Учебник Математика Алгебра 11 класс Шабунин Прокофьев

<азание. Максимальное значение выражения 6\/3cos4x—3cos8x совпадает с минимальным значением выражения 4''^“*'—2''^"*'-1-39,5. 24. р=—2,р=|. Указание. Убедиться, что 3sinp-4cosp равно 5 или —5 (иначе не будет единственности решения). Глава XVIII УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 1. Линейные уравнения с двумя переменными Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат Оху. Тогда уравнение y = kx + b (1) определяет прямую / (рис. I), пересекающую ось Оу в точке М{0]Ь) и образующую угол а с положительным направлением оси Ох, где tga =/г — угловой коэффициент прямой I. Чтобы построить прямую /, заданную уравнением (1), достаточно найти две точки этой прямой. На рис. 2 изображены прямые /( и I2, заданные соответственно уравнениями 2. У- '-Х + 2 и у = -х-1. Рассмотрим уравнение Ах Т By С — О, (2) предполагая, что хотя бы одно из чисел А, В отлично от нуля (Л2 + Д2>0). Пусть В фО, тогда уравнение (2) можно записать в виде и = -^х-^ ^ S’ §1. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными 267 т. е. в виде (1), где к = — В’ Ь = С В' Если В = О и А ^ О, то уравнение (2), которое можно записать в виде х = ®сть уравнение прямой, параллельной оси Оу. Таким образом, при любых А,В, С таких, что А^ + В^ > О, уравнение (2) является уравнением некоторой прямой. 2. Линейные неравенства с двумя переменными Пример 1. Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству Зу — 2jc — 6 < 0. Д Уравнением Зу — 2х — 6 = 0 задается прямая (рис. 3), проходящая через точки (-3;0) и (0;2). Пусть Mi(A:i;yi)— точка, расположенная ниже прямой /, а у^) — точка с абсциссой х\ и ординатой у2, лежащая на прямой /. Тогда 2у2 — Зх] - 6 = о, 2у1 — 3x1 — 6 < о, так как yi < у^. Аналогично, в любой точке А1(х;у), лежащей ниже прямой /, выполняется неравенство 2у —Зх —6<0, а в любой точке М{х;у), лежащей выше прямой /, справедливо неравенство 2у-3х-6>0. А Рассмотрим неравенство Ах -р By -р С < о, (3) считая, что > 0. Как и в примере 1, возьмем точки (они лежат на прямой, параллельной оси Оу) М\{х\\у\) и М2{ху,у2) такие, что М\ лежит ниже прямой и заданной уравнением (2), а М2 —на этой прямой, тогда У1 < У2- Если S > О, то Ву1 < Ву2 и поэтому у4х] + Ву\ + С < о, т. е. координата точки М\ удовлетворяет неравенству (3). Этому неравенству удовлетворяют координаты любой точки, расположенной ниже прямой /, если В> 0. Если Д<0, то неравенству (3) удовлетворяют координаты любой точки, лежащей выше прямой I. Если В = 0 (Л / 0), то неравенство (3) примет вид Ах -р С < 0. 268 Глава XVIII Уравнения и неравенства с двумя переменными Это неравенство равносильно неравенству при Л > О и неравенству л: < — при л < 0. Например, неравенство Зх + 4<0, равносильное неравенству х<- 4 ‘З’ выполняется во всех точках, лежащих слева от прямой л: = — Таким образом, прямая, заданная уравнением (2), разбивает плоскость на две полуплоскости такие, что во всех точках одной из этих полуплоскостей выполняется неравенство (3), а в другой — неравенство Ах + Ву + ОО. (4) Чтобы решить неравенство (3) или неравенство (4), т. е. чтобы определить, в какой из полуплоскостей оно справедливо, достаточно определить знак левой части этого неравенства в какой-либо точке одной из полуплоскостей. Если С ^ о (прямая не проходит через начало координат), то в качестве такой точки удобно взять точку (0;0). Например, неравенство 5x - 3// — 15 < о при X = у = о является верным. Поэтому оно выполняется во всех точках той из полуплоскостей (их общая граница — прямая 5х —3^/ —15 = 0), которая содержит точку (0;0). Эта полуплоскость отмечена серым цветом на рис. 4. 3. Системы линейных неравенств с двумя переменными Рассмотрим систему неравенств ( А\Х -h В\у “Г С] >0, ( А2Х -Г В2У -Ь С2 ^ 0' предполагая, что Af + В^ >0, А'^Л- В'2>0. Тогда первому неравенству системы (5) удовлетворяют точки множества М\, лежащие по одну сторону от прямой /[, заданной уравнением А\х + В\у + С\=0. Аналогично второе неравенство системы (5) является верным на множестве М2 — одной из полуплоскостей, на которые разбивается координатная плоскость прямой /3, заданной уравнением А2Х 4" В2У “Г С2 — 0. (5) § 1. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными 269 Множество решений системы (5) — пересечение множеств Л}] и М2- Если прямые и I2 пересекаются в точке А, то множество решений системы (5) — множество точек, расположенных внутри одного из четырех вертикальных углов с вершиной в точке А. Прим1ер 2. Решить систему неравенств f 2х — Зу + 6 > О, \х + у + I <0. (6) Рис. 5 Л Найдем точку А, в которой пересекаются прямые /] и I2, заданные соответственно уравнениями 2х — Зу -|- 6 = О, (7) л: + ^ + 1 = 0. Решив систему (7), найдем, что прямые /] и /2 пересекаются в точке как координаты точки 0(0; 0) удовлетворяют первому неравенству системы (6) и не удовлетворяют второму неравенству, то системе (6) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые лежат ниже прямой 1\ и ниже прямой I2, т. е. точки угла с вершиной А, содержащего точку (-2;0), см. рис. 5. А Рассмотрим неравенство вида {А\х +В\у + С\){А2Х Л-В2У + С2) > О, (8) предполагая, что прямые 1\ и /2, заданные соответственно уравнениями А[Х В\у -f- Cl — О, А2Х + В2У -|- С2 = О, (9) (10) пересекаются в точке А. Покажем, что множество решений неравенства (8) является либо объединением вертикальных углов М\ и М2 с вершиной А (рис. 6), либо объединением двух других вертикальных углов N\ h N2 с той же вершиной. В самом деле, во всех точках каждого из множеств М\, М2, N2 левая часть неравенства (8) принимает либо положительные, либо отрицательные значения, а при переходе от одного из всех этих множеств к соседним (через одну из прямых 1\, I2) знак левой части этого неравенства меняется на противоположный. 270 Глава XVIll. Урзвнения и неравенства с двумя переменными Если, например, на множестве М| левая часть неравенства (8) положительна, то на множествах N] и N<2 она будет отрицательной, а на М2 — положительной. Чтобы определить, на каком из двух множеств Л/) U М2 или N1UN2 справедливо неравенство (8), достаточно определить знак левой части этого неравенства в какой-либо точке одного из множеств М,, М2, Ni, N2. Пример 3. Решить неравенство {у-х-2){Ъх + у-^)>0. (11) Д Прямые у-х — 2 = 0 и Зл:-1-г/ —6 = 0 пересекаются в точке Л(1;3). Первая из этих прямых проходит через точки С(-2;0) и /3(0; 2), вторая —через точки £(2;0) и F(0;6). На рис. 7 угол Mi (содержит точку О) и угол М2 составляют одну пару вертикальных углов с вершиной Л; и Л/2~ДРУгую пару. В точке OgMi левая часть неравенства (11) положительна, и поэтому множество решений неравенства (11) — объединение множеств Mi и М2. А Пример 4. Найти площадь фигуры Ф, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств х^О, X — у + 2 О, Зх+у — Ь4:0. (12) Д Первым двум неравенствам системы удовлетворяют все точки первого квадранта (включая его границу), третьему — точки, лежащие ниже прямой /] и на этой прямой (рис. 7), а четвертому— точки, лежащие ниже прямой I2 и на этой прямой (рис. 7). §1. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными 271 Следовательно, множество решений системы (12) (фигура Ф) — четырехугольник OEAD. Пусть 5), S2 и S — площади треугольников OEF, DAF и фигуры Ф соответственно. Тогда 5, =6, S2 = ^DF-\=2, S = 81-82 = 4. ▲ Пример 5. Пусть Ф — множество точек плоскости с координатами {х; у) таких, что числа Зх, 2у и ^ — у являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры Ф. Д По свойству длин сторон треугольника справедливы неравенства, образующие систему неравенств О < Зх < 2{/ f 9 — «/, О < 2г/ < Зх + 9 — «/, О < 9 - ^/ < Зх + 2г/. Эта система равносильна системе неравенств г/ - Зх + 9 > О, у — X — 3 < О, х + у — 3 > О, х>0,у>0,у <9. (13) Пусть /(, I2 и /3 —прямые (рис. 8), заданные соответственно уравнениями г/-Зх + 9 = 0, у-х-3 = 0, х + у —3=0. Прямые /[ и /2 пересекаются в точке /4(6;9), прямые I2 и /3 пересекаются в точке fi(0;3), а прямые /3 и /i — в точке С(3;0). Системе неравенств 03) удовлетворяют точки, расположенные внутри треугольника АВС. Пусть D и £ —проекции точки А на оси Ох и Оу соответственно, тогда D(6;0), £(0;9). Если 5 — площадь фигуры Ф, 5], 82, S3 — площади треугольников ОВС, ACD и ВАЕ соответственно, а S4 — площадь прямоугольника ODAE, то S = S4 - (Si -Ь S2 -I- S3). Так как S2 = |-3-9 то S = 18. Итак, искомая площадь равна 18 54 = 9-6 = 54, S, = i-32 = |, S2 = |-3-9 = |, S3 = |-62 = 18, 272 Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными Пример 6. Найти все пары целых чисел х,у, удовлетворяющих системе неравенств ' Зу -2х < 45, х + г/>24, (14) Зх — у <3. Л Эту задачу можно решить, изобразив фигуру Ф, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств (14), а затем найти точки с целыми координатами, принадлежащие фигуре Ф. Рассмотрим другой способ решения. Умножая третье неравенство на 3 и складывая с первым, получаем 7x < 54, откуда х<7|. Умножая второе неравенство на —3 и складывая с первым, находим —Ъх < -27, откуда X > 5|. Итак, из условия целочисленности переменной х вытекает, что 6 < jc ^ 7, т. е. X = 6 или X = 7. При X = б из первых двух неравенств системы (14) получаем 18 <:/ < 19, что не выполняется ни при каком целом у. При х — 7 получим у — 19. Следовательно, система (14) имеет единственное целочисленное решение (7; 19). А Задачи 1. Найти множество точек (_х\у) координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству: 1) Зх-2(/ + 6>0; 2) Зх-4у-12<0. 2. Решить систему неравенств: 1) 3) х + у-4 < О, Зх - 4i/ - 12 < 0; ' X + у ^ 2, X-у ^2, , X - 3(/ f 2 > 0; 2) 4) (2у-х- \2-x-i ' - X — 1 <0, ■у>0\ ■ X + 6 - 2// ^ о, 2х — J/ + 2 ^ о, .У>0. 3. Найти все пары натуральных чисел х,у, удовлетворяющие системе неравенств: Гх + 2у>9, f х + у-8<0, 1) 1х-у<2, 2) ( х-2г/ + 4>0, \2у — х<Ъ\ (х + Зу—11>0. 4. Решить неравенство: I) (х + у-4)(3х-4у-12) > 0; 2) (х+ у - 1)(х - у + 3) ^ 0, 3) х^ + ху — 2у^ ^ 0; 4) Зх^ + 5ху - 2у^ > 0. §2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными 273 5. Найти все пары натуральных чисел х,у, удовлетворяющие системе неравенств: {Зг/ — 5х — 16 > О, f х+у — 26>0, Зу-х-44<0, 2) i 3^/ - л: - 5 < О, 3jt — у - 1 > 0; I Зх — 2г/ — 46 < О, 6. Пусть Ф —множество точек с координатами (х-,у) таких, что числа х, у и 6 —2х являются длинами сторон некоторого треугольника Найти площадь фигуры Ф. 7. Пусть Ф —множество точек с координатами {х\у) таких, что числа 2x, у и 3 —л: являются длинами сторон некоторого треугольника Найти площадь фигуры Ф. Ответы 1. 1) Множество точек, расположенных ниже прямой, проходящей через точки (—2;0) и (0;3); 2) множество точек, расположенных выше прямой, проходящей через точки (4;0) и (0;—3). 2. 1) Угол с вершиной (4;0), образованный О прямыми у = 4 — х и у=цХ — 3, содержащий точку (0;0), без границы; 2) угол с вершиной (1;1), образованный прямыми 2у — х — \ = 0 и у = 2 — х, содержащий точку (0;0), без границы; 3) треугольник с вершинами (1; I). (4; 2) и (2;0); 4) треугольник с вершинами (—6;0), и 3. 1) (4;3); 2) (4;3). 4. 1) Два вертикальных угла без границы с вершиной (4;0), образованных прямыми X + у — 4 = 0 и 3jc — 4(/— 12 = 0; один из этих углов содержит точку (0;0); 2) два вертикальных угла с вершиной (—1;2), образованных прямыми у=\—х и (/ = х + 3; один из этих углов содержит точку (0;0); З) два вертикальных угла с вершиной (0;0), образованных прямыми у = х и = один из этих углов содержит точку (0;1); 4) два вертикальных угла без границы с вершиной (0;0), образованных прямыми у = 3х и у = — ^', один из этих углов содержит точку (1;0). 5. 1) л: = 6, (/= 16; 2) х = 20, у = 8. 6. 6. 7. 6. §2. нелинейные уравнения и неравенства с ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 1. Нелинейные уравнения с двумя переменными Пример 1. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению: 1) - 4х^ = 0; 2) бл:^ + ху-у^ = 0\ 3) 4л;2 -4-4г/ ^ 0; 4) 2х^ + Зу^ -8х+ 18г/ + 35 = 0. Д 1) Запишем уравнение в виде {у — 2х){у + 2х) = 0. Множество точек, удовлетворяющих этому уравнению, — совокупность прямых у = 2х и у = —2х. 274 Глава XVIll. Уравнения и неравенства с двумя переменными 2) Разложим левую часть уравнения на множители: 9х^ — — Зл:^+ху=(Зл:+у) (Зх — у)—х{3х—у) = (Зх—у) (2х+у). Искомое множество — совокупность прямых Зх-у — 0 и 2х + у = 0. 3) Запишем уравнение в виде 4х^ — {у + 2)^ = 0. Этому уравнению удовлетворяют точки, лежащие на прямых у + 2x-\-2 = Q и £/-2х + 2 = 0. 4) Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата: 2(х^ - 4х -f 4) -Ь 3(/ + 6у + 9) = 0. Тогда уравнение можно записать в виде 2(х - 2)2 Ч- Цу + 3)2 = 0. Это уравнение имеет единственное решение (2; —3). А Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А{а-,Ь), М(х; г/) — произвольная точка этой же плоскости, — расстояние от точки М до точки А. Тогда {x-af + {y-bf = R^. Если задано число R >0, то данное уравнение — это уравнение окружности С радиуса R с центром в точке А{а\Ь). Пример 2. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению: 1) x2 + t/2-4x-f 6^-3 = 0; 2) х^у = Ъу\ Л 1) Применяя метод выделения полного квадрата, получаем х2 ч-1/2 — 4х -Ь 6г/ - 3 = (х - 2)2 -f (£/ -f 3)2 — 16 = 0, или (х — 2)2 + {у + 3)2 = 16. Следовательно, множество решений данного уравнения — окружность радиуса 4с центром в точке Л(2;—3). 2) Преобразуем уравнение: х^у - 8/ = г/(х2 - Ъу^) = о, у{х - 2г/)(х2 ч- 2ху + 4у^) = 0, y{x-2y){{x + yf + 3y‘^) = 0. §2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными 275 у\ 2 > В -2 \0 Х2 X / > -2 D Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11 Так как равенство (х + yf + = О выполняется только при х = 0 и у = 0, то множество решений исходного уравнения — совокупность прямых у = 0 и х — 2у = 0. Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля. Пример 3. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению: 1) х-\у\=0] 2) |л:|-|-|у| = 2; 3) |x|-b2|i/|-f-|2i/-3x| = l2. Д 1) Уравнение равносильно совокупности двух систем: (х-у = 0, (х + у = 0, \у^0, I^ < 0. Первой системе удовлетворяют точки, принадлежащие биссектрисе I координатного угла, второй системе —точки, принадлежащие биссектрисе IV координатного угла (рис. 9). 2) Если X ^ О, г/ ^ О, то уравнение можно записать в виде х + у = 2. Множество решений этого уравнения — отре.зок АВ, где Л(2;0), В(0;2). Так как | — х| = |л:|, \- у\ = |4/|, то множество решений исходного уравнения — граница квадрата ABCD (рис. 10), где С( 2;0), 0(0;-2). Замечание. Для нахождения координат вершин квадрата нужно в уравнении |х| -у\у\=2 положить х = О (и тогда |(/| = 2, т. е. у = ±2), а затем положить у = 0 (тогда х = ±2) Это связано с тем, что в точке, где выражение под знаком модуля обращается в нуль, происходит «излом» кривой. 3) Множество решений уравнения — граница многоугольника. Чтобы найти его вершины, нужно решить (см. замечание) 276 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными ству исходное уравнение, полагая в нем последовательно х = О, у = О, 2у — Зх = 0. Если X = О, то из данного уравнения следует, что |^/| = 3, т. е. у = ±3. 3 9 Если у = О, то |х1 = 3; если у =-^х, то |х1 = 3, \у\ = Многоугольник А\С\В\А2С2В2, где Л ,(-3; 0), Лг(3; 0),fi,(0; -3),Вг(0; 3), С, (-3; -|) , (З; |) , изображен на рис. 11. А 2. Нелинейные неравенства с двумя переменными Если Л (а; 6) — точка координатной плоскости, /?>0, то неравен- (х-а)2 + (у-6)2 R^ есть множество точек, лежащих вне окружности С. Пример 4. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству: 1) 2x2 + 2у2 + 2х - б£/ - 13 < 0; 2) 9x2 ^ 9^2 _ бх + 12^ - 76 > 0. Д 1) Преобразуем неравенство, выделяя полный квадрат: 2 ^х2 + X + + 2 ^г/2 — Зу + — 13 — 5 < о Множество решений этого неравенства — множество точек, лежащих внутри окружности радиуса 3 с центром 2) 9х2 + 9г/2-6х + 12г/-76 = 9(х2-|х + |)+9(г/2 + 4^+4^_81, Искомое множество решений неравенства — множество точек, лежащих на окружности радиуса 3 с центром Q;— и вне этой окружности. А §2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными 277 Пример 5. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству: 1) \х\ + \у\'^2\ 2) А;2 + /<4|г/|; 3) х-25 J_ х2 + у2_625 26- Д 1) Пусть X ^ О, у ^ О, тогда неравенство примет вид х + у'^2. Этому неравенству удовлетворяют точки первого квадранта, лежащие выше прямой X + у = 2 (рис. 12) и на ■ЭТОЙ прямой (вне треугольника АОВ, где Л(2;0), Б(0;2)). Так как |—л:| = |л:|, \-у\ = \у\, то множество решений исходного неравенства — множество точек, лежащих на сторонах квадрата ABCD, где С(-2;0), £)(0;—2), и вне этого квадрата. 2) Если у^О, то неравенство можно записать в виде {у - 2)^ +х^ ^4. Полученному неравенству удовлетворяют точки множества Е|, лежащие на окружности радиуса 2 с центром (0;2) и внутри этой окружности. Аналогично если у < О, то исходное неравенство можно записать в виде (г/-Ь 2)4x2 ^4, а множество £2 рещений этого неравенства — множество точек, лежащих на окружности радиуса 2 с центром (0; —2) и внутри этой окружности. Следовательно, множество £ решений исходного неравенства — объединение множеств Е\ и £2, т. е. £ = £'i и £2- 3) Данное неравенство, равносильное неравенству (X - 13)2144 ^2 + ^2_б25 является верным в тех и только в тех точках плоскости Оху, которые лежат вне окружности радиуса 12 с центром (13; 0) и внутри окружности радиуса 25 с центром в точке О (рис. 13). 278 Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными 3. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными Решение системы уравнений j F(x;y) = 0, (1) lG(x;i/) = 0 (2) с двумя неизвестными х и у геометрически можно истолковать как поиск координат точек пересечения линий Г) и Г2, заданных уравнениями (1) и (2). Построив эти линии на клетчатой бумаге и найдя координаты точек пересечения линий Г( и Г2, можно найти приближенные решения системы. Пример 6. Решить систему уравнений ( х^ — 2х — у + I = О, \ х'^ + у^ + 2х - 6у + 5 = 0. Д Первое уравнение системы, записанное в виде у = {х-1)^, задает параболу. Второе уравнение системы, записанное в виде (х+1)^ +(у —3)^ = 5, задает окружность радиуса \/5 с центром (—1;3). Окружность и парабола, изображенные на рис. 14, имеют две общие точки Л(0; 1) и В{х2;у2), где Х2~—1,3, у2^Ь,3. Ответ. XI = О, i/i = 1; Х2 ~ “J-3, у2 ~ 5,3. А 4. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными Пример 7. Решить систему неравенств Г 9х^ +У^ — 18х ^ О, \ 2i/ + 3 - 2ху < 0. Д Складывая первое неравенство со вторым, умноженным на 3, находим 9x^ - бху + у^ + 6{у — Зх) + 9^0 или (г/ — Зх + 3)^ ^ 0, откуда г/ — Зх + 3 = 0. Подставляя г/ = Зх — 3 в исходную систему, получаем систему неравенств Г 9х^ - 18х 4- 9 + 9х^ — 18х < 0, \ бх — 6 + 3 — 2(3х — 3)х ^ о, которую можно записать в виде Г 2x^ - 4х + 1 ^ о, 1 2х^ — 4х + 1 > о, §2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными 279 откуда следует, что 2л:^ — 4л: + 1 = 0. Решив систему уравнений Г у = 3х — 3, I 2л^ - 4х + 1 = о, найдем два ее решения, которые являются решениями исходной системы неравенств. Пример 8. Найти все такие пары целых чисел х,у, которые удовлетворяют системе неравенств { у-\х^-2х\ + ^> о, у+\х-1\<2. Л Запишем данную систему так: I f/+I > -2х|, (3) U<2-|x-I|. (4) Так как |л:^ —2л:|>0, |л: —1|>0, то из неравенств полученной системы следует, что (5) Целыми числами, удовлетворяющими неравенству (5), являются лишь о и I, поэтому система (3), (4) может иметь целые решения только при у = 0 и у=1. а) Если у = 0, то система (3), (4) примет вид I \х^-2х\ < 1, Второму из этих неравенств удовлетворяют целые числа о, 1 и 2. Проверка показывает, что первому неравенству удовлетворяют лишь 0 и 2. Следовательно, пары чисел и xj = 0, у\=0 и Х2 = 2, г/2 = о образуют решения исходной системы неравенств. б) Если у=1, то система (3), (4) приводится к виду I |х2-2х| <|, Второму неравенству этой системы удовлетворяет единственное целое число х = 1, которое является также и решением первого неравенства. Ответ. Х| =0, i/i = 0; Х2 = 2, 1/2 = 0; -^3 = 1. i/3 = 1- ^ 280 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными Пример 9. Изобразить на координатной плоскости 0x1/ фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь S этой фигуры: 1) х^ + !/^ < 4, x — 3i/ + 2<0; 2) х^ + t/^ <4, , (x-t 1)2 -t / > 1. Д 1) Неравенство x^ + t/^<4 задает множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 2, а неравенство х — Зу+2<0 — множество точек, расположенных выше прямой x — 3t/ + 2 = 0. Эта прямая пересекает окружность в точках Л(-2;0) и э фигура Ф представляет собой сегмент (рис. 15). Искомая площадь 5 равна разности площадей о •Si—52, где 5i — площадь сектора с углом д-arcsin- (рис. 15), О S2 —плонщдь треугольника ЛОВ. Так как 5i = п— arcsin; 2л ТО ■ 4д = 2 - arcsin |j , 5г = ^ОА • ОВ ■ sin arcsin 5 = 2 (д-arcsin |) - А. 2) Фигура Ф — это множество точек, лежащих внутри окружности с центром в точке 0(0; 0) и радиусом 2, но вне окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом 1 (рис. 16). Значит, площадь фигуры Ф равна 5 = 4д—д = 3д. А Ответ. 1) 2 ^д- arcsin 1^ —2) S = Зд. ^Пример 10. Найти площадь фигуры Ф, которая задается на координатной плоскости системой неравенств f л;2 + г/2 ^ 10, 3^2 + 4х — 32 ^ О, (Зх + 2у){3у + л: + 10) < 0. Л Первое неравенство системы определяет множество точек, лежащих вне и на границе круга с центром в точке 0(0; 0) и радиусом \/Ю (рис. 17). §2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными 281 Рис. 15 Рис. 16 Решив второе неравенство, полу- О чим —4<л<-. Поэтому второе неравенство системы задает вертикальную полосу, лежащую между прямыми О х = —4нх = - (включая и точки этих О прямых). Наконец, третьему неравенству системы удовлетворяют точки множества М, которое состоит из двух острых вертикальных углов, образованных прямыми 3x-|-2^ = 0 и Зу-Ьл:4-10 = 0 (включая и точки этих прямых), так как в точке (-4;0), принадлежащей множеству М, левая часть этого неравенства отрицательна. Множество М изображено на рис. 17, где указанные прямые обозначены /( и /г- о прямая /] пересекается с прямыми х = - и х = —4 в точках «5 А jB(—4;6), а прямая /3 пересекается с теми же прямыми в точках ^(|>“^) 2). Далее, прямая I2 касается окружности = 10 в точке £(—1;—3), так как система уравнений Гл:^^-г/^ = 10, \ Зу Н" X + 10 = о 282 Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными имеет единственное решение (-1;-3). И наконец, прямая 1\ проходит через центр этой окружности. Итак, фигура Ф — это трапеция ABCD, из которой удален полукруг радиуса л/Ю с центром в точке О. Искомая площадь 3=(АВ + Щ^.-Ьп, где ЛО = |, ВС =8, Л = Ответ. ^ —Stt. а* Задачи I. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению: 1) 4x^-V = 0; 2) 2х^ + 3/-1-4л:-12у-Г 14=0; 3) Зх^-ГЗу^-Г6х — 12у-f Ю = 0; 4) ху + х — у — \ 5) у + \у\=х\ 6) у = х\у\. 2- Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению: !) |x-l|-H// + 2| = l; 2) 3W-H(/|-H3x4-2|2-х1. 6. Найти все пары целых чисел х,у, удовлетворяющих системе неравенств Г 2х^ -f- 2у — 12х 20у Ч" 65 О, 1) I, 4х Ч- 2у • 7. Дана система неравенств 3>0. Г х^Ч-у^ ^41x1, < 1-«1 Ч- 1у1 ^ 2, I x^ - у^ Ч-16 Ч- 8х ^ 0. Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют: а) первому неравенству системы; §3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры 283 б) первым двум неравенствам системы; в) всем трем неравенствам системы. 8. Дана система неравенств Г |-«| + \У\ ^ 3, {.х2 + «/2>3(2{/-2х-3), I, (2x + г/ - 3)(x + 5«/ + 3) < 0. Р1айти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют; а) первому неравенству системы; б) первым двум неравенствам системы; в) всем трем неравенствам системы. Ответы 1. I) Совокупность прямых 2х + Зу = о и 2х - Зг/ = 0; 2) точка (—1;2); 3) окружность радиуса с центром (-1;2); 4) совокупность прямых х=1 и у = —{\ 5) лучи У = ^ о и X = О, у <0\ 6) ось Ох, лучи л: = 1, у > О и х = —1, у<0. 2. 1) Граница квадрата с вершинами (0;—2), (2;—2), (1; —1), (1;—3); 2) граница шестиугольника с вершинами (0;-10), (0;10). (—5;0), (5;0), 10^ 3. 1) Объединение двух кругов радиуса 1 (включая их границы) с центрами (1;0) и (—1;0); 2) множество точек, расположенных внутри круга радиуса 13 с центром (0;0) и вне круга радиуса 2 с центром (—1;2). 4,1) + 2) (if j-vi): + 5. 1) \ + f, 2) 2к. 6. (3;-4), (4;-5). 7. а) 8л; б) 6г, в) 4л + 4. 8. а) 18; б) 1(10-л); в) 1(6-л). §3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ 1. Уравнения с параметрами Пример 1. Найти все значения параметра а, при которых существует ровно одна пара действительных чисел {х\у), удовлетворяющая уравнению 2x^ — 4л: -I- -Ь 8j/ -МО — а — 0. Д Запищем уравнение в виде 2(х - 1)^ -f 2(у + 2)^ = а, откуда следует, что исходное уравнение имеет единственное решение (1; —2) при а = 0. А 284 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными Пример 2. Найти все значения параметра а, при которых вершина параболы у = — (2\/5cosa — 3)а: - cos 4а лежит на прямой у = Зх, а парабола пересекает ось Оу в точке с отрицательной ординатой. Л Вершиной параболы является точка (xo;t/o). где Хо = VEcosa— Уо = — ^5cos^ а- 3\/5cosa+ ~ ^ Так как точка (xo;f/o) принадлежит прямой у = Ъх, то ^ cos 4а + 5 cos^ а — ^ = О 4 4 или 50cos^2a+10cos2a —24 = О, откуда По условию откуда cos2a = —i cos2a=|. Э D j/(0) = —^ cos 4a < 0, cos 4a >0 или cos^2a>|. Этому неравенству удовлетворяют значения а такие, что cos2a=—g. Ответ. а= ±1 arccos + 7Ш, л е Z. А Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых найдется хотя бы одна пара действительных чисел (х;г/), удовлетворяющая уравнению х^ - Ъху -|- Ъау^ -Ь ^2а — у j у -|- 2х -f- 2 = 0. (1) Д Будем рассматривать уравнение (1) как квадратное относительно X. Найдем дискриминант этого уравнения: D{y\а) = (2 - byf - 4 {Ъау"^ -f 2ау - + 2^ = = 5(5 - Аа)у^ + 2(5 - Аа)у - 4. Хотя бы одна пара действительных чисел (х;у), удовлетворяющая уравнению (1), существует тогда и только тогда, когда имеет решение неравенство D{y\а) > 0, т. е. неравенство 5(5 — 4а)^^ 4-^(5 — 4а)^ — 4 ^ 0. (2) Возможны три случая: 1) а = |: 2) а<|; 3) а> |. §3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры 285 В первом случае неравенство (2) не является верным. Во втором случае это неравенство имеет решения, так как у параболы Z — ау^ + jSy + т, где а = 5(5 — 4а) > О, имеются точки, расположенные выше оси Оу (ветви параболы направлены вверх). Наконец, в третьем случае, т. е. при а > |, неравенство (2) имеет решения тогда и только тогда, когда дискриминант D\ квадратного трехчлена, стоящего в левой части этого неравенства, неотрицателен: Di (а) = 4(5 - Aaf + 80(5 - 4а) = 4(5 - 4а)(5 - 4а + 20) = = 64(a-|)(.-f)>0, откуда 64(„-|)(a-f)>0. (3) Действительно, если а < 0, то ветви параболы г = аг/^ +ру + у направлены вниз и хотя бы одна точка параболы лежит выше оси Оу (или на этой оси) тогда и только тогда, когда Di = — Аау ^ 0. При а > I решениями неравенства (3) являются значения а такие. что а > 5 4 4 ■ 25 Ответ. а<|, а^,. — 4 4 2. Системы уравнений с параметрами Пример 4. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений , + 2М + |2у-3.| = ,2. \х^ + у“^ = а имеет ровно два действительных решения. Л Множество решений первого уравнения данной системы, полученное при решении примера 3 (3) из § 2, — граница шестиугольника, изображенного на рис. 11. Множество решений второго уравнения системы —окружность радиуса у/а с центром 0(0; 0). Данная система имеет ровно два решения в следующих случаях: 1) радиус окружности равен расстоянию от точки О до границы многоугольника: это имеет место в случае, когда окружность касается отрезков А\В2 и Л2Д1, тогда у/а = -^, ^=2> 286 Глава XVIll. Уравнения и неравенства с двумя переменными 2) радиус окружности равен расстоянию от точки О до точек С\ и С2, тогда гл 9 117 Ответ. а = -\ 2 4 3^ + _ П7 V2j 4 • Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений + 3) -2log*. = О, \ (л: + а)^ — 2{у Ч- 6) — 9а = О имеет хотя бы одно решение. Д Данная система равносидьна системе JC > О, у = х-3, {х + af' — 2{х + 3) — 9а = О, откуда + 2(а — 1)л: + a^ - 9а — 6 = 0. (4) Уравнение (4) имеет действительные корни х\ и Х2 тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен: D = 4((а - 1)2 - (а2 - 9а - 6)) = 28(а + 1) ^ О, т. е. при а ^ — 1, причем х\ — \-а - \Jl{a + 1), Х2 = 1 - а + ф{а + I). Данная система и равносильная ей имеют хотя бы одно решение, если уравнение (4) имеет хотя бы один положительный корень, а это условие равносильно тому, что наибольший из корней этого уравнения Х2 > 0. Таким образом, задача свелась к решению неравенства _______ > а — 1, \/7(а + 1) для решения которого построим графики функций у = \/1{а -Ь 1) и у — а — \ (рис. 18). Из рисунка видно, что решения этого неравенства образуют промежуток [-1;оо), где ад —положительный корень уравнения §3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры 287 Отсюда получаем 7(а + 1) = (о — 1)^, —9а —6 = 0, uq = 9 + vT05 Ответ. -1<а< 9 + \/iM Пример 6. Найти все значения параметра /, при которых система уравнений Г (х - 1 - 4?)^ + (г/ - 1 - 30^ = 9/^, 1 (х-5)2+ («/-3)2 = 4 имеет единственное решение. Д Первое уравнение системы задает множество окружностей С/ с центрами 0/(1 + 4/; 1 + 3/) и радиусами /?/ = 3|<|. Если г/=1, то из уравнения следует, что х = 1 + 4^. Это означает, что каждая такая окружность имеет с прямой у= 1 единственную общую точку у4/(1+4^;1), т. е. касается прямой у=1 в точке Ai. Второе уравнение системы задает окружность С радиуса R = 2 с центром 0(5; 3), которая также касается прямой г/= 1 в точке Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружности С/ и С касаются. Заметим, что касание возможно лишь при ^ > О, так как при t < О окружности С/ и С лежат по разные стороны от прямой у = 1 и А{ф А. При t > О возможны два случая. В первом случае касание происходит по прямой у=\, т. е. Л/=Л, и тогда /=1. Во втором случае условие касания определяется уравнением |00/|2 = (7?, + Л)2, откуда (4 - Atf + (2 - 30^ = (3^ + 2)2, т. е. 2Г - 7/ + 2 = О, ^ = 7±\/33 Ответ. t=\, t = 7±v/33 Пример 7. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений + г/2 + 64 + 16х + ^/х^ + г/2 + 36 — \2у = 10, . х2 + у2 = имеет единственное решение. 288 Глава XVlll. Уравнения и неравенства с двумя переменными Л Запишем первое уравнение системы в виде у/(х + 8)2 + (у-6)2 = 10. Ему удовлетворяют координаты точки М{х;у) такой, что сумма расстояний от точки М до точек Mi(—8;0) и М2(0;6) равна 10. Так как расстояние М\М^ равно 10, то точка М должна принадлежать отрезку М1М2 (в противном случае сумма указанных расстояний была бы больше 10 согласно свойству сторон треугольника). Если точка М лежит вне отрезка MiM2 на прямой, проходящей через точки М] и М2, то сумма расстояний от точки М до точек Mj и М2 больше 10. Итак, первому уравнению системы удовлетворяют координаты точек отрезка М1М2. и только эти точки (рис. 19). Второму уравнению системы удовлетворяют координаты точек окружности радиуса |а| с центром 0(0; 0). Эта окружность имеет с отрезком М)М2 единственную общую точку в следующих случаях: 1) окружность касается отрезка М1М2; в этом случае |а| = ОА — высота в треугольнике М1ОМ2, р/| _ ОМ, ■ ОМ2 _ 6 • 8 _ 24. ^ М,М2 10 5 ’ 2) окружность пересекает отрезок М1М2 в одной точке; в этом случае ее радиус должен быть больше катета ОМ2, но не превышать катета ОМ, прямоугольного треугольника ОМ1М2, т. е. 6 < |а| ^ 8. Ответ. —8 < а < —6, а = —^, а = ^, 6 < а < 8. А О о ^Пример 8. Найти все значения параметра а, при которых существуют ровно две пары действительных чисел {х-,у), удовлетворяющих системе уравнений I (х -Ь / - 1)(г/ - \/б|х1) = О, [ 2ау + х= 1 -f а^. Л Пусть П —парабола у'^ — \—х, L — ломаная г/=\/б|х|, образованная лучами /] и I2, которые задаются соответственно уравнениями у = —\/бх, у~^0 и у = \/бх, г/> 0; / — прямая 2ау + х = 1 + а^ (рис. 20). §3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры 289 Общие точки прямой / и параболы П найдем, решая систему уравнений i У — 1 — X, 2ау — — \ - X. Из этой системы следует, что — 2ау + а^ = {у — а)^ = О, откуда у = а, л: = I — a^, т. е. выписанная система имеет единственное решение при любом G е М. Это означает, что прямая / касается параболы П в точке С(1 — а^;а). Рассмотрим три возможных случая: а = О, а > О, с < 0. а) Если а = 0, то прямая / задается уравнением х = 1. Эта прямая касается параболы Г1 в точке (1;0), пересекает луч /2, но не пересекает луч /]. Поэтому при а = 0 исходная система имеет ровно два решения. б) Если а > О, то прямая I пересекает ось Оу в точке Е „ I + С положительной ординатой ^ также пересекает лучи /] и /2- Найдем сначала значения а > О, при которых прямая I проходит через одну из точек А и В, являющихся точками пересечения лучей /) и /2 с параболой П (рис. 20). Координаты К) .wj: 290 Глава XVlIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными точек А и В найдем, решив систему уравнений Г ^2 = 1 _ х, \j/= \/б|х|. Из этой системы получаем уравнение 6J:^ = 1 —а:, имеющее корни JC| = —Х2 = Числа х\ и хг —абсциссы точек А и в. Значения а, при которых прямая / проходит через точки Л и б, принадлежащие параболе П, найдем из уравнений \-а^ = 2’ 1 Так как а > О, то а\ = \/1’ = При a = ai и а = й2 прямая / пересекает ломаную L ровно в двух точках (одна из них — общая для Z, и II) и поэтому при a = Qi и при а = 02 система имеет ровно два решения. Если У|<а<У| или а>^~ «> \/2> то прямая / не проходит через точки Л и б и пересекает L в двух различных точках. В этом случае исходная система уравнений имеет ровно три различных решения (одно из решений — координаты точки касания прямой / с параболой П). Пусть k,k\ и ^2 — угловые коэффициенты прямой I и лучей /] и I2 соответственно. Тогда k = -~ (ky^o), ki = -VE, k2 = Vb. Если О < a < то прямая I пересекает I2 и не будет пересекать 1\ только в том случае, когда k — k\, т. е. 1 -- = -х/б, откуда ц = ^. Следовательно, при а = исходная система имеет ровно два решения. §3 Уравнения и неравенства, содержащие параметры 291 Если а е то прямая I пересекает ломаную L ровно в двух точках, не лежащих на П. В этом случае система имеет ровно три различных решения. Пусть О < а < 2v^’ тогда ^>v/6, -±<-\/б, т.е. kk\ {k>Q,k\ <0). В этом случае прямая / пересекает луч I2 и не пересекает луч 1\, и поэтому система имеет ровно два решения. Наконец, если 2у/б то прямая I не пересекается с ломаной L. Итак, исходная система уравнений имеет ровно два решения в следующих случаях: 2\/б' 3. Неравенства и системы неравенств с параметрами Пример 9. Найти все значения параметра а, при которых существует хотя бы одна пара действительных чисел {х-,у), удовлетворяющая неравенству + 6х + у^ — 4у ^ а. Л Исходное неравенство, равносильное неравенству (л: -Ь 3)^ + (*/ ~ 2)^ ^ а -р 13, имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда а-Р 13^0, т. е. при а > —13. А Пример 10. Пусть G — треугольник, образуемый при пересечении прямых /], 1-2, /3, заданных соответственно уравнениями £/ — 3x-p9 = 0, х-Р|/ — 3 = 0, у — X — 3 = О, 292 Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными а фигура Ф состоит из точек множества G таких, что неравенство f + 2i{x — 2)4-7 — г/>0 выполняется при всех значениях параметра t. Найти площадь фигуры Ф. Д В примере 5, § 1 было установлено, что прямые /] и I2 пересекаются в точке С(3;0), прямые I2 и /3 — в точке Л(0;3), прямые /| и /3 — в точке В(6;9), а площадь треугольника АВС равна 18. Неравенство ^ 4" 2^(х — 2)-t"7 — 1/>0 является верным при всех t е М. тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части отрицателен: т. е. (х-2)2-(?-(/)< О, ^<7-(х-2)2. (5) Условию (5) удовлетворяют все точки, лежащие под параболой у = 7-(х —2)2 с вершиной £(2;7), а фигура Ф —множество точек, указанных серым цветом на рис. 21, где /^(4; 3)— точка пересечения параболы с прямой 1\, Л’(3;6) — точка пересечения параболы с прямой /3. Если сг—площадь фигуры Ф, то а = о\ + 02 + где а\ — площадь треугольника ACF, 02 — площадь треугольника АКМ, где Л4(3;3) — точка пересечения AF и КС, <73 — площадь криволинейного треугольника KMF. §3. уравнения и неравенства, содержащие параметры 293 Так как <73 <7| = |4-3 = 6, (72 = |, |4 13 ^^^{-хи-4х)с1х={2х‘^-Щ=1 то a=f. Ответ. 73 6 ■ Пример 11. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств Г л:^ + х + (г/ - а)^ ^ 11, I X + а + < О содержит отрезок / с концами в точках Л(1;0) и В(1;1). Д Пусть точка М[х\у) принадлежит отрезку /, тогда х = 1, < 1. Поэтому задача сводится к нахождению значений а, при которых система неравенств Г {у - af < 9, у + G + 1 ^ О, (6) полученная из данной системы при х = 1, имеет решения при любом УЕ[0;1]. Система (6) равносильна системе Г(/-3<а^г/ + 3, \ а < -г/^ - 1. Если (/=1, то система (7) примет вид -2^ а ^4, а < -2, (7) (8) откуда следует, что а = —2. Если у е [0; 1], то из системы (7) получаем { — 3 ^ а < 4, а < -1, откуда следует, что —3 ^ а ^ — 1. Так как -2е[-3;-1], то при а = -2 (и только при этом значении а) система (7) и равносильная ей система (6) имеют решение при всех уе[0-, 1]. Ответ, а = —2. А 294 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными Пример 12. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств — (а — 2)х — 2 — у ^0, 2х + у — а ^0 содержит отрезок [—1; 0] оси Ох. Л Подставив в данную систему у = 0, получим Г - (а - 2)х — 2^0, (9) l2x-a^0. (10) Множество решений неравенства (10) —луч х < а отрезок Д = [—1;0] принадлежит этому лучу тогда и только тогда, когда 1^0, т. е. при а'^0. Множество решений неравенства (9) —отрезок Ai = [xi;x2], где х\ и Х2~абсциссы точек пересечения параболы /(х) = х^ — {а — 2)х — 2 с осью Ох. Если А с А], то /(-1)<0, /(0)<0, (11) так как /(х) < О для всех х € А]. Обратно, если выполняются условия (11), то —1 € А| и 0 е А|, откуда следует, что А с А]. Таким образом, условиям задачи удовлетворяют те и только те значения а ^ 0, для которых выполняются неравенства (11), т. е. Я-1) = 1 + (й-2)-2^0, /(0) = -2^0, откуда находим 0 ^ а ^ 3. Ответ. 0<а<3. А Задачи 1. Найти все значения параметра а, при которых найдется хотя бы одна пара действительных чисел (x;t/), удовлетворяющая уравнению 5x^ + аху + + 8ах + 8(/ + 20 = 0. 2. Найти все значения параметра а, при которых нет ни одной пары действительных чисел (х; О выполняется при всех значениях параметра /. Найти площадь фигуры Ф. 17. Найти все значения параметра а, при которых система неравенств ix^-2xy-7y^^\^, \ Зх^ — \0ху — 5у^ ^ —2 имеет решение. 18. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств ( х^ + {а + 4)х + 4а^у, и Зх + у — (2а + 4) ^ О содержит отрезок АВ, где Л(—2;0), В(—1;0). 19. Найти все значения параметра а, при которых система неравенств I х^ + 2о ^ [ + 2а ^ X имеет единственное решение. 20. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств — а)‘‘ + X + у‘‘ ^ 3, \ X - о + У ^0 содержит отрезок с концами в точках (1;0) и (1; I). §3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры 297 Ответы I. а ^ —2. а ^ 2. 2. а < 0. 3. а = — arctg2 + лп, п ё Z. 4. а = = ±|arccos^—|^+лгг, «eZ. 5. а = —-1<а^5. 6. —2<а<|. 7. а = 2. 2500 121 • a = 8. -5<а<2-5|1, 9. а =-л/2. -К о < 1. 10. -8 ^ а <-6, 24 „ 24 ,, , , . -29±6\/б а = 0=-^, 6<о^8. П. / = —1, / =--gg ■ 12. а = -4, а = -2, —1 ^ а < 1. 13. 1) Если —2 - 2л/2 < а < О или а > 2\/2 — 2, то решений нет; 2) если а^—2 —2\/2 или 0<а^2\/2 —2, то система имеет два решения (-<о;«/о) и {-хо;Уо)> гдехо = у^-^;-^^‘*, yo = {^-a^)yJ 3) если а = 0. то система имеет бесконечное множество решений ^д:о; — ^/1 — , где — 1 ^ 1- 14. а < -13. |с ' с' л <г 34 >5. 2 ^ ^ 5 • 16. 6 и 17. а >1. 18. 19. a = i 20. а = 2. О Глава XIX ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ § 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ Пусть а — целое число (а € Z), т — натуральное число (т е N). Говорят, что а делится на т, если существует целое число p{peZ) такое, что а -- тр. Число т называется делителем числа а, р — частным от деления а на т. Два натуральных числа тип называют взаимно простыми и пишут (т, п) = 1, если единственным общим натуральным делителем этих чисел является число единица. Например, числа 12 и 35 взаимно просты, так как натуральными делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, а натуральными делителями числа 35 являются числа 1, 5, 7. Наибольшее натуральное число, являющееся натуральными делителем каждого из натуральных чисел тип, называют наибольшим обидим делителем этих чисел и обозначают НОД(т, п) или просто (т, п). Например, если т — 36 и « = 84, то НОД(36, 84) = 12. Перечислим свойства делимости суммы (разности) и произведения чисел, считая, что а € Z, 6 6 Z, m € N, « € N. 1. Если а делится на ш и & делится на т, то числа а + Ь и а — Ь также делятся на т. 2. Если а и Ь делятся на т, то при любых целых числах k и I число ak -h Ы также делится на т. 3. Если а делится на т, а 6 не делится на т, то числа а-\-Ь к а — Ь также не делятся на т. 4. Если а делится на т, а т делится на ^ G N, то число а также делится на к. 5. Если а делится на т, а Ь не делится на т, то число аЬ делится на т. 6. Если а делится на каждое из чисел тип, причем (т, п) = 1, то а делится на произведение тп. 7. Если а делится на т, то ак делится на тк при любом е N. §1. Делимость чисел 299 8. Если аЬ делится на m и 6 взаимно просто с т, то а делится на т. Ограничимся доказательством свойства 1. О Если целые числа а w Ь делятся на т, то существуют числа р Е Z и q еЪ такие, что а = тр, Ь = qm. Отсюда следует, что а-\-Ь — рт qm — [р + q)m, а — Ь = рт — qm = {р — q)m. Так как числа p + q и p — q —целые, то числа а + Ь и а — Ь делятся на т. • Пример 1. Известно, что натуральные числа Зп + 2 и 8п + 3 делятся на натуральное число р^1. Найти р. Д Так как числа 3« + 2 и 8л + 3 делятся р, то и число 8 • (Зл + 2) - 3 • (8л+ 3) = 7 должно делиться на р. Но единственное натуральное число р ф на которое делится 7, равно 7. Значит р = 7. А Целое число, делящееся на 2, называют четным, а целое число, не делящееся на 2, называют нечетным. Четное число а можно представить в виде a = 2k, а нечетное число а —в виде а = 2/г+1, где k — некоторое целое число. Пример 2. Доказать, что квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа имеет вид 4р+1, где рЕЪ. А а) Пусть а — четное число, тогда а = 2k, откуда находим a^ = 2Л•2^г = 4й^, где — натуральное число. Следовательно, делится на 4. б) Пусть а —нечетное число, тогда а = 2^ + 1, откуда следует, что 0^ = {2k + 1) • {2k + 1) = 4й^ + 4/г + 1 = 4(fe^ + k) + \, где k"^ + k = p — целое число, т. е. = 4р + 1. А Простые и составные числа. Натуральное число р называется простым, если р> 1 и р не имеет натуральных делителей, отличных от I и р. Из определений легко следует, что если р и pi — простые числа и р делит pi, то р = р\. Кроме того, для любого натурального числа его наименьший отличный от единицы положительный делитель является простым числом. Натуральное число п > 1 называется составным, если п имеет по крайней мере один натуральный делитель, отличный от 1 и п. Число 1 не считается ни простым, ни составным. Пример 3. Доказать, что число а =^4 • 16*^ — 2'*^’ делится на 33. Д Так как 4 ■ 1б'2 = 2^ • 2'*8 = 2^°, то а = 2'^° - 2^° = 2'‘°(2'° - 1) = 2^®(2^ - 1)(2^ + 1) = 2^° • 31 • 33, откуда следует, что а делится на 33. А 300 Глава XIX. Делимость целых чисел Пример 4. Доказать, что число а является составным при любом натуральном п : 1) а = 8^2 + Юп + 3; 2) а = 4 • IG'* + 3 • 9". Л 1) Число а является составным при любом натуральном п, поскольку 8п2 + Юп + 3 = (2п + 1)(4л + 3), где числа 2п + 1 и 4« + 3 — натуральные, большие единицы. 2) Так как (см. пример 14 в §5 гл.П) а = 4 • 42" + 3 ■ 32" = 42"+' + з2"+‘ = 2п+1 = (4 + 3)- (42"+'-*.3*-' /t=i то число а является составным, так как оно делится на 7. А Теорема 1 {Евклида). Множество простых чисел бесконечно. О Предположим, что множество простых чисел конечно и состоит из чисел р\, р2,..., Рп- Рассмотрим число а = р\-р2-... -Рп + 1- Тогда либо натуральное число а, большее единицы, само является простым, либо оно разложимо в произведение положительных простых чисел и поэтому обладает хотя бы одним простым делителем р. По предположению а не может быть простым, так как оно не совпадает ни с одним из чисел р|, Р2,--., Рп- Если же а разложимо, то его делитель р должен быть отличен от чисел р\, рг,---, рп, так как в противном случае р делит р\ ■ Р2 -... ■ рп и а, а значит, делит и разность а — р\ ■ р2 -... -рп = 1, а это невозможно. Следовательно, множество простых чисел бесконечно. • Простые числа, хотя их и бесконечно много, составляют небольшую часть всех натуральных чисел, что выражается следующей теоремой. Теорема 2. Для любого целого числа k'^\ в натуральном ряду можно найти k составных чисел, непосредственно следуюи^их друг за другом. О Возьмем число а = (^ -f 1)! и рассмотрим k следующих друг за другом чисел а\ — а + 2, а2 = а + 3, .... а,- = а -Ь (г 4- 1), ..., ah = a + {k + l). Каждое число в этом списке является составным, так как О) делится на 2, Q2 ~ на 3, аз — на 4, ..., а/; — на ft -1- 1. • Теорема 3. Если произведение нескольких натуральных чисел делится на простое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей. Представление натурального числа п в виде произведения двух натуральных чисел аЬ называется разложением на множители. §1. Делимость чисел 301 Представление числа в виде произведения простых чисел называется разложением на простые множители. Считается, что если п — простое число, то оно имеет разложение на простые множители, состоящее из одного числа п. Два разложения на множители называются одинаковыми, если они отличаются только порядком множителей. Например, разложения 70 = 2- 5- 7 и 70 = 7- 5- 2 считаются одинаковыми. Теорема 4 {основная теорема арифметики). Для каждого натурального числа п > I существует единственное разложение на простые множители. Это значит, что для любого натурального числа два разложения на простые множители могут отличаться только порядком этих множителей. Каноническим разложением натурального числа п > 1 называется представление п в виде где р],р2,.. .,ps — попарно различные простые числа, а k\,k2,- ■ .,ks — натуральные числа. Для отрицательных целых чисел п < —\ каноническим разложением считается представление в виде Теорема 5. Пусть п — натуральное число и п—р\' ■р'2 ' ■.Ps’ “ его каноническое разложение на простые множители. Тогда каждый натуральный делитель d числа п может быть записан в виде d^^pf' -pg^ •... -pf% где m, — целые числа, удовлетворяющие условиям О ^ От) < ^1, ... ,0 ^ms ^ ks. О Пусть d — какой-либо делитель натурального числа п. Так как каждый простой делитель числа d является делителем числа п, то в разложении d на простые множители могут встречаться только числа из множества {рь Р2> - • •, Ps}- Поэтому число d представимо в виде d = p'^' ■ Р2 ^ •... • p?^ • Наибольшим общим делителем (НОД) чисел а\, а2, ... , называется наибольшее натуральное число, на которое делятся данные числа. Наименьшим общим кратным (НОК) — наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из этих чисел. Наибольший общий делитель чисел а\, а^, , а„ обозначают (оь а^,... , ап), а наименьшее общее кратное — [а[, U2,..., а„]. В частности, (а, Ь) — НОД чисел а и Ь, а [а, Ь\ — НОК этих чисел. Числа а\, аг> называются взаимно простыми, если (ci, 02, ... , Ал) = 1, и попарно взаимно простыми, если любые два из них взаимно просты, т. е. (а/, оу) = 1 при i -ф /. Попарно 302 Глава XIX. Делимость целых чисел взаимно простые числа являются взаимно простыми (простыми в совокупности). Обратное неверно, как показывает следующий пример: лг = 3, С) = 2 • 3, «2 = 2 • 5, а.3 = 5 • 3. Теорема 6. Пусть даны два натуральных числа а и Ь, а р\,р2, ■■■ ,Ps — простые числа, входяш,ие в канонические разложения а и Ь. Представим числа а и Ь в виде а = р*‘ •... -р*' и Ь = р^' • р^^ •... • pf% где mi ^ О, k/ ^ О — целые числа. Тогда (а Ь) .рП11п(т2,*2) . [д _pmax(mi,ft|) ^max(m2,ft2) . ^max(m»,fc) Например, пусть a = 2^•3^•7, 6 = 2'*-3-5^ • И. Запишем их в виде й = 2-*-32-50-7* • 11*^, 6 = 2'*-3* -52 -7®- 11*. Тогда (а, 6) = 2^ • 3* = 24, [а, 6] = 2'* • 3^ • 5^ • 7* И* = 277 200. Пример 5. Найти (5160,16 920) и [5160,16 920]. Д Напишем канонические разложения чисел 5160 и 16 920: 129 5160 = 2 • 5 • 2 ■ 2 • 3*^ = 2^ • 3 • 5 • 43, 10 516 423 16 920 = 2-5-2-2-^^^^=2^-3*^-5-47. 10 1692 Тогда (5160, 16 920) = 2^ . 3* ■ 5* • 43° • 47° = 120, [5160, 16 920] = 2^ . 3^ • 5* • 43* • 47* = 727 560. ▲ Существует еще один способ нахождения НОД двух чисел, называемый алгоритмом Евклида. Он использует деление чисел с остатком. Деление с остатком. Не всякое целое число а делится (нацело) на данное натуральное число т. Деление числа а на число Ь с остатком есть отыскание наибольшего натурального числа q. Которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимого: а = 6р -f г, О < г < 6. Искомое число q называется неполным частным. Разность г между делимым и произведением делителя на неполное частное называется §1. Делимость чисел 303 остатком. Если остаток равен нулю, то говорят, что а делится на Ь (без остатка) (или что число Ь —делитель числа а). Теорема 7 (о делении с остатком). Для любого целого а и целого Ь > Q существуют и притом единственные целые q и г такие, что а = bq i- г и 0 < Ь. О Рассмотрим рациональное (не обязательно целое) число ос=~. Если а —целое, то возьмем q — a. Если же а не целое, то найдутся два соседних целых числа, в промежуток между которыми попадает а. Меньшее из них обозначим q. Тогда q0 по условию), получим bq <а + 1, л -f 3 = О, т. е. п е {—3, —1, О, 1, 2}. 304 Глава XIX. Делимость целых чисел Убеждаемся, что при всех этих значениях дробь — целое число. Следовательно, при п € {—3, число. +1 •1, О, 1, 2} дробь а —целое Алгоритм Евклида. Для нахождения НОД двух чисел делят большее число на меньшее, и если получается ненулевой остаток, то делят меньшее число на остаток; если снова получается ненулевой остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть НОД данных чисел: Ь = аи\+г\ (О < Л] < а), а = П«2 + /'2 (0^Г2<п), ^П-1 — n^^n + l Т ^П+\ (о ^ ^П+\ ^n)i — ^л41^^л+2- (1) Число Гл+1 является НОД чисел а и Ь. Замечание. Для доказательства того, что r„+i является ИОД чисел а и Ь, нужно, поднимаясь по равенствам (1) снизу вверх, убедиться, что Гп+\ является делителем чисел а и й, а затем, взяв любой общий делитель d чисел а и Ь, опускаясь вниз по равенствам (1), убедиться, что d является делителем Тп+1- Пример 7, Используя алгоритм Евклида, найти (5160,16 920). Д Используя алгоритм Евклида, получаем: 16920 = 3-5160 + 1440, 5 160 = 3 -1440 + 840, 1 440 = 1 • 840 + 600. 840 = 1 •600 + 240, 600 = 2 • 240 + 120, 240 = 2 • 120. Следовательно, (5160, 16920) = 120 (см. пример 5). А Использование алгоритма Евклида бывает удобнее метода разложения на простые множители в тех случаях, когда трудно получить канонические разложения чисел. Пример 8. Известно, что дробь | несократима (а, Ь 6 N). Доказать, что дробь также несократима. § 1. Делимость чисел 305 А Так как дробь | несократима, то (а, 6) = 1. Найдем наибольший делитель d чисел 5а + и 2а + Ь. Используя алгоритм Евклида, получаем; 5а + ЪЬ — 2 • (2а -[■ Ь') а Ь, Чо, Ь — I • (а + fc) + а, a + b= l- a + b. Отсюда получаем, что d= (5а + 3^>, 2a + b) = {2a + b,a + b) = {a + b,a). Далее по алгоритму Евклида задача сводится к нахождению наибольшего делителя чисел а и но по условию (а, Ь) = 1. Отсюда следует, что d={a, Ь) = 1. В таком случае дробь несократима. А Пример 9. Найти наибольший общий делитель d чисел 27 и 96 и представить его в виде d = 27x + 96y, где х и —целые. Л Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший делитель d чисел 27 и 96: 96 = 3-27 + 15, 27 = 1 ■ 15+12, 15 = 1 • 12 + 3, 12 = 4-3. (2) Отсюда получаем, что d = (27, 96) = 3. Начиная с первого равенства алгоритма Евклида, спускаясь до предпоследнего, получаем: 15 = 96 - 3 • 27, 12 = 27 - 1 -15 = 27 - 1 - (96 - 3 - 27) = 4 - 27 - 1 - 96, 3 = 15 - 1 -12 = (96 - 3 - 27) - 1 - (4 - 27 - 1 - 96) = -7 - 27 + 2 - 96. Это и есть искомое представление 3 = —7 • 27 + 2 - 96, т. е. х = —7, У = 2. А Замечание. Отметим, что найденное представление не является единственным (см. ниже теорему 1 в § 3 настоящей главы). Задачи 1. Доказать, что число а является составным: 1) о = 6'’ + 3'‘ + 2"+‘+2 при любом натуральном п; 2) а = 25я^ + 9п^ + 1 при любом натуральном п; 3) а = л"* + 4 при любом натуральном л > 1. 2. Доказать, что число 555^^^ + 777^^^ делится на 37. 306 Глава XIX. Делимость целых чисел 3. Доказать, что 1) я® — п делится на 3; 2) + 5я делится на 3; 3) — п делится на 5; 4) «'* 4-6п^ + 11п^ + 6я делится на 4. 4. Доказать, что: 1) не существует простого числа, которое можно представить в виде суммы нескольких последовательных положительных нечетных чисел; 2) если к произведению четырех последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится число, равное квадрату некоторого натурального числа. 5. Доказать, что 1) число 16^°+ 2^*’ делится на 17; 2) число 16^ + 31'' —2 делится на 15; 3) число Ю’® + 28^ — 2 делится на 9; 4) число 36^ + 19^ — 16 делится на 17. 6. Найти наибольший общий делитель чисел: 1) 6787 и 7194; 2) 2691 и 40572; 3) Ю™ - I и 10" - 1. 7. Найти наименьшее общее кратное чисел: 1) 420, 312 и 333333; 2) 1403, 1058 и 3266. 8. Найти наибольший общий делитель d чисел о и 6 и представить его в виде rf = ах + by, где х и у — целые: 1) 21 и 17; 2) 321 и 843; 3) 23520 и 75222. 9. Найти натуральные числа а и Ь, если (с, Ь) = 6, [а, Ь] = 90. 10. Известно, что дробь 7 несократима (о, Ь € N). о 1 \ II , + а6 + 6^ 1) Доказать, что дробь --------—— также несократима. а + Ь 2) На какие числа может сокращаться дробь: а) И. Доказать, что несократима дробь: 2q2 За + 26 а + 46 ’ б) а + 6 - об + 6^ 1) 2а+ 1 при всех а е Z; 2) + а — I а^ + 2а при всех а G N. 12. Найти все целые п, при которых дробь а = ” ^ ^ будет целым числом. +1 Ответы 6. 1) 11; 2) 207; 3) 10'' - 1, где d = (т,я). 7. 1) 2^ ■ 3^ • 5 • 7 • 11 • 13 ■ 37; 2) 2 • 23^ • 61 • 71. 8. 1) d = 1 = 5 • 17 - 4 • 21; 2) d = 3 = 8 • 843 - 21 • 321; 3) d = 42 = 111-75222-355-23520. 9. 30 и 18 или 6 и 90. 10. 2) а) Дробь может быть сокращена на 2 или 5, или 10, если на эти числа делится а + 46. Указание. (За + 26, а + 46) = (—106, а+ 46), а (6, а+ 46) = 1. б) Сокращение возможно лишь на 3, если а + 6 делится на 3. 12. —2; 0; 2. §2. Сравнения 307 §2. СРАВНЕНИЯ Пусть m — произвольное натуральное число, т>1. Каждое целое число при делении на т дает некоторый остаток, причем разных остатков ровно т. Это могут быть числа О, 1, 2, ... , от - 1. Если числа а и Ь при делении на натуральное число от дают равные остатки, то говорят, что эти числа сравнимы по модулю от, и пишут , , , . а = о (mod от). Иначе говоря, запись a = ft(modOT) означает, что разность чисел а — Ь делится на от. Например, 7 = 27 (mod 5), 40 = 14 (mod 13), 10 = —4 (mod 7). Сравнения были введены в XIX в. немецким математиком К. Гауссом. Они обладают многими из тех свойств, которые справедливы для равенств. Перечислим основные свойства сравнений. 1) Если а = Ь {mod т) и b = c{modm), то а = с(тобот). 2) Если а = 6(тобот) и с = d (mod т), то a + c = b + d (modm), а - с = b - d (modm), ас = bd (mod т), с* = 6^ (mod от), где /г е N, т.е. сравнения можно складывать, вычитать и перемножать, как и верные равенства. В частности, можно обе части сравнения умножать на одно и тоже число. 3) Если a + b = c{modm), то а = с —Ь (modm). 4) Если ak = bk{modm), а числа кит взаимно просты, то a = b{modm), т.е. обе части сравнения можно сокращать на общий множитель, если этот множитель и модуль от — взаимно простые числа. 5) Если a = b{modm) и —делитель числа от, то c = 6(modd). Ограничимся доказательством свойств 4 и 5. О 1) По условию число ak — bk = k{a — b) делится на от. Так как к не делится на т (к и от —взаимно простые числа и от^^ 1), то число а — Ь делится на от, т.е. а = 6 (mod от). 2) Так как а = 6 (modот), то число а — Ь должно делиться на от, а значит, и на любой делитель d числа от, т.е. a = 6(modd). • Пример 1. Найти остаток от деления числа а на от, если: 1) а = 2б36, т = 7] 2) а = 2007^^^^, от = 13; 3) а = 24^5.36" • 49*5, от = 11. Д 1) Так как 26 = 5 (mod?), то по свойству сравнений 26^® = = 5^® (mod?). Учитывая то, что 5^® = (5^)^^ = 25*®, а 25 = 308 Глава XIX. Делимость целых чисел = 4 (mod 7), получаем 5^® = 4’® (mod 7). Заметим теперь, что 4I8 _ (43^6 _ 046^ а 64 = 1 (mod 7), значит, 4*® = 1® (mod 7). Так как 1® = 1, получаем, что остаток равен 1. Проведенные рассуждения можно представить в виде цепочки сравнений 2036 ^ 5З6 ^ 25'® = 4'® = 64® = 1® = 1 (mod 7). 2) Запишем цепочку сравнений; 20072ОО9 = 5^®®® = 5 ■ 5^®®® = 5 • (25)'®®"' = = 5 • (-1)'®®'' = 5 • 1®®2 = 5 (mod 13). Следовательно, остаток от деления числа 2007^®®® на 13 равен 5. 3) Числа 24, 36 и 49 не делятся на 11, поэтому 2425 = 225 = (2®)® = (-1)5 (mod 11), 36" = 3" = 32 ■ (3®)® = 9-5® = 9- 4 = 3 (mod 11), 49'® = 5‘® = (5®)® = 4® = 4 • (16)2 = 4.25 = 4 • 3 = 1 (mod 11). Следовательно, по свойствам сравнений 242® . 30II . 4^15 ^ = (—1) • 3 • 1 = —3 = 8 (mod 11), т. е. остаток от деления числа а на 11 равен 8. А Пример 2. Доказать, что число а делится на т, если 1) а = 96'®+ 32'®-8-73'®, m = 10; 2) а = (17'® + 15'7)'®'2, т = 32. 1) Пользуясь тем, что 96 = б (mod 10), и учитывая то, что при возведении числа 6 в любую степень G N получается число, оканчивающееся цифрой 6, имеем по свойству сравнений 96'® = б'® = 6 (mod 10). Так как 32'® = 2'® = 2• (2®)2 = 2-42 = 2- 6 = 2 (mod 10), 73'® = 3‘® = (32)« = (-!)« = 1 (mod 10), то а = 6 + 2 — 8 = О (mod 10), т. е. число а делится на 10. 2) Найдем сначала остаток от деления на 32 числа 17'® + 15'^. Так как 17'® = 17-17‘^ = 17-(172)^ = 17-(289)^ = 17-(l)' = 17(mod 32); 15'^ = 15-15'® = 15-(152)® = 15- (225)® = 15- (1)® = 15 (mod 32). Следовательно, 17'® + 15'^ = 17 + 15 = 32 = О (mod 32), т. е. число 17'® -г 15'2 делится на 32, а значит, и число а делится на 32. А § 2. Сравнения 309 Пример 3. Доказать, что если целое число а не делится на 5, то число а'^ — 1 делится на 5. А Пусть г —остаток от деления а на 5, тогда a = 5k + r, где k£Z, /• — одно из чисел 1, 2, 3, 4, так как а не делится на 5, По свойству сравнений, если a = r(mod5), то a^=H(mod5). Учитывая, что Н = 2'* = = 4^ = 1 (mod 5), т. е. И = 1 (mod 5) при г = 1, 2, 3, 4, получаем а* = 1 (mod 5). Это означает, что число o'* — 1 делится на 5. А Данный пример является частным случаем малой теоремы Ферма, которая формулируется следующим образом. Теорема (малая теорема Ферма). Если р — простое число и число а не делится на р, то — 1 делится на р (или а>^~^ = 1 (modp)). О Поскольку а взаимно просто с р, то остатки от деления на р чисел а,2а,3с,. ..,(р—1)а —это с точностью до перестановки числа i,2,...,p- 1, т. е. а • 2а • За •... ■ (р — 1)а = 1 ■ 2 • 3 •... ■ (р — 1) (mod р). Отсюда аР-\р-\)\ = (р- I)! (modp). Сократив обе части сравнения на (р —1)!, получим аР~^ = 1 (mod р). Теорема доказана. • Замечание. Теорему Ферма часто записывают в форме, равносильной приведенной выше, а'’= а (modp). В этой записи предположение о том, что а не делится на р, становится излишним. Докажем признак делимости на И. Пусть натуральное число а имеет вид а = а^а^Г[777о^ао = 10"о„ + 10"~'а„_1 + ... + 10^а2 + lOaj +ао- (1) Пример 4. Доказать, что натуральное число а, записанное в виде (1), делится на 11 тогда и только тогда, когда делится на 11 сумма ао — ai + аг — ... + (—1)"а„. Д Так как 10 =—1 (mod 11), то 10^ = 10'* = ... = 10^* = 1 (mod 11) при любом б N, 10 — 10^ = ... = 10^*'*'* = —1 (mod 11) при любом /г G N. По свойству сравнений получаем 10"ап + ... + 10^U2 + lOai + oq = ао - ai 4-аг - ... + (-l)”a„(mod 11), т. е. число а делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма его цифр, взятая с чередующимися знаками. А 310 Глава XIX. Делимость целых чисел Пример 5. Найти остаток от деления числа а = (987654321)'' на 11. Д Пусть fc —основание данной степени, тогда а = &'*. Сумма 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 64-7-8 + 9, составленная из цифр числа Ь (с чередующимися знаками), равна 5. Поэтому fc = 5(modll), откуда следует, что й = 6^ = 5"'= (5^)^ = 9 (mod 11). Следовательно, искомый остаток равен 9. А Аналогично признаку делимости на И можно доказать следующий общий признак, делимости чисел: для того чтобы число N делилось на d, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений цифр этого числа на остатки, получаемые от деления на d соответствующих степеней числа 10, делилась на d. Действительно, пусть а — 10"й„ + ... + Ю'^а2 + Юй) + йо и 10” = dqn +Гп, ..., 10^^ = dq2 + гг. ^0 = + П- Тогда N делится на d в том и только том случае, если на d делится сумма М = йпГп + й„_|Г„_1 +... + а\Г\ + йо- Решение сравнений. Рассмотрим сравнения вида ах = Ь (mod т), (2) где числа а, Ь, т известны, а л: — неизвестное целое число. Возможны два случая. 1) Пусть (й, т) = 1, тогда найдутся такие числа х\ и у\ (см. пример 9 из § 1), что \ = ах\-\-ту\, откуда axi = -my\-\-\. Ясно, что числа х\ н т взаимно просты, так как иначе их общий делитель являлся бы и делителем числа 1. Тогда ах = Ь{тоАт) ах\Х = Ьх\{тойт). Но ах\ = 1 (modm), поэтому множество решений сравнения (2) запишется в виде X - foA;i(modm). 2) Пусть (й, т) = d > \. Тогда, чтобы существовало решение сравнения (2), необходимо, чтобы Ь делилось на d (см. свойство 5 для сравнений), иначе сравнение (2) невозможно ни при каком целом х. Положим в этом случае й = ^й1, b = db\, т = dm\. Тогда после сокращения на d исходное сравнение будет равносильно сравнению aix ='6i(mod mi), в котором уже (й], т\) = 1, и потому оно будет иметь решение по модулю mi- § 2. Сравнения 311 Пусть X] — наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю т\. Тогда все числа х, образующие это решение, найдутся в форме X = x\{modmi). (3) По модулю же т числа (3) образуют не одно решение, а столько решений, сколько чисел (3) найдется в множестве {О, 1, 2, ... , m — 1}. Сюда попадет всего d чисел Х[, х\+т\, XI +2mi, ... , xi + {d- l)m\, т. е. сравнение (2) будет иметь d решений; x = х\, х = х\-{-т\, х = х\ + 2т\, ... , x = x\ + {d- \ )т\ (modm). Пример 6. Решить сравнение: 1) 3x = 6(mod7); 2) 3A- = 6(mod9). Д 1) Так как (3, 7) = 1, то найдем такие целые числа Х\ и у\. что 1 = 3^1 -f 7г/|. В данном случае х\ = —2, у\ = 1. Отсюда 3-(-2) = 1-7-1. Умножая обе части решаемого сравнения на —2, получим 3 • (—2)х = 6 • (—2) (mod7) а: = 2 (mod 7). 2) Так как (3,9) = 3, то после сокращения на 3 исходное сравнение будет равносильно сравнению х = 2 (mod 3). Пусть х\ = 2 наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю 3. Тогда получаем три числа xi = 2, АГ) 4- 3 = 5, a:i Ч- 2 • 3 = 8, которые дают три решения исходного сравнения: л: = 2, а: = 5, jc = 8 (mod9). ▲ Существует еще один способ, который можно применять для рассмотренных и более сложных сравнений. Пример 7. Решить сравнение: 1) За: = 5 (mod 8); 2) — 2а;-f-4 = О (mod 7); 3) х^ + х^ + х = 4 (mod 5). Д 1) Построим таблицу остатков, которые дают целые числа при делении на 8 (в таблице k € Z). Число X вида 8к 8^+1 8k+ 2 8ft+ 3 8ft+ 4 8ft+ 5 8k + 6 8ft+ 7 Остатки от деления на 8 X 0 1 2 3 4 5 6 7 Зх 0 3 6 1 4 7 2 5 312 Глава XIX. Делимость целых чисел Следовательно, решением данного сравнения будут числа вида л: = 7 по модулю 8. 2) Исходное сравнение сводится к сравнению (х—1)^ = 4(mod7). Положим у = х — \ и решим сравнение = 4 (mod 7). Из таблицы остатков, которые дают целые числа при делении на 7 (в таблице k G Z), имеем: Число у вида 7к 7k+ 1 1 7k+ 2 7k+ 3 7k+ 4 7k+ 5 7k+ & Остатки от деления на 7 0 I 4 2 2 4 I Решением сравнения y^ = 4(mod7) будут числа вида у = 2 и у = Ъ по модулю 7. Следовательно, решением исходного сравнения будут числа вида л: = 3 и л: = 6 по модулю 7. 3) Построим таблицу остатков, которые дают целые числа при делении на 5 (в таблице feeZ). Число X вида 5k 5*+1 5k+ 2 5k+ 3 5 Д = a2aiaQ. Число а делится на 7 (или на И, или на 13) тогда и только тогда, когда Л =B(mod7) (соответственно mod II или mod 13). 4. Доказать, что а не может быть четвертой степенью натурального числа, если а — 5 делится на 9 §3. Решение уравнений в целых числах 313 5. Доказать, что числа следующего вида не могут быть квадратами целых чисел: 1) 12я + 5, где п е Z; 2) 7п + 3, где п е Z. 6. Найти наименьшее натуральное число, большее I и дающее при делении на 2, 3, 4. 5, 6 остаток, равный 1. 7. Доказать, что 1) квадрат простого числа, большего 3, дает остаток 1 при делении на 24; 2) квадрат простого числа, большего 5, при делении на 30 дает в остатке 1 или 19. 8. Доказать, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 5п единиц, делится на 41. 9. Доказать, что ни при каком натуральном п число 1 + 2 +... + п не может оканчиваться ни одной из цифр 2, 4, 7, 9. 10. Доказать, что число гИ — п делится на 42 при любом n€.Z. 11. Решить сравнения: 1) 2х + 3 = О (mod 6); 2) Зх + 5 = О (mod 7); 3) jc^ + X + 3 = О (mods); 4) + 1 = О (mod 13). Ответы 1. 1) 1; 2) 3; 3) 8; 4) 3; 5) 5. 6. 61. 11. 1) Решений нет; 2) x = 3(mod7); 3) x=l(modS) или x = 3(mod5); 4) x = 5(modl3) или x = 8(modl3). §3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называют диофантовым уравнением. Простейшими из них являются линейные диофантовы уравнения вида ах + Ьу = с, где а, b,cel>. Его решение (х, у) — пара целых чисел. При решении этого уравнения используется следующая теорема. Теорема 1. Линейное диофантово уравнение ах + by = с, где а, Ь, с& Z, имеет решение тогда и только тогда, когда с делится на НОД чисел а и Ь. Если с/=НОД(а, Ь), a = a\d, b — b\d, c = c\d и (xq, уф] — некоторое решение уравнения ах + by = с, то все решения задаются формулами x = xo + ftil, у = уо-а^1, (1) где t — произвольное целое число. О Пусть d = ИОД(а, Ь), т. е. существуют такие числа а\ и Ь\, что а = a\d, Ь = b\d. Тогда уравнение преобразуется к виду a\d■ X + b\d-у = с или d{а\х + Ь\у) = с. Отсюда следует, что уравнение имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда с делится на d, т. е. c = c\d. Переписывая уравнения в виде , ^ d (cjx + Ь\у) = c\d 314 Глава XIX. Делимость целых чисел и сокращая на d, получим уравнение й[Х + Ь[у = С1, (2) где (аь ^i) = 1, т. е. числа а\ и Ь\ взаимно просты. Пусть теперь (л:о,уо) ~ некоторое решение этого уравнения. Рассмотрим пару чисел, заданных формулами (1), и покажем, что эта пара также является решением уравнения (2). Подставив их в уравнение (2). получим ai{xo + b\t) + Ь\{уо — a\t) = С\ или a\XQ + Ь\уо + a\b\t — b\a\t = С[, т. е. равенство верно при любом t. у J у у ^ ■V' " V*" ' =С| =0 Пусть —также решение уравнения а\х + Ь\у — с\, т. е. а\х* Ь\у* = с\. Вычитая из левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства aixo + &ii/o = ci, получим Gi (л:* - хо) + Ь\ {у* - уо) = 0. Заметим, что при й], Ь\ фО, если х* фхо, то и у*фуо, и наоборот. Так как {а\, й|) = 1, то X*-Xo = kb[ и у*-yo = ta\, (3) где /г, / е Z. Тогда имеем кЬ\й\ + taibi = a[b\{k + i) = О, т. е. k = —t. Отсюда из (3) получаем формулы (1). Теорема доказана. • Замечание. Теорема 1 утверждает, что если линейное диофантово уравнение имеет решения, то их все можно представить в виде (1), однако для этого нужно знать некоторое решение (хо,«/о)- Как правило, оно находится подбором. Линейное диофантово уравнение ах + by = с, где а, Ь, с е Z и с Ф О, назовем неоднородным, а соответствующее ему уравнение ах + by = О — однородным. Пусть (xq, Уо) — частное решение неоднородного уравнения, а {bt, -at), где t€Z,— общее решение однородного уравнения. Так же, как и при решении линейных дифференциальных уравнений, в случае (а, Ь) = 1 справедливо утверждение: общее решение линейного неоднородного диофантова уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения. Пример 1. Решить уравнение 5х — 8г/ - 4 = 0. Д Первый способ. НОД(5, 8) = 1. Найдем какое-нибудь решение (хо,г/о) данного уравнения 5х —8у —4 = 0. Выразим переменную, име- §3. Решение уравнений в целых числах 315 ющую наименьший по модулю коэффициент; х — = // +1 + ^. о О Достаточно взять уо = 2, тогда jcq = 4. Запишем ответ; х = 4 — 8i, у = 2 — 5t, / € Z. (4) Второй способ. Выразим х: х= —у-\-\-\- ~^. Целые О О решения существуют, если Зу - I = Ьп {п £Z). = п - р-\ Аналогично у = ‘ = п + ‘, т. е. 2/г + 1 = Зр (р € Отсюда « = -^^=р + - 2 возможно, если р = 2^ + 1 (f 6 . Последнее равенство в целых числах Z). Выражая х ч у через t, получим X = 4 “Ь 8^, р = 2 -f- 5^, t G Z. Отметим, что полученный ответ совпадает с ответом (4), так как f —любое целое число. А Пример 2. Найти все целые решения системы уравнений Г 2х + Зр + 4г = 1, ^ Зх + 2р + 3z = 2. А Преобразуем уравнения системы, умножив первое на 3, второе на 2; J бх + 9р + \2г — 3, I 6х + 4р + 6z = 4. Вычитая второе уравнение из первого, получим линейное дио-фантово уравнение 5р + 6z = — 1, решением которого будут пары целых чисел вида (р, г), гдер=1 + 6<, г — -l-5t (teZ). Подставляя полученные числа в первое уравнение исходной системы, найдем 2х = 1 - Зр - 42 = 1 - 3(1+ 60 - 4(-1 - 50 = 2 + 2/ {t € Z). Отсюда X = 1 + ^ {t е Z). Следовательно, решением данной в условии системы уравнений будут тройки целых чисел вида (х, р, г), где X = 1 + /, р = 1 + 6^, 2 = —1 — 5/ е Z). А Диофантовы уравнения более высоких степеней. Рассмотрим на примере разные приемы решения уравнений в целых числах, степень которых превышает 1. Пример 3. Решить уравнение Зхр — 6х^ = р — 2х + 4. А Первый способ (разложение на множители). Перепишем уравнение в виде Зх(р - 2х) — {у — 2х) = 4 (р - 2х)(3х — 1) = 4. 316 Глава XIX. Делимость целых чисел Так как х GZ и у GZ, то {у — 2х) € Z и (Зх - 1) € Z. Поэтому для решения задачи достаточно рассмотреть все возможные варианты разложения числа 4 в произведение двух целых множителей. Всего существует четыре случая: 4 = 2-2 = (-2)-{-2) = 1-4 = ( 1)-(-4). Соответственно, далее остается решить шесть систем линейных уравнений: — 2х= —2, -2; 1) (у — 2х = 2, \ Зх - 1 = 2; fi/-2x = 4, \3х - 1 = 1; 2) j у — 2х = I Зх — 1 = 3) 5) 6) Г w-2x= 1, I Зх - 1 = 4; Г г/-2х = -4, \3х - I = -1. у — 2х— -1, Зх-\ = -4; Вторая, третья и четвертая системы не имеют решений в целых числах. Из первой получаем х=\^у — 4. Из пятой х = —\,у = —3 и из шестой х = 0, у = —4. Второй способ {выражение одной неизвестной через другую). Заметим, что неизвестная у входит в уравнение в первой степени. Выразим ее через х: Зху - г/= 6х^ - 2х + 4 t/= Зх — 1 = 2х + — — Зх-|- Решение в целых числах возможно только в случае, если число Зх — 1 является делителем 4. Существует шесть вариантов: 1) Зх - 1 = 2; 2) Зх - 1 = -2; 3) Зх - 1 4; 4) Зх - 1 = 1; 5) Зх - 1 = -4; 6) Зх - 1 = -1. Второе, третье и четвертое уравнения не имеют решений в целых числах. Из остальных получаем х = 1, или х = -I, или х = 0. Подставляя их в выражение для у, получаем целые решения исходного уравнения, т. е. (1; 4), (—1; —3), (0; -4). Третий способ {решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных). Перепишем уравнение в виде 6х^ — (2 + Зу)х + (г/ + 4) = 0. Решим его относительно х: (2 + 3i/)± J(2 + 3^)2-24((/ + 4) (2 + 3y)±w'(3f/-2)2-96 ^’’2 i2 12 ■ (5) Для суп1ествования целых решений необходимо, чтобы дискриминант уравнения был квадратом целого числа, т. е. {Ъу — 2)^ — 96 = /г^, где k G Z. Получаем {Зу — 2)^ — = 96. Следовательно, {3y-2-k){3y-2-{-k) = 96 или IЗу_2— пг' ^ Щ—яъг §3. Решение уравнений в целых числах 317 целых числа таких, что п\ ■ П2 — 96. Сложив уравнения системы, получим 6у — 4 = П\ + П2 или У = _ Я| +П2 Н- 4 (6) Поскольку -96<«1, П2<96, п\ и «2 одного знака, то возможны варианты 96 = 1 • 96 = 2 ■ 48 = 3 • 32 = 4 • 24 = 6 • 16 = 8 • 12. Аналогично, 96 = (-!)• (-96) = (-2). (-48) = (-3) • (-32) = = (-4) ■ (-24) = (-6) • (-16) = (-8). (-12). Отсюда, учитывая условие (6), получаем возможные значения у: у = 9, у = 4, у = -4 н у = -3. Подставляя полученные значения в (5), убеждаемся, что при у = 9 значение х не является целым. Для остальных случаев получаем следующие решения в целых числах исходного уравнения (1; 4), (0; -4), (-1; -3). Ответ. (1; 4), (0; -4), (-1; -3). А Великая теорема Ферма. Примерно в 1630 г. Пьером Ферма была сформулирована следующая теорема. Теорема 2 (Ферма). Всякое уравнение х" +1/" = z" при п >2 не имеет решений в области натуральных чисел. Доказательство этой теоремы состоит в большой серии утверждений, полученных многими математиками XV11-XX вв., завершение доказательства получено Эндрю Уайлсом лишь в 1994 г. Пифагоровы тройки. При п = 2 уравнение = вид х^ Л-у"^ = 2^. = 2" принимает (7) Оно имеет бесконечно много решений. Тройки целых чисел (х, г/, г), удовлетворяющие этому уравнению, называют пифагоровыми тройками. Теорема 3. Пифагоровы тройки образуют числа следуюш,его вида: 99 99 (8) а также т^-п^ x — tmn, y = t---2—» 2 = / 2 ’ + п^ 2 ’ (9) где тип — нечетные взаимно простые натуральные числа (т > п), а t — произвольное натуральное число. Наоборот, любая тройка 318 Глава XIX. Делимость целых чисел чисел {х, у, z), удовлетворяюш,ая формулам (8) или (9), является решением уравнения (7). л: = 3, г/= 4, Z = 5; л: = 5, (/ = 12, Z = 13; х = 7, у = 24, z = 25; л: = 15, г/ = 8, z = 17; л: = 21, у = 20, Z = 29; и т. д. Например, при / = 1 из п= 1, т = 3 =i> /г = 1, т = 5 п = \, т = 7 п = 3, т = 5 п = 3, т — 7 => Задачи 1. Найти все целые решения уравнений: I) 6х + 9у = 2-, 2) 5jc + 9(/ = 2; 3) 15х + 78(/=12; 4) I3x + 9v= I; 5) 7х + 17у = 5. 2* Пусть А — множество целых чисел, имеющих при делении на 5 остаток 3. а В — множество целых чисел, имеющих при делении на 8 остаток 7. Найти все числа, которые входят одновременно в оба множества. 3. Найти все целые решения систем уравнений: . f 3x + 3(/ + 5z= 1, j 2x + 3y + 5z = 8, ' ^ 4x + 5(/ — 2z = 4; ' j 5x — 6(/ + 8z = 9. Решить уравнения в целых числах (4-6): 4. 1) 2ху - 6х^ = 9х — Зг/ + 6; 2) Зху — 9х^ = у — Зх + 8. 5. х^ + {х+ 1)^ + (х + 2f + (х + 3)^ = Юу. 6. I) х^ - 6x1/+ 13//2 = 100; 2) 2xV +1/^ - 6х^ - 12 = 0; 3) 2ху + X + (/ = 83. 7". Доказать, что следующие уравнения не имеют решений в целых числах: 1) х'^+у^ = \971; 2) 19x3-17(/3=:50; 3) 2х'^-Ъу'^ = ^. в? Найти все рациональные решения уравнения: x^ + 3^/^ = l. Ответы 1. 1) Нет решений; 2) х = 4 + 9/, (/ = -2-5/, /6Z; 3) х = -20 + 26/, (/ = 4-5/, / е Z; 4) X = 2 + 9/. (/ = -3 - 13/, / 6 Z; 5) х = 25 + 17/, (/ = -10 - 7/, / € Z. 2. Числа вида 23 + 40/, /€Z. Указание. Решить в целых числах уравнение 5х + 3 = 8^ + 7. 3. 1) X = -85 - 31/, у = 72 + 26/, 2 = 8 + 3/, / 6 Z; 2) нет решений. 4. 1) (-2; -12), (-1; 3), (-3; -II), (0; 2); 2) (3; 10), (1; 7), (0; -8), (-1; -5). 5. х = 5п + 1, (/ = 10rt^ + 10n + 3 (neZ). 6. I) (1, 3), (-1, -3), (17, 3), (-17, -3), (-6, -4), (6, 4). (-18, -4), (18, 4); 2) (2, 2), (-2, -2), (-2, 2), (2, -2); 3) (0, 83), (83, 0), (-1, -84), (-84, -1). 7. 1) Указание. Рассмотреть остатки суммы квадратов х и у при делении на 3. 2) Указание. Рассмотреть остатки левой и правой частей уравнения при делении на 9. §4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными 319 3) Указание. Рассмотреть остатки левой и правой частей уравнения при '11,2 _ I ои делении на 5. S. х = ' У ~ | (* € Q); л:=1. г/ = 0. Указание. Положить у = к(х — 1) §4. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ Пример 1. Даны два двузначных числа. Если большее число написать впереди меньшего и полученное четырехзначное число разделить на меньшее, то в частном получится 247, а в остатке 10. Если же меньшее число написать впереди большего и разделить полученное число на большее, то в частном получится 41, а в остатке 20. Найти сумму данных двузначных чисел. ^ Запишем меньшее число в виде ху, большее —в виде zt. Тогда, написав большее впереди меньшего, получим г/ху = lOOOz + 100/+ Юх +Запишем тот факт, что при делении полученного числа на ху = 10х + у в частном получится 247, а в остатке 10: 10002 + 100/ +Юх + у = 247(10;с + //) + 10. Аналогично во втором случае: ЮООх + 100^+ lOz + / = 41{10z + /) + 20. Обозначив S — zt = lOz + /, и = 1су = 10х + у, получим систему уравнений Г100з + ы = 247ы + 10, ^ lOOw Т 5 = 41s “Ь 20, из которой получаем s — 37, и — 15. Ответ. 37 и 15. А Пример 2. Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на первом этапе 4%, на втором — 12,5%, на третьем — ■^% и на четвертом — ^%. По окончании реконструкции I О первоначальный объем производства на предприятии сократился на 64%. Определить продолжительность периода реконструкции. Д Пусть X, у, Z ч / — продолжительности соответственно первого, второго, третьего и четвертого этапов (в месяцах), где х, у, z ч t — натуральные числа. Если первоначально объем производства был равен V, то после реконструкции он будет равен V- 0- j_y. 100/ V 2 100У V 7-100/ •100/ \ 100/ 320 Плава XIX. Делимость целых чисел Сократив на V, получим . (I)*. ^ 23x~3y+z—t yc+z-t . ^-2x+t _ jy-г = 2^ -3^ • • 7^ Так как х, у, z \\ i — натуральные числа, а 2, 3, 5 и 7 —простые числа, то в силу единственности разложения натурального числа на простые множители получаем систему линейных уравнений ' Зх - Зу + Z — t = 0, X + Z — t = 2, —2х +1 — —2, [.y-z = 0. Решая ее, получаем х = 2, у = 2, z = 2 и t = 2. Следовательно, весь период реконструкции длился 8 месяцев. Ответ. 8 месяцев. А Иногда при решении задач на целые числа количества получающихся уравнений недостаточно для выбора однозначного ответа. Поэтому на одном из этапов решения приходится использовать перебор получающихся вариантов, чтобы отобрать решение, удовлетворяющее всем условиям задачи. Пример 3. В финальном забеге соревнований по кроссу оказалось, что число спортсменов, выполнивших мастерский норматив, от общего количества спортсменов. меньше —, но больше 1о 16 закончивших дистанцию. Какое минимальное число спортсменов закончило дистанцию? Д Пусть yV —число спортсменов, закончивших дистанцию, а п — число спортсменов, выполнивших мастерский норматив. Тогда, согласно условию, N \л п удовлетворяют неравенству ^ ^ 16 /У 13 или — 7 п 6 16 13 <=> уП>Ы> Подберем такое наименьшее значение п, чтобы в интервале содержалось хотя бы одно целое число N. Перебором, начиная с /г = 1, получим, что при п = 4 такое N, удовлетворяющее неравенству 9^ > ЛУ > 8|, существует hW = 9. Ответ. 9 спортсменов. А Пример 4. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. §4 Текстовые задачи с целочисленными неизвестными 321 Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. Сколько построено пяти- и девятиэтажных домов? Д Пусть построено х девятиэтажных и у пятиэтажных домов Из условия задачи получаем систему неравенств х<у, 2х + у> 24, х + 2у < 27. 24 Из второго неравенства имеем х > Отсюда из третьего х <27 — 2у. 24-у <х<у, ^Л^<х<27-2у (1) или, освобождаясь от х, 24-у <У, \^<27-2у. Следовательно, у удовлетворяет неравенствам /8<у, и<ю. Поскольку (/GZ, то t/ = 9. Тогда из первого неравенства системы (1) имеем 7,5 <х < 9, т. е. х — 8. Ответ. 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных домов А Задачи 1. Найти двузначное число, которое меньше суммы квадратов цифр, составляющих его, на И, и больше их удвоенного произведения на 5. 2. Сумма цифр двузначного числа равна 12 Если к искомому числу прибавить 36. то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число. 3. Результат деления двузначного числа на произведение его цифр равен 2. Найти это число. 4. На складе имелось несколько одинаковых ящиков, в каждом из которых было равное количество одинаковых заготовок. Заготовки используются следующим образом: сначала со склада в цех берут один ящик, заготовки из которого последовательно поступают в производство, а пустой ящик возвращается обратно на склад и берется следующий ящик и т. д. После < 10 того как было израсходовано ровно — всех заготовок, оказалось, что на 1о складе имеется ровно 7 пустых ящиков. Сколько ящиков с заготовками было первоначально на складе? II -.3022 322 Глава XIX. Делимость целых чисел 5. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4, а в остатке 3. Если же разделить его на произведение цифр, то получится в частном 3, а в остатке 5. Найти это число. 6. В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй день — на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе? 7. Сумма цифр искомого четного трехзначного числа равна 11 Если к искомому числу прибавить 594, то получится число, записанное теми цифрами, но в обратном порядке. Найти это число. 8. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится Гав остатке 16. Найти это число. 9. Произведение двузначного числа на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, равно 1008. Найдите это дву.значное число. 10. На стоянке находятся машины марок «Москвич» и «Волга». Общее число их менее 30. Если число «Волг» увеличить вдвое, а число «Москвичей» — на 27, то «Волг» станет больше. Если, не изменяя число «Волг», увеличить вдвое число «Москвичей», то «Москвичей» станет больше. Сколько «Москвичей» и сколько «Волг* находятся на стоянке^ 11. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов больше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет менее 32, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет более 28. Сколько построено пятиэтажных и девятиэтажных домов? 12. При подведении итогов шахматного турнира оказалось, что на первое место претендуют сразу несколько спортсменов Их количество оказалось 7 5 больше —, но меньше — от общего числа участников соревнований. Какое >51 минимальное количество шахматистов принимало участие в турнире? 13. После сдачи студентами факультета сессии оказалось, что количество 4 5 отличников меньше —, но больше ^ от общего числа студентов факультета. «5«5 4^ Какое наименьшее число студентов может быть на факультете? 14. Все члены семьи выпили по чашке кофе с молоком, причем Катя выпила четвертую часть всего кофе и шестую часть всего молока Сколько человек в семье? 15. Химический завод имеет цеха трех типов В каждом цехе первого, второго и третьего типов работает соответственно 350, 80 и 30 рабочих, а также 91, 19 и 8 технологов. Всего в цехах завода работают 980 рабочих и 252 технолога. Найти число цехов каждого типа, если известно, что общее количество цехов не превосходит 15. 16. На какое целое положительное число надо разделить 180, чтобы остаток составлял 25% от частного? 17. Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на 50 ■ 10%, на третьем —— % и на четвертом ■ «5 первом этапе 4%, на втором ■ 65%. По окончании реконструкции первоначальный объем производства на §4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными 323 предприятии сократился на 93%. Определить продолжительность третьего этапа реконструкции. Ответы 1. 15 и 95. 2. 48. 3. 36. 4. 10 яшиков. 5. 23. 6. 189. 7. 218. 8. 37, 48 или 79. 9. 24 или 42. 10. 19 «Волг» и 10 «Москвичей». И. 9 пятиэтажных, 11 девптиэтажных. 12. 45 первого и 20 второго. 13. 25. 14. 5. 15. Цехов 1-го и 2-го типов по 2, третьего 4. 16. 11, 17. 7 месяцев. Глава XX КОМБИНАТОРИКА §1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМБИНАТОРИКИ На практике часто приходится выбирать из данного множества объектов подмножества элементов, обладающих некоторыми свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т. д. Поскольку в этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях элементов, их называют комбинаторными задачами. Область математики, изучающая комбинаторные задачи, называют комбинаторикой. Она является частью теории конечных множеств —любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах. Различают несколько уровней рещения комбинаторных задач. Начальным является поиск хотя бы одного расположения объектов, обладающего заданными свойствами (например, расположения восьми ферзей на шахматной доске, не бьющих друг друга). Если комбинаторная задача имеет несколько рещений, то возникает вопрос о подсчете числа таких решений, об описании всех решений задачи. И наконец, может возникнуть проблема поиска оптимального варианта решения в случае, если различные решения комбинаторной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. Для подсчета числа решений комбинаторных задач используются формулы, основанные на двух простых правилах, называемых правилами произведения и суммы. Правилом суммы называют следующее утверждение. Если множества Х\, Х2,...,Хп попарно не имеют общих элементов, т. е. Xi Г\ Xj = 0 при i Ф /, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов в каждом из множеств |Xi UX2 и ... иХл| = |Xi| Ч- IX2I -Ь ... -Ь |Хп|. При п = 2 правило суммы можно сформулировать так: Если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у можно выбрать т способами, причем любой выбор элемента х отличен от любого выбора элемента у, то выбор х или у можно сделать k-\-m способами. Правилом произведения называют следующее утверждение. Если даны два множества X и Y, состоящие соответственно из k и т § I. Основные законы комбинаторики 325 элементов, то пару (х, у) такую, что xGX,y& К, можно составить km способами. Правило произведения можно переформулировать так: Если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у можно выбрать т способами, то пару (х, у) можно выбрать km способами. Замечание. Правило обобщается на случай, когда выбирается не пара, а тройка, четверка элементов и т. д.: если элемент х\ можно выбрать к\ способами, элемент Х2 можно выбрать способами, ... элемент Хт можно выбрать km способами, то набор (х\,Х2, ■ ■ ■, Хт) можно выбрать k[ х ■ ■ ■ х km способами. • • Рис. 1 Пример 1. Бросают две игральные кости (с шестью гранями каждая) (рис. 1). Сколькими способами они могут упасть так, что либо на каждой кости выпадет четное число, либо на каждой кости выпадет нечетное очков? Л Пусть fe —число способов выпадения на каждой кости четного числа очков, т — число способов выпадения на каждой кости нечетного числа очков. Тогда по правилу суммы искомое число равно k + т. Пусть k] — число способов выпадения четного числа очков на первой кости, а /гг ~ число способов выпадения четного числа очков на второй кости. Тогда fei = /гд = 3 и по правилу произведения ^ = fei ■ ^2 = 9. Аналогично получаем, что т = 9. Следовательно, искомое число способов равно ^ + т = 9 + 9=18. А Упорядоченный набор (xj, хг, ... , Хт), где х; € А,-, называется кортежем длины т, составленным из элементов множеств Х\, Х2, ..., Хт, и является элементом декартова произведения X A"2 X ... X Хт- Элемент х,(1 < г ^ т) называют i-й компонентой или i-й координатой кортежа (xj, хг, ... , Хт)- Если все множества Xi равны А, то (х(, хг, ... , Хт) называется кортежем длины т, составленным из элементов множества X. Два кортежа (х], Хг,..., х„) и (У1,У2, ■ ■■, Ук) считаются равными, если длина их одинакова, а их компоненты, имеющие одинаковые номера, равны. Например, равны кортежи а=(2, -\/9, 3^) и /3=(\/4, 3, 9), так как 2 = \/4, \/9 = 3, 3^ = 9, и неравны кортежи (а, Ь, с) и {Ь, а, с), так как порядок их компонент различен. Пример 2. Сколько различных кортежей длины k можно составить из элементов множества А= {х|, хг,..., х„}, если это множество не содержит одинаковых элементов? Д Используя правило равенства кортежей, получаем, что два кортежа одинаковой длины различны, если они различаются порядком 326 Глава XX. Комбинаторика следования элементов. Будем из элементов х\, Х2, х„ составлять различные кортежи. Так на первую позицию можно поместить любой из п элементов ЛС], Х2, Хп на вторую уже любой из л — 1 элементов, а различных способов для заполнения первых двух позиций по правилу произведения получается л(л — 1). Далее аналогично, на третью — любой из л — 2 элементов, а различных способов для заполнения первых трех позиций получается л(л-1)(л —2), и т. д. Окончательно получаем, что общее число кортежей длины /г, формируемых из различных элементов л-элементного множества, равно л • (л — 1) •... ■ (л — & -f 1) = {n-k)l Пример 3. Сколько различных кортежей длины k можно составить из элементов множества X = .^i иЛг U... иЛп> где каждое множество Xi состоит из k или более одинаковых элементов л/, причем все элементы Х[, Х2, ■■■, Хп различны? Д По аналогии с предыдущим примером будем из элементов Х\, Х2, Хп составлять различные кортежи. Так как на первую позицию можно поместить любой из л элементов х\, Х2, ..., х„ и на вторую также любой из л элементов, то различных способов для заполнения первых двух позиций по правилу произведения получается л • л = л^. Далее аналогично, на третью —любой из л элементов, а различных способов для заполнения первых трех позиций получается л^, и т. д. Окончательно получаем, что общее число кортежей длины к в этой задаче равно п. ■ п ■... • п = п^. А k раз Задачи 1. Сколькими способами можно расставить на книжной полке подряд друг за другом книги десятитомного собрания сочинений? 2. В подземную пещеру ведут 6 путей. Сколько туристических маршрутов посещения можно составить, чтобы спуск и подъем происходили по различным путям? 3. 1) Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с вертикальными полосами одинаковой ширины и различных цветов, если имеется материя 7 различных цветов? 2) Сколькими способами можно сделать флаг, содержащий 7 вертикальных полос одинаковой ширины красного, белого и синего цвета, причем любые две соседние полосы должны быть разных цветов? 4. В некотором государстве нет двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность этого государства? Напомним, что у человека может быть не более 32 зубов. §2. Основные формулы комбинаторики 327 5. 1) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 9. чтобы каждая цифра входила в число не более одного раза? Найти сумму всех этих чисел. 2) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр О, 2, 3, 4, 8, 9, если каждая цифра, входящая в число, может повторяться? Найти сумму всех этих чисел. 6. Сколько существует четырехзначных чисел, в которых две единицы стоят рядом, а остальные цифры различны и не равны 1? А пятизначных? 7. 1) Сколькими способами можно на шахматной доске расставить 8 ладей, чтобы они не били друг друга, если: а) ладьи неразличимы; б) ладьи различимы (например, пронумерованы)? 2) Сколькими способами можно на шахматной доске расставить 7 ладей, чтобы они не били друг друга, если: а) ладьи неразличимы; б) ладьи различимы (например, пронумерованы)? 8. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? А шестизначных? 9. Пусть pi, Рй,---, р* —различные простые числа. Сколько делителей имеет число а = р"‘ -Р2^ •... -р^*, где — некоторые натуральные числа, включая I и само число а? 10. Сколько диагоналей имеет выпуклый п-угольник? 1. 10! 2. 30. 3. I) 210; 39 999 600; 2) 1080; 6135 480. Ответы 2) 3 • 6. 200 2® = 1848. 192. 4. 2 32 5. 1) 720; б) (8!)'"; 2) а) 8! • 8=322 560; б) (7!) • 8! 9. («, + 1)(«2 + !)...(«* + 1). 10. (81)2. 1) а) 8! = 40 320; 8. 900; 900. §2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ 1. Размещения с повторениями Кортежи длины k, составленные из элементов /г-элементного множества X, называют также размещениями с повторениями из п элементов по к. Их общее число обозначают Л* (Л — первая буква Франц, arrangemen/ —размещение). Из примера 3 предыдущего параграфа следует, что = (1) Пример 1. Имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно выполнить обивку стульев? Д Так как стулья различны, то их можно расположить в определенном порядке, и каждому способу обивки будет соответствовать кортеж длины 5, составленный из данного 7-элементного множества цветов ткани. Их число найдем по формуле (1); Лу = 7^ = 16807. А 328 Глава XX. Комбинаторика Пусть есть fe-элементное множество X и п-элементное множество Y. Для подсчета числа отображений / множества X в множество Y (f:X—^Y) используется формула числа размещений с повторениями из п элементов по k элементов. Число отображений k-элементного множества в п-элементное множество равно Л* = /г*. Этот результат позволяет найти число подмножеств «-элементного множества X. Для этого возьмем числа О и 1. Каждому подмножеству А множества X соответствует отображение ср множества X в множество {0; 1}, при котором элементы из А отображаются в 1, а остальные —в 0. Число таких отображений равно 2", где « — число элементов множества X. Значит, число подмножеств п-элементного множества X равно 2". Пример 2. Сколько существует способов размещения « различных предметов по т различным ящикам? Д Каждый предмет может быть помещен в любой из т ящиков. Тогда по правилу произведения число размещений « различных предметов по т различным ящикам равно т-т т т''=А1. 2. Размещения без повторений Во многих случаях возникает задача нахождения числа кортежей длины k из элементов данного «-элементного множества, в которых нет повторяющихся элементов. Образование таких кортежей можно наглядно представить следующим образом. Элементы множества Л”, помещенные в мешок, извлекаются из него один за другим без возвращения назад и записываются. После k извлечений запись представляет собой кортеж длины k, состоящий из элементов множества X (точнее говоря, из их названий), без повторов. Кортеж состоит из k различных элементов, расположенных в определенном порядке. Такие кортежи называют упорядоченными множествами. Их отличие от произвольного кортежа состоит в том, что в них нет двух одинаковых элементов. Одно и то же множество можно упорядочить различными способами (например, множество школьников данного класса можно упорядочить по возрасту, росту, весу, алфавиту). Если задано «-элементное множество X н k4^n, то можно составить различные упорядоченные fe-элементные множества, в которые входят лишь элементы множества X. Например, для множества {а, Ь, с, d} можно составить 12 упорядоченных подмножеств по два элемента в каждом: (а, Ь), {Ь, а), {а, с), (с, а), (а, d), (d,a), {b, с), (с, Ь), {Ь, d), {d, b), (с, d), {d, с). §2. Основные формулы комбинаторики 329 Упорядоченные ^-элементные подмножества данного множества X, содержащего п элементов, называют размещениями без повторений из п элементов по k. Их число обозначают Л*. Из примера 2 предыдущего параграфа следует, что A^„ = n-{n-\)-....{n-k + l). (2) Формулу (2) можно записать в виде (3) дА; _ п\ пример 3. Сколькими способами из 40 учеников класса можно выделить актив в следующем составе; староста, физорг и редактор стенгазеты? Л Требуется выделить упорядоченные трехэлементные подмножества множества, содержащего 40 элементов, т. е. найти число размещений без повторений из 40 элементов по 3. По формуле (2) находим A^q = = 40 X 39 X 38 = 59 280. А 3. Перестановки без повторений Пусть множество X содержит п элементов. Рассмотрим его различные упорядочивания Получаемые при этом упорядоченные множества (кортежи) отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов и называются перестановками без повторений из п элементов. Число перестановок без повторений обозначается Р„ (от фран. permutation — перестановка) или Р{п). Например, Р^ = 6, так как из элементов а, Ь, с можно составить шесть перестановок: (а, Ь, с), (а, с, Ь), {Ь, а, с), (Ь, с, а), (с, Ь, а), {с, а, Ь). Чтобы найти выражение для заметим, что перестановка без повторений из п элементов — это то же самое, что размещение без повторений из п элементов по п. Поэтому для отыскания Рп по формуле (2) положим k — n: Р„ = п • (« - 1) • (п - 2) •... • 2 • 1 = rt! (4) Пример 4. Сколько существует пятизначных чисел, не кратных пяти и не содержащих одинаковых цифр, составленных из цифр I, 2, 3, 4, 5? Л Из пяти различных цифр можно составить Р5 пятизначных чисел. Эти числа не должны быть кратны 5, т. е. не могут оканчиваться цифрой 5. Если же цифру 5 поставить на последнее место, то остальные могут распределиться по разрядам числа Р4 способами. Поэтому условию задачи удовлетворяет Р5 — Р4 = 5! — 4! = 120 — 24 = 96 чисел. А 330 Глава XX. Комбинаторика 4. Сочетания без повторений Неупорядоченные подмножества, содержащие k элементов из данного «-элементного множества, называют сочетаниями без повторений из п элементов по k, а их число обозначают С* (от Франц, comfe/naiiort— сочетание). Отметим, что С^ = 1, т. е. каждое множество X имеет лишь одно подмножество, не содержащее элементов (пустое множество). Количества сочетаний и размещений связаны соотношением A„ = k\ - С*, так как упорядочить каждое сочетание (получив при этом размещение) можно k\ способами. . /\к Отсюда С„ = -jf. Используя формулу (3), получим ci = {п — Л)!Д:! ‘ (5) Пример 5. Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек? Д Поля для белых шашек можно выбрать C3I способами. После этого остается 20 полей, на которых можно способами выбрать поля для черных шашек. Следовательно, искомое количество способов равно С^|-С‘2. А Пример 6. На плоскости проведены « прямых, среди которых нет ни одной пары параллельных прямых и ни одной тройки прямых, пересекающихся в одной точке. Найти: 1) число точек пересечения этих прямых; 2) число треугольников, образованных этими прямыми; 3) число треугольников, которые можно построить, взяв в качестве вершин точки пересечения этих прямых. Д 1) Число точек пересечения прямых равно числу способов выбора неупорядоче}шой пары прямых, т. е. С^- 2) Аналогично, каждый треугольник определяется тройкой прямых, поэтому общее число треугольников равно С^. 3) При пересечении указанных « прямых образуется точек. Выбрав три точки из этого множества, треугольник можно построить в случае, если эти точки не лежат на одной прямой. Каждую из п прямых остальные прямые пересекают в «— 1 точке. Соответственно, на каждой прямой можно выбрать неупорядоченных троек точек, построение треугольника по которым невозможно. Всего способов выбора трех точек из множества, содержащего точек, имеется С^, где т = С^. Исключая отсюда число §2. Основные формулы комбинаторики 331 выборов троек точек, лежащих на одной прямой, получаем, что искомое число равно где т = с1. А Пример 7 {задача о книжной полке). На книжной полке стоят п книг. Сколькими способами можно выбрать из них k книг так, чтобы в их число не попали никакие две стоящие рядом? Д Рассмотрим последовательности из k единиц и m = n — k нулей. Посчитаем количество таких последовательностей, в которых никакие две 1 не стоят рядом. Отметим, что каждой такой последовательности соответствует способ выбора книг на полке. Для подсчета запищем сначала т нулей. Тогда у единиц получается т + 1 место, из которых два по краям и m — 1 мест в промежутках между нулями. На любое из них можно поставить одну из k единиц. Следовательно, это число способов равно Г* rfi Значит, выбрать k книг так, чтобы в их число не попали никакие две стоящие рядом, можно С^_^+\ способами. Заметим, что задача разрешима, если 2fe --ч f^m), заметим, что каждый рассматриваемый кортеж а имеет длину к. Из элементов а можно составить к\ = {п\ + П2 + ... + Пт)! кортежей, переставляя элементы. Однако среди этих к\ кортежей имеются одинаковые. В п\ позициях находятся элементы Х\ (считая первоначально их элементами хп, Х]2,..., xi„,, их можно переставить Я]! способами), в «2 позициях — элементы хг (их можно переставить между собой Яг! способами) и т.д. Поскольку, в действительности, отмеченные внутри каждой указанной группы элементы неразличимы, то получается, что для нахождения Я(яь Я2, Пт) общее число кортежей к\ должно быть разделено на Я1!-Я2!-... ■ Пщ'-- В итоге получаем формулу для подсчета числа перестановок с повторениями, имеющих состав (яь Я2,..., Пт) : ■ (6) Пример 9. Сколькими способами можно расставить белые фигуры; 2 коня, 2 слона, 2 ладьи, 1 ферзя и 1 короля на первой линии шахматной доски? §2. Основные формулы комбинаторики 333 л Для решения задачи надо найти число кортежей длины 8, имеющих заданный состав (2, 2, 2, 1, 1). Число таких кортежей, т. е. перестановок с повторениями, равно '’(2. 2' 2. 1. и.11=5040. 6. Сочетания с повторениями Сочетанием с повторениями из п элементов по k называют различные составы кортежей длины п, образованные из k групп неразличимых внутри каждой группы элементов. Для подсчета их общего числа поступим следующим образом. Обозначим число элементов каждой группы, участвующих в образовании кортежа длины п, через П[, П2,..п*, где п\-\-П2 + ■ ■ .-+-«fe = n. Общее число таких кортежей длины п равно количеству способов представления числа п в виде суммы целых неотрицательных слагаемых п\, П2,..., п^. Представим теперь п как п единиц, разбитых на k групп, причем группа может и не содержать единиц. Для этого между группами поставим нули (всего получится k — 1 нулей). Тогда каждому разложению п в виде суммы слагаемых п\, П2,---, п* будет соответствовать набор из п единиц и k — I нулей, т. е. о о• •-0 (и наоборот, каждому такому набору — П| П2 Пк разложение). Всего таких наборов Р(п й — П — + ^ ~ *)! —гп — Г\^П, к I)— - _ J4, _^j — l-n+A-l — '^rHk-V (7) Соответственно, общее число сочетаний с повторениями из п элементов по k обозначают С^: Пример 10. Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 вида пирожных? Д Поскольку порядок пирожных не играет роли, то каждый набор задается кортежем длины 8 из 4 элементов (названий видов пирожных), причем порядок компонент кортежа не играет роли. Иными словами, нам надо найти число различных составов таких кортежей, т. е. число сочетаний с повторениями из 4 элементов по 8. Имеем _ /-8 _ 11! ‘^'*-‘-11 - 8Г^ = 165. 334 Глава XX. Комбинаторика Пример II. Сколько существует способов размещения п одинаковых предметов по т различным ящикам? Д Будем рассуждать так же, как рассуждали при выводе формулы (7). Предположим, что п элементов разместились по ящикам так, что в первый, второй, ..., т-й ящик попало соответственно П\,П2,.. ■,Пт предметов. Такому размещению поставим в соответствие набор из п единиц и /п — I нулей, т. е. О О • • • О П| П2 Пт (и наоборот, каждому такому набору — размещение). Тогда число таких размещений равно Т'П /^п __ We—I д Че - Чг f *-I ~ 4i+fe-l- * Пример 12. Сколько существует способов размещения тр различных предметов по т группам, содержащих р предметов, при условии, что порядок групп не учитывается? Л Число способов разбиения тр различных предметов по т группам по р предметов равно pi -р ■pi (рГ Учитывая теперь, что группы неразличимы, полученный результат нужно разделить на т\ — число перестановок групп между собой. Следовательно, окончательный ответ будет :■ А (р!)" Задачи 1. Решить неравенство: 1) ^п+4_ ^____15__. > („ + 2)! " («-!)!’ 2. Вычислить: 2) Ci П+-5 ^ Q 96 ■ Рп+3 ■ 1) + 2) Р,4+Р2Л| + Рз71|+ЯИ5-ЛР2^зЯ4; 3. 1) Сколькими способами можно расставить 25 учеников в одну шеренгу? 2) Сколькими способами можно рассадить 25 учеников за 15 парт (считая, что за каждой партой может сидеть не более двух учеников)? 4. В высшей лиге чемпионата России по футболу принимают участие 22 команды. По итогам сезона три команды, занявшие первое, второе и третье места, объявляются призерами, а две команды, занявшие два последних места, переходят в первую лигу Сколькими способами могут распределиться между командами призовой пьедестал и два последних места при условии, что уровень всех команд одинаковый? §2. Основные формулы комбинаторики 335 7. 8 9. 5. Сколькими способами можно расставить на книжной полке подряд друг за другом книги десятитомного собрания сочинений так, чтобы: 1) том 1 и том 2 стояли рядом и в порядке возрастания; 2) на четных местах стояли тома с четными номерами? 6. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр О, I, 2.....9 при условии, что в записи числа нет одинаковых цифр? 1) Сколько существует натуральных чисел, меньших 10'^, в десятичной записи которых соседние цифры различны? 2) Сколько существует натуральных чисел, меньших 10", в десятичной записи которых соседние цифры различны? Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих? Вокруг костра сидят 13 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей (и только их). Надо выбрать 5 разбойников, чтобы спрятать награбленное добро. Сколькими способами их можно выбрать, чтобы между ними не было распрей? 10. На окружности отмечено 9 точек. Сколько можно построить: 1) хорд, соединяя любые из них; 2) различных треугольников с вершинами в .этих точках; 3) выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках? 11. Сколькими способами можно рассадить 12 человек за круглым столом, если для каждого человека важно не место, которое он занимает за столом, а лишь то, кто; 1) является его соседом слева, и кто является соседом справа; 2) кто является его соседями (и не важно, кто из них сидит слева, а кто — справа); 3) сидит напротив него, т. е. на диаметрально противоположном месте? 12. Для проведения письменного экзамена по математике надо составить 4 варианта по 7 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта? 13. На линии расположены п стульев. Сколькими способами можно убрать три стула так. чтобы не были убраны: 1) три рядом стоящих стула; 2) никакие два рядом стоящих стула? 14Г Сколько можно сделать перестановок из п элементов, в которых: 1) данные два элемента не стоят рядом; 2) данные три элемента не стоят рядом (в любом порядке); 3) никакие два из данных трех элементов не стоят рядом? Сколькими способами могут распределиться 15 пронумерованных бильярд- 15 16 ных шаров по 6 лузам? Три парня и три девушки решили после окончания школы поступить на работу в своем родном городе. В городе имеются 3 завода, на которые берут только мужчин, 2 — где нужны женщины и 2 — которые принимают на работу и мужчин, и женщин. Сколькими способами пять выпускников могут распределиться по заводам города? 17. Каждая сторона квадрата разбита на п частей. Сколько можно построить треугольников, вершинами которых являются точки разбиения (вершины квадрата такими точками не считать)? 336 Глава XX. Комбинаторика 18. Сколько натуральных делителей имеет число 2007^°^? 19. Сколько слов можно получить, переставляя буквы слова: 1) винегрет; 2) математика? 20. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске трех бело-польных слонов так, чтобы они не могли бить друг друга? 21. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Сколько существует способов вынуть их так, чтобы среди этих карт 1) был хотя бы один туз; 2) был ровно один туз; 3) было не менее двух тузов; 4) было ровно два туза? 22. При игре в преферанс каждому из 3 игроков раздают по 10 карт, 2 карты кладут на стол в прикуп (игра ведется колодой из 32 карт). Сколько различных сдач возможно в этой игре? 23. 1) Сколькими способами можно разложить 15 книг по пяти бандеролям по 3 книги в каждой? 2) Сколькими способами можно разложить 9 книг по четырем бандеролям по 2 книги и одной бандероли с 1 книгой? 24. Бросают п игральных костей. В результате получают п чисел от 1 до 6. Сколько может получиться различных результатов, если результаты, отличающиеся друг от друга лишь порядком очков, считаются одинаковыми? 25. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, у которых длина каждого ребра является целым числом от 1 до 10? 26. Сколькими способами можно разделить 12 конфет «Белочка», 15 конфет «Мишка* и 6 конфет «Гусиные лапки* между 5 ребятами? 27. Сколькими способами можно разделить п\ предметов первого вида, «2 предметов второго вида, ..., л* предметов к-го вида по т различным ящикам, считая, что предметы каждого вида неразличимы между собой? 28. Сколько решений имеет уравнение -Р хг-Г . -. + ху = 10, где: 1) х\, Ху — целые неотрицательные числа; 2) Х|, Х2,..., Ху — натуральные числа? 29. Лифт, в котором находятся девять пассажиров, останавливается на шести этажах. Пассажиры выходят группами по два. три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти, если на каждом этаже может выйти только одна группа пассажиров, при этом порядок выхода пассажиров из лифта не имеет значения? 30. Сколько цифр потребуется для записи всех чисел от 1 до 10" —1, если 1) я = 3; 2) п = 6; 3) п = к? 31. Сколькими способами можно разместить 5 одинаковых предметов по трем ящикам, если в каждый ящик можно поместить от нуля до пяти предметов? 32. Комиссия из 7 человек хранит материалы в сейфе. Сколько замков должно быть на сейфе и сколько ключей должно быть у каждого члена комиссии для того, чтобы сейф мог быть открыт, когда соберутся любые четыре члена комиссии, но не мог бы быть открыт при меньщем количестве членов? 33. Сколькими способами можно выбрать комиссию в составе т человек из группы, состоящей из п мужчин и к женщин, при уаювии, что т ^ п и т ^ к? к 34Г Доказать равенство 5Z =А 1=0 ' ' т+п- §3. Бином Ньютона и полиномиальная формула 337 Ответы 30! 1. I) {2, 3, 4, 5, 6}; 2) {1, 2, 3}. 2. 1) 46; 2) 2750; 3) 3. 1) 25! 2) _ = 4. Л^2- 1) 9!; 2) Р5 ■ Рь = (5!)^ = 14400. 6. Л| + 8 • = 28560. 7. 1) 9 + 92 + 9^ + O'* + 9® = 9 • = 66429; 2) ^ . 8. 4 ' С? <^о = 12 "7 /"7 _ 1 28! 2Tf lAi _____________2^ 7Ь]Ж ■ 7! • 7! 4! • (7!) 13. 1) 4 - « + 2; 2) ей - ((п - 2) + 2(п - 3) + (п - 3)(п - 4)) = 4_2. = 5040. 9. 4 + (1 = 93. 10. 1) 36; 2) 84; 3) 126. И. 1) Ш; 2) у; бГ^ 10395. 12. 41 • ^28 • Сох ■ ^14 = 4! ■ т\Т^. ' тГ^сТ ' тГт! 4! • (7!)'' количество способов убрать какие-то стоящие рядом 14. 1) п! - 2(п - 1)!; 2) л! - 6(п - 2)1; 3) л! - 6(л - 1)! + 6(л - 2)!. Указание. Использовать формулу включений и исключений. 15. Лg® = б''\ 16. 3 • 5“^ • 4-* + 3 • 5'^ • 4^= = 10800. 17. С1 4(п-1) 4СЙ_, = 2(л - 1)^(5л - 8). 18. 2008 - 5005. 19. 1) 20160; 2) 151200. 20. 1704. 21. 1) 4^ - С 2) 4.4в; 3) - 4^ - 4 • 4в; 4) 4 4«. 22. Р(Ю, Ю, Ю, 2) = = Ч- . 23. 1) . 2) 945. 24. 4) = 4.5. 25. С?о = 4г = ^20. (Ю!)^ • 2! (З!)’’ ■ 5! 26. C^^ ■ 4^ • 4 = ■ 4о- 27. СГ^ Cf^ ■... 28. 1) 8008; 2) 84. к . , 29. 25200. 30. 1) 2889; 2) 588889; 3) 9 - ЁМ0'“‘. 31. 21. 32. 35; 350. /= 1 33. £ (ей • С?~‘) = Сй'л.;^. 34. Указание. Рассмотреть алфавит из лг «гласно '■ 7 ных» и п «согласных». Тогда (-Й член суммы ей-Лт-ЛЙ~‘ представляет собой число размещений i «гласных» и к — i «согласных». -10. 48’ §3. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ФОРМУЛА 1. Бином Ньютона В гл. II, § 5, п. 5 была доказана формула бинома Ньютона, справедливая при всех п € N; к=0 а также ряд свойств биномиальных коэффициентов С*; 1) С^„ = С" = \- 2) с^ = сг^ 3) +С^ = (свойство Паскаля)', (1) 338 Глава XX. Комбинаторика 4) ей = ей-' • 5) Е ей = 2": 6) Е (-1)^ей = 0; *=0 л=о 7) Е С= Е с =2"-'. 2. Треугольник Паскаля Свойство Паскаля для биномиальных коэффициентов сй-'+сй = ей.^, позволяет вычислять биномиальные коэффициенты, используя только операцию суммирования, записав еЙ в приведенной ниже треугольной таблице, называемой треугольником Паскаля: П = 1 I 1 п = 2 1 2 1 п = 3 1 3 3 1 rt = 4 1 4 6 4 1 п = 5 1 5 10 10 5 1 л = 6 1 6 15 20 15 6 1 п = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 п = т п = т+1 1.. 1 Г^~^ ^+1 / \ / "*4 / i /^+2 1 \ / " \'" /^+2 у^+3 В п-й строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения бинома {а + Ьу. Причем каждый коэффициент, кроме крайних двух, равных 1, получается как сумма соответствующих коэффициентов из предыдущей строки. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, т. е. равно n + l, а показатель степени а и Ь каждого члена разложения равен показателю степени бинома, так как [п — к) + k = п. Кроме того, что биномиальный коэффициент СЙ~число различных сочетаний из п по к, биномиальные коэффициенты имеют и комбинаторное применение. Рассмотрим пример, демонстрирующий применение треугольника Паскаля. Пример !. Дана прямоугольная сетка квадратов размером пхт. Сколько существует различных дорог по этой сетке, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний? §3. Бином Ньютона и полиномиальная формула 339 III +/■ ■ ^ +/ 0 12 3 Рис. I Д Пути, по которым можно пройти из левого нижнего угла в правый верхний, представляют собой ломаные линии, длина которых равна п + т, если за единицу брать сторону клетки, так как они состоят из п горизонтальных и т вертикальных отрезков (рис. 2). Эти ломаные линии отличаются порядком чередования горизонтальных и вертикальных отрезков. Но таких различий, если учесть, что всего отрезков п + т и из них т вертикальных, будет Следовательно, всего способов, которыми можно пройти из левого нижнего угла в правый верхний, существует С” |.„. А Замечание. Если на рис. 2 на каждом перекрестке разрешено движение вверх или направо, то на перекресток с координатами («, /), выделенный на рисунке черным кружком, можно попасть из левого нижнего угла Ci^j — (Ущ способами. Если на каждом перекрестке поставить числа, равные количеству способов попадания на них из левого нижнего угла, то будет видно, что их заполнение происходит так же, как и в треугольнике Паскаля. Например, на рис. 2 светлым кружкам соответствуют коэффициенты разложения {а + Ь)^. 3. Наибольший член разложения бинома (а -|- Ь)" Нетрудно доказать, что если показатель бинома четный: п = 21, то С'п является наибольшим биномиальным коэффициентом и справедливы неравенства С9„<С1<... <С'-'<С‘„ и c^„>c‘+^>...>cl‘-^>cl^. Если же показатель бинома нечетный: п = 21+1, то имеется два наибольших биномиальных коэффициента ' и справедливы неравенства Напомним, что общий член разложения имеет вид где k = 0,\,2,... ,п. Индекс k + \ внизу у члена разложения Tfe+i означает его порядковый номер, считая слева направо, в разложении бинома. Задача о нахождении наибольшего члена разложения будет использоваться в следующей главе. /о 1 \ 100 Пример 2. Найти наибольший член разложения 1^ + ^) Д Рассмотрим отношение членов разложения г -(+ з'оо-* -1-100 (^4^ (^4^ -^-100-^^oб“ 340 Глава XX. Комбинаторика = (!)*-'= Ct-3'0-4 -100 в данном случае /г = 1,2,...поскольку непосредственно используется номер члена разложения. Тогда Тк+1 _ _ 100! (fe- 1)! ■ (101 -fe)! I _ 101 -fe Tk -(lOO-A:)! 100! 3ft Если ^ > 1, TO 7*. I > Tfi, a если ^ < 1, 7*. | < 7^. Так как > 1 при k <25 (члены возрастают), a < 1 при k>25 (члены убывают), то наибольший член 7г5 = C^qq3^®4“‘°®. А 4. Доказательство комбинаторных тождеств методами математического анализа В качестве примеров рассмотрим также методы доказательства комбинаторных тождеств средствами математического анализа, т. е. с применением дифференциального и интегрального исчисления. Пример 3. Доказать равенство nCf^{п — {п — k)(^C1^ * = ц • 2” *. Л Запишем биномиальное разложение для (х-1-1)”: {х -Ь 1)" = -I- + ... + -Ь ... -f СГ'х + С"- Дифференцируя по х данное равенство, получим: [{х -И)"]' = (С^х" + Cix" - ‘ -Ь... -Ь С*х"-Ч... + СГ' X + С" )' = = цС®х”-'-Ь (« - 1)С‘х"-2 +...-Ь («- Д:)ф""*“Ч...-1- С другой стороны, [(]-Ьх)"]^ = « • (1х)"“'. Получаем равенство, справедливое при всех значениях х: п-{х + !)"-' = пС«х"-‘ -f (ц - 1)С^х"-2 + ..'. ...-ь(ц-^)ф"-*-'-ь...-1-сг>. При X =1 получаем доказываемое равенство: п • 2"-' =пС^^ Л-[п-\)С\л-...-\-{п-к)&„+ С'„-\ А С* _ 2 Пример 4. Доказать равенство ^2 к-^О п — k + \ (2”-О- Д Запишем биномиальное разложение для (1-f-x)”: (х -Ь 1)" = С°х" -Ь С^х"-' +... -Г С*х"-* -Ь... -Ь СГ'х -Ь С"„. §3. Бином Ньютона и полиномиальная формула 341 Обе части равенства представляют собой многочлены от х, поэтому I I (х + 1)" dx= + су-^ + ... + + ... + СУх + С") dx. /^1 1\Л41 Первообразная функции (л:+1) равна ^ — + С, где С — произвольная постоянная Первообразная функции, стоящей в правой части разложения бинома, равна 2-< n + \-k А!=0 где С —произвольная постоянная. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем 2«+1 О л + 1 п 4- 1 ’ (2) П \*=0 О л + 1 п I Сравнивая правые части в формулах (2) и (3), убеждаемся в справедливости доказываемого равенства. А 5. Полиномиальная формула Ответ на вопрос, как раскрывать скобки при вычислении выражения (й1 4-С2-1-...дает следующая теорема, которая носит название полиномиальной теоремы. Теорема. Справедливо равенство (4) rt|! • Л2! •... • rik' ^ ^ (q1 Ч-02 + ... Ч-о*)" — т+П2+—+П1,—п Суммирование производится по всем наборам («i, П2, ■■■, «*) неотрицательных целых чисел таких, что П[ + П2 + ■ • ■ + п/, = п. п\ Коэффициенты циентами. л|!-л2!-...-л;^! называют полиномиальными коэффи- 342 Глава XX. Комбинаторика Замечание 1 Полиномиальные коэффициенты совпадают с числом перестановок с повторениями, имеющими состав («ь ; ..... "i! «2- ••••'’А' Замечание 2. Формула бинома Ньютона — частный случай полиномиальной теоремы при k = 2, так как п d‘n = P{n-k, к) и {a\+a2T = '^P{n-k,k)-a’l~'‘al. *=о О Для доказательства утверждения теоремы для всех натуральных значений п воспользуемся методом математической индукции. Положим п = \. Так как П| -I- «2 + • • • + то правая часть полиномиальной формулы представляет сумму k слагаемых, в которых поочередно одно rii = 1, а остальные равны О, т. е. I! НО!... О! aja^ • • • + • • • + --а°а2 ...а^ = 01-f 02-Ь ...-ЬаА-. 0101... 1! Соответственно, и левая часть (о| -I-02-I-.. . + 0;^)* =ci -fo2-Н.. .-f 0;^. Следовательно, при п = 1 формула (4) верна. Предположим, что формула (4) верна при п = т, т. е. имеет место равенство (о]-f 02-I-... + Oft)"* = ^ Д(оь «а)•■•“Г- П|Н-...+П*=/Л Докажем теперь, что, что формула (4) верна при п = т + 1. Для этого (ц] -}-02 +.. . + Oft)"*''‘' представим в виде произведения (oi + 02 +... 4- Oft)"*"''* = (oi -Ь 02 + ... + Oft)"'(oi 4-02 + о*) и для множителя (oj-f-02-f.. .-t-Oft)"* воспользуемся предположением индукции. Тогда получим к (о] -Го2-1-.. .-t-Oft)"*^' = (oi -|-02-Ь.. .-bOft)"‘(oi -I-02 + .. . + Oft) = ^/4/, j=i гдеЛ,-= ^ P(ni,n2,...,nft)-о"'... оМ'... §3. Бином Ньютона и полиномиальная формула 343 После приведения подобных в получим сумму слагаемых 1=1 вида .. .а|*, где 4-92 + • • •+ + 1, коэффициенты при которых — результат суммирования k членов 4k)+P(^i, + 9/1-1) = ml : + - ml + ...+• ml (9i->)!'?2* •••'?*! |,й»2,й)з,б>4,<^5>^^б} состоит из шести элементов, т. е. N{n) = 6. Некоторое событие называют случайным по отношению к данному опыту (испытанию), если при осуществлении этого опыта оно либо происходит, либо не происходит. Считается, что событие А произошло (наступило), если результатом случайного опыта явился какой-либо из элементарных исходов, входящих в подмножество события А с il.. Достоверное событие U — событие, которое обязательно наступает в результате данного опыта {U = i'l). Невозможное событие 0 — событие, которое заведомо не может произойти в результате данного опыта. Пусть, например, в урне находятся только черные шары, а опыт заключается в извлечении шара из урны. Тогда событие «извлечен черный шар» является достоверным, а событие «извлечен белый шар» — невозможным. При одном бросании игральной кости тот факт, что выпадает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, — достоверное событие, так как при бросании кости оно обязательно произойдет, а выпадение, например, числа 7 является невозможным событием. Противоположное событие А (по отношению к событию А) — событие, которое наступает тогда и только тогда, когда А не наступает. Противоположному событию благоприятствуют элементарные исходы, которые не входят в А. В примере с игральной костью события «выпало четное число» и «выпало нечетное число» являются противоположными. При одном подбрасывании монеты события «выпал орел» или «выпала решки» являются противоположными. Говорят, что событие А влечет событие В (обозначается А С В), если В всегда наступает, когда наступило Л. Пусть опыт заключается в том, что из колоды игровых карт вынимается наудачу одна карта, и пусть рассматриваются следующие события: А ={вынута карта пиковой масти}, В ={вынута карта черной масти}. В этом случае событие А влечет событие В. 2. Операции над событиями. Алгебра событий Суммой {объединением) случайных событий А w В называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает 348 Глава XXL Элементы теории вероятностей ХОТЯ бы одно из событий А,В. Сумму событий А н В обозначают А+В (или АиВ). Событие А Л-В состоит из исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А или В. Произведением {пересечением) случайных событий Л и В называется событие, которое наступает в том и только том случае, когда наступают оба события Л и В. Произведение событий Л и В обозначают Л В или просто ЛВ (или ЛПВ). Событие ЛВ состоит из исходов, благоприятствующих как событию Л, так и событию В. События Л и В несовместны, если АВ — О. В противном случае события Л и В называют совместными. Например, если в опыте с бросанием кости А = {<о\, W(j}, В = {0)2, щ}, то АВ = 0. Через Л\В обозначают событие, состоящее из исходов, благоприятствующих Л, но не благоприятствующих В. Рассмотрим примеры с конкретными событиями Л и В. 1) Пусть в опыте с бросанием игральной кости события Л и В определяются так: Л ={выпало число очков, кратное 3}, В={выпало четное число очков}. Тогда событие А + В означает, что выпало одно из чисел 2, 3, 4, 6; событие ЛВ — выпало число 6, Л\В —выпало число 3. 2) Пусть в опыте с извлечением наудачу одной карты из колоды игровых карт событие Л ={вынута дама}, В ={вынута карта бубновой масти}. Тогда событие А + В означает, что вынута дама или карта бубновой масти; событие ЛВ —вынута дама бубен, Л\В — вынута дама пиковой, крестовой или червовой масти. Говорят, что система всевозможных подмножеств множества элементарных исходов И = {ыь 0)2,(Оп\ образует алгебру событий, поскольку в результате применения любой из введенных выше операций к любым подмножествам этой системы опять получается элемент этой системы, т. е. подмножество множества fi. 3. Свойства операций над событиями А+В = В + А, {А+В) + С = А+{В + С), А+А=А; АВ = ВА, (АВ)С = А{ВС), ЛЛ=Л; А+0 = А, A + ^ = Vl, А-0 = 0, А-0. = А\ А{В + С)=АВ + АС, А + ВС={А+В){А + СУ, АВ = А + В, А+В = А-В. Замечание. Для доказательства указанных свойств достаточно воспользоваться определением операций и показать, что множества элементарных исходов, благоприятствующих событиям в левой и правой частях равенств, совпадают. §1. Основные понятия теории вероятностей 349 Пример 1. Пусть А, В, С —три произвольных события. Записать с помощью введенных операций следующие события; 1) Л1—все три события произощли; 2) А2 — ни одно из событий не произощло; 3) Лз — произощло только событие В; 4) Л4 — произошло, по крайней мере, одно из событий Л, В, С; 5) Л5 — произошло одно и только одно из этих событий; 6) Лб — произошло, по крайней мере, два из этих событий. Л1)Л|=ЛВС; 2) А2 = А В С; 3)Лз = Л-В-С; 4)Л4=Л+В + С; 5)Л5 = Л- В-С + Л- В-С + Л-В-С; 6) Лб = Л-В С + Л В С + Л В С + Л-В С. А Пример 2. Доказать, что (Л\В) + В = Л+В. Д Сначала докажем, что Л\В = ЛВ. Действительно, пусть исход й>еЛ\В. Это значит, что ыбЛ и w^B, т. е. wGB. Следовательно, 6J —общий исход событий Л и В, т. е. (о&АВ. Пусть теперь д>бЛВ. Это значит, что 6>6Л и wGB, т. е. о>^В. Следовательно, ыбЛ\В. Тогда (Л\В) + В = ЛВ + В. Используя свойство Л + ВС = (Л + В)(Л + С), получаем (Л \В) + В = ЛВ + В - (Л + В) (В" + В) = (Л + В) = Л + В. А 4. Вероятность события Классическое определение вероятности. Предположим, что достоверное событие П состоит из элементарных событий Ы], б>2, (элементарных исходов), которые по условиям опыта можно считать равновозможными. В этом случае П = {ы|, д)2, соп}, и его называют пространством элементарных событий. Каждое событие Л является подмножеством множества т. е. Л = {wj,, о,2, Опыт, удовлетворяющий условиям: а) пространство его элементарных событий конечно; б) элементарные исходы равновозможны,называют классической схемой. Определение. Вероятностью Р{А) события Л в классической схеме называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию Л, к числу всех исходов. Если N{Cl) = n — общее число элементарных исходов пространства элементарных событий, Л/(Л) = fe — число элементарных исходов, образующих событие Л, то k р(д) = щи) (1) 350 Глава XXI. Элементы теории вероятностей Заметим, что вероятность каждого элементарного события в опыте с равновозможными исходами равна Из формулы (1) легко выводятся свойства классической вероятности: 1) О < Р(А) < 1 для всех Л; 3) Р(А)^Р(В), если А С В. 2) P(Q) = 1; Я(0) = О; Пример 3. Из 27 вопросов экзамена ученик выучил 24. С какой вероятностью при случайном выборе вопроса он получит вопрос, который он выучил? Д В данном примере N(Q) = 27, а /V(/4) = 24. Следовательно, Р(А) = _ ЩА) _ 24 _ 8 /V(Q) 27 9 ■ Пример 4. Монета бросается дважды. Найти вероятность события А ={хотя бы один раз выпадает орел}. Л Пусть О—появление орла, Р—появление решки. Тогда результатом двух бросаний будет появление одного из равновозможиых исходов 00, ОР, РО, РР. Событию А благоприятствуют три исхода, поэтому Р(Л) = та = |. А Пример 5. Бросают одновременно две кости. Найти вероятности следующих событий: 1) А ={сумма выпавших очков равна 8}; 2) В ={произведение выпавших очков равно 8}; 3) С —{сумма выпавших очков больше, чем их произведение}. Д Будем считать, что в данном примере кости различимы. Представим множество элементарных исходов данного опыта в таблице, где (i, /■) означает, что на первой кости выпала цифра /, а на второй — цифра у. (1.1) (1. 2) (1. 3) (1. 4) (1. 5) (1. 6) (2, 1) (2. 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2. 6) (3, 1) (3, 2) (3. 3) (3. 4) (3. 5) (3, 6) (4. 1) (4. 2) (4, 3) (4. 4) (4. 5) (4. 6) (5. 1) (5. 2) (5. 3) (5. 4) (5. 5) (5. 6) (6. 1) (6. 2) (6, 3) (6, 4) (6. 5) (6. 6) Получаем, что N{il) = 36. Число 8 как сумма выпавших очков может быть получено в данном случае следующим образом: 8 = 2-I-6 = 6-b2 = 3 + 5 = 5-b3 = 4-f4, §1. Основные понятия теории вероятностей 351 т. е. при пяти различных исходах. Следовательно, вероятность этого события равна Р{А) = OV Число 8 как произведение выпавших очков получается при двух исходах 8 = 2х4 = 4х2. Следовательно, вероятность этого события равна = | = Событию, состоящему в том, что сумма выпавших очков меньше их произведения, соответствуют исходы первой строки и первого столбца таблицы, т. е. 11 исходов. Поэтому вероятность этого события равна Р{С) = А Пример 6. В урне лежат десять одинаковых на ощупь щаров, из которых 3 белых и 7 черных. Наугад вынимаются два. Найти вероятности событий: 1) А ={оба вынутых шара черного цвета}; 2) В ={выиуты шары одного цвета}. 3) С ={вынуты шары разного цвета} ^ 1) Общее число возможных исходов равно числу сочетаний из 10 элементов по 2, т. е. = 10! ■о 2! -8! 10-9 = 45, а число исходов. благоприятствующих событию Л, равно Cj = = 21. Поэтому Р{А) = ^ = I = ' . 2) Число исходов, благоприятствующих тому, что будут вынуты два белых шара, равно С| = = 3, а тому, что будут вынуты два черных шара, равно Су = 21. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию В, равно 21 1-3 = 24. Тогда = ^ = 3) Так как любой из трех белых шаров можно комбинировать с любым из семи черных шаров, то по правилу произведения имеется 3-7 = 21 исходов, благоприятствующих событию С. Поэтому Р{С) JL ‘'10 21 45 7_ 15‘ Определение. Вероятностным пространством называется конечное множество О, — {<оь й>2, о)п}, каждому элементу 6), которого поставлено в соответствие неотрицательное число pi (вероятность), где ^ Ер, = 1. (2) /=1 352 Глава XXI, Элементы теории вероятностей Вероятностное пространство можно обозначать (t>i, й>2, ■ . ., 0)/2', р\, Р2, • • • 1 рп) или (fi, Р), где Q = {д>ь 02, <Оп},Р={р\, /?2, •••. Рп}- Пример 7. Игральная кость налита свинцом, в результате чего вероятность выпадения каждого числа очков пропорциональна этому числу. Найдите указанные вероятности и вероятностное пространство. Л Пространство событий Q состоит из шести исходов щ, где k=\,2, 3, 4, 5, 6, и ы/г={выпало k очков}. Пусть — вероятность исхода ы/,. По условию задачи р^ = Xk. Используя формулу (2), получим 6 6 6 ^Рй = 1, т. е. = = А(1-ь2-|-3-Ь4-Ь5-Ьб) = 21Л= 1. /г=1 k^\ кЫ Отсюда ^ ^ и рй = Следовательно, (а P)=(l, 2, 3, 4, 5, 6; 2_ 1 А 21’ 2Г 21’ А А 2Г 21 )• Статистическое определение вероятности. Это определение является рабочим для практических применений, но не строгим математическим определением. Предположим, что производится большое число N испытаний, в каждом из которых событие А может наступить или не наступить. Если А наступает в т испытаниях, то число ^ называется частотой появления события А. Вероятность Р{А) события Л —это число, которое при больших N можно приблизительно считать равным частоте Р{А) N' Как правило, разница между числами Р{А) и ^ тем меньше, чем больше число N. Геометрическая вероятность. В этом случае пространство элементарных событий i~t представляет собой множество, на котором задана мера (например, длина, площадь, объем). Элементарные события, число которых бесконечно, считаются равномерно распределенными в этом множестве. Алгебру событий составляют измеримые подмножества множества элементарных событий Q. Если по условиям опыта элементарные события, имеющие равные меры, равноправны между собой, т. е. равновозможны, то вероятность события А полагается равной Р(А\ - mes(ny где mes —мера (длина /, площадь S, объем V). § 1. Основные понятия теории вероятностей 353 Пример 8. Результат точного измерения физической величины округляют до ближайшего целого числа. Найти вероятность того, что абсолютная величина ошибки округления не превысит 0,1. Д При округлении точного значения до ближайшего целого возникает случайная ошибка измерения -0,5 < л: < 0,5. Таким образом опыт состоит в случайном выборе числа х из промежутка (-0,5; 0,5]. Соответствующий элементарный исход опыта о) = х, пространство элементарных исходов П = (-0,5; 0,5] с М. Интересующее нас по условию задачи событие — это множество Л = {x]-0,Ux<0,l} = [-0,l; 0,1]. г— I -6— -0.5 JL А -0.1 о 0.) Рис. 1 0.5 Пространство П и множество А представлены на рис. 1. В данной задаче мерой множества является его длина, поэтому При мер 9. Пусть круглая мишень радиуса R разделена концен- i R трическими окружностями с радиусами Д — -[q' i = 0,1,2,..., 9, на 10 колец (внутренний круг радиуса г\ также назовем кольцом). Будем считать, что стрелок выбил k очков, если он попал в кольцо между окружностями радиусов гю-* и /"п-а.. Эксперимент состоит в том, что плохо стреляющий стрелок (у него точка попадания равномерно распределена по кругу) делает один выстрел по мишени. Вычислить вероятность события Л* ^{стрелок выбил k очков} и построить вероятностное пространство эксперимента. А Множество элементарных исходов задачи есть П={Л1, Лг,..., Лю}. Используя геометрическое определение вероятности, получаем P{Ak) — где 5(Ла;) — площадь кольца между окружностями радиусов гю-й и гц_л, 5(П) = л/?^. Отсюда у (V) - '"^ (V) _ 2) - 2k 100 /г = 1, 2, ... , 10. 12—3022 354 Глава XXI. Элементы теории вероятностей Получаем таблицу значений вероятностей событий А^. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P{Ak) 0,19 0,17 0,15 0,13 0,11 0,09 0,07 0.05 0,03 0,01 Вероятностное пространство данной задачи имеет вид {И, Р), где = Л2, Р={Р(Л,), ЯИг), Р(Лю)}. А Задачи 1. Каким событием (достоверным, невозможным или случайным) является следующее событие: 1) при одновременном бросании шести игральных костей сумма выпавших очков будет меньше 6; 2) при одновременном бросании двух костей черного и белого цвета число выпавших очков на черной кости будет больше, чем на белой; 3) на 33 карточках написали все буквы русского алфавита (по одной букве на каждой карточке) и после перемешивания из 5 лежащих сверху карточек сложили слово «МОРОЗ»; 4) наугад названное натуральное число будет положительно? 2. Для случайных опытов 1)-5): а) указать элементарные исходы; б) привести пример случайного события, не являющегося элементарным; в) описать множество элементарных событий $2 и в случае, если оно конечно, указать число его элементов Л/(П). 1) Опыт состоит в подбрасывании двух одинаковых игральных костей и фиксировании выпавших очков. По условиям опыта кости неразличимы. 2) Опыт состоит в подбрасывании двух игральных костей и фиксировании выпавших очков. По условиям опыта кости различимы. 3) Цифры 1. 2. 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Опыт состоит в последовательном выборе 3 карточек и фиксировании полученного трехзначного числа. 4) На шахматную доску ставят случайным образом две ладьи — белую и черную и наблюдают полученную расстановку этих фигур. 5) На шахматную доску ставят случайным образом две белые ладьи и наблюдают полученную расстановку этих фигур. По условиям опыта ладьи неразличимы. 3. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами л;, / = 1, 2, ... , 10, причем г) < гг < ... < гщ- Событие Ai ={попадание в круг радиуса г;}. Что о.значают события; 1) = 1=1 10 2) д = ПЛ-; 3) с = а<2Аз? 1=5 4. Доказать равенства: 1) А(В + С) = АВ+АС 3) АВ = А+В, 5) МС = А + В-1 С; 2) А+ВС=(А+В)(А + С); 4) АТВ = А В; 6) А + В + С = А В С. Доказать, что если А С. В, то {А\В)+В = В. §1. Основные понятия теории вероятностей 355 6. Для некоторого эксперимента множество ft содержит ровно п элементарных исходов. Определить число наблюдаемых событий данного эксперимента, если: 1) и = 2; 2) л = 3; 3) л = 6; 4) л - к. 7. Игральная кость налита свинцом, в результате чего вероятность выпадения каждого числа очков обратно пропорциональна этому числу. Найдите вероятностное пространство и указанные вероятности. 8. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными? 9. Набирая семизначный номер телефона, абонент не смог вспомнить две последние цифры и, помня лишь, что они четные и различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер был набран правильно? 10. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости число очков будет больше, чем на второй? 11. Десятитомное собрание сочинений в случайном порядке, но подряд установлено на полке. Найти вероятность события: 1) тома установлены в порядке возрастания; 2) первый и второй тома стоят рядом и в порядке возрастания: 3) на четных местах стоят тома с четными номерами; 4) том 2 стоит раньше томов 5 и 8 12. На отрезок длиной L наудачу бросают точку. Найти вероятность того, что она упадет не дальше, чем на расстоянии I от середины этого отрезка. 13. На отрезке АВ случайным образом выбирают две точки /И и Л/. Найти вероятность того, что из трех отрезков, на которые точки М и N разбивают отрезок АВ, можно построить треугольник. 14f К причалу для высадки пассажиров в течение часа в случайные моменты времени должны подойти два катера Одновременное причаливание катеров невозможно. Время высадки пассажиров с первого катера составляет 10 мин, а со второго — 20 мин. Найти вероятность того, что одному из катеров придется ожидать освобождения причала. 15. Найти вероятность того, что три точки, случайно выбранные на окружности, являются вершинами треугольника: 1) остроугольного; 2) прямоугольного. Ответы 1. 1) Невозможным; 2) случайным; 3) невозможным; 4) достоверным. 2. 1) N{ft) = 21; 2) N{fl) = 36; 3) N{Q) = 60; 4) N(fl) = 64 x 63 = = 4032; 5) N{ft) = = 2016. 3. 1) A^-, ние в кольцо радиуса г, где /"2 < г ^ г^. 6. oft ^0 30 20 15 12 10 \ 147’ 147’ 147’ 147 У ‘ 93 ■ 94 ■ 95 п ас о п пп m J. uni 12' 4) 2* 2) Л5; 3) попада- 1) 4; 2) 8; 3) 64; гЗ ^-1 98-99 100 — 12. если ^ ^ 1. если I > |. 11. 1) 2) 0.1; 13. 0,25. 14. 31 72 100 Ж’ 3’ 0,43. Указание. Пусть А ={одному из катеров придется ожидать освобождения причала}. Пусть X — время прихода первого катера, у — второго. Тогда элементарные исходы имеют вид ы = {х, у), П= {(х, у)|0^х ^60,0^ г/^60} — квадрат со стороной 60 на плоскости Оху, А = {(х, (/)|0 попарно несовместны, т. е. = 0 при к^т, то P{Ai+A2 + ... +An) = P{Ai) + P(A2) + ... +Р(Ап). Пример I. Пусть в урне лежат 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется не белым? Д Первый способ. Пусть событие Л ={вынут черный шар}, 5={вынут красный шар}, тогда Л + В={вынут черный или красный шар}. Так как события А и В несовместны и Р{А) = 4 = |, Р{В) = А, 1а о 1а то по теореме 1 имеем Р(А -f-B) — ^ + ~ = = Второй способ. Пусть событие С ={вынут белый шар} и Р(С) = ^ = |. Тогда появление небелого шара С = Л-ЬВ={вынут черный или красный шар}. Следовательно, по формуле (2) Р(А + В) = Р(С) = 1 -Р(С) = 1-1 = 1- А §2. Сложение вероятностей 357 Пример 2. В партии из 100 деталей 3 оказались бракованными. Какова вероятность того, что среди случайно отобранных 25 деталей будет хотя бы одна бракованная? Д Пусть событие А ={среди случайно отобранных 25 деталей будет хотя бы одна бракованная}, тогда А ={среди случайно отобранных 25 деталей нет ни одной бракованной}. Событие А представляет собой сумму событий А=А[+А2+А^, где у4,-={среди случайно отобранных 25 деталей будет ровно i бракованных}, поэтому легче вычислить вероятность события А. Число способов выбора 25 деталей из 100 деталей равно Число не бракованных деталей равно 100 — 3 = 97. Тогда число способов выбора 25 не бракованных деталей из 97 деталей равно Сд|. Найдем вероятность того, что среди случайно отобранных 25 деталей нет ни одной бракованной: Р{А) с25 97! ai. = 2^- 72! - 73 • 74 ■ 75 _ ^ 98-99 100 6468' 25! • 75! г25 ^'100 Отсюда находим Р{А) = 1 — Р{А) = 1 2701 6468 3767 6468 : 0,582. 2. Теорема сложения вероятностей для произвольных событий Теорема 2. Вероятность суммы двух произвольных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их произведения, т. е. Р{А + В) = Р{А) + Р(В) - Р{АВ). (3) О Пусть событиям А и В благоприятствуют соответственно кит равновозможных исходов, а совместному осуществлению событий А и В, т. е. событию АВ, благоприятствует г исходов. Если число всех равновозможных исходов равно п, то Р{А) = Р{В) = Р(АВ) = Так как событию А + В благоприятствует [к — г){т — г) г = = к + т — г исходов, то Р{А + В) k + т — г = ^ + ^-^^Р{А) + Р{В)-Р{АВ), п п п п т. е. равенство (3) верно. • Следствие. Для произвольных событий А\, А2, ... , А„ вероятность события А] + А2 + ... +Ап вычисляется по формуле Р{А,+А2 + ... +Л„) = ^(-1)^+‘Р(Л,/,-2... л,-,), (4) 358 Глава XXI Элементы теории вероятностей где суммирование распространено на все возможные комбинации событий А\, у4д,..., Л„ по одному, по два, по три и т. д. В частности, при « = 3 имеем: Р{А+В + С)^Р{А) + Р{В) + Р{С)- Р{АВ) - Р{АС) - Р{ВС) + Р{АВС). Замечание. Формула (4) аналогична формуле включений и исключений для подсчета количества элементов объединения п множеств. Пример 3. Из 99 карточек, на каждой из которых написано натуральное число п, где 1<п<99, наудачу вынимают одну карточку. Какова вероятность того, что число, написанное на вынутой карточке, делится на 3 или на 11? Л Пусть событие А ={число, написанное на карточке, делится на 3}, В={число, написанное на карточке, делится на 11}. Нужно найти вероятность события А +Б={число, написанное на карточке, делится на 3 или на 11}. События Л и В не являются несовместными, поэтому для нахождения вероятности события А+ В воспользуемся формулой (3). Так как А = {п\п — Ък, 1 ^/г<33}, В — {п\п = 11/г, 1 <9}, Л В = {п\п = 33k, U < 3}, где fe е N, то Р(Л) = I = I, Р{В) = ^ = ~ р(ав) = 4- = 99 33 Из формулы (3) получаем Я(Л +В) = Р(А) + Р{В) - Р(лВ) = i + 1 - i 11+3-1 _ ш 33 33' Пример 4 (задача о рассеянной секретарше). Имелось п писем, предназначенных разным адресатам, и п конвертов. Рассеянная секретарша разложила письма по конвертам и запечатала их, а после этого наудачу написала адреса. Какова вероятность того, что хотя бы на одном письме адрес будет написан правильно? Л Перенумеруем письма от 1 до п. Пусть событие Л^ ={k-e письмо подписано правильно}, /г=1, ... , п. Тогда событие В — = Л]+Л2 + ... +Лл={хотя бы одно письмо подписано правильно}. Вероятность события В вычисляется по формуле (4): Р(^1+^2 + - • • +Л„)=Р(Л1) + Р(Л2)-Г... ... -ЬР(Л„)-(Р(Л,Л2) + ... -НР(Л„_,Л„)) -Ь '-----------V-----------' все пары (4/4у), 1^/^п, 1^/^п + {P[A\A2Ai) + ... +Р(Л„_2Л„_1Л„)) -Ь... + (-1)”“*Р(Л 1Л2 ...Ап). все тройки {/4,ДуДц), 1^/^п, §2. Сложение вероятностей 359 Учитывая, что P(Ai) = P{A2) = ... =Р(Л„)=(^; С/, вариантов Р(ЛИ2) = Р(Л Из) = • • • = P{An-iA„) = вариантов я(ЛИ2^з) = -- - =РИ„-2Л„-Ип) = ^^; '-----------„-----------' п. вариантов я(ли2---^п) = ^- вариантов Следовательно, р[в)=- • • • + = п\ ' п! П+1 I Задачи 1. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностью 0,012, 0,01, 0,005 и 0,003. Определить вероятность того, что в результате опыта: 1) произойдет хотя бы одно из этих событий; 2) не произойдет ни одно из этих событий. 2. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна карта. Какова вероятность, что будет вынута карта пиковой масти или дама? 3. Две монеты радиусов г\ и расположены внутри круга радиуса R, в который наудачу бросают точку. Определить вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются 4. Вероятность поражения мишени при первом выстреле равна 0,7. Вероятность поражения мишени при втором выстреле равна 0,8. Вероятность поражения мишени при первом и при втором выстрелах равна 0,56. Найти вероятность того, что; 1) мишень будет поражена хотя бы одним выстрелом; 2) мишень не будет поражена ни одним выстрелом. 5. Имеются две урны: первая содержит 1 белый, 3 черных и 4 красных шара, вторая —3 белых, 2 черных и 3 красных шара. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров совпадут. 6. В копилке лежат 8 монет достоинством в I рубль, 10 монет достоинством в 2 рубля и 4 пятирублевых монет. Найти вероятность того, что 5 взятых наугад монет в сумме составят не более 15 рублей. 360 Глава XXL Элементы теории вероятностей 7. Из урны, в которой лежит /г белых и I черных шаров, наудачу вынимают два Шара Найти вероятность того, что они окажутся: 1) разного цвета; 2) белого цвета; 3) черного цвета. 8. Из урны, в которой лежит k белых и / черных шаров, наудачу вынимают без возвращения один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что шар, оставшийся в урне, будет белым. 9* Элементы а\,ач,... ,ап случайным образом переставили (все п\ перестановок равновероятны). Какова вероятность того, что хотя бы один элемент окажется на своем прежнем месте? Ответы 1. 1) 1 - 0,988• 0,99 • 0,995 0,997й!0,03; 2) 0,97. 2. i. 3. 4. 1) 0,94; 2)0,06. 5. |i. 6, 1- + 7. I) 2W 2) ______fe(fe-l) (k + l)(k + l-l)' (k \ l)(k + t-[)' «о рассеянной секретарше»). 3) ‘(1-П 8. (k + l){k + l-\)- “• k + r Указание. Смотри пример 4 (задача §3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ 1. Условная вероятность Пусть при проведении некоторого опыта с числом п равновозможных элементарных исходов имеется дополнительная информация или условие, позволяющее рассматривать не все множество элементарных исходов Q, а ли1нь некоторое его подмножество Я, которому благоприятствует k элементарных исходов {k^0).h этом случае, если исход о не принадлежит Я, то его вероятность полагается равной нулю, если же он принадлежит Я, то его вероятность увеличивается. При этом ясно, что вероятность таких исходов увеличивается в одно и то же число раз, поскольку отношения их вероятностей не зависят от получения дополнительной информации. Обозначим исходы, благоприятствующие событию Я, через 6J(, 6J2i • • • 1 ш*, а их вероятности до получения дополнительной информации — через р\,р2,-- - ,Pk- Соответственно, Р{Н)=р\+р2 + ... +рк-Тогда после получения этой информации вероятности исходов со[, 0)2, , Ык станут равны числам Хр\, Хр2, ... , Ар/^. Из условия Ар| -I- Лр2 -I-... -f Xpii = 1 или A(pi + Р2 + ... + Рк) = i следует, что X =__[_ Р(Я)- §3. Условная вероятность. Независимость событий 361 Таким образом, новые вероятности исходов щ, о)2, Р\ Р->. J>A_ Ok становятся равны р{ну р{ну ■■■ ’ Р{НУ Рассмотрим теперь событие А. Ему благоприятствуют исходы двух видов: благоприятствующие // и не благоприятствующие Н. Если известно, что произошло событие Н, то вероятности исходов 1 первого типа умножаются на Р(НУ а вероятности исходов второго типа полагаются равными 0. А так как исходы первого типа составляют событие Р{АН), то мы можем сформулировать следующее утверждение: если известно, что произошло событие И, то вероятность любого события А принимает новое значение, равное Р(АН) Р{Н) ■ Замечание. Проводимые выше рассуждения имели место в случае конечного множества И. Однако сформулированное утверждение справедливо и в случае бесконечного множества П. Пусть А и Н — события и Р{Н) Ф 0. Определение. Число, выражающее вероятность события Л при условии наступления события Я, называется условной вероятностью события А относительно события Н и обозначается Р{А\Н). Проведенные выше рассуждения показывают, что Из формулы (1) вытекает равенство Р{АН) ^ Р{Н) ■ Р{А\Н), (1) (2) называемое формулой умножения. Таким образом, может быть сформулирована следующая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей. Теорема 1. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое наступило: Р{АВ) = Р{А) ■ Р{В\А) или Р{АВ) = Р{В) ■ Р{А\В). Пусть в некотором опыте с числом п равновозможных элементарных исходов событию Н благоприятствует k элементарных исходов [k ф 0), а событию АН благоприятствует г элементарных исходов. Тогда Р{Н) = -, Р{АН) = Согласно формуле (1) имеем 362 Глава XXI. Элементы теории вероятностей Пример 1. Какова вероятность того, что кость, вынутая наугад из полного набора домино, окажется «дублем», если известно, что сумма очков на ней меньше, чем 6? А В наборе домино 28 костей, из них 7 «дублей». На 12 костях сумма очков меньше, чем 6: 0-0,0-1,0-2,0-3,0-4,0-5,1-1,1-2,1-3,1-4,2-2,2-3. Пусть событие Л ={вынутая кость — «дубль» }, В={сумма очков на вынутой кости меньше 6}, тогда событие АВ ={вынутая кость — «дубль» с суммой очков меньше 6}. Событию АВ благоприятствуют три исхода: 0-0, 1-1, 2-2. Вычислим вероятность Р(А\В) = ^ 3 28 J2 28 2 12 2. Независимость событий Определение. События А и В называются независимыми, если Р{АВ) = Р{А) ■ Р{В). (3) Если равенство (3) не выполняется, то события Л и Б называются зависимыми. Наверняка можно говорить о независимости событий, если они появляются в независимых испытаниях. Например, при стрельбе по мишени несколькими стрелками независимо друг от друга вероятность поражения мишени каждым стрелком не зависит от вероятности поражения ее другими стрелками. Когда же независимость испытаний неочевидна, то независимость событий Л и Б проверяется с помощью формулы (3). Пример 2. Выяснить, являются ли события Л и Б независимыми, если: ' 1) Я(Л) = 0,4, Я(Б) = 0,3, Р(ЛБ) = 0,12; 2) Я(Л) = |, Р(Б) = |, Р(ЛБ) = |; 3) при бросании кости Л ={выпало четное число}, Б ={выпало простое число}. Д 1) Так как Р(Л) • Р(Б) = 0,4 • 0.3 = 0,12 = Р(ЛБ), то события Л и В независимы. 2) Так как Р(Л)• Р(Б) = | = = Р(ЛБ), то делаем вывод, О О U 1о что события Л и Б зависимы. §3. Условная вероятность. Независимость событий 363 3) Р{А) = I = “ I ~ ={выпало число 2}, Р{АВ) = 1 и Р{А) ■ Р{В) = I . I = i ^ 1 = Р{АВ), то делаем вывод, что события А ц в зависимы. А События Л], Лг,... , Лп называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если для любых k из них {k < п) выполняется соотношение P{AiAi^ ...Ai^)^ Р(Л,-,). Р(Л,-^) •... • Я(Л,^. Если это соотношение выполняется при k = 2, то события Л], Л2, ... , Ап называются попарно независимыми. Замечание. Из попарной независимости событий А\, Лг, ... , Л^ не следует их независимость в совокупности. В качестве примера рассмотрим следующий опыт. Пусть на плоскость бросается правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в белый, красный и черный цвет, а на четвертую нанесены все три цвета. Событие Б = {тетра.эдр упал на плоскость гранью, содержащей белый цвет}, К = {тетраэдр упал на плоскость гранью, содержащей красный цвет}, Ч = (тетраэдр упал на плоскость гранью, содержащей черный цвет}. Так как каждый цвет содержится на двух гранях, то /’(Б) = Я(К) = Р(Ч) = |. Вероятность пересечения любой пары этих событий равна — любая пара цветов присутствует только на одной грани. Это означает их попарную независимость, но Р(БКЧ) = |/Р(Б).Р(К).Р(Ч)=1. Пример 3. Бросили монету и игральную кость. Определить, зависимы или независимы события: Л ={выпал орел}, В ={выпало нечетное число очков}. Л В данном в условии опыте все множество элементарных исходов содержит 12 элементов П= (01, 02, 03, 04, 05, 06, Р\, Р2, РЗ, Р4, Р5, Р6}, где О —выпадение орла, Р—выпадение решки, 1, 2, 3, 4, 5, 6 — числа очков, выпадающих на игральной кости. Будем считать, что каждый исход равновозможен, т. е. Р(01) = Р(02) =... =Р(Р6) = —. Событие ЛР = (01,03, 05} состоит из трех элементарных исходов, следовательно, Р{АВ) = ^ Так как Р(Л) = а Р{В) = | = |> то получаем, что Р{А)Р{В) = |. 1 = | = Р(ЛВ), т. е. по определению события Л и В независимы. А 364 Глава XXL Элементы теории вероятностей Пример 4. Доказать, что если события А и В независимы, то события А и В также независимы. Д Событие А можно представить как сумму непересекающихся событий АВ и АВ, поэтому Р{А) = Р{АВ) + Р{АВ)^Р{А)Р{В) + Р{АВ). Отсюда Р{АВ) = Р{А) - Р{А)Р{В) = Р(А) (1 - Р{В)) = Р{А)Р(В), т. е. события А ч В также независимы. А Пример 5. Доказать, что если события А и В независимы, то Р{А+В)=\- Р(А) ■ Р(В). А Используя теорему сложения вероятностей для произвольных событий, запишем; Р{А + В) = Р{А)+ Р{В) - Р(АВ) = = Р{А) + Р{В)-Р{А)-Р{В)^Р{А) + Р{В)~ - (1 -Р(Л)) • (1 -Р(Д)) =Р{А) + Р{В) -1 +Р(В)-\-Р{А)-Р(А)Р(В) = = Р{А)+Р(А)+Р{В) + Р(В)-1-Р{А)Р(В) = 1-Р(А)Р(В), '----V----' '----V----' =1 =1 т. е. равенство верно. А Замечание. Для независимых событий <4i, А2, ■■■ , Ап имеет место формула Р{А^+А2 + ... +An) = l-P(Ai)-P(A2)-... Р(Ап). 3. Формула полной вероятности и формула Байеса Пусть события Я], Я2, Ип таковы, что Hi-Hj = 0 при и Н[ + И2 +. ■. -I-Яп = П. В этом случае говорят, что Я], Яг, Ип составляют полную группу событий. Теорема 2. Пусть вероятностное пространство Q представлено в виде суммы попарно независимых событий Н\, Яг, ..., Я„: Я,+Яг-Г...+Я„ = П,' (4) где Hi ■ Hj = 0 при i ф /. Тогда вероятность любого события А может быть вычислена по формуле P{A) = Y,P{Hi)P{A\Hi). (5) (=1 О Используя свойства операций над событиями и равенство (4), можем записать следующую цепочку равенств Л = Л • П = Л • (Я,-Ь Яг 4-... -ГЯ„) = Л • Я, + Л • Яг 4-... + Л ■ Я„. §3. Условная вероятность. Независимость событий 365 По условию Hi ■ Hj = 0 при i Ф j. В этом случае события А ■ Hi н А ■ Hj будут также попарно независимы, так как {A-Hi)-{A-Hj) = A-Hi-Hj = 0 при 1ф}. Следовательно, событие А представляется в виде суммы попарно независимых событий А И\, А Н2, ... ,А Нп и поэтому вероятность Р{А) по теореме сложения равна Р{А) = Р{А • /■/,)+ Р(У1 • Яг) + ... + Р{А ■ Н„). Заменяя в полученном равенстве Р{А ■ Hi) по формуле (2) на Р(Я,) ■ Я(Л|Я,), получаем доказываемое равенство П Р{А) = Р(Я,)Р(У1|Я,) + ... + Р{Н„)Р{А\Нп) = Y,P{Hi)P{A\Hi), называемое формула полной вероятности. ‘ Ф Замечание Эта формула справедлива и в более общей ситуации Условие Н\ + Н2 + ... + Hn=i'l может быть заменено условием А С Н\+ Н2 +.. ■ + Нп. Одной из форм формулы полной вероятности является равенство РЩР{А\Н,) P{f^k\A) p(^Hi)PiA\Hi) + ... + Р{Н„)Р{А\И„У Для доказательства равенства (5) достаточно заметить, что (6) Поэтому Р{А ■ Hk) = P{Hk)P{A\Hk) = P{A)P{Hk\A). РША) = (7) Если Я], Яг,..., Нп — попарно независимые события, составляющие полную группу событий, то, заменив в (7) Р{А) по формуле полной вероятности, получаем формулу (6). Равенство (6) называют формулой Байеса. Она истолковывается следующим образом. Если существуют попарно исключающие друг друга события (гипотезы) Я), Яг, ..., Я„ такие, что Н\ + Н2 + ... +Н„ = С1, и если известны вероятности события А при условии справедливости каждой из этих гипотез, то по формуле (6) можно найти вероятность справедливости гипотезы Я^, при условии, что произошло событие А. Если Я), Яг,..., Н„ — полная группа событий и Р{Н{), Я(Яг),..., Р{Нп) — их вероятности, то эти вероятности называются априорными {доопытными) вероятностями. Если произошло событие А, то мы получаем апостериорные (послеопытные) вероятности P{Hi\A), Я(ЯгЙ), ..., Р{Нп\А), вычисляемые по формуле (7). Пример 6. При выборах в районный совет голосование проводилось на трех избирательных участках. На первом участке проголосовало 25%, на втором 35% и на третьем 40% всех избирателей. 366 Глава XXI. Элементы теории вероятностей За депутата Иванова проголосовало соответственно 20, 30 и 12% избирателей от числа голосовавших на этих участках. 1) Какова вероятность того, что случайно выбранный избиратель проголосовал за Иванова? 2) Оказалось, что случайно выбранный избиратель проголосовал за Иванова. Какова вероятность того, что он голосовал: а) на первом избирательном участке; б) на втором; в) на третьем? Д Пусть событие Л ^{случайно выбранный избиратель проголосовал за Иванова}. Рассмотрим гипотезы; И\ ={избиратель голосовал на первом участке}, Н2 ={избиратель голосовал на втором участке}, //з={избиратель голосовал на третьем участке}. Априорные (доопыт-fibie) вероятности этих гипотез равны Р{Н\)-0,25, Я(//2) = 0,35, ^(^з) = Соответственно, Р{А\И\) = 0,2, Р{А\Н2) = 0,3, Р(Л|Яз) = 0,12. Тогда по формуле полной вероятности Р{А) = РтР{А\Н1) + Р{Н2)Р{А\Н2) + РтР{А\Нз) = = 0,25 • 0,2 + 0,35 • 0,3 + 0,4 • 0,12 = 0,203. Найдем по формуле (7) апостериорные (послеопытные) вероятности P{Hi,\A), где ^ = 1, 2, 3. Вероятность того, что случайно выбранный избиратель проголосовал за Иванова, голосуя на первом участке, равна Я(Я,|Л) = ственно, вероятность того, что он голосовал на втором участке, равна Р{Н2\А)= того, что он голосовал на третьем UfZUo участке, равна Я(Яз|Л) = = ^. А Задачи 1. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени по одному разу. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что: 1) все стрелки попадут в мишень; 2) хотя бы один стрелок попадет в мишень. 2. Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что выпало простое число очков, если известно, что число выпавших очков нечетно? 3. В изготовленной партии деталей вероятность появления бракованной равна 0,008. В 75% всех деталей стоят медные вставки, а на остальных цинковые, что никоим образом не влияет на их качество. Какова вероятность того, что произвольно выбранная деталь будет с цинковой вставкой и небракованной? 4. Монета последовательно бросается три раза. Определить, зависимы ли события: А ={при первом бросании выпал орел), В ={решка выпала хотя бы один раз}. §3, Условная вероятность. Независимость событий 367 5. 1) Доказать, что если события_/4 и В ^зависимы, то независимыми являются также события; а) Л и В; б) Л и В. 2) Доказать, что если события А\, А^, ■■■ , Ап независимы, то события Л], Лг, , Лп также независимы. 6. Из урны, в которой лежит k белых и I черных шаров, наудачу вынимают один шар, записывают его цвет и возвращают обратно. Затем вынимают следующий шар. Найти вероятность того, что оба шара окажутся: 1) белого цвета; 2) черного цвета. 7. Из урны, содержащей 12 белых, 8 красных и Ю синих шаров, наудачу извлекают два шара. Найти вероятность того, что вынуты шары разного цвета, если известно, что не вынут синий шар. 8. Из урны, содержащей 4 белых и 5 красных шаров, последовательно извлекают без во.звращения два шара Найти вероятность того, что: 1) вторым оказался красный шар при условии, что и первый был красным; 2) оба раза извлекались красные шары 9. Из колоды в 36 карт последовательно наугад вынимаются без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что: 1) оба раза извлекались карты красной масти; 2) первой была вынута карта красной масти, а второй — черной масти; 3) второй была вынута карта черной масти при условии, что первой была извлечена карта красной масти. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго —0,4. После стрельбы в мишени обнаружена ровно одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок. Ilf При помещении в урну тщательно перемешанных п шаров, из которых т белых и п — т черных, один шар неизвестного цвета выпал и закатился. Из оставшихся в урне п — 1 шаров наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым Имеются две урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар Найти вероятность того, что этот шар будет черным. В цеху, изготовляющем микросхемы, первый станок производит 20%. второй 35% и третий 45% всей продукции. В их продукции брак составляет соответственно 0,05, 0,15 и 0,18%. 1) Какова вероятность того, что случайно выбранная из партии готовой продукции микросхема окажется бракованной? 2) Случайно выбранная микросхема оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена; а) на первом станке; б) на втором; в) на третьем? 10 12 13 1. 1) 0,504; 2) 0,994. 2. | 2 3' „V _J 7 (12 8) . ^ _ ■'30 Ответы 3. 0,248. и 0,505. 4. Зависимы. 8. I) 1; 2) Й- 6. 1) (ГЙ?’ 1) il- 2) ’ 70’ ' 70’ 368 Глава XXI. Элементы теории вероятностей 18 6 fTi 3) 10. =. II. —. Указание. Событие Л = {появление белого шара}. 00 I fl Гипотезы; Я| = {утерянный шар был белым}, Я2 = {утерянный шар был черным}. 12. 0,48. Указание. Событие /4 = {из второй урны вынут черный шар}. Гипотезы: Н\ = {из первой урны во вторую положены два черных шара}, Н2 = {из первой урны во вторую положены два белых шара}, = {из первой урны во вторую положены один белый шар и один черный} 13. 1) 0,001435; 2) а) fa 0.07; б) » 0,37; в) «0,56. §4. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Пример 1. Стрелок поражает мишень при каждом выстреле с вероятностью 0,7. Стрелок сделал 3 выстрела. Какова вероятность того, что мишень была поражена: 1) только одним выстрелом; 2) только двумя выстрелами; 3) всеми тремя выстрелами? Д Пусть событие А ^{попадание стрелком в мишень при одном выстреле}, тогда А ={промах при одном выстреле}. По условию задачи Р{А) = 0,7, значит, Р{А) = 0,3. Событие В[ = АА А + ААА + А АА означает, что мишень была поражена одним выстрелом из трех. Его вероятность равна P(Bi) - Р(А) ■ Р(А) ■ Р(А) + Р(А) • Я(Л) • Р(А) + Р(А) ■ Р(А) ■ Р(А) = = ЗР(А) ■ (P(A)f = 3 ■ 0,7 • 0,32 = 0,189. Событие В2 = ААА + ААА -Ь ААА означает, что мишень была поражена двумя выстрелами. Его вероятность равна Р(В2) - 3 • (P(A)f Р(А) = 3 ■ 0,72 • 0,3 = 0,441. Поражению мишени тремя выстрелами соответствует событие В^ = ААА. Его вероятность равна P{B^) — {P{A))^ — QJ^ = Q,3A3. А Рассмотрим теперь общую задачу. Задача. Вычислить вероятность события В, заключающегося в том, что при испытаниях событие А произойдет ровно k раз, считая, что при каждом испытании происходит событие А или А. Рассмотрим событие Bj, состоящее в том, что в первых k испытаниях наступило событие Л, а в следующих (n — k) испытаниях — событие Л, т. е. В1=Л-Л-... -А-А-А-... -А . k множителей n—k множителей §4. Формулз Бернулли 369 События А и А, одно из которых наступало в каждом из испытаний,— независимые в совокупности события. Согласно утверждению о вероятности произведения независимых событий Р(В,) = Р(А) ■ Р(А) ■... ■ Р{А) ■ Р(А) ■ Р(А) ■... ■Р{А) = k множителей п—к множителей = р-р-... ■р-{\-р)-{\-р)-... •(1-р)=р*(1-р) n—k (1) к множителей п-к множителей Рассмотрим теперь событие В,, в котором событие А происходит k раз в различных последовательностях. Тем не менее, вероятность события В,, являющегося произведением k событий А и {п — к) событий А, будет также равна р*(1—р)"~*. Число способов записи произведений k событий А и (п — к) событий А, отличающихся друг от друга порядком расположения в них множителей А и А, равно числу перестановок с повторениями Рк,п-к = с1 (2) Событие В, состоящее в том, что в испытаниях событие А наступит к раз и не наступит {п-к) раз, очевидно, равно сумме несовместных событий В(, отличающихся друг от друга порядком расположения в них к множителей А и {п — к) множителей А. Число таких событий согласно формуле (2) равно С* : В = В\ В2 А- • ■ • -|-В(- '-----------V----------' CJ слагаемых По теореме I о вероятности суммы несовместных событий имеем Р{В) = Я(В,) -f Р{В2) +... -НP{Bi) + ...= CJ слагаемых а слагаемых = с^р*(1-рГ- Вероятность события В принято обозначать Рп{к), подчеркивая тем самым, что рассматривается вероятность события, наступившего ровно к раз в серии из п однотипных испытаний. По доказанному ^Ь1ше . , . Я„(fe) = CУ(l-pr-^ (3) где р = Р{А). 370 Глава XXI. Элементы теории вероятностей Формулу (3) называют формулой Бернулли в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, изучавшего в начале XVIII в. испытания с двумя возможными исходами, а само испытание такого типа — схемой Бернулли. Схема Бернулли. Схемой Бернулли называют случайный опыт, состоящий в повторных испытаниях, удовлетворяющий следующим условиям: 1) в каждом испытании возможны только два исхода: появление определенного события А (успех) или противоположного события А (неудача); 2) испытания являются независимыми, т. е. вероятность успеха в каждом испытании не зависит от исходов в других испытаниях; _ 3) вероятности событий А и А остаются неизменными во всех испытаниях: Р{А) = р и P{A) = \—p = q. Пусть производится серия из п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью р, и k — количество наступлений события А в этой серии. Тогда Я„(/г) = где<7=1-р, k = 0,l,...,n. Приведем примеры случайных опытов, проходящих по схеме Бернулли. 1) Последовательное подбрасывание правильной монеты п раз и наблюдение выпадающих сторон монеты. При каждом подбрасывании возможен один из двух исходов, являющихся противоположными. Если, например, событие Л ={выпал орел}, то Л ={выпала решка}. В данном опыте Р(А) = Р(А) = ^. 2) Последовательное подбрасывание п раз игральной кости и наблюдение выпадающих сторон кости. Если событие Л ={выпало число 3}, то Л ={не выпало число 3}. В данном опыте при каждом подбрасывании Р(А) = Р(А) = |. Пример 2. Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что орел появится при этом ровно: 1) 4 раза; 2) 5 раз? Д Пусть событие Л ={появился орел}, тогда Л ={появилась решка}. Вероятность Р(А) = Р(А) = ^. По формуле (3) находим; ') '’.ои)=^оа)‘(0'= 2)Л„(5)=С?„(0^(1)^ = 10! 41 .6! 256' 210 1№. 512’ §4. Формула Бернулли 371 Пример 3. Процент выпуска бракованной детали составляет 5%. Для продажи взяли партию из 200 деталей. Найти наиболее вероятное число бракованных деталей в этой партии. А Вероятность того, что выбранная наугад из партии деталь окажется бракованной, равна р = 0,05, а того, что она окажется исправной, равна q = 1 ~ р = 0,95. Пусть событие А ={в партии оказалось k бракованных деталей}. Тогда вероятность _ )) Viooj Р{А) = Piooik) = = С^оо 5^95200-* (— \100, — г* — Чоо' 1002ОО Заметим, что (р + я) 200 200 200 = Ё ^20оР*9^°°~* = ^ ^200(^)- Л=0 *=0 \200 Найдем наибольший член разложения бинома [р + q)'^^ Для этого решим неравенство ^2oo(^) ^ /^20о(^ + О 5*95200-* .^,5ft+l95l99-ft ......... * + , ^ '-'ОЛЛ г* *^200 200' 100200 Отсюда получаем 200-А: 19 ^ 1 юо^оо или А < 9. Следовательно, ^2Оо(0) ^ ^2Оо(0 < • • • ^ ^20о(10) ^ ^20о(11) ^ ^ /^20о(200). Таким образом, наиболее вероятное число бракованных деталей в этой партии равно 10. А Пример 4. Пусть вероятность выигрыша при покупке одного лотерейного билета равна р = 0,01. Сколько билетов нужно купить для того, чтобы вероятность хотя бы одного выигрыша была не меньше, чем 0,75? Д Предположим, что куплено п билетов. Введем событие А ={среди купленных билетов оказался хотя бы один выигрышный), тогда Л={выигрышных билетов нет). По формуле (3) имеем P{A) — (^p'^q^, а вероятность Р{А) равна Р{А) = \-Р(А) = 1 - Cf^p^q'' = 1 - (1 -р)" > 0,75. Требуется найти такие значения п, при которых Р(Л)^0,75. Для этого решим неравенство 1-(1-р)"^0,75 или (1-р)"^0,25. 372 Глава XXI. Элементы теории вероятностей Отсюда «1п(1 — р) < 1п0,25 или, с учетом того, что 1п(1—р)<0, получаем п ^ ~ 137,9. Следовательно, нужно купить не менее 138 билетов. А Вообще, при большом числе испытаний относительная частота появления события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого утверждения дает принадлежащий Я. Бернулли закон больших чисел, который в уточненной форме гласит следующее. Теорема. Пусть вероятность события А в некотором испытании равна р, и пусть проводятся серии, состоящие из п независимых повторений этого испытания. Через т обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. Тогда для любого положительного числа а выполняется неравенство Р(1 -Р) р(|г-р|>а) (4) т п Смысл этого неравенства состоит в следующем. Выражение равно относительной частоте события А в серии опытов, а ^ — Р отклонению этой относительной частоты от теоретического значения р. Неравенство Р >Q означает, что отклонение оказалось больше а. Но при постоянном значении а с ростом п правая часть неравенства (4) стремится к нулю. Это означает, что серии, в которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической велико, составляют малую долю всех возможных серий испытаний. Задачи 1. Из урны, содержащей 4 белых и 5 красных шаров, последовательно 10 раз извлекают один шар, записывают его цвет и возвращают обратно в урну. Найти вероятность того, что 4 раза вынимался красный шар 2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять из восьми? 3. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20? 4. Для п испытаний по схеме Бернулли с вероятностью р успеха в одном испытании найти вероятности событий: 1) А ={не появилось ни одного успеха}; 2) В ={появился хотя бы один успех}; 3) С = {успех появился нс менее к\ и не более *2 раз}. 5. Игральный кубик бросают четыре раза. Какова вероятность того, что 5 очков в этой серии испытаний появятся не менее трех раз? §5. Числовые характеристики случайных величин 373 6. В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей Для каждого из них вероятность испортиться после 1000 часов работы равна 0,4. Если испортилось не менее двух предохранителей, то прибор требует ремонта. Найти вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы, если предохранители портятся независимо друг от друга. 7. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки — 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек. 8. Вероятность того, что насекомое определенного вида будет жить более 100 дней, равна 0,5. Найти вероятность того, что среди выбранных для наблюдения 10 насекомых этого вида не менее 8 экземпляров будут жить более 100 дней. 9. Пусть производится серия из п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью р, и Pn{k) — вероятность того, что событие А произойдет k раз. Вывести рекуррентную формулу, связывающую значения вероятностей Рп(й+1) и Pn{k). Ю? (Задача Банаха.) Некий курящий математик носит с собой две коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет закурить, он выбирает наугад одну из коробок. Найти вероятность того, что когда математик вынет в первый раз пустую коробку, в другой коробке окажется г спичек (г= 1, 2, ... , п; п — число спичек, бывших первоначально в каждой из коробок) Ответы ^0 (^) (I) ^ 0,1542. 2. Вероятнее выиграть три партии из четырех. 3. 24 или 25. 4. 1) Р{А) = q'' = (\ - р)"; 2) Р{В) = 1 - = 1-(1-р)"; 3) Я(С) =*Е c*pV*. А=А| 432' 6. 1 - 3 • 0,6'’ 0.77. 7. Рб(0)-ЬЯб(1) +Яб(2)« 0,3723. 8. 9. P„(k+\) = Pn(k). 10. Указание. Спички брались 2п — г раз, причем п раз из коробки, оказавшейся пустой. Это соответствует п успехам в 2п —г испытаниях. §5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Случайная величина это числовая величина, принимающая различные значения случайным образом. В данном параграфе мы рассмотрим лишь дискретные случайные величины f, т. е. случайные величины принимающие конечное множество значений ■^11 • * •» • Замечание. В теории вероятностей рассматриваются также дискретные случайные величины, принимающие значения из счетного множества значений, а также непрерывные случайные величины, принимающие значения, заполняющие отрезок, интервал, полупрямую или всю числовую прямую. 374 Глава XXI. Элементы теории вероятностей Рассмотрим матрицу 1\И. :)■ в первой строке ко- Пусть P{^=Xi) = Pi — вероятность того, что случайная величина f примет значение, равное х,. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически в виде формулы и графически. ^Х| Х2 ... Хп ^Р\ Р2 ■■■ Рп, торой перечисляются все возможные значения случайной величины, а во второй строке указываются соответствующие вероятности их реализации. Такая матрица называется таблицей распределения случайной величины Сумма чисел второй строки таблицы равна единице: р\ +р2 + ... +Рп = 1- Пример 1. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения появления числа три. Л Пусть событие А ={при одном бросании выпала тройка}, Р(Л) = g, Я(Л) = Тогда случайная величина число выпадений тройки при трех бросаниях кости. Она может принимать значения О, 1, 2 и 3. Тогда т 216’ Р(^=0) = Р(ЛЛЛ)=(|) = Р{^=1) = Р{ААА + ЛЛЛ +ЛЛЛ) = 3-Р(^=2) = Р(ЛЛЛ +ЛЛЛ +ЛЛЛ) = 3-Р(^=3) = Р(ЛЛЛ) = (1) = Закон распределения имеет вид ( /'5\2 _ 7^ \б) 216’ = А \6j 216’ 216' О 1^ ^216 1 216 2 Л 216 3 1 216 Функция распределения Р^{х) случайной величины ^ определяется формулой Р^{х) = Р{^<х}= J2 P{^ = ^k}. (1) k: Xh3. V ’ Функция распределения обладает свойством монотонности, т. е. F^{xi) ^F^{x2) при Х\^Х2. 200 216 , 1<х<2, i,23. i 1. Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание (или среднее значение) М(^ дискретной случайной величины f, принимающей конечное множество значений, определяется следуюпшм образом: М(^= xipi +Х2Р2 + ■■■ +х„р„ = '^Xipi. (2) i=l Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины с не является случайной величиной. Пример 3. Пусть случайная величина ^ задана законом распределения Х2 Хп /Х\ Х2 ... Х„\ ^ п п п ' Найти математическое ожидание М{^}. Л По формуле (2) находим М{^=Х1^+Х2^- + ... +x„l = ^i+^^2±ii^±IlL. А ^ ' п п п п Видим, что в случае pi = р2 = ••• ~ Р" ~ ^ математическое ожидание — среднее арифметическое значений Х\, Х2, Хп- Замечание. Математическое ожидание М(^ является средним значением случайной величины f по распределению, поэтому его часто называют «центром распределения». Перечислим свойства математического ожидания. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(а)=а. п о Это свойство следует из условия X) Р» — ® (=1 376 Глава XXI. Элементы теории вероятностей У Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(а^) = а ■ М(^) (здесь а —постоянная неслучайная величина) О Пусть случайная величина ^ задана законом распределения /Х1 Х2 ... х„ \Pl Р2 Рп Тогда закон распределения случайной величины имеет вид (ах\ ах2 ... ахп\ Р\ Р2 ■■■ Рп)' Отсюда П М(а^) = axipi + ах2Р2 + ■■■ + ах„рп = а х,р, = а ■ М{С). (3) Суммой случайных величин ^ и ly с таблицами распределения Х\ Х2 Р\ Р2 Хп Рп У\ У2 Ч\ У2 Ут Ят называется случайная величина а (обозначается а — ^ + у), принимающая пт значений х\ + у\, х\ + У2,---, х\ + ут, Х2 + У\, Х2 + У2,---, Х2 + Ут,- Х„ + у\, Х„ + У2, ■ ■ ■ , Хп + Ут, С вероятностями рц, ... , Ры, Р2\, ■■■ , Р2т, ••• ,Рп\, рпт,--- ,Рпт, ГД6 Pij — вероятность того, что ^ принимает значение л:,-, а у принимает значение ур Для Pij справедливы равенства = ЦРя = Яг /=1 <=1 Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M{^-^y)=M{Q^M{y). (4) Случайные величины ^ и у называют независимыми, если они являются численными характеристиками независимых случайных событий. Если ^ у независимы, то pij = pi-qj, где р,-,-— вероятность совместного появления событий ^ — Х( и y = yj, р,-— вероятность события ^ = Xi, Qj — вероятность события у = yj. Произведением независимых случайных величин у называется случайная величина р (обозначается р = ^у), принимающая пт значений Х1У\,Х]У2,...,Х1Ут, Х2У\,Х2У2,---,Х2Ут, .... Х„У\, Х„У2, ■ ■ ■, ХпУт, С вероятностями Piq^ , Pi^m, P2^l, • • • . Р2Ят, ■■■ , РпЯ\, , РпЯт- §5. Числовые характеристики случайных величин 377 Свойство 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M{^ri)=M{^)-M{r^). (5) 2. Дисперсия дискретной случайной величины Рассмотрим две случайные величины ^ и tj с таблицами распре- деления -S -6 -4 -2 0 3 4 7 1,0.1 0.08 0.12 0.12 0.2 0,18 0.04 0,06 -2 -1 -0,5 -0,2 0 0,5 1.5 2 0,2 0,13 0,2 0,05 0,03 0,2 0,04 0,1 8 0.1 4 0,05 Эти две случайные величины имеют разные законы распределения, но их математические ожидания совпадают: М(^) = M(»j) = —0,08. Щх) —0—0— -8 -6 —0—0--4 -2 0 0-0— 3 4 0—0 ► 7 8 X о'^^о -2 2 4 Г) Рис. 2 На рис. 1 значения случайных величин ^ и Г/, г также их математические ожидания нанесены на числовую прямую. Видно, что эти случайные величины имеют различный ра.зброс около их математического ожидания. Для измерения разброса возможных значений случайной величины используют математическое ожидание случайной величины, представляющей квадрат отклонения ^ — т. е. (6) Такую меру называют дисперсией случайной величины. Дисперсия показывает «степень разброса» значений случайной величины около ее математического ожидания. Пусть случайная величина ^ задана таблицей распределения Р\ Х2 Р2 Х„ Рп. И пусть М{^) = JCIPI -f- ЛГ2Р2 + ... -Ь ХпРп = а. 378 Плава XXI. Элементы теории вероятностей У Тогда таблица распределения случайной величины {^ — ау имеет вид \xi - af {Х2 -af ■■■ {хп - af'' Pi Р2 • • • Рп Дисперсия случайной величины ^ вычисляется по формуле г=1 Преобразуя эту формулу и подставляя a = J2 ^iPi< получим 1=1 ^(0 = X^(J^i-a)^Pi = 1=1 п п п / п п =Y1 ■ 5Z ^^р^+(J2 ^‘Р‘) Y1p‘^ i=l i=l 1=1 u‘=l i=l i=l a=l так как X^p, = l. /=1 Получили, что для вычисления дисперсии также можно использовать формулу = Л - f Ц 1=1 \/=1 / Отсюда следует, что (8) Перечислим свойства дисперсии. 1) D{a) = О, если а — неслучайная величина. О По формуле (8) получаем D(a) = М(а^)-vW^(a) = a^—с^ = 0. • 2) D{a^) = a^D{^, если а — неслучайная величина. О По формуле (8) имеем D(ae) =Л^((aO^) -М^{а^) = c^Л^(C^) - = = (М(^) - Л/2(^)) = a^D{^. §5. Числовые характеристики случайных величин 379 3) D{^ + >?) = -0(0 + ^(>?)> если ? и )7 независимы. О Пусть случайные величины ^ и г) независимы. По формуле (5) имеем М{^г])=М{0-М{г)). По формуле (8) получаем D{^+ Г]) =М{{^+ ,j)2) _Af2(^+ ri) - =M{^ + 2^rj+ri^)-{M{0+M{r))f = 3. Два закона распределения дискретной случайной величины Рассмотрим два закона распределения дискретной случайной величины. Равномерное распределение. Дискретная случайна величина f называется равномерно распределенной, если она задается следую- /12 п'' щей таблицей распределения: I i \ "' i п Распределение случайной величины задается значением п. I 1 Легко посчитать, что М{^ — — Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина называется распределенной по биномиальному закону, если она задается следующей таблицей распределения: (р” р, ::: п p").™'f>*=c;pv-‘. Распределение задается значениями n,p,q (здесь q=\—p). Пример 4. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины подчиненной биномиальному закону распределения P{^=A;} = C*pV*- Д По формуле (2) имеем М{0 = Е kcyq'^-’^ = Е = «Р Е - 1 А:=-0 А=1 Заметим, что -С* = - • . п " п kl-{n — k)\ _ (п — 1)! _ у^-\ 380 Глава XXI. Элементы теории вероятностей Следовательно, М(0=пр Е ^ ' р"'"=пр Ё = k=\ ft=I п = npJ2c^n-\p'‘ 'p("-'^*(*'‘^=np(p + p)""‘. = «Р, Отсюда получаем, что так как р + д= У (9) ▲ Пример 5. Найти дисперсию дискретной случайной величины подчиненной биномиальному закону распределения Р{^ = к} = А Предварительно найдем М{^): П П k=0 к=\ k=\ *=1 *=1 fe=l Заметим, что ]С (^ “ является математиче- Л=1 ским ожиданием случайной величины подчиненной биномиальному закону распределения Я{^ = — 1} = поэтому ее сумма равна {п — 1)р (см. предыдущий пример). Сумма же Е = {p + qY~^ = 1. Отсюда следует, что М(^) = пр{п — 1)р + пр = п^р^ — пр"^ + пр. §5. Чисмоиые характеристики случайных величии 381 Так как D{^ = , то D(^) = - пр^ + пр — ti^p^ = пр — пр^ = пр{\ - р) = npq. (10) А Пример 6. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 0,75. Стрелком сделано 20 выстрелов. Случайная величина количество попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины А Как уже известно, в данном случае случайная величина ^ подчинена биномиальному закону распределения = По формулам (9) и (10) имеем Л1(?) = «р = 20 • 0,75 = 15, D{C) = npq = 20 • 0,75 • 0,25 = 3,75. А Задачи 1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов Вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в данном опыте и найти функцию распределения полученной случайной величины 2. Построить закон распределения и функцию распределения случайного числа попаданий баскетболистом мячом в корзину при четырех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,4. 3. Пусть случайная величина f задана законом распределения f-b -3 -1 0 1 2 3 4' i i illlii 8 8 88888 8/ Найти математическое ожидание M(i) и дисперсию D(^. 4. Независимые случайные величины { и Г/ заданы законами распределения 5 2 1,6 0,1 С /5 2 4\ (7 8^ 1^0,6 0,1 0,3 j 1^0,2 0,8j соответственно. Построить закон распределения случайной величины fjj и найти ее математическое ожидание. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей. Пусть случайная величина f задана законом распределения (Х\ -«2 Р2 Хп P' D{rj) « 1,21. ОГЛАВЛЕНИЕ предисловие . .............. ............. Глава XI. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции .. §1 Функции синус и косинус.. . §2. функции тангенс и котангенс .... ........................ §3. Обратные тригонометрические функции. ....................... §4. Первый замечательный предел.......... ...................... Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства §1. Простейшие тригонометрические уравнения..................... §2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные и линейные уравнения . ............................. §3. Метод замены неизвестного и метод разложения на множители... §4. Метод оценки левой и правой частей уравнения................ §5. Отбор корней уравнений. Тригонометрические уравнения, содержащие знаки модуля и корня. . .................................. §6. Тригонометрические уравнения различных видов. Уравнения, содержащие параметры............. . . . ... ... ... §7. Тригонометрические неравенства................ Глава XIII. Производная и дифференциал.......................... §1. Определение производной. Производные функций х", sinx, cosx . . . §2. Производные показательной и логарифмической функций . . §3. Правила дифференцирования. Дифференциал..................... §4. Геометрический и физический смыслы производной и дифференциала Глава XIV. Применение производной к исследованию функций...................................................... Основные теоремы для дифференцируемых функций........... Возрастание и убывание функции............... ............... Экстремумы функции........................... ............... Наибольшее и наименьшее значения функции..................... Производные второго порядка. Выпуклость и точки пере1иба. §1 §2 §3 §4 §5 §6 §1 §2 §3 §4 §5 5 5 19 26 37 41 41 46 53 58 63 74 87 98 98 103 107 118 126 126 133 138 144 154 Построение графиков функций....................................... 159 Глава XV. Первообразная и интеграл................ 167 Первообразная функции . . . ................. . 167 Неопределенный интеграл.......................... .... 173 Определенный интеграл.................. ..................... 186 Применение определенного интеграла для вычисления площадей . 109 Приложения определенного интеграла к физическим задачам.......... 210 384 Оглавление Глава XVI. Дифференциальные уравнения §1. Основные понятия................ ....................... §2. Уравнения с разделяющимися переменными.................... §3. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка с постоянными коэффициентами................ Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов...................... ........................... §1. Показательные и логарифмические уравнения с параметром.. §2. Показательные и логарифмические неравенства с параметром. §3. Системы логарифмических и показательных уравнений. . ...... §4. Системы тригонометрических уравнений и неравенств.......... Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными .. ........... ............. §1. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными..... §2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными .... §3. Уравнения и неравенства с двумя переменными, содержащие параметры Глава XIX. Делимость целых чисел. Целочисленные решения уравнений ............. ... . §1. Делимость чисел..... .............................. §2. Сравнения........... . . ... §3. Решение уравнений в целых числах..................... §4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными. . . . Глава XX. Комбинаторика . ..... .............. §1, Основные законы комбинаторики . ....... .............. §2. Основные формулы комбинаторики.......... ................ §3. Бином Ньютона и полиномиальная формула.... ............ Глава XXI. Элементы теории вероятностей ...... §1 Основные понятия теории вероятностей .... .............. §2 §3 §4 §5 Сложение вероятностей . Условная вероятность. Независимость событий . Формула Бернулли.............. . . . . Числовые характеристики случайных величин. . 215 215 219 224 235 235 240 248 256 266 266 273 283 298 298 307 313 319 324 324 327 337 346 346 356 360 368 373 для преподавания математики в старших классах физико-математического и естественно-научных профилей. Комплект включает в себя: • учебник для 10 класса • учебник для 11 класса • методическое пособие и дидактические материалы для 10 класса • методическое пособие и дидактические материалы для 11 класса • задачник для 10-11 классов Шабунин Михаил Иванович — доктор педагогических наук, профессор кафедры ■ / чК I высшей математики МФТИ, автор свыше двухсот I _ I научных и учебно-методических работ, один У ^ |1 [ из авторов учебников алгебры для 7-11 классов ||||[ средней школы, учебников и сборников задач ^ математическому анализу и теории функций комплексного переменного для студентов вузов, WiVli автор многих пособий для абитуриентов. Заслуженный работник высшей школы РФ, лауреат премии Правительства Российской Федерации в области образования за 2002 год, член Научно-методического Совета по математике Министерства образования и науки РФ, заслуженный профессор МФТИ. Прокофьев Александр Александрович — ^ доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики МИЭТ. преподаватель математики Физико-математического лицея №1557 ‘ ч Зеленоградского округа г. Москвы, учитель высшей категории Автор более 40 книг, в том числе монографий, учебных и методических пособий по математике для Ш ш школьников и студентов. Область научных интересов связана с разноуровневыми и вариативными моделями математического образования в средней и высшей школе. ISBN 978-5-94774-453-8 ('8594/'