Геометрия Самостоятельные и контрольные работы 7-9 класс Иченская

к М. А. Иченская М. А. Иченская ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛ ЬН Ы Е И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ У м ► КЛАССЫ Учебное пособие для общеобразователь организаций 5-е издание Москва «Просвещение» 2017 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 И96 6+ Иченская М. А. И96 Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы. 7—9 классы: учеб, пособие для общеобразоват. организаций / М. А. Иченская. — 5-е изд. — М. : Просвещение, 2017. - 144 с.: ил. - ISBN 978-5-09-045910-5. Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы, а также карточки к итоговым зачётам по курсу геометрии 7—9 классов. Оно ориентировано на учебник «Геометрия. 7—9 классы» авторов Л. С. Атанасяна и др. Пособие адресовано школьникам, учителям математики и студентам педвузов. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Учебное издание Иченская Мира Александровна ГЕОМЕТРИЯ Самостоятельные и контрольные работы 7—9 классы Учебное пособие для общеобразовательных организаций Центр естественно-математического образования Редакция математики и информатики Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Кузнецова Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, Е. В. Трошко Художественный редактор О. П. Богомолова Художник А. Б. Юдкин Компьютерная графика О. Ю. Тупикиной Техническое редактирование и компьютерная вёрстка М. С. Давыдовой Корректоры Н. А. Юсупова, Л. С. Александрова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД №05824 от 12.09.01. Подписано в печать 05.12.16. Формат 60x90’/i6. Бумага типографская. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,30. Тираж 2000 экз. Заказ № 2688. Акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано по заказу АО «ПолиграфТрейд» в филиале «Тверской полиграфический комбинат детской литературы» ОАО «Издательство «Высшая школа». 170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября, 46. Тел.: +7(4822) 44-85-98. Факс: +7(4822) 44-61-51. ISBN 978-5-09-045910-5 Издательство «Просвещение», 2012 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2013 Все права защищены 7 класс Самостоятельные работы 7 класс С—1, В—1 1. Начертите прямую и обозначьте её буквой Ь. Отметьте точку М, лежащую на прямой Ъ. Отметьте точку N, не лежащую на прямой Ъ. Используя символы е и запишите предложение: «Точка М лежит на прямой Ъ, а точка N не лежит на ней». 2. Начертите прямые а и пересекающиеся в точке М. На прямой а отметьте точку N, отличную от точки М. Являются ли прямые MN и а различными прямыми? Может ли прямая Ъ проходить через точку N1 Ответы обоснуйте. 7 класс С—1, В—2 1. Начертите прямую и обозначьте её буквой а. Отметьте точку К, лежащую на прямой а. Отметьте точку С, не лежащую на прямой а. Используя символы е и запишите предложение: «Точка К лежит на прямой а, а точка С не лежит на ней». 2. Начертите прямые тип, пересекающиеся в точке А. На прямой т отметьте точку В, отличную от точки А. Являются ли прямые АВ и т различными прямыми? Может ли прямая п проходить через точку В? Ответы обоснуйте. 7 класс 1. На прямой даны три точки А, В и С. Назовите: а) пары совпадающих лучей; б) пары противоположных лучей. 2. Назовите: а) луч, который делит угол BOD на два угла; б) луч, который не делит угол BOD на два угла. С—2, В—1 С В 7 класс 1. На прямой даны три точки М, N Vi К. Назовите: а) совпадающие лучи среди лучей MN, NK, МК, КМ; б) пары противоположных лучей. 2. Назовите: а) луч, который делит угол РОМ на два угла; б) луч, который не делит угол РОМ на два угла. М С—2, В—2 N К 7 класс С—3, В—1 1. На луче h с началом в точке О отметьте точки А и В так, чтобы точка А лежала между точками О и Б. Сравните отрезки ОА и ОБ и запишите результат сравнения. 2. Изобразите неразвёрнутый угол АВС и проведите какой-нибудь луч ББ, делящий этот угол на два угла. Сравните: а) угол АВС и угол ABD; б) угол АВС и угол ВВС. Запишите результаты сравнения. 7 класс С—3, В—2 1. На луче k с началом в точке О отметьте точки М и N так, чтобы точка N лежала между точками О и М. Сравните отрезки ОМ и ON и запишите результат сравнения. 2. Изобразите неразвёрнутый угол DBA и проведите какой-нибудь луч БС, делящий этот угол на два угла. Сравните: а) угол DBA и угол ВВС; б) угол DBA и угол СВ А. Запишите результаты сравнения. 7 класс С—4, В—1 1. На прямой Ъ отмечены точки С, D, Е, причём CD = б см, DE = 8 см. Чему может быть равна длина отрезка СЕ7 2. Точка М — середина отрезка АВ, МВ = 4,3 дм. Найдите длину отрезка АВ в миллиметрах. 3. Отрезки PQ и EF пересекаются, точка К лежит на отрезке EF, причём PQ = 21 см, РК = 14 см, QK = 8 см. Является ли точка К точкой пересечения отрезков PQ и EF7 Ответ обоснуйте. 7 класс С—4, В—2 1. На прямой а отложены точки М, К, N, причём МК = 7 см, KN = 10 см. Чему может быть равна длина отрезка MN1 2. Точка Е — середина отрезка CD, СЕ = 2,8 см. Найдите длину отрезка CD в миллиметрах. 3. Отрезки АВ и CD пересекаются. Точка N лежит на отрезке CD, причём AN = 13 см, NB = 12 см и АВ = 8 см. Является ли точка N точкой пересечения отрезков АВ и СЛ? Ответ обоснуйте. 7 класс С—5, В—1 1. Начертите луч О А и с помощью транспортира отложите от луча О А углы: Z.AOB = 25®, Z.AOC = 78®. Чему равен угол ВОС1 2. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол СОВ, если Z.AOB = 110®, а угол АОС на 18® меньше угла вое. 7 класс С—5, В—2 1. Начертите луч О В и с помощью транспортира отложите от луча ОВ углы: ZBON = 32®, ZBOM = 80°. Чему равен угол MON? 2. Луч ОК делит угол DOC на два угла. Найдите угол СОК, если ZDOC = 120®, а угол KOD на 12® больше угла СОК. 7 класс С—6, В—1 1. Один из смежных углов на 26° меньше другого. Найдите эти смежные углы. 2. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 226°. 7 класс С—6, В—2 1. Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы. 2. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 296°. 7 класс С—7, В—1 1. Докажите равенство треугольников ABD и ACD, если АВ = АС и Z1 = Z2. Найдите ZABD и ZADB, если ZACD = 38°, ZADC = 102°. 2. Докажите равенство треугольников MNE и KNF, если MN — NK и EN = NF. Найдите стороны ME и MN^ если МК = 10 см, KF = 8 см. Е 7 класс С—7, В—2 1. Докажите равенство треугольников АВС и ADCy если ВС = AD и Z1 = Z2. Найдите ZACD и ZADC, если ZABC = 108° и ZBAC = 32°. 2. Докажите равенство треугольников АСЕ и ABD^ если АС = AD и АБ = АБ. Найдите стороны АВ и ББ, если СЕ = 7 см, АЕ = 3 см. 7 класс С—8, В—1 1. Медиана AD треугольника АБС продолжена за точку D на отрезок ББ, равный АБ, и точка Е соединена с точкой С. Докажите, что треугольник ABD равен треугольнику ECD. 2. На основании ВС равнобедренного треугольника АБС отмечены точки М и N так, что БМ = CN. Докажите, что треугольник ВАМ равен треугольнику CAN. 11 7 класс С—8, В—2 1. Медиана NO треугольника MNK продолжена за точку О на отрезок OF = NO и точка F соединена с точкой К. Докажите, что треугольник MON равен треугольнику KOF. 2. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и Q так, что АР = CQ. Докажите, что треугольник PBQ равнобедренный. 7 класс С—9, В—1 1. Докажите равенство треугольников АВЕ и DCE, если АЕ = ED, ZA = ZD. Найдите стороны треугольника АВЕ, если DE - 4 см, DC = 3 см, ЕС = 5 см. 2. На рисунке АВ = AD, ВС = DC. Докажите, что луч АС — биссектриса угла BAD. D 7 класс С—9, В—2 1. Докажите равенство треугольников MON и PON, если ZMON = ZPON, а луч NO — биссектриса угла MNP. Найдите углы треугольника NOP, если ZMNO = 28°, ZNMO = 42°. 2. На рисунке DE = DK, СЕ = СК. Докажите, что луч CD — биссектриса угла ЕСК. 13 7 класс С—10, В—1 1. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на 4 равные части. 2. Постройте окружность радиусом 6 см, проходящую через две данные точки А и В, если: а) АВ = 4 см; б) АВ - 6 см; в) АВ — 8 см. 7 класс С—10, В—2 1. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на 8 равных частей. 2. Постройте окружность радиусом 4 см, проходящую через данную точку А, с центром на данной прямой а, если расстояние от точки А до прямой а равно: а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см. Сколько решений имеет задача? 7 класс С—11, В—1 1. На рисунке АВ = ВС, Z1 = Z2. Докажите, что прямая ВС параллельна прямой AD. D 2. Известно, что Z1 = 46°, Z2 прямые а и Ъ параллельны. = 134°. Докажите, что 7 класс С—11, В—2 1. На рисунке АВ = ВС, CD = DE, отрезок BD пересекает отрезок АЕ в точке С. Докажите, что прямая АВ параллельна прямой DE. В 2. Известно, что Z1 = 102°, Z2 = 78°. Докажите, что прямые а и Ь паргшлельны. 7 класс С—12, В—1 1. На рисунке прямые а и Ь параллельны, угол 2 на 34° больше, чем угол 1. Найдите угол 3. 2. Через вершину прямого угла С треугольника АВС проведена прямая CD параллельно прямой АВ. Найдите углы А W. В треугольника АВС, если ZDCB = 37°. 17 7 класс С—12, В—2 1. На рисунке прямые а и Ь параллельны, угол 2 на 20® меньше, чем угол 1. Найдите угол 3. 2. Через вершину прямого угла С треугольника АВС проведена прямая СК парадлельно прямой АВ, ZKCB = 42°. Найдите углы А и в треугольника АВС. 7 класс С—13, В—1 1. Дан треугольник АВС, в котором ZA = 65°, ZB = 47°. Найдите угол С. 2. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза больше угла при вершине, противоположной основанию. Найдите углы этого треугольника. 3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите их градусные меры. 7 класс С—13, В—2 1. Дан треугольник MNK, в котором ZM = 22°, ZN = 45°. Найдите угол К. 2. В равнобедренном треугольнике угол при основании на 15° меньше, чем угол при вершине, противоположной основанию. Найдите углы этого треугольника. 3. Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Найдите их градусные меры. 7 класс С—14, В—1 1. Можно ли построить треугольник со сторонами 1 дм, 2 дм и 3 дм? Ответ обоснуйте. 2. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, другая равна 10 см. Чему равно основание треугольника? Ответ объясните. 19 7 класс С—14, В—2 1. Можно ли построить треугольник со сторонами 12 дм, 10 дм и 24 дм? Ответ обоснуйте. 2. Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны 5 см и 3 см. Ответ объясните. 7 класс С—15, В—1 1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. 2. Из точки М биссектрисы тупого угла проведены перпендикуляры МА и МК к сторонам этого угла. Докажите, что МА = МК. 7 класс С—15, В—2 1. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. 2. Из точки К биссектрисы острого угла проведены перпендикуляры КР и KF к сторонам угла. Докажите, что КР = KF. 7 класс С—16, В—1 1. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащ,ему острому углу. 2. Постройте треугольник АВС, в котором АС = 5 см, ZA = 50°, высота BD — 3 см. 7 класс С—16, В—2 1. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и проведённой к нему медиане. 2. Постройте треугольник MNK, в котором МК = 6 см, ZK = 60°, высота NO = 4 см. 21 7 класс С—17, В—1 1. Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС — 38 см внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ. 3. Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой в 2 раза больше другого. Найдите остальные углы. 7 класс С—17, В—2 1. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 42 см внешний угол при вершине С равен 120°. Найдите боковые стороны треугольника АВС. 3. Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой на 20° меньше другого. Найдите остальные углы. 23 Контрольные работы 7 класс К—1, В—1 1. Три точки Б, С и Z) лежат на одной прямой. Известно, что BD =17 см, DC = 25 см. Чему может быть равна длина отрезка БС? 2. Сумма вертикальных углов МОЕ и DOC^ образованных при пересечении прямых МС и DE, равна 204°. Найдите угол MOD. 3. С помощью транспортира начертите угол, равный 78°, и проведите биссектрису смежного с ним угла. 7 класс К—1, В—2 1. Три точки М, N VL К лежат на одной прямой. Известно, что MN =15 см, NK = 18 см. Чему может быть равно расстояние МК1 2. Сумма вертикальных углов АОВ и COD, образованных при пересечении прямых AD и БС, равна 108°. Найдите угол BOD. 3. С помощью транспортира начертите угол, равный 132°, и проведите биссектрису смежного с ним угла. 7 класс К—2, В—1 1. На рисунке каждый из отрезков АВ и CD точкой О делится пополам. Докажите, что угол DAO равен углу СВО. 2. Луч AD — биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки Б и С так, что ZADB = ZADC. Докажите, что АВ = АС. D В 3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием БС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ББ^ к боковой стороне АС. 25 7 класс К—2, В—2 1. На рисунке каждый из отрезков ME и РК делится точкой О пополам. Докажите, что угол К МО равен углу РЕО. М К 2. На сторонах угла D отмечены точки М и К так, что DM = DK. Известно, что точка Р лежит внутри угла и РК = РМ. Докажите, что луч DP — биссектриса угла MDK. 3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. С помощью циркуля и линейки проведите высоту АН к боковой стороне ВС. 7 класс К—3, В—1 1. Отрезки ЕЕ и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ || QF. 2. Отрезок DM — биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ZCDE = 68®. 7 класс К—3, В—2 1. Отрезки PN и ED пересекаются в их середине М. Докажите, что EN Ц PD. 2. Отрезок DM — биссектриса треугольника ADC. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DA в точке N. Найдите углы треугольника DMNy если ZADC = 72®. 27 7 класс К—4, В—1 1. На рисунке ZABE = 104°, ZDCF = 76°, АС = 12 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС. 2. В треугольнике CDE точка К лежит на стороне С£, причём угол СКВ острый. Докажите, что DE > DK. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны этого треугольника. 7 класс 1. На рисунке ZBAE = 112°, ZDBF = 68°, ВС — 9 см. Найдите сторону АС треугольника АВС. 2. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне MN, причём угол NKP острый. Докажите, что КР < МР. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника. К—4, В—2 7 класс К—5, В—1 1. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причём ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN. 2. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. 3. С помопдью циркуля и линейки постройте угол, равный 150°; 30°. 29 7 класс К—5, В—2 1. В прямоугольном треугольнике ВСЕ с прямым углом С проведена биссектриса EF, причём ЕС = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE. 2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу. 3. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 135°: 45°. 7 класс К—6, В—1 1. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон. 2. На окружности с центром О отмечены две точки М и N так, что угол MON прямой. Отрезок NP — диаметр окружности. Докажите, что хорды MN и МР равны. Найдите угол PMN. 3. На рисунке Z1 = 72°, Z2 = = 108°, Z3 = 96°. Найдите угол 4. 4. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма их длин равна 17 см, а их разность равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой. 7 класс К—6, В—2 1. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон. 2. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если хорда СВ равна 10 см, диаметр АВ равен 12 см. 3. На рисунке Z1 = 82°, Z2 = = 98°, ZS = 65°. Найдите угол 4. 4. Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE. 31 Итоговый зачёт 7 класс 1. Понятия прямой и отрезка. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 2. Первый признак равенства треугольников. Доказательство. 3. На рисунке Z1 = 37°, Z3 = = 143°. Докажите, что а || Ь, и найдите Z2. Карточка 1 7 класс Карточка 2 1. Луч и угол. Виды углов. 2. Второй признак равенства треугольников. Доказа- тельство. 3. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена биссектриса CF, Найдите ZECF, если ZD = 54°. 7 класс 1. Сравнение отрезков. Измерение отрезков. 2. Третий признак равенства треугольников. Доказательство. 3. На рисунке а | Ь, Z3 = 102°. Найдите остальные семь углов. 7 класс Карточка 4 1. Сравнение углов. Измерение углов. 2. Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника. Доказательство. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см. Найдите гипотенузу треугольника. 33 7 класс Карточка 5 1. Определение и свойство смежных углов. 2. Определение параллельных прямых. Первый признак параллельности двух прямых. Доказательство. 3. Высота AD равностороннего треугольника ВАС с основанием ВС равна 10 см, периметр треугольника ADC равен 70 см. Найдите периметр треугольника АВС, 7 класс Карточка 6 1. Определение и свойство вертикальных углов. 2. Второй признак параллельности двух прямых. Доказательство. 3. Один из внешних углов равнобедренноГ'О треугольника равен 110°. Найдите все углы данного треугольника. 7 класс Карточка 7 1. Определение перпендикулярных прямых. Доказательство теоремы о перпендикулярности двух прямых к третьей. 2. Третий признак параллельности двух прямых. Доказательство. 3. Первый угол треугольника равен 40°, а второй больше третьего на 16°. Найдите эти углы треугольника. 7 класс 1. Определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Построение их в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках. 2. Аксиома параллельных прямых. 3. На рисунке ZB = ZC = 90°, АО = OD. Докажите, что ААВО = = AOCDy и найдите ZA, если ZD = 38°. Карточка 8 35 7 класс Карточка 9 1. Теорема о единственности перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой. 2. Неравенство треугольника. 3. На рисунке АВ = CD, BD — АС. Докажите, что ZCAD = ZADB. Найдите ZABD, если ZACD = 70°. 7 класс Карточка 10 1. Определение равнобедренного треугольника. Теорема о свойствах углов при его основании. 2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. 3. На рисунке ZDBC - ZCAD, ВО = АО. Докажите, что ZC = ZD. Найдите АС, если BD = 12 см. D 7 класс Карточка 11 1. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 2. Понятие окружности. Диаметр, радиус, хорда, дуга окружности. 3. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза меньше, чем угол при вершине. Найдите все углы треугольника. 37 7 класс Карточка 12 1. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу. 2. С помопдью циркуля и линейки постройте угол, равный данному. 3. На рисунке ВС || AD, ВС = AD. Докажите, что АВ — CD. Найдите ZBAC, если ZDCA = 85°. 7 класс Карточка 13 1. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. 2. С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису данного угла. 3. На рисунке ZS = 100°, Z1 = 80°. Докажите, что а II 6, и найдите Z2. 7 класс Карточка 14 1. Доказательство теоремы о свойстве катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. 2. С помощью циркуля и линейки постройте середину данного отрезка. 3. В равнобедренном треугольнике периметр равен 150 см, боковая сторона больше основания на 15 см. Найдите все стороны этого треугольника. 39 7 класс Карточка 15 1. Теорема о свойстве односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. 2. С помощью циркуля и линейки постройте перпендикуляр, проходящий из данной точки к данной прямой. 3. На рисунке BD А. АС, ВО = OD. Докажите, что АВ = AD и ВС = CD. Найдите Z.OBC, если ZODC = 65°. В 7 класс Карточка 16 1. Доказательство теоремы о свойстве односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. 2. Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними. 3. На рисунке АВ = CD, AD = ВС, Z1 = Z4, Z2 = Z3. Докажите, что ААВЕ = ADCF. Найдите ZBAE, если ZFCD = 40°. 7 класс Карточка 17 1. Доказательство теоремы о свойстве накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. 2. Постройте треугольник по стороне и двум прилежащим к А ней углам. 3. На рисунке АВ ± а, АС — наклонная к прямой а. Найдите АС, если АВ = 3 см, ZA = 60°. 41 7 класс Карточка 18 1. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. 2. Понятие перпендикуляра и наклонной к прямой. Расстояние от точки до прямой. 3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 42 см. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла. 7 класс Карточка 19 1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, если катет в 2 раза меньше гипотенузы. 2. Докажите, что если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую. Доказательство приведите методом от противного. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 65 см, его боковая сторона на 5 см меньше основания. Найдите стороны треугольника. 7 класс 1. Определение и теорема о внешнем угле треугольника. 2. Практические способы построения параллельных прямых. 3. На рисунке АО — OD, СО = ОВ. Найдите угол АВО и сторону АВ, если ZOCD = 70°, CD = 12 см. Карточка 20 А В 7 класс Карточка 21 1. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам. 2. Что такое аксиома, теорема, определение? Приведите примеры обратных теорем. 3. В равнобедренном треугольнике внешний угол при вершине равен 40°. Найдите углы этого треугольника. 43 8 класс Самостоятельные работы 8 класс С—1, В—1 1. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника. 2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый его угол равен 135°? 3. Периметр четырёхугольника равен 132 см, а одна из сторон больше каждой из других соответственно на 2 см, 4 см, 6 см. Найдите стороны четырёхугольника. 8 класс С—1, В—2 1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника. 2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый его угол равен 108°? 3. Найдите стороны четырёхугольника, если они относятся как числа 1 : 2 : 3 : 4, а периметр четырёхугольника равен 90 см. 8 класс С—2, В—1 1. На диагонали ЛС параллелограмма ABCD отложены равные отрезки АЕ и СК. Докажите, что четырёхугольник BEDK — параллелограмм. 2. Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°. 8 класс С—2, В—2 1. На сторонах MN и РК параллелограмма KMNP отложены равные отрезки МА и РВ. Докажите, что четырёхугольник АМВР — параллелограмм. 2. Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если её большее основание равно 16 см, боковая сторона 10 см, а один из углов равен 60°. 45 8 класс С—3, В—1 1. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AD и ВС в точках Е VI F соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см, АЕ = 5 см, BF = 3 см. 2. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов равен 45°. 8 класс С—3, В—2 1. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС, Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см. 2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен 60°. 8 класс С—4, В—1 1. Периметр прямоугольника равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них в 6 раз больше другой. 2. В ромбе ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О, ZZ) = 120°. Найдите углы треугольника ВОС. 8 класс С—4, В—2 1. Периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите его стороны, если одна из них на 6 см меньше другой. 2. Диагонали KN и МР ромба MNPK пересекаются в точке О, ZM = 160°. Найдите углы треугольника РОК. 47 8 класс С—5, В—1 1. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими часть стены, имею1цей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,4 м? 2. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 160 см^, а одна сторона в 2,5 раза меньше другой. 8 класс С—5, В—2 1. Пол комнаты имеет форму квадрата со стороной 4 м. Сколько надо паркетных дощечек прямоугольной формы со сторонами 5 см и 20 см, чтобы покрыть весь пол паркетом? 2. Площадь прямоугольника 40 см^, а его периметр 26 см. Найдите стороны прямоугольника. 8 класс С—6, В—1 1. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 32 см и 44 см, а высота, проведённая к стороне АВ, равна 22 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС. 2. Сторона ромба равна 12 см, а один из его углов равен 30®. Найдите площадь ромба. 3. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 30 см, а больший угол равен 135®. 8 класс С—6, В—2 1. Площадь прямоугольного треугольника равна 64 см^. Найдите его катеты, если один из них в 2 раза больше другого. 2. Стороны параллелограмма равны 18 см и 30 см, а высота, проведённая к большей стороне, равна 6 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей стороне параллелограмма. 3. Острый угол равнобедренной трапеции равен 45®, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание на отрезки 14 см и 34 см. Найдите площадь трапеции. 49 8 класс С—7, В—1 1. Найдите сторону AD прямоугольника ABCD, если диагональ АС = 13 см, а сторона АВ = 12 см. 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 30 см. Найдите высоту, проведённую к основанию, и площадь треугольника. 8 класс С—7, В—2 1. В квадрате диагональ равна 12 см. Найдите его сторону. 2. В треугольнике стороны равны 10 см, 10 см и 12 см. Найдите высоту, проведённую к большей стороне, и площадь этого треугольника. 8 класс С—8, В—1 1. Дан треугольник со сторонами 1,5 см, 2 см и 3 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26 см. 2. В подобных треугольниках АВС и А^В^С^ стороны ВС и BjCj сходственные. Известно, что АВ = 9 см, ВС 3 ВС = 12 см, АС = 15 см и „ — = — . Найдите стороны треугольника А^В^С^. ^ 8 класс С—8, В—2 1. Треугольники АВС и А^В^С^ подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника АВС больше площади треугольника А^В^С^ на 7,7 см^. Найдите площади треугольников АВС и А^В^С^. 2. В подобных треугольниках MNK и сторо- ны MN и М N. сходственные. Известно, что MN = 12 см, MN _ б NK = 7 см, КМ = 8 см и дг ~ е; • Найдите стороны треугольника ^ ^ 51 8 класс С—9, В—1 1. Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на отрезки AD = 16 см и BD = 9 см. Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику CBD, и найдите высоту CD. 2. Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС треугольника АВС соответственно, причём АС = 16 см, ВС = 12 см, СМ = 12 см, CN = 9 см. Докажите, что MN || АВ. 8 класс С—9, В—2 1. Высота CD прямоугольного треугольника АВС отсекает от гипотенузы АВ длиной 9 см отрезок AD, равный 4 см. Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику ACD, и найдите сторону АС. 2. Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О, АО = 18 см, ОВ = 15 см, ОС = 12 см, OD = 10 см. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями АВ и CD. 8 класс С—10, В—1 1. Площадь ромба равна 48 см^. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба. 2. Начертите отрезок и разделите его в отношении 2 : 7. 3. Стороны треугольника АВС равны 8 см, 5 см, 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон треугольника АВС. 8 класс С—10, В—2 1. Площадь прямоугольника равна 36 см^. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника. 2. Начертите отрезок и разделите его в отношении 5 : 4. 3. Диагонали параллелограмма равны 12 см и 14 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма. 53 8 класс С—11, В—1 1. В треугольнике АВС^ изображённом на рисунке, известно, что ZABC = 90®, BD ± АС, AD — 12 см, CD — 16 см. Найдите длины сторон ВС, АВ, BD. 2. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и медиане, проведённой из вершины этого угла. 8 класс 1. В треугольнике АВС, изображённом на рисунке, известно, что ZC = 90®, CD ± АВ, ВС = 3 см, CD = S см. Найдите длины сторон АВ, АС, DB. С—11, В—2 С 2. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и биссектрисе прямого угла. 8 класс С—12, В—1 1. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точке В. Найдите АВ, если О А = 20 см, г = 15 см. 2. На рисунке АВ и АС — касательные к окружности. Точка К — середина отрезка АО — лежит на окружности. Найдите угол ВАС. 55 8 класс С—12, В—2 1. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точке В. Найдите АБ, если ZAOB = 60°, г = 6 см. 2. На рисунке АВ и АС — касательные к окружности. ВО = = 6 см, АО = 12 см. Найдите угол между касательными. 8 класс С—13, В—1 1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О, ZAOB = 80°, /з м и 2 м. 8 класс Карточка 12 1. Вывод формулы площади параллелограмма. 2. Свойство сторон описанного четырёхугольника. 3. Даны два неколлинеарных вектора р и q, начала которых не совпадают. Постройте векторы т = 2р - ~д и п = р + Зд. ^ 81 8 класс Карточка 13 1. Вывод формулы площади треугольника. 2. Определение вектора. Равенство векторов.- Противоположные векторы. Откладывание от данной точки вектора, равного данному. 3. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках Б и С. Найдите отрезок ВС, если Z.OAB - 30°, АВ = 5 см. 8 класс Карточка 14 1. Вывод формулы площади трапеции. 2. Сложение двух векторов. Правила треугольника, параллелограмма, многоугольника. 3. Хорда АВ стягивает дугу, равную 119°, а хорда АС — дугу, равную 43°. Найдите угол ВАС. 8 класс Карточка 15 1. Теорема Пифагора. Доказательство. 2. Правило вычитания двух векторов. 3. Найдите периметр ромба ABCD, если ZC = 120°, АС = 10,5 см. 8 класс Карточка 16 1. Определение подобных треугольников. Теорема об отношении площадей двух подобных треугольников. 2. Правило умножения вектора на число. 3. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними. 8 класс Карточка 17 1. Первый признак подобия треугольников. Доказательство. 2. Теорема о средней линии трапеции. Доказательство с помощью векторов. ^ 3. Найдите sin а и tg а, если cos а = — . О 83 8 класс Карточка 18 1. Второй признак подобия треугольников. Доказательство. 2. Законы сложения векторов. Доказательство. 3. Стороны прямоугольника равны 3 см и л/з см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника. 8 класс 1. Третий признак Доказательство. подобия Карточка 19 треугольников. 2. Докажите, что ОС = —(ОА + ОБ), где О 2 произвольная точка плоскости, С — середина отрезка АВ. 3. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС равен 10 см, ZB = 60°. Найдите "второй катет ВС, гипотенузу АВ и площадь этого треугольника. 8 класс Карточка 20 1. Определение и свойство средней линии треугольника. 2. Построение касательной из данной точки к данной окружности. 3. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 12 см, ZA = 45°. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD L AD. 8 класс Карточка 21 1. Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. 2. Построение треугольника по двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла методом подобия. 3. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции. 85 8 класс Карточка 22 1. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Доказательство основного тригонометрического тождества. 2. Задача об определении высоты предмета. 3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки длиной 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. 8 класс Карточка 23 1. Значения тригонометрических функций для угла в 30° (вывод). 2. Задача об определении расстояния до недоступной точки. 3. Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Найдите векторы: \АВ ч- БС|, \АВ ч- АС\, \ВА - ВС\. 8 класс Карточка 24 1. Значения тригонометрических функций для угла в 60° (вывод). 2. Теорема об отношении периметров подобных многоугольников. 3. Найдите плош;адь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если АВ = CD = 5 см, ВС = 7 см, AD = 13 см. 8 класс Карточка 25 1. Значения тригонометрических функций для угла в 45° (вывод). 2. Центральная симметрия. Построение треугольника, симметричного данному относительно точки О. 3. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите отрезок ED, если АЕ - 5 см, BE - 2 см, СЕ = 2,5 см. 87 9 класс Самостоятельные работы 9 класс С—1, В—1 1. В прямоугольной системе координат постройте векторы а {2; 0}; Ь {3; -2}; с {0; -2}; е {-1; -1}. —>■ —► —>■ .—>■ —► —► 2. Найдите координаты векторов а + Ь, а - Ь, 2а + ЗЬ, если а {3; -5}; Ь {2; 3}. 3. Векторы а {3; -6} и Ь {9; у} коллинеарны. Найдите число у. 9 класс С—1, В—2 1. В прямоугольной системе координат постройте векторы п {3; 0}; т {4; -1}; с {0; -3}; d {-1; -1}. ^ —у ^ —► 2. Найдите координаты векторов т + п, т - п, —^ ^ —► Зт - 2п, если /тг {4; -2}; я {5; 3}. —^ —► 3. Векторы т {х\ 10} и я {-2; 5} коллинеарны. Найдите число X, 9 класс С—2, В—1 1. На оси ординат найдите точку М (0; i/), равноудалённую от точек А (-3; 5) и В (6; 4). 2. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, если М(1; 1), Л/^ (6; 1), Р(7; 4), Q (2; 4). 3. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 8 см, а высота 5 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции. 89 9 класс С—2, В—2 1. На оси абсцисс найдите точку N (х; 0), равноудалённую от точек А(1; 2) и Б (-3; 4). 2. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, если М (-5; 1), N(-4; 4), Р(-1; 5), Q(-2; 2). 3. Основания равнобедренной трапеции равны 8 м и 12 м, а высота 6 м. Найдите длину отрезков, соединяющих концы одной боковой стороны с серединой другой боковой стороны. 9 класс С—3, В—1 1. Постройте окружность, заданную уравнением (х - 1)^ + = 4. 2. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; -6), проходящей через точку В (3; -2). 3. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 6), Б (-4; 0), С(-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ. 4. Точка Б — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых верно равенство АМ^ + 2ВМ^ + ЗСМ^ = 4. 9 класс С—3, В—2 1. Постройте окружность, заданную уравнением (X -ь 5)2 + (у - 3)2 = 25. 2. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку Б (1; -3). 3. Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), Б (-3; 1), С (7; 7), Б (3; 1). Напишите уравнение прямой, содержащей диагональ трапеции АС. 4. Точка D — середина отрезка NK, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек Р, для каждой из которых верно равенство NP^ + DP^ + КР^ = 50. 91 9 класс С—4, В—1 ^/2 1. Найдите tga, если sin а = 0° < а < 90°. 2. Постройте угол А, если cos А = - 3. Постройте угол В, если sin В = - . 9 класс С—4, В—2 1. Найдите tga, если cos а = - —, 90° < а < 180°. ^ 2 2. Постройте угол А, если sin А = -. о 3 3. Постройте угол В, если cos В — 9 класс С—5, В—1 1. Используя теорему синусов, решите треугольник АВС, если АВ = 8 см, ZA = 30°, ZB = 45°. 2. Найдите плош;адь треугольника АВС, если ВС = 41 м, ZA = 32°, ZC = 120°. 3. Используя теорему косинусов, решите треугольник АВС, если АВ = 5 см, АС = 7,5 см, ZA - 135°. 9 класс С—5, В—2 1. Используя теорему синусов, решите треугольник АВС, если АВ = 5 см, ZB - 45°, ZC - 60°. 2. Найдите плош;адь треугольника АВС, если ВС = = 4,125 м, ZB = 44°, ZC = 72°. 3. Используя теорему косинусов, решите треугольник АВС, если АС = 0,6 дм, ВС = — дм, ZC = 150°. 4 9 класс С—6, В—1 1. Найдите углы треугольника АВС, если а(-1; Vs), b(1; -ч/з), cf|; ч/з1 V ^ 2. При каком значении дс векторы р = ха + 17Ь и q = За - Ь перпендикулярны, если |о[ = 2, |Ь[ = 5 и аЬ = 120°? 93 9 класс С—6, В—2 1. Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), В (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла. 2. Вычислите скалярное произведение векторов р = а- Ь- сид = а- Ь + с, если |о| = 5, |^ = 2, |с| = 4 и а ± Ь. 9 класс С—7, В—1 1. Найдите углы правильного л-угольника, если п = 10. 2. Сколько сторон имеет правильный Ti-угольник, если каждый его угол равен 135°? 3. Докажите, что три вершины правильного шестиугольника, взятые через одну, служат вершинами правильного треугольника. 4. Найдите плош;адь правильного Ti-угольника, если 71 = 6, г = 9 см, где г - радиус вписанной окружности. 9 класс С—7, В—2 1. Найдите углы правильного тг-угольника, если п = S. 2. Сколько сторон имеет правильный л-угольник, если каждый его угол равен 120°? 3. Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата. 4. Найдите плош;адь правильного тг-угольника, если 71 = 4, i? = 3V2 см, где R - радиус описанной окружности. 95 9 класс С—8, В—1 1. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами а и Ь. 2. Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной а. 3. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна 45°. 4. Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга. 9 класс С—8, В—2 1. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной а. 2. Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а. 3. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна 30°. 4. Площадь сектора с центральным углом в 135° равна S. Найдите радиус сектора. 9 класс С—9, В—1 1. Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырёхугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F1 2. Дан треугольник АВС. Постройте фигуру F, симметричную данному треугольнику АВС относительно: а) точки С; б) середины стороны АС. 97 9 класс С—9, В—2 1. Даны прямая I и треугольник АВС. Постройте фигуру Fy на которую отображается треугольник АВС при осевой симметрии с осью I. Что представляет собой фигура F1 2. Дан четырёхугольник ABCD. Постройте фигуру симметричную данному четырёхугольнику относительно: а) точки С; б) середины стороны AD. В 9 класс 1. Дан прямоугольник ABCD. Постройте фигуру F, которая получится из прямоугольника ABCD в результате параллельного переноса на вектор BD. Что представляет собой фигура F1 С—10, В—1 с 2. Постройте треугольник, который получится из данного равнобедренного треугольника АВС в результате поворота вокруг точки В на угол 150® против часовой стрелки. 9 класс 1. Дан параллелограмм ABCD. Постройте фигуру которая получится из параллелограмма ABCD в результате параллельного переноса на вектор BD. Что представляет собой фигура F? С—10, В—2 2. Постройте треугольник, который получится из данного прямоугольного треугольника MNK в результате поворота вокруг вершины прямого угла N на угол 120° по часовой стрелке. 99 9 класс С—11, В—1 1. Даны векторы а {3; 4}; Ь {6; -8}; с{1; 5}. Найдите: -► -► -► -> -► -► -► -► а) координаты векторов г = 2а - Ь + Су s - а - Ь - с; I -► I I I б) I а I и I Ь |. 2. На оси абсцисс найдите точку М, равноудалённую от точек М^(-2; 4) и М^(6; 8). 3. Найдите координаты центра О и радиус окружности, заданной уравнением - 2х + 4у - 20 = 0. 9 класс С—11, В—2 1. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом. 2. Найдите точку D на оси ординат, равноудалённую от точек А (5; 4) и Б (4; -3). 3. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением х^ + у^ - 4х — 2у + 1 = 0. 9 класс С—12, В—1 1. В треугольнике DEF стороны ED = 4,5 дм, ЕЕ = = 9,9 дм, DF = 7 дм. Найдите углы треугольника DEF. 2. Найдите значение Ху при котором векторы р = Оа + хЪ тл. q = 2а - 2Ъ перпендикулярны, если \а \ = 4, ^ А \Ь \ = 2у аЬ = 120°. 9 класс С—12, В—2 1. В треугольнике АВС стороны АВ = 3 см, ВС — = 3,3 см, Z.A - 48°30'. Найдите остальные углы и сторону АС. ^ —► —>■ —► 2. При каком значении х векторы т = 2а + хЪ и п = л = -а + Sb перпендикулярны, если |а|=1, |Ь| = 2, аЬ = 60°? 101 9 класс С—13, В—1 1. Сколько сторон имеет правильный /г-угольник, один из внешних углов которого равен 72°? 2. В круг, плош;адь которого равна Збя см^, вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его плош;адь. 9 класс С—13, В—2 1. Один из внешних углов правильного /г-угольника равен 40°. Сколько сторон имеет этот /г-угольник? 2. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата. 103 Контрольные работы 9 класс К—1, В—1 1. Найдите координаты и длину вектора а, если а = -Ь + I & {3; -2), с {-6; 2). 2. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (-6; 1), В (2; 4), С (2; -2). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведённую из вершины А. 3. Окружность задана уравнением (х - 1)^ + = 9. Напишите уравнение прямой, проходяш;ей через её центр и параллельной оси ординат. 9 класс К—1, В—2 1. Найдите кобрдинаты и длину вектора а, если <Г = - с, Ь {3; -9}, с {-6; 2). 2. Даны координаты вершин параллелограмма ABCD: А (-6; 1), В (0; 5), С (6; -4), D (0; -8). Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей О. 3. Окружность задана уравнением (х + 1)^ + (у - = 16. Напишите уравнение прямой, проходяш;ей через её центр и параллельной оси абсцисс. 9 класс К—2, В—1 1. Найдите угол между лучом О А и положительной полуосью Ох, если А(—1; 1). 2. Найдите стороны и углы треугольника АВС, если ZB = 30°, ZC = 105°, ВС = з72 см. 3. Найдите косинус угла М треугольника КСМ, если К(1; 7), С (-2; 4), М(2; 0). 105 9 класс К—2, В—2 1. Найдите угол между лучом О А и положительной полуосью Ох, если А (3; 3). 2. Найдите стороны и углы треугольника АВС, если ZB = 45°, ZC = 60°, ВС = у/З см. 3. Найдите косинус угла С треугольника КСМ, если К{3; 9), С(0; 6), М(4; 2). 9 класс К—3, В—1 1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного четырёхугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в окружность квадрата равна 72 дм^. 3. Радиус окружности равен 8 см, а градусная мера дуги равна 150°. Найдите длину этой дуги. 9 класс К—3, В—2 1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 м. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите длину окружности, если площадь вписанного в окружность правильного шестиугольника равна 72л/з см2. 3. Радиус круга равен 12 дм, а градусная мера дуги равна 120°. Найдите площадь ограниченного этой дугой сектора. 107 9 класс К—4, В—1 1. Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно прямой, содержащей боковую сторону АВ. 2. Дан прямоугольник ABCD, где О — точка пересечения его диагоналей. Точка М симметрична точке О относительно стороны ВС. Докажите, что четырёхугольник MODC — параллелограмм. Найдите его периметр, если стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. 3. Докажите, что равносторонний треугольник АВС отображается на себя при повороте вокруг точки О на 120° по часовой стрелке, где О — точка пересечения его медиан. 9 класс К—4, В—2 1. Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно прямой, содержащей её основание AD. 2. Дан прямоугольник MNKP, где О — точка пересечения его диагоналей. Точка D симметрична точке О относительно стороны МР. Докажите, что четырёхугольник MOPD — ромб. Найдите его периметр, если стороны прямоугольника равны 7 см и 24 см. 3. Докажите, что квадрат ABCD отображается на себя при повороте вокруг точки О на 90° против часовой стрелки, где О — точка пересечения его диагоналей. 9 класс К—5, В—1 1. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 5 см. Одна сторона прямоугольника равна 6 см. Вычислите: а) площадь прямоугольника; б) угол между диагоналями прямоугольника. 2. Напишите уравнение окружности с центром на прямой Z/ = 4 и касающейся оси абсцисс в точке (3; 0). 3. В правильный треугольник со стороной 4 см вписана окружность и около него описана другая окружность. Найдите площадь кольца, заключённого между этими окружностями. 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 20 см, а угол при вершине равен 84°. Найдите периметр этого треугольника. 109 9 класс К—5, В—2 1. Даны точки А (-4; 3), Б(3; 10), С (6; 7), Х)(-1; 0). Докажите, что ABCD — параллелограмм, и найдите его периметр. 2. Напишите уравнение окружности с центром в точке А, проходяш;ей через точку В, если А (2; -3), В (-2; 2). 3. В окружность радиусом 10 см вписан квадрат ABCD. Найдите плош;адь кольца, ограниченного данной и вписанной в квадрат окружностями. 4. Основание равнобедренного треугольника равно 26 см, угол при основании равен 56®. Найдите периметр этого треугольника. 111 Итоговый зачёт 9 класс Карточка 1 1. Определение вертикальных углов. Свойство вертикальных углов. 2. Решение прямоугольного треугольника по катету и острому углу. 3. Боковая сторона трапеции, равная 20 см, образует с меньшим её основанием угол в 150°. Вычислите площадь трапеции, если её основания равны 12 см и 30 см. 9 класс Карточка 2 1. Определение смежных углов. Свойство смежных углов. 2. Решение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу. 3. Дуга окружности, соответствующая центральному углу в 270°, равна 4 дм. Чему равен радиус окружности и площадь вписанного в окружность квадрата? 9 класс Карточка 3 1. Определение равных треугольников. Признаки равенства треугольников. Доказательство одного из них. 2. Решение прямоугольного треугольника по двум катетам. 3. Составьте уравнение окружности с центром на прямой у = 3, касающейся оси абсцисс в точке (4; 0). 9 класс Карточка 4 1. Определение равнобедренного треугольника. Свойство углов равнобедренного треугольника. 2. Формулы площади прямоугольника и квадрата. 3. Даны точки: А (-2; 1), В (0; 3), С (4; 1), D (2; -1). а) Докажите, что АВ = Z)C, АВ | DC. б) Определите вид четырёхугольника ABCD и вычислите его периметр. 113 9 класс Карточка 5 1. Определение медианы треугольника. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведённой к его основанию. 2. Вывод уравнения окружности. 3. Одна из сторон параллелограмма а в 3 раза больше проведённой к ней высоты h. Вычислите а и h, если пло-ш;адь параллелограмма равна 48 см^. 9 класс Карточка 6 1. Определение параллельных прямых. Теорема о двух прямых, параллельных третьей прямой. 2. Вывод формулы плош;ади треугольника S = —ah. 2 3. Основания трапеции равны 10 см и 20 см. Диагональ отсекает от неё прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенузой которого является меньшее основание трапеции. Вычислите плош;адь этой трапеции. 9 класс Карточка 7 1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. 2. Определения суммы и разности векторов. Построение суммы и разности двух данных векторов. 3. Через вершину В тупого угла параллелограмма ABCD проведены высоты ВМ и ВК к сторонам AD и CD. Известно, что АВ = 15 см, ВС - 18 см, ВК = 12 см. Найдите высоту ВМ и углы параллелограмма. 9 класс Карточка 8 1. Теорема о сумме углов треугольника. 2. Определение и свойства скалярного произведения векторов. 3. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см. Большее её основание равно 18 см. Найдите периметр трапеции. 115 9 класс Карточка 9 1. Определение внепхнего угла треугольника. Свойство внешних углов треугольника. 2. Формулы длины окружности и длины дуги. 3. Стороны первого четырёхугольника равны 2 см, 3 см, 4 см и 5 см. Второй четырёхугольник подобен первому, причём сумма наибольшей и наименьшей его сторон равна 28 см. Найдите стороны второго четырёхугольника и отношение их плош;адей. 9 класс Карточка 10 1. Теорема об окружности, описанной около треугольника. 2. Вывод формул плош;ади параллелограмма и ромба. 3. Найдите углы выпуклого шестиугольника, если они пропорциональны числам 2, 4, 4, 6, 8, 12. 9 класс Карточка 11 1. Теорема об окружности, вписанной в треугольник. 2. Вывод формулы плош;ади правильного тг-угольника. 3. Даны точки А (3; 2) и Б (7; -1). Составьте уравнение окружности с центром в точке А и проходяш;ей через точку В. 9 класс Карточка 12 1. Определение и признаки параллелограмма. 2. Вывод формулы плош;ади трапеции. 3. Внешний угол при основании АС равнобедренного треугольника АВС в 5 раз больше смежного с ним угла. Найдите углы треугольника АВС. 117 9 класс Карточка 13 1. Свойство диагоналей параллелограмма. 2. Вывод формул радиусов вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника. 3. Разделите данный отрезок с помощью циркуля и линейки: а) на 2 равные части; б) на 5 равных частей; в) в отношении 3 : 4. 9 класс Карточка 14 1. Определение прямоугольника. Свойство его диагоналей. 2. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей для произвольного и правильного треугольников. 3. Найдите угол F в треугольнике FQH, если F (6; 3), Q(l; 8), H(U 3). 9 класс Карточка 15 1. Определение ромба. Свойства его диагоналей. 2. Построение биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку с помощью циркуля и линейки. 3. Меньшее основание ВС трапеции ABCD равно 12 см, АВ = CD, ZD = 45°, высота трапеции равна 8 см. Найдите площадь трапеции и длину её средней линии. 9 класс Карточка 16 1. Определение средней линии треугольника. Теорема о средней линии треугольника. 2. Вывод формулы площади треугольника S = -аЬ sin С . 2 3. Угол АВС вписан в окружность с центром О. Сумма углов АОС и АВС равна 90°. Найдите ZABC, ZAOC и расстояние от центра окружности до хорды АС, если радиус окружности равен 8V3 см. 119 9 класс Карточка 17 1. Определение средней линии трапеции. Теорема о средней линии трапеции. 2. Формулы площади круга и сектора. 3. Найдите угол ф между векторами с {-1; 2} и