Геометрия Учебник 10-11класс Атанасян

к . МГУ-ШКОЛЕ Геометрия 10-11 КЛАССЫ Учебник для общеобразовательных учреждений Базовый и профильный уровни Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 22-е издание Москва «Просвещение» 2013 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Г36 Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк В соответствии с федеральным компонентом образовательного стандарта по математике в данное издание внесены существенные дополнения, подготовленные С. Б. Кадомцевым и В. Ф. Бутузовым. Большая часть нового материала является необязательной для базового уровня, она отмечена знаком *. Издание подготовлено под научным руководством академика А. Н. Тихонова Учебник занял первое место на Всесоюзном конкурсе учебников по математике для средней общеобразовательной школы На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 2-10106-5215/1416 от 25.10.06) и Российской академии образования (№ 01-1691б/7д от 14.07.06) Условные обозначения: 25 — пункт, необязательный для изучения на базовом уровне 20 — задача, не являющаяся обязательной на базовом уровне ▼ — начало материала, необязательного для изучения на базовом уровне Д — окончание материала, необязательного для изучения на базовом уровне Геометрия. 10—11 классы : учеб, для общеобразоват. Г36 учреждений : базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 22-е изд. — М. ; Просвещение, 2013. — 255 с. : ил. — (МГУ — школе). — ISBN 978-5-09-030854-0. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 ISBN 978-5-09-030854-0 Издательство «Просвещение», 1992 Издательство «Просвещение», 2006, с изменениями Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2006 Все права защищены Введение 1 Предмет стереометрии Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия* происходит от греческих слов «стереос* — объемный, пространственный и ♦ метрео* — измерять. Простейшими и, можно сказать, основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб (рис. 1, а). Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром (рис. 1, б). Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром (рис. 1, в). В отличие от реальных метрические тела, как и всякие фигуры, являются воображаемыми представляем геометрическое тело странства, отделенную от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов — оснований цилиндра и боковой поверхности. предметов геогеометрические объектами. Мы как часть про- Шар в) Цилиндр Рис. 1 1* Введение Изучая свойства геометрических фигур — воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое (прикладное) значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств. На рисунках 2, а, б изображены два многогранника — параллелепипед и пирамида, а на рисунке 2, в — конус. При этом невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями. Правила изображения пространственных фигур приведены в приложении 1. В течение двух лет мы будем изучать взаимное расположение прямых и плоскостей, многогранники, векторы и метод координат в пространстве, «круглые» геометрические тела — цилиндр, конус, шар и рассмотрим вопрос об объемах тел. 2 Актиомы стереометрии В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура — плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые — строчными латинскими буквами а, Ь, с и т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, Р, у и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма (рис. 3, а) или в виде произвольной области (рис. 3, б). Рис. 2 Конус а) Вксдение Ясно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости. На рисунке 3, б точки А и В лежат в плоскости Р (плоскость Р проходит через эти точки), а точки М, N, Р не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А е р, В е р, М г р, ЛГ g р, В g р. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Полный список аксиом и некоторые следствия из них приведены в приложении 2. Здесь мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены А,, Ag, A3. А, Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Иллюстрацией к этой аксиоме может служить модель, изображенная на рисунке 4. Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью АВС. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе. А„ Иллюстрация к аксиоме Aj; пластинка поддерживается тремя точками А, В и С, не лежащими на одной прямой Рис. 4 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости*. Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки» («две прямые», «три плоскости» и т. д.), будем считать, что эти точки (прямые, плоскости) различны. Введение в таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую (рис. 5, а). Свойство, выраженное в аксиоме Аг, используется для проверки «ровности» чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет. Из аксиомы Аг следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются (рис. 5, б). а) Прямая АВ лежит в плоскости а Прямая а и плоскость а пересекаются в точке М Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой (рис. 5, в). Наглядной иллюстрацией аксиомы Ад является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты. Прежде чем перейти к первым следствиям из данных аксиом, отметим одно важное обстоятельство, которым будем пользоваться в дальнейшем. В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Более того, признаки равенства и подобия треугольников, известные из курса планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях (см. приложение 2). Плоскости а и Р пересекаются по прямой а Рис. 5 3 Некоторые следствия и.з аксио.м Теорема Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Введение Рис. 6 Доказательство Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М (рис. 6). Докажем, что через прямую а и точку М проходит плоскость. Отметим на прямой а две точки Р и Q. Точки М, Р и Q не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме А, через эти точки проходит некоторая плоскость а. Так как две точки прямой а (Р и Q) лежат в плоскости а, то по аксиоме Аг плоскость а проходит через прямую а. Единственность плоскости, проходящей через прямую а и точку М, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку М, проходит через точки М, Р и Q. Следовательно, эта плоскость совпадает с плоскостью а, так как по аксиоме Aj через точки М, Р и Q проходит только одна плоскость. Теорема доказана. Теорема Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Доказательство Рассмотрим прямые а и б, пересекающиеся в точке М (рис. 7), и докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна. Отметим на прямой Ь какую-нибудь точку N, отличную от точки М, и рассмотрим плос -кость а, проходящую через точку N и прямую а. Так как две точки прямой Ь лежат в плоскости а, то по аксиоме Aj плоскость а проходит через прямую Ь. Итак, плоскость а проходит через прямые а и Ь. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые а и Ь, проходит через точку N. Следовательно, она совпадает с плоскостью а, поскольку через точку N и прямую а проходит только одна плоскость. Теорема доказана. Рис. 7 Вопросы и ;щдачи По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и ВВС; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DCB, ABD и CDA, PDC и АВС. По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC, и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая АА^; в) точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD, прямых DK и ВР Ивсдение 10 11 12 13 14 15 с плоскостью A,BiCi; г) прямые, по которым пересекаются плоскости AA^Bi и ACD, PBiCi и АВС; д) точки пересечения прямых МК и DC, BiCi и ВР, С^М и DC. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна? Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ и CD пересекаться? Ответ обоснуйте. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей? Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М? Верно ли утверждение; а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости а. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости а? Ответ обоснуйте. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника? Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, В? Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую? Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей? Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку. 8 Введен не Глава I Параллельность прямых и плоскостей Параллельность прямых, прямой и плоскости Параллельные прямые в пространстве Введем понятие параллельных прямых в пространстве. Определение Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых а и Ь обозначается так: а Ц Ь. На рисунке 10 прямые а и Ь параллельны, а прямые а и с, а и d не параллельны. Докажем теорему о параллельных прямых. Теорема Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Доказательство Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой (рис. 11). Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна (п. 3). Обозначим эту плоскость буквой а. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости а. Но в плоскости а, как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке 11 эта прямая обозначена буквой Ь. Итак, Ь — единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. Теорема доказана. В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей. Рис. 11 Пара.плелыюсть прямых и плоскостей На рисунке 12 отрезки CD и EF параллельны {CD |{ EF), а отрезки АВ и CD не параллельны, отрезок АВ параллелен прямой а {АВ II а). 5 Параллельность трех прямых Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, необходимую для дальнейшего изложения. Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. ^ Доказательство Рассмотрим параллельные прямые а и Ь, одна из которых — прямая о — пересекает плоскость а в точке М (рис. 13, о). Докажем, что прямая Ь также пересекает плоскость а, т. е. имеет с ней только одну общую точку. Обозначим буквой Р плоскость, в которой лежат параллельные прямые а и Ь. Так как две различные плоскости аир имеют общую точку М, то по аксиоме Аз они пересекаются по некоторой прямой р (рис. 13, б). Эта прямая лежит в плоскости Р и пересекает прямую а (в точке М), поэтому она пересекает параллельную ей прямую Ь в некоторой точке N. Прямая р лежит также в плоскости а, поэтому N — точка плоскости а. Следовательно, N — общая точка прямой Ь и плоскости а. Докажем теперь, что прямая Ь не имеет других общих точек с плоскостью а, кроме точки N. Это и будет означать, что прямая Ь пересекает плоскость а. Действительно, если бы прямая Ь имела еще одну общую точку с плоскостью а, то она целиком лежала бы в плоскости а и, значит, была бы общей прямой плоскостей а и р, т. е. совпадала бы с прямой р. Но это невозможно, так как по условию прямые а и Ь параллельны, а прямые аир пересекаются. Лемма доказана. Л Из курса планиметрии известно, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве. Сформулируем и докажем это утверждение. Рис. 13 10 11apa.ue.ibHOcrrib прямых и п.юскостеи Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство Пусть а II с и Ь II с. Докажем, что а || Ь. Для этого нужно доказать, что прямые а и ft: 1) лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются. 1) Отметим какую-нибудь точку К на прямой Ь и обозначим буквой а плоскость, проходящую через прямую а и точку К (рис. 14). Докажем, что прямая Ь лежит в этой плоскости. Действительно, если допустить, что прямая Ь пересекает плоскость а, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с также пересекает плоскость а. Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость а, что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости а. 2) Прямые а и 6 не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и Ь), параллельные прямой с, что невозможно. Теорема доказана. Рис. 14 б Параллельность прямой и плоскости Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то согласно аксиоме Аг вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: а) прямая лежит в плоскости (см. рис. 5, а); б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются (см. рис. 5, б); в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Определение Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Параллельность прямой а и плоскости а обозначается так: а || а. Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода — они параллельны плоскости земли. Другой пример дает линия пересечения стены и потолка — эта линия параллельна плоскости пола (рис. 15, а). Заметим, что в плоскости пола ^ ^ Параялеяьпость пря,мых 7 7 и плоскостей имеется прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, линия пересечения пола с той же самой стеной. На рисунке 15, а указанные прямые обозначены буквами а и Ь. Оказывается, что если в плоскости а имеется прямая Ь, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости а, то прямая а и плоскость а параллельны (рис. 15, б). Другими словами, наличие в плоскости а прямой Ь, параллельной прямой а, является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости а. Сформулируем это утверждение в виде теоремы. Теорема Рис. 15 Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Доказательство Рассмотрим плоскость а и две параллель-ные прямые а и Ь, расположенные так, что прямая Ь лежит в плоскости а, а прямая а не лежит в этой плоскости (рис. 15, б). Докажем, что а || а. Допустим, что это не так. Тогда прямая а пересекает плоскость а, а значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая Ь также пересекает плоскость а. Но это невозможно, так как прямая Ь лежит в плоскости а. Итак, прямая а не пересекает плоскость а, поэтому она параллельна этой плоскости. Теорема доказана. Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач. 1“. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Пусть через данную прямую а, параллельную плоскости а, проходит плоскость Р, пересекающая плоскость а по прямой Ь (рис. 16). Докажем, что Ь || а. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости р) и не пересекаются: ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость а, что невозможно, поскольку по условию а || а. Рис. 16 12 llapa.t.te.ihHocrnh прямых и n.iocKOcmi'ii 2”. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. В самом деле, пусть а и Ь — параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости а. Тогда прямая а не пересекает плоскость а, и, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая Ь также не пересекает плоскость а. Поэтому прямая Ь либо параллельна плоскости а, либо лежит в этой плоскости. D Рис. 17 Вопросы и .задачи 16 Параллельные прямые а и Ь лежат в плоскости а. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и Ь, также лежит в плоскости а. 17 На рисунке 17 точки М, N, Q и Р — середины отрезков DB, DC, АС и АВ. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD = 12 см, ВС = 14 см. 18 Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В, и С,. Найдите длину отрезка CCi, если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ[ = 7 см; б) АС : СВ = 3 : 2 и BBj = 20 см. 19 Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость а. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость а. 20 Средняя линия трапеции лежит в плоскости а. Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость а? Ответ обоснуйте. 21 Треугольники АВС и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников. 22 Точки А к В лежат в плоскости а, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости а. 23 Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости АВМ. 24 Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС. 25 Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям. 26 Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости а, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и MBN подобны. ^ п Параллельность пря.чых 1 а и п.юскостеи 27 Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ : ВС = 4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости а, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость а в некоторой точке Е, и найдите отрезок BE. 28 На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е так, что длина отрезка DE равна 5 см и ^ DA 3 Плоскость а проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС. 29 В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка К — середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке Н, и найдите отрезок КН. 30 Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости а, а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости а; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости а. 31 Плоскость а параллельна стороне ВС треугольника АВС и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость а проходит также через середину стороны АС. 32 Плоскости а и Р пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости а, так и плоскости р. Докажите, что прямые а и АВ параллельны. Решение Через точку А проведем* прямую AM, параллельную прямой а (рис. 18). Так как прямая а параллельна плоскостям а и р, то прямая AM лежит как в плоскости а, так и в плоскости р (п. 6, утверждение 2“). Таким образом, AM — прямая, по которой пересекаются плоскости а и р, т. е. она совпадает с прямой АВ. Следовательно, АВ II а. 33 Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку. * Выражения «проведем прямую», «проведем плоскость», разумеется, не нужно понимать в буквальном смысле (ни прямую, ни плоскость в пространстве мы не проводим). Эти слова означают, что указанная прямая или плоскость вводятся в рассмотрение. 14 Ifupa.i.u'.ihuocmb прямых и rLiocKocmcii § Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми 7 Скре1Щ1вающиеся iipaivibie Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, т. е. не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не параллельны. Определение Рис. 19 Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая — под эстакадой (рис. 19). Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых. Теорема Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Доказательство Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости а, и прямую CD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ (рис. 20). Докажем, что АВ и CD — скрещивающиеся прямые, т. е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой плоскости р, то плоскость Р будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадет с плоскостью а. Но это невозможно, так как прямая CD не лежит в плоскости а. Теорема доказана. Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: а) прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку (рис. 21, а); ^ gm Параллельность прямых 7 0 и плоскостей Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Скрещивающиеся прямые Рис. 21 б) прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 21, б); в) прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости (рис. 21, в). Докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых. Теорема Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Доказательство Рассмотрим скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 22). Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и такая плоскость только одна. Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой CD, и обозначим буквой а плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как прямая CD не лежит в плоскости а и параллельна прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая CD параллельна плоскости а. Ясно, что плоскость а — единственная плоскость, проходящая через прямую АВ и параллельная прямой CD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, пересекается с прямой АЕ, а значит, пересекается и с параллельной ей прямой CD. Теорема доказана. Наглядной иллюстрацией этой теоремы служат две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая — под эстакадой (см. рис. 19). Нижняя дорога лежит в плоскости земли, параллельной дороге на эстакаде. Ясно, что и через дорогу на эстакаде проходит плоскость, параллельная плоскости земли, а значит, параллельная нижней дороге. ^ Параллельность прямых 7 О и пл^кяостеи 8 Углы с сонаправленными сторонами Согласно одной из аксиом (см. приложение 2) любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями (рис. 23). Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. Любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей — по разные стороны от этой прямой (см. рис. 23). Два луча ОА и OjAi, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей 00[. Лучи ОА и OiAj, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой. На рисунке 24 лучи ОА и О,А,, а также лучи А2В2 и О2В2 сонаправлены, а лучи ОА и О2А2, ОА и О3А3, О2А2 и О2В2 не являются сонаправленными (объясните почему). Докажем теорему об углах с сонаправленными сторонами. Теорема Если стороны двух углов соответственно сонаправле- иы, то такие углы равны. Доказательство Ограничимся рассмотрением случая, когда углы О и Oi с соответственно сонаправленными сторонами лежат в разных плоскостях, и докажем, что ZO = ZOp Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла О, отрезки OjA, = ОА и 0,В, = ОВ (рис. 25). Так как лучи ОА и OjA, сонаправлены и ОА =OiA,, то получится параллелограмм OAAjOj и, следовательно, АА, 1|00, и AAj = OOj. Аналогично получаем: BBj || 00, и ВВ, = ОО,. Отсюда следует, что АА, || ВВ, и АА, = ВВ,, а, значит, АВВ,А, —параллелограмм и АВ=А,В,. Сравним теперь треугольники АОВ и А,0,В,. Они равны по трем сторонам, и поэтому Z0 = Z0,. Теорема доказана. ▼ Замечание При доказательстве мы неявно воспользовались тем, что отрезки АВ и А,В, не пересекаются (в противном случае параллелограммом оказалась бы фигура АВ,ВА,, а не АВВ,А,). Докажем это. Допустим, что отрезки АВ и А,В, пересекаются. Тогда плоскости АОВ и А,0,В, пересекаются по некоторой прямой а. Поскольку 0А||0,А,, то 0А||А,0,В,, поэтому а || ОА (см. п. 6). ^ Параяяельность прямых 7 / и плоскостей Аналогично а || ОВ. Но этого не может быть, так как через точку О проходит одна прямая, параллельная прямой о. Следовательно, отрезки АВ и AjB, не пересекаются. Л 9 Угол между прямыми Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла (рис. 26). Пусть а — тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен а. Очевидно, 0° < а < 90°. Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть АВ и CD — две скрещивающиеся прямые (рис. 27, а). Через произвольную точку Ml проведем прямые AiB, и С,!),, соответственно параллельные прямым АВ и CD (рис. 27, б). Если угол между прямыми AiB, и CiDj равен ф, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен ф. Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М^. Действительно, возьмем любую другую точку Мг и проведем через нее прямые AjBj и C2D2, соответственно параллельные прямым АВ и CD (см. рис. 27, б). Так как AiB, II А2В2, CjjD, II C2D2 (объясните почему), то стороны углов с вершинами М, и М2 попарно сонаправ-лены (на рис. 27, б такими углами являются и ZA2M2C2, ZAiMiDi и ZA2M2D2 и т. д.). Поэтому эти углы соответственно равны. Отсюда следует, что угол между прямыми А2В2 и C2D2 также равен ф. В качестве точки М, можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. На рисунке 27, в на прямой CD отмечена точка М и через нее проведена прямая А'В', параллельная АВ. Угол между прямыми А'В' и CD также равен ф. Вопрсхы н .задачи 34 Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: а) ND и АВ; б) РК и ВС; в) MN и АВ; г) МР и АС; д) KN и АС; е) MD и ВС. 35 Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не имеющие общих 18 Рис. 26 Рис. 27 Паралло.1ьность прямых и п.юсн'пстсй точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми. 36 Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую Ь, параллельную прямой а. Докажите, что бис — скрещивающиеся прямые. 37 Прямая т пересекает сторону АВ треугольника АВС. Каково взаимное расположение прямых т и ВС, если: а) прямая т лежит в плоскости АВС и не имеет общих точек с отрезком АС; б) прямая т не лежит в плоскости АВС? 38 Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD, а через вершину С — прямая Ь, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые а и CD пересекаются; б) а и б — скрещивающиеся прямые. 39 Докажите, что если AJB и CD скрещивающиеся прямые, то AD и ВС также скрещивающиеся прямые. 40 На скрещивающихся прямых а и б отмечены соответственно точки М и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость а, а через прямую б и точку М — плоскость р. а) Лежит ли прямая б в плоскости а? б) Пересекаются ли плоскости аир? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются. 41 Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте. 42 Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости, а) Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК. б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, ЕК = 27,5 см. 43 Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника* являются вершинами параллелограмма. 44 Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD, если: а) ZAOB = 40°; б) ZAOB = 135°; в) ZAOB = 90°. 45 Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°. 46 Прямая т параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а) m и АС — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними; б) m и AD — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними, если угол АВС равен 128°. 47 В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD. Четырехугольник называется пространственным, если его вершины не лежат в одной плоскости. 19 Пцраллеяьность прямых и плоскостей 3 Параллельность плоскостей 10 Параллельные плоскости Мы знаем, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой (аксиома Аз). Отсюда следует, что две плоскости либо пересекаются по прямой (рис. 28, а), либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точки (рис. 28, б). Определение Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Представление о параллельных плоскостях дают пол и потолок комнаты, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола. Параллельность плоскостей а и |3 обозначается так: а || р. Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей. Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство Рассмотрим две плоскости а и Р (рис. 29). В плоскости а лежат пересекающиеся в точке М прямые а и Ь, а в плоскости Р — прямые а, и б,, причем а II а, и б II 6j. Докажем, что а || р. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости а II Р и Ь II р. б) Плоскости а и Р пересекаются Плоскости ос и Р параллельны Рис. 28 Рис. 29 20 IlapaAAt'.ihuocmb прямых и плоскостги Допустим, что плоскости а и Р не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость а проходит через прямую а, параллельную плоскости р, и пересекает плоскость Р по прямой с. Отсюда следует (по свойству 1®, п. 6), что прямые а и с параллельны. Но плоскость а проходит также через прямую Ь, параллельную плоскости р. Поэтому Ь || с. Таким образом, через точку М проходят две прямые а и Ь, параллельные прямой с. Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и, следовательно, а II р. Теорема доказана. 11 Свойства параллельных плоскостей Рассмотрим два свойства параллельных плоскостей. 1°. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Наглядным подтверждением этого факта служат линии пересечения пола и потолка со стеной комнаты — эти линии параллельны. Для доказательства данного свойства рассмотрим прямые а и ft, по которым параллельные плоскости а и Р пересекаются с плоскостью у (рис. 30). Докажем, что прямые а и Ь параллельны. Эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости у) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а к Ь пересекались, то плоскости а и Р имели бы общую точку, что невозможно, так как эти плоскости параллельны. Итак, прямые а и Ь лежат в одной плоскости и не пересекаются, т. е. прямые аи Ь параллельны. 2®. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Для доказательства этого свойства рассмотрим отрезки АВ и CD двух параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями аир (рис. 31). Докажем, что АВ = CD. Плоскость у, проходящая через параллельные прямые АВ и CD, пересекается с плоскостями а и р по параллельным прямым АС и BD (свойство 1®). Таким образом, в четырехугольнике ABDC противоположные стороны попарно параллельны, т. е. ABDC — параллелограмм. Но в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому отрезки АВ и CD равны. 21 Параллельность прямых и плоскостей 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 Вопросы и задачи Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки. Прямая т пересекает плоскость а в точке В. Существует ли плоскость, проходящая через прямую т и параллельная плоскости а? Плоскости а и Р параллельны, прямая т лежит в плоскости а. Докажите, что прямая т параллельна плоскости р. Докажите, что плоскости а и Р параллельны, если две пересекающиеся прямые тип плоскости а параллельны плоскости р. Две стороны треугольника параллельны плоскости а. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости а. Три отрезка А,Aj, и CiCj, не лежащие в одной плоскости, име- ют общую середину. Докажите, что плоскости A,B,Ci и А2В2С2 параллельны. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см^. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость а, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости а. Решение Рассмотрим произвольную плоскость Р, параллельную плоскости а. Через какую-нибудь точку В плоскости Р проведем прямую Ь, параллельную прямой а. Так как прямая а пересекает плоскость а, то прямая Ь также пересекает эту плоскость. Следовательно, прямая Ь пересекает плоскость р (а не лежит в ней). Поэтому прямая а также пересекает плоскость р. Плоскости аир параллельны, А — точка плоскости а. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости р, лежит в плоскости а. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая а либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней. Докажите, что если плоскость у пересекает одну из параллельных плоскостей а и р, то она пересекает и другую плоскость. Решение Пусть плоскость у пересекает плоскость а по прямой а. Докажем, что плоскость у пересекает также плоскость р. Проведем в плоскости у прямую Ь, пересекающую прямую а. Прямая Ь пересекает плоскость а, поэтому она пересекает и параллельную ей плоскость р (задача 55). Следовательно, и плоскость у, в которой лежит прямая Ь, пересекает плоскость р. Нараллел ьност ь прям ых и плоскостей 59 Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости а, проходит плоскость, параллельная плоскости а, и притом только одна. Решение Проведем в плоскости а две пересекающиеся прямые а и Ь, а через точку А проведем прямые Oi и bi, соответственно параллельные прямым а и Ь. Рассмотрим плоскость р, проходящую через прямые а, и ft,. Плоскость р — искомая, так как она проходит через точку А и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости а. Докажем теперь, что Р — единственная плоскость, проходящая через данную точку А и параллельная плоскости а. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость р, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость а (задача 58). 60 Две плоскости а и Р параллельны плоскости у- Докажите, что плоскости аир параллельны. 61 Даны две пересекающиеся прямые а и Ь и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым а и ft, и притом только одна. 62 Для проверки горизонтальности установки диска угломерных инструментов пользуются двумя уровнями, расположенными в плоскости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя располагать на параллельных прямых? 63 Параллельные плоскости аир пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А, и Аз, а сторону АС этого угла — соответственно в точках В, и В^. Найдите: а) AAj и АВг. если AjAj = 2А,А = 12 см, ABj = 5 см; б) А2В2 и АА2, если AjB, = 18 см, AAi = 24 см, АА2 ^А,А2. 64 Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках Aj, Bi и Cl, а другую — в точках Аг, Bj и С2. Докажите, что треугольники А,В,С, и А2В2С2 подобны. 65 Параллельные отрезки А1А2, В,В2 и С1С2 заключены между параллельными плоскостями а и Р (рис. 32). а) Определите вид четырехугольников А,В,В2А2, BJC1C2B2 и AiC,C2A2. б) Докажите, что ЛА,В,С, = ЛА2В2С2. Пари.члельность npfL'HNx и плоскостей 4 Тетраэдр и параллелепипед 12 Тетраэдр Одна из глав нашего курса будет посвящена В многогранникам — поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но еще до подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них — тетраэдром и параллелепипедом. Это даст нам возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей, на примере двух важных геометрических тел. Прежде чем ввести понятия тетраэдра и параллелепипеда, вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 33, а), либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 33, б). При рассмотрении поверхностей и тел в пространстве будем пользоваться вторым толкованием многоугольника. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность. Перейдем теперь к определению тетраэдра. Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DAB, DBC и DCA. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA, называется тетраэдром и обозначается так: DABC (рис. 34). Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рисунке 34 противоположными являются ребра AD и ВС, BD и АС, CD и АВ. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие — боковыми гранями. Тетраэдр изображается обычно так, как показано на рисунках 34 и 35, т. е. в виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При Рис. 34 Многоугольник ABCDE — фигура, составленная из отрезков В Многоугольник ABODE — часть плоскости, ограниченная линией ABODE Рис. 33 D 24 Параллгльность прямых и п,юск(устеи этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра. На рисунке 34 невидимым является только ребро АС, а на рисунке 35 — ребра ЕК, KF и KL. 13 Параллелепипед Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и AiBiCiDi, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА,, ВВ,, СС, и £)£), параллельны (рис. 36, а). Четырехугольники АВВ,А„ ВСС^В^, CDDfii, DAAfi^ (1) также являются параллелограммами, так как каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны, например, в четырехугольнике АВВ,А, стороны AAi и BBi параллельны по условию, а стороны АВ и AjBj — по свойству линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей (свойство 1®, п. 11). Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и AiBiCiDi и четырех параллелограммов (1), называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDAiBiCiD^. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными. На рисунке 36, б противоположными являются грани ABCD и А^В^С^В^, ABBjA, и DCC^D^, ADDiAi и BCCiBi. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали. На рисунке 36, б диагоналями являются отрезки АС,, BD^, СА, и ПВ,. Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами. Так, если в качестве оснований выбрать грани ABCD и A^Bfi^Di, то боковыми гранями будут параллелограммы Ц), а боковыми ребрами — отрезки AAj, ВВ,, СС^ и DD^. Параллелепипед изображается обычно так, как показано на рисунке 36, б. При этом изображениями Параллелепипед Рис. 36 25 flupu.i.K'jibHOi'mh прямых и пмн'костеи граней являются параллелограммы; невидимые ребра и другие невидимые отрезки, например диагонали, изображаются штриховыми линиями*. Рассмотрим два свойства параллелепипеда. 1^. Противоположные грани параллелепипеда параллельны** и равны. Докажем, например, параллельность и равенство граней ABBjAi и DCCiDi параллелепипеда ABCDA^BfiiDi (рис. 37, а). Так как ABCD и ADD^A^ — параллелограммы, то АВ || DC и АА, || DD^. Таким образом, две пересекающиеся прямые АВ и AAj одной грани соответственно параллельны двум пересекающимся прямым CD и ПП, другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани АВВ^Ау и DCCyDy параллельны. Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то АВ - DC и АА, = DDy. По этой же причине стороны углов А,АВ и DyDC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ,А, соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма £>СС,П,, поэтому эти параллелограммы равны. 2®. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник A,jD,CB, диагонали которого А,С и П,В являются диагоналями параллелепипеда ABCDAiByCyDi (см. рис. 37, а). Так как А,£), || ВС и А,П, = ВС (объясните почему), то AyDyCB — параллелограмм. Поэтому диагонали А,С и £),В пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам. Далее рассмотрим четырехугольник AD,C,B (рис. 37, б). Он также является параллелограммом (докажите это), и, следовательно, его диагонали АС, и £),В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали П,В является точка О. Таким Су б) D, Су в) Рис. 37 Более подробно об изображении пространственных фигур на плоскости, в частности параллелепипеда, рассказано в приложении 1. *Две грани параллелепипеда называются параллельными, если их плоскости параллельны. Нираллельчость прямых и плоскостей образом, диагонали AjC, D^B и ACj пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Наконец, рассматривая четырехугольник AiBiCD (рис. 37, в), точно так же устанавливаем, что и четвертая диагональ DBi параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам. 14 Задачи на построение сечений Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Уточним, что понимается под сечением тетраэдра или параллелепипеда. Назовем секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда). Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 38). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники (рис. 39, а), пятиугольники (рис. 39, б) и шестиугольники (рис. 39, в). При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны (свойство 1“, п. 11). Так, на рисунке 39, б секущая плоскость пересекает две противоположные грани (левую и правую) по отрезкам АВ и CD, а две другие противоположные грани (переднюю и заднюю) — по отрезкам АЕ и ВС, поэтому АВ || CD и АЕ II ВС. По той же причине на рисунке 39, в АВ II ED, AF II CD, ВС || ЕЕ. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани. Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра и параллелепипеда. Задача 1 На ребрах АВ, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки М, N и Р (рис. 40, а). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. 27 IIapa,i.ie.thHi)cmb прямых и п.юскпспп’й Решение Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани АВС. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и ВС до их пересечения в точке Е (рис. 40, б), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и АВС. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро АС в некоторой точке Q. Четырехугольник MNPQ — искомое сечение. Если прямые NP и ВС параллельны (рис. 40, в), то прямая NP параллельна грани АВС, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ME', параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра АС с прямой ME'. Задача 2 Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC (рис. 41, а). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС. Решение Так как секущая плоскость параллельна плоскости АВС, то она параллельна прямым АВ, ВС и СА. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника АВС (п. 6, утверждение 1®). Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку АВ, и обозначим буквами Р и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB (рис. 41, б). Затем через точку Р проведем прямую, параллельную отрезку АС, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR — искомое сечение. Задача 3 На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС. Решение Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В и С. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если точки А, В и С лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (см. рис. 39, а), нужно провести отрезки АВ, ВС и СА, и получится искомое сечение — треугольник АВС. Если точки А, В и С расположены так, как D а) D б) D Рис. 40 --h-i--JC в) 28 Парая.1еяыюсть пря.чых и плоскостей показано на рисунке 39, б, то сначала нужно провести отрезки АВ и ВС, а затем через точку А провести прямую, параллельную ВС, а через точку С — прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Е и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение — пятиугольник ABCDE — построено. Более трудный случай, когда данные точки А, В и С расположены так, как показано на рисунке 39, в. В этом случае можно поступить так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую АВ и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая АВ, до пересечения с этой прямой в точке М. Далее через точку М проведем прямую, параллельную прямой ВС. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведем прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF — построено. D D Рис. 41 Задачи 66 Назовите все пары скрещивающихся (т. е. принадлежащих скрещивающимся прямым) ребер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар ребер имеет тетраэдр? 67 В тетраэдре DABC дано: ZADB = 54°, ZBDC = 72°, ZCDA = 90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания АВС данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней. 68 Точки М и N — середины ребер АВ и АС тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD. 69 Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым. 70 Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD. 71 Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N я К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости АВС; б) прямой KN и плоскости ABD. 72 Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости грани АВС, если: а) точка М является серединой ребра AD; б) точка М лежит внутри грани ABD. 73 В тетраэдре ABCD точки М, N я Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD, АС = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP 29 Пара.исльиость прямых и плоскостей в, проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP. 74 Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани АВС, а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику АВС. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника АВС. 75 Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, МА и МК, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см^. 76 Дан параллелепипед ABCDAiBiCiDi. Докажите, что АС || A,Ci и BD II В,П,. 77 Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDAyBfi^D^ равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если ^ ВС 5 ВВ\ 6 78 На рисунке 42 изображен параллелепипед ASCBAiBiCiB], на ребрах которого отмечены точки М, N, М, и так, что AM = CN = = AiMi =CiNi. Докажите, что MBNDMyB^N^D^ — параллелепипед. 79 Изобразите параллелепипед ABCDA^BiC^D^ и постройте его сечение: а) плоскостью АВС,; б) плоскостью АСС,. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами. 80 Изобразите параллелепипед АВСВА,В,С,Ь, и постройте его сечения плоскостями АВС, и ВСВ,, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются. 81 Изобразите параллелепипед АВСВА,В,С,В, и отметьте точки М и N соответственно на ребрах ВВ, и СС,. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью АВС; б) прямой AM с плоскостью А,В,С,. 82 Изобразите параллелепипед ABCDA^fi^D^ и отметьте внутреннюю точку М грани АА^В^В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания AJBCD; б) грани ВВ,С,С; в) плоскости BDD^. 83 Изобразите параллелепипед АВСВА^В^С^О^ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро СС, и точку пересечения диагоналей грани AA^DiD; б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости АВ,С,. 84 Изобразите параллелепипед ABCDA^BiCiDi и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В,, В, и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция. 30 Пара.1.1<\1ьиисти прямых и п.юсн'пстеО 85 Изобразите параллелепипед ABCDA^Bfi^D^ и постройте его сечение плоскостью BKL, где точка К — середина ребра АА,, а точка L — середина ребра CCj. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм. 86 Изобразите параллелепипед ABCDAiBjC,!), и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BDi. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы АВВ, и CBBj прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник. 87 Изобразите параллелепипед ABCDA^Bfi^D^ и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N я К лежат соответственно на ребрах: а) BBj, АА,, AD; б) CCj, AD, BBj. 10 11 12 13 14 Вопросъ! к главе I Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую о, проходит через точку М? Сколько из этих прямых параллельны прямой а? Прямые а и с параллельны, а прямые а я Ь пересекаются. Могут ли прямые Ъ я с быть параллельными? Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли, что эта прямая: а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости а; б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости а; в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а? Прямая а параллельна плоскости а. Сколько прямых, лежащих в плоскости а, параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости а? Прямая а пересекает плоскость а. Лежит ли в плоскости а хоть одна прямая, параллельная а? Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости? Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу? Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться; б) быть скрещивающимися? Могут ли скрещивающиеся прямые а я Ь быть параллельными прямой с? Боковые стороны трапеции параллельны плоскости а. Параллельны ли плоскость а и плоскость трапеции? Две стороны параллелограмма параллельны плоскости а. Параллельны ли плоскость а и плоскость параллелограмма? Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями? Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые? ^ Y Параллельность прямых О # и плоскостей 15 16 Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней? Какие многоугольники могут получиться в сечении: а) тетраэдра; б) параллелепипеда? Дополнительные задачи 88 Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость а в точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости а, АС = 8 см, BD = 6 см, АВ = 4 см. а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость а в некоторой точке Е. б) Найдите отрезок BE. 89 Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников АВС и CBD пересекаются соответственно в точках М, и Mg. Докажите, что отрезки AD и MjMa параллельны. 90 Вершины Ан В трапеции ABCD лежат в плоскости а, а вершины С и I) не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая CD относительно плоскости а, если отрезок АВ является: а) основанием трапеции; б) боковой стороной трапеции? 91 Через каждую из двух параллельных прямых а и Ь и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым а и Ь. 92 Плоскость а и прямая а параллельны прямой Ь. Докажите, что прямая а либо параллельна плоскости а, либо лежит в ней. 93 Прямые а и Ь параллельны. Через точку М прямой а проведена прямая MN, отличная от прямой а и не пересекающая прямую Ь. Каково взаимное расположение прямых MN и Ь? 94 Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскости, каждая из которых проходит через одну из прямых и точку В? Ответ обоснуйте. 95 Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что если плоскость Р пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость а. 96 Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельной ей прямой, равны. 97 Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180°. 98 Прямая а параллельна плоскости а. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости а? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте. 99 Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки. 100 Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой. 32 Параллельность прямых и плоскостей 101 Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 102 Докажите, что плоскость а, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью а, если длины всех ребер тетраэдра равны 20 см. 103 На ребрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р так, что DM : МА = DN : NB = DP : PC. Докажите, что плоскости MNP и АВС параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника АВС равна 10 см^ и DM : МА = 2 : 1. 104 Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АС и BD. 105 Изобразите тетраэдр DABC и отметьте точки М и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку К грани АВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK. 106 Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точки М и ЛГ граней АВС и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK. 107 Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани BDC. 108 В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А,, В, и С(. Докажите, что отрезки AAi, ВВ, и СС, пересекаются в одной точке. 109 Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой а. Докажите, что прямая а параллельна боковым ребрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали. 110 Докажите, что в параллелепипеде ABCDA^BfiiDi плоскость AiDB параллельна плоскости DfiB^. 111 Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину. 112 Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер. 113 По какой прямой пересекаются плоскости сечений А,BCD, и ВВ£),В, параллелепипеда ABCDA^BiC^Di? 114 Изобразите параллелепипед ABCBA,B,Ci£), и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости ACCj. 115 Точка М лежит на ребре ВС параллелепипеда ABCDAiBfiiDi. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости BDC^. 2 Л. С. Атанасян 33 Параллельность прямых и плоскостей Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямой и плоскости 15 Перпендикулярные прямые в пр<Х‘транстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а к Ь обозначается так: а ± Ь. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рисунке 43 перпендикулярные прямые а и Ь пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся. Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. ▼ Доказательство Пусть а\\Ь У1 а Lc. Докажем, что Ь L с. Через произвольную точку М пространства, не лежащую ^ на данных прямых, проведем прямые МА и МС, парад- ----------- дельные соответственно прямым а и с (рис. 44). Так ----------к как а ± с, то ZAMC = 90°. По условию Ь II а, а по построению а || МА, поэтому Ь II МА. Итак, прямые Ь и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми Ь к с также равен 90°, т. е. Ь 1. с. Лемма доказана. Д 16 Параллельные прямые, перпеицщкулярные к плоскости Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 34 Перпендикулярность прямых и плоско€пи>и Перпендикулярность прямой а и плоскости а обозначается так: а X а. Говорят также, что плоскость а перпендикулярна к прямой а. Если прямая а перпендикулярна к плоскости а, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость а, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости а имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая о пересекает плоскость а. На рисунке 45 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости а. Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т, е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д. Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. Теорема Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Доказательство Рассмотрим две параллельные прямые а и о, и плоскость а, такую, что а ± а. Докажем, что и Oj X а. Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости а (рис. 46). Так как а X а, то а X х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей Oj X х. Таким образом, прямая а, перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости а, т. е. а, X а. Теорема доказана. Докажем обратную теорему. Теорема Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. 2* ^ ^ !1ерпон()ин'у:1яриость ОО пря.мых и n.wcKovnieu ▼ Доказательство Рассмотрим прямые а и 6, перпендикулярные к плоскости а (рис. 47, а). Докажем, что о || Ь. Через какую-нибудь точку М прямой Ъ проведем прямую bi, параллельную прямой а. По предыдущей теореме Ь, ± а. Докажем, что прямая б, совпадает с прямой Ь. Тем самым будет доказано, что а Ц Ь. Допустим, что прямые fe и 6, не совпадают. Тогда в плоскости (3, содержащей прямые fc и Ь,, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости аир (рис. 47, б). Но это невозможно, следовательно, а || Ъ. Теорема доказана. Л 17 Признак перпендикулярности прямой и плоскости Как проверить, перпендикулярна ли данная прямая к данной плоскости? ^от вопрос имеет практическое значение, например, при установке мачт, колонн зданий и т. д., которые нужно поставить прямо, т. е. перпендикулярно к той плоскости, на которую они ставятся. Оказывается, что для этого нет надобности проверять перпендикулярность по отношению к любой прямой, как о том говорится в определении, а достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Это вытекает из следующей теоремы, выражающей признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Рис. 47 Доказательство Рассмотрим прямую а, которая перпендикулярна к прямым р ч д, лежащим в плоскости а и пересекающимся в точке О (рис. 48, а). Докажем, что а ± а. Для этого нужно доказать, что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой т плоскости а. Рассмотрим сначала случай, когда прямая а проходит через точку О (рис. 48, б). Проведем через точку О прямую I, параллельную прямой т (если прямая т проходит через точку О, то в качестве I возьмем саму прямую т). Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую пря- 36 Перпенди ку.чярност ь прямых и плоскостей мые р, q а I соответственно в точках Р, Q и L. Будем считать для определенности, что точка Q лежит между точками Р и L (рис. 48, б). Так как прямые р и q — серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР = ВР и AQ = BQ. Следовательно, AAPQ = ABPQ по трем сторонам. Поэтому ZAPQ = ZBPQ. Сравним треугольники APL и BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР = ВР, PL — общая сторона, Z APL = Z BPL), поэтому AL = BL. Но это означает, что треугольник ABL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. ( J. а. Так как (| m и (1 а, то т 1 а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая а перпендикулярна к любой прямой т плоскости а, т. е. а 1 а. Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую П], параллельную прямой а. По упомянутой лемме ± р и 1 q, поэтому по доказанному в первом случае а, 1 а. Отсюда (по первой теореме п. 16) следует, что ala. Теорема доказана. Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости для решения следующей задачи. Задача Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Решение Обозначим данную прямую буквой а, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а. Проведем через прямую а две плоскости а и р так, чтобы М 6 а (рис. 49)*. В плоскости а через точку М проведем прямую р, перпендикулярную к прямой а, а в плоскости р через точку пересечения прямых р и а проведем прямую q, перпендикулярную к прямой а. Рассмотрим плоскость у, проходящую через прямые р и q. Плоскость у является искомой, так как прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым р и q этой плоскости. Рис. 48 На рисунке 49 изображен тот случай, когда точка М не лежит на прямой а. Однако приведенное решение задачи пригодно и для того случая, когда точка М лежит на прямой а. 37 Перпендикулярность прялгых и плоскостей Замечание Можно доказать, что у — единственная плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а (задача 133). 18 Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Теорема Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. ▼ Доказательство Данную плоскость обозначим а, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем, что: 1) через точку М проходит прямая, перпендикулярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна. 1) Проведем в плоскости а произвольную прямую а и рассмотрим плоскость Р, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а (рис. 50). Обозначим буквой Ь прямую, по которой пересекаются плоскости а и р. В плоскости Р через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой Ь. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости а, так как перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с J. й по построению и с ± а, так как р ± а). 2) Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее через с,), перпендикулярная к плоскости а. Тогда (по обратной теореме п. 16) Cl II с, что невозможно, так как прямые с, и с пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости а. Теорема доказана. Л м / / t с • ! Ь i h / Рис. 50 Задачи 116 Дан параллелепипед АВСОА^В^С^В^. Докажите, что: а) DC 1 BiCi и АВ 1 A^Di, если ZBAD = 90°; б) АВ 1 СС] и ПП, X AiBi, если АВ X DD^. 117 В тетраэдре ABCD BC1AD. Докажите, что AD1.MN, где М и N — середины ребер АВ и АС. 118 Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости а, а точки О, В, С я D лежат в плоскости а. Какие из следующих углов являются прямыми: ZAOB, ZMOC, ZDAM, ZDOA, ZBMO? 38 Перпеидику.1ярпость прямых и плоскостей 119 Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что: а) АВ = ПВ; б) АВ = АС, если ОВ = ОС; в) ОВ = ОС, если АВ =АС. 120 Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = Ь. 121 В треугольнике АВС дано: ZC = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ. 122 Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ 16V3 см, ОК = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и К д,о вершин А и В треугольника. 123 Докажите, что если две плоскости аир перпендикулярны к прямой а, то они параллельны. Решение Проведем какую-нибудь прямую, параллельную прямой а, так, чтобы она пересекала плоскости а и Р в различных точках А и В. По первой теореме п. 16 плоскости аир перпендикулярны к прямой АВ. Если допустить, что плоскости а и Р не параллельны, т. е. имеют хотя бы одну общую точку М, то получим треугольник АВМ с двумя прямыми углами при вершинах А и В, что невозможно. Следовательно, а II р. 124 Прямая PQ параллельна плоскости а. Через точки В и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках и Q^. Докажите, что PQ = BiQi. 125 Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а и пересекающие ее соответственно в точках Р^ и Qp Найдите PiQi, если PQ = 15 см, ВВ, = 21,5 см, QQ, = 33,5 см. 126 Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника MBD, где D — произвольная точка прямой АС. 127 В треугольнике АВС сумма углов Аи В равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что CD J. АС. 128 Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ = MD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма. 129 Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости АМО; б) МО 1 BD. 130 Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая ВМ. Известно, что ZMBA = ZMBC = 90°; МВ = т, АВ = п. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и BD. О л Перпендикулярность 07 прямых и плоскостей 131 в тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС, АВ = АС, DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС. 132 Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой. 133 Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Решение Согласно задаче п. 17 через данную точку М проходит плоскость а, перпендикулярная к данной прямой а. Предположим, что через точку М проходит еще одна плоскость tti, перпендикулярная к этой прямой. Тогда плоскости а и ttj параллельны (см. задачу 123). Но это невозможно, так как эти плоскости имеют общую точку М. Следовательно, наше предположение неверно, и через точку М проходит только одна плоскость, перпендикулярная к прямой а. 134 Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а. 135 Прямая а перпендикулярна к плоскости а и перпендикулярна к прямой Ь, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что Ь || а. 136 Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ. 137 Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой. 2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью 19 Расстояние от тотеи до плоскости Рассмотрим плоскость а и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости а, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью а (рис. 51). Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости а, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости а какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости а, а точка М — основанием наклонной. Отрезок НМ называется про- Перпендикулярность прямых и плоскостей екцией наклонной на плоскость а. Сравним перпендикуляр АН и наклонную AM: в прямоугольном треугольнике АМН сторона АН — катет, а сторона AM — гипотенуза, поэтому АН < AM. Итак, перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости а наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости а, называется расстоянием от точки А до плоскости а. Когда мы говорим, что некоторый предмет, например лампочка уличного фонаря, находится на такой-то высоте, скажем 6 м от земли, то имеем в виду, что расстояние от лампочки до поверхности земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли (рис. 52). Замечания 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. В самом деле, рассмотрим перпендикуляры AAq и MMq, проведенные из двух произвольных точек А и М плоскости а к параллельной ей плоскости р. Так как ААо ± р и MMq ± р, то AAq || MMq. Отсюда следует, что MMq = AAq (свойство 2°, п. 11), т. е. расстояние от любой точки М плоскости а до плоскости Р равно длине отрезка AAq. Очевидно, все точки плоскости Р находятся на таком же расстоянии от плоскости а. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. Как уже отмечалось, примером параллельных плоскостей служат плоскости пола и потолка комнаты. Все точки потолка находятся на одинаковом расстоянии от пола. Это расстояние и есть высота комнаты. 2. Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости (задача 144). В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. 3. Если две прямые скрещивающиеся, то, как было доказано в п. 7, через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. 4^ Пер пен ()и кулнри ос т ь 7 прнмых и плоскостей 20 Теорема о трех перпендикулярах Теорема Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Доказательство Обратимся к рисунку 53, на котором отрезок АН — перпендикуляр к плоскости а, AM — наклонная, а — прямая, проведенная в плоскости а через точку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной. Докажем, что а 1 AM. Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН, лежащим в плоскости АМН (а -L НМ по условию и а ± АН, так как АН ± а). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности а LAM. Теорема доказана. Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и AM. Справедлива также обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. По аналогии с доказательством прямой теоремы, используя рисунок 53, докажите эту теорему самостоятельно (задача 153). 21 Угол между npicviofi и плоскостью В п. 19 было дано определение проекции наклонной на плоскость. Введем теперь понятие проекции* произвольной фигуры. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости. На рисунке 54 точка М, — проекция точки М на плоскость а, & N — проекция самой точки N на ту же плоскость {N е а). Обозначим буквой F какую-нибудь фигуру в пространстве. Если мы построим проекции всех то- В данном пункте речь идет о прямоугольной (или ортогональной) проекции фигуры. Более общее понятие параллельной проекции фигуры рассматривается в приложении 1. 42 Перпендикулярность прямых и плоскостей чек этой фигуры на данную плоскость, то получим фигуру F,, которая называется проекцией фигуры F на данную плоскость. На рисунке 54 треугольник — проекция треугольника F на плоскость а. Докажем теперь, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Данную плоскость обозначим буквой а, а произвольную прямую, не перпендикулярную к плоскости а, — буквой а (рис. 55). Из какой-нибудь точки М прямой а проведем перпендикуляр МН к плоскости а и рассмотрим плоскость р, проходящую через а и МН. Плоскости аир пересекаются по некоторой прямой а,. Докажем, что эта прямая и является проекцией прямой а на плоскость а. В самом деле, возьмем произвольную точку Ml прямой а и проведем в плоскости Р прямую MiHi, параллельную прямой МН {Hi — точка пересечения прямых MiHi и Oi). По первой теореме п. 16 MiHi 1 а, и, значит, точка Я, является проекцией точки Ml на плоскость а. Мы доказали, что проекция произвольной точки прямой а лежит на прямой а,. Аналогично доказывается, что любая точка прямой а, является проекцией некоторой точки прямой а. Следовательно, Oi — проекция прямой а на плоскость а. Из доказанного утверждения следует, что проекцией отрезка АВ, не перпендикулярного к плоскости, является отрезок, концами которого служат проекции точек А и В. Поэтому определение проекции наклонной (п. 19) полностью согласуется с общим определением проекции фигуры. Используя понятие проекции прямой на плоскость, дадим определение угла между прямой и плоскостью. Определение Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Можно доказать, что угол фо между данной прямой AM и плоскостью а (рис. 56) является наименьшим из всех углов ф, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости а через точку А (задача 162). Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекцией на эту плоскость является точка пересечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90°. 43 Перпендикулярность прямых и плоскостей Если данная прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не вводим. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0°.) ▼ Замечание Наряду с рассмотренной в этом пункте прямоугольной проекцией и параллельной проекцией, речь о которой пойдет в приложении 1, иногда используется центральная проекция. Она определяется так. Рассмотрим произвольную плоскость а и какую-нибудь точку О, не лежащую в этой плоскости. Пусть р — плоскость, проходящая через точку О и параллельная плоскости а. Центральной проекцией (с центром О) точки М, не лежащей в плоскости р, на плоскость а называется точка М, пересечения прямой ОМ с плоскостью а. Центральной проекцией фигуры на плоскость а называется множество центральных проекций на плоскость а всех точек этой фигуры, не лежащих в плоскости р. Примером центральной проекции фигуры является ее фотографический снимок. Л Задачи 138 Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен ф. а) Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна т. 139 Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию. 140 Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что Z.OAB = /.ВАС = 60°, АО =1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. 141 Один конец данного отрезка лежит в плоскости а, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости а. 142 Концы отрезка отстоят от плоскости а на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости а. 143 Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6 см. шж ИерпенОикулярность прямых и плоскостей 144 Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что все точки прямой а равноудалены от плоскости а. Решение Через какую-нибудь точку прямой а проведем плоскость р, параллельную плоскости а (задача 59). Прямая а лежит в плоскости Р, так как в противном случае она пересекает плоскость р, а значит, пересекает и плоскость а (задача 55), что невозможно. Все точки плоскости р равноудалены от плоскости а, поэтому и все точки прямой а, лежащей в плоскости р, равноудалены от плоскости а, что и требовалось доказать. 145 Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что треугольник CBD прямоугольный, б) Найдите BD, если ВС — а, DC = Ь. 146 Прямая а пересекает плоскость а в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости а через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой а, и притом только одна. 147 Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные. 148 Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М — середина стороны ВС. Докажите, что МК1 ВС. 149 Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = б см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС. 150 Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите: а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD', б) расстояние между прямыми АК и CD. 151 Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Докажите, что: а) треугольник АВС является проекцией треугольника ABD на плоскость АВС', б) если СН — высота треугольника АВС, то DH — высота треугольника ABD. 152 Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм. 153 Докажите, что прямая а, проведенная в плоскости а через основание М наклонной AM перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции НМ (см. рис. 53). Решение Прямая а перпендикулярна к плоскости АМН, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости м gm Перпендикулярность прямых и плоскостей (а 1 AM по условию и а ± АН, так как АН 1 а). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности а ± НМ, что и требовалось доказать. 154 Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD. 155 Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ = 2-Jl см. 156 Один из катетов прямоугольного треугольника АВС равен тп, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен ф. Через вершину прямого угла С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD = п. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ. 157 Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм. 158 Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, Z BAD = 60°, ВМ ■ 12,5 см. 159 Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADM и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ. 160 Концы отрезка АБ лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно d, причем d < АВ. Докажите, что проекции отрезка АВ на эти плоскости равны. Найдите эти проекции, если АВ = 13 см, d = 5 см. 161 Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если Z.ABC = ZABD, причем ZABC < 90°, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD. 162 Прямая МА проходит через точку А плоскости а и образует с этой плоскостью угол фо / 90°. Докажите, что фо является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости а через точку А. Решение Обозначим буквой Я основание перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости а, и рассмотрим произвольную прямую р в плоскости а, проходящую через точку А и отличную от прямой АН. Угол между прямыми AM и р обозначим через ф (рис. 57) yf/J Перпендикулярность 40 прямых и плоскостей и докажем, что <р > фо. Из точки М проведем перпендикуляр MN к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то ф = 90° и поэтому ф > Фо. Рассмотрим случай, когда точки А и iV не совпадают (см. рис. 57). Отрезок AM — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ANM и АНМ, поэтому sin ф= sin фо = Так AM AM как MN > МН (MN — наклонная, МН — перпендикуляр), то из этих двух равенств следует, что sin ф > sin фо и поэтому ф > фо. 163 Наклонная AM, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой AM и данной плоскостью равен: а) 45°; б) 60°; в) 30°? 164 Под углом ф к плоскости а проведена наклонная. Найдите ф, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной. 165 Из точки А, удаленной от плоскости у на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость у образуют угол в 120°. Найдите ВС. § Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей 22 Двугранный угол Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. В стереометрии наряду с такими углами рассматривается еще один вид углов — двугранные углы. Чтобы ввести понятие двугранного угла, напомним, что любая прямая, проведенная в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости (рис. 58, а). Представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так, что две полуплоскости с границей а оказались уже не лежащими в одной плоскости (рис. 58, б). Полученная фигура и есть двугранный угол. Таким образом, можно дать такое определение двугранного угла: двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани, отсюда и название — двугранный угол. Прямая а — общая граница полуплоскостей — называется ребром двугранного угла. Двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и В, называют двугранным углом CABD. Прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости Двугранный угол Рис. 58 47 11ерпен{)икуляриость прямых и п.юскогтей в обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Такими предметами являются двускатные крыши зданий, полураскрытая папка, стена комнаты совместно с полом и т. д. Мы знаем, что углы на плоскости (обычные углы) измеряются в градусах. А как измеряются двугранные углы? Это делается следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. На рисунке 59, а угол АО в — линейный угол двугранного угла с ребром CD. Так как ОА J. CD и ОВ 1 CD, то плоскость АОВ перпендикулярна к прямой CD. Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла. Очевидно, двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 59, б). Докажем, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Рассмотрим два линейных угла АОВ и A,OiB, (см. рис. 59, б). Лучи ОА и 0,Ai лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО,, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены лучи ОВ и O^B^. Поэтому ZA^OtBi = ZAOB (как углы с сонаправленными сторонами). Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. На рисунке 60, а градусная мера двугранного угла равна 45°. Обычно говорят коротко: «Двугранный угол равен 45°». Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90° (меньше 90°, больше 90°). Двугранный угол, изображенный на рисунке 60, б, прямой, на рисунке 60, а — острый, а на рисунке 60, в — тупой. Линейный угол двугранного угла Рис. 59 Z 48 Перце иди кулярност ь прямых и плоскостей 23 Признак перпендикулярности двух плоскостей Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 61, а). Если один из этих двугранных углов равен ф, то другие три угла равны соответственно 180° - ф, ф и 180° - ф. В частности, если один из углов прямой (ф = 90°), то и остальные три угла прямые. Если ф — тот из четырех углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен ф. Очевидно, 0° < ф < 90°. Определение Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90° (рис. 61, б). Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты. Ясно, что все четыре двугранных угла, образованные взаимно перпендикулярными плоскостями, прямые. Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Доказательство Рассмотрим плоскости аир такие, что плоскость а проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости Р и пересекающуюся с ней в точ- 49 Перпендикулярность прямых и плоскостей ке А (рис. 62). Докажем, что а 1 р. Плоскости а и Р пересекаются по некоторой прямой АС, причем АВ 1 АС, так как по условию АВ 1 р, т. е. прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости р. Проведем в плоскости р прямую AD, перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD — линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей аир. Но Z BAD = 90° (так как АВ 1 р). Следовательно, угол между плоскостями а и Р равен 90°, т. е. а 1 р. Теорема доказана. Следствие Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 63). 24 Прямоугольны!! параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы: коробки, ящики, комнаты и т. д. На рисунке 64 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCiDi. Его основаниями служат прямоугольники ABCD и а боковые ребра АА,, ВВ^, СС^ и Z)Z), перпендикулярны к основаниям. Отсюда следует, что АА, J. АВ, т. е. боковая грань АА^В^В — прямоугольник. То же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Таким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда: 1*’. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней — прямоугольники. Полуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда. Докажите самостоятельно, что: 2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые. Теперь рассмотрим одно из самых замечательных свойств прямоугольного параллелепипеда. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда. Например, у параллелепипеда, изображенного и YJ. Р Рис. 63 Cj_______D, Вг В •'^1/ 'С J , Ifr ---У D Прямоугольный параллелепипед Рис. 64 50 Перпеидику.1ярность пря.мых и плоскостей на рисунке 64, в качестве измерений можно взять длины ребер АВ, AD и AA^. В обыденной практике, говоря о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вместо слова «измерения» используют обычно слова «длина», «ширина» и «высота» комнаты. Ясно, что длина, ширина и высота комнаты — это и есть ее измерения. Прежде чем сформулировать свойство параллелепипеда, связанное с его измерениями, вспомним, что в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов смежных сторон. Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника, и поэтому квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. Оказывается, аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед. Теорема Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Доказательство Обратимся к рисунку 64, на котором изображен параллелепипед ABCjD(AiBiCii)i, и докажем, что ACf = АВ^ +AD^ + A4f. Так как ребро CCj перпендикулярно к основанию ABCD, то угол ACCi прямой. Из прямоугольного треугольника АСС, по теореме Пифагора получаем ACf = АС^ +СС\. Но АС — диагональ прямоугольника ABCD, поэтому АС^ = АВ^ + AD^. Кроме того, CCj = AAj. Следовательно, ACf =АВ^ + AD^ -I-AAj. Теорема доказана. Следствие Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом. Все грани куба — равные друг другу квадраты. 25* Трехграшгый угол Рассмотрим три луча с общим началом О — ОА, ОВ и ОС, не лежащие в одной плоскости. Фигура, состоящая из углов АОВ, ВОС, СОА и их внутренних об- ^ Перпендикулярность чУ 7 прямых и плоскостей ластей, называется трехгранным углом ОАВС, а указанные углы — плоскими углами этого трехгранного угла. Докажем, что каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов. Рассмотрим трехгранный угол ОАВС и для определенности будем считать, что ZBOC > ZAOC > ZAOB. Достаточно доказать, что ZBOC < ZAOB + ZAOC (объясните почему). Если ZBOC = ZAOB, то справедливость этого неравенства очевидна. В противном случае {ZBOC > ZAOB) поступим так. На луче ВС выберем точку М так, чтобы угол МОВ оказался равным углу АОВ (рис. 65, а). Поскольку ZBOC > ZAOB, то точка М будет лежать между точками В и С. Далее, на луче ОА отложим отрезок ON = ОМ. Треугольники BON и ВОМ равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому BN = ВМ. В треугольнике BCN имеем: ВМ + МС = = ВС < BN + NC = ВМ + NC, откуда находим: МС < NC. Разогнем двугранный угол с ребром ОС так, чтобы точки М, N, О и С оказались лежащими в одной плоскости, и проведем биссектрису OD треугольника MON (рис. 65, б). Поскольку треугольник MON — равнобедренный, то отрезок OD является его медианой и высотой: MD = DN, OD ± MN. Таким образом, прямая OD проходит через середину стороны MN треугольника MNC и перпендикулярна к этой стороне. Следовательно, она пересекает большую из сторон МС и NC (докажите это), т. е. сторону NC. Поэтому ZMOC < ZNOC. Обратимся теперь к рисунку 65, а. Мы видим, что ZBOC - ZMOB + ZMOC = = ZAOB + ZMOC < ZAOB + ZNOC = ZAOB -f- ZAOC, что и требовалось доказать. 26* Многогранный угол Рассмотрим фигуру, составленную из углов AjOAg, А2ОА3, ..., A„OAi и их внутренних областей так, что смежные углы (т. е. углы А,ОА2 и А2ОА3, ..., А„ОА^ и AjOA2) не лежат в одной плоскости, а несмежные углы (с их внутренними областями) не имеют общих точек. Такая фигура называется многогранным углом OAjA2 ... А„, углы, из которых составлен этот многогранный угол, — плоскими углами, лучи OA^, ОА2, ..., ОА„ — ребрами, а точка О — вершиной этого многогранного О а) О N 52 II ерпендикулярност ь прямых и плоскостей угла. Примером многогранного угла является трехгранный угол. Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов, в частности, трехгранный угол — выпуклый (объясните почему). Докажем, что для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его ребра. Рассмотрим ребра OA^ и ОА2 многогранного угла OAjAa ... А„. Поскольку данный многогранный угол — выпуклый, то точки Аз, ..., А„ лежат по одну сторону от плоскости ОА1А2. Проведем среднюю линию ВС треугольника OAjA2 (рис. 66) и выберем из ребер ОА3, ..., ОА„ то ребро ОА„ для которого величина двугранного угла ОВСА, имеет наименьшее значение (на рисунке грани этого двугранного угла закрашены). Рассмотрим полуплоскость с границей ВС, делящую двугранный угол ОВСА^ на два двугранных угла (на рисунке эта полуплоскость не изображена). Все вершины Aj, ..., А„ лежат по одну сторону от плоскости а, содержащей эту полуплоскость, а точка О — по другую сторону от плоскости а (объясните почему). Следовательно, плоскость а пересекает все ребра ОА,, ..., ОА„. Утверждение доказано. Выпуклые многогранные еще одним важным свойством. Теорема углы обладают Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной О и проведем плоскость, пересекающую все его ребра в некоторых точках А,, Аз, ..., А„ (рис. 67). Ясно, что многоугольник А,А2 ... А„ — выпуклый. Имеем ZA1OA2 + ZA2OA3 -(-... + ZAJ)Ai = = (180° - ZOA^A2 - ^ОАгА,) + (180° - ZOA^A^ - ZOA^A^ + ... ... + (180° - ZOA„A, - ZOAiA„) = = 180° • л - (ZOA,A„ -I- Z0A,A2) - (ZOA2A, -b ZOA2A3) - ... ...-(ZQA„A„., + ZOA„A,). Ho сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла (см. п. 25), поэтому О 53 Перпендикулярность прямых и плоскостей ZOA^A„ + ZOA1A2 > ZA„AiA^, .... ZOA„A.-i + ^OA„A, > ZA„. АЛ- Следовательно, искомая сумма меньше, чем 180‘ • п - (ZA„AiA2 + ZA^A^A, + ... + ZA„.,А„Л) = = 180° • п - 180° -(п-2) = 360°. Теорема доказана. Задачи 166 Неперпендикулярные плоскости а и |3 пересекаются по прямой MN. В плоскости Р из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой MN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости а. Докажите, что ZABC — линейный угол двугранного угла AMNC. 167 В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М — середина ребра АС. Докажите, что ZDMB — линейный угол двугранного угла BACD. 168 Двугранный угол равен ф. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла. 169 Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°. 170 Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости а, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ,. Найдите расстояния от точки В до прямой АС и до плоскости а, если АВ = 2 см, ZBAC = 150° и двугранный угол ВАСВ^ равен 45°. 171 Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости а, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью а и плоскостью треугольника. 172 Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости а, а угол между плоскостями а и АВС равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости а, если АС = 5 см, АВ = 13 см. 173 Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости АВС, АВ = ВС = АС = 6, BD - Зл/7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA. 174 Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и АСВ прямые, АС = СВ = 5, DB = 5л/5. 175 Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы. 176 Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если Z BAD = 45° и расстояние от точки В до плоскости ADM равно 4 V3. 54 Перпендикулярность пря.ных и плоскостей 177 Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. 178 Плоскости а и Р взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости а, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости р. Решение Проведем в плоскости а произвольную прямую АС, перпендикулярную к прямой с, С е с. Докажем, что СА 1 р. В плоскости Р через точку С проведем прямую СВ, перпендикулярную к прямой с. Так как СА 1 с и СВ 1 с, то ZACB — линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями а и р. По условию задачи а X Р, поэтому ZACB — прямой, т. е. СА 1 СВ. Таким образом, прямая СА перпендикулярна к двум пересекающимся прямым с и СВ плоскости Р, поэтому СА X р. 179 Плоскости аир взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости а проведена прямая, перпендикулярная к плоскости р. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости а. 180 Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны. 181 Плоскости а и Р пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям а и р. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС X о. 182 Плоскости аир взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость AM В в точке С. а) Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. б) Найдите расстояние от точки М до прямой а, если AM = т, ВМ - п. 183 Плоскости а и Р пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости у. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости у. 184 Общая сторона АВ треугольников АВС и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой АВ. 185 Прямая а не перпендикулярна к плоскости а. Докажите, что существует плоскость, проходящая через прямую а и перпендикулярная к плоскости а. Решение Через произвольную точку М прямой а проведем прямую р, перпендикулярную к плоскости а, и рассмотрим плоскость р, проходящую через прямые аир. Плоскость Р является искомой, так как она проходит через прямую а и по признаку перпендикулярности двух плоскостей перпендикулярна к плоскости а. 55 Перпендикулярность прямых и плоскостей Рис. 68 его 186 Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые а и Ь и перпендикулярная к каждой из них. Решение Рассмотрим плоскость а, проходящую через прямую а и параллельную прямой Ь. Через прямые а и & проведем плоскости р и у так, чтобы Р X а и у 1 а (задача 185). Докажите самостоятельно, что прямая р, по которой пересекаются плоскости р и у, искомая. Докажем, что р — единственная прямая, удовлетворяющая условию задачи. Предположим, что существуют две прямые A,Bi и А2В2, пересекающие данные скрещивающиеся прямые а и 6 и перпендикулярные к каждой из них (рис. 68). Прямые AjB, и А2В2 перпендикулярны к плоскости а (объясните почему), поэтому они параллельны. Отсюда следует, что скрещивающиеся прямые а VI Ь лежат в одной плоскости, что противоречит определению скрещивающихся прямых. 187 Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если измерения равны: а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) V^, 7, 9. 188 Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба. 189 Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна т; б) диагональ куба равна d. 190 Дан куб ABCDA^B^C^D^. Найдите следующие двугранные углы: а) АВВ^С\ б) ADD^B; в) А^ВВ^К, где К — середина ребра 191 Дан куб ABCDAiBfiiDi. Докажите, что плоскости АВС, и A^ByD перпендикулярны. 192 Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. 193 В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiByC^D^ дано: BjB = d, АС = т, АВ = п. Найдите расстояние между: а) прямой Afi^ и плоскостью АВС; б) плоскостями АВВ, и ОССй в) прямой DD^ и плоскостью АСС,. 194 Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба. 195 Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCBA,B,CiI)i, если ACi = 12 см и диагональ ВВ, составляет с плоскостью грани АА,В,В угол в 30°, а с ребром BBj — угол в 45°. 196 Изобразите куб ABCBAiBiCiB, и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА, и перпендикулярной к плоскости ВВ,1>,; б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СВА,. 56 Перпендикулярность прямых и плоскостей Вопросы к главе II 1 Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости? 2 Параллельные прямые Ь и с лежат в плоскости а, а прямая а перпендикулярна к прямой Ь. Верно ли утверждение: а) прямая о перпендикулярна к прямой с; б) прямая а пересекает плоскость а? 3 Прямая а перпендикулярна к плоскости а, а прямая Ь не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые а и i» быть параллельными? 4 Прямая а параллельна плоскости а, а прямая Ъ перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые а тл Ь взаимно перпендикулярны? 5 Прямая а параллельна плоскости а, а прямая Ь перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым а и Ь? 6 Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости? 7 Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями? 8 Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны? 9 Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости? 10 Сколько двугранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед? Дополнительные задачи 197 Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости МВС. 198 Точка А лежит в плоскости а, а точка В удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка М делит отрезок АВ в отнощении 4 : 5, считая от точки А. Найдите расстояние от точки М до плоскости а. 199 Точка S равноудалена от верщин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника. 200 Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника. 201 Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и PQ, если точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ. 57 Перпендикулярность прямых и плоскостей 202 Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5 см? 203 Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, ОК = 4 см. 204 Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, ZMCO = ф. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника АВС и до прямых АВ, ВС и СА; б) длину окружности, описанной около треугольника АВС; в) площадь треугольника АВС. 205 Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника АВС проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если СА = 3 дм, СВ = 2 дм, CD = 1 дм. 206 Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая AM, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки М до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что AM = 20 см. 207 В треугольнике АВС дано: АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см. Точка М удалена от прямых АВ, ВС и АС на 8f см. Найдите расстояние от о точки М до плоскости АВС, если ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника. 208 Из точки К, удаленной от плоскости а на 9 см, проведены к плоскости а наклонные KL и КМ, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью а — углы в 45® и 30° соответственно. Найдите отрезок LM. 209 Углы между равными отрезками АВ и АС и плоскостью а, проходящей через точку А, рав- ,, ны соответственно 40° и 50°. Сравните расстояния от точек В и С до плоскости а. 210 На рисунке 69 двугранные углы НАВР и PABQ равны. Докажите, что каждая точка плоскости АВР равноудалена от плоскостей АВН и ABQ. 211 Плоскости правильного треугольника К DM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Щ Найдите DN, если КМ = а. 212 Точка С является проекцией точки D на плоскость треугольника АВС. Докажите, что площадь треугольника ABD равна ^ , где 58 Перпендикулярность прямых и плоскостей S — площадь треугольника ABC, а а — угол между плоскостями АВС и ABD. 213 Правильные треугольники АВС и ВВС расположены так, что вершина В проектируется в центр треугольника АВС. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников. 214 Проекцией прямоугольника АВСВ на плоскость а является квадрат ABCjBi. Вычислите угол ф между плоскостью а и плоскостью прямоугольника АВСВ, если АВ : ВС =1:2. 215 Параллельные прямые АВ и СВ лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60°. Точки А и В удалены от ребра двугранного угла соответственно на 8 см и 6,5 см. Найдите расстояние между прямыми АВ и СВ. 216 Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°, Отрезки АС и ВВ проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок СВ, если АВ = АС = ВВ = а. 217 Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм^, а его ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда. Глава III Многогранники Понятие многогранника. Призма 27 Понятие многогранника В главе I мы рассмотрели тетраэдр и параллелепипед: тетраэдр — поверхность, составленная из четырех треугольников (рис. 70, а), параллелепипед — поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 70, б). Каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. Тетраэдр и параллелепипед — примеры многогранников. На рисунке 71 изображен еще один многогранник — октаэдр. Он составлен из восьми треугольников. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями*. Гранями тетраэдра и октаэдра являются треугольники (рис. 70, а и 71), гранями параллелепипеда — параллелограммы (рис. 70, б). Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости — сечением многогранника. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр — выпук- Тетраэдр Параллелепипед Рис. 70 При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости. 60 Многогранники лые многогранники. На рисунке 72 изображен невыпуклый многогранник. Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Отметим также, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360° (см. п. 26). Рисунок 73 поясняет это утверждение: многогранник «разрезан» вдоль ребер и все его грани с общей вершиной А развернуты так, что оказались расположенными в одной плоскости а. Видно, что сумма всех плоских углов при вершине А, т. е. tpi + фг + фз. меньше 360°. Невыпуклый многогранник Рис. 72 28* Геометрическое тело Мы отметили, что многогранник ограничивает некоторое геометрическое тело. Уточним понятие геометрического тела. Точка М называется граничной точкой данной фигуры F, если среди сколь угодно близких к ней точек (включая ее саму) есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей. Так, например, границей шара является сфера. Точка фигуры, не являющаяся граничной, называется внутренней точкой фигуры. Каждая внутренняя точка фигуры характеризуется тем, что все достаточно близкие к ней точки пространства также принадлежат фигуре. Так, любая точка шара, не лежащая на сфере — его границе, является внутренней точкой шара. Фигура называется ограниченной, если ее можно заключить в какую-нибудь сферу. Очевидно, шар, тетраэдр, параллелепипед — ограниченные фигуры, а прямая и плоскость — неограниченные. Фигура называется связной, если любые две ее точки можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей данной фигуре. Примерами связных фигур являются тетраэдр (см. рис. 70, а), параллелепипед (см. рис. 70, б), октаэдр (см. рис. 71), плоскость. Фигура, состоящая из двух параллельных плоскостей, не является связной. Геометрическим телом (или просто телом) называют ограниченную связную фигуру в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причем сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу тела называют также его поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело. 61 Многогранники Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью. Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т. е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела. 29* Теорюма Эйлера Сейчас мы докажем удивительную теорему, связанную с именем выдающегося математика Леонарда Эйлера (1707—1783), швейцарца по происхождению, большую часть жизни работавшего в России. Теорема В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2. Доказательство Рассмотрим произвольный выпуклый многогранник, имеющий е верщин, f граней и k ребер. Докажем, что f + е - k = 2. Выберем произвольную грань G, отметим какую-нибудь точку М ее внутренней области и проведем из нее луч Л, перпендикулярный к плоскости этой грани и лежащий по ту сторону от нее, по которую нет точек многогранника. Если плоскости каких-либо других граней пересекают луч Л, то выберем на нем точку О, лежащую между М и ближайшей к М точкой пересечения; в противном случае возьмем в качестве точки О произвольную точку луча Л (рис. 74). Тогда точка О окажется лежащей по ту же сторону от плоскости каждой грани многогранника, отличной от G, что и сам многогранник. Удалим теперь грань G. В результате получим многогранную поверхность F, имеющую те же ребра и вершины, что и исходный многогранник, число граней которой равно / - 1. Любой луч с началом О пересекает поверхность F не более чем в одной точке (поскольку после пересечения лучом поверхности F он «уходит» в то полупространство, в котором точек поверхности F нет). Примем точку О за центр проектирования и рассмотрим центральную проекцию поверхности F на плоскость грани G (рис. 75; грань G на этом рисунке изображена в увеличенном масштабе). Она представляет собой грань G, составленную из / - 1 вы- Рис. 74 62 \1ного:рипники пуклых многоугольников — проекций остальных граней (докажите, что эти многоугольники — выпуклые). Число вершин этих многоугольников равно е, а число сторон равно к. Если провести диагональ какого-нибудь из них, то число вершин не изменится, число многоугольников увеличится на 1, число сторон также увеличится на 1, поэтому разность числа многоугольников и числа сторон не изменится (см. рис. 75). Следовательно, если каждый многоугольник разделить диагоналями на треугольники, то грань G окажется разделенной на f треугольников с е' вершинами и к' сторонами, причем f + е'-к' = и-1) + е-к. Пусть п — число сторон грани G. Каждый из треугольников имеет три стороны, поэтому число к' меньше числа Zf на число сторон, каждая из которых принадлежит одновременно двум треугольникам, т. е. на к' - п: к’ = 3/' - (к' - п). Отсюда получаем: п = 2к' - 3/'. Сумма углов всех треугольников, с одной стороны, равна f • 180°, с другой — сумме углов п-уголь-ника G плюс 360°, умноженных на число е' - п вершин, лежащих внутри G: Г • 180° = (п - 2) • 180° + 360° • (с' - п). Отсюда находим Г = 2е'-п-2 = 2е'- (2ft' - 3/') - 2, т. е. /' + е' - ft' = 1. Но Г + е' - ft' = (^ - 1) + с - ft. Следовательно, f + е - к = 2. Теорема доказана. 30 Призма Рассмотрим два равных многоугольника А1А2... А„ и В1В2 ... В„, расположенных в параллельных плоскостях а и Р так, что отрезки AjB,, AjBa, ..., А„В„, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 76). Каждый из п четырехугольников А1А2В2В1, А2А3В3В2, ...,A„AiBiB„ (1) Призма. Многоугольники А1А2 ... А„ и В1В2 ... В„ — основания призмы. Параллелограммы Л1Л2В2В1, ..., A^iBiB„— боковые грани Рис. 76 63 Многогранники является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике A,A2^2^i стороны А,В, и Л2В2 параллельны по условию, а стороны A,Aa и ByBi — по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью (п. 11). Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А,А2 ... А„ и В1В2 ... В„, расположенных в параллельных плоскостях, и п параллелограммов (1), называется призмой (см. рис. 76). Многоугольники А,А2 ... А„ и В,В2 В„ называются основаниями, а параллелограммы (1) — боковыми гранями призмы. Отрезки AjB,, А2В2, ..., А„В„ называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями AjAj ... А„ и В,В2 ... В„ обозначают А,А2 ... A„B,B2 ... В„ и называют п-угольной призмой. На рисунке 77 изображены треугольная и шестиугольная призмы, а на рисунке 70, б — четырехугольная призма, являющаяся параллелепипедом . Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае — наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники (объясните почему). На рисунке 77 изображена правильная шестиугольная призма. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы — сумма площадей ее боковых граней. Площадь полной поверхности выражается через площадь Sjok боковой поверхности и площадь основания призмы формулой _______________I Рис. 77 ^1юлн + 2S„ Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы. 64 М ногогра н н и ки Теорема то Si = S • cos ф. (2) б) Если сторона АВ данного треугольника АВС параллельна плоскости а (рис. 78, б-, на этом Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Доказательство Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, основания которых — стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту Л. Вынося множитель Л за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр Р. Итак, Sjok = Ph. Теорема доказана. 31* Пространственная теорюма Пифагора Решим сначала такую задачу. Задача Найти площадь S, прямоугольной проекции многоугольника с площадью S на плоскость а, если угол между плоскостью многоугольника и плоскостью а равен ф (0° < ф < 90°). Решение а) Начнем с того случая, когда данный многоугольник является треугольником, одна из сторон которого лежит в плоскости а. Обратимся к рисунку 78, а, на котором сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости а, отрезок СС, — перпендикуляр, проведенный из точки С к плоскости а, и, следовательно, треугольник АВС^ — проекция треугольника АВС на эту плоскость. Пусть отрезок С^Н — высота треугольника ABCj. Тогда отрезок СН — высота треугольника АВС (по теореме о трех перпендикулярах), а ZCHC^ = ф (объясните почему). Так как S, =|аВ-С,Я, S = IaB-CH, С,Я = СЯ-cos ф. г) Рис. 78 3 ~ Л. С. Атанасяв 65 М н огогра нники рисунке треугольник A,B,Ci — проекция треугольника АВС, плоскость АВС^ параллельна плоскости а), то, согласно доказанному, площадь треугольника АВСг равна S • cos ф. Но треугольник АВС^ равен треугольнику A,BiCi (докажите это), поэтому его площадь равна Sj. Таким образом, и в этом случае площадь Sj проекции треугольника АВС с площадью S выражается формулой (2). в) Рассмотрим, наконец, произвольный многоугольник с площадью S. Разобьем его на треугольники. Если ни одна из сторон какого-то из них не параллельна плоскости а и не лежит в ней, то разобьем этот треугольник на два треугольника отрезком, проведенным через одну из его вершин параллельно плоскости а (рис. 78, в), либо в самой плоскости а (рис. 78, г). Выразим площадь проекции каждого треугольника по формуле (2) и сложим эти площади. Вы-неся за скобки общий множитель cos ф, получим в скобках сумму площадей треугольников, т. е. площадь S данного многоугольника. Таким образом, площадь Si проекции многоугольника выражается формулой (2). Воспользуемся этим для доказательства утверждения, получившего название пространственная теорема Пифагора. Теорема Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра — прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней. Доказательство Рассмотрим тетраэдр ОАВС, в котором ZAOB = ZBOC = ZCOA = 90°. Пусть Sc S^, S^ и S — площади треугольников ОАВ, ОВС, ОСА и АВС, а, р, у — величины двугранных углов с ребрами АВ, ВС, СА, точка D — проекция точки О на плоскость грани АВС (рис. 79). Поскольку а < 90°, Р < 90°, у < 90° (докажите это), то точка D лежит внутри треугольника АВС. Треугольники ОАВ, ОВС и ОСА являются проекциями треугольника АВС, поэтому S^ = S cos а, S^ = S cos р, Sb = S cos у. Треугольники ABD, BCD и CAD являются проекциями треугольников ОАВ, ОВС и ОСА на плос- О 66 М иогогранники кость грани АВС, причем сумма площадей этих треугольников равна площади S треугольника АВС. Таким образом, (S cos а) • cos а + (S cos Р) • cos Р + (S cos у) • cos у = = S (cos^ а + cos^ Р + cos^ у) = S. Следовательно, cos^ а + cos^ р + cos^ у= 1. Поэтому Sc^ + Sj + S/ = (cos^ a + cos^ p + cos^ y) = S^. Теорема доказана. Задачи 218 Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани — прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники. 219 В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45®. Найдите боковое ребро параллелепипеда. 220 Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда. 221 Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания. 222 Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы. 223 Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 л/2 см^. Найдите ребро куба и его диагональ. 224 Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4 Л см. 225 Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания. 226 В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота равна 4 см. 227 Основание призмы — правильный треугольник АВС. Боковое ребро AAi образует равные углы со сторонами основания АС и АВ. Докажите, что: а) ВС lAA^; б) CCiB,B — прямоугольник. 3* 67 М иогогри иники 228 Основанием наклонной призмы АВСА^В^С^ является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС = АВ = 13 см, ВС = 10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины Ai является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани CCiB^B. 229 В правильной л-угольной призме сторона основания равна а и высота равна Л. Вьгчислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) л = 3, а = 10 см, Л = 15 см; б) л = 4, а = 12 дм, Л = 8 дм; в) л = 6, о = 23 см, Л = 5 дм; г) л = 5, а = 0,4 м, Л = 10 см. 230 Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см^. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 231 Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений* равна 130 см^. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. 232 Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол ф, а с одной из боковых граней — угол а. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 233 Основанием прямой призмы АВСА,В,С, является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ, проведено сечение BB^D^D, перпендикулярное к плоскости грани AAiCiC. Найдите площадь сечения, если АА, = 10 см, AD = 27 см, DC = 12 см. 234 Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны 20 см и 21 см, а боковое ребро равно 42 см. 235 Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом ф. Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол 0 с плоскостью основания. Найдите отнощение площади боковой поверхности призмы к площади сечения. 236 Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения** на боковое ребро. 237 Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Сечение параллелепипеда называется диагональным, если оно содержит какую-нибудь его диагональ и боковое ребро. ‘Перпендикулярным сечением наклонной призмы называется ее сечение плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей их. 68 V/ ногогрании к и 238 В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 2 Пирамида 32 Пирамида Рассмотрим многоугольник А,А2 ... А„ и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершинами многоугольника, получим п треугольников (рис. 80): РА.Аг. -РАгАз, ..., РА„А,. (1) Многогранник, составленный из п-уголь-ника AjAg ... А„ и п треугольников (1), называется пирамидой. Многоугольник AjAg ... А„ называется основанием, а треугольники (1) — боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки PAj, РАг, ..., РА„ — ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А,А2 ... А„ и вершиной Р обозначают так: РА,А2 ... А„ — и называют л-угольной пирамидой. На рисунке 81 изображены четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида — это тетраэдр. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 80 отрезок PH является высотой пирамиды. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды — сумма площадей ее боковых граней. Очевидно, = 8бок + 33 Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания*, является ее высотой (рис. 82). Пирамида. Многоугольник AiA2A3...A„ — основание пирамиды. Треугольники А1РА2, А2РА2, .... A„PAi— боко- вые грани, пирамиды Рис. 80 Р — вершина Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него окружности. 69 М ногогранники Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Рассмотрим правильную пирамиду РА,А2... А„ (см. рис. 82). Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а другим — радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро РЛ, — гипотенуза треугольника ОРА^, в котором ОР = h, OAi = R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно л/Л^ R\ поэтому РА,=РА, = ... = РА„. Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды РА1А2 ... равны друг другу, поэтому боковые грани — равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, так как Л1Л2 ... А„ — правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. На рисунке 82 отрезок РЕ — одна из апофем. Ясно, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу. Докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды. Теорема Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Доказательство Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, основания которых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель id за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т. е. его периметр. Теорема доказана. 70 Мн огогра н пики 34 Усеченная пирашща Возьмем произвольную пирамиду Л4,А2 ... А„ и проведем секущую плоскость Р, параллельную плоскости а основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В,, Bj, ..., В„ (рис. 83). Плоскость Р разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются л-угольники AjAj ... А„ и BjBj ... В„ (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и п четырехугольников A,A2B2Bj, А2А3В3В2, ..., А„А^Вф„ (боковые грани), называется усеченной пирамидой. Отрезки А,В,, А2В2, ..., А„В„ называются боковыми ребрами усеченной пирамиды. Усеченную пирамиду с основаниями А,Аз... А„ и BiB2...B„ обозначают так; А,А2...А„В,В2...В„. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 83 отрезок СН является высотой усеченной пирамиды. Докажем, что боковые грани усеченной пирамиды — трапеции. Рассмотрим, например, боковую грань A,A2B2Bi (см. рис. 83). Стороны А1А2 и В,В2 параллельны, поскольку принадлежат прямым, по которым плоскость РА1А2 пересекается с параллельными плоскостями а и р. Две другие стороны AjB, и А2В2 этой грани не параллельны — их продолжения пересекаются в точке Р. Поэтому данная грань — трапеция. Аналогично можно доказать, что и остальные боковые грани — трапеции. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники, а боковые грани — равнобедренные трапеции (докажите это). Высоты этих трапеций называются апофемами. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Теорема Рис. 83 Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Докажите эту теорему самостоятельно. Л 71 л/ н огогра нники Задачи 239 Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см. 240 Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см^. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 241 Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 242 Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды. 243 Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 244 Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, а катет АС равен 21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 245 Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды. 246 Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание, б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см. 247 Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды; б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины пирамиды. 72 Многограи ники 248 Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 249 В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания. 250 Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды. 251 Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС = 10 см. 252 Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник АВС, в котором стороны АВ и АС равны, ВС = 6 см, высота АН равна 9 см. Известно также, что DA = DB = DC = 13 см. Найдите высоту пирамиды. 253 Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4 V6 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту. 254 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды. 255 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен ф. Найдите высоту этой пирамиды. 256 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна т, а плоский угол при вершине равен а. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро пирамиды; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды. 257 Высота правильной треугольной пирамиды равна Л, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды. 258 Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60° с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см. 259 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найдите боковое ребро пирамиды. 73 .Многогранники 260 В правильной треугольной пирамиде DABC через боковое ребро DC и высоту DO пирамиды проведена плоскость а. Докажите, что: а) ребро АВ перпендикулярно к плоскости а; б) перпендикуляр, проведенный из вершины С к апофеме грани ADB, является перпендикуляром к плоскости ADB. 261 Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны. 262 Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани. 263 В правильной пирамиде MABCD точки К, L п N лежат соответственно на ребрах ВС, МС и AD, причем KN || ВА, KL || ВМ. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLN и определите вид сечения, б) Докажите, что плоскость KLN параллельна плоскости АМВ. 264 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания. 265 В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30° к плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения, если сторона основания пирамиды равна 12 см. 266 Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру. 267 Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части. 268 Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна 4 дм, а площадь ее полной поверхности равна 186 дм^. Найдите высоту усеченной пирамиды. 269 Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды. 270 Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см соответственно. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскостям оснований и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. 74 Многогранники 3 Правильные многогранники 35 Симметрия в пространстве В планиметрии мы рассматривали фигуры, симметричные относительно точки и относительно прямой. В стереометрии рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости. Точки А и А, называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О — середина отрезка АА, (рис. 84, а). Точка О считается симметричной самой себе. Точки А и А, называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА, и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 84, б). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Точки А и Aj называются симметричными относительно плоскости а (плоскость симметрии), если плоскость а проходит через середину отрезка AAj и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 84, в). Каждая точка плоскости а считается симметричной самой себе. Введем понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость симметрии), то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. На рисунках 85, о, б, в показаны центр О, ось а и плоскость а симметрии прямоугольного парал- 75 М ногогранники лелепипеда. Параллелепипед, не являющийся прямоугольным, но являющийся прямой призмой, имеет плоскость (или плоскости, если его основание — ромб), ось и центр симметрии. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей, плоскостей симметрии). Например, куб имеет только один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии. Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии. Простейшими из таких фигур являются прямая и плоскость. Любая точка плоскости является ее центром симметрии. Любая прямая (плоскость), перпендикулярная к данной плоскости, является ее осью (плоскостью) симметрии. С другой стороны, существуют фигуры, не имеющие центров, осей или плоскостей симметрии. Например, параллелепипед, не являющийся прямой призмой, не имеет оси симметрии, но имеет центр симметрии и может иметь (подумайте, в каком случае) плоскость симметрии; призма и пирамида в общем случае не имеют ни плоскости, ни оси, ни центра симметрии (плоскость, ось или центр симметрии у этих многогранников могут быть лишь в некоторых частных случаях). С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Так, многие здания симметричны относительно плоскости, например главное здание Московского государственного университета (рис. 86), некоторые виды деталей имеют ось симметрии. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии (рис. 87). В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника. Рис. 86 1 1 ч Рис. 87 36 Понятие правильного многогранника Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб. Все его грани — равные квадраты, и к каждой вершине сходятся три ребра. Очевидно, все ребра правильного многогранника равны друг другу. Можно доказать, что рав- 76 М погогра нники ны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром. Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще п-уголь-ники при л > 6. в самом деле, угол правильного л-уголь-ника при п > 6 не меньше 120° (объясните почему). С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани — правильные п-угольники при л > 6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120° • 3 = 360°. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360° (п. 27). По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники: Правильный тетраэдр* (рис. 88) составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Правильный октаэдр (рис. 89) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. Правильный икосаэдр (рис. 90) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°. Правильный тетраэдр Рис. 88 Правильный октаэдр Рис. 89 Правильный икосаэдр Рис. 90 Мы различаем правильный тетраэдр и правильную треугольную пирамиду. В отличие от правильного тетраэдра, все ребра которого равны, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но они могут быть не равны ребрам основания пирамиды. 77 М ногогранни к и Куб (рис. 91) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Правильный додекаэдр (рис. 92) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет. ▼ Замечания 1. Число граней f, ребер k и вершин е каждого из правильных многогранников можно найти с помощью теоремы Эйлера. В самом деле, пусть п — число ребер каждой грани, т — число ребер, сходящихся к каждой вершине. Поскольку каждое ребро принадлежит двум граням, то nf = 2k. Кроме того, те = 2k (так как каждое ребро содержит две вершины) и по теореме Эйлера f + е - k = 2. Из этих трех равенств находим: 4т и 2тп . 4л f 2т 2л тп 2т 2л тп 2т 2л тп Таким образом, у правильного тетраэдра (ге = 3, т = 3): /=4, k = 6, е = 4; у правильного октаэдра (п = 3, т = 4): / = 8, fc = 12, е = 6; у правильного икосаэдра (п = 3, т = Ъу. f = 20, k = 30, е= 12; у куба (п = 4, т = 3): f - 6, k = 12, е = 8; у правильного додекаэдра (п = 5, т = 3): /=12, А = 30, е = 20. 2. Мы доказали, что существует не более пяти видов правильных многогранников, но не доказали, что каждый из указанных многогранников действительно существует. Существование правильного тетраэдра правильной треугольной пирамиды со сто- .. Ve ронои основания, равной а, и высотой, равной -—а и О куба очевидно. Центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра (докажите это), поэтому существование правильного октаэдра не вызывает сомнений. Правильный икосаэдр составлен из двух правильных пятиугольных пирамид и многогранника. Правильный додекаэдр Рис. 92 78 Многогранники отдаленно напоминающего пятиугольную призму. Высоты пирамид и этого многогранника легко выражаются через ребро а (как?), поэтому существование правильного икосаэдра также не вызывает сомнений. Наконец, центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра (убедитесь в этом), поэтому правильный додекаэдр тоже существует. Отметим, что в существовании всех пяти правильных многогранников можно убедиться воочию, если склеить их из разверток (задания 271—275). Л 37 Элементы симметрии правильных многогранников Рассмотрим элементы симметрии правильных многогранников. Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость а, проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру CD правильного тетраэдра ABCD, является плоскостью симметрии (рис. 93). Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии. Куб имеет один центр симметрии — точку пересечения его диагоналей. Прямые а и Ь, проходящие соответственно через центры противоположных граней и середины двух противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются его осями симметрии (рис. 94). Куб имеет девять осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии куба является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Куб имеет девять плоскостей симметрии. Правильный октаэдр, правильный икосаэдр и правильный додекаэдр имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии. Попробуйте подсчитать их число. Практические задания 271 Перерисуйте развертку правильного тетраэдра (рис. 95) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку (сделав необходимые припуски для склеивания) и склейте из нее тетраэдр. 272 Перерисуйте развертку куба (рис. 96) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее куб. Рис. 96 79 Многогранники 273 Перерисуйте развертку правильного октаэдра (рис. 97) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее октаэдр. 274 Перерисуйте развертку правильного додекаэдра (рис. 98) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее додекаэдр. 275 Перерисуйте развертку правильного икосаэдра (рис. 99) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее икосаэдр. Вопросы и задачи 276 Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед; б) правильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок? 277 Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) правильный треугольник; в) куб? 278 Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильная четырехугольная призма, отличная от куба; б) правильная четырехугольная пирамида; в) правильная треугольная пирамида? 279 Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец. 280 Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней. 281 В кубе ABCDAiBiC^Di из вершины П, проведены диагонали граней DiA, Dfi и DiBi и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник Ь^АВ^С — правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра. 282 Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 89). 283 В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани АВС: а) параллельно грани BDC; б) перпендикулярно к ребру AD. 284 От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате? 285 Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу. 286 В правильном тетраэдре Л — высота, т — ребро, ал — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) т через Л; б) п через т. 80 л 1 ногогра ниики 287 Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями. Вопросы к главе III 1 Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник? 2 Призма имеет п граней. Какой многоугольник лежит в ее основании? 3 Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания? 4 В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте? 5 Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу? 6 Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы? 7 Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию? 8 Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм? 9 Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями являются правильные треугольники? 10 Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида? 11 Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию? 12 Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками? 13 Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркасную модель правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см? 14 На какие многогранники рассекается треугольная призма плоскостью, проходящей через вершину верхнего основания и противолежащую ей сторону нижнего основания? 288 289 290 291 Дополнительные задачи Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3. Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d^, где d — диагональ куба. Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной I, и одной из сторон основания равен (р. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол ф, а с одной из сторон основания — угол 6. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 81 -V/ ногогра и и и ки 292 В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы. 293 В правильной четырехугольной призме АВСОА^В^СуО^ диагонали B,D и D^B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А,С и B^D призмы равен 60°. 294 Правильная четырехугольная призма пересечена плоскостью, содержащей две ее диагонали. Площадь сечения равна Sq, а сторона основания а. Вычислите площадь боковой поверхности призмы. 295 Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA^BiCiDi является ромб. Боковое ребро СС, составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: а) CCi J. BD; б) BBiD^D — прямоугольник; в) BBLAAfii', г) AAfi^ L BB^Di. 296 Высота правильной треугольной призмы равна Л. Плоскость а, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол ф. Найдите площадь сечения призмы плоскостью а. 297 Основанием треугольной призмы ABCA^Bfi^ является правильный треугольник АВС, BD — высота этого треугольника, а вершина проектируется в его центр. Докажите, что: а) A^BD J. АА,С,; б) АА,0 1 ВВ^С; в) грань ВВ^С^С — прямоугольник. 298 Основание параллелепипеда с боковым ребром Ь — квадрат со стороной а. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности. 299 Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна т, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. 300 В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна а, боковое ребро равно Ь. 301 Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины В до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды. 302 Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды. 303 Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°, Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее высота равна 12 см. 304 В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой 82 Л/иогограи ники гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре. 305 В правильной четырехугольной пирамиде высота равна Л, плоский угол при вершине равен а. Найдите площадь боковой поверхности. 306 Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол (р с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 307 В правильной пирамиде MABCD AM = Ь, AD = а. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру МА, и найдите площадь сечения, б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости а. 308 Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см, проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты боковых граней пирамиды, проведенные из ее вершины. 309 Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты. 310 В пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости АВС. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если AS = АС = = 25 см, ВС = 40 см, DA = 8 см. 311 Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС = 13 см, АВ = 15 см, СВ = 14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды, б) Докажите, что основание перпендикуляра, проведенного из вершины А к плоскости грани BDC, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра. 312 В правильной п-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол ф. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром. 313 Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 314 В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7 : 3. Найдите стороны оснований пирамиды. 315 Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба. 316 Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра. 317 Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра. 318 Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°. 319 Сколько плоскостей симметрии, проходящих через данную вершину, имеет правильный тетраэдр? 83 Многогранники Глава IV Векторы в пространстве Понятие вектора в пространстве 38 Понятие вектора В курсе планиметрии мы познакомились с векторами на плоскости и действиями над ними. Основные понятия для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления. На рисунке 100, а изображены ненулевые векторы AS и CD и нулевой вектор ТТ, а на рисунке 100, б — ненулевые векторы а, Ь и с, имеющие общее начало. Нулевой вектор обозначается также символом 0. Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ (вектора а) обозначается так: I АВ| (1а|). Длина нулевого вектора считается равной нулю: |0| = 0. Два ненулевых вектора называются кол-линеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора АВ и CD коллинеарны и если при этом лучи АВ и CD со- направлены, то векторы АВ и CD называются со-направленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы АВ и CD называются противоположно направленными. Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись а\\Ь обозначает, что векторы а иЬ сонаправлены. В 84 Векторы « пространстве а запись ? 11 d — что векторы с и 3 противоположно направлены. На рисунке 101 изображен параллелепипед. На этом рисунке АМ\\ DK, ADtt ЕК, AB]IdC; векторы AD и AM не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, так как они не коллинеарны. Изучая векторы на плоскости, мы отмечали, что многие физические величины, например сила, перемещение, скорость, являются векторными величинами. При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин. Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля. На рисунке 102, а изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда. Электрический ток, т. е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции. На рисунке 102, б изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током. 39 Равенство векторов Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. На рисунке 101 AE = DK, так как АЕ\] DK и |А£|=|П^|, а АВфБс, так как АВ ti DC. Если точка А — начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Нетрудно доказать, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. В самом деле, пусть а — данный вектор, М — данная точка (рис. 103). Проведем через начало и конец вектора а и точку М плоскость и в этой плоскости построим вектор MN = а. Очевидно, что вектор MN искомый. Из построения ясно также, что MN — единственный вектор с началом М, равный вектору а. N К В Ч ч I а) а о S 3 4 3 §■ 3-*- б) Рис. 102 м- Рис. 103 85 Векторы в пространстве 320 321 Вопросы и задачи В тетраэдре ABCD точки М, N и К — середины ребер АС, ВС и CD соответственно, АВ = 3 см, ВС = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов: а) АВ, ВС, BD, NM, BN, NK; б) СВ, ВА, DB, NC, KN. Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA^BiCiDi имеют длины: AD = 8 см, АВ = 9 см и АА, = 12 см. Найдите длины векторов: а) СС^, СВ, CD; D 322 Рис. 105 323 324 325 326 б) DC^, DB, DB,. На рисунке 104 изображен параллелепипед ABCDAiBiCiDi. Точки М тл. К — середины ребер Bfii и A,Di. Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных векторов; б) противоположно направленных векторов; в) равных векторов. На рисунке 105 изображен тетраэдр ABCD, ребра которого равны. Точки М, N, Р и Q — середины сторон АВ, AD, DC, ВС. а) Выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом рисунке, б) Определите вид четырехугольника MNPQ. Справедливо ли утверждение: а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой; б) два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены; в) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены? Известно, что AAj = ВВ,. Как расположены по отношению друг к другу: а) прямые АВ и AjBj; б) прямая АВ и плоскость, проходящая через точки А, и В,; в) плоскости, одна из которых проходит через точки А и В, а другая проходит через точки Aj и Bi? На рисунке 104 изображен параллелепипед, точки М и К — середины ребер BjCi и AiDi- Назовите вектор, который получится, если отложить: а) от точки С вектор, равный DD^; б) от точки D вектор, равный СМ; в) от точки Aj вектор, равный АС; г) от точки Cj вектор, равный СВ; д) от точки М вектор, равный КА^. 86 Векторы в пространстве 2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число 40 Сложение и вычитание векторов Введем правило сложения двух произвольных векторов а и Ь. Отложим от какой-нибудь точки А вектор АВ, равный а (рис. 106). Затем от точки В отложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС называется суммой векторов а и Ь: АС = а + Ь. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок 106, а поясняет это название. Отметим, что по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении и не получается треугольника. Рисунки 106, б, в иллюстрируют сложение коллинеарных векторов. Точно так же, как в планиметрии, доказывается, что сумма о -I- Ь не зависит от выбора точки А, от которой при сложении откладывается вектор а. Иными словами, если при сложении векторов а и Ь по правилу треугольника точку А заменить другой точкой Aj, то вектор АС заменится равным ему вектором AjCj (рис. 107). Докажите это утверждение самостоятельно. Правило треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек А, В и С имеет место равенство АВ -ь ВС = АС. Для сложения двух неколлинеарных векторов можно пользоваться также правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии. Это правило пояснено на рисунке 108. Свойства сложения векторов, изученные в планиметрии, имеют место и для векторов в пространстве. Напомним их. Для любых векторов а,Ьн с справедливы равенства: а + Ь = Ь + а (переместительный закон); {а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сочетательный закон). Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они В Ь V а + Ь б) С -V— ~a в) Рис. 106 87 Векторы в пространстве противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Очевидно, вектор ВА является противоположным вектору АВ (рис. 109). Разностью векторов а и Ь называется такой вектор, сумма которого с вектором Ь равна вектору а. Разность а - Ь векторов анЬ можно найти по формуле а - Ь = а + {-Ь), (1) Правило параллелограмма сложения двух некол-линеарных векторов Рис. 108 где {-Ь) — вектор, противоположный вектору Ь. На рисунках 110, а, б представлены два способа построения разности двух данных векторов а и Ь. Доказательства законов сложения и равенства (1) для векторов в пространстве ничем не отличаются от доказательств для векторов на плоскости. 41 Сумма нескольких векторов Сложение нескольких векторов в пространстве выполняется так же, как и на плоскости: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма — с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. На рисунке 111 показано построение суммы трех векторов а, б и с: от произвольной точки О отложен вектор ОА = а, затем от точки А отложен вектор АВ = Ь, и, наконец, от точки В отложен вектор ВС = с. В результате получается вектор ОС, равный а + Ь + с. Аналогично можно построить сумму любого числа векторов. На рисунке 112 построена сумма ОЕ пяти векторов: а, Ь, с, d и е. Это правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника. Заметим, однако, что, в отличие от случая векторов на плоскости, «многоугольник», который получается при построении суммы векторов в пространстве, может оказаться пространственным, т. е. таким, у которого не все вершины лежат в одной плоскости. Таковым является, например, «четырехугольник* ОАВС на рисунке 111, с помощью которого построен вектор ОС. АВ и ВА — противоположные векторы Рис. 109 ОА = а, АВ = -Ь ОВ = а +(-Ь) = а-Ь а) ВА = а-Ь Рис. 110 88 Векторы в пространстве Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А^, Ag, .... А„ — произвольные точки, то Это правило проиллюстрировано на рисунке 113 для п = 7. Отметим, что если точки Л, и А„, т. е. начало первого вектора и конец последнего, совпадают, то сумма векторов равна нулевому вектору. 42 Умножение вектора на число Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор Ъ, длина которого равна |/г|‘|а|, причем векторы а и Ь сонаправлены при /г > О и противоположно направлены при fe < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение вектора а на число k обозначается так: ka. Из определения произведения вектора на число следует, что для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует также, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. Напомним основные свойства умножения вектора на число, известные нам для векторов на плоскости. Они имеют место и для векторов в пространстве. Для любых векторов а, Ь и любых чисел к, I справедливы равенства: {kl) а = k (la) (сочетательный закон); k (а + Ь) = ka + kb (первый распределительный закон); (k + I) а = ka + 1а (второй распределительный закон). Отметим, что (-1) а является вектором, противоположным вектору а, т. е. (-1)а = -а. Действительно, длины векторов (-1) а и а равны: |(-1)а| = =|-1| • I а|=| а|. Кроме того, если вектор а ненулевой, то векторы (-1) а и а противоположно направлены. Точно так же, как в планиметрии, можно доказать, что если векторы а и Ь коллинеарны и а ^ 0, то существует число k такое, что Ь = ka. Рис. 111 Рис. 113 89 Векторы в пространстве Задачи 327 На рисунке 104 изображен параллелепипед ABCDA^BfiiD^. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершингши параллелепипеда, равный сумме векторов: а) АВ + А^Ь^\ б) AB + ADi; в) DA + В, В; г) BZ), + DB; д) ВВ, + ВС. 328 Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) АВ + BD = АС -t- СВ; б) АВ + ВС = DC + AD; в) DC + BD = ^+ ВА. 329 Назовите все векторы, образованные ребрами параллелепипеда ABCDAiBiC^Dj, которые: а) противоположны вектору СВ; б) противоположны вектору В, А; в) равны вектору -ВС; г) равны векто-ру -A^B^. 330 Нарисуйте параллелепипед ABCBA,B,CiBi и обозначьте векторы CjB,, BAj, АВ соответственно через а, Ъ, с. Изобразите на рисунке векторы: а) а-Ь\ б) а - с; в) Ь-а\ г) с-Ь\ д) с-а. 331 Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) ОВ - ОА = ОС - OD; б) ОВ - ОС = DA. 332 На рисунке 104 изображен параллелепипед ABCDA^ByC^D^. Представьте векторы АВ; и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками. 333 В пространстве даны четыре точки А, В, С и В. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов: а) (АВ + СА + DC) + (ВС + CD); б) (AB-AQ + DC. 334 Дан прямоугольный параллелепипед KLMNKiLiM^Ni. Докажите, что: а)\МК + ММ,\ = \МК - ММ^\; б) \К^^~ =|ML-t-MM,|; в) 335 Упростите выражение: а) АВ + MN + ВС + СА + PQ + NM; б) FK + +MQ + КР+ AM + ^ + PF; в) КМ + DF + АС + FK +CD + СА + н-МР, г) AB + BA+CD + MN+DC + NM. 336 Даны точки А, В, С и В. Представьте вектор АВ в виде алгебраической суммы следующих векторов: а) АС, ВС, ВВ; б) ВА, ВС, СВ; в) DA, СВ, ВС. 90 Векторы в пространстве 337 Упростите выражение: а) ОР - ЕР + КЬ - КА; б) AD + МР + ЕК --Ер- MD; в) АС - ВС- РМ - АР + ВМ. 338 Дан параллелепипед ABCDAiBfi^D^. Докажите, что ОА + OCj = = ОС + OAj, где О — произвольная точка пространства. 339 Дан параллелепипед ABCDAiBfiiD^. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что: a)jDC + Z)j Aj + CZ)j + X + -^1^1 ~ I)B\ 6) DA + x + D^B + AD^ + BA = DC^ 340 Дана треугольная призма ABCA^Bfii. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) АА, + + В,С- X = ВА; б) АС, - ВВ, + J = АВ; в) АВ, + х = АС - х + ВС^. 341 Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция ABCD. Точка О — середина средней линии трапеции. Докажите, что РА + РВ + PC + PD = 4РО. 342 Точка Р — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами. 343 Известно, что АО = - АВ. Докажите, что точки А и В симметричны 2 относительно точки О. 344 Диагонали куба ABCDA^Bfi^Di пересекаются в точке О. Найдите число k такое, что: а) АВ = k • CD; б) АС, = k ■ АО; в) ОВ, = k • В,В. 345 Точки Е и F — середины оснований АВ и ВС параллелограмма ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите: а) вектор ОА - ОС через вектор ЕЕ; б) вектор ОА - ОЕ через вектор DC. 346 Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор ОМ - ON через векторы AD и ВС. 347 Упростите: а) 2{т + п)-Ъ{4тп - ii) + т; б) m-Z{ii-2m + p) + + 5(p-4m). 348 Докажите, что в параллелепипеде ABCDA,B,C,B, АС,-и В,В = 2ВС. 349 Три точки А, В и М удовлетворяют условию AM - X. • МВ, где X ^ -1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для лю- QA + X • ОВ бой точки О пространства выполняется равенство ОМ = 1 + X 91 Векторы в пространстве 350 351 352 353 354 Решение Из равенства AM = X ■ МВ следует, что векторы AM и МВ кол-линеарны, поэтому прямые AM и МВ либо параллельны, либо совпадают. Так как эти прямые имеют общую точку М, то они совпадают, и, следовательно, точки А, В и М лежат на одной прямой. Поскольку AM = ОМ-ОА, МВ = ОВ-ОМ, то из равенства AM = X • МВ имеем ОМ - ОА = X {ОВ - ОМ), или (1 + А.) ОМ = ОА + X • ОВ. Отсюда, разделив на 1 -I- Я., получаем искомое равенство. Известно, что р = а + Ь + с, причем векторы а, В и с попарно не сонаправлены. Докажите, что |р|<|а|+|&|-(-|с|. Векторы а и с, а также бис коллинеарны. Докажите, что коллине-арны векторы; а) а + В и с; б) а - б и с; в) а -I- 36 и с; г) -а + 26 и с. Векторы а + б и а - Ь коллинеарны. Докажите, что векторы а и В коллинеарны. Векторы а + 2Ь VI а - Zb коллинеарны. Докажите, что векторы а и б коллинеарны. Докажите, что если векторы а + Ь и а - В не коллинеарны, то не коллинеарны и векторы: а) а и б; б) а + 2Ь и 2а - Ь. § Компланарные векторы 43 Компланарные векторы Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. Ясно, что любые два вектора компланарны; три вектора, среди которых имеются два коллинеар-ных, также компланарны (объясните почему), а три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке 114 изображен параллелепипед. Векторы ВВ,, OD и ОЕ компланарны, так как если отложить от точки О вектор, равный ВВ,, то получится вектор ОС, а векторы ОС, OD и ОЕ лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы ОА, 92 векторы в пространстве OB и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Рассмотрим признак компланарности трех векторов. Если вектор с можно разложить по векторам а и Ь, г. е. представить в виде с = ха + уЪ, (1) где хну — некоторые числа, то векторы а, Ь к с компланарны. Докажем этот признак. Будем считать, что векторы а и Ь не коллинеарны (если векторы а и Ь коллинеарны, то компланарность векторов а, Ь н с очевидна). Отложим от произвольной точки О векторы ОА=а и ОВ = Ь (рис. 115). Векторы ОА и ОВ лежат в плоскости ОАВ. Очевидно, в этой же плоскости лежат векторы ОА) = X • ОА и OB^ = у • ОВ, а следовательно, и их сумма — вектор ОС = х • ОА + у • ОВ, равный вектору с. Итак, векторы ОА = а, О В = Ь н ОС = с лежат в одной плоскости, т. е. векторы а, Ьнс компланарны. Справедливо и обратное утверждение: если векторы а, Ь н с компланарны, а векторы а и 5 не коллинеарны, то вектор с можно разложить по векторам а и Ь (т. е. представить в виде (1)), причем коэффициенты разложения (т. е. числа х, у в формуле (1)) определяются единственным образом. Пользуясь теоремой о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам, известной из курса планиметрии, докажите это утверждение самостоятельно. 44 Правило параллелепипеда Для сложения трех некомпланарных векторов можно пользоваться так называемым правилом параллелепипеда. Опишем его. Пусть а, Ь, с — некомпланарные векторы. Отложим от произвольной точки О пространства векторы ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были его ребрами (см. рис. 114). Тогда диагональ OD этого параллелепипеда изображает сумму векторов а, Ь нс: OD = = а + Ь + с. Действительно, OD = ОЕ + ED = {ОА + АЕ) + +ED — ОА -ь ОВ + ОС — а + Ь + с. 93 Векторы в пространстве 45 Разложеш1е вектора по тр>ем неко№1ланарньш векторам Если вектор р представлен в виде р = ха + уЬ + гс, (2) где X, у и г — некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а,Ь и с. Числа х, у, г называются коэффициентами разложения. Докажем теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Теорема 1C» Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство Пусть а, Ь и с — данные некомпланарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор р можно представить в виде (2). Отметим произвольную точку О и отложим от этой точки векторы (рис. 116): ОА=а, ОВ = Ь, 6С = с, 6р = р. (3) Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОС, и обозначим через Д, точку пересечения этой прямой с плоскостью АОВ (если Р е ОС, то в качестве точки Р, возьмем точку О). Затем через точку Pi проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через Рг точку пересечения этой прямой с прямой ОА (если Р, е ОВ, то в качестве точки Pj возьмем точку О). По правилу многоугольника ОР = ОРг ч- Р^Р, + Векторы OPg и ОА, P^Pi и ОВ, Р,Р и ОС кол-линеарны, поэтому существуют числа х, у, z такие, что ОРг = X • О А, PjP, = I/ • ОВ, Р, Р = Z • ОС. Подставив эти выражения в равенство (4), получим: 6Р=Х'бА^у6в + г-6С. Отсюда, учитывая равенства (3), приходим к равенству (2). 94 Векторы в пространстве Докажем теперь, что коэффициенты разложения в формуле (2) определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением (2) имеется другое разложение вектора р: р= х^а -I- Pib + 2,с. Вычитая это равенство из равенства (2) и используя свойства действий над векторами, получаем: 6 = (x-Xi)a + iy-yi)b + (,z- 2,) с. Это равенство выполняется только тогда, когда X - Xi = О, у - У1 = О, г - Zi = 0. В самом деле, если предположить, например, что 2 - 2, О, то из этого равенства находим: с = - а - ^^^Ь, откуда следует, ^ ^ ^ г-2, 2-2, что векторы а,Ь и с компланарны. Но это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение неверно, и X = Xi, у = у1, Z = 2,. Следовательно, коэффициенты разложения (2) определяются единственным образом. Теорема доказана. Если векторы р, а и Ь компланарны, то 2 = О (объясните почему), и вектор р оказывается фактически разложенным по двум векторам а и Ь. Вопросы и .задачи 355 Дан параллелепипед ABCDA,S,CiI),. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) АА,, СС,, ВВ,; б) АВ, AD, АА,; в) В^В, АС, DD^ \ г) AD, CQ, А,"^? 356 Точки Е к F — середины ребер АС и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = ВА + DC. Компланарны ли векторы FE, ВА и ВС? 357 Даны параллелограммы ABCD и АВ,С,В,. Докажите, что векторы ВВ,, СС, и ВВ, компланарны. 358 Дан параллелепипед ABCDA^BfiiD^. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) АВ -I- АВ + АА,; б) ВА + ВС + ВВ,; в) А, В, + С, В, + + ВВ,; г) А, А + А,В, + АВ; д) В, А, ВВ, -I- ВС. 359 Дан параллелепипед АВСВА,В,С,В,. а) Разложите вектор ВВ, по векторам ВА, ВС и ВВ,. б) Разложите вектор В,В, по векторам А,А, А,В и А,В,. 95 Векторы в пространстве 360 в вершинах A^, В и D куба ABCDA^Bfi^Di, ребро которого равно а, помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую напряженность* создаваемого ими электрического поля в точках А и Cl через вектор АС,. б) Найдите абсолютную величину результирующей напряженности в точках С, В,, в центре грани A,B|CjI)i и в центре куба. 361 Диагонали параллелепипеда АВСВА,В,С,£), пересекаются в точке О. Разложите векторы CD и В,О по векторам АА,, АВ и AD. 362 Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторам а = DA, Ь = АВ и с = АС. Решение Так как точка К — середина отрезка ВС, то DK = i (DB -i- DC). Но DB = DA AB = a + b, DC = DA + AC = a + c. Поэтому DK = -{a + b + a + c) = a + -b + -c. 2 2 2 363 Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите векторы OD и ОМ по векторам а = ОА, Ь - ОВ и с = ОС. 364 Точка К — середина ребра В,С, куба ABCZ)A,B,C,£)i. Разложите вектор АК по векторам о = АВ, В = AD, с = АА, и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно т. 365 Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Точка М — середина АВ, а точка К — середина MD. Разложите векторы ОМ и ОК по векторам а = ОА, Ь = ОВ, с = ОС. 366 Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника АВС, а О — произвольная точка пространства, то ОМ = I (ОА + ОВ + ОС). (5) * Если в точке О находится точечный заряд q, то напряженность Е создаваемого им электрического поля в точке М выражается • ОМ, где коэффициент k зависит от выбора формулой Е = ОМ^ системы единиц. 96 Векторы а пространстве Решение По теореме о точке пересечения медиан треугольника AM = 2MAj, где АА, — медиана треугольника АВС (рис. 117). Согласно за- О ОАп ОА + 20А| OA + 2QA1 даче 349 ОМ =--------------=---------1 1+2 3 Но ОА, = i (ОВ + ОС) (объясните почему), по- этому ОМ = ОА + ОВ+ ОС С, Рис. 118 367 В тетраэдре ABCD медиана AAj грани АВС делится точкой К так, что АК : АГА, = 3:7. Разложите вектор DK по векторам DA, ВВ, ВС. 368 Точки М и N являются серединами ребер АВ и А,В, параллелепипеда АВСОА^В^С^В^. Разложите, если это возможно, по векторам АВ и АВ вектор: а) АС; б) СМ; в) С,ЛГ; г) А^; д) А^ЛГ; е) AN; ж) МВ. 369 Медианы грани АВС тетраэдра ОАВС пересекаются в точке М. Разложите вектор ОА по векторам ОВ, ОС, ОМ. 370 Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите по векторам а = ВА, В = ВВ, с = DC вектор: а) Ш; б) DK; в) AM; г) Л^. 371 В тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной А. 372 Докажите, что диагональ АС, параллелепипеда АВСВА,В,С,В, проходит через точки пересечения медиан треугольников А,ВВ и СВ,В, и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 118). Решение Обозначим через М, точку пересечения медиан треугольника А,ВВ. Применив формулу (5) к тетраэдру АА,ВВ, получим AM, = i (АА, +АВ + AD). По правилу параллелепипеда о АА, -I- АВ -I- АВ = АС,, поэтому AM, = i АС,. Отсюда следует, что 3 точка М, принадлежит диагонали АС, и AM, = — АС,. 3 4 л. с. Атанасян 97 Векторы в пространстве Точно так же можно доказать, что точка М2 пересечения медиан треугольника CB^Di принадлежит диагонали ACi и CiMg = -5^ ACj. Из равенств AM, =^АС, и CjMj =^АС, следует, что точки М, и М2 делят диагональ АС, параллелепипеда на три равных отрезка AM,, М,Мг и М2С,. 373 Точки А,, В,, С, и М, — основания перпендикуляров, проведенных к плоскости а из вершин треугольника АВС и из точки М пересечения медиан этого треугольника (рис. 119). Докажите, что ММ, = i (АА,-I-BS, н-СС,). Останется 3 ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника АВС пересекаются с плоскостью а? 374 Отрезки АВ и CD не лежат в одной плоскости, точки М и N — середины этих отрезков. Докажите, что MN < i (АС + BD). 375 В тетраэдре ABCD точки К и М — середины ребер АВ и CD. Докажите, что середины отрезков КС, KD, МА и МВ являются вершинами некоторого параллелограмма. Вопросы к г.таве IV 1 Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарны; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если а Tib, Ь Tic, то а Ti с; е) существуют векторы а, Ь и с такие, что а и с не коллинеарны, Ь и с яе коллинеарны, а а и Ь коллинеарны? 2 Точки А и С симметричны относительно точки О и AD = ВС. Симметричны ли точки В и D относительно точки О? 3 Точки А и С симметричны относительно прямой а и AD = ВС. Могут ли точки В и В быть: а) симметричными относительно прямой а; б) несимметричными относительно прямой а? 4 Точки А и С, а также точки В и В симметричны относительно плоскости а. Могут ли векторы АВ и СВ быть: а) равными; б) неравными? 5 Известно, что векторы а я а + Ь коллинеарны. Коллинеарны ли векторы а яЫ 6 Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых? 98 Векторы в пространстве 7 8 9 10 11 12 13 14 15 376 377 378 379 380 Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов? Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов? Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов? Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов? На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы полу- чить вектор Ь, удовлетворяющий следующим условиям: а) б ТТ а и |Ь|=|о|; б) б U а и |&|=3|а|; в) 5 U а и |Ь|= А|а|; г) б = б? Известно, что АВ = к • CD, причем точки А, В и С не лежат на одной прямой. При каком значении к прямые АС и BD являются: а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые АС и BD быть скрещивающимися? Компланарны ли векторы: а) а, Ь, 2а, ЗЬ; б) а, Ь, а + Ь, а - Ь1 Известно, что векторы а, Ь и с компланарны. Компланарны ли векторы: а) а, 2Ь, Зс; б) а-I-б, а-I-2с, 26 - Зс ? Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости этой окружности. Могут ли векторы ОА, О В и ОС быть компланарными? Дополнительные .задачи Дан параллелепипед MNBQM,iViBiQ,. Докажите, что: а) MQ -(- + =1^, б) PQ + NP, =1^,; в) qTPi +QQi =^- На рисунке 120 изображен правильный октаэдр. Докажите, что: а) AB + FB = DB; б) АС-СР = ЁС; в) АВ +AD + AE = 2AF. ^ Докажите, что разность векторов а и 6 выражается формулой а - Ь = а + (-6). Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов: а) A^-t- BD + DC-, б) AD -н СВ + DC; в) AB+CD + BC + DA. Дан параллелепипед ABCZ)AiB,CiB,. Найдите сумму векторов: а) АВ + В,С, + £>В, + CD; б) B|Cj -f* АВ + BZ)j -I- CBj -н ВС + Aj А; в) ВА + АС + СВ -I- DC + DA. Рис. 120 4* 99 Векторы в пространстве 381 Даны треугольники АВС, AiBiCj и две точки О и Р пространства. Известно, что ОА + ОР = ОА^, ОВ + ОР = ОВ^, ОС + ОР = ОС^. Докажите, что стороны треугольника A,BiC, соответственно равны и параллельны сторонам треугольника АВС. 382 При каких значениях k в равенстве а = kb, где Ь ^ О, векторы а и Ь: а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными? 383 Числа k и I не равны друг другу. Докажите, что если векторы а + kb и а + lb не коллинеарны, то: а) векторы а и Ь не коллинеарны; б) векторы а + k^b н а + l^b не коллинеарны при любых неравных числах /г, и i,. 384 Точки Aj, В, и Cl — середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС, точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что OAi + OBj + OCj = ОА + OB *f ОС. 385 Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство ОМ = i (6а + 6в + 6с + OD). 386 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки М пространства справедливо неравенство МО < i (МА + МВ -I- МС + MD). 387 Три точки М, N н Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит на этой прямой. Выразите вектор ОР через векторы ОМ и ON, если: а) NP = 2MN; б) МР = -1PN; в) МР = k • MN, где k — данное число. 388 Докажите, что векторы р, а и Ь компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны. 389 На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: А,, Аг, Аз и В,, Вг, Вз, причем AjAg = ft • AjAg, В,В2 = ft • В,Вз. Докажите, что прямые AiBi, AgBj, А3В3 параллельны некоторой плоскости. 390 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA^BxC^D^, в котором АВ = АО = а, АА, = 2а. В вершинах В^ и О, помещены заряды q, а в вершине А — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля: а) в точке Aj; б) в точке С; в) в центре грани AiBiCiO,; г) в центре грани АВСО. 391 В тетраэдре ABCD точка К — середина медианы ВВ, грани BCD. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, Ь = АС, с = АО. 100 Векторы о пространстве 392 На трех некомпланарных векторах р - АВ, q = AD, г = ЛА, построен параллелепипед ABCDA^BfiiDi. Разложите по векторам р, q и г векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда. 393 В параллелепипеде ABCDA^BiCiDi точка К — середина ребра СС,. Разложите вектор: а) АК по векторам АВ, AD, АА^; б) DA, по векторам AB^, BCi и CDj. 394 В параллелепипеде ABCDA^B^C^Di диагонали грани Z)CC,Z), пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам АВ, AD и AAj. 395 Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников АВС и AiBjCi совпадают, то прямые АА,, ВВ, и СС, параллельны некоторой плоскости. 396 В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС. Выразите через векторы Ь = АВ, с = АС и d = AD следующие векторы: ВС, CD, DB и DM. 397 В тетраэдре ABCD точки М и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и ВВС. Докажите, что MN || АС, и найдите отношение длин этих отрезков. 398 Треугольники АВС, AjBjC, и А2В2С2 расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А1А2, В1В2, С,С2 соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников АВС, A,BiC, и А2В2С2 лежат на одной прямой. 399 Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра. Глава V Метод координат в пространстве. Движения Координаты точки и координаты вектора 46 Прямоугольная система координат в пространстве Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков*, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве (рис. 121). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Oz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуг. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Oz, Oz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Oyz, Ozx. Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч — отрицательной полуосью. В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через Mi, М2 и М3 точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат (рис. 122). Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОМ,, если Ml — точка положительной полуоси; лг--ОМ,, если М, — точка отрицательной полуоси; х = О, если М, совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки Мз определяется вторая координата (ордината) у точки М, Напомним, что при выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. В данной главе под длиной отрезка подразумевается это число. ^ Метод координат 7 UjC в пространстве. Движения а с помощью точки М3 — третья координата (аппликата) 2 точки М. Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки: М (х; у; г), причем первой указывают абсциссу, второй — ординату, третьей — аппликату. На рисунке 123 изображены шесть точек А (9; 5; 10), В (4; -3; 6), С (9; 0; 0), D (4; 0; 5), Е (0; 3; 0), F (0; 0; -3). Если точка М (д:; у; г) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю. Так, если М е Оху, то аппликата точки М равна нулю: 2 = 0. Аналогично если М е Охг, то у = о, а если М е Оуг, то д: = 0. Если М е Ох, то ордината и аппликата точки М равны нулю: у = 0 и 2 = 0 (например, у точки С на рисунке 123). Если М е Оу, то д: = 0 и 2 = 0; если М € Ог, тох = 0иу = 0. Все три координаты начала координат равны нулю: О (0; 0; 0). 47 Координаты вектора Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуг. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е, вектор, длина которого равна единице. Обозначим через i единичный вектор оси абсцисс, через j — единичный вектор оси ординат и через k — единичный вектор оси аппликат (рис. 124). Векторы Т, j, k назовем координатными векторами. Очевидно, эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде а = xi + yj + zk, причем коэффициенты разложения х, у, г определяются единственным образом. Коэффициенты х, у тл z ь разложении вектора а по координатным векторам называются координатами вектора а в данной системе координат. Координаты вектора а будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: а {jc; у; г}. На рисунке 125 изображен прямоугольный параллелепипед, имеющий следующие измерения: ОА, = 2, ОА2 = 2, ОА3 = 4. Координаты векторов, изображенных на этом рисунке, таковы: а {2; 2; 4}, Ь {2; 2; -1}, А^А {2; 2; 0}, Г {1; 0; 0}, / {0; 1; 0}, k {0; 0; 1}. Рис. 123 103 Метод координат в пространстве. Движения Так как нулевой вектор можно представить в виде О = Oi + О/ + ОА, то все координаты нулевого вектора равны нулю. Далее, координаты равных векторов соответственно равны, т. е. если векторы а {х^, у^, z,} и Ъ {Х2-, У2> равны, то д:, = дга, J/, = 1/2 и Zj = Zg (объясните почему). Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число. 1®. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если а {Xj; у,; zj и Ь {Xg; 1/2! ^2} — данные векторы, то вектор а + Ь имеет координаты {х, + Xg; 1/1 -1- i/j! 2^. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если а {х,; i/i; z,} и Ь {хз; Уа? 22} — данные векторы, то вектор а - Ь имеет координаты (х, - Х2; Ух - У2, 2, - Z2}. 3°. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Другими словами, если а {х; у, г] — данный вектор, а — данное число, то вектор аа имеет координаты {ах; ау, az}. Утверждения 1®—3® доказываются точно так же, как и для векторов на плоскости. Рассмотренные правила позволяют находить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов, координаты которых известны. Рассмотрим пример. Задача Найти координаты вектора р = 2а-^Ь + с, и если а {1; -2; 0}, Ь {0; 3; -6}, с {-2; 3; 1}. Решение По правилу 3® вектор 2а имеет координаты {2; -4; 0}, а вектор — координаты {0; -1; 2}. Так как р = (2а)i б с, то его координаты {х; у; г} можно вычислить по правилу 1®: х = 2 -I- 0 - 2 = 0, р = -4-1-нЗ = -2, z = 0-b2-i-l = 3. Итак, вектор р имеет координаты {0; -2; 3}. 104 Метод координат в пространстве. Движения 48 Связь между координатами векторов и координатами точек Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало — с началом координат, называется радиус-вектором данной точки. Докажем, что координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора. Обозначим координаты данной точки М через (х\ у; г). Пусть М,, Мг, М3 — точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку М перпендикулярно к этим осям (рис. 126). Тогда ОМ = ОМ^ + ОМ 2 + ОМ3. (1) Докажем, что ОМ, = xi. В самом деле, если точка М, лежит на положительной полуоси абсцисс, как на рисунке 126, то х = ОМ^, а векторы ОМ, и i со- направлены. Поэтому ОМ, = ОМ, - i = xi. Если точка М, лежит на отрицательной полуоси абсцисс, то X = -ОМ^, а векторы ОМ, и Г противоположно направлены. Поэтому ОМ, = -ОМ^ - i = хТ. Наконец, если точка М, совпадает с точкой О, то л: = О, ОМ, = 0. Поэтому xi = 0, и снова справедливо равенство ОМ, = хТ. Таким образом, в любом случае ОМ, = xi. Аналогично доказывается, что ОМ 2 = yj, ОМ2 = zk. Подставив эти выражения в равенство (1), получим ОМ = xi + yj + zk. Отсюда следует, что координаты вектора ОМ равны {х; у; z}, т. е. координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора ОМ, что и требовалось доказать. Пользуясь доказанным утверждением, выразим координаты вектора АВ через координаты его начала А и конца В. Пусть точка А имеет координаты (х,; J/,; Z,), а точка В — координаты (Хз; г/г! Вектор АВ равен разности векторов ОВ и ОА (рис. 127), по- 105 Метод координат в пространстве. Движения этому его координаты равны разностям соответствующих координат векторов ОВ и ОА. Но координаты векторов ОВ и ОА совпадают с соответствующими координатами точек В и А: ОВ {Х2; Уг', Z2), ОА {Xi', yi", Zi). Поэтому вектор АВ имеет координаты {Х2 - Xj; 1/2 “ Уй Ч - 2,}. Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. 49 Простейшие задачи в координатах а) Координаты середины отрезка. В системе координат Oxyz отметим точку А с координатами (Xj; ух\ Zi) и точку В с координатами (хг; У2', Z2). Выразим координаты (х; у; z) середины С отрезка АВ через координаты его концов (рис. 128). Так как точка С — середина отрезка АВ, то ОС = ^(дА + ОВ). (2) (Это было доказано в курсе планиметрии.) Координаты векторов ОС, ОА и ОВ равны соответствующим координатам трех точек С, А и В: ОС {х; у; z), ОА {Xj; у,; Zj} и ОВ {xj; У2\ Z2). Записав равенство (2) в координатах, получим x = i(x, -ЬХг), £/ = |(|/, +1/2), 2 = i(Z, -1-32). Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. б) Вычисление длины вектора по его координатам. Докажем, что длина вектора а {х; у; z} вычисляется по формуле |а| = ^х* + у^ + (3) Отложим на осях координат векторы ОА, = = XI, ОА2 = yj, ОА2 = zk и рассмотрим вектор ОА = = ОА, + ОА2 + ОА3 = xi + yj + zk = а (рис. 129). Длина 106 Mf>mod координат в пространстве. Движения вектора ОА выражается через длины векторов ОА,, ОА^ и ОЛ3 следующим образом: “"|=’]|ОА,|2+|ОАз1Ч|ОАз|2. \ОА\ (4) В самом деле, если точка А не лежит на координатных плоскостях (см. рис. 129), то равенство (4) справедливо в силу свойства диагонали прямоугольного параллелепипеда: ОА^ = OAf + ОА| -I- ОА|. Во всех других случаях расположения точки А (точка А лежит на координатной плоскости или на оси координат) равенство (4) также верно (рассмотрите эти случаи самостоятельно). Так как |ОА,|=|a:i|=|л:|, |ОАз|=|1/|, \OAg\=\z\ и ОА = а, то из равенства (4) получаем формулу (3): \а\= +zK в) Расстояние между двумя точками. Рассмотрим две произвольные точки: точку с координатами (лгр i/i; 2,) и точку Мз с координатами {Х2’, 1/2? ^2) (рис. 130). Выразим расстояние d между точками Ml и Мз через их координаты. С этой целью рассмотрим вектор М,Мз- Его координаты равны {хз - Xi; уз - у,; 23 - 2,}. По формуле (3) |М,Мз1=.у/(д:з - Х1У +(у2 -1/,)^ +(гз -2,)^ Но d =|M,M2|. Таким образом, расстояние между точками (^1? Уй Xi) и Мз (дгз; 1/з; 23) вычисляется по формуле ^ = л/(*2 - *1 )* + (У2 - г/i )* + («2 - Z, )^ . Вопросы и задачи 400 Даны точки А (3; -1; 0), В (0; 0; -7), С (2; 0; 0), D (-4; 0; 3), Е (0; -1; 0), F (1; 2; 3), G (0; 5; -7), 0). Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Оху; д) плоскости Oyz; е) плоскости Охг? 401 Найдите координаты проекций точек А (2; -3; 5), В (з; -5; ) и С ("л/З; -^;л/5-л/З ) на: а) координатные плоскости Oxz, Оху и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Oz. 107 Метод координат в пространстве. Движения 402 Даны координаты четырех вершин куба АВСОА^В^С^О^: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А, (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба. 403 Запишите координаты векторов: a = 3i + 2j-5k, b = -bi + 3j-k, с = i - j, d = j + k, m-k -i, n = 0,7k. 404 Даны векторы а {5; -1; 2}, b {-3; -1; 0}, с {0; -1; 0}, d {0; 0; 0}. Запи- -4 шите разложения этих векторов по координатным векторам i, j, k. 405 На рисунке 131 изображен прямоугольный параллелепипед, у которого ОА = 2, ОВ = 3, OOi = 2. Найдите координаты векторов ОА,, ОВ,, OOi, ОС, OCj, ВС^, ACj, О, С в системе координат Oxyz. 406 Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов. 407 Даны векторы а {3; -5; 2), Ь {0; 7; -1}, с||^;0;0|и d {-2,7; 3,1; 0,5}. Найдите координаты векторов: &) а + Ь; б) а + с; в) Ь + с; г) d +Ь; д) d + а; е) а + Ь + с; ж) Ь + а + d; з) а + Ь + с + d. 408 По данным рисунка 132 найдите координаты векторов АС, СВ, АВ, MN, NP, ВМ, ОМ, ОР, если ОА = 4, ОВ = 9, ОС = 2, а М, Ми Р — середины отрезков АС, ОС и СВ. 409 Даны векторы а (5; -1; 1}, Ь {-2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d \- — ',2-‘,--\. Найдите координаты векторов: а) а-Ь; б) Ь-а; 1 3 5 71 в) а- с; г) d - а; д) с -d; е) а-Ь + с\ ж) а - Ь - с; з) 2а; и) - ЗЬ; к) -6с; л)-id; м) 0,2fe. О 410 Даны векторы а {-1; 2; 0}, Ь {0; -5; -2} и с {2; 1; -3}. Найдите координаты векторов р = ЗЬ — 2а + с и q = Зс — 2Ь + а. 108 Метод координат в пространстве. Движения 411 Даны векторы а {-1; 1; 1}, Ь {0; 2; -2}, с {-3; 2; 0} и d {-2; 1; -2}. Найдите координаты векторов: а) За + 26 - с; б) -а + 2с - d; в) 0,1а + + 36 +0,7с-5d; г) (2а + 36) - (а - 26) + 2(а - 6). 412 Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам: Г, /, к, (Г{2; 0; 0}, 6 {-3; 5; -7}, с {-0,3; 0; 1,75}. 413 Коллинеарны ли векторы: а) а {3; 6; 8} и 6 {6; 12; 16}; б) с {1; -1; 3} и d (2; 3; 15}; в) i {1; 0; 0} и / {0; 1; 0}; г) т {0; 0; 0} и га (5; 7; -3}; д) р|-1;5|и 9 {-1;-3;-15}? Решение а) Координаты вектора а {3; 6; 8} пропорциональны координатам вектора 6 {6; 12; 16}: 1 = А = А. = /г, где 6 = А Поэтому а = kb, и, 6 12 12 2 следовательно, векторы а и 6 коллинеарны. б) Координаты вектора с (1; -1; 3} не пропорциональны координатам вектора d {2; 3; 15}, например i ^ - А Поэтому векторы cud 2 о не коллинеарны. В самом деле, если предположить, что векторы end коллинеарны, то существует такое число к, что с = kd. Но тогда координаты вектора с пропорциональны координатам вектора d, что противоречит условию задачи. 414 Найдите значения тип, при которых следующие векторы коллинеарны: а) а (15; /га; 1} и6 {18; 12; га}; б) с {т; 0,4; -1} и d| - i; га; 5 |. 415 Компланарны ли векторы: а) а {-3; -3; 0}, i и j; б) 6 {2; 0; -3}, i и j; в) с{1;0;-2}. Тик; г) d {1;-1; 2}, е{-2;0;1} и /{5;-1;0}; д) т {1; 0; 2}, га {1; 1; -1} и р {-1; 2; 4}; е) q {0; 5; 3}, г {3; 3; 3} и s{l; 1; 4}? Решение г) Векторы d {1; -1; 2} и с {-2; 0; 1} не коллинеарны, так как координаты одного не пропорциональны координатам другого. Если вектор f {5; -1; 0} можно разложить по векторам d и с, то векторы d, е и / компланарны. Если же вектор f нельзя разложить по векторам d и е, то векторы d, е и f не компланарны (в противном случае вектор f можно было бы разложить по векторам d и е). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли 109 Метод координат в пространстве. Движения 416 417 418 419 420 421 422 423 вектор f разложить по векторам da е, т. е. существуют ли числа х и у такие, что f = xd + ye. Записывая это равенство в координатах, получаем: 5 = х - 2у, -1 = -х, 0 = 2х + у. Если эта система уравнений имеет решение относительно х и у, то вектор f можно разложить по векторам d vie, а если не имеет ре-—* шения, то вектор f разложить нельзя. В данном случае система имеет решение: д: = 1, у = -2. Поэтому вектор f можно разложить по векторам d и в, и, значит, векторы d, е и f компланарны. Даны векторы ОА {3; 2; 1}, ОВ {1;-3; 5} и ОС|-i; 0,75;-2 ^ |. Запишите координаты точек А, В и С, если точка О — начало координат. Даны точки А (2; -3; 0), В (7; -12; 18) и С (-8; 0; 5). Запишите координаты векторов ОА, ОВ и ОС, если точка О — начало координат. Найдите координаты вектора АВ, если: а) А (3; -1; 2), В (2; -1; 4); б) А (-2; 6; -2), В (3; -1; 0); в) A(l;|;|j, B(^i;i;ij. Вершины треугольника АВС имеют координаты: А (1; 6; 2), В (2; 3; -1), С (-3; 4; 5). Разложите векторы АВ, ВС и СА по координатным векторам i, у и k. Даны точки А (3; -1; 5), В (2; 3; -4), С (7; 0; -1) и D (8; -4; 8). Докажите, что векторы АВ и DC равны. Равны ли векторы ВС и AD? Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если: а) А (3; -7; 8), В (-5; 4; 1), С (27; -40; 29); б) А (-5; 7; 12), В (4; -8; 3), С (13; -23; -6); в) А (-4; 8; -2), В (-3; -1; 7), С (-2; -10; -16)? Решение а) Если векторы АВ и АС коллинеарны, то точки А, В и С лежат на одной прямой, а если не коллинеарны, то точки А, В и С не лежат на одной прямой. Найдем координаты этих векторов: АВ {-8; 11;-7}, АС {24;-33; 21}. Очевидно, AC = -ZAB, поэтому векторы АВ и АС коллинеарны, и, следовательно, точки А, В и С лежат на одной прямой. Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если: а) А (-2; -13; 3), В (1; 4; 1), С (-1; -1; -4), D (0; 0; 0); б) А (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D (2; 0; 3); в) А (5; -1; 0), В (-2; 7; 1), С (12; -15; -7), D (1; 1; -2)? Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС с вершинами А (Xj; yii 2i), В (Xg; Уг', 2г), С (Хз; уз', Z3) имеет координаты ( Хх + Хз+Хз . I 3 ’ У1 + У2 + УЗ. [ + ^2+23 ) 3 / 110 Метод координат в пространстве. Движения 424 Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А (0; 3; -4), В (-2; 2; 0); б) точки Б, если А (14; -8; 5), М (3; -2; -7); в) точки А, если В (0; 0; 2), М (-12; 4; 15). 425 Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите т к п, если: а) А(-3;т;5), Б (2;-2; л); б) А (1; 0,5;-4), Б(1;т;2п); в) А(0; т;п + 1), Б (1; п; -т +1); г) А (7; 2т + га; -га), Б (-5; -3; т - 3). 426 Найдите длину вектора АВ, если: а) А(-1; 0; 2), Б(1;-2;3); б) А (-35; -17; 20), В (-34; -5; 8). 427 Найдите длины векторов: 5 {5; -1; 7}, Ь {2-УЗ; -6; 1}, с = i + j + k, d = -2k, m = i - 2j. 428 Даны векторы a {3; -2; 1}, b {-2; 3; 1} и c {-3; 2; 1}. Найдите: a) |a + 5l; 6) |a|+|fe|; в) |a|-lfe|; r) |a-b|; д) |3c|; e) Vl4 |c|; ж) |2ra - 3?|. 429 Даны точки М(-4; 7; 0) и N (0; -1; 2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN. 430 Даны точки A^j;l;-2j, Б(2;2;-3) и С (2; 0;-1). Найдите: а) периметр треугольника АБС; б) медианы треугольника АВС. 431 Определите вид треугольника АБС, если: а) А (9; 3; -5), Б (2; 10; -5), С (2; 3; 2); б) А(3; 7; -4), Б (5; -3; 2), С(1; 3; -10); в) А (5; -5; -1), Б (5; -3; -1), С (4; -3; 0); г) А (-5; 2; 0), Б (-4; 3; 0), С (-5; 2; -2). 432 Найдите расстояние от точки А (-3; 4; -4) до: а) координатных плоскостей; б) осей координат. 433 На каждой из координатных плоскостей найдите такую точку, расстояние от которой до точки А (-1; 2; -3) является наимень-П1ИМ среди всех расстояний от точек этой координатной плоскости до точки А. 434 На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние от которой до точки В (3; -4; -Jl) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой оси до точки Б. 435 Даны точки А(1; 0; к), Б(-1; 2; 3) и С (0; 0; 1). При каких значениях k треугольник АБС является равнобедренным? 436 Даны точки А (4; 4; 0), Б (0; 0; 0), С (0; 3; 4) и Б (1; 4; 4). Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция. 437 Найдите точку, равноудаленную от точек А (-2; 3; 5) и Б (3; 2; -3) и расположенную на оси: а) Ох; б) Оу; в) Ог. 438 Даны точки А (-1; 2; 3), В (-2; 1; 2) и С (0; -1; 1). Найдите точку, равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) Оху; б) Оуг; в) Огх. 439 Даны точки О (0; 0; 0), А (4; 0; 0), Б (0; 6; 0), С (0; 0; -2). Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника АОБ; б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра ОАВС. Y Метод координат 7 7 в пространстве. Движения 440 Отрезок CD длины т перпендикулярен к плоскости прямоугольного треугольника АВС с катетами АС = Ь и ВС = а. Введите подходящую систему координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками найдите расстояние от точки D до середины гипотенузы этого треугольника. 2 Скалярное произведение векторов 50 Угол между векторами Возьмем два произвольных вектора а и Ь. Отложим от какой-нибудь точки О векторы ОА = а и ОВ = Ь. Если векторы а и б не являются сонаправлен-ными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ (рис. 133). Градусную меру этого угла обозначим буквой а и будем говорить, что угол между векторами а н Ь равен а. Если же векторы а и Ь сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между ними равен 0°. Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными. Угол между векторами а и Ь обозначается так: а Ь. На рисунке 134 изображено несколько век- /ч торов. Углы между ними таковы: аЪ= 30°, ас= 120°, ^ ^ ad = 60°, Ьс'= 90°, d f = 0°,d с = 180°. На этом рисунке Ь1с, bid, blf. 51 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов а и Ь обозначается так: аЬ. Таким образом, аЬ =|а|*|Ь| cos (а Ь). Как и в планиметрии, справедливы следующие утверждения: скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны; 112 Метод координат в пространстве. Движения скалярный квадрат вектора (т. е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины. Докажите эти утверждения самостоятельно. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов: скалярное произведение векторов а {дс,; у у, г^} и Ь {д^г; у^\ 22} выражается формулой аЪ = дс,дс2 + У1У2 + 2,22. Это утверждение доказывается точно так же, как в планиметрии. Косинус угла а между ненулевыми векторами а {д:,; г/j; Zi) и Ь {Х2', Уг'у вычисляется по формуле Х\Х2+У\У2+2^22 COS а = ы + у1 + г1 то В самом деле, так как а6 = I о| -1 & | cos а, аЬ cos а = Й-1*1 Подставив сюда выражения для аЬ, | а | и | ?| через координаты векторов а и 6, получим формулу (1). Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов. Для любых векторов а, Ь, с и любого числа k справедливы соотношения: 1®. а* > О, причем > О при а ^ О. 2®. а Ь = Ъ а (переместительный закон). 3®. (а + Ь)с — а с + Ь с (распределительный закон). 4®. k(a Ь) = (kd)b (сочетательный закон). Утверждения 1®—4® доказываются точно так же, как в планиметрии. Нетрудно доказать, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например, {a + b + c)d=ad+bd+cd (см. задачу 458). 52 Вычисление углов между прямыми и плоскостями Для вычисления угла между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью во многих случаях удобно использовать скалярное произведение. Прежде чем рассмотреть две такие задачи на вычисление углов, введем понятие направляющего вектора прямой. л Метод координат 7 О в пространстве. Движения Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной а. На рисунке 135 вектор АВ является направляющим вектором прямой а. Задача 1 Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых. Решение Пусть p{xi; i/i; 2,} и q {xzl У2, Zj} — направляющие векторы прямых а и Ь. Обозначим буквой ф искомый угол между этими прямыми. Для решения задачи достаточно найти cos ф, так как значение cos ф позволяет найти угол ф. Введем обозначение: Q = р q. Тогда либо Ф = 0, если 0 < 90° (рис. 136, а), либо ф = 180° - 0, если 0 > 90° (рис. 136, б). Поэтому либо cos ф = cos 0, либо cos Ф=-COS0. в любом случае |cos ф| = |cos 0|, а так как ф < 90°, то cos ф ^ о, и, следовательно, cos ф = | cos 01. Используя формулу (1) п. 51, получаем \XiX2 + yiy2 + ZiZ2\ СОЗф = (2) yf + ’ ‘1 Задача 2 Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости. Решение Пусть р {xi; «/,; 2,} — направляющий вектор прямой а, п {лгг; У2', 2г} — ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости а. Это означает, что прямая, на которой лежит вектор Я, перпендикулярна к плоскости а. Обозначим буквой ф искомый угол между прямой а и плоскостью а, а буквой 0 — угол рп. Пользуясь рисунком 137, нетрудно доказать (сделайте это самостоятельно), что sin ф = | cos 01. Поэтому для sin ф получается такое же выражение, как и в правой части равенства (2). Зная sin ф и учитывая, что ф < 90°, можно найти угол ф. б) Рис. 136 /■1А координат 1^ в пространстве. Движения 53* Уравнение плоскости Пусть задана прямоугольная система координат Oxyz и дана некоторая поверхность F, например плоскость. Уравнение с тремя переменными х, у, г называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежбпцей на этой поверхности. Отметим, что понятие уравнения поверхности аналогично понятию уравнения линии, введенному в курсе планиметрии. Выведем уравнения плоскости а, проходящей через точку Mq (xq; i/o; Zq) и перпендикулярной к ненулевому вектору п {а; Ь; с}. Если точка М (х; у; г), отличная от Мо, принадлежит плоскости а, то векторы п {а; Ь; с} и МдМ {х — Xq, у — j/o» 2 ~ ^о) взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: а(х-Хо) + Ь(у-уо) + с(г- Zq) = 0. (3) Отметим, что координаты точки Mq также удовлетворяют этому уравнению. Если же точка М (х; у; г) не принадлежит плоскости а, то угол между векторами п и М^М отличается от 90° (на величину угла между прямой М^М и плоскостью а), и поэтому скалярное произведение этих векторов отлично от нуля и, следовательно, равенство (3) не выполняется. Итак, уравнению (3) удовлетворяют координаты любой точки плоскости а и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей в этой плоскости. Поэтому уравнение (3) является уравнением плоскости, проходящей через точку (xq; Уо’, Zq) и перпендикулярной к ненулевому вектору п {а; Ь; с}. Замечание Уравнение (3) можно записать также в виде Рис. 137 ах + by + CZ + d = 0, где 5* 0. Таким образом, уравнение плоско- сти в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени. Уравнение плоскости можно использовать для вычисления расстояния от данной точки до этой плоскости. 7-# к Метод координат 7 0 в пространстве. Движения Задача 3 Найти расстояние от точки до плоскости, если известны координаты точки и уравнение плоскости. Решение Пусть Мо (д:,,; у^\ Zq) — данная точка, ах + + by + CZ + d = О (а^ + ^ 0) — уравнение данной плоскости а, Mj (д:,; j/,; z,) — проекция точки Mq на плоскость а. Поскольку точка Mj лежит в плоскости а, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости: ад:, + Ьух + сг, d = 0. (4) Вектор MqM, (если М^М, ^ 0), как и вектор п {а; ft; с}, перпендикулярен к плоскости а, поэтому MqM, II Я (если MqM, = 0, то также MqM, || Я). Следовательно, существует такое число k, что MqM, = kn. Запишем это равенство в координатах: д:, - дго = ka, yi~ Уо = kb, z, - Zq = kc. (5) Заметим, наконец, что искомое расстояние I равно длине вектора MqM, т. е. равно ^(х, - дго)^ -н (J/, - Уо)^ + (Z, - Zq)2 . Таким образом, с учетом равенств (5) получаем: Z = I А I л/а^ + Ь’^ + . (6) Выразим теперь координаты точки М, из уравнений (5) и подставим их в уравнение (4): а (ka -t- Xq) -I- б (kb + Уо) +с (kc + Zq) + d = 0. Отсюда находим , _ axQ+fci/o + czo + d Таким образом, формула (6) принимает вид I _ |aJo + feyo+czo+d| Va^ + + Задачи 441 Дан куб АВСПА,В,С,П,. Найдите угол между векторами: а) В,В и В,С; б) DA и B,D,; в) А,С, и А,В; г) ВС и АС; д) ВВ, и АС; е) В,С и АВ,; ж) А,В, и ВС; з) АА, и С,С. Г.| ^ Метод координат 7 0 в пространстае. Движении 442 Угол между векторами АВ и CD равен ф. Найдите углы ВА DC, ВА CD, АВ DC. 443 Ребро куба ABCDA^BfiiDi равно а, точка О] — центр грани AiBiCiDi. Вычислите скалярное произведение векторов: а) аВ и В,С,; б) АС и С,А,; в) В,В и АС; г) BA^ и ВС,; д) А,О, и А,С,; е) В,О, и В,О,; ж) ВО, и С,В. 444 Даны векторы а {1; -1; 2}, Ь {-1; 1; 1} и с {5; 6; 2}. Вычислите ас, аЬ, Ь с, а а, -Jb Ь. 445 Даны векторы a = Zi-bj + kvib - j - 5k. Вычислите: а) а В; б) а Т; в) Ь у, г) (a + b)k; д) (а - 2Ь)(^+Г-2/*). 446 Даны векторы а {3; -1; 1}, Ь {-5; 1; 0} и с {-1; -2; 1}. Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) а и Ь; б) & и с; в) due. 447 Дан вектор а (3; -5; 0}. Докажите, что: а) аГ< 90°; б) aj> 90°; в) dk = 90°. 448 Даны векторы а {-1; 2; 3} и ft {5; х; -1}. При каком значении х вы-полняется условие: а) aft = 3; б) а ft =-1; B)alft? 449 Даны векторы а = тТ + Zj + Ak vi Ь = Ai + mj - Ik. При каком значении т векторы а и ft перпендикулярны? 450 Даны точки А (0; 1; 2), В (л/2; 1; 2), С (V2; 2; 1) и В (0; 2; 1). Докажите, что АВСВ — квадрат. 451 Вычислите угол между векторами: а) а{2;-2;0} и ft{3;0;-3}; б) а {л/2; ^/2; 2} и ft {-3;-3; 0}; в) а {0; 5; 0} и ft {0;-л/З; 1}; г) а {-2,5; 2,5; 0} и Ь {-5; 5; 5л/2}; д) 5 {-л/2; -л/2; -2} и ft 452 Вычислите углы между вектором а {2; 1; 2} и координатными векторами. 453 Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами СА и СВ. 454 Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А (1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3). 455 Дан куб АВСВА,В,С,В,. Вычислите косинус угла между векторами: а) АА, и АС,; б) ВВ, и ВВ,; в) ВВ и АС,. 117 Метод координат в прогтранстие. Движения 456 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiB^CiD^, в котором АВ = 1, ВС = СС, = 2. Вычислите угол между векторамиDB^ и ВС,. __ _ __ 457 Известно, что ас = Ьс = 60°, | а j = 1, | ft | = | с| = 2. Вычислите(3 + Ь) с. 458 Докажите справедливость равенства {а + Ь + c)d =ad + bd + cd. Решение Запишем сумму трех векторов а, Ь и с в виде 3 + о + с = (3 + Ь) + с. Пользуясь распределительным законом скалярного произведения векторов, получаем (а + Ь + с) d = ((а +Ъ) +'c)d = (а + В) d +cd = = (ad + bd) +cd = ad + bd + cd. 459 Векторы Sub перпендикулярны к вектору с, 5b =120°, |3| = = I b I = I с I = 1. Вычислите: a) скалярные произведения (3 + b + c)(2b) и {a - В + c)(a - c); 6) |3-b| и |5 + b-c|. 460 Докажите, что координаты ненулевого вектора в прямоугольной си- стеме координат равны{|51со8ф,;|3|со8ф2;|3|со8(рз}, гдеф, =3i, Фг Фз Решение Если вектор 3 имеет координаты {л; у; г), то а = xi + yj + zk. Умножив это равенство скалярно на i и используя свойства скалярного произведения, получим ai = (xi + yj + zk) i = x (i i) + у (j i) + z (Вi). Так как ГГ = 1, j i = 0, Bi = 0, to 5 Г = x. C другой стороны, по определению скалярного произведения 3 i = | 5 11 i | соз ф, = | 5 | со8 ф,. Таким образом, д:=|3|со8ф,. Аналогично получаем равенства 1/=|3|с08ф2, 2=|3|с08фз. 461 Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки М и N — середины ребер AD и ВС. Докажите, что MN AD = MN ВС = 0. 462 В параллелепипеде ABCZMiBjCjD, АА, =АВ = AD = 1, ZDAB = 60°, ZAyAD = ZAiAB = 90°. Вычислите: а) ВАП^,; б) BC^ D^; в) А^ АС[; г) \DB^\; д) |а'^С|; е) cos (ПА, П, В); ж) cos (А^ DB,). 463 В тетраэдре ABCD противоположные ребра АП и ВС, а также BD и АС перпендикулярны. Докажите, что противоположные ребра СП и АВ также перпендикулярны. Решение , Введем векторы 3 = ПА, Ь = DB, с = DC (рис. 138). Тогда АВ = Ь - а, АС = с - а, ВС = с - В. По условию АП 1 ВС^ и BD ± АС, поэтому ЗХ(с - Ь) и bJ-(c - 3). Следовательно, 3(с-Ь) = 0 и Ь(с-3) = 0. 118 Метод координат в пространстве. Движения Рис. 138 а) Рис. 139 S(0; а; 0) 464 465 Отсюда получаем ас = аЬ и Ьс = Ьа. Из этих двух равенств следует, что ас = Ьс, или (ft - а) с = 0. Но Ь - а = АВ, с = DC, поэтому АВ DC = о, и, значит, АВ 1 CD, что и требовалось доказать. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если: а) А (3; -2; 4), В (4; -1; 2), С (6; -3; 2), D (7; -3; 1); б) А (5; -8; -1), В (6; -8; -2), С (7; -5; -11), D (7; -7; -9); в) А (1; 0; 2), В (2; 1; 0), С (0; -2; -4), D (-2; -4; 0); г) А (-6; -15; 7), В (-7; -15; 8), С (14; -10; 9), D (14; -10; 7). Дана правильная треугольная призма АВСА,В,С,, в которой АА, = = ^АВ (рис. 139, а). Найдите угол между прямыми АС, и А,В. Решение Пусть АВ = а, тогда АА, = Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 139, б. Вершины А, В, А„ С, имеют следующие координаты (объясните почему): В(0; а; 0), А, (^;£;aV2 ), С,(0;0;aV2). Отсюда находим координаты векторов АС, и ВА,: АС, Векторы АС, и ВА, являются направляющими векторами прямых АС, и А,В. Искомый угол ф между ними можно найти по формуле (?!• cos ф = I -.3 д2^1д2^2а^ 4 4 \4 4 гг---■ i, откуда Ф = 60° jla2 + la2 + 2a2 2 V4 4 466 В кубе АВСОА,В,С,£), точка М лежит на ребре АА,, причем AM : MAi = 3 : 1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми: а) MN и ПО,; б) MN и BD; в) MN и В,П; г) MN и А,С. 119 Метод координат в пространстве. Движения 467 В прямоугольном параллелепипеде АВСОА^В^С^В^ АВ = ВС = | А4,. Найдите угол между прямыми: а) BD и CD,; б) АС и АС,. 468 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^BfiyD^ АВ = 1, ВС = 2, BBi = 3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) АС и D,B; б) АБ, и ВС,; в) A,D и АС,. 469 В кубе ABCDA^BiCiDi диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A,D,, причем А,М : MD, = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) ABCD-, б) DD,C,C; в) AA^DiD. 470 В тетраэдре ABCD ZABD = ZABC = ZDBC = 90°, АВ = BD = 2, ВС = 1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер АВ и ВС, и плоскостью грани: а) АВВ; б) ВВС; в) АВС. 471 Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°. 472 Дан куб MA/’PQM,AT,B,Q,. Докажите, что прямая ВМ, перпендикулярна к плоскостям MNjQi и QNP,. 473 Лучи ОА, ОВ и ОС образуют три прямых угла АОВ, АОС и ВОС. Найдите угол между биссектрисами углов СОА и АОВ. 474 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D, ZBAC^ = ZBACx = - 60°. Найдите ф = ZA,AC,. Решение Зададим прямоугольную систему координат Охуг так, как показано на рисунке 140, и рассмотрим единичный вектор а, со- направленный с вектором АС,. Вектор а имеет координаты {cos 60°; cos 60°; cos ф}, или 11; I; cos ф |. Так как | а | = 1, то получим равенство i -t- i -ь cos^ ф = 1. Отсюда 4 4 о 1 ^ cos^ Ц1 =-, или совф = ±—. Так как угол ф 2 2 /Л острый, то cos ф = откуда ф = 45°. 475 В тетраэдре ВАВС ВА = 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см, ZBAC - 90°, ZBAB = 60°, ZBAC = 45°. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ВВС. 476 Угол между диагональю АС, прямоугольного параллелепипеда ABCBAiBiCiBi и каждым из ребер АВ и АВ равен 60°. Найдите ZCAC,. 477 Проекция точки К на плоскость квадрата АВСВ совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АК и ВВ равен 90°. 120 Метод координат в пространстве, ’{ви.чсения § Движения 54 Центральная симметрия В курсе планиметрии мы познакомились с движениями плоскости, т. е. отображениями плоскости на себя, сохраняющими расстояния между точками. Введем теперь понятие движения пространства. Предварительно разъясним, что понимается под словами отображение пространства на себя. Допустим, что каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка М,, причем любая точка Mj пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке М. Тогда говорят, что задано отображение пространства на себя. Говорят также, что при данном отображении точка М переходит (отображается) в точку Mj. Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки А и В переходят (отображаются) в какие-то точки Aj и В, так, что A,Bi = АВ. Иными словами, движение пространства — это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками. Примером движения может служить центральная симметрия — отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку Ml относительно данного центра О. Докажем, что центральная симметрия является движением. Обозначим буквой О центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Охуг с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек М (л:; у; г) и М, (х,; //,; 2,), симметричных относительно точки О. Если точка М не совпадает с центром О, то О — середина отрезка ММ,. По формулам координат середины отрезка получаем х+ X, п и+ у, п 2+ Z\ п ~~2 ~ ~2 yi = ~У’ 2, = -2. Эти формулы верны и в том случае, когда точки М и О совпадают (объясните почему). Рассмотрим теперь две точки А (д;,; i/,; 2j) и В (лгг; Уг’, ^j) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А, и В, равно АВ. Точки А, и В, имеют координаты А, (-д:,; -г/,; -2i) и В, (-Xj; -у2', -^г). По формуле расстояния между двумя точками на- 121 Метод координат в пространстве. Движения ходим: АВ = ^(^2 - л:,+ (j/2 - i/i)^ + (^2 - Z,)^ AjB, = = ■J(-X2 + x^)^ + (-1/2 + yi)^ + (-^2 + 2,)*. Из этих соотношений ясно, что АВ = AiB,, что и требовалось доказать. 55 Осевая симметрия Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку Mj относительно оси а. Докажем, что осевая симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат Охуг так, чтобы ось Oz совпала с осью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М (х; у; г) и М, (х,; у,; 2,), симметричных относительно оси Ог. Если точка М не лежит на оси Ог, то ось Oz: 1) проходит через середину отрезка ММ, и 2) перпендикулярна к нему. Из первого условия по формулам для координат середины отрезка получаем jfjLfL = О и = О, откуда х, = -х и у, = -у. Второе условие означает, что аппликаты точек М и М, равны: 2, = 2. Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит на оси Oz (объясните почему). Рассмотрим теперь любые две точки А (х,; I/,; 2,) и В (Х2; У2’, 22) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А, и В, равно АВ. Точки А, и В, имеют координаты А, (-х,; 2,) и (-Хг'г -У2'1 ^г)- По формуле расстояния между двумя точ-ками находим: АВ = ^{х^ - х,)^ + (.У2 ~ У\)^ + (■^г “ > А,В, = д/(-Х2 Ч- X, )2 -I- (-1/2 -(- у, )* -(- (22 - 2, )2 . Из этих соотношений ясно, что АВ=А,В,, что и требовалось доказать. 56 Зеркальная симметрия Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости а) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости а точку М,. Докажем, что зеркальная симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы плоскость Оху совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М (х; у\ z) и М, (х,; i/,; 2,), ■# 00 координат 1 в пространства. Движения симметричных относительно плоскости Оху. Если точка М не лежит в плоскости Оху, то эта плоскость; 1) проходит через середину отрезка MMj и 2) перпендикулярна к нему. Из первого условия по формуле координат середины отрезка получаем = О, откуда 2, = -2. Второе условие означает, что отрезок ММ, параллелен оси Ог, и, следовательно, х, = х, у, = у. Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит в плоскости Оху (объясните почему). Рассмотрим теперь две точки А (х,; у,; 2,) и В (Хг; J/г; Z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А, и В, равно АВ. Точки А, и В, имеют координаты А, (х,; у,; -2,) и В, (Хг; Уг’г -Z2). По формуле расстояния между двумя точками на- ходим; АВ = ^{х^ - -ь (у^ - + (Zg - А,В, = = д/(х2 - X,+ (Уг ~ + (~^2 + z:,)^. Из этих соотно- шений ясно, что АВ =AiBi, что и требовалось доказать. 57 Параллельный перенос Приведем еще один пример движения пространства. Возьмем какой-нибудь вектор р. Параллельным переносом на вектор р называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М,, что ММ, = р(рис. 141, а). Докажем, что параллельный перенос является движением. При параллельном переносе на вектор р любые две точки А к В переходят в точки А, и В, такие, что АА, = р и ВВ, = р. Требуется доказать, что А,В, =АВ. По правилу треугольника АВ, = АА, + А,В,. С другой стороны, АВ, = АВ + ВВ, (рис. 141, б). Из этих двух равенств получаем АА, А, В, = АВ + ВВ,, или р + A^B^ = АВ + р, откуда А, В, = АВ. Следовательно, А,В, = АВ, что и требовалось доказать. Можно доказать (это делается так же, как и в планиметрии), что при любом движении отрезок переходит в отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость. Можно доказать также, что понятие наложения, с помощью которого в нашем курсе вводится равенство фигур (см. приложение 2), совпадает с понятием движения, т. е. любое наложение является дви- 123 а) Метод координат в пространстве. Движения жением и, обратно, любое движение является наложением. Это утверждение доказывается аналогично тому, как это делалось в планиметрии. 58* Преобразование подобия Центральным подобием с центром О и коэффициентом k*0 называется отображение пространства на себя, при котором каждая точка М переходит в такую точку М„ что ОМ, = kOM. Нетрудно доказать, что если при центральном подобии с коэффициентом k точки А и В переходят в точки А, и В„ то Л,В, = kAB (см. приложение 1). Из этого, в частности, следует, что при центральном подобии треугольник переходит в подобный ему треугольник, плоскость, проходящая через точку О, переходит в себя, не проходящая через точку О — в параллельную ей плоскость, а сфера с центром С радиуса г (т. е. поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на расстоянии г от точки С) — в сферу с центром С, радиуса hr, где ОС, = ЮС. Докажите эти утверждения самостоятельно. Центральное подобие является частным случаем так называемого преобразования подобия. Преобразованием подобия с коэффициентом /е > О называется отображение плоскости на себя, при котором любые две точки А и В переходят в такие точки А, и В,, что А,В, = k -АВ. Примерами преобразования подобия являются, очевидно, движение (при этом k = 1), центральное подобие, а также результат их последовательного выполнения. Оказывается, верно и обратное утверждение: любое преобразование подобия представляет собой результат последовательного выполнения движения и центрального подобия. Докажем это. Рассмотрим преобразование подобия с коэффициентом k. Произвольные точки А и В переходят при нем в такие точки А, и В,, что AiBi = k-AB. Рассмотрим теперь центральное подобие с произвольным центром О и коэффициентом i. Точки к А, и В, переходят при нем в такие точки Aj и В^, что А D А2В2 = — . Тем самым в результате последовательного к выполнения преобразования подобия и центрального 124 Метод координат и пространстве. Движения подобия произвольные точки А и В переходят в такие точки А, и Во, что А,Вп = h-AB = АВ. Это означает, что результатом последовательного выполнения указанных преобразований является движение. В свою очередь, в результате последовательного выполнения этого движения и центрального подобия с центром О и коэффициентом k точки А и В (взятые произвольно) переходят в те же точки А, и В,, что и при исходном преобразовании подобия. Но это и означает, что исходное преобразование подобия является результатом последовательного выполнения указанного движения и центрального подобия с центром О и коэффициентом k. Утверждение доказано. Преобразование подобия часто используется в геометрии. С его помощью, например, можно ввести понятие подобия произвольных тел: два тела называются подобными, если существует такое преобразование подобия, при котором одно из них переходит в другое. Задачи 478 Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей. 479 Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя. 480 Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя. 481 Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол ф, отображается на прямую, также образующую с осью угол ф. 482 При зеркальной симметрии прямая а отображается на прямую а,. Докажите, что прямые а и а, лежат в одной плоскости. 483 При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость Р отображается на плоскость р,. Докажите, что если: а) р || а, то Р, II а; б) р 1 а, то р, совпадает с р. 125 Метод координат в пространстве. Движения 484 Докажите, что при параллельном переносе на вектор р, где 0: а) прямая, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор, отч)бражается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору р или содержащая этот вектор, отображается на себя. 485 Треугольник получен параллельным переносом треугольни- ка АВС на вектор р. Точки М, и М — соответственно точки пересечения медиан треугольников AiB,Ci и АВС. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р точка М переходит в точку М,. 486 Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость. 487 Докажите, что при движении: а) отрезок отображается на отрезок; б) угол отображается на равный ему угол. 488 Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости. 489 Докажите, что при движении: а) окружность отображается на окружность того же радиуса; б) прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями. Вопросы к главе V 1 Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если: а) одна ее координата равна нулю; б) две ее координаты равны нулю? 2 Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату. 3 Даны точки А (2; 4; 5), В (3; х; у), С (0; 4; г) и Ь (5; V, и). При каких значениях х, у, z, t и и эти точки лежат: а) в плоскости, параллельной плоскости Оху; б) в плоскости, параллельной плоскости Охг; в) на прямой, параллельной оси Ох? 4 Найдите координаты вектора СА, если АВ {х^; у^; Zi), ВС {лгг; 1/2I ^2}- 5 Первая и вторая координаты ненулевого вектора а равны нулю. Как расположен вектор а по отношению к оси: а) Oz; б) Ох; в) Оу? 6 Первая координата ненулевого вектора а равна нулю. Как расположен вектор а по отношению: а) к плоскости Oxz; б) к оси Ох? 7 Коллинеарны ли векторы: а) а {-5; 3; -1} и Ь {6; -10; -2}; б) а {-2; 3; 7} и б {-1; 1,5; 3,5}? 8 Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса точки М равняться: а) 1; б) 2? 9 Длина вектора а равна 3. Может ли одна из координат вектора а равняться: а) 3; б) 5? 10 Абсцисса точки Mj равна 3, а абсцисса точки М2 равна 6. а) Может ли длина отрезка М,М2 быть равной 2? б) Как расположен отрезок М1М2 по отношению к оси Ох, если его длина равна 3? 126 Метод координат в пространстве. Движения 11 Векторы а и b имеют длины а и Ь. Чему равно скалярное произведение векторов а и Ь, если: а) векторы а м Ъ сонаправлены; б) векторы а и Ь противоположно направлены; в) векторы а и Ь перпендикулярны; г) угол между векторами а и Ь равен 60°; д) угол между векторами а и Ь равен 120°? 12 При каком условии скалярное произведение векторов а и Ь: а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю? 13 Дан куб ABCDAjBiCiDi. Перпендикулярны ли векторы: а) AD и DiCii б) BD и СС,; в) AjC, и AD; г) DB и DjCj; д) ВВ и ЛС? 14 Первые координаты векторов а и Ь равны соответственно 1 и 2. Может ли скалярное произведение векторов а и Ь быть: а) меньше 2; б) равно 2; в) больше 2? 15 Какие координаты имеет точка А, если при центральной симметрии с центром А точка В (1; 0; 2) переходит в точку С (2; -1; 4)? 16 Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Ог, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М (2; 1; 3) переходит в точку Mj (2; -2; 3)? 17 В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии? Дополнительные задачи 490 Даны векторы а {-5; 0; 5}, Ь {-5; 5; 0} и с {1; -2; -3}. Найдите координаты вектора: а) ЗЬ-За + Зс; б) -ОДс-(-0,8а - 0,55. 491 Коллинеарны ли векторы: а) а {-5; 3; -1} и Ь {6; -10; -2}; б)^{-2;3;7} и 5 {-1; 1,5; 3,5}; B)a{-|;|;-l| и ft {6;-5; 9}; г) а {0,7; -1,2; -5,2} и ft (-2,8; 4,8; -20,8}? 492 Даны точки А (-5; 7; 3) и В (3; -11; 1). а) На оси Ох найдите точку, ближайшую к середине отрезка АВ. б) Найдите точки, обладающие аналогичным свойством, на осях Оу и Ог. 493 Компланарны ли векторы: а) о {-1; 2\ 3), i + j тл i - k; б) ft {2; 1; 1,5}, i + ]+k Hi-f; в) а{1; 1; 1}, ft {1; -1; 2} и с {2; 3; -1}? 494 Даны точки А (3; 5; 4), В (4; 6; 5), С (6; -2; 1) и П (5; -3; 0). Докажите, что ABCD — параллелограмм. 495 Даны точки А (2; 0; 1), В (3; 2; 2) и С (2; 3; 6). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС. 496 Даны координаты четырех вершин параллелепипеда АВС£)А,В,С,£),: А (3; 0; 2), В (2; 4; 5), А, (5; 3; 1), D (7; 1; 2). Найдите координаты остальных вершин. 497 Середина отрезка АВ лежит в плоскости Оху. Найдите к, если: а) А (2; 3; -1), В (5; 7; к); б) А (0; 4; к), В (3; -8; 2); в) А (5; 3; к), В (3; -5; ЗА). ^ Метод координат ш а t в пространстве. Движения 498 Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами а {2; 1; -2} и Ь {1; 3; 0}. 499 Длина вектора а {х; у; г} равна 5. Найдите ординату вектора а, если X = 2, 2 = -л/5. 500 Даны точки М (2; -1; 3), N (-4; 1; -1), Р (-3; 1; 2) и Q (1; 1; 0). Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ. 501 Найдите расстояние от точки В (-2; 5; л/З) до осей координат. 502 На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек А (13; 2; -1) и В (-15; 7; -18). 503 Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А (0; 2; 2), В (2; 1; 1), С (2; 2; 2). 504 Вершины треугольника АВС расположены по одну сторону от плоскости а и находятся от этой плоскости на расстояниях 4 дм, 5 дм и 9 дм. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до плоскости а. 505 Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. 506 Даны векторы а {-1; 5; 3}, Ь (3; 0; 2}, с {0,5; -3; 4} и d {2; 1; 0}. Вычислите: а) aft; б) ас; в)55; г) (а + ft н-с) d; д) (а-ft )(с - d). 507 В тетраэдре DABC DA= DB = DC, ZADB = 45°, ZBDC = 60°. Вычислите угол между векторами: а) DA и BD; б) DB и СВ; в) BD и ВА. 508 Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D, — проекция точки D на плоскость АВС. Перпендикулярны ли векторы: а) П,В и П,П; б) £)£), и ВС; в) DA и ВС; г) П,В и ПС? 509 Вычислите косинус угла между прямыми АВ и СП, если: а) А (7; -8; 15), В (8; -7; 13), С (2; -3; 5), П (-1; 0; 4); б) А (8; -2; 3), В (3; -1; 4), С (5; -2; 0), П (7; 0; -2). 510 В кубе АВСПА,В,С,П1 точка М — центр грани ВВ,С,С. Вычислите угол между векторами: а) А,П и AM; б) MD и BBj. 511 В параллелепипеде ABCDA^^CiD^ ZBAAi = ZBAD = ZDAA^ = 60°, АВ = AA, = АП = 1. Вычислите длины векторов АС, и ВП,. 512 Проекция точки М на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой О пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны ВС, АС = 8, DB = МО = 6. Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой: а) ВС; б) ПС; в) АС; г) DB. 513 В кубе ABCDAiBiCiDi точка М лежит на ребре ВВ,, причем ВМ : МВ, = 3 : 2, а точка N лежит на ребре АП, причем AN : ND = = 2:3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) ПП,С,С; б) A^B^CiD^. 128 Метод координат в пространстве. Движения 514 Лучи ОА, ОВ, ОС и ОМ расположены так, что ZAOB = ZBOC = = ZCOA = 90°, ZAOM = (f>i, ZBOM = (p2, ZCOM = <рз. Докажите, что COS^ CPi + COS^ Ф2 + COS^ Фз = 1- 515 Лучи ОА, OB и ОС расположены так, что ZBOC = ZBOA = 45°, ZAOC = 60°. Прямая ОН перпендикулярна к плоскости АОВ. Найдите угол между прямыми ОН и ОС. 516 Дан двугранный угол CABD, равный ф (ф < 90°). Известно, что АС 1 АВ и ZDAB = 0. Найдите cos ZCAD. 517 Отрезки СА и DB перпендикулярны к ребру двугранного угла CABD, равного 120°. Известно, что АВ = т, СА = п, BD = р. Найдите CD. 518 При движении прямая а отображается на прямую а^, а плоскость а — на плоскость ttj. Докажите, что: а) если а || а, то а, || а,; б) если а 1 а, то а, 1 а,. 519 При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость р отображается на плоскость р,. Докажите, что если плоскость р образует с плоскостью а угол ф, то и плоскость р, образует с плоскостью а угол ф. 520 Докажите, что при параллельном переносе на вектор р: а) плоскость, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, параллельная вектору р или содержащая этот вектор, отображается на себя. 5 — л. с. Атаяасяи Глава VI Цилиндр, конус и шар Цилиндр 59 Понятие цилиндра Рассмотрим произвольную плоскость а и окружность L с центром О радиуса г, лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную к плоскости а. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые — образующими цилиндрической поверхности. Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости а, называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости а, то они параллельны друг другу (см. п. 16). Рассмотрим теперь плоскость р, параллельную плоскости а (рис. 142). Отрезки образующих, заключенные между плоскостями аир, параллельны и равны друг другу (см. п. 11). По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости а, заполняют окружность L. Концы же, расположенные в плоскости р, заполняют окружность L] с центром Oj радиуса г, где О, — точка пересечения плоскости р с осью цилиндрической поверхности. Справедливость Основание Цилиндр Рис. 142 Ци.итдр, конус и шар этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости р, получается из окружности L параллельным переносом на вектор ОО,. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор OOi окружность L перейдет в равную ей окружность L, радиуса г с центром в точке О). Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и Lj, называется цилиндром (см. рис. 142). Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключенные между основаниями, — образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности — боковой поверхностью цилиндра. Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра. Как уже отмечалось, все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке 143 изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания — вращением сторон ВС и AD. Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (рис. 144), две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом деле, такая секущая плоскость (плоскость у на рисунке 145) отсекает от данного цилиндра тело, также являющееся цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение. Замечание На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров. На рисунке 146, а изображен цилиндр, каждое основа- Цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ Рис. 143 Осевое сечение цилиндра Рис. 144 Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси Рис. 145 5* 131 Цилиндр, конус и шар ние которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. На рисунке 146, б изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований (наклонный цилиндр). Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндры, которые были определены в этом пункте. Их называют иногда прямыми круговыми цилиндрами. 60 Площадь поверхности хщлиндра На рисунке 147, а изображен цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости а (рис. 147, б). В результате в плоскости а получится прямоугольник АВВ'А'. Стороны АВ и А'В' прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота АВ — образующей цилиндра, поэтому АА' = 2пг, АВ = Л, где г — радиус цилиндра, h — его высота. За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки. Так как площадь прямоугольника АВВ'А' равна АА' ■ АВ = 2nrh, то для вычисления площади боковой поверхности цилиндра радиуса г и высоты h получается формула = 2лгЛ. Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. а) б) Рис. 146 132 Цилиндр, конус и шар Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна пг^, то для вычисления площади полной поверхности цилиндра получаем формулу = 2пг (г -I- й). Задачи 521 Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м. 522 Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра. 523 Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра. 524 Осевые сечения двух цилиндров равны. Верно ли, что высоты двух цилиндров равны, если равны их осевые сечения? 525 Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м^, а площадь основания равна 5 м^. Найдите высоту цилиндра. 526 Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как л/Зл : 4. Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения. 527 Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г, его высота — й, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: а) й, если г = 10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм; б) d, если й = 6 см, г = 5 см, АВ = 10 см. 528 Докажите, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра меньше его радиуса, то сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого — образующие цилиндра. 529 Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см. 530 Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости. 531 Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм^. Найдите радиус цилиндра. 133 Цилиндр, конус и шар 532 Через образующую АА^ цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен ф. 533 Высота цилиндра равна Л, а площадь осевого сечения равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между осью цилиндра и плоскостью сечения равно d. 534 Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна й, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d. 535 Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 60°. Образующая цилиндра равна lOVs см, расстояние от оси до секущей плоскости равно 2 см. Найдите площадь сечения. 536 Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. 537 Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 538 Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. 539 Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски? 540 Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288л см^. Найдите радиус основания и высоту цилиндра. 541 Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности? 542 Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен ф, площадь основания цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 543 Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен ф, диагональ равна d. Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра. 544 Из квадрата, диагональ которого равна d, свернута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра. 545 Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найдите площадь: а) осевого сечения цилиндра; б) боковой поверхности цилиндра; в) полной поверхности цилиндра. 134 Цилиндр, конус и шар 546 Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой АВ, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если АВ = а, ВС = Ь. 2 Конус 61 Понятие конуса Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости а этой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью (рис. 148), а сами прямые — образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, а прямая ОР — осью конической поверхности. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом (рис. 149). Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, — высотой конуса. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу (объясните почему). Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке 150 изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС. Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса (рис. 151), то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым. Рис. 148 Рис. 149 ось конуса вершина конуса образующие конуса боковая поверхность конуса основание конуса 135 Цилиндр, конус и шар Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса (рис. 152), то сечение конуса представляет собой круг с центром О,, расположенным на оси г, POi конуса. Радиус г, этого круга равен г, где г — радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и PO,Mi. Доказательство этого факта приведено в решении задачи 556. 62 Площадь поверхности конуса Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 153, а, б). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (см. рис. 153, б), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь SjoK боковой поверхности конуса через его образующую I и радиус основания г. Площадь кругового сектора — развертки боковой поверхности конуса (см. I 2 рис. 153, б) — равна где а — градусная мера ду- 360 ги АБА', поэтому (1) Выразим а через I и г. Так как длина дуги АВА' равна 2лг (длине окружности основания конуса), то 2кг = :^а, откуда а = ^^. Подставив это I выражение в формулу (1), получим «бок = Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса получается формула «кок = яг (( + г). Рис. 151 костью а, перпендикулярной к его оси, — круг с центром 0| радиуса г, = —!-г РО Рис. 152 А' (2) 136 Цилиндр, конус и шар 63 Усеченный конус Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя на рисунке 154) представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры,— высотой усеченного конуса. Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу (докажите это самостоятельно). Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке 155 изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD, перпендикулярной к основаниям AD и ВС. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и DA трапеции. Докажем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т. е. ■Sfc« = n(r + r,)i, где гиг, — радиусы оснований, I — образующая усеченного конуса. ▼ Пусть Р — вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА, — одна из образующих усеченного конуса, г > Г], точки О и О, — центры оснований (рис. 156). Используя формулу (2), получаем 5бок = пг- РА- ЛГ1 ■ PAi = кг (PAi + АА,) - nri • РА^. Отсюда, учитывая, что AAj = I, находим + л (г - г,) РАу. (3) основание конуса образующая боковая поверхность основание конуса Усеченный конус Рис. 154 Усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD Рис. 155 137 Цилиндр, конус и шар Выразим РА, через г и г,. Прямоугольные треугольники РО,А, и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р, поэтому РА 1 _ п РА Отсюда получаем = или г РА, _ г, ЯА, + / “ У РА, = 1гл Подставив это выражение в формулу (3), приходим к формуле Sfc* = тс (г и-г,) Z. А Задачи 547 Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса. 548 Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите площадь основания конуса, если: а) а = 30°; б) а = 45®; в) а = 60°. 549 Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания? 550 Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см. 551 Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2г. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°. 552 Высота конуса равна Л, а угол между высотой и образующей конуса равен 60°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие. 553 Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм^, а площадь основания равна 8 дм^. 554 Образующая конуса равна I, а радиус основания равен г. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в 60°; б) в 90°. 555 Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°. 556 Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса г с центром О. Докажите, что если секущая плоскость а перпендикулярна 138 Цилиндр, копре и шар к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О, радиуса г^, где О, — точка пересечения плоскости а с осью РО, РО а Tj (см. рис. 152). Решение Докажем сначала, что любая точка М,, лежащая в плоскости а на окружности радиуса с центром О,, лежит на некоторой образующей конуса, т. е. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой М точку пересечения луча РМ, с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников POiMi и РОМ (они подобны, так как имеют общий острый угол Р) точка М лежит на находим: ОМ = = =г, ТУП _ 1 1 ТУП, ■ ’ т. е. POi * ‘ POi окружности основания конуса. Следовательно, отрезок РМ, на котором лежит точка М,, является образующей конуса. Докажем теперь, что любая точка Mj, лежащая как в плоскости а, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса г, с центром Oj. Действительно, из подобия треугольников POiMi и РОМ (РМ — образующая, проходящая через точку Mj) РО, РО, имеем OjM, = ^^-ОМ = -^г = г^. Таким образом, окружность радиуса г, с центром О, является сечением боковой поверхности конуса плоскостью а, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью а. 557 Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей. 558 Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой а. Найдите а, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. 559 Найдите дугу сектора, представляющего собой развертку боковой поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в 60°. 560 Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной: а) 180°; б) 90°; в) 60°. 561 Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°. 562 Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 563 Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см^. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса. 564 Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ф. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона 139 Цилиндр, конус и шар равна а, а противолежащий угол равен а. Найдите площадь полной поверхности конуса. 565 Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса. 566 Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна т, а угол при основании равен ф, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника. 567 Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см. 568 Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь осевого сечения. 569 Радиусы оснований усеченного конуса равны Д и г, где R > г, а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь осевого сечения. 570 Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см^. Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса. 571 Дана трапеция ABCD, в которой ZA = 90°, ZD = 45°, ВС = 4 см, CD = Зл/2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны АВ. 572 Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 м^ требуется 150 г краски? (Толщину стенок ведер в расчет не принимать.) § Сфера 64 Сфера и шар Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис. 157). Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке 157), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом 140 Цилиндр, конус и шар сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, диаметр сферы равен 2R. Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра (рис. 158). Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О), и не содержит других точек. 65 Уравнение сферы Выведем уравнение сферы (см. начало п. 53) радиуса R с центром С (Xq; Уо', Zq) (рис. 159). Расстояние от произвольной точки М (х; у; г) до точки С вычисляется по формуле МС = у1(х-ХоУ +(у-Уо)^ +(г-2оУ. Если точка М лежит на данной сфере, то МС = R, или МС^ = R^, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению {x-x,)^+{y-y,)^+{z-z,)^=RK (1) Если же точка М (х; у; z) не лежит на данной сфере, то МС^ ^ R^, т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса JR с центром С (хо; у^,; Zq) имеет вид (Х-Хо)^ +{у-Уо)'^ +iz-Zo)^ =RK Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ Рис. 158 66 Взаимное расположение сферы и плоскости Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости. Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости а — буквой d. Введем систему координат так, как показано на рисунке 160: плоскость Оху совпадает с плоскостью а, а центр С сферы лежит на положительной полуоси Oz. В этой системе координат точка С имеет координаты (0; 0; d), поэтому 141 Цилиндр, конус и шар сфера имеет уравнение + {г - df = R^. Плоскость а совпадает с координатной плоскостью Охуу и поэтому ее уравнение имеет вид г = О (объясните почему). Если координаты какой-нибудь точки М {х’у у; г) удовлетворяют обоим уравнениям, то точка М лежит как в плоскости а, так и на сф?ре, т. е. является общей точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений 2 = 0 +1/2 +(2-d)2 =Д2. Подставив 2 = о во второе уравнение, получим х2 +1/2 _^2 (2) Возможны три случая. 1) d < R. Тогда R^ - > о, W. уравнение (2) является уравнением окружности радиуса г = -JR^ -d^ с центром в точке О на плоскости Оху. Координаты любой точки М (х; у; 0) этой окружности удовлетворяют как уравнению плоскости а, так и уравнению сферы, т. е. все точки этой окружности являются общими точками плоскости и сферы (см. рис. 160, а). Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности. Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. Ясно, что сечение шара плоскостью есть круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d = о и в сечении получается круг радиуса R, т. е. круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара (рис. 161). Если секущая плоскость не проходит через центр шара, то d > о и радиус сечения г = 4R^ -d^, очевидно, меньше радиуса шара (см. рис. 160, а). 2) d = R. Тогда R^ - d^ = 0, и уравнению (2) удовлетворяют только числа л; = 0, у = 0. Следовательно, только координаты точки О (0; 0; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, т, е. О — единственная общая точка сферы и плоскости (см. рис. 160, б). Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно 0; d) а) |0;d) d = R б) d>R в) Рис. 160 142 ЦилинОр. конус и шар радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. 3) d> R. Тогда < О, и уравнению (2) не удовлетворяют координаты никакой точки. Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек (см. рис. 160, в). Рис. 161 67 Касательная плоскость к ccjiepe Рассмотрим более подробно случай, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. На рисунке 162 плоскость а — касательная к сфере с центром О, А — точка касания. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Оно выражено в следующей теореме: Теорема (Г Рис. 162 Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство Рассмотрим плоскость а, касающуюся сферы с центром О в точке А (рис. 162). Докажем, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости а. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости а, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости а меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость а — касательная, т. е. сфера и плоскость а имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости а. Теорема доказана. Докажем обратную теорему. Теорема Бели радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. Г43 Цилиндр, конус и шар Доказательство Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной к сфере. Теорема доказана. 68 Площадь сферы В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для нее непригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней*. При этом сфера называется вписанной в многогранник. На рисунке 163 изображены описанные около сферы тетраэдр и куб. Рассмотрим последовательность описанных около данной сферы многогранников, в которой число граней многогранника неограниченно возрастает и при этом наибольший размер каждой грани** многогранника стремится к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей этих многогранников. В п. 84 мы докажем, что этот предел существует, и получим следующую формулу для вычисления площади сферы радиуса R: S = 47lR^. Рис. 163 69* Взаимное расположение сферы и прямой Исследуем взаимное расположение сферы с центром О и прямой а в зависимости от соотношения между радиусом сферы R и расстоянием d от центра сферы до прямой а. Говорят, что сфера касается грани многогранника, если плоскость грани является касательной к сфере и точка касания принадлежит грани. *Наибольшим размером грани мы называем наибольшее расстояние между двумя точками грани. Так, например, если грань является прямоугольником, то ее наибольший размер равен диагонали. 144 Цилиндр, конус и шар Проведем через центр сферы и прямую а плоскость а (если центр сферы лежит на прямой а, то в качестве плоскости а возьмем любую плоскость, проходящую через прямую а). Она пересекает сферу по окружности L с центром О радиуса R. Ясно, что все общие точки сферы и прямой а (если они есть) лежат в плоскости а и, следовательно, на окружности L. Возможны три случая: 1. d > R. В этом случае окружность L и прямая а не имеют общих точек, поэтому сфера и прямая а также не имеют общих точек (рис. 164, а). 2. d = R. В этом случае окружность L и прямая а имеют ровно одну общую точку, поэтому сфера и прямая а также имеют ровно одну общую точку (рис. 164, б). 3. d < R. В этом случае окружность L и прямая а имеют ровно две общие точки, поэтому сфера и прямая а также имеют ровно две общие точки (рис. 164, в). Прямая, имеющая со сферой ровно одну общую точку, называется касательной к сфере, а общая точка — точкой касания прямой и сферы. Докажите самостоятельно, что: радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и прямой, перпендикулярен к этой прямой; если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта прямая является касательной к сфере. Рассмотрим теперь две касательные к сфере с центром О, проходящие через точку А и касающиеся сферы в точках В и С (рис. 165). Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных, проведенными из точки А. Они обладают следующим свойством: отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы. Это следует из равенства прямоугольных треугольников АВО и АСО (они имеют общую гипотенузу АО и катеты О В и ОС, равные радиусу сферы). а) в) Рис. 164 70*С)фера, вписанная в цилиндрическую поверхность Говорят, что сфера вписана в цилиндрическую поверхность, если она касается всех ее образующих. Рассмотрим цилиндр, ограниченный кругами с центрами О и О, радиуса г и цилиндрической 145 Цилиндр, конус и шар поверхностью, а также сферу S с центром О радиуса г (рис. 166). Поскольку расстояние от точки О до каждой из образующих равно радиусу сферы, то эта сфера касается всех образующих, т. е. является сферой, вписанной в цилиндрическую поверхность. Отметим также, что множество всех общих точек сферы S и цилиндрической поверхности представляет собой окружность основания цилиндра. Рассмотрим теперь какую-нибудь плоскость а, пересекающую одну из образующих нашей цилиндрической поверхности и, следовательно, пересекающую все образующие. Докажем, что существует сфера, касающаяся плоскости а и цилиндрической поверхности. Проведем из точки О перпендикуляр ОН к плоскости а (случай, когда плоскость а проходит через точку О, рассмотрите самостоятельно) и обозначим буквой А точку пересечения луча ОН и сферы S (рис. 167, а). Если точки А тл Н совпадают, то сфера S — искомая (обоснуйте это). Если же точки А тл Н не совпадают, то проведем через точку А прямую, параллельную образующей, и обозначим буквой В точку ее пересечения с плоскостью а. При параллельном переносе на вектор АВ сфера S переходит в сферу S' радиуса г с центром О', лежащим на прямой OOj (рис. 167, б), поэтому эта сфера касается цилиндрической поверхности. Расстояние от точки О' до плоскости а равно О'В = ОА (объясните почему), т. е. равно радиусу г. Следовательно, сфера S' касается плоскости а, т. е. является искомой. Утверждение доказано. 71* Сфера, вписанная в коническую поверхность Говорят, что сфера вписана в коническую поверхность, если она касается всех ее образующих. Рассмотрим конус с вершиной Р, ограниченный кругом с центром О и конической поверхностью (рис. 168). Пусть ф — угол между прямой РО и образующей, S — сфера с центром О радиуса РО • sin ф. Поскольку расстояние от точки О до каждой из образующих равно радиусу сферы, то эта сфера касается всех образующих, т. е. является сферой, вписанной в коническую поверхность. Отметим также, что множество 146 Цилиндр, конус и шар всех общих точек сферы S и конической поверхности представляет собой окружность, лежащую в плоскости, параллельной плоскости основания конуса, и удаленной от вершины конуса на расстояние РО • cos^ <р (пользуясь рисунком 168, докажите это самостоятельно). Пусть РА — одна из образующих конуса. Рассмотрим какую-нибудь плоскость а, пересекающую образующую РА конической поверхности в точке В, лежащей на луче РА. Докажем, что существует сфера, касающаяся плоскости а и конической поверхности. Проведем из точки О перпендикуляр ОН к плоскости а (случай, когда плоскость а проходит через точку О, рассмотрите самостоятельно) и обозначим буквой С точку пересечения луча ОН и сферы S (рис. 169). Если точки С и Н совпадают, то сфера S — искомая (обоснуйте это). Если же точки С и Н не совпадают, то проведем через точку С касательную плоскость Р к сфере S. Пусть РМ и PN — перпендикуляры, проведенные из точки Р к плоскостям аир. При центральном подобии с центром Р и коэффициентом, равным (см. п. 58), плоскость Р переходит в плоскость а, а сфера S, касающаяся конической поверхности и плоскости р, переходит в сферу S', касающуюся конической поверхности и плоскости а (докажите это). Следовательно, сфера S' — искомая. Утверждение доказано. 72* Сечения цилиндрической поверхности Мы знаем, что если секущая плоскость перпендикулярна к образующей цилиндрической поверхности, то сечением является окружность. Если секущая плоскость параллельна образующей цилиндрической поверхности, то сечением являются две параллельные прямые (объясните почему). А как выглядит сечение этой поверхности плоскостью а, проходящей под углом Ф к образующей при О < ф < 90°? Пусть М — произвольная точка сечения, Fi — точка касания плоскости а и сферы Sj, касающейся цилиндрической поверхности, L, — окружность, состоящая из точек касания сферы и цилиндрической поверхности, Ml — точка окружности лежащая на 147 Цилиндр, конус и шар одной образующей с точкой М (рис. 170, а). Отрезки MF, и ММ, являются отрезками касательных, проведенными из точки М к сфере S,, поэтому Рассмотрим теперь сферу S2, касающуюся цилиндрической поверхности по окружности Lj, а плоскости а — в некоторой точке F2 (сфера S2 симметрична сфере S, относительно точки пересечения плоскости а и оси цилиндрической поверхности). Пусть М2 — точка окружности L2, лежащая на одной образующей с точкой М. Отрезки MF2 и ММ2, будучи отрезками касательных, проведенными из точки М к сфере S2, равны: MF2 = ММ2. Таким образом, МР, и- MF2 = ММ, + ММ2 = М,Мг. Мы видим, что для любой точки М рассматриваемого сечения сумма МР, + MF2 равна М,М2, т. е. равна расстоянию между параллельными плоскостями окружностей L, и L2, и поэтому не зависит от выбора точки М. Следовательно, все точки сечения лежат на эллипсе с фокусами F^ и F2, расположенном в плоскости а (см. п. 97). Докажем теперь, что любая точка N указанного эллипса является точкой сечения. Проведем через точку N какую-нибудь плоскость (i, проходящую через две образующие цилиндра (например, плоскость осевого сечения). Она пересекает рассматриваемое сечение в двух точках, лежащих на линии а пересечения плоскостей а и р, причем каждая из этих точек (согласно доказанному) принадлежит эллипсу. Но прямая а не может иметь более двух общих точек с эллипсом (см. п. 97). Следовательно, точка N является одной из этих двух точек, т. е. является точкой сечения. Итак, сечением цилиндрической поверхности плоскостью а является эллипс. Замечание Тот факт, что все точки сечения лежат на эллипсе с фокусом JP,, можно установить иначе. Пусть Ь — линия пересечения плоскости а с плоскостью окружности L,, МН — перпендикуляр, проведенный 148 Цилиндр, конус и шар из точки М сечения к прямой Ь (рис. 170, б; на этом рисунке изображением прямой Ь служит точка Н). Тогда ZHMM^ = ф и поэтому мм, Но ММ, = MF,. Следовательно, отношение расстояния от каждой точки М сечения до точки F^ к расстоянию от точки М до прямой Ь равно числу cos ф, не зависящему от точки М и меньшему 1. Иными словами, каждая точка сечения лежит на эллипсе с фокусом F,, директрисой Ь и эксцентриситетом cos ф. 73* Сечения конической поверхности Рассмотрим сечения конической поверхности различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, то сечением являются либо две образующие, либо одна образующая, либо одна точка — вершина конической поверхности (объясните почему). А как выглядит сечение плоскостью а, не проходящей через вершину? Пусть ф — угол между плоскостью а и осью конической поверхности (т. е. осью какого-нибудь конуса, ограниченного кругом и этой поверхностью). Если ф = 90°, то, как мы знаем, сечением является окружность. Пусть ф Ф 90°, 0 — угол между осью конической поверхности и ее образующей, М — произвольная точка сечения, F — точка касания плоскости а и сферы S, касающейся конической поверхности, L — окружность, состоящая из точек касания сферы и конической поверхности, М, — точка окружности L, лежащая на одной образующей с точкой М (рис. 171). Отрезки MF и ММ, являются отрезками касательных, проведенными из точки М к сфере S, поэтому MF = ММ,. Проведем из точки М перпендикуляр МК к плоскости Р окружности L, обозначим буквой Ъ линию пересечения плоскостей а и Р и проведем из точки М перпендикуляр МН к прямой Ь. Тогда ZKMMi = 0, ZKMH= ф и из прямоугольных треугольников MKMi и МКН находим: МК = ММ, cos 0, МК ~ МН cos ф. Учитывая, что ММ, = MF, приходим к равенству: MF _ созф МН cos 0 ’ 149 Цилиндр, конус и шар Мы видим, что если cos (р < cos 0, то все точки сечения лежат на эллипсе с фокусом F и директрисой Ь, если cos (р = cos 0, то на параболе с фокусом F и директрисой Ь, а если cos <р > cos 0, то на гиперболе с фокусом F и директрисой Ь. Доказательство того, что каждая точка указанных линий является точкой сечения (аналогичное соответствующему доказательству в п. 72), проведите самостоятельно. Итак, в зависимости от угла между секущей плоскостью и осью конической поверхности сечение может быть эллипсом, параболой или гиперболой. По этой причине эллипс, параболу и гиперболу часто объединяют общим названием конические сечения. Замечания 1. В случае cos ф * cos 0 можно рассмотреть еще одну сферу, касающуюся плоскости а и конической поверхности, и привести еще одно доказательство того, что каждая точка сечения лежит либо на эллипсе, либо на гиперболе. Подумайте, как это сделать. 2. Из доказанного утверждения следует, что центральной проекцией окружности может быть либо эллипс, либо парабола, либо одна из ветвей гиперболы (объясните почему). Этот факт хорошо известен нам из опыта. Так, ближний свет автомобильной фары освещает часть асфальта, ограниченную эллипсом, а дальний — гиперболой. Задачи 573 Точки А и В лежат на сфере с центром О е АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что: а) если М — середина отрезка АВ, то ОМ ХАВ; б) если ОМ ХАВ, то М — середина отрезка АВ. 574 Точка М — середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если В = 50 см, АВ = = 40 см; б) ОМ, если В = 15 мм, АВ = 18 мм; в) АВ, если В = 10 дм, ОМ = 60 см; г) AM, если В = а, ОМ = Ь. 575 Точки А и В лежат на сфере радиуса В. Найдите расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ = т. 576 Напишите уравнение сферы радиуса В с центром А, если: а) А (2; -4; 7), В = 3; б) А (0; 0; 0), В = V2; в) А (2; 0; 0), В = 4. 577 Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если: а) А (-2; 2; 0), N (5; 0; -1); б) А (-2; 2; 0), N (0; 0; 0); в) А (0; 0; 0). N (5; 3; 1). 150 Цилиндр, конус и шар 578 Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) + + z^ = 49; б) {х - 3)' + {у + 2f + z^ = 2. 579 Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) х'^ - Ах + у^ + z^ = 0; б) х^ + у^ + z^ - 2у = 24; в) х^ + 2х + + у’^ + z’^ = 3-, г) x^-x + y^ + 3y + z^-2z = 2,5. 580 Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения. 581 Вершины треугольника АВС лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см. 582 Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см. 583 Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см. 584 Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 13 см, ВС = 14 см, СА = 15 см. 585 Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба. 586 Отрезок ОН — высота тетраэдра ОАВС. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром О и плоскости АВС, если: а) В = 6 дм, ОН = 60 см; б) В = 3 м, ОН = 95 см; в) В = 5 дм, ОН = 45 см; г) В = 3,5 дм, ОН = 40 см. 587 Расстояние от центра шара радиуса В до секущей плоскости равно d. Вычислите: а) площадь S сечения, если В = 12 см, d = 8 см; б) В, если площадь сечения равна 12 см^, d = 2 см. 588 Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен В. Найдите: а) радиус получившегося сечения; б) площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение. 589 Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса В так, что угол между диаметром и плоскостью равен а. Найдите длину окружности, получивщейся в сечении, если: а) В = 2 см, а = 30°; б) В = 5 м, а = 45°. 590 Через точку сферы радиуса В, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом ф к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара. 591 Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а. 151 Цилиндр, конус и шар 592 593 594 595 596 597 598 599 600 Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы. Найдите площадь сферы, радиус которой равен: а) 6 см; б) 2 дм; в) л/2 м; г) 2л/3 см. Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 9 м^. Найдите площадь сферы. Площадь сферы равна 324 см^. Найдите радиус сферы. Докажите, что площади двух сфер пропорциональны квадратам их радиусов. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м. Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы. Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны Tj и Tg. Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата. Вопросы к главе VI 1 Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра? 2 Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей? 3 На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра? 4 Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты второй, но радиус ее основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля? 5 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью? 6 Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину? 7 Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ? 8 Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2 л/2 см лежать на сфере радиуса л/5 см? 152 Цилиндр, конус и шар 9 Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость? 10 Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом? Дополнительные задачи 601 Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно к этому радиусу. 602 Вершины А и В прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины С и D — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна а, АВ = а, а угол между прямой ВС и плоскостью основания равен 60°. 603 Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну. (В этом случае плоскость называется касательной плоскостью к цилиндру.) 604 При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получаются цилиндры, площади полных поверхностей которых равны Sj и Вг. Найдите диагональ прямоугольника. 605 Найдите отношение площадей полной и боковой поверхностей цилиндра, если осевое сечение цилиндра представляет собой: а) квадрат; б) прямоугольник ABCD, в котором АВ : AD = 1:2. 606 Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте. 607 Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2р. 608 Толщина боковой стенки и дна стакана цилиндрической формы равна 1 см, высота стакана равна 16 см, а внутренний радиус равен 5 см. Вычислите площадь полной поверхности стакана. 609 Четверть круга свернута в коническую поверхность. Докажите, что образующая конуса в четыре раза больше радиуса основания. 610 Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, имеющего три попарно перпендикулярные образующие. 611 Площадь основания конуса равна Si, а площадь боковой поверхности равна Sq. Найдите площадь осевого сечения конуса. 612 Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса »т равно Найдите угол между образующей и плоскостью основа- О ния конуса. 613 Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120°, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см. 153 Ци.шнОр. конус и шар 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 270°. Прямоугольный треугольник с катетами а и Ь вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученного тела. Равнобедренная трапеция, основания которой равны 6 см и 10 см, а острый угол 60°, вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности полученного тела. Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычислите площадь полной поверхности правильной л-угольной пирамиды, вписанной в конус*, если: а) п = 3; б) л = 4; в) л = 6. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь равна 36 дм^. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса. Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере, а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника, б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см. Точка А лежит на радиусе данной сферы с центром О и делит этот радиус в отношении 1 : 2, считая от центра сферы. Через точку А проведена плоскость а так, что радиус сферы с центром О, касающейся плоскости а, в 6 раз меньше радиуса данной сферы. Найдите: а) угол между прямой ОА и плоскостью а; б) отношение площади сечения данной сферы плоскостью а к площади самой сферы. Найдите координаты точек пересечения сферы, заданной уравнением (х - 3)^ + + (г + 5)^ = 25, с осями координат. Найдите радиус сечения сферы = 36 плоскостью, прохо- дящей через точку М (2; 4; 5) и перпендикулярной к оси абсцисс. Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере. Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра. а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно 1,6Д. Точки А, В, С и D лежат на сфере радиуса R, причем ZADB = = Z BDC = ZCDA = 2^, AD = BD = CD. Найдите: а) АВ и AD; б) плошадь сечения сферы плоскостью АВС. Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. 154 Цилиш)р, конус м шар 627 Вне сферы радиуса 10 см дана точка М на расстоянии 16 см от ближайшей точки сферы. Найдите длину такой окружности на сфере, все точки которой удалены от точки М на расстояние 24 см. 628 Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере. Ра.зные .задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар Поясним некоторые термины, которые встречаются в задачах этого раздела. Напомним, что многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника. 629 Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы* проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны. 630 В конус высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса. 631 В усеченный конус вписана правильная усеченная п-угольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченного конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды при: а) л = 3; б) л = 4; в) л = 6. 632 Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы. 633 Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды. 634 Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы радиуса R многогранника, если этот многогранник: а) куб; б) правильная шестиугольная призма; в) правильный тетраэдр. 635 Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен а. а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. б) Вычислите эту площадь при R = 5 см, а = 60°. 636 Докажите, что если в правильную усеченную четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований ее боковой грани. Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. 155 Цилиндр, конус и шар 637 Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или ее продолжении. 638 Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу; б) в любой тетраэдр можно вписать сферу. 639 Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна R; в) вписанного правильного тетраэдра. 640 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро равно 2а. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер. 641 В правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды. 642 Сфера вписана в цилиндр (т. е. она касается оснований цилиндра и каждой его образующей, рис. 172, а). Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра. 643 В конус с углом ф при вершине осевого сечения и радиусом основания г вписана сфера радиуса R (т. е. сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 172, б). Найдите: а) г, если известны Л и ф; б) R, если известны г и ф; в) ф, если Д = 1 см, г = см. 644 В конус вписана сфера радиуса г. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол между образующей и основанием конуса равен а. 645 Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 173, а). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания. 646 Конус с углом ф при вершине осевого сечения и радиусом основания г вписан в сферу радиуса R (т. е. вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 173, б). Найдите: а) г, если известны Д и ф; б) R, если известны г и ф; в) ф, если R = 2г. 156 Цилиндр, конус и шир Глава VII Объемы тел Объем прямоугольного параллелепипеда 74 Понятие объема Понятие объема тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Из курса планиметрии известно, что каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см®. Аналогично определяются кубический метр (м®), кубический миллиметр (мм®) и т. д. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1 см® и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут V = 2 см®. Если два тела равны, то каждое из них содержит столько же единиц измерения объемов и ее частей, сколько и другое тело, т. е. имеет место следующее свойство объемов: 1°. Равные тела имеют равные объемы. Замечание Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в пла- 157 Объемы тел ниметрии: два тела называются равными, если их можно совместить наложением. Примерами равных тел являются два прямоугольных параллелепипеда с соответственно равными измерениями (рис. 174, а), две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами, две правильные пирамиды, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 174, б). В каждом из указанных случаев равенство двух тел можно доказать на основе аксиом наложения и равенства фигур (см. приложение 2). Рассмотрим еще одно свойство объемов. Пусть тело составлено из нескольких тел. При этом мы предполагаем, что любые два из этих тел не имеют общих внутренних точек, но могут иметь общие граничные точки (см. рисунок 175, на котором цилиндр Q и конус F имеют общие граничные точки — точки их общего основания). Ясно, что объем всего тела складывается из объемов составляющих его тел. Итак, 2”. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел. Свойства 1® и 2® называют основными свойствами объемов. Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков и площади многоугольников. В дальнейшем на основе этих свойств мы выведем формулы для вычисления объемов параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара. Предварительно отметим одно следствие из свойств 1® и 2®. Рассмотрим куб, принятый за единицу измерения объемов. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьем каждое ребро этого куба на п равных частей (п — произвольное целое число) и проведем через точки разбиения плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Куб разобьется на га® равных маленьких кубов с ребром i. Так как сумма объемов всех малень- П ких кубов равна объему всего куба (свойство 2®), т. е. равна 1, то объем каждого из маленьких кубов равен П (объемы маленьких кубов равны друг другу по свойству 1®). Итак, объем куба с ребром — равен . п® Этот факт нам понадобится в следующем пункте при выводе формулы объема прямоугольного параллелепипеда. Рис. 174 Рис. 175 158 Объ1мы т<-.1 75 Объем прямоугольного параллелепипеда Теорема иГи' Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений. ▼ Доказательство Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда Р буквами а, Ь, с, а его объем буквой V, и докажем, что V = аЬс. Могут представиться два случая. 1) Измерения а, Ь и с представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит п (можно считать, что га > 1). В этом случае числа а • Ю", Ь • 10" и с • 10" являются целыми. Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед Р разобьется на аЬс • 10®" равных кубов с ребром Так как объем каждого такого куба равен 10' Зп 10" (см. п. 74), то объем всего параллелепипеда Р равен аЬс - 10 Зл Д— = аЬс. 10 Зл Итак, V = аЬс. 2) Хотя бы одно из измерений а, Ь и с представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби а„, Ь„, с„, которые получаются из чисел а, Ь, с, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с (га + 1)-й. Очевидно, а„ < а < а', где а' = а. + , и аналогичные « п 10” неравенства справедливы для Ь и с. Перемножив эти неравенства, получим а„Ь„с„ < аЬс < а'„Ь'„с'„ , где Ь'„ = Ь„ + с'„ = с„ + ^. (1) По доказанному в первом случае левая часть (1) представляет собой объем V„ прямоугольного параллелепипеда Р„ с измерениями а„, Ь„, с„, а правая часть — объем И' прямоугольного параллелепипеда Р'„ с измерениями а', Ь'„, с'„. Так как параллелепипед Р содержит в себе параллелепипед Р„, а сам содержится 159 Объемы тел в параллелепипеде Р'„ (рис. 176), то объем V параллелепипеда Р заключен между V„ = а„Ь„с„ и V„' = а'„Ь'„с'„, т. е. aACn• тсг^, то правая и левая части неравенств (2) стремятся к величине nr^h. Следовательно, V = nr^h. (3) Обозначив площадь кг^ основания цилиндра буквой S, из формулы (3) получим V=S - h. Теорема доказана. Д Рис. 182 Вопросы и задачи 659 Найдите объем прямой призмы ABCA^Bfii, если: а) /.ВАС = 120°, АВ = 5 см, АС = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см^; б) /АВуС = 60°, А6, = 3, СВ, = 2 и двугранный угол с ребром ВВ, прямой. 660 Найдите объем прямой призмы ABCA,B,Ci, если АВ = ВС = т, /АВС = ф и ВВ, = BD, где BD — высота треугольника АВС. 661 Найдите объем прямой призмы АВСА,В,С,, если АВ = ВС, /АВС = а, диагональ А,С равна I и составляет с плоскостью основания угол р. 662 Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную а, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол р с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объем данной призмы. 663 Найдите объем правильной л-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) л = 3; б) л = 4; в) л = 6; г) л = 8. 664 В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона основания равна а. 164 ООьемы пил 665 Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы. 666 Пусть V, г и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) V, если г = 2л[2 см, Л = 3 см; б) г, если V = 120 см^, h = 3,6 см; в) Л, если г = h, К = 8л см^. 667 Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6 г/см^). 668 Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см®? 669 Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S. Найдите объем цилиндра. 670 Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см®) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м? 671 В цилиндр вписана правильная л-угольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, если; а) л = 3; б) л = 4; в) л = 6; г) л = 8; д) л — произвольное целое число. 672 В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему углом а. Найдите объем цилиндра, если высота призмы равна Л. 3 Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса 78 Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла Рассмотрим способ вычисления объемов тел, основанный на понятии интеграла, которое известно из курса алгебры и начал анализа. Пусть тело Г, объем которого нужно вычислить, заключено между двумя параллельными плоскостями аир (рис. 183). Введем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна к плоскостям а и р, и обозначим буквами а и Ь абсциссы точек пересечения оси Ох с этими плоскостями (а < Ь). Будем считать, что тело таково, что его сечение Ф (л:) плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х и перпендикулярной к оси Ох, является либо кругом, либо многоугольником для любого X 6 [а; 5] (при х = а ч х = Ь сечение может вырождаться в точку, как, например, при 165 ОПьемы тел X = а на рисунке 183). Обозначим площадь фигуры Ф (х) через S (х) и предположим, что S (х) — непрерывная функция на числовом отрезке [а; б]. ▼ Разобьем числовой отрезок [а; Ь] на п равных отрезков точками а = Xq, х,, Хг, х„ = Ь и через точки с абсциссами х, проведем плоскости, перпендикулярные к оси Ох (рис. 184). Эти плоскости разбивают тело Т на п тел: Г,, Tg, ..., Т„. Если сечение Ф (х,) — круг, то объем тела Т, (выделенного красным цветом на рисунке 184) приближенно равен объему цилиндра с основанием Ф (х,) “А Ь-а и высотой Дх, = X, - X, _, =-. п Если Ф (Xj) — многоугольник, то объем тела Т, приближенно равен объему прямой призмы с основанием Ф (х,) и высотой Дх,. И в том и в другом случае объем тела Г, приближенно равен S (х,) • Дх„ а объем V всего тела Т можно приближенно вычислить по формуле V^V„=f^S(x,)^x,. <=1 Приближенное значение V„ объема тела Т тем точнее, чем больше п и, следовательно, меньше Дх,. Примем без доказательства, что lim равен Л—*оо объему тела, т. е. V = lim . п— оо с другой стороны, сумма V„ является интегральной суммой для непрерывной функции S (х) на числовом отрезке [а; Ь], поэтому 166 Объемы тел lim = f S (x) dx. Д n-»oo J в результате получается следующая формула для вычисления объема тела с помощью интеграла: ь K = J S{x)dx. а Назовем ее основной формулой для вычисления объемов тел. Пользуясь этой формулой, вычислим объемы некоторых тел, изученных нами в главах III и VI. ▼ Замечание. Из основной формулы для вычисления объемов тел следует, что отношение объемов подобных тел (см. п. 58) равно кубу коэффициента подобия. Подумайте, как это доказать. Д 79 Объем наклонной призмы Теорема Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту. ▼ Доказательство Докажем сначала теорему для треугольной призмы, а затем — для произвольной призмы. 1. Рассмотрим треугольную призму с объемом V, площадью основания S и высотой Л. Отметим точку О на одном из оснований призмы и направим ось Ох перпендикулярно к основаниям (рис. 185, а). Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S (х) — площадь получившегося сечения. Докажем, что площадь S (д:) равна площади S основания призмы. Для этого заметим, что треугольники АВС (основание призмы) и А,В,С, (сечение призмы рассматриваемой плоскостью) равны. В самом деле, четырехугольник АА,В,В — параллелограмм (отрезки AAi и ВВ^ равны и параллельны), поэтому AjB, =АВ. Аналогично доказывается, что BjCi = BC и А,С, =АС. Итак, треугольники A,B,Ci и АВС равны по 6J Рис. 185 167 Объемы тел трем сторонам. Следовательно, S (х) = S. Применяя теперь основную формулу для вычисления объемов тел при а = О и Ь = h, получаем А л А |А К = J S (л:) dx = J Sdx = sJd^: = S- a:|o = S- /i. о 0 0 2. Докажем теперь теорему для произвольной призмы с высотой Л и площадью основания S. Такую призму можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h (на рисунке 185, б показано разбиение для выпуклой пятиугольной призмы). Выразим объем каждой треугольной призмы по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель Л, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен S • h. Теорема доказана. А Замечание Для наклонной призмы существует и другой способ вычисления объема, а именно: объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей их. Коротко говорят так: объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения (см. задачу 682). 80 Объем пирамиды Теорема Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. ▼ Доказательство Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, а затем — для произвольной пирамиды. 1. Рассмотрим треугольную пирамиду О АВС с объемом V, площадью основания S и высотой Л. Проведем ось Ох (рис. 186, а, где ОМ — высота пирамиды) и рассмотрим сечение AlB^C^ пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М, пересечения этой плоскости с осью Ох, а через 168 Объемы тел S (д:) — площадь сечения. Выразим S (дс) через S, h и х. Заметим, что треугольники и АВС подобны. В са- мом деле, AjBi || АВ, поэтому AOAjB, АОАВ. Следова-тельно, ^ Прямоугольные треугольники OAiM^ и ОАМ также подобны (они имеют общий острый угол с вершиной О). Поэтому - * - О ОА ОМ Таким образом, -J—L = £ и ВС h ЧТО = р Аналогично доказывается, ^1-^1 _ л СА = Итак, треугольники А.В.С, П и АВС подобны с коэффициентом подобия П Следова- тельно, =( — (tr или S(x) = -4-x^ Применяя теперь основную формулу для вычисления объемов тел при о = О, Ь = h, получаем h h h |/1 F = fS(A:)dx= f4-^:^c(x = 4- f L = 4S-Л. J ' ' J ft2 f^г i *2 3 I® 3 0 0 0 2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S. Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой Л (на рисунке 186, б показано разбиение для выпуклой пятиугольной пирамиды). Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель i Л, получим в скобках сумму площадей О оснований треугольных пирамид, т. е. площадь S основания исходной пирамиды. Таким образом, объем исходной пирамиды равен i Sh. Теорема доказана. А О Следствие б) Рис. 186 Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и 5], вычисляется по формуле V = ife(S + S, +VS-S, ). Пользуясь тем, что усеченная пирамида получается из обычной пирамиды путем отсечения от нее меньшей пирамиды и, следовательно, объем усеченной пирамиды равен разности объемов данной пирамиды и отсеченной, выведите эту формулу самостоятельно. 169 Объемы тел 81 Объем конуса Теорема Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. ▼ Доказательство Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высотой k и вершиной в точке О. Введем ось Ох так, как показано на рисунке 187 (ОМ — ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке М| пересечения этой плоскости с осью Ох (п. 61). Обозначим радиус этого круга через Д), а площадь сечения через S (jc), где х — абсцисса точки М,. Из подобия прямоугольных треугольников OMiAi и ОМА следует, что = л ОМ, _ я, ~Ш Я =J Л2 j x^dx = 71Я' |о = |дД^Л. Площадь S основания конуса равна nR^, О откуда Д, - Так как S (х) = kR\, то S(x) = ^x^. А* Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а = О, Ъ — h, получаем поэтому И = i Sh. Теорема доказана. А U Следствие Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S,, вычисляется по формуле V = lft(S + S, +4S-S, ). Пользуясь рисунком 188, выведите эту формулу самостоятельно. 170 Объемы те.1 Задачи 673 Сечение тела, изображенного на рисунке 189, плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку с абсциссой X, является квадратом, сторона которого равна i. Найдите объем этого тела. 674 Фигура, заштрихованная на рисунке 190, вращается вокруг оси Ох. Найдите объем полученного тела. 675 Фигура, заштрихованная на рисунке 191, вращается вокруг оси Оу. Найдите объем полученного тела. 676 Найдите объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 60°. 677 Найдите объем наклонной призмы ABCA^Bfi^, если АВ = ВС = = СА=а, ABBiAi —ромб, АВ^ < ВАх, АВ^ = Ь, двугранный угол с ребром АВ прямой. 678 Основанием призмы ABCA^Bfi^ является равносторонний треугольник АВС со стороной т. Вершина А, проектируется в центр этого основания, а ребро АА, составляет с плоскостью основания угол ф. Найдите объем призмы. 679 Основанием наклонной призмы ABCA^Bfi^ является прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ = 7 см и АС = 24 см. Вершина Aj равноудалена от вершин А, В к С. Найдите объем призмы, если ребро АА, составляет с плоскостью основания угол в 45°. 680 Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами а и Ь. Боковое ребро длины с составляет со смежными сторонами основания углы, равные ф. Найдите объем параллелепипеда. 681 Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда. 682 Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей их. 171 Объг.чы тел 683 Найдите объем наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а площадь боковой поверхности равна 480 см^. 684 Найдите объем пирамиды с высотой Л, если: а) Л = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м; б) Л = 2,2 м, а основанием служит треугольник АВС, в котором АВ = 20 см, ВС = 13,5 см, ZABC = 30°. 685 Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см. 686 Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром I, если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол (р; б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол а; в) плоский угол при вершине равен р. 687 В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен ф, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды. 688 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если: а) ее высота равна Н, а двугранный угол при основании равен Р; б) сторона основания равна т, а плоский угол при вершине равен а. 689 Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т и составляет с плоскостью основания угол ф. Найдите объем пирамиды. 690 Найдите объем и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см. 691 Основание пирамиды — равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол в 30°. Вычислите объем пирамиды. 692 Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами а и Ь. Каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ф. Найдите объем пирамиды. 693 Докажите, что если в пирамиду можно вписать шар, то объем V пирамиды можно вычислить по формуле V = 1S • г, где S — пло- и щадь полной поверхности пирамиды, а г — радиус вписанного в пирамиду шара. 694 Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 1,5 см. 695 Найдите объем треугольной пирамиды SABC, если: а) ZCAB = 90°, ВС = с, ZABC = ф и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 0; б) АВ = 12 см, ВС = СА = 10 см и двугранные углы при основании равны 45°; в) боковые ребра попарно перпендикулярны и имеют длины а, Ь и с. 172 Объемы mv.t 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором АВ = 20 см, АС = 29 см, ВС = 21 см. Грани DAB и ВАС перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60°. Найдите объем пирамиды. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны а и 0,5а, апофема боковой грани равна а. Найдите объем усеченной пирамиды. Основания усеченной пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны т и п {т > п). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним угол ф. Найдите объем усеченной пирамиды. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объем полученной усеченной пирамиды. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 4 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15 см^. Найдите объем усеченной пирамиды. Пусть Л, г и Г соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите: а) V, если Л = 3 см, г = 1,5 см; б) Л, если г = 4 см, V = 48д см®; в) г, если h = т, V = р. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см®. Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р. Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объем конуса, если его высота равна Н. Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см®. Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324д см®. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость. Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм®. Развернутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объем конуса. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем усеченного конуса. В усеченном конусе известны высота Л, образующая I и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объем усеченного конуса. 173 Объемы тел § 4 Объем шара и площадь сферы 82 Объем шара Теорема Объем шара радиуса R равен Q ▼ Доказательство Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 192). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через г, а его площадь через S (д:), где X — абсцисса точки М. Выразим S (х) через д: и Д. Из прямоугольного треугольника ОМС находим (1) г = ^ОС^-ОМ^ -х^. Так как S (д:) = лг^, то S (д:) = л (Д^ - дг"). Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. для всех х, удовлетворяющих условию -Д < д: < Д. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а = -Д, Ь = R, получаем: R R R V = j п (Д^ - x^)dx = nR^ j dx-n jx^dx = = лД^хЦ-И- Теорема доказана. Л 83 Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора а) Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На рисунке 193 секущая плоскость а, проходящая через точку В, разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием 174 Объемы тел каждого из этих сегментов, а длины отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегментов. Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рисунке 193 h = АВ), то объем V шарового сегмента вычисляется по формуле V = nh^ ▼ Действительно, проведем ось Ох перпендикулярно к плоскости а (см. рис. 193). Тогда площадь S (х) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, выражается формулой (1) при Д - Л < X < Д. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а = R - h, Ь = R, получаем: V = n |(Д==-x2)dx = л^Д2x-^j|„.^ = 7сЛ2|^Д-1л]. А б) Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями (рис. 194). Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями — высотой шарового слоя. Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов. Например, объем шарового слоя, изображенного на рисунке 194, равен разности объемов шаровых сегментов, высоты которых равны АС и АВ. в) Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов (рис. 195). Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен Д, а высота шарового сегмента равна Л, то объем V шарового сектора вычисляется по формуле У = |лД2/г. Выведите эту формулу самостоятельно. Шаровой сегмент Рис. 193 Рис. 194 Шаровой сектор Рис. 195 175 Объемы тел 84* Площадь сферы В п. 68 мы привели без доказательства формулу для вычисления площади S сферы радиуса R: S=4лй^ Выведем эту формулу, пользуясь формулой для объема шара. Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке О и описанный около нее многогранник, имеющий п граней. Занумеруем грани в произвольном порядке и обозначим через S, площадь i-й грани (i = 1, 2, ..., п). Соединив центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника, получим п пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами — радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой. Следовательно, объем i-й пирамиды равен ^S^R, О а объем всего описанного многогранника равен: К = У 4s,-r = у S, = , л ^ 3 I 3 t 3 " ’ где Р„ =^Si — площадь поверхности многогранника. Отсюда получаем Р. = 3^ R (2) Будем теперь неограниченно увеличивать п таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объем V„ описанного многогранника будет стремиться к объему шара. В самом деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит 5, то описанный многогранник содержится в шаре радиуса R + Ь е центром в точке О. С другой стороны, описанный многогранник содержит исходный шар радиуса R. Поэтому i nR^ < F„ < i л (i? -t- 6)®. о о Так как ^n{R + 5)® 1лЛ® при 8 -» о, то и F„ ^ лД® при 5 О (ц ->■ оо). 176 Объемы те.1 Переходя затем к пределу в равенстве (2), получаем lim Р = lim = А Ищ К = 1 -1 . Л^оо " л-оо Д Д П-00 " Д 3 По определению площади сферы S = lim Р„, следовательно, S = 4kR\ Вопросы и за,дачи 710 Пусть V — объем шара радиуса R, а S — площадь его поверхности. Найдите: а) S и F, если Д = 4 см; б) Р и S, если V = 113,04 см®; в) Р и F, если S = 64л см®. 711 Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами. 712 Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара. 713 Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает? 714 В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке? 715 Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см? 716 Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему одного шара? 717 Найдите объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см. 718 Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R. 719 В шаре проведена плоскость, перпендикулярная к диаметру и делящая его на части 6 см и 12 см. Найдите объемы двух полученных частей шара. 720 Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см. 721 Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора. 7 77 Объемы тел 722 Вода покрывает приблизительно -f земной поверхности. Сколько 4 квадратных километров земной поверхности занимает суша? (Радиус Земли считать равным 6375 км.) 723 Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.) 724 Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса. Вопросы к главе VII 1 Каким соотношением связаны объемы Vi и V2 тел Pi и Р2, если: а) тело Pi содержится в теле Рг; б) каждое из тел Р, и Рг составлено из п кубов с ребром 1 см? 2 Какую часть объема данной прямой треугольной призмы составляет объем треугольной призмы, отсеченной от данной плоскостью, проходящей через средние линии оснований? 3 Изменится ли объем цилиндра, если диаметр его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза? 4 Как изменится объем правильной пирамиды, если ее высоту увеличить в п раз, а сторону основания уменьшить в п раз? 5 Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объемы этих пирамид? 6 Как относятся объемы двух конусов, если их высоты равны, а отношение радиусов оснований равно 2? 7 Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания? 8 Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объемы этих конусов? 9 Диаметр одного шара равен радиусу другого. Чему равно отношение: а) радиусов этих шаров; б) объемов шаров? 10 Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объемов равнялась объему шара радиуса 6 см? 11 Во сколько раз объем шара, описанного около куба, больше объема шара, вписанного в этот же куб? 12 Как изменится площадь сферы, если ее радиус: а) уменьшить в 2 раза; б) увеличить в 3 раза? 13 Отношение объемов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей? 14 В каком отношении находятся объемы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как : п 178 Об he мы тс.1 Дополнительные задачи 725 Площади трех попарно смежных граней прямоугольного параллелепипеда равны S,, §2, S3. Выразите объем этого параллелепипеда через S,, S2, S3 и вычислите его при S, = 6 дм^, S2 = 12 дм^, S3 = 18 дм^. 726 В прямоугольном параллелепипеде диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объем параллелепипеда. 727 Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно а. Сечение, проведенное через две стороны разных оснований, является квадратом с площадью Q. Найдите объем параллелепипеда. 728 Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и 3 -J2 см, а острый угол основания равен 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда. 729 В прямом параллелепипеде ASCZ)A,B,Ci2), диагонали ВП, и А^С взаимно перпендикулярны и равны б см и 8 см, АВ = 3 см. Найдите объем параллелепипеда. 730 В прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, пять ребер равны а, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объем призмы. 731 Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 3 м^, а наименьшая и наибольшая из площадей боковых граней равны 3 м^ и 3 Vs м^. Найдите длины ребер призмы. 732 Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d и составляет угол ф с плоскостью другой боковой грани. Найдите объем призмы. 733 Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра. 734 На трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка АА,, ВВ^ и СС,. Докажите, что объем призмы, боковыми ребрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых. 735 Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам 20, 37, 51. Боковое ребро равно 0,5 дм, а площадь боковой поверхности равна 10,8 дм^. Найдите объем призмы, 736 Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол ф, а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии т от нее. 737 Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с основанием угол ф, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное т. Найдите объем пирамиды. 179 ООы-мы тел 738 Высота правильной треугольной пирамиды равна Л, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен 2ф. Найдите объем пирамиды. 739 В правильной п-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды. 740 Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны (р, и фг- Высота пирамиды равна Л, а каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол фз. Найдите объем пирамиды. 741 Основанием четырехугольной пирамиды, высота которой равна Н, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом а. Попарно равные противоположные боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы р и у. Найдите объем пирамиды. 742 Основанием пирамиды является ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют тупой двугранный угол ф. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания двугранные углы 0. Найдите объем пирамиды. 743 Два ребра тетраэдра равны Ь, а остальные четыре ребра равны а. Найдите объем тетраэдра, если ребра длины Ь: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек. 744 В усеченной пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2 : 5. В каком отношении делится ее объем плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям? 745 Найдите объем цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности равна S, а площадь основания равна Q; б) осевое сечение является квадратом, а высота равна Л; в) осевое сечение является квадратом, а площадь полной поверхности равна S. 746 Докажите, что объемы двух цилиндров, у которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы. 747 Конический бак имеет глубину 3 м, а его круглый верх имеет радиус 1,5 м. Сколько литров жидкости он вмещает? Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар 748 В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна а, а острый угол между его диагоналями равен ф1. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол фз. Найдите объем конуса. 749 Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым углом ф. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 0. Найдите объем конуса. 750 В цилиндр вписан шар. Найдите отношение объемов цилиндра и шара. 180 Объемы тел 751 Найдите объем конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм. 752 В конус, радиус основания которого равен г, а образующая равна I, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса. 753 В усеченный конус, радиусы оснований которого равны г и Tj, вписан шар. Найдите отношение объемов усеченного конуса и шара. 754 В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом а при основании вписан шар объема V. Найдите объем пирамиды. 755 В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом а, вписан шар. Найдите объем шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол (J. 756 В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол а. Найдите объем цилиндра. 757 В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен а. Образующая цилиндра равна L Найдите объем шара. 758 В шар вписан конус, радиус основания которого равен г, а высота равна Н. Найдите площадь поверхности и объем шара. 759 В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объем шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол а. 760 В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол (3. Найдите площадь поверхности и объем шара. 761 Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м^? 762 Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший? 763 Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди 8,9 г/см®.) Задачи для повторения 764 В правильной треугольной призме АВСА,В,С, сторона основания равна 6 см, а боковое ребро равно 3 см. а) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ABCj. б) Докажите, что прямая AiB, параллельна плоскости АС^В. в) Найдите угол, который составляет прямая В,С с плоскостью АВС. г) Найдите угол между плоскостями AS,С и АВС. 181 Обы'мы тел д) Найдите длину вектора - ВС + 2А,А - CjC е) Найдите объем призмы. 765 В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона АВ основания равна 6л/2 см, а боковое ребро МА равно 12 см. Найдите: а) площадь боковой поверхности пирамиды; б) объем пирамиды; в) угол наклона боковой грани к плоскости основания; г) угол между боковым ребром и плоскостью основания; д) скалярное произведение векторов (АВ + AD) AM; е) площадь сферы, описанной около пирамиды. 766 В правильной треугольной пирамиде DABC высота DO равна 3 см, а боковое ребро DA равно 5 см. Найдите: а) площадь полной поверхности пирамиды; б) объем пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания; г) угол наклона боковой грани к плоскости основания; д) скалярное произведение векторов ^{DB + DC)MA, где М — сере-дина ребра ВС; е) радиус шара, вписанного в пирамиду. 767 В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое ребро МА, равное 8 см, наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите: а) площадь боковой поверхности пирамиды; б) объем пирамиды; в) угол между противоположными боковыми гранями; г) угол между боковой гранью и плоскостью основания; д) скалярное произведение векторов ^{MB + MD)MK, где К — середина ребра АВ; е) радиус описанного около пирамиды шара. Задачи повышешо!! трудности 768 В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, в котором ZC = 90°, АС = 4 см, ВС = 3 см. Грань MAC перпендикулярна к плоскости основания, а две другие боковые грани составляют равные углы с плоскостью основания. Расстояние от основания высо- 3 у/2 ты МН пирамиды до грани МВС равно —— см. Найдите площадь 4 боковой поверхности пирамиды. 769 Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней. 770 Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О равны 90°. Докажите, что площадь треугольника АОВ равна среднему геометрическому площадей треугольников АВС и О^АВ, где О, — проекция точки О на плоскость АВС. 182 Объе.мы тел 771 Через ребро тетраэдра проведена плоскость, разделяющая двугранный угол при этом ребре пополам. Докажите, что она делит противоположное ребро тетраэдра в отношении, равном отношению площадей граней, заключающих этот двугранный угол. 772 Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости? 773 Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра. 774 Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести. 775 Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой. 776 Разбейте куб на шесть равных тетраэдров. 777 Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук? 778 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров. 779 Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани. 780 Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму к^а с ребром 1 см? 781 Дан куб ABCZ)A,B,C,D,. Докажите, что пересечение тетраэдров АВ,СП, и CiBAiD есть правильный октаэдр. 782 Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед. 783 Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см. 784 Отрезки АВ и CD перемещаются по скрещивающимся прямым. Докажите, что объем тетраэдра ABCD при этом не изменяется. 785 Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра. 786 Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра. 787 В правильном треугольнике АВС сторона равна а. Отрезок AS длины а перпендикулярен к плоскости АВС. Найдите расстояние и угол между прямыми АВ и SC. 183 Объемы mcj 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 В правильном треугольнике АВС сторона равна а. На сонаправлен-ных лучах BD и СЕ, перпендикулярных к плоскости АВС, взяты точки D и Е так, что BD = -^,СЕ = а42. Докажите, что треуголь- ник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями АВС и ADE. Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер. Основание АВС тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание АВС под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоположном направлении по отношению к входящему лучу. (На этом свойстве основано устройство уголкового отражателя, который, в частности, был запущен на Луну для измерения расстояния до нее с помощью лазера.) Из точки А исходят четыре луча АВ, АС, AD и АЕ так, что ZBAC = 60°, Z BAD = Z ВАС = 45°, а луч АЕ перпендикулярен к плоскости ABD. Найдите угол САЕ. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны. Три боковых ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими ребрами и пересекающая плоскость основания, перпендикулярна к этой плоскости. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что проекция вершины О на плоскость АВС есть точка пересечения высот треугольника АВС. Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд. Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар. Найдите множество всех таких точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые. В тетраэдр с высотами Л,, Лг, Докажите, что i Лз, Л4 вписан шар радиуса R. R Какому условию должны удовлетворять радиусы трех шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость? На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причем три из них попарно касаются друг друга, а четвертый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса г, касающиеся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров. 184 067ie.\thi тг-л 801 На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна XR. Найдите радиус его основания. 802 Плоскости ABjCi и А,ВС разбивают треугольную призму ABCAiBfii на четыре части. Найдите отношение объемов этих частей. 803 Докажите, что объем тетраэдра равен ^аЬс sin ф, где а и Ь — про- О тивоположные ребра, а ф и с — соответственно угол и расстояние между ними. 804 Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объемы которых равны. 805 Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через прямую АВ и среднюю линию грани OCD? 806 Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок АВ, а на двух других — точки С и D соответственно. Докажите, что объем тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и D. 807 Точки Е и F — середины ребер DC и ВВ, куба ABCBA,BiC,B, с ребром 1 см. Найдите объем тетраэдра AD^EF. 808 В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что F = A(S, +S2+4S3), где V — объем многогранника, Л — его высота, S, и S2 — площади оснований, а S3 — площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостям оснований и равноудаленной от них. 809 Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см. 810 Вокруг данного шара описан конус с углом а при вершине осевого сечения. При каком значении а конус имеет наименьший объем? 811 В конус вписан шар. Докажите, что отношение объемов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара. 812 Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела вращения. 185 Объемы тел 813 Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объему части. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром. 814 Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем точки О и Н симметричны относительно точки G. 815 Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера). Глава VIII* Некоторые сведения из планиметрии Углы и отрезки, связанные с окружностью 85 Угол между касательной и хордой Мы знаем, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Докажем теорему об угле между касательной и хордой. Теорема Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги. Доказательство Пусть АВ — данная хорда, СС, — касатель- В ная, проходящая через точку А. Если А В — диаметр (рис. 196, а), то заключенная внутри угла ВАС (и также угла BACi) дуга является полуокружностью. С другой стороны, углы ВАС и BACj в этом случае — прямые, поэтому утверждение теоремы верно. Пусть теперь хорда АВ не является диаметром. Ради определенности будем считать, что точки С и Cl на касательной выбраны так, что угол САВ — острый, и обозначим буквой а величину заключенной в нем дуги (рис. 196, б). Проведем диаметр AD и заметим, что треугольник ABD — прямоугольный, поэтому ZADB = 90° - ZDAB = ZBAC. Поскольку угол ADB — вписанный, то ZADB = а значит, и ZBAC = Итак, угол ВАС между касательной АС и хордой АВ измеряется половиной заключенной в нем дуги. Аналогичное утверждение верно в отношении угла BACi. Действительно, углы ВАС и ВАС, — смежные, поэтому ZBAC^ = 180° - ^ С другой стороны, (360° - а) — это величина дуги ADB, заключенной внутри угла BACi. Теорема доказана. ■л о "7 Некоторые сведения 1 О / UJ планиметрии а) D 86 Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью Из теоремы о вписанном угле следует, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Воспользуемся этим наблюдением для доказательства теоремы об отрезках пересекающихся хорд. Теорема 1 Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды. Доказательство Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке Е (рис. 197). Докажем, что АЕ ■ BE = СЕ ■ DE. Треугольники ADE и СВЕ подобны по первому признаку подобия треугольников: Z1 = Z2, так как эти углы опираются на одну и ту же дугу BD, углы 3 и 4 равны как вертикальные. Следовательно, ^ или АЕ ■ BE = СЕ ■ DE. Теорема доказана. СЕ BE Важным следствием из теоремы об угле между касательной и хордой является теорема о квадрате касательной. Теорема 2 Рис. 197 Если через точку М проведены секущая, пересекающая окружность в точках А и В, и касательная МК {К — точка касания), то МА • МВ = МК^. Кратко эту теорему формулируют так: произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной. Доказательство Проведем отрезки АК и ВК (рис. 198). Треугольники АКМ и КВМ подобны: угол М у них — общий, а углы АКМ и В равны, так как каждый из них измеряется половиной дyгиЛ^^L. Следовательно, 4^ = -гт^> МА МК ИЛИ МА ■ МВ = МК^. Теорема доказана. Замечание Из доказанной теоремы следует, что если точка М лежит вне окружности и через нее проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то произведение МА • МВ не зависит от положения секущей — это произведение равно квадрату касательной, проведенной из точки М. С другой стороны, квадрат 188 Иекпгпорыг снй()('ния IU п,1аниметрии касательной МК равен ОМ^ - R^, где О — центр окружности, R — ее радиус (рис. 199, а). Итак, МА-МВ = ОМ^ - R\ (1) Рассмотрим теперь точку М, лежащую внутри окружности. Проведем через нее какую-нибудь хорду АВ (рис. 199, б). Из теоремы 1 следует, что произведение МА • МВ не зависит от положения хорды — оно равно произведению отрезков диаметра, проходящего через точку М, т. е. равно (R + ОМ) • (R - ОМ) = R^ - ОМ^. Итак, в этом случае МА ■ МВ = R^ - ОМ\ (2) Формулы (1) и (2) похожи друг на друга. Если воспользоваться скалярным произведением векторов, то их можно даже объединить в одну формулу: МА-МВ = ОМ^ - R\ 87 Углы с вершинами внутри и вне круга Теоремы о вписанном угле и об угле между касательной и хордой позволяют выразить углы с вершинами внутри и вне круга через заключенные внутри них дуги. Рассмотрим примеры таких углов. Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой заключенных между ними дуг. В самом деле, рассмотрим хорды АС и BD, пересекающиеся в точке М, и проведем хорду ВС (рис. 200). Так как ZAMB — внешний угол треугольника ВМС, то ZAMB = Z1 + Z2. По теореме о вписанном угле Z1 = i W CLD, Z2 = i ^ АКВ, поэтому ZAMB = ^(^ 2 2 CLD + 'АКВ), что и требовалось доказать. Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг. Обратимся к рисунку 201. Угол 1 — внешний угол треугольника AMQ, поэтому Z1 = Z2 + ZAMB. Поскольку углы 1 и 2 — вписанные, то Z1 = i АВ. Z2 = - ^ РО Следовательно, 2 ZAMB = I (v./ АВ - wPQ), что и требовалось доказать. Рис. 199 В к OQ Некоторые сведения 1 ОН из планиметрии Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг. Обратимся к рисунку 202, а. Угол 1 является внешним углом треугольника AM К, поэтому Z1 = = Z2 + ZAMK. По теореме об угле между касательной и хордой Z1 = i ^ АК, а по теореме о вписанном угле Z2 = i ВК. Следовательно, ZAMK = I (^АК - ^ ВК), что и требовалось доказать. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен 180° минус величина заключенной внутри него дуги, меньшей полуокружности. В самом деле, поскольку отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то треугольник KML на рисунке 202, б равнобедренный. По теореме об угле между касательной и хордой сумма углов К и L при его основании равна KL. Следовательно, ZKML = 180° - W KL, что и требовалось доказать. 88 Вписанный четырехугольник Напомним, что многоугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в окружность, а окружность — описанной около этого многоугольника. В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если же около четырехугольника можно описать окружность, то такой четырехугольник является выпуклым (докажите это), а его углы обладают следующим замечательным свойством: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Это свойство легко установить, если обратиться к рисунку 203 и воспользоваться теоремой о вписанном угле. В самом деле. ZA = i W BCD, ZC = 1 BAD, поэтому ZA -н ZC = i (^BCD + ^BAD) = | • 360° = 180°. ^ f\f\ Некоторые сведения 7 из пзониметрии Оказывается, верно и обратное утверждение (признак вписанного четырехугольника): если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. Действительно, рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, в котором ZA + ZC = 180°, и докажем, что вершина С лежит на окружности, проходящей через точки А, В и D (см. рис. 203). Предположим, что это не так. Тогда прямые СВ и CD либо являются касательными к указанной окружности (рис. 204, а), либо хотя бы одна из них, например, прямая СВ, является секущей по отношению к этой окружности (рис. 204, б, в). Рассмотрим эти случаи в отдельности. Если прямые СВ и CD — касательные, то ZC = 180° - иВП (см. п. 87), поэтому ZA + ZC = ^^ BD+ 180° ~^BD= 180° -1 w ВД< 180°, а это противоречит условию. Если же прямая СВ — секущая, то она пересекает окружность еще в одной точке Е (см. рис. 204, б, в). Поскольку четырехугольник ABED — вписанный, то ZA + ZE = 180°. Но ZB * ZC, так как один из этих углов является углом треугольника DCE, а другой — внешним углом этого треугольника. Следовательно, в этом случае ZA + ZC 180°, и мы снова приходим к противоречию с условием. Таким образом, вершина С лежит на окружности, проходящей через точки Л, В и В, что и требовалось доказать. Замечание Из доказанного утверждения, в частности, следует, что если углы А и С четырехугольника ABCD прямые, то около него можно описать окружность, причем диагональ АС является диаметром этой окружности (объясните почему). Иными словами, точки В и В лежат на окружности с диаметром АС. Справедливо и более общее утверждение: множество точек плоскости, состоящее из двух данных точек А и В и всех таких точек М, для которых угол АМВ — прямой, представляет собой окружность с диаметром АВ. В самом деле, поскольку для любой точки М окружности с диаметром АВ, отличной от А и В, вписанный угол АМВ — прямой (рис. 205), то любая В б) В Рис. 204 в) ^ Некоторые сведения 7 У 7 UJ планиметрии точка этой окружности принадлежит указанному множеству. Осталось доказать, что если точка М принадлежит рассматриваемому множеству, то она лежит на окружности с диаметром АВ. Докажем это. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника АМВ (см. рис. 205). Угол АМВ, вписанный по отношению к этой окружности, — прямой, поэтому отрезок АВ — ее диаметр. Таким образом, точка М лежит на окружности с диаметром А В, что и требовалось доказать. Отметим, что множество всех точек, обладающих каким-либо геометрическим свойством, иногда называют геометрическим местом точек. Можно сказать, в частности, что геометрическим местом точек М, для которых угол АМВ прямой {А и В — данные точки), является окружность с диаметром АВ, из которой удалены точки А и В. Рис. 205 89 Описанный четырехугольник Напомним, что многоугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около окружности, а окружность — вписанной в этот многоугольник. в отличие от треугольника не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В самом деле, обратимся к рисунку 206, на котором одними и теми же буквами обозначены равные отрезки касательных. Мы видим, что АВ + CD = a + b + c + d, ВС + AD = a + b + c + d, поэтому АВ + CD = ВС + AD. Справедливо и обратное утверждение (признак описанного четырехугольника): если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Действительно, рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, в котором АВ -I- CD = ВС + AD. Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АВ, AD и ВС, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех 192 Рис. 206 Игкоторы/' согОепия 11.1 п.ити.петрыи сторон (рис. 207, а). Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырехугольник ABCD. Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 207, б). Проведем касательную C'D\ параллельную стороне CD (С' и D' — точки пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как ABC'D' — описанный четырехугольник, то АВ + C’D' - ВС' + AD', или АВ + CD' = BC-C'C+AD- D'D. Заменяя в правой части этого равенства сумму ВС + AD на сумму АВ + CD, приходим к равенству C'D' -I- С'С + D'D = CD, т. е. в четырехугольнике C'CDD' одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение (о том, что прямая CD и окружность не имеют общих точек) неверно. Аналогично доказывается, что прямая CD не может быть секущей по отношению к окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать. В Рис. 207 Задачи 816 Через точку D, лежащую на радиусе ОА окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке Е. Докажите, что луч ВА — биссектриса угла С BE. 817 Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А,, а другую — в точках В и В,. Докажите, что АА, II ВВ,. 818 Прямая АС — касательная к окружности с центром О,, а прямая BD — касательная к окружности с центром Ог (рис. 208). Докажите, что: а) AD || ВС; б) АВ^ = AD ■ ВС; в) ВВ^ : AC^=AD : ВС. 819 Точка М лежит внутри четырехугольника ABCD. Докажите, что ZAMD = ZABM -t- ZMCD тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников АВМ и MCD, имеют в точке М общую касательную. 820 Окружность касается сторон АВ и АС треугольника АВС и пересекает сторону ВС в точках Р и Q, ВР = CQ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 7 — л. с. Атанасян "i 0*3 Некоторые сведения I 5/0 I/J планиметрии 821 Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой. 822 Через точку К, лежащую на окружности с центром О, проведены хорда КА и касательная КВ, а через точку О проведена прямая, перпендикулярная к прямой ОА и пересекающая хорду КА в точке М, а касательную КВ — в точке N. Докажите, что NK = NM. 823 Точки В, и Cj — середины дуг АВ и АС (рис. 209). Докажите, что AM = AN. 824 Точки А, В, С и D лежат на одной окружности, луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС. Докажите, что ZAMD = ZBAD. 825 Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны, луч АВ является биссектрисой угла DAE. Докажите, что АЕ 1 ВС. Рассмотрите все возможные случаи. 826 Отрезки АА, и BBj — высоты треугольника АВС. Докажите, что точки А, В, А, и Bi лежат на одной окружности. 827 Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности. 828 В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = ВС -I- AD. 829 Докажите, что в любом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея). 830 На окружности даны четыре точки А, В, С и D в указанном порядке. Точка М — середина дуги АВ, К — точка пересечения хорд АВ и MD, Е — точка пересечения хорд АВ и МС. Докажите, что около четырехугольника CDKE можно описать окружность. 831 Противоположные стороны выпуклого четырехугольника продолжены до пересечения. Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны. 832 Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке. 833 Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований. ^ г\уш и г которые сведения 1 UJ планиметрии 834 В трапецию ABCD с основаниями АВ и CD (АВ > CD) вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если CD = а, DK = Ь и АК = d, где К — точка касания окружности и стороны AD. 835 На каждой из сторон выпуклого четырехугольника отмечены две точки. Эти точки соединены отрезками так, как показано на рисунке 210. Известно, что в каждый из згжра-шенных четырехугольников можно вписать окружность. Докажите, что и в исходный четырехугольник можно вписать окружность. § Решение треугольников 90 Теорема о медиане Напомним, что решением треугольника называется нахождение его элементов по трем данным элементам, определяющим треугольник. Для решения треугольников используются, как правило, теоремы синусов и косинусов. Приведем пример теоремы, доказательство которой основано на решении треугольников. Теорема ■> . Квадрат медианы AM треугольника АВС выражается формулой АМ^ = ЛВ* АС ВС- Доказательство Зная стороны треугольника АВС, можно найти, например, косинус угла В. Для этого нужно воспользоваться теоремой косинусов (рис. 211): АС^=АВ^ + ВС^ - 2АВ ■ ВС cos В, откуда cosB = i^!±B£!zi£i. 2АВ-ВС Рассмотрим теперь треугольник АВМ. Учитывая, что ВМ = по теореме косинусов находим: АМ^=АВ^ + - 2АВ • ^ • ав^ + вс^-АС^ _ 4 2 2 АВ-ВС вс^ АВ^ АС^ Теорема доказана. 7* 195 Рис. 211 Некоторые сведения UJ планиметрии Следствие Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. В самом деле, рассмотрим параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О (рис. 212). Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то отрезок АО, равный половине АС, является медианой треугольника ABD. Следовательно, АС^ = 4АО^ = 2АВ^ -I- 2АП^ - BD^, откуда АС^ -н BD^ = 2АВ^ + 2AD^ = АВ^ + CD^ + AD^ + + ВС^, что и требовалось доказать. В 91 Теорема о биссектрисе треугольника Теорема Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам. Доказательство Пусть AD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что ^ ^ (рис. 213). АВ АС Рассмотрим сначала треугольник ABD. По теореме синусов = -А^—, откуда sin Z1 sin Z 3 DB _ sin Z1 AB Аналогично, ACD, получаем; DC _ sin Z2 AC sin .^4" sin Z 3 рассматривая треугольник Но Z2 = Z1 no условию, Z4 = 180° - Z3, поэтому sin Z2 = sin Z1 и sin Z4 = sin Z3. Следовательно, ^3 = Теорема доказана. Следствие В треугольнике АВС со сторонами АВ = с, ВС = а, СА = Ь и биссектрисой AD имеют место равенства: аЬ DB = ^ Ь+с DC = Ь+с (1) В самом деле, из доказанной теоремы следует, что DB ■ Ь = DC ■ с. Кроме того, DB + DC = а. ^ Некоторые сведения 1 ijO U.S планиметрии Выражая из этих двух равенств DB и DC, приходим к формулам (1). Воспользуемся этим следствием для решения следующей задачи. Задача Выразить биссектрису AD треугольника АВС через стороны АВ = с, АС = & и угол А. Решение Пусть ВС = а. Применяя теорему косинусов к треугольнику ABD и используя первую формулу из (1), получаем (см. рис. 213): ^^=AD^ + c2-2cADcos4-. (2) (6-нс)2 2 Аналогично из треугольника ACD находим: = AD^ + - 2bAD cos (3) (b + cf 2 Умножая равенства (2) и (3) соответственно на и -с^, а затем складывая их, приходим к равенству О =АП" ф + с){Ь-с)~ 2Ьс ф - c)AD cos А- Таким образом, при Ь Ф с получаем: AD = -^cosA. Ь + с 2 (4) Формула (4) верна и при Ь = с (проверьте это самостоятельно). Замечания 1. Пусть К — точка пересечения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно к AD, с большей из сторон АВ и АС (со стороной АС на рисунке 214). Из формулы (4) следует, что длина отрезка АК зависит только от длин этих сторон и не зависит от ве- личины угла А: АК = - ■ = . Этот факт можно cosA ь^с 2 усмотреть и непосредственно. В самом деле, пусть АЕ = АВ. Тогда отрезок DK — биссектриса треугольника DCE (докажите это самостоятельно). Следовательно, АК-с _ ЕК _ РЕ _ DB _ с Ь-АК КС DC DC b' откуда АК = . Ь + с 2. Если величину cos -А выразить из формулы (4) и подставить в формулу (2), то получится 197 Рис. 214 Некоторые сведения U.I планиметрии формула, связывающая биссектрису AD со сторонами треугольника: AD^ = bc--^^. (Ь+с)^ С учетом формулы (1) она принимает совсем простой вид: AD^ = bc-DB-DC. 92 Формулы площади треугольника Теорема 1 Площадь S треугольника выражается формулой S=pr, (5) Рис. 215 где р — полупериметр треугольника, г — радиус вписанной в него окружности. Доказательство Соединим вершины треугольника с центром С вписанной в него окружности (рис. 215). Тогда треугольник окажется разделенным на три треугольника, площадь каждого из которых равна половине произведения соответствующей стороны на радиус г вписанной окружности. Складывая эти площади и вынося общий множитель С за скобки, приходим к формуле (5). Теорема доказана. Итак, мы получили формулу, связывающую площадь треугольника с радиусом вписанной в него окружности. Чтобы найти формулу, связывающую площадь треугольника с радиусом описанной около него окружности, докажем следующую теорему, уточняющую теорему синусов. Теорема 2 В треугольнике АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = Ъ имеют место равенства = -Ая = 2Д. sin А sin В sin С где R — радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Доказательство В треугольнике АВС хотя бы один из углов — острый. Пусть, например, острым является угол А. Проведем диаметр BD (рис. 216) и рассмотрим 198 Некоторые сведенин планиметрии треугольник ВВС. Угол С этого треугольника — прямой, ZZ) = ZA, поскольку указанные вписанные углы опираются на одну и ту же дугу ВС. Следовательно, ^ а = ВС = BD sin А = 2R sin А, откуда —— = 2R. Пользует А ясь теоремой синусов, получаем: q ^ = ^ = ^=2Д. sin А 8Ш в 81П с Теорема доказана. Следствие 1 Площадь S треугольника со сторонами а, Ь и с выражается формулой ~ (6) CJ _ аЬс 4 Д’ где R — радиус описанной около него окружности. В самом деле, если А — угол, противолежащий стороне а, то S = \ Ьс sin А, а sin А = откуда и 2 2 получается указанная формула. Следствие 2 Площадь S треугольника АВС выражается формулой S = 2Д* sin А sin В sin С, где R — радиус описанной около него окружности. Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться формулой (6) и теоремой 2. 93 Формула Герона В этом пункте мы выведем формулу площади S треугольника со сторонами а, Ь и с, которую связывают с именем древнегреческого математика и инженера Герона Александрийского (ок. I в. н. э.): S = ^jp(.p-a)(p-b)(p-c), а+Ь+с где р = —-----полупериметр треугольника. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = Ь и выразим его площадь S через а, Ь и с. Поскольку S = ifecsinA, (7) то достаточно найти sin А. Это можно сделать, пользуясь теоремой косинусов и основным тригонометрическим тождеством. В самом деле, из теоремы косинусов ^ Некоторые Сведения 1 Hij UJ планиметрии следует, что cos А = ^ - а^). Учитывая, что 2 ос sin А > О, из основного тригонометрического тождества находим; sin А = л/1-cos* А = -(й^ +с^ -а^У. Подкоренное выражение можно разложить на множители следующим образом: (2ЙС + йЧ - а^) (2ЙС - й' - с* + а^) = = (Ь + с + а) ф + с - а) {а - Ь + с) (а + Ь - с) = = 2р-2(р-а)-2(р-Ь)-2(р-с). Подставляя полученное выражение для sin А в формулу (7), приходим к формуле Герона. Замечание Пусть Л„, Л), и he — высоты треугольника, проведенные к сторонам а, Ь и с, S — его площадь, Д и г — радиусы описанной и вписанной окружностей. Поскольку = Нь = Ц-, he = ^, R = ^, r = -^ “ а ” b ‘ с 4S а+Ь+с (см. п. 92), то формула Герона позволяет выразить величины Лд, Ль, he, R и г через стороны треугольника. 94 Задача Эйлера В этом пункте мы приведем решение одной из красивейших задач геометрии, получившей название задача Эйлера. Начнем, однако, с такого определения: центральным подобием с центром О и коэффициентом Л ^ О называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М переходит в такую точку М„ что ОМ, = ком. Нетрудно доказать, что если при центральном подобии с коэффициентом к точки А к В переходят в точки А, и В,, то А,В = ЛАВ. В самом деле, ЛВ, = ОВ, - ОА, = ЛОВ - кОА = к (ОВ - ОА) = ЛАВ. Из этого следует, что при центральном подобии прямая, проходящая через точку О, переходит в себя, не проходящая через точку О — в параллельную ей прямую, отрезок переходит в отрезок, треугольник — в подобный ему треугольник, а окружность Некоторые сведения U.I планиметрии с центром С радиуса г — в окружность с центром С, радиуса I А I г, где OCi = kOC. Докажите эти утверждения самостоятельно. Перейдем теперь к задаче Эйлера. Задача Эйлера Доказать, что в произвольном треугольнике: 1) точки, симметричные точке Я пересечения высот (или их продолжений) относительно сторон треугольника и их середин, лежат на описанной окружности; 2) середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку Я с вершинами, лежат на одной окружности, центром которой является середина отрезка, соединяющего точку Я с центром описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности (эта окружность называется окружностью Эйлера); 3) точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющем точку Я с центром описанной окружности, и делит этот отрезок в отношении 1 : 2, считая от центра описанной окружности (прямая, на которой лежат четыре точки — точка Я, точка пересечения медиан, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера, называется прямой Эйлера); 4) точки, симметричные центру описанной окружности относительно прямых, содержащих средние линии треугольника, лежат на окружности Эйлера. Решение Пусть АВС — данный треугольник (рис. 217). Условимся о следующих обозначениях: G — точка пересечения медиан, О — центр описанной окружности, R — ее радиус, Aj, Bj и С, — середины сторон ВС, СА и АВ, Аг, В2 я С2 — основания высот, проведенных к этим сторонам, Aj, В3 и С3 — середины отрезков АН, ВН и СЯ, А4, В4 и С4 — точки, симметричные точке Я относительно сторон треугольника, Aj, В5 и С5 — точки, симметричные точке Я относительно середин этих сторон, Аб, Bg и Cg — точки, симметричные точке О относительно прямых BjC,, С,А, и AjBi (на рисунке они не отмечены). Приступим теперь к решению задачи. 1) Если один из углов треугольника АВС, например угол А, — прямой, то точки Я, В4 и С4 совпадают с точкой А, точка Bg — с точкой С, а точка С5 — с точкой В. Поскольку ZBA4C = ZBAgC = Иекоторыг сведения 1 UJ планиметрии = ZA = 90°, то точки А, и Л5 лежат на окружности с диаметром ВС (см. п. 88). Таким образом, точки А^, А5, В4, В5, С4, С5 лежат на окружности, описанной около треугольника АВС. Допустим, что треугольник АВС не является прямоугольным. Поскольку ZAB2H = ZAC2H = 90°, то точки Бг и Сг лежат на окружности с диаметром АН (см. п. 88). Следовательно, вписанные по отношению к этой окружности углы В2АС2 и В2НС2, а значит, и углы ВАС и вне, либо равны, либо составляют в сумме 180°. И в том, и в другом случае sin ZBHC = sin ZBAC. 202 Некоторые сведения UJ планиметрии Пусть Д, — радиус окружности, описанной около треугольника НВС. В соответствии с теоремой 2 из п. 92 ВС = 2Д, sin ZBHC = 2R sin ZB АС. Но sin ZBHC = = sin ZB АС. Значит, Д, = Д. Из этого следует, что окружности, описанные около треугольников АВС и НВС, симметричны относительно прямой ВС и относительно середины отрезка ВС. Точка Н лежит на окружности, описанной около треугольника НВС. Следовательно, симметричные ей точки А^ и А^ лежат на окружности, описанной около треугольника АВС. Аналогично доказывается, что точки В^, В^, С4 и С5 также лежат на этой окружности. 2) Рассмотрим центральное подобие с центром Н и коэффициентом i. При этом подобии описан- ная окружность переходит в окружность радиуса 2 ’ центр О9 которой является серединой отрезка ОН (см. рис. 217), а точки Aj, Д5, С5, А4, В4, С4, А, В, С описанной окружности переходят соответственно в точки А,, В,, Cl (середины сторон), Аг, Дг и Сг (основания высот), Аз, Вз и Сз (середины отрезков АН, ВН, СН). Следовательно, точки Ai, Bi, Cl, Аз, Bg, Сз, A3, В3, С3 лежат на окружности с центром О9 радиуса у. Утверждение доказано. 3) Рассмотрим теперь центральное подобие с центром G и коэффициентом - i. Медианы треугольника АВС делятся точкой G в отношении 1 : 2, поэтому при рассматриваемом центральном подобии вершины А, В и С перейдут в середины Ai, Bi и Ci противоположных сторон. Следовательно, прямые, содержащие высоты треугольника, перейдут в прямые, перпендикулярные к его сторонам и проходящие через их середины, т. е. в серединные перпендикуляры к сторонам. Поэтому точка Н перейдет в центр О описанной окружности. Это означает, что точка G лежит на отрезке ОН и делит его в отношении 1 : 2, считая от точки О, что и требовалось доказать. 4) Как только что отмечалось, при центральном подобии с центром G и коэффициентом - 2 вершины А, В и С переходят в середины Ai, Bi и Ci противоположных сторон, а точка Н переходит в точку О. Из этого следует, что: а) окружность, описанная около треугольника АВС, переходит в окружность Эйлера; б) точки А4, В4 и С4 описанной окружности, 203 Некоторые сведения из планиметрии симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА и АВ, переходят в точки Ag, Bg и Cg окружности Эйлера, симметричные точке О относительно прямых В,С,, CiAj и AiBp Таким образом, точки Ag, Bg и Cg лежат на окружности Эйлера. 836 837 838 Задачи На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка D так, что BD : АВ = DC : АС. Докажите, что отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BD : АВ = DC : АС. Биссектрисы AAi, ВВ, и СС, треугольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = Ь пересекаются в точке О. а) Найдите отно-АО во СО ЙЧ тт„.......................... АО , во ^ СО шения б) Докажите, что ОА, ОВ, ос, АА ОА, ааТ I СС] 2, 839 840 841 842 843 844 845 + —^ = 1. в) Может ли хотя бы одна из биссектрис тре- BBj СС] угольника делиться точкой О пополам? г) Докажите, что одна из биссектрис делится точкой О в отношении 2:1, считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон. Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведенной к третьей стороне, на диаметр описанной окружности. Внутри треугольника АВС взята точка М. Докажите, что площади треугольников ВАМ и ВСМ равны тогда и только тогда, когда точка М лежит на медиане треугольника АВС, проведенной из вершины В. Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника. Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см. Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 9 см, 12 см и 15 см. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках L, М и N. Докажите, что отношение площади треугольника LMN к площади треугольника АВС равно отношению радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС, к диаметру окружности, описанной около этого треугольника. Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной. Докажите, что: а) площадь S треугольника АВС выражается формулой S = = Га (р - а), где Го — радиус вневписанной окружности, касающейся ffch'OttWphte rer^.U'HUM u.f планиметрии стороны ВС = а, р — полупериметр треугольника; б) S = .y[rr^r^, i- + J- + J- = i, где Гя Гь Г- г Рис. 218 ’’ь г — радиус окружности, вписанной в треугольник, Гд, г*, г, — радиусы вневписанных окружностей. 846 Докажите, что площадь S выпуклого четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d и по-лупериметром р выражается формулой S = (р - а) + (р - с), где и г, — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с (рис. 218). 847 Докажите, что: а) квадрат площади S выпуклого четырехугольника со сторонами a, Ь, с, d я полупериметром р выражается формулой S'^ = (р - а) (р - Ь) (р - с) (р - d) -- abed cos^ площадь S вписанного четырехугольника выражается формулой S = ■^(p-a){p-b)(p-c)(p-d); исходя из этой формулы, получите формулу Герона для площади треугольника. 848 Докажите, что: а) площадь S четырехугольника со сторонами а, b, с, d, описанного около окружности, выражается формулой S = = -jabed sin б) если четырехугольник со сторонами а, Ь, с, d является одновременно описанным и вписанным, то его площадь S выражается формулой S = -jabed. 849 Отрезки AD, АН и AM — биссектриса, высота и медиана треугольника АВС, вписанная в треугольник окружность касается стороны ВС в точке К. Докажите, что МК^ = MD • МН. 850 В треугольнике АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = Ь г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей, S — площадь, точка О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения высот, отрезки AD и AM — высота и медиана. Докажите, что: а) а + Ь = 4R sin —cos ^ б) I а - Ь I = 4Д cos sin в) -ь\ а+Ь Ч\\А-В\ tg|(A + B) 2 ’ 2_ft2 _ A-В = а cos В - b cos А; д) а -I- Ь 4- с = 8i? cos у cos ^ cos е) cos^ А = sin^ В + cos^ С - 2 sin А sin В cos С; 205 Некоторые сведения UJ планиметрии в с о sin— sin— ж) г = 4Д sin А sin | sin з) г =--- С08 — и) АН = -^(Ь^ + с^- а^); к) ОЯ^ = 9R^-a^-l/- л) ЯМ = 3 Теоремы Менелая и Чевы 95 Теорема Менелая Рассмотрим треугольник АВС и отметим на прямых АВ, ВС и СА точки С,, Aj, В,, не совпадающие с его вершинами (рис. 219). Пусть А^ = рС^В, ВА^ = = qAfi, C^i = гВ,А. Поскольку точки С,, А,, В, не совпадают с вершинами треугольника АВС, то числа р, q, г отличны от нуля. Кроме того, каждое из этих чисел отлично от -1. В самом деле, если, например, р = -1, то АС, = -CiB, откуда АС, + С,В - АВ = О, т. е. вершины А и В совпадают, а это противоречит условию. Поставим теперь такой вопрос: при каком соотношении между числами р, q, г точки С,, А,, В, лежат на одной прямой? Ответ на этот вопрос дает теорема, связанная с именем Менелая Александрийского, древнегреческого математика и астронома, жившего в I в. н. э. Теорема Пусть на сторонах или продолжениях сторон А В, ВС и С А треугольника АВС отмечены точки С„ А„ В„ не совпадающие с его вершинами, причем АС, = рС^В, ВА, = qA,C, СВ, = гВ,А. Тогда если точки С„ А„ В, лежат на одной прямой, то pqr = — 1; обратно: если рдг = -1, то точки С„ А„ В, лежат на одной прямой. Доказательство 1) Допустим сначала, что точки С,, А,, В, лежат на одной прямой, и докажем, что pqr = -l. Введем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точки С,, А,, В, лежали на оси Оу (рис. 220). А Некоторые сведения из планиметрии Пусть а, b и с — абсциссы точек Л, В и С. Из равенства АС, = рС,В следует, что О - а = р (6 - 0), т. е. а = -рЬ. Аналогичным образом из равенств ВА, = = рА,С и СВ, = гВ,А получаем: Ъ = -qc и с = -га. Таким образом, а = -рЬ - pqc = -pqra, или а (pqr + 1) = 0, поэтому либо а = о, либо pqr = -l. Если а = 0, то с = -га = о и Ь = -qc = 0, т. е. точки А, В и С лежат на одной прямой (оси Оу), а это противоречит условию. Следовательно, pqr = -l, что и требовалось доказать. 2) Допустим теперь, что pqr = -l, и докажем, что точки С,, А,, В, лежат на одной прямой. Введем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точки С, и А, лежали на оси Оу (см. рис. 220). Пусть, как и прежде, а, Ь и с — абсциссы точек А, В и С, л: — абсцисса точки В,. Из равенств АС, = рС,В и ВА, = дА,С, как мы видели, следует, что а = -рЬ VI Ь = -qc. Таким образом, а = pqc. Из равенства СВ, = = гВ,А следует, что х - с = г (а - х). Умножая обе части этого равенства на pq и учитывая, что pqr = -l, pqc = а, получаем: pqx - а = -а + х, или (pq - 1)х = 0. Если pq = 1, то из равенства pqr = -1 следует, что г = -1, а этого, как отмечалось в начале пункта, не может быть. Таким образом, pq^\, а значит, х = 0. Следовательно, точки С,, А,, В, лежат на одной прямой (оси Оу). Теорема доказана. 96 Теорема Чевы Вновь рассмотрим треугольник АВС и отметим на прямых АВ, ВС и СА точки С,, А,, В,, не совпадающие с его вершинами (см. рис. 219). Пусть АС, = рС,В, ВА, = дА,С, СВ, = гВ,А. При этом р, q, г * о VI р, q, г Ф -\ (см. п. 95). Поставим такой вопрос: при каком соотношении между числами р, q и г прямые АА,, ВВ, и СС, пересекаются в одной точке? Ответ на этот вопрос дает теорема, связанная с именем итальянского математика и инженера Джованни Чевы (1648—1734). 207 Некоторые сведения UJ планиметрии Теорема Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С„ А^, не совпадающие с его вершинами, причем ЛС, = рС^В, BAi = qAfi, СВ^ = гВуА. Тогда если прямые AAi, ВВ,, СС] пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то pqr = 1; обратно: если pqr = 1, то прямые АА^, BBj, СС] пересекаются в одной точке или попарно параллельны. Доказательство 1) Допустим сначала, что прямые АА,, ВВ, ^ и CCj пересекаются в некоторой точке О (рис. 221, а, б). Условимся обозначать через S (L, М, N) площадь треугольника LMN, взятую со знаком «+», если обход вершин L, М, N осуществляется против часовой стрелки, и со знаком «-» — в противоположном случае. Поскольку 1\аХУ) = ^ “ 1\о,А,У) = ^ (обос»УЙ™ равенства), то S (А, В, А,) = qS (А, А„ С) и В (О, В, А,) = qS (О, А„ С). Следовательно, S (А, в. О) S {А, в, А,) - S (О, в. А,) S (А, О, С) “ S (А. А„ С) - S (О, Ai, С) = Ч S (А, Aj, С) - S (О, Ai, С) ир = Итак, q S(C,A,0) S (А, А„ С) - S (О, Ai, С) S(A,B,0) = Ч- . Аналогично г = S(B,C,0) S(C,0, В) S(A,0,Cy ........ S(B,0,A) Перемножая эти равенства и замечая, что В (А, В, О) = S (В, О, А), S(A,0,C)^ = В (С, А, О), В (В, С, О) = В (С, О, В), получаем: _S(C,A,0) S(S,0,A) S(C,0,B)_- “ S(C,0, В) ’ S(C,A,0)' S(B,0,A) ~ ’ что и требовалось доказать. Допустим теперь, что прямые AAj, BBj и СС, попарно параллельны. Введем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Оу была параллельна прямой АА,. Пусть а — абсцисса точек А и А,, Ь — абсцисса точек В и В], с — абсцисса точек С и Ci (рис. 222). Рис. 221 208 Игкогпорыр cecth’Htf li.i n.iauuMcmpuu Из равенств АС, = рС^В, ВА^ = qA^C и СВ, = гВ,А следует, что {с - а) = р {Ь - с), {а - Ь) = q {с - а) и (6 - с) == = г (а - Ь). Учитывая, что с с ^ а и а ^ Ь (иначе точки А, В и С оказались бы лежащими на прямой, „ с-а а-Ь параллельной оси Оу), получаем: р = -—q = b-c с г =----, и, следовательно, pqr = Ь-с а-Ь Ь-с Ь-с ■а а-Ь = 1, ЧТО а-Ь И требовалось доказать. 2) Допустим теперь, что pqr = 1, и докажем, что прямые АА,, ВВ, и СС, пересекаются в одной точке, или попарно параллельны. Если никакие две из трех указанных прямых не имеют общих точек, то они попарно параллельны. Если же какие-нибудь две из них, например прямые АА, и ВВ,, пересекаются в некоторой точке О, то поступим так. Проведем прямую СО (см. рис. 221). Поскольку pqr = \ и р^-1, то, согласно доказанному в пункте 1, qr = S(A,B,0) S(B,C,0) _ S(B,C,0) _ S{B,C,0) S(A, 0,C)' S(B, о, A) ~ S(A, о, C) ~ S(A,C,0) ^ -1, поэтому S (B, C, O) 7^ S (A, C, O). Из этого следует, что прямые СО и АВ не параллельны (объясните почему). Пусть Сг — точка их пересечения, АСг = ^СгВ. Так как прямые АА,, ВВ, и ССг пересекаются в одной точке, то, по доказанному в 1), tqr = 1, откуда t = -^ = р. Таким образом, АС, = рС,В и АСг = рСгВ. Вычитая одно равенство из другого, получаем: АС^ - АС, = р (СгВ - С,В), или С,Сг = -рС,Сг, т. е. (р + 1) С,Сг = 0. Учитывая, что р ^ -1, приходим к равенству С,Сг = 0. Следовательно, точки С, и Сг совпадают. Но это и означает, что прямые АА,, ВВ, и СС, пересекаются в одной точке (в точке О). Теорема доказана. Задачи 851 Отрезки АА, и ВВ, — биссектрисы треугольника АВС, луч СС, — биссектриса его внешнего угла, причем точка С, лежит на прямой АВ. Докажите, что точки А,, В, и С, лежат на одной прямой. 852 Биссектрисы внешних углов А, В и С треугольника АВС пересекают продолжения противоположных сторон в точках А,, В, и С,. Докажите, что точки А,, В, и С, лежат на одной прямой. 209 Некоторые сведения ил планиметрии 853 На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжениях отмечены соответственно точки Aj, В, и Cj, лежащие на одной прямой. Докажите, что точки Ag, Bj и Сг, симметричные соответственно точкам Aj, Bj и С, относительно середин сторон ВС, СА и АВ, также лежат на одной прямой. 854 Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой. 855 На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки К, L, М и N, не совпадающие с вершинами четырехугольника. Докажите, что: а) прямые KL, MN и АС пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда ^ = 1; б) прямые KL, MN и АС пере- секаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда это же верно в отношении прямых KN, LM и BD. 856 Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, касается сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и S. Докажите, что прямые PQ, RS и АС пересекаются в одной точке или параллельны друг другу. 857 Окружность с центром О касается двух неравных окружностей с центрами Oj и Ог в точках А] и Aj соответственно. Докажите, что прямая А1А2 проходит через точку пересечения прямой OjOg и общей касательной (внешней или внутренней) к окружностям с центрами О, и О2. 858 Треугольники АВС и A,BiC, расположены так, что прямые АВ и А,В,, ВС и В,Cl, СА и CiAi пересекаются в точках Р, Q, R. Докажите, что прямые AAj, ВВ, и СС, пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки Р, Q и R лежат на одной прямой (теорема Дезарга). 859 На стороне ВС треугольника АВС отмечены точки А, и Aj, симметричные относительно середины ВС, а на сторонах АС и АВ отмечены соответственно точки В], В2 и Ci, С2, симметричные относительно середин этих сторон. Докажите, что отрезки АА,, ВВ, и СС, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки АА2, ВВ2 и СС2 пересекаются в одной точке. 860 Окружность пересекает сторону ВС треугольника АВС в точках А, и А2, сторону АС — в точках В, и В2, сторону АВ — в точках С, и С2. Докажите, что отрезки АА,, ВВ, и СС, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки АА2, ВВ2 и СС2 пересекаются в одной точке. 861 На стороне АС треугольника АВС отмечены точки В и В, а на стороне ВС — точки М и К, причем АР : РЕ : ЕС = СК : КМ : МВ. Отрезки AM и ВР пересекаются в точке О, а отрезки АК и BE — в точке Т. Докажите, что точки О, Т и С лежат на одной прямой. 210 Некоторые сведения UJ планиметрии 862 На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС (либо на одной из сторон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответственно точки Cl, Ai и В,. Докажите, что прямые AAj, ВВ, и СС, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда: sinZACCi sinZBAAi sinZCBB] _ sin ZC]СВ sin ZAjAC sin ZBjBA ’ 6) ДЛЯ любой точки о, не лежащей на прямых АВ, ВС и СА, вы- sin Z АОС1 sin ZBOA, sin Z.COB1 полняется равенство sin ZCjOB sin ZAjос sin ZBjOA = 1. § 4 Эллипс, гипербола и парабола 97 Эллипс Эллипс, по-видимому, был известен еще в глубокой древности, когда облик геометрии соответствовал дословному переводу ее названия. В те времена основными инструментами для выполнения построений на местности были колья и веревки, позволявшие проводить прямые и окружности, а значит, и выполнять все те построения, которые теперь называют построениями с помощью циркуля и линейки. Ясно, как с помощью указанных инструментов построить окружность: нужно закрепить один из концов веревки и в натянутом состоянии прочертить вторым концом линию. Напрашивается вопрос: а что получится, если закрепить оба конца ненатянутой веревки, а затем в натянутом состоянии прочертить линию? Получится эллипс. Таким образом, мы приходим к следующему определению. Определение Эллипсом называется множество всех таких точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокусами эллипса. Пусть 2с — расстояние между фокусами, 2а — сумма расстояний от точки эллипса до фокусов. Введем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы фокусы Fi VI F2 имели координаты Fi (-с; 0) и F2 (с; 0) (рис. 223), и выведем уравнение эллипса в этой системе координат. Стоящую перед нами задачу можно сформулировать так: найти множество всех таких точек М {х; у), для которых MFi + MF2 = 2а. ^>4 -4 Некоторые сведения ^11 UJ планиметрии Из неравенства треугольника следует, что MF, + MF2 ^ FiF2, т. е. а > с. При а = с эллипс вырождается в отрезок F1F2, поэтому будем считать, что а > с. Поскольку MF^ = yjix + сУ + , MF2 = ^(х-с)^ + , то уравнение эллипса имеет вид ^(х + с)^ + +-^{х-с)^ + = 2а. (1) Умножим обе части этого равенства на разность фигурирующих в нем корней, а затем разделим на 2а. В результате получим: 7(л: + с)2 +у^-^(х-с)^ +у2 = ^((х + сУ -{х-с)^) = ^. Пользуясь этим уравнением и уравнением (1), можно выразить каждый из корней: ^(х + с)2 +у^ =а + ^. (2) ^(х-сУ +у^ =а-^. (3) Возведя обе части равенства (2) и приведя подобные члены, получим: в квадрат х^ + с^ + у^ = а^ + ^х^. (4) Возведение в квадрат обеих частей равенства (3) дает тот же результат. Запишем уравнение (4) в виде а ^ Поскольку а*с, то полученное можно переписать так: равенство 2^22 а^-с^ (5) или, с учетом условия а > с, так: £1 + ^ = 1 (6) где = а - с < а . При возведении в квадрат обеих частей равенств (2) и (3) могли появиться лишние корни, соответствующие случаю а ± — < 0. Но этого не происхо- 212 Некоторые сведения UJ планиметрии дит: как видно из уравнения (6), | д: | < а, поэтому 1—1 ^ с < а, и значит, а ± — > 0. Таким образом, урав-\ а . а нение (6) эквивалентно уравнению (1). Оно называется каноническим уравнением эллипса. Уравнение (6) позволяет обнаружить следующие свойства эллипса. 1. Эллипс имеет центр симметрии (начало координат О) и две взаимно перпендикулярные оси симметрии (оси Ох и Оу). Эти оси называются осями эллипса: та из них, на которой лежат фокусы, называется большой осью, а другая — малой осью; величины а и б называются большой и малой полуосями. 2. Поскольку и ^ = то эллипс целиком содержится в прямоугольнике (| х| < а, I I/ I < б), стороны которого параллельны его осям. 3. При X > Q, у > о уравнение (6) может быть записано в виде: -bf^- функция у (д:) монотонно убывает от значения у = Ь при дг = о до значения у = 0 при д: = а. С учетом установленных нами симметрий это позволяет изобразить эллипс (рис. 224, а). Замечания 1. Обратимся к уравнению (2): ^J(x + c) 2 +у2 =а + ££. а {x + cf + y^ = а + V V0C+C)2 = £. а * т а) М(х;у) Из него, как мы помним, получается уравнение (6). С другой стороны, из уравнения (6) следует равенство (4) и неравенство а + — > 0. Записывая урав- а нение (4) в виде ! с I F, О \ о2 Рис. 224 б) И учитывая неравенство а + — > 0, приходим к уравне- а нию (2). Таким образом, уравнение (2) равносильно уравнению (6). Перепишем его так: 213 Некоторые евеОения u.i планиметрии Числитель левой части этого уравнения равен MF,, а ее знаменатель равен расстоянию от точки М (X ^ до прямой, заданной уравнением х = — (рис. 224, б). С Эта прямая называется директрисой эллипса, соответствующей фокусу F,. Отметим также, что левая часть равенства не зависит от точки М и меньше 1. Таким образом, эллипс является множеством всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы. . Указанное отношение равное — а называет- ся эксцентриситетом эллипса. Рассуждения, примененные к уравнению (2), можно применить и к уравнению (3). Следовательно, уравнение (3) также равносильно уравнению (6). Его можно записать так: V( X-C)2+j/2 _ £ а Таким образом, фокусу F2 соответствует ди- а 2 ректриса, задаваемая уравнением х — —. с 2. Рассмотрим произвольную прямую, заданную в нашей системе координат уравнением рх + + qy + г - О, где + q^ ^ 0. Пусть, например, р ^ 0. Выражая из уравнения прямой х через у и подставляя его в уравнение (6), получим для у квадратное уравнение, которому удовлетворяют ординаты всех общих точек прямой и эллипса. Квадратное уравнение не может иметь больше двух решений. Следовательно, любая прямая имеет с эллипсом не более двух общих точек. 98 Гипербола Возникает естественный вопрос: что получится, если в определении эллипса сумму расстояний заменить модулем их разности? Получится линия, называемая гиперболой. Таким образом, мы приходим к следующему определению. Определение Гиперболой называется множество всех таких точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек есть постоянная положительная величина. уш Некоторые сведения if / 4 UJ планиметрии Фиксированные точки называются фокусами гиперболы. Пусть 2с — расстояние между фокусами, 2а — модуль разности расстояний от точки гиперболы до фокусов. Введем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы фокусы и F2 имели координаты (-с; 0) и Fi (с; 0) (см. рис. 223), и выведем уравнение гиперболы в этой системе координат. Стоящую перед нами задачу можно сформулировать так: найти множество всех таких точек М (х; у), для которых разность MFi - MF2 равна либо 2а, либо -2а, т. е. MF, - MF2 = ± 2а. Из неравенства треугольника следует, что I MFj - MF2 I < F1F2, т. е. а < с. При а = с гипербола вырождается в два луча прямой F1F2, поэтому будем считать, что а < с. В координатах уравнение гиперболы принимает вид: ^{х + сУ + у^ - .J(x-c)^ + у^ = ±2а. Умножим обе части этого равенства на сумму фигурирующих в нем корней, а затем разделим на ±2а. В результате получим: J _ ±2сх .^(х + сУ +у^ +^(х-с)^ +у причем в правой части будет такой же знак (плюс или минус), как и в первом уравнении. Теперь можно выразить каждый из корней: Мх + сУ + у^ =|а-(-—I, J(x-cy + у^ = |а-—I. ('^) I а I ’ I а 1 Возведем обе части любого из этих равенств в квадрат (докажите, что при этом лишних корней не появится) и преобразуем его к виду: ■ х^ + у^ = . Поскольку а * с, то полученное равенство можно переписать так: = 1. Это и есть искомое уравнение гиперболы. Сравнивая полученный результат с уравнением (5), мы приходим к весьма неожиданному выводу: гипербола имеет точно такое же уравнение, как и эллипс! Однако существенное различие состоит в том, что для эллипса ^•4 £г Некоторые сведения ^70 UJ планиметрии а > с, а для гиперболы а < с. С учетом этого условия уравнение гиперболы можно переписать так: - ^ (8) _У^ -1 •> . о *2 где - а^. Уравнение (8) называется каноническим уравнением гиперболы. Оно позволяет обнаружить следующие свойства гиперболы. 1. Гипербола имеет центр симметрии (начало координат О) и две взаимно перпендикулярные оси симметрии (оси Ох и Оу). Эти оси называются осями гиперболы: та из них, на которой лежат фокусы, называется вещественной осью, а другая — мнимой осью; величины а и Ь называются вещественной и мнимой полуосями. 2. Поскольку ^ = 1 + то а 2 &2 в полосе (I X I < а), содержащей мнимую ось гиперболы, точек гиперболы нет. 1/2 г2 V-2 3. Поскольку ^ ^ - 1 < то в области &2 fl2 f ^ ^ между двумя пересекающимися прямыми |г/|^—|д^| точек гиперболы также нет. 4. При X > а, у > О уравнение (8) может быть записано в виде у = - !• Функция у (х) монотонно и неограниченно возрастает от значения у = О при х = а. 5. Ясно, что при д: ^ + со функция у (х) становится приближенно равной ^х. Уточним это свойство. Имеем: О < — х -— у1 х^ - = — -^ = а а а аЬ ^ аЬ ^ Q х+у1 х^-а^ ^ гипербола имеет асимптоту д: -► + оо. Таким образом. ь у = -х Теперь изобразим гиперболу (рис. 225, а). Мы видим, в частности, что гипербола имеет две ветви. Замечания 1. Уравнения (7) можно записать так: л/( ■J(x-c)'^ + у^ а2 X + а а ^ X с с 216 Рис. 225 б) Некоторые сведения планиметрии Каждое из этих уравнений равносильно уравнению (8) (докажите это) и, следовательно, также является уравнением гиперболы. Рассуждения, аналогичные проведенным в замечании 1 п. 97, приводят нас к выводу: гипербола является множеством всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и больше единицы (поскольку для гиперболы с > а). Указанное отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Фокусу F, соответствует директри- 2 са, задаваемая уравнением х = -—, а фокусу Рг — ДИ- С 2 ректриса, задаваемая уравнением х = — (рис. 225, б). с 2. Нетрудно доказать (сделайте это самостоятельно), что любая прямая имеет с гиперболой не более двух общих точек. 3. В курсе алгебры гиперболой называлась кривая, заданная в прямоугольной системе координат Оху уравнением У = ^ {к * 0). В системе координат Ох'у', которая получается поворотом осей Ох и Оу вокруг точки О на 45° против часовой стрелки, уравнение этой гиперболы при к > О (рис. 226) имеет канонический вид „2 „2 Докажите это самостоятельно. = 1. 99 Парабола Мы знаем, что эллипс (гипербола) является множеством всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки к расстоянию до фиксированной прямой постоянно и меньше (больше) единицы. Сам собой напрашивается вопрос: какая кривая соответствует отношению, равному 1? Эта кривая называется параболой. Таким образом, мы приходим к следующему определению. Определение Параболой называется множество всех таких точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой, не проходящей через эту точку. 217 Некоторые сведения UJ планиметрии Фиксированная точка называется фокусом, а фиксированная прямая — директрисой параболы. Пусть р — расстояние от фокуса F до директрисы. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы фокус имел координаты •f’ | у: О а директриса задавалась уравнением х = - ^ (рис. 227, а). В этой системе координат уравнение параболы имеет вид I +«/" = -I Vii О г М(х;у) F(|;0)^ Возводя обе части этого равенства в квадрат (докажите, что при этом лишних корней не появится), приходим к уравнению у‘ = 2рх. (9) Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Оно позволяет обнаружить следующие свойства параболы. 1. Парабола имеет одну ось симметрии (ось Од:). Эта ось называется осью параболы, а точка ее пересечения с параболой — вершиной параболы. „2 2. Поскольку х = о, то парабола цели- 2р ком содержится в полуплоскости (дс > 0), граница которой перпендикулярна к оси параболы. 3. При д: > о уравнение (9) может быть записано в виде у = у1 2 рх . Функция у(х) монотонно и неограниченно возрастает от значения у = 0 при д: = 0. С учетом симметрии это позволяет изобразить параболу (рис. 227, б). Нетрудно доказать (сделайте это самостоятельно), что любая прямая имеет с параболой не более двух общих точек. Эллипс, гипербола и парабола встречаются в самых разнообразных ситуациях. Так, тень футбольного мяча ограничена эллипсом, брошенный камень движется по параболе, а движение небесных тел (планет, комет, метеоритов и т. д.) под действием притяжения Солнца происходит по эллипсу или гиперболе. Конечно, небесные тела испытывают воздействие не только Солнца, но и других тел, поэтому их истинные траектории не являются в точности эллипсами или гиперболами, но весьма близки к этим линиям. Так, каж- 218 Рис. 227 Некоторые сосдения из планиметрии дая планета Солнечной системы, в том числе наша Земля, движется по орбите, близкой к эллиптической, причем Солнце находится в одном из фокусов эллипса. 863 864 865 866 867 Задачи Расстояние между двумя фокусами эллипса равно 4л/2, а отношение большой и малой полуосей равно 3. а) Напишите уравнение этого эллипса в системе координат Оху, где О — середина отрезка, соединяю1цего фокусы, лежащие на оси Ох. б) Найдите эксцентриситет эллипса, в) Напишите уравнение директрис эллипса в системе координат Оху. у.2 Исследуйте взаимное расположение эллипса ^ ^ = 1 и прямой, проходящей через точки с координатами (1; -1) и (3; 1). у 2 у 2 Исследуйте взаимное расположение эллипса ^ ^ = 1 и: а) окруж- 16 4 ности радиуса V7 с центром в начале координат; б) окружности радиуса 2 с центром в точке (2; 0). Асимптоты гиперболы проходят через начало координат и составляют с осью Ох углы в 60°. Расстояние между фокусами, лежащими на оси Ох, равно 4. а) Напишите уравнение этой гиперболы в системе координат Оху. б) Найдите эксцентриситет гиперболы, в) Напишите уравнения директрис гиперболы в системе координат Оху. г2 1/2 Исследуйте взаимное расположение эллипса ^ ^ = 1 и гипербо- 9 4 лы у = 2у12 868 Найдите эксцентриситет и напишите уравнения директрис гиперболы у = ^ (k > 0). 869 Парабола задана уравнением у = ах'^ + by + с. Напишите уравнение директрисы этой параболы и найдите координаты ее фокуса. 870 Исследуйте взаимное расположение параболы у = х^ и окружности радиуса R с центром в точке (0; R) в зависимости от R. 219 Некоторые сведения из планиметрии Приложения П Изображение "" пространственных фигур При изучении стереометрии важное значение имеет изображение пространственных фигур на чертеже. Мы познакомимся здесь с некоторыми правилами построения изображений. С этой целью введем сначала понятие параллельной проекции фигуры, а затем с его помощью понятие изображения фигуры и рассмотрим примеры изображений плоских и пространственных фигур. 1 Параллельная проекция фигуры Пусть к — некоторая плоскость, а I — пересекающая эту плоскость прямая. Отметим произвольную точку Aq пространства. Если точка не лежит на прямой I, то проведем через прямую, параллельную прямой I, и обозначим через А точку пересечения этой прямой с плоскостью я (рис. 228). Если же Д) — точка прямой I, то обозначим через А точку пересечения прямой I с плоскостью я. Точка А называется проекцией точки А(, на плоскость я при проектировании параллельно прямой I. Обычно предполагается, что плоскость я и прямая I заданы, поэтому точку А кратко называют параллельной проекцией точки Aq. Пусть Fq — плоская или пространственная фигура. Параллельные проекции всех точек фигуры Fq образуют некоторую фигуру F на плоскости я (см. рис. 228). Фигура F называется параллельной проекцией фигуры Eq. Говорят также, что фигура F получена из фигуры Fq параллельным проектированием. Сформулируем основные свойства параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой I. l". Проекция прямой есть прямая (рис. 229). Проекция прямой Mq есть прямая т Рис. 229 220 Приложения Проекция отрезка AqBq есть отрезок АВ Рис. 230 Проекции параллельных отрезков AqBq и CqDq есть параллельные отрезки АВ и CD АВ _ DE •Ао^о -ОрЕо Рис. 231 Рис. 232 2®. Проекция отрезка есть отрезок (рис. 230). 3®. Проекции параллельных отрезков — параллельные отрезки (рис. 231) или отрезки, принадлежащие одной прямой. 4®. Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам (рис. 232). Из свойства 4® следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка. 2 Изображение фигуры Выберем некоторую плоскость л и назовем ее плоскостью изображений. Затем возьмем прямую I, пересекающую плоскость л, и спроектируем данную фигуру Fq на плоскость л параллельно прямой I. Полученную плоскую фигуру F' или любую ей подобную фигуру F на плоскости л будем называть изображением фигуры Fo (рис. 233). Построенное таким образом изображение фигуры соответствует зрительному восприятию фигуры при рассмотрении ее из точки, расположенной далеко от нее. Выбирая различные плоскости изображений и различные направления проектирования (т. е. различные прямые I), будем получать различные изображения данной фигуры. Обычно берется такое изображение фигуры, которое является наиболее наглядным и удобным для выполнения на нем дополнительных построений. Это изображение и воспроизводится на чертеже. данная фигура Рис. 233 221 Приложения 3 Изображение плоских фигур Построение изображений фигур основано на свойствах параллельного проектирования, сформулированных в п. 1. Рассмотрим некоторые примеры изображений плоских фигур. Отрезок По свойству 2® проекция отрезка есть отрезок, поэтому изображением отрезка является отрезок. Ясно, что произвольный отрезок на чертеже можно считать изображением данного отрезка. При рассмотрении изображений треугольника, параллелограмма и т. д. будем считать, что плоскости этих фигур не параллельны направлению проектирования (прямой I). Треугольник Пусть AqBoCo — треугольник, расположенный в пространстве. А', В' и С' — проекции точек Aq, Во и Со на плоскость л (рис. 234, а). Так как проекция отрезка есть отрезок, то треугольник А'В'С' (а также любой треугольник АВС, подобный треугольнику А'В'С) является изображением треугольника АоВоСо-Можно доказать, что в качестве изображения данного треугольника на чертеже можно брать произвольный треугольник. Например, на рисунке 234, б изображением прямоугольного равнобедренного треугольника АоВо^о служит разносторонний треугольник АВС. Параллелограмм Так как проекциями равных параллельных отрезков являются равные параллельные отрезки (свойства 3® и 4® п. 1), то изображением параллелограмма является параллелограмм. Можно доказать, что произвольный параллелограмм на чертеже можно считать изображением данного параллелограмма, в частности изображением данного прямоугольника, ромба, квадрата (рис. 235). Трапеция Нетрудно видеть, что изображением трапеции AoBoC(fio с основаниями AqBq и CqDq является трапеция ABCD, причем по свойству 4® п. 1 АВ _ CD AqBo CqDo (1) т. е. основания изображения трапеции пропорциональны основаниям самой трапеции. Поэтому не любую трапецию можно считать изображением данной трапеции. AoBqCqDo — прямоугольник. ABCD — параллелограмм Рис. 235 222 При.тжения Укажем способ построения изображения данной трапеции A^BoCoDo. С этой целью рассмотрим вспомогательный отрезок CqEo, параллельный отрезку A^yD^ и разбивающий трапецию на параллелограмм A^fioCoEo и треугольник BqCqEq (рис. 236, о). В качестве изображения параллелограмма A^fioCoEg возьмем произвольный параллелограмм ADCE (рис. 236, б). Так как АЕ = DC, то пропорцию (1) можно записать так; АВ _ АЕ ■Ао^о CqDq (2) Используя пропорцию (2), нетрудно построить теперь точку В — изображение точки Bq. Это построение выполнено на рисунке 236, б, где AAj = СрВо, AAi = AoBq. Построенная трапеция ABCD является изображением трапеции A^qCqDo (для нее выполнена пропорция (1)). Отметим, что изображением равнобедренной трапеции AoBoCoBq может быть и неравнобедренная трапеция ABCD. При этом изображением оси симметрии равнобедренной трапеции является прямая ЕЕ, проходящая через середины оснований AD и ВС, и, следовательно, отрезок ЕЕ является изображением высоты равнобедренной трапеции (рис. 237). Окружность Как следует из п. 72, параллельной проекцией окружности является эллипс (рис. 238). Окружность — частный случай эллипса, поскольку ее проекция на плоскость, параллельную плоскости окружности, есть окружность, равная данной (объясните почему). Из свойств параллельного проектирования следует, что проекция центра О данной окружности является центром симметрии эллипса (точка О' на рисунке 238). Эту точку называют центром эллипса. Таким образом, изображением окружности является эллипс, причем изображением центра окружности является центр эллипса. Эллипс используется при изображении на плоскости цилиндров, конусов, усеченных конусов и сфер (см. главы VI и VII). Понятие эллипса часто встречается и в различных вопросах естествознания. Например, движение планет вокруг Солнца происходит по орбитам, близким к эллипсам. Рис. 236 окружность 223 Приложения 4 Изображение пространственных фигур Рассмотрим теперь изображения на плоскости некоторых многогранников при условии, что ни одна из плоскостей граней не параллельна направлению проектирования. При этом под изображением многогранника будем понимать фигуру, состоящую из проекций всех его ребер. Тетраэдр Пусть АоВоСоПо — произвольный тетраэдр, А, В, С и D — параллельные проекции его вершин на плоскость изображений (рис. 239). Отрезки АВ, ВС, СА, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырехугольника ABCD. Фигура, образованная из этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением тетраэдра АоВоС^уВо- Можно доказать, что фигура, состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) четырехугольника, является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования (рис. 240, а, б, в). (На этих рисунках невидимые ребра изображены штриховыми линиями.) Параллелепипед Для построения изображения произвольного параллелепипеда AqBoCoDoAoBoCoD'q заметим, что точки Ао, Во, Do и А'о являются вершинами тетраэдра AqBoDoA'o (рис. 241). Поэтому в качестве их изображения можно взять вершины произвольного четырехугольника ABDA'. Другими словами, любые три отрезка АВ, AD и АА' плоскости изображения с общим концом А, никакие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением ребер АоВо, AoDo и AqAo параллелепипеда. Но тогда изображения остальных ребер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также будут параллелограммами. На рисунке 241 параллелепипед ABCDA'B'C'D' является изображением параллелепипеда AoBoCoDoAoBoCqDo- Пирамида Изображение основания пирамиды строят по описанным в п. 3 правилам, а за изображение вершины можно принять любую точку, не принадлежащую сторонам изображения основания. На рисунке 242 дано изображение правильной пирамиды SoAoBoCqDo, основанием которой служит квадрат A^^BoCoDo^ Изображением основания является параллелограмм ABCD. Do D 224 Приложения Замечание Частным случаем параллельной проекции фигуры является прямоугольная проекция (см. п. 21). Прямоугольные проекции широко используются в техническом черчении. Какая-либо деталь обычно проектируется на две плоскости — горизонтальную и вертикальную, и обе проекции изображаются в плоскости чертежа. На рисунке 243 изображены две проекции цилиндрической втулки. Q Об аксиомах геометрии Аксиомы геометрии представляют собой исходные положения, на основе которых строится вся геометрия, т. е. путем логических рассуждений устанавливаются свойства геометрических фигур. В аксиомах выражены свойства основных геометрических понятий. К таковым в нашем курсе относятся понятия точки, прямой и плоскости, понятие «лежать между» для точек прямой и понятие наложения. Кроме того, в аксиомах геометрии и вытекающих из них утверждениях используются такие общематематические понятия, как «принадлежать» (или «лежать на*), «множество*, «число* и т. д. Здесь мы приведем все аксиомы геометрии, включая и те три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей, которые были сформулированы во введении, а также дадим доказательства на основе аксиом некоторых наглядно очевидных утверждений, которые использовались в курсе стереометрии. Первая группа аксиом характеризует взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. 8—л. с. Атанасяя 225 Приложения 1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки. 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. 4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 5. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. в. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. 7. Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими. Иногда вместо слов «точка В лежит между точками А и С* говорят, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В, или точки А 1л В лежат по одну сторону от точки С (аналогично точки В и С лежат по одну сторону от точки А). 8. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части — два луча — так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей. Напомним, что отрезком АВ называется геометрическая фигура, состоящая из точек А и Б и всех точек прямой АВ, лежащих между ними. Если отрезок АВ и прямая а лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВ пересекается с прямой а в некоторой точке, лежащей между А и В, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от прямой а. 9. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей. Прямая а называется границей каждой из полуплоскостей. 226 Приложения Если отрезок не имеет общих точек с данной плоскостью, то говорят, что концы отрезка лежат по одну сторону от плоскости; если же отрезок пересекается с плоскостью в некоторой своей внутренней точке, то говорят, что концы отрезка лежат по разные стороны от плоскости. 10. Каждая плоскость а разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что любые две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от плоскости а, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от плоскости а. При этом точки плоскости а не принадлежат ни одному из указанных полупространств. Плоскость а называется границей каждого из полупространств. Следующая группа аксиом относится к понятиям наложения и равенства фигур. Под наложением мы понимаем отображение пространства на себя. Однако не всякое отображение пространства на себя называется наложением. Наложения — это такие отображения пространства на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах 11—17. В формулировках этих аксиом используется понятие равенства фигур, которое определяется так: пусть Ф и Ф1 — две фигуры; если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф,, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф, или что фигура Ф равна фигуре Ф). 11. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. 12. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. 13. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один. 14. Два равных угла hk и лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств Р и Pj, можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства Р и Р„ причем это можно сделать двумя способами: в одном случае совместятся лучи А. и /ij, /г и fc,, а в другом — лучи hvik^,kvi Л,. 15. Любая фигура равна самой себе. 16. Если фигура Ф равна фигуре Ф,, то фигура Ф, равна фигуре Ф. 17. Если фигура Ф, равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф, равна фигуре Ф3. 8* 227 Приложения Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки. Пусть АВ — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков. На луче АВ отложим отрезок АА, = PQ, на луче AjB — отрезок AjA2 = PQ и т. д. до тех пор, пока точка А„ не совпадет с точкой В либо точка В не окажется лежащей между А„ и А„ + ,. В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ выражается числом п (или что отрезок PQ укладывается в отрезке АВ п раз). Во втором случае можно сказать, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ приближенно выражается числом п. Для более точного измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток А„В. Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то ее также делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Мы утверждаем, что таким способом можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину при данной единице измерения конечной или бесконечной десятичной дробью. Это утверждение кратко сформулируем так: 18. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка данной длины. 19. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом. И наконец, последняя аксиома в стереометрии, как и в планиметрии, есть аксиома параллельных прямых. 20. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной. В IX классе (Геометрия, 7—9, приложение 1) мы уже говорили о том, что, опираясь на аксиомы, можно решать задачи и доказывать теоремы без привлечения каких-либо интуитивных представлений о свойствах геометрических фигур. В качестве примера приводилось доказательство теоремы, выражающей 228 Приложения первый признак равенства треугольников, основанное на аксиомах. Приведем еще несколько примеров. Задача 1 Доказать, что на каждом луче есть хотя бы одна точка. Решение Рассмотрим луч с началом А, являющийся частью прямой а. На прямой а есть хотя бы одна точка В, отличная от точки А (аксиома 1). Если точка В лежит на луче (рис. 244, а), то она и является той точкой, существование которой мы доказываем. Если же точка В лежит на продолжении луча (рис. 244, б), то поступим так: на луче от его начала отложим отрезок АС =АВ (аксиома 12). Тогда точка С будет лежать на луче. Утверждение доказано. Задача 2 Доказать, что если точка А лежит на прямой а, а точка В не лежит на этой прямой, то все точки луча АВ лежат в одной полуплоскости с границей а. Решение Пусть С — произвольная точка луча АВ, отличная от В (а есть ли такая точка? Ответ на этот вопрос найдите самостоятельно). Докажем, что точка С лежит в той же полуплоскости с границей а, что и точка В. Поскольку точки В и С лежат по одну сторону от точки А, то по аксиоме 7 точка А не лежит на отрезке ВС. Поэтому если предположить, что точки В и С лежат в разных полуплоскостях с границей а, то получится, что прямая а пересекает отрезок ВС в точке D, отличной от А. Иными словами, окажется, что через точки А и D проходят две прямые: а и АВ. Но это противоречит аксиоме 3. Следовательно, наше предположение ошибочно — точки Б и С лежат в одной полуплоскости с границей а, что и требовалось доказать. При изучении геометрии мы неоднократно использовали понятие внутренней области неразвернутого угла, опираясь при этом на наглядные представления об углах. Приведем теперь определение этого понятия. Внутренней областью неразвернутого угла АОВ называется общая часть двух полуплоскостей: полуплоскости с границей О А, содержащей точку В, и полуплоскости с границей ОВ, содержащей точку А. Задача 3 Доказать, что если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит через точку внутренней области этого угла, то все точки луча лежат во внутренней области угла. В В а) А б) Рис. 244 229 Ириложгния Решение Рассмотрим угол АОВ и луч ОС, проходящий через точку С внутренней области этого угла (рис. 245). Поскольку точка С принадлежит полуплоскости с границей ОА, содержащей точку В, то все точки луча ОС также принадлежат этой полуплоскости (см. задачу 2). По аналогичной причине все точки луча ОС принадлежат полуплоскости с границей ОВ, содержащей точку А. Следовательно, все точки луча ОС принадлежат общей части указанных полуплоскостей, т. е. внутренней области угла АОВ. Утверждение доказано. Задача 4 Доказать, что если прямая пересекает сторону АВ треугольника АВС и не проходит через верщину этого треугольника, то она пересекает либо сторону ВС, либо сторону АС. Решение Данная прямая разделяет плоскость на две полуплоскости (аксиома 9), причем точки А и В лежат в разных полуплоскостях. Поэтому если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А, то точки В и С лежат в разных полуплоскостях, а значит, данная прямая пересекает отрезок ВС. Если же точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то точки А и С лежат в разных полуплоскостях, а значит, данная прямая пересекает отрезок АС. Утверждение доказано. Задача 5 Доказать, что если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит через точку внутренней области этого угла, то он делит этот угол на два угла. Решение Рассмотрим угол АОВ, через точку С внутренней области которого проведен луч ОС (рис. 246). Требуется доказать, что внутренние области углов АОС и вое лежат по разные стороны от прямой ОС. Пусть D — произвольная точка луча с началом О, являющегося продолжением луча ОА. Точки А, В и Z) не лежат на прямой ОС, и эта прямая пересекает сторону AD треугольника ABD. Следовательно, она пересекает либо сторону АВ, либо сторону BD (см. задачу 4). Но точка D не лежит во внутренней области угла АОВ — она лежит в полуплоскости с границей ОВ, не содержащей точку А. Поэтому все точки луча BD не принадлежат внутренней области угла АОВ (см. задачу 2), а значит, луч ОС не может пересечь сторону BD — все точки этого луча принадлежат внутренней области угла АОВ (см. задачу 3). Следовательно, он пе- 230 При.^омения ресекает сторону АВ. Это означает, что точки А и В, а значит, и лучи ОА и ОВ (см. задачу 2), лежат по разные стороны от прямой ОС. Но тогда и внутренние области углов АОС и ВОС лежат по разные стороны от прямой ОС. Утверждение доказано. Как уже отмечалось во введении, из аксиом геометрии следует, что признаки равенства и подобия треугольников, известные из курса планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях. Докажем, например, теорему, выражающую первый признак равенства треугольников. Теорема Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство Пусть треугольник АВС расположен в плоскости а, а треугольник A^Bfii — в плоскости aj и АВ = = A,Bi, AC=AiCi, ZA = ZA,. Докажем, что ААВС = = AAjBiC,, имея в виду, что под треугольником в стереометрии обычно понимают фигуру, содержащую не только три стороны, но и соответствующую внутреннюю область. Рассмотрим наложение, при котором угол А совмещается с углом А, так, что луч АВ совмещается с лучом A,Bi, а луч АС — с лучом AjCj. Такое наложение существует в силу аксиомы 14. Так как по аксиоме 12 на луче А^В^ можно отложить от его начала только один отрезок, равный отрезку АВ, то точка В совместится с точкой Bj. Аналогично точка С совместится с точкой Cj. Следовательно, по аксиоме 11 совместятся отрезки АВ и AjBj, АС и AjCj, ВС и B,Ci, т. е. совместятся стороны треугольников АВС и AiBiC,. Докажем теперь, что при указанном наложении внутренняя область треугольника АВС совместится с внутренней областью треугольника AjBjC,. Для этого нужно доказать, что любая точка внутренней области треугольника АВС совместится с некоторой точкой внутренней области треугольника AjBjC,, и обратно: на любую точку внутренней области треугольника AjBjCj наложится некоторая точка внутренней области треугольника АВС. Пусть М — произвольная точка внутренней области треугольника АВС. Прове- 23/ Приложения дем через точку М какой-нибудь отрезок PQ с концами на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Так как сторона АВ совмещается со стороной А^В^, то точка Р совместится с некоторой точкой Р^ на стороне Аф^. Аналогично точка Q совместится с некоторой точкой Q, на стороне AjC,. Поэтому по аксиоме 11 отрезок PQ совместится с отрезком PjQi, а значит, точка М отрезка PQ совместится с некоторой точкой Му отрезка PyQy, т. е. наложится на точку М, внутренней области треугольника АуВуСу. Таким же образом можно доказать и обратное: на любую точку внутренней области треугольника АуВуСу наложится некоторая точка внутренней области треугольника АВС. Итак, при указанном наложении треугольники АВС и A,B,Ci полностью совместятся, т. е. они равны. Теорема доказана. Задача 6 Доказать, что если основание и высота одной прямой треугольной призмы соответственно равны основанию и высоте другой прямой треугольной призмы, то такие призмы равны. Решение Пусть прямые призмы ABCDEF и AyByCyDyEyFy имеют равные основания АВС и AiB,C, и равные высоты AD и AiB,, причем АВ = АуВу, АС = АуСу и ZA = ZA,. Полупространство, границей которого является плоскость АВС, содержащее точки D, Е и F, обозначим буквой Н, а полупространство, границей которого является плоскость АуВуСу, содержащее точки Dy, Еу и Fy, обозначим Ну. Рассмотрим наложение, при котором угол А совмещается с углом Ау так, что луч АВ совмещается с лучом A,Bi, луч АС — с лучом A,Ci, а полупространство Н совмещается с полупространством Ну. Такое наложение существует в силу аксиомы 14. При этом наложении треугольник АВС (т. е. его стороны и внутренняя область) совместится с равным ему треугольником АуВуСу. Далее, луч AD совместится с некоторым лучом А,£>2, расположенным в полупространстве Ну, поэтому углы DAB и ВАС совместятся соответственно с углами В2А1В1 и В2А1С1. Но так как углы DAB и ВАС прямые, то углы D^AyBy и В2А1С1 также прямые, а, значит, луч А,В2 перпендикулярен к плоскости АуВуСу и, следовательно, совпадает с лучом AyDy. Итак, при указанном наложении луч АВ совместится с лучом AyDy, а так как 232 При.южри ия AD =A^D^, TO точка D совместится c точкой Dj. Аналогично точки E VI F совместятся соответственно с точками и F^. Следовательно, основание DEF и боковые ребра одной призмы совместятся соответственно с основанием D^E^F^ и боковыми ребрами другой призмы. Нетрудно доказать теперь, что при этом совместятся и соответствующие боковые грани, а также внутренние точки призмы. Это можно сделать подобно тому, как при доказательстве теоремы о первом признаке равенства треугольников было доказано совмещение внутренних областей треугольников АВС и AjB,Ci. Таким образом, призмы ABCDEF и A^BiCiD^EiFi полностью совместятся, т. е. они равны. Аналогично можно доказать равенство двух прямоугольных параллелепипедов с соответственно равными измерениями и равенство двух правильных пирамид с равными основаниями и равными высотами. В IX классе (Геометрия, 7—9, приложение 1) мы уже говорили о том, что некоторые из принятых нами аксиом могут быть доказаны на основе остальных аксиом, т. е. фактически эти утверждения являются теоремами, а не аксиомами. Так, теоремами являются утверждения аксиом 5, 8 и 10. Убедитесь в этом самостоятельно. Если стремиться к тому, чтобы свести количество аксиом к минимуму, то аксиому 17 следует сформулировать иначе: Если фигура <1>1 равна фигуре Ф3 и фигура Ф2 равна фигуре Фз, то фигура Ф, равна фигуре Фз. При такой формулировке можно будет отказаться от аксиомы 16 — она превратится в теорему. В самом деле, допустим, что фигура Ф равна фигуре Ф1, и докажем, что тогда и фигура Ф, равна фигуре Ф. Имеем: Ф] = Ф, (аксиома 15), Ф = Ф^ по условию. Следовательно, Ф, = Ф, что и требовалось доказать. Таким образом, для построения курса геометрии было бы достаточно сформулировать 16, а не 20 аксиом. 233 Приложения Ответы и указания Введение 3. а) Да; б) нет; в) нет; г) нет. 5. Бесконечное множество. 7. Нет. Указание. Воспользоваться аксиомой Аг. 8. а) Нет; б) да. 9. Да. 10. а) Да; б) нет. 12. Да. 13. а) Нет; б) нет; в) да. 14. Три плоскости, если прямые не лежат в одной плоскости, и одна плоскость, если прямые лежат в одной плоскости. Глава I 17. 26 см. 18. а) 3,5 см; б) 12 см. 20. Нет. 27. 48 см. 28. 8-^ см. О 29. 6 см. 33. Указание. Пусть а, р и у — данные плоскости, а а — линия пересечения плоскостей а и р. Рассмотреть взаимное расположение прямой а и плоскости у. 34. а), б) Пересекаются; в), г) параллельны; д), е) скрещивающиеся. 37. а) Пересекаются; б) скрещивающиеся. 40. а) Нет; б) да, прямая MN. 41. Нет. 42. а) Параллельны; б) 100 см. 44. а) 40°; б) 45°; в) 90°. 45. а) 50°; б) 59°. 46. а) 90°; б) 64°. 49. Нет. 54. б) 12 см^. 56. У казан ие. Воспользоваться задачей 55. 57. Указание. Воспользоваться задачей 56. 60. Указание. Воспользоваться задачей 58. 63. а) ААг = 18 см, АВ2 = 15 см; б) А2В2 = 54 см, AAg = 72 см. 65. а) Параллелограммы. 66. Три пары ребер. 67. а) ~17 см, ~23 см, ~29 см; б) =146 см*, =210 см*, =180 см*. 72. Указание, а) Учесть, что секущая плоскость проходит через середины ребер DB и DC тетраэдра; б) учесть, что секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по отрезкам, паргшлельным сторонам треугольника АВС. 73. 22 см. 74. б) i. 75. б) 6 см*. 77. 8 см, 10 см, 12 см. 79. а) Параллелограмм ABC^D^; б) параллелограмм АСС^А^. 81. Точка пересечения прямых: а) MN и ВС; б) AM и AjBj. 82. Указание. Задача решается аналогично задаче 2, п. 14. 83. Указание. Сначала построить отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань: а) АА^О^П', б) ABCD. 84. Указание. Сначала построить отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань ABCZ). 85. Параллелограмм BKD^L. 86. Указание. Сначала построить точку пересечения секущей плоскости с ребром ВПр 87. Указание. Сначала построить отрезок, по которому секущая плоскость пересекает: а) грань BCCjBi; б) грань AAiD^D. 88. б) 12 см. 90. Прямая CD: а) параллельна плоскости а; б) пересекает плоскость а. 92. Указание. Использовать свойство 2®, п. 6. 93. MN и Ь — скрещивающиеся прямые. 94. Да. 95. Указание. Использовать задачу 55. 98. Существует только одна плоскость. 100. Указание. Использовать вторую теорему п. 7 и задачу 59. 102. 10 (2v^ + 1) см и 25\'ТТ см*. 103. 4^ см*. 108. Указание. 234 Отпгты и уки.шния Предварительно доказать, что плоскости ADA^, BDB^ и CDCj пересекаются по прямой. 112. Указание. Учесть, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 113. Прямая BDj. Глава II 118. ZAOB, ZMOC и ZDOA. 120. 121. 13 см. 122. КА = - КВ = 20 см, DA = DB = 32 см. 125. 9 см. 126. Прямоугольный. 130. а) МА = , МВ = т, МС = , MD = + 2п^ ; б) ^ т^+^п^, т. 136. Указание. Воспользоваться задачей 134. 138. а) 2 d cos ф’ d tg ф; б) т cos ф, т sin ф. 140. 3 см. 141. 3 см. 142. 2,5 см или 1,5 см. 143. 2 см. 145. б) + Ь^. 146. Указание. Воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах и обратной к ней. 149. 4 см и 4V1O см. 150. а) 2 см; б) 4V2 см. 152. 8 дм, 8 дм, а4ъ дм, 4-/5 дм, 8 дм, 6-/2 дм. 154. а) 15 см; б) 75 см^. 155. 6 см. 156. sin* ф. 157. б) 5,1 дм. 158. 12,5 см, 12,5 см, 25 см, 25 см. 160. 12 см. 161. Указание. Использовать перпендикуляры, проведен-ные из точки А к прямым ВС и BD и к плоскости CBD. 163. а) — б) в) 164. 60°. 165. 3d. 168. 2 2 sin ф . 170. 1 см и см. 171. 45°. 2 172. 6 Л см. 173. 90°, 45° и 60°. 174. 60°. 175. cos а = i, а « 70°32'. О 176. 8\/2. 179. Указание. Воспользоваться задачей 178. 180. Указание. Воспользоваться задачей 179. 182. б) . 184. а) см; б) б) 5v^cM. 187. а) б) 17; в) 13. 188. aV3. 189. а) 190. а) 90°; б) 45°; в) tg ф = |, ф = 26°34'. 192. 193. а) ; rlyjn 194. а) б) ^ О 195. 6 см, 6 см б) -п^; в) и 6V2 см. 198. 4 см. 199. Указание. Пусть точка О — проекция точки S на плоскость треугольника. Доказать, что точка О совпадает с точкой М. 201. 90°. 202. 5-Уз см. Указание. Воспользоваться задачей 199. 203. 5 см. 204. а) + б) в) зшф 2tgф^ ' tg 0; в) А < 0; г) А = -1. 386. Указание. Сначала доказать, что мд = |(ЛЙ + МВ + МС + 1^). 387. &)30N-20М\ 6)20М-ON; в) kON + + 389. Сначала доказать компланарность векторов А2В2 и А3В3. 390. а) ^Ад; б) ——=-^—Ад; в) ^Ад; г) ^ Ад. 391. aJ = |а -t-jA -ь jc. 392. ACj = р + q + г;СА^ = -р - q + г; в5^ = д--р + г; = -q + р + г. 393. а) АК = АВ + AD + ^АА^; б) DA^ = ABj --BCj -t- CD.^. 394. AM = i AB -1- AD + i AA,. 395. Указание. Сначала до- казать компланарность векторов АА,, ВВ, и СС,. 396. ВС = с - Ъ, CD = d -с, DB = Ь -d, DM = \ь + \с -d. 397. i. 398. Указание. Вое- 2 2 3 пользоваться задачей 366. 399. Указание. Воспользоваться задачей 397. Глава V 400. а) С; б) Е; в) В; г) А, С, £, Я; д) В, Е, G; е) В, С, D. 402. Bj (1; 0; 1), С (0; 1; 1), С, (1; 1; 1), D^ (1; 1; 0). 403. а {3; 2; -5}, Ь {-5; 3; -1}, с {1; -1; 0}, d {0; 1; 1}, т {-1; 0; 1}, п {0; 0; 0,7}. 409. а) {7; -2; 1}; б){-7;2;-1}; в) {5;-1,2; 1}; г) |-5|; з|; - li|; д) j i;-2,2; i|; е) {7; -1,8; 1}; ж) {7; -2,2; 1}; з) {10; -2; 2}; и) {6; -3; 0}; к) (0; -1,2; 0}; л)||;-|;^}; м) {-0,4; 0,2; 0}. 410. Д {4;-18;-9}, g {5; 15;-5}. 411. а) {0; 5; -1}; б) {-3; 2; 1}; в) {7,8; 2,5; 4,1); г) {-3; 9; -3}. 412. -Г {-1; 0; 0), -J {0; -1; 0}, -А {0; 0; -1}, -а {-2; 0; 0}, -Ь {3; -5; 7}, 238 Ответы и uKajuHux -с {0,3; 0;-1,75}. 413. в) Нет; г) да; д) нет. 414. а) m = 10, л=1|: б) т = 0,1, л = -2. 415. а) Да; б) нет; в) да; д) нет; е) нет. 418. а) {-1;0;2}; б) (5;-7; 2}; в) { -1: -1- j}- 419. АВ=1-3]-Зк, ВС = -бТ + ] + 6k, СА = 4Г + 2j - 3ft. 420. Да. 421. б) Да; в) нет. 422. а) Да; б) нет; в) да. 423. Указание. Воспользоваться задачей 366. 424. а) М (-1; 2,5; -2); б) В (-8; 4; -19); в) А (-24; 8; 28). 425. а) m = 2, п = -5; 6) т= -0,5, п = 2; в) m = 1, п = -1; г) т = 2, п = -1. 426. а) 3; б) 17.427. |a|=5V3, |?|=7, |с|= V3,|d|=2,|m|= V5. 428. а) VO; б) 2^4; в) 0; г) 5V2; д) ЗЛЛ; е) 14; ж) л/^. 429. Л4. 430. а) 3 + 2^^2; б) 0,5; J'fo /<70 2-; —. 431. а) Правильный; б) прямоугольный разносторонний; 4 4 в) прямоугольный разносторонний; г) прямоугольный равнобедренный. 432. а) 4, 4, 3; б) 4^/2, 5, 5. 433. (0; 2; -3), (-1; 2; 0), (-1; 0; -3). 434. (3; 0; 0), (0;-4; 0), (0; 0; V7). 435. 3,75; 2; 4; 1-2л/2 и 1 + 2л/2. 436. Указание. Доказать, что: а) точки А, В и С не лежат на одной прямой; б) АВ и DC — неравные сонаправленные векторы; в) \AD\=\CB\. 437. а) (-1,6; 0; 0); б) (0; 8; 0); в) (0; 0; 1). 438. а) J|; о]; б)(о; 1; |j; в) (-|;0; 439. а) (2; 3; 0), ЛЗ; б) (2; 3; -1). 440. + ^ + 441. а) 45“; б) 135°; в) 60°; г) 45°; д) 90°; е) 90°; ж) 0°; з) 180°. 442. BADC = /70 v'i30 Vl82 -Jim -Дй в) -j^=. 470. а) б) в) 471. Указание. ПустьАВСОА^В^С.О, — V134 3 3 3 данный куб. Требуется, например, доказать, что АС^ 1 А^В. Разложить векторы ACi и А,В по векторам а = АВ, Ь = AD, с = АА^ и доказать, что ACi-a7b = 0. 473. 60°. 475. ^^ТоТТбТ!. 476. 45°. 477. Указание. 3 Доказать, что АК ■ BD = 0. 479. Указание. Рассмотреть плоскость, проходящую через центр симметрии и данную прямую, и свести задачу к задаче 1149 из учебника «Геометрия, 7—9». 481. Указание. Воспользоваться следующими свойствами движений: при движении прямая отображается на прямую, параллельные прямые — на параллельные прямые, а угол — на равный ему угол. 484. Указание. Учесть, что параллельный перенос есть движение, поэтому при параллельном переносе прямая отображается на прямую. 485. Указание. Доказать, что ММ, = AAi = р. 487. Указание. Утверждения доказываются точно так же, как в теореме п. 114 и в задаче 1150 из учебника «Геометрия, 7—9». 488. Указание, а), б) Доказательство провести методом от противного. 490. а) {3; 9; -24}; б) {-1,6; -2,3; 4,3}. 491. а) Нет; б) да; в) да; г) нет. 492. а) (-1; 0; 0); б) (0; -2; 0), (0; 0; 2). 493. а) Да; б) да; в) нет. 494. Указание. Доказать, что: а) точки А, В к С не лежат на одной прямой; б) середины отрезков АС и BD совпадают. 495. ^ j. 496. С (6; 5; 5), В, (9; 4; 1), B^ (4; 7; 4), С, (8; 8; 4). 497. а) 1; б) -2; в) 0. 498. 1-^;-|=;01. 499. 4 или-4. 500. 1.501. 2Л, л/7, 1 3 3 3 J IvlO VIO J 502. (0; 42,4; 0). 503. (1; 1,5; 1,5). У к a з a н и e. Учесть, что = 90°. 504. 6 дм. 505. Указание. Ввести систему координат и обозначить координаты вершин данного тетраэдра ABCD так: А (х,; у,, 2,), В (Хг; Уг! ■^г)» С Уз; 2з), D (х^; у^, 24). Учесть, что точка пересечения медиан / Х, -к Хо -Ь Хз + Хл i/l + У;) + Уз + 2, + 2о + 2з + Z, имеет координаты М-------------2----1;£1—^?------------------1----i V 4 4 4 506. а) 3; б) -3,5; в) 5; г) 7; д) -10. 507. а) 135°; б) 60°; в) 67°30'. 508. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 509. а) } ; б) |. 510. а) 90°; б) ~114°06'. 511. а) v'6; б) Л. 512. а) Л; б) А; в) г) ^ OD 1о 1о 13 513. а) —i=; б) -J=. 515. 45°. 516. sin 0 cos ф. 517. Jn^ + + рп. V38 >38 у f i' 518. Указание, а) Доказать методом от противного; б) пусть М— точка 240 Ответы и укалания )■ пересечения прямой а с плоскостью а, А — точка на прямой о, В и С — точки в плоскости а, отличные от точки М. К треугольникам AM В и АМС применить теорему Пифагора. 519. Указание. Рассмотреть линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями а и Р, а и Р,. 520. Указание. Взять на плоскости а две пересекающиеся прямые и воспользоваться задачей 484. Глава VI 521. 5 м. 522. а) 24 см; б) 12мЪ см; в) 432л см^ 523. а) 10^2 см; б) 50л см^ 524. Нет. 525. м. 526. а) 30°; б) 60°. 527. а) 5 дм; б) 3 см. 529. 64 см^ 530. 8 см. 531. 15 дм. 532. . 533. -4НЧ^. COS Ф 534. 2y[3dh. 535. 40 см^ 536. sV2. 537. л^ м‘. 538. -. 539. 1,125л кг. ТС 540. 6 см, 18 см. 541. 0,82 л « 2,58 м^. 542. 4S • ctg (р. 543. 5ц,л = s“(p-(-^d2 gin2| или sin (p -I- cos^ |. 544. 545. a) 2a^ 6) 2ла^ в) 4ла^ 546. б) оЛ й 547. 17 см. 548. а! 108л см^; б) 72л см^; в) 36л см^. .549. а) A-J2 дм; б) 4 дм. 550. 25 см^ 551. а) г^; б) V2; в) V3. 552. 2Л^ 553. 6^ дм. 554. а) rV4/ 2 -г^ б) 555. а) 200 см^ б) V6 см^ в) ?5^см^ 558. а = 216°. 559. 180°. 560. а) 60°; б) 2 arcsin в) 2 arcsin i. 561. 9л см^, &42 см. 562. ^ ^ см^. 563. 0,9л см^. 2 2 ^ па ^ cos ^ -г 564. ^ . 565. = 80л см^, = 144л см^. 566. 2лт^ sin ср. 2 sin ‘ а cos ср 567. 5 см. 568. а) 8 см; б) 128 см^. 569. - г^. 570. 60 см^ 571. 33ч/2л cм^ (33v^2 + 65) л см1 572. 2,55л « 8,011 кг. 574. а) 10^/П см; б) 12 мм; в) 16 дм; г) Va^ -Ь^. 575. . 576. а) (х - 2f -i- (у -i- 4f + + (z- 7f = 9; 6) x^ + y^ + г^ = 2; в) (x - 2f + = 16. 577. a) (x + 2f + + (y - 2)^ + z^ = 54; 6) (x + 2)^ + (y - 2f -ь = 8; в) x^ + y^ + z^ = 35. 578. a) (0; 0; 0), 7; 6) (3; -2; 0), Л. 579. a) (2; 0; 0), 2; 6) (0; 1; 0), 5; b) (-1; 0; 0), 2; r) 1 j, V6. 580. 1600л дм^. 581. 12 см. 582. 6 см. 583. 4 см. 584. 3 см. 585. 8 см. 586. а) Плоскость является касательной 241 Ответы и указания к сфере; б), в) плоскость пересекает сферу; г) плоскость и сфера не имеют общих точек. 587. а) 80я см^; б) + 4 см. 588. а) ^ R; V ТС 2 л \ 3 в \ 3 б) 589. а) 2v^n см; б) 5>/2 л м. 590. sin^ (р. 591. . Z 2 2 592. 1 см. 593. а) 144л см^; б) 16л дм^; в) 8л м^; г) 48л см^. 594. 36 м^. 595. см. 597. 10 м. 598. 900л см^. 599. 4л + Гг^). 601. \ К 2 602. 604. I—. 605. а) |; б) 2 или 606. 2я(5| + S2) 607. ^ или 608. 414л см^ 610. - к 611. 2 4 3 ---------. 612. arccos я 7 613. 4Ve см^. 614. arcsin к 615. (Д ^gjg 4q^ ^^2 617. a) ^(V^-h3)cm^; 6) (18-1-бу'П) cm^; b) |( VoT + зТЗ) cm^ 618. 12л/То Л дм^, 4 (Зл/То-I-5) Л дм^. 620. a) Указание. Доказать, что диаметр сферы равен гипотенузе треугольника; б) 2^/lд см. 621. а) 30°; б) 622. (3; 0; 0), (0; 0; -9), (0; 0; -1). 623. 4v'2. 625. б) 0,6Д. 144 626. а) 2rJ-—4Д sin (pJ^ ^ -У; б) ^ лД^ sin^ <р (3 - 4 sin^ q>). f u Vo у 630. 031_ a) l^(29-b7V^)cM^ 4 CM^634. a) 24Д^; 6)12ТЗД2; в)24^3Д2. 627. ^ л см. 13 б) (58-1- 14л^)см^ в) 4 Д ^ cos а 15л 21v'9l + 87V3 635. а) (1-sina) tg • ; б) I00V3 (2 + V3)см^. 636. Указание. Рассмот- реть сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей через середину 2 21 3 стороны основания перпендикулярно к ней. 639. а) 8Д^; б) —^—R^; 4 в) 640. ^^ а, 641. 4-\/3 см, 6 см или 4л/2 см, 8 см. 3 4VM 11 2 „„о 2 а / \ / \ £,ПГ сие — 642. |. 643. а) Д tg U -н ^ ; б) г tg U ^ ; в) 60°. 644. ----------------^ 3 tg2^cosa 645. 4- 646. а) Д sin <р; б) ; в) 30° или 150°. 4 sin (р 242 Ответы и указания Глава VII 647. а) V=V^ + V2; б) V = ^Vi+V2. 648. а) 1980; б) 300; в) 1170л/3; О г) 3.2V5. 649. а) 432V2 см®; б) м®; в) 0,32V'5 см®. 650. 12 см. Л® sin а -у/cos ^ Р - sin ^ а 651. 3,51 кг. 652. 240V2 см®. 653. 729л/2 см®. 654. sin^ р 655. 656. 432V3 см®. 657. а) i -v'^.M®; б) 1728^/2 см®. О 658. 2310 см®. 659. а) см®; б) 1,5л/2. 660. 0,5т® sin (р cos 4 i 661. sinP cos®P ceo Q®sin2P v3a® 4tg^ r) —^-------. 664. tg 22°30' 662. 3v'3o® . 663. a) ; 6) a®; в) 1,5л/3а®; 2a 4 . 665. 72 CM®. 666. a) 24л см®; б) см; в) 2 см. 8 v3n 667. ==208 м. 668. «1513 т. 669. ^SV^Q- 670. =61 кг. 671. а) 3^3 : 4л; б) 2 : л; в)3ч/3:2л; г) 2V2 : л; д) • sin : л. 672. i^h 4 cos ^ а айд/12а^ - 3ft^ 8 ■ 678. im® tg ф. 679. 1050 см®. 680. abcJ-cos 2ф. 681. V = 18V^ см®. 4 ’ 673. 0,5. 674. |. 675. |. 676. 192Л см®. 677. 1-® 683. 1080 см®. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 684. а) 6 м®; б) 4950 см®. 685. 169V3 см®. 686. а) ^/® sin 2ф cos ф; О д I----------^ а® J3 -4 sin® ^ б) i/® cos® ад/З-4 cos® ос; в) il® sin® ^./з-4 sin® 687. -------------. 3 ^ 3 2V 2 О.. Ч) 24 sin — 2 688. а) б) yjcos^ ^ g^Q 0^471 gjjS 3tg®p’ 63i„a 3 eVi^cM®. 691. 5i^cM®. 692. iflbVo® +5® tgф. 694. 9cm®. 6 12 695. a) i c® sin 2ф tg 0; 6) 48 cm®; b) i abc. 696. 1400V3 cm®. 697. 698. ^ (m® - Л®) tg ф. 699. 1260 дм®. 700. 38д^ см®. 701. а) 2,25л см®; б) 9 см; в) 702. 375 см® 703. д/л€? (/>®-Q®) Зл 704. 12 ■лЯ®. 705. 240л см® или 100л см®. 706. 216°. 707. дм®. 708. 84л м®. 243 Ответы и укавания 709.^, -Л2 + 710. а) 647tcм^ ^лсм^ б) =3 см, л/ 12 V J 3 =36т: см ; в) 4 см, -^л см . 711. Объем Земли в 64 раза больше объема О Луны. 712. H = ^R, где Н — высота цилиндра, R — радиус шара О 32 942 ? 713. Нет. 714. Уровень воды повысится на -ff см. 715. 7 о 1 716. 5:16. 717. 58 500л см® или 504 000л см®. 718. |^лЛ® о1 719. 252л см® и 720л см®. 720. 112 500л см®. 721. ?^лЛ® 722. 6375®л « 1,28 • 10® км® = 128 • 10® км®. ,3 723. 432л « 1357 см^ 725. ^Si -Sa -Sg, 36 дм®. 726. 48V11 см®. 727. a^Q® -Qa® 728. 105 см®. 729. 16\ 11 см®. 730. —. 731. 1 м, 2 м, Vs м, 3 м, 3 м, 3 м 4 732. id® sin^ (рл/З cos^ <р - sin^ (p или id® sin^ (p.^3 -4 sin® (p. 733. Ука О 3 3 a н и e. Достроить треугольную призму до параллелепипеда. 734. Указа ние. Воспользоваться задачей 733. 735. 6,12 дм®. У казание. Воспользо ваться задачей 682. 736. 739. 741. а^п 1 1 24tgl80° ^ п 1 tg®l tg®180» п -------------. 737. 738. i^/i®(3 tg2 Г,Г2 где Гз — радиус меньшего из шаров. 800. г = ^ R. 2V'3(X.-1)-V9X.2-18X + 12 801. 3 (>.-2) R при я. ^ 2 и ^ R при X = 2. 802. 4 4 ^ ^ ^ — объем призмы. 803. У к а 3 ан и е. Достроить тетраэдр до треугольной призмы и воспользоваться задачей 733. 804. Указание. Доказать, что полученные тетраэдры имеют общее основание и равные высоты. 805. 5 : 3. 806. Указание. Взяв за основание какую-нибудь грань с ребром АВ, заметить, что ни ее площадь, ни высота тетраэдра не зависят от положе- Указание. Воспользоваться задачей ния точек С и £). 807. см® 24 803. 808. Указание. Взять точку А внутри сечения и разбить 16 3 многогранник на пирамиды с общей вершиной А. 809. см . У к а- «3 3 а н и е. Рассмотреть сечение фигуры плоскостями, параллельными г осям цилиндров. 810. 2 arcsin 812. О 1а 3ctg®|- С08 а ■ 2 ot sin^ — 2 813. 4 X. 814. Указание. Рассмотреть плоскость, в которой лежат вершина тетраэдра и прямая Эйлера противоположной грани (см. п. 94). 815. Указание. Рассмотреть центральное подобие с центром G (см. задачу 814) и коэффициентом а также центральное подобие с центром Н и коэф- О фициентом i. Глава VIII 817. Указание. Использовать общую касательную к окружностям в точке М. 818. Указание. Сначала доказать, что ААВС ^ ABAD. 820. Указание. Воспользоваться теоремой 2 из п. 86. 821. Указание. Рассмотреть два случая: точка пересечения прямых лежит внутри круга и вне круга и воспользоваться теоремами 1 и 2 из п. 86. 822. Указание. Сначала доказать, что ZNMK = ZMKN. 823. Указание. Сначала доказать, что ZAMN = ZANM. 825. Указание. Рассмотреть два случая; прямая АЕ — секущая и прямая АЕ — касательная к окружности. 246 Ответы и ука.шния 826. Указание. Воспользоваться признаком вписанного четырехугольника. 827. Указание. Пусть ABCD — данный четырехугольник. Провести диаметр ВВ, и сначала доказать, что у1В, = СВ. 828. Указание. Через точку пересечения указанных биссектрис провести прямую, параллельную АВ к пересекающую прямые AD и ВС в точках £ и В, и доказать, что EF = СВ. 829. Указание. В четырехугольнике ABCD на диагонали АС отметить такую точку К, что Z.ABK = Z.CBD, и далее использовать подобие треугольников АВК и ВВС, ВСК и ABD. 830. Указание. Найти сумму углов С и К четырехугольника CDKE. 831. Указание. Выразить угол между указанными биссектрисами через два противоположных угла четырехугольника. 833. Указание. Пусть основания трапеции равны а и Ь. Сначала доказать, что радиус вписанной окружности равен ■ 834. ° ^ 835. Указание. Воспользоваться ра- а + Ь а-Ь венством отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки, а также равенством отрезков внешних касательных к двум окружностям. 836. Указание. Воспользоваться теоремой о биссектрисе треугольника (п. 91). 837. Указание. Воспользоваться тем, что отношение площадей треугольников ABD и ACD равно, с одной стороны, отношению отрезков BD и CD, а с другой стороны, отношению высот, проведенных из до _ Ь + с во _ с + а СО _ а + Ь OAi ~ а ' OS, “ Ь ’ОС, “ с ’ вершин В и С. 838. а) Указание. Для нахождения отношения провести отрезок A,D, параллельный БВ, (точка D лежит на стороне АС), и далее использовать подобие получившихся треугольников и теорему о биссектрисе треугольника (п. 91). в) Нет. Указание. В пунктах б), в), г) использовать формулы пункта а). 839. Указание. Воспользоваться формулой (6) из п. 92. 840. Указание. Пусть прямая ВМ пересекает сторону АС в точке D. Воспользоваться тем, что треугольники AMD и CMD имеют общую высоту. 841. 3 : 4. Указание. Достроить данный треугольник до параллелограмма. 842. 16, 15 2 — см . 843. 72 см^. Указание. Воспользоваться результатом задачи 841. 844. Указание. Пусть точка L лежит на стороне АВ, М — на стороне АС, О — точка пересечения биссектрис треугольника АВС, Q___ ^ • sin Z.LOM , OL = ОМ = г. Воспользоваться равенством > АВС 1 АВ ■ АС • sin А ABAC’ „ ^ MON ^ SOL . аналогичными равенствами для отношении ------ и —--- и формулами S АВС * АВС (5) и (6) из п. 92. 845. б) Указание. Воспользоваться формулой из пункта а), а также формулой (5) из п. 92. 846. Указание. Продолжить стороны Ь и d до пересечения и воспользоваться результатом задачи 845 а). Если же стороны Ь w d параллельны, то воспользоваться формулой площади трапеции. 847. Указание, а) Воспользоваться тем, что 247 Ответы и укамния S = SJ^2c + ■Sadc» 6) воспользоваться формулой из п. а). 848. Указание, а) Воспользоваться результатом задачи 847 а) и свойством сторон описанного четырехугольника (п. 89); б) воспользоваться формулой из пункта а). 849. Указание. Сначала выразить отрезки BD, ВН, DM и ВК через стороны треугольника АВС. 851. Указание. Воспользоваться теоремой о биссектрисе треугольника (п. 91), результатом задачи 837 и теоремой Менелая. 852. Указание. Воспользоваться результатом задачи 837 и теоремой Менелая. 853. Указание. Воспользоваться теоремой Менелая. 854. Указание. Дважды используя теорему Менелая, доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений боковых сторон, проходит через середины оснований. 855. Указание. Воспользоваться теоремой Менелая применительно к треугольникам АВС и ADC. 856. Указание. Воспользоваться свойством сторон описанного четырехугольника (п. 89) и результатом задачи 855 а). 857. Указание. Воспользоваться теоремой Менелая применительно к треугольнику OOfi^. 858. Указание. Воспользоваться теоремой Менелая. 859. Указание. Воспользоваться теоремой Чевы. 860. Указание. Воспользоваться теорюмой Чевы. 861. Указание. Пусть луч СТ пересекает сторону АВ в точке Cj, а луч СО пересекает сторону АВ в точке Сг. Используя теорему Чевы, доказать, что точки С) и Cg делят отрезок АВ в одном и том же отношении и, следовательно, совпадают. 862. Указание. а) Сначала доказать, что sin ZACC, sinZSAA, sin ZCBB, АС, BA, СВ, -------!---------—i---------L = —i-----:-----a затем воспользовать- sin ZCjCB sin ZAj AC sin ZB,BA C,B A,C B,A СЯ теоремой Чевы. б) Задача решается аналогично задаче из пункта а). 863. а) ^ + 1/^ = 1; б) —в) х = —^ и х = . 864. Пересекаются в точках (0; -2) и 865. а) Пересекаются в четырех точках: (-2; -V3), (-2; V3), (2; -V3), (2; VS); б) касаются в точке (4; 0), пересекаются в точках и 866. а) z2-i^=l;6) 2; в) ^ = и д: = i. 867. Пересекаются в четырех точках: j> ^“^3; - 2.^ j, ^-УЗ; ^-Уб; Эксцентриситет равен уравнения директрис: у + X - -У^ = о и у + X + 4^ = 0. Указание. Воспользоваться замечани- 4ас — —1 ем 3 п. 98. 869. Уравнение директрисы у =--—---; координаты фоку- са [ 2а ’ iac - + 1 4а 4а У к а 3 ан и е. Сначала сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы начало координат совпало с вершиной параболы. 870. При R = \ касаются в точке (0; 0), при Д > 4 касаются в точке (0; 0) И пересекаются в точках (~42R^; 2R-1) и (42R-1; 2R - 1). 248 Ответы и цка.шнив Предметный указатель Абсцисса точки 102 Аксиомы стереометрии 4 Апофема правильной пирамиды 70 — — усеченной пирамиды 71 Аппликата точки 103 Боковая грань параллелепипеда 25 — — пирамиды 69 — — призмы 64 — — усеченной пирамиды 71 — поверхность конуса 135 — — усеченного конуса 137 — — цилиндра 131 Боковые ребра параллелепипеда 25 — — пирамиды 69 — — призмы 64 — — усеченной пирамиды 71 Большой круг шара 142 Вектор 84 — единичный 103 — нулевой 84 — противоположный данному 87 Вершина конуса 135 — конической поверхности 135 — пирамиды 62 Вершины многогранника 60 Взаимное расположение сферы и плоскости 141 — — — и прямой 144 Внутренняя точка фигуры 61 Высота конуса 135 — пирамиды 69 — призмы 64 — усеченного конуса 137 — усеченной пирамиды 71 — цилиндра 131 — шарового сегмента 175 — — слоя 175 Вычисление длины вектора по его координатам 106 — координат середины отрезка 106 — объемов тел с помощью определенного интеграла 165 — расстояния между двумя точками 107 — углов между прямыми и плоскостями 113 Вычитание векторов 88 Геометрическое тело 61 Гипербола 214 Градусная мера двугранного утла 48 Граница геометрической фигуры 61 Граничная точка фигуры 61 Грань двугранного угла 47 — многогранника 60 Движения 121 Двугранный угол 47 Диагональ многогранника 60 — параллелепипеда 25 Диаметр сферы (шара) 141 Длина вектора 84 Додекаэдр правильный 78 Единица измерения объемов 157 Измерения прямоугольного параллелепипеда 50 Изображение плоских фигур 222 Изображение пространственных фигур 224 Икосаэдр правильный 77 Касательная к сфере 145 — плоскость к сфере 143 Коллинеарность векторов 84 Компланарность векторов 92 Коническая поверхность 135 Конические сечения 150 Конус 135 Координатные векторы 103 — плоскости 102 Координаты вектора 103 — точки 102 Куб 51, 78 Кубический метр, миллиметр, сантиметр 157 Линейный угол двугранного угла 48 Многогранник 60 — вписанный в сферу 155 — выпуклый (невыпуклый) 60 — описанный около сферы 144, 155 — правильный 76 Многогранный угол 52 Наклонная, проведенная из точки к плоскости 40 Наложение фигур 227 249 Предметный ука.штель Наложения и движения 123, 124 Направляющий вектор прямой 114 Начало координат 102 Образующая конуса 135 — конической поверхности 135 — усеченного конуса 137 — цилиндра 131 — цилиндрической поверхности 130 Объем конуса 170 — наклонной призмы 167 — пирамиды 168 — прямой призмы 162 — прямоугольного параллелепипеда 159 — усеченного конуса 170 — усеченной пирамиды 169 — цилиндра 163 Объем тела, основные свойства 157, 158 — шара 174 — шарового сегмента 175 — — сектора 175 — — слоя 175 Октаэдр 60 — правильный 77 Ордината точки 102 Ортогональная проекция 42 Осевое сечение конуса 136 — — цилиндра 131 Оси координат 102 Основание конуса 135 — наклонной 40 — перпендикуляра 40 — пирамиды 69 — шарового сегмента 174 Основания параллелепипеда 25 — призмы 64 — усеченного конуса 137 — усеченной пирамиды 71 — цилиндра 131 Ось конуса 135 — конической поверхности 135 — симметрии фигуры 75 — цилиндра 131 — цилиндрической поверхности 130 Откладывание вектора от точки 85 Парабола 217 Параллелепипед 25 — прямоугольный 50 Параллельная проекция точки 220 — — фигуры 220 Паргшлельность плоскостей 20 — прямой и плоскости 11 — прямых 9 Параллельный перенос 123 Переместительный закон скалярного произведения векторов 113 — — сложения векторов 87 Пересекающиеся плоскости 6 Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости 40 Перпендикулярность векторов 112 — плоскостей 48 — прямой и плоскости 34 — прямых 34 Пирамида 69 — правильная 69 Плоскость 3 — симметрии фигуры 75 Площадь боковой поверхности конуса 136 — — — пирамиды 69 — — — призмы 64 — — — усеченного конуса 137 — — — усеченной пирамиды 71 — — — цилиндра 132 Площадь полной поверхности конуса 136 — — — пирамиды 69 — — — призмы 64 — — — цилиндра 133 — сферы 144, 176 Поверхность геометрического тела 62 Подобные тела 125 Правило многоугольника 88 — параллелепипеда 93 — параллелограмма 87 — треугольника 87 Преобразование подобия 124 Призма 63 — наклонная 64 — правильная 64 — прямая 64 Признак параллельности двух плоскостей 20 — — прямой и плоскости 12 — перпендикулярности двух плоскостей 49 — — прямой и плоскости 36 — скрещивающихся прямых 15 250 Предметный указатель Проекция наклонной на плоскость 40 — точки на плоскость 42 — фигуры на плоскость 43 Противоположно направленные векторы 84 Прямая 3 Прямоугольная проекция 42 — система координат в пространстве 102 Равенство векторов 85 — фигур в пространстве 227 Радиус сферы (шара) 140, 141 — цилиндра 131 Развертка боковой поверхности конуса 136 — — — цилиндра 132 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 94 Разность векторов 88 Распределительный закон скалярного умножения векторов ИЗ Распределительные законы умножения вектора на число 89 Расстояние между двумя параллельными плоскостями 41 — — прямой и плоскостью 41 — — скрещивающимися прямыми 41 — от точки до плоскости 41, 116 Ребро двугранного угла 47 — многогранника 60 Секущая плоскость 27, 60 Сечение конуса 135, 149 — параллелепипеда 27 — тела 62 — тетраэдра 27 — цилиндра 131, 147 — шара 142 Симметрия зеркальная осевая, центральная 75, 121, 122 Скалярное произведение векторов 112 Скалярный квадрат вектора ИЗ Скрещивающиеся прямые 15 Сложение векторов 87 Сонаправленные векторы 84 — лучи 17 Сочетательный закон скалярного произведения векторов ИЗ — — сложения векторов 87 — — умножения вектора на число 89 Стереометрия 3 Сумма векторов 87 Сфера 140 — вписанная в коническую поверхность 146 — — в многогранник 144, 155 — — в цилиндрическую поверхность 145 — описанная около многогранника 155 Тетраэдр 24 — правильный 77 Точка 3 Точки, симметричные относительно плоскости (прямой, точки) 75 Трехгранный угол 51 Угол между векторами 112 — — пересекающимися плоскостями 49 — — прямой и плоскостью 43 — — скрещивающимися прямыми 18 Умножение вектора на число 89 Уравнение плоскости 115 — поверхности 115 — сферы 141 Усеченная пирамида 71 — — правильная 71 Усеченный конус 137 Фигура ограниченная 61 — связная 61 Центр симметрии фигуры 75 — сферы (шара) 140 Центральная проекция 44 Центральное подобие 200 Цилиндр 131 Цилиндрическая поверхность 130 Шар 141 Шаровой сегмент 174 — сектор 175 — слой 175 Элементы симметрии многогранника 76 — — правильных ков 79 Эллипс 211 многогранни- 251 Предметный указатель Оглавление Введение .................................................... 3 1. Предмет стереометрии...................................... — 2. Аксиомы стереометрии...................................... 4 3. Некоторые следствия из аксиом............................. 6 Вопросы и задачи............................................. 7 Глава I Параллельность прямых н плоскостей § 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.................... 9 4. Параллельные прямые в пространстве....................... — 5. Параллельность трех прямых.............................. 10 6. Параллельность прямой и плоскости....................... 11 Вопросы и задачи............................................ 13 § 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми..................................................... 15 7. Скрещивающиеся прямые.................................... — 8. Углы с сонаправленными сторонами........................ 17 9. Угол между прямыми...................................... 18 Вопросы и задачи............................................. — § 3. Параллельность плоскостей................................... 20 10. Параллельные плоскости................................... — 11. Свойства параллельных плоскостей........................ 21 Вопросы и задачи............................................ 22 § 4. Тетраэдр и параллелепипед................................... 24 12. Тетраэдр................................................. — 13. Параллелепипед.......................................... 25 14. Задачи на построение сечений............................ 27 Задачи...................................................... 29 Вопросы к главе I........................................... 31 Дополнительные задачи....................................... 32 Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей § 1. Перпендикулярность прямой и плоскости....................... 34 15. Перпендикулярные прямые в пространстве................... — 16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости . . — 17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости .... 36 18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости .... 38 Задачи....................................................... — § 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью 40 19. Расстояние от точки до плоскости......................... — 20. Теорема о трех перпендикулярах......................... 42 21. Угол между прямой и плоскостью.......................... — Задачи...................................................... 44 § 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.............. 47 22. Двугранный угол......................................... — 23. Признак перпендикулярности двух плоскостей............. 49 24. Прямоугольный параллелепипед .......................... 50 25*. Трехгранный угол....................................... 51 26*. Многогранный угол...................................... 52 Задачи...................................................... 54 Вопросы к главе II.......................................... 57 Дополнительные задачи........................................ — 252 Огливм'ние Глава 111 Многогранники § 1. Понятие многогранника. Призма.............................. 60 27. Понятие многогранника..................................... — 28*. Геометрическое тело..................................... 61 29*. Теорема Эйлера.......................................... 62 30. Призма................................................... 63 31*. Пространственная теорема Пифагора....................... 65 Задачи....................................................... 67 § 2. Пирамида................................................... 69 32. Пирамида.................................................. — 33. Правильная пирамида....................................... — 34. Усеченная пирамида....................................... 71 Задачи....................................................... 72 § 3. Правильные многогранники................................... 75 35. Симметрия в пространстве.................................. — 36. Понятие правильного многогранника........................ 76 37. Элементы симметрии правильных многогранников .... 79 Практические задания.......................................... — Вопросы и задачи............................................. 80 Вопросы к главе III.......................................... 81 Дополнительные задачи......................................... — Глава 1\' Векторы в пространстве § 1. Понятие вектора в пространстве.............................. 84 38. Понятие вектора........................................... — 39. Равенство векторов ...................................... 85 Вопросы и задачи............................................. 86 § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число 87 40. Сложение и вычитание векторов............................. — 41. Сумма нескольких векторов................................ 88 42. Умножение вектора на число............................... 89 Задачи....................................................... 90 § 3. Компланарные векторы........................................ 92 43. Компланарные векторы...................................... — 44. Правило параллелепипеда.................................. 93 45. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам . . 94 Вопросы и задачи............................................. 95 Вопросы к главе IV........................................... 98 Дополнительные задачи........................................ 99 Глава V Метод координат в пространстве. Движения § 1. Координаты точки и координаты вектора...................... 102 46. Прямоугольная система координат в пространстве............ — 47. Координаты вектора...................................... 103 48. Связь между координатами векторов и координатами точек . 105 49. Простейшие задачи в координатах......................... 106 Вопросы и задачи............................................ 107 253 Оглавление § 2. Скалярное произведение векторов.......................... 112 50. Угол между векторами.................................... — 51. Скалярное произведение векторов......................... — 52. Вычисление углов между прямыми и плоскостями .... 113 53*. Уравнение плоскости................................... 115 Задачи..................................................... 116 § 3. Движения................................................. 121 54. Центральная симметрия................................... — 55. Осевая симметрия...................................... 122 56. Зеркальная симметрия.................................... — 57. Параллельный перенос.................................. 123 58*. Преобразование подобия................................ 124 Задачи..................................................... 125 Вопросы к главе V.......................................... 126 Дополнительные задачи...................................... 127 Глава VI Цилиндр, конус, шар § 1. Цилиндр................................................... 130 59. Понятие цилиндра........................................ — 60. Площадь поверхности цилиндра.......................... 132 Задачи..................................................... 133 § 2. Конус..................................................... 135 61. Понятие конуса.......................................... — 62. Площадь поверхности конуса............................ 136 63. Усеченный конус....................................... 137 Задачи..................................................... 138 § 3. Сфера..................................................... 140 64. Сфера и шар............................................. — 65. Уравнение сферы....................................... 141 66. Взаимное расположение сферы и плоскости................. — 67. Касательная плоскость к сфере......................... 143 68. Площадь сферы......................................... 144 69*. Взаимное расположение сферы и прямой.................... — 70*. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность .... 145 71*. Сфера, вписанная в коническую поверхность............. 146 72*. Сечения цилиндрической поверхности.................... 147 73*. Сечения конической поверхности........................ 149 Задачи..................................................... 150 Вопросы к главе VI......................................... 152 Дополнительные задачи...................................... 153 Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар . . . 155 Глава VII Объемы тел § 1. Объем прямоугольного параллелепипеда...................... 157 74. Понятие объема.......................................... — 75. Объем прямоугольного параллелепипеда.................. 159 Задачи..................................................... 161 254 Оглавление § 2. Объемы прямой призмы и цилиндра......................... 162 76. Объем прямой призмы...................................... — 77. Объем цилиндра......................................... 163 Вопросы и задачи........................................... 164 § 3. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса................. 165 78. Вычисление объемов тел с помощью интеграла..... — 79. Объем наклонной призмы................................. 167 80. Объем пирамиды......................................... 168 81. Объем конуса........................................... 170 Задачи..................................................... 171 § 4. Объем шара и площадь сферы................................. 174 82. Объем шара............................................... — 83. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора — 84*. Площадь сферы......................................... 176 Вопросы и задачи........................................... 177 Вопросы к главе VII........................................ 178 Дополнительные задачи...................................... 179 Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар . . . 180 Задачи для повторения...................................... 181 Задачи повышенной трудности................................ 182 Глава VIII* Некоторые сведения и.т планнмстрин § 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью.................... 187 85. Угол между касательной и хордой........... — 86. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью. . . . 188 87. Углы с вершинами внутри и вне круга....... 189 88. Вписанный четырехугольник.............................. 190 89. Описанный четырехугольник.............................. 192 Задачи..................................................... 193 § 2. Решение треугольников...................................... 195 90. Теорема о медиане........................................ — 91. Теорема о биссектрисе треугольника..................... 196 92. Формулы площади треугольника........................... 198 93. Формула Герона......................................... 199 94. Задача Эйлера.......................................... 200 Задачи..................................................... 204 § 3. Теоремы Менелая и Чевы..................................... 206 95. Теорема Менелая.......................................... — 96. Теорема Чевы........................................... 207 Задачи..................................................... 209 § 4. Эллипс, гипербола и парабола............................... 211 97. Эллипс................................................... — 98. Гипербола.............................................. 214 99. Парабола............................................... 217 Задачи..................................................... 219 Приложения 1. Изображение пространственных фигур....................... 220 1. Параллельная проекция фигуры.............................. — 2. Изображение фигуры..................................... 221 3. Изображение плоских фигур.............................. 222 4. Изображение пространственных фигур..................... 224 2. Об аксиомах геометрии.................................... 225 Ответы и указания.......................................... 234 Предметный указатель....................................... 249 255 Ог.чавленир Учебное издание Серия «МГУ — школе» Атанасян Левон Сергеевич Бутузов Валентин Федорович Кадомцев Сергей Борисович Киселева Людмила Сергеевна Позняк Эдуард Генрихович ГЕОМЕТРИЯ 10—11 классы Учебник для общеобразовательных учреждений Базовый и профильный уровни Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Кузнецова Младший редактор Н. В. Ноговицина Художники о. М. Шмелев, В. А. Сайчук, О. В. Корытов, Т. В. Делягина, О. П. Богомолова Художественный редактор О. П. Богомолова Технический редактор И. Н. Петухова Корректор М. А. Терентьева Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 19.02.13. Формат 70 X 90'/ie- Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 15,75 -I- 0,63 форз. Тираж 70 000 экз. ^каз №34270 (п-ь). Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение*. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство «Высшая школа» 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1. Тел.: -f7 (4812)31-11-96. Факс: +7 (4812)31-31-70 E-mail: snklSsmolpk.ru hitto://www.smolpk.ru ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Сложение векторов Правило многоугольника Скалярное произведение векторов ^{Х2; у2, Z2) a{xi;yi\ 21} аЪ = \а\ |b|cosa = Х1Х2 + У1У2 + Z1Z2 Координаты вектора ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ v=lsh Прямоугольный параллелепипед V = abc У1сеченная пирамида F=|/i(s + s,+V^i) О .4