Геометрия 7 класс Рабочая тетрадь Лысенко Кулабухова

У .O' с ■■г <Л . Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ Самостоятельные работы Тематические тесты Тесты для промежуточной аттестации Справочник 7 тм -Ч/ КЛАСС рч ЛЕГИОН Учебные пособия издательства «Легион» допущены к использованию в образовательном процессе приказом Минобрнауки России № 729 от 14.12.2009 Учебно-методический комплекс «Математика. Подготовка к ГИА-9» Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС ^ Самостоятельные работы ^ Тематические тесты ^ Тесты для промежуточной аттестации ^ Справочник Издание второе Рабочая тетрадь Учени класса школы тм ЛЕГИОН Ростов-на-Дону 2013 ББК22.1 056 Рецензент: JJ. Н. Евич — кандидат физико-математических наук. Авторский коллектив: Ольховая Л.С., Коннова Е. Г, Нужа Г Л. 056 Геометрия. 7-й класс. Рабочая тетрадь. Самостоятельные работы. Тематические тесты. Промежуточная аттестация : учебно-методическое пособие / Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. — Изд. 2-е. — Ростов-на-Дону; Легион, 2013. — 112 с. — (Промежуточная аттестация.) ISBN 978-5-9966-0463-0 Предлагаемое пособие является частью учебно-методического комплекса «Математика. Подготовка к ГИА» и дополняет книгу издательства «Легион» «Алгебра. 7 класс. Тематические тесты. Промежуточная аттестация». Оно составлено в формате рабочей тетради, что позволит учащимся поэтапно отработать учебный материал по геометрии, необходимый для подготовки к ГИА. Содержательная часть пособия разработана в соответствии с положениями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования. Рабочая тетрадь состоит из четырёх разделов, включающих самостоятельные работы, составленные в двух вариантах, и тематические контрольные работы, составленные в четырёх вариантах. Итоговая работа представлена в щести вариантах и включает в себя задания с выбором ответа, кратким и развёрнутым ответами. Один из вариантов дан с рещениями. Такой объём материала даст возможность учителю выбрать необходимое для осуществления контроля обученности количество заданий, их форму и уровень сложности. Пособие предназначено прежде всего обучающимся седьмых классов, учителям и методистам. Также оно будет полезно девятиклассникам при подготовке к ГИА-9. Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно присылать по почте или на электронный адрес: legionrus(®legionrus.com. Обсудить пособие, оставить свои замечания и предложения, задать вопросы можно на официальном форуме издательства https://forum.legionr.ru ISBN 978-5-9966-0463-0 ББК22.1 © ООО «Легион», 2013 Оглавление Часть 1. Начальные геометрические сведения.................... 5 Работа №1.2. Угол, биссектриса угла ..................... 7 Работа № 1.3. Смежные и вертикальные углы................ 10 Работа №1.4. Перпендикулярные прямые..................... 13 Итоговая работа по теме «Начальные геометрические сведения» .. 15 Часть 2. Треугольники......................................... 20 Работа №2.1. Первый признак равенства треугольников...... 20 Работа №2.2. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника... 22 Работа №2.3. Свойства равнобедренного треугольника....... 25 Работа №2.4. Второй и третий признаки равенства треугольников . 27 Работа №2.5. Окружность. Задачи на построение............ 30 Итоговая работа по теме «Треугольники»........................ 35 Часть 3. Параллельные прямые ................................. 42 Работа №3.1. Признаки параллельности прямых............. 42 Работа №3.2. Аксиома параллельных прямых................ 44 Работа №3.3. Свойства параллельных прямых................ 46 Итоговая работа по теме «Параллельные прямые»................. 49 Часть 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника ... 56 Работа №4.1. Сумма углов треугольника.................... 56 Работа №4.2. Соотношения между сторонами и углами треугольника................................. 58 4 Многоугольники Работа №4.3. Прямоугольные треугольники................ 61 Работа №4.4. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми................ 65 Итоговая работа по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»............................................... 68 Задачи на построение ....................................... 74 Итоговая работа для промежуточной аттестации за 7 класс..... 80 Справочник ................................................. 91 Ответы .....................................................105 Часть 1. Начальные геометрические сведения Работа JVo 1.1. Прямая, луч, отрезок Вариант 1 1. Продолжите предложение, а) Луч — это часть_________ б) Равные отрезки — это 2. Измерьте и запишите длины отрезков, обозначенных на рисунке. АВ= , AM = , ВМ= , CD = М Запишите, пересекает ли отрезок AM а) прямую CD _________ б) отрезок CD ________ в) луч CD ________ г) луч DC ________ 3. Начертите отрезок РК = 3,6 см, прямую CN так, чтобы луч CN пересекал отрезок РК в его середине, а отрезок CN имел с отрезком РК общих точек. Начальные геометрические сведения 4. Точки А, В \{ С лежат на одной прямой. АВ = б см, ВС -середина ВС. Найдите длины отрезков АС, МС, AM. Разберите два случая. Сделайте чертежи и запишите решение. Дано:_____________________ 2 см, М Найти: Решение:. Вариант 2 I. Продолжите предложение, а) Отрезок — это часть____ б) Середина отрезка — это 2. Измерьте и запишите длины отрезков, обозначенных на рисунке. АВ^__________, AM =_________, 5М=__________, CD=_________. Запишите, пересекает ли отрезок AM a) прямую CD б) отрезок CD b) луч CD ___ г) луч DC ___ 3. Начертите отрезок РК = 5,8 см, прямую ОМ так, чтобы луч ОМ пересекал отрезок РК в его середине, а отрезок ОМ не имел с отрезком РК общих точек. Угол, биссектриса угла 4. Точки С, D W К лежат на одной прямой. DC = 7 см, СК середина СК. Найдите длины отрезков DK, РК, DP. Разберите два случая. Сделайте чертежи и запишите решение. Дано:______________________ 4 см, F — Найти:. Решение:. Работая® 1.2. Угол, биссектриса угла Вариант 1 1. Продолжите предложения, а) Углом называется________ б) Прямой угол равен. в) Равные углы — это 8 Начальные геометрические сведения 2. Напишите названия углов и их виды. 3. Градусная мера угла АВС равна 69°, ZMBC — 32°. Какой может быть градусная мера угла АВМ? Сделайте чертежи и найдите ZABM в каждом случае. 4. Найдите ZEAB, если АС — биссектриса ZBAD, а луч AD делит ZCAE в отношении 3 : 2, считая от АЕ. Дано:___________________________________ Найти:__ Решение:- Угол, биссектриса угла Вариант 2 I. Продолжите предложения, а) Развёрнутым углом называется б) Биссектриса угла — это луч, в) Равные углы — это_______ 2. Напишите названия углов и их виды. 3. Градусная мера угла МРК равна 123°, ZMPT = 2Г. Какой может быть градусная мера угла КРТ} Сделайте чертежи и найдите Z.KPT в каждом случае. 10 Начальные геометрические сведения 4. Найдите ZEAD, если АС — биссектриса ZBAD, а луч АВ делит ZCAE в отношении 2 : 4, считая от АЕ. Дано:------------------------------------ Найти:. Решение:. Работая® 1.3. Смежные и вертикальные углы Вариант 1 1. Продолжите предложение, а) Смежными углами называют. б) Свойство смежных углов 2. Нарисуйте: а) смежные углы; б) вертикальные углы. Смежные и вертикальные углы 11 3. Выпишите смежные и вертикальные углы, которые обозначены на рисунке. Смежные: /.АОЕ и Z____________________________ Вертикальные:_________________________________ 4. Найдите неизвестные углы х, у и z. Обозначьте углы на рисунке, если вы используете их в решении. а) Дано:------------------------------------- Найти:. Решение:. б) Дано:. Найти: Решение:. хна 35 меньше у Вариант 2 1. Продолжите предложения, а) Вертикальными углами называют б) Свойство смежных углов, 2. Нарисуйте: а) смежные углы; б) вертикальные углы. 12 Начальные геометрические сведения 3. Выпишите смежные и вертикальные углы, которые обозначены на рисунке. Смежные: ZKMP и--------------------------------- Вертикальные:___________________________________ 4. Найдите неизвестные углы x,y,zn t. Обозначьте углы на рисунке, если вы используете их в решении. а) Дано:. Найти:— Решение: Перпендикулярные прямые 13 б) Дано:. Найти:-. Решение: один из углов в 3 раза больше другого Работа № 1.4. Перпендикулярные прямые Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Перпендикулярные прямые — это прямые б) Две прямые, перпендикулярные третьей, 2. С помощью угольника проведите прямые, перпендикулярные прямым, изображённым на рисунке. 3. На рисунке пересекаются три прямые. а) Запишите, какие прямые на рисунке перпен дикулярны____________________________ б) Запишите градусную меру углов /.ВАС =_______ /ВАС =________, /САМ =________. 14 Начальные геометрические сведения 4. Пересекаются ли прямые а и 6? Объясните почему. Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Прямые, при пересечении образующие углы 90°, называют. б) Если каждая из двух прямых перпендикулярна третьей прямой. 2. С помощью угольника проведите прямые, перпендикулярные прямым, изображённым на рисунке. б) 3. На рисунке пересекаются три прямые. а) Запищите, какие прямые на рисунке перпендикулярны _______________________________________ б) Запищите градусную меру углов. ZBOD =_ ZEOC = т а Ь 90° Итоговая работа по теме «Начальные геометрические сведения» 15 Итоговая работа по теме «Начальные геометрические сведения» Вариант 1 Часть 1 1. На прямой а отметили три точки А, В w С. Сколько отрезков получилось на прямой? 1)1 2)2 3)3 4)4 2. На прямой отметили точки F и Л^, а на отрезке FN отметили точку L. Укажите пару совпадающих лучей. \)NFhLF 2)LFwFN ?>)FLhNF A)FNhFL 3. На прямой отмечены точки 0,С w D. Найдите расстояние между точками С и D, если ОС — 14 см, OD = 8 см и точка D лежит на отрезке ОС. 1)22 см 2) 6 см 3)14 см 4) 8 см 4. Угол ABD является частью угла АВС. Известно, что /.АВС = 156°, а угол ABD больше угла ВВС в 2 раза. Найдите угол ВВС. Ответ: 5. Даны три пересекающиеся в точке О прямые KN, LP и МТ. /КОЬ = 35°, /NOM = 50°. Найдите угол ТОР. Ответ:_______________ Часть 2 6. Найдите углы АОВ, ВОС, СОВ и АОВ, если известно, что угол ВОС больше угла АОВ на 32°. Запишите решение и ответ. В 16 Начальные геометрические сведения 7, Укажите номера верных утверждений. 1) Угод называется развёрнутым, если его стороны образуют прямую. 2) Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. 3) Развёрнутый угол больше 180®. 4) Две прямые, перпендикулярные к третьей, пересекаются. 5) Если смежные углы равны, то они прямые. Ответ:______________ Вариант 2 Часть 1 1. На прямой Ь отметим четыре точки N, М, Lw К. Сколько отрезков получилось на прямой? 1)5 2)6 3)3 4)4 2. На прямой отметили точки С и D, а на отрезке CD отметили точку К. Укажите пару совпадающих лучей. \)DCwKC 2)DKwKC 2>)CKwCD A)KDwDC 3. На прямой отмечены точки А,0]лВ. Найдите расстояние между точками Л и 5, если ВО = 32 см, АО = 17 см и точка А лежит между точками О и В. 1)14 см 2)15 см 3)49 см 4)50 см 4. Найдите угол между биссектрисами смежных углов, если один из них равен 72°. Ответ:______________ 5. На рисунке три прямые пересекаются в точке О. ZFOL = 80°, /LEON = 55°. Найдите угол КОМ. Ответ:______________ Итоговая работа по теме «Начальные геометрические сведения» 17 Часть 2 6. Даны две пересекающиеся в точке О прямые АС и BD. Известно, что сумма углов АОВ и DOC равна 260®. Найдите градусную меру углов AOD и вое. Запишите решение и ответ. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется лучом. 2) Угол называется развёрнутым, если его стороны образуют прямую. 3) Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. 4) Сумма вертикальных углов равна 180®. 5) Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Ответ:_______________ Вариант 3 Часть 1 1. На рисунке изображена прямая с, на ней отмечены точки F, L, М, К. Скольким отрезкам принадлежит точка L? F L ' '».• М К 1)5 2)2 3)3 4)4 2. На прямой отмечены точки А и S, а на отрезке АВ отмечена точка N. Укажите пару совпадающих лучей. 1)АВиВМ 2)BNhNA Z)ABwNA A)ABwAN 3. На прямой отмечены точки 0,К \л F. Найдите расстояние между точками Я" и F, если ОК - 7 см, OF = 16 см и точка О лежит на отрезке KF. 1)23 см 2)9 см 3)22 см 4)8 см 4. Угол MLK является частью угла MLF. Известно, что угол MLF равен 170®, а угол MLK меньше угла KLF на 26®. Найдите угол KLF. Ответ:_____________ 18 Начальные геометрические сведения 5. Даны две пересекающиеся прямые AD и BF, О — точка пересечения, ОС — биссектриса угла BOD. Найдите угол АОВ, если угол вое равен 80®. Ответ;_______________ Часть 2 6. Известно, что угол АВС равен 25®, а угол ABN равен 75®. Найдите угол NBC. Рассмотрите все возможные случаи. Запишите решение и ответ. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Любые два развернутых угла равны. 2) Луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется медианой угла. 3) Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. 4) Угол называется тупым, если он больше 90°. 5) Длиной отрезка называют расстояние между концами этого отрезка. Ответ:______________ Вариант 4 в с D -•— d 2)2 Часть 1 1. На рисунке изображена прямая d, на ней отмечены точки А, В, С, D. Скольким отрезкам принадлежит точка С? 1)5 2)2 3)3 4)4 2. На прямой отмечены точки L и К, а на отрезке LK отметили точку F. Укажите пару совпадающих лучей. 1)KLhFL 2)LKhKF 3)KLhKF 4)LFhFK 3. На прямой отмечены точки А, В нО. Найдите расстояние между точками Ан В, если О А = 8 см, ОВ = 25 см и точка О лежит на отрезке АВ. 1)17 см 2)31 см 3)33 см 4)16 см Итоговая работа по теме «Начальные геометрические сведения» 19 4. Угол АВС является частью угла ABD. Известно, что угол АВС меньше угла CBD на 36®, а угол ABD равен 156®, Найдите угол CBD. Ответ;________________ 5. Даны две пересекающиеся в точке О прямые АВ и CD, OF — биссектриса угла AOD. Найдите угол АОС, если угол FOD равен 63®, Ответ:__________________ Часть 2 6. Угол АОВ равен 130°, угол АОС равен 45°, Найдите угол ВОС. Рассмотрите все возможные случаи. Запишите решение и ответ. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Угол называется прямым, если обе его стороны лежат на одном луче. 2) Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком. 3) Вертикальные углы равны. 4) Угол называется тупым, если он меньше 90°. 5) Через любые две точки можно провести две прямые. Ответ: Часть 2. Треугольники Работала 2.1. Первый признак равенства треугольников Вариант I I. Продолжите предложения, а) Треугольники называют равными, если б) В равных треугольниках напротив равных углов. в) Запишите первый признак равенства треугольников: 2. АМРК = AMiPiATi, МР = MiPi, ZM = 40°, ZK = 30°. Найдите ZKv Ответ:_________________ 3. Укажите пару равных треугольников, изображённых на рисунке. Ответ обоснуйте. Первый признак рввеиствв треугольников 4. Дано: АВ - 5 см, ВС - 4 см, АС = 3 см, DK = 12 см, DE - 8 см, АЕ = BF, BD = DE. Найдите на рисунке равные треугольники и докажите, чтс они равны. Доказательство:______________________ 21 D Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) В равных треугольниках напротив равных сторон б) Треугольники называют равными, если в) Запишите первый признак равенства треугольников: 2. ACDK = ACiDiKu АС = ZCi, CD = 7 см, DK = 8 см. Найдите длину DiKi. Ответ: 3. Укажите пару равных треугольников, изображённых на рисунке. Ответ обоснуйте. В 22 Треугольники Доказательство: 4. Дано: AKDF = 48°, BD = 5 см, АК = 11 см, DE = 6 см, DK на 1 см меньше DA, DB — биссектриса /.CDА, /EDK = 24°, прямые CF и АК пересекаются в точке D. Найдите на рисунке равные треугольники и докажите, что они равны. Работая® 2.2. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника Вариант 1 1. Продолжите предложение. а) Медианой треугольника называется________________ б) Высотой треугольника называется 2. С помощью линейки проведите медианы ААВС. 3. С помощью транспортира проведите биссектрисы АМРК. К Медианы, биссектрисы, высоты треугольника 23 4. С помощью угольника и линейки проведите высоты в треугольниках LMN, OTD, FEH. , Е Пример: 5. Решите задачу устно, начертив чертеж, и запишите ответ. В ААВС провели биссектрису AD угла А. Найдите величину угла А, если угол DAB = 32°. Ответ: 6. В АРКТ стороны РК, КТ и РТ равны 6,10 и 8 см соответственно, длина медианы РМ равна 5 см. Найдите периметр треугольника РМТ. К Дано:. Найти:_ Решение: 24 Вариант 2 1. Продолжите предложение. а) Биссектрисой треугольника называется Треугольники б) Высотой треугольника называется 2. С помощью линейки проведите медианы ЛЛВС. 3. С помощью транспортира проведите биссектрисы АМРК. 4. С помощью угольника и линейки проведите высоты в треугольниках ОТО, РЕН и LMN. D Н Пример; ч 5. Решите задачу устно, начертив чертеж, и запишите ответ. В АМРК провели биссектрису МВ угла М. Найдите величину угла М, если угол BMP = 64°. Ответ: Свойства равнобедренного треугольника 25 6. В ААВС стороны АВ, ВС и АС равны 12, 16 и 20 см соответственно, длина медианы BD равна 10 см. Найдите периметр треугольника ABD. Дано:___________________________________ В 16 Найти: Решение:. Работа № 2.3. Свойства равнобедренного треугольника Вариант 1 1. Продолжите предложение. а) В равнобедренном треугольнике углы_ б) В равностороннем треугольнике любая биссектриса является 26 Треугольники В 2. Напишите на рисунке, какие стороны называются боковыми, а какая — основанием. Отметьте равные углы. 3. Пользуясь данными рисунка, запишите значения указанных величин. /Л =__________________ Z.MBC = /.ВМС =. К 4. На рисунке NP = РК и NT = ТК. Докажите, что а) APNT = АРКТ б) РТ — биссектриса угла Р в) NK перпендикулярен РТ Достройте рисунок и запишите решение. Дано:. Доказать:______ Доказательство: Вариант 2 1. Продолжите предложение. а) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, совпадает с_________________________________________________________ б) Углы равностороннего треугольника равны по Второй и третий признаки равенства треугольников 27 Л .О А9 4Х 2. Напишите на рисунке, какие стороны называются боковыми, а какая — основанием. Отметьте равные углы. 3. Пользуясь данными рисунка, запишите значения указанных величин. ZM=___________________________ ШРК МН = - м н 4. На рисунке BE К BD и АВ = ВС, К — середина ED. Докажите, что а) ААВЕ = ADBC б) прямая КВ перпендикулярна ED в) прямая КВ пересекает отрезок АС в середине Достройте рисунок и запишите решение. Дано:__________________________________ С Доказать:--------------------------------- Доказательство: Работа № 2.4. Второй и третий признаки равенства треугольников Вариант 1 1. Запишите второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам):____________________________________________ 28 Треугольники 2. Напишите, какие треугольники на рисунке равны. Ответ:___________________^ а 3. Докажите, что АОАВ — АО DC, если отрезок АС пересекает отрезок BD в точке О — середине BD и углы D а В равны. В Дано:. Доказать:_______ Доказательство:. В 4. На рисунке AACD и ADEC равнобедренные, ZBDE = 30°. Могут ли быть равны ADEC и AADC, если ZBED = 100°? Найдите угол А. Дано:________________________________ Найти:_______________________________ Решение:. Второй и третий признаки равенства треугольников 29 Вариант 2 1. Запишите третий признак равенства треугольников (по трем сторонам):_ 2. Напишите, какие треугольники на рисунке равны. N Ответ: 3. На рисунке АВ = CD, AD = ВС. Докажите, что ААВС = AACD. Дано:------------------------------------- С Доказать:. Доказательство:. D В 4. На рисунке AACD и ADEC равнобедренные, ZBDE = 30°. Могут ли быть равны ADEC и AADC, если /.А — 80°? Найдите /.BED. Дано:_______________________________________ Найти:— Решение:. 30 Треугольники Работа № 2.5. Окружность. Задачи на построение Вариант 1 1, Продолжите предложение, а) Окружность — это________ б) Хорда окружности — это 2. Укажите на рисунке отрезки с концами в обозначенных точках, которые являются диаметрами, радиусами и хордами окружности с центром О {О лежит на CD). диаметры _____________ хорды_______________ радиусы ______________ Найдите ОЕ, если CD = 9 см. ОЕ = 3. Постройте две окружности равного радиуса с центрами в концах отрезка АВ так, чтобы а) окружности пересекались б) окружности не имели общих точек В Окружность. Задачи на построение 31 На рисунке а) проведите прямую через точки пересечения окружностей. Как поделила эта прямая отрезок АВ} Ответ:_______________ 4. Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки разделите его пополам. 5. Разделите угол на две равные части с помощью циркуля и линейки. Рассмотрите пример. 1) Проведём окружность с центром в верщине угла. А В — точки пересечения окружности и сторон угла. 2) Проведём окружности равного радиуса с центрами в точках А w В так, чтобы они пересекались. С и D — точки пересечения. Выполните построение биссектрис для углов Q и Т. 1. Продолжите предложение. Радиус окружности — это___ Все точки окружности диаметры, 2. Укажите на рисунке отрезки с концами в обозначенных точках, которые являются диаметрами, радиусами и хордами окружности с центром О (О лежит на АС). Jхорды. радиусы, Найдите АС, если ОМ - 3,6 см. АС Окружность. Задачи на построение 33 3. Постройте две окружности равного радиуса с центрами в концах отрезка АВ так, чтобы а) окружности пересекались б) окружности не имели общих точек На рисунке а) проведите прямую через точки пересечения окружностей. Как поделила эта прямая отрезок АВ} Ответ:_______________ 4. Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки разделите его пополам. 5. Разделите угол на две равные части с помощью циркуля и линейки. Рассмотрите пример. 1) Проведём окружность с центром в вершине угла. А W В — точки пересечения окружности и сторон угла. Выполните построение биссектрис для углов Q иТ. Итоговая работа по теме «Треугольники» 35 Итоговая работа по теме «Треугольники» Вариант 1 Часть 1 1. На рисунке АВ = ВС, BD — биссектриса угла АВС, DC = 35, ВС = 80. Найдите AD. 1)35 2)80 3)70 4)45 2. На рисунке /.BAD = 37°, /BCD = 52°, BD — медиана треугольника АВС, BD = DE. Найдите /DCE. 1)52° 2)37° 3)74° 4)9Г 3. В равнобедренном треугольнике KLM с основанием КМ /ЬКМ — 50°, LN — медиана. Найдите /NML и /LNM. 1)50°; 50° 2)50°; 80° 3)80°; 90° 4)50°; 90° 4. В четырёхугольнике ABCD АВ = CD, BD = АС, /CAD = 35°, /ACD = 25°. Найдите /BDA. Ответ:________________ С 5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 18 см отрезок BD — биссектриса, /DBC — 34°. Найдите/АВС. Ответ: ___ 36 Треугольники Часть 2 6. На рисунке АВ = CD, ZB АС — ZDCA, ZABC = 76°, ZB АС = 68°. Докажите, что ААВС = AADC. Найдите ZADC. Запишите решение и ответ. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. 2) В равнобедренном треугольнике все углы равны. 3) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является биссектрисой. 4) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 5) Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то треугольник разносторонний. Ответ:_______________ Вариант 2 Часть 1 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса BD. Найдите угол АВС, если ZABD = 25°. 1)50° 2)25° 3)90° 4)75° 2. Медиана AM треугольника АВС равна отрезку ВМ. Найдите ZBAC, если ZABC = 60°, ZMCA = 30°. 1)60° 2)30° 3)90° 4)120° Итоговая работа по теме «Треугольники» 37 3. На рисунке АВ = CD, ВС = AD, ACAD = 33°, AACD = 62°. Найдите АВС А. 1)33° 2)62° 3)95° 4)29° 4. На рисунке АВ = ВС, CD = DK, ААВС = 106°, ABAC = 37°. Найдите ADKC. Ответ:_______________ 5. В треугольнике FLK FL дите Z2. Ответ:_______________ КЬ,А1 = 50°.Най- Часть 2 6. Отрезки АЕ и BD пересекаются в точке С, АВ = ВС, CD = DE. Треугольники АВС и CDE — равнобедренные. Угол DEC = 47°. Найдите угол ВАС. На отрезках ЕС и ED отметили точки К и М так, что ЕК = АСиЕМ = ВС. Докажите, что ААВС = АМЕК. Запишите решение и ответ. В 7. Укажите номера верных утверждений. 1) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. 2) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести два перпендикуляра к этой прямой. 3) Биссектриса угла равнобедренного треугольника, проведённая к основанию этого треугольника, является высотой. 38 Треугольники 4) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 5) Сумма длин трёх сторон треугольника называется периметром треугольника. Ответ:________________ Вариант 3 Часть 1 1. На рисунке АО = OD, СО = ОВ, Z1 = 38°, Z2 = 25°. Найдите ZADC. 1)38° 2)25° 3)63° 4)50° 2. На рисунке АВ = ВС, BD — биссектриса угла АВС. ZBAD = 110°, ZABC = 40°. Найдите /.BCD. 1)40° 2)110° 3)20° 4)70° D 3. На рисунке ADEF равнобедренный, DF — основание, /ВЕК = 43°, ЕК — биссектриса. Найдите /ЕКЕ и /КЕЕ. 1)38°; 90° 2)86°; 43° 3)90°; 86° 4)90°; 43° Итоговая работа по теме « Треугольники» 39 4, В четырёхугольнике ABCD АВ = CD и BD = АС, Z.ABD = 93°. Найдите Z.ACD. Ответ:___________________ D 5. В четырёхугольнике MLNK LK = MN и ML = NK, ZLKM = 60°, ZLKN = 42°. Найдите ZNMK. Ответ: ___ Часть 2 6. На рисунке FL = КТ, LK = FT, ZFKL — 30°. Докажите, что ALFK = ATKF. Найдите ZKFT. Запишите решение и ответ. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) В равных треугольниках высоты, проведённые к соответственно равным сторонам, равны. 3) Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 4) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. 5) Треугольником называют три точки, не лежащие на одной прямой, и соединяющие их отрезки. Ответ:____ __________ 40 Треугольники Вариант 4 Часть 1 1. В равнобедренном треугольнике FLK с основанием FK проведена медиана LE. Найдите угол FLK, если Z.FLE = 35°. 1)35° 3)90° 2)70° 4)145° 2. На рисунке АВ = 15 см, АС = 23 см, ZACB = ZDBC, ZABC = ZDCB. Найдите CD. 1)15 см 2)23 см 3)38 см 4)8 см 3. На рисунке AD = ВС, АВ = DC, ZDBC = 87°, ZDBA = 63°. Найдите ZADB. 1)87° 2) 63° 3)150° 4) 24° 4. В равнобедренном треугольнике FLK с основанием FK Z.LFN = 45°, LN — медиана. Найдите ZLKN и ZLNK. Ответ:________________ 5. В треугольнике MNK, МК — NK, Z2 = 120°. Найдите Z1. Ответ:________________ В К Итоговая работа по теме «Треугольники>- 41 Часть 2 6. Отрезки LF и ME пересекаются в точке К. Треугольники LMK и КЕЕ равнобедренные. LM — МК, КЕ = ЕЕ. Угол КЕЕ = 48°. Найдите угол ZMLK. На отрезках ЕК и ЕЕ отметили точки А i\ В так, что ЕВ = ML и АЕ = LK. Докажите, что ALMK = ААЕВ. Запишите решение и ответ. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. 2) В равностороннем треугольнике все углы равны. 3) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 4) В равностороннем треугольнике все биссектрисы равны. 5) В прямоугольном треугольнике все высоты равны. Ответ: Часть 3. Параллельные прямые Работа № 3.1. Признаки параллельности прямых Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Если при пересечении двух прямых секущей накрест. б) Если при пересечении двух прямых секущей односторонние 2. Выпищите пары углов, которые вы видите на рисунке. соответственные накрест лежащие односторонние 3. Какие прямые на рисунке параллельны? Кратко поясните, почему. Решение:_______________________ Признаки параллельности прямых Доказательство: Решение: 43 4. В окружности с центром О проведены диаметры АВ и CD. а) Докажите, что AADO — АС ВО. б) Найдите угол С ВО, если угол ODA = 42°, OAD = 42°. в) Сколько точек пересечения имеют прямые AD и СВ} Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные б) Если при пересечении двух прямых секущей односторонние 2. Выпищите пары углов, которые вы видите на рисунке. соответственные накрест лежащие односторонние 44 Параллельные прямые 3. Какие прямые на рисунке параллельны? Кратко поясните, почему. Решение:_______________________ 4. Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности с центром О, АВ — диаметр и AD = CD = СВ. а) Докажите, что треугольники AOD, DOC и СОВ равны. б) Найдите, чему равен угол DOC. в) Пересекаются ли прямые АВ и CD, если угол ODA = 60°? Доказательство: Решение: Работа № 3.2. Аксиома параллельных прямых Вариант 1 1, Продолжите предложения. а) Через точку, не лежащую на данной прямой,____ б) Если две прямые параллельны третьей прямой, то в) а -L 6, с А.Ь Аксиома параллельных прямых 45 2. Пересекаются ли изображённые на рисунке прямые а и 6? 6 и с? а и с? Ответ поясните. На рисунке показано, как через точку С провести прямую, параллельную АВ. 1) Приложите угольник к стороне АВ. 2) Приложите линейку к другой стороне угольника. 3) Сдвиньте угольник вдоль линейки и проведите прямую. 3. С помощью угольника и линейки проведите через точки М, Р и К прямые, параллельные прямой АВ. Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Через точку, не лежащую на данной прямой. б) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то. в) а II 6, с -L а 46 Параллельные прямые 2. Пересекаются ли изображённые на рисунке прямые а и 6? 6 и с? а и с? Ответ поясните. На рисунке показано, как через точку С провести прямую, параллельную АВ. 1) Приложите угольник к стороне АВ. 2) Приложите линейку к другой стороне угольника. 3) Сдвиньте угольник вдоль линейки и проведите прямую. 3. С помощью угольника и линейки проведите через точки М, Р и К прямые, параллельные прямой АВ. .К Работа № 3.3. Свойства параллельных прямых Вариант 1 1. Продолжите предложение, записав три свойства параллельных прямых. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то... 1)----------------------------------------------------- 2)----------------------------------------------------- 3)----------------------------------------------------- Свойства параллельных прямых 47 2. Найдите величины углов хну, пользуясь рисунками, если прямые а и Ьпараллельны. X = У =. 3. Односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых секущей относятся как 2 : 3. Найдите эти углы. Дано:. Найти:. Решение:. 4. Сделайте чертёж и решите задачу. Прямая пересекает стороны угла М в точках С wD, прямая АВ проходит через точку М так, что MD является биссектрисой угла АМС, ZCMB = 64°. Найдите угол MCD, если угол MDC равен 58°. Дано:. Найти: Решение:. 48 Параллельные прямые Вариант 2 1. Продолжите предложение, записав три свойства параллельных прямых. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то... 1 )■ 2). 3). 2. Найдите величины углов хну, пользуясь рисунками, если прямые а и Ьпараллельны. X = У =. 3. Односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых секущей относятся как 3 : 7. Найдите эти углы. Дано:----------------------------- Найти:. Решение:. 4. Сделайте чертёж и рещите задачу. Прямые КТ и АВ пересекают стороны угла МРС в точках К,Т и А, В соответственно. Отрезки КР и РТ равны, ZPKT = 48°, ZMAB = 132°. Итоговая работа по теме «Параллельные прямые» 49 Найдите угол РВА, если РК < РА, г К w А лежат на РМ. Дано:------------------- Найти:. Решение:. Итоговая работа по теме «Параллельные прямые» Вариант 1 Часть 1 1. Параллельные прямые cwd пересечены прямой а. По данным рисунка найдите угол а. 1)67° 2)57° 3)123° 4)87° 2. Прямыет,пи1 пересечены прямой к, Z1 = 55°, Z2 = 53°, Z3 = 125°. Какие из прямых т,п, I и к параллельны? 1)т \\ п 2)п II / 3)m II / i)k \\ п 3)50° 3. В треугольнике MLK угол К равен 60°, а биссектриса MN угла, смежного с углом LMK, параллельна прямой LK. Найдите угол, образованный биссектрисой и лучом МК. 2)60° 4)30° 50 Параллельные прямые 4. По данным рисунка найдите угол /3. Ответ: 5. При пересечении двух параллельных прямых секущей образовались односторонние углы, один из которых в 3 раза больше другого. Найдите эти углы. Ответ:__________________ Часть 2 6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол С равен 70°, AM = MN, Z.CAN = 35°. Докажите, что MN || АС. Найдите Z.BMN. Запишите решение и ответ. В 7. Укажите, какие из приведённых ниже утверждений верны. 1) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. 2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны 90°. 3) Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. 4) Если углы равны, то они односторонние. 5) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Ответ:_______________ Итоговая работа по теме «Параллельные прямые» 51 Вариант 2 Часть 1 1. Параллельные прямые а и 6 пересечены прямой с. По данным рисунка найдите угол j3. 1)70° 2)120° 3)110° 4)60° 2. Прямые а, 6, с и б? пересечены прямой d, Z1 = 50°, Z2 = 48°, Z3 = 130°. Какие из прямых а, 6 и с параллельны? 1)а||6 2)6||с 3)аЦс 4)6 II б? 3. В треугольнике АВС угол А равен 40°, а биссектриса CF угла, смежного с углом АСВ, параллельна прямой АВ. Найдите угол, образованный биссектрисой и лучом СВ. 1)20° 2)80° 3)40° 4)140° 4. По данным рисунка найдите угол а. Ответ: 5. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 48°. Найдите меньший из этих углов. Ответ: _______ 52 Параллельные прямые Часть 2 6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол С равен 80°. Отрезок MN проведен так, что Z.CAN = 40° и MN II АС. Найдите Z.BMN. Докажите, что AAMN равнобедренный. В 7. Укажите, какие из приведенных ниже утверждений верны. 1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 90°. 2) Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. 3) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 4) Если прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они перпендикулярны друг другу. 5) На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. Ответ:______________ Вариант 3 Часть 1 1. Параллельные прямые I и т пересечены прямой к. По данным рисунка найдите угол 7. 1)57° 2)136° 3)47° 4)137° Итоговая работа по теме «Параллельные прямые» 53 2. Прямые а, 6 и с пересечены прямой d, Z1 = 77°, Z2 = 69°, Z3 = 103°. Какие из прямых а, Ь, си d параллельны? 1)а||6 2)6 II с 3) б? II с 4) а II с Id а Ъ / с 27 3. В треугольнике АВС угол А равен 55°, а биссектриса BD угла, смежного с углом АВС, параллельна АС. Найдите угол, образованный биссектрисой и лучом В А. 1)35° 2)45° 3)55° 4)65° 4. По данным рисунка найдите угол а. Ответ: 5. При пересечении двух параллельных прямых секущей образовались односторонние углы, один из которых в 4 раза меньше другого. Найдите эти углы. Ответ: Часть 2 6. В равнобедренном треугольнике KLM с основанием КМ угол К равен 50°. На сторонах треугольника отмечены точки А и В так, что АВ II КМ, ZAMK — 25°. Докажите, что АВ = ВМ. Найдите ZLBA. Запишите решение и ответ. М 54 Параллельные прямые 7. Укажите, какие из приведённых ниже утверждений верны. 1) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. 2) Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят две прямые, параллельные данной. 4) Через любые две точки можно провести две прямые. 5) Если сумма односторонних углов при пересечении двух прямых третьей равна 180°, то прямые параллельны. Ответ:______________ Вариант 4 Часть 1 1. Параллельные прямые и / пересечены прямой S. По данным рисунка найдите угол (3. 1)119° 2)101° 3)118° 4)105° 2. Прямые ш, гг и / пересечены прямой а, Z1 = 36°, Z2 = 37°, Z3 = 144°. Какие из прямых а,т,пи1 параллельны? 1) m II гг 2) гг II / 3) ш II / 4) а II гг а т 3. Угол, образованный биссектрисой МТ внешнего угла М треугольника KLM и его стороной ML, равен 75°. Найдите угол К, если биссектриса параллельна KL. 1)30° 2)70° 3)150° 4)75° Итоговая работа по теме «Параллельные прямые» 55 4. По данным рисунка найдите угол j3. Ответ:___________________ 5. При пересечении двух параллельных прямых секущей образовались односторонние углы, один из которых больше другого на 36°. Найдите больший из этих углов. Ответ: Часть 2 6. В равностороннем треугольнике MFN с основанием MN и углом N, равным 60°, проведён отрезок КЬтгк, что угол LMN равен 30°, МК = KL. Докажите, что KL \\ MN. Найдите Z.KLF. Запишите решение и ответ. N 7. Укажите, какие из приведённых ниже утверждений верны. 1) Если отрезки не пересекаются, то они лежат на параллельных прямых. 2) Если при пересечении двух прямых третьей сумма накрест лежащих углов равна 180°, то прямые параллельны. 3) Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны. 4) От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один. 5) Если сумма односторонних углов при пересечении двух прямых третьей равна 180°, то прямые параллельны. Ответ: Часть 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника Работа №4.1. Сумма углов треугольника Вариант 1 I. Продолжите предложение. Сумма углов треугольника 2. Напишите значения указанных величин, используя рисунки. ААСВ =. Z.PCB = ^Р = . Z.K = ZT = . ZD - 3. Выпишите номера неверных утверждений. 1. В треугольнике может быть два тупых угла. 2. Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую против острого угла. 3. Внешний угол треугольника равен полусумме углов треугольника, не смежных с ним. 4. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Ответ; Сумма углов треугольника 57 4. Биссектрисы углов М v\ К равнобедренного треугольника МРК пересекаются в точке О. Найдите угол МОК, если ZP = 48°. Сделайте чертеж и запишите решение. Дано:_______________________________ Найти:. Решение:. Вариант 2 1. Продолжите предложение. Внешний угол треугольника 2. Напишите значения указанных величин, используя рисунки. В ZABC = ZF = ZD = ZKEF = ZKET = 3. Выпишите номера неверных утверждений. 1. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°. 2. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против угла 90°, называется гипотенузой. 58 Соотношения между сторонами и углами треугольника 3. В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 4. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Ответ: 4. Найдите угол Р прямоугольного треугольника ТРК с гипотенузой РК, если К А — биссектриса внешнего угла К этого треугольника и /.РКА = 81° Сделайте чертеж и запишите решение. Дано1- Найти:. Решение:. Работа № 4.2. Соотношения между сторонами и углами треугольника Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) В треугольнике против большей стороны _ б) Если два угла треугольника равны, то Соотношения между сторонами и углами треугольника 59 2. Сравните заданные отрезки. а) гипотенузу ЛВ и катет ВС в треугольнике АВС АВ ВС РК МК К DE DF 3. Существует ли треугольник со сторонами 20 см, 10 см и 15 дм? Ответ объясните. 4. Сравните углы треугольника МРК, если а) КМ = КР> МР ______________ б) КМ < КР < МР ______________ 5. Периметр равнобедренного треугольника равен 72 см, один из его внешних углов острый, а одна из сторон равна 20 см. Найдите две другие стороны треугольника. Дано:------------------------------- Найти:. Решение:. 60 Соотношения между сторонами и углами треугольника Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) В треугольнике против большего угла_ б) (Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника 2. Сравните стороны треугольника. а)МКиКР, если ZM = ЭО'" В мк КР РТ мт АС ВС 3. Существует ли треугольник со сторонами 5 см, 8 см и 12 мм? Ответ объясните. 4. Сравните углы треугольника АВС, если а)АВ = ВС> АС б)АВ > ВС > АС Прямоугольные треугольники 61 5. Периметр равнобедренного треугольника равен 82 см, а одна из сторон равна 20 см. Найдите две другие стороны треугольника. Дано: Найти: Решение:. Работа № 4.3. Прямоугольные треугольники Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°,. б) Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам 2. Пользуясь рисунком, запишите, чему равен угол А. В К ZA = 62 Соотношения между сторонами и углами треугольника 3. В равнобедренном треугольнике КРМ один из углов равен 120°. Из вершины М к боковой стороне проведена высота, равная 14 см. Найдите основание треугольника МРК. М Дано:. Найти:. Решение:. 4. Один из углов прямоугольного треугольника в три раза меньше другого угла. Найдите все углы этого треугольника. Разберите два случая, сделайте чертежи и запишите решение в каждом случае. 1-й случай Дано:. Найти:— Решение: прямоугольные треугольники 63 2-й случай Дано:. Найти:. Решение:. Вариант 2 I. Продолжите предложения. а) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то___________________________________________________________________ б) Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету ______________________________________________________________ 2. Пользуясь рисунком, запишите, чему равен угол А. 64 Дано: Соотношения между сторонами и углами треугольника 3. В равнобедренном треугольнике КРМ один из углов равен 120°. Из вершины Р к основанию КМ проведена высота, равная 14 см. Найдите боковую сторону треугольника КРМ. Найти: Решение:. 4. Один из углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого угла. Найдите все углы этого треугольника. Разберите два случая, сделайте чертежи и запишите решение в каждом случае. 1 -й случай ________________________________ Найти:__ Решение:. 2-й случай Дано:. Найти:— Решение: Расстояние от точки до прямой 65 Работа JVo 4.4. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми Вариант 1 1. Продолжите предложение. Расстоянием от точки до прямой называют 2. Сравните указанные отрезки, пользуясь рисунком. ^ М К J а II П р i г Ь МР КТ 3. На сторонах правильного (равностороннего) треугольника АВС отложены равные отрезки AM, ВК и СР, МР ± ВС. а) Найдите ZC и Z.CMP. б) Найдите угол ВКР и докажите, что треугольники МРС и КВР равны. в) Найдите ВР, если ВК = 10. г) Докажите, что треугольник МРК правильный. Дано:____________________________________________ В Найти:___ Доказать:. 66 Соотношения между сторонами и углами треугольника Решение:. Вариант 2 1. Продолжите предложение. Расстоянием между прямыми называют 2. Сравните указанные отрезки, пользуясь рисунком. М 3. На сторонах правильного (равностороннего) треугольника АВС отложены равные отрезки AM, ВК и СР, МК 1 АВ. а) Найдите /Л и /.АМК. б) Найдите угол РМС и докажите, что треугольники АКМ и РМС равны. в) Найдите ВР, если ВК — 10. г) Докажите, что треугольник МРК правильный. Расстояние от точки до прямой Дано:_______________________ Найти:___ Доказать:. Решение:. 67 68 Соотношения между сторонами и углами треугольника Итоговая работа по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» Вариант 1 Часть 1 1. Найдите углы равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, если Z.ABC = 70°. В ответ запишите все номера возможных ответов. 1)40°; 70°; 70° 2) 70°; 55°; 55° 3) 35°; 35°; 70° 4)50°; 50°; 70° 2. Какой из треугольников с заданными сторонами существует? 1)2; 5; 3 2)7; 4; 2 3)7; 5; 3 4)7; 4; 3 3. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 15 см, а другая — 7 см. Какая из приведённых величин может являться основанием? 1)7см 2)бсм 3)15см 4)8см 4. В равнобедренном треугольнике АВС /.В = 120°, АВ = 16 см. Найдите длину высоты BD. Ответ:______________ 5. В прямоугольном треугольнике MLK ZM = 90°, MN _L LK, точка N лежит на LK, MN = 4,8 см, LM = 9,6 см. Найдите ZL. Ответ:______________ Часть 2 6. Расстояние между параллельными прямыми а и 5 равно 4 дм, а между параллельными прямыми а и с — б дм. Докажите, что прямые бис параллельны. Найдите, каким может быть расстояние между прямыми бис. Запишите решение и ответ. Итоговая работа по теме «Соотношения между сторонами и углами...» 69 7. Укажите, какие из приведённых ниже утверждений верны. 1) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 2) В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше катета. 3) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 4) Если катет прямоугольного треугольника лежит против угла 60°, то он равен половине гипотенузы. 5) Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого, то такие треугольники равны. Ответ:_______________ Вариант 2 Часть 1 1. Найдите углы равнобедренного треугольника , если один из его углов равен 50°. В ответ запишите все номера возможных ответов. 1)50°; 50°; 80° 2) 50°; 70°; 70° 3) 65°; 60°; 65° 4) 55°; 55°; 70° 2. Какой из треугольников с заданными сторонами существует? 1)9; 10; 12 2)9; 10; 19 3) 10; 8; 19 4) 12; 8; 20 3. В треугольнике АВС /.В = 90°, ZC = 60°, АВ — 22 см, ВК _L АС. Найдите ВК, если К лежит на АС. 1)44 см 2) 12 см 3)11 см 4)22 см 4. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 24 см, а другая — 9 см. Какова длина боковой стороны? Ответ; 70 Соотношения между сторонами и углами треугольника 5. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 5,2 см, а боковая сторона равна 10,4 см. Найдите угол, лежащий против основания треугольника. Ответ:_______________ Часть 2 6. В прямоугольном треугольнике сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 75 см. Найдите гипотенузу треугольника, если один из его углов равен 30°. Запишите решение и ответ. 7. Укажите, какие из приведённых ниже утверждений верны. 1) В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий прямой или тупой. 2) В треугольнике против большего угла лежит меньшая сторона. 3) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. 4) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. 5) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника меньше 90°. Ответ:_______________ Вариант 3 Часть 1 1. Найдите углы равнобедренного треугольника DKF с основанием DF, если ZDFK = 46°. В ответ запишите все номера возможных ответов. 1)46°; 64°; 70° 2)46°; 35°; 100° 3)46°; 46°; 88° 4)46°; 67°; 67° 2. Какой из треугольников с заданными сторонами существует? 1)8; 16; 7 2) 15; 8; 7 3)9; 8; 16 4)5; 6; 12 Итоговая работа по теме «Соотношения между сторонами и углами 71 3. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 12 см, а другая — 26 см. Какая из приведённых величин может являться основанием? 1)26 см 2)12 см 3)11 см 4)25 см 4. В равнобедренном треугольнике MNK Z.N — 120°, высота NL = 13 см. Найдите длину MN. Ответ:_______________ 5. В прямоугольном треугольнике катет равен 12,8 см. Длина высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, равна 6,4 см. Найдите больший из острых углов треугольника. Ответ:_______________ Часть 2 6. Прямая MN параллельна прямой KL, а расстояние между этими прямыми равно 7 см. Расстояние между параллельными прямыми MN и АВ равно 3 см. Докажите, что KL параллельна АВ, и найдите, чему может быть равно расстояние между этими прямыми. Запишите решение и ответ. 7. Укажите, какие из приведённых ниже утверждений верны. 1) Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. 2) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 3) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника больше 90°. 4) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 5) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. Ответ:___________ 72 Соотношения между сторонами и углами треугольника Вариант 4 Часть 1 1. Найдите углы равнобедренного треугольника KLM, если Z.LKM = 36°. В ответ запишите все номера возможных ответов. 1)36°; 118°; 36° 2)36°; 36°; 108° 3)36°; 72°; 72° 4)36°; 77°; 77° 2. Какой из треугольников с заданными сторонами существует? 1)3; 4; 5 2)2; 3; 6 3)6; 7; 14 4)4; 5; 9 3. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 9 см, а другая — 20 см. Какая из указанных величин может являться третьей стороной? 1)9 см 2)10 см 3)20 см 4)18 см 4. В треугольнике АВС АС = СВ, Z.C СК = 5 см. Найдите АВ. Ответ:_______ 90°, СК — биссектриса. 5. Боковая сторона равнобедренного треугольника MLK равна 14,8 см. Угол MLK равен 120°. Найдите высоту LF, проведённую к основанию МК. Ответ: Часть 2 6. В прямоугольном треугольнике сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 45 см. Найдите гипотенузу треугольника, если один из его углов равен 60°. Запишите решение и ответ. 7. Укажите, какие из приведённых ниже утверждений верны. Итоговая работа по теме «Соотношения между сторонами и углами...» 73 1) Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. 2) Для любых трёх точек Д, Б и С, не лежащих на одной прямой, верно неравенство АВ < АС СВ. 3) В треугольнике против большей стороны лежит меньший угол. 4) В прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы. 5) Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Ответ: Задачи на построение Работа на построение №1. Построение биссектрисы угла 1) Строим окружность с центром в вершине угла и отмечаем точки пересечения со сторонами угла — точки Aw В. 2) Строим две окружности равного радиуса с центрами в точках Aw В, отмечаем их точку пересечения М. 3) Соединяем лучом вершину угла с точкой М. Этот луч ОМ — биссектриса. Задание: Для каждого угла проведите биссектрисы с помошью циркуля и линейки. Задачи на построение 75 Работа на построение №2. Построение перпендикуляра из данной точки к прямой 1) Строим окружность с центром в точке М, пересекающую прямую а в точках Аи В. 2) Строим окружности такого же радиуса с центрами в точках Aw В, они пересекутся в точках М и Р. 3) Проводим прямую МР, МР ± АВ, ME — перпендикуляр к а. Задание: Проведите перпендикуляр из точки А к прямой а. 76 Задачи на построение Работа на построение №3. Построение середины отрезка 1) Строим две окружности одинакового радиуса с центрами в концах отрезка — точках А и В. 2) Отмечаем их точки пересечения С w D. 3) Проводим прямую CD, которая пересечёт отрезок АВ в его середине. Задание: разделите пополам отрезки МК и PC. Задачи на построение 77 Работа на построение №4. Построение угла, равного данному Дано: угол А, луч ОК. Построить: ZPOK = ZA. а) Строим окружности равного радиуса с центрами в точках Aw О. б) Отмечаем точки пересечения окружностей со сторонами угла (С и В) и лучом (К). АВ = ОК. в) Строим окружность радиуса ВС с центром в точке К. г) Окружности с центрами OwK пересекаются в двух точках. Если одну из них обозначить буквой Р, то /.РОК = /САВ. 78 Задачи на построен Задание: Постройте угол, равный данно- му. Дано: Дано: Работа на построение №5. Построение треугольника по трём сторонам Дано: три отрезка. а Построить: ААВС, такой, что АВ = с, ВС = а, АС = Ь. а) Строим отрезок АВ = с. Для этого проводим луч с началом в точке А и окружность с центром в точке А и радиусом с. Точку пересечения луча и окружности обозначаем В. Задачи на построение 79 б) Проведём окружность с центром в точке А и радиусом Ъ и окружность с центром в точке В и радиусом а. в) Обозначим любую из точек пересечения окружностей буквой С и проведем АС и ВС. ААВС — искомый. Если окружности не имеют точек пересечения, делаем вывод, что треугольник с такими сторонами не существует. Задание: Постройте треугольник со сторонами, равными т,рик. Дано: т Итоговая работа для промежуточной аттестации за 7 класс Вариант 1 (с решениями) 1. В треугольнике АВС /.А = 20°, /.В = 63°. Найдите /.С. Решение. Сумма углов треугольника равна 180°. ZC = 180°—20°-63° = 97° Ответ: 97°. А В С D 2. На прямой расположены точки А, В, С, D так, что АВ = CD, АС = 3,5 см. Найдите BD. Решение. Так как АС = АВ + ВС, АВ = CD W BD = БС + CD, то BD = ВС + АВ. Таким образом, BD = АС = 3,5 см. Ответ: 3,5 см. 3. Найдите смежные углы АВС и CBD, если /.АВС больше /CBD на 70°. Решение. /АВС и /CBD смежные, значит, /АВС + /CDB = 180°. /АВС больше /CBD на 70° по условию, поэтому /CBD = (180° - 70°) : 2 = 55°, /АВС = 180° - 55° = 125°. Ответ: 125°; 55°. 4. В четырёхугольнике ABCD АВ = CD, /3 = Z4. а) Докажите, что AABD = ABDC. б) Найдите AD и DC, если АВ = 10 см, ВС = 14 см. Решение, а) В AABD и ABDC по условию ^ АВ = CD, Z3 = Z4 и сторона BD общая, AABD = ABDC по двум сторонам и углу между ними. Итоговая работа для промежуточной аттестации 81 б) AABD = ABDC, поэтому соответственные стороны равны. Следовательно, AD = ВС = 14 см. CD = АВ = 10 см по условию. Ответ: AD = 14 см, DC = 10 см. 5. На рисунке KL = LM, Z1 = 125°. Найдите Z2. Решение. AKLM равнобедренный, следовательно Z3 = Z4, как углы при основании. Z3 и Z1 смежные, Z1 = 125°, тогда Z3 = 180° - 125° = 55°. Z4 = Z3 = 55°. Z2 = Z4 как вертикальные, таким образом Z2 = 55°. Ответ: 55°. 6. На рисунке ВО = OD = 5 см, АО = 7 см. Найдите ОС. Решение. Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, так как по условию ВО = OD и Z.ABO = Z.CDO = 90°, а Z.AOB = Z.COD как вертикальные. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны ОС = О А = 7 см. Ответ: 7 см. 7. На рисунке а || 5, Z3 = 132°. Найдите градусную меру Z5. Решение. Z3 -Ь Z5 = 180° как односторонние при а || 6 и секущей с. Так как Z3 = 132°, то Z5 = 180° - 132° = 48°. Ответ: 48°. 8. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 50°. Решение. Пусть задан равнобедренный треугольник АВС. 1) Углы при основании Zy4 и ZC равны по 50°. 82 Итоговая работа для промежуточной аттестации Тогда угол /.В — 180° — 50° • 2 = 80°. 2) Пусть угол напротив основания равен 50°. Тогда ZA = ZC = (180° - 50°) : 2 = 65°. Ответ: 50°, 80°, 50° или 50°, 65°, 65°. 9. В равнобедренном треугольнике одна сторона 10 см, а другая 3 см. Найдите периметр этого треугольника. Решение. Рассмотрим два случая. 1) Основание равно 10 см. Равнобедренный треугольник со сторонами 3 см, 3 см и 10 см невозможен, так как не выполняется неравенство треугольника. 2) Основание равно 3 см. Тогда боковые стороны по 10 см. Найдём периметр треугольника: 10 см + 10 см + 3 см = 23 см. Ответ: 23 см. 10. В прямоугольных треугольниках АВС и DC В /.В = Z.C = 90°, катеты АВ и DC равны, А АС В = 28°. Найдите ADBC. Решение. В прямоугольных треугольниках АВС и DCB катеты АВ и DC равны, катет ВС общий, следовательно, ААВС = ADC В по двум катетам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, таким об разом, ZDBC = /-АСВ = 28°. Ответ: 28°. Вариант 2 D 1. В треугольнике МРК ZM Ответ:___________________ 12°, ZP = 68°. Найдите /.К. 2. Точки К, L и М лежат на одной прямой, КМ — 9 см, KL = 5 см, LM < КМ. Найдите расстояние между серединами отрезков КЬн LM. Ответ:___________________ 3. На рисунке Z3 = 57°. Найдите углы 1,2,4. Ответ: Итоговая работа для промежуточной аттестации 83 4. На рисунке AD = DC, Z1 = Z2, AD — 6 см, АВ — 18 см. а) Докажите, что AABD = ACBD. б) Найдите DC и ВС. Запишите решение и ответ. Ответ: 5. На рисунке ALMF равнобедренный, ZLMF = 104°. Чему равен угол MLF? Ответ: 6. На рисунке ZABC = ZDAB, ZCAB = ZDBA, АВ = 5 см, ВС = 4 см. Найдите AD. Ответ:________________ 7. На рисунке отрезки KF и EL пересекаются в точке М. KL II EF, ZKLM = 74°, ZMKL = 39°. Найдите ZMFE. Ответ: 8. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов в 4 раза меньше другого угла. Рассмотрите все возможные случаи. Ответ:_______________ К С В 9. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 6 см, а другая — 22 см. Найдите длину третьей стороны. Ответ: 84 Итоговая работа для промежуточной аттестации 10. На рисунке АВ — АЕ = 20 см, /.СВА = /DEA, DE = 17 см. Найдите ВС. Ответ: Вариант 3 1. В треугольнике ТБ/Г /Т = 120°, /В = 41°. Найдите /К. Ответ: 2. На прямой отмечены точки L,KwO так, что OL = 14 см, ОК = 8 см. Найдите расстояние между серединами отрезков OL и ОК, если точка О лежит на отрезке LK. Ответ: 3. На рисунке /1 + /3 = 230°. Найдите углы 1 и 4. Ответ:________________ 4. В четырёхугольнике АО = OD, ВО — ОС — 9 см, АВ = 12 см. Докажите, что АВОА = ACOD. Найдите CD. Запишите решение и ответ. D Ответ: Итоговая работа мя промежуточной аттестации 85 5. На рисунке треугольник LKE равнобедренный, LK = КЕ, КМ — медиана. Периметр треугольника LKM равен 9,3 см. Найдите периметр треугольника LKE, если КМ = 3,3 см. Ответ;________________ К 6. На рисунке /.ВАС — /ВАС, /ВСА CD = 14 см, AD = 23 см. Найдите ВС. Ответ: /ОСА, 7. На рисунке BD || АС, /CBD = 65°, ВС — биссектриса угла ABD. Найдите /ВАС. Ответ:___________ 8. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если известно, что один из его углов в 2 раза меньше другого угла. Рассмотрите все возможные случаи. Ответ: 9. Периметр равнобедренного треугольника равен 15 см. Одна из сторон меньше другой в 2 раза. Найдите длину большей стороны. Ответ: 10. На рисунке LB = DN, ВМ = MD, АВ 1 LM, CD 1 MN, CD = 10 см, CN = 12 см. Найдите длину отрезка АВ. Ответ: 86 Итоговая работа для промежуточной аттестации Вариант 4 1. В треугольнике BCD Z.B — 24°, Z.C = 42°. Найдите Z.D. Ответ;_______ ________ 2. На прямой последовательно отложены три отрезка ML = 4 см, LK = 7 см, КЕ = 8 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ML и КЕ. Ответ: 3. На рисунке прямые пересекаются в точке О. ZFON = 40°, ZLOM = 57°. Найдите угол EON. Ответ: 4. На рисунке CD Ц АВ, АО = ОС, ВО = OD, ZDCB = 70°, ZCDO = 65°. Докажите, что ADOC = АВОА. Найдите ZABC. Запишите решение и ответ. Ответ: D 5. На рисунке отрезки DB и АС пересекаются в точке О. ААВС равнобедренный, основание в 3 раза меньше боковой стороны, периметр равен 70 см. Найдите стороны треугольника. Ответ:_______________ 6. В четырёхугольнике LMNK, MN = LK, LM = KN, ZMNL = 38°, ZMLN = 83°. Найдите ZNLK. Ответ:_____ М N К Итоговая работа для промежуточной аттестации 87 7. На рисунке АВ || CD, Z1 > Z2 на 80°. Найдите Z1. Ответ:________________ 8. Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника образует с боковой стороной треугольника угол, равный 70°. Найдите углы треугольника. Рассмотрите все возможные случаи. Ответ: 9. Одна из сторон равнобедренного треугольника в 2 раза больше другой. Найдите длину меньшей стороны треугольника, если его периметр равен 25 см. Ответ: 10. На рисунке АВ = 35 см, /.В = 90°, ВС = CD = 20 см, Z.D — 90°. Найдите DK. Ответ:_______________ D К Вариант 5 1. В треугольнике МРК ZM == 67°, ZP = 76°. Найдите /.К. Ответ:______________ 2. Точки М, L W К лежат на одной прямой. Известно, что КМ = И см, ML = 16,5 см. Найдите расстояние от точки L до середины отрезка КМ, если точка М лежит между точками К wL. Ответ: 88 Итоговая работа мя промежуточной аттестации 3. Три прямые пересекаются в одной точке О. Найдите угол 3, если Z1 = 35°, Z2 = 103°. Ответ:________________ 4. На рисунке АС = AD, АВ = АЕ, Z.CBD = 70°. Докажите, что ААСЕ — AADB. Найдите угол АЕС. Запишите решение и ответ. Ответ: 5. На рисунке ZABD = ZCBD, ZADB — ZBDC, ZADC = 140°. Найдите угол DAC. Ответ: 6. В четырёхугольнике ABCD диагонали BD и АС равны, АВ = CD, ZABD = 85°, ZADB = 58°. Найдите ZACD. Ответ: 7. На рисунке параллельные прямые а и 5 пересекает прямая с. Z1 + Z5 = 102°. Найдите Z3. Ответ:_______________ 8. Периметр равнобедренного треугольника равен 27 см. Одна из сторон больше другой на б см. Найдите длины сторон этого треугольника. Рассмотрите все возможные случаи. Ответ: Итоговвя работе д/7я промежуточной аттёствиии 9. В равнобедренном треугольнике MLK с основанием МК проведена биссектриса MD. Найдите угол MDK, если известно, что угол MLK равен 40® Ответ:_______________ 10. На рисунке отрезки АЕ и BD пересекаются в точке С. АВ 1 BD, ED 1 BD, ВС = CD = 18 см, АВ = 25 м. Найдите сторону DE, Ответ:_______________ Вариант 6 1. В треугольнике АО В /.А = 17®, ZO = 71® Найдите /.В. Ответ:________________ 2. Точка D — середина отрезка АВ, точка С — середина отрезка AD. Найдите длину отрезка СВ, если BD = 5 дм. Ответ: 3. На рисунке Z1 -1- Z3 = 98®. Найдите Z1 и Z2. Ответ:_______________ 4. На рисунке точка В является серединой отрезков АЕ и CD, ZBDE = 25°, ZBED = 40°. Докажите, что ААВС = AEBD. Найдите угол А в ААВС. Запишите решение и ответ. Ответ:_______________ 90 Итоговая работа для промежуточной аттестации 5. На рисунке отрезки АЕ и BD пересекаются в точке С. /.ВАС = 120°, АВ = АС, СЕ = ED. Найдите градусную меру угла CDE. В D Ответ: 6. На рисунке AD = ВС, BD = АС, /ABD = 32°,/АВС = 72°. Найдите /ВАС. Ответ:_____________ 7. Найдите угол а. Ответ:________ В 8. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен 72' Рассмотрите все возможные случаи. Ответ: 9. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны 9 см и 4 см. Ответ: 10. В прямоугольных треугольниках FLM и LMK гипотенузы FM — LK — 44 см, МК = 38 см. Найдите FL. Ответ: Справочник прямая АВ 1. Виды линий м N L Е Угол KLE острый, AKLE < 90° луч ос отрезок MN 2. Виды углов А II В С Угол АВС прямой, ZABC = 90° М N Угол FMN тупой, ZFMN > 90° 3. Смежные и вертикальные углы о ZAOB и ZBOC — смежные углы. ZAOB + ZBOC = 180°. Сумма смежных углов равна 180°. Z1 = Z3, Z2 = Z4. Вертикальные углы равны. ___________ А о в Угол АО В развернутый, ZAOB = 180°. Углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные. Угол О полный, ZO = 360° 92 Справочник Аксиомы Некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами. 0—г Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. А -Ф- В а Прямая а — единственная. 0^ На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. А_________В ОЕ = АВ. 0^ От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один. А. ^ ZFOE = ZABC. 0~-г Аксиома параллельных прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. ^^ А ^ йуА е Ь,Ь \\ йу пря-----------— мая Ь — единственная. Справочник 93 Следствия из аксиомы параллельных прямых 1, Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. На рисунке а || Ь, прямая с пересекает прямую а, тогда прямая с пересекает и прямую Ь. Cj 2, Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. а Если а II с и 6 II с, то а II Ь. 3. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. а п Ь “1 с а _L с, 6 J. с а II 6. Признаки параллельности прямых Определение. JX^e прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. I. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы рав- щиеуглы, Z1 = Z2. Следовательно, а II Ь. II. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Заданы прямые а и 6, прямая с — ныеуглы, Z1 = Z2. Следовательно, к а II 6. 94 Справочник III. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180®, то прямые параллельны. Заданы прямые а и &, прямая с — секущая, Z1 и Z2 односторонние углы, Z1+Z2 - ISO®. Следовательно, а II Ъ. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей I. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Заданы прямые а w Ь, а II Ь, прямая с — секущая, Z1 и Z2 накрест лежащие. Следовательно, Z1 = Z2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. Заданы прямые а и 6 и секущая с, а II 6, с ± а, следовательно, с Lb. а J Ь с II. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. о L II L ^ ^ Заданы прямые а и о, а || о, д с — секущая, Z1 и Z2 — соот- ветственные углы. Следова-Ь тельно, Z1 = Z2. Справочник 95 III. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°, Заданы прямые а и 6, а || 6, J с — секущая, 2 Ь Z1 и Z2 —• односторонние углы. Следовательно, Z1 + Z2 = 180°, IL Н Перпендикуляр Прямая АН перпендикулярна прямой о. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведённым из точки А к прямой а. Треугольник Соединим три точки, не лежащие на одной прямой, отрезками, получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Точки А,В\\С называются вершинами, а отрезки АВ, ВС и АС называются сторонами треугольника АВС. Три угла — ABAC, ААВС и ААСВ — называются углами треугольника АВС. Сумма длин трёх сторон треугольника называется его периметром. НлАвс — АВ + ВС + АС. 9—г Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и обратно: против равных углов лежат равные стороны. 96 Справочник Медианы, биссектрисы и высоты треугольника Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. Медиана Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. В любом треугольнике три медианы. АМ2, В Ml, СМ^ — медианы треугольника АВС. (ЬпгЗамечательное свойство медиан. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. Биссектриса Е Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. В любом треугольнике три биссектрисы. EBi, FB2, КВ3 — биссектрисы треугольника EFK. (Ьпг Замечательное свойство биссектрис. В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. Справочник 97 Высота Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. В любом треугольнике три высоты. В С С в) АН2, ВН2, СНз — высоты треугольника АВС. 9~пг Замечательное свойство высот. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. MN — средняя линия. 1. Средняя линия треугольника параллельна его стороне и равна половине этой стороны. MN II АС, MN = 2. Средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника. 98 Справочник Виды треугольников по углам /Л < 90°, ZB < 90°, ZC < 90°, ААВС остроугольный L катет Е ZL = 90°, 90° < Z/C < 180°, AFLE прямоугольный, AMKN тупоугольный LF и LE — катеты, FE — гипотенуза Виды треугольников по сторонам в к разносторонний ААВС равнобедренный, АВ = ВС i AFEN равносторонний, FE = EN = FN Свойства и признаки равнобедренного и равностороннего треугольников 1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 2. Если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник равнобедренный. На рисунке в ААВС /.А = ZC, следовательно, АС = ВС. Справочник 99 3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. 4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки; медиана, биссектриса, высота, то он является равнобедренным. 5. Все углы равностороннего треугольника равны и составляют 60°. Признаки равенства треугольников 1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. В В\ С А\ Если АВ = A\Bi, АС — A\Ci и /Л = /Ль то ААВС = ЛЛ1В1С1. 1 2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В В, -W С А\ Если АС = AiCi, /Л = /Ль /С - /Сь то ААВС = AAiBiCi. ■Cl 3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. В -fH B^ С А\ Если АС = AiCi, АВ = AiBi, ВС = Б1С1, то ААВС = ЛЛ1В1С1. -Ht ■Cl Сумма углов треугольника Теорема Сумма углов треугольника равна 180°. 100 Справочник /Л + Z5 + ZC = 180°. Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Например, Z4 и Z3 смежные, следовательно, Z4 — внешний угол 4 треугольника АВС. _____J С Теорема Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Угол 4 — внешний угол треугольника АВС. Z4 = Z1 + Z2. Из теоремы о сумме углов треугольника следует: 1. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. Jb-r Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Jb-r Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Jb-r Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. 2. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°. А\ / В ZAOB - 90° О Некоторые свойства прямоугольных треугольников 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. В На рисунке в ААВС /.А = 90°, следовательно, Z5 + ZC = 90°. Справочник 101 2, Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30®, равен половине гипотенузы. На рисунке в ISABC /.А = 90°, /.В = 30°, следовательно, АС = -ВС. с 2 Соотношения между сторонами и углами треугольника Теорема В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. В ААВС сторона АС больше сто-В роны ВС. Против стороны АС лежит угол в, а против стороны ВС лежит угол А, следовательно, ZB > ZA Неравенство треугольника Теорема Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности. В В ААВС имеем АС < АВ + ВС, АС > АВ- ВС. Следствие 1 В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. 102 Справочник В ААВС ZC = 90°, АВ за, АВ > АС, АВ > ВС. гипотену- Следствие 2 Для любых трёх точек А, В wC, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС -\- СВ, АС < АВ + ВС, ВС < АВ + АС. Следствие 3 Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. На рисунке в ААВС ZC = 90°, АС = следовательно, ZB = 30°. Признаки равенства прямоугольных треугольников 1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. В К К C, На рисунке в треугольниках АВС и AiBiCi ZCi = ZC = 90°, катеты Si Cl = ВС и AiCi = АС, следовательно, AAiBiCi = ААВС. 2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. На рисунке в треугольниках АВС и AiSiCi ZCi = ZC = 90°, ZAi = ZA, AiCi = AC, '.Ц]_следовательно, A^iSiCi = AABC. Справочник 103 3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. На рисунке АВ и AiBi — гипотенузы прямоугольных треугольников, ZB и ZBi — острые углы, следовательно, AAiBiCi = ААВС. 4. По гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоуголь- ного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. „ л г, л г, ^ ^ На рисунке АВ и AiBi — гипотенузы прямоугольных треугольников, AiBi = АВ\ АС и AiCi — катеты, С,П II = AlCi, значит, AAiBiCi — ААВС. Расстояние от точки до прямой (Ь-г Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. А г. На рисунке АН — перпендикуляр к ^ прямой а, AF — наклонная. Следовательно, АН < AF. 9—г Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. 104 Справочник Расстояние между параллельными прямыми Теорема Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. А Ха Г На рисунке а || Ь, АВ ±b,XY ± Ъ, XY ± а. Следовательно, XY = АВ. Определение. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми. В Ответы к итоговым работам по темам Ответы к итоговой работе по теме «Начальные геометрические сведения» Ко 1 2 3 4 5 6 7 1 3 4 2 52° 95° 74°; 106°; 74°; 106° 125 2 2 3 2 90° 45° 50°; 50° 235 3 1 4 1 98° 20° 50° и 100° 1345 4 1 3 3 96° 54° 175° и 85° 23 Ответы к итоговой работе по теме «Треугольники» № 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 4 35° 68° 76° 134 2 1 3 1 37° 130° 47° 135 3 2 2 4 93° 60° 30° 2345 4 2 1 1 45°; 90° 60° 48° 1234 Ответы к итоговой работе по теме «Параллельные прямые» Ко 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 2 110° 45°; 135° 70° 135 2 3 3 3 115° 66° 80° 235 3 4 4 3 80° 36° и 144° 50° 125 4 1 3 4 82° 108° 60° 345 Ответы к итоговой работе по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» Ко 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 1 8 см 30° 2 дм и 10 дм 135 2 13 1 3 24 см 120° 50 см 134 3 3 3 2 26 см 60° 4 см и 10 см 124 4 23 1 3 10 см 7,4 см 30 см 125 Ответы к итоговой работе для промежуточной аттестации за 7 класс о № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 100° 4,5 см 57°; 123° 123° 6 см и 18 см 38° 4 см 39° 30°; 30°; 120°; 20°; 80°; 80° 22 см 17 3 19° 11 см 115°; 65° 12 см 12 см 14 см 50° 72° иди 45° 6 см 10 см 4 114° 13 см 97° 110° 30 см 38° 130° 40°; 70°; 70°; 40°; 40°; 100° 5 см 35 см 5 37° 22 см 42° 110° 20° 85° 51° 7 см; 7 см; 13 см; 5 см; И см; 11 см; 75° 25 м 6 92° 7,5 дм 49°; 131° 40° 30° 32° 81 72°; 72°; 36°; 72°; 54°; 54° 9 см 38 см о 3 гь S S; 4 О 3 to О to 0\ 0 3 1 0 1 о to; to О to= to 3 0 2 1 Промежуточная аттестация Учебное издание Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова ГЕОМЕТРИЯ. 7 КЛАСС. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ. ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ. ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ. РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ Издание второе Обложка А, Вартанов Компьютерная верстка О. Сапожников Корректор Н. Коновалова Налоговая льгота: издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП) Подписано в печать 12.09.2013. Формат 70x100 Vig- Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Уел. печ. л. 9. Тираж 5000 экз. Заказ № 3494. Издательство ООО «Легион» включено в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, которые допускаются к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования образовательных учреждениях. Приказ Минобрнауки России № 729 от 14.12.2009, зарегистрирован в Минюст России 15.01.2010 № 15987. ООО «ЛЕГИОН» Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550. Адрес редакции: 344011, г. Ростов-на-Дону, пер. Доломановский, 55. www.legionr.ru e-mail: [email protected] Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография» Филиал «Чеховский Печатный Двор» 142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1 Сайт: www.chpd.ru. E-mail: [email protected] 8(495)988-63-76, т/ф. 8(496)726-54-10