Геометрия 9 класс Рабочая тетрадь Дудницын

\Ю. П. Лудницын Ю. П. Лудницын ГСОМШТРИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРААЬ 9 Нласс Пособие для учащихся общеобразовательных учреИ^дений 8-е издание МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 20 J 2 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Д81 Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия, 7—9» А. В. Погорелова и предназначена для организации самостоятельной работы учащихся, направленной на усвоение ими основных теоретических фактов и практических умений в процессе решения задач. Условные обозначения: О А Тс Тп Радиан □ упражнение, обязательное для всех учащихся определение аксиома теорема, выражающая свойство фигуры теорема, выражающая признак фигуры новый термин необходимый справочный материал ISBN 978-5-09-028663-3 Издательство «Просвещение», 2004 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2004 Все права защищены Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур § 11 Подобие фигур 100. Преобразование подобия 101. Свойства преобразования подобия 102. Подобие фигур О о Преобразование подобия — это преобразование фигуры F в фигуру Fly при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Если любые точки X и У фигуры F переходят в точки Xj, фигуры Fly то XiYi = k • ХУ (k — коэффициент подобия). Гомотетия с центром О — это преобразование фигуры F в фигуру Fly при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку Xi, такую, что Х^ лежит на луче ОХ и ОХ^ = k • ОХ (А!>0). OXj = ЮХ На каком из рисунков изображены подобные фигуры? Ответ....................... D а) б) г) Постройте фигуру, гомотетичную данной (О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии). Тс I Гомотетия есть преобразование подобия. Дано: МК\\РТ. а) Постройте центр гомотетии, переводящей отрезок РТ в отрезок МК. б) Вычислите коэффициент Л, если РТ = 3 см, МК = 9 см. Ответ, б) ........... 0 Начертите треугольник АВС, отметьте точки Ai и Cl — середины сторон АВ и ВС. Укажите центр и коэффициент гомотетии, при которой: а) треугольник BAiCi переходит в треугольник ВАС; б) треугольник АВС переходит в треугольник AiBCi- Ответ. а) ................ б) ................ Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Xq I Преобразование подобия сохраняет углы между прямыми. Какой фигурой является фигура, подобная: а) отрезку; б) лучу; в) квадрату; г) углу? (Решите задачу устно.) Ответ, а) б) в) г) 0 Дано: AABC^AAiBiCi, AA = S6°, AB = SO°. Найдите величины углов треугольника (Решите задачу устно.) Ответ..................................................... 0- Для каких из перечисленных пар фигур не суш;ествует преобразования подобия, переводяш;его одну фигуру в другую: а) два отрезка; б) дуга и отрезок; в) два угла, градусные меры которых различны; г) две окружности; д) два разносторонних треугольника? (Решите задачу устно.) Ответ. у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. 8 Многоугольники F VL подобны. Меньший и больший углы многоугольника F равны 50° и 190°. Меньшая и большая его стороны равны 8 см и 12 см. Меньшая сторона многоугольника F-^ равна 20 см. Найдите величины меньшего и большего углов и большей стороны многоугольника Fj. (Решите задачу устно.) Ответ.................................................... Меньшие стороны прямоугольного треугольника F равны 6 см и 8 см. Большая сторона подобного ему треугольника F^ равна 40 см. Вычислите длины двух меньших сторон треугольника F^. Решение. Вычислим длину гипотенузы прямоугольного треугольника F'. ........................................... Треугольник Fi, подобный данному, .....................(по свойству ........ .................................). Большей его стороной является гипотенуза, она равна ......... (по .............). Найдем отно- шение соответствующих сторон подобных треугольников. Оно равно 40: ..=........ Значит, коэффициент подобия k=...... Теперь мож- но найти длины катетов треугольника F^. Обозначим катеты данного и подобного ему треугольников а, Ь, а^, Ь^. Тогда a^ =.., bi =.... Следовательно, aj =...................... Ь^ =.................. Ответ......................... [то Дано: AMKP^AM^KiPi, Z1M = 90°, А К = 30°, МР = 12 см, К,Р, = 8 см. Вычислите: а) коэффициент подобия k; б) длину меньшей стороны треугольника М^К^Р^. Решение. а) Найдем длину большей стороны треугольника МКР (его гипотенузы): .................................................. и теперь вычислим коэффициент подобия k (он равен отношению соответствующих сторон треугольников М-^К-^Р-^ и МКР), =................... КР б) Вычислим длину меньшей стороны ......треугольника М^К^Р^. М,Р,=.......................................................... Ответ, а) .............; б) ............ И Квадрат ABCD получен преобразованием подобия квадрата МКРТ. Известно, что МК = 6 см, а диагональ АС квадрата ABCD в 5 раз больше диагонали МР. Вычислите длины сторон и периметр квадрата ABCD. (Решите задачу устно.) Ответ........................... 12 Дано: AABC«^AAiBiCi, /е = 4, АВ = 12 см, БС= 16 см, АС= 18 см. Вычислите длины сторон и периметр треугольника А^В-^С-^. (Решите задачу устно.) Ответ. 103. Признак подобия треугольников по двум углам 104. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними 105. Признак подобия треугольников по трем сторонам [13 Найдите на рисунках подобные треугольники. Запишите их подобие с помощью соответствующего символа. Ответ, а) ..............; б) .............; в) .............. В В б) в) ш Дано: АМКР^ААВС. а) Запишите пары соответствующих сторон этих треугольников. б) Составьте три верные пропорции, содержащие отношения соответствующих сторон данных треугольников. Ответ. а) МК и ..., КР и ..., .... и АС; б) МК:.... =КР:..... КР:...=МР , МР:..=МК: 15 D Дано: ABWCD. а) Докажите подобие треугольников АВО и CDO. В б) Запишите, что эти треугольники подобны. в) Найдите и запишите пары соответ-ствующих сторон этих треугольников. А г) Составьте две верные пропорции с помощью отношений соответствующих сторон данных треугольников. Решение. а) В треугольниках АВО и CDO А ВОА =............ (так как они .), ААВО=........ (так как ........ .....). Следовательно, эти треугольники (по 8 б) ААВО^А . .. в) Соответствующие стороны: АВ и .. АО и г) АБ:.. =ВО: ..., АО:....=.......\CD. и 16 Дано: МРIIАВ, МР = 4 см, АВ = 10 см, КМ = 6 см. Вычислите длину КА. Решение. Рассмотрим треугольники КМР и КАВ. Угол К —.......... , АКМР = А.......... (как .......... ......... .. при параллельных прямых ...... и секущей .....). Следовательно, эти треугольники . Запишем этот факт: АМКР<^ А....... Теперь составим нужную нам пропорцию: КМ: ...= МР: Подставим величины данных отрезков ....................... и найдем из пропорции длину отрезка КА: КА=............... Ответ.............. .. В 17 Дано: KMWBC, КМ = 3 см, ВС = 9 см, АБ = 15 см. Найдите длину отрезка AM. Решение. .............. В Ответ. т Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке К. Найдите длину боковой стороны CD, если основания трапеции АП = 20 см, ВС = 6 см и отрезок DK= 16 см. Решение. Рассмотрим треугольники век и AKD..................... Ответ. Точка О пересечения диагоналей трапеции DCME делит одну из них на отрезки DO = 9 см и ОМ = 6 см. Большее основание трапеции DE равно 12 см. Вычислите длину меньшего основания трапеции. Решение....................... 10 Ответ.............. ^ ----------------------------------- ------------------ Начертите параллельные прямые а и Ь. Отметьте точку А, расположенную между ними. Постройте с помощью линейки два подобных треугольника с общей вершиной А. Докажите, что эти треугольники подобны. Доказательство. Ш----------------------------------------------------------- В треугольниках АВС и DFE /.A = Z.F, AB = AD, BC = S см, EF = = 28 см, ED = 21 см. Найдите длину стороны АС. Решение. Данные треугольники............... (по.......... ............................). Запишем это с помощью соответствующего символа: ААВС..... Л... Теперь составим нужную пропорцию: АС:...............=ВС:. Находим длину отрезка АС: Ответ. 11 22 В треугольниках ТНР и FDE AT = AF, АР = АЕ, ТР = 6 см, FE = = 18 см, FD = 12 см. Вычислите длину стороны ТН. Решение. Ответ. 23 Дано: Z-BMK = /LBCA^ АБ = 15 см, ВК= 10 см, МК =12 см. Вычислите длину стороны АС. Решение.................... В Ответ. 24 Дано: ABCD — параллелограмм, К — середина стороны БС, АЕ = 12 см. Вычислите длину отрезка АК. 12 Решение. Рассмотрим треугольники ВКЕ и ADE. В этих треугольниках АВЕК = А.......... (по свойству ...................................), /LBKE = A...... (как .............. ........ ...............). Следовательно, Составим пропорцию: АЕ: (так как точка К является ...........................). Поэтому АЕ:КЕ=\. Теперь найдем длину отрезка КЕ: КЕ =.................. =AD: ...... Но отношение AD: ВК = ^ Следовательно, АК = Ответ.............. 25 — Дано: МКРТ — трапеция, АМКР = = /-МРТ^ МТ = 9 см, КР = 4: см. Вычислите длину диагонали МР. Решение. Рассмотрим треугольники МКР и МРТ. Они ............ (так как .... ..... ........... .......). Запишем это: .. .................. Составим нужную пропорцию: КР:....= = МР:...... Подставим данные величины: ..... — и найдем длину искомой диагонали. МР2 =.........................; , МР=......................... Ответ.................. 26 Дано: ТО\\МК, МК = 29 см, ТО = 12 см, ОМ = 8 см. Вычислите длину отрезка ОР. Решение. Пусть ОР = х см. Тогда МР будет равно .... см. АМКР<^А...... .. (так как ........ .............). Составляем пропорцию: 13 Они Составим пропорцию и решим соответствуюпдее уравнение: ........................... Получим х =.......... AM = — Ответ. Тп Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. В Если ZA=ZAj, АВ _ АС аа аа’ то ААВС<^АА^В^С^ 14 Найдите на рисунках все пары подобных треугольников. Запишите их. а) Ответ, а) б) Даны треугольники АВС и Известно, что АВ = 4 см, ВС = 5 см, АС =7 см, AiBi = 12 см, B^Ci = lb см. Углы В и В^ равны. Найдите длину стороны AjCj. Решение. Данные треугольники имеют равные углы: ............. (по ...........). Вычислим отношения двух данных пар сторон этих треугольников: АВ:AiBi = 4:12 = BC:Bfiy =.............=..... О Значит, АВ:.......= ВС:......... Следовательно, стороны, образую- гцие равные углы В и В^, пропорциональны. Делаем вывод, что ААВС<^ AAiBiCi. Поэтому АС :AiCi =-^. Подставим значение АС и вы- числим длину стороны AjCj. 7 : AjCj = 1:3, A^Cj =.....=......... Ответ. AiCi =......... 30 Даны треугольники МКР и М^К^Р^. МК=7 см, KP = S см, МР= 10 см, M^Ki = 14: см, М^Р^ = 20 см, AM = AMi. Найдите длину стороны К^Р^ и периметр треугольника М^К^Р^. Решение................................................. ?5 к Ответ............................. зТ----------------------------------- Дано: МА= 14 см, АК = 6 см, РВ = 7 см, КВ = 8 см. а) Докажите подобие треугольников МКВ и АКР. б) Найдите на рисунке еще одну пару подобных треугольников и докажите их подобие. Доказательство. а) Рассмотрим треугольники МКВ и АКР, имеющие общий угол .... Докажем пропорциональность сторон, образующих этот угол. Вычислим длины сторон МК и РК. МК =....................................; РК =....................................... Вычислим отношения соответственных сторон треугольников: МК:КР =..........=...... , КВ:КА =.......=.........Следовательно, МК:КР =............ , т. е. эти стороны ...................................... Следовательно, треугольники подобны, т. е. АМКВ<^ А....... б) Рассмотрим треугольники........ и...........Они имеют два равных угла: АМОА = А......... (так как они...................), ААМО = А.... (это соответственные углы в подобных треугольниках ........ и ...). Следовательно, АМАО^А................ Ш Дано: ААВСAA^BiCi. АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 12 см, A^Ci = 6 см. Найдите периметр треугольника А^Б^С^. 16 Решение. Ответ. Ш На одной стороне угла А отмечены последовательно точки D и а на другой — точки В и С, причем AD=10 см, DE = 5 см, АВ = 2 см, АС = 75 см, СВ =70 см. Вычислите расстояние между точками В и Е. Решение. Рассмотрим треугольники АВЕ и ADC. Докажем, что они подоб- ны. Отсюда следует, что BE :DC=AB:.......... Но ABiAD Следовательно, BE:DC =............. Находим BE. ВЕ = ... Ответ. 34 Прямые а тя. Ъ пересекаются в точке М. МА = 6 см, МВ= 12 см, АВ = 15 см, MAi = 4 см, MBi = 8 см. Вычислите длину стороны AiBi и периметр треугольника MA^Bi. Решение....................... Ответ. 35 Дано: АВ = 30 см, AD = 25 см, АС = 50 см, AF = 15 см. а) Подобны ли треугольники АВС и ADF1 б) Вычислите длину отрезка DF^ если ВС = 40 см. Решение. В а) б) Ответ, а) .............. ; б) 36 Начертите угол. Постройте с помощью циркуля и линейки (без делений) два подобных треугольника, вершины которых лежат на сторонах этого угла. 18 Тп Если стороны одного треугольника пропорциональны сторо- нам другого треугольника, то такие треугольники подобны. В с _ АВ вс АС А,В, В,С, А.с; А ТО ДЛВСсчэЛАДС^ 37 Найдите на рисунках подобные треугольники. Запишите их. В 15 U2 а) Ответ, а) ...................... ; б) б) В треугольниках АВС и AiB^Ci ВС = а, АС = Ь, ВА = с, AiCi = Sb, BiCi = 3a, AiBy = Sc. Найдите величины углов треугольника AiBiCj, если Z.A = 75®, АВ = 55°. (Решите задачу устно.) Ответ. AAi =........ , =........ , ACj = Стороны двух треугольников равны соответственно 8 см, 10 см, 12 см и 1,6 см, 2 см и 2,4 см. а) Подобны ли эти треугольники? б) Вычислите отношение периметров этих треугольников. Решение. а) Вычислим отношения трех пар соответственных сторон данных треугольников: 8:1,6 =.... , 10:2 =.... , 12 . Эти отно-19 шения .................... Значит, стороны данных треугольников .......................... Следовательно, треугольники .......... б) Вычислим периметры треугольников; Р=....................... , Pj =...................... Их отношение Р:Р^ =................... Ответ, а) ........................ ; б) ...................... 40 Стороны двух треугольников равны соответственно 3,5 см, 4,5 см, 5,5 см и 7 см, 9 см, 11 см. а) Подобны ли эти треугольники? б) Вычислите отношение их периметров. (Решите задачу устно.) Ответ, а) ........................ ; б) ....................... 41 Стороны данного треугольника равны 7 см, 5 см и 6 см. Меньшая сторона подобного ему треугольника равна 2,5 см. Вычислите длины сторон и периметр второго треугольника. (Решите задачу устно.) Ответ. Тс Отношение периметров подобных треугольников равно отно- шению соответственных сторон этих треугольников. Если Д АВС со Д АjBj Cj, ^ С то Р -Р = — = — = ЛВС АС А.С, 42 Стороны треугольника АВС равны 18 см, 25 см и 17 см. Периметр подобного ему треугольника равен 15 см. Вычислите длины сторон второго треугольника. Решение. Вычислим периметр треугольника АВС: Равс=.................... Найдем отношение периметров: Равс'^\ =........... см =.......... Следовательно, и отношение соответственных сторон треугольников равно ... Поэтому AB:AiBi =___ , отсюда A^B^ =..................= 20 =.......... Аналогичным образом вычисляем остальные стороны второго треугольника: ......................................... Ответ. 43 Стороны треугольника АВС равны 5 см, 6 см и 7 см. Периметр подобного ему треугольника равен 27 см. Вычислите длины сторон второго треугольника. Решение. Ответ............................... 106. Подобие прямоугольных треугольников Т„ Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному равному острому углу. Если ZA=ZA^, ^ А то ААВС АА^В^С^ ^ АС ВС в,с; то л АВС со ДА^В^С^ ^ с. Тп Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы их катеты были пропорциональны. 21 44 Дан треугольник АВС. AM и СК — его высоты. Найдите на рисунке две пары подобных треугольников. Запишите с помош;ью соответствуюш;его символа, что эти треугольники подобны. Ответ............................. 45 В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла В проведены высоты ВН и ВМ (точки Н Vi. М расположены на сторонах AD и CD параллелограмма). ВС =15 см, ВН = 6 см, ВМ = 9 см. Вычислите длину стороны CD. Решение. Рассмотрим треугольни- (по .), ^А = ки ВАН и ВМС. АВНА = А.............= , = Z.... (по свойству ..........................). Следовательно, треугольники ................. , т. е. ЛАВН^А......... Составим пропорцию; ВС:АВ =............ Подставим длины данных отрезков и найдем длину АВ: ............................................ Но CD =.....=.......... (по свойству ..........................). Ответ................. [4б]---------------------------------------------------------- В параллелограмме МКРТ из вершины тупого угла К проведены высоты КА и КВ (точки А Vi В лежат на сторонах МТ и РТ параллелограмма). KA = S см, РТ=14 см, МТ = 21 см. Найдите длину высоты КВ. Решение......................... 22 Ответ. 47 Дано: ^ВСА = АКМА = 90°, ВС = 24 см, В СА = 32 см, ВМ=АМ. Найдите длины отрезков СК и КА. Решение. Вычислим длину гипотенузы АВ: ......................... ........... Значит, МА =.......... Рассмотрим треугольники АВС и AM К. Они ..................... и имеют ......... угол А. Следовательно, они подобны, т. е. А АВС ^ А. Составим нужную пропорцию: АВ:АК = СА:............ Подставим данные величины в эту пропорцию и найдем из нее длину отрезка АК: .......................................... АК =........ Тогда СК =.......................................................... Ответ.......................... 48 В прямоугольном треугольнике CDE из точки А, лежащей на гипотенузе CD, проведен перпендикуляр АВ к катету СЕ. Вычислите длины катетов СЕ и DE, если АВ=16 см, СВ = 18 см, BE = 9 см. Решение....................... 23 Ответ......................... ^-------------------------------- В треугольнике АВС угол С прямой, АС =12 см. Из точки К катета ВС проведен перпендикуляр КМ к гипотенузе АВ. ВК= 10 см, МВ = 8 см. Вычислите длины гипотенузы АВ и катета ВС данного треугольника. Решение....................... Ответ. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Высота прямоугольного тре- А угольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Ъ = с • Ъ , = С‘ а li = Ь'- а' 24 50 Высота СК, проведенная из вершины прямого угла С треугольника АВС, делит гипотенузу на отрезки АК = 4 см и КВ = 9 см. Вычислите длины катетов этого треугольника. Решение. Длина гипотенузы АВ равна ....................... Проек- цией катета СА на гипотенузу является отрезок АК. Значит, АС^ =............ ...........=........... (по свойству .........). Поэтому АС =...............Аналогичным образом найдем второй катет СВ. Его проекцией на гипотенузу является отре- зок ВК. Следовательно, СВ^ = , тогда СВ = Попробуйте найти длину катета СВ другим способом (пользуясь теоремой ...............): СВ^=АВ^~........................ ................ , СВ=.................... Ответ.................................. 51 Вычислите длины катетов прямоугольного треугольника, если их проекции на гипотенузу равны 9 см и 16 см. Решение. 25 Ответ........................... sT--------------------------------- в прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 25 см, катет ВС равен 20 см. Вычислите длины проекций катетов на гипотенузу. Решение. Проведем высоту СК данного треугольника. Проекцией катета ВС на гипотенузу является отрезок . Следовательно, ВС^=........, ....= =...... и ВК=.....................= . Теперь найдем проекцию катета СА на гипотенузу: АК = Ответ. 53 Катеты МР и РК прямоугольного треугольника МРК равны соответственно 24 см и 10 см. Вычислите длины их проекций на гипотенузу. Решение. Найдем длину гипотенузы МК. МК^=.............=.........= =.....(по теореме ................), МК=................................ Проведем высоту PH. Проекция катета МР на гипотенузу — отрезок ....... , проекция катета РК — отрезок ...... Следовательно, МР^ =............... 26 откуда МН =.................... Далее находим длину отрезка КН: Ответ......................... 54 Проекция катетов на гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС равна 12 см и 3 см. Вычислите длины высоты, проведенной из вершины прямого угла, и катетов. Решение. Проведем высоту СК. Пусть АС =12 см, тогда ВК = 3 см. Сле- довательно, СК^ = =..... , СК=...... Катеты най- дем, пользуясь теоремой Ответ. Вычислите периметры треугольников, на которые прямоугольный треугольник АВС делится высотой, проведенной из вершины прямого угла С, если проекции катетов ВС и АС на гипотенузу равны соответственно 36 см и 64 см. Решение........................ 27 Ответ. --------------------------------- Одна из сторон прямоугольника ABCD равна 10 см. Ее проекция на диагональ этого прямоугольника равна 8 см. Вычислите: а) длину проекции другой стороны прямоугольника на эту диагональ; б) периметр прямоугольника. Решение. Проведем диагональ АС и перпендикуляр из точки В на эту диагональ. Пусть ВС =10 см, тогда ее проекция на диагональ АС — это отрезок ... , он равен 8 см. а) Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный. Следовательно, ВС^=АС • ....... Найдем из данного равенства длину диагонали АС: .......................... Затем найдем длину проекции стороны АВ на диагональ АС: ............................................... б) Найдем из треугольника АВС длину стороны АВ: ............. ................................................. Следовательно, периметр прямоугольника ABCD равен ............................. Ответ........................................................ Цт]------------------------------------------------------------ Диагонали ромба ABCD равны 16 см и 12 см. Вычислите: а) длины отрезков, на которые делит сторону ромба перпендикуляр, проведенный через точку пересечения диагоналей к стороне ромба; б) высоту ромба. Решение. а) Проведем через точку О перпендикуляр к стороне AD и рассмотрим треугольник AOD. Вычислим длину AD (по теореме .................): AD^=............=.........=....... , АВ=........... Запишем ра- 28 венство OA^=AD' ....... (по .......................). Отсюда найдем длину АХ: АК=......................................... Значит, KD = б) Высотой ромба является отрезок КМ, КМ = 2 •.Найдем КО. КО^=..................... (по свойству ..................... .................). Поэтому КО=........................... и КМ=...................... Ответ.................................................... Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам. Если ВК—биссектриса. К С го АК-ЛВ КС вс или АК = АВ вс 58 В треугольнике АВС АВ= 18 см, ВС = 24 см, ВМ — биссектриса треугольника. Вычислите отношение отрезков, на которые делит эта биссектриса сторону АС. Решение. СМ:МА=..............= (по свойству ............). Ответ. 59- В треугольнике МКР МК=12 см, КР = 22 см. Биссектриса МС делит сторону КР на две части, КС = 8 см. Вычислите длину стороны МР. Решение. Найдем длину отрезка СР: СР =..................... Теперь составим пропорцию: КС:СР =.................. Подставим 29 в нее данные и найденные величины ............... , откуда найдем МР: Ответ. 60 Отрезок DO — биссектриса треугольника ВВС. Вычислите периметр этого треугольника, если ВС = 24 см, ВВ = 1Ъ см и ОС = 14 см. Решение. Ответ. 0- В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Вычислите длину стороны ВС, если АВ = 16 см и AD: DC = 8:5. Решение. 30 Ответ. 62 В треугольнике МКР проведена биссектриса КО, МК =12 см, МР = 30 см, КР = 24 см. На какие части делит биссектриса КО сторону МР? Решение. Пусть длина отрезка ОР = х см, тогда ОМ =......... см. Со- ставим пропорцию: МО:ОР = МК:КР. Подставим в нее длины соответствую- щ;их отрезков: .........:....= 12:24. Решим это уравнение: ................ ОР =...... см, а ОМ =....... см. Ответ. Ш . Получим х =.... Значит, Стороны треугольника АВС равны 10 см, 15 см и 20 см. В треугольнике проведена биссектриса большего угла. Вычислите длины отрезков, на которые эта биссектриса делит противоположную сторону данного треугольника. Решение...................... 31 Ответ. Дано: AM, ВК — биссектрисы треугольника ABD. AB = S см, AD = 12 см, BD= 10 см. Вычислите: а) длины отрезков АК и KD; б) отношение длин отрезков, на которые делится биссектриса ВК биссектрисой AM. Решение. В D а) Значит, АК=............ , KD=............ б) Рассмотрим треугольник АВК. АО — биссектриса его угла ВАК. Следовательно, ВО: ОК =...............=....... Ответ, а) б) 65 Стороны ВС и ВА треугольника АВС равны соответственно 9 см и 6 см. Биссектриса ВМ делит сторону АС на два отрезка, один из которых равен одной из данных сторон треугольника. Найдите длину стороны АС. Решение. Пусть отрезок СМ = 6 см. Тогда можем вычислить длину МА: МА=...... и АС = Рассмотрим другой случай. Пусть СМ = 9 см. Вычислим длину МА: 32 МА =.......... и АС=...................... Но этого быть не может, так как .......................................................... Ответ. 107. Углы, вписанные в окружность о о Плоский угол — это одна из частей плоскости, на которые разбивает ее угол. В Дополнительные плоские углы — это плоские углы с общими сторонами. 66 Перечислите все точки, которые принадлежат: а) плоскому углу а; б) плоскому углу aj. Ответ. а) углу а принадлежат точки ........ б) плоскому углу принадлежат точки 0 Градусная мера плоского угла, содержащего полуплоскость, равна 360°-а, где а — градусная мера дополнительного плоского угла. а^= 360-а 2 Дудницын 33 ш Найдите градусные меры плоских углов а и а^. В В б) Ответ, а) а =..... , aj=............... б) а =.... , aj=...............; в) а =..... aj= ZAOB = 130 в) 68 Найдите градусные меры дополнительных плоских углов а и а^, если известно, что: а) а на 120° меньше а^; б) а на 60° больше Oi; в) а в 5 раз меньше а^; г) а в 9 раз больше а^. Решение. а) Принимаем величину угла а за х°, тогда величина угла Oj будет равна............ Так как сумма градусных мер дополнительных углов равна 360°, составим уравнение ................... Решим его: ......................................................... Находим градусные меры углов а и Oj: ...................... б) в) 34 г) Ответ.................................................... --------------------------------------------------------- Градусные меры дополнительных плоских углов пропорциональны числам: а)3и7;б)7и11. Вычислите величины этих углов. Решение. Ответ. о Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. В ос—центральный угол ^ 0с^у то угол, лежащий против стороны с, острый; 2) а^ + Ь^<с^, то угол, лежащий против стороны с, тупой. В ^В Если а!^ + Ь^ > с^, то ZC < 90° Если а +Ь < с^, то 90°< ZC < 180° 48 9^------------------------------------------------------—------- Определите вид треугольника, стороны которого равны: а) 2 см, 6 см и 7 см; б) 3 см, 5 см и 6 см; в) 4 см, 5 см и 6 см; г) 15 см, 36 см и 39 см. Решение. а) Сравним квадрат большей стороны треугольника с суммой квадратов двух других сторон: 7^ =... , 6^ + 2^ =........... Следовательно, 7^.............................................. 6^ + 2^. Значит, угол, который расположен против стороны, равной 7 см, тупой и данный треугольник ............ б) ......................................................... в) г) Ответ, а) ........................ ; б) в)........................ ; г) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. sin А sin В sin С а sin А = 2R Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около этого треугольника. 49 99 В треугольнике МКР дано: МК = у/б см, Z.P = 45°, Z.M = 60°. Вычислите длину стороны КР. Решение. Запишем пропорцию: МК :sinP = KP: ..... Подставим в нее известные значения: ..... : ^ = = КР:-^. Найдем длину стороны КР: XP = (v6-^):f = ................... Ответ. . ... . 100 ----- в треугольнике АВС известно, что ^А = 60°, sinB = -^, ВС = 6V3. Найдите О длину стороны АС. Решение. Запишем пропорцию: ВС:sinA = АС: . Подставим в нее данные значения и найдем сторону АС: Ответ. . ___ , 101 В треугольнике АВС известно, что 3 1 sinA=v, sinB=—, ВС =15 см. Вычисли- 4 О те длину стороны АС. Решение. ........................ 50 Ответ................ Rm|-------------------------------- В треугольнике CDE 1«вестно, что ZC=30°, ZjD = 45°, DE = 2\2. Вычислите: а) сторону СЕ; б) радиус окружности, описанной около данного треугольника. Решение. а) б) Воспользуемся следствием из теоремы синусов а sinA = 2R]. Для данного треугольника имеем DE sin 30° = 2i?, т. е. следовательно, R=................ Ответ, а) ............... ; б) D треугольнике лхэс/ Вычислите синус угла С. АВ = 6 см, zlA = 60°, ВС = 4 см. 51 Решение. Ответ. Hi. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами 112. Решение треугольников В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. В ^ п л Если АС> аВ> АА, то с>Ъ>а А Если о Ь> а, ToAC>ZB>ZA --Г 105 В треугольнике АВС ZLA = 57°, АС = 73°. Расположите его стороны в порядке возрастания их длины. Решение. Найдем величину третьего угла треугольника: АВ =...................................... Значит, наименьший угол в треугольнике — .... , наибольший угол —...... Следовательно, стороны треугольника будут упорядочены так: .... 106 В треугольнике МКР АК = 39°, АР = 21°. Расположите его стороны в порядке возрастания их длины. (Решите задачу устно.) Ответ........................... 107 В треугольнике CDE AD = A5°, АС = 75°, CD = 9 см. а) Вычислите длину меньшей стороны данного треугольника. 52 б) Назовите большую его сторону. Решение. а) Найдем величину третьего угла треугольника: /-Е=.................. ................. . Следовательно, наименьшим углом является угол ....... , а искомой стороной —...... Вычислим ее длину, пользуясь теоремой б) Наибольшим углом треугольника является угол ....... . Следовательно, большая его сторона — ........................ Ответ, а) ............... ; б) ... 108 В треугольнике МКР /LM =135°, ZP = 30°, МК= 6\2 см. Вычислите длину наибольшей стороны этого треугольника. Решение........................ Ответ. 109 В треугольнике CDE Z.C=120°, CD = 8 см, DE = 8\3 см. Найдите величины остальных углов данного треугольника. 53 Решение. Для нахождения угла Е воспользуемся теоремой .............. Составим пропорцию: ................. Найдем значение sin 120°=,,.,........ . Подставим в пропорцию данные значения и найдем sinE, sinE= ...... ................... Теперь можем утверждать, что Z.E =......... В данном треугольнике угол Е острый, так как треугольник содержит один тупой угол (/-С), т. е. в данном случае второго значения угла Е не суш;ествует. Находим величину угла D: Z.D= .... . ...................................... Ответ. ....... ................... 110 Боковая сторона J)aвнoбoкoй трапеции ABCD pajHa 9\ 2 см, ее диагональ АС равна 9\/3 см. Угол между диагональю и основанием трапеции равен 45°. Найдите величины углов этой трапеции. Решение. Рассмотрим треугольник ACD. Для нахождения угла D воспользу- емся теоремой Составим пропорцию: .................... Найдем sinD: Следовательно, /LD= . . (По рисунку считаем, что угол D острый.) Далее находим остальные углы трапеции: ...................... Ответ. 54 Ill Внешний угол при вершине М треугольника МКР равен 120°. Стороны МК и МР равны соответственно 3 см и 8 см. а) Найдите длину стороны КР. б) Определите вид данного треугольника. Решение. а) Найдем величину угла М: ...... ............................ Теперь воспользуемся теоремой .......... для вычисления длины стороны КР: б) Наибольшей стороной в данном треугольнике является ......... Сравним квадрат этой стороны с суммой квадратов других сторон: Следовательно, треугольник МКР . Ответ, а) .................... ; б) in] Угол АОВ, образованный диагоналями параллелограмма ABCD, равен 45°. АС = 18 см, BD=12\'2 см. а) Вычислите периметр параллелограмма. б) Определите вид треугольника ABD. Решение. а) Рассмотрим треугольник АОВ. Воспользуемся теоремой ............ для вычисления длины стороны ...... : АО=.......... , ОВ =....... (по свойству .............. ....................). Угол между этими сторонами равен .........). АБ2=................................. (по Для вычисления стороны ВС параллелограмма рас- 55 смотрим треугольник ......... В нем Z.BOC =....... Еще раз используем теорему ........... ; cos АВОС = ................................. , БС2=.......... Находим периметр параллелограмма ................. б) В AABD АВ=............ , BD=........... , AD Большая сторона — ..... Проводим сравнение: ...... Следовательно, треугольник ABD — Ответ, а) ...................... б) ..................... 13 Многоугольники 113. Ломаная 114. Выпуклые многоугольники На каком из рисунков изображена простая ломаная? 56 а) Ответ, Tiil----- в) На каком из рисунков изображена замкнутая ломаная? А. а) Ответ. б) в) г) Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяюш;его ее концы. АД + + АД + АДз + АД^ > ДА^ 115 Длины звеньев ломаной А1А2АЭА4 равны соответственно 3,2 см, 7,3 см, 4,8 см, 9,7 см. Может ли расстояние между ее концами А1А4 быть равным: а) 6,5 см; б) 29,5 см; в) 25 см? (Решите задачу устно.) Ответ. а) ................ ; б) ................. ; в) ................. 57 116 D Докажите, что длина ломаной ABCD больше длины ломаной AMKD. Доказательство. Запишем сумму длин всех звеньев ломаной ABCD, т. е. AB + BC + Ci). Заметим, что АВ =A/Vf +. ,CD = CK-\-.. / Рассмотрим ломаную МВСК. Ее длина МВ + ВС + СК>МК (по теореме о длине ...........). Теперь запишем длину ломаной AMKDy т. е. AM + MK + KD. Заменим в этой сумме МК на большую величину МВ + ВС + СК. Получим сумму AM + МВ + ВС-\-СК + KD, которая равна длине ломаной ABCD. Следовательно, длина ломаной ABCD ....... длины ломаной AMKD. 117 Докажите, что периметр треугольника АВС больше периметра треугольника МКР. Доказательство. В треугольнике АМР AM+АР .......МР, в треугольнике МВК МВ + ВК......МКу в треугольнике РКС .......................... Сложим левые и правые части этих трех неравенств: AM+АР + МВ + ВК + КС + СР .РМ + МК + КР, т. е. АВ + ВС + СА ..МК + КР + РМ. 118 Докажите, что длина ломаной ABCD А больше длины ломаной AMD. Доказательство............... М 58 о о Многоугольник — это простая замкнутая ломаная, соседние стороны которой не лежат на одной прямой. вершины многоугольника AiAg.AgAg,... стороны многоугольника Плоский многоугольник (многоугольная область) — это конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. 119 Начертите пятиугольник А1А2АЭА4А5. Проведите его диагонали А^Ад и А^А^. Сравните периметры данного пятиугольника и треугольника AiAgA4. (Решите задачу устно.) Ответ...................... ... 120 Начертите шестиугольник. а) Сколько диагоналей можно провести из одной его вершины? Проведите их. б) Сколько диагоналей можно провести через вершину, соседнюю с выбранной в пункте «а»? Есть ли среди этих групп диагоналей совпадаюш;ие? в) Сколько всего различных диагоналей можно провести через вершины данного шестиугольника? Ответ, а) ... б) 121 в) 1) Стороны выпуклого четырехугольника равны 2,2 см, 3,3 см, 4,1 см и X см. Чему равна длина неизвестной стороны, если известно, что х — целое число, большее 8? (Решите задачу устно.) 59 2) Существует ли четырехугольник, стороны которого равны: а) 12,5 см, 38,5 см, 15,5 см, 20,5 см; б) 12,5 см, 37,5 см, 15,5 см, 21,5 см; в) 12,5 см, 43,5 см, 15,5 см, 20,5 см? (Решите задачу устно.) Ответ. 1) ... 2) а) ; б) ; в) Т, Сумма всех углов выпуклого п-угольника равна 180° (п-2). Сумма внешних углов выпуклого Л'угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. В Е D ZA,ZB,ZC ... — углы многоугольника 122 Вычислите сумму всех углов: а) шестиугольника; б) одиннадцатиугольника. Решение. а) По условию п = 6. Воспользуемся для вычисления формулой сум- мы углов многоугольника: б) Ответ, а) ......... ; б) 123 Сколько сторон имеет многоугольник, сумма углов которого равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине? (Решите задачу устно.) Ответ................. 124 Сколько сторон имеет многоугольник, сумма углов которого равна 1980°? 60 Решение. Запишем уравнение 180 • (д-2) = 1980. Решим его относительно П. П-2 =............ , ................ , 72 =..... Ответ................ 125 Начертите многоугольник, сумма всех углов которого равна 540°. Решение. 1) Найдем число сторон этого много- угольника: 2) Начертим многоугольник с полученным числом сторон. 126 Существует ли многоугольник, сумма углов которого равна: а) 600°; б) 900°; в) 1680°; г) 3600°? (Решите задачу устно.) Ответ, а) ... ; б) . ; в) ; г) 115. Правильные многоугольники ;16. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников Начертите правильный треугольник АВС. Соедините отрезками середины его сторон (М, К, Р). а) Докажите, что треугольник МКР правильный. б) Сколько треугольников образовалось на рисунке? Все ли они правильные? 61 Доказательство, а) МК=^АС (по свойству .....................................). КР =....... , МР =........... Значит, МК =КР =........ Поэтому Л МКР ........................ Но у такого треугольника все углы ........... Значит, А МКР б) ........................................... 128 Начертите правильный четырехугольник. Отметьте середины его сторон (М, К, Р, Т). Соедините их последовательно отрезками. Является ли образовавшийся четырехугольник правильным? Если является, то докажите этот факт. Доказательство. 129 Середины сторон правильного 10-угольника последовательно соединили отрезками. Верно ли, что при этом образовался правильный 10-угольник? Сравните длины сторон данного и нового многоугольников. Верно ли, что периметр нового многоугольника в два раза меньше периметра данного? (Решите задачу устно.) Ответ........................................................ 62 130------------------------------— Сколько осей симметрии имеет правильный треугольник? Сколько у него центров симметрии? (Решите задачу устно.) Ответ.......................... 131 Сколько осей симметрии имеет правильный четырехугольник? Сколько у него центров симметрии? (Решите задачу устно.) Ответ. 132 Сколько осей симметрии имеет правильный л-угольник, если: а) л — нечетное число; б) л — четное число? (Решите задачу устно.) Ответ, а) ....................... ; б) .................. 133 Вычислите величину угла правильного: а) десятиугольника; б) пятиугольника; в) шестиугольника; г) двенадцатиугольника. Решение. а) Вычислим сумму всех углов десятиугольника. Для этого воспользуемся соответствующей формулой .................... Сумма равна ................... Чтобы вычислить величину одного угла, разделим найденную сумму на 10 (так как все углы.....). Следовательно, величина одного угла равна ................. 63 б) в) г) Ответ. 134 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого равен: а) 108°, б) 150°, в) 140°? Решение. а) Угол правильного многоугольника равен сумме всех его углов (...............), деленной на число углов многоугольника (...). Составим уравнение —= 108. Решим это уравнение относитель- но п. 180(л-2) = 180п, б) .................. , п = в) Ответ. о Многоугольник, вписанный в окружность,— это многоугольник, все вершины которого лежат на некоторой окружности. вписанный многоугольник AjAg... А^ описанный многоугольник О Многоугольник, описанный около окружности,— это многоугольник, все стороны которого касаются некоторой окружности. 64 Правильный многоугольник (выпуклый) является вписанным в окружность и описанным около окружности. (Эти окружности имеют один и тот же центр — центр правильного многоугольника.) п 3 4 6 «3 04 R V3 V2 Об оз 04 Об Vs г 2V3 2 2 г = 2tgl|» R = 2sin 180 135 Периметр правильного треугольника равен 24 см. Вычислите: а) радиус окружности, описанной около этого треугольника; б) диаметр окружности, вписанной в него. Решение. а) Найдем длину стороны данного треугольника: аз =. ......... Теперь воспользуемся соответствующей формулой для вычисления R: R= .. .. ................... б) Вычислим радиус вписанной в данный треугольник окружности: .................................. ......... . Найдем ее диаметр: Ответ, а) ................... ; б) ................... 136 Периметр правильного четырехугольника равен 12 см. Вычислите: а) радиус окружности, описанной около него; б) диаметр окружности, вписанной в данный четырехугольник. Решение........ .. ..... . . .. ............... ... ..... 3 Дуяницын 65 Ответ, а) ...................... ; б) .................... Тз7---------------------------------------------------------- Диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен 18 см. Вычислите: а) периметр данного шестиугольника; б) радиус вписанной в него окружности. Решение. а) Вычислим радиус описанной окружности: R=............... Теперь найдем длину стороны шестиугольника (заметим, что R=......): ........................ Далее вычисляем периметр шестиугольника: б) Ответ, а) .................. ; б) 138 Прав1^ьный треугольник вписан в окружность, радиус которой равен 2\ 3 см. Вычислите периметр этого треугольника. Решение. Запишем соответствующую формулу: R=................. Подставим в нее данное значение R и найдем а^: ................. И наконец, вычислим периметр треугольника: ..................... Ответ.................. 139 В окружность вписан правильный шестиугольник с периметром 18 см. Вычислите диаметр этой окружности. Решение. Найдем длину стороны шестиугольника: а^ =............. Для нахождения радиуса .................. окружности воспользуемся 66 соответствующей формулой: окружности равен ....... Ответ................. . Следовательно, диаметр 140 Радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник, равен 2\2 см. Вычислите: а) его периметр; б) диаметр окружности, описанной около четырехугольника. Решение. а) Длину стороны четырехугольника вычислим, пользуясь формулой г=.................... Находим и периметр четырехугольника: б) Ответ, а) .............. ; б) 141 Правильный четырехугольник со стороной 12 см описан около окружности, в которую вписан правильный треугольник. Вычислите периметр треугольника. Решение. Вычислим радиус данной окружности. Она является ...........в четырехугольник. Следовательно, .................... Далее вычисляем сторону треугольника, учитывая, что окружность является ............ около него. Поэтому воспользуемся формулой ............................................................. Вычисляем периметр треугольника: Ответ..................... 142 Правильный треугольник описан около окружности, в которую вписан правильный шестиугольник со стороной, равной 6 см. Вычислите периметр треугольника. Решение............................................... 67 Ответ. 117. Построение некоторых правильных многоугольников 143 Постройте с помощью циркуля и линейки правильный шестиугольник, сторона которого равна 2 см. Построение. Строим окружность с радиусом 2 см. Отметим на ней произвольную точку А. Далее действуем по алгоритму, который описан в п. 117 учебника. Ответ. Искомая фигура — шестиугольник 144 а) Постройте с помощью циркуля и линейки правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса 2,5 см. Построение. Построим окружность радиуса Отметим на ней произвольную точку Aj. Далее (как при построении шестиугольника) отмечаем точки Аг, ................... Теперь проводим отрезки А^Аз, А3А5 и А5А1. б) Можно ли на этом рисунке построить еще один правильный треугольник, удовлетворяющий тем же условиям? Сколько таких треугольников можно вписать в одну окружность? Ответ, а) Искомая фигура — треугольник ........... ; б) ..... 68 [Щ} Начертите отрезок АВ. Постройте с помощью циркуля и линейки правильный треугольник, сторона которого равна данному отрезку АВ. 146 Начертите окружность. Постройте с помощью циркуля и линейки правильный четырехугольник, вписанный в эту окружность. Построение. Проведем произвольный диаметр АВ этой окружности. Построим к нему серединный перпендикуляр. Обозначим точки пересечения его с окружностью через С и D. Теперь проводим отрезки Ответ. Искомая фигура — 147 Постройте с помощью циркуля и линейки правильный четырехугольник, диагональ которого равна 3 см. 69 Ответ. Искомая фигура — 118. Подобие правильных выпуклых многоугольников Правильные выпуклые л-угольники подобны. — подобные л-угольники р Г а. 1 L = —1 р. ^^2 ^2 а 2 1 2 у правильных л-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. 148 Стороны правильных восьмиугольников равны 12 см и 8 см. Вычислите отношение: а) периметров этих многоугольников; б) радиусов окружностей, описанных около восьмиугольников; в) радиусов окружностей, вписанных в данные многоугольники. Решение. ч ^ _ 12 см ^ 8 см • б) ^ = ’ ^ R2 149 Длины сторон двух квадратов пропорциональны числам 5 и 6. Вычислите отношение: а) периметров квадратов; б) радиусов окружностей, вписанных в квадраты; 70 в) радиусов окружностей, описанных около данных квадратов, (Решите задачу устно.) Ответ, а) = ГО ’ Р = /12 150 Середины сторон правильного треугольника соединены отрезками. Вычислите отношение радиусов окружностей: а) описанных около треугольников АВС и МРК\ б) вписанных в треугольники АВС и МРК. (Решите задачу устно.) Ответ. а) .......... б) .......... В 151 Радиусы окружностей, описанных около правильных пятиугольников, равны 15 см и 24 см. Вычислите отношение: а) периметров пятиугольников; б) сторон этих пятиугольников; в) радиусов окружностей, вписанных в эти пятиугольники. (Решите задачу устно.) Ответ. а) б) ; в) 152 Сумма сторон А1А2 и B^2 Двух правильных девятиугольников равна 24 см. Отношение радиусов вписанных в эти многоугольники окружностей равно Вычислите периметры девятиугольников. Решение. Пусть сторона А1А2 равна х см. Тогда сторона второго девятиугольника равна ... см (по ..........). Составим уравнение ................ , так как по условию сумма сторон равна ...... 71 Решаем составленное уравнение; ............... , х=...... Следовательно, . см, В^В2=- см. Вычисляем периметры данных девятиугольников: Р^=.... см =........... , Рг=..... см =......... Ответ. Pi =.... см, Рг=...... см. Ш]— Около правильных семиугольников, длины сторон которых пропорциональны числам 5 и 4, описаны окружности. Радиус одной из них на 3 см больше радиуса другой. Вычислите длины диаметров данных окружностей. Решение...... .. _ . ........ ........................ Ответ. di = см, d2=____ . см. [154 Радиусы окружностей, вписанных в два правильных десятиугольника, пропорциональны числам 2 и 5. Периметр одного из многоугольников на 30 см больше периметра другого. Вычислите периметры и длины сторон десятиугольников. Решение. Ответ. Pi=.... см, Рг=.... см, aj = СМ у 0*2 — СМ, 72 !19. Длина окружности Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности (оно одно и то же для любых двух окружностей). Отношение 2R обозначают я (пи), т. е. — =я. 2R С—длина окружности — периметр многоугольника _С 2R Рп Рп 1 при Я С при п C = 2KR, C^KD :3,14—иррациональное число 155 Вычислите длину окружности, если: а) радиус равен 10 см; б) радиус равен 50 см; в) диаметр равен 8 см; г) диаметр равен 20 см. (Решите задачу устно, взяв я~3,1.) Ответ. а) С~..... см; б) С~.... см; в) С~ см; г) С см. 156 Как изменится длина окружности, если: а) увеличить ее радиус в 5 раз; б) уменьшить ее радиус в 3 раза; в) увеличить ее диаметр в 4 раза; г) уменьшить ее диаметр в б раз? (Решите задачу устно.) Ответ, а) в) б) г) 1157 Л. Как изменится длина окружности (считаем я~3,1), если: а) увеличить ее радиус на 3 см; б) уменьшить ее радиус на 2 см; 73 в) увеличить ее диаметр на 5 см; г) уменьшить ее диаметр на б см? Решение. а) Обозначим радиус окружности R. Тогда длина ее равна 2яЛ. Но- вый радиус равен (jR + 3) см, ее длина равна 2я(Д + 3) см. Длина окружности увеличилась на 2я(Д + 3)-2яЛ=....................... см. б) ........................................................ в) г) Ответ, а) ........................ ; б) в) ; г) 158 Сторона квадрата равна 12 см. Вычислите длину окружности: а) вписанной в квадрат; б) описанной около квадрата. Решение. а) Диаметр окружности, вписанной в квадрат МКРТу равен ............... б) .............................. Ответ, а) ........ ; б) 74 159------------------------------------------------------------ Стороны правильного треугольника равны 6\ 3 см. Вычислите длину окружности: а) описанной около этого треугольника; б) вписанной в данный треугольник. Решение. а) б) Ответ, а) ......... ; б) 160 Сторона правильного шестиугольника равна 12 см. Вычислите длину: а) окружности, описанной около этого шестиугольника; б) окружности, вписанной в данный шестиугольник. Решение. а) б) Ответ, а) ......... ; б) 161 Вычислите длину окружности, описанной около прямоугольника, стороны которого равны: а) 6 см и 8 см; б) 2 см и 2\3 см. Решение. а) Центром искомой окружности является ..................... ................ Значит, его диагональ равна диаметру окружности. Вычислим длину диаметра: ...................................... 75 б) Ответ, а) ......... ; б) [Щ} Вычислите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, катеты которого равны: а) 2\ 3 см и 2\ 6 см; б) 4 см и 8\ 2 см. Решение. а) б) Ответ, а) ..........; б) 163 Вычислите длину окружности, описанной около треугольника, одна сторона которого равна т, а угол, лежаш;ий против этой стороны, равен а, если: а) т=10 см и а = 30°; б) m=12V2 см и а = 45°. Решение. а) Воспользуемся формулой = 2i2, которая является следствием теоремы синусов. Вычислим длину диаметра описанной окружности: ........................................... Найдем длину этой окружности: ........................ б) ....................................................... Ответ, а) ......... ; б) 76 164--------------------------------- Дан квадрат со стороной б см. На его сторонах, как на диаметрах, построены четыре полуокружности, расположенные вне данного квадрата. Вычислите сумму длин всех полуокружностей. Решение. Ответ. 165 Диагональ прямоугольника равна 20 см. Угол между диагоналями равен 60°. Вычислите длины дуг, на которые делят вершины прямоугольника описанную около него окружность. Решение....................... Ответ. 77 166------------------------------------------------------------- Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 12 см. Вычислите длины дуг, на которые делят эту окружность вершины данного треугольника. Решение. Вершины треугольника делят окружность на ............ равные части (так как треугольник .................). Значит, одна дуга является ............ частью окружности. Вычислим ее длину: Ответ. 120. Радианная мера угла 167 Около правильного пятиугольника ABCDE описана окружность, радиус которой равен 18 см. Вычислите длину дуги, стягиваемой хордой: а) АВ; б) АС. Решение. а) Вычислим градусную меру центрального угла АОВ: ................. Следовательно, длина дуги, соответству- юш;ей этому углу, равна ............. б) Ответ, а) ........... ; б) 78 168----------------------------------------------------------- Угол, вписанный в окружность радиуса 9 см, равен 40°. Вычислите длину дуги, на которую он опирается. Решение. Центральный угол, соответствующий данному вписанному углу, равен .............. Поэтому длина искомой дуги равна Ответ. 169 ABCD — квадрат. Его сторона равна 12 см. Вычислите длину границы закрашенной фигуры. Решение. Радиусы окружностей, частями которых являются отдельные фрагменты границы данной фигуры, равны .......... Градусные меры соот- ветствующих центральных углов равны ................ Теперь вычисляем длины дуг: А ' ' D а затем и длину всей границы дан- ной фигуры: Ответ. ... 170 К окружности радиуса 24 см проведены касательные АВ и АС. Угол между ними равен 60°. Вычислите длины дуг, на которые делят точки В и С данную окружность. Решение. Проведем радиусы окружности в точки С и В. Находим величины углов АВО, АСО: ............. .......... (так как .............. В О. Угол ВАС равен ........ (по .). Сумма всех углов 79 четырехугольника АВСО равна ...... Следовательно, угол ВОС равен ...................................... Теперь вычисляем длины искомых дуг: ................................................ Ответ.......................... о Радианная мера угла — это отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. 0 I Радиан — это единица радианной меры угла. Z.AOB = 1 радиан, о Тс 1^— длина дуги АВ, АВ АЛОВ = радиан Угол в один радиан — это угол, длина соответствующей дуги которого равна длине радиуса. Радианная мера угла получается из градусной умножением на п 180°* 171 Запишите радианную меру угла с данной градусной мерой. Градусная мера угла 180° 90° 45° 30° 60° Радианная мера угла п 172 Вычислите радианную меру угла а, если: а) а =15°; б) а = 120°; в) а =150°; г) а =145°; д) а =20°; е) а = 100°. Решение. а) а =15°-^ в) Д) ........ б) г) е) 80 173 Запишите градусную меру угла с данной радианной мерой. Радианная мера угла п 18 я 20 я 2 я 5 2я 3 5я 6 Градусная мера угла 174 Найдите радианные меры углов треугольника, если они пропорциональны числам 3, 8 и 7. Решение.................................................. Ответ. [ПЗ— Вычислите радианные меры углов параллелограмма, если углы, прилежащие к одной его стороне, пропорциональны числам 2 и 5. Решение. Ответ. 176 Один из смежных углов на больше другого. Вычислите радианные меры этих углов. Решение............................................. Ответ. 4 У1улнииын 81 14 Площади фигур 121. Понятие площади О О Простая фигура — это фигура, которую можно разбить на конечное число треугольников. Площадь простой фигуры — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1. Равные фигуры имеют равные площади. 2. Площадь фигуры, разбитой на простые фигуры, равна сумме площадей ее частей. 3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. F — простая фигура F составлена из треугольников , 2^ , 7^ S = Sj, + S» -+-^ ч ^2 Ы ABCD — квадрат АВ = 1 см = 1 177 В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена медиана BD. Площадь треугольника АВС равна 36 см^. Вычислите площади треугольников ABD и BCD. (Решите задачу устно.) Ответ. 8^0 =..... см2, Sbcd =.. см^. 178 Площадь ромба ABCD равна 64 см^. Его диагонали пересекаются в точке О. Вычислите площади треугольников АВС, ADO. (Решите задачу устно.) Ответ. 8авс =... см2, =........ см2. 82 {щ} Площадь правильного пятиугольника равна 75 см^. Через центр окружности, описанной около данного пятиугольника, проведены радиусы в вершины пятиугольника. Вычислите площадь каждого из образовавшихся треугольников. (Решите задачу устно.) Ответ. S = та-------- см" Площадь правильного шестиугольника ABCDEF равна 96 см^. О — центр окружности, описанной около него. Проведите ее радиусы во все вершины шестиугольника. Вычислите площадь: а) треугольника COD; б) параллелограмма АВСО; в) трапеции ADEF; г) прямоугольника BCEF. Решение. а) б) в) г) Ответ, а) Scod =.... см^; в) ........ =.... см^; б) г) D см^; см" 122. Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника со сторонами а и Ь вычисляется по формуле S = ab. CL S=^ab 181 ABCD — прямоугольник, стороны которого равны 10 см и 8 см. Вычислите: 83 а) площадь прямоугольника; б) площади треугольников, на которые делит данный прямоугольник его диагональ. (Решите задачу устно.) Ответ, а) ОН------- см^; б) см“. Периметр прямоугольника равен 84 см, одна из его сторон на 6 см больше другой. Вычислите площадь прямоугольника. Решение. Ответ. Площадь прямоугольника равна .....см^ 183 Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 12 см. Через середину гипотенузы проведены перпендикуляры к катетам треугольника. Вычислите площадь образовавшегося прямоугольника. Решение........................ В Ответ. 184 Дано: ABCD — прямоугольник, AB = S см, ВС = 12 см. МР±АВ, NK±CD. Вычислите площадь: а) прямоугольника ABCD; б) прямоугольника МСКО; в) треугольника МОВ; г) треугольника AOD. 84 Решение. а) .................... б) .................... в) .................... г) .................... Ответ, а) ..........; б) ; в) ; г) 185 Через точку М диагонали АС прямоугольника ABCD проведены перпендикуляры к его сторонам. AM :МС = 3:1, AD=16 см, АВ = 12 см. Вычислите плош;адь: а) прямоугольника ABCD; б) прямоугольника ММ^СМ^', в) прямоугольника АМ^ММ^; г) треугольника АММ^. Решение. а) Площадь прямоугольника ABCD равна б) В треугольнике ACD АС =.................................. (по теореме .................). Треугольники MCMz и ACD подобны (по двум углам: AM2 = А....; АСММ2 = А..........). Следовательно, СМ2'. CD = СМ: АС =.... , MM2'.AD = CM :АС=.......... Вычислим СМ2 и ММ2'. .................................................... Площадь прямоугольника ММ3СМ2: ................................. в) Вычислим площадь прямоугольника АМ^ММ^: ................. г) Ответ, а) ........ ; б) ; в) ; г) 186 Площадь прямоугольника равна 54 см^. Длины его сторон пропорциональны числам 3 и 2. Вычислите периметр прямоугольника. Решение. Пусть длина меньшей стороны прямоугольника — 85 2х см. Тогда длина большей стороны будет равна ... см. Воспользу- емся формулой для вычисления плош;ади прямоугольника и составим уравнение: ..................... Решим его: .................... , х=....... Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна: .........=..... см, большая его сторона равна: ........=..... см. Теперь вычислим периметр прямоугольника: ..............=..... см. Ответ................... 187 Площадь прямоугольника равна 42 см^. Одна его сторона на 1 см больше другой. Вычислите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника. Решение. Вычислим длины сторон прямоугольника. Пусть меньшая его сторона равна... см, тогда большая сторона будет равна...... см. Учи- тывая условие, что площадь прямоугольника равна 42 см^, составим и решим уравнение: ............... , .................. , ...... Значит, меньшая сторона прямоугольника равна .......................... а большая —.....................................................см. Вычисляем периметр прямоугольника: . Поэтому сторона квадрата, периметр которого равен периметру прямоугольника, равна............. см, следовательно, площадь квадрата равна: Ответ. 188 1) Стороны прямоугольника ABCD равны 12 см и 9 см. Его разделили на квадрат и прямоугольник. Вычислите площади и периметры полученных фигур. 2) Стороны прямоугольника равны 6,4 см и 10 см. Вычислите периметр квадрата, площадь которого равна площади данного прямоугольника. Решение. 1) ....................................................... 86 2) Ответ..................... 123. Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. S = a-h ABCD а К D 189 Вычислите площади параллелограммов, изображенных на рисунках. В К, 16 см 10 см а) М Ответ, а) ............ ; б) ; в) 190 Меньшие стороны параллелограмма равны 8 см. Расстояние между ними равно б см. Вычислите площадь параллелограмма. (Сделайте чертеж и решите задачу устно.) Ответ.......................... 87 191 ------------------------------ Дано: ABCD — прямоугольник, BMWDK, ААВМ = 45°, АВ = 8 см, AD=15 см. Вычислите площадь четырехугольника BKDM. Реп1ение........................ Ответ. 192 Дано: ABCD — параллелограмм, AD = = 20 см, BD = 16 см, Z.BDA = 30°. Вычислите площадь данного параллелограмма. Решение. 1) Проведем высоту ВК данного параллелограмма и рассмотрим треугольник BKD. Он ...... так как ВК....AD. Вычислим длину ВК: ВК =............ 2) Следовательно, площадь параллелограмма ABCD равна Ответ. 193 Стороны параллелограмма равны 12 см и 18 см. Высота, проведенная к меньшей стороне, равна 9 см. Вычислите длину высоты, проведенной к большей стороне параллелограмма. Решение. 1) Вычислим площадь параллелограмма: ........................ 2) Вычислим длину искомой высоты. Запишем формулу для вычисления площади параллелограмма, которая содержит искомую высоту: Получим уравнение ............ , решим его: Ответ. 88 94 Дано: МКРТ — параллелограмм. Вычислите его периметр. Решение. Ответ. 195 Дано: ABCD — ромб, Z.BCD = 60°, ВМ =12 см. Вычислите плош;адь ромба. Решение. Рассмотрим треугольник ВМС. Его В гипотенуза ВС равна ................ ................ Значит, площадь ромба ABCD равна .. Ответ.................. Площадь треугольника АВС равна 36 см^. Постройте фигуру, симметричную данному треугольнику относительно середины стороны ВС. а) Вычислите площадь образовавшегося четырехугольника. ^ б) Вычислите длину его высоты ВК, если АС = 9 см. Решение...................................... 89 Ответ, а) ..............; б) 197-------------------------------- В параллелограмме МКРТ /LKMT = = 120®, МТ = 20 см, РТ'=12 см. Вычислите площадь данного параллелограмма. Решение. Проведем высоту МА данного параллелограмма к стороне КР. Рассмотрим треугольник......... Най- дем в нем длину стороны МА, АКМА = . Значит, МА =......................... Площадь параллелограмма равна .... Ответ.................. 198 Дано: ABCD — параллелограмм, АВ = = 10 см, AK = S см, KD = 6 см. Вычислите площадь параллелограмма ABCD. Решение......................... Ответ. 199 Периметр ромба ABCD равен 56 см. Его острый угол равен 30°. Вычислите площадь данного ромба. Решение. Ответ. 90 124. Площадь треугольника 125. Формула Герона для площади треугольника Вычислите площади треугольников. (Решите задачу устно.) с в а) Ответ, а) ВС = 8 см, АС = 10 см б) .....; б) .............. D А С АС = 18 см, BD = 4 см в) ; в) ................ 201 Дано: ABCD — прямоугольник, АС =18 см, ВМ= 10 см. Вычислите площадь прямоугольника. Решение. Ответ. 202 Дано: ABCD — прямоугольник, BD = 20 см, AD-AB = 4 см. Вычислите площадь треугольника BCD. Решение. Пусть АВ = л: см, тогда AD =............. см. Треуголь- 91 D Получили x=........... Следовательно, AB =.................. см, AZ)=......... см. Теперь вычислим площадь треугольника BCD: .............. Ответ................. Дано: МКРТ — прямоугольник, МА — биссектриса угла КМТ, КА = 6 см, АР = 4 см. Вычислите площади треугольника МКА и четырехугольника АРТМ. Решение. Углы АМТ, МАК и КМА ......... Следовательно, треугольник МКА .......................... Поэтому КМ = числяем площадь треугольника КМА: ........... см. Вы- ............. (так как этот треугольник .......................). Чтобы вычислить площадь четырехугольника АРТМ, найдем площадь данного прямоугольника: ............... Значит, площадь четырехугольника АРТМ Ответ.............................. Основание МК равнобедренного треугольника МКР равно 10 см. Боковая сторона равна 13 см. Вычислите площадь треугольника и длину высоты, проведенной к его боковой стороне. Решение. Проведем высоту РА и рассмотрим треугольник МРА. МА=......................................... , МР =.................................. Вычислим длину высоты РА: ................................... Теперь 92 вычислим площадь треугольника МКР: Проведем на чертеже высоту КВ к стороне МР. Можем выразить площадь треугольника МКР через сторону МР и проведенную к ней высоту КВ. Получим равенство ............................ .................... , из которого выразим КВ. Получим КВ =.............. Ответ............................ 205 Вычислите площади треугольников, изображенных на рисунках. (Решите задачу устно.) а) б) в) Ответ, а) ............. ; б) ; в) 206 в Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 18 см. Угол при его основании равен 45°. Вычислите площадь треугольника. Решение. Проведем высоту ВК к основанию АС. Рассмотрим треугольник АВК. АВАК=....... , АВКА=...... , следовательно, Z.ABK =............Поэтому АК = ....=............ Теперь вычислим площадь данного треугольника АВС: ......... Ответ................. 93 207 Проведите отрезок ВК (точка К лежит на стороне АС), который делит площадь данного треугольника на две равные части. 208 Проведите отрезки КА и КВ (точки А и В лежат на стороне МР), которые делят площадь данного треугольника на три равные части. К 209 Вычислите площади трех треугольников, которые изображены на рисунке. (Решите задачу устно.) Ответ........................... В Площадь треугольника равна по- q ловине произведения двух его сторон на синус угла между ними. /с в ^лвс - joftsina Вычислите площади треугольников, изображенных на рисунках. (Решите задачу устно.) 94 Вычислите площадь правильного треугольника, сторона которого равна 18 см. Решение.................................................. Ответ. Щ]— Вычислите площадь треугольника МКР. Решение....................... М 10 см Ответ. 213 Вычислите площадь параллелограмма ABCD. Решение....................... Ответ. 95 214 Начертите треугольник, симметричный данному на рисунке треугольнику относительно середины стороны ВС. Вычислите площадь образовавшегося четырехугольника. Решение........................ В Ответ. 215 Дано: в прямоугольнике ABCD АВ = 12 см, AD = 16 см, точки М, К, Р, Т — середины соответствующих сторон. Вычислите площадь многоугольника МКСРТА. Решение......................... Ответ. \Ш— Дано: МКРТ — параллелограмм, точки А VI В — середины соответствующих сторон. Вычислите площадь четырехугольника КВТА. Решение.......................... К 20 см / М Ответ. 96 {щ} Дано: ABCD — параллелограмм, Z.A = 60°, БА = 20 см, СБ = 10\/3 см, точки М, К, Р и Т — середины соответствующих сторон. Вычислите площадь шестиугольника MBKPDT. Решение.......................... Ответ. 218 12 см 10 см ВК и ВМ — высоты параллелограмма ABCD. Вычислите площадь треугольника ВМК. Решение. Рассмотрим треугольники АВК и ВСМ. Вычислим длины высот данного параллелограмма ABCD: ВМ = ................................. , ВК =................ Найдем величину угла МВК: АМВК = ААВС — .............................. ............. Теперь можем вычислить площадь треугольника МВК: Ответ. 219 ABCD — трапеция. Вычислите ее площадь. Решение. Площадь данной трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников АВС и ACD. Вычислим их. В 10л/2 см Ответ. Площадь треугольника может быть вычислена по формуле Герона S^ = ^Jpip-a)ip-b)ip-c). Р = а + Ь + с 220 Вычислите площадь треугольника, стороны которого равны 20 см, 13 см и 11 см. Вычислите длину его высоты, проведенной к большей стороне. Решение. Вычислим полупериметр данного треугольника: р=........................... Подставим его в формулу Герона. По- лучим числовое выражение S = \‘22 • 9 • 11 • 2. Не станем сразу находить произведение, которое записано под корнем. Представим эти числа в виде произведения соответствующих множителей: S = \2-ll-9-ll*2. А теперь удобно извлечь корень: S=ll-2-3=............ Зная пло- щадь треугольника, можем вычислить длину искомой высоты. Обозначим ее h. 66 = -|- • 20 ■ Л, откуда h=......................... Ответ. S=.......... ; h=......... 221 Две стороны и диагональ параллелограмма равны 10 см, 9 см и 17 см. Вычислите площадь параллелограмма. Решение. Начертим параллелограмм и его диагональ. Вычислим площадь одного из образовавшихся тре- угольников: 98 Затем вычислим площадь параллелограмма: Ответ. 222 Периметр треугольника равен 42 см. Длины его сторон образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна 1. Вычислите площадь этого треугольника. Решение. Обозначим длину меньшей стороны треугольника через ......... Тогда две другие его стороны будут равны ............ и ............ Составим уравнение ...................... Решим его: ............................ Следовательно, стороны треугольника равны ...................... Теперь находим площадь треугольника: Ответ. 126. Площадь трапеции Площадь трапеции равна произ- В ведению полусуммы ее основа- j ний на высоту. А К о ABCD AD + BC ВК S=\h{a + b) 223 Вычислите площади данных трапеций. (Решите задачу устно.) В 10 см С D а) Ответ, а) ............ ; б) б) в) ; в) 99 224 Основания AD и ВС трапеции равны 24 см и 18 см. Вершина В удалена от прямой AD на 10 см. Вычислите площадь трапеции. Решение. Проведем высоту ВК дан- ной трапеции. Ее длина равна .......... Следовательно, площадь трапеции будет равна ..................... Ответ. 225 Средняя линия трапеции равна 22 см. Расстояние между ее основаниями равно 8 см. Вычислите площадь трапеции. Решение. Средняя линия трапеции равна ...................... ............... (по свойству .................................). Высота трапеции равна расстоянию между ......................... (по свойству ...........................). Следовательно, площадь данной трапеции равна .......................................... Ответ. 226 Дано: МКРТ — прямоугольная трапеция. Вычислите ее площадь. Решение. Проведем высоту РА тра- пеции и рассмотрим треугольник Вычислим длину его катета: ... Длина основания МТ трапеции будет равна ....................... Теперь вычислим площадь трапеции: Ответ................. 100 227 Дано: ABCD — прямоугольная тра- В 10см пеция. Вычислите ее площадь. Решение. Проведем ......... ... Х45" р .................... и рассмотрим ‘D прямоугольный треугольник ......... Вычислим длины его катетов: ....................................... Находим длину большего основания: ................. ................................ Вычисляем площадь трапеции: ................................. Ответ........... .... 228 Основания МТ и КР трапеции МКРТ равны соответственно 14 дм и 6 дм. Площадь треугольника МКТ равна 28 дм^. Вычислите площадь данной трапеции. Решение. Ответ. 1й?|— Дано: ABCD — трапеция, ВС = 12 см, АО =16 см. СК\\АВ, площадь четырехугольника АВСК равна 96 см^. Вычислите площадь трапеции ABCD. Решение. Ответ. 230 ------------------------------ Дано: МКРТ — прямоугольная трапеция. Вычислите: а) площадь трапеции; б) ее периметр. Решение. а) К б) Рассмотрим треугольник МРТ. Найдем длину стороны РТ, пользуясь теоремой ............................................... ............................................. Теперь вычислим периметр трапеции МКРТ: ...................................... Ответ, а) .............. ; б) ............ 231 Основания трапеции равны 16 см и 12 см. Точка пересечения ее диагоналей удалена от оснований на 6 см и 4 см. Вычислите площадь трапеции. Решение....................... Ответ. 102 232 Площадь трапеции ABCD равна 120 см^. Диагональ АС равна 20 см. Расстояние от вершины D до этой диагонали в 2 раза больше, чем расстояние от вершины В до нее. Вычислите площади треугольников АВС и ACD. Решение....................... В Ответ. 128. Площади подобных фигур 129. Площадь круга Площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров: ^ _ с2 а\ St Ь\ й-(^г-кн*г-(е-. F и F — подобные фигуры 233 Периметры подобных многоугольников равны 90 см и 60 см. Вычислите отношение площадей данных многоугольников. Решение. = Ответ........... 234 Медианы BD и В^О^ подобных треугольников АВС и А^В^С^ равны 3 см и 4 см. Вычислите отношение площадей данных треугольников. 103 Решение. Ответ. |23Sh Периметры квадратов пропорциональны числам 4 и 5. Вычислите отношение плопдадей данных квадратов. Решение. Ответ. 236 Длины сторон равносторонних треугольников пропорциональны числам 6 и 5. Плопдадь одного треугольника на 99 см^ больше площади другого. Вычислите площади этих треугольников. О J Решение. -5- = ■^2 ...=............. Принимаем площадь одного треугольника за х см^, тогда площадь другого будет равна ........ Составим уравнение ....................... Решим его: ........... ................................. Находим площади треугольников: Ответ. 237 Меньшие стороны подобных многоугольников равны 12 см и 15 см. Сумма площадей многоугольников равна 4100 см^. Вычислите площади данных многоугольников. Решение.................................................. Ответ. 104 238 -------------------------------- Середины сторон правильного треугольника соединены отрезками. Вычислите отношение площадей данного и образовавшегося треугольников. Решение. Данный и образовавшийся треугольники подобны. Следовательно, отношение их площадей равно отношения их сторон. Пусть сторона данного треугольника равна а, тогда сторона второго треуголь- ника будет равна ..... Значит, отношение площадей будет равно Ответ. 239 Середины сторон квадрата последовательно соединены отрезками. Вычислите отношение площадей данного и образовавшегося четырехугольников. Решение........................ Ответ. 240 Центр О правильного шестиугольника AiA2AgA^^Q соединен отрезками с вершинами. Вычислите отношение площадей данного шестиугольника и: а) треугольника AjOAg; б) шестиугольника А^А^А^^^О. 105 Решение. Обозначим сторону шестиугольника через а. Тогда длина радиуса окружности, описанной около шестиугольника, будет равна .....Треугольник QAjAg — .................. Его сторона равна .. Вычислим его плопцадь: ......................................... Площадь данного шестиугольника будет равна ..................... Площадь искомого шестиугольника равна .......................... Находим искомые отношения: а) ............... ; б) ............. Ответ, а) ............... ; б) .............. Круг — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного. OX