедливо и в случае, когда точки K и L лежат на прямой по одну сторону от точки H. Верно и обратное утверждение. 5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию. 129 Глава 3 Пусть AK и AL - наклонные, > AL (рис. 187). А Тогда HK2 = AK2 - AH2 (из АAHK), HL2 = AL2 - AH2 (из А AHL). Но AK > AL, поэтому HK2 > HL2, следовательно, HK > HL. Задача 1. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции - 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°. Решение. Пусть на рисунке 187 AL = 10 см, HL = 6 см, Z AKH = 30°. 1) Из АAHL: АН = = 8 (см). 2) Из АAHK по свойству катета, противолежащего углу 30°, АК будем иметь: АН = а Поэтому AK = 2 • AH = 2 • 8 = 16 (см). Ответ. 16 см. Задача 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см. Решение. Пусть на рисунке 187 KH = 30 см, HL = 9 см. По свойству 4: AK > AL. Обозначим AL = x см. Тогда AK = (х + 9) см. Из АAHL: AH2 = AL2 - LH2, поэтому AH2 = х2 - 92. Из АAHK: AH2 = AK2 - HK2, поэтому AH2 = (х + 9)2 - 302. Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части. Имеем уравнение: (х + 9)2 - 302 = х2 - 92, откуда х = 41. Следовательно, AL = 41 см, AK = 41 + 9 = 50 (см). Ответ. 41 см, 50 см. 130 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. Что называют наклонной, проведенной из точки к прямой? 2. Что называют основанием наклонной? 3. Что называют проекцией наклонной? 4. Сформулируйте свойства наклонных и их проекций. Начальный уровень В 683. (Устно.) Назовите на рисунке 188: 1) перпендикуляр, проведенный из точки B к прямой b; 2) основание перпендикуляра; 3) наклонную, проведенную из точки B к прямой b; 4) основание наклонной; 5) проекцию наклонной. 684. Начертите прямую m и отметьте не принадлежащую ей точку P. Проведите перпендикуляр PK и наклонную PM к прямой m. 685. (Устно.) BM - перпендикуляр к прямой b, BP - наклонная (рис. 188). Сравните BM и BP. 686. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, равна 5 см, а длина наклонной, проведенной из этой же точки, - 13 см. Найдите проекцию наклонной на данную прямую. 687. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к прямой, равен 6 см. Из этой же точки к прямой проведена наклонная, проекция которой на прямую равна 8 см. Найдите длину наклонной. Средний уровень 688. Из точки к прямой проведены две равные наклонные. Проекция одной из них равна 6 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. 689. Из точки к прямой проведены две равные наклонные. Расстояние между их основаниями равно 10 см. Найдите проекции наклонных на данную прямую. 690. Точка лежит на расстоянии 10 см от прямой. Из этой точки к прямой проведена наклонная, образующая с прямой угол 30°. Найдите длину наклонной и длину ее проекции на прямую. 131 Глава 3 691. Точка лежит на расстоянии 2 см от прямой. Из этой точки к прямой проведена наклонная, образующая с прямой угол 45°. Найдите проекцию наклонной на эту прямую и саму наклонную. 692. Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них равна 13 см, а ее проекция - 5 см. Найдите проекцию второй наклонной, если она образует с прямой угол 45°. 693. Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них равна 12 см и образует с прямой угол 30°. Найдите длину второй наклонной, если ее проекция на прямую - 8 см. 694. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 13 см и 20 см. Проекция первой на прямую равна 5 см. Найдите проекцию второй наклонной. т Достаточный уровень 695. Из точки, находящейся на расстоянии 24 см от прямой, проведены две наклонные длиной 25 см и 26 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько случаев следует рассмотреть? 696. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные длиной 10 см и 17 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько случаев следует рассмотреть? 697. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 5 см и 8 см. Какой угол образует вторая наклонная с прямой, если проекция первой наклонной на прямую равна 3 см? 698. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 41 см, а ее проекции - 9 см. Какой угол образует вторая наклонная с прямой, если ее проекция на эту прямую равна 40 см? 699. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой а. Из этих точек к прямой а проведены перпендикуляры длиной 2 см и 7 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, если MN = 13 см. 700. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой т. Из этих точек к прямой т проведены перпендикуляры длиной 1 см и 7 см. Найдите AB, если расстояние между основаниями перпендикуляров равно 8 см. 701. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 10 см и 14 см, разность проекций которых равна 8 см. Найдите проекции наклонных и расстояние от точки до прямой. 132 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 702. Из точки к прямой проведены две наклонные, разность которых равна 2 см. Найдите эти наклонные и расстояние от точки до прямой, если проекции наклонных равны 1 см и 5 см. Высокий уровень 703. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите проекции двух меньших сторон на большую сторону. 704. Стороны остроугольного треугольника равны 25 см, 29 см и 36 см. Найдите проекции двух больших сторон на меньшую сторону. 705. Из точки A к прямой m проведены наклонные AB и AC и перпендикуляр AK, причем точка K лежит между точками B и C. AB = 15 см, AK = 12 см, KC = 16 см. Найдите ABAC. Упражнения для повторения 706. Основания равнобокой трапеции равны 5 см и 11 см, а ее высота - 6 см. Найдите диагональ трапеции. 707. Радиусы двух окружностей, имеющих внешнее касание, равны 1 см и 4 см. Прямая a - общая касательная этих окружностей. Найдите расстояние между точками касания прямой a с окружностями. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 708. В треугольнике ABC (AC = 90°) проведена средняя линия KL (рис. 189). KL = 3 см, LB = 4 см. 1) У А KBL и А ABC найдите отношение катета, противолежащего углу B, к катету, прилежащему к углу B, и сравните полученные значения. 2) В А KBL и А ABC найдите отношение катета, противолежащего углу B, к гипотенузе и сравните полученные значения. 3) В А KBL и А ABC найдите отношение катета, прилежащего к углу B, к гипотенузе и сравните полученные значения. 709. Определите меру углов треугольника со сторонами длиной: 1) 1 см; см; 2 см; 2) 1 см; 1 см; 4^ см. 133 Глава 3 Интересные задачки для неленивых 710. (Задача Стэнфордского университета.) Точка P расположена внутри прямоугольника так, что расстояние от нее до вершины прямоугольника равно 5 ярдов, до противоположной вершины - 14 ярдов, а до третьей вершины - 10 ярдов. Каково расстояние от точки P до четвертой вершины? ?Ш20, СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 190). Для острого угла A катет BC является противолежащим катетом, а катет AC - прилежащим катетом. Для острого угла B катет AC является противолежащим, а катет BC - прилежащим. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла A обозначают так: sin A. Следовательно, sinA = Ж = “. sinE = ^ = А. АВ с АВ с Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла A обозначают так: cos A. Следовательно, АВ с АВ с cosA - Так как катеты AC и BC меньше гипотенузы AB, то синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс угла A обозначают так: tgA. Следовательно, tgA = ВС АС Pl Ь tgB = АС ВС а 134 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и А^Е^С!, у которых Z А = Z А^ (рис. 191). Тогда А ABC v {А^Е^С^ АВ ВС АС (по острому углу). Поэтому А,С, В, ВС RC. Из этого следует, чт^ ^ ^ ^ ^ поэтому sinA = sinА1. Аналогично АС АС, ВС Б.С, “-----. поэтому cosA = cos А,, —— = „ ^ , 1 АС АВ А^В^’ поэтому tgA = tgA1. Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла. Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: а = csin>l = ccosB и Ь = csinB = ccosA. 2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: а а Ь Ь с =----=------=-----=------. sinA cosB sinB cosA 3. Катет, противолежащий углу А, равен произведению второго катета на тангенс этого угла: а = ЫдА. 4. Катет, прилежащий к углу А, равен частному от деления . а другого катета на тангенс этого угла: Ь tgA 135 Глава 3 Значения sin A, cos A, tgA можно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора |sin|, |cQs| и [tg] (на некоторых калькуляторах |tan|). Последовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору. Задача 1. В треугольнике ABC Z C = 90°, AC = 12 см, Q cos А = —. Найдите AB. 4 Решение. АВ -Ответ. 16 см. АС cos А (рис. 190). АВ = 12 = 16 (см). 4 Задача 2. В треугольнике ABC ZC = 90°, AB = 10 см, ZA = 17°. Найдите BC (с точностью до десятых сантиметра). Решение. BC = AB sin A (рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим sin 17° « 0,2924. Следовательно, BC - 10 • 0,2924 * 2,9 (см). Ответ. - 2,9 см. С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению sin A, cos A или tgA находить угол А. Для вычислений используем клавиши калькулятора sin cos 1| и tg 1 Задача 3. В треугольнике ABC ZC = 90°, AC = 4 см, BC = 5 см. Найдите острые углы треугольника. Решение. ^^^^^^ = -^ = 1,25 (рис. АС 4 190). С помощью калькулятора находим значение угла А в градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): ZA - 51°20'. Тогда Z B = 90° - ZA - 90° - 51°20' - 38°40'. Ответ. - 51°20'; - 38°40'. Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим {ABC, у которого ZC = 90°, ZA = 30°, ZB = 60°, BC = a (рис. 192). Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°, AB = 2a. По теореме Пифагора: АС = VaB2 - ВС2 = yj(2af-a^ = - - а^/з . В РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Тогда sin А = то есть sin 30° = ; АВ 2а 2 А АС ОАО «^/з л/з АВ 2а 2 tgA = то есть tg 30° = —^ aV3 V3 3 • п АС ■ апо a-Js -Js sinS =-----, то есть sin 60° =-=-----; АВ 2а 2 sinS = то есть cos 60° = ; АВ 2а 2’ tgS = то есть tg 60° = = л/з . ВС л Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°. Рассмотрим А ABC, у которого Z C = 90°, Z А = Z B = 45°, BC = a (рис. 193). Тогда AC = BC = а. По теореме Пифагора: АВ = л1АС^ + ВС^ = ^Ja^ + = ^/2^ = a^/2. Тогда А sin А = то есть sin 45° = —^ ^ ал/2 ^/2 2 ’ cos А = то есть cos 45° = —^ ЛВ’ ач/2 ч/2 2 ’ С о- В Рис. 193 Систематизируем полученные данные в таблицу: tgA = 4^, то есть tg45° = — = 1. АС а A 30° 45° 60° sin A 1 1 _ \/г S 2 ^/2 2 2 cos A s 1 _ S 1 2 ^/2 2 2 tg A 1 _ л/з n/з 3 1 Задача 4. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°. 137 Глава 3 Решение. Пусть ABC - данный треугольник, = BC, AC = 12 см, ZABC = 120° (рис. 194). Проведем к основанию AC высоту BK, являющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда _D_ ' С ■ 2 2 ZKBC = ZABC : 2 = 120° : 2 = 60°. КС к Рис. 194 (см), Из А BKC (Z К = 90°): tgKBC КС отсюда вк = Ответ. 2~Js см. ВК 6 6 6>/з = (см). 1. Что называют синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? 2. Каковы соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника? т Начальный уровень 711. Дано А ABC, Z C = 90° (рис. 195). Найдите: 1) sin A; 2) cos B; A 3) tg A; В 4) cos A; 5) sin B; 6) tg B. M N Рис. 196 712. Дано АMNK, Z K = 90° (рис. 196). Найдите: 1) cos M; 2) sin N; 3) tg M; 4) sin M; 5) cos N; 6) tg N. 713. Найдите с помощью таблиц, калькулятора или компьютера: 1) cos 18°; 2) sin 40°; 3) tg 13°; 4) cos 12°10'; 5) sin 67°30'; 6) tg 81°48'. 138 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 714. Найдите с помощью таблиц, калькулятора или компьютера: 1) sin 58°; 2) cos 32°; 3) tg 78°; 4) sin 14°42'; 5) cos 49°30'; 6) tg 15°12'. 715. Вычислите: 1) sin 30° + tg 45°; 2) cos 30° • sin 60°. 716. Вычислите: 1) tg 45° - cos 60°; 2) sin 45° : cos 45°. m Средний уровень 717. Дано: A ABC, Z C = 90°, AC = 5 см, BC = 12 см. Найти: sinA, cos A. 718. Дано: A ABC, Z C = 90°, AC = 7 см, BC = 24 см. Найти: sin B, cos B. 719. В A ABC Z C = 90°. Найдите: 1) AC, если BC = a, ZB = P; 2) AB, если AC = b, ZA = a. 720. В A ABC Z C = 90°. Найдите: 1) BC, если AC = b, Z A = a; 2) AB, если BC = a, ZB = p. 721. В A ABC Z C = 90°. Найдите: 1) AB, если AC = 5 см, cosA = 4’ 2) AB, если BC = 3 см, sin A = 0,6; 4’ 3) AC, если AB = 8 см, sinB 4) BC, если AB = 20 см, cos В = —; 5 5) AC, если BC = 10 см, tgB = 0,5. 722. В A ABC Z C = 90°. Найдите: 1) AB, если BC = 8 см, cosB = 2) AB, если AC = 10 см, sin B = 0,25; 3) BC, если AB = 6 см, sinA = О 4) AC, если AB = 20 см, cosA = 0,4; 5) BC, если AC = 12 см, tg A = 139 Глава 3 723. В А ABC Z C = 90°. Найдите: 1) А^, если АС = 4-\/з см, ZA = 30°; 2) AC, если ^B = ^J2 см, ZB = 45°. 724. В А ABC Z C = 90°. Найдите: 1) AB, если ВС = б4з см, ZB = 30°; 2) BC, есл^ = 10\f2 см, ZА = 45°. 725. Найдите (с помощью таблиц, калькулятора или компьютера) острый угол а, если: 1) sin а = 0,4226; 2) cos а = 0,8192; 3) tg а = 0,2679; 4) sin а = 0,8231; 5) cos а = 0,9373; 6) tg а = 0,6924. 726. Найдите (с помощью таблиц, калькулятора или компьютера) острый угол р, если: 1) cos р = 0,1908; 2) sin р = 0,8387; 3) tg р = 0,7265; 4) cos р = 0,5493; 5) sin р = 0,3518; 6) tg р = 1,1792. 727. В А ABC Z C = 90°. С помощью таблиц, калькулятора или компьютера найдите с точностью до сотых сантиметра: 1) A^, если BC = 5 см, ZA = 42°; 2) BC, если AB = 10 см, ZB = 37°; 3) BC, если AC = 4 см, ZA = 82°. 728. В А ABC Z C = 90°. С помощью таблиц, калькулятора или компьютера найдите с точностью до сотых сантиметра: 1) AC, если AB = 8 см, ZA = 15°; 2) AB, если BC = 9 см, ZA = 43°; 3) BC, если AC = 5 см, ZB = 29°. w Достаточный уровень 729. Постройте угол: 1) тангенс которого равен —; 5 2) синус которого равен 7’ 3) косинус которого равен 730. Постройте угол: 1) тангенс которого равен 2) синус которого раве^^; 5 3 1. 7’ 3) косинус которого раве^—. О 140 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 731. Диагональ прямоугольника образует с его стороной, длина которой а, угол р. ^айдите периметр прямоугольника. 732. Одна сторона прямоугольника равна b. Его диагональ образует с другой его стороной угол а. ^айдите площадь прямоугольника. 733. Угол ромба равен 42°, а диагональ, противолежащая этому углу, - 6 см. ^айдите вторую диагональ ромба (с точностью до сотых сантиметра). 734. Сторона ромба равна 8 см, а один из его углов - 78°. ^айдите (с точностью до сотых сантиметра) диагональ ромба, выходящую из этого угла. 735. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, а один из острых углов - а. ^айдите высоту треугольника, проведенную к гипотенузе. 736. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна h. ^айдите гипотенузу треугольника, если один из его острых углов равен р. 737. Гипотенуза прямоугольного треугольника относится к его катету как 8 : 5. ^айдите (с точностью до градуса) острые углы этого треугольника. 738. Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 9 : 5. ^айдите (с точностью до градуса) острые углы этого треугольника. 739. Дано: А ABC Z C = 90°. ^айдите: а) AB и BC, если AC = 6 см, cos B = 0,8; 5 б) AC и BC, если AB = 13 см, tgA - 12 740. Дано: А ABC Z C = 90°. ^айдите: а) AB и BC, если AC = 4 см, sin A = 0,6; б) AC и BC, если AB = 34 см, tgB = 15 741. Основания равнобокой трапеции равны 2а и 2b (а > b), а острый угол - а. ^айдите боковую сторону трапеции. 742. ^а рисунке 197 ZACB = ZK = 90°, AC = b, ZABC = р, ZBCK = у. ^айдите BC, CK, KB. 743. ^а рисунке 197 ZACB = ZK = 90°, BK = а, ZABC = р, ZBCK = а. ^айдите BC, AC, AB. 141 Глава 3 Высокий уровень 744. Стороны прямоугольника равны 19 см и 50 см. Найдите острый угол между диагоналями (с точностью до минуты). 745. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите углы ромба (с точностью до минуты). 746. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна т, а угол при основании - а. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 747. Угол при основании равнобедренного треугольника равен р, а радиус вписанной окружности - г. Найдите боковую сторону треугольника. 748. Острый угол параллелограмма равен 45°. Диагональ делит тупой угол в отношении 1 : 2. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 20 см. 749. Острый угол параллелограмма равен 60°. Диагональ делит тупой угол в отношении 1 : 3. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 24 см. 750. В треугольнике одна из сторон равна 10 см, а прилежащие к ней углы - 135° и 30°. Найдите высоту треугольника, проведенную к данной стороне. 751. В треугольнике одна из сторон равна 8 см, а прилежащие к ней углы - 60° и 45°. Найдите высоту треугольника, проведенную к этой стороне. Упражнения для повторения 752. Наклонная, проведенная из точки к прямой, в два раза больше, чем перпендикуляр, проведенный из этой же точки к этой же прямой. Найдите угол между наклонной и перпендикуляром . 753. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу - 7,2 см. Найдите периметр треугольника. 754. Постройте ромб по высоте и меньшей диагонали. Интересные задачки для неленивых 755. (Задача Архимеда.) Если в окружности хорды AB и CD пересекаются в точке E под прямым углом, то сумма квадратов отрезков AE, BE, CE и DE равна квадрату диаметра. Докажите это. 142 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Р021. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Решить треугольник - значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам. Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника. Используя в прямоугольном треугольнике ABC (Z C = 90°) обозначение AB = с, BC = а, AC = b, ZA, ZB, ZC (рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами: Z A + Z B = 90°; а2 + b2 = с2 (теорема Пифагора); а = с sin A = с cos B = b tgA = b = c sin B = c cos A = a tg B = tgB tgA’ c - b sin A cos A cos В sin В ’ можно решить любой прямоугольный треугольник. Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников. Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц. 1. Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Задача 1. Дано гипотенузу с и острый угол А прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты. Решение в общем виде Пример Д а н о: с, ZA. Д а н о: с = 7, ZA = 29°. Н а й т и: ZB, a, b. Н а й т и: ZB, a, b. Решение. Решение. 1. Z B = 90° - ZA. 1. ZB = 90° - 29° = 61°. 2. a = с sinA. 2. a = 7 sin 29° « 3,39. 3. b = с cosA. 3. b = 7 cos 29° « 6,12. Ответ: 61°, » 3,39, » 6,12. 143 Глава 3 2. Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу. Задача 2. Дано катет a и острый угол A прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу. Решение в общем виде Пример Д а н о: а, ZA. Д а н о: a = 5, ZA = 63°. Н а й т и: ZB, b, c. H а й т и: ZB, b, c. Решение. Решение. 1. Z B = 90° - ZA. 1. ZB = 90° - 63° = 27°. 2^ ^ = —-— (или b = atgB). 2. b = ^ ~ 2,55. tgA tg63° 3^ ^ = —-— с = \ 3^^^ ^ ~5,61. sinA V ^ sin 63° Ответ: 27°, » 2,55, » 6,61. 3. Решение прямоугольных треугольников по двум катетам. Задача 3. Дано катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника. Решение в общем виде Пример Д а н о: a, b. Н а й т и: с, Z A, Z B. Д а н о: a = 4, b = 7. Н а й т и: с, ZA, ZB. Решение. Решение. 1^ +Ь^ . 1^ ^ ^ ^ = л/б5 = 8,06. 2^ = —. Далее ZA находим 2^ ^ = —; ZA ~ 29°45'. 7 с помощью калькулятора или таблиц. 3. ZB ~ 90° - ZA. 3. ZB * 90° - 29°45' = 60°15'. Ответ: *8,06, * 29°45', *60°15'. 4. Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе. Задача 4. Дано катет a и гипотенуза c прямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника. 144 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Решение в общем виде Пример Д а н о: а, с. Д а н о: а = 5, с = 12. Н а й т и: b, ZA, ZB. Н а й т и: b, ZA, ZB. Решение. Решение. 1^^^^^ -a^ . 1^^ ^ = л/и9 = 10,91. • A 0, = —. Дальше ZA нахо-c 2^ = —; ZA ~ 24°37'. 12 дим с помощью калькулятора или таблиц. 3. ZB « 90° - ZA. 3. ZB * 90° - 24°37' = 65°23'. Ответ: ~ 10,91, * 24°37', * 65°23'. м Решение прямоугольных треугольников используют при решении прикладных задач. Задача 5. Найдите высоту дерева MN, основание N которого является недоступным (рис. 199). Решение. Обозначим на прямой, проходящей через точку N - основание дерева, точки A и B и измеряем отрезок AB и ZMAN = а и ZMBN = р. MN 1) В А MAN: AN = 2) В А MBN: BN = tga MN tgP ‘ 3) Так как AB = BN - AN, имеем: АВ = MN MN tgp откуда MN = Ответ. ^MN tga ~ [ tgP tga AB • tga • tgP tga - tgP ■ AB ■ tga • tgP = MN- tgg - tgp tga • tgP , tga - tgP 1. Что значит решить треугольник? 2. Какие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике используют для решения треугольников? 3. Как решить прямоугольный треугольник: 1) по гипотенузе и острому углу; 2) по катету и острому углу; 3) по двум катетам; 4) по катету и гипотенузе? 145 Глава 3 т Средний уровень 756. По гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC и острому углу найдите другие его стороны и второй острый угол (стороны треугольника в задачах 3) и 4) найдите с точностью до сотых). 1) AB = 10 см; ZA = 30°; 2) AB = 8 дм; ZB = 45°; 3) AB = 15 см; ZA = 18°; 4) AB = 12 дм; ZB = 73°. 757. По гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC и острому углу найдите другие его стороны и второй острый угол (стороны треугольника в задачах 3) и 4) найдите с точностью до сотых). 1) AB = 6 дм; ZA = 45°; 2) AB = 14 см; ZB = 60°; 3) AB = 8 дм; ZA = 82°; 4) AB = 3 см; ZB = 25°. 758. По катету треугольника ABC (Z C = 90°) и его острому углу найдите другие стороны и второй острый угол треугольника (стороны треугольника в задачах 2) и 3) найдите с точностью до сотых). 1) AC = 8 см; ZB = 30°; 2) AC = 13 см; ZA = 24°; 3) BC = 6 дм; ZA = 42°; 4) BC = 5 см; ZB = 45°. 759. По катету треугольника ABC (Z C = 90°) и его острому углу найдите другие стороны и второй острый угол треугольника (стороны треугольника в задачах 2) и 3) найдите с точностью до сотых). 1) AC = 15 см; ZA = 60°; 2) AC = 6 дм; ZB = 12°; 3) BC = 8 см; ZB = 71°; 4) BC = 10 дм; ZA = 45°. 760. Диагональ прямоугольника равна 6 см и образует угол 25° с его стороной. Найдите угол, который образует диагональ прямоугольника с другой его стороной, и стороны прямоугольника (с точностью до сотых сантиметра). 761. Из точки, находящейся на расстоянии 6 см от прямой, проведена наклонная, образующая с прямой угол 52°. Найдите угол, который образует наклонная с перпендикуляром, проведенным из той же точки, длину перпендикуляра и проекцию наклонной (с точностью до сотых сантиметра). 762. Найдите высоту дерева AC (рис. 200), если BC = 40 м, Z B = 27°. 763. По рисунку 201 найдите расстояние от объекта B к недоступному объекту A, если ZC = 90°, BC = 80 м, ZB = 57°. 146 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1^ Достаточный уровень 764. По двум катетам треугольника ABC (Z C = 90°) найдите его гипотенузу и острые углы с точностью до минуты: 1) AC = 4 см^ = 4л/з^ см; 2) AC = 8 дм; BC = 15 дм; 3) AC = 3 см; BC = 9 см; 4) AC = 7т дм; BC = 24m дм. 765. По двум катетам треугольника ABC (Z C = 90°) найдите его гипотенузу и острые углы с точностью до минуты: 1) AC = см; BC = 2 см; 2) AC = 8 см; BC = 6 см; 3) AC = 2 дм; BC = 5 дм; 4) AC = 9k дм; BC = 40k дм. 766. По катету и гипотенузе треугольника ABC (Z C = 90°) найдите его второй катет и острые углы с точностью до минуты: 1) AB = 6 см^ = з4з см; 2) AB = 65 дм; BC = 16 дм; 3) AB = 7 дм; AC = 4 см; 4) AB = 13а см; BC = 5а см. 767. По катету и гипотенузе треугольника ABC (Z С = 90°) найдите его второй катет и острые углы с точностью до минуты: 1) AB = 8 см; АС = 4.^2 см; 2) AB = 37 дм; BC = 12 дм; 3) AB = 10 см; AC = 7 см; 4) AB = 61b дм; BC = 60b дм. 768. Тень от антенны мобильной связи, высота которой 5 м, равна 2,6 м (рис. 202). Найдите с точностью до минуты высоту солнца над горизонтом (угол а). 769. Найдите укос дороги (значение тангенса угла а) по рисунку 203. Найдите меру угла а. 770. Сечение железнодорожной насыпи имеет форму равнобокой трапеции (рис. 204). Нижнее основание трапеции равно 10 м, высота насыпи - 2 м, а ее укос - 35°. Найдите ширину верхней части насыпи (верхнее основание трапеции). 147 Глава 3 Рис. 202 //////////////////////////////// Рис. 204 Высокий уровень 771. На горе находится башня, высота которой l м (рис. 205). За некоторым объектом A, находящимся у подножия горы, наблюдают сначала из вершины M башни под углом 60° к горизонту, а затем от основания N башни под углом 30°. Найдите высоту х горы. Упражнения для повторения м 772. Диагонали ромба равны 16 см и 30 см. Найдите периметр ромба. 773. В А ABC Z C = 90°, BC = 12 см, sinH =Найдите 5 периметр треугольника. 148 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 774. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, равные 30 см и 40 см. Найдите наименьшую сторону треугольника. Интересные задачки для неленивых 775. Лист бумаги сложили вчетверо так, что получили прямоугольник со сторонами вдвое меньшими, чем стороны листа. Затем полученный прямоугольник прокололи в двух местах, развернули и через каждые две из полученных точек (проколы) провели прямую. Какое наименьшее и какое наибольшее количество прямых при этом можно получить? Домашняя самостоятельная работа № 4 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны 7 см и 24 см. А^27 см; Б. 31 см; В. 25 см; Г. 23 см. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из его катетов - 12 см. Найдите второй катет треугольника. А. 8 см; Б. 9 см; В. 10 см; Г^69 см. 3. На рисунке 206 изображен прямоугольный А треугольник ABC. Найдите sin B. А ^; А^ 3; В ^; В^ ; Найдите сторону ромба. A. 8 см; Б. 10 см; B. 16 см; Г. 20 см. 5. Точка находится на расстоянии 8 см от прямой. Из нее к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, образующая с перпендикуляром угол 60°. Найдите длину наклонной. А. 8S см; Б. 12 см; В. ^ см; Г. 16 см. 6. AB - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, AC = 8 см, ZA = 50°. Найдите AB с точностью до десятых. А. 12,5 см; Б. 10,4 см; В. 12,4 см; Г. 9,5 см. 149 Глава 3 7. Найдите x по рисунку 207. A. 13; Б. 7; B. 6; Г. 8. 8. Из точки к прямой проведены две наклонные, разность которых равна 1 см. Найдите меньшую наклонную, если проекции наклонных равны 4 см и 7 см. А. 15 см; Б. 16 см; В. 17 см; Г. 18 см. 9. В АAC = 90°, AB = 20 см, tgA = 0,75. Найдите РАВС. А. 50 см; Б. 38 см; В. 52 см; Г. 48 см. 10. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки 10 см и 26 см. Найдите гипотенузу. А. 36 см; Б. 38 см; В. 39 см; Г. 52 см. 11. Стороны треугольника - 5 см, 29 см и 30 см. Найдите проекцию меньшей стороны треугольника на его большую сторону. А. 1,4 см; Б. 1,6 см; В. 1,8 см; Г. 2,4 см. 12. Стороны прямоугольника равны 6 см и 10 см. Найдите угол между диагоналями прямоугольника (с точностью до градуса). А. 31°; Б. 61°; В. 62°; Г. 64°. Задания для проверки знаний к § 18-21 Щ 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны 10 см и 24 см. 2. По рисунку 208 назовите: 1) перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой т; 2) наклонную, проведенную из точки A к прямой т; 3) проекцию этой наклонной. 150 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ По рисунку 209 найдите: 1) sin A; 2) cos B; 3) tgA; 4) sin B. 4. Сторона ромба равна 25 см, а одна из его диагоналей -14 см. Найдите вторую диагональ ромба. Точка находится на расстоянии 6 см от прямой. Из этой точки к прямой проведена наклонная, образующая с прямой угол 30°. Найдите длину наклонной и длину проекции наклонной на прямую. AB - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, Z A = 35°. Решите этот прямоугольный треугольник, если AB = 16 см. (Стороны треугольника найдите с точностью до сотых сантиметра). 7. В треугольнике ABC Z A - тупой, BC = 20 см, AB = 15 см. BK - высота треугольника, BK = 12 см. Найдите AC. В {ABC Z C = 90°, AC = 24 см, sin А = Найдите PABC. 1о 9. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки 6 см и 10 см. Найдите стороны треугольника. Дополнительные задания 10. Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Найдите проекции двух меньших сторон на большую сторону. 11. Диагонали ромба равны 6 см и 12 см. Найдите углы ромба с точностью до минуты. Упражнения для повторения главы 3 К § 18 776. Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - его гипотенуза. Найдите: 1) с, если a = 11 см; b = 60 см; 2) а, если c = 13 см; b = 12 см; 3) b, если а = 24 см; c = 25 см. 777. Сторона квадрата - 5 см. Найдите его диагональ. 778. В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = 37 см, BC = 24 см. Найдите длину высоты AK. 151 3 5 6 8 Глава 3 А Рис. 210 779. Является ли прямоугольным треугольник, стороны которого пропорциональны числам: 1) 3, 4, 5; 2) 6, 7, 10? 780. Площадь прямоугольника равна 12 см2, а одна из его сторон - 3 см. Найдите диагональ прямоугольника. 781. На рисунке 210 AB - касательная к окружности с центром в точке O, OC = 3 см, CB = 2 см. Найдите AB. 782. Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 17 см, а большая боковая сторона - 15 см. Найдите периметр трапеции. 783. Большее основание равнобокой трапеции равно 26 см, высота - 12 см, а диагональ - 20 см. Найдите меньшее основание трапеции и ее боковую сторону. 784. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 15 см, а катеты относятся как 3 : 4. Найдите периметр треугольника. 785. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к основанию как 5 : 6. Высота треугольника, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите периметр треугольника. 786. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 50 см и 80 см, считая от вершины угла между боковыми сторонами. Найдите высоту треугольника, проведенную к основанию. 787. В треугольнике ABC = 42 см, BC = 2 см. На сто- роне AC отмечена точка K так, что AK = KB = 1 см. Найдите градусную меру угла ABC. 788. Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а основания - 30 см и 15 см. Найдите угол, который образуют между собой продолжение боковых сторон. 789. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 25 см. Найдите периметр треугольника, если его наименьшая высота равна 24 см. К § 19 790. Из точки к прямой проведена наклонная, длина которой 5 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если проекция наклонной равна 4 см. 152 РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 791. Из точки к прямой проведены две наклонные, образующие с прямой равные углы. Расстояние между основаниями наклонных равно 8 см. Найдите проекции наклонных на данную прямую. 792. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, образующая с прямой угол 60°. Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если длина наклонной 12 см. 793. Из точки, лежащей на расстоянии 4 см от прямой, проведены к ней две наклонные. Длина одной из них 5 см, а другая образует с прямой угол 45°. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько случаев следует рассмотреть? 794. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 13 : 15, а длины их проекций равны 10 см и 18 см. Найдите длины наклонных и расстояние от точки до прямой. 795. Найдите меньшую из высот треугольника, стороны которого равны 4 см, 13 см и 15 см. К § 20 796. На рисунке 211 треугольник ABC - прямоугольный. Верны ли равенства: л 1) sin А = —; 2) cosA = Л; 3) tgA = 4) " 13 ’ 5) cosB = 5 6) tgB = 5 797. Найдите синус, косинус и тангенс угла M треугольника MNP (Z P = 90°), если MP = 24 см, MN = 25 см. 798. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите: 1) синус острого угла, противолежащего меньшему катету; 2) косинус острого угла, прилежащего к большему катету; 3) тангенсы обоих острых углов. 799. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен R. Диагональ прямоугольника образует со стороной угол а. Найдите периметр прямоугольника. 800. Угол ромба равен 80°, а диагональ, противолежащая этому углу, - 10 см. Найдите (с точностью до сотых сантиметра) периметр ромба. 153 Глава 3 801. В А ABC Z C = 90°, CK - высота, CA = b, Z A = а. Найдите CK и KB. 802. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 0,96, а основание - 28 см. Найдите боковую сторону. 803. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен г, а один из его острых углов - р. Найдите катет, прилежащий к этому острому углу. 804. Основания трапеции равны 14 см и 10 см, углы при большем основании равны 60° и 30°. Найдите высоту и диагонали трапеции. 805. Из точки к прямой проведены две наклонные, образующие с прямой углы 30° и 60°. Найдите расстояние от точки до прямой, если расстояние между основаниями наклонных равно a см. Сколько случаев надо рассмотреть? 806. Дано: А ABC, Z С = 90°. Докажите, что sin2A + cos2A = 1. (Запись sin2A является тождественной записи (sinA)2). К § 21 807. По двум элементам прямоугольного треугольника ABC (Z C = 90°) найдите другие его стороны и углы: 1) AB = 7 см; ZA = 19°; 2) AB = 20 дм; ZB = 48°; 3) BC = 5 см; ZB = 57°; 4) AC = 18 дм; ZB = 32°. 808. По двум сторонам прямоугольного треугольника ABC (Z C = 90°) найдите его третью сторону и острые углы: 1) AC = 9 см; BC = 12 см; 2) AC = 7 дм; BC = 5 дм; 3) AB = 34 см; BC = 30 см; 4) AB = 8 дм; AC = 7 дм. 809. Для определения ширины l реки выбрали положение двух домов A и B на одном берегу и дома C на другом (рис. 212), AB = a м, ZCAB = а, ZCBA = р. Найдите ширину реки. С J 154 ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ В этой главе вы: • вспомните понятие многоугольника и его площади; формулы для вычисления площадей прямоугольника и квадрата; • узнаете, как вычислить сумму углов многоугольника, площадь параллелограмма, ромба, треугольника, трапеции; • научитесь применять изученные понятия, свойства и формулы к решению задач. Ш22 МНОГОУГОЛЬНИК И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ. СУММА УГЛОВ ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА. МНОГОУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ, И МНОГОУГОЛЬНИК, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ Рассмотрим фигуру A1A2A3A4A5A6, изображенную на рисунке 213. Она состоит из отрезков A1A2, A2A3, A3A4, A4Ag, AgAg и A6A1. При этом отрезки размещены так, что соседние отрезки (A1A2 и A2A3, A2A3 и A3A4, AgA1 и A1A2) не лежат на одной прямой, а несоседние отрезки не имеют общих точек. Такую фигуру называют многоугольником. Точки A1, A2, ..., Ag называют вершинами многоугольника, а отрезки A1A2, A2A3, ... AgA1 - сторонами многоугольника. Очевидно, что количество вершин многоугольника равно количеству его сторон. Сумму длин всех сторон многоугольника называют его периметром. Наименьшее количество вершин (сторон) у многоугольника - три. В этом случае имеем треугольник. Еще одним отдельным видом многоугольника является четырехугольник. Многоугольник, у которого n вершин, называют n-уголъником. На рисунке 213 изображен шестиугольник A1A2A3A4AgAg. Две стороны многоугольника называют соседними, если они имеют общую Рис. 213 155 Глава 4 вершину. Стороны многоугольника, не имеющие общей вершины, называют несоседними. Например, стороны и A^Ag - соседние, а А^^2 и A4Ag - несоседние (рис. 213). Две вершины многоугольника называют соседними, если они принадлежат одной стороне, а вершины многоугольника, не принадлежащие одной стороне, называют несоседними. Например, вершины A1 и A2 - соседние, A3 и A6 - несоседние (рис. 2l3). Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. На рисунке 214 изображены диагонали многоугольника A^^2A3A4AgA6A7, выходящие из вершины A1: A1A3, A^^4, A^^g, A^^0. A2 Задача 1. Сколько диагоналей имеет га-угольник? Решение. Из каждой вершины га-угольника выходит (га - 3) диагонали. Всего вершин га, а каждая диагональ повторяется дважды, например A^^3 и A3A1. Поэтому всего диагона- „ . га(га-З) лей у га-угольника будет---------. О га(га-З) Ответ.----------. Углы, стороны которых содержат соседние стороны многоугольника, называют углами многоугольника. Пятиугольник B1B2B3B4Bg имеет углы B5B1B2, B1B2B3, B2B3B4, B3B4B5, B4B5B1. Если каждый из углов многоугольника меньше развернутого, то такой многоугольник называют выпуклым. Если хотя бы один угол многоугольника больше развернутого, то такой многоугольник называют невыпуклым. Многоугольник B1B2B3B4Bg - выпуклый (рис. 215), а многоугольник C1C2C3C4CgCg - невыпуклый (рис. 216), так как угол при вершине С3 больше чем 180°. 156 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Теорема (о сумме углов выпуклого га-угольника). Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180°(п — 2). Доказательство. Выберем во внутренней области многоугольника произвольную точку O и соединим ее со всеми вершинами га-угольника (рис. 217). Получим га треугольников, сумма всех углов которых равна 180° • га. Сумма углов с вершиной в точке O равна 360°. Сумма углов данного га-угольника равна сумме углов всех треугольников, кроме углов с вершиной в точке O, то есть: 180°га - 360° = 180°(га - 2). А Углы выпуклого многоугольника называют еще его внутренними углами. Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, называют внешним углом многоугольника. На рисунке 218 угол A3A4K - внешний угол многоугольника A1A2A3A4Ag при вершине A4. Очевидно, что каждый многоугольник имеет по два внешних угла при каждой вершине. Рис. 218 Рис. 219 Рис. 220 Задача 2. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого га-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. Решение. Сумма внутреннего и внешнего углов при каждой вершине многоугольника равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов га-угольника равна 180° • га. Так как сумма внутренних углов равна 180°(га - 2), то сумма внешних углов равна: 180°га - 180°(га - 2) = 180°га - 180°га + 360° = 360°. А Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Окружность при этом называют описанной около многоугольника (рис. 219). 157 Глава 4 Около многоугольника не всегда можно описать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (как и в случае треугольника). Многоугольник называют описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности. Окружность при этом называют вписанной в многоугольник (рис. 220). Не в каждый многоугольник можно вписать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов многоугольника (как и в случае треугольника). 1. Какую фигуру называют многоугольником? 2. Что называют вершинами, углами, сторонами многоугольника? 3. Что называют периметром многоугольника? 4. Какие стороны многоугольника называют соседними, какие - несоседними; какие вершины - соседними, какие - несоседними? 5. Что называют диагональю многоугольника? 6. Какой многоугольник называют выпуклым, а какой -невыпуклым? 7. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов выпуклого га-угольника. 8. Что называют внешним углом выпуклого многоугольника? 9. Какой многоугольник называют вписанным в окружность, а какой - описанным около окружности? т Начальный уровень 810. 1) Назовите все вершины, стороны, углы пятиугольника ABCDE (рис. 221). ^ 2) Назовите любую пару соседних сторон, несо- седних сторон. 3) Назовите любую пару соседних вершин, несоседних вершин. 4) Является ли пятиугольник выпуклым? 811. Начертите выпуклый шестиугольник ABCDEF. Запишите все его вершины, стороны и углы. 158 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 812. Начертите выпуклый семиугольник A1A2A3A4A5A6A7 и проведите в нем все диагонали, выходящие из вершины Ag. 813. Начертите любой невыпуклый многоугольник, у которого два угла больше чем 180°. 814. Начертите любой невыпуклый пятиугольник. 815. Найдите на рисунках 222-225 вписанные и описанные многоугольники. Рис. 222 Рис. 223 Рис. 224 Рис. 225 816. Начертите окружность и впишите в нее пятиугольник. 817. Начертите окружность и впишите в нее любой многоугольник. 818. Начертите окружность и опишите около нее любой многоугольник. 819. Начертите окружность и опишите около нее шестиугольник. 1^ Средний уровень 820. Вычислите сумму углов выпуклого га-угольника, если: 1) га = 12; 2) га = 18. 821. Вычислите сумму углов выпуклого га-угольника, если: 1) га = 7; 2) га = 22. 822. В выпуклом девятиугольнике все углы равны между собой. Найдите эти углы. 823. В выпуклом шестиугольнике все углы равны. Найдите эти углы. 824. (Устно.) Можно ли построить выпуклый пятиугольник, все углы которого равны? Ответ объясните. 825. (Устно.) Четыре угла одного выпуклого пятиугольника соответственно равны четырем углам другого выпуклого пятиугольника. Равны ли между собой их пятые углы? 826. Может ли наименьший угол выпуклого пятиугольника быть равным 110°? 827. Может ли наибольший угол выпуклого шестиугольника быть равным 115°? 159 Глава 4 т Достаточный уровень 828. Определите углы выпуклого шестиугольника, если их градусные меры относятся как 3 : 4 : 5 : 5 : 6 : 7. 829. Найдите углы выпуклого пятиугольника, если каждый из них, начиная со второго, больше предыдущего на 10°. 830. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: 1) 1080°; 2) 2100°? Если да, то найдите, сколько у него сторон и сколько диагоналей. 831. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: 1) 2500°; 2) 1260°? Если да, то найдите, сколько у него вершин и сколько диагоналей. 832. Каждый из внешних углов многоугольника равен 30°. Найдите количество его сторон. 833. Все внешние углы многоугольника - прямые. Определите вид этого многоугольника. Высокий уровень 834. Существует ли многоугольник, у которого количество диагоналей равно количеству сторон? 835. Сумма внутренних углов многоугольника в 5 раз больше суммы его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Сколько вершин у многоугольника? 836. Найдите количество сторон выпуклого многоугольника, если сумма его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, на 1980° меньше суммы внутренних углов. 837. В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина B соединена равными между собой диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что ZBEA = ZBDC, ZABE = Z CBD. Сравните периметры четырехугольников ABDE и BEDC. Упражнения для повторения 838. AK и BM - высоты остроугольного треугольника ABC. Используя подобие треугольников, докажите, что AK • BC = AC • BM. 839. В трапецию вписана окружность. Найдите среднюю линию этой трапеции, если ее периметр равен P см. 160 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 840. Найдите площадь прямоугольника со сторонами: 1) 5 см и 9 см; 2) 2,1 дм и 0,8 дм; 3) 7 см и 1 дм; 4) 4,1 дм и 0,32 м. 841. Найдите площадь квадрата, сторона которого равна: 1) 7 см; 2) 29 мм; 3) 4,5 мм; Интересные задачки для неленивых 4^ — м. 8 842. (Национальная олимпиада Бразилии, 1983 г.). Докажите, что все точки окружности можно разбить на два множества так, что среди вершин любого вписанного в окружность прямоугольного треугольника найдутся точки из обоих множеств. Ш23 ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Любой многоугольник ограничивает некоторую часть плоскости. Эту часть плоскости называют внутренней областью многоугольника. На рисунке 226 внутренняя область многоугольника закрашена. Будем рассматривать многоугольник вместе с его внутренней областью. Каждому многоугольнику можно поставить в соответствие значение его площади, считая, что площадь многоугольника - это та часть плоскости, которую занимает многоугольник. Понятие площади нам известно из повседневной жизни (площадь комнаты, площадь огорода, площадь страницы). С понятием площади вы также знакомились на уроках математики в 5-6-х классах. Сформулируем основные свойства площади: 1) площадь каждого многоугольника является положительным числом; 2) равные многоугольники имеют равные площади; 3) если многоугольник разбит на несколько многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников; 4) единицей измерения площади является площадь квадрата со стороной, равной единице измерения длины (такой квадрат еще называют единичным квадратом). 161 Глава 4 Например, если за единицу измерения длины взять 1 см, то соответствующей единицей измерения площади будет площадь квадрата со стороной 1 см. Такой квадрат имеет площадь 1 см2 (читается: один квадратный сантиметр). Другими единицами измерения площади являются 1 мм2; 1 дм2; 1 м2; 1 км2. Для площадей участков земли используют единицы измерения ар и гектар: 1 а = 100 м2; 1 га = 100 а = 10 000 м2. Площадь фигуры принято обозначать буквой S. Задача 1. Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке 227, если сторона клетки равна 1 см. Решение. Внутренняя область многоугольника состоит из шестнадцати клеток со стороной 1 см, площадь каждой из которых - 1 см2, и четырех треугольников, площадь каждого из которых равна половине площади клетки. Следовательно, площадь фигуры S = 16 1-H^l-4 = 18 (см2). 2 Ответ. 18 см 2 Рис. 227 Площади некоторых фигур можно находить по формулам. Например, из курса математики предыдущих классов нам известны формулы для вычисления площадей прямоугольника, квадрата, круга. Теорема (о площади прямоугольника). Площадь S прямоугольника со сторонами a и b вычисляется по формуле S = а ■ Ь. Доказательство этой теоремы достаточно громоздко, ознакомиться с ним можно в Приложении 2 (с. 194). Если стороны прямоугольника a = 1 дм и b = 6 см, тогда S =10 • 6 = 60 (см2), а если a = yfs м и b = л/2 м, то 5 = л/8-л/2=Т16 = 4 (м2). Следствие. Площадь S квадрата со стороной a вычисляется по формуле S = а2. Задача 2. Квадрат и прямоугольник имеют равные площади. Сторона квадрата равна 6 см, а одна из сторон прямоугольника в 4 раза больше другой. Найдите периметр прямоугольника. Решение. Пусть S^ - площадь квадрата, S^ - площадь прямоугольника, P - периметр прямоугольника. 162 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 1) 8^ = 8^ = 62 = 36 (см2). 2) Пусть одна из сторон прямоугольника равна x см, тогда вторая равна 4х см. По формуле площади прямоугольника имеем уравнение: х ■ 4х = 36, то есть 4х2 = 36, откуда х2 = 9. Учитывая, что х > 0, имеем: х = 3. Следовательно, стороны прямоугольника равны 3 см и 4 ■ 3 = 12 (см). 3) P = 2(3 + 12) = 30 (см). Ответ. 30 см. □ Геометрические знания, связанные с измерением площади, берут свое начало в глубине тысячелетий. Еще за 2-3 тысячи лет до н. э. вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Эталоном при измерении площадей им служил квадрат со стороной, равной единице длины. Древние египтяне 4000 лет назад для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции уже пользовались теми же формулами, что и мы сейчас. В своих «Началах» Евклид не употреблял слово «площадь», так как он уже под самим словом «фигура» понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линей, т. е. площадь. Евклид не выражал результат измерения площади числом, а сравнивал площади разных фигур между собой, употребляя слово «равновеликие». Как, например, в Задаче 16 из первой книги «Начал»: «Параллелограммы, находящиеся на равных основаниях и между теми же параллельными, равны между собой, т. е. равновелики. Докажите!». Как и другие ученые древности, Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Так, в «Началах» решалась задача о построении квадрата, равновеликого любому данному многоугольнику. □ 1. Объясните, что такое площадь многоугольника. 2. Сформулируйте основные свойства площади. 3. Сформулируйте теорему о площади прямоугольника и следствия из нее. ш Начальный уровень 843. Найдите площадь квадрата, сторона которого равна: 1) 2 см; 2) 4 дм; 3) 12 см; 4) 3 м. 844. Найдите площадь квадрата, сторона которого равна: 1) 5 см; 2) 7 дм; 3) 9 см; 4) 6 м. 163 Глава 4 845. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны: 1) 5 см и 9 см; 2) 12 дм и 4 дм. 846. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны: 1) 7 см и 6 см; 2) 10 дм и 5 дм. 847. Площадь прямоугольника равна 12 см2, а одна из его сторон - 4 см. Найдите другую сторону прямоугольника. 848. Одна из сторон прямоугольника равна 5 см, а его площадь - 20 см2. Найдите другую сторону прямоугольника. т Средний уровень 849. (Устно.) Найдите площади многоугольников, изображенных на рисунках 228 и 229, если сторона клетки равна 1 см. Рис. 228 Рис. 229 850. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна: 1) 4 см2; 2) 25 дм2. 851. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна: 1) 9 дм2; 2) 100 см2. 852. Размеры футбольного поля 110 х 70 (в метрах). Больше или меньше гектара его площадь? 853. Квадрат и прямоугольник имеют равные площади. Сторона квадрата - 4 см, а одна из сторон прямоугольника - 2 см. Найдите другую сторону прямоугольника. 854. Прямоугольник и квадрат имеют равные площади. Одна из сторон прямоугольника - 4 см, а сторона квадрата -8 см. Найдите другую сторону прямоугольника. 855. Найдите площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна 12 см, а диагональ - 13 см. 164 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 856. Диагональ прямоугольника равна 17 см, а одна из его сторон - 8 см. Найдите площадь прямоугольника. т Достаточный уровень 857. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна: 1) 8 см; 2) d см. 858. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 4yj2 см. 859. Периметр прямоугольника 26 см, а одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите сторону квадрата, который имеет такую же площадь, как и прямоугольник. 860. Прямоугольник и квадрат имеют равные площади. Периметр прямоугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 15 см больше другой. Найдите сторону квадрата. 861. Как изменится площадь прямоугольника, если: 1) одну из его сторон увеличить вдвое; 2) одну из его сторон уменьшить втрое; 3) каждую из сторон увеличить в 4 раза; 4) одну сторону увеличить вдвое, а другую - в 5 раз; 5) одну из сторон увеличить в 12 раз, а другую - уменьшить вдвое? 862. Как изменится площадь квадрата, если каждую из его сторон: 1) увеличить в 5 раз; 2) уменьшить втрое? 863. (Устно.) Могут ли два не равных между собой квадрата иметь равные площади? 864. 1) Могут ли два не равных между собой прямоугольника иметь равные площади? 2) Два прямоугольника имеют равные площади. Можно ли утверждать, что они равны? 3) Два прямоугольника имеют равные площади. Можно ли утверждать, что они равны, в случае, когда одна из сторон первого прямоугольника равна стороне второго? 865. Стороны квадратов 15 см и 17 см. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов. 866. Стороны квадратов 8 дм и 6 дм. Чему равна сторона квадрата, площадь которого равна сумме площадей данных квадратов? 165 Глава 4 867. Прямоугольник, стороны которого 8 м и 6,5 м, разрезали на квадраты со стороной 0,5 м. Сколько образовалось квадратов? 868. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности, радиус которой г. 869. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 3 : 4, а площадь прямоугольника равна 108 см2. 870. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 24 см2, а одна из сторон в 1,5 раза больше другой. 871. Биссектриса AM угла прямоугольника ABCD делит сторону BC на отрезки BM = 3 см и MC = 5 см. Найдите площадь прямоугольника. 872. Биссектриса BK угла прямоугольника ABCD делит сторону AD на отрезки ^К = 7 см и KD = 5 см. Найдите площадь прямоугольника. 873. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 15 см. Найдите площадь прямоугольника. 874. Одна из сторон прямоугольника равна 7 см, а его диагональ на 1 см больше другой стороны. Найдите площадь прямоугольника. Высокий уровень 875. На рисунке 230 ABCD - прямоугольник, M - середина отрезка AK. Докажите, что SABCD = SAKD. 876. Отношение площадей двух квадратов равно 5. Найдите отношение их периметров. 877. Отношение периметров двух квадратов равно 3. Найдите отношение их площадей. К Упражнения для повторения 878. Сумма углов одного выпуклого многоугольника равна сумме углов другого выпуклого многоугольника. Можно ли утверждать, что многоугольники имеют равное количество сторон? 879. Докажите, что около параллелограмма, не имеющего прямых углов, нельзя описать окружность. 166 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 880. Начертите любой параллелограмм, у которого одна из сторон равна 5 см, а высота, к ней проведенная, - 3 см. Интересн ые задачки для неленивых 881. Центры трех равных окружностей являются вершинами равностороннего треугольника. Эти окружности не имеют общих точек. Сколько существует окружностей, имеющих внешнее либо внутреннее касание с тремя данными окружностями? 24. ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Доказательство. Пусть ABCD - произвольный параллелограмм, BM - его высота (рис. 231). Докажем, что площадь параллелограмма ABCD можно вычислить по формуле SABCD ~ ■ BM. 1) Проведем высоту CN к прямой, содержащей сторону AD параллелограмма. 2) Z BAM = Z CDN (как соответственные углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AN). Поэтому ABAM = ACDN (по гипотенузе и острому углу). 3) Параллелограмм ABCD состоит из трапеции MBCD и треугольника ABM, а прямоугольник MBCN - из трапеции MBCD и треугольника DCN. Так как треугольники ABM и DCN равны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма ABCD и прямоугольника MBCN. 4) SMBCN = MN ■ BM. Но AM = DN, и поэтому MN = AD. Следовательно, SABCD = AD ■ BM. A Заметим, что если основание высоты BM - точка M -совпадает с точкой D или лежит на продолжении стороны AD, то доказательство теоремы будет аналогичным. AM D Рис. 231 167 Глава 4 В общем виде формулу площади S параллелограмма можно записать так: S = aha, где a - сторона параллелограмма, ha - высота, к ней проведенная. Задача 1. Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны. С Доказательство. Пусть ABCD - данный ромб, BM и BN - его высоты (рис. 232). Ромб является параллелограммом, поэтому S ABCD = AD ■ BM = DC • BN. Но AD = DC, а значит BM = BN. А 'yi_J Задача 2. Периметр параллелограмма равен 36 см, а его высоты - 4 см и 5 см. Найдите площадь параллелограмма. Решение. 1) Пусть ABCD - данный параллелограмм, BM и BN - его высоты (рис. 232), BM = 4 см, BN = 5 см. 2) PABCD = 2(AD + DC). По условию 2(AD + DC) = 36, поэтому AD + DC = 18 (см). 3) Пусть AD = x см, тогда DC = (18 - x) см. 4) Так как по формуле площади параллелограмма SABCD = AD • BM или SABCD = DC • BN, имеем уравнение: x • 4 = (18 - x) • 5. То есть 4x = 90 - 5x, откуда x = 10 (см). 5) Тогда S = 10 • 4 = 40 (см2). О т в е т. 40 см2. А Сформулируйте и докажите теорему о площади параллелограмма. т Начальный уровень 882. Сторона параллелограмма равна а, h - высота, проведенная к этой стороне. Найдите площадь параллелограмма, если: 1) а = 5 см, h = 7 см; 2) а = 8 дм, h = 4 дм. 883. Сторона параллелограмма равна а, h - высота, проведенная к этой стороне. Найдите площадь параллелограмма, если: 1) а = 6 см, h = 3 см; 2) а = 5 дм, h = 9 дм. 884. Площадь параллелограмма равна 24 см2, а одна из его сторон - 6 см. Найдите высоту параллелограмма, проведенную к этой стороне. 168 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 885. Площадь параллелограмма - 18 дм2, а одна из его высот равна 3 дм. Найдите длину стороны, к которой проведена эта высота. т Средний уровень 886. Диагональ параллелограмма длиной 5 см перпендикулярна стороне параллелограмма, которая равна 6 см. Найдите площадь параллелограмма. 887. Сторона параллелограмма длиной 8 см перпендикулярна диагонали параллелограмма, которая равна 5 см. Найдите площадь параллелограмма. 888. Найдите площади фигур, изображенных на рисунках 233 и 234, если сторона клетки равна 0,5 см. 889. Найдите площади фигур, изображенных на рисунках 235 и 236, если сторона клетки равна 0,5 см. Рис. 235 Рис. 236 890. Одна из сторон параллелограмма равна 6 см, а высота, проведенная к другой стороне, - 4 см. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 36 см2. 891. Площадь параллелограмма равна 48 см2. Одна из его сторон - 8 см, а одна из высот - 4 см. Найдите периметр параллелограмма. 169 Глава 4 т Достаточный уровень 892. Стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см. Высота, проведенная к меньшей из них, равна 3 см. Найдите высоту, проведенную к большей стороне. 893. Одна из сторон параллелограмма равна 8 см, а высота, к ней проведенная, - 6 см. Найдите другую сторону параллелограмма, если высота, к ней проведенная, равна 4,8 см. 894. Стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а его острый угол - 30°. Найдите площадь параллелограмма. 895. Сторона ромба равна 4 см, а один из его углов - 150°. Найдите площадь ромба. 896. Высота параллелограмма втрое больше стороны, к которой она проведена. Найдите эту высоту, если площадь параллелограмма равна 12 см2. 897. Сторона параллелограмма в 5 раз больше высоты, к ней проведенной. Найдите эту сторону, если площадь параллелограмма равна 45 см2. 898. Периметр ромба равен P см. Найдите его площадь, если одна из диагоналей ромба образует со стороной угол 75°. Высокий уровень 899. Две стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см, а сумма двух его высот, проведенных из одной вершины, равна 15 см. Найдите площадь параллелограмма. 900. Две высоты параллелограмма равны 2 см и 3 см, а сумма двух его смежных сторон - 10 см. Найдите площадь параллелограмма. 901. Высоты параллелограмма равны 8 см и 6 см, а угол между ними - 30°. Найдите площадь параллелограмма. 902. Две стороны параллелограмма равны 8 см и 5 см. Может ли его площадь равняться: 1) 41 см2; 2) 40 см2; 3) 39 см2? 903. Стороны параллелограмма равны 9 см и 12 см, а одна из его высот - 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача? 170 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Упражнения для повторения | 904. Сумма углов одного многоугольника на 540° больше суммы углов другого многоугольника. На сколько больше вершин у первого многоугольника, чем у второго? 905. Середины сторон ромба последовательно соединены отрезками. Вычислите площадь получившегося четырехугольника, если диагонали ромба равны 6 см и 10 см. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 906. Начертите два не равных между собой треугольника, у каждого из которых одна из сторон равна 4 см, а высота, к ней проведенная, - 2,5 см. Интересные задачки для неленивых I 907. (Задача ал-Кораджи.) Найдите площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а площадь чис- ленно равна периметру 1 25 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную. Доказательство. Пусть ABC - произвольный треугольник, BH - его высота (рис. 237). Докажем, что S^c = i^CBH. 1) Проведем через вершину B прямую, параллельную AC, а через вершину C - прямую, параллельную AB. Получим параллелограмм ABDC. 2) А ABC = ADCB (по трем сторонам). Поэтому D S ABCD = 2Sabc, откуда «две = 'ABCD- 1 Основанием и высотой ал-Кораджи называл две стороны прямоугольника. 171 Глава 4 3) Так как S^CD = AC • BH, то ^ АС ■ ВН. А В общем виде формулу площади S треугольника можно записать так: S = -ah 2 “ где a - сторона треугольника, ha - высота, проведенная к ней. Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам. Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты. Задача 1. Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол. Рис. 238 Доказательство. Рассмотрим А ABC и А A1B1C1, у которых ZA = ZA1. Проведем высоты BH и B1H1 (рис. 238). 1) Имеем: S 'АВС -АСВН АСВН АС ВН — А^С^ В^Щ AjCi BjiTi ВН _ АВ 2) AABH V AA1B1H1 (по острому углу), поэтому 3) Имеем: -3- АС АВ АСАВ AjCi А1В1 AiCi-AiBi А 172 л Si Cl Задача 2. Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна а. МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Решение. Пусть А ABC - равносторонний со стороной а. Тогда ^a h^. В равностороннем треугольнике ha = ma, где ma - медиана. ^ = —— (§ 18, задача 4), поэтому = a-Js . Следовательно, S^(.= 1 a^Js л/з Ответ. у/з Задача 3. Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне. Р е ш е н и е. Так как 172 = 82 + 152 (т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см. Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого c = 17 см -гипотенуза, а = 15 см и b = 8 см - катеты, hc - высота. Найдем hc. Площадь этого треугольника можно найти по формулами ^ ^ — а . & или S а Рис. 239 аЪ Тогд^ ^ ^ -|-с • h^, то есть ab = chc, откуда - Ск Ск с 8 *Х5 1 Таким образом, имеем^ =-----= 7 — (см). “^17 17 Ответ. 7-^ см. 17 1. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника. 2. Сформулируйте следствия из теоремы о площади треугольника. Начальный уровень 908. Сторона треугольника равна а, h - высота, проведенная к этой стороне. Найдите площадь треугольника, если: 1) а = 10 см, h = 5 см; 2) а = 3 дм, h = 5 дм. 909. Пусть а - сторона треугольника, h - высота, проведенная к этой стороне. Найдите площадь треугольника, если: 1) а = 6 дм, h = 4 дм; 2) а = 7 см, h = 1 см. 173 Глава 4 910. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны: 1) 4 см и 3 см; 2) 9 дм и 5 дм. 911. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны: 1) 6 см и 5 см; 2) 7 дм и 3 дм. т Средний уровень 912. Площадь треугольника равна 36 дм2, а одна из его высот - 8 дм. Найдите длину стороны, к которой проведена эта высота. 913. Площадь треугольника равна 20 см2, а одна из его сторон - 8 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к этой стороне. 914. Найдите площади фигур, изображенных на рисунках 240 и 241, если сторона клетки равна 0,5 см. Рис. 240 Рис. 241 915. Найдите площади фигур, изображенных на рисунках 242 и 243, если сторона клетки равна 0,5 см. 174 Рис. 242 Рис. 243 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 916. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к основанию, - 3 см. Найдите площадь треугольника. 917. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7 см, а гипотенуза - 25 см. Найдите площадь треугольника. т Достаточный уровень 918. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите площадь треугольника. 919. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 6 см. Найдите площадь треугольника. 920. 1) Диагонали ромба - 8 см и 10 см. Найдите его площадь. 2) Используя формулу площади прямоугольного треугольника, выведите формулу площади ромба через его диагонали d1 и d2. 921. Найдите площадь ромба с диагоналями 12 см и 6 см. 922. В прямоугольнике ABCD вершина B удалена от прямой AC на 3 см. Найдите площади треугольника ABC и прямоугольника ABCD, если BD = 10 см. 923. Сторона треугольника вдвое больше высоты, проведенной к ней. Найдите эту сторону, если площадь треугольника равна 16 см2. 924. Высота треугольника в 4 раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите эту высоту, если площадь треугольника равна 18 см2. 925. На стороне AC треугольника ABC, площадь которого равна 12 см2, отмечена точка D так, что AD : DC = 1 : 2. Найдите площади треугольников ABD и DBC. 926. На стороне AB треугольника ABC, площадь которого равна 20 см2, отмечена точка K так, что AK : KB = 1 : 3. Найдите площади треугольников ACK и CKB. 927. ABCD - трапеция, AD || BC. Докажите, что SACD = SABD. 928. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 4 см и 1 см, считая от вершины угла между боковыми сторонами. Найдите площадь треугольника. 929. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 4 см и 6 см, считая от вершины при основании. Найдите площадь треугольника. 175 Глава 4 930. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе. 931. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе. т Высокий уровень 932. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 9 см и 6 см. Найдите площадь треугольника. 933. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит катет на отрезки 3 см и 5 см. Найдите площадь треугольника. 934. Две стороны треугольника равны 4 см и 6 см. Может ли площадь треугольника равняться: 1) 11 см2; 2) 12 см2; 3) 13 см2? 935. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O - середине отрезка AB. Найдите отношение площадей треугольников AOC и BOD, если CO = 3 см, DO = 6 см. 936. MN - средняя линия треугольника ABC, M е AB, N е AC. Найдите отношение площадей треугольников AMN и ABC. Упражнения для повторения I 1|^ 937. Около окружности радиуса 3 см описан квадрат. Найдите периметр и площадь квадрата. 938. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 2. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 48 см. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 939. Начертите трапецию, основания которой равны 5 см и 3 см, а высота - 4 см. Ф Интересные задачки для неленивых 940. Стена высотой 3,5 м отбрасывает тень длиной 5 м. Александр Семенович, рост которого 1 м 75 см, стоит на расстоянии 10 м до границы тени. Какое наименьшее количество шагов он должен сделать, чтобы полностью попасть в тень, если длина его шага 0,5 м? 176 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ ?026 ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Доказательство. Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC, BK - ее высота (рис. 244). Докажем, что площадь S трапеции можно найти по формуле: S = ■ ВК. В N 1) Диагональ BD разбивает трапецию на два треугольника ABD и BDC. П°этому S = + Ssoc • 2) BK - высота треугольника ABD, поэтому AD ■ ВК. 2 3) Проведем в трапеции высоту DN, она является и высотой треугольника BDC, поэтому ВС ■ DN. 2 4) DN = BK (как высоты трапеции). Следовательно, ^-ADBK + -BCDN^ + ВС ВК 2 2 2 2 ® “ ^ABD ^BDC = (AD + BC) — = ^ + . ВК. А 2 2 В общем виде формулу площади S трапеции можно записать так: 2 где a и b - основания трапеции, h - ее высота. Следствие. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту. Задача 1. В трапеции ABCD (AD || BC), AD = 8 см, BC = 5 см, AB = 12 см, ZA = 30°. Найдите площадь трапеции. Решение. 1) Проведем в трапеции ABCD высоту BK (рис. 245). В {ABK (ZK = 90°) ВК = (по свойству катета, ^ 12 противолежащего углу 30°). Следовательно^ = — = 6 (см). а 177 Глава 4 2)S 'ABCD ^ + . ВК = ^ • 6 = 39 (см2). Ответ. 39 см 2 К Рис. 245 Рис. 246 Задача 2. Периметр трапеции 60 см, а одна из боковых сторон точкой касания вписанной окружности делится на отрезки 9 см и 4 см. Найдите площадь трапеции. Решение. 1) Так как трапеция является описанной около окружности (рис. 246), то AD +ВС ^АВ +CD SO (см). 2 2 2) Центр вписанной окружности - точка O - является точкой пересечения биссектрис углов трапеции, следовательно, и углов BAD и ABC. Поэтому ZAOB = 90° (задача 214, с. 43). 3) Точка K - точка касания окружности со стороной AB, поэтому OK 1 AB. Следовательно, OK - радиус окружности и высота прямоугольного треугольника BOA, проведенная к гипотенузе. По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем: OK2 = AK ■ KB = 9 • 4 = 36, откуда OK = 6 (см). 4) MN - диаметр окружности, а также высота трапеции, поэтому MN = 2 • OK = 2 • 6 = 12 (см). 5) Следовательно, ^ • MN - 2 2 Ответ. 180 см2. MN = • 12 = 180 (см2). 1. Сформулируйте и докажите теорему о площади трапеции. 2. Сформулируйте следствие из этой теоремы. т Начальный уровень 941. Пусть а и b - основания трапеции, h - ее высота. Найдите площадь трапеции, если: 1) а = 5 см, b = 7 см, h = 4 см; 2) а = 9 дм, b = 1 дм, h = 5 дм. 178 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 942. Пусть a и b - основания трапеции, h - ее высота. Найдите площадь трапеции, если: 1) a = 9 см, b = 3 см, h = 2 см; 2) a = 3 дм, b = 7 дм, h = 6 дм. 943. Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия равна 4 см, а высота - 5 см. 944. Высота трапеции равна 3 см, а средняя линия - 6 см. Найдите площадь трапеции. Средний уровень 945. Основания трапеции равны 7 см и 13 см, а ее площадь -40 см2. Найдите высоту трапеции. 946. Площадь трапеции равна 36 см2, а ее основания - 8 см и 10 см. Найдите высоту трапеции. 947. Высота трапеции равна 6 см, а ее площадь - 24 см2. Найдите сумму оснований трапеции. 948. Высота трапеции равна 8 см, а площадь - 40 см2. Найдите среднюю линию трапеции. 949. Площадь трапеции равна 63 см2, одно из ее оснований -5 см, а высота - 7 см. Найдите другое основание трапеции. 950. Одно из оснований трапеции равно 17 см, а ее высота -3 см. Найдите другое основание трапеции, если ее площадь равна 33 см2. 951. ABCD (AD || BC) - равнобокая трапеция с тупым углом B, BK - ее высота, AK = 3 см, BC = 5 см, BK = 4 см. Найдите площадь трапеции. 952. ABCD (AB || CD) - прямоугольная трапеция с тупым углом D, DK - высота трапеции, AK = 4 см, CD = 7 см, DK = 5 см. Найдите площадь трапеции. т Достаточный уровень 953. Площадь прямоугольной трапеции равна 30 см2, ее периметр - 28 см, а меньшая боковая сторона - 3 см. Найдите большую боковую сторону. 954. Периметр равнобокой трапеции равен 32 см, ее боковая сторона - 5 см, а площадь - 44 см2. Найдите высоту трапеции. 955. В трапеции ABCD меньшее основание AB равно 6 см, а высота трапеции - 8 см. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника ADC равна 40 см2. 179 Глава 4 956. В трапеции ABCD основания и BC равны соответственно 10 см и 8 см. Площадь треугольника ^BD равна 25 см2. Найдите площадь трапеции. 957. Площадь трапеции равна 36 см2, а ее высота - 6 см. Найдите основания трапеции, если они относятся как 1 : 3. 958. Основания трапеции относятся как 1 : 4. Найдите их, если высота трапеции равна 4 см, а площадь - 50 см2. 959. Найдите площадь трапеции, основания которой равны a см и b см, а боковая сторона длиной c см образует с меньшим основанием угол 150°. 960. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 6 см и образует с меньшей диагональю угол 45°. Найдите площадь трапеции, если ее тупой угол равен 135°. 961. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 4 см и образует с меньшей диагональю угол 45°. Острый угол трапеции также равен 45°. Найдите площадь трапеции. 962. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13 см, а большее основание - 12 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 4 см. 963. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 17 см, а высота - 8 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 5 см. 964. Основания равнобокой трапеции равны 38 см и 52 см, а боковая сторона - 25 см. Найдите площадь трапеции. 965. Большее основание равнобокой трапеции равно 18 см, боковая сторона - 13 см, а высота - 12 см. Найдите площадь трапеции. 966. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 6 см, боковая сторона - 5 см, а высота - 3 см. Найдите площадь трапеции. Высокий уровень 967. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 10 см. Точка пересечения диагоналей удалена от оснований на 2 см и 3 см. Найдите площадь трапеции. 968. Большее основание равнобокой трапеции равно 18 см. Точка пересечения диагоналей удалена от оснований на 5 см и 6 см. Найдите площадь трапеции. 969. Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны, а высота равна h см. Найдите площадь трапеции. 970. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, а основания равны 10 см и 4 см. 180 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 971. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки 1 см и 4 см. Найдите площадь трапеции. Упражнения для повторения Щ 972. Вычислите сумму углов выпуклого 17-угольника. ^ 973. Сколько плиток квадратной формы со стороной 20 см понадобится, чтобы выложить ими пол в комнате прямоугольной формы, размеры которой 4,6 м и 3,4 м? 974. Один из углов ромба на 120° больше другого, а сторона ромба равна 6 см. Найдите площадь ромба. Интересные задачки для неленивых 975. Из трех квадратов, длина стороны каждого из которых является целым числом сантиметров, составлен прямоугольник, площадь которого 150 см2. Найдите периметр прямоугольника. Домашняя самостоятельная работа № 5 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. 1. На каком из рисунков 247-250 изображен описанный пятиугольник? А. рис. 247; Б. рис. 248; В. рис. 249; Г. рис. 250. Рис. 247 Рис. 248 Рис. 249 2. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны 7 см и 4 см. А. 28 см; Б. 22 см; В. 28 см2; Г. 11 см2. 3. Найдите площадь параллелограмма, одна из сторон которого равна 8 см, а высота, проведенная к ней, - 5 см. А. 40 см2; Б. 26 см2; В. 20 см2; Г. 13 см2. 181 Глава 4 4. Вычислите сумму внутренних углов выпуклого 10-угольника. А. 360°; Б. 1800°; В. 1620°; Г. 1440°. 5. Найдите сторону треугольника, если его площадь равна 24 см2, а высота, к ней проведенная, - 6 см. А. 4 см; Б. 18 см; В. 8 см; Г. 12 см. 6. Одно из оснований трапеции равно 5 см, а ее высота - 4 см. Найдите другое основание, если площадь трапеции равна 28 см2. А. 11 см; Б. 2 см; В. 7 см; Г. 9 см. 7. Прямоугольник, стороны которого равны 16 дм и 9,5 дм, разрезали на квадраты со стороной 0,5 дм. Сколько получили квадратов? А. 612; Б. 608; В. 51; Г. 618. 8. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13 см, а высота - 5 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 8 см. А. 50 см2; Б. 52,5 см2; В. 100 см2; Г. 62,5 см2. 9. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 10 см. А. 80 см2; Б. 20 см2; В. 40 см2; Г. 36 см2. 10. В прямоугольном треугольнике гипотенуза точкой касания вписанного круга делится на отрезки 3 см и 10 см. Найдите площадь треугольника. А. 60 см2; Б. 50 см2; В. 40 см2; Г. 30 см2. 11. Большее основание равнобокой трапеции равно 12 см. Точка пересечения диагоналей удалена от оснований на 2 см и 3 см. Найдите площадь трапеции. А. 75 см2; Б. 50 см2; В. 100 см2; Г. 150 см2. 12. Стороны параллелограмма равны 12 см и 9 см, а сумма двух его высот, проведенных из одной вершины, - 7 см. Найдите площадь параллелограмма. А. 108 см2; Б. 48 см2; В. 36 см2; Г. 27 см2. Задания для проверки знаний к § 22-26 ^ 1. Начертите окружность, впишите в нее пятиугольник и опишите около нее семиугольник. 2. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны 6 см и 9 см. 3. Найдите площадь параллелограмма, одна из сторон которого равна 7 см, а высота, проведенная к ней, - 4 см. 182 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 5. 8. 4. Вычислите сумму углов выпуклого 15-угольника. Площадь треугольника равна 30 см2, а одна из его сторон -12 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к этой стороне. Площадь трапеции равна 35 см2, одно из ее оснований -8 см, а высота - 7 см. Найдите другое основание трапеции. 7. Прямоугольник, стороны которого 12 дм и 7,5 дм, разрезали на квадраты со стороной 0,5 дм. Сколько получилось квадратов? Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 6 см и 12 см. 9. Меньшее основание трапеции равно 12 см. Точка пересечения диагоналей удалена от оснований на 3 см и 5 см. Найдите площадь трапеции. Дополнительные задания 10. Отношение площадей двух квадратов равно 7. Найдите отношение их периметров. 11. Высоты параллелограмма равны 5 см и 6 см, а сумма двух его соседних сторон - 22 см. Найдите площадь параллелограмма. Упражнения для повторения главы 4 К § 22 976. Начертите выпуклый пятиугольник А1А2А3А4А5 и невыпуклый шестиугольник B1B2B3B4B5BQ. Проведите все диагонали в пятиугольнике, вычислите их количество. 977. Начертите окружность. Впишите в нее и опишите около нее любые многоугольники с равным количеством сторон. 978. У пятиугольника все внешние углы равны. Чему равны внутренние углы этого пятиугольника? 979. Найдите количество диагоналей у восьмиугольника. 980. Все внутренние углы га-угольника равны по 135°. Найдите га. 981. Как изменится сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, если количество его сторон увеличится на две? 982. Сумма углов выпуклого га-угольника в k раз больше суммы углов выпуклого (га - 1)-угольника. Найдите k, где k - натуральное. 183 Глава 4 К § 23 983. Сравните площадь квадрата со стороной 6 см с площадью прямоугольника со сторонами 4 см и 9 см. 984. 1) Начертите произвольный прямоугольник, площадь которого 12 см2. 2) Начертите квадрат, площадь которого 9 см2. 985. На продолжении стороны AD квадрата ABCD за его вершину D отметили точку P. Найдите площадь квадрата, если CP = 10 см, ZCPD = 30°. 986. 1) Периметр квадрата равен P см. Найдите его площадь. 2) Площадь квадрата равна S см2. Найдите его периметр. 3) Площадь квадрата численно равна его периметру. Найдите сторону квадрата. 987. На рисунке 251 изображено геометрическое доказательство формулы (а + b)2 = a2 + 2ab + b2. Поясните его. 988. Сколько нужно плиток прямоугольной формы со сторонами 30 см и 20 см, чтобы выложить ими часть стены, имеющей форму прямоугольника со сторонами 2,4 м и 3,6 м? 989. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону на отрезки 4 см и 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника. Сколько решений имеет задача? 990. В прямоугольный треугольник ABC (Z C = 90°) вписан квадрат MNKL так, что точки N и K лежат на гипотенузе (причем N лежит между A и K), M е AC, L е BC, AN = m, KB = n. Найдите площадь квадрата. а Рис. 251 К § 24 991. Начертите параллелограмм, одна из сторон которого равна 4 см, а высота, к ней проведенная, - 2 см. Найдите площадь параллелограмма. 992. Найдите площадь ромба ABCD, если AB = 4 см, а высота, проведенная к стороне BC, равна 3 см. 993. В параллелограмме ABCD Z B - тупой, CE - высота параллелограмма, ZDCE = 60°, AD = 5 см, AB = 4 см. Найдите площадь параллелограмма. 184 МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 994. Существует ли параллелограмм, у которого: 1) стороны равны 6 см и 8 см, а высоты - 3 см и 4 см; 2) стороны равны 9 см и 6 см, а высоты - 4 см и 2 см? 995. Сторона квадрата равна стороне ромба, а тупой угол ромба равен 150°. Какая из данных фигур имеет большую площадь? Во сколько раз? 996. В параллелограмме ABCD острый угол равен 30°, а биссектриса этого угла делит сторону параллелограмма пополам. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр равен 24 см. 997. В ромб ABCD вписана окружность радиуса 8 см. K -точка касания со стороной AB. Найдите площадь ромба, если AK : KB = 1 : 4. К § 25 998. Начертите три разных треугольника (остроугольный, прямоугольный и тупоугольный), у каждого из которых одна сторона равна 3 см, а высота, проведенная к ней, - 4 см. Найдите площадь каждого из треугольников. 999. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а высота, проведенная к большей из них, - 4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из них. 1000. В треугольнике ABC ZC = 135°, AC = 4 см, BD - высота треугольника, CD = 3 см. Найдите площадь треугольника. 1001. В треугольнике проведены все средние линии. Докажите, что площадь каждого из четырех образовавшихся треугольников равна четверти площади начального треугольника. 1002. CK - медиана равнобедренного треугольника ABC с основанием AB. На этой медиане выбрана некоторая точка M. Докажите, что S 'AMC SBMC. К § 26 1003. Начертите трапецию, основания которой 4 см и 2 см, а высота - 3 см. Найдите площадь этой трапеции. 1004. Площадь трапеции равна 32 см2, а ее средняя линия - 8 см. Найдите высоту трапеции. 185 Глава 4 1005. Найдите площади трапеций, изображенных на рисунках 252-254, если длина стороны клетки равна 0,5 см. Рис. 252 Рис. 253 Рис. 254 1006. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания равнобокой трапеции, делят большее основание на три отрезка, сумма двух из которых равна третьему. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание и высота равны по a см. 1007. Вычислите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны по b см, а острый угол - 45°. ^ 1008. EF - средняя линия треугольника ABC, EF || AB. Во сколько раз площадь треугольника CEF меньше площади трапеции AEFB? 1009. В равнобокую трапецию вписана окружность, точка касания которой делит боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 8 см. Найдите площадь трапеции. 186 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 8 КЛАССА 2. 3. 5. 6. 1. Найдите периметр параллелограмма, стороны которого равны 4 см и 9 см. Один из углов ромба равен 46°. Найдите остальные углы ромба. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого равна 8 см, а высота, проведенная к этой стороне, - 5 см. 4. Средняя линия трапеции равна 12 см. Найдите основания трапеции, если одно из них на 4 см больше другого. А ABC V {A1B1C1; AB = 4 см; AC = 6 см; A1C1 = 9 см; B1C1 = 12 см. Найдите A1B1 и BC. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 10 см. Найдите длину медианы, проведенной к меньшему катету. 7. В треугольнике A^C Z C = 90°, AC = 6 см, AB = 10 см. Решите этот треугольник (углы треугольника найдите с точностью до градуса). Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 2 : 3, а площадь прямоугольника равна 96 см2. 9. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки 2 см и 8 см. Найдите площадь трапеции. 187 8 ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ Глава 1 Четырехугольники 1010. На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD вне его построены два равносторонних треугольника ABK и CDL. Докажите, что отрезок KL проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. 1011. На основании AB равнобедренного треугольника ABC отмечена произвольная точка K. Через эту точку параллельно BC и AC проведены прямые, которые пересекают стороны треугольника. Докажите, что периметр получившегося при этом параллелограмма не зависит от положения точки K. 1012. Точки A., B и C лежат на окружности с центром O. ABCO - параллелограмм. Найдите его углы. 1013. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и высоте. 1014. Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника, периметры которых равны. Определите вид четырехугольника. 1015. Окружность с диаметром AC проходит через середину стороны AB ромба ABCD. Найдите тупой угол ромба. 1016. Вне прямоугольника ABCD выбрана точка K так, что ZAKC = 90°. Найдите ZDKB. 1017. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC построены квадраты ACDE и BCKL. Прямые ED и KL пересекаются в точке P. Под каким углом пересекаются прямые PC и AB? 1018. Стороны прямоугольника равны a и b (a > b). Биссектрисы четырех углов прямоугольника, пересекаясь, образуют четырехугольник. Найдите его диагонали. 1019. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма делит пополам угол между высотами, проведенными из вершины этого угла. 1020. Внутри квадрата ABCD взята точка P и на отрезке AP, как на стороне, построен квадрат APNM, сторона которого PN пересекает сторону AD квадрата ABCD. Сравните длины отрезков BP и DM. 1021. Докажите, что в любой трапеции сумма боковых сторон больше разности большего и меньшего оснований. 188 ЗАДАЧИ повышенной СЛОЖНОСТИ 1022. Известно, что существует точка, равноудаленная от всех прямых, содержащих стороны трапеции. Найдите периметр трапеции, если ее средняя линия равна 10 см. 1023. Известно, что существует точка, равноудаленная от всех вершин трапеции, один из углов которой равен 40°. Найдите остальные углы трапеции. 1024. Основания трапеции равны a и b (a > b), а сумма углов, прилежащих к большему основанию, равна 90°. Найдите расстояние между серединами оснований трапеции. 1025. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке M. Известно, что Z ABC = 73°, Z BCD = 103°, Z AMD = 110°. Найдите Z ACD. 1026. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH1, BH2 и CH3. H - точка их пересечения. Среди семи точек A, B, C, H1, H2, H3 и H укажите все такие их четверки, через которые можно провести окружность. Глава 2 Подобие треугольников 1027. В пятиугольнике ABCDE все углы равны и все стороны равны. Диагонали AD и BE пересекаются в точке O. Докажите, что АAED v {AOE. 1028. Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая продолжения сторон CB и CD соответственно в точках N и M. Докажите, что произведение BN ■ DM не зависит от того, как проходит эта прямая. 1029. Диагональ трапеции делит ее на два подобных треугольника. Определите длину этой диагонали, если основания трапеции равны a и b. 1030. Через середину наибольшей стороны треугольника проведена прямая, отсекающая от него подобный ему треугольник. Найдите наименьшую сторону отсеченного треугольника, если стороны данного треугольника равны: 1) 42 см, 49 см, 56 см; 2) 42 см, 49 см, 63 см; 3) 42 см, 49 см, 70 см. Сколько решений имеет задача в каждом из случаев? 1031. В треугольнике ABC угол B - тупой. Отметьте на стороне AC такую точку D, чтобы выполнялось равенство AB2 = AD ■ AC. 189 1032. AD и BC - основания трапеции ABCD, диагонали которой взаимно перпендикулярны. AC = 15 см, CE - высота трапеции, AE = 9 см. Найдите среднюю линию трапеции. Глава 3 Решение прямоугольных треугольников 1033. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны. Докажите, что AD2 + BC2 = AB2 + CD2. 1034. Точка M лежит внутри угла, который равен 60°. Расстояния от точки M до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки M до вершины угла. 1035. Две окружности разных радиусов имеют внешнее касание. MN - их общая внешняя касательная, M и N -точки касания. Докажите, что длина отрезка MN является средним геометрическим диаметров окружностей. 1036. 1) В остроугольном треугольнике ABC BH - высота. Докажите, что BC2 = AB2 + AC2 - 2AC • AH. 2) В треугольнике ABC ZA - тупой, BH - высота. Докажите, что BC2 = AB2 + AC2 + 2AC • AH. 1037. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите периметр треугольника, если центр вписанной окружности находится на расстоянии ттгл/З от вершины прямого угла. 1038. Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c -его гипотенуза, h - высота, проведенная к гипотенузе. Докажите, что треугольник со сторонами h, c + h и a + b -прямоугольный. 1039. ABCD - прямоугольная трапеция, ZA = ZB = 90°, AB = a, CD = b, BC = c, BC < DA. Найдите расстояние от точки B до прямой, содержащей сторону CD. 1040. Вычислите: 1) sin 15°; 2) sin 75°. Глава 4 Многоугольники. Площади многоугольников 1041. Существует ли многоугольник, у которого: 1) 20 диагоналей; 2) 21 диагональ? 1042. В выпуклом га-угольнике пять углов имеют градусную меру 140° каждый, остальные его углы - острые. Найдите га. 1043. Докажите, что расстояния от любой точки диагонали параллелограмма до непараллельных сторон обратно пропорциональны длинам этих сторон. 190 ЗАДАЧИ повышенной СЛОЖНОСТИ 1044. Внутри прямоугольного треугольника ABC (Z C = 90°) отмечена точка M так, что площади треугольников AMB, BMC и CMA равны. Докажите, что MA2 + MB2 = 5MC2. 1045. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника ABM, где M - точка пересечения медиан треугольника ABC? 1046. В треугольнике ABC h^, - высоты, проведенные к сторонам A.B, BC и CA соответственно, а d^, d2, d3 - расстояния от произвольной точки P, находящейся внутри этого треугольника, до сторон A.B, BC и CA соответственно. Докажите, что h + — + ^2 Й3 = 1. 1047. Точка пересечения биссектрис треугольника на 3 см удалена от прямой, содержащей одну из сторон треугольника. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 36 см. 1048. На сторонах A.B, BC, AC треугольника ABC отмечены точки M, K, P так, что AM : MB = BK : KC = CP : PA = = 2 : 1. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь четырехугольника APKM. 1049. Биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в точке O, находящейся на расстоянии d от большей стороны трапеции. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны m и п. 1050. AD и BC - основания трапеции ABCD, CD = c. Точка K - середина боковой стороны AB. Расстояние от точки K до прямой, содержащей сторону CD, равно d. Найдите площадь трапеции. 1051. В трапеции ABCD точка M - середина большего основания AD, AB = BC = CD = a. Точка пересечения диагоналей трапеции совпадает с точкой пересечения высот треугольника BMC. Найдите площадь трапеции. 191 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ГОТОВИМСЯ к вно Решите задачи, которые предлагались на внешнем независимом оценивании (ВНО) по математике прошлых лет и охватывают курс геометрии 8-го класса. В скобках указано, в каком году задача предлагалась на ВНО. К каждому из заданий 1, 2, 4, 6, 9 выберите один правильный вариант ответа из пяти предложенных вариантов (А-Д). К каждому из заданий 3, 5, 7, 8, 10-13 ответ запишите. Тема «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ» 1. (2011 г.) На рисунке изображена окружность с центром в точке О и равносторонний треугольник АОВ, пересекающий окружность в точках М и N. Точка D лежит на окружности. Найдите градусную меру угла MDN. A Б В Г Д 15° 30° 45° 60° 120° 2. (2015 г.) На диагонали АС квадрата ABCD взята точка, расстояния от которой до сторон АВ и ВС равны 2 см и 6 см соответственно. Определите периметр квадрата ABCD. A Б В Г Д 16 см 24 см 32 см 48 см 64 см 3. (2012 г.) Биссектриса угла А прямоугольника ABCD пересекает его большую сторону ВС в точке М. Определите радиус окружности (в см), описанной около прямоугольника, если ВС = 24 см, АМ = см. Тема «ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ» 4. (2011 г.) В треугольнике АВС: АВ = 31 см, ВС = 15 см, АС = 26 см. Прямая а, параллельная стороне АВ, пересекает стороны ВС и АС в точках M и N соответственно. Вычислите периметр треугольника MNC, если МС = 5 см. A Б В Г Д 15 см 24 см 48 см 21 см 26 см 5. (2013 г.) В треугольник АВС вписан квадрат KLMN (см. рисунок). Высота этого треугольника, проведенная к стороне АС, равна 6 см. Найдите периметр квадрата (в см), если АС = 10 см. В 192 ПРИЛОЖЕНИЯ Тема «РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ» 6. (2015 г.) На рисунке изображен прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой с и острым углом а. Укажите правильное равенство. A Б В Г Д а с а с ъ cosa = — cosa = — cosa = — cosa = — cosa = — ъ ъ с а с 7. (2009 г.) В трапеции ABCD: АА = 90°, АВ = 12 см (см. рисунок). Диагональ BD делит среднюю линию KL трапеции на отрезки KM и ML, причем KM = 5,5 см и ML = 3 см. Вычислите периметр трапеции ABCD (в см). D 8. (2006 г.) (Задача Л. Пизанского, XII-XIII вв.). Две башни, высота одной из которых 40 футов, а другой - 30 футов, расположены на расстоянии 50 футов одна от другой. К колодцу, находящемуся между ними, одновременно с каждой башни вылетело по птичке. Двигаясь с одинаковой скоростью, они прилетели к колодцу одновременно. Найдите расстояние от колодца до ближайшей башни (в футах). Тема «МНОГОУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ» /т 9. (2006 г.) В прямоугольнике ABCD прямые m и n проходят через точку пересечения диагоналей. Площадь фигуры, состоящей из трех закрашенных треугольников, равна 12 см2. Вычислите площадь прямоугольника ABCD. A Б В Г Д 24 см2 30 см2 36 см2 42 см2 48 см2 10. (2010 г.) На рисунке изображен прямоугольник ABCD и равносторонний треугольник ABK, периметры которых соответственно равны 20 см и 12 см. Найдите периметр пятиугольника AKBCD (в см). 11. (2013 г.) Меньшая сторона прямоугольника равна 16 м и образует с его диагональю угол 60°. Середины всех сторон прямоугольника последовательно соединили. Найдите значение выраже- о ния____, где S - площадь (в м2) получившегося четырехугольника. л/З 193 12. (2013 г.) В треугольнике АВС точка М -середина стороны ВС, АС = 24 см (см. рисунок). Найдите расстояние d (в см) от точки М до стороны АС, если площадь треугольника АВС равна 96 см2. 13. (2014 г.) Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 13 см и 23 см. Вычислите (в см2) площадь трапеции. ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ТЕОРЕМА О ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Теорема (о площади прямоугольника). Площадь S прямоугольника со сторонами a и b вычисляется по формуле S = a ■ b. Доказательство. Пусть ABCD - произвольный прямоугольник, у которого AB = а, AD = b (рис. 255). Докажем, что S = ab. 1) Если длины отрезков AB и AD D С являются рациональными числами (целыми или дробными), то существует отрезок такой длины h, которую можно отложить целое число раз и на отрезке AB, и на отрезке AD. Приведем числа а и b к общему зна- п рч А 1 п менателю п. Рис. 255 Получим: а = —^^ = —. п п Тогд^ ^ Имеем а = ph, b = qh. п Разобьем отрезок AB на p равных частей длиной h, а AD - на q равных частей длиной h. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника (рис. 255). Эти прямые разобьют весь прямоугольник на pq равных квадратов со стороной ^ (один из таких п квадратов закрашен на рисунке 255). Так как единичный квадрат вмещает ровно n2 квадратов со стороно^^, то площадь одного квадрата с такой стороной равна —г. Площадь прямо- re угольника равна сумме площадей всех квадратов. Имеем: о 1 Р 9 S = pq-—^ =------= ab. тс п п 194 ПРИЛОЖЕНИЯ 2) Рассмотрим случай, когда хоть одна из длин отрезков AB или является числом иррациональным (бесконечной десятичной дробью). Пусть число an получили из числа a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (п + 1)-го. Так как a отличается от ап не более чем на , то а„ < а < а„ + 10" Аналогично рассмотрим число bn 1 такое, чт^ ^ ^ Ь„ н----. На прямых ^ 10" ^ и отложим отрезки AB1, AB2, AD1, АВ2, где АБ1 = ап, ABg = АВ1 = bn, AB2 = bn + и построим прямоугольники AB1C1B1 и AB2C2B2 (рис. 256). Тогда Рис. 256 ^ABCD^ ^AB2C2D2>^n^n ^ ^ABCD^ + jqB Pn + jqTI I* Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1 „ , 1 станет очень малым, а потому числ^ + "lO^ практически не будет отличаться от числа an, а число &л + практически не будет отличаться от числа bn. Поэтому произведение "*"То^^ практически не будет отличаться от произведения anbn. Следовательно, из последнего двойного неравенства следует, что площадь прямоугольника ABCB практически не отличается от числа anbn. Поэтому S = anbn. Но из неравенств ^ ^ < а„ Ч—^ и ^Ъ„ Ч—^ при " " 10" 10" неограниченном увеличении числа n следует, что число a практично не отличается от числа an, а число b - от числа bn. Следовательно, число anbn практически не отличается от числа ab. Окончательно имеем: S = ab. А 195 СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА Элементарные геометрические фигуры и их свойства Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Отрезком называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, которые лежат между двумя ее точками, вместе с этими точками. На рисунке 257: отрезок AB, точки A и B - концы отрезка. ^ ^ Точка A делит прямую на две части щ_________щ (рис. 258). Каждую из полученных частей вместе с точкой A называют лучом, выходящим из точки A. Поэтому A называют началом каждого из лучей. Два луча, имеющие общее начало и дополняющие друг друга до прямой, называют дополняющими. Угол - это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, которые выходят из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало - вершиной угла. На рисунке 259: угол AOB, точка O - его вершина; OA и OB - стороны угла. Записать этот угол можно так: ZAOB; ZBOA; ZO. Биссектрисой угла называют луч, который выходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит его пополам. Рис. 257 А Рис. 258 Аксиомы планиметрии I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей, и точки, ей не принадлежащие. II. Через две точки можно провести прямую и к тому же только одну. III. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. IV. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. V. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой. (На рисунке 260 AB = AC + CB.) VI. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. 196 СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА VII. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. AAOB = AAOK + ZKOB (рис. 261). Рис. 260 Смежные и вертикальные углы Два угла называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополняющими лучами. На рисунке 262 углы ZAOK и ZKOB - смежные. Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180°. Два угла называют вертикальными, если стороны одного из них являются дополняющими лучами сторон другого. На рисунке 263 ZAKC и ZDKB - вертикальные, углы ZAKD и Z CKB также вертикальные. Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны. Перпендикулярные и параллельные прямые Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. На рисунке 264 прямые a и b - перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. На рисунке 265 прямые a и b - параллельны. а а D_____ Рис. 264 Рис. 265 197 Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей Прямую c называют секущей для прямых a и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 266). Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5 - внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 - соответственными углами. Признаки параллельности прямых. 1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. 4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей 1. Соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. 2. Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. 3. Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 180°. Треугольник и его элементы Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267). Точки A, B, C - вершины треугольника; отрезки AB = с, AC = b, BC = a - стороны треугольника; ZBAC, ZABC, ZBCA - углы треугольника. 198 в СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА А Рис. 267 Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. = AB + BC + CA. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. На рисунке 268 AM^ - медиана треугольника ABC. Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны. На рисунке 269 AL^ - биссектриса треугольника ABC. Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону. Рис. 270 На рисунке 270 AH^ - высота {ABC. Сумма углов треугольника равна 180°. Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона. Признаки равенства треугольников Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271). 199 в в. Рис. Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272). Рис. Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273). Виды треугольников Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны. На рисунке 274 А ABC - равнобедренный, AC и BC - его боковые стороны, AB - основание. Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 200 СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА С в в Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним. На рисунке 275 А ABC - равносторонний. Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний. Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. На рисунке 276 биссектриса AN, проведенная к основанию BC равнобедренного треугольника ABC, является его медианой и высотой. В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников: • остроугольные (все углы которого - острые - рис. 277); • прямоугольные (один из углов которых - прямой, а два других - острые - рис. 278); • тупоугольные (один из углов которых - тупой, а два других - острые - рис. 279). 201 Внешний угол треугольника Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника. На рисунке 280 ZBAK - внешний угол треугольника ABC. Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть ZBAK = ZB + ZC. Рис. 280 Рис. 281 Прямоугольные треугольники Если ZC = 90°, то {ABC - прямоугольный (рис. 281). AC и BC - катеты прямоугольного треугольника; AB - гипотенуза прямоугольного треугольника. Свойства прямоугольных треугольников. 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. 2. Гипотенуза больше любого из катетов. 3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. 4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°. 5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. 2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны. 3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. 202 СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА 4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны. 5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны. Окружность и круг Окружностью называют геометрическую фигуру, состоящую из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (рис. 282). Эту точку называют центром окружности; отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности. На рисунке 282 точка O - центр окружности, OA - радиус окружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 282 MN - хорда, BC - диаметр. Часть плоскости, ограниченную окружностью, вместе с самой окружностью называют кругом (рис. 283). Центром, радиусом, диаметром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду окружности, ограничивающей круг Рис. 283 Свойства элементов окружности. 1. Диаметр окружности вдвое больше его радиуса. 2. Диаметр является наибольшей из хорд. 3. Диаметр из любой точки окружности виден под прямым углом. 4. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. 5. Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, которая не является диаметром, перпендикулярен этой хорде. Касательной к окружности называют прямую, которая имеет с окружностью одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. На рисунке 284 прямая a - касательная к окружности, точка K - точка касания. Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. 203 Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. На рисунке 285 AB = AC. Рис. 284 Окружность, вписанная в треугольник Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. При этом треугольник называют описанным около окружности (рис. 286). В любой треугольник можно вписать окружность. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Окружность, описанная около треугольника Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника. При этом треугольник называют вписанным в окружность (рис. 287). Около любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. 204 УПРАЖНЕНИЯ НА ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА 1. Точка N принадлежит отрезку AB = 7,6 см. Найдите длины отрезков AN и NB, если: 1) AN втрое больше NB; 2) NB больше AN на 2,6 см. 2. Найдите градусные меры смежных углов, если они относятся как 4 : 5. 3. Найдите градусную меру каждого из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, если сумма двух из них равна 162°. 4. Являются ли прямые a и b на рис. 288-290 параллельными? 130°' 130° Рис. 288 Т 95° Рис. 290 D Рис. 291 5. Один из углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равен 70°. Найдите остальные семь углов. 6. Одна из сторон треугольника - вдвое меньше второй и на 4 см меньше третьей. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 24 см. 7. Дано: AB = CD, ZABD = Z BDC (рис. 291). Доказать: А ABD = А CDB. 8. Начертите разносторонний остроугольный треугольник ABC. Проведите в нем медиану AM, высоту AH, биссектрису AL. 9. Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 54°. 10. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Найдите ZA, если ZC = 80°, ZLBC = 35°. 11. Внешние углы при двух вершинах треугольника соответственно равны 120° и 140°. Найдите градусную меру каждого из его внутренних углов. 12. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них в 8 раз меньше второго. 13. На рисунке 292 точка O - центр окружности, Z CAO = 15°. Найдите Z COB. Рис. 292 205 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Глава 1 16. 10 см, 12,5 см, 20 см, 22,5 см. 17. 60°, 75°, 105°, 120°. 18. 105°, 75°, 90°. 19. 21 см, 9 см, 6 см. 22. Да, если четырехугольник невыпуклый. 23. Два решения. 24. Два решения. 26. 6 см. 28. 70°, 70° и 40° или 70°, 55° и 55°. 29. 10 см. 33. n = 4. 49. 14 см. 54. 96°, 84°. 55. 34 см. 56. BP = 4 см, PC = 8 см. 62. 28 см. 63. 24 см. 64. 40°. 65. 110°. 66. 7 см, 13 см. 67. 9 см, 30 см. 68. 1) 75°; 2) 105°. 69. 1) 96°; 2) 84°. 72. 9 см. 74. Нет. 94. 1) 55°; 2) 50°. 95. 1) 30°; 2) 40°. 96. 160°. 97. 40°. 100. 52 см. 101. 60 см. 102. 48 дм. 103. 1) DB = 4a, AB = 2a; 2) АК = ^, CD = 104. BD = 2b, OK = -. ; ’ ^42 2 105. 50 см. 106. 40 см. 108. 1) 60°; 2) 90°. 109. Указание. Постройте параллелограмм, одна из вершин которого точка B, две другие лежат на сторонах угла, а точка P является точкой пересечения диагоналей. 111. Нет. 134. 80° и 100°. 135. 72° и 108°. 140. 70° и 110°. 141. 130° и 50°. 142. 1) 60°, 120°; 2) 4а см. 143. 1) 60°, 120°; 2) 4b см. 146. 60 см. 148. 10 см. 149. 1) Да; 2) нет; 3) нет. 150. Параллелограмм. 152. Указание. Рассмотрите ЛAMK, где МК - диаметр окружности. 171. 24 см. 172. 4 см. 176. 2b см. 177. 9 см. 180. ZA = 20°, ZВ = 60°, ZC = 80°, ZD = 200°. 5 Невыпуклый. 181. АВ = 15 см, AD = 40 см. 183. 6^j мин. 197. 1) Да; 2) нет. 198. 1) Да; 2) нет. 199. Нет. 207. Равнобокая. 208. 8 см. 209. 36 см. 210. 70° и 110°. 211. 40° и 140°. 215. 9 см и 5 см. 217. 60° и 120°. 218. 72° и 108°. 220. 2 : 1. 221. 2 : 1. 222. Указание. Пусть AD = а, BC = b, CD = c, AB = d. Через вершину С проведите CM || AB, M е AD. Тогда MD = а - b. ЛCMD можно построить. 224. 20 см. 229. В точке пересечения диагоналей четырехугольника. 236. 108°. 237. 116°. 238. 120°, 60°. 239. 30°. 240. 80°. 242. 40°. 244. 40°, 70°, 70°, или 40°, 40°, 100°, или 140°, 20°, 20°. 245. 50°, 65°, 65°, или 50°, 50°, 80°, или 130°, 25°, 25°. 246. Окружность, диаметром которой является гипотенуза прямоугольного треугольника без ее концов. 248. b и а - b. 250. Да. 258. 4 см. 259. 20 дм. 262. 5R. 263. 180° - а, 180° - а, 2а - 180°. 264^, 90°-—, 90°-—, или 180° —, —, —. 275. А.А, = А„А3 = 12 см, 4 4 2 4 4 12 23 B^Bg = B2B3 = 20 см. 276. ON2 = 42 см, OM2 = 24 см. 278. Указание. Проведите через точки E, F, D прямые, параллельные CG. 279. Указание. Проведите через точки М и D прямые, параллельные BN. 280. 1 : 2. Указание. Проведите через точку D прямую, параллельную BM. 282. 10 см и 14 см. 297. 40 см, 30 см, 50 см. 298. 16 см, 36 см, 28 см. 299. 12 см и 18 см или 12 см и 8 см. 206 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 300. 26 см. 301. 20 см. 305. 4а см. 306. 5 см. 308. 6 см. 309. 12 см. 311. 28 см. 312. 1) a - b; 2) 3a - b; 3) a = 3b. 313. Нет. 328. 21 см и 25,5 см. 329. ВС = 4 см, = 20 см. 330. 7 см. 331. 10 см. 332. 3 см. 333. 13 см. 334. 3 см, 4 см, 3 см. 335. 14 см и 30 см. 336. 9 см. 337. 44 см. 338. 32 см. 340. 4а см. 341. 10 см. 347. 60°, 70°, 110°, 120°. 354. Нет. 355. Указание. Докажите, что ABNM - параллелограмм. 356. Три. 359. 4 см, 10 см. 365. 24 см. 366. 12 см, 16 см. 367^^ см. 368. 46 см или 38 см. 373. Все стороны по см. 374. 100° и 80°. 375. 1) 30°, 150°; 2) 15°. 381. Да. 382. Квадрат. 383. 2d см. 388. 80°, 100°. 390. т см. 391. 36 см. 392. ВС = 5 см, CD = 5 см. 393. 19 см. 394. 72° и 108°. 395. Указание. Проведите через одну из вершин меньшего основания трапеции прямую, параллельную диагонали, до пересечения с большим основанием. Постройте треугольник, две стороны которого - диагонали трапеции, а третья - сумма оснований. 396. 36 см. 400. 2 см. 402. 90°, 54°, 90°, 126°. 403. Указание. Искомое геометрическое место точек - две дуги окружностей с центрами и 02, из которых MN видно под углом 2а (рис. 293). 407. 30°. 408. 60°, 80°, 120°, 100°. 409. 62°. 410. 6а см. 421. 10 см и 14 см. 422. 36 см, 18 см. 424. Квадрат, Р = 2d (см). 428. 18 см, 16 см, 14 см. 429. 12 см и 24 см. 430. 6 см и 30 см. 431. 5 : 2. 433, e-i) см. Глава 2 443. ОВ = 6, BD = 9. 444. ОЛ = 2,5, ЛС = 3,5. 445. 2 : 3. Указание. Проведите через точку Р прямую, параллельную СМ. 446. 5 : 6. Указание. Проведите через точку D прямую, параллельную ВМ. 447. 16 см. 448. 3 : 4. 452. 9. 461. 1) 24 см, 27 см; 2) 35 см, 40 см, 45 см; 3) 14 см, 16 см, 18 см. 462. 1) 10 см, 12 см; 2) 15 см, 18 см, 27 см; 3) 25 см, 30 см, 45 см. 464. 4 см, 6 см, 8 см и 6 см, 9 см, 12 см. 465. 12 см, 16 см, 20 см и 9 см, 12 см, 15 см. 469. Нет. 492. Да. 493. Да. 496. AD = 28 см, ВС = 16 см. 497. ВО = 2,5 см, OD = 5,5 см. 498. 1) Да; 2) да; 3) 3 см. 499. 3-^^ см. 3 500. 24 см. 501. {ЛВС ~ Л ВDC. 502. Л ЛВС ~ Л DВA. 503. 20 см, 35 см, 35 см или 42 см, 24 см, 24 см. 504. 30 см, 48 см, 48 см или аЪ 35 см, 35 см, 56 см. 507. 9 см. 508. 3 см. 509. а + Ь см. 510. 7 ,5 см 207 и 4,5 см. 511. 5 см и 10 см. 512. 6 см. 513. 4,2 см. 516. 2а см. 518. Да; 15°. 532. 24 см. 533. 24 см. 534. 30 см и 40 см. 535. 12 см. 536. 2 см. 537. 3 см. 538. 6 см. 539. 12 см. 540. 36 см. 542. Да. 550. 7 см. 551. 9 см. 552. BL = 10 см, LC = 8 см. 553. 21 см. 554. 90 см. 555. 36 см. 556. 10 см и 14 см. 557. AL = 12 см, LB = 8 см. 558. Нет. 559. Указание. Докажите, что ЛCHB v {AHC. 569. 15 см. 570. 9 см. 571. 9 м. 572. 8 м. 573. 42 м. 574. 20 см. 575. 16 см. 576. 8 см. 577. 6 см. 578. 5 см. 579. 26 см. 580. 26 см. 582. 10 см. Указание. Используйте формулу AL2 = AB ■ AC - BL ■ CL из задачи 1, § 17. 586. 12 см, 16 см, 24 см. 587. -Ь2 . 588. 1) Нет; 2) нет. 592. 9 : 4. Указание. Проведите через точку Е прямую, параллельную AD. 595. 1) 52 см; 2) 65 см. 596. Да. 604. 15 см. 607. 30 см. 612. BM = 20 см, Р = 80 см. 613. 70 см. 614. 16 см и 12 см. 615. 13 см и 5 см. 618. 42 см. 619. 14 см и 16 см. 620. ZACD < ZBCD. 621. 36 см, 36 см, 18 см. 625. AK = 5 см, АР = 20 см, KP = 15 см. 626^- см. 627. AB = 6 см, BC = 7,5 см. 3 Глава 3 652. л/п см или л/б1 см. 653^2Й см или см. 654. 20; 16^14; 13. 655. 6; 10. 656. 112 см. 657. 80 см. 658. 24 см. 659. 30 см. 660. 28 см. 661. 11 см. 662. л/26 см. 663^Ю см. 664. 3 см и •М см. 665^850 см = 5>/74 см. 666^ ^68 см = 6>/l3 см. 669. 90 см. 670. 84 см. 671. 30 см. 672. 5 см. 674. 162 см. 675. 80 см. 676. 6 см. 677. 40 см. 678. 60°; 60°; 120°; 120°. 682. Да. 695. 17 см или 3 см. 696. 21 см или 9 см. 697. 30°. 698. 45°. 699. 12 см. 700. 10 см. 701. 2 см; 10 см; см = 4л/б см. 702. 5 см; 7 см; см = 2л/б см. 703. 6,6 см; 8,4 см. 704. 3,4 см; 21,6 см. 705. 90°. 706. 10 см. 707. 4 см. 709. 1) 90°; 30°; 60°; 2) 90°; 45°; 45°. 710. 11 ярдов. 731. 2а(1 + tgP). 732^^. 733. 15,63 см. 734. 12,43 см. 735. с sin а cos а. 736. sin Р cos р’ 737. 39° и 51°. 738. 61° и 29°. 739. 1) AB = 10 см, BC = 8 см. Указание. Так как cosZB ^ —, то 5 ВС АВ :. Обозначьте BC = 4x; AB = 5x; 2) AC = 12 см; BC = 5 см. 740. 1) AB = 5 см, BC = 3 см; 2) AC = 16 см, BC = 30 см. 741. 742^ ^ ^ ^^, BK = ^^. 743. BC = -^; tgP tgP tgP sin a AC = a-b COS a gtgP; sin a’ 208 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ АВ = 747. ^—-—;т. 744. 41°36'. 745. 79°36' и 100°24'. 746. -. smacosp 2 cosBtg — . 748. 10(л/2-1) CM. 749^^/з CM. 750. 5(^/3+l) CM. 751^ ^/3) CM. 753. 48 cm. 764. 1) AB = 8 cm, ZB = 30°, ZA = 60°; 2) AC = 17 ДМ, ZB « 28°4', ZA « 61°56'; 3) AB ^^10 CM « 9,49 CM, Za « 71°34', ZB « 18°26'; 4) AB = 25m дм, ZA « 73°44', ZB « 16°16'. 765. 1) AB = 4 CM, ZA = 30°, ZB = 60°; 2) AB = 10 cm, ZA « 36°52', ZB « 53°8'; 3) AB ^29 дм « 5,39 дм, ZA « 68°12', ZB « 21°48'; 4) AB = 41k ДМ, Za « 77°19', ZB « 12°41'. 766. 1) BC = 3 cm, ZA = 30°, ZB = 60°; 2) AC = 63 ДМ, ZA « 14°15', ZB « 75°45'; 3) BC = Ss cm « « 5,74 CM, Za « 55°9', ZB « 34°51'; 4) AC = 12a cm, ZA « 22°37', ZB « 67°23'. 767. 1) BC ^ W2 cm, ZA = ZB = 45°; 2) AC = 35 дм, ZA « 18°55', ZB « 71°5'; 3) BC ^51 cm « 7,14 cm, ZA « 45°34', ZB « 44°26'; 4) AC = 116 дм, ZA « 79°37', ZB « 10°23'. 768. 62°32'. 769. a « 1°9'. 770. « 4,29 m. 771^ ^ - m. 773. 36 cm. 774. 42 cm. 2 ^_______________________ 775. 18 прямых; 28 прямых. 782. 52 cm. 783. 6 cm; V244 cm = ^ ^61 CM. 784. 72 CM. 785. 32 cm. 786. 78 cm. 787. 105°. 788. 90°. 789. 120 CM. 793. 7 CM или 1 CM. 794. 26 cm; 30 cm; 24 cm. 795. 3,2 cm. 799. 4^(sina + cosa). 800. 31,11 cm. 801. CK = 6sina; KB = 6sinatga. 802. 50 CM. 803. r 1 + '4 804. ^/з cm; 2^/43 cm; 2^/^ CM. o^/3 aS atgatgp 805.-----CM или------CM. 809. tga + tgp' Глава 4 822. 140°. 823. 120°. 826. Нет. 827. Нет. 828. 72°, 96°, 120°, 120°, 144°, 168°. 829. 88°, 98°, 108°, 118°, 128°. 830. 1) Да, 8 сторон, 20 диагоналей; 2) нет. 831. 1) Нет; 2) да, 9 вершин, 27 диагоналей. 832. 12. 833. Четырехугольник. 834. Да, это пятиугольник. 835. 12. р 836. 15. 837. Периметры равны. 838^- см. 855. 60 см2. 856. 120 см2. 857. 1) 32 см2; 2) ^2. 858. 16 см2. 859. 6 см. 860. 10 см. 861. 3) Уве-2 личится в 16 раз; 4) увеличится в 10 раз; 5) увеличится в 6 раз. 863. Нет. 864. 1) Да; 2) нет; 3) да. 865. 8 см. 866. 10 дм. 867. 208. 868. 4г2. 869. 9 см и 12 см. 870. 20 см. 871. 24 см2. 872. 84 см2. 873. 108 см2. 874. 168 см2. 876^/5. 877. 9. 878. Да. 881. 8. 209 892. 2,4 см. 893. 10 см. 894. 60 см2. 895. 8 см2. 896. 6 см. 897. 15 см. р2 898. — см2. 899. 72 см2. 900. 12 см2. 901. 96 см2. 902. 1) Нет; 2), 3) да. 32 903. 8 см или 4,5 см. 904. На 3 вершины. 905. 15 см2. 907. 18. 918. 16 см2. 919. 36 см2. 920. 1) 40 см2; 2) . 921. 36 см2. 922. 15 см2; 30 см2. 923. 8 см. 924. 12 см. 925. 4 см2 и 8 см2. 926. 5 см2 и 15 см2. 928. 7,5 см2. 929. 40 см2. 930. 4,8 см. 931. 6,72 см. 932. 54 см2. 933. 60 см2. 934. 1) и 2) Да; 3) нет. 935. 1 : 2. 936. 1 : 4. 938. 128 см2. 940. 25 шагов. 955. 64 см2. 956. 45 см2. 957. 3 см и 9 см. 958. 5 см и 20 см. 959^ . 4 960. 54 см2. 961. 24 см2. 962. 40 см2. 963. 80 см2. 964. 1080 см2. 965. 156 см2. 966. 30 см2. 967. 62,5 см2. 968. 181,5 см2. 969. h2 см2. 970. 49 см2. 971. 18 см2. 975. 50 см. Указание. Надо рассмотреть два случая расположения квадратов. 978. По 108°. 979. 20. 980. 8. р2 981. Увеличится на 360°. 982. k = 2. 986. 1) — см2; 2) 4-\/iS см; 3) 4. 16 988. 144. 989. 36 см2 или 45 см2. 990. mn. 993. 10 см2. 994. 1) Да; 2) нет. 995. Квадрат, в 2 раза. 996. 16 см2. 997. 320 см2. 999. 6 см. За2 ЗЬ2 1000. 6 см2. 1006^^ см2. 1007^- см2. 1008. В 3 раза. 1009. 80 см2. 2 2 Задачи повышенной сложности 1012. 60°; 120°. 1014. Ромб. 1015. 120°. 1016. 90°. 1018. Каждая из диагоналей равна a - b. 1020. BP = DM. 1022. 40 см. 1023. 140°, 40°, 140°. 1024. a-b . 1025. 53°. 1026. A, H3, H, H2; B, H3, H, H^; C, H^, H, H2; A, H3, H^, C; A, H2, H^, B; B, H3, H2, C. 1028. Указание. Доказать, что ^ = СВ ■ CD. 1029^ 4ob. 1030. 1) 21 см, или 28 см, или 24 см; 2) 21 см или 27 см; 3) 21 см. Указание. Пусть АВ - наибольшая сторона треугольника. Прямая, которая отсекает треугольник, подобный данному, может пересекать или сторону ВС, или сторону АС, причем следует отдельно рассмотреть случай, когда эта прямая параллельна одной из сторон треугольника. 1031. Необходимо построить окружность, которая проходит через точки В и С и касается АВ в точке В. Эта окружность пересечет АС в искомой точке D. 1032. 12,5 см. Указание. Через вершину С проведите прямую, параллельную ВD и пересекающую продолжение AD в точке М, тогда Л ACM - прямоугольный. 1034^ . Указание. Пусть МА и МВ - перпендикуляры, проведенные к прямым, содержащим сторо- 210 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ны угла, а С - точка пересечения AM и ОБ. Рассмотрите {ВМС и АОАС. 1037. 12т. 1038. Докажите, что (с + Л)^ =(а + Ъ)^ +h^. ■у/б-л/г у/б+-у/2 1039^=^. 1040. 1) 6 2) -. Указание. Рассмотрите 4 ' 4 равнобедренный прямоугольный треугольник ABD (Z D = 90°) и прямоугольный треугольник BDC (ZD = 90°), у которого ZDBC = 30°. Точки A, D, C лежат на одной прямой. Тогда ZАВС = 75°. 1041. 1) Да; 2) нет. 1042. 6. 1045. В 3 раза. 1047. 54 см2. 1048^S. 1049. (т + n)d. 9 1 За^ у/з 1050. cd. Указание. Докажите, что ~ ~^abcd. 1051.--------. ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ «ДОМАШНЯЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА» ^^^№ задания № работы^\^ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Б В В А Г Б Г В В Б Б Г 2 Б В Б Г Б А В Г В Б А Г 3 Б Г В А В Б Г Б А В В А 4 В Б А Б Г В Б Б Г В А В 5 Б В А Г В Г Б А В Г Б В ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЯ 1 «ГОТОВИМСЯ К ВНО» Тема Четырехугольники Подобие треуголь- ников Решение прямоугольных треугольников № задачи 1 2 3 4 5 6 7 8 Ответ Б В 13 Б 15 Д 42 18 Тема Многоугольники. Площади многоугольников № задачи 9 10 11 12 13 Ответ Д 24 128 4 864 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ НА ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА 1. 1) NB = 1,9 см; AN = 5,7 см; 2) AN = 2,5 см, NB = 5,1 см. 2. 80°, 100°. 3. 81°, 99°, 81°, 99°. 4. На рис. 288 - да, на рис. 289, 290 - нет. 5. Три угла по 70°, четыре - по 110°. 6. 5 см, 9 см, 10 см. 9. 72°. 10. 30°. 11. 60°, 40°, 80°. 12. 10°, 80°. 13. 30°. 211 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Боковые стороны трапеции 38 Вершины многоугольника 155 ---несоседние 156 ---соседние 155 Вершины четырехугольника 6 ---противолежащие 6 ---соседние 6 Внешний угол многоугольника 157 Внутренний угол многоугольника 157 Внутренняя область многоугольника 161 Вписанный угол 45 - четырехугольник 50 Высота параллелограмма 13 - трапеции 39 Градусная мера дуги окружности 45 Диагонали многоугольника 156 - четырехугольника 7 Дуга окружности 45 Египетский треугольник 122 Единичний квадрат 162 Квадрат 31 Коэффициент подобия треугольников 84 Косинус острого угла прямоугольного треугольника 134 Многоугольник 156 -, вписанный в окружность 157 - невыпуклый 156 -, описанный около окружности 158 - выпуклый 156 Наклонная 128 Окружность, вписанная в многоугольник 158 ---в четырехугольник 52 -, описанная около многоугольника 157 ---около четырехугольника 50 Описанный четырехугольник 52 Ортоцентр треугольника 19 Основания перпендикуляра 128 - наклонной 128 Основания трапеции 38 Основные свойства площади 161 Отношение отрезков 78 Параллелограмм 12 Периметр многоугольника 155 - четырехугольника 7 Перпендикуляр 128 Пифагоровы треугольники 122 - тройки чисел 122 Площадь квадрата 162 - параллелограмма 167 - прямоугольника 162 - трапеции 177 - треугольника 171 Подобные треугольники 83 Признак вписанного четырехугольника 51 - описанного четырехугольника 53 Признаки квадрата 32 - параллелограмма 14 - подобных треугольников 88, 89 - прямоугольника 22 - равнобокой трапеции 40, 43 - ромба 27 Пропорциональность отрезков хорд 103 ---секущей и касательной 104 Проекция наклонной 128 Прямоугольник 21 212 предметный указатель Решение треугольников 143 - прямоугольных треугольников 143 - - - по гипотенузе и острому углу 143 -----по двум катетам 144 ----по катету и гипотенузе 144 ----по катету и острому углу 144 Ромб 26 Свойства квадрата 31, 32 - параллелограмма 12 - перпендикуляра и наклонной 129 - прямоугольника 21 - равнобокой трапеции 39, 40 - ромба 26 - трапеции 38 Свойство биссектрисы треугольника 100 - медиан треугольника 60 - средней линии трапеции 63 треугольника 59 - сторон описанного четырехугольника 52 - углов вписанного четырехугольника 50 Синус острого угла прямоугольного треугольника 134 Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике 135 Среднее пропорциональное отрезков 96 Средняя линия трапеции 63 ---треугольника 59 Стороны многоугольника 155 - несоседние 156 - соседние 155 Стороны четырехугольника 6 - противолежащие 6 - соседние 6 Тангенс острого угла прямоугольного треугольника 134 Теорема, обратная теореме Пифагора 121 - Пифагора 119 - о вписанном угле 46 --- средних пропорциональных отрезках 96 - - сумме углов выпуклого п-угольника 156 ------четырехугольника 7 - Фалеса 55 ---обобщенная 78 Трапеция 38 - прямоугольная 39 - равнобокая 39 Углы четырехугольника 7 ---противолежащие 7 ---соседние 7 Формула биссектрисы треугольника 104 Центр масс треугольника 60 Центральный угол 45 Четвертый пропорциональный отрезок 80 Четырехугольник 6 - невыпуклый 7 - выпуклый 7 213