Геометрия 11 класс Рабочая тетрадь Бутузов Глазков Юдина

/ \ в. Ф. Бутузов Ю. А. Глазков И. И. Юдина ш Рабочая тетрадь \ • \ ПРОСВЕЩЕНИЕ ^ ИЗДАТЕЛЬСТВО МГУ - ШКОЛЕ В. ф. Бутузов Ю. А. Ппазков И. И. Юдина Геометрия Рабочая тетрадь КЛАСС Пособие для учащихся общеобразовательных организаций Базовый и профильный уровни 8-в издание Москва «Просвещение» 2013 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Б93 Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия, 10—11» Л. С. Атанасяна и др. и предназначена для организации решения задач учащимися на уроке после их ознакомления с новым учебным материалом. ISBN 978-5-09-030990-5 Издательство «Просвещение», 2004 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2010 Все права защищены Глава V - ■ Метод координат в пространстве Координаты точки и координаты вектора 1 Заполните пропуски. В пространстве задана прямоугольная система координат, если: а) заданы три попарно__________________________________ прямые, проходящие через ________ точку пространства; » б) на каждой из этих прямых выбрано____________________ в) выбрана единица________________отрезков. Заполните пропуски. Если прямоугольная система координат обозначена Охуг, то прямая Ох называется осью ___________, прямая Оу — осью______________, прямая Oz — __________________________ Заполните пропуски. Дана точка М(2; -3; 0). Числа 2,-3, _называются _____точки М; число 2 — это__________ ____________, число о — _____________ точки. число -3 — Заполните пропуски. Если аппликата точки А равна -2, абсцисса равна 0 и ордината равна 3, то А(__; __; __). Чему равна аппликата точки А, лежап^ей на: а) оси ординат; б) оси Ох; в) координатной плоскости Оху? Ответ, а)___; б)___; в)__ Заполните пропуски: а) точка С(0; -3; 0) лежит на оси б) точка Е(2; 0; -1) лежит на__ в) точка М (0; 0; т) лежит на__ г) точка Т(0; t; 0) лежит на--- Дан вектор a = 2i-j-0,5k, где i, j, k —координатные векторы. Запишите координаты вектора а. Решение. Координатами вектора в данной _______________ координат называются ________________________________________X, у, г разложения этого вектора по _______________________ векторам. Для данного вектора а имеем ___, следовательно, о{_; -1; ____}. х = 2, у= —, г-Ответ, а_____ На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед с измерениями АВ = 4, AD = 2 и АО = 6. Найдите координаты вектора: а) ОА; б) ОМ; в) ОР. Решение. Пусть i, j , k — координатные векторы. Тогда: а) IЛI = , IО АI = , следовательно, О А = к; б) |у I =_, |ОМ| =__, следовательно, ОМ =_______________j ; 4 в) I i I = —, I OP I = , следовательно, OP =_ Ответ, a) OA {0; 0; __}; 6) OM {_____________}; в) Разложите векторы с{-1; 2; -3} и р{3; 0; -5} по координатным векторам. Ответ. с =__i +_____-____ ; р = 3 10 Найдите значения х и г, если а{х; 2; -1} = Ь{0; 2; г}. Решение. По условию задачи векторы а и Ь____, следовательно, их соответственные координаты__________, т. е. х=_, г^=__ Ответ. ______________ 11 Докажите, что для любых векторов a{xi’, г,} и Ь {Х2\ Рг? вектор а + Ъ имеет координаты {Х1 + Х2", Ух + Уг’у «i-l-Zj}. Доказательство. Координаты вектора — это_____________его разложения по координатным_______________Значит, a=Xii +___j+__ft, b = X2I +_____+-------- Используя законы сложения векторов и ______________ вектора на число, получаем iS + b = (xii + — ) + ( Zjft ) ■ ■■(Xii +X2I )-l-. что означает: вектор а+b имеет координаты {х^ + Х2', 5 12--------------------------------------------- Найдите координаты вектора 4а, если а {2; 0; -0,5}. Решение. Каждая координата произведения вектора на______ соответствующей координаты данного на это число. Поэтому вектор 4а имеет координаты {4-2; значит, 4а {_; __; -2}. Ответ. 4а{___; __; _}. равна }, и. 13 Найдите координаты вектора р = 4а-0,5Ь-с, если а{2; 0;-0,5}, Ь{-4; 2; 0}, с{0; -3; 2}. Решение. Используя правило умножения вектора на получаем 4а{ —; —; —}, -0,5Ь{ —; —; —}, -с{ —; —; —}. Следовательно, координаты х, у, г вектора р равны: л: = 8+ — + — = ---------; у= ------------ = — ; z= _ Ответ. р{_______; ___; _}. 14 Докажите утверждения: а) если соответственные координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны; б) если соответственные координаты двух векторов не пропорциональны, то векторы не коллинеарны. Доказательство. а) Пусть даны векторы a{xi; yi‘, Zi) и b {xz\ Уг', 2j}. Так как соответственные_____________________ векторов пропор- циональны, то — *2 ___ ____ ., т. е. вектор а имеет Следовательно, Xi = kx2, Ух =___, ____ координаты {Axj; -------; ____}, поэтому а =___Ь. Из определения 6 вектора на число следует, что векторы а и Ь б) Предположим, что векторы а и __ коллинеарны и а^О. Тогда b = ka, где k — некоторое число. Отсюда следует, что координаты векторов Ь 1/1 а пропорциональны, что противоречит условию задачи. Следовательно, предположение ___________, т. е. векторы _ mb 15 Даны векторы тп{2; 6; -3}, п{0; -3; 1,5}, р{-4; -12; 6}. Установите, какие из них являются коллинеарными. Решение. а) Сравним отношения соответственных координат векторов тип: ^ —. Итак, абсциссы этих ____________ не пропорциональны б) Сравним , поэтому векторы тип соответственных векторов тир: =-0,5. Координаты этих векторов , значит, векторы т и в) Итак, векторы __и __ коллинеарны, а вектор____ не коллинеа- рен вектору___, следовательно, он _______________быть коллинеар- ным вектору___ Ответ. Коллинеарны векторы____ и __ 16 Компланарны ли векторы: а) ^{-6; 4; -12}, Ь{1,5; -1; 3}, с{0; 4; -12}; б) р{-1; 0; 2}, д{-и 3; 0}, Г{2; 3; -6}? Решение. л а) Любые три вектора, два из которых коллинеарны, являются -------------------Векторы а и Ь коллинеарны, так как их -6 4 ------------------------ 1,5 “ — “_ координаты . Поэтому век- торы а,__и с . б) Векторы р и q , так как их -1 о т> не пропорциональны; зу Т' " соответствии с компланарности трех если вектор t можно разложить по____________ Проверим, можно ли вектор t и___, т. е. существуют ли_____ р и q, то векторы р,_и f по векторам р X и у, такие, что t ’•хр + . Запишем это равенство в координатах: 2 = х • (-1) + . + 1/ • 3 Решим полученную систему уравнений: из третьего уравнения находим х=___, а из второго уравнения находим у =_Подставляя найденные значения х я у в первое _______________, получаем верное Следовательно, пара чисел х =__ и у = 1 решением системы уравнений, т. е. t =-Зр +_q. Поэтому векторы р, q я t ---------------------- Ответ. а) Векторы а, Ь, с ______________________ б) Векторы р, q, t ______________________ 17 Запишите координаты радиуса-вектора точки Р(2; -1; 3). Решение. Радиусом-вектором точки Р является-----------, начало которого совпадает с ___________ координат, а конец — с точкой —, т. е. вектор ___________________с координатами {_; —; —}. Ответ. ОР {____________}. 8 18------------------------------------------------------ Дан вектор ОТ {2; -1; 0}. Запишите координаты точки Г, если точка О — начало координат. Решение. Так как началом вектора ОТ служит______ вектор __является_________________________ Т(_; _). Ответ. _______________ ___координат, то точки Т, поэтому 19 Даны три точки: А(5; -3; 2), Б(0; 1; -2), С(2; -2; 0). а) Найдите координаты вектора АВ . б) Разложите по координатным векторам i, j, k вектор ВС . Решение. а) АБ {0-_; _-(-3); --------}, т. е. АВ {--; _____; _____}; б) БС{2-_; _____-1; ________}, т. е. ВС {________________}. Следовательно, ВС = 2 i - j +___ Ответ. а) ------------------- б) ------------------- 20 Даны точки Р(0; 1;-4), М(-2;-1;0), Б(3; 5; 0), С(-1;0;-2), Т(1; 3; 4). а) Лежит ли точка С на прямой РМ7 б) Лежит ли точка Е на прямой СМ7 в) Равны ли векторы РМ и ЕС ? г) Равны ли векторы РМ и ЕТ? Решение. а) Если векторы РМ и МС коллинеарны, то точки Р, М и С _________на одной прямой. РМ{-2-0; __________; _____}, т. е. РМ{___; ___; 4}. МС{______; 0-(-1); ______}, т. е. МС{_____}. 9 Так как РМ =__МС, то векторы РМ и МС_________________ следовательно, точки Р, М п С__________на одной прямой. б) Выясним, являются ли коллинеарными ----------- СМ и СЕ : СМ{___; __; ___}, СЕ {__; __; __}, следовательно, векторы СМ и СЕ __________________________Значит, точки С, М и Е------------------- на одной прямой, иначе векторы СМ и СЕ были бы -------------------- в) Найдем координаты векторов РМ и ЕС: РМ{-2; ------------; ----}, ЕС {__; ____; -2}. Следовательно, РМ ЕС . г) РМ{__;______;____}, ЕТ{___;_____;____}, следовательно, РМ—ЕТ. Ответ. а) Точка С б) точка Е на прямой РМ; на прямой ____ в) РМ___ЕС; г) РМ___ЁТ. 21 Какие из точек А(2; -1; -3), В(5; -3; -3), С(1; -1; -1), Е{2; -2; -1), Н(2; 1; -9) лежат в одной плоскости? Решение. Если векторы АВ , АС и АЕ компланарны, то точки А, В, — и Е _________ в одной плоскости, а если не компланарны, то точки А, В, и_________________в одной ------------- 1) Найдем координаты этих векторов: АВ {3; —; —}, АС {—; 0; —}, АЕ {__; _; 2}. Три вектора АВ , АС и АЕ компланарны, если один из них___________разложить по двум другим, т. е. если существуют _________X и у, такие, что АВ =______+ уАЕ . Запишем это равен- ство в координатах: 3=—1л:-ь у -2 =__________ 0 =_________ 10 . Это Из двух первых уравнений системы получаем х =__________ и у- Подставим эти значения в третье уравнение: О = - 3 • 2 +____ равенство неверно, поэтому векторы АВ , ________ и АЕ______________ ___________, и, значит, точки А, В, С и---------------------в одной плоскости. 2) Выясним, ковшланарны ли векторы АВ , АС и АН: АВ {3; -2;_}, АС{_; 0; 2}, АЯ{_; _}. 3 = — X 4*___ -2-__________ системы получаем х = Из двух первых _______________ у=_____Подставим эти значения в третье уравнение: _____________ и .. Последнее равенство ., поэтому векто- ры АВ , АС и ки А, В, С и__ в одной плоскости. ., и, следовательно, точ- Ответ. В одной плоскости лежат точки 22 Точки А(3; 0; -2), В(0; -3; 1) и С(1; -2; 0) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей. Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является ______________ каждой из диагоналей, поэтому достаточно найти ______________АС: координаты середины Ответ. (. 23------ ■ ; у= г=. ). Точки М(7; 7; 11), А(0; 8; 1), В(6; 0; 1) и С(14; 6; 1) являются вершинами правильной четырехугольной пирамиды MABCD. Найдите высоту, апофему и площадь боковой поверхности пирамиды. ] 1 Решение. 1) Высота правильной пирамиды про- ходит через ее основания. Основанием правильной четырехугольной _____________ служит ____________ Его центр совпадает с точкой пересечения __________________, которая является __________________каждой из диагоналей квадрата. Найдем координаты точки Н — середины _ _______=___; 2= АС: х = |-(14-ь_) = _; у =_________= Я(7; _). Вычислим высоту МН пирамиды: МН = у/(7- у + ( , =_. Итак, )" + 2) Апофема правильной пирамиды — это отрезок, соединяющий ___________ пирамиды с _____________ стороны основания. Найдем координаты точки Р — середины___АВ основания: л: = |(0-(-_) = _; у = . Итак, Р{- .). Следовательно, МР = -у^(3- У + ______= _V5. “ 3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна _______________произведения___________________основания и апофемы пирамиды. Найдем сторону АВ________________пирамиды: АВ = =V! Вычислим площадь боковой пирамиды: s=i Ответ. Высота пирамиды равна .. Апофема пирамиды равна Площадь боковой поверхности пирамиды равна 12 24 Докажите, что треугольник АВС, где А(-5; 5; 1), В(-4; 3; 0), С(-5; 3; 1), является прямоугольным. Доказательство. Проверим, выполняется ли для данного треугольника условие теоремы, ________ теореме Пифагора. Найдем квадраты____треугольника: АВ^ = (- 4 - (___________________________))* + (_■¥_= •+•_+ = АС2 =________________________________________________________ ВС^ =________________________________________________________ Так как АС^-1-ВС^=. треугольник АВС____ ., то по теореме, обратной теореме прямоугольным, причем Z. _ =90°. 2 Скалярное произведение векторов 25 Отрезок МН — высота правильного тетраэдра МАВС с ребром, равным 2 см. Вычислите скалярное произведение векторов: а) АВ и АС; б) АВ и ВС; в) ВС и АС ; г) АВ и ОВ; д) АВ и СМ; е) МН и АВ. Решение. Все грани правильного тетраэдра — М поэтому каждый из треугольниках равен _ _ треугольники, углов в этих а) Векторы АВ и АС отложены от точки, поэтому угол между векторами АВ и ________ равен углу ВАС, т. е. ABAC =_______ Отсюда получаем АВ • АС = 2 •__• cos_____= 4 •___=_____ б) Отложим от точки В вектор ВА,=АВ (выполните построение на рисунке). Тогда угол между векторами АВ и ВС будет равен углу ___________Так как углы AjBC и АВС _________________, то AAiBC = 13 = 180°-____ А5 • ВС = — Поэтому АВ ВС =. .. Следовательно, cos. в) Отложим от точки с векторы СВ2 = ВС и СА2=АС (выполните построение на рисунке). Угол между векторами ВС и АС равен углу Так как углы А2СВ2 и АСВ — _______________________________, то AA,CB2 = /L Следовательно, АС • ВС =____ ., поэтому угол между г) Векторы АВ и ОВ ____________________ ними равен_____Следовательно, АВ • ОВ=_____ д) Так как отрезок МН является ________ траэдра, то точка Н —__________ основания тетраэдра, поэтому точка Н лежит на _____________ треугольника АВС, и, значит, COi.,______По- правильного те- скольку^ прямая СО является проекцией прямой на плоскость АВС и СО. см±____ , то по теореме о трех Следовательно, АВ СМ =. Поэтому АВ • СМ = е) Так как отрезок МН — тетраэдра, то МН_____АВС. Следовательно, по определению прямой, плоскости, прямая МН ____________________ к прямой этой плоскости, в том числе МН______АВ. Поэтому МН-АВ =________ -; в) ---; г) ----; д) ---; е) ---- Ответ, а) __б) ■ у 26 Даны векторы а {4; 0; 0} и Ь{1; 0; - VS}. Найдите: а) аЬ; б) Ьа; в) а*; А г) 1ь1; д) аЬ. Решение. а) аЬ = 4 •_-I-. б) По ________ + . _А _______ векторов имеем Ьа = . в) а^ = а •_____= 4 ■______-f-___ закону скалярного + . 14 г) lbl = y^ lftl=V—=" , где b^=V-\-. + (_____)*=___. Следовательно, \ “’Т 14 • —+ д) cosao = -I _ V4^+___+___•: 4 •__ Л = . Следовательно, аЬ =_ 27 При каком значении х векторы а{х; -1; 0} и Ь{2; 6; -3} перпендикулярны? Решение. _ _ _ Поскольку а 0 и Ь 0, то aJ______тогда и только тогда, когда аЬ =__Из условия аЬ= получаем х- -|-( )‘6-|-____________=0. Решим полученное уравнение: 2х-_= 0; х=___ Ответ. _________ 28 Точки А(0; 0; 0), В(3; 0; 0), £>(0; 4; 0) и Ai(0; 0; SVS) — вершины прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBiCyDi. Найдите: а) АА^ • A^D; б) СА • СА,; в) косинус угла ф между прямыми A^D и АС; г) синус угла а между прямой CAj и плоскостью АВС; д) длину диагонали AiC. Решение. а) Найдем координаты ___________ AAj и А,В : AAi{_; _; ЛП{_ ; _ ; ------}. (-5\/3) = ), CAj= — AjC = — (AjBj+ — -------}, ib{ б) CA = -AC = -(AB-t-__ = -(АВ +_____________), где АВ{ AAi{___________}. Значит, СА{-3; ______; 0}, CAi{ Отсюда получаем СА • CAi=3 •_______-I-____-I-__ . +А,А) = -------}, ; -4; -----}. 15 в) Направляющими векторами прямых A^D и АС служат векторы А^Ь{ —; —; -----} и АС{__; __; _}. Поэтому 10 • — + — -4 +----1 16 16 С08ф = VI ? • V_ + _ + _ V91- 455 V г) Синус угла а между прямой CAj и __________ модулю -------------- угла |3 между направляющим ____ CAi прямой СА, и вектором AAj, перпендикулярным плоскости . Так как САД-------------}, ААД_____________}, то sina = l. АВС равен лГ д) Длина отрезка AjC равна =\са,\=\!Г Ответ, а) ; б) ; в) V3 • 5V3 вектора CAj, т. е. AiC = ; г) ; Д) 29 в параллелепипеде АВСВА^В^СуВ^ все грани — ромбы со стороной а. Все углы граней при вершине А равны 60°. Найдите длину диагонали АС^. Решение. По правилу параллелепипеда получаем ACi=AAi-l------ч-______ Так как ACi=l I=VaCi , найдем сначала АС^х АС, =(. = (AAi-K. .+АВ + __-1-_ ■ Г = = АА, +2АА,(. ■)Г = - + — .) + (. = АА, -I- = а^ + а^ + .+AD2 + 2(AAi-AB + ___2 (а^ cos 60° -I-_ = _а=*ч-2 • 3_ • -|- = 6 Итак, АС,^ =__а^, следовательно, АС, = _ Ответ. _____________ + . -)= )= 16 30 в тетраэдре ABCD /.ABC = /LABD = = ACBD = 90°, AB = BD = 2, ВС=1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер AD и ВС и плоскостью грани ABD. (Задача 470а учебника.) Решение. По условию /.АВС = /._________= = /LCBD =___Поэтому можно ввести прямоугольную систему координат с началом в точке В так, как показано на рисунке. Тогда А(2; 0; _), С(0; _; 0), П(0; 1) Пусть точка К — середина ребра AD, точка Р — середина___________ ВС. Тогда К{1; —; —), Р(—; 0,5; —). 2) Пусть ф — угол между прямой КР и ________ грани ABD. Синус угла ф равен модулю угла (3 между ____________________ вектором КР прямой КР и вектором ВС, Так как КР{-1; ___________ sin ф = IС08 I = к ПЛОСКОСТИ ABD. ------; ------}, ВС {0; — ; —}, то 1-1-0 + 0,5-_ + (_)•_! I______I У|‘. -Vnu :-vz _ Ответ. Движения 31 Найдите координаты точек, в которые переходят точки А(2; -1; 3), В(2; 0; -3), С(0; -1; 2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно оси ординат; в) зеркальной симметрии относительно плоскости Охг. 17 Решение. а) При центральной _______________________ относительно начала координат точка М{х‘, у; г) переходит в точку ------------------------------------------; ----). Следовательно, точка А(2; -1; _) переходит в точку Aj(—; —; -3), точка В{__________) — в точку Bi(-2; —; —), точка С(-------------------------------------------) — в точку Ci(__________). б) При осевой ___________________ относительно __________ ординат точка М(х; у; г) переходит в точку Мг(_________________; _; -г). Следовательно, точка А(_____________________________________________; -1; 3) переходит в точку Аг(-2; —; —), точка В(2; _; __) — в точку SjC___; _; 3), точка С(_________) — в точку С2(_; -1; _). в) При __________ симметрии относительно __________________________________________________ Охг точка М(х; у; г) переходит в точку Мз(х;__; __). Следовательно, точка А(2; ______________________________________; 3) переходит в точку Ag(_; 1; _), точка В( _; 0; -3) — в точку Вз(2; _; _), точка С(__________) — в точку Сз(______________________________________; _; _). Ответ. а) Ai(--------), Bi(----------), С А---------); б) Аз(--------), ----------------------------- в) ------------------------------------------- 32 Докажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую. (Задача 479а учебника.) Доказательство. 1) Рассмотрим центральную _____ ____________________ с центром О и произвольную прямую АВ, не проходящую через точку О. Через прямую АВ ________ О и проходит м в и притом только _____Обозначим ее буквой а. Точки А и В переходят при дан- симметрии в _____________ Ai и Bi, также лежащие НОИ в _____________ в плоскости а. 18 а. Поэтому и вся прямая AjBj 2) Докажем, mtoAiBJI и _____________ Так как АОАВ. между ними; ОА=. ДОА|В, (по двум — , -----= OBi, .), то ААВО = . Значит, равны лежащие углы при пересечении прямых АВ и ________ секущей _______ Поэтому АВ_______AiBj. 3) Осталось доказать, что при симметрии с центром О прямая АВ ----------------- на прямую________Для этого нужно доказать, что при данной симметрии любая ______________ М прямой АВ переходит в некоторую точку прямой ______, и, обратно, произвольная точка прямой AjBi симметрична какой-то точке ____________АВ. Рассмотрим произвольную точку М на ____________ АВ, отличную от точки А, и проведем прямую МО. Она пересекает ___________A,Bi в точке Ml. Тогда АМОА = Z.______________ (вертикальные углы), АМАО = А--------- (______________________________ при пересечении ________________________ прямых _________ и AiBi секущей ______). Кроме того, АО> (точки А и Ai тельно точки О). Следовательно, АМАО = А. _____________ относи- _______ (по стороне и -----------------------------------). Отсюда следует, что МО = =______, и, значит, точка М при симметрии с центром О переходит в точку _____, лежащую на прямой AiBj. Аналогично доказывается, что любая точка Л^1 прямой AjBj симметрична некоторой __________ N прямой АВ. 33 Докажите, что при движении прямая отображается на прямую. (Задача 486а учебника.) Доказательство. Рассмотрим произвольную прямую а. Пусть точки А и В, лежащие на прямой __, при данном движении f переходят в точки Ai и Bj. Докажем, что при этом прямая а отображается на __________ AjBj, т. е.: а) каждая точка М прямой а переходит в какую-то ________ прямой A,Bi; б) в каждую точку прямой AjB, какая-то точка М В Al Ml а) В, Ml б) прямой __ 19 Возьмем произвольную точку М на ределенности точка М лежит между___ а. Пусть для оп- А и В (при другом рас- положении точек доказательство аналогично). Тогда AW-f-МВ =. Пусть при данном движении f точка М переходит в какую-то __________ Ml. Поскольку f — движение, то —AM, MiBi = _____, AiBi =_______Следовательно, AiMi + MyBi=AM +----------= —------—AiBi. Итак, AiMi +. ками ___________ =AiBi, т. e. точка Mj лежит точ- Bi (в противном случае согласно неравенству _ AiMi ___ MiBi>AiBi). б) Аналогично можно доказать, что в прямой AiBi переходит какая-то ________ Таким образом, при движении прямая на прямую. точку Ml а. 34 Докажите, что при движении плоскость отображается на плоскость. (Задача 4866 учебника.) Доказательство. Возьмем произвольную плоскость а и проведем в ней две пересекающиеся прямые а и Ь (О — точка пересечения). При данном движении ____________ а и Ь переходят в некоторые_________ Cl и &1, точка О — в какую-то точку Oi. Так как 0€_____и О_____Ь, то Oi____Oi и Oi €__, следовательно, прямые Cj и bi _________________________ в точке Oi. Через пересекающиеся прямые Oi и ______ проходит плоскость, и притом ___________________________________ (обозначим ее tti). Докажем, что при данном движении ________________ а отображается на плоскость tti. 20 Для этого надо доказать, что; а) произвольная точка М плоскости а переходит в некоторую Ml плоскости _______ б) в любую точку плоскости tti переходит некоторая а. а) Через произвольную точку М плоскости а проведем прямую, пересекающую _____________________ а и ________________ в каких-то точках Л и В. При данном движении точка А ___________ в некоторую _________________ Aj прямой Oi, точка В — в _________ Bj прямой ____, а прямая АВ — в прямую________При этом точка М прямой АВ переходит в некоторую -----------Ml, лежащую на _________________Так как Ai_________и Bi — tti, то прямая AiBi лежит в ____________________, в частности Ml — ai. б) Аналогично доказывается, что в любую точку ________________ Oi переходит ___________ точка плоскости __ Таким образом, при движении плоскость ________________________ на плоскость. Глава VI Цилиндр, конус и шар Цилиндр 35 Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь боковой поверхности цилиндра. Решение. Осевое сечение цилиндра представля- ет собой сторо- ны ВС и AD которого являются ______________________ цилиндра, а две другие стороны — ________________ оснований цилиндра. По условию задачи BD=_______ см, /LDBC =_____ а) Высота цилиндра равна его _______________ = BD-cos______=____ •-^ =___ (см), т. е. высота равна _____ см. ., а ВС = б) Радиус цилиндра — это OC=^DC=^BD •______: 2 2 в) Площадь боковой _____ дению __________ окружности на . V3- основания цилиндра: _____ (см). __________ цилиндра равна произве- _______________________ цилиндра цилиндра, т. е. 5вок = 2л — Л =--- -2V3-— = _____у/Зл (см^). Ответ. а) см; б) см; в) 22 36 Концы отрезка ВС лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен 10 дм, ВС = 13 дм, а расстояние между прямой ВС и осью цилиндра равно 8 дм. Найдите высоту цилиндра. (Задача 527а учебника.) Решение. 1) Проведем образующую АВ цилиндра (выполните построение на рисунке). Так как OOjIlAB, то прямая OOj ---------------------- плоскости АВС (по __________________ параллельности прямой и плоскости). 2) Проведем перпендикуляр ОК к прямой АС (выполните построение на рисунке). Так как ОК лежит в плоскости АОС основания -----------------, OOi____АВС, то OOi___ОК. Итак, ООх — АВ и OOi ___ОК, следовательно, ОК____ . Таким обра- зом, прямая ОК перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АС и ------ плоскости _______ , следовательно, ОК___АВС (по ________ ___________________________________ прямой и плоскости). Поэтому расстояние между прямыми АВ и ОО, равно_______ , т. е. ОК =___дм. 3) По условию задачи АО=_______ дм (радиус __________________). В прямоугольном треугольнике АКО катет АК=\АО^-. = V - - 8^ =------- (дм), поэтому АС=_____ дм. 4) В треугольнике АВС катет AR = \j -АС^=\1л?.^- (дм). Ответ. дм. 37 --------------------------------------------------------- Через образующую AAj цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен ф. (Задача 532 учебника.) 23 Решение. На рисунке изображены образующая AAi и секущие ______________ CAA^Ci и BAAiBi, причем плоскость ВАА^В^ проходит через ось _______________ 1) Образующая АА^ _____________ __________________ к плоскости АВС основания цилиндра, следовательно, AAi___АВ и AAi___АС. Поэтому ABAC — _____________________ угол двугранного угла, образованного секущими _________ .. По условию задачи АВАС =____ 2) Так как плоскость ВАА^В^ проходит через отрезок АВ —_____________________ основания, и поэтому ZACB = 90°. цилиндра, то В прямоугольном треугольнике АВС катет АС =. . СОЗф. 3) =>CA4iCi SbAAiJBi АС АС ■АА, Ответ. 38 Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна Л, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d. (Задача 534 учебника.) Решение. Искомое сечение представляет собой ____________________________ ABBiAi (закончите построение на рисунке). 1) По условию задачи AAj =_______, '~>АСВ =_______Проведем ОН ±АВ, тогда ОН — _________________________ к плоскости сечения. По условию задачи ОН=____ 24 и 2) в равнобедренном_____________ сота и, следовательно, ____________ Поэтому АВ = 2______, а так как /LAOB =____ В прямоугольном треугольнике АОН АН = ОН 3) Итак, АВ =______Aff = 2dV3, AAi =____ АОВ отрезок ОН — вы- ’abbmi ' Ответ. AAi = 2\/3. — dh. ., то /LAOH = . следовательно, 39--------------------------------------------------------- Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. (Задача 538 учебника.) Решение. Пусть h — высота цилиндра, г — его радиус. По условию задачи ^бок --у 2пг_ = 5. (1) Осевым сечением цилиндра является _____________________ сторонами 2г и____Поэтому площадь осевого сечения равна О Учитывая равенство (1), получаем 2гЛ = —. Ответ. __________ со Л. 40 Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке. Решение. Если дно шляпы опустить на плоскость ее полей, то получим круг радиу- са г=. см. Площадь этого крута 5„р = л. (см^). Площадь SfoK боковой поверхности цилиндрической части вычисляем по формуле 5бок =________где Ti =____________ см, ________= 10 см. Следовательно, =____________10- 10 =_______ (см^). Итак, Sp„.„„ = 2(S„p-l----) =---------- см^ Ответ. 25 41 Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен 60°, диагональ равна 6 м. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Решение. На рисунке изображена развертка боковой ____________________ цилинд- ра — прямоугольник AAjBiB, где АА^ и BBi — ____________________ цилиндра. По условию /-AOAi =___, ABj = 1) Так как в прямоугольнике АА^В^В АВ^. А,О ОВ, то треугольник АОА, — _____________ его высота ОН является _________________ и -AiB, АО______OBi и _____Следовательно, Поэтому АН =_AAi, /LAOH = . НО=АО ■________= _ •___ АВ=__ЯО=________ ., АН =АО • sin. ., АА, = -АЯ=. 2) Пусть г — радиус цилиндра, тогда АВ = з\Г~ _______, откуда г= ■—— г, т. е. 2лг= 3) 5ц„л = Вбок -Ь 2 (м^), Воо„ = 7Г. , где Ввок=АВ • =------- (м^)- Итак, Вц„л = . Ответ. ____ (м2). 42 Цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами а и 2а вокруг большей стороны. Найдите площадь: а) осевого сечения цилиндра; б) боковой поверхности цилиндра. Решение. Пусть г — радиус цилиндра, h — его высота. По условию г=____, Л =_____ а) S„, = 2а ■----= 4------ б) Вбок = 2я — Л =---- • а •-----= =___7С_____ Ответ, а) ; б) г ; • I- I ft -U-. -С1'‘ 2а 26 43 Вершины А и В прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины С и D — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна а, АВ = а, а угол между прямой ВС и плоскостью цилиндра равен 60°. (Задача 602 учебника.) Решение. 1) Пусть ВВ, — образующая цилиндра, тогда отрезок BBj — перпендикуляр В к основания и по- ■ -.'"•аг'» а 'tC#. Ч О ) этому прямая В^С — проекция прямой \ I ' Ь;. I \ X X X г X X X X а ' ,х .1^: ' \ на плоскость цилиндра. Следовательно, угол между ________________ ВС и плоскостью _____ равен углу В,С=—^ По условию ZBCBj =. 2) Так как по условию ВС ±, теореме _____________________ ., то B,CJ_. _______ цилиндра BBi =__, поэтому ____ (по обратной .), т. е. ZBiCB = . Поэтому отрезок B^D — _______________основания цилиндра. 3) В прямоугольном треугольнике В,СХ) CD =____= а, Bfi = . следовательно, В,Р = "^СР^ + радиус цилиндра равен _____ Ответ, ______ =v -I- . Поэтому 44 Найдите радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр его осевого сечения равен 12 м. Решение. Пусть радиус цилиндра равен г, тогда высота цилиндра равна_- 2г, =------г(б-2_) = 4тг(- г^ +---). Квадратный двучлен ____________+ 3г имеет корни г=__ и г =_ Поэтому Вбок имеет наибольшее значение, если г=_ м. Ответ. _______ 27 45 В цилиндр вписана треугольная призма (основания призмы вписаны в основания цилиндра), каждое ребро которой равно а. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Решение. Высота h данного цилиндра равна_, радиус г цилиндра равен __________ окружности, описанной около правиль- ного ной __, т. е. г=а \С ’бок' • 2тг. со сторо- аУз 3 Ответ. Конус 46 Радиус основания конуса равен 2 м, а осевое сечение — прямоугольный треугольник. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 30°. Решение. По условию задачи треугольник АРВ — а так как РА‘ то /.РАО = 45°. В прямо- угольном треугольнике РАО катет РА = А _____42_____:_У/2 м. Пусть Z.APC = 30°, тогда сечение, проведенное через образующие РА и 28 является котором PC =. = |(- Ответ. треугольником, в = 2 м. Поэтому S^c= \ )2.1 ’ 2 = — (м^). 47------------------------------- Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол 45°. (Задача 5556 учебника.) Решение. 1) Так как хорда АВ стягивает дугу в 60°, то АВ = ОА=____ 2) Проведем ОС перпендикулярно к АВ. Тогда АВ J_____(по теореме о трех _______________________ ) и Z.MCO — _________________ угол двугранного угла с ребром .. По условию Z.MCO = . 3) В треугольнике МСО СО = . см, ме- ст. 4) Из треугольника АОС получаем ОА = АВ= см. С08 30° см. Поэтому 5) -|- (см^). Ответ. 48^---------------------------------------------------------- Развертка боковой поверхности конуса — сектор с радиусом 4 м и дугой в 90°. Найдите радиус основания и высоту конуса. 29 Решение. Обозначим радиус основания данного _________ буквой г, высоту — бук- вой Л, образующую — буквой I. По условию 1 =_м, площадь развертки (секто- ра) равна 360 =___я м^. Поэто- му 5бок = ’1 — / = 4л, откуда получаем г=___м. Из прямоугольного треугольника РОА находим: h = =^/ = -t (м). Ответ. г = . Л = . 49 Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и прилежащим углом 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса. Решение. Осевым сечением конуса является р __________________________ треугольник. По условию задачи один из углов этого треугольника равен_______, сле- довательно, это угол, противолежащий -------------стороне треугольника, а потому боковые стороны треугольника равны ___см, т. е. образующая I конуса равна — см. Из прямоугольного треугольника РОА находим радиус основания конуса: г=1 •________=________________(см). Таким обра- зом, 5в-,к = я. Ответ. . + (. . =_ -4 = . ------)Ч = 16(_ _(см2), S„ -)я (см^). 30 50 Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ф. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а, а противолежащий угол равен а. Найдите площадь полной поверхности конуса. (Задача 564 учебника.) Решение. 1) Находим радиус основания кону- са: г = 2 sin а 2) Из прямоугольного треугольника РОА находим образующую: 1 = РА = cos ф 2 sin а • 3) 5бок = я- ^осв ^------ с _ *^кон 4 sin^ а сое ф ’ ■ + ^оси = ■ 4 sin‘ а -ы). \ cos ф / Ответ. 51 Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна /п, а угол при основании равен ф, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника. (Задача 566 учебника.) 31 Решение. 1) Тело, полученное при вращении равнобедренного треугольника АВС вокруг основания АС, состоит из двух _______________с общим основанием, радиусом которого служит отрезок _____. Искомая площадь равна удвоенной площади______________поверхности конуса: 8 =___S, бок ов 2) В прямоугольном треугольнике АОВ АВ’^___гОВ^^___• sin (р. Следовательно, S =_• т •______________= sin ф. Ответ. 52 Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычислите площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус. (Задача 617в учебника.) Решение. 1) Пирамида вписана в конус, если ее основание вписано в основание -----------, а вершина пирамиды совпадает с ________ Пусть правильная конуса. шестиугольная PABCDEF вписана ВИЮ РО> _с высотой РО. По усло- см, ОА=‘ОВ =___см. 2) Сторона правильного ______ около шестиугольника него___________ равна радиусу поэтому АВ = . 32 см. Площадь основания пирамиды в___раз больше площади V3 АОВ, т. е. S„*H = 6 (см2). = _ОЛ2 3) Из прямоугольного РА = V^OM~ZZT=VI РОА находим: . =--- (см). 4) Проведем апофему РК пирамиды. В прямоугольном треугольнике АРК АК =____АВ =____см, РА =__ см. Поэтому РУ = V - = V25-___ =_________(см). 5) Площадь боковой поверхности S^ok пирамиды в ____раз больше площади________________грани РАВ, поэтому — 6 .=6•____________________АВ V91 о _ о 1 о _ *-^пир *-^бок~*^осн = 4,5 (V^+. Ответ. (см2). -) (см2). 53 Радиусы оснований усеченного конуса равны JR и г, где R> г, а площадь осевого сечения равна (Д2 - г2) Vs. Найдите угол а между образующей и плоскостью основания конуса. Решение. Изобразим данный усеченный конус и построим его осевое сечение ABCD, которое является трапецией. По условию задачи О^А = , ОВ>= — 1) Проведем АН || OOi. Тогда АН — перпендикуляр к______ основания конуса, и, следовательно, ААВН = а — угол между АВ и___________________основания. 33 2) В прямоугольном треугольнике АВН АН =_ НВ = ОВ-____=______-AOi = R- , то АН = (—-—) tga. tg а. Так как 3) S ВС+. ABCD' АН- 2R+. )tga-(i?2-_) 4) По условию задачи S^bcb = (________) V3. Следовательно, tg а = _____, откуда а =_____ Ответ. 54 В трапеции ABCD Z.A-90°, /LD=-Ab°, ВС = 4 см, CD = SV2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны АВ. (Задача 571 учебника.) Решение. При вращении данной трапеции получается __________________конус. 1) Проведем СНА________Тогда HD = =______-cos 45° = 3V2-_____=___см, AD = AH + . =___ см. 2) Вбок = я (ВС-ь. 3) Вполн = ^бок + яВС^ + = (________+ 65)л (см^). Ответ. .)•____= _(_+ 7) • 3V2=. ------=----------+ _ + HD = rtV^(CM^). ___+ 49я = 34 55 в усеченный конус вписана правильная усеченная треугольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченного конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды. (Задача 631а учебника.) Решение. Пусть правильная усеченная пирамида АВСАуВуСу вписана в усеченный конус с осью OOi (см. рис. а). По условию задачи ОА = — см, OiAi =_см, OOi =___см. 1) Радиус ОА окружности, описанной около правильного АВС, выражается через сторону АВ формулой ОА=АВ — , откуда АВ=ОА- V_______= - 3 Аналогично получаем A,Bi= ------- (см2). V3 (см), S^=AB^ • — = — см, ~ (см2). 2) Проведем АПXOiAj. Тогда AJ/=OOi = —см, HAi = OiAi~-----= _____-ОА-_________=___(см). В прямоугольном треугольнике АНА^ АА,-\АН‘+. t . =__(см). а) 35 3) Боковая грань ААуВ^В усеченной пирамиды (см. рис. б) является трапецией, основания которой равны_________________________см и см, а боковая сторона равна___см. Проведем в трапеции высоты АК и ВМ. Тогда ____-АВ) = ___V3 см, АК=^ VaAi^-___1=У __ 2 (см). АВ + . 2 V3 + . ’ЛА,В,В (см^). см^. 4) Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды в _________раза больше площади_______________грани, т. е. Sjok “ —________ 5) ^полн ®АВС + в,с,+--------= 3 V3 +------------+-------- = =^(________+ —V73) (см2). Ответ. __________________________ Сфера 56 Точки А и В лежат на сфере с центром О^АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что: а) если М — середина отрезка АВ, то ОМ±АВ; б) если ОМJ.AB, то М — середина отрезка АВ. (Задача 573 учебника.) Доказательство. а) Пусть точка М — середина отрезка АВ, R — радиус сферы. Л АОВ равнобедренный, так как____________= R, поэтому медиана ОМ является также ------------------, т. е. ______АВ. 36 б) Пусть 0М1.АВ. Треугольник АО В равнобедренный, и ОМ — его высота по_________________, следовательно, ОМ — его__________________, т. е. М —________________________________ 57 Точки А и В лежат на сфере с центром О, радиус которой равен 15 см. Найдите расстояние от центра сферы до прямой АВ, если ААОВ = = arccos . 5 Решение. Пусть М — середина отрезка АВ (см. рис. к задаче 56), тогда ОМА________(задача 56), и, следовательно, ОМ — искомое__________ __________________________________________________ Треугольник ОМ В прямоугольный (Z.M-=______), поэтому ОМ^ОВ • cos Z.____, АВОМ = о 1 ,. По условию С08 ААОВ= —, следовательно, cos ААОВ‘ Ь с (так как cos^ ■ (см). -). Итак, ОМ ■- Ответ. см. 58- Напишите уравнение сферы с центром в точке Р(-1; 3; 5) и радиу- 9 сом —. 4 Решение. (х-----)2 + (у -Г + (г -Г = 59 - Напишите уравнение сферы с центром в точке Р(2; 3; -3), проходящей через точку М(2; -1; 1). Решение. Д-РМ =__ .. Уравнение сферы имеет вид (х----)^ + (у---У + {г +--)^ 37 60------------------------------------------------------- Напишите уравнение сферы с диаметром MN, если М(-3; 5; 0), N(1; -7; -2). Решение. Пусть С(хо; уо', г^) — центр искомой сферы. Так как точка С — сере- дина отрезка MN, то Xq = - Zn = . ; с ( отрезку СМ, поэтому д-Vl У + {. Итак, уравнение сферы имеет вид (X------Г + (у-----У + (г ; Уо- .). Радиус сферы равен 61 Найдите координаты центра С и радиус R сферы, заданной уравнением: а) x^+y^ + z’^^ j; б) (х + 2У + (у-4У + г^ = 13; в) (x-3)4(y-2f + (z+8y = 25. Решение. а) С(. б) С(. в) С(. -). д = . -). д = . -). д = . 62 Докажите, что данное уравнение является уравнением сферы, и найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) х^-8х + у^ + 2^-16^0; б) х^-6х + 2у + г^ + у^-10г = 14. 38 Решение. а) Уравнение x^-8jc + i/^ + z^-16 —О можно записать в виде х^-8х + +16 + 1/2 + 2^ = 32 или (х ■Г+{у -Г + (г -Г поэто- му оно является уравнением сферы с центром С(___________) и радиусом R =_________________________________________________ б) Уравнение х’‘-6х + 2у + г^ + у^-10г = 14 можно записать в виде (x2-6x+9)+(i/2 + 2i/ + l)+(22-10z_)=----или (х------)^+(1/+----)*+ + (2_____)2 =_____, поэтому оно является уравнением сферы с цент- ром С(. .) и радиусом R = . 63 Напишите уравнение сферы, радиус которой равен единице, если известно, что сфера проходит через точки 0(0; 0; 0), А(0; 1; 0), В(0;0; -1). Решение. Уравнение сферы имеет вид (_-Хо)2 + (--- -Г+(. .)2 = i?2 = _ Так как координаты данных точек должны удовлетворять этому уравнению, то, подставляя их в уравнение, получаем следующую систему: xg + 1/g +г^ = 1 х^ + (1-Уо)^+ =1 х^ + у^ + (-1-2оУ = 1 Вычитая из первого уравнения второе, получаем 2уд. ., т. е. а вычитая из третьего уравнения первое, находим: 2о = -у. Подставив найденные значения уо и Zq в первое уравнение, найдем XqI Хо------- Следовательно, уравнение сферы имеет вид (два решения): -)^-1 и (X- Г + (у- Г + (2 + (Х + Г + (у- Г + {г + )=' = — 39 64- Шар радиуса 17 см пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 8 см от центра. Найдите площадь сечения. Решение. Пусть точка О — центр шара радиуса R = 17 см, а — секущая плоскость и OOi±a. По условию задачи расстояние OOi от центра шара до секущей плоскости меньше радиуса шара, поэтому сечением шара плоскостью а является _______, площадь которого S = г^, где___— радиус сечения. Возьмем точку М на линии пересечения сферы и плоскости а, тогда треугольник 00,М_______________________ (Z-Oi =------, OM-R =_____________, OOi =__см), откуда находим: OiM=r = ■ > ^сеч Ответ. см“ 65 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к этому радиусу плоскость. Найдите отношение площади полученного сечения к площади большого круга. Решение. Пусть точка О — центр данного шара, OB=R — его радиус, точка Oj — середина радиуса ОВ. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к ОВ и проходящей через точку Oi, есть______, радиус которого г =_____Из_________ _______________________________OOiA __________________Сле- находим: г* = довательно Ответ. 40 66 Вершины треугольника АВС лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно V26 см, АВ = 7 см, ВС = 24 см, АС = 25 см. Решение. Пусть точки А, В и С лежат на сфере с центром О. Через точки А, В и С проведем плоскость а, а из точки О — перпендикуляр OOj к этой плоскости. Тогда в сечении сферы плоскостью а получим с центром в -Oi, а точки А, В и С будут лежать на Таким образом, точка Oi является центром окружности, -------------------- около___________________________По условию АС = 25 см, ВС = 24 см, АВ = 7 см, следовательно, треугольник АВС-------------------------- (по теореме, обратной---------------------- :25^ = . Поэтому АС — диаметр окружности с центром Oj, OiA = Так как OOi±a, то AAOiO —------------------------ см. Ответ. R = . и В=АО = _(см). 67 Точки М, N и Р лежат на сфере радиуса MN = МР = 3, /LNMP = a.. На каком расстоянии от центра сферы находится плоскость MNP7 Решение. Пусть точки М, N и Р лежат на сфере с центром О, ОО, — перпендикуляр, проведенный из точки О к плоскости MNP (см. рис. а). Сечение сферы плоскостью MNP является ______________________с центром ____________________________________________________, а точки М, N и Р лежат на_ Следовательно, Oi — центр-------------------------------------- около ---------------------------- 41 м б) Найдем радиус г этой окружности. Так как MN = MP, то треугольник MNP_________________________________________(см. рис. б), поэтому NP =_MN NP с другой стороны, ^ ^ =2_____(теорема синусов), поэтому г=0,М = NP ________________ а С08- Так как OO1A.MNP, то AMOfi прямоугольный и OjO = / « Ot 2 cos— Vcosa. Ответ. 68 Все стороны треугольника АВС касаются сферы с центром О. Найдите радиус сферы, если расстояние от ее центра V3 до плоскости АВС равно см, АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см. Решение. Пусть М, N и Р — точки касания сферы со сторонами треугольника АВС, OOi — перпендикуляр, проведенный из 42 центра сферы к плоскости АВС. Сечением сферы плоскостью АВС яв- ляется окружность с центром Oj, вписанная в Найдем радиус этой окружности: -’АВС =Vp(p- а). .(см=>). С другой стороны, 5двс=Р ' где р —_ а г .. Поэтому 15VI откуда г=______ см. Так как OOi±ABC, то треугольник ОО^М____________________________ (ZOi = 90°, OOi =______ см, 0,М =_________ см), поэтому R = OM = =_______________=____________=_______ (см). Ответ. см. 69 Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере. а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см. (Задача 620 учебника.) Решение. ^ а) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна V- --I-. =___(см), т. е. равна ляется _______________ сферы. Поэтому центр сферы яв- гипотенузы и, следовательно, лежит в плоско- сти б) Пусть вершины прямоугольного треугольника АВС с катетами АС = 1,8 см и ВС = 2,4 см лежат на сфере с центром О, OOj — перпендикуляр, проведенный из точки О к плоскости АВС. Сечение сферы этой плоскостью является с центром 43 а прямоугольный треугольник АВС в эту окружность. Следовательно, точка Oj—_ а так как АВ =_________________=______ то AOi =_________ Так как OOj ± а, то треугольник AOfi OOi =_______________=________________= Ответ, б) см. гипотенузы АВ, -----= — (см). (см). 70 Найдите радиус сечения сферы х^ + «/^ + г^ = 36 плоскостью, проходяпдей через точку М(2; 4; 5) и перпендикулярной к оси абсцисс. (Задача 623 учебника.) Решение. Центром данной сферы является точка 0(__; __; —), а ее радиус R равен ___Пусть OOi — перпендикуляр, проведенный из точки О к секущей плоскости. Так как секущая плоскость по усло- вию перпендикулярна к на------------------- ., то отрезок OOi лежит _____________________Абсцисса любой точки секущей плоскости равна абсциссе данной точки М, т. е. равна-----. Поэтому OOj =------, а искомый радиус г сечения находим по формуле r=OiM> т. е. = Vi?2-. J. Г = ‘^- Ответ. 71 - - Все стороны равнобедренной трапеции ABCD (AD || ВС) касаются сферы, радиус которой равен а V3. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости трапеции, если АВ = СВ = а\!ъ, AD««a(l-l-V5). 44 а) б) Решение. Пусть стороны трапеции ABCD касаются сферы с центром О и радиусом R, отрезок OOj — перпендикуляр, проведенный из точки О к плоскости трапеции. Тогда точки касания сторон трапеции и сферы ле- жат на окружности, в эту трапецию, и Oj —. __________________________ (см. рис. а). Рассмотрим трапецию ABCD (см. рис. б). Пусть г — радиус вписанной в нее окружности, BE — высота трапеции. Так как в трапецию можно вписать окружность, то 2ЛВ. ., откуда ВС = . Далее, АЕ = Из треугольника ВЕА находим: BE -----=------Но ВЕ = 2г, поэтому OiF = r=________Так как F — точка касания сферы и трапеции, OOiJ_________, то OF =_______ и из---------------------- треугольника OOiF (см. рис. а) находим: OOi =_______________=________ Ответ. 72— _ Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен а. Найдите длину окружности, получившейся в сечении. (Задача 589 учебника.) 45 Решение. Пусть секущая плоскость р проходит через конец А диаметра АВ сферы с центром О и радиусом R, а окружность с центром Oi и радиусом О^А является сечением сферы плоскостью р. Тогда OOyL. и Z.. = а, так как это угол между прямой АВ и на плоскость р. треугольника Из_________________ OAOi находим радиус окружности сечения: AOi =______________Длина этой окружности равна______________ Ответ. 73 Плоскость а касается сферы в точке А. Докажите, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку А и образующими равные углы с плоскостью а, имеют равные радиусы. Доказательство. Пусть секущая плоскость Р, проведенная через точку А, лежащую на сфере с центром О и радиусом В, образует угол ф с плоскостью а, касающейся этой сферы в точке А. Тогда OAJ_. Пусть Oi — центр, г — радиус полученного сечения, I — линия пересечения плоскостей аир, О^Н — перпендикуляр к плоскости а. 1) Так как И-О^А (I —---------- с центром Oi, OiA — радиус -------- ________касания), то 1А.НА (теорема .). Поэтому Z.______= ф (линейный к окружности ., проведенный 46 между ). 2) Поскольку OA_La и О^Н А.а, то ОА____О^Н, и, следовательно, отрезки АН, О^А и ОА лежат в одной ___________________, а значит, ZOAOi =_________ 3) Из_____________________________ треугольника АОхО получаем r=OiA =________________________=___________ Итак, радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью Р, зависит лишь от радиуса__________ и угла между_______________ _________Отсюда следует, что сечения сферы плоскостями, проходя- щими через точку А и образующими равные углы с плоскостью а, имеют равные радиусы. 74 Через точку А сферы проведены две плоскости, одна из которых является О касательной к сфере, а другая наклонена под углом в 60° к касательной плоскости. Найдите расстояние от центра сферы до секущей плоскости, если радиус сферы равен 13 см. Решение. Пусть секущая плоскость р, проведенная через точку А, лежащую на сфере с центром О и радиусом ОА= 13 см, образует угол в 60° с плоскостью а, касающейся этой сферы в точке А (см. рисунок к задаче 73 и ее решение). Рассмотрим плоскость, заданную параллельными прямыми ОхН и ОА (см. рис.), где -----— искомое расстояние от центра сферы до секущей плоскости р. Так как Z--------= 60° (по___________), то АОАОх=_______= (см). Поэтому в прямоугольном треугольнике ___ (см). ООх=___ОА = Ответ. см. 47 75 Две касательные плоскости к сфере пересекаются по прямой I. Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, перпендикулярна I. Доказательство. Пусть А и В — точки касания сферы с центром О и плоскостей а и Р, Z — линия пересечения этих плоскостей. Тогда ОА±а, ОВХР (так как радиус, проведенный в _________ касания сферы и ______________________________________________к этой плоскости). Через пересекающиеся прямые ОА и ОВ проведем плоскость у. Так как OALa, то прямая ОА перпендикулярна к любой ---------------, лежащей __________________, и, следовательно, ОАИ. Аналогично OBL____ Таким образом, прямая I перпендикулярна к двум пересекающимся прямым (_____и______), лежащим--------------------у. Поэтому 1А__, а так как прямая АВ лежит то I. 76 Сфера касается граней двугранного угла 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно о. (Задача 591 учебника.) Решение. Пусть полуплоскости аир — грани данного двугранного угла, прямая т — ребро этого угла, а точка О — центр сферы, касающейся граней двугранного угла в точках А и В. Тогда ОАА-О., ОВ_Lp (так как радиус. _________________________________________________—---------------). Проведем через пересекающиеся прямые ОА и ОВ плоскость у. Она пересечет ребро т в некоторой точке С. 48 1) m±QA, так как ОА. mJ-Y (по признаку ______ , аналогично т. поэтому .). Отсюда следует, что угол АСВ линейный __________________, т. е. ААСВ =____________, а ОС = . 2) Точка О равноудалена от сторон угла АСВ, так как = R, где R — радиус сферы, следовательно, она лежит на его __________________, т. е. АОСВ =______. Из____________________ треугольника ОС В находим: OB = R=__ ВС =______. Аналогично получаем АС =. 3) Из равнобедренного треугольника АСВ, в котором АС = . ______, А АСВ =___________, находим АВ: АВ = 2 • АС • sin _ Ответ. 77 Радиусы двух параллельных сечений сферы, расположенных по разные стороны от ее центра, равны 3 см и 4 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 7 см. Найдите площадь сферы. Решение. Рассмотрим сечение сферы радиуса R плоскостью, проходящей через ее центр О и перпендикулярной секущим плоскостям. В сечении получим окружность с центром О и радиусом R (окружность >льшого _____________ D которой — диаметры .), хорды АВ и гда ООг = . ., причем АВ -----, 0,А = 4 ______(см). Из _________Пусть OOi±AB, OO2-LCX), тогда см, ОгС = 3 см, 0i02 = 7 см. Пусть OOi = x (см), /То 49 треугольников AOjO и COjO получаем R^ =______+____ vi R^ = — +----, откуда x^ + 16 =________________________ и x=_____ Итак, OOj=________ CM, поэтому R =________ cm, = . =---------=--------- (CM*). Ответ. .+ 78------------------------------- Все стороны ромба касаются сферы. Сторона ромба равна 2 см, а угол равен 60°. Расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно 2\/3 см. Найдите площадь сферы. Решение. Пусть стороны ромба ABCD касаются сферы с центром О и радиусом i?, отрезок OOi — перпендикуляр, проведенный из точки О к плоскости ромба. Тогда точки касания сторон ромба и сферы лежат на окружности, ______________ в этот ромб и Oj — центр ________Проведем высо- ту ВН ромба. Радиус г вписанной окружности равен .ВН, Из пря- моугольного треугольника АВН находим: ВН=АВ =___________= _______ (см), следовательно, г= ___________ .. Пусть F — точка касания стороны AD ромба и сферы. Из _______ треугольника O^OF, в котором OOi= ______ см, OyF = ДИМ радиус сферы: R = OF= _________________= _____ см, нахо----- (см). ■'сферы' (см*). Ответ. см^ 50 79------------------------------- Докажите, что через четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит сфера, и притом только одна. Доказательство. Пусть данные точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Через любые три из них, например через точки А, В и С, проведем плоскость айв ней отметим точку Оу — центр окружности, _______ Множество всех точек пространства, равноудЕшенных от точек А, В и С, есть прямая I, проходящая через _________ окружности, описанной около треугольника ная __________________________________________ Множеством всех точек пространства, равноудаленных от двух точек, например А и В, является плоскость р, перпендикулярная и перпендикуляр- и проходящая через его Докажем, что прямая I пересекается с плоскостью р. Предположим, что прямая I не пересекает плоскость р. Тогда Л1 Р либо /ср, и так как 1-1--, то pJ_____Отсюда следует, что АВ<=_____ (поскольку ADJ_____ и А€ —), а значит, все данные точки А, В, С к D лежат в------------------, что противоречит условию. Итак, прямая I пере- секает плоскость р в некоторой точке О. Точка О равноудалена от -----------------А, ____________и, следовательно, является центром сферы, проходящей через ________________________ Единственность сферы, проходящей через точки А, В, С и В, следует из того, что центр такой сферы лежит как на прямой I, так и в плоскости Р и, следовательно, совпадает с точкой О. 80 Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере. 51 Доказательство. Пусть ABCD и ABEF — данные прямоугольники с общей стороной_______ Множеством всех точек пространства, равноудаленных от вершин прямоугольника ABCD, является прямая li, перпен- дикулярная к и проходящая через точку Oi пересе- чения Аналогично множество всех точек пространства, равноудаленных от вершин прямоугольника ABEF, есть прямая I2, перпендикулярная к и проходящая через точку Og ___________________________________ Докажем, что прямые и I2 пересекаются. Для этого рассмотрим плоскость О1РО2, где точка Р — середина---------------В плоско- сти О1РО2 через точки Oi и О2 проведем прямые, перпендикулярные соответственно РО, и_______Они пересекаются в некоторой точке О. АВ J-O1PO2, так как АВ J____и АВ J______Следовательно, прямая АВ _________________________ прямым OiO и_______, лежащим в плоскости О1РО2. Так как 0^0 ±РО^ и 0^0 А__________, то OiO-LABC (по признаку----------------------------------------------------— _______________________________________________). Аналогично до- казывается, что O2OJ_________Отсюда следует, что прямые 1^ и 0^0 ________________и также совпадают прямые____, а это означает, что прямые 1у и I2 _________________ в точке-----Итак, OD = . . = ОЕ, т. е. точка О — центр сферы. проходящей через точки А, _, --, --, ---и --- Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар 81 Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны. (Задача 629 учебника.) Доказательство. На рисунке изображена призма ABCAyByCi, вписанная в цилиндр так, что ее боковая грань АА^В^В проходит через ось ОО, цилиндра. Требуется доказать, что боковые грани AAfiiC и BBiCiC взаимно перпендикулярны, т. е. двугранный угол с ребром CCj, образованный плоскостями этих граней,— прямой. Боковые ребра вписанной призмы являются образующими цилиндра, поэтому они перпендикулярны______________________________, в частности CCi±ABC. Отсюда следует, что СС^ХСА и СС^. а значит, угол АСВ линейный________________________________ -----Так как грань АА^В^В проходит через точку О, то АВ — основания цилиндра. Поэтому /LACB =_______, т. е. указан- ный двугранный угол с ребром CCj доказать. что и требовалось 82 В конус с высотой 12 см вписана треугольная пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса. Решение. На рисунке изображена пирамида МАВС, вписанная в конус с осью МО так, что ее вершина М совпадает с вершиной конуса, а прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 8 см и ВС = 6 см вписан в основание конуса. От- М резок МО — высота конуса и по условию МО =_____________Так как треугольник АВС ____, то гипотенуза АВ является _____________ основания конуса, АВ =_ и точка О — отрезка АВ. Из МО = _ АО = . . треугольника АМО, в котором находим: АМ=у. _-Ь = + . = 13 (см). Боковые ребра пирамиды МА, и являются конуса, поэтому МА = . .. Пусть MHi и МН2 — высоты треугольников АМС и MHi = \IaM‘- =У—---------------- тогда — (см). МН,=^МВ‘^- -9 = . ^полв. пир ^АВС - -i(AC АВ = |(8 • 6 + 10 • 12 + . (см). + . + . -) = +, (см2). )= -8кои = ’1''(-----+-------) = ■------(------+--------) = - (см2). Ответ. 83 Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы. (Задача 632 учебника.) Доказательство. Центр сферы, вписанной в многогранник, в частности в правильную призму, является точкой, равноудаленной от плоскостей всех ________________Пусть AiA2Aa...A„BiB2B3...B„ — правильная призма, в которую можно вписать сферу, точка О — центр вписанной сферы. О, и О2 — центры оснований призмы. 54 Так как точка О равноудалена от плоскостей граней A^AzBiBi и AiA„B„Bi, то она лежит в полуплоскости (обозначим ее а), делящей пополам______________ угол с ребром_____________Полуплоскость а проходит через ребро_______и параллельную ему прямую ___________, В, поскольку углы и В^^В„ являются дву- гранного угла с ребром A,Oi и В1О2 —__________ а лучи этих линейных углов. Точно так же точка О лежит в полуплоскости Р, делящей пополам двугранный угол с ребром А2В2. Полуплоскости а и Р ______________________________________Следовательно, точка О лежит пересекаются по на_____________ С другой стороны, так как точка О равноудалена от плоскостей оснований призмы, то она лежит в плоскости, параллельной плоскостям оснований и проходящей через _________________ отрезка О1О2. Итак, точка О есть_____________________________________, что и требовалось доказать. 84 Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды. (Задача 633 учебника). Доказательство. На рисунке изображена правильная п-угольная пирамида MAiA2..A„, МН — ее высота. Обозначим через aj полуплоскость, делящую пополам двугранный угол пирамиды при ребре А1А2', через tt2 — полуплоскость, делящую пополам ______________________ при ребре М АгАз; •••; через а„ — В силу правильности пирамиды каждая из этих полуплоскостей пересекается с высотой МН в _______________________________(обозначим ее О). Следовательно, точка О равноудалена от всех _____ и потому является Точка О — единственная общая точка полуплоскостей ai, _______ В самом деле, и аз пересекаются по лучу______, а луч А^О имеет с полуплоскостью ttg только _____________________ точку — точку О. Итак, в правильную пирамиду можно-------------------------------, причем центр вписанной сферы лежит------------------------------- 85 Докажите, что центр сферы, описанной около; а) правильной призмы, лежит на середине отрезка, соединяющего центры оснований призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте пирамиды или ее продолжении. (Задача 637 учебника.) Доказательство. Центр сферы, описанной около многогранника, является точкой, равноудаленной от всех _____________________ а) Пусть А1А2А3..A.„BiB2”-^n — правильная призма, точки Oi и Oj — центры ее оснований. Множеством всех точек пространства, равноудаленных от вершин основания AjA2..A.„, является ., проходящая через и перпендикулярная этого основания, т. е. прямая .. Эта же прямая является множеством всех точек пространст- ва, равноудаленных от -------------------------------------------- Следовательно, центр сферы, описанной около правильной призмы, лежит на--------------------- 56 Множеством всех точек пространства, равноудаленных от точек Aj и Bi, является________________, проходящая через--------------- и перпендикулярная Эта плоскость пересекается с отрезком О1О2 в его центром сферы, описанной около___ является ________________________ .. Таким образом. б) Множеством всех точек пространства, равноудаленных от вершин основания правильной пирамиды, является ------------, проходящая через _______________________ и -------------------------------- _____________________________Эта прямая содержит _______________ пирамиды, поэтому центр описанной _________________ сферы лежит ___ или 86 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найдите радиус вписанной в пирамиду сферы. Решение. Пусть МАВС — правильная треугольная пирамида, МН — ее высота. Центр О вписанной в пирамиду сферы лежит на высоте МН и ОН = г — искомый М .. Пусть CDJ.AB, тогда и /.MDC — линейный ______________________________ при ребре АВ. _______Так как точка О — центр вписанной сферы, то она является точкой пересечения полуплоскости, делящей по- ___________________ при ребре АВ, и ее высо- По условию он равен полам ___________________ ты МН. Поэтому луч DO — Из ______________________ сферы: ОН =______________ Ответ.________________ угла MDC и /L.ODH ^ треугольника находим радиус 57 87 Сфера вписана в цилиндр (т. е. она касается оснований цилиндра и каждой его образующей). Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра. (Задача 642 учебника.) Решение. На рисунке изображена сфера с центром О и радиусом R, вписанная в цилиндр с осью О1О2 (точки Oi и О2 — центры____________________________). Центр сферы делит отрезок OjOj______ ______QQi= , =______Плоскость, проходящая через центр сферы О и перпендикулярная оси цилиндра О1О2, пересекает сферу по окружности, равной а боковую поверхность цилиндра — по ______________________________ Таким образом, радиус основания цилиндра равен ., а высота цилиндра равна Так как S. сферы ■ ^сферы • ^полн. цил ' ‘'ПОЛЯ, цил Ответ. 88 Конус с углом ф при вершине осевого сечения и радиусом основания г вписан в сферу радиуса R (т. е. вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы). Найдите угол ф, если R = 2r. (Задача 646в учебника.) Решение. На рисунке изображен конус с высотой МН, вписанный в сферу с центром О и радиусом R. Так как отрезок МН перпендикулярен к плоскости _______________________ и отрезок ОН, соединяющий центр__________с центром сечения ----------------------------- _____________________, перпендикулярен к плоскости основания, ___ и _____ совпадают, а значит, 0€______ Возможны то прямые . два случая: 58 м а) б) В В г) 1) точка О лежит между точками М и ____(см. рис. а и б)\ 2) точка Н лежит между точками ____ и__(см. рис. в и г). 1) Рассмотрим осевое сечение конуса —______________________треугольник __________________________________________________(см. рис. б). В этом треугольнике ААМВ =_, поэто- му а так к£п« ОМ = . . = Д, то /LOAM = Z. =______Угол АОН — внешний угол /LAOH =_____-I-___=____В _____ АОМ, поэтому _ треугольнике АОН АО =______, АН =____, а так как по условию R = . __, т. е. <р =_ то -=i. Следовательно, /LAOH = . АН АО 2) Второй случб1Й рассмотрите самостоятельно. Ответ. ____________________ 59 Глава VII Объемы тел fL Объем прямоугольного параллелепипеда 89 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBiCiDi, если АС=15 см, DCj = 4vl^ см, DBi = 17 см. Решение. Пусть V — искомый объем, тогда V=AB - AD • ААу. Из определения прямоугольного параллелепипеда следует, что его боковые ребра __________________ к плоскости основания, а основанием является _____________________________ 1) ABjBB —______________________, так как BjB ________ ВВ =_____=_____см, BBi = В, BBi = . 2) ЛВ1С1В — причем BCj = _ ВА=--------- АВС, причем _ см. По теореме__________ -----(см). ____________, так как С. .см, BiD = . см. Следовательно, (см). 3) ABAD — см, поэтому АВ =. и BD = . Итак, V=AB Ответ. ____ см, AD = _____(см). ----(см®). 90----------------------------------------------------------- Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его диагональ равна 4V2 см и составляет с плоскостью основания угол в 30°, а с плоскостью боковой грани угол в 45°. 60 Решение. На рисунке изображен данный прямоугольный параллелепипед ABCDA^BfiiDi. 1) Так как прямая BD — проекция прямой ______ на ------------------ _______________, то Z.BiDB =_______ В, Из треуголь- ника B^DB находим: ВВу = . =__________(см), BD = 4y/2- — =__________(см). 2) Так как прямая CjX) — проекция _______________ на плоскость BjCCi, то Z.BijDCi = . треугольника B^DCi находим: Bfii = . ■BiD:. (см). 3) ABAD см, поэтому АВ = . Итак, V=AB Ответ. ____ ., BD = . Сг Из ., AD = _ (см). 91 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^CiDi диагональ BiD составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол A^B^BD равен 60°. Найдите объем параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см. (Задача 656 учебника.) Решение. На рисунке изображен данный прямоугольный параллелепипед ABCDA^B^C^D^. 1) По условию Z.BiDB = 45°, поэтому из треугольника BiBD находим: ВВ^ =___=---------- Вг с, 2) jLABD — линейный угол ____________ (так как ВА J___________и BD J___________ АВ=_________, AD =_________=________(см). Итак, V=AB •_______________=_________ Ответ. ____________________ угла AiB^BD .), поэтому AABD = 60°, 92-------------------------------------------------------- Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны V5 см, vTo см и vT¥ см. Найдите объем параллелепипеда. Решение. На рисунке к задаче 91 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCiDi. Пусть ВВ = \[Ъ см, DCj = \/Го см, BCi = VT^ см. AB^+AD^ =______ Тогда AB^ + CCi =----- AD^ + CCf = ' . Отсюда 2АВ^ + 2АП^ + 2СС\ =__, AB^+AD^ + CCf =____, ACi =____ см (так как в прямоугольном параллелепипеде_____________________ Теперь находим измерения параллелепипеда: Z-VIZI^Z АВ = ^АС\~. AD=^AC\~. CCi = VbC? — .=v: :=\г Итак, V= Ответ. . (см), (см), (см). (см3). 93 Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 4 см и составляет с диагональю основания угол в 30°. Через данную сторону и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение. 62 плоскость которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем параллелепипеда. Решение. На рисунке к задаче 91 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCiDi. Пусть AD = 4 см, ACAD = 30°. Из прямоугольного треугольника ADC находим: DC =__________________=-------------= =_________(см). Плоскость сечения, проходящего через ребра AD и Bfii, составляет с плоскостью основания ABCD угол в 60°, поэтому ACiDC=_______(как______________________двугранного угла__________). Из_____________________________________треугольника CCiD находим; CCi=_________________________=________________________=__________ Итак, V=AD-Ответ. ____ (см«). Объем прямой призмы и цилиндра 94 в правильной треугольной призме ABCAiBfii через сторону АВ нижнего основания и середину ребра CCj проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 30°. Найдите объем призмы, если ее боковое ребро равно 2Ь. Решение. На рисунке изображена правильная треугольная призма АВСА^В^С^. Точка D — середина ребра CCj и AADB — проведенное сечение. Поскольку призма правильная, то CCjJ________и объем V призмы равен S^c '________Так как AD = BD (как гипотенузы равных ______ ADC и _________), то треугольник ADB _ Пусть точка Е — середина АВ. Тогда DE. довательно, ADEC —___________________ и СЕ1. ., и, сле- двугранного 63 .. По условию /LDEC = . поэтому из треугольника ВСЕ, в котором £>С =___, находим: ЕС = Ъ:. В АЕ==ЕС ^ЛВС —- _ треугольнике АСЕ ААСЕ = -. = , и, следовательно, АВ = 2. Итак, V=. Ответ. _ CCi = . поэтому 95 в цилиндр, площадь осевого сечения которого равна 24 см^, вписана призма. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом, равным 2\/3 см, и прилежбпцим к нему углом в 30°. Найдите объем цилиндра. Решение. На рисунке изображены цилиндр и вписанная в него призма АВСА^В^С^. Из определения вписанной в цилиндр призмы следует, что АА, J____, и основания призмы вписаны в ____ Имеем: тре- угольник АВС вписан в окружность основания цилиндра, поэтому его гипотенуза является АВ=АС:. а прямоугольник АА^В^В — осевое . Из треугольника АВС находим: _ =_____(см). Следовательно, радиус цилиндра г = . По условию S АЛ1В1В =АВ' _ (см*), откуда АА, =. (см®). Ответ. см“ 64 Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса А. С. 96 Найдите объем наклонной призмы ABCA-^B^Ci, если известно, что ее основания — правильные треугольники, боковая грань BBiCiC является ромбом и образует с плоскостью АВС угол в 90°, причем BiC = 12 см, SCi = 16 см. Решение. Пусть ABCAiBiCi — данная призма. Так как Рор„з„ы = 5осв '-. то требуется найти ______________________________ 1) Четырехугольник BB^Cfi — ромб с диагоналями BjC=12 см и HCj = 16 см. Поскольку АВОС —______________________ и его катеты ВО = __________=________ то сторона ромба ВС =___________, Sxbc =___________=______________= =-----------(см2). 2) По условию плоскости BBiCi и АВС __________________________, поэтому высота В,Х) ромба BB^Cfi является и_______________________ Таким образом, надо найти высоту B^D ромба. В треугольнике BBfi имеем: ВО • В^С = ВС-_____________, откуда B^D =__________________= СО = . Итак, Кц Ответ. . (см). (см*). 97 Основанием наклонной призмы ABCAiBfii является правильный треугольник со стороной АВ = 6 см, AAiAB = АAiAC = 60°, AAi = 8 см. Найдите объем призмы. 65 Решение. На рисунке, изображена данная наклонная призма ABCA^BiCi. Ее объем вычисляется по формуле • Я, где S — площадь треугольника ________, Я — -------------------Так как по условию ААВС — правильный, то его площадь S =-----------=______________— =--------(см^). Остается найти______ Пусть AjOJ-ABC, OP ±АВ, OF±AC, тогда по теореме___________________ AiPl. и A^F. AAPAi = . по гипотенузе (АА^ — гипотенуза) и острому углу {АА^АР =______________= ОР =______, и, следовательно, луч АО — по условию), поэтому ., а значит, АОАР = . Из треугольников А^АР, АРО и А^АО находим последовательно: АР=АА^ =______см, АО-АР •_______________= см и iiO = V- см. Итак, И=. Ответ. _ (см®). см** 98 Основанием наклонной призмы ABCAiBiCi является прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ = 7 см и АС = 24 см. Вершина А^ равноудалена от вершин А, В и С. Найдите объем призмы, если ребро AAj составляет с плоскостью основания угол в 45°. (Задача 679 учебника.) 66 Решение. На рисунке изображена данная призма ABCAiBiCi- Середина О гипотенузы ВС треугольника АВС является центром окружности, _______________________ ______________________________ Так как по условию точка Aj равноудалена от вершин А, В и С, то она лежит на пря- мой, перпендикулярной к и проходящей через центр — точку О, поэтому AjO ± ., т. е. AjO — призмы Объем призмы вычисляется по формуле V^=Sabc следовательно, нужно найти и AiO. Sabc=y------------=------------=------(см2). Из____________________треугольника AOAj найдем высоту AjO. Так как прямая АО — проекция__________ то AAjAO — угол между ____________ на плоскость и плоскостью __________АА,АО = 45°, поэтому AiO = . Итак, V=_____________=__________(см®). Ответ СВ = . -. По (см). см" 99 в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и 12 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды. Решение. Пусть МАВС — данная пирамида, отрезок МО — ее высота. Тогда АМАО =__________=__________=______ ________________________ треуголь- _____ равны по ники МАО, МВО и М ________(МО — _ углу, поэтому ОА = . -------) и -------------------- а значит, точка О — центр R = OA — ее радиус. Искомый объем вычисляется по формуле J, 3 Герона: V= Sj^Bc ■______Площадь треугольника АВС находим по формуле ^лвс -V7: Далее найдем R, воспользовавшись формулой R = {abc):. R =______см. ____(см^). Получаем Из -MO = R треугольника МАО находим (см). Итак, V= Ответ. . (см®). 100 в основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с углом в 30°. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 60°, высота пирамиды равна SVS см. Найдите объем пирамиды. Решение. Пусть MABCD — данная пирамида, отрезок МО — ее высота, ME, МР, MF, MQ —высоты боковых граней. Тогда ОЕ1______, ОР1_______, OF±______, OQ± (по теореме о М углов между .), и, следовательно, АМЕО =_______ ______ (как__________________углы и треугольники МОЕ, МОР, равны по катету (МО — ■) и 68 ., поэтому ОЕ = . . Отсюда следует, что окружность с центром О радиуса является __________________________________________________________ Из ______________________________ треугольника МОР находим: ОР = МО •___________=_________=______ (см). Пусть ВТ — высота трапеции, тогда ВТ=________=2 •____=6 (см). Из _________________________ треугольника АВТ, в котором АА =_________, . = 12 см. находим: АВ = 2 •___ Так как в равнобедренную трапецию ABCD можно вписать ______________________, то BC+AD = 2 •______= 24 (см). Следовательно, ^ABCD~------------------------ ' ВТ =--------- • ------=------- (см*), ----=----------------- =--------- (см*). ^MABCD "з ■ ^ABCD Ответ. 101 Угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°, а площадь боковой поверхности конуса равна 24х. Найдите объем конуса. М М б) А' 69 Решение. Данный конус с вершиной М и высотой МО изображен на рисунке а, развертка его боковой поверхности — на рисунке б. Пусть образующая конуса равна I, а радиус основания равен г. Тогда по ®бок ^ - с _ с _ я *^бок *^раз»ертки ЗвО^ 1=. г=24 Из -v: по формуле И=. Ответ. ______ .= 24т1, откуда г1 = . .. С другой стороны, J* = 24x. Отсюда получаем: треугольника МОА находим: МО = = . Объем V конуса вычисляем 102 в правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 3 см и 6 см, апофема пирамиды равна см. Найдите объем усеченной пирамиды. Решение. Пусть ABCDAiBiCiDi —данная правильная четырехугольная усеченная пирамида, тогда ее основаниями являются ___________________ABCD и AiBiCiDi, отрезок ООц соединяющий центры оснований —-------------------- а отрезок ММ^, соединяющий середины сторон оснований АВ и AxBj, ------------------------------ Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле Р--------------------------(Si +-------), где h —-------------------------, S и------------------------- Так как АВ = 6 см, AiBi = 3 см, то S=. 70 S, = . Для нахождения высоты пирамиды рассмотрим четырехугольник OOjMiM, который является _____________________________________ Пусть MiPllOOi, тогда МР=. .-м,о,=. и из -уГ треугольника МРМ^ находим: МР = = = (см). Следовательно, 00^ = . Итак, V=_____________ см. Ответ. (см®). 103 в усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью большего основания угол в 60° и равна 4 см. Найдите объем усеченного конуса. Решение. Пусть точки О и Oi — центры оснований данного усеченного конуса, --------------------------- трапеция ABCD — осевое сечение, М — точка пересечения его диагоналей. Тогда /.DAB — это угол, который составляет образующая AD конуса с плоскостью большего основания, т. е. /.DAB =____, АО = г и DOi = ri — радиусы оснований усеченного конуса. Поскольку /.АМВ =_______, то /.МАВ = =----------=_______Поэтому в треугольнике ADC имеем AD = 4 см, ------=-------, /-DAC =____________=_______По теореме AACD = . AD sin Z_DCA откуда получаем: CD = В треугольнике АВС ВС =_____ = 180°-____________=_______По (см), а г, = |-. _см, /.А =______ (см). ., АВ = . ., а ZC = АВ sin Тб" 71 , откуда находим: АВ = а г= Проведем высоту DK трапеции, она является высотой _____________ _____________Из ____________________________ треугольника ADK находим: DK = усеченного конуса равна Объем усеченного конуса V=\h • (S + Sj +. О __________________________Итак, V=_________ (см), т. е. высота Л .), где S и Si — (яг^ +-----+_______) = (см«). Ответ. Е1 Объем шара и площадь сферы 104 Найдите отношение объемов шара и цилиндра, если высота цилиндра равна его диаметру, а радиус шара равен радиусу цилиндра. Решение. Пусть г — радиус цилиндра, тогда его высота равна_, а радиус шара равен г. Следовательно, =_________________=___, V = ^ шара И ^ шара _ Ответ. 105 Шар и цилиндр имеют равные объемы, причем радиус шара равен у высоты цилиндра. Найдите отношение радиусов шара и цилиндра. 72 Решение. Объемы данных тел вычисляются по формулам Vmapa = - V = ' цил h, где R — г — h - Так как по условию объемы шара и цилиндра равны, то 4 откуда -|Д® = - . Поскольку по условию Д=-|-Л, то Л = . И поэтому = . о .. Отсюда получим , т. е. ^ = Ответ. 106 Расстояние между двумя плоскостями, перпендикулярными диаметру шара и расположенными по одну сторону от его центра, равно 1 см, радиусы сечений равны 3V3 см и 4V2 см. Найдите объем шарового слоя, заключенного между этими плоскостями. Решение. Пусть шар с центром О пересечен плоскостями а и Р, перпендикулярными его диаметру CD, А и В — точки пересечения диаметра CD этими плоскостями (см. рис. о). Тогда АВ = 1, а объем слоя, т. е. части а) 73 шара, заключенной между этими плоскостями, равен разности объемов двух шаровых сёгментов, один из которых имеет высоту АС, а другой — Так как объем шарового сегмента вычисляется по формуле Г„гы = яЛ2(д--|а), где R —-------------------, h —---------------- ------------------, то необходимо найти R и высоты hi=AC и h2 = BC. Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через диаметр CD. Эта плоскость пересекает основания указанных шаровых сегментов по их диаметрам MMj и NN^ (см. рис. б). В _______________________ треугольниках ОАМ и OBN имеем: OM = ON=_______, АМ=______________, BN =-------------Пусть ОА = х, тогда ОВ =________ По теореме Пифагора = +______, Д^ =_______+ 27. Отсюда полу- чаем x^ + 32 = (l + jc)^ + 27, или х^ + 32 = . вательно, дг = ОА =__________ Далее, R = Ух’^ +. =v: (см), hi=AC = OC-. ., и, следо- . = 4 см, h, = BC=AC-. Таким образом, = у ~- (см®). Ответ см-* СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПУНКТАМИ УЧЕБНИКА И ЗАДАЧАМИ ТЕТРАДИ Номера пунктов учебника Тема Номера , задач тетради 46, 47 Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора 1—16 48 Связь между координатами векторов и координа* тами точек 17—21 49 Простейшие задачи в координатах 22—24 50, 51 Угол между векторами. Скалярное произведение векторов 25—27 52 Вычисление углов между прямыми и плоскостями 28—30 54—57 Центральная симметрия. Осевая симметрия. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос 31—34 59 Понятие цилиндра 35—38 60 Площадь поверхности цилиндра 39—45 61 Понятие конуса 46, 47 62 Площадь поверхности конуса 48—53 63 Усеченный конус 54, 55 64 Сфера и шар 56, 57 65 Уравнение сферы 58—63 66 Взаимное расположение сферы и плоскости 64—72 67 Касательная плоскость к сфере 73—76 68 Площадь сферы 77—80 Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар 81—88 74, 75 Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда 89—93 76 Объем прямой призмы 94 77 Объем цилиндра 95 79 Объем наклонной призмы 96—98 80 Объем пирамиды 99—102 81 Объем конуса 103 82 Объем шара 104, 105 83 Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора 106 75 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава V. Метод координат в пространстве § 1. Координаты точки и координаты вектора § 2. Скалярное произведение векторов 13 § 3. Движения 17 Глава VI. Цилиндр, конус и шар § 1. Цилиндр_______________________ 22 § 2. Конус 28 § 3. Сфера § 2. Объем прямой призмы и цилиндра 36 Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар____53 Глава VII. Объемы тел § 1. Объем прямоугольного параллелепипеда____________________^ 63 § 3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса 65 § 4. Объем шара и площадь сферы 72 Соответствие между пунктами учебника и задачами тетради 75 Учебное издание Серия «МГУ — школе» Бутузов Валентин Федорович Глазков Юрий Александрович Юдина Ирина Игоревна ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь 11 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Кузнецова Младший редактор Н. В. Ноговицына Художники Е. В. Соганова, О. П. Богомолова Компьютерная графика В. В. Брагина Художественный редактор О. П. Богомолова Технические редакторы Е. А. Сиротинская, Л. В. Марухно Корректоры И. А. Григалашвили, Н. И. Новикова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 20.03.13. Формат ТОхЮО'/и- Бумага о^етная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,52. Тираж 17 000 экз. Заказ № 6734. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Тульская типография» ОАО «Издательство «Высшая школа». Россия, 300600, г. Тула, пр. Ленина, д. 109. ВИДЕОЛЕКЦИИ ВЕБИНАРЫ ^ что ТАКОЕ ВЕБИНАРЫ «ПРОСВЕЩЕНИЯ»? Это удобная и доступная возиожноаь (даже для самых удаленных уголков Российской Федерации) узнать о современных учебно-методических комплексах, направлениях переработки учебников в соответавии с требованиями Федеральных государавенных образовательных стандартов, обсудить с коллегами проблемные вопросы современного образования ^ КТО ВЕДЕТ ВЕБИНАРЫ? • Разработчики ФГОС • Эксперты в облааи образования РАО, ИСИО РАО, ФИЛИ • Члены авторских коллективов учебно-методических комплексов • Специалисты предметных центров и редакций издательства «Просвещение» ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДДТЕДкСТ10 ^ ЧТО ДЛЯ этого НЕОБХОДИМО? Компьютер с подключением к сети Интернет, рабочие колонки или наушники S. е Зайти в назначенное время по ссылке, указанной на сайте издательства «Просвещение» WWW»prOSV«rU в разделе <( Видеолекции и вебинары» I Участие в вебинаре бесплатное! Анонсы и записи всех вебинаров и видеолекций - на сайте издательства «Просвещение» www.prosv.ru в разделе «Видеолекции и вебинары» \