Геометрия 9 класс Рабочая тетрадь Атанасян

СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПУНКТАМИ УЧЕБНИКА И ЗАДАЧАМИ ТЕТРАДИ Номера пунктов учебника Тема Номера задач тетради 86 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 1—3 87 Координаты вектора 4—8 88 Связь между координатами вектора и координа- тами его начала и конца 9—12 89 Простейшие задачи в координатах 13—19 90 Уравнение линии на плоскости 20 91 Уравнение окружности 21—24 92 Уравнение прямой 25—29 93 Синус, косинус, тангенс 30—32 94 Основное тригонометрическое тождество. Форму- 33—35 лы приведения 95 Формулы для вычисления координат точки 36, 37 96 Теорема о площади треугольника 38—40 97 Теорема синусов 41—43 98 Теорема косинусов 44, 45 99 Решение треугольников 46—48 101 Угол между векторами 49 102 Скалярное произведение векторов 50—54 103, 104 Скалярное произведение в координатах. Свойства 55—60 скалярного произведения векторов 105 Правильный многоугольник 61—64 106 Окружность, описанная около правильного мно- 65—68 гоугольника 107 Окружность, вписанная в правильный много- угольник 69 108 Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписан- ной окружности 70, 71 110 Длина окружности 72—77 111 Площадь круга 78—82 112 Площадь кругового сектора 83—85 113,114 Отображение плоскости на себя. Понятие дви- жения 86—88 116 Параллельный перенос 89 117 Поворот 90—93 Геометрия РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ 9 КЛАСС Пособие для учащихся общеобразовател ьн ых организаций 14-е издание Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Г36 Авторы: Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И. И. Юдина Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия, 7—9» авторов Л.С. Атанасяна и др. и предназначена для организации решения задач учащимися на уроке после их ознакомления с новым учебным материгиюм. На этом этапе учащиеся делают первые шаги по осознанию нового материала, освоению основных действий с изучаемым материалом. Поэтому в тетрадь включены только базовые задачи, обеспечивающие необходимую репродуктивную деятельность в форме внешней речи. Наличие текстовых заготовок облегчает ученику выполнение действий в развернутой письменной форме, а учителю позволяет осуществить во время урока оперативный контроль и коррекцию деятельности учащихся. Использование данной тетради для организации других видов деятельности (самостоятельных работ, повторения, контроля и т. д.) малоэффективно. Учебное издание Атанасян Левон Сергеевич Бутузов Валентин Федорович Глазков Юрий Александрович Юдина Ирина Игоревна ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь 9 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций Зав. редакцией Т.А. Бурмистрова. Редактор Л. В. Кузнецова. Младший редактор Н.В. Ноговицына. Художники В.А. Андрианов, О.П. Богомолова, Г. В. Соловьев. Художественный редактор О. П. Богомолова. Компьютерная верстка Е.А. Стрижевской. Корректор А. В. Рудакова. Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 10.07.13. Формат TOXlOO'/ie-Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBookCSanPin. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 2,15. Тираж 25 000 экз. Заказ № 7078. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ООО «Тульская типография». Россия, 300600, г. Тула, пр. Ленина, д. 109. ISBN 978-5-09-032127-3 Издательство «Просвещение», 2000 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2013 Все права защищены Глава X Метод координат Координаты вектора 1 _^ Найдите такое число q, чтобы выполнялось равенство т = дп, если:а)т||л» |/п| = 5см, |п| = 2см; б)тп||л, |т|=0,7м, |л1=2м. Решение. -*■ |>»| а) По условию т 11__» т. е. q_О, 1д| = j | =__, q =_____ б) По условию т___п, т. е. q__О, |gj =___=_____, q =____ Ответ, а)_______; б)_____ Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, точка Н — середина отрезка AM. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а)AM = kAC; б) МЯ = k^; в) DM= kAC. Решение. а)АМ\\АС, поэтому искомое число k существует, 1/г|=' и k___0. Так как диагонали параллелограмма точкой М делятся __________________, то |А| =_Итак, k =__ |лм| б) МН____АС, поэтому искомое число k _ |А|=^=^и k___0. По условию задачи точка Н отрезка AM, следовательно, МН = —, поэтому |ft|=__Итак, k —_______ в) Векторы DM и ______ значения k не___________ = ^(---АС) =---АС, не коллинеарны, поэтому искомого Ответ, а)/г=_; б) ft = ; в). в параллелограмме ABCD, изображенном на рисунке, МК |{ DC и РТ 11 DA. 1) Разложите по векторам а =DT и Ь = DA векторы: а) DO; б) DB. 2) Разложите вектор ОВ по векторам: а) m = МО и с = ОР; б) т = МО и п = AD. В Решение. 1) По условию задачи МК Ц_ В треуголь-никах ВОК и BDC угол = А_____, следовательно, Л ВОК_Л BDC. Так как ВО =_BD, , поэтому Z ВОК___Z BDC. __ общий, А ВОК = то ВК =-^___, следовательно, точка К — середина стороны ____ параллелограмма. Аналогично точки М, Р и Т —________________ сторон данного параллелограмма. а) По правилу параллелограмма получаем: DO= DT_____DM, но DT а, DM = DA = Ъ. Итак, DO = а + Ь. б) DB = DC +___= DT +___________==_____+ b. 2) a) По правилу параллелограмма OB = OK +_________= МО -Ь -Ь____ =______-Ь с . б) ОВ = 4- ОР = + i-) AD = Ответ. 1) а)^ = . 2) а) ОВ =. б) б) Векторы а и & не коллинеарны. Найдите числа х и у такие, что: а) 2а + хЬ= уа - Ь; б) ха + Ь - За + 4уЬ = О ; в) 4ха - а + уЬ = О . Решение. а) В левой и _________ частях данного равенства записа- ны разложения некоторого вектора по двум неколлинеарным _________________а и___. Поскольку такое разложение единственно, то коэффициенты перед вектором а равны, следовательно, у =____________________Аналогично х =_ б) Запишем данное равенство в виде (де - 3)_+ (1+______)Ь = = 0а+0&. Так как разложение вектора по двум ________________ _____________ векторам а и Ь единственно, то х -_______= 0 и ___+ 4у =____Отсюда получаем: х =_____, у =____ в) В силу единственности разложения ___________________ по двум_________________________векторам получаем: 4х -___= 0 и у =__. Следовательно, х =____, у____ Ответ, а) д: =_ , У =-----; б). ; в) а) Какой из данных на рисунке векторов равен вектору 4i —2 у ? б) Напишите разложение вектора ОЕ по координатным векторам i л j . в) Найдите координаты вектора ОА. г) Напишите, какой вектор имеет координаты {-4; 2}. д) Отложите от точки О вектор с координатами {2; -4}. Ответ. а)_______; б) 6е =-----------; в)ОА{---;--}; г). Выпишите координаты вектора: а) а = 3i - 5у ; 6) Ь= i + 2j ; в) с = -у . Решение. Координатами вектора называются _____________________ его разложения по координатным________________ а) По условию задачи а = 3 i -_у . Следовательно, коэффици- енты разложения вектора а по координатным____________i и___равны 3 и_____, т. е. а {_;___}. б) b = i-f-2y = li -1-_у , следовательно, Ь {____; в) с = -/=-----Т-f- (---)7. т. е. с {--; -------}. Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора: а) т {-2; 3}; б) п {0; -3}; в) k {-1; 0}. Решение. Координаты вектора — это коэффициенты его ____________ —► —> —> _______ по координатным векторам. Поэтому: а) т = -2 i +_j ; б) n =_Г + (_____) 7 =_______; в) ft =__________=________ Ответ. а) т =____________ б) --------------- в) --------------- 8---------------------------------------------------------- —> —> Даны векторы а {2; -3} и Ь {-1; 5}. —► —>■ —> ► —> —> Найдите координаты векторов: а)/п = а + &; б)га=4а; B)ft = -6; г)р = 4а - ЗЬ. Решение. Используя утверждения о координатах суммы векторов и произведения вектора на число, получаем: а) т {2+(-1); -3 +__}, т. е. т {_;____}. б) п {4 • 2; 4 • (-)}, т. п {-;-------}. в) ft {-(-1); -----}, т. е. ft {------}. —> г) Обозначим через JCj и абсциссу и ординату вектора а, через и — абсциссу и __________________ вектора Ь, буквами х и у — _______________ и ординату вектора р . Тогда X = 4Xj - 3___= 4-___- 3 • (-1) =_, у = 4_____-3__ Следовательно, р {_ Ответ, а ) т {-----} б) --------------- в) --------------- г) § Простейшие задачи в координатах Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на положительной полуоси Оу; ОА = 5, О В = 12. Найдите координаты: а) вершин прямоугольника ОАМВ; б) радиус-векторов точек А, В и М; в) вектора АВ; г) векторов ОС и ВС, если С — точка пересечения диагоналей прямоугольника ОАМВ. Решение. а) О (_;___), А (5;-), М (-;----),----------- б) Радиус-вектором точки А называется вектор, начало которого совпадает с ___________ координат, а его конец — точка _____Координаты радиус-вектора точки А равны соответствующим _______________________ точки ___. Поэтому ОА {____; ___}, QB {__;___}, бм___________ в) Каждая координата вектора АВ равна соответствующих координат его конца (точки ___) и _________ (точки А). Так как А (_;___), В (_____;_), то АВ {-;-}. г) Точка пересечения диагоналей прямоугольника является _______________диагонали ОМ, следовательно, ОС =___ОМ. Так как ОМ {__;____}, то ОС {__;___}. Каждая координата вектора ВС равна____________соответствующих _____________________________________его конца (точки_) и_ (точки____). Координаты точки С равны соответствующим координатам ее радиус-вектора ОС, т. е. С (_;_), координаты точки В равны (________), поэтому ВС {_;______}. 10 Заполните таблицу: К (5; -2) ( ; ) (-3; 0) м (3;0) (-2; 1) км { ; } {8; 0} 2КМ {6; 4} -0,5™ 11 Найдите координаты вершины В параллелограмма ABCD, если А (0; 0), С (5; 7), D (3; 0). Решение. 1) Четырехугольник ABCD —_________________________, следовательно, АВ___DC. Так как С (5; ____), D (_ DC {__;____}, поэтому АВ {_;____}. 2) Так как А (0;_), АВ {_;___}, то В (_;___). Ответ.________________ .), то 12 Даны точки: А (2; -1), В (5; -3), С (-2; 11), D (-5; 13). Докажите, что они являются вершинами параллелограмма. Доказательство. Воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и ________________, то этот __________________ является _________________________ В силу этого признака достаточно показать, что: а)АВ_____DC; б) точки А, В и D не лежат на одной прямой. а) Так как А (2; -1), В (_____), то АВ {____; __}; так как С (-2; 11), D (______), то DC {__;__}. Итак, АВ____DC. б) Точки А, В и В лежат на одной____________, если координаты векторов АВ и AD пропорциональны. Так как АВ {__;___} и AD {__; ___}, то координаты векторов АВ и AD ______________ _____________________, поэтому эти векторы не коллинеарны и, следовательно, точки А, В и В______________ на одной прямой. Итак, четырехугольник ABCD —_______________________________, что и требовалось доказать. 13 Заполните таблицу, если точка К— середина отрезка ВС. В (3; -1) (0; 5) с (7; 3) (4;0) к (-2; 1) (6; -2) 8 14----------------------------------------------------- Найдите координаты середины медианы AM треугольника АВС, если А (-2; 4), В (2; -1), С (6; 1). Решение. 1) Отрезок AM — медиана треугольника ___, поэтому точка М —_________________стороны ВС. По условию задачи В (2; -1), С (__;____), следовательно, М (_;_). 2) Пусть точка К — середина отрезка AM. Так как А (-2; _), М (--;----), то К (-;---). Ответ, 15------------------------------------------------- Найдите длины векторов: а {-3; 4}, Ь {5; 0}, с {0;-2}. Решение. й---- Ответ. |а| = - Ч- 16--------------------------------------------- Найдите длины векторов АВ и AM, если А (5; -3), В (2; 1), М(5; 3). Решение. а) |АВ|= ^(2-5)4 б) 1^1 ~ Ответ. |АВ| = _ -1^-- 17 Найдите длины сторон АВ и ВС и длину медианы ВК треугольника АВС, если А (-2; 4), В (10; -1), С (6; -4). Решение. а) АВ = ^(l0 + 2f б) ВС = в) Так как отрезок ВК —. то точка К является_______ К(___;___). Поэтому ВК =у -I ________треугольника АВС, стороны АС, следовательно, ------- -------- 4- Ответ. АВ =_; ВС =__; ВК = 18-------------------------------------------------- Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, и найдите его площадь, если А (-3; 4), В (7; 9), С (5; -2), D (-5; -7). Решение. Четырехугольник является ромбом, если все его стороны ____________. Действительно, если в четырехугольнике противоположные стороны попарно ___________, то этот четырехугольник является ____________________. А параллелограмм, у которого называется ромбом. Сравним длины_____________ стороны данного четырехугольника: АВ^ = {7 + ЗУ + (. ВС2 =__________ CD^ =__________ DA^ =__________ -У = Следовательно, АВ^_____ВС^___CD^____DA^, откуда АВ = ВС = ______, поэтому его диагоналей. Итак, четырехугольник ABCD является_____ его площадь равна половине_________________ АС^ = (-3-5)^ -I-________=______, следовательно, АС = BD^=__________________________, следовательно, BD =____ ^ABCD = 0,5АС Ответ. ___ 10 19------------------------------------------------------- Даны точки А (-2; -3), В (-3; 4), С (4; 5). 1) Докажите, что в треугольнике АВС углы А и С равны. 2) Найдите площадь треугольника АВС. Решение. 1) В треугольнике АВС углы А и С равны, если ВС__ВА. Так как ВС2 = (-3-4)2 +_____=_______^ ^ то ВС___ВА. Следовательно, Z.A____Z. С. 2) В данном равнобедренном треугольнике АВС основанием служит сторона ______, следовательно, медиана, проведенная из вершины_____, является_________________треугольника. Найдем АС и медиану ВМ. АС = ^(-2-4) + = ^ Так как точка М — середина стороны АС, то М (_; ВМ = V =______=______ .) и поэтому Итак, = 0,5АС Ответ.________ = 0,5 3 Уравнение окружности и прямой 20 Даны точки А (-1; 2), В (0;7з )> С (1; -2), D (2; -1). Какие из этих точек лежат на линии L, заданной уравнением х^-2х+у^-3=07 Решение. Точка лежит на линии, заданной уравнением с двумя переменными хну, если ее_____________________удовлет- воряют этому уравнению, и не лежит на линии, если ее координаты ____________________ уравнению линии. Подставим __________ _________ данных точек в уравнение х^- 2х +____________: (-1)2 - 2 (-1) +______= 1 +__________-3 = 0. Координаты точки А не удовлетворяют данному____________ но, точка А_____________ на линии L: А i__ следователь- 02 - 2 • о + 0. Следовательно, В___L. _ . Следовательно, С__L. Ответ. 11 21------------------------------------------------------- Какие из следующих уравнений задают окружность: а) + (у -1Г = 25; б) 4x2 + ^у2 = 9; в) 2x2 2у2 = Q. г) х2 + у2 + 1 = 0; д) (х + 2)2+ у2 _ 0,01=0; е) х2 - 2х + у2 = 3? Решение. а) Уравнение х2 + (у -1)2 = 25 имеет вид (х - а)2 + (_- 6)2 = Н, где а = о, 6 =_, г =___ ^ О, следовательно, это уравнение___ _________ 'окружность. б) Разделив обе части уравнения 4x2 ^ чим уравнение х^ +________= - +________= г2, где а =_, 6 = _ = 9 на 4, полу- это уравнение которое имеет вид (х-а)2 + , г =___ 5*0. Следовательно, окружность. в) Равенство 2x2 ^_____= 0 выполняется только при х =___, у =__, т. е. данному уравнению удовлетворяют координаты только одной __________ (0; 0). Следовательно, это уравнение __________________ окружность. г) Левая часть уравнения х2 + у^+_= 0 при любых значениях X и у_____________нуля, а правая часть равна_______Поэтому точек, ___________________ которых удовлетворяют данному __________________, не существует. Следовательно, уравнение Х2 + у2 +1 = о ___________ окружность. д) Перенеся слагаемое -0,01 в ___________ часть уравнения (х + 2)2 + у2 5* о, получим уравнение которое имеет вид (х - а)2 +_________________, где а =____, 6 =__, г =_____5* 0. Следовательно, уравнение (х + 2)2 +__- - 0,01 = 0_____________окружность. е) Прибавив к обеим частям уравнения х2 - 2х + __________ число 1, получим уравнение х2- 2х+_______+ у2 =____^ которое можно записать в виде (х-1)2 + (_________)2 =______ виде (х - о)2 +________= г2, где а =_, 6 =___, г = Следовательно, данное уравнение__________ Ответ. Окружность задают уравнения а),_______ т. е. в ___5* 0. окружность. 12 22 Постройте окружность, заданную уравнением: а) 16; б) (х - 1)^ + 1/^ = 4; в) х^ + 2х + у^- = 4, Решение. Для построения окружности надо знать ее радиус и координаты _______________. Если уравнение окружности имеет вид (х - аУ + (у - bY = то ее радиус равен_, а центром является точка с координатами (_;__). а) Уравнение х^+у^=\% запишем в виде (х - 0)^ + (_______Y "=__• Отсюда следует, что центр окружности— точка (__; ___), а радиус равен Построим искомую окружность, заданную уравнением х^ + у^= 16. б) Уравнение (х -1)^ -I-________ У -4 2 -4 -2 » 2 4 * -2 -4 - представим в виде (х -__Y + (у ~ 0)^ = =_____Следовательно, центр окружности — точка (__; __), а радиус равен Построим искомую окружность, заданную уравнением (х-1)^-Ь = 4. в) Чтобы выделить квадрат двучлена с переменной х и квадрат __________________ с переменной у, прибавим к обеим частям уравнения х^^+ 2х +___________ слагаемые 1 и 4. Получим уравнение (х^+2х-Ы) + + (у"------ -Ь 4) = 4 -I- - -I---, которое запишем в виде + (у-___)^ =____Значит, центр окружности — точка (______), а радиус равен __ Построим искомую окружность, заданную уравнением х^+ 2х+ у^-4у =4. У ' 1 к -1 0 -1 1 2 3 * У ' 4 -3 2 1 -4 -3 -2 -1 ® 1 2 * -1 ' -2 - 13 23---------------------------------------------------------- Окружность задана уравнением (дс+1)^+(у-2)*=25. Не пользуясь чертежом, установите, какие из точек А (3; -2), В (-4; 6) и С (3; -1) лежат на окружности. Решение. Первый способ. Выясним, координаты каких точек удовлетворяют ________________ окружности. (3-1-1)^-1-(_____У=4^+_______=_____^25. Итак, координаты точки А__________ вательно, точка А (-4+-------Г +---- данному уравнению, следо-. на окружности. ____=____. Итак, _________ точки В данному уравнению. следовательно, точка. (3 + 1)'® +___________ . Итак, точка С на окружности. Второй способ. Центр данной окружности — точка с координатами (___;____), а радиус окружности равен__Найдем расстояния от центра данной _________________________ до каждой из данных точек и сравним их с_____________________окружности. Обозначим центр окружности буквой М, тогда: AM =->/(-!-)'+ =У * 5, следовательно, точка А на окружности. ВМ = , следовательно. СМ = Ответ. На данной окружности лежат точки 24--------------------------------------------------- Напишите уравнение окружности радиуса г с центром в точке С, если: а) г = 2 и С (3; 0); б) г = 3 и С (0; -2); в) г = V5 и С (-2; 3). Ответ. а) (х-гу +-=4; б) -------------------- в) -------------------- 14 25-------------------------------------------------------- Напишите уравнение серединного перпендикуляра к отрезку АВ, если А (-3; 4), В (1; -2). Решение. Если точка М (х; у) лежит на серединном _____________________ к отрезку АВ, то AM ___ ВМ, и поэтому АМ^____ВМ^. Запишем это равенство в координатах: (х + 3)^ + +____________=____________+ (у + 2)^. Раскрыв скобки, получим: + 6х +____________________= х^-2х +_____________________. Перенесем все слагаемые из правой части в левую ___________ равенства: + 6х +____________________________- 4у - 4 = 0. _________= 0. Разделив _____________=0. Приведем подобные члены: 8х - ___ обе части уравнения на 4, получим 2х Если точка М (х; у) лежит на серединном к отрезку АВ, то ее координаты удовлетворяют уравнению 2х -_____________= 0. Если же точка М (х; у) не лежит на __________________________________________ к отрезку АВ, то АМ^ ^ ___, и поэтому ее __________________ не удовлетворяют полученному уравнению. Итак, уравнение 2х -___________ серединного ___________________ = о является уравнением к отрезку АВ. Ответ. 26-------------------------------------------------------- Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (-1; 2) и В (2; -3). Решение. Уравнение прямой имеет вид ах +_______+ с = 0. Точки А и _______________________________________лежат на прямой, т. е. их координаты_ этому уравнению. Подставив координаты точек А и_в уравнение, получим: а • (-1) -I-_-1- с = О; _Ч- Ь • (-3) -I- с = О. Выразим отсюда а и Ь через с: а =_с и Ь =____с. Подставив полученные значения а и__в уравнение ах + by +__=___, приходим к уравнению: -5сх + (_________________________) у -I-_= 0. При любом с 0 это уравнение является________________прямой АВ. Сократив на -с, получим искомое _____________________ прямой _____ в виде: _____+ Зу-1 = 0. Ответ. ____________________ 15 27 Даны координаты вершин треугольника: А (-3; 0), В (1; 4), С (3; 0). Напишите уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника, параллельную стороне АВ. Решение. Обозначим середины сторон ВС и АС буквами К и М соответственно. Тогда К (2;_), М (_;___), а прямая КМ— искомая. Запишем ее уравнение в виде ах Н-_________= 0. Подставив координаты точек К и в это уравнение, получим систему: 2а + Отсюда следует: с = нение принимает вид: _ Ответ. -f- с = о = 0. _ и &___- а, и поэтому искомое урав- - ау = о или X -__= 0. 28 Прямые заданы уравнениями х+ у = 0 и 2х-у + 3 = 0. а) Найдите координаты точки пересечения данных прямых. б) Напишите уравнение прямой, проходящей через найденную точку и параллельной оси ординат. Решение. а) Искомая точка лежит на данных прямых, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям этих______________, т. е. являются решением____________уравнений: х + у = 0 2х-____ = 0. Отсюда находим: х =. и у б) Уравнение прямой, проходящей через параллельно ___________ ---------- М„ 1/„) ординат, имеет вид: х =__________Учиты- вая, что Мц(-1; _ Ответ. а) (--;----); б) --------- 16 .), получаем искомое уравнение: х = 29------------------------------------------------ Окружность и прямая заданы уравнениями (у - 4)^= 25 и x-ly + Z = 0. Найдите длину хорды, отсекаемой окружностью на прямой. Решение. Чтобы найти координаты____________пересечения окружности и_____________________________, решим систему уравнений: -I- (. X -_______ _Г=25 + 3 = 0. Последовательно получаем: х = 1у-______; (7г/-3)2+(1/-. 49i/^ - А2у +________________ 50у2-------------= 0; у,= — Соответственно находим -3^1 = - )'=25; _ = 25; 1/2 = и Х2=. Итак, данные окружность и прямая пересекаются в точках ---;------) и (---;-----). Искомая длина хорды равна: л/(-3-4)^-н( f=f -I Ответ. 17 Глава XI Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс угла 30 Найдите по рисунку синус, косинус и тангенс угла: а)АОМ; б)АОК; в)АОС; г)АОВ. Решение. а) Угол АОМ образован лучом ОМ и положительной ____________ абс- цисс, точка М лежит на единичной _______________________Значит, синус угла АОМ равен _________ ___, т. е. sinZ АОМ ТОЧКИ М, т. е. sin Z. АОМ =_____; косинус угла АОМ равен _______________ точки ___ cos А АОМ =___; тангенс угла АОМ равен отношению т. е. tg А АОМ =___:____=_____ б) синус угла АОК равен ________________ точки ______, т. е. sin А АОК =__; косинус угла ____ равен ___________ точки ____, т. е. cos А АОК =___; тангенс угла АОК равен в) sin А АОС =. г) -------------- _ ; cosZ. АОС = ; cos А АО В = _ ; тангенс угла АОВ не Ответ. а) sin А АОМ — . б) ---------- в) ---------- г) ---------- , так как cosZ АОВ = . /8 31 Принадлежит ли единичной полуокружности точка: а) Р (-0,6; 0,8); в)я[^;-;^]? Решение. Точка с координатами (х; у) принадлежит__ полуокружности, если выполнены два условия: 1)__< д: < ____< у <__и 2) + у^ =____Рассмотрим данные точки. а) Точка Р: х=. _<х<____, . У = = 1, следовательно. удовлетворяют первому условию: -----; х2+1/2 = (0,6)2+----= __________ второе условие. Поэтому точка Р___________ б) Точка Т: X =___, у = ________у__________Итак, первое условие х^+ У^ =____+______=___ _ единичной полуокружности. , следовательно,__< д: <___, _ 1. Следовательно, второе условие Поэтому точка Т___________________ единичной полуокружности, в) Точка Н: X =______, у = следовательно. . Поэтому точка Н Ответ. а) Принадлежит. б) ------------ в) ------------ 32---------------------- Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ, АОВ и АОК, если В (0; 1), <-м Решение. Синус угла АОМ — это ___________точки М, т. е. sin А АОМ =_ Косинус угла АОМ — это _______________ т. е.____________________ tgz АОМ = т. е. tg А АОМ = sin А АОВ =______, cos А АОВ =______, sin А А07!Г =____, ___________________ Ответ, sin А АОМ = . точки М, 33 л/З Найдите sina и tga, если cosa = -^. Решение. 1) Используя основное тригонометрическое тождество sin^a + + cos^a =. , получаем: sin^a+ = . Так как < sina < , откуда sin^a = , то sina = . 2) По определению tga = , поэтому tga = Ответ, sina =. 34 Найдите cosa и tga, если sina = Решение. 1) Используя основное тригонометрическое sina^ +_ __ = 1, получаем: ■*"____откуда cos^a = =_____-______=_______Так как_____< cosa <____, то находим два значения косинуса:_____и______ 2) По________ Если cosa =___ Если cosa =__ Ответ. cosa =____, tga = tga = cosa , TO tga = . , TO tga = . или cosa =______, tga 20 35 Вычислите cosl20°, sinl50°, tgl35°. P e Ш e H и e. Используя формулу приведения cos(180°-a) = ______, получаем: cosl20° = cos(180°-__) =_____60° =___ sin(180°-a) = ____30° =_____ Используя формулу _______________ получаем: sinl50° = sin(__-______) =_____ Используя формулы приведения sin(180° - а) = . cos(180°-_____) =_________, получаем: sinl35° sin45° И tgl35° = Ответ. 36 — 18(Г- = -tg Найдите координаты точки А, если: а) а = 60°, ОА = 4; б) а =150°, ОА = 6 (а — угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох). Решение. Координаты х и у точки А можно вычислить по формулам: ___= OAcosa, у —________, где О А —________отрезка ОА, а —____между лучом______и положительной__________Ох. а) X = 4cos60° = б) X =_________ у = 4. ; г/ = Ответ, а) А (_ 37---------- -); б)А(_ Луч ОВ пересекает единичную полуокружность в точке К. Найдите координаты точки В, если ОВ = 2, Решение, лежит на _ Так как точка К _______ полуокруж- ности, то абсцисса точки К является косинусом угла _____, ордината — _______ угла АОК, т. е. cosAAOK = =______, sin А АОК =_____. Коор- динаты X и у точки В найдем по формулам X =_______cos А АОК, у = ОВ X X___________, т. е. х = 2_________, У = Ответ. В (_ § Соотношения между сторонами и углами треугольника 38 Вычислите площадь треугольника АВС, если АВ = 3 м, ВС = 8 м и = 30°. Решение. Пусть S — площадь данного ______________ АВС, тогда 1 S =■ .sinB =. Ответ. 39 Площадь треугольника ВСЕ равна 18л/2см^, СЕ = 2ВЕ, /LE = 45°. Найдите сторону СЕ. Решение. ^ и СЕ = 2____, то Так как ^ BE . = В£2 . ВЕ-2ВЕ Отсюда получаем ВЕ^ = : BE =___ см, СЕ =_____ см. Ответ. СЕ =______ см. . = 18 л/2 :___=_____ (см^). 40-------------------------------------------------------- Стороны параллелограмма равны 4 м и 6 м, а один из его углов в два раза меньше другого. Найдите площадь параллелограмма. Решение. Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором АВ = 4 м, AD = 6 м, /.В = 2/-А. Тогда АС = АА, AD = A_______= 2А______, откуда АА + АВ + АС + AD = 6А_______= 360°, откуда АА =_______ Следовательно, S = АВ •____• sin А = 4 •____=_______ (м^). Ответ. 22 41 Дано: А ABC, где АС = -j2 см, АА=45°, АВ = 30°. Найти: ВС. Решение. _ ____АС По теореме синусов » откуда получаем: ВС=- = (л/2 :---)•-------=---- sin в (см). -sin А = Ответ. 42 Дано: АМРТ, где ^Г=150°, ТМ=2 м, МР = 6 м. Найти: sinP. Решение. По теореме_ тм sinP = МР Ответ. МР sinr Отсюда получаем: 43---------------------------- Точки А, В и С лежат на окружности диаметра 12, хорда ВС равна 6. Найдите градусную меру угла ВАС. Решение. Из равенства ^—- = 2 ^ 81ПЛ ем: sinA = , т. е. sinA = получа-6 . Так как угол А тупой, то Z.A = Ответ. в 44------------------------------ в параллелограмме ABCD диагонали АС = 12 м, BjD = 6 м, АЛОВ = 60°. Найдите периметр параллелограмма. Решение.В треугольнике АОВ по теореме косинусов получаем: АВ^ = = АО^ +____-2 __________________ Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения ________________ пополам, то АО =___м, ВО =______м. Поэтому АВ^=6^+_________________= =______, АВ =______м. Аналогично в треугольнике ВОС получаем: ВС^ = ОВ^ +. -__________ • cos А ВОС. Так как ABOC = 1SO°-A________ то coszl ВОС = cos(180°- Z. тельно, ВС^ = 6^ +____ .) = -cosZ АОВ= ВС = Итак, периметр параллелограмма равен: ___(______+ ЗТ7) = 6 (____+______) (м). ___ Следова- ______м. (АВ +-----) = Ответ. 45-------------------------------------------------------- Определите вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), стороны которого равны 5 м, 7 м и 9 м. Решение. Обозначим стороны треугольника так: а = 5 м, Ь=7 м и с =_____м, а противолежаш;ие им вершины буквами А, В и С. Так как в треугольнике против большей стороны лежит ________________угол, то А____— больший угол треугольника, а следовательно, вид треугольника определяется углом__ По теореме а^ + . откуда cos С = 2аЬ . Так как cos С , т. е. cosC = (5^ + . ___О, то угол С —___ Следовательно, данный треугольник —. Ответ. 24 46---------------------------------------------- Дано: А ABC, где a = 2-Jz, 6=1, Z. С = 30°. Найти: с, А А, А В. Решение. 1) По теореме косинусов а* +__________ = (2>/3)2+------------=----, откуда с = ^ 2) По теореме откуда cosA = Ь^+ с^- _________ = Ь^+. , т. е. cosA = (1^ + _ . Следовательно, АА ~. 3)АВ =180°-(АА +____), АВ~ Ответ. с~_______, АА~_____ , ZB«. , т. е. 47------------------------------------------------- Дано: А АВС, где а = 5, АВ = 70°, АС = 80°. Н а й т и: 6, е, АА. Решение. 1) АА = 180°-(______) =______ о й sin 2) По теореме синусов =-----> откуда 6 = а—=, т. е. 6 ~ 5 3) По теореме _______ с = а-________, т. е. с~. Ответ. АА = , Ь = . ^ , откуда з1пЛ sinC , С 48 Дано: ЛАВС, где а = 4, 6 = 2, с = 3. Найти: АА, АВ, АС. Решение. 1) По теореме косинусов а^ = Ь^ + откуда cosA = 2^ + 2Ьс , значит, АА ~ 104'30'. 2) Аналогично получаем cosB = -== , т. е. cosB=____ аЧ откуда АВ~ 3)АС = 180°-(АА + А__), т. е. АС~ Ответ. АА «_______, _________, _ 25 § 3 Скалярное произведение векторов 49 в трапеции ABCD углы А и D равны 50°. Найдите углы между векторами: а) АВ и AD; б) AD и DC; в) АВ и CD; г) ВА и CD; д) ВС и DA; е) AD и ВС. Решение. а) Векторы АВ и AD отложены от одной точки (точки___), поэтому угол между '_____________АВ и AD равен градусной ____________ угла ______ Следовательно, АВ AD = 50°. б) Отложим от начала вектора DC (точки__) вектор DK, равный вектору _____ (выполните построение на рисунке). Угол между векторами AD и DC равен градусной ________ угла _________. Следовательно, AD DC = =180°- в) Отложим от начала __________ АВ вектор АН, ___________вектору CD (выполните построение на рисунке). Угол между________________ АВ и CD равен _____________ мере угла то накрест ___ равны. _____. От- Так как АН||. лежащие углы HAD и _______ Следовательно, AHAD =_____ сюда получаем: АВАН = 50°+_______= =______, т. е. АВ CD =______ г) Отложим от начала вектора ВА вектор ВО, равный вектору______(постройте на рисунке). Угол _____ векторами ВА и CD равен____________ В В D угла т. е. ВА CD = , 26 д) Отложим от ВС вектор ВМ, _ _______ вектора ________ вектору DA (выполните построение на рисунке). Угол между векторами _______ и DA равен ___________________ угла . Следовательно, ВС DA = е) Так как векторы AD и ___ ними считается равным_____, т. е. AD ВС = Ответ. а) 50°; б)---; ---------------------- сонаправлены, то угол между 50 --------------------------- Точка О — середина диагонали BD ромба ABCZ). Какие векторы с началом и концом в точках А, В, С, D vi О перпендикулярны вектору ВО? Решение. Диагонали ромба пересекаются и __________ пересечения делятся _________________, следовательно, точка О _________ на диагонали АС. Диагонали ромба взаимно _______________________, поэтому ВО J______, ВО J_______, В01______, вд±______, вд±______, вд±______ Ответ. АС,___________________ 51 --------------------------- в Точка О — центр окружности. Центральные углы АОВ, вое, COD, DOE, EOF и FOA равны. Найдите углы между вектором ОВ и вектором: а)АВ; б) CD; в) ВО; r)FE. Ответ. 27 52 Найдите скалярное произведение векторов а и 6, ес^: а)1а|= 1, \Ь\ = 2, а 6 = 30°; б)|а| = 3, \Ь\=^, = 135°; в) |а| = 2, I&1 = 3, at = 90°; г) |а | = 1, 1&| = 0; д) 1о| = 3, |5| = 1, а Ь = 180°; е) |а| = 6, а = Ъ. Решение. а) По определению скалярного ________________ а Ь = |а I •_• cos_______, следовательно, а Ь = 1 векторов . = 2 б) а Ь = 3 •____•_____________= в) Так как cos(а Ь) = cos90°=_ —► —> г) а Ь = 1 •____• cos____=______ Д)------------------------------- , то а Ь = е) а Ь = |а 1 • 1_ Ответ, а)-----; б). cos. = |_|^=. в). Д) ; г). ; е) 53---------------------------------------------------- Определите вид угла (острый, прямой или тупой) между ненуле-—>■ —► —► —^ ^ ^ ^ ^ выми векторами Ь и с, если: а) Ь с < 0; б) Ь оО; в) Ь с = 0. Решение. а) Ьс=\Ь\-____•_________Так как __________0, |Ь|____0, |сI__о, то cos( be )_0. Следовательно, be —________угол. б) Так как Ь е _0, 1б|____, |с|______, то cos( be )_0. Следовательно, be —_________ в) Так как Ii»I _____, |с| —> —> Следовательно, Ь е =________ Ответ. а) ------ б) ----- в) ----- угол. 0,6с___о, то cos( be ) = 28 54 Дано: параллелограмм ABCD, в котором Z. BAD = 60°, АВ = 3, AD = 5. Найти: АС. Решение. 1) АС^ = _____ 2) По правилу параллелограмма АС = АВ +_____. Поэтому АС • АС = = {АВ+_______) (__^ ^ +2 АВ-^ + 2 |АВ| • 1_Icos (АВ AD) +_= 3^ + 2 Итак, АС^ = Ответ. ___ , поэтому АС = В . + 52 =. . = |АВ|2 + 55 Найдите скалярное произведение векторов тип, если: а) т {1; 2}, п {-2; 4}; б) т {0; 0,5}, п {3; -2}. Решение. а) Скалярное произведение двух ___________________ равно сумме _____________________ их соответствующих координат, **> т. е. /пп = 1 • (_) +_____=_____ б) тп = о •________________=_____ Ответ. &) тп =__; б). 56------------------ Даны векторы а {0,5; 0}, Ь {2; -0,5}, с {-1; -4}. Какие из них взаимно перпендикулярны? Решение. Данные векторы а, Ь и __— ненулевые. Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное _____________________ равно__________ а 5 = 0,5 а и Ь _____ ^ о, следовательно, векторы а с = (-4)___0. Поэтому векторы а и с Ь с =__ Ответ. , значит. и 29 57----------------------------------------------------- —► Векторы т {6; 3} и га {-0,5; у} перпендикулярны. Найдите у. Решение. По условию задачи m J____, следовательно, тп =______Но тп = 6-_____________Поэтому -3 + Зу = 0, откуда у=___ Ответ. __________ 58----------------------------------------------------------- —► Вычислите угол между векторами р (2; 1} и g {1; 3}. Решение. —► —► Используя для ненулевых векторов р yj и q {х^; у^} формулу Х1Х2 + cos(pg)=- -у1 получаем: cos(pg) = 21 + {2 ■i. следовательно, Р 9 = Ответ. ___________ 59 Верно ли, что для любых векторов а, Ь и с выполняется равенство (а Ь) с = а (Ь с)7 Решение. Скалярное_________________ двух векторов является числом. Пусть а Ь = X, Ь с = у. Согласно определению, произведение данного вектора на число является _____________, коллинеарным данному вектору, поэтому хс || с и уа \\____. Если векторы —► -♦ -> —► а и с не коллинеарны и х ^ 0, у ^ 0, то векторы хс и уа __________________________, а следовательно, не могут быть Итак, равенство (а Ь) с = а (Ь с) для произвольных трех векто-ров а, Ь и с ____________ Ответ. 30 60------------------------------------------------------------ -► ^ Упростите выражение (а + Ь) с + с(Ь-а)и найдите его значение, если |Ь|=2, |с|=3, Ьс = 120°. Укажите, какие свойства скалярного произведения при этом использовались. Решение. Так как с(Ь - а) = (Ь-а)_ то (а + Ь)с + с(Ъ - а) = = (а + Ь)с +(______)с = = ((а + Ь) + (Ъ- )) Обоснование. закон скалярного умножения векторов ________________________ закон Используя переместительный и ___________________________ —► —► —► —► зйкпньт сложения , получаем; (а + Ь) + (Ь-а)^2. Следовательно, ((а + Ь) + (------- = (2_)с = 2(-----). -))с = закон скалярного векторов Но Итак, (а + Ь)с + с(Ь - а) Ответ. ____ =___Ь с = . 3/ Глава XII Длина окружности и площадь круга Правильные многоугольники 61 Верно ли утверждение: а) выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны, является правильным; б) любой четырехугольник с равными углами правильный? Ответ обоснуйте. Ответ. а) Неверно. Например, _________________________________ б). 62 Найдите углы правильного п-угольника, если: а) п = 9; б) га = 12; в) га = 36. Решение. Сумма углов выпуклого га-угольника равна (га-2) • 180°, а так как по условию га-угольник правильный, то каждый его угол равен ((га -_) •_____): га. Пусть — угол правильного га- уголь- ника, тогда: а) ttg = (9-2)- 180°: 9 =________ =_______ б) а,2 =-----------•-------------=--------•-----=-------- в) «36 =-----------•-------------=-------- Ответ, а) ; б) 32 63 Чему равна сумма внешних углов правильного га-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу? (Задача 1082 учебника.) Решение. Так как каждый угол правильного га-угольника вычисляется (п -2)180‘ по формуле а^=--------• то внешний угол при каждой вершине равен 180°-а = 180° - __________ = _____________________ = . Поэтому искомая сумма равна п — Ответ. ________ 64----------------------------------------------------- Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 120°, б) 175°? Решение. Пусть п — число сторон правильного многоугольника. Так как каждый его угол вычисляется по формуле = , то: „ (п-2)180° ” а) 120°= -» откуда 120°л = , п = б) 175°=. , п = Ответ, а)_____; б)____ 65----------------------------- На рисунке изображен правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса R. Пусть Од — сторона правильного шестиугольника, г — радиус вписанной окружности, Р — периметр правильного шестиугольника, S — его площадь. Найдите значения а^, Д, Р и S, если г = 4 -Уз см. г /к О 33 Решение. По условию г = 4 -Уз см, поэтому 180° R = г : cos «6 =----- (см); Р = 6 Ответ. Og = см; R =. - =-----(см); — =--------(см); =----------(см2). см; Р =________см; S см^ 66------------------------------------------------------ Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 28 V2 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в данную окружность. Решение. Так как периметр Р квадрата равен 28-У2 см, то его сторона =________ см и радиус описанной окружности R = а. правильного вписанного треугольника = 2R Ответ. _____________см. (см). Следовательно, сторона ________________=________см. 67 Хорда окружности, равная 12 V2 см, стягивает дугу в 90°. Найдите радиус окружности. Решение. Пусть а — хорда окружности, стягивающая дугу в 90°, тогда а — сторона_, вписанного в эту окружность, и поэтому а = Д • _Отсюда R = а :__=_______ :___=_____ (см). Ответ. см. 68----------------------------------------------------- в окружность вписаны квадрат и правильный треугольник. Площадь квадрата равна Q. Найдите сторону и площадь треугольника. Решение. По условию площадь квадрата равна Q, поэтому сторона квадрата =_____и радиус описанной окружности R = -Jq :_=______ Сторона вписанного треугольника а^ = R_=__ треугольника S =а^ •_=__________=_________ а площадь Ответ, а, =. ; S = 34 69 значит, г = ^ОА^~ Р =_____ (см) и в Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см. (Задача 1092 учебника.) Решение. Пусть }-радиус вписанной окруж- ности. Тогда периметр Р квадрата равен ____ Из условия задачи следует, что сторона шестиугольника равна____ см, поэтому в прямоугольном треугольнике АОВ, изображенном на рисунке, ОВ = г, АВ =____см, ОА =_____ см. см. Ответ. см. 70------------------------------------------------- Найдите плош;адь S правильного л-угольника, если: а) п = 4, Д = Зл/2 см; б) л = 3, Р = 24 см; в) л = 6, г =9 см; г) л = 8, г = 5л/з см. (Задача 1094 учебника.) Решение. По формулам п. 108 учебника находим: а) л = 4, а^ = R-__=_____•____=_____ (см), г = Д • cos ----•-----=----- (см), S=\P------=------------=---- б) л = 3, а =____ см, Д = а,: 2 sin r = R- cos (см), S =-Р в) л = 6, г = Д • cos «6 = см, S , поэтому Д = (см^); г) л = 8, г = R • cos ______, а = 2Д • sin ----------(см), S=i- 8 •-----------------= _ = 2г Ответ, а)___см^; б). см^; в). см^; г) » (см^); - (см), (см2); __см. (см2). 35 71 в окружность вписан правильный треугольник и около окружности описан правильный треугольник. Найдите отношение площадей этих треугольников. Решение. Пусть Од — сторона вписанного в окружность треугольника, R — радиус этой окружности, 6д — сторона описанного треугольника, S — площадь вписанного треугольника, Q — площадь описанного треугольника. Тогда = = Д-____, ’а S^al- 0,5 Ь. = R: tg-, откуда Ь. =. R^; . R. Поэтому Q = bf‘ R^. Отсюда получаем S : Q = Ответ. § Длина окружности и площадь круга 72 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной 12 V3 см; б) прямоугольника, меньшая сторона которого равна 8 см, а угол между диагонгшями равен а; в) правильного треугольника, площадь которого равна 48 л/З см^. Решение. Пусть R — радиус окружности, описанной около данного многоугольника, С — длина этой окружности, а — сторона данного правильного треугольника. а) Так как R == а : ___, а С = 2л •___, то С = 2л •____= =____•________=________ (см). 36 б) На рисунке ABCD — данный прямоугольник, у которого АВ = 8 см, а ААОВ = а. В прямоугольном треугольнике ABD АА = 90°, Z. ADB = =_____ (угол ADB — вписанный и опирается на дугу АВ, центральный угол которой равен а), гипотенуза BD = =____, поэтому 2R =___________ см и С = (см). в) Так как площадь правильного треугольника со стороной а можно вы- ЧИСЛИТЬ по формуле S =- находим а= то из уравнения (см) и С = (см). (см). Следовательно, R = а Ответ, а)_____см; б) см; в) см. 73---------------------------------------------------- Найдите длину окружности, вписанной: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в равнобедренный треугольник с углом 2а при вершине и боковой стороной а; в) в прямоугольный треугольник с острым углом а и противолежащим катетом а. Решение. В а) На рисунке окружность с центром О и радиусом г вписана в равносторонний треугольник АВС со стороной АВ = а. В прямоугольном треугольнике ADO катет OD = г, катет AD = ^_, а А OAD = r=AD-____ С= ___= _ и следовательно, _______=______ и б) На рисунке окружность с центром О и радиусом г вписана в равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = а и /. В = 2а. 1) В _________________ треуголь- нике ABD с D = 90° АВ = а, а Z. ABD = а, поэтому AD =_______ 2) В _______________ _________________________ треугольнике AOD с прямым углом D Z. ОАО = 2 ^ = АВ Отсюда С = — (90°-__), поэтому г = в) На рисунке окружность с центром О и радиусом г вписана в треугольник АВС, в котором Z. С = 90°, /-А = (Х, ВС = а. Поэтому АС - а :_, АВ = а «лвс= АС = С другой стороны, ^ г = = “(- 2sina Таким образом, ^ i.r. Ответ, а). 74------- 2sina и С = _ ; б). в • г, откуда ; в). Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; 6)45°; в) 60°; г) 90°. ( Задача 1109 учебника.) Решение. Воспользуемся формулой п. 110 учебника для , kR вычисления дуги окружности: I = • а. а) I = = л (см); б) 1=. (см); в) 1 =. Ответ, а) л см; б) (см); г) I = ___см; в)_____ (см). см; г). см. 38 75 Длина окружности, описанной около правильного треугольника, равна 18л см. Найдите периметр этого треугольника. Решение. Воспользуемся формулой для вычисления длины окружности С =_____и найдем радиус R этой окружности. Так как по условию С = 18л см, то Д = 18л : _ = ___ (см), = R_____= (см), и Р = (см). Ответ. см. N 76---------------------------------------------------- Найдите периметр закрашенной на рисунке лунки, если радиус окружности с центром в точке О равен R, радиус окружности с центром в точке равен а ^АМВ = 120°. Решение. Так как ^АМВ =120°, , лК то длина дуги I = — •-----=----- Хорда АВ стягивает дугу АМВ окружности с центром О в 120°, поэтому АВ = Од =____. а радиус г окруж- ности с центром равен •_______ = =_____, и длина т дуги ANB равна половине длины этой окружности, 1 т. е. т =-г •___=____=________ Теперь найдем периметр С лунки: _._=f.-------------- С = I + т = . Ответ. _____________________ 77-------------------------------------------------- Длина окружности радиуса 15 см равна длине дуги, центральный угол которой равен 150°. Найдите радиус дуги. Ре ш е н и е. Длина данной окружности равна __ • 15 = =______ (см). По условию длина этой окружности равна длине I дуги искомого радиуса R, центральный угол а которой равен лНа 150 . Используя формулу ^ » получаем R = I =__________________=______ (см). Ответ. см. 39 78------------------------------------------------------ Найдите площадь круга, описанного около: а) правильного треугольника со стороной а; б) равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной 10 см, и высотой, проведенной к основанию, равной 8 см; в) равнобедренного треугольника с боковой стороной а и углом при вершине а. Решение. а) Так как сторона а правильного треугольника, вписанного в а окружность радиуса R, равна R •__, то Д = --- и S = я____ б) На рисунке равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписан в окружность, BD — его высота, проведенная к основанию. По теореме Пифагора AD =_________=_________= =____ (см), и поэтому АС = 2___ = (см), S АВС 2 (см^). С другой стороны, следовательно, R =______ с _ *^АВС 4 аЬс (см), значит, S = \ /У У круга ----=------------ (см^). в) На рисунке окружность с центром О и радиусом R описана около равнобедренного треугольника АВС с боковой стороной АВ = а и углом В = а, ОЕ1АВ. Так как ОА = ОВ = R, то высота ОЕ треугольника АОВ является его медианой, поэтому BE = \ •___= В прямоугольном треугольнике ОВЕ АОВЕ =|, OB = R = BE: __________ = . S круга Ответ, а)--; б) см^; в). В В 40 79 Найдите площадь круга, вписгшного в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а. (Задача 1117 (г) учебника.) Решение. На рисунке круг с центром О и радиусом г вписан в равнобедренную _______________ ABCD. Так как О — точка пересечения биссектрис углов____и_____, то ОАО = = Z______ = _____, поэтому треугольник AOD —________, следовательно, его высота ОН является ________________, и АН =_______Из прямоугольного треугольника ОАН находим щадь круга S = Ответ. __ ОН = г=- и пло- В 80 На рисунке из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (В и С — точки касания), вое = 120°, а длина дуги ВМС равна 12 см. Найдите длину окружности, вписанной в фигуру АВМС, т. е. касающейся сторон угла ВАС и дуги ВМС. Решение. Пусть О^ — центр окружности, вписанной в фигуру АВМС, D — точка касания этой окружности со стороной АС. Обозначим радиус окружности с центром О через R, а радиус окружности с центром Oj через г. 1) По условию А вое = 120°, поэтому длина дуги ВМС равна 7[Д _ lio ’----~----- равна 12 см, следовательно. С другой стороны, по условию длина этой дуги 2геД _ ~3 — , откуда R см. 4/ 2) Прямоугольные треугольники ABO и АСО равны по гипотенузе и катету (АО — общая_______________, О В =____= R), поэтому Z ВОА = Z._________________________________= i _= _, А ВАО = А_ = _ Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине_________________________, значит, АО = 2 •___=____, и аналогично, AOj = 2 •__=_____________________ 3) АО = AOj4-OjM-b_ г =__=_____(см), а длина окружности равна 2п , т. е. 2В =______+_____+______, _____г =_____ _ =-------(см). Ответ. см. — S АВС круга = 15л/з-5т1, = 15 л/з - 5тс, т. е. = 5 (Зл/з-7с), откуда = а г =. Ответ. В 81--------------------------------------------------------- Площадь-правильного треугольника больше площади вписанного в него круга на 15->/з-5л. Найдите радиус круга. Решение. Пусть окружность радиуса г вписана в треугольник АВС. Тогда АС = 2AD = 2г :_____ = ____, полупериметр треугольника р =____г, S.„n = P • _=_______> S =л-_______ По условию S поэтому __ -г . 82 Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами jR, и R^, i?j < R^. Вычислите площадь, если iij = 1,5 см, Kj = 2,5 см. (Задача 1120 учебника.) Решение. Искомая площадь кольца S =________-__________= = п ___________. Если i?j = 1,5 см, Д„= 2,5 см, то S =____ см^ = см'" Ответ. 42 83 На рисунке дуга АтВ равна 150°, а радиус R равен 2 см. Найдите площадь закрашенного сегмента. Решение. Пусть S — площадь сегмента АтВ, — площадь сектора ОАтВ, — площадь треугольника АОВ, тогда S =_____-______ 1 Я = . = ^ 360 ---- 2)S=\0A-0B- ----(см2). Д2 = 3)S = (см2). _ Д2 = СМ‘ Ответ. см‘ 84------------------------------------------------------- Площадь сектора с центральным углом 72° равна S. Найдите радиус сектора. (Задача 1127 учебника.) Решение. Пусть R — радиус окружности. Тогда S = ________ •___, откуда i?2 =_______=_____и Д =________ Ответ. 85 в треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см вписана окружность. Найдите площадь закрашенной фигуры. Решение. Площадь S треугольника можно найти по формуле Геро- на S = -^р- = (см2). где С другой стороны, S = р полупериметр р =____см, поэтому г = =___см, а площадь круга Sj=______= =______ (см2). Теперь можно найти площадь закрашенной фигуры S^= = S-S =______- _____ (см2). Ответ. см‘ Глава XIII Движения Понятие движения 86 На рисунке даны прямая а и треугольник АВС. Постройте фигуру F, на которую отображается данный треугольник при осевой симметрии с осью о. Что представляет собой фигура F? Решение. Построим точки А^, Bj, Cj, симметричные точкам А, В, С относительно_____________а, и проведем отрезки AjBj, BjCj и_ Так как при движении, в частности при осевой симметрии, треугольник отображается на равный ему ________________, то искомой фигурой является треугольник _______, равный треугольнику__________ В 87 На рисунке даны точка О и две пересекающиеся прямые а иЬ. Постройте прямые, на которые отображаются прямые а 1л Ь при центральной симметрии с центром О. Решение. Отметим на прямой а какую-нибудь точку М, а на прямой Ь — точку Р так, чтобы эти точки не совпадали с точкой С. 44 Затем построим точки M^, и Pj, симметричные_____________ М, С и___относительно точки О. Так как при движении, в частности при центральной ___________, прямая отображается на _______, то при данной ______________ симметрии прямая МС отображается на прямую ______, прямая PC — на прямую------- Итак, пересекающиеся в точке Cj прямые___и______— искомые. 88---------------------------------------------------- На рисунке даны точка О и треугольник АВС. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник АВС при центральной симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F? Решение. Построим точки А^, Bj и Cj, симметричные точкам А, В и __относительно______О, и проведем отрезки AjBj, BjCj и___ Так как при движении, в частности при центральной ________________, треугольник отображается на равный ему ___________________, то иско- мой фигурой F является треугольник _______, равный треугольнику____ Параллельный перенос и поворот 89 Постройте фигуру, на которую отображается данная трапеция ABCD при параллельном переносе на данный вектор а. Решение. Построим точки Aj, ___ Bj, Cj и Dj, которые получаются из точек А, В, С и D параллельным переносом на вектор а, и проведем отрезки AjBj, BjCj, CjBj и BjAj. Так как при движении любая фигура отображается на_________________________, то искомой фигурой является трапеция D 45 90 Даны отрезок MN и точка О. Постройте отрезок M^N^, который получается из данного отрезка MN поворотом вокруг данного центра О: а) на угол 150° по часовой стрелке; б) на угол 135°против часовой стрелки. Решение. а) Построим сначала угол hk, равный 150°. Таким углом является, например, угол, смежный с _________ Затем от луча ОМ отложим угол МОК, равный построенному _____ hk, так, чтобы поворот от луча ОМ к лучу ОК на 150° осуществлялся по часовой __________, и отметим на луче ОК _______ Mj так, что OMj = ОМ. Ана- логично построим угол NON^, причем OiVj =_____Так как поворот является движением, то отрезок отображается на_________________________________ Следовательно, отрезок _________ — искомый. б) Построим сначала угол hk, равный 135°. Таким углом является, например, угол, смежный с ______________. Затем от луча ОМ отложим _______ МОМ^, равный построенному углу _____, так, чтобы _____________ от луча ОМ к лучу ОМ^ на 135° осуществлялся _________________________ стрелки, причем ОМ^ = ОМ. Аналогично построим угол _________, где _____=_____. Так как при движении. в частности при повороте, отрезок отображается на _______________________ то отрезок искомый. 46 а) б) 91---------------------------------------------------- На рисунке точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника АВС. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник АВС отображается на себя. (Задача 1168 учебника.) Решение. Рассмотрим, например, поворот по часовой стрелке. Каждый из углов А и В треугольника ABD равен 2 Следовательно, DA = и Z.ADB = . Поэтому при повороте вокруг точки D на угол 120° по часовой стрелке вершина А отображается в вершину ____. По аналогичной при- чине вершина В отображается в вершину ____, а вершина С — в вершину ___. Следовательно, треугольник АВС отображается на____________________ АВС, т. е. на себя. В 92---------------------------- Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя. (Задача 1169 учебника.) Решение. Диагонали квадрата равны, взаимно ______________________ и делятся точкой пересечения _____________ Следовательно, при повороте вокруг точки О пересечения диагоналей на каждая из вершин квад- 90° рата ABCD отображается в соседнюю __________ этого квадрата, а значит, квадрат отображается на_________ В 47 93 b 4f- Используя параллельный перенос, постройте трапецию по ее основаниям и диагоналям. (Задача 1182 учебника.) Решение. Пусть требуется построить трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, равными данным отрезкам а и Ь, и диагоналями АС и ______, равными данным___________________dj и d^. 1) Построим сначала отрезок AD, равный отрезку а. 2) На луче AD от точки D отложим отрезок DDj, равный___________Ь. 3) Построим треугольник ACD^, стороны АС и CI)j которого равны данным отрезкам и d^. 4) Построим точку В, в которую отображается точка С при параллельном _____________на вектор D^D. Выполните указанные построения самостоятельно. Четырехугольник ABCD — искомая трапеция. В самом деле, стороны AD и ВС этого четырехугольника параллельны и_________ данным отрезкам ____ и___, диагональ АС равна отрезку _ параллельным _ BD =_______, т. а диагональ BD получается из отрезка CD^ _______________ на вектор _____. Поэтому е. диагональ BD равна данному отрезку 48 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава X. Метод координат §1. Координаты вектора 3 §2. Простейшие задачи в координатах 7 §3. Уравнение окружности и прямой 11 Глава XI. Соотнош^ия между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов §1. Синус, косинус, тангенс угла__________________________ §2. Длина окружности и площадь круга 18 §2. Соотношения между сторонами и углами треугольника______^ §3. Скалярное произведение векторов________________________26 Глава XII. Длина окружности и площадь круга §1. Правильные многоугольники______________________________^ 36 Глава XIII. Движения §1. Понятие движения_____ 44 §2. Параллельный перенос и поворот 45 Учебно-методический комплект по геометрии для 7-9 классов: в. Ф. Бутузов РАБОЧАЯ ПРОГРАММА к учебнику Л. С. Атанасяна и др л. с. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина УЧЕБНИК л. с. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина РАБОЧИЕ ТЕТРАДИ Б. Г. Зив, В. М. Мейлер ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ М. А. Иченская САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Т. М. Мищенко, А. Д. Блинков ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ л. с. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, В. Б. Некрасов, И. И. Юдина ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ в 7 - 9 классах Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ для 7-11 классов ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Г|ёометрия РабоУэяТвТ^^ 19 класса общеобразовате.!^ ^ 2 050000 001468 Щена: 109.ОП