Геометрия 8 класс Рабочая тетрадь Дудницын

Ю. П. Лудницын ГЕОМЕТРИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРААЬ 8 Нласс Пособие для учащихся общеобразовательных учре/Ьдений 7-с издание МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2011 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Д81 Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия, 7—9» А.В. Погорелова и предназначена для организации самостоятельной работы учащихся, направленной на усвоение ими основных теоретических фактов и практических умений в процессе решения задач. ш о А Т С т п Ромб Условные обозначения: упражнение, обязательное для всех учащихся определение аксиома теорема, выражающая свойство фигуры теорема, выражающая признак фигуры новый термин необходимый справочный материал ISBN 978-5-09-024275-2 Издатсльсгво «Просвещение», 2003 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2003 Все права за1цищены Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур § Четырехугольники 50. Определение четырехугольника О Четырехугольник — это фигура, которая состоит из четырех то- В С чек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. (Ни- А какие три из этих точек не должны лежать на одной прямой, а отрезки не должны пересекаться.) D ABCD — четырехугольник А, B,C,D — его вершины АВ, ВС, CD, AD — его стороны 1 Дан четырехугольник МКРТ. Перечислите пары противолежащих сторон; противолежащих углов этого четырехугольника. Ответ........................... На каких из данных рисунков изображен четырехугольник? На рисунках Начертите четырехугольник, вершинами которого являются данные на каждом из рисунков точки. Запишите его обозначение. В • *т В, к» • с м» A^ . .г М» К р •D ^ а) , б) Ответ, а) ......... ; б) .... •D в) г) ; в) ; г) Начертите четырехугольник, сторонами которого являются два данных отрезка. Запишите его обозначение. В а) Ответ, а) ....... ; б) в) ; в) М ; г) к О Диагональ четырехугольника — это отрезок, соединяющий его противолежащие вершины. АС, BD — диагонали четырехугольника ABCD Дан четырехугольник МКРТ. Проведите его диагонали. Обозначьте точку пересечения диагоналей. 0 Отрезки АВ и CD являются диагоналями четырехугольника. Начертите его и запишите обозначение построенного четырехугольника. Ответ. Четырехугольник ......... Начертите четырехугольник, сторонами которого являются ,АВ и АС, а диагональю — отрезок ВС. Запишите обозначение енного четырехугольника. отрезки постро- В В В а) б) Ответ, а) ....... ; б) А в) ; в) В 0 Вычислите периметр данного четырехугольника. (Решите задачу устно.) ; в) К 8 см / \.8 см М. >Р 8 см \у/ 8 см Т в) Сторона AD четырехугольника ABCD равна 12 см. Она на 2 см больше каждой соседней с ней стороны и на 4 см меньше противолежащей стороны. Вычислите периметр данного четырехугольника. Решение. Соседние с AD стороны АВ и ........ равны 12 см- -......=......... Противолежащая AD сторона ... равна 12 см — . Тогда Р Ответ. AHCD 12 см -t- 10 Сторона МК четырехугольника МКРТ равна 18 см. Каждая из остальных его сторон на 3 см меньше одной из соседних. Вычислите длины всех сторон и периметр данного четырехугольника. Решение. Из условий задачи следует, что КР = МК- ..•...= = 18 см- .........=........ ; РТ = КР-.......= ...........= =........; ТМ=.............= .................. = ........ Р. МКРТ Ответ. КР = ; РТ= .... ; ТМ = , • Р 11 Периметр четырехугольника ABCD равен 42 см. Вычислите длину его стороны АВ, если остальные стороны больше АВ на 3 см, на 4 см и на 5 см. Решение. Пусть АВ = х см, тогда ВС= ....... , CD= ....... , AD=........... Так как периметр четырехугольника равен 42 см, составим уравнение: ..........................=42. Решим его: .......... , х= ...... Получим, что АВ= ......... ВС= ......-Ь +.......=........ , CD =..........=....... , AD =...........= Ответ. 12 Периметр четырехугольника МРКТ равен 7 см. Длины его сторон пропорциональны числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины всех сторон данного четырехугольника. Решение. Пусть МК = 2х см, тогда КР =......., РТ =......., МТ= ........... Так как ................. , составим уравнение: .................= .............. Решим его: ................ , X = ......... Найдем длины всех сторон: ..................... Ответ. МК= .......; КР= .......; РТ= ......; МТ’ = 13 Вычислите градусные меры всех углов данного четырехугольника. (Решите задачу устно.) Ответ. а) ZA= ...... zlC= ..... ZB = б) ZP= ...... ZM= ...... в) ZB= ...... ZC= ...... ZZ) = , ZD = 14 Вычислите сумму градусных мер всех углов данного четырехугольника. (Решите задачу устно.) К D а) Ответ, а) ...... ; в) 15 Докажите, что сумма градусных мер всех углов любого четырехугольника равна 360°. Доказательство. 1) Начертим произвольный четырехугольник и обозначим его ABCD. Проведем диагональ АС. 2) Рассмотрим треугольник ...... Сумма градусных мер всех его углов равна....... т. е. Z.+ А .Л- А...= =.................. Аналогичное равенство запишем для треугольника ........ , т. е. Z. + Z... + Z.... =.......... Сложив левые части этих равенств, а затем правые их части, получим новое равенство ........................................... =....... Преобразовав левую часть данного равенства, получим, что ZA + ZE + ZC+ZD = 16 Меньший угол четырехугольника ABCD равен 30°. Градусные меры остальных углов пропорциональны числам 2, 4, 5. Вычислите градусные меры трех неизвестных углов данного четырехугольника. Решение. Пусть меньший угол — это ZA. Тогда ZB-t-ZC-t-Z£> = = 360°- ....... = ........ Пусть ZB= ...... , тогда ZC =......... , AD=.......... Составим уравнение: ...............................= =........Решим его: .....................х=.........Теперь находим углы: ZB= ............ = ...... , ZC= ...........= ....... , ZP = Ответ. ZB= .... ; zc= ; zn = 0- Найдите параллельные стороны данного четырехугольника. D а) Ответ, а) .... ; б) ; в) 51. Параллелограмм О Параллелограмм — это четырехугольник, противолежащие стороны которого параллельны. -D ABCD - параллелограмм ABWCD, BC\\AD 8 18 Четырехугольник МКРТ — параллелограмм. Через точку А стороны МК проведите прямую, параллельную прямой МТ. {В — точка пересечения этой прямой со стороной РТ.) Какими фигурами являются образовавшиеся четырехугольники? Ответ. АКРВ — ........................ Л^АВТ — ....................... Т 19 является параллелограммом. Доказательство. 1) / ПАС.= .......=20°. Эти углы являются ........... при прямых ....... .. и секущей .... Следовательно, прямые .... и ... 2) Z.....= Z......= 60°. Эти углы являются ................. ........... при прямых ....... ..и секущей ...... Следовательно, прямые .... и .... параллельны. Теперь можем сделать вывод о том, что четырехугольник ABCD является параллелограммом (по определению). На каком из рисунков изображен параллелограмм? F Т Ответ. 21 Начертите параллелограмм МКРТ, соседними сторонами которого являются данные отрезки МК к МТ. [ИЬ Четырехугольник ABCD является параллелограммом. Вычислите градусные меры углов BDA, ВВС, BAD и BCD. (Решите задачу устно.) Ответ. ABDA = ....... ; Z.BDC = ........ ABAD = ....... ; ABCD = ......... \Ц}- Диагональ МР параллелограмма МКРТ образует со сторонами МК и МТ углы, равные 35° и 55°. Вычислите градусные меры углов К к Т данного параллелограмма. (Сделайте чертеж и решите задачу устно.) Ответ. АК =....... АТ =....... т Если диагонали четырехуголь- ника пересекаются и точкой пе- ресечения делятся пополам, то / этот четырехугольник — парал- -Jd лелограмм. Если АО — ОС, ВО = OD, то ABCD - параллелограмм 10 24 Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Какой фигурой является четырехугольник ACBD? (Решите задачу устно.) Ответ. ACBD —......................... 25 Начертите параллелограмм, диагонали которого АВ и CD пересекаются в точке О. О а) В В б) в) Отрезок МК и точка О являются соответственно стороной и точкой пересечения диагоналей параллелограмма МКРТ. Постройте с помощью циркуля и линейки параллелограмм МКРТ. 27 Отрезки АВ, ВС и АС являются соответственно сторонами и диагональю параллелограмма ABCD. Постройте с помощью циркуля и линейки параллелограмм ABCD. 52. Свойства диагоналей параллелограмма 53. Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма 'Р I Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения ® I делятся пополам. С В, ABCD - параллелограмм 1)АО = ОС. BO = OD 2)АВ = СВ, BC^AD, ZA = ZC.ZB = Z.D У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны. 28 в параллелограмме ABCD известно, что АВ = 7 см, ВС =11 см, АС =14 см, BD= 12 см; О — точка пересечения диагоналей. Вычислите периметры треугольников АВО и вое. (Сделайте рисунок и решите задачу устно.) Ответ. Р = АВО ■ Р 12 Дан параллелограмм ABCD, О — точка пересечения его диагоналей. Докажите равенство треугольников АВО и COD, вое и AOD. (Воспользуйтесь рисунком к задаче 28.) Доказательство................ о — точка пересечения диагоналей параллелограмма МКРТ, периметр треугольника КОР равен 25 см, 7sTP = 10 см. Вычислите сумму длин диагоналей данного параллелограмма. Решение........................ 31 Дано: ABCD — параллелограмм, ОК = КА, МО = МС. Докажите, что четырехугольник BMDK является параллелограммом. Доказательство. Рассмотрим диагонали четырехугольника ........... : ВО =.... (по свойству ............. ......................), АО —ОС (по свойству ......................). Следовательно, КО = диагонали четырехугольника ........ точкой О Поэтому ................................ (по параллелограмма). Значит, 13 32----------------------------------------------------------- Две соседние стороны параллелограмма равны 12 см и 16 см. Вычислите периметр параллелограмма. (Решите задачу устно.) Ответ...................... 33 Периметр параллелограмма MNPT равен 82 см. Сторона MN на 8 см меньше соседней с ней стороны. Найдите длины сторон данного параллелограмма. Решение. Пусть MN =.............. тогда противолежащая ей сторона.. = =......... (по .................... ......................). Сторона .. равна (х-1-8) см (по ...........). Так как периметр параллелограмма равен 82 см, составим уравнение: ........................... Решим его: .................. , х =......... Теперь найдем длины всех сторон параллелограмма: ............................ Ответ. MN =......... ; NP =........ ; РТ =......... ; МТ=......... 34 Периметр параллелограмма равен 72 см. Одна из его сторон равна 20 см. Вычислите длину соседней с ней стороны. Решение............................................... Ответ. ГззТ- Периметр параллелограмма ABCD равен 120 см. Одна из его сторон на 10 см больше другой. Вычислите длины двух соседних сторон параллелограмма. Решение................................................. Ответ. 14 Длины двух сторон параллелограмма пропорциональны числам 2 и 3. Его периметр равен 280 см. Найдите длины всех сторон параллелограмма. Решение. Пусть длина меньшей стороны равна 2х см, тогда противоположная ей сторона равна ....... (по.................. ...............). Соседние с ними стороны будут равны ........ Так как........................ , составим уравнение:....... = =............ Решим его: ............... Получим, что х= ..... Следовательно, меньшие стороны параллелограмма равны .....= =......... , а две другие равны ... =........... Ответ..................................................... 37 Дано: ABCD — параллелограмм, ААВС= 130°. Вычислите градусные меры остальных углов параллелограмма. Начертите параллелограмм. Сделайте нужные обозначения. Решение. AADC = Z........ =.....° (по ..............................). Углы СВА и DAB являются ............ .......... при параллельных прямых AD,.... и секущей.....Следовательно, .......-I-...=.....°. Поэтому ABAC =....- А Находим четвертый угол параллелограмма: ADBC = А. Ответ................................... [М Найдите градусные меры всех углов параллелограмма МКРТ, если угол Р равен 26°. Решение. Начертим параллелограмм МКРТ: ............................... Ответ. АМ=........ ; АК=........ ; АТ = 15 Сумма двух углов параллелограмма ABCD равна 140°. Вычислите градусные меры всех углов данного параллелограмма. (Решите задачу устно.) Ответ........................... 40 Сумма трех углов параллелограмма равна 240°. Вычислите градусные меры всех углов параллелограмма. (Воспользуйтесь рисунком к задаче 39.) Решение. Обозначим вершины параллелограмма буквами А, В, С, D. Тогда АА + /_В —...° (по свойству углов, прилежащих к одной стороне). Поэтому АС =.......°-......° =...°. Находим угол А: /- А = Z....=......°. Тогда Z.B =....°. Следовательно, AD =.....° (по ............................................................). Ответ. Z.A =....... ; А В =...... ; АС =....... ; А D =..... 41 Градусные меры двух углов параллелограмма EFPT пропорциональны числам 4 и 5. Вычислите градусные меры всех углов этого параллелограмма. Решение............................................... Ответ. 42 Вычислите градусные меры всех углов данного параллелограмма. Решение....................... Ответ. 16 Постройте с помощью циркуля и линейки с делениями параллелограмм, один угол которого совпадает с углом А, а стороны равны 3 см и 2 см. 44 Постройте с помощью циркуля и линейки с делениями параллелограмм, диагонали которого лежат на прямых а и fo, а их длины равны 4 см и 6 см. 45 Периметр параллелограмма ABCD равен 84 см. Вычислите длины всех сторон данного параллелограмма, если АК и СМ — биссектрисы углов А W С; К и М — середины сторон ВС и AD. (Воспользуйтесь рисунком к задаче 46.) Решение...................................................... Ответ. 17 46---------------------------------- АК и СМ — биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD. 1) Докажите равенство треугольников АВК и CMD. 2) Определите вид четырехугольника АКСМ. (Ответ поясните.) 3) Проходит ли прямая КМ через точку пересечения диагоналей данного параллелограмма? (Ответ поясните.) 1) д оказательство............................................. 2) Четырехугольник АКСМ является ............................ , так как АК.......СМ и СК........AM. (Действительно, А А.......АС, АКАМ.........АКСМ.........ACMD. Значит, АКАМ + АСМА=..........°.) 3) Отрезки КМ и АС пересекаются в точке ..... (середине отрезка АС), так как они являются .................... АКСМ. Поэтому делаем вывод о том, что прямая КМ........................ 54. Прямоугольник 55. Ромб 56. Квадрат 47 Диагональ АС прямоугольника ABCD образует со стороной AD угол 35°. Вычислите градусные меры углов, которые образует эта диагональ с остальными сторонами прямоугольника. (Сделайте чертеж и решите задачу устно.) Ответ.......................... Диагональ BD образует со стороной АВ прямоугольника ABCD угол 70°. Вычислите градусную меру острого угла, образованного диагоналями прямоугольника. Решение. Начертим прямоугольник ABCD и проведем его диагонали BD и АС, точку их пересечения обозначим буквой О. Рассмотрим треугольник ......... Его стороны __ и .... равны (так как диагонали АС и BD равны). Значит, АОВА=А Находим величину угла ВОА: АВОА= 180°-(Z._______ = 180°-......° =.....°. Ответ............... -f- Z. .) = 49 Угол, образованный диагоналями прямоугольника, равен 50°. Вычислите градусные меры углов, образованных диагональю прямоугольника с его сторонами. (Воспользуйтесь рисунком к задаче 48). Решение................................................. Ответ. 19 ш Угол МОТ, образованный диагоналями прямоугольника МКРТ, равен 120°. Меньшая сторона прямоугольника равна 15 см. Вычислите диагонали данного прямоугольника. Решение. Начертим прямоугольник МКРТ и проведем его диагонали. Рассмотрим треугольник ............ Один из его углов тупой, он равен 120°. Смежный с ним угол ........... равен ...°. Треугольник ......... равнобедренный (так как .. =....). Значит, два других его угла тоже равны .....°. Следовательно, он является ....................... Тогда каждая его сторона равна .... см. Диагональ .... = .... = = 2 •... = .... см. Ответ. 51 Сторона АВ прямоугольника ABCD равна 12 см, его диагонали равны 20 см. Вычислите периметр треугольника COD (О — точка пересечения диагоналей прямоугольника). Сделайте чертеж и решите задачу устно. Ответ. 52 Периметр прямоугольника EFKP равен 64 см. Длины его сторон пропорциональны числам 3 и 5. Вычислите длины всех сторон прямоугольника. Решение............................................... Ответ. 20 ii---------------------------------- в прямоугольнике ABCD сторона АВ равна 8 см, вершина В удалена от диагонали АС на 6 см, Z.BCA = 30°. Вычислите периметр прямоугольника. Решение. Проведем перпендикуляр ВК к диагонали АС. Рассмотрим треугольник ВКС. Его катет ..... лежит против угла век, равного ....°. Так как такой катет равен половине гипотенузы треугольника, то ВС =... см. Поэтому периметр прямоугольника равен 2 •..+2 ■....= 2 • ........ см -I- 2 • ...... см =... см. Ответ.....................-......... 54 в прямоугольнике ABCD отрезок СК — биссектриса угла С. Вычислите периметр прямоугольника. Решение....................... D Ответ. 55 Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, диагонали которого лежат на прямых а я Ь. 56 Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, вершинами которого являются три данные точки. О I Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. В В О ABCD — ромб AB = BC = CD=AD AC1BD ZBAO = ZDAO I Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. 'J’ I Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Периметр ромба равен 84 см. Вычислите длину его стороны. (Решите задачу устно.) Ответ............. 58h Равнобедренные треугольники АВС и CDA совместили равными их основаниями. При каком условии четырехугольник DABC является параллелограммом? Ответ. 22 J9---------------------------------- Периметр параллелограмма МКРТ равен 60 см. Его диагональ МР является биссектрисой угла М. Найдите длины сторон этого параллелограмма. Решение. /LKMP = APMT, так как .................................... АРМТ = /LKPM, так как они являются ..................................................... .................................... Поэтому треугольник МКР ......................... , значит, МК=....... Отсюда следует, что параллелограмм МКРТ является ................ Найдем теперь длину одной его стороны: .. = .... см. Ответ................... J Диагональ BD ромба ABCD образует с его стороной угол, равный 25°. Вычислите градусные меры всех углов ромба. Решение. Пусть ZCB£) = 25°, тогда AABD =.....° (по ................. ..................). Следовательно, ААВС =.....°-1-...° =....°, AADC = = ААВС (по свойству............... .........), ADAB= 180°-Z.АВС (по свойству углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне). Значит, Z_Z)AB=180° —.....° =......°, ABCD = ADAB =......° (по свойству .................................). Ответ................................... 61 Угол, образованный диагональю КТ и стороной МК ромба МКРТ, равен 55°. Вычислите градусную меру угла, образованного диагональю МР и стороной ромба. Решение. Рассмотрим треугольник КОМ (О — точка пересечения диагоналей ромба); АКОМ =......° (по ....... ....................................). Тогда АКМО = Ответ......... .°- АМКО=..° 23 Один из углов ромба равен 120°. Меньшая диагональ его равна 12 см. Вычислите периметр данного ромба. Решение. На рисунке угол BAD ромба ABCD тупой. Поэтому будем считать, что /.BAD =120°. Меньшей диагональю этого ромба будет отрезок ...Рассмотрим треугольник АВС. В нем АВАС=.........° (по ...................................), ABCD = Z.......=.....°. Следовательно, и ААВС =.....°. Поэтому треугольник АВС .......................... Значит, АВ=......=......=.....см. Тогда периметр ромба равен 4 • ... см =.....см. Ответ................... 63 Острый угол ромба EFPT равен 60°. Его периметр равен 48 см. Найдите длину меньшей диагонали данного ромба. Решение............................. Ответ. 64 Дано: ABCD — ромб, /1В = 30°, сторона ромба равна 20 см. Вычислите расстояние от вершины А до противолежащей ей стороны CD. Решение. Расстояние от точки А до прямой CD равно длине перпендикуля- 24 pa, проведенного из точки А на эту прямую, т. е. длине отрезка АК. Рассмотрим треугольник ADK\ AAKD =.......°, Z.D = 30°, AD =..... Тогда АК = ^'....... =-|-. см = .... см (по свойству катета, лежащего против угла ...................°). Ответ.................... 65 Периметр ромба МКРТ равен 80 см. Угол М равен 150°. Вычислите расстояния от точки М до сторон КР и РТ. Решение. Проведем перпендикуляры из точки М на прямые КР и РТ. 1) Найдем длину одной стороны ромба: 2) Рассмотрим треугольники МКА и МТБ. Они ...................... (по .............). Следовательно, МА=......Теперь находим длину одного из них: МА = \-..... = 1 = 2 ■...СМ =..... см. Ответ. [66j-------------------------------------------------------------- Постройте с помощью циркуля и линейки с делениями ромб, диагонали которого лежат на данных прямых и равны 2 см и 5 см. 67 Постройте с помощью циркуля и линейки ромб, диагональю которого является данный отрезок АВ, а вторая диагональ в два раза длиннее первой. 25 Постройте с помощью циркуля и линейки два четырехугольника, диагонали которых лежат на данных прямых а и Ь, притом один из них является ромбом, а другой не является ромбом. О Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. У квадрата все углы прямые, диагонали равны, диагонали пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. ZA = ZB = /1C = ZD = 90° AC1BD AABD = Z ВВС = А ВСА = AACD = 45° 69 Периметр квадрата равен 100 см. Чему равна длина его стороны? (Решите задачу устно.) Ответ................. 26 Начертите квадрат. (Воспользуйтесь шаблоном.) Проведите его диагонали. Найдите градусные меры углов, образованных диагоналями квадрата с его сторонами. Решение. Так как диагонали квадрата являются ..................... его углов, равных 90°, то искомые углы равны ....°. Ответ........................... 71 Начертите с помощью шаблона квадрат ABCD. Проведите через точку пересечения его диагоналей (точку О) прямые а и Ь, параллельные сторонам квадрата. Определите вид четырехугольников с общей вершиной О, на которые разбился данный квадрат. Вычислите периметр одного из них, если сторона данного квадрата равна 16 см. (Решите задачу устно.) Ответ.......................... 72 Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырехугольника. Вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна 12 см. (Решите задачу устно.) Ответ. 73 Постройте с помощью линейки квадрат, диагональю которого является данный отрезок АС. 27 74 Постройте с помощью линейки квадрат, стороной которого является данный отрезок КМ. Ж Постройте с помощью циркуля и линейки квадрат, диагональю которого является данный отрезок EF. В Постройте с помощью линейки и транспортира квадрат, две соседние стороны которого лежат на катетах данного треугольника, а одна вершина — на его гипотенузе (квадрат, вписанный в данный прямоугольный треугольник). Какая точка гипотенузы будет являться вершиной квадрата, если данный треугольник будет равнобедренным? Решение. Одной вершиной искомого квадрата должна являться точка ... (так как две его соседние стороны лежат на .......... .........). Вершина, противоположная точке С, лежит на диагонали квадрата и на гипотенузе .... треугольника. Значит, она является ............ Нужной диагональю квадрата является ...........угла ......(по свойству ................... .). Используя транспортир и линейку, проводим диагональ точкой их 28 квадрата CD. Затем строим с помощью транспортира и линейки ............................. DK и DM к сторонам треугольника. Построенный четырехугольник ........... является ........... Ответ....................................................... 57. Теорема Фалеса Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. т, ТП2 йл ьГ~ьГ~ Если т1||т2|1"^з11"^4- И 0-2 ^3 ^4 ••• > ТО Ъ-^ ^4 ••• 77 Разделите данный отрезок АВ на две равные части с помощью циркуля и линейки. 78 Разделите с помощью циркуля и линейки данный отрезок МК на три равные части. 79 Начертите отрезок и разделите его на пять равных частей. Для построения параллельных прямых воспользуйтесь линейкой и чертежным угольником. 80 ГВ2 Дано: ВК и AD — медианы треугольника АВС, КМ WAD. КС = 8 см, СМ = 5 см. Вычислите длины сторон ВС и АС данного треугольника. Решение. 1) АС = 2 ■ .= 2 • ...см = ....см В 30 2) МС =..... (по ............. MD= ..... см, CZ)=.... см, СВ —2 ..........................). Ответ......................... ....). Следовательно, см (так как ........ !83 В треугольнике АВС точки М ж К — середины равных его сторон АВ и ВС. Отрезки ME, BD и KF перпендикулярны стороне АС. Сторона АС равна 24 см. Вычислите расстояние между точками Е ж F. Решение....................... В Ответ. 58. Средняя линия треугольника 0 Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна противолежащей стороне и равна ее половине. МК — средняя линия ААВС МК II АС мк=\ас 84 Прямые AjCj, А^С^, AgCg параллельны стороне АС треугольника АВС; ВА^ = =A^A^=A^g=A^. Найдите на рисунке среднюю линию: а) треугольника АВС; б) треугольника BAjC^. (Решите задачу устно.) Ответ, а) ......... ; б) ....... Начертите треугольник. Постройте с помощью циркуля и линейки две его средние линии. 86 Стороны треугольника равны 12 см, 14 см и 16 см. Вычислите длины его средних линий. (Решите задачу устно.) Ответ..................................................... 187 Диагонали АС и BD ромба ABCD равны соответственно 12 см и 18 см. Точки Т, М, К ж Р являются серединами его сторон АВ, ВС, CD и AD. Определите вид четырехугольника МКРТ. Вычислите его периметр. Решение. 1) МК=....АС. РТ=......... (по .......). Следовательно, МК......РТ. Аналогично КР.....BD и МТ.........................BD, поэтому КР...........МТ. Значит, четырехугольник МКРТ — ............................. Стороны его параллельны диагоналям ромба, которые.................. Теперь можем утверждать, что четырехугольник МКРТ — .................... 2) Найдем длины сторон прямоугольника МКРТ-. МК = РТ=^АС = = i.........=.......... (по свойству............................. .......). Аналогично КР—....= ^ ■ ........= ..........= ......... Периметр прямоугольника равен ...............................= Ответ. 32 [881- Точки М, к, Р ж Т — середины сторон прямоугольника ABCD. Точка М лежит на стороне АВ, точка К — на стороне ВС и т. д. Диагональ прямоугольника равна 16 см. Определите вид четырехугольника, образованного отрезками МК. КР, РТ ж МТ. Вычислите его периметр. Решение....................... Ответ. Около треугольника АВС описана окружность. Сторона АВ является ее диаметром. Вычислите расстояние между серединами хорд АС ж ВС, если диаметр окружности равен 22 см. Решение....................... Ответ. 190 в треугольнике CDE проведены медианы DM ж СК. Вычислите расстояние между точками М ж К, если сторона CD треугольника равна 7 см. (Сделайте рисунок и решите задачу устно.) Ответ.......................... 2 Дулницын, 8 кл. 33 91 На сторонах АВ и ВС треугольника АВС лежат точки М и К. Известно, что AM = МВ = ВК = КС = МК — 6 см. Вычислите периметр треугольника АВС. Решение....................... Ответ. 92 лВ Через середину О средней линии равностороннего треугольника АВС проведена прямая, параллельная его стороне. Вычислите расстояние между точками пересечения этой прямой со сторонами треугольника, если сторона треугольника равна 24 см. Решение. 1) Четырехугольник АМОТ — ....... ............... (так как МО ОТ.....AM). Следовательно, ОТ=......... 2) Отрезок ОК является .......................... треугольника ....... (так как О — середина стороны . .. и прямая КТ АТ. J_ 2 СМ. стороне .... ). Следовательно, ОК = ^ • искомое расстояние ТК = .. -Ь Ответ..................... .. =.....см. Поэтому см -I- ....см = ......см. 59. Трапеция Го о Трапеция — это четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Равнобокая трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. АВ, ВС - основания АВ, CD — боковые стороны 34 о Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых ее сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Вг М— - средняя линия трапеции mkWad, mk^Uad+bc) Q I Прямоугольная трапеция — это трапеция, одна из боковых сто-1 рон которой перпендикулярна основаниям. 93 Запишите название четырехугольника, изображенного на каждом из рисунков. В______________С N_________Р Е Л- М'- ADWBC Ответ. а) ABCD — , б) MNPK —. в) CDEF — , г) EFPT — . mkWnp EF\\PT Углы А и D при основании трапеции ABCD равны 70° и 50°. Вычислите градусные меры остальных ее углов. Решение. Углы А и В являются .............. при параллельных прямых ...... ..и секущей ...... Следовательно, их сумма равна ....°. Поэтому АВ= ........° - ..° = ....°. Аналогичным образом находим величину угла ...: А.....=...°-.....°=.....°. Ответ........................... 35 Начертите с помощью линейки прямоугольную трапецию, основания которой равны 5 см и 3 см, а расстояние между ними равно 4 см. (Будем считать сторону одной клетки равной 0,5 см.) 96 Постройте с помощью линейки равнобокую трапецию, основания которой равны 5 см и 3 см, а расстояние между ними равно 2,5 см. (Будем считать сторону одной клетки равной 0,5 см.) 97 Два угла равнобокой трапеции пропорциональны числам 1 и 2. Вычислите градусные меры всех углов этой трапеции. Решение...................... Ответ. 98 Один из противоположных углов прямоугольной трапеции на 40° больше другого. Вычислите градусные меры всех углов трапеции. 36 Решение. Ответ. 99 Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, длины которых равны 6 см и 10 см. Вычислите длины оснований трапеции. Решение...................... Ответ. 100 Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на отрезки, длины которых равны 7 см, 4 см и 7 см. Вычислите длины оснований трапеции. Решение. В треугольнике АВС отрезок МК является .................... .......... Следовательно, ВС =...см (по свойству ............................................). В треугольнике ACD отрезок КР является ....................... КР =.....-1....=..... см -1-.. см = ... см. Поэтому AD =..... см. Ответ........................... 37 101 Дано: ABCD — трапеция, AB±AD, ВС = 10 см, AC = CD. Вычислите длину средней линии трапеции. Решение. Проведем перпендикуляр СК из точки С к основанию AD. В треугольнике ACD он является........... ...... (так как ...... ..... ..................). Четырехугольник АВСК —...................... Поэтому АК= ....=...... см. Значит, AD =..... см. Теперь вычислим длину средней линии (проведем ее и обозначим МР). МР =............................................. Ответ. ................. 60. Теорема о пропорциональных отрезках 61. Построение четвертого пропорционального отрезка Те Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. А^ с7/ О Если даны отрезки а, 6 и с, то С^/ четвертый пропорциональный отрезок — это отрезок, удовле- т\\1 творяющий условию АВ^‘.АВ2"^АС{.АС2 а:Ь = с:х а 102 Дано: ОА^= АуА.^= А^А^ = о см, ОВ,= = 4 см. Найдите длины отрезков Вф^, В^В^. Сравните отношения ОВ, : ОВ^ и ОАу: ОА^, ОВ^: OBg и QAg: АО^. Решение. ОВ^ = В^В2=..... =.... см (по ...............................). Тогда ОВ^= .... см, OBg =.... см. Вычисляем и сравниваем указанные отношения: В, 38 OBi: OB2 =............ OBi: OB2......OAj: OA./, OB^: OB3 = , OA,: OA2 = , OAg: OA3 = OB2: OB3....OA2; OA3. m , значит, , значит. Дано: BjCillBgCa* ABi = 8 см, В^В^ = = 4 см, АСз = 18 см. Вычислите длину отрезка ACj. Решение. Пусть ACi = Ji: см. Согласно теореме о ............................ ........ должно выполняться равенство ABi: АВ2 =.............. Подставляем соответствующие значения величин: 8:12 = л:: 18. Решаем это уравнение: . х=.......... Значит, ACi=.... см. Ответ.................... 104 1) Дано: AiBjIlAgBg, ОА, = 6 см, AjA2 = 8 см, ОБ, = 10 см. Вычислите длину отрезка В^В^. 2) Дано: £iFil|B2^2> ОЕ^ = Ъ см, £^£2 = ^ см, F^F2 = b см. Вычислите длину отрезка OF у. О 1) Пусть ВуВ2 = х см, тогда ОВ2 = (Ю + х) см. Составляем уравнение: 6:14 = 10:(.......) (по теореме ................................ ...........). Решаем его: ...................... , х=........... Значит, ВуВ2 =....см. Решение. 2) ......................................................... Ответ. 1) ................ ; 2) 39 105 Боковые стороны трапеции ABCD продолжены до пересечения в точке М. АВ= 12 см, ВМ=1Ъ см, CD = 8 см. Вычислите расстояние от точки М до вершины С. Решение........................ М D Ответ. 106 Вычислите длину отрезка, который является четвертым пропорциональным отрезков а, Ь н с, если их длины равны соответственно 12 см, 8 см и 9 см. Решение. Искомый отрезок х должен удовлетворять равенству а:Ь = с:х (по .................................................). Подставим в него данные величины. Получим уравнение 12:8 = 9: л:. Решим его: .................................. , х=............. Значит, искомый отрезок равен ... см. Ответ................... 107 Вычислите длину отрезка, который является четвертым пропорциональным отрезков т, п ч р, если их длины равны соответственно 15 см, 20 см и 18 см. Решение. Искомый отрезок х должен удовлетворять равенству ....:.....=.....:..... (по ..................................... ............). Подставим в него данные величины. Получим уравнение ........................ Решим его: ............................ , jc=......... Значит, искомый отрезок равен .... см. Ответ.................... 108 Даны отрезки а, Ъ ч с. Постройте четвертый пропорциональный им отрезок. (Воспользуйтесь линейкой и чертежным угольником.) 40 а Ъ , с м ~ С — Решение. Начертим произвольный (например, острый) угол О. Отложим на одной его стороне отрезки ОА, равный а, и ОВ, равный Ь. Теперь отложим на другой стороне угла О отрезок ОС, равный отрезку с. Через точку С и конец первого построенного отрезка (точку А) проведем прямую. Затем проведем через точку В прямую, параллельную прямой АС. Точку пересечения этой прямой со стороной угла О обозначим М. Отрезок ОМ является искомым, так как ОА:ОВ = ОС:ОМ (по теореме о ..................................), т. е. а:Ъ = с:ОМ. Таким образом, отрезок ОМ — четвертый пропорциональный отрезков а, Ь и с. Ответ. Построенный отрезок — ОМ. 109 Даны отрезки т, п и р. Постройте отрезок, являющийся четвертым пропорциональным данных отрезков. (При построении воспользуйтесь линейкой, циркулем и чертежным угольником.) Решение. Начертим произвольный (например, острый) угол А. Отложим на одной его стороне отрезки AM, равный т, и AN, равный .......Теперь отложим на другой стороне угла А отрезок АР, равный отрезку . Через точку Р и конец первого построенного отрезка (точку .... ) проведем прямую. И затем проводим прямую через точку .... , параллельную прямой ..... Точку пересечения ее со стороной угла А обозначим К. Отрезок .... является искомым, так как выполняется равенство ............... (по теореме о ................. ................), т. е................... Значит, отрезок ..... .............................................. отрезков т, п и р. Ответ....................................................... 41 110--------------------------------------------------------- Даны отрезки а, Ь а с. Постройте отрезок, являющийся четвертым пропорциональным данных отрезков. (При построении воспользуйтесь циркулем, линейкой и чертежным угольником.) Решение. Ответ. § 7 Теорема Пифагора 62. Косинус угла О Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего (к это- в cos а = ^ АВ му углу) катета к гипотенузе. г Тс А Косинус угла зависит только от с градусной меры этого угла. 42 Ill Вычислите косинус угла а данного прямоугольного треугольника. (Воспользуйтесь определением косинуса острого угла прямоугольного треугольника.) В Е К Решение, а) Прилежащий катет — АС, АС =.... Гипотенуза — ..., cos а = АС б) Прилежащий катет — ...= ..... Гипотенуза — ... , cos а = -—^— = -- в) Прилежащий катет — ...= ..... Гипотенуза — ...., cos а = --= ----- 112 Дано: треугольник АБС равносторонний, АВ — 5 м. Вычислите косинус угла А. Решение. Проведем высоту BD данного треугольника. Рассмотрим треугольник ABD. Его гипотенуза — ....=...... ; катет, прилежащий к углу А,— ........— = ......... (по свойству ............ .............). Значит, cosA= = = ..... (так как АА = 60°, то cos 60° = = .....). Ответ, cos А =..... 113 Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 16 см. Высота BD равна 15 см. Боковая сторона — 17 см. Вычислите: 1) косинус угла А; 2) косинус угла CBD. 43 Решение. 1) Рассмотрим треугольник ABD. Его гипотенуза —....; катет, прилежащий к углу А,—......Тогда cos А =... 2) Рассмотрим треугольник CBD. Его гипотенуза —.... ; катет, прилежащий к углу CBD,—........ Тогда cos CBD = = =15 .... 17- 114 Меньшее основание ВС равнобокой трапеции ABCD равно 15 см. Большее ее основание — 25 см. Боковая сторона АВ равна 20 см. Вычислите косинус угла А. Решение...................... Ответ, cos А = 115 Постройте на клетчатой бумаге угол, косинус которого равен (При построении используйте линейку и циркуль.) Решение. Искомый угол должен быть острым углом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 5 некоторым единицам длины, а катет, прилежащий к этому углу, равен 4 выбранным единицам. За единицу длины примем две клетки. Начертим прямой угол (его вершина О). На одной стороне этого угла отложим отрезок ОА, равный четырем единицам длины. С центром в точке А проводим дугу радиусом в пять единиц длины. Обозначим точку пересечения дуги и другой стороны угла через В. Проводим отрезок АВ. Образовался прямоугольный треугольник ОАВ. Косинус его острого угла ОАВ равен Ответ. А ОАВ, cos А = 5 • 44 116 —-------------------------------------------------------------- 5 1) Постройте на клетчатой бумаге угол, косинус которого равен у. (При построении используйте линейку и циркуль.) 2) Постройте угол, косинус которого равен (При построении используйте циркуль, линейку с делениями и чертежный угольник.) Выполните только построения, их описание не проводите. Ответ. 1) ^ . ; cos 5 7 , 2) /1 . ; cos 4 7 • 63. Теорема Пифагора 64. Египетский треугольник Те в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме С квадратов катетов. V Тс Следствия: 1. Квадрат катета равен разности с между квадратом гипотенузы и квадратом другого катета. (В пря- с^=а+Ь^, Ав''=ВС\аС^ моугольном треугольнике любой а = с- Bd=AB^-AC^ из катетов меньше гипотенузы.) л Ь . cosA= с < 1 2. Косинус любого острого угла меньше 1. 45 117 Вычислите длину неизвестной стороны прямоугольного треугольника. В В ^ а) АВ АВ^ = АВ^ = АВ = гипотенуза. б) б) АС — катет, АС^ = ......... АС^ = .... АС = ..... в) в) ВС ВС^ = ВС^ = ВС = катет. 118 Дано: в треугольнике АВС CD±AB, АС = 20 см, ВС= 15 см, CD = 12 см. Вычислите периметры треугольников ADC и BDC. Решение. Рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный (по ............). AD — катет. Следовательно, AD2 =...=....................= ........ (по ..................................), AD- Теперь рассмотрим треугольник BCD. Он .............. ........). BD — его .......... Следовательно, BD^ = ... ................ = ......... , BD= ......... Значит, АВ = ............. = ........ Вычисляем периметры данных треугольников: ..... ........ > ^BDC ~ ............ ~ ........ Ответ.......................................... (по 119 Высота МТ треугольника МКР делит сторону РК на отрезки РТ = Ъ см и ТК = = 9 см. Сторона МР равна 13 см. Вычислите периметр этого треугольника. Решение. Начертим треугольник МКР и проведем его высоту МТ. В нем сторона ..... является ............... 46 Поэтому ....2 = .............. = .........Получим.....= ......... Далее рассматриваем треугольник ............ Находим его неизвестную сторону ................................ Она является .Поэтому .^ = = ........................ = ........... Получим .....=.......... Теперь вычисляем периметр треугольника ........... Он равен Ответ. 120 Дано: ABCD — параллелограмм, BK^^AD, АК=\Ъ см, ВК=8 см, BD=10 см. Вычислите периметр этого параллелограмма. Решение. Рассмотрим треугольник BKD. Он .................. (по ............. ), KD —. . Следовательно, KD^=............................................. = . = . , KD= . Значит, AD= .............. = ........= ......... Теперь рассмотрим треугольник АВК. Он ........................... (по ..............), АВ — ........... . Следовательно, АВ'^ Вычислим периметр параллелограмма: Pj^scd^ 2{..............)= ......... Ответ........................... 2 (. ■ ) = 121 Из вершины тупого угла В ромба ABCD проведен к стороне AD перпендикуляр ВК. Он делит эту сторону на два отрезка: АК = 6 см и KD = 4 см. Вычислите длину диагонали BD. Решение. Вычислим длину стороны ромба: ...=.............=.......... Теперь рассмотрим треугольник ..... Вычислим длину отрезка ВК\ ВК — его .............. Следовательно, ВК'^ = = ................... ВК^ ...... Далее рассмотрим треугольник ........ Находим длину его стороны: Ответ. 47 122 Боковые стороны прямоугольной трапеции ABCD равны 10 см и 8 см. Ее большее основание AD равно 18 см. Вычислите длину меньшего основания трапеции и длину ее средней линии. Решение. Проведем перпендикуляр ВК на основание AD. Рассмотрим треугольник ............................ Ответ. 123 Основания равнобокой трапеции МРКТ равны 8 см и 16 см. Расстояние между основаниями равно 3 см. Вычислите периметр трапеции. Решение. Проведем перпендикуляры РА и КВ из концов меньшего основания трапеции к большему основанию. Рассмотрим образовавшиеся треугольники МРА и КТВ. Находим длины их катетов: Затем вычисляем длину гипотенузы: И, наконец, вычисляем периметр трапеции: Р^ркт^ Ответ........................... 124 Хорда, равная 16 см, удалена от центра окружности на 6 см. Вычислите длину диаметра этой окружности. Решение. Проведем из центра данной окружности перпендикуляр ОК к хорде АВ и радиус ОВ. Точка К является ........... хорды АВ (по свойству ради- 48 уса.....................). Значит, КВ =.......... Длина отрезка О К равна расстоянию от ............................................... Поэтому ОК =.......... Теперь рассмотрим треугольник ОКБ и вычислим длину его стороны ОВ; Итак, ОВ =.......... Остается найти длину диаметра окружности. Она равна 2 -2 •........=.......... (Так как ......................... •) Ответ. 125 Радиус окружности равен 13 см. Проведена хорда этой окружности, равная 10 см. Вычислите расстояние от центра окружности до хорды. (При решении задачи воспользуйтесь рисунком к задаче 124.) Решение................................................... Ответ. 126 Через точку М, удаленную от центра окружности на 20 см, проведена касательная МК к ней {К — точка касания). Радиус окружности равен 12 см. Вычислите длину касательной МК. Решение. Проведем радиус ОК. Угол ОКМ —.............. (по свойству радиуса, ....................................)■ Рассмотрим треугольник ОКМ. В нем ОК и КМ ................... ОМ =............ , ОК = ... длину МК: .................................. -м .... , ом — Вычисляем Ответ. 49 127----------------------------------------------------------------- Через точку М проведена к окружности касательная МК, равная 15 см. Радиус окружности равен 8 см. Вычислите расстояние от точки М до центра окружности. (При решении воспользуйтесь рисунком к задаче 126.) Решение............................................................... Ответ. Если для сторон треугольника выполняется равенство а^ + Ь^ = с^ {а, Ь и с — длины его сторон), то больший его зшол равен 90° (т. е. треугольник прямоугольный). С 2 2 2 С =а +Ь В 5 а = 3,5 = 4, с = 5 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 А ЛВС - египетский треугольник |т> Стороны треугольника равны а, Ь и с. Является ли этот треугольник прямоугольным, если: 1) а = 30, 5 = 16, с = 34; 2) а = \'^, 5 = 7, с = 6; 3) а-9, 5-12, с-8; 4) а-11, 5-7, с=72; 5) 0 = 5, 5 = 11, с = 13; 6) о = 10, 5 = \41, с = \[59? Решение. 1) Вычислим сумму квадратов двух меньших сторон: 30^-1-16^ = = 900-1-256=1156. Найдем квадрат большей стороны: 34^=1156. Получим а’^ + Ь^ — с^. Следовательно, треугольник прямоугольный. 2) Вычислим сумму квадратов двух меньших сторон: 7^-1-6^ = 49-1-36 = 85. Найдем квадрат большей стороны: (\'85)^ = 85. Получим 5^Ч-с^ = а^. Следовательно, треугольник прямоугольный. 3) Вычислим сумму: 9^ -I- 8^ =............=.......... Квадрат большей стороны равен 12^=........ Получим а^+......^ .........^ . Следовательно, треугольник не является прямоугольным. 50 4) 5) 6) Ответ. 1) .... ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 65. Перпендикуляр и наклонная 66. Неравенство треугольника Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. М МА — перпендикуляр к прямой а. Точка А — его основание. МВ, МС, MD, ME — наклонные, проведенные из точки М к прямой а. Точки В. С, D, Е — основания наклонных. АВ — проекция наклонной МВ на прямую а, АС — проекция наклонной МС на прямую а. МВ, МС, MD, ME больше МА МВ = МС,АВ=АС AD>AC,MD>MC AE>AD,ME> MD 129 Дано: КРЕа, КА, КВ, КС и KD мой а, KBa2, то sina, >sina2, tgaj>tg02, cos а, < cos а^. 163 Сравните значения: 1) sin 15° и sin45°; 3) cos 18° и cos 63°; Ответ. 1) 3) 2) tg26° и tg71°; 4) sin 79° и tg54°. ; 2) ; 4) 164 Сравните: 1) синусы углов аир; 2) косинусы углов а и Р; 3) тангенсы углов аир. Ответ. 1) .................. 2) 3) В 3^ Дудинцын, 8 кл. 69 165 Сравните: 1) синусы углов а и Р, если: а) а <45°; б) а >45°; 2) косинусы углов аир, если: а) а<45°; б) а>45°. Ответ. 1) а) ................. ; б) .. 2) а) ................. ; б) .. § 8 Декартовы координаты на плоскости 71. Определение декартовых координат О о Абсцисса точки А — это число д:, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О (начала координат) до точки (пересечения прямой, параллельной оси ординат, с осью абсцисс). Число д:>0, если точка принадлежит положительной полуоси, и д:<0, если точка А^ принадлежит отрицательной полуоси. Ордината точки А — это число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О (начала координат) до точки А^ (пересечения прямой, параллельной оси абсцисс, с осью ординат). Число 1/>0, если точка А^ принадлежит положительной полуоси, и у<0, если точка А^ принадлежит отрицательной полуоси. X — абсцисса, у — ордината 70 166----------------------------------- Запишите координаты точек А, В, С. Укажите названия их координат. Ответ. А (... ; )...... — абсцисса, .... — ордината. В (... ; ), — абсцисса, .... — ордината. С (... ; ), — абсцисса, .... — ордината. '~Г' 1 • А - 1 1 1 о —'в* , 1 -1 U 1 1 L-2 . ^2 ^4 -2- 1 1 f с • 1— ._J ^^ : |j4Z> Постройте на координатной плоскости точки: М (3; 2), К (-4; 0), Р (-3; -1), F (0; -2). Вычислите расстояние от каж- ~ дой точки до начала координат. '—I—I—I—^ Ответ. МО =..... ; КО =... РО = ... ; FO =.... -f 1- -^1-2 О J -2 + [jii} д: Даны точки: А(2; 2), В (-4; 4), С (2; -2), D (2; 4), Е (-3; -3), Р (1; -1), Т (4; 4). Какие три из данных точек: 1) принадлежат одной прямой, перпендикулярной оси ординат; 2) принадлежат одной прямой, перпендикулярной оси абсцисс; 3) принадлежат биссектрисе первой и третьей четвертей; 4) принадлежат биссектрисе второй и четвертой четвертей? Ответ. 1) ......... ; 2) ........ ; 3) ........ ; 4) ........ 169 Даны точки: М (-8; 1), К (2; 9), Р (4; -5), Т (-6; -3). Какую из координатных осей пересекает отрезок: 1) МК; 2) КР; 3) РТ; 4) МТ; 5) КТ? Ответ. 1) ............ ; 2) .......... ; 3) ........... 4) ; 5) ................... 170 Распределите по координатным четвертям точки: А (8; -5), В (-9; 6), С (2; 5), D (-1; -7), Е(7; -4), К (-5; -13). Ответ. I четверть — ................. ; II четверть — ................. III четверть — ............... ; IV четверть — ................. 71 72. Координаты середины отрезка 73. Расстояние между точками Т Координаты середины С отрезка АВ, где А (Xj; у,), В (х^; у^, вычисляются по формулам 2 ’ »с 2 • BiXziUz) 171 Дан четырехугольник МКРТ, причем М (4; 2), К (-5; 1), Р (2; 8), 7’(1;-3). 1) Вычислите координаты середин его диагоналей. 2) Верно ли, что точка С является серединой диагонали КТ? 3) Верно ли, что середина диагонали КТ является серединой диагонали МР? Решение. 1) Находим координаты середины диагонали МР (точки С): Xf.=............=...; У(,=............= .... , значит, С ( — ; .). Вычисляем координаты середины второй диагонали КТ (точки Е): Ответ. 1) .... ; ...............= ---■ , значит, Е ( .......... ; 2) ... ....... ; 3) ..... ). 172 Дано: треугольник АВС равнобедренный {АВ = ВС), причем А (6; 4), С (4; -2). Вычислите координаты основания высоты BD данного треугольника. Решение. Основание D высоты BD является серединой отрезка АС (по .................................... ). Поэтому лГд =.................=..... ; ..................=...... Ответ. D (.... ; .. ). fl73 Отрезок СЕ является диаметром окружности с центром К. Вычислите координаты центра окружности, если С (-6; 2), Е (4; -4). Решение.......... .............................. ...... 72 Ответ. 174 ------------------------------------------------------------ Отрезок РМ является диаметром окружности с центром К. Вычислите координаты конца М диаметра, если К (8; -4), Р (-6; 2). Решение. Введем обозначения координат точки М. Пусть М (д:; у). гг, JC + (-6) „ 1огда можем составить уравнения: —^— = 8; ~^ = -4 (так как К ............ отрезка РМ). Решаем полученные уравнения: х-6 х=....; у + 2 = -8, у =. Ответ. М (.... ; ....). 16, 175 Проходит ли хорда АВ через центр М окружности, если А (-3; 5), В (7; -1), М (2; 2)? (Ответ поясните.) Решение. Если бы хорда АВ проходила через точку М, то она являлась бы диаметром, а точка М — серединой этой хорды. Поэтому сначала найдем координаты середины хорды АВ (точки К): =..................= ..... Ук^.....................=...... Теперь сравним координаты точек К и М: ... х^^; у^.. у^. На основании этого можем утверждать, что точки К и М ............... , следовательно, хорда АВ .............. через центр М. Найдите координаты вершин треугольника МРК, образованного средними линиями треугольника АВС, если А (5; -1), В(-3; 7), С(1; -3). Решение......................... Ответ. 73 177 Отметьте четвертую вершину параллелограмма ABCD на данных рисунках. Запишите ее координаты. 178 Даны три вершины параллелограмма МКРТ: М(-2;2), К (4; 4), Г(0;-2). Найдите координаты вершины Р. Решение. При необходимости прочитайте решение аналогичной задачи 15 к пункту 72 учебника................. Ответ. 179 Вычислите координаты вершин Л и С треугольника АВС, если В (2; 3), а координаты концов средней линии МК, которая параллельна стороне АС, следующие: М (-1; 2), К (2; 1). 74 Решение. 1) Вычисляем координаты вершины А, используя координаты середины стороны АВ (точки му. ................... 2) Вычисляем аналогичным образом координаты вершины С, используя точку К'. ................................................ Ответ. Расстояние между точками ■А У\) и В {х^; вычисляется по формуле B(x./,yz) d^=(x2-x^f+{y2-y^f или (f=iX^-X2f+ {y^-yzf 180 Вычислите расстояние между началом координат О (0; 0) и точкой А (-5; 12). Решение.................................................. Ответ. ОЛ = 181 Точка М (2; 5) лежит на окружности с центром К (—2; 2). Вычислите длину радиуса этой окружности. 75 Решение. Отрезок МК является ............. Поэтому его длина равна длине отрезка МК. Вычислим ее: МК^=....................... , МК=..... Ответ............... 182 Принадлежит ли точка А(-1; 1) окружности с центром Р (3; -2), радиус которой равен 5? Решение.............................................. Ответ. 183 Докажите, что треугольник ЕКТ равнобедренный, если £(-2;-2), К (-4; 4), Г (2; 2). Доказательство........................................... 184 Докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, если А (0; -3), В (-4; 1), С (-1; 4), D (3; 0). Доказательство. Если диагонали АС и BD , то параллелограмм ABCD является прямоугольником. Поэтому находим ............................. АС^ = ............. =.... , АС= .... ; В£)2= .... ........ ....... , ...= BD =.......... Значит, АС BD. Следовательно, ABCD Петь Найдите на оси ординат точку, которая одинаково удалена от точек М(4; 2), Р (6; 0). Решение. Искомая точка (обозначим ее А) лежит на оси ординат (по ............ ). Значит, ее абсцисса равна 0, а ординату нужно най- ти. Можем записать ее координаты так: А (0; у). Известно, что AM=АР (по ..............). Следовательно, АМ^=АР^. Вычисляем квадраты 76 этих расстояний: АМ'^=................ ; АР‘^ —.................. Приравняв эти выражения, получим уравнение ...................... Решим его: ........................... Получим у=........ Значит, точка А имеет координаты ( ; ..). Ответ. Искомая точка имеет координаты ( ... ; ...). 186 Найдите на оси абсцисс точку, которая одинаково удалена от точек М (-4; 0), К (4; 4). Решение................................................ Ответ. Вычислите длину медианы АК треугольника АВС, если Л (1; -3), В {2; 3), С (6; -1). Решение. 1) Вычислим координаты середины стороны ВС (точки К): ..... 2) Вычислим длину медианы АК: Ответ. АК = 188 Вычислите длину биссектрисы КЕ треугольника МКР, если М (1; 2), К (4; 6), Р (9; 2). Решение. Для того чтобы найти длину биссектрисы КЕ, выясним свойство треугольника МКР. Вычислим и сравним длины сторон МК и КР: .................................. Следовательно, МК ... КР. Поэтому биссектриса КЕ, ............. .......Вычислим ее длину: .......... Ответ. КЕ = 77 74. Уравнение окружности О Уравнение фигуры — это уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры. И любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры. т Уравнение окружности с центром в точке А (а; Ъ) и радиусом R: (x-af + {y-bf = R^. Уравнение окружности с центром в начале координат О (О; О) и радиусом R: 189 Составьте уравнение окружности с центром в точке А(1; 4), радиус которой равен 8 см. Решение. Координаты центра окружности: а = 1, Ь = 4. Уравнение окружности: (д:-1)^4-(у-4)^ = 64. 190 Составьте уравнение окружности с центром в точке К (—1; 3), проходящей через точку М (1; 5). Решение. Радиусом окружности является отрезок ............. Вычислим его длину: ....^ = (....)^-*"(....)^=..... ; КМ =.... Запишем уравнение окружности: ............................. Ответ. 191 Окружность задана уравнением (д:-1)^ + (у-1-4)^ = 5. Определите, какая из точек: А(3; —3), В (2; -5), С (-1; ~3), D (0; 4) — принадлежит данной окружности. 78 Решение. 1) Подставим координаты точки А в уравнение окружности. Получим числовое равенство .........................=5. Упростим его левую часть. Получим равенство .............. =5. Это равенство ......... Следовательно, точка А ..................... данной окружности. 2) ............................................................ Следовательно, 3) ............ Следовательно, 4) Ответ. 192 Составьте уравнение окружности, отрезок АВ, где А(-2; 1), В (4; 5). Решение........................ диаметром которой является Ответ. Найдите координаты центра и длину радиуса окружности, которая задана уравнением: 2) (;с-1)2 + (г/ + 6)^ = 36; 4) {х-7Г + (у + 1Г = 15; 1) {х-4У + (у-2Г = 9; 3) (.)с + 3)2 + (//-5)‘* = 49; 5) х'^-4х + у^-6у + 13 = 4. Решение. 1)0=...... Ь =..... = 3) о =..., Ь=...... R'^ = 2) о 4) а , Ь = , ь = , н^ = , R^ = 79 5) Преобразуем левую часть уравнения так: (л:^-4д: + 4) + (г/*-= (jc-2)^ + (j/-3)^. Теперь уравнение имеет вид (x-2)^ + (z/-3)^ = 4. а =...... Ь =.... , =..... Ответ. 1) А(.... ; ..), Е=... ; 2) А (.. ; ...), Д =.... 3) А(.... ; ..), i? =... ; 4) А(... ; ...), Д =.... 5) А (.. ; ), R=... 6у + 9) = Значит, 194 Составьте уравнение окружности с центром М (5; 3), которая касается: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат. Решение. 1) В прямоугольной системе координат отметим точку М. Проведем перпендикуляр МА к оси абсцисс. Отрезок МА должен являться ............ искомой окружности. Его длина равна .... Мо- жем составить уравнение окружности: 2) Ответ. 1) ... 2) 195 Окружность задана уравнением (х — 2)^-\-(у-АУ = 2Ъ. Касается ли она координатных осей? (Ответ поясните.) Решение. 1) Расстояние от центра окружности до оси абсцисс равно ...... Сравним его с длиной радиуса, который равен ............. Получим ..............Следовательно, окружность.............. оси абсцисс. 2) Расстояние от центра до оси ординат равно ........ Сравним его с длиной радиуса. Получим .............. Следовательно, окружность ...................................... оси ординат. 80 75. Уравнение прямой 76. Координаты точки пересечения прямых Любая прямая т (в декартовых координатах х, у) имеет уравнение вида ах + Ьу + с = 0, где а, Ъ, с — некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а, Ь не равно нулю. Подберите координаты точек М и К, принадлежащих прямой, заданной уравнением Зх-у-2 = 0. Решение. Если возьмем точку М (_______ ; ...) и подставим эти координаты в уравнение, получим равенство ..... Оно является .............. Значит, точка М...................... данной прямой. Если возьмем точку К ( .. ; .. ) ............................ Ответ. М ( h К { ........... ; ....... ). 197 Какая из данных точек: А (2; -0,25), В (-1; 2), С (1,5; 0), D (5; -2) принадлежит прямой, которая имеет уравнение 2or-t-4i/—3 = 0? Решение. .. ...................................... Ответ. 198}---- Прямая т имеет уравнение 4jc-3i/-1-6 = 0. 1) Точка М, абсцисса которой равна 3, принадлежит данной прямой. Найдите ординату точки М. 81 2) Точка К, ордината которой равна 8, принадлежит данной прямой. Найдите абсциссу точки К. Решение. 1) Подставим абсциссу точки М в уравнение данной прямой. Получим уравнение с одной переменной у: ........................ Решим это уравнение: .......................... Получим у=........... Значит, точка М имеет координаты (.. ; ..). 2) ........................................................ Значит, точка К имеет координаты (. Ответ. 1) ............; 2) ........... [«!> Найдите координаты точек пересечения с осями координат прямой, которая задана уравнением: 1) Jc-4i/ + 8 = 0; 2) Зле+ 1/-9 = 0; 3) 2лс + Зг/-12 = 0. Решение. 1) Точка пересечения данной прямой с осью ординат имеет абсциссу, равную .... (т. е....=0). Подставим в уравнение прямой вместо .... число 0. Получим уравнение ........................... Решим его: ........................... , у=.... Таким образом, получили, что точка пересечения данной прямой с осью ординат (точка А) имеет координаты: х=..... ; у=.... Находим вторую точку — точку пересечения прямой с осью абсцисс. Ордината ее равна ... (т. е. у=...). Подставим вместо .... число ... в уравнение прямой. Получим уравнение ............................ , которое содержит переменную....... Решим его: .................... , х=...... Таким образом, получили, что точка пересечения данной прямой с осью абсцисс (точка В) имеет координаты: х— ... ; у =.... 2) ........................................................... 82 3) Ответ. 1) А (... 3) А (... .). В (. .), В (. .); 2) А (. .)• .), в (. Координаты (х; у) точки пересечения прямых, заданных уравнениями ajX-l-6ji/-l-c, = 0, а^х + Ь^у + с^-- являются решением системы зфавнений a^x + bjy + Cj = 0 а^х + Ь^у + с^ = 0. о. 200 Найдите координаты точки пересечения прямых: 1) х + 3у~2 = 0 и 2х + у-9 = 0; 2) 4х-1-1/-1 = 0 и Зх-2у + 2 = 0; 3) 5х-2у-3 = 0 и Зх + 2у~5 = 0. Решение. 1) Составим систему уравнений, решением которой являются координаты точки пересечения этих прямых: х+Зу-2=0 2х + у-9 = 0. 83 Решим ее, например, способом подстановки. Выразим из первого уравнения переменную х: х=............. Подставим полученное выражение во второе уравнение и найдем значение у: ............... , у =....... Находим значение х: ............................. , х=..... 2) ........................................................... 3) Ответ. Точка пересечения прямых имеет координаты: 1) (..... ; ....); 2) (.... ; .....); 3) (.... ; .....). 201 Найдите координаты точки пересечения прямой х — 2у-3 = 0 с прямой, на которой лежат биссектрисы первого и третьего координатных углов. Решение. Координаты каждой точки, расположенной на второй прямой, обладают свойством: абсцисса этой точки ........ ее ор- динате. Поэтому вторая прямая может быть задана уравнением ....=...... Теперь составим систему двух уравнений: Решим ее: 84 Ответ. Найдите координаты точки пересечения прямой 2х + у-6 = 0 с прямой, на которой лежат биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Решение. Координаты каждой точки второй прямой обладают свойством: абсолютные величины абсциссы и ординаты их........... , а значения х и у отличаются знаками. Поэтому вторая прямая может быть задана уравнением .. =....... Теперь составим систему уравнений: Решим ее: Ответ. Определите, как расположены прямые: 1) х-2у-3 = 0 и 2x-t-i/-6 = 0; 2) x~Sy-4 = 0 и Зд: —9i/-t-7 = 0; 3) 2х + 4у — 2 = 0 и -х + 2у + Ъ = 0. Решение. 1) Составим систему зфавнений и решим ее: . Значит, данные прямые Получили, что х=...... ; у—.... (т. е. имеют одну общую точку). 2) Составим систему уравнений и решим ее: 85 Получили, что система уравнений ......................... Значит, данные прямые не имеют общих точек, т. е. они ................... 3) Ответ. 1) .... ; 2) ; 3) 77. Расположение прямой относительно системы координат 78. Угловой коэффициент в уравнении прямой 79. График линейной функции Если в уравнении прямой ах + Ьу + с = 0)‘. 1) а = 0, f5*0, то прямая параллельна оси абсцисс; 2) Ь = 0, а 5^ О, с 5^0, то прямая параллельна оси ординат; 3) с = 0, то прямая проходит через начало координат. (При с = 0 прямая совпадает с осью абсцисс; при 6 = 0 прямая совпадает с осью ординат.) . У; 1 У) т 1 т О О ах 1 by 1 с — 0 X О X а ^ о, Ь = о, с ^ о 204 Какие координатные оси пересекает прямая, заданная уравнением: 1) 2л:-5у + 4 = 0; 2) Зу-х + 6 = 0; 3) 7х + 3у = 0; 4) 9л:-10 = 0; 5) 4у-8 = 0? Решение. 1) В данном уравнении а^О, Ь^О, с^^О. Следовательно, прямая пересекает координатные оси в двух различных точках. 86 2) 3) В данном уравнении а^О, Ь^О, с = 0. Это значит, что координаты начала координат, т. е. (О; 0) удовлетворяют уравнению. Следовательно, данная прямая пересекает обе координатные оси в их общей точке. 4) В данном уравнении а...... 0, Ь.... 0, с.... 0. Следовательно, данная прямая параллельна оси ..... и пересекает ось .... 5) .............................................................. 205 «/ii Т 1-- н—I—I—h О Постройте в декартовой системе координат прямую, которая задана уравнением: 1) х + 2у~4 = 0; 2) 2х~у-0; 3) 2л:-6 = 0; 4) Зг/ + 6 = 0; 5) 2х + у-2 = 0. Решение. 1) Данная прямая пересекает оси координат в двух точках (так как а^О, Ь^О, ci^O). Найдем координаты этих точек. Пусть лг = 0, тогда 2у-4 = 0, ................. , у=..... Значит, первая точка — А ( Найдем координаты второй точки. Пусть у = --- ................... , х =....Значит, вторая точка — В ( Отметим эти точки на рисунке и проведем через них прямую т^. 2) Данная прямая проходит через начало координат (так как..). Найдем координаты второй точки прямой. Пусть .................. ....)• тогда ....). Отметим на рисунке указанную точку и проведем прямую т.^. 3) Данная прямая ................. оси ... (так как о ............................ 0, Ь..... о, с.. 0). Найдем координаты одной точки этой прямой, на- пример точки, в которой прямая пересекает ось абсцисс. Ее ордината равна нулю. Вычислим теперь ее абсциссу, используя данное уравнение: ..................... , х=....Отметим на рисунке точку с координатами (...................... ; 0) и проведем через нее прямую т^, параллельную оси . 4) 87 5) 206!-------------------------------- ____I Составьте уравнение прямых m,, т^, т^, т^, которые изображены на рисунке: 1n^\\Ox, то^ЦОл:, mJOy, mjOy. Решение. 1) Все точки прямой имеют равные ординаты: у =.... Значит, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению 0-х + г/-2 = 0. (Отметим, что в этом уравнении а = 0, Ь^О, с^О.) Всякое решение этого уравнения, например л: = 5, у —2, задает точку, которая лежит на прямой т,. 2) .............................. У1 1 тз 2 ' ' -2 О -2- 2 X 3) Все точки прямой имеют равные абсциссы: х=......... Значит, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению X—....=0. Значит, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению ........................... (Отметим, что в этом урав- нении 0 5^0, 6 = 0, с 5^0.) Всякое решение этого уравнения, например х=.... , у =.... , задает точку, которая принадлежит прямой т^. 4) .......................................................... 88 Ответ. 1) wi,: у-....= О; 2) т^: 3) т^: X-.....= 0; 4) т^: О Уравнение прямой с угловым коэффициентом k — это уравнение прямой, записанное в виде y = kx + l. Если прямая проходит через точки А (Xj; г/j) и В (х^; у^), то k = ^'~ х^-х, • 1^1 равен тангенсу острого угла, образованного прямой с осью абсцисс; I — ордината точки пересечения прямой с осью ординат. j/i) 1 1 ^ ! 1 1 |ft|= i ' 1 = tga . ах + by + с = 0,by — -ах - с При а о У=-^х+(-^) y=kx+l Найдите значения k и I в уравнении y = kx + l, если прямая задана уравнением: 1) Зл:-1-у-4 = 0; 2) Зх-у-5 = 0; 3) 4х + 2у-3 = 0; 4) х-Зу + 6 — 0; 5) л:-г/-1-4 = 0. Решение. 1) Преобразуем данное уравнение так, чтобы в левой его части получить переменную у: у=.............. В этом уравнении к —.. , 1 =... 2) -г/ = -Здг-4- 5, у=......... В этом уравнении к =.. , 1 =.. 3) 2у = - 4х-¥3, у=............ В этом уравнении к =.. , 1 =.. 4) ............................................................. 5) 89 Найдите градусную меру острого угла, который образует с осью абсцисс прямая, заданная уравнением: 1) \Вх-у + 2 = 0; 2) -\''3л: + 3у-3 = 0; 3) -д:-1-//-4 = 0; 4) 5х~5у + 4 = 0; 5) -2jc + 2\'3i/-3 = 0; 6) -х + у = 0. Решение. 1) Преобразуем данное уравнение: -у = ~\'Зх-2, у = \3х + 2. Для того чтобы найти градусную меру острого угла, образованного данной прямой и осью абсцисс, найдем тангенс этого угла. В полученном уравнении k = \S. Значит, tga = v'3 (а — искомый угол). Следовательно, а = 60°. 2) Преобразуем данное уравнение: ............... , ............... , у=......... к=...... Значит, tga=........ Следовательно, а = ..... 3) ............................................................... 4) 5) Преобразуем данное уравнение: 2\^у = 2х + 3, у=-^х+—;= 2 2\3 2\3 у=-^х+-'^. В полученном уравнении Л=......... Значит, tga = Следовательно, а=..... 6) 209 Составьте уравнение прямой, если: 1) к = 5, 1 = 2; 2) к=-1, 1 = 4; 3) к = 0,5, 1 = -1; 4) k=j, 1 = 0. (Запишите только ответ.) Ответ. 1) .................. ; 2) 3) .................. ; 4) 2101- Составьте уравнение прямой, которая проходит через две данные точки: 90 2) С(2; 1), D(4; 5); 4) Л/(5; -3), Р(1; -1). 1) А(3; 3), В(-4; -4); 3) £(-3; 2), £(-2; -1); Решение. 1) Вычислим угловой коэффициент в уравнении прямой АВ. Воспользуемся соответствующей формулой: k = = 1. Значит, уравнение прямой АВ имеет вид у- \ • х + 1. Остается вычислить значение I. Воспользуемся условием, что прямая проходит через точку А (либо через точку В). Координаты точки А (либо В) должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим их в полученное уравнение. Получим 3 = 1 • 3 отсюда находим значение I: 1=.... (Для точки В мы получили бы -4 = 1-(-4) + (, 1=...) Следовательно, уравнение прямой АВ имеет вид у=............... 2) Вычисляем угловой коэффициент: k = 5-1 . Значит, урав- нение имеет вид у=....х + 1. Вычисляем значение I. Для этого воспользуемся точкой С: 1=...-2 + ...... , откуда 1=..... Следовательно, уравнение прямой CD имеет вид у=.....х +.... 3) Вычисляем угловой коэффициент прямой EF: k=........=...... Вычисляем значение I: ........................ , 1 =.................. Значит, уравнение прямой EF имеет вид у=.................... 4) .......................................................... Ответ. 1) .... 3) ; 2) ; 4) 81. Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0° до 180° О Если точка А(х; у) лежит на окружности радиуса R с центром в начале координат и угол а (ААОВ) отложен от положительной полуоси Ох в верхнюю полуплоскость, то у sin а = —, н cos а = —, R tg а=--. X 1 x;i 1/^ / Т i Уа \ о \ Г т - f у л-у (в X \ 1 , 11 1 1 91 sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = U; sin 90° = 1, cos 90° = 0; sin 180° = 0, cos 180°— 1, tg 180° = 0. Для любого угла a, 0°0. Поэтому sin а=...... tg а =........ — ............. = Ответ. 1) sin а = ... , tg а = .. ; 2) sin а = . , tg а = 214 Вычислите значения cos а и tg а, если: 1) sin а = I и 0°<а<90°; 2) sin а = I и 90°<а< 180°. Решение. 1) cos^a =............=............... cos а .. о, так как 0°<а<90°. Следовательно, cos а = . tg 2) cos^ а=............=...................=...... Отметим, что cos а....0, так как 90°<а<180° (по .............). Следовательно, cos а =....tg а = ..........=..............=...... Ответ. 1) cos а = .... , tg а = . ; 2) cos а = .. , tg а = .. 93 215 Вычислите cos а и sin а, если: 1) tg а =3; 2) tg а = - Решение. 1) Выразим cos^ а через tg^a: l + tg^a= ^ __1__^ 1 ^ ^ l+tg^a 1 +.... ...................... cos^ а - cos“a ’ COS а...... О, так как 0°<а<90° (по ...............). Следовательно, cos а=..... Вычислим . =......Отметим, что cos а.....О, sin а • tg а =, значит, sin а=............. 2) cos^ а = — =................= ... ' 1 + tg"^ а так как 90°<а<180° (по условию tga<0). Следовательно, cos а = . sin а = .......... = ......... =....... Ответ. 1) cos а=..........sin а— ...... ; 2) cos а= .... , ёш а = § Движение 82. Преобразование фигур 83. Свойства движения О о Фигура, полученная преобразованием из данной фигуры,— это фигура, которая состоит из точек, полученных при смещении каким-либо образом каждой точки данной фигуры. Движение — это преобразование одной фигуры в другую, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки X, У одной фигуры в точки X,, Yj другой фигуры так, что Xy = XjYj. Два движения, выполненные последовательно, дают движение. Преобразование, обратное движению, также является движением. 94 216 Преобразование переводит хорду АВ в дугу АтВ указанным на рисунке способом. 1) Постройте точки М,, К^, дуги, которые получены из точек М, К, Р отрезка АВ. 2) Постройте точки С, Е отрезка АВ, которым соответствуют точки Cj, дуги при указанном преобразовании. 217 Окружность радиуса R указанным на рисунке преобразованием переводится в окружность с тем же центром О радиуса Вр 1) Постройте точки Aj, В^, С,, в которые переводятся этим преобразованием точки А, В, С. Сравните расстояния A^B^ и АВ, A,Cj и АС. 2) Является ли это преобразование одной окружности в другую движением? Ответ. 1) А,В,...АВ, AjC, ....АС; 2) .... 218 D Преобразование отрезка АВ в отрезок CD переводит точки А в С, В в D, X в X,. 1) Постройте точки, в которые переходят при указанном преобразовании точки М, К, Р отрезка АВ. 2) Сравните расстояния СМ^ и AM, М,Х, и МК. Х,В, и КР. CD и АВ. 3) Постройте точки, в которые перейдут точки £j и Fj отрезка CD при выполнении преобразования, обратного данному. 4) Является ли данное преобразование отрезка АВ в отрезок CD движением? Ответ. 2) 4) 95 219 На прямой I отложили с помощью циркуля отрезок А,Вр равный данному отрезку АВ. Произвольной точке X отрезка АВ соответствует такая точка Xj отрезка A,Bj, что А^Х^=АХ. 1) Постройте с помощью циркуля точки отрезка А^В^, которые соответствуют точкам М, К, Р отрезка АВ при указанном преобразовании отрезка АВ в отрезок AjjBj. 2) Сравните расстояния A,Afj и AM, и МК, и КР. 3) Является ли данное преобразование отрезка АВ в отрезок А^В^ движением? 4) Является ли преобразование, обратное данному, движением? Ответ. 2) .......................................... 3) ; 4) ................................ Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. М К I Если М, X, В лежат на то Mj, Xj, jPi лежат на 1^ При движении прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки. CL —^ d-i При движении сохраняются углы между полупрямыми. OA^OiAi Если ZA-^ZAi то ZA = ZAy А !220 Треугольник АВС переходит при некотором движении в треугольник AjBjCj. Чему равны длины сторон треугольника AjB,Cj, если АВ=12 см, BC = S см, АС=11 см? (Решите задачу устно.) Ответ...................................................... 96 [ni} Ромб МКРТ переводится некоторым движением в фигуру F■^. 1) Какой фигурой является Pj? 2) Чему равен угол, образованный отрезками М,Р, и (Решите задачу устно.) Ответ. 1) .......................... ; 2) .............. Может ли при некотором движении четырехугольник перейти в окружность? (Решите задачу устно.) Ответ................... 223 При некотором движении треугольник АВС переходит в треугольник В какой отрезок перейдет при этом движении: 1) высота ВК данного треугольника; 2) медиана СМ данного треугольника; 3) биссектриса АР данного треугольника? (Решите задачу устно.) Ответ. 1) В^К^ — ........................................... 2) - ................... ; 3) А,Р, - ................... 84. Симметрия относительно точки 85. Симметрия относительно прямой О О Точка Х^, симметричная точке X относительно точки О,— это конец Xj отрезка OXj, отложенного на продолжении отрезка ОХ за точку О, причем OXi = OX. Преобразование симметрии относительно точки О — это преобразование фигуры F в фигуру F,, при котором каждая ее точка X переходит в точку Xj, симметричную относительно данной точки О. Преобразование симметрии относительно точки является движением. X О X—Xi, OXi=OX Fj I OX=OXi, OY=OY^ 97 224 Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник, симметричный данному треугольнику МРК относительно вершины К. Найдите равные стороны этих треугольников. Ответ. Постройте треугольник, симметричный данному треугольнику АВС относительно середины стороны СА (точки О). Какой фигурой является четырехугольник АВСВу? (Ответ поясните.) Решение. Диагонали АС и ВВ^ четырехугольника АВСВу делятся точкой О ............ (так как АО.......ОС по ............ВО....... ОБ,, поскольку Б и Б, симметричны относительно точки О). Следовательно, АВСВ^ — ............................. (по .............................................................). Ответ. АВСВ^ — ................................ 226 Постройте с помощью циркуля и линейки фихуру, симметричную данной окружности относительно лежащей на ней точки К. Сколько общих точек имеют данная окружность и построенная фигура? Ответ................................................... Те При симметрии относительно ' Ut начала координат 0(0; 0) любая « - , . . .. 1 1 1 1 ‘ М{х;у) 1 1 J 1 W точка М (х; у) переходит в точку j ' ' -1- 227 Найдите координаты концов отрезка AjB,, симметричного отрезку АБ относительно начала координат, если: 1) А(-3; 5), Б(2; -4); 2) А(1; 7), Б(-5; -1); 3) А(0; 8), В(2; 0). Ответ. 1) ...........................; 2) ............................ 3) 228 Найдите координаты середины отрезка М^К^, симметричного отрезку МК относительно начала координат, если М(-4; 3), К(6; -1). Решение. Найдем координаты ............ отрезка МК: . .......... Середина Е отрезка МК имеет координаты (.... Находим координаты точки Е^, симметричной точке Е: £, (— Ответ. JS] (.. ; ...). )• )- О о Точка X., симметричная точке X относительно прямой с,— это конец X, отрезка АХ^, отложенного на продолжении перпендикуляра ХА к прямой с за точку А, причем AXj =АХ. Если точка X лежит но прямой с, то симметричная ей точка есть сама точка X. ?Х, ХА 1с, AXi = AX,X->Xi Преобразование симметрии относительно прямой с — это преобразование фигуры F в фигуру Fj, при котором каждая ее точка X переходит в точку Xj, симметричную относительно данной прямой с. Преобразование симметрии относительно прямой является движением. 99 1229 ------------------------------ Постройте с помощью циркуля и чертежного угольника фигуру, симметричную данному треугольнику МКР относительно прямой КР. Решение. 1) Точки К к Р переходят ....... ........, так как эти точки ....... 2) Проводим ..........................МА к прямой КР и продолжаем его за точку А, откладываем отрезок AMj.....AM. Проводим отрезки КМ^ и PMj. Ответ. Искомая фигура — треугольник .......... 230 Постройте с помощью циркуля и чертежного угольника фигуру, симметричную данному ромбу ABCD относительно прямой CD. Решение. 1) Вершины С и D переходят , так как 2) Проводим ..........................AM и ВК к прямой ......, продолжаем их за точки ..и ...., откладываем отрезки MAj и KBi, соответственно равные отрезкам .и.......Проводим отрезки CBj, ВА, и DAi-Ответ. Искомая фигура — .................. 231 Постройте с помощью циркуля и линейки фигуру, симметричную данной окружности относительно проведенной через ее точку А касательной. 100 Решение. 1) Построим точку, симметричную центру данной окружности отно- сительно касательной. Перпендикуляром к ней является отрезок ...... , так как касательная ............... к радиусу ОА, проведенному в точку касания. Продолжаем отрезок. за точку......... Откладываем отрезок АО^, равный..... 2) Все точки данной окружности одинаково удалены от центра О. Значит, и все точки новой фигуры должны быть одинаково удалены от точки Oj, причем на такое же расстояние (оно равно радиусу данной окружности, т. е. ОА). Следовательно, искомой фигурой является ............ с центром .. , радиус которой равен ОА. Проводим ее. Ответ. Искомой фигурой является............................ 232 Постройте с помощью циркуля и линейки прямую, которая является осью симметрии данной равнобокой трапеции ABCD. Решение. 101 Ответ. Осью симметрии трапеции ABCD является 233 Начертите два равных равносторонних треугольника АВС и АМК. 1) Постройте ось симметрии этих треугольников. 2) Как нужно расположить эти треугольники, чтобы они имели центр симметрии? Ответ. 1) Осью симметрии является прямая ... 2) Точки........ должны лежать на 234 Равнобедренные треугольники АВС и АСК имеют общее основание АС. Точки В и К расположены в разных полуплоскостях относительно прямой АС (АВ^АК). 1) Постройте ось симметрии четырехугольника АВСК. 2) При каком условии этот четырехугольник будет иметь две оси симметрии? Ответ. 1) Осью симметрии четырехугольника является прямая .... 2) .............................. 102 При симметрии относительно оси абсцисс любая точка М [х; у) фигуры F переходит в точку -у). При симметрии относительно оси ординат любая точка М{х; у) фигуры F переходит в точку Мг(-х; у). 236 Дан отрезок АВ, гдеЛ(-3; 2), В(2; 1). 1) Найдите координаты концов отрезка А^В^, симметричного данному отрезку относительно оси абсцисс. 2) Какой вид имеет четырехугольник АВВ^А^Ч 3) Вычислите координаты концов средней линии МК этого четырехугольника. 4) Вычислите длину средней линии четырехугольника Решение. 1) А,{.. ; ...), В,(..; ....). \ ■ ■ 1 1 1 i 1 о 1 1 1 1 ! 3) Концы средней линии имеют координаты; М{.... ; ...); ....... 4) МК= ............ Ответ. 1) А,(... ; ..), В,(. 2) ABB^Ai — ...... 3) М(.... ; 4) ....... , К(.. .). К (. 103 237 Дан отрезок МК, где М (3; -1), К (-1; 2). 1) Вычислите длину отрезка МК. 2) Постройте отрезок М^К^, симметричный отрезку МК относительно оси ординат. 3) Определите вид четырехугольника КК,ММ^. 4) Вычислите длины диагоналей этого четырехугольника. 5) Вычислите длину средней линии этого четырехугольника. Решение. 1) МК= ............................................... у1 1 1 о 1 1 X —1— 3) 4) М,К,= ................................ 5) Средняя линия EF четырехугольника равна Ответ. 1) МК= ........ ; 3) КК^ММ^ — 4) М^К^ =............ ; 5) EF = 238 Отрезок АВ, где А(-4; 0), Б(0; -3), является стороной ромба ABCD. 1) Найдите координаты остальных вершин ромба, осями симметрии которого являются оси абсцисс и ординат. 2) Вычислите периметр ромба. 3) Через какие вершины этого ромба проходит окружность, заданная уравнением х^ + у^ = 16? Решение. 1) Вершина С симметрична вершине А относительно оси .............. Следовательно, точка С имеет координаты (... ; ...). Вершина ..................................... ............. Следовательно, точка D имеет координаты (. ; ....). 2) Вычислим длину одной стороны ромба, например стороны АВ: АВ=.................... Периметр ромба равен .................. 3) Центром данной окружности является ..................... Радиус окружности равен ........ 104 Следовательно, этой окружности принадлежат точки Ответ. 1) С(.... ; ....), D(.... ; ...); 2) .............. 3) (.... ; ...).....(..... ; ....). 239 Запишите уравнение оси симметрии данных точек: 1) М(1; 4) и М,(4; 1); 2) А(-5; 2) и А, (-2; 5). Решение. 1) Начертим треугольник МОМ,, он равнобедренный (так как ОМ =......). Следовательно, перпендикуляр ОК к стороне MMj является и медианой треугольника. Найдем координаты точки К: К (...; ....). Значит, уравнение оси симметрии точек М и Mj имеет вид 2) Ответ. 1) .... ; 2) 86. Поворот О о Поворот плоскости около данной точки — это движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (угол поворота). Поворот фигуры плоскости. '^1 это преобразование фигуры при повороте 4 Дудницмн. 8 К.4. 105 240 Постройте фигуру, в которую переходит данный отрезок АВ при повороте около данной точки О на 90° против часовой стрелки. (При построении воспользуйтесь транспортиром, циркулем и линейкой.) Ответ. Искомая фигура — ................ 241 Постройте фигуру, в которую переходит данный равносторонний треугольник МКР при повороте около точки К на угол 60° по часовой стрелке. Ответ. Искомая фигура — ......... 242 Начертите равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (Z,C = 90°). Постройте фигуру, в которую переходит этот треугольник при повороте около точки А на угол 45° против часовой стрелки. (При построении воспользуйтесь транспортиром, циркулем и линейкой.) Ответ. Искомая фигура — ........ 243 Даны два вертикальных угла ВАС и МАК. Укажите центр поворота и угол поворота, при котором один из этих углов переходит в другой. Ответ. Центр поворота — точка..... ; угол поворота — ......... 106 244 Начертите отрезок МК. Укажите центр поворота и угол поворота, при котором данный отрезок переходит сам в себя. Ответ. Центр поворота — ............... Угол поворота — ........ 87. Параллельный перенос и его свойства 88. Существование и единственность параллельного переноса О Параллельный перенос — это преобразование фигуры, при котором произвольная ее точка М (х; у) переходит в точку M,(x + a; у + Ь). Параллельный перенос есть движение. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя). allfcllc, АА^=ВВ^=СС^ 245 Отметьте точки А(-4; 3), В(3; -1), С(—1; —2). Постройте точки A^, Б,, Cj, в которые перейдут данные точки при параллельном переносе, заданном формулами л:, =x-t-3, уу = у-2. Запишите координаты полученных точек. Ответ. А,(... ; ..), В^(.. ; ..), СА.... ; ...). 107 246 ---------------------------------------------------------- Параллельный перенос, заданный формулами х^ = х-А, у^ = у + ^, переводит отрезок МК в некоторую фигуру. Имеет ли она середину? Если имеет, вычислите ее координаты, если М(1; —1), К{Ъ\ 2). Решение. При параллельном переносе отрезок переходит в .............. Это отрезок М^К^, который имеет середину. Вычислим координаты точек М, к К........................................ Теперь можем вычислить координаты середины отрезка М^К^: Ответ.....(... ; 247 Начертите параллелограмм ABCD. Постройте с помощью линейки и циркуля фигуру, в которую переходит этот параллелограмм при параллельном переносе, переводящем вершину В в вершину С. Ответ. Искомой фигурой является 248 Постройте с помощью циркуля и линейки фигуру, в которую перейдет окружность при параллельном переносе, переводящем конец А ее диаметра АВ в точку В. Ответ. Искомой фигурой является ............................... 108 249 --------------------------------- Существует ли параллельный перенос, который переводит среднюю линию МК треугольника АВС (М — середина АВ, К — середина ВС) в его сторону АС? (Ответ поясните.) Решение. При параллельном переносе отрезок переходит в ........... ему отрезок. Поэтому ............... переноса, который удовлетворял бы условию задачи. Ответ........................... 250 Окружность задана уравнением (дг —4)^-1-(у —2)^ = 9. Составьте уравнение фигуры, в которую переходит эта окружность при параллельном переносе, заданном формулами х^ = х-2, у^=у + Ъ. Решение. При параллельном переносе окружность переходит в ............... При этом их радиусы .......... Теперь вычислим координаты ........новой ....Центр данной окружности имеет координаты С (... ; ..). Значит, координаты точки Cj будут равны 4-1-.=...... 2 +...=......Составляем уравнение новой окружности: ......................... Ответ........................... 251 Параллельный перенос задан формулами = y, = i/-l-l. Составь- те уравнение фигуры, в которую переходит окружность, заданная уравнением (x-l-3)^-t-(y-6)^ = 25, при этом параллельном переносе. Решение......................................................... Ответ. Каковы бы ни были две точки А и Aj, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А,. 109 252 ----------------------------------------------------------------------------------- Конец М(-4; 1) отрезка МК переходит при некотором параллельном переносе в точку М,(1; 3). 1) Задайте формулами этот параллельный перенос. 2) В какую точку переходит при этом параллельном переносе точка К (2; 5)? 3) Вычислите координаты точки, в которую переходит середина отрезка МК. Решение. 1) Вычислим значения параметров а и Ь в формулах параллельно- го переноса. Воспользуемся для этого координатами точек М и М,. Составим два уравнения: l = -4-fa, 3 = 1-ЬЬ. Решим каждое из них: .................................. , Q ....... , .................................. , Ь . Значит, рассматриваемый параллельный перенос задается формулами Х^=х +..... ,1/, = у +... 2) Вычислим координаты точки К^, в которую переходит точка К при найденном параллельном переносе: 2 +.....=..... , 5-ь...=........................... Получим, что АГ, (... ; ...). 3) При параллельном переносе отрезок переходит в отрезок, а его се- редина — в середину второго отрезка. Вычислим координаты середины отрезка М^К^: .......................................................................... Ответ. 1) ... 2) К, (. ■); 3) 253 Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-2; 2), В (3; 4), С (2; -2). При некотором параллельном переносе вершина А переходит в вершину В. В какую точку переходит при этом параллельном переносе вершина С? Решение. 1) Найдем формулы, которые задают параллельный перенос, переводящий точку А в точку В: .................................... 2) Находим координаты точки С,: Ответ. (... ; ...). 254 Вычислите координаты точек, в которые переходят вершины параллелограмма МКРТ, где М (-4; -1), К (-2; 3), Р(3; 4), Т(1; 0), при па- 770 раллельном переносе, переводящем вершину М в точку пересечения диагоналей параллелограмма. Решение. 1) Для того чтобы задать параллельный перенос формулами, найдем сначала координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма. Эта точка является серединой любой его диагонали (по .......... ......................). Найдем, например, середину диагонали КТ\ Теперь можем найти значения параметров а к Ь для задания параллельного переноса: ............................................ 2) Далее вычисляем координаты точек, в которые переходят вершины К, Р и Т: .................................................. Вспомним, что вершина М переходит в точку пересечения диагоналей, координаты которой (... ; ....). Ответ. (.... ; ....), (. ; ....), (... ; ...), (... ; ...). 255 Точка А (5; -3) переходит при некотором параллельном переносе в точку А, (3; -1). Верно ли, что точка В (-4; 3) переходит при этом параллельном переносе в точку В, (—6; 1)? Решение. Найдем формулы, которые задают параллельный перенос, переводящий точку А в точку Aj: ....................................... Теперь проверим, в какую точку переходит точка В при этом параллельном переносе: ............................................. Итак, ее координаты (.. ; ..). Сравним их с координатами данной точки B^: ..................... Следовательно, точка В не переходит в точку Bj. Ответ.................... 256 Существует ли параллельный перенос, который переводит точку М (6; 2) в точку М, (3; 0), а точку К (1; -2) в точку (-2; -4)? Решение. 1) Найдем параллельный перенос, при котором точка М переходит в точку М^: ................................................... 111 2) Найдем координаты точки, в которую при этом параллельном переносе переходит точка К: ...................................... Сравниваем ее координаты с координатами точки К^: Следовательно, ................................. Ответ.................... 89. Сонаправленность полупрямых 90. Равенство фигур О т. о Две одинаково направленные (сонаправленные) полупрямые — это полупрямые, которые совмещаются параллельным переносом (т. е. существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую). Если полупрямые а и Ь одинаково направлены и полупрямые Ь и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены. Две противоположно направленные полупрямые — это полупрямые, каждая из которых одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой. h m, Л, Л, т. Начертите трапецию ABCD (AD и ВС — основания), проведите прямые AD и ВС. Запишите две пары: 1) одинаково направленных полупрямых; 2) противоположно направленных полупрямых. Ответ. 1) .... и .... , ... и ..... 2) .... и .... , ... и ..... 112 258 Начертите полупрямую АВ, отметьте точку О, которая не принадлежит ей. 1) Постройте фигуру, симметричную полупрямой АВ относительно точки О. 2) Найдите на рисунке противоположно направленные полупрямые. 3) Постройте с помощью линейки полупрямую, одинаково направленную с данной полупрямой. Ответ. 2) 3) 259 Через концы диаметра АВ окружности проведены касательные МК и РТ к ней. Найдите на рисунке: 1) одинаково направленные полупрямые; 2) противоположно направленные полупрямые. Ответ. 1) .............................. 2) .............................. 260 Найдите на рисунке и запишите; 1) все пары одинаково направленных лучей; 2) все пары противоположно направленных лучей. Ответ. 1) ............................... 2) 113 261 ------------------------------ Даны прямая а и луч АВ. При каком условии луч, симметричный лучу АВ относительно прямой а, будет одинаково направлен с лучом АВЧ Ответ. Если ........................... 262 Закончите формулировку утверждения таким образом, чтобы оно было верным. 1) При параллельном переносе полупрямая переходит в ......... направленную с ней полупрямую. 2) При симметрии относительно точки полупрямая переходит в направленную с ней полупрямую. 3) При симметрии относительно прямой полупрямая, перпендикулярная оси симметрии, переходит в ................ направленную с ней полупрямую. О Равные фигуры — это фигуры, одна из которых движением переводится в другую. 263 Начертите две окружности, радиусы которых равны (С и Cj — их центры). Укажите два движения, при которых одна из этих окружностей переходит в другую. Ответ. 1) ............................... 2) 264 При некотором движении фигура ¥ перешла в фигуру Ej. При втором движении фигура Fj перешла в фигуру ¥^. Верно ли, что фигура F равна фигуре Fg? Ответ............... 7 74 265 Начертите две пересекающиеся прямые АВ и МК (О — точка их пересечения). Укажите два движения, при которых одна прямая переходит в другую. Ответ. 1) .............................. 2) 10 Векторы 91. Абсолютная величина и направление вектора 92. Равенство векторов 93. Координаты вектора О о о Вектор — это направленный отрезок (его обозначают буквами а, Ъ, с, d, ... либо АВ, CD, МК, ..., т. е. указанием ею начала и конца). Абсолютная величина (модуль) вектора — это длина отрезка, изображающего этот вектор (его обозначают | а |, | Ь |, или | АВ \, IcdI). Одинаково направленные векторы (АВ и CD) — это векторы, соответствующие полупрямые (АВ и CD) которых одинаково направлены. |а|=а, |АВ|=АВ АВ U CD 115 О Противоположно направленные векторы (АВ и CD) — это векто- mkUpf ры, соответствующие полупрямые (АВ и CD) которых противоположно направлены. 'р о Нулевой вектор (0) — это вектор. начало и конец которого сов- падают. 266 Назовите начала и концы изображенных на рисунке векторов, перечислите их. Запишите обозначения этих векторов. Ответ. Начала векторов: .................. Концы векторов: ................... Изображенные векторы: ............. 267 D Найдите на рисунке и перечислите одинаково направленные векторы; противоположно направленные векторы. Ответ. Одинаково направленные векторы: Противоположно направленные векторы: ............................. 268 Найдите на рисунке и перечислите векторы, абсолютные величины которых равны. Ответ. Дано: ABCD — равнобокая трапеция. Найдите: 1) одинаково направленные векторы; 2) противоположно направленные векторы; D 116 3) векторы, абсолютные величины которых равны. Ответ. 1) 2) 3) О Равные векторы — это векторы, которые могут быть совмещены параллельным переносом. Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. (Верно и обратное утверждение: одинаково направленные и равные по абсолютной величине векторы равны.) о.. o = ai, |a|=|ai| Существует Т такой, что Т{а)-* а. 270 Найдите на рисунках равные векторы. а) ; б) 271 Отложите от точек А а В векторы, равные вектору а. D 117 272 ABCD — параллелограмм. Изобразите несколько пар равных векторов, начала и концы которых совпадают с вершинами или с точкой пересечения диагоналей данного параллелограмма. Ответ. 273 Точки М и К — середины боковых сторон АВ и CD равнобокой трапеции ABCD. Равны ли векторы: 1) ВС и DC; 2) AM и МВ; 3) АВ и 4) КМ и DA; 5) КС и DK7 Ответ. 1) ......... ; 2) 3)..........; 4) ....... 5) Координаты вектора АВ, где ^ г/i). в у.^),— это числа _ (jCg-JCi), (у^-Уг), т. е. “ АВ(х.^-х^; i/^-z/i). Равные векторы имеют равные координаты. (Верно и обратное утверждение: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.) У1) и = а “2) 274 Даны точки: А (3; 5), В (-2; 4), С (1; -3) и В (-6; -1). 1) Вычислите координаты векторов: АВ, ВС, DA, СА, DB. 2) Есть ли среди данных векторов равные? Ответ. 1) ................................................... 2) ............. 118 275 Даны точки: М {V, -1), К (2; -1), Т (6; 2) и Р (5; 2). Докажите, что вектор КТ равен вектору МР. Доказательство. Вычислим координаты вектора КТ: Xg-Jt:, = .... = .... ; У2~У\ =.......=..... Значит,(...........). Вычислим координаты вектора МР: ..................... Значит, МР (............). Соответствующие координаты этих векторов .................. Следовательно, КТ .... МР. 276 Даны точки: А (4; 1), В (-2; 3), С (-3; 1) и £) (3; -1). Докажите, что равны векторы AD и ВС. Доказательство....................................... 277 Дано: а (3; -1), Ь (-2; 4), с (5; 2), пг-Ь, р = с, k = a. Найдите координаты векторов: т, р, к. Ответ, т (.........), р (.......), к (.......). Абсолютная величина (модуль) вектора а (л:,; i/,) вычисляется по формуле а (л-,; у,) \a\='Jxl+yl |о 1=\/л;2 + г/2. Абсолютная величина вектора АВ, где А (л:,; y^), В (х^; У2), вычисляется по формуле Р (•*^2» Уг) |АВ \ =\/(Х2-х^У^ + {у2-у1^. Т I Абсолютная величина нулевого вектора равна О Мхр, У1) \AB\=yj(x2-Xjf+(y2-yif 119 278 --------------------------------------------------------- Вычислите абсолютные величины векторов: а (4; 3), Ь (-12; 5), с (-3; 4), р(-2;-1). Ответ. |а| =.... , |б| =... , |с| =... , |р| =.... 279 Сравните абсолютные величины векторов: 1) а (-6; 8) и fc (-4; 3); 2) in (5; -12) и р (7; 11); 3) с (-12; 9) и d (-11; 10). Ответ. 1) .............. ; 2) .............. ; 3) [2М> 1) Докажите, что треугольник МКР является равносторонним, если М(0; -4), К{2\‘3-, 2), Р(-2\'3; 2). ___________ 2) Сравните абсолютные величины векторов: ОМ, ОК, ОР (О — начало координат). 1) Доказательство. Вычислим длины всех сторон данного треугольника: МК = .......................... = ........ МР = .......................... = ........ РК = .......................... = ........ Значит, МК....КР, МР.....КР. Следовательно, .............. 2) Решение. С^(.... ; ), \0М\ = ^(......; ), Ш\ = ОР(.... ; .), |ОР| = Ответ. 2) 281 Даны точки: А (—4; 3), В (2; 6), С (6; —1). Найдите координаты точки М, если известно, что АС = ВМ. __Решение. Вычислим координаты вектора АС: .................. , АС.......... Обозначим координаты точки М (х; у). Теперь запишем координаты вектора ВМ. Первая координата равна. , вторая —..... Составляем уравнения: ..................................... 120 Решаем эти уравнения:_ Ответ. М (.......). 94. Сложение векторов Сумма двух векторов а (а^; а.^) и Ь (6,; bg) — это вектор с (с^; Cg), координаты которого равны: Cj Cj + bj, ^’2 ^2'*'^2‘ a(fli;a2) a + 6 = c(aj+6j; 02+^2) В АВ +ВС=АС Каковы бы ни были точки А, В и С, имеет место векторное равенство АВ + Ш =АС. Правило треугольника для построения суммы произвольных векторов а п Ь: От произвольной точки М откладываем вектор МКу равный вектору а, от точки К откладываем вектор КР, равный вектору Ь. Вектор МР равен сумме векторов а + Ь. Правило параллелограмма для построения суммы произвольных векторов а и Ь: Откладываем от точки М (общее начало) векторы MN и МК, равные соответственно векторам а и Ь. Достраиваем полученную фигуру до параллелограмма MNPK. Вектор МР (диагональ параллелограмма) равен сумме данных векторов а и Ь. 282 Вычислите координаты суммы данных векторов. (Решите задачу устно.) 1) а (-2; 5), Ь (-1; -3); 2) с (0; -4), Ь (2; 6); 3) а (7; -3), Ь (-6; 0). Ответ. 1) (... ; ...); 2) (... ; ..); 3) (... ; ..). 121 283 Изобразите и запишите вектор, равный сумме векторов: а) а + 6; _ _ б) 1) а + Ь; 2) 6 + с; в) 1) а + Ь; 2) а + с. Ответ, а) б) ; б) 1) ....... ; 2) ; в) 1) в) 2) . 284 Отложите от точки М вектор, равный сумме данных векторов а и Ь, используя правило треугольника. М» а М М а) Ответ, а) .... ; б) ... ; в) б) Отложите от точки М вектор, равный сумме данных векторов а и Ь, используя правило параллелограмма. б) в) Ответ, а) .... ; б) ; в) 122 о Разность векторов а и Ъ — это вектор с (с,; Cg), который в сумме с вектором Ь дает вектор а: 286 Дано: а (2; 5), Ь (3; -1), с (1; -4). Вычислите координаты векторов. (Решите задачу устно.) 1) а-Ь; 2) с-а; 3) с^с-Ь. Ответ. 1) (.. ; ...); 2) (.. ; ..); 3) (.. ; ...). 287 Дано: а + 6 = 0. Вычислите координаты вектора Ь. (Решите задачу устно.) 1) а (1; 4); 2) а (-3; 6); 3) о (0; -5). Ответ. I) (.. ; .....); 2) (.. ; ....); 3) (... ; ...). Правило треугольника для построения разности произвольных векторов а н Ь: Откладываем от одной точки М векторы MN и МК, соответственно равные векторам а и Ь. Вектор KN (указываем первый вектор) равен разности векторов а и Ь. 288 Изобразите и запишите вектор, равный разности данных векторов: В Ответ, а) а-Ь=..... ; б) Ь-а=.... ; в) т-п = 123 289 Выразите вектор с через данные векторы а и Ь. а) Ответ, а) с = б) ; б) с=............... ; в) с = в) 290 Начертите три произвольных вектора а, Ь и с. Постройте вектор: 1) а + с; 2) а-Ь; 3) с —а; 4) а + Ь-с. 96. Умножение вектора на число О т„ Произведением вектора а (а,; Og) на число т называется вектор та (то,; та.^). Абсолютная величина вектора та равна |m|-|oI. Направление вектора та при а^О совпадает с направлением век тора а, если m > О, и противоположно направлению вектора о, если т<0. (т>0) 'ко (fc<0) 291 Вычислите координаты вектора та. (Решите задачу устно.) 1) т = 3, о (2; -4); 2) т = -4, о (2; -1); 3) т = 0,5, о (-6; 3). Ответ. 1) (... ; ...); 2) (.. ; ...); 3) (.. ; ..). 124 292 Вектор а равен вектору mb. Найдите число т. (Решите задачу устно.) 1) а (6; -9), Ь (2; -3); 2) а (-8; 2), Ь (4; -1); 3) а (3; -5), Ь (1,5; -2,5). Ответ. 1) т=..... ; 2) т=.... ; 3) т=.... 293 Постройте вектор, равный: а) За; б) 0,56; в) -2с. а) 294 в) Даны векторы а_и Ь. Отложите от точки А вектор, равный: а) а+2Ь; б) 2c-d; в) rn-Q,5k. А А т • у А а) б) в) Ответ, а) ... ; б) ; в) Свойства умножения вектора на число: 1) та = ат а (а,; а^), 4а (4а,; 4а^) 2) {m + k)a = ma + ka (3 + 2)d = 3d + 2d 3) т (а+ Ь) = та + mb 5 (а+6) = 5с + 56 для любых векторов и чисел. 295 Даны векторы а (3; ~_2), Ь (-2; 5). Вычислите координаты векторов: 1) 2а-Ь; 2) -За + 46; 3) 6-а; 4) 1,5а + 0,5Ь. Решение. 1) Вычислим координаты вектора 2а: 2а (. ; ..). 125 Теперь находим координаты вектора 2а-Ь: 6-(-2) = 6 + 2 =.. ; 2а- Ь (... ; ....). 2) Находим координаты вектора - За: —За (.. ; ...). Находим координаты вектора 4Ь: ........................... Вычисляем координаты искомого вектора -За + 4Ь: .......... ........................................ ; -За + 46 (. ; ....). 3) Находим координаты вектора Ь-а: Ь~а (... ; .).......... 4) Находим координаты вектора 1,5а: 1,5а (. Находим координаты вектора ............. Вычисляем координаты искомого вектора: — Ответ. 1) (... .); 2) (. .); 3) (. .); 4) (. 296 -)■ Даны векторы: а (1; 3), Ь (-2; 4), с (-1; -3), d (-4; 4), р (3; 9), д(-1; 2). Найдите среди этих векторов: 1) пары сонаправленных векторов; 2) пары противоположно направленных векторов. (Решите задачу устно. В каждом случае укажите найденное число т). Ответ. 1) ........................................................... 2) ........................................................... 97. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам О Коллинеарные векторы — это два ненулевых вектора, которые т/ У1 mWl Уь ^ ^ atlc & tl с лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллине- Ъ,/ ариые векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены. ГС т. Если векторы а и Ь (а 0, Ь * 0) Ь Если а II 6, то с коллинеарны, то существует чис- » существует т: ло т, такое, что а = тЬ. сл — ^— а = тЬ 126 297 На луче ОМ отложены вектор АВ, равный а, и отрезки ВС, CD, DE, EF, FK, длины которых равны |а|. Выразите через вектор а векторы: 1) EF, Ш>, АЁ-, 2) СВ, ЕС, КВ. Ответ. 1) .............................. 2) .............................. 298 В треугольнике АВС проведена средняя линия МК. Среди векторов МК, АВ, АС, МС, КВ, КС, ВС найдите пары кол-линеарных векторов. Запишите соотношение между векторами каждой пары. Ответ.......................... В Т. Если а и Ь — отличные от нуля а В неколлинеарные векторы, то лю- V' бой вектор с можно представить / в виде 'c = ma+kb А (разложение вектора с по векторам а и Ь). с = За + 2Ь 299 Даны векторы: а (1; 3),_Ь (0; -1), с (3; 8). Запишите разложение вектора с по векторам а и Ь. (Решите задачу устно.) Ответ. ............. 300 __Начертите два произвольных вектора АВ и АС. Постройте вектор АВ+2АС. Решение. 1) Отложим от точки В вектор BE, равный вектору ...... 2) Тогда вектор ..... — искомый вектор. АЕ=.............. 127 301 ABCD — параллелограмм, М — середина его стороны АВ, DC=b. Выразите через векторы а и Ь векторы: 1) АВ; 2) DB; 4) АС; 5) СО; 6) AM; 7) DM. Решение. 1) АВ = .... = .... 2) Ш = ..... + ....= ........... 3) ОВ = ....• DB, ОВ = ......... 4) ^ = ..........= .......... 5) СО = ....• ^ = ........... DA = a, 3) ОВ; 6) AM = ......• АВ, AM 7) DM = ......+ ......= 302 а М, К VI Р — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно треугольника АВС, СА=а, СВ = Ь. Выразите через векторы а и Ъ векторы: СК, АР, МК, ВА, AM. Решение................................ 98. Скалярное произведение векторов О О Скалярное произведение векторов а (аi’, Og) и Ь (fej; Ь.^) — это число aibj + 02^2* Скалярный квадрат вектора — скалярное произведение вектора на себя: а ■ а = а^ = а^ + а%. __а(-2; 3), 6(4; 1) afc = (-2)-4-f-3- 1=-5 а -a = a2 = (-2)2-f-32=13 а^ = \а\^ Свойства скалярного произведения векторов: 1) аЬ = Ьа; 2) для любых векторов а, Ь и с верно равенство (о 4-6)с = а с-1-6 с. 128 303 Вычислите скалярное произведение векторов: 1) а(5; 1), Й2; 3); 2) с(3; -2), d(-4; 1); 3) m (1; -4), k(3; 0,5); 4) F(l,5; 3), у (-6; 3). Решение. 1) аЪ =..................................... 2) cd= .................................... 3) т k =................................... 4) X ~у=................................... 304 Дано: А(-4; 3), В(4; -1), С(5; 0), D{-3; 1). Вычислите скалярное произведение векторов АВ и CD. Решение. Вычислим координаты векторов АВ и CD: Вычислим АВ • CD: Ответ ......... 305 Дано: М(3; 0), К(-1; 4), Р(2; 0), Г(5; -1). Вычислите скалярное произведение векторов МР и ТК. Решение........................................... Ответ. О Угол между ненулевыми векторами АВ и АС — это угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами а и Ь — это угол а между равными им векторами с общим началом. В А С - ь. м* а 306 Угол А параллелограмма ABCD равен 60°. Найдите углы между векторами: 1) АВ и АО; 2) СВ и СО; 3) DA v. DC; 4) АВ и АК; 5) AD и ВС. 129 Решение. 1) Угол между векторами АВ и AD равен углу BAD. ABAD=..... 2) ............................. В 3) 4) 5) 307 в треугольнике АВС АС = 90°, АА = 30°. Найдите углы между векторами: 1) СА и СВ; 2) АС и АВ; 3) СВ и ВК. Ответ. 1) .........; 2) ......... 3) Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними: а Ь=|а I |ь| cos а (а — угол между векторами а и Ь). Свойства скалярного произведения векторов: 1) а Ь=Ь а; 2) (а + Ь)с =а с + Ь с (для любых векторов). 308 Вычислите скалярное произведение векторов аЬ, если: 1) |а1 = 2, |fc| = l,5, а = 60°; 2) |а|=2,5, |Ь| = 4, а = 45°; 3) |а| = 1,4, |Ь| = 5, а = 30°. 130 Решение. 1) ................... 2) ................... 3) Ответ. 1) ........ ; 2) ; 3) cos а = а Ь _\Ъ\-\ь\ Если а Ь>0, то 0<а<90°. Если а Ь<0, то 90°<а<180°. 309 Вычислите косинус угла между векторами а п Ь, если: 1) |а| = 5, |Ь| = 4, а Ь = 15; 2) |а|=4, |Ь| = 6, а 6 = 12; 3) |а| = 3, 1ь| = 7, а Ь = 18. Решение. 1) cos а= .......................................... 2) cos а= ......................................... 3) cos а= ......................................... Те Скалярное произведение ненуле- О Если а=90. вых векторов равно нулю, если 1 1 то cosa=0. эти векторы перпендикулярны. а |а| |ft|cosa=0 Два ненулевых вектора перпен- п ь ^ дикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Если а -Ь—0, то cosa = 0,a=90 310 Докажите перпендикулярность векторов: 1) а(0,5; 1) иН8; -4); 2) с(-3; 9) и d(6; 2); 3) m(12; -2) и ft (0,5; 3). Решение. 1) а Ь = ...................... = ..... 2) с d = ...................... = ... 3) .................................. Следовательно, а ... Ъ. Следовательно, ....... 131 [зц> Найдите угол а между векторами а w Ь, если: 1) 1а1=8, |Ь| = 5, а 6 = 20; 2) \а\ = 3, |б| = 4, а 6 = 6\'3; 3) \а\ = 7, |б| = 6, а b = 21\f2; 4) |а| = 11, |ь| = 9, а 6 = 0. Решение. 1) cos а= ........................... , ......= ...... , значит. а ^ 2) cos а= .................................. , значит, а = 3) cos а = .............................................. 4) cos а = .............................................. Ответ. 1) ......... ; 2) ......... ; 3) ......... ; 4) ......... [Ш} Найдите угол а между векторами а и 6, если: 1) |а|=4, |б| = 8, а 6 = -16; 2) |а| = 3, |б|=12, а 6 = -18\^; 3) |а| = 14, |б1 = 5, а 6 = -35\^. Решение. 1) cos а= ......... Следовательно, а = 180°- ...... = ... 2) cos а = .............................................. 3) cos а= ............................................... Ответ. 1) ........ ; 2) ........ ; 3) ........ [30} Дано: векторы а(3; 1), 6(1; 2), с(2; -1). Найдите угол между векторами: 1) а и с; 2) 6 и а. Решение. 1) Вычисляем абсолютные величины векторов а и с: UI = V......... = ..... 1с| = .................... Вычисляем скалярное произведение этих векторов: а с=.........= = ............. Находим косинус угла между векторами а и с: cos а ■■ = ................. Следовательно, угол между ними равен ........ 2) .......................................................... Ответ. 1) ........; 2) 132 99. Разложение вектора по координатным осям О о Единичный вектор — это вектор, абсолютная величина которого равна 1. Координатные векторы (орты) — это единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей. Любой вектор допускает разложение по координатным векторам: а (а,; а^) = +а^е.^,. 314 Среди данных векторов найдите единичные: а (-1; 0), Ь с (2; 3), ^(т-т)-"№ 1). Решение. Вычисляем абсолютные величины данных векторов: |а|=\'(- 1)2 + 02=.................................... Ответ, 315 Отложите векторы О А и О В от начала координат, если А(2; 4) и В(-3; 1). 1) Запишите разложение этих векторов по единичным векторам и eg. 2) Найдите координаты вектора ВА и запишите его разложение по координатным векторам (ё,; Решение. 1) ОА(..... ; ...). Следовательно, ОА: е, -I- О ■2’ 133 .......................................... 2) BA = OA.....OB. Следовательно, его координаты (. поэтому ВА=............... Ответ. 1) ..........................; 2) .................. •), 316 1) Постройте вектор а = 4ё^ + 4ё2. Найдите угол между вектором а и вектором 2ё^. 2) Постройте вектор Ь = -5ё,-I-бёг-Найдите угол между вектором Ь и вектором -3^2- Для нахождения угла воспользуйтесь рисунком. Ответ. 1) .............; 2) ............. 1 — — 1 1 1 ег‘ ^ i 1 1 ,о X 1. ! - .1^ . 1 1 Учебное издание Дудницын Юрий Павлович ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь 8 класс Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Кузнецова Младший редактор Н. В. Ноговицина Художник Е. В. Анненкова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика М. В. Бакулиной Технический редактор Е. А. Сиротинская Корректор О. Н. Леонова Налоговая льгота — Общероссийский к.пассификатор продукции ОК 005-93— 953000. И.)л. лиц. Серия ИД К" 0582-1 от 12.09.01. Подписано в печать 13.01.11. Формат 70xl00'/i6- Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 5.35. Тираж 20000 ^кз. Заказ 31190. Открытое акционерное общество И.тдательство «Просвещение'. 127521. Москва, 3-й прое,ад Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО Саратовский поли] рафкомбинат» 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru