Геометрия 7 класс Рабочая тетрадь Атанасян

СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПУНКТАМИ УЧЕБНИКА И ЗАДАЧАМИ ТЕТРАДИ Номера пунктов учебника Тема Номера задач тетради 1 Точки, прямые, отрезки 1—8 3 Луч 9—11 4 Угол 12—16 5 Равенство геометрических фигур 18, 19 6 Сравнение отрезков и углов 20—24 7, 8 Длина отрезка. Единицы измерения. Измерительные инструменты 25—31 9 Градусная мера угла 32—40 11 Смежные и вертикальные углы 41—46 12 Перпендикулярные прямые 47—49 14, 15 Треугольник. Первый признак равенства треугольников 50—59 16 Перпендикуляр к прямой 60—62 17 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника 63—65 18 Свойства равнобедренного треугольника 66—70 19 Второй признак равенства треугольников 71, 72 20 Третий признак равенства треугольников 73—76 21 Окружность 77, 78 22, 23 Построения циркулем и линейкой. Примеры задач на построение 79—83 24 Определение параллельности прямых 84—86 25 Признаки параллельности двух прямых 87—104 27, 28 Об аксиомах геометрии. Аксиома параллельности прямых 105—108 29 Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей 109—115 30 Теорема о сумме углов треугольника 116—124 31 Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники 125—129 32 Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника 130—134 33 Неравенство треугольника 135—137 34 Некоторые свойства прямоугольных треугольников 138—145 35 Признаки равенства прямоугольных треугольников 146—149 37 Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми 150—155 38 Построение треугольника по трем элементам 156, 157 ГЕОМЕТРИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ КЛАСС Пособие для учащихся общеобразовательных организаций 17-е издание Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 ГЗб Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия, 7—9» авторов Л. С. Атанасяна и др. и предназначена для организации решения задач учащимися на уроке после их ознакомления с новым учебным материалом. На этом этапе учащиеся делают первые шаги по осознанию нового материала, освоению основных действий с изучаемым материалом. Поэтому в тетрадь включены только базовые задачи, обеспечивающие необходимую репродуктивную деятельность в форме внешней речи. Наличие текстовых заготовок облегчает ученику выполнение действий в развернутой письменной форме, а учителю позволяет осуществлять во время урока оперативный контроль и коррекцию деятельности учащихся. Использование данной тетради для организации других видов деятельности (самостоятельных работ, повторения, контроля и т. д.) малоэффективно. Учебное издание Атанасян Левон Сергеевич Бутузов Валентин Федорович Глазков Юрий Александрович Юдина Ирина Игоревна ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь 7 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций Зав. редакцией Т.А. Бурмистрова. Редактор Л. В. Кузнецова. Младший редактор Н. В. Ноговицына. Художники В. А. Андрианов, О. П. Богомолова, В. В. Костин. Художественный редактор О. П. Богомолова. Компьютерная верстка Е. А. Стрижевской. Корректоры Л. С. Вайтман, И. Б. Окунева Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 20.03.14. Формат TOxlOOVie-Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-иад. л. 2,47. Доп. тираж 80 000 экз. Заказ № 8248. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Тверской полиграфический комбинат» 170024, г. Тверь, проспект Ленина, 5. Тел.: +7(4822)44-46-60. Факс: +7(4822)44-98-42 E-mail: [email protected]; [email protected] ISBN 978-5-09-031819-8 Издательство «Просвещение», 1998 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2013 Все права защищены Глава I Начальные геометрические сведения Прямая и отрезок 1 Какие точки на рисунке лежат и какие не лежат на прямой Ь? Ответ запишите, используя знаки 6 и Ответ. Аеь, ____________________________ к в Через какие точки на рисунке проходит прямая т и через какие не проходит? Ответ запишите, используя знаки е и Ответ.______________________ а) Отметьте на рисунке точки Г, О и Р так, чтобы выполнялись условия: Т€п, О^п, Pin. Запишите, как читаются эти условия. б) Запишите, как еш;е можно обозначить прямую п. Ответ. а) Точка Т лежит на прямой__или прямая п проходит через точку_____Точка О ______________________________________ б) Прямую п можно обозначить еп^е так: или а) Проведите прямые а и Ь так, чтобы выполнялись условия: Аеа и Be а; АеЬ и В^Ь. б) Каково взаимное расположение прямых а и 6? Ответ. б) Прямые а и Ь____________ В Прямые тип пересекаются в точке С, а точка Ну отличная от точки Су лежит на прямой т. Лежит ли точка Н на прямой п? Объясните ответ. Решение. Н______л, так как по условию задачи прямые т и п имеют общую точку С, а двух общих точек две прямые иметь______________ Ответ. Точка Н _ на прямой п. Отметьте на прямой МК две точки: точку Ау лежащую на отрезке МКу и точку By которая не лежит на отрезке МК. Какая из точек—А или В — лежит между точками М и Ю Ответ, Между точками М и К ________ М Пересекаются ли на рисунке: а) отрезки ЕН и АВ, ЕН и ВС, НК и АВ; б) отрезок ЕН и прямая ВС, отрезок НК и прямая АВ? Ответ. а) Отрезки ЕН и АВ ____________; отрезки ЕН и ВС _________________; б) Отрезок ЕН и прямая ВС _____ 8 Выпишите все отрезки, изображенные на рисунке к задаче 7: а) на которых точка В лежит, но не является их концом; б) концом которых является точка В. Ответ. а) ------------ б) ------------ § Луч и угол а) Какие точки на рисунке, отличные от точки Т, лежат на луче ТР? б) Какие лучи совпадают с лучом ТР? в) Какой луч является продолжением луча ТР? Ответ. а) На луче ТР лежат точки _____ б) ____________________________ в) ---------------------------- 10--------------------------- а) Отметьте на прямой НК точки А и В так, чтобы выполнялись условия: точка А лежит между точками Н и К и точка К лежит между точками Н и В, б) Напишите, какой луч совпадает с лучом АК и какой луч является продолжением луча АК. Ответ. б) С лучом АК совпадает луч _; продолжением луча АК является луч -- Я 11 Отметьте на луче h точку М, а на продолжении луча h — точку С. Используя форму записи, введенную в задаче 10, опишите взаимное расположение точек А, М и С. Ответ. 12 а) Запишите обозначения всех углов, изображенных на рисунке. б) Какой из этих углов является развернутым? Ответ. а) AABDy ____________ б) Развернутым является угол 13--------------------------- Проведите лучи h и р с началом в точке О так, чтобы угол kp был развернутым. Запишите обозначения всех получившихся углов. Ответ. Akp, ---------- 14 а) Закрасьте цветным карандашом внутреннюю область угла М. б) Какие точки лежат на сторонах угла М; внутри угла М; вне угла М? Ответ. б) На сторонах угла М лежат точки ____________; внутри угла М ____________________________; вне 15 Какой луч на рисунке делит угол АВС на два угла? Объясните ответ. Решение. Луч делит угол на два угла, если он: 1) исходит из__________угла; 2) проходит_________угла. Луч ВМ _____________ угол АВС на два угла, так как он ________ из вершины угла АВС и проходит ___________угла АВС, Луч ВК _______________ угол АВС на два угла, так как он __________ из вершины угла АВС, но __________ Ответ. Луч __ делит угол АВС на два угла. 16 Проведите луч КОу который делит угол МКТ на два угла, и луч КСу который не делит угол МКТ на два угла. § Сравнение отрезков и углов 17 С ПОМОЩЬЮ прозрачной пленки выясните, какие фигуры на рисунке равны фигуре Ф. Ответ. = Ф,_________ 18 На луче, исходящем из точки А, отмечены три точки К, М и Р так, что точка М лежит между точками А и Р и точка К лежит между точками А и М. Сравните отрезки АК и АР. Сделайте чертеж и объясните ответ. Решение. По условию задачи А—М—Р, поэтому отрезок AM — часть отрезка __ . Аналогично А—К—М, поэтому отрезок АК — часть ___ AM. Следовательно, АК АР. Ответ 8 19---------------------------- а) С помощью циркуля сравните отрезки АВ и СХ>, АВ и BD, АС и CD, Запишите результат сравнения и выясните, какая из точек — В или С — служит серединой отрезка AD, б) На прямой AD отметьте точку М так, чтобы точка С была серединой отрезка DM, Ответ. а)АВ___CD, АВ____BD, АС____CD; середина отрезка AD — точка___ С В D 20 Точка М — середина отрезка ОТ, Можно ли наложением совместить отрезки: а) ОМ и МТ; б) ОМ и ОТ; в) МТ и ОТ? Объясните ответ. Решение. а) Точка М — середина отрезка ОТ, поэтому ОМ =____, а равные отрезки совместить наложением________ б) Точка М —____________ отрезка ОТ, поэтому ОМ___ОТ, а неравные отрезки ОМ и _______________________________ в) Ответ. а) ----- б) ----- в) ----- 21 На рисунке отрезки НК, КР, РО и ОТ равны друг другу. а) Укажите отрезок, серединой которого служит точка О. б) Укажите середину отрезка НТ, в) На прямой КО отметьте точку А так, чтобы точка Т была серединой отрезка РА. Ответ. а)--------; б)--------------- Н К Р О т 22 Луч AM делит угол ВАС на два угла. Сравните углы ВАМ и ВАС. Сделайте чертеж и объясните ответ. Решение. Углы ВАМ и ВАС имеют общую сторону __, луч AM делит угол ____ на два угла, поэ- тому луч AM проходит внутри угла ВАС, значит, угол ВАМ — часть угла ____, поэтому А ВАМ Z. ВАС. Ответ. АВАМ_____ABAC. 23 Три луча h, k т исходят из точки О, луч h является продолжением луча k. Сравните углы hk и km. Сделайте чертеж и объясните ответ. Решение. По условию задачи луч h является ____________ луча k, значит, угол разверну- тый. Угол km — неразвернутый, поэтому он составляет часть угла _, т. е. Z hk_Z km. Ответ. Ahk_____А km. 10 24----------------------------- На рисунках а и б Z km = Z kn. На каком из этих рисунков луч k — биссектриса угла тп1 Объясните ответ. Решение. Луч называется биссектрисой угла, если он: 1) исходит из ____________угла; 2) делит угол_____________ На рисунке а луч k исходит из _____________ угла тп и делит ___________________Следовательно, луч k —____________угла тп. На рисунке б луч k исходит из _____________ угла тп, но ________ ___________ угол пополам. Следо- вательно, луч k __________________ биссектрисой угла тп. Ответ. Луч k является биссектрисой угла ____на рисунке____ а) § Измерение отрезков 25 На рисунке отрезки АВ, ВС, CD и DE равны. Найдите длину отрезка AD, если за единицу измерения принят отрезок: а)АВ; б) АС; ъ)АЕ, Ответ. 8i)AD = SAB, б) AD =_____ в) --------- D Е 11 26 Точка А лежит на отрезке ВС. Каким из чисел: -2; -0,5; 0; 0,3; 1,5 — может выражаться длина отрезка ВА, если за единицу измерения принят отрезок ВС? Решение. Длина любого отрезка может выражаться только _____________________ числом. По условию задачи точка А лежит между точками Б и С, следовательно, ВА < ВС, поэтому длина отрезка ВА может выражаться только числом ____ Ответ. Длина отрезка ВА может выражаться только числом _____ 27 На рисунке с помощью масштабной линейки отметьте на прямой АВ точку М так, чтобы ВМ = 20 мм. а) Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ? б) Измерьте в миллиметрах длину отрезка AM в каждом из случаев. Ответ. а) б)АМ = или AM = 28 Точки К, Р И О лежат на одной прямой. Каким может быть расстояние КО, если КР = 3 см, РО = 1,5 см? Решение. Расстоянием между точками К и О называется длина ___________________Возможны два случая: а) Точка О лежит на луче РК (сделайте чертеж). В этом случае КО + + ОР =______, т. е. КО + 1,5 =___, откуда КО =________см. 12 б) Точка О лежит на продолжении луча ____ (сделайте чертеж). В этом случае КР + РО =______, т. е. КО = см. Ответ. КО =__ см или ко = см. 29 Длина отрезка ВС на рисунке равна а. Известно, что точка М — середина отрезка ВО, точка К — середина отрезка ОС. Отметьте точки М и К на рисунке. Найдите расстояние МК. Решение. По условию задачи точка М — середина отрезка_, поэтому МО=^ВО; точка К — середина отрезка ___, поэтому ОК = = 1_ 2 МК = М О + = 1во + 2 + кОС= i(BO + .)= i 2 2 2 Ответ. МК =___ 30 Измерьте длину и ширину рабочей тетради и выразите их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и километрах. Ответ. Длина: _______________________________________________ Ширина: ______________________________________________ 31 Выразите метр в аршинах и саженях. Ответ. 13 Измерение углов 32 Измерьте с помощью транспортира данные углы ВАК, ВАМ, КАМ и САМ. Ответ. АВАК =_____________________ 33 Углы АВС и КОР можно совместить наложением, А АВС = 15°. Какова градусная мера угла КОР? Решение. Так как по условию задачи углы АВС и КОР можно совместить наложением, то они --------, а равные углы имеют____________________________. Следовательно, АКОР =_____ Ответ. 34 Не измеряя углы КАС и САМ на рисунке к задаче 32, сравните их градусные меры. Объясните ответ. Решение. Угол САМ составляет часть угла КАС, следовательно, угол САМ меньше угла ________, а меньший угол имеет ___________ градусную меру. Ответ. АСАМ_____АКАС. 14 35--------------------------- С ПОМОЩЬЮ транспортира отложите от луча О А угол АОС, равный 35°. а) Сколько таких углов можно отложить от луча QA? б) Измерьте угол СОВ в каждом из случаев. Ответ. а) б) АСОВ = или АСОВ = 36 Луч АВ делит угол КАР на два угла так, что угол КАВ тупой. Сделайте чертеж. Может ли угол ВАР быть тупым или прямым? Решение. Так как луч АВ делит угол КАР на два угла, то А КАР = АКАВ Л-_________ Предпо- ложим, что угол ВАР тупой или прямой. Тогда АКАР____180°, что невозможно. Значит, угол ВАР______ Ответ. 37 Луч МН делит угол АМС на два угла. Найдите ААМС, если ААМЯ = 15°23', АЯМС = 84°5Г. Решение. Так как луч МН делит угол АМС на два угла, то ААМС = ААМН _______, т. е. ААМС =_____+ +________=________ Ответ. ААМС =________ /5 38—------------------------------------------------- Луч СЕ — биссектриса угла РСГ, /.ЕСТ = 37°37'. Найдите /.РСТ, Решение. Так как луч СЕ — биссектриса угла РСТ, то АРСТ = 2А______ = __________________ Ответ. /.РСТ =__________ 39-------------------------------------------------- С помощью транспортира постройте биссектрисы углов КМС и СМТ. Измерьте угол, образованный построенными биссектрисами, и запишите результат измерения. Ответ. __________ 40 С помощью транспортира разделите угол АОВ на три равных угла. Перпендикулярные прямые 41 На каком из рисунков а — г углы 1 и 2 смежные? Объясните ответ. Решение. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением ________________ Углы 1 и 2 имеют общую сторону на рисунках а, _. Две стороны уг- лов 1 и 2 являются продолжением одна другой на рисунках ___. Оба условия выполняются на рисунке_, т. е. углы 1 и 2 являются смежными на рисунке___ Ответ. Смежные углы — на рисунке 16 42 а) Проведите луч ОС так, чтобы углы АО В и СОВ были смежными, и луч ОМ так, чтобы углы АО В и МОА были смежными. б) Вычислите градусные меры углов СОВ и МОА, если ААОВ = = 100°. Ответ. б) АСОВ =____ , АМОА =_____ 43 Сумма углов АВС и АВО равна 160°. Являются ли они смежными? Решение. Если углы АВС и АВО смежные, то выполняется равенство ААВС + ААВО =________, что противоречит усло- вию задачи. Следовательно, углы АВС и АВО_______________ Ответ. 44 На каком из рисунков а — г углы 1 и 2 являются вертикальными? Объясните ответ. Решение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются ____________ сторон другого. Это условие выполняется на рисунке_ Ответ. Вертикальные углы изображены на рисунке__ 17 45------------------------- На рисунке А АВС = 83°, /LABK = = 65°. Найдите АРВМ. Решение. Z РВЫ = Z.________, так как эти углы _____________; Z СВК = Z АВС - А__= 83° -____= =____. Следовательно, АРВМ = _ Ответ. 46 Прямые АВ и ОТ пересекаются в точке С, ZACO = 40°. Сделайте чертеж. Найдите АВСТ, А ACT, АВСО, Решение. 1) А ВСТ = А___, так как эти углы ------------------------, поэтому АВСТ =___ 2) А ACT + ААСО = так как эти углы _ поэтому Z ACT =___ 3) А ВСО = Z , так как следовательно, А ВСО = Ответ. 47-------------------------- С помош,ью транспортира и линейки проведите через точку А прямую Ъ, перпендикулярную к прямой т. т 18 48--------------------------------------------------- Прямые КМ и ВС пересекаются в точке О, Z СОМ = 89°. Перпендикулярны ли прямые КМ и ВС? Объясните ответ. Решение. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют __________________ По условию задачи Z1 СОМ = т. е. он не , поэтому прямые КМ и ВС Ответ. 49 Прямая Ь пересекает стороны угла С в точках А и В. Могут ли обе прямые СА и СВ быть перпендикулярными к прямой Ь? Решение. Предположим, что СА ±Ь и СВ _L Ъ, тогда две прямые, перпендикулярные к прямой Ь,_______________ в точке С, что невозможно. Следовательно, обе прямые СА и СВ быть перпендикулярными к прямой Ь_______________ Ответ. Глава II Треугольники м Первый признак равенства треугольников 50 а) Запишите все возможные обозначения данного треугольника. б) Укажите: сторону, лежаш;ую против угла С; угол, лежащий против стороны СМ; углы, прилежащие к стороне ЕС; угол между сторонами ЕС и ЕМ. в) Измерьте меньшую сторону данного треугольника и его больший угол и запишите результат измерений. Ответ. а) ЛСЕМ, ___________________ б) Против угла С лежит сторона __; против стороны СМ лежит _______; к стороне ЕС прилежат углы ------; между сторонами ЕС и ЕМ — угол_______ в) ЕМ = __см; АСЕМ =________ 51 а) С помощью масштабной линейки закончите построение треугольника АВС, если АВ = 5 см, АС = 4 см. б) Измерьте градусные меры углов Б и С построенного треугольника АВС и запишите результат измерений. в) Измерьте сторону ВС и найдите периметр треугольника АВС. Ответ. б) /L В = ______________ в) ВС =___см и =___________ см. 20 52------------------------------------------------------- При наложении треугольника АВС на треугольник МКН сторона АВ совместилась со стороной МК, сторона АС — со стороной МЯ. Совместилась ли сторона ВС со стороной КН? Объясните ответ. Решение. Так как стороны АВ и АС совместились со сторонами __________________, то точки В и С совместились соответственно с точками ___________ . Следовательно, концы отрезков ВС и КН_____________ совместились, а значит, отрезки ВС и Ответ. 53 На рисунке изображены равные треугольники АВС и РОТ. а) Укажите соответственно равные элементы этих треугольников. б) Измерьте стороны и углы треугольника АВС и запишите результат измерений. в) Не измеряя, найдите длины сторон и градусные меры углов треугольника РОТ. Ответ. В Т а) АС = РТ, б) в) 2/ 54------------------------------ Заполните пропуски в формулировке и доказательстве первого признака равенства треугольников. Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны _________ другого треугольника, треугольники___________ то такие Дано: А АВС и АНКР, АВ = НК, АС = ЯР, Z А =______ Доказать: Л АВС=_____________ Доказательство. 1) По условию теоремы АА= АН, поэтому треугольник АВС можно наложить на __________________ так, что вершина А совместится с вершиной Я, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи НК и __ 2) По условию АВ =___ , АС =_, следовательно, сторона АВ совместится со стороной __, а сторона АС — со стороной __________________________, в частности, совместятся точки В и _, С и ____. Поэтому совместятся стороны ____________________________________ 3) Итак, треугольники АВС и НКР полностью совместятся, значит, они ________. Теорема доказана. 55 На рисунке точка О — середина отрезков АВ и РТ, Докажите, что ААОТ = АВОР. Доказательство. 1) АО =____, ОТ =_____, так как по условию задачи точка О — середина отрезков _ и _____ 2) ААОТ =______, так как эти углы вертикальные. 22 3)Итак, АО = ОБ, ОТ = тельно, ААОТ =___________ ААОТ = следова- (по двум сторонам и 56 На рисунке к задаче 55 точка О — середина отрезка АВ, АТ = ВР, АОАТ = А ОВР, Докажите, что точка О — середина отрезка РТ, Доказательство. 1) АО = ОВ, так как точка О — середина отрезка_ 2) Л АОТ =___, так как АО = __, АТ =___________, АОАТ = =______ (по двум сторонам _______________________). Поэтому от = т. е. точка О — середина 57 На рисунке ACAD = AACBy AD = = ВС, Докажите, что АВ = CD. Доказательство. 1) АС — общая сторона треугольников ____и_____ 2) ACAD =______ по двум сторонам и ____________ (АС — общая сторона, AD =__ ^ CAD =______ по условию). Поэто му АВ =____ и 58 Дано: АВ = СВ, ^АВН = Z.CBH (см. рисунок). Доказать: АН = НС, Доказательство. А АВН = = _____ по двум ____________ ________________ (ВЯ—_______ .). Поэтому АН = 23 59 Дано: ААВН = АСВН, АВ = СВ (см. рисунок). Доказать: ^АЯБ = 90°. Доказательство. \)ААВН= __________ по двум {ВН — общая сторона, и ААВН =________________ АВ = ___ по условию). 2) Так как ААВН =_______, то ААНВ=А_________. Но углы АНВ и ______ смежные, поэтому А АН В + АСНВ = 2ААНВ =______ ААНВ^________ т. е. , следовательно. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника 60 а) Выясните с помощью чертежного угольника, какой из отрезков МР, МТ, МО, изображенных на рисунке, является перпендикуляром, проведенным из точки М к прямой АС. б) Проведите из точки М перпендикуляр к прямой ВС. Ответ. а) Перпендикуляром, проведенным из точки М к прямой АС, является отрезок ___ 24 61 Через точку О, не лежащую на прямой ВС, проведены прямые ОМ, ОК и ОАу пересекающие прямую ВС. Какой из отрезков ОМ, ОКу ОА является перпендикуляром, проведенным из точки О к прямой ВС, если: а) OM_LBC и М^ВС; б) КеВС и АВКО 7^ 90^; в) ОА±ВС и AGBC? Сделайте чертеж. Решение. а) По условию OMJ____и М____ВС, поэтому отрезок ОМ _____________ перпендикуляром, проведенным из точки О к прямой 6)К€ВС и АВКО^ ____, следовательно, отрезок перпендикуляром, проведенным __________ ОК в)ОА1 и , поэтому отрезок ОА Ответ. Отрезок 62 Даны прямая а и три точки В, С, Ну такие, что В^а, С^а, ВГ^а, BC_L а. Сделайте чертеж и докажите, что АВЯС 7^ 90°. Доказательство. 1) По условию В^а, ВС_______, С____, поэтому отрезок ВС — пер- пендикуляр, проведенный из точки В к____________ 2) Из точки В, не лежащей на прямой а, можно провести к этой прямой только ______ перпендикуляр, следовательно, Z ВНС__ 25 63 с помощью чертежных инструментов найдите на рисунке: а) медиану; б) биссектрису; в) высоту треугольника МКТ, Решение. а) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с __________________________________ ___________. Серединой стороны треугольника МКТ является _, значит, отрезок __— медиана треугольника МКТ, точка б) Биссектрисой треугольника называется отрезок угла __ отрезок угла треугольника, соединяющий вершину треугольника ______________________________ стороны. Биссектрисой _____ треугольника МКТ является луч ________, поэтому — биссектриса треугольника МКТ. в) Высотой треугольника называется проведенный из вершины треугольника к ром на рисунке является отрезок высота треугольника МКТ. Ответ. а) Медиана — отрезок __ б) Биссектриса — отрезок в) Высота — ____________ , Таким перпендикуля-поэтому отрезок ___— 64 На рисунке с помощью чертежных инструментов проведите: а) медиану треугольника ВСЕ из вершины Е; б) биссектрису треугольника из вершины С; в) высоту треугольника из вершины В. 26 65 На стороне КС треугольника ВКС отмечена точка М так, что АВМК = = АВМС. Сделайте чертеж. Докажите, что отрезок ВЫ — высота треугольника ВКС. Доказательство. По условию /-ВМК = Z________ Но эти углы смежные, следовательно, АВМК = Z.______= 90°. Поэто- му отрезок ВЫ — перпендикуляр, проведенный из вершины В треугольника ВКС к прямой, содержащей противоположную ___________ треугольника, т. е. отрезок ВМ — ___________треугольника ВКС. 66 а) С помощью масштабной линейки выясните, какой треугольник на рисунке является равнобедренным и какой равносторонним. б) Запишите, какие стороны равнобедренного треугольника являются боковыми, а какая сторона — основанием. Ответ. а) Равнобедренным является треугольник ______, равносторонним — треугольник ______ б) В треугольнике боковы- ми сторонами являются стороны ____________, основанием — сторона О 27 67----------------------------------------------------- Является ли равнобедренным треугольник НОТ, если его периметр равен 47 см, НО = 19 см, ОТ = 9 см? Объясните ответ. Решение. Треугольник называется равнобедренным, если Р.ог = НО + 47 см, откуда НТ = см, т. е. НТ__НО, поэтому треугольник НОТ Ответ. _______________ 68 Определите вид треугольника АВС, если АВ + ВС = АВАС = = ВС+АС, Решение. 1) По условию АВ + ВС = АВ +__, значит, ВС =___ 2) АВ + АС = ВС +__, значит, АВ =____ 3) Итак, АВ =_________ и ВС =_, т. е. все стороны треугольника АВС _____________________. Следовательно, треугольник АВС Ответ. 69 Является ли треугольник равнобедренным, если его углы равны 35°, 45° и 100°? Решение. В равнобедренном треугольнике два угла ______________. В данном треугольнике равных углов ------, поэтому он Ответ. 70 Найдите биссектрису AM, проведенную к основанию ВС равнобедренного треугольника АВС, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см (сделайте чертеж). 28 Решение. 1) По условию треугольник АВС — __________________, ВС — его поэтому АВ = 2) AM — биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию ВС, значит, AM является и _______________ треугольника АВС, т. е. ВМ =_____ - АВ + ВС + = 2{АВ + ___ АВ + ВМ = ___см. - АВ + ВМ =______+ AM. ) = 32 см. Отсюда Итак, 16 + AM = _ тельно, AM =___см. Ответ. AM =___см. следова- § Второй и третий признаки равенства треугольников 71 На рисунке AM = МВ, АА = АВ, СМ = 5 см. Найдите DM. Решение. Л AM С =__________ по стороне и двум ___________ _____________ (ААМС = _______ как вертикальные углы, AM =____ и АА =______ по условию). Поэтому DM =_____= 5 см. Ответ. DM =_______ 29 72 Биссектриса ВН треугольника АВС совпадает с его высотой. Сделайте чертеж и докажите, что ABAC = = АВСА. Доказательство. 1) По условию ВН — биссектриса треугольника АБС, т. е. ААВН = =_______; ВН — высота треугольника АБС, т. е. ААНВ = А___= 90°. 2) ААВН АСВН по стороне и __ (ВН — общая сторона, _____, ААНВ =А_______ ). следует, что А ВАН = ААВН = А Отсюда = А_____, т. е. ABAC = А 73 Даны равнобедренные треугольники АБС и МКО с основаниями ВС и КОу АВ = МК, Какое условие достаточно добавить, чтобы данные треугольники были равны: а) по первому признаку равенства треугольников; б) по третьему признаку равенства треугольников? Ответ. а) ----------- б) ----------- 74 Даны равнобедренные треугольники АБС и МКО с основаниями ВС и КОу ВС = КО. Какое условие достаточно добавить, чтобы данные треугольники были равны: а) по второму признаку равенства треугольников; б) по третьему признаку равенства треугольников? Ответ. а) ----------- б) ----------- 30 75------------------------- На рисунке АВ = CD у АС = BD, Докажите, что Z АСВ =А ВВС и zl ABD = = А DCA, Доказательство. 1) ЛАВС ADCB по ___________ сторонам (АВ =___, АС =_____, ВС — общая ________ ). Поэтому А АСВ__А ВВС и А АВС = А____ 2) ААВВ = А АВС - А_______, ADCA = ADCB - А_____. Поэтому Z ABD___Z DCA. Итак, ААСВ =______ и ААВВ = В С 76 На рисунке АВ = СВ, ВС=АВ. Докажите, что точка О — середина отрезков АС и BD, Доказательство. 1)ЛАВВ____ACDB по ________ сторонам (АВ =_ и AD =___ по условию задачи, сторона щая). Поэтому Z. ABD = Z. _ об- 2) ААВС = ACDA по трем сторонам (_________________________ ______). Поэтому Z ВАС = А_____ 3) ААОВ__АСОВ по ___________ углам (АВ = Z ВАО =А _ и ВО = _, ААВО = А_______, _). Поэтому АО = ____, т. е. точка О — отрезков АС и ВО. 3/ § 4 Задачи на построение 77 а) Измерьте диаметр окружности с центром в точке В. Чему равен ее радиус? б) Какие точки лежат на данной окружности и какие принадлежат дуге АМС? в) Как называется отрезок AM? г) Проведите хорду через точки Н и В. Как называется такая хорда? Ответ. а) Диаметр окружности равен __ см, радиус б) На окружности лежат точки ____________ AM С — точки ________ в) Отрезок AM называется ____________ К см. г) Самая большая хорда проходит через и называется _______________ на дуге окружности 78 Докажите, что диаметр окружности, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам. Доказательство. 1)АО= ___ (радиусы окружности), следовательно, ААОВ— __________ 2) По условию CD±ABj т. е. OHJ_____, значит, ОН —_____________ треугольника АОВ. 3) Итак, А АОВ —----------------, ОН — его _____________, а поэтому и ______________ (свойство равнобед- ренного треугольника), т. е. АН = 32 79 Постройте луч ОС так, чтобы луч ОА был биссектрисой угла ВОС. Решение. 1) Проведем окружность произвольного радиуса с центром О. Она пересечет лучи ОА и ОВ в точках Aj и В^. 2) Проведем окружность радиуса А^В^ с центром А^. Она пересечет первую окружность в точках С и_ 3) Проведем луч ОС. Докажем, что луч ОС искомый. Действительно, АОА^В^= __________ по трем ______________, поэтому ААОВ = = А , т. е. луч ОА угла ВОС, 80 Отложите от данного луча АВ угол, равный 45°. Решение. 1) Отложим от луча АВ прямой угол БАС, для чего построим прямую АС, ______________________ к прямой АВ, 2) Построим биссектрису AM угла Угол ВАМ искомый, так как АВАМ= фА и = 45°. 81 Постройте высоты АН и ВК треугольника АБС. 33 82--------------------------- Постройте медиану ВЫ данного треугольника АВС, Решение. Построим середину стороны ____— точку М. Проведем отрезок_____Отрезок ВЫ искомый, он является ____________________ треугольника АВС, В 83---------------------------- Постройте биссектрису АЕ треугольника АВС и биссектрису угла CAT, смежного с углом А треугольника. Глава III Параллельные прямые Признаки параллельности двух прямых 84 На рисунке прямые р и д, а и с, Ь и с пересекаются, прямые тип, а и Ь не пересекаются. Какие из прямых на рисунке параллельны? Ответ. ____________ 85 На рисунке с ±р и d ±р. Параллельны ли прямые end? Объясните ответ. Ответ. Да, так как две прямые, ______ ____________________ к третьей 86 На рисунках а и б прямые а и Ь, тип параллельны. Используя знак параллельности ||, выпишите: а) параллельные отрезки, изображенные на рисунке а; б) параллельные лучи, изображенные на рисунке б. Ответ. а) ------- б) --------------------------- В А а) б) 35 87-------------------------- Какая прямая на рисунке является секущей по отношению к двум другим прямым? Ответ. Прямая а — секущая по отношению к прямым Ь и с; прямая Ь — _________; прямая с —_________ 88 На рисунке прямые тип пересечены секущей р. Из восьми образовавшихся углов, обозначенных цифрами, выпишите все пары углов: а) накрест лежащих; б) односторонних; в) соответственных. Ответ. а) zl3 и Z5; ____________ б) ---------------- в) ---------------------------- 89 На рисунке прямые AF и AM пересечены секущей DE в точках В и С. Назовите угол, который составляет с углом АВС пару углов: а) односторонних; б) накрест лежащих; в) соответственных. Ответ. а) ------- б) ------- в) ------- 36 90--------------------------- На рисунке Z 3 = Z5. Докажите, что: а) Z4 = Z.6; б) А1 = Z.5; в) Z3 + Z6 =180°. Доказательство. а) Z4 = Z6, так как эти углы смежные с равными углами 3 и 5; б) /L1 = Z5, так как ________ в) Z3 + Z6 = 180°, так как __ 91 Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы __________, то прямые _____________ Дано: прямые а и Ь и их секущая АВ, углы 1 и 2 накрест лежащие, Z1 = zl2 (рисунок а). Доказать: а||Ь. Доказательство. Если углы 1 и 2 прямые, то a_LAB, 6_LAB, поэтому а II Ь, Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. На рисунке б точка О — середина отрезка АВ, ОН±ау ВН^=АН. 1) АОНА = АОН^В по ______ поэтому АЗ = А4 и А5 = А6. 2) Из равенства углов 3 и 4 следует, что точка лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О vl лежат __________ 3) Из равенства углов 5 и 6 следует, что zl6 = т. е. НН^_ Ь. 4) Итак, прямые а и & _____________ к прямой______, поэтому они______________Теорема доказана. 37 92 На рисунке Zl = 47°, Z2 = 133°. Докажите, что d || е. Доказательство. 1) ^3 = 180°-______= _____ , т. е. Z1 = Z3. 2) Равные углы 1 и 3 —____ , поэтому d II е. 93 На рисунке MN = NP, PF = FE. Докажите, что MN || FE . Доказательство. 1) Z1 = Z2 и Z3 = Z4, так как в равнобедренном треугольнике __ 2) Z2 = Z3, так как эти углы _ . Следователь- но, Z1 = Z2 = Z3 = Z4. 3) Равные углы 1 и 4 —________ ________________ при пересечении прямых MN и FE секущей __________, поэтому MN II FE . Е 94 На рисунке MN = PQ, MQ = PN, Докажите, что MQ || PN, MN || PQ. Доказательство. 1) AMNP = APQM по ________ ----------------------------) следовательно, Z1 = Z2, Z3 = Z4. 2) Равные углы 1 и 2 — прямых ________ поэтому MQ II PN, 3) Равные углы 3 и 4 — при пересечении секущей _______, Q , поэтому MN II PQ. 38 95-------------------------- На рисунке Z.1 = Z_2, DN = DF, Докажите, что MN Ц DF. Доказательство. 1) ADFN —___________________, поэтому Z__= Z1_, а так как Z-2 = = Z__ по условию, то Z3 = Z1. 2) Равные углы 1 и 3 —______ _______________ при пересечении _______ секущей ____, прямых ____ поэтому MN 96------ N Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы _________ , то прямые _______________ Дано: прямые а и & и их секущая с, углы 1 и 2 соответственные, Z.1 = А2. Доказать: а||6. Доказательство. 1) = А2 по __________, А2 = Z13, так как эти углы , следовательно, Z1 = Z3. 2) Равные углы 1 и 3 — , поэтому а II Ь. Теорема доказана. 97 На рисунке .11 = 125°, Z2 = 55°. Докажите, что k || /. Доказательство. 98-------------------------- На рисунке Z.1 = 70°, /LDEF = 140°, луч ЕМ — биссектриса угла DEF. Докажите, что CD || ЕМ. Доказательство. 1) Z-2 = 70°, так как ______ 2) Z1 = Z2 = 70°, а эти углы — ___________________ при пересечении прямых ____ и ____ се- кущей , поэтому CD II ЕМ. 99 На рисунке /Л = 38°, Z2 = 71°, луч РМ — биссектриса угла EPN. Докажите, что РЕ || MN. Доказательство. l)zl£PiV = 2-^2 = 142°, так как 2)/LEPN + Zl=________ + _____= =______, т. е. сумма односторонних углов EPN и 1, образованных при пересечении прямых ______ и ----- секущей ______ , равна _____. По- этому РЕ II MN. 100 На рисунке точка Q — середина отрезков CD и EF. Докажите, что ЕС II DF. Доказательство. 1) ACEQ = ADFQ по _________ ----------------------------- 9 следовательно, углы 1 и _ равны. 2) Равные углы _ и — — ---- , поэтому ЕС II DF. 40 101------------------- На рисунке MQ = NP, Zl = Z2. Докажите, что MN || PQ, Доказательство. 102 На рисунке АВ = DE, ВС = EF, AD = CF. Докажите, что АВ || DE. Доказательство. 1) АС = DFy так как ____ 2) ААВС = ADEF по ______ следовательно, ABAC = AEDF, а эти углы_________________________________ Е , поэтому АВ II DE, 103 С помощью чертежного угольника и линейки проведите через точку М прямую, параллельную данной прямой т. т М 41 104 С помощью циркуля и линейки постройте прямую DE, параллельную данной прямой MF, Указание. Постройте угол РВЕ, равный углу FPD, так, чтобы углы РВЕ и FPB были накрест лежащими при пересечении прямых MF и BE секущей СВ. Аксиома параллельных прямых 105 На рисунке ВВ || АС, прямые АЕ и АС не совпадают. Докажите, что прямая АЕ пересекает прямую ВВ. Доказательство. Прямые АС и ВВ параллельны по условию, прямая АЕ ______________ пря- мую АС, поэтому, согласно следст- вию из аксиомы параллельных прямых, прямая АЕ и прямую ВВ. В 106 Прямые а, Ь VL с пересечены секущей d; а II Ъ, Z1 = 54°, А2 = 126°. Докажите, что Ь Ц с. Доказательство. 1) а II с, так как + А2 =_, а углы 1 и 2 ____________ при пересечении прямых щей ___ и секу- 42 2) Итак, а II с и а \\ Ь (по .), поэтому, согласно следствию 2® из аксиомы параллельных прямых, прямые ___ и __параллельны. 107 На рисунке Z. S = А 4 = 138°, Z.5 = = 42°. Какие из прямых т, п и р являются параллельными? Решение. 1) Z12 = Z4, так как эти углы _________________, Z3 = Z_4 по ____________, поэтому Z2 = Z__ Равные углы 2 и 3 — _______ при пересечении прямых и___секуш;ей___, поэтому т || п. 2) Углы 1 и 5 _______________ а так как /S = Равные углы 1 и 3 — поэтому Z1 = 180° - Z___= по условию, то zll = Z3. ____________ при пересече- нии прямых___и ___секуш;еи__, поэтому т || р. S) т \\ п и /п II р, поэтому, согласно следствию 2° из аксиомы параллельных прямых, п || р. Ответ. 108 На рисунке АВ || NC, точка В — середина отрезков DC и PQ, Докажите, что АВ || MQ. Доказательство. 1) АВСР = ABDQ по ____ N 2) Из равенства треугольников ВСР и BDQ следует равенство углов 1 и 2, а эти углы —_________ при пересечении прямых _________________ и _ секуш;ей __, поэтому прямые NC и______параллельны. 3) Итак, АВ II NC, NC , следовательно, АВ || MQ. 43 109 Теорема. Если две ______________ прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы__________ Дано: а II 6, MN — секущая, углы 1 и 2 накрест лежащие. Доказать: Z.1=Z2. Доказательство. Допустим, что /-1^ Z2. 1) Построим угол NMP, равный углу 2, как показано на ри- сунке. Так как /-1 ^ Z2, то прямые МР и а не совпадают. Равные углы NMP и 2 —_____________________ при пересечении прямых МР и Ь секущей MN, поэтому __ || Ь. 2) Мы получили, что через точку М проходят две прямые: а и _____, параллельные прямой Ь. Но это противоречит Значит, наше допущение доказана. 110------------------ и А1 = zl2. Теорема На рисунке а \\ Ь, с — секущая, Z14 + Z6 = 78°. Найдите все углы, обозначенные цифрами. Решение. 1) По условию Z4 +Z6 = 78°, а эти углы _________________________ ________, поэтому Z4__Z6 =____ 2) А2 = /L4, Z8 = Z.6, так как эти углы _______________________, поэто- му А2 = _ 3)Z13 = ^3 и Z4, Z5 и Z6 и AS = _ -Z4 = А6 = А6 = 4) А1 = АЗ и А7 = Z.5, так как эти углы Ответ. , так как 44 Ill На рисунке m || тг, р — секущая, угол 1 в три раза больше угла 2. Найдите Z3. Решение. I)zl3 = zil, так как эти углы , следовательно, угол 3 в три раза больше угла 2. 2) Углы 2 и 3 —_____ поэтому их сумма равна __, т. е. Z2 + 3 • Z.2 =_, откуда Z.2 =_, а Z3 =____ Ответ. А3=_____ 112 На рисунке MN || PQ, АВ — секущая, угол 1 на 110° больше угла 2. Найдите АЗ. Решение. 1) Z.1 = АЗ, так как ______ ________________, поэтому угол 3 на 110° больше угла 2, т. е. АЗ = = Z2 +___ 2) АЗ и А2—______________ при пересечении _____________ прямых MN и PQ секущей АВ, а потому АЗ + А2 = 3) Итак, А2 +110°+Z.2= ____, откуда А2 = ____ , следовательно, АЗ = А2 _____=_____ Ответ. А3=____ 45 113 На рисунке треугольник MNP прямоугольный, /LN = 90°, PF || MN, ZMPF = 42°. Найдите AMPN и ZM. Решение. 1) PN±PFy так как прямая PN, перпендикулярная к одной из параллельных прямых MN и РР, перпендикулярна и к другой, поэтому AFPN =_____ 2) AMPN = AFPN - А___= 90° - 3) Z.M_ZMPP = 42°, так как Ответ. AMPN = , = 114 На рисунке MN || CD, MN = MD. Докажите, что DN — биссектриса угла D. Доказательство. 1) Z1 = Z2, так как ______ 2) 1.2 = Z3, так как эти углы 3) Итак, Z1 = А.2 и Z.2 = Z3, поэтому Z____= Z ___, т. е. луч DN — биссектриса угла D. 46 115---------------------------- На рисунке DM || СЕ у луч DE — биссектриса угла CDM, Z4 = 108°. Найдите углы треугольника CDE, Решение. 1) ZCDM = Z4 = 108°, так как 2) Z1 = zi5 = 54°, так как D М 3) zl3 = Z.5 = 54°, так как 4) Z2 = 180° — Z14 =____, так как Ответ. ZC =___, AD =___, АЕ =___ Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника 116 Сумма углов треугольника В равнобедренном треугольнике MNP с основанием МР zlM = 43°. Найдите углы N и Р. Решение. 1) Z.P ____________________________________________ ___________, поэтому АР =___ 2) AM + АР Л- AN = по теореме о Ответ. AN =___ , АР , поэтому AN = 117 На рисунке треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, ADAC= 117^. Найдите углы треугольника АВС. Решение. 1) ADAC и ABAC —___________ углы, поэтому ABAC =_- ABAC = =___- 117° =____ 2) Треугольник АВС равнобедренный, поэтому АС = А__=____ 3) Так как АВ-\-ААААС =____ (по теореме о ________________ .), ТО АВ = Ответ. АА= АС = , АВ = 48 118 В треугольнике АВС угол С в два раза меньше угла А, а угол В в три раза больше угла С. Найдите углы треугольника. Решение. Пусть ZC = х°, тогда Z.A = 2х°, /-В = Зл:°. 1) АА+ Z.B + АС =_____ по теореме о ----------------------- ______________________, т. е. 2jc + 3jc + д: = __, 6х =-------, X =_____, поэтому АС = 30°. 2) АА = 2х° =_____, АВ =______=______ Ответ. аа =__ , АВ = , АС = 119 В треугольнике АВС угол А на 25° больше угла С, а угол С в три раза меньше угла В. Найдите углы треугольника. Решение. Пусть АС = х°, тогда А А = д:°+__, АВ = 3jc°. 1) АААВ + АС =_____ по теореме о __________________ > 2) АА = _ Ответ. АА =___, АВ т. е. поэтому АС = 31°. _____, АН = 3 •__ , АС = 120----------------------- В треугольнике MNP отрезок NQ — биссектриса, АМ= 74°, АЗ=112°. Найдите углы АГ и Р треугольника MNP. Решение. 1)Угол 3 — внешний угол при вершине Q треугольника MQN, поэтому АЗ = А___+ А1, откуда А1 = АЗ-АМ= 112°-_____=_____; AN =_____, так как NQ —______ 2) АР = 180°- (_ Ответ. AN =_____, АР = -) = N 49 121 Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 72°. Решение. Рассмотрим два случая. 1) Пусть угол А при основании АС равнобедренного треугольника АВС равен 72°, тогда АС = А____=_______Согласно теореме о ___________________________ АВ =________-2-_______ = ___ 2) Пусть угол Б, противолежаш;ий основанию АС равнобедренного треугольника АВС, равен 72°, тогда АА-\-АС =_________- -72° =______, а так как А А и АС —__________________ углы, то А А__АС =_______: 2 =_____ Ответ. или 122----------------------- Биссектрисы AD и BE треугольника АВС пересекаются в точке О, AA = 7S°, AB = SS^. Найдите угол АОЕ. Решение. 1) Zl + Z2= |(ZA + ZB)=|(_+ + --) = -- 2) ААОЕ —_____________ угол треугольника АОВ, поэтому ААОЕ = = ^Z______=____ Ответ. ААОЕ =___ 123 На рисунке CF — биссектриса равнобедренного треугольника CDE с основанием СЕ, ACFE = 102°. Найдите углы треугольника CDE. Решение. 1) Пусть А1 = х°, тогда AS = 2л:°, так как _____________________ 50 2)‘Z2 + Z.3 + ^CFE = no куда 3jc = , л: = , поэтому x-\-2x +102° = ____, от- . Таким образом, /-С = /LE = 2x° = 3)Zi)=180°-(^_____ Ответ. Z.C= /LE =___, Z.X) = + Z ) = 124------------------------ Ha рисунке биссектрисы ME и PF треугольника MNP пересекаются в точке О, АРОЕ = 52°. Найдите AN. Решение. 1) АРОЕ —_____________ угол треугольника МОР, поэтому АРОЕ = = А_ + Z___, т. е. Z1 + Z2 =__ 2) AN = 180°- (AM + АР) = 180°- - 2 •__= 180° -____=_____ Ответ. AN =____ 125 Могут ли два внешних угла треугольника при разных его вершинах быть: а) острыми; б) прямыми? Объясните ответ. Ответ. а) Нет, так как тогда треугольник имел бы два тупых угла, а это невозможно. б) Нет, так как тогда треугольник ____________________ 51 126------------------------------------------------- Могут ли углы при основании равнобедренного треугольника быть прямыми или тупыми? Объясните ответ. Ответ. Нет, так как в треугольнике только один угол может быть ____________ или____________ 127 Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть равным 93°? Ответ. Нет, так как углы при основании равнобедренного треугольника ___________ 128 Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 98°. Решение. Угол при основании равнобедренного треугольника _________________ равным 98°, так как углы при основании равнобедренного треугольника острые. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АС и углом при вершине Б, равным 98°, тогда АА-\-АС =_____- АВ =------98° =-------, а так как углы А и С ______________, то АА—АС =--------- Ответ. 98°,_____,____ 129 Проведите высоту АН треугольника АВС и укажите катеты и гипотенузу в треугольниках АВН и АСН. Ответ. В треугольнике АВН ________ и ____— катеты, ______— гипотенуза. В треугольнике АСН _____________ 52 Соотношения между сторонами и углами треугольника 130 а) В треугольнике MNP выполняется следующее соотношение: MN < NP < РМ, Может ли угол М этого треугольника быть прямым? б) в треугольнике CDE выполняется следующее соотношение: CEАА, АВ> АС. Следовательно, АС > ВС и АС>АВ, так как в треугольнике против большего угла ___________________________ 53 132-------------------------- На рисунке угол В тупой, точка F лежит на стороне АВ. Докажите, что АС > FC, Доказательство. 1) Угол AFC — внешний угол треугольника ______, поэтому /-AFC = = /-B-\-ABCF, т. е. AAFC__АВ, а так как угол В тупой по условию, то и угол AFC_________ 2) В треугольнике AFC угол AFC тупой, поэтому AAFC__АА и, следовательно, АС_________FC, так как в треугольнике против большего угла В 133 На рисунке MN = NP, точка Q лежит на стороне МР. Докажите, что NQ < MN. Доказательство. 1) AM___АР как углы при основа- нии равнобедренного треугольника 2) Угол NQP — внешний угол треугольника ______, поэтому ANQP = = AM + AMNQ, т. е. ANQP_____AM, а значит, ANQP__АР, 3) В треугольнике NPQ АР_______ __ANQP, поэтому NQ_____NP. Итак, NQ____NP, следовательно, NQ__MN, N 134 AD — биссектриса треугольника АВС, АВ > АС. Докажите, что DC >DB. 54 Доказательство. В треугольнике АВС АС>АВ, так как Поэто- му, если на луче АС отложить отрезок АЕ, равный отрезку АВ, то точка Е будет лежать на отрезке АС (см. рисунок). 1)AABD = AAED по ____________ следовательно, DB = DE и Z.3 = Z4. 2) А5 = А6, так как эти углы — смежные с равными углами 3 и 4. 3) Z.5 > ZC, так как угол 5 — внешний угол треугольника_________, следовательно, Аб > АС. 4) В треугольнике ВСЕ А6 > АС, поэтому ВС > BE, а так как BE = = ВВ, то ВС > ВВ. 135 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 15 см, а другая — 7 см. Какая из них является основанием? Решение. Если предположить, что основание равно 15 см, то сумма двух боковых сторон будет равна __ см, т. е. сумма двух сторон будет ______________________ третьей стороны треуголь- ника, что противоречит неравенству треугольника. Ответ. Основанием является сторона, равная__ 136------------------------------------------------- Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две его стороны равны 10 см и 20 см. Решение. ___________________________________________ Ответ. Третья сторона треугольника равна 55 137----------------------------------------------- Существует ли треугольник со сторонами: а) 3 см, 4 см, 7 см; б) 2,1 дм, 3 дм, 0,9 дм? Решение. а) Если предположить, что треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 7 см существует, то сумма двух его сторон (3 см + 4 см) будет равна третьей стороне (7 см), что противоречит неравенству треугольника. Значит, такого треугольника не существует. б) ----------------------------------------------- Ответ, а) ;б) 138 Прямоугольные треугольники Один из острых углов прямоугольного треугольника на 24° больше другого. Найдите острые углы треугольника. Решение. Пусть углы А и Б — острые углы прямоугольного треугольника АВС, тогда Z.A -Ь АВ =--. Предположим, что угол А на 24° больше угла В. Тогда = Z____-Н24°, АА АВ = (А_______ + 24°) + АВ = _____, от- 1 куда АВ = 2 (-- 24°) = Ответ. _____, __ , а АА = 139 Один из острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза меньше другого. Найдите эти углы. Решение. _______________________________________ Ответ. 56 140 На рисунке треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом С, СН — высота, А А = 52°. Найдите Z1, Z2, Z3. Решение. 1) Треугольник АСН прямоугольный с прямым углом ___, так как СН —______________ треугольника АВС, поэтому Al-hAA = ___, откуда А1 =__________________- Z. А =_- 52° = 2) А1 + А2 = 90°, так как , поэтому Z.2 = 90° - А1 = 3) Z2 + АЗ = 90°, так как Z2 = Ответ. А1 =___, А2 = , А3 = , поэтому АЗ = 90° - 141 На рисунке CD — высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе. Докажите, что А А = ABCD. Доказательство. 1)АА + АБ =_____, так как 2) Углы BCD и Б — острые углы прямоугольного треугольника _____, поэтому А BCD Л- АБ =_____ 3) Из 1) и 2) следует, что АА = = А______ 57 142 В прямоугольном треугольнике АВС, изображенном на рисунке, угол А в два раза меньше угла В, а гипотенуза АВ равна 18 см. Найдите катет ВС, Решение. 1) Углы А VL В — острые углы пря- моугольного треугольника АВС, поэтому АА Ч- АВ =___ 2) По условию АВ = 2 • /LA, поэтому откуда АА =____ 3) Так как в прямоугольном треугольнике АВС АА = то катет ВС, лежащий против этого угла, равен __ гипотенузы АВ, т. е. ВС =___ Ответ. ВС=_________ АА-^ 2- АА = 143 На рисунке в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°, а высота, проведенная из вершины В, равна 13 см. Найдите боковую сторону треугольника АВС, Решение. 1) В равнобедренном треугольнике АВС углы при основании ___________, поэтому АА = А = ^(180° - Z. ) =------ 2) Так как в прямоугольном треугольнике ABD угол А равен _____, то катет ____ равен _____________ гипотенузы АВ, откуда АВ = 2 Ответ.АВ= см. см. 144 На рисунке СВ — высота прямоугольного треугольника АВС, АС = 90°, АВ = 60°, BD = 8 см. Найдите АВ, 58 Решение. 1) В прямоугольном треугольнике BCD ZB = 60°, поэтому ABCD = следовательно, см, и. ВС = = 2 U . -- У^1УЛ.9 2) В прямоугольном треугольнике АВС АА =__________, поэтому АВ = = 2^______=______ см. S)AD=AB - BD =____________ -____= =------ (см). Ответ. AD= 145-------- см. в прямоугольном треугольнике MNP А N = 90°, А Р = 60°, МР -Ь PN = 27 см. Найдите МР и PN. Решение. 1) AMАР =______, откуда АМ=_______, и поэтому МР = = 2 •___ 2) По условию MP-hPiV = 27 см, следовательно, 2*_-Ь -I- PN = 27 см, откуда PN =_см, МР =___см. Ответ. МР =_______см, PN =____см. 146 м Гипотенузы МР и NF прямоугольных треугольников MNP и FPN пересекаются в точке К, MN = FP, Докажите, что: a) треугольник NKP равнобедренный; b) AMNK = AFPK, Доказательство. 1) AMNP = AFPN по двум _______ ВИЮ, NP —_________ катет), следовательно, А MPN = Z (МАГ = FP по усло- 2) В треугольнике NKP два угла равны: Z поэтому треугольник NKP____________________ 3) ------------------------------------ = Z 59 147 На рисунке АВ=АС, DP±AB, DF±AC, BP = CF. Докажите, что точка D — середина стороны ВС, Доказательство. 1) Треугольник АВС равнобедрен- ный с основанием ВС, поэтому zl__= Z___ 2) Прямоугольные треугольники BPD и CFD __________ по катету (ВР = CF по условию) и прилежащему острому углу (АВ = А_). Следовательно, BD =________ и, значит, точка D —___________стороны ВС. 148 На рисунке МВ±АВ, MC-LAC, МВ = МС. Докажите, что луч AM — биссектриса угла А, Доказательство. ААВМ = ААСМ по___________ Из равенства этих треугольников следует, что Z.1 = Z___, т. е. луч AM —________________________ угла А. 149 На рисунке точка D — середина стороны ВС треугольника АВС, BP_LAB, DFAAC, DP = DF. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. Доказательство. ^ Л BPD = ACFD по __________ следовательно, АВ = А АВС___ и поэтому треугольник 60 § 4 Построение треугольника по трем элементам 150 В треугольнике АВС выполняются условия: АВ = ВС= 20 см, ААВС = = 120°. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС. Решение. Пусть ВН±АС (см. рисунок), тогда длина перпендикуляра ВН — расстояние от точки В до прямой АС. В прямоугольном треугольнике ВНС АС = 30°, так как _____________________________ ________________. Следовательно, ВЯ=| ВС = Ответ. ВН =___ 151 На рисунке BD — биссектриса прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С. Докажите, что точка D равноудалена от прямых ВС и АВ. Доказательство. Проведем из точки D перпендикуляр DF к стороне АВ (см. рисунок). Прямоугольные треугольники BCD и BFD равны по _____________________ _______________. Отсюда следует, что DC =_____, т. е. расстояния от точки D до прямых ВС и АВ равны. 61 152 Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон (сделайте чертеж). Доказательство. _________ 153 На рисунке CF — биссектриса треугольника CDE, DH — высота, /LC = = 60°, СО =12 см. Найдите расстояния от точки О до прямых СЕ и CD. Решение. __________________________ Ответ. 154 — На рисунке т || п. Расстояние от точки М до прямой т равно 3,8 см, а до прямой п — 12,2 см. Найдите расстояние между прямыми тип. Решение. _________________ Ответ 62 155----------------------- На рисунке АВ || CD, СВ = 24 см, /-BCD = 30°. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD. Решение. _________________ Ответ. 156 Постройте треугольник по стороне, прилежащ;ему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла. (Задача 286 учебника.) Решение. Даны отрезки P^Q^, P2Q2 ^ (рисунок а). Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС, равна данному отрезку P^Q^y угол А равен данному углу hk, а биссектриса AD этого треугольника равна данному отрезку ^2^2* Построение (рисунок б), 1) Построим угол XAY, равный данному углу hk. 2) На луче AY отложим отрезок AC, равный данному отрезку Pfi^* 3) Построим биссектрису AF угла XAY. 4) На луче AF отложим отрезок AD, равный данному отрезку -Р2^2* 5) Искомая вершина В — точка пересечения луча АХ с прямой CD. Построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи: AC = P^Q^, AA = Ahk, AD = P^Q^, где AD — биссектриса треугольника АВС. Рл а) 63 157 Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон. Решение. Даны отрезки ^2®2’ ^3^3 (рисунок а). Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АВ, равна данному отрезку еще одна сторона, например АС, равна данному отрезку PgQg» ^ медиана, проведенная к одной из этих сторон, например ВМ, равна данному отрезку P3Q3 (рисунок б). Построение, 1) Проведем прямую а и отметим на ней точку А (рисунок в). 2) ---------------------------- Qi 1 —1 Q: ^3 и 9^' а) в) ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. Начальные геометрические сведения §1. Прямая и отрезок 3 §2. Луч и угол 5 §3. Сравнение отрезков и углов 8 §4. Измерение отрезков 11 §5. Измерение углов 14 §6. Перпендикулярные прямые 16 Глава II. Треугольники §1. Первый признак равенства треугольников 20 §2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника 24 §3. Второй и третий признаки равенства треугольников 29 §4. Задачи на построение 32 Глава III. Параллельные прямые §1. Признаки параллельности двух прямых 35 §2. Аксиома параллельных прямых 42 Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника §1. Сумма углов треугольника___________________________ 48 §2. Соотношения между сторонами и углами треугольника_____^ §3. Прямоугольные треугольники____________________________^ §4. Построение треугольника по трем элементам 61 Учебнометодический комплект по геометрии для 7-9 классов: в. Ф. Бутузов РАБОЧАЯ ПРОГРАММА^ к учебнику Л. С. Атанасяна и др Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, ^ С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина УЧЕБНИК л. с. Атанасян, В. ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина РАБОЧИЕ ТЕТРАДИ Б. Г. Зив, В. М. Мейлер ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ М. А. Иченская САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Т. М. Мищенко, А. Д. Блинков ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ л. с. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, В. Б. Некрасов, И. И. Юдина ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ в 7 - 9 классах Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ для 7-11 классов Т. А. Бурмистрова, Т. Г. Ходот, А. Ю. Ходот КОМПЛЕКТ ДЕМОНСТРАЦИОННЫХ таблиц ^ методическими рекомендациями ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО