Геометрия Учебник 8 класс Александров Вернер Рыжик

Условные обозначения - в первой клеточке — номер параграфа и номер задачи, во второй — номер пункта (или пунктов) этого параграфа, к которому она относится; белым иветом выделены номера задач для классов с углубленным изучением математики - черным цветом — номера задач для классов основной школы - окончание доказательства утверждения - более трудный материал - начало и конец текста для классов основной школы - дополнительный материал - вопрос для классов основной школы - вопрос для классов с углубленным изучением математики На первом форзаце изображены древние пирамиды Египта и современная стеклянная пирамида в Париже — вход в Лувр; на втором форзаце изображены фрагмент картины Рафаэля «Обручение Марии» и картины М. Эшера. Условные обозначения первой клеточке — номер параграфа и номер задачи, но горой — номер пункта (или пунктов) этого параграфа, к ко-зрому она относится: белым цветом выделены номера задач ая классов с углубленным изучением математики ерным цветом — номера задач для классов основной школы 1Кончание доказательства утверждения 10лее трудный материал 13чало и конец текста для классов основной школы ополнительный материал юпрос для классов основной школы вопрос для классов с углубленным изучением математики юрзаце изображены древние пирамиды Египта и современная 1мида в Париже — вход в Лувр; юрзаце изображены фрагмент картины Рафаэля «Обручение гны М. Эшера. ГЕОМЕТРИЯ учебное пособие для 8 класса с углубленным изучением математики Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2002 шм УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 А46 Александров А. Д. А46 Геометрия; Учеб, пособие для 8 кл. с углубл. и.чучением математики/ А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 2002.— 240 с, ; ил.— ISBN 5-09-010864-1. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151Я72 Учебное и зда н и е Александров Александр Данилович Вернер Алексей Леонидович Рыжик Валерий Идельевич ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для 8 класса с углубленным изучением математики Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Т. Ю. Акимова. Шадший редактор Н. В. Сидсльковская. Художник А. С. Побезинский. Компьютерная графика А. Э. Си-ноженского. Художественный редактор А. В. Крикунов. Технический редактор С. Н. Терехова. Корректоры О. В. Крупенко, Н. И. Новикова. Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Сдано в набор 26.12.01. Подписано к печати 20.06.02. Формат 70Х90'/|б- Бумага офсетная № 1. Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 17,554-0,43 форз. Уел. кр.-отт. 37,08. Уч.-изд. л. 14,9+0,41 форз. Тираж 10 000 экз. Заказ № 3649 (П+Га), Федеральное государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени «И.здательство «Просвещение» Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств.массовых коммуникавдй. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи. 41. Федеральное государственное унитарное предприятие Смоленский полиграфический ком-би»[ат Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, Г. ISBN 5-09-010864-1 © Издательство «Просвещение», 2002 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2002 Все права защиндены Предисловие 1. о структуре углубленного курса геометрии. Дорогие друзья! Вы начинаете изучать четырехлетний углубленный курс геометрии. Первые два года он представляет собой систематический курс элементарной планиметрии, пополненный элементами стереометрии. Все важнейшие теоремы планиметрии мы докажем, а результаты стереометрии изложим на наглядном уровне. Систематический курс стереометрии излагается в 10—11 классах. Таким образом, весь четырехлетний углубленный курс распадается на два двухлетних цикла. Внутри каждого из них первый год посвяще}! в основном результатам классической (известной со времен Древней Греции) элементарной геометрии. Второй же год посвящен, главным образом, идеям и методам более современной геометрии. В 7 классе изучение геометрии, возможно, происходило по различным учебникам, поэтому во Введении приведены теоремы, на которые опирается данный курс. В учебнике 8 класса три главы: глава I. «Площади многоугольных фигур»; глава II. «Метрические соотношения в треугольнике»; глава III. «Многоугольники и окружности», В учебнике 9 класса тоже три главы: глава IV. «Векторы и координаты»; глава V. «Преобразования»; глава VI. «Основания планиметрии». В учебниках для старших классов изложен систематический курс стереометрии. Теоретическое содержание делится на основной и дополнительный материал. II. О структуре заданного материала. В этом издании учебника принято такое разбиение задач: Разбираемся в решении Здесь мы показываем не только готовые доказательства, каковые присущи теоретическому курсу, но и то, как они могут получаться. ОЙ: 2. Дополняем теорию На сведения, помещенные среди этих задач, возможны ссылки наравне с теоретическими сведениями. о 3-^ Смотрим Здесь задачи на развитие пространственных представлений. Ясно, что эти задачи предшествуют самостоятельному изображению фигур. 4.-^ Рисуем Эти задачи развивают пространственные представления уже в активной форме и учат навыкам определенной графической культуры. К тому же есть определенная графическая культура, которой надо научить. 5- О Представляем д здесь нагрузка на пространственное представление резко возрастает. Решение задачи, приведенной в этом разделе, и ответ к ней возможны и на основании только наглядных представлений. 6. KISJ Работаем с формулой Важные задачи, связывающие курсы геометрии и алгебры. Они развивают навыки алгебраических преобразований, выявляют функциональные зависимости межлу геометрическими величинами, их динамику при изменениях одной из величин. 7.aHSlZ Планируем В подавляющем большинстве вычислительных учебных задач важен не результат, а тот путь, который приводит к этому результату. Решение задачи состоит в указании такого пути. аИ Находим величину числительные задачи. Обычные учебные, чаще всего традиционные вы- Ч ■ 9. Ищем границы Эти задачи достаточно разнообразны, позволяют сочетать разные математические умения (работа с функцией, решение уравнений и неравенств, тригонометрия). Здесь легко варьируется объем работы. 10. ' Г Доказываем Сюда отнесены более трудные теоретические задачи. 11 ■ 1Ж1 Исследуем Сюда отнесены те задачи, в условии которых или в возможном результате есть некая неопределенность, незавершенность, даже неоднозначность, вплоть до отсутствия решения. 12. Строим Здесь важна именно алгоритмичность действий для решения задачи. При этом не имеет принципиального значения, какими инструментами осуществляется построение. 13. Занимательная геометрия В этом разделе задачи занимательные, исторические и вообще с определенной «непрямой» спецификой. 14.'^ Применяем геометрию Задачи этого раздела имеют внематемати-ческое происхождение, их еще надо перевести на математический язык. Участвуем в олимпиаде Содержание раздела ясно из названия. 16. Рассуждаем Задачи на чистую логику — подведение объекта под понятие, построение примеров и контрпримеров, формулировка обратных утверждений, необходимость и достаточность и т. д. Более простые задачи содержатся, как правило, в рубриках 3, 4, 6, 8. Введение # Наш курс опирается на немногие уже известные вам сведения по геометрии. Давайте вспомним их. Равенство треугольников. Равенство треугольников устанавливают по следующим признакам равенства треугольников: Первый признак Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1). Второй признак Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого |реугольника, то такие треугольники равны (рис. 2). ЕслиА'В'-=АВ. А'С =АС u/.A'=/LA, то А А'В'С'=А АВС В В' Если А'В' = АВ. ^А' = САи СВ' = СВ, /^^А'В'С' = ААВС Если А'В' =АВ. А'С'= АС иВ'С' = ВС. то АА'В'С' = ААВС Рис. 1 В Если АВ=ВС и AD=DC, то 1) А A=/L С; 2)AABD=^CBD uBDAAC » Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Третий признак а) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 3). Замечание. Понятие равенства треугольников можно определять по-разному. Можно сказать, что равны те треугольники, которые совмещаются при наложении, можно их равенство определить равенством их сторон и их углов, а можно равными назвать треугольники, у которых стороны равны. Тогда третий признак равенства треугольников становится определением их равенства и в доказательстве не нуждается. Но в этом случае доказывают, что в равных треугольниках соответственные углы равны. При доказательстве теорем и решении задач, обосновывая равенство треугольников, удобнее всего говорить так: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, треугольники равны по стороне и прилежаи^им к ней углам, треугольники равны по трем, сторонам. Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике; 1) углы при основании равны; 2) медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 4). Серединным перпендикуляром отрезка называют прямую, перпендикулярную отрезку и пересекающую его в середине (рис. 5, а). Верны два взаимно обратных утверждения о точках серединного перпендикуляра: 1) Если точка лежит на серединном перпендикуляре отрезка, то она равноудалена от концов этого отрезка (рис. 5, б). 2) Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре этого отрезка (рис. 5, а). Сумма углов треугольника. Важную роль играет следующая теорема: сумма углов треугольники равна 180° (рис. 6). Из этой теоремы можно получить несколько следствий; 1) В каждом треугольнике не менее двух острых углов. О IL в в Если РО1. А В иАО = ОВ; то РА = РВ Если РА = РВ иАО = ОВ; то РО ± АВ Рис. 5 6 Треугольники, у которых три острых угла, называются остроугольными (рис. 7, а); треугольники, имеющие прямой угол, называются прямоугольными (рис. 7, б); треугольники, имеющие тупой угол, называются’тупоугольными (рис. 7, в). 2) Внешний угол треугольника равен сумме не смежных с ним углов треугольника, а потому больше каждого из них (рис. 8). Ъ) Высота треугольника, проведенная к той его стороне, к которой прилегают острые углы, лежит внутри треугольника (рис. 9). Параллельность прямых. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 10). Установить параллельность прямых можно, применив один из следующих признаков параллельности прямых. Первый признак Если при пересечении двух прямых третьей прямой окажется, что сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. И, а). Второй признак Если при пересечении двух прямых третьей прямой окажется, что соответственные углы равны, то пря- мые параллельны (рис. б). Третий признак Если при пересечении двух прямых третьей прямой окажется, что внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. II, в). Частным случаем этих признаков параллельности является следующее утверждение: на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны (рис. 12). Рис. 6 в в) В а Рис. 9 а II Ь Рис. 10 а) б) в) Ь с/ Ь с/ А2 Ь Ea\u/L \ + /i2= 180°, mo a\[ b Если Z 1 = 2, moa\\b Рис. 11 Все эти признаки легко доказать способом от противного: допустив, что прямые пересекутся, приходим к противоречию с предложением о том, что внешний угол треугольника больше не смежного с ним угла треугольника (рис. 13, а—г). Справедливы и утверждения, обратные признакам параллельности прямых. Они выражают свойства углов, образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Свойство 1 Если две параллельные прямые пересекает третья прямая, то сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 14, а). Рис.13 Если Z 1 = Z 2, то а \\ Ь а Ь п П с Если а А.Ь и bLc. то а II* Рис. 12 mo а + Р = 180'’ Если а II Ь, тс Z 1 = Z 2 Рис. 14 Свойсгво 2 Если две параллельные прямые пресекает третья прямая, то образованные ими соответственные углы равны (рис. 14, б). Свойство 3 Если две параллельные прямые пресекает третья прямая, то образованные ими накрест лежащие углы равны (рис. 14, в). Частным случаем каждого из этих свойств является следующее предложение: на плоскости прямая, пер* пендикулярняя одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой из них (рис. 15). Эти свойства проще доказать, опираясь на следующую аксиому параллельности: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой (рис. 16). Ясно, что если доказать одно (любое) из трех перечисленных свойств, то остальные два станут простыми его следствиями. Докажем, например, свойство I. Доказательство. Пусть прямая с пересекает прямую а вточке А, а прямую^ вточке 8(рис. 14, а). Применим способ от противного. Допустим, что а + р^180°. Отложим от луча АВ угол ВАМ, равный 180° — р, с той стороны, где лежит угол а (рис. 17). Так как а 7^ 180* - р, то прямая ЯЛ1 не совпадает с прямой а. По первому признаку параллельности прямых прямые AM и Ь параллельны. Но тогда через точку А проходят две прямые, параллельные прямой Ь. Получили противоречие с аксиомой параллельности. Оно возникло из-за предположения, что а -I- р ^ 180°. Поэтому такого быть не может, т. е. а + Р = 180°. ■ Часть плоскости, лежащую между двумя параллельными прямыми, будем называть полосой. Если а II Ь, то Z 1 = Z 2 д. IL Если а \\ Ьи с ±а, то с1,Ь Рис. 15 Рис. 16 Рис. 18 Тетраэдр. Самый знакомый вам многогранник — ЭТО, конечно, прямоугольный параллелепипед: у него восемь вершин и шесть граней, причем все его грани — прямоугольники (рис. 18). Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб: у него все грани — квадраты (рис. 19). Среди всех многогранников меньше всего вершин и граней — четыре вершины и четыре грани — у тетраэдра (рис. 20). Греческое слово «тетраэдр» и означает «четырехгранник». Многогранника, у которого три вершины, не существует, так как любые три точки всегда лежат в некоторой плоскости. А любые четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости, являются вершинами тетраэдра ABCD: его грани — четыре треугольника АВС, ABD, ACD, BCD. Ограниченная ими часть пространства и есть тетраэдр ABCD. Стороны граней тетраэдра являются его ребрами. У тетраэдра шесть ребер (перечислите их). Изображая тетраэдр (как и другие многогранники), те ребра, которые заслонены от зрителя некоторыми гранями тетраэдра (многогранника), рисуют пунктиром. Правильным тетраэдром называется тетраэдр, все ребра которого равны (рис. 21). Прямоугольный параллелепипед можно считать пространственным аналогом прямоугольника, а куб — пространственным аналогом квадрата. Тетраэдр — это пространственный аналог треугольника, Правильный тетраэдр — пространственный аналог правильного (равностороннего) треугольника. # Рис. 21 Задачи на повторение курса VII класса * Дополняем теорию Докажите, что в равных треугольниках равны соответственные: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты. Докажите, что две параллельные прямые высекают на двух других параллельных прямых равные отрезки. Могут ли этим свойством обладать две пересекающиеся прямые? а) Докажите, что две прямые параллельны, если; 1) параллельны прямые, перпендикулярные данным; 2) внешние односторонние углы дают в сумме 180°; 3) внешние накрест лежащие углы равны. б) Пусть ABWDC, AB=DC и точки б и С лежат по одну сторону от прямой AD. Докажите, что BC\[AD и ВС=АО. Докажите, что два одноименных угла равны, если их стороны соответственно: а) перпендикулярны; б) параллельны. Докажите, что в равнобедренном треугольнике: а) биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают; 6) биссектрисы (медианы, высоты), проведенные из вершин основания, равны; в) отрезок, соединяющий концы биссектрис (медиан, высот), проведенных из вершин основания, параллелен основанию; г) пересекаются в одной точке все его медианы; все его высоты (или их продолжения). Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной и той же вершины: а) медиана и высота; б) биссектриса и высота; в) медиана и биссектриса. Какие еще вы знаете признаки равнобедренного треугольника? Докажите, что в прямоугольном треугольнике: а) катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы; б) справедливо утверждение, обратное утверждению а); в) середина гипотенузы равноудалена от его вершин. Разбираемся в решении Докажите, что в равнобедренном треугольнике пересекаются в одной точке все его биссектрисы. Решение. Пусть в треугольнике АВС равны стороны АВ и ВС, ЛЛ, — биссектриса угла Л, — биссектриса угла В. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке О (рис. 22). Докажем, что биссектриса угла С также пройдет через точку О. Здесь можно пойти разными путями: I) соединить точки О и С и доказать, что СО — биссектриса угла С; 2) провести биссектрису угла С, предположить, что она пересечет бб^ в какой-то точке О,, отличной от точки О, и получить противоречие. Возможны и другие способы решения. Попробуем пойти первым путем. Обозначим для краткости Z.OCBi=Z.\, ZOC4, = Z.2. Итак, нам надо доказать, что Z1=Z2. Для доказательства равенства углов (а также отрезков) первая идея — найти такие равные треугольники, где эти элементы являются соответственными. Здесь напрашивается рассмотреть треугольники ОВ^С и ОЛ|С. Но их равенство возможно только в случае равностороннего треугольника АВС (?). Если сразу не получается, то попробуем порассуждать. /^ВОС= -АВОА (?). Но тогда /BA0=/L2 и 0Л=0С. Так как ЛЛ, — биссектриса угла Л, то iCBA0—2.0AC. Затем видим из равнобедренного треугольника ЛОС, что £.ОАС=/-\. В результате получается, что Z1-Z2. Решив задачу, не спешите с ней расставаться. Просмотрите еще раз свое решение: а вдруг в нем найдутся не вполне обоснованные, хотя бы даже и очевидные, утверждения? Ничего не находите? П в А вот откуда взялась точка О? Мы считали, что биссектрисы углов А и В пересекаются. Но как это доказать? Затем попробуйте поискать другие доказательства, может быть, вам удастся найти более короткое или более красивое решение. Можно попробовать, например, взять сначала биссектрисы углов А и С, а затем точку их пересечения соединить с точкой В. А кроме того, есть еще и второй путь решения, указанный вначале. # Попробуйте теперь сами решить задачи о медианах и о высотах. Может быть, вам удастся сделать это примерно такими же рассуждениями? Мы решили действительно хорошую задачу. Вот другая задача на ту же тему, но потруднее; будег ли все это верно для треугольника, который не является равнобедренным? а) В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана AA^. 1) Есть ли такая точка X на ЛЛ], из которой отрезок ВС виден под прямым углом (иначе говоря, Z ВХС—90°)} Как построить такую точку? 2) Есть ли такая точка Y нaAA^, из которой все его стороны видны под равными углами? б) Можно ли найти такие точки и К (см. а)) в равнобедренном треугольнике? Решение. а) Будем мысленно перемещать точку X по отрезку ААу от А к Aj. Угол ВХС (его величину) обозначим <р. Когда точка X находится достаточно близко от А (рис. 23, а), тогда ср мало отличается от 60°, а потому (р<90°. Когда точка X находится достаточно близко от А, (рис. 23, 6), тогда <р мало отличается от 180°, а потому (р>90°. Значит, при каком-то положении точки X на АА, ф=90°. ■ И в дальней1нем будут встречаться задачи, решать которые удобно, используя принцип непрерывности: пусть величина v (угол, длина, площадь) зависит от положения точки X на отрезке (ломаной или другой линии). Если при одном положении X на отрезке г)<0, а при другом положении X на отрезке а>0, то найдется такое положение X на этом отрезке, при котором д=0. В только что решенной задаче такой величиной v является разность 9~90°. Сначала она была отрицательной, а затем стала положительной. 12 Значит, где-то она равна 0. На практике для удобства ее сравнивают не с нулем, а с некоторым другим значением величины (в нашей задаче мы сравнивали с углом 90°). • Планируем Как сделать равнобедренный треугольник, у которого; а) угол между высотой и одной стороной в два раза больше угла между этой же высотой и другой стороной; б) биссектриса одного из углов равна его стороне; о) медиана и высота, проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части; г) угол между биссектрисами равных углов в два раза больше угла при вершине? Как сделать прямоугольный треугольник, у которого угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 20°? Как сделать треугольник, у которого: а) высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части; б) высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части? Н Находим величину Нарисуйте прямоугольный треугольник. Из вершины прямого угла проведите высоту и медиану. Нас будет интересовать угол х между ними. а) Сначала докажите, что угол между высотой и катетом равен углу между медианой и другим катетом, б) Вычислите х, если острый угол в прямоугольном треугольнике равен 20°. в) Сделав несколько рисунков, попытайтесь указать границы для х. г) Может ли х равняться 45°? д) Может ли X равняться острому углу исходного треугольника? е) Выведите формулу для величины х, когда острый угол исходного треугольника равен (р. ж) Исходя из формулы, полученной в задаче е), решите задачи б) —д). Чему равна сумма всех углов при вершинах пятиконечной звезды? Можете ли вы обобщить задачу? Доказываем В равнобедренном треугольнике АВС АВ=АС, АК — медиана, точка L лежит на стороне АВ, точка М лежит на стороне АС. Пусть AL^AM. а) Докажите, что треугольник KLM равнобедренный, б) Может ли треугольник KLM быть равносторонним? Если да, то постройте такие точки. Дано п прямых. Докажите, что существует прямая, которая пересекает все эти прямые. Исследуем а) Пусть известны все углы треугольника. Как можно вычислить угол между двумя его биссектрисами? Приведите пример такого вычисления. Необходимо ли знать все углы треугольника, чтобы решить эту задачу? 13 б) Пусть один угол в треугольнике равен (р. Чему равен угол между биссектрисами двух других его углов? в) Могут ли две биссектрисы одного и того же треугольника быть взаимно перпендикулярными? Нарисуйте треугольник АВС. Есть ли такие точки /( на ЛВ и Л/ на ВС, что; АК—КМ', б) АК+МС—КМ', в) АК=КМ=МВ? Если есть, то постройте их. Сколько отрезков получится на прямой, если поставить на ней п точек? На какое наибольшее число частей разбивают плоскость: а) три прямые; б) четыре прямые; -в) « прямых? На плоскости проведено некоторое число попарно пересекающихся прямых, причем никакие три не пересекаются в одной точке. Пусть Т — число общих точек этих прямых, О — число образовавшихся отрезков или лучей на этих прямых, Y — число образовавшихся участков плоскости. Проведя на плоскости 3, 4, 5, ... прямых, подсчитайте Т, О, К Попытайтесь найти зависимость между этими числами. Строим Постройте прямоугольный треугольник по: а) катету и медиане, проведенной к гипотенузе; б) катету и высоте, опущенной на гипотенузу; в) высоте и биссектрисе из вершины прямого угла; г) высоте и медиане из вершины прямого угла. Постройте равнобедренный треугольник по: а) основанию и высоте, опушенной на боковую сторону; б) углу при основании и высоте, опущенной на боковую сторону; в) биссектрисе угла при основании и высоте, проведенной из той же вершины. Постройте треугольник по; а) двум сторонам и медиане к третьей стороне; б) двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону; в)углу и высотам, опущенным на стороны этого угла; г) стороне, углу при ней и высоте к ней; д) стороне, медиане к ней и высоте, опущенной на другую сторону; е) стороне, медиане и высоте, проведенным к этой стороне; ж) стороне, медиане и высоте, проведенным к другой стороне; з) стороне, высоте, опущенной на вторую сторону, и биссектрисе угла, противолежащего третьей стороне; и) углу, высоте и медиане, проведенным к одной и той же стороне; к) периметру и двум углам. Через данную внутри угла точку проведите его хорду, которая этой точкой делится пополам. (Хорда фигуры — это отрезок, соединяющий две точки на ее границе.) Применяем геометрию Как, имея в руках только веревку, начертить на земле прямой угол? Предложите как можно больше способов, используя разные инструменты для: а) деления отрезков пополам; б) деления утла пополам; в) проведения перпевдикуляра; г) проведения параллельных прямых. 14 Занимательная геометрия Возьмите пустой спичечный коробок. Сможете ли вы с его помощью нарисовать на бумаге прямоугольный треугольник, катеты которого равны двум его наибольшим размерам (длине и ширине)? Исходя из рисунков 24, а и 24, б, на самом деле неверных, можно доказать, что: а) любой треугольник равнобедренный (например, Д/16С на рис. 24, а); б) прямой угол равен тупому (например, прямой угол А равен тупому углу В на рис. 24, б). Найдите ошибки на этих рисунках. Сможете ли вы из шести одинаковых палочек составить четыре равных треугольника? И Выходим в пространство Нарисуйте на картоне или на плотной бумаге остроугольный треугольник. Вырежьте его. Отметьте середины трех его сторон. Проведите три отрезка, соединяющие отмеченные точки. Если вы согнете эту фигуру по проведенным отрезкам и склеите между собой половины сторон исходного треугольника, то получите тетраэдр. Как вы думаете, из любого ли треугольника подобным образом можно склеить тетраэдр? Укажите равные грани в тетраэдре ABCD, если; а) все его ребра равны; б) DA=BC, DB=AC, DC=AB\ в) ^ADB=AADC^A BDC, DA=DB=DC. Пусть ABCD — правильный тетраэдр, a) Какие надо взять точки на его ребрах, чтобы они оказались вершинами равнобедренного треугольника? А равностороннего? б) Пусть точка N — середина ребра £14, точка М — середина ребра ВС. Нарисуйте отрезок MN. Нарисуйте два треугольника на поверхности тетраэдра, в которых этот отрезок является высотой, в) Пусть точка X движется по ребру AD от Л к D. В каждом ее положении из нее проводится перпендикуляр на ребро ВС. Нарисуйте несколько таких перпендикуляров. Какую фигуру заполняют все такие перпендикуляры? А куда попадет такой перпендикуляр, если точка X выйдет за пределы ребра, находясь на прямой /4D? В тетраэдре ABCD ^ШЛ=90'", ^DBC=90°. Пусть ВА=ВС. а) Докажите, что DA=DC. б) Докажите, что ХА=ХС при любом положении точки X на прямой DB. в) Пусть (вК)±(ЛС). Докажите, что (Д/()±(ЛС). Участвуем в олимпиаде Докажите, что треугольники равны по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. Два равносторонних треугольника АВС и BCD имеют общую сторону ВС. Пусть точка Р лежит внутри стороны АВ, точка Q лежит внутри стороны BD. а) Пусть при этом AP=BQ. Под каким углом виден отрезок PQ из точки с? б) Из точки С отрезок PQ виден под углом 60*^. Под каким углом виден отрезок BQ из точки Я? в) Из точки Р отрезок CQ виден под углом 60®. Под каким углом виден отре.зок СР из точки Q? В треугольнике АВС Z. 5=60°, АК li CL — биссектрисы этого треугольника, пересекающиеся в точке О. Докажите, что OK=OL. ' Треугольник j45C — равносторонний. Внутри угла С, но вне треугольника АВС находится точка М, такая, что /.АМС=20°, АВМС=30°. Чему равен А ACM} В треугольнике АВС АВ=ВС, /-АВС=‘20°. На стороне АВ находится точка D, такая, что BD=AC. Чему равен Z.ACD? Прямые а и Ь параллельны. Точка А лежит на прямой а. Из нее на прямую Ь проведены перпендикуляр АС и наклонная АВ. Из точки В проведен отрезок BD, пересекающий АС в точке К и прямую а в точке D. Пусть KD=2AB. Докажите, что в этом случае ADBC=-^/LABC. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена медиана CD. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная CD, Она пересекает прямую ВС в точке К, а прямую АС в точке L. Точка М — середина KL Докажите, что прямые СМ и АВ перпендикулярны. Три равнобедренных треугольника А/<В (.АК=К&), AKL {АК=Щ и KLC (KL=L£) составили вместе. Если при этом составлении получается треугольник АВСу то угол АСВ в три раза меньше угла АКВ. Докажите это. (Трисекция угла?) Треугольник /15С — равнобедренный. АВ=ВС, ^5=20°, На стороне ВС находится точка D, на стороне АВ находится точка £, причем ZD/4C=60°, С-ЕСА=50°. Чему равен Z.ADE} Глава I Площади многоугольных фигур § 1. Многоугольники и многоугольные фигуры 1.1. Ломаная 9 Ломаной линией, или, короче, ломаной, называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, дру-rofi конец второго служит концом третьего и т. д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Ломаную обозначают (и называют) по последовательным концам ее. отрезков — звеньев. Так, на рисунке 25, а изображена ломаная ABCDEFGH. Концы ломаной могут совпадать. Тогда ломаная называется замкнутой (рис. 25, б). Ломаная может пересекать сама себя, как на рисунке 25, в, коснуться сама себя, как на рисунке 25, е, а также налегать на себя, как на рисунке 25, <3; если таких особенностей у ломаной нет, то она называется простой (рис. 25, а, б). а) б) 17 1.2. Многоугольник Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником (рис. 26). Сама ломаная называется границей этого многоугольника, составляющие ее отрезки — его сторонами, а концы этих отрезков — его вершинами. В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого (рис. 27, а), так и больше развернутого (рис. 27, б).ф У каждого многоугольника есть углы, меньшие 180°. ИДоказательство. Пусть дан многоугольник Л Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его (рис. 28, а). Будем перемеицать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую а, имеющую с многоугольником Р хотя бы одну общую точку (рис. 28, б). От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой а). На прямой а лежит котя бы одна вершина А многоугольника. В ней сходятся две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой а (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой, рис. 28, в). При этой вершине угол меньше развернутого. ■ Ф Число сторон многоугольника равно числу его вершин, т. е. числу его углов. Многоугольник называют по числу его углов: треугольник, четырехугольник, л-угольник (читается «эн-угольник»). Стороны и углы а) б) в) 18 i многоугольника называют его элементами. Многоугольники, как и треугольники, обозначают и называют, перечисляя последовательно его вершины. О точках многоугольника, не лежащих на его границе, говорят, что они лежат внутри многоугольника. Например, точка М на рисунке 29 лежит внутри многоугольника ABCDEFG. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины (например, АС на рис. 29). 1.3. Выпуклые и невыпуклые многоугольники Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону (рис. 30). Определение выпуклого многоугольника можно наглядно истолковать так: выпуклый многоугольник можно вырезать из плоскости, разрезая ее по прямым (как из листа бумаги, разрезая его до краев, рис. 31, а). Тем самым выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника (рис. 31, б). Напомним, что пересечением данных фигур называется фигура, которая содержит все точки, принадлежащие всем этим фигурам, и не содержит никаких других точек (рис. 32). (Короче: пересечение фигур — это фигура, которая состоит из всех их общих точек.) Каждый треугольник является выпуклым многоугольником (рис. 30, б). Но, например, для четырехугольников (рис. 33) это уже не всегда так (рис. 33, б). Многоугольники, которые не являются выпуклыми, так и называются — невыпуклые многоугольники. # В а) б) Рис. 31 19 а) б) Рис. 32 Выпуклые многоугольники обладают многими интересными свойствами. До сих пор находят новые свойства выпуклых многоугольников. Установим несколько простейших свойств выпуклых многоугольников. Свойство 1 у выпуклого многоугольника все углы меньше 180°. Доказательство. Возьмем любой угол А выпуклого многоугольника Р и его сторону а, идущую из вершины А (рис. 34). Пусть I — прямая, содержащая сторону а. Так как многоугольник Р выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой /■ Следовательно, и его угол А лежит по одну сторону от этой прямой. Значит, угол А меньше развернутого угла, т. е. меньше L80°. ■ Свойство 2 Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике. Доказательство. Возьмем любые две точки Л и В выпуклого многоугольника Р (рис. 35). Многоугольник Р является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок АВ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике Р. Ш • Свойство 3 Сумма углов выпуклого л-угольника равна (л-2) 180°. Доказательство. Пусть дан выпуклый л-угольник Р. Возьмем внутри его точку О и соединим ее отрезками с вершинами многоугольника (рис. 36), Отрезки эти «разрежут» многоугольник на треугольники с общей верши1ЮЙ О и противолежащими ей основаниями иа Рис. 35 20 сторонах л-угольника. Число треугольников (по числу сторон) будет п. У каждого сумма углов 180°. Поэтому общая сумма их углов будет «ПВО®. Чтобы получить сумму всех углов л-угольника, из общей суммы углов вычтем 360*^ — сумму всех углов треугольников при вершине О. Стало быть, сумма углов л-угольника равна л-180°-360°=(л-2)180° ■ • Замечание. Подумайте, верен ли этот результат для невыпуклых многоугольников. Если да, то как это доказать? 1.4. Четырехугольник # у четырехугольника четыре угла, четыре вершины, четыре стороны (рис. 37). Стороны четырехугольника, имеющие общие концы, называются смежными, а не имеющие общих концов — противоположными. Вершины, соединенные стороной, называются соседними, а не соединенные стороной — противоположными. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, назовем его средней линией. У каждого четырехугольника две диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные вершины четырехугольника. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются (рис. 37, а), а невыпуклого не пересекаются (рис. 37, 6). Сумма углов любого четырехугольника равна ЗбО’^. 1.5. Многоугольные фигуры. Разбиение многоугольных фигур Многоугольной фигурой называется объединение конечного числа многоугольников (рис. 38). Многоугольная фигура может состоять из многоугольников. а) б) <1 л Рис.38 а) б) в) Рис.39 вовсе не имеющих общих точек (рис. 38, а) или имеющих только отдельные общие точки на границе (рис. 38, б), Будем говорить, что многоугольные фи17ры не перекрываются, если они не имеют общих внутренних точек (на рисунке 38, в фигуры Р и Q перекрываются, а R, S ц Т на рисунке 38, г не перекрываются). Говорят, что многоугольная фигура F составлена (или состоит) из данных многоугольных фигур, если она является их объединением, а сами эти фигуры не перекрываются (рис. 38, г), или что многоугольная фигура F разбита на данные многоугольные фигуры. Например, каждый четырехугольник можно разбить на два треугольника диагональю (рис. 39, о). Выпуклый многоугольник разбивается на треугольники всеми диагоналями, проведенными из одной (любой) его вершины (рис. 39, б). Диагоналями можно разбить на треугольники любой многоугольник (но не обязательно идущими из одной вершины, рис. 39, в). Поскольку каждый многоугольник составляется из треугольников, а каждая многоугольная фигура составляется из многоугольников, то каждую многоугольную фигуру можно составить из треугольников. Верно и обратное; каждая фигура, составленная из треугольников (в том числе и треугольник), будет многоугольной (по определению). Разбивать многоугольники мы будем не только их диагоналями, но и другими отрезками, соединяющими точки их сторон, например треугольник его медианами или биссектрисами. Часто встречается интересное разбиение треугольника его средними линиями — отрезками, соединяющими середины сторон треугольника (рис. 40, а). Покажем, что средние линии пгреуголь- 22 ника разбивают его на четыре равных треугольника. Д;1я этого докажем, что средние линии треугольника параллельны его сторонам и вдвое их меньше. Доказательство. Пусть точки К, L, М — середины сторон АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно. Продолжим отрезок KL за точку L на отрезок LN=KL (рис. 40, б). Тогда AKBL=ANLC {KL=LN, BL=LC и A\=xl2 как вертикальные). Поэтому BK=^CN и АВ=/-4. Следовательно, AK=CN (так как АК=КВ и KB=CN)nAK\\CN(так как Z. S=Z4). Поскольку/4/C=CjV и AKWCN, то KN=AC и KN\\AC (задача 3, б из задач на повторение курса VII класса). Поэтому АЗ=АА, Zl=zC и KL = -jAC. Значит, углы треугольника KBL равны углам треугольника АВС, а стороны его вдвое меньше сторон треугольника АВС. Это же верно и для треугольников АКМ, MCL, KML, так как они равны треугольнику KBL, Ш 1.6. Многогранники. Пирамиды Подобно тому как многоугольником мы назвали часть плоскости, ограниченную простой замкнутой ломаной, так многогранником можно назвать часть пространства, ограниченную конечным числом многоугольников (рис. 41). Многоугольнику можно было бы дать более Рис.41 23 общее определение и задать его как фигуру на плоскости, составленную из треугольников, прилегающих друг к другу по сторонам (рис. 42). Аналогично многогранником можно назвать фигуру в пространстве, составленную из тетраэдров, прилегающих друг к другу по граням (рис. 43). Например, с одной стороны, куб ABCDA^Bfi^D^ — это часть пространства, ограниченная шестью квадратами (рис. 44, а, назовите их), а с другой стороны, этот же куб составлен из пяти тетраэдров (рис. 44, б, назовите их). Тетраэдр является простейшим не только среди любых многогранников, но и среди пирамид (рис. 45). Тетраэдр — это треугольная пирамида. Произвольную пирамиду можно построить так. Возьмем некоторый многоугольник Q (например, пя- 24 а) тиугольник ABCDE) и какую-нибудь точку Р вне плоскости многоугольника Q (рис, 46, а). Соединим отрезками точку Р со всеми вершинами многоугольника Q (рис. 46, б). Если теперь на полученный «каркас» из отрезков «натянуть» треугольники РАВ, РВС, PCD, PDE, PEA, то вместе с многоугольником Q они в пространстве ограничат пирамиду (рис. 46, в). Многоугольник Q называется основанием пирамиды, точка Р — ее вершиной, треугольники РАВ, РВС, PCD, PDE, PEA — боковыми гранями пирамиды, а отрезки РА, РВ, PC, PD, РЕ — боковыми ребрами пирамиды. Мы построили пятиугольную пирамиду PABCDE. Если же в основании пирамиды лежит л-угольник, то пирамиду называют л-угольной. Ясно, что разбиению диагоналями основания пирамиды на треугольники соответствует разбиение самой пирамиды на тетраэдры с общей вершиной — вершиной пирамиды (рис. 47). У тетраэдра любая его грань может быть выбрана как его основание. Тогда остальные три его грани станут Рис. 47 Рис, 48 —---->С 25 боковыми гранями. Если основание тетраэдра — равносторонний треугольник и его боковые ребра равны друг другу, то такой тетраэдр называется правильной треугольной пирамидой (рис. 48, а). Если все грани тетраэдра — равносторонние треугольники (т. е. все его ребра равны друг другу), то такой тетраэдр, как уже было сказано, называют правильным тетраэдром (рис. 48, б). Правильный тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды. Четырехугольная пирамида называется правильной, если ее основание — квадрат и все боковые ребра равны друг другу (рис. 49). Знаменитые египетские пирамиды — правильные четырехугольные пирамиды. # Вопросы 2. 3. 4. 5. 6. 7. В чем различие меж,чу простой ломаной и ломаной, не являющейся простой? Что такое многоугольник? Какие части многоугольника вы знаете? Перечислите свойства выпуклых многоугольников. Чему равна сумма всех углов п-угольника? Что такое многоугольная фи17ра? Какие свойства средней линии вы зиаеге? Задачи к § 1 Дополняем теорию 2,3| Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. Докажите, что хорда треугольника является его средней линией, если она: а) выходит из середины стороны и параллельна другой стороне треугольника; б) параллельна стороне треугольника и равна ее половине. Докажите, что средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, который соединяет точку треугольника на стороне, параллельной средней линии, с противоположной вершиной. 1 Разбираемся в решении Как сделать выпуклый пятиугольник А yA■2A■^A,^A^, в котором Решение. Прежде всего заметим, что такой пятиугольник можно получить как часть квадрата. В самом деле (рис. 50, а), если отрезок KL (где CK—CL) 26 провести близко к С, то KLAB. Значит, при каком-то положении точки К КВ=АВ. Предположим, мы решили задачу и нашли такое положение точки К (рис. 50, б). «Сблизим» равные отрезки KL и АВ. Для этого на BD (а BDllKL — объясните это) отложим ВМ=ВА. Через полученную точку М проведем прямую, параллельную AD. Там, где она пересечет прямую CD, получим искомую точку L. Проведем затем через L прямую, параллельную BD. Там, где она пересечет ВС, получим точку К. Докажем, что ABKLD — нужный нам пятиугольник. В самом деле, AB=AD, KL=BM (?), ВМ=АВ. Значит, искомую тройку равных сторон мы получили. Другие две его стороны ВК и DL также равны (?), Z/C, как и /.KLD, равен 135° (?), а оставшиеся углы прямые. ■ Смотрим lj На каком рисунке изображена ломаная (рис. 51)? Какая из них простая? Т] Чему равен неизвестный угол к на рисунке 52? К К Рис. 50 а) в) г) [> з) Рис.51 27 Рисуем Нарисуйте различные по форме многоугольники, которые могут образоваться из двух треугольников. Какие из них являются выпуклыми многоугольниками (треугольники могут перекрываться)? На листе бумаги отметьте точку. Нарисуйте многоугольник так, чтобы точка была видна; а) из всех вершин многоугольника; б) только из двух его вершин; в) только из одной его вершины. Нарисуйте такие два четырехугольника, которые дают в пересечении; а) два треугольника; б) два четырехугольника; в) пятиугольник; г) шестиугольник. Нарисуйте такой четырехугольник, который можно одной прямой разделить на: а) три треугольника; б) треугольник и пятиугольник. Нарисуйте четырехугольник, в котором: а) каждая диагональ больше любой его стороны; б) кадсаая диагональ меньше любой его стороны; в) умещается отрезок, больший любой диагонали. С Представляем Какие многоугольники по числу сторон можно сложить из: а) двух треугольников; б) трех прямоугольных треугольников? При этом треугольники не перекрываются. Какой по виду многоугольник может получиться в результате объединения двух четырехугольников? Планируем Как сделать выпуклый пятиугольник в котором: а) четыре стороны равны, Z./4,=90°, Z.A2=/LA3=^A^=AA^; б) Z/4,=90°, Z./l2= =АА;^=/.А^=АА^, AiA2=A,A^, в) все стороны равны. г) ^A^=^Aэ=AA^=90°, A^A2=A^A^, Л2Лз=Лз/44=Л5/1,? 28 Как сделать выпуклый четырехугольник ABCD, в котором три стороны АВ, ВС и CD равны и: а) сторона ВС видна из вершин А и D под равными углами; б) AC=BD, AC±BD', в) AC=BD\ г) середина AD равноудалена от fi и С; д) середина ВС равноудалена от Л и D; е) есть точка, равноудаленная от всех вершин; ж) биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке; з) биссектрисы углов б и С пересекаются на AD\ и) диагональ АС делит угол А пополам и перпендикулярна CD, BC=CD; к) прямые АВ и CD перпендикулярны? Рис. 53 Доказываем ДДЩ а) На листе бумаги в клетку отметьте девять точек, как показано на рисунке 53. Проведите ломаную так, чтобы она проходила через все эти точки. Сколько звеньев в нарисованной вами ломаной? Можете ли вы нарисовать ломаную из четырех звеньев, удовлетворяющую условию? б) Нарисуйте аналогичным образом 16 точек. Нарисуйте шестизвенную ломаную, проходящую через них. в) Пусть аналогичным образом расположено ri^ точек. Докажите, что есть ломаная из 2п-2 звеньев, проходящая через них (п>5). Многоугольник М таков, что из некоторой точки О видна вся его граница. Докажите, что из любой точки видна хотя бы одна его сторона. а) Докажите, что в выпуклом пятиугольнике найдется пара соседних углов, которые дают в сумме больше 180°. б) Обобщите утверждение а). Докажите, что выпуклые четырехугольники равны (т. е. имеют соответственно равные стороны и диагонали), если; а) составлены из двух соответственно равных треугольников, причем одинаковым образом; б) у них равны по три стороны и углы между этими сторонами; в) у них равны стороны и по одной диагонали. Исследуем На какое число частей могут разбить плоскость две замкнутые простые ломаные; а) четырехзвенные; б) пятизвекные? Сможете ли вы сделать из гибкой проволоки замкнутую пятизвенную ломаную, имеющую: а) одну точку самопересечения; б) две точки самопересечения; в) три точки самопересечения; г) четыре точки самопересечения; д) пять точек самопересечения? Никакие три вершины замкнутой ломаной не лежат на одной прямой, и никакие три звена не пересекаются в одной точке. Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь такая ломаная, если в ней; а) пять звеньев; б) семь звеньев; в) п звеньев, где п — число нечетное; г) п звеньев и п четно? 29 о некоторой ломаной была выдана такая информация; 1) Она замкнутая, 2) Каждое свое звено она пересекает ровно один раз. 3) У нее шесть звеньев. Есть ли противоречие в этих данных? Если есть, то какое изменение можно внести в исходную информацию так, чтобы избавиться от проти- воречия I 2J 2J Нарисуйте шахматную доску 8x8. Отметьте на ней две соседние клетки. Требуется соединить их ломаной, начало которой находится в одной из данных клеток, а конец — в другой. При этом: 1) Она должна проходить через все клетки доски. 2) Она должна быть простой. 3) Угол между любыми двумя ее соседними звеньями прямой. Возможно ли удовлетворить всем этим усювиям? Подсчитайте число звеньев полученной вами ломаной. Сможете ли вы уменьшить число звеньев такой ломаной? PeujHTe аналогичную задачу, если две взятые вами клетки не будут соседними. Может ли число вершин многоугольника не равняться числу его сторон? а) Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике? б) Нарисуйте пятиугольник с четырьмя острыми углами. в) Нарисуйте шестиугольник с пятью острыми углами. а) В выпуклом «-угольнике провели все диагонали. 1) Сколько получилось диагоналей? 2) Сколько получилось треугольников, все вершины которых находятся в вершинах данного МЕЮГоугольника? б) Сколько шахматных партий должно быть сыграно в турнире с п участниками? Нарисуйте равносторонний треугольник АВС. Отметьте точки X на АВ, Y на ВС, Z на АС. Проведите XKWAC, где К лежит на ВС, YL\\AB, где L лежит на АС, 7,М\ВС, где М лежЕЕт на АВ. YlycxhXKYLZM — шестиугольник. а) Докажите, что все его углы равны, б) При каком выборе точек X, Y, Z все его стороны равны? в) Пусть разность двух каких-либо параллельных его сторон равна 1. Можете ли вы вычислить разность других пар параллельных сторон? Нарисуйте выпуклый шестиугольник. Разбейте его на треугольники не-пересекаюшимнся диагоналями, а) Подсчитайте число полученных треугольников. А какое число получилось у вашего соседа? Какое вы можете сделать предположение? Можете ли вы его обосновать? б) Подсчитайте число диагоналей такого разбиения. Обобщите полученные результаты. Будет ли четырехугольник выпуклым, если; а) два его соседних угла равны; б) два его противоположных угла равны; в) его средние линии равны; 1) еш средние лииеж пересекаются внутри четырехугольника; д) сумма всех его углов равна 360°? ■ИМЯ 4 I Какими свойствами обладает выпуклый четырехугольник ABCD, в котором: а) все стороны равны; 6)AB=CD, AD=BC\ в)АВ=ВС, AD=CD; r)AB=CD, AA=/LD: д) Z.A=AC, AB=Z.D’, e) /LA=^D, ^B=Z.C\ ж) Z.B=/LD, диагональ BD делит пополам диагональ АС? 2,^ I 30 Нарисуйте четырехугольник, а) Постройте круг, внутри которого он умещается. Можете ли вы построить меньший круг, удовлетворяющий условию? А наименьший из всех таких кругов? б) Постройте круг, который умещается в данном четырехугольнике. Можете ли вы построить больший круг, удовлетворяющий условию? А наибольший из всех таких кругов? а) Отметьте любые пять точек. Можно ли выбрать четыре из них такие, которые являются вершинами выпуклого четырехугольника? б) Поставьте на листе бумаги пять точек так, что любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что все пять являются вершинами выпуклого пятиугольника. 1 Строим Постройте четырехугольник по: а) четырем сторонам и одной из диагоналей; б) трем сторонам и двум диагоналям; в) трем сторонам и одной диагонали; г) двум сторонам и двум диагоналям; д) трем сторонам и двум углам между ними; е) четырем сторонам и одному углу между ними; ж) диагонали и четырем углам, которые она образует с его сторонами. Применяем геометрию Путь из А в В через пункт С занимает 1 ч. Можно ли проделать этот путь быстрее, двигаясь с той же скоростью по двум направлениям; па-раллельно АС и параллельно С5? (Все дороги прямые.) ■KlM 4 I в вершинах четырехугольника сделали шарниры. Будет ли такой четырехугольник жесткой фигурой? Сколько различных четырехугольников можно построить по четырем сторонам? Занимательная геометрия Один любознательный муравей заинтересовался геометрией. Он ползет по ломаной, все звенья которой равны, поворачивает только по часовой стрелке и всегда на один и тот же угол. При’каких углах поворота он вернется в исходную точку? «Л» Выходим в пространство 1 I Перед вами рисунок куба (рис. 54). Пусть его ребро равно 1. Простая ломаная идет по его ребрам. Какую наибольшую длину она имеет, будучи: а) незамкнутой; б) замкнутой? Рис. 54 31 Рис. 55 Ломаная соединяет некоторые вершины куба так, как показано на рисунке 55. Нарисуйте, как она видна со стороны каждой из граней куба. По поверхности куба идет некоторая ломаная. Вид ее спереди, слева н сверху дай на рисунке 56. Нарисуйте эту ломаную на изображении куба. 2.31 Одна из граней пирамиды — л-угольник. Сколько у этой пирамиды вершин, ребер и граней? В основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит прямоугольник ABCD. Ее боковые ребра РА, РВ, PC, PD равны, а) Для каждой ее треугольной грани укажите равную ей грань, б) Пусть KL — средняя линия основания. Докажите, что треугольник PKL равнобедренный, в) Пусть от вершин А н D отложены на ребрах АВ и DC равные отрезки AM и DN. Докажите, что треугольник PMN равнобедренный, г) Тот же результат (см. задачу в)) получите, если отре.зок, равный AM, отложить на CD от точки С. В основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD, а ее боковые ребра РА, РВ, PC, PD равны. Такая пирамида называется правильной четырехугольной. Пусть точки К ч L — середины ребер АВ и AD, а точка Q — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Докажите, что: а) боковые грани этой пирамиды равны; б) треугольник РК1. равнобедренный; в) можно найти такую точку N на ребре PC, что треугольник BDN будет равнобедренным; г) PQ — высота в треугольниках РАС и PBD', д) треугольники PAQ, PBQ, PCQ, PDQ равны; е) NQL BD-. ж) BD, где точка X лежит на (PC). В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны. Установите вид треугольников PCD, АРС, BPD, PQC, где Q — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Пусть РАВС — правильная треугольная пирамида, а) Докажите, что грани РАВ, РВС, РСА равны. Что отсюда можно вывести относительно высот в этих гранях, проведенных к сторонам основания (треугольника АВС)? А относительно высот, проведенных к боковым ребрам этих граней? б) Пусть точка N — середина ребра РА. Докажите, что треугольник CNB равнобедренный. Будет ли треугольник CNB равнобедренным при другом выборе точки N внутри этого ребра? в) Пусть точка О — середина ребра РВ. Докажите, что треугольник CNO равнобедренный. 32 спереди слева сверху д) 2 Адиксзилрап «Геометрия. S кл.» е) Рис.56 33 Участвуем в олимпиаде Дан треугольник АВС. Проведены биссектрисы его внешних углов В в той полуплоскости, где лежит точка А. Из точки А проведены nepng^ дикуляры А/( и /4L на эти биссектрисы. KL=\. Чему равен периметр tti! угольника АВС} На сторонах АВ и ВС треугольника АВС как на гипотенузах во выешню|л от него сторону построены равнобедренные треугольники ABL с основание^, АВ и ВМС с основанием ВС. Пусть точка К — середина АС. Докажите что тpcyroльflик KLA\ прямоугольный и равнобедренный. Две точки движутся по сторонам угла чак, что сумма расстояний от них до вершины угла является постоянной. Какова траектория середины от-резка, соединяющего эти точки? Угол В в треугольнике АВС тупой, KL — любая хорда треугольника, где точка К лежит на стороне АВ, а точка L лежит на стороне ВС. Докажите что найдется на этой хорде такая точка, которая ближе к вершине fi’ чем к другим вершинам треугольника. § 2. Площадь многоугольной фигуры 2А. Понятие площади. Равновеликие фигуры • Все знают, что такое площадь комнаты, площадь участка земли... Если участок земли состоит из нескольких участков, то его площадь слагается из их площадей. Также ясно, что у одинаковых участков одна и та же площадь. Это представление о площади кладется в основу определения площади многоугольных фигур. Определение Для многоугольных фигур площадью называется положительная величина с такими свойствами; 1) Если фигура состав,дена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур. 2) Равные треугольники имеют одну и ту же площадь. Площадь фигуры F будем обозначать 5 (F). Фигуры, имеющие одну и туже площадь, называются равновеликими. Простейший пример равнове;]иких фигур дают равные треугольники: они равновелики по свойству 2. И если фигуры составлены из попарно равных треугольников, то они равновелики (рис. 57, а). В частности, квадраты с равными сторонами (равные квадраты) равновелики. Действительно, диагонали раз- 34 б) Рнс. 57 бивают их на равные прямоугольные треугольники (рис. 57, б). 2.2. Измерение площади Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью фигуры, принятой за единицу измерения. В результате сравнения получается некоторое число — численное значение площади данной фигуры. Это число показывает, во сколько раз площадь данной фигуры больше (или меньше) площади фигуры, принятой за единицу измерения площади. За единицу измерения площади принимают площадь подходящего квадрата. Жилую площадь измеряют в квадратных метрах, площадь государства — в квадратных километрах, площадь участка земли — в гектарах или сотках. Тогда пишут, например, 15 м^ нлн 3,5 га. Когда единица измерения площади не указана, будем считать, что выбран некоторый квадрат и длина его стороны принята за единицу. Площадь этого квадрата называют квадратной единицей площади, а его самого — единичным квадратом. В этом случае для площади фигуры F пишем, например, S (F)=25 кв. ед. Запись S(F)=25 является сокращением записи S{F)— =25 кв. ед. Вы должны уметь перейти от одной единицы площади к другой. Покажем на примере, как это делается; 12 га=12-1 га = 12-100 м-100 м= 120000-1 м^= = 120 000 м1 При измерении площадей часто приходится выбирать достаточно мелкие единичные квадраты. О том, как изменяются площади при таком измельчении, говорится в следующей лемме. Леммой называется теорема, имеющая значение не столько сама по себе, сколько для доказательства других теорем. 35 ill Лемма (об отношении плои^адей квадратов) Если сторона одного квадрата в п раз меньше (я — натуральное число) стороны другого квадрата, то площадь его в квадрата. т раз меньше площади второго Доказательство. Пусть сторона квадрата Q в п раз меньше стороны квадрата Р (рис. 58). Тогда квадрат Р можно разбить на квадратов, равных квадрату Q (объясните это подробнее). Следовательно, S (Л)= =я="5((?), т. е. S{Q)=-^. Ш Рис. И Q 2.3. Площадь прямоугольника Вам давно известно, что плои^адь прямоугольника равна произведению его сторон. А именно если Р — прямоугольник со сторонами а и Ь, то его площадь S(P)=ab. (1) Говоря, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон, мы ради краткости допускаем вольность речи. Точнее следовало бы сказать, что плош,адь прямоугольника равна произведению длин его сторон. А еще точнее, что численное значение площади прямоугольника равно произведению численных значений длин его сторон (когда выбран едиличный квадрат). Но и здесь, и во всех последующих теоремах о площадях мы, упрощая формулировки, будем допускать аналогичные сокращения: например, площадь квадрата равна квадрату его стороны, н т, п. К путанице это не приведет, но следует помнить об этом соглашении. Формулу (1) вы вывели еще в начальной школе, когда измеряли площадь прямоугольника Р, длины сторон которого — целые числа а и Ь. Сделали это так. Разбили прямоугольник Р на единичные квадраты (рис. 59, а). Получили Ь рядов, в каждом из которых по а квадратов. Всего аЬ квадратов (единичных). Складывая их площади, получаем формулу (1). • Докажем, что формула (I) справедлива для любых прямоугольников. Могут представиться две возможности. Доказательство. 1) Найдется такое натуральное число п, что обе стороны прямоугольника Р кратны 36 а) а в) г) е. п 1 ' ой * S(/>)=s(-^=44=a6. п п Рис. 59 -^-й части единичного отрезка е, т. е. отрезку (Случай, когда анЬ — целые числа, соответствует значению rt= 1.) 2) Такого натурального числа нет. Рассмотрим первую возможность. Пусть на одной стороне прямоугольника Р отрезок — откладывается ровно S раз, а на другой — ровно / раз. Это значит, S i что а=— и Ь= — . Откладывая последовательно от-п п резок на сторонах прямоугольника Р, разобьем их на S и г; равных частей. Соединив соответствующие точки деления противоположных сторон, разобьем прямоугольник Р на st равных друг другу мелких квадратов (рис. 59, б). Их стороны в п раз меньше стороны единичного квадрата. По лемме о сравнении площадей квадратов площадь квадрата со стороной в раз меньше площади единичного квадрата, т. е. равна Поскольку прямоугольник Р составлен из st таких квадратов, то его площадь Мы доказали формулу (1) для первого случая. 37 -F lii I 0Докажем формулу (1) для второго случая. В этом случае хотя бы одна из сторон прямоугольника Р (а может быть, и обе) измеряется единичным отрезком е или любой его л-й частью Д лишь приближенно. Пусть на сторонах прямоугольника Р отрезок — уложится sat раз, но уже не укладывается s+1 и ^+1 раз (рис. 59, в). Отложим на сторонах прямоугольника Р от одной вершины отрезки и и построим на них прямоугольник Прямоугольник Я содержит прямоугольник и выступает из него на один или два узких прямоугольника шириной меньше Поэтому если п велико, то отрезок мал и разность плош,адей прямоугольников Я и Я, мала. Иначе говоря, площадь прямоугольника Я| отличается от площади прямоугольника Я тем меньше, чем больше п. st Как уже доказано, S(P^)= — . Поскольку п 5(Я)=5(Я,)+5(Я), где R — фигура, которая дополняет Я) до Р, то 5(Я)=-—+5(Я). ' п п ■ (2) S t в равенстве (2) числа — и “ — это приближенные значения длин а ч Ь с точностью до А их произведение — это приближенное значение площади прямоугольника Я с точностьЕО до поправки S(R). Когда число п растет и становится сколь угодно большим, поправка S{R) убывает и становится сколь угодно малой. Таким образом, из равенства (2) следует: площадь прямоугольника приближенно равна произведению приближенных значений длин его сторон. При этом эти приближения могут быть сколь угодно точными. А это и означает, что верна формула (1) для площади прямоугольника. ■ Замечание. Формулу для площади прямоугольника 5=а^> легко получить, когда а ч Ь — натуральные числа. Если же стороны прямоугольника не являются натуральными числами, то ее вывод становится^ как мы 38 только что видели, довольно громоздким. Но можно ее получить иначе. Докажем, что величина аЬ удовлетворяет для любых прямоугольников первому основному свойству площади, разобьем прямоугольник Р со сторонами а и Ь на два прямоугольника Р, и Р2 со сторонами а^, h и а^, Ь соответственно (рис. 59, г). Поскольку а=а,+а2' ™ a^b-^a.2b=(ai+a2) Ь=аЬ. Поскольку второе основное свойство площади касается треугольников, то его для прямоугольников проверять не надо и величина аЬ для прямоугольников удовлетворяет определению площади, т. е. аЬ является площадью прямоугольника. Может возникнуть такой вопрос: только ли величина аЬ удовлетворяет определению площади для прямоугольников? В самом деле, если мы возьмем величину kab, где k — положительное число н k^l, то, повторив проведенное доказательство, снова докажем, что величина kab для прямоугольников также удовлетворяет определению площади. Но тогда оказывается, что у прямоугольника не одна, а много площадей, что, конечно, нелепо. Вопрос решится, если по формуле S—kab вычислить площадь единичного квадрата. Тогда получим, что 1 = Де-1-1, т. е. неравенство k^\ невозможно, и приходим к формуле S—ab. Вообще после выбора единичного квадрата численные значения площади определяются однозначно. И если какая-то величина (в рассматриваемом случае аЬ) удовлетворяет определению площади, то уже никакая другая величина площадью быть не может. К этому (непростому) разговору мы еще раз вернемся в XI классе. 2.4. Понятие объема многогранных фигур. Объем прямоугольного параллелепипеда ® По аналогии с многоугольными фигурами, многогранной фигурой назовем объединение конечного числа тетраэдров (рис. 60). Многогранники являются многогранными фигурами, но многогранная фигура может не быть многогранником в том случае, когда она распадается на несколько многогранников. Объем многогранных фигур определяется аналогично определению площади многоугольных фигур. Определение Для многогранных фигур объемом называется положительная величина с такими свойствами: 39 ir 1) Если фигура составлена из нескольких многогранных фигур, то ее объем равен сумме объемов этих фигур. 2) Равные тетраэдры имеют один и тот же объем. При этом равенство двух тетраэдров можно определить, например, равенством их соответственных ребер (рис. 61). Если выбрана некоторая единица измерения длины, то единичным кубом будем называть куб, длина ребра которого равна единице. Многогранные фигуры, имеющие равные объемы, называются равновеликими. Два единичных куба равновелики, поскольку они составлены из соответственно равных тетраэдров (рис. 62). Измерение объема состоит в сравнении объема данной фигуры с объемом фигуры, принятой за единицу измерения. В результате сравнения получается некоторое число — численное значение объема дайной фигуры. Это число показывает, во сколько раз объем данной фигуры больше (или меньше) объема фигуры, принятой за единицу измерения объема. За единицу измерения объема принимают объем единичного куба. Измерение объема прямоугольного параллелепипеда Р с ребрами длинами а, Ь, с, состоящее в сравнении его с объемом единичного куба, вполне аналогично измерению площади прямоугольника. Сначала рассматривает- 40 Рис. 63 Ч сЯ случай, когда числа а, Ь, с натуральные (рис. 63), далее — когда они дробные, а затем рассматривается случай, когда среди них есть иррациональные числа. В результате приходим к известной формуле V{H)=abc, (3) В частности, когда параллелепипед Р является кубом с ребром а, его объем равен а^. # N S М D Вопросы 1. Что такое площадь многоугольной фигуры? 2. Какие фигуры называются равновели- кими? Приведите примеры равновеликих фигур. -В 3. Что значит измерить площадь? 4. Пусть сторона единичного квадрата увеличилась в два раза. Как изменится при этом численное значение площади фигуры? вопрос в общем случае. Ответьте на него. 5. Измерили площади двух фигур и Зависит ли отношение этих площадей от выбора единичного квадрата? Задачи к § 2 к Рис. 64 Сформулируйте этот Дополняем теорию Пусть /^1 и /^2 — многоугольные фи17ры, G| — многоугольная фигура, являющаяся их объединением, G.2 — многоугольная фигура, являющаяся нх пересечением. Докажите, что S(F^)+S{F2]=S{G^)+S(G2). й Разбираемся в решении Докажите, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Решение. Прежде всего, надо разобраться в условии задачи. Что значит фраза «из всех прямоугольников»? Их же бесконечное множество! Поэтому условие задачи сформулируем иначе: «Имеется квадрат. Рассмотрим прямоугольник с тем же периметром. Докажем, что площадь квадрата больше площади прямоугольника». На рисунке 64 ABCD — квадрат, AKLM — прямоугольник с тем же периметром. Что можно увидеть на этом рисунке? А вот что: S{ABCD)=S+St, S{AKLM)=S+S2. 41 Для сравнения их площадей достаточно сравнить площади S, и Sg. Имеем: S^=m-КВ, S^=DK-DM. Но KN>DN н KB=DM (?). Поэтому 5,>S2, а тогда и 5 (ABCD)>S{AKLM) Эта задача легко переводится на язык алгебры. Пусть прямоугольники i измерения которых (т. е. длину и ширину) мы обозначим а и Ь, имеют' равные периметры. Это значит, что величина а+Ь является одной и той^ же для всех прямоугольников, т. е. постоянной. Площадь таких прямо-! угольников равна а • Ь. Так как согласно решенной задаче наибольшую площадь из всех таких прямоугольников имеет квадрат, то получаем такое предложение на языке алгебры: «Для всех положительных чисел, сумма которых постоянна, наибольшее произведение получается тогда, когда они равны». Кстати, после такого перевода геометрической задачи на язык алгебры мы могли бы решить ее только средствами алгебры (?). Очень полезно для собственного математического развития решать одну и ту же задачу разными методами. <$> Смотрим Пусть ABCD — прямоугольник, точка К — середина CD, точка L — середина ВС, точка М — середина AD, точка N — середина АВ. Какую часть от площади прямоугольника составляют площади таких фигур: а) ABD-, б) АВМ; ъ) ABKD\ г) ABLKD\ д) ABLKM\ е) KLNM\ ж) пересечения ALD и ВМС} Пусть ABCD — квадрат, точки К, L, М, N — середины сторон AD, ВА, СВ, DC соответственно. Какую часть от площади квадрата составляют площади таких фигур: а) АКСМ\ б) объединения АКСМ и BLDN\ в) пересечения АКСМ и BLDN} Докажите, что равновелики фигуры .ABCD и F (рис. 65). Рис. 65 42 Рисуем Дайте геометрическую иллюстраи,ию таким равенствам с положительными числами: а) а (6+с)=а^7+ас; б) а (Ь—с)=аЬ—ас‘ в) {a+b)(c+d)=ac+ad+ +bc+bd; г) (a + b){a-b)=a^—b^; д) (a+b-bcf-a‘^+b‘^+c^+2ab+2bc+2ac; е) а : Ь=с : d. Работаем с формулой Пусть стороны прямоугольника равны rf, и d^. Запишите формулу площади прямоугольника, а) Какие величины составляют формулу? б) Выразите из формулы длину каждой стороны прямоугольника, в) Пусть одна из величин в формуле постоянна. Какой зависимостью связаны межлу собой оставшиеся величины? г) Как изменилась площадь прямоугольника, если одна из его сторон увеличилась в 2 раза, а другая уменьшилась в 3 раза? Обобщите задачу, д) У вас в руках линейка с делениями в 1 см. Вам требуется найти плон1адь длинной и узкой, много уже чем 1 см, полосы. Как вы будете действовать? е) Шагреневая кожа имеет вид прямоугольника и равномерно уменьшается. Через год от нее остался прямоугольник, составляющий от исходного по длине и от исходного по ширине. 11а сколько ее еще хватит? Планируем [~J1 Как одним прямым разрезом разделить площадь прямоугольника пополам? Будет ли при этом делиться пополам его периметр? Как из данного квадрата вырезать квадрат, равновеликий оставшейся части? А как его разделить на две равновеликие части? Как, перекроив в прямоугольник (квадрат), найти плондадн таких фигур: а) треугольника; б) трапеции; в) параллелограмма? (Перекроить фигуру F] в фи1'уру р2 — это значит разрезать F, на такие части, из которых можно составить F^-) □ Находим величину Сторону квадрата увеличивают на одну и ту же величину, а) Докажите, что, чем больше периметр квадрата, тем больше приращение площади, б) На сколько надо увеличить его сторону, чтобы приращение площади равнялось исходной площади? в) Сторона квадрата, равная 1, стала расти со скоростью V. С какой скоростью растет его периметр? А его площадь? Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. 14х длины равны d\ и Найдите его площадь. Изменится ли результат, если четырехугольник не будет выпуклым? 43 б) в) д) 1 Рис. 66 (ЯГОМ ‘Л\ Через вершины квадрата перпендикулярно его диагоналям проведены прямые до их взаимного пересечения. Сравните площадь полученного четырехугольника с площадью квадрата (установите их отношение). Обобщите задачу. Выразите как функцию от х плонтадь закрашенной части квадрата со стороной 1 (рис. 66). •Г Доказываем В треугольнике ЛВС АВ=АС. На сторонах АВ и АС от вершины А отложены равные отрезки АК и AL, Р — точка пересечения С/С и BL. Докажите, что: а) S (ABL)=S {АКСу, б) S {KBP)=S{LPC); в) S {/ 1 1 1 ' 1 L_J Рис. 68 46 Куб разрезали на два равных прямоугольных параллелепипеда (что это значит?), а) Будут ли равны площади поверхностей этих частей? б) Какую часть составляет площадь поверхности одного из полученных параллелепипедов от площади поверхности исходного куба? в) Можно ли куб с ребром 1 см разбить на кубики так, чтобы суммарная плошадь поверхностей этих кубиков была больше чем кв. км? § 3. Площадь треугольника и трапеции Зная, как вычисляется плонгадь прямоугольника, мы в этом параграфе выведем еще формулу площади треугольника. Умея ее вычислять, мы сможем вычислять площади любых многоугольных фигур, разбивая их на треугольники. Начнем с прямоугольного треугольника, а затем рассмотрим общий случай. 3.1. Площадь прямоугольного треугольника 'Лемма а) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Доказательство. Пусть дан прямоугольный треугольник Т с катетами а п Ь (рис. 69, а). Достроим его до прямоугольника Р со сторонами а и Ь, проведя через вершины его острых углов прямые, перпендикулярные катетам (рис. 69, б). Гипотенуза треугольника Т разбивает прямоугольник Р на два равных треугольника: треугольник Т и равный ему треугольник Г, (докажите, что 7=7’,). Поэтому S {P)=^S{T)+S{T^) и S(7)=S(7|). Значит, S(P)=2S(T). Так как S{P}=ab, б) то 5{Т)=-7гаЬ. Рис. 69 3.2. Площадь произвольного треугольника Теорема 1 Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты . Сторону, к которой проводится высота, обычно называют основанием и теорему формулируют кратко: площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты. 47 i Доказательство. Рассмотрим какой-нибудь треугольник АВС. Обозначим его Т. Сторону треугольника Г, противоположную вершине С, обозначим с, а опущенную из вершины С высоту СН обозначим h.^. Докажем, что S{T)=-^ch,. (1) Возможны три случая расположения точки Н на АВ. 1) Точка Н (рис. 70, а) совпадает с одним из кондов основания с, ианрнмер С ТОЧКОЙ у4. В этом случае высота совпадает со стороной С4, так что треугольник Т прямоугольный. Его катеты — отрезки CA=h^ и ВА=с. По лемме п. 3.1 получаем, что 8{Т)=-^ск^, т. е. выполняется равенство (1). 2) Точка Н лежит внутри основания с (рис. 70, б). Тогда высота СИ разбивает треугольник Т на два прямоугольных треугольника Т, и Tg с катетами c^ п w общим катетом h^. Площади треугольников Г, и вычисляются по формулам S(7’i)=yc,Ac и S{T^)=YC6, ес.пи Сформулируйте и докажите обратное утверждение. Сформулируйте оба эти результата как одно утверждение, а) Основания двух треугольников равны. Докажите, что их площади относятся как высоты, проведенные к этим сторонам, б) Высоты двух треугольников равны. Докажите, что их площади относятся как основания, к которым проведены эти высоты. а) Дана равнобокая трапеция. Из вершин ее меньшего основания проведены высоты к большему основанию. Докажите, что эти высоты отсекают от трапеции равные треугольники. б) Докажите, что углы при каждом основании равнобокой трапеции равны. в) Докажите, что диагонали равнобокой трапеции равны. г) Боковые стороны равнобокой трапеции продлили до пересечения. Какие равнобедренные треугольники получились при этом? В трапеции проведена средняя линия через середины ее боковых сторон. Докажите, что она параллельна основаниям и равна их полусумме. I i Разбираемся в решении Х4| Основания равнобокой трапеции равны а и Ь, боковая сторона образует с основанием угол 45°. Чему равна ее площадь? Решение. Запишем формулу площади трапеции; c_AD + BC OD _ б о * DDj 2 a-i-b h (рис. 75, а). ВВ^ — высоту трапеции найдем из треугольника АВВ^, где ЛB^ = ^~{?). Треугольник лев, равнобедренный (?). Поэтому BB^=AB^ = ^-^. Отсюда 5=^-^ 2 2 4 Вот и все. И что же тут интересного? Иногда, глядя на полученный результат, можно придумать другое решение. В числителе полученного ответа стоит разность квадратов: а^—Ь^. Ее можно понимать буквально как разность площадей двух квадратов со сторонами а и Ь. На рисунке 75, б вы можете увидеть и нашу трапецию, и разность квадратов, и само решение. в) Ь 2 а 2 Рис.75 Но эту же площадь трапеции можно записать и так: •5=(у] “(т] - А в этой формуле можно увидеть разность площадей квадратов со сторонами а Ь и . Посмотрите теперь на рисунок 75, в — может быть, найдете еще одно решение? Смотрим По рисунку 76 найдите неизвестную площадь треугольника. Работаем с формулой а) Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом d. Каж- дый его катет увеличили (уменьшили) на величину х. Найдите площадь нового треугольника. Найдите приращение площади. б) Пусть теперь дан прямоугольный равнобедренный треугольник с площадью S. Каждый его катет увеличили в два раза. Чему равно приращение площади.' 51 в) Составьте сами аналогичные задачи о произвольном прямоугольном треугольнике. Какие величины входят в формулу площади треугольника? Выразите из этой формулы удвоенную площадь, основание, высоту. Какой зависимостью связаны между собой две из этих величин при постоянной третьей? а) Запишите формулу площади трапеции. Выразите из нее высоту, среднюю линию, проведенную через середины боковых сторон. б) Можно ли считать формулу площади треугольника частным случаем формулы площади трапеции? в) Можно ли считать формулу площади трапеции обобщением формулы площади прямоугольника? Планируем Нарисуйте круг, а в нем два радиуса с маленьким углом между ними. Придумайте способ приближенного вычисления площади фи1уры, ограниченной радиусами и дугой, которая лежит внутри маленького угла. Как составить трапецию из: а) квадрата и прямоугольного треугольника: 6) двух трапеций; в) двух прямоугольных треугольников; г) равностороннего треугольника и прямоугольного треугольника; д) двух равнобедренных треугольников; е) трех равносторонних треугольников; ж) четырех прямоугольных треугольников; з) прямоугольника и двух прямоугольных треугольников? Как разделить трапецию на две равновеликие части? на три равновеликие части? Обобщите задачу. Нарисуйте трапецию. Вам надо построить такую же. Как вы будете действовать? б) L 52 Находим величину Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника расположены так, что вершина йрямого угла каждого из них находится на гипотенузе другого. В их пересечении получился квадрат со стороной 1. Вычислите площадь их объединения. Рис. 76 для в 3. 3v На стороне АС треугольника АВС взята точка К, а на отрезке ВК — точка L Проведены отрезки LA и LC. Сравните площади образовавшихся треугольников, если: а) К — середина АС, BL ■1К=2 ■ 1; 6) АК- КС=2 ■ 1, L — середина ВК\ в) АК ■ KC=BL ■ LK=2 ■ 1. Решите задачу в общем виде, а) В прямоугольном треугольнике с углом 30° через середину гипотенузы провели прямую, ей перпендикулярную. Какую часть площади треугольника составляет плондадь меньшей полученной части? б) Составьте задачу, обратную задаче а), а) На сторонах ВС и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки К п L. Вычислите S{BKDL)-S(ABCD), если Л" и Z. — середины, б) Обобщите задачу а). Доказываем LD Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1. Докажите, что его пло- 1 щадь не превосходит ^, а высота, опущенная на гипотенузу, не превос- 1 ходит ■ Когда достигаются равенства? Докажите, что в равных треугольниках равны соответственные высоты.’ Две стороны треугольника равны д/, и с/^- Каково наибольшее значение его площади? Внутри квадрата находится треугольник. Докажите, что его площд'дь не больше половины площади квадрата. а) Стороны выпуклого четырехугольника разделены пополам. Середины его сторон являются вершинами другого четырехугольника. Докажите, что его площадь составляет половину площади данного четырехугольника. б) Пусть теперь на каждой стороне выпуклого четырехугольника взяты точки, которые делят стороны в одном отношении (по обходу границы — в одном направлении). Докажите, что площадь четырехугольника с вершинами в этих точках не меньше половины площади данного четырехугольника. в) Вернитесь к условию пункта а). Проведите две средние линии данного четырехугольника. Они разобьют данный четырехугольник на четыре части. Пусть площади трех из них известны. Можете ли вы найти плоншдь четвертой части? Докажите, что середины диагоналей трапеции лежат па средней линии, проведенной через середины ее боковых сторон. 3,4| Докажите, что в равнобокой трапеции; а) средние линии перпендикулярны; б) равны биссектрисы углов при одном основании. Какие еще свойства равнобокой трапеции вы можете обнаружить? а) Докажите, что трапеция является равнобокой, если: 1) углы при одном ее основании равны; 2) диагонали трапеции делят пополам углы при одном из ее оснований. б) Какие признаки равнобокой трапеции вы можете обнаружить сами? Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны, а ) Докажите, что средняя линия этой трапеции равна ее высоте, б) Докажите н обратное. 53 'I 11 ,3i4| a) Одна из средних линий Bbmyicioro четырехугольника делит его площадь пополам. Докажите, что две его стороны параллельны. б) Обобщите задачу а). в) Верно ли утверждение, обратное б)? Исследуем 1 I Гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника увеличили в два раза. Во сколько раз увеличилась его площадь? Сможете ли вы ответить ———— *13 вопрос, если треугольник ие будет равнобедренным? ^11^ ^ I Будет ли площадь одного из данных треугольников больше площади другого, если: а) периметр одного пз них больше, чем периметр другого; б) каждая сторона одного больше соответственной стороны другого; в) каждая сторона одного больше любой стороны другого? а) Нарисуйте равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Отметьте точку А на основании, проведите из нее перпендикуляры к боковым сторонам. Докажите, что сумма этих перпендикуляров не зависит от выбора точки X. б) Будет ли верно утверждение а), если хотя бы один перпендикуляр попадет на продолжение стороны? в) Будет ли верно утвер>кдение а), если точку X взять внутри данного треугольника, а перпендикуляры проводить ко всем его сторонам? г) Будет ли верно утверждение а), если исходным будет равносторонний треугольник и точка X будет взята внутри его? д) Можно ли обобнщть результат задачи г)? Дан треугольник АВС. Какую линию образуют в этом треугольнике такие точки X, что площади треугольников ХАС н ХВС равны? В трапеции ABCD стороны АВ и CD перпендикулярны. Можно ли, зная основания трапеции, найти среднюю линию оснований? Рассуждаем Может ли треугольник со сторонами больше километра иметь площадь, меныную 1 мм^? Л Выходим в пространство В прави.пьнон четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны d. Чему равна площадь треугольника РАС? Участвуем в олимпиаде ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС. Точка К— середина стороны CD. Какую часть составляет площадь треугольника АВК от площади всей трапеции? 54 § 4. Параллелограмм и его площадь 4.1. Определение и свойства параллелограмма # Параллелограммом называется четырехугольник, у которого две пары параллельных сторон (рис. 77, а). Параллелограмм можно получить пересечением двух полос между параллельными прямыми (рис, 77, б). Теорема 3 (о свойствах параллелограмма) 1) Противоположные стороны параллелограмма равны. 2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. б) Доказательство. 1) Пусть ЛВСО — параллелограмм (рис. 78, а). Проведем его диагональ АС. Так как отрезки АВ и CD параллельны, то накрест лежащие углы Z1 и Z.2 равны. Аналогично так какBC\\AD, то Z3 = Z_4. У треугольников АВС и ACD сторона общая, а углы, прилегающие к этой стороне, соответственно равны. Следовательно, AABC=ACDA (по второму признаку равенства треугольников). А тогда AB=CD и BC-DA. Первое свойство доказано. 2) Проведем и вторую диагональ (рис. 78, б). О — точка пересечения диагоналей АС и BD. Треугольники АВО и CDO равны, так как AB=CD, Z1=Z2 и Z5 = Z6. Поэтому ЛО=СО и BO=DO. ■ Рис. 77 Теорема 4 4.2. Признаки параллелограмма Четырехугольник является параллелограммом, ес- ли; 1) он имеет две пары равных противоположных сторон; 2) его диагонали, пересекаясь, делятся пополам; 3) две его противоположные стороны равны и параллельны. Доказательство. 1) Пусть в четырехугольнике ABCD противоположные стороны равны; AB=CD и AD=BC (рис. 79, а). Пусть диагональ АС четырехугольника ABCD разбивает его на два треугольника. Треугольники АВС и CDA равны, так как AB—CD, BC=AD н сторона АС общая. Следовательно, соответственные углы этих треугольников равны. Поэтому Z3=Z4. Из равенства этих накрест лежащих углов, образованных прямыми ВС и AD и секущей Л С, вытекает, что прямые ВС и AD параллельны. Аналогично из равенства углов 1 и 2 вытекает параллельность АВ и CD. Итак, ABCD — параллелограмм. 2) Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся ею пополам: АО=СО и BO=DO (рис. 79, б). Так как вертикальные углы равны, то АЛОО= АСОВ (по первому признаку равенства треугольников). Следовательно, AD=BC. Аналогично AB—CD. По первому признаку четырехугольник ABCD — параллелограмм. 3) Пусть в четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны: AB=CD и AB\\CD (рис. 79, в). Проведем диагональ АС и рассмотрим треугольники АВС и CDA. Они равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, стороны ВС и AD равны и ABCD — параллелограмм (по первому признаку). ■ Замечание. Обратите внимание, что первое свойство параллелограмма и первый признак параллелограмма (а также второе свойство и второй признак параллелограмма) выражаются взаимно обратными утверждениями. а) Рис. 79 4.3. Площадь параллелограмма Высотой параллелограмма называют общий перпендикуляр его противоположных сторон (или содержащих их прямых, рис. 80). Высотой называется также длина этого перпендикуляра. У параллелограмма две пары противоположных параллельных сторон и соответственно две высоты. Теорема 5 Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты. Доказательство. Проведем диагональ параллелограмма (рис. 81). Она разбивает его на два треугольника с равными основаниями а и равными высотами Л. Площади этих треугольников равны Площадь S па- раллелограмма равна сумме площадей этих треугольников. Значит, 5=-уа/г-1--^аЛ=а/г, 56 I 4.4. Частные виды параллелограмма Прямоугольник можно определить как четырехугольник, все углы которого равны. Действительно, сумма всех углов четырехугольника равна 360°. И если все углы четырехугольника равны, то каждый из них равен ЭО". Следовательно, такой четырехугольник является прямоугольником (рис. 82, а). Прямоугольник, конечно, являйтгя параллелограммом: его противоположные стороны параллельны как перпендикуляры к одной прямой. Докажем важное свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны. Доказательство. Проведем в прямоугольнике ABCD диагонали АС и BD (рис. 82, б). Прямоугольные треугольники BAD и CDA равны (по двум катетам). Поэтому равны и их гипотенузы: AC=BD. Ш Верно и обратное утверждение. Признак прямоугольника: Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником. Доказательство. Пусть в параллелограмме ABCD диагонали равны: AC=BD. Тогда /\ACD=/\DBA. Следовательно, Z.D=/.A. Аналогично доказывается, что Z.A=l.B и Z.B=/-C. Поэтому ^1A=/LB=AC=^A.D= =90°. Итак, ABCD — прямоугольник. ■ Дока-занный признак дает практический способ проверки того, является ли реальный четырехугольник (например, крышка стола) прямоугольником. В таком четырехугольнике бечевкой достаточно установить равенство двух пар противоположных сторон и равенство диагоналей. Ромбом называется четырехугольник, все стороны которого равны (рис. 83, а). Ромб является параллелограммом (по первому признаку параллелограмма). Свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба (рис. 83, б). Доказательство. Пусть диагонали АС и BD ромба ABCD пересекаются в точке О. Так как АО=ОС, то ВО — медиана равнобедренного треугольника АВС. Поэтому ВО — биссектриса и высота этого треугольника. Следовательно, /.АВО~/ССВО и ВО±АС. Ш а) а) б) D Рис.83 57 т Докажите самостоятельно следующие два признака ромба: 1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом. 2) Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом. Квадрат. Как вы знаете, у квадрата все углы прямые и все стороны равны. Поэтому квадрат является прямоугольником и ромбом одновременно (рис. 84). Следовательно, его диагонали равны (как диагонали прямоугольника) и взаимно перпендикулярны (как диагонали ромба). 4.5. Характерные свойства фигур и определения о параллелограмме мы доказали два взаимно обратных утверждения: 1) Противоположные стороны параллелограмма равны. 2) Четырехугольник, противоположные стороны которого равны, является параллелограммом. Первое из этих утверждений выражает свойство параллелограмма. Второе же является его признаком. О свойстве фигуры, которое одновременно является и s ее признаком, говорят как о характерном (или характеристическом) свойстве фигуры. Таким образом, равенство противоположных сторон четырехугольника — характерное свойство параллелограмма. Точно так же равенство углов (или диагоналей) параллелограмма — это характерное свойство прямоугольника, а перпендикулярность диагоналей параллелограмма — характерное свойство ромба. В определении какой-либо фигуры всегда указывают ее характерное свойство. Но одна и та же фи17ра может иметь несколько характерных свойств. Поэтому воз- 5) можны различные определения одной и той же фигуры. Например, возможны такие определения прямоугольника; 1) Прямоугольником ня.зывается четырехугольник, все углы которого прямые. 2) Прямоугольником называется четырехугольник, все углы которого равны. 3) Прямоугольником называется параллелограмм, диагонали которого равны. 34 58 □ г □ с: Все эти определения задают одну и ту же фигуру. В этом случае говорят о равносильности нескольких возможных определений. 4.6. Параллелепипед. Призмы Вы уже знакомы с одним многогранником, все грани которого — параллелограммы, а точнее, параллелограммы частного вида — прямоугольники: это пря-моугольный параллелепипед (рис. 85. а). Л вообще параллелепипедом называют многогранник, у которого шесть граней и все они — параллелограммы (рис. 85, б). Из этого определения и свойств параллелограмма вытекает, что двенадцать ребер параллелепипеда распадаются на три группы ребер по четыре равных друг другу и взаимно параллельных между собой ребра в каждой из трех групп (рис. 86). Два параллельных друг другу ребра параллелепипеда, не лежащие в одной его грани, являются противоположными сторонами диагонального сечения параллелепипеда, которое также представляет собой параллелограмм (рис. 87, а). Диагональное сечение параллелепипеда рассекает его на две треугольные призмы (рис. 87, б). Из треугольных призм можно составить более сложные призмы (подобно тому как из треугольников составляют многоугольники, рис. 88). Вообще /i-угольной призмой называется многогранник, имеющий п+2 грани, из которых две грани, на.зываемые основаниями призмы, представляют собой «-угольники с соответственно равными и параллельными сторонами, а остальные п граней — параллелограммы. Эти грани называют боковыми гранями призмы, а их стороны, не лежащие в основаниях призмы, — боковыми ребрами призмы. Все боковые ребра призмы равны и параллельны друг другу. Ясно, что параллелепипед — особый случай четырехугольной призмы; любая пара его противоположных граней может считаться ее основаниями. Ф Вопросы 1. Какие вы знаете свойства параллелограмма, признаки параллелограмма, характерные свойства параллелограмма? Какие вы можете дать определения параллелограмму? Рис. 85 60 2. Ответьте на те же вопросы, что в № 1, для прямоугольника. 3. Ответьте на те же вопросы, что в № 1, для ромба. 4. Ответьте на те же вопросы, что в № 1, для квадрата. 5. Можно ли вычислить площадь параллелограмма по формуле площади трапеции? 6. По какой одной и той же формуле можно вычислять площади треугольника, трапеции и параллелограмма? 7. Можете ли вы предложить другой вывод формулы площади параллелограмма? Рис. 88 Задачи к § 4 ^ Дополняем теорию Докажите такие свойства параллелограмма: а) сумма соседних углов равна 180°; б) противоположные углы равны. Пусть а н h — стороны параллелограмма, h^v\ hf, — высоты, проведенные к ним. Докажите, что ah^=bh^. а) Выразите из этой формулы каждую из величин, б) Запишите эту формулу в виде пропорции, в) Какие следствия можно вывести из пропорции, полученной в задаче б)? & Разбираемся в решении Восстановите параллелограмм, если на рисунке сохранились три его вершины. Решение. Задачу можно понимать так. На доске был нарисован параллелограмм ABCD. Вершину С и все его стороны стерли. Остались три точки А, В, D. Требуется восстановить исходный рисунок, пользуясь любыми средствами — не только циркулем и линейкой. Решение ясно. Сначала проводим отрезки АВ и AD. Затем можно действовать по-разному. Проще всего провести окружности с центрами в точках В » D радиусами AD и АВ соответственно. Точка С находится там, где они еще раз пересекутся. Затем проводим отрезки ВС и CD. Мы решили задачу в предположении, что нарисованный параллелограмм был как-то назван и неизвестным было положение именно вершины С. Но ведь такое понимание задачи вовсе не является обязательным, Параллелограмм мог быть н не назван. Что же мы тогда знаем? Был рисунок параллелограмма, и остались от него только три его вершины. Как же peujaTb задачу теперь? Наверное, вы придумали ответ. Будьте внимательны — сколько у вас получилось возможных положений для четвертой вершины параллелограмма? Должно получиться три. Но тогда невозможно однозначно ответить ») на вопрос о положении четвертой вершины, а значит, невозможно восстановить исходный рисунок. И разумеется, возникают новые вопросы. Например, по каким трем своим точкам параллелограмм восстанавливается однозначно? А если нельзя восстановить параллелограмм, то, может быть, можно восстановить по трем точкам какой-нибудь частный вид параллелограмма? Затем можно пофантазировать и сочинить задачу вроде такой; «Пираты зарыли клад на необитаемом острове...» А дальше сами. <ж> Смотрим Какую часть составляет площадь 5 от площади параллелограмма ABCD на рисунке 89? Найдите неизвестную площадь по рисунку 90 {ABCD — параллелограмм). Работаем с формулой Пусть одна из сторон параллелограмма равна а, высота, проведенная к ней, равна h. Запишите формулу площади параллелограмма, а) Какие величины входят в эту формулу? б) Выразите из этой формулы каждую из величин, в) Пусть одна из величин в этой формуле постоянна. Как связаны межау собой остальные величины? Запишите формулу, выражающую площадь ромба через длины его диагоналей. а) Выразите из этой формулы длину диагонали, б) Пусть одна из величин в этой формуле постоянна. Какой зависимостью связаны между собой остальные величины? г) в .11 у вас в руках шарнирный параллелограмм. Как с его помощью: а) разделить данный отрезок пополам; б) разделить данный угол пополам; в) построить перпендикуляр к данной прямой? Как разрезать прямоугольник на: а) четыре равных треугольника; б) шесть равных треугольников; в) четыре равных прямоугольника; г) пять равных прямоугольников; д) три равнобедренных треугольника; е) четыре равнобедренных треугольника; ж) равносторонние треугольники? Е Находим величину fllUyil Дан параллелограмм ABCD. а) Биссектриса угла А делит сторону, которую она пересекает, на отрезки длиной 1 и 2. Вычислите периметр параллелограмма. б) Пусть ЛД=1, а биссектрисы углов А w D делят сторону ВС на три равные части. Вычислите периметр параллелограмма, в) Пусть биссектрисы углов А и D пересеклись на стороне ВС. Какими свойствами обладает такой параллелограмм? г) Биссектрисы углов А н D могут и не пересекать сторону ВС. Для этого случая составьте задачу, аналогичную задаче б). Нарисуйте выпуклый четырехугольник и его диагонали. Через его вершины параллельно его диагоналям проведите прямые. Проведенные прямые ограничат другой четырехугольник. Сравните площади исходного и полученного четырехугольников. а) Выразите площадь квадрата через его диагональ. б) Пусть диагональ квадрата увеличилась в 2 раза. Как изменилась его площадь? в) Нарисуйте квадрат. На его диагонали возьмите точку. Проведите из нее перпендикуляры к двум соседним сторонам. Где взять такую точку, чтобы площадь полученного квадрата была в 2 раза меньше площади исходного квадрата? Доказываем Докажите, что в параллелограмме биссектрисы соседних углов перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой. Дан параллелограмм ABCD, точка О — его центр (точка пересечения его диагоналей). Докажите, что: а) центр делит пополам любую хорду параллелограмма; б) площади треугольников ЛОБ, ВОС, COD, DOA равны. Есть ли в параллелограмме еще такая же точка? Дан параллелограмм ABCD. а) Пусть точки М и N — середины сторон ВС и AD. Докажите, что MN\\AB, MN^AB. б) На сторонах AD и ВС отложили равные отрезки AN и ВМ, а на сторонах АВ и CD — равные отрезки АК и DL, затем провели KL и MN. Сколько параллелограммов 62 на этом рисунке? в) Е4а сторонах ВС и AD отложили равные отрезки ВК и DL. Докажите, что AKWCL и DKWBL. На отрезке AD построили два параллелограмма: ABCD и AEFD. Докажите, что четырехугольник BCFE тоже параллелограмм, ес.пи прямые ВС и EF ие совпадают. В выпуклом четырехугольнике проведены обе средние линии, две диагонали и отрезок, соединяющий середины диагоналей. Докажите, что средние линии и этот отрезок имеют общую точку. Докажите такие свойства прямоугольника: а) его центр равноудален от его вершин; б) хорда прямоугольника, перпендикулярная его стороне, делит его на два прямоугольника; в) хорды прямоугольника, перпендикулярные его соседним сторонам, перпендикулярны между собой. Докажите такие признаки прямоугольника: а) если в параллелограмме есть прямой угол, то он прямоугольник; б) если в параллелограмме диагонали равны, то он прямоугольник; в) если два равных отрезка пересекаются в их общей середине, то их концы являются вершинами прямоугольника. Докажите такие свойства ромба: а) диагонали делят его на четыре равных треугольника; б) высоты, проведенные из одной его вершины, равны; в) хорды, параллельные его сторонам, равны между собой. Найдите сами другие свойства ромба. Дан ромб с острым углом 60°. Докажите, что его площадь составляет площади равностороннего треугольника, сторона которого равна боль- Н1ей диагонали ромба. Как изменится результат, если угол ромба будет отличен от 60°? Как изменится результат, если вместо ромба взять па- раллелограмм.’' I.vj Исследуем Какие из свойств параллелограмма являются его признаками? Отрезок данной д/1ины движется по плоскости так, что один его конец, находится на данной прямой, а сам он составляет с Aaiifioft прямой один и тот же угол. По какой траектории движется другой его конец? Можно ли восстановить прямоугольник, если на рисунке остались такие его Элементы; а) сторона и точка на противоположной стороне; 6) диагональ и точка на другой диагонали; в) точка пересечения диагоналей и две точки на противоположных сторонах? Какие из свойств ромба, указанные в задаче 4.20, являются его признаками? Найдите сами другие признаки ромба. Строим Восстановите параллелограмм, если на рисунке остались такие его элементы; а) сторона и точка пересечения диагоналей; б) середины трех сторон; в) вершина н середины двух сторон. Постройте параллелограмм по: а) сторонам и диагонали; б) сторонам и углу; в) двум диагоналям и углу между ними. 63 ' il l к Выберите сами элементы параллелограмма как данные и постройте па, раллолограмм по этим элементам. Всегда ли это вам удается? Постройте ромб: а) по стороне; б) по диагоналям; в) по одной из диагонале^^ и углу; г) с вершинами на сторонах данного равнобедренного треугольника- д) с вершинами на сторонах данного прямоугольника. Восстановите квадрат, если на рисунке остались такие его элементы; I а) диагональ; б) середины двух сторон; в) центр и две точки на его сторонах! ДМИ 4 I Постройте квадрат, вершины которого лежат на сторонах данного: а) прямоугольного равнобедренного треугольника; б) ромба; в) квадрата. 64 Рассуждаем 3 1 Запишите формулу площади трапеции. При каких условиях из этой формулы можно получить формулу площади параллелограмма? Выходим в пространство В кубе шесть граней, и все они квадраты. Обозначим куб ABCDA^B^C^D^. а) Докажите, что треугольник 5С,Д правильный и тетраэдр A^BC^D правильный. 6) Сколько треугольников, равных треугольнику BC^D, лежит на поверхности куба? в) Какие вершины куба равноудалены от центра грани ЛВСО? г) Пусть точка X движется по прямой СС,. Из нее проводятся перпендикуляры на BD Какую фигуру заполнят все эти перпендикуляры? д) Пусть ребро куба равно а. Чему равна площадь его поверхности? е) Куб разрезали на восемь равных кубов. Чему равна площадь поверхности каждого из них? А всех восьми? Какой вывод можно сделать из этой задачи? Дана правильная четырехугольная пирамида. Назовем ее PABCD, где ABC2D — исходный квадрат. Пусть точка Q — его центр. Докажите, что: а) треугольник РАС равнобедренный; укажите равный ему треугольник на поверхности пирамиды; б) PQ±AC, PQLBD-, в) PQ перпендикулярен любой хорде квадрата, проходящей через Q; г) треугольник BXD, где точка X лежит на PC, равнобедренный; нарисуйте его высоту. Участвуем в олимпиаде На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены квадраты ABFD и BKLC во внешнюю от треугольника сторону. Докажите, что FX=2BM, где М — середина АС. На сторонах АВ и DC треугольника АВС построены вне его квадраты BCKL и B.AED. Из вершины В проведена высота ВН треугольника АВС. Докажите, что прямая ВН делит пополам отрезок DL. ABCD — параллелограмм. На его сторонах ВС и CD построены во внешнюю от него сторону равносторонние треугольники ВСМ и CDN. Докажите, что треугольник АМН равносторонний. ABCD — прямоугольник, точка К. — середина ВС, точка L — середина CD. Из точки А отрезок ЛХ виден под углом а. Можно ли найти угол, под которым из точки М пересечения отрезков KD и BL ввден отрезок BD? В треугольнике ЛбС ЛВ=бС, zL4SC=20°. На стороне АВ находится точка D, такая, что BD=AC. Чему равен /LACD? В прямоугольнике ABCD АО=ЪАВ. На стороне AD взяты точки К н L так,^ что AK=KL=LD. Чему равна сумма углов ALB и ADB} ABCD — квадргт со стороной 1. Точка К—середина ВС, точка М — середина АВ. Отрезки СМ и DK пересекаются в точке Р. Вычислите АР. В квадрате ABCD находится точка К, такая, что Z KAD^Z. KDA = \5°. Докажите, что треугольник ВКС равносторонний. На сторонах АВ и АС равностороннего треугольника АВС берутся точки К я L, такие, что AK=CL. Пусть точка М — середина KL. Докажите, что BL=2AM. В выпуклом четырехугольнике ABCD Z/4=ZC. а диагональ ЛС делит диагональ BD пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм. ABCD — параллелограмм, точка К — середина AD, точка L — середина ВС. Докажите, что отрезки ВК и DL делят диагональ ЛС на три равные части, Задачи к главе I Смотрим Каким по виду является четырехугольник ABCD на рисунке 91? Вычислите неизвестную шющадь по рисунку 92. а) б) в) □—^ : — —Ht—Qj ^; Рис. 3 Ал^ксаитрш! «Геометрия. 8 65 \ / -S \ / ® \ ^ 1 ь II Рис. 92 Планируем Предложите как можно больше способов деления пополам площади произвольного четырехугольника. Как разметить квадрат со стороной 2 м (рис. 9.3), чтобы площадь буквы равнялась I м^? Как разделить пополам площадь произвольного четырехугольника одной его хордой, выходящей из; а) его вершины; б) внутренней точки его стороны? □ Находим величину Из квадрата со стороной -1 вырезается фигура площадью S. Выразите зависимость 5 от лг (рис. 94). а) Каждую сторону равностороннего треугольника АВС продолжили на расстояние, равное стороне треугольника: АВ за точку В, ВС за точку С. СА за точку А. Полученные точки являются верщинами треугольника, который назовем B^C^A^. Во сколько раз площадь треугольника B^C^A^ больше площади треугольника ЛбС? б) Обобщите задачу а). Исследуем Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Исследуйте вид полученного параллелограмма в зависимости от вида исходного четырехугольника. 66 ! Q г* На сторонах параллелограмма во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Вершинами какого четырехугольника являются те их вершины, которые не лежат на сторонах параллелограмма? Иссле- Рис. 94 67 I I 1-1 ■м дуйте вид полученного четырехугольника в зависимости от вида параллелограмма. Диагональ выпуклого четырехугольника делит его площадь пополам (точнее, на равновеликие треугольники). Какими свойствами обладает такой четырехугольник? Средние линии выпуклого четырехугольника делят его на четыре равновеликие части. Установите вид исходного четырехугольника. На сторонах ВС и AD прямоугольника ABCD взяты точки K^\L. Нарисованы два треугольника: AKD и BLC, Стороны АК и BL пересекаются в точке М, стороны CL и DK пересекаются в точке N. Пусть известны площади треугольников АВМ и CDN. Сможете ли вы найти площадь четырехугольника MKNL7 Применяем геометрию Из какого многоугольника делается конверт? Занимательная геометрия Пираты зарыли на острове сокровища. Для этого они выбрали два громадных камня /4 и 5 и дерево С. После этого они отметили на земле точки К и L, такие, что АК=АС, Z.C/t/C=90®, BL = BC, ALBC=90°, затем нашли середину М отрезка KL, в которой и зарыли клад. Попав на остров через много лет, один из них увидел, что камни на месте, а вот дерева уже нет. Геометрии он не знал, а потому уехал ни с чем. А если бы он знал геометрию? (Ориентация углов — по часовой стрелке.) Участвуем в олимпиаде В квадрате ABCD отмечены середины сторон: L — середина ВС, К — середина АВ, М — середина CD, N — середина DA. Проведены отрезки AL, ВМ, CN, DK. Какую часть от площади квадрата составляет площадь четырехугольника, ограниченного всеми этими четырьмя отрезками? В выпуклом четырехугольнике ABCD точки /С и Г делят сторону CD на три равные части, точки М и А делят сторону .АВ на три равные части. Докажите, что площадь четырехугольника KLMN составляет треть от площади исходного четырехугольника. Внутри выпуклого ft-угольника поставили k точек. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники, вершинами которых являются все вершины многоугольника и все к точек. Сколько получится треугольников? На стороне треугольника дана точка. Через нее надо провести хорду треугольника, которая делит его на две разновеликие части. Как это сделать? I Глава II Метрические соотношения в треугольнике Продолжим изучение треугольников. Основная цель этой главы — выразить одни элементы треугольника (стороны и углы) через другие его элементы. Пока мы умеем решать лишь одну такую задачу: зная два угла треугольника, мы можем вычислить его третий угол. Но как, например, зная длины двух сторон треугольника и угол между ними, вычислить длину третьей стороны? Такие задачи часто встречаются в практике, например при измерениях на местности. § 5. Теорема Пифагора 5.1. Формулировка и история теоремы Пифагора • Начнем с прямоугольных треуголышков. Для них выполняется знаменитая теорема Пифагора. Она на^ звана так в честь древнегреческого мыслителя, с которым связывают ее открытие. Теорема 6 {теорема Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Итак, если Т—прямоугольный треугольник с катетами а, Ь и гипотенузой с (рис. 95, а), то теорема Пифагора утверждает, что с^=^аЧь\ (1) Заметим, что а®, 6^, — это численные значения площадей квадратов со сторонами о, Ь, с. Поэтому равенство означает, что площадь квадра- та, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 95, б). б) ь п а У Рис. 95 69 Пифагор, именем которого названа эта теорема, жил в VI в. до н. э. (ок. 570 — ок. 500 гг. до и. э.). Тогда математика только складывалась у греков в теоретическую науку и Пифагор оказал на нее большое влияние. Однако он не открыл теорему, носящук> его имя. Она была известна еще раньше в Древнем Египте и Вавилоне, но, возможно, только как факт, выведенный из измерений. Надо думать, Пифагор знал это, но нашел доказательство. И вот факт, взятый из отдельных измерений, выспуиил как необходимый закон, потому чго если уж доказано, то значит «оно не может быть иначе». Теорема относилась тогда к площадям квадратов, а не к численным значениям длин. Само название второй степени числа — «й квадрат» или «а в квадрате» — происходит от геометрического понятия «квадрат со стороной а». Сначала была геометрия, алгебра появилась позже. Пифагор 5.2. Доказательство теоремы Пифагора Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами а, Ь н гипотенузой с (см. рис. 95, а). Докажем, что c~=a^+f)^. Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. 96). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, Ь так, чтобы отрезки ЛВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Г,. ?'i с катетами а п Ь. Четырехугольник обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со стороной с. Все треугольники Г,, Т^, 7’з, T,^ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что этот ромб — квадрат. Пусть аир — величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a-fp=90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными а н Э, составляет развернутый угол. Поэтому а.-1-p-f-у= 180®. И так как а+р=90°, то “у=90°. Следовательно, ромб Р— квадрат со стороной с, Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется следующее равенство: S{Q)=S(P)+4S(r). (2) Так как S(Q)={a + bf, 5{Р)=(^ и 5(7')= а В Ь 70 одставляя эти выражения в (2), получаем равенство (a+bf=c^+4'-^ab. (3) Поскольку (a+b)-=a^+b~+2ab, то равенство (3) [ожно записать так: аЧьЧ2аЬ=с^+2аЬ. (4) Из равенства (4) слелует, что ■ 5.3. О значении теоремы Пифагора Теорема Пифагора — это одна из главных и, можно :казать, самая главная теорема геометрии. Значение ■е состоит прежде всего в том, что из нее или с ее юмощью можно вывести большинство теорём геомет-ши. В нашем курсе она будет служить основой многих ^aльнeйшиx выводов. Поэтому ее нужно твердо усвоить. Теорема Пифагора замечательна еще и тем, что сама ю себе она вовсе не очевидна. Например, свойства шнобедренного треугольника (см. рис. 4) можно ви-1бть непосредственно на рисунке. Но сколько ни гляди ia прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что лежду его сторонами есть такое простое соотношение: :^=а ’+Ь~. Зато это соотношение между соответствую-цими площадями становится очевидным из построения за рисунках 97, а и 97, б. На них мы видим два раз-1ИЧНЫХ разбиения одного н того же квадрата Q со стороной а+Ь. На первом из них квадрат Q слагается из квадрата со стороной с и четырех треугольников. На втором такой же квадрат слагается из квадратов со гторонами а н Ь » таких же четырех треугольников. Исключив и там и там треугольники, видим, что t^=a^+b~. В этом и состоит самый .лучший геометрический стиль: посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным. В математических трактатах Древней Индии, доказывая теорему, часто приводи;т только рисунок. Сопровождали его лишь одним словом: «С.мотри». Сравнить два рисунка нетрудно, а в них вся суть доказательства. 5.4. Квадратный корень Теорема Пифагора позволяет по любым двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону. Сначала находят квадрат стороны. Например, если катеты прямоугольного треугольника равны 3 см а) а Рис. 97 71 и 4 см, то по теореме Пифагора квадрат его гипотенузы равен 3^+4^=25. Поэтому площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна 25 см®. И чтобы завершить решение задачи, надо найти сторону квадрата, площадь которого равна 25 см®. Ясно, что она равна 5 см, так как 5®=25. Итак, гипотенуза рассматриваемого треугольника равна 5 см. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 был известен еще в Древнем Египте. Если и.звестны гипотенуза н одни из катетов, то можно найти другой катет. Например, если гипотенуза равна 13 см, а катет равен 5 см, то по теореме Пифагора квадрат другого катета равен 13®-5®= 169-25= 144. И мы снова приходим к такой задаче: найти положительное число, квадрат которого известен. В данном случае, когда квадрат числа равен 144, легко подобрать нужное число. Оно равно 12. Следовательно, второй катет рассматриваемого треугольника равен 12 см. В обеих рассмотренных задачах нам пришлось по известному квадрату положительного числа находить само это число. А именно, зная некоторое число а>0. мы находим такое число д>0, что У^=а. Найденное положительное число Ь обозначается так; Ь—4а — и читается: «Ь равно корню квадратному из а». Операцию нахождения числа по его квадрату называют извлечением квадратного корня. Нахождение положительного квадратного корня можно истолковать геометрически как нaxoждeflиe стороны квадрата, площадь которого известна. Подробно об извлечении квадратного корня говорится в курсе алгебры. Бывают случаи, когда нельзя найти точное значение квадратного корпя. Тогда мы будем искать его приближенное значение по таблицам или с помощью микрокалькуляторов (нагфимер, 72 «1,414) или оставлять в ответе знак квадратного корня (например, 72). # Вопросы 1. в чем заключается теорема Пифагора? Какое ей можно дать истолкование, используя понятие площади? 2. Что вы знаете о Пифагоре? 3. Знаете ли вы другие доказательства теоремы Пифагора? 72 Задачи к § 5 • Дополняем теорию Докажите, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его измерений. а Разбираемся в решении В прямоугольном треугольнике рассмотрим такие величины; оба катета, гипотенузу, медианы ко всем сторонам. Выберите две из них и, считая их известными, укажите план нахождения остальных. Решение. Выберем ситуацию посложнее. Пусть, например, известны две медианы, проведенные к катетам: AAi=nii и (рис. 98). Неизвестными ве- личинами будут стороны треугольника. Чтобы найти их все, достаточно знать любые две (?). Попробуем найти катеты. Обычный способ состоит в том, что неизвестный отрезок рассматривается как сторона треугольника, из которого он затем и определяется при помощи подходящей теоремы. Подходящей теоремой у нас будет теорема Пифагора. Катет АС лежит в треугольнике ЛСЛр откуда имеем: Катет ВС лежит в треугольнике ВСВ^, откуда имеем: т\ Получается система уравнений относительно неизвестных величин а и Ь. Решив эту систему (?), мы и найдем катеты, а затем по теореме Пифагора гипотенузу. Таков план решения задачи. Теперь его надо осуществить, т. е., считая m^ и гщ известными величинами, выразить через них стороны треугольника а н Ь. И в процессе решения, и при его оценке будьте внимательны: можно кое-что заметить из того, что не относится прямо к вопросу задачи. Например, можно заметить, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к катету, меньше удвоенной другой медианы, проведенной к другому катету (?). Любопытно заметить также, что гипотенузу такого треугольника можно найти, не находя самих катетов (?): +ml). Из этого следует, что катеты можно было найти и не так, как это сделали мы (?). Полученное Рис. 98 73 равенство можно истолковать таким образом; если в прямоугольном треугольнике гипотенуза постоянна, а меняются только катеты, то сумма квадратов медиан, проведенных к катетам, тоже постоянна. Тут есть чему удивляться. В самом деле, на данной гипотенузе можно построить сколько угодно прямоугольных треугольников, причем разных, а сумма квадратов медиан, проведенных к катетам, будет все время постоянной. И даже более того, будет постоянной сумма квадратов всех медиан такого треугольника (?). Этим удивительным свойством обладают только медианы. Ни биссектрисы, ни высоты этим свойством не обладают. Вы можече в ЭТОМ убедиться сами. Зная это, вы теперь сами могли бы сочинить, например, такую задачу; «В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1. Чему равна сумма квадратов его медиан?» Смотрим Вычислите длину отрезка х на рисунке 99 в каждом случае. Исходя из рисунков (рис. 100), найдите другие доказательства теоремы Пифагора. Работаем с формулой Что произойдет с гипотенузой прямоугольного треугольника, если каждый его катет; а) увеличить в два раза; б) уменьшить в три раза? Обобщите полученные результаты. А что сделать с катетами, если гипотенузу хотят увеличить в два раза? И как это сделать? Д) 1 1 е) Рис. 99 74 а) Пусть каждый катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен х. Запшните зависимость гипотенузы у от катета. Какая это зависимость? б) Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1, а один из катетов равен х. Запишите зависимость от л: другого катета, площади, периметра. Что происходит с этими величинами при увеличении jf? Планируем В рав1юбедрениом треугольнике известны все стороны. Как вычислить; а) высоту, проведенную к основанию; б) высоту, проведенную к боковой стороне: в) медиану, проведенную к боковой стороне? Как вычислить: а) сторону ромба, зная его диагонали; б) высоту равнобокой трапеции, зная ее стороны; в) диагональ равнобокой трапеции, зная ее стороны? Как вычислить площадь; а) равнобедренного треугольника, зная его стороны; б) равностороннего треугольника, зная его сторону; в) рав-. нобедрениого прямоугольного треугольника, зная его гипотенузу; г) прямоугольного треугольника, зная ei'O гипотенузу и то, что один из его острых углов равен 30°; д) треугольника, зная две его стороны и высоту, опущенную на третью сторону; е) треугольника, зная все его стороны.^ Придумайте способ для построения циркулем и линейкой отрезка, длина которого равна корню квадратному из любого заданного натурального числа, например УТТ. [•^ I Находим величину Вычислите стороны прямоугольного треугольника, если; а) гипотенуза равна 2, а один из катетов в два раза больше другого; б) гипотенуза равна 2, а один из катетов на 1 больше другого; в) один из катетов равен 1, а другой в три раза меньше гипотенузы; г) один из катетов равен 1, а другой на 1 меньше гипотенузы. а) Один из катетов, равен половине гипотенузы. Какую часть от нее составляет другой катет? б) Гипотенуза в три раза больше одного из катетов. Во сколько раз она больше другого катета? в) Один из катетов в два 75 nJ 76 раза больше другого. Во сколько раз гипотенуза больше каждого из них? г) Один из катетов составляет 10% от гипотенузы. Сколько процентов от нее составляет другой катет? На отрезке АВ как на гипотенузе по разные стороны от АВ построено два прямоугольных треугольника: ААВС^ и ААВС^. В А ЛВС, катеты равны а W Ь, ЛЛВСз равнобедренный, Чему равна длина отрезка С,С2? В треугольнике АВС Z.C=90°, АЛ=45°, ЛС=1. а) Пусть К^ВС, ВК=х. Вымзите через х длину ломаной ВКА. Может ли она равняться 1,5? б) Пусть М^АВ, ВМ=х, МР1-АС, Р^АС. Ответьте на те же вопросы, что и в задаче а), для ломаной BMP. в) Ответьте на те же вопросы (см. задачу а)) для ломаной ВМС. Ищем границы В каких границах лежит: а) катет Ь прямоугольного треугольника, если гипотенуза с равна 1, а другой катет а лежит в границах 0,Ка<0,2; б) катет Ь прямоугольного треугольника, если 4<с<5, 2<а<3; в) гипотенуза с прямоугольного треугольника с катетами а Ь, если а=1, 2<Ь<3; г) гипотенуза с прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, если 2<а<3, 3<6<4; д) каждый катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 1, а отношение катетов равно 2? В каких границах лежит: а) гипотенуза прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 1; б) сумма его катетов, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1; в) площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 1; г) отношение гипотенузы к периметру? На сторонах прямого угла с вершиной О взяты две точки А и В так, что ОА = ОВ. Точки К W М двинулись по сторонам угла одновременно и с одной и той же скоростью, причем точка /С от О к Л, а точка М от В к О. В каких границах изменяется величина /СМ? Г Доказываем Пусть а и Ь — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза, /г — высота, проведенная на гипотенузу. 5 — его площадь. Докажите, что а) а<с и ft4S; е) h<0,5c; ж) a+b0; а) + 1 —х<1; б) J.xT- 1 -Н>дг. Возьмите лист бумаги в форме прямоугольника и согните его так, чтобы: а) совпали его противоположные концы; б) одна из вершин листа оказалась в середине стороны, не содержащей ее. Как вычислить длину линии сгиба, сделав как можно меньше измерений? 77 Занимательная геометрия Эта задача из древнего китайского трактата «Математика в девяти книгах»: «Имеется квадратный водоем со стороной в один чжан. В центре его растет камыш, который выступает над водой на один чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается, какова глубина водоема и какова длина камыша». (Чжан и чн — меры дднны, 1 чжан= = 10 чи.) Л Выходим в пространство В тетраэдре РАВС l.PCB=/LPCA=^BCA=90°, PC=BC=AC=d. Чему равна площадь поверхности этого тетраэдра? Решите эту задачу, если ^БСЛ=60“; 120° Общая сторона двух равных равнобедренных треугольников ABC^ и ЛбС, равна d. Точка К— середина АВ, zLCj/(C2=90°. Чему равна длина отрезка C,Q? Ломаная идет через вершины куба, ребро которого равно 1. Три ее проекции изображены на рисунках 56 и 101. Чему равна длина такой ломаной? 78 I I Ha отрезке AB длиной 1 выбрана точка С и по одну cropoiry от него построены два равносторонних треугольника АСК и BCL. В каких границах лежит расстояние ЛХ? Сможете ли вы решить задачу, если треугольники будут расположены по разные стороны от прямой АВ? А если они не будут лежать в одной плоскости? § 6. Применения теоремы Пифагора Как уже было сказано, терема Пифагора является основой многих дальнейших выводов. В этом параграфе мы получим самые важные нз них. 6.1 Равенство прямоугольных треугольников • Следствием теоремы Пифагора является еще один признак равенства прямоугольных треугольников — по катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Докажем его. Используя теорему Пифагора, в каждом из данных треугольников выразим через гипотенузу и данный катет другой катет. Из условия следует, что они равны. Следовательно, в рассматриваемых треугольниках стороны соответственно равны. Поэтому и треугольники равны. ■ 6.2. Перпендикуляр, наклонная, проекция Мы переходим к важной задаче о расстоянии между точкой н фигурой. Вот примеры таких задач: расстояние от корабля до берега, от туриста до шоссе и т. п. Простейший пример такой задачи — вычислить расстояние от точки до прямой. Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся понятия, указанные в названии пункта. Пусть р — любая прямая п точка А не лежит на ней (рис. 102). Из точки .4 опустим перпендикуляр .АС на р. Точка С называется проекцией точки А на прямую р. (Если точка лежит па прямой, то ее проекцией на эту прямую является сама точка). Возьмем также на прямой р точку В, отличную от точки С, и соединим А с В отрезком АВ. Отрезок АВ называется наклонной, проведенной из точки А к прямой /7, а отрезок СВ называется проекцией наклонной АВ на прямую р. Наклонная, перпендикуляр и проекция наклонной являются гипотенузой и катетами Рис.102 79 прямоугольного треугольника АВС. По теореме Пифагора АЕ(^=АСЧСВ\ (Г) Поэтому ЛБ^>/4C^, а значит, АВ>АС. Аналогично АВ>СВ. Итак, мы доказали такое свойство наклонной; Если из одной и той же точки проведены к некоторой прямой перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр и проекция наклонной короче наклонной. Часто эти утверждения формулируют короче: перпендикуляр и проекция короче наклонной. 6.3. Неравенство треугольника Теорема 7 В каждом треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон. Дано; ААВС со сторонами а, Ь, с (рис. Доказать; аВС). В прямоугольном треугольнике ABD катет BD меньше гипотенузы АВ—с, т. е. BDAD\ г) если AOAD, то BOBD. Дайте различные формулировки этим утверждениям. Пусть А, В, X^, Х,2 — любые точки плоскости. Докажите, что ЛВd2\ в) d^<\XaKd^. Точка движется по плоскости так, что она находится на одном и том же расстоянии от: а) отрезка; 6) угла; в) квадрата; г) треугольника. Нарисуйте такую линию. Нарисуйте на плоскости четыре точки так, чтобы каждые три из них были вершинами тупоугольного треугольника. Добавьте к ним еще одну точку с тем же свойством. Обобщите задачу. Д) Какую фигуру образуют все точки, которые: а) равноудалены от сторон угла; б) к одной из его сторон ближе, чем к другой? Какую фи17ру образуют середины всех хорд полосы? (Полоса — это часть плоскости между двумя параллельными прямыми, включая эти прямые.) Нарисуйте две взаимно перпендикулярные прямые и любой отрезок а. Пусть й, и Oj — проекции этого отрезка на эти прямые. Пусть Л i ” - • / г—Л''--^ ' V ИЗ ЭТИХ проекций другая уменьшается, в) Пусть ai>0,5. В каких границах находится Oj? '') Пусть 0,0Ка2<0,1. В каких границах лежит а,? д) Пусть а,=2й2. Вычислите каждую проекцию, е) Пусть й,>а2. В каких границах лежит каждая проекция? Планируем 5,6| Как вычислить ширину полосы, если известны расстояния от некоторой точки до ее краев? Q Находим величину 1,2~'| На сторонах угла, равного 45°, взяты точки Л и В на расстояниях 1 и 2 от вершины. Отрезок АВ проектируется на каждую из сторон утла, а) Вычислите длины этих проекций, б) Вычислите АВ. Сможете ли вы решить задачу ддя других углов? 112] Внутри угла Л, равного 60°, взята точка В. Длины проекций отрезка АВ на стороны угла равны 2 и 3, Вычислите АВ. Сможете ли вы решить задачу в общем виде, считая длины проекций равными а и Ь? Сможете ли вы решить задачу для других углов? Вычислите расстояние от каждой вершины треугольника до прямой, проходящей через противоположную этой вершине сторону, для; а) равностороннего треугольника со стороной 1; б) равнобедренного треугольника с боковой стороной 3 и основанием 2; в) равнобедренного треугольника 89 с боковой стороной 3 и основанием 5; г) прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3; д) треугольника со сторонами 4, 5. 6. В каждом случае ответьте на вопрос: будет ли вычисленное вами расстояние расстоянием от вершины до противоположной стороны? На данной прямой лежат основания ВС н B^C^ двух равносторонних треугольников АВС и Л,В,С, со стороной 1. Общих точек у них нет. Расстояние между ближайшими вершинами этих треугольников С и равно 1. Вычислите расстояния: а) ВВ^\ б) 6/4,; в) ст В до прямой A^B^', г) от В до стороны /4,6,; д) от В до треугольника /4,6,С,. (При решении учтите возможные расположения этих треугольников относительно данной прямой.) Ищем границы Нарисуйте прямую KL и две точки А и S вне ее. Пусть точка X лежит на отрезке KL. Какой путь короче: АХВ или AKLB? А если точка X лежит на прямой KL} а) Точка X находится в треугольнике АВС. Ее соединили отрезками с вершинами треугольника. Оцените сверху сумму КА-\-ХВ-^ХС. Теперь оцените эту сумму снизу. б) Может ли внутри данного треугольника лежать треугольник с периметром, большим, чем периметр данного? а) Докажите, что в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных сторон меньше, чем сумма диагоналей. Оцените сверху и снизу сумму его диагоналей, зная длины сторон. б) Навдите в выпуклом четырехугольнике такую точку X, что сумма ____________ всех расстояний от нее до его вершин наименьшая. 3 I Пусть ABCD — замкнутая ломаная, а точки К, L, М, N—середины ее последовательных звеньев. Оцените суммы: а) AC+BD: б) KM+LN, зная длины звеньев. Будут ли верны эти оценки для точек пространства? Наибольшая высота в треугольнике равна 1. Оцените другие его высоты. а) Дана прямая о. Пусть \Аа 1=2. Точка X движется по плоскости так. что ХА={. В каких границах находится \Ха\? б) Ответьте на этот же вопрос, если 1,4й1=1, Л>1=2. в) Решите задачу в общем виде, когда \Aa\=d^, XA=do. ^ Доказываем 1.2| Из одной точки к одной и той же прямой проведены перпендикуляр и две наклонные. Докажите, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций. Проверьте обратное утверждение. Какие следствия вы можете получить из этого? 1.2] Докажите, что в равнобедренном треугольнике равны проекции: а) боковых сторон на .основание; б) боковых сторон на прямые, проходящие через другие боковые стороны; в) основания на прямые, проходящие через боковые стороны; г) высоты к основанию на боковые стороны; д) высот к боковым сторонам на основатше; е) высот к боковым сторонам на прямые, 90 проходящие через другие боковые стороны. Составьте сами задачи о медианах и биссектрисах, аналогичные задачам д) и е). Докажите, что: а) любая сторона в треугольнике меньше его полупсри-метра; б) любая хорда треугольника меньше его полупериметра. Обобщите эти утверждения. а) Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она проходит. б) Что следует из утверждения а) для суммы всех медиан треугольника? в) Верно ли утверж-дение а) для любой хорды треугольника, выходящей иа вершины? Точка X находится в треугольнике АВС. Докажите, что АХ-^ХВ<АС \ СВ. В равнобедренном треугольнике проведена хорда, соединяющая точки на боковых сторонах. Докажите, что она параллельна основанию, если она соединяет концы; а) медиан; б) биссектрис; в) высот. Два треугольника Л,бС, и А2ВС2, имеющие один и тот же угол В, имеют равные площади. Докажите, что A2C^\\A^C2 (точка А2 лежит на луче ВЛ,). Исследуем Точка X движется по стороне ВС прямоугольника ABCD. Пусть ХА увеличивается. Что происходит с XD} Имеется кусок гибкой проволоки. Можно ли ее согггуть в треугольник, у которого; а) большая сторона равна половине длины проволоки; б) большая сторона равна трети дайны проволоки; в) большая сторона равна четверти длины проволоки? 4I а) Расстояния от двух концов отрезка до данной прямой равны и dj. Чему равно расстояние до этой прямой от середины данного отрезка? В этой задаче возможны два случая — какие? б) Пусть известны расстояния отданной прямой до трех вершин квадрата. Как найти расстояние от этой прямой до его четвертой вершины? Сможете ли вы найти еще и сторону квадрата? Можно ли обойтись меньшим числом данных? Для облегчения работы можно считать, что квадрат лежит по одну сторону отданной прямой. Существенно ли это дополнение? Сможете ли вы решить аналогичную задачу для ромба? параллелограмма? CifetIM 4| По углу движется точка так. что; а) сумма расстояний от этой точки до сторон угла одна и та же; б) разность расстояний от этой точки до сторон угла одна и та же. По какой линии движется точка? Дан равносторонний треугольник. Как располагаются все такие точки, что сумма расстояний от них до сторон треугольника одна и та же? Строим Постройте прямую, проходящую через вершину треугольника и равноуда-леинук^ от двух других его вершин. Построите треугольник по; а) основанию, высоте и углу при основании; б) высоте и двум углам при основании; в) двум высотам. 91 Постройте ромб по высоте и: а) стороне; б) острому углу; в) диагонали; г) углу между двумя высотами, проведенными из одной вершины. Постройте трапецию по высоте и: а) основанию и диагоналям; б) двум бокам; в) двум бокам и диагонали. Через произвольную точку на стороне треугольника проведите хорду, которая делит его площадь пополам. Применяем геометрию 3 I Из складного метра делают треугольник. В каких границах лежит его наибольшая сторона? Занимательная геометрия Эта задача взята из книги польского математика Г. Штейнгауза «100 задач». Называется эта задача «Французские города». «Доктор Шарадек, знающий хорошо стратегию, интересовался последней войной и в 1940 году познакомился с картой французского театра военных действий. Отсюда, вероятно, и возникла следующая задача. Расстояние по воздуху, как и все расстояния в этой задаче, от Шалона до Витри равно 30 км, от Витри до Шомона 80 км, от Шомоиа до Сэн-Кантэна 236 км, от Сэн-Кантэна до Ремса 86 км, от Ремса до Шалона 40 км. Вычислить в этом замкнутом многоугольнике расстояние от Ремса до Шомона. Без карты это умеет сделать только доктор Сильвестр Шарадек!» Но может быть, и вы попробуете? У вас в руках двусторонняя линейка. Как, используя только ее; а) разделить пополам данный угол; 6) разделить пополам данный отрезок; в) удвоить данный отрезок? Рассуждаем Найдите точку, равноудаленную от сторон: а) ромба; б) прямоугольника; в) трапеции. Даны прямая и две точки, не лежаище на ней. Найдите точку, равноудаленную от данных точек и удаленную от данной прямой на данное расстояние. В данном угле найдите точку, которая: а) удалена от одной его стороны на расстояние с/,, а от другой — на расстояние cl2\ б) удалена от каждой из сторон на расстояние с1\ в) равноудалена от сторон, а от данной точки угла удалена на расстояние d. «^1 Выходим в пространство Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости ос, опущенный из точки А. Докажите, что АВ является перпендикуляром к любой прямой плоскости а, проходящей через точку В. 92 Пусть точка А не лежит в плоскости а. Сколько перпендикуляров можно провести из точки А к плоскости а? Составьте задачу, аналогичную задаче 6,2, для перпендикуляра и наклонных, проведенных из данной точки на данную плоскость, и ответьте на такие вопросы; сколько равных наклонных можно провести изданной точки на данную плоскость? Какую фигуру образуют концы всех таких наклонных, лежащие на плоскости? Перпендикуляр к плоскости прямоугольника проходит через его центр. Докажите, что любая точка этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника. Пусть АВ — перпендикуляр, опущенный на плоскость а из точки Л, ВС — его продолжение, точка X—некоторая точка плоскости а. а) Пусть АВ=ВС. Докажите, что ХА=ХС. Докажите обратное, б) Пусть АВ>ВС. Докажите, что ХА>ХС. Докажите обратное. Пусть ABCD — правильный тетраэдр. Докажите, что расстояния от D до сторон основания АВС равны. Для каких других тетраэдров это тоже верно? Приведите пример другой по виду пирамиды, для которой это тоже верно. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника BCD, ХВ=90°. Рассмотрим длины отрезков АВ, ВС, BD, АС, AD, CD. Выберите любые три отрезка и считайте, что их длины известны. Сможете ли вы вычислить длины оставшихся отрезков? Пусть ОА — перпендикуляр к плоскости равнобедренного треугольника АВС {АВ=АС), точка К — середина ВС. Докажите, что ОКА. ВС. Вычислите ОК, если: а) Z^=90°, АВ=АС=ОА=1: б) ^=120°, АВ=АС=ОА=2. Пусть .АВ — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника ACD (Z-CyiD=90°). а ) Пусть AB=AC=AD. Установите вид треугольника BCD. б) Пусть треугольник BCD равносторонний. Что из этого следует? в) Может ли треугольник BCD быть прямоугольным? Нарисуйте правильный тетраэдр. Нарисуйте на его поверхности фигуру, все точки которой: а) равноудалены от двух данных его вершин; б) равноудалены от трех его вершин; в) удалены от одного из его ребер на данное расстояние; г) равноудалены от двух его соседних ребер. Участвуем в олимпиаде Внутри прямого угла с вершиной О взята точка С, а на его сторонах взяты точки А W В. Докажите, что периметр треугольника АВС больше чем ЮС. DE — хорда треугольника .АВС, причем точка D лежит на стороне АВ, точка Е лежит на стороне ВС. Точка К — середина хорды DE. Докажите, что .AD+ECPCA-PD. Докажите. Выпуклый четырехугольник MNPQ находится внутри выпуклого четырехугольника ABCD. Прямая МР пересекает стороны четырехугольника ABCD 93 в точках К н L. Докажите, что от одной из точек К или L сумма расстояний до вершин внешнего четырехугольника больше, чем сумма расстояний до вершин внутреннего четырехугольника. На катетах АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС построены квадраты ABFD и BKLC во внешнюю от треугольника сторону. Докажите, что сумма расстояний от точек D и L до прямой АС равна длине АС. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABD построен во внешнюю сторону равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АС—СВ). Площадь четырехугольника ACBD равна 1. Сможете ли вы найти расстояние от вершины С до прямой BD} Треугольник АВС — прямоугольный равнобедренniim. Точки К L лежат на его гипотенузе АВ, причем отрезок KL виден из вершины С под углом 45°. Пусть известны АК и LB. Чему равен /(I? Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что основания его биссектрис являются вершинами прямоугольного треугольника. Докажите, что из всех треугольников с: а) данным основанием и данной высотой равнобедренный треугольник имеет наименьший периметр; б) данной площадью наименьший периметр имеет равносторонний треугольник. Из точек А » В \\г сторонах угла проведены перпендикуляры к сторонам, на которых лежат эти точки. Они пересекают биссектрису этого угла в точках С и D. Пусть точка К — середина отрезка CD. Докажите, что КА=КВ. § 7. Синус Начиная с этого параграфа и до конца главы мы будем изучать большой и важный раздел геометрии, который называется тригонометрией. Главную задачу тригонометрии составляет решение треугольников. Решить треугольник — значит вычислить (найти) одни элементы треугольника, зная другие его элементы (например, найти углы треугольника, зная его стороны). Все основные понятия тригонометрии выражаются через отношение отрезков. С них мы и начинаем. 7.1. Отношение отрезков ® Сравнивая длины предметов, расстояния и т. п., мы часто говорим об их отношении. 11апрпмер, высота комнаты в 1,3 раза меньше ее ширины. Но вместо отношения длин отрезков можно говорить об отношении самих отрезков. Действительно, при замене единицы длины отношение числеш1ых значений длин двух отрезков не изменится (так как каждое из них умножится на одно и то же число). Например, 3 м:2 м = =300 см : 200 см. Именно поэтому можно говорить просто об отношении этих отрезков. 94 \ 7.2. Отношение перпендикуляра и наклонной Начнем с практического примера. Крутизну подъема на ровной наклонной дороге (рис. 117) можно задать не углом наклона, а высотой подъема, приходящегося на длину пройденного пути. Например, подъем 2 м на 100 м пути. В этом случае крутизна подъема задается отношением высоты к пройденному пути. В рассмотренном примере ома равна 0,02. (Разумеется, можно было бы говорить и о спуске, например, по той же дороге.) Это отношение 0,02 не зависит от пройденного пути. Рассмотренный пример подводит нас к следующей теореме; Теорема 9 (об отношении перпендикуляра и наклонной) Пусть из точки В, лежащей на стороне р острого угла А, опущен перпендикуляр ВС на сторону q этого угла (рис. 118, а). Тогда отношение перпендикуляра ВС к наклонной ВА не зависит от выбора точки В. Доказательство. На стороне q выберем любую точку М (рис. 118, б). Выразим площадь S треугольника АВМ двумя способами. С одной стороны, 5=-^ та, где а=ВС, гп=АМ. С другой стороны, S=-jch, где /г= =MD — высота треугольника АВМ и с=ВА. Поэтому rna=ch. Это равенство можно записать как пропорцию (проверьте!); U _ /г с гп а) (1) Если на стороне/? взять другую точку 5| (рис. 118, в] и повторить проведенные рассуждения, то снова по- лучим, что —=—. Поэтому С j ш с I с Отношение перпендикуляра к наклонной не зависит от того, на какую сторону угла опущен перпендикуляр. Чтобы пояснить это, вернемся к равенству (1). Пусть, как и раньше, М — точка на стороне q угла А и ЛШ±р. В правой части (1) стоит отношение перпендикуляра MD к наклонной МА. Слева в равенстве (1) стоит отношение, которое с выбором точки М не связано. Значит, и правая часть равенства (1) от выбора точки М не зависит. Рис.117 Рис. 118 95 7.3. Определение синуса Снова рассмотрим острый угол А. На одной из его сторон возьмем точку В и опустим из нее перпендикуляр ВС на другую сторону угла А (рис. 119, а). Мы доказали в п, ВС 7.2, что отношение -щ- не зависит от положения точки В на стороне угла А. Поэтому каждому острому углу А можно сопоставить значение этого отношения. Оно называется синусом угла А и обозначается sin А, ВС ВА ■ т. е. sin>l = - (2) Вспомним практический пример о движении по наклонной дороге, с которого мы начали предыдущий пункт. Представим себе, что одна сторона угла А — это дорога, другая же его сторона горизонтальна. По дороге от А движется точка В. Тогда синус угла А — это отношение высоты подъема ВС к пути ВА, пройденному точкой В, т. е. крутизна подъема. 11дя угла с горизонтальной стороной синус угла — это высота подъема по наклонной стороне угла, приходящаяся на единицу пути (рис. 119, б); если ВА=1, то sin/l=5C, (Можно было бы даже сказать: удельная высота подъема.) Если же из равенства (2) выразить высоту подъема ВС, то получим, что BC={s\nA)BA. (3) Это равенство можно истолковать так: высота подъема ВС прямо пропорциональна пройденному пути В А. Коэффициентом пропорциональности является крутизна подъема, т. е. sin А. Зная пройденный путьВЛ и sin Л, можно из формулы (3) найти высоту подъема ВС. Определим теперь синус для тупого угла А (рис. 119, в). Считаем, что прямая q^, на которой лежит q, горизонтальна. Представим себе, что точка В двигается по стороне р тупого угла А. Крутизна подъема точки В относительно прямой точно так же задается отношением перпендикуляра ВС к наклонной ВА. Это отношение, как нам уже известно, будет синусом острого угла ВАС, смежного тупому углу pq. Поэтому для тупого угла его синус определяется как синус смежного ему острого угла. Это вполне естественно. Действительно, перпендикуляр и наклонную 96 sinA - ВС ВА ВА = 1 ВС - sinA г) Р В II А,С ВС =ВА д) о А \вс\ = о Рис. 119 иг и G^ yf т< ei (1 я е в У Д I wr из определения синуса острого угла ВАС можно отнести и к смежному с ним тупому углу рд. При этом надо считать, что перпендикуляр опускается не на сторону угла рд, а на ее продолжение. Итак, синусы смежных углов равны. Пусть теперь угол А прямой. Тогда высота подъема точки В по одной из сторон угла А относительно другой его стороны всегда равна пройденному пути: ВС=ВА ВС (рис. 119, а). Поэтому отношение Т. е. синус прямого угла равен I. Наконец, когда угол/4 развернутый, то высота подъема точки В нулевая (перпендикуляр ВС вырождается в точку В, рис. 119, d'). Поэтому синус развернутого угла равен нулю. Подведем итог: 1) Синус острого угла равен отношению перпендикуляра к наклонной. 2) Синус тупого угла равен синусу смежного острого угла. 3) Синус прямого угла равен единице. 4) Синус развернутого угла равен нулю. 7.4. Синус величины угла Итог, к которому мы пришли в предыдущем пункте, еще не окончательный. Дело в том. что угол обычно задают его величиной. Пусть надо, например, найти синус угла 50°. Но если взять два таких угла, т. е. два угла по 50°, и, пользуясь определением, найти их синусы, то будут ли равны эти синусы? Докажем, что синусы углов, имеющих равные величины, рав- ны. Доказательство. Возьмем два равных острых угла: 2. Л и Z.M (рнс. 120). Из некоторой точки В на стороне угла А опустим перпендикуляр ВС на другую сторону угла А. Получим прямоугольный треугольник АВС. Отложим на сторонах угла М отрезки МР^АВ и MQ=AC. Тогда по первому признаку равенства треугольников ^MPQ = AABC. Поэтому AQ=Z.C=90°. Итак, PQ — перпендикуляр, опущенный из точки Р одной стороны угла Л4 на другую его сторону. Докажем теперь, что 51пЛ)=з1пЛ. Во-первых, б) 4 Алсксшпроп «Геометрия. 8 кл - дл PQ PQ =BC и PM=BA, TO -5^ = -57-. Значит, sin Ai=sin A. BC Во-вторых, sin/4 = -^. Поскольку PQ= PM BA Итак, синус однозначно определяется не только самим углом, но и его величиной. Поэтому мы можем говорить не только о синусе угла, но и о синусе величины угла и писать, например, sin 50°. Вместо фразы «Синус прямого угла равен единице» мы можем писать теперь короче; sin 90°= 1. Аналогично sin 180°=0. Удобно ввести угол величиной 0°. Таким углом можно считать вырожденный угол, стороны которого совпадают (как стрелки часов в 12.00). Для такого вырожденного случая получают по определению sin 0°=0. Так как синусы смежных углов равны, то sin(180°-a)=sina (4) для любого угла а от 0° до 180°. 7.5. Синусы острых углов прямоугольного треугольника Синус чаще всего используется в прямоугольных треугольниках. В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 121, а) с прямым углом С катет а=ВС — это перпендикуляр к прямой АС, а гипотенуза с=АВ — это наклонная. Из определения синуса sin Л=-^ . Ана- логично sinS=-^, где Ь=АС. Рис.121 98 J Итак, синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Используя это, а также теорему Пифагора, мы можем вычислить синусы 30°, 45°, 60°. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ЛбС. Его острые углы равны 45° (рис. 121,6). Пусть его катеты АС и ВС равны 1. Тогда гипотенуза ЛЯ=л/ТТТ J2 . Поэтому sin 45°= ВС ВА I 72 Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник АВС, в котором Z/l=30° и ZS=60° (рис 121, в). Тогда в этом треугольнике ВС=-^ АВ. (Вспомните, что на два таких треугольника разбивает высота правильный треугольник (рис. 121, г). Пусть ЛВ=2. Тогда ВС= 1 и AC-jA- 1 =л/3". Поэтому JL 2 • sin 30°==■4* и sin 60°=-'^^ А В 7.6. Свойства синуса и его график Так как каждому углу соответствует его синус, то синус является функцией угла, а точнее, функцией величины угла. Укажем простейшие свойства этой функции. 1, Синус каждого угла не бапьше единицы. Это следует из того, что перпендикуляр короче наклонной. 2. При возрастании угла от 0° до 90° его синус возрастает от О до 1. Доказательство. Действительно, возьмем прямой угол О со сторонами р н д (рис. 122, а). Из вершины О внутрь этого угла проведем единичный отрезок ОА, образующий с лучом р острый угол а. Из точки А опустим перпендикуляры АК и AL на лучи р и q. Получим прямоугольник OKAL. Так как ОА=\, то v4/(=sin а. А поскольку OL=AK, то OL=sin а. Итак, sin а равен длине проекции OL единичного отрезка ОА на лум q. Когда угол а возрастает от 0° до 90°, отрезок ОА поворачивается вокруг точки О от положения ОА^ на луче р до положения ОА] на луче q. Точка А пробегает четверть окружности. При этом точка L дви- а) Рис. 122 4» 99 жегся от точки О до точки Л,. Длина отрезка OL, т. е. sin а возрастает от О до I, что и утверждается в свойстве 2. ■ 3, При возрастании угла от 90° до 180° его синус убывает от 1 до 0. Доказательство. Когда тупой угол возрастает от 90° до 180°, смежный ему угол убывает от 90° до 0°. В этом слуте по свойстоу 2 синус такого угла убыоаст от 1 до 0. ■ Изменение синуса тупого угла при увеличении угла от 90° до 180° легко увидеть, если проследить за изменением проекции вращающегося единичного радиуса, когда конец радиуса пробегает еще четверть окружности (рис. 122, б). 4. Величина острого угла определяется синусом этого угла, т. е., зная синус острого угла, можно найти сам угол. Это значит, что для острых углов из равенства sin а= =sin Р вытекает равенство а=р. Докажем это. Доказательство. Пусть sin a=sinp. Для углов а и Р логически возможны три случая: а) а>р. Тогда (по свойству 2) sin a>sin р. Значит, этот случай не имеет места. б) а<р. Тогда (по свойству 2) sina Смотрим Вычислите длину отрезка х по рисунку 125. Запишите зависимость г/ от л: по рисунку 126. Вычислите синусы углов по рисунку 127. Планируем Как в.ычислить синусы углов; а) прямоугольного треугольника; б) произвольного треугольника; в) параллелограмма: г) равнобокой трапеции? Приведите численные примеры. Р~| Находим величину Запишите в тетрадь та6ли1.;у и заполните ее. а 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° sin а 102 а) 1 ^ ^ Г □ Р" е) J \l a) 6) B) € 104 В Рис. 127 Г 3^ Доказываем Докажите, что синус одного из углов треугольника равен синусу суммы двух других его углов. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма синусов острых углов больше I и меньше 2. Можно ли сузить границы этой суммы? Используя sin, докажите, что в прямоугольном треугольнике АВС: 3-Е а) 0^=00,; б) Ь^=сЬ^; в) h'^=a^b^ (см, рис, 114), а) Внутри угла со сторонами а я Ь провели луч с с началом в вершине угла. На луче с взята точка X. Докажите, что при любом ее положении величина l,Ya 1:1X61 не меняется, б) Попытайтесь доказать обратное утверждение. @ Исследуем Строим углов равен больше ^, меньше -г. 4 U в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, видна из вершин основания под равными углами. Сравните эти же углы для неравнобедреиного треугольника. Проверьте обратное утверждение. Сможете ли вы обобшить .задачу? а) Постройте прямоугольный треугольник, у которого синус одного из б) Сможете ли вы построить такой прямоугольный треугольник, у ко-торого синус одного угла равен , а синус другого угла равен ^ ? синус одного угла равен а синус другого угла равен у? ^3-^ Нарисуйте полуокружность с диаметром АВ=2. Пусть точка О — его середина, а переменный луч ОХ пересекает полуокружность в точке X Постройте точки этой полуокружности, такие, что sin Z.XOB равен , больше меньше ^siti Z.XOB<-^ • I Применяем геометрию 61 Какая лестница более крутая: в 20 ступенек, поднимающаяся на 3 м, или в 15 ступенек, поднимающаяся на 2 м? Л Выходим в пространство Из точки А проведены к прямой а наклонные АВ и АС. Если АВ=АС, то Z. B=/L С. Сравните эти же углы, если АВ<АС. Проверьте обратное утверждение. Какой вывод можно сделать из этой задачи для произвольного треугольника? Как будет выглядеть аналогичная задача в пространстве? В треугольнике АВС АВ=АС. Через точку А проходит перпендикуляр к плоскости АВС. Докажите, что из любой точки этого перпендикуляра, отличной от А, отрезок ВС виден под меньшим углом, чем из Л. ^4. Рассуждаем 6| Расположите в порядке возрастания синусы углов: а) 35°, 45°, 140°; б) 135°, 145°, 40°; в) 35°, 120°, 50°; г) 62°, 115°, 120°. 6| Верны ли такие утверждения; а) если углы не равны, та и синусы их не равны; б) если синусы углов не равны, то и сами углы ие равны? § 8. Применения синуса 8.1. Решение прямоугольных треугольников с помощью синуса • Злая стороны а, Ь, с прямоугольного треугольника АВС (рис. 128), мы можем теперь найти его острые I углы А н В. Сначала находим один из синусов этих I углов, используя равенства 1 105 , а . г, /? siri/4=— , Sin В—— . с с (1) Затем по найденному синусу находим ведичину этого угла. Второй угол дополняет найденный до 90°. Легко решить и обратную задачу: по острому углу и одной из сторон прямоугольного треугольника найти остальные его элементы. Возможны два случая: 1)даны острый угол и гипотенуза; 2) даны острый угол и катет. , Случай I. Даны гипотенуза с и/острый угол А. Тогда ZS=90° —Z-Л. Из (1) находим катеты: а = =с sin А, Ь=с sin В. Запомните: катеты находят умножением гипотенузы на синус противолежащего угла. Случай 2. Даны острый угол А и катет а. Тогда Z-B=90°—Z-A. Гипотенузу с найдем из формулы а _ а sin Л= — с Тогда с= sin А Катет & можно вычислить по теореме Пифагора: b=Jc^-a^ . Но можно и так: Ь=с sin 5. Запомните; гипотенузу находят делением катета на синус противолежащего угла. 8.2. Вычисление площади треугольника Площадь треугольника можно найти, зная две его стороны и угол между ними. Пусть известны стороны Ь, с треугольника АВС и угол А между ними (рис. 129). Тогда для площади 5 треугольника верна формула S^-^bc sin Л. (2) Докажем ее. Проведем высоту h^=CD из вершины С. h Тогда 51пЛ=-^. Поэтому h^=bs\nA. Подставляем выражение для в формулу площади треугольника 5= у ch^. Отсюда 5= -у Ьс sin Л. ■ 8.3. Теорема синусов Теоремой синусов называют утверждение: Теорема 10 Отношение двух сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих им углов. 106 Дано: А АВС. Доказать: а Ь , sin А sin В' (3) Доказательство. Нарисуйте треугольник АВС, проведите в треугольнике АВС высоту CD из вершины С. Выразите CD из прямоугольных треугольников ACD и, BCD. Тогда CD-b sin А и CD-a sin В. СледовательноУ Ь sin А=а sin В. Отсюда -^ = и ■ И / о sin D г Теорему синусов можно сформулировать и так; синусы углов треугольника пропорциональны противолежащим сторонам, т. е. для любого треугольника имеют место равенства: sin А sin 5 sin С .,, а о с ' ' , sin А sin В . По- Доказательство. Действительно, так как sin В sin А sin В sin В ТО а_ _ Ь ^ sin С sin С ’ ■ ’ а этому справедливо (4), ■ Теорема синусов — вторая (после теоремы Пифагора) центральная теорема о треугольниках. Всего в этой главе мы выделим три такие теоремы. 8.4. Решение треугольников с помощью теоремы синусов Задача «решить треугольник по некоторым заданным его элементам» может рассматриваться в двух вариантах. а) Имеется треугольник, и известны некоторые его элементы. Найти остальные его элементы. б) Заданы некоторые отрезки и углы (или их величины). Найти (построить) треугольник, для которого заданные отрезки и углы являются заданными его элементами. Теорема синусов позволяет решить треугольник по стороне и двум углам и по двум сторонам и углу против одной из них. Рассмотрим оба варианта решения этих задач. Задача I, а. Имеется треугольник АВС. Известны его сторона и два угла. Найти две другие его стороны и третий угол треугольника. 107 Решение. Возможны два случая, Случай 1. Даны сторона (обозначим ее а) и два прилежащих к ней угла: Z.B и АС. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол А получаем так: АА=\80°~АВ—АС. Затем, пользуясь а sin А теоремой синусов, из равенства ^ находим сто- рону Ь. Получим: Ь=а-^ sin С sin В sin А . Точно так же находим с=а sin /1 ■ Случай 2. Даны сторона а и два угла: противолежащий угол А и прилежащий угол В. Сначала находим третий угол: Z C=180°-Z./4—Z S. Стороны бис находим, как в случае 1. ■ Задача 1, б. Заданы два угла а и р w отрезок d. Найти (построить) треугольник с углами, равными а, р, и стороной, равной d. Решение. Ясно, что в обоих рассмотренных в задаче 1, а случаях задача имеет единственное рещение, когда а-ьр<180°. Если же а4-р>180°, то задача решения не имеет. ■ Задача 2, а. Известны две стороны треугольника АВС а и Ь и угол А против стороны а. Найти сторону с и два других угла этого треугольника. Решение. По теореме синусов sinS=-^ sin Л. Находим угол В по значению его синуса. Если sin Л<1, то таких углов два (один острый, другой тупой) и задача имеет два решения. Угол С и сторону с находим как в задаче 1. Если sin Л= 1, то Z. В=90° н-задача имеет единственное решение. Наконец, если получилось, что -jsin^>l, то задача решения не имеет. ■ Дайте геометрическую иллюстрацию к этим трем случаям. Задача 2, б. Заданы два отрезка а, Ь и угол А. Построить треугольник со сторонами а, Ь и углом А против стороны а. Проведите построение такого треугольника с помощью циркуля и линейки и укажите случаи, которые соответствуют возможностям, рассмотренным при решении задачи 2, а. 108 ^8.5. Практические приложения теоремы синусов синусов решаются важные С помощью теоремы практические задачи. Задача I. Найти расстояние до недоступного предмета (например, найти расстояние до цели( рис. 130, а). Решение. Пусть надо определить расстояние отдан;-нот пункта А до недоступного пункта В. Берут еще пункт С и измеряют расстояние ЛС=(?, а также углы между отрезками АВ и АС, СВ и СА. Получается геометрическая задача: в треугольнике АВС известны сторона АС и прилежащие к ней углы А нС\ найти сторону ИВ (рис, 130, 6), Эта задача решена нами в предыдущем пункте. ■ Задача 2. Определить высоту недоступного предмета (рис. 131). Решение. Предполагаем, что есть возможность перемещаться по горизонтали в направлении к предмету (рис. 131, а). Выберем два пункта Л и В и в каждом из них найдем угол, под которым виден предмет. Так получается геометрическая задача: в треугольнике АВС известны сторона АВ, Z.A=a и внешний угол 3; найти высоту, опущенную из вершины С. Обозначим искомую высоту CD через h и положим АВ=с, ВС=а (рис. 131, б). Из треугольника BCD высота /j=asinp. Поэтому надо найти а. По теореме синусов sin А а) а=с sin с . Угол Р внешний для треугольника АВС. Следовательно, P=a+Z-C. Отсюда Z. С=р—а. Теперь мы можем вычислить а, а затем h. Ш а) б) 109 Как, используя теорему синусов, решить такую задачу: определить ширину реки, оставаясь на одном ее берегу? # (ПШ Вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. Какие задачи по решению прямоугольного треугольника вы можете решить с помощью синуса? Какие вы знаете теперь формулы площади треугольника? В чем заключается теорема синусов? Дайте несколько разных ее формулировок. Предложите другие доказательства теоремы синусов. Какие следствия можно получить из теоремы синусов? Какие задачи по решению треугольников вы можете решить с помощью теоремы синусов? Какие практические задачи вы можете решить с помощью теоремы синусов? Задачи к § 8 Дополняем теорию В равнобедренном треугольнике рассмотрим такие величины: основание а, боковую сторону Ь, высоту h, опущенную на основание, угол при основании Р, угол при вершине а. Как найти неизвестные величины, если известны: а) h и ir, б) h и а; в) о и Ь; г) 6 и Р? Выберите сами любые две из этих величин и ответьте на тот же вопрос. Приведите численные примеры. На сторонах треугольника, равных а и Ь, отложены от их общей вершины отрезки а, и b^. Их концы соединяет хорда данного треугольника. Докажите, что отношение площадей полученного и данного треугольников равно {a^h^):(ab). Как выглядит эта формула, если и данный, и полученный треугольники равнобедренные {а=Ь, a^=b^)} Пусть а и ft — длины смежных сторон параллелограмма, а <р — угол между ними. Докажите, что площадь параллелограмма вычисляется по формуле S=ab • sin (р. Как эта формула выглядит для частных видов параллелограмма? В каких границах изменяется площадь пара,тлелограмма при изменении угла между его сторонами? а) В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС. Пусть Z Д/СС=<р-Тогда для площади 5 треугольника АВС справедлива формула 5=-^АС'ВК- sin (р. Докажите это. б) Пусть ф — угол между диагоналями выпуклого четырехугольника ABCD, а S — его площадь. Докажите, что 5=-^ЛС‘ BD • sin ф. Как вы- __ глядит эта формула для частных видов четырехугольника? (Jj Пусть в треугольнике АВС проведена биссектриса АК угла А. Докажите, что АВ ■АС=КВ '• КС. Какие следствия можно получить из этого равенства? 110 1 i Верно ли обратное утверждение? Можно ли получить доказательство без использования теоремы синусов? Разбираемся в решении В выпуклом четырехугольнике г/, и 1^2 ~ длины его средних линий, а (р — угол между ними. Докажите, что его площадь 5 вычисляется по формуле • sin ф. Каковы следствия из нее? Как ее можно обобщить? Решение. Сделаем рисунок к задаче (рис. 132, а). Средние линии четырехугольника соединяют середины его противоположных сторон. А вы знаете, что середины всех сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Поэтому сделаем еще один рисунок (рис. 132, б). Согласно формуле, полученной в задаче 8.4, б), площадь 5 параллелограмма /(LAW равна S=Y^i^2' sin ф. Вместе с тем площадь этого же параллелограмма составляет половину площади четырехугольника ABCD (?). Значит, S {ABCD)=2S {KLMN)=2 • -^6,62- sin ф = б,с?2* sin ф. Обратите внимание: для решения этой задачи мы ссылаемся не только на теоретические сведения, но и на ранее решенные задачи. Посмотрим теперь, как связана эта формула с уже известными формулами площадей четырехугольников. • Если ф=90°, то получаем формулу площади а) прямоугольника (?). В формуле площади тра- пеции 5=—5—’П уже есть одна средняя ли- ния, равная у(а+6), а высота трапеции равна произведению другой средней линии и sin ф(?). Таким образом, из полученной нами формулы сразу следует известная формула площади трапеции. В параллелограмме средние линии равны его соседним сторонам, а угол между средними линиями равен углу между соседними сторонами — острому (?). Поэтому из нашей формулы сразу следует известная формула площади параллелограмма: S=a • Ь • sin ф, где а н Ь — его соседние стороны, ф — угол между ними. Получается, что, зная только формулу, найденную в этой задаче, мы можем вычислять площади известных видов четырехугольников. Любопытно заметить, что она годится и для треугольника, если считать его вырожденной 111 'ч! трапецией, т. е. трапецией, у которой меньшее основание «стянулось» в точку. Одна из средних линий станет средней линией треугольника, а другая превратится в медиану, угол ср — это угол между медианой и основанием, к которому она проведена,— проверьте все это! В условии задачи дан выпуклый четырехугольник. Но где в решении это использовалось? И если нигде, то, может быть, полученная формула верна и для невыпуклых четырехугольников? И даже более того, может быть выпуклость четырехугольника была нужна именно для приведенного доказательства, но сама формула может быть верной и без выпуклости — надо только проверить это. Итак, есть два пути в дальнейшем исследовании: 1. Выявить явно все ссылки, приведенные в нашем доказательстве, и проверить, будут ли они верны для невыпуклых четырехугольников. Если да, то формула верна для четырехугольников любого вида, а не только для выпуклых. 2. Попытаться опровергнуть эту формулу для каких-либо невыпуклых четырехугольников. Если опровержения найти не удалось, то попробовать найти доказательства именно для этого случая. Так каким же путем пойдете вы? Или выберете свой путь? <ж> Смотрим Вычислите отношение площадей по рисунку 133. а) Посмотрите на рисунок 134. На нем указаны площади треугольников, ах — неизвестная площадь. Докажите, что х>3. Вычислите х. Обобщите задачу. б) Пусть известна площадь всего четырехугольника и отношения отрезков на каждой его диагонали. Чему равна площадь каждого из треугольников? в) г) Рис. 133 112 . I i Планируем Известны стороны прямоугольного треугольника, а) Как вычислить его биссектрисы? б) Через фиксированную точку гипотенузы проводится прямая, ей перпендикулярная. Она пересекает прямые, проходящие через катеты, в двух точках. Как найти расстояния от этих точек до первоначально взятой? В каких границах лежит отношение этих двух расстояний? ЕШ1Й 1 i Как вычислить углы прямоугольного треугольника, если известны: а) катеты; б) отношение катетов; в) катет и медиана, проведенная к другому катету; г) катет и медиана, проведенная к этому катету; д) катет и медиана, проведенная к гипотенузе; е) площадь и сумма катетов; ж) площадь и гипотенуза? Приведите численные примеры. Как найти площадь треугольника, в котором известны: а) высота, опущенная на одну из сторон, и два угла при этой стороне; б) высоты, опущенные на две его стороны, и угол между этими сторонами; в) сторона и два угла при ней? Пусть известны две стороны треугольника и угол между ними. Как найти биссектрису этого угла? В треугольниках ABC^ и АВС^ известны все углы. Как найти ЛС, МСз? Приведите численные примеры. Запишите формулу для вычисления этого отношения. Какие следствия можно из нее получить? Как найти площадь параллелограмма, если известна его диагональ и углы, которые она составляет с его сторонами? Приведите пример. В прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и острый угол. Как вычислить, используя теорему синусов, биссектрису прямого угла? другие биссектрисы? В трапеции ABCD известны АВ, ВС, Z.B, АС. Как найти другие стороны трапеции? Приведите примеры. Работаем с формулой Запишите формулу для вычисления площади треугольника по двум его сторонам и углу между ними, а) Выразите из нее синус этого угла. Как можно толковать синус угла из этой формулы? б) Пусть две заданные стороны равны. Как выглядит формула в этом случае? РП Находим величину Решите прямоугольный треугольник, если известны такие его элементы: a)c=12,Z^=40°;6)c=6,3,Z^=72°;B)a=l,^B=54°;r)fl = l,Z^=22°. а) Две прямые а н Ь пересекаются в точке О под углом ф. На прямой а лежит точка А, такая, что OA=d. Чему равно 1Л61? б) Пусть точка А переместилась по прямой а на расстояние d^. На каком расстоянии от 113 Ж1 114 прямой Ь она находится теперь? в) В результате некоторого перемещения по прямой а точка А оказалась на расстоянии d.2 от прямой Ь. На сколько она переместилась по прямой а? Дана полоса шириной d. а) Какова длина ее хорды, лежащей на прямой, которая пересекает полосу под углом ф? б) Пусть такая ее хорда имеет длину dj. Под каким углом она пересекает полосу? в) Под каким углом пересекаются две такие ее хорды длиной dj? длинами d, и dg? г) Внутри полосы возьмите точку. Постройте хорду полосы, проходящую через эту точку и имеющую заданную длину. Диагонали выпуклого четырехугольника а н fc, а его средние линии равны. Чему равна его площадь? Сможете ли вы ответить на этот вопрос для невыпуклого четырехугольника? В выпуклом шестиугольнике все углы равны по 120°, а стороны равны 1 и 2 (через одну). Вычислите его площадь. а) В треугольнике АВС ^А=д0°, АВ+АС=\, Z. АВС=ц>. Чему равно ВС? б) В равносторонний треугольник АВС вписан другой равносторонний треугольник A^B^C^, и при этом A^GBC, В^^АС, C,eyiiS, гCC^A^B= =Z СД,Л |=z 4C|S|=_ Л 120 i 9.4. Свойства косинуса и его график Косинус, как и синус, является функцией угла, точнее, функцией величины угла. Укажем некоторые свойства этой функции. Первые два свойства вытекают из определения коси1туса. 1. Косинус любого угла не больше I и не меньше -I, т.е. — 1 р, то cosa90° (рис. 140, б). Это значит, что cos а равен координате точки С на оси АЕ. Когда а возрастает от 0° до 180° (т. е. когда точка В пробегает полуокружность от точки Е до точки D), точка С пробегает диаметр ED от точки Е до точки D. При этом координата точки С, т. е. cos а, убывает от 1 до -1. ■ Замечание. Это свойство можно было бы доказать и так. Воспользуемся равенством cosa—sin(90°-a) для острого угла а. Зная свойства синуса, получим, что косинус убывает, когда а возрастает от 0° до 90°, А затем применим свойство 2. Подробное доказательство проведите самостоятельно. 4. Косинус однозначно определяет угол. Это значит, что из равенства cos а=соь р вытекает равенство а=р. Это свойство доказывается так же, как аналогичное свойство для синуса острого угла. Докажите его самостоятельно. Косинус, как и синус, находят по таблицам или с АС = -сова Рис.140 121 помощью калькулятора. В особой таблице ,цля косинуса нет необходимости, если уже составлена таблица значений синуса. Действительно, для углов до 90* cos a=sin (90*-а), а если а>90°, то косинус можно находить из равенства cos а=—cos (180° —а). Как и дпя синуса, приведем график косинуса (рис. 141). # Вопросы 1. Как вычислить косинус угла? 2. Какой формулой связаны между собой синус и косинус; а) одного угла; б) дополнительных углов? 3. Как вычислить косинус острого угла в прямоугольном треугольнике? 4. Какие свойства косинуса вы знаете? 5. Как доказываются свойства косинуса: а) без использования синуса, исходя только из определения; б) с использованием синуса, причем разными способами? Рис. 141 Задачи к § 9 4^’ • Дополняем теорию Дай отрезок длиной d. Он проектируется на прямую п, и d, — длина его проекции. Угол между а и прямой, содержащей отрезок, равен <р (ф<90°). Запишите формулу, связывающую d, d, и ф. а) Укажите в этой формуле пропорциондпьные величины, б) Выразите из нее d, cos=у 123 а) Правая часть равенства известна из условия, значит, известна и левая его часть, которая в соответствии с нашим рисунком равна AiB: АВ. Но это отношение не что иное, как косинус угла В. Дальнейшее просто (?)_ И наконец, для решения задачи мы полагали, что известны не только высоты треугольника, но и то, куда они проведены. Подумайте, что мы получили бы, если бы отказались от этого дополнительного предположения (?). Смотрим Запишите выражения для синусов и косинусов углов, указанных на рисунке 143. Вычислите синусы и косинусы углов по рисунку 144. б) в) 124 Рисуем Т| Нарисуйте угол а, такой, что: а) sina>-^, cos(x>-^‘ б) sina<-^, cosa>4-; в) sina>4‘. со5а<-^; г) sinaф>. Как изменится результат, если ф, и фз — два тупых угла? Как изменится результат, если ф, — острый угол, а фз — тупой? (9.26 ( 4| Исследуем Для каких углов а: а) sin a>cos а; б) sina (5) И так как значение косинуса определяет угол, то из (5) угол находится однозначно. Аналогично находим гСА и /LB. ■ Отметим, что формула (5) позволяет сделать такие выводы: 1) Если (^=а^+Ь^, то cos С=0 и L С=90° (теорема, обратная теореме Пифагора). Согласно именно этой теореме «египетский треугольник» со сторонами 3, 4. 5 прямоугольный (а не по теореме Пифагора, как иногда говорят^ 2) Р.сла то cos ОО и АС острый. 3) Если с^>а^+Ь^,10 cos С<0 и АС тупой. Задача 2. Даны две стороны треуго.пьника и угол между ними. Найти третью сторону и остальные два угла. Решение. Пусть известны стороны а, Ь треугольника АВС и угол С между ними. Тогда по формуле (I) находим 5 XjicKcaiLipon «Геометрия, й К-1. ' 129 третью сторону с. Затем, снова пользуясь ОТП, находим углы Л и б (как указано при решении задачи 1). Но эти углы можно найти и по теореме синусов (объясните как). ■ \j 10.3. Средняя линия треугольника Вот еш,е пример применения ОТП — теорема о средней линии треугольника, доказанная другим способом еще в п. 1.5. Когда говорят о средней линии, две стороны треугольника, середины которых она соединяет, называют боковыми, а третью сторону — основанием. Это позволяет сформулировать такую теорему: Теорема 12 Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания. Доказательство. Проведем в треугольнике АВС среднюю линию KL^ где К — середина стороны АС, L — середина стороны ВС (рис. 146). Пусть KL=d. Тогда по ОТП из треугольника KLC (т)' + Ш’ -2f Рис.146 = 4-(аЧ&2 -2аЬ cosC)=-^. Поэтому , т. е. средняя линия треугольника равна половине основания. Положим Z CKL=a. Вычисляя cos а по ОТП из треугольника KLC, получаем: cos а= 2 2hc =cos/4, Поэтому a=/LA. Так как соответственные углы при прямых KL и АВ и секущей АС равны, то можно заключить, что KLWAB. Ш 130 \j 10.4. Сравнение сторон и углов треугольника Следствием ОТП и свойств косинуса является и такая теорема: Теорема 13 В каждом треугольнике против большей стороны лежит и больший угол. Верно и обратное: в каждом треугольнике прочив большего угла лежит и большая сторона. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами а, Ь, с (рис. 147, а). Используя ОТП, получаем; cost4-cosS= .2,2 2 Ь +с - а а +с^~ 2Ьс 2ас J ^ 2 3 2, , 2^ ,3 до + ас —а -а Ь-Ьс +о _ 2аЬс _(Ь-а)(а + Ь + с)(а + Ь - с) ~ 2аЬс (6) Так как согласно неравенству треугольника а+Ь—с>0, то знак разности cos Л—cos В совпадает со знаком разности Ь—а. Из этого н вытекают оба утверждения теоремы: 1) Если Ь>а, то Ь—а>0 и поэтому cqsA-cqsB>0, т. е. cos A>cosB. Так как косинус убывает, то угол В больше угла А. 2) Если угол В больше угла Л, то cosA>cosB и, следовательно, созЛ—cos5>0. Поэтому Ь-а>0, т. е. Ь>а. Ш Замечание. Эту теорему легко доказать и чисто геометрически. Вспомните, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны и что внешний угол треугольника больше внутреннего, с ним не смежного. Как, используя эти утверждения, доказать, что против большей стороны лежит больший угол, показано на рисунке 147, б. Эти доказательства хорошо показывают различие между двумя методами — вычислительным и наглядным. У каждого метода свои преимущества. ■ Теорему 13 можно использовать, например, определяя вид углов треугольника по его сторонам. Для этого достаточно узнать, какой угол лежит против большей стороны треугольника. CD = СВ = а /LB>/Ll = A2> ^ Рис. 147 131 10.5. Практические применения ОТП Задача 1. Иайти расстояние между двумя недоступными предметами при наблюдении из данной тонки, располагая дальномером. Решение. Пусть предметы расположены в точках Л, а мы находимся в некоторой точке С (рис. 148). Измеряя расстояние дальномером, находим СА=Ь, СВ=а. Измеряем угол С между СА и СВ. Тогда расстояние АВ=с можно найти по ОТП. ■ Задача 2. Найти расстояние между двумя недоступными предметами, когда нет дальномера. Решение. Пусть предметы расположены в точках А, В и видны из точек С, D (рис. 149). Измеряя CD и нужные углы, находим расстояния СА и СВ (задача I, п. 8.5). Измеряем также угол между СА и СВ. После этого находим АВ, применяя ОТП к треугольнику АВС.Ш • Вопросы 1. в чем заключается обобщенная теорема Пифагора? 2. Докажите ОТП. 3. Почему ОТП имеет такое название? 4. Какие задачи но решению треугольников вы можете решить с помощью ОТП? 5. Как определить вид углов треугольника с помощью ОТП? 6. Какие еще следствия из ОТП вы знаете? 7. Какие практические задачи вы можете решить с помощью ОТП? Рис.149 Задачи к § 10 Дополняем теорию Две стороны треугольника постоянны, а угол между ними увеличивается. Докажите, что при этом третья сторона треугольника увеличивается. Докажите обратное утверждение. Какие слелствия отсюда вытекают? дат а) Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. б) Используя задачу а), получите формулу для вычисления медианы треугольника по трем его сторонам. в) Докажите, что треугольник с двумя равными медианами равнобедренный. а) Докажите, что самая длинная хорда выпуклого многоугольника — его сторона или диагональ. б) Верно ли аналогичное утверждение для невыпуклого многоугольника? Разбираемся в решении iniEW 4.1 Из в.ершнны неравнобедренного треугольника проведены биссектриса, высота и медиана. В каком порядке они расположены, если смотреть от большей из сторон при этой вершине к меньшей? Решение. Прежде чем что-то доказывать, надо знать, что доказывать. Поэтому сначала поставим эксперимент. Нарисуем любой неравнобедренный треугольник АВС (ВАУВС) и построим — для точности циркулем и линейкой — из вершимы В высоту ВН, медиану ВМ и биссектрису BL (рис. 150). Увидим, что порядок точек на отрезке АС именно такой, как на рисунке; А, М, L, Я, С. Но будет ли это верно для любого треугольника? Давайте мысленно двигать точку А влево, а точки Д и С оставим на своих местах. Что будет происходить с точками Н, L, М? '■ Точка Н не изменит своего положения. Займемся теперь точкой L. Так как угол СВА будет увеличиваться, то будет увеличиваться н его половина — угол CBL. Значит, точка L будет двигаться влево от своего начального положения. При этом угол СВА не будет больше, чем 180°—Z.C (?), значит, угол CBL не будет больше, чем 90°- Z.C. Поэтому для точки L суш,ествует некоторое предельное положение на луче СА, за которое точка L не перейдет. И наконец о точке М. Так как отрезок СА увеличивается, причем неограниченно, то увеличивается и тоже неограниченно отрезок СМ — его половина. Значит, точка М, как говорят, «уйдет в бесконечность», т. е. на луче СА она может находиться сколь угодно далеко от его начала С. Итак, из некоторых соображений следует, что В порядок точек yVf, L, II будет всегда один и тот же. Но являются ли эти соображения доказательными (?). Давайте рассуждать иначе. Имеем А AB/i=QQ°-l.A, АСВН= =90°-// С (?). Так как угол С больше угла А (?), то угол АВН больше угла СВИ. Но тогда А АВН> у А АВС, а поэтому биссектриса BL лежит внутри угла ABII, т. е. точка L лежит левее Н. Далее, так как АВУВС, то AL>LC (?). Но тогда АЬУ-^АС, а потому середина АС — точка М лежит на AL, т. е. левее точки L. ■ Планируем (10.5 ( 2| В треугольнике известны все стороны. Как вычислить: а) хорду треугольника, соединяющую вершину с данной точкой на противоположной стороне; б) биссектрису треугольника; в) высоту треугольника; г) хорду треугольника, соединяющую две данные точки на его сторонах? Точка находится внутри равностороннего треугольника, сторона которого известна. Известны также расстояния от этой точки до вершин треугольника. Как найти расстояние от нее до центра треугольника? Все ли данные вам понадобились? (10.7 ( 2 Дан параллелограмм. Как вычислить: а) его диагонали, если известны стороны и угол между ними; б) фиксированную хорду, если и.чвестны стороны и одна из диагоналей: в) стороны, если известны диагонали и угол между ними? Известны стороны и диагонали четырехугольника. Как узнать, является ли он выпуклым или нет? Работаем с формулой Дан треугольник АВС. а) Запишите ОТП для стороны а, стороны Ь. Какие следствия вы можете получить из этой системы равенств? б) Сумма углов В и D четырехугольника ABCD равна 180°. Запи1пите ОТП для диагонали АС. Какие следствия вы можете получить для этой системы равенств? Н Находим величину Пусть в треугольнике ЛВС известны стороны а и а также угол С. Составьте план вычисления стороны с. Вычислите с, если а=2, Ь=\, АС=т°. Определите вид треугольника по углам, если; а) его стороны равны: 5. 6, 7; 5, 6, 10; 5, 10, 10; 30, 40, 50; а, а+1, а + 2; б) одна из его медиан равна средней линии треугольника, которую она пересекает. Стороны треугольника равны 4, 5, 6. Вычислите его наибольшую медиану и наименьшую биссектрису. 134 #ШГ21 Вычислите неизвестные элементы треугольника АВС: а Ь с Z.B 3 2 60° 3 4 135° 2,4 1.3 28° 0,15 0,62 161° 4 5 6 4 6 6 12 5 13 0,3 0.4 0,5 На прямой лежат три точки: Л,, Лд, причем A^A2=d^, Из точки К отрезки и А^А^ видны под углом (р. Вычислите расстояния от К до данных точек. Как решить задачу в общем случае? Ищем границы Точка А удалена от прямой а на 1. По прямой а движется отрезок длиной 2. В каком положении он виден из А лучше всего? Можете ли вы решить задачу в общем виде и дать ей практическое истолкование? ЦД1Д 4 I а) В прямоугольном треугольнике АВС (Z^=90°) взята точка О. Найдите в треугольнике АОС наибольщую сторону. б) Решите аналогичную задачу для тупоугольного треугольника с тупым углом при вершине В. ^ Доказываем <МИ 11 ■»«а 11 Докажите, что в параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ. Докажите обратное утверждение. Докажите, что ббльшая медиана треугольника проводится к меньшей его стороне. Докажите обратное утверждение. Докажите теорему синусов, исходя из ОТП. Диагонали четырехугольника перпендикулярны. а) Докажите, что суммы квадратов его противоположных сторон равны. б) Докажите утверждение, обратное а). 135 в) Пусть одна из его сторон неограниченно уменыиается и в конце концов становится равной нулю. Что представляет собой этот «вырож- денный» случаи задачи.-' В трапеции рассматриваются углы при большем основании. Докажите, что против большего из них лежит большая диагональ трапеции. Проверьте обратное. Исследуем flilMtl 21 IftWI 2 I Ш1МЯ 21 Дан угол. I [роводятся всевозможные его хорды, отсекающие от угла треугольники данной площади. Какой из таких треугольников отсечен наименьшей хордой? Длины всех сторон треугольника умножили на одно и то же число. Могут ли полученные числа быть длинами сторон какого-либо треугольника? В равнобедренном треугольнике известны основание, периметр и площадь. Установите связь между этими величинами. В выпуклом четырехугольнике известны две стороны, диагональ н углы, которые она образует с двумя сторонами. Хватит ли этих данных, чтобы ————— вычислить остальные элементы четырехугольника? ШДаЯ 4 I У двух выпуклых четырехугольников ABCD и Л^Й,C,£), соответственные стороны равны. Пусть /-А больше, чем /lA^ Сравните величины остальных их углов. В треугольнике/4БС ЛД>ВС. Провели биссектрисы ЛЧ, и СС,. Сравните отрезки ЛС] и СЛ|. Проведите отрезок Л,С,. Сравните его с отрезками ЛС) и СЛ|. Применяем геометрию iBIMa 2 I Ножки циркуля-измерителя, упираясь концами в отрезок дяннон 1, образуют угол 30°. Какой угол они будут образовывать, упираясь в концы отрезка длиной 2? Обобщите задачу. Вы располагаете прибором для измерения расстояний. Как определить скорость движения удаленного объекта (корабля, самолета)? Требуется найти расстояние от точки Л до точки X на местности. Объект X виден только из точек Л и С, где С — некоторая точка местности. Расстояние АС на местности не поддается измерению. Придумайте способ вычисления расстояния АХ. 11ДШТ51 IliHiT 51 Выходим в пространство 1ЬШ 2 I 136 Пусть BD — перпендикуляр к плоскости треугольника ADC. Пусть известны BD, X.ABD, /LCBD, /.АВС. Как вычислить площадь поверхности тетраэдра ABCD? Приведите численный пример. Пусть РВ — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, АВ—ВС, ЛС= 1, Z ЛЯС=<р, РВ= 1. Найдите /.АВС и площадь поверхности тетраэдра РАВС. Пусть РВ — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника АВС С € <1 Bt (F м< М' ш зг mm 41 s I (Z C=90°). Докажите, что ZЛCP=90°. Сформу- a) лируйте и докажите обратное утверждение. В правильном тетраэдре ABCD точка К — середина Л С, точка L — середина DK, точка М — середина DB и DQLKB (точка Q лежит на прямой КВ). Ребро тетраэдра равно 2. а) Вычислите KL, LM, BL, DQ, MQ. б) Докажите, что DQA./Q. в) Какой еще прямой перпендикулярна прямая DQ} Пусть ABCD — правильный тетраэдр. Точка X внутри ребра АС, точка Y внутри ребра ВС. Какая сторона в треугольнике KDY является наименьшей? б) Вы находитесь на вершине триан1уляционного В пункта. Его высота известна. У вас в руках только транспортир. Как вычислить площадь треугольника, расположенного на земле? Занимательная геометрия l!№W 41 Нарисуйте любой четырехугольник. Можете ли вы, имея на руках только транспортир, установить, какая сторона в нем наибольшая? А справитесь ли вы с такой задачей для произвольного многоуго;]ь-ника? Составьте аналогичную задачу про углы. Рис. 151 ИВ Участвуем в олимпиаде HiKM I в треугольнике АВС сторона АС наибольшая. Эта сторона продолжена за точку С на отрезок CD, равный отрезку ВС. Установите вид угла ABD. В равностороннем треугольнике АВС находится такая точка D, из которой сторона АС видна под углом 120°, причем DA—\, DC=2. Чему равно расстояние D6? В выпуклом четырехугольнике ABCD Z/4=Zfi, Z D>Z С. Докажите, что BOAD. §11. Тангенс и котангенс 11. 1. Определение тангенса # Начнем с одной практической задачи: как измерить высоту столба (дерева или мачты) по длине тени (рис. 151, а)? Будем предполагать, что мы можем измерять углы, в частности угол, под которым виден измеряемый предмет от конца его тени (рис. 151, б). Мы получили такую г е о м е т р н ч е с к у ю з а д а ч у: найти катет ВС=а прямоугольного треугольника, зная его катет ЛС=Ь и угол А. 137 Подобные задачи мы уже решали. Вспомним, что 5шЛ —и cos Л = у. Поделив первое равенство на второе, получим ^ ■ Отсюда cos А sin А а=Ь cos А (i: в равенство (1) входит отношение двух функций угла — синуса и косинуса. Его рассматривают как еще одну функцию угла — тангенс. Определение Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу. Тангенс обозначается символом tg, так что по определению sin А cos А (2) Для прямого угла тангенс не существует, так как cos90°=0 и отношение для прямого угла А теряет смысл. 11.2. Тангенсы острых углов прямоугольного треугольника в прямоугольном треугольнике АВС с катетами а=ВС и Ь=АС (рис. 152) 81пЛ = -^ и С05Л=-^. Поэтому sin А tgA = cos А а . Ь с " с _а_ Ь (3) Итак, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению катета, противолежащего этому углу, к прилежащему катету. Например, тангенс острого угла равнобедренного прямоугольного треугольника равен 1. Равенство (1), дающее решение задачи о нахождении высоты предмета по его тени, теперь запишется так; а=Ь tgA. А вот другое практическое истолкование тангенса. Тангенс характеризует крутизну подъема в горах, если 138 и т и 1 1: М Е 1 т ( с I 1 под крутизной подъема понимать отношение смещения по вертикали к смещению по горизонтали. Это удобно при работе с картой. 11,3. Свойства тангенса и его график Тангенс есть отношение синуса к косинусу. А синус и косинус зависят лишь от величины угла. Поэтому и тангенс зависит лишь от величины угла, т. е. является , . , sin а функциен величины угла; tgcc~ cos а Вычислим несколько значений этой функции; tgO°= sin 0° cos 0° = 0; tg30°= sin 45“ sin 30“ 30“ cos 45® sin 60“ = 1; cos 60“ A теперь выясним, как изменяется tga, когда а возрастает от 0° до 90°. Построим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС=\ и ZA=a {рис. 153). Тогда другой его катет 6C=tga. Когда угол а возрастает от 0'^ до 90°, катет ВС возрастает от 0 до бесконечности. Итак, мы доказали важное свойство тангенса: 1. При увеличении угла от 0° до 90° тангенс растет от О до бесконечности. Из этого свойства вытекает второе свойство тангенса: 2. Для острых углов значение тангенса определяет угол. Оно доказывается так же, как аналогичное свойство синуса (п, 7.6). Докажите его самостоятельно. 11.4. Котангенс Изменим геометрическую задачу, решенную в п. 11.1. Пусть теперь требуется найти катет AC=h прямоугольного треугольника, зная его катет ВС=а н угол А. Тогда из равенства (Т) получим: Ь= а- cos А sin А (4) И опять отношение косинуса к синусу рассматривают как еш,е одну функцию угла — котангенс. В АС = 1, ВС = tga Рис. 153 139 Определение Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу. Котангенс обозначается символом ctg, так что по определению ctg/l = J?54 ° sm А (5) Котангенс не существует тогда, когда синус обращается в нуль, т. е. для 0° и 180°. Котангенс, как и остальные тригонометрические функции, зависит лишь от величины угла. Для тех углов, где и тангенс, и котангенс отличны от нуля, они связаны простым соотношением "‘8«=трг- <6> При возрастании угла от 0° до 180° (сами эти значения не рассматриваются) котангенс убывает от +о° до -оо (объясните почему). График котангенса приведен на рисунке 154, а, а график тангенса на рисунке 154, б. ф Замечание. Иногда рассматривают еще две тригонометрические функции—секанс (обозначается так: sec) и косеканс (обозначается так: cosec). Они определяются слелующими равенствами: seca=—^— Hcoseca=——. (7) cos а sm а ' ' В нашем курсе эти функции не употребляются. Можно доказать, что sec^ а= 1+lg^ а, cosec^a= = 1 +ctg^ а. 11.5. Об истории тригонометрии А Тригонометрия — «измерение треугольников» — развивалась прежде всего в связи с потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому ее зачатки были уже в Древнем Вавилоне, где астрономия получила значительное развитие. В знаменитом труде греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в.), где изложена античная система мира, содержатся элементы не только тригонометрии на плоскости, но и на сфере. В Древней Греции вместо синуса угла рассматривали длину хорды, соответствующей удвоенному углу между радиусами единичной окружности (рис. 155). Это, по сунтеству, то же самое, так как синус равен половине 140 такой хорды. Первые тригонометрические таблицы хорд были составлены Гиппархом во II в. до н. э. Синус и косинус появляются в астрономических сочинениях индийских ученых IX—X вв. В частности, тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине тени, решение которой необходимо для изготовления солнечных часов. Выделение тригонометрии в специальный раздел математики связано с именем выдающегося персидского ученого Насирэддина Туей (1201 —1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в XV в. немецким ученым Региомонтаном (1436— 1476). Современный вид тригонометрия получила в работах крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783). Обобщенная теорема Пифагора в другом виде доказана уже в «Началах» Евклида. Теорема синусов была получена выдающимся среднеазиатским ученым Б и р у н и в XI в. А Вопросы Региомонтан 2. 3. В чем разница между тангенсом и котангенсом.? А в чем нх сходство? Как вычислить тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике? А котангенс? Какие задачи на решение треугольников можно рсп1ить с помощью тангенса (котангенса)? Как можно доказать возрастание тангенса, исходя из рисунка 153, другим способом? Какие Практические задачи можно решить с помощью тангенса (котангенса)? Какие вы знаете теперь тригонометрические функции? Что вы знаете из истории тригонометрии кроме того, что написано в этом параграфе? Задачи к § 11 Дополняем теорию Докажите, что тангенсы смежных углов противоположны. Пусть известны проекции отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые. Как, используя тангенс, вычислить угол, который составляет прямая, проходящая через этот отрезок, с каждой нз данных прямых? Докажите, что произведение тангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно единице. 141 Разбираемся в решении а) Параллелограмм ABCD, в котором AD^d^, АС1.АВ, пере- гнули по диагонали АС. Отрезки AD и ВС пересеклись в точке К. Чему равно расстояние от К до ЛС? б) Обобщите задачу а). Решение. б) Обобщать можно по-разному. Например, можно начать перегибать другие четырехугольники, да и вообще многоугольники, и ставить аналогичные вопросы. Мы же пойдем иным путем. К чему свелась задача а) ? Вот к чему. Дан отрезок АВ. Из точек А и В по одну сторону от прямой АВ проведены равные отрезки АА, и BBi- Отрезки AB^ и ВЛ, пересекаются в точке К. Чему равно расстояние от К до (АВ) (рис. 156, а)? Для того чтобы обобщить эту ситуацию, достаточно отказаться от условия равенства отрезков ЛЛ, и ВВ,. Итак, пусть ЛВ=Д, ЛЛ,=а, ВВ,=Л. Чему равно теперь расстояние от К до (ЛВ) (рис. 156, б)? Проведем KLJlAB и обозначим KL=x. Далее обозначим Z/C4L=a ^m=p, AL=d^, BL=d2- Главную роль в решении этой задачи будет играть тангенс. Итак, из ЛЛ:Д4 имеем {ga=x■d^, из А В,ВЛ имеем tga=b: d. Поэтому ^ = 7 «) а) в) В В. I -I Точно так же из треугольников KLB и Л^АВ имеем: X d., d ■ И так как dt+dn—d, (2) (3) то мы получили систему трех уравнений с тремя неизвестными; х, dj, d^. Решается она просто. Из (1) имеем из (2) имеем ~ — Сложим последние два равенства и получим; ^1 I ^2 _ d . d X X а Ь ' откуда (di+flfg) d^+do на d, приходим к равенству X V а ИЗ которого и находим; х= 1 т*т Результат получился удивительный — вы видите, почему? Оказалось, что величина х не зависит от величины d\ На живом примере это значит вот что. Имеется два столба, скажем, высотой 2 м и 3 м. С помоидью двух проволок делается такая конструкция, как в задаче. Предположим далее, что в точке пересечения проволок подвешивается лампа. Так вот, высота лампы над землей будет одна и та же независимо от расстояния между столбами, будь она 10 м, или 100 м, или гипотетически 1 км. Далее можно задаться таким вопросом: а что будет происходить, если перпендикуляры ЛЛ, и ВВ^ смотрят в разные стороны от прямой АВ (рис. 156, б)? Если вы не ошибетесь в выкладках, то должна получиться для X такая формула: х= . ^ (в предположении, что а<Ь). А можно J_ а ли работать с этой формулой при a>ft? А при а=Ь} Что будет происходить на самом деле при таких соотношениях между а и Ь7 Планируем Как вычислить сторону АС треугольника АВС, если известны: а) высота, опущенная на сторону ЛС, и углы, которые эта высота образует со сторонами ВА н ВС\ б) высота, опущенная на сторону ЛС, xLA, L.C7 143 Как вычислить углы: а) равнобедренного треугольника, если известно основание и высота к нему; б) треугольника, если известны его высота, опущенная на одну из сторон, и проекции других сторон на прямую, со-держагцую первую сторону; в) между диагоналями прямоугольника, если известны его стороны; г) ромба, если известны его сторона и диагональ; д) ромба, если известны его диагонали; е) равнобокой трапеции, если известны все ее стороны; ж) равнобокой трапеции, если известны ее основания и площадь? Даны две взаимно перпендикулярные прямые и две точки А н В. Известны расстояния от этих точек до данных прямых. Как вычислить угол между прямой АВ и данными прямыми? Как вычислить площадь: а) прямоугольника, если известна его сторона и угол меж/]у нею и диагональю; б) прямоугольника, если известна его сторона и угол между диагоналями; в) ромба, если известен его острый угол и одна из диагоналей; г) равнобокой трапеции, если известны ее основания и острый угол? Как сделать трапецию площадью 1, если при этом: а) ее основания равны 2 и 3; б) она равнобокая с большим основанием 2 и углом при нем 60°; в) ее большее основание 2, а острые углы при нем 30° и 45°; г) она составлена из двух прямоугольных треугольников? Работаем с формулой 1 I Запишите формулу тангенса. Выразите из нее: а) синус; б) косинус. Докажите, что для острого угла тангенс больше синуса. Выясните, для каких острых углов тангенс больше косинуса, тангенс больше котангенса? 11 (ПЖ2 ш Находим величину Составьте для тангенсов таблицу, аналогичную таблице к задаче 7.6. Вычислите тангенсы углов треугольников, рассмотренных в задаче 7.4, и найдите сами углы. ^ Вычислите неизвестные элементы прямоугольного треугольника АВС: а Ь ^А 3,2 4,6 0,12 24° 570 66° 7.1 33° 0,63 10° 144 Ищем границы 2 I Из треугольника требуется вырезать прямоугольник наибольшей площади. Как это сделать, если исходный треугольник: а) равнобедренный прямоугольный; б) прямоугольный с неравными сторонами; в) равнобедренный с произвольным углом при вершине; г) произвольный? 1^ Доказываем 1 ] Используя тангенс, докажите, что квадрат высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Обобщите это равенство. Исследуем Через точку на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС проводится перпендикуляр к ней. Он встречает прямые АС и ВС в точках К и L. Требуется выяснить, будет ли сумма расстояний от этих точек до АВ постоянной. Если да, то чему она равна? Если нет, то в каких границах она лежит.’' Строим З] Постройте угол ф, такой, что; а) lg9=-|-; б) tg4. Рассуждаем ^ Расположите в порядке возрастания тангенсы таких углов: а) 70°, 80°, 100°; б) 60°, 110 . 120°; в) 130°, 140°, 160° 0 Выходим в пространство В тетраэдре ABCD ребро АВ нерпеидик>'Лярно грани BCD, /LCDB=9Q°, АВ=\, BD=2, CD=3. Вычислите углы во всех гранях этого тетраэдра. Ребро BD тетраэдра ABCD перпендикулярно грани АВС, /L ЙЛС=90°. Пусть известны BD и все углы при вершине D. Как вычислить площадь по-верхностн тетраэдра? Приведите численный пример. 21 в основании четырехугольной пирамиды PABCD квадрат, а ребро РВ перпендикулярно основанию ABCD. Пусть известны РВ н все углы при вершине Р. Как вычислить площадь поверхности пирамиды? Приведите численный пример. В основании четырехугольной пирамиды PABCD прямоугольник. Грань РСЙ является равнобедренным треугольником {PD=PC). Высота РК этой грани перпендикулярна основанию. Пусть известны РК и все углы при вершине Р. Как вычислить ее площадь поверхности? Приведите численный пример. 145 ЯШ1 I оша 2_ <1ИШ1 н I Применяем геометрию Как вычислить угол подъема эскалатора метро? Как вычислить среднюю крутизну склона по карте? Солнце видно под углом ф. Чему равна наибольшая плошадь тенн на земле от стоящих вертикально на ней объектов: а) правильного треугольника со стороной d; б) квадрата со стороной d? а) Как вычислить высоту башни, не подходя к ней? б) Пусть вы подошли к башне на 1UL) м, а угол, под которым вы ее видите, изменился от 16® до 16®20'. Чему равна высота башни? Как вычислить; а) ширину реки, глядя на нее с вышки; б) высоту дерева, растущего на склоне горы? Вы идете по прямой дороге. Из двух ее мест, расстояние между которыми известно, вы видите гору под углом Смотрим 1) Как вычислить величины дуг окружности, радиус которой известен, по рисунку 176. а — ff? 2) Вычислите неизвестный угол по рисунку 176, г — и. Объясните, почему точки А, К, С, L лежат на одной окружности (рис. 177). ^ Рисуем Нарисуйте ломаную ЛВС. Найдите точку X, такую, что: а) /LAXB= =/LBXC=70° (как вычислить угол ЛХС?); б) /LAXB<30°, ZlfiA'OlOO'’; в) AAXB>Q0°, АВХС>т°. а) Найдите такую точку, из которой два данных отрезка видны под углом ф. б) Найдите точку в треугольнике, такую, из которой все его стороны видны под равными углами. в) На данной прямой (окружности) найдите точку, из которой данный отрезок виден под данным углом. 1 4(3 представляем 11 Дан угол. На какой линии располагаются центры окружностей, высекающих на его сторонах равные хорды? Какую линию образуют середины всех хорд окружности, параллельных между собой? Дана прямая. Найдите множество центров окружностей радиуса г, высекающих на данной прямой хорду длины а. Дана окружность. Найдите множество центров окружностей радиуса г, высекающих на данной окружности радиуса R хорду длины а. ШТГТ21 Какую линию образуют: а) центры окружностей, касающихся данной прямой в данной точке; б) центры равных окружностей, касающихся данной прямой; в) центры окружностей, касающихся сторон угла? 159 б) в) N \i г) к В каждой^ точке окружности радиуса R к ней проводится касательная и на каждой касательной от точек окружности отложен отрезок длины а. Какую линию образуют другие концы этих отрезков? Какую линию образуют точки, из которых окружность радиуса R видна под заданным углом (р? Работаем с формулой Первую из величин в формуле d=2R • sin <р считайте постоянной, а вторую начните изменять. Как в зависимости от этого будет изменяться третья величина? В каких границах лежит отношение -^? {d — длина хорды. R — радиус окружности, <р — угол, под которым эта хорда видна из точки на окружности.) Планируем 1Ш11] Две окружности пересекаются в двух точках. Радиусы окружностей и расстояния между их центрами известны. Как вычислить длину их обшей хорды? 160 ■ИВМ I I в круге радиусом R через концы одного диаметра проведены две хорды длинами d| и do. Как найти: а) угол между прямыми, на которых лежат эти хорды; б) расстояние между их концами, не лежащими на данном диаметре? Как построить полосу данной ширины, края которой проходят через две данные точки? Нарисуйте окружность. Как выбрать на ней три такие точки, чтобы касательные к окружности, проведенные в этих точках, ограничили: а) равнобедренный треугольник; б) равносторонний треугольник; в) прямоугольный треугольник; г) треугольник с заданными углами; д) треугольник с заданными сторонами? РП Находим величину В круге радиусом 1 проведена хорда. Вычислите ее длину, если: а) она удалена от центра на ‘Д; б) она видна из центра под углом 150°; в) она равна перпендикулярной ей хорде, проходящей через ее конец; г) она образует с равной ей хордой, имеющей с ней общий конец, угол ср; д) она делит перпендикулярный ей диаметр в отношении 1 :2. В круге радиусом 3 проведена хорда. Под каким углом она видна из центра, если ее длина: а) равна 1; б) равна 3; в) меньше чем 0,1; г) больше чем 4; д) равна расстоянию от нее до центра; е) равна длине хорды, имеющей с ней общую точку на окружности и перпендикулярной ей? В круге радиусом R проведены две параллельные хорды, а) Они ввдны из центра под углами ф, и ф^. Чему равно расстояние между ними? б) Одна из них имеет длину d. Чему равна длина второй, удаленной от первой на расстояние Л? Составьте другие задачи на этот сюжет. Ш¥МК1 I I В круге радиусом R через точку внутри его проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной d. а) Найдите расстояние от центра круга до точки пересечения хорд, б) Найдите расстояние между концами этих хорд, в) Сможете ли вы решить задачу б), если длины хорд будут равны di н й(2? г) Сможете лн вы решить задачу б), если длины хорд будут d, а угол между ними ф? д) Обобщите задачу. От точки А окружности радиусом R отложили две хорды АВ и АС длиной d. Хорду АВ продолжили за точку А на расстояние d до точки D. Чему равно CD? Как, исходя нз этой задачи, можно разметить окружность на ______ земле? ■ВЖШ 2 I В круге радиусом R проведена хорда. Под каким углом она видна из центра, если она; а) удалена от параллельной ей касательной на расстояние d; б) образует с касачельной, проходящей через се конец, угол ф; в) равна касательной, проведенной через некоторую точку на своем продолжении? Даня окружность радиусом R. Угол между двумя ее диаметрами равен q>. Параллельно диаметрам проведены две равные хорды. Каждая из них стягивает центральный угол, равный а. Чему равно расстояние между ближайшими точками этих хорд? 6 А.и’ксаил|'011 «Геочетрин. 8 кл.» 161 <Шб] IPJilil fi I Нарисуйте полуокружность с центром О и диаметром АВ. Пусть ОК ~~ радиус '^той полуокружности, перпендикулярный АВ. На прямой ОК находится точка X. а) При каком положении точки Xпрямая ВХделит пополам дугу АК\ ВЮ б) Пусть ^ОХВ=(р. Чему равны дуги полуокружности Ki и LB, где L — точка пересечения прямой ХВ с полуокружностью? Хорда длиной с1 делит радиус круга пополам и перпендикулярна ему. Чему равен этот радиус? Хорда длиной d удалена от одного из концов перпендикулярного ей диаметра на расстояние rf,. Чему равен радиус круга? Даны окружнисгь радиусом 2 И точка А на ней. Чему равна длина хорды этой окружности, если она видна из точки А под углом: а) 30°; б) больи1е чем 90°; в) меньше чем 120°? Под каким углом видна из центра круга радиусом R его хорда длиной d, если; а) d=l: б) /?=2, d>2\ в) R^2, ri<3; г) d=R\ д) dRj3 ; ж) R <нвнь| На одной из сторон угла дан отрезок. На другой стороне найдите точку, из которой отрезок виден лучше всего. fEEEm Дан сектор круга, меньший чем полукруг. В каких границах лежит его хорда? (Ее концы могут лежать как на дуге окружности, так и на ее радиусах.) Какой из треугольников с данным основанием и данным углом против него имеет наибольшую площадь? 1ИПИ~б1 Какой из треугольников с данным основанием и данным углом против него имеет наименьший периметр? ^ Доказываем а) Через точку А данной окружности проводят хорды. I) Объясните, почему из А выходит не больше двух хорд заданной длины. 2) Пусть АВ и АС—две равные хорды. Докажите, что хорда ВС перпендикулярна диаметру, выходящему из А. б) Пусть точка А лежит внутри круга. Составьте задачи, аналогичные задаче а). Докажите, что в одном и том же круге равны две дуги, заключенные между; а) двумя параллельными хордами; б) касательной и параллельной ей хордой. На окружности отмечены две точки А и В. На одной из полученных дуг взята точка X, а на другой — точка К причем ни одна из них не совпад^ает с точками А и S. Докажите, что сумма углов АХВ и AYB одна и та же при любом положении точек н К а) Пусть точка X лежит внутри круга диаметром АВ, но не на АВ. Докажите, что угол АХВ тупой. б) Пусть точка X лежит вне круга диаметром АВ, но не лежит на прямой АВ. Докажите, что угол АХВ острый. в) Проверьте утверждения, обратные а) и б). г) Сформулируйте задачи, аналогичные задачам а) н б) для точек пространства. Через точку А на окружности проведены касательная АВ (А — точка касания) и хорда АС. Биссектриса угла ВАС пересекает окружность в точке К. а) Докажите, что КА=КС. б) Докажите обратное, в) Как, исполадуя результаты а) и б), можно строить точки окружности, имея на рисунке только касательную и хорду? СШИ Нарисуйте острый угол А и внутри его точку В. Пусть B^ и В^ — ее проекции на стороны угла, а) Докажите, что отрезок ДД, виден из точек А и В-2 НОД равными углами, б) Из каких точек видны под равными углами отрезки ВВ^, АВ, АВз? 163 СЕГ61 *дягб1 Пусть AA^B^B — квадрат, точка О — его центр. На стороне квадрата АВ как на гипотенузе построен во внешнюю от квадрата сторону прямоугольный треугольник АВС. а) Докажите, что СО — биссектриса угла С. б) Пусть стороны треугольника равны 1 и 2. Вычислите СО. в) Будет ли СО биссектрисой угла С, если треугольник построить по другую сторону от прямой АВ} В четырехугольнике два противоположных угла тупые. Докажите, что диагональ, соединяющая их вершины, короче другой диагонали. Изменится ли результат, если эти углы будут прямые? острые? Исследуем В окружности радиусом R через одну ее точку проведены две хорды, образующие между собой угол ф, длины хорд равны d, и Установите зависимость между этими величинами, а) Как выглядит эта зависимость при ^[=^2? б) А если ф=90°? в) Как найти одну из этих величин, зная остальные? Две окружности радиусами /?, и /?2 ^ центрами и 0^ пересекаются в точках А н В. а) Докажите, что ABl-O^O^. б) Докажите, что АВ делится прямой 0|С>2 пополам, в) В каком случае 0[02 делится прямой АВ пополам? г) Установите свя.зь между /?,, АВ, 0,02- Как она выглядит при /?, =/?2? д) Как выразить одну из этих величин через другие? Выразите длину отрезка АВ через остальные величины. Как изменяется эта величина при изменении одной из других:* .о 1ШР1 в круге радиусом R провели две взаимно перпендикулярные хорды. Известно одно из расстояний между концами этих хорд. Сможете ли вы найти какое-нибудь из других таких же расстояний? Из точки А проведены к окружности радиусом R с центром О две касательные. Они касаются окружности в точках В и С. Пусть /.ДЛС=<р, а) Какая связь есть между величинами R, АО, ВС и ф? б) Как изменяется ф, если возрастает АО? R? в) Проведите среднюю линию треугольника АВС. Будет ли она иметь с окружностью общие точки? Какую линию образуют все такие точки, касательные из которых к двум данным окружностям равны? Одна окружность касается данной прямой в точке А, а другая окружность касается ее в точке В. Эти окружности касаются между собой. Какую линию образуют точки касания этих окружностей? 2 I Дана полуокружность с центром О. Из каждой точки X, лежащей на про-должег1ии диаметра полуокружности, проводится касающийся полуокружности луч и на нем откладывается отрезок АТ, равный отрезку ХО. Какую ——gff—. фигуру обра.зуют точки К? fMiM 5 I Верно ли, что в одной и той же окружности большая дуга стягивается ___ большей хордой? Верно ли обратное? ЛЬКЙЯ 51 Проведены две хорды АВ и ВС некоторой окружности. Пусть известны их длины и величины дуг, которые они стягивают. Можете ли вы найти длину АС и величину дуги, которую стягивает хорда АС? т < 164 аюляя til iom-K] iJ 1Ш б1 Точка С лежит на окружности диаметром АВ, точка С, — проекция точки С на АВ. Рассмотрим величины: R — радиус окружности, СС,, АС, ВС, АС\, ВС\. Выберите любые две из них как известные и постарайтесь найти остальные. В окружности проведена хорда АВ. Переменная хорда CD пересекает данную хорду и перпендикулярна ей. Как изменяется величина ЛC^+fiD^? Две окружности пересекаются в точках А п В. Через В проводится переменная прямая, пересекающая окружности в точках С и D. Как изменяется угол CAD} Две окружности пересекаются в точках Л и б. К ним проводится общая касательная. Пусть точки С п D — точки касания. Пусть известен угол, под которым отрезок CD виден из точки А. Можно ли найти угол, под которым отрезок CD виден из точки 5? Точка О лежит на отрезке АВ. По какой линии движется точка X, такая, что ^ХОВ=2^КАВ'> Треугольник АВС равнобедренный. На стороне АС как на диаметре построена полуокружность. Она пересекает боковые стороны треугольника АВ и ВС в точках К а L соответственно, а) Докажите, что KL\\AC. б) Пусть Z.ЛбC=ямой YZ. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и CD. Проведены два диаметра ЛЛ, и СС,. Докажите, что хорды A^B и C^D взаимно перпендикулярны. Хорда ВС угла Л, равного 60°, разделена на три равные части точками К и L- BK=KL=LC. При этом Х.АКС=В0°. Чему равны углы треугольника АВС? На стороне АС остроугольного треугольника Л/?С как на диаметре построена окружность. Она пересекает стороны АВ v\ ВС в точках К и L. В этих точках проводятся касательные к проведенной окружности до пересечения в точке М. Докажите, что прямые ДМ и АС взаимно перпендикулярны. На диаметре АВ окружности взята точка С. Точка D — середина отрезка СВ. Через D проведена хорда KL> перпендикулярная этому диаметру. Докажите, что прямые CL п АК взаимно перпендикулярны. Две окружности касаются внешним образом. К ним проведена общая касательная. Под каким углом видна их общая касательная из их общей точки? Две окружности пересекаются, и при этом центр каждой из них лежит вне другого круга. Через одну из их общих точек проводится общая секущая. В каком положении ее длина является наибольшей? Даны две концентрические окружности, а) По большей из них движется точка. Докажите, что сумма квадратов расстояний от нее до концов фиксированного диаметра другой окружности есть величина постоянная, б) На одной из них зафиксирована точка. Докажите, что сумма квадратов расстояний от нее до концов произвольного диаметра другой окружности есть величина постоянная. Даны две точки А н В. Точка X движется по плоскости так, что длина медианы AD треугольника АВХ остается постоянной. По какой линии она движется? На столе лежат четыре монеты разного достоинства, причем каждая из них касается ровно двух других. Х1окажнте, что четыре точки касания лежат на одной окружности. § 13. Выпуклые многоугольники 13.1. Выпуклые фигуры Согласно определению, данному в п. 1.3, многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Вместе с тем в геометрии есть общее понятие выпуклой фигуры, которое определяется совсем иначе. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соеди- 167 Рис, 178 няющин их отрезок; на рисунке 178 фигура/■’;выпуклая, а G невыпуклая. Удобно считать, что выпуклыми являются также фигуры, состоящие из одной точки, и пустая фигура (или пустое множество) ~ фи1'ура, не имеющая точек. 13.2. Примеры выпуклых фигур \) Круг. Пусть /4, В — две точки данного круга К. Проведя отрезок АВ и продолжив его, если нужно, до пересечения с окружностью, получим хорду (рис. 179, а). Хорда содержится в круге (докажите это сами). Значит, отрезок АВ содержится в круге. Тем самым круг — выпуклая фигура. 2) Плоскость, прямая, луч, отрезок. 3) Полуплоскость — это часть плоскости, ограниченная прямой (рис. 179, б). Полуплоскость является выпуклой фигурой, так как отрезок, соединяющий две любые точки полуплоскости, содержится в ней (рис. 179, в). Полуплоскости, как мы увидим, являются в некотором смысле самыми важными выпуклыми фигурами. Приведите еще примеры выщ’клых и невыпуклых фигур. а) б) в) Q Рис. 179 13.3. Два определения выпуклого многоугольника в п, 1.3 мы доказали, что выпуклые многоугольники являются выпуклыми фигурами (свойство 2). Верно и обратное: выпуклая фигура, которая является многоугольником, будет выпуклым многоугольником (в смысле определения, данного в п. 1.3). Доказательство. Пусть многоугольник Р является выпуклой фигурой. Докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Допустим противное, т. е. допустим, что у многоугольника Р есть такая сторона АВ, что многоугольник имеет точки, расположенные по обе стороны от прямой АВ. Пусть С и D — две такие точки (рис. 180). Тогда из-за выпуклости многоугольник Р должен содержать все отрезки, соединяющие точку С с точками X отрезка АВ. Следовательно, многоугольник Р содержит треугольник АВС. Точно так же он содержит и треугольник А ВО. Оба треугольника лежат по разные стороны от прямой АВ и, значит, образуют четырехугольник, содержащийся в многоуг ольнике Р. Внутренние точки отрезка АВ лежат внутри четырехугольника ABCD, а значит, и внутри многоугольника Р. Следовательно, отрезок АВ не может быть стороной многоугольника Р. Получилось противоречие, которое показывает, что предположение, будто у многоугольника Р есть точки по разные стороны от прямой, содержащей его сторону, неверно. Значит, он лежит по одну сторону от каждой такой прямой, что и требовалось доказать. ■ Итак, мы убедились, что два различных определения выпуклости многоугольника дают один н тот же результат: многоугольник, выпуклый в смысле первого определения, будет выпуклым и в смысле второго и наоборот. Значит, эти определения равносильны. (По существу, каждое из равносильных определений некоторого понятия является его характерным свойством.) D 13.4. Пересечение выпуклых фигур При пересечении выпугепых фигур свойство выпуклости сохраняется. А именно имеет место такая георема; Теорема 17 Пересечение двух выпуклых фигур выпукло. Доказательство. Пусть п — две выпуклые фигуры и Г— их пересечение (рис. 181). Если две точки 169 А н в приЕодлежат F, то, значит, они принадлежат и F|, и F,. А так как фигура выпуклая, то она содержит отрезок АВ. Точно так же F2 содержит отрезок АВ. Поэтому он содержится в пересечении F, и /"g- т- е. в F. Итак, отрезок, соединяющий любые две точки /1, В фигуры F, содержится в F, т.е. фиг7ра F выпуклая. ■ Замечание I. Эта теорема справедлива и для пересечения любой совокупности выпуклых фигур. Доказательство ее останется тем же. Замечание 2. В частности, пересечение фигур может быть пустым или состоять из одной точки. Если бы пустое множество и одна точка не считались выпуклыми фигурами, то эти случаи надо было бы исключить из теоремы и ее нельзя было бы формулировать так просто, как это сделано. Доказанная теорема позволяет получать новые выпуклые фигуры как пересечение известных. Мы уже говорили в п. 1.3, что выпуклые многоугольники можно получить как пересечение конечного числа полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольников. Круг является пересечением бесконечного семейства полуплоскостей, ограниченных его касательными (опорными) прямыми (рис. 182). W/ Рис.182 13.5. Опорные прямые выпуклых фигур Будем рассматривать выпуклые фигуры, содержащие свою границу. Для них выполняются теоремы. 1. Через каждую точку границы выпуклой фигуры проходит опорная прямая. Доказательство. Пусть А — граничная точка выпуклой фигуры /-'(рис. 183, а). Проведем через каждую точку X фшуры F луч АХ. Все эти лучи лежат в одной полуплоскости а. (Допустив противное, найдем треугольник XYZ, который содержится в F и внутри которого лежит точка А (?) (рис. 183, б), к это невозможно, так как точка А граничная.) Граница полуплоскости а и является опорной прямой фигуры F, проходящей через точку А. Ш 2. Каждая выпуклая фигура, содержащая свою границу, является пересечением полуплоскостей, ограниченных опорными прямыми (рис. 184). Именно поэтому мы говорили, что полуплоскость — самая важная выпуклая фигура. Доказать эту теорему попробуйте самостоятельно. а) :0L Рис.183 170 II II Вопросы 1. Какие вы знаете выпуклые фигуры? 2. Какие свойства выпуклых фигур вы знаете? 3. Как доказывается равносильность двух определений выпуклого многоугольника? Задачи к § 13 Дополняем теорию Докажите, что диаметром выпуклого многоугольника является либо его сторона, либо диагональ. Верно ли это для иевыпуклого многоугольника? Сколько сторон в выпуклом многоугольнике можег равняться его диаметру? А диагоналей? XI Внутри многоугольника с периметром лежит выпуклый многоугольник М2 с периметром Р^. Докажите, что Будет ли это верно, если многоугольник М2 не будет выпуклым? Разбираемся в решении Нарисуйте фигуру, отличную от круга, для которой расстояние между любыми параллельными опорными прямыми равно ширине фигуры. Решение. Разберитесь в решении этой задачи, которое дано в очень хорошей книге Г. Радемахера и О. Теплица «Числа и фигуры». Мы приводим его полностью. «Простейшая кривая постоянной ширины, не являющаяся окружностью, — это равносторонний треугольник, составленный из дуг окружностей таким образом, что каждая вершина его совпадает с центром противолежащей дуги (рис. 185). Все три дуги имеют один и тот же радиус, который и представляет собой постоянную ширину кривой. Ведь из двух параллельных опорных прямых либо одна непременно проходит чере.з вершину, а другая касателыга к противоположной дуге, либо обе проходят через вершины, и тогда обе они в этих вершинах касательны к дугам. И в том и в другом случае расстояние между двумя параллельными опорными прямыми равно длине радиуса, перпевдикуляриого к касательной в точке касания». Все ли вам понятно в этом тексте? Считаете ли вы, что нужны какие-либо промежуточные доказательства? Продолжим текст из этой книги. «Из всех кривых постоянной ширины этот дуговой треугольник впервые был замечен (!) в тех- 171 нике. Механик Рело в своей классификации механизмов установил, что эта фигура допускает вращение внутри квадрата при постоянном соприкосновении с его сторонами, а это свойство характерно для всех кривых постоянной ширины». Не хотите ли вы проверить наблюдение Рело? Далее в книге рассказывается, как строить другие фигуры постоянной ширины. Попытайтесь сами построить «пятиугольник» постоянной ширины. Есть в ней и другие интересные факты о таких кривых. Есть, к примеру, такие кривые постоянной ширины, никакая часть которых не является дугой окружности. И еще одно. Сверло обычно делает круглые отверстия. А можно ли просверлить квадратное отверстие? Смотрим Как найти диаметр фигур по рисунку 186? дяга Как найти ширину каждой из фигур на рисунке 186? а) Рисуем Нарисуйте плоскую фигуру, которая в каждой своей точке, где имеется опорная прямая, имеет их бес- в) конечное множество. € Представляем Из плоскости убрали одну точку. Оставшуюся фшуру хотят представить как объединение выпуклых фигур. Каково наименьшее число выпуклых фигур, решаю-щих задачу? ШЯа 1.2 Из плоскости убрали две точки. Оставшуюся фигуру хотят представить как объединение выпуклых фигур. Каково наименьшее число выпуклых фигур, решающих задачу. Может ли фигура: а) не иметь опорных прямых; б) иметь только одну опорную прямую; в) не иметь опорной прямой только в одной точке: г) иметь опорную прямую только в одной точке? Рис. 186 И Находим величину Чему равна ширина: а) прямоугольника со сторонами I и 2; б) правильного треугольника со стороной 1; в) равнобедренного треугольника с боковой стороной 1 и углом ф при вершине? 172 ^ Доказываем Д] Выпуклая фигура содержит три точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что она содержит треугольник с вершинами в этих точках. Будет ли это верно для невыпую'юй фигуры? I Середины всех сторон выпуклого многоугольника являются вершинами другого многоугольника, а) Объясните, почему второй многоугольник является выпуклым, б) Докажите, что периметр второго многоугольника не меньше половины периметра первого. А когда достигается равенство? Будет I _____ -ЛИ верна аналогичная оценка для их площадей? ^ ДКИШI Нарисуйте пять точек на плоскости так, что любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что и все пять являются вершинами выпуклого пятиугольника. Как вы это обобщите? Нарисуйте пять точек на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Как вы это обобщите? Внутри выпуклого многоугольника берется любая точка и проектируется на все его стороны. Докажите, что хоть одна ее проекция окажется именно на стороне, а не на ее продолжении. Исследуем .2 I Может ли фигура иметь ровно один диаметр? ровно два диаметра? ровно три диаметра? Разберите отдельно случаи для выпуклой и невыпуклой ДМШ'П <|Жз] фигур. Может ли фигура иметь два параллельных диаметра? Есть ли такая фигура (выпуклая н невыпуклая), которая разбивается на две части, каждая из которых имеет диаметр меньший, чем диаметр данной фигуры? Зависит ли ваш ответ от того, является линия разбиения прямой или нет? Можно ли круг разбить на две части диаметра меньшего, чем диаметр круга? А на три такие части? Пусть фигура имеет два диаметра. Обязательно ли они имеют общую точку? а) Даны выпуклая фигура F и точка А вне ее. Точка А соединяется отрезками со всеми точками F. Будет ли объединение всех этих отрезков выпуклой фигурой? Изменится ли результат, если F не будет выпуклой фигурой? б) Даны две выпуклые фигуры F, и Fg- Все точки каждой из них соединяются со всеми точками другой. Будет ли объединение всех этих отрезков выпуклой фигурой? Изменится ли результат, если F, и Fg не будут выпуклыми фигурами? Какие свойства выпуклого четырехугольника следуют из того, что он: а) разбивается своей диагональю на два равных треугольника; б) разбивается двумя своими диагоналями на четыре равных треугольника? Сколько сторон и углов выпуклого четырехугольника надо знать, чтобы вычислить остальные его элементы? На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость два: а) треугольника; б) выпуклых четырехугольника; в) выпуклых «-угольника? 173 Дтагз1 <К1К1Н и1 € в выпук-пом пятиугольнике провели все диагонали. Они ограничивают разные многоугольники, лежащие в данном. Найдется ли среди них пятиугольник? Сделайте аналогичную работу в шестиугольнике. Как вы обоб-нщте результаты своей работы? Нарисуйте выпуклый четырехугольник и проведите в нем все диагонали. Получим разбиение четырехугольника на треугольники. Внутри любого из этих треугольников выберите точку и подсчитайте, сколько треугольников с вершинами в вершинах данного четырехугольника ее содержат. Проведите аналогичные наблюдения за другими выпуклыми многоугольниками. Какое вы можете сделать предположение? Можете ли вы его опровергнуть? а доказать? Участвуем в олимпиаде таи Может ли у выпуклого многоугольника быть три параллельных стороны? Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали кото- рого равны.’' Может ли длина одной из сторон выпуклого гг-угольника быть больше длины любой другой его стороны: а) в « раз; б) в л-*1 раз? В выпуклом пятиугольнике ABCDE Z B=AD—Q0°, периметр треугольника АВЕ равен 1. Каково наибольшее значение для диагонали SD? В шестиугольнике Л ,Л2?1зу4,|,Л5/1е сторона A^A2 равна и параллельна стороне Л4Л5, сторона Л2Л3 равна и параллельна стороне Л5Л6, сторона Л3Л4 равна и параллельна стороне А(/\^. Площадь шестиугольника известна. Можно ли найти площадь треугольника Л2Л.4Л6? Каждая сторона выпуклого шестиугольника длиннее 1. Всегда ли найдется в нем диагональ длиннее, чем 2? В выпуклом шестиугольнике Л1Л2Л3Л4Л5Л0 площадью 5 провели диагонали ЛбЛз, Л|Лз, Л2Л4. Л3Л5, Л.,Л0, Лг,Л,. Их середины соответственно В,, В2, В3, Б4, В5, Bq являются вершинами выпуклого шестиугольника. Чему равна его площадь? Докажите, что в любом выпуклом п-угольнике (п^5) найдутся /г диагоналей, сумма длин которых больше периметра этого «-угольника, но меньше его удвоенного периметра. Докажите, что в любом выпушюм л-угольЕШке {п>‘\) с периметром Р найдется диагональ, длина которой больше чем 2Р и найдется диагональ. длина которой меньше, чем } 174 § 14. Вписанные и описанные окружности 9 Из всевозможных случаев взаимного расположения окружностей и многоугольников выделяют те случаи, когда окружность проходит через все вершины многоугольника или касается всех его сторон. В первом случае говорят, что окружность описана около многоугольника, а во втором — что она вписана в него. Такое взаимное расположение многоугольников и окружностей находит разнообразные применения. Не в каждый .многоугольник можно вписать окружность или описать ее около него. Нет таких окружностей у иевыпуклого четырехугольника (и вообще у любого невыпуклого многоугольника). Но ясно, что, скажем, у квадрата такие окружности есть (рис. 187). Поэтому прежде всего выясним, в каком случае около многоугольника можно описать окружность и когда в многоугольник можно вписать окружность. 14.1. Окружность, описанная около многоугольника Говорят, что многоугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на ней (рис. 188, а). Тогда об этой окружности говорят, что она описана около многоугольника. Ясно, что около многоугольника можно описать окружность. если найдется точка, равноудаленная от всех его вершин (рис. 188, б). Эта точка лежит на серединном перпендикуляре каждой стороны многоугольника (рис. 188, в). Следовательно, около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры всех его сторон нме- Рис.188 ■ ют общую точку. Эта точка и будет центром описанной окружности. Около каждого треугольника можно описать окружность (это доказано в следующем пункте). Но не около каждого даже выпуклого четырехугольника можно описать окружность. Например, для параллелограмма это можно сделать лишь тогда, когда параллелограмм является прямоугольником (объясните почему, рис. 189). 14.2. Окружность, описанная около треугольника Чтобы утверждать, что серединные перпендикуляры любых двух сторон треугольника пересекаются, докажем следующую лемму: Лемма Прямые, перпендикулярные пересекающимся прямым, пересекаются. Доказательство. Пусть прямые а я Ь пересекаются, прямая р±а и прямая qLh (рис. 190). Допустим, что прямые ряд параллельны. Тогда поскольку aJ_p и 7\\q, pWq, то al.q. А так как и Л±<7, то а\\Ь. Это противоречит условию леммы. Итак, допущение, что p^q, привело к противоречию. Поэтому р и ^ пересекаются. ■ Теорема 18 Около каждого треугольника можно описать окружность. Доказательство. Пусть дан треугольник АВС (рис. 191). Проведем серединные перпендикуляры р и q его сторон АВ и ВС. Они пересекутся в некоторой точке О (по лемме). Так как Оер, то ОА = ОВ. А так как O^q, то ОВ=ОС. Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О 176 Г 7 I равноудалена от всех вершин треугольника АВС. Значит, около треугольника АВС можно описать окружность с центром в точке О и радиусом R—OA. ■ Выделим важный частный случай; центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы. Действительно, пусть АВ — гипотенуза прямоугольного треугольника АВС (рис. 192), точка О — середина ЛВ, а точка М — середина катета АС. Так как средняя линия ОМ параллельна катету ВС (см. п. 10.3), то прямая ОМ перпендикулярна катету АС. Поэтому ОМ — серединный перпендикуляр катета АС. Значит, 04=ОС. А так как ОА=ОВ, то точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. ■ Как же найти радиус R окружности, описанной около треугольника АВС, если известны его стороны а, Ь, с? Оказывается, что 2R= а sin А sin В sin С ■ (1) (Вспомните, что равенство этих отношений является теоремой синусов.) Докажем равенство (I), Проведем через центр О окружности, описанной около треугольника АВС, диаметр BD {рис. 193). Получим прямоугольный треугольник BCD с гипотенузой BD. Тогда BD= ВС D (2) Рис. 193 Но вписанные углы А и D опираются на одну и ту же дугу ВС. Поэтому /LA=AD. Так как BD=2R и ВС=а, то из (2) следует (1). ■ Так как из (1) sin А=-^, то, подставляя значение sin/4 в формулу 5=y6csin Л, получаем, что площадь (3) 14.3. Окружность, вписанная в многоугольник Говорят, что многоугольник описан около окружности, если все его стороны касаются данной окружности (рис. 194, а). Тогда об этой окружности говорят, что она вписана в данный многоугольник. Итак, окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон. Этот многоугольник — выпуклый. 7 Ллексаюров «Геометрия. 8 кл.» 177 (объясните почему, рис. 195). 14.4. Окружность, вписанная в треугольник Теорема 19 В каждый треуго.аьник можно вписать окружность. Доказательство. Пусть дан треугольник АВС (рис. 196). Проведем биссектрисы р а q его углов А и В. Они пересекутся в некоторой точке О. Так как О^р, то ома равноудалена от сторон АВ и АС, а так как O^q, то она равноудалена от сторон ВС и ВА. Поэтому точка О равноудалена от всех сторон треугольника АВС. Итак, в треугольник АВС можно вписать окружность с центром в точке О. ■ Площадь трруголкникя ARC. его периметр Р= =а+Ь+с И радиус г вписанной в него окружности связаны равенством (4) Действительно, высоты треугольников ОВС, ОСА и РУ У‘-' ка тр ок (р 178 ОЛб, проведенные из вершины О, равны г. А сумма пло1дадей этих треугольников равна S. Поэтому 5 = у аг+ у ЙГ+ у сг= у (а+{>+с)г= у Рг, т. е. имеет место (4). ■ Из равенства (4) и находят радиус вписанной окружности. Равенство (4) справедливо и для любого многоугольника, в который можно внисагь окружность. Докажите его самостоятельно, разбив многоугольник на треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности и основаниями на сторонах многоугольника (рис. 197). • Вопросы 1. Окружность описана около многоугольника. Как это можно сказать иначе? При каком условии это возможно? Как построить такую окружность? Откуда следует единственность такой окружности? 2. Ответьте на вопросы в № 1, но для окружности, вписанной в многоугольник. 3. О многоугольнике высказаны два утверждения: а) около него можно описать окружность; б) в него можно вписать окружность. Приведите пример такого многоугольника, для которого: верны оба утверждения; только одно из них; ни одно из этих утверждений не является верным. Какую роль при этом играет выпуклость многоугольника? 4. Как вычислить радиус окружности, описанной около: а) треугольника; б) многоугольника? 5. Как вычислить радиус окружности, вписанной в: а) треугольник; б) многоугольник? Задачи к § 14 4+ • Дополняем теорию Докажите, что можно описать окружность около; а) прямоугольника; б) равнобокой трапеции. Проверьте обратные утверждения. Докажите, что во вписанном четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°. Верно ли обратное утверждение? Установите положение центра окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в зависимости от угла при его вершине. В окружность радиусом R вписан равнобедренный треугольник. Пусть его высота, проведенная из вершины, равна /г, а ее продолжение до окружности равно d, основание равно а, а боковая сторона равна Ь. а) Докажите, что =2Rh. Выразите из этой формулы R. Как изменяется R в зависимости от /г, если считать Ь постоянной? б) Докажите, что л^=4УЛ. Докажите, что можно вписать окружность в: а) квадрат; 6) ромб. 179 б4.1 ( 1 «4.2 ( 1 ШИ Докажите, что в описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Докажите обратное. а Разбираемся в решении Как вычислить радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, если в трапеции известны все стороны? Решение. Р„с. 199 Обычное решение задач на нахождение радиусов описанной и вписанной в многоугольник окружностей состоит в том, что устанавливают положение центра окружности, затем рисуют нужный радиус и т. д. Здесь можно обойтись без всего этого. В самом деле, окружность, описанная около этой трапеции, будет проходить через ее вершины А, В, С, D (рис. 198). Но тогда она будет проходить через любую тройку этих вершин, например через А, В н D. Тем самым она будет окружностью, описанной около треугольника ABD. Верно и обратное (?). (Кстати, а нужна ли ссылка на справедливость обратного утверждения?) Поэтому радиус, который мы хотим найти, можно искать как радиус окружности, описанной около треугольника ABD. В задаче его можно найти по такому плану: 1. Проведем хорду трапеции ВК, параллельную CD; BK=CD (?). 2. Из треугольника АВК найдем Z.A (?). 3. Вычислим радиус описанной окружности по формуле BD R= 2 sin А (5) Смотрим П Какие отрезки и углы можно найти на рисунке 199? С / \ в. / у \ \ / Z.BAD = а. /ЛВС = р ZLCrZ? = cp 180 *7? AB = k,BK = a AK = b, CD = d Рис. 199 BK = a,KD = b AD = b AD = 3BC KC = c CL = b Рис. 200 ^ Какие элементы трапеции можно вычислить по данным, указанным на рисунке 200? ^ Рисуем 1J Нарисуйте выпуклый многоугольник, около которого нельзя описать окружность. 1 ШШ] " Планируем iHilTl Как вычислить радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, если в трапеции и.звестны: а) диагональ и угол, под которым она видна из противоположной вершины; 6) большее основание и угол, под которым оно видно из вершины другого основания; в) большее основание, боковая сторона и угол между ними; г) два основания и диагональ? Как сделать трапецию, вписанную в круг радиусом R, у которой: а) диагональ перпендикулярна стороне; б) три стороны равны; в) угол при основании равен ф? Около треугольника описана окружность радиусом R, Как найти его площадь, если известны: а) его углы; б) две его стороны; в) один угол и одна сторона? Нарисуйте окружность. Как выбрать на ней четыре такие точки, чтобы касательные к окружности, проведенные в этих точках, ограничили: а) ромб; б) квадрат? От квадрата отрезали прямоугольный равнобедренный треугольник. Катет его равен половине стороны квадрата. Пусть сторона квадрата известна. Как найти радиус наибольшего круга, умещающегося в оставшемся от квадрата пятиугольнике? Попробуйте на этот сюжет сами составить задачу. Как сделать трапецию, в которую можно вписать окружность и у которой при этом: а) три стороны равны; б) бока равны, а диагонали перпенди-______ кулярны? 1EHW 4 I Как вычислить радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, у которого известны: а) катеты; б) гипотенуза и острый угол; в) площадь и острый угол; г) периметр и острый угол? 181 (14.20(2 (14.22(2 (i4.23( 2 В равнобедренный треугольник с известными сторонами вписана окружность. В ней проведена хорда, соединяющая точки касания с боковыми сторонами, а) Как найти длину этой хорды? б) Сравните длину хорды со средней линией, проведенной через середины боковых сторон треугольника, в) Сравните хорду с радиусом этой окружности. В треугольник вписана окружность. Как вычислить ее радиус, если известны: а) две стороны и угол между ними; б) сторона и два прилежащих к ней угла? Работаем с формулой Пусть а, Ь, с — стороны треугольника, S — его площадь, R — радиус описанной около пего окружности. Какие следствия можно получить из фор- мулы 5=^? □ Находим величину а) Чему равна площадь равнобокой трапеции, если радиус описанной окружности равен R, ее основания видны из центра окружности под углами а и р? б) Чему равен радиус окружности, описанной около равнобоковой трапеции, у которой угол при основании равен ф, а площадь равна 5? а) Вычислите сторону равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом 1. б) Вычислите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 1. в) Установите зависимость между стороной равностороннего треу10ль-fiHKa и радиусом описанной около него окружности. Вычислите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если в нем: а) основание равно 2, а боковая сторона равна 3; 6) основание равно 1, а угол при вершине равен ф; в) площадь равна S, а угол при основании равен ф. В окружность радиусом I вписан равнобедренный треугольник. Чему равна его площадь, если: а) боковая сторона равна 1; б) высота, опущенная на основание, равна г, в) основание равно 2d; г) угол при вершине равен <р? Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, в котором: а) стороны равны 6, 8, 10; б) стороны равны 6, 8, 9; в) с=2. ЛЛ=20°, Z5=40°; г) а-3, 6=4, ZC=60°. ftlWa 3 I Чему равен радиус окружности, вписанной в: а) ромб со стороной а и углом а между сторонами; б) четырехугольник, являющийся объединением двух равнобедренных треугольников с общим основанием (дельтоид), если боковые стороны этих треугольников равны д и 6, а угол между этими сторонами с общей вершиной равен ф? а) Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 1. б) Вычислите сторону равностороннего треугольника, описанного около окружности радиусом 1. (14.24(2 (ШЖЮ (14.27(4 182 I Окружность радиусом г, вписанная в треугольник, разбивается точками касания на дуги а, р, у. Чему равны стороны треугольника? Составьте обратную задачу. ПТ Ищем границы Пусть АВ — диаметр окружности. Из точек А н В проведены две параллельные хорды АС и BD. а) Каким по виду будет четырехугольник ABCD'* б) Пусть АС=х. Выразите площадь четырехугольника ABCD как функцию от д, если радиус окружности равен 1. В каких границах изменяется площадь? В круг радиусам R вписываются прямоугольники. Чему равна наибольн1ая из их площадей? Из всех четырехугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, который имеет наибольшую площадь. Как вычислить радиус наименьшего круга, содержащего данную равнобокую трапецию? По окружности, описанной около равностороннего треугольника, движется точка X. Сторона треугольника известна. В каких границах изменяется сумма расстояний от X до вершин треугольника? В каких границах лежит площадь описанной около данной окружности фигуры: а) ромба; б) равнобокой трапеции: ^ Доказываем Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что AB-CD+ +AD'BC=AC-BD. [Теорема Птолемея.) (ЕШЭ Пусть а, Ь, с. d — стороны вписанного в окружность четырехугольника. р — его полупериметр, а S — его площадь. Докажите, что S= = Jip -а)(р - h)(p - с){р - d). Какие следствия вы можете получить из этой формулы? Докажите, что: а) из всех прямоугольных треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник; б) из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. iElfck^ а I Около окружности описана равнобокая трапеция. Докажите, что; а) прямая, соединяющая точки касания окружности с основаниями, перпендикулярна этим основаниям; б) прямая, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами, параллельна основаниям. Вершинами какого по виду четырехугольника могут быть четыре точки касания? ежи в треугольнике совпадают центры вписанной и описанной окружностей. Докажите, что он является равносторонним. Исследуем Может ли радиус описанной около треугольника окружности быть: а) меньше кажа,ой его стороны; б) больше каждой его стороны; в) равен каждой его стороне.'’ 41 183 в треугольнике все стороны различны. Можно ли узнать, какая из них видна из центра описанной окружности под наибольшим углом? 2 I Треугольник лежит внутри круга. Сравните радиус этого круга с радиусом ______ описанной около треугольника окружности. МЕКВ1 2 I Около треугольника описана окружность. Из любой точки этой окружности проведите перпендикуляры на его стороны или их продолжения. Что можно заметить на рисунке? Сможете ли вы это доказать? Сможете ли вы восстановить равнобедренный треугольник, если остались центр описанной около него окружности и; а) боковая сторона; б) основание? Сможете ли вы восстановить треугольник, вписанный В некоторую окружность, если на рисунке остались точки пересечения с этой окружностью продолжений: а) его биссектрис; б) его высот; в) его медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из одной вершины? Нарисуйте четырехугольник, описанный около данной окружности. Нарисуйте прямую, проходящую через середины его диагоналей. Что можно заметить на рисунке? Как это доказать? В прямоугольный треугольник вписана окружность. Пусть точка О — ее центр, точка L — точка касания с катетом ВС, точка М — точка касания с катетом АС, точка К—точка касания с гипотенузой АВ. а) Какой по виду четырехугольник OL.CM? 6) Может ли какая-либо точка касания быть серединой соответствующей стороны? в) Пусть jLA>AB. Какая из хорд окружности: KL, LM или МК— ближе к центру? г) Пусть точка К делит гипотенузу на отрезки длиной d^ и d.j. Чему равна площадь треугольника? Какие элементы равнобедренного треугольника вы сможете найти, зная: а) радиусы вписанной и описанной окружностей; б) их отношение? Применяем геометрию Понадобилась доска шириной 20 см и толщиной 2 см. Каков наименьший диаметр бревна, из которого можно выпилить такую доску? У тонкого конца бревно имеет диаметр 450 мм. Из него нужно выпилить доски шириной 360 мм и толщиной 30 мм. Сколько получится досок? А сколько будет досок, если их взять той же толщины, но шириной 270 мм? Как, имея в руках маленькую линейку, найти радиус большого круга? Участвуем в олимпиаде Внутри треугольника АВС взята точка О. При этом Z. OAOZ. ОАВ, Z. 0ВА>А. ОВС, L OCB>/L ОСА. Докажите, что точка О является центром окружности, вписанной в данный треугольник. В треугольник вписана окружность. Каким по виду его углов будет треугольник с вершинами в точках касания? В угол С вписана окружность. Она касается сторон угла в точках А и В. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник AfiC, лежит на данной окружности. Дан угол А. С центром в точке А проводится от одной стороны угла до другой дуга окружности. По этой дуге движется точка X. Из нее проводятся перпендикуляры XY и XZ на стороны угла. Как изменяется при этом 184 § 15. Правильные многоугольники 15.1. Определение правильного многоугольника • На рисунке 201, а изображены многоугольники, имеющие наиболее «правильную» форму в сравнении с другими многоугольниками с тем же числом сторон (рис. 201, б). Определение Многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Вам хорошо известны правильные треугольники и четырехугольники (это равносторонние треугольники и квадраты) и их свойства. Теперь мы познакомимся с общими свойствами любых правильных многоугольников. Прежде всего заметим, что все углы правильного многоугольника меньше 180°. Действительно, как было доказано в п. 1.2, у каждого многоугольника есть хотя бы один угол, меньший 180°. У правильного многоугольника все углы равны. Значит, все его углы меньше 180°. 15.2. Центр правильного многоугольника в правильном треугольнике есть такая точка, которая равноудалена от всех его вершин и всех его сторон (какая?). Такая же точка есть и в квадрате (где именно?). Оказывается, такая же точка есть в любом правильном многоугольнике. Она называется центром правильного многоугольника. Итак, центр правильного многоугольника — это точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон. Докажем существование центра. Единственность такой точки очевидна. Теорема 20 (о центре правильного многоугольника) В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон, Доказательство. Пусть А^А2...А„ — правильный д-угольник. Проведем биссектрисы р п q углов и Лз (рис. 202). Дучи р и q пересекутся в некоторой точке О. (Если бы прямые р и q были параллельны, то сумма углов 1 и 2 равнялась бы 180°. Тогда Zl = =Z2=90° и точки Л|, Лз- лежат на одной прямой, что невозможно.) Докажем, что О является центром правильного /г-угольника. Сначала докажем, что О равноудалена от всех его вершин, т. е. ... = ОА.,. ОЛ,=ОЛ2=ОЛз= Так как Zl=Z2 (как половины равных углов), то треугольник ОЛ^Лз равнобедренный. Поэтому ОЛ1=ОЛ2. Далее Л ОЛ,Л2=А ОЛ2Л3, так как Л1Лз= =ЛзЛз, сторона ОЛз у них общая и Z 2=Z 3 (поскольку АоО — биссектриса угла Лд). Поэтому ОЛ,=ОЛз. Отсюда получаем, что ОЛз=ОЛ2 и Z4=Z3. Далее, АЗ=уАЛз, Аа12=АЛз и потому Z 3= = -^АЛз. Но Z3=Z4. Значит, А4=4"^Л т. е. 2 '^'•3' Z4=Z5. Последнее равенство означает, что Л3О — биссектриса угла Лд. Повторяя проведенные рассуждения, мы получаем нужные равенства: ОЛз=ОЛ^, OЛ„_|=OЛ,J. Докажем теперь, что точка О равноудалена от всех сторон правильного л-угольника. Как ясно из преды- ОЛ2Л3, ОЛдЛ^, душего, треугольники ОА1А2 ОЛ„_|Л„, ОЛ„Л, — равиобедреиные треугольники, рав- ные между собой. Значит, равны их высоты, проведенные на основания, т. е. на стороны правильного «-угольника. Иначе говоря, точка О равноудалена от всех сторон Л,Л2...Л^. ■ Из этой теоремы следует, что; 1) около правильного многоугольника можно описать окружность: 2) в правильный многоугольник можно вписать окружность. 186 \ i 15.3. Следствия из теоремы о центре правильного многоугольника Следствие I Сторона правильного л-угольника связана с радиусом R описанной около него окружности формулой 180“ О a„=2/?sin- (1) Доказательство. Пусть Л,Л2 — сторона правильного л-угольника Р, а точка О — его центр (рис. 203). Тогда ОЛ,=/?, а высота 0/( треугольника ОЛ,Л2, опущенная из вершины О, является его медианой и биссектрисой. 360“ , , 1 то Z.ЛlC>/(= у^Л,ОЛ2= Из прямоугольного треугольника A^OK с ка- Так как ^.Л|ОЛ2= 180° тетами =R sin 2 ’ 180° п OK и гипотенузой R получаем уа„= , откуда и вытекает нужное нам равен- ство. ■ Следствие 2 Периметры правильных л-уго.пьников относятся как радиусы описанных около них окружностей. Доказательство. Его несложно найти самим. Обозначьте стороны л-угольников а, и a-j, затем выразите их периметры. Составьте отношение периметров и воспользуйтесь формулой (1). ■ 15.4. Построение правильных многоугольников Ясно, чтобы построить правильный л-угольник, достаточно разделить окружность на п равных дуг — точки деления и будут его вершинами (рис. 204). Тем самым существуют правильные л-угольники для любого натурального «>3. По в элементарной геометрии речь идет о построении правильного «-угольника циркулем и линейкой. Эта задача имеет интересную историю. Легко построить правильные треугольник и четырехугольник. Зная свойства правильных многоугольников, вы легко построите правильный шестиугольник: 187 радиусами описанной окружности он разбивается на шесть правильных треугольников. Поэтому его сторона равна радиусу описанной’окружности (рис. 205). Если от некоторой точки окружности последовательно откладывать ее хорды, равные радиусу, то и получатся вершины правильного шестиугольника. Если уже построен некоторый правильный «-угольник то циркулем и линейкой легко строится правильный 2«-угольник Р^,,. Для этого можно описать около Р„ окружность и разделить пополам каждую дугу этой окружности, стягиваемую стороной многоугольника Р„ (рис. 206). Точки деления этих дуг вместе с вершинами многоугольника Р„ и будут вершинами правильного 2«-угольника ^2п- Повторяя это построение, можно затем построить правильный 4и-угольник, правильный 8«-угольник и т.д. Указанное построение называется удвоением правильного многоугольника. Какие правильные «-угольники можно построить циркулем и линейкой? Например, можно ли построить правильный пятиугольник и правильный семиугольник? Оказывается, что правильный пятиугольник циркулем н линейкой построить можно, а правильный семиугольник нельзя. Задача о построении циркулем и линейкой правильных многоугольников изучалась еще древнегреческими геометрами, а окончательно была решена лишь в 1801 г. великим немецким математиком Карлом Гауссом (1777—1855). К. Гаусс, используя средства алгебры, доказал, что циркулем и линейкой правильные «-угольники могут быть построены лишь Т01'да, когда число п имеет следующее разложение на множители; n=2'"pi Рг где гп — неотрицательное целое число, а Pj,..., — 2* различные простые числа вида 2 -Ы {k — неотрицательное целое число). Число 5 имеет такой вид, так как 5=2 +1, а число 7 не имеет. Строят правильный пятиугольник так. Сначала находят сторону с правильного десятиугольника, вписанного в круг радиусом 1 (рис. 207, а), строят правильный десятиугольник, а затем через одну соединяют отрезками вершины этого десятиугольника. Сторону же десятиугольника а находят так. В равнобедренном треугольнике ОАВ, в котором ОА=ОВ=\ и Z.O=36°, проведем биссектрису ЛС (рис. 207, б). Тогда ^0=/LCAB=^CA0=3Q° и ^0АВ=^0ВА = Рис.205 Рис.206 К. гаусс 188 =Z^Cfi=72°. Поэтому OC=CA=AB^a и СВ=\~а. Проведя в равнобедренных треугольниках ОАВ и АСВ высоты, находим синусы половины угла при вершине; 1 -а sin 18°=-?г и sin 18°=- п а I -а Поэтому для а получаем уравнение Л т. е а'^+а-1=0. Отсюда ----------у (отрицательный ко- рень отбрасываем, так как д>0). Построение отрезка а циркулем и линейкой указано на рисунке 207, в. Ш 2* Следующее после пяти простое число вида 2 •+• 1 для k=2 равно 17. Именно задачу о построении правильного 17-угольника сначала решил Гаусс, и этот многоугольник он завещал изобразить на своем надгробии. Но приближенное разбиение окружности циркулем на любое число равных частей (а значит, и построение циркулем и линейкой любого правильного л-угольника) с любой сколь угодно высокой точностью всегда осуществимо. Это и делается с древнейших времен на практике, когда изготовляют циферблаты, астрономические инструменты, рисуют орнаменты (рис. 208). # Вопросы 1. Какой многоугольник называется правильным? Может ли правильный многоугольник быть невыпуклым? 2. Какие свойства правильных многоугольников вы знаете? Рис. 207 Рис. 208 189 3. 4. Пусть в правильном /г-угольиике рассматриваются три величины: сторона, радиус вписанного круга и радиус описанного круга. Как, зная одну из них, найти остальные? Какие правильные многоугольники вы можете построить циркулем и линейкой? Задачи к § 15 4+ '. Дополняем теорию Докажите, что в правильном многоугольнике: а) равны диагонали, соединяющие его вершины через одну (а через две?); б) все его стороны видны из центра под одним и тем же углом; в) из любой его вершины каждая сторона (кроме тех, которым эта вершина принадлежит) видна под одним и тем же углом; г) все треугольники, вершины которых находятся в вершинах данного многоугольника, имеют один и тот же радиус описанной окружности; д) его наибольшая диагональ проходит через его центр при четном числе сторон и не проходит через его центр при нечетном числе сторон. & Разбираемся в решении Пусть сторона правильного д-угольника равна 3, а радиус описанной окружности равен 2. Чему равен радиус вписанной в него окружности? Решение. Вся информация, нужная нам для ответа на вопрос, находится на рисунке 209. Здесь АВ — сторона правильного «-угольника, АВ=а, R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности. По теореме Пифагора из ААОС сразу получаем, что (1) и это вся задача? Не торопитесь. Вы обратили внимание на то, что в задаче дано еще число сторон правильного многоугольника — оно равно п. И эту информацию мы никак не использовали в приведенном решении. Но тогда задача может быть, как говорят, «переопределенной», ибо еще одно данное в условии может повлиять на ответ. Причем повлиять даже так, что задача перестанет иметь решение. Как это может а1учиться здесь? А вот как. Найдем радиус вписанной окружности из того же треугольника АОС по формуле г= =R-cos Z.AOC. Так как ^АОС=^. О то 190 Поэтому г—R • GOS 180“ (2) Теперь ясно, что задача имеет решение, если оба полученных результата совпадают, т. е. Если не совпадают, то решений нет. ' Видно, что это равенство выполняется не при любых значениях R, а и п. Например, не выполняется, если гг=3, /?=2, а=2. Но г можно найти и по формуле а , 180“ (3) Надо ли проверять совпадение этого значения г с тем, которое получено ранее? Задача оказалась действительно «переопределенной». Этого не надо бояться, а надо хорошо понимать, что делать в этом случае. Поставим теперь такой вопрос: ну, а если бы число сторон правильного м}Шгоугольника не было дано и вместо правильного /2-угольника был бы дан правильный многоугольник — что бы изменилось в решении? Ясно, что ответ по формулам (2) и (3) уже не получится, ибо нет п. Значит ли это, что задача решается по формуле {1)? Возьмем, например, такие данные: /?=5, а=8. Будет ли верным ответ л=3? Будет ли он отвечать условию задачи в полном объеме, т. е. будет ли треугольник со сторонами 5, 5, 8 частью правильного «-угольника? Если точнее: выполняется ли при этих числовых данных равенство , 180° 4 ‘ё —= Т {можно взять также аналогичное равенство для синуса или косинуса)? Начнем работать по порядку. При /г=3 получим tg60°=73^ 4 При /2=4 получим lg45 -1^-j При больших значениях п угол 180“ будет меньше 45°, а потому это равенство не выполняется при любых значениях п. Исходные числовые данные оказались противоречивыми. Ответ г=3 неверен, ибо такого правильного многоугольника не суш,ествует. ZZZ Планируем Пусть известна сторона правильного «-угольника. Как вычислить: а) угол при его вершине; б) его площадь? 191 Как построить вписанный в данную окружность: а) правильный треугольник; б) правильный четырехугольник? Сможете ли вы это сделать, пользуясь одним только инструментом? Правильный шестиугольник можно разрезать на ромбы. Как? Обобщите эту задачу. Р~] Находим величину Вычислите в правильном шестиугольнике: а) угол между диагоналями, выходящими из одной вершины; б) угол между пересекающимися наименьшими диагоналями; в) отношение большей диагонали к меньшей; г) отношение частей большей диагонали, на которые ее делит меньшая диагональ; д) отношение частей, на которые делят друг друга, пересекаясь, две меньшие диагонали; е) отношение площадей шестиугольника и треугольника, сторонами которого являются меньшие диагонали. ^ Доказываем Дан правильный шестиугольник. Докажите, что: а) для каждой его диагонали есть равная диагональ; б) среди его диагоналей есть перпендикулярные; в) среди его диагоналей есть параллельные. Как это обобщается? Дан правильный пятиугольник, а) Докажите, что все его диагонали равны, б) Докажите, что каждая его диагональ параллельна какой-либо его стороне. в) Вычислите, в каком отношении делится каждая диагональ теми диагоналями, которые ее пересекают, г) Какой по виду многоугольник ограничен всеми его диагоналями? Какую часть составляет его площадь от площади данного пятиугольника? Докажите, что из всех п-угольников, вписанных в данную окружность, правильный п-угольник имеет: а) наибольшую площадь; б) наибольший периметр. Составьте аналогичную задачу для описанного л-угольника. Исследуем Пусть Д5 — разность площадей двух правильных «-угольников, ЛР — разность их периметров, AR — разность радиусов описанных около них окружностей. Есть ли связь между этими величинами? Стороны правильного пятиугольника продолжили до взаимного пересечения. При этом получилась пятиконечная звезда — многоугольник с многими интересными свойствами, а) Докажите, что равны ее стороны, б) Докажите, что равны ее острые углы, в) Какие еще свойства звезды вы сможете обнаружить? Как вы обобщите эту задачу? Является ли описанный многоугольник правильным, если у него: а) все стороны равны; б) все углы равны? Ответьте на те же вопросы для вписанного многоугольника. 192 Применяем геометрию В круглой пластинке надо просверлить пять одинаковых отверстий на равных между собой расстояниях и на одном и том же расстоянии от центра. Как вы разметите пластинку? Возьмите длинную полоску бумаги н аккуратно завяжите ее узлом. Докажите, что при этом получился правильный пятиугольник. ^1 Выходим в пространство Пусть — правильный многоугольник, точка О — его центр. Возь- мем точку Р, не лежащую в его плоскости, и соединим ее отрезками со всеми его точками. Пусть при этом отрезки РЛ], РА^ равны. Мы получили многогранник, который называется правильной п-угольной пирамидой. Многоугольник Л|/42....Ад называется основанием пирамиды, треугольники РА^Ао, ... называются боковыми гранями, а) Докажите, что боковые грани равны между собой, б) Докажите, что все треугольники РОЛ,-равны между собой, в) Докажите, что РО перпендикулярен любой диагонали основания, проходящей через О. Что еще вы сможете доказать для такой пирамиды? Участвуем в олимпиаде Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Вершинами какого четырехугольника являются точки пересечения этих прямых с границей квадрата? В правильном шестиугольнике ABCDEF точка К—середина BD, точка М — середина FE. Докажите, что треугольник АКМ равносторонний. В пятиугольнике равны все стороны н три последовательных угла. Докажите, что такой пятиугольник является правильным. В правильном восьмиугольнике провели две диагонали, параллельные одной и той же его стороне. Какую часть от площади восьмиугольника составляет площадь фигуры, ограниченной этими диагоналями и двумя сторонами восьмиугольника? § 16. Длина окружности 16.1. Длина кривой линии # Длину сравнительно короткого пути можно измерять шагами, например длину извивающейся дороги или тропинки. Длину железнодорожного пути можно измерять, считая промежутки между телеграфными столбами. Длину кривой линии на чертеже или на карте измеряют 193 циркулем с постоянным раствором (рис. 210). Во всех этих случаях длину линии измеряют последовательно отрезками, концы которых лежат иа данной линии. Эти отрезки образуют ломаную, длина которой равна сумме длин отрезков, и она дает более или менее точное значение длины линии. Ломаную, BepujHtibi которой лежат последовательно на данной линии от одного ее конца до другого, называют ломаной, вписанной в данную линию (рис. 21 1,а). Линия может быть и замкнутой (например, окружность). Измеряя длину замкнутой линии, вписывают в нее замкнутую ломаную (рис. 211, б). Например, вершины такой ломаной для дистанции кросса — это флажки вдоль дистанции, которыми она размечена. Длина кривой линии приближенно равна длине вписанной ломаной и вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломаной и чаще располагаются вершины ломаной на данной кривой. 16.2. Длина окружности Вычисляя длины кривых линий, можно брать любые вписанные в них ломаные, лишь бы вершины этих ломаных располагались на кривой линии достаточно часто. Для окружности таким свойством обладают границы правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, когда число их сторон неограниченно увеличивается (рнс. 212). Поэтому, измеряя длину окружности, рассматривают вписанные в нее правильные «-угольники и вычисляют их периметры. Чем больше п, тем периметр такого многоугольника меньше отличается от длины окружности. В результате измерений, проводившихся с древнейших времен, было установлено, что длина окружности пропорциональна ее радиусу R (и.ли, что все равно, ее диаметру). Это выражает давно известная вам формула длины L окружности, т. е. L=2kR, или L=n(2R), л — коэффициент пропорциональности между L и 2R. И тогда вопрос о вычислении длины окружности сводится к вычислению числа л. Мы сначала установим пропорциональность длины окружности сс радиусу (диаметру), а затем расскажем о числе п. Теорема 21 (о длине окружности) Длина окружности пропорциональна ее радиусу, т. е. отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности. 194 Доказательство. Пусть F^ и /^2 — окружности с радиусами R^ и /?2, а и — вписанные в них правильные «-угольники (рис. 213). Обозначим через Р, и Р.2 периметры этих многоугольников. Периметры правильных «-угольников относятся как радиусы описанных окружностей (следствие 2 из теоремы п. 15.3). Поэтому Если неограниченно увеличивать число сторон многоугольников Q^ и Q2 (например, удваивать его), то их периметры будут сколь угодно мало отличаться от длин L^ и Z.2 окружностей Pj и р2- (<<Сколь угодно мало» — это значит, что разность между периметрами и длиной окружности можно сделать меньше чем, например, 0,001; 0,0001 и вообще меньше любого по- L\ ложнтелыюго числа.) Тогда число -т— будет сколь угод- L2 Pi ^ но мало отличаться от величины -5- . С другой стороны, ^2 как уже сказано, ^ ^ . Значит, число -г^ будет R R Ri сколь угодно мало отличаться от числа . Но такое возможно лишь тогда, когда эти числа равны. ,, Rl Р\ ^2 _ Итак, откуда получаем, что • .л ^ Из результата теоремы следует, что отношение , т. е. отношение длины окружности к ее диаметру, есть величина постоянная. Оно и обозначается буквой п. ф Замечание. Вычисляя длину окружности, можно приближать ее периметрами не только правильных вписанных в окружность многоугольников, но и периметрами правильных многоугольников, описанных около окружности. Действительно, пусть правильный «-угольник Q описан около окружности F с радиусом R и центром О (рис. 214). Соединим отрезками точку О с вершинами многоугольника (?. Эти отрезки пересекут окружность F в точках, которые являются вершинами правильного «-угольника Q', вписанного в F Пусть сторона АВ «-угольника Q касается окружности F в точке С, а Рис.213 отрезки ОА и ОВ пересекают F в точках А' и В'. Радиус ОС пересечет отрезок А'В’ в середине — точке С. Отношение периметров РцР’ правильных п-угольников Q и Q' равно отношению их сторон АВ и А'В', АС т. е. отношению их половин: А'С' И так как АС= =Ptg 180“ иА'С=Р sin 180“ ,то 1 cos 180“ .По- этому р=- Р' 180“ cos COS Когда 180“ п число п неограниченно увеличивается, приближается к cos 0°, т. е. к единице, а Я' — к длине окружности Я т. е. к 2nR. Следовательно, периметры Р правильных п-угольников, описанных около окружности F, как и периметры вписанных п-угольни-ков, приближаются к длине окружности F. Этим мы воспользуемся при вычислении площади круга. 16.3. о числе 71 # Число к иррациональное. Вам известно такое приближение: л «3,14. Более точное приближение: 7Г~3,1416. Вычислять к с любой точностью можно, находя периметры Р правильных многоугольников со все боль- Р шим числом сторон. Тогда отношение ■тгб’^ где R 2R радиус описанной окружности, будет приближаться к л. Немного посчитаем. У правильного шестиугольника р периметр равен 6R. Поэтому =3. Это дает первое приближение для л. Далее можно взять 12-угольник. Вычисляя его сторону о,2, получим: + =я72-л/3' «я-0,518. Отсюда л « 3,11... . Дальше можно взять 24-угольник и получить еще более точное значение я. Знание достаточно точных приближений числа л имеет большое практическое значение, так как число я постоянно встречается в конкретных задачах. Поэтому такие приближения старались найти уже в глубокой древности. Так. в папирусе древнеегипетского жреца Ахмеса 196 Архимед (оь бл ДР' до та1 че 96 (о я ^ зн к 8С л к ве С «I Э к: б. н У V Р (ok. 1700 г. до н. э.) содержится довольно хорошее приближение для я, а именно я ~ ~ 3,1605. Великий древнегреческий ученый Архимед (ок. 287—212 гг. до н. э.) в своем сочинении «Об измерении круга» дал такие приближения: 3-|р<я<3у, я ~ 3,14, выразив через диаметр окружности периметр правильного 96-угольника. Индийский математик и астроном Ариабхата (ок. 475 г.) нашел еще более точное приближение: л = 3,1416. А работавший в XV в. в Самарканде в знаменитой обсерватории Улугбека математик аль-Каши, рассмотрев правильный многоугольник с 800 335 168 сторонами, дал приближенное значение для я с 16 верными знаками. Обозначение буквой я отношения длины окружности к ее диаметру ввел в общее употребление в XVIII в. великий математик Леонард Эйлер (1707—1783). С этой буквы начинается греческое слово, означающее «окружность». Применяя методы высшей математики, Эйлер нашел для я приближение с 153 верными знаками. Современные ЭВМ могут находить для я приближения с десятками тысяч верных знаков, но, конечно, для практики такие приближения не нужны. 16.4. Длина дуги окружности Каждой дуге окружности соответствует центральный угол. Ясно, что длина дуги окружности пропорциональна мере соответствующего ей центрального угла (постарайтесь пояснить это подробнее). Поэтому углу в 1° 1 соответствует часть длины дуги окружности, т. е. Л. Эйлер 360 2kR kR ее длина равна 180 ’ Следовательно, длина / дуги, соответствующей центральному углу в а°, равна (=nR-^-. ф Вопросы 1. На чем основано приближенное вычисление длины кривой? 2. Как вы понимаете последний абзац пункта 16.1? 3. Докажите теорему о длине окружности. 4. По какой формуле вычисляется длина дуги окружности? Из каких соображений она получена? 5. Что вы знаете о числе я? 197 и Задачи к § 16 Л Дополняем теорию а) Каков характер зависимости между iUiHHoft окружности н ее радиусом? б) Пусть радиус окружности R увеличился на величину г. Как изменилась длина окружности? в) Пусть длина окружности L увеличилась на величину /. Как изменился радиус окружности? Обратите внимание на то, что его изменение не зависит от L. а) Докажите, что длина дуги окружности пропорциональна соответствующему ей центральному углу при постоянном радиусе и пропорциональна радиусу окружности при постоянном центральном угле. б) Докажите, что длины двух дуг одной окружности относятся как величины этих дут. Разбираемся в решении И круглая площадка разбита дорожками на секторы. Вы находитесь на пересечении границы площадки и дорожки. А ваш товарищ в другой такой же точке. Как вам побыстрее добраться до него? Ходить можно только но дорожкам и вокруг площадки. Решение. Рисунок ситуации, описанной в задаче, примерно такой (рис. 215, а). Вы находитесь в точке Л, а ваш товарищ— в точке В. Эту реальную ситуацию надо перевести на геометрический язык, или, как говорят, создать геометрическую модель этой реальной задачи. Мы выберем такую модель (рис. 215, б). Здесь точка О — центр площадки, А и В — точки на окружности, где стоят двое. Тогда путь из А и В может идти по ломаной ЛОВ или по дуге АВ. (При этом мы считаем, что дуга АВ не больше полуокружности. Разумеется, мы полагаем, что и тот н другой путь будет пройден с одной и той же скоростью ц) Время затра- 2R ченное на путь по ломаной, равно . Время ^2, затраченное на путь по дуге, равно , где (p=Z./10fi, R — радиус окружности, /.—длина окружности. Иначе можно записать; , _ 2nR60*я, а значит, время /, больше времени Если (р=120°, то 360<120-л и время /, меньше времени l^. Имея калькулятор, вы сможете найти приближенно значение <р, при котором /[=/2- Мы решали задачу в предположении, что речь идет о двух соседних дорожках. Важно ли это? Можно было выбрать другую геометрическую модель, например как на рисунке 215, в. В этой модели первый вариант пути выглядит так: отрезок ЛА,, дуга A^B^ и отрезок BiB. Эта модель более точная. Сравните сами варианты пути при тех же значениях (р, т. е. 60° и 120°, задав положение точек Л, и S| на радиусах О А и ОВ. (Кстати, а что будет происходить при выборе Л, и Б, все ближе к О?) Важно понимать, что не бывает абсолютно точной математической модели реальной ситуации. При создании такой модели мы всегда чем-то пренебрегаем, что-то не учитываем, а потому и ответ не может быть абсолютно точным. Этого не надо пугаться. Главное здесь, достаточна ли эта точность для решения поставленной задачи. Смотрим 4j Как найти длину красной линии по рисунку 216? Рис.216 199 а) К В г) яядп Могут ли равняться длины L, и L.2 на рисунке 217? Планируем Как узнать, под каким углом видна из центра окружности радиусом R дуга длиной L? Приведите примеры. Из точки проводятся две касательные к данной окружности, а) Объясните, почему при удалении точки от окружности длина ближайшей к этой точке дуги окружности увеличивается, б) Пусть известна длина касательной и угол между касательными. Как найти длину дуги между точками касания? Находим величину 2I Чему равно отношение длин окружностей, вписанной и описанной для данного правильного п-угольника? 11ЖМ 2 I Чему равна длина окружности, описанной около: а) прямоугольного треугольника с гипотенузой с; б) равнобедренного треугольника с основанием а и углом при вершине ср; в) прямоугольника со стороной а и углом Ф между диагоналями; г) равнобокой трапеции с диагональю d и углом при основании ф? 200 Чему равна длина окружности, вписанной в; а) прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим углом (р; б) равнобедренный треугольник с высотой h, проведенной к основанию, и углом при вершине (р; в) ромб с диагоналями а и 6; г) прямоугольную трапецию, у которой основание равно боковой стороне и равно а? I Окружности с общим центром называются концентрическими, а разность их радиусов называется шириной ограниченного ими кольца, а) Как вычислить ширину кольца, если известны длины окружностей, его ограничивающих? б) Имеется множество концентрических окружностей, каждые две соседние из которых имеют разность радиусов, равную d. Выберите любые две из них. Чему равна разность их длин? ДН1И4 I а) В окружности радиусом R проведена хорда длиной R. Чему равны длины стягиваемых ею дуг? б) Какой длины должна быть хорда окружности радиусом R, чтобы длина одной из дуг, стягиваемых ею, была в два раза больше другой дуги? Даны две окружности радиусами R ц г {R>r). Центр меньшей окружности лежит на большей. Длина дуги меньшей окружности внутри большего круга равна L. Какова длина дуги большей окружности внутри меньшего круга.' О Ищем границы Нарисуйте отрезок АВ. Вы хотите покороче попасть из ,4 в S, двигаясь только по полуокружностям, диаметры которых лежат на АВ. При этом соседние диаметры не накладываются друг на друга. Какой вы выберете путь.'' Исследуем Попытайтесь объяснить, почему хорда короче дуги окружности, соединяющей ее концы. Может ли она быть в два раза короче, чем меньшая из этих дуг? Применяем геометрию а) Колесо катится по прямой. Какая зависимость существует между его радиусом, числом оборотов, которое оно сделает, й длиной пройденного пути? б) Цирковой велосипедист едет на велосипеде, колеса которого имеют разные радиусы. Он объехал границу арены один раз. Как узнать, во сколько раз больше обернулось за это время меньшее колесо? Изменится ли полученный вами результат, если радиус арены будет в два раза больше? в) Два зубчатых колеса сцепили между собой. Их радиусы /?, и /?2-Первое из них сделало п оборотов. Сколько оборотов сделало второе? г) Пусть теперь есть третье колесо, которое имеет радиус R^ и сцеплено со вторым (см. задачу в)). Сколько оборотов сделало третье колесо, если первое сделало л оборотов? Что интересного в полученном результате? 201 1 А сколько оно сделает оборотов, если, кроме того, что сцеплено со вторым, будет еще сцеплено с первым? Часы показывали 15.00. Как вычислить путь, который пройдет конец минутной стрелки, пока она догонит часовую? Точка равномерно движется по окружности. Будет ли равномерным дви- _ жение ее проекции на диаметр окружности? Проверьте и обратное. 11Я1И 4 I Автомобиль едет по дуге окружности. Объясните, почему его внешние колеса едут с большей скоростью, чем внутренние. Установите, как зависит отношение их скоростей от крутизны поворота. Прямоугольное поле стадиона окружено беговой дорожкой. Она состоит из двух прямолинейных участков и двух полуколец. Длина беговой дорожки должна быть 400 м. а) Рассчитайте размеры прямоугольного поля и ширину дорожки, б) Бегуны бегут 400 м. Как вы их расставите на старте? (Бегунов четверо, и каждый из них бежит по своей дорожке.) Занимательная геометрия По окружности радиусом R катится окружность радиусом г. Сколько оборотов она сделает, пока вернется в прежнее положение? Л Выходим в пространство Прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой // положили боком на плоскость и покатили. Сколько оборотов сделает его основание, ___ пока не вернется в прежнее положение? 1ВУ<Я 2 I Прямой круговой циливдр с радиусом основания R и высотой Н покрасили краской, а затем покатили по плоскости. Цилиндр сделал один оборот. Чему равна площадь закрашенной части? § 17. Площадь круга 17.1 Площадь фигуры # До сих пор мы вычисляли площади только многоугольных фигур, в общем случае для произвольной фигуры F ее площадь S{F) можно вычислить с помощью площадей многоугольных фигур. Укажем один из способов. Если многоугольная фигура Q содержит фигуру F, то ее площадь S(Q)>S{F) (рис. 218). Значит, S{Q) будет приближенным значением для S (С) с избытком. Для фигур, которые встречаются на практике, и для фигур, которые мы будем изучать, путем подходящего выбора многоугольной фигуры Q удается этот избыток, т. е. разность S {Q)—S (F), сделать сколь угодно малым. Тем самым S (F) можно вычислить с любой нужной точностью. 202 F Рис. 218 17.2. Площадь круга Пусть данная фиг7ра F — круг. Тогда, измеряя его тдощадь 5(F), в качестве содержащих его многоугольных фигур проще всего взять описанные около него правильные многоугольники (рис. 219). Теорема 22 (о площади круга). Площадь S круга радиуса R выражается формулой S=n/?-. Доказательство. Пусть F— круг радиуса R, г Q — описанный около него правильный «-угольник, — периметр, а 5„ — площадь многоугольника Q. Тогда согласно формуле (4) п. 14.4 откуда р„ 2 Когда число п неограниченно возрастает (например, удваивается), величина сколь угодно мало отличается от длины L окружности данного круга, а площадь 5^ S сколь угодно мало отличается от S. Тогда число -j- сколь угодно мало отличается от величины . L дру- гой стороны, мы уже получили, что -jf- =-^R- Значит, числа У" и -|-/? отличаются сколь угодно мало. Это возможно лишь в том случае, когда эти числа равны, т.е. X Отсюда и получаем, что 5—А/?=2д/? =nR\ Ш 17.3. Квадратура круга Квадратурой круга названа задача о построении циркулем и линейкой квадрата, равновеликого данному кругу, т. е. имеюнгего ту же площадь. Решить эту задачу пытались еще в Древней Греции. Невозможность ее решения была доказана лишь в конце XIX в. Выражение «квадратура круга» означает неразрешимую задачу. 203 17.4. Площадь сектора Площадь сектора с центральным углом 1® составляет 1 п часть площади круга. Поэтому она равна . Следовательно, площадь сектора с центральным углом а° вычисляется по формуле а 360 17.5. Изопериметрическая задача Вы, наверное, обратили внимание на то, что многие тела, как естественньсе в природе, так и сделанные руками человека, имеют круглую или шарообразную форму. Например, имеют форму шара мячи, планеты и икринки рыб, круглыми растут стволы деревьев и круглыми делают колеса, различные трубы, круглыми строят арены цирков и т. д. Такое широкое распространение круглых форм обусловлено их многими и разнообразными свойствами. Об этих свойствах написаны целые книги. Одним из таких свойств является изопериметриче-ское свойство. Для пространственных тел оно заключается в том, что среди всех тел с данным объемом наименьшую площадь поверхности имеет шар. Поэтому природа «тратит» на икринку рыбы как можно меньше материала. Это свойство можно формулировать и так; среди всех тел с данной площадью поверхности наибольший объем имеет шар. iXaH плоских фигур изопериметрическая задача состоит в том, чтобы среди всех фигур, ограниченных замкнутой кривой заданной длины, найти фигуру наибольшей площади. Решением этой задачи является круг (и только круг). Из этого следует, что длина L границы фигуры и ее площадь 5 связаны изоперимет- рическим неравенством: В общем случае решение изопернметрической задачи сложно. Но аналогичные задачи для многоугольников значительно проще. В самом простом случае — для треугольников — она формулируется так: среди всех треугольников с данны.ч периметром наибольшую площадь имеет правильный. И среди всех п-угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный. Изопериметрическая задача относится к так назы- 204 ваемым задачам на экстремумы — задачам об отыскании наибольших и наименьших значений. Такие задачи мы еще будем рассматривать в главе V в связи с преобразованиями фигур. Как мы увидим, обычно решение экстремальной задачи обладает той или иной симметрией. Так и решение изопериметрической задачи на плоскости — круг — самая симметричная фигура из всех ограниченных фигур. Вопросы 1. Как вычисляют площадь фигуры? 2. Докажите теорему о площади круга. 3. Как получена формула площади сектора? 4. Как вычислить площадь сегмента? 5. Что вы знаете о квадратуре круга? 6. Что вы знаете об изопериметрической задаче? Где используется в быту изопериметрическое свойство круга? Задачи к § 17 Разбираемся в решении Кольцо образовано двумя концентрическими окружностями радиусами R и 0,9/?. Какая часть площади большего круга лежит в кольце? (Сначала оцените ее так, как вам подсказывает ваша интуиция, а потом сделайте подсчет. Намного ли вы ошиблись?) Решение. Круг очень интересная фигура, о нем даже книги написаны. И в этой задаче, будем надеяться, вы увидите что-то интересное для себя. Площадь круга 5, радиусом R вычисляется по формуле Sj=n/?“. Площадь круга S2 радиусом 0,9/? вычисляется по формуле 5г=д • 0,81/?^. Площадь кольца S между этими кругами равна S=S,-S2=0,19Ic/?^. С Тогда -^=0,19-20%. Вы так и предполагали? •^1 Круг с тем же центром и площадью, равной вычисленной площади кольца, должен иметь радиус... (прикиньте, какую часть от исходного радиуса R он должен составить). Итак, стоит запомнить; наиболее существенная часть площади круга расположена около его границы. Обозначим через /? и /?, радиусы окружностей кольца, где d=/?-/?, S=n {R^-R^i )=л (/?-/?,) (/?+/?, )=Kd (/?+/?,); L=2k R + R, =я(/?+/?,)(?). 205 Отсюда R+R, = - Тогда S=Tt • d — =LA. 7C Какую формулу напоминает полученный результат? И есть ли что-то похожее на формулу площади треугольника, в которой дана его средняя линия? Найдем площадь кольца с радиусами R и R+AR (Д/?>0): S=n{R+mf-n}^^=K{2R^R^ARf). Отсюда =к • (2R+AR). При убывании AR правая часть убывает, а значит, убывает и левая часть. Теперь раскроем скобки и получим: S AR =2itR+n • AR. s s Отсюда видно, что >2kR. Разность между и 2nR равна к • AR и может быть сделана сколь угодно малой за счет множителя AR. Итак, ~ 2kR. Можно заметить, что в правой части этого приближенного равенства стоит как раз длина данной окружности, причем равенство обеих частей может быть сколь угодно точным (?). Как говорят в математике в таких случаях, длина окружности есть 5 предел величины при AR-*0. Теперь насчет идеи. Если бы мы сначала знали формулу площади круга, а не длины окружности, то...? Продолжите. <Е <»> Смотрим (l7.2~,(4 I Чему равна площадь части круга, .закрашенной на рисунке 220? С Представляем В данном круге рассматриваются сегменты, меньшие полукруга. Верно ли, что большей площади такого сегмента соответствует: а) большая хорда сегмента? б) большая стрелка сегмента? в) большая дуга сегмента? Верно ли обратное? Стрелка сегмента — это часть диаметра круга, перпендикулярного его хорде, лежащая в сегменте. Планируем Как вычислить площадь сектора, если известны: а) радиус круга и длина его дуги; б) длина его дуги и центральный угол; в) длина его границы и центральный угол? 206 Как сделать сектор, у которого; а) площадь равна л; б) площадь равна 1; в) площадь равна к и длина дуги равна л; г) площадь численно равна длине его дуги; д) площадь численно равна длине его границы? Как вычислить площадь сегмента, если известны: а) длина его хорды и длина его дуги; б) длина его хорды и длина его стрелки; в) длина его дуги и длина его стрелки; г) периметр и угол, под которым его хорда видна из центра; д) длина его хорды и угол, составленный ею с касательной к окружности, проведенной в одном из концов хорды? Работаем с формулой Запишите формулу площади круга, а) Пропорциональность каких величин указана в формуле? б) Докажите, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов, в) Установите характер зависимости между площадью круга и длиной окружности. Какие величины участвуют в формуле площади сектора? Каков характер зависимости любых двух из них при постоянстве остальных? РП Находим величину Вычислите площадь круга, описанного около; а) равностороннего треугольника со стороной 1; б) прямоугольного треугольника с катетом а и прилежащим острым углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h; г) равнобокой трапеции с основаниями 5 и 2 и боковой стороной 3; д) трапеции с основанием 1, которое составляет с боковой стороной угол а, а с диагоналями угол р. Вычислите площадь круга, вписанного в фигуры, указанные в задаче 17.9. Внутри круга проходит окружность, которая делит его площадь пополам. Каков радиус этой окружности? а) Квадрат и круг имеют одинаковую длину границы. Какая из этих фигур имеет большую площадь? б) Квадрат и круг равновелики. У какой из этих фигур длиннее граница? Рис.220 207 Дана окружность радиусом 1. В нее вписывается правильный многоугольник и около нее описывается правильный многоугольник, причем с одинаковым числом сторон, а) Сколько надо взять сторон, чтобы разность их площадей была меньше 0,1; 0,01? В каких границах лежит при этом площадь круга? б) Сколько надо взять сторон у описанного многоугольника, чтобы его площадь отличалась от площади круга меньше чем на 0,001? А сколько потребуется для этого сторон у вписанного многоугольника? а) Дан круг радиусом 1. Его требуется накрыть равными кругами, мень-щими данного. Каким должен быть их радиус, если кругов два? А если три? б) Даны три круга радиусом 1. Чему равен радиус наибольшего круга, который можно покрыть этими кругами? Обобщите задачу. а) Какую часть от площади круга составляет площадь сектора, если центральный угол этого сектора равен; 1) 30°; 2) 90°; 3) 180°; 4) 300°? б) Какую часть от площади круга составляет площадь сектора, у которого; 1) длина дуги равна радиусу круга; 2) длина дуги равна диаметру круга; 3) длина дуги численно равна площади сектора? а) В круге радиусом /? проведена хорда. Она видна из центра под углом ф. Чему равна площадь образовавшихся сегментов? б) Хордой можно отсечь от круга -j его площади. Но как это сделать? В круге радиусом R проведены две параллельные хорды длинами а и h. Чему равна площадь части круга, заключенной ме>щ^ этими хордами? О Ищем границы а) На отрезке АВ выбирают любую точку X. В каких границах лежит суммарная площадь двух кругов с диаметрами АХ и ХВ? б) На отрезке АВ выбирают любую точку X и строят по одну сторону от АВ три полуокружности диаметрами АВ, АХ и ХВ. В каких границах лежит площадь фигуры, ограниченная этими полуокружностями? Кусок проволоки сгибают так, что он все время остается частью окружности. Сможете ли вы установить, в каких границах находится площадь сегмента, частью границы которого является эта проволока? Доказываем а) На сторонах прямоугольного треугольника построили полукруги. Докажите, что площадь большего из них равна сумме площадей меньших. б) Даны два круга. Как построить третий круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов? Исследуем а) Пусть S — площадь кольца, d — его ширина, L — длина окружности, равноудаленной от его краев. Какая связь между этими величинами? Что она напоминает? 208 3 4 ЩЩ] б) Кольцо образовано окружностями радиусами R и Чему равно отношение площади кольца к Д/?? Пусть AR становится все меньше. Как изменяется это отношение? Какая у вас возникает идея? в) Сможете ли вы измерить площадь кольца, сделав на нем всего одно измерение (как, к примеру, па круге или на квадрате)? г) Круг данного радиуса надо разбить концентрическими окружностями на 10 фигур равной площади. Как вы это сделаете? Сектор можно разбить на треугольник и сегмент. (Всегда ли?) Сравните между собой площади этих частей сектора в зависимости от центрального угла сектора. Сможете ли вы решить задачи, аналогичные задаче 17.5 для сегмента? Пусть известны радиусы двр кругов и расстояние между их центрами, а) Как найти площадь и длину границы их пересечения? их объединения? б) Удалите из по.п:ученного объединения кругов их пересечение. Выразите через известные радиусы разность площадей оставшихся частей. Можно ли обобщить полученный результат? Можно ли рассечь круг двумя параллельными хордами на три равновеликие части? Как это сделать в круге радиусом 1? Дан круг. Можно ли разделить его иа равновеликие части: а) двумя линиями равной длины; б) тремя линиями равной длины; в) четырьмя линиями равной длины? Из точки А к данной окружности проводят касательные АВ и АС {В и С — точки касания). Прямая ОА, где точка О — центр окружности, пересекает окружность в точках К а L (точка К— ближайшая к Л). Может ли площадь фщуры АВКС равняться площади: а) сектора ОВКС\ б) сектора OBLC\ в) сегмента ВКС\ г) сегмента BLCi д) треугольника ОВС\ е) треугольника LBC\ ж) фигуры LBKC7 € применяем геометрию Почему для передачи газа на большие расстояния выгоднее использовать трубы большого диаметра? Из бесконечной полосы жести шириной 5 вырезаются круги рал,иусами I. Предложите наиболее экономв1ый способ. Занимательная геометрия Круглому пирогу с 8 свечами Карлсон предпочитает 8 круглых пирогов с одной свечой. В каком случае он не прогадает)* Задачи к главе III ZZIZ Планируем Два круга не имеют общих точек. Пусть известны их радиусы и расстояние между их центрами. Как найти: а) длину внешней касательной; б) длину 8 Л,1с‘Кс;|11.чрн« Геометрия. 8 209 внутренней касательной; в) угол между внешними касательными; г) угол между внутренними касательными? □ Находим величину Две окружности радиусами и R2 касаются извне в точке С. К ним проведены две общие внешние касательные Л]Лз и Чему равны: а) величина угла Л1СЛ2; 6) площадь треугольника Л1СЛ2; в) угол между касательными: г) расстояние от точки пересечения касательных до ближайшей к ней данной окружности; д) площадь четырехугольника A^B^B2A2, е) длина отрезка касательной, проведенной к обеим окружностям через точку С, между данными касательными? Как будут изменяться эти величины при неограниченном уменьшении R^} Каковы размеры равнобокой трапеции, если: а) в ней расположены две касающиеся окружности радиусом R и каждая из них касается трех сторон трапеции; б) в ней расположены две касаюш,иеся окружности радиусами /? и г и каждая из них касается трех сторон трапеции; в) в ней расположены три окружности радиусом R, причем каждые две из них касаются между собой, одна из них касается основания н двух боков, а каждая из двух других касается основания и бока; г) в ней расположены три окружности, из которых одна имеет радиус R и вписана в трапецию, а каждая из двух других имеет радиус г и касается первой окружности, основания и бока? Исследуем а) Две окружности концентричиы. Докажите, что на любой хорде большей окружности, пересекающей меньшую oкpyжFюcть, есть два равных отрезка. Могут ли на ней образоваться три равных отрезка? б) Пусть радиусы двух концентрических окружностей R и 2R. Какова длина наибольшей хорды, умещающейся в кольце, границей которого являются данные окружности? Из концов этой хорды проведите касательные к меньшей окружности. Что можно увидеть? Как это объяснить? Какова наименьшая ширина кольца, в котором может уместиться граница правильного «-угольника со стороной 1? в) Третья окружность расположена в кольце (п. б)) так, что она касается краев кольца. Чему равен ее радиус? Под каким углом она видна из общего центра данных окружностей? Сколько таких окружностей уместится в кольце: г) В часть кольца, ограниченную двумя радиусами R и 2/?, вписан прямоугольник, одна из сторон которого касается меньшей дуги в ее середине. Чему равна его площадь? д) Какие из задач а) — г) вы можете обобщить? Рассмотрим четыре точки треугольника: точку пересечения медиан, высот, центр описанной окружности и центр вписанной окружности. В равностороннем треугольнике все они совпадают. Пусть теперь известно, что две из них совпадают. Является ли в этом случае треугольник равносторонним? <П 210 111.10 а) Всегда ли наибольший круг, умещающийся в данном многоугольнике, является его вписанным кругом? б) Всегда ли наименьший круг, содержащий данный многоугольник, является его описанным кругом? в) Пусть известны все элементы четырехугольника. Как вы будете искать радиус наибольшего круга, умещающегося в кем, и радиус наименьшего круга, содержащего его? Пусть в шестиугольнике A^A2A2A.^A^Q A^A^=A.^-n=A-j,A^=AnA^=A'Ji\ = =ЛеЛ2, A^A^=A2A^=AзAQ. а) Как сделать такой шестиугольник? б) Можно ли описать окружность около него? в) Какими свойствами обладает такой шестиугольник? В пятиугольнике A^A^■iA^A^ все стороны равны. Углы и — прямые, а) Как сделать такой пятиугольник? б) Можно ли около него описать окружность? в) Какими свойствами обладает такой пятиугольник? В пятиугольнике Aj/lg/la/lHs A^i=A^A'^=A2A^, AiA2\\A^A^, А2А^^А2А^. Какими свойствами обладает такой пятиугольник? В частности, можно ли около него описать окружность? Будет ли правильным четырехугольник, около которого можно описать окружность и в который можно вписать окружность? А как обстоят дела с другими многоугольниками? 4ПШ Строим Постройте окружность, касающуюся: а) двух данных окружностей; б) двух данных окружностей и их обшей касательной. Мх 2 Комбинированные задачи Дана окружность с центром О и радиусом R. Через данную точку А проведены к этой окружности две секущие, ф — угол между секущими, AO=d. Первая секущая пересекает окружность в точках S, и вторая секущая пересекает окружность в точках С, и С2 (при этом точки В, и С, ближе к А, чем точки и Q). Эти секущие составляют равные углы с прямой АО. а) Докажите, что: I) B|52~CjC2; 2) B^C^\\B,2C2, 3) прямые и SgC, пересекаются на прямой АО. б) Чему равны: 1) площадь четырехугольника с вершинами в точках S,, С,, Q; 2) длины дуг, на которые разбилась окружность этими точками; 3) площади частей круга, на которые он разбит секущими? В угол с вершиной Л, равный ф, вписана окружность радиусом R. Пусть Д и С — точки касания окружности и сторон угла. Найдите: а) расстояние от А до круга; б) площадь треугольника АВС\ в) длины полученных дуг окружности; г) площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и сторонами угла; д) радиус окружности, касающейся сторон угла и данной окружности. Используя эту конфигурацию, предложите способ для вычисления угла, если его вершина: доступна; недоступна. 8* 211 в каких границах лежит длина касательной, проведенной к данной окружности и лежащей внутри угла (рассмотрите касание как меньшей, так и большей дуги)? Пусть в данный угол вписывается еще одна окружность, касающаяся и первой окружности. В каких границах находится отношение площадей обоих кругов при изменении угла ф? Два равных круга с центрами О, и Oj имеют общую хорду АВ. Пусть радиус кругов равен R и 0^0.2=с1. а) Чему равны площади всех фигур на вашем рисунке? б) Пусть через точку А проведены касательные к данным окружностям. Чему равен угол между ними? в) Пусть через точку А проводятся всевозможные прямые. В каких границах находится сумма дайн хорд, высекаемых на них данными окружностями? Какие из этих задач вы можете решить в общем случае? Две окружности касаются изнутри. Их центры О, и их радиусы з) Докажите, что точка касания лежит на 0,02-б) Чему равны периметры и площади фигур, полученных на рисунке после проведения; 1) касательной к меньшей окружности, перпендикулярной 0,021 касательной к меньшей окружности, параллельной 0,0^,; 3) двух касательных к меньшей окружности из точки О2? Две окружности касаются в точке В. В одной из них проведены две равные хорды ВА и ВС. Они или их продолжения пересекают вторую окружность в точках /4, и С, соответственно, а) Докажите, что ВА^=ВС^. Докажите обратное, б) Установите вид четырехугольника AC^Л^C. в) Найдите отношение /4СМ|С|, если радиусы окружностей известны, г) Пусть первая из них видна из центра второй под углом ф. Под каким углом вторая из них видна из центра первой? д) Пусть больший радиус равен 3, а меньший радиус равен 1. Прямая, проходящая через В, пересекает меньшую окружность в точке А, а большую окружность в течке С. AC—2jb . Вычислите АВ. Две окружности с центрами О, и О2 не имеют общих точек, а) Пусть /4,^2 и '^1^2 — общие внешние касательные к данным окружностям (т. е. отрезки /4|Л2 и не пересекаются). Докажите, что они равны, а их продолжения пересекаются на линии центров О 0^. б) Пусть ^ ^1^2 — общие внутренние касательные к данным окружностям (т. е. отрезки C^C-i и D^D2 пересекаются). Докажите про них то же, что и в пункте а), в) Может ли внешняя касательная равняться внутренней? г) Каким по виду является четырехугольник А^Аф^^'} CiDjCaDj? Три окружности радиусом R попарно касаются. Пусть Л, б, С — их точки касания, а) Установите вид треугольника АВС. б) Чему равны периметр и площадь фигуры F, заключенной между ними? в) Как построить окружность, касающуюся трех данных окружностей? Дан равнобедренный треугольник. Пусть R — радиус описанной около него окружности, а г— радиус вписанной в него окружности, а) В каких границах находится R '■ г? б) Как найти элементы равнобедренного треугольника, зная ?? и г? в) Сможете ли вы построить равнобедренный треугольник, т <п € (П €1 <11 € € О с 212 зная положение центров его описанной и вписанной окружностей? г) Пусть в равнобедренном треугольнике эти центры совпадают. Что из этого следует? Занимательная геометрия Для египетских пирамид замечено следующее: отношение удвоенной стороны основания к высоте пирамиды с хорошей точностью равно д. Сами египтяне, однако, значение д с такой точностью не знали. Объясните. €П Участвуем в олимпиаде Из каждой середины стороны остроугольного треугольника площадью S провели перпендикуляры на другие две его стороны. Чему равна площадь шестиугольника, ограниченного всеми этими перпендикулярами? На сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они полностью накрывают данный четырехугольник. Два прямоугольных треугольника АВС и ABD имеют общую гипотенузу ЛВ и больше общих точек не имеют. AD=BD. Докажите, что луч CD делит пополам угол АСВ. Два прямоугольных треугольника ABD и BCD составлены так, что они имеют общую гипотенузу BD и образуют выпуклый четырехугольник/15CD. Докажите, что проекции сторон AD н ВС на отрезок АС равны. ABCD — кваарат, точка О — его центр, точка К— середина стороны ВС, точка L — середина отрезка OD. Чему равен угол АСЮ В неравнобедренном треугольнике из одной и той же вершины проведены высота и медиана. При этом оказалось, что они образуют со сторонами треугольника, выходящими из той же вершины, равные углы. Высота треугольника лежит внутри его. Докажите, что данный треугольник прямоугольный. Внутри каждой стороны квадрата, нарисованного карандашом на бумаге, выбрали по точке, а потом квадрат стерли и оставили только выбранные точки. Можно ли восстановить исходный квадрат? На катете ВС и гипотенузе >4Й прямоугольного треугольника ЛЛС построены квадраты BKLC и BMNA. При этом квадрат BKUC построен во внешнюю сторону отданного треугольника, а квадрат ВММА построен во внутреннюю сторону. Докажите, что центры построенных квадратов н вершина Сданного треугольника лежат на одной прямой. Из точки М внутри острого угла А проведены перпендикуляры МР и MQ на стороны угла. Из точки А проведен перпендикуляр АК на прямую PQ. Докажите, что Z. PAK—/L MAQ. Дан параллелограмм. Внутри его взята точка и соединена отрезками со всеми вершинами параллелограмма. Один из этих отрезков виден из двух противоположных вершин параллелограмма под равными углами. Тогда любой из этих отрезков виден из некоторых противоположных вершин параллелограмма под равными углами. Докажите. \ 213 Дополнения I. Геометрия треугольника По-видимому, вы уже заметили, что треугольники являются тем стержнем, вокруг которого формируется курс элементарной геометрии. Это не случайно. Несмотря на то что треугольник — одна из простейших фигур, он имеет много важных н интереснейших свойств. К этим свойствам сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть и такие, которые люди знают с древнейших времен, например теорема Пифагора, а есть и открытые совсем недавно. Даже и сейчас появляются новые теоремы о треугольниках. Треугольникам уделяли внимание многие выдающиеся ученые. Вы встретитесь с их именами: теорема Пифагора, формула Герона, точка Торричелли, окружность Эйлера, прямая Гаусса, теоремы Лейбница и Карно и т.д. Решению треугольников посвящена глава И, в которой были доказаны три важнейшие теоремы о треугольниках: теорема Пифагора, теорема синусов и обобщенная теорема Пифагора (теорема косинуса). Из двух последних теорем легко вытекают теоремы о подобных треугольниках. Более подробно о подобии фигур мы будем говорить в 9 классе. А теоремы о подобных треугольниках нам будут нужны для доказательств других интересных теорем геометрии треугольника. Поэтому мы с них и начнем. 1. Подобные треугольники Вообще о подобных фигурах можно сказать, что это фигуры, имеющие одинаковую форму, но различные размеры. Например, подобны две фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями (рис, 221) или животное и его игрушечная модель. Подобны любые два круга. Из этих примеров можно увидеть, что отношения соответствующих линейных размеров подобных фигур равны. Так, на коробках игрушечных моделей самолетов указано, во сколько раз их детали меньше соответствующих деталей настоящих самолетов. Все размеры треугольника определяются длинами его сторон. По- 214 а) % Рис. 221 этому естественно дать такое определение подобных треугольников. Определение Два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Подробнее: два треугольника подобны, если можно так сопоставить их стороны, что, обозначив стороны одного треугольника через а, Ь, с, а соответствующие стороны второго треугольника через о/?|. с, (рис. 222), будем иметь равенства отношений соответствующих сторон, т. е. равенства a^ _ ft, (1 Если эти отношения обозначить через к, то из равенств (1) получаем, что Ui=ka, bi=kb, c^=kc. (2) Ясно, что верно и обратное утверждение: из равенств (2) следуют равенства (1). Итак, равенства (1) и (2) равносильны. Положительное число к называется коэффициентом подобия. Из подобия двух треугольников вытекают как равенства (1), так и равенства (2). Обратно: два тре- Рис.222 215 угольника подобны, если установлено, что их стороны пропорциональны, т. е. выполняются равенства (1) или, что равносильно, равенства (2). Рассматривая здесь два подобных треугольника, мы обозначаем их соответственные стороны как а, Ь, с и а,, b^, С[, а вершины треугольников, лежащие против этих сторон, обозначаем, как обычно, А, В, С и Л,, В„ С,. Итак, говорят, что треугольник А|В|С, подобен треугольнику АВС с коэффициентом k, если выполняются равенства (2). Если треугольник Л,В,С, подобен треугольнику АВС с коэффициентом к, то треугольник АВС по- добен треугольнику А\В^С^ с коэффициентом . Это утверждение вытекает из равенств (2). Если fe=l, то треугольники равны. Поэтому равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников (с коэффициентом подобия, равным единице). Теорема (о равенстве углов подобных треугольников ) Соответственные углы подобных треугольников равны. Доказательство. Пусть треугольник Л (б, С, подобен треугольнику АВС с коэффициентом k. Тогда a^=ka, b^=kb, Ci=kc. Вычисляя косинус угла С, треугольника Л|б,С| по теореме косинуса, получаем cosС^={а^ + Ь^— С[) {2k^ab)= ={а^+Ь^-(^) ■ (2a/?)=cos С. Из равенства косинусов углов С, н С следует равенство этих углов. Аналогично доказываются и равенства других соответствующих углов треугольников АВС н A^B^C^. Ш Докажем два признака подобия треугольников. Теорема (первый признак подобия треугольников) Если две стороны одного треуго.иьника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны. 216 Доказательство. Допустим, в треугольнике АВС A^B^C^ равны углы С и С, и пропорциональны заклЕО-чающие эти углы стороны рассматриваемых треугольников (рис. 223). Тогда, используя введенные обозначения, имеем равенства Oi=fea, b\=kb, (3) т. е. выполняются два из трех равенстЕЗ (2). Докажем, что выполняется и третье равенство, т. е. что C\=kc. Найдем, применяя теорему косиЕзуса, квадрат стороны c^: c]=a]+bi—2aib^cos C^=(kaf+(kbf-2(ka) {kb)cos С= =k\a^+b^—2аЬ cos C)=k^c^={kef. Следовательно, и c^=kc, т. е. все три пары сторон рассматриваемых треугольников пропорциональны и эти треугольники подобны. ■ Теорема (второй признак подобия треугольников) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство, Рассмотрим два треугольника АВС и A^B^Cl, у которых равны два угла: ^A=Z.A^ и (рис. 224). Тогда равны и их третьи углы; /.C=/LCj. Итак, ЛА=^А^, гLB=AB^, ZC=Z.C|. (4) Докажем пропор1;иональность сторон треугольников АВС и /4|fi,C|. Из равенств (4) следует, что sin/?=siny4|, sinB=sinBj, sinC=sinC,. (5) Согласно теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов треугольника. Поэтому а=р s\n А, Ь=р s'm В, с-р s\n С (6) а,=^51пЛ|, b^=qsmB^, c,=gsinC|. (7) Из равенств (5), (6) и (7) следует, что Д| _ Ь\ _ f_\_ а Ь с р ' т. е. стороны рассматриваемых треугольников пропорциональны и эти треугольники подобны. ■ Рис. 224 217 Используя второй признак подобия треугольников, можно доказать полезную лемму. Лемма (о хорде, параллельной стороне треугольника ) Концы хорды треугольника, параллельной его стороне, разбивают две другие стороны треугольника на пропорциональные отрезки. Доказательство. Пусть хорда КМ треугольника ЛВС параллельна его стороне ВС (рис. 225). Треугольники АВС и АКМ подобны по второму признаку. Поэтому АВ АС АК AM • Поскольку АВ=АК+КВ и АС=АМ+МС, то, заменяя АВ АС отрезки АВу\АСъ равенстве этими суммами и поделив эти суммы почленно, получаем КВ _ 1 . МС АК AM ■ Из последнего равенства и вытекает, что АК ■ КВ= =АМ:МС. Ш Эта лемма является частным случаем теоремы об отрезках, отсеченных на сторонах угла параллельными прямыми. Теорема (обобщенная теорема Фалеса) Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Доказательство. Пусть стороны угла О — лучи р и q — пересекают параллельные прямые й, Ь, с соответственно в точках Л, Л', В, В\ С, С' (рис. 226). Требуется доказать, что ОА А В ВС 0А'~^Ж~Ш7- Согласно лемме имеет место следующее равенство; ОА ■■ АВ=ОА': А'В', т.е. выполняется первое из равенств (8). Докажем теперь, что ВС-В'С=ОА:ОА'. (9) Применим лемму к треугольнику ОСС и его хорде ВВ'. Получим ОВ ■■ ВС=ОВ'■■ В'С. (10) В‘ Рис. 225 218 Поэтому ВС-В'С=ОВ‘ОВ'. (11) Из подобия треугольника ОАА' и ОВВ' следует, что ОВ-ОВ'=ОА-.ОА'. (12) Из равенств (11) и (12) следует равенство (9). Итак, все три отношения, стояндие в равенствах (8), равны. Равенства (8) доказаны. ■ Частным случаем только что доказанной теоремы является теорема Фалеса: если параллельные прямые пересекают стороны угла и на одной из сторон угла отсекают равные отрезки, то и на другой его стороне они отсекают равные отрезки (рис. 227). Поэтому предыдущую теорему называют обобщенной теоремой Фалеса. Задачи 1. 2. 3. 4. 5. Дополняем теорию Докажите, что прямоугольные треугольники, имеющие соответственно равные острые углы, подобны. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите, что отношение плош,адей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия. Докажите, что подобны равнобедренные треугольники, у которых: а) равны углы при вершинах; б) равны углы при основаниях. Пусть две параллельные прямые пересекаются прямыми, проходящими 219 через одну и ту же точку, не лежащую на данных параллельных прямых. Докажите, что на параллельных прямых получились пропорциональные отрезки. <®> Смотрим На рисунке 228 укажите подобные треугольники. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. Найдите на полученном рисунке подобные треугольники. Назовите в них соответственные стороны. Запишите их пропорциональность. Найдите подобные треугольники на рисунке 229. Напишите пропорциональность их соответствующих сторон. Найдите длину отрезка х на рисунке 230. Сравните площадь 5, и S<^ на рисунке 231. Проведите две медианы треугольника и среднюю линию этого треугольника, соединяющую концы медиан. Найдите на полученном рисунке подобные треугольники. Напишите пропорциональность их соответствующих сторон. Находим величину Н 12. Стороны треугольника равны 3, 4, 6. Чему равны стороны треугольника, подобного данному, если коэффициент подобия равен; а) 2; б) 0,5? В каждом случае найдите периметр подобного треугольника. D К 1] М D-J г) Д) е) В D М Рис,228 В А D В 220 221 13. Хорда КМ треугольника АВС идет из точки К стороны АВ параллельно его стороне ВС. Найдите: а) ВК, если АК=4, ЛМ=6, МС= 10; б)МС, еслиЛ/И=2, Лб=6.ЛЛ:=4; в) АС, если КВ=3, МС=4, АЯ=10; г) КМ, если АК=4, ВК—В, ВС=20; д) ВС, если КМ=5, АМ=2, МС=6. 14. Хорда РО треугольника АВС идет от точки Р стороны АВ до точки О стороны АС. Пусть / АОР—А АВС. Найдите: а) АО, если АВ=С, АЯ=4, АС= 12; б) ВР, если АР=4, АО=3, АС=8; в) РО, если АВ=\2, ВС=3, АО=6. 15. Площадь трапеции ABCD равна 5. Продолжения ее боковых сторон АВ и DC за точки Б и С пересеклись в точке О. Найдите площади треугольников ОВС и ОАО, если: а)/10:00=1:1; б) АО = 00= 1:2; в) А0:А0 = 4:1; г) BC-AD=\-3. 16. Площадь треугольника АОС равна S. Чему равны площади треугольника АКМ и трапеции КМСВ, на которые разобьет треугольник АВС хорда КМ, идущая от точки К на стороне АВ параллельно стороне ОС, если: а) АК-КВ^\-2\ 6) АК■ АВ^2 ■■ в) КМ : ВС= 1 : 3? В каком отношении следует разделить точкой К отрезок АО, чтобы треугольник АКМ и трапеция KMCD ока-.зались равновеликими? Площадь трапеции равна S, а основания ее относятся как 1 = 3. Найдите площади треугольников, на которые разбивают трапецию ее диагонали. 17, Г Доказываем В В г) В 18. Докажите, что прямоугольные треугольники, катеты которых пропорциональны, подобны. 19. Докажите, что два прямоугольных треугольника, у которых катет и гипотенуза одного из них пропорциональны катету и гипотенузе другого, подобны. 20. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники ADO и ВСО подобны. Чему равен коэффициент их подобия? 21. Через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная стороне, противоположной этой вершине. Докажите, что эти прямые Рис. 231 222 ограничивают треугольник, подобный данному. Сравните его площадь с площадью данного треугольника. 22. В треугольнике проведена медиана к одной из сторон. Докажите, что каждая хорда треугольника, параллельная этой стороне, делится данной медианой пополам. Попробуйте обобщить этот результат. 23. Нарисуйте угол аЬ с вершиной О. На стороне а отложите равные отрезки: OA=AB=BC=CD. На стороне Ь также отложите равные отрезки: OK=KL=LM—MN. Докажите, что пря.мые АК, BL, СМ, DN параллельны друг другу. Как связаны длины отрезков АК, BL, СМ, DN? 24. В четырехугольнике ABCD точка пересечения диагоналей — точка О—делит эти диагонали на пропорциональные (но не равные друг другу) отрезки: АО: ОС=ВО ■ OD. Докажите, что ABCD — трапеция. 25. На сторонах угла аЬ с вершиной О отложены отрезки ОЛ, ОВ на стороне а и ОС, OD на стороне Ь. Известно, что ОА- ОВ=ОС- OD. Докажите, что тогда £.0BC=/L0DA. 26. Внутри острого угла АОВ провели луч с началом в точке О. По нему от вершины движется точка X Докажите, что отношение расстояний от точки X до сторон угла постоянно. Проверьте обратное. Будет ли верно это утверждение для тупого угла? @ Исследуем 27. Биссектриса рассекает равнобедренный треугольник на два подобных ему треугольника. Какие это треугольники? 28. Прямая, проведенная через вершину В треугольника АВС, разбила его на два подобных треугольника АВК и ВСК. Какие углы в этих треугольниках равны? Рассуждаем 29. Объясните, почему подобны друг другу все равносторонние треугольники. 30. Объясните, почему два треугольника, подобные третьему треугольнику с коэффициентами k н k^, подобны друг другу. Как найти коэффициент их подобия? Два угла одного треугольника равны 70° и 80°, а два угла другого треугольника равны 30° и 80°. Подобны ли эти треугольники? 31. Какие признаки подобия прямоугольных и равнобедренных треугольников можно получить как следствия двух признаков подобия треугольников? А какие уже известные вам признаки подобия таких треугольников не являются следствиями общих признаков подобия треугольников? 32. Два угла треугольника равны 40° и 50°. Чему равны углы треугольника, подобного данному? 33. Каким по виду будет треугольник, подобный данному, если данный треугольник: а) прямоугольный; б) остроугольный; в) тупоугольный; г) равнобедренный? 223 Применяем геометрию 34. По преданию, Фалес Милетский измерил высоту пирамиды по длине ее тени в тот момент, когда длина тени предмета была равна его высоте. На что мог опираться Фалес в своих рассуждениях? 35. Как проверить, подобны ли два чертежных треугольника? 2. Замечательные точки треугольника в школьном курсе геометрии обычно к замечательным точкам треугольника относят четыре точки: 1) центр окружности, описанной около треугольника, т. е. точку, равноудаленную от всех вершин треугольника; она является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника (рис. 232); 2) центр окружности, вписанной в треугольник, т. е. точку, равноудаленную от всех сторон треугольника; она является точкой пересечения его биссектрис (рис, 233); 3) точку пересечения медиан треугольника (рис. 234); 4) точку пересечения высот треугольника или их продолжений (рис. 235). Первые две из этих четырех точек имеют пространственные аналоги — точку, равноудаленную от всех вершин тетраэдра, — центр сферы, описанной около тетраэдра, н точку, равноудаленную от всех граней тетраэдра, — центр сферы, вписанной в тетраэдр. 5 следующих теоре.мах речь пойдет о точках пересечения медиан и высот треугольника. Теорема (о точке пересечения медиан треугольника) Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая медиана треугольника делится этой точкой в отношении 2' 1 (считая от вершины треугольника). Рис. 232 Рис.233 Рис. 234 224 Доказательство. Пусть медианы AM и ВК треугольника АВС пересекаются в точке Т (рис. 236, о). Проведем среднюю линию КМ (рис. 236, б). Напомним, что KMWAB и KM=-jAB. Поэтому треугольник АВТ подобен треугольнику КМТ с коэффициентом 2. Следовательно, АТ - ТМ=ВТ '■ ТК=2 ■ 1. Покажем, что и медиана CN также проходит через точку 7’(рис. 237). Повторим проведенные рассуждения для медиан AM и CN. Снова получим, что они пересекаются в такой точке на медиане AM, которая делит AM в отношении 2П. Этой точкой является точка Т. Поэтому CN проходит через точку Т. ■ Точка пересечения медиан треугольника называется центром масс треугольника, центром тяжести треугольника или центроидом треугольника. Если изготовить треугольник из картона, проколоть его в точке пересечения медиан и продернуть в прокол нитку с узелком, то треугольник, висящий на этой нитке, будет находиться в равновесии. Понятие центра масс (центра тяжести) относится к механике и было введено в науку величайшим ученым древности Архимедом (ок. 287—212 гг. до н. э.). Начиная с Архимеда, методы геометрии и механики плодотворно сочетаются, а Ньютон даже назвал геометрию первой главой механики. Архимед так определял понятие центра тяжести: центром тяжести каждого тела является некоторая расположенная внутри его точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение. а) б) Рис.236 Механика позволяет нахождение центра масс тела свести к нахождению центра масс некоторой системы материальных точек. Материальной точкой называют пару (А, т), где А — точка пространства, а ш — положительное число {масса материальной точки). Нахождение центра масс треугольника АВС можно свести к нахождению центра масс системы трех материальных точек (Л, 1), (В, 1) и (С, 1) (рис. 238, а). Это делают так. Сначала находят по правилу рычага Архимеда центр масс системы из двух точек (i), 1) и (С, 1). Им будет точка М — середина отрезка ВС. Теперь две материальные точки (В, 1) и (С, 1) можно заменить материальной точкой (М, 2) и вместо трех рассмотреть две материальные точки {А, 1) и (М, 2) (рис. 238, б). Еще раз применяя правило рычага Архимеда, получаем, что центром масс системы двух этих материальных точек (А, 1) и (М, 2) будет точка Т, делящая отрезок AM в отношении 2:1. Таково механическое доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника. Применим такой способ рассуждения для нахождения центра масс тетраэдра ABCD. Он совпадает с центром масс системы из четырех .материальных точек {А, 1), (В, 1), (С, 1) и (D, 1) (рис. 239, а). Заменим три первые из них материальной точкой {Т, 3), поместив в нее массы точек А, В, С (рис. 239, б). Тогда центром масс системы из двух материальных точек (D, 1), (Г, 3) является (согласно правилу рычага Архимеда) точка X, делящая отрезок DT в отношении 3:1, т. е. DX '■ ХТ=3 '-1. Это рассуждение позволяет нам сформулировать такую теорему: Теорема (о центре масс тетраэдра) Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами масс противоположных граней тетраэдра, проходят через одну точку и делятся ею в отношении ЗМ (считая от вершин тетраэдра). Конечно, эту теорему можно доказать и чисто геометрически. План такого доказательства дан на рисунке 240. Реализуйте этот план. Заметим еще, что центр масс X тетраэдра ABCD можно было найти и так: .заменить две материальные точки {В, 1) и (С, 1) материальной точкой (М, 2), а две другие материальные точки (/4, 1) и {D, 1) материальной точкой (L, 2), где I — середина отрезка AD (рис. 241). И тогда становится ясно, что центр масс тетраэдра — это середина отрезка ML. Итак, теорему о центре масс тетраэдра I АТ:ТМ = 2:1 Рис. 238 а) (А1) б) {D, 1) Рис.239 226 мы можем дополнить еще таким утверждением: через центр масс тетраэдра проходят отрезки, соединяющие середины не лежащих в одной грани ребер тетраэдра, и делятся они центром масс пополам (рис^ 242). Четвертая замечательная точка треугольника — это точка пересечения его высот (см. рис. 235). Следует сказать точнее: точка пересечения прямых, которые содержат высоты треугольника (ведь высоты тупоугольного треугольника общих точек не имеют, см. рис. 235, в). Теорема (об ортоцентре треугольника) Прямые, которые содержат высоты треугольника, проходят через одну точку; ее называют ортоцентром треугольника. Доказательство. Рассмотрим треугольник Л5С. Через вершины треугольника АВС проведем прямые а, Ь, с, параллельные сторонам треугольника АВС (рис. 243). Получится треугольник KLM с вершинами в точках пересечения прямых а, Ь, с. Точки А, В, С являются серединами сторон треугольника KLM, поскольку четырехугольники АВКС, ABCL, АМВС — параллелограммы. Следовательно, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника KLM являются прямыми, на которых лежат высоты треугольника АВС. По теореме о центре описанной окружности (п, 14.2) эти серединные перпендикуляры проходят через одну точку. Ш В заключение отметим, что у первых трех замечательных точек треугольника имелись их аналоги для тетраэдров. Для четвертой замечательной точки треугольника — ортоцентра — аналогии нет: высоты D АТ-.ТМ = 2:1 DP:PM = 2:1 AD:TP = 3:1 Рис. 240 227 тетраэдра (или их продолжения), вообще говоря, не проходят через одну точку. Лишь для специального вида тетраэдров они пересекаются в одной точке. Такие тетраэдры называют ортоценгпричвскими. 3. Теорема Чевы в геометрии треугольника много таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Одну из таких теорем дока.зял в 1678 году итальянский математик Томазо Чева (1648—1737). Теорема (теорема Чевы) ЛВ, СА, вс В^С А,В С,Л = 1. СА, A^B АС РВ Аналогично из подобия треугольников ЛС,С и BCj _ BQ C^A АС Наконец, из подобия треугольников ОЛС и OPQ AB^ РВ В^С RQ Перемножив соответственно левые н правые части равенств (2), (3), (4), получим (1). Первое утверждение аоказано. б) Докажем обратное ему утверждение. Пусть выполнено равенство (1). Покажем, что отрезки ЛЛ,, 128 б) Пусть точка Л, лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка В| лежит на его стороне АС и точка C^ лежит на стороне АВ . Отрезки ЛЛ,, ВВ^, и СС, проходят через одну точку (рис. 244, а) тогда и только тогда, когда выполняется равенство (1) (2) (3) (4) Доказательство, а) В теореме Чевы два взаимно обратных утверждения. Сначала докажем, что если три отрезка ЛЛ,, BB^, СС, пересекаются в точке О, то выполняется равенство <1). Проведем через вершину В прямую а||ЛС (рис. 244, б). Пусть прямые АЛ) и CC^ пересекают прямую а в точках Р и Q соответственно. Тогда из подобия треугольников ЛЛ,С и PA^B имеем Рис, 244 ; \ - (\of од со хо ре в ор Дс а тс 01 Tf сс д с ль HI П| В1 П| пересечения отрезков AA^ и fifij. Проведем из точки С через точку О дуч /. Пусть он пересечет сторону АВ в точке С (рис. 244, в). Тогда, как доказано. 4fi| С4, ВС' ВуС С'А Из равенств (1) и (5) получаем, что ВС вс^ (5) С'А С,/4 В этом случае АВ, СА, ВС, В,С Л,Б С,Л = 1 (рис. 245, а). Достаточно вспомнить, что для биссектрис АА СС| выполняются равенства АВ, В,С АВ ВС СА, А,В СА АВ ВС 1 _ CiA ВС СА и перемножить их (рис. 245, б). А вот новая теорема (о точке Жергона): СС, проходят через одну точку. Пусть точка О — точка а) В (6) б) Следовательно, точки С и С, делят отрезок ВА в одном и том же отноше}1ии. Поэтому точки С и С[ совпадают. Итак, все три отрезка ЛЛ,, и СС, проходят через точку О, ■ Следствием теоремы Чевы, очевидно, является теорема о точке пересечения медиан треугольника, так как Не многим сложнее получить из теоремы Чевы теорему о точке пересечения биссектрис треугольника. ВВ, и Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного круга, пересекаются в одной точке (она называется точкой Жергона). Действительно, в этом случае AB^=AC^, ВА^=ВС^ и С/4,=СВ, (рис. 245, в), откуда и следует равеиство(1). Наконец, обратимся к теореме о пересечении высот треугольника. Внутри треугольника пересекаются высоты лишь остроугольного треугольника АВС (рис. 246), Для него ACi~b cos А, BC,=acosS, BA^=ccosB, C4|=ftcosC, CB|=acosC, AB^=ccosA, откуда и следует равенство (1). Но высоты тупоугольного треугольника не пересекаются, а пересекаются их продолжения, причем вне треугольника. Непосредственно теорему Чевы в той формулировке, что была дана, к этому случаю применить нельзя. Но оказывается, что теорема Чевы В в) В 229 допускает такое обобщение, в котором уже речь пойдет о прямых, проходящих через вершины треугольника. Точка же пересечения этих прямых может лежать вне треугольника. Такое обобщение мы сделаем в 9 классе. Замечание. Теорема Чевы может быть доказана с помощью теоремы синусов без использования подобия треугольников. Для этого достаточно записать ее д;1я каждого из шести треугольников на рисунке 244, а и сделать несложные алгебраические выкладки. Попытайтесь сделать это самостоятельно. II. Геометрия окружности После треугольника окружность — вторая важнейшая фигура элементарной геометрии. Она тоже богата интересными свойствами. Познакомимся с ними. 1. Окружности и углы в § 12 мы рассматривали центральные углы окружности и вписанные в нее углы, говорили о зависимости градусных мер этих углов и соответствующих им дуг окружности. Пополним эти результаты более общими теоремами об измерении углов, стороны которых пересекают окружность или касаются ее. Теорема Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух его дуг, из которых одна заключена между сторонами угла, а другая — между продолжениями сторон угла. Доказательство. Пусть вершина В угла АВС лежит внутри круга F, а точки Л и С лежат на его окружности (рис. 247, а). г1родолжив стороны угла В за его вершину до пересечения с окружностью, получим ее хорды АК и СМ (рис. 247, б). Проведем хорду AM и рассмотрим вписанные углы СМА н КАМ. Они измеряются соответственно половинами дуг АС и КМ, на которые они опираются. Угол АВС—внешний угол треугольника АВМ. Ои равен сумме углов /4 и Л4 этого треугольника. Поэтому он измеряется полусуммой дуг АС и КМ. Ш Теорема Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны которого пересекают его окружность, измеряется по-луразностью двух дуг, заключенных между его сторонами. Рис. 247 230 1 Доказательство. Пусть вершина В угла АВС лежит вне круга, точки А н С лежат на его окружности и отрезки ВА и ВС пересекают эту окружность соответственно в точках К и М (рис. 248, а). Проведем хорду AM (рис. 248, б). Внешний угол АМС треугольника АВМ равен сумме углов А ц В этого треугольника. Поэтому угол В равен разности углов АМС и МАК. А эти углы — вписанные в окружность и измеряются соответственно половинами дуг АС и КМ, на которые они опираются. Следовательно, угол В измеряется по-луразностью этих дуг. ■ Эти две теоремы можно обобщить в виде утверждения, если рассматривать ориентированные дуги окружности. Теорема Угол между касательной к окружности и ее хордой, проведенной из точки касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри угла. Доказательство. Пусть через точку А окружности проведены хорда АС и касательная АВ. Будем считать, что угол ВАС острый (рис. 249, а). Проведем из точки А диаметр АК и проведем хорду СК (рис. 249, б). Треугольник ЛСК прямоугольный. Сумма его острых углов А н К равна 90 . Так как диаметр АК перпендикулярен касательной АВ, то сумма углов ВАС и САК тоже равна 90®. Поэтому угол ВАС равен углу АКС. Угол АКС вписанный н измеряется половиной дуги АС, на которую он опирается. Следовательно, и угол ВАС измеряется половиной дуги АС. Но эта дуга и является дугой, заключенной внутри угла ВАС. ■ Рис.249 231 Теорема 2. Пропорциональность отрезков хорд и секущих Ю п ^ Если две хорды АВ и CD одной окружности пересекаются в точке М (рис. 250, а), то AM • МВ= = СМ • MD. Доказательство. Приведем хорды АС И BD (рис. 250, б). Получим два треугольника САМ и BDM. Они подобны по второму признаку подобия, так как в них ^A=Z.D (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС) и /LC=Z.B (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD). Поэтому AM ■ MD=CM ■ МВ. Из этой пропорции и следует, что AM‘MB=CM-MD. Ш Интересно, что равенство, доказанное в предыдущей теореме, будет верным и для двух секущих одной окружности. А секущей для окружности (круга) называется луч с началом в некоторой точке М, взятой вне круга, который пересекает его окружность. Теорема Если из точки М вне кру| а проведены две секущие, одна из которых пересекает его окружность в точках Л и Д, а другая — в точках С и D, то АМ ‘МВ=СМ - MD. Доказательство. Можно считать, что точка А лежит на отрезке МВ, а точка С лежит па отрезке MD (рис. 251, я). Проведем хорды ВС и AD (рис. 251, б). ТреугольникиМВС и MDA подобны: у нихугол М общий, а вписанные углы АВС и ADC равны как опирающиеся на одну и ту же дугу АС. Записав пропорциональность их сторон, как и при доказательстве предыдущей теоремы, приходим к равенству AM • МВ=ВМ • MD. Ш Представим себе, что секущий луч МС, вращаясь вокруг точки М, займет положение луча, касающегося окружности в точке К (рис. 252). Тогда окажется, что точки С и D совпадут, и получим, что MC=MD=MK. И из равенства AM • МВ=СМ • MD получим равенство AM' МВ=МК^. Сформулировать это можно так: Теорема Квадрат отрезка касательной, проведенной из некоторой точки вне круга, до точки касания равен произведению большего отрезка секущей на внешнюю часть этой секущей. б) М \D М Рис. 250 232 Доказать эту теорему можно, рассмотрев два подобных треугольника МВК и МАК (рис. 253). Сделайте это самостоятельно. Все результаты этого пункта вы могли получить и не используя подобия треугольников. Найдите соответствующие им задачи в § 12. 3. Сфера и шар| цилиндр^ конус Окружность вы чертите циркулем, вращая одну из ножек циркуля и фиксируя острием другой ножки положение центра окружности (рис. 254, а). Так что окружность—это простейшая из фигур вращения. Круг тоже можно представить себе как фигуру, полученную вращением в плоскости отрезка постоянной длины, один из концов которого фиксирован (рис. 254, б). Если вращать в пространстве окружность вокруг одного из ее диаметров (полуокружность вокруг диаметра), то получим сферу (рис. 255, а), к при вращении круга вокруг диаметра (полукруга вокруг диаметра) получится шар (рис. 255, б). Определить сферу и шар можно и без представлений б) 1 Рис. 256 Рис. 257 О вращении окружности и круга. При этом их определения почти дословно повторят определения окружности и круга. Поэтому, определяя сферу и шар, нужно лишь в определениях окружности и круга слово плоскость заменить словом пространство. Сферой (шаром) с центром О и радиусом R называется фигура, которая состоит из всех точек пространства, удаленных от точки О на расстояние R (на расстояние, не большее R). Из свойств шара и сферы отметим прежде всего такое: если шар пересечь плоскостью, то в сечении получится круг (рис. 256). Среди всех окружностей самый большой радиус у тех, плоскость которых проходит через центр сферы. Их центры находятся в центре сферы (рис. 257). Они называются большими окружностями на сфере, и их радиус равен радиусу сферы. Те плоскости, которые имеют со сферой единственную общую точку, называются касательными плоскостями сферы (рис. 258, а). По аналогии с теоремой о касательной прямой к окружности можно сформулировать теорему о касательной плоскости к сфере: Плоскость, проходящая через точку сферы, касается сферы тогда и только тогда, когда она перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку (рис. 258, б). Кроме щара и сферы, в элементарной геометрии рассматривают еще две пространственные фигуры вращения: цилиндр — он образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон (рис. 259) и конус — он образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (рис. 260). 234 Ответы Задачи на повторение курса 7 класса 14. 180“ 19. 0,5п(и-1). 20. в) 1+0,5«<п+1). Задачи по курсу 8 класса Глава I § I 1.6. а) 0,5(<р,+(р2): 6)0,5(Ф1-Ф2); в)180°-(р . 1.20. а)Максимальное число— 18. 1.22. а) 5; б)21;в)0,5гг(п-3). 1.26.а)3. 1.27. а) 0,5л (и-3); б) rJ.) ■ 1), \ .33. 8. § 2 2.3. а) у ; б) ^ ; в) -g-; г) ; д) ; е) у : ж) . 2.4. а) ^ ; б) ; в) у . 2.12. Q,MA-2.14. а) 5(.)с)=1-л^^; б) S(x)= 1-0,5дг^; в) S(x)=0,5(I —х)(д:+2); r)5(.x)=jc; д) S(x)= =0,5(1+Jf^): е) S(jc)=0,25(l-x^). 2.27. Площади поверхностей: а) 2+J2 ; 6) 5,5; в) 6у. § 3 , J й 3.7. б) Л’=25; в) x=S\ г) x=7S. 3.15. 3. 3.16. В общем виде если АК‘АС= — , BL'-LK= -j , ■^0 5,.н,/.= 7 5e,c=j5^:. 3.17. а) 3.18. а) 0,5. 3.21. 0.5d,rf2- 3.23. В 4 раза. 3.35. 0,5d^. § 4 4.4. а) S=0,5S^gcD^ б) S=0,bS^[jco< в) 'S=0,5S^gco- 4-5. а)л:=25; в) л=25; г) х=5; д) x=2S. 4.10. а) 10; б) 8. Задачи к главе I 1.2. а) х=5(+52+5з+54; б) JC=S^4•S2; в) лс=5,—S2+S3; г) л:=5|—52+S3; д) x=0,5(Sg+S4)= =0,5(5| +5з). 1.6. а) S=1 -je; б) 5=0,5; в) 5=2x( 1 -х)\ г) 5=0,5 (1 +ji^)\ д) 5= 1-0,5(jc^+ +(1—а:)^). 1.7. а) в 7 раз. Глава II § 5 5.3. Рис. 67: а) 6; в) Vi3. Рис. 68: а) 7^; б) 7б -1. 5.13. . 5.14. а)х+Л-2х^х^. 235 5.25. a)4v^-3T^, -/б + бл^-З; б) 1,8; 1.2. 5.28. 13. 5.29. 0.5d"(3+Д). 5.30.а)2+.Д; б) 3; в) 1+2^2 . 5.32. В одном из случаев 0,5 <ЛХ<1. § 6 ^ Зa^ ; 6.10. а) x—tja^-Ь^ + ; б) x—Ja^ — ; в) х= Jb^ + 2ас + ; г) х= Jb д) x=Jc^-b^-ha^ -а. 6.11. а)х=^,у=2, 2=720"; б) Jt=y. t/=0,S75,2=75; в) x=-j, 12 „ --- Гга" „ //=75 , 2=1,575; г) х=-|, //=у , 2 = у. 6.19. б) 5-2.Д. 6.20. 6.21. а) ^; б) 78, в) 7^, г) д) Л,= = 1а.2_(с +^_£_L 6 22. а) БА,=2; .2.^ _2,2 4с б) ВЛ,=Т7 ; в) Ifl, (Л,В,) 1=0,573; г) (В, Л,В, 1=2; д) |В, АЛВС1=2. 6.28. а) KlJtalO; б) 0<1;ГакЗ; в) max {О, d,-d^} sin60° в) 73. 8.25. а) 73; б) 8.29. а) От 0 до О.Зс^, где с — диагональ; б) от J2S, где S — площадь, до бесконечности. 8.30. От 0 до 0,5. 8.38. а) До шестого. 8.39. Примерно за шесть с половиной часов. 8.49. а) Из вершины А под углами 63® и 78°. § 9 9.13. в) Невозможно одновременно выполнение равенств sina=a и cosa=y . 9.17. а) у -1 3 3 б) у; в) —; г) у: д) 0,257з^. 9.18. а) 1-со5ф, sin ф; б) 1^1(1-со5ф)-й.^51п ф1 d, з1пф+^2(1-созф). 9.19. г) От Jl-4а^ до J[-a^ . 9.24. Нет. 9.25. Да. 236 10 юл I. б) Прямоугольный. 10.12. 0,5л/Ю6 ; ^ . 10.28. 62°. 10.34. а) ^ , 1. 10.35. Сторона XY. § И 11.2. где ф — искомый угод, а ^2 ” — проекции отрезка. 11.5. а) ЛС= "1 =/jtga+/!tgp в одном из случасБ, если h — высота, а а и р—данные углы; 6) АС= =A(dg^+ctgC). 11.8. а) S=fl^tgф; б) S=a4g; в) 0,5d^ctg-|- или 0,5c/^tg-|-; г)0,25(c^-52)tgф. П.9. а)Л=|; б)Л=2|Г^ . 11.26. А=—, где Л башни, а, р — данные углы. высота Задачи к главе II .sin 60° И.З. а) d'^sin ф совф-0,25 tgф; б) 0,5с(^со5^ф-0,25^^-У2 cos^ ф • tg(45°-ф). 11.4. 4.24. 3) S=0,25^; 6) S=xj2x-x^ ; в) S=d(J\-d^ +1); V 2sin Ф cos

Ig -f- 1 + sin i 2 I________ 111.14. б) со5ф-в) от 2j4R^-d^ до 4R. 111.15. в) ; 2) sin а= 1-sin-f-; 2R д) 0,5У5 . 111.18. б) -у], TzR. III.19. я) 1<-^<с Оглавление Предисловие.................................................... 3 Введение ........................................................ 5 Задачи на повторение курса VII класса........................... 10 Глава I ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР..................................... 17 § 1. Многоугольники и многоугольные фигуры....................... — § 2. Площадь многоугольной фигуры............................... 34 § 3. Площадь треугольника и трапеции ........................... 47 § 4. Параллелограмм и его площадь............................. 55 Задачи к главе I................................................ 65 Глава Л МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ.......................... 69 § 5. Теорема Пифагора............................................ — § 6. Применения теоремы Пифагора................................ 79 § 7. Синус ................................................... 94 § 8. Применения синуса......................................... 105 § 9. Косинус................................................... 117 ,§ 10. Применения косинуса .................................... 128 § 11. Тангенс и котангенс...................................... 137 Задачи к главе II............................................ 146 Глава III МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ.................................... 149 § 12. Хорды и диаметры. Касательные и опорные прямые............. — § 13. Выпуклые многоугольники.................................. 167 § 14. Вписанные и описанные окружности ........................ 175 § 15. Правильные многоугольники................................ 185 § 16. Дпина окружности......................................... 193 § 17. Площадь круга............................................ 202 Задачи к главе III............................................. 209 Дополнения..................................................... 214 Ответы......................................................... 235