Геометрия 7 класс Учебник Бутузов Кадомцев Прасолов

5.1 B. Ф. Бутузов C. Б. Кадомцев В. В. Прасолов МГУ-ШКОЛЕ B. Ф. Бутузов C. Б. Кздомцев В. В. Прасолов Геометрия класс ^ L\ Ь' Учебник для общеобразовательных учреждений Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации Под редакцией В. А. Садовничего Москва «Просвещение» 2010 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Б93 Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (N° 10106-521^78 от 22.10.09) и Российской академии образования (№ 01“5/7д-71 от 10.07.09) Бутузов В. Ф. Б93 Геометрия. 7 класс : учеб, для общеобразоват. учреждений / В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов; под ред. В. А. Садовничего. — М. : Просвещение, 2010. — 127 с. : ил. — (МГУ — школе). — ISBN 978-5-09-018009-2. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151Я72 ISBN 978-5-09-018009-2 © Издательство «Просвещение», 2010 © Художественное оформление. Издательаво «Просвещение», 2010 Все права защищены /-^опогкг семиклассники; введение Вы начинаете изучать новый предмет — геометрию. Что это такое — геометрия? Для чего она нужна? Кратко можно сказать так; геометрия нужна для описания формы предметов, определения их размеров и взаимного расположения. Например, обложка книги и каждый её лист имеют форму прямоугольника (рис. 1, а). Крышка письменного стола также имеет форму прямоугольника. Посмотрите вокруг: перед вами очень много предметов, имеющих форму прямоугольника. Итак, для описания формы большого числа предметов используется слово «прямоугольник». а) геометрия Рис 1 б) Прямоугольник составлен из четырёх отрезков Рис. 2 Прямоугольник соаавлен из четырёх отрезков (рис. 1, б). Эти отрезки называются сторонами прямоугольника. Отрезок тоже геометрическая фигура (рис. 2). Концы отрезка — точки Из точек состоит любая геометрическая фигура: отрезок, треугольник, окружность (рис. 3), прямоугольник и т. д. Мы сказали, что прямоугольник составлен из четырёх отрезков Но для описания прямоугольника этого мало. На рисунке 4 изображена Окружность Рис. 3 Четырёхугольник Рис. 4 Многие предметы вокруг нас имеют форму прямоугольника: обложка книги и её араницы; оконная рама и стёкла; крышка аола и элементы её оформления; полки шкафов, паркет и двери; рамка картины. ,'Г геометрическая фигура, также состоящая из четырёх отрезков, которая называется четырёхугольником. Но эта фигура, конечно же, не является прямоугольником. Само название «прямоугольник» говорит о том, что его углы прямые, т. е. каждый из них равен 90'. Итак, прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Два прямоугольника могут отличаться друг от друга размерами — у одного из них стороны могут быть меньше или больше, чем у другого (например, обложка учебника и крышка стола) Так возникает другая важная задача геометрии — задача об измерении геометрических фигур. Геометрия возникла очень давно, более 4000 лет назад. Само слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие» (по-гречески «гео» — земля, а «метрео» — мерить). Это название объясняется тем, что возникновение геометрии было связано с практической деятельностью — разметкой земельных участков, прокладыванием дорог, строительством сложных архитектурных сооружений (например, египетских пирамид). С развитием мореплавания появилась потребноаь ориентироваться по звёздам и составлять географические карты. Так возникла ещё одна из задач геометрии — задача об изучении взаимного расположения геометрических фигур. МИД использовались накопленные с глубокой древности практические геометрические правила. Итак, В геометрии изучаются форма, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. На первых порах развития геометрии появлялись и постепенно накапливались правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Но затем благодаря древнегреческим учёным (Фалесу, Пифагору, Евклиду и др.) всё ббль-шую роль в геометрии стали играть рассуждения, позволяющие выводить новые формулы и неизвестные ранее факты из уже известных. К началу нашей эры геометрия сформировалась как наука, в которой свойства геометрических фигур изучаются с помощью рассуждений. Подробнее об истории возникновения геометрии написано в Исторической справке (с. 115). Для чего нужна геометрия, мы частично ответили; есть много практических задач, которые решаются с её помощью. (Примеры таких задач можно найти на с. 112.) Но это не всё. Геометрия развивает наши пространственные представления. Но и это ещё не всё. Обосновывая справедливость каких-то утверждений, доказывая их, мы учимся рассуждать, а это важно в любом деле. Геометрия поражает воображение тем, что путём рассуждений в ней порой устанавливаются совершенно неожиданные факты. Неудивительно, что на протяжении многих веков люди самых разнообразных профессий посвящали часы досуга занятиям геометрией. Школьный курс геометрии состоит из двух частей — планиметрии и стереометрии. В планиметрии рассматриваются плоские фигуры — прямоугольники, отрезки, треугольники, окружноаи, четырёхугольники (см. рис. 1—4) и т. д., в стереометрии — пространственные фигуры, например параллелепипеды, шары, цилиндры (рис. 5). Планиметрию вы будете изучать в 7—9 классах, стереометрию — в 10—11 классах. Материал учебника разделён на главы, главы — на параграфы, параграфы — на пункты; ориентироваться в этом материале вам поможет предметный указатель (с. 122). К каждому параграфу даны задачи, являющиеся основными. Дополнительные задачи (они немного труднее) приведены в конце каждой главы. Наиболее трудные из них отмечены Параллелепипед Шар Цилиндр Рис. 5 звёздочкой. Кроме того, в конце учебника приведены задачи повышенной трудности. Среди них есть очень трудные. Они предназначены для тех, кому понравится решать задачи и доказывать теоремы. В конце книги к задачам даны ответы и указания. Не бойтесь заглядывать вперёд и читать те параграфы, которые ещё не проходили в классе. Задавайте вопросы учителю, товарищам, родителям и, конечно же, думайте сами. Мы надеемся, что красота геометрии не оставит вас равнодушными. Авторы Глава > Начальные геометрические сведения ' I ■Лф'л Простейшие геометрические фигуры Простейшей из геометрических с}зигур является точка. Изображение точки можно получить, прикасаясь к листу бумаги оаро отточенным карандашом. Обычно точки обозначают большими латинскими буквами: А, В, С и т. д. Представление о прямой даёт натянутая нить. Прямую как геометрическую фигуру мыслят себе простирающейся бесконечно в обе стороны. Как правило, прямые обозначаются малыми латинскими буквами: а, Ь, с и т. д. Прямая, как и любая геометрическая фигура, состоит из точек. Для краткости вместо слов «точка А лежит на прямой о» используют запись Ае а, а вместо слов «точка В не лежит на прямой а» — запись В г о. Если А 6 а, то говорят также, что прямая а проходит через точку А. Чтобы провести прямую на листе бумаги, пользуются линейкой (рис. 6). При этом, однако, изображается лишь часть прямой, называемая отрезком. Можно ска- ~ зать, что отрезок — это геометрическая фигура, состоящая из двух точек’ прямой — концов отрезка и всех точек этой Рис 6 прямой, лежащих между концами. Отметим какие-нибудь две точки и проведём через них прямую (см. рис. 6). Ясно, что через отмеченные точки нельзя провести другую 'Здесь и далее, говоря «две точки», «три прямые» и т. д , мы будем считать, что эти точки, прямые и т. д. различны. Представление о прямой даёт натянутая нить. Разметка на автомобильной дороге даёт представление о прямой и отрезках. г Г Г г Т Прямые а и b имеют одну общую точку, а прямые р и 9 не имеют общих точек Рис. 7 прямую, не совпадающую с проведённой. Таким образом, через две точки проходит прямая, и притом только одна. Из этого следует, что две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек (рис. 7). В самом деле, если бы две прямые имели две общие точки, то через эти две точки проходили бы две прямые, чего не может быть, так как через две точки проходит только одна прямая. Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются, а общая точка называется точкой пересечения этих прямых. Прямую, проходящую через две точки, например А и В, иногда обозначают двумя буквами; АВ или ВА (рис. 8). Отрезок с концами А и В также обозначают двумя буквами: АВ или ВА (рис. 9). Луч у, п О' н Рассмотрим прямую а и точку О, лежащую на этой прямой (рис. 10). Точка О разделяет прямую а на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О (на рисунке 10 один из лучей си- Прямая АВ Рис 8 В Отрезок АВ Рис 9 а О Точка О разделяет прямую на два луча Рис. 10 ний, а другой зелёный), а точка О на-зывается началом каждого из лучей. Обычно луч обозначают либо ма-1» лой латинской буквой (например, луч Л S на рисунке 11, а), либо двумя больши- ми латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-нибудь точку на луче (например, луч ОА на рисунке 11, б). Любая прямая разделяет плоскость на две части, каждая из которых называется полуплоскостью, а сама прямая называется границей каждой из этих полуплоскостей. На рисунке 12 одна из полуплоскостей с границей а красная, а другая — синяя. а) h Луч h 6) О А Луч ОА Рис. 11 Рис. 12 Угол — ЭТО геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Общее начало двух лучей называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла. Угол с вершиной О и сторонами ОА и ОВ (рис. 13, а) обозначают так; ZAOB (читается «угол АОВ»), Иногда используют более краткое обозначение: ZO. Если сторонами угла являются лучи Л и fe, то угол обозначают так: Zhk (рис. 13, б). На рисунках углы иногда обозначают цифрами. Угол называется развёрнутым, если его стороны лежат на одной прямой. На рисунке 13 изображены неразвёрнутые углы АОВ а) о б) h А Угол АОВ В Угол hh Рис. 13 а) 6) 11 D Внешняя область угла Внутренняя область угла О В Развёрнутый угол DEF i__— --------- Рис 14 Рис. 15 И hk, а на рисунке 14 — развёрнутый угол DEF. Говорят, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением другой стороны. Неразвёрнутый угол разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью этого угла. На рисунке 15, а внутренняя область угла закрашена синим. Можно сказать, что внутренняя область неразвёрнутого угла АОВ — это общая _________ часть двух полуплоскостей; полуплоскости с границей АО, содержащей луч ОВ, и полуплоскости с границей ВО, содержа-^ щей луч О А. На рисунке 15, б эти полу- плоскости заштрихованы синими и крас-А ными линиями, в результате чего _____внутренняя область угла АОВ оказалась в k заштрихованной двумя цветами. На рисунке 16 точка А лежит внутри неразвёрнутого угла hk (т. е. во внутренней области этого угла), точка В лежит на стороне угла hk, а точка С — вне угла hk (т. е. во внешней области этого угла). Фигуру, соаоящую из неразвёрнутого угла и его внутренней области, также называют углом. Рассмотрим теперь развёрнутый угол (рис. 14). Прямая, на которой лежат его стороны, разделяет плоскость на две полуплоскости. Любую из этих полуплоскостей можно выбрать в качестве внутренней области развёрнутого угла. Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла, то говорят, что он делит этот угол Рис. 16 Какие углы вы видите? 12 на два угла. На рисунке 17, а луч ОМ делит угол АО В на два угла; ZAOM и ZMOB. Если угол АОВ — развёрнутый, то любой луч ОМ, не совпадающий с лучами ОА и ОВ, делит этот угол на два угла: ZAOM и ZMOB (рис. 17, б). Вопросы и задачи 1. а) Посмотрите на рисунок 18. Имеют ли общие точки; отрезки АВ и CD, прямые АВ и CD7 б) Перечертите рисунок 18 в тетрадь и отметьте точку Р, лежащую на прямой CD, но не лежащую на отрезке АВ. и точку Q, лежащую как на прямой CD. так и на отрезке АВ. Как называется точка Q7 в) Сколько отрезков с концами К, L, М \л N изображено на рисунке 19? г) Перечертите рисунок 19 в тетрадь и отметьте точку В, лежащую на прямой КМ. так, чтобы прямая АВ пересекала прямые KL и LM, но не пересекала отрезок КМ. д) Отметьте в тетради точки А, В, С и D так, чтобы прямые АВ и CD пересекались, а отрезки АВ и CD не имели общих точек. е) Сколько точек нужно отметить на отрезке PQ, чтобы получилось ровно шесть различных отрезков с концами в точках Р, Q и отмеченных точках? ж) Прямые PQ и LM пересекаются в точке М. Имеет ли прямая LM общие точки с отрезком PQ7 з) На рисунке 20 изображены три прямые. Можно ли провести прямую так, чтобы она проходила через точку С и пересекала прямые АВ и AD7 и) Даны четыре точки. Через каждую пару этих точек проведена прямая Сколько всего проведено прямых? Рассмотрите все возможные чая сделайте рисунок. к) Сколько отрезков с концами в обозначенных но на рисунке 21? о б) в / 2 / 1 О Угол ОМ делит угол АОВ на два угла: \л Z.2 Рис. 17 N.C К Рис. 19 М А N /С Рис. 20 случаи и для каждого слу-буквами точках изображе- в м ' D Рис. 23 13 3. а) Имеют ли общие точки прямая PQ и отрезок RT на рисунке 22? б) Посмотрите на рисунок 22. Существуют ли точки, которые одновременно лежат на прямой PQ и прямой RT1 в) Сколько отрезков с концами А, В, С \л D изображено на рисунке 23? г) Перечертите рисунок 23 в тетрадь и отметьте точку N, лежащую на отрезке BD, так, чтобы прямая MN пересекала прямые АС и ВС. но не пересекала отрезок ВС. д) Отметьте в тетради точки Р, Q, R \л Т так, чтобы прямая PQ имела с отрезком RT общую точку, а прямая RT не имела общих точек с отрезком PQ. е) На рисунке 24 изображены три отрезка. Перечертите этот рисунок в тетрадь и прове- ^ ^ дите прямую так, чтобы образовалось ещё .---- ровно три отрезка с концами в обозначенных точках и общих точках проведённой прямой ^ и данных отрезков. ^ ж) Отрезок АВ не имеет общих точек с прямой CD. Может ли прямая АВ иметь общую Рис. 24 точку с отрезком CJD? з) На рисунке 25 изображены четыре прямые. Можно ли провести прямую так, чтобы она прошла через точку А и пересекла прямые МВ, МС и MD7 и) Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Найдите число точек, каждая из которых принадлежит по крайней мере двум из данных прямых. Рассмотрите все возможные случаи и сделайте рисунки. к) Сколько отрезков с концами в обозначенных буквами точках изображено на рисунке 26? а) Перечертите рисунок 27 в тетрадь и проведите через точку О прямую а так, чтобы лучи ОА, ОВ и ОС лежали в одной полуплоскоаи с границей а. М А Рис. 25 В В В О Рис 27 14 ' 5. И б) Перечертите рисунок 28 в тетрадь и проведите два луча с началом А так, чтобы один из них пересекал луч ВС. а другой не пересекал. в) Перечертите рисунок 29 в тетрадь и проведите два луча с началом М так, чтобы один из них пересекал луч АВ, а другой пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М, удовлетворяющий обоим условиям? а) Перечертите рисунок 30 в тетрадь и проведите через точку М прямую а так, чтобы лучи МР и MQ лежали в одной полуплоскости с границей а, а луч MR — в другой полуплоскости. б) Перечертите рисунок 31 в тетрадь и проведите два луча с началом А так, чтобы один из них пересекал луч ВС, а другой не пересекал. в) Перечертите рисунок 32 в тетрадь и проведите два луча с началом М так, чтобы один из них пересекал луч АВ, а другой не пересекал луч ВС. Можно ли провести луч с началом М, удовлетворяющий обоим условиям? а) Сколько углов изображено на рисунке 27? Назовите эти углы. б) Начертите неразвёрнутый угол и отметьте точку А. лежащую на его стороне, точку В, лежащую в его внутренней области, и точку С, лежащую в его внешней области. в) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых углов, вершинами которых являются обозначенные буквами точки, изображено на рисунке 28? г) Сколько неразвёрнутых углов и сколько развёрнутых углов с вершиной О изображено на рисунке 33? Общей частью каких полуплоскостей является внутренняя область угла DOE1 д) Через вершину неразвёрнутого угла провели прямую. Сколько новых углов при этом образовалось? а) Сколько углов изображено на рисунке 30? Назовите эти углы. б) Начертите неразвёрнутый угол и изобразите отрезок АВ, все точки которого лежат во внутренней области угла, отрезок CD, все точки которого ле- -D Рис. 31 М А Рис. 32 В X \ В V А~ О F Рис. 33 -D Е о жат во внешней области угла, и отрезок PQ, часть точек которого лежит во внутренней, ^ а часть — во внешней области угла. в) Сколько неразвёрнутых углов и сколько ^ развёрнутых углов, вершинами которых являются обозначенные буквами точки, изображе- £, с но на рисунке 31? г) Гколько нрразвёрнутых углов и сколько раз- Рис. 34 вёрнутых углов с вершиной О изображено на рисунке 34? Общей частью каких полуплоскостей является внутренняя область угла AOD7 д) Сколько прямых нужно провести через данную точку, чтобы образовалось ровно шесть углов с вершинами в этой точке? Ра: §2 Сравнение отрезков и углов в повседневной жизни часто встречаются предметы, имеющие одинаковую срорму и одинаковые размеры (две страницы одной книги, две одинаковые вилки, два одинаковых стула и т. д.). В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными Пусть даны две фигуры — Ф, и Ф2. Чтобы узнать, равны они или нет, можно скопировать фигуру Ф2 на прозрачную бумагу (рис. 35, а) и попытаться наложить копию на фигуру Ф, (рис. 35, б) той или другой стороной так, чтобы полностью совместить её с фигурой Ф,. Если это а) б) в) Фт Ф, дф. Ф, Рис. 35 16 i \ f c Примерами равных фигур могут служить многие предметы: две одинаковые монеты, два одинаковых флюгера. удастся (рис. 35, е), то фигуры Ф, и Oj равны. Мысленно можно представить себе, что на фигуру Ф, накладывается сама фигура Фг, а не её копия. Таким образом, можно сказать: две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. М ' t' ОМИ/ЗКОЛ и .гло Пусть даны два отрезка — АВ и CD. Наложим отрезок CD на луч АВ так, чтобы точка С совместилась с точкой А. Если при этом точка D совместится с точкой В, то отрезки АВ и CD совместятся, и, следовательно, они равны (рис. 36, а); если же точки В и В не совместятся, то а) А а) 6) С В CD=AB 6) А D В CD <АВ D Е D ZDEF=ZABC Е D ZDEF Ответ обоснуйте. D О Рис. 45 В А Е Рис. 46 д) На рисунке 46 точка С — середина отрезка АЕ, точка В — середина отрезка АС. а точка D — середина отрезка СЕ. Назовите середину отрезка BD. Сравните отрезки АЛ и BE. Ответы обоснуйте. е) Перечертите рисунок 44 в тетрадь и проведите луч ОЛ так, чтобы выполнялось равенство АВОЛ = ZAOC. Рассмотрите все возможные варианты. ж) Точки К, L, М и N расположены на одной прямой так, что точка L лежит между точками К и М, а два отрезка с концами в данных точках имеют общую середину. Могут ли отрезки LM и КУ быть равными? неравными? В случае положительного ответа сделайте рисунок. з) Углы ВОЛ и СОЕ на рисунке 45 равны, лучи ОБ и ОЕ — биссектрисы углов АОС и ЛОЕ. Сравните углы АОЕ и ВОЕ. 19 §3 Измерение отрезков и углов ^ Измерение отрезков Измерение отрезков основано на сравнении их с отрезком, принятым за единицу измерения. В странах — участницах Метрической конвенции (в частности, в России) в качестве основной единицы измерения отрезков используется метр. Для измерения отрезков, изображённых на листе бумаги, удобнее использовать сантиметр — одну сотую часть метра или дециметр — одну десятую часть метра. Если за единицу измерения принят сантиметр, то для измерения отрезка нужно узнать, сколько раз в нём укладывается сантиметр. На рисунке 47 сантиметр укладывается в отрезке АВ ровно три раза. В этом случае говорят, что длина отрезка АВ равна 3 сантиметрам, или кратко: отрезок АВ равен 3 см ---- (пишут: АВ = 3 см). Конечно, отрезок, принятый за единицу измерения, может не уложиться целое число раз в измеряемом отрезке — получится остаток. Например, на рисунке 47 в отрезке АС сантиметр укладывается четыре раза с остатком, но не укладывается пять раз. АВ = 3 см, АС = 4,4 см Рис. 47 X w Метр — от греческого pitpov [метром] — мера. Сантиметр — от латинского centum (сто), сотая часть метра. Дециметр — от латинского decern (десять), десятая часть метра. Миллиметр — от латинского mille (тысяча), тысячная чааь метра. Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром: он укладывается в остатке ровно четыре раза, поэтому длина отрезка АС равна 4,4 см. Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток, то его можно измерить с помощью долей миллиметра На практике пользуются приближёнными значениями длин отрезков, но мысленно процесс измерения можно продолжать всё дальше и дальше. Таким образом, при выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом, показывающим, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке. Если два отрезка равны, то единица измерения и её части укладываются в них одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или её часть) укладывается в нём меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину. Ясно также, что если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков (рис. 48). Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка. в 0''1 2 3 4 5 АБ=АС+СВ Рис. 48 V tv Wlr. 'I* P. ll\/ градус — от латинского gradus (шаг, сту'пень, степень). Деление развёрнутого у.'ла на 180 частей восходит к астрономам и математикам Вавилонии. Таксе деление было удобно для их вычислений, потому что у них число 60 играло такую же роль, как у нас число 10. Минута — от латинского minutus (уменьшенный, малый). Секунда — от латинского secunda di-visio, второе деление градуса Транспортир — от латинского trans-portare (переносить) Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный части развёрнутого угла. Градусная мера угла показы-180 вает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле. Градус обозначается знаком °. Если, например, угол А содержит ровно 60°, то говорят: угол А равен 60=’ (пишут: ZA = 60“). При измерении 1 углов используются также — часть градуса (она называется минутой 60 и обозначается знаком ') и — часть минуты (она называется секундой 60 и обозначается знаком "). Например, градусную меру угла, в котором укладывается 35 градусов, 42 минуты и 27 секунд, можно записать так: 35°42'27". Поскольку 42'= 0,7° и 27"= 0,0075°, то градусную меру этого угла можно также записать в виде 35,7075°. Для измерения углов, изображённых на чертеже, используют транспортир (рис. 49). Если два угла равны, то градус и его части укладываются в них одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры. Если же один угол меньше другого, то градусная мера меньшего угла меньше градусной меры большего угла. I Развёрнутый угол равен 180° (вспомните: градус — это —- часть 180 развёрнутого угла), неразвёрнутый угол меньше 180° 22 . «в ^ J? Я S ______ I I I I f I I I I I f I : t I I Рис. 49 \ ■ t / ч-^ ■% ' «.• « ! *' 0 1 I I 1 I I j 111 I I I 1 I I I I ZAOB = ZAOC + ZCOB Рис. 50 Ясно также, что если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов (рис. 50). Угол называется прямым, если он равен 90°. Угол, меньший прямого, называется острым, а угол, больший прямого, но меньший раз-f вернутого, — тупым (рис. 51). а) б) □_ Прямой угол в) "Л Тупой угол Рис. 51 t 'Т f!S 1£ 9. а) На прямой отмечены точки А, В \л С так, что АБ = 1,22дм и АС = 6 мм. Найдите длину отрезка ВС в сантиметрах Не забудьте рассмотреть все возможные случаи. б) От середины М отрезка АВ, равного 2,4 м, отложены на прямой АВ отрезки МР = 72 см и MQ = 0,25 м. Найдите длины отрезков АР и BQ в дециметрах, если PQ = 97 см. в) На отрезке АВ, равном 24 см, отмечены точки Р \л Q. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и PQ, если АР = 2РВ и PQ = 3QB. г) Точка М лежит на прямой АВ. Найдите длину отрезка AM, если AM = 2ВМ и АВ = 6 см. д) Отрезок длиной 32 см разделён на четыре неравные части. Расстояние между серединами средних частей равно 7 см. Найдите расстояние между серединами крайних частей. 10. а) На прямой АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка АС в дециметрах, если АВ = 25 см и ВС = 2,5 м. б) От середины М отрезка АВ, равного 5,6 см, отложены на прямой АВ отрезки МР = 18мм и М^ = 0,32дм. Найдите длины отрезков АР и BQ в миллиметрах, если PQ = 1,4 см. в) На отрезке АВ, равном 30 м, отмечены точки Р v\Q. Найдите расстояние между серединами отрезков AQ и PQ, если ЗАР = 2РВ и AQ = 2АР. г) Точка М лежит на прямой АВ. Найдите длину отрезка AM, если АВ = 16 см и ВМ - ЗАМ. д) Отрезок АВ разделён на четыре неравные чааи. Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см, а между серединами средних частей — 20 см. Найдите длину отрезка АВ. 11. а) Найдите угол ВОС, если ZAOB = lQ° и ZAOC = 35~. Каким углом (острым, прямым, тупым или развёрнутым) является искомый угол? б) Луч ОМ — биссектриса угла АОВ, равного 100'. Найдите углы АОР и BOQ, если ZPOQ = 50°, ZMOP = 30° и AMOQ = 20°. в) Луч ОР делит угол АОВ, равный 150°, на два угла так, что 2ZAOP = - 3ZBOP: луч OQ делит угол АОР на два угла так, что 3ZAOQ = 2ZPOQ Найдите угол между биссектрисами углов АОВ и POQ. г) Найдите угол АОМ, если ZAOB = 90° и ZAOM = 2ZBOM. д) Луч ОР — биссектриса угла АОВ, равного 144°, луч OQ — биссектриса угла ВОР. Найдите угол между биссектрисами углов АОР и BOQ. 12. а) Найдите угол ВОС, если ZAOB = 140° и ZAOC = 70°. Каким углом (острым, прямым, тупым или развёрнутым) является искомый угол? б) Луч ОМ — биссектриса угла АОВ, равного 60°. Найдите углы АОР и BOQ, если ZPOQ = 25°, ZMOP = 20° и ZMOQ = 45°. в) Луч ОР делит угол АОВ, равный 100°, на два угла так, что 3ZAOP = = lZBOP\ луч OQ делит угол АОР на два угла так, что 3ZAOQ=^ AZPOQ. Найдите угол между биссектрисами углов АОР и BOQ. г) Найдите угол АОМ, если ZAOB = 120° и ZAOM = 2ZBOM. д) Луч ОР — биссектриса угла АОВ, луч OQ — биссектриса угла ВОР. Найдите угол АОВ, если угол между биссектрисами углов АОР и BOQ равен 75°. 23 §4 Перпендикулярные прямые Смежны» и вертикальные углы Два угла, у которых одна сторона — общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. На рисунке 52 изображены смежные углы АОВ и ВОС. Поскольку угол АОС равен 180'", то ZAOB + ZBOC = ZAOC = 180°. Таким образом, д сумма смежных углов равна 180°. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. На рисунке 53 вертикальными являются углы 1 и 3, а также углы 2 и 4. Докажем, что Рис. 52 вертикальные углы равны. Угол 2 на рисунке 53 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. Значит, Z1 + Z2 = 180° и Z3 ч- Z2 = 180°, откуда Z1 = 180° - Z2 и Z3 = 180° - Z2, и, следовательно, Z1 = Z3. Аналогично доказывается, что Z2 = Z4. Z1 = 180=>-Z2 = Z3 Рис 53 П Я‘ Н, ИКуЛЯ! ны« прямы* П п н, ,пя, к прям» й Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых угла (углы 1, 2, 3 и 4 на рисунке 53). Если один из них прямой, то и остальные углы прямые. Доказательство этого утверждения приведено на рисунке 54. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. 1 2 __п_ =90“, Z2 = Z4=90° (как смежные с углом 1), Z3 = Z1 =Z90" (как вертикальные) Рис. 54 Для краткости вместо слов «прямая АС перпендикулярна к прямой Б£>» используют запись АС J. BD. Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой. Отрезок, соединяющий точку А с точкой Н прямой а, называется перпендикуляром. проведённым из точки А к прямой а. если прямые АН и о перпендикулярны (рис. 55). Точка Н называется основанием перпендикуляра АН. Шоссе и ответвляющаяся от него дорога образуют два смежных угла. I а Отрезок АН — перпендикуляр к прямой а Рис. 55 Мы ввели понятие перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой. А есть ли такой перпендикуляр? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо провести рассуждение. В математике утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения, называется теоремой, а само рассуждение — доказательством теоремы. Обычно сначала формулируют теорему (т. е. то утверждение, которое хотят доказать), а затем её доказывают. Например, когда мы ввели понятие вертикальных углов, то сначала сформулировали теорему (хотя и не называли её теоремой); вертикальные углы равны, а затем привели доказательство этой теоремы. Перпендикуляр ^ от латинского ___^ Ц perpendicuiaris ' ■ (отвесный). Докажем теорему о существовании перпендикуляра к прямой. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой. Доказательство Пусть А — точка, не лежащая на данной прямой а (рис. 56, а). Докажем, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой а. Мысленно перегнём плоскость по прямой а (рис. 56, б) так, чтобы полуплоскость с границей а, содержащая точку А, наложилась на другую полуплоскость. При этом точка А наложится на некоторую точку. Обозначим её буквой В. Разогнём плоскость и проведём через точки Л и В прямую. Пусть Н — точка пересечения прямых АВ и а (рис. 56, в). При повторном перегибании плоскоаи по прямой а точка Н останется на месте. Поэтому луч НА наложится на луч НВ, и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2. Таким образом, Z1 = Z2. Так как углы 1 и 2 — смежные, то их сумма равна 180=, поэтому каждый из них — прямой. Следовательно, отрезок АН — перпендикуляр к прямой а Теорема доказана. а) б) / ! '-1 в) в // а у а 1 Н а 2 А А Рис. 56 Теорема — греческое слово 0Есйрт1ра, озна- ‘ чающее рассмзтри- Фалес J ваю, обдумываю. Докажем теперь теорему о единственноаи перпендикуляра к прямой. I Из точки, не лежащей на прямой, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой. почазательств. Пусть А — точка, не лежащая на данной прямой а (см. рис. 56, а). Докажем, что из точки А нельзя провести два перпендикуляра к прямой а. Предположим, что из точки А можно провести два перпендикуляра АН и АК к прямой а (рис. 57). Мысленно перегнём плоскость по прямой а так, чтобы полуплоскость с границей а. содержащая точку А, наложилась на другую полуплоскость. При перегибании ^ точки Н \л К остаются на месте, точка А накладывается на некоторую точку. Обозначим её буквой В. При этом отрезки АН ^ и АК накладываются на отрезки ВН и ВК. ~ Углы АНВ и АКБ — развёрнутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки А, Н \л В ле- ^ жат на одной прямой и также точки А, К и Б лежат на одной прямой. Рис.57 Таким образом, мы получили, что через точки А и В проходят две прямые АН и АК. Но этого не может быть. Следовательно, наше предположение неверно, а значит, из точки А нельзя провести два перпендикуляра к прямой а. Теорема доказана. н к Замечание Теоремы о существовании и о единственности перпендикуляра к прямой можно объединить в одну теорему; из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. Э8 Из теоремы о единственности перпендикуляра к прямой следует, что две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, не пересекаются. Предположим, что две прямые, перпен-j дикулярные к прямой а, пересекаются в некоторой точке М. Точка М не может лежать на прямой а, так как в этом случае образуется развёрнутый угол, больший 180° (рис. 58, а). Если же точка М не лежит на прямой а (рис 58, б), то из точки М будут проведены два перпендикуляра к прямой а, что невозможно. Таким образом, две прямые, перпендикулярные к прямой а, не пересекаются. а) -XDL м б) м X_IL Рис. 58 14. Вопросы и задачи 13. а) Один из смежных углов на 60= меньше другого. Найдите эти углы, б) Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых угла, один из которых в три раза больше половины другого. Найдите эти углы. в) Исходя из рисунка 59, докажите, что + Z2 -I- Z3 = 180°. г) Три прямые пересекаются в одной точке и делят плоскость на шесть углов, два из которых равны 30° и 50°. Найдите остальные четыре угла. а) Один из смежных углов в три раза больше другого. Найдите эти углы. б) Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых угла, один из которых на 30° меньше половины другого. Найдите эти углы. в) Исходя из рисунка 60, докажите, что Z1-hZ2-i-Z4-i-Z7=Z3-hZ5-i-Z6 +Z8. г) Три прямые пересекаются в одной точке и делят плоскость на шесть углов. Один из этих шести углов в два раза больше другого и в три раза меньше третьего. Найдите остальные три угла в о D Рис. 61 в Рис. 62 Рис. 63 О Рис. 64 15. а) На рисунке 61 прямые АЕ и BF взаимно перпендикулярны. Найдите углы вое, EOD и AOD, если ZAOC = 30“. б) Угол, образованный биссектрисами углов АОВ и ВОС, изображённых на рисунке 62, равен 60®, а ZBOC = 30°. Докажите, что О А 1ОВ. в) На рисунке 63 прямые ОА и ОВ взаимно перпендикулярны и ZAOC = ZBOD. Докажите, что ОС ± OD. 16. а) На рисунке 61 прямые АЕ и BF взаимно перпендикулярны. Найдите углы DOF, ВОС и АОС, если ZBOD = 140°. б) Угол, образованный биссектрисами углов АОВ и АОС, изображённых на рисунке 64, равен 25°, а ZAOB = 40°. Докажите, что О А ± ОС. в) На рисунке 63 прямые О А и ОВ, а также прямые ОС и OD взаимно перпендикулярны. Докажите, что ZAOC = ZBOD. С 5ПИ 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 1. Объясните, что такое отрезок и концы отрезка. 2. Сколько прямых проходит через две данные точки? 3. Сколько общих точек могут иметь две прямые? Что означают слова «две прямые пересекаются»? Как называется общая точка двух прямых? Объясните, что такое луч и что такое полуплоскоаь. Какая фигура называется углом? Что называется вершиной угла и что — сторонами угла? Какой угол называется развёрнутым? Что означают слова: «луч делит угол на два угла»? Какие фигуры называются равными? Объясните, как сравнить два отрезка и как сравнить два угла. Какая точка называется серединой отрезка? Какой луч называется биссектрисой угла? Объясните, как производится измерение отрезков. Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD, если: а) отрезки АВ и CD равны; б) отрезок АВ меньше отрезка CD7 30 14. Точка С делит отрезок АВ на два отрезка Как связаны между собой длины отрезков АВ, АС и СВ1 15. Что такое градус? Что показывает градусная мера угла? 16. Какая часть градуса называется минутой, а какая — секундой? 17.__Как связаны между собой градусные меры двух углов, если: а) эти углы _____равны; б) один угол меньше другого? 18. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Как связаны между собой градусные меры углов АОВ, АОС и СОБ? 19. Какой угол называется острым, какой — прямым, а какой — тупым? 20. Какие углы называются смежными? Чему равна их сумма? 21. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают? 2^ Какие прямые называются перпендикулярными? 23. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой. Что такое основание перпендикуляра? 24. Что такое теорема и доказательство теоремы? 25. Докажите теорему о существовании перпендикуляра к прямой. 26. Докажите теорему о единственности перпендикуляра к прямой. Дополнительные задачи 17. Точка М — середина отрезка АВ, а точка N — середина отрезка МВ. Расстояние между серединами отрезков AM и NB равно d. Найдите АВ и расстояние между серединами отрезков AM и MN. 18._Отрезок разделен на п равных частей. Расаояние между серединами край-____них частей равно d. Найдите длину данного отрезка. 19*. Точка С лежит на прямой АВ, причем ВС = 3 см и АС > ВС. Расстояние _____между серединами отрезков АС и ВС равно 7 см. Найдите АС. 20». Точка С лежит на прямой АВ Расстояние между серединами отрезков АВ и АС равно d. Найдите ВС. 21. Найдите угол АОС, если: а) ZAOB = 28° и ZBOC = 82®; б) ZAOB = 135° и ZBOC = 55°. 22. Какой угол образуют стрелки часов в 3 ч 10 мин? J 23. Докажите, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. 24*. Докажите, что если биссектрисы углов АОВ и ВОС взаимно перпендику-_____лярны, то АС = АО + ОС. 25*. Известно, что Zhk + Zhl = '\80°. Могут ли углы hk и М быть: а) смежными; _____б) несмежными? 26*. Из точки М проведены перпендикуляры МН и МК к двум пересекающимся прямым. Докажите, что точки М, Н \л К ие лежат на одной прямой I J fl Треугольники 15 16 ■'■ V ./ 'r>. L_____ 37 S s □: i=: О t_ > Ш Q. §5 Равнобедренный треугольник Треугольник Выберем какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой. Соединив их тремя отрезками, получим геометрическую фигуру, называемую треугольником (рис. 65, а). Выбранные точки называются вершинами треугольника, а соединяющие их отрезки — его сторонами. Сумма длин всех сторон треугольника называется его периметром. а) 6) Треугольн1^к с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС, СА Рис. 65 Если вершины треугольника обозначены какими-нибудь буквами, например А. В \л С (рис. 65, 6). то его называют треугольником АВС (или ВАС, или САВ и т. д.). Иногда вместо слов «треугольник АВС» используют запись ААВС. Углы САВ, АВС и ВСА (см. рис. 65, 6) называются углами треугольника АВС. iB V к. I I ш .1 'I Парус имеет треугольную форму. Треугольник можно увидеть и на фасаде здания. Какие ещё предметы имеют форму треугольника’ Для каждой стороны треугольника можно указать противоположную вершину, а для каждой вершины — противоположную сторону. На рисунке 65, б противоположными являются сторона ВС и вершина А, сторона СА и вершина В, сторона АВ и вершина С. Теорема об углах равнобедренного треугольника Периметр — от греческих nepi [пери] — вокруг, около и netpeiv [мет-рейн] — измерять. Треугольник называется равнобедренным. если две его стороны равны Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 66, а). Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 66, б). б) Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник Рис. 66 Докажем теорему об углах равнобедренного треугольника Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Г 'К Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС (рис. 67, а) и докажем, что ZB = ZC. Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги, перевернём копию (рис. 67, б) и наложим её на треуголь- 2—Бутузов, 7 кл. id a) 6) cva') Рис. 67 НИК ABC так, чтобы вершина А копии совместилась с вершиной А треугольника, а отрезок АС копии — с равной ему стороной АВ треугольника (рис. 67, в). Так как угол А копии равен углу А треугольника, то отрезок АВ копии наложится на луч АС, а поскольку АВ = АС. то отрезок АВ копии совместится со стороной АС треугольника. В результате копия полностью совместится с треугольником АВС (рис. 67, г). При этом угол В копии совместится с углом С треугольника АВС. а значит, эти углы равны. Теорема доказана. Признак равнобедренного треугольника i Если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный. Док-г ательство. Рассмотрим треугольник АВС, углы Б и С которого равны (рис. 68, а), и докажем, что АВ = АС. Воспользуемся идеей доказательства теоремы об углах равнобедренного треугольника. Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги, перевернём копию (рис. 68, б) и наложим её на треугольник АВС так, чтобы вершина В копии совместилась с вершиной С треугольника, а вершина С копии — с вершиной В треугольника. Поскольку углы Б и С равны, то угол Б копии совме- стится с углом с треугольника, а угол С копии — с углом В треугольника. Поэтому точка А копии совместится с вершиной А треугольника. При этом отрезок АВ копии совместится со стороной АС треугольника АВС. Следовательно, АВ = АС. Теорема доказана Таким образом, равенство у треугольника двух углов позволяет сделать вывод о том, что этот треугольник равнобедренный, т. е. равенство двух углов является признаком равнобедренного треугольника. Рис. 68 Теорема о высоте равнобедренного треугольника На рисунке 69 биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке N. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 70). Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника (рис. 71). Докажем теорему о высоте равнобедренного треугольника. 35 .от сл -о о т X О о\ л и тз № X X Г s< ч ~а п '< “1 о :э о- X X 7? AN — биссектриса треугольника АВС AM — медиана треугольника АВС АН — высота треугольника АВС Рис. 69 Рис 70 Рис. 71 Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. 1о1 -rif Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором отрезок AD — высота, проведённая к основанию ВС (рис. 72, а). Докажем, что отрезок AD является также медианой и биссектрисой треугольника АВС. Мысленно скопируем треугольник АВС на лиа прозрачной бумаги, перевернём копию (рис. 72, б) и наложим её на треугольник АВС так, чтобы совместились вершина А копии с вершиной А треугольника, а отрезок АВ копии с равной ему стороной АС треугольника. В результате (как мы знаем из п. 11) копия полностью совместится с треугольником АВС. Так как из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС, то отрезок AD копии совместится с высотой AD треугольника АВС (рис. 72, в). При этом отрезок BD копии совместится с отрезком CD треугольника, и поэтому BD - CD, а угол BAD копии совместится с углом CAD треугольника, и, значит, ZBAD = ZCAD. Из этого следует, что отрезок AD является медианой и биссектрисой треугольника АВС. Теорема доказана. Утверждение, которое выводится непосредственно из теоремы, называется следствием. Поскольку мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведённые к основа- а) А Рис. 72 \ N , V Л ВВС 6) А А. о а а в) л (.A.'i £(,01 ВК,(У) 37 пересекаются в одной точке пересекаются в одной точке Рис 73 Рис 74 нию, совпадают, то в качестве следствий из доказанной теоремы можно вывести следующие утверждения; Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и медианой. •аме .и Любой треугольник имеет три медианы (рис. 73), три биссектрисы (рис. 74) и три высоты (рис. 75). Посмотрим на рисунки 73—75. Мы видим, что три медианы треугольника на рисунке 73 пересекаются в одной точке, три биссектрисы треугольника на рисунке 74 пересекаются в одной точке, три высоты треугольника или их продолжения на рисунках 75, а, б, в также пересекаются в одной точке. Случайно это или так будет в любом треугольнике? Оказывается, что так будет в любом треугольнике, но доказать это мы сможем только в 8 классе. в) Три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке Рис. 75 38 J3 Вопросе! и задаш* 27. a) Периметр треугольника ABC, изображённого на рисунке 76, отличается от периметра треугольника BCD на 5 см Найдите периметр треугольника ABD, если АВ = BD = DA = DC. б) Точка М — середина аороны АС треугольника АВС, в котором АВ = б см. Периметры треугольников АВМ и ВСМ отличаются на 10 см. Найдите сторону ВС. в) На стороне АС треугольника АВС с периметром 17 см отмечена точка D. Периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 3 см. Найдите сумму АВ + AD. 28. а) Периметр треугольника ABD, изобра- жённого на рисунке 76, равен 27 см. Найдите разность периметров треугольников АВС и BCD, если АВ = BD = DA = DC. Рис.76 б) Точка М — середина стороны АС треугольника АВС, сторона АВ меньше стороны ВС на 2 мм, периметр треугольника АВМ равен 16 мм. Найдите периметр треугольника ВСМ. в) На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка D, что периметры треугольников ABD и BCD отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ + AD - 28 см. 29. а) Отрезки АВ и АС на рисунке 77 равны. Сравните углы 1 и 2. б) Отрезки BD и DC на рисунке 76 равны. Сравните углы АВС и АСВ. 30. а) Отрезки АВ и АС на рисунке 78 равны Сравните углы 1 и 2. б) Отрезки АВ и AD на рисунке 76 равны. Сравните углы АВС и ADB. 31. а) Углы 1 и 2 на рисунке 77 равны Сравните отрезки АВ и АС. б) Отрезки АВ и ВС на рисунке 79 равны и Z1 = Z2. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный. В Рис. 77 Рис 78 Рис 79 Рис. 80 и ZACB = ZCBD, периметр треугольника BCD на 6 см в) На рисунке 76 ZABD = ZBDA = ZDAB, ZACB = ZCBD, а периметр треугольника ABD равен 33 см. Найдите разноаь периметров треугольников АВС и BCD. г) Отрезки АВ и АС на рисунке 80 равны и Z1 = Z2. Докажите, что треугольник DBC равнобедренный. 32. а) Углы 1 и 2 на рисунке 78 равны. Сравните отрезки АВ и АС. б) Отрезки CD и DE на рисунке 79 равны и Z3 = Z4. Докажите, что АВ = ВС. в) На рисунке 76 ZABD = ZBDA = ZDAB треугольника АВС отличается от периметра Найдите периметр треугольника ABD. г) Отрезки DB и DC на рисунке 80 равны и Z1 = Z2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 33. а) Напродолженииоснования АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка М. Для каких из треугольников АВС, АВМ и СВМ основание высоты, проведённой из вершины В, лежит на продолжении стороны? б) В треугольнике АВС точка М — середина стороны АВ и ZA = ZB. Докажите, что АВ ± СМ. в) Из середины М основания ВС равнобедренного треугольника АВС проведены биссектрисы МР и MQ треугольников АВМ и ACM. Докажите, что ZPMB = ZQMC. г) Сторона АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС продолжена за точку В на отрезок BD, равный АВ. Докажите, что высоты ВН и BE треугольников АВС и BCD взаимно перпендикулярны. д) Докажите, что прямая, проходящая через середину основания равнобедренного треугольника и перпендикулярная к основанию, проходит через вершину треугольника. 34. а) На продолжении основания АС равнобедренного треугольника АВС за точку С отмечена точка D. Для каких из треугольников АВС, ABD и CBD основание высоты, проведённой из вершины В, лежит на стороне? б) В треугольнике АВС точка М — середина стороны АВ и ZA = ZB Докажите, что ZACB = 2ZACM. в) Точка М — середина основания ВС равнобедренного треугольника АВС, точки В и В лежат на сторонах АВ и АС так, что ZDMB = 45° и ZDME = 90°. Докажите, что отрезок ME — биссектриса угла АМС. г) Медиана СМ треугольника АВС в два раза меньше его стороны АВ. Докажите, что медианы МР и MQ треугольников АМС и ВМС взаимно перпендикулярны. д) Отрезок АВ — общее основание равнобедренных треугольников АВС и ABD. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка АВ. 39 соо (-П BD I о о\ TJ <с I X о; г. "О С о ь о* X X ж 40 §6 Признаки равенства треугольников Равные треугольники Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. Рассмотрим равные треугольники АВС и AjBiCi (рис. 81). Каждый из них можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. вершины, стороны и углы одного треугольника совместятся с вершинами, сторонами и углами другого Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. ^ стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны. Так, например, на рисунке 81 против равных сторон АВ и AiBi лежат равные углы С и Ci-Равенство треугольников АВС и AiBiCi условимся обозначать так: ЛАВС = AA^BiCj. Отметим, что при наложении равных треугольников друг на друга совмещаются не только стороны и углы этих треугольников, но и соответавующие медианы, биссектрисы и высоты. Таким образом, в равных треугольниках соответавующие медианы, биссектрисы и высоты равны. Оказывается, что равенаво двух треугольников можно уаановить путем сравнения некоторых их элементов, т. е. без фактического наложения треугольников друг на друга. Возможность уаановить равенство двух фигур, не производя наложения одной на другую, а лишь измеряя и сравнивая некоторые их элементы, важна на практике, например при сравнении двух земельных участков, которые, конечно же, нельзя наложить один на другой. В этом параграфе мы докажем три теоремы о равенаве треугольников. Равные треугольники АВС и AiBiCi Рис. 81 I Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство Рассмотрим треугольники АВС и Аф-^С^, у которых АВ = AyBi, AC=AiCi, ZA=AAi (рис. 82, а), и докажем, что эти треугольники равны. Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник А^В-^С^ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной Ai, а стороны АВ и АС наложились на лучи Афх и AiCt- Это можно сделать, так как углы А\л А^ равны (рис. 82, 6). Поскольку АВ = АуВх и АС = A^Ci, то сторона АВ совместится со стороной AjBi, а сторона АС совместится со стороной AjCj (рис. 82, в), в частности совместятся точки В и Б^, С и Cl-Следовательно, совместятся стороны ВС и BjCi. Итак, треугольники полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана. Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется первым признаком равенства треугольников. AB=AiBi ~ AC=AiCi ‘ ZA = ZAi 6) Ci(C) Ai(A) в) Ci(C) \ Ai(A) В, Bi(B) Рис 82 Второй признак равенства треугольников м О Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. -О Доказательство- Рассмотрим треугольники АВС и у ко- торых AB-AiBi, ZA=ZAj, ZB^ZBi (рис. 83, а), и докажем, что эти треугольники равны. а) с Bi(B) Bi(B) Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник А^В^С^ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной Aj, сторона АВ — с равной ей стороной А^В^, а вершины С и Cj оказались по одну сторону от прямой AjBj (рис. 83, 6). Так как ZA = ZAi и ZB = ZBi, то сторона АС наложится на луч AjC^, а сторона ВС — на луч Б^С,. Поэтому вершина С — общая точка сторон АС и ВС — совместится с общей точкой лучей А^С^ и BjCj, т. е. с точкой С^ (рис. 83, в). Из этого следует, что стороны АС и ВС совместятся соответственно со сторонами AjCj и BjCj. Итак, треугольники полностью совместятся, и, следовательно, они равны. Теорема доказана. Третий признак равенства треугольников 43 I Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство Рассмотрим треугольники АВС и AyB^Ci, у которых AJB = AiBi, BC = BiCi, CA = CiAi (рис. 84), и докажем, что эти треугольники равны. Приложим треугольник АВС к треугольнику A^B^Ci так, чтобы вершины А и Ai, В и\ Bj^ совместились, а вершины С и Cl оказались по разные стороны от прямой AiB^ (рис. 85, а). Проведем отрезок CCj. Если он пересекает отрезок А^В^. то получим два равнобедренных треугольника: A^CiC и BjCiC (рис. 85, б). Значит, Z1 = Z2 и Z3 = Z4, и, следовательно, ZC = ZCj. Итак, АС = А^С^. ВС = Б1С1 и ZC = ZCi, поэтому треугольники АВС и А1Б1С1 равны по первому признаку равенства треугольников. Bj (В) АВ =AiBi AC=AiCi CB = CiBi Bi(B) coo O' "O s Ы z Q S -O о OB О X n -• OB Q -4 ■c Я) —I о СГ X X ж О ш Ai(A) Рис. 85 Стойки стремянки могут свободно раздвигаться до тех пор, пока они не будут зафиксированы перемычкой. Жёсткоаь такой конструкции основана на третьем признаке равенства треугольников. Кроме рассмотренного нами случая (рис. 85, б), возможны ещё два (рис. 86, а, 6). Доказательства равенства треугольников АВС и AjBiCi в этих случаях приведены на рисунках 86, а, б. Теорема доказана. а) Вг(В) (А) \ АС =AiCi, поэтому ZC = ZCi, следовательно, liABC = /ХА^ВхС-^ Рис. 86 б) 7/ Вх(В) AC=AxCi и BC = BiCi, поэтому Z1 =Z2 и Z3 = Z4. Следовательно, zc = zCi и £^АВС = ^iA^B^Cx 35. а) Углы AOQ и BOQ на рисунке 87 равны. Докажите, что если ОА = ОВ, ТО ЛАОС = ЛВОС. 6) Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, ТО этот треугольник равнобедренный. в) Углы АОС и вое на рисунке 87 равны. Докажите, что если О А = ОВ, то ААВС = ABAC И AQ = BQ. г) Углы AQC и ВВС на рисунке 88 равны. Докажите, что если АР = BQ, то ZABC = ABAC. R О A Рис 87 Q М N A Рис 88 Q д) На рисунке 87 О А = ОВ и AQ = BQ. Докажите, что ZCAO = ZCBO. е) На рисунке 87 АС =■ ВС и AR = ВР. Докажите, что АР = BR. ж) На сторонах АВ, ВС и СА равноаорон-него треугольника АВС взяты такие точки М, Р v\ К. что AM : МВ = ВР : РС = СК : КА = = 1:3. Докажите, что треугольник МРК — равносторонний. з) На рисунке 87 АС = ВС и СР = CR. Докажите, что AP = BR. 36. а) Отрезки ОР и OR на рисунке 87 равны и ZPOQ = ZROQ. Докажите, что АСОР - ACOR. б) На рисунке 87 АР = BR и О А = ОВ. Докажите, что AR = ВР. в) Отрезки PQ и RQ на рисунке 89 равны и ZPQC = ZRQC. Докажите, что ZCPR = ZCRP и CQ ± PR. г) Углы AQC и ВРС на рисунке 88 равны и AQ = ВР. Докажите, что ZACP = ZBCQ. д) Углы СРВ и СВР на рисунке 89 равны и PQ = RQ. Докажите, что CQ ± PR. е) На рисунке 87 О А = ОВ и ОР = OR. Докажите, что ZABC = ZBAC. ж) Стороны АВ, ВС и СА равностороннего треугольника АВС продолжены за точки А, В и С на отрезки AM, ВК и СР так, что МА :АВ = КВ:ВС = РС:СА = 2:^. Докажите, что треугольник МР7С равносторонний. з) На рисунке 88 СР = CQ, АР = BQ и AM = BN. Докажите, что МР = NQ. 37. а) На рисунке 89 ZCQP = ZCQR, АС = ВС и AQ = BQ. Докажите, что AAQR=ABQR. б) Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный в) На рисунке 88 ZCMP = ZCNQ, АС = ВС и MC = NC. Докажите, что МР = NQ. г) На рисунке 87 ZABO = ZBAO и ZOAC = ZOBC. Докажите, что АР = BR. д) На рисунке 87 ОА = ОВ и AQ = BQ. Докажите, что OP = OR. 38. а) На рисунке 89 ZCPQ = ZCRQ, АС = ВС и AR = BP. Докажите, что AAQR=ABQP. б) На рисунке 87 луч CQ — биссектриса угла АСВ, а луч OQ — биссектриса угла АОВ. Докажите, что АС = ВС. в) Углы ACQ и ВСР на рисунке 88 равны и АС = ВС. Докажите, что СР = CQ. R сЬ.,. А Рис. 89 Q 40. г) На рисунке 89 АС = ВС и О А = ОБ. Докажите, что АР = BR. д) Углы АСО и ВСО на рисунке 87 равны и CP = CR. Докажите, что AR = BP. а) На рисунке 87 АС = ВС и ОА = ОВ. Докажите, что ZAOQ = ZBOQ. б) На рисунке 89 СР = CR и QP = QR. Докажите, что ОР = OR в) На рисунке 89 СР = RQ и CR = PQ. Докажите, что СО = OQ и РО = OR. г) На рисунке 87 AP = BR и AR = BP. Докажите, что ZPAR = ZRBP а) На рисунке 89 CP = RQ и CR-PQ. Докажите, что ZCQP = ZQCR. б) На рисунке 87 АС = ВС и О А = ОВ. Докажите, что CQ L АВ. в) Углы AQR и BQP на рисунке 89 равны и СР - PQ = QR = RC. Докажите, что AR = BP. г) На рисунке 87 AR = ВР и CR = СР. Докажите, что ZPAR = ZRBP. §7 Прямоугольные треугольники Прямоугольник Рассмотрим (фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС. CD и DA. никакие два из которых не лежат на одной прямой и не имеют общих точек, отличных от концов. Такая фигура называется четырёхугольником ABCD (рис. 90), указанные отрезки называются аоронами. а концы сторон (точки А, В. С, D) — вершинами четырёхугольника. Две стороны четырёхугольника, имеющие общую вершину, называются смежными, а дае стороны, не имеющие общей верши ны, — противоположными. Смежными сторонами четырёхугольника ABCD (рис. 90) являются стороны АВ и ВС, ВС и CD, CD и DA, DA и АВ, а противоположными — стороны АВ и CD. ВС и DA. Отрезок, соединяющий две вершины и отличный от стороны (отрезки АС и BD на рисунке 90), называется диагональю четырёхугольника. Четырёхугольник ABCD называется прямоугольником, если углы АВС, BCD, CDA и DAB прямые (рис. 91). Докажем теорему о противоположных сторонах прямоугольника. Рис. 91 в _г -L' XJ D Прямоугольник ABCD ^ да (с -о Противоположные стороны прямоугольника равны. Если посмотреть на город с большой высоты, то можно увидеть, что многие дома выглядят как прямоугольники. Это хорошо видно на плане города. Доказательство Рассмотрим прямоугольник ABCD (рис. 92, а) и докажем, что его противоположные стороны, например АВ и DC, равны. Через середину М стороны AD проведём прямую, перпендикулярную к AD. Она пересечёт сторону ВС в некоторой точке N (рис. 92, б). Мысленно перегнём плоскость по прямой MN так, чтобы одна из полуплоскостей с границей MN наложилась на другую. При этом точки М \л N останутся на месте. Углы AMN и DMN прямые, поэтому луч МА наложится на луч MD. Кроме того, MA = MD. Следовательно, точки А и D совместятся. Поскольку углы Л и Z) прямые, то сторона АВ наложится на луч DC. Если при этом точки Б и С совмеаятся, то совместятся стороны АВ и DC, и, следовательно, они равны (рис. 92, е). Но не может ли получиться так, что точка В совместится не с точкой С, а с какой-то другой точкой Е луча DC (рис. 92, г)? В этом случае мы обнаружим, что прямой угол NBA совместился с прямым углом NED и, следовательно, из точки N к прямой DC проведены два перпендикуляра — NC и NE. Но этого не может быть, так как из точки, не ле- о а 1Г г с TJ а) С J- ВП. -ПО .Па в) С(В) D(A) и Л ■ с Е(В) D(A) ZJ ^ L AM = MD, MN LAD M N' -M В результате перегибания по прямой MN точки А и Д совмеаились, а аорона АВ наложилась на луч DC Рис. 92 жащеи на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Следовательно, точка В совмеаится с точкой С. Таким образом, стороны АВ и DC совместятся, а значит, АВ = DC. Теорема доказана. Если две смежные стороны прямоугольника равны, то все его стороны равны. Прямоугольник, все стороны которого равны, называется квадратом. Если один из углов треугольника прямой, то сумма двух других углов этого треугольника равна 90°. В самом деле, пусть угол С треугольника АВС прямой (рис. 93, а). Докажем, что ZA + ZB = 90°. Наряду с треугольником АВС рассмотрим прямоугольник’, смежные стороны которого равны соответственно отрезкам СВ и СА (рис. 93, б). Диагональ прямоугольника разделяет его на два треугольника, у которых эта диагональ является общей стороной, а другие стороны попарно равны как противоположные стороны прямоугольника (рис. 93, в). Каждый из этих треугольников равен треугольнику АВС (по двум сторонам и заключённому между ними прямому углу). Значит, Z^ = ZA и Z2 = ZB. Но Z1 -I- Z2 = 90°, поэтому ZA -н ZB = 90°, что и требовалось доказать. а) zc=90° t А б) // П // Г Смежные стороны прямоугольника равны соответственно сторонам СВ и СА треугольника АВС в) // К 2 //- Диагональ прямоугольника разделяет его на два треугольника, равных треугольнику АВС Рис. 93 ’ Здесь и в дальнейшем мы будем исходить из того, что для любых двух отрезков существует прямоугольник, две смежные стороны которого равны этим отрезкам. ^3 = 90°-^1, Z4 = 90°-Z2, Z1 +Z2 = 90°, следовательно, ZZ)-Z3 + Z4-180‘=-(Z1 +Z2)-= 180°- 90° = 90° Квадрат — от латинского quadratus (четырёхугольный). Рис 94 Если в четырёхугольнике ABCD углы DAB, АВС и BCD прямые, то этот четырёхугольник — прямоугольник. Требуется доказать, что угол CDA также является прямым. Доказательство смотрите на рисунке 94. Виды треугольников В пункте 18 мы доказали, что если один из углов треугольника прямой, то сумма двух других углов равна 90°, поэтому каждый из них острый. Рассмотрим теперь треугольник АВС. угол А которого тупой (рис. 95, а). Проведём из точки А во внутренней области угла ВАС луч, перпендикулярный к прямой АВ, и обозначим буквой D точку его пересечения со стороной ВС (рис. 95, 6). Угол В является углом треугольника ABD с прямым углом BAD. Следовательно, угол В острый. Аналогично доказывается, что угол С острый (рис. 95, в). Рис. 95 Итак, если один из углов треугольника тупой, то два других угла острые. Таким образом, мы приходим к заключению: в любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острые, а третий прямой или тупой. Отсюда, в частности, следует, что углы при основании равнобедренного треугольника острые. в) 7\ CJ -4 rt> Я •V. Катет треугольник треугольник Прямоугольный треугольник Рис. 96 Если все углы треугольника острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 96, а). Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называют тупоугольным (рис. 96, 6). Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называют прямоугольным (рис. 96, в). Рис. 97 Гипотенуза — от греческих бпб [гипо] — под и TEivco [тейно] — натягивать. Такое название связано с тем, что раньше было принято изображать прямоугольный треугольник стоящим на гипотенузе. Катет — от греческого кабето^ [катетос] — отвес Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие стороны — катетами Докажем, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета. Для этого рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С и на луче АВ отложим отрезок AM. равный катету АС (рис. 97). Треугольник ACM равнобедренный, поэтому угол ACM при его основании острый. Следовательно, луч СМ проходит внутри прямого угла АСВ, а точка М лежит на гипотенузе АВ (как и показано на рис. 97). Таким образом, АВ > AM - АС, т. е. гипотенуза АВ больше катета АС. Справедливость неравенства АВ > ВС доказывается аналогично. Отрезок АЛТ — наклонная к прямой а Рис. 98 Рассмотрим произвольную прямую а и точку А, не лежащую на ней. Пусть точка Я — основание перпендикуляра, проведённого из точки А к прямой а, а М — любая другая точка прямой а. Отрезок AM называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а (рис. 98). Перпендикуляр АН является катетом, а наклонная AM — гипотенузой прямоугольного треугольника АНМ. Так как катет меньше гипотенузы, то перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. На рисунке 98 расстояние от точки А до прямой а равно длине отрезка АН. Прямоугольный треугольник с углом в 30 Докажем сначала, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. 51 соо N а о “1 о :э O’ X о; О ч "О О h< 4 0 :з O’ 1 X ж 5 52 X X X о |_ > ш с. а) В зо\ б) BJ /зо° зо\ 60^ л //Л г п А С л X Из двух равных прямоугольных треугольников с углами в 30° составлен равноаоронний треугольник Рис. 99 Ф Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и углом в, равным 30° (рис. 99, а), и докажем, что АС = ^ВС. Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 99, б. Получится треугольник BCD, в котором ZD - ZB = 60°. Следовательно, DC = ВС. Но АС = ^DC, поэтому АС = ^ВС. Докажем теперь, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. ‘Ч Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетом АС. равным половине гипотенузы ВС (рис. 100, а), и докажем, что ZB = 30°. Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 100, б. Получится треугольник BCD, в котором DB - ВС, а так как ВС = 2АС - DC, то DB = DC. Следовательно, ZDBC^ZC, а так как ZDBC^IZB и ZC = 90°-ZB, то 2ZB=90°-ZB, откуда ZB = 30°. а) В А Рис. 100 АС = jBC ZC = 90°- CL \ J Л к треугольнику АВС приложили равный ему треугольник ABD. Так как DB = ВС и BC = 2AC = DC, то DB = DC Признаки равенства прямоугольных треугольников ( 53 В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны. Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 101); Прямоугольные треугольники равны по двум катетам если катет и прилежащии к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 102). Учитывая, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, получаем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 103); если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника Рис. 101 Рис. 103 Прямоугольные треугольники равны по катету и прилежащему острому углу Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу Прямоугольные треугольники равны по катету и противолежащему углу С Рис. 104 s V” s X -O c; О L_ > Ш Ql соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 104). В самом деле, в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников Рассмотрим ещё один признак равенства прямоугольных треугольников. I Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство Рассмотрим прямоугольные треугольники АВС и AjBjCi, у которых углы А \л А-^ прямые, ВС = В^С^ и АВ = AjBj (рис. 105, а). Докажем, что эти треугольники равны. Приложим треугольник АВС к треугольнику А^В^С^ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А^, вершина В — с вершиной Bi, а вершины С и Cj оказались по разные стороны от прямой AjBi (рис. 105, б). Поскольку ZCAiCi = 90® -f 90® = 180®, то точки С, А^ и Cl будут лежать на одной прямой. Треугольник СВ^С^ равнобедренный, поэтому ZC = ZCi. Следовательно, прямоугольные треугольники АВС и AjBiCi равны по гипотенузе (ВС = B^Cl) и острому углу (ZC = ZCj). Теорема доказана. Рис. 105 Серединный перпендикуляр к отрезку 55 Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему. На рисунке 106 прямая а — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку. I Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Доказательство Обозначим буквой М произвольную точку серединного перпендикуляра а к отрезку АВ и докажем, что AM = ВМ. Если точка М совпадает с серединой О отрезка АВ, то справедливость равенства AM = ВМ очевидна. Если же М и О — различные точки, то прямоугольные треугольники О AM и ОВМ (рис. 107) равны по двум катетам, поэтому AM = ВМ. Теорема доказана. ^ В любой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, заключение — то, что требуется доказать. Рассмотрим, например, теорему об углах равнобедренного треугольника. Чтобы выделить в ней условие и заключение, сформулируем её так: «если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны». Условием здесь является первая часть утверждения: «если треугольник равнобедренный», а заключением — вторая часть: «то углы при его основании равны». Можно сказать так: дан равнобедренный треугольник; требуется доказать, что углы при его основании равны. Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключени- Прямая а — серединный перпендикуляр к отрезку AS Рис. Ю6 Треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам Рис. 107 о- 7 С S Ж Если река является серединным пер пендикуляром к отрезку, соединяющему две деревни, то эти деревни равноудалены от моста через реку. ем — её условие. Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника: если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный. Отметим, что если доказана какая-нибудь теорема, то из этого ещё не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда оказывается верным. Например, мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные», конечно же, неверно. Докажем теорему, обратную теореме о серединном перпендикуляре к отрезку. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. во Рассмотрим произвольную точку М, равноудалённую от концов отрезка АВ, и докажем, что точка М лежит на сере динном перпендикуляре а к этому отрезку. Если точка М лежит на прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ, а значит, лежит на прямой а. Если же точка М не лежит на прямой АВ, то точки А, В \л М — вершины равнобедренного треугольника (рис. 108), так как АМ = ВМ по условию. Отрезок МО — медиана этого треугольника, а следовательно, и высота, поэтому М01АВ. Таким образом, прямая МО — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, и точка М лежит на нем. Теорема доказана. в Медиана МО равнобедренного треугольника АМВ является высотой Рис. 108 57 Множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от концов отрезка, еаь серединный перпендикуляр к этому отрезку. Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку. Следовательно, множество Ф и есть этот серединный перпендикуляр. Множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию, называют также геометрическим меаом точек, удовлетворяющих этому условию. Можно сказать, что серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое меао точек, равноудалённых от его концов. Свойство биссектрисы угла Докажем сначала теорему о биссектрисе угла, а затем обратную ей теорему. I Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторона Доказательство Обозначим буквой М произвольную точку биссектрисы неразвёрнутого угла А, проведём перпендикуляры МН и МК к сторонам угла и докажем, что МН = МК (рис. 109). Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и острому углу {AM — общая гипотенуза, Z1 = Z2 по условию). Следовательно, МН = МК Теорема доказана. ’Тоеаь равноудалена от прямых, содержащих аороны угла. Н м к треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и оарому углу Рис. 109 58 S I JQ c; 0 1 > LU a. I Каждая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Доказательство. Рассмотрим точку М, которая лежит внутри неразвёрнутого угла А и равноудалена от его сторон, т. е. перпендикуляры МН и МК к сторонам равны (рис. 110). Докажем, что луч AM — биссектриса угла А. Прямоугольные треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и катету {AM— общая гипотенуза, МН = МК по условию). Поэтому, Z1 = Z2, т. е. луч AM — биссектриса угла А. Теорема доказана. я/ Треугольники АМН и АМК равны по гипотенузе и катету Рис. 110 I ' Множество всех точек плоскости, каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон, есть биссектриса этого угла. Проекция отрезка Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра, проведённого из точки М к прямой а, если точка М не лежит на прямой а, и сама точка М, если она лежит на прямой о Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а. Рассмотрим острый угол POQ и отрезок АВ, лежащий на стороне ОР этого угла (рис. 111, а). Пуаь и — проекции точек А и В на прямую OQ. Наглядно видно, что отрезок А^В^ является проекцией отрезка АВ на прямую OQ. Однако этот факт требует обоснования: нужно доказать, что проекция каждой точки отрезка АВ лежит на отрезке AjBi и, обратно, каждая точка отрезка A^Bj является проекцией некоторой точки отрезка АВ. Начнём с доказательства первого утверждения Пусть — проекция точки М отрезка АВ на прямую OQ (рис. 111, б). Докажем, что точка М, лежит на отрезке A,Bi. Так как прямые ААу и ММ, перпендикулярны к прямой OQ, то они не пересекаются (см замечание 2 на с. 28), поэтому точка А, лежит по ту же сторону от прямой ММ,, что и точка А. По аналогичной причине точка В, лежит по ту же сторону от прямой ММ,, что и точка В. Но точки А и В лежат по разные стороны от прямой ММ,, поскольку эта прямая пересекает отрезок АВ. Следовательно, точки А, и В, также лежат по разные стороны от прямой ММ,, поэтому точка М, лежит между точками А, и В,, т. е. лежит на отрезке А,В,. Первая часть утверждения доказана. А, о. Точки А, и В, — проекции точек А и В на прямую OQ А, Ml В, Точка М, — проекция точки М на прямую OQ А, М, В, MiNLOQ Прямая MiN пересекает отрезок АВ в точке М ьоо N Z1 и » г о •ч: ”1 о :э (Г X £ п н TJ (D о о- X X ж X Рис. 111 Пусть теперь М, — произвольная точка отрезка А,В,. Докажем, что она является проекцией некоторой точки отрезка АВ. Проведём прямую M,N, перпендикулярную прямой OQ (рис. 111, в). Точки А и А, лежат по одну сторону от этой прямой (поскольку прямые А А, и MiN не пересекаются), точки В и В, также лежат по одну сторону от прямой M,iV, а точки А, и В, лежат по разные стороны от этой прямой. Следовательно, точки А и В также лежат по разные стороны от прямой М,Л", и поэтому прямая M,iV пересекает отрезок АВ в некоторой точке М (рис. 111, г). Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка М,. Утверждение доказано. Отметим, что точки А, и В, лежат на стороне OQ угла POQ, а не на её продолжении. В самом деле, если предположить, что точка А, лежит на продолжении стороны OQ (рис. 112), то получается треугольник АА^О с прямым углом Aj и тупым углом О, чего не может быть. Итак, мы доказали, что О проекцией отрезка, лежащего на одной из сторон острого угла, на другую сторону является отрезок. Докажем теперь теорему о проекциях равных отрезков Рис. 112 Q Ui i Если два отрезка, лежащие на одной стороне острого угла, равны, то их проекции на другую сторону также равны. сУ вУ Сг А \ О УН Доказательств Рассмотрим равные отрезки АВ и CD, лежащие на одной из сторон острого угла О (рис. 113, а). Пусть Ai, В^, Ci и Z»i — проекции точек А, В. С и D на другую сторону данного угла. Требуется доказать, что А^В^ = CiDj. Пусть Ag — проекция точки А на д) прямую BB^, Сг — проекция точки С на прямую DDi- Прямоугольные треугольники ABAz и CDCg равны по гипотенузе и острому углу {АВ = CD по условию, ZOBB^ - 90° - ZO = ZODDi), поэтому АА2 — ССг. В четырёхугольнике AA^B^Az углы Ai, Az и Bj прямые, поэтому этот четырёхугольник — прямоугольник, и его противоположные стороны AAz и AjBi б) равны. Аналогично CCz = C^D^. Итак, AjBi = AAz = CCz = С,В>1, и, значит, AiBi = CiZ)i. Теорема доказана. "1-Г_ В\ Сл D\ Проекции равных отрезков равны 1 -Со “:а(.. - . Если равные отрезки АВ и CD расположены так, как показано на рисунке 113, б (т. е. точка А совпадает с вершиной угла), то их проекции ABj и CjB, равны. Доказательство этого утверждения приведено на рисунке 113, б. ,т_ в. в, LABBi = liCDCz, поэтому ABi=CCz, а так как CCz — C\B\, то = Рис 113 Если на одной из сторон оарого угла лежат два отрезка, один из которых в п раз больше второго {п — натуралоное число), то проекция первого отрезка на другую аорону угла в п раз больше проекции второго отрезка. Действительно, обратимся к рисунку 114, на котором А^Ау = AyAz -- ... = и, следовательно, В^Ву = = ВуВ2 = ... = В„_ уВ„. Из этих равенств следует, что = пА^Ау. BqB„ = = пВууВу. Мы видим, что отрезок АоА„ в п раз больше отрезка AqAj и его проекция BqB„ в п раз больше проекции ВууВу отрезка АоА^. А„_, Aiy ~У “1___“I “L ® Во ^2 В„_1 В„ Рис. 114 Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин. В самом деле, пусть точка М — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, точка Му — проекция точки М на прямую АС (рис. 115). Поскольку отрезки МА и МВ равны, то их проекции МуА и МуС также равны. Итак, ММу 1 АС и МуА = МуС. Это означает, что прямая ММу — серединный перпендикуляр к отрезку АС. Следовательно, МА = МС. Таким образом, МА = МВ - МС, что и требовалось доказать. в Т_ Му ММу — серединный перпендикуляр к отрезку АС Рис 115 Следствие 2 можно сформулировать иначе; медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. о 4 о (Т '< —1 о 1Г 5 S s X м с; О Вопросы и эодачи 41. В котором ZC = 63"’ РИС.П6 42. а) Докажите, что если четырёхугольник ABCD — прямоугольник, то ZCAD = ZBDA. б) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что О А = О В = ОС = OD. в) Отрезок АН — высота треугольника АВС, АВАН = 27°. Докажите, что АВ = АС. г) На рисунке 116 изображён квадрат ABCD. в котором AP = BQ = CR=DS. Докажите, что четырёхугольник PQRS — квадрат. д) Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет его на два треугольника, углы каждого из которых соответственно равны углам данного треугольника. е) Из точки М аороны АВ треугольника АВС с углом С, равным 72°, проведён перпендикуляр МН к стороне АС. Извеано, что ZAMH=]8°. Докажите, что АВ-ВС. ж) Основания высот AAi и BBi треугольника АВС лежат на его сторонах, ZCAA^- ZABBy. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный. з) Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки стороны прямоугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, разделяет прямоугольник на два прямоугольника. и) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, точки М VI N — середины сторон АВ и AD. Докажите, что четырёхугольник AMON — прямоугольник. к) В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О, причём О А = ОВ - OD. Точки М и N — середины сторон АВ и AD. Докажите, что четырёхугольник AMON — прямоугольник. л) Отрезки MBi и MCj — перпендикуляры, проведённые из точки М основания ВС равнобедренного треугольника АВС к прямым АС и АВ, отрезок ВН — высота этого треугольника. Докажите, что МВ^ + MCi = ВН. а) Докажите, что диагонали прямоугольника равны. б) Точка Н — основание перпендикуляра, проведённого из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AD. Докажите, что АН = HD. в) На рисунке 116 углы А и D прямые, ZAPS=6'\° и ZDRS = 29°. Докажите, что PS1RS. Рис. 117 г) На рисунке 117 изображён квадрат ABCD, стороны которого продолжены так, что АР = BQ-CR = DS. Докажите, что четырёхугольник PQRS — квадрат. д) Из точки М, лежащей во внутренней области острого угла А, проведены перпендикуляры МН и МК к сторонам угла. Извеано, что ZAMH = ZAMK. Докажите, что луч AM — биссектриса угла А. е) На аоронах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно, отрезки МН и NK — перпендикуляры, проведённые из этих точек к стороне АС. Известно, что ZAMH = ZCNK. Докажите, что АВ - ВС. ж) Отрезки AD и АН — биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС с основанием АС. Найдите углы треугольника ADH, если ZB = 44°. з) Докажите, что если АВ 1 АС, CD 1 АС и BD1 АВ. то АС = BD. и) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, точка М — середина стороны AD. Докажите, что АВ = 20М. к) В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О, причём О А = ОВ = ОС = OD. Докажите, что четырёхугольник ABCD — прямоугольник. л) Докажите, что сумма длин перпендикуляров, проведённых из точки внутренней области’ равностороннего треугольника к его сторонам, равна высоте этого треугольника. 43. а) Высота АН прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе, равна 7 см, а угол С равен 60°. Найдите АВ. б) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна 8 см. Найдите АВ, если ZBDC = 120°. в) Отрезок CD — высота треугольника АВС с прямым углом С. Известно, что ВС = 2BD. Докажите, что AD = 3BD. г) Расстояние от середины стороны ВС равностороннего треугольника АВС до прямой АВ равно 7 см. Найдите расаояние от точки А до прямой ВС. д) Угол прямоугольного треугольника равен 30°. Докажите, что расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине одного из катетов. 44. а) Высота АН прямоугольного треугольника АВС, проведённая из вершины прямого угла, равна 4 см, АВ = 8 см. Найдите угол С. б) Биссектриса CD прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой ВС равна отрезку BD. Найдите угол BDC. в) Отрезок BD — высота треугольника АВС с прямым углом В. Известно, что АВ = 2BD. Докажите, что ЗЛС = 4AD. г) Угол В равнобедренного треугольника АВС равен 120°. Найдите расаояние от вершины С до прямой АВ, если АС = 30 см. д) Докажите, что если в прямоугольном треугольнике расаояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета, то один из его углов равен 30°. ’ Внутренняя облааь треугольника — это общая часть внутренних областей трёх его углов. О ь сг т и (D О :з 1Г S 46. 47. 48. а) Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный. б) Докажите, что если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведённая к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны. в) Докажите, что если острый угол и биссектриса, проведённая из вершины этого угла, одного прямоугольного треугольника соответственно равны острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла, другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. г) Докажите, что если прямая пересекает отрезок в его середине, то концы отрезка равноудалены от этой прямой. д) Докажите, что если в треугольнике биссектриса является медианой, то этот треугольник — равнобедренный. а) Высоты AAj и ББ, треугольника АВС равны, ABj = СА^. Найдите угол А. б) Две стороны и высота, проведённая к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведённой к одной из них, другого треугольника. Могут ли такие треугольники быть неравными? в) Докажите, что если сторона и проведённые к ней высота и медиана одного треугольника соответственно равны стороне и проведённым к ней высоте и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. г) Докажите, что если концы отрезка равноудалены от прямой, пересекающей отрезок, то эта прямая проходит через середину отрезка. д) Точки Ми/? — середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Докажите, что эти точки равноудалены от прямой ВС. а) Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите АС, если ВС = 24 см, а периметр треугольника АЕС равен 30 см. б) Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке стороны ВС. Докажите, что Z.A = ZB + ZC. в) Две биссектрисы треугольника проходят через точку О. Докажите, что и третья биссектриса проходит через точку О. г) Точки Н \лК — проекции середин сторон АВ и АС треугольника АВС на прямую ВС. Докажите, что ВС = 2НК. Рассмотрите все возможные случаи а) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника проходят через точку О. Докажите, что и серединный перпендикуляр к третьей стороне проходит через точку О. б) Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в точке, лежащей на третьей стороне. Докажите, что этот треугольник прямоугольный, а указанная точка — середина гипотенузы. в) Биссектрисы внешних углов при вершинах Б и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что луч АО — биссектриса угла А. г) Докажите, что прямая, проходящая через середины двух сторон треугольника, является серединным перпендикуляром к одной из его высот Соотношения между сторонами и углами треугольника Неравенство треугольника 6*^ Рис. 118 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Г Рассмотрим треугольник АВС и докажем, что АВ<ВС + СА, СА<АВ + ВС. ВС<СА + АВ. (1) Пусть, например, АВ^ВС и СА<БС. Тогда первые два из неравенств (1), очевидно, выполняются Докажем справедливость третьего неравенства Проведём высоту АН (рис. 118). Так как катеты прямоугольных треугольников АВН и АСН меньше их гипотенуз, в чааности НВ < АВ и СН < СА, и так как АВ < ВС и С А < ВС, то НВ < ВС и СН < ВС. Из двух последних неравенств следует, что точка Н лежит между точками Б и С. Таким образом, ВС = СН + НВ < СА ч- АВ. Теорема доказана. ■^^!| СЗ '-V.. 3—Буту'зов. 7 кг. Доказанную теорему можно сформулировать иначе: для любых трёх точек А, В \л С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства (1). Каждое из них называется неравенством треугольника. Теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. а) Рис. 119 - '=ьс1во Рассмотрим треугольник АВС, угол А которого больше угла В (рис. 119, а), и докажем, что ВС>АС. Отложим от луча АВ угол BAD, равный углу В, так, как показано на рисунке 119, 6. Поскольку ZBAD < ZBAC, то точка D лежит между точками Б и С. Из равенства ZBAD = ZB следует, что треугольник BAD равнобедренный: ^ BD = AD. Поэтому BC-^BD + DC = AD + DC. Но в силу неравенства треугольника AD + DC> АС. Следовательно, ВС > АС. Теорема до- ^ казана вс>ас в Докажем теперь обратную теорему. Рис. 120 I в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательсгпо Рассмотрим треугольник АВС. в котором ВС > АС (рис. 120), и докажем, что АА > ZB. Допустим, что это не так. Тогда либо АА - АВ, либо АА < АВ. Если АА = АВ, то ВС = АС, а если АА < АВ, то ВС < АС. И то и другое противоречит условию: ВС > АС. Поэтому угол А не может быть равным углу В и не может быть меньше угла В. Следовательно, АА > АВ. Теорема доказана. Замечание При доказательстве теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного. Мы предположили, что АА ^ АВ, т. е. предположили противоположное (противное) тому, что хотим доказать. Исходя из этого предположения, путем рассуждений мы пришли к противоречию с условием теоремы. Это означает, что наше предположение неверно, и, следовательно, А А > АВ. Такой способ рассуждений часто используется в математике при доказательствах утверждений. Мы тоже неоднократно им пользовались. Попробуйте вспомнить, где именно. Сумма углов треугольника I Сумма углов треугольника равна 180°. I Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что АА + АВ ZC = 180°. В любом треугольнике хотя бы два угла острые. Пусть, например, в треугольнике АВС острыми являются углы В и С. Проведём высоту АА^ (рис. 121). 67 соо 00 о О О -» X о Е <с X S г Я) X И X г» н О о X о г S X :э о S н ■О Я) о (Г X S ж о Точка Aj лежит как на луче ВС, так и на луче СВ (см. п. 24), т. е. лежит между точками В и С. Следовательно, ZA = ZBAAi + ZCAAi- Поскольку ZBAAi = 90° - ZB и ZCAAi = 90° - ZC, то ZA = 90° - ZB + 90° - ZC, откуда ZA + ZB+ ZC = 180°. Теорема доказана. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь из углов этого треугольника. Из теоремы о сумме углов треугольника следует что: внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с этим внешним углом. ^ В самом деле, обратимся к рисунку 122, на котором угол 4 — внешний угол, I смежный с углом 3 данного треугольника. Угол 3 в сумме с углом 4 составляет 180°. Этот же угол 3 в сумме с углами 1 и 2 также составляет 180°. Поэтому Z4 = Z1 -ь Z2, что и требовалось доказать. /С4 — внешний угол треугольника Z4 = Z1+Z2 Рис. 122 Вопросы и задачи tuft*. 49. а) На стороне АВтреугольника АВС, в котором АС = 14 см, ВС = 6 см, отмечена точка М. Может ли отрезок AM быть равным 20 см? б) В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием? в) Точки А и Б лежат по разные стороны от прямой CD, причём ZACD = ZBDC и АС = BD. Докажите, что ВС < АС + CD. г) Докажите, что медиана AAj треугольника АВС меньше полусуммы сторон АВ и АС. д) Докажите, что прямая, проходящая через середину стороны треугольника перпендикулярно к этой стороне, пересекает ббльшую из двух других сторон треугольника. е) Докажите, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра. ж) Докажите, что сумма медиан АА, и ВВ^ треугольника АВС больше полусуммы сторон АС и ВС 50. а) На стороне АВ треугольника АВС, в котором АС = 20 см, отмечена такая точка М, что СМ = 16 см. Может ли сторона АВ быть равной 4 см? б) Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны 5 см и 2 см. в) Точки А \л В лежат по разные стороны от прямой CD, причём AACD = ZBCD и АС = ВС. Докажите, что BD < АС + CD. г) Докажите, что медиана ААу треугольника АВС больше полуразности сторон АВ и АС. д) На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки Aj, Bi и Cl, отличные от вершин треугольника. Докажите, что периметр треугольника меньше периметра треугольника АВС. е) Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра. ж) Точки А\лС лежат по разные стороны от прямой BD, а точки В \л D — по разные стороны от прямой АС. Докажите, что 2 (АС + BD) > АВ + ВС -ь + CD + DA. 51. а) Стороны треугольника АВС связаны неравенствами АВ > ВС > АС. Сравните углы этого треугольника и выясните, может ли угол А быть тупым. б) Углы треугольника АВС связаны неравенствами ZA > ZB > ZC. Сравните стороны этого треугольника. в) Сравните углы АВС и ACD четырёхугольника ABCD, если ZBAC = ZCAD, АВ = AD = 7 см и АС = 10 см. г) Докажите, что отрезок, соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной вершиной, не больше боковой стороны. д) Отрезок AM — медиана треугольника АВС, в котором АВ > АС. Докажите, что ZBAM < ZCAM. 52. а) Стороны треугольника АВС связаны соотношением АВ = АС <ВС. Сравните углы этого треугольника и выясните, может ли угол А быть тупым. б) Углы треугольника АВС связаны соотношениями ZA> ZB-ZC. Сравните стороны этого треугольника. в) Сравните стороны АВ и CD четырёхугольника ABCD, если ZBAC = = ZCAD = 30° и ZACB = ZACD = 45°. г) Докажите, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, не больше большей из двух других сторон. д) Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС, в котаром АВ > АС. Докажите, что BD > DC. 53. а) Найдите углы треугольника АВС, если ZA : ZB : ZC = 1:2:3. б) Внешний угол треугольника больше углов, не смежных с ним, соответственно на 30° и 70°. Найдите углы этого треугольника в) Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке О, причём ZAOC = 150°. Найдите углы этого треугольника. г) На стороне АВ треугольника АВС, в котором ZB = 30°, отмечена точка D, причем ZACD + ZADC = 120°. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. 70 s X с; о > ш о. 54. 3. 4. 5. д) Докажите, что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный. Верно ли обратное утверждение? е) Во внутренней области угла АВС, равного 60°, отмечена точка D так, что ZBAD = 100° и ZBCD = 80°. Найдите угол ADC. ж) Точка, равноудалённая от вершин треугольника, лежит в его внутренней области. Докажите, что этот треугольник — остроугольный. з) Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС с прямым углом С Докажите, что CD < АС < AD < АВ. а) Один из углов равнобедренного треугольника в два раза больше другого. Найдите эти углы. б) Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 100°. в) На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D. Известно, что BD = DC, ZADC = A0° и ZACD = 30°. Найдите углы треугольника АВС. г) Биссектрисы АА^ и ВВ^ треугольника АВС пересекаются в точке О, причём ZAOB = 135°. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный д) Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен а. е) Во внутренней области прямого угла АВС отмечена такая точка D, что ZBAD = 2Q° и ZBCZ) = 10°. Найдите угол ADC. ж) Точка, равноудалённая от вершин треугольника, лежит во внешней области одного из его углов. Докажите, что этот треугольник — тупоугольный. з) Отрезок AD — медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите, что ZBAD < ZABC < ZADC < ZACB Вопросы для повторемия 1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Что такое стороны, вершины, углы и периметр треугольника? 2. Какой треугольник называется равнобедренным? равносторонним? Как называются стороны равнобедренного треугольника? Сформулируйте и докажите теорему об углах равнобедренного треугольника Докажите теорему (признак равнобедренного треугольника): если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? t 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25, Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? Сформулируйте и докажите теорему о высоте равнобедренного треугольника. Какое утверждение называется следавием? Сформулируйте следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников. Объясните, какая фигура называется четырёхугольником. Что такое вершины, смежные стороны, противоположные стороны и диагонали четырёхугольника? Какой четырёхугольник называется прямоугольником? Сформулируйте и докажите теорему о противоположных сторонах прямоугольника. Какой четырёхугольник называется квадратом? Докажите, что если один из углов треугольника прямой, то сумма двух других углов этого треугольника равна 90°. Докажите, что если три угла четырёхугольника прямые, то этот четырёхугольник — прямоугольник. Докажите, что в любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острые, а третий прямой или тупой. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника — острые. Какой треугольник называется остроугольным? прямоугольным? тупоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника? Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета. Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведённой из данной точки к данной прямой. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой Что называется расстоянием от точки до прямой? Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Сформулируйте четыре признака равенства прямоугольных треугольников, вытекающие из первого и второго признаков равенства треугольников. 71 ООО 00 П О о н X о Е о X S 90 2 о X 1а п -I О Т) о X о S S X :э Q i X -I ■о <ь “•с О ь г X X о 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34*. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? Докажите теорему; каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Что такое условие теоремы и заключение теоремы? Какая теорема называется обратной данной теореме? Докажите теорему: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку По отношению к какой теореме эта теорема является обратной? Докажите, что множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Докажите теорему: каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Докажите теорему; каждая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе По отношению к какой теореме эта теорема является обратной? Докажите, что множество всех точек плоскоаи, каждая из которых лежит внутри неразвёрнутого угла и равноудалена от его сторон, еаь биссектриса этого угла. Докажите, что проекцией отрезка, лежащего на одной из сторон острого угла, на другую сторону является отрезок. Сформулируйте и докажите теорему о проекциях равных отрезков. Докажите, что если на одной из сторон острого угла лежат два отрезка, один из которых в п раз больше второго (п — натуральное число), то проекция первого отрезка на другую сторону угла в п раз больше проекции второго отрезка. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин. Докажите теорему: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Объясните, что такое неравенство треугольника. Докажите теорему: в треугольнике против большего угла лежит ббльшая сторона. Докажите теорему: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. По отношению к какой теореме эта теорема является обратной? Объясните, в чем состоит метод доказательства от противного. Приведите пример доказательства теоремы методом от противного. 42. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника. 43. Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с этим внешним углом. Дополнительные задачи §5 55 Точка С лежит на прямой АВ, а точка В не лежит на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков АЛ. BD и CD не равны друг другу. Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника АВС ____пересекаются в точке О. Докажите, что ZABO = ZCBO. 57. Докажите, что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, то ме-_____^диана AM треугольника не является высотой. 58'. Докажите, что каждый угол имеет биссектрису. 59'. Докажите, что каждый отрезок имеет середину. §6 60. В треугольниках АВС и А^В^С^ стороны АВ и А,Б, равны и ZA = ZAy, ZB = ZB^. На сторонах АС и A,Ci отмечены точки D \л Л^ так, что СБ = €,£>,. Докажите, что треугольники BDC и В^Л^С^ равны, и сравните отрезки BD и В^Лу 61 В треугольниках АВС и AiB,C, углы А и Aj равны и АВ = АуВ^, АС = А,С(. На сторонах АС и AjC^ отмечены точки Л \л Л^ так, что ZDBC = ZDiBfi^. Докажите, что треугольники BDC и Б,Б,С, равны, _____и сравните углы ББС и Б,Б,С,. 62. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Б и Б так, что АЛ = СЕ. Отрезки DC и АЕ пересекаются в точке О. Докажите, что АО = ОС. 63. Вершины Б и Б равнобедренных треугольников АБС и АБС с общим основанием АС лежат по разные стороны от прямой АС На отрезке ББ отмечена точка Е, не лежащая на прямой АС. Докажите, что ZEAC = _____ZACE. 64. На сторонах ОК и OL треугольников СКВ и OLC с прямыми углами при вершине О отмечены точки А \л Л. Известно, что О А = ОБ, АК = DL _____и ZKAB = ZCDL. Докажите, что КВ - CL. 65. Отрезки АЛ и BE пересекаются в точке С, причём АС = СЕ и ZBAC - ZDEC Докажите, что ААВЕ = AEDA. 66. Докажите, что в равнобедренном треугольнике равны; медианы, проведён-74 ) ные к боковым сторонам; биссектрисы, проведённые к боковым сторонам 67. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника X с; О 68. На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены такие точки Р и Q, что ZPMB = ZQMC, где М — середина основания ВС. Докажите, что _ _BQ = CP. 69. На рисунке 123 отрезки АС и BD равны и ZCAD = ZBDA. Докажите, что ZBAC = ZCDB. 71. 73. 75. 76. 77. 78 79. 70. 72. На рисунке 124 AB = CD, AD = BC, BE и DF — высоты треугольников АВС и ADC. Докажите, что ААВЕ = ACDF. В треугольниках АВС и А,В,С, равны стороны АВ и AjjB,, вс и BjCi. медианы AM и А,М,. Докажите, что ЛАВС = AA^BjCj. В треугольниках АВС и A,BiC, равны углы А и А|, стороны АВ и AjBj, биссектрисы AD и AjBj. Докажите, что ААВС = AA^BjC^. §7 Рис. 123 Рис. 124 Докажите, что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника, а основания двух других высот — на продолжени-_____ях сторон. 74. Отрезки АН и AD — высота и биссектриса треугольника АВС. Докажите, _____что угол HAD равен модулю полуразности углов В и С. Продолжения высот ВВ, и СС, треугольника АВС с тупым углом А пересекаются в точке Н. Докажите, что ZABH = ZACH и ZA + ZBHC = 180®. Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведённые из вершин основания, равны. Докажите, что если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого остроугольного треугольника, то такие треугольники равны. Докажите, что середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от боковых сторон. Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Докажите, что АВ 1 ОМ 80.__Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых ______от двух данных пересекающихся прямых? ( 75 81.__Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что прямая СМ — серединный перпен-_____дикуляр к отрезку АВ. 82.__Высоты АА^ и ВВ^ равнобедренного треугольника АВС, проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС — _____^серединный перпендикуляр к отрезку АВ 83*. На диагонали АС квадрата ABCD отмечена такая точка N. что AN = 3NC, точка М — середина стороны АВ. Докажите, что ZDNM = 90~. О §8 84. Точка М лежит во внутренней области треугольника АВС. Докажите, что МВ + МС<АВ + АС. 85. Точка М лежит во внутренней области треугольника АВС. Докажите, что МА + МВ + МС<АВ + ВС + С А. 86. Докажите, что для любых точек А, В \л С имеет место неравенство АВ < АС + СВ. 87. Отрезок AM — медиана треугольника АВС, причём АСАМ < АВ + АС. Докажите, что АВ < 2АМ. 88. Отрезок AM — медиана треугольника АВС, причём АС > 2АМ. Докажите, что АС + АВ< АМАВ. 90. Во внутренней области равностороннего треугольника АВС отмечена точ-_____ка D. Докажите, что DA < DB + DC. 92.__На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС отмечены такие точки В и В, _____^что BD = ВС и АЕ = АС. Найдите угол ВСЕ. 93. На гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС отмечена такая точка Р, что АР = АВ. Отрезок BD — высота треугольника. Докажите, что луч ВР — биссектриса угла CBD. А Рис. 125 D I О “О ; X О г 89. В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются, а сторона АВ больше диагонали RD Докажите, что АС > СП 91. Треугольники АВС и DEF на рисунке 125 равносторонние Докажите, что AD = BE = CF. о О ь (Г 94.__На рисунке 126 АВ = АС и AP = PQ = QR = = RB = BC. Найдите угол А и докажите, что _____BQ = BR. Биссектрисы углов А \л В треугольника АВС пересекаются в точке М, причём ZAMB = 142'. Найдите углы ACM и ВСМ. 95. 96. Отрезок AAi — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что АВ > А^В и АС > А-^С. 197*. В треугольнике АВС угол С прямой, а ZB = 35®. На аоронах АВ и ВС отмечены такие точки Р 1 и Q. что ZPCB = 20' и ZBAQ = 10®. Найдите j угол CPQ. j 98\ Перпендикуляр МН к прямой, содержащей катет АС прямоугольного тре-II угольника АВС, пересекает гипотенузу ВС в точке D. Известно, что i ZCDH = 50®, ZCMH = 45° и ZABH = 10®. Найдите угол ВМН. д. 'I с Рис. 126 —В 7пава 3 Окружность 0) шш •;- --^ ‘ “'•— "^-'‘ '-■' \ '’ /. "i t' i' i §9 Отрезки u углы, связанные с окружностью (с. 10), треугольника (с. 32) и т ление. Определение окружности Предложение, в котором разъясняется смысл какого-либо слова или словосочетания, называется определением. В нашем учебнике уже были определения, например определе! 1ие угла д. Сформулируем ещё одно опреде- Определение Окружноаью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии отданной точки. м в о о м о Окружноаь Круг содержит радиуса г с центром О точку О и все точки М. для которых ОМ ^ г Отрезок АВ — диаметр окружности Рис. 127 Рис. 128 Рис. 129 Данная точка (точка О на рис. 127) называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, радиусом окружноаи (отрезок ОМ на рис. 127). Из определения окружности следует, что все радиусы равны друг другу. Часть Радиус — от латинского radius (спица в колесе). Диаметр — от греческого бкхцетро? [диаметрос] — поперечник ПЛОСКОСТИ, ограниченная окружностью, называется кругом (рис. 128). Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр, называется диаметром (рис. 129). Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то диаметр окружности в два раза больше её радиуса. Для построения окружности пользуются циркулем (рис. 130). Для проведения окружности на местности пользуются веревкой и двумя колышками (рис. 131). Докажем, что никакие три точки окружности не лежат на одной прямой. Воспользуемся методом доказательства от противного: допустим, что какие-то три точки А, В \л С окружности с центром О лежат на некоторой прямой а. Пусть М ]л N — середины отрезков АВ и ВС (рис. 132). Поскольку О А = ОВ, то точка О лежит на серединном перпендикуляре Поароение окружности с помощью циркуля Построение окружности с помощью веревки и дв^'х колышков Рис 130 Рис 131 во к отрезку АВ, поэтому ОМ 1 а. Аналогично (исходя из равенства ОВ = ОС) получаем ON 1 а. Таким образом, из точки О проведены два перпендикуляра к прямой а — ОМ и ON. Но этого не может быть Следовательно, точки А, Б и С не лежат на одной прямой, 410 и требовалось доказать. —Ф Взаимное расположение прямой и окружности Точка М [Л N — середины отрезков АВ и ВС Рис. 132 Рассмотрим окружность с центром О радиуса г и прямую а. Если прямая а проходит через точку О, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, лежащего на этой ____________. прямой (рис. 133). о “ Если же прямая а не проходит через точку О, то проведём перпендикуляр ОН к прямой а и обозначим его длину, т. е. расстояние от центра данной окружности до к\л ь — концы прямой а, буквой d. Выясним, сколько об- диаметра щих точек имеют прямая а и окружность в зависимости от соотношения между d и г. Рис. 133 Возможны три случая. 1° d г. Это означает, что точка D лежит вне круга, ограниченного данной окружностью. Таким образом, один конец отрезка HD (точка Н) лежит внутри указанного круга, а другой (точка D) — вне этого круга. Следовательно, на отрезке HD найдется точка А, лежащая на окружности (рис. 134, в), т. е. О А = г. Отложим на продолжении луча НА отрезок НВ, равный отрезку НА (рис. 134, г). Прямоугольные треугольники ОНА и ОНВ равны по двум катетам. Следовательно, ОВ = ОА = г, поэтому точка В также является общей точкой прямой и окружности. Поскольку никакие три а) Н L ” б) D OH = dHD 81 coo >о в) Н Н В D О О ОА=г НВ=НА, ОВ = ОА = г Рис. 134 ТОЧКИ окружности не лежат на одной прямой, то других общих точек у прямой а и окружности нет. Итак, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности {d < г), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности. 2° d — г. Так как ОН - г, то точка Н лежит на окружноаи и, следовательно, является общей точкой прямой а и окружности (рис. 135). Для любой другой точки М прямой а наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН, т. е. ОМ > ОН -г, \л поэтому точка М не лежит на данной окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d = г), то прямая и окружность имеют только одну общую точку. м н d = r о Наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН, поэтому точка М не лежит на окружноаи (1) U) 'J 2 N п а :й UI О X X £ о о "D X X О л -4 1Г 5 Рис. 135 u о X > CL О В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. 3° d > г. Так как ОН > г, то для любой точки М прямой а справедливо неравенство ОМ > ОН > г (рис. 136). Следовательно, точка М не лежит на окружности. Итак, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d > г), то прямая и окружность не имеют общих точек. м н Точка М лежит вне окружности, так как ОМ > ОН > г Рис. 136 Касательная Докажем теорему о свойстве касательной. I Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Доказательство Пусть а — касательная к окружноаи с центром О, А — точка касания (рис. 137). Докажем, что а 1 ОА. Допустим, что это не так. Тогда радиус ОА будет наклонной к прямой а, поэтому расстояние от точки О до прямой а меньше радиуса. Из этого следует, что прямая а является секущей, а не касательной, что противоречит условию. Следовательно, прямая а перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана. Рассмотрим две касательные к окружноаи с центром О, проходящие через точку А. Пусть В и С — точки касания (рис. 138). Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных, проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойавом: отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Прямая а — касательная к окружноаи, А — точка касания 83 100 •D Рис. 137 Рис. 138 В самом деле, по теореме о свойстве касательной ZABO = 90° и ZACO = 90°, т. е. треугольники АВО и АСО прямоугольные Эти треугольники имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. поэтому они равны. Следовательно, АВ = АС и ZOAB-ZOAC, что и требовалось доказать. Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной (признак касательной). I Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Доказательство. По условию данный радиус (радиус О А на рис. 139) является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к данной прямой а, поэтому расстояние от центра окружности до прямой а равно радиусу. Следовательно, прямая а и окружность имеют только одну общую точку, т. е. данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана. о ОА — радиус окружноаи ОА ± а Рис. 139 ь Т п ф л Ы G Т Г О Г| * з: 84 Хорды и дуги __F и о X > а О АВ. CD \л EF — хорды окружности Рис 140 Q О Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. На рисунке 140 отрезки АВ, CD и EF — хорды окружности {CD является и диаметром окружности). Отметим на окружности какие-нибудь две точки — Л и Б. Прямая АВ разделяет окружность на две части, каждая из которых называется дугой окружности. На рисунке 141 изображены две дуги с концами А и Б; дуга АР В (синяя) и дуга AQB (зелёная). Дуги АР В и AQB обозначают так; ^АРВ и ^AQB. В тех случаях, когда ясно, о какой из двух дуг с концами А и Б идет речь, используют краткое обозначение: ^АВ. Если отрезок, соединяющий концы дуги, является диаметром окружности, то дуга называется полуокружностью. На рисунке 142, а изображены две полуокружности (синяя и зелёная). Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом (угол АОВ на рис. 142, б). С помощью центральных углов можно измерять дуги в градусах Если дуга АВ окружности с центром О лежит внутри угла АОВ или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла А ОБ; если же дуга АВ не лежит внутри угла АОВ, то её градусная мера считается равной 360° - Z.AOB (рис. 142). ! в '^АРВ и '^AQB — дуги окружности, ограниченные точками А \л В Рис. 141 wALB = 180'' б) О / В ^ALB=ZAOB в) О у / А. ^ALB = 360‘-ZAOB В ч Рис. 142 \ ^ 45>_J10° О D v-^BC£>=155“ '-'АВ = 25= w^DB = 335° Рис. 143 Хорда — от греческого xopS^l (струна, жила). Градусная мера дуги обозначается так же, как и сама дуга (см. рис. 142). Из определения градусной меры дуги следует, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°. На рисунке 143 градусная мера дуги BCD равна 155°, поскольку wBCD = ^ВС + ^CD = 45° + 110° = 155°. Обычно говорят кратко: дуга BCD равна 155°, и пишут: ^БС13 = 155° На этом же рисунке ^АВ = 180° -155° = 25°, ^ADB = 360° - 25° = 335°. Угол между касательной и хордой Рассмотрим окружноаь с центром О и прямую СС^, касающуюся окружноаи в точке А (рис. 144). Проведём хорду АВ. Каждый из углов ВАС и BACi будем называть углом между касательной и хордой. Докажем теорему об угле между касательной и хордой. о I Угол между касательной и хордой измеряется половиной заключённой внутри этого угла дуги. С Рис. 144 (1) I и t п I - i л о г “О > X О •'I 1Г 5 86 u О X > CL V О a) M В О A -1 6) vAMS= 180® ABAC = 90° = Xr^AMB D b) D ^AB =/.AOB = a, поэтому ZOAB = -j( 180° - a) a ZCAB = 90° - ZOAB = ia Рис. 145 Доказательство. Если хорда АВ — диаметр (рис. 145, а), то дуги, заключённые внутри углов ВАС и ВАС^, являются полуокружностями и, следовательно, равны 180°. Поскольку ZBAC = ZBAC^ = 90°, то утверждение теоремы справедливо. Если же хорда АВ не является диаметром (рис. 145, б), то острый угол САВ между касательной CCj и хордой АВ равен 90° - ZOAB, а тупой угол С-^АВ равен 90° + ZOAB. Обозначим буквой а величину центрального угла АОВ (рис. 145, в). Тогда '^АВ = а и '~>ADB — 360° - а. В равнобедренном треугольнике АОВ угол ОАВ равен j(180°-o’.) = 90°-|. поэтому ZCAB = 90° - ZOAB = 90° - 90°- а — Г ZCiAB = 90° -Р ZOAB = 90° -f-1 90° - у ^ = 180° - у = ^ (360° - а). Таким образом, каждый из углов между касательной CCi и хордой АВ измеряется половиной заключённой внутри него дуги. Теорема доказана. Вписанный угол Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, заключённую внутри зтого угла. На рисунке 146 вписанный угол АВС опирается на дугу АМС. Докажем теорему о вписанном угле. Рис. 146 I Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Доказательство Рассмотрим вписанный угол АВС, опирающийся 1 на дугу АС окружности (рис. 147, а), и докажем, что Z.ABC = -^АС. Проведём через точку В касательную PQ к окружности (рис. 147, б). Лучи ВА и ВС делят развёрнутый угол PBQ на три угла: ZPBA, ZABC и ZCBQ. Поэтому ZABC = 180° - ZPBA - ZCBQ. Угол РВА (угол между касательной PQ и хордой АВ) равен -^АВ. Аналогично ZCBQ = j'-^CB. Следовательно, ZABC = 180° - j ^АВ - ^ ^СВ = j (360° - ^АВ - ^СВ) = ^ ^АС. Теорема доказана. 87 <хп О ■D ге W 7(. S -< а п ш 30 ы 0 X 1 п п О тз '< а) А \ \ \/ В б) Л . - с ZABC = 180' - ZPBA - ZCBQ = = 180°- l^AB- i^CB = = 1(360° - vAB - wCB) = 1 vAC л, / Q V S Рис. 147 88 .а »— U' 0 1 > о. О 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 148). 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 149). Отметим также, что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности. В самом деле, середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин (см. п. 24), поэтому если диаметром окружности является гипотенуза (рис. 150), то окружность проходит через все вершины треугольника и, следовательно, вершина прямого угла лежит на этой окружности. Рис. 148 Рис. 149 Вопросы и задачи 100. Диаметр окружности — гипотенуза прямоугольного треугольника 99. а) Точки А, В, С \л D лежат на окружности с центром О, причем ZAOB = = ZCO£>. Докажите, что ЛВ = CD. Рис. 150 б) Точки Л, В, С и D лежат на окружности с центром О, причем AB = CD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ и CD. в) Отрезок AD — высота треугольника АВС. На прямой ВС отмечена точка L так, что точка D является серединой отрезка CL; на прямой АВ отмечены точки М \л N так, что AM = АС и точка А является серединой отрезка MN. Докажите, что точки С, L, М и N лежат на одной окружности. а) Точки М, N, Р и Q лежат на окружности с центром О, причём MN = PQ. Докажите, что ZMON = ZPOQ. б) Точки М, N. Е \л F лежат на окружности с центром О, причём точка О равноудалена от прямых MN и EF. Докажите, что MN = EF. в) Отрезки ОА и ОВ — радиусы окружности, причём ZAOB = М0°. Биссектриса ОР угла АОВ пересекает окружноаь в точке Q, при этом PQ = OQ. Докажите, что точки А, В. О и\ Р лежат на одной окружности. 101. а) Отрезок АВ — гипотенуза прямоугольного треугольника АВС. Докажите, что прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АС, а прямая АВ не является касательной к окружности с центром С радиуса ВС. б) В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 20 см и /.А - 60°. Каким должен быть радиус окружности с центром А, чтобы она: 1) касалась прямой БС; 2) не имела с прямой ВС общих точек; 3) имела с прямой ВС две общие точки? в) В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны и АВ = 10 см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С радиуса 5 см? г) Точки А\л В лежат на касательной к окружности с центром О по разные стороны от точки касания, причем О А = ОВ = 8 см и Z.AOB = 120°. Найдите радиус окружности. д) Прямые МА и МВ — касательные к окружности, Л и S — точки касания, отрезок АВ равен радиусу окружности. Найдите угол АМВ. е) Прямые МА и МВ — касательные к окружности радиуса 4 см, А\л В — точки касания, ZAMB = 60°. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. ж) Дуга АВ окружности с центром О меньше 180°. На этой дуге отмечена точка М. Прямая, касающаяся окружности в точке М, пересекает касательные СА и СВ в точках Р и Q. Докажите, что периметр треугольника CPQ и величина угла POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ. 102. а) Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 5 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: 1) ZAOH = 45° \л АН = 6 см: 2) ZAOH = 60° и ОА = Ю см1 б) Точка М — середина стороны АВ квадрата ABCD со стороной 10 см. Каким должен быть радиус окружности с центром М, чтобы она: 1) касалась прямой CD, 2) не имела с прямой CD общих точек; з) имела с прямой CD две общие точки? в) В треугольнике АВС угол С — прямой, АВ = 2АС, ВС = 6 см. Каково взаимное расположение прямой АВ и окружности с центром С радиуса 3 см? г) Точки Р и Q лежат на касательной к окружности с центром О так, что OP = OQ, PQ = 20cM и ZPOQ = 90°. Найдите радиус окружности д) Прямые МА и МВ — касательные к окружности с центром О радиуса 3 см, А и В — точки касания, МО = 6 см. Найдите угол АМВ. осп о ТЗ Q W э V п а XI W о X X а а> о т: -о >< X О п н 1Г 5 о е) Перпендикулярные прямые AB и АС — касательные к окружности с центром О (В и С — точки касания). Докажите, что четырёхугольник ОВАС — квадрат. ж) Дуга АВ окружности с центром О больше 180°. На этой дуге отмечена точка М. Прямая, касающаяся окружноаи в точке М, пересекает касательные С А и СВ в точках Р и Q. Докажите, что величина СР + CQ - PQ и угол POQ не зависят от выбора точки М на дуге АВ. 103. а) Дуга АВ окружноаи с центром О и радиуса 8 см равна 30° Найдите расстояние от точки А до прямой ОВ. б) Диаметр АА^ окружности перпендикулярен к хорде ВВ^. Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ^, меньших 180°, равны. 104. а) Отрезки ОА и ОВ — радиусы окружности, расстояние от точки А до прямой ОВ в два раза меньше радиуса. Найдите дугу АВ. б) Точки А, В, С \л D лежат на окружности. Докажите, что если '-'АВ - '-'CD, то АВ - CD. 105. а) Через конец хорды, равной радиусу, проведена касательная. Найдите углы между касательной и хордой. б) Через точку А, лежащую на окружности, проведены касательная АВ и хорда АС. На дуге АС, лежащей внутри угла ВАС, отмечена точка М так, что '-'AM = '-'МС. Расстояние от точки М до прямой АС равно 10 см Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. в) Отрезки МА и МВ — хорды окружности радиуса б см, ZAMB = 30°. Найдите хорду АВ. г) Центральный угол АОВ на 27° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов. д) Хорды АС и BD пересекаются, причем АВ = CD. Докажите, что АС = BD. е) Отрезок ОА является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром О. Хорда АВ второй окружности пересекает первую окружность в точке С. Докажите, что АС = ВС ж) Через точку А, лежащую на окружности с центром О, проведены хорда АВ и касательная а. Через точку О проведена прямая, перпендикулярная к прямой ОВ и пересекающая хорду АВ в точке С, а касательную а в точке D. Докажите, что AD = CD. з) Исходя из рисунка 151, докажите, что ZAMC = ^('-'АЬС + '•'BKD). 106. а) Радиус О А окружности с центром О проходит через середину хорды ВС. Через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке М. Докажите, что луч ВА — биссектриса угла СВМ. б) Точки А, в \лС лежат на окружности, прямая МА — касательная к ней. Докажите, что если точка С равноудалена от прямых АВ и AM, то она делит дугу АСВ пополам. в) Отрезки МА и МВ — хорды окружности с центром О, ZAMB = 45°, АВ = 1 см. Найдите расстояние от точки О до прямой АВ Рис. 151 В.’ А V Рис. 152 г) На окружности отмечены точки А, В, М и N так, что AM = ВМ и '^AMB-'^ANB = '\bO°. Найдите угол АВМ. д) Равные хорды АС и BD пересекаются. Докажите, что либо AB = CD, либо AD = ВС. е) На диаметре АВ отмечена точка С. Хорды BD и BE пересекают окружность с диаметром ВС в точках Р и Q соответственно. Докажите, что ZBED = ZBQP и ZBDE = ZBPQ ж) Отрезки АВ и АС — диаметр и хорда окружности. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что ZACD = ZCBD. з) Исходя из рисунка 152, докажите, что ZAMB = - i^ALB - '^CKD) 91 coo о и» О ti о X S X о 3 о л X о о X S <1> §10 Задачи на построение Построение циркулем и линейкой Для изображения геометрических фигур пользуются различными чертёжными инструментами: линейкой (в том числе линейкой с делениями), циркулем, угольником, транспортиром. Оказывается, что многие фигуры можно построить с помощью только циркуля и линейки без делений. Задачи, в которых требуется построить какую-то фигуру с помощью только этих двух инструментов, называются задачами на построение. При этом предполагается, что с помощью линейки можно построить прямую, проходящую через две данные точки, а с помощью циркуля — построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. 92 u 0 1 > a. О a) 6) О Рис. 153 Откладывание на луче отрезка, равного данному Начнём с простейшей задачи на построение. Задача На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному отрезку. Решение На рисунке 153, а изображены данный луч ОС и данный отрезок АВ. С помощью циркуля построим окружность радиуса АВ с центром О. На рисунке 153, б изображена дуга этой окружности, пересекающая данный луч в точке В. Отрезок ОВ — искомый, так как ОВ - АВ. В следующих пунктах мы рассмотрим более сложные задачи. Построение треугольника по трём сторонам Задача Построить треугольник по трём сторонам Эту задачу нужно понимать так: даны три отрезка — PiQi, P2Q2 и PsQs (рис. 154). Требуется построить треугольник АВС, стороны ко торого соответственно равны этим трём отрезкам: ^ ___________ АВ — PiQi, ВС — P2Q2 и С А = P3Q3. Решение Рг Q2 Проведем произвольную прямую, отметим на ней точку А и отложим отрезок АВ, Рг ~ — - ©з равный PjQi (рис. 155, а). Затем построим две окружности: радиуса P3Q3 с центром Рис. 154 Qi Построение треугольника по трём сторонам Рис. 155 В точке А и радиуса P2Q2 с центром в точке В. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой С. Проведя отрезки АС и ВС. получим искомый треугольник АВС (рис. 155, б), поскольку АВ - PiQi, ВС = P2Q2 и С А = P3Q3. Замечание При решении этой задачи мы исходили из того, что искомый треугольник существует. Если же это заранее неизвестно, то может оказаться, что задача на построение не имеет решения. Например, если в задаче о построении треугольника по трём сторонам заранее неизвестно, что искомый треугольник существует, то данная задача не всегда имеет решение. Действительно, в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, например PiQ^>P2Q-2 + P9,Qs> то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам. Если мы попытаемся это сделать, то обнаружим, что окружности с центрами А \л В не пересекутся (рис. 156). В связи с этим возникает вопрос: всегда ли можно построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам, в том случае, когда каждый из данных отрезков меньше суммы двух других? К этому вопросу мы вернемся в конце 8 класса, а пока скажем лишь, что ответ на него оказывается утвердительным. Отметим, что задача о построении треугольника по трём сторонам является одной из важнейших задач на построение. В частности, на ней основаны решения задач в пунктах 36—39. 93 ССО Ы Q О Z Q О п -< Т! 0 п 1 5 Л Рис. 156 u о X > a. О Построение угла, равного данному Задача Отложить от данного луча угол, равный данному. Решение Пусть даны неразвёрнутый угол А (для развёрнутого угла решение очевидно) и луч ОМ (рис. 157, а). Требуется построить угол, равный углу А, одной из сторон которого будет луч ОМ. Проведём окружность произвольного радиуса с центром А и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами Б и С (рис. 157, б). Затем построим окружность с центром О радиуса АВ и обозначим точку её пересечения с лучом ОМ буквой Р (рис. 157, в). Наконец, проведём окружность с центром Р радиуса ВС и обозначим буквой Q одну из точек её пересечения с окружностью с центром О (рис. 157, г, д). Угол MOQ — искомый (рис. 157, е). В самом деле, треугольники АВС и OPQ равны по трём сторонам (АВ = ОР, АС = OQ и ВС = PQ), поэтому ZMOQ = ZA. а) V м \ Построение угла, равного данному Рис. 157 Замечание. Построение угла, равного данному, лежит в основе решения ещё двух задач на построение: построить треугольник по двум сторонам и углу между ними; построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам Решите эти задачи самостоятельно. Построение биссектрисы угла Задача Построить биссектрису данного неразвёрнутого угла. Решение Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла и обозначим точки её пересечения со сторонами угла буквами Б и С (рис. 158, а). Затем построим две окружности радиуса ВС с центрами Б и С (рис. 158, б, в). Они пересекутся в двух точках (см. задачу 109). Ту из точек пересечения окружностей, которая лежит с точкой А по разные стороны от прямой ВС, обозначим буквой D (см. рис. 158, в). Наконец, проведём луч AD (рис. 158, г). Это и есть искомая биссектриса данного угла А. В самом деле, треугольники АВВ и ACD равны по трём сторонам {АВ = АС, BD-CD, AD — общая сторона). Поэтому ZBAD = ZCAD, т. е. луч AD — биссектриса данного угла А. Замечание. Проведя биссектрису данного угла А, мы разделили его на два равных угла. Если каждую половину разделить пополам, то угол А окажется разделённым на четыре равных угла. А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных угла? Эта задача называется задачей о трисекции угла. В течение веков её пытались решить многие математики. И лишь в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель (1814—1848) доказал, что с помощью циркуля и линейки разделить произвольный угол на три равных угла невозможно. Правда, для некоторых углов эта задача имеет решение, например для прямого угла (объясните, почему). Трисекция — от латинского tri (натрое) и sectio (рассечение). Построение серединного перпендикуляра Задача Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку. Решение Пусть АВ — данный отрезок (рис. 159, а). Построим две окружности радиуса АВ с центрами А и В (рис. 159, 6, в). Они пересекутся в двух точках — Р и Q (см. задачу 109). Проведём прямую PQ (рис. 159, г). Она и является искомым серединным перпендикуляром к отрезку АВ. В самом деле, по построению точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Таким образом, серединный перпендикуляр к отрезку АВ проходит через точки Р и Q, т. е. совпадает с прямой PQ. Зг— I' Построив серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ, мы попутно решили ещё одну задачу а) В Построение серединного перпендикуляра Рис. 159 построить середину данного отрезка АВ. Действительно, точка М, в которой серединный перпендикуляр пересекается с отрезком АВ {см. рис. 159, г), и есть середина этого отрезка. Построение прямой, перпендикулярной к данной Задача Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой. Построение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а Рис. 160 Решение Данная точка М может лежать на данной прямой а, а может и не лежать на ней. И в том и в другом случае решение задачи сводится к построению серединного перпендикуляра к отрезку. В самом деле, построим какую-нибудь окружность с центром М, пересекающую прямую а в двух точках — А и Б (рис. 160, а). Точка М равноудалена от точек А и В и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ Осталось построить этот серединный перпендикуляр (как его построить, мы знаем) — он и будет искомой прямой, проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а (рис. 160, б). Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету Опираясь на результаты пп. 34—39, нетрудно построить прямоугольный треугольник по следующим элементам: по двум катетам; по гипотенузе и острому углу; по катету и любому из острых углов; 4—Бутузов, 7 «;л. 98 и О X > с- о (объясните, как выполнить эти построения). Решим ещё одну из важнейших задач на построение. Задача Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. Решение Пусть MN и PQ — данные отрезки, причём MN>PQ (рис. 161, а). Требуется построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна MN. а один из катетов равен PQ. Проведём произвольную прямую, отметим на ней точку А и отложим отрезок АВ, равный PQ. Через точку А проведём прямую а. перпендикулярную к прямой АВ (рис 161, б); как это сделать, мы знаем. Затем построим окружность радиуса MN с центром В (рис. 161, е). Поскольку ВА = PQ < MN. то расстояние от точки В до прямой а меньше радиуса этой окружности, поэтому прямая а и построенная окружность пересекаются в двух точках. Обозначим одну из них буквой С. Треугольник АВС — искомый. а) N Q м 6) -/-JT' В А Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету Рис. 161 Из нашего построения следует, что если один из отрезков меньше другого, то существует прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна большему, а катет — меньшему из этих отрезков. Замечани Эту задачу можно решить другим способом, основанным на том, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (см. следствие 2, п. 33). Действительно, построим середину О М г -.N 99 Рис. 162 Ol Q ' Й отрезка MN и проведём окружность с центром О радиуса ОМ (рис. 162, а). Затем построим окружность с центром М радиуса PQ. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим буквой L (рис. 162, б). Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр MN, то этот угол — прямой, поэтому MN — гипотенуза прямоугольного треугольника LMN, а ML — катет, равный PQ. Таким образом, треугольник LMN искомый. О п> Построение касательной Задача Через данную точку А провести касательную к данной окружности с центром О. Решение Если точка А лежит на данной окружности, то проведём прямую ОА, а затем построим прямую а. проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА (рис. 163). По признаку касательной прямая а является искомой касательной. Если точка А лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью, то задача решения не имеет, поскольку любая прямая, проходящая через точку А. является секущей (докажите это). Наконец, если точка А лежит вне круга, ограниченного данной окружностью, то будем рассуждать так. Допустим, что задача решена и АВ — искомая касательная (рис. 164, а). Поскольку прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОБ, то решение задачи сводится к построению прямоугольного треугольника АОВ с гипотенузой ОА и ка- Рис. 163 4* а) б) В О в) \ 0\ М JA Рис. 164 тетом ОВ, равным радиусу данной окружности. Эту задачу, как вы знаете, можно решить разными способами. В данном случае удобно воспользоваться идеей, высказанной в замечании п. 40. Проведём отрезок О А и построим его середину М. Затем проведём окружность с центром М радиуса МА (рис. 164, б). Одну из точек пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим буквой В. Поскольку АВ 1 ОВ, то прямая АВ — искомая касательная (рис. 164, в). 107. а) Даны равносторонний треугольник АВС и точка на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки и С, так, чтобы треугольник А^В^С^ был равноаоронним. б) Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки. в) Даны острые углы АВС и DEF. Отложите от луча В А во внешнюю область угла АВС угол, равный углу DEF. г) Дан треугольник АВС. Постройте треугольник DEF, в котором ZD = АА, DE = 2AB и DF = 3AC. д) Дан треугольник АВС. Постройте треугольник DEF, в котором ZD = ZA, ZE = ZB и DE = 2AB. е) От данного луча отложите угол, равный половине данного угла ж) Дан треугольник АВС. На стороне ВС этого треугольника постройте точку, равноудалённую от прямых АВ и АС. з) Поаройте угол, равный 60°; 30°. и) Начертите неравнобедренный треугольник АВС и постройте точку пересечения его медианы AM и биссектрисы BD. к) Даны точки А, В и С. Постройте точку, равноудалённую от точек Л и В и удалённую от точки С на расстояние, равное АВ. Сколько решений может иметь эта задача? л) Даны прямая с и точки Л и В, лежащие по одну сторону от неё. На прямой а постройте точку, равноудалённую от точек Л и В. Всегда ли эта задача имеет решение? м) Постройте угол, равный 45°. н) Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к основанию, и углу при основании. о) Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведённой к другому катету. п) Постройте остроугольный треугольник АВС по стороне АВ, высоте АН и углу А. р) Постройте остроугольный треугольник по углу и двум высотам, одна из которых проведена из вершины этого угла. 108. а) Постройте равнобедренный треугольник, основание которого равно данному отрезку, а боковая сторона вдвое больше основания. б) Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и точка D на стороне АВ. Постройте на стороне АС точку Е так, чтобы угол AED был равен углу С. в) Даны острый угол АВС и тупой угол DEF. Отложите от луча ЕЕ во внутреннюю область угла DEF угол, равный углу АВС. г) Даны неразвёрнутый угол и отрезок. Постройте треугольник, в котором одна сторона в четыре раза меньше другой и равна данному отрезку, а угол, заключённый между этими сторонами, равен данному углу. д) Постройте треугольник, сторона которого равна утроенной аороне АВ данного треугольника АВС, а прилежащие к ней углы равны углам А \л В этого треугольника. е) Дан угол АОВ. Поаройте луч ОМ так, чтобы углы МОА и МОВ были равными тупыми углами. ж) Дан треугольник АВС с прямым углом А. На катете АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС. з) Поаройте угол, равный 15°; 120°. и) Начертите треугольник АВС с тупым углом В и поаройте точку пересечения биссектрисы внешнего угла с вершиной А и продолжения медианы СМ. к) Дан неравнобедренный треугольник АВС. На аоронах этого треугольника поаройте точки, равноудалённые от вершин А \л В. л) Постройте центр данной окружности. • П 102 0 1 a. О m) Постройте угол, равный 150°; 135°. н) Высоты AD и BE остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Постройте треугольник АВС по отрезкам АЕ, НЕ и AD. о) Поаройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, проведённой к основанию. п) Постройте остроугольный треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из них. р) Постройте остроугольный треугольник по стороне и двум высотам, про ведённым к другим сторонам. Вопросы для повторюния 1. Что такое определение.-’ 2. Дайте определение окружности. 3. Объясните, что такое центр, радиус и диаметр окружноаи. Что такое круг? 4. Докажите, что никакие три точки окружноаи не лежат на одной прямой. 5. Сколько общих точек имеют прямая и окружноаь в зависимоаи от соотношения между радиусом окружноаи и расстоянием от её центра до прямой? 6. Какая прямая называется секущей по отношению к окружности? 7. Какая прямая называется касательной к окружноаи? Какая точка называется точкой касания прямой и окружноаи? 8. Сформулируйте и докажите теорему о свойаве касательной. 9. Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и соаавляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружноаи. 10. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойаве касательной. 11. Объясните, что такое хорда и дуга окружноаи. 12. Какой угол называется центральным углом окружности? 13. Объясните, какая дуга называется полуокружноаью. 14. Как определяется градусная мера дуги? Как она обозначается? 15. Сформулируйте и докажите теорему об угле между касательной и хордой. 16. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 17. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 18. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружноаь, прямой. 19. Докажите, что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности. 20. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение? 21. Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному. 22. Объясните, как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. 23. Объясните, как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. 24. Объясните, как построить биссектрису данного неразвёрнутого угла. 25. Объясните, как построить серединный перпендикуляр к данному отрезку. 26. Объясните, как построить середину данного отрезка. 27. Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой. 28. Объясните, как построить прямоугольный треугольник по двум катетам; по гипотенузе и острому углу; по катету и прилежащему острому углу; по катету и противолежащему острому углу. 29. Объясните, как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. Приведите два решения этой задачи. При каком условии задача имеет решение? 30. Объясните, как с помощью циркуля и линейки через данную точку провести касательную к данной окружности. 103 ООО о Ы О J3 о X S X о э о г> "V о <0 X S. о •7 Дополнительные задачи ». 111. 112. 109 Докажите, что окружности радиуса АВ с центрами А и Б _________ются в двух точках. 110, Расстояние от точки до центра данной окружности равно этой окружности. Найдите угол между отрезками касательных, прове- ^ дёнными из указанной точки к дан-________^ной окружности. На рисунке 165 прямые АВ и АС — касательные к окружности, Б и С — точки касания. Докажите, что ZBAC = 180° - ^BDC. Докажите, что если точки Л, Б и С не лежат на одной прямой, то точка пересечения окружностей с диаметрами АВ и ВС, отличная от Б, лежит на прямой АС. пересека- диаметру 115. 116. 117. 118. 119. 12G. 12': . 122' 123 124. 125. 'D Рис 165 Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружноаи в точке А, а другой — в точке В. Найдите угол АМВ. На рисунке 166 прямая АВ — касательная к окружности, В — точка касания. Докажите, что ZBAC = -(wBLD - ^ВКС). 2 Вершины остроугольного треугольника АВС лежат на окружноаи с центром О, отрезок АН — высота этого треугольника. Докажите, что ZOAC = ZBAH. Вершины треугольника АВС лежат на окружноаи. Хорды AAi, BBi и CCj содержат его биссектрисы. Выразите углы треугольника АВС через углы треугольника Аф^Су. Отрезки АА^ и BB■^ — высоты оароуголь-ного треугольника АВС. Докажите, что ZAAyB.^ = ZABBy. Высоты AAi и BBj оароугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что ZCHB^ =АСАфу Из точки М катета АС прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите, что ZMHC = ZMBC. Исходя из рисунка 167, докажите, что AF=AQ. Точки А, В, С \л D лежат на одной окружности, луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС. Докажите, что ZAMD = ZBAD. Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны, луч АВ — биссектриса угла DAE. Докажите, что АЕ1 ВС. Рассмотрите все возможные случаи. На аоронах угла с вершиной О отложены равные отрезки ОА и ОВ, а во внутренней облааи этого угла отмечена точка С. Поаройте точку М так, чтобы угол МАО был равен углу МВО, а отрезок МС был равен отрезку АВ. Сколько решений может иметь эта задача? Постройте равнобедренный треугольник; а) по боковой стороне и углу при основании; б) по основанию и медиане, проведённой к основанию; в) по основанию и углу между боковыми сторонами. Поаройте прямоугольный треугольник: а) по оарому углу и высоте, проведённой к гипотенузе; б) по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла. 126 Постройте треугольник: а) по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон; б) по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне; в) по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла; г) по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Сколько решений может иметь эта задача? 127. Постройте угол, равный 160'"; 75'; 105- 129. Постройте остроугольный треугольник АВС по разности углов Л и В, высо-_____те CD и стороне ВС. 130. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треуголь-______ник АВС по отрезкам АВ, ВМ и углам АЛ1В. ВСМ. 131. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М. Постройте треуголь-_____ник АВС по отрезкам ВС, AM и углам АВМ, АМВ. 132. Разделите данный угол в 54' на три равные части. 133. Разделите данный угол в 35' на семь равных частей 128. Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов А и В, высоте BD и стороне АС. и о > О X X UJ 3 X J го повышенной шрудносты Глава 1 134. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые. Известно, что через точку пересечения любых двух из них проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. С помощью расс>'ждений убедитесь в том, что все данные прямь е пересекаются в одной точке. 135. Даны четыре точки. Известно, что пряг.;ая, ^ проходящая через любые две точки, содер- ^ жит по крайней мере ещё одну из даннь;х точек. С помощью рассуждений убедитесь -* - в том, что все данные точки лежат на одной ^ 5 прямой. 1 136. Решите; а) задачу 134 для случая, когда даны пять прямых; б) задачу 135 для случая, когда даны пять точек. 137. На луче с началом О отмечены точки А. В и С так, что ОА = ВС и ОВ < ОС. Дскажи~е, что ОВ = АС. 138. На луче с началом О отмечены три точки — A, В и С так, что ОА = ВС и ОВ < ОС. Докажите, что середины отрезков АВ и ОС совпадают. 139. На рисунке 168 изображены пять прямых, пересекающихся в одной точке. Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5. 140. На рисунке 169 углы 1 и 2 равны. Докажите, что прямые а и Ь не пересекаются. Глава 2 141. На сторонах угла POQ отмечены точки А, B, С и D так, что О А = ОВ и АС = BD (рис. 170). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла POQ. Опишите основанный на этом факте способ построения биссектрисы угла. Рис 168 Рис. 169 Q О Рис. 170 Е _. 142. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине М отрезка АВ, причём АС = BD = AM. Докажите с помощью наложения, что точка М является серединой отрезка CD. 143. Докажите, что если АВ = А^В^, АС = и AM = А^М^, где AM и AjMi — медианы треугольников АВС и AiBiCj, то эти треутальники равны. 144. Докажите, что если сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равнь. стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других стсоон другого треугольника, то такие треугольники равны. 145. Докажите, что если медиана и углы, на ко’осые она разделяет угол, одного треугольника соответственно равнь: медиане и углам, на которые она разделяет угол, другого треугольника, то ^акие треугольники равны. 146. Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными? 147. Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и какому-то углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными? 148. Точки С и D расположены по разною стороны от прямой АВ, причем АС = BD и ZBAC = ZABD. Докажите, что прямая CD пересекает отрезок АВ и делит его пополам. 149. Докажите, что четырёхугольник, стороны которого лежат на биссектрисах углов прямоугольника, является квадратом 150. Углы А и £) четырёхугольника ABCD — прямые и AB = CD. Докажите, что этот четырёхугольник — прямоугольник. 151. На стороне АВ квадрата ABCD отмечена точка Р. Биссектриса угла DCP пересекает AD в точке Q. Докажите, что СР = DQ ВР. 152. На рисунке 171 изображены три квадрата. Найдите сумму углов 1, 2 и 3. 153. Биссектрисы равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке D, точка О равноудалена от всех вершин треугольника. Середина ^ ^ ^ отрезка OD лежит на основании АВ. Найдите углы треугольника АВС. Рис.17| ы Q Э 0 б 1 п» I о н Т> is X о с\ 154. 155. В треугольнике АВС высота, проведённая из вершинь! А, не меньше стороны ВС, а высота, проведённая из весшины В, не меньше стороны АС Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный. Точки М и N — середины сторон АВ и CD четыоёхугольчика ABCD с прямыми углами А и В. Докажите, что 2.V-V = AD - ВС. 156. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины. 157. В треугольнике АВС сторона АВ меньше стороны АС, отрезки AD и АН — биссектриса и высота треугольника. Докажите, что точка Н лежит на луче DB 158. Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС с неравными сторонами АВ и АС. Докажите, что точка D лежит между серединой стороны ВС и основанием высоты АН. 159. Вне равностороннего треугольника АВС отмечена точка Е, а внутри него — точка М. Докажите, что МА < BE -г ЕС. 160. Исходя из рисунка 172, найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5. 161. Внутри квадрата ABCD взята такая точка М, что ZABM = 75“ и ZCDM = 30". Найдите угол МАВ. 162. Каждый угол треугольника меньше суммы двух других его углов. Определите вид этого треугольника. 163. Докажите, что отрезок с концами на разных сторонах треугольника не превосходит наибольшей из сторон треугольника. 164. Точка М расположена внутри треугольника АВС так, что AM = АВ Докажите, что АВ < АС. 165. Точка D расположена на биссектрисе внешнего угла с вершиной А треугольника АВС. Докажите, что периметр треугольника BCD больше периметра треугольника АВС 166. Внутри треугольника АВС с тупым углом А отмечены точки В и Q, а на луче QB вне треугольника отмечена точка М. Может ли выполняться неравенство ZCAP > ZCBM? 167. Можно ли внутри треугольника АВС с тупым углом А отметить точки Р и Q так, чтобы угол ВАР был не меньше угла BQC? 168. На биссектрисе угла ВАС отмечена точка О, а на продолжении луча АВ отмечена точка D Может ли выполняться равенство О А = OD1 Рассмотрите все возможные случаи. 169. Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны. 170. Докажите, что если угол треугольника является острым, прямым или тупым, то медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны. 171. Высота и медиана треугольника, проведённые из одной вершины, делят угол треугольника на три равных угла. Докажите, что этот треугольник — прямоугольный. 172. Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС и углом А, равным 80‘, отмечена такая точка М, что ^Л/ВС = 30" и /^МСВ = '\0°. Найдите угол АМС. 173. Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС и углом А, равным 80°, отмечена такая точка .V/, что ZMBC = 30° и АМС А = 10°. Найдите угол МАВ. 174. Дан треугольник АВС, в котором АВ = 70°, АС = 50°. На сторонах АВ и АС отмечены такие точки М и N, что АМСВ = 40° и ANBC = 50°. Найдите угол NMC. 175. На боковых сторонах ВА и ВС равнобедренного треугольника АВС с углом Б, равным 20°, отмечены соответственно точки Q и Б так, что AACQ = 60° и АСАР = 50° Найдите угол APQ. Глава 3 176. К двум окружностям с центрами О и Oj проведены две общие касательные, не пересекающие отрезка ОО,, и одна общая касательная, пересекающая их в точках .А, Б и касающаяся окружностей в точках Aj, Б,. Докажите, что АА, =ББ,. 177. Внутри угла АБС равностороннего треугольника АВС взята точка М так, что ААМВ = 30° и АМВС = 23°. Найдите углы ВАМ и ВСМ. 178. Гипотенузы ВС и В^С^ прямоугольных треугольников АБС и AjBjCj равны, АВ < A,Bj. Докажите, что АС > AjCj 179. Докажите, что основания высот остроугольного треугольника являются вершинами треугольника, в котором эти высоты являются биссектрисами \ 180. Вершины Р V. Е равнсстссон-е'о тсеутагь-/кз АРЕ лежат на сторонах ВС 1 1 о 1 и CD прямоугольника ABCD ■^о'^ки К 'Л М — середины сторон АЕ и АР. ^ у Докажите, что "реугольники ВКС и CMD — раз-ос’'ссонние. 'О ! 0 ) 1 i > о. О ш Э X со О С S т < сг < го 181. Вершины Avt В тсеуголачика АВС с 1сямь v углом С скользят по сторонам прямого угла с вершиной Р. Докеж/'^е, ^"^o "очкз С геремецзется при этом ПС отрезку. 182. Через данную точку М rpcsere-c 5сезсзмох--э,е “сямь.е. на которых данная окружность с цеч"ром О отсекает соезки, являк:ш,иеся её хордами. Что представляет собой мнсхестзс сесед/н ’аких хосд, если точка М: а) лежит вне окружности; б) лежит внутри окружности и не со="едэет с _ен.тсом; в) лежит на окружности? 183. Отрезок АВ является диаметром сксужнсст/ с дечтсог: О. На каждом радиусе ОМ окружнсс'и отложен отрезок ОХ, разный пес“ендикуляру, проведённому из точки М к грягиой АВ. Что ■’седс'авляе^ собой множество точек X? 184. Постройте треугольник по дзум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне. 185. Даны три попарно пересекающиеся прямою, не проходящие через одну точку Постройте точку, равноудаленную о” этих прямь:х. Сколько решений имеет задача? 186. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача? 187. Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений гисжет иметь задача? 188. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Постройте точку М прямой а так, чтобы сумма AM t MB была меньше суммы АХ -н ХВ, где X — любая точка прямой а, отличная от М. 189. Даны окружность с центром О и точка А вне неё. Проведите через точку А прямую, пересекающую окружность в точках В и С, так, что АВ = ВС. При каком соотношении между отрезком ОА и радиусом В окружности задача имеет решение? 190. Постройте треугольник по периметру и двум углам. 191. Поаройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон. 192. Даны отрезок АВ и псямзя а, гересекаюизя Э'^от о^езок. Поаройте на прямой а точку С так, чтобы эта прямая содержала биссектрису треугольника АВС. Всегда ли задача имеет ред!ение? 193. Поаройте общую касательную к двум даннь;м окружиоаям. Сколько решений может иметь эта задача? 194. Даны окружноаь, точка и два с-^оезка — АВ и CD. Поаройте хорду MN, равную отрезку АВ, ~зк, чтобы расстояние от дачной точки до прямой MN было равно CD. 195. Даны окружность и точка внутри неё. Постоойте наименьшую хорду, проходящую через эту точку. / 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2. Глава 1 В парке к цветочной клумбе веду той порожки (рис. 173). Можно ли проложить юя-молинейную дорожку, соединяю:дую: а) "^ес-вую и вторую дорож.ки; 6) песзую и тсе^ью дорожки; в) все три дооожки? Как на садовом участке прокопать узкую прямолинейную канавку между двумя вбитыми в землю колышками, еспи в вашем распооя-жении есть верёвка, которая короче расстояния между колышками? i '"-Lb Рис. 173 Как отметить середину прямолинейной дорожки, если у вас есть только верёвка, которая короче, чем дорожка? Можно ли ствол дерева длиной 10 м распилить на куски длиной: а) 70 см и 90 см; б) 70 см и 80 см? Если можно, то сколькими способами? Электропоезд длиной 100 м проезжает мимо километрового столба за 5 секунд. За какое время он проедет мост длиной 800 м? Найдите угол между часовой и минутной стрелками часов, если они показывают: а) 9 ч; б) 14 ч; в) 18 ч; г) 19 ч; д) 19 ч 30 мин.; е) 18 ч 20 мин. Сколько раз угол между часовой и минутной стрелками часов оказывается прямым за время от 15 до 17 часов? В зубчатой передаче сцеплены два колеса, имеющие 24 и 30 зубьев. На какой угол повернётся второе колесо, когда первое повернётся: а) на 8 зубьев; б) на 45®? Как провести перпендикуляр к прямой, начерченной на листе бумаги, из отмеченной точки, если у вас есть только линейка, карандаш и прозрачная бумага? Глава 2 Как, пользуясь только верёвкой и острыми колышками, начертить на земле прямой угол? От оконного стекла прямоугольной формы откололись два куска (рис. 174). Можно ли Рис. 174 Рис. 175 3. 4. 6. 7. 8. ПО сохранившейся '-'асти в&:сезать та<ое же псямоутогьное стекло? Какие следует снять рззмесь:? Предложите способ /зк’ерения расстояния между двумя точками, если нельзя пройти по прямой от одной то-ки до дсугой. (В спучае затруднения обратитесь к рис. 175.) Предложите способ измерения расстояния между двумя точками, одна из которых недоступна. (В случае зз'руднечия сбса-итеса к рис. 176.) Угол между равными аропилами крыши дома равен 90~. Как узнать высоту крыши, если известна ширина дома? Имеется пластина в форме че^^ырёхугсльника. Как с помощью только нити убедиться в том, что это: а) прямоугольник; б) квадрат? Два населенных пункта А и Б расположены по разные сторонь; от прямолинейной дороги. В каком меае дороги нужно построить автобусную саановку X, чтобы сумма расстояний от А и Б до X была наименьшей? Решите ту же задачу в случае, когда населённые пункты расположены по одну сторону от дороги. Плотнику нужно заделать квадратное отверстие размером 12 см на 12 см, а у него еаь только кусок доски размером 9 см на 16 см. Как разрезать этот кусок на две части, чтобы ими можно было точно закрыть отверстие? Рис. 176 9. У хозяйки был любимый квадратнь:й глед оазг/еоом 3 v на 3 м. О" него отрезали два износиви.ихся противоголсжн=:х уголка — псямо^гогьнье треугольники с катетами 1 м. Хозяйке хсче^ си/Ть из остаз^лейся части новь!Й плед прямоугольной формы, предвао/.тельнс разрезав ее на два куска. Как ей это сделать? 10. Бедуин, прежде чем верн^уться в свой ’^атёр, долже- чакормитэ коня на пастбище и напоить его в реке. Гоанииа пас^5и_,з и берег реки прямолинейные (рис. 177). Как он должен ехэ~з, ч’обь' суммарный путь был наименьшим? Объясните следующее "'саз/ло; бед>/.“; гр/целивзется из ружья в точку пересечения беседа секи и ’■рзн/дь: "асс/щз, и ес^и его шатёр будет справа, то он должен, еха^ь налево, и наобосс”. Э'э задача взята из замечательной книги Гуго Штейнгаузз «Мз'^емати'-еский калейдоскоп», библиотечка «Квант», выпуск 8, М.; Наука, 198".1 Глава 3 1. Градусная мерз дуги обода велосипедного колеса, расположенной между двумя соседними спицами, равна 2С-. Сколько С":ин в колесе? 2. Сколько оборотов должна сделать секундная стоелкз часов, чтобы часовая стрелка повернулась на 1'? 3. На листе бумаги нарисована дуга окружности. Как (с помощью циркуля и линейки) построить всю окружность? 4. В парке расположена клумба радиуса 3 м. В семи метрах от центра клумбы проходит дорожка (ОЛ = 7 м на рис. 178). Строители начали рыть траншею под углом б0‘= к дорожке (см. рисунок). Не заденет ли эта траншея клумбу? 5. В плоскости расположено 5 зубчатых колес так, что первое колесо сцеплено своими зубьями со вторым, второе — с третьм, третье — с четвёртым, четвёртое — с пятым, а пятое — с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы? 60° Рис 177 Рис 178 Геометрия зародилась 4000 лет назад в Древнем Египте и Вавилонии в связи с потребностями измерения земельных участков, построения храмов и дворцов. Когда Нил размывал участок обрабатываемой земли, для взимания налогов было важно знать, сколько именно земли потеряно. Египетские землемеры использовали для своих измерений и построений туго натянутые верёвки. Примерно тогда же геометрия появилась в Древней Индии и Древнем Китае. В Индии геометрические сведения излагались в многочисленных трактатах о построении алтарей. Эти трактаты назывались «Правила верёвки», поскольку основным инструментом для построений, как и в Египте, были верёвки. В Китае составлением трактатов по арифметике и геометрии занимались важные сановники. Математика была одним из шести искусств, которым обучались дети китайских аристократов. Важнейшее изменение в понимании того, что такое геометрия, произошло Б Древней Греции До греков геометрия представляла собой собрание полученных из опыта правил и фактов, и только у греков появились теоремы и доказательства, и именно тогда геометрия приобрела близкий к современному вид. Одним из первых древнегреческих геометров был Фалес (около 625—548 гг. до н. э.), который родился в городе Милете в Малой Азии. Фалес Милетский многое перенял из геометрии Египта и Вавилонии во время своих путешествий. Известен рассказ о том, что он вычислил высоту египетской пирамиды, измерив её тень в тот момент, когда длина тени, отбрасываемой предметом, равна длине самого предмета. Однажды Фалес, предвидя большой урожай оливок, взял в наём все маслода-вильни и, став фактическим монополистом в изготовлении оливкового масла, нажил целое состояние. Но это он сделал не из-за стремления к наживе, а чтобы показать, что учёному разбогатеть совсем не трудно. Считается, что Фалес открыл следующие геометрические факты; 1) диаметр делит круг пополам; 2) углы при основании равнобедренного треугольника равны; 3) вертикальные углы равны; 4) если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилегающим к ней углам другого треуголь- Фалес 116 CD U ск U LL T CL О t— u S Пифагор ника, то такие треугольники равны; 5) вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Фалеса, когда он уже был стариком, посетил юноша Пифагор (около 580—500 гг. до н. э.). Фалес поделился с ним тем, что знал, и посоветовал поехать в Египет для продолжения изучения геометрии. По возвращении из Египта Пифагор создал философско-математическое учение и основал школу пифагорейцев, просуществовавшую многие века. Пифагорейцем был и Архит Тарентский (428—347 гг. до н. э.), обучивший математике Евдокса (408—355 гг. до н. э.) и Платона (427—347 гг. до н. э.). Платон основал философскую школу, получившую название «Академия» от рощи близ Афин, в которой она находилась. Платон требовал от всех своих учеников, чтобы они основательно изучили геометрию, прежде чем он обучит их своей философии. Последователь платоновской школы Евклид (около 325—265 гг. до н. э.) подробно и систематически изложил достижения древнегреческих геометров в трактате «Начала», состоящем из 13 книг. Евклид описывал геометрию как систему предложений (теорем), которые последовательно выводятся из нескольких перечисленных им основных понятий и истин. Все написанные впоследствии учебники геометрии очень многим обязаны книге Евклида. Его схему изложения использовали не только в книгах по математике, но и по механике (Ньютон) и даже по философии (Спиноза). О жизни Евклида до нашего времени дошло мало сведений. Известно, что он преподавал математику в Александрии, и, когда царь Египта Птолемей I спросил у него, нет ли более короткого пути к геометрии, чем его «Начала», Евклид смело ответил, что в геометрии нет царских дорог В первой книге «Начал» обсуждаются различные геометрические построения. Начинается она с построения равносто-, роннего треугольника, затем следуют построение бис- сектрисы угла и построение перпендикуляра к пря-' ' мой. Далее в первой книге доказываются признаки равенства треугольников. В третьей книге «Начал» обсуждаются свойства вписанных углов и касательных. Помимо этого в «Началах» доказано много других важных теорем, с которыми вам ещё предстоит Евклид познакомиться. Платон 1. а) Нет; да. б) Точка пересечения прямь:х ЛВ и CD. в) Пя-ь. е) Две. ж) Может иметь, а может и не иметь, з) Да. и) Шестэ, четыре или одна, к) Пятнадцать. 2. а) Нет. б) Да. в) Пять, ж) Да. з) Да. и) Шес^ь, четыре или одна, к) Пятнадцать. 3. в) Да. 4. в) Да. 5. а) Три у-ла — ZAOB, ZBOC, ZAOC. в) Двенадцать неразвёрнутых углов и шесть развёрнутых углов, г) Двенадцать неразвёрнутых углов и три развёрнутых угла. Полуплоскости с границей OD, содержащей точку Е, и полуплоскости с границей ОЕ, содержащей точку D. д) Пять или два. 6. а) Три угла — ZPMR, ZPMQ, ZRMQ. в) Шестнадцать неразвёрнутых углов и восемь развёрнутых углов, г) Восемь неразвёрну-ых углов и два развёрнутых угла. Полуплоскости с границей ОА, содержащей точку D. и полуплоскости с границей OD, содержащей точку А. д) Две. 7. а) АС < BD. б) Да. в) АС = BD. г) Да. д) Да. ж) Да; да. з) ZBOD = ZCOE. 8. а) ОС < OD. б) Да. в) АВ = CD. г) Да. д) С; AD = BE. ж) Да; да. з) ZAOE = ZBOF. 9. а) 12,8 см или 11,6 см. б) 4,8 дм и 9,5 дм или 19,2 дм и 14,5 дм. в) 7 см. г) 4 см или 12 см. д) 23 см. 10. а) 27,5 дм или 22,5 дм. б) 10 мм и 60 мм или 46 мм и 4 мм. в) 6 м. г) 4 см или 8 см. д) 60 см. 11. а) острый угол в 35= или тупой угол в 105=. б) 20° и 30° или 80° и 70°. в) 12°. г) 60= или 180=. д) 90°. 12. а) острый угол в 70= или тупой угол в 150°. б) 10° и 75° или 50° и 15°. в) 35°. г) 80° или 160°. д) 120°. 13. а) 60° и 120°. б) 108°, 72°, 108°, 72°. г) 100°, 30°, 50°, 100°. 14. а) 135° и 45°. б) 40°, 140°, 40°, 140°. г) 40°, 20°, 120°. 15. а) 60°, 30= и 150°. 16. а) 40°, 40° и 50°. 17. ^,Ьd и 0,6d. 18. 19. 11 см или 17 см. 20. 2d. Указание. Рассмот- л-1 реть два возможных случая; точки В и С лежат по разные стороны или по одну сторону от точки А. 21. а) 110° или 54°. б) 80= или 170°. 22. 35°. 23. У Казани е. Воспользоваться определением биссектрисы угла и свойством смежных углов. 24. У ка3а н ие. Доказать, что угол АОС развёрнутый. 25. а) Да. б) Да. 26. Указание. Предположить, что прямые МН и МК совпадают, и воспользоваться теоремой п. 9. 27. а) 15 см. б) 16 см. в) 10 см или 7 см. 28. а) 9 см. б) 18 мм. в) 61 см или 51 см. 29. а) Z1 = Z2. б) ZABC > ZACB. 30. а) Z1 = Z2. б) ZABC > ZADB. 31. а) АВ = АС. в) 11 см. 32. а) АВ = АС. в) 18 см. 33. а) АСВМ. 34. а) ААВС и AABD. 41. л) Указание. Провести перпендикуляр МК к прямой ВН и рассмотреть четырёхугольник МКНВ^ 42. ж) ZH = 90', ZA = 12- и ZD = 78'. л) Указание. Воспользоваться утверждением и идеей решения задачи 41л). 43. а) 14 см. б) 12 см. г) 14 см. 44. а) 60'. б) 120'. г) 15 см. 45. д) У казание. Воспользоваться утверждением задачи 45 г). 46. а) 60'. б) Могут, 47. а) б см. 49. а) Нет. б) Сторона, равная 10 см. г) Указани.е. Продолжить отрезок AAj на отрезок А^М. равный АА^. 50. а) Нет. б) 5 см. г) См. указание к задаче 49 г). 51. а) ZC > ZA > ZB, нет. б) ВС > АС > АВ. в) ZABC > ZACD. д) Указание. Продолжить отрезок AM на отрезок MD, равнь й AM. 52. а) ZC = ZB < ZA, да. б) ВС > АС = АВ. в) АВ > CD. д) Указание. Восполозова'ься ^п-верж-дением задачи 51 д). 53. а) ZA = 30', ZB = 60', ZC = 90'. б) 70', 30', 80'. в) 30', 30', 120'. д) Да. е) 120=. 54. а) 90' и 45' или 72' и 35'. б) 80', 80', 20' или 50', 50', 80'. в) 110', 20', 50'. д) 90'-е) 120'. 56, Указание. Сначала доказать, что высота ОН треугольника АОС являе’-ся е'-о к-едианой. 57. Указание. Предположить, что медиана AM является высотой, и мысленно перегнуть плоскость по прямой AM. 58. Указание. Отложить на сторонах угла от вершины равные отрезки и рассмотреть высоту полученного равнобедренного треугольника. 59. У ка за н ие. Для данного отрезка АВ провести лучи АР и AQ так, что АР 1 АВ, луч AQ проходит внутри угла РАВ и ZQAB = ZPBA. Затем провести высоту МН треугольника АМВ, где М — точка пересечения лучей AQ и ВР. 60. BD = B^D^. 61. ZBDC = ZB^DiCi- 73. Указание. Сначала доказать, что если основание высоты лежит на продолжении стороны, то один из углов, прилежащих к этой стороне, — ту'пой. 75. У к а з а н и е. Сначала доказать, что ZBACi = 90' - ZABH и ZBHC = 90' - ZACH. 80. Две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых. 83. Указание. Рассмотреть проекции точки .Y на стороны квадрата. 84. Указание. Продолжить отрезок ВМ до пересечения со стороной АС в точке D и воспользоваться неравенством треугольника применительно к треугольникам ABD и MDC. 85. Указание. Воспользоваться задачей 84. 87. У к а 3 а н и е. На луче AM отметить точку D так, что DM = AM. 88. Указание. См. указание к задаче 87. 90. Указание. Продолжить отрезок AD до пересечения со стороной ВС в точке М и воспользоваться утверждением задачи 51 г). 91. Указание. Воспользоваться равенствами ZADE + ZAED = '\20° и ZBEF + ZAED==]20°. 92. 45'. 94. 20'. 95. 52' и 52'. 96. Указание. Воспользоваться свойством внешнего угла треугольника. 97. 80'. Указание. Сначала доказать, что АС = CQ и АС = СР. 98. 85'. Указание. Сначала доказать, что СН - МН и СН - ВН. 101. б) 10 см; меньше 10 см; больше 10 см. в) Прямая касается окружности, г) 4 см. д) 120°. е) 6 см. 102. а) Нет; да. б) 10 см; меньше 10 см; больше 10 см в) Прямая касается окружности, г) 10 см. д) 60'. 103. а) 4 см. 104. а) 30°. 105. а) 30' v' 'l50^ 5) 10 см. в: 5 см. " 54.- / 27- или 138' и 111=. 106. в) 3,5 см. г) 65''. 107. к) Два, одно или н/ сдно'с. л) Не все'-да. 109. Указание. Рассмотреть течки гесесече.лия сд:-с/ из окоужносте/ с серединным перпендикуляром к отрезку АВ ICM. зaлa^-y 59) и доказать, что вторая окружность проходит через эти -очки. 110. 5Э=. 112. Указание. Провести вь:соту ВН треугольника АВС. 113. 9СП У ка з а - и е. Рассмотреть точку пересечения двух указанных кэса"егьнь х. 115. Указание. Псодо."жи.то отрезок АО до пересечения с окружьос-ыс в "счке D и сассмотсеть у.-ь ЛВС и ADC. 116. ZA = ZB, - ZC, - ZAi, ZB = ZCi - ZAj - ZBj, ZC = ZAj -ч ZBj - ZCj. 117. Указание. Рзссмстсе-ь оксужнос-ь с диак'етром АВ. 118. Указание. Рассмотреть окружчсст= с диаме^оом СН. 119. Указание. Рассмотреть окружность с диаметром МВ. 123. Два, одно или сдчотс. 126. г) Два, одно или ни одного. 130. Указание. Зсс-ол=зсва-ься задачей 107м). 131. Указание. Сначала псстро.кть тсеу-сльчик АВМ. 132. Указание. Сначала построить угол, равный сумме трёх дзнньх улов. 133. Указа-ие. Сначала построить угол, равный су'мме пят/ данных углов. 119 и н с: С С о 134. Указание. Пусть три из даннь.х прямых проходят через точку А. Предположить, что четвёртая прямая не проходит ^ерез точку А, и прийти к противоречию с условием задачи. 135. Указание. Пусть три из данных точек лежат на прямой а. Предположить, что ^^етвёртая точка не лежит на прямой а, и прийти к противоречию с условием задачи. 136. Указание. Воспользоваться указаниями к задачам 134 и 135. 137. Указание. Рассмотреть два случая. 138. Указание. Рассмотреть два случая. 139. 180'-. 140. Указание. Предположить, что прямь:е а и fc пересекаются в некоторой точке, и, используя наложение копии рисунка на сам рисунок, вывести из этого предположения, что прямые пересекаются ещё в одной точке. 141. Указание. Пользуясь последовательно первым, вторым и третьим признаками равенства треугольников, доказать, что AOAD = АОВС, ABAC = AEBD, АОЕС = AOED. 142. Указание. Наложить треугольник АМС на треугольник BMD так, чтобы сторона МА совместилась со стороной МВ, а луч МС наложился на луч MD. 143. Указание. Рассмотреть треугольники ABD и A^B^D^, где точки В и D такие, что М и Л/, — середины отрезков AD и AjD,. 144. Указание. Пусть в треугольниках АВС и А,В,С, ZA = ZAj, АС = AiCj, АВ + ВС = А.^В.^ -t-B,C,. Продолжить стороны АВ и А,В, на отрезки BD = BC и B,B, = BiC, и рассмотреть треугольники ADC и AjCjC,. 145. Указание. Задача решается аналогично задаче 143. 146. Мог^'т. Например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и треугольник ABD, где D — точка на стороне ВС такая, что АВ = AD. 147. Могут. Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и отметим какую-нибудь точку D на продолжении стороны АВ Тогда треугольники ACD и BCD обладают указанным свойством, но не являются равнь.ми. 148. Указание. Отметить середину О отрезка АВ и рэссмо^оеть тсеугсльн/ки ОАС и OBD. 149. Указание. Через серед/ну стосонь, дз-но-о гсямо\гольни-ка провести прямую, перпендикулярную к з"^ой с'оооне, а затем мь.сленно перегнуть плоскоаь по проведённой прямо/. 150. Указание. Соединить отрезками середину сторонь AD с весс-инами В / С. 151. Указание. На луче РВ отложить отрезок PS, равный отрезк\ СР, и доказать, что АВСК = ADCQ. 152. 90". 153. Збт 36" и 108'. Уоззчие. Доказать, что 3ZBAD = ZACD = 90“ - 2ZBAD. 154. Указание. Учесть, ч'о в псямоуголь-ном треугольнике гипотенуза болыле катера. 155. Указание. Рассмотреть проекцию стороны CD на большую из сторсп AD / ВС. 156. У к а з а и е. Воспользоваться тем, что середина гипо'енузь: пря\;оуголоно."о треугольника равноудалена от его вершин. 157. Указание. Сначала доказать, чта ZADC > ZADB. 158. Указание. Пуаь в треугольнике АВС АВ < АС, AM — медиана. Сначала доказать, что ZBAM > ZCAM, и далее воспользоваться утверждением задачи 157. 159. Указание. Сначала доказать, что AM< АВ. 160.180'. 161. 30". Указание. На луче DM о’^ложить о^'резок DN = АВ и доказать, что точка Л" совпадает с точкой М. 162. Остроугольный. 163. Указание. Соединить один из концов отрезка с вершиной треугольника и воспользоваться задачей 52г). 164. Указание. Продолжить отрезок AM до пересечения с ВС и воспользоваться задачей 52 г). 165. У к аз а н и е. Продолжить отрезок ВА на отрезок AM = АС и воспользоваться неравенством треугольника применительно к треугольнику BDM. 166. Не может. Указание. Сравнить указанные углы с внешним углом треугольника АВС при вершине В. 167. Нельзя. Указание. Продолжить отрезок BQ до пересечения со аороной АС в точке М и сравнить указанные углы с углом М треугольника CQM. 168. Не может. Указание. Доказать, что угол OAD тупой. 169. Указание. Пуаь AAf — медиана треугольника АВС. В каждом из трёх случаев сравнить углы ВАМ и В, САМ и С. 170. Указание. Воспользоваться утверждением задачи 169. 171. Указание. Пусть в треугольнике АВС медиана AM и высота АН делят угол А на три равных угла, АС > АВ. Про- веаи перпендикуляр AID к стороне АС и доказать сначала, что MD = ^МС. 172. 70®. Указание. Пуаь О — точка пересечения биссектрисы угла А и прямой ВМ. Сначала доказать равенство треугольников АОС и МОС. 173. 60®. Указание. Пуаь О — точка пересечения биссектрисы угла А и прямой ВМ. Сначала доказать, что лучи СМ и ОМ - биссектрисы углов треугольника АОС 174. 30®. Указание. Рассмотреть треугольник NBC и воспользоваться результатом задачи 173. 175. 80°. Указание. Пусть О — точка пересечения биссектрисы угла В и прямой CQ. Сначала доказать, что ОА = СО = АС = СР, а затем доказать, что прямая PQ — серединный перпендикуляр к отрезку ОМ, где М — точка пересечения прямых АО и ВС. 176. Указание. Воспользо- ваться равенством отрезков касательных, проведённых из одной точки. 177. П3‘ и 134'. Указание. Сначала доказать, что точка М лежит на окружности с центром С радиуса АВ. 178. Указание. Воспользоваться тем, что если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности. 179. Указание. Воспользоваться утверждением задачи 117. 180. Указание. Сначала доказать, что точки С \л К лежат на окружности с диаметром РЕ, и, следовательно, Z.PCK = 60'; аналогично доказать, что ZPBK = 60'. 181. Указание. Сначала доказать, что точки Р и С лежат на окружности с диаметром АВ, поэтому величина угла АРС постоянна. 182. а) Дуга окружности с диаметром МО без своих концов; б) окружность с диаметром МО, в) окружность с диаметром МО без точки М. 183. Пусть CD — диаметр, перпендикулярный к диаметру АВ; искомое множество точек состоит из двух окружностей с диаметрами ОС и OD. 184. Указание. Пусть ААВС — искомый треугольник, AM — его данная медиана. Сна'-ала построить треугольник ADC, в котором точка М — середина стороны AD. 185. Четыре. Указание. Воспользоваться результатом задачи 80. 186. Четыре, три (это возможно в двух случаях), два (в трёх случаях), одно или ни одного решения. Указание. Воспользоваться результатом задачи 80. 187. Два, одно или ни одного решения. Указание. Воспользоваться свойством серединного перпендикуляра. 188. Указание. Сначала построить такую точку А^, что прямая а является серединным перпендикуляром к отрезку AAj, а затем провести отрезок А,В. 189. ОА<ЗВ. Указание. Сначала построить треугольник OAD, в котором AD = R и OD = 2R. 190. Указание. Сначала построить треугольник, у которого сторона равна данному периметру, а прилежащие к ней углы равны половинам данных углов. 191. Указание. Пусть ВС, АС + АВ, ZB-ZC — данные элементы искомого треугольника АВС. На продолжении стороны СА за точку А отложить отрезок АА,, равный отрезку АВ. Построить сначала треугольник CBAj. 192. Не всегда. Указание. Сначала построить такую точку D, что прямая а является серединным перпендикуляром к отрезку BD, а затем построить точку пересечения прямых а и AD. Задача не имеет решения, если прямые а и AD не пересекаются. 193. Четыре, три, два, одно или ни одного. Указание. В случае, когда ни одна из окружностей не содержится внутри другой, при г, > rg для построения касательных сначала построить две окружности с центром О, радиусов г, - Га и -н г.^, а затем воспользоваться утверждением задачи 150. 194. Указание. Пусть О — центр данной окружности, Р — данная точка, Q — середина какой-нибудь хорды, равной АВ. Сначала построить две окружности; радиуса OQ с центром О и радиуса CD с центром Р, а затем построить общую касательную к этим двум окружностям (задача 193). 195. Указание. Сначала, пользуясь утверждением задачи 178, доказать, что наименьшей будет хорда, перпендикулярная к диаметру, проходящему через данную точку. 122) ул иЗзятель л с; ш »— < го < ЪИ 5 СУ LU Q. Г Биссектриса треугольника 35 — угла 27 Боковые аороны равнобедренного треугольника 33 Ванцель П. Л. 96 Вершина угла 10 Вершины прямоугольника 46 — треугольника 32 Внешний угол треугольника 68 Внешняя (внутренняя) область угла 11 Второй признак равенства треугольников 42 Высота треугольника 35 Геометрическое место точек 57 Гипотенуза прямоугольного треугольника 51 Градус 21 Градусная мера дуги 84 -----угла 21 Граница полуплоскости 10 Дециметр 19 Диагональ четырёхугольника 46 Диаметр окружности 79 Длина отрезка 19 Доказательаво теоремы 25 — методом от противного 67 Дуга окружности 84 Единица измерения отрезков 19 -----углов 21 Задачи на гсс'роение 91 Заключение теоремы 55 (\ Касательная к окружности 82 Катет прямоугольного треугольника 51 Квадрат 48 Концы о-резка 8 Круг 79 Л Луч 9 — делит угол на два угла 11 1 ч Медиана треугольника 35 Метр 19 Миллиметр 20 Минута 21 Наклонная, проведённая из точки к прямой 51 Начало луча 10 Неравенство треугольника 66 Окружность 78 Определение 78 Основание перпендикуляра, проведённого из точки к прямой 25 — равнобедренного треугольника 33 Отрезки касательных, проведённые из одной точки 82 Отрезок 8 Первый признак равенства треугольников 41 Периметр треугольника 32 Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой 25 Перпендикулярные прямые 24 Полуокружность 84 Полуплоскость 10 Поароение биссектрисы угла 95 — касательной 99 — перпендикулярных прямых 97 — прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету 97 — серединного перпендикуляра 96 — середины отрезка 97 — треугольника по трём сторонам 92 — угла, равного данному 94 Признак касательной 83 — равнобедренного треугольника 35 Проекция отрезка на прямую 58 — точки на прямую 58 Противоположные стороны четырёхугольника 46 Прямая 8 Прямоугольник 46 Прямые пересекаются 9 Равные фигуры 16 Радиус окружности 78 Расстояние между двумя точками 20 — от точки до прямой 51 Сантиметр 19 Секунда 21 Секущая по отношению к окруж-ноаи 81 Середина отрезка 17 Серединный перпендикуляр к отрезку 55 Следствие 36 / Смежные стороны четырёхугольни- (123 ка 46 Стороны треугольника 32 — угла 10 — — четырёхугольника 46 -q (D Теорема 25 — о биссектрисе угла 57 вписанном угле 87 -----высоте равнобедренного треугольника 35 -----перпендикуляре к прямой 26, 27 -----проекциях равных отрезков 60 -----противоположных сторонах прямоугольника 46 -----свойаве касательной 82 -----серединном перпендикуляре к отрезку 55 -----сумме углов треугольника 67 — об углах равнобедренного треугольника 33 -----угле между касательной и хордой 85 —, обратная данной теореме 55 -----теореме о биссектрисе угла 58 ---------- серединном перпендикуляре к отрезку 56 Точка 8 — касания прямой и окружности 82 — пересечения прямых 9 Транспортир 21 Третий признак равенства треугольников 43 Треугольник 32 — остроугольный 50 — прямоугольный 50 — равнобедренный 33 — равноаоронний 33 — тупоугольный 50 Трисекция угла 96 и S п -i X г St о о ч п V < го < > >S lo Углы вертикальные 24 — смежные 24 — треугольника 32 Угол 10 — вписанный 87 -----опирается на дугу 87 — между касательной и хордой 85 — развёрнутый 10 — оарый 22 — прямой 22 — тупой 22 — центральный 84 Условие теоремы 55 Фигу'ры равные 16 Хорда окружности 84 ц Центр окружности 78 Четырёхугольник 46 Э Элементы ~реутолыика 40 сг ш о. с Введение §1. Начальные геометрнческые сведения 3 7 8 ПсостеЙ1_ие гесме~ричес<ие д:и“урз. . . ... 1. Точка, пся\!ая, с“резс<............... ■ ■ — 2. Луч и полуглоскосгэ . ... ....................... 9 3. Угол........................................................ 10 Вопрось и задачи . .................................. 12 § 2. Сравнение отрезков и углов ................................... 15 4. Равенство геометрических ф/г, р............................ — 5. Сравнение о'^резксз / ут-лсз......................... 16 Вопросы и задачи .............................................. 18 § 3. Измерение отрезков и у^лсв.................................... 19 6. Измерение отрезков.......................................... — 7. Измерение углов............................................ 21 Вопросы и задачи ............................................. 22 § 4. Перпендикулярные гря-.'ь е.......... ......................... 24 8. Смежные и вертикальнь.е угло:............................... — 9. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр < прямой............. — Вопросы и задачи ............................................. 28 Вопросы для повторения............................................ 29 Дополнительные задачи ............................................ 30 Треугольники........................................... 31 § 5. Равнобедренный треугольник..................................... 32 10. Треугольник .............................................. — 11. Теорема об углах равнобедренного треугольника.............. 33 12. Признак равнобедренного треугольника....................... 34 13. Теорема о высоте равнобедренного треугольника ...... .35 Вопросы и задачи.............. . 38 §6. Признаки равенава треугольников............................... 40 14. Равные треугольники .............................. ..... — 15. Первый признак равенава треугольников . ............. 41 16. Второй признак равенава треугольников . .................... 42 17. Третий признак равенства треугольников . 43 Вопросы и задачи ... 44 П) л Прямоугольные треугольн/к/i . . . . 46 18. Прямоугольник....... .... . — 19. Виды треугольников......................................... 4S 20. Прямоугольный треуголзник с yr.nov 5 ЗЭ"..... .51 21. Признаки равенава прямоугс.'ь’-'ь х “сеу'"С-'’=-/<о= . .53 22. Серединный перпендикуляо к стсезк^........................ 55 23. Свойаво биссектрисы угла ............................ 57 24. Проекция отрезка ... 58 Вопросы и задачи.......... ....................... ............ 62 Соотношения между сторогэми и уг,тз‘/и "ре.гс."=-/ка........... 65 25. Неравенство треугольника.................................... — 26. Теоремы о соотношениях между с^орснаг.'и / углами тсеугольника 66 27. Сумма углов треугольника.................................. 67 Вопросы и задачи............................................. - 68 Вопросы для повторения . 70 Дополнительные задачи 73 Гп J Окружность................................................... 77 § 9. Отрезки и углы, связанные с окружностью...................... 78 28. Определение окружности.................................. 29. Взаимное расположение прямой и оксужнос“и............... 80 30. Касательная............................................ 82 31. Хорды и дуги........................................... 84 32. Угол между касательной и хордой..... ................... 85 33. Вписанный угол........................................... 87 Вопросы и задачи ... 88 § 10. Задачи на построение......................................... 91 34. Построения циркулем и линейкой . ....................... — 35. Построение треугольника по трём сторонам................. 92 36. Построение угла, равного данному.... ... 94 37. Построение биссектрисы угла . 95 38. Построение серединного перпендикуляра.................... 96 39. Построение прямой, перпендикулярной к данной............. 97 40. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету — 41. Поароение касательной.................................... 99 Вопросы и задачи..............................................100 Вопросы для повторения............................................. 102 Дополнительные задачи............................................... ЮЗ Задачи повышенной трудности..........................................106 Глава 1.......................................................... — Глава 2.......................................................... — Глава 3.........................................................109 Задачи с практическим содержанием.................................... 112 Глава 1.......................................................... — Глава 2.......................................................... — Глава 3......................................................... 114 Иаорическая справка................................................. 115 Ответы и указания................................................... 117 Предметный указатель .................................................122 Учебное издание Серия «МГУ — школе» Бутузов Валентин Фёдорович Кадомцев Сергей Борисович Прасолов Виктор Васильевич ГЕОМЕТРИЯ 7 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор П. А. Бессарабова Младший редак’-ор Е. А. Андреенкова Художественный редактор О. П. Богомолова Художники О. П. Богомолова, И. А. Андреев Технический редактор и верстальщик А. Г. Хуторовская Корректоры М. А. Терентьева, С. В. Николаева Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета 11.01.10. Формат 70 X 90’/и- Бумага офсетная. Гарнитура FreeSetC. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 7,47 + форз. 0,5. Тираж 10 000 экз. Заказ N9 24226 in-гз,. Открытое акционерное обществе «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Открытое акционерное общество «Смоленский полиграфический комбинат». 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1. 1^- - / / ISBN 978-5-09-018009-2 520974 2»050005''Z09746" 4-1-1-1 1 ШТ