Учебник Математика 9 класс Латотин Чеботаревский

Л. А. Латотин Б. Д. Чеботаревский МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 9 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения Допущено Министерством образования Республики Беларусь 4-е издание, исправленное и дополненное Минск «Народная асвета» 2014 Правообладатель Народная асвета УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 Л27 Перевод с белорусского языка Л. В. Латотиной Рецензент доктор педагогических наук, профессор кафедры математической кибернетики Белорусского государственного университета О. И. Мельников ISBN 978-985-03-2197-8 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2005 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2014, с изменениями © Латотина Л. В., перевод на русский язык, 2014 © Оформление. УП «Народная асвета», 2014 Правообладатель Народная асвета Дорогие друзья! Девятый класс является в определенном смысле этапным в вашем обучении. Вас ожидают экзамены, после которых вы будете выбирать свой дальнейший путь. Это учебное пособие обеспечивает изучение математики в соответствии с программой обучения. Подведению итогов того, что изучалось ранее, дополнению и обобщению ваших знаний посвящен последний раздел учебного пособия, а также справочный материал. Сведения последнего раздела дадут вам представление о том, как устроена школьная математика. Значительное внимание при этом уделяется итоговому повторению. Это учебное пособие организовано так же, как и в предыдущих классах. Каждый параграф начинается с обсуждения вопроса, обозначенного в названии параграфа. Смысловые блоки в параграфах отмечены буквами А, Б, В, Г, Д. Наиболее важное выделено специальными шрифтами. Новые понятия выделяются полужирным шрифтом, правила и утверждения — полужирным курсивом, а понятия и факты, на которые стоит обратить внимание, но не обязательно запоминать, — курсивом. Материал, не предназначенный для обязательного контроля, выделен с двух сторон А. После объяснительного текста идут контрольные вопросы, отмеченные знаком ?. Они предназначены для проверки того, как вы усвоили содержание объяснительного текста. Если на тот или иной вопрос вы не смогли ответить, нужно вернуться к объяснительному тексту и с его помощью попробовать ответить на этот вопрос вновь. Упражнения, идущие после контрольных вопросов, разделены на три группы. Упражнения первой группы посвящены тем вопросам, которые обсуждались в объяснительном тексте. Правообладатель Народная асвета 3 Они имеют в основном тренировочный характер, хотя среди них могут встретиться и более сложные. Вторую группу после разделительной горизонтальной черты составляют разнообразные упражнения на повторение. При их выполнении вам нужно будет применить знания, полученные ранее, в том числе и в предыдущих классах. Задачи третьей группы, идущие после трех разделительных звездочек, являются в чем-то нестандартными. Они потребуют творческого подхода, самостоятельности в рассуждениях. Вместе с тем для их решения у вас достаточно знаний. Те упражнения, номера которых набраны полужирным курсивом, предназначены для углубления ваших знаний. Желаем вам успехов! Авторы Правообладатель Народная асвета Раздел I Функции 1. Функция А) Вы уже неоднократно встречались с зависимостями между величинами. Пример 1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Каждому значению a длины стороны квадрата соответствует единственное значение S его площади (рис. 1), что коротко выражается формулой S = a2. Рис. 1 Пример 2. Масса медного стержня зависит от его объема. Каждому значению объема V стержня соответствует единственное значение его массы m (рис. 2), что выражается формулой m = 8,96 V. т, г 35,8 25,1 12,5 4,48 1 ^ о 1 0,5 1,4 2,8 Рис. 2 V, см Правообладатель Народная асвета 5 Пример 3. Каждому значению переменной c соответствует единственное значение и выражения 2с - 3. Например, если с = 4, то и = 2 • 4 - 3 = 5; если с = -5, то и = 2 • (-5) - 3 = -13; если с = -4,7, то и = 2 • (-4,7) - 3 = -12,4. Зависимость переменной и от переменной с записывается формулой и = 2с - 3. Зависимость одной переменной у от другой х, при которой каждому значению переменной х из определенного множества D соответствует единственное значение переменной у, называется функциональной зависимостью или функцией переменной х. Если переменная у является функцией переменной х, то переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Множество тех значений, которые может принимать аргумент функции, называется областью определения функции, а множество тех значений, которые может получать зависимая переменная, — областью значений функции. Например, площадь S квадрата является функцией длины a его стороны. Областью определения этой функции является множество положительных действительных чисел. Масса m медного стержня является функцией его объема V. Область определения этой функции — также множество положительных действительных чисел. Переменная и из примера 3 является функцией переменной с. Ее область определения — множество всех действительных чисел. Б) Функции могут задаваться различными способами. Часто это делают с помощью формулы. Мы уже указывали на функциональные зависимости, заданные формулами: S = a2, m = 8,96V, и = 2с - 3. Формула дает возможность для любого значения аргумента из области определения найти соответствующее значение функции. Пример 4. Найдем значения функции S = а2 для значений аргумента a, равных 7 и 32: если a = 7, то S = 72 = 49; если а = 32, то S = 322 = 1024. 6 Правообладатель Народная асвета Результаты подобных вычислений удобно оформлять в виде таблицы. Составим таблицу значений функции S = а2 для значений а из промежутка [0; 2] с шагом 0,2. а 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 S 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1 1,44 1,96 2,56 3,24 4 Формульное задание функции позволяет находить значения аргумента, которым соответствует данное значение функции. Пример 5. Функция задана формулой r = 2b2 - b - 10. Найдем, при каком значении аргумента b функция r принимает значение, равное 5. Для этого в формулу r = 2b2 - b - 10 вместо r подставим число 5. Получаем уравнение с переменной b: 5 = 2b2 - b - 10. Решим его: b = = 1 ^ 1 + 120 4 ; b = -21 или b = 3. 2 Значит, r = 5 при b = -2-1 и при b = 3. Если функция задана формулой и при этом не указана область ее определения, то считают, что этой областью является множество всех значений аргумента, при которых выражение в правой части формулы имеет значение. Например, область определения функции у = 7 t - 4 это множество всех поло- жительных чисел, кроме числа 4. Пример 6. Найдем область определения функции: а) у = ^jt + 3; б) 2 W3х + 12 --х=. л/1 - x а) Поскольку выражение \[Л имеет значения при неотрицательных значениях A, то для нахождения области определения нужно решить неравенство t + 3 > 0. Его решения можно записать неравенством -3 < t. Значит, областью определения функции у = t + 3 является промежуток [-3; +^). 7 Правообладатель Народная асвета б) Учтем, что подкоренное вы--4 1 ражение 3х + 12 должно быть нерис 3 отрицательным, а подкоренное выражение 1 - x — положительным, так как оно стоит не только под корнем, но и в знаменателе дроби. Это означает, что для нахождения области \3х + 12 > 0, [l - х > 0. Поскольку х > -4 и х < 1, то областью определения является промежуток [-4; 1) (рис. 3). В) Функция может задаваться таблицей. Пример 7. В следующей таблице указаны среднемесячные температуры воздуха в столице нашей страны городе Минске. определения нужно решить систему неравенств n I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII t, °C -6,9 -6,4 -2,2 5,3 12,6 16,0 17,8 16,2 11,6 5,6 0,0 -4,5 Здесь аргументом является порядковый номер месяца, а значением функции — температура воздуха в градусах Цельсия. Например, из этой таблицы мы узнаем, что в апреле среднемесячная температура воздуха составляет 5,3 °C. Функциональная зависимость может быть задана графиком. На рисунке 4 представлен график движения тела, брошенного под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. С помощью графика функции можно по значению аргумента найти соответствующее значение функции. По графику на рисунке 5 определяем, что, например, через 2 с от начала движения тело находилось на высоте 15 м, а через 3 с — на высоте 7,8 м. Можно также решить и обратную задачу: по данному значению a функции найти те значения аргумента, при которых функция принимает значение а. Например, по графику на рисунке 6 определяем, что на высоте 10 м тело находилось через 0,7 с и через 2,8 с от начала движения. Есть приборы, которые вычерчивают графики зависимостей между величинами. Это барографы — приборы для фиксации зависимости атмосферного давления от времени, термографы — приборы для фиксации зависимости тем- Правообладатель Народная асвета 8 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 пературы от времени, кардиографы — приборы для графической регистрации деятельности сердца и др. На рисунке 7 схематически изображен термограф. Его барабан равномерно вращается. Самописец, который в зависимости от температуры поднимается и опускается, касается бумаги, намотанной на барабан, и рисует на ней определенную линию. Г) По представлению функции формулой можно составить таблицу ее значений для соответствующих значений аргумента. Данная таблица поможет получить графическое представление функции. рис 7 Правообладатель Народная асвета 9 Пример 8. Функция задана формулой p = . Составим таблицу значений этой функции. ^ +1 t -5 -4 -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 4 5 p 0,38 0,59 1 2 5 8 10 8 5 2 1 0,59 0,38 Например, если t = -5, то p = 10 10 (-5)2 +1 25 +1 10 26 0,38. Найденные пары значений переменных t и p отметим на координатной плоскости (рис. 8). Если аргументу t давать другие значения и отмечать на координатной плоскости соответствующие точки, то все эти точки образуют определенную линию. Эта линия является графиком функции p = (рис. 9). Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. 10 t2 +1 Рис. 8 10 Правообладатель Народная асвета Рис. 9 Пример 9. Построим график функции z = —11 — 3. 3 Это линейная функция. Ее графиком является прямая линия. Поэтому для построения этой прямой найдем координаты двух точек графика: если t = —3, то z = — ,3 • (—3) — 3 = —2; если t = 3, то z = —1 • 3 — 3 = —4. 3 Отметив на координатной плоскости точки M(—3; —2) и N(3; —4), проводим через них прямую MN (рис. 10), которая является графиком функции z = —11 — 3. 3 1. Приведите примеры зависимостей между величинами. • 2. Какая зависимость между величинами называется функцией? 3. Что называют независимой переменной или аргументом; зависимой Рис. 10 переменной ? 11 Правообладатель Народная асвета 4. Какое множество называют областью определения функции? 5. Какими способами можно задавать функции? 6. Что называют графиком функции? 7. Какая функция называется линейной? 8. Какая линия является графиком линейной функции? 1. Соответствие между однозначными нечетными числами и их квадратами на рисунке 11 задано стрелочной диаграммой. Определите, является ли это соответствие функцией. Запишите ее область определения. 2. На рисунке 12 представлено соответствие между числами 0, 1, 4, 9, 16, 25 и их квадратными корнями. Определите, является ли это соответствие функцией. 3. Запишите формулу, выражающую тот факт, что: а) периметр P квадрата является функцией длины a его стороны; б) длина С окружности является функцией ее диаметра d; в) площадь S круга является функцией его радиуса г; г) объем V куба является функцией длины его ребра х. 4. Пусть площадь прямоугольника с измерениями 7 м и х м равна S. Запишите формулой зависимость S от х. Найдите значение этой функции для значения аргумента х, равного: в) 3-2 км. ^ 7 а) 6 м; б) 8,2 дм; 5. Машина двигалась со скоростью 75 км/ч и за t ч проехала s км. Задайте формулой зависимость s от t. Найдите значение этой функции для значения аргумента t, равного: а) 2 ч; б) 3,6 ч; в) 1 ч 15 мин. 6. Плотность серебра 10,5 г/см3. Запишите формулой зависимость массы m слитка серебра от его объема V. Найдите значение записанной функции для значения аргумента V, равного: а) 12 см3; б) 58 мм3; в) 1 см3 350 мм3. 7. Пусть величины смежных углов равны а и р. Задайте формулой зависимость Р от а. Найдите значение записанной функции для аргумента а, равного: а) 70°; б) 92°45'; в) 110°32'50". 8. Пусть величины острых углов прямоугольного треугольника равны 5 и S. Задайте формулой зависимость 5 от s. 12 Правообладатель Народная асвета Найдите значение записанной функции для аргумента s, равного: а) 36°; б) 89°32'; в) 50°2'5". 9. Функция задана формулой f = 5 - 3k. Составьте таблицу значений этой функции для значений аргумента k, указанных в таблице. k -10 -5 -2,5 -1 5 0 5 2 32 5 7,6 12 15 20 9 6 3 12 10. Составьте таблицу значений функции q = — для зна- z чений аргумента z из промежутка -24 < z < 24 с шагом 4. 11. В таблице приведены среднемесячные температуры воздуха в городе Бресте. n I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII t, °C -4,4 -3,6 0,6 7,3 14,2 17,0 18,8 17,6 13,4 7,7 2,4 -2,2 Назовите аргумент этой функции. Какое значение имеет функция, если аргумент n равен II; VII; XI? Назовите номера самого теплого и самого холодного месяцев в Бресте. 12. В таблице приведены данные об атмосферных осадках в течение года в городе Пинске. n I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII p, мм 30 32 31 41 54 65 83 67 49 43 41 37 Назовите аргумент этой функции. Какое значение имеет функция, если аргумент n равен II; VII; XI? Назовите номера самого дождливого и самого сухого месяцев в Пинске. 13 Правообладатель Народная асвета 13. По графику функции на рисунке 13 определите, какое значение имеет функция при значении аргумента а, равном: а) -12; в) -6; д) -1; ж) 4; и) 7; б) -9; г) -3; е) 0; з) 5; к) 9. 14. По графику функции на рисунке 13 определите, при каком значении аргумента а функция K имеет значение, равное: Рис. 13 15. Из квадрата со стороной 12 см вырезали круг с радиусом r см (рис. 14). Запишите формулу, выражающую зависимость площади полученной фигуры от переменной г. Укажите область определения этой функции. 16. Из равнобедренной трапеции с основаниями, равными 13 см и 31 см, и боковой стороной 17 см вырезали круг с радиусом r см (рис. 15). Запишите формулу, выражающую зависимость площади полученной фигуры от переменной r. Укажите область определения этой функции. Рис. 15 Рис. 14 14 Правообладатель Народная асвета 17. Используя график функции, приведенный на рисунке 16, заполните таблицу. c -5 -4 -2 0 2 3 5 S 0,35 1 1,4 4,9 7 Рис. 16 18. Графиком функциональной зависимости переменной z от переменной и является отрезок с концами в точках A(-4; -2) и B(4; 2). Начертите график этой функции и по нему заполните таблицу. и -4 -3,5 -2 -0,5 0 2,5 z -2 -1,5 0,5 1 1,5 2 15 Правообладатель Народная асвета 19. Определите, принадлежит ли графику функции A = 8 - 6l точка: а) М(-5; 38); б) ^(-4; -16); в) С(0; 8); г) ^(0,5; 6); д) Ei|;4); ж) G(-11; 3,5); е) F(--5; 11 з) H(3; 4,5); и) K(-1!; -15), 20. На рисунке 17 приведен график зависимости у2 = 2x. Определите, является ли эта зависимость функцией. Найдите значение переменной у, если значение переменной x равно 0; 0,5; 1; 2; 4; 8. Определите, принадлежит ли графику этой зависимости точка: A(8; -4); B(-8; 4); С(-8; -4); D(8; 4). Рис. 17 21. Пусть областью определения функции C = 1 у - 4 яв- 3 ляется множество целых чисел, не больших 8. Постройте график этой функции. 22. Найдите область определения функции, заданной формулой: ч 5 ч m - 2 а) у = -6 х; б) z = —^•; ’ 6t ’ в) D ^ -^—; 6 - Г г) / = д) g = m(m + 3) ’ h -1 ; (h - 2)(h + 1); е) r = ----------------2-; 5 - a a ж) t = yj2y - 20; з) S = 3II9-si 4 - Z2; l2 -1 и) F = (x + 1)-1 x + 2. 23. Определите, при каких значениях переменной x функция у = x2 - 10x - 2 принимает значение, равное: 16 Правообладатель Народная асвета а) -11; в) -26; д) 22; ж) 25; б) -23; г) 9; е) 41; з) -9. 24. Определите, при каких значениях переменной t функция и = \12t + 7 принимает значение, равное: ж) \/5; 3 . а) 1; б) 2; в) 4; г) 10; д) ^9; е) 1 11 з) ^1 11 25. Решите уравнение: а) X2 - 6х - 40 = 0; в) 3х2 + 8х - 3 = 0; д) 3х2 - 6х - 1 = 0; б) X2 - 9х - 70 = 0; г) 2x2 + 9x - 34 = 0; е) 2x2 - 5x - 3 = 0. 26. Найдите сумму и произведение корней уравнения: г - 4 5 4_ а) ^1% = -4; 5 X - 2 б) + 5 = 4; в) г) 9 У - 2 г + 2 5 9 ’ 2 '7 . 7 У + ^ ^ 7 У + 2 27. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны: а) 19 см, 20 см и 37 см; б) 12 см, 35 см и 37 см. 28. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, учитывая, что стороны треугольника равны: а) 18 м и 41 м; б) 32 дм и 65 дм. 29. Найдите площадь равнобедренного треугольника, стороны которого равны: а) 22 м и 61 м; б) 26 м и 85 м. 30. Найдите высоты равнобедренного треугольника, учитывая, что его стороны равны: а) 40 м и 101 м; б) 36 мм и 82 мм. 31. Сторона BC параллелограмма ABCD равна 12 м, что составляет 30 % его периметра. Найдите сторону АВ. 32. Одна из сторон параллелограмма равна 7 см. Определите, могут ли его диагонали быть равными: а) 6 см и 10 см; в) 18 см и 4 см; б) 10 см и 4 см; г) 13 см и 25 см. 17 Правообладатель Народная асвета 33. Периметр параллелограмма QRST равен 16 м и отличается от периметра треугольника QRT на 1 м. Найдите стороны параллелограмма и его диагональ RT, учитывая, что одна сторона параллелограмма больше другой на 2 м. 34. Стороны треугольника UVW относятся как 7 : 10 : 13, а периметр треугольника ABC, вершины которого являются серединами сторон треугольника UVW, равен 330 см. Найдите периметр и стороны треугольника UVW. 35. Углы A, B, C, D четырехугольника ABCD относятся как 2 : 4 : 1 : 5, диагональ BD перпендикулярна стороне AD, а сторона BC равна 10 см. Найдите: а) другие стороны и диагонали четырехугольника; б) расстояния между серединами противоположных сторон четырехугольника и серединами его диагоналей. * * * 36. Докажите, что не существует такого целого числа п, для которого число 7п + 3 есть квадрат натурального числа. 37. Установите, существует ли четыре таких разных натуральных числа, каждое из которых делится на разность любых двух оставшихся. 38. Даны два квадрата: один — со стороной 6 клеток, второй — со стороной 3 клетки (рис. 18). Как, сделав три прямолинейных разреза, из пяти полученных частей сложить один квадрат? Рис. 18 2. Функции у = , у = x3, у =sfx А) Площадь, равную 12 см2, могут иметь прямоугольники с разными измерениями x и у (рис. 19). Эти измерения связаны зависимостью ху = 12, которая позволяет заметить, что увеличение значения переменной x в несколько раз влечет за собой уменьшение соответствующего значения переменной у во столько же раз. Выразив у из формулы ху = 12, получаем у = —. Говорят, что переменная у обратно пропорциональна х переменной x. Функция, которую можно задать формулой у = a, где х х — аргумент, а — определенное не равное нулю число, называется обратной пропорциональностью. 18 Правообладатель Народная асвета 12 1 « 12 : = L 1 ' = 12 . ( 12 : : = > • 1 12 х=1 ■ ] 2 Рис. 19 Областью определения функции у = a является множе- x ство всех действительных чисел, кроме числа 0. В самом деле, если значение переменной x удовлетворяет условию x Ф 0, то выражение — имеет значение. 12 Построим график обратной пропорциональности у = x Соответствующие значения переменных x и у приведены в таблице. x -12 -8 -6 -5 -4 -3 -2,4 -2 -1,5 -1,2 у -1 -1,5 -2 -2,4 -3 -4 -5 -6 -8 -10 x 1,2 1,5 2 2,4 3 4 5 6 8 12 у 10 8 6 5 4 3 2,4 2 1,5 1 Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Получим рисунок 20. Обратим внимание на то, что поскольку число 0 не входит 12 в область определения функции у = —, то графику не при- x надлежит точка с абсциссой, равной нулю, т. е. график не пересекает ось ординат. Поскольку ни при каком значении аргумента x значение функции у не равно нулю, то график не пересекает и ось абсцисс. 19 Правообладатель Народная асвета Рис. 20 2-Zi Если значения аргумента x положительны, то и значения функции у также положительны. При этом с увеличением положительного значения аргумента x значение функции у уменьшается и может стать меньше любого заранее выбранного малого числа. Например, если x = 100, то у = 0,12; если x = 1000, то у = 0,012; если x = 100 000, то у = 0,00012. Это означает, что с ростом положительного значения аргумента x точка на графике функции все ближе и ближе подходит к оси абсцисс, но никогда ее не пересекает. Приближение положительной абсциссы к нулю делает значение функции все большим и большим. Например, если x = 0,02, то у = 600; если x = 0,0003, то у = 40 000. Это означает, что с уменьшением значения аргумента x точка на графике функции все ближе и ближе подходит к оси ординат, но никогда ее не пересекает. Подобным образом ведет себя график и при отрицательных значениях аргумента. Если значения аргумента x отрицательны, то и значения функции у также отрицательны. При этом с увеличением модуля отрицательного значения аргумента x модуль значения функции у уменьшается и может стать меньше любого заранее выбранного малого числа. Это означает, что с увеличением модуля отрицательного значения аргумента x точка на графике функции все ближе и ближе подходит к оси абсцисс, но никогда ее не пересекает. Приближение отрицательной абсциссы к нулю делает модуль значения функции все большим и большим. Это озна- 20 Правообладатель Народная асвета Рис. 21 чает, что с уменьшением модуля значения аргумента x точка на графике функции все ближе и ближе подходит к оси ординат, но никогда ее не пересекает. 12 График функции у = — изображен на рисунке 21. x График обратной пропорциональности называют гиперболой. Гипербола состоит из двух частей, которые называют ветвями гиперболы. Гипербола, являющаяся графиком обратной пропорцио-12 нальности у =---, изображена на рисунке 22. Рис. 22 21 Правообладатель Народная асвета Таким образом, графиком функции у = a является ги-x пербола; областью определения, как и областью значений этой функции, является множество всех действительных чисел, кроме числа 0; противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции; начало координат является центром симметрии графика (рис. 23); если а > 0, то ветви гиперболы находятся в первой и третьей координатных четвертях (рис. 24), а если а < 0, то ветви гиперболы находятся во второй и четвертой координатных четвертях (рис. 25). Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25 Б) Рассмотрим функцию у = x3. Для построения ее графика составим таблицу соответствующих значений переменных x и у, проведя округление значений переменной у до сотых. x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 у -8 -3,38 -1 -0,13 0 0,13 1 3,38 8 22 Правообладатель Народная асвета Отметим точки, координаты которых записаны в таблице, на координатной плоскости (рис. 26). Для уточнения прохождения графика функции в окрестности начала координат проведем дополнительные вычисления. X -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 у -0,064 -0,027 -0,008 -0,001 0 0,001 0,008 0,027 0,064 Поскольку X3 < X2 при 0 < х < 1, то в окрестности начала координат график функции у = х3 подходит к оси абсцисс еще ближе, чем график функции у = х2. График функции у = х3 изображен на рисунке 27. Этот график неограниченно продолжается справа от оси ординат вверх и слева от этой оси вниз. График функции у = х3 называется кубической параболой. Кубическая парабола состоит из двух бесконечных ветвей, Рис. 26 Ч 'г> г Рис. 27 23 Правообладатель Народная асвета Рис. 28 которые расположены в первой и третьей координатных четвертях. Эти ветви плавно сходятся в точке (0; 0). По построенному графику выясним свойства функции у = x3. Если x = 0, то у = 0; если x > 0, то у > 0; если x < 0, то у < 0; график функции проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции; начало координат является центром симметрии графика (рис. 28). В) Рассмотрим функцию у = \[х. Областью определения этой функции является множество неотрицательных действительных чисел, так как выражение sfx имеет значение только при x > 0. Построим график функции у = \[х. Для составления таблицы ее значений используем калькулятор, округляя значения функции до десятых. x 0 0,2 0,5 0,8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 у 0 0,4 0,7 0,9 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 Если нанести на координатную плоскость точки, координаты которых указаны в таблице, получится рисунок 29. Рис. 29 24 Правообладатель Народная асвета Рис. 30 Проведя через эти точки плавную линию, получим график функции у = \fx (рис. 30). Построенный график позволяет сформулировать некоторые свойства функции у = \[х. Если x = 0, то у = 0; если x > 0, то у > 0; начало координат принадлежит графику функции; остальные точки графика расположены в первой координатной четверти. Теорема 1. График функции у =J~x симметричен относительно прямой у = x графику функции у = х2 при x > 0. А Доказательство. Графиком функции у = x2, где x > 0, является ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти (рис. 31). Пусть точка P(a; Ь) — произвольная точка этого графика. Тогда истинно равенство Ь = a2. Поскольку по условию число a неотрицательное, то истинно также и равенство a = -Jb. А это означает, что координаты точки Q(b; a) превращают формулу у = \fx в истинное равенство, или, иначе, точка Q(b; a) принадлежит графику функции у = \fx. Так же доказывается, что если точка M(c; d) принадлежит графику функции у = \fx, то точка N(d; c) принадлежит графику функции у = x2, где x > 0. Проведите это рассуждение самостоятельно. Таким образом, каждой точке P(a; Ь) графика функции у = x2, где x > 0, соответствует единственная точка Q(b; a) графика функции у = \fx, и наоборот. Остается доказать, что точки P(a; Ь) и Q(b; a) симметричны относительно прямой у = x. Опустив перпендикуляры на координатные оси из точек P и Q, получим на этих осях точки 25 Правообладатель Народная асвета E(a; 0), D(0; b), F(b; 0), C(0; a). Точка R пересечения перпендикуляров PE и QC имеет координаты (a; a), поэтому принадлежит прямой y = x. Треугольник PRQ является равнобедренным, так как его стороны RP и RQ равны каждая |b - a. Прямая у = x делит пополам как угол DOF, так и угол PRQ и пересекает отрезок PQ в определенной точке S. Поэтому отрезок RS является биссектрисой треугольника PRQ. Поскольку биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой, то PQ 1. RS и PS = QS. А это означает, что точки P(a; b) и Q(b; a) симметричны относительно прямой у = X. А Поскольку график функции у = \[Х симметричен графику функции у = X2 при X > 0 относительно прямой у = х, то графиком функции у = 'JX является ветвь параболы. (у 1. Какая функция называется прямой пропорциональностью; обратной • пропорциональностью? 2. Как называется график обратной пропорциональности? 3. Как расположен график обратной пропорциональности у = a при a > 0; при a < 0? х 4. Сформулируйте свойства функции у = х3. Как эти свойства отражаются на графике функции у = х3? 5. Какова область определения функции у = \[Х ? 26 Правообладатель Народная асвета 6. Сформулируйте свойства функции у = yfx. Как эти свойства отражаются на графике функции у = -Jx ? 7. Как получается график функции у = у[х из графика функции у = x2? 8. Какая линия является графиком функции у = \fx ? 39. Стороны прямоугольника равны a и b, а его площадь — 60 м2. Запишите формулу, выражающую зависимость: а) переменной a от переменной b; б) переменной b от переменной а. 40. Велосипедист за время t со скоростью v проехал 54 км. Запишите формулу, выражающую зависимость: а) переменной t от переменной v; б) переменной v от переменной t. 24 41. Функция задана формулой h = —. Найдите значение: S а) функции h, если значение аргумента S равно 8; -12; 2,4; б) аргумента S, которому соответствует значение функции h, равное 4; -6; 0,6. 42. Для функции у = — заполните таблицу. t -16 -3,2 -1,6 -0,32 0,64 2,4 20 у -10 -12 -0,8 0,4 40 64 43. Найдите область определения функции: а) M = -0,1; r б) t = ^/I7. в) z = 4 Wa г) U = 2^ 2 ’ -Jx ’ ' x + 2 ' 44. Обратная пропорциональность задана формулой f = I00. Определите, принадлежит ли графику этой функ- g ции точка: а) А(0,05; 2000); г) Б(400; 0,25); б) Б(-0,2; 500); д) б(-90; -1^9); в) С(-0,02; -5000); е) F(7,5; - 13,3). 45. Функциональная зависимость переменной Q от переменной z является обратной пропорциональностью. Запишите 27 Правообладатель Народная асвета Рис. 32 эту зависимость формулой, учитывая, что значению аргумента z, равному: а) 3, соответствует значение функции Q, равное 13; б) 0,4, соответствует значение функции Q, равное 15. 46. Найдите обратную пропорциональность, график которой проходит через точку G(-3; -3). Определите, принадлежит ли графику этой функции точка: а) А(1; 9); б) Б(-1; -9); в) С(2; -4,5); г) Б(-2; -4,5). 47. Определите, график какой обратной пропорциональности у = a проходит через точку: x а) М(1; 2); б) N(-1; 2); в) Р(1; -2); г) Q(-1; -2). 48. На рисунке 32 изображен график обратной пропорциональности у = 10. Найдите по графику значения: x а) функции у при значениях аргумента х, равных -6,2; -4,4; 1,6; 2,3; б) аргумента x, которым соответствуют значения функции, равные -5,1; -3,4; 6,1; 1,1. 28 Правообладатель Народная асвета 49. Из курса физики вы знаете, что абсолютная погрешность измерения показывает отклонение приближенного значения определенной величины от ее точного значения, а относительная погрешность характеризует качество измерения. Высчитав точные значения по формуле у = 10, определите x абсолютную и относительную погрешности для каждого из значений: а) функции у, найденных при выполнении упражнения 48, а; б) аргумента х, найденных при выполнении упражнения 48, б. 50. Постройте график функции, заданной формулой: а) T = ^; б) ^ ^; в) Q = -30; г) V = -36. a b c d 51. На рисунке 33 показан график зависимости времени t, которое нужно затратить на путь от Сморгони до Вилейки (рис. 34), от скорости движения v. Используя график, определите: Рис. 34 29 Правообладатель Народная асвета а) сколько времени понадобится на путь от Сморгони до Вилейки, если двигаться со скоростью 10 км/ч; 15 км/ч; 20 км/ч; 40 км/ч; 50 км/ч; 60 км/ч; 80 км/ч; б) с какой скоростью нужно двигаться, чтобы доехать из Сморгони в Вилейку за 0,5 ч; 1 ч; 31 ч; 4 ч; 3 в) расстояние по шоссе между Сморгонью и Вилейкой. 52. Используя график функции у = x3, приведенный на рисунке 27, найдите: а) значения переменной у, которые соответствуют значениям переменной х, равным -1,7; -1,5; -1,25; 1,2; 1,9; б) значения переменной x, которым соответствуют значения переменной у, равные -7; -6; -5; -4; -3; -2; 2; 3; 4; 5; 6; 7. 53. На рисунке 35 представлен график зависимости объема V куба от длины a его ребра. По этому графику найдите: а) объем V куба, ребро a которого равно 0,2 м; 0,9 м; 1,25 м; 1,7 м; 1,8 м; 1,9 м; б) ребро a куба, объем V которого равен 0,7 м3; 0,9 м3; 2 м3; 3 м3; 4 м3; 5 м3; 6 м3; 7 м3; 9 м3; 10 м3; 11 м3; 12 м3; 13 м3; 14 м3; 15 м3. 54. Используя график, приведенный на рисунке 35, найдите целые значения переменной: а) V, которые соответствуют значениям переменной a из промежутков [0,4; 2]; [1,1; 2,6]; [1,5; 2,5]; б) a, которым соответствуют значения переменной S из промежутков [1; 13]; [4; 14]; [10; 15]. 55. Как изменится объем куба, если его ребро: а) увеличить в 3 раза; б) уменьшить в 5 раз; Рис. 35 в) увеличить в 11 раза; 3 30 Правообладатель Народная асвета г) уменьшить в 3,7 раза; д) увеличить на 120 %; е) уменьшить на 20 %? 56. Определите, проходит ли график функции W = т3 через точку: а) A(-4; -64); г) ^(0,15; 0,003375); б) Б(-3; 27); д) Б(1,5; -3,375); в) С(10; 1000); е) Б(-41; -68 921). 57. Постройте график функции, которая задана формулой: а) F = а3; д) F = (а - 2)3; б) F = 2а3; е) F = а3 + 2; в) F = ^2а3; ж) F = а3 - 2. г) F = (а + 2)3; 58. Площадь круга S вычисляется по формуле S = nr2, где r — радиус круга, или по ,2 формуле S = , где d — диаметр круга (рис. 36). Запишите формулу, которая выражает зависимость переменной: а) r от переменной S; б) d от переменной S. 59. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле S = 4ПГ2, где r — радиус шара (рис. 37). Запишите формулу, выражающую зависимость переменной r от переменной S. 60. Запишите формулу, которая выражает зависимость: а) площади поверхности S куба от длины а его ребра; б) длины а ребра куба от площади S его поверхности. 61. Используя график функции у = ^[х, приведенный на рисунке 38, найдите: а) значения выражения —\/~х, если значения переменной х равны 2,5; 4,1; 5,6; 7,5; 8,8; Рис. 37 Рис. 38 31 Правообладатель Народная асвета б) значения переменной х, которым соответствуют значения выражения —\[Х, равные -1,1; -1,6; -2,3; -2,5; -2,8. 62. Используя график функции у = -^fX, приведенный на рисунке 38, найдите целые значения переменной: а) у, которые соответствуют значениям переменной х из промежутков [0,5; 9,3]; [1; 9]; [2; 8]; б) х, которым соответствуют значения переменной у из промежутков [-2; -1]; [-3; -2]; (-2,9; -0,1). 63. На рисунке 39 представлен график зависимости длины a стороны квадрата от его площади S. По этому графику найдите: а) сторону a квадрата, площадь S которого равна 0,5 см2; 0,8 см2; 2 см2; 5 см2; 7 см2; 11 см2; 13 см2; 15 см2; 17 см2; б) площадь S квадрата, сторона a которого равна 0,2 см; 1,5 см; 2,4 см; 2,8 см; 3,4 см; 3,8 см; 4,1 см. 64. Определите, проходит ли график функции g = у/m через точку: а) A(4; 2); в) С(-100; 10); д) £(25; -5); б) Б(81; 9); г) Б(2,25; 1,15); е) £(0,0001; 0,01). 65. Постройте график функции I = -Ju, если значения переменной u принадлежат промежутку: а) [1; 4]; б) [0; 1]; в) [4; 9]; г) [1; 16]. 66. Пересекает ли график функции у = \/Х прямая: а) у = 1; в) у = 100; д) у = 0,00001; б) у = 10; г) у = 2345; е) у = -1? 67. Постройте график функции, которая задана формулой: а) a = у[У; в) a = 1 ^/F; б) a = 2sIV; г) a = ,J(V + 2); Правообладатель Народная асвета 32 д) a = ,J(V - 2; ж) a = W - 2. е) a = \fV + 2; 68. С помощью графика функции y = \fx сравните числа: а) sj0,3 и sj0,7; в) л/б и yj4,9; б) л/3,2 и 75,7; г) ^/8 и ^^7. 69. Сравните значения выражений: а) л/13 и \fl2; в) V50 и V60; д) VSG и 9; б) 70,13 и 70,12; г) 7 и 750; е) 1,7 и 7з. 70. Сравните значения выражений: а) 7132 и 7125; в) Tl20 и 11; б) 71,6 и 71,62; г) 1,9 и 73,61; е) 0,33 и , /X. V10 71. Запишите по возрастанию значений выражения: а) 7^, и 7^; в) 1 1 2, 3, 2 и V? б) 719, 713 и 4 г) 1, б, JI и ^Z6. ^ ^ \ 6 \7 72. Докажите, что графики функций у = x2, где x < 0, и у = -yfx (рис. 40) симметричны относительно прямой у = х. 33 Правообладатель Народная асвета 73. Найдите значение выражения: а) 11 -13 ; в) 11 -13 ; д) 11 -13 . 18 - 24 ; 18 - 24 ; 18 - 24 б) 11 -13 . г) 11 -13 . е) 11 + 13 18 - 24 ; |18 - 24 ; 18 - 24|. 74. Разложите на множители выражение: а) X5 - X3 - X2 + х; в) х2 + xy - 2y2; б) X5 + 3х4 - 4х3 - 12х2; г) х3 + ху^ - 2y3. 75. Решите неравенство: а) - 9 < -|(х - 2); в) 0,5(3 + 4|х + 31) < 0,3(4|х + 3 + 22); г) 0,2(3 - 4х - 51)< 0,3(2 - 3х - 51). 76. Четырехугольник ABCD на рисунке 41 — трапеция с основаниями DA и CB. Учитывая это и другие данные, приведенные на рисунке, докажите, что: а) луч DB — биссектриса угла ADC; б) треугольник BCD является равнобедренным. 77. На стороне AD квадрата А ABCD внутрь его построен равносторонний треугольник ADE (рис. 42). Диагональ AC пересекает сторону ED этого треугольника в точке F. Найдите углы треугольника: а) ADF; б) AEF; в) CEF. 78. Биссектриса PT равнобедренного треугольника PQR с основанием PQ образует со стороной QR угол величиной 30° (рис. 43). Найдите углы треугольника PQT. D Рис. 41 Правообладатель Народная асвета 79. Найдите внешние углы равнобедренного треугольника, учитывая, что один из его углов равен: а) 40°; б) 100°. 80. Боковая сторона трапеции разделена на че- тыре доли, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, заключенные между боковыми сторонами, учитывая, что основания трапеции рав- /30” ны 27 см и 33 см. ' 81. Найдите углы трапеции IJKL с основанием IL, учитывая, что: а) угол I в 2 раза больше угла J, а угол L в 2,6 раза больше угла K; б) угол I в 3 раза больше угла J, а угол L в 3,5 раза меньше угла K; в) угол I в 4 раза больше угла J, а угол L в 1-1 раза меньше угла K; р г) угол I в 5 раз больше угла J, а угол L в 11 /- 9 Рис. 43 раза больше угла K. 82. Биссектриса угла P параллелограмма PQRS пересекает сторону QR в точке B. Найдите длины отрезков QB и RB, учитывая, что стороны PQ и PS соответственно равны 10 м и 14 м. 83. На плоскости выбрали 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых определяют эти точки? 84. На плоскости выбрали несколько точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Когда через каждые две точки провели прямые, то их оказалось 55. Сколько было выбрано точек? * * * 85. Докажите, что существует число вида 20062006^2006, делящееся без остатка на 2007. 86. Пронумеровали все записанные по возрастанию простые числа, начиная с числа 5: 5 = P1; 7 = Р2; 11 = Р3; 13 = Р4; 17 = Р5; _ . 35 Правообладатель Народная асвета Докажите, что при такой нумерации каждое простое число больше своего утроенного номера: Pk > 3k. 87. На прямой l последовательно на одинаковых расстояниях друг от друга отмечены точки A, B, C, D, E, F (рис. 44). Точка M выбрана так, что MC Е AF и MC = AB. Докажите, что Z AMF = 135°. М Рис. 44 3. Свойства функций А) Напомним, что зависимость одной переменной у от другой переменной х, при которой каждому значению переменной x из определенного множества D соответствует единственное значение переменной у, называется функцией. Функциональную зависимость переменной у от х часто акцентируют записью у(х), которую читают игрек от икс. Например, если функция задана формулой v = то нахождение ее значений при значениях t, равных 25 и 80, оформляют записями: v(25) = 12050 = 4; v(80) = 1800 = 1,25. Область определения функции y(x), т. е. множество значений ее аргумента х, обозначают символом D(y), который читают дэ от игрек. Область значений функции y(x), т. е. множество значений, которые принимает функция у, обозначают символом E(y), который читают е от игрек. Если функция у(х) задана графиком, то область ее определения D(y) есть проекция графика на ось абсцисс, а область значений E(y) — проекция графика на ось ординат (рис. 45). Если функция задана формулой, то область ее определения составляют все те значения аргумента, при которых выражение, записанное в правой части формулы, имеет значения. Например, область определения функции ^(t), заданной графиком на рисунке 46, — это числовой промежуток [-4; 4], а область значений — промежуток [0; 4]: D(g) = [-4; 4]; E(g) = [0; 4]. 36 Правообладатель Народная асвета Рис. 46 Рис. 45 Для функции S = а2 (рис. 47) область определения и множество значений следующие: D(S) = R = (-^; +с»); E(S) = [0; +^), а для функции l = \fs (рис. 48) — такие: D(l) = [0; +с^); E(l) = [0; +с^). Б) Функция у называется возрастающей на множестве K, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции (рис. 49). Функция у называется убывающей на множестве K, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции (рис. 50). Например, функция z = l,8x (рис. 51) возрастает на всей области определения R, а функция r = -1,8i + 3 (рис. 52) убывает на R. Функция S = а2 (см. рис. 47) на промежутке (-^; 0] — убывающая, а на промежутке [0; +с») — возрастающая. Рис. 47 Рис. 48 37 Правообладатель Народная асвета Рис. 51 38 Правообладатель Народная асвета Докажем, например, первую часть последнего утверждения. Выберем произвольно два отрицательных значения а-^ и а2 аргумента а так, что а2 > а^. Тогда а2 - а-^ > 0. Найдем 8(а1) и В(а2): S(а^) = а^; S(а2) = а^^. Рассмотрим разность S(a2) - S(a1): S(a2) - S(al) = а22 - а^^ = (а2 - а^)(а2 + а^). Поскольку а^ < 0 и а2 < 0, то а2 + а^ < 0. Учитывая, что а2 - ах > 0, получаем, что (а2 - ах)(а2 + а!) < 0. Это означает, что S(a2) - S(a1) < 0, или S(a2) < S(a1). Учитывая определение, утверждаем, что функция S = а2 на промежутке (-^; 0] — убывающая. Если функция возрастает или убывает на множестве K, то она называется монотонной на множестве K. Функция S = а2 (см. рис. 47) монотонная как на промежутке (-^; 0], так и на промежутке [0; +^), но она не является монотонной, например, на промежутке [-3; 5]. В) Наибольшим значением max f (функции у = f (на к множестве K называется такое число f (x0), что для любого значения аргумента x из множества K выполняется неравенство f (x) m f(x0). Наименьшим значением min f (x) функции у = f (x) на мно- к жестве K называется такое число f(x0), что для любого значения аргумента x из множества K выполняется неравенство f (x) > f (x0). Например, наибольшим значением функции, представленной графиком на рисунке 53, на промежутке [-3; 0] является число 4,5, т. е. inax у = 4,5. Для промежутка [-1; 0] получаем, что rnax у = 3. Для этих промежутков также получаем, что min у = 1 и min у = 1. На всей области определения этой [-3;0] [-1;0] функции получаем, что max у = 4,5 и min у = -5. [-5;5] [-5;5] Г) Те значения аргумента из области определения, при которых значения функции равны нулю, называются нулями функции. Если функция задана формулой у = f(x), то нули этой функции — корни уравнения f (x) = 0. Поскольку уравнение а = 0 не имеет корней, то функция у = а не имеет нулей. x x 39 Правообладатель Народная асвета Если функция задана графиком, то ее нули — абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс. Для функции, заданной графиком на рисунке 53, нулями функции являют. 1 ся числа -4 и —. Рис. 53 Д) Промежутки знакопостоянства функции у = f (^) — это такие промежутки значений аргумента х, на которых функция сохраняет свой знак, т. е. f (х) > 0 или f (х) < 0. Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нужно решить неравенства f (х) > 0 и f (х) < 0. Для функции, заданной графиком на рисунке 53, получаем, что у > 0 на промежутке |-4; и у < 0 на промежутках (-5; -4) и Свойства функций у = a, у = х3, у = \[х следующие. Функ- ция 0(у) Е(у) Промежутки монотонности График Нули у = х (-То; 0) и и (0; +ТО) (-То; 0) и и (0; +^) При а > 0 убывает на (-То; 0) и на (0; +^); при а < 0 возрастает на (-То; 0) и на (0; +^) Рис. 54 Рис. 55 Нет у = х3 R R Возрастает Рис. 56 0 у = у[х [0; +^) [0; +^) Возрастает Рис. 57 0 Рис. 54 Рис. 55 Правообладатель Народная асвета 1. Какую зависимость называют функцией? • 2. Какое множество называют областью определе- ния функции; областью значений функции? 3. Какая функция называется возрастающей на множестве K; убывающей на множестве K? 4. Какую функцию называют монотонной на множестве K? 5. Что называют наибольшим значением функции на множестве K; наименьшим значением функции на множестве K? 6. Что называют нулем функции? Как найти нули функции? 7. Что называют промежутками знакопостоянства функции? 88. Функция задана формулой у = x + ^. Найдите: а) у(-1); в) у(-4); д) у(-10); б) у(1); г) у(4); е) у(10). 89. Найдите область определения функции, заданной формулой: 1 а) k = -12; г) t = — , i2 + 4i - 21 б) у = 2s3 - 5s2 + 3s - 1; д) / = ^\j - 12|; в) d = 2c , c3 +1; е) g = w - 4 Рис. 56 ^1 w 2 - 7 w + 12| 90. Найдите область значений функции, заданной фор- мулой: а) t= 13; г) х = \/1 - 2; ж) s = c|; б) у = х; д) d = yjs2 + 1; з) m = -| c ; в) z = \fa; е) l = -k2; и) p = 3 + t Рис. 57 41 Правообладатель Народная асвета 91. Найдите область определения и область значений функции, заданной графиком, изображенным на рисунке: а) 58; б) 59; в) 60; г) 61. 92. Найдите область значений функции h = -11, заданной на промежутке: а) [-14; 35]; б) (-49; 70]; в) [-112; -7); г) (350; 847). 93. Найдите область значений функции у = x2, заданной на промежутке: а) (0; 5); б) (-4; 0]; в) [-2; 6); г) [-3; 8]. 94. Определите, какой — возрастающей или убывающей — является функция: а) у = -12,1x; г) g = 5h + 32; ж) q = 2 +-Jm; б) z = 51; ’ 9 ’ д) h = 4r; з) t = 2 -4s; в) f = -12,1t - -8; е) x =-4k; и) u = 1 - x3. 95. Определите, какой — возрастающей или убывающей — является функция: а) у = |х 1^ на [3; 14]; в) f = -|1на [0; 0,1]; б) z = -|и 1^ на [-7; -3]; г) g = |sна [-0,01; 0]. 96. Укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции, график которой изображен на рисунке: а) 58; б) 59; в) 60; г) 61. 97. Укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции: а) у = x2; в) h = д) f =-|11; ж) x = |r|' б) z = -u2; г) p = --1; е) g = |s|; з) g =-|if 98. Установите, является ли монотонной функция, представленная на рисунке: а) 58; б) 59; в) 60; г) 61. 99. Установите, является ли монотонной функция, представленная на рисунке 60, на промежутке: а) [-5; -2]; б) [-3; -1]; в) [-1; 1]; г) [0; 3]; д) [3; 5]. 42 Правообладатель Народная асвета 100. Найдите нули функции: а) у = 3х - 2; г) p = -3c2 + 2c - 11; б) z = 5 + 2u; д) f = |3х - 2|; в) h = 2t2 + 5t - 18; e) g = \2s - 1 + 3; 101. Найдите нули функции: ж) у = ax + b; . 3 x + 1 з) g = 4 - x ^ „,2 и) u = x4 + x2. а) у = -3x - 7; б) f = 7s + 2; в) h = -2t2 + 3t - 5; г) x = 3a2 - 2a - 16; . 5 x2 + 4 x + 1 д) y = 3-x ; е) g = |2у - 1 - 3; ж) z = |3x2 - 2x - 5|; ^ 5 x - 2 з) g = 3 - x 102. Укажите нули функции, график которой представлен на рисунке: а) 58; б) 59; в) 60; г) 61. Рис. 59 Рис. 58 г 1 -4 : 1 < 1 с 1 N i I 11 1 а г 1 > V 7 2 \ Рис. 60 Рис. 61 43 Правообладатель Народная асвета 103. Укажите наибольшее и наименьшее значение функции, представленной на рисунке 60, на промежутке: а) [-5; -3,5]; г) [1; 5]; б) [-4; -1]; д) [4; 5]. в) [-3; 2]; 104. Укажите промежутки знакопостоянства функции, график которой представлен на рисунке: а) 58; б) 59; в) 60; г) 61. 105. Укажите промежутки знакопостоянства функции: а) z = 2g - 2; г) s = 4k + 1,6; б) q = 12l + 18; д) u = 3t - 1; 5 в) t = 3a - 11; е) y = - x - 2. 4 106. Докажите, что функция: а) y = x2 возрастающая на промежутке [0; + ^); б) z = у3 возрастающая на R; в) t = -l3 убывающая на R; г) h = — убывающая на (-^; 0); д) г = 1 убывающая на (0; + ^); е) f = t убывающая на промежутке (-^; 0]; ж) h = -I s| возрастающая на промежутке (-^; 0]. 107. Вычислите: -10 а) (1 j • 27-3 + 0,2-4 • 25-2 + (2-1)-2; б) n/Ig + 5 лДс - 2 лДс 108. Решите уравнение: а) а2 -1 2а + 1 a = 3; в) 1 + г) c - 1 d + 2 d + 7 - 2d б) -b- -= 4; . . ^ b - 2 b - ^ '2d - 2 d -1 2d + 2 109. Решите уравнение: а) lx — I = 2x + 3; в) x + 3x + lx + 3 = 0; б) |3 - 5x = x + 5; г) lx - I + 3 = x2 44 Правообладатель Народная асвета 2 110. Синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен 3 . Найдите синус, косинус и тангенс внешних уП09 непрямых углов этого треугольника. 111. Точки Ми N соответственно на сторонах AB и AC треугольника A^C расположены так, что BM = 3AM и CN = = 3A^. Учитывая, что BC = 32: а) докажите, что MN || BC; б) найдите MN. 112. Углы K и L треугольника KLM соответственно равны 42° и 60° (рис. 62). На луче KL от точки L отложен отрезок LB, равный отрезку LM, а на луче LK от точки K — отрезок KA, равный отрезку KM. Найдите углы треугольника AMB. М 113. Есть треугольник со сторонами, равными 24 см, 36 см и 42 см. Найдите периметр треугольника, у которого: а) вершины являются серединами сторон данного треугольника; б) одна вершина совпадает с вершиной большего угла данного треугольника, а вторая и третья вершины разделяют стороны, выходящие из этой вершины, в отношении 2 : 1, если считать от нее; в) одна вершина совпадает с вершиной меньшего угла данного треугольника, а вторая и третья вершины разделяют стороны, выходящие из этой вершины, в отношении 5 : 7, если считать от нее. 114. Длина отрезка CD равна 18 см. На прямой CD выбраны точки K и L так, что CK : KL : LD = 2 : 3 : 4. Найдите длины отрезков CK, KL, LD. 115. Диагональ разделяет трапецию на два треугольника, площади которых относятся как 3 : 7. Найдите отношение площадей четырехугольников, на которые данную трапецию разделяет ее средняя линия. 45 Правообладатель Народная асвета 116. Через произвольную точку X основания AC равнобедренного треугольника ABC параллельно боковым сторонам AB и BC проведены прямые, пересекающие эти стороны в точках Y и Z соответственно. Докажите, что периметр четырехугольника BYXZ равен сумме боковых сторон треугольника ABC. * * * 117. В турнире, в котором каждый из пяти участников играет с каждым один раз, только Михась и Алесь провели одинаковое количество встреч, а все остальные участники — разное количество. Сколько встреч провел Михась? 118. Все числа от 1 до 2007 должны быть записаны красным или черным цветом так, чтобы выполнялись условия: если число А записано красным цветом, то и число А + 6 должно быть записано красным; если число В записано черным цветом, то и число В + 15 должно быть записано черным. Может ли так случиться, что среди записанных чисел точно 1000 черных? 119. В таблице размерами 5 на 7 клеток записаны 1 отрицательное и 34 положительных числа. За один ход разрешается изменять знаки чисел, находящихся в выбранной строке или столбце, на противоположные. Можно ли за несколько таких ходов все числа сделать положительными? Правообладатель Народная асвета Раздел II Сочетание окружности с углом, прямой, многоугольником 4. Окружность и угол Рассмотрим взаимное расположение на плоскости окружности и угла, каждая сторона которого имеет с этой окружностью хотя бы одну общую точку. А) Угол, вершина которого находится в центре круга, называется центральным углом. На рисунке 63 угол AOB — центральный угол, так как его вершина O совпадает с центром окружности. Этот угол высекает из окружности дугу АВ. Говорят, что центральный угол AOB опирается на дугу AB. Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны имеют с этой окружностью общие точки, называется вписанным углом. На рисунке 64 угол CDE — вписанный, так как его вершина D лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность в точках C и E. Угол CDE высекает из окружности дугу CE. Говорят, что вписанный угол CDE опирается на дугу CE. При измерении углов, связанных с окружностью, пользуются понятием градусной меры дуги. С градусным измерением дуг вы уже встречались в географии. Например, вам понятно, что означает утверждение: «Координаты города Минска — 53°54' северной широты и 27°35' восточной долготы». Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Например, градусная мера четверти окружности равна 90°, полуокружности — 180°, трех четвертей окружности — 270°, 47 Правообладатель Народная асвета 180 360 всей окружности — 360° (рис. 65). На рисунке 66 градусная мера дуги UV, содержащей точку W, равна 67°, а дуги UV, содержащей точку T, равна 293°. Это записывают так: W UWV = 67°; 270 Рис. 65 UTV = 293°. (1) Понятно, что центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Учитывая равенства (1), можем записать, что Z USV = 67°. Б) Теорема 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Доказательство. Вписанный угол по отношению к центру окружности может располагаться так, что этот центр лежит: а) на одной из сторон угла; б) внутри угла; в) вне угла. а) Пусть центр Q окружности принадлежит стороне угла LMN (рис. 67). Докажем, что величина угла LMN равна половине градусной меры дуги LN. Угол LQN как внешний угол треугольника LQM равен сумме углов LMQ и QLM. Но эти углы равны друг другу как углы при основании равнобедренного треугольника LMQ. Значит, Z LQN = 2 Z LMQ, или Z LMN = IZ LQN. Поскольку градусные меры центрального угла LQN и дуги LN равны, то градусная мера в два раза меньшего вписанного угла равна половине градусной меры дуги LN: Z LMN = I ^ LN. б) Пусть центр Q окружности лежит внутри угла LMN (рис. 68). Докажем, что величина угла LMN равна половине градусной меры дуги LN. Проведем диаметр MP. Тогда луч MP разбивает угол LMN на два угла LMP и PMN, в каждом из которых одна сторона проходит через центр. Используем доказанное в а) и получим: Z LMN = Z LMP + Z PMN = 1 ^ LP + 2 + 1W PN = i(w LP + W PN) = 1W LN. 2 2 2 48 Правообладатель Народная асвета Получили, что, как и в предыдущем случае, градусная мера угла LMN равна половине градусной меры дуги LN. в) Пусть центр Q окружности лежит вне угла LMN (рис. 69). Докажем, что величина угла LMN и в этом случае равна половине градусной меры дуги LN. Проведем диаметр MP. Тогда угол LMN равен разности углов LMP и NMP, в каждом из которых одна сторона проходит через центр. Используем доказанное в а) и получим: Z LMN = Z LMP - Z NMP = 1 w LP - 1 w NP = 2 2 = 1 (w LP - w NP) = 1' ' LN. Получили, что и в этом случае градусная мера угла LMN равна половине градусной меры дуги LN. Таким образом, градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую этот угол опирается . Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. В) Задача 1. Докажем, что угол, вершина которого находится вне круга, а стороны пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг, которые данный угол высекает из окружности. Доказательство. Пусть вершина K угла MKN находится вне круга, его сторона KM пересекает окружность в точках M и Ml, а сторона KN — в точках N и Ni (рис. 70). Докажем, что Z MKN = 1 (w MN - W MiNi). Угол MMiN — внешний угол треугольника NKMi. Поэтому Z MM1N = ZM1KN + Z M1NK. Значит, Z M1KN = Z MM1N - 49 Правообладатель Народная асвета - Z M^NK, или Z MKN = Z MM^N - Z M^NK. В соответствии с теоремой 1 истинны утверждения Z MM.N = 1W MN и Z M.NK = 1 1 2 1 2 ' MiNi. Поэтому Z MKN = 1W MN - 1W M^N^ = MN - ^ M^N^). Г) Задача 2. Докажем, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сторонами данного угла, а другая — между сторонами угла, вертикального данному. Доказательство. Пусть вершина M угла AMB находится внутри круга, его стороны пересекают окружность в точках A и B, а продолжения этих сторон — в точках А1 и В1 (рис. 71). Докажем, что Z AMB = 1(^ АВ + ^ А^В^). Угол AMB — внешний угол треугольника AMB1. Поэтому ZAMB = ZAB1M + Z MAB1. В соответствии с теоремой 1 можно утверждать, что ZAB1M = 1 ^AB, а Z MAB1 = 1 ^A1B1. Поэтому Z AMB = 1W AB + 1 ^ A1B К Рис. 71 1. Какой угол называют центральным углом; вписанным углом? 2. Что называется градусной мерой дуги окружности? 3. Сформулируйте утверждение об измерении центрального угла. 4. Сформулируйте утверждение об измерении вписанного угла. 5. Какова величина угла, опирающегося на диаметр окружности? 6. Какое свойство имеют вписанные углы, опирающиеся на одну дугу? 7. Сформулируйте утверждение об измерении угла с вершиной вне круга. 8. Сформулируйте утверждение об измерении угла с вершиной внутри круга. 50 Правообладатель Народная асвета 120. Начертите окружность с центром O и отметьте на ней точку X. Постройте дугу XY этой окружности, градусная мера которой равна: а) 90°; в) 35°; д) 180°; ж) 290°; б) 60°; г) 140°; е) 200°; з) 345°. 121. Дуги AB и CD окружности с центром O равны. Точка N — внутренняя точка дуги CD, а точка P не принадлежит этой дуге. Градусная мера дуги AB равна 100°. Найдите градусные меры дуг CND и CPD. 122. Учитывая, что длина дуги окружности пропорциональна ее градусной мере, найдите с точностью до миллиметра длину дуги окружности с радиусом 10 см, градусная мера которой равна: а) 90°; в) 75°; д) 180°; ж) 330°; б) 30°; г) 150°; е) 225°; з) 355°. 123. Учитывая, что длина дуги окружности пропорциональна ее градусной мере, найдите с точностью до градуса градусную меру дуги окружности с радиусом 15 м, длина которой равна: а) 5 м; в) 32 м; д) 60 м; ж) 89 м; б) 15 м; г) 47 м; е) 71 м; з) 94 м. 124. Отрезки AB и CD — взаимно перпендикулярные диаметры окружности с центром O. Найдите градусную меру дуги CD окружности, центром которой является точка B (рис. 72). 125. Дуги PQ и RS окружности с центром O равны. Точка A — внутренняя точка дуги PQ, точка B — внутренняя точка дуги RS, а точка C не принадлежит ни одной из этих дуг (рис. 73). Докажите, что: а) хорда PQ равна хорде RS, а дуга PCQ равна дуге RCS; б) дуга PQS равна дуге RSQ, а дуга PCS равна дуге RCQ. fB Рис. 73 51 Правообладатель Народная асвета 126. га DH, а) 38°; б) 64°; Найдите вписанный угол DFH, учитывая, что ду-на которую он опирается, равна: в) 90°; г) 149°; д) 180°; е) 277°; ж) 77° 16'; з) 217° 57'. 127. Найдите угол AKB или дугу AB по сведениям, приведенным на рисунке: а) 74; б) 75; в) 76; г) 77. 128. Точки U и V выделяют из окружности дугу в 150°, а точка W разделяет другую дугу на части UW и VW, которые относятся как 3 : 4. Найдите углы треугольника UVW. 129. Точки A, M, B, N расположены по окружности в указанном порядке. Докажите, что сумма углов AMB и ANB не зависит от положения точек M и N на тех дугах, на которых они находятся. 130. Прямые AB и CD пересекаются в точке K внутри круга с центром O и пересекают окружность в точках A, B, C, D, при этом углы AKC и AKD равны а и в соответственно, а дуги AC, CB, BD, DA — S, Y, ю, 5 соответственно (рис. 78). Найдите: а) а, в, ю, если у = 40°, 5 = 170°, s = 85°; б) а, в, s, если у = 40°, 5 = 170°, ю = 85°; в) а, 5, ю, если у = 36°, в = 130°, s = 70°; г) в, Y, ю, если s = 55°, а = 80°, 5 = 160°; д) в, 5, s, если ю = 100°, а = 50°, у = 30°; е) в, Y, s, если 5 = 98°, а = 64°, ю = 102°. 131. Два луча, выходящие из точки P, пересекают окружность: один — Правообладатель Народная асвета в точках R и Q, другой — в точках T и S (рис. 79), при этом угол QPS равен а, а дуги RT, TS, SQ, QR — в, Y, 5, S соответственно. Найдите: а) а, S, если в = 20°, 5 = 80°, у = = 65°; б) 5, S, если а = 30°, в = 34°, у = = 70°; в) в, S, если а = 18°, 5 = 86°, у = 58°; г) а, 5, если у = 60°, s = 115°, в = 85' Рис. 79 132. Два луча, выходящие из одной точки, высекают из окружности две дуги величиной 62° и 162°. Найдите угол между лучами и две другие дуги окружности, учитывая, что одна из них на 10° меньше другой. 133. Два луча, образующие угол величиной 46°, высекают из окружности две дуги, большая из которых равна 132°. Найдите меньшую дугу и две другие дуги окружности, учитывая, что они относятся как 1 : 3. 134. Найдите угол у по сведениям, приведенным на рисунке: а) 80; б) 81; в) 82; г) 83; д) 84; е) 85. 53 Правообладатель Народная асвета Рис. 86 135. Установите, верно ли утверждение: а) равные хорды одной окружности стягивают равные дуги; / ^ б) равные дуги одной окружности стягиваются равными хордами. 136. Найдите градусные меры дуг MQN и MBN, учитывая, что центр A первой из этих дуг лежит на окружности, которой принадлежит вторая дуга, а центр второй дуги принадлежит первой дуге (рис. 86). 137. Точка C делит пополам полуокружность AB, O — середина отрезка AB, X — точка луча OC. Определите: а) положение точки X, учитывая, что прямая AX делит пополам дугу BC; б) градусные меры дуг AL и BL, где L — точка пересечения прямой AX с полуокружностью и угол OXA равен а. 138. Точка M находится в плоскости круга с диаметром AB. Докажите, что угол AMB является: а) острым, если точка M лежит вне круга; б) прямым, если точка M лежит на окружности; в) тупым, если точка M лежит внутри круга, но не на диаметре AB. 139. Точка C находится на окружности с диаметром AB, а точка D — ее проекция на AB. Пусть длины отрезков AB, BC, CA, CD, AD, BD и радиус окружности соответственно равны с, а, b, h, c^, c2, r. Выразите переменные: а) с, h, С]_, с2, r через переменные а и b; б) b, с, с^, с2, r через переменные а и h; в) b, с, h, с2, r через переменные а и с^; г) b, с, h, с^, с2 через переменные а и r; д) а, с, h, с2, r через переменные b и с^; е) а, с, h, с^, с2 через переменные b и r; ж) а, b, с^, с2, r через переменные с и h; з) а, b, h, с^, r через переменные с и с2; и) а, b, h, с^, с2 через переменные с и r; к) а, b, с, с^, r через переменные h и с2; л) а, b, с, h, с2 через переменные с^ и r. 54 Правообладатель Народная асвета 140. Хорда AB длиной l и перпендикулярный ей диаметр MN круга с центром O пересекаются в точке K. Найдите радиус этого круга, учитывая, что отрезок NK: а) составляет четверть диаметра; б) равен т. 141. На основании MN равнобедренного треугольника MKN как на диаметре построена полуокружность, пересекающая боковые стороны MK и NK в точках A и B соответственно. Установите: а) взаимное расположение прямых MN и AB; б) отношение площадей четырехугольника MABN и треугольника MKN, учитывая, что угол MKN равен а; в) величину угла MKN, при которой площадь четырехугольника MABN составляет половину площади треугольника MKN; г) градусные меры дуг MA, AB, BN, учитывая, что угол MKN равен а; д) величину угла MKN, при которой дуги MA, AB, BN равны. 142. Точки A и B дуги MN, равной трем четвертям окружности с центром O и радиусом 24 см, выбраны так, что дуга MA равна 68°, а дуга NB — 82° (рис. 87). Найдите: а) дугу AB; б) хорду AB. 143. Точки ^ и G на полуокружности DE с центром Q и радиусом 18 м выбраны так, что дуга DF равна 41°, а дуга EG — 17°. Найдите: а) дугу FG; б) хорду FG с точностью до дециметра. 144. Докажите, что дуги окружности, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. 145. По ребру одной монеты катится край другой такой же монеты. Найдите, на какой угол повернулась вторая монета, учитывая, что она прокатилась по дуге а. 146. Дан сегмент. Как с помощью циркуля и линейки найти центр круга, которому принадлежит этот сегмент? 147. Как, пользуясь только циркулем, удвоить данный отрезок? Правообладатель Народная асвета 148. Решите уравнение: а) X2 - 8| х| + 12 = 0; в) х2 + 4| X - 12 = 0; б) X2 - |х| - 12 = 0; г) X2 + 8| х| + 12 = 0. 149. Решите уравнение: а) 4 X + 1 - 2 = X + 1 ; б) 2X + 2 = (X + 2)2 - 3. 150. Средняя линия треугольника равна половине одной из сторон, которые она соединяет. Докажите, что этот треугольник является равнобедренным. 151. Через середину одной стороны треугольника проведены прямые, параллельные двум другим сторонам, которые равны p и q. Найдите периметр полученного четырехугольника. 152. Найдите площадь трапеции, которую отсекает от треугольника одна из его средних линий, учитывая, что площадь самого треугольника равна 20 м2. 153. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием CE проведена биссектриса CC1 (рис. 88). Учитывая, что угол CDE равен 36°: а) найдите углы треугольников DCC1 и ECC1; б) докажите, что EC = DC1. 154. Острый угол ромба равен 30°, а меньшая диагональ — 6. Найдите площадь ромба. 155. Если развернуть на плоскости шестиугольную пирамиду, то получится двенадцатиугольник APBQCRDSETFU (рис. 89). Основание пирамиды — шестиугольник ABCDEF с равными сторонами и углами, а боковые грани — равнобедренные треугольники, у которых угол при основании вдвое больше угла при вершине. Найдите углы этого двенадцатиугольника. 156. Касабланка, Рабат, Фес, Марракеш — крупнейшие города Марокко. На рисунке 90 показаны соотношения между числом жителей этих городов. Составьте задачу и решите ее. Правообладатель Народная асвета Касабланка Рабат Рабат 132 тыс. че:; Марракеш Марракеш 109 Т1 1C. чел. Фес 66 т: dIC. чел. 1667 тыс. чел. Рис. 90 * * * 157. Установите, каких натуральных чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, которые делятся на 11 и не делятся на 13, или тех, которые делятся на 13 и не делятся на 11? 158. Вершины треугольника находятся в вершинах квадратной сетки. Как с помощью одной линейки построить точку пересечения медиан этого треугольника? 159. Положительное число a удовлетворяет условию а2 + + ^2 = 7. Найдите число а и докажите, что число а5 + явля- ется натуральным. 5. Угол и его меры А) Геометрический угол есть часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 91). До этого мы рассматривали углы, не превышающие полный, который равен 360°. Вместе с этим мы встречались с угловыми величинами, большими 360°. Например, углы пятиугольника (рис. 92) вместе составляют 540°. Как можно представить себе угол такой величины? Сложим величины Правообладатель Народная асвета а а углов, откладывая их последовательно друг за другом, начав от луча OM (рис. 93). Мы замечаем, что углы 1, 2, 3 вместе дают угол меньше полного, угол 4 уже частично накладывается на угол 1, а другая сторона угла 5 образует с лучом OM развернутый угол. В результате процесс последовательного откладывания дает полный угол, дополненный еще развернутым углом, т. е. получается угол величиной 360° + 180°, или угол величиной 540°. Описанный процесс подсказывает, что угол можно рассматривать как меру поворота луча OM вокруг своего начала O от определенного начального положения OM0. Четверть полного оборота дает прямой угол (рис. 94), половина оборота — развернутый угол (рис. 95), три четверти оборота — угол величиной 270° (рис. 96), полный оборот — угол величиной 360° (рис. 97), 9 оборота — угол величиной 405° (рис. 98), два пол-8 ных оборота — угол величиной 720° (рис. 99). Подобные углы описывают, например, лопасти вентилятора (рис. 100). Б) Углы можно измерять в различных единицах. Вы знаете градусное измерение углов, когда за единицу измерения М, 90 О Мо Рис. 94 М 180 40. 1 О Рис. 95 360“^ М, м„ 720 Рис. 97 Рис. 99 58 Правообладатель Народная асвета принимается угол в 1 градус, который равен стовосьмидеся-той доле развернутого угла. Единица измерения может быть и иной. На передней панели калькулятора, кроме градусов, указаны еще грады и радианы. Град является метрической единицей величины угла, он равен сотой доле прямого угла. Большое значение в математике имеет радианное измерение углов. Пусть зафиксирована одна из сторон угла. Если вращать вторую его сторону вокруг вершины, то образуется определенный угол. Выберем на стороне, которая вращается, точку M на расстоянии R от вершины (рис. 101). При вращении эта точка движется по окружности с радиусом R. Пусть угол поворота равен а. Тогда путь s, пройденный точкой M, , а отношение пути к радиусу равно , т. е. не зависит от радиуса. Поэтому данное отношение 180 может быть взято в качестве меры угла. Количественно она равна пути, пройденному точкой по единичной окружности. Развернутому углу соответствует половина длины единичной окружности, т. е. число п (рис. 102). Прямой угол равен (рис. 103), угол правильного треугольника — — (рис. 104). 3 Угол, мера которого равна числу 1, называется радианом (рис. 105). Угол в 1 радиан вырезает из окружности дугу, равную радиусу этой окружности (рис. 106). 2 nR равен -;7;;7;-а, т. е. Рис. 103 Рис. 104 59 Правообладатель Народная асвета В) На практике используются как градусная, так и радианная мера угла. Установим связь между градусом и радианом. Для этого используем тот факт, что развернутый угол с одной стороны равен 180°, а с другой — п радианам: 180° = п радиан. Значит, 1° = —^ радиан 180 ^ 1 180° 1 радиан = --- « » 0,017453 радиана; 57,2958° * 57°17'45". Обозначение радиана в записи меры угла принято опускать. Запись вида а = 1,23 означает, что величина угла а равна 1,23 радиана. Для практического измерения углов в радианной мере может служить специальный радианный транспортир, на полуокружности которого отмечены радианы и доли радиан (рис. 107). Соответствие между градусной и радианной мерами для часто используемых углов приводится в следующей таблице. Ее полезно запомнить. Градусы 30 45 60 90 120 135 150 180 Радианы п 6 п 4 п 3 п ~2 2 п "3" 3п ~4~ 5 п ”6" п Градусы 210 225 240 270 300 315 330 360 Радианы 7 п 6 5п т 4 п ~3~ 3 п 5п ”3” 7 п 4 11п 6 2п Движение точки по окружности во многом напоминает движение точки по прямой. Чтобы определить местоположение точки на прямой, недостаточно знать путь, пройденный ею от начальной точки, нужно еще указать направление движения. Если зафиксировано положительное направление движения, то местоположение точки на прямой определяется: положительным числом, если движение происходит в положительном направлении, и отрицательным числом, если движение происходит в отрицательном направлении, т. е. в направлении, противоположном положительному. Аналогично 60 Правообладатель Народная асвета поступают и при описании движения тела по окружности. В качестве положительного направления движения выбирается движение против часовой стрелки. Угол задается числом х, которое может быть любым действительным числом. Чтобы построить угол х, нужно на единичной окружности от неподвижной точки отложить путь, равный |х |, в направлении, которое определяется знаком числа х. Пример 1. Построим угол, мера которого равна: а) 2,5; б) -4; в) -13. а) Число 2,5 положительное, поэтому в направлении против часовой стрелки по окружности откладываем 2,5 единицы (рис. 108). б) Число -4 отрицательное, поэтому по окружности в направлении по часовой стрелке откладываем 4 единицы (рис. 109). в) Число -13 отрицательное, поэтому по окружности в направлении по часовой стрелке откладываем 13 единиц (рис. 110). Пример 2. Найдем градусную меру угла, радианная мера которого равна 13. 180° Поскольку 1 радиан = --- и п « 3,14159, то п 13 = 180° 13 * 744,84576 = 744° + 60' • 0,84576 = = 744° + 50,7456' = 744°50' + 60" • 0,7456 * 744°50'45" Пример 3. Найдем радианную меру угла, градусная мера которого равна 132°50'49". Выразим сначала количество минут и секунд в десятич- 1° 1° ных долях градуса, учитывая, что 1' = —, 1" = : 50'49" = + . 49° 60 3600 50° • 60 + 49° 3600 0,847° 61 Правообладатель Народная асвета Значит, 132°50'49" ! 132° + 0,847° = 132,847° = п • 132,847 180 2,32. Г) Теорема 2. Длина l дуги окружности с радиусом R и радианной мерой а определяется формулой l = Ra. Доказательство. Пусть центральный угол окружности с радиусом R имеет ра-дианную меру а (рис. 111). Центральный угол величиной 1 радиан ограничивает дугу окружности длиной R. Поэтому длина l дуги, которая ограничена углом величиной а радиан, определяется формулой l = Ra. Теорема 3. Площадь S сектора с радиусом R и центральным углом, радианная мера которого равна а, 0 < а < 2п, определяется формулой S = 1 R2a. 2 Доказательство. Пусть центральный угол окружности с радиусом R имеет ра-дианную меру а (рис. 112). Площадь полукруга, т. е. кругового сектора, образован- ного углом п радиан, равна nR2 Поэтому площадь S сектора в 1 радиан в п раз меньше, т. е. равна nR : п, или 1R2. Зна- 22 чит, площадь сектора в а радиан равна 1 R2a. 1. Что такое геометрический угол? * 2. Как можно образовать угол вращением вокруг точки? 3. Почему отношение пути, пройденного точкой по окружности, к радиусу этой окружности может быть взято в качестве меры угла? 4. Какой угол имеет величину 1 радиан? 5. Как радиан связан с градусом? 6. Как найти длину дуги окружности по величине угла, соответствующего этой дуге? 7. Как найти площадь сектора с данным радиусом по величине его центрального угла? 62 Правообладатель Народная асвета 2 160. Найдите градусные меры углов, которые описывают минутная и часовая стрелки часов за: а) 1 с; б) 1 мин; в) 1 ч; г) 1 сут. 161. Определите, в какой координатной четверти оканчивается угол с градусной мерой, равной: а) 80°; б) -80°; в) 150°; г) -150°; д) 920°; е) -920°; ж) 1780°; з) -1780°. 162. Могут ли углы а и -а оканчиваться в одной координатной четверти? 163. Запишите формулу, задающую углы, которые оканчиваются на: а) положительной полуоси абсцисс; б) отрицательной полуоси абсцисс; в) положительной полуоси ординат; г) отрицательной полуоси ординат; д) биссектрисе первого координатного угла; е) биссектрисе второго координатного угла; ж) биссектрисе третьего координатного угла; з) биссектрисе четвертого координатного угла; и) оси абсцисс; к) оси ординат; л) прямой у = х; м) прямой у = -х. 164. Выразите в радианах угол, градусная мера которого равна: а) 40°; в) 315°; д) 3900°; б) 140°; г) 1000°; е) 7000°. 165. Выразите в градусах угол, радианная мера которого равна: а) ” ; б) ”; в) ; г) ; д) ; е) . ' ^ ^ '9 ' ^ ' 1^ ^20 166. Выразите в градусах угол, радианная мера которого равна: а) 2; б) 2,7; в) 4,8; г) д) —; е) ^i. ' ’ ’ ' ^ ^ 1^ ^ 20 63 Правообладатель Народная асвета 167. Определите, в какой координатной четверти оканчивается угол с радианной мерой, равной: а) ; г) 1г; ж) к) 12,7; б) ; д) ; з) 2; .,4 13. л) 5 ’ в) ; е) ; ’ 20 и) 48; м) ^. 20 168. Найдите градусную и радианную меры углов: а) прямоугольного равнобедренного треугольника; б) прямоугольного треугольника, острые углы которого относятся как 2 : 3; в) равнобедренного треугольника, разные углы которого относятся как 1: 2; г) четырехугольника, которые относятся как 4 : 7 : 9 : 16; д) трапеции, острые углы которой относятся как 4 : 5, а остальные — как 8 : 7; е) равнобедренной трапеции, разные углы которой относятся как 4 : 5; ж) прямоугольной трапеции, непрямые углы которой относятся как 5 : 7; з) параллелограмма, разные углы которого относятся как 1 : 11. 169. Найдите в радианах в секунду угловую скорость пропеллера, который делает в минуту: а) 90 оборотов; в) 660 оборотов; б) 300 оборотов; г) 1000 оборотов. 170. Найдите в радианах в час угловую скорость: а) секундной стрелки часов; б) минутной стрелки часов; в) часовой стрелки часов. 171. С помощью калькулятора найдите радианную меру угла, градусная мера которого равна: а) 35°; в) 237°; д) 405°6'; б) 142°; г) 375°36'; е) 35°26'39". 172. С помощью калькулятора найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна: а) 0,3543; в) 2,376; д) 3,1416; б) 0,9142; г) 3,7536; е) 35,2639. 64 Правообладатель Народная асвета 173. Окружность морского компаса (рис. 113) делится на 32 доли, которые называются румбами. Найдите в градусах и радианах величину румба. 174. На единичной окружности найдите точку M1, на которую отображается точка Mq(1; 0) при повороте на угол а, равный: а) 35°; б) -130°; в) 235°; г) -305°; д) 405°; е) 735°. Рис. 113 175. На единичной окружности найдите точку M1, на которую отображается точка M0(1; 0) при повороте на угол а, равный: а) -; ' 8’ б) --; ' 8’ в) 7 п. г) - 7 п. д) 17 п. е) - 17 п 8 ' 176. Найдите длину дуги, учитывая, что ее радиус равен 3 м, а угловая мера составляет: а) ; ' 3 ’ б) ; в) ; ' 6 ’ г) ^. ' 12 177. Найдите радиус дуги, учитывая, что ее длина равна 10 м, а угловая мера составляет: а) ; б) ; в) ; г) . 3 2 6 12 178. Найдите радианную меру дуги, учитывая, что ее длина равна 15 м, а радиус составляет: а) 3 м; б) 10 м; в) 2,39 м; г) 4,92 м. 179. Найдите длину дуги единичной окружности, учитывая, что ее радианная мера составляет: а) -; ' 3’ б) ; в) 3,2; г) 6,2. 180. Найдите площадь сектора, учитывая, что его радиус равен 15 см, а радианная мера дуги составляет: а) —; ^ 12’ б) ; ' 8 ’ в) 1,2; г) 2,2. 181. Найдите площадь сектора, учитывая, что его радиус равен 20 м, а длина дуги составляет: а) 3 м; б) 10 м; в) 23,9 м; г) 49,2 м. 65 Правообладатель Народная асвета 8 8 182. Найдите радиус сектора, учитывая, что его площадь равна 256 м2, а радианная мера дуги составляет: а) б) 3п , в) 4 п , г) 0,92. ^ '5 183. Найдите радиус сектора, учитывая, что радианная 4 п мера его дуги составляет 22 5 , а его площадь равна: а) 2,5 м2; б) 16 м2; в) 25 м2; г) 121 м2. 184. Найдите радианную меру дуги сектора, учитывая, что его радиус равен 50 м, а площадь составляет: а) 2,5 м2; б) 16 м2; в) 250 м2; г) 980 м2. 185. Найдите радианную меру дуги сектора, учитывая, что его площадь составляет 3500 м2, а радиус равен: а) 2,5 м; б) 7 м; в) 16 м; г) 29 м. 186. Найдите радианные меры углов треугольника, стороны которого равны: а) 3, 4, 5; б) 5, 12, 13; в) 7, 24, 25; г) 12, 35, 37. 187. Найдите радианную меру угла правильного п-угольника, учитывая, что п равно: а) 5; б) 6; в) 12; г) 18. 188. Определите, является ли функцией зависимость, представленная графиком на рисунке: Рис. 114 а) 114; б) 115; в) 116. Правообладатель Народная асвета п 189. Постройте график функции: б) у = . а) S = 4a2 - 3a + 4; 190. Решите уравнение: а) \d + 1 = - 17; в) |4x + 5 = 8; б) |l4s - 21 = 0; г) |3а - 1^ = 6. 191. Решите неравенство: а) d + 1 < - 17; в) |4x + 5 > 8; б) |l4s - 2l > 0; г) |3a - 1^ < 6. Рис. 117 192. Три равных треугольника разрезали по разным медианам (рис. 117). Установите, можно ли из полученных шести треугольников составить один треугольник и если можно, то как. 193. Основание биссектрисы треугольника разделяет его сторону на части длиной 16 см и 36 см, а еще одна сторона равна 24 см. Найдите периметр треугольника. 194. Основания и боковая сторона равнобедренной трапеции относятся как 13 : 7 : 5, а ее площадь равна 360 м2. Найдите периметр трапеции. 195. Диагонали трапеции являются биссектрисами ее острых углов, и одна из них делит среднюю линию на части, равные 12 см и 16 см. Найдите периметр трапеции. 196. На окружности с центром O и радиусом r последовательно выбраны точки A, B, C, D, E так, что центральные углы AOB, BOC, COD, DOE соответственно равны 30°, 60°, 90°, 120° (рис. 118). Найдите: а) площадь части круга, не занятой пятиугольником ABCDE; б) расстояние между прямыми BC и DE; в) угол между прямыми DC и AE. * * * 197. Четыре луча с общей вершиной O пересекают определенную прямую в точках A, B, C, D (рис. 119). Найдите площади треугольников AOD В Правообладатель Народная асвета и BOC, учитывая, что площади треугольников AOC и BOD равны и S2, углы AOC и BOD прямые, а угол BOC равен а. 198. Серединный перпендикуляр к биссектрисе AL треугольника ABC пересекает прямую BC в точке F. Докажите, что FB • FC = FL2. 199. Число 2005200® представили суммой нескольких целых слагаемых, каждое из которых возвели в куб, и результаты сложили. Какой остаток при делении на 6 даст полученная сумма? 6. Окружность и прямая Рассмотрим взаимное расположение на плоскости окружности и прямой. А) Теорема 4. Окружность и прямая не могут иметь больше двух общих точек. Доказательство. Допустим, что это не так. Пусть A, B, C — общие точки окружности с центром O и прямой a (рис. 120). Поскольку эти точки принадлежат окружности с центром O, то OA = OB = OC и медианы OM и ON равнобедренных треугольников AOB и BOC являются и их высотами. Получается, что к прямой a через точку O проведены два перпендикуляра OM и ON. Но такое невозможно. Поэтому наше допущение ошибочно. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. Прямая l на рисунке 121 — секущая, а точки М1 и М2 — общие точки прямой и окружности. 68 Правообладатель Народная асвета Рис. 123 Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной, а эта точка — точкой касания. Прямая l на рисунке 122 — касательная, а точка M — точка касания. Б) Теорема 5. Если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство. Пусть прямая l касается окружности с центром Q в точке A. Тогда по определению касательной точка A — единственная общая точка прямой и окружности. Докажем, что прямая l перпендикулярна радиусу QA, проведенному в точку касания. Допустим, что прямая l не перпендикулярна радиусу QA. Построим перпендикуляр QP и от его основания P на прямой l отложим в другую сторону отрезок PB, равный отрезку PA (рис. 123). Прямоугольные треугольники QPA и QPB равны по двум катетам. Значит, равны гипотенузы QA и QB этих треугольников. Иными словами, отрезок QB, как и отрезок QA, равен радиусу окружности. А это означает, что точка B лежит на окружности. Поскольку по построению точка B лежит на прямой l, то прямая l и окружность имеют две общие точки A и B. Но это противоречит условию о том, что прямая l является касательной к окружности. Поэтому сделанное допущение следует отклонить и принять его отрицание: прямая l перпендикулярна радиусу QA, проведенному в точку касания. Теорема 5 выражает свойство касательной. Теорема 6. Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной. Доказательство. Пусть прямая k проходит через точку S окружности с центром R и перпендикулярна ее Рис. 124 69 Правообладатель Народная асвета радиусу RS (рис. 124). Докажем, что прямая k является касательной к окружности. Выберем произвольную точку T на прямой k, отличную от точки S. Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катета, то расстояние RT от точки T до центра R окружности больше радиуса RS. Поэтому точка T расположена вне круга с центром R. Получается, что точка S — единственная общая точка прямой k и окружности, т. е. прямая k касается окружности в точке S. Теорема 6 выражает признак касательной. Следствие 1. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то окружность и прямая имеют одну общую точку (рис. 125). Следствие 2. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то окружность и прямая имеют две общие точки (рис. 126). Следствие 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то окружность и прямая не имеют общих точек (рис. 127). В) Касательную к окружности можно рассматривать как предельное положение секущей (рис. 128, 129, 130). Поэтому можно ожидать, что свойства углов, стороны которых пере- Рис. 126 70 Правообладатель Народная асвета Рис. 131 Рис. 132 секают окружность, остаются в силе и для тех случаев, когда одна или обе секущие являются касательными. Задача 3. Докажем, что угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, которую этот угол заключает. Доказательство. Пусть угол ABC образован касательной BC и проведенной через точку касания B секущей RA окружности с центром O (рис. 131). Пусть Z ABC = а. Докажем, что величина дуги AB равна 2а. Поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (OB Z BC), то Z ABO = = 90° - а. Дуга AD, которую высекает из окружности вписанный в нее угол ABO, в два раза больше этого угла и равна 2 • (90° - а). Поэтому ^AB = = 180° - W AD = 180° - 2(90° - а) = 2а. А Задача 4. Докажем, что для различных хорд, проходящих через точку внутри круга, произведение отрезков, на которые хорды разделяются этой точкой, есть величина постоянная и равная г2 - а2, где r — радиус круга, a — расстояние от центра до выбранной точки. Доказательство. Пусть через точку M, взятую внутри круга с радиусом r на расстоянии а от центра, проведена хорда АВ. Докажем, что MA • MB = r2 - а2. Проведем через точку M диаметр PQ и соединим точки A и P, B и Q (рис. 132). Поскольку углы AMP и QMB равны как вертикальные, углы РАМ и BQM равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу PB, то треугольники MAP и MQB подобны. Значит, или MA • MB = MP • MQ = (r + a)(r - а) = r2 - а2. Задача 5. Докажем, что для различных секущих, проходящих через точку вне круга, произведение отрезков, которые соединяют эту точку с точками пересечения, есть величина постоянная и равная а2 - г2, где r — радиус круга, а — расстояние от центра до выбранной точки. 71 MP mb’ Правообладатель Народная асвета м Доказательство. Пусть через точку M, взятую вне круга с радиусом r на расстоянии a от центра, проведена секущая AB. Докажем, что AM • MB = a2 - r2. Через точку M и центр круга проведем еще одну секущую. Соединим точки пересечения Р и Q с точками B и A соответственно (рис. 133). Поскольку углы MAQ и MPB равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу QB, то треугольники MAQ и MPB подоб- ны по второму признаку. Значит, AM PM MQ MB' или AM • MB = = PM • MQ = (a + r)(a - r) = a2 - r2. A Следствие 4. Если секущая и касательная проходят через данную точку вне окружности, то произведение отрезков секущей, соединяющих эту точку с точками пересечения секущей с окружностью, равно квадрату отрезка касательной с концами в данной точке и точке касания. Действительно, отрезок касательной MT с концами в данной точке M и в точке касания T является катетом прямоугольного треугольника MTO, гипотенуза OM которого соединяет центр окружности O с данной точкой M, а другой катет OT соединяет центр окружности O с точкой касания T. Тогда MT^ = a2 - r2 = PM • MQ (рис. 134). Следствие 5. Отрезки двух касательных, проведенных через одну точку, заключенные между этой точкой и точками касания, равны. (у 1. Сколько общих точек могут иметь окружность и прямая? • 2. Какая прямая называется секущей; касательной? 3. Какая точка называется точкой касания окружности и прямой? 4. Сформулируйте свойство касательной к окружности. 5. Сформулируйте признак касательной к окружности. 6. Сформулируйте свойство касательных, проведенных к одной окружности через данную точку. 7. Сформулируйте свойство угла между касательной и секущей, проведенной через точку касания. 72 Правообладатель Народная асвета в 8. Сформулируйте свойство отрезков хорды, проведенной через точку внутри круга. 9. Сформулируйте свойство отрезков секущей, которые соединяют точку секущей, находящуюся вне круга, с точками ее пересечения с окружностью. 10. Сформулируйте свойство таких отрезков секущей и касательной, проведенных через одну точку вне круга, которые соединяют эту точку с точками пересечения секущей с окружностью и точкой касания. 200. Определите взаимное расположение окружности с радиусом r и прямой, отстоящей от центра окружности на а, учитывая, что пара (а; г) равна: а) (7 см; 9 см); г) (7 см; 77 мм); б) (9 см; 7 см); д) (77 мм; 7 см); в) (7 см; 7 см); е) (7 м; 700 мм). 201. Через точку B, отстоящую на 5 см от центра O окружности, проведена прямая, которая касается этой окружности в точке A (рис. 135). Найдите расстояние от точки B до точки C, в которой прямая BO пересекает окружность, учитывая, что AB = 4 см. 202. Прямая проходит через точку A окружности с центром O и радиусом, равным 6 см, а точка B находится на расстоянии 10 см от центра O и на расстоянии 8 см от точки A (см. рис. 135). Установите, имеет ли прямая AB другие общие точки с этой окружностью. 203. Постройте: а) касательную к данной окружности, проходящую через данную точку на окружности; б) окружность с данным радиусом, касающуюся данной прямой. 204. Прямая l касается окружности с центром O. Найдите расстояние от точки O до прямой l, учитывая, что диаметр окружности равен 12 см. 205. Найдите фигуру, образованную центрами окружностей с данным радиусом, касающихся данной прямой. 206. Радиус окружности с центром O равен 3 см. Прямая а проходит через точку K и касается окружности в точке M. Найдите длину отрезка KM, учитывая, что KO = 5 см. 207. Докажите, что если прямые MA и MB касаются окружности с центром O в точках A и B, то А MAO = А MBO. 73 Правообладатель Народная асвета Рис. 136 208. Прямая KL касается окружности с центром Q в точке L, а луч KQ пересекает ее в точке M (рис. 136). Найдите углы треугольника LKM, учитывая, что дуга LM равна 116°. 209. Хорда MN видна из центра окружности под углом р. Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности в точке M. По результату решения сформулируйте соответствующее утверждение и обратное ему. Установите, верно ли обратное утверждение. 210. Через точки R и T окружности проведена секущая, через точки R и U этой окружности — еще одна секущая, которой принадлежит центр окружности. Касательная RS проведена так, что угол SRT острый. Докажите, что углы SRT и RUT равны. 211. Докажите, что секущая, параллельная касательной, отсекает от окружности такую дугу, которая точкой касания делится пополам. 212. Докажите, что угол между секущей и касательной, проведенными из одной точки вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между точкой касания и точками пересечения секущей с окружностью. 213. Докажите, что угол между касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности дуг, на которые разделяют окружность точки касания. 214. Окружность проходит через вершину A треугольника ABC, касается стороны BC в точке B, пересекает сторону AC в точке D, а ее центр расположен на стороне AC. Найдите углы: а) A и B, учитывая, что Z C = 20°; б) B и C, учитывая, что ZA = 30°; в) треугольника, учитывая, что ^ AB = 130°. 215. Окружность, центр O которой расположен на стороне AC равнобедренного треугольника ABC, касается сторон AB и BC в точках M и N. Найдите углы и стороны треугольника ABC, учитывая, что OM = MB = 6 см. 216. Точки M, N и K выбраны на окружности так, что ^ MN = 80°, ^ MK = 140°. Найдите углы треугольника ABC, стороны которого касаются окружности в точках M, N и K. 217. Точки M, N и K выбраны на окружности так, что углы треугольника MNK равны 50°, 60°, 70°. Найдите углы 74 Правообладатель Народная асвета треугольника ABC, стороны которого касаются окружности в точках M, N и K. 218. Найдите три такие точки данной окружности, чтобы касательные к окружности в этих точках ограничивали: а) равносторонний треугольник; б) равнобедренный треугольник; в) прямоугольный треугольник; г) треугольник с данными углами. 219. Хорды FG и HI одной окружности пересекаются в точке A. Найдите AI, учитывая, что: а) FA = 50, GA = 20, HA = 25; б) FA = 160, GA = 90, HA = AI; в) FA = 1,6, GA = 0,9, HA : AI = 5 : 7; г) FA = 2, GA = 5, HA = 4. 220. Хорда AB окружности делит перпендикулярный ей диаметр MN на отрезки MC и NC, равные 8 и 18. Найдите AB. 221. Через точку C проведены касательная CD и секущая CF, D — точка касания, F и G — точки пересечения секущей с окружностью. Найдите хорду FG, учитывая, что: а) CD = 10, CG = 5; б) CD = 6, CF = 18. 222. Через точку K, расположенную на расстоянии a от центра окружности с радиусом г, равным 13 см, проведена хорда AB. Найдите ее длину, учитывая, что: а) a = 8 см, AK - KB = 8 см; б) a = 11 см, AK - KB = 1 см. 223. Через точку K, расположенную на расстоянии a от центра окружности с радиусом г, равным 13 см, проведена секущая AB, A и B — точки пересечения секущей с окружностью. Найдите KA и KB, учитывая, что: а) a = 15 см, AB = 10 см; б) a = 17 см, AB = 2 см. 224. Постройте окружность с данным радиусом, касающуюся данной окружности и данной прямой. 225. Отрезок M1N1 является проекцией диаметра MN окружности с центром O и радиусом R на касательную к этой окружности (рис. 137). Найдите границы изменения площади: а) четырехугольника MM1N1N; б) части круга, ограниченной диаметром MN и отрезками MM1 и NN1. Правообладатель Народная асвета 226. Из концов диаметра окружности на ее секущую опущены перпендикуляры. Докажите, что расстояния от оснований этих перпендикуляров до соответствующих точек пересечения с окружностью равны. 227. Преобразуйте степень: а) 125-3 в степень с основанием 5; б) j в степень с основанием 3; в) 163 в степень с основанием 2; г) 32 в степень с основанием 2. 228. Постройте график функции: а) z = - 1; б) D = 3(y - 4)2 + 1,5. x - 3 229. Найдите значение: а) углового коэффициента a и постройте график функции у = ax - 3, учитывая, что точка М(2; 7) принадлежит этому графику; б) параметра b и постройте график функции у = 0,5x - b, учитывая, что точка ^(-2; 1) принадлежит этому графику. 230. Определите, при каких значениях переменной значение квадратного трехчлена: а) 2a2 - 7a + 13 равно 5; б) 3b2 + 5b - 10 равно 12. 231. Решите неравенство: а) 2x + 2 ^ x - 10; в) |2х + 5 ^ x - 1; б) |x - 3 > 3x + 2; г) |5x + 2\> 3 - 10x. 232. Стороны треугольника равны 60 см, 70 см и 65 см. Найдите отрезки, на которые основание биссектрисы треугольника разделяет: а) большую сторону; б) меньшую сторону. 233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию. 234. Из Дубоя в Боричевичи (рис. 138) одновременно вышли два путешественника. Найдите скорости путешественников, учитывая, что один из них пришел на час раньше из-за того, что в час он проходил больше на: а) 1 км; 76 б) 1 км. ' 2 Правообладатель Народная асвета 2 235. Из Люсино в Большие Чучевичи выехал велосипедист со скоростью 14-1 км/ч (рис. 139). Через час после этого из Лунинца выехал другой велосипедист. С какой скоростью он должен ехать, чтобы догнать первого велосипедиста до его приезда в Большие Чучевичи? * * * 236. На ребрах AA1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 выбраны точки M и N так, что их расстояния от точки C равны 1,5 и 1,25 соответственно. Найдите длину отрезка MN, учитывая, что AB = 1. 237. Докажите, что если перед произвольно взятым числом написать цифру 3, а в его конце приписать цифру 7, то полученное число при делении на 37 никогда не даст исходного числа. 238. В квадрате, разделенном на 36 одинаковых клеток, часть клеток закрашена черным цветом. За один ход разрешается изменить цвет любых трех соседних клеток, расположенных «уголком» (черный — на белый, а белый — на черный). Докажите, что через несколько таких ходов все клетки можно сделать белыми. 7. Окружность и треугольник А) Мы исследовали взаимное расположение окружности с углом и прямой. Теперь рассмотрим сочетание окружности с многоугольником. Из возможных случаев взаимного расположения окружности и многоугольника рассмотрим те, когда окружность касается всех сторон многоугольника (рис. 140) 77 Правообладатель Народная асвета н или проходит через все его вершины (рис. 141). В первом случае говорят, что окружность вписана в многоугольник, или что многоугольник описан около окружности, во втором — что окружность описана около многоугольника, или что многоугольник вписан в окружность. Понятно, что в многоугольник можно вписать окружность, если найдется точка, равноотстоящая от всех его сторон (рис. 142), а около многоугольника можно описать окружность, если найдется точка, равноотстоящая от всех его вершин (рис. 143). Б) Теорема 7. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности. Доказательство. Пусть DD1 и EE1 — биссектрисы треугольника DEF (рис. 144). Тогда они пересекаются в некоторой точке I, поскольку углы FDD1 и DFF1 как половины углов FDE и DFE треугольника DEF вместе составляют меньше 90°. А потому прямые DDx и EE1 не являются параллельными, т. е. пересекаются. G Е Н 78 Правообладатель Народная асвета Точка I как точка биссектрисы DD-^ угла FDE равноудалена от прямых DE и DF. Эта же точка как точка биссектрисы FF-^ угла DFE равноудалена от прямых FD и FE. Значит, точка I равноудалена и от прямых DE и FE. Это означает, что она принадлежит биссектрисе EE^ угла DEF, иными словами, биссектриса EE^ проходит через точку I. Таким образом, все три биссектрисы DD^, EE^, FF^ треугольника DEF пересекаются в одной точке I. Поскольку точка I равноудалена от сторон DE, EF, DF треугольника DEF, то окружность с центром I и радиусом IJ, где J — основание перпендикуляра, опущенного из точки I на сторону DE, касается всех трех сторон этого треугольника, т. е. является окружностью, вписанной в треугольник DEF. Для нахождения радиуса r вписанной в треугольник окружности (см. рис. 144) можно использовать его связь с площадью S треугольника и его полупериметром р: S = pr. (1) В) Теорема 8. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности. Доказательство. Пусть прямые k и l — серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC (рис. 145). Допустим, что прямые k и l не пересекаются, т. е. параллельны, тогда должны быть параллельными и прямые AB и AC как прямые, перпендикулярные параллельным прямым: первая — прямой k, вторая — прямой l. Но прямые AB и AC пересекаются, так как на них лежат стороны треугольника. Пусть O — точка пересечения прямых k и l. Точка O как точка серединного перпендикуляра k равноудалена от вершин A и B. Эта же точка как точка серединного перпендикуляра l равноудалена от вершин A и C. Значит, точка O равноудалена и от вершин B и C. Это означает, что она принадлежит серединному перпендикуляру m к стороне BC, иными словами, серединный перпендикуляр к стороне BC проходит 79 Правообладатель Народная асвета II Рис. 147 через точку O. Таким образом, все три серединных перпендикуляра k, l, m к сторонам треугольника пересекаются в одной точке O. Поскольку точка O равноудалена от вершин A, B, C треугольника ABC, то окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три эти вершины, т. е. является окружностью, описанной около треугольника ABC. Следствие. Две различные окружности не могут иметь более двух общих точек. Действительно, если окружности и S2 имеют общие точ- ки A, B и C, то эти точки не лежат на одной прямой по теореме 4. Из доказанной теоремы 8 следует, что через точки A, B и C проходит единственная окружность. Получили, что окружности S! и S2 совпадают. Мы нашли две точки треугольника — центр O описанной окружности и центр I вписанной окружности, которые имеют общее свойство. Именно в каждой из них пересекаются по три прямые, связанные с треугольником: в точке O — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника; в точке I — прямые, на которых лежат биссектрисы треугольника. Ранее было доказано, что в одной точке пересекаются медианы треугольника (рис. 146). Точку G пересечения медиан треугольника называют центроидом или центром тяжести треугольника. Это название связано с тем, что именно в этой точке находится центр тяжести однородной треугольной пластины. Такая пластина, горизонтально положенная центром тяжести на вертикальный стержень, находится в равновесии (рис. 147). Г) Теорема 9. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. 80 Правообладатель Народная асвета Доказательство. Пусть прямые AA^, CC^, EE-^ содержат высоты треугольника ACE (рис. 148). Докажем, что эти прямые пересекаются в одной точке. Пусть прямые, проведенные через вершины треугольника ACE параллельно его противоположным сторонам, пересекаются в точках A2, С2, Е2. Вершины A, C, E данного треугольника в образованном треугольнике A2C2E2 являются серединами сторон. Действительно, отрезки AC2 и AE2 оба равны отрезку EC как противоположные стороны параллелограммов ECAC2 и ECE2A соответственно, поэтому равны друг другу. Так же отрезки CA2 и CE2 оба равны отрезку AE как противоположные стороны параллелограммов AEA2C и AECE2, а отрезки EA2 и EC2 оба равны отрезку AC как противоположные стороны параллелограммов ACA2E и ACEC2. По условию прямые AA1, CC1, EE1 перпендикулярны сторонам CE, EA, AC треугольника ACE. Тогда эти прямые перпендикулярны и сторонам C2E2, E2A2, A2C2 треугольника A2C2E2, так как отрезки C2E2, E2A2, A2C2 соответственно параллельны отрезкам CE, EA, AC. Это означает, что прямые AA1, CC1, EE1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A2C2E2. В соответствии с теоремой 8 прямые AA1, CC1, EE1 пересекаются в одной точке. Точку H пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Точку G и точки O, I, H, удовлетворяющие условиям теорем 7, 8, 9, называют замечательными точками треугольника. Д) А Треугольник имеет и другие замечательные точки. Такими точками являются, например, точки Ia, Ib, Ic пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника и биссектрисы третьего внутреннего угла. Эти точки являются 81 Правообладатель Народная асвета центрами трех окружностей, каждая из которых касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон (рис. 149). Такие окружности называются вне-вписанными окружностями треугольника. Замечательные точки треугольника определенным образом связаны. Например, центр O описанной окружности, центроид G и ортоцентр H лежат на одной прямой, которая называется прямой Эйлера (рис. 150). Прямой Эйлера принадлежит еще одна интересная точка — центр Q окружности девяти точек, которая проходит через середины A1, B1, C1 сторон треугольника ABC, основания A2, B2, C2 его высот и середины A3, B3, C3 отрезков, соединяющих ортоцентр H треугольника ABC с его вершинами. Точка Q является серединой 82 Правообладатель Народная асвета отрезка OH, а точка G делит этот отрезок в отношении 1 : 2, если считать от точки O. Окружность девяти точек касается сразу четырех окружностей — вписанной и трех вневписан-ных (рис. 151). Мы затронули здесь только некоторые факты геометрии треугольника — этой простейшей геометрической фигуры, теория которой очень богата и интересна. А 1. Какая окружность называется окружностью, вписанной в много-• угольник; окружностью, описанной около многоугольника? 2. Какой многоугольник называется многоугольником, описанным около окружности; многоугольником, вписанным в окружность? 3. Какое свойство имеют три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника; три биссектрисы треугольника; три медианы треугольника; три прямые, содержащие высоты треугольника? 4. Какая точка является центром описанной около треугольника окружности; центром вписанной в треугольник окружности? 5. Какое свойство имеет точка пересечения медиан треугольника? 239. На биссектрисе угла T, который меньше развернутого, выбрана точка A, и из нее опущены перпендикуляры AM и AN на стороны этого угла. Найдите угол между прямыми TA и MN. 240. Стороны угла B касаются окружности с центром O в точках N1 и N2. Докажите, что прямые BO и N1N2 перпендикулярны. 83 Правообладатель Народная асвета Рис. 153 241. Две окружности с общей касательной в точке C касаются каждая сторон угла D (рис. 152). Докажите, что центры этих окружностей принадлежат прямой CD. 242. Стороны угла K касаются окружности с центром Q в точках В1 и B2. Найдите: а) KQ, учитывая, что угол K равен 60°, а радиус QB1 — 10 см; б) радиус QB1, учитывая, что угол K равен 90°, а отрезок KQ — 16 см; в) угол K, учитывая, что радиус QB1 равен 12 дм, а отрезок KQ — 15 дм; г) отрезок B1B2, учитывая, что радиус QB1 равен 7 м, а отрезок KQ — 25 м; д) угол K, учитывая, что радиус QB1 равен 9 м, а отрезок B1B2 — ^/3 м. 243. Биссектрисы внешних углов ^ и K треугольника MNK пересекаются в точке I (рис. 153). Докажите, что точка I является центром окружности, касающейся стороны NK и лучей MN и MK. 244. Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите углы AOB, AOC и BOC, учитывая, что Z A = 50° и Z B = 60°. 245. Пусть биссектрисы A^1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что величина угла AOB зависит только от величины угла ACB. 246. Биссектрисы CC1 и DD1 треугольника BCD пересекаются в точке Q. Найдите угол CQD, учитывая, что Z CBD = 40°. 247. Биссектрисы A^1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите угол AOC, учитывая, что Z ABC = 140°. 248. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а сумма катетов — k. 249. Вписанная в треугольник PQR окружность касается его сторон PQ, QR, RP в точках A, B, C соответственно. Учитывая, что эти стороны соответственно равны 20, 24 и 10, найдите отрезки AP, AQ, BQ, BR, CR, CP. 84 Правообладатель Народная асвета 250. Точка Ja пересечения биссектрисы внутреннего угла A треугольника ABC и биссектрисы несмежного с ним внешнего угла равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника. Поэтому существует окружность — ее называют вневписанной — с центром Ja, которая касается трех прямых, содержащих стороны этого треугольника. Вневписанная окружность треугольника ABC касается его стороны BC в точке Ми продолжений сторон AB и AC в точках M и K соответственно (рис. 154). Найдите длины отрезков AM, BN, CK, учитывая, что BC = a, AC = b, AB = c. 251. Найдите основание равнобедренного треугольника, учитывая, что проведенная к нему высота делится центром вписанной в треугольник окружности в отношении 12 : 5, если считать от вершины, а боковая сторона равна 30. 252. Найдите периметр равнобедренного треугольника, боковая сторона которого точкой касания с вписанной в треугольник окружностью разделяется на отрезки 6 м и 8 м, если считать от основания. 253. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите периметр треугольника, учитывая, что: а) его гипотенуза равна 260 мм, а радиус вписанной окружности — 40 мм; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 50 мм и 120 мм. 254. Серединный перпендикуляр к стороне LM треугольника KLM пересекает сторону KL в точке B. Найдите: а) KL, учитывая, что BK = 30 мм и BM = 72 мм; б) KB, учитывая, что KL = 90 см и BM = 63 см. 255. Серединные перпендикуляры к сторонам SR и ST треугольника RST пересекаются в точке E стороны RT (рис. 155). Докажите, что: а) точка E — середина стороны RT; б) угол S равен сумме углов R и T; в) треугольник RST — прямоугольный. Правообладатель Народная асвета 256. Серединный перпендикуляр к стороне TU равнобедренного треугольника с основанием TV пересекает сторону UV в точке W. Найдите сторону TV, учитывая, что сторона TU равна 30 м, а периметр треугольника TVW — 40 м. 257. Основание равнобедренного треугольника равно 16, а боковая сторона — 17. Найдите радиусы окружностей, вписанной в этот треугольник и описанной около него. 258. Постройте треугольник со сторонами 6,5 см, 7 см, 7,5 см, опишите около него окружность и измерьте радиус этой окружности. 259. Когда около треугольника ABC описали окружность, то оказалось, что сторона AB является диаметром этой окружности. Найдите углы треугольника, учитывая, что дуга: а) BC равна 140°; б) AC равна 68°. 260. Найдите углы равнобедренного треугольника MNP с основанием MP, вписанного в окружность, учитывая, что дуга: а) MP равна 108°; б) MN равна 130°. 261. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипотенузы. 262. Найдите стороны прямоугольного треугольника, учитывая, что один из его острых углов равен в, а диаметр описанной около него окружности — d. 263. Найдите радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности, учитывая, что: а) его катеты равны 11 и 60; б) один из углов равен 60°, а один из катетов — 10; в) высота, проведенная к гипотенузе, равна 12, а тангенс одного из углов — 1,25. 264. Найдите сторону равностороннего треугольника, учитывая, что радиус описанной около него окружности равен 12. 265. Найдите: а) сторону равностороннего треугольника, вписанного в окружность с радиусом 1; б) радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 1. 266. Найдите зависимость между радиусом R окружности и стороной a описанного около нее равностороннего треугольника. 86 Правообладатель Народная асвета 267. Найдите диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в котором угол против основания равен 120°, а боковая сторона — 24. 268. Докажите, что центр описанной около треугольника окружности находится: а) внутри треугольника, если треугольник остроугольный; б) на его стороне, если треугольник прямоугольный; в) вне треугольника, если треугольник тупоугольный. 269. Установите вид треугольника, учитывая, что центр: а) вписанной окружности лежит на одной из его высот; б) описанной около него окружности лежит на высоте или на ее продолжении. 270. Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, равным b, и боковой стороной AB, равной с, вписан в окружность с центром Q и радиусом r (рис. 156). Высота BT треугольника равна h, а высота UT сегмента AUC равна k. Докажите, что: а) с2 = 2rh; б) b2 = 4hk. 271. Около разностороннего треугольника ABC, у которого стороны AB, BC, CA соответственно равны с, а, b, описана окружность с центром O. Сравните углы AOB, BOC, AOC, учитывая, что а < b < с. 272. Восстановите равнобедренный треугольник по центру описанной около него окружности и его: а) основанию; б) боковой стороне. 273. Докажите, что треугольник, у которого совпадают центры описанной и вписанной окружностей, является равносторонним. 274. Окружность с радиусом R, описанная около треугольника, его вершинами разделяется на дуги, градусные меры которых равны а, в, у. Найдите стороны треугольника. 275. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, учитывая, что его: а) катеты равны m и п; б) гипотенуза и острый угол соответственно равны k и а; в) площадь и острый угол соответственно равны S и а; г) периметр и острый угол соответственно равны P и а. 87 Правообладатель Народная асвета 276. Найдите радиус r окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, учитывая, что его: а) боковая сторона и угол при вершине соответственно равны a и а; б) основание и боковая сторона соответственно равны a и b; в) основание и угол против него соответственно равны a и а; г) высота и угол при основании соответственно равны h и в; д) площадь и угол против основания соответственно равны S и а; е) периметр и угол при основании соответственно равны P и в; ж) радиус описанной окружности и угол против основания соответственно равны R и а; з) высоты равны h^ и h2. 277. Начертите два произвольных отрезка. Найдите точку, равноудаленную как от концов одного отрезка, так и от концов другого отрезка. Всегда ли: а) существует такая точка; б) такая точка единственная? 278. Можно ли утверждать, что четырехугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O, является параллелограммом, если его: а) стороны AD и BC параллельны, а отрезки BO и DO равны; б) стороны AD и BC равны и отрезки BO и DO равны; в) отрезки BO и DO равны и углы BAD и BCD равны? 279. Через концы дуги в 200° проведены две касательные к соответствующей окружности. Найдите угол между этими касательными. 280. Два луча, выходящие из точки P, пересекают окружность — один в точках R и Q, другой — в точках T и S (рис. 157). При этом угол QPS равен а, а дуги RT, TS, SQ, QR — в, Y, S, S соответственно. Найдите: а) а, Y, если в = 26°, 5 = 74°, s = 110°; б) 5, Y, если а = 36°, в = 41°, s = 130°; в) в, Y, если а = 29°, 5 = 69°, s = 120°; г) а, в, если y = 54°, s = 126°, 5 = 95°. 281. Решите уравнение: а) (12 + a)(a2 + 1) - (a + 4)3 = 89; б) (2b + 1)(5 - 2b)2 - (2b - 3)3 = 4; 88 Правообладатель Народная асвета в) c(11 - 3c)2 - c(3 - c)2 - (2c - 5)3 = 87; г) (d + 5)(1 - d)2 - (5 - 3d)2 - (d - 2)3 + 21 = 0. 282. Найдите: а) ординату точки параболы, являющейся графиком уравнения 2х2 - у = 0, если абсцисса этой точки равна -1,5; б) абсциссы точек параболы, являющейся графиком уравнения 3х2 - 4у = 0, если ордината каждой из них равна 3. 283. Расстояние O1O2 между центрами 01 и 02 двух равных пересекающихся окружностей больше радиуса этих окружностей. Луч с началом в точке 01, проведенный через точку C пересечения окружностей, пересекает другую окружность в точке A, а луч 0102 пересекает эту окружность в точке B (рис. 158). Докажите, что угол A02B в три раза больше угла C0i02. A Рис. 158 284. По схеме на рисунке 159, которая показывает тиражи книг, изданных государственными издательствами нашей страны, составьте задачу и решите ее. 285. Числа a и b удовлетворяют равенству 2^ +—^ = 2. Найдите все возможные значения выражения 6 9 a + b a - b 3a - b 2003 Г. 2002 Г. 2001 Г. a + 5b 14 455 ТЫС. ЭКЗ. 151 ТЫС. ЭКЗ. 11511ТЫС. 3K3. Рис. 159 89 Правообладатель Народная асвета •к •к •к в 286. Три прямые расположены на координатной плоскости так, как показано на рисунке 160. Установите, можно ли числа а, b, c выбрать так, чтобы уравнениями трех начерченных прямых были у = ах + b, у = bx + c, y = cx + a. 287. Параллелограмм разделен двумя парами прямых, параллельных его сторонам, на 9 параллелограммов (рис. 161). Найдите площадь четырехугольника ABCD, учитывая, что площадь всего параллелограмма равна S0, а площадь закрашенного параллелограмма — S1. 8. Окружность и четырехугольник Исследуем сочетание окружности с четырехугольником. А) Теорема 10. Если четырехугольник является описанным около окружности, то у него равны суммы противоположных сторон. Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD описан около окружности и его стороны AB, BC, CD, DA касаются окружности в точках P, Q, R, S соответственно (рис. 162). Докажем, что AB + CD = AD + BC. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки, заключенные между этой точкой и точками касания, равны, то: AP = AS = k, BP = BQ = l, CQ = CR = m, DR = DS = n, AB + CD = k + l + m + n, BC + AD = l + m + k + n. Значит, AB + CD = BC + AD. 90 Правообладатель Народная асвета в N В предыдущем параграфе было установлено, что окружность можно вписать в любой треугольник. Но не каждый четырехугольник имеет такое свойство. Теорема 11. Четырехугольник является описанным около окружности, если у него равны суммы противоположных сторон. Доказательство. Пусть у четырехугольника MNPK суммы MN + PK и MK + NP противоположных сторон равны (рис. 163). Докажем, что в этот четырехугольник можно вписать окружность, т. е. что существует точка I, которая равноудалена от всех сторон этого четырехугольника. Чтобы доказать существование точки, равноудаленной от всех четырех сторон, достаточно установить, что биссектрисы трех углов четырехугольника MNPK пересекаются в одной точке. Пусть для определенности NP > MN, тогда из условия MN + PK = MK + NP получается, что PK > MK. На лучах NP и KP отложим отрезки NA и KB, соответственно равные сторонам NM и MK. Тогда PA = NP - MN и PB = PK - MK. Теперь обратим внимание на то, что условие MN + PK = MK + NP равносильно условию PK - MK = = NP - MN. Значит, PB = PA. Треугольники MNA, MKB и PAB являются равнобедренными с основаниями MA, MB и AB соответственно. Поэтому их биссектрисы, проведенные из углов N, K и P, являются медианами и высотами соответствующих треугольников. Иными словами, прямые, содержащие биссектрисы, проведенные из углов N, K и P треугольников MNP, MKP и PAB, являются серединными перпендикулярами к отрезкам MA, MB 91 Правообладатель Народная асвета и AB, которые являются сторонами треугольника MAB. Но, как было доказано в теореме 8, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Мы установили, что биссектрисы углов N, K и P четырехугольника MNPK пересекаются в одной точке. Эта точка и является центром окружности, вписанной в четырехугольник MNPK. Б) Теорема 12. Если четырехугольник является вписанным в окружность, то суммы его противоположных углов равны 180°. Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 164). Докажем, что сумма противоположных углов четырехугольника ABCD равна 180°. Рассмотрим углы BCD и BAD. Первый из них измеряется половиной дуги BAD, второй — половиной дуги BCD. Вместе эти дуги составляют окружность, градусная мера которой равна 360°. Значит, Z BCD + Z BAD = I (^ BAD + ^ BCD) = = 1 • 360° = 180°. 2 Задача 6. Докажем, что если четырехугольник вписан в окружность, то произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажем, что AC • BD = AB • CD + AD • BC. Если от луча BA отложим угол ABF, равный углу CBD, где точка F принадлежит диагонали AC, то получим две пары подобных треугольников — треугольники ABF и DBC, а также CBF и DBA (рис. 165). Треугольники первой пары подобны, так как их углы BAF и BDC равны как вписанные Рис. 164 92 Правообладатель Народная асвета Рис. 166 и опирающиеся на дугу BC, а углы ABF и DBC равны по построению. Треугольники второй пары подобны, так как их углы BCF и BDA вписанные и опирающиеся на дугу BA, а углы CBF и DBA состоят из равных углов A^F и DBC и общей части — угла DBF. Подобие АABF " А DBC позволяет AB BD записать пропорцию ~ Fw ’ а подобие А CBF А DBA — пропорцию . ^ ^ CF AD Значит, AB • CD = BD • AF и BC • AD = BD • CF. Сложив эти равенства, получим AB • CD + BC • AD = BD • AF + BD • CF, или AB • CD + BC • AD = BD(AF + CF). Но AF + CF = AC. Значит, AB • CD + BC • AD = BD • AC, или BD • AC = AB • CD + BC • AD. Доказанное здесь свойство вписанного четырехугольника называют теоремой Птолемея. Клавдий Птолемей (около 100 — около 178) — древнегреческий астроном, математик, географ (рис. 166). Теорема 13. Четырехугольник является вписанным в окружность, если: а) сумма противоположных углов равна 180°; б) углы, каждый из которых образован стороной и диагональю и которые опираются на одну сторону, равны. Доказательство. а) Пусть в четырехугольнике ABCD противоположные углы вместе составляют 180°. Докажем, что около такого четырехугольника можно описать окружность (рис. 167). Рассмотрим, например, углы BAD и BCD, сумма которых в соответствии с условием равна 180°. Через точки B, A, D проведем окружность. Это всегда можно сделать в соответствии с теоремой 8. По отношению к этой окружности четвертая вершина C четырехугольника ABCD может находиться или вне построенного круга, или внутри круга, или на окружности. 93 Правообладатель Народная асвета Если вершина C находится вне круга, т. е. занимает некоторое положение С^, и стороны BCi и DCi пересекают окружность в точках Fi и С0, то Z BCiD = -1 BD - ^ F^Cq) < 1 ^ BD. Поэтому Z BCiD < Z BCD и сумма углов BAD и BCiD меньше 180°. Получили противоречие с условием. Если вершина C находится внутри круга, т. е. занимает некоторое положение C2, и продолжения сторон BC2 и DC2 пересекают окружность в точках F2 и C0, то Z BC2D = = -1 (^ BD + W F2C0) > 1 ^ BD. Поэтому Z BC2D > Z BCD и сумма углов BAD и BC2D больше 180°. Снова получили противоречие с условием. Таким образом, вершина C не может находиться ни вне круга, ни внутри круга, она должна лежать на окружности, проходящей через вершины B, A, D. А это и означает, что четырехугольник ABCD является вписанным в окружность. б) Доказательство этого утверждения повторяет с соответствующими изменениями приведенное выше доказательство первого утверждения. Пусть, например, в четырехугольнике ABCD углы ACB и ADB, опирающиеся на сторону AB и заключенные между его стороной и диагональю, равны друг другу. Докажем, что около такого четырехугольника можно описать окружность (рис. 168). Через точки A, C, B проведем окружность. Четвертая вершина D может находиться или вне построенного круга, или внутри круга, или на окружности. Если вершина D находится вне круга, т. е. занимает некоторое положение D1, и отрезки AD1 и BD1 пересекают окружность в точках D0 и F1, то Z AD1B = л = 1 (^ AB - W D0F1) < 1W AB. Поэтому ZAD1B < ZACB, и это противоречит условию. Если вершина D находится внутри круга, т. е. занимает некоторое положение D2, и продолжения отрезков AD2 и BD2 пересекают окружность в точках D0 и F2, то 94 Правообладатель Народная асвета ZA^2B = 1 AB + w DqF2) > 1 w A^. Поэтому Z> Z ACB, а это снова противоречит условию. Таким образом, вершина D не может находиться ни вне круга, ни внутри круга, она должна лежать на окружности, проходящей через вершины A, B, C. А это и означает, что четырехугольник ABCD является вписанным в окружность. В) Доказанная теорема дает достаточные условия принадлежности четырех точек плоскости одной окружности. Следствие. Четыре точки A, B, X, Y плоскости лежат на одной окружности, если: а) точки X и Y расположены по разные стороны от прямой AB и углы AXB и AYB вместе составляют 180°; б) точки X и Y расположены по одну сторону от прямой AB и углы AXB и AYB равны. Это следствие лежит в основе метода вспомогательной окружности, сущность которого видна из решения следующей задачи. Задача 7. Докажем, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Доказательство. Пусть AAi и BB^ — высоты треугольника ACB, H — точка пересечения прямых AA^ и BB^ (рис. 169). Пусть прямая CH пересекает сторонуAB в точке C1. Докажем, что угол CC1A является прямым. Поскольку углы AA1B и BB1A оба прямые, то точки A, A1, B, B1 лежат на одной окружности с диаметром AB. Углы ABA1 и AB1A1 вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу AA1. Значит, эти углы равны. Углы HA1C и HB1C оба прямые, значит, точки C, A1, H, B1 лежат на одной окружности с диаметром HC. Поэтому вписанные в эту окружность углы CB1A1 и CHA1 равны, так как опираются на одну дугу CA1. Рассмотрим треугольники ABA1 и AHC1. Они имеют общий угол A, углы ABA1 и AHC1, в отдельности равные углу A1B1C, равны. Поэтому у треугольников равны и третьи углы: ZAA1B = ZHC1A. А поскольку угол AA1B прямой, то и равный ему угол HC1A также прямой. рис ^gg 95 Правообладатель Народная асвета 1. Сформулируйте свойство сторон описанного четырехугольника. • 2. Сформулируйте признак описанного четырехугольника. 3. Сформулируйте свойство углов, образованных стороной и диагональю вписанного четырехугольника. 4. Сформулируйте свойство противоположных углов вписанного четырехугольника. 5. Сформулируйте признаки вписанного четырехугольника. 6. Укажите условия принадлежности четырех точек плоскости одной окружности. 288. Найдите периметр описанного около окружности четырехугольника, у которого сумма двух противоположных сторон равна 120 мм. 289. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Найдите сторону DA, учитывая, что: а) AB + CD = 180 мм и BC = 150 мм; б) AB = 39 см, BC = 34 см, CD = 51 см; в) AB + BC = 63 м, BC - AB = 7 м и CD = 25 м; г) AB - CD = 9 дм, AB : CD = 5 : 4 и BC = 20 дм. 290. Установите, можно ли около четырехугольника ABCD описать окружность, учитывая, что: а) AB = 44 см, BC = 42 см, CD = 84 см, DA = 86 см; б) AB = 72 м, BC = 90 м, CD = 48 м, DA = 28 м; в) AB : BC = 17 : 8, AB - BC = 36 м, DA - CD = 36 м и DA = 1,3CD; г) AB + BC = 133 мм, BC : AB = 8 : 11, CD + DA = 89 мм и CD -- DA = 21 мм; д) AB + CD = 140 дм, AB : CD = 3 : 4, BC - DA = 60 дм и BC + + DA = 140 дм. 291. Укажите возможные пары длин противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, учитывая, что длины трех сторон равны: а) 6 см, 10 см, 17 см; б) 48 см, 64 см, 196 см. 292. Укажите последовательные углы четырехугольника, вписанного в окружность, учитывая, что: а) два его противоположных угла относятся как 7 : 8, а еще один угол равен 105°; б) три его последовательных угла относятся как 3 : 7 : 5; в) два его противоположных угла отличаются на 30°, а третий угол больше четвертого в четыре раза. 293. Последовательные стороны четырехугольника, вписанного в окружность, равны 112 см, 152 см, 35 см, 95 см. Найдите диагонали четырехугольника, учитывая, что они относятся как 40 : 51. 96 Правообладатель Народная асвета 294. Используя теорему Птолемея, докажите: а) теорему Пифагора; б) что квадрат диагонали равнобедренной трапеции равен сумме квадрата ее боковой стороны и произведения оснований. 295. Установите, можно ли около четырехугольника описать окружность, учитывая, что: а) три его последовательных угла равны 37°, 96°, 143°; б) два его противоположных угла равны 101° и 79°; в) два его противоположных угла равны 113° и 77°. 296. Установите, при каком условии можно описать окружность около: а) параллелограмма; в) трапеции; б) ромба; г) дельтоида (рис. 170). 297. Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник, сумма двух противоположных сторон которого и его площадь соответственно равны 10 м и 12 м2. 298. Две смежные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 18 см и 34 см, а две другие относятся как 3 : 2. Найдите периметр четырехугольника. 299. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 56 см. Найдите стороны четырехугольника, учитывая, что две его смежные стороны относятся как 2 : 3, а две другие — как 5 : 8. 300. Докажите, что площадь S четырехугольника, описанного около окружности с радиусом г, и его полупериметр p связаны равенством S = рг. 301. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника и радиус вписанной в него окружности соответственно равны 24 и 5. Найдите площадь четырехугольника. 302. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Точки M и N выбраны на окружности так, что прямые AM и CN делят углы A и C пополам. Докажите, что MN — диаметр. Рис. 170 97 Дельтоид — четырехугольник, состоящий из двух равнобедренных треугольников с общим основанием. Правообладатель Народная асвета 303. Найдите основания равнобедренной трапеции, описанной около окружности, учитывая, что: а) ее боковая сторона равна 5, а диагональ — 7; б) радиус окружности равен 2/б, а диагональ — 14; в) радиус окружности равен 7,5, а площадь трапеции — 255; г) периметр трапеции равен 100, а ее площадь — 600. 304. Около окружности описана трапеция, боковые стороны которой равны 13 и 15, а площадь — 168. Найдите основания трапеции. 305. Сторона AD вписанного в окружность четырехугольника ABCD является диаметром этой окружности. Докажите, что проекции BA1 и CD1 сторон AB и DC на прямую BC равны друг другу. 306. Докажите, что: а) если четырехугольник является описанным около окружности, то у него равны суммы углов, под которыми видны из центра круга противоположные стороны; б) если равны суммы углов, под которыми видны из некоторой точки противоположные стороны четырехугольника, то такой четырехугольник не обязательно является описанным около окружности. 307. Докажите, что окружность можно описать около: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции. 308. Докажите, что: а) если четырехугольник ABCD не является выпуклым, то условие равенства углов ABD и ACD не является достаточным для того, чтобы четырехугольник был вписанным; б) если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб. 309. Докажите, что окружность можно вписать в: а) квадрат; б) ромб; в) дельтоид (см. рис. 170). 310. Найдите радиус окружности, вписанной в: а) ромб со стороной a и углом а; б) дельтоид (см. рис. 170) со сторонами m и n и углом в между ними. 311. Докажите, что если четырехугольник можно разбить на два вписанных четырехугольника, то этот четырехугольник является трапецией. 98 Правообладатель Народная асвета 312. Найдите наименьший диаметр бревна, из которого можно выпилить брус шириной 24 см и толщиной 10 см. 313. Найдите: а) наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг с радиусом R; б) четырехугольник с наибольшей площадью, вписанный в круг с радиусом R. ----'-■1 314. В окружности с диаметром AB, равным d, построены параллельные хорды AC и BD. Установите: а) вид четырехугольника ACBD; б) площадь четырехугольника ACBD, учитывая, что AC = а; в) границы изменения площади четырехугольника ACBD. 315. Высоты KK1, PP1, UU1 треугольника KPU пересекаются в точке H (рис. 171). Укажите все четырехугольники с вершинами в точках K, P, U, K1, P1, U1, H, которые являются вписанными. 316. Докажите, что если можно описать окружность около: а) параллелограмма, то этот параллелограмм — прямоугольник; б) трапеции, то эта трапеция равнобедренная. 317. Отрезки BB1 и CC1 — биссектрисы треугольника ABC. Докажите, что если четырехугольник BC1B1C вписанный, то треугольник ABC равнобедренный. 318. Докажите, что если у двух четырехугольников соответственно равны стороны и один из них является описанным около окружности, то таким является и другой четырехугольник. 319. Прямая, перпендикулярная большей стороне параллелограмма, разделяет его на два четырехугольника, в каждый из которых можно вписать окружность. Найдите меньший угол параллелограмма, учитывая, что стороны параллелограмма равны 4 и 6. 320. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции, учитывая, что ее: а) большее и меньшее основания и высота соответственно равны 11, 5 и 4; б) большее и меньшее основания и боковая сторона соответственно равны 7, 1 и 5; 99 Правообладатель Народная асвета в) большее и меньшее основания и диагональ соответственно равны 17, 7 и 13; г) большее основание а, боковая сторона k и угол а между ними таковы, что а = 14, k = 13 и tg а = 2,4. 321. Найдите радиус наименьшего круга, содержащего равнобедренную трапецию с основаниями а и b и боковой стороной с. 322. Найдите, если возможно, углы и стороны трапеции по данным на рисунке: а) 172; б) 173; в) 174; г) 175. С CD = FE = k; F Рис. 172 CF = l. R D Рис. 173 Рис. 174 BM = v. 323. Докажите, что точки пересечения пар биссектрис соседних углов выпуклого четырехугольника лежат на одной окружности. 324. Каждая из четырех окружностей плоскости с центрами Oi, O2, O3, O4 касается внешним образом двух других окружностей (рис. 176). Докажите, что точки А1, A2, A3, A4 попарного касания этих окружностей лежат на одной окружности. 325. Известно, что произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Какой вид принимает это свойство, если вписанный четырехугольник является: а) прямоугольником; б) равнобедренной трапецией? 100 Правообладатель Народная асвета 326. Известно, что произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Сформулируйте обратное утверждение и установите, верно ли оно. 327. Стороны AD и BC вписанного четырехугольника ABCD равны k и l, а точка Q пересечения диагоналей этого четырехугольника отсекает от них отрезки QA и QD длиной тип соответственно (рис. 177). Найдите стороны QB и QC треугольника BQC. Рис. 177 328. Найдите координаты центра симметрии X, относительно которого симметричны точки: а) A(0) и Ai(8); б) A(17) и Ai(1); в) A(-4) и Ai(10); г) A(-1) и A1(-17). 329. Медианы AA1, BB1 и CC1 прямоугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, а его катеты AB и AC равны 12 м и 18 м. Найдите: а) стороны треугольников AMB, AMC, BMC; б) диагонали четырехугольников AC1MB1, BC1MA1, CA1MB1. 330. Найдите площадь равнобедренного треугольника, в котором высота, проведенная к основанию, равна 10 см, а высота, проведенная к боковой стороне, — 12 см. 331. Две стороны треугольника и угол между ними соответственно равны 31 м, 224 м и 120°. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к большей стороне. 332. Решите систему неравенств: [З^ - 4 > 22 - 4b, [7b + 2 < 9b - 2; \2У + 1 ^ 3y + 4? [5y - 1 > 8y + 17; 101 а) б) Правообладатель Народная асвета в) г) г3(х - 4) - 2(x - 1) < 3x, x - 3x + 1 < (x - 2)(x - 5) - 9; [2(x + 3)(x - 5) > (x + 1)(2x - 3) - (3x + 28), 13 + x > 0,3(4x + 3). 2 333. Постройте график функции y = x2 - x - 6. Запишите, используя неравенства и промежутки, множество значений аргумента x, при которых значение функции у: а) меньше нуля; г) не меньше нуля; б) равно нулю; д) не равно нулю; в) больше нуля; е) не больше нуля. 334. Постройте график функции у = -x2 + 5x + 6. Запишите, используя неравенства и промежутки, множество значений аргумента x, при которых значение функции y: а) меньше нуля; г) не меньше нуля; б) равно нулю; д) не равно нулю; в) больше нуля; е) не больше нуля. 335. Делимое увеличили на 40 %, а делитель уменьшили на 25 %. На сколько процентов изменилось частное? 336. Рабочий за определенный срок должен был изготовить 3600 деталей. Поскольку в день он изготавливал на 20 деталей больше, чем рассчитывал, то выполнил заказ на 6 дней раньше. За сколько дней был выполнен заказ? 337. Докажите, что если произведение неотрицательных чисел a1, a2, ^, an равно 1, то (1 + a1) • (1 + a2) • ^ • (1 + + a„) > 2n. 338. Сумма пяти натуральных чисел равна 2007. Какое наибольшее значение может принимать их НОД? 339. На сторонах треугольника ABC взяты точки Aj_, B1, Cl. Отрезки A1B1, A1C1, B1C1 разбили треугольник на четыре равновеликих треугольника. Докажите, что A1, B1, C1 — середины сторон треугольника ABC. Правообладатель Народная асвета •к •к •к Раздел Неравенства 9. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства А) Вы уже умеете решать линейные неравенства с одной переменной. Теперь научимся решать квадратные неравенства с одной переменной, т. е. неравенства вида: ax^‘ + bx + c > 0, ax^ + bx + c < 0, ax^ + bx + c > 0, ax^ + bx + c < 0, ax^ + bx + c ^ 0, где a, b, c — некоторые числа, x — переменная и a ^ 0. Теорема. Если дискриминант D квадратного трехчлена ax2 + bx + c: а) отрицателен, то его значение имеет тот же знак, что и старший коэффициент а, при всех значениях переменной х; б) равен нулю, то его значение имеет тот же знак, что и старший коэффициент a, при всех значениях переменной x, отличных от корня трехчлена; в) положителен, то его значение имеет тот же знак, что и старший коэффициент a, при значениях переменной x, меньших меньшего корня трехчлена и больших большего его корня, и имеет знак, противоположный знаку старшего коэффициента a, если значение переменной x заключено между корнями трехчлена. Доказательство. Пусть дан квадратный трехчлен ax2 + bx + c с переменной x, старшим коэффициентом a, который не равен нулю, вторым коэффициентом b и свободным членом c. а) Пусть дискриминант D квадратного трехчлена ax2 + + bx + c отрицателен. В квадратном трехчлене ax2 + bx + c выделим полный квадрат и получим: ax2 + bx + c = a(fx + — I - b2 - 4 ac 2^ 4a2 2 По условию значение выражения b2 - 4ac отрицательно. Тог- _ b2 - 4 ac да значение дроби -----=— также отрицательно, так как ее зна- 4a2 103 Правообладатель Народная асвета менатель 4a2 положителен, а поэтому значение выражения - 4а^ „ I Ь \2 - 4ac ------=— положительно. Значение выражения I x +--1------=— 4a2 \ 2a 4a2 положительно, так как первое слагаемое (x + — | этой алгебраи- 2a 2 „ Ь2 - 4ac ческой суммы неотрицательно, а второе ее слагаемое ----=— 4a2 положительно. Ь ^2 _ Ь2 - 4ac Получается, что значение выражения a (lx + 2a 4a2 которое является произведением старшего коэффициента a и положительного множителя | x + Ь2 - 4 ac имеет тот же знак, что и коэффициент a. Поэтому и значение квадратного трехчлена ax^‘ + Ьx + c совпадает по знаку со значением его старшего коэффициента a. б) Пусть дискриминант D квадратного трехчлена ax^‘ + Ьx + c равен нулю и x^ — его единственный корень. Тогда этот трехчлен можно разложить на множители: ax2 + Ьx + c = a(x - x^)2. Значение выражения (x - x^)2 при значениях переменной x, не равных x^, положительно. Поэтому при таких значениях переменной x значение выражения a(x - x^)2, а значит, и значение равного ему квадратного трехчлена ax2 + Ьx + c совпадает по знаку со значением старшего коэффициента a этого трехчлена. в) Пусть дискриминант D квадратного трехчлена ax2 + Ьx + c положителен, x^ и x2 — его корни и x^ < x2. Тогда этот трехчлен можно разложить на множители: ax2 + Ьx + c = a(x - x1)(x - x2). Пусть значение переменной x меньше xi, т. е. истинно неравенство x < xj_. Учитывая, что xl < x2, получаем, что x < x2. Поэтому разности x - xl и x - x2 обе отрицательны, а их произведение (x - xl)(x - x2) положительно. В этом случае знак произведения a(x - xl)(x - x2) совпадает со знаком a. Пусть значение переменной x больше x2, т. е. истинно неравенство x > x2. Учитывая, что x2 > xj_, получаем, что x > xj_. Поэтому разности x - xx и x - x2 обе положительны, а их произведение (x - xl)(x - x2) также положительно. В этом случае знак произведения a(x - xl)(x - x2) также совпадает со знаком a. 104 Правообладатель Народная асвета в точке I - Пусть значение переменной x удовлетворяет неравенству < x < x2, т. е. истинны неравенства x > x^ и x < x2. Тогда разность x - x^ положительна, а разность x - x2 отрицательна, и их произведение (x - x1)(x - x2) отрицательно. В этом случае знак произведения a(x - x1)(x - x2) противоположен знаку a. Б) Рассмотренной теореме можно дать геометрическую интерпретацию, если учесть, что квадратный трехчлен ax^ + bx + c задает квадратичную функцию у = ax^ + bx + c, которая графически изображается параболой. Эта парабола имеет вершину b2 - 4ac\ _ 2a ’--4a— /’ ветви параболы направлены вверх, если старший коэффициент a > 0, и вниз, если a < 0. Пусть D < 0, тогда квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет корней. Это означает, что соответствующая парабола не пересекает ось абсцисс, т. е. она целиком расположена в верхней или нижней полуплоскости в зависимости от знака старшего коэффициента a. Если a > 0, то значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях переменной x, а соответствующая парабола находится в верхней полуплоскости (рис. 178). Если a < 0, то значения квадратного трехчлена отрицательны при всех значениях переменной x, а соответствующая парабола находится в нижней полуплоскости (рис. 179). Пусть D = 0, тогда квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет единственный корень x1 = -b. Это означает, что соответствующая парабола касается оси абсцисс своей вершиной. Поэтому все точки параболы, за исключением вершины, расположены в верхней или нижней полуплоскости в зависимости от знака старшего коэффициента a. Если a > 0, то значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях переменной x, кроме значения, равного --b-, 2a а соответствующая парабола находится в верхней полупло- Рис. 179 105 Правообладатель Народная асвета Рис. 180 Рис. 181 скости, касаясь вершиной оси абсцисс (рис. 180). Если a < 0, то значения квадратного трехчлена отрицательны при всех зна- чениях переменной х, кроме значения b 2a ’ а соответствующая парабола находится в нижней полуплоскости, касаясь вершиной оси абсцисс (рис. 181). Пусть D > 0, тогда квадратный трехчлен ах^ + bx + c имеет два корня х1 и х2, где х1 < х2. Это означает, что соответствующая парабола пересекает ось абсцисс в точках х1 и х2. Если а > 0, то значения квадратного трехчлена положительны при значениях переменной х, меньших меньшего корня х1 и больших большего корня х2, и отрицательны при значениях переменной х, заключенных между корнями х1 и х2. Соответствующая парабола расположена так, как показано на рисунке 182. Если а < 0, то значения квадратного трехчлена положительны при значениях переменной х, заключенных между корнями х1 и х2, и отрицательны при значениях переменной х, меньших меньшего корня х1 и больших большего корня х2, а соответствующая парабола расположена так, как показано на рисунке 183. Результаты проведенного исследования наглядно представлены схемой на рисунке 184. Рассмотренная теорема лежит в основе алгоритма решения квадратного неравенства, который можно сформулировать так: найти корни соответствующего квадратного трехчлена ax^ + bx + c или установить, что их нет; Рис. 183 Правообладатель Народная асвета Рис. 184 107 Правообладатель Народная асвета Рис. 185 по знаку старшего коэффициента a определить, как направлены ветви параболы — вверх или вниз; на схематическом рисунке показать расположение соответствующей параболы — графика квадратного трехчлена; по полученному рисунку записать ответ. Пример 1. Решим неравенство Эх2 - 7х + 5 > 0. Найдем корни квадратного трехчлена Эх2 - 7х + 5: Эх2 - 7х + 5 = 0; D = 72 - 4 • Э • 5 = -11; корней нет. Определим, как направлены ветви параболы: поскольку a = Э и Э > 0, то ветви параболы направлены вверх. Схематически покажем расположение параболы у = Эх2 - 7х + 5 относительно оси абсцисс, как это сделано на рисунке 185. По полученному рисунку записываем ответ. Рисунок 185 показывает, что значения квадратного трехчлена Эх2 - 7х + 5 положительны при всех значениях переменной х. Это означает, что неравенство Эх2 - 7х + 5 > 0 истинно при всех значениях переменной х, т. е. решениями неравенства являются все действительные числа. Ответ. (-^; +^). Пример 2. Решим неравенство -Э^2 - 7t - 4 < 0. Найдем корни квадратного трехчлена -Э^2 - 7t - 4: -Эt2 - 7t - 4 = 0; D = 72 - 4 • (-Э) • (-4) = 1; t1 = - -Э; t1 = -1. Определим, как направлены ветви параболы. Поскольку a = -Э и -Э < 0, то ветви параболы направлены вниз. Схематически покажем расположение параболы у = -3t2 - 7t - 4 относительно оси абсцисс, как это сделано на рисунке 186. По полученному рисунку записываем ответ. Рисунок 186 показывает, что Рис. 186 108 Правообладатель Народная асвета значения квадратного трехчлена -3t2 - 7t - 4 неположительны при значениях переменной t, расположенных вне промежутка ■4; - lj. Это означает, что неравенство -3t2 - 7t - 4 < 0 истинно при таких значениях переменной t, которые удовлетворяют условию: t < - — или t > -1. 3 Ответ. ^-<х:; -4j и [-1; +^). Пример 3. Решим неравенство 3а2 + 7а - 6 > 0. Найдем корни квадратного трехчлена 3а2 + 7а - 6: 3а2 + 7а - 6 = 0; D = 72 + 4 • 3 • (-6) = 121; а1 = -3; а2 = 3. Определим, как направлены ветви параболы. Поскольку а = 3 и 3 > 0, то ветви параболы направлены вверх. Схематически покажем расположение параболы у = 3а2 + 7а - 6 относительно оси абсцисс, как это сделано на рисунке 187. По полученному рисунку записываем ответ. Рисунок 187 показывает, что значения квадратного трехчлена 3а2 + 7а - 6 положительны при значениях переменной а, расположенных 2 левее числа -3 или правее числа —. Это означает, что нера- 3 венство 3а2 + 7а - 6 > 0 истинно при таких значениях перемен- 2 ной а, что а < -3 или а > —. 3 Ответ. (-^; -3) U ^ -I; Пример 4. Решим неравенство 4т2 - 28т + 49 < 0. Корнем квадратного трехчлена 4т2 - 28т + 49 является 7 число —. 2 Ветви параболы направлены вверх. Парабола у = 4т2 - 28т + 49 относительно оси абсцисс расположена так, как показано на рисунке 188, из которого видно, что значения квадратного трехчлена 4т2 - 28т + 49 положительны при всех зна- 7 чениях переменной т, кроме значения при котором этот трехчлен равен нулю. 7 Ответ. —. 2 2 Рис. 188 109 Правообладатель Народная асвета Пример 5. Найдем область определения функции z = 3l - 8 2l2 - 3l - 35 В выражении 31 - 8 2l2 - 3l - 35 всегда выполнимыми являют- ся все действия, кроме деления на выражение 2l2 - 3l - 35, которое невыполнимо при тех значениях переменной l, при которых значение выражения 2l2 - 3l - 35 равно нулю. Поэтому область определения функции z определяется условием 2l2 - 3l - 35 ^ 0. Решим данное неравенство. Получим: 2l2 - 3l - 35 ^ 0 = l ^ 39 + 4-2-35 = 2^2 = l ^ 3 ±17 = l ^ -3,5 и l ^ 5. 4 Ответ. (-^; -3,5) U (-3,5; 5) U (5; +те). 1. В каких случаях квадратный трехчлен ax^ + bx + c с отрицательным дискриминантом имеет положительные значения; отрицательные значения? 2. В каких случаях квадратный трехчлен ax2 + bx + c с положительным дискриминантом имеет положительные значения; отрицательные значения; неположительные значения; неотрицательные значения? 3. В каких случаях квадратный трехчлен ax2 + bx + c с нулевым дискриминантом имеет положительные значения; отрицательные значения; неположительные значения; неотрицательные значения? 4. Сформулируйте алгоритм решения квадратного неравенства. 340. Постройте в тетради следующую таблицу исследования знака квадратного трехчлена ax2 + bx + c и заполните ее в соответствии с изученной теоремой (с. 103). Дискриминант, D Старший коэффициент, a Графическое изображение Значения переменной, при которых значение квадратного трехчлена ax2 + bx + c положительно отрицательно D > 0 a > 0 D > 0 a < 0 D = 0 a < 0 D = 0 a > 0 D < 0 a > 0 D < 0 a < 0 110 Правообладатель Народная асвета 341. Используя график функции T = 2a2 - 2a - 4, изображенный на рисунке 189, укажите те значения аргумента а, при которых значение функции T: ж) равно -4; з) меньше -4; и) больше -4; к) равно - 5; л) меньше -5; м) больше -5. 342. Используя график функции у = -x2 + 6x - 5, изображенный на рисунке 190, укажите те значения аргумента х, при которых значение функции у: а) равно 0; б) меньше 0; в) больше 0; г) равно 8; д) меньше 8; е) больше 8; а) равно 0; б) меньше 0; в) больше 0; г) равно 3; д) меньше 3; е) больше 3; ж) равно -5; з) меньше -5; и) больше -5; к) равно 4; л) меньше 4; м) больше 4. 343. Используя график функции s = 212 + t —изображенный на рисунке 191, решите неравенство: а) 212 + 81 - 10 < 0; ^9 9 9 б) 212 + 81 - 10 < 0; ^9 9 9 Рис. 189 111 Правообладатель Народная асвета в) 212 + 81 - 10 > 0; '9 9 9 г) 212 + 81 - 10 ^ 0. '9 9 9 344. Используя график функции C = --1 z2 - z - 2, изображенный на рисунке 192, решите неравенство: а) -2 z2 - z - 2 < 0; б) -1 z2 - z - 2 < 0; ’ 8 ’ в) -2 z2 - z - 2 > 0; ’ 8 ’ г) -2z2 - z - 2 > 0. ’ 8 345. Постройте график функции T = -2a2 + 2a + 4 и укажите по нему те значения переменной а, при которых значения функции T: а) отрицательны; в) неотрицательны; б) положительны; г) неположительны. 346. Найдите те значения переменной t, при которых не больше нуля значения функции: а) h = -t2 + 6t - 9; в) k = -212 - 3t - 9; ^ 2 2’ б) g = t2 - 4t + 4; г) l = -212 - 4t - 12. ^ 3 347. Запишите какое-либо квадратное неравенство, множество решений которого: а) состоит из одного числа 7; б) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7; 112 Правообладатель Народная асвета в) состоит из всех действительных чисел; г) не содержит ни одного числа. 348. Запишите какое-либо квадратное неравенство, множеством решений которого является: а) промежуток (1; 5); б) промежуток [1; 5]; в) множество (-^; 1) и (5 ; + “); г) множество (-^; 1] и [5 ; + “). 349. Решите неравенство: а) и2 + 10 > 0; г) (е + 5)2 + 3 < 1; б) d2 + 9 < 0; в) (к - 1)2 + 1 > 0; д) -(w + 1)2 - 2 < 0; е) -(/ - 2)2 - 4 > 0. 350. Решите неравенство: а) 4и2 - 9 > 0; б) 9d2 - 25 > 0; в) X2 - 3х + 2 > 0; г) У2 - 3у - 4 < 0; д) 2а2 - 4а + 9 < 0; е) 3q2 + 2q + 4 > 0; ж) 1 m2 - 4m > -8; з) 1 z2 ’ 3 + 2z <-3. 351. Решите неравенство: а) r2 - 14r + 45 > 0; д) x2 + 105 > 22x; б) a2 - 11a + 30 > 0; в) s2 + 11s + 30 > 0; г) b2 - 4b + 3 > 0; е) t2 - 5t + 4 < 0; ж) m2 - 6m + 9 < 0; з) z2 - 8z + 7 > 0. 352. Решите неравенство: а) 3c2 - 5c - 2 > 0; б) 5k2 - 7k + 2 < 0; в) 3m2 - 7m - 6 < 0; г) 3r2 - 2r + 5 > 0; д) 2u2 - 3u + 7 < 0; е) a2 - 4a + 3 ^ 0; ж) 3e2 - 4e + 5 < 0; з) 3l2 - 11l - 4 < 0; и) 5k2 - 8v - 4 < 0; к) 2b2 + 9b - 56 ^ 0. 353. Решите неравенство: а) a2 - 2a + 3 > 0; б) 4b - b2 < 5; в) X2 + 9 < 6x; г) (2 - y)y < 1; д) c(c + 5) - 2 > 4c; е) t2 - t Ф 6; ж) d(d + 5) < 2(d2 + 2); з) 11 - (z + 1)2 > z; и) (u + 4)(u + 5) - и < 5; к) 2v3 - 9v2 ^ 35v. 113 Правообладатель Народная асвета 354. Решите неравенство: а) -2 + d - 3d2 < 0; б) -5 + 4s - 3s2 > 0; в) 2а2 - 3а + 4 > а2 + 2а - 2; г) 2х2 - 2х - 7 > X2 + 5х - 17; д) m(m + 1) < 2(1 - 2m - m2); 355. Найдите область определения функции а) у = V2 -1 - t2 ; б) z = е) n2 + 2 < 3n - 1 n2; ж) 6p2 + 1 < 5p - 1 p2; з) 2z(z - 1) < 3(z + 1); и) у - -1 y2 < у + 1; к) 1 у2 + — ^ у - 1. 9a2 - 3 a - 2 в) t = 5b2; г) u = ' 7e2 - 48e - 7 356. Найдите область определения функции: а) P = V2x2 - 3х + 5; в) R = ^j2 - 4 j + 4; 2n - 7 б) Q = - г) S = 12n2-3n - 1 37 ‘ - 4 s + 4 357. Решите неравенство: г) (m - 1)(4 - m) < 0; . 2 - k . „ д) lk-55 ^ 0; 6)1^1 > 0. ^ I - 8 а) iili - 1 > L-l + ii; 4 3 2 32 - 8 j Л ^ 2 j - 3 0*2 в) (n - 3)(4 - n) > 0; 358. Докажите, что: а) решениями неравенства х2 - 2х + а > 0 являются все действительные числа, если а > 1; б) неравенство у2 + 2у + b < 0 не имеет решений, если b > 1. 359. Найдите все значения переменной s, при которых для всех действительных чисел выполняется неравенство: а) X2 - (s + 2)х + 4 > 0; б) (s2 - 1)t2 + 2(s - 1)t + 2 > 0. 114 Правообладатель Народная асвета 360. Установите, какими могут быть измерения прямоугольника, которые отличаются на 5, учитывая, что площадь прямоугольника не меньше: а) 14; б) 36; в) 66. 361. Одно основание трапеции равно 7. Установите, какими могут быть второе основание и высота, которая меньше его на 1, учитывая, что площадь трапеции должна быть не меньше: а) 64; б) 154; в) 192. 362. Один из углов параллелограмма равен 150°. Определите, какими могут быть его стороны, отличающиеся друг от друга на 3, если площадь параллелограмма не меньше: а) 2; б) 20; в) 252. 363. Велосипедист должен проехать 12 км по шоссе и затем столько же по грунтовой дороге. Какой может быть скорость велосипедиста по грунтовой дороге, если она на 2 км/ч меньше скорости по шоссе, а время движения не должно превышать 1 ч 25 мин? 364. Упростите выражение: а) а) 9а^Ь 1 6 а4е 2 б) 14 x 5 у 1 18X6г 3 15 7 у- 365. Найдите значение выражения: 0,04-2 • 1254 • 0,2-1 4 • 258 э10 •7-5•(1 б) • 49 366. Стороны вписанного в окружность угла отсекают от нее дуги в 111° и 41°. Найдите этот вписанный угол. 367. Высота AB дуги XAY окружности с радиусом 15 м, которой ограничена ферма моста, равна 3 м (рис. 193). Найдите длину XY пролета моста. 368. Один из углов равнобедренной трапеции равен 30°, а высота, проведенная из вершины другого угла, делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 25 см. Найдите стороны и площадь трапеции. 369. Диагональ трапеции является биссектрисой угла при большем основании, образует с этим основанием угол, рав- 115 Правообладатель Народная асвета 2 2 2 4 b е 2 Рис. 194 Рис. 193 ный 45°, и перпендикулярна другой боковой стороне. Найдите периметр трапеции, учитывая, что ее меньшая боковая сторона равна 35 см. 370. Основания равнобедренной трапеции и один из ее углов равны соответственно т, пив. Найдите периметр и площадь трапеции, учитывая, что: а) т = 6 см, п = 8 см, в = 60°; б) т = 12 дм, п = 8 дм, в = 30°; в) т = 4 м, п = 8 м, в = 45°; г) т = 40 мм, п = 90 мм, в = 150°. 371. На отрезке MN длиной 50 см выбрана точка Q, и на полученных отрезках-частях MQ и NQ построены треугольники MQP и NQR (рис. 194) с площадями 300 см2 и 705 см2 соответственно. Найдите основания этих треугольников, учитывая, что отрезок PR перпендикулярен прямой MN и его конец P на 17 см ближе к этой прямой по сравнению с концом R. * * * 372. Натуральные числа а, b, c таковы, что числа a + b, b + c, c + a все простые. Докажите, что среди чисел а, b, c есть равные. 373. Отрезки AK и BM — медианы треугольника ABC. Докажите, что если Z CAK = Z CBM = 30°, то треугольник ABC равносторонний. 116 Правообладатель Народная асвета 374. Числа 5, 6, 7, 8 имеют то свойство, что каждое из них представляется произведением различных простых чисел в нечетных степенях: 5 = 51, 6 = 21 • 31, 7 = 71, 8 = 23. Какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел имеет это свойство? 10. Системы неравенств Ранее мы решали системы линейных неравенств. Теперь будем рассматривать системы линейного и квадратного неравенств, квадратных неравенств. Напомним, что требование Решить систему неравенств (уравнений или уравнения и неравенства) означает Найти все те значения переменных, при которых все условия, записанные в системе, будут истинными. А) Пример 1. Решим систему: Г24 + 2а - а2 > 0, _ f&2 + 3 > 4b, а) \ б) < [5 - а < 4 - 3а; [5b + 24 > b2. Как и при решении систем линейных неравенств, будем использовать преобразования равносильности, т. е. такие преобразования, при которых не изменяется множество решений системы. Для обозначения равносильных условий будем использовать знак =. а) Имеем |24 + 2а - а2 > 0, [5 - а < 4 - 3а; [а2 - 2а - 24 < 0, 2а < -1 [(а + 4)(а - 6) < 0, а < —. I 2 Представив решения каждого неравенства рисунком 195, выберем те значения переменной, которые удовлетворяют каждому из условий системы, и запишем ответ: -4 1 2 Рис. 195 Л 6 а [-4; - )• б) Имеем [b^ + 3 > 4b, [5b + 24 > b2 [b2 - 4b + 3 > 0, lb2 - 5b - 24 < 0 (b - 1)(b - 3) > 0, (b + 3)(b - 8) < 0. 117 Правообладатель Народная асвета 8 Ъ Рис. 196 По рисунку 196, на котором представлены решения первого и второго неравенств последней системы, записываем ответ: (-3; 1] и [3; 8). Б) К системам неравенств сводятся и более сложные неравенства. Пример 2. Решим неравенство t2 + 2t - 15 t—2 < 0. Дробь неположительна, когда ее числитель неположителен, а знаменатель положителен или когда числитель неотрицателен, а знаменатель отрицателен, т. е. когда истинна система ft2 + 2t - 15 < 0, It - 2 > 0 или система ^[t2 + 2t - 15 > 0, ]^t - 2 < 0. Решим первую систему: ft2 + 2t - 15 < 0, f(t + 5)(t - 3) < 0, It - 2 > 0 t - 2 > 0. Рисунок 197 позволяет записать решение системы: (2; 3]. Решим теперь вторую систему: ft2 + 2t - 15 > 0, ^ |(t + 5)(t - 3) > 0, j^t - 2 < 0 ~ [t - 2 < 0. Из рисунка 198 видно, что решением второй системы является промежуток (-^; -5]. Решениями исходного неравенства являются числа как промежутка (2; 3], так и промежутка (-^; -5]. Ответ. (-^; -5] U (2; 3]. В) Пример 3. Решим неравенство t2 + 2t - 15 (t2 - 4)(t - 21 < 0. -5 2 Рис. 197 -5 /2 3 Рис. 198 118 Правообладатель Народная асвета -5 -2 -О— 2 Рис. 199 Это неравенство можно решать, как и в примере 2, перебором случаев. Рассмотрим здесь иной способ решения данного неравенства. Его можно записать так: {t - Z){t + 5) ^ о (t - 2)2{t + 2) ' Числа 3, -5, 2, и -2, при которых значения числителя или знаменателя выражения в левой части равны нулю, разделяют координатную прямую на 5 промежутков (рис. 199). Установим, какой знак имеет значение функции у = ---------- на (t - 2)2(t + 2) каждом из них. Этот знак определяется знаками значений выражений t - 3, t + 5, t - 2 и t + 2. Пусть значение переменной t принадлежит самому правому промежутку (3; +^), т. е. истинно неравенство t > 3. Тогда все двучлены t - 3, t + 5, t + 2 и t - 2 положительны, а поэтому на промежутке (3; +^) значения функции у положительны (рис. 200). Пусть переменная t переходит из промежутка (3; + ^) в соседний слева промежуток (2; 3) (рис. 201). Тогда значение двучлена t - 3 с положительного через нулевое становится отрицательным (рис. 202), а остальные двучлены своих знаков не меняют. Поскольку в произведении —3)(t +5) только один (t - 2)2(t + 2) множитель меняет свой знак на противоположный, то знак произведения меняется на противоположный. Поэтому на промежутке (2; 3) значения функции у отрицательны (рис. 203). Пусть переменная t переходит через точку t = 2 из промежутка (2; 3) в соседний слева промежуток (-2; 2) (рис. 204). Тогда значение двучлена t - 2 с положительного через нулевое ста- t = 3 -----о— 2 Рис. 200 t-3 = 0 2 3 3 Рис. 202 f-3< f-3> 0 3 Рис. 201 Правообладатель Народная асвета _____t = 2 -2 0 -5 -2 2 t Рис. 207 t-2<0 \/f -2>^ ^ -2 2 3 ^ Рис. 205 Рис. 208 -2\ '^^2\^уЗ Рис. 206 Рис. 209 новится отрицательным (рис. 205), остальные двучлены t + 5, t + 2 и t - 3 при этом сохраняют свои знаки. Однако при этом (t - 3)(t + 5) выражение своего знака не изменяет, поскольку (t - 2)2(t + 2) в нем присутствует два множителя t - 2. Поэтому на промежутке (-2; 2) значения функции у остаются отрицательными (рис. 206). Если переменная t переходит через точку t = -2 из промежутка (-2; 2) в соседний слева промежуток (-5; -2), то значение двучлена t + 2 с положительного через нулевое становится отрицательным (рис. 207). В выражении -(t—3)(t + 5) (t - 2)2(t + 2) только один множитель меняет свой знак на противоположный. Поэтому на промежутках (-5; -2) и (-2; 2) значения выражения -(^—3)(t + 5) имеют противоположные знаки (рис. 208). (t - 2)2(t + 2) Пусть теперь переменная t переходит через точку t = -5 из промежутка (-5; -2) в соседний слева промежуток (-^; -5). При этом значение только одного двучлена t + 5 из положительного через нулевое становится отрицательным, остальные двучлены t - 3, t - 2 и t + 2 своих знаков не изменяют. Снова только (t - 3)(t + 5) один множитель в выражении -------=---- меняет свой знак. (t - 2)2(t + 2) Поэтому и значения выражения на промежутках (-^; -5) и (-5; -2) имеют противоположные знаки (рис. 209). Учитывая, что в соответствии с условием нас интересуют те промежутки, на которых функция у принимает значения не больше нуля, по окончательному рисунку 209 выписываем ответ: (-^; -5] U (-2; 2) U (2; 3]. 120 Правообладатель Народная асвета Обобщение проведенных здесь рассуждений позволяет обосновать один из методов решения неравенств, который называют методом интервалов. Г) При решении задач бывает полезно использовать геометрические представления. Пример 4. Найдем, при каких значениях переменной p один корень квадратного трехчлена s2 - (2p + 3)s + 3p - 2 меньше 2, а другой — больше 2. Обратим внимание на то, что графиком функции z = s2 - (2p + 3)s + 3p - 2 является парабола с ветвями, направленными вверх. В соответствии с условием этот график должен пересекать ось абсцисс в двух точках с абсциссами и s2, причем промежуток (s!; s2) должен содержать число 2 (рис. 210). Поэтому при значении переменной s, равном 2, квадратный трехчлен s2 - (2p + 3)s + 3p - 2 должен принимать отрицательное значение. Понятно, что и наоборот, если при s, равном 2, квадратный трехчлен s2 - (2p + 3)s + 3p - 2 принимает отрицательное значение, то одна ветвь параболы пересечет ось абсцисс в точке s1, меньшей 2, а вторая — в точке s2, большей 2. Значит, искомые значения переменной p — это решения неравенства 22 - (2p + 3) • 2 + 3p - 2 < 0, т. е. числа промежутка (-4; + ^). Ответ. При p > -4. (у 1. Какое число называют решением системы неравенств? • 2. Что означает требование Решить систему неравенств? 3. Какие преобразования используются при решении системы неравенств? а) — .J ^ 1 — г) [5 - 2x < - 1 + x; f2x + 3 > 7 - 3x, б) д) [3 + 2x < -3 + x; f3x + 5 > 6x - 7, в) е) 11 - 2x < -5 + x; 375. Решите систему неравенств: [2х - 1 > 5 + 4x, 1^7 + 3x ^ —3 + x; -x - 3 > 1 - 2x, -3 - 2x < 9 - 5x; 2(x + 1) > 1 + 2x, 3 + x ^ —1 + 2x. 121 Правообладатель Народная асвета 376. Решите систему неравенств: а) б) в) а) б) в) а) б) в) а) б) в) 122 -5 < 7 + 2х < 1, 5 - 2х < -7 + х; 2 > - х + 3 >-1, 3 - 2х < -3 + х; 4 < 3х - 5 < 10, 3 - 2х < -6 + х; г) д) е) -1 < 3 + 4 х < 11, 2 - 3х < -6 + х; 5 > -2х + 3 > 1, 3 - 2х < -9 - 5х; 3 > 1 + 2х > -5, 1 + 3х ^ — 5 + х. 377. Решите систему неравенств: I х2 - 5х + 6 < 0, 1^5 - 3х > -9 + х; |"х2 - х - 6 > 0, 1^3 - 2х > -9 + х; ^2х2 - 5х + 7 < 0, [5 - 2х > -4 + х; г) д) е) I -х2 - х + 12 < 0, [7 + 2х > -8 - х; ^-2х2 + 5х - 2 < 0, [5 - х > -4 + 2х; [-х2 - х + 6 > 0, I 7 + 2х > -2 - х. 378. Решите систему неравенств: [х2 + 5х + 6 > 0, [х2 + 2х - 8 < 0; \-х2 - 3х + 10 > 0, [х2 + 2х - 3 > 0; [-2х2 + 5х - 3 < 0, I- х2 + 5х + 14 < 0; г) д) е) ^2х2 + 5х - 18 < 0, [-х2 + 9 < 0; ^-2х2 - х + 10 > 0, ]^-х2 + 5х + 6 < 0; [3х2 - 5х - 2 > 0, I -х2 + 5х - 4 < 0. 379. Решите систему неравенств: 2х + 4 ^ 3х - 5 ----- ^ -----. х - 1 х - 1 6 - х > -9 + 2х; х2 - 2х + 4 ^ х2 - 5х + 5 г) х2 - 5х + 2 ^ 2х2 - 5х + 5 х-2 х-2 3 + 2х ^ —5 + 4х; 2 ^ 3 х-1 х-1 6 - х > -9 + 4х; 2х2 - 3х + 6 ^ х2 - 3х + 5 х + 2 х + 2 ' 3 - 2х < -6 + х; д) I х - 1 х - 2’ [2 - 3х < -5 + 4х; 2х -1 ^ -4х + 3 е) I х + 1 1 - 2х 1 - 2х > -9 + 5х. Правообладатель Народная асвета 380. Решите систему неравенств: 2х + 4 < 2, а) ^ х -1 3 + 2х > 7 - 2х; 6х +1 ^ 3х + 4 б) J 2х - 1 х + 2 ’ х - 5 > -8 + 4х; 2 ^ -3 в) J х - 3 х + 2 1з + 2х > -2 + 3х; 2 х - 3 2 х + 5 > 0, г) J х - 2 х + 1 3 - 2х > -4 + 3х; 2х + 3 , 3х -1 +1 < д) J х - 1 х - 2’ 2 - 3х < -5 + 4х; х - 1 ^ -4 х + 3 Q ----^---------+ 3, е) J х +1 3 + 2х 2 + 3х > 8 + 5х. 381. Решите неравенство: а) (х + 3)(х - 5) > 0; г) (х + 3)(х - 5) > 0; б) (х + 3)(х - 5) < 0; д) (х + 3)(х - 5) ^ 0; в) (х + 3)(х - 5) < 0; е) (х - 3)(х - 5) > 0. 382. Решите неравенство: a + 3 ^ л а) :тг ^ 0; б) Т+-Г < 0; в) b + 4 1С + 1 3____ С + 7 > 0; г) 1,2d + 4 ^ 0; ’ d - 2 ’ д) ^ 0; 4 е -12 е)^Ь1 > 0; ’ 4f - 3 ’ ж) (2g + 1)(g + 1) > 0; (g - 2) ’ з) (" +1)(" - 3) < 0; ^ (h + 2) ’ и) 2i -1 (i - 2)(i - 1) > 0. 383. Решите неравенство: V 3 х + 2 1 > 1; г) > 2; -^2 х - 3 ’ . 6 х + 1 , 7 ж) < —; 5х + 3 8’ б) > 1; ’ х - 2 ’ . 7 х - 9 , д) ^ -1; з) < 2; ’ 5х + 1 . 0,5х + 7 , в) < 1; 2х + 3 е) ^-1 > 2; х-5 и) < _ 3. '^2 х + 1 4 384. Укажите те значения аргумента х, при которых график функции: . 3х -1 х + 9 а) у = --- расположен выше графика функции у = ----; х+3 расположен не выше графика функции б) у = 3 х +1 3х + 1 3х -1 12 3х -1 3 х +1 у = 1 - 9х2 123 Правообладатель Народная асвета 385. Решите систему неравенств: а) б) \-5ш^ + 3т + 2 > 0, [т > 0; [2п2 + 5п + 4 > 0, In > 0; в) г) \р2 + p - 6 < 0, 1^-р2 + 2р + 3 > 0; \g2 + 4g - 5 > 0, Ig2 - 2g - 8 < 0. 386. Решите систему неравенств: I а2 + a - 6 < 0, [a2 + 6а + 5 > 0; f&2 - 8b + 7 > 0, [b2 - 2b - 8 > 0; 387. Решите неравенство: а) 0 < 4а2 + 4а < 3; а) б) в) г) ]с2 - 2с - 35 < 0, I^c2 + 10с + 9 < 0; fd2 + 9d + 8 < 0, Id2 + 7d - 18 > 0. б) 8 < b2 - 6b + 8 < 15; 388. Решите систему неравенств в) 0 < с2 - 3c + 2 < 6; г) 5 < d2 - 8d + 25 < 18. а) б) IX2 - 2x - 3 > 0, [x2 - 11x + 28 > 0; 2 - " > 1, < 2; z + 1 2 - z в) г) z + 1 389. Решите неравенство: а) g4 - 12g2 + 36 > 0; б) 16d4 - 24d2 + 9 < 0; 390. Решите неравенство: I 3y2 - 4y + 1 > 0, [3y2 - 5y + 2 < 0; 3w2-7w + 8 > 1, 3w2-7w + 8 w2 +1 < 2. а) б) 22 X -2x \ X + 1 h] > 0; в) c4 - 13c2 + 36 < 0; г) f4 - 2f2 - 15 > 0. в) (t - 3)2 + 2 1 „ t2 - 6t + 9 > 2; 6 t-2 + 9 > 0; (t - 2)2 391. Решите неравенство: а) (b + 4)(b - 5)(b - 9) > 0; б) (b + 4)(b - 5)(b - 10) < 0; в) (b + 4)(b - 1)(b - 9) < 0; 124 г) a2 + 2 ^ a2 - 8a + 16 ^ 8a - 2a2 a2 - 2a + 1 a -1 г) (b + 4)b(b - 9) > 0; д) (b + 3)(b + 1)(b - 4) ^ 0; е) (b + 8)(b + 5)(b + 1) > 0. Правообладатель Народная асвета w2 + 1 392. Решите неравенство: а) б) в) а) б) а) б) в) (k + 3)(k - 2) ^ (е +1)3 (е - 3)(е - 5) 0; > 0; г) (п + 3)(n - 2) ^ (п + 2)2 ^ 0; д) (Р + 8)4(1 - Р23 ^ 0; (р + 5)(р - 2)2 (т + 6)3 (т - 4) (7 - т)5 < 0; е) - (g + 4)4 g2(g - 4)6 > 0. 393. Решите неравенство: а2 - 2 a + 3 (a - 2)2 (b + 4)2 < 0; > 0; е2 - е в) > 0; е2 - 9 г) -9^-2 < 0; 2b2 - 3b + 1 d - 2d 394. Решите неравенство: д) е) l2 - 5l + 6 f3 + 27 2f2 - 3 f - 9 < 0; > 0. a + 1 > 3 a -2 a 2 a - 2 ’ -42 > 3 е -^/2’ 9 е 2e + 2 е-1 1 - 3e ; 2 - 2e ’ г) д) е) ^/3 < 2 - b ^ 5 - b ; b + 3 b • 2 3 - d2 ^/з - d ’ f2 -1 - 1 < 3 2f - 2 395. Укажите те значения аргумента x, при которых значения функции у = (х + 3)(x - 2)2(x + 1)3(x - 4)4 являются: а) отрицательными; г) не отрицательными; б) положительными; д) не положительными; в) равными нулю; е) не равными нулю. 396. Решите неравенство: а) (а + 1)2(а - 6) > 0; г) (а + 1)2(а - 6) > 0; б) (а + 1)3(а - 6) < 0; д) (а + 1)3(а - 6)2 < 0; в) (а + 1)2(а - 6) ^ 0; е) (а + 1)3(а - 6)2 > 0. 397. Решите неравенство: а) (j - 7)(j - 2)(j2 - 9) > 0; г) (m + 6)m(m3 - 216) > 0; б) (k + 3)(k - 4)(k2 - 16) < 0; д) (n2 - 169)(n + 13)(n - 13) < 0; в) (l - 4)(l + 7)(l2 - 49) < 0; е) (g3 - 8)(g2 - 2)(g + 2) > 0. 398. Найдите те значения переменной b, при которых уравнение (b + 7)г2 + 2(b - 1)z + 4 = 0 имеет не более одного корня. 125 Правообладатель Народная асвета l3 - 8 2 b 399. Найдите, при каких значениях переменной g уравнение gy^ - 2(g - 1)y + 5 - 3g = 0 имеет единственный корень меньше 1. 400. Найдите, при каких значениях переменной b один корень уравнения у2 - (3b + 5)y + 2b - 1 = 0 меньше 1, а другой больше 1. 401. Найдите те значения переменной п, при которых один корень уравнения 2пг2 - 2г - (3п + 2) больше 2, а другой меньше 2. 402. Найдите те значения переменной с, при которых уравнение 22 - 2(с + 3)г - с2 + 2с - 2 = 0 имеет два корня, и установите, какие знаки имеют эти корни в зависимости от значения переменной с. 403. Найдите, при каких значениях переменной a оба корня уравнения (а + 2)s2 - (4a + 6)s - 3a - 6 = 0 больше 1. 404. Найдите множество значений функции у = t2 + 5t - 6 t2 -1 + 1 ' 405. Докажите, что рациональным числом является значение выражения: 22 а) (5 + ^/б) + (5 - ^/б) ; б) ^7 + ^/10 +.J7-2JT0 )2. 406. Используя тождество а3 + b3 = (а + b)(a2 - ab + b2), докажите, что значение выражения: а) 173 - 113 кратно 6; д) 663 + 343 кратно 400; б) 613 + 193 кратно 16; е) 543 - 243 кратно 1080; в) 413 + 193 кратно 60; ж) 2195 - 1085 кратно 37; г) 793 - 293 не кратно 100; з) 347 + 417 кратно 25. 407. Найдите значение выражения: а) VSsin 60° ctg 45° tg 30° - 2 sin 30°; б) 3 cos 45° ctg 60° tg 60° - 3 sin 45°; 6sin30° cos 30° в) ^ г) 1 - 2sin2 60° 2cos2 60° - 1' 126 Правообладатель Народная асвета 408. Упростите выражение: а) tg (90° - а) tg (180° - а) - cos (90° + а) sin (180° - а); б) ctg (90° + в) ctg (180° - в) - ctg (90° - в) tg (180° - р); в) cos (90° + X) sin Я. + sin2 (180° - X) + tg (180° - X) tg (90° + ^); г) cos (180° - ю) ctg (90° + ю) + cos (90° + ю) ctg (180° - ю). 409. Найдите вписанный угол AMB, который на 47° меньше соответствующего центрального угла AOB. 410. Точки A, B, C и D окружности делят ее на дуги, которые относятся как 1 : 2 : 3 : 4. Найдите возможные значения угла между прямыми AB и CD. 411. Основания PS и QR трапеции PQRS соответственно равны 11 и 5. Через точку A боковой стороны PQ, которая делит ее в отношении 7 : 5, если считать от точки P, проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отрезок AB этой прямой, заключенный внутри трапеции. 412. Стороны треугольника равны 29 м, 616 м и 631 м. Найдите больший угол треугольника и высоту, проведенную к большей стороне. Рис. 211 413. На сторонах треугольника ABC взяты точки M, N, K так, что Z BMN = Z CKN, Z BNM = ZAKM, ZAMK = = Z CNK (рис. 211). Докажите, что точки M, N, K — середины сторон. 414. Докажите, что если натуральные числа m и n удовлетворяют неравенству m < -J5, то они n удовлетворяют и неравенству V5 - — m > 1 n 4mn 415. На поверхности куба проведена замкнутая ломаная из восьми звеньев, вершины которой совпадают с вершинами куба. Какое наименьшее количество звеньев этой ломаной может совпадать с ребрами куба? Правообладатель Народная асвета Раздел IV Соотношения между сторонами и углами треугольника 11. Свойства треугольника А) С треугольником, который является простейшей из многоугольных фигур, связаны многие методы доказательства в геометрии. Любой многоугольник можно разделить на треугольники, поэтому при установлении свойств многоугольника используются свойства треугольника. Для доказательства равенства отрезков или углов бывает удобно включить их в некоторые треугольники и доказать равенство этих треугольников. Сочетание треугольника еще с одной фигурой — окружностью — дает ряд новых свойств, имеющих разнообразные применения. Вы уже знаете многие свойства треугольника. Напомним их. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°; внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним; каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон; против большей стороны треугольника лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона; средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине; медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2 : 1, если считать от вершины; биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам; площадь треугольника равна половине произведения стороны и проведенной к ней высоты, или половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними, или квадратному корню из произведения полупериметра и трех разностей 128 Правообладатель Народная асвета полупериметра с каждой стороной, или произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. Установим новые свойства треугольника. Б) Теорема 1. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Доказательство. Пусть а, b, c — длины сторон BC, CA, AB треугольника ABC (рис. 212). Докажем, что b sin A sin B sin C В В соответствии с теоремой о площади треугольника для этой площади S получаем: S = 1 bc sin A; S = 1 ac sin B; 2 ’2 ’ S = 1 ab sin C. 2 Два первых равенства дают равенство 1 bc sin A = 1 ac sin B, 22 Рис. 212 откуда a sin A sin B Так же из второго и третьего равенств получаем: Значит, sin B sin C b sin A sin B sin C Доказанное утверждение называют теоремой синусов. В некоторых книгах теоремой синусов называют более сильное утверждение, которое выражается равенством a b c sin A sin B sin C = 2R, где R — радиус описанной около треугольника окружности. Теорема 2. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около этого треугольника. Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, O — центр описанной около него окружности (рис. 213). Докажем, что каждое из трех отношений —a—, —b— и sin A sin B c sin C равно 129 Правообладатель Народная асвета c c c к Рис. 214 диаметру этой окружности. Проведем диаметр BK и рассмотрим прямоугольный треугольник KBC, который с данным треугольником ABC имеет общую сторону BC. Если вершины A и K этих треугольников лежат по одну сторону от прямой BC (см. рис. 213), то углы A и K равны, а если по разные стороны (рис. 214), то углы A и K вместе дают 180°. В обоих случа- ях sin Z A = sin Z K. Поэтому BC BC sin BAC sin BKC . А поскольку BC = BK sin BKC, то BC sin BAC = BK = 2R. Тогда, поскольку по теореме 1 =2R и AB sin C = 2R. BC = AC sin A sin B AB sin C ' то AC sin B В) Теорема 3. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон и косинуса угла между ними. Доказательство. Пусть а, b, c — длины сторон BC, CA, AB треугольника ABC (рис. 215). Докажем, что с2 = а2 + b2 - 2ab cos C. Введем систему координат. Вершину C возьмем за начало координат, прямую, которая содержит сторону AC, — в качестве оси абсцисс. Положительное направление на осях выберем таким образом, чтобы треугольник ABC оказался в верхней полуплоскости. Единичный отрезок вы- Правообладатель Народная асвета берем с учетом того, что длина отрезка AC равна b. Тогда получим: A(b; 0), B(a cos C; a sin C). По формуле расстояния между точками можем записать: AB^ = (b — a cos C)2 + (0 - a sin C)2. Проведем тождественные преобразования этой формулы, учитывая, что AB = с: с2 = b2 - 2ab cos C + a2cos2 C + + a2 sin2 C = b2 + a2(cos2 C + sin2 C) -- 2ab cos C = a2 + b2 - 2ab cos C. Теорему 3 называют теоремой В косинусов. Эта теорема обобщает теорему Пифагора. Действительно, если угол C треугольника ABC прямой (рис. 216), то cos C = = cos 90° = 0, и поэтому формула с2 = a2 + b2 - 2ab cos C превращается в формулу с2 = a2 + b2. Следствие. Данный угол треугольника является: а) прямым, если квадрат противолежащей стороны равен сумме квадратов двух других сторон; б) острым, если квадрат противолежащей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон; в) тупым, если квадрат противолежащей стороны больше суммы квадратов двух других сторон. Доказательство. Пусть a, b, с — длины сторон BC, CA, AB треугольника ABC. Тогда теорема косинусов позволяет записать: с2 = a2 + b2 - 2ab cos C. (1) а) Если с2 = a2 + b2, то из этого равенства и равенства (1) получим, что 2ab cos C = 0. Значит, cos C = 0, или C = 90°. б) Если с2 < a2 + b2, то из равенства (1) получим, что 2abcos C > 0, или cos C > 0, значит, 0° < C < 90°. в) Если с2 > a2 + b2, то из равенства (1) получим, что 2abcos C < 0, или cos C < 0, значит, 90° < C < 180°. Установленные теоремы синусов и косинусов позволяют решать треугольник, т. е. находить его неизвестные стороны и углы по трем данным элементам, определяющим треугольник. Рассмотрим некоторые примеры, в которых сто- 131 Правообладатель Народная асвета роны AB, BC, CA против углов C, A, B обозначаются c, a, b соответственно. Г) Пример 1. Решим треугольник, у которого известны две стороны и угол между ними: a = 47, b = 56, Z C = 82°. Сначала, используя теорему косинусов, найдем третью сторону c: c = ^a2 + b2 - 2ab cos C = ,^472 + 562 - 2 • 47 • 56 • cos 82° * - ,^2209 + 3136 - 5264 • 0,1392 * ^/5345 - 732,7 = = л/4612,3 - 67,9. Теперь, используя теорему синусов, найдем углы A и B: , a sin C 47 • sin82° 47 • 0,9903 „ г-пгг sin A =-----=----------- ------------ - 0,6855; c 67,9 67,9 ’ ’ ZA - 43,273° - 43°16'; n b sinC 56 • sin82° 56 • 0,9903 „ а-1гч-г sin B =----- =---------- - ------------ 0,8167; c 67,9 67,9 ’ ’ Z B - 54,760° - 54°46'. Для проверки вычислений найдем сумму внутренних углов треугольника: Z A + Z B + Z C = 43°16' + 54°46' + 82° = 179°62' = 180°2'. Расхождение в 2' с ожидаемой суммой в 180° вызвано округлениями, которые проводились при вычислениях. Отметим, что после того, как была найдена третья сторона, углы A и B можно найти и по теореме косинусов: cos A = cos B = b2 + c2 - a2 2bc 2ac 562 + 67,92 - 472 2 • 56 • 67,9 472 + 67,92 - 562 2 • 47 • 67,9 0,7281; A - 43°16'; 0,5771; B - 54°45'. Д) Пример 2. Решим треугольник, у которого известны сторона и прилежащие к ней углы: a = 73, Z B = 110°36', Z C = 37°9'. Сначала, используя свойство внутренних углов треугольника, найдем третий угол A: Z A = 180° - (Z B + Z C) = 180° - (110°36' + 37°9') = 32°15'. 132 Правообладатель Народная асвета Далее по теореме синусов находим стороны b и с: b = a sinB 73 • sin110°36' 73 • sin110,6° с = sin A a sin C sin32°15' 73 • sin37°9' sin32,25° 73 • sin37,15° ^ 73 • 0,9361 0,5336 73 • 0,6039 * 128; 82,6. sin A sin32°15' sin32,25° 0,5336 Отметим, что после того, как была вычислена сторона b, сторону с можно найти и по теореме косинусов: с = ^а2 + b2 - 2ab cos C = 7732 + 1282 - 2 • 73 • 128 • cos 37° 9' * * ^21713 - 18 688 • 0,7971 * ^6816,8 * 82,6. Е) Задача 1. Докажем, что для острых углов а и в верны формулы sin (а + в) = sin а cos в + cos а sin в и sin (а - в) = sin а cos в - cos а sin в (при а > в). Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC, в котором высота CD, равная 1, образует углы а и в со сторонами, между которыми она проведена (рис. 217). Имеем: AC = -, BC = —1—, AD = tg а, BD = tg в и AB = tg а + tg р. cos а cos Р Найдем удвоенную площадь треугольника ABC двумя способами: 2S = AB • CD = tg а + tg Р; 2S = AC • BC • sin ZACB = Поэтому 1 1 cos а cos р sin(а + Р) = tg а + tg р sin(а + в). cos а cos в Если обе части этого равенства домножить на cos а cos в и учесть, что tg а cos а = sin а, а tg в cos в = sin в, то получим, что sin (а + Р) = sin а cos Р + cos а sin Р. Проведите аналогичные рассуждения и, используя рисунок 218, обоснуйте вторую формулу. С Рис. 217 А D В 133 Правообладатель Народная асвета 1. Сформулируйте свойство внутренних углов треугольника; внешнего • угла треугольника. 2. Сформулируйте свойство сторон треугольника. 3. Что можно сказать об углах треугольника, если: противолежащие им стороны равны; одна из противолежащих им сторон больше другой? 4. Что можно сказать о сторонах треугольника, если: противолежащие им углы равны; один из противолежащих им углов больше другого? 5. Сформулируйте свойства средней линии треугольника; свойство точки пересечения медиан треугольника; свойство биссектрисы треугольника. 6. Запишите формульное выражение площади треугольника через сторону и проведенную к ней высоту; через две стороны и угол между ними; через стороны; через полупериметр и радиус вписанной окружности. 7. Сформулируйте теорему синусов. 8. Как связаны между собой сторона треугольника, противолежащий ей угол и радиус окружности, В Е Рис. 220 описанной около этого треугольника? 9. Сформулируйте теорему косинусов. 10. Как по длинам сторон треугольника определить вид того или иного его угла? 11. Что означает задание Решить треугольник? 416. Углы A и B треугольника ABC соответственно равны 30° и 45°. Найдите отношение сторон AC : BC. 417. Найдите периметр треугольника, одна сторона которого равна 6 см, а прилежащие к ней углы — 45° и 60°. 418. Найдите отмеченные красным цветом сторону или угол треугольника по сведениям, указаным на рисунке: а) 219; в) 221; б) 220; г) 222. 419. Найдите отмеченные красным цветом стороны или углы треугольника по сведениям, указаным на рисунке: а) 223; б) 224; в) 225; г) 226; д) 227. 134 127 Рис. 222 Правообладатель Народная асвета 331 Рис. 227 420. Две стороны треугольника и угол между ними соответственно равны 23 м, 120 м и 120°. Найдите: а) третью сторону и два других угла треугольника; б) площадь треугольника; в) высоты треугольника; г) биссектрису, проведенную к большей стороне. 421. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, у которого: а) сторона равна 10, а противолежащий угол — 120°; б) сторона равна т, а прилежащие к ней углы — а и в; в) две стороны равны a и b, а высота, проведенная к третьей стороне, — h. 422. С помощью калькулятора или таблиц найдите неизвестные стороны треугольника ABC, учитывая, что: а) Z B = 40°; Z C = 80°; a = 36; б) ZA = 50°; Z B = 70°; a = 4,2; в) ZA = 50°; Z B = 68°; с = 28; г) ZA = 37°; Z C = 71°; с = 4,8. 423. Для определения высоты GH дерева, основание которого недоступно, выбрали две точки E и F на расстоянии 10 м одна от другой и измерили углы у и 5, под которыми видна 135 Правообладатель Народная асвета Рис. 228 вершина G дерева из этих точек (рис. 228). Найдите высоту дерева, учитывая, что: а) Y = 25° и 5 = 20°; б) Y = 33° и 5 = 25°; в) Y = 15° и 5 = 11°; г) Y = 35° и 5 = 27°. 424. Найдите третью сторону треугольника ABC, учитывая, что: а) AB = 3, AC = 5 и ZA = 120°; б) AB = 22, AC = ^/3 и ZA = 30°; в) AB = W2, AC = 7 и ZA = 45°; г) AB = 1, AC = ^/3 и ZA = 150°. 425. Установите вид треугольника по величине его углов, учитывая, что стороны треугольника равны: а) 2; 3; 4; в) 5; 6; 7; д) -1; -1; б) 3; 4; 5; г) 5; 6; 8; е) Тб; л/б; Тв. 426. Найдите углы треугольника со сторонами: а) 5; 7; 8; в) 7; 13; W3; б) 7; 17; ^/2; г) 5; ^/7; ^/3. 427. Найдите углы треугольника со сторонами: а) Тб; W2; л/24; в) 1; 5; W2; б) 7; 13; 15; г) 9; ^/3; W3. 428. С помощью калькулятора или таблиц найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, учитывая, что: а) a = 630; b = 630; Z C = 52°54'; б) ZA = 87°20'; a = 49,7; b = 26,2; в) Z B = 48°15'; Z C = 67°48'; a = 73,9; г) Z C = 62°48'; b = 102; c = 77,8; д) b = 320; c = 230; ZA = 86°42'; е) a = 6,37; b = 7,48; c = 8,59. 429. Сторона AB треугольника ABC равна 6, а синусы углов B и C — 0,8 и 0,6 соответственно. Найдите длины других сторон треугольника. 136 Правообладатель Народная асвета 430. Одна сторона треугольника равна 2, а прилежащие к ней углы — а и р. Найдите периметр треугольника, учитывая, что: а) cos а = 0,8 и cos Р = -0,5; б) sin а = 0,5 и cos р = 0,6; в) sin а = 0,6 и sin Р = 0,5. 431. Два угла треугольника равны 30° и 45°, а высота, проведенная из вершины большего из них, — 6 м. Найдите стороны и две другие высоты треугольника. 432. Используя теорему Птолемея, докажите: а) теорему косинусов; б) формулы синуса суммы и синуса разности. 433. В равнобедренном треугольнике основание равно а, боковая сторона — b, а высота, проведенная к основанию, — h. Выразите радиус окружности, описанной около треугольника, через каждые две из трех данных величин. 434. Измерения прямоугольника равны 4 и 6. Найдите радиус окружности, которая проходит через две противоположные вершины и середину: а) большей стороны; б) меньшей стороны. 435. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите радиус окружности, которая проходит через вершины острых углов и середину большего катета. . 436. Гипотенуза и острый угол прямоугольного треугольника равны си ф. Найдите биссектрисы углов треугольника. 437. Дима находится на расстоянии 45 м от башни, высоту которой он хочет определить (рис. 229). Основание башни он видит под углом 2°, а вершину — под углом 48°. Какова высота башни? 438. На горе находится выш- ка высотой 89 м (рис. 230). Некоторый предмет P около горы Рис. 229 45 м 137 Правообладатель Народная асвета Рис. 230 наблюдают с вершины A вышки, затем с ее основания B и в результате получают величины 56° и 27° соответственно. Найдите высоту h горы. 439. Чтобы определить ширину реки, на одном берегу выбрали две точки A и B на расстоянии 60 м одну от другой и измерили углы, которые составляет направление AB с направлениями AC и BC. Они оказались равными 12°30' и 72°42' (рис. 231). Какова ширина реки? 440. Дан квадрат со стороной а. Найдите радиус окружности, проходящей через его центр, вершину и середину стороны, которая не выходит из этой вершины. 441. Вычислите: а) sin 15°; б) sin 75°. 442. Найдите биссектрисы треугольника, учитывая, что одна его сторона равна а, а прилежащие к этой стороне углы — Р и Y. 443. На основании AB равнобедренного треугольника ABC отметили точку K. Докажите, что окружности, описанные около треугольников ACK и BCK, равны. 444. В непрямоугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H. Докажите, что окружности, описанные около треугольников ABC и ABH, симметричны относительно прямой AB. 445. Из точки K опущены перпендикуляры KM и KN на стороны угла ABC величиной 60°. Найдите длину отрезка MN, учитывая, что KB = а. 446. В окружность вписан треугольник ABC, у которого AB = ^/3. Найдите величину угла C, учитывая, что центр окружности находится на расстоянии 1 от стороны AB: а) внутри треугольника; б) вне треугольника. 138 Рис. 231 Правообладатель Народная асвета 447. Сторона треугольника и прилежащие к ней углы равны 121 мм, 75° и 64°. С помощью калькулятора или таблиц найдите другие стороны и площадь треугольника. 448. Найдите наибольшую медиану и наименьшую биссектрису треугольника со сторонами 40, 50 и 60. 449. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна меньшему основанию и составляет угол 70° с большим основанием, равным 20. Найдите периметр и площадь трапеции. 450. Решите треугольник, у которого: а) два угла равны 65° и 45°, а сторона против меньшего из них — 10; б) два угла равны 100° и 15°, а сторона против меньшего из них — 10; в) две стороны равны 25 и 50, а угол против большей из них — 30°; г) две стороны равны 24 и 80, угол против меньшей из них — 10°, а угол против большей из них тупой; д) две стороны равны 24 и 80, а угол против большей из них — 10°. 451. Углы T и U треугольника TUV соответственно равны 60° и ф, а сумма сторон TU и TV равна 1. Найдите сторону UV. 452. Равносторонний треугольник ^1S1T1 вписан в равносторонний треугольник RST так, что вершины R1, S1, T1 лежат соответственно на сторонах ST, TR, RS, а углы RT1S1, SR1T1, TS1R1 равны друг другу. Найдите: а) отношение сторон треугольников R1S1T1 и RST, учитывая, что угол RT1S1 равен а; б) отношение сторон треугольников R1S1T1 и RST, учитывая, что угол RT1S1 равен 90°. 453. Докажите, что: а) если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то суммы квадратов его противоположных сторон равны; б) если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то диагонали этого четырехугольника перпендикулярны . 454. Смежные стороны параллелограмма равны m и п, а его меньший угол — а. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними. 455. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. 139 Правообладатель Народная асвета 456. Докажите, что медиана треугольника равна квадратному корню из полусуммы квадратов сторон треугольника, заключающих медиану, уменьшенной на квадрат половины третьей стороны. а) б) 457. Найдите значение выражения: - 97 • 83) : (352 - 282); 973 + 833 180 38 + 79 • 41) : (133,52 - 58,52). 458. Упростите выражение, а3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2): учитывая тождество а) б) в) p3 - 8 lP-2; c + \fc + 1 wx+^[y ; x-4Xy + y г) д) е) ^fn - 10\j10 ; n + \j 10n + 10 ’ a - 25 a 4a -125 ’ b\[b + ^fc -Jb -4c) + 4bc 459. Определите вид треугольника в зависимости от величины его большего угла, учитывая, что одна из медиан треугольника равна той его средней линии, которую она пересекает. 460. Определите вид треугольника в зависимости от величины его большего угла, учитывая, что его стороны равны: а) 10; 12; 14; г) 0,3; 0,4; 0,5; б) 10; 12; 20; д) l; l + 1; l + 2. в) 15; 30; 30; 461. В трапеции ABCD основание BC равно AB и в 2 раза меньше AD. Найдите площадь трапеции, учитывая, что AC = 12, CD = 15. 462. Руда содержит 40 % примесей, а выплавленный из нее металл — 4 %. Сколько металла получится из 24 т руды? 463. Есть два слитка, содержащие медь. В первом слитке меди 10 %, во втором — 40 %. После того как их сплавили вместе, получили слиток, в котором меди 30 % . Определите массу полученного слитка, учитывая, что первый из использованных слитков на 3 кг легче второго. 140 Правообладатель Народная асвета 464. Над выполнением заказа 3,5 дня работала одна бригада, затем она была заменена другой, которая заканчивала выполнение заказа еще 6 дней. Найдите время, за которое каждая бригада выполнила бы заказ, учитывая, что второй бригаде для этого нужно на 5 дней больше. 465. При изменении скорости велосипедиста на 4 км/ч его кинетическая энергия уменьшилась на 43,75 %. Найдите большую скорость велосипедиста. 466. На территории нашей страны гнездятся три вида неясытей — птиц отряда совообразных: неясыть серая, неясыть длиннохвостая, неясыть бородатая. Если массу неясыти длиннохвостой взять в качестве доли, то массы неясыти бородатой и неясыти серой составят соответственно 1,2 и 0,73 этой доли. Найдите массы птиц, учитывая, что масса самой большой из них — неясыти бородатой — на 530 г меньше общей массы двух других птиц. 467. На схеме, приведенной на рисунке 232, представлены соотношения между длиной тела неясытей — серой, длиннохвостой, бородатой. По этой схеме составьте задачу и решите ее. г 1 Длиннохвостая i 1 1 Бородатая ^ 0 Серая 21 см Рис. 232 * * * 468. Выпуклый четырехугольник ABCD такой, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, ABD, ACD, BCD, равны. Докажите, что его диагонали AC и BD равны. 469. На полке стоит в произвольном порядке собрание сочинений Янки Купалы в 10 томах. Разрешается брать любую книгу и ставить ее на третье место слева. Можно ли такими перестановками упорядочить расстановку томов собрания сочинений? 470. Найдите наименьшее целое число т, для которого неравенство х4 + 2х2 + т > 4х истинно при всех значениях переменной X. 141 Правообладатель Народная асвета 12. Площади треугольника и четырехугольника А) Вы уже знаете ряд формул для нахождения площади треугольника и различных четырехугольников. Если a — основание треугольника, h — проведенная к нему высота, S — площадь треугольника, то S = 1 ah (рис. 233); если a и b — стороны треугольника, j — угол между ними, S — площадь треугольника, то S = 1 absin у (рис. 234); если a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр, S — площадь треугольника, то S = л]р(p — a)(p — b)(p — c) (формула Герона) (рис. 235); если a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника, то S = pr (рис. 236); если a и b — основания трапеции, h — ее высота, S — пло- a + b щадь трапеции, то S = ■ h (рис. 237); если a — основание параллелограмма, h — проведенная к нему высота, S — площадь параллелограмма, то S = ah (рис. 238). Б) Установим еще некоторые формулы. S = ^ah S= ф(р-а)(р-Ь)(р-с) Рис. 233 Рис. 234 Рис. 235 |(а + Ь)Л Ь а Рис. 237 S = ah Рис. 238 Правообладатель Народная асвета Задача 2. Докажем, что если а, b, c — стороны треугольника ABC, противоположные его углам A, B, C соответственно, R — радиус описанной окружности, S — площадь треугольника, то: S = 2 а sin B sin C 2sinA S = 2R2 sin A sin B sin C; S = abc ~4r ' Доказательство. Пусть a, b, c — стороны треугольника ABC, противоположные его углам A, B, C (рис. 239). Тогда можем записать S = 1 absin C. 2 Теорема синусов позволяет записать равенство (1) b откуда sin A sin B , a sin B b = sin A Значит, формулу (1) можно записать так: ,^1 a sin B . „ S = — a-----sin C, 2 sin A или S = a2 sin B sinC 2 sin A Докажем вторую формулу. Пусть a, b, c — стороны треугольника ABC, противоположные его углам A, B, C, а R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC (рис. 240). Тогда S = a2 sin B sinC 2 sin A 143 Правообладатель Народная асвета a А по следствию из теоремы 2 можно записать a sin A = 2R, или Поэтому S = a = 2R sin A. (2R sin A)2 sinB sinC 2 sin A 2 sin A C C = 2R2 sinA sin B sin C. Докажем третью формулу (см. рис. 240). Поскольку = 2R, то R = . Умножим числитель и знаменатель sin A 2 sin^ правой части полученного равенства на bc: abc или R = R = 2 bc sin A ’ abc 4^ bc sin A 2 Теперь учтем, что выражение 1 bc sin A выражает площадь треугольника ABC: Значит, R = S = abc I'S"' abc 4 R ' Пример 1. Найдем радиусы окружностей, вписанной в треугольник и описанной около треугольника со сторонами 40, 51, 77 (рис. 241). Имеем: p =----- =-------- = 84; ■^2 2 ’ S = 4p(p - a)(p - b)(p - c) = ^84(84 - 40)(84 - 51)(84 - 77) = = ,у84 • 44 • 33 • 7 = 924; r = S = 11; R = abc ~4S' 40•51•77 4 • 924 =42,5. 144 Правообладатель Народная асвета a a Q R В) Теорема 4. Если d-^ и d2 — диагонали четырехугольника, Y — угол между ними, S — площадь четырехугольника, то S = — did2 sin у. Доказательство. Пусть диагонали PR и QT четырехугольника PQRT пересекаются в точке A и равны d^ и d2 соответственно, а угол между ними равен у (рис. 242). Пусть QQi и TT^ — высоты треугольников PQR и PTR соответственно. Тогда QQi = AQ sin Y и TT^ = AT sin у. Учитывая, что диагональ PR разделяет четырехугольник PQRT на треугольники PQR и PTR, для площади S этого четырехугольника получим: S = Spqr + Sptr = ^ PR • QQi + ^2 PR • TTi = 2 PR(QQi + TTi) = = l d1(AQ sin Y + AT sin y) = l d1(AQ + AT) sin у = = 1 d1 • QT sin Y = l d1d2 sin y. Г) Фигуры на рисунке 243 объединяет то, что все они имеют одну и ту же площадь. Фигуры, площади которых равны, называют равновеликими фигурами. Рис. 243 145 Правообладатель Народная асвета Задача 3. Докажем, что из треугольников, на которые диагонали разделяют трапецию, треугольники, прилежащие к ее основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Доказательство. Пусть диагонали KM и LN трапеции KLMN с основаниями KN и LM пересекаются в точке O (рис. 244). Докажем, что треугольники KON и LOM подобны, а площади треугольников KOL и NOM равны. Углы OKN и OML, а также углы ONK и OLM равны, так как это внутренние накрест лежащие углы при параллельных KN и LM, пересеченных соответственно прямыми KM и LN. Поэтому треугольники KON и LOM подобны. Поскольку треугольники KLN и KMN имеют общую сторону KN и равные высоты LL^ и MM^, то их площади равны. Но треугольники KLN и KMN имеют общую часть — треугольник KON. Поэтому если его площадь вычесть из равных площадей треугольников KLN и KMN, то получатся равные площади, т. е. треугольники KOL и MNO равновелики. Задача 4. Докажем, что если из четырех треугольников, на которые диагонали разделяют четырехугольник, два треугольника, прилежащие к противоположным сторонам, равновелики, то такой четырехугольник является трапецией или параллелограммом. Доказательство. Пусть диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке Q и площади треугольников AQD и BQC равны (рис. 245). Докажем, что стороны AB и DC параллельны. Обратим внимание на то, что площади треугольников ABC и ABD равны, так как эти треугольники получаются присоединением треугольника ABQ к равновеликим треугольникам AQD и BQC. Но треугольники ABC и ABD имеют общую сторону AB. Поэтому у них равны высоты CC^ и DD^, проведенные к этой стороне. Вместе с этим отрезки CC^ и DD^ параллельны М 146 Правообладатель Народная асвета как перпендикуляры, проведенные к одной прямой AB. Поэтому четырехугольник CCiD-^D — параллелограмм. А это позволяет утверждать, что его стороны CD и CiD-^, а значит, и отрезки AB и DC параллельны. (у 1. Запишите формулу, выражающую связь между стороной треуголь-• ника, проведенной к ней высотой и площадью треугольника. 2. Запишите формулу, выражающую связь между двумя сторонами треугольника, углом между ними и площадью треугольника. 3. Запишите формулу, выражающую связь между сторонами треугольника и его площадью. 4. Запишите формулу, выражающую связь между полупериметром треугольника, его площадью и радиусом вписанной окружности. 5. Запишите формулу, выражающую связь между стороной треугольника, его углами и площадью. 6. Запишите формулу, выражающую связь между углами треугольника, радиусом описанной окружности и площадью треугольника. 7. Запишите формулу, выражающую связь между сторонами треугольника, радиусом описанной окружности и площадью треугольника. 8. Запишите формулу, выражающую связь между основаниями трапеции, ее высотой и площадью. 9. Запишите формулу, выражающую связь между площадью параллелограмма, его стороной и проведенной к ней высотой. 10. Запишите формулу, выражающую связь между диагоналями четырехугольника, углом между ними и площадью четырехугольника. 11. Какие фигуры называют равновеликими? 471. Объясните, почему формулу площади: а) треугольника можно считать частным случаем формулы площади трапеции; б) трапеции можно считать обобщением формулы площади прямоугольника. 472. Точки A, B, C, D являются серединами сторон KL, LM, MN, NK прямоугольника KLMN (рис. 246). Определите, какую часть площади этого прямоугольника составляет площадь: а) треугольника KLN; б) треугольника KLD; в) четырехугольника KLCN; г) пятиугольника KLBCN; д) пятиугольника KLBCD; е) четырехугольника ABCD; ж) пересечения треугольников KBN и LDM; з) пересечения четырехугольников ^ ^ KABN и MCDL. Рис. 246 147 Правообладатель Народная асвета 473. Опишите способ разделения треугольника на два равновеликих треугольника одним прямолинейным разрезом. 474. Как должна проходить прямая, разделяющая данный прямоугольник на равновеликие фигуры? Будут ли равными периметры полученных фигур-частей? 475. Укажите способ разрезания фигуры на части, из которых можно составить прямоугольник, если фигура является: а) треугольником; б) трапецией; в) параллелограммом. 476. Куб разрезали на два одинаковых прямоугольных параллелепипеда. Найдите: а) какую часть составляет площадь поверхности одного из полученных прямоугольных параллелепипедов от площади поверхности куба; б) можно ли куб с ребром длиной 1 см разбить на такие кубики, общая площадь поверхности которых больше квадратного километра. 477. Стороны прямоугольника равны 4 см и 48 см. Найдите измерения равновеликого ему прямоугольника, учитывая, что они относятся как 3 : 4. 478. Найдите площадь прямоугольника, одна сторона которого равна 12 см, а косинус угла между другой стороной и диагональю — 0,6. 479. На боковых сторонах равнобедренного треугольника PQR с основанием QR выбрали точки A и B, равноудаленные от вершины P, и нашли точку C пересечения отрезков QB и RA. Докажите, что равны площади треугольников: а) PQB и ARA; б) QCA и RCB; в) AQB и BRA. 480. Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника с катетом а расположены так, что вершина прямого угла одного из них принадлежит гипотенузе другого. Найдите площади их пересечения и объединения, учитывая, что пересечением является: а) квадрат; б) прямоугольник, измерения которого относятся как 1 : 2; в) прямоугольник, измерения которого относятся как 2 : 3. 481. Докажите, что стороны a и b треугольника и проведенные к ним высоты ha и hb связаны формулой aha = bhb. 482. Докажите, что если у двух треугольников есть пара равных: 148 Правообладатель Народная асвета а) сторон, то их площади относятся как проведенные к ним высоты; б) высот, то их площади относятся как стороны, к которым проведены эти высоты. 483. Найдите в треугольнике такую точку, чтобы отрезки, соединяющие ее с вершинами, делили этот треугольник на три равновеликие части. 484. Установите, верно ли, что площадь первого треугольника больше площади второго, если: а) периметр первого треугольника больше периметра второго; б) каждая сторона первого треугольника больше соответствующей стороны второго; в) каждая сторона первого треугольника больше каждой стороны второго. 485. Есть прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой. Докажите, что: а) высота, проведенная к гипотенузе, не больше 1; 2; б) площадь треугольника не больше 1. 486. Среди треугольников, у которых две стороны равны m и п, найдите треугольник с наибольшей площадью. 487. Докажите, что из всех прямоугольников: а) с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат; б) с данной площадью наименьший периметр имеет квадрат. 488. Докажите, что площадь прямоугольника не больше половины площади квадрата, построенного на его диагонали. 489. Докажите, что площадь треугольника, который является частью данного квадрата, не больше половины площади этого квадрата. 490. Точка B принадлежит отрезку UA, соединяющему вершину U треугольника TUV с произвольной точкой A его стороны TV (рис. 247). Найдите отношение площадей треугольников TBV и TUV, учитывая, что: а) UB : BA = 2 : 1; б) B — середина отрезка UA; в) UB : BA = 3 : 1; г) UB : UA = 3 : 4. 149 и Правообладатель Народная асвета Рис. 248 В 491. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь закрашенного треугольника, который связан с треугольником ABC так, как показано на рисунке: а) 248; б) 249; в) 250; г) 251. 492. Как функцию переменной x выразите площадь части единичного квадрата, закрашенной на рисунке: а) 252; б) 253; в) 254; г) 255; д) 256; е) 257. X X л Рис. 252 Рис. 255 Рис. 257 150 Правообладатель Народная асвета 493. Точки K, L, M, N являются серединами сторон DA, AB, BC, CD квадрата ABCD (рис. 258). Установите, какую часть площади этого квадрата составляет площадь: а) четырехугольника AKCM; б) пересечения четырехугольников AKCM и BLDN; в) объединения четырехугольников AKCM и BLDN; г) дополнения до объединения четырехугольников AKCM и BLDN. 494. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Найдите: а) приращение площади треугольника при увеличении каждого его катета на х; б) уменьшение площади треугольника при уменьшении одного его катета на х, а другого на у; в) приращение площади треугольника при увеличении одного его катета на 10 %, другого на 8 %. 495. Используя рисунок 259, докажите формулу синуса двойного угла: sin 2а = 2sin а cos а. 496. Ребра OA, OB, OC треугольной пирамиды OABC перпендикулярны друг другу и равны соответственно 10, 20, 30 (рис. 260). Найдите полную поверхность пирамиды. 497. Ребра OA, OB, OC треугольной пирамиды OABC перпендикулярны друг другу (см. рис. 260). Докажите, что квадрат площади грани ABC равен сумме квадратов площадей трех остальных граней (теорема Пифагора для треугольной пирамиды). 498. Докажите, что сумма расстояний от точки X равностороннего треугольника до его сторон не зависит от выбора точки X. А К D Рис. 258 Рис. 259 Рис. 260 151 Правообладатель Народная асвета 499. Точки A и B — середины сторон PQ и RS выпуклого четырехугольника PQRS. Определите, какую часть площади четырехугольника PQRS составляет площадь четырехугольника PARB. 500. Установите, какую часть площади параллелограмма составляет его часть, закрашенная на рисунке: а) 261; б) 262; в) 263; г) 264. 501. Найдите площадь трапеции, у которой: а) основания равны 6 см и 9 см, а диагонали — 13 см и 14 см; б) основания равны 8 см и 23 см, а боковые стороны — 13 см и 14 см. 502. Докажите, что площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного выпуклого четырехугольника, равна половине его площади. 503. Докажите, что если диагонали AC и BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в „ AQ AB ■ AD точке Q, то —^ = -----. CQ CB■CD 504. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, разделяют его на четыре части, площади трех из них равны S1, S2, S3. Найдите площадь S4 четвертой четырехугольной части. 505. Диагонали выпуклого четырехугольника разделяют его на четыре треугольника. Докажите, что произведения площадей несоседних треугольных частей четырехугольника одинаковы. 506. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке Q, а площади треугольников ABD, ACD, AQD равны k, l, m соответственно. Найдите площадь четырехугольника ABCD. Рис. 261 Рис. 262 Рис. 263 Рис. 264 152 Правообладатель Народная асвета 507. Разделите данную трапецию на равновеликие части, которых всего: а) 2; б) 3. 508. Докажите, что: а) отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разделяет ее на равновеликие части; б) если отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, разделяет этот четырехугольник на равновеликие части, то этот четырехугольник является трапецией; в) если каждый из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника, разделяет этот четырехугольник на равновеликие части, то этот четырехугольник является параллелограммом. 509. Докажите, что: а) концы каждой боковой стороны трапеции и произвольная точка отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, являются вершинами равновеликих треугольников; б) концы каждой диагонали трапеции и произвольная точка отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, являются вершинами равновеликих треугольников. 510. Найдите длину отрезка с концами на боковых сторонах трапеции и параллельного ее основаниям, равным а и b, разделяющего трапецию на равновеликие части. 511. Докажите, что если два треугольника имеют общую вершину, а другие их вершины расположены на двух прямых, проходящих через нее, то площади треугольников относятся как произведения их сторон, лежащих на этих прямых. 512. Из середины медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны. Найдите, какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, вершины которого совпадают с основаниями этих перпендикуляров. 513. На сторонах треугольника ABC отмечены такие точки X, Y, Z, что AX : XB = 1 : 2, BY : YC = 2 : 3, CZ : ZA = 3 : 4. Установите, какую часть составляет площадь треугольника XYZ от площади треугольника ABC. 514. На сторонах треугольника ABC выбраны точки K, L, M так, что AK : KB = 3 : 7, BL : LC = 5 : 3, а треугольники AKM 153 Правообладатель Народная асвета и CLM равновелики. Найдите, в каком отношении точка M делит сторону AC. 515. Точки T, X, Y, Z — такие точки на сторонах четырехугольника ABCD, что AT : TB = 3 : 1, BX : XC = 1 : 2, CY : YD = 1 : 1, DZ : ZA = 1 : 5. Установите, какую часть площадь шестиугольника ATXCYZ составляет от площади четырехугольника ABCD. 516. Вершины E, F, G, H параллелограмма EFGH соединены отрезками с серединами сторон FG, GH, HE, EF соответственно. Найдите, какую часть площади параллелограмма EFGH составляет площадь параллелограмма, ограниченного этими отрезками. 517. Точки A, B, C на сторонах треугольника KLM выбраны так, что KA : LA = LM : MB = MC : KC = 1 : 2. Докажите, что площадь треугольника, ограниченного прямыми KB, LC, MA, составляет седьмую долю площади треугольника KLM. 518. На сторонах прямого угла C выбраны такие точки A и B, что CA = 12, CB = 35, а на луче, выходящем из точки C и проходящем внутри угла под углом 60° к лучу CB, — такая точка D, что CD = 50. Найдите площади треугольников ACD, BCD, ABD. 519. На сторонах угла A величиной 75° выбраны такие точки K и L, что AK = ^/2 и AL = Vs, а на луче, выходящем из точки A и проходящем внутри угла под углом 45° к лучу AL, — такая точка M, что AM = ^3. Докажите, что точки K, L, M лежат на одной прямой. 520. В треугольнике KLM проведены его высота LC и через середину A стороны KM перпендикулярно этой стороне прямая, которая пересекает сторону KL в точке B (рис. 265). Докажите, что треугольник KBC равновелик четырехугольнику CBLM. 521. Через точки A1, A2, A3, разделяющие сторону NP треугольника NOP на четыре доли, проведены перпендикулярные этой стороне прямые, которые пересекают еще одну сторону или обе стороны в точках B, C, D (рис. 266, 267). Докажите, что прямые, проходящие через эти точки и основание R высоты OR, Правообладатель Народная асвета о о разделяют треугольник на равновеликие многоугольники. 522. Через середину A диагонали PR четырехугольника PQRS проведена прямая, параллельная второй диагонали QS этого четырехугольника, и точка B пересечения этой прямой со стороной RS соединена с вершиной Q (рис. 268). Докажите, что четырехугольник PQBS равновелик треугольнику QRB. 523. Найдите площадь треугольника, две стороны которого и радиус вписанной окружности соответственно равны 30, 40 и 10. 524. Уравнение mx = n - 2 имеет такое решение: а) если m Ф 0 и n — любое число, то x = ——2; m б) если m = 0 и n = 2, то корнем уравнения является любое число; в) если m = 0 и n Ф 2, то уравнение не имеет корней. Укажите, по какой строке этого решения вы будете записывать ответ при решении уравнения, которое получается из данного уравнения, если пара (m; n) равна: а) (3; 4); б) (-7,1; 2); в) (0; -14,3); г) (0; -2); д) (12; 37 ); е) (5; 4^ ж) (0; 5-^); з) (0; 2). 155 Правообладатель Народная асвета 525. При каких значениях переменных m и n уравнение mx = n - 2 превращается в уравнение: а) 3х = 12; б) -х = -2; в) 0 • х = -1,3; г) 0 • х = 0; д) 154 х = 2,8; е) х = А? 14 14 526. Запишите и решите уравнение, которое получается из уравнения тх = n - 2, если пара (m; n) равна: ж) (0; ); д) (17г; 2,2); е) (7; бЦ); з) (0; 0). ..2 а) (-2; 5); в) (0; -1,39); б) (0,1; -2); г) (0; 2); 527. Постройте график функции у = х2 - 5х - б. Запишите используя неравенства и промежутки, множество значений аргумента х, при которых значение функции у: а) меньше 0; г) не меньше 0; б) равно 0; д) не равно 0; в) больше 0; е) не больше 0. 528. Постройте график функции у = -х2 + х + 6. Запишите, используя неравенства и промежутки, множество значений аргумента х, при которых значение функции у: а) меньше 0; г) не меньше 0; б) равно 0; д) не равно 0; в) больше 0; е) не больше 0. 529. Решите неравенство: . г2 - r -12 . „ а) ——;— > 0; б) r -1 г2 + 3г -10 г2 + г - 2 д) q - 4q:12 < 0; < 0; е) q - 2 *-3s - 4 2 + s - б > 0; . 3i2 - 5t - 8 . „ в) ^ > °; г) 2t2 - 5t - 3 2 + 7v - 4v2 3v2 + 2v - 1 ж) 4u^ + u - 3 < 0; 5u2 + 9u - 2 < 0; з) 2 + 9w - 5w2 3w2-2w -1 > 0. 530. Найдите коэффициенты a, b, c квадратного трехчлена ах2 + Ьх + c, учитывая, что: а) его корнем является число б и при значении переменной х, равном 4, он достигает наименьшего значения -8; 156 Правообладатель Народная асвета б) при значении переменной х, равном -1, он достигает наибольшего значения 24, а при значении переменной х, равном нулю, он принимает значение 23; в) график функции, которая задается трехчленом, пересекает ось абсцисс в точке B(8; 0), а его вершина находится в точке A(6; -12); г) график функции, заданной трехчленом, пересекает ось ординат в точке с ординатой 15, а его вершина находится в точке C(-2; 7). 531. Найдите значения: а) старшего коэффициента a и второго коэффициента b и постройте график функции у = ах^ + bx + 4, учитывая, что точки Л(-1; 9) и S(1; 3) принадлежат этому графику; б) старшего коэффициента а и свободного члена c и постройте график функции у = ах^ + 2х + с, учитывая, что точки T(2; -9) и U(-2; -17) принадлежат этому графику; в) второго коэффициента b и свободного члена c и постройте график функции у = 3х2 + bx + с, учитывая, что точки F(3; 16) и W(-3; 40) принадлежат этому графику. 532. На основании AC равнобедренного треугольника ABC произвольно выбрана точка D (рис. 269). Докажите, что радиусы 01В и O2B окружностей, описанных около треугольников DBA и DBC, равны друг другу. 533. Пассажирский поезд из Урумчи до Ланьчжоу шел со скоростью, которая была на 12 км/ч меньше, чем скорость Рис. 269 157 Правообладатель Народная асвета Рис. 270 на другой части железной дороги от Ланьчжоу до Пекина через Сиань (рис. 270). Найдите скорости поезда на каждом из участков, учитывая, что вторую часть пути он прошел на 6,6 ч быстрее. 534. Докажите, что если a > b > c > 0, то истинно неравен- ство a b c < b c a c a + c + b ba 535. Установите, каких треугольников с целочисленными сторонами больше: с периметром 2007 или с периметром 2010. 536. Найдите все целые числа п, при которых уравнение X2 + пх + п = 0 имеет целый корень. Правообладатель Народная асвета •к •к •к Раздел V Системы уравнений 13. Рациональные уравнения Вы уже можете решать разные классы уравнений (рис. 271). В этом параграфе мы обобщим знания о рациональных уравнениях, т. е. таких уравнениях, левая и правая части которых являются выражениями, образованными из чисел и переменной с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Видом рациональных уравнений являются целые уравнения, из которых вы умеете решать линейные (ax + b = 0) и квадратные (ax^ + bx + c = 0) уравнения. Рис. 271 А) Пример 1. Решим дробно-рациональное уравнение l - 3 1 ------+ - = ■ l - 5 l l + 5 Умножим левую и правую части уравнения на общий знаменатель l2 - 5l входящих в него дробей. Получим: 159 Правообладатель Народная асвета l l - 3 1 l + 5 ------ + - = ^5------------ l - 5 l l2 - 5l l - 5 1 l-3 ---- + l -5 l 1 l + 5 l2 - 5l ^ l(l - 3) + (l - 5) = l + 5 ^ ^ l2 - 3l + l - 5 = l + 5 ^ l2 - 3l - 10 = 0. Каждый корень исходного уравнения является также корнем уравнения l2 - 3l - 10 = 0. Но не обязательно каждый корень уравнения l2 - 3l - 10 = 0 будет корнем исходного уравнения. Причина этого в том, что обе части исходного уравнения были умножены на выражение l2 - 5l с переменной l, которое при некоторых значениях этой переменной принимает нулевое значение. Корнями уравнения l2 - 3l - 10 = 0 являются числа -2 и 5. Теперь проверим, обращается ли в нуль хотя бы один из знаменателей дробей данного уравнения при найденных значениях переменной l. При l = -2 ни один из знаменателей l - 5, l, l2 - 5l не равен нулю, а при l = 5 знаменатели l - 5 и l2 - 5l равны нулю. Поэтому число 5 не является корнем данного уравнения. Его называют посторонним корнем. Ответ. l = -2. Б) Решение некоторых других рациональных уравнений сводится к решению линейных и квадратных уравнений после выделения множителей или введения вспомогательной переменной. Рассмотрим уравнения вида ах3 + Ъх2 + bx + a = 0, которые называют симметричными уравнениями третьей степени. Поскольку ах^ + Ъх2 + Ъх + а = (ах3 + а) + (Ъх2 + Ъх) = а(х3 + 1) + Ъх(х + 1) = ^ а(х + 1)(х2 - х + 1) + Ъх(х + 1) = (х + 1)(ах2 + (Ъ - а)х + а), то решение уравнения ах3 + Ъх2 + Ъх + а = 0 сводится к решению линейного уравнения х + 1 = 0 и квадратного уравнения ах2 + (Ъ - а)х + а = 0. Аналогично решается и уравнение ах3 + Ъх2 - Ъх - а = 0. Пример 2. Решим уравнение 2х3 + 3х2 - 3х - 2 = 0. Получим: 2х3 + 3х2 - 3х - 2 = 0 = (2х3 - 2) + (3х2 - 3х) = 0 = ^ 2(х3 - 1) + 3х(х - 1) = 0 ^ 2(х - 1)(х2 + х + 1) + 3х(х - 1) = 0 ^ ^ (х - 1)(2х2 + 2х + 2 + 3х) = 0 ^ (х - 1)(2х2 + 5х + 2) = 0 ^ ^ х - 1 = 0 или 2х2 + 5х + 2 = 0 ^ ^ х = 1, или х = -2, или х = - ^. , ’ ’2 Ответ. |-2; -^1; 1|. 160 Правообладатель Народная асвета В) Пример 3. Решим уравнение а2 + 4а + |а + 2| - 8 = 0. Чтобы ввести вспомогательную переменную, в выражении а2 + 4а - 8 выделим квадрат двучлена а + 2: а2 + 4а - 8 = (а2 + 2 • 2а + 22) - 22 - 8 = (а + 2)2 - 12. Поэтому данное уравнение равносильно уравнению (а + 2)2 + + |а + 2| - 12 = 0. Пусть |а + 2| = 2. Тогда z2 = |а + 2|2 = (а + 2)2. Это дает возможность от данного уравнения перейти к уравнению 22 + 2 - 12 = 0, которое имеет корнями числа -4 и 3. Вернувшись к исходной переменной, получаем, что | а + 2| = -4 или | а + 2| = 3. Уравнение |а + 2| = -4 не имеет корней, так как выражение |а + 2| принимает неотрицательные значения при любых значениях переменной а. Уравнение |а + 2| = 3 решим, используя геометрический смысл модуля: |а + 2| = 3 ^ а + 2 = -3 или а + 2 = 3 ^ а = -5 или а = 1. Ответ. -5; 1. Г) Биквадратным уравнением называется уравнение вида ах4 + fox2 + c = 0, где а, b, c — действительные числа и а Ф 0. Такое уравнение сводится к квадратному подстановкой х2 = t, t > 0. Пример 4. Решим уравнение у4 + 15y2 - 16 = 0. Пусть у2 = t, тогда t2 + 15t - 16 = 0. Решим полученное квадратное уравнение: t2 + 15t - 16 = 0 ^ t = -15 ± 'I- 152 + 4 • 1 • 16 ^ t = -15 ± 17 2 ^ t = -16 или t = 1. Вернемся к исходной переменной у: у2 = -16 или у2 = 1. Уравнение у2 = -16 не имеет корней, а уравнение у2 = 1 корнями имеет числа -1 и 1. Ответ. у1 = -1, у 2 = 1. Д) Рассмотрим уравнения вида ах4 + bx3 + cx2 + bx + а = 0, которые называют симметричными уравнениями четвертой степени. Уравнение ax4 + bx3 + cx2 + bx + а = 0 решается так. Поскольку число 0 не является корнем уравнения, то левую и правую части уравнения можно разделить на x2. Выполнив это и последующую группировку, получаем: 161 Правообладатель Народная асвета ax^ + bx^ + cx^ + bx + a = 0 ^ ax^ + bx + c + b — + = 0 ^ ^ aix^ + ^ \ + bix + — \ + c = 0 1 Теперь введем вспомогательную переменную: x + — = u. Тогда x u2 = (x + — = x2 + ^2 + 2x • — = x2 + + 2. W x2 x x2 x2 + ^ = (x + — ^2 - 2 = u2 - 2. Значит, Поэтому данное уравнение заменяется уравнением a{U - 2) + bu + c = 0, которое равносильно квадратному уравнению au^“ + bu - (2a - c) = 0. Остается решить полученное квадратное уравнение и перейти к исходной переменной. Аналогично решаются и уравнения вида ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0. Пример 5. Решим уравнение 6a4 + 7a3 - 36a2 - 7a + 6 = 0. 6a4 + 7a3 - 36a2 - 7a + 6 = 0 ^ 6a2 + 7a - 36 - 7 • — + 6 • -—r = 0 ^ . 6fa2 + + 7(a - — ^ - 36 = 0.a " Пусть a - — = x, тогда x2 = (a - — )2 = a2 + ^2 - 2. Значит a2 + -1 = x2 + 2. С учетом этого получаем уравнение 6(x2 + 2) + a2 + 7x - 36 = 0, которое равносильно уравнению 6x2 + 7x - 24 = 0. Корнями последнего уравнения являются числа -8 и 3. Перейдя к исходной переменной a, получаем, что a - — = -8 или a - — = 8. a 3 a 2 Решим эту совокупность уравнений: a - — = -8 или a - — = 3 ^ 3a2 + 8a - 3 = 0 3 2 или 2a2 - 3a - 2 = 0 ^ a = -3, или a = —, ^ 3 или a = —, или a = 2. 2’ Ответ. {-3; -h h2}. Е) Симметричность может иметь и другие проявления. Пример 6. Решим уравнение (x - —)(x - 2)(x + 3)(x + 4) - 36 = 0. 162 Правообладатель Народная асвета x x x a a Для решения здесь целесообразно перемножить первый двучлен с третьим, а второй — с четвертым. Получаем: (х - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) - 36 = 0 ^ ^ ((х - 1)(х + 3))((х - 2)(х + 4)) - 36 = 0 ^ ^ (х2 + 2х - 3)(х2 + 2х - 8) - 36 = 0. Пусть х2 + 2х = у, тогда данное уравнение заменяется уравнением (у - 3)(у - 8) - 36 = 0, которое имеет корнями числа -1 и 12. Переход к исходной переменной порождает совокупность уравнений 2 х2 + 2х = -1 или х2 + 2х = 12. Первое уравнение совокупности имеет корнем число -1, а второе — числа -1 - V13 и -1 + V13. Ответ. {-1 - VI3; -1; -1 + VI3}. Ж) Иногда для удачного введения переменной данное уравнение предварительно нужно преобразовать. Пример 7. Решим уравнение (х2 + х + 2)(х2 + 2х + 2) = 2х2. Число 0 не является корнем уравнения, поэтому, разделив левую и правую части на х2, получаем равносильное уравне- ние х + 1 + —х + 2 + —) = 2. Теперь введем вспомогательную переменную х + 1 + — = t. В результате получаем уравнение х t(t + 1) = 2, корнями которого являются числа -2 и 1. Переход к исходной переменной дает совокупность уравнений 2 2 х + 1 + — = -2 или х + 1 + — = 1, х х которая равносильна совокупности х2 + 3х + 2 = 0 или х2 + 2 = 0. Первое уравнение совокупности имеет корнями числа -2 и -1, а второе не имеет корней. Ответ. -2 и -1. 1. Почему при решении дробно-рационального уравнения обязательна • проверка? 2. Какие корни имеет уравнение 111= а? 3. Какое уравнение называется биквадратным? Как оно решается? 4. Как решают симметричные уравнения третьей степени; четвертой степени? 537. Решите биквадратное уравнение: а) а4 - 9а2 = 0; б) 4b4 - b2 = 0; в) с4 + 1 с2 = 0; 4 г) 2d4 + 5d2 = 0; д) + Р2 - 2 = 0; е) q4 - 3q2 - 4 = 0; ж) 9г4 + 8т2 - 1 = 0; з) 20s4 - S2 - 1 = 0; и) 2f4 - 9f2 + 4 = 0; к) g4 - 17g2 + 16 = 0; л) h4 - 3h2 + 2 = 0; м) e4 - 10e2 + 1 = 0. 163 Правообладатель Народная асвета 538. Решите биквадратное уравнение: ж) fe4 - 8k2 + 20 = 0; з) 5Z4 - 4s2 + 1 = 0; и) 2m 4 + 4m2 - 21 = 0; к) 4n4 + 12n2 - 16 = 0; л) 16w4 - 265w2 + 144 = 0; м) 225u4 - 34u2 + 1 = 0. а) t4 - 26t2 + 25 = 0; б) 4x4 - 5x2 + 1 = 0; в) y4 - 40y2 + 144 = 0; г) 4г4 - 17г2 + 4 = 0; д) i4 - 18i2 + 81 = 0; е) 256y4 - 32y2 + 20 = 0; 539. Докажите, что: а) уравнение x4 + 10x2 + 9 = 0 не имеет корней, не решая само уравнение; б) если биквадратное уравнение имеет корень а, то оно также имеет корень -а. 540. Составьте биквадратное уравнение, учитывая, что: а) один из его корней равен 3, а другой — %/2; б) сумма квадратов его корней равна 26, а их произведение — 36. 541. Разложите на множители многочлен: а) X4 - 12x2 + 32; в) 25ш4 + 74ш2 - 3; д) m4 - 32m2 + 60; б) s4 - 20s2 + 96; г) 64y4 + 140y2 - 9; е) 30г4 + 61г2 + 30. 542. Учитывая, что m и n — определенные числа, решите уравнение: а) X4 - (n2 + 1)x2 + n2 = 0; г) m^n^t4- (т4 + n4)t2 + m2n2 = 0; б) y4 + 16m2 = 16y2 + m2y2; д) u4 - (mn + 1)u2 + mn = 0; в) 24 + n2m2 = (n2 + m2)22; е) v4 + mn = (m + n)v2. 543. Разложите на множители многочлен X4 - (1 - 2a + 2a2)x2 + a2(a - 1)2. 544. Сократите дробь: а) б) a4 - 17a2 + 72 ' t4 + (2a + 1)t2 - a2 (a + 1)2 t4 + a(a + 2)t2 - (a + 1)2 в) г) x4 - 2(m2 + n2)x2 + 4m2n2 ; x4 - (2m2 + n2)x2 + 2m2n2 ’ 36z4 - (9p2 + 4q2)z2 + p2q2 9z4 - (9p2 + q2)z2 + p2q2 545. Решите уравнение: а) (z2 - 8)2 + 4(z2 - 8) - 5 = 0; б) (a2 + 6a)2 + 8(a2 + 6a)2 - 9 = 0; в) (y +1 )2 - 3(y +1) - 4 = г) 1 , 18 = 18 b2 + 2b - 3 b2 + 2b + 2 b2 + 2b + 1 164 Правообладатель Народная асвета 546. Решите уравнение: а) 6х4 - 5х2 + 1 = 0; г) д4 - 4q + 1 = 0; б) у4 - 20y2 + 64 = 0; д) г4 - 4r2 + 1 = 0; в) 24 - 1322 + 36 = 0; е) 30i4 - 37i2 + 10 = 0. 547. Установите, в какой системе счисления число: а) 100 запишется в виде 10 201; б) 801 запишется в виде 30 201; в) 2504 запишется в виде 10 205; г) 680 запишется в виде 10 205. 548. Составьте биквадратное уравнение, учитывая, что его корнями являются числа: а) 2 и 3; б) -2 и -3; в) -2 и 3; г) -3 и 2; д) m и п. 549. Решите уравнение: и , 2и 1 . а) б) 3(и2 - 2) 3(1 - и4) и (1 + и2)' 1 71 2(и2+ 1) и2(1 - v4) 2v2(v2 - 1)' в) (t + 5)4 - 13(t + 5)2t2 + 36t4 = 0; г) w - 1 )2 = 11. w + ^ 9 550. Есть два квадрата, площади которых вместе составляют 41 м2, а стороны в метрах выражаются взаимно обратными числами. Найдите коэффициент подобия этих квадратов. 551. Найдите радиус окружности, которая проходит через центр другой окружности с радиусом R, пересекает ее в точках, отстоящих друг от друга на а, причем a < 2R. 552. Решите уравнение: а) (х2 - 2х)2 - 2(х2 - 2х) - 3 = 0; б) 1 - а а в) у2 - 3у + 2 = 1 - а 8 , у2 - 3у'' = 1; г) (2t2 + 3t)2 = 3(2t2 + 3t - 9) + 37; д) 3 • b -1 2b + 1 = 2; 2b + 1 b - 1 е) (2v + 3)(2v + 5)(2v + 7)(2v + 9) = 384. 165 Правообладатель Народная асвета 9 2 и) (d - 2'f - 10 к) [и - I)2 - 3 л) 3(Z - -|+ 4 553. Решите уравнение: а) X1 - 6 I x I + 5 = 0; б) а1 + 5 I a I - 14 = 0; в) у1 + llyl - 1 = 0; г) У2 + I b I - I = 0; д) 21 + 11 2 I - 3 = 0; е) с1 - 7 I c I + 6 = 0; ж) (t - I)1 - sIt - 11 + 15 = 0; з) (Ik - 3)1 - 5 I Ik - 3 I - 6 = 0; 554. Решите уравнение: а) (w - 9)1 - S(w - 9) + 7 = 0; б) (у2 + ly + 4)1 - 7(y2 + ly + 4) + 1I = 0; в) (w1 + w + 4)1 + Sw(w2 + w + 4) + 15w2 = 0; г) (d + l)(d + 3)(d + S)(d + 1I) = 4d2; д) (a1 + la)1 - (a + 1)1 = 55; е) ----- + ^-3m-------- = 1; ж) (uI + u + 1)I - 3uI - 3u - 3 = 0; з) (и1 - 5v + 7)1 - (v - l)(v - 3) = 0; и) (Ic - 3)(lc - 1)(c + 1)(c + l) = 36; к) (x - 1)(x - 7)(x - 4)(x + I) = 40; л) 6Z4 - 35Z3 + 6IZI - 35Z + 6 = 0; d -1 и - 7 I Z -■ + 9 = 0; - ^=°; - 4 = 0; м) rI - 4Ir - iI - 4r = 17; н) 1SZ1 - 15I3Z + 11 + I4Z + 15 = 0; о) I Ij1 - 5j + 4 I - 3j + I = 0; п) I 3v2 - Iv + 10 I - 4v - 34 = 0. p1 + I p + I м) --------- + p1 + I p + 3 p1 + I p + I 555. Решите уравнение: а) 19 - I г 12 + 9 4 2 б) 5c1 - 7c + I = (4c - 5)1 4c1 + c - 5 16c1 - I5 в) 1 + 5 (у +1)1 y1’ г) d1 + - S - d - -|; d1 d д) 3x = I; е) 1 1 1 e2 + le + 4 e1 + le + 5 11 ’ 166 Правообладатель Народная асвета I 3 X + ж) (0-21)2-6 + 4 = 0; a + 2a з) Ш2 + (9 + w) = 40; и) 4/2 + 12/ + 12 + 4 = 47; f /2 к) л) М^,2 Ь2 + 2 b - 2 Ь2 + 2Ь + 3 Ь2 + 2Ь v - 3 Ь2 + 2Ь + 2 v2 + 4 v + 9 v2 + 4v + 9 ' v - 3 2 g , 13 g = 1; = 6. 2 g2 - 5 g + 3 2 g + g + 3 556. Решите уравнение: - p2 + 4p = 6; 21 а) -2 p2 - 4 p + 10 б) 2(2 - ^ = 2 3 о + ---- + 2 18 11: 3 в) (^2 + 1)2 = ^65; ^ ' ^'2 112’ г) r (r + 1)2 s2 - s + 3 ' - s + 4 = 5; ' - s + 1 s2 - s + 2 557. Решите уравнение: а) X3 + 2x2 + 2x + 1 = 0; б) 2s4 - 7 s3 + 9s2 - 7 s + 2 = 0; в) a4 - 2a3 - a2 - 2a + 1 = 0; г) 2t4 + t3 - 17t2 + t + 2 = 0; д) (1 + y2)2 = 4y(1 + y)2; е) 25Ь4 - 100Ь3 - 106Ь2 - 100Ь + 25 = 0; ж) 2/4 - -80 /3 - 4/2 + -80 / + 2 = 0; з) f - 2l6 + 315 - l4 - l3 + 312 - 2l + 1 = 0. 558. Решите уравнение: а) 6a4 - 13a3 + 12a2 - 13a + 6 = 0; б) Ь4 + 5Ь3 + 2Ь2 + 5Ь + 1 = 0; в) с4 - 10с3 + 26с2 - 10с + 1 = 0; г) 2d4 + 3d3 - 4d2 - 3d + 2 = 0; д) 6с4 - 13с3 - 12с2 + 13с + 6 = 0; е) 30/4 - 17/3 - 228/2 + 17/ + 30 = 0; ж) 3g4 + 7g3 + 7g + 3 = 0; з) 2h4 - 9h3 + 9h + 2 = 0. д) m2 + 4m2 + 4m + 3 = 0; е) n4 - 5n3 + 10n2 - 10n + 4 = 0; ж) X3 + 2x2 + 3x + 6 = 0; з) l4 - 3l3 - 8l2 + 12l + 16 = 0. 167 Правообладатель Народная асвета 2 2 + 559. Найдите значение выражения 3 X + у x - 1 учитывая, что пара (x; у) равна: а) (2; 7); б) (3; 9); в) (12; 27); г) (18; 54). 560. Найдите значение выражения ——, учитывая, что 3а - 2е тройка (а; b; с) равна: а) (1; 1; 1); д) (-1; -1; 1); б) (-1; 1; 1); е) (-1; 1; -1); в) (1; -1; 1); ж) (1; -1; -1); г) (1; 1; -1); з) (-1; -1; -1). 561. Установите, какое — истинное или ложное — высказывание получается из уравнения х3 - 6х2 + 11х - 6 = 0, учитывая, что переменная x имеет значение, равное: а) 3; б) - 3; в) 2; г) - 2; д) 1; е) -1; ж) 0. 562. Установите, какое — истинное или ложное — высказывание получается из неравенства b - 1 < 0, учитывая, что пара (а; b) равна: а) (2; 7); б) (2; -7); в) (7; -2); г) (-7; -2). 563. Установите, какое — истинное или ложное — вы- сказывание получается из неравенства k3 l -1 ^ m, учитывая, I — I что тройка (k; l; m) равна: а) (1; 0; 1); в) (1; -1; 1); д) (-1; -1; 1); ж) (1; -1; -1); б) (-1; 0; 1); г) (1; 0; -1); е) (-1; 0; -1); з) (-1; -1; -1). 564. Найдите сумму целых решений системы линейных неравенств: а) б) 2(3а - 4) < 3(4а - 3) + 16, 4(1 + а) < 3а + 5; „ 2х -13 . „ 3х +-------> 2, 11 ’ X + 2(x - 7) < ; 6 ^ ^ 9 b - 1 b - ^ b - 3 , -------------->----------- b, в) ^ 2 3 4 I1 - 0,5b > b - 4; г) у у - 1 у + 2 < у - 3 1,5у - 5— < у. IV 20 ^ 565. Докажите, что диагонали: а) четырехугольника разделяют его на такие четыре треугольника, что произведение площадей двух из них, прилежащих к противоположным сторонам, равно произведению площадей двух других треугольников (рис. 272); 168 Правообладатель Народная асвета 4 б) трапеции разделяют ее на такие четыре треугольника, что два из них, прилежащих к основаниям, подобны, а два других — равновелики (рис. 273); в) параллелограмма разделяют его на две пары равных треугольников, причем все эти треугольники равновелики (рис. 274); г) ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольника (рис. 275); д) прямоугольника разделяют его на две пары равных равнобедренных треугольников (рис. 276); е) квадрата разделяют его на четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника (рис. 277). 566. Есть треугольник со сторонами 17 см и 208 см и углом между ними в 120°. Найдите: а) третью сторону треугольника и два других его угла; б) площадь треугольника и его высоты. 567. Есть треугольник ABC, у которого углы A и B равны 30° и 135°, а сторона BC — 5 (рис. 278). Найдите: а) его биссектрису AA1; б) периметр треугольника BAA1, где A1 — основание биссектрисы AA1. 568. С первого и второго полей, площади которых вместе составляют 94 га, собрали ржи соответственно 2256 ц и 2254 ц. Найдите урожайности полей, учитывая, что в сумме они составляют 96 ц/га. 569. С первого поля собрали 3162 ц ячменя, а со второго поля, площадь которого на 8 га больше, — 3150 ц. Найдите урожайности полей, учитывая, что в сумме они составляют 96 ц/га. 570. С первого и второго полей, площади которых вместе составляют 136 га, собрали соответственно 3360 ц и 3300 ц тритикале. Найдите урожайность первого поля, учитывая, что она на 2 ц/га меньше урожайности второго. * * * 571. В выражении (х - 1)(x - 2)(x - 3) ^ (x - 99)(x - 100) раскрыли скобки и привели подобные члены. Найдите коэффициент при х99. 169 Правообладатель Народная асвета D Рис. 273 ^QAB ^QCD ^QAD ^QBC Д QAB = Д QCD Д QAD = Д QBC Рис. 274 D Д QAD = Д QBC Рис. 276 Д QAB M Д QCD ^QAD ^QBC Д QAB = Д QCB = Д QAD = Д QBC Z AQB = Z CQD = Z AQD = Z BQC Рис. 275 В = Д QAD = Д QBC Рис. 277 170 Правообладатель Народная асвета 572. На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC с площадью 4 выбраны точки А^, В^, Ci соответственно. Докажите, что площадь хотя бы одного из треугольников AB^Ci, A^BC, A-^B-^C не больше единицы. 573. Докажите, что если числа а, b, c попарно различны, то среди чисел (а - b)(ab - c2), (b - c)(bc - a2), (c - a)(ac - b2) есть числа с противоположными знаками. 14. Уравнение с двумя переменными А) Пример 1. Известно, что брат младше сестры на 3 года. Если обозначить возраст брата и сестры буквами x и у соответственно, то зависимость между переменными x и у можно записать формулой у - x = 3. Мы получили уравнение с двумя переменными. Формулы 3х + 5у = 13; 4 - 6т + n = 0; a3 + 2b2 = 1; x2 = 19 + у2; kl = 20 дают другие примеры уравнений с двумя переменными. В уравнении 3x + 5у = 13 слагаемые 3x и 5у с переменными x и у, как и в уравнении 4 - 6т + n = 0 слагаемые -6т и n с переменными т и n, имеют первую степень. Это уравнения первой степени. В третьем уравнении a3 + 2b2 = 1 слагаемые a3 и 2b2 с переменными a и b имеют третью и вторую степени. Это уравнение третьей степени. Степень уравнения определяется наибольшей степенью его слагаемых. В четвертом уравнении x2 = 19 + у2 его слагаемые x2 и у2 с переменными оба имеют вторую степень. Это уравнение второй степени. Пятое уравнение kl = 20 также является уравнением второй степени, так как его слагаемое kl имеет вторую степень. Если x = 10 и у = 9, то уравнение x2 - у2 = 19 обращается в истинное высказывание 102 - 92 = 19. В таком случае говорят, что пара (10; 9) значений переменных x и у является решением уравнения x2 - у2 = 19. Пара (9; 10) значений переменных x и у не является решением этого уравнения, так как равенство 92 - 102 = 19 не является истинным высказыванием. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений этих переменных, при которых уравнение обращается в истинное высказывание. 171 Правообладатель Народная асвета Уравнение х2 - у2 = 19 имеет и другие решения, ими являются, например, следующие пары: (-10; 9); (10; -9); (-10; -9); (5,75; 3,75); (-5,75; 3,75). Вообще это уравнение имеет бесконечно много решений. Уравнения с двумя переменными называют равносильными, если они имеют одни и те же решения. Уравнения с двумя переменными имеют те же свойства, что и уравнения с одной переменной: если в уравнении любое слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное исходному; если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится уравнение, равносильное исходному. Рассмотрим уравнение 3х + 2у = 10. Используя указанные свойства, выразим переменную у через переменную х: у = -1,5х + 5. Уравнение 3х + 2у = 10 равносильно уравнению у = -1,5х + 5. По полученной формуле у = -1,5х + 5 можно найти любое количество решений уравнения 3х + 2у = 10. Для этого достаточно взять произвольное значение переменной х и вычислить соответствующее значение переменной у: если х = -4, то у = 11; если х = 6, то у = -4; если х = 0, то у = 5. Пары чисел (-4; 11), (6; -4), (0; 5) являются решениями уравнения 3х + 2у = 10. Это уравнение имеет бесконечно много решений. Каждая пара чисел, которая является решением уравнения с двумя переменными х и у, на координатной плоскости изображается точкой с абсциссой, равной значению переменной х, и ординатой, равной значению переменной у. Все такие точки составляют график уравнения. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Пример 2. Построим график уравнения 3х + 2у - 10 = 0. Оно равносильно уравнению у = -1,5х + 5. Мы знаем, что формула у = -1,5х + 5 задает линейную функцию, графиком 172 Правообладатель Народная асвета Рис. 279 которой является прямая, изображенная на рисунке 279. Поскольку уравнение у = -1,5x + 5 равносильно уравнению 3х + 2у = 10, то эта прямая и есть график уравнения 3х + 2у = 10. Б) Уравнения первой степени называют еще линейными уравнениями. Линейным уравнением с двумя переменными х и у называется уравнение вида ах + by + c = 0, где a, b и c — некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а и b отлично от нуля. Линейное уравнение, в котором коэффициент при переменной у не равен нулю, приводится к виду у = kx + m, где k = -а, m = —c. Графиком такого уравнения является прямая линия. Графиком любого линейного уравнения с переменными х и у, в котором коэффициент при переменной у не равен нулю, является прямая. Пример 3. Построим график линейного уравнения 3х + 0 • у = 12, в котором коэффициент при переменной у равен нулю. Его решениями являются все пары чисел (х; у), в которых х = 4, а у — любое число, например пары: (4; —5); (4; 0); (4; —3,8). График этого уравнения состоит из всех точек плоскости, абсциссы которых равны 4. Такие точки образуют прямую, проходящую через точку (4; 0) параллельно оси ординат (рис. 280). Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая. с q т н - С г ( ) X Рис. 280 173 Правообладатель Народная асвета 1 Z [1 . ■1 ( 2 1 1 Г, Докажем теперь, что прямая задается линейным уравнением. Пусть на координатной плоскости есть прямая l. Выберем точки A^x^; y^) и B(x2; y2) так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB (рис. 281). Если точка M(x; у) принадлежит пря-Рис' 281 мой l, то она равноудалена от точек A и B, т. е. AM = BM, или AM^ = BM^. Последнее равенство в координатах имеет вид (x - xi)2 + (у - yi)2 = (x - X2)2 + (у - У2)2. (1) Если точка M(x; у) не принадлежит прямой l, то AM Ф BM и координаты точки M не удовлетворяют условию (1). Таким образом, уравнение (1) является уравнением прямой l. После раскрытия скобок и приведения подобных уравнение (1) приводится к виду ax + by + c = 0, (2) где a = 2(x2 - x1), b = 2(у2 - У1), c = x^2 + y^2 - xf - yf. Поскольку точки A и B различны, то хотя бы одна из разностей x2 - x1, y2 - y1 отлична от нуля. Значит, уравнение (2) является линейным. Уравнение ax + by + c = 0 называют общим уравнением прямой. Если b Ф 0, то это уравнение можно привести к виду y = kx + m. Уравнение вида y = kx + m называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. x - x1 = y - У1 В) Пример 4. Установим, что уравнение яв- x2 - x1 y2 - y1 ляется уравнением прямой, проходящей через точки A(x1; y1) и B(x2; У2). Подставив в уравнение ки A, получим равенство x - x1 x2 - x1 x1 - x1 x2 - x1 = y - У1 y2 - y1 У1 - У1 У2 - У1 ’ координаты точ- которое является 174 Правообладатель Народная асвета истинным. А это означает, что прямая -ходит через точку A^x-^; yl). x - Xi _ y - yi y - У1 y2 - y1 про- Подставив в уравнение x2 - x1 y2 x2 - x1 _ y2 - y1 У1 координаты точки y2 - y1 X - X1 которое также явля- y - У1 X2 - X1 У2 - У1 проходит и B, получим равенство x2 - X1 ется истинным. Значит, прямая через точку B(x2; y2). Г) Пример 5. Получим уравнение окружности с центром в точке N(a; b) и радиусом r (рис. 282). Напомним, что окружностью с центром N и радиусом r называют линию плоскости, все точки которой удалены от центра N на расстояние r. Пусть M(x; y) — произвольная точка окружности. Расстояние между точками N и M, с одной Рис- 282 стороны, равно г. С другой стороны, квадрат этого расстояния представляется выражением (x - a)2 + (y - b)2. Поэтому (x - a)2 + (y - b)2 _ r2. Значит, если точка M(x; y) принадлежит окружности с радиусом r и центром N(a; b), то его координаты x и y удовлетворяют уравнению (x - a)2 + (y - b)2 _ r2. Пусть теперь координаты (x; y) точки K удовлетворяют уравнению (x - a)2 + (y - b)2 _ r2. Докажем, что сама точка принадлежит окружности, центром которой является точка N(a; b) и радиус равен r. Для этого сравним расстояние от N до K с радиусом r. Имеем: NK = .J(x - a)2 + (y - b)2 _4r2 _ r _ r. Поскольку расстояние от центра N окружности до точки K равно радиусу r, то точка K принадлежит этой окружности. Таким образом, если координаты x и y точки K удовлетворяют уравнению (x - a)2 + (y - b)2 = r2, где N(a; b) — центр данной окружности, r — ее радиус, то точка K принадлежит этой окружности. 175 Правообладатель Народная асвета 1. Приведите примеры уравнений с двумя переменными. • 2. Что называют решением уравнения с двумя переменными? 3. Какое уравнение с двумя переменными называют линейным? 4. Какие уравнения с двумя переменными называют равносильными? 5. Какие преобразования уравнения приводят к получению равносильных уравнений? 6. Что называют графиком уравнения с двумя переменными? 7. Какая линия является графиком линейного уравнения с двумя переменными ? 8. Каким уравнением задается прямая? 9. Какое уравнение называется общим уравнением прямой; уравнением прямой с угловым коэффициентом? 10. Запишите уравнение окружности с центром N(a; b) и радиусом г. 574. Определите степень уравнения с двумя переменными: а) 2х + 8у = 15; в) az - 7a = 4; б) x + z = 1; г) 7u - u^v = 1,2. 575. Определите, является ли решением уравнения s + t = 5 пара чисел: а) (2; 3); б) (-2,2; 7,2); 576. Определите, является ли решением уравнения ik = 6 в) (If;3!); г) (10|; -5-5 пара чисел: а) (2; 3); в) (2^4; -2 б) (-2; 3); г) (-2f; - 577. Определите, какие из пар значений переменных x и у, приведенных в таблице, являются решениями уравнения. х -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 у 4 3 -5,5 -0,5 1-3 1 -5 7 3,5 -9,5 6,5 а) 2х + 3у = 2; в) 2х - 3у = -17; б) 3x + 2у = -7; г) 3x - 2у = 2. 578. Составьте уравнение с двумя переменными, имеющее решением пару: а) (2; 1); б) (2; -1); в) (2; 0,3); г) (^3; -1). 579. Из уравнения 4b - 7c = 14 выразите: а) переменную b через переменную с; б) переменную c через переменную b. 176 Правообладатель Народная асвета 580. Из уравнения х2 + у = 2 выразите: а) переменную у через переменную х; б) переменную х через переменную у. 581. Выразив каждую переменную через другую, найдите область определения каждой из функций, которые задаются уравнением: а) 3а - 5b = 15; б) 7. p + I2q = 14; в) uv = 1,8; г) 1 ml = 2; д) S2 - r = 1; е) — у2 + z = 3. 16 ^ 582. Выразите одну переменную через другую и найдите четыре решения уравнения: а) c + d = 17; в) 3у - 4z = 12; б) 2х - у = 11; г) 5р + 2q = 2. 583. Найдите коэффициент k уравнения: а) 3х - ky = -7, учитывая, что пара (1; 2) — решение этого уравнения; б) kxy = 28, учитывая, что пара (-0,5; -8) — решение этого уравнения; в) 2х2 - ky = 29, учитывая, что пара (-5; 7) — решение этого уравнения. 584. Определите, принадлежит ли графику уравнения l2 + 3m = 15 точка: а) А(-3; 2); б) Б(3; 2); в) С(-3; -2); г) D(3; -2). 585. Докажите, что графики уравнений 4х - 3у = 11, 1 2 2 — ху = , х2 - 7у = 11 проходят через точку A(2; -1). 586. Постройте график уравнения: а) 2х + у = 5; в) -mn = 1; б) а - 5b = 0; г) 1,2uv = 6. 587. Постройте график уравнения: а) х2 - у = 0; в) 0 • а - 5b = 0; б) а3 - b = 0; г) u + V| = 0. 588. Постройте график уравнения: а) х - у - 2 = 0; в) 3(х - у) - 2у = 3; б) 2х = у - 3; г) (х - у) + (х + у) = 3. 177 Правообладатель Народная асвета 589. Запишите общее уравнение прямой, проходящей через точки: а) A(-1; 1) и Б(3; -2); г) G(-3; 6) и H(0; 0); б) C(5; 3) и D(3; 5); д) I(-4; 1) и J(4; 1); в) E(-2; 0) и F(-5; -3); е) ^(5; 2) и L(5; 11). 590. Найдите координаты точки пересечения прямой 2с - 5d = 10 с осью: а) абсцисс; б) ординат. 591. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку ^(-2; 7) параллельно оси: а) абсцисс; б) ординат. 592. Найдите ординату точки M прямой, проходящей че- рез точки A(-8; 4) и B(4; 1), если абсцисса этой точки равна: а) -12; б) -6; в) 0; г) 20; д) 122. 593. Начертите окружность, заданную уравнением: а) X2 + у2 = 16; г) (р + 4)2 + (q + 3)2 = 4; б) (а - 2)2 + (Ъ - 5)2 = 9; д) l2 + (k - 6)2 = 25; в) (и + 3)2 + (и - 1)2 = 1; е) (с + 7)2 + d2 = 36. 594. Запишите уравнение окружности с центром в точке S и радиусом г, учитывая, что: а) S(0; 5), г = 3; в) S(-5; -7), г = -|; б) S(-2; 6), г = 7; г) S(7; -16), г = ^. 595. Запишите уравнение окружности, изображенной на рисунке: а) 283; б) 284; в) 285; г) 286. 596. Окружность задана уравнением (a + 4)2 + (Ъ - 1)2 = 25. Определите, какие из точек K(-1; -3), L(-2; -4), M(-2; 5), N(1; 3), P(0; 4), Q(0; 0) лежат: а) на окружности; б) внутри круга, ограниченного окружностью; в) вне круга, ограниченного окружностью. 597. Докажите: а) что отрезок с концами в точках C(-5; 12) и D(5; -12) является хордой окружности, заданной уравнением х2 + у2 = 169; б) что уравнение х2 + у2 - 2х + 6у - 15 = 0 задает на плоскости окружность; в) что уравнение х2 + у2 - 12х + 6у + 9 = 0 задает на плоскости окружность, касающуюся оси ординат и пересекающую ось абсцисс. 178 Правообладатель Народная асвета р '' -S Рг- i 41 ■ - it- Рис. 283 Рис. 285 Рис. 286 598. Запишите уравнение окружности с центром в: а) начале координат, если известно, что данной окружности принадлежит точка Г(-4; 2); б) точке M(0; 7), если известно, что данной окружности принадлежит точка ^(-1; 5). 599. Запишите уравнение окружности с диаметром PQ, учитывая, что: а) P(-3; 7), Q(7; -3); б) P(4; -3), Q(2; 5). 600. Может ли линейное неравенство с одной переменной: а) быть противоречивым; б) удовлетворяться любым значением переменной; в) иметь единственное решение? 601. Решите неравенство: а) 5 - а2 > 0; в) -6с2 - c + 12 > 0; б) -22 + 7 < 0; г) -3х2 - 6х + 45 < 0. 179 Правообладатель Народная асвета 602. Решите неравенство: а) е3 - 25e > 0; б) 9/3 - f < 0; в) 108я3 - 3g < 0; г) (h2 - 1)(h + 3) > 0; д) (i2 - 49)(i - 5) < 0; 603. Решите неравенство: (x - 1)(x - 2) е) (j - 3)(j2 - 121) > 0; ж) (k3 - 1)(k + 4) > 0; з) (Z3 + 8)(l - 3) < 0; и) (m3 + 27)(m + 6) > 0. а) x - 3 < 0; б) (У - 3)(У - 5) > 0; У - 2 ’ v + 2v - 3 v2 - 2v - 8 u + 5u + 4 u2 - 5u - 6 > 0; < 0. 604. Найдите значение выражения sin4 a - sin2 a + cos2 a, учитывая, что: а) sin a = a; б) cos a = b. 605. Учитывая, что tg a = 0,5, найдите значение выражения: 2 + sin a cos a 2 + 5sin a cos a. а) б) 2 1 + cos a 3 - sin a cos a ~ 2 2 sin a - 2cos a в) г) sin a + 3 sin a cos a sin2a + 4cos2a 606. В трапецию с боковыми сторонами 8 см и 12 см можно вписать окружность. Найдите большее основание трапеции, учитывая, что ее средняя линия делит площадь в отношении 3 : 5. 607. В трапеции основания равны 25 см и 40 см, а диагонали — 16 см и 63 см. Найдите площадь этой трапеции. 608. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника разделяет каждую биссектрису в отношении, первый компонент которого есть сумма сторон, заключающих биссектрису, а второй компонент равен третьей стороне, если считать от вершины. В 609. В каких местах на сторонах треугольной картонки ABC нужно выбрать точки M, N, P, Q (рис. 287), чтобы треугольники, которые получатся после разрезания по ломаной MNPQB, имели равные площади? Правообладатель Народная асвета • 2 л 2 sin a + 4 cos a •к •к •к 610. Восстановите квадрат по точке пересечения его диагоналей и двум точкам на смежных сторонах. 611. Докажите, что если и х2 — корни уравнения X2 - 6х + 1 = 0, то при любом натуральном n значение выражения х1 + хП — целое число, не кратное пяти. 15. Система уравнений с двумя переменными А) Пример 1. Когда сторонутреугольника A^C (рис. 288) уменьшили на 10 мм, а проведенную к ней высоту CH увеличили на 15 мм, то получился новый треугольник A1B1C1 (рис. 289), площадь которого оказалась больше площади данного треугольника ABC на 100 мм2. Найдите отрезки AB и CH, учитывая, что первый отрезок на 10 мм длиннее. Пусть отрезки AB и CH соот- ^ ветственно равны a мм и b мм. Тогда 1 SABC = ^2ab. Для треугольника A1B1C1 его сторона Л1В1 и проведенная к ней высота C1H1 равны a - 10 мм и b + 15 мм соответственно. Значит, SA1B1C1 = :2(a - 10)(b + 15). В соответствии с условием задачи связь между площадями Sabc и Sab^ выражается уравнением !(a - 10)(b + 15) - 1 ab = 100, а между a и b — уравнением a - b = 10. Мы получили два уравнения с двумя переменными a и b. Решение задачи требует найти такие значения этих переменных, которые превращают в истинное высказывание как уравнение !(a - 10)(b + 15) - 1 ab = 100, С, Правообладатель Народная асвета так и уравнение a - b = 10, т. е. найти общие решения указанных уравнений. Системой уравнений называется утверждение, которое состоит из двух или большего числа уравнений и которое истинно при тех и только тех наборах значений входящих в уравнения переменных, при которых истинно каждое из уравнений. Составленную систему уравнений записывают так: j^(a - 10)(b + 15) - 1 ab = 100, [a - b = 10. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, которая является решением каждого из уравнений системы. Решить систему уравнений означает найти все ее решения или установить, что их нет. Например, пара (50; 40) является решением записанной системы, так как истинно как равенство 1 • (50 - 10)(40 + 15) -1 2 - — * 50 • 40 = 100, так и равенство 50 - 40 = 10. Пара (15; 5) не является решением этой системы, так как равенство 1 • (15 - 10)(5 + 15) - 1 • 15 • 5 = 100 не является истинным. Б) Пример 2. Решим систему [2х - 3у = 9, j3x + у = 8. Для этого построим графики уравнений 2х - 3у = 9 и 3х + у = 8. Графиком первого уравнения является прямая AB, графиком второго — прямая CD (рис. 290). Координаты любой точки прямой AB дают решение уравнения 2х - у = 9, а координаты любой точки прямой CD — решение уравнения 3х + у = 8. Точка пересечения этих прямых принадлежит обеим прямым AB и CD, поэтому координаты этой точки удовлетворяют как уравнению 2х - у = 9, так и уравнению 3х + у = 8, т. е. составляют Рис. 290 решение системы. Посколь- 182 Правообладатель Народная асвета ку прямые AB и CD пересекаются в точке P(3; -1), то пара (3; -1) — решение системы. Способ, которым мы решили систему уравнений, называется графическим. Решение системы, найденное графическим способом, обычно приближенное. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными, причем в каждом уравнении минимум один коэффициент при переменных не равен нулю. Прямые, которые являются графиками уравнений системы, могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. Это означает, что система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь единственное решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений. Пример 3. Выясним, сколько решений имеет система {5а - 4b = -20, [-16a + 17b = 190. Для этого определим взаимное расположение графиков уравнений данной системы. Выразим из каждого уравнения переменную b через переменную а: 5 b = 5 а + 5, 4 b = 16 а + 17 190 17 ' b = 5 а + 5 4 и Уравнения b = а + задают линей-17 17 ные функции. Угловые коэффициенты 5 и прямых, которые являются графиками этих функций (рис. 291), различны. Ранее было доказано, что такие прямые пересекаются. А это означает, что система имеет единственное решение. Пример 4. Ответим на вопрос о количестве решений системы 10k + 20l = 7, 2k + 4l = -13. Рис. 291 183 Правообладатель Народная асвета Выразив из каждого уравнения системы переменную l через переменную k, получим l = -1k + ^, 2 20 l = -1 k -13. 2 4 Прямые, являющиеся графиками линейных функций 17 113 l = -1 k + — и l = -1 k - —, параллельны (рис. 292), так как 20 их угловые коэффициенты равны -1, а точки А(0; В^0; -13j пересечения с осью ординат различны. Это означает, что рассматриваемая система уравнений не имеет решений. Пример 5. Установим, сколько решений имеет система [3p - 7q = 14, [15p - 35q = 70. Если выразить из каждого уравнения системы переменную q через переменную р, получим: q = -3 р - 2, q = -3 р - 2. Видим, что графики уравнений 3р - 7q = 14 и 15р - 35q = 70 совпадают (рис. 293). Это означает, что система имеет бесконечное множество решений, которое составляют все пары чисел (р; q), где р — произвольное число, а q = ^Р - 2. В) Графическое решение систем уравнений требует предварительного построения графиков уравнений, составляющих систему, и чаще всего дает приближенный результат. Рассмотрим аналитические способы решения систем уравнений — способ алгебраического сложения и способ подстановки. 7 20 -I и Рис. 292 Рис. 293 184 Правообладатель Народная асвета Пример 6. Решим способом алгебраического сложения систему уравнений + 7п = 8, (1) 4т + 7п = 2. Обратим внимание на то, что левые части 2т + 7п и 4т + 7п уравнений системы отличаются своими первыми слагаемыми и это отличие выражает разность (4т + 7п) - (2т + 7п), т. е. 2т. Это отличие левых частей влечет за собой отличие правых частей на 2 - 8, т. е. на -6. Таким образом, 2т = -6. Значит, т = -3. Знание значения переменной т позволяет найти соответствующее значение другой переменной п через подстановку найденного значения переменной т в первое или второе уравнение: 2 • (-3) + 7п = 8; -6 + 7п = 8; 7п = 14; п = 2. 4 • (-3) + 7п = 2; -12 + 7п = 2; 7п = 14; п = 2. Значит, решением системы является пара (т; п), равная (-3; 2). Подытожим рассуждения, которые мы провели при решении системы. Заметив, что коэффициенты при переменной т одинаковы, мы из компонентов первого уравнения вычли соответствующие компоненты второго уравнения. Можно сказать и иначе: умножили компоненты первого уравнения на -1 и полученное уравнение покомпонентно сложили со вторым уравнением. Получили новое уравнение 2т = -6 с одной переменной, используя которое и еще одно из уравнений данной системы нашли решение системы. Другими словами, данную систему (1) мы заменили новой системой [2т = -6, I 2т + 7п = 8 или системой 2т = -6, 4т + 7п = 2, в которой первое уравнение содержит только одну переменную. При решении системы (1) мы заменили ее системой (2), используя то, что эти системы имеют одни и те же решения. Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют одни и те же решения, называют равносильными системами. 185 (2) Правообладатель Народная асвета Рис. 294 Геометрически равносильность систем (1) и (2) означает, что графики уравнений 2т + Чи = 8 и 4т + In = 2 пересекаются в той же точке, что и графики уравнений 2т = -6 и 4т + Чи = 2, иными словами, все три прямые пересекаются в одной точке А(-3; 2) (рис. 294). Пример 7. Решим систему уравнений [8у - 21z = 50, [б у + 17 z = -28. В этой системе, перед тем как проводить покомпонентное сложение уравнений, нужно коэффициенты при одной из переменных сделать противоположными числами. Это проще сделать для коэффициентов при переменной у. Умножив первое уравнение на 3, а второе — на -4, придем к системе [24у - 63z = 150, [-24у - 68z = 112. После покомпонентного сложения уравнений получим систему [-131z = 262, [24у - 63z = 150. Из уравнения -131z = 262 находим, что z = -2. Подставив найденное значение z в уравнение 8у - 21z = 50, найдем, что у = 1. Ответ. (1; -2). При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом алгебраического сложения можно придерживаться такого порядка действий: умножением на соответствующие числа сделать коэффициенты при одной переменной противоположными числами; сложить покомпонентно уравнения новой системы; решить полученное уравнение с одной переменной; найти соответствующее значение другой переменной. 186 Правообладатель Народная асвета (3) Г) Пример 8. Решим систему уравнений f2r - 5s = 19, [3г + s = 3 новым способом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную s через переменную г: s = 3 - 3г. Равенство s = 3 - 3г означает, что значение переменной s такое же, как и значение выражения 3 - 3г. Поэтому в первом уравнении заменим переменную s выражением 3 - 3г: [2г - 5(3 - 3г) = 19, I 3г + s = 3. (4) Рис. 295 Система (3) и система (4), полученная указанным преобразованием, имеют одни и те же решения. Равносильность систем (3) и (4) выражается в том, что все три прямые, которые являются графиками уравнений 2г - 5s = 19, 3г + s = 3, 2г - 5(3 - 3г) = 19, пересекаются в одной точке B(2; -3) (рис. 295). Уравнение 2г - 5(3 - 3г) = 19 содержит только одну переменную г. Решим его: 2г - 15 + 15г = 19; 17г=34; г = 2. Подставив в равенство s = 3 - 3г вместо переменной г ее значение 2, найдем соответствующее значение переменной s: s = 3 - 3 • 2; s = -3. Пара (2; -3) является решением системы (4), а поэтому и решением данной системы (3). 187 Правообладатель Народная асвета Пример 9. Решим способом подстановки систему уравнений „ 7и + 6v = 6, 3u + 8v = 27. Из первого уравнения выразим переменную и через переменную v: 7u = 6 _ 6v; 6 _ 6v и = 7 Во втором уравнении переменную и заменим выражением 6 _ 6v 7 3 . + 8v = 27. 7 Решим это уравнение с переменной v: 3 • (6 _ 6v) + 7 • 8v = 7 • 27; 18 _ 18v + 56v = 189; 38v=171; v = 4,5. Подставив это значение v в уравнение и = —^, найдем соответствующее значение и: и = 6 _ 6 • 4,5. 7 ’ и = _3. Ответ. и = _3; v = 4,5. При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки можно придерживаться такого порядка действий: выразить из какого-нибудь уравнения одну переменную через другую; подставить во второе уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение; решить полученное уравнение с одной переменной; найти соответствующее значение другой переменной. (у 1. Что называют системой уравнений? • 2. Что называют решением системы уравнений с двумя переменными? 3. Что означает задание Решить систему уравнений? 4. При каких условиях система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение? 5. При каких условиях система двух линейных уравнений с двумя переменными не имеет решений? 188 Правообладатель Народная асвета 6. При каких условиях система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет бесконечно много решений? 7. Как система уравнений решается графическим способом? 8. Каков порядок решения системы двух уравнений с двумя переменными способом алгебраического сложения? 9. Каков порядок решения системы двух уравнений с двумя переменными способом подстановки? 612. Определите, является ли решением системы уравне-Га + b = 5, нии < пара: |3а - b = 3 а) (3; -1); б) (2; 2); в) (2; -3); г) (2; 3). 613. Определите, какая из приведенных пар (-2; 4), (-2; -4), (2; -4), (2; 4) является решением системы: а) б) в) г) 14г + 4а = 44, 22г + 3а = 56; 11а - 41х = 142, 21а - 13х = 10. \-т + n = -6, [2m + 7n = -20; [7е - 8 f = -46, [-2е - 17 f = 64; 614. Составьте какую-либо систему уравнений с двумя переменными, решением которой является пара: а) (4; 2) б) (-4; 2) в) (2; -4); г) (-2; -4). 615. Используя рисунок 296, решите систему уравнений: Рис. 296 189 Правообладатель Народная асвета а) б) в) г) д) 2х + у = 6, x + 2 у = 0; х + 2 у = 0, х - у = 3; х + 2у = 0, 5х + у = 9; 2х + у = 6, х - у = 3; 2х + у = 6, 5х + у = 9; е) ж) з) и) к) х - у = 3, 5х + у = 9; 2х + у = 6, 2х - 5у = -18; 2х + у = 6, 11х - 8у = -21; 2х - 5у = -18, 11х - 8у = -21; 2х - 5у = -18, 5х + у = 9; л) м) н) о) п) 616. Прямая х - у = 3 пересекает прямые 2х - 5у = -18 и 11х - 8у = -21. Но на рисунке 296 это не отражено. Предложите сами способ нахождения точек пересечения прямой х - у = 3 с каждой из прямых 2х - 5у = -18 и 11х - 8у = -21 и найдите координаты этих точек. 617. Решите графически систему уравнений: а) б) а) б) 4k -1 = 0, k - l = -6; 5a + 3b = -6, 2a - 5b = 10; в) г) 3m + 6n = 2, 2m + 4n = 5; 3х + 4 у = 6, х + 2 = 0. 618. Решите графически систему уравнений: b - c = 1, b + 3c = 9; у + 2z = 4, -2 у + 5z = 10; в) г) a + х = 0, -3a + 4 х = 14; 3b - 2у = 6, 3b + 10 у = -12. 619. Решите графически систему уравнений: а) [3х + 2 у = -11, в) J2m + 7n = -10, [4х - 5у = -7; [3n - m = 5; f2a - 6 = 0, {4u - 6v = 10, б) г) [3b + 12 = 0; [6u - 9v = 15. 190 Правообладатель Народная асвета а) б) а) б) 620. Найдите координаты точки пересечения прямых: а) 2т + у = 8 и 2т - у = 1; в) 2р + q = 1 и q -p = 4; б) 3r + s = 2 и r + 2s = -6; г) 4k + 3l = 6 и 2k + l = 4. 621. Решите графически систему уравнений: fx - z = 2, Jl5a - 8c = 19, [3x - 3z = 6; ^ |за + 2c = 13; [2i - у = 7, J5& + 14d = 24, [4t - 2y = 14; г) [19b - 21d = 17. 622. Определите, сколько решений имеет система: [4a - b = 12, J1,5m = 1, [ЗЬ + a = -3; ^ |-3m + 2n = -2; fP - 3q = 0, г) [x + 2y = 3, [3q - p = 6; ^ [y = -0,5x. 623. Определите, сколько решений имеет система: а) б) 12m - 3n = 5, 6n - 24m = -10; x = 3y, 6y - 2x = 3; в) г) a + b = 0, 2a + 2b = 0; 2c + 3d = 13, 3c - d = 13. 624. Способом алгебраического сложения решите систему уравнений: f3c + 2d = 304, [2c + 3d = 296; f5t - 9z = 17, |3t - 7z = 15. а) б) а) б) в) 2a + 5b = 13, 3a - 5b = -18; 2x - 3у = 8, 2x + 5y = -8; 625. Решите систему 40r + 3s = 10, 20r - 7s = 5; 5t - 2u = 1, 15t - 3u = -3; 33a + 42c = 10, 9a + 14c = 4; в) г) г) д) е) 13b - 12d = 14, 11b - 4 = 18d; 10k - 9m = 8, 21m + 15k = 0,5; 9l + 8n = -2, 5n = -4l - 11. 191 Правообладатель Народная асвета 626. Составьте уравнение с угловым коэффициентом прямой, которая проходит через точки: а) A(7; -2) и Б(-6; 11); в) С(4; 2) и Б(-5; 5); б) P(7; 6) и Q(-27; -17); г) М(-16; 19) и ^(-12; 7). 627. Запишите формулу, задающую линейную функцию, график которой пересекает оси координат в точках: а) A(0; 11) и B(-5; 0); б) М(4; 0) и ^(0; -7). 628. Способом подстановки решите систему уравнений: а) б) а) б) а) б) в) а) б) r = s + 2, 5r - 3s = 4; k = 3n - 4, 6n + 5k = 1; в) г) l = 2m - 6, 4l + 7 m = 6; p = 4t + 7, 2p - 9t = 13. 629. Решите систему уравнений: p = q + 1, 5q + 2 p = 16; r = 2 - s, 3r - 2s - 11 = 0; в) г) X - y = 4, x + 2y = 13; 3a + b = 4, -3a + b = -2. 630. Решите систему уравнений: a - 2b = 1, 6b - a = 7; 7p - 3q = 13, p - 2q = 5; k + l = 6, 3k - 5l = 2; 631. Решите систему: 3 j + 4k = 0, 2 j + 3k = 1; 7n + 2 p = 0, 4 p + 9n = 10; г) д) е) в) г) 4m - n = 11, 6m - 2n = 13; c - d = 20, 2d - 15c = -1; 25 - e = -4/, 3e - 2/ = 30. 5q + 6r = -20, 9r + 2q = 25; 3a + 1 = 8b, 11b - 3a = -11. 632. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений: а) 5a + 3b = 140 и 11a - 6b = 245; б) 11x + 2y = -5 и -13x - 6y = 115; 192 Правообладатель Народная асвета в) 17j + 4k = 35 и 19j - k = -125; г) 23m - 5n = 35 и -3m + n = -15. 633. Решите систему уравнений: а) б) n_ з" = 6, 2m - _n = i; ~3 J ~ ; ^ = 5, 3 2 r - ^ = 1; 2 3 в) г) a - b = 8, 2 3 a + b = 11; d - e = 1, 2 3 d + e = 2. 634. Запишите формулу, задающую линейную функцию график которой представлен на рисунке: а) 297; в) 299; б) 298; г) 300. 635. Решите систему уравнений: [5(х + 1) = 2z + 6, а) б) в) г) 3(х - 1) = 3z - 6; 1 - 3t = 2(у - 2), 1 - 3у = 3t - 2; 4(а - 2) - 3(с + 3) = 1, 3(а + 2) - 2(а - с) = 5; 7(2b + d) - 5(3b + d) = 6, 3(b + 2d) - 2(b + 3d) = -6. Рис. 297 Рис. 298 Рис. 299 Рис. 300 193 Правообладатель Народная асвета 636. Решите систему уравнений: x + 3 у - 2 а) б) 2 3 x - 1 у + 1 4 3 a + b a - b 2 3 a + b a - b 3 = 2, = 4; = 6, = 6; в) г) m + n _ = 5 2 3 2' + 2n = 0; 2 ’ 2,5p - 2v 2 3p - 2v - 2 p = 3, 3 + 4 = 3 p. 637. Преобразуйте степень: а) 125-3 в степень с основанием 5; б) Gu) в степень с основанием 3; в) 163 в степень с основанием 2; г) ^ в степень с основанием 2. ' \32/ 638. Используя представленный на рисунке 301 график функции A = 4c2 - 12c + 9, решите неравенство: а) 4c2 - 12c + 9 < 0; в) 4c2 - 12c + 9 > 0; б) 4c2 - 12c + 9 < 0; г) 4c2 - 12c + 9 > 0. 639. Решите систему неравенств: а) ' б) ' 42a - 1 < 3a + 31, 33 8 - a 5 ^ 3a + 12 2* 2 15 + 2c 1 - c 9 5 19 - 2c 11 - 2c > c, 3 < 2c. 24 рис 301 640. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой: а) у = X2 - 5х + 7, находятся в верхней полуплоскости; б) k = -a2 + 7a - 13, находятся в нижней полуплоскости. 641. Определите вид треугольника в зависимости от величины его большего угла, учитывая, что его стороны равны: а) 10; 12; 16; в) 19; 23; 29; д) l; l + 1; l - 7. б) 20; 21; 29; г) л/Тб -1^15^/15 + 1; 194 Правообладатель Народная асвета 642. Начертите отрезок EF так, как показано на рисунке 302. Найдите такую точку X этого отрезка, что: а)ЕХ = 2. 6)F:x = 2. ' XF 3 ’ XE 3 643. Угол против основания равнобедренного треугольника равен 120°. Найдите: а) основание треугольника, учитывая, что боковая сторона равна единице; б) боковую сторону треугольника, учитывая, что основание равно единице. 644. Двое рабочих выполнили определенный заказ за 12 дней. Если бы сначала первый выполнил половину заказа, а потом второй заканчивал работу, то это заняло бы 25 дней. За сколько дней каждый рабочий мог бы выполнить весь заказ? 645. Два токаря должны были обработать определенное количество деталей. После того как 3 ч они работали вместе, второй работал один еще 4 ч. В результате задание оказалось перевыполненным на 12,5 %. Определите, за какое время мог бы выполнить все задание каждый токарь, учитывая, что второму для этого потребовалось бы на 4 ч меньше. 646. Турист прошел путь от A до B со скоростью 6 км/ч, а затем от B до C — со скоростью 3 км/ч. Найдите отношениеAB : BC, учитывая, что средняя скорость движения составила 5 км/ч. 647. Катер по течению реки проходит путь от A до B за 5 ч, а назад возвращается за 7 ч. Определите, сколько часов будет плыть плот от A до B. 648. Время движения автобуса от Минска до Бреста (рис. 303) в новом расписании сокращено на 45 мин, и поэтому новая средняя скорость движения должна быть на 13,5 км/ч больше прежней. Найдите среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию. Минск Правообладатель Народная асвета 649. По шоссе со скоростью 60 км/ч движется колонна машин, растянувшаяся на 1 км. Проезжая мимо поста ГАИ, каждая машина снижает скорость до 40 км/ч. Определите, какую длину будет иметь эта колонна после того, как все машины проедут пост ГАИ. * * * 650. Среди двадцати пяти монет есть одна фальшивая, которая немножко легче настоящей. Как за три взвешивания на чашечных весах найти фальшивую монету? 651. Данная прямая не проходит ни через одну из вершин 2009-угольника. Может ли она пересекать все его стороны? 652. Докажите, что не существует такого натурального числа п, что число 6п + 2 является квадратом целого числа. 16. Нелинейные системы уравнений Рассмотрим более сложные системы уравнений. А) Пример 1. Решим систему уравнений I р2 + д2 = 169, [ р + q = 7. (1) Графики уравнений р2 + q2 = 169 и р + q = 7 представлены на рисунке 304. Эти графики — окружность и прямая — пересеклись в двух точках А(12; -5) и B(-5; 12). Координаты этих точек удовлетворяют как уравнению р2 + q2 = 169, так 196 Правообладатель Народная асвета и уравнению p + q = 7. Поэтому данная система имеет два решения: (12; -5) и (-5; 12). Мы решили данную систему графически. Теперь решим ее способом подстановки. Для этого выразим из второго уравнения переменную p через переменную q: P = 7 - q. Это выражение переменной p через переменную q подставим в первое уравнение: (7 - q)2 + q2 = 169. В результате получили новую систему ^(7 - q)2 + q2 = 169, ^P = 7 - q. Первое уравнение новой системы истинно, если q = -5 или q = 12. Поэтому система (2), а значит, и система (1) равносильна утверждению: I q = -5, или (2) Тогда q = -5, P = 7 - q q = 12, P = 7 - q. q = -5, p = 12 или q = 12, p = -5. Ответ. (12; -5); (-5; 12). Способом подстановки можно решить любую систему двух уравнений с двумя переменными, в которой одно уравнение имеет вторую степень, а другое — первую. Пример 2. Решим систему уравнений 1^ 2, [2а - b = 1. Выразив из второго уравнения b через а и выполнив соответствующую подстановку в первое уравнение, получим равносильную систему ГЬ = 2а - 1, 2 а 2 а -1 = 2, 197 Правообладатель Народная асвета или b = 2 a - 1, 4 a - 9 a + 2 a(2a -1) = 0. Числитель дроби 4 a - 9 a + 2 обращается в нуль при a1 = — a(2a -1) ^ ^ ^ ■' 1 4 и при a2 = 2. Вместе с этим знаменатель этой дроби при найденных значениях переменной a не равен нулю. Поэтому чис- ла 1 и 2 — решения уравнения 4 a2 - 9 a + 2 = 0. Этим значени- a(2a -1) ям переменной a соответствуют такие значения переменной b: b1 = -1 и b2 = 3. Ответ. (-1; -^2(2; 3). Б) Пример 3. Решим систему уравнений ' 3 - = -1 4и 6v ’ ^ ^ = 3. 2и 3v Если эту систему тождественно преобразовать так: 3, , 1 - 5 4 и 6 1 , , 1 + 2 2 и 3 то можно заметить, что новая система является линейной относительно — и 1. Обозначим эти выражения r и s: и v 1 = r; 1 = s и v и будем считать r и s новыми переменными. Тогда получим систему 3. r - 5. s = -1, 4 6 ’ 1 . r + 2 • s = 3, 23 которая равносильна системе [9 • r - 10 • s = -12, 3 • r + 4 • s = 18. Решив ее, найдем, что (r; s) = (2; 3). 198 Правообладатель Народная асвета Теперь вернемся к основным переменным и и v: 1 = 2; 1 = 3. и v Значит, и = 1 и v = 1. 2 3 Поскольку при этих значениях переменных и и v знаменатели дробей исходной системы не обращаются в нуль, то па- ра (i2; 3 Ответ. - ее решение. 1.1' 2; 3 Способ, использованный при решении системы в примере 3, называют способом введения вспомогательной переменной. (у 1. Как способом подстановки решается система уравнений с двумя пе-• ременными, в которой одно уравнение имеет первую степень, а другое — вторую? 2. В чем при решении систем уравнений заключается способ введения вспомогательной переменной? 653. Используя рисунок 305, решите систему уравнений: а) б) в) г) 654. Используя рисунок 306, составьте систему, компонентами которой являются окружность и прямая: а) AB; в) CD; д) AC; б) BC; г) DA; е) BD. 655. Решите графически систему уравнений: а) б) в) [х2 + у2 = 25, [х + у = 1; fx2 + у2 = 25, [х + у = -1; [х2 + у2 = 25, г) д) е) [х2 + у2 = 25, [Тх - у = 25; ^х2 + у2 = 25, ]^х - 7у = -25; [х^ + у2 = 25, ]^х + 7 у = 25. Рис. 305 ]7 х + у = 25; Правообладатель Народная асвета 199 Рис. 306 656. Используя рисунок 307, решите систему уравнений: kl = -8, г kl = -8, а) 1 в) 1 [4l + k = 4; [l + k = -7; \kl = -8, г kl = -8, б) г) 1 [l - 2k = 10; [l + 8 k = 0. 657. Решите систему уравнений: а) k2 - 2l2 = 7, в) \q^ - 5qv = 10, [k = l + 2; ]^q - 5v = 1; b2 - 2bc = 7, \5ad - d2 = 9, б) b = 3c + 2; г) ^2a - d = 3. 658. Решите систему уравнений: fi2 - 4 i2 4 j = 1,5, I m2 - mn + n2 = 7, а) 2ij ’ ’ в) 1 10 j + i = 9; [m - n = 1; б) k2 + kl + l2 = 13, г) I'p2 + 2q2 - 3p - 2q - 10 = 0, k + l = 4; 1^2p - q - 1 = 0. 200 Правообладатель Народная асвета Рис. 307 659. Решите систему уравнений: x - У_ = 5 Га + с = 5, а) • у x 6, в) 1 2 2 x + у = 5; 1а2 - ас + с = ^ k +1 = = 21, 1т -и = 2mn, б) < 1 k +12 6 = 13; г) "[m2 + n2 = 20. 660. Решите систему уравнений: [а + x = 10, [с + z = 6, а) [1 +1 = 5 . в) i 1 + 1 1 а x 12; 1 с z [b- - у- 6, Id - 2t б) [1 - 1 = 3 . г) i 1 - 1 1 у b 20; 1 d t 661. Решите систему уравнений: [ - + - = 25 [ a. + с = 31, a) i s r 12 , в) 1с а 3 [r2 + s2 = 25; [a2 - с2 = 72; Г m n 16 Г 2k . + -L = 17 б) in m 15, г) \~1 2k 4 [m2 - n" * = 16; Ik2 +12 = 20. 201 Правообладатель Народная асвета 662. Введя вспомогательные переменные, решите систему уравнений: а) < б) ' 20 - 3 = -20, ж у ^ + 4 = 43; X у 4 + 5 = 32, a b - - -b = 9; _ a b в) ' г) 2 + 4 = — t z 12, 10 -6 = i5. t z 6. 2 -3e d 1 + 5 = 5 3e d 6' - 3, 663. Решите двойное неравенство: а) 32 < 3x - 11 < 76; в) -7 < 8z + 17 < 81; б) -37 < 4у + 11 < 77; г) 0 < 10z + 23 < 183. 664. Решите неравенство: 3, а) a - 2 < a б) у - 4 > 4; в) n - — > 4; г) m - 3 < 3 3 у 3 m -1 665. Решите неравенство: а) 14a(2a + 3) ^ (9a - 30)(2a + 3) _ a +1 a-4 б) (5с + 4)(3с - 2) ^ (3с - 2)(с + 2); ) с + 3 '' 1 - с ; (е + 5)(3е2 - 3е + 1) ^ (е + 5)(е2 + 2е- 1) _ в) ------------------ X -------------------; е2 - 6е + 9 е2 - 6е + 9 г) (g2 - 6g + 9)(3g2 - 2g -1) ^ (g2 - 6g + 9)(2 + 2g - 4g2) 5 - g - g 666. На координатной плоскости начертите линию, задаваемую уравнением: а) 4х - 6у = 9; б) (х + 2)2 + (у - 2)2 = 4. 667. Окружность X2 + у2 = 169 пересекает прямую у = х - 7 в точках A и B, расположенных соответственно в третьей и первой координатных четвертях (рис. 308). Найдите: а) угол, образованный лучом OB с осью абсцисс; б) угол, образованный лучом OA с осью ординат; 202 Правообладатель Народная асвета Рис. 308 в) угол между лучами OA и OB; г) площадь треугольника AOB; д) длину дуги ACB, где C — точка окружности, расположенная в четвертой четверти; е) площадь сектора OACB; ж) площадь сегмента ABC. 668. Над заказом некоторое время работал мастер с производительностью 16 деталей в час, а затем выполнение заказа заканчивал ученик, работавший с производительностью 7 деталей в час. Найдите время работы над заказом мастера и ученика в отдельности, учитывая, что средняя производительность оказалась равной 11 деталям в час и мастер обработал на 29 деталей больше. 669. Один цех от оказания услуг населению получает 27 % своей прибыли, а другой — 37 %о. Известно, что оказание услуг населению приносит 31 % их суммарной прибыли. Определите, какой цех получает больший доход и во сколько раз. 670. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10 % от первоначально назначенной цены и получил при этом 8 % прибыли. Определите, какой процент прибыли планировал получить магазин вначале. 671. Из Городка в Езерище (рис. 309) выехал велосипедист, который до Дро-жаков ехал 1 ч 45 мин, а от Дрожаков до Езерища 48 мин. Найдите время, за которое велосипедист проехал бы весь путь с той и с другой скоростью, учитывая, что при езде со скоростью, которая была на первом участке, велосипедист затратил бы на 10 мин меньше. 203 Правообладатель Народная асвета 672. Мумбаи, Дели, Колката, Бангалор, Мадрас — крупнейшие города Индии. Численность населения Бангалора относится к уменьшенной на 163 тыс. человек численности населения Дели как 4 : 9. Численность населения Колкаты, а также уменьшенная на 5 тыс. человек численность населения Мумбаи и увеличенная на 371 тыс. человек численность населения Мадраса — как 5 : 13 : 5. Найдите численность населения этих городов Индии, учитывая, что численность населения Колкаты на 294 тыс. человек больше численности населения Бангалора и относится к увеличенной на 4 тыс. человек численности населения Бангалора как 467 : 438. * * * 673. Докажите, что высота треугольника, проведенная к его большей стороне, не больше суммы длин перпендикуляров, проведенных из некоторой точки этой наибольшей сто- ^ роны к двум другим сторонам треугольника. 674. В прямоугольном треугольнике катет AB больше катета BC. На них выбраны точки Ми N так, что AM = BC и CN = BM (рис. 310). Докажите, что угол между прямыми AN и CM равен 45°. 675. Найдите все многочлены f(x), для которых верно тождество xf(x - 1) = (x - 5)f(x). 17. Решение задач с помощью систем уравнений А) Системы уравнений можно использовать при решении текстовых задач. Схема решения задачи с помощью системы уравнений похожа на схему решения задачи с помощью уравнения и включает следующие этапы: некоторые неизвестные величины обозначить буквами-переменными, а другие величины, о которых говорится в условии задачи, выразить через эти переменные; зависимости между величинами, описанные условием задачи, выразить уравнениями, которые вместе составляют систему уравнений; 204 Правообладатель Народная асвета решить полученную систему; сопоставить полученные решения системы с условием и сформулировать ответ на вопрос задачи. Задача 1. Тысячерублевую купюру разменяли 29 купюрами достоинством 20 р. и 50 р. Сколько было тех и других купюр? Пусть двадцатирублевых купюр было т, а пятидесятирублевых — п. Тогда двадцатирублевыми купюрами выражена сумма 20т р., а пятидесятирублевыми — сумма 50п р. Общее количество купюр т + п по условию равно 29, поэтому должно быть истинным равенство т + п = 29. Выраженная этими купюрами сумма 20т р. + 50п р. представляет достоинство тысячерублевой купюры, поэтому 20т + 50п = 1000. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти такие значения переменных т и п, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению. Иными словами, нужно найти решение системы уравнений \т + п = 29, |20т + 50п = 1000. Сделаем это: Гт = 29 - п, 1 20(29 - п) + 50п = 1000; т = 29 - п, 58 - 2п + 5п = 100; т = 29 - п, 3п = 42; п = 14, т = 15. Ответ. Двадцатирублевых купюр было 15, пятидесятирублевых — 14. Задача 2. Тысячерублевую купюру нужно разменять купюрами достоинством 20 р. и 50 р. Определите, возможен ли такой размен, чтобы общее количество тех и других купюр было равно: а) 14; б) 30. 205 Правообладатель Народная асвета а) Решая эту задачу, как и задачу 1, получим систему \ш + n = 14, [20m + 50n = 1000, которая имеет единственное решение (ш; n), равное (-10; 24). Но это решение системы не удовлетворяет условию задачи, так как количество купюр не может быть отрицательным. Ответ. Разменять тысячерублевую купюру указанным способом нельзя. б) Решая эту задачу, как и задачу 1, получим систему ш + n = 30, 20ш + 50n = 1000, которая имеет единственное решение (ш; n), равное (16-2; 131). V 3 3 / Но это решение системы не удовлетворяет условию задачи, так как количество купюр не может быть дробным. Ответ. Разменять тысячерублевую купюру указанным способом нельзя. Б) Задача 3. Велосипедист двигался со скоростью, на 10 км/ч большей, чем пешеход, и поэтому на путь из Белыничей до Дручанов (рис. 311) затратил на 4 ч меньше. Найдите скорости пешехода и велосипедиста. По схеме, приведенной на рисунке 311, определяем, что путь от Белыничей до Дручанов равен 30 км. Пусть ип км/ч и км/ ч — скорости пешехода и велосипедиста соответственно. Тогда на этот путь пешеход затратил ч, 30 "и а велосипедист — — ч. "в В соответствии с условиями задачи скорости связаны равенством - "п = 10, а время — равенством = 4. Это позволяет записать систему "п "в ["в - "п = 10, I 30 - 3^ = 4 206 Правообладатель Народная асвета Решим ее: = 10 + v„ 30 vn 30 = 4; [v3 = 10 + vn . [4vn + 40vn - 300 = 0; fvBl = -5 или vB2 = 15, lvn1 = -15 или vn2 = 5- 10 + v |v3 = 10 + Vп, lvn1 = -15 или vn2 = 5; Из двух полученных решений (vn; vB) = (-15; -5) и (vn; vB) = (5; 15) условию задачи удовлетворяет только второе, так как по смыслу задачи скорости должны быть положительными. Ответ. 5 км/ч; 15 км/ч. 1. Из каких этапов состоит решение текстовой задачи с помощью • системы уравнений? 2. Как вы объясните, почему не всегда полученные решения системы являются решением задачи? 676. На четыре мужских и два детских пальто расходуется 14 м ткани, а на два мужских и шесть детских пальто — 15 м. Определите расходы ткани на мужское и на детское пальто в отдельности. 677. С первого и второго полей площадью 47 га и 39 га соответственно вместе собрали 2220 ц ржи. Найдите урожайность ржи на каждом из полей, учитывая, что на первом поле она была на 4 ц/га меньше. 678. Над заказом по изготовлению 433 деталей работало двое рабочих: первый — 15 дней, второй — 14 дней. Найдите, сколько деталей изготовил каждый рабочий, учитывая, что недельная (за пять рабочих дней) выработка первого из них на 20 деталей меньше второго. 679. Основание равнобедренного треугольника на 3 м короче боковой стороны. Найдите стороны треугольника, учитывая, что его периметр равен 27 м. 680. Теплоход прошел 84 км по течению реки и вернулся назад, затратив на весь путь 7 ч 42 мин. В другой день на путь длиной 72 км по течению и 60 км против течения он затратил 6 ч. Определите скорость теплохода по озеру. 681. Если одно число разделить на другое, то получится частное 6 и остаток 1. Найдите эти числа, если их разность равна 56. 682. Когда числитель дроби увеличили на 3, а знамена- 2 тель на 2, то получили —, а если бы числитель и знаменатель 31 дроби уменьшили на 1, то получили бы —. Какая это дробь? 207 Правообладатель Народная асвета 683. Если числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 9, то получится 1, а если к числителю прибавить знаменатель дроби, а знаменатель уменьшить на 3, то получится 2. Какая это дробь? 684. Книг на одной полке на 72 меньше, чем на другой, а отношение количеств этих книг равно 5. Сколько книг на каждой полке? 685. С первого и второго полей, площадь которых вместе составляет 95 га, а урожайность вместе — 76 ц/га, собрали по 1800 ц ячменя. Найдите площадь каждого поля, учитывая, что они выражаются целым количеством гектаров. 686. а) С первого поля собрали 1680 ц пшеницы, а со второго, площадь которого на 10 га меньше, — 1470 ц. Найдите урожайности полей, учитывая, что в сумме они составляют 91 ц/га. б) С первого поля собрали 1260 ц ржи, а со второго, урожайность которого на 7 ц/га больше, — 1470 ц. Найдите площадь каждого поля, учитывая, что они вместе занимают 71 га. 687. За 5 ч лодка проплыла 14 км по течению и 15 км против течения. Найдите скорость лодки по озеру и скорость течения реки, учитывая, что на то, чтобы проплыть по течению 10,5 км и вернуться назад, лодке нужно затратить 3 ч 36 мин. 688. Найдите такое двузначное число, сумма цифр которого равна 10, а если переставить цифры этого числа, то получится число, на 36 большее. 689. За 7 ручек уплатили на 1410 р. меньше, чем за 15 тетрадей. Определите цену одной ручки и одной тетради, учитывая, что 5 ручек стоят столько же, сколько 4 тетради. 690. В 2 кг ячменя и 3 кг овса содержится 143,75 тыс. штук семян, а в 3 кг ячменя и 2 кг овса содержится 137,5 тыс. штук. Определите, сколько штук семян в 100 г той и другой злаковой культуры. 691. Смешали два вида конфет по цене 7500 р. и 3700 р. за килограмм и получили 10 кг смеси по цене 4840 р. за килограмм. Определите, сколько конфет каждого вида было взято. 692. Если бы средняя скорость автобуса была больше расчетной на 6 км/ч, то он прибыл бы в пункт назначения на 36 мин раньше срока, а если бы скорость была на 6 км/ч меньше расчетной, то прибытие состоялось бы на 45 мин позже. Найдите скорость автобуса и время движения. 208 Правообладатель Народная асвета 693. Некоторый заказ двое рабочих могут выполнить за 24 ч. После 16 ч совместной работы второй рабочий трудился над заказом еще 14 ч. За какое время каждый рабочий в отдельности мог бы выполнить заказ? 694. Если меньшее измерение прямоугольника увеличить на 13 м, а большее на 13 м уменьшить, то площадь нового прямоугольника будет равна площади данного, а если меньшее измерение прямоугольника уменьшить на 8 м, а большее на 12 м увеличить, то площадь полученного прямоугольника будет меньше площади данного на 96 м2. Найдите измерения данного прямоугольника. а) б) 695. Решите неравенство z - 1 z + 4 z + 2 и2 - 3и + 1 u2 -1 < 0; > 1; > 0; y 696. Решите неравенство: а) (х + 3)3(х - 7)2(x - 1) > 0; б) (у + 4)(y - 5)4(y - 10)2 < 0; в) (z + 4)2(z - 1)3(z - 9)4 < 0; t2 - 6t + 18 t - 4 ____у_____>____________. у2 + 3 у + 2 у2 + 7 у + 12 г) (и + 4)3и4(и - 9)5 > 0; д) (и + 3)2(и + 1)4(и - 4)6 < 0; е) (w + 8)3(w + 5)5(w + 1)7 > 0. 697. Треугольник задан координатами своих вершин: M(-2; 3); N(3; -2); P(6; 4). Составьте уравнение прямой, содержащей его сторону: а) MN; б) NP; в) MP. 698. В равнобедренный треугольник с периметром 20 см вписана окружность. Отрезок, концы которого принадлежат боковым сторонам треугольника, параллелен основанию, касается окружности и имеет длину 2,4 см. Найдите длину основания треугольника. 699. Автомобиль выезжает из А, доезжает до В и сразу поворачивает обратно. Через 1 ч после выхода из А автомобиль был в 80 км от В, а еще через 3 ч — в 80 км от А. Найдите расстояние между А и В, учитывая, что на весь путь из А в В и обратно до А автомобиль затратил менее 9 ч. 700. Из городов А и В одновременно навстречу выехали две машины и встретились через 8 ч. Встреча произошла бы через 7 ч, если бы одна машина увеличила свою скорость на 14 %, 209 Правообладатель Народная асвета а другая — на 15 %. Во сколько раз скорость одной машины больше скорости другой? 701. В 9 ч из города А со скоростью 42 км/ч выехал мотоциклист. В 9 ч 40 мин в том же направлении со скоростью 71 км/ч выехал автомобиль. Когда расстояние между этим автомобилем и мотоциклистом станет равным 30 км? 702. Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск, Нижний Новгород, Екатеринбург — крупнейшие города России. Численность населения Санкт-Петербурга такова, что она относится к численности населения Екатеринбурга как 11 : 3, к численности населения Новосибирска — как 420 : 127, к численности населения Москвы — как 385 : 698. Найдите численность населения этих городов России, учитывая, что численность населения Москвы в 6 раз больше увеличенной на 50 тыс. человек численности населения Нижнего Новгорода, а численность населения Санкт-Петербурга на 582 тыс. человек больше утроенной численности населения Нижнего Новгорода. 703. Есть два прямоугольных параллелепипеда, у одного площадь основания равна 20 см2, у другого высота 8 см, а объем на 140 см3 больше объема первого. Найдите площадь основания второго параллелепипеда, учитывая, что третий параллелепипед с объемом, равным суммарному объему первого и второго параллелепипедов, и высотой, равной сумме высот первого и второго параллелепипедов, имеет площадь основания, равную 28 см2. * * * 704. Докажите, что если число p — простое и больше 3, то число р2 - 1 кратно 24. 705. Существует ли замкнутая ломаная линия, которая пересекает каждое свое звено точно 1 раз, если звеньев: а) 6; б) 7; в) 8? 706. Внутри выпуклого многоугольника с четным количеством сторон взята точка, и через нее и каждую вершину многоугольника проведены прямые. Докажите, что найдется сторона, которую не пересекает во внутренней точке ни одна из проведенных прямых. Правообладатель Народная асвета Раздел VI Последовательности 18. Числовая последовательность А) Пример 1. Древняя легенда гласит, что индийскому принцу Сираму (VI в.) очень понравилась игра в шахматы и он захотел щедро вознаградить изобретателя игры: «Проси что хочешь. Я достаточно богат, чтобы выполнить твое самое смелое желание». Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски зернышко риса, на вторую — два зернышка, на третью — 4 зернышка и так далее до 64-й клетки, увеличивая количество зерен на каждой следующей клетке в два раза. Принц рассмеялся такому, как он посчитал, мизерному вознаграждению и приказал незамедлительно выдать рис. Но вознаграждение не было выдано, так как это больше, чем было собрано во всех урожаях за историю человечества. Выпишем числа, соответствующие нескольким первым клеткам доски, оформив это таблицей. Номер клетки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Коли- чество зерен 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 Здесь каждому натуральному числу от 1 до 64 ставится в соответствие определенное натуральное число. Это означает, что задана функция, область определения которой составляют первые 64 натуральных числа. Если обозначить эту функцию f, то можно записать: f (1) = 1, f (2) = 2, f (10) = 512, f (15) = 16 384, f (30) = 536 870 912. Пример 2. Упорядочим по убыванию доли, т. е. дроби с числителем 1. Получим: 111111 211 Правообладатель Народная асвета ^ ^ ^ V 6' 7’ Здесь явно выписаны только первые шесть долей. Понятно, что на седьмом месте находится доля на сороко- 8 вом — доля -1, на сотом — доля :j^. Вообще каждому натуральному числу соответствует определенная доля. Иными словами, здесь задана функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Если обозначить эту функцию а, то можно записать: a(1) = ^, а(2) = -3, а(10) = ^h, а(15) = —, а(30) = —, a(n) = ——. Функция, областью определения которой является множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью. Таким образом, последовательность — это функция, часто числовая, натурального аргумента. Если последовательность определена на множестве всех натуральных чисел, то она называется бесконечной последовательностью, а если на множестве первых n натуральных чисел, то конечной последовательностью . Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности. Обычно члены последовательности обозначают малыми латинскими буквами с индексами, т. е. вместо а(1) пишут а1, вместо а(2) — а2, вместо а(3) — а3 и т. д. Понятно, что можно использовать другие буквы — b, c, d и т. д. Запись ап читают а энное. Саму последовательность с членами ап обозначают (ап) (рис. 312). Последовательность, являющаяся возрастающей функцией, называется возрастающей последовательностью. Каждый член возрастающей последовательности, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность (а„) Обозначение члена «1 ^2 ®з ••• О-п - Значение члена 1 1 1 1 2 3 4 *** 71+1 Название члена первый второй третий ... п-й ... Рис. 312 212 Правообладатель Народная асвета Последовательность, являющаяся убывающей функцией, называется убывающей последовательностью. Каждый член убывающей последовательности, начиная со второго, меньше предыдущего. Последовательность из примера 1 — возрастающая, из примера 2 — убывающая. Пример 3. Последовательность -2, 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256, ^, знаки членов которой чередуются, а модуль каждого следующего члена в два раза больше модуля предыдущего члена, не является возрастающей и не является убывающей. Б) Как и любая функция, последовательность может задаваться разными способами. Последовательность в примере 1 задана описанием, а потом и таблицей. Последовательность может быть задана формулой ее n-го члена. Например, последовательность в примере 2 мы сначала задали описанием, а затем по этому описанию получи-1 ли формулу an = n +1 ее n-го члена. По описанию последо- вательности в примере 3 можно получить такую формулу: bn = (-2)n. Последовательность как функция может быть представлена графиком. Например, на рисунке 313 изображен график последовательности, заданной фор- мулой cn = 6(n -1) ее n-го члена о . 5 1 > i ! 1 О г Рис. 313 для значений переменной n из промежутка [1; 12]. Иной раз последовательность задают формулой, которая дает возможность найти n-й ее член через предыдущие члены. Пример 4. Последовательность (dn) зададим условиями: d1 = 1, d2 = 1, dn = dn - 1 + dn - 2 при n > 2, явно указав первый и второй члены и правило-формулу для получения каждого следующего члена через два предыдущих. 213 Правообладатель Народная асвета Такую формулу называют рекуррентной формулой, а равенства, которыми задаются первые члены последовательности, — начальными условиями. Члены последовательности {6,^} называют числами Фибоначчи в честь Леонардо Пизанского {Фибоначчи; 1180—1240), в рукописи которого она впервые появилась. Числа Фибоначчи имеют много применений в математике и в программировании. Пример 5. Рассмотрим последовательность {en), заданную начальным условием е1 = 1 и рекуррентной формулой - 1 П. Найдем несколько первых членов этой последовательности: е1 = 1; е2 = е1 е3 = е2 е4 = е3 е5 = е4 2 = 1 • 2 = 2; 3 = 1 • 2 • 3 = 6; 4 = 1 • 2 • 3 • 4 = 24; 5 = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. Можно заметить, что в этой последовательности n-й член равен произведению 1 • 2 • 3 • ^ • n всех натуральных чисел от 1 до n. Произведение 1 • 2 • 3 • ^ • n обозначают n!, называют факториалом числа n и читают эн факториал. Используя введенное обозначение, можно рассматриваемую последовательность задать следующей формулой ее n-го члена: en = n!. 1. Какая функция называется последовательностью? Как называют • числа, образующие последовательность? 2. Как обозначают члены последовательности; саму последовательность? 3. Какая последовательность называется бесконечной последовательностью; конечной последовательностью? 4. Какая последовательность называется возрастающей; убывающей? 5. Назовите способы задания последовательности. 6. Какой способ задания последовательности называют рекуррентным? 7. Какое выражение называют факториалом натурального числа n? Как его обозначают? 707. Таблицей, в которой приведено расписание занятий в 9-м классе на один учебный день, задана конечная последовательность. 214 Правообладатель Народная асвета Номер урока Учебный предмет 1 Всемирная история 2 Биология 3 Математика 4 Белорусская литература 5 Информатика 6 Физкультура Назовите: а) количество членов этой последовательности; б) номер члена последовательности со значением Информатика; в) номер члена последовательности со значением Белорусская литература; г) значение члена последовательности с номером 2; д) значение члена последовательности с номером 6. 708. Запишите область определения и область значений функции, являющейся конечной последовательностью: а) l, 3, 5, 7, 9; б) 40, 10, 30, 40, 10, 30; в) 1, -1, 1, -1, 1, -1. Задайте эту функцию перечислением пар. 709. Установите, какой — возрастающей, убывающей, не возрастающей и не убывающей — является последовательность: а) (а„): 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002; б) (ь„): 0,2; 0,22; 0,222; 0,2222; 0,22222; 111111. в) (cn): 1. ^ б' 7’ г) (d ): 1 2 3 4 5 6 7 3 А- )(n): 2’ 3’ 4’ 5’ б’ 7’ 8’ 9’ 10’ д) (Xn): -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, 10; е) (уп): 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7. 710. Есть последовательность (xn), членами которой являются последовательные десятичные знаки представления обыкновенной дроби 4 бесконечной десятичной дробью. Найдите х^, x2, x3, x10, x13, x14, x15, x22. Установите: а) есть ли среди членов этой последовательности одинаковые; б) является ли эта последовательность возрастающей или убывающей. 215 Правообладатель Народная асвета 711. Есть последовательность членами которой являются последовательные десятичные приближения обыкновенной дроби 4 с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д. Найдите t^, t^, tg, tio, t^g, t^^, t^^, t22- Установите: а) есть ли среди членов этой последовательности одинаковые; б) является ли эта последовательность возрастающей или убывающей. 712. Установите, какой — возрастающей, убывающей, не возрастающей и не убывающей — является последовательность, график которой представлен на рисунке: а) 314; б) 315; в) 316; г) 317. о ■ ! i 1 . 1 ) ^ ) п о ! : t . 1 1 i ' ' i ! n -1 ' ■а' -0 ' ■и' ■Y ' -8 ' -9' — L0' 216 Рис. 314 Рис. 315 о ! : 1 1 i i n о ! : t ' i ) n Рис. 316 Рис. 317 Правообладатель Народная асвета 713. Запишите последовательность (п^), членами которой являются: а) записанные по возрастанию все двузначные числа, образованные с помощью цифр 0, 3, 9; б) записанные по убыванию все двузначные числа, образованные с помощью цифр 1, 3, 7. 714. Запишите пять первых членов последовательности, заданной формулой: 12 . а) хп = 3п + 2; б) Уп = |2 - 3пI; в) *п = п+1 - г) Пп = 2п - 1; д) Шп = (-1)" • 7; е) сп = . 715. Последовательность (пп) задана формулой пп = 3п - 4. Найдите член последовательности с номером, равным: а) 7; б) 11; в) k; г) k + 1. 716. Последовательность (tn) задана формулой Ьп = 4п + 1. Найдите номер члена последовательности, значение которого равно: а) 93; б) 397; в) 1113; г) 33 333. 717. Установите, являются ли членами последовательности (wn), заданной формулой шп = п2 + 2п + 1, числа: а) 289; б) 1000; в) 841; г) 1025. 718. Установите, начиная с какого номера члены последовательности (уп), заданной формулой уп = п2, больше: а) 10; б) 100; в) 1000; г) 10 000. 719. Установите, начиная с какого номера члены последовательности (ап), заданной формулой: а) ап = п2 - п - 6, положительны; б) bn = -п2 + 8п, отрицательны. 720. Выпишите пять первых членов последовательности, учитывая, что: а) первый ее член равен 3, а каждый член, начиная со второго, получается увеличением предыдущего члена на 11; б) первый член равен 8, а каждый член, начиная со второго, получается увеличением предыдущего в три раза; в) первый член последовательности равен 16, а каждый член, начиная со второго, получается уменьшением предыдущего в два раза; 217 Правообладатель Народная асвета г) первый член равен 1, а каждый член, начиная со второго, получается делением предыдущего члена на номер искомого члена. 721. Найдите первые пять членов последовательности (Сп), учитывая, что: а) Ci = -1, С2 = 1 и Сп = Сп -1 + Сп - 2 при n > 2; б) С1 = 10, С2 = 4 и Сп + 2 = Сп - Сп + 1. 722. Выпишите первые шесть членов последовательности (zn) и задайте ее формулой п-го члена, учитывая, что: а) 21 = 10, Zn +1 = Zn + 10; в) Z1 = 2, Zn +1 = Zn + 2; б) z1 = 10, zn + 1 = zn • 10; г) Z1 = 2, zn + 1 = zn • 2. 723. Подберите какую-либо формулу п-го члена последовательности, первые четыре члена которой следующие: а) 1, 4, 9, 16; в) 2, 5, 10, 17; г) 1, 8, 27, 64. б) 4 5 6 7. ) 3’ 4’ 5’ 6; 724. Вычислите первые пять членов последовательности, учитывая, что: а) а1 = 2, а2 = 5, ап + 2 = 2ап + 1 + ап; б) b1 = 2, b2 = 5, Ьп + 2 ' = 3Ьп + 1 + 2Ьп; в) С1 = 1, С2 = 3, Сп + 2 ■ “ 4сп + 1 + 3сп; г) d1 = 1, d2 = 3, dп + 2 = 2dп + 1 + 5dп 725. Вычислите первые пять членов последовательности, учитывая, что: а) Х1 = 3, х2 = 4, х3 = 6, хп + 3 = 3хп + 2 + хп + 1 + 2хп; б) Z1 = 2, z2 = 3, z3 = 7, zп + 3 = 3zn + 2 + zп + 1 + 2zn. 726. Докажите, что последовательность с общим членом: а) an = 2n 2n +1 является возрастающей; б) bn = ^n + 3 является убывающей. 6n - 5 727. Найдите условия, которым должны удовлетворять положительные числа a, b, с и d, чтобы последовательность _ an + b - с общим членом an = ---7 была: а) убывающей; 218 cn + d б) возрастающей. Правообладатель Народная асвета 728. Найдите шесть первых членов и составьте формулу общего члена последовательности, заданной таким описанием: а) последовательность чисел, кратных 7; б) последовательность четных чисел, кратных 7; в) последовательность нечетных чисел, кратных 7; г) последовательность нечетных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 4. 729. Найдите шесть первых членов последовательности десятичных приближений с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. числа: а) п; в) VI2; д) cos 45°; ж) ctg 120°. б) л/3; г) sin 60°; е) tg 60°; cn = 730. Есть 2n +1 3n последовательность, Определите: заданная формулой а) на сколько сотый член этой последовательности отличается от числа 3 ’ б) при каких значениях переменной n истинно неравенство cn - -З < 10-3; в) при каких значениях переменной n истинно неравенство cn - 2 < 10-10. n3 731. Найдите все трехзначные числа, сумма цифр которых равна 3. Запишите последовательность, которая составлена из этих чисел, расположенных по возрастанию. 732. Есть последовательность (yn), каждый член которой равен разности его утроенного номера и единицы. Найдите: а) У5; в) У10; д) Ук; б) Ув; г) У501; е) Узк - 1. 733. Последовательность задана формулой an = 5n - n2. Найдите номер члена этой последовательности, значение которого равно: а) -36; в) 6; д) 0; б) 4; г) -500; е) -9500. 734. Запишите пять первых членов и формулу n-го члена последовательности: а) натуральных чисел, кратных 3 и 5; б) натуральных чисел, кратных 6 и 9. 219 Правообладатель Народная асвета 735. Запишите формулу n-го члена последовательности: а) трехзначных чисел, кратных 37; б) трехзначных чисел, записанных с использованием одной цифры и кратных 37. 736. Запишите какую-либо формулу n-го члена последовательности: а) 5, 10, 15, 20, 25, ^; б) 25, 20, 15, 10, 5, ^ . 737. Есть две последовательности (an) и (bn), заданные формулами an = 4n - 1 и bn = 4n + 1. Запишите n-й член такой последовательности (cn), чтобы cn = an + bn. 738. Количество dn диагоналей выпуклого многоугольника определяется формулой dn = п(п^ 3), где n — количество сторон и n > 4. Установите, существует ли многоугольник, количество диагоналей которого равно: а) 9; в) 35; д) 200; б) 14; г) 152; е) 275. 739. Установите, у каких многоугольников количество диагоналей не больше: а) 20; в) 42; д) 200; б) 36; г) 152; е) 376. 740. Есть последовательность (an), заданная формулой n-го члена. Найдите, при каких значениях переменной n истинно неравенство: 2 1 а) an > -3-, если an = 1 - б) an > 5, если an = 8 п -17 п п 741. Есть последовательность (bn), заданная формулой bn = n + —. Установите, при каких значениях переменной n истинно неравенство: а) bn > 2; б) bn > 5; в) bn < 6; г) 3 < bn < 20. 742. Установите, какой — возрастающей, убывающей, не возрастающей и не убывающей — является последовательность, заданная формулой n-го члена: а) an = 10 - n; г) dn = б) bn = п + 3 2 д) en = 1 + в) Cn = |3 - п I; е) un = п + п 1 + п ж) tn = (n - 6)2; з) xn = 1 - п; и) zn = n - Т. 220 Правообладатель Народная асвета 743. Найдите, если возможно, наибольший и наименьший члены последовательности, заданной формулой n-го члена: а) Уп = -n2 + 6n + 3; в) Zn = — б) an = n2 - 8n + 1; г) bn = п - 3,5 5п -12 744. Есть последовательность xn = 5п -1 Найдите: а) семь ее первых членов; б) какая это последовательность — возрастающая или убывающая. 745. Есть последовательность xn= 5п -1 Составьте раз- ность 5 - xn и найдите множество значений переменной n, при которых: а) 5 - xn < 1; б) 5 - xn < 0,1; в) 5 - xn < 0,001. 746. Есть последовательность xn = —. Найдите множество значений переменной n, при которых значение xn: а) принадлежит промежутку [0; 1]; б) принадлежит промежутку [0,01; 1,01]; в) принадлежит промежутку [0,001; 0,01]; г) принадлежит промежутку [-0,1; 0,1]; д) не принадлежит промежутку ^0; -;1 j; е) не принадлежит промежутку ^^; 1j. 747. Установите, существует ли числовой промежуток, которому принадлежат все члены последовательности: „Ч Q 5 7 2п +1 ) " 2’ 3’ п ’ ^; б) 1, 1, 2, 1, 3, 1, ^, 2n - 1, ^ . 748. Запишите шесть первых членов и формулу n-го члена последовательности, заданной рекуррентной формулой: а) С1 = -4, Cn + 1 = Cn - 4; б) d1 = 4, dn + 1 = dn; в) x1 2, xn + 1 2 xn + 1; г) У1 = 1, Уп + 1 = -ПУп. 749. Задайте рекуррентно последовательность: а) ^3, 6, -1, 6, -I, 6, -1, 6; б) 1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, 3, 5. 221 Правообладатель Народная асвета п 750. Вычислите три первых члена последовательности: а) an = n(n + 3); в) an = 5 • 2n; б) an = 4n; г) an = sin -П-. 751. Вычислите десятый и тридцать третий члены после- довательности: n -1 а) an = б) an = n n + 1’ n + 9 2n -1 в) an = |n - 15 - 5; г) an = 10 - In - 201. 752. Вычислите седьмой член числовой последовательности, заданной рекуррентной формулой an + 1 = 1 - 0,5an и условием a1 = 2. 753. Решите систему уравнений: 2у + 3 а) б) |х2 - 2у2 = 14, [2х - 3у = 1; |3a& - 2&2 = 30, l3a - 2b = 10; x = в) ' г) 3у - 2’ _ x - 4 _ У = 11 -2x ; x - у x2 + x = 1, = -2. x - у 754. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а наименьшее общее кратное — 1001. 755. Найдите все трехзначные числа, которые в 25 раз больше суммы своих цифр. 756. Если рабочий будет работать с прежней производительностью, то для выполнения задания по изготовлению 360 деталей к назначенному сроку ему не хватит 4 дней, а если он увеличит производительность труда на 3 детали в день, то задание будет выполнено в срок. Определите производительность труда рабочего. 757. В гостинице есть два вида номеров, количество мест в которых отличается на 1. В номерах с меньшим количеством мест может быть поселено 72 человека, а в других номерах — 42 человека. Найдите количество номеров с большим количеством мест, учитывая, что их на 22 меньше. 222 Правообладатель Народная асвета Хойники Рис. 318 758. Велосипедист из Кати-чева до Брагина ехал со скоростью на 2,5 км/ч большей, чем из Брагина до Хойников (рис. 318). Найдите время, затраченное велосипедистом на первую и вторую части пути, учитывая, что средняя скорость движения на 2 всем пути составила 1^— км/ч. 3 * * * 759. Найдите те целые значения переменной а, при которых выражение (х + a)(x - 7) + 2 записывается произведением двух линейных множителей с целыми коэффициентами. 760. Докажите, что для целых чисел n и k истинно тождество [ n ] + [ ^ ^ ] = n. Здесь [а] обозначает целую часть числа а, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее числа а. 761. Из острого угла A треугольника ABC проведена биссектриса AL, а из вершины B — высота BH. Найдите угол LHC, учитывая, что ZALB = 45°. 19. Арифметическая прогрессия А) Пример 1. Продолжительность календарного года принимается равной 365 суткам. Вместе с этим астрономический год, т. е. промежуток времени, за который Земля делает полный оборот вокруг Солнца, приближенно равен 3651 сут (рис. 319). По этой причине каждые четыре года «набегает» погрешность Рис. 319 223 Правообладатель Народная асвета в одни сутки, для учета которой к каждому четвертому году прибавляются сутки, и увеличенный год называют високосным. Високосными годами в третьем тысячелетии являются, например, годы 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024, 2028. Получили последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, больше предыдущего на 4. Числовая последовательность a1, a2, a3, ^, an, ^, у которой для любого значения переменной n истинно равенство an + 1 = an + d, C1) где d — определенное число, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Последовательность в примере 1 — арифметическая прогрессия с разностью 4. Чтобы задать арифметическую прогрессию, нужно знать ее первый член a1, разность d и количество всех членов. Поскольку an + 1 - an = d, то понятно, что если разность d — положительное число, то арифметическая прогрессия (an) является возрастающей последовательностью, а если d — отрицательное число, то убывающей. Теорема 1. Последовательность (an) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов. Доказательство. Пусть последовательность (an) — арифметическая прогрессия с разностью d. Тогда по определению арифметической прогрессии истинны равенства: an - 1 = an - d и an + 1 = an + d, сложив которые покомпонентно получим: an - 1 + an + 1 = an + an - d + d, an - 1 + an + 1 = 2an. или Отсюда ^n - ^ “n + 1 224 Правообладатель Народная асвета an = 2 1, bn и bn + 1, где n > 2, ис- Пусть последовательность (bn) такова, что для любых ее трех последовательных членов bn тинно равенство bn = Тогда + bn 2 или 2bn = bn - 1 + bn + 1, bn — bn - 1 = bn + 1 — bn, т. е. разность между любым членом последовательности (bn) и предыдущим членом равна одному и тому же числу. А такая последовательность является арифметической прогрессией. Пример 2. От вершины C данного угла на одной его стороне отложены равные друг другу отрезки CA1, A1A2, A2A3, .^, An — 1An, AnAn + 1, ^, на другой стороне этого угла также отложены равные друг другу отрезки CB1, B1B2, B2B3, ^, Bn — 1Bn, BnBn + 1, ^, и соответствующие концы отложенных отрезков соединены отрезками A1B1, A2B2, A3B3, ^, An — 1Bn — 1, AnBn, An + 1Bn + 1, ^ (рис. 320). Докажем, что эти отрезки образуют арифметическую прогрессию. Рассмотрим четырехугольник An — 1Bn — 1Bn + 1An + 1, который из-за параллельности сторон An — 1Bn — 1 и An + 1Bn +1 является трапецией, причем отрезок AnBn — его средняя линия. По свойству средней линии трапеции истинно равенство AnBn = 1 Bn + An 1 Bn В соответствии с теоремой 1 последовательность отрезков A1B1, A2B2, A3B3, ^, An — 1Bn — 1, арифметической прогрессией. Б) Теорема 2. n-й член арифметической прогрессии равен ее первому члену, увеличенному на произведение ее разности и количества предыдущих членов. Доказательство. Пусть (a^) — арифметическая прогрессия с разностью d. Тогда истинны равенства: а2 = а1 + d, a3 = a2 + d, а4 = а3 + d, an = an — 1 + d. AnBn, An + 1Bn является Правообладатель Народная асвета 2 Сложим покомпонентно эти n - 1 равенства: а2 + а3 + а4 + ... + an = a1 + a2 + a3 + ... + an_ 1 + (n - 1)d. Заметим, что в обеих частях равенства есть одна и та же сумма a2 + a3 + ... + an_ 1. Поэтому an = a1 + (n - 1)d. Пример 3. Определим, является ли число 101 членом арифметической прогрессии -42, -31, -20, -9, 2, ^ . Первый член этой прогрессии равен -42. Найдем ее разность: -31 - (-42) = 11. Число 101 является членом прогрессии, если для некоторого натурального значения переменной n истинно равенство 101 = -42 + (n - 1) • 11. Решим полученное уравнение: 101 = -42 + (n - 1) • 11; 101 = -42 + 11n - 11; 11n=154; n = 14. Полученное значение переменной n — действительно натуральное число. Значит, число 101 является членом данной прогрессии, причем этот член имеет номер 14. Следствие. Суммы любых пар членов арифметической прогрессии равны, если равны суммы их номеров. Действительно, пусть есть арифметическая прогрессия (an) с разностью d. Докажем, что если m + p = k + s, то am + ap = ak + as. Имеем: am + ap = a^ + d • (m - 1) + a^ + d • (p - 1) = 2a! + d • (m + p - 2); ak + as = a^ + d • (k - 1) + a^ + d • (s - 1) = 2a! + d • (k + s - 2). Поскольку по условию m + p = k + s, то правые части равенств одинаковы, значит, одинаковы и левые части. В) Теорема 3. Сумма n первых членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на количество всех членов. 226 Правообладатель Народная асвета Доказательство. Обозначим Sn сумму n первых членов арифметической прогрессии. Запишем прогрессию один раз по возрастанию номеров ее членов, другой раз — по убыванию этих номеров: Sn = ai + a2 + аз + ^ + an - 2 + an - 1 + a^, Sn = an + an -1 + an - 2 + ^ + a^ + a2 + ai. Сложим покомпонентно эти равенства: 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an - 1) + (a3 + an - 2) + — + (an - 2 + aa) + + (an - 1 + a2) + (an + a1). Учитывая следствие из теоремы 2, получим, что суммы в каждой из n скобок одинаковы и равны a1 + an. Поэтому 2Sn = (a1 + an)n и Sn = aLian. n. n 2 Пример 4. Построим восьмиугольник, учитывая, что если его углы записать по возрастанию, то каждый следующий будет больше предыдущего на 32°. Найдем сначала сумму S8 углов восьмиугольника: S8 = 180° • (8 - 2) = 1080°. Теперь обратим внимание на то, что записанные по возрастанию углы восьмиугольника образуют конечную арифметическую прогрессию, количество n членов которой равно 8. Пусть самый меньший угол равен х°. Тогда самый больший угол равен х° + (8 - 1) • 32°. Используя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, можем записать уравнение 1080 = 2х +(8 1) •32 . 8. Решим его: 1080 = 2х +(8 1) •32 . 8; 135 = х + 112; х = 23. Значит, меньший угол восьмиугольника равен 23°. Остальные углы найдем, учитывая, что они являются членами арифметической прогрессии с первым членом a1, равным 23°, и разностью d, равной 32°: 227 Правообладатель Народная асвета a2 = 23° + 32° = 55°; a3 = 55° + 32° = 87°; a4 = 87° + 32° = 119°; a5 = 119° + 32° = 151°; a6 = 151° + 32° = 183°; a7 = 183° + 32° = 215°; a8 = 215° + 32° = 247°. Найденные величины определяют бесконечно много восьмиугольников, два из которых приведены на рисунках 321 и 322. 1. Какая числовая последовательность называется арифметической * прогрессией? 2. Какое число называется разностью арифметической прогрессии? 3. Как можно задать арифметическую прогрессию? 4. При каком условии арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью; убывающей последовательностью? 5. Какой зависимостью связаны три последовательных члена арифметической прогрессии? 6. Сформулируйте признаки арифметической прогрессии. 7. Запишите формулу для n-го члена арифметической прогрессии. 8. Сформулируйте свойство членов арифметической прогрессии. 9. Запишите формулу для суммы нескольких первых членов арифметической прогрессии. 762. Установите, является ли арифметической прогрессией конечная последовательность: а) 17, 27, 37, 47, 57; г) 2, 13, 24, 35; б) -19, -9, 9, 19, 29, 39; д) ^5, .|, 1, е) 4, 4, 4, 4. ^ ^ ^ 7 9 в) 2, 22, 222; 763. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии, у которой: а) a^ = 10, d = 5; б) = 34, d = -5. 764. Докажите, что если углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из них равен 60°. 228 Правообладатель Народная асвета 765. Найдите разность и седьмой член арифметической прогрессии, учитывая, что первый и второй ее члены соответственно равны: а) 50, 110; б) -20, -15; в) ^[1. 766. Выразите разность d арифметической прогрессии (хп) через: а) х11 и х12; б) х7 и x9; в) x20 и x2g; г) x14 и x18. 767. В арифметической прогрессии (ип) известны два ее члена: а) и6 = 19 и и8 = 25. Найдите и4, и10, и17; б) и11 = 16 и и1з = 6. Найдите и8, и12, и47. 768. Найдите пятнадцатый, сорок седьмой и п-й члены арифметической прогрессии: в) —, 1, ^; / 12’ ’ ’ г) -1, '^12 а) 5, 9, _; б) -8, -3, ^; 769. Арифметическая прогрессия (уп) состоит из тридцати членов, причем у1 = -3,2 и d = 0,4. Найдите сумму: а) первого и последнего членов; б) второго и предпоследнего членов; в) седьмого члена от начала и седьмого от конца; г) двух средних членов. 770. Найдите первый член с1 арифметической прогрессии (cn), у которой: а) с10 = 142, d = 12; б) с56 = -240, d = -4. 771. Найдите разность d арифметической прогрессии (bn), у которой: а) b1 = 2, b10 = 184; б) b1 = -7, b32 = 8. 772. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, у которой: а) ^5 = 27, ^27 = 93; в) v20 = 0, v66 = -138; б) и47 = 74, и74 = 47; г) h8 = 1, h25 = 11,9. 773. Докажите, что d = , где d — разность ариф- т - п метической прогрессии, ат и an — ее члены, причем т Ф п. 229 Правообладатель Народная асвета а1 + а7 = 42, в) |а1 + а5 = 24, а10 - а3 = 21; 1а2 • а3 = 60; а5 + а11 = 0,2, г) |а2 + а3 + а4 = а4 + а10 = 2,6; 1а2 • а4 = -8. 774. Докажите, что если (an) — арифметическая прогрессия, то an = ап - k + an + k , где n > к. 775. Между числами -10 и 5 вставьте число так, чтобы получились три последовательных члена арифметической прогрессии. 776. Между числами: а) 2 и 17 вставьте четыре таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовывали арифметическую прогрессию; б) 8 и 40 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовывали арифметическую прогрессию. 777. Найдите первый член а1 и разность d арифметической прогрессии, учитывая, что: а) б) 778. Есть арифметическая прогрессия 3, 10, ^ . Установите, является ли ее членом число: а) 122; в) 551; д) 701; б) 143; г) 682; е) 733. 779. Для арифметической прогрессии (хп) известно, что х1 = 1,7 и d = 0,3. Установите: а) формулу ее п-го члена; б) номера ее членов со значениями 32 и 46,7; в) что число 62,7 не является ее членом. 780. Найдите первый: а) отрицательный член арифметической прогрессии 5,4; 5,15; ^; б) положительный член арифметической прогрессии -11,3; -9,76; ^. 781. Найдите последний член и сумму членов арифметической прогрессии, для которой: а) а1 = 163, d = -13, n = 12; в) а1 = 36, d = 9, n = 14; б) d = -11, а16 = -15, n = 20; г) d = -11, а12 = -15, n = 15. 230 Правообладатель Народная асвета 782. Используя рисунок 323, (+ an) • n “л - 2 “n - 1 объясните формулу Sn = 2 для суммы n первых членов арифметической прогрессии. 783. Докажите, что сумма любых n последовательных членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на их количество. 784. Докажите, что сумму первых n членов арифметической прогрессии через ее первый член и разность можно найти по формуле _ 2а1 + d (n - 1) Ьп = ---------- ■ 2 n. Рис. 323 785. Найдите сумму всех несократимых дробей со знаменателем 7, заключенных между целыми положительными числами т и п, где т < п. 786. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, учитывая, что а6 + а9 + а12 + а15 = 20. 787. Найдите количество и сумму членов арифметической прогрессии, учитывая, что: а) а1 = 15, ап = -65, d = -4; б) а1 = 23, ап = 45, d = 2. 788. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, учитывая, что: а) Ь9 = 135, а9 = 32; б) Ь25 = 1675, а25 = 127. 789. Найдите разность и количество членов арифметической прогрессии, учитывая, что: а) а1 = 27, ап = 69, Ьп = 1056; б) а1 = 35, ап = -135, Ьп = -900. 790. Найдите первый и последний члены арифметической прогрессии, учитывая, что: а) d = 3, Ь27 = 594; б) d = 2,5, Ь15 = 607,5. 231 Правообладатель Народная асвета 791. Найдите количество членов арифметической прогрессии и ее первый член, учитывая, что: а) d = 4, an = 51, Sn = 296; б) d = -2, an = 41, Sn = 624. 792. Найдите сумму: а) всех натуральных чисел от 1 до 200; б) первых п четных чисел; в) первых п нечетных чисел; г) трехзначных чисел, кратных 4. 793. Найдите сумму: а) первых девяти членов арифметической прогрессии, учитывая, что сумма ее третьего и седьмого членов равна 36; б) первых одиннадцати членов арифметической прогрессии, учитывая, что сумма ее четвертого и восьмого членов равна 66. 794. Найдите сумму: а) первых семидесяти натуральных чисел; б) всех трехзначных чисел; в) всех нечетных чисел, меньших 160; г) всех четырехзначных чисел, кратных 7; д) всех трехзначных чисел, не кратных 10; е) всех трехзначных чисел, не кратных 5 и 7. 795. По шоссе в одном направлении движутся грузовой и легковой автомобили. Их разделяет 297 м, и их скорости составляют 10 м/с и 12 м/с соответственно. Установите, через какое время машины поравняются, учитывая, что скорость грузового автомобиля возрастает за секунду на 0,1 м/с, а ускорение легкового равно 0,2 м/с2. 796. Шары сложены треугольником так, что в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и т. д. (рис. 324). Найдите: а) в скольких рядах расположены шары, если их всего 120; б) сколько нужно шаров, чтобы сложить треугольник из тридцати рядов. 797. Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость, и через 20 мин она становится равной 60 км/ч. Найдите ускорение поезда. 798. Боковая сторона трапеции с основаниями, равными 26 см и 11 см, разделена на 10 долей, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите сум- 232 Рис. 324 Правообладатель Народная асвета му длин всех параллельных отрезков, заключенных между боковыми сторонами трапеции. 799. Найдите: а) через сколько секунд свободного падения камень упадет на дно шахты глубиной 80 м; б) глубину шахты, учитывая, что свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения. 800. Найдите сумму 502 - 492 + 482 - 472 + ^ + 22 - 1. 801. Найдите сумму первых двадцати нечетных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1. 802. Докажите, что выражения (а + b)2, а2 + b2, (а - b)2 являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, и найдите сумму ее п членов. 803. Найдите, при каких значениях переменной тремя последовательными членами арифметической прогрессии являются числа: а) п - 5, 2п + 3 и 5п - 1; в) 2k - 4, 3k + 3 и 6k - 3; б) 3m + 1, 2m - 3 и 5m + 1; г) -J3 - t, + 3 и 4t - ^/Э. 804. Если к членам одной арифметической прогрессии прибавить удвоенные соответствующие по номерам члены другой арифметической прогрессии, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией? 805. Есть арифметическая прогрессия а1, а2, а3, ^, an, ^ . Установите, является ли арифметической прогрессией последовательность : а) а1, а3, ^, а2п - 1, ^; г) -2а1, -2а2, ^, -2ап, ^; б) а4, а8, ***, а4п, ***; д) , , ***, , ***; а1 а2 ап в) а1 + 1, а2 + 1, ^, ап + 1, ^; е) а1, а2, ^, ап, *” . 806. Сумма первых п членов арифметической прогрессии (ап) равна Sn. Найдите: а) первые четыре члена прогрессии, учитывая, что Sn = - п; б) первый член и разность прогрессии, учитывая, что Sn = 2п2 + 3п. 233 Правообладатель Народная асвета 807. Докажите, что: а) если числа а2, b2, с2 образуют арифметическую прогрессию, также образуют арифметическую то числа 1 1 1 b + с’ прогрессию; б) если числа a + с a + b 1 1 1 b + с прогрессию, то числа a скую прогрессию. с + a b + a 2 b2 -2 образуют арифметическую с2 также образуют арифметиче- 808. Докажите, что если a, b и с являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, то истинно равенство 2 (a + b + с)3 = a2(b + с) + c2(a + b). 809. Докажите тождество 1 1 1 1 1 aia„ + a2an 2 + a3an - 2 1 + ^ ^ + , - 1a2 ana1 a1 a2 a3 ----------1---- an - 1 an где a1, a2, a3, ^, an — члены арифметической прогрессии. 810. Найдите сумму первых 50 общих членов арифметических прогрессий 9, 12, 15, 18, ^ и 8, 12, 16, 20, ^ . 811. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, учитывая, что a1 + a2 + a3 = 15 и a1 • a2 • a3 = 80. 812. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, учитывая, что a1 + a2 + a3 = 0 и a2 + a^ + a3 = 50. 813. Установите, могут ли числа 1, л/3, 3 быть членами арифметической прогрессии. 814. Докажите, что никакие три последовательных члена последовательности (an) не образуют арифметическую прогрессию, если: а) an = n2; б) an = 4п ; в) an = 1. 815. Найдите координаты точки: а) сумма координат которой равна 5 и через которую проходит график уравнения х2 + х + у = 30; б) ордината которой равна удвоенной абсциссе и через которую проходит график уравнения х2 + 4у = 20. 234 Правообладатель Народная асвета 816. Запишите уравнение параболы на рисунке: а) 325; б) 326. 817. Решите систему: \т - n = 3, ^ "i т2 - n2 = 21; в) \^c + d = -2, Ic2 + d2 = 10; б) a - b = -1, ) \e - f = 2, Г 'ie2 + f2 = 34. ab = 6; 818. Решите неравенство: а) q - 2S)3(3 -52s)4 ^ 0; в) f2(6 - f)3(f + 4) < 0; (2s - 5)5 б) (f + 7)5 ^ Л Ч 3 e2 + 10 e + 3 ^ ^ < 0; г) -------2-------^ > 0. (3 - e )2(4 - e2) (5r + 10)2(-1 - 3r) 819. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с боковой стороной 32 см, учитывая, что ее центр отстоит от этой стороны на 12 см. Правообладатель Народная асвета 820. Найдите сумму квадратов диагоналей трапеции с основаниями 4 и 8 и боковыми сторонами 2 и 3. 821. Если переставить цифры единиц и сотен данного трехзначного числа, то от этого число уменьшится на 396. Найдите число, учитывая, что сумма его цифр равна 15, а количество сотен в три раза больше количества единиц. 822. В 300 г фасоли и 500 г гороха содержится 3400 штук семян, а в 500 г фасоли и 300 г гороха содержится 3000 штук. Сколько штук семян содержится в 100 г той и другой культуры? 823. Сидней, Мельбурн, Брисбен, Перт, Аделаида — крупнейшие города Австралийского Союза. Население Перта относится к населению Брисбена как 85 : 96, а к увеличенному на 2 тыс. человек населению Аделаиды как 80 : 63. Население Брисбена, уменьшенное на 114 тыс. человек население Сиднея и увеличенное на 219 тыс. человек население Мельбурна относятся как 3 : 8 : 7. Найдите численность населения этих городов, учитывая, что население Сиднея на 245 тыс. человек больше общего населения Брисбена, Перта и Аделаиды. * * * 824. Решите уравнение 20{х} = 7[х], где [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х, а {х} = х - [х]. 825. Найдите все функции f, для которых условие f(x - у) = f(x) + f(y) - 2ху истинно при всех действительных значениях переменных х и у. 826. В треугольнике ABC проведена биссектриса BM. Через точку M к описанной около треугольника BMC окружности проведена касательная, которая пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что прямая AC касается описанной около треугольника BMN окружности. 20. Геометрическая прогрессия А) Числовая последовательность (а„), у которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на определенное, не равное нулю число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия определена, если известен ее первый член a1, знаменатель q и количество членов. Члены геометрической прогрессии связаны условием an + 1 = an * q, где q — определенное число. 236 Правообладатель Народная асвета Пример 1. В окружность вписан квадрат, в который вписана вторая окружность. Во вторую окружность вписан квадрат, а в него — третья окружность и т. д. (рис. 327). Докажем, что радиусы окружностей являются последовательными членами геометрической прогрессии. Обозначим ri, Г2, ^, т^, + i, ^ радиусы первой, второй и следующих окружностей. Радиусы rn и rn +1 n-й и (п + 1)-й окружностей и половина стороны п-го квадрата, проведенные так, как показано на рисунке 327, образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому по теореме Пифагора получим, что Отсюда П +1 т2 + r2 = r2 ’ п + ^ ^ ’ п +1 ~ ' п* 1 r2, или Гп +1 = 2 п ' п +1 V2 r 2 п Видим, что радиус каждой следующей окружности по. ^/2 лучается из радиуса предыдущей умножением на число -^. Поэтому утверждаем, что последовательность т1, т2, ^, тп, тп + 1, ^ радиусов окружностей является геометрической прогрессией. Теорема 4. Последовательность (an) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. Доказательство. Пусть последовательность (ап) является геометрической прогрессией со знаменателем q. Тогда с учетом определения геометрической прогрессии будем иметь: ап 2 ап - 1ап+1 = -q^ • anq = ап. Пусть последовательность (Ьп) такова, что для любых ее трех последовательных членов Ьп - 1, истинно равенство Ьп и Ь п + 1? где п > 2, Тогда Ьп = Ьп - 1Ьп + 1. Ьп Ьп + 1 ^'п -1 Ьп 237 Правообладатель Народная асвета 2 Поскольку отношение любого члена последовательности к предыдущему члену одно и то же, то такая последовательность является геометрической прогрессией. Б) Теорема 5. n-й член геометрической прогрессии равен произведению ее первого члена и степени знаменателя, показатель которой равен количеству предыдущих членов. Доказательство. Пусть (аП) — геометрическая прогрессия со знаменателем q. Тогда истинны равенства: а2 = ai • q, аз = а2 • q, а4 = аз • q, После покомпонентного умножения этих n - 1 равенств получим а2 • аз • а4 а2 • а3 1 • q“ или после сокращения на общий множитель а2 • а3 • ^ • ап _ 1 ап = а1 • qn - 1. Пример 2. Известно, что число 1701 — член геометрической прогрессии 7, 21, 63, ^ . Найдем номер этого члена. По первому и второму членам прогрессии находим ее знаменатель: 21 : 7 = 3. Теперь используем установленную формулу п-го члена геометрической прогрессии: 1701 = 7 • 3п - 1. Далее получим: 3п - 1 = 1701 : 7; 3п -1 = 243; 3п - 1 = 35; п - 1 = 5; п = 6. Полученное значение переменной п — натуральное число. Значит, число 1701 является членом данной прогрессии с номером 6. Следствие. Произведения пар членов геометрической прогрессии равны, если равны суммы их номеров. 238 Правообладатель Народная асвета ап = ап- 1 •q ап = а 1 Действительно, пусть (an) — геометрическая прогрессия со знаменателем q и m + p = k + s. Докажем, что a„ С учетом теоремы 5 имеем: ap = ak • as . m + p - 2 am • ap = (ai • qm) • (ai • q^) = ai‘ q ak • as = (ai • qk- 1) • (ai • qs- 1) = a2 • q k + s - 2. В) Теорема 6. Если знаменатель q геометрической прогрессии (an) не равен единице, то сумму Sn первых n ее членов можно найти по формуле о -1 Sn=ai • q -1 ’ т. е. сумма n ее первых членов равна произведению первого члена и дроби, числитель которой есть уменьшенная на единицу n-я степень знаменателя прогрессии, а знаменатель — уменьшенный на единицу знаменатель прогрессии. Доказательство. Обозначим Sn сумму первых n членов геометрической прогрессии: Sn = a1 + a1q + a1q^ + ^ + a1qn - 3 + a1qn - 2 + a1qn - 1. Умножим обе части этого равенства на q: Snq = a1q + a1q2 + a1q2 + ^ + a1qn - 2 + a1qn - 1 + a1qn. Вычтем покомпонентно из второго равенства первое: Snq - Sn = a1qn - a1. Значит, Если q Ф 1, то Sn(q - 1) = a1(qn - 1). Sn = a1 • qn -1 q -1 ' 1. Какая числовая последовательность называется геометрической * прогрессией? 2. Какое число называется знаменателем геометрической прогрессии? 3. Какими условиями задается геометрическая прогрессия? 4. Какой зависимостью связаны три последовательных члена геометрической прогрессии? 5. Сформулируйте признаки геометрической прогрессии. 6. Запишите формулу для n-го члена геометрической прогрессии. 7. Сформулируйте свойство членов геометрической прогрессии. 8. Запишите формулу для суммы нескольких первых членов геометрической прогрессии. 239 Правообладатель Народная асвета 827. Определите, является ли геометрической прогрессией конечная последовательность: а) 1000; 100; 10; 1; 0,1; г) -1, 10, -100, 1000; б) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; д) 1; 1,1; 1,11; 1,111; в) —, —, 3, 27, 81; е) 7-2, 7-1, 70, 71, 72. Если является, то чему равен ее знаменатель? 828. Найдите первые шесть членов геометрической прогрессии, у которой: а) «1 = 7, q = 2; б) = -|, q = -|; в) = 0,8, q = V2. 829. Установите, какой прогрессией — арифметической или геометрической — является последовательность, у которой: а) а1 = 4, an + 1 = 5а„; в) С1 = -81, cn + 1 = 1 + cn; б) b1 = 4. bn + 1 = 5 + bn; г) 21 = -81, zn + 1 = 1 zn. 830. Найдите знаменатель и четвертый член геометрической прогрессии, первых два члена которой следующие: а) 3, 18; в) 7, -14; д) Wl, 9; б) 20, 4; г) -30, -15; е) 1. 5,/5 831. Найдите два первых члена геометрической прогрессии, третий и четвертый члены которой следующие: а) 24, 36; б) 225, -135. 832. Первый член геометрической прогрессии (tn) и ее знаменатель соответственно равны 512 и 2-1. Найдите: а) ^5; в) ^12; д) ^п; ж) ^5к; б) ^7; г) ^16; е) - 6; з) ^5k - 6. 833. Запишите n-й член геометрической прогрессии, первый член и знаменатель которой, а также номер члена n соответственно равны: а) 162, 1 и 7; в) 0,625, -2 и 7; 3 б) ^/2, и 9; г) 0,03, ^/T0 и 8. 834. Найдите сумму, в которую превратится вклад в 1 млн р., положенный в банк на 4 года под 5 % годовых. 240 Правообладатель Народная асвета 835. Некоторые бактерии, помещенные в питательную среду, делятся пополам каждые 20 мин. Установите, сколько из одной бактерии будет бактерий через: а) 1 ч; б) 10 ч; в) 20 ч; г) сутки. 836. На опытном лесном участке ежегодный прирост древесины составляет 10 % . Теперь на участке 3,0 • 104 м3 древесины. Найдите, сколько будет древесины через: а) 3 года; б) 6 лет; в) 9 лет; г) 12 лет. 837. Задайте геометрическую прогрессию, выписав формулу ее n-го члена, учитывая, что: а) У1 = 5, уп + 1 = ЗуП; в) 21 = 49, Zn + 1 = 7zn; б) a1 = 3, an + 1 = -3an; г) U1 = 24, Un + 1 = 2 Un 838. Найдите геометрическую прогрессию, учитывая, что: 7 а) a2 - a1 = -4, a3 - a1 = 8; б) a + a = 16 a - a + a = —. ■■'3 ^ "-ч 839. Докажите, что последовательность является геометрической прогрессией, если ее n-й член задан формулой: а) Cn = 7n; б) Sn = 7 • 3n; в) Гп = 8 • 7n + 3. 840. Установите, в каких случаях геометрическая прогрессия будет возрастающей последовательностью, в каких — убывающей, в каких — не возрастающей и не убывающей. 841. Найдите номер члена геометрической прогрессии, у которой: а) a1 = 2, q = 3, an = 486; б) b1 = 1280, q = 1, bn = 10; в) C1 = 1. q = Cn = 16-; 81 г) e1 = 3, q = 0,1, en = 0,000003. 2 842. Найдите произведение: а) первых пяти членов геометрической прогрессии, учитывая, что произведение ее второго и четвертого членов равно 144; б) первых девяти членов геометрической прогрессии, учитывая, что произведение ее четвертого и восьмого членов равно 4096. 843. Между числами: а) 1 и 16 вставьте такие три числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию; б) 60 и вставьте таких пять чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. 241 Правообладатель Народная асвета 844. Установите, будет ли геометрической прогрессией последовательность, полученная умножением членов одной геометрической прогрессии на соответствующие по номерам члены другой геометрической прогрессии. 845. Установите, в каком случае последовательность, полученная сложением членов одной геометрической прогрессии с соответствующими по номерам членами другой геометрической прогрессии, также будет являться геометрической прогрессией. 846. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, для которой: а) xi = I6, q = -2; в) = -18, q = б) = 5, q = -2; г) = -1, q = -10. 847. Найдите произведение: а) первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой третий член равен 15; б) первых девяти членов геометрической прогрессии, у которой пятый член равен 11. 848. Есть геометрическая прогрессия (bn). Установите, будет ли геометрической прогрессией последовательность: а) 2b1, 2b2, ^, 2bn, ***; г) b1 1, b2 1, ***, bn 1, ***; 1 . г. , ***; bn в) b1, b5, ^, b4n - 3, е) b1 , b2 , ^, bn , . 849. Установите, могут ли три последовательных члена геометрической прогрессии образовывать арифметическую прогрессию. 850. Найдите сумму п первых членов геометрической прогрессии, для которой: а) b1 = -3, q = 4, n = 6; 851. Есть геометрическая прогрессия (bn). Найдите bk, учитывая, что: а) b1 = 16, b5 = 1 и k = 3; б) b2 = 6, b10 = 24 и k = 6; в) b7 = 48, b13 = 6 и k = 10. 852. Докажите, что сумму Sn первых n членов геометрической прогрессии (an) со знаменателем q можно найти по формуле б) b1, Ьз, _, b2n - 1, b д) bT’ bT’ b1 b2 б) t1 = -64, q = - ^1, n = 11. Sn = anq - a1 q -1 242 Правообладатель Народная асвета 853. Представьте дробью выражение: а) 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6, где x Ф 1; б) 1 - У + y2 - y3 + y4 - y5 + y6, где y ^ - 1. 854. Найдите две неизвестные характеристики геометрической прогрессии по трем ее характеристикам, данным в каждой строчке следующей таблицы: а1 q n an Sn а) 180 1 3 5 б) 2 7 1458 в) -2 6 -486 г) _ 1 2 8 64 д) 9 64 81 2534 81 е) -2 -11 2 16 ж) -3 4 121,5 з) 2 96 189 и) 1 2 2 254 к) 15 3 212 3 л) 3 18 26 м) 11 2 6 2^ 32 855. Найдите сумму: а) 1 + 2 + 22 + ^ + 210; б) 1 - ^ ^ ) 2 22 23 210; в) 1 + ^2 3 32 +----^ + 33 1 . э10 . г) 1 - 2 + 22 - 23 + ^ + 212; д) 1 + a + a2 + ^ + a100; е) b - b3 + b5 - ^ + b13. 856. Есть три числа, образующие арифметическую прогрессию, и их сумма равна 30. Если из первого из них вычесть 5, из второго — 4, а третье оставить без изменения, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа. 243 Правообладатель Народная асвета + 857. Числа, выражающие в метрах длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, являются последовательными членами геометрической прогрессии. Площадь основания параллелепипеда равна 108 м2, а площадь поверхности — 312 м2. Найдите измерения параллелепипеда. 858. Есть геометрическая прогрессия (Ъ^). Найдите: а) Ъ1 и п, учитывая, что q = 0,5, Ъп = 2, Sn = 254; б) Ъ5 и п, учитывая, что q = 3, Ъп = 567, Sn = 847; в) Ъ1 и Ъп, учитывая, что q = 2, п = 8, Sn = 765; 1 7 г) q и п, учитывая, что Ъ1 = 2, Ъп = Sn = 3-. 859. Докажите, что последовательность (Хп) является геометрической прогрессией, если: а) Хп = 4 • (-3) ; в) Хп = 0,1 • 10п; б) хп = -3п; г) хп = 2Ъп, где Ъ ф 0. 860. Докажите, что если q — знаменатель геометрической прогрессии (сп), то — = q'^ r. 861. Есть геометрическая прогрессия (уп), сумму п первых членов которой можно вычислить по формуле: а) Sn = 2(5п - 1). Найдите S4, у1, у^; б) Sn = 3,5(4п - 1). Найдите у1, q, S5. 862. Докажите, что если сумму п первых членов последовательности (ап) можно найти по формуле Sn = 3п - 1, то (ап) — геометрическая прогрессия. 863. Установите, является ли геометрической прогрессией последовательность, сумму первых п членов которой можно найти по формуле: а) Sn = п2 - 1; б) Sn = 2п - 1; в) Sn = 3п + 1. 864. Упростите выражение: а) а) 5 4 3 2 Х + Х + Х + Х + х + 1 _ 2 ; х + х + 1 865. Сократите дробь: 2 3 4 1 + a + a + a + a a10 -1 б) в) a11 + a10 + a9 + ... + a + 1 5 4 3 2 ' a + a + a + a + a + 1 1 + х2 + х4 + ... + х20 ; 1 + х + х2 + ... + х21 ’ б) 244 t14 -1 г) Ъ6 - Ъ5 + Ъ4 - Ъ3 + Ъ2 - Ъ + 1 Правообладатель Народная асвета 866. Сократите дробь: а) 2 3 4 1 + a + a + a + a б) 1 - y + y2 - ■■■ + y18 - y19 + y20 1 - y + y2 - y3 + y4 - y5 + y6 867. Найдите три числа, которые образуют: а) арифметическую прогрессию, сумма членов которой равна 30, а если из второго ее члена вычесть 2, оставив остальные без изменения, то получится геометрическая прогрессия; б) геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна 93, а если из первого ее члена вычесть 48, оставив остальные без изменения, то получится арифметическая прогрессия. 868. Установите, образуют ли геометрическую прогрессию выражения: 2 2 2 а) 2*, 22*, 23*; б) 2* , 22* , 23* ■ 869. Докажите, что значения функции: а) tg а от углов 30°, 45°, 60° образуют возрастающую геометрическую прогрессию; б) ctg а от углов 30°, 45°, 60° образуют убывающую геометрическую прогрессию. 870. Установите, могут ли быть членами (не обязательно последовательными): а) одной арифметической прогрессии числа 2; 4,5; 6; б) одной геометрической прогрессии числа ^4; 8; 18. 871. Определите, начиная с какого номера члены геометрической прогрессии -8, 4, -2, ^ по модулю меньше 0,001. 872. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, учитывая, что: а) I a4 - a2 = 18, б) [a1 - a3 + a5 = -65, a5 - a3 = 36; [a1 + a7 = -325. 873. Найдите первый член, знаменатель и количество членов геометрической прогрессии, учитывая, что: а) a7 - a4 = -216, a5 - a4 = -72 и Sn = 1023; б) a1 + a5 = 17, a2 + a6 = 34 и Sn = 127. 874. Есть геометрическая прогрессия с положительными членами, причем S2 = 4, а S3 = 13. Найдите S5. 875. Разность шестого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 72, а третьего и первого — 9. Найдите сумму восьми членов этой прогрессии. 245 Правообладатель Народная асвета 1 + a + a2 + + a13 + a14 876. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, которая состоит из шести членов, учитывая, что сумма трех первых членов в 8 раз меньше суммы трех последних членов. 877. Найдите четыре числа, которые образуют убывающую геометрическую прогрессию, учитывая, что сумма ее крайних членов равна 11—, а сумма средних — 10. 3 878. Найдите геометрическую прогрессию, которая состоит из шести членов, учитывая, что сумма членов, стоящих на четных местах, равна 99,75, а сумма членов, стоящих на нечетных местах, — 66,5. 879. Докажите, что если числа а, b, c и d образуют геометрическую прогрессию, то они удовлетворяют равенству: а) (а2 + b— + c—)(b— + c— + d—) = (ab + bc + cd)—; б) (a - d)— = (a - c)— + (b - c)— + (b - d)—; в) (a + b + c)(a - b + c) = a2 + b— + c—. 880. Найдите геометрическую прогрессию, сумма первых трех членов которой равна: а) 13, а сумма квадратов тех же членов — 91; б) 13, а их произведение — —7. 881. Найдите три числа, которые образуют: а) арифметическую прогрессию, их сумма равна 57, а если из второго числа вычесть единицу, к третьему прибавить единицу, то числа образуют геометрическую прогрессию; б) геометрическую прогрессию, их сумма равна 28, а если большее из чисел уменьшить на 4, то числа образуют арифметическую прогрессию; в) геометрическую прогрессию, их сумма равна 42, и они являются первым, вторым и шестым членами возрастающей арифметической прогрессии. 882. Три числа, сумма которых равна 19,5, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии и вместе с тем — вторым, восьмым и двадцать третьим членами арифметической прогрессии. Найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии. 883. Первый и третий члены арифметической прогрессии соответственно равны первому и третьему членам геометрической прогрессии, а второй член арифметической прогрессии превышает второй член геометрической прогрессии на 0,25. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, учитывая, что первый ее член равен 2. 246 Правообладатель Народная асвета 884. Сумма трех чисел, которые образуют возрастающую арифметическую прогрессию, равна 51. Если из них вычесть соответственно 1, 7 и 8, то получатся три числа, которые образуют геометрическую прогрессию. Определите, сколько членов арифметической прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равной 555. 885. Сумма трех чисел, которые образуют геометрическую возрастающую прогрессию, равна 65. Если из этих чисел вычесть соответственно 1, 8, 35, то получатся три числа, которые образуют арифметическую прогрессию. Определите, сколько членов геометрической прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равной 200. 886. Три числа, сумма которых равна 76, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как первый, четвертый и шестой члены арифметической прогрессии. Определите, сколько членов арифметической прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равной 176. 887. Сумма трех первых членов убывающей арифметической прогрессии равна 54. Если ее первый член оставить без изменения, второй уменьшить на 9, а третий — на 6, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите арифметическую прогрессию. 888. Разложите на множители выражение: а) г5 - г3 + г2 - 1; б) ^6 - - Р2 + р; в) г3 - г2 - г6 + г5; г) j2h2 + g2f2 - g2h2 - j2f2 - 4jhgf; д) (h2 + g2 - f2)2 - 4h2g2; 889. Упростите выражение: ^ „2 . а) б) в) г) X4 - 8 xy3 x2 + 2xy + 4 y2 (n + 2)2 - n2 _ 3n2 - 3 X2 +1 1 - 2^ I - X2 x n2 - n n-3 n2 - 2n + 1 X - m 1 + xm X2 - ^ : 1 X + 1 X - X2 + 1Г 1 X - 1 X + Ч’ X - n \ : ^1 + (X - m)(X 1 + Xn / Ч1 + (1 + Xm)(1 е) 4a2y2 - (t2 - a2 - y2)2; ж) y4 + 2cy3 - c4 - 2yc3; з) 2г4 + 2г3 - 2г2 - 2z; и) р5 - р4 - 2р3 + 2р2 + р - 1. 247 Правообладатель Народная асвета а) б) в) 890. Решите неравенство: 2 j + 3 1 - j 2k + 3 k +1 1 - 3l 1 - 2l > 5; г) 3е - 7 2 - 5е > -1; ж) > 2; д) 2 < 1 . з) m + 2 m-3 < 1; е) 1 1 - n < 3 . n + 3 ’ 3 2 - p > 1 2 g + 3 < p+3 J__ 2 g -1' 891. Решите неравенство: а) (2m + 3)2(3m - 6)3(4m - 1)2 > 0; б) (3n + 4)3(5n - 5)4(10 - 5n)2 < 0; в) (4 + 6p)2(2p - 1)5(6p - 9)4 < 0; г) (3q + 4)(4 - 3g)3(12g - 9)5 > 0; д) (r + 3)2(7r + 1)6(6r - 12)6 < 0; е) (8 - 4s)3(3s + 5)7(1 - 6s)3 > 0. 892. Установите, существует ли прямоугольный треугольник, сумма катетов и площадь которого соответственно равны: а) 60 см и 500 см2; б) 60 см и 400 см2. 893. Угол CDE треугольника CDE равен а. Найдите угол COE, где O — центр вписанной окружности. 894. В прямоугольном треугольнике с катетами, равными a и b, проведена биссектриса прямого угла. Найдите расстояние между точками пересечения высот двух полученных треугольников. 895. Через середину полуокружности, ограничивающей полукруг с диаметром AB, проведены две прямые, которые делят полукруг на три равновеликие части. Установите, в каком отношении эти прямые делят диаметр AB. 896. Найдите площадь пересечения двух кругов, один из которых ограничен окружностью, целиком расположенной внутри данного квадрата KLMN со стороной k, касается в точке A его стороны KL, а также касается стороны LM и диагонали KM, второй — окружностью с центром в точке K, проходящей через точку A. 897. Точка M выбрана на отрезке AB, и на его частях MA и MB по одну сторону от прямой AB построены такие треугольники MAP и MBQ, что площадь первого на 101 см2 меньше площади другого. По другую сторону от прямой AB построен треугольник ABR с площадью, равной сумме площадей тре- 248 Правообладатель Народная асвета угольников MAP и MBQ (рис. 328). Найдите длины отрезков MA и MB, учитывая, что высоты треугольников ABR, MAP и MBQ, проведенные к прямой AB, соответственно равны 15 см, 8 см и 19 см. 898. Одно тело движется с ускорением 5 м/с2, другое — с ускорением 4 м/с2, при этом на первое тело действует сила на 5,6 Н больше. Найдите массы тел, учитывая, что если бы на третье тело с массой, равной общей массе данных тел, действовала сила, равная сумме данных сил, то третье тело двигалось бы с ускорением, равным 4,6 м/с2. Q 899. Есть правильный треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M, а на продолжении стороны BC за точку C — точка N так, что BM = MN. Докажите, что AM = CN. 1 ^/5 )100 является / I-ч10( 900. Докажите, что число (1 + \15 1 целым. 901. Последовательность (а„) задается своим первым членом а1 = 1 и условием an + 1 = an + ,Jan +1 + an . Найдите a2007. Правообладатель Народная асвета Раздел VII Правильный многоугольник и окружность 21. Правильные многоугольники А) Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны равны друг другу и все углы равны друг другу. Правильным треугольником является равносторонний треугольник (рис. 329), правильным четырехугольником — квадрат (рис. 330). На рисунке 331 изображен правильный пятиугольник, на рисунке 332 — правильный шестиугольник. С CD А С Рис. 329 в с л А ' Ъ Рис. 330 D Е Рис. 332 Вы знаете, что любой треугольник имеет описанную и вписанную окружности, центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, а центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис (рис. 333). Для правильного треугольника (рис. 334) центры этих окружностей совпадают друг с другом и с точкой пересечения биссектрис. Это свойство имеет и правильный четырехугольник (рис. 335). Теорема 1. Любой правильный многоугольник имеет описанную и вписанную окружности, центры которых со- Правссбладатель Народная асвета впадают друг с другом и с точкой пересечения биссектрис углов многоугольника. Доказательство. Пусть _ ^A^ — правильный многоугольник (рис. 336). Проведем биссектрисы углов A^ и A2, пусть они пересекаются в точке O. Треугольник A10A2 равнобедренный, так как его углы OAlA2 и OA2Al равны друг другу как половины равных углов AnAlA2 и A1A2A3. Значит, OA-^ = OA2. Треугольники AlOA2 и A3OA2 равны, так как у них сторона OA2 общая, стороны A1A2 и A3A2 равны, углы AlA2O и A3A2O также равны. Поэтому OA3 = 0A2. Так же докажем, что OA4 = OA3, OA5 = OA^^, ^, OAn_ ! = OAn. Значит, OA^ = OA2 = OA3 = ^ = OAn_ ^ = OAn. Это означает, что точка O равноудалена от точек A^, A2, A3, ^, An_ !, A^n. Поэтому окружность с центром O и радиусом OA-^ является описанной около многоугольника AlA2A3^An - lAn. Поскольку треугольники OA1A2, OA2A3, OA^^^^, ^, OAn- 1A^n, OA^nA1 все равнобедренные и равны друг другу, то равны и их высоты, проведенные к основаниям. Это означает, что точка O равноудалена от сторон многоугольника, она является центром окружности, вписанной в многоугольник A1A2A3 - 1An. Точка, которая является центром окружности, вписанной в правильный многоугольник, называется центром правильного многоугольника. Следствие 1. Вписанная в правильный многоугольник окружность касается сторон этого многоугольника в их серединах. 251 Правообладатель Народная асвета о Б) Теорема 2. Зависимость между стороной an правильного n-угольника и радиусом R описанной около него окружности выражается формулой an : 2R sin 180°. Рис. 337 Доказательство. Пусть A1A2 — сторона правильного «-угольника, а точка O — его центр (рис. 337). Пусть A]_A2 = a«, OA-^ = R. Тогда высота OC равнобедренного треугольника 0A1A2 является его биссектрисой и медианой. Поскольку Z A10A2 = 360° то Z A^OC = 180° . По- 180° скольку A1C = OA1 sin A1OC, то a« = A1A2 = 2A1C = 2R sin /I Следствие 2. Зависимость между радиусами r и R окружностей, вписанной в правильный n-угольник и описанной около него, выражается формулой r = Rcos 180 . n Действительно, этим равенством связаны катет OC, равный г, гипотенуза OA1, равная R, и прилежащий к катету OC угол в прямоугольном треугольнике A1OC (см. рис. 337). Следствие 3. Если a3, a4, a6 — стороны правильных треугольника, четырехугольника, шестиугольника соответственно, то a3 = R/3; a4 = R/2; a6 = R. Следствие 4. Два правильных многоугольника с одинаковым количеством сторон подобны. Следствие 5. Периметры правильных многоугольников с одинаковым количеством сторон относятся как радиусы описанных около них или как радиусы вписанных в них окружностей. В) Теорема 3. Зависимость между площадью S многоугольника, его периметром P и радиусом r вписанной в него окружности выражается формулой S =1 Pr. 2 Доказательство. Пусть точка O — центр окружности с радиусом г, вписанной в многоугольник A1A2A3^A„ _ ]_A„ с пери- 252 Правообладатель Народная асвета n а метром P (рис. 338). Соединив с центром O вершины этого многоугольника, получим его разбиение на n треугольников A1OA2, A2OA3, A3OA4, ^, An - iOAn, AnOAi, высоты OCi, OC2, OC3, ^, OCn_ !, OCn которых, проведенные к сторонам A1A2, A2A3, A3A4, ^, An_ ^A^^, A^A^, все равны r. Поэтому для площади S многоугольника A1A2A3An- i^An получим: S = ,1 (A1A2 • OCi + A2A3 • OC2 + A3A4 • OC3 + ^ + + An - iAn • OC , i An = 1 (A1A2 • r + A2A3 • r + A3A4 1 + AnA1 ■ OCn) = r + + A 1 An r + An^1 • r) = = (A1A2 + A2A3 + A3A4 + — + An - 1An + AnA1) ■ r = -2 Pr. Следствие 6. Зависимость между площадью S правильного n-угольника, его стороной a и радиусом r вписанной окружности выражается формулой S =1 nar. 2 Г) Напомним, как строить вписанные в окружность правильные четырехугольники, шестиугольники и треугольники. Используем тот факт, что диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому, чтобы построить вписанный в окружность правильный четырехугольник, можно провести два взаимно перпендикулярных ее диаметра и соединить последовательно их концы. В соответствии со следствием 3 сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу. Поэтому если от произвольно выбранной точки окружности последовательно строить хорды, равные радиусу, то концевые точки этих хорд дадут вершины шестиугольника (рис. 339). Правообладатель Народная асвета Если же концевые точки шести полученных хорд соединить через одну, то получится правильный треугольник. Если построен правильный п-уголь-ник, то, разделив дуги описанной окружности, которые стягиваются сторонами-хордами, пополам, получим еще п точек, которые вместе с вершинами п-угольника дают вершины правильного 2п-угольника. На рисунке 340 показано построение правильного восьмиугольника с учетом того, что уже построен правильный четырехугольник. Применяя указанный способ, можно с помощью линейки и циркуля удваивать количество сторон у построенного правильного многоугольника. Рис. 341 А Задача построения линейкой и циркулем правильных многоугольников имеет интересную историю. В Древней Греции умели строить правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник. А окончательное решение было получено в возрасте 19 лет будущим великим математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855) (рис. 341). Он установил, что циркулем и линейкой можно построить правильный п-уголь-ник только тогда, когда число п можно представить произведением 2“ • р1 • р2 • ^ • pk, где m — неотрицательное целое число, р1, р2, ^, (21) рк — различные простые числа вида 2 + 1, где I — целое неотрицательное число. Отсюда следует, что правильный пя- (21) тиугольник построить можно, так как 5 = 2 + 1, а правильный семи- угольник — нельзя. Следующим после пяти простым числом такого вида (22) является число 17, равное 2 +1. Именно задачу о построении правильного семнадцатиугольника решил сначала Гаусс. Это событие он посчитал настолько значимым, что завещал высечь правильный семнадцатиугольник на своем надмогильном памятнике. Вместе с этим приближенное деление окружности на произвольное количество долей с любой нужной точностью всегда возможно, что и делают на практике при изготовлении циферблатных часов (рис. 342), компасов (рис. 343), разработке круговых орнаментов (рис. 344). А 254 Правообладатель Народная асвета Рис. 342 Рис. 343 1. Какой многоугольник называется правильным? • 2. Сформулируйте утверждение о существовании окружностей, опи- санной около правильного многоугольника и вписанной в него. 3. Какая точка называется центром правильного многоугольника? 4. Какой зависимостью связаны сторона правильного л-угольника и радиус описанной около него окружности? 5. Какой зависимостью связаны радиусы окружностей, описанной около правильного л-угольника и вписанной в него? 6. Как через радиус описанной окружности выражается сторона правильного треугольника; четырехугольника; шестиугольника? 7. Сформулируйте утверждение об отношении периметров правильных многоугольников. 8. Какой зависимостью связаны площадь, периметр многоугольника и радиус вписанной в него окружности? 9. Какой зависимостью связаны площадь, сторона правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности? 10. Как построить правильный треугольник; правильный четырехугольник; правильный шестиугольник? 902. Известно, что: а) все углы многоугольника равны друг другу. Следует ли из этого, что данный многоугольник правильный? б) все стороны многоугольника равны друг другу. Следует ли из этого, что данный многоугольник правильный? 903. Установите, верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным; в) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; г) треугольник является правильным, если все его углы равны; д) любой равносторонний треугольник является правильным; е) любой равносторонний четырехугольник является правильным. 255 Правообладатель Народная асвета 904. Докажите, что любой правильный четырехугольник является квадратом. 905. Докажите, что: а) взятые через одну вершины правильного 2п-угольника являются вершинами правильного п-угольника; б) середины сторон правильного п-угольника являются вершинами другого правильного п-угольника. 906. Докажите, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, в два раза меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника. 907. Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника (рис. 345). 908. Найдите углы правильного п-угольника, учитывая, что: а) п = 3; в) п = 6; д) п = 18; б) п = 5; г) п = 10; е) п = 36. 909. Установите, сколько сторон Рис. 345 имеет правильный многоугольник, учитывая, что его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°. 910. Установите, сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, учитывая, что дуга описанной окружности, стягиваемая его стороной, равна: а) 60°; в) 90°; д) 18°; б) 30°; г) 36°; е) 72°. 911. Докажите, что: а) серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника или пересекаются, или совпадают; б) прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, или пересекаются, или совпадают. 912. Докажите, что для любого многоугольника существует не более одной окружности, описанной около него, и не более одной окружности, вписанной в него. 913. Через сторону an правильного n-угольника выразите радиусы окружностей, описанной около него и вписанной в него, если значение п равно: а) 3; б) 4; в) 6; г) 5. 256 Правообладатель Народная асвета 914. Начертите окружность и постройте вписанный в нее правильный: а) треугольник; б) четырехугольник; в) шестиугольник. 915. Начертите окружность и постройте описанный около нее правильный: а) треугольник; б) четырехугольник; в) шестиугольник. 916. Как правильный шестиугольник разрезать на ромбы? 917. Учитывая, что на рисунке 346 изображен квадрат, вписанный в окружность с радиусом R, а4 — сторона квадрата, Р — периметр квадрата, S — площадь квадрата, r — радиус вписанной окружности, найдите числа, отсутствующие в таблице. а) б) в) г) д) R r а4 P S 12 6 12 56 48 918. Учитывая, что на рисунке 347 изображен правильный треугольник, вписанный в окружность с радиусом R, а3 — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности, найдите числа, отсутствующие в таблице. а) б) в) г) д) R r аз P S 9 40 4 10 18 Правообладатель Народная асвета Рис. 348 919. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность, учитывая, что периметр правильного треугольника, вписанного в эту же окружность, равен 18 см. 920. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника со стороной 3 см. Установите, каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготавливают вентиль. 921. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта (рис. 348), верхнее основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь верхнего основания. 922. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из деревянного бруса, поперечное сечение которого является квадратом со стороной 6 см. 923. Около окружности описан квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, учитывая, что периметр шестиугольника равен 60 см. 924. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника через радиус: а) вписанной окружности; б) описанной окружности. 925. Найдите площадь S правильного п-угольника, учитывая, что: а) п = 4, R = ^/2 см; в) п = 6, r = 18 дм; б) п = 3, P = 48 м; г) п = 8, r = lW3 мм. 926. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около нее. 927. С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник. 258 Правообладатель Народная асвета 928. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность, учитывая, что сторона правильного треугольника, вписанного в эту окружность, равна а. 929. В окружность, радиус которой равен 4 м, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата. 930. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, учитывая, что его сторона равна а, а радиус описанной окружности — R. 931. В окружность с радиусом R вписан правильный многоугольник со стороной а. Найдите сторону b правильного многоугольника с тем же количеством сторон, описанного около этой окружности. 932. Около одного правильного п-угольника описали окружность и вписали в него окружность, радиусы которых оказались равными R^ и r^. Радиус окружности, вписанной в другой правильный п-угольник, равен r2. Найдите радиус окружности, описанной около другого п-уголь-ника. 933. Периметры двух правильных п-угольников относятся как p : q. Найдите отношение радиусов окружностей: а) вписанных в эти п-угольники; б) описанных около этих п-угольников. 934. Есть правильный шестиугольник. Найдите: а) угол между его диагоналями, выходящими из одной вершины; б) угол между его наименьшими пересекающимися диагоналями; в) отношение его наибольшей и наименьшей диагоналей; г) отношение частей большей диагонали, на которые ее делит меньшая диагональ; д) отношение частей, на которые делят друг друга две меньшие диагонали; е) отношение площади шестиугольника к площади треугольника, ограниченного меньшими диагоналями. 935. Есть правильный шестиугольник. Докажите, что: а) для каждой его диагонали есть равная ей другая диагональ; б) среди его диагоналей есть параллельные; в) среди его диагоналей есть перпендикулярные. 259 Правообладатель Народная асвета 936. Докажите, что в правильном многоугольнике: а) диагонали, соединяющие его вершины через одну, равны; б) все стороны видны из центра многоугольника под одним углом; в) из любой его вершины каждая сторона, кроме тех, которым эта вершина принадлежит, видна под одним и тем же углом; г) все треугольники, вершины которых находятся в вершинах данного многоугольника, имеют равные радиусы описанной окружности; д) его наибольшая диагональ проходит через центр многоугольника, если количество его сторон четно, и не проходит через этот центр, если количество сторон нечетно. 937. Докажите, что сторона an правильного n-угольника, вписанного в окружность с радиусом R, вычисляется по формуле: а) а8 = rJ2 —у[2 , если n = 8; б) а12 = rJ2 — \[3 , если n = 12. 938. Правильный восьмиугольник А1А2АзА4А5АдА7А8 вписан в окружность с радиусом R. Докажите, что четырехугольник АзА4АтА8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R. 939. Установите, является ли описанный многоугольник правильным, если: а) все его стороны равны; б) все его углы равны. 940. Установите, является ли вписанный многоугольник правильным, если: а) все его стороны равны; б) все его углы равны. 941. Есть правильный пятиугольник. Установите: а) что все его диагонали равны; б) что каждая диагональ параллельна какой-либо стороне; в) в каком отношении каждая диагональ делится точкой пересечения с другой диагональю; г) вид многоугольника, ограниченного всеми диагоналями; д) какую часть составляет площадь многоугольника, ограниченного всеми диагоналями, от площади данного многоугольника. 260 Правообладатель Народная асвета а) б) в) г) 942. Докажите тождество: 1 _________3________=_________x_______. x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2)(x + 3) (x + 1)(x + 2)(x + 3) ’ x2 - 5 x+3 2x - 1 4x2 - 4x + 1 x2 + x - 1 2 x3 - x (1 - 5 x) - 1 2x +1 (2x -1) 2 x2 - 1 x3 - x2 + x - 1 x2 - x - 1 x3 + x2 + x + 1 2x3 x4 - 1 x2 -1’ a2 (x - b)(x - c) + b2 (x - a)(x - c) + c2(x - a)(x - b) _ (a - b)(a - c) (b - a)(b - c) 943. Решите неравенство: а) (x2 - 5x + 6)(x2 - 1) > 0; б) (j + 2)(j2 + j - 12) > 0; в) (k2 - 7k + 12)(k2 - k + 2) < 0; (c - a)(c - b) г) (e2 - 3e - 4)(e2 - 2e - 15) < 0; д) (m - 2)3(m + 1)(2 - m)2 < 0; е) (n + 3)2(n - 2)(5 + n)3 < 0. 944. Решите уравнение: а) |x + 3 _ 2(2 - x); б) |x + 1 - |x - 1 _ 2; в) x2 + lx - 1 _ 1; г) |x2 + 4x + 2 _ -x - 2; д) |x2 + 4x + 2 _ |x + 2|; е) lx2 + 4x + 2 _ -x2 - 4x - 2. 60 M 945. Прямая, перпендикулярная двум сторонам параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите синус угла параллелограмма, учитывая, что его стороны равны a и b, причем a < b. 946. Найдите площадь части правильного шестиугольника со стороной a, расположенной вне шести окружностей с радиусами и с центрами в вершинах шестиугольника. 947. Длина одного прямоугольного участка равна 60 м, другого — 75 м. Если каждый из участков при прежней ширине нарастить так, чтобы его площадь стала равной суммарной площади исходных участков, то первый нарощенный участок будет на 25 м длиннее второго (рис. 349). Найдите длины наро-щенных участков. 261 ;251м 1 1 1 1 1 1 75 м Рис. 349 Правообладатель Народная асвета x 948. Есть две коробки для укладки конфет, причем в первой из них в одном ряду укладывается 9 конфет, во второй — 6 конфет и вторая коробка вмещает на 9 конфет больше. Найдите вместимости коробок, учитывая, что все конфеты из первой и второй коробок в точности укладываются в третью коробку, в которой в одном ряду 7 конфет, и что в трех коробках вместе содержится меньше 150 конфет. * * * 949. Найдите множество значений функции 2 x - 5 У = -2----. x - 4 x + 5 950. Докажите, что число 1 + \/3 нельзя представить суммой квадратов чисел вида a + bjs, где a и b — рациональные числа. 951. Докажите, что в записи числа (6 + у!37) десятичной дробью первые 999 цифр после запятой — нули. 22. Длина окружности Длину не очень большого пути между двумя точками, например длину тропинки, можно измерить мерным циркулем (рис. 350). Длину кривой линии, например длину реки по карте, можно измерить циркулем с постоянным небольшим раствором (рис. 351). В этих примерах кривая заменяется ломаной, длина которой дает приближенное значение длины кривой, причем оно находится тем более точно, чем чаще вершины ломаной располагаются на кривой. Рис. 350 262 Правообладатель Народная асвета Рис. 352 Рассмотрим окружность и последовательность вписан- ных в нее правильных многоугольников с возрастающим количеством сторон (рис. 352). Нетрудно заметить, что с увеличением количества сторон эти многоугольники приближаются к кругу, а их гра-ница-ломаная прижимается к окружности. Для достаточно больших значений переменной n граница n-угольника практически не отличается от окружности, а его периметр приближенно равен длине окружности. Примерно так рассуждали геометры древности. Сделаем это и мы. Можно доказать, что если Pn — периметр правильного вписанного в окружность n-угольника, Qn — периметр правильного описанного около этой окружности n-угольника, то верны так называемые формулы удвоения Рис. 351 P2n - knPn, Q2n - knP2 где k — n 2nR Используя их, найдем последовательно значения полупериметров pn и qn, один раз начиная с p4, второй раз — на- 263 Правообладатель Народная асвета i чиная с p6. При этом учтем, что а4 = R[2 и а6 = R. Поэтому р4 = 2R[2 и р6 = 3R. Для упрощения вычислений будем рассматривать единичную окружность, у которой R = 1. Тогда р4 = Ы2 * 2 • 1,4142 = 2,8284, р6 = 3. Для р8, q8, р12, q12 с использованием формул удвоения будем последовательно получать: р8 = ^ 1 + 1 _( 2,8284 ^2 q8 = 2,828^ 3,0614; 3,0614 = 3,3136; 2 р12 = 1 (1 1 _/ 2,8284^2 3 = 3,1058; ^1 ^ 1 ^ 3 q12 = 3,1058 = 3,2154. 21 Ч1 _ 16 В результате дальнейших вычислений получим следующую таблицу. n рп qn п рп qn 8 3,0614 3,3136 48 3,1393 3,1461 12 3,1058 3,2154 64 3,1403 3,1441 16 3,1214 3,1825 96 3,1410 3,1427 24 3,1326 3,1596 128 3,1412 3,1422 32 3,1365 3,1517 192 3,1414 3,1418 Анализ таблицы показывает, что с ростом значений переменной n значения выражений рп и qn сближаются, при этом значения рп возрастают, значения qn убывают. Можно заметить, что у соответствующих значений рп и qn сначала совпадают цифры целых (при n = 8), затем десятых (при n = 16), затем сотых (при n = 64). Понятно, что дальнейшие вычисле- 264 Правообладатель Народная асвета 2 1 2 1 Рис. 353 Рис. 354 Рис. 355 ния с большей точностью приведут к совпадению цифр в следующих разрядах. Число, которое является результатом описанного процесса, и есть число п. А Число п — одна из важнейших констант математики и природоведения. Это число является иррациональным. Нужды практических расчетов заставляли уже в глубокой древности искать его приближения рациональными числами. Древнегреческий ученый Архимед (около 287 — 212 до н. э.) (рис. 353) установил, что 3-71 < п < 3-7. Китайский математик Цзу Чунчжи (около 430 — около 501) (рис. 354) доказал, что число п заключено между рациональными числами 3,1415926 и 3,1415927, и предложил приближение п » ■f5!'. Китайский математик Лю Хуэй (около 220 — около 280) получил простой и точный алгоритм для вычисления числа п с любой степенью точности (около 265) и с его помощью определил, что п « 3,14159. Нидерландский математик Лудольф ван Цейлен (1540—1610) (рис. 355) вычислил значение числа п с 32 десятичными знаками, это число называют лудольфовым числом. Обозначение п стало общепринятым после работы Леонарда Эйлера (1707 — 1783) (рис. 356), написанной в 1736 г. Эйлер нашел для числа п приближение со 153 десятичными знаками. А В соответствии со следствием 5 параграфа 21 периметры Р1„ и P2n правильных вписанных в окружности n-угольников относятся как радиусы R1 и R2 этих pLn R1 г\ ^ Это равенство Ro окружностей P2n r2 истинно при всех значениях переменной n. Но при неограниченном увеличении количества сторон вписанных многоугольников их периметры будут неогра- Рис. 356 265 Правообладатель Народная асвета ниченно приближаться к длинам Ci и С2 окружностей. По- Cl Rl m этому равенство — = ^ истинно. Тогда истинно равенство С1 С2 С2 R2 С1 С2 —^ ^ а значит, и равенство —— = —^. R1 К2^ ^ 2 R1 2 R2 Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 4. Отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу п: C = п. 2 R Из этого равенства получаем, что С = 2%R. Пользуясь формулой С = 2%R, можно находить длину дуги окружности, соответствующей центральному углу величиной а. Сначала найдем дугу с1, соответствующую центральному углу в 1°, а затем искомую дугу: ^1 = 2 nR = nR , 36^ “ 180' nR „ _ г> а са =-----• а = nR----. а 180 180 1. Запишите формулу, выражающую связь длины окружности с ее * диаметром. 2. Как можно найти дугу окружности, соответствующей центральному углу величиной а? 952. Найдите величину центрального угла, учитывая, что от окружности соответствующая дуга составляет: а) в) д) 3 3 б) :4; г) ^6; е) ^3. 953. Найдите радиус окружности, у которой дуга в 1° имеет длину 1 м. 954. Перепишите таблицу в тетрадь и, приняв число 3,14 в качестве значения числа п, заполните пустые клетки таблицы, в которой С обозначает длину окружности, R — ее радиус. С 164 24п 6,28 242 R 4 6 0,71 304,5 31 7 266 Правообладатель Народная асвета 955. Определите, как изменится длина C окружности, если ее радиус R: а) увеличить в 3 раза; в) увеличить в 1,3 раза; б) уменьшить в 2 раза; г) уменьшить в — раза. 3 956. Определите, как изменится длина окружности, если ее радиус: а) увеличить на а; в) увеличить в a раз; б) уменьшить на а; г) уменьшить в а раз. 957. Установите, как изменится радиус окружности, если ее длину: а) увеличить в 5 раз; в) увеличить в 5,2 раза; б) уменьшить в 11 раз; г) уменьшить в 2— раза. 3 958. Найдите длину окружности, описанной около: а) прямоугольного треугольника с гипотенузой 12 см; б) равнобедренного треугольника с основанием 6 см и углом 30° при основании; в) прямоугольника со стороной 18 см и углом 60° между диагоналями; г) равнобедренной трапеции с диагональю 30 см и углом 30° при основании. 959. Найдите длину окружности, описанной около: а) прямоугольного треугольника с гипотенузой с; б) равнобедренного треугольника с основанием а и углом а против него; в) прямоугольника со стороной а и углом в между его диагоналями; г) равнобедренной трапеции с диагональю d и углом у при основании. 960. Найдите длину окружности, вписанной в: а) прямоугольный треугольник с катетом 12 см и углом 40° против него; б) равнобедренный треугольник с высотой 6 см, проведенной к основанию, и углом 50° при основании; в) ромб с диагоналями 10 см и 24 см. 961. Найдите длину окружности, вписанной в: а) прямоугольный треугольник с катетом b и углом 5 против него; 267 Правообладатель Народная асвета б) равнобедренный треугольник с высотой h, проведенной к основанию, и углом ф против нее; в) ромб с диагоналями c и d; г) прямоугольную трапецию, у которой основание равно боковой стороне и равно l. 962. Есть две концентрические окружности, т. е. окружности с общим центром, ограничивающие кольцо шириной l (рис. 357). Найдите зависимость этой ширины от длин Ci и С2 окружностей. 963. Найдите зависимость между радиусом r колеса, которое катится по прямой, количеством n сделанных оборотов и длиной s пройденного пути. 964. Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, учитывая, что спутник обращается вокруг Земли на расстоянии 320 км от нее, а радиус Земли равен 6371 км. 965. Есть два сцепленных между собой резиновых колеса с радиусами r1 и r2 (рис. 358). Найдите, сколько оборотов сделало большее колесо, учитывая, что меньшее колесо сделало n оборотов. 966. Есть три резиновых колеса с радиусами r1, r2 и r3, сцепленные так, как показано на рисунке 359. Найдите, сколько оборотов сделало третье колесо, учитывая, что первое колесо сделало n оборотов. 967. Метр приближенно составляет сорокамиллионную долю земного экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, приняв, что Земля имеет форму шара. 968. Установите, на сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус Земли увеличился на: а) 1 см; б) 1 км. Рис. 357 268 Правообладатель Народная асвета 969. Представим себе, что Землю по экватору обтянули веревкой, а затем ее длину увеличили на 1 м. Определите, может ли в зазор: а) который образует экватор с окружностью из удлиненной веревки, концентрической с экватором, пролезть мышь (рис. 360); б) между поверхностью Земли и максимально оттянутой в каком-либо месте удлиненной веревкой пройти слон (рис. 361). 970. Найдите отношение длин окружностей, вписанной в данный правильный п-угольник и описанной около него. 971. Докажите, что: а) длина l дуги окружности пропорциональна соответствующему центральному углу а при одном и том же радиусе R; б) длина l дуги окружности пропорциональна радиусу R при одном и том же центральном угле а; в) длины l1 и l2 двух дуг одной окружности относятся как их градусные меры. 972. Конус с радиусом основания R и высотой H положили боком на плоскость и покатили (рис. 362). Установите, сколько оборотов сделает основание конуса, пока конус вернется в исходное положение. 973. В окружности с радиусом R проведена хорда длиной R. Найдите длины дуг, стягиваемых этой хордой. 974. Найдите, под каким углом видна из центра окружности с радиусом r ее дуга длиной l. Рис. 360 Рис. 361 Рис. 362 269 Правообладатель Народная асвета 975. Найдите величину центрального угла, который опирается на дугу, равную радиусу окружности. 976. В окружности с радиусом R найдите хорду, концы которой разделяют окружность на такие дуги, что: а) одна из них в два раза больше другой; б) длина одной из них составляет 20 % длины другой; в) длина одной из них составляет 125 % длины другой. 977. Учитывая, что радиусы всех окружностей равны г, найдите длину сплошной линии на рисунке: а) 363; б) 364; в) 365. 978. Учитывая, что сторона квадрата O1O2O3O4 равна а, а радиусы всех дуг равны этой стороне, найдите длину сплошной линии на рисунке 366. 979. Из точки проведены две касательные к данной окружности. Найдите длины дуг, на которые точки касания разделяют окружность, учитывая, что точка касания отстоит от данной точки на а, а угол между касательными равен ю. 980. На часах 12.00. Найдите путь, который пройдет конец минутной стрелки длиной l, пока она догонит часовую стрелку. 981. Есть отрезок MN. Нужно из точки M попасть в точку N, двигаясь только по полуокружностям, диаметры которых лежат на отрезке MN, причем соседние диаметры не накладываются друг на друга. Найдите кратчайший путь. 982. Автомобиль едет по дуге окружности. Объясните, почему его внешние колеса едут с большей скоростью по сравнению с внутренними. Найдите зависимость отношения их скоростей от радиуса поворота. Правообладатель Народная асвета Рис. 367 983. Найдите длину дуги окружности с радиусом 18 см, учитывая, что ее градусная мера равна: а) 30°; д) 120°; б) 45°; е) 135°; в) 60°; ж) 150°; г) 90°; з) 175°. 984. Шлифовальный камень в форме диска находится в защитном кожухе (рис. 367). Найдите длину дуги незащищенной части камня, учитывая, что диаметр камня равен 36 см, а дуга незащищенной его части составляет 115°. 985. Найдите длину маятника настенных часов (рис. 368), учитывая, что угол его колебаний составляет 36°, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 16 см. 986. Найдите градусную меру дуги закругления железнодорожного полотна, радиус которого равен 4 км, а длина — 400 м. 987. Шкив диаметром 1,4 м делает 100 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива. 988. Учитывая, что радиус Земли равен 6371 км, установите, какой угол ограничивают диусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, стоящие на: а) 1 км; в) 100 км; д) 10 000 км; б) 10 км; г) 1000 км; е) 20 000 км. 989. Радиус окружности равен 1 м. Найдите длину ее ги, градусная мера которой равна: а) 45°; в) 120°; д) 60°30'; б) 30°; г) 45°45'; е) 150°36'45". Рис. 368 ра- от- ду- 271 Правообладатель Народная асвета 990. Хорда окружности равна а. Найдите длину ее дуги, градусная мера которой равна: а) 60°; б) 90°; в) 120°; г) 176°. 991. Дуга окружности равна l. Найдите ее хорду, учитывая, что градусная мера дуги равна: а) 60°; б) 90°; в) 120°; г) 176°. 992. В единичной окружности проведены хорды длиной ^/2 и л/3. Найдите отношение меньших дуг, соответствующих этим хордам. 993. Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно 9,42 мм. Диаметр колеса равен 900 мм. Найдите количество зубьев колеса. 994. Центр меньшей окружности с радиусом r находится на большей окружности с радиусом R. Найдите длину дуги большей окружности внутри меньшей окружности, учитывая, что длина дуги меньшей окружности внутри большей окружности равна l. 995. Из курса физики вы знаете, что качество измерения или вычисления характеризует относительная погрешность. Найдите отношение периметра правильного вписанного п-угольника к диаметру описанной окружности и установите относительную погрешность замены числа п этим отношением, учитывая, что значение переменной п равно: а) 6; б) 8; в) 12. 996. В древности в качестве приближенного значения числа п использовали числа V10, yl^. Оцените эти прибли- жения, сравнив их относительные погрешности. 997. Внутри окружности с радиусом R расположена цепочка из п равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, учитывая, что этих окружностей: а) 3 (рис. 369); б) 4 (рис. 370); в) 6 (рис. 371). Правообладатель Народная асвета 998. Вне окружности с радиусом R расположена цепочка из п равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, учитывая, что этих окружностей: а) 3 (рис. 372); б) 4 (рис. 373); в) 6 (рис. 374). 999. Упростите выражение: а) б) в) г) а) б) 1 1 2г 4 г3 8 г' г - c г + c 1 s (s + 1) q4 - (q - 1)2 (q2 + 1)2 - q2 (s + 1)( s + 2) (s + 2)(s + 3) (s + 3)( s + 4)’ + q- - (q2 - 1)2 + q2( q - 1)2 - 1, q2( q +1)2 -1 q4 - (q + 1)2 d2 /1 - 1 \ + f2 (1 - 1 \ + ^2 ( 1 - 1 f g g d d f d(g - f) + ^(d - g) + g(f - d) fg dg df 1000. Решите неравенство: y2 - 7 y - 8 y2 - 64 5a2- 3a - 2 ^ d 4 2 c - 5 c + 2 ^ ^ 0; в) ^+4Г+Т ^ 0; > 0; г) < 0; г2 - 4 1 - a2 1001. Решите неравенство: а) (2x + 8)(3x - 2)(5 - 2x)(3 + 3x) > 0; б) (2y + 8)(3y - 2)3(5 - 2y)5(3 + 3y)7 < 0; в) (2г + 8)2(3г - 2)4(5 - 2г)6(3 + 3г)8 < 0; г) (2a + 8)2(3a - 2)3(5 - 2a)4(3 + 3a)5 > 0; д) (2c + 8)3(3c - 2)5(5 - 2c)2(3 + 3c)8 < 0; е) (2e + 8)6(3e - 2)(5 - 2e)3(3 + 3e) > 0. д) е) b2 -16 2b2 + 5b -12 d2 - 2d - 35 12d2 - 11d + 2 > 0; < 0. 273 Правообладатель Народная асвета 1002. Установите, существует ли прямоугольник, у которого периметр и площадь соответственно равны: а) 40 см и 84 см2; б) 40 см и 105 см2. 1003. Через точкуA, взятую вне окружности с радиусом В, одна секущая проведена через центр, другая — на расстоянии В от центра. Найдите площадь части круга, заключенной между этими секущими. 1004. Есть четырехугольник TUVX, в котором углы XTU и XUV прямые, а стороны XU и XV соответственно равны a и b. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки X, T и U, а другая — через точки U, V и X. 1005. Запишите трехзначное число, первая цифра которого превышает последнюю не меньше чем на 2. Найдите разность его и обращенного числа и прибавьте число, обращенное полученному. Объясните, почему в результате получается 1089. 1006. Прямая l пересекает стороны AB, AD и диагональ AC параллелограмма ABCD в точках M, N и K соответственно. Докажите, что + ВВ = ВВ. AM AN AK 1007. Докажите, что сумма 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 ни при 2 3 4 5 n каком натуральном n больше 1 не является целым числом. 23. Площадь круга Формулу для нахождения площади круга можно получить, используя формулу S = 1 Pr, связывающую площадь S многоугольника, его периметр P и радиус r вписанной в него окружности, и формулу C = 2пг, которая длину C окружности выражает через ее радиус r. А) Теорема 5. Площадь S круга с радиусом r выражается формулой S = nr2. Доказательство. Пусть есть круг с радиусом г. Опишем около него правильный n-угольник (рис. 375). Тогда его пло- 274 Правообладатель Народная асвета •к •к •к щадь Sn выразится через его периметр Pn и радиус r круга формулой Sn = 1 Pn П 2 n r. Если значение переменной n возрастает, то площадь Sn многоугольника приближается к площади S круга, значение переменной Pn убывает и стремится к длине C окружности, которая равна 2пг. Значит, 2пг • r = nr2. S = 1 Б) Теорема 6. Площадь Sa сектора с радиусом r и центральным углом с градусной мерой а выражается формулой Sa = 360 ■ %r Доказательство. Пусть есть сектор с радиусом r, ограниченный дугой с градусной мерой а (рис. 376). Площадь сектора, ограниченного дугой в 1°, составляет 360-ю долю площади всего круга с радиу- сом r, т. е. равна 1 360 • nr2. Поэтому для площади Sa данного сектора получим: Sa = 1 360 • nr • а = а 360 • nr Рис. 376 Поскольку площадь Qa сегмента с ^ радиусом r, ограниченного дугой с гра- Рис. 377 дусной мерой а, можно найти, если из площади сектора вычесть площадь треугольника, ограниченного радиусами и хордой (рис. 377), то верна формула Qa = liЛ^а- sin а а 2 \180 А Чтобы найти длину окружности и площадь круга, нужно знать значение числа п. Для его вычисления делалось много попыток. Одну из них мы обсуждали в параграфе 22, когда находили значение числа п через правильные многоугольники, вписанные в окружность и описанные около нее. Эту проблему пытались решить еще в Древней Греции через построение линейкой и циркулем квадрата, площадь которого была бы равной площади круга. Проблема получила название квадратуры круга. 275 Правообладатель Народная асвета Ее долго не удавалось решить, и только в 1882 г., примерно через две тысячи лет после возникновения этой проблемы, немецким математиком Ф. Линдеманом (рис. 378) было доказано, что это вообще невозможно сделать. Теперь словосочетание квадратура круга часто означает неразрешимую задачу. С правильными многоугольниками связана так называемая изопериметрическая задача по нахождению фигур наибольшей площади при заданном периметре. Доказано, что из всех фигур, ограниченных замкнутой линией данной длины, круг имеет наибольшую площадь, а среди всех д-угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный д-угольник. А (у 1. Запишите формулу площади круга и объясните, что означает каж-• дая ее буква. 2. Какая часть круга называется сектором? Как найти площадь сек- Рис. 378 тора ? 1008. Перечертите таблицу в тетрадь и, взяв число 3,14 в качестве значения числа п, заполните ее пустые клетки, где S обозначает площадь круга, а R — его радиус. S 90 64п 6,25 R 12 50 2 7 108,6 V3 1009. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью с длиной C. 1010. Найдите площадь кругового кольца, ограниченного концентрическими окружностями с радиусами: а) 40 мм и 60 мм; б) 55 мм и 65 мм; в) а и b, причем а > b. 1011. Установите, во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: а) в 2 раза; б) в 5 раз; в) в k раз. 1012. Установите, может ли сумма радиусов некоторого количества кругов быть больше 100, а сумма их площадей — меньше 0,01. 276 Правообладатель Народная асвета 1013. Используя формулу площади круга: а) укажите, пропорциональность каких величин она выражает; б) докажите, что площади кругов относятся как квадраты их радиусов; в) найдите зависимость площади круга от длины соответствующей окружности. 1014. Найдите площадь круга, описанного около: а) равностороннего треугольника со стороной 6; б) прямоугольного треугольника с катетом a и острым углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием c и высотой h; г) равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 30 и боковой стороной 10; д) равнобедренной трапеции с основанием 10, которое составляет с боковой стороной и с диагональю углы в и у соответственно. 1015. Найдите площадь круга, вписанного в: а) равносторонний треугольник со стороной, равной 3; б) прямоугольный треугольник с гипотенузой c и острым углом ф; в) равнобедренный треугольник с боковой стороной a и высотой h; г) равнобедренную трапецию с основаниями 30 и 70; д) равнобедренную трапецию с основанием 40 и углом в при основании. 1016. Найдите площадь кольца, радиусы ограничивающих окружностей которого равны R1 и R2, учитывая, что R1 и R2 соответственно равны: а) 15 см и 25 см; б) 2,3 м и 4 м; в) 240 мм и 2,8 дм. 1017. Найдите, какой радиус имеет окружность, целиком принадлежащая кругу и разделяющая его площадь пополам. 1018. Учитывая, что круг и квадрат имеют одинаковые: а) периметры, сравните их площади; б) площади, сравните их периметры. 1019. Кольцо ограничивают две концентрические окружности, отношение радиусов которых равно 0,9. Определите, какая часть большего круга лежит в кольце. 277 Правообладатель Народная асвета Рис. 379 1020. Найдите формулу, связывающую площадь S кольца, его ширину d (рис. 379) и длину C окружности, равноудаленной от границ кольца. 1021. На мишени есть четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трех колец мишени. 1022. Укажите, как круг с радиусом R разделить концентрическими окружностями на 5 равновеликих фигур. 1023. Найдите толщину слоя, который нужно снять с круглой медной проволоки с площадью поперечного сечения 314 мм2, чтобы она прошла через отверстие диаметром 18,5 мм. 1024. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах этого треугольника. 1025. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных кругов. 1026. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: а) квадрата; б) правильного треугольника; в) правильного шестиугольника. 1027. На рисунке 380 представлена фигура, граница которой состоит из трех полуокружностей, причем диаметры AM и AN меньших полуокружностей вместе составляют диаметр MN большей полуокружности. Такая фигура называется арбе-лосом Архимеда. Докажите, что площадь этой фигуры равна 1 п • АБ2, где отрезок AB — та часть общей касательной к меньшим полуокружностям в точке их касания, которая принадлежит арбелосу. д 1028. На прямой p выбрали точки А, В, С, D в указанном порядке, причем отрезки AD и ВС оказались равными k и l соответственно. Найдите площадь фигуры, ограниченной полуокружностями с диаметрами АВ, АС, BD и CD, учитывая, что две первые полуокружности рас- 278 Правообладатель Народная асвета положены по одну сторону от прямой р, а две другие — по другую сторону. 1029. Определите, какую часть площади круга составляет площадь его сектора, ограниченного дугой с градусной мерой в: а) 15°; б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 120°; е) 180°; ж) 270°; з) 315°. 1030. Определите, какую часть площади круга составляет площадь его сектора, ограниченного дугой, длина которой равна: а) радиусу круга; б) диаметру круга; в) числовому значению площади сектора. 1031. Из круга, радиус которого равен 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга. 1032. Найдите радиус сектора с центральным углом 72°, площадь которого равна S. 1033. Найдите площадь закрашенной части квадрата со стороной а, показанного на рисунке 381. 1034. Найдите площади частей, на которые круг с радиусом R разделяется его хордой, видной под углом а из центра круга. 1035. Две параллельные хорды стягивают дуги в 150°. Какую часть круга они ограничивают? 1036. Две параллельные хорды AB и CD отсекают от окружности дуги по 90° (рис. 382), а еще две хорды PQ и RS, параллельные хорде AB, разделяют оставшиеся дуги на доли. Определите, в каком отношении эти хорды разделяют круг. 1037. Прямая делит окружность на дуги в отношении 5 : 7. Найдите отношение площадей образовавшихся частей круга. 1038. Найдите площадь части круга, заключенной между двумя его параллельными хордами длиной a и b. 279 Рис. 381 90° Рис. 382 Правообладатель Народная асвета 1039. Когда в единичном круге провели хорду длиной 1, то площадь меньшего из полученных сегментов оказалась равной S. Найдите угол сектора, площадь которого также равна S. 1040. В единичном круге проведены две непересекающиеся хорды длиной л/2 и которые разделили круг на три части, причем площадь наибольшей части оказалась больше 2,3. Найдите площадь меньшей части. 1041. Найдите площадь пересечения и объединения двух кругов с радиусами 1 и V3, расстояние между центрами которых равно 2. 1042. Найдите площадь общей части четырех единичных кругов, центры которых находятся в вершинах единичного квадрата. 1043. Найдите радиусы равных кругов, целиком накрывающих данный единичный круг, учитывая, что всего использовано кругов: а) 3; б) 4; в) 5; г) 6. 1044. Есть отрезок MN и перпендикулярная ему прямая l. Пусть A — произвольная точка прямой l. Докажите, что площадь фигуры, образованной при вращении отрезка MN вокруг точки А, не зависит от положения точки A. 1045. Вершины правильного шестиугольника со стороной 2 являются центрами кругов с радиусом V2. Найдите площадь расположенной вне этих кругов части шестиугольника. 1046. Упростите выражение: а) 11 + 4x2 + у2 1 3У 4x2 - yV \2x - у у2 - 4x2 2x + у J’ x + у у + z z + x б) ^-----------Т ^------------т + (у - z)(z - x) (z - x)(x - у) (x - у)(у - z)’ 1 1 1 1 в) —^—+ г) a (a + 1) (a + 1)( a + 2) (a + 2)( a + 3) (a + 3)( a + 4)’ 1,1,1 (s - d)(s - f) (d - f )(d - s) (f - s)(f - d) 1047. Решите неравенство: а) z4 - 4z2 + 4 < 0; в) б) 3 ; г) ' v + 2 4v-1 ^ 5 - u 2u - u2 > 1; > ■ 280 Правообладатель Народная асвета a a 1048. Решите неравенство: а) (г - l)2(r2 - 2) < (r - 1)2(6 - 2r); б) (s - 1)3(s - 2)(2s - 3) < (s - 1)3(s - 2)2; в) (t - 4)3(t2 - 10t + 25) > (t - 4)3(5 - t); г) (u - 1)(2u - 4)(u - 3)2 < (u2 - 3u + 2)(u - 3)2 д) (v2 - 4v + 4)(3v2 - 2v - 1) < 0; е) (9ш2 - 6w + 1)(w2 - 6w + 8) > 0; ж) (x2 + x)2(7x2 - 5x - 2) > 0; з) (5y2 + 6y + 1)(y4 - 4y3 + 4y2) < 0. 1049. Решите уравнение: а) x + ^ 3 + lx - 2x + 1 = 4; б) 2 + Va^ ^x - 2x + 1 = x. 1050. Через один конец хорды длиной 10 см проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная этой касательной. Найдите радиус окружности, учитывая, что отрезок секущей внутри окружности имеет длину 12 см. 1051. Через точки M и N, выбранные на стороне AB треугольника ABC так, что AM : MN : NB = 1 : 2 : 3, проведены прямые, параллельные стороне AC. Найдите площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, учитывая, что площадь треугольника ABC равна S. 1052. Углы BAH и ABH, где H — точка пересечения высот треугольника ABC, соответственно равны а и р. Найдите углы треугольника ABC. 1053. Когда два прута с квадратными сечениями объемами 720 см3 и 480 см3 сплавили в один с площадью сечения, равной сумме площадей сечения исходных прутов, то получился прут длиной 48 см. Найдите размеры прутов, учитывая, что длина первого из них была на 50 см больше, чем длина второго. 1054. Когда из двух прямоугольников с площадями 2546 мм2 и 5529 мм2 образовали их перекраиванием прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен сумме меньших измерений прямоугольников, то другой катет оказался равным 170 мм. Найдите измерения исходных прямоугольников, учитывая, что большее измерение прямоугольника с большей площадью было на 30 мм больше большего измерения другого прямоугольника. 281 Правообладатель Народная асвета 1055. Докажите, что для любой точки M, взятой внутри правильного п-угольника, найдутся такие его вершины A и B, что 1 -1 180° < Z AMB < 180°. 1056. Докажите, что числа 49, 4489, 444 889 и все другие, которые получаются после вписывания в середину предыдущего числа цифр 4 и 8 в указанном порядке, являются точными квадратами. 1057. Докажите неравенство 2500п - 100 < s\l • 199 ^2 • 198 + ^ + ^99 • 101 < 2500 п. Правообладатель Народная асвета •к •к •к Раздел VIII Основы школьной математики 24. Аксиоматический метод Результатом изучения вами одной из самых древних наук — математики — стало усвоение основных фактов, касающихся чисел, выражений с переменными, геометрических фигур. Пришло время ответить на вопрос о том, как устроена математика. Основу математической теории составляют математические утверждения, которые выражают свойства понятий или отношения между ними. Понятие вводится в теорию с помощью определения. Например, понятие квадрата можно ввести таким определением: Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Чтобы дать такое определение, нужно предварительно определить те понятия, которые в нем использованы: прямоугольник, равные стороны. Понятие прямоугольника вводится определением с определяющим «Параллелограмм, у которого есть прямой угол». Параллелограмм определяется как четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Определение четырехугольника имеет определяющим словосочетание «Простая замкнутая ломаная вместе с внутренней областью». Понятие простой замкнутой ломаной вводится через понятие ломаной, которое, в свою очередь, опирается на понятие отрезка. Отрезок определяется как множество, состоящее из двух точек прямой и всех точек, лежащих между ними. В результате мы дошли до понятий точки и прямой, которые уже не сводятся к другим. Таким образом, процесс введения понятий определениями должен иметь свое начало — определенный набор понятий, которые не вводятся через другие понятия. Их так и называют — неопределяемые понятия теории. К таким понятиям относятся уже указанные понятия точки и прямой. 283 Правообладатель Народная асвета ^^доказательство Рис. 383 Утверждение становится компонентом теории после того, как оно доказано. При доказательстве некоторого утверждения мы ссылаемся на определения и ранее доказанные утверждения (рис. 383). Доказывание этих утверждений потребует использования утверждений, доказанных еще раньше. Понятно, что этот процесс не может быть бесконечным. Процесс последовательного доказывания утверждений, как и процесс последовательного определения понятий, должен иметь свое начало — определенный набор утверждений, которые не доказываются. Такие утверждения называют аксиомами. Аксиомы, в которых формулируются основные свойства неопределяемых понятий, дают их косвенное определение и составляют основу доказательств теорем. При изучении геометрии мы через две данные точки проводили прямую и считали, что такая прямая есть только одна. Однако почему нельзя допустить, что через эти две точки можно провести еще одну прямую (рис. 384)? Такое невозможно, говорим мы, так как прямая не имеет изгибов, она ровная, одинаково расположенная относительно всех своих точек. Но это наше представление нужно явно и точно выразить, т. е. нужна специальная аксиома. Мы часто пользовались тем, что прямая, проходящая через внутреннюю точку круга, пересекает его окружность в двух точках. Мол, это очевидно (рис. 385). Однако почему нельзя допустить, что как раз там, где прямая должна пересечь окружность, на ней нет никакой точки, там будто бы «дыра» и окружность переходит с одной стороны прямой на Правообладатель Народная асвета другую, не пересекая прямую? Мы говорим, что такое невозможно, так как прямая сплошная, непрерывная, в ней нет «дырок». Но это наше представление о прямой нужно «узаконить» специальной аксиомой, которая называется аксиомой непрерывности. При измерении отрезков мы считаем, что данным отрезком, принятым в качестве единицы измерения, можно измерить любой другой отрезок. А почему нельзя допустить, что найдется такой длинный отрезок, что сколько бы раз мы ни откладывали на нем принятую единицу измерения, все еще будет оставаться часть отрезка, большая единичного отрезка? Мы считаем, что такое невозможно. Но тогда соответствующее утверждение нужно доказать или принять в качестве аксиомы. Это поняли еще древние греки и высказали аксиому «Для любых двух отрезков a и b найдется такое натуральное число п, что na > b», которая теперь называется аксиомой Архимеда. После выделения основных понятий теории и формулирования ее аксиом все дальнейшие утверждения выводятся логическим путем, т. е. являются следствиями из аксиом. Такой способ построения научной теории называют аксиоматическим методом. В математике аксиоматический метод оформился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом его применения стала геометрическая теория Евклида, изложенная под названием «Начала» (около 300 до н. э.). Евклид (рис. 386) подытожил предшествующее развитие греческой математики и создал фундамент ее дальнейшего развития. По его «Началам» на протяжении многих столетий изучали геометрию во всех школах, влияние « Начал» ощущается и в современных школьных учебниках. Рис. 386 1. Какие понятия теории называют неопределяемыми понятиями? • 2. Какое утверждение теории называется ее аксиомой; теоремой? 3. Какой метод построения теории называют аксиоматическим методом? 285 Правообладатель Народная асвета Отрезок Определяемое понятие множество, состоящее из двух точек прямой и всех ее точек, лежащих между ними. Определяющее понятие Рис. 387 1058. В определении Отрезком называется множество, состоящее из двух точек прямой и всех ее точек, лежащих между ними определяемым является понятие отрезок и определяющим — понятие множество, состоящее из двух точек прямой и всех ее точек, лежащих между ними (рис. 387), причем определяющее использует понятия: множество, точка, прямая, точка лежит между двумя другими точками. Выделите понятия, использованные в определяющем определения: а) угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны имеют с окружностью общие точки, называется вписанным углом; б) точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника; в) рациональным неравенством называется неравенство вида q(x) V 0, где символ V обозначает один из знаков неравенства <, >, <, >, Ф, а q(x) — некоторое рациональное выражение; г) правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны равны друг другу и все углы равны друг другу; д) последовательность, которая является убывающей функцией, называется убывающей последовательностью; е) числовая последовательность, у которой любой ее член, начиная со второго, получается из предыдущего члена прибавлением одного и того же числа, называется арифметической прогрессией; ж) неотрицательный корень из неотрицательного числа называют арифметическим корнем; з) рациональные и иррациональные выражения вместе составляют множество алгебраических выражений; 286 Правообладатель Народная асвета и) иррациональным неравенством называется неравенство, которое содержит действие извлечения корня из выражения с переменной. 1059. Выделите понятия, использованные в определяющем определения: а) точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника; б) функция, областью определения которой является множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью; в) способ задания последовательности, при котором явно указывается первый член или несколько первых членов и формула, позволяющая найти любой член последовательности по известным предыдущим членам, называют рекуррентным заданием последовательности; г) числовая последовательность с не равным нулю первым членом, в которой любой ее член, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на определенное, не равное нулю число, называется геометрической прогрессией; д) квадратным корнем из числа a называется такое число, квадрат которого равен а; е) выражение с переменными называется иррациональным выражением, если оно содержит хотя бы одно действие извлечения корня из выражения с переменными; ж) иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее действие извлечения корня из выражения с переменной. 1060. Выделите условие и заключение в теореме: а) если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания; б) если четырехугольник является описанным около окружности, то у него равны суммы противоположных сторон; в) если дискриминант квадратного трехчлена ах^ + bx + c отрицателен, то его значения при всех значениях переменной х имеют тот же знак, что и старший коэффициент а; г) если дискриминант квадратного трехчлена ах2 + bx + c равен нулю, то его значения при всех значениях переменной х, отличных от корня трехчлена, имеют тот же знак, что и старший коэффициент а; 287 Правообладатель Народная асвета д) если число a — наибольший корень многочлена q(x), то значение функции у = q(x) при значении переменной х, большем а, совпадает по знаку со значением старшего коэффициента этого многочлена; е) если любой член некоторой последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов, то такая последовательность является арифметической прогрессией. 1061. Выделите условие и заключение в теореме: а) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается; б) вписанный угол, который опирается на диаметр, является прямым; в) отрезки двух касательных, проведенных через одну точку, заключенные между этой точкой и точками касания, равны друг другу; г) биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности; д) внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним; е) биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам; ж) стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов; з) из треугольников, на которые диагонали разделяют трапецию, треугольники, прилежащие к ее основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики; и) при n > 1 и < п2 если 0 < х < 1, то xni > хП2, а если х > 1, то xni < хп2; к) произведения любой пары членов конечной геометрической прогрессии, равноудаленные от ее концов, равны друг другу. 1062. Рассмотрим теорему «Если а < b, то b > а» и ее доказательство. Пусть а < b. Тогда по определению отношения меньше можно записать, что а - b < 0. Это означает, что разность а - b есть отрицательное число. Значит, число -(а - b), противоположное этой разности, есть положительное число: -(а - b) > 0. Учитывая, что -(а - b) = -а + b = b - а, получим 288 Правообладатель Народная асвета b - a > 0. А это в соответствии с определением отношения > позволяет записать: b > a. Рисунок 388 явно показывает структуру доказательства, здесь отчетливо видно, как, исходя из условия a < b, происходит последовательный переход к новым утверждениям-следствиям с явным указанием тех утверждений, на основании которых происходит соответствующий переход, пока не получится заключение b > a. Рис. 388 289 Правообладатель Народная асвета Проанализируйте таким же образом доказательство теоремы «Если a < b и c — произвольное число, то a + c < b + c». Пусть a < b. Тогда в соответствии с определением отношения меньше истинно условие a - b < 0, т. е. a - b является отрицательным числом. Поскольку a - b = (a + c) - (b + c), то число (a + c) - (b + c) также отрицательное. Это означает, что неравенство a + c < b + c истинно. 1063. Проанализируйте доказательство теоремы. а) «Если a < b и c — отрицательное число, то ac > bc»: Пусть a < b и c — произвольное отрицательное число. Тогда в соответствии с определением отношения < истинно условие a - b < 0, т. е. a - b является отрицательным числом. Поскольку ac - bc = (a - b)c, то число ac - bc положительное как произведение двух отрицательных чисел. Это означает, что неравенство ac > bc истинно; б) «График функции у = -f(x) получается из графика функции у = f(x) симметричным отражением относительно оси абсцисс»: Пусть точка M(a; b) принадлежит графику функции у = f(x), т. е. b = f(a). Тогда точка N(a; -b) принадлежит графику функции у = -f(x), поскольку -f(a) = -b. Точки M(a; f(a)) и N(a; -f(a)) симметричны друг другу относительно оси абсцисс (рис. 389). Это означает, что график функции у = -f(x) получается из графика функции у = f(x) симметричным отражением относительно оси абсцисс. 1064. Рассмотрим теорему «Если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным» и ее доказательство. Пусть отрезок OO^ — биссектриса и высота треугольника NOP (рис. 390). Тогда Z NOOi = Z POOi, а Z NOiO = Z POiO = 90°. Учитывая, что отрезок OOi — общая сторона треугольников NOiO и POiO, по второму признаку равенства треугольников получим, что А NOiO = А POiO. Поэтому NO = PO. Рисунок 391 представляет струк-Рис. 390 туру этого доказательства. 290 Правообладатель Народная асвета Рис. 392 Рис. 391 Проанализируйте таким же образом доказательство теоремы «Если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным». Пусть в треугольнике KLM отрезок LL-^ — медиана и высота (рис. 392). Тогда KL^ = ML^, а Z KL^L = Z ML^L = 90°. Учитывая, что отрезок LL^ — общая сторона треугольников KL^L и ML^L, по первому признаку равенства треугольников получим, что А KL^L = А ML^L. Поэтому KL = LM. Правообладатель Народная асвета 1065. Найдите значение выражения: 20 137 ) : 2 + 23.4; 10 J 40 ’ 1 - 2 ] + (1 + 5) : 61; 2 5J \4 61 3’ ^13 \ . 4 + (323 - 2^] ■ ■ 33; 24 7 \ 18 12/ 17’ _5_ 12 г) (292 + 2^^ ] : 2813 - 4 • -3. ^ \ 5 4^ 16 8 1066. Представьте многочленом стандартного вида выражение: а) (х + 2)(x2 - 5x + 6) + (2 - x)(x2 - x - 2); б) (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c); в) (3l - 5k + 8j)(2l - 3k) + (2l - 5k + 6j)(3k - 21); г) (2h - 3g + 4f)(5h + 4g) - (3h - 2g)(3g - 2h - 4f). 1067. Учитывая тождество a^ + b^ = (a + b)(a^ - ab + b2), разложите на множители выражение: а) c3 - 216; г) 0,008 + y6; ж) (2c + 1)3 - 27; б) k3 + 512; д) x6 + 0,625; з) 8 - (3 - k)3; в) 0,001 - a3b3; е) x^3 - y^3; и) 8x3 - (5x - 3)3. 1068. Разложите на множители выражение: ж) ш3 + 2mn - 15n3; з) 10g3 - 29gf + 10f2; и) j2 - 2jh + h2 - g2; к) h^ - h3 + h2 - 1; л) 27l3 - 8k3; м) - c^. 1069. Разложите на множители выражение: а) x3 - 4x2 + 20x - 125; в) (x3 - 27)2 - 81x2(x - 3)2; б) 2'7y3 - 3y2 + 2y - 8; г) 9a2b2(a + b)2 - (a3 + b3)2. 1070. Докажите, что при любом натуральном значении k а) 6er - 2tr - 3e + t; б) 9s2 - 6sd + d2 - f2; в) p3 - - p + 1; г) c2 - c - 12; д) (q + z)^- (q - z)2; е) a^ + a3 + a + 1; значение выражения (2 k +1)4 -1 4 k2 + 4 k + 2 1071. Упростите выражение: кратно 8. а) kl + km - nl - mn _ в) e2 - r2 - et + rt ; д) kl - km - nl + mn ’ er + et + r2 -12 б) m2 - (n - b)m - nb _ г) 2z2 - zy - 3y2 ; е) 2 ; m + bm + nm + nb 2z2 + 5zy + 3y2 ’ 292 q2 - r2 + s2 + 2qs ; q2 + r2 - s2 + 2rs ’ s2 + d2 - f2 + 2sd ; s2 - d2 + f2 + 2sf ’ Правообладатель Народная асвета 4 ж) g - gh - gj + hj; Й2 - gh - hj + gj’ , x - xy + z - zy з) Тз 73 и) к) 2 2 2 2 1 ’ m n - m - n + 1 p - p - 42 y - зy + Зy -1 p + p - 30 1072. Упростите выражение: 2m - 3 3m - 3 5 a + 4 а) x2 + xz + z2 + б) r3 - cr + c - 2z3 2c x - z 3 д) е) 3m -1 4m + 4 3a - 2 m+2 a2 - 2a - 14 a-2 a-3 a2 - 5 a + 6 . 5b -1 в) —2---------+ 2b + 1; b2 - 2b + 3 q„2 _3 г) 1 - 2n + ж) s + 1 s + 4 '-s -12 1 - 3n + 2n2 з) d - 4 2d -1 ' + 4 s + 3 2 2s - 6 , 2 - 3 s - 4 ' 3d - 5 5d2 + 9d + 14 + d+2 2d2 + 3d - 2 1073. Найдите значение выражения _ q \ : 4q а) 6q + ' q б) q - 2 q + 2 I ' q4 - 2q3 + 8q - 16 -1 s +1 1 s 1 3 — ^ —- — I при s = _^; при q = -2,5; +1 s -^ \2 4 4s z + ^3 z3 + 4 z2 + 4 z в) U732!: - 3z2 - 12z + 12 3 33 при z = -0,5; \p + d p2 + 2 pd + d2 p + d p2 - d2 при p = -2,5; d = -0,5. а) б) 1074. Упростите выражение: д) 1 + 1 + 1 1 - q 1 + q 1 1 1- 1 - q 1 + q e e + 1 a+2 e-1 e-1 е) 1 - 1- и) к) e - 2 + 3 __________^ ; 1+---2’ e e2 1 - i i2 l - к e +1 e s + d z+1 . s - d в) ---------F (s + d )2 ж) 1 + 2+ г) 2 j2 ^ - d f - g + f + g f + g f - g L + g g f з) p- j 2 3h 1 . л) h j . 1 ; j +3h 4; 3 + - hj q c - 1 + A м) 4 4c ; c 6 , 1 . p- 2 c ^ 2 1-p 293 Правообладатель Народная асвета m2 - 1 + a z z 1 1075. Упростите выражение: а) ^4 • (qz-^ - zq-^) z1 - q1 z1 + q1 z-1 + q-1 z-1 - q-1 б) в) г) Л2 (mn 1 -1)2 n2 (m 2 + n 2) m(1 + m 1n)2 m(mn 1 - m 1n)/ mn 1 + 1 1 + kl^1 k^1 - l^1 kl -2 ,-2 S - d l - k’ + s (s2 - 2sd + d2)-1. 1076. Упростите выражение -1 + t и найдите его значение при e = 0,1; t = 1 и r = 1. 8 а) б) 1077. Решите уравнение: P ,2 p _ 1 3(P2 - 1) 3(1 - P4) 1 + 7,5 P (1 + P2) 9 2(у2 + 1) y2(1 - y4) 2y2(y2 - 1)^ в) (t + 5)4 - 13(t + 5)2t2 + 36t4 = 0; г) f f 10 9 ' f -1 f +1 1078. Докажите неравенство: а) (x + у)2 > 4xy; в) 4m2 - 6mn + 5n2 > 0; 5)^^ < 1; г) a2 + b2 + c2 + 3 > 2(a + b + c). a2 +1 1079. Решите неравенство: а) (q + 1)(q - 2) > 0; д) (e - 1)(e + 2) > e + 2; 5) a(3 - a) > 0; е) (d + 4)(d + 6) < 6(d + 6); в) (z - 4)(1 - 3z) < 0; ж) (2c + 3)(3c - 2)(c2 + 2) < 0; г) (1 - s)(6 - s) < 0; з) (r - 8)(8 - 5r)(r - 2)2 > 0. 1080. Решите неравенство: а) 12x4 + 4x3 - 41x2 + 4x + 12 < 0; 5) x5 + 7x4 + 15x3 + 9x2 - 49x - 49 > 0; x (x - 1)2 в) —2—^ (x2 - x + 1)2 294 < 2; 9 Правообладатель Народная асвета + г) д) е) а) б) в) г) x - — x 24 x2 - 2x 4 x + 7 > + 4(x - — x 12 + 3 < 0; + x - x; 1 - 3^ . 8 -2x „ + ----- > ------ + 3. x + 1 x + 2 x -1 1081. Решите систему: \'7q2 - 3e2 + 5qe - 2q - 27 = 0, [q + e = 5; [2r2 - 5rt + t2 + 10r + 12t = 100, [2r - 3t = 1; ^2a2 - as - s2 + 2a - 2s + 6 = 0, [s - a = 1; [d2 + 2df + 3f2 - 48d + 4f - 4 = 0, [3d + f = 2. 1082. Решите уравнение: а) x7 - x = 0; б) 8q4 + y = 0. 1083. На одной стороне прямого угла на расстояниях a и b от его вершины отмечены две точки. Найдите радиус окружности, проходящей через эти точки и касающейся другой стороны угла. 1084. Окружность с радиусом 13 касается двух смежных сторон квадрата. Определите, в каком отношении она делит другие стороны, учитывая, что сторона квадрата равна 18. 1085. В прямоугольный треугольник с катетами a и b вписана окружность. Найдите наименьшее расстояние от точек окружности до вершины прямого угла. 1086. Найдите сторону квадрата, две вершины которого лежат на окружности с радиусом г, а две другие — на касательной к этой окружности. 1087. В треугольнике ABC известны стороны: BC = a, CB = b, AB = c. Найдите отношение, в котором биссектриса угла B делится точкой пересечения с другой биссектрисой. 1088. Точки касания сторон ромба с вписанной в него окружностью делят стороны в отношении 2 : 3. Найдите синус угла ромба. 1089. На основании KM равнобедренного треугольника KLM взята такая точка X, что KX = a, XM = b, и в треуголь- 295 Правообладатель Народная асвета ники KLX и MLX вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей c отрезком LX. 1090. Париж, Марсель, Лион, Тулуза, Ницца — крупнейшие города Франции. Население Лиона относится к уменьшенному на 1 тыс. человек населению Марселя как 6 : 11, а к увеличенному на 2 тыс. человек населению Тулузы — как 37 : 34. Население Тулузы относится к уменьшенному на 5 тыс. человек населению Ниццы как 58 : 47, а население Марселя к увеличенному на 6 тыс. человек населению Парижа — как 13 : 5. Найдите население этих городов Франции, учитывая, что население Парижа на 114 тыс. человек больше общего населения остальных городов. 1091. В первый рабочий день месяца магазин радиотехники продал 105 телевизоров. Каждый следующий день дневная продажа увеличивалась на 10 телевизоров, и месячный план — 4000 телевизоров — был выполнен досрочно в конце одного из дней. После этого ежедневно продавалось на 13 телевизоров меньше, чем в последний день выполнения плана. На сколько процентов был выполнен месячный план продаж телевизоров, если в этом месяце было 26 рабочих дней? 1092. Хозяйка за 1 кг одного продукта и 10 кг другого уплатила 200 тыс. р. Сезонное изменение цен привело к тому, что первый продукт подорожал на 15 %, а второй подешевел на 25 %, и в результате та же покупка стала стоить 182 000 р. Какова теперь цена каждого продукта? 1093. Есть два разных экскаватора. Первый за 3 раза вынимает столько же грунта, сколько второй за 5 раз, но за время, пока первый забирает грунт 4 раза, второй успевает сделать это 7 раз. Вместе экскаваторы выкопали котлован под дом за 6 дней, работая ежедневно по 7 ч. Сколько времени понадобилось бы на выполнение всей работы первому экскаватору? 1094. На одинаковых станках, установленных в первом цехе, за смену можно обработать 7440 деталей, а на таких станках, стоящих во втором цехе (их на 3 больше), за смену можно обработать 11 160 деталей. Сколько станков в первом цехе? * * * 1095. Запишите уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого является число л/2 + V3. 1096. Есть треугольник ABC, в котором AB > BC. На стороне AB выбрана такая точка K, что BK = BC. Биссектриса BL 296 Правообладатель Народная асвета пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке N. Докажите, что точки A, K, L и N лежат на одной окружности. 1097. Докажите, что если целые числа x и у при некотором целом n удовлетворяют равенству x + у 45 = (9 + W5 )n, то они удовлетворяют и равенству х2 - 5у2 = 1, и наоборот. 25. Логические основы арифметики Арифметика — часть математики, которая вместе с геометрией и алгеброй является древнейшей отраслью этой науки. Арифметика изучает разные числовые множества, из которых исходным является множество натуральных чисел. А) Арифметика возникла в глубокой древности в ответ на нужды счета и простейших измерений. Сначала счет был возможен только для множеств с небольшим количеством предметов, а инструментами счета служили зарубки на деревянной палочке (рис. 393), счетные камешки, пальцы рук и т. п. Словесный порядковый счет — один, два, три, ... — впоследствии дополняется счетом группами, со- Рис- 393 держащими определенное количество предметов, чаще всего 10, что объясняется использованием при счете пальцев рук, которых как раз 10. Встречаются, однако, группировки по 5, 20, 12, 60, а у аборигенов Новой Зеландии даже по 11 предметов. Первые точные сведения о состоянии арифметических знаний во времена древних цивилизаций получены из математических папирусов Древнего Египта, которые содержат задачи с решениями, правила действий над целыми числами и дробями. На рисунке 394 показан фрагмент папируса Ринда (около 2000 до н. э.), который содержит вычисление площади треугольника. Об уровне арифметической культуры в Древнем Рис. 394 297 Правообладатель Народная асвета Рис. 395 Вавилоне свидетельствуют клинописные математические тексты. Эти тексты показывают, что вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счета, в которой единица следующего разряда содержит не 10, как в десятичной, а 60 единиц предыдущего разряда, техника выполнения арифметических действий была аналогична обыкновенным приемам вычислений в десятичной системе. На рисунке 395 показан пример клинописного математического текста. На нем изображен квадрат с диагональю, сторона которого равна 30. На диагонали написано число 1; 24, 51, 10, что означает 1 + + -5^ + « 60 б02 603 * 1 + 0,4 + 0,014167 + 0,000046 * 1,414213 * 72, т. е. число, которое выражает отношение диагонали квадрата к его стороне, и число 42; 25, 36, т. е. 42 + 25 + -36, которое выра- 60 602 жает длину диагонали. Математики Древней Греции положили начало теоретической разработке арифметики. В «Началах» Евклида, созданных около 300 г. до н. э., доказана бесконечность множества простых чисел, установлен алгоритм нахождения НОД двух натуральных чисел, иррациональность числа 72. Древнегреческие математики рассматривали задачи о совершенных и пифагоровых числах, нашли алгоритмы нахождения простых чисел. Диофант (вероятно, III в.) (рис. 396) рассматривал решение задач, которые сводил к уравнениям, и искал решения этих уравнений в целых или рациональных числах. Позже такие уравнения стали называть дио-фантовыми уравнениями. Примером такого уравнения 298 Правообладатель Народная асвета pop является уравнение x + y = z , решения которого дают длины сторон прямоугольного треугольника. Поэтому такие тройки чисел называют пифагоровыми числами. Архимед (около 287 — P1P до н. э.) описал извлечение квадратного корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел, например: Рис. 396 Рис. 397 Т3 « 265, 3IO ^ п < 31. 15^ 71 7 В Средние века арифметика развивалась слабо, но в начале XVII в. в связи с запросами практики — мореходной астрономии, механики, коммерции — стали быстро совершенствоваться приемы вычислений. В 1427 г. аль-Ка-ши, который работал в Самаркандской обсерватории Улугбека, подробно описал систему десятичных дробей и правила выполнения действий над ними. К концу XVII в. было осознано фундаментальное значение арифметики для математической науки. Аксиоматическое построение арифметики относится к XIX в., в середине которого немецкому математику Г. Грассману (1809—1877) (рис. 397) удалось выбрать систему аксиом, определяющих действия сложения и вычитания. Исследования, начатые Г. Грас- сманом, были завершены итальянским математиком Дж. Пеано (1858—1932) (рис. 398), который отчетливо выделил систему основных, неопределяемых понятий и сформулировал исходные свойства этих понятий, которые принимаются в качестве аксиом. 299 Рис. 398 Правообладатель Народная асвета Б) Неопределяемыми понятиями теории натуральных чисел являются: число 1; натуральное число; отношение непосредственного следования; сложение натуральных чисел; умножение натуральных чисел. Отношение непосредственного следования выражает наши представления о том, что каждое натуральное число имеет следующее, т. е. число, которое при счете называется следующим после очередного названного числа. Например, непосредственно следующим за числом 1 является число 2, непосредственно следующим за числом 2 — число 3, непосредственно следующим за числом 123 — число 124. Непосредственно следующее за натуральным числом a обозначается как а', сумма чисел a и b — как a + b, произведение чисел а и b — как а • b. Основные понятия описываются их следующими исходными свойствами (аксиомами). 1. Число 1 — натуральное число, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом а, т. е. а' Ф 1. 2. Каждое натуральное число а имеет непосредственно следующее за ним, и это непосредственно следующее число единственное, т. е. если b = а' и c = а', то b = c. 3. Каждое натуральное число а непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом, т. е. если b' = а и с' = а, то b = c. 4. Число, непосредственно следующее за натуральным числом, получается прибавлением к этому числу единицы, т. е. а + 1 = а'. 5. Прибавление к натуральному числу а непосредственно следующего числа за другим натуральным числом b можно заменить нахождением непосредственно следующего за суммой а + b числа, т. е. а + b' = (а + b)'. 6. При умножении натурального числа а на число 1 получается число а, т. е. а • 1 = а. 7. Умножение натурального числа а на число, непосредственно следующее за другим натуральным числом b, можно заменить нахождением суммы произведения а • b и числа а, т. е. а • b' = а • b + а. 8. Если утверждение P(n) истинно для натурального числа 1 и из того, что утверждение P(n) истинно для натурального числа k, следует истинность утверждения P(n) для натурального числа k + 1, то утверждение P(n) истинно для любого натурального числа n. 300 Правообладатель Народная асвета В) Аксиома 8 называется аксиомой математической индукции. Она дает возможность доказывать общие утверждения о натуральных числах. n Пример 1. Докажем формулу Sn = ^ для суммы n первых членов геометрической прогрессии с первым членом а^ и знаменателем q. Пусть n = 1. Тогда S^ = а^, так как сумма S^ состоит только из одного числа а1. С другой стороны, данная формула дает: Si=ai -q1 -1= -- -q-1 -----------^ = а1 • ^ = а1, т. е. тот же результат. Можно сделать вывод, что доказываемая формула истинна при n = 1. Пусть формула истинна для n = k, т. е. истинна формула Sk = а1 • ——1. Докажем, что при этом условии истинна и фор- q - 1 qk +1 - 1 мула Sk +1 = а1 • -^—, полученная из доказываемой форму- лы подстановкой k + 1 вместо п. Имеем: Sk + 1 = а1 + а2 + ^ + ak + ak +1 = (а1 + а^ + ^ + ak) + ak +1 = = S + а = а • q'‘ -1 + - -k = . lq'‘ -1 , „k + iXk + 1 = а1 qk - 1 + qk (q - 1) + alq = а1 • ^ q -1 1 1 q -1 + q ) = = а, qk - 1 + qk +1 - qk = а. qk +1 - 1 q -1 -1 q -1 -1 q -1 ’ т. е. получили ожидаемый результат. Таким образом, мы установили, что из истинности утверждения для n = k следует его истинность для n = k + 1. Учитывая аксиому математической индукции, делаем вы- вод о том, что формула Sn = а1 qn -1 q -1 истинна при любом на- туральном значении переменной n. Пример 2. Докажем, что сумма квадратов первых n нечетных натуральных чисел равна 1 n(2n - 1)(2n + 1), т. е. что 3 Sn = 12 + 32 + ^ + (2n - 1) = 1 n(2n - 1)(2n + 1). 3 Пусть n = 1. Тогда S1 = 1, так как первое нечетное натуральное число — это число 1. Вместе с этим для значения выражения 1 n(2n - 1)(2n + 1) при n = 1 получим: 1 • 1(2 • 1 - 1) X 33 X (2 • 1 + 1) = -1 • 1 • 1 • 3 = 1, т. е. тот же результат. Пусть утверждение истинно для n = k, т. е. истинна формула Sk = 1 k(2k - 1)(2k + 1). Докажем, что тогда утверж-3 301 Правообладатель Народная асвета дение истинно и при n = k + 1, т. е. истинно равенство Sk +1 = j^ik + 1)(2k + 1)(2k + 3). Имеем: Sk +1 = 12 + 32 + ^ + (2k - 1)2 + (2k + 1)2 = = (12 + 32 + ^ + (2k - 1)2) + (2k + 1)2 = = 1 k(2k - 1)(2k + 1) + (2k + 1)2 = 1 (2k + 1)(k(2k - 1) + 3(2k + 1)) = 33 = 1(2k + 1)(2k2 - k + 6k + 3) = 1(2k + 1)(2k2 + 5k + 3) = 33 = 1 (2k + 1)(2k + 3)(k + 1) = 1 (k + 1)(2k + 1)(2k + 3), 33 т. е. получили ожидаемый результат. Таким образом, мы установили, что из истинности утверждения для n = k следует его истинность для n = k + 1. Учитывая аксиому математической индукции, делаем вывод о том, что формула 12 + 32 + ^ + (2n - 1)2 = = 1 n(2n - 1)(2n + 1) истинна при любом натуральном значе- 3 нии переменной n. Есть утверждения о натуральных числах, которые истинны не для всех натуральных чисел, а для тех, которые начинаются с определенного числа. При доказательстве таких утверждений также можно использовать аксиому математической индукции, но первый этап доказательства — проверку истинности утверждения для наименьшего натурального числа — начинают не с числа 1. Пример 3. Докажем, что если натуральное число n не меньше 5, то 2n > n2. Пусть n = 5. Тогда, подставив это значение переменной n в неравенство 2n > n2, получим неравенство 25 > 52, которое истинно. Пусть при n = k, где k > 4, неравенство 2n > n2 истинно, т. е. истинно неравенство 2k > k2. Докажем, что тогда истинно и неравенство 2k + 1 > (k + 1)2. Имеем 2k + 1 = 2 • 2k. Учитывая допущение 2k > k2, получим 2 • 2k > 2 • k2. Значит, 2k + 1 > 2 • k2. Докажем, что 2 • k2 > (k + 1)2. Выполним равносильные преобразования этого неравенства: 2 • k2 > (k + 1)2 ^ 2k2 > k2 + 2k + 1 ^ k2 - 2k - 1 > 0 ^ ^ (k2 - 2k + 1) - 2 > 0 ^ (k - 1)2 - 2 > 0. Но неравенство (k - 1)2 - 2 > 0 истинно, так как по условию переменная k не меньше 5. Значит, истинно и неравенство 302 Правообладатель Народная асвета 2 • fe2 > (k + 1)2. Учитывая, что 2k + 1 > 2 • k2, можем утверждать, что 2k + 1 > (k + 1)2. Аксиома математической индукции позволяет сделать вывод о том, что неравенство 2n > n2 истинно при всех натуральных значениях переменной п, не меньших 5. fy 1. Объясните смысл отношения непосредственного следования между * натуральными числами. 2. Сформулируйте аксиому математической индукции. 1098. Тройку чисел (a; b; c) называют пифагоровой, если существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с. Установите, являются ли пифагоровыми тройками числа: а) (5; 12; 13); б) (7; 24; 25); в) (6; 8; 12); г) (20; 21; 29); д) (12; 35; 37); е) (9; 40; 41); ж) (20; 99; 101); з) (15; 112; 115). 1099. Найдите третье число пифагоровой тройки чисел, если два из них следующие: а) 11 и 60; б) 16 и 63; в) 13 и 84; г) 88 и 105. 1100. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого числа. Например, число 6 — совершенное, так как его не равные шести делители — это числа 1, 2, 3 и 6 = 1 + 2 + 3. Докажите, что является совершенным число: а) 28; б) 496; в) 8128; г) 33 550 336. 1101. Докажите иррациональность числа: а) л/5; б) V10; в) ^2; г) ^5. 1102. Выражением п! обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до п. Найдите значение выражения: а) 6!; б) 10!; в) 12!; ^ 10!’ г) 13! - 8! 10! + 8! 1103. Сформулируйте признаки делимости на 2 и на 5 и определите, делится ли на эти числа число: а) 24 728; б) 142 745; в) 197 820; г) 345 777. 1104. Сформулируйте признаки делимости на 3 и на 9 и определите, делится ли на эти числа число: 303 Правообладатель Народная асвета а) 24 729; б) 272 745; в) 197 820; 1105. Найдите значение выражения: г) 345 777. а) (471 : 12 - 20 : :6|) : 0,1 - 135. 7 36 б) (49I \ 3 : 16 - 14 : 11,2) 1 :0,5 - 1 ; 6 ’ в) 33 : (7З - 22' ) - (2 -1 +1 -) :1 33 ; 4 \ 4 3 ' \ 15 12/ 40 ’ г) [5- - -3ii ) : 2' ,25 + [3-- - ) . 4 V 12 24 / V 18 12/ 7 . 1106. Найдите значение выражения: а) ((8 + 4 • (7 - 15) : 2 - 5) • 4 - 11) : (2 - 9); б) ((21 • 0,2 - 1)(1,9 - 0,3 : 11 - 0,8 : 8) • 10 - 0,033 -8 - 10 в) 0,025 - 11 ^ 63 -1,75 ^ ’ 5 + 10 - 2,5 + 5 + 5,625 2,4 + 0,1 - 0,75 1 1:1,6 - 0,25 33:11 - 0,5 4 1107. Докажите, что: n(n + 1) ^ 2 ; а) сумма n первых натуральных чисел равна б) сумма n первых нечетных натуральных чисел равна n2; в) сумма n первых четных натуральных чисел равна n(n + 1); г) сумма n первых натуральных чисел, кратных трем, равна — n(n + 1); д) сумма n первых натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1, равна 1 n(3n - 1); е) сумма n первых натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2, равна 3 n2. 1108. Найдите и докажите формулу, выражающую сумму n первых натуральных чисел, которые: а) кратны трем; б) при делении на 4 дают в остатке 1; в) при делении на 4 дают в остатке 2; г) при делении на 4 дают в остатке 3. 1109. Докажите, что сумма квадратов n первых натураль-n (n + 1)(2n + 1) ных чисел равна 304 6 Правообладатель Народная асвета 1110. Докажите, что сумма квадратов первых n четных 4п • (2n - 1)(2n + 1) натуральных чисел равна 3 1111. Докажите, что сумма кубов первых n натуральных чисел равна n2 • (п + 1)2 4 1112. Докажите, что при любом натуральном значении переменной n истинно равенство: а) 1 - 22 + 32 - 42 + ^ + (-1)n - 1 • n2 = (-1)n - 1 • n'(n +1) • 2 б) 1 • 2 + 2 • 3 + ^ + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) _ 3 • в) 1 • 4 + 2 • 7 + ^ + n(3n + 1) = n(n + 1)2; г) 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + ^ + n(n + 1)(n + 2) = n (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1113. Докажите, что: а) при любых натуральных значениях переменных n и p истинно равенство 1 • 2 ^ p + 2 • 3 ^ p(p + 1) + ^ + n(n + 1) ^ (n + p - 1) = n(n + 1)(n + 2)...(n + p) _ = J+1 • б) при любом натуральном значении переменной n истинно равенство 2 • 12 + 3 • 22 + ^ + n(n - 1)2 + (n + 1)n2 = n(n + 1)('n3+ ^l(3n +1). 1114. Докажите, что при любом натуральном значении переменной n истинно равенство: а) 1 + 2 + 22 + ^ + 2n - 1 = 2n - 1; б) 1 • 1! + 2 • 2! + ^ + n • n! = (n + 1)! - 1; в) (n + 1)(n + 2) ^ (n + n) = 2n • 1 • 3 ^ (2n - 1). 1115. Докажите, что при любых натуральных значениях переменных a и n истинно равенство: а) 1 1 a (a + 1) (a + 1)( a + 2) + ^ + (a + n -1)(a + n) a (a + n) ’ -.a + 1 a + 3 a + 7 a + 2n - 1 (a - 1)(2n - 1) б) + - + - + ^ ---- + n. nn 305 Правообладатель Народная асвета 1 n 1116. Докажите, что на 9 делится: а) сумма кубов трех последовательных натуральных чисел; б) значение выражения 4" + 15n - 1 при любом натуральном значении переменной п. 1117. Докажите, что при любом натуральном значении переменной на 64 делится значение выражения: а) - 1 + 40k + 21; б) В2'+3 + 40Z - 27; в) 4 . В2“+2 + В2т - В6. 1118. Докажите, что при любом натуральном значении переменной: а) значение выражения 11п + 2 + 122п + 1 делится на 1ВВ; б) значение выражения 10^ + 18^ - 1 делится на 27; в) значение выражения В2^ + В - 26д - 27 делится на 169; г) значение выражения 2^ + 2 • В^ + 5r - 4 делится на В5. 1119. Докажите, что при любом четном значении переменной п значение выражения 20п + 16п - Вп - 1 делится на В2В. 1120. Докажите, что при натуральном значении переменной, которое: а) не меньше В, истинно неравенство 2п > 2п + 1; б) не меньше 10, истинно неравенство 2п > п3; 1 п (п -1) в) больше 2, истинно неравенство 22 > п!. 1121. Докажите, что при натуральном значении переменной, большем 1, истинно неравенство: а) 1 + 1 + .. + ^ 2п 24 в) Jr + h п + 1 п + 2 1 + 4 1 + — + „ 9 16 . + -^2 < 1; п2 г) + 72 -I- ... -I- —7= II, , \]п + ^ < 2/п. уп сел a 1122. Докажите, что для любых целых положительных чи- ai ap а-п 2, ^, ап истинно неравенство — + — + ^ ^ п. а2 а3 а1 1123. Докажите, что при любом натуральном значении переменной п, которое: а) больше единицы, истинно неравенство 4п п + 1 < б) не меньше 6, истинно неравенство ^—j > п! > ^— 306 (2п)!. (п!)2 ’ п Правообладатель Народная асвета 1124. Найдите значение выражения: а) ((6 + 4 • (3 - 11) : 2 - 1) • 4 - 7) : (21 - 4); б) ((121: 5 - 3)-(3,9 - 0,3• 0,8 - 16,8• 0,125)-10-0,31-0,8-10): 2; (1,75: 2 - 1,75-11) : — в) ^----3-------: (6,79 : 0,7 + 0,3). (17 - 0,0325) :400 V80 / 1125. С использованием формул сокращенного умножения, в том числе и формулы а3 + Ь3 = (а + b)(a2 - ab + b2), упростите выражение: 4 а)^^ + 6 I d - 2е б) [— + 2г - S ' S2 - 4z2 2z + W ' V1 + 4z2 - s2 >; d3 - de2 4 z2 + s2 2e2 d3 + e3 d3 - d2e + de^ d2 + e2 d3 + d2e + de2 + e в) г) l - k\2 /[ + k\\ 8l3 + 8lk2 l + k k l - l3 + l2k - lk2 - k3 l + k 1 - ); 3( a + 2) 2a2 - a - 10 2(a3 + a2 + a + 1) 2(a3 - a2 + a -1) 5 ^ 3 ' + 1 2(a + 1) 2(a - 1) 1126. Найдите значение выражения: а) 1 + ^z + ^z z - S^z l - k при q = 3; s = 0,75; z = 7; l k ''Jl \fk . ^ ^ 1 б) I 3 ; - I I I— при l = TT^; k = ■^. +4l4s ^ + ^^ 16 81 а) 1127. Решите уравнение: 6 25 16 4 -p 1- 3 p p- 4’ б) 3{h - - (1 - 2(h - ))) = 5h - 2; в) (h + 1)2 h(h + 1)2 2h(h + 1) ’ г) 2 y + 19 17 г) к ,.2 3 д) 5y2 - 5 y2 - 1 1 - y 3e - 3 2e + 2 = 0; 5(e -1) е) )2 ^ ^ ^2 = 45 x + 1 x - V 16 307 Правообладатель Народная асвета 4 5 а) < б) ' в) г) а) б) в) г) 1128. Решите систему уравнений: о 3(a - 5q) 27q + 22 3q + 1 ----— = a - „ 5a - 9q „ a + 3 ------- = 3q - s + 2d 8 3 - 5a ; 9 ’ 4 - (S - -|d) = 1 + d, d + 3 2 - s_o, 6 2 2(3г - c) + 3c - 10z 5 3 4 z - 3 c 8 z - 3 c „ ----+------— 6; 32 f + 1 g + 2 = 2( f - g) + 2z + 1 — 3, 34 f - 3 g - 3 — 2g - f. 43 1129. Решите систему неравенств: [^(a + 4)(2a - 1) < a + 2, [a2 + 6 > 4a; f(x - 3)(2x + 5) < 5(X - 4), [x2 + 6x - 7 > 0; \(x - 3)(2x + 5) > (x - 4)(2x + 3), [x2 - 6x - 7 < 0; (2t - 3)(2t + 5) > (t - 5)(t + 2), t2 - 6t - 7 < 0. 1130. Найдите площадь прямоугольника с периметром 72, диагонали которого пересекаются под углом 60°. 1131. Медиана прямоугольного треугольника длиной m делит его прямой угол в отношении 1 : 2. Найдите площадь треугольника. 1132. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из его углов — 30°. Найдите радиус окружности с центром в вершине этого угла, которая делит данный треугольник на две равновеликие части. 1133. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне. 308 Правообладатель Народная асвета 1134. Найдите острый угол ромба, сторона которого является средним геометрическим его диагоналей. 1135. Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны друг другу. Найдите площадь четырехугольника. 1136. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного всеми биссектрисами параллелограмма со сторонами a и b и углом а. 1137. Из Сенно в Богушевск выехал велосипедист, а через некоторое время ему навстречу из Богушевска — второй велосипедист, после чего велосипе- Оболь Богушевск Сенно Рис. 399 дисты сближались со скоростью 36 км/ч, а когда встретились, то оказалось, что второй велосипедист не доехал 1 км до Оболи, а первый был в дороге 1 ч 15 мин (рис. 399). Найдите расстояние от Сенно до Оболи, учитывая, что средняя скорость движения велосипедистов оказалась равной 17,5 км/ч. 1138. Есть три вида коробок для укладывания конфет. В первой из них 6 рядов, вторая всего вмещает 12 конфет, а если сложить количество конфет в одном ряду обеих коробок, то получится 11. Третья коробка имеет столько рядов, сколько их вместе в первой и второй коробках, вмещает в одном ряду 6 конфет, а всего — столько конфет, сколько их вмещают первая и вторая коробки вместе (рис. 400). Найдите количество рядов конфет в третьей коробке. 1 Первая коробка ! Вторая коробка Третья коробка ; (12 конфет) Рис. 400 309 Правообладатель Народная асвета 9 см^ 1139. Есть три цилиндра. Площадь основания одного из них равна 9 см2, объем второго — 121 см3, а если поставить первый цилиндр на второй, то получится тело высотой 18 см. Третий цилиндр имеет высоту 9,2 см, площадь его основания равна сумме площадей оснований первого и второго цилиндров, а его объем — их суммарному объему (рис. 401). Найдите объем третьего цилиндра, учитывая, что объем V цилиндра находится по формуле V = S • H, где S — площадь основания цилиндра, а H — его высота. Рис. 401 * * * 1140. Докажите, что при целых т, больших 2, уравнение X3 - тх + 1 = 0 не имеет рациональных корней. 1141. Как восстановить пятиугольник по известным серединам его сторон? 1142. Есть ли такие 4 натуральных числа, чтобы наименьшие общие кратные их пар были последовательными числами? 26. Логические основы алгебры Алгебра возникает из арифметики с введением неизвестной величины — переменной. Действия над ней, указанные условием задачи, приводят к уравнению, из которого находится неизвестная. Такой подход в неявной форме можно усмотреть уже в древнеегипетском папирусе Ринда (около 2000 до н. э.), где искомая величина называлась словом куча и обозначалась соответствующим иероглифом. Из клинописных математических текстов Древнего Вавилона стало известно, что вавилоняне умели решать разнообразные задачи, причем некоторые из них сводятся к квадратным уравнениям. Понятно, что в те времена арифметика и алгебра не были отделены друг от друга и древняя математика была единой. В Древней Греции отчетливо выделилась геометрия, которая нашла свое определенное завершение в Началах Евклида, где геометрия была изложена аксиоматически. Влияние этого метода было настолько большим, что многие проблемы переводи- 310 Правообладатель Народная асвета лись на геометрический язык: величины истолковывались как длины отрезков, произведение величин — как площадь прямоугольника и т. д. Результаты развития арифметики и в ней алгебры подытожены в Арифметике Диофанта, где он уже довольно свободно оперирует уравнениями первой и второй степени и в зародышевой форме пользуется отрицательными числами. Достижения древнегреческой науки были восприняты учеными средневекового Востока, среди которых заметное место занимали ученые Средней Азии. Один из них — аль-Хорезми (787—850) (рис. 402), который в своей алгебраической работе Краткая книга пополнения и противопоставления алгебру впервые рассматривает как самостоятельную ветвь математики, систематически решает уравнения первой и второй степени. Этот трактат долгое время был основной книгой по алгебре в странах Европы, а название операции аль-джебр, которая заключалась в переносе члена уравнения из одной части в другую с изменением его знака, позже стало названием Алгебра соответствующего раздела математики. Имя аль-Хорезми (латинизированное Algorithmi) вошло в математику как общее название Алгоритм любой системы вычислений, выполняемых по определенным правилам. Математики средневекового Востока изложение вели словами. Дальнейший прогресс стал возможным, когда в общее употребление вошла удобная символика. Этот процесс был длительным и извилистым. Современный алгебраический аппарат сложился в основном к концу XVI в. и был окончательно закреплен французским математиком Ф. Вие-том (1540—1603) (рис. 403). В 1591 г. он впервые вводит буквенные обозначения не только для неизвестных величин, что уже делалось и ранее, но и для данных, т. е. для коэффициентов уравнений. Это позволило выражать свойства уравнений и их корней общими формулами, а сами выражения с переменными стали объектами, над которыми можно выполнять те или иные действия. Рис. 403 Рис. 402 311 Правообладатель Народная асвета Рис. 404 Важным этапом в развитии алгебры стало введение отрицательных чисел. До этого даже уравнение первой степени не всегда имело решение. Решающий шаг — пользование отрицательными числами — был сделан в X в. индийскими математиками. В Европе отрицательные числа утвердились только в XVII в. после того, как французский философ и математик Р. Декарт (1596— 1650) (рис. 404) использовал их наглядное геометрическое представление для аналитической геометрии, в которой геометрические образы — линии, поверхности — получают алгебраическое истолкование уравнениями. К концу XVIII в. алгебра сложилась примерно в том объеме, в котором она и теперь преподается в школе. Основным объектом изучения школьной алгебры является выражение с переменными, которое образуется из чисел и переменных с помощью действий. Другие объекты изучения школьной алгебры — уравнение, неравенство, числовая функция — вводятся на основании понятия выражения с переменными. Уравнение F = G образуется из двух выражений F и G с помощью отношения равно, а неравенства F < G, F > G, F Ф G, F > G, F < G образуются из этих выражений с помощью отношений меньше, больше, не равно, не больше, не меньше. Функция у = f(x) возникает, когда по отношению к выражению f(x) ставится вопрос о том, как себя ведут значения у выражения f(x) в зависимости от значений переменной x. В школе выражения рассматриваются на множестве действительных чисел, выступающем в качестве области значений переменной. Свойства выражения определяют те действия, которые использованы при его образовании. Вы изучали действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня, нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. В основе этого набора действий лежат действия сложения и умножения. Например, возведение в степень определяется следующим образом: 312 Правообладатель Народная асвета a = a • a ■ a , если a — любое действительное число и n множителей n — натуральное число; a1 = a, если a — любое действительное число; а0 = 1, если a — не равное нулю действительное число; an = ап если a не равное нулю действительное число и п — натуральное число. Таким образом, в качестве исходных понятий школьного курса алгебры целесообразно принять понятия: действительное число; переменная; сложение; умножение. Действия вычитания и деления, отношение больше между числами вводятся определениями: а - b обозначает такое число с, что a = b + c; а : b обозначает такое число с, что a = bc; a > b означает, что a - b > 0. Аксиомы описывают действия сложения, вычитания, умножения и деления, а также отношение больше. а) Свойства сложения и вычитания 1) a + b = b + a (переместительность сложения); 2) a + (b + с) = (a + b) + c (сочетательность сложения); 3) a + 0 = a (свойство нуля при сложении); 4) a + (-a) = 0 (свойство противоположного числа); 5) a - b = a + (-b) (связь вычитания со сложением); б) если a > b, то a + с > b + с (монотонность сложения). 6) Свойства умножения и деления 7) a • b = b • a (переместительность умножения); 8) a • (b • с) = (a • b) • с (сочетательность умножения); 9) a • 1 = a (свойство единицы при умножении); 10) a • 0 = 0 (свойство нуля при умножении); 11) -a = (-1) • a (представление противоположного числа произведением); 12) если a Ф 0, то 1 • a = 1 (свойство обратного числа); 13) если b Ф 0, то a = 1 • a (представление дроби произведением); 14) a • (b + с) = ab + ac (распределительность умножения по отношению к сложению); 15) если a > b и с > 0, то a • с > b • с (монотонность умножения). 313 Правообладатель Народная асвета &2 6l Рис. 405 в) Свойства порядка 16) если а, b — действительные числа, то или a < b, или a = b, или а > b (линейная упорядоченность); 17) если а < b, то найдется такое число с, что а < c < b (плотность множества действительных чисел); 18) если а < b и b < с, то а < с (транзитивность отношения меньше). г) Архимедово свойство 19) Для любого действительного числа x найдется такое натуральное число п, что n > x. д) Свойство непрерывности множества действительных чисел 20) Любая система вложенных отрезков [ап; bn] (рис. 405), длины которых стремятся к нулю, когда п неограниченно увеличивается, имеет общую точку. Свойства а)—д), по существу, “ “ “ - - - составляют полную систему ак- сиом для действительных чисел, а свойства а)—г) — полную систему аксиом для рациональных чисел. В курсах арифметики и алгебры вы познакомились со всеми свойствами а)—г) и использовали их при доказывании правил тождественных преобразований выражений, установлении правил равносильных преобразований уравнений. В школьном курсе алгебры вы изучали разные классы выражений с переменными, которые определяются набором действий, используемых при их образовании. Если выражение с переменными образовано с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень и деления на число, то его называют целым выражением. Каждое целое выражение равносильными преобразованиями можно свести к многочлену стандартного вида. Если выражение, кроме действий, используемых при образовании целого выражения, содержит хотя бы одно действие деления на выражение с переменными, то его называют дробно-рациональным выражением. Целые выражения вместе с дробно-рациональными выражениями образуют множество рациональных выражений. Любое рациональное выражение равносильными преобразованиями можно свести к рациональной дроби или целому выражению. 314 Правообладатель Народная асвета Если выражение, кроме действий, используемых при образовании рационального выражения, содержит хотя бы одно действие извлечения корня из выражения с переменными, то его называют иррациональным выражением. Рациональные выражения вместе с иррациональными выражениями образуют множество алгебраических выражений. При образовании алгебраических выражений используются действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень. Эти действия называют вместе алгебраическими действиями. Действия нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса относят к трансцендентным действиям. Выражение, при образовании которого использовано хотя бы одно трансцендентное действие над выражением с переменной, называется трансцендентным выражением. Из трансцендентных выражений вам пока известны только тригонометрические выражения. Отношения между разными видами выражений наглядно представляет схема на рисунке 406. Рис. 406 315 Правообладатель Народная асвета 1. Как из выражений с переменными образуется уравнение; неравен-• ство? 2. Как понятие числовой функции связано с понятием выражения с переменными? 3. Как действие вычитания и отношение больше определяются через действие сложения? 4. Как действие деления определяется через действие умножения? 5. Как определяется действие возведения в степень? 6. С помощью каких действий образуется целое выражение и к какому виду такое выражение можно свести тождественными преобразованиями? 7. С помощью каких действий образуется дробно-рациональное выражение? 8. Какие выражения составляют множество рациональных выражений и к какому виду можно свести тождественными преобразованиями рациональное выражение ? 9. С помощью каких действий образуется иррациональное выражение? 10. Какие выражения составляют множество алгебраических выражений и с помощью каких действий они образуются? 11. Какие действия называют алгебраическими, какие — трансцендентными? 1143. Сформулируйте известные вам правила проверки вычитания сложением и вычитанием. Запишите их с помощью переменных и проиллюстрируйте на примере 25 - 17 = 8. 1144. Сформулируйте известные вам правила проверки деления умножением и делением. Запишите их с помощью переменных и проиллюстрируйте на примере 200 : 8 = 25. 1145. Сформулируйте правило проверки действия извлечения корня действием возведения в степень. Запишите его с помощью переменных и проиллюстрируйте на примере 34 = 81. 1146. Найдите значение выражения 96 • при значе- нии переменной п, равном: а) -5; б) -1; в) 0; г) 2; д) 7; е) 10. 1147. Запишите в виде степени с основанием 2 выражение: а) 16 • 2п; б) 8 • 2п- 1; в) 85 • 4п; г) 163 • 4п - 8; д) е) 8' п - 2 4 п - 3 ’ 32 2п - 1 45 1148. Установите, существует ли такое значение переменной X, при котором функция, заданная формулой у = 4x2 - 5x + 7, принимает значение, равное: а) 3; б) 6. 316 Правообладатель Народная асвета 1149. Графиком функции f служит луч с началом в точке А(3; 5), параллельный оси х и расположенный в первом координатном угле. Постройте этот график и укажите область определения и область значений функции. 1150. Установите, может ли функция у = х2 + 14x + 15 принимать значение, равное: а) -1; б) -3; в) -5. 1151. Преобразуйте произведение (b - 10)(b2 + 10b + 100) в многочлен стандартного вида: а) по правилу умножения многочлена на многочлен; б) по формуле (х - у)(х2 + ху + у2) = х3 - у3. 1152. Преобразуйте в многочлен стандартного вида произведение: а) (х - 2)(х2 + 2х + 4); г) (2а + 1)(4а2 - 2а + 1); б) (р - 5)(p2 + 5p + 25); д) (10m - 3a)(100m2 + 30mn + 9n2); в) (у + 4)(y2 - 4y + 16); е) (4a + 5a)(16a2 - 20aa + 25a2). 1153. Представьте произведением многочлен: а) р6 + q6; в) k6 - 1; д) а6 - 64; б) m6 - n6; г) Z6 + 1; е) 64с6 - d6. 1154. Запишите произведением двучлена и трехчлена выражение: а) (г + 6)3 - 1; в) (t + 3)3 - 64; б) (s - 2)3 + 27; г) а3 + (а - b)3. 1155. Докажите тождество „П - ^ . ..П - ..П - , I .„2 ,п - 3 х у + х ,п - 2 . ...п - 1\ (х - у)(хп 1 + хп 2у + хп 3у2 + ^ + х2уп 3 + + хуп - 2 + уп - ^) = хп - уп и, используя его, запишите многочленом выражение: а) (а - 1)(а5 + а4 + а3 + а2 + а + 1); б) (b - 2)(b3 + 2b2 + 4b + 8); в) (с - 3)(с4 + 3с3 + 9с2 + 27с + 81); г) (d - 4)(d5 + 4d4 + 16d3 + 64d2 + 256d + 1024). 1156. Сократите дробь: а) х5 -1. х -1; б) у7 -1 2 у - 2' 317 Правообладатель Народная асвета а) (u - 4)(u2 + 4u + 16); б) (v + 10)(v2 - 10v + 100); 1157. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение: в) (w - 1)(w3 + w2 + w + 1); г) (q - r)(q3 + q2r + qr2 + r2). 1158. Дайте определения действиям нахождения значений синуса угла, косинуса угла, тангенса угла и котангенса угла и объясните, почему они сводятся к действию умножения. Начертите в тетради такой же угол, как на рисунке 407. Выполните необходимые построения и измерения и найдите приближенное значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла. 1159. Есть выражения: х; a + b; a + 4 n/47; u + 2 ’ v2 - -1- v2 - 1 x + 2x2; t + sin t; z; sin a; ’ 5^ cos 6 a + b; 1 - 1 - 2 3^ ^ tg2p’ Какие из них являются: а) числовыми выражениями; б) выражениями с переменными; в) целыми выражениями; г) дробно-рациональными выражениями; д) рациональными выражениями; е) иррациональными выражениями; ж) алгебраическими выражениями; з) трансцендентными выражениями? 1160. Упростите выражение: е) (^2 - ^•2)i i ]; ж) (2k - 551 3к + 41); 31 4 21 а) (2q - 3y)(3q - 2y); д) (f + g)2(f - g); б) (e + r + t)(e + r - t); в) (y3 - y2b + yb2 - b3)(y + b); г) (z - 1)(z - 2)(z - 3); 318 Правообладатель Народная асвета 5fe/’ з) (‘ + ^)( ^ --j 2 1161. Разложите на множители выражение: а) S3 + s2 - s - 1; е) m4 + + n4; б) i4 - t3 - t + 1; ж) (g2 + qd - d2)2 - (q2 - qd - d2)2; в) d5 - d4 - d + 1; з) s2d2 + r2t2 - s2r2 - d^t^ + 4sdrt; г) e2 - 7er + 12r2; и) x2 - 6xk + 8k2 + 2kl - l2. д) 322/2 - 24 - f4; а) б) в) г) 1162. Упростите выражение er - tr + ei - ti er + tr + ei + ti jh + jg + h2 + hg ^ jf + jd + hf + hd ’ (j + g )2 - f2 . j + g + f ti + 2 ri - 2 - t^- 2 ri + 2 д) е) ж) з) a3 - a2 - a + 1_ a4 - 2a2 + 1 ’ b - bc + p - pc z - xz + yz - xy 3 2 ' z + yz + xz + xy ap + 2 - 2ap + ap - 2 ap + 2 - ap +1 + ap -1 - ap - 2 . 1163. Упростите выражение: а) б) в) г) д) 1 + 1 - 2 p . 1 + p 1 - p 1 - p2' e + 1 e - 1 4e 2 e - 2 t + y 2e + 2 e2 -1 e2 +1 e2 -1; 2ty t2 - ty + t2 t3 + y3 9 6r + 6 e 8 4r + 2e re + 2r2 e - 2r 2 2 ’ ^ - 4r p .q . + pq(p +q). p + q е) 2(l - k) + ж) 2j + h - l + k ’ 2 jh2 + 3 h3 j2 + h2 3) - 3(g + f). 1164. Найдите значение выражения: а) (1 - 1 - 3q б) - (s+1 s \s3 -1 1 - ) : (2 • (1 - 9q2)) при q = -1; ' + s + 1 1 - > s3 + s2 + 2s s2 - 1 при s = 1-1; 319 Правообладатель Народная асвета в) 1 - (2 1 2 \ d3 - 1 2 - 2d d2 + d + 1 d -1 при d = 2,5; г) zx + 1 , +-----^ : (z + x) z3x + z2 - zx - 1 1 - z2 1165. Упростите выражение: n ! n 3 - 3x2 при x = 1 и z = -] a) + n б) 1 - m] - I —— + m n-m / \n+m 11 -n e(e - r)(e -1) r(r - e)(r -1) t(t - e)(t - r)’ 111 + . s - d в) ------r + i-f g г) + g - J d - f d - s h h - J h - g h f -s f - d' J J - g J - h J 1166. Решите неравенство: а) (m + 2)(m + 5) > 0; б) z(-2 - z) > 0; в) (x + 1)(2 - 5x) < 0; г) (3 - 2a)(-1 + a) < 0; д) (c + 1)(1 - c) > c + 1; е) (b - 3)(5 - b) < 4b - 12; ж) (2n + 5)(5n + 2)(n2 - 1) < 0; з) (k - 5)(3 - 5k)(k2 - 2)2 > 0. 1167. Решите уравнение: а) (x2 - 3x + 1)2 + 4(x2 - 3x + 1) = 5; б) (x2 + 2x + 3)2 - (x2 + 2x + 3) - 6 = 0; в) 2(2x2 - 5x + 1)2 = 2x2 - 5x - 5; г) (2x2 - 3x + 1)2 + 3(3x - 1) = 6x2. 1168. Решите систему уравнений: (s - 2 а) i s - 2 d-3 б) ' 320 2)(d - 3) = 1, Г 3h - 2 + J = 2 в) J + 5 h 1; ih - J = 4; f + 3 = 1 "2k - 5 21 - 3 - f )(3 f - g) 2, г) + k-2 l -1 = 2. 5’ 3k - 4Z = 1. = 2, Правообладатель Народная асвета + g 1169. Решите систему уравнений: c + m = 3, m (X + 2)(y - 1) = -2, а) < X + 2 = -2; б) у -1 m+2^ _ 1 “ ~т, m - n 4 (2m - n)(2n + m) = 7^ = в) \ 2c - m - m = 3. m + 2 c ’ г) З2 - 2a = 1, Зг - 5 5a -1 +------ = 1. a +1 m + n + 1 1170. Решите систему уравнений: z + 1 а) ' ^ +1 = 3, p t 2 ^ + 1 = 5. p2 t2 4; Is2 + d2 = 625, В) U = 4. d 3 ; 1 + 1 = 1 б) ^ l k 3 112 + k2 = 160; г) ' 4 25 , 2 - z = 5 - c. 1171. Решите неравенство: а) |2x + 5 < 5; г) |3 + 5x| < 3; б) 13x - 21 > 1; д) I -2 - 3x I < -2; в) |5 - 4x| > 3; е) |-2x + 5| > -3. 1172. Решите систему неравенств: а) б) IIX - 2 < 3, l^x2 - 4x + 3 > 8; IX + 3 > 2, l2x2 - 5x + 3 > 10; в) г) ^1X - 3| < 2, ^x2 - 7X + 20 > 8; IX - 1| > 3, | -X2 - 4X + 3 > 7. 1173. Докажите тождество (x - y)(Xn - 1 + Xn - 2y + Xn - 3y2 + ^ + Xyn - 2 + yn - 1) = = xn - yn и, используя его, запишите многочленом выражение: а) (c - 3)(c4 + 3c3 + 9c2 + 27c + 81); б) (a + 1)(a5 - a4 + a3 - a2 + a - 1); в) (b + 2)(b3 - 2b2 + 4b - 8). Правообладатель Народная асвета 321 2 z 2 c 1174. Докажите, что биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе. 1175. Точка гипотенузы прямоугольного треугольника, равноудаленная от катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40. Найдите длины катетов. 1176. Когда в ромб с острым углом 45° вписали окружность, то ее радиус оказался равным 2. Найдите произведение диагоналей ромба. 1177. В ромб с высотой h и острым углом а вписана окружность. Найдите радиус большей из двух возможных окружностей, каждая из которых касается данной окружности и двух сторон ромба. 1178. Сторона PS прямоугольника PQRS в три раза больше стороны PQ, а точки A и B делят сторону PS на три доли. Найдите сумму углов PAQ, PBQ и PSQ. 1179. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и является стороной правильного шестиугольника, вписанного в одну окружность, и правильного треугольника, вписанного в другую. Найдите расстояние между центрами окружностей. 1180. В остроугольный треугольник с площадью 3 вписан такой квадрат, что одна его сторона лежит на стороне треугольника длиной 3, а противоположная соединяет точки на двух других сторонах. Найдите площадь квадрата. 1181. Найдите площадь треугольника DEF, в котором сторона DE равна 20, а медианы, проведенные к сторонам EF и DF, равны 18 и 24. 1182. Торонто, Монреаль, Калгари, Эдмонтон, Виннипег — крупнейшие города Канады. Уменьшенное на 11 тыс. чел. население Торонто относится к увеличенному на 10 тыс. чел. населению Эдмонтона как 40 : 11, а к увеличенному на 1 тыс. чел. населению Монреаля — как 32 : 13. Уменьшенное на 1 тыс. чел. население Калгари относится к увеличенному на 1 тыс. чел. населению Монреаля как 54 : 65, а к увеличенному на 1 тыс. чел. населению Виннипега — как 72 : 53. Найдите население этих городов Канады, учитывая, что население Торонто на 31 тыс. чел. больше учетверенного населения Виннипега. 322 Правообладатель Народная асвета 1183. Есть 30 таких * * * чисел bi, b2, Ьз b 30» что bi < b2 < b3 < ^ < b30. Найдите такую последовательность a-^, a2 a30 их расположения, чтобы сумма I a1 - a2 + a - a„ + I a3 - a4 I + ^ + I a29 - a30 | + | a30 - a11 была наибольшей. 1184. На стороне BC треугольника ABC выбрали точку K так, что отрезок AK пересекает медиану BM в точке N, для которой AN = BC. Докажите, что BK = KN. 1185. В окружность вписан неправильный п-угольник, который при повороте вокруг центра на угол, отличный от 360°, совмещается сам с собой. Докажите, что число п составное. 27. Логические основы геометрии Геометрия — часть математики, которая изучает пространственные формы и отношения. Первичные геометрические представления появились на самых ранних этапах развития общества и постепенно расширялись и уточнялись в связи с усложнением практической деятельности, в процессе которой людям приходилось оценивать расстояния, стрелы и копья делать прямыми, сравнивать их по длине и др. Но сама геометрия зародилась тогда, когда развитие земледелия заставило людей выработать первые правила: измерения земельных участков; нахождения объемов емкостей; возведения строений и др. Эти правила сравнения фигур, нахождения геометрических величин, простейших геометрических построений составили начала геометрии как прикладной науки. Такая практическая геометрия складывалась в древних земледельческих обществах в Египте, Вавилоне, дельте Инда, Китае. Самый ранний документ, содержащий геометрические сведения, дошел до нас из Египта и относится к XVII в. до н. э. Этот и более поздние документы свидетельствуют о том, что египтяне знали много геометрических фактов, например теорему Пифагора, приближенное представление объема шара через его радиус, но это были именно факты. Математика в нашем нынешнем понимании оформилась значительно позже. В VII в. до н. э. геометрические знания египтян были усвоены учеными Древней Греции, где на протяжении нескольких столетий пополнились многими новыми фактами. Эти факты постепенно упорядочивались, складывались в си- 323 Правообладатель Народная асвета a 3 Рис. 408 стему, одни факты стали выводиться из других. Формировалась процедура доказывания, и этим самым факты превращались в теоремы, т. е. предложения, которые устанавливаются рассуждениями без ссылок на опыт. Стали появляться задачи, имеющие чисто теоретическое значение, например задача построения геометрической линейкой и циркулем квадрата, равновеликого данному кругу, начали оформляться представления об идеальных геометрических фигурах — точке без измерений, линии без ширины и толщины, поверхности без толщины и т. п. Геометрия постепенно становится наукой в нынешнем понимании этого слова. Воспроизвести процесс становления геометрической науки в деталях невозможно, но известны многие древние ученые, которые его определяли, среди них Фалес (624—547 до н. э.) (рис. 408) и Пифагор (580—500 до н. э.) (рис. 409). В конце V в. до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский создал первое систематическое произведение по геометрии, которое, однако, до нас не дошло. Одним из важнейших событий того времени было открытие несоизмеримых отрезков: диагональ квадрата и его сторона не имеют общей меры, т. е. ни один отрезок, каким бы малым он ни был, не укладывается целое количество раз как на стороне, так и на диагонали. Прежнее представление о том, что отношение любых величин можно выразить рациональным числом, т. е. отношением натуральных чисел, оказалось неправильным. Обобщить понятие числа введением класса иррациональных чисел греки не смогли. Поэтому то, что мы теперь выражаем средствами алгебры, греки выражали геометрически. Например, квадратное уравнение х2 + ax = b представлялось так: найти такой отрезок х, чтобы построенный на нем квадрат вместе с прямоугольником, построенным на этом отрезке и данном отрезке a, имели площадь, равную данной площади b. Вместо действительных чисел рассматривались отношения величин, теорию которых в IV в. до н. э. построил Евдокс (около 408 — около 355 до н. э.) (рис. 410). Рис. 409 324 Правообладатель Народная асвета Достижения геометрической науки были систематизированы Евклидом в работе, известной под названием Начала. Здесь геометрия представлена так, как понимается и теперь элементарная геометрия: наука о пространственных формах и отношениях, развертывающаяся в логической последовательности на основании явно сформулированных основных положений — аксиом. Теперь эту науку называют евклидовой гео- Рис. 410 метрией. Геометрия после Евклида еще в Древней Греции исследованиями Архимеда (около 287 — 212 до н. э.), Аполлония Пергского (около 260 — 170 до н. э.), Гиппарха (около 180 — 125 до н. э.), Менелая (I в.) обогащается новыми фактами. Дальнейшее развитие геометрии замедлилось без новых идей и методов. Они появились только в III в. в работах Диофанта, математиков Индии, Средней Азии, странах арабского Востока. Из Индии пришли три больших достижения: позиционная десятичная система счисления, понятие отрицательного числа, понятие иррационального числа. Западная Европа снова становится центром математического развития только в XVI в., а в геометрии принципиально новые шаги были сделаны только в XVII в., когда французский философ и математик Р. Декарт (1596 — 1650) ввел в геометрию метод координат, который позволил связать геометрию с алгеброй. В результате развилась аналитическая геометрия, в которой геометрические фигуры задаются уравнениями. Это позволило методы геометрии перенести в алгебру, а в алгебре пользоваться наглядными геометрическими образами. Исследования, связанные с устранением логических недостатков системы аксиом, предложенной Евклидом, завершились к концу XIX в., когда немецким математиком Д. Гильбертом (1862 — 1943) (рис. 411) была предложена первая полная аксиоматика евклидовой геометрии. Важной особенностью аксиоматики Гильберта является то, что она представлена в форме, в которой наглядные представления оставлены в стороне как несущественные для построения теории. Рис. 411 325 Правообладатель Народная асвета Точки и прямые в этом построении — это любые объекты, а отношения между ними, обозначенные словами принадлежит, лежит между, конгруэнтно, — любые отношения, о которых известно только то, что они удовлетворяют указанным аксиомам. Неопределяемыми явно понятиями являются понятия: точка; прямая; плоскость; отношение принадлежности; отношение «лежать между»; отношение конгруэнтности (равенства). Они описываются аксиомами, разделенными на 5 групп. Аксиомы первой группы отношением лежит на (проходит через) связывают точку и прямую. 1.1. Есть только одна прямая, которой принадлежат две данные точки. 1.2. На каждой прямой есть хотя бы две точки, и есть хотя бы три точки, которые не лежат на одной прямой. Аксиомы второй группы описывают отношение лежать между, которое связывает три точки прямой. С использованием этого отношения определяются понятия отрезка, луча, угла, треугольника. 2.1. Если точка X лежит между точками A и B, то A, X, B — различные точки одной прямой и точка X лежит между точками B и A. 2.2. Если есть две точки A и B, то на прямой AB есть хотя бы одна такая точка C, что B лежит между точками A и C. 2.3. Из трех точек прямой не более одной лежит между двумя другими. 2.4. Если прямая не проходит ни через одну вершину треугольника и пересекает одну из его сторон во внутренней точке, то она пересекает еще одну из двух других сторон. Третья группа аксиом описывает отношение равенства для отрезков и углов. 3.1. Каждый отрезок можно единственным способом отложить на любом луче от его начала. 3.2. Если первый отрезок равен второму, а второй — третьему, то и первый отрезок равен третьему. 3.3. Суммы равных отрезков равны друг другу. 3.4. Каждый угол, меньший развернутого, можно единственным способом отложить от данного луча в данную сторону. 3.5. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 326 Правообладатель Народная асвета Четвертая группа аксиом описывает свойство непрерывности прямой, которое соответствует нашему интуитивному представлению о том, что на прямой нет просветов, дырок. 4.1. Для любых двух отрезков AB и CD на прямой AB от точки A можно последовательно отложить отрезок CD столько раз, что получится отрезок AAn, больший отрезка AB (рис. 412). D AAi .4.JA2 п • CD > АВ. = Ап-Ап = со, ■^п-2 -^п-1 -^п Рис. 412 4.2. Любая система вложенных отрезков \An, B,] (рис. 413), длины которых стремятся к нулю, когда n неограниченно увеличивается, имеет точку, принадлежащую всем этим отрезкам. А, С Б, Aj А2 Ад -^п-1 -^п + 1 ^П+1 Рис. 413 Б, ■^3 -®2 -®1 Пятая группа аксиом состоит из одной аксиомы, которая описывает отношение параллельности. 5.1. Через данную точку вне данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной прямой. Позже, в XX в., для евклидовой геометрии появились и другие системы аксиом: немецкий математик Ф. Шур (1856—1932) предложил аксиоматику, основанную на понятии движения, русский математик В. Ф. Каган (1869—1953) опубликовал аксиоматику, в основу которой положено понятие расстояния, немецкий математик Г. Вейль (1885—1955) предложил векторную аксиоматику. Такие системы аксиом равносильны в том смысле, что, приняв одну из них, можно так определить все понятия, используемые в других, что эти понятия будут иметь все свойства, сформулированные в других системах в качестве аксиом. 327 Правообладатель Народная асвета Отметим, что при построении курса геометрии могут использоваться различные варианты одной и той же аксиоматики. Например, вместо аксиомы параллельных можно принять в качестве аксиомы утверждение о сумме углов треугольника, так как эти утверждения равносильны, т. е. истинность одного из них влечет за собой истинность другого, понятно, при истинности остальных аксиом. Эти различные варианты аксиоматики дают одинаковые теории, т. е. с их помощью можно доказать одни и те же теоремы. 1. Назовите основные понятия аксиоматической теории евклидовой * геометрии. 2. Приведите примеры аксиом, описывающих отношение принадлежности. 3. Приведите примеры аксиом, описывающих отношение лежать между. 4. Приведите примеры аксиом, описывающих отношение равенства. 5. Сформулируйте аксиому параллельности. 1186. Докажите, что если в треугольнике ABC можно выбрать такую точку M, что А^ = AB, то AB < AC. 1187. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC равна стороне AD. Докажите, что сторона BC меньше диагонали BD. 1188. Докажите, что два треугольника равны, если они имеют пары равных углов при одной стороне и равные высоты, проведенные к этим сторонам. 1189. Докажите, что биссектриса внешнего угла параллелограмма вместе с продолжениями его сторон, не проходящих через эту вершину, образуют равнобедренный треугольник. 1190. Докажите, что если вершины одного параллелограмма находятся по одной на сторонах другого параллелограмма, то эти параллелограммы имеют общий центр. 1191. Докажите, что биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, пересекаются на средней линии под прямым углом. 1192. Докажите, что сумма диаметров окружностей, описанной около прямоугольного треугольника и вписанной в него, равна сумме катетов. 1193. Докажите, что окружность, которая проходит через ортоцентр треугольника и две его вершины, равна окружности, описанной около этого треугольника. 328 Правообладатель Народная асвета 1194. Докажите, что высоты треугольника являются биссектрисами углов треугольника, который определяется основаниями этих высот. 1195. Докажите, что диаметр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, является средним геометрическим оснований трапеции. 1196. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены хорды AC и AD, которые касаются данных окружностей. Докажите, что AC2 • BD = AD^ • BC. 1197. Через точку A вне окружности проведены прямые, касающиеся окружности в точках B и C. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, лежит на данной окружности. 1198. Около правильного треугольника ABC описана окружность, и на дуге BC взята произвольная точка M. Докажите, что AM = BM + CM. 1199. Точки касания вписанной в треугольник окружности разбивают его стороны на отрезки длинами т, п, k. Докажите, что площадь S треугольника выражается формулой S = yjmnk(m + п + k). 1200. Две стороны треугольника равны 25 см и 30 см, а угол против одной из них в два раза больше угла против другой. Найдите третью сторону треугольника и радиусы окружностей, вписанной в этот треугольник и описанной около него. 1201. Угол A в треугольнике ABC в два раза больше угла B. Найдите сторону BC, учитывая, что AB = c и AC = b. 1202. Две стороны треугольника равны 12 см и 24 см, а угол между ними — 120°. Найдите биссектрису, проведенную к третьей стороне треугольника. 1203. Две стороны треугольника равны 20 см и 45 см, а биссектриса, проходящая между ними, — 24 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса разбивает третью сторону треугольника. 1204. Две стороны треугольника равны 10 см и 17 см. Найдите третью сторону треугольника, учитывая, что он вписан в окружность с диаметром 21,25 см. 329 Правообладатель Народная асвета 1205. Найдите площадь треугольника, учитывая, что две его стороны вместе составляют 30 см, а высоты, проведенные к ним, равны 8 см и 12 см. 1206. Две стороны треугольника равны 20 см и 28 см, а угол против меньшей из них — 45°. Найдите площадь треугольника. 1207. Две стороны треугольника равны 25 см и 30 см, а площадь — 300 см2. Найдите третью сторону треугольника. 1208. Найдите площадь треугольника, учитывая, что две его стороны равны 27 см и 29 см, а медиана, проведенная к третьей, — 26 см. 1209. Стороны треугольника равны 65 см, 70 см и 75 см. Через основания высот, проведенных к двум большим сторонам, проходит прямая. Найдите площади частей, на которые эта прямая разбивает треугольник. 1210. Стороны AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD и его диагональ AC соответственно равны 26 см, 30 см, 17 см, 25 см и 28 см. Найдите площадь четырехугольника и его вторую диагональ. 1211. Углы при большем основании трапеции равны 30°, а диагонали являются их биссектрисами. Найдите периметр трапеции, учитывая, что ее площадь равна 24 см2. 1212. Высота трапеции равна 12 см, а ее диагонали — 20 см и 15 см. Найдите площадь этой трапеции. 1213. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D, делящая сторону в отношении m : n, а на стороне BC — точки E и F, делящие эту сторону в отношении p : q : r. Определите, в каком отношении площадь треугольника делится прямыми DE и DF. 1214. Прямыми, параллельными основанию, площадь треугольника разделена в отношении 9 : 55 : 161, если считать от вершины. Определите, в каком отношении эти прямые делят стороны. 1215. Основания трапеции относятся как m : n. Определите отношение площадей частей, на которые трапеция делится ее диагоналями. 1216. Найдите периметр равнобедренной трапеции, основания и боковая сторона которой относятся как 10 : 4 : 5, а площадь равна 112 м2. 330 Правообладатель Народная асвета 1217. Отрезки, соединяющие с вершинами треугольника центр вписанной в него окружности, разделяют треугольник на части с площадями 30 см2, 28 см2, 26 см2. Найдите стороны треугольника. 1218. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 8 см. 1219. Найдите стороны треугольника, учитывая, что расстояния от них до точки пересечения медиан относятся как 2 : 3 : 4, а периметр треугольника равен 26 м. 1220. Две вершины квадрата расположены на хорде, стягивающей дугу в 120°, а две другие — на этой дуге. Найдите радиус соответствующего круга, учитывая, что сторона квадрата равна 3 м. 1221. На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность. Найдите отрезки, на которые эта окружность делит боковую сторону и основание, учитывая, что они равны соответственно 9 см и 6 см. 1222. Имеются окружности с радиусами 5 см и 20 см, касающиеся внешним образом, к которым проведены общие внешние касательные. Найдите расстояния между точками касания. 1223. Диагональ прямоугольника, одна сторона которого лежит на основании равнобедренного треугольника, а противоположная оканчивается на его боковых сторонах, перпендикулярна боковой стороне. Найдите стороны прямоугольника, учитывая, что основание треугольника и проведенная к нему высота равны 6 м. 1224. Диагональ и отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, соответственно равны 12 см, 7 см и 11 см. Найдите другую диагональ четырехугольника. 1225. Диагональ и отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, соответственно равны 10 см, 6 см и 8 см. Найдите площадь четырехугольника. 1226. Окружность с радиусом 6 см внешним образом касается двух окружностей с радиусами 3 см, при этом центры всех окружностей лежат на одной прямой. Найдите радиус окружности, которая касается всех трех окружностей. 1227. Есть ромб со стороной a и углом а. Найдите радиус окружности, которая проходит через две его смежные вершины и касается прямой, проходящей через две другие вершины. 331 Правообладатель Народная асвета 1228. Окружности с радиусами 8 и 18 касаются внешним образом и имеют общую касательную. Третья окружность касается этих окружностей и их касательной. Найдите ее радиус. 1229. В равнобедренную трапецию вписана окружность с радиусом 18. Точкой касания боковая сторона делится на части, разность которых равна 15. Найдите площадь трапеции. 1230. На плоскости отмечены такие точки E, G, I и K, что Z EGK = 34°, Z EKI = 84°, Z IGK = 62°. Найдите величину угла IEK. 1231. На окружности с радиусом r выбраны три точки, которые разделяют окружность на три дуги в отношении 3 : 4 : 5. Найдите площадь треугольника, образованного касательными к окружности, проведенными через точки деления. 1232. Около окружности описана равнобедренная трапеция с боковой стороной b, одно основание которой равно а. Найдите площадь трапеции. 1233. Трапеция разделена на три части двумя прямыми, параллельными основаниям трапеции и делящими каждую из боковых сторон на три доли. Найдите площадь средней части, учитывая, что площади крайних равны P и Q. 1234. Стороны AB и BC трапеции ABCD соответственно равны k и l, причем k Ф l. Определите, что пересекает биссектриса угла A: основание BC или боковую сторону CD. 1235. Найдите длину отрезка, который параллелен основаниям трапеции, соединяет точки на боковых сторонах и проходит через точку пересечения диагоналей, учитывая, что основания трапеции равны а и b. 1236. Отношение оснований равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равно k. Найдите косинус угла при основании трапеции. 1237. Основания MN и OP трапеции MNOP соответственно равны а и b. Найдите площадь трапеции, учитывая, что диагонали трапеции являются биссектрисами углов PMN и MNO. 1238. Средняя линия равнобедренной трапеции равна а, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите ее площадь. 332 Правообладатель Народная асвета 1239. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S, а ее высота в два раза меньше боковой стороны. Найдите радиус круга. 1240. Площади треугольников, ограниченных отрезками диагоналей трапеции и ее основаниями, равны S! и S2. Найдите площадь трапеции. 1241. Запишите многочленом стандартного вида выражение: а) (п + m)3 - (n - m)3; б) (q4 - + c4)(q^ + c2); в) (2a3 - a2 + 4a - 3)(a2 - a + 5); г) (3Z - 5k + 8j)(2l - 3k) + (2l - 5k + 6j)(3k - 2l); д) (2h - 3g + 4f)(5h + 4g) - (3h - 2g)(3g - 2h - 4f); е) (s3 - 3s^d + 3sd2 - d3)(s2 - 2sd + d2). 1242. Разложите на множители выражение: а) qh - q + h - 1; д) 10m2 + 21gy - 14mg - 15my; б) 18cs - 24zs - 9c + 12z; е) 8j2h - 8j2f + 6f2h - 6f3; в) 3er - 4sd - 4ed + 3sr; ж) b2m2 - bmn2y + n2y2 - bm2ny; г) 30z2 - 18zp - 35zq + 21qp; з) Ik2 - sk2 + sk - Ik + l - s. 1243. Упростите выражение: а) б) в) г) д) q2 - l2 q2 - q - l - l2 5er + r2 t3 +1 6t + 12t + 6 (y + e )3 ; 2 y2 e + ye2 + y3 ’ 3n2p - np2 3n3 - 3np2 - n2p + p3 , l2k + lk2 е) --------------- ж) з) и) к) j2 + 5 j + 6 ; j2 + 4 j + 4’ h2 + 3h + 2; h2 + 6h + 5’ g2 - 7 g + 12 ; g2 - 6g + 9 ’ f2 + 2 f + 1 ; f2 + 8 f + 7’ l3 + k3 + 3lk (l + k) л) м) j2 2 2 о J • d + z — s + 2 dz c3 - с2 a + ca2 333 Правообладатель Народная асвета 1244. Сократите дробь: а) 1 - b2 . г) qs2 - 16q3 ; ж) d3 + p3 b3 + 2b2 + b ’ (4q + s)2 ; d3 + 2d2 p + dp2 б) 2 2 n + nm + m д) e3 r + 2e2r2 + er3 3) k2 + 2kl + l2 n6 - n3m3 ; r2 - e2 ; 2 k3l + 2l4 ' в) a2 - 6a + 9 ; е) 2t + y ; a3 - 9 a 3y2 - 12t2 ; а) 1245. Упростите выражение: 8 , 5 3q - 4 , 2q - 3 3 - 2q 2q2 - q - 3 б) h - (h2 - j2) g + h (h2 - j2)g2 j j2 j2( j + hg) в) г) д) е) а) б) в) г) а) б) 334 2e e3 - e2r r e + r r3 - re2; t - a t + a ta a2 + a^ ta + t2 1 + 1 • (s - d)(f + d) (d - s)(f + s)’ g 1 h (g - h)(g - j) ' (h - g)(h - j) (j - g)(j - h) 1246. Упростите выражение: a-1 - b-1 - c(ab)-1 ’ (xy-1 + x^1 y + 1)(x^1 - y-1 )2 , x2 y^2 + x^2 y2 - (xy^1 + x^1y)' (1 + ab 1) 1 + a ((1 - a-1b )-1 - b )-1 1 - (a + (a - 1)-1)-2 (1 - (a + (a -1)-1)-1)2 1247. Решите систему: jx^ = 3x + 4, "[Sx < 2; jx^ + 2x = 15, 'i-3x < 1; (a 1b + 1) 1 + b ((ab^1 - 1)-1 - a)-1 в) г) ^-2x2 = 3x - 5, ^1 x - 1 < 2; ^(2x - 3)x = 9, У 2 - x| < 2. Правообладатель Народная асвета 1248. Решите систему уравнений: а) б) а) [(ft + j)(S - h) = 10, [(ft + j)(5 - j) = 20; [2ft2 - 3kl + 5l - 5 = 0, [(ft - 2)(l - 1) = 0; в) г) б) [ 22 - 5c2 - 3z - c + 22 = 0, (z - 3)(c - 2) = c2 - 3c + 2; (b + n)2 - 4(b + n) = 45, (b - n)2 - 2(b - n) = 3. 1249. Решите систему уравнений: О fti ' — ' •> V d h ’ в) [ e2 + qe = 9; 3y y г) P -1 10 y p +1 p y ; y d -1 2 - h d ' h d +1 1 - h 1 d ' h l - k ' l+k k l = 3; = 2,5, \kl - 2k + l = 6. 1250. Постройте график функции U = -y2 - 4y + 5 и, используя его, решите неравенство: а) -у2 - 4у + 5 < 0; в) -у2 - 4у + 5 > 0; б) -у2 - 4у + 5 < 0; г) -у2 - 4у + 5 > 0. 1251. Решите неравенство: а) (а - 5)2(a2 - 81) < 0; е) (f - 3)(f2 - 121) > 0; б) (b + 6)3(b2 - 100) < 0; ж) (g2 - 1)(g2 - 4) > 0; в) (c + 8)3(c2 - 169) > 0; з) (h3 + 64)(h2 - 9) < 0; г) (d2 - 1)(d + 3) > 0; и) (i3 + 125)(i + 6) > 0. д) (e2 - 49)(e - 5) < 0; 1252. Решите неравенство: а) -JP^2- > 1; ' 2 p - 3 ’ б) < 2; ’ 4 - q ’ в) 10 - ^ > 1. ) 5 + s2 ^ 2; . t2 - 5t + 6 , „ г) -2-------- < 0; t2 + 5t + 6 w - w - 2 д) 2 - ------^ > v + ^ v - 1 е) ---- + 2 > ----; v-1 v ж) 3 - 2h -17 > h - 5 h-5 w-2 w -1 з) и) к) 1 2 w + 1 3 x + 1 3 l - 1 w + 3 7 x + 2 7 l - 2 < < h + 2 3 < w + 2 6 , x -1; 6 l + 1 335 Правообладатель Народная асвета + + + 1253. Решите систему неравенств: а) б) IX2 - 4x + 5 > 0, [2x2 - 4x - 3 < 0; [x2 - 10x + 24 > 0, I2x2 - 11x + 5< 0; в) г) j -x2 - 2x + 8 > 0, 1^3x2 + x - 4 < 0; jx2 + 9 > -6x, |4x2 + 9 < 12x. 1254. Определите, при каких значениях аргумента значение функции равно 2: 5^ . .. 1 а) У = б) У = 2 x + 1 - 5' 5 в) У = г) У = x + 2 - |x - 2 4 х + 1; - 2. |x - 2 -|2x + ^ ^ ^ |x -3 - 3x + 1| 1255. Найдите сумму квадратов корней уравнения: а) x2 + 2I x I - 1 = 0; в) x2 - 3| x | + 1 = 0; б) x2 - 3| x I - 1 = 0; г) x2 + б| x I - 1 = 0. 1256. Найдите сумму корней уравнения: а) (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680; б) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100; в) (x + 6)(x + 3)(x - 1)(x - 2) = 12x2; г) (x - 4)(x + 5)(x + 10)(x - 2) = 18x2. 1257. Составьте таблицы значений для функций У = x2 + x - 2 и У = -(x2 + x - 2) на промежутке [-4; 4] и постройте графики этих функций. Сравните их и сделайте вывод. 1258. Докажите, что графики функций у = -f(x) и у = f(x) симметричны относительно оси Ox. 1259. Составьте таблицы значений для функций у = x2 + x - 2 и у = |x2 + x - 2I на промежутке [-4; 4] и постройте графики этих функций. Сравните их и сделайте вывод. 1260. Докажите, что графики функций у = | f(x) | и у = f(x) совпадают при тех значениях x, при которых f(x) > 0, и симметричны относительно оси Ox при тех значениях x, при которых f(x) < 0. 1261. Составьте таблицы значений для функций у = |x|2 + |x| - 2 и у = x2 + x - 2 на промежутке [-4; 4] и постройте графики этих функций. Сравните их и сделайте вывод. 336 Правообладатель Народная асвета 1262. Докажите, что график функции у = f(\x |) симметричен относительно оси Оу и совпадает с графиком функции у = f(x) при x > 0. 1263. Составьте таблицы значений для функций у = х3 и у = х3 + 2 на промежутке [-3; 3] и постройте графики этих функций. Сравните их и сделайте вывод. 1264. Докажите, что график функции у = f(x) + a получается переносом графика функции у = f(x) вдоль оси Оу на a единиц вверх, если a > 0, и на \ a | единиц вниз, если a < 0. 1265. Составьте таблицы значений для функций у = sfx и у = \1 x + 2 для чисел, меньших 10, и постройте графики этих функций. Сравните их и сделайте вывод. 1266. Докажите, что график функции у = f(x + a) получается переносом графика функции у = f(x) вдоль оси Ox на a единиц влево, если a > 0, и на \ a | единиц вправо, если a < 0. 1267. Составьте таблицы значений для функций у = -Jx и у = \1~x для чисел, меньших 10 по модулю, и постройте графики этих функций. Сравните их и сделайте вывод. 1268. Докажите, что график функции у = f(-x) получается симметричным отражением графика функции у = f(x) относительно оси Оу. 1269. Составьте таблицы значений для функций у = \fx и у = 2sfx на промежутке [0; 9] и постройте графики этих функций. Сравните их и сделайте вывод. 1270. Докажите, что график функции у = kf(x) получается из графика функции у = f(x) растяжением его вдоль оси Оу в k раз, если k > 1, и сжатием в 1 раз, если 0 < k < 1. k г- 1271. Составьте таблицы значений для функций у = \1 x и у = sj2x на промежутке [0; 9] и постройте графики этих функций. Сравните их и сделайте вывод. 1272. Докажите, что график функции у = f(kx) получается из графика функции у = f(x) сжатием к оси Оу в k раз, если k > 1, и растяжением в 1 раз, если 0 < k < 1. k 1273. Из населенного пункта A в населенный пункт B, расстояние между которыми равно 234 км, выехал один мотоциклист. Другой мотоциклист выехал из пункта B со скоростью 337 Правообладатель Народная асвета на 12 км больше через час после этого и встретил первого, проехав 108 км. Найдите скорости мотоциклистов. 1274. Мастер может выполнить заказ на четыре дня быстрее, чем ученик. Определите, за какое время каждый из них может выполнить заказ, учитывая, что за 24 дня при совместной работе они могут выполнить заказ, в пять раз больший. 1275. Часы спешат, но в некоторый момент показывают на 3 мин меньше, чем следует. Если бы они показывали на 1 мин меньше, но спешили бы еще на 1 мин в сутки, то верное время они показали бы на сутки раньше, чем покажут на самом деле. На сколько минут в сутки спешат эти часы? 1276. Две бригады, работая вместе, могут выполнить всю работу за 18 дней. Если бы сначала первая бригада выполнила 2 всей работы, а затем вторая — оставшуюся часть, то вся 3 работа была бы выполнена за 40 дней. Определите, за сколько дней каждая бригада, работая отдельно, может выполнить всю работу. 1277. По наклонной плоскости длиной 6 м катятся два цилиндра, длины окружностей их оснований равны 3 дм и 2 дм. Определите, на сколько надо увеличить длину окружности того и другого цилиндров, чтобы первый из них сделал на 3 оборота больше, чем второй. 1278. На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 7 мин меньше второго. Определите, сколько деталей каждый из них обработает за 4 ч, учитывая, что первый рабочий за это время обработает на 96 деталей больше второго. 1279. Из населенного пункта A в пункт B вышел один пешеход, а через полчаса вслед за ним — другой пешеход, который шел со скоростью 4 км/ч, догнал первого и сразу же пошел обратно. Найдите скорость первого пешехода, учитывая, что расстояние между населенными пунктами составляет 10-1 км и второй пешеход вернулся в пункт A в тот момент, когда первый пришел в пункт B. 1280. При напряжении в 10 В сила тока в одной цепи на 1 А больше силы тока в другой цепи при напряжении в ней в 6 В. Если уменьшить сопротивление каждой цепи на 1 Ом, то ток в первой цепи станет на 2 А больше, чем во второй. 3 Найдите силу тока в каждой цепи. 338 Правообладатель Народная асвета 1281. Туристы сначала ехали 1,5 ч на машине, а затем 3 ч поездом. Найдите путь, который преодолели туристы, учитывая, что скорость поезда была в 1,5 раза меньше скорости машины, а средняя скорость на всем пути оказалась равной 70 км/ч. 1282. Есть два цилиндра с высотами 10 см и 15 см, площади оснований которых относятся как 3 : 4. Сумма объемов этих цилиндров равна 1800 см3. Найдите их объемы, учитывая, что объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. * * * 1283. Докажите, что для любого целого числа m найдутся , n - 2k + 1 такие целые числа n и k, что m =--=---. n2 - k 1284. Есть три последовательности чисел: из натуральных a1, a2, a3, " , an , b1, b2, b3, ^ ' , bn, ^1. c2, c3, ^ , cn, Докажите, что найдутся такие номера k и т, что ak < am, bk ^ bm, ck ^ cm. 1285. Точки K и N выбраны на окружностях, которые пересекаются в точках A и B, так, что прямые AK и AN являются касательными к этим окружностям в точке A, а точка M симметрична точке A относительно точки B. Докажите, что через точки A, K, M и N можно провести окружность. Правообладатель Народная асвета Справочный материал АРИФМЕТИКА Арифметика — та часть школьной математики, в которой изучаются числа, действия над числами, числовые выражения. Натуральные числа Для именования натуральных чисел в десятичной позиционной системе счисления пользуются знаками 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которые называют цифрами. Любая последовательность цифр, которая не начинается цифрой 0, представляет натуральное число. Все натуральные числа вместе составляют множество натуральных чисел, которое обозначают N. Над натуральными числами всегда выполнимы действия сложения, умножения и возведения в степень, т. е. каждое из этих действий, примененное к натуральным числам, имеет результатом натуральное число. Прибавить к натуральному числу a натуральное число b означает к натуральному числу a присчитать последовательно b единиц: опр a + b = (к((а + 1) + 1) + ,4 + 1). ч_____^_____3 b единиц Если а + b = c, то числа а и b называют слагаемыми, а число c — суммой. Выражение а + b также называют суммой. Умножить натуральное число а на натуральное число b означает натуральное число a взять слагаемым b раз: опр а • b = ((к((а + i) + а)+ ...) +(^). ч_____^______3 b слагаемых Если а • b = c, то числа а и b называют множителями, а число c — произведением. Первый множитель а называют еще множимым. Выражение а • b также называют произведением. Действием, обратным сложению, является вычитание. Из натурального числа а вычесть натуральное число b означает 340 Правообладатель Народная асвета найти такое натуральное число с, сумма которого с числом b равна числу а: опр a - b = с = с + b = а. Если а - b = с, то число а называют уменьшаемым, число b — вычитаемым, а число с — разностью. Выражение а - b также называют разностью. Действием, обратным умножению, является деление. Натуральное число а разделить на натуральное число b означает найти такое натуральное число с, произведение которого и числа b равно числу а: опр а : b = с = с • b = а. Если а : b = с, то число а называют делимым, число b — делителем, а число с — частным. Выражение а : b также называют частным. Основное свойство частного: частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число. Натуральное число а возвести в натуральную степень n означает натуральное число а взять множителем n раз: опр ап = ((к((а • а) • а) • к) • а). п множителей Если ап = с, то число а называют основанием степени, число п — показателем степени, а число с — степенью. Выражение ап также называют степенью. Вторая степень числа называется еще квадратом числа, третья — кубом числа. Действием, обратным возведению в квадрат, является извлечение квадратного корня. Извлечь квадратный корень из числа а означает найти такое натуральное число с, что его вторая степень равна числу а: опр 4а = с = с2 = а. Если 4а = с, то число а называют подкоренным числом, а число с — квадратным корнем. Выражение 4а также называют квадратным корнем. Обратные действия — вычитание, деление и извлечение квадратного корня — не всегда выполнимы на множестве натуральных чисел. Например, нет натурального числа, ко- 341 Правообладатель Народная асвета торое является значением разности 3-7, или которое является значением частного 3 : 7, или которое является значением корня V2. Если при делении натурального числа a на натуральное число b получается натуральное число с, то говорят, что натуральное число a делится (нацело) на натуральное число b, или что натуральное число a кратно натуральному числу b, или что число b есть делитель числа а. Рассматривается еще и действие деления с остатком одного натурального числа на другое. Натуральное число а разделить с остатком на натуральное число b означает найти такие неотрицательные целые числа p и q, что произведение числа p и числа b, будучи сложенным с числом q, равно числу а и при этом число q меньше числа b: опр а : b = p (ост. q) = p • b + q = a и q < b. Деление с остатком всегда выполнимо на множестве натуральных чисел. Число, которое делится на 2, называется четным числом, а которое не делится — нечетным числом. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называются четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными. Свойства числа, которое делится Признак делимости числа Если число делится на 10, то оно оканчивается цифрой 0 Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10 Четное число оканчивается четной цифрой Если число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2 Если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно делится на 5 Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3 Если сумма цифр числа делится на 3, то оно делится на 3 Если число делится на 9, то сумма его цифр делится на 9 Если сумма цифр числа делится на 9, то оно делится на 9 Число, которое имеет точно два натуральных делителя, называется простым числом. Число, имеющее более двух натуральных делителей, называется составным числом. Каждое натуральное число однозначно раскладывается в произведение простых множителей, если не обращать внимания на порядок их записи. Если множитель входит в разложение некоторого числа на простые множители несколько 342 Правообладатель Народная асвета раз, то количество этих вхождении называется кратностью множителя. Наибольшее из чисел, на которые делятся данные числа, называется наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел. Наименьшее из чисел, которое делится на все данные числа, называется наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел. Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, можно разложить их на простые множители, выбрать общие множители с учетом их кратностей и затем выбранные числа перемножить. Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, можно разложить их на простые множители, выбрать те множители, которые входят в разложение хотя бы одного из данных чисел с учетом их наибольших кратностей, и затем выбранные числа перемножить. Если НОД двух чисел равен единице, то такие числа называются взаимно простыми. Неотрицательные рациональные числа Долей называется одна из равных частей, на которые разделено целое. Обыкновенной дробью называется любое количество долей. Обыкновенная дробь, состоящая из n-х долей, которых есть т, записывается как —: m 1 + 1 + K + 1 = 1 • т. n n n n n mдолей В записи — число m называется числителем дроби, n число n — знаменателем дроби. Черта дроби и знак деления взаимозаменяемы: m — = т : n. n Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называется правильной. Если числитель дроби больше знаменателя или равен ему, то дробь называется неправильной. Если в неправильной дроби, например выделить целую и дробную части и записать их одна за другой, то полученную запись 3— называют смешанной дробью: опр 3— = 3+ —. 4 4 343 Правообладатель Народная асвета Чтобы неправильную дробь представить смешанной дробью, можно числитель неправильной дроби разделить с остатком на ее знаменатель. Чтобы смешанную дробь представить неправильной дробью, можно целую часть смешанной дроби умножить на знаменатель ее дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части и полученную сумму записать числителем неправильной дроби, оставив прежний знаменатель. Основное свойство дроби: величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число. Умножение числителя и знаменателя обыкновенной дроби на одно и то же натуральное число называется приведением дроби к новому знаменателю. Деление числителя и знаменателя обыкновенной дроби на одно и то же натуральное число называется сокращением дроби. Сокращением дробь можно свести к простейшей дроби с взаимно простыми числителем и знаменателем, которая называется несократимой дробью. Есть бесконечно много дробей, равных друг другу: 3 = 6 = 9 = 12 = 5 10 15 20 ^ . Каждая из равных друг другу дробей является представителем определенного рационального числа. Среди представителей того или иного рационального числа есть представитель с наименьшим знаменателем, который является несократимой дробью. Каждое натуральное число имеет бесконечно много представителей: 5 = 5 = 1^ = 15 = 20 = 25 = 1 2 3 4 5 ^ . Дробями представляются и числа, не являющиеся натуральными. Такие числа называют дробными числами. Дробные числа вместе с натуральными числами и числом 0 составляют множество неотрицательных рациональных чисел, которое обозначается Q0. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, можно в качестве общего знаменателя взять НОК знаменателей данных дробей и умножить числитель и знаменатель каждой из дробей на частное от деления общего знаменателя на знаменатель соответствующей дроби. Частное от деления общего знаменателя данных дробей на знаменатель той или иной дроби называется дополнительным множителем. 344 Правообладатель Народная асвета Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, достаточно сложить их числители, оставив знаменатель прежним: m + n — m n k k k Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к общему знаменателю. Чтобы из одной дроби вычесть другую дробь со знаменателем, равным знаменателю первой дроби, достаточно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, оставив знаменатель прежним: m - n — m - n k k k Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к общему знаменателю. Чтобы умножить дробь на натуральное число, можно умножить на это число числитель дроби, оставив знаменатель прежним, или разделить на это число знаменатель, оставив прежним числитель: m n k — m • k n n: k Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно разделить на это число числитель дроби, оставив знаменатель прежним, или умножить на это число знаменатель, оставив прежним числитель: m : k m m n k — n n • k Чтобы умножить дробь на дробь, достаточно перемножить в отдельности их числители и их знаменатели, записав произведение числителей в числитель дроби-произведения, а произведение знаменателей — в знаменатель дроби-произведения: k . m — km l n nl Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными. Чтобы одну дробь разделить на другую, достаточно первую дробь умножить на дробь, обратную другой: k : m — k • n — kn l n l m lm Обыкновенная дробь, знаменателем которой является разрядная единица, называется десятичной дробью. Обыкновенную дробь можно превратить в десятичную делением числителя на знаменатель. При этом полученная 345 Правообладатель Народная асвета десятичная дробь будет конечной или бесконечной периодической без допериода или с допериодом: ^ = 0,175; -36 = 0,(972); = 0,5(87). Чтобы конечную десятичную дробь преобразовать в обыкновенную, можно записать дробь с числителем, равным дробной части десятичной дроби, и знаменателем, равным разрядной единице со столькими нулями, сколько цифр в дробной части десятичной дроби, и затем сократить полученную обыкновенную дробь: 0,175 = 175 1000 40 ' Чтобы бесконечную периодическую десятичную дробь без допериода преобразовать в обыкновенную, можно записать обыкновенную дробь, числитель которой равен периоду, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько цифр в периоде, и затем сократить полученную обыкновенную дробь: 0,(972) = -972 = 108 = 86. ' ’ 999 111 37 Чтобы бесконечную периодическую десятичную дробь с допериодом преобразовать в обыкновенную, можно записать обыкновенную дробь, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами допериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько цифр в периоде, и столькими нулями, сколько цифр в допериоде: 587 - 5 = 582 = 97 990 ~ 990 ~ 165. 0,5(87) = Сотая доля называется процентом, а тысячная — промилле. Процент обозначают знаком %, а промилле — знаком ^: 1 % = = 0,01; 56 % = -^ = 0,56; 10^ ^ ’ 100 ’ ’ 1 V = 1 1000 = 0,001; 56 V = 56 1000 = 0,056. Рациональные числа Если на прямой p взять некоторую точку O в качестве начала отсчета, выбрать одно из двух направлений и единичный отрезок OE, то этим самым задается координатная прямая (рис. 414). 346 Правообладатель Народная асвета о Е -t О 1 Рис. 414 Если от начала отсчета O на данной прямой в выбранном направлении отложить отрезок, длина которого равна данному числу t, то получим точку A. Число t называют координатой точки A. Это записвают так: A(t). Для точек O и E имеем соответственно: 0(0) и E(1). Луч OE координатной прямой называют положительным лучом, другой ее луч — отрицательным лучом. Точке B, симметричной точке A относительно начала отсчета 0, присваивается координата -t. Числа t и -t называют противоположными числами. Числа, которым соответствуют точки координатной прямой, расположенные на положительном луче, называются положительными числами, они могут записываться как со знаком +, так и без него: записи вида +1 и 1 обозначают одно и то же число. Числа, которым соответствуют точки координатной прямой, расположенные на отрицательном луче, называются отрицательными числами. Отрицательные числа записываются со знаком -. Число 0 не считают ни отрицательным, ни положительным. Модулем 111 числа t называется само это число, если оно положительно или равно нулю, и противоположное число, если число t отрицательно: \t, если t — положительное число или число 0, Itl = -t, если t — отрицательное число. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак. Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и результат записать со знаком того числа, модуль которого больше. Чтобы из одного числа вычесть другое число, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Чтобы умножить два числа, нужно перемножить их модули и результат записать со знаком плюс, если множители имеют одинаковые знаки, и со знаком минус, если разные знаки. Чтобы разделить одно число на другое, можно делимое умножить на число, обратное делителю. Натуральные числа называют еще положительными целыми числами. Числа, противоположные натуральным числам, 347 Правообладатель Народная асвета называют отрицательными целыми числами. Множество Z целых чисел — это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0. Целые числа вместе с дробными, как положительными, так и отрицательными, вместе составляют множество Q рациональных чисел. Действительные числа Во множестве рациональных чисел становятся всегда выполнимыми вычитание и деление на число, отличное от нуля. Но действие извлечения квадратного корня, обратное действию возведения в квадрат, не всегда выполнимо. Например, число V2не является рациональным. Рациональные числа представляются десятичными дробями — конечными или бесконечными периодическими без периода из одних девяток. Каждая десятичная дробь, как конечная, так и бесконечная периодическая, представляет некоторое рациональное число. Бесконечные непериодические десятичные дроби представляют иррациональные числа: л/2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 ^ . К получению иррациональных чисел приводит не только действие извлечения квадратного корня. Действия нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, за редким исключением, порождают иррациональные числа: sin 2° = 0,034 899 496 702 500 971 645 995 181 625 333 tg 89° = 57,289 961 630 759 424 687 278 147 537 113 ^ . Иррациональным является и число п: п = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 ^ . Рациональные числа вместе с иррациональными числами составляют множество R действительных чисел. Каждому рациональному числу соответствует единственная точка координатной прямой, но не каждая точка координатной прямой имеет своей координатой рациональное число. На рисунке 415 показано построение точки, координата которой есть длина l диагонали квад- Правообладатель Народная асвета рата со стороной 2, а эта длина выражается числом 2/2, которое не является рациональным. Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой, и каждая точка координатной прямой имеет координатой действительное число. Сравнение действительных чисел Для любых двух действительных чисел a и b истинно одно и только одно из утверждений: a меньше b; a равно b; a больше b. Отношения a меньше b; a равно b; a больше b передаются формулами a < b, a = b, a > b соответственно и вводятся следующим определением: опр опр опр a < b = a - b < 0; a = b = a - b = 0; a > b = a - b > 0. Формулами a > b, a Ф b и a < b обозначают отношения a больше или равно b, a не равно b и a меньше или равно b. Первое из этих отношений имеет место, если выполняется хотя бы одно из отношений a > b или a = b, второе — если не выполняется отношение a = b, третье — если выполняется хотя бы одно из отношений a < b или a = b. Формулой a < x < b обозначается отношение x больше a и меньше b, которое имеет место, если выполняются отношения a < x и x < b. Аналогично определяются отношения a < x < b, a < x < b и a < x < b. Отношение a = b называют равенством, отношения a < b, a > b, a > b, a Ф b и a < b — неравенствами. Неравенства a < b и a > b называют строгими неравенствами, а неравенства a > b и a < b — нестрогими неравенствами. Отношение равно имеет такие свойства: если a = b, то b = a (симметричность); если a = b и b = c, то a = c (транзитивность). Отношение меньше имеет такие свойства: если a < b, то b > a; если a < b и b < c, то a < c (транзитивность); если a < b, то a + c < b + c; если a < b и c > 0, то ac < bc; если a < b и c < 0, то ac > bc; если a < b и c < d, то a + c < b + d; если a < b, c < d и a, c — положительные числа, то ac < bd; если a < b и c > d, то a - c < b - d; 349 Правообладатель Народная асвета если a < b и a и b — положительные числа, то — > a b если a < b и аи b — положительные числа и n — натуральное число, то a^ < b^. Аналогичные свойства имеет и отношение больше. Из двух натуральных чисел больше то, которое при счете называется позже. Натуральные числа и десятичные дроби сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда. Из двух положительных обыкновенных дробей с равными знаменателями больше та, у которой числитель больше. Из двух положительных обыкновенных дробей с равными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Чтобы сравнить две обыкновенные дроби с разными числителями и знаменателями, можно эти дроби заменить равными им дробями с равными знаменателями (или числителями), приведя их к общему знаменателю (или числителю). Из двух действительных чисел с разными знаками большим является положительное число. Число 0 больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного. Из двух отрицательных действительных чисел больше то, модуль которого меньше. Из двух положительных действительных чисел больше то, модуль которого больше. Средние величины Средним арифметическим a чисел a^, a2, ^, an называется их сумма, деленная на их количество n: a _ ai + a2 + K + an Средним геометрическим g двух положительных чисел a1 и a2 называется квадратный корень из их произведения: g _ slai • a2 . Среднее арифметическое a и среднее геометрическое g одних и тех же чисел связаны неравенством g < a. Свойства действий над числами Сложение и умножение натуральных чисел имеют переместительное и сочетательное свойства, а умножение по отношению к сложению имеет распределительное свойство: a + b _ b + a; a • b _ b • a; a + (b + c) _ (a + b) + c; a • (b • c) _ (a • b) • c; a • (b + c) _ a • b + a • c. 350 Правообладатель Народная асвета n Число 0 имеет такие свойства: a + 0 = 0 + a = a; a + (-a) = 0; a - 0 = a; 0 - a = -a; a • 0 = 0 • a = 0; 0 : a = 0, если a Ф 0; выражение a : 0 не имеет значения. Число 1 имеет такие свойства: a • 1 = 1 • a = a; a • — = 1; 1 a 1 : a = —, если a Ф 0; a : 1 = a. a Пропорции Отношением значений некоторой величины называют частное от деления одного из этих значений на другое. Если делимое больше делителя, то отношение показывает, во сколько раз первое значение больше другого, а если делимое меньше делителя, то — какую часть первое значение составляет от другого. Чтобы найти отношение значений величины, нужно привести их к одной единице измерения и первое число разделить на второе. Равенство a c двух отношений a и c называют про-b d b d порцией. Если есть пропорция a c, то числа a и d называют край- bd ними членами пропорции, а числа b и c — ее средними членами. Если равенство a c истинно, то соответствующая про- bd порция называется правильной пропорцией, в противном случае — неправильной пропорцией. Если пропорция правильная, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов. Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная. Если поменять местами крайние члены правильной пропорции или ее средние члены, то пропорция останется правильной: __ a ^ d ^ „ a b b d b a c d 351 Правообладатель Народная асвета Степень с целым показателем Для степени с целым показателем имеем такие определе- ния: а0 = 1, если a Ф 0; а1 = а; ап = а • а • к. • а, если n — натуральное число и n > 1; n множителей а-^ = , если а Ф 0, p — натуральное число. ар Для любых положительных действительных значений а и b и любых целых значений p и q верны равенства: а—а^ = а— + q; (аЬ)— = арЬр; а— : aq = ар - q; (ap)q = а—1; а \р = а—_ W bp Любое действительное число можно представить в стандартном виде, т. е. записать произведением c • 10n, где 1 < c < 10, ап — целое число. Число n называют порядком числа. Арифметический квадратный корень имеет такие свойства: выражение \[а имеет значение, если а > 0; ч/а2 = I а I верно при любом действительном значении переменной а; если а ^ 0 и b ^ 0, то \1аЬ = \[а • \/Ь и а > b = \[а > Vb; равенство истинно, если а > 0 и b > 0. \b yjb 352 Правообладатель Народная асвета Тригонометрические числовые выражения Синусом угла а называется отношение, первый компонент которого есть расстояние от произвольной точки M на одной стороне угла величиной а до прямой, содержащей другую сторону, а второй компонент — расстояние от точки M до вершины A угла: sin а = MX MA (рис. 416). Косинусом угла а называется отношение, первый компонент которого есть расстояние от вершины A угла до проекции X произвольной точки M одной стороны угла величиной а на прямую, содержащую другую сторону, а второй компонент — расстояние от вершины A угла до точки M, причем это отношение имеет знак плюс, если проекция X попадает на сторону угла, и знак минус, если на продолжение стороны (рис. 417): cos а = < AX AM AX AM , если а ^ 90°, , если 90° < а ^ 180° Тангенсом угла а называется отношение синуса этого угла к его косинусу: tg а = ■slnа. Рис. 417 Котангенсом угла а называется отношение ^ косинуса этого угла к его синусу: ctg а = -cosа. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника связаны с его сторонами (рис. 418): sin A = a; cos A = b; tg A = a; ctg A = b. c c b a C a в Рис. 418 353 Правообладатель Народная асвета Синус, косинус, тангенс, котангенс некоторых углов приведены в следующей таблице. Угол а, ° 0 30 45 60 90 120 135 150 180 Синус угла а 0 1 2 2 ^/3 2 1 S 2 42 2 1 2 0 Косинус угла а 1 43 2 42 2 1 2 0 1 2 42 2 S 2 -1 Тангенс угла а 0 Л 3 1 S Не суще- ствует -43 -1 S 3 0 Катангенс угла а Не суще- ствует ^/3 1 S 3 0 43 3 -1 -43 Не суще- ствует Синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны формулами: • 2 Pi sin а + cos а = 1; 1 + tg2a = 1 ; tga • ctga = 1; 1 + ctg2a = L Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла верны формулы приведения: sin (90° - а) = cosa; tg (90° + а) = -ctga; cos (90° - а) = sina; ctg (90° + a) = -tga; tg (90° - a) = ctga; sin (180° - a) = sina; ctg (90° - a) = tga; cos (180° - a) = -cosa; sin (90° + a) = cosa; tg (180° - a) = -tga; cos (90° + a) = -sina; ctg (180° - a) = -ctga. АЛГЕБРА Выражения Выражение. Тождественное преобразование выражения В алгебре изучаются выражения с переменными, уравнения, неравенства, функции. Основным из этих понятий является понятие выражения с переменными. Уравнение или неравенство получается из двух выражений, если соединить их знаком =, <, >, ^, >, <. Функция возникает тогда, когда в отношении выражения с переменными ставится вопрос о его значениях при различных возможных значениях переменных. 354 Правообладатель Народная асвета Выражение с переменными образуется из чисел и переменных с помощью действий над числами, из которых вы знаете сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень и извлечение квадратного корня, нахождение значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса. В зависимости от того, какие действия использованы при образовании выражения, его относят к тому или иному виду, отношения между которыми показывает схема, приведенная на рисунке 406 (с. 315). Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо ее значение, то получится числовое выражение, значение которого называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Множество наборов значений переменных, при которых выражение с переменными имеет значения, называют областью определения выражения. Целое выражение имеет значения при любых значениях входящих в него переменных. Дробно-рациональное выражение имеет значения при тех наборах значений входящих в выражение переменных, при которых его знаменатель не равен нулю. Иррациональное выражение при показателе корня, равном двум, имеет значение при тех наборах значений переменных, при которых его подкоренное выражение не меньше нуля. Два выражения с одними и теми же переменными называются тождественно равными, если при всех наборах значений переменных из области определения соответствующие значения выражений равны. Замена выражения тождественно равным ему выражением называется тождественным преобразованием этого выражения. Поскольку a - b = a + (-b), то выражение, образованное из других выражений с помощью сложения и вычитания, можно записать как сумму, которая называется алгебраической суммой. Раскрытием скобок называется замена выражения a(b1 + b2 + ^ + b„) выражением ab1 + ab2 + ^ + abn. Вынесением общего множителя за скобки называется замена выражения ab1 + ab2 + ^ + abn выражением a(b1 + b2 + ^ + bn). Если слагаемые алгебраической суммы одинаковы или отличаются только числовыми множителями, то их называют подобными слагаемы.ми. Замена суммы подобных слагаемых тождественно равным ей одним слагаемым называется приведением подобных слагаемых. 355 Правообладатель Народная асвета Целые выражения Произведение чисел, переменных и их натуральных степеней называют одночленом. Любой одночлен можно привести к стандартному виду, т. е. представить произведением числового множителя, записанного первым, и последующих степеней различных переменных. Этот числовой множитель называется коэффициентом одночлена. Сумму показателей степеней всех переменных одночлена называют степенью одночлена. Произведение двух одночленов и натуральную степень одночлена можно заменить тождественно равным одночленом стандартного вида. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных сложить. Чтобы возвести в степень одночлен, нужно возвести в эту степень каждый из множителей. Алгебраическую сумму одночленов называют многочленом. Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена. Одночлен также считают многочленом. Многочлен из двух членов называют двучленом, а из трех членов — трехчленом. Члены многочлена, отличающиеся только знаками своих коэффициентов, в сумме дают нуль. В этом случае говорят, что они взаимно уничтожаются. Многочлен, не имеющий подобных членов, все члены которого записаны в стандартном виде, называют многочленом стандартного вида. Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Сумму или разность любых многочленов можно представить многочленом стандартного вида. При решении обратной задачи — представлении многочлена суммой или разностью многочленов — пользуются правилами: если при заключении в скобки членов многочлена перед скобками поставлен знак плюс, то члены в скобках записывают со своими знаками; если при заключении в скобки членов многочлена перед скобками поставлен знак минус, то члены в скобках записывают с противоположными знаками. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. 356 Правообладатель Народная асвета Чтобы многочлен разделить на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен. Чтобы вынести общий множитель членов многочлена за скобки, нужно: выделить этот общий множитель; делением членов многочлена на общий множитель найти многочлен, который записывается в скобках. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать сумму полученных произведений. При преобразованиях целых выражений могут использоваться формулы сокращенного умножения: (а + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a - b)(a + b) = a2 - b2; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2; (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3; (a + b)3 = a3 + 3a2b + Sab2 + b3; (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3; Каждое целое выражение можно представить многочленом стандартного вида. Целью преобразования целого выражения в большинстве случаев как раз и является приведение его к стандартному виду. Иногда приходится решать обратную задачу — представить многочлен стандартного вида произведением нескольких множителей-многочленов. Такое преобразование многочлена называют разложением многочлена на множители. При разложении многочлена на множители используют способы: вынесение общего множителя за скобки; группировка; по формулам сокращенного умножения. Квадратный трехчлен Из целых выражений специально изучается квадратный трехчлен, т. е. многочлен ax2 + bx + c, где a, b, c — некоторые числа, x — переменная, причем a Ф 0. Значения переменнай х, при которых квадратный трехчлен имеет своим значением число 0, называются корнями квадратного трехчлена. Числа a, b, c называют коэффициентами квадратного трехчлена, число a — первым, или старшим, коэффициентом, число b — вторым коэффициентом, число c — свободным членом. Выражение b2 - 4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена и обозначают D, т. е. D = b2 - 4ac. 357 Правообладатель Народная асвета Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня и x2, которые выражаются через его коэффициенты следующим образом: -b -4d -b + 4d Xi = ----- и x2 = 2a 2a Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень X = — b 2a ' Если D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители: если дискриминант D квадратного трехчлена ах^ + Ьх + с положителен и х^ и х2 — его корни, то истинно равенство ах^ + Ьх + с = а(х — х1)(х — х2); если D = 0 и х^ — его корень, то ах^ + Ьх + с = а(х — х^)2; если D < 0, то квадратный трехчлен на множители не раскладывается. Теорема Виета: если х^ и х2 — корни квадратного трехчлена ах^ + Ьх + с, то b с х^ + х2 = и х^ • х2 = —. Это утверждение остается в силе и при D = 0, если х^ и х2 находить по общим формулам. Теорема, обратная теореме Виета: если числа а, Ь, с, х^ и b с х2 удовлетворяют условиям х^ + х2 = —— и х^ • х2 = —, то х^ и х2 — корни квадратного трехчлена ах^‘ + Ьх + с. Рациональные выражения Множество рациональных выражений составляют целые и дробно-рациональные выражения. Любое рациональное выражение можно представить дробью M, где M и N — многочлены стандартного вида, которые могут быть и числами. Такую дробь называют рациональной дробью. Целью преобразования рационального выражения является, чаще всего, представление его рациональной дробью. Правила действий над рациональными дробями такие же, как и над обыкновенными дробями. Вместе с этими правилами при преобразованиях рациональных выражений используются правила преобразований целых выражений, которые являются частями рационального выражения, а также свойства степени с целым показателем, в том числе и следующие: если P Ф 0 и Q Ф 0, то ^—j = 358 Правообладатель Народная асвета Алгебраические выражения Множество алгебраических выражений составляют рациональные и иррациональные выражения. При преобразованиях иррациональных выражений используют правила действий над рациональными выражениями, свойства степени с целым показателем и свойства радикалов. Трансцендентные выражения Из трансцендентных выражений вам известны тригонометрические выражения. При преобразованиях этих выражений вы можете использовать определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и известные вам формулы, связывающие их друг с другом, а также формулы приведения. Уравнения и неравенства Из двух выражений с переменными образуется формула, если выражения связать каким-либо отношением. В школьной алгебре изучаются отношения равно, меньше, больше и их отрицания — не равно, больше или равно, меньше или равно. В соответствии с этим из двух выражений A и B образуются формулы следующих видов: A = B, A < B, A > B, A ^ B, A > B, A < B. Формула, которая превращается в истинное высказывание при любых наборах значений входящих в нее переменных, называется тождественно истинной формулой или тождеством. Другие формулы называются формулами-зависимостями. Формула-равенство A = B называется уравнением, формулы-неравенства A < B, A > B, A Ф B, A > B, A < B — неравенствами с переменными. Областью определения формулы называется множество тех наборов значений переменных, входящих в выражения A и B, при которых имеют значения оба выражения A и B. Число, превращающее уравнение в истинное высказывание, называют корнем уравнения. Решить уравнение означает найти все его корни или установить, что их нет. 359 Правообладатель Народная асвета Число, превращающее неравенство с переменной в истинное высказывание, называют решением неравенства. Решить неравенство означает найти все его решения или установить, что их нет. Из формул образуют их системы и совокупности. Системой формул называется формула, состоящая из двух или большего числа формул и являющаяся истинной при тех и только тех наборах значений переменных, при которых истинна каждая из формул. Система, состоящая из формул A и B, обозначается A, B. Совокупностью формул называется формула, состоящая из двух или большего числа формул и являющаяся истинной при тех и только тех наборах значений переменных, при которых истинна хотя бы одна из формул. Совокупность, со- Г A стоящая из формул A и B, обозначается B. Каждая пара значений переменных, удовлетворяющая системе или совокупности формул с двумя переменными, назы-ваетсярешением системы или совокупности. Аналогично определяется понятие решения системы или совокупности формул с другим количеством переменных. Решить систему или совокупность означает найти все ее решения или установить, что их нет. Решение уравнений, неравенств, их систем и совокупностей часто предусматривает сведение их к стандартным уравнениям или неравенствам. При этом полученное в результате преобразований уравнение, неравенство, система или совокупность должны иметь те же решения, что и исходное уравнение, неравенство, система или совокупность. В таком случае говорят о равносильных уравнениях, неравенствах, системах, совокупностях. Замена уравнения, неравенства, системы, совокупности равносильным уравнением, неравенством, системой, совокупностью называется преобразованием равносильности. Преобразованиями равносильности уравнений или неравенств являются: • перенос слагаемого из одной части уравнения или неравенства в другую с изменением его знака; 360 Правообладатель Народная асвета • умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число; • умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число; • умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с заменой знака неравенства знаком противоположного смысла; • возведение обеих частей уравнения или неравенства в одну и ту же нечетную степень. При решении уравнений пользуются и преобразованиями следования, т. е. преобразованиями, при которых все корни данного уравнения являются корнями полученного уравнения. Примером преобразования следования является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Преобразование следования может приводить к появлению побочных корней, т. е. таких чисел, которые являются корнями полученного уравнения, но не являются корнями исходного. Поэтому при использовании преобразований следования обязательным этапом решения уравнения является проверка того, являются ли полученные числа корнями данного уравнения. При решении уравнений и неравенств используются такие типичные приемы, как введение вспомогательной переменной, разложение на множители, перебор случаев, сведение к системе, использование графических представлений, использование свойств функций. С разложением на множители связан метод интервалов, с помощью которого можно решать рациональные неравенства. Неравенство (t + 1)(t - 4) 2 2 > . 3 t + 1 31 + 2 2t -1 сводится к неравенству > 0, для которого метод интервалов (рис. 419) (t + 3)(3t + 2)(2t — 1) дает ответом множество (—3; — 1] U ^—2;1 j U [4; + ^). + - 43 -1- 1 2 Рис. 419 361 Правообладатель Народная асвета Чтобы ответить на вопрос о количестве решений системы \у=■ 1(^ - 1)2 + (у + 1)? = 4, удобно использовать графический способ решения. Построив графики зависимостей у = и (х - 1)? + (у + 1)? = 4 (рис. 420), замечаем, что они имеют 4 точки пересечения. Поэтому система имеет 4 решения. Сведения о решении линейных, квадратных и двучленных уравнений приведены в следующей таблице. Уравнение Корни ах = b —, если a Ф 0 a ax^ + bx + c = 0 - b b2 - 4ac ТЛ Л ^ если D = b2 - 4ac > 0 2a ’ xn = a nr- va, если n — нечетное число; ±^ja, если n — четное число и a > 0 Сведения о решении линейных и квадратных неравенств даются в схемах, приведенных на рисунках 421 и 422. При решении систем уравнений стремятся уменьшить количество переменных и получить уравнение с одной переменной, которое позволит найти ее значения, а затем для каждого из полученных значений ищутся значения остальных переменных. Исключить одну из переменных из системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно способом подстановки или способом алгебраического сложения. Уравнение, неравенство или система могут содержать две или больше переменных, причем одна из них считается переменной уравнения, а остальные рассматриваются как параметры, т. е. их значения считаются фиксированными. В таком случае говорят об уравнении, неравенстве или системе с параметрами. Решить уравнение, неравенство или систему с параметрами означает для каждого набора значений параметров найти корни или решения соответствующего уравнения, неравенства или системы. 362 Правообладатель Народная асвета Рис. 421 Рис. 422 363 Правообладатель Народная асвета Координаты и функции Если на прямой выбраны две точки O и E и с ними сопоставлены числа 0 и 1 соответственно (см. рис. 414), то говорят, что на прямой задана система координат, а саму прямую называют координатной прямой или координатной осью. Точку O называют началом координат, а отрезок OE — единичным отрезком. Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами взаимно однозначное: каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Число X, соответствующее точке A координатной прямой, называют координатой этой точки и записывают A(x). Если на каждой из двух перпендикулярных прямых заданы системы координат с общим началом в точке O пересечения прямых, то говорят, что задана система координат на плоскости. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью, одну из координатных прямых, обычно горизонтальную, называют осью абсцисс, другую — осью ординат. Соответствие между точками координатной плоскости и парами действительных чисел взаимно однозначное: каждой точке координатной плоскости соответствует единственная пара действительных чисел, а каждой паре действительных чисел соответствует единственная точка координатной плоскости. Числа x и у пары (x; y), соответствующей точке M координатной плоскости, называют координатами этой точки, причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой. Это записывают M(x; у). Если есть точки A(x1) и B(x2), то расстояние между ними выражается числом | x1 - x21, а если даны точки A(x1; у1) и B(x2; у2), то числом ^J(x1 - x2 )2 + (у1 - у2 )2 (рис. 423). Зависимость одной переменной у от другой x, при которой каждому значению переменной x из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной у, называется функциональной зависимостью или функцией. Функциональную зависимость переменной у от переменной x обозначают у = f(x) или у = y(x). При этом переменную x называют аргументом функции. Множество тех значений, которые может принимать аргумент функции, называется областью определения функции, а 364 Правообладатель Народная асвета X, - X, в О множество тех значении, которые может принимать зависимая переменная у, — областью значений функции (см. рис. 45). Область определения функции у = f(x) обозначают символом D(y), а область значений — E(y). Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Если аргумент функции принимает только натуральные значения, то такую функцию называют последовательностью. Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа d, которое называется разностью прогрессии. Последовательность (an) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов: а^ _ -t + a„ 11 Рис. 423 а„ = Формулы ап = а^ + (п - l)d и Sn = 2 п дают возможность найти п-ный член арифметической прогрессии и сумму п ее первых членов. Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же не равное нулю число q, которое называется знаменателем прогрессии. Последовательность (ЪП) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов: Ъ^2 = Ъп - 1Ъп + 1. Для нахождения п-ого члена геометрической прогрессии и суммы первых п ее членов можно использовать формулы: г,п 1 -п - и . q 1 Ъп = bi • qn и Бп = bi q -1 365 Правообладатель Народная асвета ГЕОМЕТРИЯ Две прямые Две прямые a и b могут быть параллельными (рис. 424) или пересекающимися (рис. 425). о. а Рис. 424 Z 1 + Z 2 = 180 Z 1 = Z 3 Рис. 425 Пересекающиеся прямые разделяют плоскость на четыре угла, пары которых имеют специальные названия. Углы 1 и 2, которые имеют общую сторону, называют смежными, а углы 1 и 3, стороны каждого из которых являются продолжениями сторон другого угла, — вертикальными. Смежные углы вместе составляют 180°, а вертикальные углы равны друг другу. Три прямые Среди трех прямых а, b, c может не быть параллельных прямых (рис. 426) или такие прямые могут быть. Если есть параллельные прямые a и b, то третья прямая c может быть параллельной им (рис. 427) или пересекать их (рис. 428). Если две прямые a и b пересечены третьей прямой, то образуются 8 углов (рис. 429). Углы 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 называются соответственными, углы 3 и 6, 4 и 5 — внутренними односторонними, углы 3 и 5, 4 и 6 — внутренними накрест лежащими. Свойства параллельных прямых: если прямые а и b параллельны, то соответственные углы равны, внутренние накрест лежащие углы равны, а внутренние односторонние вместе составляют 180°. Признаки параллельных прямых: две прямые параллельны, если соответственные углы, образовавшиеся при пересечении их третьей прямой, равны, или внутренние накрест лежащие углы равны, или внутренние односторонние углы вместе составляют 180°. Три попарно пересекающиеся прямые выделяют из плоскости треугольник (рис. 430). 366 Правообладатель Народная асвета Рис. 427 В Треугольник Свойства треугольника (рис. 431): сумма внутренних углов равна 180°; Z A + Z B + Z C = 180°; каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон и больше их разности; b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b; против большего угла лежит большая сторона; если ZA > Z C, то a > c; против большей стороны лежит больший угол; если a > c, то ZA > Z C; теорема косинусов: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними; a2 = b2 + c2 - 2bc cos A; теорема синусов: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов; a b c sin A sin B sin C Кроме сторон и углов, треугольник имеет и другие элементы. 367 Правообладатель Народная асвета Рис. 432 Рис. 433 Внешний угол треугольника — угол, смежный с его внутренним углом (рис. 432). Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним; Z BA^ = Z B + Z C. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис. 433). Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине; MN | AB, MN = 1AB. Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны (рис. 434). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, если считать от вершины (рис. 435); AG : GA1 = BG : GB1 = CG : GC1 = 2 : 1. Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между его вершиной и противолежащей стороной (рис. 436). Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам; BA1 = AB. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 437). 368 Правообладатель Народная асвета Рис. 437 Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, проходящую через противоположную его сторону (рис. 438). Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (рис. 439). Площадь треугольника равна половине произведения стороны и проведенной к ней высоты, или произведению высоты треугольника и перпендикулярной ей средней линии, или половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними, или квадратному корню из произведения полупериметра и трех разностей полупериметра с каждой стороной, или произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности, или произведению трех сторон треугольника, разделенному на учетверенный радиус описанной окружности (рис. 440); p = 1 (AB + BC + CA); S = 1BC • AAi = AAi • MN = 2 1 1 = 1AB • AC • sin BAC = 2 ^p(p - AB)(p - BC)(p - CA) = pr = AB •BC■CA 4 R 369 Правообладатель Народная асвета Рис. 441 Прямоугольный треугольник Два угла треугольника обязательно острые, а третий — больший — его угол может быть и острым (рис. 441), и прямым (рис. 442), и тупым (рис. 443). В соответствии с этим треугольники разделяют на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные. Свойства прямоугольного треугольника (рис. 444): острые углы вместе составляют 90°; Z A + Z B = 90°; теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов; AB2 = AC2 + BC2; если катет лежит против угла в 30°, то он равен половине гипотенузы; если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°; медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы и является радиусом описанной окружности; CC2 = AC2 = BC2; высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она разделяет гипотенузу, а катет является средним геометрическим гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу; CC1 = .JAC1 • BC1, AC = sjAB • AC1, BC = ,jAB • BC1; синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе; косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе; тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему; котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему; sinA = ; cos A = ; tg A = ; ctg A = . A^ ’ ^ AC^ ^ BC 370 Правообладатель Народная асвета Признаки прямоугольного треугольника. Треугольник является прямоугольным, если: сумма двух каких-нибудь его углов равна 90°; квадрат большей его стороны равен сумме квадратов двух других сторон; одна из его медиан равна половине стороны, к которой проведена. Равнобедренный треугольник Если треугольник имеет равные стороны, его называют равнобедренным (рис. 445). Равнобедренный треугольник с тремя равными сторонами называют равносторонним (рис. 446). Свойства равнобедренного треугольника (рис. 447): углы при основании равны; Z A = Z C; медиана, биссектриса, высота, проведенные к основанию, совпадают; если ЕЕ-^ — медиана, то ЕЕ-^ — биссектриса и высота; если ЕЕ^ — биссектриса, то ЕЕ^ — медиана и высота; если ЕЕ^ — высота, то ЕЕ^ — биссектриса и медиана. В в Рис. 445 Рис. 446 Признаки равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если: два его угла равны; медиана и высота, или медиана и биссектриса, или высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают. Равенство фигур Равные фигуры — фигуры, совпадающие при наложении. Признаки равенства треугольников. Треугольники являются равными, если они имеют равные: 371 Правообладатель Народная асвета угол и прилежащие к нему стороны; сторону и прилежащие к ней углы; три стороны. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Прямоугольные треугольники являются равными, если у них соответственно равны: катеты; катет и прилежащий к нему острый угол; гипотенуза и острый угол; гипотенуза и катет. Подобие фигур Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то эти прямые на другой стороне высекают также равные отрезки. Подобные треугольники — треугольники, углы которых попарно равны, а соответственные стороны пропорциональны. Подобные многоугольники с одинаковым количеством сторон — многоугольники, углы которых попарно равны, а соответствующие стороны пропорциональны. При этом отношение соответствующих сторон называют коэффициентом подобия. Фигура Ф называется подобной фигуре с коэффициентом подобия k, если между точками фигур Ф и Ф^ можно установить соответствие, при котором каждой точке A фигуры Ф соответствует единственная точка А^ фигуры Ф^, и наоборот, и при этом если точкам X и Y фигуры Ф соответствуют точки Х^ и Y^ фигуры Ф^, то всегда -= k. XiYi Признаки подобия треугольников. Треугольники являются подобными, если у них: имеется по равному углу, а прилежащие к нему стороны пропорциональны; имеется по два равных угла; все три стороны пропорциональны. Отношение любых соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия. 372 Правообладатель Народная асвета Окружность и круг Отношение длины C окружности к ее диаметру d является одним и тем же для любой окружности (рис. 448). Это отношение выражается числом, которое обозначается п: п = C = 3,141592^ . Длина C окружности, площадь S соответствующего круга и их радиус r связаны фор- 2 C мулами: C = 2пг; S = пг ; S = — г. Окружность и угол Угол, вершина которого находится в центре круга, называется центральным углом. Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны имеют с окружностью общие точки, называется вписанным углом (рис. 449). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанный угол, который опирается на диаметр, является прямым. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сторонами данного угла, а другая — между сторонами угла, вертикального данному. Угол, вершина которого находится вне круга, а стороны пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг, которые данный угол высекает из окружности. Окружность и прямая Секущая — прямая, имеющая с окружностью две общие точки (рис. 450). Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку (см. рис. 450). Свойство касательной. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. 373 Правообладатель Народная асвета 2 2 ная r - a Рис. 450 /х" Признак касательной. Прямая явля- ется касательной, если она проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, которую этот угол заключает. Произведение частей хорды, на которые она разделяется своей внутренней точкой, есть величина постоянная, рав-где r — радиус круга, a — расстояние от центра до выбранной точки. Если секущая проходит через точку вне круга, то произведение отрезков, соединяющих эту точку с точками пересечения секущей с окружностью, есть величина постоянная, 22 равная a - r , где r — радиус круга, a — расстояние от центра до выбранной точки. Если секущая и касательная проходят через данную точку вне круга, то произведение отрезков секущей, соединяющих эту точку с точками пересечения секущей с окружностью, равно квадрату отрезка касательной с концами в данной точке и точке касания. Отрезки двух касательных, проведенных через одну точку, заключенные между этой точкой и точками касания, равны друг другу. Окружность и треугольник Окружность, вписанная в многоугольник — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Окружность, описанная около многоугольника — окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его биссектрис. Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам (рис. 451). 374 Правообладатель Народная асвета Радиусы r и R вписанной и описанной окружностей связаны с другими элементами треугольника формулами: r = ^. R = obc. p 4 S sin A = 2R. Четырехугольник Плоская замкнутая четырехзвенная ломаная выделяет из плоскости четырехугольник. Четырехугольник на рисунке 452 выпуклый, а на рисунке 453 невыпуклый. Обычно рассматривают выпуклые четырехугольники. D Свойства четырехугольника: сумма внутренних углов равна 360°; середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рис. 454); площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними. Трапеция Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет (рис. 455). Свойства трапеции (рис. 456): сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°; Z A + Z B = 180°; Z C + Z D = 180°; В Р С В 375 Правообладатель Народная асвета средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме; MN | AD, MN | BC, MN = + BC); площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты; SABCD = MN • BB^; из треугольников, на которые диагонали разделяют трапецию, треугольники, прилежащие к ее основаниям, подобные, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновеликие; АAOD " А BOC; SAqB = S^qc:- Признаки четырехугольника с параллельными сторонами. Четырехугольник имеет параллельные стороны, если: сумма углов, прилежащих к какой-нибудь стороне, равна 180°; отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон; из четырех треугольников, на которые диагонали разделяют четырехугольник, два треугольника, прилежащие к противоположным сторонам, равновелики. Параллелограмм Параллелограмм — четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон (рис. 457). В В Свойства параллелограмма (рис. 458): сумма углов, прилежащих к любой его стороне, равна 180°; Z A + Z B = 180°, и Z B + Z C = 180°, и Z C + Z D = 180°, и Z D + Z A = 180°; его противоположные стороны параллельны и равны; AD I BC и AB I CD; AD = BC и AB = CD; 376 Правообладатель Народная асвета его противоположные углы равны; ZA = Z C и Z B = Z D; точка пересечения диагоналей делит их пополам; AO = CO; BO = DO; точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма; площадь равна произведению стороны и проведенной к ней высоты; SABCD = AD • BB^. Признаки параллелограмма. Четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: суммы углов, прилежащих к каким-нибудь двум смежным сторонам, равны 180° каждая; ZA + ZB = 180° и Z B + ZC = 180°, или Z B + ZC = 180° и Z C + ZD = 180°, или Z C + ZD = 180° и Z D + ZA = 180°, или Z D + ZA = 180° и Z A + Z B = 180°; его противоположные стороны равны; AD = BC и AB = CD; он имеет пару противоположных параллельных и равных сторон; AD | BC и AD = BC или AB = CD и AB | CD; его противоположные углы равны; ZA = ZC и Z B = ZD; его диагонали точкой пересечения делятся пополам; AO = CO; BO = DO. Прямоугольник Прямоугольник — параллелограмм, у которого имеется прямой угол (рис. 459). В С ABCD — параллелограмм и Z А = 90° Рис. 459 D Свойства прямоугольника (рис. 460): все его углы равны друг другу и прямые; Z A = Z B = = Z C = Z D = 90°; его диагонали равны; AC = BD; серединные перпендикуляры к его сторонам являются осями симметрии; его площадь равна произведению смежных сторон; SABCD = . 377 Правообладатель Народная асвета Признаки прямоугольника. Параллелограмм ABCD является прямоугольником, если: его диагонали равны; AC = BD; серединный перпендикуляр к какой-нибудь стороне параллелограмма является его осью симметрии; MN — ось симметрии или PQ — ось симметрии. Ромб Ромб — параллелограмм, у которого имеются равные смежные стороны (рис. 461). В Рис. 461 Рис. 462 Свойства ромба (рис. 462): все его стороны равны друг другу; AB = BC = CD = DA; его диагонали перпендикулярны; AC D BD; его диагонали делят углы пополам; ZABD = Z CBD и Z BАС = Z DАС; прямые, которые содержат его диагонали, являются осями симметрии; его площадь равна половине произведения диагоналей; Sabcd = ^2 AC • BD. Признаки ромба. Параллелограмм ABCD является ромбом, если: его диагонали перпендикулярны; AC Z BD; его диагонали делят углы пополам; Z ABD = Z CBD и Z BCA = Z DCA; прямые, которые содержат его диагонали, являются осями симметрии. 378 Правообладатель Народная асвета Квадрат Квадрат — прямоугольник, у которого есть равные смежные стороны, или ромб, у которого есть прямой угол (рис. 463). Поскольку квадрат является и прямоугольником, и ромбом, то у него имеются все свойства прямоугольника и все свойства ромба. Окружность и четырехугольник Свойство описанного четырехугольника (рис. 464): суммы противоположных сторон равны. Признак описанного четырехугольника. Четырехугольник является описанным около окружности, если у него равны суммы противоположных сторон. Свойство вписанного четырехугольника (рис. 465): суммы противоположных углов равны 180°; ZA + Z C = = Z B + Z D = 180°; произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон; AC • BD = AB • CD + AD • BC. Признаки вписанного четырехугольника. Четырехугольник ABCD является вписанным в окружность, если: сумма противоположных углов равна 180°; Z A + Z C = = Z B + Z D = 180°; углы, каждый из которых образован стороной и диагональю и которые опираются на одну сторону, равны; ZACB = ZADB, или Z BAC = ZBDC, или Z CAD = Z CBD, или Z ACD = Z ABD. 379 Правообладатель Народная асвета со 00 о Таблицы значений тригонометрических функций sin 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 1 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 2 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 3 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 4 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 5 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 6 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 7 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 8 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 ZI тз ГО О О о\ ГО За ГО Ч (D сг л го тз 0 За 1 ГО ГО о го (D ч го COS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1,000 0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0,9877 1 0,9848 0,9816 0,9781 0,9744 0,9703 0,9659 0,9613 0,9563 0,9511 0,9455 2 0,9397 0,9336 0,9272 0,9205 0,9135 0,9063 0,8988 0,8910 0,8829 0,8746 3 0,8660 0,8572 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192 0,8090 0,7986 0,7880 0,7771 4 0,7660 0,7547 0,7431 0,7314 0,7193 0,7071 0,6947 0,6820 0,6691 0,6561 5 0,6428 0,6293 0,6157 0,6018 0,5878 0,5736 0,5592 0,5446 0,5299 0,5150 6 0,5000 0,4848 0,4695 0,4540 0,4384 0,4226 0,4067 0,3907 0,3746 0,3584 7 0,3420 0,3256 0,3090 0,2924 0,2756 0,2588 0,2419 0,2250 0,2079 0,1908 8 0,1736 0,1564 0,1392 0,1219 0,1045 0,0872 0,0698 0,0523 0,0349 0,0175 Zl тз Q} ГО О 0 о\ ГО За ГО Ч (D сг 1 го тз 0 За 1 ГО ГО о го (D ч го tg 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 1 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 2 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 3 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 4 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000 1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 5 1,1918 1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,4282 1,4826 1,5399 1,6003 1,6643 6 1,7320 1,804 1,881 1,963 2,050 2,145 2,246 2,356 2,475 2,605 7 2,747 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 4,011 4,331 4,705 5,145 8 5,671 6,314 7,115 8,144 9,514 11,43 14,30 19,08 28,64 57,29 etg 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 — 57,29 28,64 19,08 14,30 11,43 9,514 8,144 7,115 6,314 1 5,671 5,145 4,705 4,331 4,011 3,732 3,487 3,271 3,078 2,904 2 2,747 2,605 2,475 2,356 2,246 2,145 2,050 1,963 1,881 1,8040 3 1,7320 1,6643 1,6003 1,5399 1,4826 1,4282 1,3764 1,3270 1,2799 1,2349 4 1,1918 1,1504 1,1106 1,0724 1,0355 1,0000 0,9657 0,9325 0,9004 0,8693 5 0,8391 0,8098 0,7813 0,7536 0,7265 0,7002 0,6745 0,6494 0,6249 0,6009 6 0,5774 0,5543 0,5317 0,5095 0,4877 0,4663 0,4452 0,4245 0,4040 0,3839 7 0,3640 0,3443 0,3249 0,3057 0,2867 0,2679 0,2493 0,2309 0,2126 0,1944 8 0,1763 0,1584 0,1405 0,1228 0,1051 0,0875 0,0699 0,0524 0,0349 0,0175 ОТВЕТЫ Раздел 1 16. 0 < r < Wl3. 23. а) 1; 9; б) 3; 7; в) 4; 6; г) -1; 11; д) -2; 12; е) 5 ± 2у[ГГ\ ж) 5 ± ^/13; з) 5 ± W2. 26. а) -20; 36; б) 28; -25; в) -2; -45; г) -2; -35. 27. а) 114 см2; б) 210 см2. 28. а) 40 м; б) 63 дм. 29. а) 660 м2; б) 1092 м2. 21 5 30. а) 99 м и 39----- м; б) 80 мм и 35— мм. 31. 8 м. 33. 3 м, 5 м, 7 м. 10^ 41 34. 660 см, 154 см, 220 см, 286 см. 35. а) см, -20 см, 10 см, -10 см, 3 V3 3 V3 см; б) 20 см, 10^ см, см. 74. а) x(x — 1)(x3 + x2 — 1); 3 3 3 3 б) x2(x + 3)(x + 2)(x — 2); в) (x + 2y)(x — y); г) (x — y)(x2 + xy + 2y2). 75. а) [—17,8; +^); б) (-2,6; +^); в) (-9-3; 3-3j; г) 5. 77. в) 30°; 75°; 75°. 78. 10°; 20°; 150°. 79. а) 80°; 140°; 140° или 140°; 110°; 110°; б) 80°; 140°; 140°. 80. 28,5 см, 30 см, 31,5 см. 108. а) 1; б) 3; в) 2; г) 4 W7. 109. а) -2; б) -^; 2; в) -3; -1; г) 2; - 1 + . 110. -1^, -0,3; 10 3 ., -31. 111. б) 8. 112. 129°; 21°; 30° 113. а) 51 см; б) 68 см; в) 42,5 см. 114. 4 см, 6 см, 8 см, или 7,2 см, 10,8 см, 14,4 см, или 36 см, 54 см, 72 см. 115. 2 : 3. Раздел 2 121. 100°; 260°. 124. 90°. 127. а) 59°; б) 65°; в) 72°; г) 36°. 130. а) 75°, 105°, 65°; б) 75°, 105°, 65°; в) 50°, 224°, 30°; г) 100°, 40°, 105°; д) 125°, 220°, 10°; е) 116°, 134°, 26°. 131. а) 30°, 195°; б) 94°, 162°; в) 50°, 166°; г) 7°30 ', 100°. 132. 50°, 63°, 73°. 133. 40°, 47°, 141°. 134. а) 100°; б) 47°; в) 60°; г) 36°; l2 + 4m2 l д) 60°; е) 45°. 136. 120°; 240°. 137. б) 2а; 180° - 2а. 140. а) -^; б) V3 8m 141. б) sin2a; в) 45°; г) 2а, 180° - 4а, 2а; д) 30°. 142. а) 120°; б) 2W3 см. 14^. а) 122°; б) ~ 315 дм. 148. а) ±2, ±6; б) ±4; в) ±2; г) нет корней. 149. а) -J5, -2 - V5; б) -5; 1. 151. p + q. 152. 15 м2. 154. 18 (2 W3). 155. 36° и 264°. 168. а) 90°, 45°, 45°; —, п, -; б) 90°, 36°, 54°; пп; 2 4^ 2 5 10 в) 90°, 45°, 45°; ппп; г) 40°, 70°, 90°, 160°; п; д) 60°, 2 4^ 9 18 2 9 120°, 75°, 105°; —, ; е) 80°, 100°, 100°, 80°; ; 3 3 12 1^ 9 9 9 9 382 Правообладатель Народная асвета 3 ж) 90°, 90°, 75°, 105°; -, з) 15°, 165°, 15°, 165°; —, 2 2 12 12 12 11Я, ^, 11Я. 169. а) 3п i; б) 10п ^; в) 22п ^; г) ЗЗ1^ 12 12 12 ^ ^ ^ с 3 с 170. а) 7200п i; б) 2п ^; в) п ^. 173. 11°15'; —. 178. а) 5; б) 1,5; ^ ч 6 ч 16 в) 2п; г) 3,05. 180. а) 29,4 см2; б) 132,47 см2; в) 282,6 см2; г) 103,5 см2. 181. а) 30 м2; б) 100 м2; в) 239 м2; г) 492 м2. 182. б) м; г) м, W5 ^ ^ ^/46 или ~23,59 м. 183. в) ,— м, или ~4,46 м. 190. а) Нет корней; б) 1,5; •J2n в) —3,25; 0,75; г) 12; 52. 191. а) Нет решений; б) (—^; 1,5) U (1,5; +^); в) (-то; -3,25] U [0,75; +то); г) [1-|;5|-]. 193. 130 см. 194. 90 м. 195. 104 см. 2 196. а) — (4п - 3 - Wa ); б) - (1 + V3 ); в) 15°. 201. 2 см. 208. 122°, 4 2 26°, 32°. 214. а) 35°, 125°; б) 120°, 30°; в) 25°, 115°, 40°. 215. 90°, 45°, 45°, 12 см, 12 см, 1^2 см. 216. 100°, 40°, 40°. 217. 80°, 60°, 40°. 219. а) 40; б) 120; в) 1,^Д^; г) 2,5. 220. 24. 221. а) 15; б) 16. 222. а) 22 см; б) см. 223. а) 4 см, 14 см; б) 10 см, 12 см. 231. а) Нет решений; б) (—^; 0,25); в) нет решений; г) ^~; +^j. 232. а) 33,6 см и 36,4 см; б) 288 см и 311 см. 234. а) 5 км/ч и 6 км/ч; б) ^241—1 км/ч, или 3,63 км/ч, и '^241 + 3 км/ч, 44 или 4,63 км/ч. 242. а) 20 см; б) ^/2 см; в) ~ 106°; г) 13,44 м; д) ~ 146° 26' 34". 244. 125°, 120°, 115°. 246. 110°. 247. 160°. 248. k - c. 249. 3; 17; 17; 7; 7; 3. 250. a + Ь + c a + Ь - c a - b + c 2 . 251. 25. 252. 40 м. 253. а) 600 мм; ,19 б) 400 мм. 254. а) 102 мм; б) 27 см. 256. 10 м. 257. 4,8; 259. а) 70°, 20°, 30 90°; б) 56°, 34°, 90°. 260. а) 63°, 54°, 63°; б) 65°, 50°, 65°. 262. d, d cos в, d sin p. 263. а) 30,5; б) 10 или 2°; в) 12,3. 264. 1^3. 265. а) V3; б) ^. v3 3 266. R = . 267. 48. 271. Z BOC < А AOC < А AOB. 274. 2R sin а, 2R sin P, 3 2 2 2R sin Y. 275. а) ■ 2 -; б) k (cos a + sin a — 1); в) ,/—5—(cos a -^ Vsin2a Pfsin a + cos a- 1) a sin a + sin a - 1); г) —)---------------f. 276. а) a sin a ; б) 2(sin a + cos a + 1) ~ ^/4 2(2b- 383 Правообладатель Народная асвета 2 в) . h sin В sin2B . s[2S sin a ^ Psin2B г) ------;тт; д) ~i-------от’ е) ------------^ 2(1 + cose) 2(1 + sin -I j 4(1 + cos p)2 T-> • R sin a cos— ж) 2 h2 (2hi - h2 ) 2; з) ^—1----------279. 20°. 280. a) 24°, 150°; б) 113°, 76°; 4 hi 2 в) 11°, 160°; г) 5°, 85°. 281. a) -3; б) 2; в) 1; г) -1. 283. а) [-1,2; +^); б) (-^; +^). 288. 240 мм. 289. а) 30 мм; б) 56 см; в) 18 м; г) 61 дм. 291. а) 13 см или 21 см; б) 180 см или 212 см. 293. 120 см, 153 см. 298. 132 см. 299. 12 см, 18 см, 10 см, 16 см. 301. 120. 303. а) 4; 6; б) 8; 12; в) 9; 25; г) 18; 32. 304. 7 и 21. 310. а) 1 a sin a; б) sin p. 312. 26 см. 313. а) 2R2; б) 2R2. 2 m + n 314. б) ^d2 - a2 ; в) (0; 0,5d2]. 319. 30°. 320. а) б) в) 1^^; г) 81. 321. c 8 2 ---C +aab „ . 322. а) cos C = 1 - 1; 2k - 1; б) 60°; 4c2 -(a - b)2 k в) MN = u + v; NP = 2u; MQ = t + v; sin Q = . 327. . 330. 75 см2. f +v k k 331. 1736 ^/з м2; 3472^^ м. 332. а) (^; +то); б) (-то; -6]; в) [-5; 0]; 2 г) ( —то; 8). 335. На 86-2 увеличилось. 336. За 30 дней. 3 Раздел 3 350. а) (—то; —1,5) U (1,5; +то); в) (—то; 1) U (2; +то); г) (—4; 1); д) нет решений; е) (—то; +то); ж) (—то; +то); з) —3. 351. а) (—то; 5) U (9; +то); в) (—то; —6) и (—5; +то); ж) нет решений. 352. а) ^-то; --U (2; +то); в) ^-2; 3 j; е) a ^ 1, a ^ 3. 353. г) у ^ 1; ж) (—то; 1] U [4; +то); з) [—5; 2]; к) v ^ 0, v ^ 7, v ^ -2,5. 355. а) [-2; 1]; б) (-“; - ^) и (1т; +“)■ 356. б) Функция не оп- ределена ни в одной точке; в) (—то; +то); г) s ^ 2. 361. а) a ^ 9 и h = a — 1. 362. а) a ^ 1 и a + 3. 363. Не меньше 16 км/ч. 367. 18 м. 369. 35 (4 ^/2) см. 2^ /ТГ ю ,2. 370. а) 18 см, л/а см2; б) 20 + дм, 2° дм2; в) 12 + W2 м, 12 м~; V3 V3 г) 130 + 100 мм, 16Д5 мм2. 371. 20 см и 30 см. 375. а) (4; +то); б) нет V3 л/3 решений; в) (2; 4); г) (—то; —5); д) нет решений; е) (4; +то). 376. а) Нет решений; б) [2; 4); в) (3; 5); г) нет решений; д) нет решений; е) —3. 377. а) (2; 3); б) (—то; —2] U [3; 4); в) нет решений; г) [—5; —4] U [3; +то); 384 Правообладатель Народная асвета a cos a 2 2 1 + sin— д) (-то; 0,5] и [2; 3]; е) [-3; 2]. 378. а) (-4; -3) U (-2; 2); б) [-5; -3] U [1; 2]; в) (-то; -2] и [7; +то); г) (-4,5; -3]; д) [-2,5; -1]; е) (-то; -1 j и (4; +то). 379. а) (—то; 1); б) (-1; lj; в) нет решений; г) (—то; 2); д) (2; +то); е) (—1; 0,5) и (4.; i3j. 380. а) Нет решений; б) (—то; —2) U (-3; 1 j; в) (—то; —2) и (1; 3); г) (—то; —1); д) (2; +то); е) нет решений. 381. а) (—то; —3) U и (5; +то); б) [-3; 5]; в) (-3; 5); г) (-то; -3] и [5; +то); д) (-то; -3) и и (-3; 5) и (5; +то); е) (-то; 3) и (5; +то). 382. а) (-то; -3) и (5; +то); б) (-4; 1]; в) (-то; -7) и [-3; +то); г) (-то; -10] и (2; +то); д) (-2; 3); е) (-то; 1 j и и (0,75; +то); ж) (-1; -0,5) и (2; +то); з) (-то; -2) и [-1; 3]; и) (0,5; 1) и и (2; +то). 383. а) (-то; -2,5) и (3; +то); д) (-3; 1 j; ж) (-0,6; 1). 384. а) (-то; -3) и (-3; -1); б) (-то; -1] и (-4; 1 ^. 385. а) (0; 1]; б) [0; +то); '5^' '33' в) (-1; 2); г) (1; 4). 386. а) (-1; 2]; б) (-то; -2) и [7; +то); в) [-5; -1]; г) нет решений. 387. а) (—1,5; —1) и (0; З^; б) (—1; 0) и (6; 7); в) (—1; 1) и (2; 4); г) (1; 7). 388. а) (—то; —1) у (3; 4] у [7; +то); б) [0; 0,5]; в) нет решений; г) [1; 6]. 389. а) g ^ W6; б) ± ^; в) [-3; -2] и [2; 3]; г) ( -то; - ^/5 ] и [sfE ; +то). 390. а) (-то; -1) и (-1; 0) и (0; 2) и (2; +то); б) (-то; 2) и (2; 24j и (21; +то^; в) (-то; 2) и (2; 4) и (4; +то); г) (-то; 1) и (1; +то). 391. а) (-4; 5) и и (9; +то); б) (-то; -4] и [5; 10]; в) (-то; -4) и (1; 9); г) [-4; 0] и [9; +то); д) (-то; -3) и (-3; -1) и (-1; 4) и (4; +то); е) (-8; -5) и (-1; +то). 392. а) (-то; -3] и (1; 2]; б) [1; 3) и (5; +то); в) (-6; 4) и (7; +то); г) (-то; -3] и и [2; +то); д) (—8) и (—5; 1]; е) —4. 393. а) Нет решений; б) (—то; 0,5) и и (1; +то); в) (—то; —3) и (0; 1) и (3; +то); г) ^-то; - 2 j и (0; 0,5) и ^2; +то^; д) (-то; 2) и (2; 3); е) [-3; -1,5) и (3; +то). 394. а) (-то; ^/б) и (0; 2) и и ^/6; +то); б) (-то; ^/2) и ^/2; W2); в) (-1; 1) и (1; 8]; г) (^15; -3) и и (0л/15); д) (-то; ^/3) и (^(3^/3j; е) (-то; -4) и (-1; 1) и (1; +то). 395. а) (-3; -1); б) (-то; -3) и (-1; 2) и (2; 4) и (4; +то); в) -3; -1; 2; 4. 396. а) (6; +то); б) [-1; 6]; в) (-то; -1) и (-1; 6) и (6; +то); г) (-1) и [6; +то); д) (-то; -1); е) [-1; +то). 397. а) (-то; -3) и (2; 3) и (7; +то); б) [-4; -3] и и (4); в) (4; 7); г) [—6; 0] и [6; +то); д) нет решений; е) (—то; —2) и и [-y[2;^j2) и (2; +то). 398. (-7) и [-3; 9]. 399. 0; ^------. 400. (-5; +то). 8 385 Правообладатель Народная асвета 401. (0; 1,2). 402. Xi > 0 и x2 < 0 при любом значении c. 403. Ни при каких. -5 - ^/43 -5 + ^43 1 * 407. а) - 2 ‘. 404. ^ Г^ ^ " J. 407. а) 43 “ 1; б) 0; в) Ws; г) 1. 2^^ 1 3 408. а) -cos2 в; б) —±—; в) 1; г) sin ю + cos ю. 409. 47°. 410. 18°, 36°, 54°, cos2 в 72°, 90°. 411. 7,5. 412. 120°, 893^^ м. 631 Раздел 4 416. -J2. 417. 9-12 + ^3 - We. 420. а) 133 м; « 51°23'12"; « 8°36'48"; б) 138Wa м2; в) 2W3 м; 276^^ м; 12^3 м; г) 1943 м. 421. а) 1^^; 133 143 3 б) ——т-------; в) . 424. а) 7; б) 13; в) 5; г) 13. 429. AC = 8, BC = 10 2sin(a + e) 2h AC = 8, BC = 2,8. 430. а) Wb + ^/6 - V2; б) в) Wb - 6 3 или 2 Wb + 10. 431. 12, W2(yfs - 1), 12^/3 -1); W2, 6^/3 - 1). 433. -b-, 2b 2 h + a_ ________ 2 8h ’ 434. а) .^5^; б) a^. 435. 1,W61. 436. c cos Ф Ф' cos— 2 c sin Ф c sin Ф cosФ . 440. ^JTq . 441. а) V2 ^; б) yl2 {4s +1). cos|45°-|V cos(135°-ф) 442. a sin^ _ a sin у a sine sin у sin(^e+-Y ) sin^y + e j (sine + sin y)c B + y s . 445. . 446. а) 60°; б) 120°. 448. W^; 331. 452. а) ^ 3 2(sin a + sin (60° +a)) ; б) ^. 461. 135. 3 462. 15 т. 463. 9 кг. 464. 7 дней, 12 дней. 472. а) -1; б) -1; в) 3; г) —; 2 4 4 8 -.3 -.1 -.1 \ ^ \ 2 .. а2 За'2 2a2 7a2 д) —; е) —; ж) —; з) —. 476. а) —. 480. а) —, --; б) ---, ---; 4 2 4 9 3 4 4 9 9 22 в) . 490. а) 1 : 3; б) 1 : 2; в) 1 : 4; г) 1 : 4. 491. а) S; б) S; в) 2S; 25 25 г) 7S. 493. а) ^; б) ^; в) 4; г) ^. 494. а) x (a + Ь + x); б) ^(au + bx - xy); 2 5 5 5 2 2 в) 0,094ab. 496. 900. 500. а) ^; б) ^; в) ^; г) ^. 501. а) 84 см2; б) 173,6 см2. 2 4 2 2 -. 512. i. 513. 2. 514. 5. 515. ^i. 504. S, + S3 - S2. 506. . 510. 132 т V 2 4 7 4 12 516. i. 523. 600 или 100(4 W^). 529. а) (-3; 1) U (4; +то); б) [-5; -2) U (1; 2]; в) (—то; —1) и ^-1; 22j и (3; +то); г) (—то; —1) U ^-1; U [2; +то); 386 Правообладатель Народная асвета или д) (-то; -2) и (2; 6); е) (-то; -3) U [-1; 2) U [4; +то); ж) (-2; -1) U (0,5; 0,75); з) (--1; -1 ] U (1; 2]. 530. а) 2; -16; 24; б) -4; 4; 23; в) 3; -36; 96; г) 2; 8; 15. 531. а) a = 2; Ь = -3; б) a = -1; е = -9; в) Ь = -4; е = 1. Раздел 5 537. а) 0; ±3; в) 0; д) ±1; ж) ± ^; з) ± ^; и) ±2; ^^^; к) ±1; ±4; л) ±1; -\/2; 3 2 2 м) W2; ± ^/з. 538. а) ±1; ±5; б) ±1; ± i; в) ±2; ±6; г) ±2; ± i; д) ±3; е) нет корней; и) 2; к) ±1; л) ±4; ± 3; м) ± З; ± З. 540. а) х'4 — - 11х2 + 18 = 0; б) у4 - 26y2 + 36 = 0. 541. а) (х - 2)(x + 2) (x - 2^2)(x + 2^2); б) (s - W2)(s + W2)(s - ^/s)(s + ^/3); в ) (25w 2 + 1)(w ^/3)(w Ws); г) (4y 2 + 9)(4y — 1)(4y + 1); д) {m --J2 ^){m + -J2 )(m - ^[3^) (m + ^[3^); е) (6г2 + 5)(5г2 + 6). 542. а) ±1; б) ±4; ±m; в) ±m; +n; г) ±m; ± —; n m д) ±1; Wmn; е) ±yfm; ±y—. 54^. (x — a)(x + a)(x — a + 1)(x + a — 1). 544. а) a2 - 9 ; б) t2 +1 2 Г» 2 A 2 2 , x - 2n .42 - P ПТ ■; в) —2----^; г) —2-----^. 545. а) ±3; W3; x2 - n2 22 - p б) -3; ±^J10; в) 2 WB; г) -4; 2; -1 ± 2sf2. 547. а) q = 3; б) q = 4; в) q = 7; г) q = 5. 549. а) ±1; ^/-3^7x5; б) ±2; WO; в) 5; 2,5; -1,25; -12; г) ±0,5. 3 D2 2 3 ± \l 17 2 550. 4. 551. , R . 552. а) ±2; 3; б) -1;2; в) ---; г) -2,5; 1; д) -2; 2; V4R2 - a2 ’ 3 ' 2 ' ' 5 е) —0,5; —5,5. 553. а) ±1; ±5; б) ±3; в) ±(2 -1; г) ±1; д) ±1; е) ±1; ±6; ж) -3; -1; 5; 7; з) -1,5; 4,5; и) -8,5; -0,5; 1,5; 9,5; к) 0; 7; л) 0; 11; м) -5; 9; н) -3; -5; -3; 12; о) 1; 3; п) -2; 4. 554. а) 10; 16; б) -2; 3 6 2 3 — 1; 0; в) —2; -3 ^/5; г) —6; —4; 15 129 ; д) —4; 2; е) 0,5; 3,5; ж) —2; 1; з) нет корней; и) —3,5; 3; к) 2; 3; 5 ^ ^89; л) 2; 3; 3; 3; м) —2; 0. 2 2 3 555. а) 0,25; б) -1 ^5; в) -1; 2; г) -2; -1; 2 ^2; д) 1; е) 1; ж) -1 ^2; з) 1 W^; и) -11 ^-Л05 ; к) 1; л) _3; _2; м) 2; 3. 556. а) -3; -1; б) -3 ^15; в) 7; 3; г) 0; 1; д) -3; е) 1; 2; ж) -2; з) -2; -1; 2; 4. 557. а) -1; б) 2-3; в) -3 ± ^; г) -3^^; -7 ±433; д) 1 ^ ^372/3; е) 53; ж) ±1; -3; 23; о’ л " V ’-'с’-' ’ гг’ о’ 73 387 Правообладатель Народная асвета a2 - 3 з) -1. 558. а) 2; б) 5 ± ; в) 3 ± W2; 2 ± л/3; г) ±1; 2^2 -2; 1; д) ± 1; ; е) 3; -1; -5; 2; ж) ; з) 2 ± S', 2 12 3 2 ^2 1 ± ••j 17 7 12 ---. 559. а) 27; б) 18; в) 107; г) 1212. 565. а) -3; б) 9; в) 5; г) 34. 566. а) 217 см, 3° 53' 25", 56° 6' 35"; б) 88^3 см2, 176^^ см, 1oWa см, 217 22^^ см. 567. а) 5(3 - ^; б) (б + 1)((3 -1. 568. 47 ц/га, 49 ц/га. 26 ,/2 569. 51 ц/га, 45 ц/га. 570. 48 ц/га. 583. а) 5; б) 7; в) 3. 589. а) 3х + 4у - 1 = 0; б) x + у — 8 = 0; в) x — у + 2 = 0; г) 2х + у = 0; д) у — 1 = 0; е) x — 5 = 0. 590. а) (5; 0); б) (0; -2). 591. а) у = 7; б) x = -2. 592. а) 5; б) 3,5; в) 2; г) -3; д) -28,5. 598. а) x2 + у2 = 20; б) x2 + (у - 7)2 = 5. 599. а) (x - 2)2 + (у - 2)2 = 50; б) (x - 3)2 + (у - 1)2 = 17. 602. а) (-5; 0) U (5; + то); ж) (-то; -4) U (1; +то); з) [-2; 3]. 603. а) (-то; 1) U (2; 3); б) (2; 3) U (5; +то); в) (-то; -3) U (-2; 1) U и (4; +то); г) (-4; -1) U (-1; 6). 605. а) -; б)-1-; в) ^^; г) 11. 3 7 17 3 606. 15 см. 607. 504 см2. 616. (11; 8) и (-15; -18). 620. а) (2,25; 3,5); б) (2; -4); в) (-1; 3); г) (3; -2). 624. а) (-1; 3); б) (1; -2); в) (64; 56); г) (-2; -3). 625. а) (0,25; 0); б) (-0,6; -2); в) (--3; -2); г) (2; 1); д) (-2; - -2); е) (6; -7). 626. а) у = -x + 5; б) у = 23x + ^^; в) у = -1 x + 31; г) у = -3x - 29. ^ 34 3^^ 3 3 627. а) у = 1; б) x + у = 1. 628. а) (-1; -3); б) (-1; 1); в) (-2; 2); г) (11; 1). 629. а) (3; 2); б) (3; -1); в) (7; 3); г) (1; 1). 630. а) (5; 2); б) (1; -2); в) (4; 2); г) (4,5; 7); д) (-3; -23); е) (7; -4,5). 631. а) (-4; 3); б) (-2; 7); в) (-10; 5); г) (-11; -4). 632. а) (25; 5); б) (5; -30); в) (-5; 30); г) (-5; -30). 633. а) (6; 9); б) (6; 6); в) (24; 12); г) (2|; j. 635. а) (1; 2); б) (3; -2); в) (3; -2); г) (-6; 0). 636. а) (5; 8); б) (5; 11); в) (4; -3); г) (4; -6). 639. а) (-Ь3; 23); б) (2,7; +^). 643. а) V3; б) ^. 644. За 20 дней V 11 ^ V3 2 и 30 дней. 645. За 12 ч и за 8 ч. 646. 4 : 1. 647. 35 ч. 649. — км. 657. а) (3; 1), 3 (5; 3); б) (-7; -3), ^3^j; в) (10; 1,8); г) (2; 1), (-1,5; -6). 658. а) (-1; 1), 28; JL); б) (3; 1), (1; 3); в) (3; 2), (-2; -3); г) (2; 3), (--2; - -3). 659. а) (-10; 15), (3; 2); б) (3; 2), (2; 3), (-2; -3), (-3; -2); в) (2; 3), 388 Правообладатель Народная асвета (3; 2); г) -5 Wl5 5 /-5 ^/l5 5 ^/15 -j, (2 We; - 2 We), 2 2 / \ 2 2 (2 W6; - 2 W^). 660. a) (4; 6), (6; 4); б) (10; 4), (-4; -10); в) (1; 5), (5; 1); г) нет решений. 661. а) (3; 4), (4; 3), (—4; —3), (—3; —4); б) (5; 3), (—5; —3); в) (3; 1), (-3; -1); г) (4; 2), (-4; -2), 16 16 V ^/l3' 662. а) (2; 0,1); б) (-1; 1 j; в) (4,8; 24); г) (-2; 5). 663. а) [141; 2oj; б) [-12; 16,5]; в) (-3; 8]; г) (-2,3; 16). 664. а) (-то; -1) U (0; 3); б) (-2; 0) U (6; +то); в) (2 - %/5; 0) и (2 + ^/5; +то); г) (-то; 0] U (1; 4]. 665. а) (-то; -1,5) U (-1; 1) U и (4; 6); б) (-то; -3) U 2;1 I в) (-5; 0,5) U (2; 3) U (3; +то); г) 3 - 3;1 7 и {3} и и (5; +то). 668. 4 ч, 5 ч. 670. 20 %. 671. За 2 ч 30 мин, за 2 ч 40 мин. 676. 2,7 м; 1,6 м. 677. 24 ц/га; 28 ц/га. 678. 195; 238. 680. 22 км/ч. 681. 67; 11. 682. W. 683. i7. 684. 90; 162. 685. 50 га, 45 га. 686. а) 42 ц/га; 13 23 49 ц/га; б) 36 га; 35 га. 687. 6 км/ч, 1 км/ч. 688. 37. 689. 1200 р., 1500 р. 690. 2500; 3125. 691. 3 кг; 7 кг. 692. 54 км/ч, 6 ч. 693. 56 ч, 42 ч. 694. 39 м, 26 м. 695. а) (-то; -2 - V2) и (-2 + V2; 1); б) (-то; -1) и ^-|; 1^; в) (4; +то); г) (-4; -3) и (-2; -1) и (0; 1). 696. а) (-то; -3) и (1; 7) и (7; +то); б) (-то; -4) и и {5; 10}; в) (—то; —4) и (—4; 1); г) (—то; —4] и {0} и [9; +то); д) нет решений; е) (—8; —5) и (—1; +то). 697. а) x + у = 1; б) 2х — у = 8; в) x — 8y + 26 = 0. 698. 4 см или 6 см. 699. 120 км. 700. В 2,5 раза. 701. В 11 ч 40 мин. 702. 8376 тыс., 4620 тыс., 1397 тыс., 1346 тыс., 1260 тыс. 703. 35 см2. Раздел 6 718. а) 4; б) 11; в) 32; г) 101. 719. а) 4; б) 9. 753. а) (-16; -11), (8; 5) б) (^; 3); в) (5; 1), (-5; -11); г) (2; 1 W^), {—Л; 1 W^). 754. 77 и 91 755. 150, 225 и 375. 756. 15 дет./день. 757. 14. 758. 3,2 ч, 1,6 ч. 780. а) - 0,1 б) 1,02. 785. 3(n - m). 786. 100. 787. а) 21; -525; б) 12; 408. 788. а) -2; 4,25; б) 7; 5. 789. а) 2; 22; б) -10; 18. 790. а) -17; 61; б) 23; 58. 791. а) 8; 23; б) 12; 63. 792. а) 20 100; б) n(n + 1); в) n2; г) 123 300. 794. а) 2485; б) 494 550; в) 6400; г) 7 071 071; д) 445 500; е) 339 769. 795. Через минуту. 796. а) 15; б) 465. 797. 50 м/мин2. 798. 203,5 см. 799. а) ^ 4 с; б) ^ 122 м. 800. 1275 801. 1160. 803. а) 6; б) -2; в) 6,5; г) -8 - Ws. 806. а) -3; --; -; 3; 4 4 4 4 389 Правообладатель Народная асвета б) 5; 4. 810. 15 300. 811. 2 и 3 или 8 и —3. 812. 5 и —5 или —5 и 5. 815. а) (5; 0), (-5; 10); б) (2; 4), (-10; -20). 817. а) (5; 2); б) (-3; -2), (2; 3); в) (1; -3), (-3; 1); г) (-3; -5), (5; 3). 818. а) [0,5; 2,5); б) (-то; -2) U (-2; -1 j U (1; +то); в) (-7; -4] и {0} и [6; +то); г) (-3; -2) U ^; 2j. 819. 20 см. 820. 55. 821. 672. 822. 300 и 500. 838. а) а1 = 1, q = -3; б) а1 = -1, q = - -i. 856. 17; 10; 3 или 8; 10; 12. 857. 18 м, 6 м, 2 м. 858. а) 128; 7; б) 567; 5; в) 3; 384; г) 0,5; 5. 864. а) ж3 + 1; б) а6 + 1. 865. а) 1 б) (t - 1)(t‘ + 1); в) 1 X +1 г) 1 (а - 1)(а5 + 1) (b + 1)(b6 + b5 + b4 + b3 + b3 + b + 1) 866. а) а10 + а5 + 1; б) y14 - y7 + 1. 867. а) 4; 10; 16 или 16; 10; 4; б) 3; 15; 75 или 75; 15; 3. 872. а) 3; 2; б) -5; 2 или -5; -2. 873. а) -3; -2; 10; б) 1; 2; 7. 874. 40. 875. 765. 876. 2. 877. 9; 6; 4; 22. 878. b, = 8; q = 1,5. 3 1 1 1 880. а) bj = 1, q = 3 или bj = 9, q = ; б) bj = 1, q = 3 или bj = 9, q = —. 38 3 881. а) 27; 19; 11 или 12; 19; 26; б) 4; 8; 16 или 16; 8; 4; в) 2; 8; 32. 882. 128- или 32,5.883. 22,5 или 2,5.884. 10.885. 4. 886. 6.887. а. = 27, d = -9. 888. а) (г + 1)2(г - 1)(г2 - r + 1); б) p(p - 1)2(p + 1)(p2 + 1); в) -r2(r - 1)2 х X (r2 + r + 1); г) (jh - jf - gh - gf)(jh + gh - gf + jf); д) (f + g + h)(-f + g - h) х х (f + g - h)(—f + g + h); e) (а + y + t)(a - y + t)(a + y — t)(—а + y + t); ж) (y + e)3 X X (y - e); з) 2г(г + 1)2(г - 1); и) (p + 1)2(p - 1)3. 889. а) 0; б) ; в) ; 3n X2+1 n - m (о \ г) ------. 890. а) (2; 11; б) (-1; +^); в) (0; 0,5); г) (-^; -2,5) U (0,4; +^); 1 + mn \7 / д) (-то; -2) и (3; 8); е) (-3; 0) U (1; +^); ж) (-^; -3) U (-1,75; 2); з) (-3; 0,5) и ^I; +^j. 891. а) (2; +то); б) ^-то; -1-|j и {1; 2}; в) ^-то; -2j и ^-2; 1 j; г) ^-то; -11-j и ^3; 1.j; д) нет решений; а .894. е) (-11; 2.1 и (2; +^). 893. 90' а + b а2 + b2.895. (6 - п) : 2п : (6 - п). 896. ^(2 - l))2^/2 - 1)п - . 897. 8 см; 14 см. 898. 2,4 кг, 1,6 кг. 913. а) OZ, Раздел 7 а3 . б) а^2 а4 . в) а а^/з . г) V3 2-Jz 2 2 2 2sin36° а5 , 0,5а5 ctg 36°. 925. а) 144 см2; б) 6^3 м2; в) 64^/3 дм2; г) « 82,84 м2. 926. 3 : 4. 390 Правообладатель Народная асвета _R r 929. ^/б м. 932. 934. а) 30°, 60°; б) 60°; в) Vs; г) 1 : 3; д) 1 : 2; е) 18. 943. а) (-^; -1) U (1; 2) U (3; +^); б) (-4; -2) U (3; +^); в) [3; 4]; г) [-3; -1] U и [4; 5]; д) (-1; 2); е) (-5; -3) U (-3; 2). 944. а) ^; б) [1; +то); в) 0; 1; г) -3; -4; 3 2 д) 0; -1; -3; -4; е) [-2 ^2; - 2 W2]. 945. — - 1. 946. (б>/3 - 6 - nj. 947. 150 м, 125 м. 9^. 27, 36, 63. 953. « 57 м. 958. а) 12п см; б) 4^3 см; в) 36п см или 12^ V3 см; г) 60п см. 959. а) пс; б) ; в) или . в sin— 2 в ’ cos — 2 п—(sin 6 + cos 6- 1) г) . 960. а) ~ 30,8 см; б) ~ 14,7 см; в) ~ 29,0 см. 961. а) —^----------’-; sin 6 sin Y б) 2%h tg ctg ф; в) •^c2 + d2 ■; г) Til. 965. r1 n. 966. n. 972. J1 + (— Г . 973. Г2 Г1 \ \R . nR 5%R 975. 180°. 976. а) r/3; б) R; в) 2R sin80°. 977. а) ; 3 3 na tg — б) 4nr; в) . 978. 2na. 979. ---------2 3 3 180° (180° - ю), na tg 180° 3 (180° + ю). 980. . 984. « 36 см. 985. « 25 см. 986. « 5,7°. 992. 4 : 3. 993. 300. 11 994. 2%r(1 --^). 997. а) R (3 ^/3); б) R (2 - ^; в) R. 998. а) R(3 + W2); V / 3 3 б) R(3 + W2); в) R. 999. а) 1166^; б) . 4 .; в) 1; г) d + f + g. z16 - c16 + 4) 1000. а) (-8; -1); б) (-1; -0,4]; в) (0,5; 2]; г) (-5; -2) U (-2; 2); д) (-^; -4) U и (-4; 1,5) U (4; +^); е) (-5; 0,25) U ^-|; 7^. 1001. а) (-4; -1) U ^-|; 2,5^; е) (-то; -4) U (-4; -1) U (2; 2,5]. 1003. — (]. 1004. ~a . \^ / 2\3^/ 2 ч ю ^ па2 , n(4h2 +с2 ^ , 700^ , 25п 1014. а) 12п; б) ---—; в) _ 2 ; г) ^ ; д) 4cos2 а 64h 3 sin2 (в + y) , 3^ пс2 sin2 ф cos2 ф , nh2 (а2 - h2 ^ ^ 2 в 1015. а) —; б)-------------------—; в)---------------^; г) 525п; д) 400п tg —. 4 ( + sin ф + cos ф) / I 9 . 9 \ 2 (1 + sin ф + cos ф) (а ^ (а2 - h2 ) 1019. 0,19. 1026. а) Ф ; б) ; в) . 1028. nkl. 1033. а2 (1 -п 2 9 V 4 1034. R- (2п — па + sin а), R-1 па - sin а I. 1035. 1 + ^^. 1036. 11 —— Ь ^ ^ / 6 2п \4 2п/ 1 + — ]:(1 + —] : (1 + — ] : (1 - — ]. 1037. (5п - 3) : (7п + 3). 1040. ^ + 43. 6 4W \6 2W \6 4W \4 2^^ ^ 6 1042. п + 1 - ч/3. 10^. а) 1; б) ^; в)----1---; г) ^. 1045. 6(3 - ^ - п. 3 2 2cos36° V3 391 2 R 11 11 Правообладатель Народная асвета ж со 2 1046. а) -4x; б) 0; в) --4----; г) 0. 1047. а) W2; б) (-то; -2) U (0,25; 1] U a(a + 4) и [4; +то); в) (0; 1). 1048. а) (-4; 1) U (1; 2); б) (-то; 1) U (1; 2); в) {4} U и [5; +то); г) [1; 2] U {3}; д) -1;1 3 и {2}; е) ^-то; 1 j U ^-1; 2^ U (4; +то); ж) ^-то; -2j и {0} и [1; +то); з) [-1; -0,2] U {0; 2}. 1049. а) 2; б) 3. 1050. 6,25 см. 1051. . 1052. 90° - а, 90° - в, а + в, если а < 90° и в < 90°; а - 90°, 180° - в, 180° - а - в, если а > 90° и в < 90°; 180° - а, в “ 90°, 180° — а — в, если а < 90° и в > 90°. 1053. 3 см х 3 см х 80 см; 4 см х 4 см х 30 см. 1054. 67 мм х 38 мм; 97 мм х 57 мм. Раздел 8 1066. а) - 4х + 8; б) -а4 - b4 - c4 + 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2; в) 2l2 - 3kl + 4jl - 6jk; г) 8fg + 32fh - 6g2 - 20gh + 16Й2. 1068. а) (3e - i)(2r - 1); б) (3s - d - f) X X (3s — d + f); в) (p — 1)2(^ + 1); г) (c — 4)(c + 3); д) 4qz; е) (a + 1)2(a2 — a + 1); ж) (m + 5n)(m — 3n); з) (5g — 2f)(2g — 5f); и) (j — h — g)(j — h + g); к) (h — 1) X X (h + 1)2(h2 - h + 1); л) (3l - 2k)(9l2 + 6lk + 4k2); м) (t - c)(t + c)(t2 - tc + c2) X X (t2 + tc + c2). 1069. а) (x - 5)(x2 + x + 25); б) (3y - 2)(9y2 + 5y + 4); в) (x - 3)4 X X (x + 6 + Wa)(x + 6 - Ws); г) -(a + b)4(a - b(2 Wa))(a - b(2 ^/3)). 1071. а) ; l - m m - n . e - r ,2z - 3y . q + r + s ,s - f + d . g - ^ , x + z б) ------; в) --; г) ---^; д) ^----------; е) --'——; ж) -^; з) --------------; m + n r + t 2z + 3y q + r - s s + f - d j - h (y -1)2 и) ж) (m - 1)(m + 1) (n - 1)(n + 1) ’ 2s + 3 (s + 1)(s + 3)(s - 4) к) p - 7 1072. д) - m2 + 4m + 39 е) a+1 a - 3 ’ p - 5 12(m2 - 2) ; з) ----‘20d+±---. 1073. а) 0,25; б) Ь8; в) -0,6; (2d - 1)(d + 2^ 11 e+1 г) 12. 1074. а) ^; б) --; в) 1; г) 3 q e -1 22fg 2 ; д) 1 a2 + a + 1; е) -z2 - z + 1; f2 - g2 2 ж> "> „3 p3 - p + 1 , e(e2 - 2e + 3) . e - k . j + h . c - 1 -; и) ---------!-; к) —;-; л) 2-—; м) e2 + e + 1 ek j - h 2(c + 4) 1075. а) -1; б) m + \ ; в) l(l - k); г) --. 1076. 500. 1077. а) 1,2 ± ^/7; (m + n)2 (d - s)2 9 б) ±^3; в) -1-2; г) ±0,5. 1079. а) (-то; -1) и (2; ±то); б) (0; 3); 3 в) ^-^; 1 j и (4; +то); г) (—то; 1) и (6; +то); д) (—то; —2) и и (2; ±то); е) (-6; 2); ж) (-то; -1,5) и ^-|; +^j; з) (1,6; 2) и (2; 8). 392 Правообладатель Народная асвета 1080. а) (- (-f;-D " 2); б) [ 3 Wfr ; -1 гз W37 , и ^ 2 ; +“1; в) [2--1Ь; 0,5] и [2; 2 W5]; г) ^-- 3 + у1\3 1 + 45\ [yfi3 - 3 V5 -1 3); е) (~то; - ■2) и (-S !; -1) и (-1= -3) и (5,5; +то) (-46; 51); б) (11; 7), (‘“!; 6!); в> (13;23); 1—]. 1082. 11 а) 0; +1; б) 0; i. 2 1083. a + b 2 1084. 1 : 17. 1085. 1088. 0,We. 1089. [\f2 - 1)(а + b ^a2 + b2 1086. 1,6г. 1087. a + b b - a 2b 1091. 142,3 %. 1092. 92 000 р., 9000 р. 1093. 86,1 ч. 1094. 6. 1095. x4 - 10x2 + 1 = 0. 1102. а) 720; б) 3 628 800; в) 132; г) 1349. 1105. а) 6,25; б) 3,5; в) -^^; г) i25-. 1106. а) -9; б) -9,5; 9^ 11 126 в) Ь3. 1124. а) -3; б) -9,492; в) 250. 1125. а) ^^; б) -^—; в) 2; г) . 11 2z d + e 2 1126. а) -2; б) ^. 1127. а) 2; б) 7; в) 1; г) 3; д) 3; е) ±3, ^^. 1128. а) ^6; 2 б) (3; -2); в) (4; 3); г) (11; 6). 1129. а) ^ и [1; +то); в) [0,75; 7]; г) ^ -3 ^/21; -3 W21 ] 2 ; 2 J ; б) (-то; -7] и -7 ; 7 I. 1130. 648 (2 W3 ). 1131. m\f3. 1153. а) (р2 + q2)(p2 + q2 - у/3pq )(p2 + q2 + 1132. ^l3^. 1134. 30°. 1135. 0,5ab. 1136. (a - b)2sin a cos a. 1138. 9 или 10. V 2n 2 2 1139. 184 см3 или 1935 см3. 46 + V3pq); б)(т + n)(m — n)(m2 + n2 — mn)(m2 + n2 + mn). 1161. а) (s + 1)2(s — 1); б) (t - 1)2(t2 + t + 1); в) (d + 1)(d - 1)2(d2 + 1); г) (e - 3r)(e - 4г); д) (zf - f2 + z2) (zf + f2 — z2); e) (m2 + n2 — mn)(m2 + n2 + mn); ж) 4qd (q + d)(q — d); з) (sd + rt + e - t h + g + sr — dt)(sd + rt — sr + dt); и) (x — 2k — l)(x — 4k + l). 1162. а) -; б) ■ e +1 f + d в) j + g - f; г) tr(t2 + r2); д) 1 (1 - c) z - ^ , 1 ; e) —----------; ж) —----------; з) a+1 b + p 1163. а) 1+p ; б) L , t2 + y2 -; в) ^^; г) 6 e2 ; д) a2 - a + 1 p2 + pq + q2 . е) 3l2 - k2 , 2j3 + hj2 + 4h3 l + k ; ж) 2 , ,,2 j + h t3 + y3’ ’ r(e2 - 4r2 ) (p + q )(,p2 + q2 ) в) -1 5 ±45 ; з) 2(2/---. 1164. а) 1; б) 12; в) -1; g - f 19 г) -31. 1165. а) 2n; б) —; в) 0; г) 0. 1167. а) 0; 3; б) 0; -2; в) 6 ert 8 393 Правообладатель Народная асвета 2 2 г) 1; 2; ±0,5. 1168. а) (2; 1), (4; 3); б) ^-1; -(1,5; 3,5); в) (4; 0), (-0,5; -4,5); г) (3; 2), ^i1; 9j. 1170. а) (1; 2), (2; 1); б) (12; 4), (4; 12), (-5 ± V55; -5 ± n/55 ); в) (20; 15), (-20; -15); г) (5; 2), ^^; -6 1171. а) (-5; 0); б) ^-^; 1 j U (1; ±то); в) (-то; 0,5] U [2; ±то); г) [-1,2; 0]; д) нет решений; е) (—то; ±то). 1172. а) (—1; 5); б) (—то; —5) U [3,5; ±то); в) (1; 3] и [4; 5); г) нет решений. 1175. 4^/5; 5^/5. 1177. — 1 ' 1 - sin - 2 1 + sin а 2 1178. 90°. 1179. — (3 +1. 1181. 288. 1182. 2571 тыс., 1039 тыс., 865 тыс., 2 694 тыс., 635 тыс. 1200. 11 см, 4 см, 15,625 см. 1201. .Jb(b + c). 1202. 8 см. 2 1203. 12 см, 27 см. 1204. 21 см или 9 см. 1205. 72 см2. 1206. 168 см2 или 224 см 1207. 25 см или ^97 см. 1208. 370 см2. 1209. 1260 см2. 1210. 546 см2 mr + nr + pn + qn V1621 см. 1211. 36 - Wa см. 1212. 150 см2. 1213. p ■ q ■ n 1214. 3 : 5 : 7. 1215. m2 : mn ■ n2 : mn. 1216. 48 см. 1217. 13 см, 14 см, 15 см. 1218. 2 см. 1219. 12 м, 8 м, 6 м. 1220. 2 ± •J19 м. 1221. 7 см, 2 см; 3 см, 3 см. 1222. 8 см, 32 см, 20 см, 1^4Т см. 1223. 2 см, 4 см. 1224. 14 см. 1225. 48 см2. 1226. 18 см. 1227. —(1 +4sln а). 1228. 2,88. 1229. 1044. 8sin а 1230. 62°. 1231. г2(3 + W^). 1232. Ц/— (2b - —). 1233. 9(P + Q). 1235. - 2— 2 —b 1236. 1 - k 2 —+ b 1237. —+^у]2—b - —2 + 3b2 . 1238. —2. 1239. 0,25-J2S . 2 1 + k 4 1240. (s1 . 1242. а) (q ± 1)(— - 1); б) 3(2s - 1)(3c - 4г); в) (e + s) X X (3r - 4d); г) (5г - 3р)(6г - 7q); д) (2m - 3y)(5m - 7g); е) 2(— - /)(4)2 ± 3f2); ж) (bm — ny)(bm2 — n2y); з) (l — s)(k2 — k + 1). 124^. а) —-—^—; б) ——+ Г ; в) * - * + 1; г) —+y; д) np ) 6(t + 1) ) y ’ n2 - p2 ; е) q - I - 1 Ik W + 3 + 2 ^ g - 4 -; ж) ^—-; з) -—-; и) • (I + k)2 j + 2 — + 5 g - 3 ^ f +1 - d + s ^ ^ ^ 1 - ^ ^ 1 ^ — - 3 к) 1—-; л) —-—; м)-----. 1244. а) ——7т; б) ^---; в) f + 7 г + d + s — + ^ ' Ч q(5 - 4q^ ^ re(r + e) ^ ^ 1 г) ^;—; д) --------; е) b(1 + b) n3(n - m) —(— + 3) 5 + 4^ ^ ' r - ^ ' ' 3(y - 2t) 7 ; ж) d2 - dp + p2 ; 3) k + I 1245. а) —-±-------; б) JI+EL; в) —^ 2q2 - q - 3 L + —g e + r d(2 + p) ; г) 0; д) 2l(k2 - kl + I2) 1 (f + d)(f + s) ; е) 0. 394 Правообладатель Народная асвета 2 1246. а) -; б) —; в) 2a; г) „ ^------ c xy a2 - 2a + 2 5 14 . 1247. а) -1; б) 3; в) 1; г) 3. 1248. а) (3; 7), ^--|; 14j; б) (0; 1), (2; 3), (1,5; 1); в) (2; 0), (2; 3), (5; 2 W^); (W5;2 ^/5); г) (-3; -2), (-1; -4), (4; 5), (6; 3). 1249. а) (2,25; 1,75), (-2,25; -1,75); б) (1,5; ±0,5), (-0,2; ± 0,W^); в) (0,6; 0,75); г) (3; ^/^), (^3; -Ы3), (^, (; 3). 1251. а) (-9; -5) U 2 4 2 4 и (-5; 9); б) [-10; 10]; в) (-то; -13] U {-8} U [13; ±то); г)[-3; -1] U [1; ± то); д) (-то; -7) и (5; 7); е) [-11; 3] U [11; ± то]; ж) (-2; 1) U (2; ± то); з) (-то; -4] U и [-3; 3]; и) (-то; -6) U (-5; ± то). 1252. а) (1,5; 5); б) ^-^; U (4; ± то); в) (-3; 5); г) (-3; -2) U (2; 3); д) (1; 1,5) U (2; ±то); е) (-то; -1) U (0; 0,5) U и (1; ±то); ж) (-2; 1,5) U (5; ±то); з) (-то; -3) U (-2; -1) U (1; ±то); и) (-то; -2) и (-1,25; -1) U (1; 5); к) (-то; -5) U (-1; 1) U (1,25; 2). /2-у110 2 1253. а) ^ , 2 -); б) (0,5; 4); в) ^-4; -и (1; 2); г) 1,5. 1254. а) -^; б) -2,5; -11; в) 0,5; г) -6. 1255. а) 6 - W2; б) 11 ± W^; в) 14; г) 38 - 1^^. 1256. а) 11; б) -8; в) -6; г) -9. 1273. 42 км/ч, 54 км/ч. 1274. 8 дней, 12 дней. 1275. 1 мин. 1277. 2 дм. 1278. 48 дет. 1279. 3 км/ч. 1280. 5 А, 4 А. 1281. 315 км. 1282. 600 см3, 1200 см3. Правообладатель Народная асвета Оглавление Раздел I. Функции 1. Функция ............................................ 5 2. Функции у = XX, у = x3, у = \fx.................... 18 3. Свойства функций .................................. 36 Раздел II. Сочетание окружности с углом, прямой, многоугольником 4. Окружность и угол.................................. 47 5. Угол и его меры.................................... 57 6. Окружность и прямая ............................... 68 7. Окружность и треугольник .......................... 77 8. Окружность и четырехугольник....................... 90 Раздел III. Неравенства 9. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства.103 10. Системы неравенств............................... 117 Раздел IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника 11. Свойства треугольника ........................... 128 12. Площади треугольника и четырехугольника ......... 142 Раздел V. Системы уравнений 13. Рациональные уравнения .......................... 159 14. Уравнение с двумя переменными.................... 171 15. Система уравнений с двумя переменными ........... 181 16. Нелинейные системы уравнений .................... 196 17. Решение задач с помощью систем уравнений......... 204 Раздел VI. Последовательности 18. Числовая последовательность...................... 211 19. Арифметическая прогрессия........................ 223 20. Геометрическая прогрессия........................ 236 Раздел VII. Правильный многоугольник и окружность 21. Правильные многоугольники........................ 250 22. Длина окружности................................. 262 23. Площадь круга.................................... 274 396 Правообладатель Народная асвета Раздел VIII. Основы школьной математики 24. Аксиоматический метод ............................ 283 25. Логические основы арифметики..................... 297 26. Логические основы алгебры ....................... 310 27. Логические основы геометрии ..................... 323 Справочный материал.................................. 340 Арифметика............................................. — Алгебра .............................................. 354 Геометрия ............................................ 366 Таблицы значений тригонометрических функций .......... 380 Ответы ............................................... 382 Правообладатель Народная асвета Учебное издание Латотин Леонид Александрович Чеботаревский Борис Дмитриевич МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 9 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения 4-е издание, исправленное и дополненное Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Е. И. Даниленко. Обложка художника А. С. Хотеева. Технические рисунки А. Л. Латотина. Художественный редактор Е. П. Протасеня. Техническое редактирование и компьютерная верстка И. И. Дроздовой, И. И. Дубровской. Корректоры В. С. Бабеня, Е. П. Тхир, А. В. Алешко. Подписано в печать 24.04.2014. Формат 60 X 901/1g. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 25,0 + 0,25 форз. Уч.-изд. л. 18,77 + 0,23 форз. Тираж 4000 экз. Заказ . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/2 от 08.07.2013. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск. ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа». Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 2/3 от 04.10.2013. Ул. Корженевского, 20, 220024, Минск. Правообладатель Народная асвета Латотин, Л. А. Л27 Математика : учеб. пособие для 9-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с белорус. яз. Л. В. Лато-тиной. — 4-е изд., испр. и доп. — Минск : Народная асвета, 2014. — 397 с. : ил. ISBN 978-985-03-2197-8. Предыдущее издание вышло в 2008 г. УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 Правообладатель Народная асвета (Название и номер учреждения образования) Учебный год Имя и фамилия учащегося Состояние учебного пособия при получении Оценка учащемуся за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Правообладатель Народная асвета